Physics 11 [11]

Citation preview

‫فزﻳﻚ‬

‫زک‬

‫وزارت ﻣعارف‬

‫ص ف ازد‬

‫صﻨف ﻳازدﻫﻢ‬

‫ﺳﺎل ﭼﺎپ‪ 1398 :‬ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پښـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪４‬ان‬

‫دا ه‪５‬ــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫وزارت ﻣعارف‬

‫فزﻳـﻚ‬ ‫‪Physics‬‬

‫صﻨف ﻳازدﻫﻢ‬

‫سال چاپ‪ 1399 :‬ه ‪.‬ش‪.‬‬ ‫أ‬ ‫الف‬

‫ﻣشخصات‌کتاب‬ ‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫ﻣضﻤﻮن‪‌:‬فزﻳک‬ ‫ﻣؤﻟفان‪‌:‬گروه مؤلفان کتابﻫاى درسﻰ بخش فزﻳک ﻧصاب تعلﻴمﻰ‬ ‫وﻳراستاران‪‌:‬اعضاى دﻳپارتمﻨت وﻳراستارى و اﻳدﻳت زبان درى‬ ‫صﻨف‪‌:‬ﻳازدﻫم‬ ‫زبان‌ﻣتﻦ‪‌:‬درى‬ ‫اﻧکشاف‌دﻫﻨده‪‌:‬رﻳاست عمﻮمﻰ اﻧکشاف ﻧصاب تعلﻴمﻰ و تألﻴف کتب درسﻰ‬ ‫ﻧاشر‪‌:‬رﻳاست ارتباط و آگاﻫﻰ عامﺔ وزارت معارف‬ ‫سال‌چاپ‪ 1399‌:‬ﻫجرى شمسﻰ‬ ‫اﻳﻤﻴﻞ‌آدرس‪‌[email protected]‌‌:‬‬ ‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫حق طبع‪ ،‬تﻮزﻳع و فروش کتابﻫاى درسﻰ براى وزارت معارف جمﻬﻮرى اسﻼمﻰ‬ ‫افغاﻧستان محفﻮظ است‪ .‬خرﻳد و فروش آن در بازار ممﻨﻮع بﻮده و با متخلفان برخﻮرد‬ ‫قاﻧﻮﻧﻰ صﻮرت مﻰگﻴرد‪.‬‬

‫ب‬

‫پﻴام وزﻳر ﻣعارف‬

‫اقرأ باسم ربک‬ ‫سپاس و حمد بیکران آفریدگار یکتایﻰ را که بر ما هستﻰ بخشید و ما را از نعمت بزرگ خواندن و‬ ‫نوشتن برخوردار ساخت‪ ،‬و درود بﻰپایان بر رسول خاتم‪ -‬حضرت محمد مصطفﻰ که نخستین‬ ‫پیام الهﻰ بر ایشان «خواندن» است‪.‬‬ ‫چنانچه بر همهگان هویداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خورشیدى‪ ،‬به نام سال معارف مسمﻰ گردید‪ .‬بدین‬ ‫ملحوظ نظام تعلیم و تربیت در کشور عزیز ما شاهد تحوالت و تغییرات بنیادینﻰ در عرصههاى‬ ‫مختلف خواهد بود؛ معلم‪ ،‬متعلم‪ ،‬کتاب‪ ،‬مکتب‪ ،‬اداره و شوراهاى والدین‪ ،‬از عناصر ششگانه‬ ‫و اساسﻰ نظام معارف افغانستان به شمار مﻰروند که در توسعه و انکشاف آموزش و پرورش‬ ‫کشور نقش مهمﻰ را ایفا مﻰنمایند‪ .‬در چنین برهۀ سرنوشتساز‪ ،‬رهبرى و خانوادۀ بزرگ معارف‬ ‫افغانستان‪ ،‬متعهد به ایجاد تحول بنیادى در روند رشد و توسعه نظام معاصر تعلیم و تربیت کشور‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫از همینرو‪ ،‬اصﻼح و انکشاف نصاب تعلیمﻰ از اولویتهاى مهم وزارت معارف پنداشته مﻰشود‪.‬‬ ‫در همین راستا‪ ،‬توجه به کیفیت‪ ،‬محتوا و فرایند توزیع کتابهاى درسﻰ در مکاتب‪ ،‬مدارس و سایر‬ ‫نهادهاى تعلیمﻰ دولتﻰ و خصوصﻰ در صدر برنامههاى وزارت معارف قرار دارد‪ .‬ما باور داریم‪،‬‬ ‫بدون داشتن کتاب درسﻰ باکیفیت‪ ،‬به اهداف پایدار تعلیمﻰ در کشور دست نخواهیم یافت‪.‬‬ ‫براى دستیابﻰ به اهداف ذکرشده و نیل به یک نظام آموزشﻰ کارآمد‪ ،‬از آموزگاران و مدرسان‬ ‫دلسوز و مدیران فرهیخته بهعنوان تربیت کنندهگان نسل آینده‪ ،‬در سراسر کشور احترامانه تقاضا‬ ‫مﻰگردد تا در روند آموزش این کتاب درسﻰ و انتقال محتواى آن به فرزندان عزیز ما‪ ،‬از هیچ‬ ‫نوع تﻼشﻰ دریغ نورزیده و در تربیت و پرورش نسل فعال و آگاه با ارزشهاى دینﻰ‪ ،‬ملﻰ و تفکر‬ ‫انتقادى بکوشند‪ .‬هر روز عﻼوه بر تجدید تعهد و حس مسؤولیت پذیرى‪ ،‬با این نیت تدریس راآغاز‬ ‫کنند‪ ،‬که در آیندۀ نزدیک شاگردان عزیز‪ ،‬شهروندان مؤثر‪ ،‬متمدن و معماران افغانستان توسعه یافته‬ ‫و شکوفا خواهند شد‪.‬‬ ‫همچنین از دانش آموزان خوب و دوست داشتنﻰ به مثابه ارزشمندترین سرمایههاى فرداى کشور‬ ‫مﻰخواهم تا از فرصتها غافل نبوده و در کمال ادب‪ ،‬احترام و البته کنجکاوى علمﻰ از درس‬ ‫معلمان گرامﻰ استفادۀ بهتر کنند و خوشه چین دانش و علم استادان گرامﻰ خود باشند‪.‬‬ ‫در پایان‪ ،‬از تمام کارشناسان آموزشﻰ‪ ،‬دانشمندان تعلیم و تربیت و همکاران فنﻰ بخش نصاب‬ ‫تعلیمﻰ کشور که در تهیه و تدوین این کتاب درسﻰ مجدانه شبانه روز تﻼش نمودند‪ ،‬ابراز قدردانﻰ‬ ‫کرده و از بارگاه الهﻰ براى آنها در این راه مقدس و انسانساز موفقیت استدعا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوى دستیابﻰ به یک نظام معارف معیارى و توسعهیافته‪ ،‬و نیل به یک افغانستان آباد و مترقﻰ‬ ‫داراى شهروندان آزاد‪ ،‬آگاه و مرفه‪.‬‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخﻰ‬ ‫وزیر معارف‬ ‫ج‬

‫پﻴشﮕفتار‬ ‫عصر ما عصر انکشافات و تحوالت سریع ساینس و تکنالوژى است و بر طبق تخمین‬ ‫دانشمندان‪ ،‬در سالیان بعد حجم آگاهﻰ هاى علمﻰ حتا در هر چند ماه دو برابر‬ ‫خواهد شد‪ .‬واضح است که همگام با این تحوالت‪ ،‬شیوههاى زندهگﻰ ما و نیازهاى‬ ‫نسل جوان فرداى ما‪ ،‬از جمله شیوههاى آموزش علوم (فزیک) نیز در تغییر خواهد‬ ‫بود‪ .‬در این شیوهها تأکید برآن است تا شاگردان به آسانﻰ و بهطور سریع بیاموزند و‬ ‫بتوانند مهارتهاى الزم را در مراحل آموزش و حل مسئلهها بهکار برند‪.‬‬ ‫در این کتاب درسﻰ سعﻰ بهعمل آمده است تا محتویات آن بر اساس روش‬ ‫آموزش فعال تألیف گردد‪ .‬سه هدف دانشﻰ‪ ،‬مهارتﻰ و ذهنیتﻰ در متن هر درس در‬ ‫محراق توجه مؤلفین قرار داشته و افزون برآن حجم عناوین و محتویات کتاب بر‬ ‫مبناى پالیسﻰهاى تعلیمﻰو تربیتﻰ دولت‪ ،‬پﻼن تعلیمﻰزمانﻰ و مفردات طرح شده‬ ‫با معیارهاى عمومﻰمحتوایﻰ و نگارشﻰ قبول شده براى کتب درسﻰ دورۀ ثانوى‬ ‫افغانستان تنظیم و تدوین گردیده است‪ .‬تﻼش شده تا مطالب به گونۀ ساده و روان‬ ‫مطرح شود و با ادامۀ فعالیتها و ذکر مثالها و سؤالها‪ ،‬مطالعۀ آن به شاگردان‬ ‫آسانتر گردد‪.‬‬ ‫از معلمان گرانقدر انتظار مﻰرود تا با تجارب و توانایﻰهاى غنﻰ که دارند‪ ،‬در‬ ‫طراحﻰ فعالیتهاى ابتکارى که مﻰتواند در آموزش بیشتر شاگردان ممد واقع گردد‬ ‫و همچنان از ابراز پیشنهادات سازنده براى بهبود کیفﻰ کتاب از هیچگونه تﻼش‬ ‫دریغ ننموده‪ ،‬ما را یارى رسانند‪ .‬اطمینان مﻰدهیم که انشأاﷲ از نظرهاى ارزشمند و‬ ‫اصﻼحﻰ شان براى رفع نواقص و اشتباهات احتمالﻰ در چاپ بعدى این کتاب به‬ ‫گرمﻰاستقبال خواهد شد‪.‬‬ ‫در پایان از استادان محترمﻰکه در نقد و اصﻼح این کتاب زحمت کشیدهاند‬ ‫سپاسگذاریم و از مسؤالن و کارکنان محترم کمپیوتر که درکار نگارش‪ ،‬دیزاین و‬ ‫صفحه آرایﻰ کتاب‪ ،‬ما را همکارى مزید نمودهاند‪ ،‬ممنون و متشکریم‪.‬‬ ‫دﻳپارتﻤﻨت فزﻳﻚ‬ ‫رﻳاست عﻤﻮﻣﻰاﻧﻜشاف ﻧصاب تعﻠﻴﻤﻰو تأﻟﻴف ﻛتب درسﻰ‬

‫د‬

‫فﻬـرست‬

‫صفحﻪ‬

‫فصﻞ اول‪ :‬تعادل میخانیکﻰ ‪1.....................................................................................‬‬ ‫قوه‪ ،‬قوه به حیث وکتور ‪2 ..............................................................................‬‬ ‫قوههاى متﻼقﻰ و غیر متﻼقﻰ ‪6 .....................................................................‬‬ ‫تعادل کتلۀ نقطهیي ‪14 .................................................................................‬‬ ‫مومنت قوه (تورک) ‪21.................................................................................‬‬ ‫قوههاى موازى ‪29.........................................................................................‬‬ ‫زوج قوه ‪34...................................................................................................‬‬ ‫شرایط عمومﻰتعادل ‪36.................................................................................‬‬ ‫فصﻞ دوم‪ :‬حرکت یک بعدى ‪51..............................................................................‬‬ ‫موقعیت و تغییر مکان ‪52.................................................................................‬‬ ‫سرعت متوسط ‪54..........................................................................................‬‬ ‫گراف موقعیت‪ -‬زمان ‪58................................................................................‬‬ ‫شتاب ‪60.......................................................................................................‬‬ ‫گراف سرعت ‪ -‬زمان ‪61................................................................................‬‬ ‫حرکت یکنواخت ‪63...................................................................................‬‬ ‫سقوط آزاد ‪66................................................................................................‬‬ ‫فصﻞ سﻮم‪ :‬حرکتهاى دو بعدى‪74...........................................................................‬‬ ‫تغییر مکان و سرعت متوسط ‪75........................................................................‬‬ ‫شتاب متوسط و شتاب لحظهیﻰ ‪78....................................................................‬‬ ‫حرکتهاى پرتابﻰ ‪81......................................................................................‬‬ ‫پرتاب مایل ‪83.................................................................................................‬‬ ‫حرکت دایرهیﻰ ‪87...........................................................................................‬‬ ‫حرکت دایرهیﻰ یکنواخت ‪89........................................................................‬‬ ‫شتاب در حرکت دایرهیﻰ یکنواخت ‪93..........................................................‬‬

‫ه‬

‫فﻬـرست‬

‫صفحﻪ‬

‫فصﻞ چﻬارم‪ :‬قوانین حرکت نیوتن (قانون اول نیوتن) ‪100..........................................‬‬ ‫قانون دوم نیوتن ‪102.........................................................................................‬‬ ‫قانون سوم نیوتن ‪103........................................................................................‬‬ ‫تطبیق قوانین نیوتن ‪107.....................................................................................‬‬ ‫قوۀ اصطکاک ‪112...........................................................................................‬‬ ‫قانون جاذبﻰ نیوتن ‪116.....................................................................................‬‬ ‫لفت ‪122..........................................................................................................‬‬ ‫مدارهاى دایرهیﻰ حرکت اقمار مصنوعﻰ ‪124...................................................‬‬ ‫فصﻞ پﻨجﻢ‪ :‬کار‪ ،‬انرژى میخانیکﻰ و طاقت ‪130...................................................‬‬

‫کار و انرژى حرکﻰ ‪134............................................................................‬‬ ‫کارى که به وسیلۀ فنر باالى کتله انجام مﻰشود ‪138...................................‬‬ ‫قوههاى تحفظﻰ و غیر تحفظﻰ ‪140...........................................................‬‬ ‫تحفظ انرژى میخانیکﻰ ‪141.......................................................................‬‬ ‫توان (طاقت) ‪143......................................................................................‬‬ ‫فصﻞ ششﻢ‪ :‬مومنتم خطﻰ و امپولس ‪148..............................................................‬‬ ‫حرکت مستقیم الخط و امپولس ‪149..........................................................‬‬ ‫مومنتم ‪151................................................................................................‬‬ ‫قوه و مومنتم ‪156.......................................................................................‬‬ ‫ضربه و تحفظ مومنتم خطﻰ ‪159................................................................‬‬ ‫تصادم ارتجاعﻰ ‪162..................................................................................‬‬ ‫تصادم غیر ارتجاعﻰ ‪164............................................................................‬‬ ‫مرکز ثقل ‪164...........................................................................................‬‬

‫و‬

‫فﻬـرست‬

‫صفحﻪ‬

‫فصﻞ ﻫفتﻢ‪ :‬سکون نسبﻰ سیالها ‪170..................................................................‬‬ ‫سیالها – فشار سیالها ‪171........................................................................‬‬ ‫اندازهگیرى فشار مایع ‪172........................................................................‬‬ ‫فشار اتموسفیر ‪175....................................................................................‬‬ ‫اندازهگیرى فشار در مایعات محصور شده ‪178..........................................‬‬ ‫انتقال فشار در سیالها – شکنجۀ آبﻰ ‪180..................................................‬‬ ‫قانون ارشمیدس ‪183..................................................................................‬‬ ‫فصﻞ ﻫشتﻢ‪ :‬سیالهاى ت متحرکت – سیاالت خیالﻰ ‪192...................................‬‬ ‫معادلۀ متمادیت ‪194...................................................................................‬‬ ‫معادلۀ برنولﻰ ‪195......................................................................................‬‬ ‫تطبیقات قانون برنولﻰ ‪199..........................................................................‬‬ ‫تیوپ وینتورى – اندازهگیرى سرعت جریان ‪201.......................................‬‬ ‫اتومایزر – بالهاى طیاره و قوۀ محرکۀ بلند کننده ‪202................................‬‬ ‫لزوجیت – مفهوم لزوجیت‪ -‬اندازۀ ضریب لزوجیت ‪204............................‬‬ ‫پدیدۀ جریان توفانﻰ ‪208............................................................................‬‬

‫ز‬

‫فصل اول‬ ‫تعادل ﻣﻴخاﻧﻴکﻰ‬

‫تعادل مﻴخانﻴکﻰ از مباحث مﻬم فزﻳک مﻴخانﻴک است‪ .‬موضوعات مورد مطالعﻪ در اﻳن بحث‬ ‫ﻫم در ساحﺔ نظرى و ﻫم در انکشاف ماشﻴنآﻻت و تکنالوژى مورد نﻴاز در عرصﻪﻫاى گوناگون‬ ‫اقتصادى کﻪ موارد استعمال وسﻴع در حﻴات روزمرة جامعﺔ ما دارد تﻬداب مﻬمﻰ را مﻰگذارد‪.‬‬ ‫مساﻳلﻰ مانند‪ :‬مطالعﺔ قوهﻫا‪ ،‬چگونﻪگﻰ تأثﻴرات آنﻫا بر اجسام‪ ،‬کاربرد اثرات قوهﻫا و پدﻳدهﻫاى‬ ‫مرتبط بﻪ آنﻫا در طرح و ساختمان ماشﻴنﻫاى ساده مانند رافعﻪﻫا و وساﻳط ساختمانﻰ اعم‬ ‫از تراکتورﻫا – بلدوزرﻫا‪ ،‬جرثقﻴلﻫا و ﻫمچنان ساختمان ماشﻴنﻫا براى زراعت‪ ،‬صناﻳع‪،‬‬ ‫ترانسپورت زمﻴنﻰ و ﻫواﻳﻰ و استخراج معادن‪ ،‬ﻫمﻪ و ﻫمﻪ بر قواعدى بنﻴاد گذاشتﻪ شدهاند‬ ‫کﻪ فزﻳک مﻴخانﻴک و از جملﻪ تﻴورىﻫاى مبنﻰ بر تعادل مﻴخانﻴکﻰ آنﻫا را مورد مطالعﻪ‬ ‫قرار مﻰدﻫد‪ .‬تعادل مﻴخانﻴکﻰ ﻳکﻰ از رمزﻫاى عمﻴق طبﻴعﻰ در زندهگﻰ انسانﻫا و حﻴوانات‬ ‫مﻰباشد کﻪ سبب اﻳجاد شراﻳط مناسب براى استوار نگﻬداشتن و ادامﺔ حﻴات آنﻫا در روى‬ ‫کرة زمﻴن گردﻳده است‪ .‬از حرکت انسانﻫاى روى کرة زمﻴن تا پرواز سفﻴنﻪﻫا و گردش‬ ‫سﻴارهﻫا و نفوذ در اعماق زمﻴن و ابحار ﻫمﻪ از جملﺔ دستاوردﻫاى علمﻰ و تکنالوژى است کﻪ‬ ‫نقش مبحث تعادل مﻴخانﻴکﻰ در آنﻫا بارز و برجستﻪ است‪ .‬محتوﻳات اﻳن فصل بر اساس و‬ ‫ادامﺔ مطالبﻰ تﻬﻴﻪ شده کﻪ شما آنﻫارا در سالﻫاى قبل فرا گرفتﻪ اﻳد و قوه ﻫم کﻪ ﻳکﻰ از‬ ‫مباحث درسﻫاى قبلﻰ فزﻳک بوده‪ ،‬در اﻳن فصل نﻴز بر آن مرورى صورت مﻰگﻴرد‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫تا اســاس را بــراى ورود بﻪ مباحثﻰ ماننــد قوهﻫا ﻳا تأثﻴرات‬ ‫متقابــل (عمل و عکس العمل) و بحث تعــادل‪ ،‬فراﻫم کند‪.‬‬ ‫مطالعــﺔ تبارز قوهﻫا‪ ،‬چﻪ بﻪ شــکل قوهﻫــاى متﻼقﻰ و ﻳا بﻪ‬ ‫شــکل قوهﻫاى موازى و ﻫمچنان دانســتن تجزﻳــﺔ قوهﻫا‪،‬‬ ‫زمﻴنﻪﻫاﻳﻰ را براى شــناخت مفاﻫﻴمﻰماننــد مومنت قوه و‬ ‫ﻳا مومنت دوران‪ ،‬قوة زوج و شــراﻳط عمومﻰ تعادل مســاعد‬ ‫مﻰســازد‪ .‬باﻳد توجﻪ کرد کﻪ قوه بﻪ حﻴث ﻳک شاخص مﻬم‬ ‫در سر تاســر اﻳن فصل بﻪ کار رفتﻪ است‪ .‬براى فﻬم خوبتر‬ ‫مباحث مندرج اﻳن فصل‪ ،‬ســعﻰ شــده اســت تا مفاﻫﻴم و‬ ‫در شکل دﻳده مﻰشود کﻪ سمت بازوى رافعﻪ‬ ‫موضوعات با اراﻳﺔ مثالﻫا و تمرﻳنات‪ ،‬مورد مناقشــﻪ و تفکر‬ ‫ﻫمﻴشﻪ بر سمت قوة تطبﻴق شده عمود است‪.‬‬ ‫شاگردان قرار داده شود‪.‬‬ ‫انتظار مﻰرود کﻪ در پاﻳان اﻳن فصل شاگردان بتوانند با انجام کارﻫاى گروﻫﻰ و حل پرسشﻫا‬ ‫و تمرﻳنﻫا مفاﻫﻴم فزﻳکﻰ اﻳن بحث را در ذﻫن شــان تحکﻴم و تعمﻴق بخشــﻴده و در نتﻴجﻪ‬ ‫بﻪ پرسشﻫاى مانند‪:‬‬ ‫چرا قوه وکتور است؟ چﻪ چﻴز سبب شتاب حرکت جسم مﻰگردد؟ وقتﻰ توسط چکش باﻻى‬ ‫ﻳک مﻴخ قوه عمل مﻰکند‪ ،‬آﻳا مﻴخ ﻫم در مقابل باﻻى چکش قوه وارد مﻰکند؟ چگونﻪ و‬ ‫چرا؟‪ ،‬حادثﺔ دوران جسم بﻪ حول ﻳک محور چﻴست؟ و مانند اﻳن پرسشﻫا‪ ،‬پاسخﻫاى ﻻزم‬ ‫اراﻳﻪ نماﻳند‪.‬‬

‫‪ :1-1‬قﻮه‬ ‫قوهﻳﻰ کﻪ ﻫمﺔ ما آنرا مﻰشناسﻴم‪ ،‬قوة جاذبﺔ زمﻴن ﻳا وزن جسم است‪ .‬در زندهگﻰ روزمره‬ ‫در تخنﻴک‪ ،‬با تعداد زﻳادى از قوهﻫا آشناﻳﻰ دارﻳم‪ .‬ﻫمچنان شما سالﻫاى گذشتﻪ دانستﻴد‬ ‫کﻪ قوهﻫا را مﻰتوان از روى تأثﻴرات آنﻫا شناخت‪ .‬ﻳک قوه مﻰتواند ﻳک جسم را بﻪ حرکت‬ ‫بﻴاورد و سبب زﻳاد شدن و ﻳا کم شدن سرعت جسم و ﻳا سبب تغﻴﻴر شکل و سمت حرکت‬ ‫جسم گردد‪ .‬اﻳن تغﻴﻴرات گاﻫﻰ بسﻴار کوچک مﻰباشد کﻪ تنﻬا با اندازهگﻴرىﻫاى بسﻴار‬ ‫دقﻴق تشخﻴص شده مﻰتوانند‪ .‬سرعت جسم و سمت حرکت جسم دو مشخصﻪاند کﻪ حالت‬ ‫حرکت جسم را معﻴن کرده و با استفاده از اﻳن مشخصﻪﻫا قوه را اﻳن طور تعرﻳف مﻰکنند‪:‬‬ ‫قوه عاملﻰ است کﻪ سبب تغﻴﻴر شکل و ﻳا حالت جسم مﻰگردد‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫قﻮه بﻪ حﻴث وکتﻮر‬ ‫ﻳک جسم ﻫمﻴشﻪ خودش را بﻪ سمتﻰ بﻪ حرکت در آورده مﻰتواند و ﻳا سرعت خود را در‬ ‫سمتﻰ تغﻴﻴر مﻰدﻫد‪ ،‬کﻪ قوة عامل بر جسم در ﻫمان سمت تأثﻴر مﻰکند‪ .‬ﻫمچنان تأثﻴر‬ ‫قوه مﻰتواند سبب تغﻴﻴر شکل در جسم گردد‪ .‬اﻳن موضوع در ﻳک مﻴلﺔ آﻫنﻰ بﻪ خوبﻰ بﻪ‬ ‫مشاﻫده مﻰرسد‪ ،‬چنانچﻪ ﻫنگامﻰکﻪ مﻴلﻪ تحت تأثﻴر ﻳک قوه واقع شود‪ ،‬خم مﻰگردد‪.‬‬ ‫مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ قوه ﻳک وکتور است و براى توضﻴح آن‪ ،‬بﻪ شناخت مقدار و سمت‬ ‫آن ضرورت است‪ .‬قوه را بﻪ حﻴث وکتور توسط ﻳک تﻴر نماﻳش مﻰدﻫند‪ .‬در شکل )‪ (1-1‬بﻪ‬ ‫نام گذارىﻫاى زﻳر توجﻪ کنﻴد‪:‬‬ ‫نقطﺔ ‪ A‬نقطﺔ تأثﻴر‪ ،‬طول تﻴر ) ‪ ( AB‬مقدار ﻳا بزرگﻰ قوه‪ ،‬سمت تﻴر ‪ AB‬سمت ﻳا جﻬت قوه و‬ ‫مستقﻴم ‪ D‬خط تأثﻴر ﻳا استقامت قوه را نشان مﻰدﻫند‪D .‬‬ ‫‪B‬‬

‫شکل )‪(1-1‬‬

‫‪A‬‬

‫تأثﻴر ﻳک قوه بر ﻳک جســم‪ ،‬بﻪ طور عموم بﻪ موقعﻴت نقطﺔ تأثﻴر قوه بر ﻫمان جسم ارتباط‬ ‫دارد‪ .‬در شــکل (‪ )1-2‬دﻳده مﻰشود کﻪ باﻻى جسم‪ ،‬دو قوة ‪ F1‬و ‪ F2‬کﻪ با ﻫم مساوى ﻫستند‬ ‫عمل مﻰکنند‪ .‬طورىکﻪ قوة ‪ F1‬جســم را بﻪ طرف ســطح زﻳرﻳن مﻰفشارد و قوة ‪ F2‬مﻰتواند‬ ‫آن را بﻪ طرف پاﻳﻴن کج بســازد‪ .‬برعکس قوهﻫاى مســاوى ‪ F3‬و ‪ F4‬کﻪ بــر عﻴن خط تأثﻴر بر‬ ‫جسم عمل مﻰکنند‪ ،‬تأثﻴر مساوى را بر جسم وارد مﻰکنند کﻪ در نتﻴجﻪ مﻰتوان گفت‪ :‬اگر‬ ‫موقعﻴت نقطﺔ تأثﻴر ﻳک قوه باﻻى خط تأثﻴر آن تغﻴﻴر کند‪ ،‬تأثﻴر قوه تغﻴﻴر نمﻰﻳابد‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-2‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪F4‬‬

‫‪F3‬‬

‫حال چﻨد ﻣثال از قﻮهﻫاى ﻣختلف را بﻪ بررسﻰ ﻣﻰگﻴرﻳﻢ‪:‬‬

‫ﻳکﻰ از قوهﻫا‪ ،‬قوة عضﻼت است‪ .‬ما بﻪ وسﻴلﺔ اﻳن قوه نﻴز مﻰتوانﻴم سرعت اجسام را کم ﻳا زﻳاد‬ ‫کنﻴم و ﻳا شکل آنﻫا را تغﻴﻴر دﻫﻴم‪ .‬قوة عضﻼت براى اجراى تجارب فزﻳکﻰ کمتر مساعد است‪،‬‬ ‫زﻳرا بﻪ مشکل اندازهگﻴرى مﻰشود‪ .‬چنانکﻪ از گذشتﻪ مﻰدانﻴد‪ ،‬قوة وزن ﻳکﻰ از قوهﻫاى دﻳگرى‬ ‫است کﻪ در عﻴن محل با کتلﺔ جسم و ﻳا با مقدار مادهﻳﻰ کﻪ در جسم وجود دارد‪ ،‬ﻳک راست‬ ‫متناسب است‪ .‬قوة وزن جسم‪ ،‬ﻫمﻴشﻪ طور عمودى بﻪ طرف مرکز ثقل زمﻴن عمل مﻰکند‪.‬‬ ‫با استفاده از ﻳک تار کﻪ از روى ﻳک چرخ عبور داده مﻰشود‪ ،‬تأثﻴر قوة وزن را‪ ،‬بدون آنکﻪ در‬ ‫مقدار آن تغﻴﻴر پﻴش آﻳد‪ ،‬مﻰتوان بﻪ سمتﻫاى دﻳگر موجﻪ ساخت‪ .‬قوة اصطکاک ﻳک نوع دﻳگر‬ ‫قوه است‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻫرگاه دو جسم با ﻫم در تماس بوده و در حالت حرکت متقابل قرار بگﻴرند‪ ،‬در بﻴن آنﻫا قوة‬ ‫اصطکاک بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ .‬ما در خانﻪ‪ ،‬مکتب‪ ،‬بازار‪ ،‬مﻴدانﻫاى سپورت و در بسﻴارى جاﻫاى‬ ‫دﻳگر در جرﻳان زندهگﻰ روزمرة خود تأثﻴرات قوهﻫاى گوناگون مانند قوة مقناطﻴسﻰ‪ ،‬قوة برقﻰ و‬ ‫غﻴره را بر اجسام مﻰبﻴنﻴم‪ .‬براى اﻳنکﻪ تأثﻴرات قوه را بﻪ وضاحت بﻴشتر دﻳده بتوانﻴم و مثالﻫاى‬ ‫دﻳگرى از قوهﻫا را معرفﻰ کرده بتوانﻴم‪ ،‬بﻪ انجام فعالﻴتﻫاى زﻳر مﻰپردازﻳم‪:‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫بﻪ شــکلﻫاى)‪ (1-3‬توجﻪ نماﻳﻴد‪ .‬چﻪ واقع خواﻫد‬ ‫شــد‪ ،‬اگر فنر را با دســت کش کنﻴم (حالت‪ )1‬و ﻳا‬ ‫مقناطﻴــس را بﻪ آن نزدﻳک ســازﻳم (حالت‪ .)2‬اﻳن‬ ‫کار را عملﻰ کنﻴد و نتﻴجﺔ مشــاﻫدات خود را در ﻫر‬ ‫گروه گزارش دﻫﻴد‪ .‬اﻳن بار فنر را بﻪ طور عمودى با‬ ‫گلولﻪ مطابق شکل (حالت‪ )3‬آوﻳزان کنﻴد چﻪ چﻴز را‬ ‫مشاﻫده خواﻫﻴد کرد؟ آﻳا باز ﻫم فنر تحت تأثﻴر وزن‬ ‫گلولﻪ دراز خواﻫد شــد؟ اگر تجربﻪ را درســت انجام‬ ‫داده باشــﻴد‪ ،‬مﻰبﻴنﻴد کﻪ مقناطﻴــس و وزن گلولﻪ‬ ‫نﻴز مانند قوة عضﻼت دســت‪ ،‬سبب تغﻴﻴر شکل فنر‬ ‫مﻰگردند‪ .‬پس بﻪ نتﻴجﻪ مﻰرسﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫قوه مﻰتواند باعث تغﻴﻴر شکل جسم شود و ﻳا بر‬ ‫عکس ﻫر تغﻴﻴر شکل‪ ،‬معلول تأثﻴر ﻳک قوه است‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫شکل )‪(1-3‬‬

‫از موارد دﻳگرى کﻪ مﻰتوان اثرات قوة عضﻼت را در آنﻫا بﻪ آسانﻰ مشاﻫده کرد‪ ،‬ورزشﻫاى‬ ‫گوناگون مﻰباشد از جملﻪ بازىﻫاى و الﻴبال و باسکتبال کﻪ خود شما در جرﻳان اﻳن بازىﻫا‬ ‫مﻰتوانﻴد بﻪ صورت تجربﻰ اثرات قوة عضﻼت دست تان را احساس کنﻴد‪.‬‬ ‫در اﻳن بازىﻫا‪ ،‬قوة عضﻼت دست شما بﻪ توپ سرعت مﻰدﻫد و ﻳا توپ را کﻪ در حالت‬ ‫حرکت است متوقف ساختﻪ و ﻳا ﻫم سمت حرکت آنرا تغﻴﻴر مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫آﻳا آنچﻪ گفتﻪ شد‪ ،‬در مورد قوة مقناطﻴس ﻫم صدق مﻰکند؟ آﻳا قوة مقناطﻴس باعث زﻳاد‬ ‫شدن و ﻳا کم شدن سرعت ﻳک جسم شده مﻰتواند‪.‬‬ ‫تأثﻴرات قوة مقناطﻴس را ضمن اجراى فعالﻴت زﻳر مشاﻫده مﻰتوانﻴم‪:‬‬

‫‪44‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫بﻪ حاﻻتﻰکﻪ در شکلﻫاى )‪ (1-4‬اراﻳﻪ شده است توجﻪ کنﻴد‪:‬‬ ‫حالت‪ ،)1‬بﻪ ﻳک گلولﺔ کوچک آﻫنﻰ‪ ،‬کﻪ روى مﻴز قرار دارد‪ ،‬ضربﻪ وارد مﻰکنﻴم‪ .‬گلولﻪ بﻪ‬ ‫اثر ضربﻪ بر روى مﻴز بﻪ طور آﻫستﻪ لول مﻰخورد‪ .‬در حالت عادى‪ ،‬گلولﻪ با سرعت ثابت‬ ‫حرکت مﻰکند و اگر ﻳک مﻴلﺔ مقناطﻴس بﻪ گلولﻪ از پﻴشروى نزدﻳک شود‪ ،‬چﻪ حادثﻪ‬ ‫دﻳده خواﻫدشد؟ چﻪ تغﻴﻴرى در سرعت حرکت گلولﻪ دﻳده مﻰشود؟‬ ‫ضربﻪ‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫قوه‬

‫ضربﻪ‬

‫‪2‬‬ ‫قوه‬

‫قوه‬ ‫ضربﻪ‬

‫شکل )‪(1-4‬‬ ‫مشابﻪ بﻪ ﻫمﻴن حالت‪ ،‬ﻳک گلولﻪﻳﻰ کﻪ ساکن است‪ ،‬مﻰتواند بﻪ حرکت در آﻳد (حالت‪.)2‬‬ ‫گلولﻪﻫاى آﻫنﻰ را بار دﻳگر برروى مﻴز طور لوﻻن رﻫا مﻰکنﻴم‪ ،‬ولﻰ اﻳن بار آن را با مﻴلﺔ‬ ‫مقناطﻴسﻰ مطابق حالت (‪ )2‬تعقﻴب مﻰنماﻳﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ مﻴلﺔ مقناطﻴسﻰ را از مخالف سمت‬ ‫حرکت بﻪ گلولﻪ نزدﻳک مﻰسازﻳم‪ .‬چﻪ تغﻴﻴرى در سرعت حرکت گلولﻪ مﻰبﻴنﻴد و چرا؟‬ ‫در حالت (‪ )3‬کﻪ مﻴلﺔ مقناطﻴسﻰ از ﻳک جانب بﻪ گلولﺔ آﻫنﻰ لوﻻن نزدﻳک مﻰشود‪،‬‬ ‫شما چﻪ تغﻴﻴرى مشاﻫده مﻰکنﻴد؟ نتﻴجﻪﻳﻰ را کﻪ از درﻳافت پاسخ پرسشﻫاى باﻻ در‬ ‫تجربﻪﻳﻰ کﻪ بﻪدست آورده اﻳد‪ ،‬در ﻳک کار گروﻫﻰ با ﻫم در مﻴان بگذارﻳد‪.‬‬ ‫با اجراى تمرﻳنﻫاى زﻳر در رابطﻪ بﻪ چگونﻪگﻰ اثرات قوه بر ﻳک جسم در بﻴن اعضاى گروه‬ ‫مباحثﻪ نموده و نتاﻳج را با دﻳگران در مﻴان بگذارﻳد‪:‬‬ ‫‪ )a‬گفتﻪ شده است کﻪ قوه ﻳک کمﻴت وکتورى است آﻳا مﻰتوانﻴد خصوصﻴات ﻳک کمﻴت‬ ‫وکتورى را توضﻴح کنﻴد؟‬ ‫‪ )b‬آﻳا بﻪ غﻴر از کمﻴت وکتورى‪ ،‬کمﻴت دﻳگرى را ﻫم مﻰشناسﻴد؟ اگر پاسخ بلﻰ باشد‪ ،‬آن‬ ‫کمﻴت کدام است؟ آن کمﻴت و خصوصﻴات آنرا توضﻴح دارﻳد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ )c‬قوه ﻳک جسم را کﻪ ساکن است بﻪ حرکت مﻰآورد‪ .‬مﻰتوانﻴد اﻳن گفتﻪ را با تجربﻪ بﻪ‬ ‫اثبات برسانﻴد؟‬ ‫‪ )d‬قوه؛ چگونﻪ باعث توقف ﻳک جسمﻰکﻪ در حال حرکت است‪ ،‬مﻰگردد؟‬ ‫‪ )e‬جسمﻰکﻪ بﻪ ﻳک جﻬت معﻴن در حالت حرکت است‪ ،‬قوهﻳﻰ از ﻳک سمت کﻴفﻰ از ﻳک‬ ‫جانب بر آن اثر مﻰکند‪ ،‬چﻪ واقع مﻰشود؟ توسط ﻳک شکل نشان دﻫﻴد‪ .‬از اﻳن عمل چﻪ‬ ‫نتﻴجﻪ مﻰگﻴرﻳد؟‬ ‫‪ )f‬در اثر عمل قوه بر ﻳک جسم‪ ،‬ممکن است کﻪ شکل آن جسم تغﻴﻴر کند‪ .‬آﻳا اﻳن تغﻴﻴر شکل‬ ‫در جسم را با ﻳک رسم نشان داده مﻰتوانﻴد؟‬ ‫سؤالﻫا‬ ‫دربارة واحدﻫاى اندازهگﻴرى قوهﻫا در سالﻫاى پﻴش‪ ،‬خواندهاﻳد‪ .‬با اراﻳﺔ جواب بﻪ سؤالﻫاى‬ ‫ذﻳل معلومات قبلﻰ را بﻪ طور فشرده تکرار نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪ .1‬واحدﻫاى اساسﻰ در سﻴستم بﻴن المللﻰ (‪ )SI‬کدامﻫا اند؟ توضﻴح و تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ .2‬در سﻴستم (‪ ،)SI‬واحد قوه کدام است؟ آنرا تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ .3‬واحد قوه در سﻴستم بﻴن المللﻰ (‪ ،)SI‬ﻳک واحد اساسﻰ است ﻳا ﻳک واحد فرعﻰ و‬ ‫چرا؟‬

‫‪ :1-2‬قﻮهﻫاى ﻣتﻼقﻰ (غﻴر ﻣﻮازى)‬ ‫(ﻫرگاه باﻻى ﻳک جسم‪ ،‬دو ﻳا بﻴشتر از دو قوه تأثﻴر کند طورىکﻪ خطوط تأثﻴر آنﻫا با ﻫم‬ ‫موازى نبوده و در ﻳک نقطﻪ ﻫمدﻳگر را قطع نماﻳند‪ ،‬اﻳن قوهﻫا را قوهﻫاى متﻼقﻰ مﻰگوﻳند‪).‬‬ ‫بﻪ طور مثال‪ ،‬در شکل )‪ (1-5‬دﻳده مﻰشود کﻪ خطوط تأثﻴر قوهﻫاى ‪ F3 , F2 , F1‬و ‪ F4‬در نقطﺔ‬ ‫‪ O‬ﻳکدﻳگر را قطع مﻰکنند‪ .‬پس نقطﺔ ‪ O‬نقطﺔ تأثﻴر مشترک اﻳن قوهﻫا مﻰباشد و قوهﻫاى‬ ‫‪ F3 , F2 , F1‬و ‪ F4‬قوهﻫاى متﻼقﻰ گفتﻪ مﻰشوند‪.‬‬ ‫ﻫرگاه چند قوة متﻼقﻰ بر ﻳک جسم عمل نماﻳند‪ ،‬ﻳک قوة محصلﻪ را بﻪ وجود مﻰآورند کﻪ‬ ‫مقدار و سمت اﻳن قوه بﻪ صورت ﻫندسﻰ با استفاده از قواعد وکتورﻫا و ﻫم بﻪ صورت حسابﻰ‬ ‫با استفاده از قواعد الجبرى بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪F4‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل )‪(1-5‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪O‬‬

‫ﻣحصلﺔ قﻮهﻫا‬ ‫ﻫرگاه در عﻴن وقت‪ ،‬بﻴشتر از ﻳک قوه‪ ،‬بر جسمﻰ وارد شود‪ .‬در اﻳن حالت ﻳک سﻴستم قوهﻫا‬ ‫بر جسم عمل مﻰکند کﻪ بر حالت حرکت جسم تأثﻴر وارد مﻰکند و جمع وکتورى ﻫمﻪ‬ ‫قوهﻫاى مؤثر بر جسم را قوة محصلﻪ مﻰنامند و آن را بﻪ ‪ R‬نشان مﻰدﻫند‪.‬‬ ‫مﻰدانﻴم کﻪ قوهﻫا بر اساس قوانﻴن وکتورﻫا جمع مﻰشوند شکلﻫاى زﻳر نماﻳانگر اﻳن ادعاﻳﻰ‬ ‫ماست‪ .‬باﻳد بﻪ خاطرداشت کﻪ قوة محصلﻪ‪ ،‬ﻫمﻴشﻪ معادل بﻪ مجموع قوهﻫاى کﻪ باﻻى جسم‬ ‫عمل مﻰکند‪ ،‬شده نمﻰتواند؛ ﻳعنﻰ اﻳن مجموع را در ﻫر حالت با قوة محصلﻪ آنﻫا عوض کرده‬ ‫نمﻰتوانﻴم‪ ،‬بلکﻪ صرف در حالتﻰ اﻳن کار امکان پذﻳر است کﻪ قوهﻫا با ﻫم موازى باشند‪.‬‬

‫= ‪( R‬قوة محصلﻪ)‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫شکل )‪b (1-6‬‬ ‫محصلﺔ قوهﻫا‪ ،‬جمع وکتورى قوهﻫاﻳﻰ است کﻪ بر ﻳک جسم عمل مﻰکند‪ .‬باﻳد گفت کﻪ در‬ ‫حل پرسشﻫا بﻪ جاى ‪ R‬سمبول) ‪ ( F‬را نﻴز بﻪکار مﻰبرند و ﻫم قوة محصلﺔ ‪ R‬را بﻪ ‪Fnet‬‬ ‫نشان مﻰدﻫﻴم‪.‬‬ ‫درﻳافت ﻣحصلﺔ قﻮهﻫاى ﻣتﻼقﻰ بﻪ صﻮرت ﻫﻨدسﻰ‬

‫براى درﻳافت محصلﺔ قوهﻫاى متﻼقﻰ فعالﻴت زﻳر را اجرا مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫در ﻳک تجربﻪ‪ ،‬مطابق شکل مقابل دو قوة ‪ F1‬و ‪ F2‬بﻪ‬ ‫صورت ماﻳل‪ ،‬در سمتﻫاى مختلف بﻪ طرف باﻻ و قوة‬ ‫‪ Fr‬عمود بﻪ طرف پاﻳﻴن عمل مﻰکنند‪ .‬مقدار قوهﻫا‪،‬‬ ‫توسط وزنﻫاى کﻪ آوﻳزان شدهاند‪ ،‬تعﻴﻴن گردﻳده‬ ‫است‪ .‬اگر قوهﻫا را بﻪ حﻴث تﻴرﻫا رسم کنﻴم‪ ،‬ﻳک ﻫم‬ ‫آﻫنگﻰ سادة ﻫندسﻰ بﻪدست مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫چون نقطﺔ‪A‬در حالت سکون است‪،‬پس باﻳد ‪ Fr‬کﻪ‬ ‫محصلﺔ ‪ F1‬و ‪ F2‬است با قوه مساوى ولﻰ سمت مخالف‬ ‫داشتﻪ باشد‪ .‬اگر در رسم‪ ،‬وکتور ‪ Fr‬را در جﻬت مخالف‬ ‫و مساوى بﻪ طول خودش ادامﻪ دﻫﻴم‪ F ،‬را مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫از اﻳنجا دﻳده مﻰشود کﻪ وکتورﻫاى ‪ F1‬و ‪ F2‬متوازى‬ ‫اﻻضﻼعﻰ را تعﻴﻴن مﻰکنند کﻪ ‪ Fr‬وتر آن است‪.‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪7‬‬

‫شکل )‪(1-7‬‬

‫با استفاده از نتﻴجﺔ فعالﻴت باﻻ‪ ،‬محصلﺔ دو قوة غﻴر موازى را بﻪ صورت ﻫندسﻰ کﻪ بﻪنام‬ ‫قاعده متوازى اﻻضﻼع قوهﻫا ﻳاد شده است چنﻴن بﻴان مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫قاعده‪ :‬محصلﺔ دو قوة غﻴر موازى (متﻼقﻰ) کﻪ ﻳک زاوﻳﻪ باﻻى ﻳک جسم اثر مﻰکنند از‬ ‫مقدار و سمت وتر متوازى اﻻضﻼعﻰ بﻪدست مﻰآﻳد کﻪ توسط اﻳن دو قوه رسم مﻰشوند‪.‬‬ ‫اگر ما زاوﻳﻪﻳﻰ را کﻪ بﻴن دو قوه وجود دارد‪ ،‬تغﻴﻴر بدﻫﻴم‪ ،‬مقدار قوة محصلﻪ نﻴز تغﻴﻴر‬ ‫مﻰکند‪ .‬از اﻳن گفتﻪ‪ ،‬قاعدة دﻳگرى را بﻪدست آورده و آنرا چنﻴن بﻴان مﻰدارﻳم‪:‬‬ ‫قاعده‪ :‬مقدار قوة محصلﻪ نﻪ تنﻬا بﻪ مقدار دو قوه؛ بلکﻪ بﻪ‬ ‫وسعت زاوﻳﻪﻳﻰ کﻪ بﻴن خطوط تأثﻴر آن دو قوه‪ ،‬موجود‬ ‫است‪ ،‬نﻴز ارتباط دارد‪ .‬ارتباطﻰ را کﻪ بﻴن مقدار قوة‬ ‫محصلﻪ و وسعت زاوﻳﻪ بﻴن دو قوه وجود دارد‪ ،‬در فعالﻴت‬ ‫زﻳر تشرﻳح و مشاﻫده مﻰتوانﻴم‪.‬‬

‫‪R‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪)1-8‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در باﻻ گفتﻪ شد کﻪ مقدار قوة محصلﺔ دو قوهﻳﻰ کﻪ بر‬ ‫ﻳک جسم عمل مﻰکنند‪ ،‬نﻪ تنﻬا بﻪ مقدار دو قوه؛ بلکﻪ بﻪ‬ ‫وسعت زاوﻳﻪﻳﻰ کﻪ بﻴن قوهﻫا وجود دارد؛ نﻴز ارتباط دارد‪.‬‬ ‫اﻳن ﻳک قاعده است و ما آنرا در اﻳن فعالﻴت بﻪ صورت‬ ‫ترسﻴمﻰبﻪ اثبات رسانﻴده‪ ،‬مشاﻫده مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫قوة‬ ‫دو‬ ‫(‪(1-11‬‬ ‫در شکلﻫاى )‪ )1-10( ،)1-9‬و‬ ‫‪F1‬‬ ‫و‬ ‫و ‪ F‬در سﻪ حالت‪ ،‬تحت زواﻳاى ‪،‬‬ ‫باﻻى‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1-9‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻳک جسم عمل مﻰکنند‪ .‬براى ﻫر ﻳکﻰ از حاﻻت فوق‪ ،‬در‬ ‫حالﻰکﻪ قوهﻫا داراى عﻴن مقدار بوده و بزرگﻰ زاوﻳﻪ بﻴن‬ ‫آنﻫا تفاوت مﻰکند‪ ،‬ﻳک قوة محصلﻪ را با استفاده از شﻴوة‬ ‫تکمﻴل متوازى اﻻضﻼع بﻪدست مﻰآورﻳم‪ .‬وتر اﻳن متوازى‬ ‫اﻻضﻼع کﻪ مقدار قوة محصلﻪ را مﻰدﻫد‪ ،‬اندازه مﻰکنﻴم‬ ‫اﻳن وتر با وکتور قوهﻳﻰ ‪ F2 , F1‬داراى مبدا مشترک بوده و‬ ‫جﻬت آن از مبدا بﻪ طرف انجام است‪ .‬در شکلﻫا مﻼحظﻪ‬ ‫مﻰکنﻴد کﻪ مقدار محصلﺔ ‪ R‬در ﻫر ﻳکﻰ از شکلﻫا نظر بﻪ‬ ‫زاوﻳﺔ کﻪ قوهﻫا باﻫم مﻰسازند‪ ،‬متفاوت است‪ .‬طورىکﻪ‬ ‫مﻰبﻴنﻴم‪ ،‬ﻫر قدر زاوﻳﻪ بﻴن دو وکتور قوه کوچک باشد‬ ‫محصلﺔ آنﻫا بزرگتر و بر عکس ﻫر قدر زاوﻳﻪ بﻴن آنﻫا‬ ‫بزرگ باشد‪ ،‬محصلﺔ شان کوچکتر است‪ .‬اﻳن فعالﻴت را ﻫر‬ ‫گروه بﻪ طور جداگانﻪ انجام داده و نتاﻳج کار را بﻪ ﻫمصنفان‬ ‫خود گزارش دﻫد‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1-10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1-11‬‬

‫باﻳد گفت کﻪ مﻰتوان ﻫمﻴن نتﻴجﻪ را‪ ،‬با استفاده از قاعدة جمع وکتورﻫا (طرﻳقﺔ انتقال‬ ‫وکتورﻫا) نﻴز‪ ،‬بﻪدست آورد‪ .‬اﻳنک در شکلﻫاى )‪ (1-12‬و (‪ )1-13‬محصلﺔ قوهﻫاى را کﻪ‬ ‫بﻪ صورت متﻼقﻰ برﻳک جسم عمل نمودهاند‪ ،‬با استفاده از روش انتقال وکتور قوهﻫا چنﻴن‬ ‫بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫بﻪ انجام وکتور قوة اولﻰ ‪ ، F1‬ﻳک خط موازى را ﻫم استقامت با خط تأثﻴر قوة ‪ F2‬رسم مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫سپس برروى اﻳن خط‪ ،‬قطعﻪ خطﻰ را مساوى بﻪ طول وکتور قوة ‪ F2‬جدا و نشانﻰ مﻰکنﻴم و‬ ‫سپس از انجام ‪ F2‬موازى و مساوى بﻪ قوة ‪ F3‬خطﻰ را رسم مﻰنماﻳﻴم‪ .‬اگر انجام ‪ F3‬اﻳن قطعﻪ‬ ‫خط را بﻪ نقطﺔ آغاز ‪ F1‬وصل کنﻴم‪ ،‬خطﻰ کﻪ بﻪ وجود مﻰآﻳد محصلﺔ قوهﻫاى ‪ F2 ، F1‬و ‪F3‬‬ ‫مﻰباشد‪ .‬شکل)‪ (1-13‬بﻪ خاطر باﻳد داشت کﻪ قاعدة متوازى اﻻضﻼع و قاعدة جمع وکتورﻫا‬ ‫براى درﻳافت قوة محصلﻪ داراى ﻫمان نتﻴجﻪ مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪F3‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+F‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪)1-12‬‬ ‫‪Fr‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪=F‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪)1-13‬‬

‫‪F1 = F2‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪F3‬‬

‫اگر جسم در حال تعادل قرار داده شود‪ ،‬محصلﺔ قوهﻫا مساوى بﻪ صفر است و در نتﻴجﻪ‬ ‫مضلع قوهﻫا ﻳک مضلع بستﻪ است‪ ،‬شکل (‪ .)1-14‬در مضلع بستﻪ انجام قوة آخرى با نقطﺔ‬ ‫تأثﻴر آن قوه منطبق مﻰگردد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ R = o :‬و ﻳا ‪F = o‬‬ ‫‪F3‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F4‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪F3‬‬

‫شکل (‪)1-14‬‬

‫‪9‬‬

‫‪F4‬‬

‫ﻣثال‬ ‫ﻳک ستون‪ ،‬ﻳک وزن ‪ F1 = 3600N‬را مﻰبردارد‪ .‬در حﻴن زمان بر‬ ‫‪o‬‬ ‫اﻳن ستون‪ ،‬دو قوه کﻪ ﻳکﻰ آن ‪ F2 = 1200N‬تحت زاوﻳﺔ ‪ 40‬با ‪F1‬‬ ‫و قوة ‪ F3 = 1440N‬مطابق شکل تحت زاوﻳﺔ ‪ 55o‬با ‪ F1‬فشار وارد‬ ‫مﻰکنند حال مقدار و سمت قوة محصلﻪ را درﻳافت مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در نخست ﻳک واحد مقﻴاسﻰ طول براى قوه انتخاب‬ ‫مﻰکنﻴم‪ .‬بﻪ طور مثال ‪ 1cm = 1000 N‬را قبول مﻰکنﻴم‪ .‬سپس‬ ‫قوهﻫاى ‪ F2 , F1‬و ‪ F‬را بر اساس واحد مقﻴاسﻰ کﻪ قبول کردهاﻳم‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫با رعاﻳت سمت و مقدار شان‪ ،‬در ﻳک مضلع قوهﻫا انتقال‬ ‫مﻰدﻫﻴم‪ .‬طول محصلﺔ قوهﻫا از روى شکل مساوى بﻪ ‪5.3cm‬‬ ‫است‪ ،‬پس با استفاده از مقﻴاسﻰ کﻪ در باﻻ پذﻳرفتﻪ شد‪ ،‬دارﻳم‬ ‫کﻪ‪R :1000 N = 5.3cm :1cm , R = 5300 N :‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪55‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪40‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪F3‬‬ ‫‪FR‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪FR‬‬

‫شکل (‪)1-15‬‬

‫و زاوﻳﻪﻳﻰ کﻪ محصلﻪ با افق مﻰسازد‪ ،‬عبارت از ‪ 86o‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫درﻳافت ﻣحصلﺔ قﻮهﻫاى ﻣتﻼقﻰ بﻪ صﻮرت الجبرى‬ ‫ﻫرگاه دو قوة ‪ F1‬و ‪ F2‬برﻳک جسم طورى عمل کنند کﻪ خطوط تأثﻴر شان با ﻫم زاوﻳﺔ را‬ ‫بسازند شکل (‪ .)1-16‬در اﻳن صورت براى درﻳافت بزرگﻰ ﻳا مقدار محصلﻪ و سمت آن‪،‬‬ ‫متوازى اﻻضﻼع وکتورﻫاى آن دو قوه را تکمﻴل نموده و از روى آن محصلﻪ را سنجش‬ ‫مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪)1-16‬‬

‫در مثلث قاﻳم الزاوﻳﺔ ‪ ODC‬دﻳده مﻰشود کﻪ‪:‬‬ ‫‪OC 2 = R 2 = OD 2 + DC 2 ......................1‬‬ ‫‪OB = F1 , OD = OB + BD = F1 + BD‬‬

‫‪10‬‬

‫‪O‬‬

‫حاﻻ اگر قﻴمت) ‪ (OD‬را در رابطﺔ ‪ 1‬بگذارﻳم پس دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪R 2 = ( F1 + BD) 2 + DC 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪R 2 = F1 + 2 F1 BD + BD 2 + DC 2 ................2‬‬

‫از مثلث قاﻳم الزاوﻳﺔ ‪ BDC‬چنﻴن مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪= BD + DC 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪BC = F‬‬ ‫‪2‬‬

‫حال بﻪ عوض ‪ BD 2 + DC 2‬مقدار مساوى آن ﻳعنﻰ ) ‪ (F2 2‬را در رابطﺔ ‪ 2‬مﻰگذارﻳم‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R = F1 + 2 F1 BD + F2 ...................3‬‬

‫از مثلث ‪ BDC‬مقدار ‪ BD‬را درﻳافت نموده و در رابطﺔ ‪ 3‬وضع مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫‪BD = F 2 cos‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪+ 2 F 1 F 2 cos + F 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R = (F‬‬

‫‪2‬‬

‫‪F1 + F 2 2 + 2 F1 F2 cos‬‬

‫=‪R‬‬

‫ما گفتﻴم کﻪ مقدار قوة محصلﻪ بﻪ بزرگﻰ زاوﻳﻪاى کﻪ بﻴن دو قوه وجود دارد‪ ،‬ارتباط دارد‪.‬‬ ‫حاﻻ قﻴمت محصلﺔ ‪ R‬را نظر بﻪ قﻴمت مورد مناقشﻪ قرار مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫‪ .1‬اگر ‪ = 90 o‬باشد‪ ،‬پس ‪ cos 90 o = 0‬بوده و دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪+ 2F 1 F 2 × 0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R= F 1+F‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R= F 1+F‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪R2 = F + F‬‬

‫‪ .2‬اگر ‪ = 180o‬باشد‪ ،‬پس ‪ cos180o = 1‬بوده و مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫)‪R = F 21 + F 2 2 + 2 F1 F2 ( 1‬‬ ‫‪R = F 21 + F 2 2 2 F1 F2‬‬ ‫‪R = ( F1 F2 ) 2‬‬ ‫‪R = F1 F 2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪ .3‬ﻫرگاه ‪ = 0o‬باشد در آن صورت ‪ cos 0o = 1‬بوده و دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫)‪R = F 21 + F 2 2 + 2 F1 F2 (+1‬‬ ‫‪R = F 21 + F 2 2 + 2 F1 F2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪R = ( F1 + F2‬‬ ‫‪R = F1 + F2‬‬

‫ﻣثال‪ :‬شکل زﻳر را در نظر مﻰگﻴرﻳم‪ ،‬محصلﺔ قوهﻫا را با استفاده از رابطﻪﻳﻰ کﻪ آموختﻴم‬ ‫محاسبﻪ مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪F1 = 4N‬‬ ‫=‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F 2 = 5N‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪45‬‬

‫‪= 45o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪F2 = 5 N‬‬

‫= ‪cos 45o = 1 / 2‬‬

‫بنابر اﻳن دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R = F 21 + F2 + 2 F1 F2 cos‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫× ‪= (4 2 ) + (52 ) + 2 × 4 × 5‬‬

‫‪R = 16 + 25 + 20 2 = 41 + 20 2‬‬ ‫‪R = 41 + 20 ×1.414 = 41 + 28.28 = 69.28 = 8.32 N‬‬

‫‪4N‬‬

‫سؤال‬ ‫شکلﻫاى زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ در آنﻫا قوهﻫا بﻪ مقدارﻫاﻳﻰ کﻪ داده شده است‪ ،‬زﻳر‬ ‫زاوﻳﻪﻫاى مختلف بر جسم عمل مﻰکنند‪ .‬مقدار و سمت محصلﺔ قوهﻫا را بﻪ دو شﻴوة زﻳر‬ ‫بﻪدست آرﻳد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬طرﻳق محاسبوى (استفاده از فارمول)‬ ‫‪ - 2‬طرﻳق تکمﻴل متوازى اﻻضﻼع‬ ‫‪6N‬‬

‫‪60o‬‬

‫‪3N‬‬ ‫‪30o‬‬

‫‪2N‬‬

‫‪90o‬‬ ‫‪8N‬‬

‫‪12‬‬

‫‪120o‬‬

‫‪5N‬‬

‫‪2N‬‬

‫‪3N‬‬

‫قﻮهﻫاى کﻪ بر ﻧقاط ﻣختلف ﻳک جسﻢ تأثﻴر ﻣﻰکﻨﻨد‬ ‫ما در درس پﻴشتر تأثﻴرات قوهﻫاى متﻼقﻰ را کﻪ در وضعﻴتﻫاى مختلف بر جسم عمل‬ ‫مﻰکنند‪ ،‬مطالعﻪ کردﻳم‪ .‬ﻫمچنان با شﻴوهﻫاى درﻳافت محصلﺔ آنﻫا از نظر ترسﻴمﻰ و ﻫم‬ ‫محاسبوى آشناﻳﻰ حاصل کردﻳم‪.‬‬ ‫ﻳکﻰ از حاﻻت دﻳگرى کﻪ بﻴشتر در حوادث تخنﻴکﻰ پﻴش‬ ‫مﻰآﻳد‪ ،‬حالتﻰ است کﻪ اگر دو قوه بر دو نقطﺔ ﻳک جسم عمل‬ ‫کنند‪ ،‬چگونﻪ مﻰتوان محصلﺔ آنﻫا را بﻪ صورت ﻫندسﻰ بﻪدست‬ ‫آورد؟ در شکل (‪ )1-17‬دﻳده مﻰشود کﻪ دو قوة ‪ F 1‬و ‪ F 2‬بر دو‬ ‫نقطﺔ ‪ A‬و ‪ B‬ﻳک جسم اثر مﻰکنند‪ .‬اﻳن دو نقطﻪ‪ ،‬موقعﻴتﻫاى‬ ‫مختلف دارند‪ .‬چگونﻪ مﻰتوان محصلﺔ اﻳن دو قوه را بﻪدست‬ ‫آورد؟ از درسﻫاى پﻴشتر آموختﻴم کﻪ ﻳک قوه را مﻰتوان‬ ‫بر روى خط تأثﻴر آن تغﻴﻴر مکان داد‪ ،‬طورىکﻪ در سمت‬ ‫و مقدار آن ﻫﻴچ تغﻴﻴرى بﻪ وجود نﻴاﻳد‪ .‬با استفاده از ﻫمﻴن‬ ‫قاعده‪ ،‬خطوط تأثﻴر ﻫر دو قوه را تا نقطﺔ ‪ P‬امتداد مﻰدﻫﻴم تا‬ ‫ﻫمدﻳگر را قطع کنند‪ .‬از نقطﺔ ‪ P‬بر روى خطوط تأثﻴر ﻫر ﻳک‬ ‫از قوهﻫا‪ ،‬قوهﻫاى مساوى بﻪ آنﻫا را جدا مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫شکل (‪)1-17‬‬

‫کﻪ عبارتند از ‪ F 1‬و ‪ F 2‬براى درﻳافت قوة محصلﻪ از قاعدة متوازى اﻻضﻼع استفاده مﻰکنﻴم کﻪ‬ ‫قوة محصلﻪ ‪ F r‬بﻪدست مﻰآﻳد‪ .‬اﻳن محصلﻪ داراى خط تأثﻴر ‪ PC‬است و نقطﺔ تأثﻴر محصلﻪ را‬ ‫مﻰتوان طور کﻴفﻰ برروى خط تأثﻴر آن مث ً‬ ‫ﻼ در نقطﺔ ‪ C‬انتخاب کرد‪ .‬طورىکﻪ در شکل‪،‬‬ ‫‪ F r‬محصلﻪ را اراﻳﻪ مﻰکند‪.‬‬ ‫از اﻳن عملﻴﻪ‪ ،‬اﻳن نتﻴجﻪ ﻫم بﻪدست مﻰآﻳد کﻪ قوهء محصلﻪ داراى ﻫمان مقدار و ﻫمان‬ ‫جﻬت مﻰبود‪ ،‬اگر قوهﻫاى جزء (مرکبﻪﻫا) برجسم‪ ،‬درعﻴن نقطﻪ تاءثﻴر مﻰکردند‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫تﻤرﻳﻦﻫا‬ ‫‪ - 1‬محصلﺔ قوهﻫا چﻴست؟ براى تشکﻴل ﻳک محصلﻪ‪ ،‬موجودﻳت چند قوه حداقل ضرورى‬ ‫است‪ .‬از نظر رﻳاضﻰ محصلﻪ را چگونﻪ عﻼمت گذارى کردهاند؟‬ ‫‪ - 2‬بزرگﻰ و جﻬت تعدادى از قوهﻫا کﻪ باﻻى ﻳک جسمﻰبدون اصطکاک عمل مﻰکنند در‬ ‫شکلﻫاى ‪ a، b‬و ‪ c‬داده شده است‪ .‬قوة محصلﻪ را براى ﻫر ﻳک از حاﻻت داده شده پﻴدا‬ ‫کنﻴد‪.‬‬

‫‪ - 3‬در دﻳاگرام (‪ )d‬سﻪ قوه بر ﻳک جسم عمل مﻰکنند‪ .‬قوة محصلﻪ را کﻪ بر جسم وارد‬ ‫مﻰشود بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪sin 53o = cos 37o = 0.8, sin 37o = cos 53o = 0.6, sin 45o = cos 45o‬‬

‫‪ :1-3‬تعادل کتلﺔ ﻧقطﻪﻳﻰ‬ ‫پﻴش از آنکﻪ دربارة تعادل صحبت کنﻴم‪ ،‬ﻻزم است کﻪ در بارة کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ توضﻴحﻫاى‬ ‫داشتﻪ باشﻴم‪ .‬ما از درسﻫاى گذشتﻪ‪ ،‬کتلﺔ ﻳک جسم را مﻰشناسﻴم و مﻰدانﻴم کﻪ کتلﻪ‬ ‫عبارت از مقدار موادى است کﻪ در جسم‪ ،‬جابجا شده است و واحد اندازهگﻴرى آن کﻴلوگرام‬ ‫است‪ ،‬کﻪ در عمل ﻳک کﻴلوگرام کتلﻪ را‪ ،‬کتلﺔ ﻳک لﻴتر آب خالص در درجﺔ حرارت ‪4o C‬‬ ‫قبول نمودهاند‪ .‬اصطﻼح دﻳگرى کﻪ در موارد معﻴن در علم فزﻳک بﻪکار برده مﻰشود‪ ،‬عبارت‬ ‫از کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ است کﻪ بﻪ منظور‪ ،‬اﻳجاد سﻬولت در حل مساﻳل علم فزﻳک از آن استفاده‬ ‫مﻰشود‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫ کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ عبارت از کتلﺔ ﻳک جسم اﻳد آلﻰ است کﻪ گوﻳا تمام موادى کﻪ در ساختمان‬‫آن جسم بﻪکار رفتﻪ است‪ ،‬در ﻳک نقطﻪ متمرکز شده باشد‪.‬‬ ‫از اﻳن تعرﻳف معلوم مﻰشود کﻪ کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ موجودﻳت واقعﻰ ندارد و صرف براى انجام‬ ‫محاسبات و حل مساﻳل بﻪ صورت فرضﻰ پذﻳرفتﻪ شده است‪ .‬پس اﻳن پرسش بﻪ وجود‬ ‫مﻰآﻳد کﻪ در عمل چگونﻪ ﻳک کتلﻪ نقطﻪﻳﻰ را مﻰتوان تجسم کرد و نقش کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ در‬ ‫حل مساﻳل فزﻳکﻰ در چﻴست؟ ﻫر جسم حقﻴقﻰ کﻪ جسامت (بزرگﻰ) و شکل آن‪ ،‬ﻫنگام‬ ‫مطالعﺔ ﻳک مسئلﻪ مﻴخانﻴکﻰ نقشﻰ نداشتﻪ و قابل صرف نظر باشد‪ ،‬مﻰتواند بﻪ حﻴث ﻳک‬ ‫جسم ﻳا کتلﻪ نقطﻪﻳﻰ قبول گردد‪ .‬مثالﻫاى زﻳر موضوع را وضاحت بﻴشتر مﻰدﻫد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ﻫنگام محاسبﻪ حرکت سﻴارات بﻪ دور آفتاب‪ ،‬مﻰتوان سﻴارات را کتلﻪﻫاى نقطﻪﻳﻰ‬ ‫قبول کرد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬براى محاسبﻪ مدار پرواز ﻳک توپ تﻴنس‪ ،‬توپ را مﻰتوان بﻪ حﻴث ﻳک کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ‬ ‫پذﻳرفت‪.‬‬ ‫‪ - 3‬در مودل سادة اتمﻫاﻳدروجن‪ ،‬الکترون و پروتون را مﻰتوان بﻪ حﻴث کتلﻪﻫاى نقطﻪﻳﻰ‬ ‫قبول کرد‪ .‬باﻳد گفت کﻪ ما در عمل با سﻴستمﻫاﻳﻰ از کتلﻪﻫاى نقطﻪﻳﻰ سر و کار دارﻳم‪ ،‬کﻪ‬ ‫ﻫر سﻴستم داراى تعداد زﻳادى از کتلﻪﻫاى نقطﻪﻳﻰ ﻫستند‪ ،‬بﻪ طور نمونﻪ گازﻫا‪ ،‬ماﻳعات‪،‬‬ ‫اجسام ارتجاعﻰ (اﻻستﻴکﻰ)‪ ،‬اجسام جامد‪ ،‬اتمﻫا‪ ،‬مالﻴکولﻫا‪ ،‬سﻴستم سﻴارات‪ ،‬ﻫمﻪ اﻳنﻫا‬ ‫در موارد معﻴنﻰ بﻪ حﻴث کتلﻪﻫاى نقطﻪﻳﻰ قبول شده مﻰتوانند‪.‬‬ ‫تعادل عکس العﻤل ﻳک جسﻢ در برابر تأثﻴر ﻳک قﻮه‪ :‬پﻴش از اﻳن در مورد قوه‪،‬‬ ‫تأثﻴرات و انواع آن صحبت کردﻳم و گفتﻴم کﻪ قوه عاملﻰ است کﻪ ﻫر گاه بر ﻳک جسم تأثﻴر‬ ‫کند‪ ،‬مﻰتواند در حالت حرکت جسم تغﻴﻴر وارد کند‪ ،‬ﻳعنﻰ سمت و سرعت حرکت جسم‬ ‫را تغﻴﻴر دﻫد و ﻳا باعث تغﻴﻴر شکل جسم شود‪ .‬ما از تأثﻴرات قوه بر جسم صحبت کردﻳم‬ ‫ولﻰ از عکس العمل جسم در برابر تأثﻴر قوه تا حال چﻴزى نگفتﻪاﻳم‪ .‬ما اﻳن پرسش را تا‬ ‫حال پاسخ ندادهاﻳم کﻪ اگر ﻳک قوه بر ﻳک جسم عمل کند‪ ،‬آﻳا جسم در برابر تأثﻴر آن قوه‪،‬‬ ‫از خود چﻪ عکس العمل نشان مﻰدﻫد؟ وﻳا وقتﻰکﻪ ﻳک جسم در حالت سکون قرار دارد‪،‬‬ ‫بﻪ اﻳن معناست کﻪ ﻫﻴچ قوهﻳﻰ بر آن تأثﻴر نکرده است؟ شما مﻰدانﻴد کﻪ‪ ،‬ﻫر جسم داراى‬ ‫وزن است کﻪ آنرا قوة ثقل نام دادهاند‪ ،‬پرسش دﻳگر اﻳن است کﻪ آﻳا مﻰتوان تأثﻴر قوة وزن‬ ‫ﻳک جسم را باﻻى آن جسم از بﻴن برد؟ براى پاسخ دادن بﻪ اﻳن پرسشﻫا‪ ،‬فعالﻴتﻫاى زﻳر‬ ‫را انجام مﻰدﻫﻴم‪:‬‬

‫‪15‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪ - 1‬ﻳک جسم را از ﻳک فنر آوﻳزان مﻰکنﻴم‪ ،‬طورىکﻪ با قرار دادن‬ ‫دست خود در زﻳر آن قوة وزن جسم را احساس کنﻴم (حالت‪.)1‬‬ ‫‪ - 2‬با آﻫستﻪگﻰ دست خود را بﻪ طرف پاﻳﻴن مﻰکشانﻴم‪ ،‬ﻳک‬ ‫کمﻰاحساس سبکﻰ مﻰکنﻴم و در عﻴن وقت فنر بﻪ اثر قوة وزن‬ ‫جسم دراز مﻰشود (حالت‪.)2‬‬ ‫‪ - 3‬فنر با رسﻴدن بﻪ ﻳک موقعﻴت معﻴن‪ ،‬دﻳگر دراز نمﻰشود و جسم‬ ‫بﻪ حالت آزاد بﻪ فنر آوﻳزان مﻰماند (حالت‪.)3‬‬ ‫چرا جسم‪ ،‬دﻳگر قادر نﻴست کﻪ فنر را بﻪ طرف پاﻳﻴن بکشاند؟ براى‬ ‫پاسخ دادن بﻪ اﻳن پرسش فعالﻴت دومﻰ زﻳر را انجام مﻰدﻫﻴم‪.‬‬

‫شکل (‪)1-18‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻳک جسم (وزن کوچک) را بﻪ وسﻴلﺔ تار بﻪ فنر آوﻳزان مﻰکنﻴم‪ .‬دﻳده مﻰشود کﻪ فنر بﻪ اثر وزن جسم کش و دراز‬ ‫مﻰشود و بعد در ﻳک موقعﻴت معﻴن بﻪ وضعﻴت آرامش ﻳعنﻰ سکون مﻰرسد‪.‬‬ ‫در اﻳن حالت کﻪ جسم در حالت سکون قرار مﻰگﻴرد‪ ،‬بﻪ زودى تار را با ﻳک قﻴچﻰ مطابق شکل قطع مﻰکنﻴم‪ .‬چﻪ‬ ‫رخ مﻰدﻫد؟ دو تأثﻴر قوه بﻪ مشاﻫده مﻰرسد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وزنﺔ کوچک بﻪ زمﻴن سقوط مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬فنر بﻪ سرعت بﻪ طرف باﻻ خود را جمع مﻰکند و بﻪ حالت اولﻰ بر مﻰگردد‪ .‬از اﻳن وضعﻴت مﻰتوان نتﻴجﻪ‬ ‫گرفت کﻪ باﻳد دو قوه در کار دخﻴل بوده باشد‪.‬‬ ‫‪ )a‬قوة وزن وزنﺔ کوچک کﻪ در فنر آوﻳزان شده است‪.‬‬ ‫‪ )b‬قوهﻳﻰ کﻪ توانستﻪ است فنر را دوباره بﻪ حالت اولﻰ آن بر گرداند کﻪ بﻪ اﻳن قوه‪ ،‬قوة برگرداننده نام مﻰدﻫﻴم‪.‬‬ ‫اکنون بﻪ پرسش باﻻ کﻪ چرا فنر در مرحلﺔ آخر فعالﻴت قبلﻰ بﻪ اثر تأثﻴر‬ ‫وزن‪ ،‬دﻳگر دراز نشد‪ ،‬جواب داده مﻰتوانﻴم و بﻪ نتﻴجﻪ مﻰرسﻴم کﻪ ﻫر‬ ‫قدر با تأثﻴر وزن جسم بﻪ درازى فنر افزوده مﻰشود‪ ،‬بﻪ ﻫمان اندازه‪ ،‬فنر‬ ‫قوة بر گردانندة بﻴشتر را در خود انکشاف مﻰدﻫد کﻪ اﻳن قوة برگرداننده‬ ‫با وزن وزنﺔ کوچک در سمت مخالف قرار دارد‪ .‬در صورتﻰکﻪ ﻫر دو قوه‬ ‫ﻳعنﻰ وزن وزنﻪ و قوة برگردانندة فنر با ﻫم مساوى شوند‪ .‬در اﻳن حالت‬ ‫فنر دﻳگر دراز نشده و حالت سکون مسلط مﻰگردد‪ .‬در اﻳن حالت مﻰتوان‬ ‫گفت کﻪ‪ :‬قوة وزن جسم مساوى بﻪ قوة برگردانندة فنر است و چون قوة‬ ‫بر گردانندة فنر در جﻬت مقابل قوة وزن وزنﺔ کوچک بﻪ حﻴث ﻳک قوة‬ ‫قوة وزن= قوة متقابل‬ ‫متقابل عمل مﻰکند‪ .‬پس مﻰتوان گفت کﻪ‪:‬‬ ‫شکل (‪)1-19‬‬

‫‪16‬‬

‫قﻮة ﻣتقابل‬ ‫شما از تجارب باﻻ با مفﻬوم قوة متقابل (عکس العمل) آشنا شدﻳد و حاﻻ مﻰدانﻴد کﻪ اﻳن‬ ‫قوه در بﻪ وجود آوردن حالت تعادل مؤثر است‪.‬‬ ‫اگر ﻳک جسم در استقامت خط تأثﻴر قوهﻳﻰ کﻪ بر آن عمل کرده است‪ ،‬حرکت نکند‪ ،‬در اﻳن‬ ‫حالت‪ ،‬قوه صرف سبب تغﻴﻴر شکل در جسم مﻰشود‪ .‬پس از آنکﻪ تغﻴﻴر شکل در جسم‬ ‫صورت گرفت‪ ،‬جسم بار دﻳگر حتا اگر تأثﻴر قوه ﻫم ادامﻪ داشتﻪ باشد‪ ،‬بﻪ حالت اولﻰ ﻳعنﻰ‬ ‫بﻪ حالت آرامش بر مﻰگردد و اﻳن قوه کﻪ از خارج بر جسم اثر کرده است‪ ،‬دﻳگر نمﻰتواند‬ ‫سبب تأثﻴر جدﻳدى بر جسم شود‪ ،‬زﻳرا ﻳک قوة دﻳگر کﻪ از محل اتصال جسم مقابل‪ ،‬مث ً‬ ‫ﻼ‬ ‫دﻳوار‪ ،‬مﻴز وغﻴره بر جسم عمل مﻰکند‪ ،‬تأثﻴر قوة خارجﻰ را خنثﻰ مﻰکند‪ ،‬ﻳعنﻰ آنرا در‬ ‫تعادل مﻰآورد‪.‬‬ ‫قوه متقابل(قوه فنر)‬

‫در شکل دﻳده مﻰشود کﻪ قوة عاملﻰکﻪ توسط دست بﻪ وجود‬ ‫آمده با قوة متقابل فنر خنثﻰ مﻰشود و فنر را در حالت تعادل‬ ‫قرار مﻰدﻫد‪ .‬در اﻳن نماﻳش و در تجربﺔ بعدى مﻰتوان قوة متقابل‬ ‫را با دست احساس کرد‪ .‬قوة عامل و قوة متقابل با ﻫم مساوى؛‬ ‫ولﻰ داراى سمتﻫاى متقابل ﻫستند‪ .‬قوة عامل و ﻳا قوهﻳﻰ کﻪ از‬ ‫خارج بر جسم وارد شده است‪ ،‬دﻳگر نمﻰتواند سبب تأثﻴر گردد‪.‬‬ ‫زﻳرا اثر آن توسط قوة متقابل کﻪ توسط جسم سخت و محکم‬ ‫عمل مﻰکند‪ ،‬خنثﻰ شده و باعث تعادل آن مﻰگردد‪.‬‬

‫قوه دست‬

‫قﻮهﻳﻰ کﻪ تأثﻴر قﻮة اثر کﻨﻨده را بر جسﻢ خﻨثﻰ ساختﻪ و سبب تعادل‬ ‫و ﻳا تﻮازن در جسﻢ ﻣﻰگردد‪ ،‬بﻪ ﻧام قﻮة ﻣتقابل ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬

‫شکل (‪)1-20‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫ﻳک تختﺔ چوبﻰ کﻪ قرار شکل (‪ )1-21‬از دو انجام بر روى جسمﻰتکﻴﻪ داده شده و توسط دست در قسمت‬ ‫وسط آن قوه وارد شده است‪ ،‬دﻳده مﻰشود کﻪ تختﻪ با خمﻴده گﻰ کﻪ بﻪ اثر قوة دست حاصل کرده است‪،‬‬ ‫مقابلﻪ مﻰکند تا بﻪ حالت اولﻰ برگردد‪ .‬چرا چنﻴن واقع مﻰشود؟ در مورد با اعضاى گروه خود مناقشﻪ نموده‬ ‫نتاﻳج مباحث خود را بﻪ مقابل صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫شکل (‪)1-21‬‬

‫‪17‬‬

‫قوة متقابل ﻳا عکس العمل (‪ )reaction force‬ﻫمﻴشﻪ مساوى با قوة عمل (‪action‬‬ ‫‪ )force‬است‪ ،‬ولﻰ در جﻬت مخالف‪ .‬باﻳد گفت کﻪ ﻫرگاه جسمﻰ را در ﻳک نقطﻪ محکم‬ ‫بستﻪ کنﻴم‪ ،‬قوة عکس العمل در نقطﺔ اتصال‪ ،‬خود بﻪ خود بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ .‬بﻪ اﻳن معنﻰ‬ ‫کﻪ تأثﻴر ﻳک قوة بدون پﻴداﻳش قوة عکس العمل نا ممکن است‪ .‬وضاحت اﻳن موضوع را در‬ ‫حالتﻫاى اول و دوم تجربﻪﻫاى زﻳر بﻪ خوبﻰ دﻳده مﻰتوانﻴد‪.‬‬

‫شکل (‪)1-22‬‬

‫شکل (‪)1-23‬‬

‫حالت اول‬ ‫قوة کشش باﻻى تار توسط دو وزن آوﻳزان شده‬

‫حالت دوم‬ ‫قوة کشش باﻻى تار توسط ﻳک وزن آوﻳزان شده‬

‫در حالت اولﻰ ﻫم قوة عمل‪ ،‬وﻫم قوة عکس العمل ( ‪ F1‬و ‪ ) F2‬ﻫر دو بﻪ وسﻴلﺔ دو وزنﻰ کﻪ‬ ‫آوﻳزان شدهاند‪ ،‬بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ .‬در حالت دومﻰ‪ ،‬قوة کﻪ بﻪ اثر اتصال مﻴلﻪ بﻪ وجود مﻰآﻳد‪،‬‬ ‫توسط قوة عکس العملﻰ کﻪ توسط وزن آوﻳزان شدة ) ‪ ( F2‬بﻪ وجود آمده است‪ ،‬وزنﻪ را در‬ ‫تعادل قرار داده است‪ .‬از نتﻴجﺔ شرح دادن باﻻ مفﻬوم تعادل را مﻰتوان چنﻴن خﻼصﻪ کرد‪:‬‬ ‫ﻫرگاه ﻳک قوه بر جسمﻰ کﻪ در ﻳک نقطﻪ محکم بستﻪ شده باشد‪ ،‬تأثﻴر کند‪ ،‬اﻳن جسم‬ ‫تنﻬا زﻳر تأثﻴر اﻳن قوه قرار نداشتﻪ‪ ،‬بلکﻪ قوة دﻳگرى ﻫم بر آن تأثﻴر دارد‪ ،‬کﻪ آن عبارت از‬ ‫قوة متقابل است‪ .‬چون اﻳن ﻫر دو قوه تأثﻴرات ﻳکدﻳگر را برابر ﻫم از بﻴن مﻰبرند‪ ،‬بنابر اﻳن‬ ‫حرکتﻰ بﻪ وجود نمﻰآﻳد و صرف بﻪ سبب بﻪ وجود آمدن قوة متقابل‪ ،‬تغﻴﻴرى در شکل جسم‬ ‫پدﻳدار مﻰگردد‪ .‬اگر قوة عامل و قوة متقابل کﻪ آنﻫا را عمل و عکس العمل ﻫم مﻰگوﻳند‪،‬‬ ‫داراى مقدارﻫاى مساوى ولﻰ سمتﻫاى مخالف باشند‪ ،‬ﻫر دو قوه مﻰتوانند سبب تغﻴﻴر‬ ‫شکل جسم شوند‪ ،‬ولﻰ حالت حرکت جسم را تغﻴﻴر داده نمﻰتوانند و جسم در حالت سکون‬ ‫مﻰماند کﻪ بﻪ عبارة دﻳگر مﻰگوﻳند‪ ،‬قوهﻫا در تعادل ﻫستند‪ .‬عﻴن قانونمندى در حالت‬ ‫عملکرد دو قوه ﻳا بﻴشتر از دو قوه نﻴز صدق مﻰکند‪ ،‬بﻪ اﻳن معنﻰ کﻪ ﻫرگاه دو ﻳا بﻴشتر از‬ ‫دو قوه بر ﻳک جسم اثر کنند و سبب تغﻴﻴر در حالت حرکت جسم نشوند‪ ،‬ﻳا اﻳنکﻪ قوهﻫاى‬ ‫عامل بر جسم‪ ،‬تأثﻴرات ﻳکدﻳگر را خنثﻰ سازند‪ ،‬در اﻳن صورت گفتﻪ مﻰشود کﻪ جسم ﻳا‬ ‫قوهﻫا در حالت تعادل قرار دارند‪ .‬باﻳد توجﻪ کرد‪ ،‬ﻫمﻪ اشﻴاء و اجسامﻰکﻪ در محﻴط ماحول‬ ‫ما ﻫستند‪ ،‬تاحدى ﻫمﻪ در حالت سکون قرار دارند‪ .‬بودن آنﻫا در حالت سکون‪ ،‬بﻪ سببﻰ‬ ‫نﻴست کﻪ گوﻳا قوهﻳﻰ بر آنﻫا اثر نمﻰکند‪ ،‬بلکﻪ دلﻴل سکون آنﻫا اﻳن است‪ ،‬کﻪ ﻫمﺔ اﻳن‬ ‫قوهﻫا تأثﻴرات ﻳکدﻳگر را بر طرف ساختﻪ و اجسام را در حالت تعادل قرار دادهاند‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫حاﻻت تعادل در اجسام و پاﻳدارى‬ ‫پﻴش از اﻳنکﻪ‪ ،‬دربارة انواع حاﻻت تعادل و پاﻳدارى چﻴزى بگوﻳﻴم‪ ،‬ﻻزم است بﻪ ﻳاد بﻴاورﻳم‬ ‫کﻪ در درسﻫاى از اﻳن پﻴش دربارة مرکز ثقل در اجسام مطالبﻰ را آموختﻪ بودﻳم‪ .‬اکنون‬ ‫براى درک بﻴشتر مفﻬوم تعادل و انواع آن و ﻫمچنان شناخت حاﻻت پاﻳدارى اجسام‪ ،‬ﻻزم‬ ‫است بﻪ طور فشرده بر موضوع مرکزثقل مرور دوباره کنﻴم‪ .‬اگر ﻳک جسم را مطابق شکل‬ ‫(‪ )1-24‬از نقاط مختلف آن (‪ A، B‬و ‪ )C‬آوﻳزان کنﻴم‪ ،‬مشاﻫده خواﻫﻴد کرد کﻪ جسم پس از‬ ‫ﻳک حرکت نوسانﻰ کوتاه بﻪ ﻳک حالت معﻴنﻰ قرار مﻰگﻴرد‪ .‬توجﻪ نماﻳﻴد کﻪ در روى جسم‬ ‫ﻳک نقطﺔ ثابتﻰ (نقطﺔ ‪ )S‬وجود دارد کﻪ موقعﻴت خود را در ﻫر حالت تغﻴﻴر نمﻰدﻫد‪ .‬اﻳن‬ ‫نقطﺔ ثابت ‪ S‬نقطﺔ تأثﻴر محصلﺔ قوهﻫاى ثقل ﻫمﻪ ذرات جسم است‪ ،‬زﻳرا در جسم صرف‬ ‫ﻳک نقطﻪ با اﻳن خاصﻴت وجود دارد کﻪ جسم در ﻫر موقعﻴت توسط مومنت دوران قوة ثقل‪،‬‬ ‫در ﻳک موقعﻴت عمودى کﻪ در زﻳر نقطﺔ تأثﻴر قوهﻳﻰ کﻪ در آن آوﻳختﻪ شده است‪ ،‬قرار‬ ‫مﻰگﻴرد‪.‬‬ ‫چون در اﻳن نقطﻪ مجموع قوهﻫاى ثقل کل جسم‬ ‫تأثﻴر مﻰکند‪ ،‬اﻳن نقطﻪ را مرکز ثقل جسم مﻰنامند‬ ‫و خطوطﻰ کﻪ از اﻳن نقطﻪ عبور مﻰکند بﻪ نام خطوط‬ ‫ثقل ﻳاد مﻰشوند‪ .‬مﻰتوان چنﻴن فکر کرد کﻪ تمام کتلﺔ‬ ‫جسم در مرکز ثقل آن جسم‪ ،‬متمرکز شده است‪.‬‬ ‫شکل (‪ )1-24‬تعﻴن مرکز ثقل ﻳک جسم‬

‫حاﻻت تعادل‪ :‬شناخت مرکز ثقل ما را کمک مﻰکند کﻪ حاﻻت تعادل را بﻪ سادهگﻰ مورد‬ ‫مطالعﻪ قرار دﻫﻴم‪ .‬ﻳک جسم وقتﻰ در حالت تعادل است کﻪ با وجود تأثﻴر قوهﻫا باﻻى آن باز‬ ‫ﻫم در حالت سکون قرار داشتﻪ باشد‪ .‬چون در ﻫر جسم قوة ثقل ﻳا قوة جاذبﺔ زمﻴن بﻪ مرکز‬ ‫ثقل آن عمل مﻰکند و جسم را بﻪ طرف پاﻳﻴن مﻰکشاند‪ ،‬بنابرآن حالت تعادل وقتﻰ برقرار‬ ‫بوده مﻰتواند کﻪ مرکز ثقل نتواند بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت کند‪ .‬اگر ﻳک جسم بﻪ نقطﻪﻳﻰ‬ ‫بستﻪ نشده باشد‪ ،‬بلکﻪ برروى سطح پاﻳﻴنﻰ خود قرار داشتﻪ باشد‪ ،‬براى حرکتﻫاى ممکنﺔ‬ ‫اﻳن جسم‪ ،‬سﻪ حالت زﻳر را مطالعﻪ و از ﻫم تفکﻴک کرده مﻰتوانﻴم‪:‬‬ ‫حالت اول‪ -‬وقتﻰکﻪ جسم از اثر ﻳک قوه از حالت تعادل خارج ساختﻪ شود و پس از آنکﻪ‬ ‫از قﻴد تأثﻴر قوه آزاد شود‪ ،‬بتواند پس بﻪ حالت اولﻰ خوﻳش برگردد‪ .‬مخروطﻰ کﻪ از قاعده‬ ‫بر سطح زمﻴن ﻳا روى مﻴز گذاشتﻪ شده است وﻳا جسم کرهﻳﻰ کﻪ در بﻴن ﻳک ظرف مقعر‬ ‫قرار گرفتﻪ باشد‪ ،‬مثالﻫاى از اﻳن حالت را نشان مﻰدﻫند‪ ،‬شکل (‪.)1-25‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪19‬‬

‫شکل (‪ )1-25‬تعادل پاﻳدار‬

‫اﻳن نوع تعادل را تعادل پاﻳدار (‪ )stable‬مﻰنامند‪ .‬اﻳن نوع تعادل‪ ،‬در ﻫمﺔ حاﻻتﻰ بﻪکار‬ ‫مﻰرود کﻪ ضرورت است‪ ،‬اشﻴاء در وضع مطمئن سکون قرار داده شوند‪.‬‬ ‫حالت دوم‪ -‬در ﻫمﻪ حرکتﻫاﻳﻰ کﻪ ارتفاع مرکزثقل جسم در‬ ‫ﻫنگام حرکت از سطح قاعدة آن تغﻴﻴر نکند و جسم در موقعﻴت‬ ‫نو خوﻳش باز ﻫم در حالت تعادل قرار بگﻴرد؛ ﻳعنﻰ حالت تعادل‬ ‫خوﻳشرا حفظ کند؛ مانند‪ :‬ﻳک توپ ﻳا مخروطﻰ کﻪ باﻻى سطح‬ ‫جانبﻰاش روى مﻴز قرار داده شود‪ .‬اﻳن نوع تعادل را تعادل بﻰ تفاوت‬ ‫ﻳا (‪ )indifferent‬مﻰگوﻳند‪ .‬از اﻳن گونﻪ حالت تعادل وقتﻰ استفاده‬ ‫مﻰشود کﻪ ضرورت است‪ ،‬اشﻴاى متحرک باشد‪ ،‬بﻪ طور نمونﻪ در‬ ‫وساﻳط ترانسپورتﻰ و ﻳا در محورﻫاى دورانﻰ‪ ،‬شکل (‪.)1-26‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪+‬‬

‫شکل (‪ )1-26‬تعادل بﻰ تفاوت‬

‫حالت سﻮم‪ -‬اگر جسم با اندک حرکت‪ ،‬از حالت تعادل بﻴجا شود و نتواند دوباره بﻪ حالت‬ ‫اولﻰ خود برگردد‪ ،‬تعادل را نا پاﻳدار گوﻳند‪ .‬بﻪ طور مثال اگر ﻳک کرة کوچک در بلندترﻳن‬ ‫نقطﺔ ﻳک جسمﻰبا سطح فوقانﻰ محدب قرار داده شود و ﻳا مخروطﻰ کﻪ از رأس آن روى‬ ‫زمﻴن تکﻴﻪ کرده باشد‪ ،‬اﻳن اجسام مطابق شکل (‪ )1-27‬با اندک تکان ﻳا لرزش از وضع‬ ‫تعادل خارج مﻰشوند‪ .‬از ﻫمﻴن جﻬت است کﻪ حاﻻت تعادل ناپاﻳدار از لحاظ تخنﻴکﻰ مورد‬ ‫استعمال ندارند‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪+‬‬

‫شکل (‪ )1-27‬تعادل ناپاﻳدار‬

‫سؤال‬ ‫ﻳک خط کش در ســﻪ حالت (‪ )a,b,c‬مطابق شــکل از نقاط مختلف بر ﻳک پاﻳﻪ آوﻳزان‬ ‫شــده است‪ .‬خط کش در وضعﻴتﻫاى باﻻ در حالتﻫاى پاﻳدار‪ ،‬بﻰ تفاوت و ناپاﻳدار دﻳده‬ ‫مﻰشود‪ .‬خصوصﻴت ﻫر ﻳک از حاﻻت را بﻴان نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪S H‬‬

‫نقطﺔ دوران‬

‫‪H‬‬

‫نقطﺔ دوران = مرکز ثقل‬ ‫‪S‬‬

‫‪S‬‬

‫مرکز ثقل‬

‫‪H‬‬

‫تعادل پاﻳﻪ دار‬

‫تعادل بﻰتفاوت‬

‫‪20‬‬

‫نقطﺔ دوران تعادل نا پاﻳﻪ دار‬

‫پاﻳدارى‬ ‫اجسامﻰکﻪ مرکزثقل آنﻫا باﻻتر از سطح زﻳرﻳن اتکاى شان قرار داشتﻪ وخط عمود از‬ ‫مرکز ثقل از سطح اتکاى شان خارج نشود‪ ،‬در حالت تعادل پاﻳدار قرار دارند؛ زﻳرا در اثناى‬ ‫چپﻪ شدن مرکز ثقل آنﻫا تغﻴﻴر موقعﻴت داده باﻻ مﻰرود‪ .‬پاﻳدارى در ﻳک جسم ﻫمﻴشﻪ‬ ‫داراى ﻫمان قﻴمت نمﻰباشد‪ .‬ﻳک جسم (مکعب مستطﻴل) اگر بر سطح جانبﻰ بزرگتر‬ ‫خوﻳش اتکاء داشتﻪ باشد‪ ،‬داراى ﻳک قﻴمت پاﻳدارى است‪ ،‬در حالﻰکﻪ اگر بر سطح جانبﻰ‬ ‫کوچکترش اتکاء داشتﻪ باشد‪ ،‬پاﻳدارى آن قﻴمت دﻳگرى را خواﻫد گرفت‪.‬‬ ‫(ﻫر قدرىکﻪ مرکزثقل جسم پاﻳﻴنتر‪ ،‬وزن جسم بﻴشتر و سطح اتکاى جسم بزرگتر باشد‪،‬‬ ‫پاﻳدارى آن جسم بﻴشــتر مﻰباشد‪ ).‬از سﻪ شرطﻰ‬ ‫کﻪ در باﻻ گفتﻴم‪ ،‬بﻴشتر براى زﻳاد ساختن پاﻳدارى‬ ‫جسم استفاده مﻰکنند‪ .‬چنانکﻪ اگر بﻪ سطح پاﻳﻴنﻰ‬ ‫ﻳک جســم مطابق شــکل (‪ )1-28‬پاﻳﺔ سنگﻴن و‬ ‫عرﻳضــﻰ اضافﻪ کنﻴــم‪ ،‬موقعﻴت مرکز ثقل جســم‬ ‫پاﻳﻴن مﻰافتد‪ ،‬وزن جسم زﻳاد مﻰشود و در نتﻴجﻪ‬ ‫پاﻳدارى جسم ارتقا مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫شکل (‪)1-28‬‬

‫‪ :1-4‬ﻣﻮﻣﻨت قﻮه (تﻮرک)‬ ‫ما مﻰدانﻴم کﻪ قوهﻫا‪ ،‬بﻪ شکلﻫاى مختلف مﻰتوانند بر اجسام‪ ،‬تأثﻴر کنند؛ بﻪ طور مثال‬ ‫قوهﻫاى متﻼقﻰ کﻪ از اﻳن پﻴش محصلﺔ آنﻫا را بﻪ صورت ﻫندسﻰ و ﻫم بﻪ صورت محاسبوى‬ ‫پﻴدا کردﻳم و دانستﻴم کﻪ مقدار قوة محصلﺔ دو ﻳا بﻴشتر از دو قوة متﻼقﻰ بستﻪگﻰ بﻪاندازة‬ ‫زاوﻳﻪﻳﻰ دارد کﻪ بﻴن خطوط تأثﻴر اﻳن قوهﻫا تشکﻴل مﻰشود‪ .‬ما دﻳدﻳم کﻪ اگر ﻳک قوه بر جسم‬ ‫تأثﻴر کند‪ ،‬جسم در برابر آن قوه عکس العمل نشان مﻰدﻫد و از اﻳنجا بﻪ موجودﻳت قوة متقابل‬ ‫پﻰ بردﻳم و نقش قوة متقابل را در پﻴداﻳش حالت تعادل دانستﻴم‪ .‬از آنچﻪ کﻪ گفتﻪ شد‪ ،‬واضح‬ ‫مﻰگردد کﻪ قوه در ﻫر ﻳک از حاﻻت باﻻ‪ ،‬اثرات معﻴنﻰ را بر جسم وارد مﻰکند‪ .‬در بﻴشتر حاﻻت‬ ‫وقتﻰ کﻪ قوه بر جسم اثر مﻰکند‪ ،‬مﻰتواند سبب حرکت جسم در امتداد ﻳک فاصلﻪ شود‪ .‬اما‬ ‫تأثﻴرات قوه مﻰتواند‪ ،‬بر جسم نوع دﻳگر حرکت را نﻴز تولﻴد کند‪.‬‬ ‫بﻪ طور مثال جسمﻰرا در نظر بگﻴرﻳد کﻪ بﻪ ﻳک محور اتکاء داشتﻪ باشد‪ .‬ﻫنگامﻰکﻪ قوه بر‬ ‫آن تأثﻴر کند‪ ،‬در اﻳن حالت‪ ،‬قوه‪ ،‬جسم را بﻪ حول محور‪ ،‬بﻪ حرکت دورانﻰ مﻰچرخاند‪.‬‬ ‫اثرى را کﻪ توسط قوه در حرکت دورانﻰ بروز مﻰکند‪ ،‬بﻪنام مومنت قوه ﻳا مومنت دوران و ﻳا‬ ‫ﻫم تورک مﻰنامند‪ .‬مومنت قوه را بﻪ ‪ M‬و تورک را بﻪ حرف ﻳونانﻰ ( ) نشان مﻰدﻫند‪.‬‬ ‫با اراﻳﺔ مثال زﻳر دربارة مفﻬوم مومنت قوه وضاحت بﻴشتر مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫مشکل است ﻳک پﻴچ را با دست‪ ،‬خوب محکم کرد‪ .‬در حالﻰکﻪ آنرا مﻰتوان با ﻳک رنچ بﻪ‬ ‫آسانﻰ محکم نمود‪ .‬سبب آن اﻳن است کﻪ رنچ‪ ،‬ﻳک اثر دورانﻰ بزرگ را تولﻴد مﻰکند‪ ،‬شکل‬ ‫(‪.)1-29‬‬

