Polinomios ortogonales no estándar. Propiedades algebraicas y analíticas [1 ed.] 9789802611096

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´ XXII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS

POLINOMIOS ORTOGONALES ´ NO ESTANDAR. PROPIEDADES ALGEBRAICAS Y ANAL´ITICAS

Francisco Marcell´an Yamilet Quintana

´ MERIDA, VENEZUELA, 9 AL 15 DE SEPTIEMBRE DE 2009

´ XXII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR. PROPIEDADES ALGEBRAICAS Y ANAL´ITICAS

Francisco Marcell´an Yamilet Quintana Universidad Carlos III de Madrid. Espa˜ na Universidad Sim´on Bol´ıvar. Venezuela [email protected]

[email protected]

´ MERIDA, VENEZUELA, 9 AL 15 DE SEPTIEMBRE DE 2009

ii ´ XXII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS La Escuela Venezolana de Matem´ aticas es una actividad de los postgrados en matem´ aticas de las instituciones siguientes: Centro de Estudios Avanzados del Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas, Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes, Universidad Sim´ on Bol´ıvar, Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado y Universidad de Oriente, y se realiza bajo el auspicio de la Asociaci´ on Matem´ atica Venezolana. ´ La XXII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS recibi´ o financiamiento de la Academia de Ciencias F´ısicas, Matem´ aticas y Naturales, la Corporaci´ on Andina de Fomento (CAF), el Fondo Nacional de Ciencia, Tecnolog´ıa e Innovaci´ on (FONACIT), la Fundaci´ on TALVEN, el Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas (Departamento de Matem´ aticas y Ediciones IVIC), la Universidad de los Andes (CEP, CDCHT, Facultad de Ciencias y Departamento de Matem´ aticas) y el Rectorado de la Unversidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

2000 Mathematics Subject Classification: 42C05, (33C25, 30E05).

c

Ediciones IVIC Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas ´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR. PROPIEDADES ´ ALGEBRAICAS Y ANALITICAS Francisco Marcell´an - Yamilet Quintana Dise˜ no y edici´on: Escuela Venezolana de Matem´aticas Preprensa e impresi´on: Editorial Texto Dep´osito legal If66020095102413 ISBN 978-980-261-109-6 Caracas, Venezuela 2009

CONTENIDO PREFACIO

i

´ 1 POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR 1.1 Ortogonalidad est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ortogonalidad no est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ortogonalidad sobre la circunferencia unidad 1.2.2 Ortogonalidad tipo Sobolev . . . . . . . . . . 1.2.3 Comportamiento asint´ otico . . . . . . . . . . 1.2.4 Polinomios ortogonales matriciales . . . . . . 1.2.5 Ortogonalidad M´ ultiple: Tipo I y Tipo II . . 1.2.6 Ortogonalidad no hermitiana . . . . . . . . . 1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

2 POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES 2.1 Funciones de Carath´eodory y funciones de Schur . . . . . 2.1.1 El operador multiplicaci´ on y su representaci´ on matricial: matrices de Hessenberg . . . . . . . . . . . 2.1.2 Transformaciones espectrales en la circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Transformaci´ on de Aleksandrov . . . . . . . . . . . 2.1.4 Polinomios asociados de orden N en la circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Los polinomios antiasociados de orden N en la circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Transformaci´ on de Christoffel . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Transformaci´ on de Uvarov . . . . . . . . . . . . . . iii

1 1 5 5 14 19 20 22 23 24

29 30 31 34 36 37 39 40 56

iv

CONTENIDO

2.2

2.3 2.4

2.1.8 Transformaci´ on de Geronimus . Transformaciones LR = Re[Pn (z)]L y LI = Im[Pn (z)]L . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Funciones de Carath´eodory. . . 2.2.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . La teor´ıa CMV . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 58 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

61 65 70 74 79

3 POLINOMIOS ORTOGONALES Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO 83 3.1 Medidas vectoriales soportadas en intervalos acotados . . 83 3.1.1 Propiedades algebraicas y estudio de asint´ oticas de polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.2 Noci´ on de coherencia y asint´ otica relativa exterior 91 3.1.3 Distribuci´ on de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 Medidas vectoriales soportadas en intervalos no acotados . 96 3.2.1 Propiedades asint´ oticas . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.2 Polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev. Un caso no diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3 Series de Fourier relativas a polinomios ortogonales en espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4 PROBLEMAS ABIERTOS 4.1 Desarrollos en series de Fourier-Sobolev . . . . . . . . . 4.2 Transformaciones espectrales sobre la circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Asint´ otica y localizaci´ on de ceros . . . . . . . . . . . . .

143 . 143 . 143 . 144

´ 5 APENDICE

147

BIBLIOGRAF´IA

151

´ INDICE ALFABETICO

157

i

PREFACIO El desarrollo de la Teor´ıa de Polinomios Ortogonales (TPO), se ha focalizado en dos direcciones, ´ıntimamente relacionadas: • Aspectos algebraicos. • Aspectos anal´ıticos.

La primera direcci´ on tiene una estrecha relaci´ on con la Teor´ıa de Funciones Especiales, Combinatoria y Algebra Lineal, y est´ a principalmente dedicada al estudio de sistemas ortogonales concretos o jerarqu´ıas de dichos sistemas, tales como los polinomios de Jacobi, de Hahn, de Askey-Wilson, etc. La teor´ıa de polinomios ortogonales discretos y los q-an´ alogos tambi´en se encuentran en esta direcci´ on de la TPO, as´ı como tambi´en muchos de los avances actuales en el estudio de polinomios ortogonales en varias variables. La segunda direcci´ on est´ a caracterizada por el uso de m´etodos propios del An´ alisis Matem´ atico o m´etodos relacionados con ´el. Las propiedades generales de sistemas de polinomios ortogonales abarcan una peque˜ na parte de estos aspectos anal´ıticos, mientras que la parte m´ as amplia es cubierta por dos ramas extremadamente ricas: la TPO sobre la recta real y la TPO sobre la circunferencia unidad. Hist´ oricamente, la aparici´ on de los polinomios ortogonales cl´ asicos, en el caso real, y presentados en la forma de fracciones continuas se remonta al siglo XVIII, pero su amplio desarrollo tuvo lugar en el siglo XIX y principios del siglo XX, mientras que los polinomios sobre la circunferencia unidad son mucho m´ as recientes, dado que aparecen por primera vez en los trabajos de Szeg˝ o y de Geronimus, en la primera mitad del siglo XX. Las monograf´ıas [60], [61] presentan de manera exhaustiva

ii

Aspectos Algebraicos •Expresión explícita •Relaciones de C recurrencia •Localización de ceros •Jerarquías entre sistemas de polinomios ortogonales

Aspectos Analí cos •Distribución de ceros •Comportamiento asintó co C •Operadores diferenciales asociados •Convergencia de desarrollos de po Fourier

Figure 1: Aspectos algebraicos y anal´ıticos presentes en la TPO. el desarrollo de lo sucedido en la TPO sobre la circunferencia unidad desde entonces. La conexi´ on de la TPO con otras ´ areas de la Matem´ atica, tanto desde una perspectiva te´ orica como de sus aplicaciones es digna de ser resaltada. Entre ellas, cabe destacar: la teor´ıa de fracciones continuas, teor´ıa de operadores (operadores de Jacobi y Toeplitz), problemas de momentos, funciones anal´ıticas (conjetura de Bieberbach), interpolaci´ on, aproximaci´ on polin´ omica y racional (en particular, la aproximaci´ on de Pad´e), cuadratura gaussiana y sus extensiones, m´etodos espectrales para el an´ alisis num´erico de problemas de frontera en ecuaciones diferenciales y derivadas parciales, teor´ıa de potencial electrost´ atico, mec´ anica cu´ antica, entrop´ıa de informaci´ on, funciones especiales, teor´ıa de n´ umeros (irracionalidad y trascendencia), teor´ıa de grafos, combinatoria, matrices aleatorias, procesos estoc´ asticos (procesos de nacimiento y muerte, teor´ıa de la predicci´ on), transformada de Radon, teor´ıa de control (controlabilidad de ecuaciones de Laguerre o de Jacobi), tomograf´ıa computarizada, etc. Esta monograf´ıa tiene como objetivo principal presentar el estado del arte de la teor´ıa de polinomios ortogonales asociados a productos escalares en los siguientes contextos: 1. Medidas de probabilidad soportadas sobre la circunferencia unidad. 2. Medidas vectoriales soportadas en la recta real y espacios de Sobolev. Centraremos nuestra atenci´ on en las propiedades anal´ıticas de dichos

iii polinomios, con especial ´enfasis en sus estimaciones asint´ oticas fuertes, del cociente y ra´ız n-´esima, as´ı como el comportamiento de sus ceros y los aspectos computacionales vinculados a los mismos. Con este curso tambi´en se completa una serie de contribuciones relativas a ortogonalidad cl´ asica y ortogonalidad y cuadratura sobre la circunferencia unidad presentada en las XIV y XVII Escuelas Venezolanas de Matem´ atica, respectivamente, (ver [19] y [43]). El material est´ a organizado de la siguiente manera: En el primer cap´ıtulo, se desarrollan las nociones b´ asicas necesarias sobre polinomios ortogonales no est´ andar. El segundo cap´ıtulo est´ a dedicado a polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad, mientras que el tercer cap´ıtulo comprende el estudio de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev con peso. El cuarto cap´ıtulo contiene algunos problemas abiertos. Cada uno de los cap´ıtulos de esta monograf´ıa se divide en secciones. La numeraci´ on de cada resultado (lema, proposici´ on, teorema o corolario) esta en concordancia con la secci´ on respectiva. Adem´ as, la numeraci´ on de las f´ ormulas est´ a en correspondencia con el cap´ıtulo donde se encuentran. Al final de cada cap´ıtulo, se presenta un grupo de ejercicios relacionados con sus contenidos. La conclusi´ on de cada demostraci´ on se indica mediante el s´ımbolo . Finalmente, queremos agradecer al comit´e organizador del XXII Escuela Venezolana de Matem´ aticas, la oportunidad de dictar este curso y esperamos que este material, sirva de gu´ıa, est´ımulo y referencia, a todas aquellas personas que tengan la oportunidad de leerlo. Francisco Marcell´ an y Yamilet Quintana.

iv

´ NOTACION Φn (0) Z, Q, R, C D I T P Pn P(C)

coeficientes de Verblunsky. n´ umeros enteros, racionales, reales y complejos, respectivamente. disco unidad. subconjunto no finito de R. circunferencia unidad. espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales. subespacio vectorial de todos los polinomios de grado a lo sumo n. espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes complejos.

Pn (C)

subespacio de todos los polinomios con coeficientes complejos de grado a lo sumo n.

Λ λ∞ (ζ) L µ supp(µ)

espacio vectorial de los polinomios de Laurent. funci´ on de Christoffel. funcional lineal definido positivo (o cuasi-definido). medida de Borel. soporte de la medida µ.

Mx , Mz

operador multiplicaci´ on por la variable x, o por la variable z, respectivamente.

L2 (T, µ)

funciones de cuadrado integrable con respecto a la medida µ en la circunferencia unidad.

D∞ P D(z) M (0, 1) Kn (z, y)

conjunto de sucesiones {αj }∞ j=0 con |αj | < 1. conjunto de medidas de probabilidad sobre la circunferencia unidad. funci´ on de Szeg˝ o. clase de Nevai. n´ ucleo reproductor de grado n. v

vi

F. Marcell´ an, Y. Quintana

CAP´ITULO 1

POLINOMIOS ORTOGONALES ´ NO ESTANDAR 1.1

Ortogonalidad est´ andar

Sea P el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y Pn ⊂ P el subespacio de los polinomios de grado a lo sumo n. Denotaremos por Mx : P → P al operador multiplicaci´ on por la variable independiente x, es decir, Mx (p) = xp, para todo p ∈ P.

(1.1)

Definicion 1.1. Sea h ·, · i : P × P → R un producto interno sobre P. Una sucesi´ on de polinomios {pn }n≥0 se llamar´ a sucesi´ on de polinomios ortogonales con respecto al producto interno h ·, · i si satisface 1. Para todo n ∈ Z+ se cumple que grad(pn ) = n. 2. hpn , pm i = 0 si n 6= m, y hpn , pn i = 6 0 Definicion 1.2. Sea h ·, · i : P × P → R un producto interno sobre P. Diremos que h ·, · i es un producto interno est´ andar sobre P, si el operador Mx es autoadjunto, es decir, hMx (p), qi = hxp, qi = hp, xqi = hp, Mx (q)i, para todo p, q ∈ P. (1.2) 1

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F. Marcell´ an, Y. Quintana

Definicion 1.3. Diremos que una sucesi´ on de polinomios ortogonales {pn }n≥0 es est´ andar si es ortogonal con respecto a un producto interno est´ andar sobre P. Ejemplo 1.1.1. 1. Sea µ una medida de Borel positiva cuyo soporte es un subconjunto I, no finito, de la recta real y tal que Z |x|n dµ(x) < ∞, I

para todo n ∈ Z+ .

R No es dif´ıcil ver que el producto interno hp, qiµ = I p(x)q(x)dµ(x) es un producto interno est´ andar sobre P, que permite definir de manera un´ıvoca una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Pn }n≥0 tal que Z hPn , xk iµ = Pn (x)xk dµ(x) = 0, para k = 0, 1, . . . , n − 1. (1.3) I

La sucesi´ on {Pn }n≥0 se denomina sucesi´ on est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos respecto a la medida µ. 2. Podemos definir sobre Pn un producto interno no est´ andar de la manera siguiente: Sean p, q ∈ Pn , p(x) =

k X i=0

ai x

i

y

q(x) =

m X

bj xj ,

j=0

donde ai , bj ∈ R, (0 ≤ i ≤ k), (0 ≤ j ≤ m), (0 ≤ k, m ≤ n), y ak bm 6= 0. Pmin(k,m) Si hp, qi = i=0 ai bi , entonces se verifica que Pmin(k+1,m) Pmin(k,m+1) hxp, qi = i=0 ai bi+1 , mientras que hp, xqi = i=0 ai+1 bi , y estas dos sumas, en general, no son iguales. Una de las propiedades fundamentales, de indudable inter´es num´erico, de los polinomios ortogonales est´ andar asociados a una medida µ, es que se pueden generar de forma recurrente∗ . ∗

Esta relaci´ on de recurrencia a tres t´erminos, sigue siendo v´ alida para productos internos est´ andar.

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

3

Proposicion 1.1.1. (F´ ormula de recurrencia a tres t´erminos). Sea {Pn }n≥0 la sucesi´ on est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos respecto a una medida µ. Entonces se verifica la siguiente relaci´ on de recurrencia a tres t´erminos Pn+1 (x) = (x − λn ) Pn (x) − γn Pn−1 (x),

(1.4)

siempre que n ≥ 0, P−1 = 0, γ0 ∈ R y adem´ as, λn =

γn =

hxPn , Pn i , para n ≥ 0 y kPn k2

kPn k2 6= 0, para n ≥ 1. kPn−1 k2

Rec´ıprocamente, cualquier sucesi´ on de polinomios m´ onicos en P que satisfaga (1.4) con γn real positivo y λn real, es una sucesi´ on est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos respecto a alguna medida µ (no necesariamente u ´nica)† . En t´erminos matriciales, la relaci´ on (1.4) viene dada por       P0 (x) P0 (x) 0  P1 (x)   P1 (x)   0              x  P2 (x)  = Jn  P2 (x)  + Pn (x)  0  , (1.5)   ..     .. ..       . . . Pn−1 (x)

Pn−1 (x)

donde Jn es una matriz tridiagonal  λ0 1 0  γ1 λ1 1   Jn =  0 γ2 λ2  .. .. ..  . . . 0 0 0

0 0 1 .. . ···

1

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

γn−1 λn−1



   ,  

conocida con el nombre de matriz m´ onica de Jacobi de orden n. Una consecuencia inmediata de la relaci´ on (1.5) es la siguiente †

Este resultado es conocido como Teorema de Favard.

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F. Marcell´ an, Y. Quintana

Proposicion 1.1.2. Si x0 es un cero de Pn , entonces es un autovalor de Jn . Obs´ervese que la matriz infinita J∞ dada por 

  J∞ =  

 λ0 1 0 0 · · · γ1 λ1 1 0 · · ·   , 0 γ2 λ2 1 · · ·   .. .. .. .. . . . . . . .

satisface la relaci´ on 

P0 (x) P1 (x) P2 (x) .. .

    x    Pn (x)  .. .





P0 (x) P1 (x) P2 (x) .. .

         = J∞        Pn (x)   .. .



    .    

(1.6)

J∞ es conocida en la literatura con el nombre de matriz de Jacobi. A partir de esta matriz podemos introducir un operador J : ℓ2 (Z+ ) → ℓ2 (Z+ ) de la forma siguiente: Dada α = {αj }j≥0 ∈ ℓ2 (Z+ ), definimos J(α) = {βi }i≥0 ∈ ℓ2 (Z+ ) como la sucesi´ on cuyos t´erminos vienen dados por 

α0 α1 α2 .. .

    J(α) = J∞     αn−1  .. .





λ0 α0 + α1 γ1 α0 + λ1 α1 + α2 γ2 α1 + λ2 α2 + α3 .. .

        =       γn−1 αn−2 + λn−1 αn−1 + αn   .. .



    ,    

(1.7)

P es decir, βi = ∞ j=0 uij αj , donde uij representa la entrada (i, j) de la matriz J∞ . El operador J es un operador autoadjunto con respecto al producto interno usual sobre ℓ2 (Z+ ) (ver ejercicio 1, al final del cap´ıtulo) y tiene un vector c´ıclico: e0 = {1, 0, 0, . . .}. Entonces, por el teorema espectral

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

5

J es unitariamente equivalente al operador multiplicaci´ on por x, Mx en 2 2 L (µ), es decir, el operador unitario U : ℓ (Z+ ) → P dado por U (en ) =

Pn , kPn k

en = {0, . . . , 0, 1, 0, . . .}

puede ser extendido a un operador unitario U : ℓ2 (Z+ ) → L2 (µ), tal que J = U−1 Mx U. En este contexto, la medida µ se denomina medida espectral asociada a J.

1.2

Ortogonalidad no est´ andar

Como cabr´ıa esperar, en esta secci´ on describiremos los distintos tipos de ortogonalidad no pertenecientes al caso est´ andar, intensamente estudiados desde la d´ecada de los a˜ nos ochenta del siglo pasado.

1.2.1

Ortogonalidad sobre la circunferencia unidad

El estudio de los polinomios ortogonales con respecto a una medida de probabilidad no trivial, soportada en la circunferencia unidad T = {z ∈ C : |z| = 1} fue iniciado por G. Szeg˝ o en una serie de art´ıculos publicados entre 1915 y 1925 (ver [63]). Posteriormente, Ya. L. Geronimus ([24], [25] y [26]) extendi´ o esta teor´ıa en un contexto m´ as general de ortogonalidad respecto a funcionales lineales, basado en la teor´ıa cl´ asica de funciones de variable compleja. Un eje importante de actividad investigadora en la d´ecada de los cincuenta fue el estudio de la conexi´ on con el problema trigonom´etrico de momentos y la teor´ıa de procesos estoc´ asticos estacionarios discretos ([33]). M´ as tarde, en los a˜ nos ochenta, se analiz´ o el problema desde una perspectiva algebraica ligada al problema de factorizaci´ on de matrices de Hessenberg (la representaci´ on matricial del operador de multiplicaci´ on respecto a la base de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad) de dimensi´ on finita ([32]). De la misma manera, apareci´ o una abundante bibliograf´ıa en

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F. Marcell´ an, Y. Quintana

teor´ıa de sistemas lineales relacionados con polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad, en el marco de los generadores de espacios de estado (ver, por ejemplo, [38] y referencias contenidas ah´ı). Posteriormente, en la d´ecada de los noventa, se desarrolla una teor´ıa constructiva de familias de polinomios ortogonales asociados a perturbaciones de medidas soportadas en la circunferencia unidad (ver [1], [27], [28], [37],[44], [48], [47], entre otros), as´ı como una interpretaci´ on basada en la representaci´ on matricial del operador de multiplicaci´ on respecto a una base ortonormal respecto a medidas soportadas en arcos de la circunferencia unidad ([29], [30]). La f´ ormula de recurrencia a tres t´erminos (1.4) es una propiedad caracter´ıstica de los polinomios ortogonales est´ andar, y se debe al hecho de que para una sucesi´ on est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos {Pn }n≥0 se satisface hMx (Pn ), Pk i = hPn , Mx (Pk )i = 0, para k < n − 1.

(1.8)

En el caso de productos internos complejos, los dos miembros de (1.8), son totalmente diferentes. Por ejemplo, consideremos el siguiente producto interno en el espacio de todos los polinomios con coeficientes complejos P(C): Z Z π 1 dz 1 hp, qi = p(z)q(z) p(eiθ )q(eiθ )dθ. (1.9) = 2πi T z 2π −π Denotando por Mz al operador multiplicaci´ on por z, es sencillo comprobar que (1.9) no es un producto interno est´ andar y, por tanto, la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Φn }n≥0 asociada a (1.9) no satisface una relaci´ on de recurrencia a tres t´erminos como (1.4). Sin embargo, {Φn }n≥0 satisface la siguiente relaci´ on de recurrencia: Φn+1 (z) = zΦn (z), para todo n ≥ 0. Obs´ervese que, en este caso, Φn (z) = z n , para todo n ≥ 0. Como sabemos, la circunferencia unidad T es la curva m´ as simple sobre el plano complejo con un n´ umero de propiedades adicionales, por lo que los polinomios ortogonales sobre T son de particular inter´es. Si σ es

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

7

una medida de probabilidad sobre T (es decir, una medida cuyo soporte no es un conjunto finito), los polinomios ortogonales m´ onicos Φn (z, σ) (o simplemente Φn (z), cuando no hay posibilidades de confusi´ on) est´ an un´ıvocamente determinados por las relaciones Z n Y Φn (z) = (z − zn,j ), z −j Φn (z)dσ(z) = 0, j = 0, . . . , n − 1. T

j=1

(1.10) De manera que en el espacio de Hilbert L2 (T, σ), dotado con el producto interno R hf, giσ = T f (z)g(z)dσ(z), se tiene que hΦn , Φm iσ = 0, si n 6= m. Los polinomios ortonormales est´ an dados por ϕn (z) = ΦkΦn (z) . Obs´ervese que la familia ortonormal nk {ϕn }n>0 puede no ser una base de L2 (T, σ). Por ejemplo, si en (1.9) σ es la medida normalizada de Lebesgue entonces z −1 es ortogonal a todo Φn (z). Un celebrado resultado de Szeg˝ o, establece que {ϕn }n>0 es ′ ′ 2 1 base ortogonal de L (T, σ), si σ ∈ / L (T), donde σ es la derivada de Radon-Nikodym de σ con respecto a la medida normalizada de Lebesgue soportada en T. Entonces, de (1.10) y del hecho que dim(Pn (C)) = n + 1, se deduce que P ⊥z j ,

deg(P ) = n,

j = 0, . . . , n − 1 ⇒ P (z) = cΦn (z).

(1.11)

Sobre L2 (T, σ) la aplicaci´ on Υ : L2 (T, σ) → L2 (T, σ), dada por Υ(f ) = ∗ n donde f (z) := z f (z) (la cual depende de n), est´ a definida de manera natural. El espacio Pn (C) es invariante a izquierda por Υ, es decir: f ∗,

P (z) =

n X j=0

λj z j ⇒ P ∗ (z) =

n X

λn−j z j .

(1.12)

j=0

De (1.11) se sigue que deg(P ) = n,

P ⊥z j ,

j = 1, . . . , n ⇒ P (z) = cΦ∗n (z).

(1.13)

F´ ormulas de recurrencia de Szeg˝ o y coeficientes de Verblunsky Si L es un funcional
lineal en el espacio Λ de los polinomios de Laurent Λ := span {z n }n∈Z tal que L es Hermitiano, es decir, cn = L(z n ) =

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F. Marcell´ an, Y. Quintana

L(z −n ) = c¯−n , n ∈ Z, entonces se puede introducir una forma bilineal asociada con L en el espacio P(C) de los polinomios con coeficientes complejos como sigue q (z −1 )), hp(z), q(z)iL = L(p(z)¯

(1.14)

donde p, q ∈ P(C). Denotaremos mediante Pn (C) el subespacio de los polinomios de grado a lo sumo n. Usualmente denotaremos por hL, P (z)i al valor L(P (z)), para todo P (z) ∈ Λ. La matriz de Gram asociada la forma bilineal (1.14) en t´erminos de la base can´ onica {z n }n>0 de P(C) es   c0 c−1 · · · c−n ···  c1 c0 · · · c−(n−1) · · ·     .. .. .. .. ..   . . . .  (1.15) T= . ,   cn cn−1 · · · c · · · 0   .. .. .. .. .. . . . . .

conocida en la literatura como matriz de Toeplitz [33]. Se dice que el funcional lineal es cuasi-definido si las submatrices principales (Tn )n>0 de T son no singulares. En este caso, se puede introducir una u ´nica sucesi´ on de polinomios m´ onicos {Φn }n>0 con grad (Φn ) = n tal que hΦn , Φm iL = Kn δn,m , (1.16) donde Kn 6= 0 para todo n > 0. Esta sucesi´ on se denomina sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos asociados a L. Adem´ as, tenemos hΦn , Φn iL = kΦn k2 = Kn . La sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos satisface dos relaciones de recurrencia equivalentes debidas a G. Szeg˝ o (ver [26], [33], [60], [63]) (1.17) Φn+1 (z) = zΦn (z) + Φn+1 (0)Φ∗n (z),   Φn+1 (z) = 1 − |Φn+1 (0)|2 zΦn (z) + Φn+1 (0)Φ∗n+1 (z), (1.18)

que se denominan relaciones de recurrencia ascendente y descendente, ¯ n (z −1 ) es el llamado polinomio respectivamente, donde Φ∗n (z) = z n Φ

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

9

rec´ıproco. Obs´ervese que de (1.17) se tiene Φ∗n+1 (z) = Φ∗n (z) + Φn+1 (0)zΦn (z).

(1.19)

Los n´ umeros complejos {Φn (0)}n>1 se denominan coeficientes de reflexi´ on (o coeficientes de Verblunsky) y tienen suma importancia en el estudio de los polinomios ortogonales en la circunferencia unidad. En el caso cuasi-definido, tenemos |Φn (0)| = 6 1 para todo n > 1. El teorema de Carath´eodory-Toeplitz nos da una caracterizaci´ on de la on de un problema de mosucesi´ on {cn }n∈Z en t´erminos de la determinaci´ mentos: Sean Tn las submatrices principales de T, entonces det(Tn ) > 0 para todo n ∈ Z+ , si y s´ olo si, existe una medida de Borel positiva σ no trivial sobre T tal que Z π cn = einθ dσ(θ). −π

Cuando las submatrices principales (Tn )n>0 de T tienen determinante positivo, entonces el funcional lineal se dice definido positivo. En este caso, podemos garantizar que existe una u ´nica sucesi´ on de polinomios ortonormales {ϕn }n>0 respecto al funcional L que satisface hϕn , ϕm iL = δn,m .

(1.20)

El n-´esimo polinomio ortonormal est´ a dado por

ϕn (z) = p

1 det Tn det Tn−1

c0 c1 c2 c−1 c0 c1 .. .. . . ... c−(n−1) c−(n−2) c−(n−3) 1 z z2

. . . cn . . . cn−1 .. .. . . . . . c1 . . . zn

con el convenio det T−1 = 1. Ambas sucesiones de polinomios est´ an relacionadas por Φn (z) =

ϕn (z) , κn

a dado por donde κn es el coeficiente principal de ϕn (z), que est´

.

10

F. Marcell´ an, Y. Quintana

κn = Adem´ as, tenemos

r

det Tn−1 . det Tn

Kn =

1 . κ2n

Si denotamos por D∞ al conjunto de sucesiones {αj }∞ j=0 con |αj | < 1 y por P al conjunto de medidas de probabilidad no triviales sobre T, a bien la aplicaci´ on S : P → D∞ definida por S(σ) := {αj (σ)}∞ j=0 est´ definida. Verblunsky demostr´ o el siguiente resultado: Teorema 1.1. (Verblunsky ‡ , 1936). S es una biyecci´ on. Por lo tanto, Teorema 1.2. Para cualquier medida de probabilidad no trivial σ, soportada en la circunferencia unidad, podemos definir una sucesi´ on de n´ umeros complejos {Φn (0)}n>1 con |Φn (0)| < 1, n > 1, tal que se cumplen las relaciones de recurrencia (1.17) y (1.18), donde {Φn }n>0 es la familia de polinomios ortogonales con respecto a σ. Adem´ as, kΦn+1 k2 = (1 − |Φn+1 (0)|2 )kΦn k2 n Y = (1 − |Φj+1 (0)|2 ). j=0

La familia de coeficientes de Verblunsky proporciona informaci´ on cualitativa acerca de la medida y su correspondiente sucesi´ on de polinomios ortogonales. La medida σ puede descomponerse como suma de una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue nordθ malizada 2π y una medida singular. Denotamos mediante ω = σ ′ la derivada de Radon-Nikodym de σ respecto a la medida de Lebesgue y por σs la medida singular. Entonces dσ(θ) = ω(θ) ‡

dθ + dσs (θ). 2π

Tambi´en llamado el Teorema de Favard para la circunferencia unidad.

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

11

Definicion 1.4. [63] Supongamos que se satisface la condici´ on de Szeg˝ o, Z 2π dθ log(ω(θ)) > −∞. (1.21) 2π 0 Entonces, la funci´ on de Szeg˝ o, D(z), se define en |z| < 1 mediante   Z 2π iθ e +z 1 D(z) = exp log(ω(θ))dθ . (1.22) 4π 0 eiθ − z Adem´ as, D(z) es anal´ıtica y no se anula en D. P 2 La condici´ on de Szeg˝ o (1.21) es equivalente a que ∞ n=0 |Φn (0)| < ∞. El siguiente resultado es usualmente atribuido a G. Szeg˝ o, A. N. Kolmogorov y M. G. Krein Teorema 1.3. Para cualquier medida de probabilidad no trivial σ con soporte en T, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) limn→∞ kΦn k = 0. P∞ 2 (b) n=0 |Φn (0)| < ∞.

2 (c) {ϕn }∞ n=0 es una base de L (T, σ). R ′ ′ / L1 (T). (d) T log σ (z)dz = −∞, es decir, log σ ∈

Decimos que la medida σ es de variaci´ on acotada si se cumple ∞ X

n=0

|Φn+1 (0) − Φn (0)| < ∞.

La funci´ on de Christoffel asociada con una medida de probabilidad no trivial σ, soportada en la circunferencia unidad, est´ a definida del modo siguiente. Sea Z 2π  λn (ζ) = min |P (eiθ )|2 dσ(θ), deg(P ) 6 n, P (ζ) = 1 . 0

Fijado ζ ∈ C, λn es una funci´ on positiva y decreciente en n, de manera que λ∞ (ζ) =

lim λn (ζ) Z 2π = inf |P (eiθ )|2 dσ(θ), n→∞

0

P ∈ P(C),

 P (ζ) = 1 .

12

F. Marcell´ an, Y. Quintana

λ∞ se conoce en la literatura como funci´ on de Christoffel ([60]). Existe una relaci´ on entre la funci´ on de Christoffel y la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a una medida de probabilidad σ dada. Teorema 1.4. Sea σ una medida de probabilidad no trivial soportada en la circunferencia unidad, y sea {Φn (0)}n>1 la correspondiente familia de coeficientes de Verblunsky. Entonces, (a) Si |ζ| > 1, λ∞ (ζ) = 0. (b) Si |ζ| = 1, λ∞ (ζ) = σ({ζ}). P∞ 2 (c) Si n=0 |Φn (0)| = ∞, entonces λ∞ (ζ) = 0 para todo ζ con |ζ| < 1. P∞ 2 (d) Si n=0 |Φn (0)| < ∞, entonces λ∞ (ζ) > 0 para todo ζ con |ζ| < 1. Adem´ as, λ∞ (0) =

∞ Y

n=1

Tambi´en se puede mostrar que λn (ζ) =


1 − |Φn (0)|2 . 1 , Kn (ζ, ζ)

donde Kn (z, y) es el n-´esimo n´ ucleo reproductor asociado con {ϕn }n>0 , que est´ a definido mediante Kn (z, y) =

n X

ϕj (y)ϕj (z) =

j=0

n X Φj (y)Φj (z) j=0

kj

,

con kj = kΦj k2 = κj (σ)−2 . Existe una f´ ormula directa para calcular Kn (z, y), en t´erminos del (n + 1)-´esimo polinomio ortonormal. Teorema 1.5. (F´ ormula de Christoffel-Darboux) Para todo n > 0 y z, y ∈ C con y¯z 6= 1, Kn (z, y) =

n X j=0

ϕj (y)ϕj (z) =

ϕ∗n+1 (y)ϕ∗n+1 (z) − ϕn+1 (y)ϕn+1 (z) . 1 − y¯z

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

13

En el caso cuasi-definido, la f´ ormula anterior se convierte en Φ∗n+1 (y)Φ∗n+1 (z) − Φn+1 (y)Φn+1 (z) . Kn+1 (1 − y¯z)

Kn (z, y) =

El n´ ucleo reproductor tiene, entre otras, las siguientes propiedades. Teorema 1.6. Sean y ∈ C y p ∈ Pn (C). Entonces se verifican las siguientes propiedades: (a)


L p(z), Kn (z, y) = p(y),

(b)

Kn (z, 0) =

n X

ϕj (0)ϕj (z) = κn (σ)ϕ∗n (z),

(1.23)

(1.24)

j=0

(c) Kn (0, 0) =

n X j=0

|ϕj (0)|2 = κ2n (σ)

(1.25)

Adem´ as, considerando el polinomio rec´ıproco de Kn (x, y) en la variable x, que denotaremos mediante Kn∗ (x, y), se tiene Kn∗ (x, y) =

Φn+1 (x)Φ∗n+1 (y) − Φ∗n+1 (x)Φn+1 (y) , Kn+1 x−y 1

conocido en la literatura como el B´ezoutiano de Φn+1 y Φ∗n+1 . De la relaci´ on (1.25) se tiene κ2n (σ) − κ2n−1 (σ) = |ϕn (0)|2 = κ2n (σ)|Φn (0)|2 , de donde se sigue que   κn−1 (σ) 2 = 1 − |Φn (0)|2 , n ∈ N. κn (σ) Las funciones

qj (t) =

Z

T

ϕj (z) dσ(z), t−z

t 6∈ T,

j > 0,

(1.26)

(1.27)

se denominan funciones de segunda especie asociadas con σ. Tambi´en denotamos Z Φj (z) dσ(z) = (κj (σ))−1 qj (t). Qj (t) = T t−z

14

F. Marcell´ an, Y. Quintana

1.2.2

Ortogonalidad tipo Sobolev

Un producto interno de Sobolev sobre el espacio P o sobre el espacio P(C) es, esencialmente, un producto interno que involucra a las derivadas de los polinomios hasta un cierto orden. A modo de ejemplo, un tal producto interno puede ser definido de la siguiente manera: Sea (µ0 , . . . , µm ) un vector de m + 1 medidas positivas de Borel soportadas en C tales que Z |z|2n dµk (z) < ∞, n ∈ Z+ , k = 0, . . . , m, C

es decir, cada elemento de la sucesi´ on {z n }∞ on de cuadrado n=0 es una funci´ integrable para cada µk , (k = 0, . . . , m), o, equivalentemente, 2 {z n }∞ n=0 ⊂ L (µk ), (k = 0, . . . , m).

