Organon der gesammten transcendenten Analysis, Teil 1: Transcendente Elementarlehre [Reprint 2019 ed.] 9783111442051, 9783111075754

Table of contents :
Vorrede
Inhaltsverzeichniss
Erklärung einiger Zeichen
Druckfehler
Erstes Kapitel. Von den Progressionen, dem Progressionsact und den Reihen
Zweites Kapitel. Von den unendlichen Reihen
Drittes Kapitel. Von den einfachen algebraischen Beziehungsformen der unendlichen Reihen
Viertes Kapitel. Von den allgemeinen Gliedern und den Grenzen der vollständig bestimmten unendlichen Reihen. Transcendente Grundbestimmungsform der Analysis
Fünftes Kapitel. Von den convergirenden unendlichen Reihen
Sechstes Kapitel. Von einigen expliciten einfachen Transcendenten
Siebentes Kapitel. Von einigen expliciten zusammengesetzten Transcendenten
Achtes Kapitel. Erörterung einiger anderweitigen Beziehungen zwischen den bisher besprochenen Transcendenten

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Organon der

gesammten transcendenten Analysis.

Von

Dr. E.

H.

Dirkseil,

o r d e n U i c h c m P r o f e s s o r an d e r F r i e d r i c h - W i l h e l m s - U n i v e r s i t ä t und o r d e n t l i c h e m Milgliede d e r Königl. A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n z u B e r l i n .

Erster

Theil.

Transcendente Elementarlehre.

Gloriatili•

geometría

panels principili

quod tarn

lam multa

praeslet.

NRWTOS.

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,

Druck unti Verlag von G. Reimer.

1845.

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.

D i e Wissenschaft, welche mit dem Namen „Mathematik." belegt zu werden pflegt, hat das Eigentümliche, dafs ihre Gegenstände sowohl, als die Bestimmungen derselben, nur in so fern sind, als sie durch freie Thätigkcit des Geistes hervorgebracht werden: und dies ist eben der Grund, weshalb in diesem Gebiete des Wissens Nichts von anderwärts, sondern Alles nur aus der Art und Weise zu erkennen fällt, auf welche es hervorgebracht wird. Jedes, durch einen mathematischen Erzeugungsact unmittelbar Hervorgebrachte (Quantum), als solches, bildet ein E i n z e l n e s , in welchem sich dem Bewufstsein mehre Momente als enthalten darstellen, die ihrerseits wiederum s o und auch a n d e r s gedacht werden können. Die allmälige Abstraclion von diesen Verschiedenheilen führt zu dem Bewufstwerden der allgemeinem Vorstellungen oder Begriffe, welche die nächsten Objecte der Mathematik bilden. Die einzelnen Vorstellungen (Quanta), unter einem solchermafsen gebildeten Begriff enthalten, werden ferner auf einander bezogen, d. h. es wird die eine derselben durch Beihülfe von Einer, oder von mehren der andern hervorgebracht. In einem solchen Beziehungsact stellen sich sogleich dem Bewuslsein zwei Hauplmoinenlc als unterscheidbar dar:

IV

die auf einander bezogenen einzelnen Vorstellungen selbst, und die Art und W e i s e , wie von Einer, oder von mehren derselben zu der andern der Forlgang gemacht wird.

Sieht man

hier ab von der Bestimmtheit der Bezogenen, so gelangt man zu der Vorstellung einer einzelnen mathematischen Beziehungsform.

Die Abstraction von den Verschiedenheiten, derer die

einzelnen mathematischen Beziehungsformen selbst fähig gedacht werden können, fuhrt endlich zu dem Begriff einer m a thematischen Beziehungsform überhaupt.

Eine solche Bezie-

hungsform nimmt den Namen einer Bestimmungsform an, in so fern sie zur nähern Bestimmung eines mathematischen Objecls mittelst anderer in Anspruch genommen Abstrahirt Quanta

man

bei

dem

von ihrer Qualität,

wird.

gegenseitigen

und

Beziehen

der

fafst dabei lediglich

ihre

Quantität ins A u g e ; so befindet man sich in dem Gebiete desjenigen Theiles der Wissenschaft, welcher nicht uneigentlich „allgemeine

Gröfsenlehre" genannt w i r d ,

der mathematischen Analysis bildet.

und den Anfang

Die Analysis bleibt aber

bei diesem nächsten Gröfsenbegriff nicht stehen, sondern schreitet von diesem.zu den Begriffen: V e r h ä l t n i f s oder Z a h l , reelle algebraische Gröfse, imaginäre Gröfse,

algebraische

diesen beziehungsweise

algebraische

Gröfse, Funktion,

entsprechenden

nebst den

Bezichungs-

und

B e s t i m m u n g s f o r m e n , allmälig und vermittelnd, fort.