‫‪21‬‬

‫ﻧقطﻪﻳﻰ کﻪ قﻮه‪ ،‬جسﻤﻰ را بﻪ گرداگرد آن بﻪ دوران ﻣﻰآورد‪ .‬بﻪﻧام ﻧقطﺔ دوران ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫در شکل‪ ،‬رﻧچ پﻴچ را بﻪ دوران ﻣﻰآورد‪.‬‬ ‫ﻳک قﻮه ﻣﻰتﻮاﻧد ﻣﻮﻣﻨتﻫاى ﻣختلفﻰ را کﻪ بﻪ ﻣﻮقعﻴت‬ ‫ﻧقطﺔ تأثﻴر و سﻤت آن قﻮه ارتباط دارد بر ﻳک جسﻢ وارد‬ ‫کﻨد‪ .‬ﻣا در شکل ذﻳل چﻬار حالت را دﻳده ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ‪ .‬در‬ ‫ﻫر ﻳکﻰ از حاﻻت چﻬارگاﻧﻪ‪ ،‬ﻣﻴلﻪ طﻮر آزاداﻧﻪ بﻪ حﻮل‬ ‫شکل (‪ )1-29‬ﻣحکﻢ کردن پﻴچ تﻮسط رﻧج‬ ‫ﻧقطﺔ ‪ O‬دوران ﻣﻰتﻮاﻧد‪.‬‬ ‫ﻣﻮﻣﻨتﻰ کﻪ در حالت ‪ a‬عﻤل ﻣﻰکﻨد‪ ،‬بزرگتر است از ﻣﻮﻣﻨتﻰ کﻪ بر ﻣﻴلﻪ در حالت ‪ b‬عﻤل‬ ‫ﻣﻰﻧﻤاﻳد‪ ،‬در حالﻰکﻪ در ﻫر دو حالت ﻣقدار قﻮه ﻣساوى است‪.‬‬

‫شکل (‪)1-30‬‬

‫در شکلﻫاى ‪ a‬و ‪ c‬کﻪ قﻮهﻫا در ﻫﻤان ﻧقطﻪ عﻤل ﻣﻰکﻨﻨد‪ ،‬چﻮن ﻣقدار قﻮهﻫا ازﻫﻢ ﻣتفاوت‬ ‫ﻣﻰباشد‪ ،‬حادثﺔ دوران ﻧﻴز از ﻫﻢ ﻣتفاوت است‪ .‬ﻣﻮﻣﻨتﻰ کﻪ در جسﻢ در حالت ‪ d‬عﻤل‬ ‫ﻣﻰکﻨد‪ ،‬ﻣساوى بﻪ ‪ 0‬است؛ زﻳرا در اﻳﻦ حالت قﻮه بﻪ فاصلﻪ و زاوﻳﺔ صفر بر جسﻢ عﻤل‬ ‫ﻣﻰکﻨد و سر اﻧجام ﻣﻰتﻮان گفت کﻪ اثر ﻳا ﻣﻮﻣﻨتﻰ را کﻪ ﻳک قﻮه در حادثﺔ دوران تﻮلﻴد‬ ‫ﻣﻰکﻨد‪ ،‬بﻪ سﻪ پاراﻣتر ارتباط دارد‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻣقدار قﻮه‬ ‫‪ .2‬فاصلﻪ بﻴﻦ ﻧقطﺔ تأثﻴر قﻮه و ﻣحﻮر دوران و ﻳا خطﻰ کﻪ جسﻢ بﻪ گرداگر آن دور ﻣﻰزﻧد و‬ ‫بﻪ حرف (‪ )d‬ﻧشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪ .3‬زاوﻳﻪﻳﻰ) ( کﻪ بﻴﻦ وکتﻮر قﻮه و خطﻰ کﻪ ﻣحﻮر را با ﻧقطﺔ تأثﻴر قﻮه وصل ﻣﻰکﻨد‪ ،‬قرار‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫اگر ﻳک قﻮه ﻣطابق شکل (‪ )1-31‬باﻻ طﻮر عﻤﻮدى بر خط ارتباطﻰ ﻧقطﺔ دوران و ﻧقطﺔ‬ ‫تأثﻴر قﻮه بر ﻳک جسﻢ عﻤل کﻨد‪ ،‬ﻳعﻨﻰ ‪ F d‬باشد‪ ،‬در اﻳﻦ حالت ﻣﻮﻣﻨتﻰ کﻪ اﻳﻦ قﻮه تﻮلﻴد‬ ‫ﻣﻰکﻨد‪ ،‬داراى قﻴﻤت اعظﻤﻰ ﻣﻰباشد کﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﻣﻨت را بﻪ رﻳاضﻰ چﻨﻴﻦ افاده ﻣﻰکﻨﻨد‪:‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪M = F d ..........(F‬‬

‫‪22‬‬

‫شکل (‪ )1-31‬ﻣﻮﻣﻨت صفر است‪ ،‬زﻳرا خط‬ ‫تأثﻴر قﻮه از ﻧقطﺔ دوران عبﻮر ﻣﻰکﻨد‪.‬‬

‫اگر قوه بر جسم موازى با خطﻰ کﻪ نقطﺔ تأثﻴر قوه را با نقطﺔ دوران وصل مﻰکند‪ ،‬عمل کند‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ) ‪ (F // d‬باشد‪ ،‬در آن صورت مومنتﻰ را کﻪ اﻳن قوه تولﻴد مﻰکند‪ ،‬مساوى بﻪ صفر‬ ‫است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ M = 0 :‬شکل (‪.)1-32‬‬ ‫شکل (‪)1-32‬‬

‫بﻪ صورت عموم‪ ،‬ﻳک قوه ﻫمﻴشﻪ بﻪ دو مرکبﺔ خود تجزﻳﻪ شده مﻰتواند کﻪ ﻳکﻰ آن موازى‬ ‫و دﻳگرش عمود بر خطﻰ است کﻪ نقطﺔ دوران را با نقطﺔ تأثﻴر قوه وصل مﻰکند‪.‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪ )1-33‬وقتﻰکﻪ قوه بر جسم عمل کند‬ ‫و خط تأثﻴر قوه برمحور دوران عمود باشد‪.‬‬ ‫مومنتﻰ کﻪ قوه وارد مﻰکند‪ ،‬اعظمﻰ است‪.‬‬

‫چنانکﻪ در شکل )‪ (1-33‬دﻳده مﻰشود‪ ،‬مومنتﻰ کﻪ توسط قوة ‪ F‬تولﻴد مﻰشود‪ ،‬مساوى‬ ‫بﻪ مومنتﻰ است کﻪ مرکبﺔ عمودى ﻫمﻴن قوه ) ‪ ( F1‬کﻪ بر فاصلﺔ نقطﺔ تأثﻴر تا محور دوران‬ ‫عمود مﻰباشد‪ ،‬بﻪ وجود آورده است‪ .‬زﻳرا مومنت مرکبﺔ دومﻰ ) ‪ ( F2‬کﻪ با خط اتصال موازى‬ ‫مﻰباشد‪ ،‬صفر است ﻳعنﻰ‪ M 2 = F2 0 = 0 :‬در صورتﻲکﻪ‪:‬‬ ‫‪M = M1 = F d‬‬ ‫‪M = F d sin‬‬

‫در رابطﺔ باﻻ‪،‬‬ ‫مﻰکند‪.‬‬

‫‪M = ( F sin ) d‬‬

‫زاوﻳﻪ بﻴن قوه و خطﻰ است کﻪ نقطﺔ دوران را با نقطﺔ تأثﻴر قوه وصل‬

‫ﻣثال‬ ‫قوة ‪ 15N‬بر مﻴلﻪﻳﻰ کﻪ ‪ 0.2‬متر طول دارد‪ ،‬مطابق شکل عمل مﻰکند‪ .‬حال مومنتﻰ را‬ ‫‪o o‬‬ ‫‪o o‬‬ ‫‪(cos‬است‪.‬‬ ‫‪(cos3737‬‬ ‫‪sin‬و ‪==0.08.8‬‬ ‫‪sin3737‬‬ ‫درﻳافت مﻰکنﻴم کﻪ اﻳن قوه تولﻴد مﻰکند‪==0.06.)6).‬‬

‫‪23‬‬

‫حل‬ ‫قوة مرکبﺔ ‪ Fx‬سبب تولﻴد مومنت نمﻰشود‪ .‬قوة مرکبﻪ بﻪ امتداد محور ‪ (Fy )،y‬را کﻪ بر رنچ‬ ‫عمود است و حرکت دورانﻰ را در جﻬت عقرب ساعت بﻪ وجود مﻰآورد‪ ،‬چنﻴن بﻪدست‬ ‫مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪Fy = F sin 37‬‬

‫‪Fy = (15 N ) × 0.6 = 9 N‬‬

‫‪M = Fy d‬‬ ‫‪M = (9 N ) (0.2m) = 1.8 Nm‬‬

‫شکل (‪)1-34‬‬

‫تﻮرک (ﻣﻮﻣﻨت) ﻣحصلﻪ و جﻬت دوران‬ ‫اگر تعدادى از قوهﻫا بر ﻳک جسم تأثﻴر کنند‪ ،‬حاصل جمع مومنتﻫاﻳﻰکﻪ از تأثﻴر ﻫر ﻳکﻰ‬ ‫از قوهﻫا نظر بﻪ عﻴن نقطﺔ دوران بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ ،‬مجموعﻪ ﻳا حاصل جمع تمام مومنتﻫا‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫مخالف عقرب ساعت‬

‫شکل (‪)1-35‬‬

‫موافق عقرب ساعت‬

‫در شکل )‪ (1-35‬دو قوة ‪ F1‬و ‪ F2‬را مﻰبﻴنﻴم کﻪ بر ﻳک دروازه عمل نموده و سبب دوران آن‬ ‫در جﻬت مخالف مﻰشوند‪ .‬اگر جﻬت مخالف حرکت عقربﺔ ساعت را مثبت و سمت حرکت‬ ‫عقرب ساعت را منفﻰ بپذﻳرﻳم‪ ،‬مومنتﻰ کﻪ ﻫر دو قوه بﻪ وجود مﻰآورد‪ ،‬عبارت از مومنت‬ ‫محصلﻪ بر دروازه است کﻪ چنﻴن حساب مﻰشود‪.‬‬ ‫‪M 2 = F2 d 2‬‬

‫و‬

‫‪M 1 = F1 d1‬‬

‫) ‪M = M 1 + M 2 = F1d1 + ( F2 d 2‬‬

‫‪24‬‬

‫حاﻻ ﻳک جسم ساکن را در نظر مﻰگﻴرﻳم‪:‬‬ ‫اگر مومنت محصلﻪ بر جسم مثبت باشد‪ ،‬پس جسم بﻪ جﻬت مثبت بﻪ دوران آغاز مﻰکند‪،‬‬ ‫و اگر مومنت محصلﻪ بر جسم منفﻰ باشد‪ ،‬جسم بﻪ جﻬت منفﻰ بﻪ دوران آغاز مﻰکند‪ .‬در‬ ‫حالت خاص اگر مومنت بﻪ علت عمل قوهﻫا صفر باشد‪ ،‬ﻳعنﻰ مومنت محصلﻪ در جﻬت‬ ‫گردش عقربﺔ ساعت مساوى با مومنت مخالف عقربﺔ ساعت (از نظر مقدار) باشد‪ ،‬در آن‬ ‫صورت جسم بﻪ دوران شروع نمﻰکند‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫سﻪ قوه قرار شکل )‪ (1-36‬مقابل بر ﻳک دروازه عمل مﻰکند‪:‬‬

‫شکل )‪(1-36‬‬

‫الف) مومنت محصلﻪ را کﻪ بر دروازه عمل مﻰکند‪ ،‬درﻳافت مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫ب) قﻴمت اصغرى قوة چﻬارم را سنجش مﻰنماﻳﻴم کﻪ بتواند از دوران دروازه جلوگﻴرى کند‪،‬‬ ‫سمت و نقطﺔ تأثﻴر آنرا مشخص مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫)‪sin 37 o = 0,6‬‬

‫‪(cos 37 o = 0,8‬‬

‫حل‬ ‫الف) مرکبﺔ عمودى قوة ‪ F1‬ﻳک دوران موافق بﻪ عقربﺔ ساعت (‪ )-‬و قوة ‪ F2‬ﻳک دوران مخالف‬ ‫عقربﺔ ساعت (‪ )+‬را بﻪ وجود مﻰآورند‪ .‬قوة ‪ F3‬ﻫﻴچ دورانﻰ را بﻪ وجود نمﻰآورد؛ زﻳرا قوه در‬ ‫نقطﺔ دوران عمل مﻰکند‪ ،‬بنابر آن مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪M 1 = F1 y d1 = F1d1 sin‬‬ ‫‪M 1 = (10 N ) (1.5m) 0.6‬‬ ‫‪M 1 = 9 Nm‬‬ ‫‪M 2 = F2 d 2 = (20 N ) (2m) = 40 Nm‬‬ ‫‪F1 sin 37 o‬‬

‫‪Fy‬‬

‫شکل )‪(1-37‬‬

‫‪25‬‬

‫بنابر اﻳن مومنت محصلﻪ در گرداگر نقطﺔ ‪ O‬عبارت است از‪:‬‬ ‫‪M = M 1 + M 2 = 9 Nm + 40 Nm = 31Nm‬‬

‫چون در اﻳنجا‪ ،‬مومنت محصلﻪ‪ ،‬مثبت بﻪدست آمده است‪ ،‬بنابر اﻳن دروازه بﻪ جﻬت مخالف‬ ‫عقربﺔ ساعت چرخ مﻰخورد کﻪ قﻴمت مومنت آن ‪ 31Nm‬است‪.‬‬ ‫ب) چون مومنت محصلﻪ مخالف عقربﺔ ساعت است و مقدار آن ‪ 31Nm‬مﻰباشد‪ ،‬اﻳن گفتﻪ‬ ‫چنﻴن معنﻰ مﻰدﻫد کﻪ براى اﻳنکﻪ دروازه دوران نتواند‪ ،‬باﻳد ﻳک مومنت موافق بﻪ جﻬت‬ ‫عقربﺔ ساعت بﻪ کمﻴت ‪ 31Nm‬بر آن تأثﻴر کند‪ .‬قوة اصغرى کﻪ اﻳن مومنت را تولﻴد کرده‬ ‫مﻰتواند‪ ،‬باﻳد بر دورترﻳن نقطﻪ از محور دوران ﻳعنﻰ بﻪ فاصلﺔ دو متر دورتر از نقطﺔ تأثﻴر‬ ‫عمودا ً عمل کند‪ ،‬پس دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪M 2 = Fmin d‬‬ ‫‪M 2 31N m‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪= 15.5 N‬‬

‫= ‪Fmin‬‬ ‫‪Fmin‬‬

‫= قﻴمت اصغرى قوة چﻬارم‬

‫اﻳن قوه باﻳد بر جﻬت مخالف قوة ‪ F2‬اثر کند‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-38‬‬

‫تجربﻪ‬ ‫ﻳک مﻴلﺔ فلزى ‪ AB‬را طورى در نظر مﻰگﻴرﻳم کﻪ ﻳک طرف آن در نقطﺔ ‪ B‬محور ‪ L‬توسط ﻳک فنر‬ ‫مارپﻴچ اتصال داده شده است‪ .‬در اﻳن مﻴلﻪ چنگکﻫاﻳﻰ تعبﻴﻪ شده کﻪ با تار وصل ﻫستند و اﻳن تار از‬ ‫روى چرخ ثابتﻰ عبور مﻰکند کﻪ بر پاﻳﺔ ‪ P‬محکم شده است‪ .‬در انجام دﻳگر تار مﻰتوان قوهﻫا (اوزان)‬ ‫را آوﻳزان کرد‪ .‬در شکل مقابل کﻪ مﻴلﻪ در حالت‪ 1‬قرار دارد‪ ،‬ﻫﻴچ قوهﻳﻰ بر آن تأثﻴر نکرده و دوران ﻫم‬ ‫بﻪ وجود نﻴامده است‪.‬‬ ‫در حالت‪ ،2‬قوه بﻪ چنگک وسطﻰ بر مﻴلﻪ تأثﻴر مﻰکند‪ ،‬و در اﻳن حالت مﻴلﻪ ﻳک دوران را در شکل‬ ‫نشان مﻰدﻫد‪ .‬بازوى قوه‪ ،‬عبارت از فاصلﻪ بﻴن نقطﺔ اتصال قوه با مﻴلﻪ (نقطﺔ ‪ )C‬تا مرکز دوران (نقطﺔ‬ ‫‪ )B‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫در حالت‪ 3‬کﻪ ﻫم قوه و ﻫم بازوى قوه زﻳاد شدهاند‪ ،‬دوران ﻫم زﻳاد‬ ‫شده است‪ .‬اﻳن تجربﻪ ﻫمچنان ثابت مﻰکند کﻪ مومنت قوه ﻳک‬ ‫راست متناسب بﻪ طول بازوى قوه و مقدار قوه است‪ .‬پس تعرﻳف‬ ‫زﻳر را براى مومنت قوه اراﻳﻪ کرده مﻰتوانﻴم‪:‬‬ ‫اگر قوه بر خطﻰ کﻪ نقطﺔ تأثﻴر آنرا با مرکز دوران وصل مﻰکند‪،‬‬ ‫طور عمود عمل کند‪ ،‬حاصل ضرب قوه با فاصلﻪﻳﻰ کﻪ بﻴن نقطﺔ‬ ‫تأثﻴر قوه و مرکز دوران قرار دارد بﻪنام مومنت قوه ﻳاد مﻰشود‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-39‬‬

‫‪26‬‬

‫تجربﻪ‬ ‫اکنون حالتﻰ را در نظر مﻰگﻴرﻳم کﻪ در شکل )‪ (1-40‬نشان داده شده است‪ .‬در اﻳن شکل مﻰبﻴنﻴم کﻪ‬ ‫قوة ‪ F‬بﻪ طور ماﻳل بر خطﻰ اثر مﻰنماﻳد کﻪ آن خط‪ ،‬نقطﺔ تأثﻴر ‪ A‬را با نقطﺔ دوران ‪ D‬وصل مﻰکند‪ ،‬در‬ ‫اﻳن حالت قوه نمﻰتواند بﻪ طور کامل اثر خوﻳش را ظاﻫر سازد‪ ،‬زﻳرا نقطﺔ تأثﻴر قوه بر ﻳک خط داﻳرهﻳﻰ‬ ‫بﻪ حول نقطﺔ دوران حرکت مﻰکند‪ ،‬پس در اﻳن حالت‪ ،‬تنﻬا قوة مرکبﺔ مماسﻰ (تانجانتﻰ) ‪ ، Ft‬اثر دورانﻰ‬ ‫دارد‪ ،‬و مرکبﺔ شعاعﻰ ‪ F‬اثر ﻳک قوة کشش بر محور را دارد و مومنت قوه عبارت است از‪M = Ft r :‬‬ ‫‪r‬‬ ‫اگر قوه را بر استقامت خط تأثﻴرش تا نقطﺔ تغﻴﻴر موقعﻴت بدﻫﻴم کﻪ بر ‪ DA‬عمود واقع شود‪ ،‬پس در‬ ‫اﻳن صورت مومنت قوه توسط رابطﺔ زﻳر افاده شده مﻰتواند‪M = F l :‬‬ ‫در افادة اخﻴر ( ‪ ) l‬عبارت از طول عمودى است کﻪ از نقطﺔ دوران بر خط تأثﻴر قوه کشﻴده مﻰشود‪ .‬چون‬ ‫ﻫر دو مومنت با ﻫم مساوى ﻫستند و ﻫم از تشابﻪ دو مثلث نشانﻰ شده بﻪدست مﻰآﻳد کﻪ‪:‬‬ ‫‪ F l = Ft r‬ﻳا ‪F : Ft = r : l‬‬ ‫در صورتﻰکﻪ بﻪ جاى بازوى دوران‪ ،‬عمود ‪ l‬را بﻪکار برﻳم‪ ،‬بازﻫم تعرﻳفﻰ را کﻪ از اﻳن پﻴش از مومنت قوه‬ ‫شده بود‪ ،‬در اﻳن حالت ﻫم بﻪدست مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫بازوى قوه (بازوى دوران)‪ ،‬عبارت از طول خط عمودى است‬ ‫کﻪ از مرکز دوران بر خط تأثﻴر قوه کشﻴده مﻰشود‪ .‬و اﻳن‬ ‫تعرﻳف در ﻫمﻪ حاﻻت صدق مﻰکند‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-40‬‬

‫واحد ﻣﻮﻣﻨت‬ ‫اگر قوه را بﻪ نﻴوتن (‪ )N‬و فاصلﻪ را بﻪ متر (‪ )m‬اندازه کنﻴم‪ ،‬واحد اندازهگﻴرى مومنت قوه‬ ‫عبارت از نﻴوتن متر است کﻪ اﻳن طور اراﻳﻪ مﻰگردد‪:‬‬ ‫]‪L = [N m‬‬

‫‪[M ]= F‬‬

‫اگر قوه را بﻪ داﻳن (‪ )dyne‬و فاصلﻪ را بﻪ سانتﻰ متر (‪ )cm‬اندازه کنﻴم‪ ،‬واحد اندازهگﻴرى‬ ‫مومنت قوه عبارت از ‪ dyne cm‬مﻰباشد‪.‬‬

‫‪27‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫براى اﻳنکﻪ اثر مومنت قوه را مشاﻫده کرده وﻫم بﻪ اثبات بر سانﻴم کﻪ مومنت قوه‪ ،‬مساوى بﻪ حاصل‬ ‫ضرب قوه با فاصلﻪﻳﻰ است کﻪ نقطﺔ تأثﻴر قوه از مرکز دوران دارد‪ ،‬تجربﺔ سادة زﻳر را در گروهﻫا عملﻰ‬ ‫مﻰکنﻴم کﻪ با ﻳک پلﺔ دروازه صورت مﻰگﻴرد‪.‬‬ ‫ﻳک پلﺔ تاحدى سنگﻴن دروازه بر روى ﻳک لخک استوار بوده و با چوکات اتصال دارد‪ .‬در قسمتﻰ از‬ ‫چوکات وسطﻰ اﻳن پلﻪ‪ ،‬ﻳک چنگک نصب شده است و اﻳن چنگک با تار وصل است و تار از روى ﻳک‬ ‫چرخ ثابت (پلﻰ) عبور مﻰکند‪ ،‬طورىکﻪ انجام تار با ﻳک کفﺔ ترازو در ارتباط مﻰباشد‪ .‬مومنت چرخ را‬ ‫طورى انتخاب مﻰکنﻴم کﻪ تار بر پلﺔ دروازه عمود واقع شود‪ .‬اگر چرخ در نقطﺔ ‪ L‬قرار داشتﻪ باشد و نقطﺔ‬ ‫اتصال تار را با چوکات وسطﻰ دروازه با ‪ O‬و نقطﺔ تقاطع خطﻰ کﻪ نقطﺔ ‪ O‬را بﻪ چوکات جانبﻰ (لخک)‬ ‫دروازه وصل مﻰکند با ‪ N‬نشان داده شوند‪ ،‬زاوﻳﺔ ‪ LON = 90o‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫حاﻻ در کفﺔ ترازو تا وقتﻰ وزنﻪﻫا را مﻰگذارﻳم کﻪ دروازه شروع بﻪ حرکت کند‪ .‬وقتﻰکﻪ دروازه بﻪ حرکت‬ ‫مﻰآﻳد بﻪ معناى اﻳن است کﻪ وزن (قوه) سبب تولﻴد ﻳک مومنت شده است‪ .‬سپس وزن را از کفﺔ ترازو بر‬ ‫مﻰدارﻳم و مقدار وزن و طول فاصلﺔ ‪ ON‬را ﻳادداشت مﻰکنﻴم‪ .‬در اﻳن حال اگر قوه را ‪ F1‬و فاصلﺔ ‪ON‬‬ ‫را ‪ d1‬بگوﻳﻴم‪ ،‬مومنت قوه طور زﻳر افاده مﻰشود‪M 1 = F1 × d1...............1:‬‬ ‫دروازه را واپس بﻪ حالت اولﻰ اش مﻰآورﻳم‪ .‬اﻳن بار‬ ‫چنگک را از جاى اولﻰ اش کشﻴده و بﻪ ﻳک نقطﺔ دﻳگر‬ ‫دروازه کﻪ با چوکات (لخک) و چپراس نزدﻳک تر است‪،‬‬ ‫نصب مﻰکنﻴم‪ .‬در اﻳن حالت نﻴز چرخ را بﻪ موقعﻴتﻰ‬ ‫قرار مﻰدﻫﻴم کﻪ تار بﻪ دروازه عمود واقع شود‪ .‬سپس‬ ‫بﻪ پلﺔ ترازو‪ ،‬وزن مﻰگذارﻳم‪ ،‬تا آنکﻪ دروازه بﻪ حرکت‬ ‫شروع کند‪ .‬بعد وزن را از کفﺔ ترازو بر مﻰدارﻳم‪ .‬مقدار‬ ‫وزن ‪ F2‬را با طول ‪ ON‬کﻪ اﻳن بار بﻪ ‪ d 2‬اراﻳﻪ مﻰشود‪،‬‬ ‫اندازه مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫شکل )‪(1-41‬‬

‫دﻳده مﻰشود کﻪ در اﻳن دفعﻪ براى بﻪ حرکت در آوردن دروازه (تولﻴد مومنت قوه) وزن بﻴشتر از وزن بار‬ ‫اول بﻪکار رفتﻪ است ﻳعنﻰ‪M 2 = F2 × d 2 ....................2 :‬‬ ‫اﻳن کار‪ ،‬را بار سوم زﻳر ﻫمان شراﻳط تکرار مﻰکنﻴم و موقعﻴت نقطﺔ ‪ O‬را با چپراس دروازه خﻴلﻰ نزدﻳک‬ ‫انتخاب مﻰکنﻴم و تجربﻪ را با ﻫمان شﻴوة پﻴشتر ادامﻪ مﻰدﻫﻴم‪ .‬باز ﻫم از اندازهگﻴرى وزن (قوة) ‪ F3‬و‬ ‫‪ d 3‬فاصلﺔ نتﻴجﻪ بﻪدست مﻰآﻳد کﻪ در بار سوم براى بﻪ حرکت در آوردن دروازه بﻪ قوة بﻴشتر از حالت‬ ‫دوم ضرورت بوده است‪.‬‬ ‫‪M 3 = F3 × d 3 ..............3‬‬ ‫براى نتﻴجﻪ گﻴرى‪ ،‬اگر حاصل ضرب قوه با فاصلﻪ را کﻪ براى ﻫر بار بﻪدست آمده است‪ ،‬با ﻫم مقاﻳسﻪ‬ ‫کنﻴم‪ ،‬دﻳده مﻰشود کﻪ داراى قﻴمتﻫاى مساوى مﻰباشند‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪F1 × d1 = F2 × d 2 = F3 × d 3‬‬

‫‪M1 = M 2 = M 3‬‬ ‫ﻻزم است نتاﻳج کار گروﻫﻰ خود را براى مباحثﺔ بﻴشتر بﻪ ﻫمصنفان تان اراﻳﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪28‬‬

‫‪ :1-5‬قﻮهﻫاى ﻣﻮازى‬ ‫در اﻳن درس مطالعﻪ خواﻫﻴم کرد کﻪ دو قوة موازى بر ﻳک جسم چگونﻪ تأثﻴر مﻰکنند و‬ ‫چطور مﻰتوانﻴم محصلﺔ آنﻫا را بﻪدست آورﻳم‪ ،‬براى اﻳن منظور فعالﻴتﻫاى زﻳر را انجام‬ ‫مﻰدﻫﻴم‪.‬‬

‫‪Fr = F1 × F2‬‬ ‫فعالﻴت ب‬ ‫دستگاه تجربﻰ را مطابق شکل (ب‪ )1-42،‬تغﻴﻴر مﻰدﻫﻴم‪ ،‬طورىکﻪ‬ ‫قوهﻫاى ‪ F1‬و ‪ F2‬بﻪطور موازى و ﻫم جﻬت با ﻫم قرار گﻴرند‪ .‬در اﻳن‬ ‫حالت قوه سنج‪ ،‬قوة محصلﺔ ‪ Fr‬را در عمل چنﻴن نشان مﻰدﻫد‪:‬‬ ‫‪Fr = F1 + F2‬‬ ‫فعالﻴت ج‬ ‫دو جسمﻰرا کﻪ داراى وزنﻫاى معلوم ‪ W2 ,W1‬مﻰباشند‪ ،‬مطابق شکل‬ ‫)‪ (1-43‬روى ﻫم قرار داده و ﻫر دو را ذرﻳعﺔ ﻳک چنگک بﻪ قوه سنج‬ ‫آوﻳزان مﻰکنﻴم‪ .‬ﻫنگام تعادل وزنﻫا در قوه سنج‪ ،‬دﻳده مﻰشود کﻪ قوه‬ ‫سنج‪ ،‬قوة مجموعﻰ وزنﻫاى ﻫر دو جسم را نشان مﻰدﻫد‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫شکل )‪(1-42‬‬

‫فعالﻴت الف‬ ‫دو قوة ‪ F1‬و ‪ F2‬را بﻪطور موازى و در جﻬت مخالف‪ ،‬بر چنگک ﻳک قوه‬ ‫سنج مطابق شکل (الف‪ )1-42 ،‬آوﻳزان مﻰکنﻴم‪ .‬طول قوه سنج بﻪ‬ ‫سبب تأثﻴر قوة مجموعﻰ ‪ Fr‬طوﻳل گردﻳده و نشان مﻰدﻫد کﻪ‪:‬‬

‫‪100‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪Fr = F1 F2‬‬

‫‪Fr = F1 + F2‬‬ ‫‪F2‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪F2‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪200 F1‬‬

‫‪Fr = W1 + W2‬‬ ‫شکل )‪(1-43‬‬

‫از مشاﻫدة تجربﻪﻫاى نماﻳشﻰ باﻻ مﻰتوان بﻪ نتﻴجﻪ رسﻴد کﻪ‪:‬‬ ‫ﻫرگاه قوهﻫاى موازى بﻪ ﻳک نقطﺔ ﻳک جسم عمل کنند‪ ،‬اگر اﻳن قوهﻫا ﻫم جﻬت باشند‪،‬‬ ‫محصلﺔ آنﻫا عبارت از حاصل جمع قوهﻫاى مذکور مﻰباشد و اگر قوهﻫا داراى جﻬتﻫاى‬ ‫مخالف باشند‪ ،‬محصلﺔ قوهﻫا مساوى بﻪ حاصل تفرﻳق آنﻫا است‪.‬‬ ‫از بحث باﻻ مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ دو قوه زمانﻰ در حالت تعادل قرار گرفتﻪ مﻰتواند کﻪ‬ ‫محصلﺔ آنﻫا مساوى بﻪ صفر ﻳعنﻰ ‪ F = o‬گردد و اﻳن در حالتﻰ ممکن است کﻪ مقدار ﻫر‬ ‫دو قوه با ﻫم مساوى ولﻰ جﻬتﻫاى آنﻫا مخالف باشند‪.‬‬

‫‪29‬‬

‫چون نقطﺔ تأثﻴر ﻳک قوه را مﻰتوان طور کﻴفﻰ روى خط تأثﻴر آن قوه تغﻴﻴر مکان داد و اﻳن‬ ‫قاعده براى ﻫمﻪ قوهﻫاى موازى کﻪ در ﻳک نقطﻪ وﻳا روى عﻴن خط تأثﻴر مﻰکنند‪ ،‬تطبﻴق‬ ‫مﻰشود‪ ،‬بنابر آن مﻰتوان ادعا کرد کﻪ‪:‬‬ ‫ﻫرگاه دو قوه در عﻴن نقطﻪ ﻳا در عﻴن خط تأثﻴر کنند‪ ،‬زمانﻰ در حالت تعادل قرار گرفتﻪ‬ ‫مﻰتوانند کﻪ داراى مقدارﻫاى مساوى بوده و سمتﻫاى مخالف داشتﻪ باشند‪.‬‬ ‫تجزﻳﺔ ﻳک قﻮه‬ ‫چنانکﻪ پﻴش از اﻳن مطالعﻪ نمودﻳم‪ ،‬ما بﻪ حالتﻫاى روبرو مﻰشوﻳم کﻪ چندﻳن قوه بر‬ ‫ﻳک جسم تأثﻴر مﻰکنند و ما ضرورت دارﻳم تا محصلﻪ ﻳا نتﻴجﺔ قوهﻫا را بشناسﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ‬ ‫ﻫم سمت محصلﻪ را بشناسﻴم و ﻫم مقدار آنرا درﻳافت کرده بتوانﻴم‪ .‬از جانب دﻳگر گفتﻪ‬ ‫مﻰتوانﻴم کﻪ ﻫر قوهﻳﻰ کﻪ ما بﻪ آن سروکار دارﻳم‪ ،‬مﻰتواند خودش ﻳک قوة محصلﻪ باشد‬ ‫کﻪ از ترکﻴب دو و ﻳا بﻴشتر از دو قوه بﻪدست آمده باشد‪.‬‬ ‫در حوداث فزﻳکﻰ و تخنﻴکﻰ بﻴشتر ما بﻪ چنﻴن مساﻳل برمﻰخورﻳم کﻪ ناگز ﻳرﻳم براى‬ ‫اجراى محاسبات‪ ،‬اجزاى ﻳک قوه را بشناسﻴم‪ .‬ﻳعنﻰ ﻫمان طورىکﻪ درﻳافت محصلﺔ قوهﻫا‬ ‫موضوع با اﻫمﻴتﻰ است‪ ،‬درﻳافت اجزاى ﻳک قوه ﻳا بﻪ عبارة دﻳگر مرکبﻪﻫاى قوه کﻪ باعث‬ ‫ترکﻴب قوه شدهاند‪ ،‬نﻴز بﻪ ﻫمان اندازه اﻫمﻴت دارد‪ .‬در چنﻴن حالتﻫا بﻴشتر جﻬتﻫا ﻳا‬ ‫سمتﻫاى قوهﻫاى جزء (مرکبﻪﻫا) داده مﻰشوند و مقدار (بزرگﻰ) آنﻫا درﻳافت مﻰگردد‪.‬‬ ‫براى درﻳافت مرکبﻪﻫا بﻪ طرﻳق ﻫندسﻰ چنﻴن عمل مﻰشود‪:‬‬ ‫از انجام قوة محصلﻪ‪ ،‬موازىﻫا بﻪ خطوطﻰ کشﻴده مﻰشود کﻪ جﻬتﻫاى قوهﻫاى مرکبﻪ‬ ‫را نشان مﻰدﻫند‪ ،‬و در نتﻴجﻪ ﻳک متوازى اﻻضﻼع بﻪ وجود مﻰآﻳد کﻪ اضﻼع آن‪ ،‬قوهﻫاى‬ ‫مرکبﻪ را نشان مﻰدﻫد‪ ،‬شکل )‪.(1-44‬‬

‫‪r‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل (‪(1-44‬‬ ‫تجزﻳﺔ قوه با مرکبﻪﻫاى نا معلوم‬

‫در شکل)‪ (1-44‬تجزﻳﺔ قوه با ﻳک مرکبﺔ نا معلوم‪ ،‬و در‬ ‫شکل (‪(1-45‬‬ ‫تجزﻳﺔ قوه در صورتﻰکﻪ‬ ‫جﻬتﻫا داده شده است‬

‫‪Fr‬‬

‫‪F2‬‬

‫شکل )‪ (1-45‬تجزﻳﺔ قوه در صورتﻰکﻪ جﻬتﻫا داده شده‬ ‫است‪ ،‬نشان داده شدهاند‪.‬‬

‫‪F1‬‬

‫شکل )‪ (1-46‬مثال دﻳگرى‪ ،‬از تجزﻳﺔ قوه در حالت آوﻳزان بودن ﻳک جسم باﻻى ﻳک‬ ‫رﻳسمان را نشان مﻰدﻫد و گروپﻫاى تزﻳﻴنﻰ برق ﻳک جاده نﻴز مﻰتواند مثال خوبﻰ از اﻳن‬ ‫قبﻴل باشد‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-46‬‬ ‫تجزﻳﺔ قوه در حالت آوﻳزان بودن‬ ‫ﻳک جسم‬

‫ﻣحاسبﺔ الجبرى قﻮة ﻣحصلﺔ چﻨدﻳﻦ قﻮه‬ ‫براى بﻪدست آوردن محصلﺔ چندﻳن قوه بﻪ طرﻳق محاسبﻪﻳﻰ‪ ،‬نخست ﻫمﻪ قوهﻫا را در ﻳک‬ ‫سﻴستم مختصات قاﻳم بﻪ مرکبﻪﻫاى) ‪ (x, y‬تجزﻳﻪ مﻰکنﻴم‪ ،‬بﻪ طور مثال شکل )‪ (1-47‬قوة‬ ‫‪ F‬را نشان مﻰدﻫد کﻪ بﻪ مرکبﻪﻫاى ‪ Fy = F sin‬و ‪ Fx = F cos‬تجزﻳﻪ شده است‪.‬‬ ‫‪Fy‬‬ ‫شکل )‪(1-47‬‬ ‫تجزﻳﺔ قوة ‪ F‬بﻪ مرکبﻪﻫاى قاﻳم آن‬

‫‪31‬‬

‫بﻪ اساس قاعدة باﻻ‪ ،‬قوهﻫاى ‪ F1‬و ‪ F2‬را در نظر گرفتﻪ مرکبﻪﻫاى آنﻫا را چنﻴن مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪F1 y = F1 sin‬‬

‫‪1‬‬

‫‪F2 y = F2 sin‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Fry = F1 y + F2 y + ...‬‬ ‫‪Fy‬‬

‫‪F1x = F1 cos‬‬ ‫‪F2 x = F2 cos‬‬

‫‪Frx = F1 x + F2 x + ...‬‬

‫= ‪Fry‬‬

‫‪Fx‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺷﮑﻞ (‪)1-48‬‬ ‫تجزﻳﺔ قوهﻫاى‪ F1‬و‪F2‬‬ ‫بﻪ مرکبﻪﻫاى قاﻳم آنﻫا‬

‫‪x‬‬

‫= ‪Frx‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪F2 x‬‬

‫‪F2 y‬‬ ‫‪F1 y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪F1x‬‬

‫با استفاده از مرکبﻪﻫاى قوهﻫا مﻰتوانﻴم قوة محصلﻪ و زاوﻳﻪﻳﻰ را کﻪ با محور ‪ x‬مﻰسازد‪،‬‬ ‫چنﻴن حساب نماﻳﻴم‪:‬‬ ‫‪= Fry Frx‬‬

‫‪r‬‬

‫‪tan‬‬

‫‪,‬‬

‫‪Fr = Frx2 + Fry2‬‬

‫در صورتﻰکﻪ تعادل بر قرار باشد‪ ،‬پس باﻳد محصلﻪ مساوى بﻪ صفر باشد‪ ،‬اﻳن موضوع زمانﻰ‬ ‫ممکن است کﻪ مجموع ﻫر ﻳک از مرکبﻪﻫاى قوة محصلﻪ مساوى بﻪ صفر شود ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪Fx = F1x + F2 x + ............ = 0‬‬

‫‪Fy = F1 y + F2 y + ................... = 0‬‬

‫باﻳد توجﻪ کرد کﻪ براى حل حسابﻰ ﻳک مسالﺔ مربوط بﻪ تجزﻳﺔ قوهﻫا‪ ،‬شﻴوهﻫاﻳﻰ کﻪ مورد‬ ‫استفاده قرار مﻰگﻴرد‪ ،‬بر اساس کﻴمتﻫاى داده شده متفاوت مﻰباشد‪.‬‬ ‫بﻴشتر مﻰتوان قوهﻫاى مطلوب را با استفاده از قواعد مثلثات از روى مضلع قوهﻫا محاسبﻪ‬ ‫کرد‪ .‬در ساﻳر حاﻻت‪ ،‬مﻰتوان تشابﻪ مضلع قوه را با ﻳک مثلث معلوم و ﻳا در صورت شکلﻫاى‬ ‫داراى زواﻳاى قاﻳمﻪ از قانون فﻴثاغورث استفاده کرد‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫‪ .1‬در ﻳک گوﻻﻳﻰ سرک کﻪ در آن ﻳک موتر برقﻰ حرکت مﻰکند‪ ،‬سﻪ کﻴبل ﻫواﻳﻰ براى‬ ‫محکم گرفتن کﻴبل باﻻﻳﻰ موتر برقﻰ‪ ،‬در ﻳک نقطﺔ ‪ A‬ﻳک عمارت بستﻪ شده است‪ .‬مقدار و‬ ‫سمت قوهﻫاى کشش‪ ،‬در شکل نشان داده شده است‪ .‬سمت و مقدار قوة مجموعﻰ را محاسبﻪ‬ ‫مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪F1 = 1050 N‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪F2 = 1500 N‬‬ ‫‪F1 = 1050 N‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪50 o‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪A 70o 20‬‬ ‫‪F = 1200 N‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪sin 90o = 1‬‬

‫شکل )‪(1-49‬‬

‫‪cos 90 = 0‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪sin 40o = 0.6428‬‬ ‫‪cos 40o = 0.7660‬‬ ‫‪sin 20o = 0.3420‬‬ ‫‪cos 20o = 0.9397‬‬

‫‪32‬‬

‫‪o‬‬

‫‪F2 = 1500 N‬‬

‫‪= 90‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 40o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= 20‬‬

‫‪3‬‬

‫‪o‬‬

‫‪F3 = 1200 N‬‬

‫‪F1 y = F1 sin 90o = 1050 × 1 = 1050 N‬‬

‫‪F1x = F1 cos 90o = 1050 × 0 = 0‬‬

‫‪F2 y = F2 sin 40o = 1500 × 0.642 = 963 N‬‬

‫‪F2 x = F2 cos 40o = 1500 × 0.766 = 1149 N‬‬

‫‪F3 y = F3 sin 20o = 1200 × 0.342 = 410 N‬‬

‫‪F3 x = F3 cos 20o = 1200 × 0.9397 = 1127 N‬‬

‫‪Fry = 1603 N‬‬ ‫‪Frx = 2276N‬‬ ‫از شکل دﻳده مﻰشود کﻪ مرکبﺔ ‪ F3 x‬روى قسمت (‪ )+‬محور (‪ )x‬ولﻰ مرکبﺔ ‪ F3 y‬روى جﻬت‬

‫منفﻰ محور (‪ )y‬قرار دارد؛ بنابر اﻳن عﻼمﻪﻫاى آن بﻪ ترتﻴب (‪ )+‬و (‪ )-‬در نظر گرفتﻪ شدهاند‪.‬‬ ‫براى درﻳافت سمت و مقدار قوة مجموعﻰ (محصلﻪ) دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪= (35.2) o‬‬

‫بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب‪:‬‬

‫‪1603N‬‬ ‫‪= 0.7043‬‬ ‫‪2276N‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪Fry‬‬

‫‪Frx‬‬

‫= ‪tg‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Fr = Frx + Fry = (2276 N ) 2 + (1603 N ) 2‬‬

‫‪Fr = 5180176 N 2 + 2569609 N 2 = 7749785 N 2 = 2783.843 N‬‬

‫ﻣثال دوم‬ ‫ﻳک زﻳنﺔ پاﻳﻪ فوﻻدى روى ﻳک سطح مﻴﻼن دار قرار دارد‪ .‬قوة وزن ‪ W = 700 N‬ﻳک شخصﻰ کﻪ‬ ‫بر نقطﺔ باﻻﻳﻰ زﻳنﻪ اﻳستاده شده باشد‪ ،‬چگونگﻰ تقسﻴم آن را بر دو پاﻳﺔ زﻳنﻪ نشان مﻰدﻫﻴم؟‬ ‫حل‬ ‫از زاوﻳﻪﻫاى کﻪ در نتﻴجﺔ ترسﻴمﻫا بﻪدست مﻰآﻳند‪ ،‬ﻳک مضلع قوهﻫا با زاﻳﻪﻫاى ‪30o ، 10o‬‬

‫و ‪ 140o‬حاصل مﻰشود‪ .‬با استفاده از قاعدة ساﻳن مﻰتوان نوشت‪:‬‬

‫شکل )‪(1-50‬‬

‫‪F1‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪700 N‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪sin 140‬‬ ‫‪sin 10‬‬ ‫‪sin 30o‬‬ ‫‪700 N × sin 10o 700 × 0.1736 121.52‬‬ ‫= ‪F1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 189 N‬‬ ‫‪sin 140o‬‬ ‫‪0.6428‬‬ ‫‪0.6428‬‬ ‫‪00 N × sin 30o 700 × 0.5‬‬ ‫‪350‬‬ ‫= ‪F2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 544.492 544 N‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪sin 140‬‬ ‫‪0.6428‬‬ ‫‪0.6428‬‬

‫‪33‬‬

‫‪ :1-6‬زوج قﻮه‬ ‫ﻫر قوهﻳﻰ کﻪ بر ﻳک جسم اثر کند و جسم قابلﻴت دوران داشتﻪ باشد‪ ،‬اﻳن قوه بﻪ حﻴث ﻳک‬ ‫قوة کشش و ﻳا قوة فشار‪ ،‬بر محور دوران جسم عمل مﻰکند‪ .‬از اﻳن سبب است کﻪ اﻳن قوه در‬ ‫نقاطﻰ کﻪ محور دوران بﻪ آنﻫا اتکاء و ﻳا اتصال دارد‪ ،‬قوة عکس العمل را بﻪ وجود مﻰآورد و‬ ‫در نتﻴجﻪ اﻳن قوه بﻪ صورت عموم ﻳک مومنت دوران را تولﻴد مﻰکند‪ .‬اگر موقعﻴت محور تغﻴﻴر‬ ‫داده شود‪ ،‬بﻴشتر بازوى قوه و مومنت دورانﻰ کﻪ قوه بﻪ وجود مﻰآورد نﻴز تغﻴﻴر مﻰخورد‪ .‬بر‬ ‫عکس ﻫرگاه دو قوة مساوى و موازى کﻪ داراى جﻬتﻫاى متقابل باشند‪ ،‬عمودا ً بر ﻳک محور و‬ ‫بر دو نقطﺔ متفاوت ﻳک جسم اثر کنند‪ ،‬آنﻫا را زوج قوهﻫا مﻰگوﻳند‪ .‬در ﻳک زوج قوه‪ ،‬ﻫر دو‬ ‫قوه تأثﻴرات ﻫمدﻳگر را بر محور از بﻴن مﻰبرند‪.‬‬ ‫مومنت دوران ﻳک زوج قوه‪ ،‬صرف نظر از اﻳنکﻪ‬ ‫محور دوران در کدام موقعﻴت قرار داشتﻪ باشد‪،‬‬ ‫ﻫمﻴشﻪ عﻴن قﻴمت را دارد‪ .‬مومنت دوران در ﻳک‬ ‫زوج قوه براى قوهﻫاى ‪ F1 = F2 = F‬با فاصلﺔ متقابل‬ ‫‪ l‬بﻴن خطوط تأثﻴر آنﻫا داراى قﻴمت ذﻳل است‪:‬‬ ‫‪ = M = F l‬مومنت دوران ﻳک زوج قوه‬

‫شکل )‪(1-51‬‬ ‫زوج قوهﻫا در ﻳک دستگاه چورى کشﻰ‬

‫از روى شکل مﻰتوان گفت کﻪ اگر محور دوران از ﻳکﻰ از دو خط تأثﻴر عبور نموده؛ ولﻰ نقطﺔ‬ ‫دوران ( ‪ ) D1‬خارج از آنﻫا قرار داشتﻪ باشد‪ ،‬در آن صورت مومنت دوران چنﻴن اراﻳﻪ شده‬ ‫مﻰتواند‪M = F1 (l + S1 ) F2 S 2 = F l :‬‬ ‫اگر محور دوران بﻴن ‪ F1‬و ‪ F2‬مث ً‬ ‫ﻼ در موقعﻴت ‪ D2‬واقع شده باشد‪ ،‬مومنت را چنﻴن مﻰنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪M = F1S 2 + F2 (l S 2 ) = F l‬‬

‫چون ) ‪ ( F1 = F2 = F‬اند‪ ،‬بنابر اﻳن در صورت کﻪ نقطﺔ دوران‪ D1 ،‬باشد‪:‬‬ ‫(عﻼمﻪ بﻪ علتﻰ منفﻰ است کﻪ ‪ F2‬بﻪ طرف چپ ‪ D1‬وﻫم مخالف ‪ F1‬است)‬

‫‪M = F1 ( L + S1 ) F2 S1‬‬ ‫‪F2 S1‬‬

‫‪F ) S1 = FL + 0 = F L‬‬

‫‪M = F1L + F1S1‬‬ ‫‪M = FL + ( F‬‬

‫و در صورتﻰکﻪ نقطﺔ دوران‪ D2 ،‬باشد دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫) ‪M = F1 S 2 + F2 ( L S 2‬‬ ‫‪= F1S 2 + F2 L F2 S 2‬‬ ‫‪M = FS2 + FL FS2 = F L‬‬

‫‪34‬‬

‫شکل )‪(1-52‬‬ ‫مومنت دوران ﻳک زوج قوه بﻪ‬ ‫موقعﻴت مرکز دوران ارتباط ندارد‬

‫پس با نظر داشت توضﻴحﻫاى ﻳاد شده‪ ،‬مومنت را مﻰتوان چنﻴن بﻴان کرد‪ :‬ﻳک زوج قوه بدون در‬ ‫نظرداشت موقعﻴت مرکز دوران (نقطﺔ دوران)‪ ،‬ﻫمﻴشﻪ داراى عﻴن مومنت دوران مﻰباشد‪.‬‬ ‫در تخنﻴک‪ ،‬رافعﻪﻫا بر اساس پرنسﻴب زوج قوهﻫا کار مﻰنماﻳند و آنﻫا را بﻴشتر بﻪ شکل‬ ‫ﻳک مﻴلﺔ مستقﻴم ﻳا ﻳک مﻴلﺔ زاوﻳﻪ دار مﻰسازند‪.‬‬ ‫‪30 N‬‬

‫شکل )‪(1-53‬‬

‫در ﻳک رافعﻪﻳﻰ کﻪ بﻪ شکل مﻴلﻪ است‪ ،‬اگر مرکز دوران آن در ﻳک انجام مﻴلﻪ قرار داشتﻪ‬ ‫باشد‪ ،‬اﻳن مﻴلﻪ را رافعﺔ ﻳک طرفﻪ نام مﻰدﻫند و اگر مرکز دوران در انجامﻫا قرار نداشتﻪ‬ ‫باشد‪ ،‬رافعﻪ را رافعﺔ دو طرفﻪ مﻰنامند و ﻫمچنان رافعﻪ اى کﻪ شکل ﻳک زاوﻳﻪ را دارد‪،‬‬ ‫آنرا رافعﺔ زاوﻳﻪ دار مﻰنامند‪ .‬در شکلﻫاى (‪ )1-54‬زﻳر شما انواع مختلف رافعﻪﻫا را دﻳده‬ ‫مﻰتوانﻴد‪.‬‬ ‫رافعﺔ دو طرفﻪ‬

‫وال اطمﻴنانﻰ‬

‫رافعﺔ ﻳک طرفﻪ‬

‫شکل )‪(1-54‬‬

‫رافعﺔ زاوﻳﻪ دار‬

‫برک رافعﻪﻳﻰ‬

‫قانون رافعﻪ اﻳن امکان را براى ما مﻰدﻫد کﻪ در ﻳک طرف رافعﻪ‪ ،‬با تطبﻴق ﻳک مقدار کوچک‬ ‫قوه کﻪ بر ﻳک بازوى دراز اثر مﻰکند‪ ،‬در طرف دﻳگر رافعﻪ با بازوى کوچک (کوتاه)‪ ،‬قوهﻳﻰ‬ ‫را با مقدار بزرگتر بﻪدست آورﻳم‪ .‬از ﻫمﻴن لحاظ است کﻪ رافعﻪﻫا در زندهگﻰ روزمره و در‬ ‫تخنﻴک موارد استعمال زﻳاد دارند‪ .‬ﻳعنﻰ در ﻳک طرف رافعﻪ مقدار کم قوه را بﻪکار مﻰبرﻳم و‬ ‫در آن طرف دﻳگر رافعﻪ مقدار بﻴشتر قوه را بﻪدست مﻰآورﻳم‪ ،‬ﻳعنﻰ در قوه فاﻳده مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب با استعمال رافعﻪ‪ ،‬در فاصلﻪ ﻫم مﻰتوان امتﻴاز حاصل کرد‪ .‬چنانچﻪ اگر ﻳک‬ ‫قوه با بازوى کوچک در ﻳک طرف رافعﻪ عمل کند‪ ،‬در طرف دﻳگر رافعﻪ قوهﻳﻰ کﻪ عمل‬ ‫خواﻫد کرد‪ ،‬داراى ﻳک بازوى بزرگ است‪ .‬دست انسان و ماشﻴن تاﻳپ مثالﻫاى دﻳگر مربوط‬ ‫بﻪ اﻳن بحث بوده مﻰتوانند‪.‬‬

‫‪35‬‬

‫‪ :1-7‬شراﻳط عﻤﻮﻣﻰ تعادل‬ ‫ﻫرگاه چندﻳن قوه بر نقاط مختلف ﻳک جسم عمل کند و جسم در حالت تعادل قرار داشتﻪ‬ ‫باشد‪ ،‬اﻳن معنﻰ را مﻰدﻫد کﻪ محصلﺔ تمام قوهﻫاى مؤثر بر جسم مساوى بﻪ صفر مﻰباشد‪ ،‬و‬ ‫برعکس اگر اﻳن شرط تحقق نﻴابد‪ ،‬قوة محصلﻪ باعث تولﻴد تعجﻴل ﻳا شتاب در جسم گردﻳده‬ ‫و اﻳن تعجﻴل‪ ،‬جسم را در ﻳک حرکت انتقالﻰ قرار مﻰدﻫد‪ .‬جسمﻰکﻪ در حالت تعادل قرار‬ ‫دارد‪ ،‬نباﻳد دوران داشتﻪ باشد و براى تحقق اﻳن مطلب ﻻزمﻰاست کﻪ مجموع مومنتﻫاى‬ ‫دوران بﻪ گرداگرد ﻳک نقطﺔ کﻴفﻰ دوران‪ ،‬نﻴز مساوى بﻪ صفر شود‪ ،‬و اگر اﻳن شرط تحقق‬ ‫نﻴابد‪ ،‬مومنت محصلﻪ‪ ،‬جسم را بﻪ ﻳک حرکت دورانﻰ وا مﻰدارد‪.‬‬ ‫ﻫر دو شرط باﻻ را شراﻳط عمومﻰتعادل قبول کردهاند‪.‬‬ ‫پس در صورتﻰکﻪ چند قوه در نقاط مختلف و کﻴفﻰ ﻳک جسم عمل کنند‪ ،‬اﻳن جسم وقتﻰ‬ ‫در حالت تعادل قرار مﻰگﻴرد کﻪ دو شرط زﻳر در آن تحقق ﻳابد‪:‬‬ ‫شرط اول‪ :‬محصلﺔ قوهﻫاى عامل بر آن باﻳد مساوى بﻪ صفر باشد‪.‬‬ ‫شرط دوم‪ :‬مجموعﺔ تمام مومنتﻫاى دوران‪ ،‬بﻪ گرداگرد ﻳک نقطﺔ کﻴفﻰ دوران در جسم‬ ‫باﻳد مساوى بﻪ صفر باشد‪ .‬در بسﻴارى از مساﻳل و حاﻻتﻰکﻪ پﻴش مﻰآﻳد‪ ،‬قوهﻫا در ﻳک‬ ‫مستوى قرار مﻰداشتﻪ باشند‪ ،‬در غﻴر آن مسئلﻪ را مﻰتوان بﻪ اجزاى متعددى طورى تجزﻳﻪ‬ ‫کرد‪ ،‬کﻪ ﻫمﻪ قوهﻫاى موجود‪ ،‬در ﻳک مستوى واقع شوند‪ .‬براى اﻳنکﻪ شراﻳط تعادل را‬ ‫توسطﻪ فارمولﻫاى رﻳاضﻰ بﻴان کرده بتوانﻴم‪ ،‬در ﻫمان مستوى کﻪ قوهﻫا قرار دارند‪ ،‬ﻳک‬ ‫سﻴتسم کمﻴات وضعﻴﻪ را بر قرار مﻰسازﻳم و قوهﻫاى وارده را بﻪ ‪ F2 , F1‬و‪ ....‬عﻼمﻪ گزارى‬ ‫مﻰکنﻴم و ﻫمچنان مرکبﻪﻫاى قوهﻫا را بﻪ ‪ F1 x‬و ‪ F2 x‬ﻫمچنان بﻪ ‪ F1 y‬و ‪ F2 y‬و ‪ ....‬نشان‬ ‫داده و بازوﻫاى قوه را نظر بﻪ ﻳک نقطﺔ کﻴفﻰ دوران را با ‪ L1 , L2‬و ‪ ...‬عﻼمﻪ گزارى مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫کﻪ در نتﻴجﺔ آن معادلﻪﻫاى زﻳر بﻪ دست مﻰآﻳند‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مجموع قوهﻫاى کﻪ افقﻰ عمل مﻰکنند مساوى بﻪ صفر است‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪Fx = 0‬‬

‫‪F1 x + F2 x + F3 x + ......... = 0‬‬

‫‪ - 2‬مجموع قوهﻫاى کﻪ عمودى عمل مﻰکنند مساوى بﻪ صفر است‪.‬‬ ‫‪Fy = 0‬‬

‫‪F1 y + F2 y + F3 y + ............... = 0‬‬

‫‪ - 3‬مجموعﺔ مومنتﻫاى دوران مساوى بﻪ صفر است‪.‬‬ ‫‪M =0‬‬

‫‪F1l1 + F2l2 + F3l3 + ............... = 0‬‬

‫با آنچﻪ دربارة شراﻳط تعادل گفتﻴم‪ ،‬اﻳنک در ابتداء بر شرط اول تعادل دوباره مرور نموده‪،‬‬ ‫مساﻳل و تمرﻳنﻫا را دربارة آن حل مﻰکنﻴم‪:‬‬

‫‪36‬‬

‫شرط اول تعادل‬ ‫ﻫر جسمﻰکﻪ در حالت تعادل است‪ ،‬قوة محصلﻪ (جمع وکتورى ﻫمﻪ قوهﻫا بر جسم) باﻳد‬ ‫مساوى بﻪ صفر باشد ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪ R = 0‬ﻳا ‪F = 0‬‬ ‫و اگر بﻪ تعداد (‪ )n‬قوه بر جسم عمل کند‪ ،‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪F1 + F2 + F3 + ............... + Fn = 0‬‬ ‫‪F1x + F2 x + F3 x + ............ + Fnx = 0‬‬ ‫‪F1 y + F2 y + F3 y + ............ + Fny = 0‬‬

‫ﻣثال‬ ‫ﻳک گروپ برق بﻪ وزن ‪ 10N‬توسط ﻳک سﻴم‬ ‫بﻪ سقف خانﻪ آوﻳزان شده و بﻪ حالت سکون‬ ‫قرار دارد‪ .‬قوة کشش سﻴم ) ‪ (T‬را محاسبﻪ‬ ‫مﻰنماﻳﻴم‪:‬‬ ‫شکل )‪(1-55‬‬

‫حل‬ ‫چون جسم بﻪ حالت سکون است‪ ،‬پس قوهﻫاى عامل بر آن بﻪ حالت تعادل ﻫستند‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪T = 10 N‬‬

‫‪T = w,‬‬

‫‪T + ( W ) = 0,‬‬

‫‪T W = 0,‬‬

‫‪F =0‬‬

‫ﻣثال‬ ‫جسمﻰکﻪ توسط ﻳک تار آوﻳزان شده است‪ ،‬توسط ﻳک قوة ‪ 15 N‬کﻪ بﻪ طور افقﻰ عمل‬ ‫نموده و مطابق شکل جسم را در تعادل نگﻪداشتﻪ است‪ ،‬کشﻴده مﻰشود قوة کشش را‬ ‫کﻪ بر تار عمل مﻰکند محاسبﻪ نموده و ﻫم وزن جسم را بﻪدست مﻰآورﻳم‪ ،‬در حالﻰکﻪ‬ ‫‪ cos 53o = 0.6‬و ‪ sin 53o = 0.8‬باشند‪.‬‬

‫شکل )‪(1-56‬‬

‫‪37‬‬

‫حل‬ ‫در اﻳنجا سﻪ قوة کﻪ در حال تعادل ﻫستند‪ ،‬بر جسم تأثﻴر مﻰکنند‪ .‬اﻳن سﻪ قوه عبارتند از‪:‬‬ ‫‪ -1‬قوة وزن جسم (‪ -2 ،)W‬قوة واردة (‪ )F‬کﻪ بر جسم عمل مﻰکند و ‪ -3‬قوة کشش (‪)T‬‬ ‫کﻪ بر تار عمل مﻰکند‪ .‬نخست اﻳن سﻪ قوه را بﻪ ﻳک سﻴستم مختصات قاﻳم انتقال مﻰدﻫﻴم‪.‬‬ ‫سپس شرط اول تعادل را در ﻫر دو محور ‪ X‬و ‪ Y‬بر جسم تطبﻴق مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫ تطبﻴق شرط تعادل بر محور ‪:x‬‬‫‪Fx = 0‬‬ ‫‪F Tx = 0, Tx = F‬‬ ‫‪T = 25 N‬‬

‫‪T × 0 6 = 15 N‬‬

‫‪T cos 53o = 15 N‬‬

‫شکل )‪(1-57‬‬

‫ حاﻻ شرط اول تعادل را بر محور ‪ Y‬تطبﻴق مﻰنماﻳﻴم‪:‬‬‫‪Fr = 0‬‬ ‫‪Tr W = 0‬‬

‫‪Tr = W‬‬

‫شکل )‪(1-58‬‬

‫‪W = T sin 53o = 25 N × 0.8‬‬ ‫‪W = 20 N‬‬

‫شرط دوم تعادل‬ ‫ﻳک جسم با آنکﻪ شرط اول تعادل را پوره کرده است‪ ،‬با آنﻫم مﻰتواند در حالت تعادل‬ ‫قرار نداشتﻪ باشد‪ .‬بﻪ شکل )‪ (1-59‬توجﻪ نماﻳﻴد‪ .‬قوة محصلﻪ بر جسم مساوى بﻪ صفر است‪،‬‬ ‫ولﻰ جسم بﻪ حالت سکون باقﻰ مانده نمﻰتواند‪ .‬از اﻳنجا مﻰتوان گفت‪ :‬براى جسمﻰکﻪ در‬ ‫حالت تعادل قرار داشتﻪ باشد‪ ،‬شرط دﻳگرى ﻫم ضرورت است‪.‬‬ ‫‪F‬‬

‫شکل )‪(1-59‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪38‬‬

‫‪F‬‬

‫پس شرط دوم براى اﻳنکﻪ ﻳک جسم در حالت تعادل باشد‪ ،‬اﻳن است کﻪ باﻳد محصلﺔ‬ ‫مومنتﻫا (مجموعﺔ تورکﻫا) کﻪ بر جسم عمل مﻰکند‪ ،‬مساوى بﻪ صفر باشد‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪M =0‬‬

‫اگر بﻪ تعداد (‪ )n‬قوه بر جسم‪ ،‬مومنت تولﻴد کند‪ ،‬دارﻳم‪:‬‬

‫‪M 1 + M 2 + M 3 + .......... .. + Mn = 0‬‬

‫اگر ‪ F = 0‬ولﻰ ‪ M 0‬باشد‪ ،‬در اﻳن حال جسم در حالت تعادل انتقالﻰ قرار دارد‬ ‫و در اﻳن حال‪ ،‬جسم شتاب نمﻰگﻴرد؛ بلکﻪ شروع بﻪ دوران مﻰکند‪ .‬و اگر ‪ F 0‬ولﻰ‬ ‫‪ M = 0‬باشد‪ .‬جسم در حالت تعادل دورانﻰ است‪ ،‬ﻳعنﻰ کﻪ جسم شروع بﻪ دوران‬ ‫نمﻰکند؛ بلکﻪ شتاب دارد‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک انجام ﻳک دستک چوبﻰ بسﻴار سبک کﻪ فرض مﻰکنﻴم داراى وزن نﻴست‪ ،‬در نقطﺔ ‪A‬‬ ‫و انجام دﻳگر ان بﻪ وسﻴلﺔ ﻳک رﻳسمان بﻪ دﻳوارى وصل گردﻳده‪ .‬ﻳک جسم بﻪ وزن ‪120 N‬‬ ‫مطابق شکل از نقطﺔ وسطﻰ دستک آوﻳزان شده است‪.‬‬ ‫‪ .1‬قوة کشش (‪ )T‬را در رﻳسمان درﻳافت مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪ .2‬قوة عکس العمل (‪ )R‬کﻪ دﻳوار بر دستک در نقطﺔ ‪ A‬عمل‬ ‫مﻰکند چند است بﻪ دست مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪(sin‬‬ ‫‪(sin3737 ==cos‬‬ ‫‪cos53‬‬ ‫‪ sin‬و ‪53 ==00.6.6‬‬ ‫‪sin53‬‬ ‫‪53o==cos‬‬ ‫‪cos37‬‬ ‫در صورتﻰکﻪ ))‪37o==00.8.8‬‬ ‫باشند‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-60‬‬

‫حل‬ ‫قوهﻫاﻳﻰ کﻪ بر جسم عمل مﻰکنند‪ ،‬در شکل نشان داده شده است‪ Rx .‬و ‪ Ry‬مرکبﻪﻫاى‬ ‫قوهﻳﻰ است کﻪ دﻳوار بر دستک چوبﻰ وارد مﻰکند‪ .‬مومنتﻫاى (تورکﻫا) کﻪ ‪ Rx‬و ‪ Ry‬بﻪ‬ ‫وجود مﻰآورند‪ ،‬مساوى بﻪ صفر ﻫستند‪ ،‬زﻳرا اﻳن دو قوه در نقطﺔ دوران بر دستک عمل‬ ‫مﻰکنند‪ .‬با تطبﻴق شرط دوم تعادل بر دستک براى نقطﺔ ‪ A‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪MA = 0‬‬

‫= مومنت محصلﺔ کﻪ توسط قوهﻫاى ‪ T‬و ‪ W‬تولﻴد مﻰشود‬

‫‪Ty × L w( L 2) = 0‬‬ ‫‪(T sin 37 o ) L 120( L 2) = 0‬‬ ‫‪T 0,6 60 = 0‬‬ ‫‪T 0,6 = 60‬‬ ‫‪T = 100 N‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬

‫شکل )‪(1-61‬‬

‫‪39‬‬

‫‪Fx = 0‬‬ ‫‪Rx Tx = 0‬‬

‫از شرط اول تعادل دارﻳم‪:‬‬ ‫‪Rx = 100 × cos 37o = 100 × 0.8‬‬

‫‪Rx 100 cos 37 o = 0‬‬ ‫‪Rx = 80 N‬‬ ‫‪Fy = 0‬‬ ‫‪w=0‬‬

‫قوة عکس العمل از قاعدة فﻴثاغورث چنﻴن محاسبﻪ مﻰشود‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪R y + Ty‬‬

‫‪R y + 100 sin 37 o 120 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R 2 = Rx + R y‬‬

‫‪R y = 120 100 × 0.6‬‬ ‫‪R y = 120 60 = 60 N‬‬

‫‪R 2 = 80 2 + 60 2 = 6400 + 3600‬‬ ‫‪R = 100 N‬‬ ‫شکل )‪(1-621‬‬

‫‪R = 10000‬‬ ‫‪R = 100 N‬‬

‫تعبﻴر دﻳگرى از فارﻣﻮل ﻣﻮﻣﻨت‬ ‫ما دارﻳم کﻪ‪M = F.d sin :‬‬ ‫افاده باﻻ را مﻰتوان چنﻴن ﻫمنوشت‪M = F (d .sin ) :‬‬ ‫در افادة باﻻ ) ‪ ، (d.sin‬فاصلﺔ عمودى بﻴن نقطﺔ دوران و خط تأثﻴر قوه است‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک بکس را کﻪ فرض مﻰشود بدون وزن است و بﻪ گرداگر نقطﺔ ‪ O‬آزادانﻪ دوران مﻰکند‪،‬‬ ‫در نظر بگﻴرﻳد‪ ،‬شکل )‪ (1-63‬اگر ‪ F1 = 10 N‬بوده و ﻫر ضلع مربع‪ 1‬متر باشد‪ ،‬مقدارقوة‬ ‫‪ F2‬کﻪ صندوق را بﻪ تعادل مﻰآورد‪ ،‬محاسبﻪ مﻰ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬براى حالت تعادل نوشتﻪ مﻰتوانﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪M =0‬‬ ‫‪F1d1 = 0‬‬

‫‪F2 d 2‬‬

‫‪F2 (1m) (10 N ) (3m) = 0‬‬ ‫‪F2 = 30 N‬‬ ‫شکل )‪(1-63‬‬

‫‪40‬‬

‫مومنت را بﻪ تعبﻴرﻫاي زﻳر مﻰتوان چنﻴن افاده کرد‪:‬‬ ‫مومنت مساوى است بﻪ قوهءعمودى ضرب فاصلﻪ از محور دوران و ﻳا مومنت مساوى است‬ ‫بﻪ قوه ضرب فاصلﻪء عمودى از محور دوران‪.‬‬ ‫در بﻴشتر ازحاﻻت عمومﻰ ﻫم از مرکبﻪء قوه و ﻫم از مرکبﻪء فاصلﻪ‪ ،‬ﻳعنﻰ از مرکبﻪﻫاى ﻫر‬ ‫دوکﻪ با ﻫم جمع مﻲ شوند‪ ،‬براى درﻳافت مرکبﺔ مومنت استفاده مﻰشود‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬در شکل زﻳر‪ ،‬مومنتﻲ را کﻪ بﻪ گرداگر نقطﺔ ‪ O‬بﻪ وجود مﻰآﻳد محاسبﻪ مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬

‫‪F = 100 N‬‬

‫‪x‬‬

‫‪Fx‬‬

‫شکل )‪(1-64‬‬

‫حل‪ :‬براى حالت تعادل مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫)‪M = ( Fy ) (0,4) ( Fx) (0,8‬‬ ‫)‪M = ( F sin 37o ) (0,4) ( F cos 37o ) (0,8‬‬ ‫)‪M = (100 N × 0.6) (0.4m) (100 N × 0.8) (0.8m‬‬ ‫‪M = 60 × 0.4 N m 80 × 0.8 N m‬‬ ‫‪M = 24.0 N m 64.0 N m‬‬ ‫‪M = 40 N m‬‬

‫‪41‬‬

‫اﻧتخاب ﻣﻮقعﻴت ﻧقطﺔ دوران‬ ‫ﻫرگاه ﻳک جسم در حالت تعادل باشد‪،‬مومنت مجموعﻰ آن جسم‪ ،‬صرف نظر ازآنکﻪ نقطﺔ‬ ‫دوران در کجا موقعﻴت دارد‪ .‬مساوي بﻪ صفر است‪ .‬بنابر اﻳن موقعﻴت نقطﺔ دوران‪ ،‬در ﻫر‬ ‫محل کﻪ براى حل مسئلﻪﻫا مناسب باشد‪ ،‬انتخاب شده مﻲ تواند‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک رنگمال کﻪ ‪ 600‬نﻴوتن وزن دارد‪ ،‬مطابق شکل در موقعﻴت معﻴنﻰ بر روى ﻳک خوازة‬ ‫چوبﻰ کﻪ وزن آن ‪ 500‬نﻴوتن بوده و بﻪ ﻳک رﻳسمان آوﻳزان شده است‪ ،‬اﻳستاده و دﻳواري را‬ ‫رنگ مﻲ کند‪ .‬مقدار قوهﻫاى کشش (‪ )T1‬و (‪ )T2‬را کﻪ بر رﻳسمان عمل مﻰکنند‪ ،‬بﻪدست‬ ‫مﻰآورﻳم‪ ( .‬از ساﻳر وزنﻫا در سﻴستم صرف نظر مﻰشود)‪.‬‬

‫شکل )‪(1-65‬‬

‫شکل )‪(1-66‬‬

‫حل‬ ‫نخست سکﻴچ قوهﻫاﻳﻲ را کﻪ در سﻴستم عمل مﻰکنند‪ ،‬رسم مﻲ کنﻴم‪.‬‬

‫چون سﻴستم در حالت تعادل است‪ ،‬پس مﻰتوان اصل تعادل مومنتﻫا را بﻪکار برد‪ .‬براي‬ ‫محاسبﻪ قوهﻫاى ‪ T1‬و ‪ T2‬اوﻻً نقطﺔ ‪ A‬ﻳعنﻲ نقطﺔ تأثﻴر قوة ‪ T2‬وسپس نقطﺔ تأثﻴر قوة ‪ T1‬ﻳعنﻲ‬ ‫‪ B‬را انتخاب مﻲ کنﻴم‪.‬‬ ‫‪MA = 0‬‬ ‫وﻳا‬

‫‪T2 x0 + T1 × 4 500 × 2 600 × 3 = 0‬‬ ‫‪4T1 100 1800 = 0‬‬ ‫‪2800 N m‬‬ ‫‪4m‬‬

‫= ‪T1‬‬

‫‪4T1 = 2800‬‬ ‫‪T1 = 700 N‬‬

‫‪42‬‬

‫وﻳا‬

‫‪MB = 0‬‬

‫ﻫمچنان‬ ‫‪T1 × 0 + T2 × 4 w2 ×1 w1 × 2 = 0‬‬

‫‪4T2 = 600 ×1 + 500 × 2‬‬ ‫‪4T2 = 600 + 100 = 1600‬‬ ‫پس‬ ‫‪1600‬‬ ‫= ‪T2‬‬ ‫‪= 400 N‬‬ ‫‪4‬‬ ‫توجﻪ باﻳد کرد کﻪ تعادل قوهﻫاى ‪ FY = 0‬را‬

‫نمﻰتوان براى محاسبﻪ قوهﻫاى ‪ T1‬و ‪ T2‬بﻪکار‬ ‫برد‪ .‬براى حل اﻳن نوع دشوارىﻫا‪ ،‬شرط تعادل‬ ‫مومنتﻫا را بشتر براى محاسبﻪ قﻴمتﻫاى نامعلوم‬ ‫بﻪکار مﻰبرند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬ﻳک سﻴم بدون وزن را تصور کنﻴد کﻪ سﻪ‬ ‫قوة موازى باﻫم‪ ،‬در نقاط مختلف بر آن‪ ،‬عمل‬ ‫مﻰکنند‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-67‬‬ ‫اگر اﻳن سﻪ قوه با ﻳک قوه طوري تعوﻳض شود کﻪ قوة محصلﻪ و مومنت محصلﻪ بر اﻳن جسم‪،‬‬ ‫صرف نظر از موقعﻴت مرکز دوران‪ ،‬ثابت بماند‪ .‬مقدار اﻳن قوة محصلﻪ و موقعﻴت نقطﺔ تأثﻴر‬ ‫آنرا محاسبﻪ مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون قوة محصلﻪ ثابت باقﻰ مﻰماند‪ ،‬پس دارﻳم‪F = F1 + F2 + F3 :‬‬

‫اکنون فاصلﺔ مرکز دوران را از اصل تعادل مومنتﻫا چنﻴن بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪M = M1 + M 2 + M 3‬‬ ‫‪( F1 + F2 + F3 ) X = F1 X 1 + F2 X 2 + F3 X 3‬‬ ‫‪X = ( F1 X 1 + F2 X 2 + F3 X 3 ) / F1 + F2 + F3‬‬

‫چون تأثﻴر قوة ثقل باﻻى ﻫمﻪ اجزاى جسم بوده و جﻬت آن ﻫمﻴشﻪ بﻪ طرف مرکز کرة‬ ‫زمﻴن است‪ ،‬پس طورى کﻪ در شکل دﻳده مﻰشود‪ ،‬قوهﻫا ﻫمﻪ بﻪ ﻳک سمت و بﻪطور موازى‬ ‫با ﻫم عمل مﻰکنند‪.‬‬

‫‪43‬‬

‫محصلﺔ اﻳن قوهﻫا وزن جسم را تشکﻴل مﻰدﻫد‬ ‫و نقطﺔ تأثﻴراﻳن قوه را بﻪنام «مرکز ثقل جسم»‬ ‫ﻳاد مﻰکنند و بﻪ ‪ CG‬نماﻳش مﻲ دﻫند‪ .‬ﻳک مﻴلﺔ‬ ‫وزنﻪ بردارى با دو وزن مختلف بﻪ انجامﻫاى آن‬ ‫را‪ ،‬در سﻴستم مختصات قاﻳم طوري در نظر‬ ‫مﻰگﻴرﻳم کﻪ گوﻳا از سﻪ بخش ﻳعنﻰ دو وزن در‬ ‫دو انجام و ﻳک مﻴلﻪء وسطﻰ ساختﻪ شده باشد‪.‬‬ ‫وزن ﻫر ﻳکﻰ از اﻳن قسمتﻫا عبارت است از‪:‬‬ ‫‪ m2 g , m1 g‬و ‪ m3 g‬وزن مجموعﻰ مﻴلﻪ عبارت‬ ‫است از‪ mg = m1 g + m2 g + m3 g :‬نقطﺔ ‪O‬‬ ‫نقطﺔ تأثﻴر قوة ‪ mg‬است‪.‬‬ ‫معادلﺔ مومنت را مﻰتوان چنﻴن نوشت‪:‬‬

‫شکل )‪(1-68‬‬

‫‪(m1 g + m2 g + m3 g ) X CG = mi g x1 + m2 g x2 + m3 g x3‬‬

‫چون ‪ m3 + m2 + m1‬عبارت از کتلﻪء مجموعﻰ جسم است‪ ،‬پس معادلﻪء فوق را مﻰتوان‬ ‫چنﻴن مرتب کرد‪:‬‬ ‫‪X CG = ( m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 ) g /( m1 + m2 + m3 ) g‬‬

‫بعد از ساده ساختن دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫) ‪(mx‬‬ ‫‪m‬‬

‫= ‪YCG‬‬

‫براى محور ‪Y‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪YCG = (m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ) g /(m1 + m2 + m3 ) g‬‬ ‫) ‪(my‬‬ ‫‪m‬‬

‫= ‪YCG‬‬

‫(نقطﻪﻳﻲ کﻪ فرض مﻰشود‪ ،‬ﻫمﻪ کتلﺔ ﻳک جسم در آن نقطﻪ متمرکز شده است‪ ،‬بﻪنام مرکز‬ ‫کتلوي آن جسم گفتﻪ مﻲ شود‪ X cm .‬و ‪ Ycm‬عبارت از مختصات مرکز کتلﻪ ﻳﻲ جسم مﻲ باشند‪.‬‬ ‫در ﻳک محﻴطﻲ کﻪ ساحﺔ ثقل متجانس باشد‪ ،‬مرکز ثقل ومرکز کتلﻪ ﻳﻲ عﻴن نقطﻪ مﻰباشند‬ ‫و درمحﻴطﻲکﻪ ثقل ﻳا (جاذبﻪ) وجود نداشتﻪ باشد‪ ،‬در انجا وزن موجود نﻴست و صرف کتلﻪ‬ ‫وجود دارد‪).‬‬

‫‪44‬‬

‫ﻣثال‬ ‫اجسام ‪ A،B‬و ‪ C‬طورى کﻪ در شکل دﻳده مﻰشوند بﻪ‬ ‫روى سﻴستم مختصات موقعﻴت دارند‪ .‬کتلﻪﻫاى اﻳن‬ ‫اجسام بﻪ ترتﻴب ‪ 2kg , 3kg‬و ‪ 1kg‬استند‪ ،‬مختصات‬ ‫مرکز کتلﻪﻳﻲ سﻴستمﻲ را کﻪ اﻳن سﻪ جسم ساختﻪ‬ ‫است‪ ،‬درمﻰﻳابﻴم‪.‬‬ ‫شکل )‪(1-69‬‬

‫حل‪ :‬مختصات کتلﻪﻫا و موقعﻴتﻫاى جسمﻫا عبارتند از‪:‬‬ ‫)‪ A (6cm, 4cm‬مختصات کتلﺔ ‪(3kg‬‬ ‫)‪ B ( 3cm, 1cm‬مختصات کتلﺔ ‪(2kg‬‬ ‫)‪ C (0cm, 4cm‬مختصات کتلﺔ ‪(1kg‬‬

‫شکل )‪(1-70‬‬

‫مختصات مرکز کتلوى ) ‪ (cm‬عبارت است از‪:‬‬ ‫) ‪m = (m A X A + mB X B + mC X C ) / (m A + mB + mC‬‬

‫‪(m X ) /‬‬

‫= ‪X CM‬‬

‫) ‪= (3kg ) (6cm) + (2kg ) ( 3cm) + (1kg ) (0cm) /(3kg + 2kg + 1kg‬‬ ‫‪18kgcm 6kgcm 12kg cm‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫بعد از ساده ساختن دارﻳم‪= 2cm :‬‬ ‫‪6kg‬‬ ‫‪6kg‬‬ ‫) ‪m = (m AYA + mBYB + mCYC ) / (m A + mB + mC‬‬

‫‪(m y ) /‬‬

‫= ‪YCM‬‬

‫) ‪= (3kg ) (4cm) + (2kg ) ( 1cm) + (1kg ) ( 4cm) / (3kg + 2kg + 1kg‬‬ ‫‪12kgcm 2kgcm 4kgcm 6kgcm‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫بعد از ساده ساختن دارﻳم‪= 1cm :‬‬ ‫‪6kg‬‬ ‫‪6kg‬‬

‫‪45‬‬

‫‪YCM‬‬

‫خﻼصﺔ فصل اول‬ ‫قوه‪ ،‬عاملﻲ است کﻪ سبب تغﻴﻴر شکل و ﻳا حالت در جسم مﻰگردد و واحدﻫاى اساسﻰ آن در سﻴستم‬ ‫بﻴن المللﻰ (‪ )SI‬داﻳن و نﻴوتن است‪.‬‬ ‫ﻫرگاه چند قوة متﻼقﻰ بر ﻳک جسم عمل نماﻳند‪ ،‬ﻳک قوة محصلﻪ را بﻪ وجود مﻰآورند کﻪ مقدار و سمت‬ ‫اﻳن قوه بﻪ صورت ﻫندسﻰ با استفاده از قواعد وکتورﻫا و ﻫم بﻪ صورت حسابﻰ با استفاده از قواعد الجبرى‬ ‫بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ عبارت از کتلﺔ ﻳک جسم اﻳده آلﻰ است کﻪ تمام موادى کﻪ در ساختمان آن جسم بﻪکار‬ ‫رفتﻪ است‪ ،‬درﻳک نقطﻪ متمرکز شده باشد‪.‬‬ ‫دو قوه زمانﻰ در حالت تعادل قرار گرفتﻪ مﻰتوانند کﻪ محصلﺔ آنﻫا مساوى بﻪ صفر‪ ،‬ﻳعنﻰ ‪ F = 0‬گردد‬ ‫و اﻳن در حالتﻰ ممکن است کﻪ مقدار ﻫر دو قوه باﻫم مساوى ولﻰ جﻬتﻫاى آنﻫا مخالف باشند‪.‬‬ ‫براى بﻪدست آوردن محصلﺔ چندﻳن قوه بﻪ طرﻳق محاسبﻪﻳﻰ‪ ،‬نخست ﻫمﻪ قوهﻫا را در ﻳک سﻴستم مختصات‬ ‫قاﻳم بﻪ مرکبﻪﻫاى تجزﻳﻪ مﻰنماﻳﻴم و بعد با استفاده از مرکبﻪﻫاى قوهﻫا‪ ،‬قوهﻫاى محصلﻪ و زاوﻳﻪﻫاﻳﻰ را کﻪ با‬ ‫محورﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬مﻰسازند‪ ،‬حساب شده مﻰتواند‪ .‬ﻫرگاه مجموعﺔ ﻫر ﻳک از مرکبﻪﻫاى قوة محصلﻪ را مساوى بﻪ‬ ‫صفر قرار دﻫﻴم‪ ،‬در آن صورت تعادل برقرار گردﻳده و محصلﺔ چندﻳن قوه حاصل مﻰگردد‪.‬‬ ‫ﻫرگاه دو قوة مساوى و موازى کﻪ داراى جﻬتﻫاى متقابل باشند‪ ،‬بﻪ شکل عمود برﻳک محور و بر دو نقطﺔ‬ ‫متفاوت ﻳک جسم اثر کنند‪ ،‬آنﻫا را زوج قوهﻫا مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫ﻳک زوج قوه بدون در نظر داشت موقعﻴت مرکز دوران (نقطﺔ دوران)‪ ،‬ﻫمﻴشﻪ داراى عﻴن مومنت دوران‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻳک جسم کﻪ در حالت سکون است و ﻳا اﻳنکﻪ در حالت سکون باقﻰ مﻰماند‪ ،‬گفتﻪ مﻰشود کﻪ در حالت‬ ‫تعادل ستاتﻴک قرار دارد‪ .‬اما جسمﻲکﻪ با ﻳک سرعت ثابت در حالت حرکت و ﻳا در حالت دوران باشد‪،‬‬ ‫گوﻳند کﻪ آن جسم در حالت تعادل دﻳنامﻴک است‪.‬‬ ‫براى اﻳنکﻪ جسم در حالت تعادل باشد‪ ،‬دو شرط زﻳر باﻳد صدق کند‪:‬‬ ‫‪ - 1‬قوة محصلﺔ (جمع وکتورى) ﻫمﻪ قوهﻫاي عامل برآن باﻳد مساوى بﻪ صفر باشد‪ ،‬ﻳعنﻲ‪F = 0 :‬‬ ‫‪ - 2‬مومنت محصلﻪ (جمع مومنتﻫا کﻪ بر جسم تأثﻴر دارند)‪ ،‬باﻳد مساوى بﻪ صفر باشد‪ ،‬ﻳعنﻲ‪M = 0 :‬‬ ‫اثر دورانﻰ قوه را مومنت(تورک) مﻰنامند‪ .‬کﻪ آن را ما بﻪ ‪ M‬نشان مﻰدﻫﻴم و بﻪ حرف ﻳونانﻰ ( ‪ ) τ‬ﻫم‬ ‫نشان داده شده است کﻪ‪M = F d sin :‬‬ ‫مومنت در جﻬت عقرب ساعت و ﻳا در جﻬت مخالف آن عمل کرده مﻰتواند‪.‬‬ ‫ﻳک جسم‪ ،‬با آنکﻪ شرط اول تعادل را پوره کرده است‪ ،‬با آنﻬم مﻰتواند در حالت تعادل قرار نداشتﻪ باشد‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ مقدار قوة محصلﻪ بر جسم‪ ،‬مﻰتواند صفر باشد‪ ،‬اما جسم در حالت سکون قرار ندارد‪.‬‬ ‫مختصات مرکز ثقل ﻳک جسم در سﻴستم کمﻴات وضعﻴﺔ قاﻳم‪ ،‬از معادﻻت زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬

‫‪m‬‬

‫‪(my ) /‬‬

‫= ‪ YCG‬و ‪m‬‬

‫‪46‬‬

‫‪(mx ) /‬‬

‫= ‪X CG‬‬

‫سؤالﻫاي فصل اول‬ ‫‪ - 1‬قوه را تعرﻳف کنﻴد و واحدﻫاى اساسﻰ آن را در سﻴستم بﻴن المللﻰ (‪ )SI‬بﻴان دارﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬چرا قوه ﻳک مقدار وکتورى است؟‬ ‫‪ - 3‬دو قوة غﻴر موازى کﻴفﻰ را انتخاب نموده و محصلﺔ آنﻫا را بﻪ طرﻳقﺔ قاعدة متوازى‬ ‫اﻻضﻼح قوهﻫا ترسﻴم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬شکل زﻳر را در نظر گرفتﻪ محصلﺔ قوهﻫا را بﻪ طرﻳقﺔ الجبرى محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪4N‬‬

‫?‬ ‫‪3N‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪R‬‬

‫‪60 o‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪ - 5‬کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ را تعرﻳف نماﻳﻴد و سﻪ مثال از کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ اراﻳﻪ دارﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬قوة عمل ﻫمﻴشﻪ با قوة ‪ .....................‬مساوى ولﻰ داراى ‪ .........................‬متقابل مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 7‬اجسامﻰکﻪ ‪ .....................‬آنﻫا باﻻتر از ‪ ....................‬زﻳرﻳن اتکاى شان قرار داشتﻪ باشد‪،‬‬ ‫در حالت تعادل ‪ ...........................‬قرار دارند‪.‬‬ ‫‪ - 8‬مومنتﻰ را کﻪ ﻳک قوه در حادثﺔ دوران تولﻴد مﻰکند بﻪ کدام سﻪ پارامتر ارتباط دارد؟‬ ‫توضﻴح و تحرﻳر دارﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 9‬مومنتﻰ را کﻪ توسط قوة ‪ 25N‬بر مﻴلﻪﻳﻰ کﻪ داراى طول ‪ 0.5m‬است تولﻴد مﻰشود‪،‬‬ ‫محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 10‬مرکبﺔﻫاى ﻫر ﻳک از قوهﻫاى محصلﺔ زﻳر را بﻪ طرﻳقﺔ ﻫندسﻰ ترسﻴم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪30 o‬‬

‫‪45‬‬

‫‪ - 11‬رابطﺔ رﻳاضﻰ مومنت دوران در ﻳک زوج قوه را براى‬ ‫متقابل ‪ L‬بﻴن خطوط تأثﻴر آنﻫا بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬اگر محور دوران از ﻳکﻰ از دو خط تأثﻴر عبور نموده‪ ،‬ولﻰ خارج از آنﻫا قرار داشتﻪ‬ ‫باشد‪ ،‬در آن صورت مومنت دوران چگونﻪ اراﻳﻪ مﻰشود؟ رابطﺔ رﻳاضﻰ آن را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 13‬مقدار تورکﻰ را کﻪ توسط تأثﻴر قوة ‪ 3N‬باﻻى ﻳک دروازه بﻪ فاصلﺔ عمودى ‪ 0.25m‬از‬ ‫محور دوران آن تولﻴد مﻰشود‪ ،‬محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 14‬ﻳک رقاصﺔ ساده کﻪ با کتلﺔ نقطﻪﻳﻰ‪ 3Kg‬در انجام تار نازک بﻪطول‪ 2m‬آوﻳزان شده بﻪ‬ ‫ﻳک نقطﺔ محور وصل شده است‪.‬‬ ‫قوﻫاى ‪F1 = F2 = F‬‬

‫‪47‬‬

‫با فاصلﺔ‬

‫‪ -a‬تورک تولﻴد شده (توسط قوة جاذبﺔ زمﻴن) را در اطراف اﻳن نقطﺔ محور حساب کنﻴد‪ ،‬در‬ ‫صورتﻰکﻪ زاوﻳﺔ ‪ 5o‬را عمودا ً با محور بسازد‪.‬‬ ‫‪ -b‬اﻳن محاسبﻪ را براى زاوﻳﺔ ‪ 15o‬محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 15‬مقدار تورک ﻻزم براى باز کردن ﻳک پﻴچ روى وﻳل ﻳک موتر ‪ 40 Nm‬است‪ .‬کمترﻳن‬ ‫قوهﻳﻰ کﻪ باﻳد ﻳک مﻴخانﻴک بﻪ انجام ﻳک رنچ ‪ 3cm‬براى باز کردن پﻴچ وارد نماﻳد‪ ،‬چند‬ ‫است؟‬ ‫‪ - 16‬با تعقﻴب نمودن جﻬتﻫا در ﻳک نقشﻪ براى پﻴداکردن ﻳک گنج‪ ،‬ﻳک راهبلد اوﻻً ‪45m‬‬ ‫بﻪ سمت شمال مﻰرود و بعد دور خورده ‪ 7.5m‬بﻪطرف شرق قدم مﻰزند‪ .‬براى رسﻴدن بﻪ‬ ‫گنج‪ ،‬راه بلد چقدر فاصلﻪ را باﻳد بﻪ طور مستقﻴم طﻰ کند؟ موقعﻴت گنج را در سﻴستم‬ ‫کمﻴتﻫاى وضعﻴﻪ نشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ - 17‬ﻳک ﻻرى در ﻳک تپﻪ داراى نشﻴبﻰ ‪ 15‬حرکت مﻰکند‪ .‬اگر ﻻرى ‪ 22m s‬سرعت ثابت‬ ‫داشتﻪ باشد‪ ،‬مرکبﻪﻫاى عمودى و افقﻰ سرعت ﻻرى را بﻪدست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 18‬مرکبﻪﻫاى عمودى وافقﻰ فاصلﺔ طﻰ شده توسط ﻳک پشک را کﻪ بﻪاندازة ‪ 5m‬عمودا ً‬ ‫بﻪ ﻳک درخت باﻻ شده است‪ ،‬بﻪدست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ - 19‬ﻳک طﻴاره موازى با سطح زمﻴن اوﻻً فاصلﺔ ‪ 75Km‬را با زاوﻳﺔ ‪ 30‬بﻪ سمت شمال غرب و‬ ‫فاصلﺔ دومﻰ ‪ 155 Km‬را با زاوﻳﺔ ‪ 60o‬بﻪ سمت شمال شرق پرواز مﻰکند‪ .‬فاصلﺔ مجموعﻰ طﻰ‬ ‫شده توسط طﻴاره چند است؟‬ ‫‪ - 20‬اندازه و جﻬت وکتور سرعت منتجﻪ را در سرعتﻫاى زﻳر کﻪ باﻫم عمود اند‪ ،‬درﻳافت کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ -a‬ﻳک ماﻫﻰ نسبت بﻪ آب بﻪ استقامت درﻳاﻳﻰ کﻪ بﻪ سرعت ‪ 5 m s‬در حرکت است‪ ،‬بﻪ سرعت‬ ‫‪ 3 m s‬شنا مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ -b‬ﻳک موج ساحلﻰ نسبت بﻪ آب بﻪ استقامت ﻳک موجﻰ کﻪ بﻪ سرعت ‪ 6 m s‬حرکت‬ ‫مﻰکند بﻪ پﻴش مﻰرود‪.‬‬ ‫‪ - 21‬سﻪ کتاب ﻫم شکل و ﻫم وزن بﻪ طول ‪ L‬مطابق شکل روى ﻫم قرار داده شدهاند‪.‬‬ ‫فاصلﺔ اعظمﻰ پﻴش آمدهگﻰ ‪ d‬شکل را کﻪ در آن کتابﻫا در تعادل بوده و سقوط نکنند‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪48‬‬

‫‪ - 22‬ﻳک مﻴلﺔ متجانس بﻪطول ‪ 4.25m‬و کتلﺔ ‪ 47 Kg‬کﻪ با ﻳک محور در ﻳک انجامش بﻪ ﻳک‬ ‫دﻳوار تکﻴﻪ دارد‪ ،‬بﻪطور افقﻰ توسط ﻳک سﻴم بﻪ انجام دﻳگرش بستﻪ شده است‪ .‬سﻴم زاوﻳﺔ‬ ‫‪ 30o‬را با افق مﻰسازد و راست باﻻى محور مﻴلﻪ نصب شده است‪ ،‬اگر سﻴم بتواند در مقابل‬ ‫قوة کشش ‪ 1400 N‬قبل از اﻳنکﻪ بگسلد مقاومت کند‪ .‬بﻪ کدام فاصلﻪ از دﻳوارى کﻪ شخص‬ ‫بﻪ کتلﺔ ‪ 68Kg‬مﻰتواند روى مﻴلﻪ بنشﻴند تا سﻴم بگسلد؟‬ ‫‪ - 23‬قوة کشش ‪ T‬در رﻳسمان ‪ 30N‬است و طورىکﻪ‬ ‫در شکل مﻰبﻴنﻴد‪ ،‬جسم در حالت تعادل قرار دارد‪.‬‬ ‫مقدار کتلﻪ را بﻪ ‪ kg‬حساب کنﻴد‪ ،‬در حالﻰکﻪ‪:‬‬ ‫‪cos 53o = 0,6‬‬

‫‪sin 53o = 0,8‬‬ ‫‪g = 10 N kg‬‬

‫‪ - 24‬ﻳک جسم با کتلﺔ ‪ m‬مطابق شکل بﻪ کمک قوهء افقﻰ ‪ 30N‬در حالت تعادل است‪.‬‬ ‫مقدار کتلﺔ جسم را بﻪ ‪ kg‬محاسبﻪ نماﻳﻴد‪ .‬طورىکﻪ‪:‬‬ ‫‪cos 37 o = 0,8‬‬

‫‪sin 37 o = 0,6‬‬ ‫‪g = 10 N kg‬‬

‫‪ - 25‬طورىکﻪ در شکل مﻰبﻴنﻴد‪ ،‬جسمﻰبﻪ وزن ‪ 80 N‬بﻪ وسﻴلﺔ رﻳسمانﻰ آوﻳزان شده و‬ ‫توسط ﻳک قوهء افقﻰ (‪ )F‬کش مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ - a‬قوة کشش را دررﻳسمان درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - b‬قوة‪ F‬را محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪sin 53o = 0,8‬‬

‫‪cos 53o = 0,6‬‬

‫‪49‬‬

‫‪ - 26‬سﻴستمﻰرا کﻪ در شکل مشاﻫده مﻰکنﻴد‪ ،‬در آن دو جسم بﻪ وزنﻫاى ‪W1 = 20 N‬‬ ‫و ‪ W2 = 30 N‬از سقف توسط رﻳسمانﻫاى جداگانﻪ آوﻳزان شدهاند وبﻪ حالت تعادل آورده‬

‫شدهاند‪.‬‬ ‫اگر رﻳسمان ‪ AB‬افقﻰ باشد‪ ،‬قوهﻫاي کش ‪T3 , T2 , T1‬‬ ‫را محاسبﻪ نماﻳﻴد و ﻫمچنان قﻴمت زاوﻳﺔ را بﻪدست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪ sin 53o = cos 37o = 0.8‬و ‪sin 37o = cos 53o = 0.6‬‬ ‫‪ - 27‬ﻳک درﻳور‪ ،‬ﻳک قوة ‪ F‬را بر چرخ اشترنگ موتر با دستﻫاى خود آنطورىکﻪ در شکل‬ ‫دﻳده مﻰشود وارد مﻲکند اگر چرخ اشترنگ داراى شعاع ‪ d‬باشد‪ .‬درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫‪ )a‬قوة محصلﻪ را‪.‬‬ ‫‪ )b‬مومنت محصلﻪ را کﻪ برچرخ اشترنگ عمل مﻰکند‪.‬‬