Supondremos, adicionalmente, que el soporte de µ0 contiene, al menos, una n´ umero infinito de puntos, y que µm no es la medida nula. As´ı pues, llamaremos producto interno de Sobolev sobre P(C) asociado al vector de medidas (µ0 , . . . , µm ), al definido por

hp, qiS =

m Z X

p(k) (z)q (k) (z)dµk (z) =

k=0

m X k=0

hp(k) , q (k) iL2 (µk ) ,

(1.28)

para todo p, q ∈ P(C), donde q (k) denota la derivada k -´esima del polinomio q. La norma asociada a (1.28) se llama norma de Sobolev y, como es usual, se define mediante !1/2 m X 1/2 (k) 2 kqkS = hq, qiS = kq kL2 (µk ) . k=0

De manera an´ aloga a la ortogonalidad est´ andar, diremos que una sucesi´ on de polinomios {Qn }∞ es ortogonal con respecto al producto n=0 interno (1.28), si para cada n ∈ Z+ se tiene que grad (Qn ) = n y  6= 0, n = m hQn , Qm iS = 0, n 6= m

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

15

En este caso Qn es el n-´esimo polinomio ortogonal de Sobolev asociado al producto interno dado en (1.28). Nuevamente si hQn , Qn iS = 1, ∀ n ∈ Z+ , se dice que la sucesi´ on es ortonormal. El n-´esimo polinomio ortogonal m´ onico de Sobolev es aquel ˜ n (z) que satisface polinomio Q  6= 0, n = m ˜ ˜ hQn , Qm iS = 0, n 6= m y su coeficiente principal (coeficiente l´ıder) es igual a 1. ˜ n }n≥0 queda definida un´ıvocamente por las condiAs´ı, la sucesi´ on {Q ciones: ˜ n (z) = z n + Q

n−1 X i=0

˜ n , z k iS hQ

ci,n z i , (ci,n ∈ C)

= 0 , k = 0 , 1, . . . , n − 1.

(1.29)

Si qn (z) es el polinomio ortonormal de grado n correspondiente al producto (1.28) , entonces qn (z) =

1 Qn (z) , n = 0 , 1, 2, . . . . kQn kS

Desde su inicio, el estudio de los polinomios ortogonales de Sobolev puso al descubierto que existen marcadas diferencias entre ´estos y los polinomios ortogonales est´ andar con respecto a una medida µ. En efecto, se sabe que en el caso est´ andar los ceros de la sucesi´ on de polinomios ortogonales se encuentran en el interior de la c´ apsula convexa del soporte de la medida de ortogonalidad. Sin embargo, en 1962 Althammer [4] consider´ o el siguiente ejemplo de producto interno de Sobolev Z Z p(x)q(x)dµ0 (x) + p′ (x)q ′ (x)dµ1 (x). (1.30) hp, qiS = donde supp(µ0 ) = supp(µ1 ) = [−1 , 1] ,  10dx , −1 ≤ x < 0 dµ0 (x) = dx , dµ1 (x) = dx , 0 ≤ x ≤ 1, para el cual el polinomio ortogonal m´ onico de segundo grado, ˜ 2 (x) = x2 + 27 x − 1 , Q 35 3

16

F. Marcell´ an, Y. Quintana

tiene un cero en x = −1, 08 ∈ / [−1 , 1] . Como se observ´ o posteriormente, la existencia de un cero fuera del soporte de la medida de ortogonalidad es un hecho muy frecuente en los polinomios ortogonales de Sobolev (ver [55]). Incluso puede ocurrir que muchos de estos ceros sean complejos. Otra distinci´ on importante a destacar en relaci´ on con los productos de Sobolev es la siguiente: Supongamos en (1.28) que Ik = supp(µk ) ⊂ R , k = 0 , . . . , m , donde Ik es un intervalo y p, q ∈ P, entonces hp, qiS =

m Z X

p(k) (x) q (k) (x)dµk (x).

(1.31)

k=0 Ik

Si en (1.31) m ≥ 1 , consideramos el operador de multiplicaci´ on por x, Mx sobre el espacio P es claro que Mx no es autoadjunto con respecto a (1.31). Como ya hemos dicho la simetr´ıa de este operador con respecto al producto interno es decisiva en la b´ usqueda de una f´ ormula de recurrencia a tres t´erminos. En [21] se prueba que si en (1.31) µk , k = 1 , . . . , m , son medidas at´ omicas con soporte formado por un n´ umero finito de puntos, es decir, es una combinaci´ on lineal finita de deltas de Dirac, entonces la sucesi´ on de polinomios ortogonales (´ unica salvo una constante multiplicativa no nula) con respecto al producto (1.31), satisface una relaci´ on de recurrencia con un n´ umero finito de t´erminos que no depende del grado del polinomio. Tambi´en en [4], Althammer consider´ o el producto interno de Sobolev hp, qiS =

Z

1

−1

p(x)q(x)dx + λ

Z

1

p′ (x)q ′ (x)dx,

(1.32)

−1

donde λ > 0 . Este producto recibe el nombre de producto interno de Legendre-Sobolev y sus polinomios ortogonales asociados pueden verse como generalizaciones de los polinomios cl´ asicos de Legendre. Hist´ oricamente, el trabajo de P. Althammer fue el primero en considerar como materia de estudio los polinomios ortogonales de Sobolev. La motivaci´ on para la consideraci´ on de estos sistemas de polinomios fue el problema de la mejor aproximaci´ on polinomial por m´ınimos cuadrados en la m´etrica inducida por el producto interno (1.32).

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

17

Como sabemos, la soluci´ on de este problema es Pn =

n X k=0

hf , qk iS qk ,

donde {qn } es la sucesi´ on de polinomios ortonormales de Sobolev con respecto al producto (1.32). Al igual que en [4], trabajos posteriores de W. Gr¨ obner [34], J. Brenner [8], F. W. Sch¨ afke [59] y, finalmente, E. A. Cohen [13], consideraron casos particulares del producto (1.31) al tomar como µ0 y µ1 medidas absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue soportadas sobre un cierto intervalo de la recta real y definidas por pesos cl´ asicos. Despu´es del trabajo de E. A. Cohen en el a˜ no 1.975, no se reportaron estudios sobre esta tem´ atica hasta finales de la d´ecada de los ochenta. Por tal motivo, podemos considerar los a˜ nos comprendidos entre 1.962, en que aparece el trabajo de Althammer, y 1.975, como la primera etapa de desarrollo de la teor´ıa de los polinomios de Sobolev. Una caracter´ıstica com´ un a todos los trabajos de esta etapa, es el empleo de la integraci´ on por partes como herramienta fundamental de trabajo. La segunda etapa en el estudio de los polinomios de Sobolev, que comenz´ o a finales de la d´ecada de los 80 y se prolonga hasta nuestros d´ıas, se ha enfocado desde puntos de vista formalmente diferentes, seg´ un el tipo de producto interno de Sobolev involucrado [52]: (a) El llamado caso no diagonal estudia polinomios ortogonales respecto a productos internos de la forma hf, giS =

Z

F (x)AGt (x)dµ(x) ,

I

donde I es un intervalo real (acotado o no), µ es una medida de Borel absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en I , los vectores F y G vienen dados por F (x) = (f (x), f ′ (x), . . . , f (m) (x)), G(x) = (g(x), g′ (x), . . . , g(m) (x)) , y A es una matriz sim´etrica semidefinida positiva de orden (m + 1) × (m + 1), [46]. Este caso ha sido ampliamente estudiado cuando A es una matriz diagonal.

18

F. Marcell´ an, Y. Quintana As´ımismo se han estudiado polinomios ortogonales respecto a productos internos de la forma Z hf, giS = F (z)AGt (z)dµz ,

donde µ es una medida de Borel compleja, positiva y finita (i. e. z n ∈ L1 (µ) para todo n ≥ 0), cuyo soporte contiene una cantidad infinita de puntos, los vectores F y G vienen dados por

F (z) = (f (z), f ′ (z), . . . , f (m) (z)), G(z) = (g(z), g′ (z), . . . , g(m) (z)) , y A es una matriz hermitiana definida positiva de orden (m + 1) × (m + 1). (b) El caso diagonal § corresponde al estudio de polinomios ortogonales respecto al producto interno de Sobolev definido en (1.28). (c) El caso discreto, donde los soportes de cada una de las medidas µk , k = 1 , . . . , m, de (1.28) poseen un n´ umero finito de puntos. Por ejemplo, Z ′ ′ hp, qiS = f (x)g(x)dµ0 (x) + λf (ξ)g (ξ), corresponde a (1.28) con m = 1 y dµ1 = λδξ , donde δξ es la delta de Dirac en ξ.

(d) Por u ´ltimo, la forma introducida por K. H. Kwon considera productos de Sobolev donde la primera medida de ortogonalidad es discreta Z hf, giS = f (c)g(c) + f ′ (x)g′ (x)dµ(x), I

ha demostrado tener utilidad para el estudio de polinomios or(α) togonales generalizados de Laguerre {Ln }n≥0 cuando α = −1 y c = 0.

La escuela espa˜ nola desarrollada alrededor de F. Marcell´ an, G. L´ opez Lagomasino y A. Mart´ınez Finkelshtein ha estado particularmente activa en el desarrollo de la teor´ıa de familias de polinomios ortogonales en cada uno de los primeros tres casos, [23], [46], [47], [48], [43], [51], [52], [54]. §

Llamado tambi´en caso continuo, cuando las medidas involucradas satisfacen dµk (x) = wk (x)dx, con wk alg´ un peso cl´ asico.

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

1.2.3

19

Comportamiento asint´ otico

El estudio de las propiedades asint´ oticas de sucesiones de polinomios ortogonales de Sobolev {Qn } cuando n → ∞, puede clasificarse seg´ un las siguientes direcciones: • Asint´ otica del cociente. • Asint´ otica fuerte. • Asint´ otica de la ra´ız en´esima. El primer resultado correspondiente al caso discreto se obtuvo por F. Marcell´ an y W. Van Assche en [50]. En este trabajo se considera el producto interno Z 1 p(x)q(x)dµ(x) + λp′ (c)q ′ (c) , (1.33) hp, qiS = −1

donde λ > 0 , c ∈ R y µ ∈ M (0 , 1) . M (0 , 1) es la clase de Nevai constituida por todas las medidas µ positivas de Borel para las que la sucesi´ on de polinomios ortonormales correspondiente {pn }n≥0 satisface una relaci´ on de recurrencia a tres t´erminos xpn (x) = an+1 pn+1 (x) + bn pn (x) + an pn−1 (x) cuyos coeficientes cumplen lim an =

n→∞

1 , 2

lim bn = 0 .

n→∞

El objetivo, en este caso, fue comparar los polinomios de Sobolev asociados a (1.33) con los polinomios ortogonales est´ andar con respecto a µ, y, de esta manera, investigar c´ omo influye en la sucesi´ on {pn }n≥0 la adici´ on de derivadas, esto es, cu´ an cercanos est´ an los polinomios de Sobolev a los {pn }n≥0 . Con esta finalidad, asumiendo que µ es una medida para la que se conoce el comportamiento asint´ otico de los polinomios {pn }n≥0 $ y suponiendo que µ ∈ M (0 , 1) , se estudia el comportamiento asint´ otico relativo de los polinomios ortogonales de Sobolev con respecto a la sucesi´ on {pn }n≥0 en los casos en que c ∈ supp(µ) y c ∈ R \ supp(µ) . Este trabajo puso al descubierto la similitud existente entre el comportamiento asint´ otico de los polinomios de Sobolev

20

F. Marcell´ an, Y. Quintana

en el caso discreto y los polinomios ortogonales est´ andar con respecto a medidas modificadas por la adici´ on de masas puntuales. Con respecto al comportamiento asint´ otico fuerte de polinomios de Sobolev en el caso continuo, el primer resultado fue dado en [54] para los polinomios de Gegenbauer-Sobolev. En ´el se establece la asint´ otica relativa de estos polinomios con respecto a los de Gegenbauer. Dado que el comportamiento asint´ otico de estos u ´ltimos es conocido, se tiene entonces el comportamiento asint´ otico fuerte de los polinomios de Gegenbauer-Sobolev. Tambi´en se obtiene el comportamiento asint´ otico de las normas y los ceros de dichos polinomios. Otra noci´ on introducida por diversos autores con el fin de estudiar el comportamiento asint´ otico de sucesiones de polinomios ortogonales de Sobolev en el caso no discreto fue la de coherencia de medidas. El primer resultado m´ as o menos general sobre comportamiento asint´ otico de sucesiones de polinomios ortogonales de Sobolev para casos no discretos fue obtenido por medio de una t´ecnica muy simple pero exitosa: establecer una relaci´ on algebraica (con un n´ umero finito de t´erminos) entre la sucesi´ on de polinomios ortogonales de Sobolev y una sucesi´ on de polinomios ortogonales est´ andar, y luego estudiar el comportamiento asint´ otico de los par´ ametros involucrados en la relaci´ on algebraica para obtener una asint´ otica comparativa, [53]. Finalmente, en la l´ınea de considerar productos internos de Sobolev con respecto a clases generales de medidas, se pueden ubicar tambi´en los trabajos caracterizados por el empleo de m´etodos de la teor´ıa de potencial logar´ıtmico, para estudiar el comportamiento asint´ otico de los ceros y puntos cr´ıticos de los polinomios de Sobolev, ver por ejemplo [47].

1.2.4

Polinomios ortogonales matriciales

Definicion 1.5. Una matriz M(x) de orden N ×N dada por la expresi´ on   p11 (x) ··· p1N (x)   .. .. .. M(x) =  , . . . pN 1 (x) ··· pN N (x)

donde las entradas pij (x) son polinomios de grado a lo sumo n, se denomina una matriz polinomial de grado a lo sumo n.

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

21

Obs´ervese que tambi´en podemos escribir M(x) = Cn xn + · · · + C0 , donde Ck es una matriz num´erica de orden N ×N , para cada k = 0, . . . , n. El n´ umero x = x0 es un cero de M si M(x0 ) es singular, y la multiplicidad de x0 es la multiplicidad de x0 como cero de det M(x). Cuando el coeficiente principal matricial Cn es una matriz no-singular, la matriz polinomial M tiene nN ceros, contando la multiplicidad. Denotaremos por I a la matriz identidad usual, y por 0 a la matriz nula (tanto la matriz num´erica como la polinomial). Llamaremos peso matricial a la matriz W de orden N × N , dada por   µ11 (x) ··· µ1N (x)   .. .. .. W(x) =  , . . . µN 1 (x) ··· µN N (x) donde las entradas µij (x) son medidas complejas definidas sobre la recta real, o alg´ un subconjunto de la recta. El peso matricial W se dice definido positivo si para cualquier conjunto de Borel E, las matrices num´ericas W(x) son semidefinidas positivas, para cada x ∈ E. R Supondremos que todos los momentos de W son finitos, (i.e. msij = xs dµij (x) < ∞, s ≥ 0). A partir de esta definici´ on, podemos definir un producto interno con valores matriciales sobre el espacio lineal de todas la matrices polinomiales de orden N × N como sigue: Z hM, SiW = M(x)dW(x)S∗ (x), (1.34) donde S∗ (x) denota a la matriz traspuesta conjugada de S(x), para cada x. Si hM, Mi es una matriz no singular para toda M matriz polinomial con coeficiente principal matricial no singular, entonces al igual que en el caso escalar, podemos generar una sucesi´ on de matrices polinomiales {Mn }n≥0 de grado n, que es ortogonal con respecto al peso matricial W, es decir:  Z 0, si n 6= m, ∗ Mn (x)dW(x)Mm (x) = I, si n = m, on y Mn tiene coeficiente principal matricial no singular. La sucesi´ {Mn }n≥0 est´ a determinada un´ıvocamente, salvo multiplicaci´ on a izquierda

22

F. Marcell´ an, Y. Quintana

por matrices unitarias, es decir, si Un son matrices unitarias, entonces {Un Mn }n≥0 es tambi´en un sistema de matrices polinomiales ortogonales con respecto a W. En los u ´ltimos 20 a˜ nos las nociones fundamentales sobre matrices polinomiales ortogonales han sido principalmente desarrolladas por A. Dur´ an, A. I. Aptekarev, E. M. Nikishin y A. Gr¨ unbaum. Aunque esta teor´ıa muestra algunas similitudes con el caso escalar, constituye un novedoso campo de investigaci´ on que a´ un no ha sido totalmente explorado.

1.2.5

Ortogonalidad M´ ultiple: Tipo I y Tipo II

La ortogonalidad m´ ultiple proviene de la teor´ıa de aproximaci´ on simult´ anea de Pad´e. Es un campo relativamente nuevo, en el que las principales contribuciones se deben a E. M. Nikishin, V. N. Sorokin, A. I. Aptekarev, G. L´ opez Lagomasino y W. Van Assche, entre otros. Sea (µ1 , . . . , µm ) un vector de m medidas positivas de Borel soportadas en R con m ∈ Z+ fijo, tales que Z

R

|x|n dµk (x) < ∞, n ∈ Z+ , k = 1, . . . , m,

y donde el soporte de µk contiene una cantidad infinita de puntos para k = 1, . . . , m. − Consideremos los multi-´ındices → n = (n1 , . . . , nm ) ∈ Zm no + , con tama˜ → − | n | = n1 +· · ·+nm . Entonces existen dos tipos de ortogonalidad m´ ultiple correspondientes a dos aproximaciones de tipo Hermite-Pad´e: • En la ortogonalidad m´ ultiple de tipo I, se considera la sucesi´ on → → → multi-indexada de polinomios {Q− , con grad (Q− n ,k }− n ∈Zm n ,k ) = + nk − 1, k = 1, . . . m, definida a partir del sistema de ecuaciones m Z X k=1

R

→ xj Q − n ,k (x)dµk (x) = 0,

− j = 0, 1, . . . , |→ n | − 2.

(1.35)

− Este es un sistema lineal hom´ ogeneo para los |→ n | coeficientes de → los m polinomios Q− , por lo que tiene soluci´ o n no trivial. n ,k

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

23

• En la ortogonalidad m´ ultiple de tipo II, se considera un solo po→ − → → liomio multi-indexado P− n , con grad (P− n ) = | n |, tal que Z → xk P− k = 0, 1, . . . , n1 − 1, n (x)dµ1 (x) = 0, R

Z

.. .

R

→ xk P− n (x)dµm (x) = 0,

(1.36) k = 0, 1, . . . , nm − 1.

− → Este es un sistema lineal hom´ ogeneo para los |→ n | + 1 coeficientes de P− n, y nuevamente tiene soluci´ on no trivial.

1.2.6

Ortogonalidad no hermitiana

Con respecto a la ortogonalidad no hermitiana, mencionaremos los casos siguientes: (a) La medida µ es una medida real no necesariamente positiva (medida con signo) o con valores complejos, y consideramos el polinomio pn dado a partir de Z pn (z)z k dµ(z) = 0, k = 0, . . . , n − 1. (1.37) (b) La medida µ es una medida con signo, o con valores complejos, o positiva y su soporte est´ a contenido en una curva compleja o arco y la ortogonalidad es considerada sin conjugaci´ on compleja, y consideramos el polinomio pn dado a partir de Z pn (z)z k dµ(z) = 0, k = 0, . . . , n − 1. (1.38) M´ as generalmente, se pueden considerar productos internos no positivos, por ejemplo, si consideramos el aproximante de Pad´e diagonal a la transformada de Cauchy Z dµ(t) f (z) = , z−t

24

F. Marcell´ an, Y. Quintana

de una medida con signo o compleja µ, es decir, consideramos polinomios pn y qn de grado a lo sumo n, tales que f (z)pn (z) − qn (z) = O(z −n−1 ) en el infinito. Entonces pn satisface la relaci´ on de ortogonalidad no hermitiana Z pn (z)z k dµ(z) = 0, k = 0, . . . , n − 1. (1.39) En este caso, aunque el proceso de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt falla, pn puede ser definido como la soluci´ on del sistema de ecuaciones (1.37), (resp. (1.38)). De manera que pn puede ser un polinomio de grado menor que n y los resultados pueden ser m´ as complicados con este tipo de ortogonalidad, por ejemplo en el caso dµ(x) = (x − cos(πα1 ))(x − cos(πα2 ))(1 − x2 )−1/2 ,

x ∈ [−1, 1],

umeros algebraicos racionalmente independientes, con 0 < α1 < α2 < 1 n´ los ceros de pn (tomado como soluci´ on de (1.38)) son densos en todo el plano complejo. En [62], H. Stahl demostr´ o que es posible construir una medida compleja µ sobre [−1, 1] tal que para un comportamiento asint´ otico predeterminado, alguna subsucesi´ on de polinomios {pnk } tendr´ a dicho comportamiento.

1.3

Ejercicios

1. Dado el operador de Jacobi J : ℓ2 (Z+ ) → ℓ2 (Z+ ), definido en (1.7). (a) Muestre que para toda sucesi´ on α = {αj }j≥0 ∈ ℓ2 (Z+ ), 2 J(α) ∈ ℓ (Z+ ).

(b) Considere sobre ℓ2 (Z+ ) el producto interno usual hα, βiℓ2 (Z+ ) =

∞ X

αi βi .

i=0

Muestre que J es un operador sim´etrico (autoadjunto) con respecto al producto interno h ·, · iℓ2 (Z+ ) .

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

25

2. Unicidad de polinomios multi-ortogonales de tipo I: Considere el sistema lineal de ecuaciones dado en (1.35). Muestre que si el rango → del sistema (1.35) es |− n | − 1, entonces su soluci´ on es u ´nica, salvo → un factor multiplicativo constante. En este caso el multi-´ındice − n → → de la sucesi´ on {Q− n ,k }− n es llamado normal de tipo I. Unicidad de polinomios multi-ortogonales de tipo II: Considere el sistema lineal de ecuaciones dado en (1.36). Muestre que si el → − → polinomio P− n tiene grado | n | + 1, entonces el sistema (1.36) tiene soluci´ on u ´nica, salvo un factor multiplicativo constante. En este → → → caso el multi-´ındice − n de la sucesi´ on {Q− n ,k }− n es llamado normal de tipo II. 3. Pares coherentes de medidas: Sean (µ1 , µ2 ) un vector de medidas positivas, y {Pn }n>0 , {Tn }n>0 las respectivas sucesiones est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos. El vector (µ1 , µ2 ) se dice par coherente de medidas si existe una sucesi´ on de constantes no nulas σ1 , σn , . . ., tales que ′

′

P (x) P (x) Tn (x) = n+1 − σn n , n+1 n

n ≥ 1.

Muestre que (a) El vector de medidas (µ1 , µ2 ), donde dµ1 (x) = dµ2 (x) = xα e−x dx, para x ∈ (0, ∞) y α > −1, es un par coherente de medidas. Sugerencia: utilice el hecho de que los polinomios (α) ortogonales m´ onicos de Laguerre Ln , satisfacen la relaci´ on (α) (α+1) (α+1) Ln (x) = Ln (x) + nLn−1 (x). (b) El vector de medidas (µ1 , µ2 ), donde dµ1 (x) = |x − ξ|(1 − x)α−1 (1 + x)β−1 , dµ2 (x) = (1 − x)α (1 + x)β , x ∈ (−1, 1), |ξ| > 1 y α, β > 0, es un par coherente de medidas. 4. Dado λ ≥ 0, consid´erese el producto interno de Laguerre-Sobolev Z ∞ Z ∞ hp, qiS = p(x)q(x)dµ0 (x) + λ p′ (x)q ′ (x)dµ1 (x), 0

donde dµ0 (x) = dµ1 (x) = xα e−x dx,

0

α > −1.

26

F. Marcell´ an, Y. Quintana (a) Muestre que los polinomios m´ onicos

n

(α)

Qn

o

n>0

, ortogonales

con respecto al producto anterior, se pueden expresar medi(α) ante Q0 (x) ≡ 1, c0,0 c · · · c 1,0 n,0 c0,1 c1,1 ··· cn,1 .. .. .. .. . . . . c0,n−1 c1,n−1 · · · cn,n−1 n 1 x · · · x , n ≥ 1 Q(α) n (x) = c c · · · c 0,0 1,0 n−1,0 c0,1 c1,1 ··· cn−1,1 .. .. .. .. . . . . c0,n−1 c1,n−1 · · · cn−1,n−1

donde ci,j = hxi , xj iS = hxi , xj iµ0 + ijλhxi−1 , xj−1 iµ1 . Observe que cada coeficiente (distinto del coeficiente l´ıder) de (α) Qn es una funci´ on racional en λ cuyo numerador y denominador tienen grado n − 1. Esta propiedad nos permite pensar (α) en el polinomio Qn (x) como una funci´ on en dos variables (α) Qn (x, λ). (b) Defina (α)

R0∞ (x) = Q0 (x) = 1, (α)

(α)

R1∞ (x) = Q1 (x) = L1 (x), Rn∞ (x) =

lim Q(α) n (x, λ), para n ≥ 2.

λ→∞

El polinomio m´ onico Rn∞ se conoce como polinomio l´ımite asociado, es un polinomio de grado exactamente n e independiente de λ. Demuestre que R∞ (i) 0 Rn∞ (x)xα e−x dx = 0, para todo n ≥ 1. (ii)

R∞

xm (Rn∞ (x))′ xα e−x dx = 0, para todo n ≥ 2, 0 ≤ m ≤ n − 2. En consecuencia, 0

(α)

(Rn∞ (x))′ = nLn−1 (x),

n ≥ 2.

´ POLINOMIOS ORTOGONALES NO ESTANDAR

27

(c) Use la parte (b) y el ejercicio 3.(a) para deducir Rn∞ (x) = L(α) n (x) − σn−1 (α)

n (α) L (x), n − 1 n−1

n ≥ 2.

(α)

(d) Relaci´ on entre Ln y Qn : demuestre que se verifica la siguiente relaci´ on: n + 1 (α) (α) (α) Ln+1 (x)−σn Ln (x) = Qn+1 (x)−αn (λ)Q(α) n ≥ 1, n (x), n donde (α)

n + 1 kLn k2µ0 αn (λ) = σn 6= 0, 2 n kQ(α) n k S

n ≥ 1.

∞ Sugerencia: exprese Rn+1 en t´erminos de la base ortogonal (α)

(α)

(α)

{Q0 , Q1 , . . . , Qn+1 } y utilice la parte (c) para determinar la constante αn (λ). 5. Dado λ ≥ 0, consid´erese el producto interno de Sobolev Z b Z b hp, qiS = p(x)q(x)dµ1 (x) + λ p′ (x)q ′ (x)dµ2 (x). a

a

Si las medidas µk , k = 1, 2 son sim´etricas, la noci´ on de pares coherentes de medidas no puede ser usada como en el ejercicio anterior. Sin embargo, se puede introducir una definici´ on similar. Pares sim´etricamente coherentes de medidas: Dados (µ1 , µ2 ) un vector de medidas positivas, y {Pn }n>0 , {Tn }n>0 las respectivas sucesiones est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos. El vector (µ1 , µ2 ) se dice par sim´etricamente coherente de medidas, si existe una sucesi´ on de constantes no nulas A1 , An , . . ., B1 , Bn , . . ., tales que ′ ′ Tn (x) = An Pn+1 (x) + Bn Pn−1 (x), n ≥ 1. (a) El vector de medidas (µ1 , µ2 ), donde dµ1 (x) = dµ2 (x) = (1 − x2 )α−1/2 dx, para x ∈ (−1, 1) y α > − 12 , es un par sim´etricamente coherente de medidas. Sugerencia: utilice el hecho de que los polinomios ortogonales de Gegenbauer (α) (α) (α) d Gn , satisfacen la relaci´ on 2(n + α)Gn (x) = dx Gn+1 (x) − (α) d dx Gn−1 (x).

28

F. Marcell´ an, Y. Quintana (b) Dado λ ≥ 0, consid´erese el producto interno de GegenbauerSobolev Z 1 Z 1 hp, qiS = p(x)q(x)dµ0 (x) + λ p′ (x)q ′ (x)dµ1 (x), −1

−1

donde dµ0 (x) = dµ1 (x) = (1 − x2 )α−1/2 dx, α > − 12 . Estudie la sucesi´ on de polinomios ortogonales de GegenbauerSobolev, seg´ un el esquema presentado en el ejercicio 4.

CAP´ITULO 2

POLINOMIOS ORTOGONALES SOBRE LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES El estudio de las transformaciones espectrales en la circunferencia unidad no ha tenido a´ un la atenci´ on que ha acaparado tanta atenci´ on como en el caso de la recta real. El inicio del siglo XXI est´ a marcado con la aparici´ on de los dos vol´ umenes de la monograf´ıa de B. Simon ([60], [61]) que constituyen la descripci´ on m´ as exhaustiva del estado del arte en la teor´ıa de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad hasta la fecha. Uno de los resultados m´ as importantes es el tratamiento de la representaci´ on matricial del operador de multiplicaci´ on respecto a bases ortonormales en el espacio de los polinomios de Laurent Λ = span{z k : k ∈ Z} construidas a partir del proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt de las familias S = {1, z, z −1 , z 2 , z −2 , . . .} y T = {1, z −1 , z, z −2 , z 2 , . . .}, respectivamente. La matriz resultante, conocida como matriz CMV, es pentadiagonal y admite una factorizaci´ on en t´erminos de dos matrices diagonales por bloques de dimensi´ on 2 × 2 la primera y de un u ´nico bloque de dimensi´ on 1 × 1 y los restantes de dimensi´ on 2 × 2 la segunda, cuyos elementos pueden ser expresados en t´erminos de los coeficientes de Verblunsky. Finalmente, es posible establecer una conexi´ on entre medidas sopor29

30

F. Marcell´ an, Y. Quintana

tadas en el intervalo [−1, 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, conocida en la literatura como transformaci´ on de Szeg˝ o. En [63] se muestra no solamente c´ omo est´ an relacionadas dichas medidas, sino tambi´en la relaci´ on existente entre las familias de polinomios ortogonales correspondientes, as´ı como la relaci´ on entre las familias de par´ ametros de la relaci´ on de recurrencia de los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la medida soportada en la circunferencia unidad. Desde esta perspectiva, en el reciente trabajo [22] se abordan las transformaciones espectrales, centr´ andose en el estudio de la relaci´ on entre las funciones de Stieltjes correspondientes a medidas en la recta real y las funciones de Carath´eodory correspondientes a medidas sim´etricas en la circunferencia unidad. El inter´es de la transformaci´ on de Szeg˝ o no es solamente desde una perspectiva te´ orica, sino tambi´en desde el punto de vista computacional, pues ha sido usada de manera sistem´ atica en el estudio de f´ ormulas de cuadratura de Szeg˝ o en la circunferencia unidad y su aplicaci´ on a f´ ormulas de cuadratura en intervalos de la recta real ([6], [18], [19]).

2.1

Funciones de Carath´ eodory y funciones de Schur

Empezaremos esta secci´ on introduciendo alguna notaci´ on, definiciones y resultados cl´ asicos u ´tiles. El lector puede consultar [24] y [60] como referencias complementarias. Definicion 2.1. Dadas F, f : D → C funciones anal´ıticas, diremos que on) si y s´ olo si F (0) ∈ R (a) F es una funci´ on de Carath´eodory∗ (C-funci´ y Re (F (z)) > 0 sobre D. (b) f es una funci´ on de Schur si y s´ olo si supz∈D |f (z)| ≤ 1. Al igual que en [60], diremos que una C-funci´ on F es trivial si F es una funci´ on racional con polos en T y es imaginaria pura en cualquier punto regular de T. An´ alogamente, diremos que una funci´ on de Schur ∗

La definici´ on dada en [60] usa la normalizaci´ on F (0) = 1.

31

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

f es trivial si f se puede representar mediante un producto de Blaschke finito: m Y z − zj f (z) = eiθ , 1 − zj z j=1

para z1 , . . . , zm ∈ D. Estas funciones juegan un papel importante en la teor´ıa de polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad, pues est´ an asociadas a la determinaci´ on expl´ıcita de familias de polinomios ortogonales. Se puede mostrar que F admite un desarrollo de Taylor en z = 0 F (z) = c0 + 2

∞ X

n=1

c−n z n ,

(2.1)

on de momentos para alguna donde la sucesi´ on {c−n }n≥0 es una sucesi´ medida no trivial σ sobre T. Tambi´en, F se puede representar mediante la transformaci´ on de Riesz-Herglotz de la medida σ (ver [26], [60]) Z w+z F (z) = dσ(w). T w−z Por extensi´ on, si L es un funcional lineal hermitiano en el espacio Λ de los polinomios de Laurent, es decir, cn = L(z n ) = L(z −n ) = c¯−n , n ∈ Z, denominaremos funci´ on de Carath´eodory asociada al funcional L a la funci´ on anal´ıtica en el entorno del origen dada por (2.1).

2.1.1

El operador multiplicaci´ on y su representaci´ on matricial: matrices de Hessenberg

Si tenemos en cuenta que {Φn }n>0 es una base ortogonal en el espacio P(C), de (1.17), (1.18) y la f´ ormula de Christoffel-Darboux, deducimos zΦn (z) =

n+1 X

λn,j Φj (z),

(2.2)

j=0

con λn,j

   1 n −K = Kj Φn+1 (0)Φj (0)   0

si si si

j = n + 1, j 6 n, j > n + 1,

(2.3)

32

F. Marcell´ an, Y. Quintana

(ver [38], [60]). Entonces, la representaci´ on matricial del operador multiplicaci´ on por z, Mz : P(C) 7→ P(C), en t´erminos de la base {Φn }n>0 , es zΦ(z) = HΦ Φ(z), (2.4) donde Φ(z) = [Φ0 (z), Φ1 (z), . . . , Φn (z), . . .]t y HΦ es una matriz de Hessenberg inferior 

λ0,0 1  λ1,0 λ1,1 HΦ =  .. .. . .

0 1 .. .

 0 ... 0 ...  . .. .. . .

En lo sucesivo, diremos que HΦ es la matriz de Hessenberg asociada a la familia de polinomios ortogonales m´ onicos {Φn }n>0 . En el caso definido positivo, si {ϕn }n>0 es la base de P(C) formada por los correspondientes polinomios ortonormales, entonces, la relaci´ on matricial es zϕ(z) = Hϕ ϕ(z), (2.5) donde ϕ(z) = [ϕ0 (z), ϕ1 (z), . . . , ϕn (z), . . .]t y Hϕ es una matriz de Hessenberg inferior con elementos

hn,j =

  

κn κn+1 κ − κnj Φn+1 (0)Φj (0)

  0

si si si

j = n + 1, j 6 n, j > n + 1.

(2.6)

Proposicion 2.1.1. Sea L un funcional lineal definido positivo sobre la circunferencia unidad. Si {ϕn }n>0 es la sucesi´ on de polinomios ortonormales correspondiente a L y Hϕ es la matriz Hessenberg inferior tal que zϕ(z) = Hϕ ϕ(z),  donde ϕ(z) = ϕ0 (z), ϕ1 (z), . . . ]t , entonces (i) Hϕ H∗ϕ = I,

(ii) H∗ϕ Hϕ = I − λ∞ (0)ϕ(0)ϕ(0)∗ , donde I es la matriz identidad.

33

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Demostraci´ on. (i) El funcional lineal L satisface hzp, zqiL = hp, qiL , para todo p, q ∈ P(C). Entonces

 t ∗ Hϕ H∗ϕ = H ϕ

ϕ ϕ, ϕt Lt H = Hϕ ϕ, ϕHϕ L

 = zϕ, zϕt L = ϕ, ϕt L = I.

(ii) Para n > 0, tenemos   ∞ X
|Φj+1 (0)|2 κn−1 2 (n) ∗ 2 2 2 2 Hϕ (n) (Hϕ ) = +|Φn (0)| |Φn+1 (0)| +κn |Φn (0)| , κn κ2j j=n+1 donde H(j) , H(j) denotan, respectivamente, la j-´esima fila y la j-´esima columna de la matriz H. Usando en forma reiterada la relaci´ on (1.26), se deduce ∞  2 X

|Φj+1 (0)|2 n H∗ϕ (n) (Hϕ )(n) = 1 − κκn+1 |Φn (0)|2 1 − |Φn+1 (0)|2 + κ2n |Φn (0)|2 κ2j j=n+1 = 1− .. .



κn κn+2

2

∞ X
|Φj+1 (0)|2 |Φn (0)|2 1 − |Φn+2 (0)|2 + κ2n |Φn (0)|2 κ2j j=n+2

= 1 − κ2n |Φn (0)|2 lim

j→∞

1 1 = 1 − |ϕn (0)|2 lim 2 j→∞ Kj (0, 0) κj

= 1 − |ϕn (0)|2 λ∞ (0). Por otra parte, para 0 6 j < n,
∗

Hϕ

(n)

(Hϕ )(j)

∞

X |Φl+1 (0)|2 1 = ϕn (0)ϕj (0) − 2 + κn κ2l l=n

!

.

Usando la relaci´ on (1.26),
∗

Hϕ

(n)

(Hϕ )(j) = ϕn (0)ϕj (0) − κ21

n+1

= ϕn (0)ϕj (0) − κ21

n+2

! ∞ X |Φl+1 (0)|2 + κ2l l=n+1 ! ∞ X |Φl+1 (0)|2 + . κ2l l=n+2

34

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Finalmente, si aplicamos reiteradamente (1.26), se obtiene
1 1 H∗ϕ (n) (Hϕ )(j) = ϕn (0)ϕj (0) lim 2 = ϕn (0)ϕj (0) lim l→∞ κl l→∞ Kl (0, 0) = ϕn (0)ϕj (0)λ∞ (0).  El an´ alogo de la proposici´ on 2.1.1 para HΦ , la matriz de Hessenberg asociada a la familia de polinomios ortogonales m´ onicos, es Proposicion 2.1.2. Sea L un funcional lineal cuasi-definido sobre la circunferencia unidad. Si {Φn }n>0 es la sucesi´ on de polinomios m´ onicos correspondiente a L y HΦ es la matriz Hessenberg inferior tal que 

zΦ(z) = HΦ Φ(z),

donde Φ(z) = Φ0 (z), Φ1 (z), . . . ]t , entonces (i) HΦ DΦ H∗Φ = DΦ , −1 ∗ (ii) H∗Φ D−1 Φ HΦ = DΦ − λ∞ (0)Φ(0)Φ(0) ,

donde DΦ es la matriz diagonal infinita diag(K0 , K1 , . . .). ∞ X

|Φn (0)|2 = +∞, n=0
dθ lo que se traduce en t´erminos de la medida σ en que log σ ′ ∈ / L1 2π , esto es, la medida σ no pertenece a la clase de Szeg˝ o (ver [60]). Corolario 2.1. La matriz Hϕ es unitaria si y s´ olo si

Adem´ as, en este caso, los polinomios son densos en L2 (T, σ). Las filas de la matriz de Hessenberg son finitas, pero sus columnas pueden tener un n´ umero infinito de elementos distintos de cero. Esto, junto con la restricci´ on de que la medida σ no pertenece a la clase de Szeg˝ o, representa un importante inconveniente en las aplicaciones.

2.1.2

Transformaciones espectrales en la circunferencia unidad

Sea Θ : D∞ → D∞ inyectiva, por el teorema de Verblunsky, Θ induce una aplicaci´ on Υ : P → P tal que el siguiente diagrama P   Sy

Υ

−−−−→ P   yS Θ

D∞ −−−−→ D∞

(2.7)

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

35

es conmutativo, es decir, Θ ◦ P = S ◦ Υ. A la aplicaci´ on Υ la llamaremos transformaci´ on espectral. An´ alogamente, cada aplicaci´ on F sobre la familia de C-funciones F , tal que F(F ) es tambi´en C-funci´ on, induce una transformaci´ on espectral Υ de manera que el diagrama (2.7) es conmutativo. A tales aplicaciones tambi´en las llamaremos transformaciones espectrales. En lo que sigue mostraremos algunas transformaciones espectrales sobre P a partir de ciertas aplicaciones (perturbaciones) sobre los coeficientes de Verblunsky {Φn (0)}n≥1 asociados a una medida de probabilidad σ, o a partir de transformaciones espectrales sobre una C- funci´ on. Transformaciones espectrales lineales Consideramos tres casos de transformaciones can´ onicas: (i) La perturbaci´ on d˜ σ = |z − α|2 dσ, |z| = 1, α ∈ C, es la llamada transformaci´ on can´ onica de Christoffel. (ii) La perturbaci´ on d˜ σ = dσ+Mc δ(z −α)+M c δ(z − α ¯ −1 ), α ∈ C\{0}, Mc ∈ C, es la llamada transformaci´ on de Uvarov (ver [44]). dσ ¯ (iii) La perturbaci´ on d˜ σ = |z−α| ¯ −1 ), |z| = 1, 2 + Mc δ(z − α) + Mc δ(z − α Mc ∈ C y |α| = 6 1, es la llamada transformaci´ on de Geronimus (ver [28], [44]).

Estas tres transformaciones, denotadas por FC (α), FU (α, Mc ) y FG (α, Mc ), respectivamente, corresponden, de una manera an´ aloga al caso de la recta real, a transformaciones espectrales lineales de la funci´ on de Carath´eodory asociada. Este enfoque fue iniciado en [44]. Polinomios asociados de segunda especie en la circunferencia unidad Sea L un funcional lineal Hermitiano cuasi-definido, normalizado de on de polinomios m´ onicos manera que c0 = 1 y sea {Φn }n>0 la sucesi´ ortogonal respecto al funcional lineal L. La sucesi´ on de polinomios

36

F. Marcell´ an, Y. Quintana

{Ωn }n>0 definida por Ωn (z) = L Ω0 (z) = 1,



 y+z (Φn (y) − Φn (z)) , y−z

n > 1,

(2.8) (2.9)

se denomina sucesi´ on de polinomios de segunda especie asociados con el funcional L. N´ otese que el grado de Ωn es n y que Ωn (z) es m´ onico. Estos polinomios tambi´en satisfacen la relaci´ on de recurrencia Ωn+1 (z) = zΩn (z) − Φn+1 (0)Ω∗n (z),

n > 0,

y, por tanto, {Ωn }n>0 es una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a un funcional lineal Hermitiano cuasi-definido que denotaremos LΩ . Proposicion 2.1.3. [44] Sea Φn (z) el polinomio ortogonal m´ onico de grado n asociado con el funcional lineal L y sea Ωn (z) tal y como se ha definido en (2.8). Entonces (a) Φn (z)F (z) + Ωn (z) = O(z n ), (b) Φ∗n (z)F (z) − Ω∗n (z) = O(z n+1 ), (c) FΩ (z) =

|z| < 1, |z| < 1,

1 F (z) ,

donde F (z) y FΩ (z) son las funciones de Carath´eodory asociadas a los funcionales lineales L y LΩ , respectivamente. As´ı, este es un caso especial de transformaci´ on espectral racional propia de F (z), que denotaremos mediante FΩ .

2.1.3

Transformaci´ on de Aleksandrov

Consideremos la familia de par´ ametros de Verblunsky {Φn (0)}n>1 y sea λ un n´ umero complejo con |λ| = 1. La transformaci´ on que resulta al considerar una nueva familia de par´ ametros de Verblunsky definidos por on de {Φλn (0)}n>1 , donde Φλn (0) = λΦn (0), se denomina transformaci´ Aleksandrov. En el caso especial λ = −1, los polinomios resultantes son

37

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

los polinomios asociados de segunda especie definidos en el apartado anterior. La correspondiente sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos, {Φλn }n>0 , puede escribirse en t´erminos de Φn y Ωn como sigue Φλn (z) = (Φλn )∗ (z) =

1 (1 + λ)Φn (z) + 2 1 ¯ ∗ (z) + (1 + λ)Φ n 2

1 (1 − λ)Ωn (z), 2 1 ¯ ∗ (z). (1 − λ)Ω n 2

Adem´ as, las correspondientes funciones de Carath´eodory est´ an relacionadas mediante F λ (z) =

(λ + 1)F (z) + λ − 1 . (λ − 1)F (z) + λ + 1

(2.10)

Por otra parte, si denotamos por HλΦ la matriz de Hessenberg correspondiente a la sucesi´ on de polinomios ortogonales {Φλn }n>1 , estudiamos a continuaci´ on la relaci´ on entre HλΦ y HΦ . λ Dado que Φn (0) = λΦn (0), con |λ| = 1, deducimos de (1.26) que Kλ n+1 Kλ n

=

Kn+1 Kn ,

n > 0, as´ı como K0λ =

(λ+1)K0 +λ−1 (λ−1)K0 +λ+1 .

Es decir, Knλ =

Kλ 0 K0 Kn .

Luego, de acuerdo con (2.3), los elementos de la matriz HλΦ son los mismos de la matriz HΦ , excepto los elementos de la primera columna, que est´ an multiplicados por λ. Por tanto, HλΦ = HΦ diag(λ, 1, 1, . . .).

2.1.4

Polinomios asociados de orden N en la circunferencia unidad

Sea {Φn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos respecto (N ) a un funcional lineal cuasi-definido L. Denotamos por {Φn }n>0 los polinomios asociados de orden N de {Φn }n>0 , que est´ an generados por la relaci´ on de recurrencia (N )

) (N ) ∗ Φn+1 (z) = zΦ(N n (z) + Φn+N +1 (0)(Φn ) (z), (N )

n > 0.

(2.11)

Obs´ervese que {Φn }n>0 es tambi´en una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a un funcional lineal cuasi-definido LN . Denotaremos esta transformaci´ on por F (N ) , esto es, F (N ) [F (z)] = F (N ) (z),

38

F. Marcell´ an, Y. Quintana

donde F (z) y F (N ) (z) son las funciones de Carath´eodory asociadas a los (N ) funcionales respecto a los que son ortogonales {Φn }n>0 y {Φn }n>0 , respectivamente. La funci´ on de Carath´eodory F (N ) (z) se puede expresar como una transformaci´ on espectral racional de F (z), como sigue F (N ) (z) =

A(z)F (z) + B(z) , C(z)F (z) + D(z)

(2.12)

donde A(z) = ΦN (z) + Φ∗N (z), B(z) = ΩN (z) − Ω∗N (z), C(z) = ΦN (z) − Φ∗N (z),

D(z) = ΩN (z) + Ω∗N (z). Por otro lado, si denotamos por HN la matriz de Hessenberg corre(N ) spondiente a {Φn }n>0 , consideremos ahora la relaci´ on entre HN y HΦ . Observando que N Kn+1 KnN

2 = 1 − |ΦN n+1 (0)| 2 = 1 − |ΦN n+N +1 (0)| Kn+N +1 = , Kn+N

de (2.3), se sigue que las entradas de la matriz  si   1 N Kk N N N − KN Φn+1 (0)Φj (0) si hk,j = j   0 si

HN est´ an dadas por j = k + 1, j 6 k, j > k + 1,

a excepci´ on de las entradas de la primera columna, que satisfacen hN k,0 = hk+N,0 , k ∈ N, las restantes entradas satisfacen   hk+N,k+N +1 si j = k + 1, = h si 1 6 j 6 k, hN k,j  k+N,j+N 0 si j > k + 1.

39

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Luego, HN diag(ΦN (0), 1, 1, . . .) = (Zt )N HΦ ZN ,

N > 1,

donde Z es la matriz infinita con 1 en la subdiagonal principal inferior y las restantes entradas son nulas.

2.1.5

Los polinomios antiasociados de orden N en la circunferencia unidad

Sea {Φn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a un funcional lineal cuasi-definido L. Sean ν1 , ν2 , . . . , νN n´ umeros complejos con |νj | = 6 1, 1 6 j 6 N . Denotamos los polinomios anti(−N ) asociados de orden N de {Φn }n>0 , {Φn }n>0 , como los polinomios ˆ n (0)}n>1 = m´ onicosSgenerados por los par´ ametros de Verblunsky {Φ N ∞ {νj }j=1 {Φj (0)}j=1 . Denotaremos esta transformaci´ on por F (−N ) , esto es, F (−N ) [F (z)] = F (−N ) (z). F (−N ) (z) es la funci´ on de Carath´eodory (−N ) asociada con el funcional de ortogonalidad de {Φn }n>0 que denotaremos mediante L−N . F (−N ) (z) se puede expresar como una transformaci´ on espectral racional de F (z) como sigue F (−N ) (z) =

˜ ˜ A(z)F (z) + B(z) , ˜ ˜ C(z)F (z) + D(z)

(2.13)

donde ˜ ˜ N (z) + Ω ˜ ∗N (z), A(z) = Ω ˜ ˜ ∗ (z) − Ω ˜ N (z), B(z) = Ω N ˜ ˜ ∗ (z) − Φ ˜ N (z), C(z) = Φ N

˜ ˜ N (z) + Φ ˜ ∗N (z), D(z) = Φ ˜ N (z) (respectivamente Ω ˜ N (z)) es el polinomio de grado N gendonde Φ erado a partir de los n´ umeros complejos ν1 , ν2 , . . . , νN (respectivamente −ν1 , −ν2 , . . . , −νN ), a trav´es de la relaci´ on de recurrencia. Es decir, ˜ ˜ N (z) respecto al ΩN (z) es el polinomio de segunda especie asociado a Φ funcional L−N .

40

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Finalmente, observemos que F (N ) ◦ F (−N ) [F (z)] = F (z) (transformaci´ on identidad), mientras que el rec´ıproco, en general, no se cumple, ya que depende de la elecci´ on de los par´ ametros libres en la transformaci´ on F (−N ) .

2.1.6

Transformaci´ on de Christoffel

Consideremos la forma bilineal hp, qiLC := h(z − α)p, (z − α)qiL ,

p, q ∈ P(C),

(2.14)

de tal manera que el funcional lineal asociado LC es hermitiano. Parece natural preguntarse qu´e condiciones se requieren para que LC sea cuasidefinido, supuesto que L tambi´en lo sea. La respuesta a esta pregunta es Teorema 2.1. [20] El funcional lineal LC , cuya forma bilineal asociada es (2.14), es cuasi-definido si y s´ olo si Kn (α, α) 6= 0, para todo n > 0. LC se denomina transformada can´ onica de Christoffel del funcional lineal L. Si Kn (α, α) 6= 0, para todo n > 0, existe una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos asociados a LC , que denotaremos {Rn }n>0 . En estas condiciones es posible determinar la relaci´ on entre {Φn }n>0 , la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos asociados a L, y {Rn }n>0 . Proposicion 2.1.4. Sea {Φn }n>0 la sucesi´ on de polinomios m´ onicos ortogonales respecto al funcional lineal L. Entonces, la sucesi´ on de polia nomios m´ onicos {Rn }n>0 ortogonales respecto al funcional lineal LC est´ dada por   1 Φn+1 (α) Rn (z) = Φn+1 (z) − Kn (z, α) , n > 0. (2.15) z−α Kn (α, α) La representaci´ on matricial de (2.15) es (z − α)R(z) = NΦ(z),

(2.16)

donde R(z) = [R0 (z), R1 (z), . . .]t , Φ(z) = [Φ0 (z), Φ1 (z), . . .]t y N es una matriz de Hessenberg inferior con entradas

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

ni,j =

 Φi+1 (α)Φj (α)    − Ki (α,α) , 1    0,

si

j 6 i,

si

j = i + 1,

si

j > i + 1.

41

(2.17)

Supongamos ahora que el funcional lineal L es definido positivo y sea {ϕn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortonormales con respecto a L dada por ϕn (z) = κn Φn (z). Estudiaremos la perturbaci´ on LC del funcional lineal L introducida en (2.14). Notemos que el nuevo funcional lineal LC es tambi´en hermitiano y definido positivo, y entonces podemos considerar la familia {ψn }n>0 de polinomios ortonormales asociada al funcional LC . Procedamos ahora a mostrar la relaci´ on entre las matrices de Hessenon por z en t´erminos berg Hϕ y Hψ asociadas al operador de multiplicaci´ de las bases {ϕn }n>0 y {ψn }n>0 , respectivamente. En primer lugar, deduciremos una expresi´ on que relaciona los polinomios ortonormales {ϕn }n>0 y {ψn }n>0 con respecto a L y LC , respectivamente. A partir de (2.15) mediante la correspondiente normalizaci´ on obtenemos

(z−α)ψn (z) =

s

n

X ϕ (α)ϕj (α) Kn (α, α) p n+1 ϕn+1 (z)− ϕj (z). Kn+1 (α, α) Kn+1 (α, α)Kn (α, α) j=0

(2.18)

Matrices de Hessenberg Si consideramos ϕ(z) = [ϕ0 (z), ϕ1 (z), . . . , ϕn (z), . . .]t

y

Ψ(z) = [ψ0 (z), ψ1 (z), . . . , ψn (z), . . .]t ,

entonces, en forma matricial, la expresi´ on (2.18) resulta ser (z − α)Ψ(z) = MC ϕ(z),

(2.19)

an donde MC es una matriz Hessenberg inferior cuyas entradas mi,j est´ dadas por

42

F. Marcell´ an, Y. Quintana

mi,j

 ϕ (α)ϕj (α)  − √ i+1 ,    q Ki+1 (α,α)Ki (α,α) Ki (α,α) =  Ki+1 (α,α) ,    0,

si

j 6 i,

si

j = i + 1,

si

j > i + 1.

(2.20)

Proposicion 2.1.5. La matriz MC satisface (i) MC M∗C = I. (ii) M∗C MC = I − λ∞ (α)ϕ(α)ϕ(α)∗ . Demostraci´ on. Debido al car´ acter ortonormal de {ϕn }n>0 y {ψn }n>0 respecto a L y LC , respectivamente, obtenemos 



I = Ψ(z), Ψ(z)t L = (z − α)Ψ(z), (z − α)Ψt (z) L C

=



MC ϕ(z), ϕ(z)t MtC

(ii) Para j = 0, 1, . . . (j)

M∗C (j) MC

= =



L

 = MC ϕ(z), ϕ(z)t L M∗C = MC M∗C . ∞

X Kj−1 (α, α) |ϕl+1 (α)|2 + |ϕj (α)|2 Kj (α, α) Kl+1 (α, α)Kl (α, α) l=j   ∞ X 1 1 Kj−1 (α, α) 2 + |ϕj (α)| − Kj (α, α) Kl (α, α) Kl+1 (α, α) l=j

|ϕj (α)|2 = 1− K∞ (α, α)

= 1 − λ∞ (α)|ϕj (α)|2 . Para k < j (j)

M∗C (k) MC

∞

X 1 |ϕl+1 (α)|2 ϕk (α)ϕj (α) + ϕk (α)ϕj (α) Kj (α, α) Kl+1 (α, α)Kl (α, α) l=j    ∞  X 1 1 1  = ϕk (α)ϕj (α) − + − Kj (α, α) Kl (α, α) Kl+1 (α, α)

= −

l=j

= −

ϕk (α)ϕj (α) K∞ (α, α)

= −λ∞ (α)ϕk (α)ϕj (α).

43

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

 Observacion 2.1.1. De acuerdo con el teorema 1.4, la matriz MC es unitaria si |α| > 1. Si |α| = 1 entonces λ∞ (α) = 0 siempre y cuando σ({α}) = 0. ∞ X |Φn (0)|2 = ∞, esto es, si la medida σ no pertenece a Si |α| < 1 y n=0

la clase de Szeg˝ o, entonces MC es unitaria.

El resultado an´ alogo a la proposici´ on anterior para las submatrices principales es el siguiente: Proposicion 2.1.6. Sea MC n la submatriz principal de dimensi´ on n×n de MC . (i) Consideremos el vector columna en = [0, . . . , 0, 1]t ∈ C(n,1) , entonces Kn−1 (α, α) en e∗n , MC n MC ∗n = In − Kn (α, α) donde In denota la matriz unidad de dimensi´ on n × n. (ii) Sea ϕ(n) (α) = [ϕ0 (α), ϕ1 (α), . . . , ϕn−1 (α)]t , entonces MC ∗n MC n = In −

1 ϕ(n) (α)ϕ(n)∗ (α). Kn (α, α)

Demostraci´ on. Para 0 6 k 6 n − 2, deducimos (MC n )(k) (MC ∗n )(k) = =

|ϕk+1 (α)|2 Kk+1 (α,α)Kk (α,α)

k X

|ϕl (α)|2 +

l=0 |ϕk+1 (α)|2 Kk+1 (α,α)Kk (α,α) Kk (α, α)

+

Kk (α, α) Kk+1 (α, α)

Kk (α,α) Kk+1 (α,α)

= 1.

Por otro lado, (MC n )(n−1) (MC ∗n )(n−1) = =

|ϕn (α)|2 Kn (α,α)Kn−1 (α,α) |ϕn (α)|2 Kn (α,α)

=1−

n−1 X

|ϕl (α)|2

l=0 Kn−1 (α,α) Kn (α,α) .

44

F. Marcell´ an, Y. Quintana Finalmente, para k < j, obtenemos

(MC n )(k) (MC ∗n )(j)

=

=

k X

ϕk+1 (α)ϕj+1 (α) |ϕl (α)|2 p Kk+1 (α, α)Kk (α, α) Kj+1 (α, α)Kj (α, α) l=0 s ϕk+1 (α)ϕj+1 (α) Kk (α, α) −p Kj+1 (α, α)Kj (α, α) Kk+1 (α, α) ! k X ϕk+1 (α)ϕj+1 (α) |ϕl (α)|2 − Ki (α, α) p

p

l=0

Kk+1 (α, α)Kk (α, α)Kj+1 (α, α)Kj (α, α)

= 0. (ii) Para 1 6 k 6 n − 1, n−1

Kk−1 (α, α) X |ϕk (α)|2 |ϕl+1 (α)|2 + Kk (α, α) Kl+1 (α, α)Kl (α, α) l=k  n−1 X Kk−1 (α, α) 1 1 2 = + |ϕk (α)| − Kk (α, α) Kl (α, α) Kl+1 (α, α) l=k   1 1 Kk−1 (α, α) 2 + |ϕk (α)| − = Kk (α, α) Kk (α, α) Kn (α, α) |ϕk (α)|2 = 1− , Kn (α, α)

(MC ∗n )(k) (MC n )(k) =

as´ı como n−1 X

|ϕ0 (α)|2 |ϕl+1 (α)|2 Kl+1 (α, α)Kl (α, α) l=0  n−1 X 1 1 2 = |ϕ0 (α)| − Kl (α, α) Kl+1 (α, α) l=0 1 = 1− . Kn (α, α)

(MC ∗n )(0) (MC n )(0) =

45

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Finalmente, para k < j, ϕk (α)ϕj (α) = −p Kj (α, α)Kj−1 (α, α)

(MC ∗n )(k) (MC n )(j)

+

n−1 X l=k

s

Kj−1 (α, α) Kj (α, α)

|ϕl+1 (α)|2 ϕk (α)ϕj (α) Kl+1 (α, α)Kl (α, α) n−1

= −

X ϕk (α)ϕj (α) |ϕl+1 (α)|2 + ϕk (α)ϕj (α) Kj (α, α) Kl+1 (α, α)Kl (α, α) l=j



= −ϕk (α)ϕj (α) 

1 − Kj (α, α)

ϕk (α)ϕj (α) = − . Kn (α, α)

n−1 X l=j





1 1  − Kl (α, α) Kl+1 (α, α) 

En la literatura, la matriz MC n se denomina casi-unitaria (ver [60]) en el sentido de que las primeras n − 1 filas constituyen un conjunto ortonormal y la u ´ltima fila es ortogonal con respecto a ese conjunto, pero no est´ a normalizada. Para obtener una relaci´ on entre las matrices de Hessenberg Hϕ y Hψ , introducimos la matriz de cambio de base Lϕψ tal que ϕ(z) = Lϕψ Ψ(z). Esta matriz puede expresarse en t´erminos de las matrices Hϕ y MC de la siguiente manera Proposicion 2.1.7. Lϕψ = (Hϕ − αI)M∗C . Demostraci´ on. Sea Lϕψ la matriz de cambio de base tal que ϕ(z) = Lϕψ Ψ(z). Entonces (z − α)Ψ(z) = (z − α)L−1 ϕψ ϕ(z). De la relaci´ on (2.19) obtenemos MC ϕ(z) = L−1 ϕψ (Hϕ − αI)ϕ(z).



(2.21)

46

F. Marcell´ an, Y. Quintana De esta forma, Lϕψ MC = Hϕ − αI,

y dado que MC M∗C = I (Proposici´ on 2.1.5), se sigue el enunciado.  De la proposici´ on anterior se sigue que Proposicion 2.1.8. Hψ − αI = MC Lϕψ . Demostraci´ on. De la expresi´ on (2.19), (z − α)Ψ(z) = MC ϕ(z). Por tanto, (Hψ − αI)Ψ(z) = MC Lϕψ Ψ(z), y, en consecuencia, deducimos el enunciado.  Para calcular Hψ partiendo de Hϕ , primero necesitamos encontrar la matriz triangular inferior Lϕψ . De las expresiones (2.20) y (2.21), mediante c´ alculos sencillos deducimos Proposicion 2.1.9. Las entradas ln,j de la matriz Lϕψ son  q Kn+1 (α,α) Kn  j = n,  Kn+1  Kn (α,α) , para       Φ   (0)   q  ϕn (α) n+1 Kn−1 ϕ∗n−1 (α)  Kn Kn−1 (α,α)  √ − Φ (0)Φ (0) + α  n+1 n Kn (α,α) ,  Kn (α,α)Kn−1 (α,α)        para j = n − 1, ln,j =       Φn+1 (0)  ∗ (α) − ϕ √  K ϕ (α)ϕ (0)K (α, α) , j j+1 j+1 j  Kn Kj (α,α)Kj+1 (α,α) j        para j 6 n − 2,          0, en otro caso.

47

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

Obs´ervese que, para sucesiones de polinomios ortogonales m´ onicos, teniendo en cuenta que ϕn (z) = κn Φn (z), la matriz de cambio de base LΦR , tal que Φ(z) = LΦR R(z), puede expresarse en t´erminos de Lϕψ como LΦR = D−1 (2.22) Φ Lϕψ DR , donde DΦ = diag(κ0 , κ1 , . . .), DR = diag(r0 , r1 , . . .) y rj es el coeficiente principal de ψj (z). Ejemplo Consideremos ahora los funcionales bilineales Z

hp, qiL = hp, qiLC

2π

p(eiθ )q(eiθ )

0

Z

=

2π

p(eiθ )q(eiθ )

0

|eiθ

1 dθ , 2 − β| 2π

|eiθ − α|2 dθ , |eiθ − β|2 2π

con α, β ∈ C, |β| < 1 y |α| = 1 (ver [28]). En este caso, es bien conocido que la sucesi´ on {ϕn }n>0 est´ a dada por ϕ0 (z) = 1 − |β|2 De esta manera,


12

,

ϕn (z) = z n−1 (z − β), para n > 1.



1 − |β|2 −α

β −α  0  Hϕ − αI =   0  .. .

0


1 2

0 ··· 1 0 −α .. .

. 1 .. .. .. . .



  ,  

y el n-´esimo n´ ucleo reproductor Kn (z, α) correspondiente a L es n  z j−1 X Kn (z, α) = 1 − |β| + (z − β)(α − β) . α 2

j=1

En consecuencia, tenemos Kn (α, α) = 1 − |β|2 + n|α − β|2 .

48

F. Marcell´ an, Y. Quintana Las entradas ml,j de MC son

ml,j

 1  αl (α − β)(1 − |β|2 ) 2   −p ,    Kl (α, α)Kl+1 (α, α)       |α − β|2 αl−j+1   −p , Kl (α, α)Kl+1 (α, α) =  s    Kl (α, α)    ,   Kl+1 (α, α)      0,

si

j = 0,

si

1 6 j 6 l,

si

j = l + 1,

(2.23)

en otro caso.

De (2.21), deducimos que Lϕψ = (Hϕ − αI)M∗C . De ah´ı, obtenemos las entradas lr,j de la matriz Lϕψ

lr,j

 p  K1 (α, α),      s     Kr−1 (α, α)   ,  −α Kr (α, α) = s     Kr+1 (α, α)   ,   Kr (α, α)      0,

j = r = 0, j = r − 1,

(2.24)

j = r, en otro caso.

˜ r,j de la matriz De acuerdo con la proposici´ on 2.1.8 las entradas h

49

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Hψ − αI son

˜ r,j h

   K (α, α)  0  − α−β+α ,    K1 (α, α)     1   αr−1 (1 − |β|2 ) 2 (α − β)2    p − ,   K (α, α)K (α, α)K (α, α)  1 r r+1   p    Kr (α, α)Kr+2 (α, α)   , Kr+1 (α, α) =      2  |α − β| K (α, α) r   −α − ,   Kr (α, α) Kr+1 (α, α)        |α − β|4 αr−j+1   −p ,    Kr (α, α)Kr+1 (α, α)Kj (α, α)Kj+1 (α, α)     0,

si

r = j = 0,

si

j = 0, r > 1,

si

j = r + 1,

si

1 6 j = r,

si

1 6 j < r, en otro caso.

Funciones de Carath´ eodory

Sea L un funcional lineal definido positivo en Λ y sea F (z) la correspondiente funci´ on de Carath´eodory. Consideremos ahora una transformaci´ on ˜ espectral racional lineal F de F , de la siguiente manera A(z)F (z) + B(z) F˜ (z) = , D(z)

(2.25)

donde A(z), B(z) y D(z) son polinomios en z. La funci´ on F˜ es anal´ıtica en un entorno de z = 0, es decir, F˜ (z) = c˜0 + 2

∞ X

n=0

c˜−n z n , 1

donde c˜0 ∈ R, c˜−k ∈ C para k ∈ N, y lim |˜ ck | k < ∞, y puede ser asociada ˜ con el funcional lineal L en Λ dado por D E ˜ z n = c˜n , n ∈ Z, L, con el convenio c˜n = c˜−n , n ∈ N.