‫‪ - 28‬سﻪ دسک‪ ،‬اولﻰ با شعاع ‪، r‬دومﻰبا شعاع ‪ 2r‬و سومﻰبا شعاع ‪ 3r‬بﻪ ﻫم طورى وصل شدهاند کﻪ‬ ‫ﻫمﺔ آنﻫا بﻪ گردا گرد نقطﻪ ‪ O‬بﻪ اثر قوهﻫاى ‪ 200 N ,100 N‬و ‪ 250 N‬دوران مﻰکنند‪.‬‬ ‫اگر شعاع ‪ r = 0.1m‬باشد مومنت محصلﻪﻳﻲ را کﻪ بر اﻳن سﻴستم عمل مﻰکند‪ ،‬درﻳافت‬ ‫کنﻴد‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫فصل دوم‬ ‫حر کت ﻳک بُعدى‬

‫(موقعﻴت اولﻰ)‬

‫(موقعﻴت اخرى)‬

‫ﻫمانطورى کﻪ مﻰدانﻴم‪ ،‬جﻬان و ﻫرچﻪ در آن است‪ ،‬حتا جسمﻫاﻳﻰ کﻪ بﻪ ظاﻫر ساکن ﻫم‬ ‫بﻪ نظر مﻰرسند؛ مانند‪ ،‬سرک‪ ،‬درختان و ﻳا افتادن برگ درختان ﻫمﻪ در حال حرکت اند‪.‬‬ ‫وقتﻰ در راه مکتب بﻪ اطراف خود نگاه مﻰکنﻴد‪ ،‬انواع مختلف حرکتﻫا را مشاﻫده مﻰکنﻴد‪.‬‬ ‫براى بررسﻰ اﻳن نوع حرکتﻫا از چﻪ علمﻰ باﻳد استفاده کرد؟ ﻫمانطورى کﻪ مﻰدانﻴد‪،‬‬ ‫دﻳنامﻴک بخشﻰ از مﻴخانﻴک را تشکﻴل مﻰدﻫد کﻪ بﻪ مطالعﺔ حرکت اجسام و رابطﺔ حرکت‬ ‫با مفا ﻫﻴم فزﻳکﻰ مانند قوه و کتلﻪ مﻰپردازد‪ .‬ما در اﻳن فصل حرکت اجسام را با استفاده‬ ‫از مفاﻫﻴم موقعﻴت (مکان) و زمان بدون در نظر گرفتن قوهﻫاى وارده بر اجسام مطالعﻪ‬ ‫مﻰکنﻴم‪ ،‬کﻪ اﻳن بخش از مﻴخانﻴک را سﻴنماتﻴک مﻰنامند‪.‬‬ ‫شما در پاﻳان اﻳن فصل در بارة انواع حرکتﻫا بﻴشتر خواﻫﻴد آموخت و تصوﻳر مکمل چنﻴن‬ ‫حرکتﻫا را در ذﻫن تان ترسﻴم خواﻫﻴد کرد و بﻪ پرسشﻫاﻳﻰ مانند حرکت بﻪ امتداد خط‬ ‫مستقﻴم چﻴست؟ موقعﻴت و تغﻴﻴر مکان ﻳک جسم متحرک چﻴست؟ و امثال آنﻫا پاسخ‬ ‫خواﻫﻴد داد‪.‬‬ ‫ﻫمچنان در ختم اﻳن فصل بﻪ تعرﻳف و تشرﻳح مفاﻫﻴم سﻴنماتﻴک‪ ،‬سرعت متوسط و رابطﺔ‬ ‫آن در حرکت ﻳک بعدى‪ ،‬تشرﻳح اصطﻼحات موقعﻴت‪ ،‬تغﻴﻴر موقعﻴت ومعادﻻت حرکت و‬ ‫تحلﻴل گرافﻫاى (‪) x-t‬و (‪ ،)v-t‬تعرﻳف و تشرﻳح سرعت لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬شتاب متوسط و شتاب‬ ‫لحظﻪﻳﻰ و بﻪدست آوردن معادلﻪﻫاى آنﻫا‪ ،‬تشرﻳح حرکت ﻳک بعدى با شتاب ثابت‪ ،‬بﻪدست‬ ‫آوردن معادﻻت حرکت با شتاب ثابت و تحلﻴل و بررسﻰ سقوط آزاد اجسام بﻪ عنوان نمونﻪﻳﻰ‬ ‫از حرکت با شتاب ثابت وغﻴره مفاﻫﻴم آشناﻳﻰ حاصل خواﻫﻴد کرد‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫‪ :2-1‬حرکت بﻪ اﻣتداد خط ﻣستقﻴﻢ‬ ‫حرکت بﻪ امتداد خط مستقﻴم را حرکت ﻳک بعدى نﻴز مﻰگوﻳند کﻪ در آن مسﻴر حرکت‪،‬‬ ‫خط مستقﻴم است‪.‬مثال زﻳر نمونﺔ خوبﻰ براى درک بﻬتر اﻳن نوع حرکت مﻰباشد‪:‬‬ ‫ﻳک جسم متحرک مانند ﻳک موتر را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ در مسﻴر خط مستقﻴم در حرکت‬ ‫است ‪ .‬شکل )‪ (2-1‬موقعﻴتﻫاى اﻳن موتر را در لحظﻪﻫاى زمانﻰ ‪ t3 , t2 , t1‬و ‪ t4‬بﻪ ترتﻴب در‬ ‫مکانﻫاى ‪ ،A،B،C‬و ‪ D‬روى ﻳک مسﻴر مستقﻴم نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫‪t4‬‬

‫‪t3‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪t1‬‬

‫شکل )‪ (2-1‬حرکت بﻪ امتداد خط مستقﻴم‬

‫‪A‬‬

‫در حرکت بﻪ امتداد خط مستقﻴم اگر مبداء را روى مسﻴراختﻴار کنﻴم‪ ،‬وکتورﻫاى موقعﻴت‬ ‫و وکتورﻫاى تغﻴﻴر مکان ﻫم جﻬت ﻫستند و اﻳن سبب مﻰشود کﻪ محاسبﻪ بر روى اﻳن‬ ‫وکتورﻫا بﻪ سادهگﻰ انجام پذﻳرد‪.‬‬ ‫بحث کﻨﻴد‬ ‫متحرکﻰ مانند ﻳک موتر تﻴز رفتار را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ برروى سرک راست در حرکت است‪.‬‬ ‫نوع حرکت اﻳن موتر را در صنف با گروهﻫاى مربوط بحث کنﻴد و نتﻴجﻪ را در صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫اگر ﻳکﻰ از محورﻫاى مختصات کمﻴات و ضعﻴﻪ(‪OX‬و‪ )OY‬را بﻪ حﻴث مسﻴر حرکت در نظر‬ ‫بگﻴرﻳد‪ ،‬مﻰتوانﻴد موقعﻴت جسم متحرک را در ﻫر لحظﻪ بﻪ وسﻴلﺔ مختصﺔ آن (مث ً‬ ‫ﻼ مختصﺔ‬ ‫‪ )X‬کﻪ مﻰتواند عدد مثبت ﻳا منفﻰ باشد‪ ،‬تشخﻴص کنﻴد‪.‬‬ ‫در شکل )‪ ،(2-2‬مسﻴر حرکت و موقعﻴت متحرک در لحظﻪﻫاى ‪ t2 ,t1‬و ‪ t3‬نشان داده شده‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t3‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫است ‪.‬‬ ‫شکل )‪(2-2‬‬ ‫)‪x(m‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x1‬‬

‫ﻫمانطور کﻪ در شکل دﻳده مﻰشود‪ ،‬در لحظﻪﻫاى ‪ t2 ,t1‬و ‪ t3‬موقعﻴتﻫاى جسم متحرک بﻪ‬ ‫ترتﻴب ‪ x2 = +3m , x1 = 3m‬و ‪ x3 = 9m‬است‪.‬‬

‫‪ :2-2‬ﻣﻮقعﻴت و تﻐﻴﻴر ﻣکان‬ ‫موقعﻴت و تغﻴﻴر مکان اجسام را چگونﻪ مﻰتوان بررسﻰ کرد؟ براى توصﻴف و بررسﻰ حرکت‬ ‫ﻳک جسم چﻪ باﻳد کرد؟‬ ‫براى اﻳنکﻪ موقعﻴت و تغﻴﻴر مکان را تعرﻳف کرده بتوانﻴد‪ ،‬فعالﻴت ذﻳل را انجام دﻫﻴد‪:‬‬

‫‪52‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫مواد ضرورى‪ :‬موترک بازى (ﻻبراتوارى)‪ ،‬خط کش‪ ،‬مﻴز‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬موترک را در ﻳک موقعﻴت مشخص در روى مﻴز قرار دﻫﻴد و فاصلﺔ آن را از ﻳکﻰ از گوشﻪﻫاى مﻴز‬ ‫(مبدا)توسط خط کش اندازهگﻴرى نماﻳﻴد و با وکتور ‪ OA‬نماﻳش دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬موترک را مطابق شکل از موقعﻴت اولﻰ بﻰجا نموده و در ﻳک موقعﻴت دﻳگرقرار دﻫﻴد و سپس دو‬ ‫باره از ﻫمان گوشﺔ مﻴز کﻪ در مرحلﺔ اول اندازهگﻴرى نمودﻳد (مبداء اولﻰ)‪ ،‬موقعﻴت دومﻰ موتر را توسط‬ ‫خط کش اندازهگﻴرى نموده و با و کتور ‪ OB‬نماﻳش دﻫﻴد‪:‬‬

‫اکنون بﻪ پرسشﻫاى زﻳر پاسخ دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬آﻳا موقعﻴت موترک در دو مرحلﻪ ﻳکسان بوده؟‬ ‫شکل )‪(2-3‬‬ ‫‪ - 2‬موترک بﻪ چﻪاندازه تغﻴﻴر موقعﻴت داده است ؟‬ ‫‪ - 3‬کدام چﻴز مشترک را در بﻴن ﻫر دو حالت مشاﻫده کردﻳد؟ توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫بﻰگمان موترکﻰ کﻪ بر روى مﻴز حرکت مﻰکند‪ ،‬در لحظﺔ ‪ t1‬در موقعﻴت ‪ A‬و در لحظﺔ ‪ t 2‬در موقعﻴت‬ ‫‪ B‬قرار داد‪.‬‬ ‫پس موقعﻴت موتر در ﻫر دو مرحلﻪ ﻳکسان نخواﻫد بود‪.‬‬

‫در فعالﻴت باﻻ‪ ،‬عنصر مشترکﻰ کﻪ بﻴن دو موقعﻴت ‪ A‬و ‪ B‬موتر وجود دارد‪ ،‬عبارت ازمبدا‬ ‫مﻰباشد‪ .‬و کتورﻫاى ‪ OA‬و ‪ OB‬را بﻪ ترتﻴب وکتورﻫاى موقعﻴت (مکان) در لحظﻪﻫاى ‪ t1‬و ‪t 2‬‬ ‫مﻰگوﻳﻴم‪ .‬از فعالﻴت باﻻ مﻰتوان بﻪ نتﻴجﺔ زﻳر رسﻴد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وکتورموقعﻴت‪ ،‬وکتورى است کﻪ موقعﻴت جسم را در ﻫر لحظﻪ مشخص مﻰکند‪،‬کﻪ‬ ‫ابتداى اﻳن وکتور‪ ،‬مبداى کمﻴات وضعﻴﻪ و انجام آن موقعﻴت جسم است و بﻪ طور معمول‬ ‫آن را با حرف ‪ r‬نماﻳش مﻰدﻫند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬تغﻴﻴر موقعﻴت ﻳک متحرک بﻴن دو لحظﺔ ‪ t1‬و ‪ ، t2‬وکتورى است کﻪ ابتداى آن موقعﻴت‬ ‫متحرک در لحظﺔ ‪ t1‬و انجام آن موقعﻴت متحرک در لحظﺔ ‪ t2‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫از گذشتﻪ مﻰدانﻴم کﻪ در شکل زﻳر وکتور ‪ AB‬عبارت از تفاضل دو وکتور ‪ OB‬و ‪ OA‬است‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A r‬‬ ‫‪r = r2 r1‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪x‬‬

‫‪53‬‬

‫‪r2‬‬

‫‪r1‬‬ ‫‪o‬‬

‫شکل )‪(2-4‬‬

‫ﻣثال‪ :‬موقعﻴت متحرکﻰ در دولحظﺔ ‪ t1‬و ‪ t2‬بﻪترتﻴب ‪ r1‬و ‪ r2‬است‪ .‬اگر اندازة ﻫرﻳک از وکتورﻫا‬ ‫بﻪ ترتﻴب ‪ 8m ، 6m‬و زاوﻳﺔ بﻴن آنﻫا ‪ 90°‬باشد‪ ،‬اندازة تغﻴﻴر مکان بﻴن اﻳن دو لحظﻪ را بﻪ‬ ‫‪y‬‬ ‫دست آورﻳد؟‬ ‫حل‪ :‬با توجﻪ بﻪ شکل‪ ،‬وکتور تغﻴﻴر موقعﻴت‪ ،‬ﻳعنﻰ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫شکل )‪(2-5‬‬ ‫عبارت از وتر مثلث قاﻳم الزاوﻳﻪ است کﻪ اضﻼع آن‬ ‫‪r1 6 m‬‬ ‫‪ 6m‬و ‪ 8m‬است‪ .‬بنا بر اﻳن مقدار تغﻴﻴر مکان(موقعﻴت)‬ ‫‪8m‬‬

‫‪x‬‬

‫برابر با‪6 2 + 82 = 36 + 64 = 100 m 2 = 10m :‬‬

‫‪r2‬‬

‫=‪r‬‬

‫)‪y (m‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬در شکل زﻳر‪ ،‬مسﻴر حرکت متحرکﻰ روى ﻳک‬ ‫‪o‬‬ ‫منحنﻰ ‪ AB‬نشان داده شده است‪ .‬وکتور تغﻴﻴر مکان‬ ‫(موقعﻴت) بﻴن دو نقطﺔ ‪ A‬و ‪ B‬را رسم کنﻴد و قﻴمت آن را‬ ‫بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫)‪x(m‬‬

‫‪o‬‬

‫‪B‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ :2-3‬سرعت ﻣتﻮسط‬ ‫ﻫمانطورىکﻪ در فزﻳک صنف نﻬم خواندﻳد‪ ،‬جسم متحرک نسبت بﻪ عوامل مختلف نمﻰتواند‬ ‫فواصل مساوى را در اوقات مساوى طﻰنماﻳد‪ ،‬در اﻳن صورت براى تشرﻳح خصوصﻴت حرکت‬ ‫جسم بﻪ مسﻴر خط مستقﻴم‪ ،‬از اصطﻼح سرعت متوسط استفاده مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫براى درک بﻬتر از اصطﻼح سرعت متوسط‪ ،‬بﻪ مثال زﻳر توجﻪ نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬شکل )‪ (2-6‬موقعﻴت موترى را کﻪ در حال حرکت است‪ ،‬در زمانﻫاى متفاوت نشان‬ ‫‪t0 0‬‬ ‫‪t 1 10 s‬‬ ‫‪t 2 60 s‬‬ ‫مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫)‪x(m‬‬

‫‪230 m‬‬

‫‪120 m‬‬

‫‪50 m‬‬

‫شکل )‪(2-6‬‬

‫الف) اندازة تغﻴﻴر موقعﻴت را در مقطعﻫاى زمانﻰ ‪ t1 t0‬و ‪ t 2 t1‬را بﻪدست آورﻳد؟‬ ‫ب) در ﻫر ﻳک از اﻳن مقطعﻫاى (انتر والﻫاى) زمانﻰ‪ ،‬موتر بﻪ طور متوسط در ﻫر ثانﻴﻪ تغﻴﻴر‬ ‫موقعﻴت آن را بﻪ دست آورﻳد؟‬ ‫حل‪ :‬الف) تغﻴﻴر موقعﻴت در انتروال زمانﻰ ‪ t = t1 t0 = 10 s‬برابر است با‬ ‫‪ x = x1 x0 = 120 50 = 70m‬و تغﻴﻴر موقعﻴت در انتروال زمانﻰ ‪t = t 2 t1 = 50 s‬‬ ‫مساوى است با ‪x = x2 x1 = 230 120 = 110m‬‬

‫‪54‬‬

‫ب) با تقسﻴم ﻫر ﻳک از فاصلﻪﻫاى طﻰ شده در انتروال زمانﻰ مربوط بﻪ آن‪ ،‬معلوم مﻰشود‬ ‫کﻪ متحرک بﻪ طور متوسط در ﻫر ثانﻴﻪ چقدر تغﻴﻴر موقعﻴت داده است‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪x 70‬‬ ‫=‬ ‫‪= 7m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t 10‬‬ ‫‪x 110‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2.2 m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t 50‬‬

‫بﻪ اﻳن ترتﻴب مﻰتوان با معلوم بودن تغﻴﻴر مکان در ﻳک انتروال زمانﻰ‪ ،‬اوسط تغﻴﻴر مکان‬ ‫در ﻫر ثانﻴﻪ را در آن انتروال بﻪدست آورد‪ ،‬کﻪ آن را سرعت متوسط در آن انتروال زمانﻰ‬ ‫مﻰنامند‪ .‬سرعت متوسط را با عﻼمﺔ ‪ V‬نشان مﻰدﻫﻴم و دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪...........(2 1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫کﻪ در سﻴستم ‪ SI‬واحد اندازهگﻴرى سرعت متوسط ‪ m‬است‪ .‬سرعت متوسط کمﻴت وکتورى است کﻪ با‬ ‫‪s‬‬ ‫وکتور تغﻴﻴر مکان ﻫم جﻬت است‪.‬‬ ‫=‪V‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬مترنوارى‪ ،‬زمان سنج ( ستاپ واچ)‬ ‫ﻃرز العﻤل‪ :‬از ﻳکﻰ از اعضاى گروپ خود بخواﻫﻴد کﻪ در صنف بﻪ امتداد خط مستقﻴم راه برود ‪.‬‬ ‫سپس شما توسط متر نوارى فاصلﺔ ‪ x‬و توسط زمان سنج‪ ،‬زمان ‪ t‬را بﻪدست آورﻳد و در نتﻴجﻪ سرعت‬ ‫متوسط حرکت وى را حساب کنﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬در شکل )‪ ،(2-7‬گراف (‪ )x-t‬متحرکﻰ کﻪ بر روى مسﻴر مستقﻴم حرکت مﻰکند‪،‬‬ ‫نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪ )a‬در ﻳک جدول ﻫر ﻳک از انتروالﻫاى زمانﻰ‬ ‫)‪x(m‬‬ ‫صفر تا ‪ 2s , 2s‬تا ‪ 4s , 4s‬تا ‪ 6s , 6s‬تا ‪ 8s‬و‬ ‫تغﻴﻴر مکان مربوط بﻪ ﻫر انتروال را نشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ )b‬در ﻫر ﻳک از اﻳن انتروالﻫاى زمانﻰ‪ ،‬سرعت‬ ‫متوسط متحرک چقدراست؟‬

‫شکل )‪(2-7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1.2‬‬

‫) ‪t (s‬‬

‫‪55‬‬

‫‪t 4=8‬‬

‫‪t3=6‬‬

‫‪t 2= 4‬‬

‫‪t1= 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫حل جزء ‪ )a‬قﻴمتﻫاى‪ tt‬و ‪ xx‬در جدول زﻳر محاسبﻪ شدهاند‪.‬‬ ‫)‪x(m‬‬

‫) ‪t (s‬‬

‫‪t1 t0 = 2 0 = 2‬‬

‫‪t1 = 4 2 = 2‬‬

‫‪x0 = 1 0 = 1‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪t3 t 2 = 6 4 = 2‬‬ ‫‪t3 = 8 6 = 2‬‬

‫حل جزء ‪)b‬‬

‫‪x1 = x1‬‬

‫‪x1 = 1.2 1 = 0.2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x2 = 4 1.2 = 2.8‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x3 = 9 4 = 5‬‬

‫‪t4‬‬

‫‪x4‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪V1 = 1 = m‬‬ ‫‪t1 2 s‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0.2 1 m‬‬ ‫=‬ ‫= ‪V2 = 2‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪2 10 s‬‬ ‫‪x3 2.8‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.4 m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t3‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪V3‬‬

‫‪x4 5‬‬ ‫‪= = 2.5 m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t4 2‬‬

‫= ‪V4‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬معادلعﺔ حرکت جسمﻰدر سﻴستم ‪ SI‬با را بطﺔ ‪ x = 2t 2 + 1‬داده شده است‪ .‬سرعت‬ ‫متوسط آن را در انتروالﻫاى زمانﻰ‬ ‫‪ 1.)a‬تا ‪ 2‬ثانﻴﻪ‪،‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪ 1)b‬تا ‪ 1.1‬ثانﻴﻪ‪،‬‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪ 1)c‬تا ‪ 1.01‬ثانﻴﻪ‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪.01‬‬ ‫‪ 1)d‬تا ‪ 1.001‬ثانﻴﻪ بﻪدست آورﻳد‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫سرعت لحﻈﻪﻳﻰ‬ ‫سرعت لحظﻪﻳﻰ چﻴست؟ چﻪ تفاوتﻰ بﻴن سرعت متوسط و سرعت لحظﻪﻳﻰ و جود دارد؟‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ ﻳک موتر در حال حرکت است‪ ،‬اگر بﻪ سرعت سنج آن نگاه کنﻴم‪ ،‬مﻰبﻴنﻴم کﻪ‬ ‫عقربﺔ سرعت سنج در ﻫر لحظﻪاندازة مشخصﻰ را نشان مﻰدﻫد‪ .‬اگر سرعت موتر زﻳادشود‪،‬‬ ‫عقربﻪ‪ ،‬اندازة بﻴشترى را نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫رابطﻪ بﻴن سرعت متوسط و سرعت لحظﻪﻳﻰ چﻴست؟ براى پاسخ دادن بﻪ اﻳن پرسش بﻪ‬ ‫مثال زﻳر توجﻪ کنﻴد؟‬ ‫ﻣثال‪ :‬شکل )‪ (2-8‬موترى را کﻪ در مسﻴر مستقﻴم در حال حرکت است‪ ،‬در زمانﻫاى‬ ‫مختلف نشان مﻰدﻫد‪ .‬موقعﻴت و فواصلﻰکﻪ سرعت سنج موتر نشان مﻰدﻫد‪ ،‬در لحظﻪﻫاى‬ ‫‪ 20 s ,16 s ,12 s , 0 s‬و‪ 23s‬در شکل نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪23 s‬‬

‫)‪x(m‬‬

‫شکل )‪(2-8‬‬

‫‪t4‬‬

‫‪20 s‬‬

‫‪16 s‬‬

‫‪t3‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪12 s‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪150 m‬‬

‫‪x4‬‬

‫‪108 m‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x2 = 72m‬‬

‫‪40 m‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪16 m s‬‬

‫‪v4‬‬

‫‪14 m s‬‬

‫‪v3‬‬

‫‪v2 = 10 m s‬‬

‫‪6m s‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪v0‬‬

‫الف) در ﻳک جدول‪ ،‬انتروالﻫاى زمانﻰ ‪ t3 t1 ، t 4 t1‬و ‪ ، t 2 t1‬تغﻴﻴر موقعﻴتﻫا و‬ ‫سرعتﻫاى متوسط را بنوسﻴد‪.‬‬ ‫ب) در کدام انتروال زمانﻰ‪ ،‬سرعت متوسط بﻪاندازة سرعتﻰ کﻪ سرعت سنج موتر در لحظﺔ‬ ‫‪ t1‬نشان مﻰدﻫد نزدﻳکتر است؟‬ ‫حل‪ :‬الف)‬ ‫‪x m‬‬ ‫) (‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪v‬‬

‫)‪x(m‬‬

‫) ‪t (s‬‬

‫‪10‬‬

‫‪x1 = 150 40 = 110‬‬

‫‪8.5‬‬

‫‪x1 = 108 40 = 68‬‬

‫‪8‬‬

‫‪x1 = 72 40 = 32‬‬

‫‪57‬‬

‫‪x4‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪t 4 t1 = 23 12 = 11‬‬

‫‪t3 t1 = 20 12 = 8‬‬ ‫‪t 2 t1 = 16 12 = 4‬‬

‫ب) ﻫمانطورى کﻪ در جدول دﻳده مﻰشود سرعت متوسط در انتروال زمانﻰ ‪ t 2 t1‬کوچکتر‬ ‫از انتروالﻫاى زمانﻰ ‪ t3 t1‬و ‪ t 4 t1‬است‪.‬‬ ‫از مقاﻳسﺔ جوابﻫاى قسمت (الف) مثال باﻻ مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ ﻫر قدر انتروالﻫاى‬ ‫زمانﻰ کوچکتر باشد‪ ،‬سرعت متوسط بﻪ سرعتﻰ کﻪ سرعت سنج موتر نشان مﻰدﻫد‪،‬‬ ‫نزدﻳکتر خواﻫد بود‪ .‬سرعت متوسط در حدى کﻪ انتروال زمانﻰ بسﻴار کوچک مﻰشود‪،‬‬ ‫سرعت لحظﻪﻳﻰ نامﻴده مﻰشود‪ .‬بﻪ طور دقﻴق مﻰتوان گفت‪ :‬و قتﻰکﻪ ‪ t2‬بﻪ ‪ t1‬نزدﻳک مﻰشود‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ و قتﻰ قﻴمت ‪ t‬بﻪ صفر تقرب مﻰکند‪ .‬نسبت ‪ ، V = xt‬سرعت لحظﻪﻳﻰ جسم را در‬ ‫زمان ‪ t1‬نشان مﻰدﻫد‪ ،‬و مﻰتوان نوشت کﻪ سرعت لحظﻪﻳﻰ عبارت از لﻴمت سرعت متوسط‬ ‫‪x‬‬ ‫است؛ وقتﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب کند‪ .‬ﻳعنﻰ‪............(2 2) :‬‬ ‫‪Vx = lim‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫در مورد اﻳنکﻪ چگونﻪ مﻰتوان با استفاده از گراف (‪ ،)x-t‬سرعت لحظﻪﻳﻰ متحرکﻰ را بﻪدست آورد‪،‬بﻪ گروهﻫاى‬ ‫جداگانﻪ تحقﻴق نموده و نتﻴجﻪ را گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪ :2-4‬گراف ﻣﻮقعﻴت – زﻣان )‪(x-t‬‬

‫موترى را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ بﻪ ترتﻴب در انتروالﻫاى زمانﻰ ‪ t1 = 1s , t 2 = 2 s‬و ‪t 4 = 4 s , t3 = 3s‬‬ ‫مطابق شکل ذﻳل )‪ (2-9‬در موقعﻴتﻫاى ‪ x3 = 15m , x2 = 10 m , x1 = 5m‬و ‪ x4 = 20m‬قرار‬

‫دارد‪.‬‬ ‫شکل )‪(2-9‬‬

‫براى توصﻴف حرکت اﻳن متحرک (موتر) از کدام نوع گراف باﻳد‬ ‫استفاده کرد‪ ،‬تا بتواند در زمانﻫاى مختلف‪ ،‬موقعﻴت جسم را بﻪ‬ ‫خوبﻰ نماﻳش دﻫد؟استفاده از گراف موقعﻴت– زمان ) ‪ ( x t‬پاسخ‬ ‫اﻳن پرسش خواﻫد بود‪ .‬در بسﻴارى از موارد رسم اﻳن گراف‬ ‫براى بررسﻰ حرکت بسﻴار مناسب است‪.‬براى ترسﻴم اﻳن گراف‪،‬‬ ‫بﻴشتر زمان ‪ t‬را روى محور افقﻰ و موقعﻴت ‪ x‬را روى محور قاﺋم‬ ‫مشخص مﻰکنﻴم ‪.‬‬ ‫زمان (‪)s‬‬ ‫در نتﻴجﻪ‪ ،‬گراف (‪ )x-t‬براى موتر مذکور بﻪ شکل زﻳر خواﻫد‬ ‫بود‪.‬‬

‫‪58‬‬

‫فاصلﻪ (‪)m‬‬

‫شکل )‪(2-10‬‬

‫ﻫمانطورى کﻪ در گراف دﻳده مﻰشود‪ ،‬متحرک (موتر) در ﻫر ثانﻴﻪ‪ ،‬فاصلﻪﻫاى ﻳکسان را‬ ‫طﻰ مﻰکند‪ .‬با استفاده از اﻳن گراف مﻰتوان بﻪ آسانﻰ در ﻳافت کﻪ متحرک در ﻫر لحظﻪ در‬ ‫چﻪ موقعﻴتﻰ قرار دارد و تغﻴﻴر مکان آن بﻴن ﻫر دو لحظﻪ چقدر است‪.‬‬ ‫بﻪطور مثال در گراف دﻳده مﻰشود کﻪ متحرک در لحظﺔ ‪ t 2 = 2s‬در ده مترى مبدا بوده است‬ ‫و ﻳا در انتروال ‪ ، t = 1s‬تغﻴﻴر مکان آن ‪ x = 5m‬است‪ .‬براى شناخت بﻬتر اﻳن نوع گراف‪،‬‬ ‫فعالﻴت زﻳر را بﻪ صورت گروﻫﻰ در صنف تمرﻳن نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫جدول زﻳر فاصلﺔ جســم متحرک را تامبدأ در لحظﻪﻫاى داده شــده نشان مﻰدﻫد‪ .‬گراف ) ‪ ( x t‬اﻳن‬ ‫متحرک را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫) ‪t (s‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11.5‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪x(m‬‬ ‫) ‪x( m‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5.8‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬در شکل ذﻳل گراف ) ‪ ( x t‬متحرکﻰ کﻪ بر روى‬ ‫خط مستقﻴم در حرکت است‪ ،‬نشان داده شده است‪.‬‬

‫‪5.8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪444‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 4‬‬

‫‪4‬‬

‫) ‪t( s‬‬

‫‪7.4‬‬ ‫‪5 66 787.4 8 9 t 9 10‬‬ ‫‪t5 = 9.2 s‬‬ ‫‪tt 3 tt 4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪44..44‬‬

‫‪tt2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 t1 2 3 4‬‬

‫‪333‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪111‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ t t t t , ,t t‬و ‪ t، t t t‬تغﻴﻴر ‪3‬‬ ‫موقعﻴت متحرک‬ ‫الف) در ﻫرﻳک از انتروالﻫاى زمانﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪55 22‬‬ ‫‪22 11‬‬ ‫‪1 1 t 0t 0‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫چقدر است؟‬ ‫‪1‬‬ ‫لحظﺔ زمانﻰ در اﻳن‬ ‫ب) اعظمﻰترﻳن فاصلﺔ متحرک تا مبدا چقدر است و متحرک در چﻪ‬ ‫فاصلﻪ قرار دارد؟‬ ‫ج) در لحظﺔ زمانﻰ ‪ t4‬تا ‪ ، t5‬تغﻴﻴر موقعﻴت چقدر و در چﻪ جﻬتﻰ است؟‬

‫‪59‬‬

‫‪ :2-5‬تعجﻴل ﻳا شتاب‬ ‫تعجﻴل ﻳا شتاب چﻴست ؟ چﻪ تفاوتﻰ مﻴان شتاب متوسط و شتاب لحظﻪﻳﻰ وجود دارد؟‬ ‫ﻫمانطورى کﻪ در فزﻳک صنف نﻬم خواندﻳد‪ ،‬زمانﻰکﻪ متحرک فاصلﻪﻫاى مساوى را در‬ ‫زمانﻫاى مساوى طﻰ ننماﻳد‪ .‬بﻪ اﻳن نوع حرکت‪ ،‬حرکت تعجﻴلﻰ ﻳا شتابﻰ مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ موترى از حال سکون شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ ،‬سرعت سنج موتر نشان مﻰدﻫد کﻪ‬ ‫سرعت آن بﻪ تدرﻳج افزاﻳش مﻰﻳابد و بر عکس در ﻫنگام برک گرفتن‪ ،‬سرعت آن بﻪ آﻫستﻪ آﻫستﻪ‬ ‫کاﻫش مﻰﻳابد‪ .‬در ﻫر دو مورد باﻻ‪ ،‬چون سرعت متحرک تغﻴﻴر مﻰکند بنابرآن حرکت متحرک‬ ‫ﻳک حرکت شتابﻰ ﻳا غﻴر ﻳکنواخت است‪ .‬شتاب متوسط عبارت از تغﻴﻴر سرعت فﻰ واحد وقت‬ ‫است‪ .‬اگر تغﻴﻴر سرعت در انتروال زمانﻰ ‪ t‬برابر ‪ v‬باشد‪ ،‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪v2 v1‬‬ ‫)‪v ....( 2 5‬‬ ‫=‬ ‫‪t 2 t1‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪a‬‬

‫از معادلﺔ باﻻ مﻰتوان بﻪ راحتﻰ واحد شتاب را کﻪ عبارت از ) ‪ ( m2‬مﻰباشد‪ ،‬بﻪدست آورد‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﻣثال‪ :‬سرعت متحرکﻰ در لحظﺔ ‪ t1 = 20 s‬برابر بﻪ ‪ 10 m s‬و در لحظﺔ ‪ t 2 = 45s‬برابر بﻪ‬ ‫‪ 20 m‬است‪ ،‬شتاب متوسط آن بﻴن دو لحظﺔ ‪ t 2 , t1‬چقدر است؟‬ ‫‪s‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪20 10 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.4 m 2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪45 20 25‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪a‬‬

‫شتاب لحﻈﻪﻳﻰ‬ ‫در حرکت شتابدار نﻴز مﻰتوان گفت کﻪ متحرک در ﻫر لحظﻪ داراى شتابﻰ است کﻪ آن را‬ ‫شتاب لحظﻪﻳﻰ مﻰنامﻴم‪ .‬ﻫمانطورىکﻪ در سرعت لحظﻪﻳﻰ دﻳدﻳم‪ ،‬در اﻳنجا نﻴز اگر در رابطﺔ‬ ‫‪ t a = v‬بسﻴار کوچک شود‪ ،‬شتاب متوسط خﻴلﻰ نزدﻳک بﻪ شتاب لحظﻪﻳﻰ مﻰشود‪.‬‬ ‫‪t‬‬

‫اکنون مﻰتوان شتاب لحظﻪﻳﻰ را مانند سرعت لحظﻪﻳﻰ بﻪ طور دقﻴق تعرﻳف کرد‪:‬‬ ‫«شتاب لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬عبارت از لمت شتاب متوسط است‪ ،‬ﻫنگامﻰکﻪ ‪ t‬بﻪطرف صفر نزدﻳک‬ ‫نماﻳد»‪.‬‬ ‫اگر شتاب لحظﻪﻳﻰ را با ‪ a x‬نشان دﻫﻴم ‪ .‬بﻪ اساس تعرﻳف باﻻ مﻰتوانﻴم بنوسﻴم‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪vx‬‬ ‫)‪.............(2 4‬‬ ‫‪t 0 t‬‬

‫‪60‬‬

‫= ‪ax‬‬

‫گراف سرعت‪ -‬زﻣان ) ‪(v t‬‬

‫چنانکﻪ از اﻳن پﻴش مطالعﻪ کردﻳم‪ ،‬از گراف مکان‪ -‬زمان ) ‪ ، ( x t‬مﻰتوان آگاﻫﻰﻫاﻳﻰ در مورد‬ ‫حرکت جسم ‪،‬مثال سرعت ﻳا مکان متحرک و سرعت متوسط آن بﻪدست آورد‪ .‬بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب‬ ‫از گراف سرعت‪ -‬زمان ) ‪ (v t‬نﻴز مﻰتوانﻴم آگاﻫﻰﻫاﻳﻰ در بارة حرکت جسم بﻪدست آورﻳم‪.‬‬ ‫براى ترسﻴم گراف سرعت‪ -‬زمان ) ‪ (v t‬در سﻴستم مختصات کمﻴات وضعﻴﻪ‪ ،‬محور قاﻳم‬ ‫‪ y‬را براى سرعت و محور افقﻰ ‪ x‬را براى زمان اختﻴار مﻰکنﻴم و بﻪ ﻫمان ترتﻴبﻰ کﻪ براى‬ ‫گراف موقعﻴت ‪ -‬زمان ) ‪ ( x t‬عمل کردﻳم‪ ،‬اﻳن گراف را نﻴز ترسﻴم مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬متحرکﻰ با سرعت ثابت روى مسﻴر مستقﻴم در حرکت است‪ .‬در لحظﺔ ‪ t1 = 2s‬در‬ ‫فاصلﺔ‪ 5‬مترى و در لحظﺔ ‪ ، t 2 = 12 s‬در فاصلﺔ‪ 25‬مترى از مبداء موقعﻴت دارد‪ .‬گراف(‪)v-t‬‬ ‫آن را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪x 25 5 20‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫حل‪ :‬در حرکتﻰ داراى سرعت ثابت مﻰتوانﻴم بنوسﻴم ‪= 2 m s :‬‬ ‫‪t 12 2 10‬‬

‫=‪v‬‬

‫چون در حرکت ﻳکنواخت‪ ،‬سرعت ثابت است‪،‬بنابران گراف سرعت‪-‬زمان( ‪) v t‬شکل ﻳک‬ ‫خط راست موازى با محور زمان را دارد‪.‬‬ ‫) ‪v( m s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫شکل )‪(2-11‬‬ ‫) ‪t( s‬‬

‫تﻤرﻳﻦﻫا‬ ‫‪ -1‬در جدول زﻳر سرعت متحرکﻰ کﻪ برروى خط راست در حرکت است‪ ،‬در چند لحظﺔ‬ ‫زمانﻰ مشخص شده است‪ .‬گراف ) ‪ (v t‬آن را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪t (s‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3.75‬‬

‫‪3. 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪v(m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ -2‬شکل زﻳرگراف ) ‪ (v t‬ﻳک متحرک را نشان مﻰدﻫد‪ .‬توضﻴح‬ ‫دﻫﻴد‪:‬‬ ‫شتاب متوسط چقدر‬ ‫زمانﻰ‪ (0, t(1 0) ,‬و ) ‪(t1 , t(2t)1 , t 2‬‬ ‫الف) در انتروالﻫاى ) ‪t1‬‬ ‫است؟‬ ‫ب) در کدام ﻳک از دو لحظﺔ ‪ t 2 , t1‬شتاب بﻴشتر است؟‬ ‫) ‪t( s‬‬

‫‪61‬‬

‫) ‪v( m s‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5 t2‬‬

‫‪t1‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪ -3‬گراف ) ‪ ، (v t‬دو متحرک ‪ B,A‬در شکل ذﻳل نشان داده شده است‪ .‬شتاب اﻳن دو‬ ‫متحرک را با ﻫم مقاﻳسﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪t‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫وساﻳل ﻣﻮرد ﺿرورت‬

‫‪ - 1‬تختﺔ جرﻳدار ﻳا مﻴلﻪﻫاى چوب پرده بﻪ طول دومتر‬ ‫‪ - 2‬مکعبﻫاى چوبﻰ بﻪ ضخامتﻫاى ‪4cm‬‬ ‫‪ - 3‬گلولﻪﻫاى شﻴشﻪﻳﻰ ﻳا ساچمﻪﻫاى فلزى‬ ‫‪ - 4‬زمان سنج (کرونو متر)‬ ‫‪ - 5‬متر نوارى‬ ‫شکل )‪(2-12‬‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫ﻳک ســر مﻴلﺔ چوب پرده را مطابق شــکل )‪ ،(2-12‬باﻻى ﻳکﻰ از مکعبﻫاى چوبﻰ قرار دﻫﻴد‪ .‬ﻳکﻰ از‬ ‫گلولﻪﻫاى شﻴشــﻪﻳﻰ را از فاصلﺔ نﻴم مترى انتﻬاى مﻴلﻪﻳﻰ کﻪ آن را پﻴش از اﻳن باﻻى ﻳکﻰ از مکعبﻫا‬ ‫قــرار داده اﻳد‪ ،‬رﻫا کنﻴد و در اﻳن لحظﻪ کرونومتــر را بﻪ کار اندازﻳد‪ .‬مﻰتوانﻴد لحظﻪﻳﻰ کﻪ گلولﻪ باﻻى‬ ‫مکعب‪ ،‬بﻪ انتﻬاى مســﻴر بر خورد مﻰکند‪ ،‬کرونومتر را متوقف کنﻴد‪ .‬آزماﻳش را براى فواصل ‪1.5m,1m‬و‬ ‫‪ 2m‬تکرار کنﻴد‪ .‬نتﻴجﻪ را در جدول زﻳر بنوسﻴد و گراف ‪ x‬بر حسب ‪ t‬را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫نتﻴجﺔ آزماﻳش شده را تجزﻳﻪ و تحلﻴل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫دفعات طول بﻪ زمان‪ t‬بﻪ‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫متر‬ ‫ثانﻴﻪ‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪62‬‬

‫‪ :2-6‬حرکت ﻳکﻧﻮاخت‬ ‫ﻫر گاه سرعت لحظﻪﻳﻰ جسم متحرک کﻪ برروى خط مستقﻴم حرکت کند‪ ،‬در تمام‬ ‫لحظﻪﻫا ﻳکسان باشد‪ ،‬حرکت آن ﻳکنواخت نامﻴده مﻰشود‪ .‬در اﻳن نوع حرکت گراف‬ ‫موقعﻴت‪-‬زمان‪ ،‬ﻳک خط مستقﻴم است و در نتﻴجﻪ‪ ،‬سرعت متوسط بﻴن دو لحظﻪ برابر با‬ ‫سرعت لحظﻪ ﻳﻰ مﻰشود‪ ،‬و بنابر اﻳن چنﻴن مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪x = v. t‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪v‬‬

‫‪v=v‬‬

‫ﻫر گاه فاصلﺔ جسم متحرک تا مبدا در لحظﺔ ‪ t = 0‬برابر با ‪ x0‬و فاصلﺔ آن تا مبدا در لحظﺔ‪t‬‬ ‫برابر با‪ x‬باشد‪ ،‬در آنصورت‪ x x0 = v(t 0) ،‬و ﻳا )‪x = vt + x0 ........(2 5‬‬ ‫معادلﺔ باﻻ عبارت از معادلﺔ حرکت ﻳکنواخت مﻰباشد کﻪ در آن فاصلﻪ ‪ x‬تا مبدا بر اساس‬ ‫متر‪ v،‬سرعت لحظﻪ ﻳﻰ بر اساس متر بر ثانﻴﻪ ) ‪ t , ( m‬زمان بر اساس ثانﻴﻪ و ‪ x0‬فاصلﻪ تا مبدا‬ ‫‪s‬‬ ‫در لحظﺔ صفر بر اساس متر مﻰباشد‪.‬‬ ‫با توجﻪ بﻪ آنچﻪ پﻴش از اﻳن گفتﻪ شد‪ ،‬ممکن است موقعﻴت جسم مثبت ﻳا منفﻰ باشد‪.‬‬ ‫سرعت ﻫم در صورتﻰکﻪ ﻫم جﻬت محور ‪x‬ﻳا ‪ y‬باشد مثبت‪ ،‬و در غﻴر آن صورت منفﻰ است‪.‬‬ ‫در حرکت ﻳکنواخت‪ ،‬گراف موقعﻴت‪ -‬زمان ) ‪ ( x t‬ﻳک خط مستقﻴم و در نتﻴجﻪ سرعت‬ ‫متوسط بﻴن دو لحظﻪ‪ ،‬برابر با سرعت لحظﻪﻳﻰ مﻰشود‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫شکل )‪ (2-13‬گراف (‪ )x-t‬متحرکﻰ را نشان مﻰدﻫد کﻪ برروى خط مستقﻴم حرکت‬ ‫مﻰکند‪.‬‬ ‫) ‪x( m‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫شکل )‪(2-13‬‬ ‫) ‪t( s‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1 1 21 21 32 32 43 43 4‬‬

‫الف) آﻳا سرعت اﻳن حرکت ثابت است؟ اندازة سرعت را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ب) فاصلﺔ آن را از مبدا در لحظﺔ صفر و معادلﺔ حرکت و تغﻴﻴر مکان آن را بﻴن دو لحظﺔ‬ ‫‪ t1t1==22ss‬و ‪t 2t 2==55ss‬بﻪدست مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬الف) چون گراف ) ‪ ( x t‬عبارت از ﻳک خط مستقﻴم است ‪،‬پس حرکت جسم عبارت از‬ ‫حرکت ﻳکنواخت مﻰباشد و مﻴل گراف برابر با سرعت متحرک مﻰباشد‪ .‬با توجﻪ بﻪ شکل‪،‬‬ ‫مﻴل گراف ‪ 15 = 5‬مﻰباشد‪ .‬پس ‪ v = 5 m‬است‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪s‬‬

‫‪63‬‬

‫= =‪x0x0‬‬ ‫‪ x x‬و‪0 0‬‬ ‫==‬ ‫‪00‬‬ ‫ب) در لحظﺔ ‪، t = 0‬‬ ‫است و در نتﻴجﻪ‪ :‬معادلﺔ حرکت‪x = vt + x0 ،‬‬ ‫‪ x2 = 5 × 5 = 25m‬و ‪ x1 = 5 × 2 = 10 m‬تغﻴﻴر مکان بﻴن دو لحظﻪ‪،‬‬ ‫‪x = x2 x1 = 25m 10 m = 15m‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬جسمﻰبا سرعت ‪ v‬برروى مسﻴر مستقﻴم در حرکت است‪ .‬اگردر لحظﺔ ‪t1 = 5s‬‬ ‫فاصلﺔ آن ازمبدا‪ 6m ،‬و در لحظﺔ ‪ t 2 = 20 s‬فاصلﺔ آن ازمبدا ‪ 24m‬باشد‪ ،‬سرعت و فاصلﺔ آن‬ ‫تا مبدا در لحظﺔ ‪ t = 0‬چقدر است؟ معادلﺔ ( ‪ ) x t‬را بﻪدست آورﻳدو گراف(‪ )x-t‬جسم‬

‫متحرک را رسم کنﻴد‪.‬‬

‫حرکت ﻣستقﻴﻢ الخط با شتاب ثابت‬ ‫ﻫرگاه در حرکتﻰ‪ ،‬شتاب در لحظﻪﻫاى مختلف ﻳکسان باشد‪ ،‬آن را حرکتﻰ با شتاب ثابت‬ ‫مﻰنامﻴم‪ .‬در اﻳن نوع حرکت‪ ،‬گراف ) ‪ (v t‬بﻪ صورت ﻳک خط مستقﻴم است و در چنﻴن‬ ‫حرکتﻰ‪ ،‬شتاب متوسط بﻴن ﻫر لحظﺔ دلخواه با شتاب متحرک در ﻫر لحظﻪ برابر مﻰشود‪.‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪v2 v1‬‬ ‫‪t 2 t1‬‬

‫=‪a=a‬‬

‫اگر در رابطﺔ باﻻ ‪ t1 = 0‬و ‪ t2 = t‬باشد‪ ،‬در اﻳن صورت ‪ v1‬سرعت در لحظﺔ صفر بﻪ ‪ v0‬و سرعت‬ ‫در لحظﺔ ‪ t‬بﻪ ‪ v‬نشان داده مﻰشود و مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫)‪v = at + v0 .......... .( 2 6‬‬

‫‪v‬‬

‫‪v0‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪a‬‬

‫در حرکتﻰ با شتاب ثابت‪ ،‬سرعت متوسط بﻴن دو لحظﻪ‪ ،‬نصف مجموع سرعتﻫاى آن‬ ‫‪v1 + v2‬‬ ‫دولحظﻪ تعرﻳف شده است‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪v‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫاى مختلف بﻪ پرسشﻫاى زﻳر پاسخ داده و نتﻴجﻪ را بﻪ ﻫمصنفﻰﻫاى ‪1‬تان گزارش دﻫﻴد‪ .‬چرا در حرکت‬ ‫مستقﻴم الخط با شتاب ثابت‪ ،‬گراف (‪ )v-t‬عبارت از ﻳک خط مستقﻴم است؟‬

‫‪1‬‬

‫ﻣثال‪ :‬متحرکﻰ از حال سکون با شتاب ثابت ‪ 2 m s 2‬شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ .‬سرعت آن را در‬ ‫لحظﺔ ‪ t1 = 4s‬و ‪ t 2 = 12 s‬بﻪدست آورﻳد‪ ،‬و گراف ( ‪ ) v t‬آن را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون متحرک از حالت سکون شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪v0 = 0‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪v2 = 0 + 2 × 12 = 24m‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪v1 = 0 + 2 × 4 = 8m‬‬

‫چون شتاب ثابت است‪ ،‬گراف ) ‪ ، (v t‬ﻳک خط مستقﻴم مﻰباشد‪ .‬بنابراﻳن براى ترسﻴم آن‬ ‫مشخص نمودن دو نقطﺔ گراف کافﻰ است‪.‬‬ ‫) ‪v( m s‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪t (s‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪v( m s‬‬

‫‪888‬‬

‫شکل )‪(2-14‬‬ ‫) ‪t (s‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪444‬‬ ‫‪111‬‬

‫‪1‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬سرعت متحرکﻰ در لحظﺔ ‪ t1 = 4 s‬برابر بﻪ ‪ 5m‬و سرعت آن‪ 1‬در لحظﺔ ‪t 2 = 12 s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫برابر بﻪ ‪ 11m‬است‪ .‬در صورتﻰکﻪ شتاب ثابت باشد‪ ،‬سرعت آن را در لحظﺔ ‪ t0 = 0‬بﻪدست‬ ‫‪s‬‬ ‫آورﻳد و گراف ) ‪ (v t‬آن را رسم کنﻴد‪.‬‬

‫ﻣعادلﺔ (‪ )x-t‬در حرکت ﻣستقﻴﻢ الخط با شتاب ثابت‬ ‫‪v v+ v+ v‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫در حرکتﻰ با شتاب ثابت مﻰتوان نوشتکﻪ‪:‬‬ ‫= ‪ v‬و ‪v =1 1 2 2‬‬ ‫بر اساس را بطﻪﻫاى = ‪v‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫‪t t‬‬

‫‪22‬‬

‫‪x v1 + v2‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v1 + v2‬‬ ‫‪. t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫در اﻳن رابطﻪ‪ x ،‬تغﻴﻴر موقعﻴت در انتروال زمانﻰ ‪ v1 , t‬سرعت در لحظﺔ ‪ t11‬و ‪ v22‬سرعت‬ ‫=‪x‬‬

‫در لحظﺔ ‪ t 2‬است‪ .‬اگر ‪ t 2 = t ، t1 = 0‬و سرعت متحرک در اﻳن لحظﻪﻫا بﻪ ترتﻴب ‪v , v0‬‬ ‫و موقعﻴت متحرک در اﻳن لحظﻪﻫا‪ xx00‬و ‪ xx‬باشد‪ .‬در اﻳن صورت‪ t = t 2 t1 = t 0 = t ،‬و ‪x = x x0‬‬

‫‪t = t2 t‬‬

‫‪ x = x x0‬بوده و با وضع نمودن قﻴمتﻫا مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪v + v0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫و چون‬

‫= ‪x x0‬‬

‫‪v = at + v0‬‬

‫‪at + v0 + v0‬‬ ‫پس با وضع نمودن قﻴمت ‪ v‬دارﻳم کﻪ‪t :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫در نتﻴجﻪ‪:‬‬ ‫)‪x = at 2 + v0t + x0 .......... .( 2 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪65‬‬

‫= ‪x x0‬‬

‫رابطﺔ اخﻴر معادلﺔ ) ‪ ( x t‬حرکت برروى خط مستقﻴم با شتاب ثابت را افاده مﻰکند‪.‬‬ ‫اگر از رابطﺔ ‪ v = at + v0‬زمان را بﻪدست آورده و در معادلﺔ حرکت (‪ )2-8‬قرار دﻫﻴم‪ ،‬در نتﻴجﻪ‬ ‫را بطﻪ بﻴن موقعﻴت و سرعت را بﻪدست خواﻫﻴم آورد کﻪ مستقل از زمان مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪v v0 2‬‬ ‫‪v v0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪a‬‬ ‫( ‪) + v0‬‬ ‫‪) + x0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫باساده کردن اﻳن رابطﻪ دارﻳم‪:‬‬

‫=×‬

‫‪v v0‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪t‬‬

‫)‪v 2 v02 = 2a ( x x0 )..........(2 9‬‬

‫ﻣثال‪ :‬متحرکﻰ با شتاب ثابت ‪ 1 m s 2‬از حال سکون برروى خط مستقﻴم شروع بﻪ حرکت‬ ‫‪2‬‬ ‫مﻰکند‪ .‬تغﻴﻴر موقعﻴت و سرعت متحرک را پس از ‪ 25s‬بﻪدست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪1m‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫حل‪x = t 2 + v0t + x0 )a :‬‬ ‫‪2 s2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v0 = 0 , x0 = 0‬‬

‫‪a 2‬‬ ‫‪t +0+0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1/ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪(25) 2 = × 625‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x = 156.25m‬‬ ‫=‪x‬‬

‫‪)b‬‬

‫‪v 2 = 2ax‬‬

‫) ‪x0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v0 = 2a ( x‬‬

‫‪t = 25s‬‬ ‫? = ‪x0 = x‬‬

‫‪a) x = x‬‬ ‫? = ‪b) v‬‬

‫وﻳا حل مثال بﻪ شکل ساده‪:‬‬ ‫از معادلﺔ سرعت‪:‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪v = 2 × × 156.25 = 156.25 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪v = 156.25( ) 2 = 12.5‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.25s + 0 = 12.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2s‬‬ ‫‪s‬‬

‫= ‪v = at + v0‬‬ ‫) ‪x( m‬‬ ‫‪42‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬شکل زﻳر گراف (‪ )x-t‬متحرکﻰ است‪ ،‬کﻪ با شتاب ثابت‬ ‫برروى خط مستقﻴم در حرکت است‪ .‬فرض کنﻴد ‪ v0 = 2 m s‬باشد‪،‬‬ ‫گراف (‪ )v-t‬را ترسﻴم کنﻴد‪.‬‬ ‫) ‪t (s‬‬

‫‪ :2-7‬سقﻮط آزاد (ﻣﻔﻬﻮم ساحﺔ جاذبﻪ)‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫آﻳا تا بﻪ حال از درختﻰ سﻴب چﻴده اﻳد؟ چرا وقتﻰکﻪ سﻴب از دستان شما رﻫا مﻰشود‪ ،‬بﻪ‬ ‫طرف پاﻳﻴن (سطح زمﻴن) سقوط مﻰکند؟ بﻪ نظر شما علت سقوط سﻴب بﻪطرف سطح زمﻴن‬ ‫چﻴست؟ پدﻳدة سقوط آزاد اجسام را چگونﻪ مﻰتوان با زبان رﻳاضﻰ بﻴان کرد؟ اﻳنﻫا ﻫمﻪ‬ ‫پرسشﻫاى ﻫستند کﻪ شما در ختم اﻳن درس بﻪ آنﻫا پاسخ خواﻫﻴد داد‪.‬‬ ‫براى اﻳنکﻪ پدﻳدة سقوط آزاد اجسام را بﻬتر درک کرده بتوانﻴد‪ ،‬فعالﻴت زﻳر را انجام دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻳک ورق کاغذ فشرده نشده (ورق باز) و ﻳک عدد سکﻪ را بگﻴرﻳد و آنﻫا را‬ ‫ﻫمزمــان از ﻳک ارتفاع معﻴنﻰ رﻫا کنﻴد‪ ،‬در مرحلﺔ دوم ﻫمان ورق کاغذ را‬ ‫فشــرده (کلولﻪ)کرده و با ســکﻪ از ﻫمان ارتفاع رﻫا نماﻳﻴد و در مرتبﺔ سوم‬ ‫دو ســکﻪ را از ﻫمان ارتفاع رﻫا نماﻳﻴد و در مورد چگونﻪگﻰ زمان رســﻴدن‬ ‫آنﻫا بﻪ ســطح زمﻴن با اعضاى گروه خود بحث کنﻴد و نتﻴجﻪ را در صنف‬ ‫گزارش دﻫﻴد و در اخﻴر بﻪ پرسشﻫاى زﻳر پاسخ دﻫﻴد‪:‬‬

‫‪ - 1‬آﻳا ورق کاغذ و سکﻪ ﻫمزمان بﻪ سطح زمﻴن رسﻴدند؟‬ ‫‪ - 2‬آﻳا ﻫر دو ورقﺔ کاغذ ﻫمزمان بﻪ سطح زمﻴن رسﻴدند؟‬ ‫‪ - 3‬کدام عامل باعث اﻳن شده است کﻪ ورق کاغذ و سکﻪ‬ ‫بﻪ طرف زمﻴن سقوط کنند؟‬ ‫شکل )‪(2-15‬‬

‫سقوط آزاد‪ ،‬نمونﺔ طبﻴعﻰ حرکت باشتاب ثابت است‪.‬در اﻳن نوع حرکت‪،‬‬ ‫مسﻴرحرکت مستقﻴم است و در ﻫنگام سقوط ﻳگانﻪ قوة وارده بر جسم‬ ‫ﻫمانا وزن آن است‪ .‬اگر ﻳک سکﻪ و ﻳک ورق کاغذ را از ارتفاع معﻴن‬ ‫رﻫا کنﻴم‪ ،‬بﻪ طور ﻫمزمان بﻪ زمﻴن نمﻰرسند‪ .‬اما اگر ﻫمﻴن تجربﻪ را‬ ‫در خﻼء انجام دﻫﻴم‪ ،‬سکﻪ و ورق کاغذ ﻫمزمان بﻪ زمﻴن مﻰرسند‪.‬‬ ‫بﻪ طور مثال سقوط ﻳک جسم در خﻼ وﻳا سقوط گلولﺔ کوچک فلزى‬ ‫در ﻫوا را (با تقرﻳب مناسب) مﻰتوان سقوط فرض کرد‪ .‬شکل )‪(2-16‬‬ ‫حرکت ﻳک ساچمﻪ را ﻫنگام سقوط آزاد نشان مﻰدﻫد کﻪ در وقفﻪﻫاى‬ ‫زمانﻰ متوالﻰ ‪ t = 1 30 s‬از آن عکاسﻰ شده است‪ .‬بنابر اﻳن اگر از‬ ‫مقاومت ﻫواصرف نظر کنﻴم‪ .‬تمام اجسام در نزدﻳکﻰ سطح زمﻴن‪،‬‬ ‫تقرﻳباً با شتاب ثابت سقوط مﻰکنند‪ .‬کﻪ اﻳن ﻫمان شتاب جاذبﺔ زمﻴن‬ ‫است کﻪ باحرف ‪g‬نماﻳش داده مﻰشود‪ .‬حرکت با شتاب ‪ g‬را سقوط‬ ‫آزاد مﻰنامند‪ .‬کﻪ جﻬت اﻳن شتاب ﻫمﻴشﻪ بﻪ طرف پاﻳﻴن (مرکز‬ ‫زمﻴن) است‪ .‬اندازة شتاب ‪ g‬بر حسب عرض البلد جغرافﻴاﻳﻰ‪ ،‬اندکﻰ‬ ‫تغﻴﻴر مﻰکند و با افزاﻳش ارتفاع از سطح زمﻴن کاﻫش مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫اندازة اﻳن شتاب در نزدﻳکﻰ سطح زمﻴن نزدﻳک بﻪ ‪ 9.8 m s‬است‪ .‬اما‬ ‫گاﻫﻰ براى سﻬولت محاسبﻪ ‪ g = 10 m s‬فرض مﻰشود‪.‬‬ ‫معادلﻪﻫاى حرکت و سرعت در سقوط آزاد ﻫمان معادلﻪﻫاى حرکت با‬ ‫شتاب ثابت است‪ .‬در سقوط آزاد‪ ،‬تغﻴﻴر مکان در امتداد قاﻳم است‪،‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫شکل )‪(2-16‬‬

‫‪67‬‬

‫و موقعﻴت متحرک بﻪ طور معمول با‪ y‬ﻳا ‪ h‬نشان داده مﻰشود و مبدأ حرکت نقطﻪﻳﻰ است‬ ‫کﻪ سقوط ازآن شروع مﻰشود‪ .‬اگر سمت مثبت را بﻪ طرف پاﻳﻴن اختﻴار کنﻴم‪ ،‬معادلﺔ حرکت‬ ‫و سرعت چنﻴن خواﻫد بود‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫معادلﺔ حرکت‬ ‫)‪y = gt + v0t.............(2 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫معادلﺔ سرعت‬ ‫)‪v = gt + v0 ..........(2 11‬‬ ‫چون در سقوط آزاد ﻫمﻴشﻪ سرعت اولﻰ ‪ v0‬مساوى بﻪ صفر مﻰ باشد‪ ،‬پس روابط )‪ (2-10‬و‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ (2-11‬بﻪ شکل زﻳر نوشتﻪ مﻰشوند‪:‬‬ ‫)‪y = gt 2 . . . .(2 12‬‬ ‫)‪. . . . .(2 13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪v = gt‬‬

‫قﻴمت ‪ g‬در ﻳک نقطﺔ مشخص زمﻴن براى تمام اجسام ﻳکسان است‪ ،‬اما قﻴمت آن در نقاط‬ ‫مختلف سطح زمﻴن متفاوت است‪ .‬حال از معادلﺔ )‪ ،(2-12‬زمان ‪ t‬را بﻪدست مﻰآورﻳم و در‬ ‫رابطﺔ )‪ (2-13‬قرارمﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫)‪............... (2 14‬‬

‫‪g‬‬

‫‪2y‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫(× ‪) = g2‬‬ ‫)‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬

‫=‪t‬‬

‫(‪v = g‬‬

‫)‪v = 2 g . y ..............(2 15‬‬

‫از رابطﺔ اخﻴر مﻰتوانﻴم سرعت جسم سقوط کننده را بعد از اﻳنکﻪ فاصلﺔ ‪ y‬را طﻰ نماﻳد‪،‬‬ ‫درﻳافت کنﻴم‪.‬‬ ‫‪g = 4.9m‬‬ ‫? = ‪a) t‬‬

‫ﻣثال‪ :‬ﻳک سنگ کوچک از ارتفاع ‪ 4.9‬مترى زمﻴن رﻫا مﻰشود‪.‬‬ ‫الف) پس از چند ثانﻴﻪ بﻪ زمﻴن مﻰرسد؟‬

‫ب) سرعت آن ﻫنگام رسﻴدن بﻪ زمﻴن چقدر است؟ ) ‪ g = 9.8 m s 2‬فرض شود)‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v0 = 0 , y = g t 2‬‬ ‫الف)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.8‬‬ ‫‪9.8‬‬

‫‪t = 1s‬‬

‫= ‪t2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪× 9.8.t 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫سنگ پس از ‪ 1‬ثانﻴﻪ بﻪ سطح زمﻴن مﻰرسد‪.‬‬ ‫ب)‬ ‫‪v = 9.8 × 1 = 9.8 m‬‬ ‫‪s‬‬

‫سرعت سنگ ﻫنگام رسﻴدن بﻪ سطح زمﻴن ‪ 9.8 m s‬است‪.‬‬

‫‪68‬‬

‫? = ‪b) v‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪g = 9.8‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪v0 = 0‬‬

‫= ‪4.9‬‬

‫‪v = g .t‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪:‬‬ ‫دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬بﻪ ترتﻴب از ارتفاعﻫاى ‪ 20‬مترى و ‪ 45‬مترى باﻻى سطح زمﻴن بدون‬ ‫سرعت اولﻴﻪ بﻪ طور آزاد سقوط مﻰکنند‪ .‬زمان سقوط ﻫر کدام چقدر است؟ و جسم ‪ B‬چند‬ ‫ثانﻴﻪ بعد وﻳا قبل از جسم ‪ A‬بﻪ زمﻴن مﻰرسد‪ ،‬و سرعت ﻫر ﻳک از آنﻫا در لحظﺔ رسﻴدن‬ ‫بﻪ زمﻴن چقدر است؟ ) ‪ g = 10 m s 2‬فرض شود)‪.‬‬

‫خﻼصﺔ فصل دوم‬ ‫وکتور موقعﻴت‪ ،‬وکتورى اســت کﻪ موقعﻴت جسم را در ﻫر لحظﻪ مشخص مﻰکند‪ .‬ابتداى‬ ‫اﻳن وکتور‪ ،‬مبداء کمﻴات وضعﻴﻪ و انجام آن موقعﻴت جســم اســت و باحرف ‪ r‬نشــان داده‬ ‫مﻰشود‬ ‫تغﻴﻴــر موقعﻴت ﻳک متحــرک بﻴن دو لحظﺔ ‪ t1‬و ‪ t 2‬عبارت از وکتورى اســت کﻪ ابتداى آن‬ ‫موقعﻴت متحرک در لحظﺔ ‪ t1‬و انجام آن موقعﻴت متحرک در لحظﺔ ‪ t 2‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫واحد اندازهگﻴرى موقعﻴت و تغﻴﻴر موقعﻴت در سﻴستم ‪ ،SI‬عبارت از متر(‪)m‬است‬ ‫سرعت متوسط ) ‪ (V‬عبارت از تغﻴﻴر موقعﻴت بر زمان است ﻳا ‪x x2 x1‬‬ ‫‪av‬‬ ‫= ‪V = Vav‬‬ ‫=‬ ‫‪t 2 t1‬‬

‫‪t‬‬

‫در گراف (‪ ،)x-t‬ســرعت متوســط بﻴن دو نقطﻪ عبارت از مﻴل دو نقطﻪﻳﻰ است کﻪ توسط‬ ‫ﻳک قطعﻪ خط بﻪ ﻳکدﻳگر وصل شده باشند‪.‬‬ ‫واحد اندازهگﻴرى سرعت در سﻴستم ‪ ،SI‬عبارت از ‪ m‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ســرعت لحظﻪﻳﻰ عبارت از لمت سرعت متوسط است‪ ،‬زمانﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر نزدﻳک‬ ‫نماﻳد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪x :‬‬ ‫‪V = lim‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫سرعت لحظﻪﻳﻰ مﻰتواند کﻪ مثبت‪ ،‬منفﻰ و ﻳا صفرباشد‪.‬‬ ‫در گراف (‪ ،)x-t‬ســرعت لحظﻪﻳﻰ در زمان ‪ ،t‬عبارت ازمﻴل (تانجانت) قطعﻪ خط در زمان‬ ‫‪ t‬است‪.‬‬ ‫شــتاب متوسط عبارت از تغﻴﻴر سرعت فﻰ واحد وقت اســت‪ .‬اگر تغﻴﻴر سرعت در انتروال‬ ‫زمانﻰ ‪ t‬برابر بﻪ ‪ v‬با شد‪ ،‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪v v2 v1‬‬ ‫=‬ ‫‪t t 2 t1‬‬

‫‪69‬‬

‫=‪a‬‬

‫شتاب متوسط مثبت است درصورتﻰکﻪ ‪ v2 > v1‬و مﻰتواند منفﻰ باشد اگر ‪ v2 < v1‬و صفر‬ ‫است زمانﻰکﻪ ‪ v2 = v1‬باشد‪.‬‬ ‫شتاب لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬عبارت از لﻴمت شتاب متوسط است‪ ،‬زمانﻰکﻪ ∆‪ t‬بﻪ طرف صفر نزدﻳک‬ ‫نماﻳد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪vx‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪a = lim‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫سرعت لحظﻪﻳﻰ مﻰتواند قﻴمتﻫاى مثبت‪ ،‬منفﻰ و ﻳا صفر را اختﻴار کند‪.‬‬ ‫زمانﻰکﻪ شتاب ثابت باشد‪ ،‬در آن صورت شتاب لحظﻪﻳﻰ مساوى بﻪ شتاب متوسط خواﻫد‬ ‫بود‪.‬‬ ‫در گراف (‪ )v-t‬شتاب لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬عبارت ازمﻴل( تانجانت) قطعﻪ خط در زمان مشخص ‪t‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫واحد اندازهگﻴرى شتاب در سﻴستم ‪ ،SI‬عبارت ازمتر بر ثانﻴﻪ مربع ) ‪ (m 2‬است‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫معادﻻت حرکت مختلفﻰ و جود دارد کﻪ حرکت اجسام را با شتاب ثابت مﻰتوان توسط‬ ‫آنﻫا بررسﻰ کرد‪ .‬ﻫر معادلﺔ حرکت داراى تغﻴﻴرﻫاى مختلفﻰ مﻰباشد‪ ،‬مانند‪:‬‬ ‫سرعت ‪ v‬بﻪ عنوان تابعﻰ از زمان‪ v = v0 + at ،‬و سرعت متوسط‪ v = v0 + at ،‬است‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫موقعﻴت بﻪ عنوان تابعﻰ از زمان(‪ )t‬و شتاب‪ x = at 2 + v0t + x0 ،a‬و سرعت مستقل از‬ ‫‪2‬‬ ‫زمان(سرعت بﻪ عنوان تابعﻰ از موقعﻴت)‪ v 2 v02 = 2a x ،‬مﻰباشند‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫سؤال ﻫاى فصل دوم‬ ‫‪ - 1‬وکتور موقعﻴت (مکان) را تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬وکتور تغﻴﻴر مکان را (بﻴن دو لحظﺔ ‪ ) t 2 , t1‬تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫در‪t‬مکان‬ ‫‪ - 3‬در شــکل روبرو مسﻴر حرکت جسمﻰرا مشاﻫده مﻰکنﻴد‪ .‬متحرک در لحظﺔ ‪2 , t1‬‬ ‫‪ A‬و در ‪, t1‬‬ ‫لحظﺔ‪ t 2‬در مکان ‪ B‬قرار دارد‪ .‬وکتورﻫاى موقعﻴت جســم را در لحظﻪﻫاى ‪,,tt11‬و‪tt22‬رســم‬ ‫کنﻴد و وکتور تغﻴﻴر موقعﻴت جسم را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ )a - 4‬موترى در ﻳک مســﻴر داﻳرهﻳﻰ شکل با شــعاع ‪ 100‬متر حرکت مﻰکند‪ .‬مسافتﻰ کﻪ‬ ‫موتر نﻴم دور را مﻰپﻴماﻳد چند متر اســت؟ شــکل مسﻴر حرکت موتر را رسم و وکتور تغﻴﻴر‬ ‫موقعﻴت را بر روى شکل مشخص کنﻴد و اندازة آن را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬اندازة تغﻴﻴر موقعﻴت موتر را در چﻬارم حصﺔ مسﻴر داﻳرهﻳﻰ بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )c‬تغﻴﻴر موقعﻴت موتر در ﻳک دور کامل چقدر است؟‬ ‫‪ - 5‬در چﻪ صورتﻰ وکتورﻫاى موقعﻴت و وکتورﻫاى تغﻴﻴر موقعﻴت ﻫم جﻬت ﻫستند؟‬ ‫در‪t‬مکان ‪ x1 = 6m‬و در‬ ‫‪ - 6‬متحرکﻰ کﻪ بر روى خط مســتقﻴم حرکــت مﻰکند‪ ،‬در لحظﺔ ‪2 , t1‬‬ ‫‪, t1‬‬ ‫لحظﺔ‪ t 2‬در مکان ‪ x2 = 7m‬قرار دارد‪ .‬اندازة تغﻴﻴر موقعﻴت جسم را بﻴن دو لحظﺔ ‪,,tt11‬و‪tt22‬محاسبﻪ‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 7‬گراف مکان‪ -‬زمان ( ‪ ) x t‬چﻴست؟‬ ‫‪ - 8‬فرق بﻴن سرعت متوسط و سرعت لحظﻪﻳﻰ چﻴست و در کدام حالت ﻫر دو سرعت باﻫم‬ ‫مساوى اند؟‬ ‫‪ - 9‬درﻳورى فاصلﺔ بﻴن دو شﻬر را بﻪ ترتﻴب ذﻳل مﻰپﻴماﻳد‪:‬‬ ‫ابتدا بﻪ مدت ﻳک ســاعت با ســرعت متوســط ‪ 15 m s‬درﻳورى کرده و پس از آن بﻪ مدت ‪10‬‬ ‫دقﻴقﻪ توقف مﻰکند‪ .‬آنگاه با ســرعت متوســط ‪ 20 m s‬بﻪ مدت ‪ 30‬دقﻴقــﻪ بﻪ درﻳورى ادامﻪ‬ ‫مﻰدﻫد و بقﻴﺔ مســﻴر را تا مقصد بﻪ مدت ﻳک ربع ســاعت با سرعت متوسط ‪ 12 m s‬درﻳورى‬ ‫مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ .a‬فاصلﺔ بﻴن دو شﻬر چند کﻴلو متر است؟‬ ‫‪ .b‬سرعت متوسط آن در کل مسﻴر چند کﻴلو متر بر ساعت است؟‬ ‫‪ .c‬سرعت متوسط آن در طول مدت درﻳورى چقدر است؟‬

‫‪71‬‬

‫‪- 10‬سرعت ﻳک موتر در مدت‪20‬ثانﻴﻪ برروى ﻳک مسﻴر مستقﻴم از ‪10 m s‬بﻪ ‪ 18 m‬مﻰرسد‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ )a‬شتاب متوسط موتر در اﻳن مدت چقدر است؟‬ ‫‪ )b‬اگرسرعت موتر با ﻫمﻴن شتاب تغﻴﻴر کند‪ ،‬پس از چﻪ مدت سرعت آن بﻪ ‪ 1.8‬کﻴلو متر‬ ‫بر ساعت مﻰرسد؟‬ ‫‪ - 11‬سرعت ﻳک سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ ‪ 30‬ثانﻴﻪ پس از شروع حرکت بﻪ ‪ 1200 km h‬مﻰرسد‪ .‬شتاب‬ ‫متوسط آن چقدر است؟ اﻳن شتاب چند برابر بﻪ ‪ g = 9.8m s 2‬است؟‬ ‫‪ - 12‬موترى در ﻳک مسﻴر مستقﻴم با شتاب ثابت شروع بﻪ حرکت مﻰکند و بعد از ‪ 20‬ثانﻴﻪ‬ ‫سرعتش بﻪ ‪ 36 hm‬مﻰرسد‪ .‬سپس با ﻫمﻴن سرعت بﻪ مدت ‪ 10‬ثانﻴﻪ بﻪ حرکتش ادامﻪ‬ ‫‪h‬‬ ‫مﻰدﻫد و پس از آن برک مﻰکند و بعد از ‪ 5‬ثانﻴﻪ متوقف مﻰشود‪ .‬اگر در مدت برک کردن‬ ‫شتاب ثابت باشد‪:‬‬ ‫‪ )a‬جﻬت سرعت و شتاب حرکت را در ﻫر مرحلﻪ‬ ‫معلوم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬گراف ) ‪ ( x t‬را از لحظﺔ شروع حرکت تا لحظﺔ‬ ‫توقف موتررسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 13‬شکل ذﻳل گراف ) ‪ (v t‬متحرکﻰ را در ‪26‬‬ ‫ثانﻴﻪ نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫‪ )a‬شتاب ﻫرﻳک از مرحلﻪﻫاى ‪ BC , AB , OA‬چقدر‬ ‫است؟‬ ‫‪ )b‬شتاب متوسط در انتروال زمانﻰ صفر تا ‪ 26‬ثانﻴﻪ‬ ‫) ‪t( s‬‬ ‫چقدر است؟‬

‫‪v( m s‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪26‬‬

‫‪20‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ - 14‬ﻳک سنگ بﻪ طور عمود بﻪ طرف باﻻ پرتاب شده و زمان‪10‬ثانﻴﻪ را براى بازگشت خود‬ ‫بﻪ زمﻴن ضرورت دارد ‪ .‬اﻳن سنگ بﻪ چﻪ ارتفاع با ﻻ مﻰرود؟‬ ‫‪ - 15‬سرعت متوسط را چگونﻪ با استفاده از گراف ( ‪ ) x t‬تعﻴﻴن مﻰکنند؟ از روى شکل‬ ‫توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 16‬سرعت لحظﻪﻳﻰ را تعرﻳف کنﻴد و واحد اندازهگﻴرى را در ‪ SI‬ذکر کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 17‬حرکت ﻳکنواخت برروى خط مستقﻴم را تعرﻳف کنﻴد و معادلﺔ اﻳن حرکت را بﻪدست‬ ‫آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 18‬معادلﺔ حرکت جسمﻰکﻪ بر روى خط مستقﻴم حرکت مﻰکند در ‪ SI‬بﻪ صورت‬ ‫‪ x = 2t + 3‬است‪:‬‬

‫‪72‬‬

‫‪ )a‬فاصلﺔ متحرک از مبداء را در لحظﻪﻫاى ‪ t1 = 1s‬و ‪ t2 = 4s‬بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬تغﻴﻴر موقعﻴت جسم بﻴن دو لحظﺔ ‪ t1 = 1s‬و ‪ t2 = 4s‬باﻻ را محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )c‬سرعت متحرک چند متر بر ثانﻴﻪ است؟‬ ‫‪ - 19‬جسمﻰبا سرعت ثابت ‪ v‬برروى مسﻴر مستقﻴمﻰدر حرکت است‪ .‬اگر در لحظﺔ ‪t1 = 2 s‬‬ ‫فاصلﻪ آن تا مبداء ‪ 11‬متر و در لحظﺔ ‪ t2 = 7 s‬فاصلﺔ آن تا مبدا ‪ 38.5‬متر باشد‪:‬‬ ‫‪ )a‬سرعت متحرک و فاصلﺔ آن تا مبداء در لحظﺔ صفر ثانﻴﻪ چقدر است؟‬ ‫‪ )b‬رابطﺔ ( ‪ ) x t‬ﻳا معادلﺔ حرکت را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 20‬گراف ( ‪ ) v t‬چگونﻪ رسم مﻰشود؟‬ ‫‪ - 21‬شتاب متوسط را تعرﻳف و رابطﺔ آن را بنوﻳسﻴد‪ ،‬و واحد اندازهگﻴرى آن را در ‪ SI‬ذکر‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 22‬متحرکﻰ برروى مسﻴر مستقﻴمﻰدر حرکت است‪ .‬سرعت آن در لحظﺔ ‪ t1 = 7 s‬برابر‬ ‫با ‪ 20 m s‬و در لحظﺔ ‪ t2 = 10 s‬برابر بﻪ ‪ 32 m s‬است‪ ،‬شتاب متوسط متحرک را بﻴن دو لحظﺔ‬ ‫‪ t1‬و ‪ t 2‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 23‬شتاب لحظﻪﻳﻰ را چگونﻪ توسط گراف ( ‪ ) v t‬تعﻴﻴن مﻰکنند؟ از روى رسم توضﻴح‬ ‫دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 24‬ﻳک جسم از ارتفاع ‪ 520‬مترى سطح زمﻴن با سرعت اولﻴﺔ ‪ 2 m s‬در جﻬت عمود بﻪ‬ ‫سطح زمﻴن رو بﻪ پاﻳﻴن پرتاب مﻰگردد‪.‬‬ ‫‪ )a‬زمان رسﻴدن جسم را بﻪ سطح زمﻴن حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬سرعت جسم را ﻫنگام رسﻴدن بﻪ زمﻴن محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 25‬دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬بﻪ ترتﻴب از بلندىﻫاى ‪ 500‬مترى و ‪ 320‬مترى باﻻى سطح زمﻴن‬ ‫بدون سرعت اولﻴﻪ و ﻫمزمان رﻫا مﻰگردند‪.‬‬ ‫‪ )a‬جسم ‪ A‬چند ثانﻴﻪ پس از جسم ‪ B‬بﻪ سطح زمﻴن مﻰرسد؟‬ ‫‪ )b‬سرعت ﻫر ﻳک را در موقع رسﻴدن بﻪ سطح زمﻴن سنجش کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 26‬گلولﺔ کوچکﻰ از باﻻى ساختمان بلندى رﻫا مﻰشود‪ .‬وقتﻰ بﻪ ارتفاع ‪ 40‬مترى باﻻى‬ ‫زمﻴن مﻰرسد‪ ،‬سرعتش ‪ 10 m s‬مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ )a‬سرعت جسم در لحظﺔ رسﻴدن بﻪ زمﻴن را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ارتفاع ساختمان را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )c‬سرعت متوسط گلولﻪ را در مدت سقوط از ارتفاع ( ‪ 40m‬الﻰ سطح زمﻴن) تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )d‬گراف ( ‪ ) x t‬آن را رسم کنﻴد‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫فصل سﻮم‬ ‫حرکتﻫاى دو بُعدى‬

‫در فصل قبل تا اندازهﻳﻰ حرکت در ﻳک بُعد را مورد مطالعﻪ قرار دادﻳم و با کمﻴتﻫاﻳﻰ مانند‬ ‫موقعﻴت‪ ،‬تغﻴﻴر موقعﻴت‪ ،‬سرعت متوسط و‪ ...‬آشنا شدﻳم و حرکتﻫاى ﻳکنواخت و داراى‬ ‫شتاب ثابت برروى ﻳک خط مستقﻴم را بررسﻰ کردﻳم‪ .‬اما باﻳد دانست کﻪ ما در زندگﻰ‬ ‫روزمره بﻴشتر با حرکتﻫاﻳﻰ کﻪ در دوبُعد و سﻪ بُعد انجام مﻰشوند سرو کار دارﻳم‪ ،‬و بررسﻰ‬ ‫آنﻫا براى ما اﻫمﻴت بﻴشترى دارد‪.‬‬ ‫حرکت ﻳک سﻴاره بﻪ دور آفتاب و ﻳا حرکت ﻳک موتر در گوﻻﻳﻰ جاده و حرکت گلولﺔ توپﻰ‬ ‫کﻪ فﻴر مﻰشود و‪ . . .‬مثالﻫاﻳﻰ از حرکت دو بُعدى ﻫستند‪.‬‬ ‫حرکت در دوبعد چﻴست؟ چگونﻪ مﻰتوانﻴم حرکتﻫاى دوبعدى را تحلﻴل کنﻴم؟ حرکتﻫاى‬ ‫دو بعدى را چگونﻪ مﻰتوانﻴم بﻪ زبان رﻳاضﻰ بﻴان کنﻴم؟ از حرکتﻫاى دوبعدى در حﻴات‬ ‫روزمره چﻪ استفادهﻫاﻳﻰ کرده مﻰتوانﻴم؟ و‪ . . .‬اﻳنﻫا ﻫمﻪ پرسشﻫاﻳﻰ ﻫستند کﻪ توقع‬ ‫مﻰرود شما در ختم اﻳن فصل بﻪ آنﻫا پاسخ داده بتوانﻴد‪ .‬از اﻳن پﻴش دﻳدﻳم کﻪ مکان جسم‬ ‫در ﻳک سطح با وکتور ‪ r‬نماﻳش داده مﻰشود‪ .‬اﻳن وکتور را مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر نوشت‪:‬‬

‫‪r = xi + y j‬‬ ‫کﻪ در آن ‪ i‬و ‪ j‬بﻪ ترتﻴب عبارت از وکتور واحدﻫا در جﻬتﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬ﻫستند‪.‬‬ ‫چون ﻫنگام حرکت جسم‪ ،‬وکتور مکان آن تغﻴﻴر مﻰکند‪ ،‬براى مشخص کردن مکان جسم‬ ‫در حﻴن حرکت‪ ،‬کافﻰ است کﻪ مرکبﻪﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬را بﻪ صورت تابعﻫاﻳﻰ از زمان داشتﻪ‬ ‫باشﻴم‪ ..(3 2) :‬و‬ ‫‪= g (t ).........‬‬ ‫) ‪= f (t‬‬ ‫رابطﻪﻫاى )‪ (3-2‬معادلﻪﻫاى حرکت ﻳک جسم را در دو بعد نشان مﻰدﻫند‪ .‬واضح است کﻪ‬ ‫در حرکت دو بعدى‪ ،‬وکتور مکان نﻴز تابعﻰ از زمان است‪ .‬ﻳعنﻰ‪r = f (t ) i + g (t ) j :‬‬ ‫در واقع مﻰتوان گفت کﻪ حرکت درﻳک مستوى ( صفحﻪ)‪ ،‬ترکﻴب دو حرکت ﻳک بعدى در‬ ‫امتدادﻫاى ‪ x‬و‪ y‬است‪ ،‬کﻪ با داشتن معادلﻪﻫاى مربوط بﻪ آن‪ ،‬مکان(موقعﻴت) جسم در تمام‬ ‫لحظﻪﻫا معلوم و در نتﻴجﻪ مسﻴر حرکت جسم مشخص مﻰشود‪ .‬مانند شکل )‪:(3-1‬‬ ‫شکل )‪(3-1‬‬

‫‪74‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬

‫فرض کنﻴد درﻳک مدت کوتاه‪ ،‬معادلﻪﻫاى حرکت سنگ پشت در سﻴستم ‪ SI‬بﻪ صورت ‪ x = 10t‬و ‪y = 5t‬‬ ‫‪2‬‬

‫اســت‪ .‬مختصات حرکت اﻳن ســنگ پشــت را در گروهﻫاى مختلف از طرﻳق نقطﻪ ﻳابﻰ در انتروال زمانﻰ ‪ 0‬تا ‪5‬‬ ‫ثانﻴﻪ رسم کنﻴد‪.‬‬

‫‪ :3-1‬تﻐﻴﻴر ﻣکان و سرعت ﻣتﻮسط‬ ‫تغﻴﻴر مکان و سرعت متوسط در حرکتﻫاى دو بعدى را چگونﻪ مﻰتوان بررسﻰ کرد؟ چﻪ تفاوتﻫاﻳﻰ‬ ‫بﻴن تغﻴﻴر مکان و سرعت متوسط در حالتﻫاى ﻳک بعدى و دو بعدى وجود دارد؟‬ ‫براى بررسﻰ تغﻴﻴر مکان و سرعت متوسط در حرکتﻫاى دوبعدى‪ ،‬فرض کنﻴد کﻪ متحرک مطابق‬ ‫شکل)‪ (3-2‬در لحظﺔ ‪ t1‬در نقطﺔ ‪( A‬مکان ‪ ) r1‬و در لحظﺔ ‪ t2‬در نقطﺔ ‪( B‬مکان ‪ ) r2‬قرار داشتﻪ با‬ ‫شد‪ .‬ﻫمانطورىکﻪ در فصل دوم خواندﻳم‪ ،‬وکتورى کﻪ از ‪ A‬بﻪ ‪ B‬رسم مﻰشود‪ ،‬تغﻴﻴر مکان جسم‬ ‫را در انتروال زمانﻰ ‪ t = t 2 t1‬نماﻳش مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫اﻳن وکتور کﻪ در شکل )‪ (2-4‬فصل دوم نﻴز رسم شده است از رابطﻪﻫاى زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫چون‪ r = xi + yi :‬است‪ ،‬پس‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪y1 ) j‬‬

‫‪r2‬‬

‫‪xx‬‬

‫‪xx222‬‬

‫‪x1 )i + ( y2‬‬

‫‪xx111‬‬

‫شکل )‪(3-2‬‬ ‫وکتورﻫاى سرعت متوسط و‬ ‫تغﻴﻴر مکان ﻫم جﻬت ﻫستند‪.‬‬

‫)‪= r2 r1.....(3 4‬‬

‫‪r‬‬

‫) ‪= ( x2 i + y2 j ) ( x1 i + y1 j‬‬

‫‪r‬‬

‫‪= x2 i + y2 j x1 i‬‬

‫‪r‬‬

‫‪= xi + y j‬‬

‫‪r‬‬

‫)‪= ( x)i + ( y ) j.....(3 5‬‬

‫‪r‬‬

‫‪y1 j = ( x2‬‬

‫سرعت متوسط جسم در ﻳک انتروال زمانﻰ معﻴن‪ ،‬مانند حالت ﻳک بعدى‪ ،‬بﻪ صورت زﻳر‬ ‫تعرﻳف مﻰشود‪:‬‬ ‫)‪6‬‬

‫‪r ..........(3‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪v‬‬

‫با استفاده از رابطﺔ )‪ ،(3-5‬سرعت متوسط را مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪) i + ( ) j ...........(3 7‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اگر را با ‪ Vx‬و را با ‪ V y‬نشان دﻫﻴم‪ ،‬در نتﻴجﻪ رابطﺔ )‪ (3-7‬را مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬

‫(=‪v‬‬

‫نوشت ‪:‬‬

‫)‪............(3 8‬‬

‫‪j‬‬

‫) ‪v = (v ) i + (v‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪75‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫شکل )‪ (3-2‬را در گروهﻫاى مختلف تحلﻴل نموده و بگوﻳﻴد کﻪ چرا وکتور سرعت متوسط و وکتور تغﻴﻴر مکان‬ ‫ﻫم جﻬت ﻫستند و سپس نماﻳندة ﻫر گروه بﻪ صورت جدا گانﻪ در صنف توضﻴحات دﻫد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬معادلﻪﻫاى حرکت جسمﻰدر دو بعد‪ ،‬با رابطﻪﻫاى زﻳر (در سﻴستم ‪ )SI‬داده شده‬ ‫‪= 2t , y = t 2 + 4t‬‬ ‫است‪:‬‬ ‫‪ )a‬وکتور مکان (موقعﻴت) جسم را در لحظﻪﻫاى ‪ t1 = 1s‬و ‪ t 2 = 2s‬بﻪدست آورﻳد؟‬ ‫‪ )b‬سرعت متوسط آن را در انتروال زمانﻰ بﻴن ‪ 1‬و ‪ 2‬ثانﻴﻪ تعﻴﻴن و اندازة آن را حساب‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫‪x1 = 2m‬‬ ‫حل‪ )a :‬در ‪ t1 = 1s‬و ‪y1 = 3m‬‬

‫‪r1 = 2 i + 3 j‬‬ ‫بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب در ‪t 2 = 2 s‬‬

‫‪y 2 = 4m‬‬

‫و‬

‫‪x2 = 4 m‬‬

‫‪= 4i +4j‬‬

‫‪ )b‬در انتروال زمانﻰ بﻴن ‪ 1‬و ‪ 2‬ثانﻴﻪ‪:‬‬

‫‪r2‬‬

‫‪x1 = 4 2 = 2m‬‬

‫‪x = x2‬‬

‫‪y1 = 4 3 = 1m‬‬

‫‪y = y2‬‬

‫‪t = t 2 t1 = 2 1 = 1s‬‬ ‫‪x 2m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2 = 2i‬‬ ‫‪t 1s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪y 1m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫= ‪Vy‬‬ ‫‪t 1s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫= ‪Vx‬‬

‫‪V = V x + V y = 2i + j‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪2.23‬‬

‫‪V= 5‬‬

‫‪(V ) 2 = (V x ) 2 + (V y ) 2 = 2 2 + 12 = 5‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬فرض کنﻴد در ﻳک مدت کوتاه‪ ،‬معادلﻪﻫاى حرکت ﻳک خرگوش در سﻴستم ‪ SI‬بﻪ‬ ‫صورت ‪ x = 10t‬و ‪ y = 2t 2‬است‪ ،‬سرعت متوسط اﻳن خرگوش را در انتروال زمانﻰ ‪ 0‬تا ‪2‬‬ ‫ثانﻴﻪ بﻪدست آورﻳد‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫سرعت لحﻈﻪﻳﻰ‬ ‫سرعت لحظﻪﻳﻰ در حرکتﻫاى دو بُعدى را چگونﻪ مﻰتوان تحلﻴل و ارزﻳابﻰ کرد؟ سرعت‬ ‫لحظﻪﻳﻰ در حرکت دو بعدى و ﻳک بعدى چﻪ تفاوتﻫاﻳﻰ دارند؟‬ ‫براى بررسﻰ سرعت لحظﻪﻳﻰ در دو بعد‪ ،‬شکل )‪ (3-3‬را در نظر بگﻴرﻳد‪ .‬اﻳن شکل‪ ،‬حرکت‬ ‫جسم را روى ﻳک مسﻴر خمﻴده (منحنﻰ) نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫موقعﻴت جسم در دو لحظﺔ ‪ t1‬و ‪ t2‬مشخص شده‬ ‫است‪ .‬از اﻳن پرسش ﻳاد آور شده بودﻳم کﻪ وکتور‬ ‫سرعت متوسط در ﻳک انتروال زمانﻰ با وکتور‬ ‫‪t1‬‬ ‫تغﻴﻴر موقعﻴت مربوط بﻪ آن‪ ،‬ﻫم جﻬت است‪.‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫ﻫمانطورىکﻪ در فصل قبل در حرکت ﻳک‬ ‫‪r1‬‬ ‫بعدى نﻴز گفتﻪ شد‪ ،‬ﻫنگامﻰکﻪ انتروال زمانﻰ ‪، t‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫کوچک و کوچکتر شود‪ ،‬سرعت متوسط بﻪ سرعت‬ ‫لحظﻪﻳﻰ نزدﻳک و نزدﻳکتر مﻰشود‪ ،‬ﻳعنﻰ بﻪ زبان‬ ‫رﻳاضﻰ‪ ،‬وکتور سرعت لحظﻪﻳﻰ عبارت از لﻴمت‬ ‫شکل )‪(3-3‬‬ ‫سرعت متوسط است وقتﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر‬ ‫تقرب نماﻳد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪...............(3 9‬‬

‫‪v = lim (v) = lim‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫بﻪ عبارت دﻳگر مﻰتوان گفت کﻪ « سرعت لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬مشتق وکتور مکان جسم نسبت بﻪ زمان‬ ‫است»‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫)‪10‬‬

‫‪v = dr ...............(3‬‬ ‫‪dt‬‬

‫بنابرآن در لﻴمتﻰ کﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب مﻰنماﻳد‪ ،‬با استفاده از رابطﺔ ‪r = x i + y j‬‬

‫مﻰتوان سرعت لحظﻪﻳﻰ جسم را بر اساس مرکبﻪﻫاى آن در دو امتداد ‪ x‬و‪ y‬بﻪدست آورد‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪v = ( dt ) i + ( dt ) j‬‬

‫)‪.............. (3 11‬‬

‫‪v = (v ) i + (v y ) j‬‬ ‫‪x‬‬

‫بنابراﻳن‪ ،‬چون وکتور سرعت متوسط با وکتور تغﻴﻴر مکان ﻫم جﻬت است‪ ،‬پس در لﻴمتﻰ کﻪ‬ ‫‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب مﻰنماﻳد‪ ،‬وکتور سرعت لحظﻪﻳﻰ بر مسﻴر حرکت در نقطﺔ ‪ A‬مماس‬ ‫خواﻫد شد‪ .‬در نتﻴجﻪ ﻫنگامﻰکﻪ جسم روى ﻳک مسﻴر خمﻴده( منحنﻰ) حرکت مﻰکند‪،‬‬ ‫جﻬت وکتور سرعت آن کﻪ ﻫمﻴشﻪ بر مسﻴر حرکت مماس است‪ ،‬در ﻫر لحظﻪ تغﻴﻴر مﻰکند‪.‬‬ ‫بعد از اﻳن وکتور سرعت لحظﻪﻳﻰ را‪ ،‬سرعت مﻰنامﻴم‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫ﻣثال‪ :‬موترى کﻪ در ﻳک سطح افقﻰ ‪ x o y‬حرکت مﻰکند‪ ،‬معادلﻪﻫاى حرکت آن در سﻴستم ‪SI‬‬ ‫بﻪ صورت زﻳر است‪ y = 4t 2 :‬و ‪ x = 6t + 5‬اندازة سرعت موتر را در ‪ t = 1s‬بﻪدست آورﻳد؟‪:‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از رابطﺔ )‪ (3-11‬مرکبﻪﻫاى سرعت بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= 8t‬‬ ‫= ‪Vx‬‬ ‫= ‪ Vy‬و ‪= 6 m s‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dt‬‬

‫ﻫمانطورىکﻪ دﻳده مﻰشود مرکبﺔ افقﻰ سرعت تابع زمان نﻴست و مقدار ثابتﻰ دارد؛ ولﻰ‬ ‫مرکبﺔ قاﻳم سرعت‪ ،‬تابع زمان است و اندازة آن در ‪ t = 1s‬برابر است با‪ v y = 8 m :‬پس اندازة‬ ‫‪s‬‬ ‫سرعت در ‪ t = 1s‬برابر است با‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v = v x + v y = 6 + 8 = 10 m s‬‬

‫‪ :3-2‬شتاب ﻣتﻮسط و شتاب لحﻈﻪﻳﻰ‬ ‫از اﻳن پﻴش خواندﻳم کﻪ وقتﻰ سرعت جسم تغﻴﻴر کند‪ ،‬حرکت شتابدارست‪ .‬تغﻴﻴر سرعت‬ ‫مﻰتواند بﻪ معناى تغﻴﻴر در اندازة سرعت ﻳا تغﻴﻴر در جﻬت سرعت و ﻳا ﻫر دو باشد‪ .‬دﻳدﻳم کﻪ‬ ‫وقتﻰ حرکت جسم روى مسﻴر منحنﻰ است‪ ،‬در حالﻰکﻪ سرعت جسم تغﻴﻴر نمﻰکند‪ ،‬مگر‬ ‫جﻬت سرعت آن تغﻴﻴر مﻰکند‪ .‬بنا برآن اگر اندازة سرعت ﻫم تغﻴﻴر نکند‪ ،‬مﻰتواند حرکت‬ ‫شتابدار باشد‪ .‬مثال‪ ،‬حرکت برروى مسﻴر منحنﻰ‪ ،‬کﻪ در آن محض جﻬت حرکت تغﻴﻴر‬ ‫مﻰکند‪ ،‬ﻳک حرکت شتابدار است‪.‬‬ ‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫در مورد دو مثال حرکت شتابدار تحقﻴق کنﻴد کﻪ در آنﻫا‪ ،‬اندازة سرعت تغﻴﻴر نکند‪.‬‬

‫در شکل )‪ (3-4-a‬وکتورﻫاى سرعت در دو لحظﺔ ‪ t1‬و ‪ t2‬روى مسﻴر نشان داده شده است‪.‬‬ ‫براى محاسبﻪ تغﻴﻴر سرعت در انتروال زمانﻰ ‪ t = t t‬در شکل )‪ (3-4-b‬از نقطﺔ ‪o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وکتورﻫاى مساوى با ‪ v‬و ‪ v‬را رسم مﻰکنﻴم ‪ v‬و ‪ t‬را بﻪدست مﻰآورﻳم‪ .‬مانند حرکت‬ ‫‪2 1‬‬ ‫ﻳک بعدى‪ ،‬وکتور شتاب متوسط را در انتروال زمانﻰ بﻪ صورت زﻳر تعرﻳف مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫)‪12‬‬

‫‪v1 = v ..............(3‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪v2‬‬ ‫=‬ ‫‪a t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪78‬‬

‫با استفاده از رابطﺔ )‪ (3-11‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫وﻳا‬

‫‪j‬‬

‫)‬

‫‪vy‬‬

‫( ‪+‬‬

‫‪t‬‬

‫)‪..........(3 13‬‬

‫‪j‬‬

‫‪vx‬‬ ‫)‬ ‫‪t i‬‬

‫‪a = (a ) i‬‬

‫) ‪+ (a y‬‬

‫‪x‬‬

‫(شتاب متوسط)‬

‫‪v1‬‬

‫‪y‬‬

‫شکل )‪(3-4‬‬ ‫وکتور شتاب متوسط‬ ‫با ‪ v‬ﻫم جﻬت است‪.‬‬

‫(=‪a‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪v2‬‬ ‫‪v1‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪V‬‬

‫‪o‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫‪v2‬‬

‫)‪(b‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫاى مختلف صنفﻰ در مورد اﻳنکﻪ چرا وکتور شتاب متوسط با‬ ‫کنﻴد و نتﻴجﻪ را در صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪V‬‬

‫ﻫم جﻬت است‪ .‬بحث‬

‫ﻫمانطورىکﻪ مﻰدانﻴم شتاب لحظﻪﻳﻰ در لحظﺔ ‪ t1‬را مﻰتوان بﻪ صورت لمت شتاب‬ ‫متوسط‪ ،‬وقتﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب نماﻳد‪ ،‬نوشت‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫)‪14‬‬