50

F. Marcell´ an, Y. Quintana Sea L˜ un funcional lineal tal que el funcional bilineal asociado satisface hp, qiL˜ = h(z − α)p, (z − α)qiL , α ∈ C.

(2.26)

Es decir, L˜ = LC , la transformaci´ on can´ onica de Christoffel de L definida en (2.14). Si

FC (z) = c˜0 + 2

∞ X

n=1

c˜−n z n ,

 con c˜−k = 1, z k L , probaremos que es una transformaci´ on espectral C lineal de F . Dado que

 c˜−k = 1, z k L C

 = (z − α, (z − α)z k L = z − α, z k+1 − αz k L = c−k − αc−(k+1) −α ¯ c−(k−1) + |α|2 c−k
2 = 1 + |α| c−k − αc−(k+1) − α ¯ c−(k−1) ,

k ∈ Z,

se sigue que

FC (z) = c˜0 + 2

∞ X

n=1

=

c˜−n z n

∞ X
1 + |α|2 c0 − αc−1 − α ¯ c1 − 2¯ α c−(n−1) z n n=1

− 2α =

∞ X

n=1

c−(n+1) z n + 2 2

1 + |α|




∞ X k=1


1 + |a|2 ck z k

F (z) − α ¯ c1 + 2

− α c−1 + 2

∞ X k=2

!

c−n z n−1 .

∞ X k=0

c−n z

n+1

!

51

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

Como consecuencia,  
FC (z) = 1 + |α|2 F (z) − α ¯ c1 + z (F (z) + c0 )   1 − α c−1 + (F (z) − c0 − 2c−1 z) z
2 −α ¯ z + 1 + |α|2 z − α −α ¯ c0 z 2 + (αc−1 − α ¯ c1 ) z + αc0 = F (z) + . z z As´ı pues, Proposicion 2.1.10. FC (z) =

A(z)F (z) + B(z) , D(z)

(2.27)

donde A(z) = (1 − α ¯ z)(z − α),

B(z) = −α ¯ c0 z 2 + (αc−1 − α ¯ c1 ) z + αc0 ,

D(z) = z.

Coeficientes de Verblunsky Ahora encontraremos la relaci´ on entre {Φn (0)}n>1 , la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Φn }n>0 , respecto al funcional lineal L, y la familia de coeficientes de Verblunsky {Rn (0)}n>1 correspondientes a {Rn }n>0 , la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos respecto a LC . Proposicion 2.1.11. Sea {Φn (0)}n>1 la familia de coeficientes de Verblunsky correspondientes a {Φn }n>0 , la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto al funcional lineal L. Entonces, la familia de coeficientes de Verblunsky correspondientes a {Rn }n>0 , resulta ser Rn (0) =

Φn+1 (α)Φ∗n (α) Φn+1 (0) − , αKn Kn (α, α) α

n > 1.

Demostraci´ on. Usando (2.15) y evaluando en z = 0, obtenemos   Φn+1 (α) −1 Rn (0) = −α Φn+1 (0) − Kn (0, α) . Kn (α, α)

(2.28)

52

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Aplicando la f´ ormula de Christoffel-Darboux,   Φn+1 (α) −1 ∗ ∗ Rn (0) = −α Φn+1 (0) − Φ (0)Φn (α) (2.29) Kn Kn (α, α) n =

Φn+1 (α)Φ∗n (α) Φn+1 (0) − , αKn Kn (α, α) α

(2.30)

dado que Φ∗n (0) = 1. Otra manera de expresar (2.30) es [αΦn (α) + Φn+1 (0)Φ∗n (α)]Φ∗n (α) Φn+1 (0) − αKn Kn (α, α) α   ∗ 2 ∗ |Φn (α)| Φn+1 (0) Φn (α)Φn (α) = −1 + , Kn Kn (α, α) α Kn Kn (α, α)

Rn (0) =

es decir, existe una dependencia lineal entre ambas familias de coeficientes de Verblunsky. Notemos que, si |α| = 6 1, la expresi´ on para los coeficientes de Verblunsky {Rn (0)}n>1 en t´erminos de Φn (α) y Φ∗n (α) es Rn (0) = = = −

Φn+1 (α)Φ∗n (α)(1 − |α|2 ) Φn+1 (0) − ∗ 2 2 2 α[|Φn (α)| − |α| |Φn (α)| ] α

[αΦn (α) + Φn+1 (0)Φ∗n (α)]Φ∗n (α)(1 − |α|2 ) Φn+1 (0) − α[|Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2 ] α 1 (αΦn (α)Φ∗n (α) + Φn+1 (0)|Φ∗n (α)|2 )(1 − |α|2 ) α |Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2 1 Φn+1 (0)|Φ∗n (α)|2 + |α|2 Φn+1 (0)|Φn (α)|2 . α |Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2

As´ı pues, Rn (0) =

Φn (α)Φ∗n (α)(1 − |α|2 ) + αΦ ¯ n+1 (0)[|Φn (α)|2 − |Φ∗n (α)|2 ] , |Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2

Es decir, Rn (0) se puede expresar mediante Rn (0) = A(α; n)Φn+1 (0) + B(α; n),

53

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES con α ¯ [|Φn (α)|2 − |Φ∗n (α)|2 ] , |Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2

A(α; n) =

Φn (α)Φ∗n (α)(1 − |α|2 ) . |Φ∗n (α)|2 − |α|2 |Φn (α)|2

B(α; n) = Por otra parte, si |α| = 1, Kn (z, α) = =

Φ∗n+1 (α)Φ∗n+1 (z) − Φn+1 (α)Φn+1 (z) Kn+1 (1 − α ¯ z)

αΦn+1 (α)Φn+1 (z) − α ¯ n Φn+1 (α)Φ∗n+1 (z) , Kn+1 (z − α)

y aplicando la regla de L’Hospital, obtenemos ′

′

′

′

αΦn+1 (α)Φn+1 (z) − α ¯ n Φn+1 (α)Φ∗n+1 (z) Kn+1

Kn (α, α) = lim Kn (z, α) = z→α

αΦn+1 (α)Φn+1 (α) − α ¯ n Φn+1 (α)Φ∗n+1 (α) . Kn+1

= Por tanto, Rn (0) = =

Kn+1 Φn+1 (α)Φ∗n (α)

Φn+1 (0) − ′ ∗ α αKn [αΦn+1 (α)Φn+1 (α) − n+1 (α)Φn+1 (α)] Φn+1 (α)Φ∗n (α)(1 − |Φn+1 (0)|2 ) Φn+1 (0) . − ′ ′ ∗ n α α[αΦn+1 (α)Φn+1 (α) − α ¯ Φn+1 (α)Φn+1 (α)] ′

α ¯nΦ

 P∞ 2 Teorema 2.2. Supongamos que n=0 |Φn (0)| < ∞ y P∞ n=0 |Φn+1 (0) − Φn (0)| < ∞. Entonces, para todo δ > 0, sup

n;δ0 est´ a dada por (ver (2.15))  ¯ − z n |α − β|2 (z − β)  1 αn (α − β)(1 − β α ¯ )(1 − βz) n Rn (z) = z (z − β) − . z−α [1 − |β|2 + n|α − β|2 ](1 − α ¯ z) Por tanto, los coeficientes de Verblunsky son R1 (0) = Rn (0) =

(α − β)(1 − β α ¯ ) − α−1 β|α − β|2 , 1 − |β|2 + |α − β|2 αn−1 (α − β)(1 − β α ¯) , n ≥ 2. 2 1 − |β| + n|α − β|2 ]

56

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Por otra parte, la existencia de {Rn }n>0 est´ a garantizada dado que Kn (α, α) > 0, para todo n ∈ N.

2.1.7

Transformaci´ on de Uvarov

Dado LF un funcional lineal sobre Λ, con funci´ on de Carath´eodory asociada F . Consideremos la forma bilineal hp, qiU (a,M )(LF ) := hp, qiLF +M p(a)q(a−1 )+M p(a−1 )q(a),

p, q ∈ P(C), (2.33) con a 6= 0. La perturbaci´ on U (a, M )(LF ) del funcional lineal LF es la llamada transformaci´ on can´ onica de Uvarov de LF . Proposicion 2.1.13. El funcional lineal U (a, M )(LF ) es cuasi-definido si y s´ olo si para todo n ≥ 1, 1 + Kn−1 (a, a1 ) Kn−1 (a, a) M det ∆n = 1 6= 0 (2.34) + Kn−1 (a−1 , a) Kn−1 (a−1 , a1 ) M

Demostraci´ on. Supongamos que U (a, M )(LF ) es cuasi-definido y sea on de polinomios ortogonales m´ onicos asociada. En{Vn }n>0 la sucesi´ tonces, para n ≥ 1 Vn (z) = Φn (z) +

n−1 X

λn,j Φj (z),

j=0

donde λn,j =

hVn Φj iU (a,M )(LF ) dj

= −

M Vn (a)Φj (a−1 ) + M Vn (a−1 )Φj (a) . dj

Por tanto, Vn (z) = Φn (z) − M Vn (a)Kn−1 (z, a−1 ) − M Vn (a−1 )Kn−1 (z, a).

(2.35)

Evaluando la igualdad anterior en z = a y z = a−1 , respectivamente, Φn (a) = Vn (a)(1 + M Kn−1 (a, a−1 )) + M Vn (a−1 )Kn−1 (a, a) Φn (a−1 ) = M Vn (a)Kn−1 (a−1 , a−1 ) + Vn (a−1 )(1 + M Kn−1 (a−1 , a))

57

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES de manera que 

 t  Vn (a−1 ) M Kn−1 (z, a) Vn (z) = Φn (z) − , Vn (a) M Kn−1 (z, a−1 )  t   Kn−1 (z, a) Φn (a) −1 Vn (a) = Φn (z) − Λn , (2.36) Kn−1 (z, a−1 ) Φn (a−1 ) donde Λn =



1 M

Kn−1 (a, a) + Kn−1 (a−1 , a)

1 M

+ Kn−1 (a, a−1 ) Kn−1 (a−1 , a−1 )



(2.37)

det Λn es una matriz no singular dado que hVn , Vn iU (a,M )(LF ) = det Λn−1 dn 6= 0. El rec´ıproco es inmediato sin m´ as que probar que el polinomio m´ onico Vn , dado por (2.36) verifica

hVn (z), z k iU (a,M )(LF ) = 0, n

hVn (z), z iU (a,M )(LF ) 6= 0

0 ≤ k ≤ n − 1, 

Proposicion 2.1.14. Sea LF un funcional lineal sobre Λ, con funci´ on de Carath´eodory asociada F . La transformaci´ on lineal espectral inducida por U (a, M )(LF ) es A(z)F (z) + B(z) F˜ (z) = , D(z) donde

2

A(z) = D(z) = (z − a)(az − 1),

B(z) = (a − az )(M + M ) + (1 − |a|2 )(M − M )z.

P k Demostraci´ on. Veamos que F˜ (z) = v0 + 2 ∞ k=1 vk z , donde k v−k = U (a, M )(LF )(z ) es una transformaci´ on racional de F . v−k = hz k , 1iU (a,M )(LF ) + M ak + M a−k .

58

F. Marcell´ an, Y. Quintana

As´ı pues, F˜ (z) = c0 + M + M + 2 = F (z) + M

∞ X (ck + M ak + M ak )z k k=1 ∞ X

1+2

k=1

ak z k

!

+M

1+2

∞ X

ak z k

k=1

!

1 + az a+z = F (z) + M +M 1 − az a−z a(M + M ) + (1 − |a|2 )(M − M )z − a(M + M )z 2 = F (z) + , (z − a)(az − 1) de esta u ´ltima igualdad se sigue el enunciado de la proposici´ on. 

2.1.8

Transformaci´ on de Geronimus

Sea LF un funcional lineal sobre Λ, con funci´ on anal´ıtica asociada F . Consideremos la forma bilineal h · , · iG(a,M )(LF ) tal que h(z − a)p, (z − a)qiG(a,M )(LF ) = hp, qiLF ,

p, q ∈ P(C),

(2.38)

con a 6= 0. La perturbaci´ on G(a, M )(LF ) del funcional lineal LF es la llamada transformaci´ on can´ onica de Geronimus de LF . Proposicion 2.1.15. Sea LF un funcional lineal sobre Λ, con funci´ on de Carath´eodory asociada F . La transformaci´ on lineal espectral inducida por G(a, M )(LF ) es A(z)F (z) + B(z) F˜ (z) = , D(z) donde A(z) = z, 2

B(z) = av0 z − 2iIm (q0 ) z − av0 ,

D(z) = −az 2 + (1 + |a|2 )z − a.

59

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Demostraci´ on. De la definici´ on se desprende que ck = h1, z k iG(a,M )(LF ) = vk (1 + |a|2 ) − avk+1 − avk−1 , Haciendo sk =

ck ak

y tk =

vk , ak

k ≥ 0. (2.39)

la expresi´ on (2.39) resulta ser

sk = (1 + |a|2 )tk − |a|2 tk+1 − tk−1 ,

k ≥ 0,

de modo que sk = tk − tk−1 − |a|2 (tk+1 − tk ),

k ≥ 0.

Si hacemos qk = tk − tk−1

k ≥ 0,

entonces sk = qk − |a|2 qk ,

k ≥ 0,

y, por tanto,

qk =

=

q0 − s0 − |a|2 s1 − · · · − |a|2k−2 sk−1 , |a|2k q0 − c0 − ac1 − · · · − |a|2k

ak−1 ck−1

,

(2.40)

k ≥ 1,

as´ı como q0 = t0 − t−1 = v0 − av1 , q0 − c0 v1 q1 = − v0 , = t1 − t0 = 2 |a| a ametro libre. De esta forma q0 aparece como par´ v0 − av1 = q0 v−1 v0 − a

=

c0 − q0 |a|2 ,

(2.41)

60

F. Marcell´ an, Y. Quintana

y, por tanto, (1 − |a|2 )v0 = 2Re (q0 ) − c0 ,

esto es, v0 ∈ R. Si asumimos |a| = 6 1, v0 queda un´ıvocamente determinado y de (2.41) deducimos v1 . Reiterando (2.40) se sigue que k X vk = v + qj , 0 ak j=1

k≥2

Por tanto, disponemos de un grado de libertad que es la elecci´ on de q0 . k Por otra parte, multiplicando en (2.39) por z , k ≥ 1, se tiene F (z) = v0 (1 + |a|2 ) − av1 − av1 + 2(1 + |a|2 ) −2a

∞ X j=1

vk+1 z k − 2a

∞ X

∞ X

vk z k

k=1

vk−1 z k

j=1

! ! ∞ ∞ X X 2 = (1 + |a|2 )F˜ (z) − a v1 + vk z k − a v1 + 2z vk z k z k=2 k=0     1 ˜ = (1 + |a|2 )F˜ (z) − a v1 + F (z) − v0 − 2v1 z z    −a v1 + z v0 + F˜ (z)  v0  a ˜ = (1 + |a|2 )F˜ (z) + a v1 + − F (z) − a(v1 + v0 z) − az F˜ (z) z z    a a 2 = 1 + |a| − − az F˜ (z) + av1 − av1 + v0 − az z z   a  a 2 = 1 + |a| − − az F˜ (z) + v0 − q0 − q 0 + q0 + v0 − az , z z de esta u ´ltima igualdad se deduce la proposici´ on.  Proposicion 2.1.16. (Relaci´ on entre las transformaciones de Christoffel, Uvarov y Geronimus). Dado LF un funcional lineal sobre Λ, con funci´ on de Carath´eodory asociada F . Entonces ˜ )(LF ), para alg´ ˜ = un M 6 0. a) G(a, M ) ◦ Ca (LF ) = U (a, M b) Ca ◦ G(a, M )(LF ) = LF .

61

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

Transformaciones LR = Re[Pn (z)]L y LI = Im[Pn (z)]L

2.2

Consideremos las siguientes transformaciones de un funcional lineal hermitiano L. Definicion 2.2. Dado lineal hermitiano L y un polinomio Pn un funcional i m´ onico Pn (z) = i=0 αi z , αn = 1, denotaremos por LR y LI los funcionales lineales tales que

 (a) hLR , qi = L, 12 (Pn (z) + P¯n (z −1 ))q ,

1  (b) hLI , qi = L, 2i (Pn (z) − P¯n (z −1 ))q .

Obs´ervese que LR y LI son tambi´en hermitianos. Si L es cuasidefinido, las condiciones necesarias y suficientes para que LR y LI sean tambi´en cuasi-definidos han sido estudiadas, principalmente en el caso en que P1 (z) = z − α, es decir, un polinomio m´ onico de grado 1. Adicionalmente, se muestran expresiones expl´ıcitas para las sucesiones de polinomios m´ onicos ortogonales con respecto a LR y LI , respectivamente, en t´erminos de {Φn }n>0 . En particular, Proposicion 2.2.1. (i) Si |Reα| = 6 1 y b1 , b2 son los ceros del polinomio z 2 − (α + α ¯ )z + 1, ∗ entonces LR es cuasi-definido si y s´ olo si Kn (b1 , b2 ) 6= 0, n > 0. Adem´ as, si denotamos por {Yn }n>0 la sucesi´ on de polinomios m´ onicos ortogonales con respecto a LR , entonces Yn−1 (z) =

∗ (b , b ) − K ∗ (z, b )Φ (b ) Φn (z)Kn−1 1 2 2 n 1 n−1 , ∗ Kn−1 (b1 , b2 )(z − b1 )

n > 1, (2.42)

e Yn−1 (0) =

Φn (b1 )Φn−1 (b2 ) − Φn (b2 )Φn−1 (b1 ) , ∗ (b , b )(b − b )K Kn−1 1 2 1 2 n−1

n > 1.

(2.43)

(ii) Si |Reα| = 1 y b es el cero doble del polinomio z 2 − (α + α ¯ )z + 1, entonces LR es cuasi-definido si y s´ olo si Kn∗ (b, b) 6= 0, n > 0.

62

F. Marcell´ an, Y. Quintana Adem´ as, ∗ (b, b) − K ∗ (z, b)Φ (b) Φn (z)Kn−1 n n−1 , ∗ (b, b)(z − b) Kn−1

Yn−1 (z) =

n > 1, (2.44)

y Yn−1 (0) = −b

∗ (b, b)K Φn (0)Kn−1 n−1 − Φn−1 (b)Φn (b) , ∗ Kn−1 (b, b)Kn−1

n > 1. (2.45)

Proposicion 2.2.2. (i) Si |Imα| = 6 1 y ˜b1 , ˜b2 son los ceros del polinomio z 2 + (¯ α − α)z − 1, entonces LI es cuasi-definido si y s´ olo si Kn∗ (˜b1 , ˜b2 ) 6= 0, n > 0. Adem´ as, si denotamos por {yn }n>0 la sucesi´ on de polinomios m´ onicos ortogonales con respecto a LI , entonces yn−1 (z) =

∗ (˜ ∗ (z, ˜ Φn (z)Kn−1 b1 , ˜b2 ) − Kn−1 b2 )Φn (˜b1 ) , K ∗ (˜b1 , ˜b2 )(z − ˜b1 )

n > 1,

n−1

(2.46)

e yn−1 (0) =

Φn (˜b1 )Φn−1 (˜b2 ) − Φn (˜b2 )Φn−1 (˜b1 ) , ∗ (˜ Kn−1 b1 , ˜b2 )(˜b1 − ˜b2 )Kn−1

n > 1.

(2.47)

(ii) Si |Imα| = 1 y ˜b es el cero doble del polinomio z 2 + (¯ α − α)z − 1, ∗ ˜ ˜ LI es cuasi-definido si y s´ olo si Kn (b, b) 6= 0, n > 0. Adem´ as, yn−1 (z) =

∗ (˜ ∗ (z, ˜ b, ˜b) − Kn−1 b)Φn (˜b) Φn (z)Kn−1 , K ∗ (˜b, ˜b)(z − ˜b)

n > 1, (2.48)

n−1

e yn−1 (0) = ˜b

∗ (˜ Φn (0)Kn−1 b, ˜b)Kn−1 − Φn−1 (˜b)Φn (˜b) , K ∗ (˜b, ˜b)Kn−1 n−1

n > 1. (2.49)

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

63

√ Obs´ervese que, √ si α = a + ci, entonces b1 √ = a + a2 − 1 y b2 = b−1 = a − a2 − 1, as´ı como ˜b1 = 1 − c2 + ci y ˜b2 = −˜b−1 1 1 . Existe otra condici´ on equivalente para que LR y LI sean cuasi-definidos, as´ı como una expresi´ on adicional para las familias de par´ ametros de Verblunsky asociados con ellos, como se muestra a continuaci´ on. Proposicion 2.2.3. Los funcionales lineales LR y LI son cuasi-definidos si y s´ olo si Πn (b1 ) 6= 0, Πn (˜b1 ) 6= 0, n > 0, respectivamente, donde xΦn (x) Φ∗n (x) Πn (x) = −1 . x Φn (x−1 ) Φ∗n (x−1 )

Adem´ as, las familias de los par´ ametros de Verblunsky {Yn (0)}n>1 , {yn (0)}n>1 , asociadas a LR y LI , respectivamente, est´ an dadas por Φn (b1 )Φn (b−1 1 ) , n > 1, Πn (b1 ) Φn (˜b1 )Φn (−˜b−1 1 ) yn (0) = (˜b1 + ˜b−1 ) , n > 1. 1 Πn (˜b1 )

Yn (0) = (b1 − b−1 1 )

(2.50) (2.51)

Observacion 2.2.1. Si |Re(α)| > 1, la transformaci´ on resultante es de tipo Christoffel (ver secci´ on anterior).

Matrices de Hessenberg Ahora procedemos a estudiar la matriz de Hessenberg asociada al funcional LR . Asumimos que |α| = 6 1. De (2.42), Φn+1 (b1 ) ∗ K (z, b2 ) Kn∗ (b1 , b2 ) n   Φn+1 (b1 ) 1 zΦn (z)Φ∗n (b2 ) − b2 Φ∗n (z)Φn (b2 ) = Φn+1 (z) − ∗ Kn (b1 , b2 ) Kn z − b2   ∗ Φn+1 (b1 ) Φn+1 (z)Φn (b2 ) − Φn+1 (b2 )Φ∗n (z) = Φn+1 (z) − . Kn Kn∗ (b1 , b2 ) z − b2

(z − b1 )Yn (z) = Φn+1 (z) −

64

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Luego, Φn+1 (b1 )Φ∗n (b2 ) Φn+1 (z) Kn Kn∗ (b1 , b2 ) n Φn+1 (b1 )Φn+1 (b2 ) X Φj (0)Φj (z) Kn∗ (b1 , b2 ) Kj

(z − b1 )(z − b2 )Yn (z) = (z − b2 )Φn+1 (z) − +

j=0

= zΦn+1 (z) − b2 Φn+1 (z) − n

+

Φn+1 (b1 )Φ∗n (b2 ) Φn+1 (z) Kn Kn∗ (b1 , b2 )

Φn+1 (b1 )Φn+1 (b2 ) X Φj (0)Φj (z) Kn∗ (b1 , b2 ) Kj

= Φn+2 (z) −

j=0 Φn+2 (0)Φ∗n+1 (z)



− b2 Φn+1 (z)

 n X Φj (0)Φj (z)  Φn+1 (b1 )  ∗ − Φn (b2 )Φn+1 (z) − Φn+1 (b2 ) Kn Kn∗ (b1 , b2 ) Kj j=0   Φn+1 (b1 )Φ∗n (b2 ) = Φn+2 (z) − b2 + Φn+2 (0)Φn+1 (0) + Φn+1 (z) Kn Kn∗ (b1 , b2 )  X n Φj (0)Φj (z) Φn+1 (b1 )Φn+1 (b2 ) + . − Φn+2 (0)Kn+1 Kn∗ (b1 , b2 ) Kj j=0

En forma matricial, la expresi´ on anterior se convierte en (z − b1 )(z − b2 )Y (z) = MR Φ(z), donde MR es una matriz cuyas entradas son    1    b2 + Φn+2 (0)Φn+1 (0) + Φn+1 (b∗1 )Φ∗n (b2 ) Kn Kn (b1 ,b  2 ) m ˜ n,j = Φn+1 (b1 )Φn+1 (b2 )  − Φ (0)K ∗ (b ,b )  n+2 n+1 Φj (0) Kn  1 2   0

(2.52)

si si

j = n + 2, j = n + 1,

si

j 6 n,

en otro caso, (2.53) y Y (z) = [Y0 (z), Y1 (z), . . .]t , Φ(z) = [Φ0 (z), Φ1 (z), . . .]t . Obs´ervese que (2.52) tambi´en puede escribirse como z[Re{P1 (z)}Y (z)] = MR Φ(z).

(2.54)

Por otro lado, si denotamos por HY la matriz de Hessenberg asociada a {Yn }n>0 , es decir, la matriz que satisface zY (z) = HY Y (z), entonces

65

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES de (2.52) obtenemos (HY − b1 I)(HY − b2 I)Y (z) = MR Φ(z)

= MR LY Φ Y (z),

donde LY Φ es una matriz triangular inferior que satisface Φ(z) = LY Φ Y( z), esto es, una matriz de cambio de base. Por lo tanto, (HY − b1 I)(HY − b2 I) = MR LY Φ . No es muy dif´ıcil mostrar que las entradas de LY Φ son

ln,j =

 1     − Kn (Φn+1 (0)Yj (0) − 1) ˜ K n−1

n  −K  ˜ j Φn+1 (0)Yj (0) K   0

si si si

j = n, j = n − 1,

(2.55)

j 6 n − 2,

en otro caso,

˜ n−1 = − Kn∗Kn∗ (b1 ,b2 ) . donde Yk (0) puede calcularse utilizando (2.50) y K 2K (b1 ,b2 ) n−1

2.2.1

Funciones de Carath´ eodory.

Sea σ una medida de probabilidad no trivial, soportada en la circunferencia unidad, y consideremos la transformaci´ on d˜ σ = Re(Pn )dσ, donde Pn es un polinomio en z de grado n. Si F (z) es la funci´ on de Carath´eodory on de Carath´eodory asociada a σ, queremos encontrar FR (z), la funci´ asociada a σ ˜. Empecemos con n = 1, es decir, P1 (z) = z − α. De la representaci´ on integral de Riesz-Herglotz para FR (z), tenemos FR (z) =

Z

2π

0

=

Z

0

2π

eiθ + z d˜ σ eiθ − z

eiθ + z P1 (eiθ ) + P1 (eiθ ) dσ. eiθ − z 2

66

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Llamamos Z

2π

eiθ + z P (eiθ )dσ iθ − z 1 e 0 Z 2π iθ e + z iθ (e − α)dσ = eiθ − z 0 Z 2π iθ e + z iθ = (e − z + z − α)dσ eiθ − z 0 Z 2π Z 2π iθ e +z = (z − α) dσ + (eiθ + z)dσ. eiθ − z 0 0

FR1 (z) =

Por tanto, FR1 (z) = (z − α)F (z) + zc0 + c1 . Por otro lado, Z

2π

eiθ + z P (eiθ )dσ iθ − z 1 e 0 Z 2π iθ e + z −iθ = (e −α ¯ )dσ eiθ − z 0 Z 2π −1 z + e−iθ −iθ = (e − z −1 + z −1 − α ¯ )dσ −1 − e−iθ z 0 Z 2π −1 = (z − α ¯ )F (z) − (z −1 + e−iθ )dσ

FR2 (z) =

0

= (z −1 − α ¯ )F (z) − z −1 c0 − c1 . Luego, FR (z) = =

FR1 (z) + FR2 (z) 2 [z − α − α ¯ + z −1 ]F (z) + c0 z + c1 − c−1 − c0 z −1 . 2

on espectral linEsto es, FR (z) puede expresarse como una transformaci´ eal de F (z) de la siguiente manera FR (z) = M (z)F (z) + N (z),

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

67

donde M (z) = Re[P1 (z)], c0 1 1 N (z) = (z − ) + (c1 − c¯1 ). 2 z 2 Obs´ervese que si c0 = 1, entonces N (z) = 12 [Ω1 (z) − z −1 Ω∗1 (z)], donde Ω1 (z) es el polinomio de segunda especie de grado 1 asociado a σ. Generalizando el resultado anterior para un polinomio m´ onico Pn de grado n, obtenemos Proposicion 2.2.4. Sea σ una medida de probabilidad no trivial soportada en la circunferencia unidad. Consideremos una perturbaci´ on de σ definida mediante d˜ σ = (RePn )dσ, donde Pn ∈ P(C) es m´ onico de grado n. Sea F (z) la funci´ on de Carath´eodory asociada a σ. Entonces, FR (z), la funci´ on de Carath´eodory asociada a σ ˜ , es una transformaci´ on espectral lineal de F (z) dada por FR (z) = donde Qn (z) =

[Pn (z) + P n (1/z)]F (z) + Qn (z) − Qn (1/z) , 2

R 2π 0

eiθ +z [P (eiθ ) − eiθ −z n

Pn (z)]dσ.

Demostraci´ on. Tenemos Z 2π iθ Z 2π iθ e +z e +z iθ P (e )dσ = [P (eiθ ) − Pn (z)]dσ + Pn (z)F (z) iθ − z n iθ − z n e e 0 0 = Pn (z)F (z) + Qn (z), donde Qn (z) = Por otra parte, Z

2π 0

Z

2π 0

eiθ + z Pn (eiθ )dσ = eiθ − z

eiθ + z [Pn (eiθ ) − Pn (z)]dσ. eiθ − z Z

2π 1 z 1 0 z

+ e−iθ [P n (e−iθ ) − P n (1/z)]dσ −iθ −e

+ P n (1/z)F (z)

= P n (1/z)F (z) − Qn (1/z).

68

F. Marcell´ an, Y. Quintana Por lo tanto, FR (z) =

[Pn (z) + P n (1/z)]F (z) + Qn (z) − Qn (1/z) . 2 

Coeficientes de Verblunsky En el resto del cap´ıtulo, supondremos que σ pertenece a la clase de Szeg˝ o, es decir, satisface (1.21) y, adem´ as, es una medida de variaci´ on acotada. Asumiremos tambi´en que LR es cuasi-definido. Proposicion 2.2.5. La familia de par´ ametros de Verblunsky {Yn (0)}n>1 puede expresarse en t´erminos de la familia {Φn (0)}n>1 mediante Yn (0) = An (b1 )Φn+1 (0) + Bn (b1 ),

(2.56)

con An (b1 ) = Bn (b1 ) =

∗ ∗ −1 Φn (b−1 1 )Φn (b1 ) − Φn (b1 )Φn (b1 ) , −1 ∗ Φn+1 (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 )

(2.57)

−1 Φn+1 (b1 )Φn (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 ) . −1 ∗ Φn+1 (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 )

(2.58)

Demostraci´ on. De la relaci´ on de recurrencia y (2.50), tenemos Yn (0) =

−1 ∗ −1 [Φn+1 (b1 ) − Φn+1 (0)Φ∗n (b1 )]Φn (b−1 1 ) − [Φn+1 (b1 ) − Φn+1 (0)Φn (b1 )]Φn (b1 ) , −1 ∗ −1 ∗ [Φn+1 (b1 ) − Φn+1 (0)Φ∗n (b1 )]Φ∗n (b−1 1 ) − [Φn+1 (b1 ) − Φn+1 (0)Φn (b1 )]Φn (b1 )

y el resultado se obtiene mediante una reordenaci´ on de los t´erminos.  Ahora, estudiamos el comportamiento de An (b1 ) y Bn (b1 ) cuando n → ∞. Para |b1 | < 1, dividiendo por Φn+1 (b−1 1 ) en el numerador y denominador de An (b1 ), tenemos An (b1 ) =

∗ ∗ −1 [Φn (b−1 1 )Φn (b1 ) − Φn (b1 )Φn (b1 )] Φ

1

−1 n+1 (b1 )

−1 ∗ [Φn+1 (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 )] Φ

1 −1 n+1 (b1 )

.

69

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Por otra parte, tomando el l´ımite cuando n → ∞,

b1 Φ∗n (b1 ) = −b1 , n→∞ Φ∗ n (b1 )

lim An (b1 ) = − lim

n→∞

ya que limn→∞

Φn+1 (z) Φn (z)

= z, para z ∈ C \ D, y si |b1 | < 1, entonces

¯ Φn (b1 )Φ∗n (b−1 Φn (b1 )b−n 1 ) 1 Φn (b1 ) = lim = 0. n→∞ n→∞ Φn+1 (b−1 Φn+1 (b−1 1 ) 1 ) lim

De manera similar, para |b1 | > 1, dividiendo por Φn+1 (b1 ) en el numerador y denominador de An (b1 ), se tiene limn→∞ An (b1 ) = −b−1 1 . Por otro lado, para Bn (b1 ), cuando |b1 | < 1, Bn (b1 ) =

−1 −1 [Φn+1 (b1 )Φn (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 )]/Φn (b1 ) −1 −1 . ∗ [Φn+1 (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 )]/Φn (b1 )

Obs´ervese que Φn (b−1 1 ) nunca se anula si |b1 | < 1 y, por tanto, el denominador solamente se anula en b1 = ±1. Tomando el l´ımite cuando n → ∞ en el numerador de Bn (b1 ), obtenemos −1 Φn+1 (b1 )Φn (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 ) lim n→∞ Φn (b−1 1 )



Φn+1 (b1 ) Φn+1 (b−1 1 ) = lim Φn (b1 ) − −1 n→∞ Φn (b1 ) Φn (b1 ) = (b1 − b−1 1 ) lim Φn (b1 ) = 0, n→∞

Para el denominador, tenemos −1 ∗ Φn+1 (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − Φn+1 (b1 )Φn (b1 ) n→∞ Φn (b−1 1 )

lim

=

−1 ∗ lim [−b−1 1 Φn (b1 )] = −b1 .

n→∞

De manera similar, cuando |b1 | > 1, dividiendo el numerador y denominador de Bn (b1 ) por Φn (b1 ) y calculando el l´ımite, obtenemos el mismo resultado. Por lo tanto, limn→∞ Bn (b1 ) = 0 para todo b1 ∈ R \ {0}, salvo si b1 = ±1. En consecuencia, P 2 Proposicion 2.2.6. Supongamos que ∞ n=0 |Φn (0)| < ∞ y P ∞ n=0 |Φn+1 (0)−Φn (0)| < ∞. Entonces, para α ∈ C con |α| ∈ R+ \ {0, 1},



70 (i) (ii)

F. Marcell´ an, Y. Quintana P∞

2 n=0 |Yn (0)|

P∞

n=0 |Yn+1 (0)

< ∞. − Yn (0)| < ∞.