‫‪a = lim (a) = lim ( vt )......(3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫را بطﺔ با ﻻ را با توجﻪ بﻪ مفﻬوم مشتق‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫‪a = dv K (3‬‬

‫)‪15‬‬ ‫مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫) ‪d 2(r‬‬ ‫=‬ ‫)‪a dt 2 KKK (3 16‬‬ ‫وبﻪ کمک را بطﺔ)‪ (3-13‬مﻰتوان بنوسﻴم کﻪ‪:‬‬

‫)‪j KK(3 17‬‬

‫)‬

‫‪dv y‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪79‬‬

‫(‪+‬‬

‫‪dv x‬‬

‫‪a = ( dt ) i‬‬

‫کﻪ در آن ‪ dv x = a x‬و ‪= a y‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dv y‬‬ ‫‪dt‬‬

‫عبارت از مرکبﻪﻫاى شتاب لحظﻪﻳﻰ مﻰباشد‪.‬‬

‫و در نتﻴجﻪ‪(= a = (a x ) i + (a y ) j .......(3 18) :‬شتاب لحظﻪﻳﻰ)‬ ‫را بطﺔ )‪ (3-12‬نشان مﻰدﻫد کﻪ ‪ a‬و ‪ v‬ﻫم جﻬت استند‪ .‬ولﻰ ﻫمانطورى کﻪ در شکل‬ ‫)‪ (3-4-a‬نشان داده شد است‪ ،‬درحرکت روى مسﻴر منحنﻰ‪ ،‬ﻫﻴچ وقت وکتور شتاب متوسط‬ ‫) ‪ ، (a‬با وکتور ﻫاى سرعت ( ‪ v1‬و ‪ ) v2‬ﻫم جﻬت نﻴست‪ .‬وقتﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب‬ ‫مﻰکند و وکتور ‪ v2‬بﻪ وکتور ‪ v1‬بسﻴار نزدﻳک مﻰشود‪ ،‬باز ﻫم شتاب لحظﻪﻳﻰ با سرعت‬ ‫لحظﻪﻳﻰ ﻫم جﻬت نخواﻫد بود‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫در گروهﻫاى مختلف صنفﻰ‪ ،‬برروى گراف نشان دﻫﻴد کﻪ در حرکت داراى سرعت ثابت روى مسﻴر منحنﻰ‪ ،‬وقتﻰ‬ ‫‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب نماﻳد‪ v ،‬بر ‪ v‬عمود است‪.‬‬

‫‪x = 20 t 2‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬معادلﺔ حرکت دو بعدى جسمﻰدر سﻴستم (‪ )SI‬بﻪ صورت زﻳر است‪:‬‬ ‫‪y = 5 t3‬‬

‫وکتورﻫاى سرعت و شتاب آن را در ‪ t = 1s‬بﻪدست آورﻳد کﻪ آﻳا اﻳن دو وکتور ﻫم جﻬت‬ ‫اند؟‬ ‫حل‪ :‬براى تعﻴﻴن وکتور سرعت‪ ،‬در مرحلﺔ اول مرکبﻪﻫاى ‪ Vx‬و ‪ V y‬را در ‪ t = 1s‬چنﻴن بﻪدست‬ ‫‪t = 1s‬‬ ‫مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪v x = 40 s‬‬

‫‪v y = 15 m s‬‬

‫‪t = 1s‬‬

‫= ‪vx‬‬

‫‪= 40t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫= ‪vy‬‬ ‫‪= 15t 2‬‬ ‫‪dt‬‬

‫در نتﻴجﻪ وکتور سرعت لحظﻪﻳﻰ در ‪ t = 1s‬چنﻴن خواﻫد بود‪:‬‬

‫‪j‬‬

‫‪15‬‬

‫‪v = 40 i‬‬

‫براى تعﻴﻴن وکتور شتاب نﻴز ابتدا مرکبﻪﻫاى شتاب ﻳعنﻰ ‪ a x‬و ‪ a y‬را بﻪدست مﻰآورﻳم‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= 40 m s 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪dt‬‬

‫= ‪ax‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪s2‬‬

‫‪= 30t‬‬

‫‪a y = 30.1 = 30‬‬

‫‪80‬‬

‫‪dv y‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪t 1s‬‬

‫= ‪ay‬‬

‫ﻫمانطورکﻪ مﻰبﻴنﻴم ‪ a y‬تابع زمان (‪ )t‬است و در ‪ t = 1s‬برابر است با‪ a y = 30 m s 2 :‬در‬ ‫‪= 40‬‬ ‫نتﻴجﻪ وکتور شتاب در ‪ t = 1s‬چنﻴن خواﻫد بود‪30 j :‬‬

‫‪i‬‬

‫‪a‬‬

‫با مقاﻳسﺔ وکتورﻫاى ‪ a‬و ‪ v‬در زمان ‪ t = 1s‬و مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ اﻳن دو وکتور با ﻫم‬ ‫موازى نﻴستند‪:‬‬

‫‪ :3-3‬حرکتﻫاى پرتابﻰ‬ ‫حرکتﻫاى پرتابﻰ چگونﻪ حرکتﻫاﻳﻰ ﻫستند؟ حرکتﻫاى پرتابﻰ چﻪ مسﻴرى را در فضا‬ ‫طﻰ مﻰکنند ؟ جسم پرتاب شده و مسﻴرى کﻪ در فضا طﻰ مﻰکند‪ ،‬نمونﻪﻳﻰ از انواع مختلف‬ ‫حرکت است کﻪ ﻫر انسان از آغاز کودکﻰ‪ ،‬در عمل با آن سرو کار دارد‪.‬‬ ‫حرکت پرتابﻰ نوعﻰ از حرکت دو بعدى است‪ .‬براى مطالعﻪ و تحلﻴل حرکتﻫاى دو بعدى در‬ ‫مرحلﺔ اول باﻳد سﻪ فرض زﻳر را در نظر بگﻴرﻳم ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬شتاب جاذبﻪﻳﻰ (‪ ،)g‬در محدودة حرکت جسم ثابت و جﻬتش بﻪ طرف پاﻳﻴن است‪.‬‬ ‫‪ - 2‬از تأثﻴر مقاومت ﻫوا مﻰتوان صرف نظر کرد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬چرخش زمﻴن بر روى اﻳن حرکت تأثﻴرى ندارد‪.‬‬ ‫ﻳکﻰ از اصطﻼحاتﻰ کﻪ در حرکتﻫاى پرتابﻰ با آن زﻳاد سروکار دارﻳم‪ ،‬عبارت از جسم پرتاب‬ ‫شده است‪ .‬جسم پرتاب شده‪ ،‬جسمﻰ است کﻪ در آغاز با سرعت اولﻴﺔ پرتاب و ﻳا بر اثر‬ ‫ضربﻪ در جﻬتﻰ بﻪ حرکت درآﻳد و سپس تحت تأثﻴر قوة جاذبﻪ‪ ،‬حرکت شتابدار (حد اقل‬ ‫در امتداد ﻳکﻰ از محورﻫاى کمﻴات وضعﻴﻪ) داشتﻪ باشد‪ .‬مرمﻰکﻪ از تفنگ خارج مﻰشود‪،‬‬ ‫سنگﻰ کﻪ با ﻳک زاوﻳﻪ پرتاب مﻰشود‪ ،‬جرﻳان آبﻰ کﻪ از سوراخﻰ فوران مﻰکند‪ ،‬ﻫمﻪگﻰ‬ ‫مثالﻫاﻳﻰ از حرکت پرتابﻰ ﻫستند کﻪ مسﻴر پارابول شکل را در فضامﻰپﻴماﻳند‪ .‬سپس‬ ‫خواﻫﻴم دﻳد کﻪ اثبات اﻳن مسئلﻪ کﻪ مسﻴر حرکتﻫاى پرتابﻰ‪ ،‬پارابول است از طرﻳق رﻳاضﻰ‪،‬‬ ‫ساده مﻰباشد‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫پرتاب افقﻰ‬ ‫چﻰ فکر مﻰکنﻴد کﻪ اگر جسمﻰرا از باﻻى بر جﻰ در امتداد افقﻰ با سرعت اولﻴﺔ ‪ v0‬پرتاب‬ ‫کنﻴم‪ ،‬چﻪ اتفاقﻰ خواﻫد افتاد؟ مسﻴرى را کﻪ جسم پرتاب شده طﻰ مﻰکند‪ ،‬چگونﻪ مسﻴرى‬ ‫خواﻫد بود؟ جسمﻰرا از مبدا سﻴستم مختصات قاﻳم ( ‪ ) y,x‬با سرعت اولﻴﺔ ‪ v0‬بﻪ صورت‬ ‫موازى بﻪ محور ‪ x‬مانند شکل زﻳر پرتاب مﻰکنﻴم‪ .‬دﻳده مﻰشود کﻪ جسم پرتاب شده بﻪ‬ ‫حرکت خود بﻪ صورت افقﻰ ادامﻪ نداده بلکﻪ آﻫستﻪ آﻫستﻪ بﻪ طرف پاﻳﻴن کشانﻴده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫ﻳعنﻰ جسم پرتاب شده‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬

‫شکل )‪(3-5‬‬

‫‪p vx‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪vy‬‬

‫‪y‬‬

‫لحظﻪ بﻪ لحظﻪ توسط تعجﻴل جاذبﺔ زمﻴن بﻪ طرف پاﻳﻴن کشانده مﻰشود و باﻵخره بﻪ‬ ‫زمﻴن تصادم مﻰکند‪ .‬در اﻳن نوع حرکت مﻰتوان سرعت جسم پرتاب شده را از ترکﻴب‬ ‫دو وکتور(مرکبﻪﻫاى سرعت) ‪ vx‬و ‪ v y‬مورد مطالعﻪ قرار داد‪ .‬چون جسم پرتاب شده حرکت‬ ‫مستقﻴم الخط منظم را بﻪ امتداد محور‪ x‬با سرعت اولﻰ ‪ v0‬انجام مﻰدﻫد و بﻪ امتداد محور ‪y‬‬ ‫تحت تأثﻴر قوة جاذبﺔ زمﻴن مﻰباشد‪ ،‬بنابرآن معادﻻت حرکت جسم پرتاب شده بﻪ جﻬتﻫاى‬ ‫محور‪ y، x‬عبارت اند از‪:‬‬ ‫)‪x = v0t. . . . . .(3 19‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫)‪gt . . . .(3 20‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪y‬‬

‫اگر قﻴمت ‪ t‬را از رابطﺔ )‪ (3-19‬در ﻳا فت نموده و در رابطﺔ )‪ (3-20‬و ضع کنﻴم‪ ،‬مﻰﻳابﻴم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫کﻪ‪:‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪g.‬‬ ‫) ‪.......... ( 2 21‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪v‬‬

‫‪2‬‬

‫چون ‪ 2vg‬ﻳک کمﻴت ثابت است‪ ،‬آن را بﻪ ‪ c‬نشان داده‪ ،‬را بطﺔ )‪ (3-21‬شکل زﻳر را بﻪخود‬ ‫مﻰگﻴرد‪:‬‬ ‫) ‪y = cx 2 .......... (3 22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫از معادلﺔ )‪ (3-22‬نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ مسﻴر حرکت جسم پرتاب شده بﻪ صورت افقﻰ عبارت‬ ‫از ﻳک پارا بول است‪ .‬از رابطﺔ )‪ (3-20‬معلوم مﻰشود کﻪ در پرتاب افقﻰ وقتﻰ را کﻪ جسم‬ ‫پرتاب شده در طﻰ نمودن فاصلﺔ ‪ y‬بﻪ طرف پاﻳﻴن در بر مﻰگﻴرد‪ ،‬برابر است بﻪ وقتﻰ کﻪ‬ ‫جسم مذکور بﻪ طور آزاد سقوط نماﻳد و ﻫمان فاصلﺔ‪ y‬را عمودا ً طﻰ کند‪.‬‬

‫‪82‬‬

‫‪ :3-4‬پرتاب ﻣاﻳل‬ ‫پرتاب ماﻳل چگونﻪ پرتابﻰ است؟ چﻪ تفاوتﻰ بﻴن پرتاب افقﻰ و پرتاب ماﻳل وجود دارد؟‬ ‫در بخش ‪ ،3-3‬پرتاب در امتداد اُفق مورد بحث واقع شد‪ .‬در حالت پرتاب افقﻰ‪ ،‬زاوﻳﻪﻳﻰ را کﻪ‬ ‫وکتور سرعت اولﻴﻪ با جﻬت مثبت محور ‪ x‬تشکﻴل مﻰداد صفر )‪ ( = 0‬بود‪ .‬ولﻰ در حالت‬ ‫پرتاب ماﻳل زاوﻳﺔ پرتاب خﻼف صفر مﻰباشد )‪. ( 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫در پرتاب ماﻳل وکتور ‪ v0‬را روى دو محور‪x‬و ‪y‬‬ ‫بﻪ مرکبﻪﻫاى آن تجزﻳﻪ مﻰکنﻴم‪ .‬براى مطالعﺔ‬ ‫دقﻴق اﻳن حرکت‪ ،‬سﻴستم مختصات کمﻴات‬ ‫‪(T‬نقطﺔ اوج)‬ ‫وضﻴعﻪ را مطابق شکل )‪ (3-6‬در نظر مﻰگﻴرﻳم‬ ‫‪v‬‬ ‫کﻪ مبداء آن‪ ،‬محل اولﻴﺔ پرتاب‪ ،‬محور ‪ x‬آن در‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪H‬‬ ‫جﻬت افقﻰ و محور ‪ y‬آن در جﻬت قاﻳم و بﻪ‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫طرف باﻻ باشد‪ .‬با اﻳن انتخاب محورﻫا‪ ،‬چون‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o v‬‬ ‫‪R‬‬ ‫نقطﺔ پرتاب‬ ‫شتاب در جﻬت محور ‪ y‬برابر با (‪ )-g‬و در جﻬت‬ ‫بُرد مسافﻪ‬ ‫محور ‪ x‬صفر است‪ ،‬پس مﻰتوانﻴم بنوسﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫)‪ a y = g KKK (3 23‬شکل )‪(3-6‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪0x‬‬

‫)‪a x = 0 KKKK (3 24‬‬

‫جسم پرتاب شده در مبدا زمان ‪ t = 0‬از مبدا مختصات با سرعت اولﻴﺔ ‪ v0‬تحت زاوﻳﺔ نسبت‬ ‫بﻪ افق پرتاب مﻰشود‪ .‬دراﻳن صورت مؤلفﻪﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬سرعت اولﻴﻪ عبارت انداز‪:‬‬ ‫)‪KKKK (3 25‬‬

‫‪v0 y = v0 sin‬‬

‫)‪v0 x = v0 cos KKKK (3 26‬‬

‫‪ a x = 0‬است‪ ،‬ﻳعنﻰ حرکت در جﻬت افقﻰ‪ x‬با سرعت ثابت ˆ ‪ v0 cos‬انجام مﻰشود‪.‬‬ ‫بنابراﻳن معادلﻪﻫاى حرکت و سرعت جسم پرتاب شده در جﻬت محور ‪ x‬بﻪ صورت زﻳر‬ ‫خواﻫد بود‪:‬‬ ‫)‪x = (v0 cos ) t KKKKKK (3 27‬‬

‫)‪= cons tan t KKKK (3 28‬‬

‫‪v x = v0 cos‬‬

‫ﻫمانطورىکﻪ گفتﻪ شد حرکت در جﻬت قاﻳم ‪ ،y‬ﻳک حرکت با شتاب ثابت (‪ )-g‬است‪ .‬و‬ ‫با استفاده از رابطﻪﻫاى سقوط آزاد اجسام‪ ،‬معادلﻪﻫاى حرکت جسم پرتاب شده در جﻬت ‪y‬‬ ‫نﻴز بﻪ صورت زﻳر خواﻫد بود‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫) ‪gt + (v0 sin )t KKKK (3 29‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪v y = gt + v0 sin KKKKK (3 30‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪83‬‬

‫چﻬار معادلﺔ )‪ (3-27‬تا )‪ ،(3-30‬معادلﻪﻫاى حرکت وسرعت بﻪ استقامت محورﻫاى ‪ x‬و ‪y‬‬ ‫جسم پرتاب شده را در ﻫر لحظﺔ ‪ t‬بر روى محورﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬نشان مﻰدﻫند‪.‬‬ ‫اگر در معادلﻪﻫاى حرکت روى محورﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬در حرکت دو بعدى‪ ،‬زمان‪ t‬حذف شود‪،‬‬ ‫معادلﺔ مسﻴرحرکت بﻪدست مﻰآﻳد‪ .‬با استفاده از اﻳن روش‪ ،‬معادلﺔ مسﻴر حرکت پرتابﻰ بر‬ ‫روى صفحﺔ ‪ xoy‬چنﻴن بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫قﻴمت ‪ t‬را از رابطﺔ )‪ (3-27‬گرفتﻪ و بﻪ رابطﺔ )‪ (3-29‬وضع مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v0 cos‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪v0 cos‬‬

‫(‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫‪) 2 + v0 sin‬‬ ‫‪2 v0 cos‬‬

‫)‪+ x tan KKK (3 31‬‬

‫=‪t‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪gx 2‬‬ ‫‪2v02 cos 2‬‬

‫= ‪ y‬وﻳا ‪x 2‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2v0 cos 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y = tg‬‬

‫معادلﺔ )‪ (3-31‬نشان مﻰدﻫد کﻪ مسﻴر حرکت پرتابﻰ‪ ،‬عبارت از پارابول مﻰباشد‪( .‬چرا؟)‪.‬‬ ‫فاصلﺔ افقﻰ را کﻪ جسم پرتاب شده طﻰ مﻰکند تا دو باره بﻪ ارتفاع اولﻴﺔ پرتاب )‪( y = 0‬‬ ‫برگردد‪ ،‬رنج (‪ )Rang‬جسم پرتاب شونده مﻰنامند و آن را با حرف ‪ R‬نماﻳش مﻰدﻫند‪.‬‬ ‫مختصﻪﻫاى نقطﺔ بر گشت بﻪ ارتفاع اولﻴﻪ با توجﻪ بﻪ شکل‪ ،‬بﻪ صورت‬ ‫نمودن اﻳن قﻴمتﻫا در رابطﺔ )‪ (3-31‬مﻰتوانﻴم بنوسﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪= R tan‬‬

‫‪g ( R) 2‬‬ ‫‪2v02 cos 2‬‬

‫‪g ( R) 2‬‬ ‫‪+ ( R ) tan‬‬ ‫‪2v02 cos 2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪cos‬‬

‫چون‪:‬‬ ‫پس‪:‬‬

‫=‪0‬‬

‫‪2v02 . cos 2‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪.‬‬

‫‪v02 2 sin cos‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪sin 2 = 2 sin cos‬‬

‫‪v02 sin 2‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫)‪.......(3 32‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪84‬‬

‫‪X =R‬‬ ‫‪Y =0‬‬

‫است‪ .‬با وضع‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫رابطﺔ )‪ (3-31‬را با معادلﺔ ‪ f ( x) = ax + bx + c‬مقاﻳســﻪ نموده و در مورد مسﻴر حرکت آنﻫا با‬ ‫ﻫم مناقشﻪ کنﻴد و نتﻴجﻪ را در صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬نقالﻪ‪ ،‬خط کش ﻳا متر‪ ،‬تفنگچﺔ بازى اطفال‪ ،‬گلولﻪﻫاى پﻼستﻴکﻰ‪ ،‬مﻴز‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫ﻃرزالعﻤل‪ :‬شــاگردان بﻪ سﻪ گروه تقسﻴم شوند‪ .‬گروپ اول از نقطﺔ (‪ )o‬تحت زاوﻳﺔ ‪ ، 25‬گروه دوم‬ ‫از نقطﺔ (‪ ،)o‬تحت زاوﻳﺔ ‪ 45o‬و گروپ ســوم از نقطﺔ(‪)o‬تحــت زاوﻳﺔ ‪ 65o‬فﻴر نماﻳند‪ .‬زمانﻰکﻪ گلولﻪ بﻪ‬ ‫زمﻴن اصابت نمود‪ .‬فاصلﻪ بﻴن نقطﺔ فﻴر (‪ )o‬و نقطﺔ اصابت ) ‪ ( xmax‬را توسط خط کش و ﻳا متر ﻳاداشت‬ ‫نماﻳند و ســپس نماﻳندة ﻫر گروه نتﻴجﺔ کار خود را با دﻳگران مقاﻳســﻪ و نتﻴجﺔ کلﻰ را در حضور معلم‬ ‫در صنف گزارش دﻫد‪.‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫جسم پرتاب شونده‪ ،‬تحت چﻪ زاوﻳﻪﻳﻰ پرتاپ شود تارنج ( فاصلﺔ افقﻰ) اعظمﻰ را طﻰکند؟‬ ‫نقطﺔ اوج (ارتفاع اعظمﻰ) در حرکت پرتابﻰ‪ ،‬باﻻ ترﻳن نقطﻪﻳﻰ اســت کﻪ جســم پرتاپ شــونده بﻪ آن‬ ‫مﻰرسد‪ .‬در شکل )‪ ،(3-7‬ارتفاع نقطﺔ اوج با ‪ H‬نشان داده شده است‪.‬‬ ‫سرعت در جﻬت محور ‪ y‬در نقطﺔ اوج صفر است‪ (،‬چرا؟)‬

‫از رابطﺔ )‪ (3-30‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪o = gt + v0 sin‬‬ ‫‪v sin‬‬ ‫‪t= 0‬‬ ‫)‪........(3 33‬‬ ‫‪g‬‬

‫با استفاده از اﻳن فورمول مﻰتوانﻴم زمان رسﻴدن جسم پرتاپ شده را بﻪ نقطﺔ اوج بﻪدست‬ ‫آورﻳم‪ .‬با قرار دادن اﻳن زمان (‪ )t‬در معادلﺔ (‪ )3-29‬ارتفاع نقطﺔ اوج بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪v sin‬‬ ‫‪1 v0 sin 2‬‬ ‫(‪g‬‬ ‫‪) + (v0 sin ) ( 0‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪+ 2v02 sin 2‬‬ ‫‪2g‬‬ ‫)‪........(3 34‬‬

‫‪85‬‬

‫‪v02 sin 2‬‬ ‫‪v02 sin 2‬‬ ‫‪2g‬‬

‫=‪H‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫=‪H‬‬

‫ﻣثال‪ :‬ﻳک بازﻳکن فوتبال‪ ،‬توپﻰ را تحت ‪ 37o‬زاوﻳﺔ‬ ‫نسبت بﻪ افق با سرعت اولﻴﺔ ‪ ، 10 m s‬شوت مﻰکند‪.‬‬ ‫با فرض اﻳنکﻪ توپ در صفحﺔ ‪ xoy‬حرکت کند و‬ ‫مقاومت ﻫوا نا چﻴز باشد‪:‬‬ ‫‪ )a‬زمان رسﻴدن توپ بﻪ نقطﺔ اوج را بﻪدست‬ ‫آورﻳد؟‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ )b‬پس از چﻪ زمانﻰ توپ بﻪ زمﻴن بر مﻰ گردد؟‬ ‫( ‪. (sin 37o = 0.6‬‬ ‫حل‪ :‬الف) در نقطﺔ اوج مسﻴر دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪v0‬‬ ‫‪37o‬‬ ‫نقطﺔ سقوط‬

‫شکل )‪(3-7‬‬

‫‪o‬‬

‫نقطﺔ پرتاب‬

‫ˆ ‪v y = gt + v0 sin‬‬ ‫‪0.6 s‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9 .8‬‬

‫=‪t‬‬

‫‪0 = 9.8t + 10 × 0.6‬‬

‫‪ )b‬در باز گشت بﻪ زمﻴن ‪ y = 0‬است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪4.9t 2 + 6 = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4.9‬‬ ‫‪t 2 = 1.2 s‬‬

‫= ‪t2‬‬

‫‪4.9t 2 = 6‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪gt (v0 sin )t‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪0 = 4.9t 2 + (10 × 0.6)t‬‬

‫‪t1 = 0 , t 2 = 1.2244‬‬

‫‪t ( 4.9t + 6) = 0‬‬

‫کﻪ در آن ‪ t1 = 0‬مربوط بﻪ لحظﺔ پرتاپ توپ و ‪ t = 1.2s‬مربوط بﻪ لحظﺔ بر خورد توپ بﻪ‬ ‫زمﻴن (زمان کل حرکت) است‪.‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫در حرکت پرتابﻰ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬دورترﻳن فاصلﺔ جسم پرتاب شده از رابطﺔ __________ بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬زمان رسﻴدن جسم پرتاب شده بﻪ نقطﺔ اوج از را بطﺔ___________ بﻪدست‬ ‫مﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫‪ :3-5‬حرکت داﻳرهﻳﻰ‬ ‫حرکت داﻳرهﻳﻰ چﻴست؟ حرکتﻫاى داﻳرهﻳﻰ چﻪ کاربردﻫاﻳﻰ در زندهگﻰ روزمره دارند؟ آﻳا‬ ‫گاﻫﻰ شما گازکﻫاى بازى اطفال و فﻼخن را مشاﻫده کردهاﻳد کﻪ چﻪ نوع حرکتﻫاﻳﻰ را‬ ‫انجام مﻰدﻫند؟ حرکت ﻳک جسم در مسﻴر داﻳرهﻳﻰ‪ ،‬نمونﺔ دﻳگرى از حرکت در دو بعد (سطح)‬ ‫است‪ .‬نمونﻪﻫاى بسﻴارى از اﻳن حرکتﻫا را ﻫر روزه مشاﻫده مﻰکنﻴم‪ .‬مسﻴر حرکت ماه بﻪ‬ ‫دور زمﻴن‪ ،‬حرکت الکترون بﻪ دور ﻫستﻪ‪ ،‬و مسﻴر حرکت بعضﻰ از ماﻫوارهﻫا بﻪ دور زمﻴن‪،‬‬ ‫نسبتاً از نوع حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻫستند‪ .‬در بعضﻰ از وساﻳل خانﻪگﻰ؛ مانند‪ :‬ماشﻴن کاﻻشوﻳﻰ‪،‬‬ ‫ماشﻴن آبمﻴوه کشﻰ و‪ ،...‬اجسام در داخل آنﻫا در مسﻴر داﻳرهﻳﻰ حرکت مﻰکنند‪ .‬در‬ ‫تصوﻳرﻫاى زﻳر‪ ،‬نمونﻪﻫاﻳﻰ از حرکت اجسام برمسﻴر داﻳرهﻳﻰ را مشاﻫده مﻰکنﻴد‪.‬‬

‫الف‬

‫شکلﻫاى )‪(3-8‬‬

‫ج‬

‫‪87‬‬

‫ب‬

‫‪y‬‬

‫سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ‬ ‫ذرهﻳﻰ را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ‬ ‫در جﻬت عکس عقربﺔ ساعت مانند شکل زﻳر‬ ‫در حرکت است‪ .‬در اﻳنجا منظور از ذره‪ ،‬جسم‬ ‫کوچکﻰ است کﻪ ابعاد آن بﻪ مقاﻳسﺔ شعاع داﻳره‬ ‫‪x‬‬ ‫ناچﻴزاست‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪o‬‬

‫شکل )‪(3-9‬‬

‫موقعﻴت ذره را روى داﻳره در ﻫر لحظﻪ مﻰتوان با زاوﻳﺔ نسبت بﻪ محور‪ ox‬نماﻳش داد‪.‬‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ ذره در نقطﺔ ‪ A‬قرار دارد موقعﻴت آن را با زاوﻳﺔ ‪ 1‬و ﻫنگامﻰکﻪ در نقطﺔ ‪ B‬قرار‬ ‫دارد‪ ،‬موقعﻴت آن را با زاوﻳﺔ ‪ 2‬نشان مﻰدﻫﻴم‪ ،‬و ‪ ˆ = ˆ2 ˆ1‬را تغﻴﻴر موقعﻴت (فاصلﺔ‬ ‫طﻰ شده) زاوﻳﻪﻳﻰ ذره مﻰنامﻴم‪ .‬طبﻴعﻰ است کﻪ سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط ذره در حرکت‬ ‫داﻳرهﻳﻰ بﻪ صورت نسبت تغﻴﻴر موقعﻴت زاوﻳﻪﻳﻰ بر زمان آن تعرﻳف مﻰشود‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫) ‪.......... .(3 35‬‬

‫‪t‬‬

‫=‬

‫واحد اندازهگﻴرى سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ‪ ،‬رادﻳان بر ثانﻴﻪ ‪ rad‬است‪.‬‬ ‫‪sec‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫در مورد حرکت زمﻴن بﻪ دور خورشــﻴد در گروهﻫاى مختلف تحقﻴق کنﻴد و ســرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط زمﻴن بﻪ دور‬ ‫خورشﻴد را محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪88‬‬

‫سؤال‬ ‫‪ )a‬از حرکت داﻳرهﻳﻰ در حﻴات روزمره چﻪ استفاده اى صورت مﻰگﻴرد ؟‬ ‫‪ )b‬چند و سﻴلﺔ را کﻪ اجزاى داخلﻰ آنﻫا داراى حرکت داﻳرهﻳﻰ باشد‪ ،‬نام ببرﻳد‪.‬‬

‫سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ لحﻈﻪﻳﻰ‬

‫سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ لحظﻪﻳﻰ را مانند آنچﻪ در مورد تعرﻳف سرعت لحظﻪﻳﻰ در درس )‪(2-3‬‬ ‫خواندﻳم‪ .‬تعرﻳف مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪= lim‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬

‫وﻳا‬

‫‪t‬‬

‫=‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫موقعﻴت زاوﻳﻪﻳﻰ ذرهاى کﻪ روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ حرکت مﻰکند با رابطﺔ ‪ = 2t + 6t‬داده‬ ‫شده است‪ t ( .‬بر حسب ثانﻴﻪ و بر حسب رادﻳان)‬ ‫الف) سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط متحرک را در بﻴن لحظﻪﻫاى ‪ t1 = 1s‬و ‪ t 2 = 2s‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫ب) سرعت لحظﻪﻳﻰ متحرک را در لحظﺔ ‪ t3 = 3s‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫جﻬت درک بﻬتر رابطﺔ سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط و سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ لحظﻪﻳﻰ چند مثال طرح کرده و با‬ ‫ﻫمصنفان خود بحث و گفتگو کنﻴد و نتﻴجﻪ را بﻪ حضور معلم در صنف توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪ :3-6‬حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکﻧﻮاخت‬ ‫ﻫرگاه سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ ذرهاى کﻪ برروى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ در حرکت است‪ ،‬ثابت باقﻰ بماند‪،‬‬ ‫مﻰگوﻳﻴم کﻪ ذره حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت دارد‪ .‬در چنﻴن حرکتﻰ‪ ،‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط‬ ‫در ﻫر وقفﺔ زمانﻰ با سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ لحظﻪﻳﻰ ذره برابر است‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t 0‬‬

‫و ﻳا‬ ‫) ‪36‬‬

‫‪.......... .( 3‬‬

‫‪89‬‬

‫‪0‬‬

‫=‬

‫‪t+‬‬

‫=‬

‫=‬

‫براى بررسﻰ حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت‪ ،‬در مرحلﺔ اول باﻳدکمﻴتﻫاى ذﻳل را تعرﻳف‬ ‫کنﻴم‪:‬‬ ‫پرﻳﻮد‪ :‬مدت زمانﻰ کﻪ ذره بر روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ ﻳک دور مکمل را طﻰ مﻰکند‪ ،‬پرﻳود‬ ‫نامﻴده مﻰشود‪ .‬پرﻳود را با حرف ‪ T‬نماﻳش مﻰدﻫند و واحد اندازهگﻴرى آن ثانﻴﻪ است‪.‬‬ ‫فرﻳکﻮﻧسﻰ‪ :‬تعداد دورﻫاى ذره را درﻳک ثانﻴﻪ فرﻳکونسﻰ مﻰگوﻳند‪ .‬فرﻳکونسﻰ را با حرف‬ ‫ﻻتﻴن نﻴو ) ( نماﻳش مﻰدﻫند‪ .‬واحد اندازهگﻴرى فرﻳکونسﻰ ‪ 1‬و ﻳا ﻫرتز‪ HZ‬است‪.‬‬ ‫) ‪37‬‬

‫‪.......... (3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪s‬‬

‫= ‪T‬‬

‫چون ذره در ﻫر دور‪ 2 ،‬رادﻳان را طﻰ مﻰکند‪ .‬بنابر اﻳن سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ آن برابر است با‪:‬‬ ‫) ‪.......... ..( 3 38‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=2‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬

‫=‬

‫فعالﻴت‬ ‫درگروهﻫاى خود پرﻳود و فرﻳکونسﻰ را با ﻫم مقاﻳسﻪ نماﻳﻴد و جدولﻰ زﻳر را تکمﻴل کنﻴد‪.‬‬ ‫پرﻳﻮد‬

‫ﻣتحرک‬ ‫‪17‬‬

‫الکترون بﻪ دور اتومﻫاﻳدروجن‬

‫زمﻴن بﻪ دور محورش‬ ‫مﻬتاب بﻪ دور زمﻴن‬ ‫زمﻴن بﻪ دور آفتاب‬

‫‪ 1017 Hz‬دور فﻰ ثانﻴﻪ‬

‫‪ 10‬ثانﻴﻪ‬

‫‪0.33‬‬

‫توربﻴن آب براى تولﻴد برق‬

‫فرﻳکﻮﻧسﻰ‬

‫‪3.03Hz‬‬

‫ثانﻴﻪ‬

‫‪ 86400 s‬ثانﻴﻪ‬

‫‪1.157 × 10 5 Hz‬دور فﻰ ثانﻴﻪ‬

‫‪ 29.7 = 2566080 s‬روز ‪3.897 ×10 7 Hz‬‬ ‫‪31536000 s‬‬

‫‪3.17 × 10 8 Hz‬دور فﻰ روز‬

‫سرعت خطﻰ در حرکت داﻳرهﻳﻰ‬ ‫از اﻳن پﻴش دﻳدﻳد کﻪ موقعﻴت متحرک را در سطح‪ ،‬وکتور مکان مﻰتوان مشخص کرد‪،‬‬ ‫شکل )‪ .(3-2‬اگر وکتور مکان ذره در لحظﺔ ‪ r 1 , t1‬و درلحظﺔ ‪ r , t‬باشد‪ ،‬تغﻴﻴر موقعﻴت ذره‬ ‫در لحظﺔ زمان ‪ ، t = t2 t1‬برابر بﻪ ‪ r = r2 r1‬خواﻫد بود‪ .‬ذره در اﻳن لحظﺔ زمان‪ ،‬قوس‬ ‫‪ s‬را مﻰپﻴماﻳد‪ .‬اگر لحظﺔ زمان بسﻴار کوچک باشد‪ ،‬قوس‪ ∆s‬کوچک مﻰشود و مﻰتوان‬ ‫طول قوس ‪ s‬را تقرﻳباً با طول وتر مقابل آن ﻳعنﻰ ) ‪ ( r‬برابر گرفت‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪2‬‬

‫‪r‬‬ ‫ﻫمچنان از اﻳن پﻴش دﻳدﻳم کﻪ سرعت متوسط متحرک را مﻰتوان از را بطﺔ )‪K (3 32‬‬ ‫‪t‬‬ ‫بﻪدست آورد و اندازة سرعت لحظﻪﻳﻰ نﻴزبا رابطﺔ زﻳرتعرﻳف مﻰشود‪:‬‬

‫=‪v‬‬

‫‪r‬‬

‫و از آن جاﻳﻰ کﻪ در حالت لﻴمت‪،‬‬

‫‪t‬‬

‫‪r = s‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫انتخاب شده مﻰتواند‪ ،‬پس دارﻳم‪:‬‬

‫‪s ds‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt‬‬

‫) ‪. . . . . . . . . .( 3 39‬‬

‫‪v = lim‬‬

‫‪= lim‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫‪v‬‬

‫در رﻳاضﻰ خوانده اﻳد کﻪ زاوﻳﺔ بر حسب رادﻳان برابر است با نسبت طول قوس مقابل آن‬ ‫‪s‬‬ ‫=‬ ‫زاوﻳﻪ بر شعاع داﻳره‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫) ‪s = r .......... .( 3 40‬‬ ‫‪r‬‬ ‫و ﻳا‬ ‫بنا بر اﻳن با وضع نمودن قﻴمت ‪ ، s‬را بطﺔ )‪ (3-39‬را مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫) ‪d (r‬‬ ‫‪dt‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬

‫‪v = lim r‬‬

‫)‪..........(3 41‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪v=r‬‬ ‫‪v=r‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫اســتفاده کننده گان ســرعت خطﻰ در حرکت داﻳرهﻳﻰ چﻪ کسانﻰ اند و از آن در کدام موارد استفاده مﻰکنند‪ :‬در‬ ‫اﻳن باره در گروهﻫاى خود بحث نموده براى ﻫم صنفان خود گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬ﻳک چرخ بازى اطفال‪ ،‬افراد را در ﻳک سطح افقﻰ و در مسﻴر داﻳرهﻳﻰ مﻰگرداند‪،‬‬ ‫طورى کﻪ ﻫر فرد حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت دارد‪ .‬اگر دوران کننده درﻫر ‪ 10‬ثانﻴﻪ ﻳک دور‬ ‫بزند و شعاع چرخش براى ﻫر نفر ‪ 5‬متر باشد‪ ،‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ و خطﻰ ﻫر شخص را در اﻳن‬ ‫دوران کننده محاسبﻪ مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬زمان دورة چرخش ‪ T = 10s‬است‪ .‬پس سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ برابراست با‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= rad‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫و سرعت خطﻰ آن نﻴز برابر خواﻫد بودبا‪:‬‬

‫=‬

‫‪= 3.14 m s‬‬

‫‪91‬‬

‫‪T = 10 s‬‬

‫‪5‬‬

‫‪v=r =5‬‬

‫‪r = 5m‬‬ ‫?=‬ ‫?=‪v‬‬

‫سؤال‬ ‫‪ - 1‬طول عقربﻪﻫاى ساعت‪ ،‬دقﻴقﻪ و ثانﻴﻪ گرد ﻳک ساعت دﻳوارى بﻪ ترتﻴب ‪ 10cm , 8cm‬و ‪ 12cm‬است‪.‬‬ ‫سرعت خطﻰ نوک ﻫر ﻳک از عقربﻪﻫاى اﻳن ساعت را سنجش کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬متحرکﻰ روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ شکل در مدت‪ 4‬دقﻴقﻪ ‪ 600‬دور مﻰزند‪ .‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ‪ ،‬پرﻳود و‬ ‫فرﻳکونسﻰ متحرک را حساب کنﻴد‪.‬‬

‫فکر کﻨﻴد‬ ‫سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ حرکت وضعﻰ زمﻴن‪ ،‬در تمام نقاط زمﻴن ﻳکسان است ﻳا خﻴر؟(چرا؟)‬

‫ﻣثال‪ :‬شﻬر فﻴض آباد در مدار جغرافﻴاﻳﻰ ‪ 30°‬شمالﻰ قرار دارد‪ .‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ و سرعت‬ ‫خطﻰ شخص را کﻪ در اﻳن شﻬر زندهگﻰ مﻰکند‪ ،‬حساب کنﻴد و شعاع زمﻴن را ﻫم‬ ‫‪ Re = 6.4 10 6 m‬در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با توجﻪ بﻪ اﻳن کﻪ مدت دورة مکمل چرخش زمﻴن بﻪ دور خودش‪ 24 ،‬ساعت است‪،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫مﻰتوانﻴم سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ ﻫر نقطﺔ روى زمﻴن را محاسبﻪ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T = 24 60 60 = 86400 s‬‬

‫فﻴض آباد‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 7.27 10 5 rsd‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪86400‬‬

‫=‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪30o‬‬ ‫‪Re‬‬

‫‪o‬‬

‫شکل )‪(3-10‬‬

‫فاصلﺔ فﻴض آباد از محور چرخش زمﻴن‪ ،‬با توجﻪ بﻪ شکل )‪ ،)3-10‬برابر است با‪:‬‬ ‫‪cos 30° = 3‬‬

‫‪r = Re cos 30°‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪= 5.53 ×10 6 m‬‬ ‫‪2‬‬

‫× ‪r = 6.4 ×10 6‬‬

‫‪2‬‬

‫وسرعت خطﻰ شخص در فﻴض آباد برابر است با‪:‬‬

‫‪s‬‬

‫‪= 402 .03 m‬‬

‫‪5‬‬

‫‪= 5.53 × 10 6 × 7.27 × 10‬‬

‫‪92‬‬

‫‪v=r‬‬

‫‪ :3-7‬شتاب در حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکﻧﻮاخت‬ ‫ذرهﻳﻰ را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ داراى حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت است‪ ،‬شکل )‪ .(3-11-a‬از‬ ‫اﻳن پﻴش دﻳدﻳم کﻪ وکتور سرعت در ﻫر لحظﻪ مماس برمسﻴر داﻳره است‪ .‬اگر مکان ذره در‬ ‫لحظﺔ ‪ r1 , t1‬و در لحظﺔ ‪ r2 , t 2‬باشد وکتورﻫاى سرعت متحرک در اﻳن نقاط بﻪ ترتﻴب بر ‪r1‬‬ ‫‪ r1‬و ‪r2‬عمود اند‪ .‬وکتور ‪ v = v2 v1‬در شکل )‪ (3-11-b‬رسم شده و دﻳده مﻰشود‪ .‬با وجود‬ ‫اﻳن کﻪاندازة وکتور سرعت ثابت است‪ ،‬اما بﻪ علت تغﻴﻴر جﻬت وکتور سرعت ‪ v 0‬شتاب‬ ‫بﻪدست آورد‪.‬‬ ‫متوسط حرکت در اﻳن حالت را مﻰتوان با استفاده از رابطﺔ ‪v‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫنگامﻰکﻪ ‪ t‬بﻪ طرف صفر تقرب مﻰکند‪ ،‬شتاب حرکت از رابطﺔ زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫)‪............(3 42‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪.......... ..(3 43‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪a=r‬‬

‫‪r1‬‬

‫شکل )‪(3-11‬‬

‫‪V1‬‬

‫‪r2‬‬

‫‪v‬‬

‫‪V1‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪V2‬‬ ‫‪V2‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫اﻳن شتاب را شتاب جذب بﻪ مرکز (‪ )Centripetal Acceleration‬مﻰگوﻳند کﻪ جﻬت‬ ‫اﻳن شتاب بﻪ استقامت شعاع و متوجﻪ مرکز داﻳره مﻰباشد‪.‬‬ ‫ً‬ ‫ﻣثال‪ :‬مﻬتاب تقرﻳباً در مدت ‪ 29.7‬روز‪ ،‬ﻳک بار در مسﻴر تقرﻳبا داﻳرهﻳﻰ بﻪ طور ﻳکنواخت‬ ‫بﻪ دور زمﻴن مﻰگردد‪ .‬شتاب جذب بﻪ مرکز مﻬتاب را بﻪدست آورﻳد‪ .‬در صورتﻰکﻪ فاصلﻪ‬ ‫بﻴن مرکز زمﻴن و مﻬتاب ‪ r = 3.84 ×108 m‬باشد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ ،‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ مﻬتاب عبارت است از‪:‬‬ ‫حل‪ :‬با استفاده از رابطﺔ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪rad‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 × 3.14‬‬ ‫‪6.28rad‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0.0000024473 = 2.44 ×10‬‬ ‫‪29.7 × 24 × 3600 2566080 s‬‬ ‫‪T‬‬

‫=‬

‫بﻪ اﻳن ترتﻴب شتاب جذب بﻪ مرکز مﻬتاب برابر است با‪:‬‬ ‫‪rad‬‬ ‫‪s2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪rad 2‬‬ ‫‪) = 3.84 ×108 m × 5.9536 × 10‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪= 2.28 ×10 3 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪93‬‬

‫‪= 3.84 ×108 m × (2.44 ×10‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a=r‬‬

‫‪a = 22.861824 × 10‬‬

‫‪r2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫با اعضاى گروه خود سنگﻰ را با تار محکمﻰ وصل کنﻴد و در ﻳک سطح قاﻳم بﻪ دور دست خود بچرخانﻴد‬ ‫و در مورد عدم سقوط آن بﻪ زمﻴن با ﻫم بحث کنﻴد و نتﻴجﻪ را در صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬ ‫وقتﻰ کتلﺔ ‪ m‬با ســرعت ثابت روى ﻳک داﻳره حرکت مﻰکند‪ ،‬شــتاب پﻴدا مﻰکند کﻪ سمت آن متوجﻪ‬ ‫مرکز داﻳره است‪.‬‬

‫سؤال‬ ‫ در فعالﻴت باﻻ‪ ،‬اگر از سنگﻴنﻰ وزنﻪ و اثر مقاومت ﻫوا صرف نظر گردد‪ ،‬چﻪ پﻴش مﻰشود؟‬‫ ﻫنگام اجراى فعالﻴت‪ ،‬اگرتار ناگﻬان کنده شود‪ ،‬چﻪ حادثﻪ رخ حواﻫد داد؟‬‫ کرة زمﻴن در ﻫر ‪ 24‬ساعت ﻳک بار بﻪ دور محور خود مﻰچرخد‪ .‬سرعت خطﻰ و شتاب جذب بﻪ مرکز‬‫در کدام نقاط سطح زمﻴن بﻴشترﻳن مقدار را دارد؟ اگرشعاع کرة زمﻴن را ‪ 6400km‬در نظر بگﻴرﻳم‪،‬‬ ‫بﻴشترﻳن سرعت خطﻰ و شتاب جذب بﻪ مرکز را حساب کنﻴد‪.‬‬

‫دﻳﻨاﻣﻴک حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکﻧﻮاخت‬ ‫در بخش قبلﻰ دﻳدﻳم کﻪ در حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت‪ ،‬شتاب جسم در استقامت شعاع‬ ‫داﻳره و جﻬت آن بﻪ طرف مرکز است‪ .‬بنا بر قانون دوم نﻴوتن قوه و شتاب ﻫم جﻬت اند‪،‬‬ ‫بنابراﻳن درحرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت‪ ،‬محصلﺔ قوهﻫاى وارد بر جسم در استقامت شعاع‬ ‫و بﻪ طرف مرکز است کﻪ اﻳن قوة وارد بر جسم را در حرکت داﻳرهﻳﻰ قوة جذب بﻪ مرکز‬ ‫(‪ )centifugle force‬مﻰنامند‪ .‬با توجﻪ بﻪ رابطﻪﻫاى قانون دوم نﻴوتن‪ ،‬اﻳن قوه در حرکت‬ ‫داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت بر حسب سرعت خطﻰ بﻪ صورت ذﻳل در مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫)‪.............(3 44‬‬ ‫‪r‬‬ ‫و بر حسب سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ )‪F = mr 2 .............(3 45‬‬ ‫=‪F‬‬

‫در اﻳن را بطﻪ‪ F ،‬مقدار محصلﺔ قوهﻫاى وارد بر جسم در استقامت شعاع داﻳره است‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫فﻼخن را بﻪ دست خود بگﻴرﻳد و در بﻴن کاسﺔ فﻼخن‪ ،‬سنگ کوچکﻰ بﻪ کتلﺔ ‪ 4‬الﻰ ‪ 8‬گرامﻪ را بگذارﻳد‬ ‫و بﻪ دور دســت خود (درصحن مکتب ) دوران بدﻫﻴد‪ .‬ســپس در وقت دوران‪ ،‬ﻳک دســتﺔ فﻼخن را رﻫا‬ ‫ســازﻳد و با اعضاى گروه خود در مورد علت فرار نمودن ســنگ موصوف با ﻫم بحث و نتﻴجﻪ را بﻪ حضور‬ ‫معلم خود توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪94‬‬

‫ﻣثال‪ :‬مﻬرهﻳﻰ بﻪ کتلﺔ ‪ 20g‬را بﻪ نخﻰ مﻰبندﻳم و بﻪ انتﻬاى دﻳگر نخ‪ ،‬حلقﺔ کوچکﻰ وصل‬ ‫مﻰکنﻴم‪ .‬سپس حلقﻪ را مطابق شکل )‪ (3-12-a‬با مﻴخ کوتاﻫﻰ در وسط ﻳک مﻴز نصب‬ ‫مﻰکنﻴم‪( .‬از قوه اصطکاک مﻬره با مﻴز صرف نظر شده است)‪ .‬فاصلﺔ مﻬره از مﻴخ ‪25cm‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫باﻳک ضربﺔ کﻪ بﻪ مﻬره وارد مﻰکنﻴم آن را روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ بﻪ حرکت در مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫حال قوهﻫاى وارد بر مﻬره را با رسم ﻳک شکل مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫اگر مﻬره در ﻫر ثانﻴﻪ ﻳک دور بزند‪ ،‬اندازة قوة کشش نخ را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در شکل )‪(3-12-b‬قوة وزن وقوة عمودى بر تکﻴﻪگاه در جﻬت قاﻳم باﻻى جسم‬ ‫اثرمﻰکنند کﻪ محصلﺔ اﻳن دو قوه صفر است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪N mg = 0‬‬ ‫‪N = mg‬‬

‫‪N‬‬

‫‪T‬‬

‫‪mg‬‬

‫شکل )‪(3-12‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪2‬‬

‫تنﻬا قوة کشش نخ مﻰماند کﻪ در اﻳنجا ﻫمان قوة جذب بﻪ مرکز ﻳعنﻰ ‪ F = T = mv‬است‪.‬‬ ‫‪r‬‬

‫سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ برابر است با‪:‬‬ ‫و سرعت خطﻰ نﻴز برابر است‬ ‫قوه کشش نخ برابر است‬

‫‪s‬‬

‫‪= 2 rad‬‬

‫با‪s :‬‬

‫‪= 1.57 m‬‬

‫با‪0.2 N :‬‬

‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪v = r = 0.25 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪v2‬‬ ‫‪= 20 10‬‬ ‫‪r‬‬

‫سؤال‬ ‫در ﻫر ﻳک از موارد زﻳر قوة جذب را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 1‬در حرکت لباسﻫاﻳﻰ کﻪ درماشﻴن لباس شوﻳﻰ مﻰچرخند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬در گردش الکترون بﻪ دور ﻫستﻪ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬درگردش سﻴارهﻫا بﻪ دور آفتاب‪.‬‬

‫‪95‬‬

‫‪T =m‬‬

‫خﻼصﺔ فصل سﻮم‬ ‫ موقعﻴت جسم در حرکت دو بعدى با وکتور نماﻳش داده مﻰشود کﻪ مﻰتوان آن را بﻪ‬‫‪r‬‬ ‫شکل زﻳر نوشت‪r = f (t ) i + g (t ) j :‬‬ ‫از رابطﻪ دﻳده مﻰشودکﻪ وکتور موقعﻴت تابعﻰ از زمان ‪ t‬است‪.‬‬ ‫ سرعت متوسط جسم درحرکت دو بعدى بﻪ صورت زﻳر مﻰباشد‪v = (v x ) i + (v y ) j :‬‬‫ سرعت لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬عبارت از لﻴمت سرعت متوسط است وقتﻰکﻪ ‪ ∆t‬بﻪ طرف صفر تقرب‬‫نماﻳد ﻳا بﻪ عبارت دﻳگر‪ ،‬سرعت لحظﻪﻳﻰ‪ ،‬مشتق وکتور مکان جسم نسبت بﻪ زمان است‪.‬‬ ‫‪v = dr‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪r‬‬

‫‪v = lim (v) = lim‬‬

‫‪t‬‬

‫وﻳا‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪j‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫)‬

‫‪y‬‬

‫‪v = (v ) i + (v‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ -‬وکتور شتاب متوسط را در انتروال زمانﻰ ‪ ∆t‬بﻪ صورت زﻳر تعرﻳف مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫‪a = (a ) i + (a ) j‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ -‬وکتور شتاب متوسط ‪ a‬با ‪v‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻫم جﻬت است‪.‬‬

‫‪ -‬شتاب لحظﻪﻳﻰ در لحظﺔ ‪ t1‬را مﻰتوان بﻪ صورت لﻴمت شتاب متوسط نوشت‪ ،‬وقتﻰکﻪ ‪t‬‬

‫بﻪ طرف صفر تقرب نماﻳد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪a = lim (a) = lim ( vt‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ -‬شتاب لحظﻪﻳﻰ را با استفاده از مفﻬوم مشتق نﻴز چنﻴن مﻰتوان نوشت‪:‬‬

‫‪a = (a ) i + (a ) j‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a = dv‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ در حرکتﻫاى پرتابﻰ‪ ،‬مسﻴر حرکت جسم پرتاب شونده در فضا‪ ،‬عبارت از ﻳک پارابول‬‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫از‪x = v0t :‬‬

‫ معادﻻت حرکت در پرتاب افقﻰ عبارت اند‬‫و ‪y = 12 gt 2‬‬

‫‪ -‬در پرتاب ماﻳل‪ ،‬مرکبﻪﻫاى شتاب بﻪ صورت زﻳر مﻰباشد‪ a y = g .‬و ‪a x = 0‬‬

‫ معادﻻت ‪ x‬و ‪ y‬بﻪ عنوان تابعﻰ از زمان ‪ ،t‬در حرکتﻫاى پرتابﻰ عبارت اند از‪:‬‬‫و ‪1 2‬‬ ‫‪gt + (v0 sin ) t‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x = (v0 cos ) t‬‬

‫‪96‬‬

‫ فاصلﺔ افقﻰ را کﻪ جسم پرتاب شده در پرتاب ماﻳل طﻰمﻰکند‪ ،‬تا دوباره بﻪ ارتفاع اولﻴﺔ‬‫پرتاب برگردد عبارت از ‪ Range‬جسم پرتاب شونده مﻰباشد و چنﻴن افاده مﻰشود‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v sin 2‬‬ ‫‪R= 0‬‬ ‫‪g‬‬

‫ نقطﺔ اوج (ارتفاع اعظمﻰ) درحرکت پرتابﻰ‪ ،‬باﻻ ترﻳن نقطﻪﻳﻰ است کﻪ جسم پرتاب‬‫شونده بﻪ آن مﻰرسد کﻪ با حرف ‪ H‬نماﻳش داده مﻰشود‪:‬‬ ‫‪ -‬زمان رسﻴدن جسم پرتاب شده بﻪ نقطﺔ اوج عبارت است از‪:‬‬

‫‪v02 sin 2‬‬ ‫‪2g‬‬

‫= ‪H‬‬

‫‪v0 sin‬‬ ‫‪g‬‬

‫=‪t‬‬

‫ سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ متوسط ذره درحرکت داﻳرهﻳﻰ بﻪ صورت نسبت تغﻴﻴر موقعﻴت زاوﻳﻪﻳﻰ بﻪ‬‫زمان آن تعرﻳف مﻰشود‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫ سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ لحظﻪﻳﻰ رامﻰتوان بﻪ صورت زﻳر با استفاده از مفﻬوم مشتق و لﻴمت‬‫‪d‬‬ ‫نوشت‪:‬‬ ‫‪dt‬‬

‫=‬

‫وﻳا‬

‫‪t‬‬

‫‪= lim‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪t‬‬

‫ در حرکت داﻳرهﻳﻰ ﻳکنواخت‪ ،‬سرعت زاوﻳﻪﻳﻰ ذرهﻳﻰ کﻪ بر روى مسﻴر داﻳره حرکت‬‫مﻰکند‪ ،‬ثابت باقﻰ مﻰماند‪.‬‬ ‫ پرﻳود‪ ،‬عبارت از مدت زمانﻰ است کﻪ در آن ذره بر روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ‪ ،‬ﻳک دور مکمل را‬‫طﻰ مﻰکند و با حرف ‪ T‬نماﻳش داده مﻰشود‪.‬‬ ‫ فرﻳکونسﻰ‪ ،‬عبارت از تعداد دورﻫاى ذره در واحد وقت است کﻪ با حرف ﻻتﻴن نماﻳش‬‫داده مﻰشود و واحد اندازهگﻴرى آن ‪ 1‬و ﻳا ‪( H‬ﻫرتز) مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫ رابطﺔ پرﻳود (‪ )T‬و فرﻳکونسﻰ ) ( بﻪ صورت زﻳر مﻰباشد‪:‬‬‫‪1‬‬

‫=‪T‬‬

‫‪97‬‬

‫سؤال ﻫاى فصل سﻮم‬ ‫‪ - 1‬معادلﺔ حرکت جسمﻰدر سﻴستم ‪ SI‬بﻪ صورت ‪ x = t 3 3t 2‬است‪ .‬مطلوب است‪:‬‬ ‫‪ )a‬اندازة سرعت متوسط جسم در انتروال زمان ‪ 1‬تا ‪ 2‬ثانﻴﻪ‬ ‫‪ )b‬اندازة سرعت متحرک در لحظﺔ ‪t = 4 s‬‬ ‫‪ )c‬اندازة شتاب متوسط متحرک در انتروال زمانﻰ ‪ 2‬تا ‪ 5‬ثانﻴﻪ‬ ‫‪ )b‬اندازة شتاب متحرک در لحظﺔ ‪t = 4 s‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ - 2‬موترى در مقابل چراغ سرخ اﻳستاده است‪ .‬با سبز شدن چراغ‪ ،‬موتر باشتاب ‪ 2 s 2‬شروع‬ ‫بﻪ حرکت مﻰکند‪ .‬در ﻫمﻴن لحظﻪ ﻳک موتر ﻻرى با سرعت ثابت ‪ 36km‬از کنار آن عبور‬ ‫‪h‬‬ ‫مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ )a‬گرافﻫاى ) ‪ ( x t‬و ) ‪ (v t‬را براى موتر و ﻻرى رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬پس از چﻪ مدتﻰ‪ ،‬موتر بﻪ ﻻرى مﻰرسد؟‬ ‫‪ - 3‬وکتورﻫاى موقعﻴت (مکان) متحرکﻰ در لحظﻪﻫاى ‪ t1 = 5s‬و ‪ t 2 = 25s‬بﻪ ترتﻴب‬ ‫‪ r1 = 2 i + 14 j‬و ‪ r2 = 8 i + 6 j‬است‪ .‬اندازة سرعت متوسط ذره را بﻴن دولحظﺔ ‪ t1‬و ‪t2‬‬ ‫بﻪدست آورﻳد و با رسم ﻳک گراف‪ ،‬جﻬت ‪ v‬را نشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬معادلﺔ حرکت جسمﻰتوسط دورابطﺔ زﻳر در ‪ SI‬داده شده است‪.‬‬ ‫و‬ ‫‪y = 2t 2 + 1‬‬ ‫‪x = 6t‬‬ ‫‪ )a‬معادلﺔ سرعت آن را بنوسﻴد و اندازة سرعت را در ‪ t = 2s‬بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬معادلﺔ مسﻴر حرکت را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬

‫‪98‬‬

‫‪ - 5‬گالﻴلﻪ در ﻳکﻰ از کتابﻫاى خود مﻰنوﻳسد‪« :‬براى زاوﻳﻪﻫاى پر تابﻰ کﻪ بﻪ ﻳک اندازه از‬ ‫زاوﻳﺔ ‪ 45°‬بﻴشتر ﻳا کمتر اند‪ ،‬رنجﻫا (بُردﻫا) مساوى اند‪ »...‬آﻳا در شکل زﻳر‪ ،‬درستﻰ اﻳن گفتﻪ‬ ‫را دﻳده مﻰتوانﻴد؟ شما نﻴز با ترسﻴم زواﻳاى پرتابﻰ انتخابﻰ دﻳگر درستﻰ گفتﻪ را تحقﻴق‬ ‫کنﻴد‪.‬‬

‫‪15o‬‬

‫‪ - 6‬از روى ﻳک پل بﻪ ارتفاع ‪ 20‬متر باﻻى سطح آب ﻳک رود خانﻪ‪ ،‬جسمﻰرا بﻪ طور افقﻰ‬ ‫با سرعت ‪ 30m‬پرتاب مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ )a‬چﻪ مدت زمانﻰ طول مﻰکشد تا جسم بﻪ آب برخورد کند؟‬ ‫‪ )b‬فاصلﺔ افقﻰ نقطﺔ برخورد بﻪ آب تا نقطﺔ پرتاب چقدر است؟‬ ‫‪ )c‬اندازة سرعت برخورد با آب‪ ،‬چقدر است؟‬ ‫‪ - 7‬در شکل زﻳر‪ ،‬سرعت اولﻴﺔ توپ را طورى حساب کنﻴد کﻪ توپ داخل سبد بﻴفتد‪.‬‬ ‫)‬

‫‪s2‬‬

‫‪( g = 10m‬‬

‫‪45o‬‬

‫‪3m‬‬ ‫‪2m‬‬

‫‪1 1m‬‬

‫‪99‬‬

‫فصل چﻬارم‬ ‫قﻮاﻧﻴﻦ حرکت ﻧﻴﻮتﻦ‬

‫‪F1‬‬ ‫‪ma‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪F‬‬

‫در ﻓﺼﻞ دوم با کﻤﻴﺖﻫاﻳﻰ ماﻧﻨﺪ موقﻌﻴﺖ‪ ،‬تﻐﻴﻴر موقﻌﻴﺖ‪ ،‬ﺳرﻋﺖ‪ ،‬ﺷﺘاب و ‪ . . .‬آﺷﻨا ﺷﺪﻳم و با‬ ‫تﻌرﻳﻒ اﻳﻦ کﻤﻴﺖﻫا ﺣرکﺖ را توﺻﻴﻒ کردﻳم‪ .‬ﺧواﻧﺪﻳم کﻪ مﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺣرکﺖ با ﺳرﻋﺖ‬ ‫ﺛابﺖ اﻧجام ﺷود و ﻳا مﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺣرکﺖ ﺟﺴم ﺷﺘابدار باﺷﺪ و در ﻧﺘﻴجﻪ‪ ،‬ﺳرﻋﺖ تﻐﻴﻴر کﻨﺪ‪.‬‬ ‫اما از ﻃرح و ﭘاﺳﺦ بﻪ ﭘرﺳﺶﻫاﻳﻰ ماﻧﻨﺪ‪ :‬در ﭼﻪ ﺻورتﻰ ﻳﻚ ﺟﺴم ﺳاکﻦ مﻰماﻧﺪ؟ ﭼﮕوﻧﻪ‬ ‫مﻰتوان ﺟﺴم ﺳاکﻨﻰ را بﻪ ﺣرکﺖ در آورد؟ ﭼﻪ ﻋامﻠﻰ باﻋﺚ تﻐﻴﻴر ﺳرﻋﺖ ﺟﺴم مﻰﺷود؟ ﭼﻪ‬ ‫ﻋامﻠﻰ باﻋﺚ تﻐﻴﻴر در ﺣرکﺖ و بﻪ ﻃور کﻠﻰ ﭼﻪ ﻋامﻠﻰ باﻋﺚ تﻐﻴﻴر در وﺿﻌﻴﺖ ﺟﺴم مﻰﺷود؟‬ ‫و ‪ . . .‬ﺧود دارى کردﻳم ‪ .‬در اﻳﻦ ﻓﺼﻞ بﻪ بررﺳﻰ ﭘرﺳﺶﻫاى باﻻ مﻰﭘردازﻳم و بﻪ اﻳﻦ مﻨﻈور‪،‬‬ ‫قواﻧﻴﻦ ﺣرکﺖ ﻧﻴوتﻦ را مورد مﻄاﻟﻌﻪ قرار مﻰدﻫﻴم و ﺳﭙﺲ ﺳاﺣﻪﻫاى تﻄبﻴﻖ اﻳﻦ قواﻧﻴﻦ را در‬ ‫زﻧﺪهﮔﻰ روزمره مورد بررﺳﻰ قرار مﻰدﻫﻴم‪ .‬توقﻊ مﻰرود کﻪ ﺷﻤا در ﺧﺘم اﻳﻦ ﻓﺼﻞ دربارة‬ ‫موﺿوعﻫاى زﻳر مﻌﻠومات ﻻزم ﺣاﺻﻞ ﻧﻤاﻳﻴﺪ‪.‬‬ ‫ قواﻧﻴﻦ ﺳﻪ ﮔاﻧﺔ ﻧﻴوتﻦ‬‫ اﻧواع قوة اﺻﻄﻜاك و کار برد آن در زﻧﺪﮔﻰ روزمره‬‫ قاﻧون ﺟاذبﺔ ﻧﻴوتﻦ‬‫ ﭼﮕوﻧﻪﮔﻰ ﺣرکﺖ ﻟﻔﺖ‬‫‪ -‬مﺪار داﻳرهﻳﻰ ﺣرکﺖ اقﻤار مﺼﻨوﻋﻰ‬

‫‪100‬‬

‫‪ :4-1‬قاﻧﻮن اول ﻧﻴﻮتﻦ‬ ‫عطالت (اﻧرشﻴا)‬ ‫از ﮔﺬﺷﺘﻪ مﻰداﻧﻴم کﻪ وقﺘﻰ در موتر ﺳاکﻨﻰ ﻧﺸﺴﺘﻪ اﻳﺪ و موتر ﻧاﮔﻬان ﺷروع بﻪ ﺣرکﺖ مﻰکﻨﺪ‪،‬‬ ‫بﻪ ﻋﻘﺐ راﻧﺪه مﻰﺷوﻳﺪ و اﮔر در موترى در ﺣال ﺣرکﺖ ﻧﺸﺴﺘﻪ با ﺷﻴﺪ‪ ،‬در توقﻒ ﻧاﮔﻬان‪ ،‬بﻪ‬ ‫ﺳﻤﺖ ﺟﻠو ﭘرتاب مﻰﺷوﻳﺪ‪ .‬آﻳا تا ﺣال از ﺧود ﭘرﺳﻴﺪه اﻳﺪ کﻪ دﻟﻴﻞ و قوع اﻳﻦ ﺣادﺛﻪ ﭼﻴﺴﺖ؟‬ ‫ﺷﻤا زماﻧﻰ مﻰتواﻧﻴﺪ بﻪ اﻳﻦ ﭘرﺳﺶ ﭘاﺳﺦ بﺪﻫﻴﺪ کﻪ قبول ﻧﻤاﻳﻴﺪ ﻫرﺟﺴم داراى ﻋﻄاﻟﺖ )اﻧرﺷﻴا(‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﻋﻄاﻟﺖ ﻋبارت از مﻘاومﺘﻰ اﺳﺖ کﻪ ﻳﻚ ﺟﺴم در مﻘابﻞ ﻫر ﺣرکﺖ بﻪ ﺷﻤول ﺣاﻟﺖ‬ ‫ﺳﻜون از ﺧود ﻧﺸان مﻰدﻫﺪ‪ ،‬و ﻳا بﻪ ﻋبارة دﻳﮕر‪ ،‬ﻫﻴﭻ ﺟﺴﻤﻰماﻳﻞ ﻧﻴﺴﺖ کﻪ ﺣاﻟﺖ ﺣرکﺖ و‬ ‫ﻳا ﺳﻜون ﺧود را تﻐﻴﻴر دﻫﺪ‪ .‬ﻫر ﮔاه بﻪ ﺟﺴﻤﻰﻫﻴﭻ ﻧوع قوة ﺧارﺟﻰ اﺛر ﻧﻨﻤاﻳﺪ‪ ،‬ﺟﺴم مﺬکور‬ ‫ﺣاﻟﺖ ﺧود را ﺣﻔﻆ مﻰکﻨﺪ‪ ،‬ﻳﻌﻨﻰ اﮔر ﺟﺴم در ﺣاﻟﺖ ﺣرکﺖ باﺷﺪ بﻪ ﺣرکﺖ مﺴﺘﻘﻴم اﻟﺨﻂ‬ ‫مﻨﻈم ﺧود ادامﻪ مﻰدﻫﺪ و اﮔر در ﺣاﻟﺖ ﺳﻜون باﺷﺪ‪ ،‬ﺣاﻟﺖ ﺳﻜون ﺧود را ﺣﻔﻆ مﻰکﻨﺪ‪ .‬ﺣال‬ ‫با داﻧﺴﺘﻦ مﻔﻬوم ﻋﻄاﻟﺖ بﻪ بررﺳﻰ ﭘرﺳﺸﻰ کﻪ در ابﺘﺪاى اﻳﻦ درس بﻪ ﻋﻤﻞ آمﺪ‪ ،‬مﻰﭘردازﻳم‪.‬‬ ‫ﻫرﮔاه ﺷﺨﺼﻰ در بﻴﻦ موترى کﻪ در ﺣاﻟﺖ ﺳﻜون اﺳﺖ‪ ،‬اﻳﺴﺘاده باﺷﺪ و موتر بﻪ ﻳﻜبارهﮔﻰ‬ ‫ﺷروع بﻪ ﺣرکﺖ ﻧﻤاﻳﺪ‪ ،‬ﺷﺨﺺ مﺬکور بﻪ ﻃرف ﻋﻘﺐ ﭘرتاب مﻰﺷود‪ ،‬زﻳرا ﭘاﻫاى ﺷﺨﺺ‬ ‫مﺬکور با موتر ﺷروع بﻪ ﺣرکﺖ ﻧﻤوده‪ ،‬وﻟﻰ بﺪن آن کﻪ بﻪ موتر تﻜﻴﻪ ﻧﺪاردﻧﻈر بﻪ ﺧاﺻﻴﺖ‬ ‫ﻋﻄاﻟﺖ‪ ،‬مﻴﻞ دارد‪ ،‬ﺣاﻟﺖ ﺳﻜون ﺧود را ﺣﻔﻆ ﻧﻤاﻳﺪ‪ .‬بﻌﺪ از برقرارى ﺣاﻟﺖ تﻌادل ﻳﻌﻨﻰ زماﻧﻰ‬ ‫کﻪ موتر ﺣرکﺖ ﻳﻚﻧواﺧﺖ مﺴﺘﻘﻴم اﻟﺨﻂ را بﻪ ﺧود اﺧﺘﻴار ﻧﻤاﻳﺪ‪،‬دﻳﮕر ﺷﺨﺺ در بﻴﻦ موتر‬ ‫اﺣﺴاس ﺣرکﺖ ﻧﻤﻰﻧﻤاﻳﺪ‪ ،‬زﻳرا تﻤاﻳﻞ ﻧﺪارد کﻪ بﻪ ﺣرکﺘﺶ توقﻒ دﻫﺪ‪ .‬اﮔر موتر ﻧاﮔﻬان‬ ‫برك بﮕﻴرد‪ ،‬دﻳﺪه مﻰﺷود کﻪ ﺷﺨﺺ بﻪ ﻃرف ﺟﻠو ﭘرتاب مﻰﺷودو ﺳبﺐ آن اﻳﻦ اﺳﺖ کﻪ‬ ‫ﭘاﻫاى ﺷﺨﺺ تابﻊ موتر ﺳاکﻦ وبﺪن آن ﻧﻈر بﻪ ﺧاﺻﻴﺖ ﻋﻄاﻟﺖ ماﻳﻞ اﺳﺖ بﻪ ﺣرکﺖ ﺧود‬ ‫ادامﻪ دﻫﺪ‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬کاغذ (مقوا)‪ ،‬سکﻪ‪ ،‬ظرف شﻴشﻪﻳﻰ ﻳا گﻴﻼس‬ ‫ﻃرزالعﻤل‪ :‬کاغذ را روى ظرف شﻴشــﻪﻳﻰ قرار دﻫﻴد و برروى کاغذ ســکﻪ را قرار دﻫﻴد‪ ،‬ســپس مراحل زﻳر را‬ ‫انجام دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬کاغذ را موازى با مستوى آن با سرعت زﻳاد کش کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬کاغذ را موازى با مستوى آن با سرعت کم کش کنﻴد‪.‬‬ ‫در ﻫــر دو مرحلﻪ آنچﻪ را کﻪ اتفاق افتاده اســت‪ ،‬ﻳادداشــت کنﻴد و در گروهﻫــاى مختلف صنفﻰ بحث کنﻴد‪ ،‬و‬ ‫نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪101‬‬

‫حال کﻪ بﻴﺸتر بﻪ ﻣﻔﻬﻮم عطالت ( اﻧرشﻴا) پﻰ بردﻳد‪ ،‬بﻪ ﻣطالعﺔ قاﻧﻮن اول ﻧﻴﻮ تﻦ ﻣﻰپردازﻳﻢ‪:‬‬

‫نﻴو تن‪ ،‬دانشمند انگلﻴسﻰ با آگاﻫﻰ از نظرﻳﻪ ﻫاى دانشمندان قبل از خود‪ ،‬موفق شد‬ ‫قانونﻫاى حرکت را کﻪ امروز بﻪ نام خود او (قانونﻫاى نﻴوتن در بارة حرکت) ﻳاد مﻰشود‪،‬‬ ‫بﻴان نماﻳد‪ .‬وى قانون اول رادر کتاب خود چنﻴن بﻴان کرده است‪:‬‬ ‫« ﻳک جسم حالت سکون و ﻳا حرکت ﻳکنواخت روى خط مستقﻴم خود را حفظ مﻰکند‪،‬‬ ‫مگر آنکﻪ تحت تأثﻴر قوهﻳﻰ‪ ،‬مجبور بﻪ تغﻴﻴر حالت آن شود»‪.‬‬ ‫از قانون اول نتﻴجﻪ مﻰگﻴرﻳم کﻪ اگر بﻪ جسمﻰ قوه وارد نشود‪ ،‬چنانچﻪ ساکن باشد‪ ،‬ساکن‬ ‫باقﻰ مﻰماند واگر در حرکت باشد بﻪ حرکت خود با سرعت ثابت ادامﻪ مﻰدﻫد‪ .‬با توجﻪ بﻪ‬ ‫آنچﻪ کﻪ گفتﻪ شد‪ ،‬بﻪ قانون اول نﻴوتن‪ ،‬قانون عطالت (انرشﻴا) نﻴز مﻰگوﻳند‪ .‬بﻪ جسمﻫاى‬ ‫اطراف خود نگاه کنﻴد‪ ،‬آﻳا مﻰتوانﻴد جسمﻰ را پﻴدا کنﻴد کﻪ بﻪ آن قوه وارد نشود؟‪ ،‬تا بتوان‬ ‫قانون اول نﻴوتن را بﻪطور کامل تطبﻴق کرد‪ .‬چون بﻪ ﻫمﺔ جسمﻫا قوة وزن وارد مﻰشود‪،‬‬ ‫در نتﻴجﻪ نمﻰتوان جسمﻰرا ﻳافت کﻪ بﻪ آن قوه وارد نشود‪ .‬امروز ه دانشمندان از قانون‬ ‫اول نﻴوتن براى فرستادن ماﻫوارهﻫا و سفﻴنﻪﻫاى فضاﻳﻰ بﻪ خارج از زمﻴن استفاده مﻰکنند‪.‬‬ ‫وقتﻰ سفﻴنﻪ بﻪاندازة کافﻰ از زمﻴن دورمﻰشود‪ ،‬با ماشﻴن خاموش و با سرعت ثابت بﻪ حرکت‬ ‫خود ادامﻪ مﻰدﻫد‪( .‬چرا ؟)‬

‫‪ :4-2‬قاﻧﻮن دوم ﻧﻴﻮتﻦ‬ ‫در قانون اول نﻴوتن خواندﻳم کﻪ جسم حالت سکون خود را حفظ مﻰکند‪ ،‬در صورتﻰکﻪ‬ ‫باﻻى آن قوهﻳﻰ عمل ننماﻳد و ﻳا بر عکس‪ ،‬اگر جسم در حرکت باشد و باﻻى آن قوهﻳﻰ عمل‬ ‫ننماﻳد‪ ،‬جسم حالت حرکت ثابت خود را برروى خط مستقﻴم حفظ مﻰکند‪ .‬اما بﻴن قوة‬ ‫وارده بر جسم‪ ،‬کتلﻪ و شتاب حرکت چﻪ را بطﻪ اى وجود دارد؟ ما در حﻴات روزمره مشاﻫده‬ ‫مﻰنماﻳﻴم‪ ،‬کﻪ براى بﻪ حرکت در آوردن ﻳک جسم بزرگ نسبت بﻪ ﻳک جسم خورد بﻪ قوة‬ ‫بﻴشترى ضرورت است‪ .‬ﻫمچنان مﻰدانﻴم کﻪ بﻪ عﻴن قوه مﻰتوان جسم کوچکﻰ را نسبت‬ ‫بﻪ جسم بزرگﻰ‪ ،‬سرﻳعتر حرکت داد‪ .‬از اﻳنجا نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ بﻴن شتاب اجسام‪ ،‬کتلﻪ و‬ ‫قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى اجسام تطبﻴق مﻰشود‪ ،‬ارتباط وجود دارد‪ .‬رابطﻪ بﻴن قوة وارده برجسم‪ ،‬کتلﻪ‬ ‫و شتاب حرکت جسم موضوع قانون دوم نﻴوتن است‪ .‬قانون دوم نﻴوتن بﻴان مﻰدارد کﻪ «اگر‬ ‫بﻪ ﻳک جسم قوهﻫاﻳﻰ واردشود‪ ،‬جسم شتابﻰ مﻰگﻴرد کﻪ با محصلﺔ قوهﻫاى واردبر جسم‬ ‫نسبت مستقﻴم داردو با آن ﻫم جﻬت است و با کتلﺔ جسم نسبت معکوس دارد»‪ .‬اگر کتلﺔ‬ ‫جسم‪ m ،‬و قوهﻫاى وارده برآن‪ F ،‬باشد‪ ،‬قانون دوم نﻴوتن با رابطﺔ زﻳر بﻴان مﻰشود‪:‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪=m‬‬

‫‪F‬‬

‫و ﻳا‬

‫‪102‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪m‬‬

‫=‪a‬‬

‫واحد اندازهگﻴرى قوه‪ ،‬نﻴوتن (‪ )N‬است کﻪ از رابطﺔ باﻻ تعرﻳف مﻰشود‪ .‬اگر در اﻳن رابطﻪ‪،‬‬ ‫کتلﻪ بر حسب کﻴلوگرام (‪ )kg‬و شتاب بر حسب متر بر مربع ثانﻴﻪ) ‪ (m s 2‬باشد‪ ،‬قوه برحسب‬ ‫‪ kg m s 2‬حساب مﻰشود کﻪ آن را نﻴوتن (‪ )N‬مﻰنامﻴم‪ .‬بنابراﻳن «ﻳک نﻴوتن‪ ،‬مقدارقوهﻳﻰ‬ ‫است کﻪ اگر بﻪ جسمﻰبا کتلﺔ ﻳک کﻴلوگرام وارد شود‪ ،‬بﻪ آن شتابﻰ برابر با ﻳک متر فﻰ ثانﻴﻪ‬ ‫مربع مﻰدﻫد»‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰداراى کتلﺔ ‪ 20kg‬باشتاب ‪ 1.5 2‬در حرکت است‪ .‬محصلﺔ قوهﻫاى وارده بر‬ ‫‪s‬‬ ‫جسم چند نﻴوتن است؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪F = 1.5 × 20 = 30 N‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪20‬‬

‫= ‪1.5‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪m‬‬

‫=‪a‬‬

‫ﻣثال‪ :‬بﻪ ﻫرﻳک از کتلﻪﻫاى ‪ m1 = 5 kg‬و ‪ m2 = 12 kg‬قوة ‪ 15 N‬واردمﻰکنﻴم‪ ،‬شتاب‬ ‫ﻫرﻳک از دو کتلﻪ را حساب مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫=‬ ‫‪a m‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪= 1.25 m 2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪12‬‬

‫= ‪a2‬‬

‫و‬

‫‪15 3 m‬‬ ‫=‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ‪a1‬‬

‫سؤال‬ ‫چﻪ مقدار قوه ﻻزم است تا موترى با کتلﺔ ‪ 1500 kg‬را کﻪ با سرعت ‪ 100 km‬در حرکت است‪ ،‬پس از‬ ‫‪h‬‬ ‫طﻰ مسافﺔ ‪ 55m‬متوقف کند؟‬

‫‪ :4-3‬قاﻧﻮن سﻮم ﻧﻴﻮتﻦ‬ ‫قانون اول نﻴوتن‪ ،‬وضعﻴت جسم را در عدم موجودﻳت‬ ‫قوه وقانون دوم‪ ،‬وضعﻴت آن را وقتﻰ تحت تأثﻴر‬ ‫قوه است‪ ،‬توصﻴف مﻰکند‪ .‬اما اﻳن قانونﻫا مشخص‬ ‫نمﻰکنند کﻪ قوة وارده بر جسم از کجا بﻪ آن وارد‬ ‫مﻰشود؟ قانون سوم نﻴوتن بﻪ بررسﻰ ﻫمﻴن مسألﻪ‬ ‫مﻰپردازد کﻪ قوة وارده بﻪ جسم از کجا بﻪ آن وارد‬ ‫مﻰشود‪ .‬اگر بﻪ فعالﻴتﻫاى روزمرة خود بﻪ طور‬ ‫دقﻴق نگاه کنﻴم‪ ،‬مﻰبﻴنﻴم کﻪ ﻫمواره ﻳک جسم بﻪ‬ ‫جسم دﻳگر قوه وارد مﻰکند‪.‬‬ ‫شکل )‪ (4-1‬چکش قوهاى را بﻪ مﻴخ وارد‬ ‫مﻰکند و مﻴخ نﻴز در خﻼف جﻬت قوة‬ ‫چکش‪ ،‬بﻪ چکش قوه وارد مﻰکند‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫بازﻳکن فوتبال‪ ،‬با پا بﻪ توپ ضربﻪ مﻰزند‪ ،‬ﻳعنﻰ با پا بﻪ توپ قوه وارد مﻰکند‪ .‬شخصﻰ کﻪ ﻳک‬ ‫جسم را روى زمﻴن مﻰکشد‪ ،‬بﻪ آن قوه وارد مﻰکند و ﻳا چکشﻰ کﻪ بﻪ مﻴخ کوبﻴده مﻰشود‪،‬‬ ‫بر مﻴخ قوه واردمﻰکند و ‪ .. .‬نﻴوتن با بﻴان قانون سوم‪ ،‬مشخص مﻰکند کﻪ قوه برﻳک جسم‬ ‫ﻫمﻴشﻪ از طرف جسم دﻳگر وارد مﻰگردد و عﻼوه بر آن معلوم مﻰکند کﻪ وارد کردن قوه‪،‬‬ ‫عمل ﻳک طرفﻪ نﻴست؛ بلکﻪ ﻫمواره عمل دو طرفﻪ است‪.‬‬ ‫قانون سوم نﻴوتن بﻴان مﻰدارد کﻪ «ﻫر‬ ‫گاه جسمﻰبﻪ جسم دﻳگر قوه وارد مﻰکند‪،‬‬ ‫جسم دوم ﻫم بﻪ جسم اولﻰ قوهﻳﻰ برابر‬ ‫(مساوى)‪ ،‬ولﻰ در خﻼف جﻬت بﻪ آن وارد‬ ‫مﻰکند»‪ .‬اگر قوهﻳﻰ راکﻪ جسم اول بﻪ‬ ‫جسم دوم وارد مﻰکند‪ ،‬قوة (عمل) بنامﻴم‪،‬‬ ‫قوة جسم دوم کﻪ بر جسم اول وارد مﻰشود‪،‬‬ ‫قوة (عکسالعمل) خواﻫد بود‪.‬‬ ‫شکل )‪ (4-2‬اگر دست شما بﻪ لبﺔ مﻴز قوه وارد‬ ‫کند‪ ،‬لبﺔ مﻴز نﻴز بﻪ ﻫمان اندازه ولﻰ در خﻼف‬ ‫جﻬت بﻪ دست شما قوه وارد مﻰکند‪.‬‬

‫در شکل)‪ (4-3‬قوة ‪( F 1.2‬قوهﻳﻰ کﻪ جسم اول بﻪ دوم‬ ‫وارد مﻰکند) قوة عمل و قوة ‪( F 2.1‬قوهﻳﻰ کﻪ جسم دوم‬ ‫بﻪ جسم اول وارد مﻰکند) عکس العمل آن است‪.‬‬ ‫‪F1.2 = F2.1‬‬ ‫‪F1.2‬‬

‫جسم دوم‬

‫‪2.1‬‬

‫‪F‬‬

‫=‬

‫‪1.2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F2.1‬‬

‫جسم اول‬

‫شکل )‪(4-3‬‬

‫براى شناختن قوهﻫاى عمل و عکس العمل توجﻪ کنﻴد کﻪ ‪ :‬اﻳن دو قوه ﻫمواره ﻫم اندازه و‬ ‫در جﻬتﻫاى مخالف ﻳکدﻳگر اند‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫بﻴﺸتر بداﻧﻴد‬ ‫ﻳکﻰ ازکاربردﻫاى مﻬم قانون سوم نﻴوتن‬ ‫عبارت از پرتاب سفﻴنﻪﻫاى فضاﻳﻰ از سطح‬ ‫زمﻴن بﻪ طرف فضا مﻰباشد‪.‬‬ ‫سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ توسط گازى کﻪ از ماشﻴن‬ ‫آن خارج مﻰشود‪ ،‬بﻪ طور عمود بﻪ سطح‬ ‫زمﻴن قوه وارد مﻰکند وبر اساس قانون سوم‬ ‫نﻴوتن‪ ،‬گاز خارج شده از ماشﻴن سفﻴنﻪ نﻴز‬ ‫قوهﻳﻰ ﻫم اندازه ولﻰ در خﻼف جﻬت (بﻪ‬ ‫طرف باﻻ) بﻪ سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ وارد مﻰکند‪.‬‬

‫شکل )‪(4-4‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫درگروهﻫاى مختلف صنفﻰ در مورد اﻳنکﻪ «چﻪ دلﻴل باعث مﻰشود تا موتر بﻪ سمت جلو حرکت کند» بحث کنﻴد‬ ‫و نتﻴجﺔ مباحث خود را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬مطابق شکل )‪ ،(4-5‬ﻳک سرطنابﻰ را بﻪ دﻳوار محکم کرده و سر دﻳگرش را با دست‬ ‫خودکش مﻰکنﻴم‪ .‬اگر طناب از دﻳوار جدا نشود‪ ،‬قوهﻫاى عمل و عکس العمل بﻴن (دست و‬ ‫طناب) و (دﻳوار و طناب) را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫شکل )‪(4-5‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫در قسمتﻫاى مختلف شکل‪ ،‬قوهﻫاى بﻴن دست‪ ،‬طناب و دﻳوار نشان داده شده است‪ .‬در اﻳن‬ ‫شکلﻫا‪ ،‬دست را جسم ‪ ،1‬طناب را جسم ‪ 2‬و دﻳوار را جسم ‪ 3‬نامگذارى کردهاﻳم‪:‬‬ ‫‪F1.2 = F2.1‬‬

‫عمل و عکس العمل‬

‫‪F2.3 = F3.2‬‬

‫عمل و عکس العمل‬

‫‪F2.1‬‬

‫‪2.1‬‬

‫‪F‬‬

‫=‬

‫‪3.2‬‬

‫‪F‬‬

‫=‬

‫‪F 3.2‬‬ ‫‪F1.2‬‬

‫شکل )‪(4-6‬‬

‫‪105‬‬

‫‪F2.3‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2.3‬‬

‫‪F‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫جسمﻰرا بﻪ ﻳک سر فنرى وصل کرده و فنر را از سر دﻳگر آن آوﻳزان مﻰکنﻴم‪،‬‬ ‫اگر سﻴستم ( جسم – فنر ) در حال سکون باشد‪:‬‬ ‫(‪ a‬قوهﻫاى وارد بر جسم را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬عکس العمل اﻳن قوهﻫا را مشخص کنﻴد و‬ ‫توضﻴح دﻫﻴد کﻪ ﻫر کدام بﻪ چﻪ جسمﻰواردمﻰشوند؟‬

‫شکل )‪(4-7‬‬

‫قﻮة عﻤﻮدى تکﻴﻪ گاه‬

‫جسمﻰرا در نظر بگﻴرﻳد کﻪ مطابق شکل )‪ ،)4-8‬برروى سطح افقﻰ مﻴزى بﻪ حال سکون‬ ‫قرار دارد‪ ،‬در اﻳن وضعﻴت چﻪ قوهﻫاﻳﻰ بﻪ جسم وارد مﻰشود؟‬ ‫اگر کتلﺔ جسم برابر با ‪ m‬باشد‪ ،‬قوة وزن جسم ‪w = mg‬‬ ‫از طرف زمﻴن بﻪ جسم وارد مﻰشود و آن را بﻪ سوى‬ ‫پاﻳﻴن مﻰکشد‪ .‬پس چرا جسم بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت‬ ‫نمﻰکند؟‬ ‫شکل )‪(4-8‬‬ ‫چون جسم ساکن است‪ ،‬شتاب حرکت آن صفر است؛ ﻳعنﻰ (‪ .) a = 0‬از قانون دوم نﻴوتن‬ ‫نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ محصلﺔ قوهﻫاى وارد بر جسم صفر است )‪ ( F = m a = 0‬در نتﻴجﻪ‪ ،‬باﻳد‬ ‫قوهﻳﻰ مساوى با وزن جسم؛ اما در خﻼف جﻬت بﻪ آن عمل کند تا با خنثﻰ کردن قوة وزن‪،‬‬ ‫مانع از شتاب گرفتن جسم شود‪.‬‬ ‫در شکل )‪ ،(4-9‬قوهﻫاى وارد بر جسم نشان داده شدهاند‪ .‬قوة ‪ ،N‬کﻪ از طرف مﻴز بر جسم‬ ‫وارد مﻰشود آن را «قوة عمودى تکﻴﻪگاه» مﻰنامﻴم‪ .‬کﻪ با استفاده از قانون دوم نﻴوتن‪،‬‬ ‫مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪F = ma = 0‬‬ ‫‪N W =0‬‬ ‫‪N =W‬‬ ‫شکل )‪(4-9‬‬

‫اکنون فرض کنﻴد‪ ،‬مطابق شکل (‪ ،)4-10‬قوهﻳﻰ بﻪ اندازة ‪ F‬را بﻪ طور عمود و بﻪ طرف‬ ‫پاﻳﻴن بر جسم وارد مﻰکنﻴم‪ .‬آﻳا قوة عمودى تکﻴﻪگاه کﻪ مﻴز بر جسم وارد مﻰکند‪ ،‬تغﻴﻴر‬ ‫مﻰکند؟‬ ‫‪106‬‬

‫قوهﻫاى وارد بر جسم را در شکل )‪ (4-11‬نشان دادهاﻳم‪ ،‬چون شتاب جسم صفر است‪ ،‬در‬ ‫نتﻴجﻪ بر اساس قانون دوم نﻴوتن مﻰتوانﻴم بنوسﻴم‪:‬‬ ‫‪F = ma = 0‬‬ ‫‪N F W=0‬‬ ‫‪N = F +W‬‬

‫شکل )‪(4-11‬‬

‫شکل )‪(4-10‬‬

‫بنا براﻳن قوة عمودى تکﻴﻪگاه‪ ،‬بﻪاندازة ) ‪ ( F‬افزاﻳش ﻳافتﻪ است‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫بر روى ﻳک ترازوى فنرى اﻳستاد شوﻳد و عددى را کﻪ ترازو در حالتﻫاى زﻳر نشان مﻰدﻫد‪ ،‬بخوانﻴد‪.‬‬ ‫‪ )a‬ساکن روى ترازو اﻳستاده اﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬در حالﻰکﻪ روى ترازو اﻳستاده اﻳد‪ ،‬با دست خود بﻪ مﻴزى کﻪ در کنار تان است‪ ،‬تکﻴﻪ مﻰکنﻴد‪.‬‬

‫‪ :4-4‬تطﻴبﻖ قﻮاﻧﻴﻦ ﻧﻴﻮتﻦ‬

‫در تﺼوﻳر‪ ،‬ﺷﺨﺼﻰکﻪ بﻪ رﻳﺴﻤان آوﻳزان ﺷﺪه اﺳﺖ‪ ،‬مﻤﻜﻦ ﻫرﮔز دربارة قواﻧﻴﻦ ﻧﻴوتﻦ ﻓﻜر ﻧﻜﻨﺪ‪ ،‬اما قواﻧﻴﻦ مﺬکور‬ ‫باﻻﻳﺶ در ﻫر ﻟﺤﻈﻪ از کوﺷﺶﻫاﻳﻰ کﻪ براى در تﻌادل ﻧﮕﻪداﺷﺘﻦ وﺟودش در رﻳﺴﻤان بﻪکار مﻰبرد‪ ،‬دﺧﻴﻞ و اﺛر‬ ‫ﮔﺬار ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬او بر قوهﻫاى کﻪ باﻻى رﻳﺴﻤان براى مﻘاومﺖ کردن بﻪ مﻘابﻞ وزﻧﺶ ﻋﻤﻞ مﻰکﻨﻨﺪ‬ ‫و ﻫمﭼﻨان بﻪ آن قوهﻫا کﻪ توﺳﻂ ﭼرخﻫا بﻪ ﺳﻤﺖﻫاى مﻄﻠوب موﺟﻪ ﺷﺪهاﻧﺪ باورمﻨﺪ اﺳﺖ او مﻰتواﻧﺪ‬ ‫ذﻫﻨﺶ را در موﺟودﻳﺖ قوة ذاتﻰ اﺻﻄﻜاك کﻪ بﻴﻦ دﺳﺘاﻧﺶ و رﻳﺴﻤان ﻋﻤﻞ مﻰکﻨﺪ‪ ،‬اﻧﻜﺸاف دﻫﺪ‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫ما با ﻫمﺔ حوادث در زندهگﻰ روزمره‪ ،‬فﻬمﻴده ﻳا نفﻬمﻴده تابع قوانﻴن حرکت نﻴوتن ﻫستﻴم‪.‬‬ ‫شما نمﻰتوانﻴد با سرپﻴچﻰ از اصول اﻳن قوانﻴن اعضاى بدن خود را حرکت دﻫﻴد‪ ،‬موترى را‬ ‫برانﻴد وﻳا توپﻰ را باﻻ پرتاب نماﻳﻴد و ‪ ...‬خﻼصﻪ اﻳنکﻪ تمام قوانﻴن براى ﻫستﻰ ما توسط‬ ‫ﻫمﻴن سﻪ بﻴان اساسﻰ کﻪ توضﻴح کنندة سﻪ قانون حرکت نﻴوتن و مربوط بﻪ ماده و حرکت‬ ‫آن مﻰباشد‪ ،‬محصور شده است‪ .‬قوانﻴن نﻴوتن بﻪ طور شگفت آورى در کﻬکشانﻫا‪ ،‬سﻴارهﻫا‬ ‫و حتا در افتادن ﻳک سﻴب از درخت ﻫمانا بﻪ طور ساده و طبﻴعﻰ بﻪ نظر مﻰخورند‪ ،‬در‬ ‫حالﻰکﻪ اﻳن قوانﻴن در تمام حوادث زندهگﻰ روزمرة ما قابل تطبﻴق بوده و مطالعﺔ عوامل‬ ‫حرکت پﻴچﻴدهترﻳن اسرار عالم ﻫستﻰ را بﻪ ما مﻰشناساند‪ .‬امروز ما تا ﻫنوز قوانﻴن نﻴوتن‬ ‫را در تمام بخشﻫاى فزﻳک‪ ،‬اساسﻰ و ضرورى مﻰدانﻴم و بﻬتر است‪ ،‬بگوﻳﻴم کﻪ اﻳن قوانﻴن‬ ‫مﻰتوانند براى توضﻴح و تحلﻴل علم حرکت‪ ،‬عالﻰترﻳن مﻬر صحت بگذارند؛ ولﻰ نﻪ مکمل‬ ‫ترﻳن‪ .‬اگر چﻪ در اواﻳل قرن بﻴستم فزﻳکدانﻫا کشف کردند کﻪ قوانﻴن نﻴوتن فقط براى‬ ‫اجسامﻰکﻪ سرعت آنﻫا کمتر و ﻳا نزدﻳک بﻪ سرعت نور باشد و ﻫمچنان براى اجسامﻰکﻪ‬ ‫کتلﻪﻫاى شان از لحاظ اندازه بزرگتر و ﻳا برابر بﻪ اتومﻫا باشند‪ ،‬قابل تطبﻴق است‪ .‬ولﻰ در‬ ‫تجربﻪﻫاى روزمرة انسانﻫا تاکنون ﻫم قوانﻴن نﻴوتن حوزة نﻬاﻳت وسﻴعﻰ براى تطبﻴق دارد‪.‬‬ ‫قوانﻴن حرکت نﻴوتن بر انواع زﻳاد سﻴستمﻫا چنانکﻪ در مباحث قبلﻰ مطالعﻪ کردﻳد‪ ،‬تطبﻴق‬ ‫شده مﻰتواند‪ .‬در اﻳن بحث انواع قوهﻫاى جدﻳد در سﻴستمﻫاى جدﻳد را کﻪ قوانﻴن نﻴوتن‬ ‫مﻰتواند باﻻى جسمﻫاى در حال حرکت در مسﻴرﻫاى مختلف قابل تطبﻴق باشد مطالعﻪ‬ ‫خواﻫد کرد‪.‬‬ ‫آنچﻪ گفتﻪ شد نمونﻪ مثالﻫاى محدودى از موارد بﻰشمار تطبﻴق قوانﻴن نﻴوتن در جﻬان‬ ‫بﻪ حساب مﻰآﻳند‪.‬‬

‫تطبﻴﻖ قاﻧﻮن ﻧﻴﻮتﻦ در تعادل اﻧتقالﻰ جسﻢﻫا‬ ‫وقتﻰ مﻰگوﻳﻴم جسم در تعادل انتقالﻰ است‪ ،‬معناى اﻳن را مﻰدﻫد کﻪ محصلﺔ قوهﻫاى‬ ‫وارده باﻻى آن جسم صفر است‪ ،‬ﻳعنﻰ ‪ F = 0‬از قانون دوم نﻴوتن بﻴانﻴﺔ باﻻ معادل بﻪ اﻳن‬ ‫است کﻪ بگوﻳﻴم شتاب جسم صفر است‪ .‬در سﻴستمﻫاى دو بعدى تعادل انتقالﻰ در دو بعد‬ ‫بﻪ طور مستقل تطبﻴق مﻰشود‪ ،‬ﻳعنﻰ ‪ Fx = 0‬و ‪ Fy = 0‬چنانکﻪ مﻰدانﻴد‪ ،‬اجسامﻰکﻪ‬ ‫دو نوع حرکت (خطﻰ و دورانﻰ) دارند‪ ،‬در آنﻫا تعادل دورانﻰ بﻪ ﻫمان اندازه مﻬم است کﻪ‬ ‫تعادل انتقالﻰ در آنﻫا حاﻳز اﻫمﻴت است‪ .‬حال وقتﻰ از تعادل نام مﻰبرﻳم‪ ،‬منظور ما تعادل‬ ‫انتقالﻰ است‪ .‬شکلﻫاى زﻳر مثالﻫاى مختلفﻰ را از تعادل انتقالﻰ نشان مﻰدﻫند‪.‬‬