Observacion 2.2.2. Si b1 = ±1, obtenemos el resultado probado en la secci´ on (2.1.6).

2.2.2

Ejemplos

El caso Bernstein-Szeg˝ o Estudiamos una transformaci´ on de la medida de Bernstein-Szeg˝ o definida 1−|β|2 dθ 1 −1 mediante d˜ σ = 2 (z − α + z − α ¯ ) |z−β|2 2π , con α ∈ C, |α| ∈ R+ \ {0, 1} y |β| < 1. Es bien conocido que, en este caso, Φn (z) = z n − βz n−1

¯ Φ∗n (z) = 1 − βz,

y

n > 1.

La condici´ on para la existencia de la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Yn }n>0 es −1 −1 ∗ 0 6= b1 Φn (b1 )Φ∗n (b−1 1 ) − b1 Φn (b1 )Φn (b1 ) ¯ −1 ) − b−n (b−1 − β)(1 − βb ¯ 1 ). = bn (b1 − β)(1 − βb 1

1

1

1

En otras palabras ¯ (b−1 1 − β)(1 − βb1 ) ¯ −1 ) (b1 − β)(1 − βb 1

b2n 6= 1

∗ Φ1 (b−1 1 )Φ1 (b1 ) . Φ1 (b1 )Φ∗1 (b−1 1 )

=

Por tanto, tenemos un caso cuasi-definido si y s´ olo si Φ (b−1 )Φ∗ (b )

ln Φ1 (b1 )Φ∗ (b1 −11 ) 1

1

1

2 ln b1

1

∈ / N.

Si β = 0, es decir, una transformaci´ on de la medida de Lebesgue, entonces la condici´ on se convierte en 1 b2n 1 6= 2 , b1

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

71

es decir, kπi

b1 6= e n+1 ,

1 6 k 6 n.

A continuaci´ on, obtenemos una expresi´ on para la nueva familia de par´ ametros de Verblunsky. De (2.57), n−1 ¯ ¯ −1 ) b−n+1 (b−1 (b1 − β)(1 − βb 1 1 − β)(1 − βb1 ) − b1 1 ¯ −1 ) − b−n (b−1 − β)(1 − βb ¯ 1) bn1 (b1 − β)(1 − βb 1 1 1

An (b1 ) =

=

n−1 ∗ b−n+1 Φ1 (b−1 Φ1 (b1 )Φ∗1 (b−1 1 1 )Φ1 (b1 ) − b1 1 ) −1 −n −1 n ∗ ∗ b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) − b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 )

=

2n−1 ∗ b1 Φ1 (b−1 Φ1 (b1 )Φ∗1 (b−1 1 )Φ1 (b1 ) − b1 1 ) . −1 −1 2n ∗ ∗ b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) − Φ1 (b1 )Φ1 (b1 )

Obs´ervese que lim An (b1 ) = −b1 ,

n→∞

lim An (b1 ) = −b−1 1 ,

n→∞

|b1 | < 1, |b1 | > 1.

Por otra parte, de (2.58), Bn (b1 ) =

−n −1 n−1 bn1 (b1 − β)b−n+1 (b−1 (b1 − β) 1 1 − β) − b1 (b1 − β)b1 −1 −n −1 n ¯ ) − b (b − β)(1 − βb ¯ 1) b1 (b1 − β)(1 − βb 1 1 1

=

−1 −1 b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b−1 1 ) − b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) −n −1 ∗ bn1 Φ1 (b1 )Φ∗1 (b−1 1 ) − b1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 )

=

−1 bn1 (b1 − b−1 1 )Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) . −1 ∗ −1 ∗ b2n 1 Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) − Φ1 (b1 )Φ1 (b1 )

72

F. Marcell´ an, Y. Quintana Por lo tanto, para n suficientemente grande, si |b1 | < 1, entonces Yn (0) = An (b1 )Φn+1 (0) + Bn (b1 ) ∼ N1 (b1 )bn1 ,

con N1 (b1 ) = −

−1 (b1 −b−1 1 )Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) . −1 ∗ Φ1 (b1 )Φ1 (b1 )

Si |b1 | > 1, entonces Yn (0) ∼ N2 (b1 )b−n 1 , con N2 (b1 ) =

−1 (b1 −b−1 1 )Φ1 (b1 )Φ1 (b1 ) . Φ1 (b1 )Φ∗1 (b11 )

Finalmente, para β = 0, An (b1 ) = Bn (b1 ) =

1 − b2n 1 , b2n+1 − b−1 1 1

bn1 (b1 − b−1 1 ) . 2n+1 b1 − b−1 1

Por tanto, en este caso obtenemos el siguiente comportamiento asint´ otico para los par´ ametros de Verblunsky Yn (0) ∼ bn1 , Yn (0) ∼

b−n 1 ,

|b1 | < 1,

|b1 | > 1.

dθ El caso 12 d˜ σ = (z − α + z −1 − α ¯ )|z − 1|2 2π . dθ Ahora estudiamos una transformaci´ on de dσ = |z − 1|2 2π , la transformaci´ on de Christoffel de la medida de Lebesgue con par´ ametro 1. Es bien conocido que si denotamos por {Φn }n>0 la sucesi´ on de polinomios m´ onicos ortogonales con respecto a σ, entonces   n 1  n+1 1 X j Φn (z) = z − z , n > 1, (2.59) z−1 n+1 j=0   n X 1 1 1 − Φ∗n (z) = z j+1  , n > 1, (2.60) 1−z n+1 j=0

73

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES as´ı como Φn (0) =

1 , n+1

n > 1.

(2.61)

Entonces, la condici´ on para la existencia de la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Yn }n>0 es     n n X 1  n+1 1 X j 1 1 1 −  b1 b1 − b1 b−j−1 1 b1 − 1 n+1 n + 1 1 − b−1 1 j=0

−b−1 1



1 1 b−n−1 − 1 n+1 −1

b−1 1

bn+2 −b−n−2 − 1 1

j=0

n X j=0



 b−j 1



1  1 1− 1 − b1 n+1

n X j=0



 6= 0, bj+1 1

n n n n X X 1 X j+1 bn+2 1 X −j−1 b−n−2 1 b1 − 1 b−j−1 + b + bj+1 6= 0, 1 1 1 n+1 n+1 n+1 n+1 j=0

j=0

− b−n−2 − bn+2 1 1

j=0

j=0

n

n

j=0

j=0

2 X j+1 2 X −j−1 b1 + b1 6= 0. n+1 n+1

Equivalentemente, n

b2n+4 −1− 1

2bn+2 − 2 X j+1 1 b1 6= 0, n+1 j=0 bn+1 1

2b1 −1 6 = 0, n + 1 b1 − 1 + 1) − 2b1 (bn+1 − 1) = 6 0, (n + 1)(b1 − 1)(bn+2 1 1 +1− bn+2 1

para todo n ∈ N.

74

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Por otro lado, para los par´ ametros de Verblunsky, de (2.50) tenemos     j −j n+1 −n−1 1 1 Pn 1 1 Pn − n+1 − n+1 (b1 − b−1 j=0 b1 b−1 −1 b1 j=0 b1 1 ) b1 −1 b1 1   Yn (0) = j+1 −j−1 n+2 −n−2 1 2 Pn 2 Pn − b − b + b b 1 1 j=0 1 j=0 1 n+1 n+1 (b −1)(1−b−1 ) 1

=

 − b ) 1− (b−1 1 1

1 n+1

Pn

j+1 − j=0 b1

bn+2 − b−n−2 − 1 1

(b−1 1 =

1

− b1 )



bn+2 1

−

2 n+1

Pn

−1 b1 (bn+2 +1) bn+1 1 1 n+1 b1 −1

b2n+4 −1− 1

Pn

1 n+1

j+1 j=0 b1

+

Pn j Pn −j 1 j=0 b1 j=0 b1 (n+1)2 −j−1 2 Pn j=0 b1 n+1

−j−1 + j=0 b1

b21 (n+1)2

−1 2b1 (bn+2 −1) bn+1 1 1 n+1 b1 −1

+



bn+1 −1 1 b1 −1

2 

.

Por tanto, para n suficientemente grande, si |b1 | < 1, i h b21 b1 (b−1 − b ) + 1 1 (n+1)(b1 −1) (n+1)2 (b1 −1)2 Yn (0) ∼ 2b1 −1 − (n+1)(b1 −1) ∼ (b1 − b−1 1 ) 1 . n+1 Por otra parte, si |b1 | > 1,

b1 (n + 1)(b1 − 1)

∼

Yn (0) =

h 1 (b−1 1 − b1 ) − (n+1)(b1 −1) + 1−

∼ (b1 − b−1 1 ) ∼

2.3

1 . n+1

1

(n+1)2 (b1 −1)2

2 (n+1)(b1 −1)

i

1 (n + 1)(b1 − 1)

La teor´ıa CMV

Existe otro enfoque que solventa la dependencia del car´ acter unitario de la matriz que representa el operador de multiplicaci´ on de la no pertenen-



OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

75

cia de la medida de ortogonalidad a la clase de Szeg˝ o , desarrollada por Cantero, Moral y Vel´ azquez ([60]). Se denomina representaci´ on CMV, y se define de la siguente manera. Sea Λ(k,l) el subespacio de los polinomios de Laurent generado por {z j }lj=k , k 6 l, y P(k,l) la proyecci´ on ortogonal sobre Λ(k,l) respecto a la forma bilineal hermitiana (1.14). Definimos (n)

Λ

( Λ(−k,k) = Λ(−k,k+1)

n = 2k, n = 2k + 1,

y P (n) es la proyecci´ on ortogonal sobre Λ(n) . Adem´ as, definimos χ(0) n

( z −k = z k+1

n = 2k, n = 2k + 1,

y aplicando el proceso de ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt, obtenemos la base CMV mediante χn = (1 − P (n−1) )χ(0) n . En lugar de considerar la sucesi´ on {1, z, z −1 , z 2 , z −2 , . . .}, podr´ıamos de igual manera considerar la sucesi´ on {1, z −1 , z, z −2 , z 2 , . . .}. En estas condiciones, sean ˜ (n) Λ

( Λ(−k,k) = Λ(−k−1,k)

n = 2k, n = 2k + 1,

˜ (n) . Adem´ y P˜ (n) la proyecci´ on ortogonal sobre Λ as, definimos x(0) n

( z −k = z −k−1

n = 2k, n = 2k + 1,

y la base CMV alternativa mediante xn = (1 − P˜ (n−1) )x(0) n .

76

F. Marcell´ an, Y. Quintana Tambi´en definimos ηn (z) = χ2n (z),

n > 0,

τn (z) = χ2n−1 (z), sn (z) = x2n (z),

n > 1, n > 0,

tn (z) = x2n−1 (z),

n > 1.

ηn , τn , sn y tn se pueden expresar en t´erminos de los polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a L, Φn , de la siguiente manera. Proposicion 2.3.1. Se cumple ηn (z) = z −n Φ∗2n (z), τn (z) = z −n+1 Φ2n−1 (z), sn (z) = z −n Φ2n (z), tn (z) = z −n Φ∗2n−1 (z). Adem´ as, xn (z) = χn (1/¯ z ). Proposicion 2.3.2. Las sucesiones {χn }n>0 y {xn }n>0 satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia zχ0 =  χ2n−1 z = χ2n   x0 z = x1   x2n z = x2n+1 

con

−Φ1 (0)χ0 + ρ0 χ1 ,     χ2n−2 χ2n T b Ξ2n−1 + Ξ2n , χ2n−1 χ2n+1     −Φ1 (0) x1 x0 + Ξ 1 , x2 ρˆ0     x2n−1 x2n+1 T b Ξ2n + Ξ2n+1 , x2n x2n+2 

 −ρn−1 Φn+1 (0) ρn−1 ρn Ξn := , −Φn (0)Φn+1 (0) Φn (0)ρn   −ˆ ρn−1 Φn+1 (0) ρˆn−1 ρˆn b Ξn := , −Φn (0)Φn+1 (0) Φn (0)ˆ ρn

n > 1,

n > 1,

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

77

donde {Φn (0)}n>1 son los par´ ametros de Verblunsky asociados al funcional L, ρn = |1 − |Φn+1 (0)|2 |1/2 y ρˆn = ςn ρn , con ςn = sign(1 − |Φn+1 (0)|2 ). Las anteriores relaciones de recurrencia proporcionan una representaci´ on matricial que juega un rol similar al de la matriz de Jacobi en la recta real. En este caso, la matriz pentadiagonal C asociada a la representaci´ on CMV resulta ser Ci,j = hχi , zχj iL , donde {χn }n>0 es la base CMV. Por otro lado, utilizando la base CMV on CMV alternativa, {xn }n>0 , obtenemos la matriz C˜ de la representaci´ alternativa, C˜i,j = hxi , zxj iL . Adem´ as, C˜ es la transpuesta de C. Los elementos de C se pueden expresar en t´erminos de los coeficientes de Verblunsky {Φn (0)}n>1 asociados al funcional L. Proposicion 2.3.3. Los elementos de la matriz C est´ an dados por hηj−1 , zηj iL = ρˆ2j−1 ρˆ2j−2 ,

hτj , zηj iL = Φ2j−1 (0)ˆ ρ2j−1 ,

hηj−1 , zτj iL = −Φ2j (0)ˆ ρ2j−2 ,

hτj , zτj iL = −Φ2j (0)Φ2j−1 (0),

hηj , zηj iL = −Φ2j (0)Φ2j+1 (0),

hτj+1 , zηj iL = Φ2j (0)ρ2j ,

hηj , zτj iL = −Φ2j+1 (0)ρ2j−1 ,

hτj+1 , zτj iL = ρ2j ρ2j−1 .

Los restantes elementos de la matriz son nulos.

78

F. Marcell´ an, Y. Quintana

En otras palabras, C es una matriz pentadiagonal de la forma  −Φ1 (0) −Φ2 (0)ˆ ρ0 ρˆ1 ρˆ0 0 0  ρ −Φ (0)Φ (0) Φ (0)ˆ ρ 0 0 0 2 1 1 1   0 −Φ3 (0)ρ1 −Φ3 (0)Φ2 (0) −Φ4 (0)ˆ ρ2 ρˆ3 ρˆ2  C=  0 ρ2 ρ1 Φ2 (0)ρ2 −Φ4 (0)Φ3 (0) Φ3 (0)ρˆ3   −Φ5 (0)Φ4 (0) 0 0 0 −Φ5 (0)ρ3 ... ... ... ... ...

Se puede factorizar C mediante dos matrices tridiagonales M y W de la siguiente manera Proposicion 2.3.4. Si Mi,j

= hxi , χj iL ,

Wi,j = hχi , zxj iL ,

entonces (i) C = WM.

(ii) C˜ = MW. (iii) M es una matriz diagonal por bloques, con un bloque de tama˜ no 1 × 1 seguido de bloques de tama˜ no 2 × 2. (iv) W es una matriz diagonal por bloques, con bloques de tama˜ no2×2. Adem´ as, C admite la siguiente factorizaci´ on.

Proposicion 2.3.5. Sea

Θj = Entonces



−Φj+1 (0) ρj ρˆj Φj+1 (0)



  M=  

  W = 





1 Θ1 Θ3 ..

.

  ,  

Θ0 Θ2 Θ4 ..

.

  . 

.

... ... ... ... ... ...



    .   

79

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES Ejemplo. Si dσ = Luego,

1−|β|2 dθ , |z−β|2 2π



   W =   

|β| < 1, tenemos Φ1 (0) = −β y Φk (0) = 0, k = 2, 3, . . .. 

    M=   

1 

β 1 (1 − |β|2 ) 2

y, finalmente, 

β 1   (1 − |β|2 ) 2    C=     

2.4

 0 1 1 0 



 0 1 1 0 ! 1

(1 − |β|2 ) 2 −β¯

..



.

    ,   

 0 1 1 0

 ..

   ,   

.



1

0 (1 − |β|2 ) 2 0 −β¯ 0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 ..

.

     .     

Ejercicios

1. Correspondencia entre las C-funciones y las funciones de Schur: Muestre que (a) Si f : D → C es una funci´ on de Schur sobre D, entonces F (z) :=

1 + zf (z) 1 − zf (z)

es una funci´ on de Carath´eodory.

80

F. Marcell´ an, Y. Quintana (b) Si F : D → C es una funci´ on de Carath´eodory sobre D, entonces 1 F (z) − 1 f (z) := z F (z) + 1 es una funci´ on de Schur. (c) En cada uno de los casos anteriores f es trivial, si y s´ olo si, F es trivial.

2. Cotas universales sobre las C-funciones: Sea F : D → C es una funci´ on de Carath´eodory sobre D. (a) Demuestre que la aplicaci´ on ϕ : {z ∈ C : Re (z) > 0} → D, dada por 1+z ϕ(z) = 1−z es una biyecci´ on.

1. (b) Use la parte (a) y el Lema de Schwarz (ver Ap´endice) para mostrar que 1 + |z| 1 − |z| ≤ |F (z)| ≤ 1 + |z| 1 − |z| 3. Desigualdad de Carath´eodory: Dada una funci´ on anal´ıtica sobre B(0, R). Considere M = max{|f (z)| : |z| = r}, A(r) = max{Re (f (z)) : |z| = r}, para 0 < r < R. Muestre que si A(r) ≥ 0 entonces M (r) ≤

R+r (A(R) + |f (0)|). R−r

Sugerencia: Considere primero el caso en que f (0) = 0 y estudie la funci´ on g(z) =

f (Rz) , para |z| < 1. 2A(R) + f (Rz)

4. Dada f una funci´ on anal´ıtica en D, suponga que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ D.

OPUC. TRANSFORMACIONES ESPECTRALES

81

(a) Si zk = 0 para 1 ≤ k ≤ n, muestre que |f (z)| ≤ M

n Y |z − zk | , |1 − z k z|

k=1

para z ∈ D.

(b) Si zk = 0 para 1 ≤ k ≤ n, con zk 6= 0 y f (0) = M (z1 · · · zn ). Encuentre una f´ ormula para f . 5. Suponga que f es anal´ıtica en alguna regi´ on contenida en D y que |f (z)| = 1 cuando |z| = 1. Encuentre una f´ ormula para f . Sugerencia: Considere primero el caso en que f no tiene ceros en D. 6. Suponga que f es anal´ıtica en una regi´ on contenida en D y que |f (z)| = 1 cuando |z| = 1. Si f tiene un cero simple en z1 = 14 (1+i) y un cero doble en z2 = 12 . ¿Puede suceder que f (0) = 12 ? 7. Existe una funci´ on anal´ıtica sobre D tal que |f (z)| < 1, para |z| < 1, ′ f (0) = 12 y f (0) = 34 ? Si la respuesta es afirmativa, encuentre tal funci´ on. Es u ´nica dicha funci´ on? 8. Demostrar el enunciado de la proposici´ on 2.1.3. 9. Hallar la matriz CMV correspondiente a la transformaci´ on de Christoffel de la medida normalizada de Lebesgue. 10. Hallar la matriz CMV correspondiente a la transformaci´ on de Uvarov de la medida normalizada de Lebesgue para una masa situada en z = 1. 11. Determinar la matriz CMV correspondiente a la transformaci´ on de Aleksandrov. 12. Determinar la matriz CMV correspondiente a las transformaciones espectrales racionales analizadas en las subsecciones 2.14 y 2.1.5.

82

F. Marcell´ an, Y. Quintana

CAP´ITULO 3

POLINOMIOS ORTOGONALES Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO En t´erminos generales, en este cap´ıtulo retomaremos las nociones de ortogonalidad Sobolev (en el sentido cl´ asico o distribucional) introducidas brevemente en el cap´ıtulo 1. Centraremos nuestra atenci´ on en vectores de medidas (µ0 , . . . , µm ) en los que cada componente satisface la relaci´ on dµk (x) = wk (x)dx, k = 0, 1, ..., m, donde wk es una funci´ on peso definida sobre un intervalo Ik ⊆ R (acotado o no). En la literatura estos casos de ortogonalidad se denominan 1. Ortogonalidad Sobolev asociada a medidas vectoriales soportadas en intervalos acotados. 2. Ortogonalidad Sobolev asociada a medidas vectoriales soportadas en intervalos no acotados.

3.1

Medidas vectoriales soportadas en intervalos acotados

Como ya se ha mencionado, cuando consideramos un producto interno sobre P m Z X p(k) (x) q (k) (x)dµk (x), (3.1) hp, qiS = k=0

Ik

83

84

F. Marcell´ an, Y. Quintana

donde Ik ⊆ R, dos propiedades b´ asicas de los polinomios ortogonales est´ andar (m = 0) se pierden, ya que si m > 0, los polinomios ortogonales con respecto a (3.1) no satisfacen una relaci´ on de recurrencia a tr´es t´erminos y los ceros de tales polinomios, no son, en general reales y simples y pueden estar localizados fuera de la c´ apsula convexa del soporte de la medida µ = (µ0 , . . . , µm ) de ortogonalidad. Cuando supp(µk ) = Ik e Ik es acotado (k = 0, . . . , m) el comportamiento asint´ otico de los polinomios ortogonales con respecto a (3.1) ha sido extensamente estudiado por A. Martinez-Finkelshtein, G. LopezLagomasino, W. Gautschi y A. B. J. Kuijlaars, entre otros. En particular, la asint´ otica relativa, la asint´ otica de la ra´ız n-´esima y la asint´ otica fuerte han sido analizadas con detalle ([51], [52], [53], [54]).

3.1.1

Propiedades algebraicas y estudio de asint´ oticas de polinomios ortogonales

El primer resultado conocido acerca del comportamiento asint´ otico de polinomios ortogonales de Sobolev (en el caso acotado) es atribuido a Sch¨ afke [59], quien mostr´ o que las derivadas de los polinomios ortogonales de Legendre-Sobolev verificaban −3/2 Q′n (x) = nPn−1 (x) + κ1/2 ), n O(n

(3.2)

donde Qn es el n-´esimo polinomio ortogonal m´ onico de Legendre-Sobolev 1/2 con norma Sobolev κn y Pn es el n-´esimo polinomio ortogonal m´ onico de Legendre. Sin embargo, este estudio no continu´ o, y aproximadamente en 1988 empieza una l´ınea de investigaci´ on diferente como ya mencionamos en la secci´ on 1.2.3. Ortogonalidad Sobolev sobre curvas cerradas de Jordan En esta secci´ on centraremos nuestra atenci´ on en la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos correspondiente a productos internos de Sobolev sobre Pn (C) de la forma: hp, qiS =

Z

p(z)q(z)dµ0 (z) +

Z

p′ (z)q ′ (z)dµ1 (z)

(3.3)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

85

donde el vector de medidas (µ0 , µ1 ) est´ a formado por medidas positivas de Borel soportadas en C tales que Z |z|2n dµk (z) < ∞, n ∈ Z+ , k = 0, 1. C

Supondremos, adicionalmente, que el soporte de µ0 contiene, al menos, un n´ umero infinito de puntos, y que µ1 no es la medida nula. Seguiremos el esquema presentado en [51] para extender el m´etodo de BernsteinSzeg˝ o para la obtenci´ on de la asint´ otica exterior de los polinomios ortogonales m´ onicos correspondientes a (3.3). A grandes rasgos, tal esquema consiste en: 1. Introducir los polinomios ortogonales m´ onicos asociados a (3.3), imponiendo que supp(µk ) ⊂ Γ, con k = 0, 1 y Γ una curva o arco de Jordan que satisface apropiadas condiciones de regularidad. 2. Hacer uso de la teor´ıa de espacios de Hardy para definir un espacio de Hilbert conveniente, que permita solucionar cierto problema extremal. 3. Utilizar la soluci´ on del problema extremal mencionado en el apartado anterior para estudiar el comportamiento asint´ otico de la sucesi´ on kQn k2S { kPn k2 }, donde µ1 satisface una condici´ on tipo Szeg˝ o sobre Γ. µ1

4. Establecer el comportamiento asint´ otico relativo exterior de la sucesi´ on {Qn }n>0 . En la pr´ actica, la situaci´ on m´ as natural sucede cuando el vector de medidas (µ0 , µ1 ) tiene componentes cuyos soportes est´ an contenidos en la misma curva Γ o en un arco de Jordan sobre C (no reducido a un punto). Definicion 3.1. Dados I ⊂ R un intervalo y f : I → C, diremos que f ∈ C 2+ si f es de clase C 2 y f ′′ satisface una condici´ on de Lipschitz |f ′′ (x) − f ′′ (y)| ≤ M |x − y|α , para alg´ un par de constantes fijadas M, α > 0, y para todo x, y ∈ I.

86

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Definicion 3.2. (Condici´ on de suavidad sobre Γ, [51]). Si Γ es una curva de Jordan o un arco rectificable sobre C y z = z(s) su parametrizaci´ on por longitud de arco, diremos que Γ ∈ C 2+ si z ∈ C 2+ . Denotaremos por C = C ∪ {∞}, Ω el mayor abierto conexo de C \ Γ que contiene el punto z = ∞, donde Γ es una curva de Jordan o un arco rectificable y por Φ : Ω → {z : |z| > R} la aplicaci´ on conforme ∗ normalizada por la condici´ on: Φ(z) = 1, z→∞ z lim

donde R es la capacidad logar´ıtmica, Cap(Γ), de Γ (ver [43], cap´ıtulo 6, p´ ags. 95-96). Definicion 3.3. Si Γ es una curva o un arco de Jordan rectificable y µ una medida positiva sobre C, diremos que µ pertenece a la clase de Szeg˝ o sobre Γ (µ ∈ S) si: a) supp(µ) ⊂ Γ. R b) Γ (log µ′ (z))|Φ′ (z)||dz| > −∞.

Para una medida positiva de Borel finita cuyo soporte, supp(µ), contiene un n´ umero infinito de puntos, sabemos que est´ a garantizada la existencia de una u ´nica sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con respecto a µ, {Pn (µ; z)}n≥0 . Denotaremos el cuadrado de la norma de tales polinomios por Z τn (µ) = |Pn (µ; z)|2 dµ(z). Cuando µ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue (parametrizada por la longitud de arco) y denotamos la derivada de Radon-Nikodym mediante µ′ = ρ, usaremos ρ en vez de µ en la notaci´ on anterior. Para dar un enfoque unificado a los casos de curva cerrada o arco, en [51] se considera cualquier arco rectificable de Jordan como un “corte” sobre el plano, con dos lados. Si F es una funci´ on anal´ıtica en Ω con ∗

Recuerde el teorema de Riemann: recintos simplemente conexos son conformemente equivalentes.

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

87

valores frontera integrables F+ y F− sobre Ω, definimos la integral de contorno I Z Z F (t)ρ(t)|dt| = F+ (t)ρ(t)|dt| + F− (t)ρ(t)|dt|. (3.4) Γ

Γ

Γ

Entonces sustituyendo ρ por ρ2 en (3.4), tenemos que si {pn (ρ, ·)}n≥0 es la sucesi´ on de polinomios ortonormales con respecto a ρ, y tambi´en lo ser´ a con respecto a ρ2 . Adem´ as, cuando Γ es una curva cerrada, tenemos Z I F (t)ρ(t)|dt| = F (t)ρ(t)|dt|. Γ

Γ

Para r > R, denotaremos mediante Γr = Φ−1 ({w : |w| = r}) las curvas de nivel asociadas a la aplicaci´ on Φ . Se puede mostrar que bajo las hip´ otesis impuestas sobre Γ, Φ y Φ−1 tienen extensiones continuas e inyectivas sobre la frontera de cada uno de sus dominios de definici´ on. Por otro lado, como ρ1 ∈ S, existe una u ´nica funci´ on R holomorfa en Ω, tal que: a) R(z) 6= 0 para z ∈ Ω; b) R(∞) > 0; c) para casi todo ζ ∈ Γ existe valor frontera no tangencial R(ζ) con |R(ζ)| = ρ1 (ζ). De hecho, ln |R| es la soluci´ on del problema de Dirichlet en Ω con condici´ on de frontera ln ρ1 sobre Γ. ∂ Si g(z, ∞) = ln |Ψ(z)| − ln Cap(Γ) es la funci´ on de Green de Ω y ∂n denota la derivada normal, entonces  I  ∂g(ζ, ∞) 1 R(∞) = exp ln ρ1 |dζ| . (3.5) 2π Γ ∂nζ Definicion 3.4. Sea f una funci´ on anal´ıtica en Ω. Diremos que f 1 pertenece a la clase E (Ω) si I sup |f 2 (z)||dz| < +∞. r>R Γr

Diremos que f pertenece a la clase E 2 (Ω, ρ1 ) si |f 2 (z)R(z)| ∈ E 1 (Ω).

88

F. Marcell´ an, Y. Quintana

La clase E 2 (Ω, ρ1 ) tiene estructura de espacio de Hilbert, con producto interno dado por I (3.6) hf, gi = f (x)g(x)ρ1 (x)|dx|. Si k · k denota la norma inducida por (3.6), entonces tiene sentido el siguiente problema extremal ν(ρ1 ) = inf{kF k2 : F ∈ E 2 (Ω, ρ1 ), F (∞) = 1}.

(3.7)

Adem´ as, existe una u ´nica funci´ on extremal F(z) = F(ρ; z) soluci´ on de (3.7) y se satisface R(∞) , z ∈ Ω, R(z) ν(ρ1 ) = 2πR(∞)Cap(Γ).

F 2 (z) = Φ′ (z)

(3.8) (3.9)

Para cada f ∈ E 2 (Ω, ρ1 ), el n´ ucleo reproductor K(t, z) correspondiente a (3.6) satisface f (z) = hf, K( · , z)i, z ∈ Ω. (3.10) Adem´ as, K(z, ∞) = ν(ρ1 )−1 F(z).

(3.11)

La funci´ on extremal F y la constante ν(ρ1 ) est´ an relacionadas con el comportamiento asint´otico de la SPOM {Pn (ρ1 ; ·)} mediante τn (ρ1 ) = ν(ρ1 ), [Cap(Γ)]2n Pn (ρ1 ; z) lim = F(z), n→∞ Φn (z)

lim

n→∞

(3.12) (3.13)

local y uniformemente en Ω. Teorema 3.1. (Comportamiento asint´ otico relativo de las normas Sobolev, [51]). Si Γ ∈ C +2 es una curva cerrada o arco de Jordan, entonces para ρ1 ∈ S y para cualquier medida positiva y finita de Borel µ0 sobre Γ se tiene kQn k2S lim 2 = 1. (3.14) n→∞ n τn−1 (ρ1 )

89

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO Por otro lado, usando la propiedad extremal de τn (µ0 ), τn (ρ1 ), tenemos que

Por tanto,

τn (µ0 ) ≤ kQn k2µ0 ,

′ 2

Qn

τn (ρ1 ) ≤

n . ρ1

kQn k2S ≥ τn (µ0 ) + n2 τn (ρ1 ).

(3.15)

As´ı pues, lim inf n

hQn , Qn iS ≥ 1. n2 τn−1 (ρ1 )

(3.16)

on de polinomios m´ onicos Fijado z0 ∈ Γ, consideremos la sucesi´ Z z Vn (z) = n Pn−1 (ρ1 ; t)dt. z0

Por la propiedad extremal de kQn k2S se tiene que kQn k2S ≤ hVn , Vn iS = kVn k2µ0 + n2 τn (ρ1 ).

(3.17)

Con esta u ´ltima observaci´ on, en [51] el problema se reduce al estudio del comportamiento asint´ otico de las normas kVn k2µ0 . Proposicion 3.1.1. Si ρ11 ∈ L1 (Γ), entonces el promedio integral de la sucesi´ on de polinomios ortonormales {pn (ρ1 ; ·)} sobre cualquier sub-arco γ ⊂ Γ tiende a cero, es decir, Z lim pn (ρ1 ; x)dx = 0. n

γ

Consecuentemente, para cualquier medida finita µ0 , sobre Γ, kVn k2µ0 = 0. n→∞ n2 τn−1 (ρ1 ) lim

(3.18)

Usando los siguientes hechos (cfr. [51]): a) Para cualquier peso ρ1 ∈ S y δ > 0, el peso ρ˜1 (x) = ρ1 (x) + δ, es tal que ρ˜11 ∈ L1 (Γ).

90

F. Marcell´ an, Y. Quintana b) dist(˜ ρ1 , ρ1 ) → 0 cuando δ ↓ 0, para la m´etrica sobre S dada por Z 1 ∂g(t, ∞) dist(ρ, σ) = | ln ρ − ln σ|(t) |dt|, π Γ ∂nt ′

donde g(x, z) = χγ(x) (z) ρ˜z1(s) (z) , z = z(s), s ∈ [0, l], z(0) = z(l) = z0 , γ(z) la imagen por la parametrizaci´ on de longitud de arco del intervalo [0, s] ⊂ [0, l] y χγ(x) la funci´ on caracter´ıstica de γ(x). Se puede mostrar que, para ǫ > 0, existe δ > 0 tal que lim sup n

kQn k2S ≤ 1 + ǫ, n2 τn−1 (ρ1 )

est´ au ´ltima desigualdad permite demostrar el teorema 3.1. Teorema 3.2. (Comportamiento asint´ otico relativo exterior de los polinomios ortogonales de Sobolev, [51]). Si Γ ∈ C +2 es una curva cerrada o arco de Jordan, entonces para ρ1 ∈ S y para cualquier medida positiva y finita de Borel µ0 sobre Γ se tiene Q′n (z) = nF(z)Φn−1 (z)(1 + o(1)), (3.19) o, equivalentemente, Q′n (z) = 1, n→∞ nPn−1 (ρ1 ; z) lim

(3.20)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω. Adem´ as, si ρ0 ∈ S, entonces F Qn (z) = ′ (z)Φn (z)(1 + o(1)), (3.21) Φ o, equivalentemente, Qn (z) 1 = ′ , n→∞ Pn (ρ1 ; z) Φ (z) lim

(3.22)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de Ω. Finalmente, si consideramos el producto interno de Sobolev m Z X hp, qiS = p(k) (z)q (k) (z)dµk (z) k=0

(3.23)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

91

donde el vector de medidas (µ0 , µ1 , . . . µm ) est´ a formado por medidas positivas de Borel, tales que µk ∈ S, para todo k = 0, . . . , m, entonces tenemos el siguiente resultado Teorema 3.3. (Mart´ınez-Finkelshtein y Pijeira, [51]). La asint´ otica relativa exterior de los polinomios ortogonales m´ onicos de Sobolev Qn con respecto al producto interno (3.23) es (k)

Qn (z) 1 lim = ′ m−k , n→∞ nk Pn−k (z; µm ) (Φ )

k = 0, . . . , m,

(3.24)

uniformemente sobre conjuntos compactos de Ω. Distribuci´ on de ceros Los teoremas (3.1) y (3.2) nos permiten establecer el siguiente resultado: Corolario 3.1. ([51]) Con la hip´ otesis del teorema (3.1), los ceros de la derivadas Q′n de los polinomios ortogonales m´ onicos de Sobolev con respecto al producto interno (3.3) se acumulan en Γ∪(C\Ω). Si, adem´ as, ρ0 ∈ S, entonces los ceros de Qn tambi´en se acumulan en Γ ∪ (C \ Ω), es decir, ∞ \ [

n≥1 k=n ∞ \ [

n≥1 k=n

3.1.2

{x : Q′k (x) = 0} ⊆ Γ ∪ (C \ Ω), {x : Qk (x) = 0} ⊆ Γ ∪ (C \ Ω),

si ρ0 ∈ S.

Noci´ on de coherencia y asint´ otica relativa exterior

Consideremos el producto interno de Sobolev Z Z hp, qiS = p(x)q(x)dµ0 (x) + λ p′ (x)q ′ (x)dµ1 (x), I0

I1

donde λ ≥ 0. Seguiremos principalmente el enfoque presentado en [52] y las referencias all´ı indicadas. Usando argumentos similares a los planteados en los ejercicios 4. y 5. del cap´ıtulo 1 (expresando el polinomio m´ onico Qn como el cociente

92

F. Marcell´ an, Y. Quintana

de dos determinantes), podemos hallar una representaci´ on de Qn en la cual sus coeficientes son funciones racionales en λ, cuyos numerador y denominador tienen el mismo grado que es, a lo m´ as n − 1(ver ejercicio 1. de este cap´ıtulo). De manera que para λ → ∞ existe un polinomio l´ımite asociado Rn∞ . Este polinomio se utiliza habitualmente para conectar las sucesiones de polinomios ortogonales m´ onicos est´ andar {Pn }n≥0 y {Tn }n≥0 asociadas a las medidas µ0 y µ1 , respectivamente, con la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos de Sobolev {Qn }n≥0 . Por ejemplo, se puede mostrar que Z d ∞ Rn∞ (x)dµ0 (x) = 0, n ≥ 1. Rn+1 (x) = (n+1)Tn (x) y hRn∞ , 1iµ0 = dx I0 (3.25) ∞ Si expresamos el polinomio l´ımite Rn+1 en t´erminos de las bases {P0 , . . . Pn+1 } y {Q0 , . . . Qn+1 } de Pn+1 , obtenemos ∞ Rn+1

=

n+1 X

bn,j Pj (x) =

j=1

hR

n+1 X

dn+1,j Qj (x),

(3.26)

j=0

,Q i

j S donde dn+1,j = n+1 . Por supuesto, cada expresi´ on en (3.26) tiene kQj k2S un n´ umero finito de t´erminos no nulos. Si asumimos que

∞ Rn+1

=

n+1 X

bn,j Pj (x),

j=n−k

k ≥ −1, n ≥ k + 1,

(3.27)

k ≥ −1, n ≥ k + 1.

(3.28)

donde k es un entero fijado, entonces Tn+1

n+1 X 1 = bn,j Pj′ (x), n+1 j=n−k

De (3.25) y (3.27) obtenemos que dn+1,j = 0 para 0 ≤ j ≤ n − k − 1. Luego (3.26) puede expresarse como n+1 X

j=n−k

bn,j Pj (x) =

n+1 X

j=n−k

dn+1,j Qj (x),

k ≥ −1, n ≥ k + 1.

(3.29)

Teniendo presente este esquema podemos introducir la siguiente definici´ on:

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

93

Definicion 3.5. Sean un vector de medidas positivas de Borel (µ0 , µ1 ), y {Pn }n>0 , {Tn }n>0 las correspondientes sucesiones est´ andar de polinomios ortogonales m´ onicos . Para k ≥ −1, diremos que (µ0 , µ1 ) es un par k-coherente de medidas, si Tn+1 (x) =

n+1 X

j=n−k

bn,j ′ P (x), j j

n ≥ k + 1,

(3.30)

con bn,n+1 = 1 y bn,n−k 6= 0. Hist´ oricamente, la noci´ on de coherencia fue una de las primeras herramientas utilizada en el estudio del comportamiento asint´ otico de polinomios ortogonales m´ onicos asociados a productos internos de Sobolev [52]. Obs´ervese que esta definici´ on es independiente de la acotaci´ on o no de los soportes. De hecho para k = −1 la relaci´ on (3.30) se satisface para las sucesiones de polinomios ortogonales cl´ asicos (Laguerre, Jacobi, Hermite). Para k = 0, la definici´ on se corresponde con la de pares coherentes de medidas dada en el ejercicio 3. del cap´ıtulo 1 y para k = 1, se corresponde con la de pares sim´etricamente coherentes de medidas dada en el ejercicio 5. del mismo cap´ıtulo. Adem´ as, Proposicion 3.1.2. Si (µ0 , µ1 ) es un par coherente de medidas, entonces para n ≥ 1 Pn+1 (x) − σn donde αn = σn n+1 n

n+1 Pn (x) = Qn+1 (x) − αn Qn (x), n

kPn k2µ0 kQn k2S

(3.31)

6= 0, n ≥ 1.

A partir de la relaci´ on (3.31), la estrategia de trabajo es la siguiente: 1. Describir todos los pares coherentes de medidas. 2. Establecer el comportamiento asint´ otico de la sucesi´ on {Pn }n>0 . 3. Determinar los l´ımites de las sucesiones {σn } y {αn }. 4. Establecer el comportamiento asint´ otico de la sucesi´ on {Qn }n>0 .

94

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Mostraremos algunos resultados correspondientes al comportamiento asint´ otico de polinomios ortogonales de Sobolev asociados a pares coherentes de medidas con soportes I0 = I1 = [−1, 1]. En este caso, H. G. Meijer [55] di´ o una clasificaci´ on completa de todos los pares coherentes de medidas y prob´ o que, necesariamente, una de las medidas debe ser cl´ asica. La clasificaci´ on de Meijer es la siguiente Caso (1) (2) (3) (4)

µ0 α−1 x) (1 +

x)β−1 dx

(1 − |x − ξ1 |(1 − x)α−1 (1 + x)β−1 dx (1 + x)β−1 dx + M δ1 (1 − x)α−1 dx + M δ−1

µ1 − + x)β dx + M δξ2 (1 − x)α (1 + x)β dx (1 − x)β dx (1 − x)α dx

1 |x−ξ2 | (1

x)α (1

Figure 3.1: Clasificaci´ on de Meijer de los pares coherentes de medidas soportadas en [−1, 1].

donde α, β > 0, |ξ1 | > 1, |ξ2 | ≥ 1, M ≥ 0 y δa es la delta de Dirac soportada en a ∈ R. Obs´ervese que, en todos los casos, µ0 es la suma de una modificaci´ on racional de µ1 y una posible masa puntual sobre R. As´ı pues, la asint´ otica relativa exterior PTnn puede establecerse en t´erminos del cociente de las funciones de Szeg˝ o asociadas a cada uno de los pesos. Por otro lado, despejando σn de (3.31) obtenemos σn =

′ ′ 1 Pn+1 (x) Pn+1 (x) n+1 Pn+1 (x) Pn (x) 1 Pn′ (x) n Pn (x)

−

Tn (x) Pn (x)

,

n ≥ 1,

(3.32)

usando la tabla de Meijer y la u ´ltima observaci´ on se puede deducir la convergencia de la sucesi´ on {σn } y determinar expl´ıcitamente su l´ımite en todos los casos. kPn k2µ0 Por la proposici´ on 3.1.2, αn = σn n+1 n kQ k2 6= 0, n ≤ 1. Por lo que n S

para el c´ alculo del l´ımite de la sucesi´ on {αn } se tiene Lema 3.1. Para n ≥ 2, se verifica kPn k2µ0 + λn2 kTn−1 k2µ1

≤ kQn k2S ,

95

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO y kQn k2S

≤

kPn k2µ0

2 + σn−1



n n−1

2

kPn−1 k2µ0 + λn2 kTn−1 k2µ1 .

Una consecuencia directa de este lema es que limn→∞ por lo tanto,

kPn k2µ0 kQn k2S

= 0 y,

Proposicion 3.1.3. La sucesi´ on {αn } satisface lim αn = 0.

n→∞

3.1.3

(3.33)

Distribuci´ on de ceros

Los resultados de la secci´ on anterior nos permiten establecer el siguiente teorema, correspondiente a la asint´ otica relativa exterior de sucesiones de polinomios ortogonales m´ onicos de Sobolev: Teorema 3.4. (Mart´ınez-Finkelshtein et al. [53]). Dado (µ0 , µ1 ) un par coherente de medidas con supp(µ0 ) = [−1, 1]. Entonces lim

n→∞

Qn (x) 2 = ′ , Tn (x) Φ (x)

(3.34)

uniformemente en subconjuntos compactos de C\[−1, 1], donde Φ(x) = x + Una de las consecuencias de este teorema es la localizaci´ on y distribuci´ on de los ceros de Qn . Corolario 3.2. (Mart´ınez-Finkelshtein et al. [53]). Los ceros de la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Qn }n≥1 son densos en supp(µ0 ) = [−1, 1], es decir, ∞ \ [

{x : Qk (x) = 0} = supp(µ0 ) = [−1, 1].

n≥1 k=n

(3.35)

√ x2 − 1.

96

3.2

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Medidas vectoriales soportadas en intervalos no acotados

Cuando en el producto interno m Z X hp, qiS =

p(k) (x) q (k) (x)dµk (x),

(3.36)

k=0 Ik

los intervalos Ik son no acotados, salvo en el caso de los pesos de Laguerre (pares coherentes de medidas) o los pesos de Hermite (pares sim´etricamente coherentes de medidas), se desconoce el comportamiento asint´ otico de los correspondientes polinomios ortogonales y el establecimiento de una teor´ıa general sobre propiedades asint´ oticas constituye un importante reto. Para m = 1 y en un contexto general, en [23] J. S. Geronimo, D. S. Lubinsky, y F. Marcell´ an analizan diferentes tipos de comportamiento asint´ otico de polinomios ortogonales de Sobolev para pesos exponenciales en t´erminos de las normas L2 y L∞ , as´ı como tambi´en se estudia la asint´ otica fuerte de tales polinomios. En cada caso, la medida µ1 juega un papel clave . Para completar las ideas presentadas en esta secci´ on pueden consultarse [23] y [46]. M´ as precisamente, si se considera el producto interno de Sobolev Z Z p(x) q(x) (ψ(x)W (x))2 dµ0 (x)+λ p′ (x) q ′ (x) W 2 (x)dµ1 (x), hp, qiS = R

R

(3.37) donde λ > 0, W (x) = α > 0, x ∈ R y ψ ∈ es positiva sobre un conjunto de medida positiva, utilizando t´ecnicas novedosas los autores establecen la asint´ otica fuerte de los polinomios ortonormales {qn }n>0 con respecto a (3.37) en t´erminos de los polinomios ortonormales {pn }n>0 con respecto al peso W 2 dentro y fuera de la recta real. M´ as generalmente, encuentran una relaci´ on asint´ otica entre las sucesiones {qn }n>0 y {pn }n>0 cuando W es un peso exponencial sobre un intervalo I ⊆ R. exp(|x|α ),

L∞

Pesos de Freud y pesos exponenciales Definicion 3.6. Dado un peso W : R → R, diremos que W es un peso de Freud si W = exp(−Q), donde Q : R → R es par, existe Q′ y es

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

97

positiva en (0, ∞). Adem´ as, supongamos que xQ′ (x) es estrictamente creciente y satisface a) limx→0+ xQ′ (x) = 0. b) Existen constantes γ, A, B > 1, C > 0 tales que A≤

Q′ (γx) ≤ B, Q′ (x)

x ≥ C.

(3.38)

Denotaremos a la clase de pesos de Freud por F. Obs´ervese que el peso W (x) = exp(−P (x)), x ∈ R donde P un polinomio m´ onico de grado 2n, es un peso de la clase de Freud F. Definicion 3.7. Dada Q una funci´ on par y convexa sobre R, para n ≥ 1 un valor an ser´ a llamado n´ umero de Mhaskar-Rakhmanov-Saff si es la ra´ız positiva de la ecuaci´ on Z 2 1 dt n= an tQ′ (an t) √ . π 0 1 − t2 Ejemplo 3.2.1. Si Q(x) = |x|α , entonces an = Cn1/α ,

n ≥ 1,

donde la constante C puede expresarse en t´erminos de funciones gamma. La importancia del n´ umero de Mhaskar-Rakhmanov-Saff radica en los siguientes hechos: a un´ıvocamente determinado. 1. El valor an est´ 2. Los polinomios ortonormales {pn }n>0 con respecto al peso W 2 , con W = e−Q se comportan sobre el intervalo [−an , an ] como los polinomios ortonormales para un peso de Szeg˝ o en [−1, 1]. La analog´ıa se manifiesta a trav´es de la transformaci´ on lineal Ln (x) = x+an an − 1, x ∈ [−an , an ]. 3. Los ceros del polinomio ortonormal pn pertenecen, o se encuentran muy pr´ oximos al intervalo [−an , an ] y poseen una distribuci´ on asint´ otica dada.

98

F. Marcell´ an, Y. Quintana 4. La identidad fundamental establecida por Mhaskar y Saff: kP W kL∞ (R) = kP W kL∞ [−an ,an ] ,

(3.39)

para todo P ∈ Pn . Adem´ as, Mhaskar y Saff mostraron que an es asint´ oticamente el menor n´ umero para el que se satisface la identidad (3.39). 5. Mhaskar, Saff y Rakhmanov tambi´en establecieron la asint´ otica de la ra´ız n-´esima para la sucesi´ on de polinomios ortonormales {pn }n>0 con respecto al peso W 2 , con W = e−Q : lim

n→∞

pn W 2 , an z gn (z)



1/n

= 1,

z ∈ C \ [−1, 1],

(3.40)

on explic´ıtamente dada. donde gn es una funci´ Definicion 3.8. Dados I = (a, b) ⊆ R un intervalo (acotado o no), y Q : I → [0, ∞) una funci´ on convexa. Diremos que W es un peso exponencial si W = exp(−Q), y se satisface a) limx→c+ Q(x) = ∞. b) limx→d− Q(x) = ∞. Denotaremos mediante Exp la clase de pesos exponenciales. Observe que el peso W (x) = exp(|x|α ), α > 0, x ∈ R es un peso exponencial. Para α = 2, W es el peso de Hermite. Cuando la funci´ on Q es convexa en el intervalo I = (c, d) (no necesariamente sim´etrico), 0 ∈ I, tenemos la siguiente Definicion 3.9. Para n ≥ 1 los valores a±n se denominan n´ umeros de Mhaskar-Rakhmanov-Saff si satisfacen c < a−n < 0 < an < d, y son soluciones de las ecuaciones Z 1 1 tQ′ (t) n = an p dt; π a−n (t − a−n )(an − t) Z 1 1 Q′ (t) 0 = an p dt. π a−n (t − a−n )(an − t)

(3.41) (3.42)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

99

Nuevamente, los n´ umeros a±n est´ an un´ıvocamente determinados y entre las propiedades de a±n se encuentra la denominada identidad de Mhaskar-Saff (ver [23]): kP W kL∞ (I) = kP W kL∞ [a−n ,an ] ,

(3.43)

para todo P ∈ Pn .

3.2.1

Propiedades asint´ oticas

Teorema 3.5. ([23]). Sea Q : R → R una funci´ on par y continua en ′′ R. Supongamos que Q es continua en (0, ∞), y Q′ > 0 en (0, ∞) as´ı como que existen α, β > 0 tales que α≤

xQ′′ (x) ≤ β, Q′ (x)

x ∈ (0, ∞).

(3.44)

Sea W = e−Q , y sea {pn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortonormales 2 ∞ respecto a W . Dados λ > 0 y ψ ∈ L (R) positiva sobre un conjunto on de polinomios ortonormales de medida positiva, sea {qn }n>0 la sucesi´ respecto al producto interno de Sobolev (3.37). Si n → ∞, se tiene (I)

y

  a  ′ n qn − √1 pn−1 W = O = o(1), 2 n λ L (R)

  r  Z x
an 1 + Q′ qn − √1 pn−1 W =O , n λ 0 L2 (R)

(II)

y

  r  ′ 1 an qn − √ pn−1 W =O , n λ L∞ (R)

  r  Z x
an 1 + Q′ qn − √1 pn−1 W =O . n λ 0 L2 (R)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

100

F. Marcell´ an, Y. Quintana

(III) Sea Wn (θ) = W (an cos θ),

θ ∈ [−π, π].

Entonces   q′ − √ 1   √  (a z) n n an 1 λp n−1 −2 =O D Wn ; , n−1 φ (z) φ(z) n

(3.49)

(3.50)

uniformemente sobre subconjuntos cerrados de C \ [−1, 1].   ! q (a z) − √1 R an z p   3/2 n−1 n n 0 1 a n λ =O D −2 Wn ; , φn (z) φ(z) n2 (3.51) uniformemente sobre subconjuntos cerrados de C \ [−1, 1]. Observacion 3.2.1. a) La condici´ on (3.44) permite Q(x) = |x|α ,

si α > 1.

b) Es sorprendente el grado de cercan´ıa de qn′ a √1λ pn−1 . El comportamiento asint´ otico en norma L2 es suficientemente fuerte para implicar la cota uniforme dada en (II) con la ayuda de una desigualdad de Nikolskii. c) Los resultados siguen siendo v´ alidos asumiendo menos suavidad sobre Q, por ejemplo para pesos de Freud en la clase F(Dini)† . Tambi´en existe un resultado similar para pesos no pertenecientes a la clase de Freud F siempre y cuando, para cada ǫ > 0, xQ′ (x) = O(Q(x)ǫ ) Q(x) cuando x se aproxima a los puntos extremos del intervalo de ortogonalidad. Sin embargo, las formulaciones se pueden plantear m´ as t´ecnicas. †

ver [23] y referencias all´ı sugeridas.

101

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

Rx pn γn−1 (W 2 ) d) En (3.46) puede reemplazar 0 pn−1 por (nγn (W 2 )) , donde γn es el coeficiente principal de pn , pero el t´ermino de error es malo. Corolario 3.3.

(a) Cuando n → ∞,  Z 1  1 1  an −n+ 21 2 Q(an s) √ κn = √ exp ds (1 + o(1)). n 2πλ 2 π 0 1 − s2 (3.52)

Z

(b) Cuando n → ∞, 1

−1

−

p | λan q ′ (an x)W (an x) q

(1 −

2 π x2 )1/4

   1 π 2 cos n − arccos x + 2Γ(Wn ; arccos x) − | dx = o(1). 2 4 (3.53)

(c) Cuando n → ∞, √ λan q ′ (an z) 1   = √ (1+ o(1)), (3.54) 1 π φn−1 (z)D −2 Wn ; φ(z) (1 − φ−2 (z))−1/2 uniformemente sobre subconjuntos cerrados de C \ [−1, 1].

(d) Existe η > 0 tal que cuando n → ∞, p

′

2 1/4

λan q (an x)W (an x)(1 − x )

=

r

   2 1 π cos n− θ + 2Γ(Wn ; θ) − π 2 4 −η +O(n ). (3.55)

Para pesos W en los que Q es una funci´ on convexa en el intervalo I (no necesariamente sim´etrico), la determinaci´ on del comportamiento asint´otico de las normas est´ a asociada a los n´ umeros de Mhaskar-RakhmanovSaff (ver [23]). Para n ≥ 1 sea δn = 12 (an +|a−n |), denotemos por Ln : [a−n , an ] → [−1, 1]

la transformaci´ on lineal dada por Ln (z) = −1 + inversa. Entonces,

z−a−n δn ,

[−1]

y por Ln

a su

102

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Teorema 3.6. Sea I = (c, d) intervalo acotado o no, 0 ∈ I. Dada Q : I → [0, ∞) con Q′ creciente y absolutamente continua en I, Q′ (0) = 0 = Q(0) y Q positiva en I \ {0}. Asumamos tambi´en que para j = 0, 1, lim Q(j) (x) = ∞ = lim Q(j) (x) . + − x→c

x→d

Sean W = e−Q y {pn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortonormales para W 2 . Dados λ > 0, ψ ∈ L∞ (R) positiva sobre un conjunto de medida positiva, y {qn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortonormales de Sobolev con respecto al producto interno (3.37). Entonces (I)

 

′ 1

lim qn − √ pn−1 W

2 = 0. n→∞ λ L (I) Si, adicionalmente, asumimos que Q′′ (x) lim < 1, x→c+ ´ o x→d− (Q′ (x))2

(3.56)

(3.57)

entonces

(II) Sea

  Z x

1 ′

lim (1 + |Q |) qn − qn (0) − √ pn−1 W

2 = 0. n→∞ λ 0 L (I) (3.58)

Entonces

  Wn (θ) = W L[−1] (cos θ) , n

θ ∈ [−π, π].

  1/2  [−1] δ ′ − √ 1 q L (z) n n n λp n−1 = 0,   lim n→∞ 1 φn−1 (z)D −2 Wn ; φ(z)

(3.59)

(3.60)

uniformemente sobre subconjuntos cerrados de C \ [−1, 1]. Sea     Wn∗ (θ) = 1 + Q′ L[−1] (cos θ) W (θ)) , θ ∈ [−π, π]. (3.61) n Si asumimos (3.57), entonces  1/2  R L (z) δ qn (Ln (z)) − qn (0) − √1λ 0 n pn−1 n = 0,   lim n→∞ 1 n −2 ∗ φ (z)D Wn ; φ(z)

uniformemente sobre subconjuntos cerrados de C \ [−1, 1].

(3.62)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

103

Observacion 3.2.2. a) Obs´ervese que, puesto que Q′ crece hacia el infinito a medida que nos aproximamos a los puntos extremos del intervalo I, (3.58) da un orden de convergencia para el l´ımite. b) La restricci´ on (3.57) es una condici´ on de regularidad, en vez de una de crecimiento. Si no se asume esta restricci´ on, se puede mostrar una versi´ on de (3.58) en la que |Q′ | se puede reemplazar por una funci´ on que crece m´ as lentamente cuando nos aproximamos a los extremos del intervalo I. c) Los resultados siguen siendo v´ alidos asumiendo menos suavidad sobre Q, por ejemplo para pesos de Freud en la clase F(Dini)‡ . Tambi´en existe un resultado similar para pesos no pertenecientes a la clase de Freud F, siempre y cuando se satisfaga que para cada ǫ > 0, xQ′ (x) = O(Q(x)ǫ ) Q(x) cuando x se aproxima a los puntos extremos del intervalo de ortogonalidad. Sin embargo, estas formulaciones pueden volverse m´ as t´ecnicas. Rx pn γn−1 (W 2 ) d) En (3.46) puede reemplazar 0 pn−1 por (nγn (W 2 )) , donde γn es el coeficiente principal de pn , pero el t´ermino de error no es suficientemente bueno. Finalmente, una de las herramientas esenciales en [23] es una estimaci´on que relaciona el coeficiente principal κn del polinomio ortonormal de Sobolev qn con el coeficiente principal γn−1 (W 2 ) del polinomio ortonormal con respecto al peso W 2 , pn−1 (W 2 ; x). Su formulaci´ on in2 volucra un error de aproximaci´ on en norma L con peso W : En [f ; W ] = inf{k(f − P )W kL2 (I) : grad (P ) ≤ n} y el operador lineal I[R](x) = W −2 (x) ‡

Z

x

R(t)W 2 (t)ψ 2 (t)dt,

c

ver [23] y referencias all´ı sugeridas.

x ∈ (c, d),

(3.63)

(3.64)

104

F. Marcell´ an, Y. Quintana

definido sobre clases de funciones R, adecuadamente restringidas. Teorema 3.7. Sean I un intervalo (acotado o no) y W : I → R una funci´ on medible tal que W 2 tiene todos sus momentos finitos y denotemos mediante {pn }n>0 la correspondiente sucesi´ on de polinomios ortogonales . Dada ψ : I → R una funci´ on medible tal que el producto interno asociado a (ψW )2 tiene todos sus momentos finitos, y asumamos que ψ es positiva en un conjunto de medida positiva. Sean λ > 0, y {qn }n>0 la sucesi´ on de polinomios ortonormales con respecto al producto interno (3.36), con coeficientes principales {κn }. Entonces #  2 " 2 γn−1 (W 2 ) γn−1 (W 2 ) 2 0≤ − + λ ≤ sup En−2 [I[R]; W ], nκn nγn ((ψW )2 ) (3.65) donde el supremo se considera sobre todos los polinomios R ∈ Pn−1 que satisfacen kRW ψkL2 (I) = 1, Z R(W ψ)2 = 0.

(3.66) (3.67)

I

Para estimar el error de aproximaci´ on se necesita una estimaci´ on de tipo Jackson. Esta estimaci´ on reduce el segundo miembro de (3.65) a una cota sobre la derivada con peso I[R]′ , y m´etodos est´ andar permiten probar la acotaci´ on con peso de I[R]′ , al menos para pesos exponenciales. Teorema 3.8. Sean I = (c, d) intervalo acotado o no, 0 ∈ I y Q : I → [0, ∞) con Q′ creciente y absolutamente continua en I, Q′ (0) = 0 = Q(0) y Q positiva en I \ {0}. Dados λ > 0, ψ ∈ L∞ (R) positiva sobre un conjunto de medida positiva. Asumamos tambi´en que existe una sucesi´ on de n´ umeros positivos {ηn } tales que W admite la estimaci´ on de Jackson En [f ; W ] ≤ ηn kf ′ W kL2 (I)

(3.68)

para todo n ≥ 1 y toda funci´ on absolutamente continua f : R → R. Entonces   2 2 γ γn−1 (W 2 ) n−1 (W 2 ) 2 ∞ − λ ≤ kψkL (I) + C1 ηn−2 . nκn nγn (W 2 ) (3.69)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

105

La constante C1 es independiente de n, λ, pero depende de W, ψ. No obstante, son necesarias algunas restricciones sobre el crecimiento de ψ cerca de los puntos extremos del intervalo I. Ejemplo En los teoremas 3.5 y 3.6, se supone que ψ est´ a√ acotada. A continuaci´ on, ′ mostraremos que si ψ crece m´ as r´ apido que Q cerca de los puntos extremos de I, entonces el l´ımite (3.56) puede fallar. Obs´ervese que qn′

  1 nκn 1 − √ pn−1 = − √ pn−1 + S, γn−1 (W 2 ) λ λ

donde S ∈ Pn−2 y, por tanto, Z  I

2   1 nκn 1 2 √ qn′ (x) − √ pn−1 (x) W 2 (x)dx ≥ − . γn−1 (W 2 ) λ λ

(3.70)

Si W es el peso de Hermite 

 1 2 W (x) = exp − x , 2

x ∈ R,

dado ∆ > 1 y ψ(x) = |x|∆ , mostraremos que lim

n→∞, n par

x ∈ R,

nκn = 0, γn−1 (W 2 )

y, entonces, de (3.70) se deduce que lim n→∞, n par

Z  I

qn′ (x)

2 1 1 − √ pn−1 (x) W 2 (x)dx ≥ > 0, λ λ

por lo que (3.56) falla. Por la desigualdad izquierda en (3.65), tenemos
nγn (ψW )2 nκn ≤ . γn−1 (W 2 ) γn−1 (W 2 )

(3.71)

106

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Podemos usar f´ ormulas expl´ıcitas para los coeficientes principales en el lado derecho de esta u ´ltima desigualdad para mostrar que decae a 0. Primero ([63], p´ ags. 105-105), γn (W 2 ) = π −1/4 (2n /n!)1/2 . Luego, (ψW )2 (x) = |x|2∆ exp(−x2 )

es la forma simetrizada del peso de Laguerre t−1/2+∆ exp(−t), bajo la transformaci´ on t = x2 en la integral que define la ortogonalidad. De las representaciones para polinomios de Laguerre ([63], p´ ags. 100-101) para n = 2m se deduce, ( )1/2
1 1 1
γn (ψW )2 = .
m! Γ 12 + ∆ m+∆− 12 m

Sustituyendo estas representaciones en (3.71) y aplicando la f´ ormula de Stirling obtenemos que, para n par, nκn ≤ C(n1−∆ )1/2 . γn−1 (W 2 )

N´ otese que C(n1−∆ )1/2 decae a 0 si ∆ > 1. Aplicaciones Como un ejemplo final, en [23] los autores utilizan el teorema 3.5 para el estudio de desarrollos en series de Fourier respecto a estas familias de polinomios ortonormales. Sea W = e−Q como en el teorema 3.5 y sea f : R → R diferenciable en casi todo punto, con kf k2S finita. Asumamos por simplicidad que ψ ≡ 1. Entonces considerando el desarrollo de Fourier-Sobolev de f : ∞ X

hf, qn iS qn .

n=0

Se muestra que existe una relaci´ on entre los t´erminos de la derivada de la serie anterior ∞ X hf, qn iS qn′ , n=0

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

107

y los t´erminos del desarrollo de Fourier est´ andar de f ′ con respecto a la base ortonormal {pn }n>0 . M´ as precisamente, se muestra que

" Z  # ∞ ∞

X

X

′ ′ 2 hf, qn iS qn − f pn W pn W

R n=m

n=m−1

L2 (R)

≤ Ckf kS

∞ X a2n n2 n=m

!1/2

,

(3.72) donde C es una constante independiente de f y m. Si por ejemplo, esta serie converge, y el segundo miembro Q(x) = |x|α , α> 2, entonces  1 1 − de (3.72) es O n α 2 . Para establecer (3.72), escribimos hf, qn iS qn′

= hf, qn iS



qn′

 1 1 − √ pn−1 + √ hf, qn iS pn−1 λ λ

y 1 √ hf, qn iS pn−1 λ

Z  Z    √ 1 1 2 ′ ′ 2 = √ f qnW pn−1 + λ f qn − √ pn−1 W pn−1 λ λ R R Z  + f ′ pn−1 W 2 pn−1 . R

Usando estas dos u ´ltimas igualdades, podemos ver que el primer miembro de (3.72) est´ a acotado superiormente por

  2 !1/2 ∞ Z X

′ 1 1

|hf, qn iS | f qn W 2

qn − λ pn−1 W 2 + λ R L (R) n=m n=m !1/2 Z    ∞ 2 X √ 1 + λ f ′ qn′ − √ pn−1 W 2 λ R n=m := T1 + T2 + T3 . ∞ X

De acuerdo con (3.45), la desigualdad triangular y la desigualdad de

108

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Bessel, se tiene T1 ≤ C ≤

∞ X

n=m

|hf, qn iS |2

1/2 Chf, f iS

!1/2

∞ X a2n n2 n=m

!1/2

∞ X a2n n2 n=m

!1/2

.

Usando que 2 κn , γn−1 (W 2 ) I  2 γ  a 2 n−1 (W 2 ) n − λ = O , nκn n

Z

 qn2 W 2 ≤ 1 − λ n

(3.73) (3.74)

se puede mostrar que Z 2 Z  Z   a 2 n f qn W 2 ≤ f 2W 2 qn2 W 2 ≤ kf k2S C . n R R R Entonces T2 admite una estimaci´ on similar a T1 . Finalmente, como # Z   2 Z  "Z  2 1 1 f ′ qn′ − √ pn−1 W 2 ≤ (f ′ )2 W 2 qn′ − √ W2 λ λpn−1 R R R  a 2 1 n ≤ kf k2S C , λ n

por (3.45) nuevamente, T3 tambi´en admite una estimaci´ on similar a la hecha para T1 . De las estimaciones para T1 , T2 y T3 se deduce (3.72).