‫‪108‬‬

‫‪T2 sin‬‬ ‫‪T1‬‬

‫‪w‬‬

‫‪T2‬‬

‫‪T1‬‬

‫‪T2‬‬

‫‪T2 cos‬‬

‫)‪(b‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪w‬‬

‫شکل )‪(4-12‬‬

‫) ‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫در شکل )‪ (4-13‬تطبﻴق قانون نﻴوتن را در بحث تعادل انتقالﻰ روى ﻳک سطح ماﻳل بﻪ‬ ‫حﻴث ﻳک مثال عمومﻰمطالعﻪ مﻰکنﻴم‪ .‬در اﻳن شکل دﻳده مﻰشود کﻪ دو بلوک توسط ﻳک‬ ‫تار باﻫم وصل شدهاند و ﻫر دو از انجام تار دﻳگر بﻪ دﻳوار بستﻪ شدهاند‪.‬‬ ‫اکنون در اﻳن شکل با استفاده از قانون دوم نﻴوتن و‬ ‫شرط تعادل انتقالﻰ‪ ،‬اگر کتلﺔ بلوک پاﻳﻴنﻰ ‪1.0kg‬‬ ‫شکل )‪(4-13‬‬ ‫و کتلﺔ بلوک باﻻﻳﻰ ‪ 2.0kg‬و زاوﻳﺔ داده شدة‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪2. 0‬‬ ‫نشﻴب سطح ماﻳل ‪ 31o‬باشند‪ ،‬قوة کشش تار را در‬ ‫‪g‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1 .0‬‬ ‫وضعﻴتﻫاى زﻳر بﻪدست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪ -a‬کشش تارى کﻪ بﻴن ﻫر دو بلوک اتصال دارد‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪ -b‬کشش تارى کﻪ بﻪ دﻳوار بستﻪ شده است‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫تطبﻴﻖ قاﻧﻮن دوم ﻧﻴﻮتﻦ در حرکت داﻳرهﻳﻰ‬ ‫براساس قانون دوم نﻴوتن‪ ،‬اگر باﻻى ﻳک جسم متحرک کدام قوه عمل نکند‪ ،‬جسم بﻪ سرعت‬ ‫و سمت ثابت بﻪ حرکتش ادامﻪ مﻰدﻫد‪ ،‬ﻳعنﻰ براى تغﻴﻴر دادن سرعت و ﻳا جﻬت حرکت ﻳک‬ ‫جسم‪ ،‬ﻳک قوه ضرورى است‪ .‬بﻪ طور مثال اگر موترى را روى ﻳک مسﻴر داﻳرهﻳﻰ با سرعت‬ ‫ثابت مﻰرانﻴد‪ ،‬جﻬت حرکت موتر بﻪ طور دوامدار در ﻫر لحظﻪ تغﻴﻴر مﻰنماﻳد‪ .‬براى تغﻴﻴر‬ ‫دادن اﻳن جﻬت‪ ،‬ﻳک قوه باﻳد باﻻى موتر عمل کند‪ .‬ما مﻰخواﻫﻴم دو چﻴز را دربارة قوهﻳﻰ‬ ‫کﻪ سبب حرکت داﻳرﻳﻰ مﻰگردد‪ ،‬مطالعﻪ کنﻴم‪،‬‬ ‫‪109‬‬

‫ﻳکﻰ سمت اﻳن قوه و دﻳگرى مقدار آن‪ .‬در نخست بﻴاﻳﻴد سمت اﻳن قوه را مطالعﻪ کنﻴم‪.‬‬ ‫فرض مﻰکنﻴم ﻳک توپﻰ کﻪ با ﻳک تار بستﻪ شده مطابق شکل )‪ (4-14‬با حرکت داﻳرهﻳﻰ‬ ‫باﻻى سر ما مﻰچرخد‪ .‬وقتﻰکﻪ شما توپ را دور مﻰدﻫﻴد‪ ،‬ﻳک قوة کشش را در تار احساس‬ ‫مﻰکنﻴد کﻪ دست شما را بﻪ سمت بﻴرون کش مﻰکند‪ .‬آشکارا در انجام دﻳگر تار کﻪ بﻪ توپ‬ ‫اتصال دارد اﻳن قوة کشش بﻪ سمت مخالف؛ ﻳعنﻰ بﻪ طرف مرکز داﻳره عمل مﻰکند کﻪ بﻪ‬ ‫طور خﻼصﻪ چنﻴن مﻰتوان گفت‪:‬‬ ‫(براى اﻳنکﻪ ﻳک جسم بتواند با سرعت ثابت روى‬ ‫ﻳک داﻳره حرکت نماﻳد‪ ،‬ﻳک قوهﻳﻰ کﻪ جﻬت آن‬ ‫متوجﻪ مرکز داﻳره مﻰباشد‪ ،‬باﻳد باﻻى آن عمل‬ ‫کند تا جسم مذکور را بﻪ مرکز داﻳره کش نماﻳد)‪.‬‬ ‫چنانکﻪ توپ بﻪ طرف مرکز داﻳره کش مﻰشود‪ ،‬در‬ ‫نخست اﻳن عجﻴب و غﻴر عادى بﻪ نظر مﻰرسد کﻪ‬ ‫شکل )‪(4-14‬‬ ‫چگونﻪ توپﻰ کﻪ با سرعت ثابت حرکت مﻰکند‪،‬‬ ‫داراى شتاب است‪ .‬پاسخ اﻳن است کﻪ شتاب‬ ‫زمانﻰ بﻪ وجود مﻰآﻳد کﻪ سرعت و ﻳا سمت‬ ‫حرکت تغﻴﻴر نماﻳد‪ ،‬در حرکت داﻳرهﻳﻰ جﻬت‬ ‫حرکت در ﻫر لحظﻪ تغﻴﻴر مﻰکند‪.‬‬ ‫نتﻴجﺔ شتاب بﻪ سوى مرکز را شتاب الﻰ المرکز (‪ )Centripetal acceleration‬مﻰگوﻳند‬ ‫کﻪ بعد از اﻳن آن را بﻪ ( ‪ ) acp‬نشان مﻰدﻫﻴم‪.‬‬ ‫بﻴاﻳﻴد مقدار ‪ a cp‬را براى جسمﻰکﻪ با سرعت ثابت (‪ )v‬روى ﻳک سطح داﻳرهﻳﻰ بﻪ شعاع (‪)r‬‬ ‫دور مﻰخورد محاسبﻪ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪r‬‬

‫‪x‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪o‬‬

‫شکل )‪(4-15‬‬ ‫ﻳک ذره روى مسﻴر داﻳرهﻳﻰ با مرکز ‪ o‬در حرکت است‪.‬‬ ‫ذره ثابت است؛ اما سرعت آن بﻪ طور ثابت در حال تغﻴﻴر است‪.‬‬

‫‪110‬‬

‫شکل )‪ (4-15‬مسﻴر داﻳرهﻳﻰ را با مرکز داﻳره در مبدا کمﻴات وضعﻴﻪ نشان مﻰدﻫد‪ .‬براى‬ ‫حساب کردن شتاب در نقطﺔ ‪ p‬در باﻻى داﻳره‪ ،‬نخست شتاب متوسط ( ‪ )a‬را از نقطﺔ ‪1‬‬ ‫تا نقطﺔ ‪ 2‬چنﻴن بﻪدست مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫‪v v 2 v1‬‬ ‫‪av‬‬

‫‪t‬‬

‫=‬

‫= ‪a av‬‬

‫‪t‬‬

‫شتاب لحظﻪﻳﻰ در نقطﺔ ‪ P‬عبارت از لﻴمت ‪ vt‬است‪ ،‬وقتﻰ کﻪ نقاط ‪ 1‬و ‪ 2‬باﻫم بسﻴار نزدﻳک‬ ‫شوند‪ .‬دوباره بﻪ شکل باﻻ ببﻴنﻴد‪ ،‬دﻳده مﻰشود کﻪ ‪ v1‬بﻪ زاوﻳﺔ باﻻى خط افقﻰ و ‪v 2‬‬ ‫بﻪ عﻴن زاوﻳﺔ در تحت خط افقﻰ قرار دارند‪ .‬ﻫر دو ‪ v1‬و ‪ v 2‬داراى مقدار استند کﻪ قرار زﻳر‬ ‫ﻫر دو وکتور سرعت را چنﻴن مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪V 1 = (v cos ) x + (v sin ) y‬‬ ‫‪V 2 = (v cos ) x + ( v sin ) y‬‬

‫از نتﻴجﺔ تفرﻳق روابط باﻻ قﻴمت ‪ a av‬را چنﻴن بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2v sin‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪v1 v 2‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬

‫= ‪a av‬‬

‫بﻪﻳاد داشتﻪ باشﻴد کﻪ جﻬت ‪ a av‬در نقطﺔ ‪ P‬بﻪ طرف مرکز داﻳره است‪ .‬براى تکمﻴل محاسبﻪ‬ ‫بﻪ ‪( t‬زمانﻰکﻪ جسم از نقطﺔ ‪ 1‬بﻪ نقطﺔ ‪ 2‬مﻰرود) ضرورت دارﻳم‪ .‬چون سرعت جسم‪V،‬‬ ‫و ) ‪ = d = r (2‬فاصلﺔ طﻰ شده از نقطﺔ ‪ 1‬تا نقطﺔ ‪ ،2‬است کﻪ در رابطﺔ مذکور بﻪ رادﻳان‬ ‫اندازه مﻰشود‪ ،‬با وضع نمودن ‪ d‬رابطﺔ باﻻ‪ ،‬قﻴمت ‪ t‬را اﻳنطور بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪d 2r‬‬ ‫=‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬

‫=‪t‬‬

‫از مقاﻳسﺔ ‪ t‬و قﻴمت ‪ a av‬کﻪ در باﻻ حاصل شده‪ ،‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪v 2 sin‬‬ ‫(‬ ‫‪)y‬‬ ‫‪r‬‬

‫= ‪y‬‬

‫‪2v sin‬‬ ‫)‪v‬‬

‫= ‪a av‬‬

‫‪( 2r‬‬

‫براى درﻳافت ‪ a‬در نقطﺔ ‪ ،P‬بﻴاﻳﻴد نقاط ‪ 1‬و ‪ 2‬را با نقطﺔ ‪ P‬بﻪ حدى نزدﻳک سازﻳم کﻪ بﻪ‬ ‫صفر تقرب کند‪( .‬شما مﻰدانﻴد کﻪ وقتﻰ زاوﻳﺔ بﻪ صفر تقرب کند‪ ،‬در آن صورت نسبت‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ sin‬بﻪ طرف (‪ )1‬تقرب مﻰکند) ﻳعنﻰ‪= 1 :‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪V‬‬ ‫باﻻخره شتاب لحظﻪﻳﻰ در نقطﺔ ‪ P‬عبارت است از‪y = acp y :‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪111‬‬

‫=‪a‬‬

‫چنانکﻪ گفتﻪ شد‪ ،‬جﻬت شتاب بﻪ طرف مرکز داﻳره بوده و دﻳده مﻰشود کﻪ مقدار آن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a = V‬مﻰباشد‪ .‬اکنون نتاﻳج باﻻ را چنﻴن خﻼصﻪ مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪cp‬‬

‫وقتﻰ کﻪ ﻳک جسم بﻪ سرعت (‪ )v‬روى مسﻴر ﻳک داﻳره با شعاع (‪ )r‬حرکت مﻰکند‪ ،‬شتاب‬ ‫الﻰ المرکز عبارت از ‪ a = Vr‬مﻰباشد‪ .‬ﻳک قوه باﻳد باﻻى جسم عمل کند تا بﻪ جسم مذکور‬ ‫حرکت داﻳرهﻳﻰ بدﻫد‪ .‬براى ﻳک جسم داراى کتلﺔ ‪ ،m‬مقدار قوة محصلﺔ عامل باﻻى آن‬ ‫توسط رابطﺔ زﻳر تعﻴﻴن مﻰگردد‪:‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪cp‬‬

‫‪r‬‬

‫‪Fcp = macp = m‬‬

‫جﻬت اﻳن قوه بﻪ طرف مرکز داﻳره موجﻪ است‪ .‬باﻳد دانست کﻪ قوة الﻰ المرکز ‪ Fcp‬مﻰتواند‬ ‫بﻪ ﻳک تعداد طرﻳقﻪﻫاى زﻳادى بﻪ وجود آﻳد‪ .‬بﻪ طور مثال ‪ Fcp‬ممکن است؛ مانند باﻻ کشش‬ ‫ﻳک تار باشد‪ ،‬ممکن است از اثر اصطکاک بﻴن سرک و تاﻳرﻫاى موتر بﻪ وجود آﻳد (وقتﻰکﻪ‬ ‫موتر در ﻳک سرک دور مﻰخورد)‪ Fcp ،‬مﻰتواند قوة جاذبﻪ کﻪ سبب چرخش قمر مصنوعﻰ‬ ‫و ﻳا دوران مﻬتاب بﻪ دور زمﻴن باشد‪ .‬پس ‪ Fcp‬عبارت از قوهﻳﻰ است کﻪ باﻳد وجود داشتﻪ‬ ‫باشد تا سبب حرکت داﻳرهﻳﻰ گردد‪.‬‬

‫‪ :4-5‬قﻮة اصطکاک‬ ‫در در صنفﻫاى گذشتﻪ در مورد اصطکاک بﻪ طور فشرده آشنا شدﻳد‪ .‬تجارب روزمره نشان‬ ‫مﻰدﻫد کﻪ اگر گلولﻪﻳﻰ روى ﻳک سطح افقﻰ بﻪ حرکت بﻴاﻳد‪ ،‬گلولﺔ مذکور بعد از طﻰ‬ ‫فاصلﻪﻳﻰ متوقف مﻰگردد‪ ،‬در حالﻰکﻪ بر اساس قانون اول نﻴوتن باﻳد اﻳن گلولﻪ بﻪ حرکت‬ ‫مستقﻴم الخط منظم خود براى ﻫمﻴشﻪ ادامﻪ دﻫد‪ ،‬و ﻳا اگر ﻳک رقاصﻪ بﻪ اﻫتزاز آورده شود‪،‬‬ ‫مشاﻫده مﻰگردد کﻪ با گذشت زمان فاصلﺔ رقاصﻪ از خط عمودى آﻫستﻪ‪ ،‬آﻫستﻪ کم گردﻳده‬ ‫و در نتﻴجﻪ رقاصﻪ ساکن مﻰگردد‪ .‬اما نظر بﻪ قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ‪ ،‬بﻪ دلﻴل تبدﻳل‬ ‫شدن انرژى پتانسﻴل بﻪ انرژى حرکﻰ و بر عکس آن‪ ،‬باﻳد اﻫتزاز رقاصﺔ مذکور باعﻴن فاصلﻪ‬ ‫از خط عمودى بﻪ صورت متناوب براى ﻫمﻴشﻪ تکرار شود و کاﻫش در اﻳن فاصلﻪ ﻫرکزبﻪ‬ ‫مشاﻫده نرسد‪ .‬از ساکن شدن گلولﻪ باﻻى سطح افقﻰ و کاﻫش فاصلﺔ رقاصﻪ از خط عمودى‬ ‫نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ بﻪ طور حتمﻰ بر خﻼف جﻬت حرکت آنﻫا‪ ،‬قوهﻳﻰ عمل نموده است‪ ،‬کﻪ‬ ‫اﻳن قوه را بﻪ نام «قوة اصطکاک» ﻳاد مﻰکنند‪ .‬قوة اصطکاک وقتﻰ بﻪ وجود مﻰآﻳد کﻪ ﻳک‬ ‫جسم جامد باﻻى جسم جامد دﻳگر‪ ،‬در بﻴن ماﻳع و ﻳا در بﻴن گاز حرکت نماﻳد‪ .‬قوة اصطکاک‬ ‫را در دوحالت بررسﻰ مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪ 1‬جسم نسبت بﻪ سطحﻰ کﻪ برروى آن قرار دارد‪ ،‬کش شده؛ ولﻰ ساکن مﻰماند‪ .‬در اﻳن‬ ‫حالت‪ ،‬قوة اصطکاک را بﻪ نام «قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ (سکون)» ﻳادمﻰکنند‪.‬‬

‫‪112‬‬

‫‪ - 2‬جسم نسبت بﻪ سطحﻰ کﻪ برآن قرار دارد‪ ،‬در حرکت مﻰباشد‪ .‬در اﻳن حالت‪ ،‬قوة‬ ‫اصطکاک را «قوة اصطکاک دﻳنامﻴکﻰ (حرکﻰ)» مﻰنامند‪.‬‬ ‫در زﻳر ﻫر ﻳک از حالتﻫا را مورد مطالعﻪ قرار مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫‪ - 1‬قﻮة اصطکاک سکﻮن (ستاتﻴکﻰ)‪ :‬اصطکاک بﻴن جامدات کﻪ با ﻳکدﻳگر در تماس‬ ‫ﻫستند‪ ،‬بﻪ علتﻰ بﻪ وجود مﻰآﻳد کﻪ سطح تماس اجسام ﻫﻴچگاه ﻫموار و مسطح نمﻰباشد‪.‬‬ ‫بنابراﻳن وقتﻰکﻪ ﻳک جسم جامد روى جسم جامد دﻳگرى کشانده مﻰشود‪ .‬در اﻳن حالت‬ ‫سطوح اجسام مذکور باﻻى ﻳکدﻳگر تولﻴد اصطکاک مﻰکنند‪.‬‬ ‫حال فرض کنﻴد‪ ،‬جسمﻰ مطابق شکل (‪ )a‬روى ﻳک سطح‬ ‫افقﻰ بﻪ حالت سکون قرار دارد‪ .‬بﻪ جسم قوة افقﻰ‪ F‬را وارد‬ ‫) ‪(a‬‬ ‫گﻴرﻳم‪،‬‬ ‫مﻰکنﻴم‪ .‬در ابتدا اندازة اﻳن قوه را کوچک و برابر مﻰ ‪F‬‬ ‫بﻪ طورى کﻪ جسم ساکن بماند‪.‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫‪Fs‬‬ ‫شکل (‪ ،)b‬چون جسم ساکن است‪ ،‬بر اساس قانون دوم‬ ‫)‪(b‬‬ ‫نﻴوتن باﻳد محصلﺔ قوهﻫاى وارده بر جسم مساوى بﻪ صفر‬ ‫باشد‪ .‬بنابراﻳن باﻳد قوة افقﻰ مانند ‪ f s‬بﻪ جسم وارد شده ‪F 2‬‬ ‫‪Fs‬‬ ‫باشد تا با خنثﻰ کردن اثر قوة ‪ ، F‬مانع شتاب گرفتن و حرکت‬ ‫جسم شده باشد‪.‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪1‬‬

‫شکلﻫاى (‪)4-16‬‬

‫قوة ‪ f s‬را سطح تکﻴﻪگاه بﻪ جسم واردمﻰکند کﻪ بﻪ اﻳن قوه‪،‬‬ ‫« قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ» مﻰگوﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a=0‬‬ ‫‪F1 f S = 0‬‬ ‫=‪a‬‬

‫‪f s = F1‬‬

‫‪F3‬‬

‫‪F s max‬‬

‫) ‪(d‬‬

‫حال فرض کنﻴدکﻪ اندازة قوة ‪ F‬را افزاﻳش داده و بﻪاندازة ‪ F2‬مﻰرسانﻴم ‪ .‬در اﻳن حالت‪ ،‬اگر‬ ‫جسم ﻫمچنان ساکن باقﻰ بماند‪ ،‬با استدﻻل شبﻴﻪ باﻻ‪ ،‬نتﻴجﻪ مﻰگﻴرﻳم کﻪ قوة اصطکاک‬ ‫ستاتﻴکﻰ افزاﻳش ﻳافتﻪ و برابر ‪ F2‬شده است‪ .‬بنا بر اﻳن با افزاﻳش قوة ‪ ، F‬قوة اصطکاک‬ ‫ستاتﻴکﻰ نﻴز افزاﻳش مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪113‬‬

‫اگر بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب مقدار قوة ‪ F2‬را افزاﻳش دﻫﻴم و آن را با ‪ F3‬نشان دﻫﻴم‪ ،‬جسم در اثناى‬ ‫حرکت قرار مﻰگﻴرد‪ .‬اﻳن بدان معناست کﻪ اگر اندازة قوة ‪ F3‬از مقدار ‪ Fs‬اندکﻰ بﻴشتر شود‪،‬‬ ‫جسم ساکن نمانده وشروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ .‬بﻪ قوة اصطکاک در اﻳن حالت « قوة اصطکاک‬ ‫در اثناى حرکت» گفتﻪ مﻰشود و با ‪ f S max‬نشان داده مﻰشود‪ .‬از قانون دوم نﻴوتن نتﻴجﻪ‬ ‫مﻰشود کﻪ در حالت اخﻴر‪ f s max = F3 ،‬است وﻫمچنﻴن اندازة اصطکاک در اثناى حرکت را‬ ‫مﻰتوان از رابطﺔ زﻳر بﻪدست آورد‪:‬‬ ‫) ‪f s max = s N . . . .( a‬‬ ‫در اﻳن رابطﻪ‪ N ،‬قوة عمودى تکﻴﻪگاه است و ‪ s‬ضرﻳب اصطکاک ستاتﻴکﻰ نام دارد کﻪ تابع‬ ‫نوعﻴت و طبﻴعت سطوحﻰ کﻪ با ﻳکدﻳگر در تماس ﻫستند مﻰباشد‪ . s‬ﻳک کمﻴت فزﻳکﻰ‬ ‫بدون واحد است‪ .‬چرا؟‬ ‫ﻧﻮت‪ :‬رابطﺔ (‪ )a‬باﻻ فقط در حالتﻰ درست است کﻪ جسم در اثناى حرکت قرار داشتﻪ‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫بنا بر اﻳن قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ ﻫمواره از مقدار « ‪ » N‬کوچکتر‪ ،‬و حداکثر (‪)Maximum‬‬ ‫آن برابر با ‪N‬‬ ‫‪ f s‬است‪.‬‬ ‫ﻳعنﻰ ‪s N :‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 10kg‬را روى سطح افقﻰ با ضرﻳب اصطکاک ستاتﻴکﻰ ‪ s = 0.4‬قرار‬ ‫داده و آن را با قوة افقﻰ‪ 25‬نﻴوتن کش مﻰکنﻴم‪ ،‬ولﻰ قادر بﻪ تکان دادن آن نﻴستﻴم‪ .‬اندازة‬ ‫قوة اصطکاک بر حسب نﻴوتن را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪m =10kg‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪s‬‬

‫‪F‬‬

‫‪= 0.4‬‬

‫‪f‬‬

‫‪s‬‬

‫‪F = 25 N‬‬ ‫‪V =0‬‬ ‫? = ‪fs‬‬

‫شکل (‪)4-17‬‬

‫حل‪ :‬چون با وارد کردن قوة ‪ ،F‬جسم حرکت نمﻰکند و ساکن باقﻰ مﻰماند‪ ،‬بﻪ اﻳن معنﻰ‬ ‫کﻪ مقدار قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ جسم بزرگتر از اﻳن قوة وارده است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪= 40 N > F‬‬ ‫‪s2‬‬

‫‪m.g = 0.4 × 10kg × 10‬‬

‫‪s‬‬

‫=‪N‬‬

‫‪s‬‬

‫سؤال‬

‫= ‪Fs‬‬

‫در شکل مقابل جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 2kg‬روى سطح افقﻰ قرار دارد و قوهﻫاى‪ F1‬و ‪ F2‬کﻪ اندازة ﻫر کدام ‪5‬‬ ‫نﻴوتن است بر جسم عمل مﻰکند‪ .‬جسم در حال حرکت ﻳکنواخت قرار دارد‪ .‬ضرﻳب اصطکاک ستاتﻴکﻰ‬ ‫بﻴن جسم و سطح افقﻰ را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪F = w = (10 × 2) N‬‬ ‫شکل (‪)4-18‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪114‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪ -2‬قﻮة اصطکاک حرکﻰ (دﻳﻨاﻣﻴکﻰ)‪ :‬فرض کنﻴد کﻪ صندوقﻰ را روى ﻳک سطح افقﻰ‬ ‫کش مﻰکنﻴد‪ .‬اگر صندوق را دﻳگر کش نکنﻴد‪ ،‬مﻰبﻴنﻴد کﻪ سرعت آن آﻫستﻪ‪ ،‬آﻫستﻪ کاﻫش‬ ‫مﻰﻳابد و پس از لحظاتﻰ مﻰاﻳستد‪ .‬اگر موترى را کﻪ روى ﻳک سطح افقﻰ در حال حرکت‬ ‫است‪ ،‬برک کنﻴد‪ ،‬پس از مدتﻰ موتر مﻰاﻳستد‪ .‬با توجﻪ بﻪ اﻳن کﻪ قوه‪ ،‬عامل تغﻴﻴر سرعت‬ ‫است‪ ،‬باﻳد قوهﻳﻰ بر خﻼف جﻬت حرکت‪ ،‬بﻪ جسم وارد شده باشد‪ .‬اﻳن قوه عبارت از قوة‬ ‫اصطکاک حرکﻰ (دﻳنامﻴکﻰ) مﻰباشد‪ .‬ﻫرگاه جسم جامدى روى سطح جسم جامددﻳگرى‬ ‫حرکت کند‪ ،‬قوهﻳﻰ موازى بﻪ سطح تماس بﻪ ﻫرﻳک از دو جسم‪ ،‬از طرف ﻳک جسم بﻪ جسم‬ ‫دﻳگر‪ ،‬وارد مﻰشود کﻪ قوة اصطکاک حرکﻰ (دﻳنامﻴکﻰ) نام دارد‪ .‬در اﻳنجا نﻴز مانند رابطﺔ‬ ‫باﻻ معادلﺔ زﻳر صدق مﻰکند‪:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫= ‪Fk‬‬

‫‪F‬‬

‫عبارت از ضرﻳب اصطکاک حرکﻰ (دﻳنامﻴکﻰ) مﻰباشد‪.‬‬

‫شکل (‪)4-19‬‬ ‫بحث کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫاى مختلف صنفﻰ در مورد «تفاوت بﻴن قوة صطکاک ســتاتﻴکﻰ و قوة اصطکاک حرکﻰ» باﻫم بحث کنﻴد‬ ‫و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 12kg‬را توسط طنابﻰ کﻪ بﻪ آن وصل است‪ ،‬روى سطح افقﻰ مﻰکشﻴم‪،‬‬ ‫اگر جﻬت طناب افقﻰ‪ ،‬وضرﻳب اصطکاک حرکﻰ بﻴن سطح تماس دو جسم برابر بﻪ ‪0.25‬‬ ‫باشد‪ .‬قوة اصطکاک حرکﻰ وارد بر جسم چند نﻴوتن خواﻫد بود؟ (‪ g‬را برابر بﻪ ‪ 10 m‬فرض‬ ‫‪s2‬‬ ‫کنﻴد)‪ .‬موضوع را در زﻳر مورد بررسﻰ قرار مﻰدﻫﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬قوهﻫاى وارده بر جسم در شکل زﻳر نشان داده شده است‪ .‬چون جسم در امتداد سطح‬ ‫افقﻰ حرکت مﻰکند‪ ،‬از قانون دوم نﻴوتن نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ محصلﺔ قوهﻫاى وارده بر جسم‬ ‫در جﻬت عمود صفر است‪:‬‬ ‫‪N W =0‬‬ ‫‪N = W = mg‬‬ ‫) ‪N = 120 ( N‬‬ ‫‪fk = k N‬‬ ‫شکل (‪)4-20‬‬

‫‪115‬‬

‫‪f k = 0.25 × 120‬‬ ‫) ‪f k = 30 ( N‬‬

‫ﻣثال‪ :‬در مثال قبل‪ ،‬اگر طناب را با قوة ‪ F = 36 N‬بکشﻴم‪ ،‬شتاب حرکت چقدر خواﻫد بود؟‬ ‫حل‪ :‬از قانون دوم نﻴوتن براى محاسبﻪ شتاب استفاده مﻰکنﻴم‪ .‬محصلﺔ قوهﻫاى وارده بر‬ ‫جسم برابر است با‪:‬‬ ‫‪F F =m a‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪F‬‬

‫‪Fk 36 30‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪6 1m‬‬ ‫‪= 0.5 2‬‬ ‫=‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪12 2 s‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪:‬‬ ‫در شکل مقابل‪ ،‬جسم با شتاب‬ ‫‪s2‬‬ ‫ضرﻳب اصطکاک حرکﻰ را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪ 4 m‬در حال حرکت است‪ .‬اگر کتلﺔ جسم ‪ 20kg‬باشد‪،‬‬ ‫‪100 N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ :4-6‬قاﻧﻮن جاذبﺔ ﻧﻴﻮتﻦ‬ ‫آﻳا تا کنون از خود پرسﻴده اﻳد کﻪ چرا وقتﻰ ﻳک جسم را بﻪ طرف باﻻ پرتاب مﻰکنﻴم‪،‬‬ ‫پس از مدتﻰ بﻪ پاﻳﻴن مﻰافتد؟ و ﻳا چرا آب در جوﻳبارﻫا بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت مﻰکند؟ از‬ ‫زمانﻫاى قدﻳم‪ ،‬بشرمﻰدانست کﻪ زمﻴن‪ ،‬جسمﻫاى مجاور خود را بﻪ سوى خود مﻰکشد‪ .‬بﻪ‬ ‫اﻳن قوه‪ ،‬قوة جاذبﻪ گفتﻪ مﻰشود‪ .‬نﻴوتن دانشمند انگلﻴسﻰ با بﻴان قانون جاذبﻪ‪ ،‬نشان داد‬ ‫کﻪ قوة جاذبﻪ مﻴان ﻫر دوجسم وجود دارد‪ .‬بنا بر قانون جاذبﺔ نﻴوتن‪ ،‬ﻫردو کتلﻪ‪ ،‬ﻫمواره‬ ‫ﻳکدﻳگر راجذب مﻰکنند‪ .‬نﻴوتن قانون جاذبﻪ را بﻪ صورت زﻳر بﻴان نمود‪:‬‬ ‫« قوة جاذبﻪ مﻴان دو کتلﻪ با حاصل ضرب کتلﻪﻫا نسبت مستقﻴم و با مربع فاصلﺔ آنﻫا از‬ ‫ﻳکدﻳگر‪ ،‬نسبت معکوس دارد»‪.‬‬ ‫اگر کتلﻪﻫاى‪ m1 ،‬و ‪ m2‬و فاصلﺔ مﻴان آنﻫا مطابق شکل زﻳر برابر بﻪ ‪ r‬باشد‪ ،‬اندازة قوة‬ ‫جاذبﻪﻳﻰ مﻴان دو کتلﻪ (‪ ) F‬از رابطﺔ زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪F1.2 = F2.1 = F‬‬

‫عمل و عکس العمل‬ ‫)‪. . . . . (1‬‬

‫‪m1 m2‬‬ ‫‪r2‬‬

‫‪2.1‬‬

‫‪F‬‬

‫=‬

‫‪F =G‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪m1‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪F 2.1‬‬

‫‪F 1. 2‬‬

‫شکل (‪)4-21‬‬

‫‪116‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪F‬‬

‫در اﻳن رابطﻪ ‪ G‬ثابت جﻬانﻰ جاذبﻪ نام دارد‪ .‬درسﻴستم‪ SI‬و احد اندازهگﻴرى کتلﻪ‪ ،‬کﻴلوگرام‬ ‫(‪ ،)kg‬واحد اندازهگﻴرى قوه‪ ،‬نﻴوتن (‪ )N‬و واحد اندازهگﻴرى فاصلﻪ‪ ،‬متر (‪ )m‬است‪ ،‬پس ‪G‬‬ ‫‪2‬‬ ‫برابر است با‪:‬‬ ‫‪11 N m‬‬ ‫‪G = 6.67 ×10‬‬

‫‪kg 2‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬دو جسم باکتلﻪﻫاى ‪ 5kg‬و ‪ 12kg‬در فاصلﺔ ﻳک مترى از ﻳکدﻳگر قرار دارند‪ .‬قوة‬

‫جاذبﻪﻳﻰ مﻴان آنﻫا را محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪F = 4 ×10 9 N‬‬

‫‪5 × 12‬‬ ‫‪12‬‬

‫×‬

‫‪11‬‬

‫‪m1 m2‬‬ ‫‪r2‬‬

‫‪F = 6.67 ×10‬‬

‫‪F =G‬‬

‫ﻫمانطورکﻪ مثال باﻻ نشان مﻰدﻫد‪ .‬قوة جاذبﻪﻳﻰ مﻴان جسمﻫاى با کتلﻪﻫاﻳﻰ کوچک‪ ،‬قابل‬ ‫صرف نظر است‪.‬‬ ‫سؤال‬

‫کتلﺔ زمﻴن تقرﻳبا ‪ 6×1024 kg‬و شعاع زمﻴن تقرﻳباً ‪ 6.4 ×106 m‬است‪ ،‬قوة جاذبﻪﻳﻰ زمﻴن کﻪ بﻪ شما وارد‬ ‫مﻰشود‪ ،‬حدود چندنﻴوتن است؟ (براى محاسبﺔ اﻳن قوه‪ ،‬کتلﺔ زمﻴن را متمرکز در مرکز زمﻴن فرض‬ ‫کنﻴد)‪.‬‬

‫قﻮة وزن – شتاب جاذبﻪ‬ ‫در فصل دوم در بحث سقوط آزاد اجسام‪ ،‬دانستﻴد کﻪ شتاب در حرکت سقوط آزاد‪ ،‬براى‬ ‫تمام جسمﻫا ﻳکسان و برابر بﻪ ‪ g‬است‪ ،‬قوهﻳﻰ کﻪ با عث اﻳجاد اﻳن شتاب مﻰشود از قانون‬ ‫‪F = ma , a = g‬‬ ‫دوم نﻴوتن چنﻴن محاسبﻪ مﻰکنﻴم‪F = mg . . . . ( 2 ) .‬‬ ‫از طرف دﻳگر مﻰدانﻴم کﻪ قوة وزن‪ ،‬باعث سقوط جسم مﻰشود‪ .‬اگر قوة وزن را با حرف ‪w‬‬ ‫نشان دﻫﻴم ‪ .‬با توجﻪ بﻪ را بطﺔ (‪ )2‬خواﻫﻴم داشت‪F = W w = mg . . . . ( 3 ) :‬‬ ‫قوة وزن‪ ،‬عبارت از قوة جاذبﻪﻳﻰ است کﻪ زمﻴن بﻪ جسم وارد مﻰکند‪ .‬اگر کتلﻪ و شعاع زمﻴن‬ ‫را بﻪ ترتﻴب با ‪ Me‬و ‪ Re‬نشان دﻫﻴم‪ ،‬با استفاده از رابطﺔ (‪ )1‬نﻴز مﻰتوان وزن جسم‪ ،‬ﻳعنﻰ‬ ‫‪m Me‬‬ ‫قوة جاذبﺔ زمﻴن بر جسم را چنﻴن حساب کرد‪. . . ( 4 ) .‬‬ ‫‪W =F‬‬ ‫‪W =G‬‬ ‫‪2‬‬

‫با مقاﻳسﺔ روابط (‪ )4( ،)3‬نتﻴجﻪ مﻰشود‪):‬‬

‫‪5‬‬

‫(‬

‫‪Me‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪Re2‬‬

‫‪Re‬‬

‫‪g =G‬‬

‫‪m Me‬‬ ‫‪m.g = G‬‬ ‫‪Re2‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬ﻫر قدر از سطح زمﻴن دور شوﻳم مقدار ‪ g‬کاﻫش مﻰﻳابد‪ .‬اگر در ارتفاع کﻴفﻰ ‪ h‬از‬ ‫سطح زمﻴن‪g ،‬را برابر بﻪ َ‪ g‬فرض کنﻴم‪ ،‬خواﻫﻴم داشت‪:‬‬ ‫‪Me‬‬

‫‪(Re + h )2‬‬

‫‪117‬‬

‫‪g =G‬‬

‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫تحقﻴق کنﻴد کﻪ ضرﻳب ثابت جﻬانﻰ جاذبﻪ (‪ )G‬نخســتﻴن بار توســط چﻪ کســﻰ محاسبﻪ شده است‪ ،‬خﻼصﺔ روش‬ ‫کار او را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫سؤال‬

‫با توجﻪ بﻪ اﻳن کﻪ مقدار متوسط ‪ g‬در سطح زمﻴن در حدود‬ ‫است‪ ،‬کتلﺔ زمﻴن را حساب کنﻴد‬

‫‪ 9.8 m‬و شعاع زمﻴن حدود ‪6.4 ×10 m‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪s2‬‬

‫پراشﻮت‬ ‫براى مطالعﺔ حرکت پراشوت ﻻزم است‪ ،‬سقوط آزاد‬ ‫جسمﻰ را کﻪ شتاب آن ﻫنگام سقوط در جو زمﻴن بﻪ‬ ‫نسبت موجودﻳت مقاومت ﻫوا در تغﻴﻴر است‪ ،‬مطالعﻪ‬ ‫نماﻳﻴم‪ .‬ﻳک ﻫوا باز از پراشوت بﻪ منظور کماﻳﻰ کردن‬ ‫ﻳک قوة بزرگ مقاومت ﻫوا کﻪ بتواند موازنﻪ را با قوة‬ ‫وزنش بﻪ وجود آورده و او را بﻪ طرف باﻻ کش کند‪،‬‬ ‫استفاده مﻰکند (مقدار اﻳن قوة کش کننده حتا اگر‬ ‫پراشوت بازﻫم نباشد قابل صرف نظر نﻴست و در چنﻴن‬ ‫حالتﻰ‪ ،‬ﻫوا باز بﻪ سرعت زﻳاد سقوط خواﻫد کرد)‪.‬‬ ‫قوة مقاومت کش کننده بﻪ طرف باﻻ کﻪ باﻻى جسمﻰدر‬ ‫حال سقوط در ﻫوا وارد مﻰشود (کﻪ بعد از اﻳن‪ ،‬اﻳن قوه‬ ‫را بﻪ ‪ Fd‬نشان خواﻫﻴم داد)‪ ،‬و با زﻳاد شدن سرعت جسم‬ ‫بﻪ طور اتوماتﻴک افزاﻳش مﻰﻳابد و مقدار آن متناسب با‬ ‫مربع سرعت جسم مﻰباشد؛ ﻳعنﻰ‪Fd = bV 2 :‬‬ ‫شکل (‪)4-22‬‬ ‫قﻴمت‪ b‬ثابت بوده و بﻪاندازه و شکل جسم مربوط مﻰباشد و جﻬت قوة مقاومت مخالف‬ ‫جﻬت حرکت مﻰباشد‪ .‬چون با زﻳاد شدن سرعت‪ ،‬قوة مقاومت افزاﻳش مﻰﻳابد‪ ،‬پس وقتﻰکﻪ‬ ‫قوة مقاومت کش کننده با وزن جسم از نظر مقدار مساوى گردد‪ ،‬در چنﻴن حالت خواه‬ ‫مخواه جسم سقوط کننده در وضعﻴت تعادل قرار خواﻫد گرفت‪.‬‬ ‫سرعتﻰ کﻪ در آن مقدار قوة مقاومت مساوى بﻪ وزن جسم مﻰشود‪ ،‬بﻪنام سرعت حدى جسم‬ ‫ﻳاد مﻰشود‪ .‬وقتﻰ کﻪ سرعت جسم بﻪ سرعت حدى نزدﻳک شده مﻰرود‪ ،‬شتاب کوچک و‬ ‫کوچکتر مﻰگردد‪ .‬زمانﻰکﻪ جسم بﻪ سرعت حدى مﻰرسد‪ ،‬شتاب آن صفر مﻰگردد‪ .‬اگر‬ ‫سرعت حدى را بﻪ ‪ vt‬نشان دﻫﻴم‪ ،‬چون مقدار قوة مقاومت در اﻳن سرعت با وزن جسم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fd = mg = bVt‬‬ ‫مساوى است‪ ،‬پس مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪b = mg Vt :‬‬ ‫‪118‬‬

‫بنابرآن براى ﻫر سرعت اختﻴارى مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Vt‬‬

‫‪Fd = mg‬‬

‫سرعت حدى جسم مربوط بﻪاندازه‪ ،‬شکل و کتلﺔ آن مﻰباشد‪ .‬جدول زﻳر سرعتﻫاى حدى‬ ‫چند جسم را بﻪ طور نمونﻪ نشان مﻰدﻫد‪:‬‬ ‫سرعت حدى) ‪(m s‬‬

‫جسﻢ‬ ‫پر مرغ‬

‫‪0.5‬‬

‫دانﺔ برف‬

‫‪1‬‬

‫قطرة باران‬

‫‪7‬‬ ‫‪5 9‬‬

‫ﻫواباز (با پراشوت باز)‬ ‫عقاب پرنده‬

‫‪50 60‬‬

‫ﻫواباز (با پراشوت پرنده)‬

‫‪80‬‬

‫مرمﻰ‬

‫‪100‬‬

‫ﻣثال ‪ - 1‬دو ﻫوا باز داراى پراشوتﻫاى ﻫم مانند بوده و کتلﻪﻫاى آنﻫا (بﻪشمول پراشوتﻫا)‬ ‫‪ 62.0 Kg‬و ‪ 82.0 Kg‬مﻰباشد‪ .‬کدام ﻫواباز سرعت حدى بﻴشتر دارد و نسبت سرعتﻫاى حدى‬ ‫شان را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫رﻫﻨﻤﻮد براى حل ﻣثال‬ ‫چون پراشوتﻫا ﻫم مانند استند‪ ،‬پس توقع اﻳن است کﻪ در ﻳک سرعت معﻴن باﻳد مقدار قوة‬ ‫مقاومت کش کننده باﻻى ﻫر دو پراشوت ﻳکسان عمل نماﻳد‪.‬‬ ‫ﻫواباز سنگﻴنتر باﻳد براى اﻳنکﻪ قوة مقاومت برابر بﻪ وزنش باشد‪ ،‬سرﻳعتر سقوط نماﻳد‪،‬‬ ‫بنابرآن ﻫواباز ‪ ، 82.0 Kg‬باﻳد سرعت حدى بزرگتر داشتﻪ باشد‪.‬‬ ‫براى تعﻴﻴن نسبت سرعتﻫاى حدى‪ ،‬ابتدا مﻰﻳابﻴم کﻪ چطور سرعتﻫاى حدى مربوط بﻪ‬ ‫کتلﻪ مﻰشوند‪ ،‬و سپس باﻻى اﻳن نسبتﻫا کار خواﻫﻴم کرد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در سرعت حدى ‪ Vt‬قوة مقاومت باﻳد مساوى بﻪ وزن جسم باشد؛ ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mg = Fd = bVt‬‬

‫‪119‬‬

‫چون پراشوتﻫا ﻳکسان ﻫستند‪ ،‬انتظار دارﻳم کﻪ قﻴمت ثابت ‪ b‬براى ﻫر دو پراشوت‬ ‫‪ ، Vt‬پس ﻫواباز سنگﻴنتر سرعت حدى بزرگتر داشتﻪ‬ ‫ﻳکسان باشد‪ ،‬بنابرآن‪ :‬چون ‪m‬‬ ‫و او براى اﻳنکﻪ قوة مقاومت را با وزنش در توازن آورد‪ ،‬باﻳد سرﻳعتر حرکت کند‪.‬‬ ‫پس نسبت سرعتﻫاى حدى چنﻴن خواﻫد بود‪:‬‬ ‫‪82,0 Kg‬‬ ‫‪= 1,15‬‬ ‫‪62,0 Kg‬‬

‫‪m2‬‬ ‫=‬ ‫‪m1‬‬

‫‪Vt 2‬‬ ‫=‬ ‫‪Vt 1‬‬

‫سرعت حدى ﻫواباز داراى وزن ‪ ، 82.0 Kg‬برابر بﻪ ‪ 1,15‬چند سرعت حدى ﻫواباز کم وزن تر‬ ‫است ﻳعنﻰ ‪ 15%‬سرﻳعتر حرکت نموده‪.‬‬ ‫‪82,0 Kg‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ 62,0 Kg‬اما سرعت‬ ‫ﻣباحثﻪ‪ :‬ﻫواباز داراى وزن ‪ 32% ، 82.0 Kg‬سنگﻴنتر است‪ ،‬زﻳرا‪:‬‬ ‫حدى آن فقط ‪ 15%‬زﻳاد تر است وسبب آن اﻳن است کﻪ قوة مقاومت ﻳک راست متناسب‬ ‫با مربع سرعت است؛ ﻳعنﻰ ﻫمﻴن ‪ 15%‬سرعت بﻴشتر‪ ،‬قوة مقاومت را ‪ 32%‬افزاﻳش مﻰدﻫد‪،‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪(1 15) 2 = 1 32‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫ﻳک پﻴلوت خود را با پراشوت از ارتفاع ‪ 2000m‬از سطح زمﻴن از طﻴاره اش سقوط مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫اگر کتلﺔ مجموعﻰ پﻴلوت و پراشوت ‪ 112kg‬باشد‪ ،‬قوة مقاومت ﻫوا زمانﻰکﻪ پﻴلوت بﻪ‬ ‫سرعت حدى مﻰرسد‪ ،‬چند است؟‬ ‫ﻣثال‪ -‬ﻳک توپ باسکتبال از باﻻى ﻳک تعمﻴر مرتفع رﻫا مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ .a‬شتاب اولﻰ توپ در لحظﺔ سقوط چند است؟‬ ‫‪ .b‬شتاب توپ را در لحظﻪﻳﻰ کﻪ بﻪ سرعت حدى اش مﻰرسد‪ ،‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ .c‬شتاب توپ را در لحظﻪﻳﻰ کﻪ سرعت آن بﻪ نصف سرعت حدى مﻰرسد‪ ،‬درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫رﻫﻨﻤﻮد براى حل ﻣثال‬ ‫محور مثبت ‪ Y‬را انتخاب مﻰکنﻴم تا طبق معمول نقاط را روى آن بﻪ سمت باﻻ نشانﻰ کنﻴم‪.‬‬ ‫چون توپ از حالت سکون پرتاب مﻰشود‪ ،‬بنابرآن ﻳگانﻪ قوهﻳﻰ کﻪ در لحظﺔ اول پرتاب باﻻى‬ ‫آن عمل مﻰکند‪ ،‬قوة جاذبﺔ زمﻴن است‪ .‬در اﻳن لحظﻪ چون سرعت صفر است‪ ،‬قوة مقاومت‬ ‫ﻫوا ﻫم صفر است‪ .‬وقتﻰ کﻪ توپ در حرکت است‪ ،‬قوة مقاومت در قوة منتجﺔ وارده برجسم‬ ‫سﻬﻴم مﻰباشد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ .a‬چون قوة مقاومت صفر است‪ ،‬شتاب اولﻴﻪ مساوى بﻪ شتاب سقوط آزاد است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫) ‪(a = g‬‬

‫‪ .b‬وقتﻰ کﻪ توپ بﻪ سرعت حدى اش مﻰرسد‪ ،‬مقدار قوة مقاومت مساوى بﻪ وزن توپ بوده؛‬ ‫ولﻰ بﻪ سمت مخالف عمل مﻰکند‪ ،‬و چون در اﻳن حالت قوة منتجﻪ باﻻى توپ صفر است‪،‬‬ ‫پس شتاب در سرعت حدى صفر مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪a = O :‬‬

‫‪120‬‬

‫‪ .c‬وقتﻰ کﻪ توپ بﻪ نصف سرعت حدى در حال سقوط است‪ ،‬قوة مقاومت مﻬم است‪ ،‬اما اﻳن‬ ‫قوه از وزن توپ کمتر است‪ .‬قوة محصلﻪ بﻪ سمت پاﻳﻴن و بنابرآن شتاب نﻴز (ﻫر چند با مقدار‬ ‫کمتر) بﻪ طرف پاﻳﻴن عمل مﻰکند‪ .‬مﻰدانﻴم کﻪ قوة مقاومت در ﻫر سرعت توسط رابطﺔ زﻳر‬ ‫تعﻴﻴن مﻰشود‪:‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Vt‬‬

‫‪Fd = mg‬‬

‫ﻫمچنان مﻰدانﻴم کﻪ اﻳن قوه بﻪ سمت مخالف وزن بﻪ طرف باﻻ عمل مﻰکند‪ ،‬پس قوة‬ ‫منتجﺔ عمودى را چنﻴن مﻰنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪F = Fd mg = mg‬‬ ‫( ‪mg = mg‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Vt‬‬

‫‪y‬‬

‫‪Vt‬‬

‫با تطبﻴق قانون دوم نﻴوتن دارﻳم کﻪ‪Fy = ma y :‬‬

‫براى بﻪدست آوردن قﻴمت شتاب حاصلﻪ مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫)‪1‬‬

‫‪V2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Vt‬‬

‫( ‪ay = g‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪V2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Vt‬‬

‫( ‪ma y = mg‬‬

‫در لحظﻪﻳﻰ سرعت مساوى بﻪ نصف سرعت حدى است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪V2 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Vt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1) = 3 4 × g‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪V = Vt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪ay = g‬‬

‫پس شتاب توپ‪ a = 3 4 g ،‬بوده و جﻬتﻫاى ‪ a‬و ‪ g‬ﻫر دو بﻪ طرف پاﻳﻴن است‪.‬‬ ‫ﻣباحثﻪ‪ :‬چطور مﻰتوانﻴم بدانﻴم کﻪ مقاومت ﻫوا قابل صرف نظر است؟ اگر ما سرعت حدى‬ ‫جسم را بﻪ طور تخمﻴن بدانﻴم‪ ،‬در آنصورت خواﻫﻴم دانست کﻪ بﻪ ﻫر اندازه سرعت جسم‬ ‫بﻪ مقاﻳسﺔ سرعت حدى کوچکتر باشد‪ ،‬بﻪ ﻫمان اندازه مقاومت ﻫوا زﻳادتر قابل صرف نظر‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در ﻳک لوژ ﻳا محل باﻻ بروﻳد و ﻳا بﻪ ﻳک زﻳنﻪ باﻻ شــوﻳد و از آنجا ﻳک کاغذ ســبد شــکل ﻳا جامک کاغذ کﻴک‬ ‫و ﻳک ســکﺔ پنج افغانﻴکﻰ را ﻫمزمان رﻫا کنﻴد‪ .‬مقاومت ﻫوا در مقابل ســکﻪ قابل صرف نظر است؛ مگر اﻳنکﻪ از‬ ‫ارتفاع بســﻴار بلند رﻫا شــود‪ .‬در حالﻰکﻪ مقاومت ﻫوا در مقابل سبد کاغذ خﻴلﻰ قابل مﻼحظﻪ است و سبد کم و‬ ‫بﻴش بﻪ زودى بﻪ سرعت حدى اش مﻰرسد‪ .‬چند سبد کاغذى (از دو تا چﻬار عدد) را باﻫم ﻳکجا نموده و آنﻫا‬ ‫را با ســبد اولﻰ ﻫمزمان رﻫا نماﻳﻴد‪ .‬چﻰ را مشــاﻫده خواﻫﻴد کرد؟ آﻳا ســرعت حدى بستﻪﻫاى کاغذ سبد بﻴشتر‬ ‫اســت؟ چرا؟ اکنون ﻳک کاغذ ســبد را کلولﻪ کنﻴد و بعد ﻫمزمان آن را با سکﻪ رﻫا کنﻴد‪ .‬خواﻫﻴد دﻳد در حالﻰکﻪ‬ ‫مقاومت ﻫوا اکنون تغﻴﻴر نموده؛ ولﻰ ﻫنوز ﻫم قابل مﻼحظﻪ است‪ .‬چرا؟‬

‫‪121‬‬

‫دوبــاره‪ ،‬در گروهﻫــا باﻫــم بحــث کنﻴد و شــکل زﻳــر را کﻪ ﻳــک تصوﻳر‬ ‫ستروبوســکوپﻴک بوده و ســقوط دو جســم در ﻫوا را با سرعتﻫاى حدى‬ ‫بســﻴار متفاوت نشان مﻰدﻫد‪ ،‬مشاﻫده کنﻴد‪ ،‬و بﻪ کمک آن دربارة فعالﻴتﻰ‬ ‫کــﻪ انجــام داده اﻳد‪ ،‬در گروهﻫا بﻪ بحث و مناقشــﻪ بپردازﻳــد (تصوﻳرﻫا در‬ ‫وقفﻪﻫاى ثابت زمانﻰ ‪ 1,15 s‬عکاسﻰ شده است)‪.‬‬

‫شکل (‪)4-23‬‬

‫‪ :4-7‬لﻔت‬ ‫لفت چﻴست؟ آﻳا تا بﻪ حال از خود پرسﻴده اﻳدکﻪ لفت از‬ ‫نقطﺔ نظر فزﻳک چگونﻪ کار مﻰکند؟ وقتﻰ در داخل لفت‬ ‫قرار دارﻳد و لفت با سرعت ثابت ‪ v‬بﻪ طرف باﻻ ﻳا پاﻳﻴن‬ ‫حرکت مﻰکند‪ ،‬چﻪ اتفاقﻰ مﻰافتد؟ و ﻳا اگر لفت با شتاب‬ ‫ثابت ‪ a‬شروع بﻪ حرکت کند‪ ،‬چﻪ اتفاقﻰ مﻰافتد؟ و ‪ ...‬اﻳنﻫا‬ ‫ﻫمﻪ پرسشﻫاﻳﻰ ﻫستند کﻪ شما در ختم اﻳن درس تواناﻳﻰ‬ ‫پاسخ دادن بﻪ آنﻫا را حاصل خواﻫﻴدکرد‪.‬‬ ‫براى پاسخ دادن بﻪ پرسشﻫاﻳﻰ باﻻ بﻪ مثال زﻳر توجﻪ کنﻴد‪:‬‬ ‫فرض کنﻴد کﻪ شخصﻰ با کتلﺔ ‪ m‬در داخل لفت برروى‬ ‫ﻳک ترازوى فنرى قرار دارد‪ .‬مقدار قوة وارده بر ترازوى فنرى‬ ‫را کﻪ شخص برروى آن قرار دارد‪ ،‬در سﻪ حالت زﻳر مورد‬ ‫مطالعﻪ قرار مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫شکل (‪)4-24‬‬ ‫‪ - 1‬اگر لفت ساکن باشد‪ :‬در اﻳن حالت چون لفت ساکن است‪ ،‬در نتﻴجﻪ شتاب حرکت صفر‬ ‫خواﻫد بود‪ ،‬قوهﻫاى وارده بر شخص در شکل )‪ (4-24‬نشان داده شده است‪ ،‬پس مﻰتوان‬ ‫بر اساس قانون دوم نﻴوتن نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫‪a=0‬‬ ‫‪F =N W =0‬‬ ‫)‪N = W = mg..............(1‬‬

‫در اﻳن حالت مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ‪ ،‬وقتﻰ شخصﻰ در درون لفت قرار دارد و لفت داراى‬ ‫شتاب صفر است‪ ،‬ترازوى فنرى تنﻬا قوة وزن جسم ﻳعنﻰ ‪ W = mg‬را نشان مﻰدﻫد‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫‪ - 2‬لفت با شتاب ثابت ‪ a‬بﻪ طرف باﻻ شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ :‬در اﻳن حالت‪ ،‬شتاب حرکت‬ ‫بﻪاندازة ‪ a‬بﻪ طرف باﻻ است و با توجﻪ بﻪ قانون دوم نﻴوتن مﻰتوانﻴم بنوسﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪F = ma‬‬ ‫‪N W = ma‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪N mg = ma‬‬ ‫‪N = ma + mg‬‬

‫‪N = m ( a + g ). . . .‬‬

‫‪ - 3‬لفت با شتاب ثابت ‪ a‬بﻪ طرف پاﻳﻴن شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪ :‬در اﻳن حالت نﻴز‪ ،‬شتاب‬ ‫حرکت بﻪاندازة ‪ a‬بﻪ طرف پاﻳﻴن است (جﻬت حرکت روبﻪ پاﻳﻴن را مثبت در نظر مﻰگﻴرﻳم)‬ ‫و با توجﻪ بﻪ قانون دوم نﻴوتن مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫‪F = ma‬‬ ‫‪W N = ma‬‬

‫)‬

‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪mg N = ma‬‬ ‫‪N = mg ma‬‬

‫‪N = m ( g a ). . . . .‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬با توجﻪ بﻪ سﻪ حالت باﻻ مﻰتوان نتﻴجﻪ گر فت ‪« :‬زمانﻰکﻪ لفت ساکن است و ﻳا‬ ‫با سرعت ثابت حرکت مﻰکند‪ ،‬عددى کﻪ ترازوى فنرى نشان مﻰدﻫد‪ ،‬برابر با وزن واقعﻰ‬ ‫شخص‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ ( N = W ):‬است‪ .‬ﻫنگامﻰکﻪ لفت با شتاب ثابت بﻪ طرف باﻻ حرکت مﻰکند‪،‬‬ ‫عددى را کﻪ ترازوى فنرى نشان مﻰدﻫد‪ ،‬از وزن واقعﻰ شخص بزرگتر است؛ ﻳعنﻰ‪(N W ):‬‬ ‫و زمانﻰکﻪ لفت با شتاب مثبت روبﻪ پاﻳﻴن حرکت مﻰکند‪ ،‬عددى کﻪ ترازوى فنرى نشان‬ ‫مﻰدﻫد‪ ،‬از وزن واقعﻰ شخص کوچکتر؛ ﻳعنﻰ‪ ( N W ):‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬شخصﻰ با کتلﺔ ‪ 70 kg‬داخل لفت اﻳستاده است‪ ،‬قوة عمودىﻳﻰ را کﻪ قاعدة لفت بﻪ‬ ‫شخص وارد مﻰکند‪ ،‬در حالتﻫاى زﻳر محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )a‬لفت ساکن است‪.‬‬ ‫‪ )b‬لفت با سرعت ثابت بﻪ طرف باﻻ در حرکت است‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‬ ‫‪g‬‬ ‫=‬ ‫فرض شود)‪.‬‬ ‫‪ )c‬لفت با شتاب ثابت ‪ 2 m‬بﻪ طرف باﻻ شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪،‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫حل‪ )a :‬چون لفت ساکن است‪ ،‬شتاب حرکت صفر است و در نتﻴجﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a=0‬‬ ‫‪F = N W = mg‬‬ ‫‪N = W = mg‬‬ ‫‪N = 70 ×10 = 700 N‬‬

‫‪123‬‬

‫‪ )b‬در اﻳن حالت چون لفت با سرعت ثابت بﻪ طرف باﻻ در حرکت است‪ ،‬در نتﻴجﻪ شتاب‬ ‫حرکت صفر است و با محاسبﻪ مانند حالت ‪ a‬نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ ‪ N = 700 N‬است‪.‬‬ ‫‪ )c‬در اﻳن حالت‪ ،‬شتاب حرکت ‪ 2 m 2‬و بﻪ طرف باﻻ است و با توجﻪ بﻪ قانون دوم نﻴوتن‬ ‫‪s‬‬ ‫خواﻫﻴم داشت‪:‬‬ ‫‪F = m.a‬‬ ‫‪N W = ma‬‬ ‫‪N 700 = 70 × 2‬‬ ‫‪N = 840 N‬‬

‫سؤال‬ ‫شخصﻰ داخل لفت برروى ﻳک ترازوى فنرى قرار دارد‪ .‬کتلﺔ شخص ‪ 50 kg‬است‪ .‬در حالتﻫاى زﻳر‬ ‫ترازوى فنرى چﻪ عددى را نشان مﻰدﻫد‪:‬‬ ‫‪ )a‬لفت با شتاب ‪ 2 m 2‬بﻪ طرف باﻻ حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ )b‬لفت با شتاب ‪ 2 m 2‬بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ )c‬لفت با سرعت ثابت حرکت مﻰکند‪.‬‬

‫ﻣدارﻫاى داﻳرهﻳﻰ حرکت اقﻤار ﻣصﻨﻮعﻰ‬ ‫ﻫمانطورکﻪ مﻰدانﻴم‪ ،‬قمر مصنوعﻰ بﻪدور زمﻴن بر روى ﻳک مسﻴر تقرﻳباً داﻳرهﻳﻰ حرکت‬ ‫مﻰکند‪ .‬حال فرض کنﻴد‪ ،‬شخصﻰ در داخل قمر مصنوعﻰ قرار دارد‪ .‬بﻪ نظر شما شخص‬ ‫مذکور حرکت خود را نسبت بﻪ زمﻴن چگونﻪ مﻰبﻴند؟ چﻪ قوهﻫاﻳﻰ با ﻻى قمر مصنوعﻰ‬ ‫عمل مﻰنماﻳد؟‬ ‫شخصﻰ کﻪ در قمر مصنوعﻰ قرار دارد‪ ،‬مشاﻫده‬ ‫مﻰکند کﻪ قمر مصنوعﻰ ﻫمﻴشﻪ عﻴن فاصلﻪ را‬ ‫از زمﻴن دارد (بﻪدلﻴل مسﻴر داﻳرهﻳﻰ اش)‪ .‬ﻳا بﻪ‬ ‫عبارت دﻳگر اﻳن شخص مشاﻫده مﻰکند کﻪ قمر‬ ‫مصنوعﻰ نظر بﻪ زمﻴن ساکن است‪ .‬بنابراﻳن شخص‬ ‫مذکور نتﻴجﻪ مﻰگﻴرد کﻪ ﻫﻴچ قوهﻳﻰ باﻻى قمر‬ ‫مصنوعﻰ عمل نمﻰنماﻳد‪.‬‬ ‫شکل )‪(4-25‬‬

‫‪124‬‬

‫اما با توجﻪ بﻪ آنچﻪ کﻪ از اﻳن پﻴش در مورد حرکتﻫاى داﻳرهﻳﻰ خواندﻳد‪ ،‬مﻰتوان گفت‬ ‫کﻪ باﻻى قمر مصنوعﻰ دو قوه عمل مﻰنماﻳد‪ .‬ﻳکﻰ قوة جاذبﺔ ‪ mg‬و دﻳگرى قوة فرار از مرکز‬ ‫‪ ، mR 2‬کﻪ ﻫردو قوه بﻪ جﻬتﻫاى مختلف از ﻳکدﻳگر قرار دارند‪ .‬چون قمر مصنوعﻰ از نقطﻪ‬ ‫نظر شخصﻰ کﻪ در قمر مصنوعﻰ قرار دارد‪ ،‬ساکن است‪ .‬بنابراﻳن مﻰتوان گفت کﻪ دو قوة باﻻ‬ ‫با ﻳکدﻳگر در حالت توازن قرار دارند‪.‬‬ ‫و ﻳا بﻪ عبارت دﻳگر‪ ،‬اﻳن دو قوه با ﻳکدﻳگر مساوى ﻫستند ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫)‬

‫‪. . . . . (1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪m g = mR‬‬ ‫‪2‬‬

‫حرکت بﻴضﻪﻳﻲ بﻪ سرعت‬

‫‪30000 Km h‬‬

‫بدون جاذبﻪ‬

‫‪g =R‬‬ ‫حرکت داﻳرهﻳﻲ بﻪ سرعت‬

‫‪27000 Km h‬‬

‫سرعت فرار از زمﻴن‬

‫‪40000 Km h‬‬ ‫با موجودﻳت جاذبﻪ‬

‫شکل )‪(4-27‬‬

‫‪V‬‬ ‫چون‬ ‫‪R‬‬

‫=‬

‫دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫شکل )‪(4-26‬‬

‫است و ‪ V‬سرعت خطﻰ قمر مصنوعﻰ مﻰباشد‪ ،‬پس با وضع نمودن قﻴمت‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪V2‬‬ ‫‪... . .‬‬ ‫‪R‬‬

‫=‪g‬‬

‫از اﻳنجا نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ شخص و اشﻴاى دﻳگر در داخل قمر مصنوعﻰ در اثناى حرکت‬ ‫بﻰ وزن مﻰگردند ‪ .‬زﻳرا بر اساس معادلﺔ (‪ ،)1‬وزن قمر مصنوعﻰ مساوى بﻪ قوة فرار از مرکز‬ ‫بوده و محصلﺔ آنﻫا صفر مﻰباشد‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫خﻼصﺔ فصل چﻬارم‬ ‫ قوانﻴن حرکت نﻴوتن‪ ،‬مﻬمترﻳن قوانﻴن حرکت شناسﻰ در فزﻳک کﻼسﻴک مﻰباشد‪.‬‬‫ قانون اول نﻴوتن ( قانون عطالت ﻳا انرشﻴا ) بﻴان مﻰداردکﻪ ‪« :‬ﻳک جسم حالت سکون‬‫و ﻳا حرکت ﻳکنواخت روى خط راست خود را حفظ مﻰکند‪ ،‬مگر آنکﻪ زﻳر تأثﻴر قوهﻳﻰ‪،‬‬ ‫مجبور بﻪ تغﻴﻴر حالت آن شود‪».‬‬ ‫ قمرﻫاى مصنوعﻰ کﻪ توسط بشر بﻪ فضا پرتاب مﻰشوند‪ ،‬از قانون سوم نﻴوتن استفاده‬‫مﻰکنند‪.‬‬ ‫ قانون دوم نﻴوتن بﻴان مﻰدارد کﻪ ‪« :‬اگر بﻪ ﻳک جسم قوهﻫاى وارد شود‪ ،‬جسم شتابﻰ‬‫مﻰگﻴرد کﻪ با محصلﺔ قوهﻫاى وارده برآن‪ ،‬نسبت مستقﻴم و با آن ﻫم جﻬت است و باکتلﺔ‬ ‫جسم نسبت معکوس دارد» کﻪ بﻪ صورت زﻳر بﻴان مﻰشود‪.‬‬ ‫‪= ma‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻳا‬

‫‪F‬‬

‫‪m‬‬

‫=‪a‬‬

‫ قانون سوم نﻴوتن بﻴان مﻰدارد کﻪ‪« :‬ﻫرگاه ﻳک جسم بﻪ جسم دﻳگر قوه واردکند‪ ،‬جسم‬‫دوم ﻫم بﻪ جسم اول قوهﻳﻰ برابر بﻪ آن‪ ،‬ولﻰ در جﻬت مخالف بر آن وارد مﻰکند» کﻪ بﻪ‬ ‫صورت ذﻳل نوشتﻪ مﻰشود‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪F 1.2 F 2.1‬‬ ‫از نقطﺔ نظر وکتورى‬ ‫از نقطﺔ نظر سکالرى‬ ‫‪F 1.2 = F 2.1...........‬‬ ‫ بﻪ قانون سوم نﻴوتن قانون عمل و عکس العمل نﻴز مﻰگوﻳند‪.‬‬‫قوة عمودى تکﻴﻪ گاه‪ ،‬ﻳکﻰ از قوهﻫاى است کﻪ براى آن قانون مشخصﻰ وجود ندارد‪ ،‬ﻳعنﻰ‬ ‫رابطﻪﻳﻰ وجودندارد تا بﻪ کمک آن بتوان اندازة اﻳن قوه را محاسبﻪ کرد‪ .‬اما ﻫمانطور کﻪ‬ ‫خواندﻳد‪ ،‬اندازة اﻳن قوه را بﻪ کمک قانون دوم نﻴوتن محاسبﻪ مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ‪ :‬جسم نسبت بﻪ سطحﻰ کﻪ برروى آن قرار دارد‪ ،‬کشﻴده شده ولﻰ‪،‬‬ ‫ساکن باقﻰ مﻰماند‪ .‬در اﻳن حالت‪ ،‬قوة اصطکاک را قوة اصطکاک ستاتﻴکﻰ مﻰنامﻴم‪ .‬قوة‬ ‫اصطکاک ستاتﻴکﻰ از رابطﺔ زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪FS max = S N‬‬ ‫ ﻫنگامﻰکﻪ جسم نسبت بﻪ سطحﻰ کﻪ بر روى آن قرار دارد در حرکت باشد‪ ،‬در اﻳن‬‫حالت‪ ،‬قوة اصطکاک را قوة اصطکاک حرکﻰ (دﻳنامﻴکﻰ) مﻰنامﻴم کﻪ بﻪ صورت زﻳر نوشتﻪ‬ ‫مﻰشود ‪:‬‬ ‫‪fk = k N‬‬

‫‪126‬‬

‫‪ S‬و ‪ K‬بﻪ ترتﻴب عبارت از ضرﻳبﻫاى اصطکاک ستاتﻴکﻰ و حرکﻰ مﻰباشند کﻪ داراى‬ ‫واحد اندازهگﻴرى نمﻰباشند‪.‬‬ ‫اگر دو کتلﺔ‪ m1 ،‬و ‪ m2‬باشند و فاصلﺔ مﻴان آنﻫا برابر بﻪ ‪ r‬باشد‪ .‬اندازة قوة جاذبﻪﻳﻰ مﻴان‬ ‫‪m m‬‬ ‫دو کتلﻪ ( ‪ ) F‬از رابطﺔ زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪F =G 1 2‬‬ ‫‪r2‬‬

‫رابطﺔ باﻻ عبارت از قانون جاذبﺔ نﻴوتن مﻰباشد کﻪ با حاصل ضرب دو کتلﺔ ‪ m1‬و ‪ m2‬رابطﺔ‬ ‫مستقم و با مربع فاصلﺔ مﻴان اﻳن دو کتلﻪ رابطﺔ معکوس دارد‪.‬‬ ‫ قوة وزن‪ ،‬عبارت از قوة جاذبﻪﻳﻰ است کﻪ زمﻴن بﻪ جسم وارد مﻰکند‪.‬‬‫ مقدار قوة جاذبﺔ زمﻴن کﻪ بر جسم وارد مﻰشود از رابطﺔ زﻳر بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬‫‪m.M e‬‬ ‫‪Re2‬‬ ‫‪Me‬‬ ‫ مقدار شتاب جاذبﺔ زمﻴن (‪ )g‬از رابطﺔ‬‫‪Re2‬‬

‫‪W =G‬‬

‫‪ g = G‬بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬

‫ اگر جسم در ارتفاع ‪ h‬از سطح زمﻴن قرار داشتﻪ باشد در نتﻴجﻪ‪ ،‬را بطﺔ باﻻ بﻪ صورت زﻳر‬‫نوشتﻪ مﻰشود‪:‬‬ ‫‪Me‬‬ ‫‪( Re + h )2‬‬

‫‪g =G‬‬

‫ ﻫنگامﻰکﻪ لفت با سرعت ثابت حرکت کند‪ ، N = W ،‬اگر لفت با شتاب ثابت بﻪ طرف باﻻ‬‫حرکت کند‪ ،‬آنگاه ‪ N W‬و اگر لفت با شتاب ثابت بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت کند‪ ،‬در نتﻴجﻪ‬ ‫‪ N w‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫ باﻻى اقمار مصنوعﻰ دو قوه عمل مﻰنماﻳد‪ .‬ﻳکﻰ قوة جاذبﻪ ( قوة جذب بﻪ مرکز)‪ ،‬و دومﻰ‬‫قوة فرار از مرکز‪.‬‬

‫‪127‬‬

‫سؤالﻫاى فصل چﻬارم‬ ‫‪ - 1‬قانونﻫاى حرکت نﻴوتن چﻪ چﻴزى را بﻴان مﻰکنند؟‬ ‫‪ - 2‬قانون اول نﻴوتن را تعرﻳف کنﻴد‪ .‬از اﻳن قانون چﻪ نتﻴجﻪﻳﻰ مﻰگﻴرﻳم ؟‬ ‫‪ - 3‬عطالت ﻳا انرشﻴا را تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬قانون دوم نﻴوتن را بﻴان کنﻴد و رابطﺔ آن را با ذکر واحدﻫاى اندازهگﻴرى آن بنوسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬قانون سوم نﻴوتن را تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬چرا در جادة افقﻰ کﻪ سطح آن ﻳخبندان است‪ ،‬موتر نمﻰتواند از گوﻻﻳﻰ جاده تابعﻴت‬ ‫کند و در امتداد خط راست از جاده منحرف مﻰشود؟‬ ‫‪ - 7‬سﻪ مثال از قانون اول نﻴوتن بﻴان کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 8‬بﻪ جسمﻰبا کتلﺔ ‪ ،2kg‬قوة ‪ 20‬نﻴوتن وارد مﻰشود‪:‬‬ ‫‪ )a‬شتاب حرکت جسم را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬اگر قوه‪ 30 ،‬نﻴوتن شود‪ ،‬در شتاب حرکت چﻪ تغﻴﻴرى وارد مﻰشود؟‬ ‫‪ - 9‬دو جسم با کتلﻪﻫاى ‪ m1‬و ‪ m2‬کﻪ روى سطح افقﻰ بﻪ حالت سکون قرار دارند‪ ،‬تحت‬ ‫تاثﻴر قوهﻫاى ﻳکسان شروع بﻪ حرکت مﻰکنند‪ .‬اگر بعد از گذشت زمان ‪ ،t‬سرعت آنﻫا بﻪ‬ ‫ترتﻴب ‪ V1‬و ‪ V2‬شود‪ ،‬نسبت ‪ VV‬را محاسبﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 10‬جسمﻰ در حالت سقوط است (از مقاومت ﻫوا صرف نظر کنﻴد)‪ .‬چﻪ قوهﻫاى بر آن‬ ‫وارد مﻰشود؟ عکس العمل اﻳن قوه را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 11‬قانون جاذبﺔ نﻴوتن را بﻴان کنﻴد و رابطﺔ آن را بنوسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬دو جسم با کتلﻪﻫاى ‪ 2kg‬و ‪ 5kg‬در فاصلﺔ ‪ 6.67‬مترى از ﻫمدﻳگر قرار دارند‪ ،‬قوة‬ ‫جاذبﻪﻳﻰ مﻴان آنﻫا را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ - 13‬در شکلﻫاى زﻳر قوة عمودى تکﻴﻪگاه را حساب کنﻴد ( ‪ g = 10 2‬فرض شود)‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪50 N‬‬ ‫‪6 kg‬‬

‫‪s‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪m‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫‪50 N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪6 kg‬‬

‫‪m‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪ - 14‬مطابق شکل‪ ،‬جسمﻰ را بﻪ طنابﻰ بستﻪ و آن را در استقامت عمودى نگﻪداشتﻪ اﻳم‪:‬‬ ‫‪ )a‬اگر دستگاه با شتاب ‪ 2 m s 2‬بﻪ طرف با ﻻ حرکت کند ‪ .‬قوة کشش طناب را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )b‬اگر دستگاه با شتاب ‪ 2 m 2‬بﻪ طرف پاﻳﻴن حرکت کند‪ .‬قوة کشش طناب چند نﻴوتن‬ ‫‪s‬‬ ‫خواﻫد بود؟‬

‫‪m 10kg‬‬

‫‪128‬‬

‫‪ )c‬اگر دستگاه با سرعت ثابت حرکت کند‪ ،‬قوة کشش طناب چقدر خواﻫد بود؟‬ ‫‪ - 15‬انواع قوهﻫاى اصطکاک را نام برده و توضﻴح دﻫﻴد کﻪ اﻳن قوهﻫا چﻪ وقت پدﻳدار‬ ‫مﻰشوند؟‬ ‫‪ - 16‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 20‬کﻴلو گرام را روى سطح افقﻰ با ضرﻳب اصطکاک ستاتﻴکﻰ ‪s = 0.5‬‬ ‫قرار داده و آن را با قوة افقﻰ ‪ 25‬نﻴوتن کش مﻰکنﻴم ولﻰ قادر بﻪ تکان دادن آن نﻴستﻴم‪.‬‬ ‫قوة اصطکاک بر حسب نﻴوتن چﻪاندازه خواﻫد بود؟‬ ‫‪ - 17‬جسمﻰبﻪ انجام فنرى درون ﻳک لفت آوﻳزان است‪ ،‬کتلﺔ جسم ‪ 5kg‬و ثابت فنر‬ ‫‪ 1000 N‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪m‬‬

‫تغﻴﻴر طول فنر را در حالتﻫاى ذﻳل حساب کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ -a‬لفت با شتاب ‪ 3 m 2‬بﻪ طرف با ﻻ شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ -b‬لفت با شتاب ‪ 3 m 2‬بﻪ طرف پاﻳﻴن شروع بﻪ حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ -c‬لفت با سرعت ثابت حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ - 18‬مﻰخواﻫﻴم بﻪ جسمﻰکﻪ کتلﺔ آن ‪ 10kg‬است شتاب ‪ 3 m 2‬بدﻫﻴم‪ .‬مقدار قوهﻳﻰ را کﻪ‬ ‫‪s‬‬ ‫باﻳد بﻪ آن وارد کنﻴم در حالتﻫاى ذﻳل حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -a‬جسم روى سطح افقﻰ بدون اصطکاک حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ -b‬جسم روى سطح افقﻰ با ضرﻳب اصطکاک حرکﻰ ‪ 0.1‬در حرکت مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ -c‬جسم در راستاى قاﻳم بﻪ طرف با ﻻ در حرکت مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ -d‬جسم در راستاى قاﻳم بﻪ طرف پاﻳﻴن در حرکت مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 19‬دو جسم ‪ m1‬و ‪ m2‬بر روى سطح افقﻰ صاف و ﻫموارى قرار دارند‪ .‬مقدارکتلﺔ ‪ m1‬برابر‬ ‫بﻪ ‪ 10kg‬و کتلﺔ ‪ m2‬برابر بﻪ ‪ 5kg‬است‪ .‬قوة افقﻰ ‪F‬کﻪ اندازه اش ‪ 30N‬است‪ ،‬مطابق شکل‬ ‫بﻪ ‪ m1‬وارد مﻰشود و آنﻫا را بﻪ حرکت شتابﻰ در مﻰآورد ‪ .‬تعﻴﻴن کنﻴد کﻪ چﻪ قوه اى از‬ ‫‪ m2‬بﻪ ‪ m1‬وارد مﻰشود؟ شتاب مشترک کتلﻪﻫا را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪m1 m 2‬‬

‫‪30 N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ - 20‬کتلﺔ کرة زمﻴن کم و بﻴش ‪ 6×10 24 kg‬و کتلﺔ کرة ماه نزدﻳک بﻪ ‪ 7.4 ×1022 kg‬و‬ ‫فاصلﺔ مرکز کرة زمﻴن از مرکز کرة ماه کمابﻴش ‪ 4×105 km‬است‪:‬‬ ‫"‪ -a‬قوة جاذبﻪﻳﻰ را کﻪ زمﻴن بر ماه وارد مﻰکند‪ ،‬محاسبﻪ کنﻴد و بگوﻳﻴد کﻪ اﻳن قوه چﻪ‬ ‫شتابﻰ بﻪ ماه مﻰدﻫد؟‬ ‫‪ -b‬قوة جاذبﺔ ماه بر زمﻴن چﻪاندازه است؟ اﻳن قوه بﻪ زمﻴن چﻪ مقدار شتاب مﻰدﻫد؟‬

‫‪129‬‬

‫فصل پﻨجﻢ‬ ‫کار‪ ،‬اﻧرژى ﻣﻴخاﻧﻴکﻰ و ﻃاقت‬ ‫ورزشکار با تطبﻴق ﻳک قوه باﻻى توپ‬ ‫بﻴسبال‪ ،‬آن را باسرعت بلند آمادة شتاب‬ ‫گرفتن مﻰسازد‪ .‬او با تطبﻴق قوهﻳﻰ کﻪ‬ ‫مﻰتواند توپ را ممکن است بﻪ فاصلﺔ‬ ‫چندﻳن متر تغﻴﻴر موقعﻴت دﻫد‪ ،‬کارى را‬ ‫انجام خواﻫد داد کﻪ مجموع آن مساوى‬ ‫با انرژى حرکﻰ ( ‪ ) 12 mV‬کﻪ براى سرعت‬ ‫دادن توپ ﻻزم است‪ ،‬خواﻫد بود‪ .‬ﻫمﻴن‬ ‫نتﻴجﺔ بﻪدست آمده را قانون (کار‪ -‬انرژى)‬ ‫مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫تاکنون ما حرکت انتقالﻰ ﻳک جسم را از لحاظ سﻪ قانون حرکت نﻴوتن مطالعﻪ نمودﻳم‪.‬‬ ‫برحسب قوانﻴن باﻻ‪ ،‬قوه نقش مرکزى را بﻪ حﻴث کمﻴت تعﻴﻴن کنندة حرکت بازى مﻰکرد‪.‬‬ ‫در اﻳن فصل و فصل بعدى ما با تحلﻴلﻫاى مختلفﻰ از حرکت انتقالﻰ اجسام از لحاظ‬ ‫کمﻴتﻫاى انرژى و مومنتم بحث خواﻫﻴم کرد‪.‬‬ ‫اﻫمﻴت اساسﻰ انرژى و مومنتم در خاصﻴت تحفظ آنﻫا است‪ ،‬ﻳعنﻰ آنﻫادر حاﻻت‬ ‫عمومﻰثابت باقﻰ مﻰمانند‪ .‬وجود مقادﻳر تحفظﻰ نﻪ تنﻬا قدرت دﻳد عمﻴق بر طبﻴعت جﻬان‬ ‫را بﻪما مﻰدﻫد‪ ،‬بلکﻪ طرﻳقﺔ دﻳگر رسﻴدن بﻪ حل مساﻳل عملﻰ را بﻪ ما نشان مﻰدﻫد‪ .‬قوانﻴن‬ ‫تحفظ انرژى و مومنتم بﻪ خصوص ﻫنگام مطالعﺔ سﻴستمﻫاى مختلف اجسام کﻪ با قوهﻫاى‬ ‫مختلف سروکار داشتﻪ و حل مساﻳل مربوط بﻪ آنﻫا دشوار و ﻳا نا ممکن بﻪ نظر مﻰرسد بسﻴار‬ ‫با اﻫمﻴت است‪ .‬اﻳن قوانﻴن در ساحﺔ وسﻴع پدﻳدهﻫا و حوادث بﻪ شمول پدﻳدهﻫاى جﻬان‬ ‫اتوم و ذرات ﻫستﻪﻳﻰ کﻪ دﻳگر قوانﻴن نﻴوتن در آنﻫا عملﻰ نﻴست‪ ،‬قابل تطبﻴق مﻰباشد‪ .‬در‬ ‫اﻳن فصل شما دربارة دو مفﻬوم بسﻴار مﻬم کار و انواع مختلف انرژى کﻪ با مﻴخانﻴک سروکار‬ ‫دارند‪ ،‬معلومات حاصل خواﻫﻴد کرد‪ .‬اﻳن دو کمﻴت سکالرى ﻫستند و چون داراى جﻬت‬ ‫نﻴستند‪ ،‬مطالعﺔ آنﻫا نسبت بﻪ مقادﻳر وکتورى آسانتر است‪ .‬انرژى حرکﻰ کﻪ با حرکت‬ ‫سروکار دارد و انرژى ذخﻴرهﻳﻰ کﻪ بﻪ موقعﻴت ﻳک جسم ارتباط دارد‪ ،‬دو شکل انرژى ﻫستند‬ ‫کﻪ در اﻳن فصل آنﻫا را مطالعﻪ خواﻫﻴد کرد‪ .‬کار‪ ،‬انرژى و طاقت با ﻫمدﻳگر در ارتباط اند‪،‬‬ ‫انواع ماشﻴنﻫا کﻪ در زندهگﻰ روزمره با آنﻫا سروکار دارﻳم‪ ،‬بﻴشتر توسط اندازة کارى کﻪ‬ ‫توسط شان انجام شده مﻰتواند و ﻳا طاقتﻰ کﻪ تولﻴد مﻰکنند‪ ،‬تشرﻳح شده مﻰتوانند‪ ،‬کﻪ در‬ ‫پاﻳان اﻳن فصل دربارة مفاﻫﻴم ذکر شده معلومات و آشناﻳﻰ ﻻزم حاصل خواﻫﻴد کرد‪.‬‬

‫‪130‬‬

‫کارى کﻪ تﻮسط قﻮة ثابت اجرا ﻣﻰشﻮد‬ ‫مفﻬوم کار چﻴست؟ کارى کﻪ توسط قوة ثابت اجرا مﻰشود چگونﻪ است؟ چگونﻪ مﻰتوان کار‬ ‫را از نگاه فزﻳک بررسﻰ کرد؟‬ ‫در فزﻳک صنف ﻫفت تا اندازهﻳﻰ با مفﻬوم کار آشنا شدﻳد‪ .‬براى ﻳاد آورى از آنچﻪ کﻪ در‬ ‫گذشتﻪ مطالعﻪ کردﻳد‪ .‬فعالﻴت زﻳر را انجام دﻫﻴد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫تعدادى از کارﻫاﻳﻰ را کﻪ در محﻴط و اطراف خود مشاﻫده مﻰکنﻴد و ﻳا بﻪ آنﻫا مواجﻪ مﻰشوﻳد‪ ،‬ﻳاد داشت کرده و‬ ‫بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد ‪.‬‬ ‫در انجام دادن اﻳن کارﻫا چﻪ خصوصﻴات و عنصرﻫاى مشترکﻰ و جود دارد؟ اﻳن پرسش را در گروهﻫاى مختلف بﻪ‬ ‫بحث بگذارﻳد و سپس بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫با توجﻪ بﻪ فعالﻴتﻰ کﻪ در باﻻ ذکر شد ‪ .‬در کارﻫاﻳﻰ کﻪ انجام مﻰشوند دو عنصر مشترک‬ ‫وجود دارد‪.‬‬ ‫‪ - 1‬بﻪ اجسام قوه وارد مﻰشود ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬بر اثر اعمال قوه بﻪ اجسام‪ ،‬آنﻫا تغﻴﻴر حالت و موقعﻴت مﻰکنند‪.‬‬ ‫ﻫمانطور کﻪ در شکل )‪ (5-1‬مﻰبﻴنﻴد‪،‬‬ ‫شخصﻰ بﻪ جسم قوه وارد مﻰکند و در نتﻴجﻪ‬ ‫با عث تغﻴﻴر مکان جسم مﻰشود‪ .‬با توجﻪ بﻪ‬ ‫آنچﻪ کﻪ گفتﻪ شد‪ ،‬مﻰتوان گفت کﻪ (حاصل‬ ‫ضرب مرکبﺔ قوه بﻪ جﻬت تغﻴﻴر مکان جسم‬ ‫و فاصلﺔ طﻰ شده توسط آن عبارت از کار قوة‬ ‫ب‬ ‫الف‬ ‫عامل باﻻى جسم متحرک مﻰباشد‪).‬‬ ‫ﻳعنﻰ اگر مطابق شکل )‪ ،(5-2‬بﻪ جسم‬ ‫ج‬ ‫قوهﻳﻰ بﻪاندازة ‪ F‬وارد شود و آنرا بﻪ اندازة‬ ‫‪ d‬بﻰجا کند‪ ،‬طبق تعرﻳف‪ ،‬کار قوة ثابت‪،F‬‬ ‫شکل )‪(5-1‬‬ ‫عبارت است از‪W f = F d ........(1) ،‬‬

‫شکل )‪(5-2‬‬

‫‪131‬‬

‫واحد اندازهگﻴرى کار درسﻴستم ‪ SI‬عبارت از ‪ N m‬مﻰباشد کﻪ «ژول» نامﻴده مﻰشود و با‬ ‫عﻼمﺔ ‪ J‬نماﻳش داده مﻰشود‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫)‪1N m = 1J .........( 2‬‬

‫در سﻴستم ‪ ،cgs‬واحد اندازهگﻴرى کار عبارت از ارگ است کﻪ بﻪ صورت زﻳر تعرﻳف‬ ‫مﻰشود‪:‬‬ ‫)‪1 erg = 1 dyne 1cm .......... ...( 3‬‬ ‫و در سﻴستم انگلﻴسﻰ کار‪ ،‬توسط فت پوند ) ‪ ( foot pound‬اندازهگﻴرى مﻰگردد‪ ،‬کﻪ‬ ‫چنﻴن تعرﻳف مﻰشود‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪1J = 10 erg = 0.7376 Lb ft ...........(4‬‬

‫سؤال‪ :1‬رابطﺔ )‪ (4‬را در گروهﻫاى مختلف بﻪ کمک اعضاى گروه در صنف بﻪ‬ ‫اثبات برسانﻴد‪.‬‬ ‫کار‪ ،‬عبارت از ﻳک کمﻴت سکالرى است‪ .‬بﻪ طور مثال اگر در شکل )‪ ،(5-2‬کار را با چند‬ ‫تغﻴﻴر موقعﻴت پشت سر ﻫم (متوالﻰ) انجام دﻫﻴم‪ ،‬کار کل را مﻰتوان از جمع جبرى‬ ‫کارﻫاى انجام شده در ﻫرکدام از تغﻴﻴر موقعﻴتﻫا بﻪدست آورد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬شخصﻰ قوة افقﻰ ‪ 70 N‬را بر جسمﻰ وارد آورده و آنرا بﻪ اندازة ‪ 10m‬بﻰجا مﻰکند‪،‬‬ ‫مقدار کار شخص را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬بر طبق را بطﺔ )‪ (1‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪w=F d‬‬ ‫‪w = (70 N )(10m) = 700 J‬‬

‫سؤال‪ :2‬اگر شخصﻰ قوهﻳﻰ برابر با ‪ 30 N‬را بﻪ جسمﻰواردکند‪ .‬وآن را بﻪاندازة‬ ‫‪ 0.5m‬باﻻببرد‪ ،‬شخص مذکور چﻪ مقدار کار انجام مﻰدﻫد؟‬ ‫با توجﻪ بﻪ شکل (ج‪ ،(5-1،‬اگر بﻴن قوة واردة ‪ F‬و تغﻴﻴر موقعﻴت ‪ ،d‬زاوﻳﺔ وجود داشتﻪ‬ ‫باشد‪ .‬کار را چگونﻪ مﻰتوان تعرﻳف کرد؟ براى اﻳن منظور بﻪ صورت زﻳر عمل مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫فرض کنﻴد کﻪ قوة وارده بﻪ جسم مطابق شکل )‪ (5-3‬با وکتور تغﻴﻴر موقعﻴت‪ ،‬زاوﻳﺔ را‬ ‫مﻰسازد‪ .‬در اﻳن حالت کار قوة ثابت ‪ F‬بﻪ صورت زﻳر تعرﻳف مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ w f = F1 × d = F cos d‬و ﻳا )‪w f = F d cos ˆ..........(5‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪F1‬‬

‫شکل )‪(5-3‬‬

‫‪132‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬اگر در رابطﺔ )‪ ˆ = 0 ،(5‬شود‪ ،‬در نتﻴجﻪ‪ ،‬رابطﺔ )‪ (1‬بﻪدست خواﻫد آمد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬قوة ‪ 10N‬را تحت زاوﻳﺔ ‪ 60°‬بﻪ جسمﻰ وارد مﻰکنﻴم‪ ،‬کار قوة ‪ F‬را در فاصلﺔ ‪ 6‬مترى‬ ‫تغﻴﻴر مکان حساب کنﻴد‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪W f = F d cos‬‬ ‫حل‪ :‬بر طبق را بطﺔ (‪ )5‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪1 60‬‬ ‫=‬ ‫‪= 30 J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪W f = (10 N ) (6m) cos 60 ° = 10 6‬‬

‫قوه مﻰتواند بر جسمﻰعمل نماﻳد‪ ،‬ولﻰ ﻫﻴچ کارى انجام نشود‪ .‬بﻪ طور مثال‪ ،‬شما بکس‬ ‫مکتب تان را در دست خود مﻰگﻴرﻳد و حرکت نمﻰکنﻴد‪ ،‬در اﻳن حالت شما کارى انجام‬ ‫نمﻰدﻫﻴد‪ .‬چرا؟‬ ‫ﻣثال‪ :‬شخصﻰ با قوة ثابت ‪ ، Fp = 100 N‬جسم ‪ 50kg‬را بﻪ اندازة ‪ 40m‬بﻰجا مﻰنماﻳد‪ .‬اگر‬ ‫زاوﻳﺔ وکتور قوه و وکتور تغﻴﻴر موقعﻴت ‪ 37°‬و قوة اصطکاک ‪ 50 N‬باشد‪.‬‬ ‫‪ )a‬کار ﻫرکدام از قوهﻫاﻳﻰ را کﻪ باﻻى جسم عمل مﻰکنند‪ ،‬بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬مجموع کار انجام شده باﻻى جسم را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با توجﻪ بﻪ شکل دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪FN‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪p‬‬

‫شکل )‪(5-4‬‬

‫‪37 o‬‬

‫‪F fr‬‬

‫‪40m‬‬

‫‪w mg‬‬

‫‪ )a‬کار انجام شده توسط قوهﻫاى ‪ W‬و ‪ ،FN‬مساوى بﻪ صفر است‪ ،‬زﻳرا‪:‬‬ ‫‪Wg = m g d cos 90 ° = mgd × 0 = 0‬‬ ‫‪WN = FN d cos 90 ° = FN d × 0 = 0‬‬

‫کارى کﻪ توسط قوة ‪ Fp‬اجرا مﻰشود‪ ،‬مساوى است با‪:‬‬

‫‪W p = Fp d cos ˆ = (100 N ) (40 m) cos 37° = 3200 J‬‬ ‫‪= 100 N × 40 m × 0.8 = 3200 J‬‬

‫کارى کﻪ توسط قوة اصطکاک انجام مﻰشود‪:‬‬ ‫‪W fr = F fr d cos 180 ° = (50 N ) (40 m) ( 1) = 2000 J‬‬ ‫‪ )b‬مجموع کار انجام شده ) ‪ (Wnet‬عبارت است از‪Wnet = Wg + WN + W p + W fr :‬‬ ‫‪2000 J = 1200 J‬‬

‫‪Wnet = 0 + 0 + 3200 J‬‬

‫‪133‬‬

‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ m‬را مطابق شکل )‪ (5-5‬بﻪاندازة ‪ h‬باﻻ مﻰبرﻳم‪ ،‬کار قوة وزن را‬ ‫درﻳابﻴد؟‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪ :‬در اﻳن حالت زاوﻳﺔ بﻴن وزن و وکتور تغﻴﻴر موقعﻴت ‪ 180‬است‪.‬‬ ‫)‪Wmg = m g h cos 180° = mgh ( 1‬‬

‫در نتﻴجﻪ‪:‬‬

‫‪mgh‬‬ ‫‪h‬‬

‫= ‪Wmg‬‬

‫‪h‬‬

‫‪F‬‬

‫‪h‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪F‬‬

‫الف‬

‫‪mg‬‬

‫ب‬

‫‪180 o‬‬

‫ج‬

‫شکل )‪(5-5‬‬

‫‪mg‬‬

‫‪mg‬‬

‫‪F‬‬

‫د‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬در شکل‪ ،‬قوة ثابت ‪ F‬در امتداد افق بﻪ جسمﻰ با کتلﺔ ‪ m‬وارد مﻰشود و آنرا در‬ ‫روى سطحﻰ با ضرﻳب اصطکاک حرکﻰ ‪ k‬بﻰجا مﻰسازد‪ .‬مطلوب است‪:‬‬ ‫‪ )b‬کار قوة اصطکاک ‪)c‬کار قوة عکس العمل‬ ‫‪ )a‬کار قوة ‪F‬‬ ‫‪ )e‬کار محصلﺔ قوهﻫا‬ ‫‪)d‬کار قوة وزن‬ ‫‪F1‬‬

‫‪d‬‬

‫‪ :5-2‬کار و اﻧرژى حرکﻰ‬

‫از معلومات گذشتﻪ مﻰدانﻴم کﻪ انرژى حرکﻰ جسمﻰرا با کتلﺔ ‪ m‬و سرعت ‪ v‬توسط رابطﺔ‬ ‫‪ K E = 1 mv 2‬نشان داده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ توپﻰ را در ابتدا عمودا ً بﻪ ﻫوا پرتاپ مﻰکنﻴم‪ ،‬سرعت توپ بﻪ تدرﻳج کاﻫش‬ ‫مﻰﻳابد‪ .‬اﻳن بدﻳن معنا مﻰباشد کﻪ انرژى حرکﻰ توپ در اثناى باﻻ رفتن کاﻫش مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫برعکس اگر توپ را از حالت سکون از ﻳک بلندى رﻫا کنﻴم‪ ،‬در نتﻴجﻪ‪ ،‬انرژى حرکﻰ توپ در‬ ‫اثناى پاﻳﻴن آمدن افزاﻳش مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫ما در زندهگﻰ روزانﻪ‪ ،‬شاﻫد تغﻴﻴر انرژى اجسام در محﻴط اطراف خود ﻫستﻴم‪ ،‬انرژى حرکﻰ‬ ‫موترى کﻪ برک کرده است‪ ،‬کاﻫش مﻰﻳابد و ‪. . .‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫مثالﻫاى دﻳگرى را کﻪ درمورد تغﻴﻴر انرژى حرکﻰ اجسام در اطراف خود مﻰبﻴنﻴد‪ ،‬ﻳادداشت کرده و بﻪ صنف‬ ‫گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪134‬‬

‫براى بررسﻰ بﻬتر را بطﺔ بﻴن کار و انرژى حرکﻰ‪ ،‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ m‬را مطابق شکل )‪(5-6‬‬ ‫در نظر بگﻴرﻳد کﻪ محصلﺔ قوهﻫاى وارد بر آن ثابت و برابر با ‪ F‬است و جسم تحت تأثﻴر اﻳن‬ ‫قوه بﻪاندازة ‪ d‬بر روى ﻳک سطح افقﻰ تغﻴﻴر مکان مﻰکند‪.‬‬ ‫شکل )‪(5-6‬‬

‫ﻫمانطور کﻪ مﻰدانﻴم کار قوة ‪ F‬با رابطﺔ زﻳر حساب مﻰشود‪:‬‬ ‫از طرف دﻳگر با استفاده از قانون دوم نﻴوتن مﻰتوانﻴم بنوسﻴم کﻪ‪F = m a :‬‬ ‫در اثر اعمال قوة ‪ ،F‬سرعت جسم از مقدار ‪ v1‬در نقطﺔ )‪ (1‬بﻪ مقدار ‪ v2‬در نقطﺔ )‪ (2‬تغﻴﻴر‬ ‫مﻰکند‪ ،‬و چنانکﻪ از گذشتﻪ مﻰدانﻴم‪v22 v12 = 2ad . . . .(1) :‬‬ ‫‪W =F d‬‬

‫وﻳا‬

‫‪v12‬‬

‫‪v22‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪2d‬‬ ‫با قرار دادن اﻳن رابطﻪ در رابطﺔ ‪ w = F d‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪v22 v12‬‬ ‫‪v22 v12‬‬ ‫( ‪W =F d =m a d =m‬‬ ‫(‪) d =m‬‬ ‫)‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪W = m v22‬‬ ‫)‪m v12 . . . . (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫حد اول طرف راست اﻳن رابطﻪ‪ ،‬انرژى حرکﻰ جسم در نقطﺔ )‪ ،(2‬و حد دوم آن‪ ،‬انرژى‬ ‫حرکﻰ جسم در نقطﺔ )‪ (1‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫در نتﻴجﻪ اگر دو انرژى حرکﻰ را بﻪ ترتﻴب با ‪ k1‬و ‪ k2‬نشان دﻫﻴم‪ ،‬رابطﺔ زﻳر بﻪدست‬ ‫مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪ W = k 2 k1‬وﻳا )‪W = k . . . . (3‬‬ ‫رابطﺔ )‪ (3‬قضﻴﺔ کار و انرژى نامﻴده مﻰشود و بر طبق اﻳن قضﻴﻪ‪« ،‬کار محصلﺔ قوهﻫاى‬ ‫وارد شده برﻳک جسم در ﻳک تغﻴﻴر مکان‪ ،‬برابر است با تغﻴﻴر انرژى حرکﻰ جسم در آن‬ ‫تغﻴﻴرمکان» بﻪ اساس اﻳن قضﻴﻪ اگر کار محصلﺔ قوهﻫا ثابت باشد‪ k 2 k1 ،‬است و انرژى‬ ‫حرکﻰ کاﻫش مﻰﻳابد و ﻫمﻴن طور اگر کار محصلﺔ قوهﻫا صفر باشد‪ k 2 = k1 ،‬است و انرژى‬ ‫حرکﻰ جسم تغﻴﻴر نمﻰکند‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫سؤال‪ :‬ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‪ :‬در اﻧﺮژى ﺣﺮﻛﻰ اﺟﺴﺎم‬