3.2.2

Polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev. Un caso no diagonal

Consideremos el siguiente producto interno de Sobolev Z hp, qi = p(x)q(x)dµ(x) + P(c)t AQ(c),

(3.75)

R

donde dµ es una medida de probabilidad no trivial con soporte sobre la recta real, A ∈ R(k,k) es una matriz semi-definida positiva, p, q son

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

109


t polinomios con coeficientes reales, y Q(c) = q(c), q ′ (c), . . . , q (k−1) (c) fueron introducidos en [2]. Cuando A = diag (M0 , M1 , . . . , Mk−1 ) , el producto interno anterior es denominado de tipo Sobolev diagonal, muchos investigadores han estado interesados en las propiedades anal´ıticas de los polinomios ortogonales con respecto a (3.75). En particular, R. Koekoek [39] estudi´ o la ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden satisfecha por tales polinomios ortogonales cuando dµ = xα e−x dx, α > −1, y c = 0. Estos polinomios tambi´en satisfacen relaciones de recurrencia de orden superior y tambi´en pueden ser representados como funciones hipergeom´etricas. Para k = 2 y M0 , M1 > 0, en [40] los autores centran su atenci´ on en la localizaci´ on de ceros de tales polinomios ortogonales, los cuales son denominados polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev. Finalmente, el an´ alisis de sus propiedades asint´ oticas fue hecho en [5] y en [46]. Cuando k ≥ 2 si dµ = xα e−x dx, c = 0, M0 = M1 = · · · = Mk−2 = 0 y Mk−1 > 0 entonces problemas an´ alogos son estudiados en [56] en el contexto de la distribuci´ on de ceros. Desde un punto de vista algebraico y para medidas m´ as generales, en [49] los autores tratan con representaciones de polinomios ortogonales de tipo Sobolev en t´erminos de polinomios ortogonales con respecto a la medida µ, asumiendo las mismas restricciones para el producto interno (3.75). El primer caso de un producto interno de tipo Sobolev no diagonal como (3.75) fue considerado en [3]. En este trabajo los autores con2 sideran la medida dµ = e−x dx soportada sobre R, c = 0, y k = 2. En particular, analizan la asint´ otica escalada para los correspondientes polinomios ortogonales (f´ ormulas de Mehler-Heine) y, como una consecuencia, obtienen el comportamiento asint´ otico de sus ceros. Tomando en cuenta que los polinomios generalizados de Hermite aparecen como consecuencia del proceso de simetrizaci´ on para los polinomios ortogonales de Laguerre ([12], [63]) parece ser natural analizar las sucesiones de polinomios ortogonales con respecto al producto interno (3.75) cuando dµ = xα e−x dx, A ∈ R(k,k) es una matriz semi-definida positiva no diagonal con k ≥ 2, y c = 0. En [16] tal estudio es hecho para el caso k = 2, generalizando algunos resultados conocidos para el caso diagonal (ver [5], [15], y [40]) tambi´en en este trabajo se da una bonita interpretaci´ on de los resultados de [3]

110

F. Marcell´ an, Y. Quintana

usando un proceso de simetrizaci´ on de los polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev considerados. Definicion 3.10. Sean {µn }n≥0 una sucesi´ on de n´ umeros reales y µ un funcional lineal definido en el espacio P, tales que hµ, xn i = µn , n = 0, 1, 2, . . . µ es denominado funcional de momentos asociado a {µn }n≥0 . En este caso, µn es el n-´esimo momento del funcional µ. Definicion 3.11. Dado un funcional de momentos µ, una sucesi´ on de polinomios {Pn }n≥0 se dice sucesi´ on de polinomios ortogonales con respecto a µ si (i) El grado de Pn es n. (ii) hµ, Pn (x)Pm (x)i = 0, m 6= n. 

(iii) µ, Pn2 (x) 6= 0, n = 0, 1, 2, . . .

Teorema 3.9. (Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de funcionales de momentos). ([12]) Sea µ el funcional de momentos asociado con {µn }n≥0 . Existe una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos {Pn }n≥0 asociada con µ si y s´ olo si la submatrices principales de la matriz de Hankel [µi+j ]i,j∈N son no singulares. Un funcional de momentos para el cual existe la correspondiente sucesi´ on de polinomios ortogonales se denomina regular o cuasi-definido ([12]).

Proposicion 3.2.1. (F´ ormula de Christoffel-Darboux). Sea {Pn }n≥0 una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos. Si denotamos el n´esimo n´ ucleo polinomial por Kn (x, y) = entonces, para todo n ∈ N, Kn (x, y) =

n X Pj (y)Pj (x) D E , µ, Pj2 j=0

1 Pn+1 (x)Pn (y) − Pn (x)Pn+1 (y) . hµ, Pn2 i x−y

(3.76)

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

111

La demostraci´ on de esta proposici´ on puede consultarse en [12], [36] y [63], entre otros. La siguiente notaci´ on para las derivadas parciales del n´ ucleo Kn (x, y) ∂ j+k (Kn (x, y)) = Kn(j,k)(x, y), ∂ j x∂ k y permite presentar algunas propiedades de tales derivadas. Dada {Pn }n≥0 una sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos. Por la f’ormula de Christoffel-Darboux (3.76, tenemos Kn−1 (x, y) =

1 P (x)Pn−1 (y) − Pn−1 (x)Pn (y)  n . 2 x−y µ, Pn−1

El c´ alculo de j-´esima derivada parcial con respecto a y produce      ∂ j Pn−1 (y) ∂ j Pn (y) Pn (x) j − Pn−1 (x) j . ∂y x−y ∂y x−y (3.77) Usando la regla de Leibnitz (0,j) Kn−1 (x, y)

1  =

2 µ, Pn−1 ∂j ∂y j



Pn (y) x−y



=

j (k) X j! Pn (y) , k! (x − y)j−k+1 k=0

y reemplazando esta u ´ltima expresi´ on en (3.77), se obtiene (0,j) Kn−1 (x, y)

= =

1

 2 µ, Pn−1

j j (k) (k) X X j! Pn−1 (y) j! Pn (y) − P (x) Pn (x) n−1 k! (x − y)j−k+1 k! (x − y)j−k+1 k=0

k=0

j!

 × 2 µ, Pn−1 (x − y)j+1

j j X X 1 (k) 1 (k) k Pn (x) Pn−1 (y)(x − y) − Pn−1 (x) P (y)(x − y)k k! k! n k=0

k=0

Consecuentemente, Proposicion 3.2.2. ([49]) Para todo n ∈ N, (0,j) Kn−1 (x, 0) =

j! 2 µ, Pn−1



xj+1

(Pn (x)Qj (x, 0; Pn−1 ) − Pn−1 (x)Qj (x, 0; Pn )) (3.78)

!

.

!

112

F. Marcell´ an, Y. Quintana

donde Qj (x, 0; Pn−1 ) y Qj (x, 0; Pn ) denotan los polinomios de Taylor de grado j de los polinomios Pn−1 y Pn alrededor de x = 0, respectivamente. Como se mencion´ o en el cap´ıtulo 1, los polinomios ortogonales de Laguerre est´ an definidos como los polinomios ortogonales con respecto al producto interno Z ∞ hp, qi = pqxα e−x dx, α > −1, p, q ∈ P. (3.79) 0

Resumiremos algunas de las propiedades de los polinomios ortogonales m´ onicos de Laguerre que utilizaremos en esta secci´ on. on de polinomios Proposicion 3.2.3. ([12],[63]). Sea {Lαn }n≥0 la sucesi´ ortogonales m´ onicos de Laguerre. 1. Para todo n ∈ N, xLαn (x) = Lαn+1 (x) + (2n + 1 + α) Lαn (x) + n (n + α) Lαn−1 (x), (3.80) con Lα0 (x) = 1, Lα1 (x) = x− (α + 1). 2. Para todo n ∈ N, Lαn (x) = Lα+1 (x) + nLα+1 n n−1 (x) .

(3.81)

kLαn k2α = n!Γ(n + α + 1).

(3.82)

3. Para todo n ∈ N,

4. Para todo n ∈ N Lαn (0) = (−1)n 5. Para todo n ∈ N

Γ(n + α + 1) . Γ(α + 1)

(3.83)

(Lαn )′ (x) = nLα+1 n−1 (x).

(3.84)

x (Lαn (x))′ = nLαn (x) + n (n + α) Lαn−1 (x).

(3.85)

6. Para todo n ∈ N,

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

113

En particular, para los polinomios de Laguerre tenemos Proposicion 3.2.4. Para todo n ∈ N Kn−1 (x, 0) =

Lαn−1 (0)Lα+1 n−1 (x) , (n − 1)!Γ(n + α)

(3.86)

(−1)n (−1)n n Lα+2 (x) + Lα+2 (x), (n − 2)!Γ(α + 2) n−1 (n − 2)!Γ(α + 2) n−2 (3.87) (−1)n (n − 1) (−1)n n (1,1) α+3 α+3 Kn−1 (x, 0) = L (x) + L (x). (n − 2)!Γ(α + 2) n−2 (n − 3)!Γ(α + 2) n−3 (3.88) (0,1)

Kn−1 (x, 0) =

Demostraci´ on. La demostraci´ on de (3.86) aparece en [14]. Para (3.87) ver [15]. Finalmente, (3.88) es consecuencia de (3.87) y (3.81).  Usando (3.82) y (3.83) en (3.86), (3.87), y (3.88) se obtiene Proposicion 3.2.5. Para todo n ∈ N, Kn−1 (0, 0) =

(1,0)

Kn−1 (0, 0) = −

Γ(n + α + 1) , (n − 1)!Γ(α + 1)Γ(α + 2)

(3.89)

Γ(n + α + 1) n−1 =− Kn−1 (0, 0), (3.90) (n − 2)!Γ(α + 1)Γ(α + 3) α+2

(1,1)

Kn−1 (0, 0) = =

Γ(n + α + 1) (n(α + 2) − (α + 1)) (3.91) (n − 2)!Γ(α + 2)Γ(α + 4) (n(α + 2) − (α + 1)) (n − 1) Kn−1 (0, 0). (α + 1)(α + 2)(α + 3)

Teorema 3.10. (F´ ormula de tipo Mehler-Heine, [16]). on de Bessel de primera especie definida por Dada Jα la funci´ Jα (x) =

∞ X (−1)j (x/2)2j+α j=0

j!Γ(j + α + 1)

,

114

F. Marcell´ an, Y. Quintana

entonces b αn (x/(n + j)) √ L −α/2 = x J (2 x) α n→∞ nα lim

(3.92)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C y uniformemente en b αn (x) = (−1)n /n!Lαn (x). j ∈ N ∪ {0}. Donde L Comportamiento asint´ otico Si p ∈ P denotaremos por P(x) =



p(x) p′ (x)



.

Dados p, q ∈ P, definimos el siguiente producto interno de tipo Sobolev hp, qiS =

Z

∞ 0

p(x)q(x)xα e−x dx + P(0)t AQ(0), α > −1,

(3.93)

donde A=



M0 λ λ M1



,

M0, M1 ≥ 0, A es una matriz semi-definida positiva, es decir, o M1 = 0, M0 > 0 det A = |A| ≥ 0. Observ´ese que M0 = 0, M1 > 0 ´ implican que λ = 0. Estas situaciones han sido consideradas en [5] , [14], [15]. n o eα Sea L la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos con ren

n≥0

e α en t´erminos specto a (3.93). Consideremos el desarrollo de Fourier de L n de la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos de Laguerre {Lαn }n≥0 e α (x) = Lα (x) + L n n

donde an,k

n−1 X

an,k Lαk (x),

k=0

D E e α (x), Lα (x) L n k α = , 0 ≤ k ≤ n − 1.

2 α

L k α

115

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO De (3.93), se deduce

an,k Como una consecuencia;

 t e α (0) ALα (0) L n k =− .

2

Lα k α

e αn (x) = Lαn (x) − L

n−1 X k=0

 t e α (0) ALα (0) L n k Lαk (x)

2 α

L k α

 t n−1 X Lα (0)Lα (x) k e α (0) A = Lαn (x) − L

k2 , n

Lα k=0

es decir,



t e α (x) = Lα (x) − L e α (0) A L n n n

k α

Kn−1 (x, 0) (0,1) Kn−1 (x, 0)

!

.

(3.94)

De la expresi´ on (3.94) obtenemos

 t e α (0) = Lα (0) − L e α (0) A L n n n

!

Kn−1 (0, 0) (0,1) Kn−1 (0, 0)

 ′  t e α (0) = (Lα )′ (0) − L e α (0) A L n n n

(1,0)

Kn−1 (0, 0) (1,1) Kn−1 (0, 0)

, !

.

De manera que

donde

 α t  α t fn (0) = (Lα (0))t − L fn (0) AKn−1 (0, 0), L n (1,0)

Kn−1 (0, 0) =

Kn−1 (0, 0) Kn−1 (0, 0) (0,1) (1,1) Kn−1 (0, 0) Kn−1 (0, 0)

!

(3.95)

.

Usando (3.95) se obtiene 

t fn α (0) (I + AKn−1 (0, 0)) = (Lα (0))t , L n

(3.96)

116

F. Marcell´ an, Y. Quintana

donde I la matriz identidad de orden 2 × 2. Obs´ervese que I+AKn−1 (0, 0)

= Kn−1 (0, 0) = Kn−1 (0, 0)

"



1 Kn−1 (0,0)

0 1 Kn−1 (0,0)

0 Gn Hn Jn Kn



!

+A

1 n−1 − α+2

n−1 − α+2

(n(α+2)−(α+1))(n−1) (α+1)(α+2)(α+3)

,

donde

Gn = Hn = + Jn = Kn = +

  1 λ nλ + M0 + − , Kn−1 (0, 0) α+2 α+2   λn2 M0 (2α + 3)λ − + n (α + 1)(α + 3) α + 2 (α + 1)(α + 2)(α + 3)   M0 λ + , α + 2 (α + 2)(α + 3)   M1 M1 − n+ λ+ , α+2 α+2   M1 n2 λ (2α + 3)M1 − + n (α + 1)(α + 3) α + 2 (α + 1)(α + 2)(α + 3)   M1 1 λ + + . α + 2 (α + 2)(α + 3) Kn−1 (0, 0)

Por otro lado,

|I + AKn−1 (0, 0)|

!#

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

117

= (Kn−1 (0, 0))2 ( " !# n−1 1 − α+2 1 1 × + traza A (n(α+2)−(α+1))(n−1) n−1 − α+2 (Kn−1 (0, 0))2 Kn−1 (0, 0) (α+1)(α+2)(α+3)   2 (n(α + 2) − (α + 1)) (n − 1) (n − 1) − + |A| (α + 1)(α + 2)(α + 3) (α + 2)2   (n(α + 2) − (α + 1)) (n − 1) 2λ = 1 + Kn−1 (0, 0) M1 − (n − 1) + M0 (α + 1)(α + 2)(α + 3) α+2   n − 1 (n(α + 2) − (α + 1)) n − 1 − (Kn−1 (0, 0))2 + |A| α+2 (α + 1)(α + 3) α+2   (n(α + 2) − (α + 1)) (n − 1) 2λ = 1 + Kn−1 (0, 0) M1 − (n − 1) + M0 (α + 1)(α + 2)(α + 3) α+2   n−1 n 1 + (Kn−1 (0, 0))2 |A| + . α + 2 (α + 1)(α + 2)(α + 3) (α + 2)(α + 3)

Luego, si |A| > 0 tenemos que |I + AKn−1 (0, 0)| ∼

|A| n2α+4 , (α + 1)(α + 2)2 (α + 3)(Γ(α + 1))2 (Γ(α + 2))2 (3.97)

y si |A| = 0, M1 > 0, |I + AKn−1 (0, 0)| ∼

nα+3 M1 . (α + 1)(α + 3)Γ(α + 1)Γ(α + 2)

(3.98)

Usando (3.94) y (3.96) se obtiene e αn (x) = Lαn (x) L

− (Lαn (0))

t

(I + AKn−1 (0, 0))

−1

A

(−1)n = − (n − 2)!Γ(α + 2)Kn−1 (0, 0)  α+1    α+1 − n−1 0 Ln−1 (x) × , Lα+2 1 1 n−2 (x) Lαn (x)

(−1)n−1 (α+1) (n−1)!Γ(α+2) (−1)n (n−2)!Γ(α+2)

(−1)n

0

(−1)n (n−2)!Γ(α+2) !t  Γ(n+α+1)

Γ(α+1) (−1)n−1 nΓ(n+α+1) Γ(α+2)

!

Lα+1 n−1 (x) Lα+2 n−2 (x)

Gn Hn Jn Kn



−1

A

118

F. Marcell´ an, Y. Quintana

as´ı e α (x) = Lα (x) + L n n



−1

n α+1

t 

Gn Hn Jn Kn

−1

A



−(α + 1) 0 n−1 n−1



Mn = obtenemos Mn−1 = donde |Mn | =



1 |Mn |

Gn Hn Jn Kn 



,

Kn −Hn −Jn Gn

1 (Kn−1 (0, 0))2



,

|I + AKn−1 (0, 0)| .

Por tanto, de (3.99), tras algunos c´ alculos se obtiene   α+1   en n2 + Bn n + Cn t Ln−1 (x) A e α (x) = Lα (x) + 1    , L n n |Mn | α+2 ′ 2 ′ ′ e Ln−2 (x) An n + Bn n + Cn (3.100)

con

Bn = e′n = A

Bn′ = Cn = Cn′ =



.

(3.99)

Adem´ as, si denotamos

en = A

Lα+1 n−1 (x) Lα+2 n−2 (x)

2 |A| M1 + , (α + 1)(α + 2)(α + 3) (α + 1)Kn−1 (0, 0) 2λ M1 2α |A| − − , (α + 1)(α + 2)(α + 3) Kn−1 (0, 0) (α + 1)Kn−1 (0, 0) |A| M1 + , (α + 1)(α + 2) (α + 1)Kn−1 (0, 0) α |A| λ M1 − − , (α + 1)(α + 2) Kn−1 (0, 0) (α + 1)Kn−1 (0, 0) −2 |A| λ + (α + 1)M0 + , (α + 2)(α + 3) Kn−1 (0, 0) − |A| λ + . (α + 2) Kn−1 (0, 0)

119

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO Sean (−1)n α Ln (x) n! (−1)n e α Ln (x), n!

b αn (x) = L α b e n (x) = L

entonces, de (3.100) se deduce α

b b α (x) + e (x) = L L n n



en n2 + Bn n + Cn A

1  |Mn | e′ n2 + B ′ n + C ′ A n n n 

e n + Bn + A 1  n α b = Ln (x) +  |Mn | e′ n + B ′ + A n n

Cn n ′ Cn n

t    

t    

Por otro lado, como

b α+1 (x) − n1 L n−1

1 b α+2 n(n−1) Ln−2 (x)

b α+1 (x) −L n−1

1 b α+2 n−1 Ln−2 (x)

  

(3.101)  .

  1 M1 2 |Mn | = + n + Rn + T (Kn−1 (0, 0))2 (Kn−1 (0, 0)) (α + 1)(α + 3)   n2 ′ ′ + |A| +Rn+T , (3.102) (α + 1)(α + 2)2 (α + 3) 1

donde R, T, R′ , y T ′ dependen s´ olo de M0 , M1 , λ, y α, asumiendo que |A| > 0, obtenemos |Mn | ∼

|A| n2 . (α + 1)(α + 2)2 (α + 3)

Por tanto,

α

2)2 (α

b e (x) ∼ L b α (x) + (α + 1)(α + L n n n2 |A|



+ 3)  

en n + Bn + A e′ n + B ′ + A n n

Cn n ′ Cn

n

t    

b α+1 (x) −L n−1

1 b α+2 n−1 Ln−2 (x)



.

120

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Como una consecuencia, para x ∈ C\[0, ∞) α b e (x) L n b Lα (x) n



e n + Bn + A (α + 1)(α + 2)2 (α + 3)  n ∼ 1+  n2 |A| e′n n + Bn′ + A 

(α + 1)(α + 2)2 (α + 3)  = 1+  |A|

en A n

e′ A n n

Cn n ′ Cn n

+

Bn n2

+

Cn n3

+

′ Bn n2

+

′ Cn n3

y teniendo en cuenta que

t



     

t



     

b α+j (x) n(l−j)/2 L n+k lim = (−x)−(j−l)/2 , α+l n→∞ b L (x)



b α+1 (x) L − bn−1 Lα n (x)

   

b α+2 1 Ln−2 (x) bα n−1 L n (x)



b α+1 (x) L − bn−1 Lα (x) n

b α+2 1 Ln−2 (x) bα (x) n−1 L n

  , 

(3.103)

n+h

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ∞), donde j, l ∈ R, h, k ∈ Z, (ver [5]) entonces   eαn (x) L 1 =1+O √ , Lαn (x) n uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ∞). Por otro lado, si |A| = 0, M1 > 0, de (3.101) y (3.102)

α

b e n (x) = L b αn (x) + L



en n + Bn + A

1   C(n, M1 , α, R, T ) e′n n + Bn′ + A

donde C(n, M1 , α, R, T ) =

1 1 + (Kn−1 (0,0))2 (Kn−1 (0,0))

Luego, para x ∈ C\[0, ∞) α b e n (x) L

b α (x) L n

∼ 1+



(α + 1)(α + 3)Kn−1 (0, 0)   M1

en A n e′n A n

+

Bn n2

+

′ Bn n2



Cn n ′ Cn

n

t    

M1 2 (α+1)(α+3) n

+

Cn n3

+

′ Cn n3

t     

b α+1 (x) −L n−1

1 b α+2 n−1 Ln−2 (x)

 + Rn + T .

b α+1 (x) L − bn−1 Lα n (x) b α+2 1 Ln−2 (x) n−1 L bα n (x)





.

 .

121

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO Teniendo en cuenta que Kn−1 (0, 0)Aen =

Kn−1 (0, 0)Ae′n =

M1 , α+1 M1 , α+1

M1 , α+1 M1 , = −λ − α+1 = λ + (α + 1)M0 ,

Kn−1 (0, 0)Bn = −2λ − Kn−1 (0, 0)Bn′ Kn−1 (0, 0)Cn

Kn−1 (0, 0)Cn′ = λ, deducimos

α   b e (x) L 1 n =1+O √ , b αn (x) n L

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ∞). As´ı pues, se obtiene la siguiente asint´ otica relativa exterior: Teorema 3.11. eαn (x) L =1 n→∞ Lα n (x) lim

(3.104)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, ∞). Para encontrar la correspondiente f´ ormula de Mehler-Heine para los e αn (x), supondremos, polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev L en primer lugar, que |A| > 0. Por tanto, de (3.103) se sigue que α b e (x/n) L n

nα

∼

=

bα (x/n) L n nα

2)2 (α

(α + 1)(α + + nα+2 |A|



+ 3)   

en n + Bn + A e′n n + Bn′ + A en + A

bαn (x/n) (α + 1)(α + 2)2 (α + 3)  L +  nα |A| e′ + A n

Cn n ′ Cn

n

Bn n

+

Cn n2

′ Bn n

+

′ Cn n2

t    

t      

b α+1 (x/n) −L n−1

1 b α+2 n−1 Ln−2 (x/n)

b α+1 (x/n) L − n−1 nα+1

b α+2 n Ln−2 (x/n) , n−1 nα+2

   

 

122

F. Marcell´ an, Y. Quintana

as´ı, α b e n (x/n) L lim n→∞ nα

√ = x−α/2 Jα (2 x)

+



(α + 1)(α + 2)2 (α + 3)   |A|

2|A| (α+1)(α+2)(α+3)

√  x−(α+1)/2 Jα+1 (2 x) , × √ −(α+2)/2 Jα+2 (2 x) x 

|A| (α+1)(α+2)

t  

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C. Por tanto, el segundo miembro de la ecuaci´ on anterior es  √ √ √  x−α/2 Jα (2 x) − 2(α + 2)x−1/2 Jα+1 (2 x) + (α + 2)(α + 3)x−1 Jα+2 (2 x) , donde Jα es la funci´ on de Bessel de primera especie, y como √ √ √ α+1 Jα (2 x) + Jα+2 (2 x) = √ Jα+1 (2 x), x entonces

= =

= =

h √ √ √ i x−α/2 Jα (2 x) − 2(α + 2)x−1/2 Jα+1 (2 x) + (α + 2)(α + 3)x−1 Jα+2 (2 x)     √ √ (α + 3) (α + 2) (α + 3) −α/2 x − √ Jα+1 (2 x) + − 1 Jα+2 (2 x) x x    √ √ (α + 3) α + 2 −α/2 √ Jα+2 (2 x) − Jα+3 (2 x) x − √ x x    √ (α + 2) (α + 3) − 1 Jα+2 (2 x) + x   √ √ −α/2 (α + 3) √ x Jα+3 (2 x) − Jα+2 (2 x) x √ x−α/2 Jα+4 (2 x).

En conclusi´ on, obtenemos la siguiente f´ ormula de Mehler-Heine

123

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO Teorema 3.12. Sea

 α b en L

la sucesi´ on de polinomios ortogonales n≥0

con respecto a (3.93) y |A| > 0. Entonces α b e (x/n) √ L lim n α = x−α/2 Jα+4 (2 x), n→∞ n

(3.105)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C. Este resultado coincide con el obtenido en [46] para el caso diagonal, M0 , M1 > 0. Ahora, encontraremos la f´ ormula de Mehler-Heine cuando |A| = 0, M1 > 0. De (3.100), α b e n (x/n) L nα

=

b αn (x/n) L nα +

=



1   C(n, M1 , α, R, T ) e′n n + Bn′ + A

b α (x/n) L n nα +

en n + Bn + A



1   C(n, M1 , α, R, T )) 

√ → x−α/2 Jα (2 x) + 

Cn n ′ Cn n

t  b α+1 (x/n) L n−1 −n nα+1      b α+2

n Ln−2 (x/n) n−1 nα+2

en n2 − Bn n − Cn −A

n n−1

      e′n n2 + Bn′ n + Cn′ A

−(α + 3) α+3

t 

−

t 

As´ı pues,

  

b α+1 (x/n) L n−1 nα+1

b α+2 (x/n) L n−2 nα+2

√  −x−(α+1)/2 Jα+1 (2 x)    √ −(α+2)/2 x Jα+2 (2 x)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C, donde   M1 C(n, M1 , α, R, T ) = (K 1(0,0))2 + (Kn−11(0,0)) (α+1)(α+3) n2 + Rn + T . n−1



  

124

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Teorema 3.13. Sea

 α b en L

la sucesi´ on de polinomios ortogonales

n≥0

con respecto a (3.93) y asumamos |A| = 0, M1 > 0. Entonces α   b e n (x/n) √ √
α+3 √
L α+3 −α/2 √ = x (2 x) − 2 x + 2 x , lim J J J α α+1 α+2 n→∞ nα x x

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C.

Si M0 = 0 y λ = 0 el resultado anterior coincide con el obtenido en [5] y [15]. Para encontrar una f´ ormula asint´ otica fuerte escalada expresaremos e αn (x) como una comel polinomio ortogonal de tipo Laguerre-Sobolev L α+2 binaci´ on lineal de los polinomios m´ onicos de Laguerre Lα+2 n (x), Ln−1 (x) α+2 y Ln−2 (x). Sustituyendo (3.86) y (3.87) en (3.94)

  Kn−1 (x, 0)  t e αn (x) = Lαn (x) − L e αn (0) A   L (0,1) Kn−1 (x, 0) = Lαn (x)

  t e α (0) A  − L 

(−1)n−1 α+1 (n−1)!Γ(α+1) Ln−1 (x)

n

(−1)n

α+2 (n−2)!Γ(α+2) Ln−1 (x)

= Lαn (x) −

(−1)n (n − 2)!Γ(α + 1)

De (3.81) se tiene



 t e α (0) A  L n

+

(−1)n n

α+2 (n−2)!Γ(α+2) Ln−2 (x)

  

1 − n−1 Lα+1 n−1 (x) α+2 1 (α+1) Ln−1 (x)

+

α+2 n α+1 Ln−2 (x)



.

125

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

e αn (x) = Lαn (x) L


  α+2 1 Lα+2 − n−1  t n−1 (x) + (n − 1)Ln−2 (x) e α (0) A   − L n (n − 2)!Γ(α + 1) α+2 α+2 1 n (α+1) Ln−1 (x) + α+1 Ln−2 (x) (−1)n

= Lαn (x) −

− donde

(−1)n (n − 2)!Γ(α + 1)

(−1)n (n − 2)!Γ(α + 1)



   1 − n−1 t e α (0) A    Lα+2 L n n−1 (x) 1 (α+1)

   −1 t  e α (0) A   Lα+2  L n n−2 (x) , n α+1

 t e α (0) = (Lα (0))t (I + AKn−1 (0, 0))−1 . L n n

Pero, por (3.81) tenemos

α+2 α+2 Lαn (x) = Lα+2 n (x) + 2nLn−1 (x) + n(n − 1)Ln−2 (x).

Consecuentemente,

Teorema 3.14. Para todo n ∈ N donde

α+2 α+2 e αn (x) = Lα+2 L n (x) + An,α Ln−1 (x) + Bn,α Ln−2 (x)

An,α = Bn,α = ∼ lo que

(3.106)

! 1  t − (−1)n α n−1 e (0) A ∼ 2n − (α + 1)(α + 2) 2n − L 1 n (n − 2)!Γ(α + 1) (α+1)  t  −1  (−1)n α e Ln (0) A n(n − 1) − n (n − 2)!Γ(α + 1) α+1 n(n − 1) − (α + 1)(α + 2)(n − 1). n o e αn significa que la sucesi´ on L es cuasi-ortogonal con ren≥0

specto al peso de Laguerre dµα+2 = xα+2 e−x dx.§ §

Ver [9] para mayor informaci´ on sobre familias cuasi-ortogonales, en particular el an´ alisis de la distribuci´ on de sus ceros.

126

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Efectuando el cambio de variable nx en (3.106), se tiene α b e (nx) = L bα+2 (nx) − An,α L b α+2 (nx) + Bn,α L bα+2 (nx). L n n n n−1 n(n − 1) n−2

De la definic´ on de An,α y Bn,α , An,α n Bn,α n(n − 1)

  (α + 1)(α + 2) 1 = 2− +O n n2   (α + 1)(α + 2) 1 = 1− +O . n n2

Por tanto, α b e n (nx) = L bα+2 b α+2 b α+2 L n (nx) − 2Ln−1 (nx) + Ln−2 (nx) (α + 1)(α + 2) b α+2 (α + 1)(α + 2) b α+2 + Ln−1 (nx) − Ln−2 (nx) + n   n  b α+2 (nx)O 1 + L b α+2 (nx)O 1 . −L n−1 n−2 2 n n2

b α+2 b α+2 b α+2 b αn (x) = L De (3.81) obtenemos L n (x) − 2Ln−1 (x) + Ln−2 (x), luego

α b b α+2 (nx) (α + 1)(α + 2) L b α+2 (nx) e (nx) L (α + 1)(α + 2) L n−1 n−2 n =1+ − + α α b b b n n L (nx) L (nx) Lα (nx) n

n

−

b α+2 (nx) L n−1 O b α (nx) L n



1 n2



n

+

b α+2 (nx) L n−2 O b α (nx) L n



1 n2



.

(3.107)

Queremos encontrar el l´ımite cuando n tiende a ∞ en el primer miembro de (3.107). Usando que (cfr. [5] y [63]). b α (nx) L 1 n−1 =− n→∞ L b αn (nx) ϕ ((x − 2)/2) lim

(3.108)

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, 4], donde ϕ es la aplicaci´ on C\[−1, 1] en el exterior del disco unidad dada por p ϕ(x) = x + x2 − 1.

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

127

R. Alvarez-Nodarse y J. J. Moreno-Balc´ azar demostraron en [5] que b αn (nx) L (ϕ ((x − 2) /2) + 1)2 . = − n→∞ L b α+2 (nx) ϕ (x − 2) /2 lim

(3.109)

n−1

Luego, usando (3.108) y (3.109) se concluye que b α+2 (nx) L n−2 n→∞ L b α (nx) lim

n

b α+2 (nx) bα+2 (nx) L L n−2 n−1 n→∞ L b α+2 (nx) L b α (nx) n n−1    1 ϕ ((x − 2) /2) = − − ϕ ((x − 2)/2) (ϕ ((x − 2) /2) + 1)2 1 = (ϕ ((x − 2) /2) + 1)2 =

lim

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, 4]. Como una consecuencia, de (3.107) se obtiene la asint´ otica relativa escalada para polinomios ortogonales de tipo Laguerre-Sobolev. Proposicion 3.2.6. Para n ∈ N, α b e (nx) eα (nx) L L lim n = lim nα =1 n→∞ L b α (nx) n→∞ Ln (nx)

(3.110)

n

uniformemente sobre subconjuntos compactos de C\[0, 4]. Por otro lado, usando (3.93) obtenemos

2

eα 2

Ln = kLαn kα + Lαn (0)t (I + AKn−1 (0, 0))−1 ALαn (0). S

Si B es una matriz no singular, es inmediato comprobar que 0 ut t −1 v B = − |B| u B v

donde

B=



a b c d



, u=



u1 u2



, v=



v1 v2



.

128

F. Marcell´ an, Y. Quintana

As´ı

2

eα

Ln

S

= = =

α (0)t 1 0 L n − α |I + AKn−1 (0, 0)| ALn (0) I + AKn−1 (0, 0)  kLαn k2α 0 Lαn (0)t / kLαn k2α |I + AKn−1 (0, 0)| + −ALαn(0) I + AKn−1 (0, 0) |I + AKn−1 (0, 0)| kLαn k2α 1 Lαn (0)t / kLαn k2α . |I + AKn−1 (0, 0)| −ALαn (0) I + AKn−1 (0, 0)

kLαn k2α

Finalmente, usando

I + AKn (0, 0) = I + AKn−1 (0, 0) + se tiene

2

eα

Ln

S kLαn k2α

=

A α α t 2 Ln (0)Ln (0) , α kLn kα

|I + AKn (0, 0)| . |I + AKn−1 (0, 0)|

(3.111)

Por tanto, de (3.111), (3.97), y (3.98) se deduce la siguiente n o eα Proposicion 3.2.7. Sea L la sucesi´ on de polinomios ortogonales n n≥0

con respecto a (3.93). Entonces lim

n→∞



eα

Ln

S

kLαn kα

= 1.

Ecuaci´ on holon´ omica y f´ ormula de recurrencia a cinco t´ erminos Para finalizar esta secci´ on, mostraremos la existencia de una f´ ormula de recurrencia a cinco t´erminos para lansucesi´ o n de polinomios ortogonales o eα m´ onicos de tipo Laguerre-Sobolev L as´ı como la existencia de n n≥0

dos operadores diferenciales de primer orden (denominados operadores de creaci´ on y aniquilaci´ on) a partir de los cuales se puede determinar una ecuaci´ on holon´ omica que satisfacen dichos polinomios ortogonales. El lector interesado puede consultar [17]. Proposicion 3.2.8. El operador de multiplicaci´ on por x2 es un operador sim´etrico con respecto al producto interno de Sobolev (3.93), es decir, si p, q ∈ P entonces

2 

 x p, q S = p, x2 q S . (3.112)



ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

129

n o e α en t´erminos de L eα Consideremos el desarrollo de Fourier de x2 L n n e αn (x) x2 L

eαn+2 (x) + =L

n+1 X k=0

eα (x) an,k L k

n≥0

;

(3.113)

donde

an,k

D

E eαn (x), L eα (x) x2 L k S = , k = 0, . . . , n + 1,

e α 2

Lk (x) S

y

D E

e α 2 e α (x), L eα (x) .

Lk (x) = L k k S

S

De (3.112) se deduce que

an,k

D E eαn (x), x2 L e α (x) L k S = .

2

eα

Lk (x) S

Por lo que an,k = 0 para k = 0, . . . , n − 3, y (3.113) se transforma en e α (x) = L eα (x)+an,n L e α (x)+an,n−1 L e α (x)+an,n−2 L e α (x). eα (x)+an,n+1 L x2 L n n+2 n+1 n n−1 n−2

El pr´ oximo paso es encontrar los coeficientes an,k , k = n − 2, . . . , n + 1.    ′ e α (0) = x2 L e α (0) = 0, entonces Teniendo en cuenta que x2 L k k E D E D eα (x), x2 L e α (x) = L eα (x), L eα (x) L n n k k S

y usando la f´ ormula de conexi´ on (3.106) se tiene

α+2

,

130

F. Marcell´ an, Y. Quintana

2

2

+ An,α Bn+1,α Lα+2 An+1,α Lα+2 n n−1 α+2 α+2 ∼ 4n

2

eα

Ln+1 (x) S

α+2 2



2 Lα+2 2 2 Lα+2 2

Ln + A + B n,α n,α n−1 n−2 α+2 α+2 α+2 ∼ 6n2

e α 2

Ln (x) S

α+2 2

2

An,α Ln−1 α+2 + Bn,α An−1,α Lα+2 n−2 α+2 ∼ 4n3

2

eα

Ln−1 (x) S

α+2 2

Bn,α Ln−2 α+2

2 ∼ n4

eα

Ln−2 (x)

an,n+1 =

an,n =

an,n−1 =

an,n−2 =

S

Como una consecuencia, deducimos

Teorema 3.15. (F´ ormula de recurrencia a cinco t´erminos, [17]) Para todo n ∈ N eαn (x) = L e αn+2 (x) + an,n+1 L e αn+1 (x) + an,n L e αn (x) x2 L e αn−1 (x) + an,n−2 L e αn−2 (x). +an,n−1 L

(3.114)

donde an,k , k = n − 2, . . . , n + 1, son los coeficientes de Fourier-Sobolev, e α (x) = L e α (x) = 0. previamente definidos y L −1 −2 Ejemplo

Consideremos el producto interno (3.93) con M0 = M , M1 = 4N, y λ = 0. Es decir, si p, q ∈ P introducimos el producto interno hp, qiS = n o eαn Sea L

Z

∞

p(x)q(x)xα e−x dx + M p(0)q(0) + 4N p′ (0)q ′ (0). (3.115)

0

n≥0

la sucesi´ on de polinomios ortogonales m´ onicos de Laguerre-

Sobolev con respecto a (3.115) y {Pn }n≥0 la sucesi´ on de polinomios or-

131

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO togonales con respecto al siguiente producto interno hp, qiH =

Z

∞

−∞

2

p(x)q(x) |x|2α e−x dx + M p(0)q(0) + N p′′ (0)q ′′ (0),

(3.116) M, N ∈ R+ . Entonces, de acuerdo con la siguiente proposici´ o n, podemos n o e αn y {Pn }n≥0 . encontrar una relaci´ on entre las sucesiones L n≥0

Proposicion 3.2.9. Para todo n ∈ N

eα−1/2 (x2 ) P2n (x) = L n

P2n+1 (x) = xLα+1/2 (x2 ). n α+1/2

Demostraci´ on. Para mostrar que P2n+1 (x) = xLn (x2 ), probaremos D que E α+1/2 2 (x ), x2k+1 = 0, cuando n < k. Por lo que xLn H

D

xLα+1/2 (x2 ), x2k+1 n

E

H

=

Z

∞

Z−∞ ∞

2

Lα+1/2 (x2 )x2k+2 |x|2α e−x dx n

Lα+1/2 (t)tk tα+1/2 e−t dt n

2

= δn,k Lα+1/2 , k ≤ n,

n =

0

α+1/2

donde δn,k es la delta de Kronecker. Adem´ as, D E 2 2k xLα+1/2 (x ), x n

= 0.

H

es decir,

P2n+1 (x) = xLα+1/2 (x2 ). n α−1/2

en Por otro lado, P2n (x) = L

(x2 ). De hecho, si 1 ≤ k ≤ n,

D E e α−1/2 (x2 ), x2k L n

H

132

F. Marcell´ an, Y. Quintana

= =

Z

∞

Z−∞ ∞ Z0 ∞

h i 2α −x2 2 2k−2 e α−1/2 x2k L (x ) |x| e dx + (2k)(2k − 1)x n

h i e α−1/2 tk L (t)tα−1/2 e−t dt + 4N k(2k − 1)x2k−2 n 

e α−1/2 (t)tα−1/2 e−t dt + 4N (tk )′ (0) L eα tk L n n D E eα−1/2 (t), tk = L n S

eα−1/2 2 2 = δnk L (x )

. n =

0

′

(0)

x=0

x=0

 ′ e α−1/2 2 L (0)N n

 ′ e αn (0) L

S

Dado que

D

E e α−1/2 (x2 ), 1 L n

H

Z

=

∞

Z−∞ ∞

e α−1/2 (x2 ) |x|2α e−x2 dx + M L eα−1/2 (0) L n n

e α−1/2 e α−1/2 L (t)tα−1/2 e−t dt + M L (0) n n 0 D E e α−1/2 = L (x), 1 , n =

S

entonces

e α−1/2 (x2 ). P2n (x) = L n



Algunos resultados obtenidos en [3] se pueden deducir de esta simple relaci´ on entre sucesiones de polinomios ortogonales. Ve´ ase tambi´en [49]. Ecuaci´ on holon´ omica En esta secci´ on deduciremos una ecuaci´ on diferencial de segundo orden satisfecha por la sucesi´ o n de polinomios ortogonales m´ onicos de tipo n o α e Laguerre-Sobolev L . Para tal fin, encontraremos dos operadores n n≥0

diferenciales de primer orden Jn y Kn , tales que

  eαn e αn−1 Jn L = H(x; n)L   eα eα. Kn L = K(x; n)L n−1 n

133

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

para algunos polinomios H(x; n) y K(x; n). Estos operadores se denominan en la literatura operadores de aniquilaci´ on y de creaci´ on, respectivamente ([36]). Sustituyendo (3.80) en (3.106): e αn (x) = f (x; n)Lα+2 (x) + Mn Lα+2 (x) L n−1 n−2

(3.117)

e αn−1 (x) = Kn Lα+2 (x) + g(x; n)Lα+2 (x), L n−1 n−2

(3.118)

as´ı como para los polinomios de grado n − 1

donde

f (x; n) = An,α + (x − (2n + 1 + α))

Mn = Bn,α − (n − 1) (n + α + 1) Bn−1,α Kn = 1 − (n − 2)(n + α) Bn−1,α (x − (2n + α − 1)) g(x; n) = An−1,α + . (n − 2)(n + α)

Derivando en ambos miembros de (3.117) 

e αn L

′



α+2 ′ α+2 ′ (x) = Lα+2 n−1 (x) + f (x; n) Ln−1 (x) + Mn Ln−2 (x).

Multiplicando por x los dos miembros de la igualdad anterior, y usando (3.85), obtenemos  ′   e α (x) = xLα+2 (x) + f (x; n) (n − 1)Lα+2 (x) + (n − 1)(n + α + 1)Lα+2 (x) x L n n−1 n−1 n−2   α+2 +Mn (n − 2)Lα+2 n−2 (x) + (n − 2)(n + α)Ln−3 (x) . De (3.80) se tiene que Lα+2 n−3 (x) = − As´ı,

1 (x − (2n + α − 1)) α+2 Lα+2 Ln−2 (x). n−1 (x) + (n − 2)(n + α) (n − 2)(n + α)

134

F. Marcell´ an, Y. Quintana

 ′ e αn (x) = [x + (n − 1)f (x; n) − Mn ] Lα+2 (x) + (n − 1)(n + α + 1)f (x; n)Lα+2 (x) x L n−1 n−2 +Mn (x − (n + α + 1)) Lα+2 n−2 (x),

es decir,  ′   e α (x) = nx + An,α n − n − Bn,α − An,α − n2 Lα+2 (x) x L n n−1 
 α+2 2 + Bn,αx + An,α −1 − α + nα + n Ln−2 (x)   − Bn,α (1 + n + α) − n(α − n2 − nα + 1) Lα+2 n−2 (x). Entonces, definiendo

φ(x; n) = nx + An,α n − n − Bn,α − An,α − n2
σ(x; n) = Bn,α x + An,α −1 − α + nα + n2 − Bn,α (1 + n + α) + n(α − n2 − nα + 1) se obtiene

 ′ e α (x) = φ(x; n)Lα+2 (x) + σ(x; n)Lα+2 (x). x L n n−1 n−2

(3.119)

De manera similar,  ′ α+2 α+2 eα x L n−1 (x) = τ (x; n)Ln−1 (x) + υ(x; n)Ln−2 (x),

donde

τ (x; n) =

+

−xBn−1,α (n − 2)(n + α)

2n + 2Bn−1,α + 2α + nBn−1,α − 3nα + Bn−1,α α − 3n2 + n3 + n2 α −An−1,α (n − 2)(n + α)

υ(x; n) = Kn (n−1)(n+α+1)+

Bn−1,α x +g(x; n)(x−(n+α+1)). (n − 2)(n + α)

De (3.117) y (3.118) se deduce que

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

Lα+2 n−1 (x) = Lα+2 n−2 (x) =

e α (x) − Mn L e α (x) g(x; n)L n n−1 g(x; n)f (x; n) − Kn Mn

e α (x) − Kn L e α (x) f (x; n)L n n−1 . g(x; n)f (x; n) − Kn Mn

135

(3.120) (3.121)

En consecuencia, reemplazando (3.120) y (3.121) en (3.119), se tiene  ′ eαn (x) + [g(x; n)φ(x; n) − Kn φ(x; n)] L e αn (x) x [g(x; n)f (x; n) − Kn Mn ] L e αn−1 (x). = [f (x; n)σ(x; n) − Mn φ(x; n)] L

De manera similar, se puede mostrar que  ′ eα eα x [g(x; n)f (x; n) − Kn Mn ] L n−1 (x) + [Mn τ (x; n) − υ(x; n)f (x; n)] Ln−1 (x) e α (x). = [τ (x; n)g(x; n)σ(x; n) − Kn υ(x; n)] L n

Por lo tanto,

Proposicion 3.2.10. Sea

n o eα L n

n≥0

una sucesi´ on de polinomios ortog-

onales m´ onicos con respecto a (3.93). Entonces, los operadores diferenciales Jn y Kn definidos por Jn = F (x; n)D + G(x; n)I

Kn = F (x; n)D + J(x; n)I

donde D es el operador derivada, I el operador identidad y F (x; n) = x [g(x; n)f (x; n) − Kn Mn ] ,

G(x; n) = φ(x; n) (g(x; n) − Kn ) ,

H(x; n) = f (x; n)σ(x; n) − Mn φ(x; n), J(x; n) = Mn τ (x; n) − υ(x; n)f (x; n),

K(x; n) = τ (x; n)g(x; n)σ(x; n) − Kn υ(x; n), satisface   e αn e αn−1 , Jn L = H(x; n)L   eα eα . Kn L = K(x; n)L n−1 n

136

F. Marcell´ an, Y. Quintana

En otras palabras, Jn es un operador denaniquilaci´ on y Kn es un o α e operador de creaci´ on asociados a la sucesi´ on Ln . De la proposici´ on 3.2.10 se deduce

n≥0

  1 e αn = L e αn−1 . Jn L H(x; n) As´ı, aplicando el operador diferencial Kn a los dos miembros de la anterior igualdad    1 eα eα , Jn L Kn = K(x; n)L n n H(x; n) es decir, F (x; n)D



  J(x; n)   1 e αn e αn = K(x; n)L e αn . Jn L + Jn L H(x; n) H(x; n)

Teniendo en cuenta que D



      ′ 1 1 e αn e αn + G(x; n)L e αn Jn L = D F (x; n) L H(x; n) H(x; n)    ′ H ′ (x; n) α α e e F (x; n) Ln + G(x; n)Ln = − 2 H (x; n)   ′  ′′  1 ′ α e eα + F (x; n) Ln + F (x; n) L n H(x; n)    ′ 1 e αn + G(x; n) L e αn + G′ (x; n)L , H(x; n)

se deduce

 ′ F 2 (x; n)  e α ′′ F (x; n) 1 eα + e α = 0, Ln + Υ(x; n) L Σ(x; n)L n n H(x; n) H(x; n) H(x; n)

donde

F (x; n)H ′ (x; n) + F ′ (x; n) H(x; n) Σ(x; n) = F (x; n)G′ (x; n) + J(x; n)G(x; n) − K(x; n)H(x; n) F (x; n)G(x; n)H ′ (x; n) − . H(x; n)

Υ(x; n) = G(x; n) + J(x; n) −

137

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

Luego, si se usa la notaci´ on de la proposici´ on 3.2.10, se obtiene n o ea Teorema 3.16. Sea L la sucesi´ on de polinomios ortogonales n n≥0

m´ onicos de Laguerre-Sobolev con respecto a (3.93). Entonces

donde

 ′′  ′ e αn (x) + B(x; n) L e αn (x) + C(x; n)L e αn (x) = 0, A(x; n) L

A(x; n) = F 2 (x; n)   F (x; n)H ′ (x; n) ′ B(x; n) = F (x; n) F (x; n) + G(x; n) + J(x; n) − H(x; n) F (x; n)G(x; n)H ′ (x; n) C(x; n) = F (x; n)G′ (x; n) + J(x; n)G(x; n) − H(x; n) −K(x; n)H(x; n).

3.3

Series de Fourier relativas a polinomios ortogonales en espacios de Sobolev

En la teor´ıa de series de Fourier, el an´ alisis de los fen´ omenos de Gibbs se puede mejorar utilizando polinomios ortogonales asociados a un producto interno de la forma (3.1), tal y como se muestra en los experimentos num´ericos presentados en [35]. Si denotamos mediante R la matriz de Gram del producto escalar (3.1) respecto a la base can´ onica {xnn }n>0 y mediante R(k) la matriz de Gram del producto interno est´ andar relativo a la medida µk , k = 0, 1, . . . , m, entonces Proposicion 3.3.1. R=

m X

Z k Dk R(k) Dk (Z t )k ,

(3.122)

k=0

  (k) ∞ (k) con dj = k! donde Dk = diag dj j=0

k+j
j ,

Las matrices R(k) son matrices de Hankel.

k = 0, 1, . . .

138

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Si consideramos la sucesi´ on de polinomios ortogonales respecto a (3.1), las entradas de la matriz de Hessenberg asociada no se pueden determinar de manera expl´ıcita como hemos realizado en el cap´ıtulo 2 para el caso de los polinomios ortonormales en la circunferencia unidad. No obstante, en algunos casos particulares s´ı se puede abordar este problema. Por ejemplo cuando en (3.1) consideramos m = 1 y dµ1 = λdµ˜1 , con (µ0 , µ˜1 ) un par coherente on de polinomios  λ de medidas y λ ≥ 0, la sucesi´ ortogonales m´ onicos Qn n>0 asociada a este producto interno satisface n

X n+1 Pn+1 (x) + σn Pn (x) = Qλn+1 (x) + an,j Qλj (x), n j=0

donde an,j =

λ hPn+1 + σn n+1 n Pn , Qj iS

hQλj , Qλj iS

para 0 ≤ j ≤ n − 1 y an,n =

σn n+1 n

= 0,

R

2 I0 Pn (x)dµ0 (x) . hQλn , Qλn iS

Por tanto, hemos on algebraica sencilla entre los  establecido una relaci´ polinomios Qλn n>0 y {Pn }n>0 de manera que, para n ≥ 2, Pn (x) + cn Pn−1 (x) = Qλn (x) + en (λ)Qλn−1 (x).

(3.123)

n donde cn = σn−1 n−1 , en (λ) = an−1,n−1 , n ≥ 2. En t´erminos matriciales, si a(x) = [P0 (x), P1 (x), . . .]t y b(x) = [Qλ0 (x), Qλ1 (x), . . .]t , la relaci´ on se puede expresar como Aa(x) = Bq(x), (3.124)

donde A y B son matrices bidiagonales inferiores con entradas diagonales 1. Por tanto, si J∞ es la matriz tridiagonal asociada a la sucesi´ on de polinomios ortogonales est´ andar {Pn }n>0 , esto es, xa(x) = J∞ a(x), y M es la matriz de Hessenberg on de polinomios or asociada a la sucesi´ togonales de Sobolev Qλn n>0 , esto es, xq(x) = M q(x) de (3.124) se sigue que AJ∞ a(x) = BM q(x),

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

139

es decir, AJ∞ A−1 B −1 q(x) = BM q(x). Por tanto, deducimos el siguiente resultado Proposicion 3.3.2. (Marcell´ an [44]) Dado un par coherente de medidas (µ0 , µ˜1 ) y el producto interior de Sobolev Z Z p(x)q(x)dµ0 (x) + λ p′ (x)q ′ (x)dµ˜1 (x), hp, qiS = I0

I2

entonces la matriz de Hessenberg M asociada a la familia de polinomios ortogonales m´ onicos de Sobolev es M = (B −1 A)J∞ (B −1 A)−1 , donde A, B son las matrices bidiagonales dadas en (3.124). A modo de ejemplo, en el caso Laguerre se tienen tres situaciones  dµ0 (x) = (x + a)xα−1 e−x dx, a) d˜ µ1 (x) = xα e−x dx, a > 0, α > 0. b)

c)



(

dµ0 (x) = e−x dx + M δ0 , d˜ µ1 (x) = e−x dx, M > 0. dµ0 (x) = xα e−x dx, α−1 −x d˜ µ1 (x) = x x+ae dx + M δ−a ,

a ≥ 0, α > −1, M ≥ 0.

En el caso de Jacobi (ver Figura 3.1), se tienen las siguientes situaciones  dµ0 (x) = (x + a)(1 − x)α−1 (1 + x)β−1 dx, a) d˜ µ1 (x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, α, β > 0, a > −1. b)

c)



(

dµ0 (x) = (1 − x)α−1 dx + M δ−1 , d˜ µ1 (x) = (1 − x)α dx, α > 0, M ≥ 0. dµ0 (x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, d˜ µ1 (x) =

(1−x)α+1 (1+x)β+1 dx x+a

+ M δ−a ,

a > 1, α, β > −1, M ≥ 0.

140

F. Marcell´ an, Y. Quintana

De la relaci´ on (3.123) se sigue una interesante aplicaci´ on al tratamiento de la series de Fourier respecto a familias de polinomios ortogonales de Sobolev. Sea   Z Z W2,1 = f : R → R : f 2 dµ0 < +∞, (f ′ )2 d˜ µ1 < +∞ . ˆ q Denotaremos mediante ˆ a, b, ˆ los vectores columnas cuyas (n + 1)´esimas componentes son, respectivamente, ˆ a(n) = ˆ b(n) =

Z Z

f (x)Pn (x)dµ0 (x), f ′ (x)Sn (x)d˜ µ1 (x),

q ˆ(n) = hf, Qλn iS . De (3.124) se sigue que ˆ Bˆ q = Aˆ a + λD b, donde D = diag(1, 2, . . . , n, . . .). Por tanto, Proposicion 3.3.3. ˆ q ˆ = B −1 Aˆ a + λB −1 D b. De esta forma se pueden determinar los coeficientes del desarrollo de Fourier de la funci´ on f respecto a los polinomios ortonormales de Sobolev en t´erminos de los coeficientes de Fourier de f respecto a {Pn }n>0 y los coeficientes de Fourier de f ′ respecto a {Sn }n>0 .

3.4

Ejercicios

1. Demostrar el enunciado de la Proposici´ on 3.1.2.

ORTOGONALIDAD Y ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO

141

2. Demostrar el enunciado del Lema 3.1. Sugerencia: Obs´ervese que

′ 2

2 2 2 Qn kQn kS = kQn kµ0 + λn . n µ1

Utilice que Pn y Tn tienen norma cuadr´ atica m´ınima, es decir, kPn k2µ0 kTn k2µ1

= inf{hp, piµ0 : grad (p) = n, p m´ onico}, = inf{hp, piµ1 : grad (p) = n, p m´ onico}

on del problema extremal y la sucesi´ on {Qn } es soluci´ kQn k2S

= inf{hp, piS : grad (p) = n, p m´ onico}.

Por lo tanto, kQn k2S ≤ hRn∞ , Rn∞ iS = hRn∞ , Rn∞ iµ0 + λn2 kTn−1 k2µ1 , n ≥ 2. Finalmente, use la Proposici´ on 3.1.2 para estimar hRn∞ , Rn∞ iµ0 , n ≥ 2. 3. Demuestre que la clase E 2 (Ω, ρ1 ) es un espacio de Hilbert con el producto interno dado por (3.6). 4. Demuestre que si f ∈ E 2 (Ω, ρ1 ), entonces f tiene l´ımite no tangencial lim f (z) = f (x),

z→∞

donde Γ ∈ C 2+ .

para casi todo x ∈ Γ,

142

F. Marcell´ an, Y. Quintana

CAP´ITULO 4

PROBLEMAS ABIERTOS En esta secci´ on mencionaremos varios problemas relacionados con la teor´ıa de polinomios ortogonales no est´ andar.

4.1

Desarrollos en series de Fourier-Sobolev

Problema 1. Bajo las hip´ otesis de la proposici´ on 3.3.2, un interesante problema es el an´ alisis de los errores de aproximaci´ on f − SN f , donde SN denota  el proyector N -´esimo de Fourier de f respecto a las familias Qλn n>0 , {Pn }n>0 y {Sn }n>0 , respectivamente. Las correspondientes estimaciones en t´erminos de N permitir´ıan la comparaci´ on entre la aproximaci´ on est´ andar y la aproximaci´ on de Sobolev, hasta ahora s´ olo realizada entre el caso Legendre y el caso Legendre-Sobolev [35].

4.2

Transformaciones espectrales sobre la circunferencia unidad

Problema 1. Las transformaciones espectrales racionales aplicadas a funciones de Stieltjes forman un grupo no conmutativo que est´ a 143

144

F. Marcell´ an, Y. Quintana generado por las transformaciones can´ onicas (Christoffel y Geronimus) y las correspondientes a los polinomios asociados y antiasociados en la recta real. Para el caso de la circunferencia unidad, este es un problema abierto.

Problema 2. La representaci´ on matricial del operador de multiplicaci´ on para medidas soportadas en la circunferencia unidad da lugar a una matriz de Hessenberg cuyo car´ acter unitario depende del hecho de que la medida de ortogonalidad no pertenezca a la clase de Szeg˝ o. La representaci´ on CMV [10] elimina esta restricci´ on en la medida utilizando ciertas bases ortogonales en el espacio de los polinomios de Laurent. De esta forma, el operador de multiplicaci´ on se puede representar mediante una matriz pentadiagonal denominada matriz CMV. El estudio de las transformaciones espectrales lineales a partir del enfoque CMV se perfila como una l´ınea fruct´ıfera de investigaci´ on. Problema 3. En [6] se han encontrado nuevas f´ ormulas de cuadratura sobre la circunferencia unidad, con la propiedad de exactitud algebraica en todo el espacio de polinomios P(C). Aunque estas f´ ormulas no son de tipo interpolatorio, poseen como m´ aximo dominio de exactitud algebraica todo el espacio P(C). Hasta el momento no se conoce la relaci´ on entre estas f´ ormulas de cuadratura y las f´ ormulas de cuadratura de tipo interpolatorio asociadas al concepto de para-ortogonalidad [19].

4.3

Asint´ otica y localizaci´ on de ceros

Problema 1. Sea (µ0 , µ1 ) un vector de medidas de Borel sobre C tales que al menos una de ellas tiene como soporte un conjunto infinito de puntos. Consideremos el producto interno de Sobolev Z Z hp, qiS = p(z)q(z)dµ0 (z) + p′ (z)q ′ (z)dµ1 (z), on de polinomios ortogonales m´ onicos correy {Qn }n>0 la sucesi´ spondiente. ¿Cu´ al es la asint´ otica fuerte de {Qn }n>0 si µ0 y µ1

PROBLEMAS ABIERTOS

145

son dos medidas absolutamente continuas en la clase de Szeg˝ o con soportes disjuntos, o al menos con soportes diferentes?. Si es conocida la asint´ otica fuerte de {Qn }n>0 , entonces se pueden localizar los ceros del polinomio Qn y su correspondiente distribuci´ on sobre ∆ = supp(µ0 ) ∪ supp(µ1 ).

146

F. Marcell´ an, Y. Quintana

CAP´ITULO 5

´ APENDICE Lema de Schwarz Utilizando el principio del m´ aximo, Carath´eodory demostr´ o en 1904 el siguiente resultado, conocido como Lema de Schwarz. Lema 5.1. Dada w : D → C una funci´ on anal´ıtica y acotada por 1 en D, tal que w(0) = 0. Entonces |w(z)| ≤ |z|, para todo z ∈ D.

(5.1)

Adem´ as, si la igualdad |w(z)| = |z| es v´ alida para alg´ un z ∈ D, entonces iα w es la transformaci´ on lineal w(z) = e z, donde α es una constante real. Demostraci´ on. Como w es una funci´ on anal´ıtica en el disco unidad D, y se anula en el origen, tenemos que w(z) = c1 z + c2 z 2 + · · · + cn z n + · · · Por tanto, la funci´ on w(z) = c1 + c2 z + · · · + cn z n−1 + · · · z es anal´ıtica en D y f (0) = c1 . Dado z = a un punto arbitrario de D. Sea r tal que |a| < r < 1. Sobre la circunferencia |z| = r, tenemos f (z) :=

|f (z)| =

|w(z)| 1 ≤ . |z| r

147

148

F. Marcell´ an, Y. Quintana

Por el principio del m´ aximo esta u ´ltima desigualdad es v´ alida en el disco |z| ≤ r y, por tanto, |w(a)| 1 |f (a)| = ≤ . |a| r

Haciendo r → 1− , tenemos que

|f (a)| =

|w(a)| ≤ 1, |a|

de manera que |f (a)| = 1 s´ olo puede ocurrir en el caso en que f (z) = w(z) iα ∗  z = e , donde α es una constante real .

El teorema de Carath´ eodory-Toeplitz Dada una sucesi´ on {cn }n>0 ⊂ C, si existe una medida positiva de Borel no trivial σ sobre la circunferencia unidad T, tal que Z cn = einθ dσ(θ), definimos cn para n < 0 por cn := c¯−n y formamos la matriz de Toeplitz de orden n, con entradas Ti,j = ci−j , 0 ≤ i, j ≤ n. Es decir,   c0 c−1 · · · c−n  c1 c0 · · · c−n+1    Tn =  .  .. .. ..  ..  . . . cn cn−1 · · ·

c0

El teorema de Carath´eodory-Toeplitz caracteriza la sucesi´ on {cn }n>0 ⊂ C, como sucesi´ on de momentos asociada una medida positiva de Borel no trivial σ sobre T, en t´erminos de la positividad del det(Tn ) para todo n ≥ 0. M´ as precisamente, Teorema 5.1. (Carath´eodory-Toeplitz, [60]). La sucesi´ on {cn }n>0 ⊂ C es una sucesi´ on de momentos asociada a una medida positiva de Borel no trivial σ sobre T, si y s´ olo si, det(Tn ) > 0, para todo n ≥ 0. ∗

Esta demostraci´ on es debida a Constantin Carath´eodory (1873-1950)

´ APENDICE

149

El teorema espectral Sea U un operador unitario sobre un espacio de Hilbert H. El vector ϕ ∈ H se dice c´ıclico para U si y s´ olo si span{U j ϕ : j ∈ Z} es denso en H. Teorema 5.2. (Teorema espectral para operadores unitarios, [60]). Un operador unitario U con vector c´ıclico ϕ es unitariamente equivalente al operador multiplicaci´ on por z, Mz sobre L2 (T, σ). Demostraci´ on. Sea ϕ ∈ H un vector para U , tal que kϕkH = 1. Definamos la sucesi´ on cn := hϕ, U −n ϕiH , Entonces, para a1 , . . . , am ∈ C, X

1≤i,j≤m

ai a ¯j ci−j

n ∈ Z.

2 m

X

i = ai U ϕ ≥ 0.

i=1

H

Por tanto, aplicando el teorema de Carath´eodory-Toeplitz, la sucesi´ on † {cn }n∈Z es la sucesi´ on de momentos de una medida σ sobre la circunferencia unidad, es decir, Z cn = einθ dσ(θ). Sea V : span{U j ϕ : j ∈ Z} → L2 (T, σ) dada por V (U j ϕ) = eijθ , y como la sucesi´ on {einθ }n∈Z es u conjunto denso en L2 (T), entonces V se puede extender a un operador unitario V˜ : H → L2 (T, σ). 

†

σ es la medida espectral para (U, ϕ).

150

F. Marcell´ an, Y. Quintana

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´ INDICE ALFABETICO asint´ otica fuerte escalada, 120 relativa escalada, 123

de Szeg˝ o, 11 de Freud, 93 exponencial, 94

circunferencia unidad, 5

funcional de momentos, 106 regular o cuasi-definido, 106

clase de Nevai, 19 coeficientes de Verblunsky, 9, 51, 65 condici´ on de Szeg˝ o, 11 ecuaci´ on holon´ omica, 127

matriz de Hessenberg, 31, 32, 37, 38, 41, 60 de Toeplitz, 8, 142 CMV, 74 polinomial ortogonal, 22

medida f´ ormula de Borel, 2, 22, 89 de Christoffel-Darboux, 12 espectral, 5 de Mehler-Heine, 117, 118 absolutamente continua, 10 de recurrencia a tres t´erminos, de variaci´ on acotada, 11 3 singular, 10 f´ ormulas de recurrencia momentos, 7, 31, 143 de Szeg˝ o, 7 funci´on de Carath´eodory, 30 de Schur, 30 delta de Dirac, 18 peso, 79 de Carath´eodory, 49, 62 de Christoffel, 11 de segunda especie, 13

n´ ucleo reproductor, 12 n´ umero de Mhaskar-RakhmanovSaff, 93, 94 n´ umeros de Mhaskar-RakhmanovSaff, 97 operador multiplicaci´ on, 1, 6, 16 157

158 ortogonalidad m´ ultiple, 22 no hermitiana, 23 par coherente de medidas, 25 sim´etricamente coherente, 27 par k-coherente de medidas, 89

F. Marcell´ an, Y. Quintana de Carath´eodory-Toeplitz, 142 de Verblunsky, 10 espectral para operadores unitarios, 143 de Carath´eodory-Toeplitz, 9 de Szeg˝ o-Kolmogorov- Krein, 11 transformaciones espectrales, 35

polinomios ortogonales transformaciones espectrales lineales de Sobolev, 15 en la circunferencia unidad m´ onicos Christoffel, 35, 40 de Sobolev, 15 Geronimus, 57 ortonormales, 7, 9, 19, 32 parte real, 57 ortonormales de Sobolev, 17 Uvarov, 56 polinomio l´ımite asociado, 26 de tipo Laguerre-Sobolev , 123 transformaciones espectrales racionales transformaci´ on F (N ) , 37 en la circunferencia unidad transformaci´ on FΩ , 36 m´ onicos, 8 transformaci´ on de Aleksandrov, producto de Sobolev 36 forma de K. H. Kwon , 18 en la circunferencia unidad no diagonal, 17 asociados de segunda especie, diagonal o caso continuo, 18 35 discreto, 18 transformaci´ on F (−N ) , 39 producto interno de Sobolev, 14, 27 Gegenbauer-Sobolev, 27 Laguerre-Sobolev, 25 propiedades asint´ oticas, 19, 95 relaciones de recurrencia, 8 ascendente y descendente, 8 sucesi´ on est´ andar, 1 de polinomios ortogonales m´ onicos, 2, 25, 89 teorema