‫‪ )a‬اگر کتلﺔ جسم دو برابر باشد‪ ،‬انرژى حرکﻰ بﻪ چﻪ مقدار تغﻴﻴر خواﻫد کرد؟‬ ‫‪ )b‬اگر سرعت جسم دو برابر شود‪ ،‬انرژى حرکﻰ جسم بﻪ چﻪ مقدار تغﻴر خواﻫد کرد؟ (در صنف بحث کنﻴد )‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 1kg‬را از ارتفاع ‪ 10m‬رﻫا مﻰکنﻴم ‪ .‬با استفاده از قضﻴﺔ کار و انرژى‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ جسم بﻪ زمﻴن مﻰرسد‪ ،‬انرژى حرکﻰ آن چقدر است؟ تعﻴﻴن مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫( ‪ g = 10 m s 2‬فرض شود)‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در اﻳن مثال تنﻬا قوة داده شده بﻪ جسم‪ ،‬قوة وزن است و کار اﻳن قوه برابر است با‪:‬‬ ‫‪) (10m) (1) =100 J‬‬

‫‪s2‬‬

‫‪W = F d cos ˆ= m g h cos 0° = (1kg ) (10 m‬‬

‫‪W = k2‬‬

‫چون انرژى حرکﻰ اولﻴﺔ جسم صفر است‪ ،‬پس مﻰتوانﻴم بنوسﻴم‪k1 :‬‬ ‫‪100 = k 2 0 k 2 = 100 J‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬موترى با کتلﺔ ‪ 1500kg‬با سرعت ‪ 72km h‬در حرکت است‪ .‬اگر دراﻳور برک بگﻴرد‪ ،‬موتر پس از‬

‫طﻰ مسافتﻰ اﻳستاد مﻰشود‪ .‬کار قوة اصطکاک وﻳاکارقوةبرک باﻻى موتر را بﻪ دست آورﻳد؟‬

‫حل‪ :‬سرعت موتر قبل از برک کردن برابر است با‪72.1000 20m :‬‬ ‫=‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3600‬‬

‫= ‪V1‬‬

‫و انرژى حرکﻰ آن قبل از برک کردن مساوى است با‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m v12 = (1500kg ) (20m ) 2 = 300.000 J‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫چون موتر بعد از برک کردن متوقف مﻰشود‪ k 2 = 0 ،‬است‪ .‬از طرف دﻳگر قوة اصطکاک‪ ،‬قوة‬ ‫= ‪k1‬‬

‫عمودى تکﻴﻪگاه و قوة وزن‪ ،‬قوهﻫاﻳﻰ ﻫستند کﻪ برجسم اثر مﻰکنند و در نتﻴجﻪ‪:‬‬ ‫‪Wnet = W f + WN + Wmg‬‬

‫ولﻰ کار قوة عمودى تکﻴﻪگاه و قوة وزن برابر بﻪ صفر است ( چرا؟)‪ .‬در نتﻴجﻪ‪:‬‬ ‫‪Wnet = W f = k 2 k1 = 0 300.000 = 300.000 J‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :1‬موترى باکتلﺔ ‪ 1‬تن با سرعت ‪ 36km h‬در حرکت است‪ .‬دراﻳور موترناگﻬان برک‬ ‫مﻰکند ‪ .‬اگر ضرﻳب اصطکاک حرکﻰ بﻴن جاده و تاﻳرﻫاى موتر ‪ 0.5‬باشد‪ .‬موتر پس از طﻰ‬ ‫چﻪ مسافتﻰ متوقف مﻰشود؟ ( ‪ g = 10m s‬فرض شود)‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :2‬جسمﻰرا از ارتفاع ‪ h‬رﻫا مﻰکنﻴم ‪ .‬با استفاده از قضﻴﺔ کار و انرژى سرعت آن را‬ ‫در ارتفاع ‪ 3 h‬بﻪدست آورﻳد‪ ( .‬از مقاومت ﻫوا صرف نظر کنﻴد) ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‪ :3‬چﻪ مقدار کار ﻻزم است تا سرعت موترى با کتلﺔ ‪ 1000kg‬از‬ ‫برسد؟‬ ‫‪136‬‬

‫‪s‬‬

‫‪20m‬‬

‫بﻪ‬

‫‪s‬‬

‫‪30 m‬‬

‫کار و اﻧرژى پتاﻧسﻴل‬ ‫در درس گذشتﻪ در مورد کار و انرژى حرکﻰ موضوعاتﻰ را آموختﻴم و رابطﻪ بﻴن کار و‬ ‫انرژى حرکﻰ را بﻪ دست آوردﻳم ‪ .‬حال بﻪ بررسﻰ اﻳن پرسش مﻰپردازﻳم کﻪ را بطﺔه بﻴن‬ ‫کار و انرژى پوتانسﻴل چگونﻪ است؟ ﻫمان طور کﻪ مﻰدانﻴم انرژى پوتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ آن‬ ‫انرژى است کﻪ جسم بﻪ علت ارتفاعاش از سطح زمﻴن دارد‪ .‬ﻳعنﻰ اگر جسم مطابق شکل‬ ‫)‪ (5-7‬در ارتفاع ‪ h‬از سطح زمﻴن قرار داشتﻪ باشد‪ ،‬داراى انرژى پوتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ است‪.‬‬ ‫براى باﻻبردن جسم از سطح زمﻴن تا ارتفاع ‪ h‬باﻳد کار انجام دﻫﻴم ‪ .‬چون با انجام اﻳن کار‪،‬‬ ‫جسم انرژى پتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ را کسب کرده است‪ ،‬پس گفتﻪ مﻰتوانﻴم کﻪ کار انجام شده‬ ‫بﻪ صورت انرژى پتانسﻴل در جسم ذخﻴره مﻰشود‪.‬‬ ‫در اﻳن درس اﻳن انرژى را بﻪ صورت کمﻰتعرﻳف کرده و رابطﺔ‬ ‫آن را با کار بﻪدست خواﻫﻴم آورد‪.‬‬ ‫با توجﻪ بﻪ شکل )‪ ،(5-7‬کارى کﻪ توسط قوة ‪ F‬انجام مﻰشود‬ ‫تا کتلﺔ ‪ m‬را بﻪ بلندى ‪ h‬باﻻ ببرد‪ ،‬عبارت است از‪:‬‬ ‫) ‪WP = F d cos ˆ= m g h cos 0° = mg (h2 h1‬‬ ‫در نتﻴجﻪ مﻰتوان نوشت کﻪ‪WP = mgh2 mgh1 = p :‬‬

‫ﻳعنﻰ کارى کﻪ توسط قوة ‪ F‬براى باﻻبردن کتلﺔ ‪ m‬از ارتفاع ‪h1‬‬ ‫بﻪ ارتفاع ‪ h2‬مصرف مﻰشود عبارت از تفاضل انرژى پوتانسﻴل‬ ‫در آن مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪u = WP = p :‬‬ ‫با توجﻪ بﻪ نکات فوق انرژى پوتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ را مﻰتوان بﻪ‬ ‫صورت ذﻳل تعرﻳف کرد‪« :‬انرژى پوتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ ﻳک جسم‬ ‫در ﻳک نقطﻪ نسبت بﻪ زمﻴن برابر است با کارى کﻪ انجام‬ ‫مﻰدﻫﻴم تا جسم را با سرعت ثابت از سطح زمﻴن تا نقطﺔ ﻳاد‬ ‫شده منتقل کنﻴم‪».‬‬ ‫شکل )‪(5-8‬‬

‫شکل )‪(5-7‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪Fext‬‬

‫‪d‬‬

‫‪h‬‬

‫‪F G = mg‬‬ ‫‪y1‬‬

‫بحث کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫــاى مختلــف صنفﻰ‪ ،‬با توجﻪ بﻪ شــکل )‪ ،(5-8‬کار قوة جاذبﻪ را بﻪدســت آورﻳــد‪ .‬و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف‬ ‫گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪137‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در گروهﻫــاى مختلف صنفﻰ جدول زﻳر را براى بلندىﻫاى ﻳادشــده تکمﻴل کنﻴــد‪ ،‬و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش‬ ‫دﻫﻴد‪:‬‬ ‫ﻣجﻤﻮع اﻧرژى ﻫاى حرکﻰ و پﻮتاﻧسﻴل‬

‫اﻧرژى حرکﻰ‬

‫اﻧرژى پﻮتاﻧسﻴل‬

‫بلﻨدى‬

‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×h‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪×h‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬ﻻزم بﻪ تذکر است کﻪ اگر شرط با سرعت ثابت در تعرﻳف انرژى پتانسﻴل ذکر نمﻰشد‪،‬‬ ‫و مث ً‬ ‫ﻼ سرعت جسم افراﻳش مﻰﻳافت‪ ،‬مقدارى از کار صرف افزاﻳش انرژى حرکﻰ جسم‬ ‫مﻰگردﻳد‪.‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ‪ :‬شکل ‪ 5-9‬نشان مﻰدﻫدکﻪ متحرکﻰ با کتلﺔ ‪ 1000kg‬از نقطﺔ‪ 1‬شروع بﻪ حرکت‬ ‫مﻰکند و از نقاط ‪ 2‬و‪ 3‬مﻰگذرد‪.‬‬ ‫‪ )a‬انرژى پتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ را در نقطﻪﻫاى‬ ‫‪ 1‬و ‪ 2‬بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ )b‬تفاوت انرژى پتانسﻴل بﻴن نقطﻪﻫاى‬ ‫‪ 2‬و ‪ 3‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫شکل (‪)5-9‬‬ ‫‪ :5-3‬کارى کﻪ بﻪوسﻴلﺔ فﻨر باﻻى کتلﻪ اﻧجام ﻣﻰشﻮد‬ ‫چگونﻪ مﻰتوان کارى راکﻪ توسط ﻳک فنر باﻻى کتلﻪ اى انجام‬ ‫مﻰشود اندازهگﻴرى کرد؟‬ ‫براى بررسﻰ اﻳن موضوع فنرى را مانند شکل زﻳر در نظر بگﻴرﻳد‪.‬‬ ‫اگر فنر مذکور راتوسط قوة عضﻼتﻰ بﻪاندازة ‪ d x‬کش نماﻳﻴم‪ ،‬در‬ ‫اﻳن صورت قوة عضﻼتﻰ‪ ،‬کار ) ‪ (dw = F d x‬را انجام مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫اگر توسط دست خوﻳش باﻻى فنر قوة ‪ F‬را وارد نماﻳﻴم و فنر را‬ ‫بﻪاندازة ‪ X‬کش ﻳا فشرده سازﻳم‪ ،‬مقدار اﻳن قوه با مقدار فاصلﺔ‬ ‫فنر را بطﺔ ﻳک راست دارد‪ .‬بنابراﻳن‪:‬‬ ‫) ‪Fp = KX ........( 1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Fp‬‬

‫‪138‬‬

‫شکل (‪)5-10‬‬

‫در اﻳن رابطﻪ‪ k ،‬ضرﻳب ثابت فنر اســت‪ .‬فنر کش شــده و ﻳا فشرده شده نﻴز قوهﻳﻰ بر خﻼف‬ ‫جﻬت قوة ‪ Fp‬باﻻى دست وارد مﻰسازد‪ .‬چرا؟ (توضﻴح دﻫﻴد)‪.‬‬ ‫پس مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬

‫) ‪( Fs = KX . . . . . ( 2‬قوة ارتجاعﻰ فنر)‬

‫عﻼمﺔ منفﻰ در اﻳن رابطﻪ نشان مﻰدﻫد کﻪ ‪ Fs‬خﻼف جﻬت ‪ x‬عمل مﻰنماﻳد و دو قوة ‪Fp‬‬ ‫و ‪ Fs‬در خﻼف جﻬت ﻳکدﻳگر اند‪ .‬ﻫمانطور کﻪ مﻰدانﻴم‪ ،‬را بطﺔ )‪ (2‬قانون ﻫوک را اراﻳﻪ‬ ‫مﻰدارد‪ .‬و در نتﻴجﻪ مﻰتوان نوشت‪Fp = Fs . . . . ( 3 ) :‬‬ ‫کارى کﻪ توسط قوة ‪ Fp‬انجام مﻰگردد عبارت است از‪:‬‬ ‫با استفاده از رابطﺔ )‪ Fp = KX ،(2‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪dw = Fp d x‬‬

‫‪dw = kx‬‬

‫چون ‪ FP‬از موقعﻴت تعادل ‪ X 1 = 0‬تا ﻫر موقعﻴت بعدى ‪ X‬تحول خطﻰ دارد‪ ،‬بنابرآن‬ ‫قوة متوسط ‪ F‬عبارت از‪ ( F = 1 (0 + KX ) = 1 KX ) ،‬و کار مجموعﻰ انجام شده‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫) ‪ (W = F X = 1 KX × X = 1 KX 2‬مﻰباشد‪ ،‬کﻪ اﻳن کار را بﻪ نام انرژى پوتانشﻴل فنر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫نﻴز ﻳاد مﻰکنند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬ضرﻳب ثابت فنرى ‪ 405 N m‬است‪ .‬مقدار کار فنر را بﻪاندازة ‪ 3cm‬کﻪ تغﻴﻴر طول‬ ‫دﻫد‪ ،‬درﻳابﻴد؟‬ ‫‪1 405 N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( =‪w‬‬ ‫حل‪) (0.03m) = 0.182 J :‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪2‬‬

‫کارى کﻪ بﻪوسﻴلﺔ گاز با فﺸار ثابت باﻻى پستﻮن اجرا ﻣﻰشﻮد‬ ‫براى بررسﻰ کارى کﻪ بﻪوسﻴلﺔ گاز باﻻى پستون اجرا مﻰشود‪ ،‬گازى را مطابق شکل‬ ‫(الف‪ )5-11،‬در داخل پستونﻰ کﻪ باﻳک منبع حرارت در تماس است در نظر بگﻴرﻳد‪ .‬گاز‬ ‫ابتدا در فشار‪ P‬و حجم ‪ v1‬در حالت تعادل قرار دارد‪( .‬فرض کنﻴد اصطکاک بﻴن پستون و‬ ‫استوانﻪ قابل صرف نظر باشد) در اﻳن صورت‪ ،‬فشار گاز با فشار محﻴط برابر است‪ .‬چرا؟ بﻪ‬ ‫علت اختﻼف حرارت بﻴن منبع و سﻴستم‪ ،‬مقدار کمﻰاز حرارت بﻪ گاز منتقل مﻰشود کﻪ در‬ ‫نتﻴجﻪ‪ ،‬گاز کمﻰمنبسط مﻰشود وپستون‪ ،‬را بﻪ سمت راست بﻪ عقب مﻰراند‪.‬‬

‫شکل (‪(5-11‬‬

‫الف‬

‫ب‬

‫منبع حرارت‬

‫‪139‬‬

‫اگر حرارت دادن بﻪ گاز را بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب بﻪ صورت آﻫستﻪ ادامﻪ دﻫﻴم‪ ،‬گاز بﻪ کندى‬ ‫منبسط مﻰشود و پستون بسﻴار آﻫستﻪ بﻪ طرف راست حرکت مﻰکند‪ .‬در اﻳن حالت‪ ،‬شتاب‬ ‫حرکت پستون بسﻴار کوچک خواﻫد بود‪ .‬در نتﻴجﻪ‪ ،‬قوهﻳﻰ کﻪ گاز بﻪ پستون وارد مﻰکند‬ ‫باﻳد با قوهﻳﻰ کﻪ محﻴط بﻪ پستون وارد مﻰکند‪ ،‬برابر باشد‪ .‬بنابر اﻳن‪ ،‬مﻰتوان گفت کﻪ در‬ ‫اثناى حرارت دادن‪ ،‬ﻫمواره فشار گاز با فشار محﻴط برابر است‪ ،‬ﻳعنﻰ در اثناى اﻳن عمل‪،‬‬ ‫فشار گاز ثابت باقﻰ مﻰماند‪ .‬گراف فشار‪ -‬حجم )‪ ( p v‬در اﻳن عملﻴﻪ در شکل (ب‪)5-11،‬‬ ‫نشان داده شده است‪ .‬در اﻳن عمل‪ ،‬ﻫم حرارت و ﻫم کار مبادلﻪ مﻰشوند‪ .‬در ابتدا کار را‬ ‫محاسبﻪ مﻰکنﻴم‪ .‬اگر فشار گاز ‪ P‬باشد‪ ،‬گاز در اثناى عملﻴﻪ‪ ،‬قوة ‪ F = P A‬را بﻪ پستون‬ ‫وارد مﻰکند کﻪ در آن ‪ A‬عبارت از مساحت پستون است‪ .‬اگر تغﻴﻴر مکان پستون برابر با‬ ‫‪ d‬باشد‪ ،‬کار ‪ w‬کﻪ سﻴستم برروى محﻴط انجام مﻰدﻫد از رابطﺔ ‪W = F d = ( P A) d‬‬ ‫بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫ولﻰ ‪ ،Ad‬عبارت از تغﻴﻴر حجم استوانﻪ است کﻪ برابر است با ‪V = V2 V1‬‬ ‫در نتﻴجﻪ‪W = P V ..................(4) :‬‬ ‫رابطﺔ )‪ (4‬اخﻴر عبارت از کارى است کﻪ پستون برروى محﻴط انجام مﻰدﻫد‪.‬‬

‫‪ :5-4‬قﻮهﻫاى تحﻔﻈﻰ و غﻴر تحﻔﻈﻰ‬ ‫قوهﻫاى تحفظﻰ و غﻴر تحفظﻰ چگونﻪ قو هﻫاﻳﻰ ﻫستند؟ چﻪ تفاوتﻰ مﻴان اﻳن دوقوه وجود دارد؟‬ ‫ﻫمانطورکﻪ مﻰدانﻴم اگر بخواﻫﻴم جسمﻰرا از ارتفاع ‪ h1‬بﻪ بلندى ‪ h2‬باﻻ ببر ﻳم باﻳد انرژى‬ ‫مصرف کنﻴم وکار انجام دﻫﻴم ‪ .‬در اﻳن حالت کار انجام داده شده بﻪ مسﻴر راه بستﻪگﻰ ندارد؛ بلکﻪ‬ ‫تنﻬا بﻪ نقطﺔ آغاز و انجام بستﻪگﻰ دارد‪ .‬بﻪ چنﻴن قوهﻫاﻳﻰ‪ ،‬قوهﻫاى تحفظﻰ گوﻳند‪ .‬قوة جاذبﺔ‬ ‫زمﻴن نمونﺔ خوبﻰ از قوهﻫاى تحفظﻰ مﻰباشد‪ .‬در صورتﻰکﻪ کار انجام شده توسط قوة ‪ ،F‬بﻪ مسﻴر‬ ‫راهبستﻪگﻰ داشتﻪ باشد‪ ،‬در اﻳن صورت بﻪ اﻳن نوع قوهﻫا‪ ،‬قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ مﻰگوﻳند‪ .‬نمونﺔ‬ ‫خوبﻰ از اﻳن قوهﻫا‪ ،‬عبارت از قوة اصطکاک مﻰباشد‪ .‬ﻫمان طورکﻪ در شکل )‪ (5-12‬مﻰبﻴنﻴد‪،‬‬ ‫زمانﻰکﻪ جسم از ﻳک نقطﻪ بﻪ نقطﺔ دﻳگر حرکت داده مﻰشود‪ .‬کارى کﻪ انجام شود بستﻪگﻰ‬ ‫بﻪ مسﻴر پﻴموده شده توسط جسم دارد‪ .‬چنانکﻪ در شکل دﻳده مﻰشود‪ ،‬جسم از موقعﻴت‪ 1‬تا‬ ‫موقعﻴت ‪ 2‬از طرﻳق دو مسﻴر حرکت کرده مﻰتواند‪ )1 .‬مسﻴر مستقﻴم ‪ )2‬مسﻴر منحنﻰ‪.‬‬ ‫اگر جسم از موقعﻴت‪1‬تا موقعﻴت‬ ‫‪ 2‬از مسﻴرى منحنﻰ حرکت‬ ‫کند‪ ،‬کار قوة اصطکاک بﻴشتر‬ ‫از کار قوة اصطکاکﻰ است کﻪ‬ ‫ﻫمان جسم از مسﻴر مستقﻴم‬ ‫حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫شکل )‪(5-12‬‬

‫‪140‬‬

‫‪ :5-5‬تحﻔﻆ اﻧرژى ﻣﻴخاﻧﻴکﻰ‬

‫کل انرژى پوتانشﻴل‬

‫تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ چﻴست؟ ﻫنگامﻰ‬ ‫کﻪ جسمﻰ را با کتلﺔ ‪ m‬از ارتفاع ‪ h‬رﻫا‬ ‫کنﻴم‪ ،‬انرژى پوتانشﻴل و انرژى حرکﻰ‬ ‫جسم تغﻴﻴر خواﻫند کرد؟ چرا؟ چﻪ‬ ‫رابطﻪﻳﻰ بﻴن انرژى حرکﻰ و پوتانشﻴل‬ ‫وجود دارد؟ در صورتﻰکﻪ تنﻬا قوهﻫاى‬ ‫تحفظﻰ باﻻى جسم عمل کند‪ ،‬ما بﻪ‬ ‫ﻳک نتﻴجﺔ بسﻴار ساده و زﻳبا مﻰرسﻴم‪.‬‬

‫نصف انرژى حرکﻰ‬ ‫نصف انرژى پوتانشﻴل‬

‫کل انرژى حرکﻰ‬

‫شکل )‪(5-13‬‬

‫براى توضﻴح اﻳن نتﻴجﻪ و پاسخ بﻪ پرسشﻫاى باﻻ جسمﻰرا کﻪ داراى کتلﺔ ‪ m‬است در نظر‬ ‫بگﻴرﻳد کﻪ بﻪ فاصلﺔ ‪ y‬از سطح زمﻴن رﻫا شده است (شکل روبرو)‪ .‬دﻳده مﻰشود کﻪ در نتﻴجﺔ‬ ‫سقوط‪ ،‬انرژى حرکﻰ و پوتانشﻴل جسم طبق گراف شکل زﻳر تغﻴﻴر مﻰکند‪.‬‬ ‫انرژى مﻴخانﻴکﻰ ‪U‬و ‪ K‬و ‪ E‬ﻫمانطور کﻪ دﻳده مﻰشود‪ ،‬در حﻴن سقوط‪،‬‬ ‫‪ 3 mgh‬انرژى پوتانشﻴل جسم کاﻫش و انرژى حرکﻰ آن‬ ‫انرژى پوتانشﻴل‬ ‫‪mgh‬‬ ‫انرژى حرکﻰ ‪ 41 mgh‬افزاﻳش مﻰﻳابد‪ .‬ولﻰ مجموع اﻳن دو انرژى در‬ ‫‪ 21 mgh‬حﻴن حرکت در ﻫر لحظﻪ ثابت باقﻰ مﻰماند‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫ارتفاع‬ ‫‪h‬‬

‫شکل )‪(5-14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪4‬‬

‫با دانستن مفاﻫﻴم باﻻ‪ ،‬حال بﻪ بررسﻰ کمﻴت جدﻳدى بﻪ نام انرژى مﻴخانﻴکﻰ (‪)E‬‬ ‫مﻰپردازﻳم کﻪ عبارت از مجموع انرژى حرکﻰ و پوتانﻴشل مﻰباشد‪ ،‬و ﻫمانطور کﻪ در مثال‬ ‫باﻻ دﻳدﻳد‪ ،‬مقدار اﻳن کمﻴت در سقوط آزاد جسم ﻫمﻴشﻪ ثابت باقﻰ مﻰماند‪ ،‬ﻳعنﻰ با زﻳاد‬ ‫ﻳعنﻰ‪K E + PE = const =:‬‬ ‫شدن انرژى پوتانشﻴل مقدار انرژى حرکﻰ کم مﻰشود و برعکس‪M E ،‬‬ ‫ﻫر چند تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ در مورد مثال باﻻ نشان داده شده است‪ ،‬ولﻰ مﻰتوان نشان‬ ‫داد کﻪ با قوهﻫاﻳﻰ مانند کشش فنر‪ ،‬قوة برقﻰ و ‪ ...‬نﻴز انرژى مﻴخانﻴکﻰ ثابت باقﻰ مﻰماند‪.‬‬ ‫از معادلﺔ فوق نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ در ﻳک سﻴستمﻰکﻪ قوهﻫاى خارجﻰ باﻻى آن عمل ننماﻳد‪،‬‬ ‫مجموع انرژى پوتانشﻴل و حرکﻰ ثابت مﻰباشند کﻪ اﻳن قانون بﻪنام قانون تحفظ انرژى‬ ‫مﻴخانﻴکﻰ ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 0.5kg‬را از ارتفاع ‪ 2m‬با سرعت ‪ 10 m s‬بﻪ باﻻ پرتاب مﻰکنﻴم‪ .‬باﻻ‬ ‫رفتن جسم را در حد اکثر درﻳابﻴد‪ g = 10m s 2 ( .‬فرض مﻰشود و از مقاومت ﻫم صرف نظر‬ ‫شود)‬

‫‪141‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫با‪mV1 = (0.5) (10 ) 2 = 25 J :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫حل‪ :‬انرژى حرکﻰ جسم در نقطﺔ پرتاب برابر است‬ ‫و انرژى پوتانشﻴل آن در ﻫمﻴن نقطﻪ برابر است با‪PE = u1 = mgh1 = 0.5 ×10 × 2 = 10 J :‬‬ ‫ﻫمچنان انرژى حرکﻰ جسم در باﻻترﻳن نقطﻪ‪ K 2 = 0 ،‬است و انرژى پوتانشﻴل جاذبﻪﻳﻰ آن‬ ‫در اﻳن نقطﻪ برابر است با‪PE = u2 = mgh2 = 0.5 ×10 × h2 = 5h2 :‬‬ ‫‪U 1 + K1 = U 2 + K 2‬‬ ‫براساس تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫= ‪K1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10 + 25 = 5h2 + 0‬‬

‫کار اﻧجام شده تﻮسط قﻮهﻫاى غﻴر تحﻔﻈﻰ‬

‫‪h2 = 7 m‬‬

‫‪35 = 5h2‬‬

‫در دورس قبلﻰ با قوهﻫاى تحفظﻰ و غﻴر تحفظﻰ آشنا شدﻳد و ﻫمچنﻴن با کار انجام شده‬ ‫توسط قوهﻫاى تحفظﻰ نﻴز آشناﻳﻰ حاصل کردﻳد‪ .‬اما آﻳا تا بﻪ حال از خود پرسﻴده اﻳد کﻪ‬ ‫کار قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ چگونﻪ است؟ آﻳا کارى کﻪ توسط قوهﻫاى تحفظﻰ و غﻴر تحفظﻰ‬ ‫اجرا مﻰشوند ﻳکسان ﻫستند؟ چرا؟‬ ‫ﻣثال‪ :‬با توجﻪ بﻪ آموختﻪﻫاى قبلﻰ‪ ،‬چند مثال از قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ مﻰآورﻳم و در مورد‬ ‫آن بحث مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫حل‪ :‬کار انجام شده توسط قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ بﻪ مسﻴر راه بستﻪگﻰ دارد‪ ،‬ﻳک نمونﺔ خوب‬ ‫از اﻳن نوع قوهﻫا عبارت از قوة اصطکاک مﻰباشد‪ .‬بﻪ طور مثال اگر شما جسمﻰرا کﻪ بر روى‬ ‫سطح زمﻴن قرار دارد بﻪ صورتﻫاى مختلف تغﻴﻴر مکان دﻫﻴد‪( ،‬بﻪ صورت منحنﻰ‪ ،‬خط‬ ‫مستقﻴم و ﻳا بﻪ حالت منکسر ﻳا زﻳگزاکﻰ) در ﻫر ﻳک از اﻳن تغﻴﻴر مکانﻫا‪ ،‬کار انجام داده‬ ‫شده توسط قوة اصطکاک از ﻳکدﻳگر فرق مﻰکند‪.‬‬ ‫بحث کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫاى مختلف صنفﻰ در مورد اﻳنکﻪ چرا انرژى پوتانشــﻴل تنﻬا براى قوهﻫاى تحفظﻰ تعرﻳف شــده مﻰتواند؟‬ ‫بحث کنﻴد و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫حال با استفاده از قضﻴﺔ کار و انرژى ( ‪ ) wnet = k‬بﻪ بررسﻰ دقﻴقتر کار انجام داده شده‬ ‫توسط قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ مﻰپردازﻳم کﻪ در بر دارندة انرژى پوتانشﻴل نﻴز مﻰباشد‪ .‬فرض‬ ‫کنﻴد کﻪ چندﻳن قوه باﻻى ﻳک جسم عمل مﻰکند و جسم زﻳر تأثﻴر اﻳن قوهﻫا تغﻴﻴر مکان‬ ‫مﻰکند‪ ،‬و فرض کنﻴد کﻪ فقط تعدادى از اﻳن قوهﻫا تحفظﻰ و باقﻰ مانده قوهﻫاى غﻴر‬ ‫تحفظﻰ مﻰباشند‪ .‬در اﻳن حالت‪ ،‬کار مجموعﻰ انجام داده شده توسط اﻳن دو نوع قوه را‬ ‫مﻰتوان اﻳنگونﻪ نوشت‪Wnet = Wc + WNc .......... .(1) :‬‬ ‫‪ Wc‬کارى است کﻪ توسط قوهﻫاى تحفظﻰ‪ ،‬و ‪ WNc‬کارى است کﻪ توسط قوهﻫاى غﻴر‬ ‫تحفظﻰ انجام مﻰشود‪.‬‬ ‫‪Wnet = k‬‬ ‫حال با استفاده از قضﻴﺔ کار و انرژى مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪k = k 2 k1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k‬‬

‫= ‪Wc + WNc‬‬

‫)‪k Wc .......... .( 2‬‬

‫‪142‬‬

‫= ‪WNc‬‬

‫کارى کﻪ توسط قوهﻫاى تحفظﻰ انجام مﻰشود را مﻰتوان بﻪ شکل انرژى پوتانشﻴل نوشت‪.‬‬ ‫= ‪Wc‬‬ ‫ﻫمانطور کﻪ از دروس قبلﻰ آموختﻴد‪u.......(3) :‬‬ ‫حال با تعوﻳض ‪ Wc‬از رابطﺔ )‪ (3‬در رابطﺔ )‪ (2‬مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫)‪u‬‬

‫( ‪WNc = k‬‬

‫)‪(WNc = k + u ).......(4‬‬

‫رابطﺔ (‪ )4‬ﻳک رابطﺔ کلﻰ براى کار انجام شده توسط قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ مﻰباشد‪.‬‬

‫‪ :5-6‬تﻮان ( ﻃاقت)‬ ‫توان چﻴست ؟ توان‪ ،‬کار و زمان چﻪ رابطﻪﻳﻰ با ﻳکدﻳگر دارند؟‬ ‫در فزﻳک صنف ﻫفت‪ ،‬در بارة توان آگاﻫﻰﻫاﻳﻰ حاصل نمودﻳد‪ .‬ﻫمچنان در درسﻫاى گذشتﻪ‬ ‫در مورد محاسبﺔ کار انجام شده بحث شد‪ .‬ولﻰ در مورد زمانﻰ کﻪ اﻳن کار انجام مﻰشود‪،‬‬ ‫صحبتﻰ بﻪعمل نﻴامد‪ .‬کار مﻰتواند کند و ﻳا سرﻳعتر انجام شود‪ ،‬ﻳک جسم را مﻰتوانﻴم در‬ ‫‪ 10‬ﻳا ‪ 15‬ثانﻴﻪ بﻪ ﻳک ارتفاع معﻴن باﻻ ببرﻳم‪ .‬در ﻫر دومورد کار انجام شده ﻳکسان است‪،‬‬ ‫ولﻰ در مورد اول کار سرﻳعتر انجام شده است‪ .‬براى در نظر گرفتن زمان انجام کار‪ ،‬کمﻴت‬ ‫مناسبﻰ را بﻪ نام توان تعرﻳف مﻰکنﻴم‪ .‬ﻫمانطورکﻪ در فزﻳک صنف ﻫفتم نﻴز خواندﻳد‪ .‬کار‬ ‫‪ w‬کﻪ در زمان ‪ t‬انجام مﻰشود‪ ،‬توسط توان (‪ )p‬بﻪ صورت کار انجام شده در واحد زمان‬ ‫‪w‬‬ ‫تعرﻳف مﻰشود‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫)‪P = . . . . (5 18‬‬ ‫‪t‬‬ ‫واحد اندازهگﻴرى توان درسﻴستم‪ ،SI‬ژول بر ثانﻴﻪ ) ‪ ( J s‬است‪ .‬کﻪ بﻪ افتخار کارﻫاى علمﻰجﻴمز‬ ‫وات‪ ،‬وات (‪ )w‬نامﻴده مﻰشود و ﻫمچنان توان (‪ )P‬از جنس قوه و سرعت از رابطﺔ زﻳر نﻴز‬ ‫بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪w F d‬‬ ‫‪=F v‬‬

‫‪t‬‬

‫=‬

‫‪t‬‬

‫=‪P‬‬

‫فعالﻴت‬

‫در گروهﻫاى مختلف صنفﻰ جدول رابطﻪ‬ ‫بﻴن کار‪ ،‬زمان‪ ،‬و توان را در زﻳر خانﻪ پرى‬ ‫کنﻴد و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪w‬‬ ‫) ‪(watt‬‬ ‫‪t‬‬

‫)‪t(s‬‬

‫) ‪W (J‬‬

‫?‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫?‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫?‬

‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪80‬‬

‫?‬

‫=‪P‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫ﻣثال‪ :‬کوﻫنوردى باکتلﺔ ‪ 60 kg‬در مدت ‪ 4‬ثانﻴﻪ ار تفاع ‪ 4.5m‬را طﻰ مﻰکند‪ .‬توان کوﻫنورد‬ ‫را بﻪدست آورﻳد‪ g = 9 8 m s 2 ( .‬فرض شود )‪.‬‬ ‫‪143‬‬

‫حل‪ :‬ابتدأ کار انجام شده توسط کوﻫنورد را بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪) ( 4 5 m) = 2646 J‬‬

‫‪s2‬‬

‫‪w = m g h = (60 kg ) (9 8 m‬‬ ‫‪w mgh 2646 J‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 661.5 w‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪4s‬‬

‫=‪P‬‬

‫ﻫر وسﻴلﻪﻳﻰ مانند موتر‪ ،‬جاروب برقﻰ‪ ،‬لفت وغﻴره کﻪ کارى انجام مﻰدﻫد‪ ،‬انرژى مصرف‬ ‫مﻰکند‪ .‬براى استفاده از اﻳن و سﻴلﻪﻫا باﻳد بﻪ آنﻫا انرژى داد‪ .‬اﻳن انرژى را انرژى ورودى ﻳا‬ ‫مصرفﻰ مﻰنامند‪ .‬از آنجا کﻪ مقدارى از اﻳن انرژى بﻪ علت اصطکاک تلف و ﻳا صرف حرکت‬ ‫دادن اجزاى و سﻴلﻪ مﻰشود‪ ،‬بنا برآن کار ﻳا انرژى مفﻴد خروجﻰ وسﻴلﻪ با انرژى ورودى آن‬ ‫برابر نﻴست‪ .‬در نتﻴجﻪ‪ ،‬فقط مقدارى از انرژى ورودى قابل استفاده است ‪ .‬اﻳن مقدار بﻴشتر‬ ‫بﻪ صورت فﻴصدى بﻴان مﻰشود و با زده ﻳا مؤثرﻳت نامﻴده مﻰشود‪.‬‬ ‫کار خروجﻰ‬ ‫= مؤثرﻳت (بازده)‬ ‫‪ ×100‬کار ورودى‬

‫خﻼصﺔ فصل پﻨجﻢ‬ ‫ حاصل ضرب مرکبﺔ قوه بﻪ جﻬت تغﻴﻴر مکان و فاصلﺔ طﻰ شده توسط آن‪ ،‬کار قوة عامل‬‫باﻻى جسم متحرک نامﻴده مﻰشود و مﻰتوان بﻪ سادهگﻰ گفت کﻪ ‪ :‬کار عبارت از حاصل‬ ‫ضرب قوه در فاصلﺔ تغﻴﻴر مکان است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪W = F d :‬‬ ‫ ﻫرگاه قوه تحت ﻳک زاوﻳﺔ معﻴن ) ( بﻪ جسم وارد شود و جسم را بﻪاندازة ‪ d‬بﻰجا‬‫نماﻳد‪،‬کار انجام شده توسط قوة ‪ F‬عبارت خواﻫد بوداز‪w = ( F cos ˆ) d = Fd cos ˆ:‬‬ ‫ کار انجام شده توسط قوة ‪ ،F‬منفﻰ خواﻫد بود‪ ،‬در صورتﻰکﻪ ‪ > 90o‬باشد‪.‬‬‫ در صورتﻰکﻪ بﻴش از ﻳک قوه باﻻى جسم عمل نماﻳد‪ ،‬کار مجموعﻰ عبارت ازحاصل جمع‬‫ﻫرﻳک از کارﻫا بﻪ صورت جداگانﻪ مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪Wtotal = W1 + W2 + W3 + . . . . :‬‬ ‫وﻳا کار مجموعﻰ را مﻰتوان بﻪ صورت زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫ˆ ‪Wtotal = ( Ftotal cos ˆ) d = Ftotal d cos‬‬

‫‪ -‬واحد اندازهگﻴرى کار در سﻴستم ‪ ،SI‬عبارت از ژول (‪ )J‬است‪1 J = 1 N m ،‬‬

‫ کار انجام داده شده توسط فنرى کﻪ بﻪاندازة ‪ x‬فشرده و ﻳا کشﻴده شده است‪ ،‬عبارت است‬‫از‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪kx‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪W‬‬

‫‪144‬‬

‫ ﻫرگاه کار انجام شده توسط قوة ‪ F‬بﻪ مسﻴر راه بستﻪگﻰ نداشتﻪ‪ ،‬بلکﻪ تنﻬا بﻪ نقطﺔ آغاز و‬‫انجام بستﻪگﻰ داشتﻪ باشد‪ ،‬بﻪ چنﻴن قوهﻫا‪ ،‬قوهﻫاى تحفظﻰ گوﻳند و بر عکس در صورتﻰکﻪ کار‬ ‫انجام شده بﻪ مسﻴر بستﻪگﻰ داشتﻪ باشد‪ ،‬بﻪ اﻳن نوع قوهﻫا‪ ،‬قوهﻫاى غﻴر تحفظﻰ مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫ کار مجموعﻰ‪ ،‬عبارت از تفاصل انرژى حرکﻰ در دو نقطﺔ‪ 1‬و‪ 2‬است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Wtotal = k = m V22‬‬ ‫‪m V12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬انرژى حرکﻰ ﻫمﻴشﻪ ﻳا مثبت است و ﻳا صفر‪.‬‬ ‫ قانون تحفظ انرژى بﻴان مﻰنماﻳد کﻪ‪ :‬انرژى مﻰتواند از ﻳک حالت بﻪ حالت دﻳگر تبدﻳل‬‫شود‪ ،‬اما انرژى مجموعﻰ ﻫمﻴشﻪ ثابت باقﻰ مﻰماند‪.‬‬ ‫‪K + U = cos tan t = E‬‬

‫ کارى کﻪ بﻪوسﻴلﺔ گاز باﻻى پستون اجرامﻰشود عبارت است از‪:‬‬‫‪W = p (V2 V1 ) = p V‬‬

‫ طاقت‪ ،‬عبارت است از کار انجام داده شده بر مقدار زمان مصرف شده براى انجام آن کار‬‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪p‬‬

‫‪F d‬‬ ‫و ﻫمچنﻴن طاقت را مﻰتوان اﻳنگونﻪ نوشت‪= F V :‬‬ ‫‪t‬‬

‫ واحد اندازهگﻴرى طاقت در ‪ SI‬عبارت از وات (‪ )W‬است‪:‬‬‫‪1 W =1 J‬‬

‫‪s‬‬ ‫‪746 W =1 hp‬‬

‫‪145‬‬

‫=‪P‬‬

‫سؤالﻫاى فصل پﻨجﻢ‬ ‫‪ - 1‬کار را تعرﻳف کنﻴد‪ ،‬واحد اندازهگﻴرى آن را در سﻴستم ‪ SI‬نام برده و نوع اﻳن کمﻴت‬ ‫(وکتورى ﻳا سکالرى) را مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬بﻪ جسمﻰقوة ‪ F =100 N‬وارد مﻰشود و آن را در جﻬت افقﻰ بﻪاندازة ‪ 20m‬تغﻴﻴر مکان‬ ‫مﻰدﻫد‪ .‬کار انجام شده توسط اﻳن قوه را در مواردذﻳل بﻪدست آورﻳد‪:‬‬ ‫‪ )a‬قوه بﻪ صورت افقﻰ بر جسم وارد شود‪.‬‬ ‫الف‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ )b‬قوه تحت زاوﻳﺔ ‪ = 60°‬نسبت بﻪ افق‪ ،‬بر جسم واردشود‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪60 o o‬‬ ‫‪60‬‬

‫ب‬

‫‪ - 3‬بﻪ جسمﻰباکتلﺔ ‪ ، m = 3kg‬قوة‪ F‬مطابق شکل ذﻳل وارد مﻰشود وآن را درجﻬت قاﻳم‬ ‫(عمودى) باﻻ مﻰبرد‪ .‬با صرف نظر از مقاومت ﻫوا‪:‬‬ ‫‪ )a‬شتاب حرکت جسم را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪F 40 N‬‬ ‫‪ )b‬کار قوة ‪ F‬را در باﻻ بردن جسم بﻪ ارتفاع ‪ 10m‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )c‬کارقوة وزن‪ W‬را در باﻻ بردن جسم تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )d‬کار قوة محصلﻪ رامشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ m‬از سطح زمﻴن بﻪ طرف باﻻ بﻪطور قاﻳم پرتاب مﻰشود و تا ارتفاع ‪h‬‬ ‫باﻻ مﻰرود‪ .‬کار قوة وزن را در اﻳن ارتفاع ( فاصلﺔ عمودى)بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬توضﻴح دﻫﻴدکﻪ در کدام ﻳک از دو حالت ذﻳل‪ ،‬کار مساوى بﻪ صفر است؟ چرا؟‬ ‫‪ )a‬اگر شخصﻰ‪ ،‬جسمﻰرا در دست نگﻬدارد (با آنکﻪ شخص خستﻪ مﻰشود)‪.‬‬ ‫‪ )b‬اگر شخصﻰ‪،‬جسمﻰرا بادست نگﻪ داشتﻪ و آن را با سرعت ثابت دراستقامت افقﻰ تغﻴﻴر‬ ‫موقعﻴت دﻫد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬مطابق شکل‪ ،‬بﻪ جسمﻰبا کتلﺔ ‪ ، m = 10kg‬قوة افقﻰ ‪ F = 200 N‬وارد مﻰشود و جسم‬ ‫را بﻪاندازة ‪ 20m‬در استقامت افقﻰ تغﻴﻴرموقعﻴت مﻰدﻫد‪( .‬قوة اصطکاک حرکﻰ برابربﻪ‬ ‫‪ 20N‬است)‪:‬‬ ‫‪ )a‬در ﻳک رسم تمام قوهﻫاى وارده بر جسم رانشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪200 N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ )b‬کار ﻫرﻳک از قوهﻫا را بﻪ صورت جداگانﻪ حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ )c‬جمع جبرى تمام کارﻫا را بﻪدست آورﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 7‬عﻼمﺔ کار انجام شده توسط ﻳک قوه را تحت زواﻳﻪﻫاى مختلف بررسﻰ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 8‬انرژى حرکﻰ راتعرﻳف کنﻴد و را بطﺔ آن را ثبوت کنﻴد‪.‬‬

‫‪146‬‬

‫‪ - 9‬قضﻴﺔ کار و انرژى را بﻴان کنﻴد و رابطﺔ آن را بنوسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 10‬با توجﻪ بﻪ قضﻴﺔ کار و انرژى توضﻴح دﻫﻴدکﻪ‪:‬‬ ‫‪ )a‬چﻪ موقع انرژى حرکﻰ جسم افزاﻳش مﻰﻳابد؟‬ ‫‪ )b‬چﻪ موقع انرژى حرکﻰ جسم کاﻫش مﻰﻳابد؟‬ ‫‪ )c‬چﻪ موقع انرژى حرکﻰ جسم تغﻴﻴر نمﻰﻳابد؟‬ ‫‪ - 11‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 20kg‬را از ارتفاع ‪ 45m‬از سطح زمﻴن رﻫا مﻰکنﻴم ‪ .‬با صرف نظر‬ ‫از مقاومت ﻫوا وبا استفاده از قضﻴﺔ کار وانرژى‪،‬انرژى حرکﻰ جسم و سرعت آن را درلحظﺔ‬ ‫رسﻴدن بﻪ سطح زمﻴن حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬در شکل روبرو عﻼمﺔ کار محصلﺔ قوهﻫاى وارد بر جسم را در ﻫرﻳک از مراحل حرکت‬ ‫با ذکر دلﻴل مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫) ‪v( m s‬‬

‫‪B‬‬ ‫) ‪t( s‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪ - 13‬انرژى پتانسﻴل را تعرﻳف کنﻴد و سﻪ نوع آن را نام ببرﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 14‬انرژى پتانسﻴل جاذبﻪﻳﻰ را تعرﻳف کنﻴد و را بطﺔ آن را بنوسﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 15‬انرژى پتانسﻴل فنر از چﻪ طرﻳقﻰ بوجود آمده و درآن ذخﻴره شده است؟‬ ‫‪ - 16‬قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ را بﻴان کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 17‬جسمﻰاز نقطﺔ ‪ A‬بدون سرعت اولﻴﻪ روى سطح بدون اصطکاک رﻫا مﻰشود‪ ،‬با‬ ‫استفاده از قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ‪ ،‬سرعت جسم را در نقاط ‪ B‬و ‪ C‬پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪20 m‬‬

‫‪15 m‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ - 18‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ 2kg‬را با سرعت ثابت بﻪ فاصلﺔ ‪ 1m‬در مدت ‪ 0.2‬ثانﻴﻪ با ﻻ مﻰبرﻳم‪.‬‬ ‫اﻳن کار با چﻪ طاقتﻰ صورت مﻰگﻴرد؟‬ ‫‪ - 19‬انرژى ورودى ﻳا مصرفﻰ چﻴست؟ توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 20‬بازده ﻳا مؤثرﻳت را تعرﻳف کنﻴد و را بطﺔ آن را بنوسﻴد‪.‬‬

‫‪147‬‬

‫فصل شﺸﻢ‬ ‫ﻣﻮﻣﻨتﻢ خطﻰ و اﻣﭙﻮلس‬

‫در اﻳن فصل براى توسعﺔ بﻴشتر علم مﻴخانﻴک با معرفﻰ دو کمﻴت دﻳگر بﻪ نامﻫاى ضربﻪ‬ ‫(‪ )impulse‬و مومنتم (‪ )momentum‬بﻪ بحث خود ادامﻪ خواﻫﻴم داد‪.‬‬ ‫وقتﻰ ﻳک قوه باﻻى ﻳک جسم در فاصلﺔ زمان معﻴن عمل مﻰکند‪ ،‬قوة مذکور ﻳک تغﻴﻴر‬ ‫سرعت را در جسم بﻪ وجود مﻰآورد‪ .‬امپولس اﻳن قوه (براى قوة ثابت) عبارت از حاصل ضرب‬ ‫قوه و زمانﻰ است کﻪ در آن قوه عمل مﻰکند و ﻳا بﻪ عبارة دﻳگر مﻰتوانﻴم بگوﻳﻴم کﻪ مساحت‬ ‫تحت منحنﻰ (قوه‪ -‬زمان)‪( ،‬براى زمانﻰکﻪ قوه در حال تغﻴﻴر است) عبارت از امپولس است‪.‬‬ ‫ﻫمﻴن طور تغﻴﻴر در سرعت جسم نﻴز بﻪ حﻴث امپولس قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى جسم عمل مﻰکند‪،‬‬ ‫تعرﻳف شده است‪ .‬و ﻫمچنان حاصل ضرب کتلﺔ جسم در سرعت آن را بﻪنام مومنتم کﻪ‬ ‫ﻳک کمﻴت بسﻴار مﻬم فزﻳکﻰ است و بﻪ سمبول ‪ M‬نماﻳش داده مﻰشود‪ ،‬ﻳاد مﻰکنند‪.‬‬ ‫امپولس و مومنتم ﻫر دو کمﻴتﻫاى فزﻳکﻰ وکتورى ﻫستند‪ .‬در اﻳن فصل ما دو اصل مﻬم را‬ ‫مطالعﻪ خواﻫﻴم کرد‪ .‬ﻳکﻰ اصل امپولس‪ -‬مومنتم و دومﻰاصل تحفظ مومنتم خطﻰ‪ .‬در اراﻳﺔ‬ ‫محتوﻳات اﻳن فصل‪ ،‬مﻬم است بدانﻴم کﻪ ﻫر دو اصل ذکر شده (کﻪ گاﻫﻰ ﻫم بﻪ نام قوانﻴن‬ ‫وﻳا قاعدهﻫاى اساسﻰ ﻳاد شدهاند)‪ ،‬در حقﻴقت ادامﺔ بحث قوانﻴن نﻴوتن است کﻪ در فصل‬ ‫قبلﻰ مطالعﻪ نمودﻳد‪ .‬بﻪ اﻳن معنﻰ کﻪ اﻳن دو قاعدة اساسﻰ‪ ،‬توسعﺔ قوانﻴن نﻴوتن ﻫستند کﻪ‬ ‫در واقع با شناساﻳﻰ مقادﻳر فزﻳکﻰ امپولس و مومنتم تکمﻴل شدهاند‪.‬‬ ‫در اﻳن فصل مطالب زﻳر را پﻴرامون اﻳن مبحث مطالعﻪ خواﻫﻴم کرد‪:‬‬ ‫ موقعﻴت و سرعت ﻳک جسم مﻰتواند با تطبﻴق ﻳک قوه تغﻴﻴر کند‪.‬‬‫ بﻴان کردن رابطﻪ بﻴن قوهﻳﻰ کﻪ بر کتلﺔ معﻴن ﻳک جسم عمل مﻰکند و درجﺔ تغﻴﻴر‬‫سرعت آن جسم‪( ،‬قانون دوم نﻴوتن)‪.‬‬ ‫ تعرﻳف کردن امپولس ﻳک قوه و مومنتم‪.‬‬‫ شرح تحفظ مومنتم در تصادم دو جسمﻰکﻪ روى ﻳک خط مستقﻴم در حرکت اند‪.‬‬‫ توضﻴح مثالﻫاﻳﻰ از طبﻴعت تحفظ مومنتم خطﻰ‪.‬‬‫‪ -‬تعرﻳف و توضﻴح مفاﻫﻴم تصادمﻫاى ارتجاعﻰ و غﻴر ارتجاعﻰ‪.‬‬

‫‪148‬‬

‫حرکت ﻣستقﻴﻢ الخط و اﻣﭙﻮلس (ﺿربﻪ)‬ ‫)‪ (6-1‬اﻣﭙﻮلس (ﺿربﻪ)‪:‬آﻳا تا بﻪ حال از خود پرسﻴده اﻳد کﻪ ضربﻪ چﻴست؟ ﻫنگامﻰکﻪ بﻪ‬ ‫جسمﻰضربﻪ وارد مﻰکنﻴد‪ ،‬چﻪ اتفاقﻰ مﻰافتد؟‬ ‫قرار تعرﻳف ضربﻪ ﻳا امپولس عبارت از حاصل ضرب قوة‪ F‬و زمان ‪ t‬است‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫ﻫمانطور کﻪ از رابطﺔ باﻻ دﻳده مﻰشود‪ ،‬امپولس را با حرف ‪ I‬نماﻳش مﻰدﻫند ‪t‬کﻪ‪ F‬با= ‪I‬قوه و‬ ‫زمان رابطﺔ مستقﻴم دارد‪ .‬امپولس و مومنتم داراى واحد اندازهگﻴرى ﻳکسان مﻰباشند‪ .‬چرا؟‬ ‫در بسﻴارى از حالتﻫا زمان تأثﻴر قوه باﻻى ﻳک جسم نقطﻪﻳﻰ چنان کوتاه مﻰباشد کﻪ ما‬ ‫مجبور مﻰشوﻳم از مفاﻫﻴم مشتق و انتﻴگرال استفاده کنﻴم کﻪ شما در رﻳاضﻰ صنف دوازدﻫم‬ ‫خواﻫﻴد آموخت‪ .‬حال فرض مﻰکنﻴم کﻪ قوة ‪ F‬در مدت زمان ‪ t‬باﻻى ﻳک جسم عمل‬ ‫مﻰکند‪ .‬در اﻳن صورت ضربﺔ قوة ‪ F‬را در زمان ‪ t‬با ‪ I‬چنﻴن نشان مﻰدﻫﻴم‪I = F t :‬‬ ‫در زندهگﻰ روزمره مشاﻫده مﻰکنﻴم کﻪ ما براى تغﻴﻴر دادن موقعﻴت و ﻳا سرعت ﻳک جسم‪،‬‬ ‫باﻳد قوهﻳﻰ را بر آن جسم وارد کنﻴم‪ .‬در مباحث قبلﻰ‪ ،‬در آغاز قوانﻴن حرکت نﻴوتن دربارة‬ ‫قوه و اثرات آن و ﻫمچنان تعرﻳف واحدﻫاى قوه (نﻴوتن و داﻳن) معلومات حاصل نمودﻳد‪ .‬در‬ ‫شکل (‪ )6-1‬جسمﻰبا کتلﺔ ‪ m‬در موقعﻴت ‪ x1‬وسرعت ‪ v1‬در زمان ‪ t1‬روى محور ‪ x‬توسط‬ ‫قوة ثابت ‪ F‬در حرکت است‪ .‬ما چنﻴن حرکتﻰ را از اﻳن پﻴش خوانده بودﻳم‪ ،‬ولﻰ براى تکرار‬ ‫و توسعﺔ معلومات قبلﻰ باز از آن ﻳاد آور مﻰشوﻳم‪ .‬بﻪ منظور آسانﻰ کار مطالعات خود را بﻪ‬ ‫حرکت روى محور ‪ x‬وﻳا موازى بﻪ آن محدود مﻰسازﻳم‪ .‬در زمان ‪ ،t2‬جسم در موقعﻴت ‪x2‬‬ ‫داراى سرعت ‪ v2‬است‪ .‬پس مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬

‫‪m‬‬

‫) ‪ = x = ( x2 x1‬تغﻴﻴر در موقعﻴت‬ ‫‪ = v = (V V ) m s‬تغﻴﻴر در سرعت‬ ‫‪ = t = (t2 t1 ) s‬فاصلﺔ زمانﻰ‬ ‫با شتاب ثابت ‪ a‬چنﻴن افاده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫شتاب حرکت در فاصلﺔ‬

‫زمانﻰ ‪t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪m s2‬‬ ‫‪t‬‬

‫=‪a‬‬

‫در قانون دوم نﻴوتن‪ ،‬شتاب ﻫمان نسبت قوه و کتلﻪ تعرﻳف شده است کﻪ عبارت است از‪،‬‬ ‫‪ ، a = F‬از قمﻴتﻫاى شتاب ‪ a‬در رابطﺔ باﻻ مﻰتوانﻴم تناسب زﻳر را بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪m‬‬

‫وﻳا‬

‫‪F‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪F t=m v‬‬

‫‪149‬‬

‫افادة اخﻴر اساس کلﻰ بحث ما را در اﻳن فصل تشکﻴل مﻰدﻫد و چنانکﻪ در مقدمﺔ اﻳن فصل‬ ‫ﻳاد آورى شد‪ ،‬اکنون امپولس را مﻰتوان چنﻴن تعرﻳف کرد‪:‬‬ ‫امپولس ﻳک قوة ثابت‪ ،‬عبارت از حاصل ضرب قوة مذکور و فاصلﺔ زمانﻰ است کﻪ در آن قوه‬ ‫عمل مﻰکند‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪t1‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪t = t2‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪v = v2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪x = x2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪x1‬‬ ‫)‪a‬‬

‫در زمان ‪t1‬‬

‫‪v21‬‬

‫شکل (‪ )6-1‬تغﻴﻴر سرعت و موقعﻴت ﻳک‬ ‫جسم در نتﻴجﺔ تطبﻴق ﻳک قوه برآن‬

‫‪F‬‬ ‫‪x2‬‬

‫در زمان ‪t 2‬‬

‫فعالﻴت‬

‫)‪b‬‬

‫) ‪v(m / s‬‬

‫(شتاب) ‪ = v / t = a‬مﻴل‬

‫گراف (ســرعت – زمان) براى جســم شکل (‪ )6-1‬در‬ ‫شکل (‪ )6-2a‬نشان داده شده است‪ .‬باﻳد توجﻪ کرد کﻪ‬ ‫مﻴل منحنﻰ (ســرعت – زمان) عبارت از شتاب ثابت و‬ ‫مساحت بﻴن اﻳن منحنﻰ و محور زمان عبارت از تغﻴﻴر‬ ‫مکان ‪ x‬اســت‪ .‬در اﻳن فعالﻴت شــاگردان در گروهﻫاى‬ ‫مربــوط‪ ،‬بﻪ کمک معلــم با ﻫم روى تفصﻴﻼت شــکل‬ ‫(‪ )6-2a‬و خصوصﻴــات آن بحــث نمــوده و نتاﻳج را بﻪ‬ ‫) ‪t (s‬‬ ‫ﻫمصنفﻰﻫاى خود گزارش دﻫند‪.‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪= x2 x1 = x‬مساحت‬ ‫‪t2‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪t1‬‬

‫شکل (‪)6-2a‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫شــاگردان در گروهﻫاى مختلف بﻪ کمک گراف (ســرعت‪ -‬زمان) کﻪ براى حرکت ﻳک ســفﻴنﺔ فضاﻳﻰ در شــکل‬ ‫(‪ )6-2b‬نشان داده شده بﻪ پرسشﻫاى زﻳر پاسخ تﻬﻴﻪ داشتﻪ و بﻪ مقابل صنف اراﻳﻪ دارند‪:‬‬ ‫‪ - 1‬سفﻴنﻪ در ‪ 100‬ثانﻴﻪ اول حرکت شتابﻰاش چقدر فاصلﻪ را مﻰپﻴماﻳد؟ آن را در شکل نشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫) ‪v( m s‬‬ ‫‪ - 2‬شتاب سفﻴنﻪ را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪4000‬‬ ‫‪ - 3‬سرعت سفﻴنﻪ در زمان ‪ t = 150s‬چند است؟‬ ‫‪3000‬‬ ‫?‬

‫شکل (‪ )6-2b‬گراف سرعت زمان سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ‬

‫?‬ ‫) ‪t( s‬‬

‫‪150‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪x‬‬

‫‪50‬‬

‫تﻤرﻳﻨات‪:‬‬ ‫) ‪F( N‬‬

‫بﻪ پرسشﻫاى زﻳر پاسخ اراﻳﻪ دارﻳد‪.‬‬

‫‪ - 1‬ﻳک قوة ثابت ‪ 3,7 N‬در فاصلﺔ زمانﻰ ‪ 100s‬عمل‬ ‫مﻰکند‪ .‬امپولس اﻳن قوه را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬در شکل مقابل‪ ،‬قوة ‪ F = 2,2 N‬داده شده‪ .‬امپولس اﻳن‬ ‫قوه را در انتروال زمانﻰ ‪ t = 0‬الﻰ ‪ t = 30s‬درﻳافت کنﻴد‪.‬‬

‫‪Ft‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1 2 Ft t‬‬

‫) ‪t( s‬‬

‫مساحت‬

‫‪t‬‬

‫‪ - 3‬اگر در شکل داده شدة‬ ‫تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ﻳک قوة ثابت ‪ F1 = 5 N‬در انتروال زمانﻰ ( ‪ t = 1s‬تا ‪ ) t = 3s‬و ﻳک قوة ثابت دومﻰ‬ ‫‪ F2 = 2 N‬در انتروال زمانﻰ ( ‪ t = 5s‬تا ‪ ) t = 10 s‬عمل مﻰکنند‪ .‬امپولسﻫاى ﻫر ﻳک از اﻳن دو‬ ‫قوه را حساب و باﻫم مقاﻳسﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫باﻻ‪ t1 = 10 s ، F0 = 55 dyne ،‬و ‪= 18 s‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ t‬باشند‪ .‬امپولس اﻳن قوه را‬

‫‪ :6-2‬ﻣﻮﻣﻨتﻢ‬ ‫مومنتم چﻴست؟ بﻴن ﻳک موترﻻرى و ﻳک موتر تﻴزرفتار در حال حرکت از نقطﺔ نظر مومنتم‬ ‫چﻪ فرقﻰ وجود دارد؟‬ ‫قانون دوم حرکت نﻴوتن را چگونﻪ مﻰتوان از نقطﺔ نظر مومنتم تعرﻳف کرد؟ و ﻳا بﻪ طور ساده‬ ‫«چﻪ رابطﻪﻳﻰ بﻴن مومنتم و قانون دوم حرکت نﻴوتن وجود دارد؟»‪.‬‬ ‫فکر کﻨﻴد‬ ‫دو توپ را کﻪ داراى کتلﻪﻫاى ﻳکسان ‪ m‬مﻰباشند با ﻳکدﻳگر تصادم دﻫﻴد‪ ،‬چﻪ اتفاقﻰ خواﻫد افتاد‪ .‬بﻪ دقت در‬ ‫مورد اﻳن مسئلﻪ در گروهﻫاى مختلف بحث کنﻴد و نتﻴجﻪ را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫در مبحث گذشتﻪ بﻪ کمک قانون نﻴوتن درﻳافتﻴم کﻪ‪ F t = m v :‬و مقدار طرف چپ معادلﻪ‬ ‫را بﻪنام امپولس ﻳاد نمودﻳم‪ .‬اکنون توجﻪ خود را بﻪ طرف راست معادلﻪ معطوف مﻰدارﻳم‪.‬‬ ‫مﻰدانﻴم کﻪ ‪ v = v2 v1‬طورى کﻪ ‪ v1‬سرعت اولﻰ جسم در زمان ‪ t1‬و ‪ v2‬سرعت دومﻰدر‬ ‫زمان ‪ t2‬است‪ .‬پس مﻰتوان نوشت‪m v = mv 2 mv1 :‬‬ ‫ﻫر دو مقدار طرف راست معادلﻪ‪ ،‬حاصل ضرب کتلﺔ جسم و سرعت آن را افاده مﻰکند‪ .‬اﻳن‬ ‫حاصل ضرب ﻳکﻰ از کمﻴتﻫاى مﻬم دﻳگر فزﻳکﻰ است کﻪ بﻪنام مومنتم ﻳاد شده است‪.‬‬

‫‪151‬‬

‫بﻪ اساس تعرﻳف‪ ،‬ﻳک کتلﺔ ‪ m‬کﻪ بﻪ سرعت ‪ v‬در حرکت است داراى مومنتم ‪ P‬است کﻪ‬ ‫توسط ‪ P = mV‬افاده مﻰشود‪ .‬واحدﻫاى مومنتم در سﻴستم ‪ SI‬عبارت از ‪ kg m‬و ‪ gr cm‬و‬ ‫‪s‬‬

‫‪M L‬‬

‫‪s‬‬

‫معادلﺔ بعدى (داﻳمنشن) آن عبارت از ‪ T = M L T‬مﻰباشد‪ .‬ﻫمچنان باﻳد گفت‬ ‫کﻪ واحدﻫا و ابعاد امپولس و مومنتم ﻫر دو ﻳکسان مﻰباشند‪ .‬مثالﻫاﻳﻰ از مومنتم در شکل‬ ‫(‪ )6-3‬داده شده است‪ .‬در اﻳن شکل ﻫر ﻳک از مومنتمﻫا حساب شده کﻪ بﻪ وضاحت دﻳده‬ ‫مﻰشود‪ .‬براى اﻳنکﻪ بﻪ تعرﻳف مومنتم بﻪ خوبﻰ پﻰ ببرﻳد‪ ،‬کوشش کنﻴد بﻪ طور دقﻴق روى‬ ‫قسمتﻫاى مختلف شکل با ﻫمصنفﻰﻫاى خود بحث کنﻴد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ )b‬مرمﻰ‬

‫‪1 kg m s‬‬

‫‪ )c‬ﻻرى‬

‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪P‬‬

‫‪m 1 ,67 10 27 kg‬‬ ‫‪m 1 ,67 10 27 kg‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V 1 10 3 m s‬‬ ‫‪33 kg‬‬

‫‪1 10 kg‬‬

‫‪V 20 m s‬‬ ‫‪V 20 m s‬‬

‫‪P = 2 ×105 kg‬‬ ‫‪m 1 10 4 kg‬‬ ‫‪m 1 10 4 kg‬‬

‫‪ )d‬بووﻳنگ‬

‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ )e‬سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ (اپولو)‬

‫‪P = 5×107 kg m s‬‬

‫‪P = 9 × 107 kg‬‬

‫‪V 3 10 2 m s‬‬ ‫‪V 3 10 2 m s‬‬

‫‪m 3 10 5 kg‬‬ ‫‪m 3 10 5 kg‬‬ ‫‪1 10 4 m s‬‬

‫‪ )f‬زمﻴن‬ ‫‪ )g‬ستاره‬

‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪m‬‬

‫‪V‬‬

‫‪1 10 4 m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪m 5 10 3 kg‬‬

‫‪V‬‬

‫‪m 5 10 3 kg‬‬ ‫‪V 3 10 4 m s‬‬ ‫‪V 3 10 4 m s‬‬

‫‪P = 18 × 1028 = 1.8 × 1029 = 2 × 1029 kg‬‬

‫‪10 24 kg‬‬ ‫‪10 24 kg‬‬ ‫‪10 44 m‬‬ ‫‪m ss‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪P = 3×1034 kg m s‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10 30‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪33 10‬‬ ‫‪kg‬‬

‫‪152‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬

‫شکل (‪)6-3‬‬ ‫مطالعﺔ مومنتم در اجسام مختلف‬

‫‪ )a‬پروتون‬

‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪kg‬‬

‫‪22‬‬

‫‪P = 5.0 × 10‬‬

‫‪3 10 m s‬‬ ‫‪3 10 5 m s‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬

‫ﻣثالﻫا‬

‫‪ - 1‬کتلﺔ ﻳک شتر با بار آن ‪ 500kg‬است و با سرعت ‪ 2m/s‬در حرکت است‪ ،‬مومنتم آن‬ ‫را حساب مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫حل‪P = mV = 5 ×102 kg × 2m s = 103 kg m s :‬‬

‫‪v‬‬

‫‪p=m‬‬

‫مطابق شکل (‪ ،)6-4‬چون سرعت ﻳک مقدار وکتورى و کتلﻪ‬ ‫ﻳک سکالر است‪ ،‬بنابرآن مومنتم مقدار وکتورى مﻰباشد‪ .‬در‬ ‫شکل کتلﺔ ‪ m‬داراى سرعت ‪ v‬بوده و مومنتم توسط ‪P=mv‬‬ ‫اراﻳﻪ شده است‪.‬‬

‫‪v‬‬ ‫شکل (‪)6-4‬‬ ‫نماﻳش خاصﻴت وکتورى مومنتم‬

‫‪m‬‬

‫چنانکﻪ در ﻫر سﻴستم کمﻴات وضعﻴﺔ داده شده‪ ،‬ﻳک وکتور بﻪ روى محورﻫاى کمﻴات‬ ‫وضعﻴﻪ بﻪ اجزاﻳش تجزﻳﻪ شده مﻰتواند‪ ،‬بنابرآن وکتور مومنتم ‪ P‬نﻴز روى محورﻫا تجزﻳﻪ‬ ‫شده مﻰتواند کﻪ در شکل (‪ )6-5‬نشان داده شده است‪ .‬بﻪ خاطر باﻳد داشت کﻪ اگر مومنتم‬ ‫نسبت بﻪ جﻬت مثبت محور ‪ x‬زاوﻳﺔ را بسازد‪ ،‬در آنصورت‪،‬‬

‫‪ = Px = P cos‬مرکبﺔ ‪ x‬مومنتم ‪P‬‬ ‫‪ = Py = P sin‬مرکبﺔ ‪ y‬مومنتم ‪P‬‬

‫و از قضﻴﺔ فﻴثاغورث‬

‫‪2‬‬

‫‪p‬‬

‫‪2‬‬

‫‪P 2 = Px + Py‬‬

‫شکل (‪)6-5‬‬ ‫آن‬ ‫اجزاى‬ ‫بﻪ‬ ‫تجزﻳﺔ وکتور مومنت‬ ‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪py‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪px‬‬

‫‪vy‬‬

‫‪m‬‬

‫‪vx‬‬

‫باﻫﻢ بحث کﻨﻴد و بﻪ حل تﻤرﻳﻦ بﭙردازﻳد‬ ‫‪ -a‬ﻳک ﻻرى با کتلﺔ ‪ 3000kg‬کﻪ بﻪ زاوﻳﺔ ‪ 30o‬بﻪ طرف شمال شرق بﻪ سرعت ‪72km/h‬‬ ‫در حرکت است‪ ،‬واگنﻰ را کﻪ داراى کتلﺔ ‪ 1000kg‬است با خودکش مﻰکند‪ .‬محور ‪ x‬را بﻪ‬ ‫سمت شرق و محور ‪ y‬را بﻪ سمت شمال در نظر بگﻴرﻳد‪ .‬مرکبﻪﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬مومنتم ﻻرى را‬ ‫درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -b‬ﻳک طﻴارة مسافربرى ﻫواپﻴماﻳﻰ آرﻳانا داراى کتلﺔ مجموعﻰ ‪ 50000kg‬بوده و بﻪ‬ ‫سرعت ‪ 900km/h‬در پرواز است‪ .‬اگر سمت مسﻴر پرواز ‪ 135o‬بﻪ طرف جنوب شرق باشد‪،‬‬ ‫مرکبﻪﻫاى (‪ x‬و ‪ )y‬مومنتم آن را معﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬

‫‪153‬‬

‫حل ‪ :a‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪= 30o‬‬

‫‪P = m × V = (3000 + 1000 ) kg × 72 km h‬‬

‫و‬

‫‪72000 m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪= 4000 kg × 20‬‬ ‫‪3600 s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪P = 80000 kg m s = 8 ×10 kg m s‬‬ ‫× ‪= 4000 kg‬‬

‫پس‬

‫‪Px = P cos = 8 ×10 4 kg m s × cos 30o‬‬ ‫‪= 8 ×10 4 × 0.866kg m s‬‬ ‫‪Px = 6.928 ×10 4 kg m s‬‬ ‫‪Py = P sin = 8 ×10 4 × 0.5kg m s‬‬

‫و‬

‫‪Py = 4 ×10 4 kg m s‬‬ ‫‪o‬‬ ‫حل ‪ :b‬دارﻳم کﻪ‪( = 45 :‬بﻪ سمت جنوب شرق) ‪= 135o‬‬

‫و‬

‫‪P = 50000kg × 900 km h‬‬ ‫‪900 × 103 m‬‬ ‫× ‪= 5 × 10 kg‬‬ ‫‪3600 s‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 5 × 10 × 2.5 × 10 2 kg m s = 1.2 × 105 × 10 2 kg m s‬‬ ‫‪4‬‬

‫پس‬

‫‪P = 1.25 ×10 7 kg m s‬‬ ‫‪Px = P cos = 1.25 ×10 cos 45 kg m s‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪7‬‬

‫‪= 1.25 ×107 × 0.707 kg m s‬‬

‫و‬

‫‪Px = 8.84 ×106 kg m s‬‬ ‫‪Py = P sin = 1.25 ×107 sin 45o kg m s‬‬ ‫‪= 1.25 ×107 × 0.707 kg m s‬‬ ‫‪Py = 8.84 ×106 kg m s‬‬

‫از حل سؤال نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ دقﻴقاً مومنتم‪ ،‬ﻳک کمﻴت وکتورى است‪ .‬براى اﻳنکﻪ بﻪ طور‬ ‫کامل مومنتم ﻳک جسم را مشخص کنﻴم‪ ،‬ما باﻳد حاصل ضرب کتلﻪ و سرعت و ﻫمچنان‬ ‫سمت حرکت آن را بدانﻴم‪ .‬در فصلﻫاى قبلﻰ موقعﻴت وکتورﻫاى تغﻴﻴر مکان‪ ،‬وکتورﻫاى‬ ‫سرعت و وکتورﻫاى قوه و شتاب را معرفﻰ نمودﻳم و دانستﻴم کﻪ چطور مﻰتوانﻴم دو ﻳا چند‬ ‫وکتور ﻫم نوع را جمع نموده و بﻪ حﻴث ﻳک وکتور محصلﻪ نشان دﻫﻴم‪.‬‬

‫‪154‬‬

‫بﻪ ﻫمﻴن شکل ما مﻰتوانﻴم دو ﻳا چند وکتور مومنتم را براى بﻪدست آوردن ﻳک وکتور‬ ‫محصلﺔ ساده باﻫم جمع کنﻴم‪ .‬بﻪ شکل (‪ )6-6‬توجﻪ کنﻴد در شکل‪ ،‬کتلﺔ ‪ m1‬داراى سرعت‬ ‫‪ V1‬بوده و بنابرآن داراى مومنت ‪ ، P1 = m1V1‬و ﻫمچنان مومنت کتلﺔ ‪ P2 = m2V2 ،m2‬و‬ ‫مومنت محصلﺔ سﻴستم ﻫر دو کتلﻪ عبارت از ‪ P = P1 + P2‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪v1‬‬

‫‪P1 = m1 v1‬‬

‫شکل (‪)6-6‬‬ ‫جمع وکتورى دو مومنتم‬

‫‪1‬‬

‫‪P‬‬

‫‪m1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪P2 = m2 v2‬‬ ‫‪P = P1 + P2‬‬

‫‪v2‬‬

‫براى ﻳافتن مومنت محصلﻪ مﻰتوان از ﻳکﻰ از دو طرﻳقﺔ متوازى اﻻضﻼع و ﻳا جمع مرکبﻪﻫا‬ ‫استفاده کرد‪ .‬بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد کﻪ‪:‬‬ ‫‪ = m1V1 cos 1‬مرکبﺔ ‪ x‬مومنت ‪P1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ = m1V1 sin‬مرکبﺔ ‪ y‬مومنت‬

‫‪P1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ = m2V2 cos‬مرکبﺔ ‪ x‬مومنت‬

‫‪P2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ = m2V2 sin‬مرکبﺔ ‪ y‬مومنت‬

‫‪P2‬‬

‫چون مرکبﻪﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬وکتور محصلﻪ بﻪ ترتﻴب مساوى بﻪ مجموع مرکبﻪﻫاى ‪ x‬و ‪y‬‬ ‫وکتورﻫاى جمع شده است‪ ،‬بنابرآن‪:‬‬ ‫و‪:‬‬

‫‪ = Px = m1V1 cos‬مرکبﺔ ‪ x‬مومنت ‪P‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+ m2V2 cos‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ = Py = m1V1 sin 1 + m2V2 sin‬مرکبﺔ ‪ y‬مومنت ‪P‬‬

‫‪1‬‬

‫اکنون با معلوماتﻰکﻪ حاصل نمودهاﻳم‪ ،‬مﻰتوانﻴم بﻪ ادعاﻫاى سﻪ گانﺔ زﻳر باور داشتﻪ باشﻴم‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مومنتم ﻳک جسم مساوى است بﻪ حاصل ضرب کتلﻪ و سرعت آن‪.‬‬ ‫‪ - 2‬مومنتم ﻳک مقدار وکتورى است‪.‬‬ ‫‪ - 3‬مجموع مومنتم ﻳک سﻴستم جسمﻫا عبارت است از مجموع وکتورى ﻫر ﻳک از‬ ‫مومنتﻫا‪.‬‬

‫‪155‬‬

‫فکر کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫــاى مختلــف صنفﻰ در مورد اﻳنکــﻪ چرا وقتﻰکﻪ ﻳک موتر ﻻرى و ﻳک موتر تﻴزرفتار ﻫر دو با ســرعت‬ ‫ﻳکسان حرکت کنند‪ ،‬در آن صورت موتر ﻻرى کﻪ کتلﺔ آن بزرگتر است‪ ،‬داراى مومنتم بﻴشتر مﻰباشد؟ (نتﻴجﻪ‬ ‫را بﻪ صنف گزارش دﻫﻴد)‪.‬‬

‫تﻮﺿﻴﺢ دﻫﻴد‪ :‬دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬را در نظر بگﻴرﻳد‪ .‬ﻫرگاه ( ‪ ) m = 3m‬باشد‪ .‬در اﻳن حالت‬ ‫دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬مﻰتوانند داراى مومنتم ﻳکسان باشند‪ .‬ﻳعنﻰ ‪ PA = PB‬چرا؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫حال با دانستن مفﻬوم مومنتم بﻪ بررسﻰ اﻳن سؤال مﻰپردازﻳم کﻪ بﻴن قوة (‪ )F‬و مومنتم‬ ‫(‪ )p‬چﻪ رابطﻪﻳﻰ وجود دارد؟ آﻳا قوه مﻰتواند مومنتم ﻳک جسم را تغﻴﻴر دﻫد؟ براى دانستن‬ ‫اﻳن موضوع فعالﻴت زﻳر را انجام دﻫﻴد‪:‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫با توجﻪ بﻪ آنچﻪ کﻪ در فعالﻴت قبل انجام دادﻳد‪ .‬ســعﻰ کنﻴد کﻪ ﻫمان دو توپ را با قوهﻫاى بﻴشــترى با ﻳکدﻳگر‬ ‫تصادم دﻫﻴد‪ .‬چﻪ اتفاقﻰ رخ خواﻫد داد؟ توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫از اجراى فعالﻴت باﻻ بﻪ نتﻴجﻪ خواﻫﻴد رســﻴد کﻪ قوه مﻰتواند مومنتم ﻳک جســم را کم و زﻳاد بسازد و ﻳا تغﻴﻴر در‬ ‫جﻬت مومنتم بﻪ وجود بﻴاورد‪.‬‬

‫‪ :6-3‬قﻮه و ﻣﻮﻣﻨتﻢ‬ ‫در آغاز اﻳن فصل ما قانون دوم نﻴوتن را بﻪ شکل رابطﺔ )‪ F t = m V ......(1‬افاده نمودﻳم کﻪ‬ ‫در پاﻳﻪ از قانون دوم نﻴوتن (‪ )F=ma‬استخراج شده بود‪ .‬نﻴوتن در بﻴانﻴﺔ اساسﻰ قوانﻴن سﻪ‬ ‫گانﺔ حرکتش‪ ،‬قوه را از جنس کتلﻪ و شتاب نﻪ‪ ،‬بلکﻪ از جنس درجﺔ زمانﻰ تغﻴﻴرات مومنتم‬ ‫افاده کرده است‪ .‬بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد کﻪ‪ m V = mV2 mV1 = P ،‬اﻳن رابطﻪ نشان مﻰدﻫد‬ ‫کﻪ براى کتلﺔ ثابت‪ ،‬حاصل ضرب کتلﻪ و تغﻴﻴرات سرعت آن مساوى است بﻪ تغﻴﻴرات‬ ‫درمومنتم جسم‪ .‬با جاى گزﻳنﻰ قﻴمت ‪ m v‬در رابطﺔ اولﻰ نتﻴجﻪ مﻰشود کﻪ ‪ F t = P‬با‬ ‫‪P‬‬ ‫تقسﻴم نمودن دو طرف معادلﻪ بﻪ ‪ F = .........(2) ، t‬بﻪدست مﻰآﻳد‪ .‬بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد‬ ‫‪t‬‬ ‫کﻪ ‪ P‬تغﻴﻴر در مومنتم با واحد ‪ Kg m s‬و ‪ t‬انتروال زمان است‪ .‬ﻫنگامﻰکﻪ قوة ‪ F‬عمل‬ ‫مﻰکند و سبب تولﻴد ‪ P‬مﻰگردد‪ .‬پس نسبت تغﻴﻴر در مومنتم و انتروال زمانﻰ عبارت از‬ ‫درجﺔ زمانﻰ متوسط تغﻴﻴر مومنتم بوده و نتﻴجﻪ مﻰگﻴرﻳم کﻪ قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى ﻳک جسم‬ ‫وارد مﻰشود از نگاه نظرى مساوى بﻪ درجﺔ زمانﻰ تغﻴﻴرات مومنتم ﻳک جسم مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫درجﺔ زمان متوسط تغﻴر مومنتم =‬ ‫‪t‬‬ ‫‪156‬‬

‫= ‪( F‬قوة وارده بر جسم)‬

‫ادعاى اخﻴر کمابﻴش ﻫمان بﻴان اصلﻰ قانون دوم نﻴوتن است کﻪ توسط خودش اراﻳﻪ شده‬ ‫است (بﻴان اصلﻰ قوانﻴن حرکت نﻴوتن در زبان ﻻتﻴن اراﻳﻪ شده)‪.‬‬ ‫چنانکﻪ مﻰتوان بﻪ راحتﻰ قانون دوم نﻴوتن ( ‪ ) F = ma‬را با استفاده از رابطﺔ اخﻴر نﻴز با‬ ‫در نظر گرفتن کتلﺔ ثابت ( ‪ ) m = Cons tan t‬چنﻴن بﻪدست آورد‪:‬‬ ‫فرض کنﻴد ‪ V1‬سرعت اولﻴﺔ جسم و ‪ V2‬سرعت نﻬاﻳﻰ جسم در انتروال‬ ‫) ‪p mV2 mV1 m(V2 V1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)‪= m a.............(3‬‬ ‫‪t‬‬

‫زمانﻰ ‪t‬‬

‫باشد‪ .‬پس‪:‬‬

‫=‪F‬‬ ‫‪=m‬‬

‫از آنجاﻳﻰ کﻪ ‪ Vt‬عبارت از شتاب جسم ( ‪ ) a‬مﻰباشد‪ .‬پس با وضع نمودن قﻴمت آن در‬ ‫رابطﺔ (‪ )3‬مﻰتوان نوشت‪F = m a ................ (m = Cons tan t ) :‬‬ ‫رابطﺔ اخﻴر بﻪدست آمده عبارت از قانون دوم نﻴوتن مﻰباشد‪.‬‬

‫قاﻧﻮن اﻣﭙﻮلس – ﻣﻮﻣﻨتﻢ‬ ‫ما در بحثﻫاى گذشتﻪ امپولس و مومنتم را تعرﻳف نمودﻳم‪ .‬اکنون نشان مﻰدﻫﻴم کﻪ چگونﻪ‬ ‫آنﻫا بﻪ سادهگﻰ با قانون دوم نﻴوتن مرتبط مﻰباشند‪ .‬ما در باﻻ نشان دادﻳم کﻪ قوه مساوى‬ ‫است بﻪ درجﺔ زمانﻰ تغﻴﻴرات مومنتم‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ F = P :‬و ﻳا مﻰتوانﻴم اﻳن طور بنوﻳسﻴم‪،‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ F t = P‬اما ‪ = I = F t‬امپولس ‪ F‬قوه در انتروال زمان ‪ t‬و ‪ = P‬تغﻴﻴر مومنتم تولﻴد شده‬ ‫توسط قوة ‪ F‬پس مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪I = P :‬‬ ‫رابطﺔ اخﻴر بﻴان مﻰدارد کﻪ‪ :‬امپولس ﻳک قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى ﻳک جسم عمل مﻰکند‪ ،‬برابر‬ ‫است بﻪ تغﻴﻴرات منتجﻪ در مومنتم جسم مذکور‪ ،‬کﻪ جملﺔ بﻴان شده بﻪنام قانون (امپولس‪-‬‬ ‫مومنتم) نامﻴده مﻰشود‪ .‬شکل(‪ )6-7‬اﻳن قانون را براى مومنتم اولﻰ صفر نماﻳش مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫‪V =0‬‬ ‫‪m‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪I‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪P = mV = I‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪c) m‬‬

‫‪m‬‬

‫شکل (‪)6-7‬‬ ‫نماﻳش قانون (امپولس‪ -‬مومنتم) براى مومنتم اولﻰ صفر‬

‫‪157‬‬

‫کتلﺔ ‪ m‬نخست در حالت سکون بوده و امپولس ‪ I‬در نتﻴجﺔ مومنتم آخرى ‪ mV‬کﻪ در عدد‬ ‫مساوى بﻪ ‪ I‬است در آن اعمال مﻰگردد‪ .‬در شکل (‪ )6-8‬ﻳک کتلﺔ ‪ m‬داراى مومنتم اولﻰ‬ ‫‪ P1 = mV1‬مﻰباشد‪ .‬ﻫمﻴن طور ﻳک امپولس ‪ I‬در نتﻴجﺔ مومنتم آخرى ‪ P2 = mV2‬باﻻى کتلﻪ‬ ‫اعمال مﻰگردد‪ ،‬بنابرآن مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪I = P2 P1 = mV2 mV1 :‬‬ ‫قانون امپولس – مومنتم‪ ،‬توسعﻪ و تفصﻴل خوب قانون دوم نﻴوتن مﻰباشد‪ .‬شکل مقابل‪،‬‬ ‫مومنتم اولﻰ دلخواﻫﻰ را بر اساس قانون (امپولس‪ -‬مومنتم) نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫‪P1 = m1V1‬‬ ‫‪V1‬‬

‫شکل (‪)6-8‬‬ ‫‪P2 = m2V2‬‬ ‫‪V2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪V‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪S‬‬

‫‪m‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫‪I = mV2 mV1‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪P‬‬

‫)‪c‬‬

‫ﻣثال‬ ‫انجنﻫاى کنترول کنندة ﻳک سفﻴنﺔ فضاﻳﻰ کﻪ کتلﺔ ‪ 15000kg‬دارد‪ ،‬براى پرتاب بدنﻪ اش‬ ‫بﻪ جلو‪ 3×105 N ،‬قوه تولﻴد مﻰکند‪ .‬تغﻴﻴرات مومنتم سفﻴنﻪ را در صورتﻰکﻪ انجنﻫاى آن براى‬ ‫‪ 10s‬آتش بگﻴرد‪ ،‬حساب کنﻴد‪ .‬نتﻴجﻪ تغﻴﻴرات در سرعت چند خواﻫد بود؟ و ماشﻴن را درﻳابﻴد‬ ‫تا مدت زمانﻰ فعالﻴتﻫاى تا ﻳک تغﻴﻴر سرعت ‪ 4×104 m s‬در سفﻴنﻪ اﻳجاد شود‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪P = I = F t = 3 × 105 N × 10s‬‬

‫‪= 3 × 106 Kg m s‬‬ ‫‪P 3 × 106 Kg m s‬‬ ‫=‬ ‫‪= 200 m s‬‬ ‫‪1,5 × 104 Kg‬‬ ‫‪m‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪P m V 1,5 × 104 × 4 × 104‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2 × 103 s‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 × 10‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪= 2000s‬‬

‫=‪t‬‬

‫‪m‬‬ ‫پس‪،‬دراﻳنمثالوقتﻰانجنبراى‪ 10‬ثانﻴﻪفﻴرشود‪،‬نتﻴجﻪتغﻴﻴراتدرمومنتمسفﻴنﻪ‪،‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪3 × 106 Kg‬‬

‫و نتﻴجﺔ تغﻴﻴرات در سرعت‪ 200m/s ،‬مﻰباشد‪ .‬انجنﻫا باﻳد براى ‪( 2000s‬تقرﻳباً ‪ 33‬دقﻴقﻪ)‬ ‫فعالﻴت کنند تا تغﻴﻴر سرعت ‪ 40,000m / s‬را تولﻴد کنند‪ .‬بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد کﻪ سرعت باﻻ‬ ‫‪4 ×10 4 ×10 3 km‬‬ ‫‪3600 km‬‬ ‫‪km‬‬ ‫× ‪= 40‬‬ ‫‪= 144 ×103‬‬ ‫) ‪= 144.000 Km hr‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪3600‬‬

‫= ‪(4 ×10 4 m s‬‬

‫ﻳک سرعت بسﻴار بلند است‪.‬‬ ‫تمرﻳن باﻻ ﻳکﻰ از موارد استفاده از قانون امپولس – مومنتم را بﻪما نشان داد‪.‬‬ ‫‪158‬‬

‫‪ :6-4‬ﺿربﻪ و تحﻔﻆ ﻣﻮﻣﻨتﻢ خطﻰ‬ ‫در فصل گذشتﻪ قانون سوم نﻴوتن را مبنﻰ براﻳنکﻪ براى ﻫر عمل ﻳک عکس العمل مساوى‬ ‫بﻪ آن وجود دارد‪ ،‬بﻪ تفصﻴل مطالعﻪ نمودﻳم‪ .‬قانون سوم نﻴوتن در حقﻴقت نتﻴجﻪﻳﻰ از‬ ‫خاصﻴت اساسﻰ قوهﻫا در طبﻴعت است کﻪ ﻫمﻴشﻪ بﻪ طور جوره باﻫم (عمل و عکس العمل)‬ ‫واقع مﻰشوند‪ .‬وقتﻰ ﻳک جسم باﻻى جسم دومﻰﻳک قوه وارد نماﻳد‪ ،‬جسم دومﻰقوة مساوى‬ ‫و مخالف الجﻬت را باﻻى جسم اولﻰ وارد مﻰکند‪ .‬اکنون ﻳکجا ساختن اﻳن حقﻴقت با قانون‬ ‫دوم نﻴوتن برحسب مومنتم ما را بﻪ قانون تحفظ مومنتم رﻫنماﻳﻰ مﻰکند‪.‬‬ ‫اگر ﻫﻴچ نوع قوهﻳﻰ باﻻى ﻳک سﻴستم وارد نشود‪ ،‬در آن صورت مومنتم ﻳک سﻴستم قطع‬ ‫نظر از ﻫر نوع تأثﻴرات متقابل بﻴن اجزاى آن سﻴستم ثابت است‪ .‬جملﺔ باﻻ قانون تحفظ‬ ‫مومنتم را بﻪ طور کامل بﻴان مﻰکند‪ .‬از تعرﻳف باﻻ قانون دوم نﻴوتن را چنﻴن مﻰنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫وﻳا‬

‫‪P‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪P=F t‬‬

‫=‪F‬‬

‫در رابطﺔ اخﻴر ‪ F‬قوة محصلﺔ عامل باﻻى جسم ( ﻳا سﻴستم اجسام)‪ t ،‬انتروال زمانﻰ کﻪ‬ ‫قوة ‪ F‬عمل مﻰکند و ‪ P‬نتﻴجﺔ تغﻴﻴر مومنتم مﻰباشد‪ .‬آشکارا اگر ‪ F‬صفر باشد‪ ،‬ﻳعنﻰ اگر‬ ‫کدام قوة باﻻى جسم (ﻳاسﻴستم) عمل نکند‪ ،‬در آن صورت ‪ P‬نﻴز صفر مﻰباشد‪ ،‬و اﻳن معنﻰ‬ ‫مﻰدﻫد کﻪ مومنتم ثابت است‪ .‬اگر تغﻴﻴر ﻳک کمﻴت در ﻳک انتروال زمان ‪ t‬صفر باشد‪ ،‬در‬ ‫آن صورت کمﻴت مذکور در زمان ‪ t‬ثابت مﻰباشد‪.‬‬ ‫قانون تحفظ مومنتم در مطالعﺔ تصادم اجسام بسﻴار مﻬم است‪ .‬فرض مﻰکنﻴم دو جسم باﻫم‬ ‫تصادم مﻰکنند‪ .‬بﻴاﻳﻴد بﻪ طور فشرده تصادم آنﻫا را توضﻴح دﻫﻴم‪.‬‬ ‫وقتﻰکﻪ دو جسم در لحظﺔ آغاز تصادم باﻫم برخورد مﻰکنند‪ ،‬ﻫر کدام باﻻى دﻳگرش ﻳک‬ ‫قوه وارد مﻰکند کﻪ مقدار اﻳن دو قوه باﻫم مساوى بوده و داراى جﻬتﻫاى مخالف مﻰباشند‪.‬‬ ‫چون اﻳن ادعا فقط در لحظﺔ کوچک تصادم صحت دارد‪ .‬بنابرآن منحنﻰ (قوه – زمان) براى‬ ‫ﻫر ﻳک از قوهﻫا بﻪ طور کل ﻳکسان مﻰباشد‪ .‬و بﻪ نتﻴجﻪ مﻰرسﻴم کﻪ امپولس ﻫر قوه در‬ ‫مقدار باﻫم مساوى است‪ .‬پس تغﻴﻴرات مومنتم در ﻫر جسم مساوى و جﻬتﻫاى شان مخالف‬ ‫مﻰباشد‪ ،‬در حالﻰکﻪ تغﻴﻴرات کلﻰ مومنتم در سﻴستم دو جسم در نتﻴجﺔ تأثﻴرات متقابل‬ ‫(در عمل تصادم) مساوى بﻪ صفر مﻰباشد‪ .‬بﻪ اﻳن معنﻰ کﻪ مجموع تغﻴﻴرات در مومنتم دو‬ ‫جسم قبل و بعد از تصادم بﻪ طور دقﻴق مساوى بﻪ صفر مﻰباشد‪ .‬اﻳن بﻴان توضﻴح مﻰدارد کﻪ‬ ‫مومنتم در تأثﻴرات متقابل ﻳک تصادم بﻴن دو جسم ثابت بوده و بدون تغﻴﻴر باقﻰ مﻰماند‪.‬‬

‫‪159‬‬

‫حالت خاص‪ :‬نوع تصادم بﻴن دو جسم در شکل (‪ )6-9‬نماﻳش داده شده‪.‬‬ ‫‪PP‬‬ ‫‪VV00‬‬ ‫‪0 0==m‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪ -a‬قبل از تصادم‬

‫‪ -b‬بعد از تصادم‬

‫‪m‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪m+M‬‬

‫شکل (‪)6-9‬‬ ‫تحفظ مومنتم در تصادم خطﻰ‬ ‫دو کتلﻪ‬

‫‪V0‬‬

‫=‪V‬‬ ‫‪m M‬‬

‫‪V‬‬

‫جسم اولﻰ داراى کتلﺔ ‪ m‬و سرعت ‪ V0‬با جسم دومﻰداراى کتلﺔ ‪ M‬برخورد مﻰکند و در‬ ‫نتﻴجﺔ آن کتلﻪﻫا باﻫم ﻳکجا شده و بﻪ سرعت ‪ V‬بﻪ حرکت خود ادامﻪ مﻰدﻫند‪ .‬اکنون بنابر‬ ‫تعرﻳف مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪ = P0 = mV 0‬مومنتم قبل از تصادم‬ ‫‪ = P = (m + M )V‬مومنتم بعد از تصادم‬ ‫از قانون تحفظ مومنتم ‪P0 = P‬‬ ‫وﻳا‪:‬‬ ‫‪mV 0 = (m + M )V‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‪V‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫بنابرآن براى سرعت بعد از تصادم مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪m+M‬‬ ‫ﻳاد آور باﻳد شد کﻪ ما مﻰتوانﻴم با داشتن قﻴمتﻫاى ‪ m، M‬و ‪ V0‬سرعت حاصل شدة ‪V‬‬ ‫کتلﻪﻫاى ﻳکجا شده بعد از تصادم را محاسبﻪ کنﻴم‪.‬‬ ‫شکل (‪ )6-10‬ﻳک کتلﺔ ‪ m‬با سرعت ‪ V0‬با کتلﺔ دومﻰساکن ‪ M‬برخورد نموده و بعد از‬ ‫تصادم‪ m ،‬با سرعت ‪ v‬و ‪ M‬با سرعت‪ V‬در جﻬتﻫاى مخالف ﻳکدﻳگر در حرکت مﻰآﻳند‪.‬‬ ‫چون مومنتم در اﻳن تصادم محفوظ است‪ ،‬بنابرآن‪:‬‬ ‫‪mV0 = MV + ( mv) = MV mv‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪+ ( mv) = MV‬‬ ‫‪mV‬‬ ‫‪M mv‬‬ ‫‪m0 = MV‬‬

‫تصادم‬ ‫‪ -a‬قبل از‬ ‫‪V‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪V0‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪M‬‬

‫‪v‬‬

‫‪m‬‬

‫‪v‬‬

‫‪ -b‬بعد از تصادم‬ ‫شکل (‪)6-10‬‬ ‫تحفظ مومنتم در تصادم خطﻰ‬ ‫(کتلﺔ برخورد کننده کمتر از کتلﺔ ساکن)‬

‫‪160‬‬

‫‪m‬‬

‫رابطﺔ باﻻ بﻪ وضاحت بﻴان مﻰدارد کﻪ مومنتم پﻴش از تصادم مساوى است بﻪ مومنتم بعد‬ ‫از تصادم‪.‬‬ ‫اگر کتلﺔ برخورد کننده در ﻳک تصادم روى خط مستقﻴم‪ ،‬بزرگتر از کتلﺔ ساکن باشد‪ ،‬در‬ ‫آن صورت ﻫر دو کتلﻪ بعد از تصادم از ﻫمدﻳگر دور شده و در عﻴن جﻬت در حرکت مﻰآﻳند‪.‬‬ ‫(در شکل (‪ )6-11‬نشان داده شده است)‪.‬‬ ‫‪V0‬‬

‫‪m‬‬

‫شکل (‪)6-11‬‬ ‫تحفظ مومنتم در تصادم خطﻰ‬ ‫(کتلﺔ برخورد کننده بزرگتر از کتلﺔ ساکن)‬

‫‪M‬‬

‫‪ -a‬قبل از تصادم‬ ‫‪m‬‬

‫‪V‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ -b‬بعد از تصادم‬ ‫براى اﻳن حالت خاص‪ ،‬قانون تحفظ مومنتم شکل زﻳر را بخود مﻰگﻴرد‪:‬‬ ‫‪MV 0 = MV + mv‬‬

‫حالت عمومﻰتصادم دو کتلﻪ روى خط مستقﻴم در شکل (‪ )6-12‬نشان داده شده است‪.‬‬ ‫در اﻳن حالت‪:‬‬ ‫‪ = Pb = m1v1 + m2 v2‬مومنتم قبل از تصادم ‪Pbefor‬‬ ‫‪ = Pa = m1V1 + m2V2‬مومنتم بعد از تصادم ‪Pafter‬‬ ‫از قانون تحفظ مومنتم‪Pb = Pa :‬‬ ‫بنابرآن‪m1v1 + m2 v2 = m1V1 + m2V2 :‬‬

‫براى کتلﻪﻫاى داده شدة ‪ m1‬و ‪ m2‬و سرعتﻫاى معﻴنﺔ ‪ v1‬و ‪ v2‬باز ﻫم سرعتﻫاى نﻬاﻳﻰ‬ ‫بعد از تصادم‪ v1 ،‬و ‪ v2‬خواﻫند بود‪ .‬براى قﻴمتﻫاى معﻴن داده شدة حالت اولﻰ(‪m1 ،m2،‬‬ ‫‪ v1‬و ‪ )v2‬بﻪ تعداد بﻰ نﻬاﻳت ترکﻴبﻫاﻳﻰ از سرعتﻫاى نﻬاﻳﻰ بﻪ وجود آمده مﻰتواند‪ .‬اما براى‬ ‫تمام قﻴمتﻫاى اندازه شدة کتلﻪﻫا و سرعتﻫا صحت معادلﺔ باﻻ و در نتﻴجﻪ صحت قانون‬ ‫تحفظ مومنتم در آنﻫا تحقق مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫‪v2‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪m1‬‬

‫‪ -a‬قبل از تصادم‬ ‫‪V2‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪V1‬‬

‫‪m1‬‬

‫‪ -b‬بعد از تصادم‬

‫‪161‬‬

‫شکل (‪)6-12‬‬ ‫حالت عمومﻰتحفظ مومنتم در تصادم‬ ‫روى خط مستقﻴم‬

‫ﻳک مثال دلچسپ دﻳگر تحفظ مومنتم در شکل (‪ )6-13‬نشان داده شده‪ .‬دو جسم داراى‬ ‫کتلﻪﻫاى ‪ M‬و ‪ m‬بﻪ دو طرف ﻳک فنرى کﻪ تحت فشار قرار گرفتﻪ باﻫم محکم گرفتﻪ‬ ‫شدهاند‪ .‬لحظﻪﻳﻰ کﻪ اجسام رﻫا شوند‪ ،‬قوة فنر آنﻫا را بﻪ دو طرف ضربﻪ مﻰزند‪ .‬اندازة‬ ‫قوة وارد شده باﻻى ﻫر ﻳک از دو جسم در ﻫر لحظﻪﻳﻰ کﻪ قوه عمل مﻰکند بﻪ طور کل‬ ‫باﻫم مساوى و جﻬتﻫاى قوهﻫاى وارد شده باﻻى کتلﻪﻫا مخالف ﻫمدﻳگر ﻫستند‪ .‬بنابرآن‬ ‫امپولس قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى ‪ M‬عمل مﻰکند در مقدار مساوى‪ ،‬ولﻰ در جﻬت مخالف با امپولس‬ ‫قوهﻳﻰ است کﻪ باﻻى کتلﺔ ‪ m‬عمل مﻰکند‪ .‬ﻫر کتلﻪ در نتﻴجﺔ شوت شدن عﻴن مقدار‬ ‫مومنتم را بﻪخود حاصل نموده و جﻬتﻫاى اﻳن مومنتمﻫا مخالف و مجموع آنﻫا صفر است؛‬ ‫ﻳعنﻰ چنانﻰکﻪ مومنتم قبل از رﻫا شدن صفر بوده‪ ،‬اکنون نﻴز مومنتم بﻪ ﻫمان گونﻪ بعد از‬ ‫رﻫا شدن صفر است‪ .‬از مباحثﺔ باﻻ اگر بﻪاندازهﻫاى سکالرى مومنتم توجﻪ کنﻴم‪ ،‬در خواﻫﻴم‬ ‫ﻳافت کﻪ آنﻫا باﻳد باﻫم مساوى باشند‪ .‬پس با توجﻪ دوباره بﻪ شکل مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪mv = MV‬‬

‫فنر فشرده شده‬ ‫‪m‬‬

‫‪.a‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪.b‬‬

‫‪v‬‬

‫شکل (‪)6-13‬‬ ‫تحفظ مومنتم کتلﻪﻫاﻳﻰ کﻪ توسط‬ ‫فنر بﻪ دو طرف شوت شدهاند‪.‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MV‬‬

‫‪m‬‬

‫‪M‬‬

‫‪V‬‬

‫اﻳن نتﻴجﻪ ﻫمچنان از تطبﻴق مستقﻴم (بدون توضﻴحات باﻻ) قانون تحفظ مومنتم نﻴز‬ ‫مﻰتواند بﻪدست آﻳد کﻪ برمبناى آن مومنتم اولﻰ باﻳد مساوى بﻪ مومنتم نﻬاﻳﻰ باشد‪ ،‬و در‬ ‫اﻳن مثال قسمتﻫاى ﻫر دو مومنتم بﻪ طور کل صفر ﻫستند‪.‬‬

‫‪ :6-5‬تصادم ارتجاعﻰ‬ ‫تصادم ارتجاعﻰ چﻴست و از نگاه فزﻳک چگونﻪ بررسﻰ مﻰشود؟‬ ‫تصادم ارتجاعﻰ عبارت از تصادمﻰاست کﻪ در آن قوانﻴن تحفظ مومنتم و انرژى مﻴخانﻴکﻰ‬ ‫ﻫر دو صدق نماﻳند‪ .‬براى درک بﻬتر اﻳن نوع تصادم‪ ،‬دو جسم کوچک ‪ A‬و ‪ B‬را درنظر‬ ‫مﻰگﻴرﻳم طورىکﻪ ﻫر دو جسم برروى ﻳک خط راست محور (‪ )x‬حرکت مﻰکنند‪.‬‬ ‫حال اﻳن دو جسم را قبل و بعد از تصادم مورد مطالعﻪ قرار مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫فرض مﻰکنﻴم کﻪ مطابق شکل (‪ ،)6-14‬دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬قبل از تصادم بﻪ ترتﻴب داراى‬ ‫سرعتﻫاى ‪ VA‬و ‪ VB‬و بعد از تصادم داراى سرعتﻫاى ‪ VA‬و ‪ VB‬مﻰباشند‪.‬‬

‫‪162‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪mA‬‬

‫‪mB‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪v‬‬

‫‪A‬‬

‫‪mB‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪v‬‬

‫‪vA‬‬

‫‪vB‬‬

‫‪x‬‬

‫‪mA‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫‪x‬‬

‫شکل (‪)6-14‬‬ ‫زمانﻰکﻪ ‪ V > o‬باشد‪ ،‬جسم بﻪ طرف راست محور ‪ x‬و زمانﻰکﻪ ‪ V < o‬باشد‪ ،‬جسم بﻪ طرف‬ ‫چپ محور ‪ x‬حرکت مﻰکند‪.‬‬ ‫نظر بﻪ قانون تحفظ مومنتم‪ ،‬در اﻳن نوع تصادم‪ ،‬مومنتم مجموعﻰ سﻴستم قبل و بعد از‬ ‫تصادم ثابت باقﻰ مﻰماند پس مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫)‪m AVA + mBVB = m AVA + mBVB .................. (1‬‬

‫بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب نظر بﻪ قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ‪ ،‬مجموع انرژى حرکﻰ اجسام تصادم‬ ‫کننده قبل از تصادم و بعد از تصادم نﻴز با ﻳکدﻳگر مساوى اند‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪m AVA + mBVB = m AVA + mBVB ..................(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫در صورتﻰکﻪ کتلﻪ و سرعت ﻫر دو جسم قبل از تصادم معلوم باشند‪ ،‬با استفاده از رابطﺔ (‪)1‬‬ ‫مﻰتوان کتلﻪ و سرعت ﻫر دو جسم ‪ A‬و ‪ B‬را بعد از تصادم چنﻴن بﻪدست آورد‪:‬‬ ‫)‪m A (VA VA ) = mB (VB VB )...................(3‬‬

‫بﻪ ﻫمﻴن ترتﻴب با استفاده از رابطﺔ (‪ )2‬براى انرژى حرکﻰ مﻰنوﻳسﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪VB ) ................(4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪VA ) = mB (VB‬‬

‫‪2‬‬

‫‪m A (VA‬‬

‫با استفاده از مطابقت الجبرى )‪ ، a 2 b 2 = (a b) (a + b‬رابطﺔ باﻻ را بﻪ صورت زﻳر نوشتﻪ‬ ‫مﻰتوانﻴم‪:‬‬ ‫)‪m A (VA VA ) (VA + VA ) = mB (VB VB ) (VB + VB ) ..............(5‬‬

‫حال با تقسﻴم کردن رابطﺔ (‪ )5‬بر رابطﺔ (‪ )3‬و با‬

‫فرض ‪VB‬‬

‫‪ VA‬و‬

‫‪VA + VA = VB + VB‬‬

‫وﻳا‬

‫‪VA VB = VB VA‬‬

‫)‪VA VB = (VA VB ) ....................(6‬‬

‫‪163‬‬

‫‪VB‬‬

‫‪ VB‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫رابطﺔ اخﻴر (‪ ،)6‬ﻳک رابطﺔ بسﻴار مﻬم و جالب است‪ .‬اﻳن رابطﻪ بﻴانگر اﻳن است کﻪ در ﻳک‬ ‫تصادم ارتجاعﻰ‪ ،‬تفاضل سرعتﻫاى دو جسم تصادم کننده قبل و بعد از تصادم باﻫم برابر‬ ‫ولﻰ در خﻼف جﻬت ﻳکدﻳگر ﻫستند‪.‬‬

‫‪ :6-6‬تصادم غﻴر ارتجاعﻰ‬ ‫تصادم غﻴر ارتجاعﻰ چﻴست؟ چﻪ تفاوتﻰ بﻴن تصادم ارتجاعﻰ و غﻴر ارتجاعﻰ وجود دارد؟‬ ‫تصادم غﻴر ارتجاعﻰ عبارت از تصادمﻰاست کﻪ در آن قانون تحفظ مومنتم صدق نماﻳد؛ ولﻰ‬ ‫قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ صدق ننماﻳد‪ .‬صدق ننمودن قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ‬ ‫در اﻳن نوع تصادم بﻪ دلﻴل آن است کﻪ مجموع انرژى حرکﻰ و پوتانسﻴل سﻴستم ثابت باقﻰ‬ ‫نمﻰماند‪ .‬ﻳعنﻰ در اﻳن نوع تصادم‪ ،‬انرژى مﻴخانﻴکﻰ ممکن است بﻪ انرژى حرارتﻰ‪ ،‬انرژى‬ ‫صوتﻰ و ﻳا کار تغﻴﻴر شکل دﻫد‪.‬‬ ‫بنابرآن براى تصادمﻫاى غﻴر ارتجاعﻰ‪ ،‬تنﻬا‬ ‫مﻰتوان قانون تحفظ مومنتم را مورد مطالعﻪ‬ ‫قرار داد‪ .‬در تصادمﻫاى غﻴر ارتجاعﻰ‪ ،‬بﻴشتر‬ ‫اجسام تصادم کننده بعد از تصادم بﻪ ﻫمدﻳگر‬ ‫شکل (‪)6-15‬‬ ‫چسپﻴده و با ﻫمان سرعت حرکت مﻰکنند‪.‬‬ ‫ﻳکﻰ از مثالﻫاى خوب براى درک بﻬتر تصادم غﻴر ارتجاعﻰ عبارت از رقاصﺔ بالستﻴک‬ ‫(‪ )Ballistic Pendulum‬مﻰباشد‪ ،‬کﻪ توسط آن مﻰتوان سرعت مرمﻰرا اندازهگﻴرى‬ ‫کرد‪.‬‬ ‫تحقﻴﻖ کﻨﻴد‬ ‫در گروهﻫاى مختلف طرﻳقﺔ بﻪدســت آوردن ســرعت مرمﻰرا توسط رقاصﺔ بالســتﻴک تحقﻴق کنﻴد و نتﻴجﻪ را بﻪ‬ ‫صنف گزارش دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪ :6-7‬ﻣرکز ثقل‬ ‫در صنفﻫاى گذشتﻪ با مفﻬوم مرکز ثقل و اﻳنکﻪ چگونﻪ مﻰتوان مرکزثقل اجسام منظم‬ ‫ﻫندسﻰ را بﻪدست آورد‪ ،‬آشناﻳﻰ حاصل کردﻳد‪ .‬اما آﻳا تا بﻪ حال از خود پرسﻴده اﻳد کﻪ‬ ‫چگونﻪ مﻰتوان مرکزثقل سﻴستمﻰاز اجسام ﻳا ذرات را کﻪ برروى ﻳک خط مستقﻴم قرار‬ ‫دارند بﻪدست آورد؟ و ﻳا اﻳنکﻪ در چﻪ حالتﻫاﻳﻰ مﻰتوان مرکزثقل سﻴستمﻰاز ذرات ﻳا‬ ‫اجسام را مطالعﻪ نمود؟ براى جواب دادن بﻪ پرسشﻫاى باﻻ شکل (‪ )6-16‬را درنظر بگﻴرﻳد‬ ‫در اﻳن شکل دو جسم با کتلﻪﻫاى ‪ mA‬و ‪ mB‬وجود دارند کﻪ فاصلﺔ ﻫر ﻳک آنﻫا از مرکز‬ ‫محور‪( x‬محور دوران) بﻪ ترتﻴب عبارت از ‪ xA‬و ‪ xB‬مﻰباشد‪.‬‬

‫‪164‬‬

‫براى بﻪدست آوردن مرکزثقل اﻳن سﻴستم کﻪ از دو جسم (از دو ذره نماﻳندهگﻰ مﻰکنند)‬ ‫‪XB‬‬ ‫تشکﻴل شده است از رابطﺔ ذﻳل استفاده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪XA‬‬

‫‪m A xcm + mB xcm = m A x A + mB xB‬‬

‫وﻳا‬

‫‪m1 x1 + m2 x2 m1 x1 + m2 x2‬‬ ‫=‬ ‫‪m1 + m2‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫= ‪X cm‬‬

‫شکل (‪)6-16‬‬

‫در اﻳن رابطﻪ ‪ X cm‬عبارت از فاصلﺔ مرکزثقل سﻴستم از مرکز محور‪ x‬مﻰباشد‪ .‬براى ساده‬ ‫ساختن رابطﺔ مجموع کتلﻪﻫاى‪ mA‬و ‪ mB‬را با عﻼمﺔ ‪ M‬نشان مﻰدﻫﻴم‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪M = m A + mB‬‬

‫با وضع نمودن قﻴمت ‪ ،M‬رابطﺔ (‪)1‬‬ ‫شکل ذﻳل را بﻪخود مﻰگﻴرد‪:‬‬ ‫‪m1 x1 + m2 x2‬‬ ‫‪M‬‬

‫شکل (‪)6-17‬‬

‫= ‪X cm‬‬

‫حال حالتﻫاى مختلف را مورد مطالعﻪ قرار مﻰدﻫﻴم‪:‬‬ ‫‪ - 1‬در صورتﻰکﻪ ﻳکﻰ از کتلﻪﻫا بزرگتر از دﻳگرى مث ً‬ ‫ﻼ ‪ m A > mB‬باشد‪ ،‬در اﻳن حالت‬ ‫مرکزثقل اﻳن سﻴستم دو جسمﻰ(دو ذرهﻳﻰ) بﻪ جسمﻰنزدﻳگتر است کﻪ داراى کتلﺔ بزرگتر‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬اگر تمام کتلﺔ سﻴستم در ﻳک نقطﻪ مث ً‬ ‫ﻼ نقطﺔ ‪ B‬قرار داشتﻪ باشد‪ ،‬در آن صورت ‪m A = 0‬‬ ‫خواﻫد بود و مﻰتوان نوشت کﻪ‪:‬‬ ‫‪0 × X A + mB X B mB X B‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪=X‬‬

‫‪m1 X 1 + m2 X 2 + m3 X 3 + ....‬‬ ‫‪.......... ..‬‬ ‫‪+ m2 + m‬‬ ‫سﻴستم‪m1‬‬ ‫داراى بﻴشتر‬ ‫‪3 +-....3‬اگر‬

‫‪B‬‬

‫‪mB‬‬

‫= ‪X cm‬‬

‫‪0 + mB‬‬

‫‪cm‬‬

‫از دو جسم (ذره)‪ ،‬تا ‪ n‬ذره باشد‪ ،‬در چنﻴن حالت بر اساس‬

‫‪=m‬‬ ‫رابطﺔ ‪....‬‬ ‫کﻪ‪M:‬‬ ‫توان‪1 + m‬‬ ‫‪2 +m‬‬ ‫(‪3 +)1‬‬ ‫نوشت‬ ‫مﻰ‬ ‫‪m1 X 1 + m2 X 2 + m3 X 3 + ....‬‬ ‫‪.......... .........( 2‬‬ ‫‪m X + m2 X 2 + m3 X 3 + ....‬‬ ‫‪m1 + m2 + m3 + ....‬‬ ‫‪X cm = 1 1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M = m1 + m2 + m3 + ....‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪mi X i‬‬ ‫‪m X + m2 X 2 + m3 X 3 + ....‬‬ ‫‪X cm = 1 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪n‬‬ ‫سﻴستمﻰ‪m‬از ذرات ﻳا اجسام‬ ‫رابطﺔ اخﻴر ﻳک رابطﺔ کلﻰ براى بﻪدست آوردن مرکزثقل‬ ‫‪i Xi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫مﻰباشد‪ .‬ﻫمﻴن طور براى محور ‪ y‬نﻴز بﻪ سادهگﻰ مﻰتوان بﻪ اثبات رسانﻴد کﻪ‪X cm =:‬‬ ‫‪M‬‬ ‫= ‪X cm‬‬

‫‪n‬‬

‫‪miYi‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪M‬‬

‫‪165‬‬

‫= ‪Ycm‬‬

‫خﻼصﺔ فصل شﺸﻢ‬ ‫ در مبحث مومنتم خطﻰ و امپولس دو اصل (امپولس‪ -‬مومنتم) و (تحفظ مومنتم خطﻰ)‬‫بﻪ نام قوانﻴن ﻳا قاعدهﻫاى اساسﻰ ﻳاد شدهاند‪.‬‬ ‫ امپولس ﻳا ضربﻪ ﻳک کمﻴت وکتورى بوده و عبارت از حاصل ضرب قوه در زمان مﻰباشد‪.‬‬‫‪t‬‬

‫‪I = Fav‬‬

‫ امپولس با درنظرداشت قانون دوم نﻴوتن در حقﻴقت عبارت‬‫‪t= P‬‬

‫از ‪P‬‬

‫مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪I = Fav‬‬

‫ مومنتم خطﻰ ﻳک جسم با کتلﺔ ‪ m‬و سرعت ‪ v‬عبارت از ‪ P = mV‬مﻰباشد‪.‬‬‫ مومنتم ﻳک کمﻴت وکتورى و ﻫم جﻬت با وکتور ‪ v‬مﻰباشد‪.‬‬‫در سﻴستمﻰمتشکل از چندﻳن جسم‪ ،‬مومنتم خطﻰ کل سﻴستم عبارت از مجموع‬‫مومنتمﻫاى ﻫر ﻳک از اجسام بﻪ صورت جداگانﻪ مﻰباشد‪ .‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪Pi‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪P = P1 + P2 + P3 + ..........‬‬

‫‪i 1‬‬

‫ مومنتم با درنظرداشت قانون دوم نﻴوتن عبارت از ‪ F = P‬مﻰباشد‪ ،‬ﻳعنﻰ مجموع قوهﻫاى‬‫‪t‬‬ ‫وارد شده بر جسم مساوى بﻪ تغﻴﻴر مومنتم نظر بﻪ زمان مﻰباشد‪.‬‬ ‫ تحفظ مومنتم براى ﻳک جسم زمانﻰ بر قرار است کﻪ مجموع قوهﻫاى وارد شده برجسم‬‫مساوى بﻪ صفر باشد‪.‬‬ ‫ تصادم ارتجاعﻰ‪ ،‬عبارت از تصادمﻰ است کﻪ در آن قوانﻴن تحفظ مومنتم و انرژى مﻴخانﻴکﻰ‬‫ﻫر دو صدق مﻰنماﻳند‪.‬‬ ‫ در تصادم ارتجاعﻰ‪ ،‬تفاضل سرعتﻫاى دو جسم تصادم کننده قبل و بعد از تصادم بﻪ ﻳک‬‫اندازه ولﻰ در خﻼف جﻬت ﻳکدﻳگر ﻫستند‪.‬‬ ‫ تصادم غﻴرارتجاعﻰ عبارت از تصادمﻰ است کﻪ در آن قانون تحفظ مومنتم صدق نموده‪،‬‬‫ولﻰ قانون تحفظ انرژى مﻴخانﻴکﻰ صدق نمﻰنماﻳد‪.‬‬ ‫ براى بﻪدست آوردن مرکزثقل سﻴستمﻰ از اجسام ﻳا ذرات از رابطﻪﻫاى زﻳر استفاده‬‫مﻰشود‪.‬‬ ‫‪mi X i‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪M‬‬

‫= ‪X cm‬‬

‫نظر بﻪ محور ‪x‬‬

‫‪166‬‬

‫‪n‬‬

‫‪miYi‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪M‬‬

‫= ‪Ycm‬‬

‫نظر بﻪ محور ‪Y‬‬

‫سؤال ﻫاى فصل شﺸﻢ‬ ‫‪ - 1‬مومنتم ﻳک جسم عبارت از حاصل ضرب ‪ ----------‬و ‪ ------------‬جسم‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬با در نظرداشت قانون دوم نﻴوتن مجموعﺔ قوهﻫاى وارده بر ﻳک جسم عبارت از نسبت‬ ‫‪ ---------‬بر ‪ ----------‬مﻰباشد‪.‬‬‫‪ - 3‬امپولس عبارت از تغﻴﻴرات ‪ --------------‬است‪.‬‬ ‫‪ - 4‬درتصادمﻫاى ارتجاعﻰ‪ ،‬تفاضل سرعتﻫاى دو جسم تصادم کننده قبل و بعد از تصادم با‬ ‫ﻳکدﻳگر ‪ ------------‬ولﻰ در ‪ -------------‬جﻬت ﻳکدﻳگر ﻫستند‪.‬‬ ‫‪ - 5‬کدامﻴک از گزﻳنﻪﻫاى ذﻳل واحد اندازهگﻴرى امپولس مﻰباشد‪.‬‬ ‫ج) ‪ N m‬د)‬ ‫الف) ‪ N‬ب)‬ ‫‪N s‬‬ ‫‪N s‬‬ ‫‪ - 6‬کدامﻴک از گزﻳنﻪﻫاى ذﻳل مساوى بﻪ قوة مجموعﻰ عمل شده بر روى جسم‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫د) ‪m v‬‬ ‫‪ w‬ج)‬ ‫الف) ‪ P‬ب)‬ ‫‪t‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ - 7‬اگر مومنتم دو جسم ﻳکسان باشد‪ ،‬درنتﻴجﻪ انرژى حرکﻰ با کتلﻪ‪ ،‬ﻳکﻰ از رابطﻪﻫاى‬ ‫ذﻳل را دارد‪.‬‬ ‫الف) مستقﻴم ب) معکوس ج) رابطﻪﻳﻰ ندارد د) متناسب با ﻳکدﻳگر‬ ‫‪ - 8‬تصوﻳر زﻳر تصادم بﻴن دو موترک ﻻبراتوارى را نشان مﻰدﻫد کﻪ بﻪ ترتﻴب داراى کتلﻪﻫاى‬ ‫‪ 4kg‬و ‪ 8kg‬مﻰباشند‪ .‬بعد از تصادم‪ ،‬موتر ‪ A‬با سرعت ‪ 1m/s‬بﻪ طرف عقب و موتر ‪ B‬با‬ ‫سرعت ‪ 2m/s‬بﻪ طرف جلو حرکت مﻰکند‪ .‬بر اساس اﻳن آگاﻫﻰﻫا‪ ،‬کدام ﻳک از گزﻳنﻪﻫاى‬ ‫زﻳر درمورد مومنتم و انرژى حرکﻰ صدق مﻰکند؟‬ ‫قبل از تصادم‬

‫بعد از تصادم‬ ‫‪vt = 2.0m.s‬‬

‫‪vc = 1.0m.s‬‬

‫‪mt = 8.0kg‬‬

‫‪mc = 4.0kg‬‬

‫‪vt = 0 m.s‬‬

‫‪vc = 3.0m.s‬‬

‫اﻧﺮژى ﺣﺮﻛﻰ‬

‫ﻣﻮﻣﻨﺘﻢ‬

‫الف‪:‬‬

‫تحفظ صورت گرفتﻪ‬

‫تحفظ صورت گرفتﻪ‬

‫ب‪:‬‬

‫تحفظ صورت نگرفتﻪ‬

‫تحفظ صورت گرفتﻪ‬

‫ج‪:‬‬ ‫د‪:‬‬

‫تحفظ صورت گرفتﻪ‬

‫تحفظ صورت نگرفتﻪ‬

‫تحفظ صورت نگرفتﻪ‬

‫تحفظ صورت نگرفتﻪ‬

‫‪167‬‬

‫‪ - 9‬در شکل زﻳر اگر قوة اصطکاک در مقابل ﻫر کﻴلوگرام ‪ 0.25‬نﻴوتن باشد و جسم از حال‬ ‫سکون بﻪ حرکت درآﻳد‪ ،‬پس از چند ثانﻴﻪ مومنتم آن بﻪ ‪ 5Kg m s‬مﻰرسد؟‬ ‫د) ‪ 3.2‬ثانﻴﻪ‬ ‫ج) ‪ 1.6‬ثانﻴﻪ‬ ‫الف) ‪ 1.25‬ثانﻴﻪ ب) ‪ 2.5‬ثانﻴﻪ‬ ‫‪4N‬‬

‫‪F‬‬

‫‪8 kg‬‬

‫‪ - 10‬محور عمودى (‪ ،)y‬گراف ذﻳل مومنتم ‪ p‬و محور افقﻰ (‪ ،)x‬زمان ‪ t‬را براى ﻳک سفﻴنﺔ‬ ‫فضاﻳﻰ نشان مﻰدﻫد‪ .‬کدام ﻳک از گزﻳنﻪﻫاى ذﻳل عبارت از مﻴل خط مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪p‬‬

‫الف)کتلﺔ سفﻴنﻪ‬

‫ب) سرعت سفﻴنﻪ‬

‫‪t‬‬

‫د) کار اجراء شده برروى سفﻴنﻪ‬ ‫ج) قوة مجموعﻰ کﻪ برروى سفﻴنﻪ عمل مﻰکند‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 11‬جسمﻰتحت قوة ثابت ‪ 5N‬از حال سکون با شتاب ‪ 1.5 m s‬بﻪ حرکت در مﻰآﻳد‪ ،‬پس‬ ‫از ‪ 6‬ثانﻴﻪ مومنتم جسم چند ‪ Kg m s‬مﻰشود؟‬ ‫د) ‪45‬‬ ‫ج) ‪22.5‬‬ ‫ب) ‪30‬‬ ‫الف) ‪20‬‬ ‫‪ - 12‬چﻪ چﻴز باﻳد باﻻى ﻳک جسم تطبﻴق شود تا سرعت و ﻳا حالت آن را تغﻴﻴر دﻫد‪.‬‬ ‫‪ - 13‬امپولس قوه را تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 14‬مومنتم جسمﻰداراى کتلﺔ ‪ m‬را کﻪ بﻪ سرعت ‪ v‬در حرکت است تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 15‬قانون تحفظ مومنتم خطﻰ را بﻴان نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 16‬شرح دﻫﻴد کﻪ چطور قوانﻴن (امپولس – مومنتم) و (تحفظ مومنتم) قوانﻴن نﻴوتن را‬ ‫تعقﻴب مﻰکنند‪.‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪- 17‬در شکل‪، m1 = 5 gr ، m2 = 10 gr ،‬‬ ‫اند‪ .‬سرعت اولﻰ کتلﺔ دومﻰ ‪ v2‬و کتلﺔ ‪ M‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪ ، V = 2 cm‬و ‪v1 = 25 m s‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪v1‬‬

‫‪m1‬‬

‫‪V‬‬

‫‪m M‬‬

‫‪ - 18‬بﻪ طور فشرده تحفظ مومنتم را در ﻳک تصادم دو جسم کﻪ بﻪ روى ﻳک خط مستقﻴم‬ ‫در حرکت اند‪ ،‬شرح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 19‬ﻳک امپولس ‪ 300 N s‬باﻻى جسمﻰکﻪ کتلﺔ آن ‪ 2kg‬است وارد مﻰشود‪ ،‬تغﻴﻴر در‬ ‫سرعت اﻳن کتلﻪ را تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 20‬جسم داراى کتلﺔ ‪ 10gr‬داراى سرعت ‪ 10m/s‬مﻰباشد‪ .‬اگر امپولس ‪1000dyne s‬‬ ‫باﻻى اﻳن کتلﻪ وارد شود‪ ،‬سرعت آخرى کتلﻪ را حساب کنﻴد‪.‬‬

‫‪168‬‬

‫‪- 21‬ﻳک طفل با کتلﺔ ‪ 21kg‬باﻻى ﻳک باﻳسکل کوچک با کتلﺔ ‪ 5.9kg‬سوار و با سرعت ‪ 4.5m/s‬در‬ ‫سمت شمال شرق در حرکت است‪.‬‬ ‫‪ .a‬مومنتم مجموعﻰ طفل و باﻳسکل چند است؟‬ ‫‪ .b‬مومنتم طفل چقدر است؟‬ ‫‪ .c‬مومنتم باﻳسکل را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 22‬ﻳک توپ فوتبال با کتلﺔ ‪ 0.5kg‬با سرعت ‪ 15m/s‬بﻪ طرف شمال شوت مﻰشود‪ .‬ﻳک شخص ساکن‬ ‫در زمان ‪ 0.02s‬آن را گرفتﻪ و متوقف مﻰسازد‪ .‬کدام قوه از طرف گﻴرنده باﻻى توپ وارد شده است؟‬ ‫‪ - 23‬کتلﺔ ﻫر توپ کرﻳکت ‪ 0.5kg‬است‪ .‬اگر توپ سبز رنگ بﻪ سرعت ‪ 12m/s‬با توپ آبﻰ رنگ کﻪ ساکن‬ ‫است برخورد کند‪( ،‬فرض مﻰکنﻴم کﻪ درطول زمان بازى‪ ،‬توپﻫا بﻪ روى سطح بدون اصطکاک حرکت‬ ‫مﻰکنند) سرعت نﻬاﻳﻰ توپ آبﻰ رنگ را در ﻫر ﻳک از حاﻻت ذﻳل درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .a‬توپ سبز رنگ بعد از برخورد با توپ آبﻰ متوقف مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ .b‬توپ سبز بعد از تصادم بﻪ حرکتش با سرعت ‪ v = 5 m‬در عﻴن جﻬت ادامﻪ مﻰ ‪s‬‬ ‫دﻫد‪m v 2 m .‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪v 2m s‬‬

‫‪ - 24‬اشکال مناسب را براى تمرﻳنﻫاى ذﻳل ترسﻴم نموده و آنﻫا را‬ ‫حل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ .a‬فرض کنﻴد کﻪ کتلﺔ ‪ m‬در شکل (‪ )a‬ﻳک واگونﻰ است با کتلﺔ‬ ‫‪ 600kg‬و کتلﺔ ‪ M‬واگون دﻳگرى با کتلﺔ ‪ 900kg‬باشند‪ .‬سرعت‬ ‫برخورد کتلﺔ ‪ 2 m s ،m‬وﻳا ( ‪ ) 7.2 Km h‬مﻰباشد‪ .‬سرعت واگونﻫا را بعد‬ ‫از تصادم آنﻫا کﻪ باﻫم ﻳکجا مﻰشوند محاسبﻪ کنﻴد‪( .‬جواب‪) 0.8 m s :‬‬ ‫‪ .b‬فرض کنﻴد در شکل (‪ m )b‬کتلﺔ ﻳک توپ تﻴنس با کتلﺔ ‪ 20gr‬و‬ ‫‪ M‬کتلﺔ ﻳک توپ والﻴبال با کتلﺔ ‪ 500gr‬باشند‪ ،‬اگر سرعت اولﻰ توپ‬ ‫تﻴنس ‪ 20m/s‬و سرعت نﻬاﻳﻰ آن بعد از تصادم ‪ 10m/s‬در جﻬتﻰ کﻪ‬ ‫در شکل مشاﻫده مﻰشود باشد‪ .‬سرعت توپ والﻴبال را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫(جواب‪)3m/s :‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪a‬‬

‫‪m MV‬‬

‫‪m‬‬

‫‪a‬‬

‫‪m M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪20 m s‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪20 m s‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪v1‬‬ ‫‪v1‬‬

‫‪10 m s‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪v2‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪v 2 10 m s‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪b‬‬

‫صورتﻰکﻪ‬ ‫‪ .c‬در شکل باﻻ (‪ )b‬فرض کنﻴد کﻪ ‪ M‬ﻳک سکﺔ‪ 10‬گرامﻰو ‪ m‬سکﺔ ‪ 5‬گرامﻰباشد‪ .‬در ‪b‬‬ ‫‪ V1 = 2 m s‬و ‪ V2 = 1 m s‬باشند‪ ،‬قﻴمت ‪ v‬را تعﻴﻴن کنﻴد‪( .‬جواب‪) 50 cm :‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ - 25‬ﻳک تشلﻪ با کتلﺔ ‪ 0.015kg‬کﻪ بﻪ طرف راست با سرعت ‪ 22.5cm/s‬روى سطح بدون اصطکاک لول‬ ‫مﻰخورد‪ ،‬با تشلﻪﻳﻰ کﻪ با کتلﺔ ‪ 0.015kg‬کﻪ بﻪ طرف چپ با سرعت ‪ 18cm/s‬حرکت مﻰکند‪ ،‬ﻳک تصادم‬ ‫ارتجاعﻰ مﻰکند‪ .‬بعد از تصادم‪ ،‬تشلﺔ اولﻰ بﻪ سرعت ‪ 18cm/s‬در حرکت مﻰآﻳد‪ .‬سرعت تشلﺔ دومﻰرا بعد‬ ‫از تصادم درﻳافت نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 26‬ﻳک موتر با کتلﺔ ‪ 500kg‬بﻪ سرعت ‪ 15m/s‬بﻪ طرف جنوب با ﻻرى ‪ 4500kg‬کﻪ در مقابل ﻳک اشارة‬ ‫ترافﻴکﻰ متوقف است تصادم مﻰکند‪ .‬موتر و ﻻرى با ﻫم چسپﻴده و بعد از تصادم ﻳکجا باﻫم در حرکت‬ ‫مﻰآﻳند‪ .‬سرعت نﻬاﻳﻰ کتلﺔ مجموعﻰ موترﻫا را درﻳابﻴد‬

‫‪169‬‬

‫فصل ﻫﻔتﻢ‬ ‫ستاتﻴک سﻴالﻫا (سکﻮن ﻧسبﻰ سﻴالﻫا) ‪Static Fluids‬‬ ‫چرا قاعدة بندﻫاى آب را نسبت بﻪ قسمتﻫاى باﻻﻳﻰ آن‬ ‫ضخﻴم تر مﻰسازند؟‬ ‫برک ماﻳعﻰ‪ ،‬در مصونﻴت ﻳک موتر چﻪ اﻫمﻴتﻰ دارد؟‬ ‫اﻳن فصل شما را کمک خواﻫد کرد تا سﻴالﻫا را در حال سکون و‬ ‫قوهﻫاﻳﻰ را کﻪ توسط آنﻫا بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ ،‬بﻴاموزﻳد‪ .‬ﻫمچنان‬ ‫مفاﻫﻴم فشار‪ ،‬قوهﻫاى صعودى و غﻴره را با اجراى تجارب و‬ ‫فعالﻴتﻫاﻳﻰ کﻪ مﻰتواند مﻬارتﻫاى علمﻰ و دانستنﻰﻫاى‬ ‫مفﻴد دربارة خواص سﻴالﻫا بﻪ شما آماده بسازد‪ ،‬فرابگﻴرﻳد و‬ ‫در نتﻴجﻪ شما خواﻫﻴد توانست بﻪ پرسشﻫاى مطرح شده و بﻪ‬ ‫پرسشﻫاى دﻳگر پاسخ بدﻫﻴد و بر اساس مباحثﻪ و مناقشﻪ در‬ ‫اﻳن فصل قادر خواﻫﻴد شد تا‪:‬‬ ‫ سﻴال را تعرﻳف کرده بتوانﻴد‪.‬‬‫ فشار وارده توسط سﻴالﻫا را توضﻴح داده بتوانﻴد‪.‬‬‫ رابطﻪ بﻴن فشار ماﻳع در ﻳک نقطﻪ‪ ،‬کثافت آن‪ ،‬عمق ﻳک‬‫نقطﺔ ماﻳع و شتاب جاذبﻪﻳﻰ را درﻳافت کرده بتوانﻴد‪.‬‬ ‫ تحلﻴل نموده بتوانﻴد کﻪ چطور فشار اتموسفﻴر نظر بﻪ عمق‬‫تغﻴﻴر مﻰکند‪.‬‬ ‫ قانون پاسکال را شرح دﻫﻴد‪.‬‬‫ نشان داده بتوانﻴد کﻪ چطور از مونومتر براى اندازهگﻴرى‬‫فشار سﻴالﻫا در محفظﻪﻫاى بستﻪ استفاده بﻪ عمل مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫ رابطﻪ بﻴن فشار و قوه صعودى سﻴالﻫا را تشرﻳح کرده‬‫بتوانﻴد‪.‬‬ ‫ مسألﻪﻫاى رﻳاضﻰ را با استفاده از قوانﻴن فشار‪ ،‬پاسکال و‬‫ارشمﻴدس حل کرده بتوانﻴد‪.‬‬ ‫ غرق شدن ﻳا شناور بودن ﻳک جسم در سﻴال را پﻴشبﻴنﻰ‬‫کرده بتوانﻴد‪.‬‬

‫‪170‬‬

‫‪ :7-1‬سﻴالﻫا‬ ‫مالﻴکولﻫاى اجسام در حالت ماﻳع با قوهﻫاى ضعﻴف اتصاق (چسپندهگﻰ) با ﻫم بستﻪ‬ ‫ﻫستند‪ .‬آنﻫا مقﻴد بﻪ موقعﻴتﻫاى ثابت نبوده‪ ،‬بلکﻪ با لغزﻳدن روى ﻳکدﻳگر آزادانﻪ از‬ ‫ﻳک موقعﻴت بﻪ موقعﻴت دﻳگر تغﻴﻴر مکان مﻰکنند‪ .‬بنابران ماﻳعات حجم معﻴنﻰ داشتﻪ و‬ ‫مﻰتوانند روان باشند و شکل ظرفﻰ را کﻪ بﻪ آن رﻳختانده مﻰشوند بﻪ خود بگﻴرند‪.‬‬ ‫ﻫمچنان مالﻴکولﻫاى ماﻳعات با ﻫم نزدﻳک بوده و در برابر قوهﻫاى فشار دﻫنده مقاوم‬ ‫ﻫستند‪ .‬چنانکﻪ ماﻳعات در عمل غﻴر قابل تراکم مﻰباشند‪.‬‬ ‫در حالت گاز‪ ،‬ذرات از ﻫمدﻳگر بسﻴار فاصلﻪ داشتﻪ و قوهﻫاى اتصاق ﻳا چسپندهگﻰ بﻴن آنﻫا‬ ‫آنقدر کوچک است کﻪ قابل صرف نظر مﻰباشد‪ .‬بنابر آن آنﻫا نسبت بﻪ مالﻴکولﻫاى ماﻳعات‬ ‫بﻴشتر آزادانﻪ بﻪ فاصلﻪﻫاى دور از ﻫمدﻳگر حرکت کرده مﻰتوانند و داراى حجم معﻴن و‬ ‫شکل معﻴن نﻴستند‪ ،‬بﻪ ﻫر سو انتشار مﻰکنند و بﻪ آسانﻰ متراکم مﻰشوند‪.‬‬ ‫چون ﻫم ماﻳعات و ﻫم گازات با مقاومت کم شان در برابر فشار تغﻴﻴر شکل مﻰدﻫند و تواناﻳﻰ‬ ‫سﻴالﻴت را دارند‪ ،‬بﻪ ﻫمﻴن سبب است کﻪ آنﻫا را بﻪ نام سﻴالﻫا ‪ 1‬ﻳاد مﻰکنند‪.‬‬

‫فﺸار سﻴالﻫا‬ ‫چنانکﻪ شما مﻰدانﻴد فشار در ﻫر نقطﺔ سﻴال در ظرف عبارت از مقدار قوة عمودى وارده‬ ‫باﻻى واحد سطح است کﻪ مﻰتواند چنﻴن اراﻳﻪ گردد‪:‬‬ ‫ﻗﻮه‬ ‫= ﻓﺸﺎر‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫و ﻳا با اراﻳﺔ سمبولﻫا ‪ P = F :‬است‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫نﻴوتن‬ ‫واحد فشار در سﻴستم اندازهگﻴرى ‪ SI‬عبارت از پاسکال (‪ )Pa‬بوده و مساوى بﻪ‬ ‫مترمربع‬ ‫مﻰباشد‪ .‬ﻳﺎ ‪N‬‬ ‫‪m2‬‬

‫ﻣثال‪:‬‬ ‫فشار وارده توسط ﻳک کتابﻰ کﻪ داراى مساحت ‪ 0.16m‬و وزن آن ‪ 8N‬مﻰباشد‪ ،‬چند است؟‬ ‫حساب مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫مرحلﺔ (‪ :)1‬معلومات ذﻳل داده شدهاند‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A = 0.16m‬‬

‫‪F = 8N‬‬ ‫?=‪P‬‬

‫‪F‬‬ ‫مرحلﺔ (‪ :)2‬معادلﻪ فشار را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 1‬کلمﺔ سﻴال مفﻬوم تواناﻳﻰ براى جرﻳان ﻳافتن را مﻰرساند و بنابرآن اﻳن کلمﻪ ﻫمزمان در ماﻳعات و گازات بﻪ کار رفتﻪ است‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫مرحلﻪ (‪ )3‬با وضع نمودن قﻴمتﻫاى داده شده مساحت و قوه‪ ،‬قﻴمت ‪ P‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫(کمک‪ :‬وزن عبارت از اندازة قوة جاذبﻪ است)‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪= 50Pa‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪= 50‬‬

‫‪0.16‬‬

‫=‪P‬‬

‫سؤالﻫا‬

‫‪ .1‬فشار وارد شده توسط کانتﻴنرى کﻪ داراى وزن ‪ 6000N‬و مساحت قاعدة ‪ 3m 2‬مﻰباشد‪ ،‬چند است؟‬ ‫درﻳافت نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ .2‬وزن تختﻪ سنگﻰ را درﻳابﻴد کﻪ داراى مساحت ‪ 12m 2‬بوده ‪ 25Pa‬فشار را بر زمﻴن وارد مﻰکند‪.‬‬

‫‪ :7-2‬اﻧدازهگﻴرى فﺸار ﻣاﻳﻊ‬ ‫وقتﻰ در ﻳک حوض آب بازى در زﻳر آب شنا مﻰنماﻳﻴد‪،‬‬ ‫فشار آب را در پردهﻫاى گوش تان احساس کرده مﻰتوانﻴد‪.‬‬ ‫سبب اﻳن فشار چﻴست؟ بﻪ سادهگﻰ مﻰتوان گفت کﻪ سبب‬ ‫اﻳن فشار‪ ،‬وزن آب باﻻى بدن شما است کﻪ شما را بﻪ سمت‬ ‫مقابل تﻴلﻪ مﻰکند‪ .‬شکل (‪ )7-1‬ﻳک جسم غوطﻪ شده در‬ ‫ﺷﮑﻞ (‪)7-1‬‬ ‫ظرف پر از ماﻳع را نشان مﻰدﻫد‪.‬‬ ‫ماﻳع قوهﻫا را باﻻى جسم و جدارﻫاى ظرف وارد مﻰکند‪ .‬قوهﻫا باﻻى ﻫر نقطﺔ سطح جسم‬ ‫و جدارﻫاى ظرف بﻪ طور عمود وارد مﻰگردند‪.‬‬ ‫فعالﻴت‪ :‬آب چگونﻪ باﻻى اجسام فشار وارد مﻰکند؟‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬خرﻳطﺔ پﻼستﻴکﻰ‪ ،‬سنجاق و آب‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬خرﻳطﻪ را از آب پرکنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬خرﻳطﻪ را بﻪ شدت فشار دﻫﻴد و با عجلﻪ آن را از چندﻳن نقطﻪ با سنجاق سوراخ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬مشاﻫدات تان را ﻳادداشت نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬با گروه تان روى مشاﻫدات ﻳادداشت شده مباحثﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬نتﻴجﻪگﻴرى شما از اجراى اﻳن فعالﻴت چﻴست؟‬ ‫شکل (‪)7-2‬‬

‫شــما دﻳدﻳدکﻪ آب از ســوراخﻫاى سطح خرﻳطﻪ در تمام ســمتﻫا بﻪ طور عمودى فواره مﻰکرد‪ .‬اﻳن‬ ‫معنﻰ مﻰدﻫد کﻪ فشار در تمام جﻬتﻫا در ﻫر نقطﺔ سطح عمود است‪.‬‬

‫‪172‬‬

‫چطور مقدار فشار آب نظر بﻪ عمق آن فرق مﻰکند؟‬ ‫پاسخ اﻳن پرسش را با اجرا نمودن فعالﻴت زﻳر بﻪ دست آورده مﻰتوانﻴد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‪ :‬فشار و عمق‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬قطﻰ حلبﻰ دراز‪ ،‬موم ﻳا خمﻴره سوراخ کن و آب‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬ﻳک طرف قطﻰ را مطابق شــکل از ســﻪ جاى آن بﻪ طور مساوى سوراخ‬ ‫کنﻴد‬ ‫‪ - 2‬سوراخﻫا را توسط خمﻴره ﻳا موم بستﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫شکل (‪)7-3‬‬ ‫‪ - 3‬قطﻰ حلبﻰ را از آب پرکنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬سوراخﻫا را باز کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬مشاﻫدات تان را ﻳادداشت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬سؤالﻫاى ذﻳل را با گروه تان پاسخ بدﻫﻴد‪.‬‬ ‫از کدام سوراخ آب تﻴز تر و بﻪ شدت بﻴشتر فواره مﻰکند؟‬ ‫در کدام سوراخ فشار بﻴشتر است؟‬

‫از فعالﻴت انجام شده مﻰتوان نتﻴجﻪ گرفت کﻪ فشار آب با زﻳاد شدن عمق ازدﻳاد مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫‪P0 A‬‬

‫‪mg‬‬

‫‪PA‬‬

‫رابطﻪ بﻴﻦ فﺸار و عﻤﻖ در ﻳک ﻧقطﺔ ﻣعﻴﻦ ﻣاﻳﻊ‬ ‫ﻳک ماﻳع داراى کثافت و در حالت سکون را بﻪ داخل‬ ‫ﻳک ظرف سر باز مطابق شکل (‪ )7-4‬در نظر مﻰگﻴرﻳم‬ ‫‪ .‬ﻫر گاه بخواﻫﻴم فشار ماﻳع را در نقطﺔ ‪ C‬داخل ماﻳع‪،‬‬ ‫جاﻳﻰ کﻪ بلندى و ﻳا عمق ماﻳع در آن نقطﻪ ‪ h‬است بﻪ‬ ‫دست مﻰآورﻳم‪.‬‬

‫‪F2‬‬

‫‪w‬‬

‫‪F1‬‬

‫‪C‬‬

‫شکل (‪)7-4‬‬

‫ظرف پر از ماﻳعﻰ را در نظر بگﻴرﻳد کﻪ ﻳک مکعبﻰ بﻪ ارتفاع ‪ h‬و مساحت قاعدة ‪ A‬در آن‬ ‫غوطﻪ ور باشد‪ .‬ارتفاع اﻳن مکعب نمونﻪ‪ ،‬برابر است بﻪ عمق نقطﺔ ‪ C‬از سطح آب (‪.)h‬‬ ‫بﻴاﻳﻴد قوهﻫاى عامل باﻻى سطوح باﻻﻳﻰ و پاﻳﻴنﻰ اﻳن مکعب فرضﻰ را مطالعﻪ نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫اﻳن قوهﻫا سﻪ نوع اند‪:‬‬ ‫‪ - 1‬وزن مکعب نمونﻪ (‪w = mg = Vg = ghA ،)w‬‬ ‫‪ - 2‬قوة صعودى (‪) F1‬کﻪ توسط فشار ماﻳع بﻪ قاعدة مکعب وارد مﻰشود‪F1 = PA .‬‬

‫‪173‬‬

‫قوة (‪) F2‬کﻪ توسط فشار اتموسفﻴر باﻻى سطح باﻻﻳﻰ مکعب از باﻻ بﻪ پاﻳﻴن عمل مﻰکند‪.‬‬ ‫با تطبﻴق قانون دوم نﻴوتن باﻻى اﻳن مکعب نمونﻪ (ماﻳع ساکن و در حالت تعادل است)‪:‬‬ ‫‪F =0‬‬

‫بنابرآن ‪PA ( P0 A + ghA ) = 0 :‬‬

‫از اﻳنرو‪:‬‬

‫‪P = p0 + gh‬‬

‫‪p0 = gh = pG‬‬

‫‪p‬‬

‫وﻳا‬ ‫‪ P‬فشار مطلقﻪ بوده و ‪ PG‬بﻪ نام فشار داخلﻰ سﻴال نظر بﻪ عمق نامﻴده مﻰشود فشار مطلقﺔ‬ ‫‪ P‬در عمق ‪ h‬در سطح پاﻳﻴنﻰ ماﻳع ظرف سر باز بزرگتر از فشار اتموسفﻴر بوده و مقدار آن‬ ‫( ‪ ) gh‬مﻰباشد‪ .‬از آنچﻪ در رابطﻪ مطالعﻪ نمودﻳم نتاﻳج ذﻳل را بﻪ دست آورده مﻰتوانﻴم‪:‬‬ ‫‪ - 1‬فشار در ﻫر نقطﺔ داخل ماﻳع‪ ،‬خطﻰ عمل نموده و متناسب بﻪ عمق و کثافت ماﻳع‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬فشار در تمام نقاط عﻴن عمق ماﻳع ﻳکسان مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬شکل ظرف باﻻى فشار تأثﻴرى وارد نمﻰگذارد‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک آب باز‪ ،‬در عمق ‪ 400m‬در تحت بحر بﻪ طور افقﻰ شنا مﻰکند‪ .‬ﻫرگاه کثافت آب بحر‬ ‫‪ P0 = 1.01 × 10 5 Pa ، 1.025 ×103 kg3‬و ‪ g = 9.8 m 2‬باشد‪ ،‬حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪sec‬‬

‫‪m‬‬

‫‪ - 1‬فشار داخلﻰ ‪ PG‬را در اﻳن عمق‪.‬‬ ‫‪ - 2‬فشار متوسط را در اﻳن عمق‪.‬‬ ‫‪ - 3‬مجموع قوهﻫاى وارده باﻻى جسم شنا کننده توسط آب را در صورتﻰ کﻪ مساحت جسم‬ ‫شنا کننده ‪ 0.8m2‬باشد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪-1‬‬

‫‪PG = gh‬‬ ‫‪PG = 1.025 ×10 3 × 9.8 × 400‬‬ ‫‪PG = 4.018 ×10 6 Pa‬‬

‫‪174‬‬

‫‪( P = P0 + PG‬فشار متوسط)‬

‫‪-2‬‬

‫‪P = 1.01× 10 5 Pa + 4.018 × 10 6 Pa‬‬ ‫‪P = 4.119 × 10 6 Pa‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪ :7-3‬فﺸار اتﻤﻮسﻔﻴر‬

‫‪F‬‬ ‫‪F = P× A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F = 4.119 ×106 × 0.8‬‬ ‫=‪P‬‬

‫‪F = 3.2952 ×106 N‬‬

‫زمﻴن توسط ﻳک قشر ناﻳتروجن‪ ،‬آکسﻴجن و گازات دﻳگر احاطﻪ گردﻳده است کﻪ بﻪنام‬ ‫اتموسفﻴر ﻳاد مﻰشود‪ .‬ضخامت قشر اتموسفﻴر از سطح زمﻴن تا طبقﺔ باﻻى آن کمابﻴش بﻪ‬ ‫‪ 150km‬مﻰرسد‪ .‬در حدود ‪ 80%‬گازات اتموسفﻴر در ارتفاع ‪ 10‬کﻴلومترى سطح زمﻴن‬ ‫موقعﻴت دارند‪ .‬فشار در قسمت باﻻﻳﻰ اتموسفﻴر بﻪ صفر نزدﻳک مﻰشود‪.‬‬ ‫چنانکﻪ مﻰدانﻴد فشار در ﻫر نقطﺔ اتموسفﻴر مساوى بﻪ وزن ستون ﻫواﻳﻰ است کﻪ طول‬ ‫آن از ﻫمان نقطﻪ تا قسمت باﻻﻳﻰ اتموسفﻴر بوده و باﻻى واحد سطح در ﻫمان نقطﻪ وارد‬ ‫مﻰشود‪ .‬بنابرآن فشار با ازدﻳاد ارتفاع از سطح زمﻴن‪ ،‬تناقص مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫اکنون ببﻴنﻴم چطور مﻰتوانﻴم فشار اتموسفﻴر را اندازهگﻴرى کنﻴم؟‬ ‫بﻪ اﻳن منظور ما از بارومتر (فشار سنج) تورﻳچلﻰ (‪ )Torricelli‬کﻪ در سال ‪ 1643‬مﻴﻼدى‬ ‫اختراع گردﻳده استفاده مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫در شکل (‪ ،(7-5‬تﻴوب شﻴشﻪﻳﻰ طوﻳلﻰ را بﻪ طول تقرﻳباً ﻳک متر‬ ‫و مساحت قاعدة ‪ 1cm2‬مﻰبﻴنﻴد کﻪ ﻳک انجام آن بستﻪ مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪P 0‬‬ ‫بخار سﻴماب‬ ‫وقتﻰ آن را از سﻴماب (‪ )Hg‬پر نموده و بعد بﻪ طور معکوس در ﻳک‬ ‫ظرف پر از سﻴماب قرار دﻫﻴم در آن صورت ‪ Pa = Pb‬است‪،‬‬ ‫تﻴوب شﻴشﻪﻳﻰ‬ ‫پس‪P0 = Hg gh :‬‬ ‫در سطح بحر و تحت شراﻳط معﻴارى تعجﻴل جاذبﺔ زمﻴن و حرارت‬ ‫صفر درجﺔ سلسﻴوس‪ ،‬ارتفاع ستون سﻴماب ‪ 76cm‬بوده و فشار‬ ‫‪Hg‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫اتموسفﻴر باﻻى اﻳن ستون سﻴماب ﻳک اتموسفﻴر (‪ )1atm‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫شکل (‪(7-5‬‬ ‫ارتفاع ستون سﻴماب بﻪ ‪ g ،‬و فشار اتموسفﻴر تعلق دارد‪.‬‬ ‫بنابر اﻳن کثافت ( ) با تغﻴﻴرات حرارت و شتاب جاذبﻪﻳﻰ زمﻴن (‪ )g‬با تغﻴﻴرات ارتفاع از سطح‬ ‫بحر تغﻴﻴر مﻰکند‪ .‬تمام فشار سنجﻫاى(‪ )barometers‬دقﻴق با ترمومتر و جدول ﻳا چارتﻫاى‬ ‫معلوماتﻰ دقﻴق ﻳک جا ساختﻪ مﻰشود‪.‬‬

‫‪175‬‬

‫ﻣعلﻮﻣات اﺿافﻲ‬ ‫بعضﻰ موضوعاتﻰ را کﻪ ﻻزم است بدانﻴم‪:‬‬ ‫ﻫرقدرى کﻪ غواص (شنا کننده) در عمق آب بحر‬ ‫فرو مﻰرود‪ ،‬فشار باﻻى بدنش زﻳاد شدن مﻰﻳابد و‬ ‫فشار زﻳاد شده تنفس را براى غواص بسﻴار دشوار‬ ‫مﻰسازد و از ﻫمﻴن سبب است کﻪ غواصان براى‬ ‫رفع اﻳن مشکل از تنظﻴم کنندهﻫاى فشار استفاده‬ ‫مﻰکنند‪.‬‬ ‫شکل (‪ :)7-6‬لباسﻫاى خاص غواصان‪ ،‬فشار‬ ‫خارجﻰ از طرف آب را تا عمق ‪ 610m‬در تعادل‬ ‫نگﻪمﻰدارد و عمل تنفس را آسان مﻰسازد‪.‬‬ ‫شکل (‪)7-6‬‬

‫آﻳا سمت جارى شدن سﻴال را تعﻴﻴن کرده مﻰتوانﻴد؟‬ ‫براى پاسخ دادن بﻪ اﻳن پرسش فعالﻴت زﻳر را در عمل تجربﻪ کنﻴد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫تفاوت فشارﻫا و جرﻳان ﻳافتن سﻴال‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬قطره چکان ‪،‬پﻴالﻪ و آب‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬براى ﻫر دو شاگرد ﻳکدانﻪ قطره چکان پﻼستﻴکﻰ و ﻳک پﻴالﺔ کوچک‬ ‫آب بدﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬از آنﻫــا بخواﻫﻴد تا در بــارة چگونﻪ گﻰ کار قطره چکان ﻳک پارگراف‬ ‫بنوﻳسند‪.‬‬ ‫‪ - 3‬توضﻴــح بدﻫﻴد کﻪ چرا آب در قطره چــکان باﻻ مﻰرود؟ و چرا آب را‬ ‫مﻰتوان با فشار از قطره چکان خارج ساخت؟‬ ‫ﻫر دو پرســش بر اســاس اﻳن حقﻴقت کﻪ سﻴالﻫا از ســاحﺔ فشار بلند بﻪ‬ ‫ساحﺔ فشار پاﻳﻴن جرﻳان پﻴدا مﻰکنند‪ ،‬تشرﻳح شود‪.‬‬

‫شکل (‪)7-7‬‬

‫‪176‬‬

‫تﻐﻴﻴر فﺸار باﻻى جسﻢ شﻤا‬ ‫بﻪ جسم شما چﻪ واقع مﻰشود وقتﻰ کﻪ در فشار اتموسفﻴر تغﻴﻴر وارد شود؟‬ ‫ﻫرگاه بﻪ ﻳک سفر بﻪ نقاط پاﻳﻴنتر ﻳا بلندتر بروﻳد‪ ،‬باﻳد خود را با فشار اتموسفﻴر عﻴار نماﻳﻴد‬ ‫تا تعادل فشار داخلﻰ و خارجﻰ بدن برقرارگردد‪ .‬ممکن تجربﻪ کرده باشﻴد کﻪ ﻫنگام سفر‬ ‫در مناطق مرتفع و ﻳا پاﻳﻴن گوشﻫاى شما صدا مﻰکند و سبب اﻳن است کﻪ در کﻴسﻪﻫاى‬ ‫فضاﻳﻰ ﻫواى ماحول گوش‪ ،‬تغﻴﻴرات فشار بﻪ وجود آمده و پرده گوش تان را متأثر مﻰسازد‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫‪ -a‬فشار ﻳک اتموسفﻴر را در صفر درجﺔ سلسﻴوس و تعجﻴل معﻴارى جاذبﺔ زمﻴن در سطح‬ ‫بحر حساب کنﻴد در صورتﻰ کﻪ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪g‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪80666‬‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫و‬ ‫=‬ ‫‪13595‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Hg‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪13595‬‬ ‫=‬ ‫‪Hg‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‬

‫‪g h‬‬

‫= ‪P0‬‬

‫‪P0 = 13595 × 9.8066 × 0.76‬‬ ‫‪kg m m‬‬ ‫‪m3 s 2‬‬ ‫‪P0 = 1.013 × 105 Pa‬‬ ‫‪P0 = 101324.372‬‬ ‫‪= 1atm‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪g = 9.80666 2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪h = 76cm = 0.76m‬‬ ‫? = ‪P0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ -b‬قوه وارده باﻻى مساحت‪ 2m2‬را در سطح بحر حساب نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫وزن ‪ 20‬تن ‪ P0 = F F = 1.013 ×105 × 2 = 2.026 ×105 N‬دﻳده شد کﻪ اﻳن قوه ﻳک‬ ‫‪A‬‬ ‫قوة عظﻴم است‪.‬‬ ‫سؤالﻫاى ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ‬

‫‪ - 1‬با توجﻪ بﻪ شکل بگوﻳﻴد کﻪ چرا شما چنﻴن فشار عظﻴم و کوبنده‬ ‫را احساس کرده نمﻰتوانﻴد؟‬ ‫‪ - 2‬چرا کابﻴنﻫاى طﻴاره باﻳد داراى فشار ﻫواى تنظﻴم شده باشد؟‬ ‫‪ - 3‬چﻪ واقع مﻰشود وقتﻰ کﻪ با ﻳک نﻴچﻪ‪ ،‬آب مﻴوه مﻰنوشﻴد؟ شرح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬چرا فشار در قاعدة ﻳک حوض عمﻴق نسبت بﻪ فشار در قاعدة ﻳک‬ ‫جﻬﻴل بزرگ کم عمق بﻴشتر است؟‬

‫‪177‬‬

‫فشار اتموسفﻴر‬

‫‪ :7-4‬اﻧدازهگﻴرى فﺸار در ﻣاﻳعات ﻣحصﻮر شده‬ ‫براى اندازه کردن فشار باﻻى ماﻳعات محصور شده مﻰتوانﻴم از ﻳک آلﻪ کﻪ بﻪ نام فشار سنج‬ ‫ﻳاد مﻰشود استفاده کنﻴم‪.‬‬ ‫دو نوع فشار سنج وجود دارد‪ .‬ﻳکﻰ فشار سنج نل ‪ U‬مانند دﻫن باز کﻪ آن را مونومتر ‪U‬‬ ‫شکل(‪ )U shape monometer‬و نوع دوم آن را مونومتر بوردن (‪)Bourdon- type‬‬ ‫مﻰنامند‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ﻣﻮﻧﻮﻣتر دﻫﻦ باز‬ ‫اﻳن نوع مونومتر از ﻳک نل ‪ U‬مانند شﻴشﻪﻳﻰ ساختﻪ شده کﻪ در داخل آن ماﻳع قرار دارد‪ .‬ﻳک‬ ‫انجام آن باز و انجام دﻳگر آن بﻪ سﻴستمﻰ(تانک) کﻪ فشار (‪ )P‬آن را اندازه مﻰکنﻴم‪ ،‬وصل شده‬ ‫است‪ .‬فشار ماﻳع در قاعدة ستون چپ مساوى است بﻪ ‪ ، P + gy1‬در حالﻰکﻪ فشار در قاعدة‬ ‫ستون راست ماﻳع‪ P0 + gy 2 ،‬مﻰباشد‪ .‬عبارت از کثافت ماﻳع مونومتر مﻰباشد‪ .‬از آنجا کﻪ‬ ‫در ﻫر دو فشار تعرﻳف شده مربوط مﻰشوند بﻪ ﻫمان نقطﻪ‪ ،‬بنابر آن مﻰتوان نوشت‪:‬‬ ‫‪P0‬‬

‫‪P + gy1 = p0 + gy 2‬‬

‫‪P2‬‬

‫) ‪y1‬‬

‫شکل (‪)7-8‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪P0 = g ( y2‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P0 = gh‬‬

‫‪P‬‬

‫فشار ‪ P‬گاز‬

‫‪h‬‬

‫‪P‬‬

‫‪P1‬‬

‫‪y1‬‬

‫چنانکﻪ مﻰدانﻴد کﻪ (‪ )P-P0‬بﻪ نام تفاوت فشار نظر بﻪ عمق بوده و اﻳن فشار متناسب بﻪ‬ ‫فرق ارتفاع ستونﻫاى ماﻳع مﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک نل ‪ U‬مانند شﻴشﻪﻳﻰ کمابﻴش از آب پر شده است‪ ،‬ماﻳع دﻳگرى کﻪ با آب مخلوط‬ ‫نگردﻳده بﻪ ﻳک انجام نل عﻼوه شده تا اﻳن ماﻳع در فاصلﺔ ‪ d‬باﻻى سطح فوقانﻰ آب در ستون‬ ‫دﻳگر نگﻬداشتﻪ شود‪.‬‬ ‫‪Pa‬‬

‫‪d‬‬

‫درﻳافت کﻨﻴد‬

‫‪l+d =h‬‬

‫‪Ph‬‬

‫‪ - 1‬نسبت بﻴن کثافت ماﻳع و کثافت آب را‪.‬‬ ‫‪ - 2‬اگر ارتفاع ستون ماﻳع ‪ 20cm‬و ‪ d=8cm‬باشد‪ ،‬کثافت‬ ‫ماﻳع را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫شکل (‪)7-9‬‬

‫ماﻳع‬

‫‪l‬‬

‫‪Pa‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪178‬‬

‫‪Pa‬‬

‫آب‬

‫حل‬ ‫‪ ، Pa = Ph - 1‬زﻳرا در عﻴن سطح افقﻰ قرار دارند‪ .‬بنابرآن‪P0 + g (d + l ) = P0 + w gl :‬‬ ‫در رابطﻪ ‪ L‬کثافت ماﻳع و ‪ w‬کثافت آب را نشان مﻰدﻫد‪ .‬بعد از ساده ساختن رابطﺔ باﻻ‬ ‫دارﻳم‪:‬‬ ‫‪g L‬‬ ‫‪l‬‬ ‫)‪L g ( d + L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪l+d‬‬

‫‪kg‬‬ ‫‪m3‬‬

‫=‬

‫)‪g (d + L‬‬

‫‪w‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪20‬‬

‫=‬

‫)‪g ( d + L‬‬

‫‪ - 2‬چون‪:‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫ﻳک مونومتر دﻫن باز بﻪ ﻳک تانک گاز وصل گردﻳده است‪.‬‬ ‫سطح سﻴماب در ستون راست مانند شکل (‪ 0.39m ،)7-10‬بلند تر نسبت بﻪ سطح ستون طرف‬ ‫چپ مونومتر قرار دارد‪ .‬ﻫرگاه ﻳک مونومتر‪ ،‬ارتفاع ستون سﻴماب را ‪ 0.75m-Hg‬نشان دﻫد‪:‬‬ ‫‪ -a‬فشار مطلقﺔ گاز چند است؟ جوابﻫا را بﻪ نﻴوتن بر متر مربع( ‪ ) N‬و اتموسفﻴر( ‪ ) atm‬اراﻳﻪ‬ ‫‪m2‬‬ ‫دارﻳد‪.‬‬ ‫‪ -b‬فشار داخلﻰ گاز نظر بﻪ عمق (‪ )PG‬را محاسبﻪ نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪ -a‬فشار مطلقﺔ گاز (‪ )Pgas‬عبارت از فشارى است کﻪ بﻪ سطح باﻻﻳﻰ ستون طرف چپ‬ ‫سﻴماب وارد مﻰشود و اﻳن فشار مساوى است بﻪ فشار وارده در ﻫمان ارتفاع افقﻰ در ستون‬ ‫طرف راست سﻴماب‪ .‬بنابرآن‪:‬‬ ‫‪= 600‬‬

‫‪L‬‬

‫=‬

‫‪L‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪Pgas = P0 + PHg = 0.75 + 0.39 = 1.14m Hg‬‬ ‫‪1atm‬‬ ‫‪0.76‬‬

‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫و‬ ‫‪m2‬‬

‫= ‪m Hg‬‬

‫‪1.14‬‬ ‫‪= 1.5atm‬‬ ‫‪o.76‬‬

‫‪1atm = 0.76mHg‬‬

‫شکل (‪)7-10‬‬

‫= ‪Pgas‬‬ ‫‪0.39 m‬‬

‫‪Pgas = 1.5 ×1.013 ×105 Pa = 1.5195 ×105‬‬

‫‪ -b‬فشار داخلﻰ گاز (‪ )PG‬چنﻴن بﻪ دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪0.39‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪= 0.513 = 0.538 ×105 2‬‬ ‫‪0.76‬‬ ‫‪m‬‬

‫ستون سﻴماب تفاوت فشارﻫا‬ ‫‪× 1atm‬‬ ‫ستون سﻴماب ﻳک اتموسفﻴر‬

‫‪N‬‬ ‫‪m2‬‬

‫‪P0‬‬

‫‪0.39mHg‬‬ ‫‪× 1atm‬‬ ‫‪0.76mHg‬‬

‫= ‪× 1atm‬‬

‫‪PHg‬‬

‫‪Patm‬‬

‫=‪P‬‬

‫‪h‬‬

‫‪Hg‬‬

‫= ‪( PG‬فشار داخلﻰ گاز)‬ ‫= ‪PG‬‬

‫‪PG = 0.513 ×1.013 ×10 Pa = 0.519669 ×105 Pa = 5.2 ×10 4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪179‬‬

‫فشار گاز‬

‫‪ )2‬آلﺔ فﺸار سﻨﺞ ﻧﻮع بﻮردن‬ ‫از اﻳﻦ آلﻪ ﻧسبت بﻪ ﻣﻮﻧﻮﻣتر ﻣاﻳعﻰ (ﻣﻮﻧﻮﻣتر ‪ u‬ﻣاﻧﻨد) براى ﻣقاصد ﻣختلﻒ بﻪ آساﻧﻰ و راحتﻰ‬ ‫بﻴشتر استفاده ﻣﻰکﻨﻨد‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮﻧﻮﻣتر از ﻳک تﻴﻮب برﻧجﻰ ﻫﻤﻮار ساختﻪ شده کﻪ ﻳک اﻧجام‬ ‫آن بستﻪ شده و بﻪ شکل داﻳرهﻳﻰ کج شده است‪ .‬اﻧجام بستﺔ آن تﻮسط ﻳک گﻴرا و چرخ‬ ‫کﻮچک دﻧداﻧﻪ دار بﻪ ﻳک عقربﻪ کﻪ روى ﻳک صفحﺔ ﻣدرج حرکت ﻣﻰکﻨد وصل گردﻳده‬ ‫است‪ ،‬شکل (‪ .)7-11‬اﻳﻦ ﻣﻮﻧﻮﻣتر چﮕﻮﻧﻪ کار ﻣﻰکﻨد؟‬ ‫اﻧجام باز تﻴﻮب بﻪ آلﻪﻳﻰ کﻪ فشار در آن اﻧدازهگﻴرى ﻣﻰشﻮد وصل گردﻳده ‪ .‬وقتﻰ کﻪ فشار‬ ‫در اﻧجام تﻴﻮب ﻫﻤﻮار وارد ﻣﻰشﻮد‪ ،‬تﻴﻮب بﻪ آﻫستﻪگﻰ خﻮد را راست ﻣﻰکﻨد و در ﻧتﻴجﻪ‬ ‫حرکت اﻧجام باز ﻧل (کﻪ با عقربﻪ اتﺼال دارد)‪ ،‬عقربﻪ حرکت ﻣﻰکﻨد‪.‬‬ ‫حرکت عقربﻪ باﻻى‬ ‫صفحﺔ درجﻪ دار‬

‫تﻴﻮب ﻫﻤﻮار برﻧجﻰ‬

‫ﻣحﻮر‬

‫فشارگاز‬

‫گﻴراﻫا‬ ‫ﻣﻮﻧﻮ ﻣﻴتر بﻮر ُدن‬

‫شکل (‪)7-11‬‬

‫‪ :7-5‬اﻧتقال فﺸار در سﻴالﻫا (قاﻧﻮن پاسکال)‬ ‫شکل (‪ )7-12‬ﻳک سﻴال را در ﻳک سلﻨدرى ﻧشان ﻣﻰدﻫد کﻪ از ﻣاﻳﻊ پر شده و داراى ﻳک‬ ‫پستﻮن ﻣﻰباشد‪ .‬تﻮسط اﻳﻦ پستﻮن ﻣﻰتﻮان فشار داخلﻰ سلﻨدر را تﻐﻴﻴر داد‪ .‬فشار در ﻫر ﻧقطﺔ‬ ‫داخل ﻣاﻳﻊ بﻪ طﻮر ﻣﺜال ﻧقطﺔ (‪ )b‬تﻮسط ﻣعادلﺔ ‪ P = P0 + gh‬حساب شده ﻣﻰتﻮاﻧد‪.‬‬ ‫بﻴاﻳﻴد فشار داخلﻰ را بﻪ قدر ‪ Po‬زﻳاد ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪ .‬در اﻳﻦ صﻮرت قﻴﻤت ‪ P‬ﻧﻴز بﻪ اساس رابطﺔ‬ ‫باﻻ تزاﻳد ﻣﻰﻳابد‪ .‬اﻳﻦ ﻧتﻴجﻪ تﻮسط پاسکال (‪)BLAISE PASCAL 1623-1662‬‬ ‫اعﻼن شد کﻪ بﻪ ﻧام قاعدة پاسکال ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪ .‬فشارى‬ ‫‪F‬‬ ‫‪P0‬‬ ‫کﻪ باﻻى ﻳک ﻣاﻳﻊ ﻣحﺼﻮر شده تطبﻴق ﻣﻰشﻮد‪ ،‬بدون‬ ‫پستﻮن‬ ‫اﻳﻦکﻪ در ﻣقدار آن کاﻫﺶ صﻮرت بﮕﻴرد‪ ،‬بﻪ تﻤام‬ ‫قسﻤتﻫاى ﻣاﻳﻊ و جدارﻫاى ﻇرف اﻧتقال ﻣﻰﻧﻤاﻳد‪.‬‬ ‫پاسکال آلﺔ ﻣﻀاعﻒ کﻨﻨدة قﻮه را اختراع ﻧﻤﻮد کﻪ‬ ‫بﻪ ﻧام شکﻨجﺔ آبﻰ پاسکال ﻳاد شده و ﻣﻮارد تطبﻴق‬ ‫ﻣﻬﻤﻰدر تکﻨﻮلﻮژى ﻣﻮدرن دارد‪.‬‬ ‫شکل (‪)7-12‬‬

‫‪180‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫سلﻨدر‬

‫ﻣاﻳﻊ‬

‫شکﻨجﺔ آبﻰ )‪(Hydraulic press‬‬ ‫شکنجﺔ آبﻰ از دو سلندرى ساختﻪ شده کﻪ از ماﻳع غلﻴظ پر گردﻳده و توسط پستونﻫاى‬ ‫متحرک سطوح باﻻﻳﻰ آنﻫا مسدود شده کﻪ در شکل (‪ )7-13‬نشان داده شده‪ .‬پستون‬ ‫بزرگتر داراى مساحت (‪ )A‬و پستون کوچک داراى مساحت (‪ )a‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫شکنجﺔ آبﻰ چگونﻪ کار مﻰکند؟‬ ‫‪ - 1‬وقتﻰ شما ﻳک قوة کوچک (‪ )f‬را باﻻى پستون کوچک وارد نماﻳﻴد‪ .‬فشار وارد شده‬ ‫‪ P = f‬باﻻى سطح ماﻳع (تﻴل) از طرﻳق نل ارتباطﻰ بﻪ پستون بزرگ انتقال مﻰکند‪.‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪F‬‬

‫‪f‬‬

‫شکل (‪)7-13‬‬ ‫مساحت (‪ )a‬پستون کوچک‬

‫‪Pa‬‬

‫تﻴل‬

‫‪PA‬‬

‫‪ - 2‬چون فشار در سطح ﻫر دو پستون مساوى است‪ .‬بنا ًء‪:‬‬

‫مساحت (‪ )A‬پستون بزرگ‬

‫‪A‬‬ ‫‪a‬‬

‫×‪F= f‬‬

‫‪f F‬‬ ‫=‬ ‫‪a A‬‬

‫=‪P‬‬

‫رابطﺔ اخﻴر نشان مﻰدﻫد کﻪ شکنجﺔ آبﻰ ﻳک آلﺔ مضاعف کنندة قوه با فاﻳدة مﻴخانﻴکﻰ‬ ‫خﻴالﻰ مساوى بﻪ ‪ aA‬مﻰباشد‪ .‬چوکﻰﻫاى سلمانﻰ‪ ،‬چوکﻰﻫاى داکتر دندان‪ ،‬جکﻫاى موتر‬ ‫و برکﻫاىﻫاﻳدرولﻴکﻰ ﻫمﺔ آنﻫا وساﻳلﻰ ﻫستند کﻪ با استفاده از قاعدة پاسکال ساختﻪ‬ ‫شدهاند‪ .‬شما مﻰتوانﻴد ﻳک فعالﻴت شگفت آورى را توسط تطبﻴق قاعدة پاسکال اجرا نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫فعالﻴت ذﻳل را انجام دﻫﻴد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‪ :‬ﺣﺮﻛﺖ ﺷﮕﻔﺖ آور ﻳﻚ آب ﺑﺎزك )ﺑﻮﺗﻞ ﻛﻮﭼﻚ( در ﻇﺮف آب‬ ‫ﻣـﻮاد ﺿـرورى‪ :‬بوتل اســتوانﻪﻳﻰ کوچک بﻪ طول ‪ 8‬الﻰ ‪ 10‬ســانتﻰ متر‪ ،‬مرتبان شﻴشــﻪﻳﻰ طوﻳل و پردة رابرى‬ ‫ارتجاعﻰ (قطعﺔ پوقانﺔ قﻴچﻰ شده)‪ ،‬آب و ﻳک عدد تشلﻪ‪.‬‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬مرتبان را خوب از آب پر کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬بﻪاندازهﻳﻰ در بوتل کوچک آب بﻴندازﻳد تا اﻳن کﻪ در سطح آب قرار گرفتﻪ و ﻫنگام فرورفتن در داخل مرتبان‬ ‫در آن شنا کند‪.‬‬ ‫‪ - 3‬تشلﻪ را بﻪ وسط پردة رابرى مطابق شکل بستﻪ نموده‬ ‫و پرده را بﻪ لبﺔ فوقانﻰ مرتبان محکم کنﻴد‪.‬‬ ‫شکل (‪)7-14‬‬ ‫‪ - 4‬پرده را از تشلﻪ گرفتﻪ فشار دﻫﻴد و بار دوم باﻻ کش کنﻴد‪.‬‬ ‫مشاﻫدات خود را ﻳادداشت کنﻴد و آن را شرح دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪181‬‬

‫تزاﻳد فشار ﻫوا در سطح فوقانﻰ مرتبان از طرﻳق ماﻳع انتقال مﻰکند و سبب مﻰشود تا مقدار‬ ‫آب بﻴشتر در داخل آب بازک شود‪ .‬قوة صعودى در آن کاﻫش مﻰﻳابد و سبب مﻰشود تا‬ ‫بوتل آب بازک در آن شنا کند‪ .‬با کم شدن دوبارة فشار‪ ،‬بوتل‪ ،‬قوه صعودى خود را باز مﻰﻳابد‬ ‫و بﻪ سطح فوقانﻰ باﻻ مﻰرود‪.‬‬ ‫ﻣثال‬ ‫در ﻳک شکنجﺔ آبﻰ اگر پستون کوچک دارى قطر ‪ 5cm‬و پستون بزرگ داراى قطر ‪40cm‬‬ ‫باشد‪ ،‬کدام وزنﻪ را باﻻى پستون کوچک باﻳد گذاشت تا موترى را کﻪ داراى وزن ‪2×10 4 N‬‬ ‫مﻰباشد‪ ،‬باﻻى پستون بزرگ در توازن نگﻬدارد؟‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d = 5cm r = = 2.5cm = 0.025m‬‬ ‫حل‪ :‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a = r 2 = × (0.025) 2 = 0.000625‬‬

‫‪R = 20cm = 0.2m‬‬

‫‪A = R 2 = × (0.2) 2 = 0.04‬‬

‫‪F = 2 × 104 N‬‬ ‫?= ‪f‬‬

‫‪F = 2 ×10 4 N‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪025‬‬ ‫×‬ ‫‪0.025‬‬ ‫× ‪f = 2 ×10 4‬‬ ‫‪0.2 × 0.2‬‬ ‫×‪f = F‬‬

‫‪f = 312.5 N‬‬

‫‪D = 40cm‬‬

‫‪f F‬‬ ‫=‬ ‫‪a A‬‬

‫آﻳا مﻰدانﻴد کﻪ شما مﻰتوانﻴد ﻳک شکنجﺔ آبﻰ را دﻳزاﻳن کنﻴد؟‬ ‫فعالﻴت اﺿافﻰ‪ :‬ﻣﺎﺷﻴﻦﻫﺎﻳﺪروﻟﻴﻜﻰ‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪ :‬سرنج کوچک‪ ،‬سرنج کﻼن‪ ،‬نل رابرى بارﻳک و ﻳک ماﻳع (آب ‪،‬تﻴل ﻳا ‪)....‬‬ ‫ﻃرزالعﻤل‬ ‫‪ - 1‬ﻫر دو سرنج را مطابق شکل دﻳاگرام بﻪ ﻫم وصل کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬سرنجﻫا را از ماﻳع پر کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬پستون کوچک ‪ A‬را فشار دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ - 4‬مشاﻫدات تان را ثبت نموده آن را تشرﻳح کنﻴد‪.‬‬ ‫ﻳادداشت‪ :‬پستون ‪ B‬بﻪاندازة کمﻰبﻪ عقب رانده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چرا قوه در پستون ‪ B‬بزرگ شده است؟‬

‫وﻳا‬

‫شکل (‪)7-15‬‬

‫‪FA FB‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪182‬‬

‫‪ :7-6‬قاﻧﻮن ارشﻤﻴدس )‪(Archimedes Law‬‬ ‫چرا اجسام در داخل آب سبکتر مﻰشوند؟ شما از اﻳن پﻴش دانستﻴد کﻪ سﻴالﻫا باﻻى‬ ‫اجسام ﻳک قوة صعودى وارد مﻰکنند کﻪ در نتﻴجﺔ آن اجسام و ﻳا در سﻴال غرق مﻰشوند‪.‬‬ ‫اﻳن قوه را بﻪ نام قوة شناورى (‪ )buoyancy‬نامﻴدهاند‪ .‬قوة صعودى شناورى بﻪ مقابل وزن‬ ‫جسم (قوة جاذبﻪ زمﻴن) عمل کرده و چون وزن جسم بﻴشتر از قوة صعودى است‪ .‬جسم در‬ ‫آب فرو مﻰرود‪ .‬در اﻳن حالت جسم سبکتر ظاﻫر مﻰشود و وزن آن بﻪ نام وزن ظاﻫرى آن‬ ‫ﻳاد مﻰشود‪( .‬بﻪ خاطر باﻳد داشت کﻪ قوة صعودى سبب مﻰشود تا اجسام در ماﻳعات غرق‬ ‫شوند ﻳا شنا کنند‪ ).‬تصور کنﻴد کﻪ ﻳک جسم مکعبﻰ شکل‪ ،‬مکمل در ﻳک سﻴال غرق شده‬ ‫کﻪ در شکل (‪ )7-16‬نشان داده شده است‪.‬‬ ‫سﻴال قوهﻫاى عمود را باﻻى تمام سطوح جسم وارد مﻰکند‪ .‬قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى سطح قاعدة‬ ‫مکعب وارد مﻰشود عبارت است از‪ = Fup = ( P0 + f gh2 ) A :‬قوة صعودى‬ ‫قوهﻳﻰ کﻪ باﻻى سطح فوقانﻰ مکعب وارد مﻰگردد عبارت‬ ‫‪P‬‬ ‫است از‪ = Fdown = ( P0 + f gh1 ) A :‬قوة نزولﻰ‬ ‫چون ‪ h2 > h1‬است‪ .‬لذا ‪ ، Fup > Fdown‬و قوة منتجﺔ‬ ‫صعودى برابر با ‪ Fup Fdown‬خواﻫد بود‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫نتﻴجﺔ قوة صعودى را بﻪ ‪ FB‬نماﻳش داده مﻰنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪g (h2 h1 ) A‬‬

‫چون ) ‪h1‬‬ ‫) ‪h1‬‬

‫‪f‬‬

‫= ‪FB‬‬

‫‪ (h2‬ارتفاع جسم است بنابرآن‪:‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ = V = A(h2‬حجم جسم‬

‫پس در صورتﻰ کﻪ جسم غرق شود‪× V × g :‬‬

‫‪f‬‬

‫= ‪FB‬‬

‫شکل (‪)7-16‬‬

‫در رابطﺔ اخﻴر ‪ f‬و‪ V‬بﻪ ترتﻴب کثافت سﻴال و حجم جسم غرق شده است‪.‬‬ ‫نتﻴجﺔ قوة صعودى (‪ )buoyant force‬برابر است با وزن مقدار سﻴال بﻰجا شده توسط‬ ‫جسم‪ .‬اﻳن حقﻴقت ﻳکﻰ از قدﻳمﻰترﻳن کشفﻫا در فزﻳک است کﻪ در حدود ‪ 250‬سال قبل‬ ‫از مﻴﻼد توسط ارشمﻴدس ‪ ))Archimedes‬فﻴلسوف ﻳونانﻰ استنباط گردﻳد‪.‬‬ ‫قاعدة ارشمﻴدس حسب زﻳر تشرﻳح شده مﻰتواند‪:‬‬ ‫ﻫر جسمﻰکﻪ قسماً ﻳا تمام در ﻳک سﻴال فرو مﻰرود‪ ،‬ﻳک قوة صعودى بﻪ مقابل آن عمل‬ ‫مﻰکند کﻪ در نتﻴجﻪ از وزن آن کاستﻪ مﻰشود‪،‬‬

‫‪183‬‬

‫شکل (‪)7-17‬‬ ‫‪FT‬‬

‫) ‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪w‬‬

‫کﻪ مقدار اﻳن وزن باختﻪ شده‪ ،‬در جسم مساوى است بﻪ وزن مقدار آب بﻰجا شدة ﻫم حجم‬ ‫جسم مذکور‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ :‬وزن سﻴال بﻰجا شده مساوى است بﻪ‪. FB‬‬ ‫براى اندازه کردن وزن واقعﻰ جسم (‪ ،)W‬آن را بﻪ طور عمودى از انجام ﻳک ترازوى فنرى‬ ‫مﻰآوﻳزﻳم و از روى صفحﺔ مدرج مقابل فنر‪ ،‬وزن واقعﻰ آن را مﻰخوانﻴم‪ .‬اگر ﻫمﻴن جسم‬ ‫آوﻳزان شده را مکمل در ﻳک ماﻳع (سﻴال) فرو ببرﻳم‪ ،‬دﻳده مﻰشود کﻪ از وزن آن بﻪ سبب‬ ‫قوة صعودى ارشمﻴدس کاستﻪ مﻰشود‪ .‬در اﻳن حالت‪T = W FB :‬‬ ‫وزن ظاﻫرى جسم (‪ )W‬عبارت است از‪W = W FB :‬‬ ‫لذا‪:‬‬

‫‪W‬‬

‫دﻳاگرام نشان مﻰدﻫد کﻪ‪:‬‬ ‫وزن واقعﻰ‬

‫‪ = FB = W‬وزن سﻴال بﻰجا شده‬

‫= ‪ = T = W‬قوة کشش فنر‬ ‫= ‪FB‬‬

‫وزن ظاﻫرى‬

‫‪T =W‬‬

‫چﻪ وقت جسﻢ شﻨا ﻣﻰکﻨد و ﻳا غرق ﻣﻰشﻮد؟‬ ‫براى دادن جواب بﻪ اﻳن سؤال بﻴاﻳﻴد سﻪ حالت ذﻳل را بﻪ بحث بگﻴرﻳم‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ﻫرگاه قوة صعودى ارشمﻴدس کمتر از وزن واقعﻰ جسم باشد‪FB < W :‬‬ ‫«جﻬت قوة منتجﻪ بﻪ طرف پاﻳﻴن بوده و بنابر آن جسم در سﻴال فرو مﻰرود و مکمل غرق‬ ‫‪×v× g‬‬ ‫مﻰشود» ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫< ‪f ×v× g‬‬ ‫وﻳا‪:‬‬

‫ W‬‬ ‫(جﻬت قوة منتجﻪ بﻪ طرف باﻻ بوده و جسم را بﻪ سمت باﻻ تﻴلﻪ مﻰکند) و در نتﻴجﻪ‪ ،‬جسم‬ ‫بﻪ تدرﻳج بﻪ سطح آب بلند رفتﻪ و شنا مﻰکند تا اﻳنکﻪ بﻪ محل تعادل (قسمتﻰ از آن زﻳر‬ ‫آب باشد) قرار گﻴرد و در اﻳن حالت وزن سﻴال بﻰجا شده‪ ،‬مساوى است بﻪ وزن جسم‪.‬‬ ‫‪×v× g‬‬

‫> ‪×v× g‬‬ ‫>‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫کثافت سﻴال بزرگتر از کثافت جسم است؛ اما وقتﻰکﻪ جسم در سطح ماﻳع شنا مﻰکند‪،‬‬ ‫قسمتﻰ از آن در تحت ماﻳع قرار داشتﻪ و حالت سکون را دارد؛ ﻳعنﻰ در تعادل است‪.‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪FB > W‬‬

‫‪g =V 0 g‬‬

‫‪f‬‬

‫‪Vf‬‬

‫( ‪ V f‬مساوى بﻪ حجم قسمت غرق شدة جسم در ماﻳع مﻰباشد‪).‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪f‬‬

‫=‬

‫‪Vf‬‬ ‫‪V‬‬

‫پس‪ ،‬نسبت کثافتﻫا مساوى است بﻪ کسر حجم غرق شدة جسم‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬کثافت ﻳخ ‪ 920kg/m3‬است در حالﻰکﻪ کثافت آب بحر ‪ 1025Kg/m3‬مﻰباشد‪ .‬کسر‬ ‫توتﺔ ﻳخ شناور کدام حالتﻫاى زﻳر را مﻰگﻴرد‪.‬‬ ‫‪ :a‬بﻪ آب فرو مﻰرود؟‬ ‫‪ :b‬بﻴرون از آب مﻰماند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪Vf‬‬ ‫‪920‬‬ ‫کسر حجم غرق در آب‬ ‫‪-a‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1025‬‬ ‫‪= 0.89 = 89%‬‬ ‫‪ = 100% 89%‬کسر حجم بﻴرون آب‬ ‫‪= 11%‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪-b‬‬

‫‪V‬‬

‫براى مشاﻫدة تأثﻴر کثافت ماﻳع باﻻى مقدار قوة صعودى ارشمﻴدس فعالﻴت ذﻳل را انجام‬ ‫داده مﻰتوانﻴد‪.‬‬

‫‪185‬‬

‫فعالﻴت‪» :‬ﺷﻨﺎورى ﻳﻚ ﺗﺨﻢ«‬ ‫ﻣﻮاد ﺿرورى‪( :‬تخم تازه‪ ،‬ﻳک ظرف شﻴشﻪﻳﻰ‪ ،‬آب‪ ،‬نمک طعام (‪ ،)NaCl‬قاشق و سﻴخ شور دﻫنده‪).‬‬ ‫ﻃرزالعﻤل‪:‬‬ ‫‪ - 1‬دو ثلث (‪ )2/3‬ظرف را از آب پر نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬تخم را بﻪ آﻫستﻪگﻰ بﻪ داخل ظرف فروبرﻳد‪.‬‬ ‫خواﻫﻴد دﻳد کﻪ تخم در آب غرق مﻰشود‪ ،‬توضﻴح کنﻴد کﻪ چرا؟‬

‫نمک طعام‬ ‫(‪)NaCl‬‬ ‫تخم‬

‫‪ - 3‬ﻳک قاشق پر چاىخورى نمک را در آب انداختﻪ و شور دﻫﻴد و تخم را مشاﻫده کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬نمک را عﻼو کرده بروﻳد تا زمانﻰکﻪ تخم در سر آب آمده قسماً در آب شنا کند‪.‬‬ ‫‪ - 5‬مقدار قوة صعودى را در ﻫر مرحلﻪ با گروپ تان مباحثﻪ کنﻴد‪.‬‬

‫شکل (‪)7-18‬‬

‫بدون شک‪ ،‬بﻪ نتﻴجﻪ خواﻫﻴد رسﻴد کﻪ با عﻼوه کردن نمک‪ ،‬بﻪ تدرﻳج کثافت آب نمکﻰ‬ ‫ازدﻳاد ﻳافتﻪ و قوة صعودى نﻴز بﻪ تدرﻳج زﻳاد شده مﻰرود؛ ﻳعنﻰ مﻰتوان گفت کﻪ‪ :‬قوة‬ ‫صعودى بﻪ گونﺔ مستقﻴم متناسب بﻪ کثافت ماﻳع مﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪:‬‬ ‫ﻳک شخص ﻳک سﻴت طﻼ را از مارکﻴت با جگرة زﻳاد مﻰخرد‪ .‬وقتﻰ کﻪ خانﻪ مﻰآﻳد طﻼ را‬ ‫وزن نموده ‪ 7.84 N‬مﻰشود‪ .‬در مرحلﺔ دوم وزن عﻴن طﻼ را در آب پﻴدا مﻰکند‪ ،‬ترازو اﻳن بار‬ ‫‪ 6.86 N‬را نشان مﻰدﻫد‪ .‬آﻳا طﻼﻳﻰ را کﻪ خرﻳده شده طﻼى خالص است ﻳا ناخالصﻰ (غش)‬ ‫دارد؟ شرح کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ - 1‬معلوماتﻰ کﻪ داده شدهاند‪:‬‬ ‫‪T2‬‬ ‫‪T1‬‬ ‫‪ = Fg = 7.84 N‬وزن طﻼ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪6.8 6N‬‬ ‫‪ = 6.86 N‬وزن ظاﻫرى‬ ‫‪7.84 N‬‬ ‫‪Fg‬‬ ‫‪ = w = 1.00 ×103 Kg m3‬کثافت آب‬ ‫‪Fg‬‬ ‫? = ‪ = g‬کثافت طﻼ‬ ‫‪B‬‬

‫طﻼ‬

‫‪186‬‬

‫شکل (‪)7-19‬‬

‫‪W = mg = 7.84 N - 2‬‬ ‫‪ = Fg FB‬وزن ظاﻫرى‬

‫‪FB = 7.84 6.86 = 0.98 N‬‬ ‫‪FB = V0 g‬‬ ‫‪0.98 = V0 ×1.0 ×10 3 × 9.8‬‬ ‫‪m3‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪v0 g‬‬

‫=‬

‫‪0‬‬

‫‪g‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪V0 = 1×10‬‬

‫‪Fg = w = m0 g = V0‬‬

‫‪7.84‬‬ ‫‪= 8 ×10 3 Kg 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1×10 × 9.8‬‬ ‫اما کثافت طﻼ ‪ 19.3 × 103 Kg m3‬است‪ .‬پس طﻼى خرﻳده شده خالص نﻴست‪.‬‬ ‫=‬

‫‪0‬‬

‫سؤالﻫا‪:‬‬ ‫‪ - 1‬فشار سﻴالﻫا ﻫمﻴشﻪ موجﻪ است بﻪ سمت‪:‬‬ ‫‪ :b‬بﻪ جوانب‬ ‫‪ :a‬باﻻ‬ ‫‪ :d‬بﻪ ﻫمﻪ سمتﻫا‬ ‫‪ :c‬پاﺋﻴن‬ ‫‪ - 2‬کدام ﻳک از معادﻻت ذﻳل‪ ،‬معادلﺔ صحﻴح قوة منتجﻪ (‪ )Fnet‬است کﻪ باﻻى جسم‬ ‫غرق شده عمل مﻰکند؟‬ ‫‪Fnet = 0‬‬ ‫‪:a‬‬ ‫‪:b‬‬

‫جسم‪) gV‬‬

‫( = ‪Fnet‬‬

‫جسم‬

‫‪:c‬‬

‫) ‪gA(h2 h1‬‬

‫‪:d‬‬

‫‪+ ) gV0‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫= ‪Fnet‬‬ ‫( = ‪Fnet‬‬

‫‪ - 3‬چطور وزن جسم شناور توسط قوة صعودى متأثر مﻰشود‪ ،‬توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬براى ﻫر جسم فرورفتﻪ در آب قوة صعودى ارشمﻴدس مساوى بﻪ چﻴست؟‬ ‫‪ - 5‬فوﻻد نسبت بﻪ آب کثافت خﻴلﻰ بﻴشتر دارد‪ .‬پس چگونﻪ کشتﻰﻫاى فوﻻدى روى‬ ‫اب شنا مﻰکنند؟‬ ‫‪3‬‬ ‫مواد‬ ‫بﻪ‬ ‫کثافت‬ ‫‪Kg m‬‬ ‫‪ - 6‬کدام اجسام زﻳر در ﻳک تﻴوب‬ ‫ﻳخ‬ ‫پر از سﻴماب شنا مﻰکنند؟‬ ‫‪0.917 × 103‬‬ ‫‪ -a‬ﻳک انگشتر جامد طﻼ‬ ‫آﻫن‬ ‫‪7.86 × 103‬‬ ‫‪ -b‬ﻳک مکعب ﻳخ‬ ‫طﻼ‬ ‫‪19.3 × 103‬‬ ‫‪ -c‬ﻳک پﻴچ آﻫنﻰ‬ ‫‪3‬‬ ‫سﻴماب‬ ‫‪ 5ml -d‬آب‬ ‫‪13.6 × 10‬‬

‫‪187‬‬

‫برﻳکﻫاى داﻳرهﻳﻰ ﻫاﻳدرولﻴک‬ ‫در ﻳک موتر براى تطبﻴق قوهﻫاى مساوى بﻪ ﻫر ﻳک از چﻬار تاﻳر و براى زﻳاد ساختن مقدار‬ ‫قوه باﻻى برﻳک از قانون پاسکال استفاده شده است‪ .‬اﻳن کار چطور صورت مﻰگﻴرد؟‬ ‫براى اراﻳﺔ جواب بﻪ مراحل زﻳر دقت کنﻴد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬پاى درﻳور‪ ،‬پستون را فشار مﻰدﻫد تا باﻻى ماﻳع برﻳک فشار وارد شود‪.‬‬ ‫‪ - 2‬فشار از طرﻳق ماﻳع بﻪ پستونﻫا بﻪ دو طرف قرص کﻼن داﻳرهﻳﻰ کﻪ بﻪ اکسل موتر‬ ‫محکم شده‪ ،‬انتقال مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ - 3‬اﻳن فشار‪ ،‬پستونﻫا را بﻪ قرص مﻰچسپاند تا حرکت موتر آﻫستﻪ شود‪ .‬فشار در تمام‬ ‫حصص ماﻳع وارد مﻰشود‪.‬‬

‫فشار در تمام حصص ماﻳع وارد مﻰشود‬

‫سلندر کﻼن‬

‫سلندر برﻳک‬

‫برﻳکﻫاى تاﻳر‬ ‫اکسل‬

‫قرص کﻼن‬

‫‪188‬‬

‫شکل (‪)7-20‬‬

‫پادل‬

‫خﻼصﺔ فصل ﻫﻔتﻢ‬ ‫‪ - 1‬سﻴال عبارت از ﻳک مادهﻳﻰ است کﻪ جرﻳان کرده مﻰتواند‪ ،‬بنابر اﻳن شکل معﻴﻴن ندارد‪.‬‬ ‫گازﻫا و ماﻳعات ﻫر دو سﻴالﻫا اند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬فشار عبارت از مقدار قوة وارده بر واحد سطح مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬فشار با ازدﻳاد عمق تزاﻳد مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬وزن اتموسفﻴر سبب بﻪ وجود آمدن فشار مﻰگردد کﻪ بﻪ نام فشار اتموسفﻴر ﻳاد‬ ‫مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ - 5‬سﻴالﻫا از ساحﺔ فشار زﻳاد بﻪ ساحﺔ فشار کم جرﻳان مﻰکنند‪.‬‬ ‫‪ - 6‬فشار تطبﻴق شده در ﻳک سﻴال محصور شده در ﻫر نقطﺔ سﻴال و جدارﻫاى ظرف‬ ‫مساوﻳانﻪ انتقال مﻰکند (قاعدة پاسکال)‪.‬‬ ‫‪ - 7‬قوة صعودى عبارت از قوهﻳﻰ است کﻪ بﻪ سمت باﻻ توسط سﻴال باﻻى ﻳک جسمﻰکﻪ‬ ‫قسماً وﻳا تمام در سﻴال غرق شده باشد‪ ،‬عمل مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ - 8‬قوة صعودى بﻪ سبب اختﻼف فشار در ماﻳع بﻪ وجود مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 9‬قاعدة ارشمﻴدس بﻴان مﻰکند کﻪ "قوة صعودى باﻻى ﻳک جسم مساوى بﻪ وزن سﻴال‬ ‫بﻰجاشده توسط ﻫمان جسم است‪".‬‬ ‫‪ - 10‬مقدار قوة صعودى باﻻى جسم شناور مساوى است بﻪ وزن جسم‪( ،‬سﻴستم در تعادل‬ ‫است)‪.‬‬

‫‪189‬‬

‫سؤالﻫاى فصل ﻫﻔتﻢ‬ ‫‪ - 1‬مفاﻫﻴم و کلمات زﻳر را بﻪ زبان خود تعرﻳف نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫سﻴال‪ ،‬فشار اتموسفﻴر‪ ،‬قوة صعودى ارشمﻴدس‪.‬‬ ‫‪ - 2‬کدام ﻳک از جملﻪﻫاى زﻳر در بارة سﻴالﻫا صحﻴح است؟‬ ‫‪ .a‬سﻴالﻫا بﻪ ندرت شکل ظرفﻰ را کﻪ در آن قرار دارند‪ ،‬بﻪ خود مﻰگﻴرند‪.‬‬ ‫‪ .b‬سﻴالﻫا شامل ماﻳعات و گازات مﻰباشند‪.‬‬ ‫‪ .c‬سﻴالﻫا از فشار پاﻳﻴن بﻪ فشار بلند جرﻳان پﻴدا مﻰکنند‪.‬‬ ‫‪ .d‬سﻴالﻫا بﻴشترﻳن فشار را بﻪ سمت پاﻳﻴن وارد مﻰکنند‪.‬‬ ‫‪ - 3‬چرا شما توسط فشار اتموسﻴفر شکنجﻪ نمﻰشوﻳد؟‬ ‫ﻣساﻳل‪:‬‬ ‫‪ - 4‬فشار قاعدة ﻳک حوض آب بازى بﻪ عمق ‪ 3m‬چند است؟‬ ‫( ‪ = 1.013 ×105 Pa‬فشار اتموسفﻴر)‬ ‫‪ - 5‬وزن ﻳک پارچﺔ فلز در ﻫوا ‪ ،50N‬در آب ‪ 36N‬و در ماﻳع نا معلوم‪ 41N ،‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫کثافتﻫاى فلز و ماﻳع نا معلوم را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬بسﻴار کشتﻰﻫا از پﻼستﻴک و دﻳگر مواد ترکﻴبﻰ ساختﻪ شدهاند کﻪ کثافت آنﻫا بﻴشتر‬ ‫از کثافت آب است‪ .‬چطور چنﻴن کشتﻰﻫا مﻰتوانند در آب شنا کنند؟‬ ‫‪ - 7‬ﻳک بالون رابرى خالﻰ داراى کتلﺔ ‪ (0.012) Kg‬مﻰباشد‪ .‬اﻳن بالون در ‪ ،0C0‬فشار ‪1atm‬‬ ‫و کثافت ‪ (0.179) Kg m3‬از گاز ﻫﻴلﻴوم پر شده است‪ .‬بالون پرشده‪ ،‬شکل کرهﻳﻰ داشتﻪ و‬ ‫داراى شعاع ‪ 0.5m‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ .a‬مقدار قوة صعودى عامل باﻻى بالون چند است؟‬ ‫‪ .b‬قوة منتجﺔ عامل باﻻى بالون را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫بخاطر داشتﻪ باشﻴد کﻪ‪:‬‬ ‫‪1.29 Kg m3‬‬

‫‪air‬‬

‫و ‪ g = 9.8 m s 2‬مﻰباشند‪.‬‬

‫‪ - 8‬براى پمپ کردن آب بﻪ ارتفاع ‪ 250m‬در بلندترﻳن نقطﺔ تعمﻴر کدام فشار داخلﻰ‬ ‫(‪ )PG‬ضرورت است تا آب را از قاعدة تعمﻴر بﻪ ارتفاع مذکور برساند؟ کثافت آب ‪103 kg / m 2‬‬

‫و ‪ g = 9.8 m s 2‬مﻰباشد‪.‬‬

‫‪190‬‬

‫‪ - 9‬ﻳک تﻴوب سادة شﻴشﻪﻳﻰ ‪ U‬مانند داراﻳﻰ سﻴماب مﻰباشد‪ .‬بﻪ ستون طرف راست تﻴوب‬ ‫مقدار آب را عﻼوه کنﻴد تا ارتفاع ستون بﻪ ‪ 0.68‬برسد‪ .‬سﻴماب در ستون چپ از سطح اصلﻰ‬ ‫آن تا کدام ارتفاع باﻻ خواﻫد رفت؟‬ ‫‪= 1×103 Kg m 3‬‬

‫‪W‬‬

‫و‬

‫‪= 13600 Kg m3‬‬

‫‪Hg‬‬

‫‪ - 10‬شما دﻳده باشﻴد کﻪ قاعدة بندﻫا را نسبت بﻪ قسمت فوقانﻰ آن ضخﻴم تر مﻰسازند‪.‬‬ ‫چرا؟ شرح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 11‬گراف ذﻳل فشار آب را کﻪ توسط ﻳک ساﻳنس دان بﻪ عمقﻫاى مختلف بحر اندازهگﻴرى‬ ‫شده نشان مﻰدﻫد‪ .‬با استفاده از اﻳن گراف سؤالﻫاى ذﻳل را جواب بدﻫﻴد‪:‬‬ ‫فشار بﻪ ) ‪(×106 Pa‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫عمق بﻪ (‪)m‬‬

‫‪250‬‬

‫‪200‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫قرار دارد‬

‫‪50‬‬

‫‪ - 1‬فشار باﻻى جسم زمانﻰکﻪ در عمق ‪ 100m‬در آب‬

‫چند است؟‬

‫‪(a‬‬

‫‪1.0 ×106 Pa‬‬

‫‪(b‬‬

‫‪1.5 ×10 Pa‬‬

‫‪(c‬‬

‫‪2.0 ×106 Pa‬‬

‫‪(d‬‬

‫‪1.1×106 Pa‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ - 2‬بﻪ اساس ارقام ثبت شده در گراف‪ ،‬کدام ﻳک از فشارﻫاى ذﻳل بﻬترﻳن تخمﻴن‬ ‫براى فشار در عمق ‪ 250m‬آب در تحت بحر خواﻫد بود؟‬ ‫‪(a‬‬

‫‪1.7 × 106 Pa‬‬

‫‪(b‬‬

‫‪(c‬‬

‫‪2.2 × 10 Pa‬‬

‫‪(d‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2.6 × 106 Pa‬‬ ‫‪5.0 × 10 Pa‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ - 12‬دو ظرف استوانﻪﻳﻰ را تصور کنﻴد کﻪ داراى عﻴن قاعده بﻪ مساحت ‪ A‬بوده و در ﻳک‬ ‫سطح قرار دارند‪ .‬سلندرﻫا داراى ﻳک ماﻳع بﻪ کثافت ( ) مﻰباشند‪ ،‬اما ارتفاع ماﻳع در‬ ‫ﻳک سلندر (‪ )h1‬و در سلندر دومﻰ(‪ )h2‬مﻰباشد‪ .‬چقدر کار توسط قوة جاذبﻪ انجام شود تا‬ ‫سطوح ﻫر دو سلندر را در تعادل آورد؛ ﻳعنﻰ داراى ﻫمان ارتفاع گردند؟ (البتﻪ در صورتﻰکﻪ‬ ‫سلندرﻫا باﻫم وصل شوند)‪.‬‬

‫‪191‬‬

‫فصل ﻫﺸتﻢ‬ ‫سﻴالﻫاى ﻣتحرک‬ ‫‪ :8-1‬سﻴالﻫاى خﻴالﻰ (اﻳده آل)‬ ‫وجوه تشابﻪ وﻳا تفاوت در ماﻳعات و گازات متحرک‪:‬‬

‫مﻴدانﻴد کﻪ سﻴالﻫا آن حالت مواد را گوﻳند کﻪ در حالت ماﻳع و ﻳا حالت گاز باشند‪ .‬آنﻫا‬ ‫گاﻫﻰ داراى خصوصﻴات مشابﻪ بوده و در بعضﻰ از خواص آنﻫا تفاوتﻫا وجود دارند‪.‬‬ ‫ماﻳعات درحالت سکون و حرکت تراکم پذﻳر نﻴستند؛ ﻳعنﻰ حجم ماﻳع در اثر فشار تغﻴﻴر‬ ‫مﻰکند؛ اما زمانﻰ کﻪ گاز در جرﻳان باشد مﻰتوان آنرا ﻫم غﻴر قابل تراکم قبول نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫ﻫرگاه سرعت حرکت گاز از سرعت صوت کمتر باشد‪ .‬اثر تغﻴﻴرات فشار بر حجم گازﻫاى‬ ‫متحرک بسﻴار کم و قابل صرف نظر مﻰباشد‪ .‬قانونمندىﻫا براى گازﻫاى متحرک براى‬ ‫ماﻳعات متحرک نﻴز قابل تطبﻴق بوده؛ ولﻰ ﻫرگاه حرکت ذرات سﻴال فوق سرعت صوت‬ ‫بﻪ طور نمونﻪ انفجارات و ﻳا حاﻻ کﻪ غلظت گاز کم و فشار کمتر از ( ‪ ) 0.7mbar‬ملﻰبار در‬ ‫نلﻫاى کﻪ قطر آن بﻴشتر از (‪ )7mm‬ملﻰ متر باشد مطالعﺔ ماﻳعات و گازات تحت قاعدهﻫاى‬ ‫مشترک صورت گرفتﻪ نمﻰتواند‪.‬‬ ‫ ﻳک سﻴال (ماﻳع‪ ،‬گاز) را وقتﻰ خﻴالﻰ (اﻳده آل) مﻰنامند کﻪ قابلﻴت تراکم و اصطکاک‬‫داخلﻰ نداشتﻪ باشد‪.‬‬ ‫ مجموعﻪ وکتورﻫاى سرعت (‪ )v‬بﻪ تابع (‪ )t‬از تمام فضاى کﻪ ماﻳع از آن مﻰگذرد ساحﺔ‬‫وکتور سرعت را تشکﻴل مﻰدﻫد‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫در ماﻳعات متحرک خطوط عبور ماﻳع با جﻬت وکتورﻫاى سرعت (‪ )v‬در ﻫر نقطﻪ مماس اند‬ ‫کﻪ اﻳن خطوط را (خطوط جرﻳان) مﻰنامند‪.‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬

‫‪v‬‬

‫‪v‬‬

‫‪v‬‬

‫شکل (‪)8-1‬‬

‫تجربﻪ‬ ‫ذرات را با ﻳک ماﻳع متحرکﻰ کﻪ ازﻳک نل عبور مﻰکند‪ ،‬مخلوط مﻰکنﻴم طورىکﻪ کثافت‬ ‫اﻳن ٌذرات از ﻫم تفاوت بسﻴار کمﻰداشتﻪ باشند‪ .‬اکنون حالت جرﻳان ماﻳع را با استفاده‬ ‫ذرات در داخل ماﻳع‪ ،‬بﻪ وسﻴلﻪء ﻳک دستگاه عکاسﻰ کﻪ بتواند براى وقتﻫاى‬ ‫ازحرکت اﻳن ٌ‬ ‫بسﻴار کوتاه عکاسﻰ کند‪ ،‬تحت مطالعﻪ مﻰگﻴرﻳم‪ .‬در عکسﻫا ذرات مخلوط شده‪ ،‬ﻫر کدام‬ ‫نظر بﻪ مقدار سرعت خود‪ ،‬ﻳک خط دراز وﻳا کوتاه را نماﻳش مﻰدﻫند کﻪ در حقﻴقت ﻫمان‬ ‫خطوط جرﻳانﻫا ﻫستند‪ .‬ﻫمچنان در عکسﻫا دﻳده مﻰشود کﻪ ﻫر قدرى کﻪ مسﻴر جرﻳان‬ ‫ﻳک ماﻳع کوچکتر مﻰشود؛ ﻳعنﻰ قطر نلﻰ کﻪ ماﻳع از آن عبور مﻰکند خوردتر مﻰشود‪ ،‬بﻪ‬ ‫ﻫمان تناسب‪ ،‬خطوط جرﻳان با ﻫم نزدﻳک واقع مﻰشوند و اگر قطر بزرگتر شود‪ ،‬فاصلﻪ‬ ‫بﻴن خطوط زﻳادتر مﻰشود‪ .‬در بسﻴارى ازجرﻳانﻫا‪ ،‬تصوﻳرخطوط جرﻳان درزمانﻫاى مختلف‬ ‫ﻳکسان باقﻰ مﻰماند طورىکﻪ ﻫرذرة ماﻳع‪ ،‬نقطﺔ معﻴﻴنﻰ از فضا را با عﻴن سرعت عبور‬ ‫مﻰکند‪ .‬در اﻳن جرﻳانﻫا‪ ،‬کمﻴت وسمت سرعت ذراتﻰکﻪ از ماﻳع عبور مﻰکنند‪ ،‬مساوى است‬ ‫و شخصﻰ کﻪ مشاﻫد است‪ ،‬ﻫمﻴشﻪ عﻴن تصوﻳر را از جرﻳان‪ ،‬بﻪ چشم خوﻳش مﻰبﻴند کﻪ اﻳن‬ ‫گونﻪ جرﻳان را جرﻳان مستقر مﻰگوﻳند‪ .‬در اﻳن نوع جرﻳانﻫا‪ ،‬ﻫﻴچ کدام از کمﻴتﻫاى جرﻳان‬ ‫ماﻳعات (فشار‪ ،‬سرعت‪ ،‬اصطکاک‪ ،‬مقدار ماﻳع عبورى) تابع وقت نﻴستند‪ .‬اگر اﻳن کمﻴتﻫا در‬ ‫ﻳک جرﻳان ماﻳع‪ ،‬با گذشت زمان تغﻴﻴر کنند‪ ،‬اﻳن ماﻳع را ماﻳع غﻴر مستقر نامند‪ .‬آن قسمت از‬ ‫ماﻳع کﻪ توسط خطوط جرﻳان محدود مﻰشود‪ ،‬بﻪ نام لولﺔ جرﻳان ﻳاد مﻰشود‪ .‬وکتور سرعت‬ ‫ماﻳع(‪ )v‬کﻪ بر خط جرﻳان در ﻫر نقطﻪ مماس است‪ ،‬برسطح لولﺔ جرﻳان نﻴز مماس مﻰباشد و‬ ‫اﻳن سبب مﻰشود کﻪ ذرات ماﻳع در اثناى حرکت خود‪ ،‬دﻳوارﻫاى لولﺔ جرﻳان را قطع نکنند‪.‬‬

‫‪193‬‬

‫‪ :8-2‬ﻣعادلﺔ ﻣتﻤادﻳت‬ ‫ﻫرگاه ماﻳعﻰ کﻪ تراکم پذﻳر نﻴست‪ ،‬کثافت و حجم آن ثابت است‪ .‬از ﻳک نلﻰ کﻪ مقطعﻫاى‬ ‫( ‪ A 2 .A1‬و ‪ )....‬متفاوت بوده عبور کند سرعت جرﻳان ( ‪ v 2 .v1‬و ‪ )....‬آن تغﻴﻴر مﻰکند‬ ‫طورىکﻪ‪:‬‬ ‫حاصل ضرب کمﻴتﻫاى )‪ (A.v‬در ﻫر مقطع جرﻳان ثابت باقﻰ مﻰماند؛ ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪A1v 2 = A 2 v 2 ...‬‬

‫و ﻳا‬

‫‪A.v = const‬‬

‫رابطﻪ اخﻴر نتﻴجﻪ گرفتﻪ مﻰشود کﻪ بزرگﻰ مقطع نل (‪ )A‬با سرعت جرﻳان (‪ )v‬ماﻳع‪ ،‬نسبت‬ ‫معکوس دارد‪ .‬ﻫرگاه رابطﺔ اخﻴر فوق را بﻪ شکل ذﻳل تغﻴﻴر دﻫﻴم‪.‬‬ ‫‪v1 A 2‬‬ ‫=‬ ‫‪v 2 A1‬‬

‫رابطﺔ فوق را بﻪ نام معادلﺔ متمادﻳت ﻳا پﻴوستﻪگﻰ مﻰنامند کﻪ توسط برنولﻰ عالم اﻳتالوى بﻪ‬ ‫اثبات رسﻴد کﻪ چنﻴن بﻴان مﻰدارد‪.‬‬ ‫در ﻳک نلﻰ با مقطعﻫاى متفاوت سرعت جرﻳان ماﻳع معکوساً متناسب بﻪ مقطع نل‬ ‫مﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻳعنﻰ در مقطع بزرگ‪ ،‬سرعت جرﻳان ماﻳع کم و در مقطع کوچک‪ ،‬سرعت جرﻳان ماﻳع بزرگ‬ ‫است‪.‬‬ ‫قضﻴﺔ متمادﻳت در جرﻳان ماﻳعات واقعﻰ و ﻫم در گازﻫا وقتﻰ قابل تطبﻴق است کﻪ از قابلﻴت‬ ‫تراکم شان صرف نظر گردد‪.‬‬

‫شکل (‪) 8-2‬‬

‫‪194‬‬

‫‪ :8-3‬ﻣعادلﺔ برﻧﻮلﻰ‬ ‫ارتباط سرعت جرﻳان ﻳک ماﻳع با فشار و مقطع را در قضﻴﺔ پﻴوستﻪگﻰ و متمادﻳت دﻳدﻳم‪.‬‬ ‫اکنون اﻳن رابطﻪ را در قانون برنولﻰ مطالعﻪ مﻰکنﻴم‪.‬‬ ‫درﻳک سﻴالﻰ کﻪ از اصطکاک در آن صرف نظر شده باشد‪ ،‬با استفاده از قا نون تحفظ انرژى‪،‬‬ ‫مﻰتوان رابطﺔ اساسﻰﻳﻰ را بﻴن کمﻴتﻫاﻳﻰ کﻪ جرﻳان سﻴال را مشخص مﻰسازند‪ ،‬بﻪدست‬ ‫آورد‪.‬‬ ‫براى توضﻴح بﻴشتر اﻳن مطلب ﻳک ماﻳع خﻴالﻰ را در نظر مﻰگﻴرﻳم‪ ،‬کﻪ بﻪ صورت ثابت و‬ ‫ﻳکسان در ﻳک نل جرﻳان دارد‪ .‬در اﻳن ماﻳع ﻳک لولﺔ جرﻳانﻰ را کﻪ داراى مقطع کوچک‬ ‫است‪ ،‬مطالعﻪ مﻰکنﻴم‪ .‬بﻪ شکل (‪ ) 8-4‬توجﻪ کنﻴد‪ .‬احجامﻰکﻪ ماﻳع در آن جرﻳان دارد‪ ،‬از‬ ‫ﻳکطرف توسط دﻳوارﻫاى لولﺔ جرﻳان و از جانب دﻳگر توسط مقاطع ‪ A1‬و‪ ،A2‬کﻪ بر خطوط‬ ‫جرﻳان عمود ﻫستند‪ ،‬محدود شده است‪ .‬در تمام حصﻪﻫاى اﻳن نل کﻪ از بﻴن آن ماﻳع عبور‬ ‫مﻰکند‪ ،‬فشار وجود دارد‪.‬بﻪطور مثال در موقعﻴت ‪ A1‬فشار ‪ p1‬و در موقعﻴت ‪ A2‬فشار ‪p2‬‬ ‫عمل مﻰکنند‪ .‬اگر بﻪ اثر جرﻳان ماﻳعﻰ کﻪ از عقب مﻰآﻳد مقطع ‪ A1‬بﻪ موقعﻴت‪ A1‬بﻪ جلو‬ ‫رانده شود‪،‬کارى کﻪ براى اﻳن منظور ضرورت است‪ ،‬طور ذﻳل افاده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪W = F1 l1‬‬ ‫‪W = P1 A1l1 = P1 A1v1t‬‬ ‫چون حجم ماﻳع ‪ A1v1t = V‬است ‪،‬پس مﻰتوان نوشت‪W = P1 V .......)1( :‬‬

‫شکل (‪) 8-4‬‬

‫اگر مقدار ماﻳعﻰ را کﻪ در مقاطع ‪ A1‬و‪ A2‬جرﻳان دارد در نظر بگﻴرﻳم‪ ،‬کار‪ W‬باعث اﻳجاد‬ ‫کارﻫاى قسمﻰﻳا کارﻫاى جزﻳﻰ مﻰشود طورىکﻪ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬مقطع ‪ A2‬بﻪ اثر فشار ‪ p2‬بﻪ موقعﻴت ‪ A2‬طورى لغزانده مﻰشود‪ ،‬کﻪ حجمﻰکﻪ دربﻴن‬ ‫مقاطع ‪ A2‬و ‪ A2‬قرار دارد‪ ،‬عﻴن ﻫمان قﻴمت ‪V‬را دارد کﻪ بﻴن مقاطع ‪ A1‬و ‪ A1‬داشتﻪ است‬ ‫و کار مورد ضرورت عبارت از ‪ W1‬است‪:‬‬ ‫)‪W1 = F2 L2 = P2 A2 v2 t = P2 A2 L2 = P2 V ......( 2‬‬

‫‪195‬‬

‫‪ - 2‬مقدار ماﻳع با حجم ‪ V‬از ارتفاع ‪ h1‬بﻪ موقعﻴتﻰ آورده مﻰشود کﻪ داراى ارتفاع ‪ h2‬است‪.‬‬ ‫پس کارى کﻪ براى اﻳن منظور ضرورت است‪ ،‬عبارت است از ‪:W2‬‬ ‫و‬ ‫) ‪W2 = mg (h2 h1‬‬ ‫‪m= V‬‬ ‫)‪V g (h2 h1 ) .......(3‬‬

‫= ‪W2‬‬

‫‪ - 3‬آن مقدار ماﻳع کﻪ در سطح زﻳرﻳن قرار دارد‪ ،‬داراى سرعت ‪ v1‬و انرژى حرکﻰ آن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E K 1 = mv1 / 2‬‬

‫چون اﻳن مقدار ماﻳع در سطح پاﻳﻴنﻰ فشرده مﻰشود‪ ،‬مقدار ماﻳع مساوى بﻪ آ ن در حجم‬ ‫باﻻﻳﻰ با سرعت ‪ v2‬و انرژى حرکﻰ ‪ EK 2 = mv 2 2 / 2‬نفوذ مﻰکند‪ .‬براى ازدﻳاد مقدار انرژى‬ ‫حرکﻰ‪ ،‬کار مورد نﻴاز عبارت است از‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪mv 2 +‬‬

‫)‪mv1 .......(4‬‬

‫= ‪W3‬‬

‫اگر از آن مقدارانرژى‪ ،‬کﻪ براى بﻰ تأثﻴر ساختن اصطکاک بﻴن جدار نل و ذرات ماﻳع‪ ،‬در‬ ‫طول نل ضرورت است صرفنظر شود‪ ،‬قانون برنولﻰ از رابطﺔ‪W = W1 + W2 + W3‬‬ ‫آﻳد‪:‬‬ ‫چنﻴن بﻪدست مﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪1 2 mV1‬‬

‫‪P1V = ( p2V ) + (V g h2 V g h1 ) + (1 2m V2‬‬

‫اگر بﻪ جاى ‪ m = V‬تعوﻳض شود‪ ،‬و تمام معادلﻪ با ‪ V‬اختصار گردد دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2 V1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪g h1 + 1 2 V2‬‬

‫‪g h2‬‬

‫‪p1 = p2 +‬‬

‫ما مﻰتوانﻴم افادة فوق را ترتﻴب و ساده بسازﻳم‪ ،‬قانون برنولﻰ را در مورد جرﻳان اﻳنطور‬ ‫بﻪدست آورﻳم‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪gh2 + 1 2 V2‬‬

‫‪gh1 + 1 2 V1 = P2 +‬‬

‫‪P1 +‬‬

‫اﻳن قانون نﻪ تنﻬا در مورد ﻳک ماﻳعﻰکﻪ در داخل ﻳک نل جرﻳان دارد صدق مﻰکند؛ بلکﻪ در‬ ‫مورد آن ماﻳعاتﻰ کﻪ بﻪطور آزاد و ﻳا ﻫم در مورد ذرات ماﻳعﻰ کﻪ بﻪصورت رشتﻪﻫا در داخل‬ ‫نلﻫا‪ ،‬پﻬلوى ﻫم و بدون آنکﻪ با ﻫم مخلوط شوند جرﻳان داشتﻪ باشند‪ ،‬قابلﻴت تطبﻴق را‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫اگر در ﻳک جرﻳان‪ ،‬ارتفاعات ‪ h1‬و ‪ h2‬با ﻫم مساوى و ﻳا از ﻫم تفاوت اندکﻰ داشتﻪ باشند‪،‬‬ ‫اجزاى ‪ gh1‬و ‪ gh2‬در معادلﻪ ﻫمدﻳگر را افناء مﻰکنند و از تأثﻴر آنﻫا مﻰتوان صرفنظر‬ ‫کرد‪ .‬باﻳد گفت کﻪ از افادة سادة اخﻴر‪ ،‬پﻴش از ﻫمﻪ در گازﻫا استفاده مﻰشود‪ ،‬زﻳرا کثافت‬ ‫گازﻫا پاﻳﻴن است‪ .‬در رابطﺔ ساده‪ ،‬قانون برنولﻰ اﻳن شکل را بﻪخود مﻰگﻴرد‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪P1 + 1 = P2 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪196‬‬

‫افادة فوق چنﻴن بﻴان مﻰدارد کﻪ فشار در آن نقاط کمتر است کﻪ در آنجا سرعت بﻴشتر‬ ‫باشد‪ .‬مقاطع ‪ A1‬و ‪ A2‬بﻪطور کﻴفﻰ انتخاب شدهاند و مﻰتوان گفت کﻪ در ﻫر مقطع لولﺔ‬ ‫جرﻳان افادة )‪ ( v 2 2 + gh + p‬داراى عﻴن قﻴمت است‪ .‬براى اﻳنکﻪ در معادلﺔ فوق دقت‬ ‫بﻴشتراﻳجاد شود‪ ،‬مقطع عرضانﻰ ‪ A‬را بﻪ صفر تقرب مﻰدﻫﻴم‪ ،‬کﻪ در اﻳنصورت لولﺔ جرﻳان‬ ‫بﻪ ﻳک خط جرﻳان تقرب مﻰکندو کمﻴات ‪ V , P‬و ‪ h‬کﻪ در ﻫر دو طرف معادلﻪ وجود دارند‪،‬‬ ‫مﻰتوانند طورى تلقﻰ شوند کﻪ بﻪ دو نقطﻪء کﻴفﻰ عﻴن خط جرﻳان تعلق دارند‪ ،‬و در نتﻴجﻪ‬ ‫نشان مﻰدﻫد کﻪ بﻪ امتداد ﻫر خط جرﻳان در ﻳک ماﻳع خﻴالﻰ اﻳن شرط صدق مﻰکند‪.‬‬ ‫‪gh + p = ct‬‬

‫‪v2 2 +‬‬

‫رابطﺔ اخﻴر ﻫم شکل دﻳگرى از معادلﺔ برنولﻰ است‪.‬‬ ‫ما اﻳن معادلﻪ را براى ﻳک ماﻳع خﻴالﻰ بﻪدست آوردﻳم‪ ،‬کﻪ براى ماﻳعات حقﻴقﻰ کﻪ اصطکاک‬ ‫داخلﻰ شان بسﻴار زﻳاد نﻴست‪ ،‬ﻫم قابلﻴت تطبﻴق را دارد‪.‬‬ ‫فﺸار در قاعدة بﻨد آب‬ ‫ﻳکﻰ دﻳگر از مواردى کﻪ ما ارتباط سرعت جرﻳان سﻴال را با فشار و مساحت مقطع مشاﻫده‬ ‫مﻰکنﻴم‪ ،‬بند آب است‪.‬‬ ‫فرض مﻰکنﻴم کﻪ در مقابل ﻳک ماﻳعﻰ کﻪ بﻪصورت افقﻰ جرﻳان دارد‪ ،‬بندى اﻳجاد مﻰشود‪.‬‬ ‫در آن صورت طبﻴعﻰ است کﻪ بﻪ اثر فشار اضافﻰ کﻪ در کاسﺔ بند بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ ،‬ماﻳع بﻪ‬ ‫حالت سکون در مﻰآﻳد‪ .‬اﻳن فشار اضافﻰ تولﻴد شده‪ ،‬بﻪ نام فشار بند ﻳاد مﻰشود و بﻪ ‪ps‬‬ ‫نشان داده مﻰشود کﻪ عبارت است از‪p2 p1 = ps :‬‬ ‫اﻳن فشار را مﻰتوان وقتﻰ محاسبﻪ کرد کﻪ در معادلﺔ برنولﻰ ‪ v2 = 0‬تعوﻳض شود‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫در انصورت خواﻫﻴم داشت کﻪ‪ps = p2 p1 = 1 2 v1 :‬‬ ‫قﻴمت ( ‪ ) 1 2 v 2‬فشار بند را نشان مﻰدﻫد کﻪ مﻰتوان آنرا در ﻳک نقطﺔﻳﻰ کﻪ سرعت ‪ v‬را دارد‪،‬‬ ‫بﻪ وسﻴلﺔ توقف دادن جرﻳان بﻪدست آورد‪ .‬اﻳن فشار مشخص کنندة فشار بند در ﻫمﺔ نقاط دﻳگر‬ ‫بند مﻰباشد‪ .‬بنابر اﻳن در جرﻳانات افقﻰ‪ ،‬قانون برنولﻰ را مﻰتوان چنﻴن بﻴان داشت‪:‬‬ ‫در سراسر ﻳک رشتﺔ جرﻳان افقﻰ‪ ،‬مجموعﺔ فشار ‪ p‬و فشار بند ( ‪ ) 1 2 v 2‬ثابت است‪.‬با درک‬ ‫مفﻬوم فشار بند‪ ،‬حاﻻ مﻰتوانﻴم کﻪ بﻪ صورت عددى حساب کنﻴم کﻪ در گازﻫا متحرک‬ ‫تفاوتﻫاى فشار تا چﻪ حدى باﻻمﻰروند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪:‬‬ ‫کثافت ﻫوا عبارت از‪ = 0,125 kg m3 :‬بوده و در سرعتﻫاى بلند ‪v = 40 m sec‬‬ ‫‪= 100 N m 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪= 100kgm / s‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪s‬‬

‫‪Ps = 1 2 v 2 = 1 2 0,125kg m3 1600 m‬‬ ‫‪= 100 Pa = 0.001bar‬‬

‫‪197‬‬

‫در صورتﻰکﻪ سرعت جرﻳان داراى چنﻴن قﻴمت بلندى باشد‪.‬تفاوت فشار صرف ﻳک فﻴصد‬ ‫فشار نورمال ﻫوا است‪ .‬تفاوت حجم نﻴز‪ ،‬بﻪ ﻫمﻴن تناسب خورد مﻰباشد‪ .‬از ﻫمﻴن سبب است‬ ‫کﻪ گازﻫا متحرک را تاحدى غﻴر قابل تراکم قبول مﻰکنند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬ﻳک پاﻳپ رابرى کﻪ در باغچﻪ از آن استفاده مﻰشود‪ ،‬داراى قطر ‪ d1 = 12,7mm‬است‪.‬‬ ‫در قسمت اخﻴر اﻳن پاﻳپ‪ ،‬ﻳک پارچﺔ وصلﻴﻪ وجود دارد کﻪ قطر داخلﻰ آن تا دﻫن( سوراخ‬ ‫نﻬاﻳﻰ) نل ‪ d 2 = 5mm‬تنگ شده مﻰرود‪ .‬وقتﻰکﻪ آب در پارچﺔ وصلﻴﻪ مﻰرسد‪ ،‬فشار آن‬ ‫در مقابل محﻴط اطراف‪ 1,8bar‬است‪ .‬سرعت خروج آب را محاسبﻪ کنﻴد‪( ،‬در صورتﻰکﻪ از‬ ‫اصطکاک صرفنظر شود)‪ .‬آب بﻪ کدام فاصلﺔ ‪ x‬بﻪ سطح زمﻴن مﻰرسد؟ در صورتﻰکﻪ دﻫن‬ ‫پاﻳپ با محور افقﻰ بﻪ ارتفاع ‪ y = 1m‬از سطح زمﻴن واقع شود‪( ،‬کثافت آب را ‪1000kg m 3‬‬ ‫در نظر بگﻴرﻳد)‪.‬‬ ‫حل‪ :‬بر اساس قانون برنولﻰ و قانون متمادﻳت‪ ،‬کﻪ بر‬ ‫‪v2 A2 = v1 A1‬‬ ‫نقاط آغاز و انجام پاﻳپ(جت) تطبﻴق مﻰشود‪ ،‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v2 A2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪ p1 + 1 2 v12 = p2 + 1 2 v2 2‬ﻳا‬ ‫= ‪v1‬‬ ‫‪= v2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪p2‬‬

‫‪( p1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v1 = 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v2‬‬

‫‪p2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v1 ) = p1‬‬

‫‪r1‬‬

‫‪1 2 (v2‬‬

‫‪2‬‬

‫از جانب دﻳگر از معادلﻪ متمادﻳت دارﻳم‪:‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪d2 2‬‬ ‫‪2 d1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= v2‬‬

‫‪d2 / 2‬‬ ‫‪d1 / 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v1 = v2‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪v1 = v2 2‬‬ ‫‪d1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻫر دو طرف را مربع ساختﻪ دارﻳم‪V1 = V2 (d 2 d1 ) 4 :‬‬

‫اگر قﻴمت ‪ v12‬را کﻪ در فوق درﻳافتﻪ اﻳم در معادلﺔ اخﻴر بﻪ جاﻳش تعوﻳض کنﻴم‪ ،‬دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫) ‪p2‬‬ ‫‪= 2m3 1000kg = 0,002 m3 kg‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( p1‬‬

‫[‬

‫]‬

‫‪2‬‬

‫‪V2 1 (d 2 d1 ) 4 = 2‬‬

‫‪d 2 d1 = 5mm 12,7 mm = 0,394 ,‬‬ ‫‪p2 = 1,8bar = 1,8 105 N m 2‬‬

‫‪p1‬‬

‫با جابﻪجاﻳﻰ اﻳن قﻴمتﻫا در معادﻻت فوق قﻴمت ‪ v2‬را بﻪدست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v2 = (0,002 m 3 kg 1,8 105 N m 2 ) /(1 0,3944 ) = (360m 2 s 2 ) / 0,976 = 368,852 m 2 s 2‬‬ ‫‪v2 = 19,205 m s‬‬

‫از پرتاب افقﻰ مﻰدانﻴم کﻪ‪:‬‬ ‫‪t = 2/ g‬‬

‫‪t2 = 2/ s‬‬

‫‪y = 1 g t 2 = 1m‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x = 19.205m / s × 0.45s = 8,64m‬‬

‫‪198‬‬

‫‪= 0,45s‬‬

‫‪X = v2 t‬‬ ‫‪s2‬‬

‫‪t = 2m 9,81m‬‬

‫سؤالﻫا‬ ‫‪ - 1‬تفاوت فشار را درﻳافت کنﻴد‪ ،‬در صورتﻰکﻪ مساحت مقطع بﻴن دو انجام ﻳک نل از ‪ 15cm‬بﻪ ‪ 5cm‬تنقﻴص‬ ‫ﻳابد‪ ،‬و در ﻫر ثانﻴﻪ ‪ 1.8liter‬بنزﻳن با کثافت ‪ 0,7 kg dm3‬از آن عبور کند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬قطــر ﻳک ظــرف قﻴف مانند بﻪ ارتفاع ‪ 20cm‬از قﻴمت باﻻﻳﻰ ‪ d1 = 12cm‬بﻪ قﻴمت پاﻳﻴنﻰ ‪ d 2 = 2cm‬کم‬ ‫مﻰشود‪ .‬چﻪ مقدار تفاوت فشار بﻴن مقاطع باﻻﻳﻰ و پاﻳﻴنﻰ بﻪ وجود مﻰاﻳد؟ اگر‪:‬‬ ‫ ظرف بﻪ طور کامل با آب ساکن پر باشد‪.‬‬‫ در ﻫر ثانﻴﻪ ‪ 0,3‬لﻴتر آب از ظرف عبور کند‪.‬‬‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ :8-4‬تطبﻴقات قاﻧﻮن برﻧﻮلﻰ‬ ‫در درس کنونﻰ چند مورد استعمال قانون برنولﻰ را مطالعﻪ مﻰکنﻴم‪ ،‬کﻪ اولﻴن آن "بﻪ وجود‬ ‫آمدن تأثﻴر چوشش" است‪.‬‬ ‫از آخرﻳن افادة کﻪ براى قانون برنولﻰ داده‬ ‫شد‪ ،‬چنﻴن نتﻴجﻪگﻴرى گردﻳد کﻪ در ﻫمﻪ‬ ‫حاﻻتﻰکﻪ فشار بلند وجود دارد‪ ،‬سرعت‬ ‫جرﻳان داراى قﻴمت پاﻳﻴن است و بر عکس‬ ‫با موجودﻳت فشار پست‪ ،‬سرعت جرﻳان داراى‬ ‫شکل (‪)8-5‬‬ ‫قﻴمت بلند مﻰباشد‪.‬‬ ‫بر اساس قانون متمادﻳت‪ ،‬سرعت جرﻳان در موقعﻴتﻫاى تنگ بزرگ است‪ .‬در اﻳن موقعﻴتﻫا‬ ‫بر عکس‪ ،‬انچﻪ اشتباﻫا پذﻳرفتﻪ شده است‪ ،‬ﻳک تناقص فشار موجود است‪ .‬اﻳن گفتﻪ را‬ ‫مﻰتوان در شکل (‪ )8-5‬قابل دﻳد ساخت‪ .‬چنانچﻪ اگر با ﻳک نلﻰکﻪ داراى ﻳک محل عبور ﻳا‬ ‫معبر تنگ باشد‪ ،‬چندﻳن نل بارﻳک دﻳگرى را بﻪ حﻴث فشار سنجﻫاى ماﻳعات تعبﻴﻪ کنﻴم‪،‬‬ ‫اندازة ارتفاعﻰ کﻪ ماﻳع در ﻫر ﻳک از نلﻫا بلند شده است‪ ،‬نماﻳانگر اندازهء فشارى است‬ ‫کﻪ در نلﻫاى مربوط وجود دارد‪ .‬طورىکﻪ دﻳده مﻰشود‪ ،‬در موقعﻴتﻫاﻳﻰ کﻪ نلﻫا بارﻳک‬ ‫ﻫستند‪ ،‬سطح ماﻳع در نل پاﻳﻴن است و در نتﻴجﻪ مﻰتوان گفت کﻪ در موقعﻴتﻫاى مذکور‬ ‫فشار پاﻳﻴن است‪ .‬اﻳن واقعﻴت‪ ،‬بﻪ سؤالﻰ کﻪ چرا در بعضﻰ از ماﻳعات اثر چوشش موجود‬ ‫است‪ ،‬جواب مﻰدﻫد‪.‬‬

‫‪199‬‬

‫اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع را با ﻳک ﻣثال دﻳگر اداﻣﻪ ﻣﻰدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻳک طوفان باد‪ ،‬بر ﻳک تعمﻴر مﻰوزد‪ .‬چنانچﻪ در شکل‬ ‫(‪ )8-6‬بﻪ وضاحت دﻳده مﻰشود‪ ،‬وقتﻰکﻪ کتلﻪﻫاى ﻫوا در‬ ‫آن قسمتﻫاﻳﻰ از تعمﻴر کﻪ بﻪ سطح زمﻴن نزدﻳکتر است‬ ‫مﻰوزد‪ ،‬متوقف مﻰشوند ﻳا کﻪ سرعت شان کم مﻰشود؛‬ ‫ﻳعنﻰ در ساحات موقعﻴت ‪ A‬قﻴمت سرعت کم بوده؛ ولﻰ‬ ‫قﻴمت فشار بلند است‪ .‬بنابرآن کتلﻪﻫاى ﻫوا مجبور بﻪ طرف‬ ‫باﻻ حرکت نموده و از بام تعمﻴر عبور مﻰکنند‪ .‬در ساحات‬ ‫موقعﻴت ‪ B‬در مسﻴر جرﻳان ﻫوا ﻳک تنقﻴص مقطع جرﻳان‬ ‫ﻫوا و ﻳک تزاﻳد سرعت جرﻳان بﻪ وجود مﻰاﻳد کﻪ سبب‬ ‫کم شدن فشار مﻰگردد و در نتﻴجﻪ در باﻻى بام تعمﻴر‬ ‫ﻳک فشار پاﻳﻴنﻰ بوجود مﻰاﻳد‪ ..‬بﻪ ﻫمﻴن علت است کﻪ‬ ‫در صورت وزش طوفانﻫاى قوى؛ نﻪ تنﻬا کﻪ بام تعمﻴرﻫا‬ ‫فشرده نمﻰشوند؛ بلکﻪ بﻪ طرف باﻻ پرتاب مﻰشوند‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫شکل (‪)8-6‬‬

‫ﻣثال‪:‬‬ ‫اثر چوشش را با اراﻳﺔ اثر دﻳگرىکﻪ بﻪ نام پدﻳدة "پارادوکسﻫاﻳدرو دﻳنامﻴک" ﻳاد مﻰشود‪ ،‬بﻪ‬ ‫بحث مﻰگﻴرﻳم کﻪ اثر چوشش را در سﻴالﻫا‪ ،‬بﻪ وضاحت قابل دﻳد مﻰسازد‪.‬‬ ‫جرﻳان ﻫوا از ﻳک ٌ‬ ‫نل بسﻴار بارﻳک( جت)‪،‬عبور نموده واز ﻳک فضاى بارﻳکﻰ کﻪ در بﻴن دو‬ ‫پلﻴتﻰ کﻪ روى ﻫم قرار دارند‪ ،‬عبور مﻰکند‪ .‬چنانچﻪ در شکل زﻳر دﻳده مﻰشود‪،‬چون در‬ ‫ساحﺔ ‪ A1A2‬در حاشﻴﺔ پلﻴتﻫا فشار ﻫوا وجود دارد‪ ،‬از ﻫمﻴن جﻬت است کﻪ فشار در ساحﺔ‬ ‫بسﻴار بارﻳک (تنگ) در حول سوراخﻰ کﻪ ﻫوا داخل ساحﺔ (‪ )B‬مﻰشود و ﻫوا بﻪ شدت در آن‬ ‫جرﻳان دارد‪،‬نسبت بﻪ فشار ﻫوا کمتر است‪ .‬طورىکﻪ دﻳده مﻰشود‪ ،‬پلﻴت پاﻳﻴنﻰ آنچنانکﻪ‬ ‫توقع مﻰرود‪ ،‬توسط جرﻳان ﻫوا؛ نﻪ تنﻬا کﻪ رانده نشده؛ بلکﻪ با ﻳک قوه بﻪ طرف پلﻴت باﻻﻳﻰ‬ ‫کش مﻰشود کﻪ حتﻰ ﻳک وزنﺔ را کﻪ بﻪ آن آوﻳزان شده است نﻴز با خود کش مﻰکند‪.‬‬

‫شکل (‪)8-7‬‬

‫‪200‬‬

‫‪ :8-5‬تﻴﻮپ وﻳﻨتﻮرى – اﻧدازهگﻴرى سرعت جرﻳان‬ ‫قانون برنولﻰ‪ ،‬اﻳن امکان را بﻪ وجود مﻰآورد کﻪ مﻰتوان سرعت حرکت ماﻳعات و گازﻫا‬ ‫متحرک را اندازهگﻴرى نمود‪ .‬براى اﻳن منظور در اثناى جرﻳان ماﻳعات از بﻴن نلﻫا‪ ،‬بﻪ طور‬ ‫عمده از تﻴوپ وﻳنتورى استفاده مﻰشود‪.‬‬ ‫طورىکﻪ در شکل زﻳر دﻳده مﻰشود‪ ،‬اﻳن تﻴوپ از نل بارﻳک(جت) ساختﻪ شده است کﻪ در‬ ‫آن‪ ،‬تفاوت فشاربﻴن حصص بسﻴار عرﻳض و حصص بسﻴار کم عرض (بارﻳک‪ ،‬تنگ)‪ ،‬توسط‬ ‫ﻳک فشار سنج (مانومتر ماﻳع) اندازهگﻴرى شده مﻰتواند‪ .‬بر اساس قانون برنولﻰ‪ ،‬در تﻴوپ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻳنتورى اﻳن رابطﻪ صدق مﻰکند‪p1 + 1 2 v1 = p2 + 1 2 v2 :‬‬ ‫ﻫمچنان بر اساس معادلﺔ متمادﻳت دارﻳم کﻪ‪:‬‬ ‫‪v2 = v1 A1 A2‬‬

‫ﻫر گاه نسبت سطوح) ‪ (A1 A2‬را با ‪ q‬نشان دﻫﻴم‬ ‫دارﻳم کﻪ‪ v2 = q v1 :‬و با تعوﻳض اﻳن افاده در معادلﺔ‬ ‫برنولﻰ معادلﺔ ذﻳل بﻪدست مﻰآﻳد‪:‬‬

‫شکل (‪)8-8‬‬

‫}‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(v2 v1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪1 2 v1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪p 2 = 1 2 v2‬‬

‫‪p1‬‬

‫{‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(v1 A1 A2 ) 2 v1‬‬ ‫= ‪p1 p2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(v1 q 2 ) v1‬‬ ‫= ‪p1 p2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪p1 p2‬‬ ‫)‪v1 (q 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫=‬ ‫‪(q 2 1) = P1 P2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪2( P1 P2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪v1‬‬ ‫)‪(q 2 1‬‬

‫{‬

‫}‬

‫}‬

‫{‬

‫) ‪2( P1 P2‬‬ ‫)‪(q 2 1‬‬

‫= ‪v1‬‬

‫با اﻳن قﻴمت ‪ ،v1‬مﻰتوان ﻫمچنان‪ ،‬حجم جرﻳان‪ V‬و ﻳا مقدار ماﻳع عبور ﻳافتﻪ در ﻳک ثانﻴﻪ‬ ‫را طور زﻳر محاسبﻪ کرد‪ V = A1 v1 :‬در ﻳک ثانﻴﻪ‬ ‫‪( V = A1v1‬حجم ماﻳعﻰ کﻪ در ﻳک ثانﻴﻪ از مقطع ‪ A1‬با سرعت ‪ v1‬مﻰگذرد)‬

‫‪201‬‬

‫اتﻮﻣاﻳزر (عطرپاش)‬ ‫در مباحث قبلﻰ بﻪ روابط بﻴن فشار و سرعت در سﻴالﻫا آشنا شدﻳد‪ ،‬و ﻫمچنان تفاوت‬ ‫فشار بﻴن دو قسمت جرﻳان ﻳک سﻴال را در شراﻳط و حاﻻت طبﻴعﻰ آموختﻴد‪ .‬ممکن است‬ ‫آسانترﻳن طرﻳقﺔ نماﻳش ارتباط سرعت و فشار‪ ،‬پف کردن (دمﻴدن) بﻪ استقامت باﻻﻳﻰ ﻳک‬ ‫ترﻳشﺔ کاغذ باشد‪ .‬اگر شما کاغذ را مطابق شکل (‪ )8-9‬محکم گرفتﻪ و بعد بﻪ قسمت سطح‬ ‫باﻻﻳﻰ آن پف کنﻴد‪ ،‬کاغذ از حالت آوﻳزان شدة اولﻰ بﻪ طرف باﻻ بلند مﻰشود‪ ،‬کﻪ دلﻴل آن‬ ‫عبارت از اختﻼف سرعت ﻫوا بﻴن قسمتﻫاى باﻻﻳﻰ و تحتانﻰ ترﻳشﺔ کاغذ مﻰباشد‪.‬‬ ‫در نتﻴجﻪ ﻫمﻴن قوة محصلﺔ بلند کننده مانند‬ ‫لفت عمل نموده و ترﻳشﺔ کاغذ تا سطح افق‬ ‫بلند مﻰشود‪ .‬تأثﻴرات مشابﻬﻰ در ﻳک اتوماﻳزر‬ ‫عطر (عطرپاش)‪ ،‬زمانﻰکﻪ عطر را بﻪ لباس شما‬ ‫مﻰپاشاند بﻪ مشاﻫده مﻰرسد‪ .‬وقتﻰ کﻪ پوقانﺔ‬ ‫مخزن مطابق شکل (‪ )8-10‬ﻳک تند باد ﻫوا‬ ‫را پرتاب مﻰکند‪ ،‬اﻳن باد تند ﻫوا از طرﻳق سوراخ‬ ‫اثر قانون برنولﻰ باﻻى‬ ‫مدخل بارﻳکﻰ کﻪ سبب افزاﻳش سرعت ﻫوا مﻰگردد‪،‬‬ ‫شکل (‪ )8-9‬ﻳک صفحﺔ کاغذ‬ ‫عبور مﻰکند‪.‬‬ ‫عطرپاش‬ ‫سﻴال‬

‫ﻳک اتوماﻳزر‬

‫شکل (‪)8-10‬‬

‫در نتﻴجﻪ فشار تقلﻴل مﻰﻳابد و عطر با فشار متفاوت‬ ‫با سﻴﻼن ﻫوا بﻪ باﻻ رانده مﻰشود؛ بﻪ عبارة دﻳگر‬ ‫چون فشار ﻫواﻳﻰ کﻪ بﻪ سرعت زﻳاد بﻪ استقامت‬ ‫باﻻى تﻴوب عمودى اتوماﻳزر عطر‪ ،‬وزﻳده شده‪،‬‬ ‫نسبت بﻪ فشار عادى ﻫواﻳﻰ کﻪ باﻻى سطح ماﻳع‬ ‫داخل ظرف عمل مﻰکند کمتر است‪ .‬پس فشار‬ ‫اتموسفﻴر‪ ،‬عطر را بﻪ قسمت فوقانﻰ تﻴوب کﻪ فشار‬ ‫در آن قسمت کمتر است تﻴلﻪ مﻰکند‪.‬‬ ‫طرزالعمل کار ﻳک اتوماﻳزر با استفاده از معادلﺔ‬ ‫برنولﻰ توضﻴح شده مﻰتواند‪ .‬سرعت باﻻى ستون‬ ‫ﻫواﻳﻰ کﻪ توسط فشار دادن پوقانﻪ بﻪ وجود آمده‪،‬‬ ‫ﻳک فشار پاﻳﻴن را در قسمت باﻻﻳﻰ تﻴوب عمودى‬ ‫بﻪ وجود مﻰآورد‪ .‬اﻳن عمل سبب مﻰشود کﻪ ماﻳع‬ ‫از تﻴوب بﻴرون رانده شود و با ستون ﻫوا مانند ﻳک‬ ‫شاور نازک بﻪ خارج پاشﻴده شود‪.‬‬

‫‪202‬‬

‫‪ :8-6‬بالﻫاى ﻃﻴاره و قﻮة ﻣحرکﺔ بلﻨد کﻨﻨده )‪(Dynamic Lift‬‬ ‫در بالﻫاى طﻴارهﻫا ﻳک قوة بلند کننده عمل مﻰکند کﻪ سبب مﻰشود آنﻫا را در ﻫوا بلند‬ ‫نگﻬدارد‪ ،‬و اﻳن در صورتﻰ واقع مﻰشود کﻪ طﻴاره نسبت بﻪ ﻫوا بﻪاندازة کافﻰ با سرعت بلند‬ ‫حرکت کند‪ ،‬چنانچﻪ در شکل (‪ )8-11‬سﻴل قوى جرﻳان ﻫوا نشان داده شده کﻪ بﻪ بال‬ ‫طﻴاره بر خورد نموده و توسط آن بﻪ شدت دفع مﻰشود‪( .‬راکبﻴن طﻴاره در نظام عطالتﻰ‬ ‫طﻴاره قرار داشتﻪ و مثل اﻳن است کﻪ روى بال طﻴاره نشستﻪاند)‪ .‬علت مﻴﻼن نمودن بال‬ ‫بﻪ طرف باﻻ ﻫمانا گول بودن سطح باﻻﻳﻰ آن است کﻪ سبب مﻰشود تا سﻴل جرﻳان ﻫواى‬ ‫تحت بال طﻴاره توسط ﻳک قوه بﻪ طرف باﻻ فشرده شود و ﻫواى قسمت باﻻﻳﻰ بال متراکم‬ ‫شده و ساحﺔ فشار کمتر بﻪ وجود آﻳد‪.‬‬ ‫مساحت جرﻳان ﻫوا بﻴن خطوط دو سﻴﻼن در ﻫر قسمت‬ ‫با نزدﻳک شدن خطوط بﻪ ﻫمدﻳگر تقلﻴل مﻰﻳابد‪ .‬بنابرآن‬ ‫از معادلﺔ متمادﻳت ( ‪ ،) A1V1 = A2V2‬سرعت ﻫوا در قسمت‬ ‫فوقانﻰ بال کﻪ در آنجا خطوط سﻴﻼن بﻪ ﻫمدﻳگر نزدﻳک‬ ‫مﻰشوند افزاﻳش مﻰﻳابد‪.‬‬ ‫شکل (‪ )8-11‬حﻴن بلند رفتن‬ ‫بال طﻴاره ما در نظام عطالتﻰ‬ ‫بال قرار دارﻳم و جرﻳان ﻫوا را‬ ‫در آن نظاره مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫ﻫمچنان از قبل بﻪ خاطر دارﻳد کﻪ بﻪ اثر‬ ‫تراکم خطوط سﻴﻼن در مقطع بارﻳک پاﻳپ‪،‬‬ ‫سرعت ﻫوا در محل فشرده شده‪ ،‬بﻴشتر‬ ‫بود‪ ،‬کﻪ در شکل (‪ )8-12‬بﻪ وضاحت دﻳده‬ ‫مﻰشود‪ .‬بﻪ سبب اﻳن کﻪ سرعت ﻫوا در‬ ‫قسمت باﻻﻳﻰ بال نسبت بﻪ قسمت تحتانﻰ‬ ‫آن بﻴشتر است‪ ،‬بنابرآن فشار در قسمت‬ ‫فوقانﻰ بال نسبت بﻪ قسمت پاﻳﻴنﻰ آن کمتر‬ ‫است(قانون برنولﻰ)‪.‬‬ ‫شکل (‪ )8-12‬جرﻳان سﻴال در‬ ‫نلﻰ کﻪ داراى قطرﻫاى متفاوت‬ ‫است‪.‬‬

‫بنابر دلﻴل فوق‪ ،‬ﻳک قوة محصلﻪ بﻪ سمت باﻻ روى بال طﻴاره عمل مﻰکند کﻪ بﻪ نام قوة‬ ‫محصلﺔ بلند کننده (‪ )Dynamic Lift‬ﻳاد مﻰشود‪.‬‬ ‫تجارب نشان مﻰدﻫد کﻪ سرعت ﻫواى قسمت فوقانﻰ بال حتﻰ دو چند سرعت ﻫواى‬ ‫تحتانﻰ بال ﻫم شده مﻰتواند‪( .‬اصطحکاک بﻴن ﻫوا و بال نﻴز ﻳک قوة کشش بﻪ عقب تولﻴد‬ ‫مﻰکند کﻪ باﻳد قوة انجنﻫاى طﻴاره بر آن غالب گردد)‪.‬‬

‫‪203‬‬

‫ﻳک بال ﻫموار و ﻳا ﻳک بال با مقطع متناظر تا وقتﻰ کﻪ قسمت جلوﻳﻰ آن بﻪ طرف باﻻ‬ ‫انحنا دارد (داراى زاوﻳﺔ انحناي صعودي مﻲباشد)‪ ،‬بﻪ عمل باﻻ رفتنش ادامﻪ مﻰدﻫد‪ .‬شکل‬ ‫(‪ )8-11‬بال را‪ ،‬حتﻰ زمانﻰ کﻪ زاوﻳﺔ انحنانﻰ صعودى مساوى بﻪ صفر ﻫم باشد نﻴز در حالت‬ ‫باﻻ رفتن نشان مﻰدﻫد؛ زﻳرا سطح گول شدة باﻻﻳﻰ‪ ،‬ﻫوا را بﻪ طرف باﻻ رانده مسﻴر آن را‬ ‫انحنا مﻰ دﻫد و سبب تراکم خطوط سﻴﻼن با ﻫمدﻳگر مﻰگردد‪.‬‬ ‫اگر زاوﻳﺔ انحنانﻰ صعودى بﻪ حد کافﻰ برسد کﻪ بتواند خطوط سﻴﻼن را بﻪ سمت باﻻ بفشارد‬ ‫تا با ﻫم خﻴلﻰ نزدﻳک شوند‪ ،‬در آن صورت طﻴاره مﻼق مﻰزند‪ .‬اگر زاوﻳﺔ انحنانﻰ صعودى در‬ ‫حدود ‪ 15 o‬باشد‪ ،‬طوفان چرخش (‪ )Turbulence‬واقع مﻰشود‪.‬‬ ‫چنانچﻪ در شکل(‪ )8-11‬کش بﻴشتر بﻪ عقب و صعود کمتر بال رخ داده‪ ،‬سبب آن مﻰشود‬ ‫کﻪ بال از حرکت باز مانده و طﻴاره سقوط کند‪ .‬بﻪ تحلﻴل دﻳگر‪ ،‬انحناي بال بﻪ طرف باﻻ اﻳن‬ ‫معنﻰ را مﻰ دﻫد کﻪ ﻫواﻳﻰ کﻪ بﻪ طور افقﻰ در مقابل بال در حرکت است بﻪ طرف پاﻳﻴن‬ ‫فشرده شده و سبب تغﻴﻴر در مومنتم مالﻴکولﻫاى ﻫوا کﻪ بﻪ سمت عقب مﻰچرخند گردﻳده‬ ‫و منتج بﻪ تولﻴد قوة صعودى در بال مﻰشود (قانون سوم نﻴوتن)‪.‬‬

‫‪ :8-7‬لزو جﻴت‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم لزوجﻴت‪ ،‬قﻮهﻫاى اصطکاک داخلﻰ ( پﻴداﻳﺶ و ﻣحاسبﻪ)‪:‬‬

‫ما در درسﻫاى گذشتﻪ گفتﻴم کﻪ ماﻳع خﻴالﻰ ( اﻳده آل) ماﻳعﻰ را گوﻳند کﻪ قابلﻴت تراکم‬ ‫نداشتﻪ وفاقد اصطکاک باشد‪ .‬ﻫمچنان اضافﻪ کردﻳم کﻪ ماﻳع خﻴالﻰ در واقﻴعت وجود ندارد‪،‬‬ ‫زﻳرا ﻫمﻪ سﻴالﻫا اعم از گازﻫا وﻳا ماﻳعات کﻪ واقع ٌا وجود دارند داراى اصطکا ک ﻫستند و‬ ‫ﻫم تا حدى قابلﻴت تراکم را مﻰداشتﻪ باشند‪ .‬ﻳعنﻰ در واقع ماﻳع خﻴالﻰ ﻳک افادة مجرد‬ ‫است‪ .‬وقتﻰکﻪ از اصطکاک در ماﻳعات سخن زده مﻰشود‪ ،‬منظور ﻫمان اصطکاک داخلﻰ‬ ‫آنﻫا است‪ .‬اﻳن اصطکاک داخلﻰ را بﻪ ﻳک نام دﻳگر ﻫم ﻳاد مﻰکنند‪ ،‬کﻪ عبارت از لزوجﻴت‬ ‫(چسپندهگﻰ) در ماﻳع وﻳا در گاز است‪ .‬ﻫر ماﻳع و گاز حقﻴقﻰ داراى ﻳک اندازه لزوجﻴت‬ ‫داخلﻰ مﻰباشد و در حالتﻰ تبارز مﻰکند کﻪ در ماﻳع و ﻳا گاز حرکت اﻳجاد شود و پس‬ ‫از قطع تأثﻴر علتﻰ کﻪ باعث بروز آن حرکت گردﻳده است‪ ،‬آﻫستﻪ آﻫستﻪ قطع مﻰگردد‪.‬‬ ‫اصطکاک داخلﻰ نﻪ تنﻬا در اثر تماس سطوح ماﻳع با نلﻫا و ظروف مانند بﻴرلﻫا وغﻴره وﻳا‬ ‫تماس آنﻫا با اشﻴاﻳﻰ کﻪ در داخل ماﻳع در حالت حرکت استند بﻪ وجود مﻰآﻳد؛ بلکﻪ در‬ ‫داخل خود ماﻳع‪ ،‬وقتﻰکﻪ قشرﻫاﻳﻰ از ماﻳع کﻪ داراى سرعتﻫاى متفاوت جرﻳان ﻫستند و بر‬ ‫روى ﻫمدﻳگر مﻰلغزند ‪،‬نﻴز بوجود مﻰآﻳد‪.‬بﻪ ﻫمﻴن علت است کﻪ بر عکس اجسام جامد کﻪ‬ ‫اصطکاک خارجﻰ دارند‪ ،‬اﻳن اصطکاک را اصطکاک داخلﻰ مﻰگوﻳند‪ .‬موجودﻳت اصطکاک‬ ‫داخلﻰ در ماﻳعات را حتﻰ با دست خوﻳش‪ ،‬وقتﻰ احساس مﻰکنﻴم کﻪ ﻳک جسم را با دست‬ ‫در بﻴن ماﻳع در حرکت بﻴاورﻳم‪ .‬ما در اﻳن حالت ﻳک مقاومت را حس مﻰکنﻴم‪ .‬کﻪ بﻪ علت‬ ‫اصطکاک داخلﻰ در ماﻳع بروز مﻰکند‪.‬‬ ‫‪204‬‬

‫تجربﻪ‪:‬‬ ‫با اﻳن تجربﻪ‪ ،‬ارتباط اصطکاک داخلﻰ را با بزرگﻰ سطح تماس جسم با ماﻳع‪ ،‬با خاصﻴتﻫاى ماﻳعﻰ کﻪ‬ ‫جرﻳان دارد و باسرعت حرکت ماﻳع‪ ،‬مﻰتوان تحت مطالعﻪ گرفت‪.‬‬ ‫در شکل دﻳده مﻰشود کﻪ‪ ،‬ﻳک عراده گگ تجربﻰ‬ ‫شکل (‪)8-13‬‬ ‫را کﻪ با آن ﻳک پلﻴت بستﻪ شده است‪ ،‬در نظر‬ ‫مﻰگﻴرﻳم‪ .‬اﻳن عراده توسط ﻳک وزنﻪ بﻪ روى ﻳک‬ ‫خط آﻫن کش مﻰشود‪ .‬در زﻳر اﻳن خط آﻫن‪،‬ﻳک‬ ‫ظرف کم عرض (تپ) کﻪ با تﻴل مملو شده است‬ ‫قرار دارد‪،‬‬ ‫اﻳن ظرف مملو از تﻴل‪ ،‬تا حدى بطرف باﻻ کش شده مﻰتواند کﻪ پلﻴت بﻪ گونﻪﻳﻰ ﻳا بﻪطور کلٌﻰ در آن‬ ‫غرق مﻰگردد‪ .‬ساختمان تپ طورى است کﻪ ﻳک نﻴمﺔ آن ‪12mm‬و نﻴمﺔ دﻳگر آن ‪ 6mm‬عرض دارد‪.‬‬ ‫در حرکت ﻳکنواخت‪ ،‬قوة کششﻰ کﻪ توسط وزنﺔ آوﻳزان شده بﻪ وجود مﻰآﻳد‪ ،‬داراى عﻴن قﻴمت قوة‬ ‫اصطکاکﻰ است کﻪ توسط پلﻴت بﻪ وجود آمده است‪ .‬اگر وزنﻪ زﻳاد شود‪ ،‬سرعت زﻳاد مﻰشود و وقتﻰ کﻪ‬ ‫پلﻴت بﻪ ماﻳع عمﻴقتر فرو مﻰرود سرعت کم مﻰشود وﻫم سرعت زمانﻰ کم مﻰشود کﻪ پلﻴت از حصﺔ‬ ‫عرﻳض تر بﻪ حصﺔ بارﻳکتر تپ (ظرف) برسد‪.‬‬

‫تجربﺔ باﻻ‪ ،‬آن تئورى را تاﻳﻴد مﻰکند‪ ،‬کﻪ بﻪ موجب آن ارتباط قوة اصطکاک داخلﻰ با کمﻴتﻫاى‬ ‫ذﻳل اشکار مﻰگردد‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ضرﻳب لزوجﻴت ماﻳع( ‪.)η‬‬ ‫‪ - 2‬بزرگﻰ سطح تماس جسم با ماﻳع‪.‬‬ ‫‪ - 3‬نسبت ‪ ،Δν ∕∆d‬کﻪ اﻳن نسبت از تناقص سرعت ‪ ∆ν‬و اندازة ضخامت ‪ ∆d‬بﻪدست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪ ∆d‬ضخامت سطحﻰ است کﻪ ﻫمزمان حرکت مﻰکند و مربوط بﻪ ﻳک قشر مجاورى از ماﻳع است‬ ‫کﻪ درپﻰ آن کم شدن سرعت بﻪ وقوع مﻰپﻴوند‪ .‬آن تعداد ذرات ماﻳع کﻪ بﻪ طور مستقﻴم‪ ،‬در جوار‬ ‫سطح قرار دارند‪ ،‬بر اثر دﻳفوژن (انتشار خودبﻪخودى ذرات اجسام) بﻪ سطح مﻰچسپند و سرعت‬ ‫خودرا مﻰگﻴرند و از قشر بعدى ﻳک کمﻰعقب مﻰماند‪ .‬در سطوح تماسﻰ کﻪ ﻫموار استند‪ ،‬سرعت‬ ‫ذرات ماﻳع بﻪاندازة ضخامت مشخص‪ d‬از قﻴمت کامل ‪ ν‬منظم ٌا تا قﻴمت صفر کم شده مﻰرود کﻪ‬ ‫در نتﻴجﻪ‪ ،‬نسبت ‪ Δν ∕∆d‬با کسر ‪ ν ∕d‬تعوﻳض مﻰشود و از اﻳنجا مﻰتوانﻴم فارمول قوة اصطکاک‬ ‫داخلﻰ را طور ذﻳل بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪v‬‬ ‫سطح متحرک‬ ‫‪Ri = A v d‬‬ ‫ﻳا ‪Ri = A v d‬‬ ‫‪Ri d‬‬ ‫‪A v‬‬

‫=‬

‫شکل (‪ ،)8-14‬تنقﻴص سرعت‬ ‫خطﻰ سطح متحرک را در‬ ‫ماﻳع نشان مﻰدﻫد‪.‬‬

‫‪205‬‬

‫در فارمول ﻳاد شده‪ η ،‬کﻪ بﻪ نام ضرﻳب لزوجﻴت ﻳاد مﻰشود‪ ،‬براى ﻫر ماده مشخص است و ﻳک‬ ‫ثابت مﻬم است‪ .‬اﻳن ثابت در ماﻳعاتﻰ کﻪ بﻪ آسانﻰ جرﻳان مﻰکنند مانند‪( :‬اﻳتر‪ ،‬بنزﻳن و ﻫم در آب)‬ ‫داراى قﻴمت کوچک و در ماﻳعاتﻰ کﻪ جرﻳان آسان (سﻬل) ندارند مانند‪( :‬گلﻴسﻴرﻳن‪ ،‬گرﻳس و قﻴر)‬ ‫قﻴمت بزرگ دارد‪ .‬اﻳن ضرﻳب در عﻴن زمان‪ ،‬ﻳک مقﻴاس اندازهگﻴرى براى پﻴماﻳش کوﻫﻴﮋﻳونﻰ‬ ‫است کﻪ در بﻴن ﻫرﻳک از مالﻴکﻴولﻫاى ماﻳعات وجود دارد‪.‬‬ ‫لزوجﻴت با بلند رفتن درجﻪء حرارت‪ ،‬بﻪ شدت تناقص مﻰﻳابد و واحد اندازهگﻴرى آن در‬ ‫سﻴستﻴم بﻴن المللﻰ واحدﻫا عبارت است از‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[ ]= [Ri d Av ]= Nm m m s = Ns m 2 = kg m s 2 s m 2 = kg ms‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫جدول زﻳر ضرﻳب لزوجﻴت بعضﻰ از مواد را در سﻴستم واحدات (‪ )SI‬بﻪ واحد )‬ ‫‪m s‬‬

‫( نشان‬

‫مﻰدﻫد‪:‬‬

‫گرﻳس در حرارت‬ ‫‪0.000017‬‬ ‫‪20o c‬‬ ‫گرﻳس در حرارت‬

‫حرارت ‪o o c‬‬

‫‪0.00179‬‬

‫ﻫوا در حرارت‬

‫حرارت ‪20o c‬‬

‫‪0.00101‬‬

‫ﻫوا در حرارت‬

‫‪0o c‬‬

‫‪0.000018‬‬

‫حرارت ‪50o c‬‬

‫‪0.00055‬‬

‫الکول در ‪o‬حرارت‬

‫‪0.0018‬‬

‫حرارت ‪100o c‬‬

‫‪0.00029‬‬

‫الکول در ‪o‬حرارت‬

‫‪0.0012‬‬

‫اﻳتر در حرارت‬

‫‪0.00024‬‬

‫حرارت ‪20o c‬‬

‫گلﻴسﻴرﻳن در‬

‫‪1.50‬‬

‫آب در‬

‫آب در‬

‫آب در‬ ‫آب در‬

‫‪20o c‬‬

‫‪20o c‬‬

‫‪oc‬‬

‫‪oc‬‬

‫‪80o c‬‬

‫قﻴر در حرارت‬ ‫‪20o c‬‬

‫‪1.2...0.1‬‬ ‫‪0.25...0.02‬‬ ‫تقرﻳباً ‪100‬‬

‫فارمولﻫاﻳﻰ کﻪ براى محاسبﻪء اصطکاک داخلﻰ و اصطکاک خارجﻰ استفاده مﻰشوند‪ ،‬قرار‬ ‫ذﻳل از ﻫم متفاوت ﻫستند‪.‬‬ ‫‪A v d‬‬

‫= ‪= Ri‬‬

‫اصطکاک داخلﻰ و‬

‫‪FN‬‬

‫= ‪ = Ro‬اصطکاک خارجﻰ‬

‫اصطکاک خارجﻰ با زﻳادشدن قوة نورمال زﻳاد مﻰشود‪ ،‬کﻪ بر اصطکاک داخلﻰ ﻫﻴچ تأثﻴرى‬ ‫ندارد‪ .‬برعکس اصطکاک داخلﻰ با کﻼن شدن مساحت سطح و سرعت زﻳاد مﻰشود‪ ،‬در‬ ‫حالﻰکﻪ اصطکاک خارجﻰ با اﻳن دو ﻫﻴچ نوع ارتباط ندارد‪.‬‬

‫‪206‬‬

‫اﻧدازهگﻴرى ﺿرﻳب لزوجﻴت‬ ‫براى اندازهگﻴرى ضرﻳب لزوجﻴت ﻳک ماﻳع‪ ،‬بﻴشتر از ﻳک آلﻪﻳﻰ کﻪ بﻪ نام (وﻳسکوزﻳمتر‬ ‫ﻫوﻳپل ‪ ))Hoeppl- Viskosimeter‬ﻳاد مﻰشود و در شکل نشان داده شده است‪،‬‬ ‫استفاده مﻰکنند‪ .‬زﻳرا کار کردن با اﻳن آلﻪ وﻳا با ساﻳر آﻻت مشابﻪ کﻪ بر اساس عﻴن‬ ‫پرنسﻴپﻫا کار مﻰکنند‪ ،‬سادهگﻰ و دقت ﻻزمﻰرا در اندازهگﻴرى تأمﻴن مﻰکند‪.‬‬ ‫طورىکﻪ در شکل دﻳده مﻰشود‪ ،‬در ﻳک نلﻰ کﻪ ﻳک خمﻴده‬ ‫گﻰ ضعﻴف دارد ﻳک کره بﻪ طرف پاﻳﻴن سقوط مﻰکند‪.‬‬ ‫براى ثابت نگﻪ داشتن درجﺔ حرارت‪ ،‬اﻳن دستگاه در ﻳک‬ ‫ظرف پر از آب جابﻪجا شده است کﻪ درجﺔ حرارت آن بﻪ‬ ‫وسﻴلﺔ ﻳک ترموستات با قﻴمت ثابت بازرسﻰ مﻰگردد‪.‬‬ ‫از محاسبﻪ زمان سقوط‪ ،‬مﻰتوان لزوجﻴت را بﻪدست آورد‪.‬‬ ‫با استفاده از کرهﻫاﻳﻰ کﻪ قطرﻫاى مختلف دارند‪ ،‬با ﻫمﻴن‬ ‫آلﻪ‪ ،‬لزوجﻴت گازﻫا و موادى را بﻪدست مﻰآورند کﻪ داراى‬ ‫لزوجﻴت بسﻴار بلند استند‪.‬‬ ‫شکل (‪)8-15‬‬

‫ﻣثال‬ ‫ضرﻳب لزوجﻴت گرﻳس را محاسبﻪ کنﻴد‪ ،‬در حالﻰکﻪ کثافت آن ) ‪ 1 = (0.9 g cm‬و ﻳک کرة‬ ‫المونﻴمﻰ با کثافت ( ‪ ) 2 = 2.8 g cm3‬وقطر ‪ ،3mm‬از ارتفاع ‪ h = 24cm‬را در مدت ‪18‬‬ ‫ثانﻴﻪ بﻪ داخل آن سقوط نماﻳد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫کرة در داخل گرﻳس‪ ،‬پس از پﻴمودن ﻳک فاصلﻪء کوتاه‪ ،‬حرکت ﻳکنواحت را بﻪ خود‬ ‫مﻰگﻴرد‪ .‬مﻰدانﻴم کﻪ‪ ،‬مقاومت داخلﻰ عبارت است از حاصل تفرﻳق وزن ‪ W‬و مقدار قوة‬ ‫صعودى (‪.)bouncy‬‬ ‫‪1Vg = 1 Ahg‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪W = mg = 1‬‬ ‫‪h g , Fb = 2‬‬ ‫‪h g , Ri = 6‬‬ ‫‪r v=6‬‬ ‫ﻳعنﻰ‪r h t :‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻫمچنان دارﻳم کﻪ‪:‬‬

‫‪Fb‬‬

‫‪Ei = W‬‬

‫‪d 2 h g‬‬ ‫‪d 2 h g) t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 d 2 h‬‬

‫بعد از وضع قﻴمتﻫا‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= 7 g cm s‬‬

‫‪207‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Ri t‬‬ ‫( ‪( w Fb ) t‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪6 r h 6 d 2 h‬‬

‫=‬

‫سؤالﻫا‬ ‫‪ - 1‬در ﻳک تپ کﻪ با تﻴل پر شده است‪ ،‬ﻳک پلﻴت نازک‬ ‫کﻪ ‪ 8‬ملﻰمتر عرض و ‪ 5.5‬سانتﻰ متر مربع مساحت دارد‬ ‫با ﻳک قوة ‪ 0.1‬نﻴوتن در جﻬت طول کشانﻴده مﻰشود‪.‬‬ ‫مقدار لزوجﻴت را محاسبﻪ کنﻴد‪ ،‬در صورتﻰ کﻪ‪ ،‬سرعتﻰ‬ ‫کﻪ اﻳجاد مﻰشود قﻴمت ‪ 12cm/s‬را داشتﻪ باشد‪.‬‬

‫‪s‬‬

‫شکل (‪)8-16‬‬

‫‪ - 2‬در برک ﻳک موتر کﻪ در آن ‪ 20cm 3‬گلﻴسﻴرﻳن بﻪکار رفتﻪ است و ضرﻳب لزوجﻴت آن ‪= 1.5 Kg ms‬‬

‫است بﻪ وسﻴلﺔ ﻳک نل با طول ‪ 12.5cm‬و قطر ‪ 2.5mm‬زﻳر ﻳک تفاوت فشار متوسط ‪ 18.106 bar‬پرس (فشرده)‬ ‫مﻰشود‪ .‬مدت زمانﻰکﻪ براى اﻳن عملﻴﻪ بﻪکار است‪ ،‬محاسبﻪ شود‪.‬‬

‫‪ :8-8‬پدﻳدة جرﻳان تﻮفاﻧﻰ‬ ‫چگﻮﻧﻪگﻰ وقﻮع ﻳک جرﻳان در سرعتﻫاى ﻣختلف‬

‫اصطکاک داخلﻰ‪،‬وقتﻰ بﻪ وجود مﻰآﻳد کﻪ قشرﻫاﻳﻰ از ماﻳع کﻪ باسرعتﻫاى مختلف درجرﻳان‬ ‫ﻫستند‪ ،‬از جوار ﻫمدﻳگر عبور کنند‪.‬‬ ‫اﻳن حادثﻪ‪ ،‬قبل از ﻫمﻪ در قشرﻫاى ﻫم سرحد بﻴن ماﻳعات و اجسام جامد ظاﻫر مﻰشود‪.‬‬ ‫براى غلبﻪ بر اﻳن اصطکاک داخلﻰ ﻳا براى برطرف کردن اثرات آن‪ ،‬ﻳک بخش از انرژى کﻪ‬ ‫در جرﻳان ماﻳع وجود دارد‪ ،‬بﻪ مصرف مﻰرسد‪.‬‬ ‫در ســرعتﻫاى کوچــک‪ ،‬اصطــکاک‬ ‫داخلﻰ ﻫم کوچک اســت‪ .‬بنــا ًء تغﻴﻴر‬ ‫فشــار و ضﻴــاع انــرژى کــﻪ ناشــﻰ از‬ ‫کوچــک بودن ســرعت اســت‪ ،‬نﻴز بﻪ‬ ‫حدى کوچک اســت کﻪ آن قشــرﻫاﻳﻰ‬ ‫ٌ‬ ‫از ماﻳع کــﻪ از جوار ﻫم مﻰگذرند‪ ،‬پاره‬ ‫پاره نمﻰشــوند‪ ،‬بلکﻪ از پﻬلوى ﻫم طور‬ ‫صاف عبور مﻰکنند و جرﻳان را ﻻمﻴنار‬ ‫(‪ )laminar‬مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫شکل (‪)8-17‬‬ ‫جرﻳانﻫاى ﻻمﻴنار و توربلﻴنت از شﻴردﻫن‬

‫اما در حالت سرعتﻫاى بزرگ کﻪ اصطکاک قوى تر است‪ ،‬تصوﻳر جرﻳان بﻪ صورت قابل‬ ‫مﻼحظﻪ خودرا تغﻴﻴر مﻰدﻫد‪ .‬در اﻳن صورت چرخش آبﻰ (گرداب) بوجود مﻰآﻳد‪ ،‬و جرﻳان‬ ‫تولﻴد شده‪ ،‬توربولﻴنت (‪ )turbulent‬نامﻴده مﻰشود‪.‬‬

‫‪208‬‬

‫اکر شﻴر دﻫن آب را کمﻰباز کنﻴم‪ ،‬آب بﻪ آرامﻰونرمش از‬ ‫شﻴر دﻫن خارج مﻰشود و اگر شﻴر دﻫن را بازﻫم باز تر‬ ‫کنﻴم‪ ،‬جرﻳان آب پس از رسﻴدن بﻪ ﻳک سرعت معﻴن شروع‬ ‫بﻪ نا آرامﻰمﻰکند و چرخش آبﻰ را تولﻴد مﻰکند‪.‬‬ ‫در شکل )‪ )8-18‬ﻫم اﻳن پدﻳده را بﻪ خوبﻰ در آلﻪﻳﻰ کﻪ بﻪ‬ ‫نام" آلﺔ روﻫاى جرﻳان" ﻳاد مﻰشود‪ ،‬دﻳده مﻰتوانﻴد‪.‬‬ ‫طرز کار اﻳن آلﻪ طورى است کﻪ‪ :‬آب بﻰ رنگ شفاف و‬ ‫آب سرخ رنگ‪ ،‬از دو ظرف در ﻳک فضاى کﻪ در بﻴن دو‬ ‫پلﻴت شﻴشﻪﻳﻰ قرار دارد از طرف باﻻ از طرﻳق ﻳک تعداد‬ ‫سوراخﻫاى بارﻳکﻰ کﻪ تعبﻴﻪ شدهاند‪ ،‬جرﻳان مﻰﻳابد‪ .‬جرﻳان‬ ‫آب از سوراخﻫا طورى صورت مﻰگﻴرد کﻪ آب صاف وشفاف‬ ‫از سوراخﻫاى اول و سوم و آب سرخ رنگ از سوراخﻫاى دوم‬ ‫شکل )‪)8-18‬‬ ‫و چﻬارم عبور مﻰکنند‪.‬‬ ‫سرعت خروجﻰ جرﻳان ﻫر دو ماﻳع رابا ﻳک قﻴدى کﻪ در پاﻳپﻫا بﻪکار برده مﻰشود‪ ،‬مﻰتوان‬ ‫تنظﻴم کرد‪ .‬اگر در ظرف‪ ،‬مانع وجود نداشتﻪ باشد‪،‬رشتﻪﻫاى جرﻳان مانند خطوط موازى‪ ،‬سر‬ ‫خ رنگ بﻪ نظر مﻰآﻳند‪ .‬و اگر مانعﻰ ﻫم وجود داشتﻪ باشد‪ ،‬اختﻼط دو رنگ باز ﻫم بﻪ نظر‬ ‫نمﻰرسد‪ .‬آنچﻪ بﻪ نظر مﻰرسد عبارت از ﻳک عبور متجانس رشتﻪﻫاى جرﻳان است کﻪ در‬ ‫دو طرف صورت گرفتﻪ است‪ .‬اگر قﻴد را باز کنﻴم‪ ،‬ﻳعنﻰ سرعت جرﻳان ماﻳع را بلند ببرﻳم‪،‬‬ ‫دﻳده مﻰشود کﻪ با رسﻴدن سرعت بﻪ ﻳک قﻴمت معﻴن‪ ،‬بﻪ زودى گرد آب ﻳا چرخ آبﻰ ظاﻫر‬ ‫مﻰشود و ﻫر دو رنگ بﻪطور کلﻰ با ﻫم مخلوط مﻰشوند‪.‬‬

‫پﻴداﻳﺶ گرد آب‬ ‫پﻴداﻳش گرد آب را مﻰتوانﻴم بسﻴار بﻪ آسانﻰ‪،‬‬ ‫با مقاﻳسﻪ بﻪ ﻳک عملﻴﺔ مﻴخانﻴکﻰ‪ ،‬قابل فﻬم‬ ‫بسازﻳم‪ .‬اگر ﻳک کره در داخل ﻳک بلول در‬ ‫مسﻴر جرﻳان قرار گﻴرد‪ ،‬اﻳن کره دراثناى لول‬ ‫خوردن‪،‬انرژى پوتانسﻴلﻰ خودرا از دست داده و‬ ‫ﻫمزمان با آن در سرعتش افزونﻰ بﻪ عمل مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫شکل )‪)8-19‬‬ ‫بﻪ شکل توجﻪ کنﻴد‪.‬‬ ‫ﻫنگامﻰکﻪ کره‪ ،‬منحنﻰ را رو بﻪ باﻻ مﻰپﻴماﻳد‪ ،‬از سرعتش کاستﻪ مﻰشود‪ .‬قﻴمت اﻳن‬ ‫سرعت‪ ،‬اگر از اصطکاک صرفنظر شود در نقطﺔ ‪ C‬عﻴن ﻫمان قﻴمت را دارد کﻪ در شروع‬ ‫در نقطﺔ ‪ A‬داشت‪ .‬اگر قﻴمت اصطکاک کم ﻫم باشد‪ ،‬کره ﻳک اندازه رو بﻪ باﻻ مﻰرود‪ ،‬ولﻰ‬ ‫قﻴمت سرعت در نقطﺔ ‪ C‬نسبت بﻪ قﻴمت سرعت در نقطﺔ ‪ A‬کمتر است‪.‬‬

‫‪209‬‬

‫اگر انرژى‪ ،‬بﻪ علت اصطکاک بﻴشتر ضاﻳع شود‪ ،‬انرژى‬ ‫حرکﻰﻳﻰ کﻪ باﻳد کﻪ در نقطﺔ ‪ B‬موجود باشد تا کره را باﻻ‬ ‫برده و آنرا بﻪ نقطﺔ ‪ C‬برساند‪ ،‬کفاﻳت نکرده و کره تا ﻳک‬ ‫نقطﻪﻳﻰ مانند‪ D‬رسﻴده و سرعت آن در آن نقطﻪ مساوى بﻪ‬ ‫صفر مﻰشود و ناگزﻳر برگشت مﻰکند‪ .‬عﻴن مناسبتﻫا در‬ ‫حالتﻰ وجود دارد کﻪ‪ ،‬ﻫرگاه ﻳک ماﻳع‪ ،‬بﻪ ﻳک مانع برخورد‬ ‫کند‪ .‬مث ٌ‬ ‫ﻼ اگر ﻳک ماﻳع بﻪ ﻳک استوانﻪ برخورد نموده و سطح‬ ‫شکل (‪)8-20‬‬ ‫خارجﻰ آنرا عبور کند‪ .‬شکل (‪)8-20‬‬ ‫دﻳده مﻰشود کﻪ در ساحات ‪ B1‬و ‪ B2‬کﻪ ساحات محدود و تنگ استند‪ ،‬نظر بﻪ معادلﺔ‬ ‫متمادﻳت‪ ،‬قﻴمت سرعت تزاﻳد نموده و قﻴمت فشار کم مﻰشود‪ .‬اگر اصطکاک موجود نباشد‪،‬‬ ‫قﻴمت سرعتﻫا و فشار در نقطﺔ ‪C‬بار دﻳگر بﻪ ﻫمان اندازه خواﻫد بود کﻪ در نقطﺔ ‪ A‬بوده‬ ‫است‪ .‬در اصطکاکﻫاى کم او ٌﻻ تغﻴﻴرات غﻴر مﻬمﻰبﻪ وقوع مﻰرسد‪ .‬مگر وقتﻰ کﻪ قﻴمت‬ ‫سرعت زﻳاد باشد‪ ،‬اصطکاک داخلﻰ بلند رفتﻪ و باﻻخره حالتﻰ رخ مﻰدﻫد کﻪ ذرات ماﻳع‬ ‫در ساحا ت ‪ B1‬و‪ B1‬دﻳگر آن انرژى حرکﻰ کافﻰ را ندارد‪ ،‬تا بﻪ مقابل فشار بلند در ساحﺔ‬ ‫‪ C‬بﻪ حرکت ادامﻪ دﻫند؛ بلکﻪ سرعت آنﻫا کم مﻰشود و باﻵخره در ساحاتﻰ مانند ‪ D1‬و‬ ‫‪ D2‬بﻪ صفر تقرب مﻰکند و در نتﻴجﻪ‪ ،‬ذرات ماﻳع برگشت نموده و ناگزﻳر بﻪ عقب جرﻳان‬ ‫پﻴدا مﻰکنند‪ .‬در ﻫنگام برگشت بﻪ دوران مﻰپردازند و گرد آبﻰ را تشکﻴل مﻰدﻫند‪ .‬ﻳعنﻰ‬ ‫ماﻳعﻰ کﻪ پﻴش از ﻳک ماﻳع ﻻمﻴنار بود‪ ،‬اﻳنک بﻪ ﻳک ماﻳع توربولﻴنت تبدﻳل شده است‪ .‬گرد‬ ‫آبﻫاﻳﻰ کﻪ پشت سرﻫم بﻪطور پﻰدرپﻰ از ﻫر دو طرف بﻪ وجود مﻰآﻳند‪ ،‬در عقب مانع‪ ،‬ﻳک‬ ‫راه گرد آبﻰ را تشکﻴل مﻰدﻫند‪.‬‬

‫‪210‬‬

‫خﻼصﺔ فصل ﻫﺸتﻢ‬ ‫وقتﻰکﻪ سرعت حرکت گاز از سرعت صوت کمتر باشد‪ ،‬اثر تغﻴﻴرات فشار بر حجم گازات‬ ‫متحرک بﻪ آن حد کم است کﻪ مﻰتوان از آن صرف نظر کرد‪.‬‬ ‫ﻳک سﻴال (ماﻳع ‪ -‬گاز) را وقتﻰ خﻴالﻰ (اﻳده آل) مﻰتوان گفت کﻪ قابلﻴت تراکم نداشتﻪ و‬ ‫فاقد اصطکاک باشد‪.‬‬ ‫معادلﺔ متمادﻳت بﻴان مﻰدارد کﻪ‪ ،‬در ﻳک نلﻰ کﻪ داراى مقطعﻫاى متغﻴﻴر است‪ ،‬سرعت‬ ‫جرﻳان ماﻳع معکوساً بﻪ مقطع نل متناسب مﻰباشد‪ .‬ﻳعنﻰ در مقطع بزرگ‪ ،‬سرعت جرﻳان کم‬ ‫و در مقطع کوچک‪ ،‬سرعت جرﻳان زﻳاد است‪.‬‬ ‫رابطﺔ ‪ ( v12 2) + P1 = ( v2 2 2) + P2‬عبارت از رابطﺔ سادة برنولﻰ بوده و بﻴان مﻰدارد‬ ‫کﻪ فشار در آن نقاط کﻪ در آنجا سرعت بﻴشتر باشد کمتر است‪.‬‬ ‫رابطﺔ ‪ v 2 2 + gh + P = ct‬ﻫم‪ ،‬شکل دﻳگرى از معادلﺔ برنولﻰ است کﻪ براى ﻳک ماﻳع خﻴالﻰ‬ ‫بﻪدست آمده و براى ماﻳعات حقﻴقﻰ کﻪ اصطکاک داخلﻰ شان زﻳاد نﻴست ﻫم قابلﻴت تطبﻴق را دارد‪.‬‬ ‫در جرﻳانﻫاى افقﻰ‪ ،‬قانون برنولﻰ را مﻰتوان چنﻴن بﻴان داشت‪ ،‬کﻪ در سراسر ﻳک رشتﺔ‬ ‫جرﻳان افقﻰ‪ ،‬مجموعﺔ فشار ‪ P‬و فشار بند ( ‪ ) 1 V‬ثابت است‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تﻴوپ و ﻳنتورى از ﻳک نل بارﻳک (جت) ساختﻪ شده است کﻪ در آن تفاوت فشار بﻴن حصص‬ ‫بسﻴار عرﻳض و حصص بسﻴار کم عرض (بارﻳک‪ ،‬تنگ)‪ ،‬توسط ﻳک فشار سنج (مانومتر ماﻳع)‬ ‫اندازهگﻴرى شده مﻰتواند‪ ،‬و براساس قانون برنولﻰ رابطﺔ ( ‪) p1 + 1 2 V12 = p2 + 1 2 V2 2‬‬ ‫در تﻴوپ و ﻳنتورى صدق مﻰکند‪.‬‬ ‫در بالﻫاى طﻴاره ﻳک قوة بلند کننده عمل مﻰکند کﻪ سبب مﻰشود (در صورتﻰ کﻪ‬ ‫بﻪاندازة کافﻰ نسبت بﻪ ﻫوا با سرعت بلند حرکت کند) آن را در ﻫوا بلند نگﻪدارد‪.‬‬ ‫لزوجﻴت وﻳا چسپندهگﻰ ماﻳعات عبارت از ﻫمان اصطکاک داخلﻰ آنﻫا است و لزوجﻴت‬ ‫در حالتﻰ تبارز مﻰکند کﻪ در ماﻳع و ﻳا گاز حرکت اﻳجاد شود و پس از قطع تأثﻴر علتﻰ کﻪ‬ ‫باعث بروز آن حرکت شده‪ ،‬آﻫستﻪ آﻫستﻪ قطع مﻰگردد‪.‬‬ ‫فورمول اصطکاک داخلﻰ ) ‪ ( Ri = A v / d‬بوده‪ ،‬در آن بﻪنام ضرﻳب لزوجﻴت ﻳاد‬ ‫مﻰشود کﻪ ﻳک ثابت مﻬم بوده و براى ﻫر ماده مشخص است‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪211‬‬

‫از الﺔ وﻳسکوزﻳمتر ﻫوﻳپل براى اندازهگﻴرى ضرﻳب لزوجﻴت ﻳک ماﻳع استفاده مﻰکنند‪.‬‬ ‫اگر ﻳک کره در داخل ﻳک بلول در مسﻴر جرﻳان قرار گﻴرد‪ ،‬اﻳن کره در اثناى لول خوردن‪،‬‬ ‫انرژي پوتانسﻴلﻰ خود را از دست داده و بﻪ سرعتش افزوده مﻰشود‪ .‬با بلند رفتن سرعت‪،‬‬ ‫اصطکاک داخلﻰ بلند مﻰرود و باﻵخره حالتﻰ رخ مﻰدﻫد کﻪ ذرات ماﻳع انرژى حرکﻰ کافﻰ‬ ‫را از دست داده و دﻳگر بﻪ مقابل فشار بلند بﻪ حرکت شان ادامﻪ داده نمﻰتوانند و سرعت‬ ‫آنﻫا بﻪ صفر تقرب مﻰکند کﻪ درنتﻴجﻪ ذرات برگشت نموده و بﻪ عقب جرﻳان پﻴدامﻰکنند‪،‬‬ ‫و حﻴن برگشت بﻪ دوران مﻰپردازند و گردابﻰ را تشکﻴل مﻰدﻫند کﻪ مﻰگوﻳند دﻳگر ماﻳع‬ ‫مذکور بﻪ ﻳک ماﻳع توربولﻴنت تبدﻳل شده است‪.‬‬

‫سؤالﻫاى فصل ﻫﺸتﻢ‬ ‫‪ - 1‬ﻳک سﻴال (ماﻳع ‪ -‬گاز) را تعرﻳف کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬معادلﺔ متمادﻳت ﻳا پﻴوستﻪگﻰ چﻰ چﻴز را بﻴان مﻰدارد؟‬ ‫‪ - 3‬رابطﺔ ‪ A1V1 = A2V2‬براى ﻫر ﻳک از مقطعﻫاى ‪ .................. ،...............‬و ‪ ....‬قابل تطبﻴق است‪.‬‬ ‫‪ - 4‬اکر ماﻳعات و گازﻫا با سرعتﻫاى کمتر از سرعت صوت حرکت نماﻳند‪ ............... ،‬گفتﻪ مﻰشوند‪.‬‬ ‫‪ - 5‬معادلﺔ عمومﻰبرنولﻰ براى ﻳک ماﻳع خﻴالﻰ عبارت از‪ .....................‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬فشار ‪ Ps = P2 P1 = 1 V 2‬بﻪنام فشار ‪ ..................‬ﻳاد مﻰشود‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 7‬براساس قانون ‪ .......................‬در تﻴوب وﻳنتورى رابطﺔ ‪ ................................‬صدق مﻰکند‪.‬‬ ‫‪ - 8‬واحد اندازهگﻴرى لزوجﻴت در سﻴستم بﻴن المللﻰ واحدات را از رابطﺔ] ‪ [ ]= [Ri d AV‬حاصل نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 9‬آﻳا مقدار زﻳاد فشار ﻫمﻴشﻪ توسط قوة بزرگ بﻪ وجود مﻰآﻳد؟ جواب خود را توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 10‬وقتﻰ از طرﻳق ﻳک نﻴچﻪ آب مﻰنوشﻴد‪ ،‬با تخلﻴﺔ ﻫوا فشار را در دﻫن خود تقلﻴل مﻰدﻫﻴد و‬ ‫ماﻳع بﻪ حرکت مﻰآﻳد و بﻪ دﻫن شما داخل مﻰشود‪ .‬آﻳا مﻰتوانﻴد بﻪ اﻳن منظور در مﻬتاب ﻫم از‬ ‫نﻴچﻪ براى نوشﻴدن آب استفاده کنﻴد؟ چرا؟ توضﻴح دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 11‬کدام ﻳک از معادﻻت ذﻳل رابطﻪ بﻴن سرعت آب در نقطﺔ ‪ (VA ) A‬و سرعت آب در نقطﺔ‬ ‫‪ (VB ) B‬را توضﻴح مﻰدﻫد؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻒ) ‪ d AVA = d BVB‬ب) ‪ d A 2VA = d B 2VB‬ج) ‪d A d B = VAVB‬‬ ‫د) ‪1 2 d AVA = 1 2 d BVB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2,5cm‬‬ ‫‪ 5cm 5cm‬باشد‪ ،‬جرﻳان‬ ‫نقطﺔ ‪،B‬‬ ‫مساحت مقطع در‬ ‫‪ - 12‬اگر مساحت مقطع نل در نقطﺔ ‪ 2,25cm 2 ،A‬و‬ ‫آب در نقطﺔ ‪ A‬چند مرتبﻪ سرﻳعتر نسبت بﻪ نقطﺔ ‪ B‬است؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ - 13‬در ﻳک نل افقﻰ آب بﻪ سرعت ) ‪ (1‬جرﻳان دارد‪ .‬ﻫرگاه شعاع اﻳن نل بﻪاندازة ) ( آن کوچک‬ ‫‪4‬‬ ‫‪s‬‬ ‫گردد سرعت جرﻳان آبرا در قسمت بارﻳک نل بﻪدست مﻰآورﻳد‪.‬‬ ‫‪ - 14‬قطر سوراخ شﻴردﻫن ﻳک نل ‪ 2cm‬بوده و در ﻫر ثانﻴﻪ مقدار ‪ 2,5 ×10 2 m3‬آب از آن خارج‬ ‫مﻰشود‪ .‬سرعتﻰ را کﻪ در آن آب از نل خارج مﻰشود درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪212‬‬

:‫ﻣﻨابعﻰ کﻪ از آن استﻔاده شده‬ 1. PHYSICS (PRINCIPLES WITH APPLICATIONS), by Douglas C. Gain coli, Published by Pearson Education Inc, 2005. 2. PHYSICS by James S. Walker, Pearson Education Inc. USA, New Jersey, 2004. 3. PHYSICS by R.A. Serwey and J.S. Faughn, 2006 by Holt, Rinehart and Winston. 4. PHYSICS, A Text book, published by Surat Publishing Company, printed in TURKEY, 1996. 5. Fundamentals of Physics, published by University of the Philippines, College of Education, Manila, 1976.

‫ ادارة المناﻫج‬،‫ و زارة التربﻴﺔ و التعلﻴم‬،)‫ الفرع العلمﻲ‬/ ‫ الفﻴزﻳاء (للمرحلﺔ الثانوﻳﺔ‬.6 .‫م‬2005 ،‫ الکتاب فﻲ مدارس المملکﺔ اﻻردنﻴﺔ الﻬاشمﻴﻪ‬،‫والکتب المدرسﻴﺔ‬ ‫ سازمان پﮋوﻫش و برنامﻪ رﻳزى آموزشﻰ وزارت آموزش و‬،‫) و آزماﻳشگاه‬2( ‫ فزﻳک‬.7 .1385 ‫ سال طبع‬،‫ شرکت چاپ و نشر کتابﻫاى درسﻰ اﻳران‬،‫پرورش‬ ‫) و آزماﻳشگاه سازمان پﮋوﻫش و برنامﻪ رﻳزي آموزشﻲ وزارت آموزش و‬3( ‫ فزﻳک‬.8 ‫ ش‬. ‫ ﻫـ‬1385 ‫ سال طبع‬،‫ شرکت چاپ و نشر کتابﻫاى درسﻰ اﻳران‬،‫پرورش‬

213