Das

Bewufstsein dieser geistigen Fortbewegung

und der daraus

erwachsenden Beziehungen, in ihrem n o t w e n d i g e n

Zusam-

menhange aufgefafst, ist es, was die W i s s e n s c h a f t der mathematischen Analysis bildet. Nicht also, wie allgemein genug behauptet zu werden pflegt, mit Definitionen, sondern mit der Erzeugung des Einzelnen und dem vollständigen Bewufstwerden des einem solchen Act zu Grunde liegenden Allgemeinern, fängt die Mathematik an.

D a s klare Bewufstsein der verschiedenen mathe-

matischen Erzeugnifsweisen bildet eben die Quelle der eigent-

V

liehen mathematischen Erkennlnils; und die stattfindende V e r m i t t e l u n g eines zur Mathematik gehörenden Satzes ist nur in so fern gleichfalls mathematisch, in wie fern sie gerade dieser Quelle entspringt. — Selbst das w i r k l i c h e Beziehen der mathematischen Gegenstände auf einander geht von Einzelnen aus und zum Einzelnen fort. Das Setzen von Beziehungen, die nur in so fem geltend sein sollen, als davon das Einzelne ausgeschlossen bleibe, wie solches in den Schriften der neueren Zeit häufig gefunden wird, ist sonach etwas, was der Wissenschaft schnurstracks widerstreitet. — Jede Beziehung setzt Bezogenen voraus und ist deshalb auch von dieser Seite als ein näher Bedingtes zu betrachten. Eine unmittelbare Berufung auf die unbedingte Gültigkeit einer mathematischen Beziehung, als solcher, wie sie in späterer Zeit fast gäng und gäbe geworden, ist demnach ohne wissenschaftlichen Grund. Die Analysis hat, im Laufe ihrer Fortbildung, gar manche Beziehungs- und Bestimmungsform hervorzuheben und zum Gegenstande der Betrachtung für sich zu machen sich veranlafst gefunden. Nach dem, was uns die Lehrbücher darüber an die Hand geben, lassen sich dieselben in zwei Klassen eint e i l e n , die einander als vermittelnde und vermittelte, oder auch, wenn man will, als wirkende und bewirkte, gegenüber stehen. Die Begriffe: S u m m e , D i f f e r e n z , P r o d u c t , Q u o t i e n t , P o t e n z , W u r z e l , D i f f e r e n z (der ersten Ordnung), e n d l i c h e s I n t e g r a l , D i f f e r e n z i a l , I n t e g r a l , V a r i a t i o n mögen hier zur ersten, alle übrigen dagegen zur zweiten Klasse gerechnet werden. Die sechs ersten gellen für die Zahlen, die algebraischen Gröfscn und die Funktionen gleichmäfsig; die fünf letzten hingegen nur für Funktionen. Bei dieser Form der Auffassung des Vorhandenen entstehen zwei Fragen, deren nähere Andeutung uns zu dem Punkte führen wird, auf den es hier eigentlich abgesehen ist. Die erste dieser beiden Fragen ist: ob die gedachten Bestimmungsweisen alle diejenigen umfassen, auf welche sich die

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Analysis, bei der Vermitlelung ihrer Bestimmungen, wirklich zu beziehen pflegt.

Die z w e i t e : ob eben jene Beslimmungs-

formen insgesammt, sowohl in logischer, als mathematischer Beziehung, unabhängig von einander seien. Beide Fragen sind verneinend zu beantworten. Die oben namhaft gemachten B e stimmungsweisen

umfassen keinesweges alle diejenigen, auf

welche sich die Analysis, bei der Vermittelung ihrer Bestimmungen, freilich bald mit m e h r , bald mit weniger Klarheit des Bcwustseins, zu beziehen pflegt-, sondern es spielt neben denselben, und, wie es den Anschein hat, bei den feinsten und intricatesten Bestimmungen, noch eine Vermittelungsart einher, welche weder die eine, noch die andere jener Formen ist. Auch sind die oben beregten Bestimmungsarten unabhängig

keinesweges

von einander, vielmehr sehr eng mit einander

verbunden. Bei einer, innerhalb der Analysis selbst aufgenommenen und durch die sämmtlichen Z w e i g e ihrer Anwendung mit S o r g falt durchgeführten Untersuchung hat sich mir namentlich ergeben, dafs sämmtliche, in dieser Wissenschaft zur Zeit übliche, Bestimmungsweisen

auf zwei Grundactc

zurückgeführt und

durch diese, theils auf eine directe oder explicite, Iheils auf eine indirecte oder implicite Weise, zur Vermitlelung und B e stimmung gebracht werden können. D e r erste und einfachste dieser beiden Grundacte, beziehungsweise in ihrer, der Grenze der analytischen Bestimmungsweisen am nächsten liegenden Form aufgefafst, bildet einen besondern Fall desjenigen, w e l cher die Synthesis genannt wird; der zweite dagegen ist nahe verwandt mit demjenigen, welchen man den Progrefs ins Unendliche zu nennen pflegt; derselbe mag hier, in Ermangelung eines geeignetem Ausdrucks, die unendliche Reise heifsen. Jener ist die Grundlage von den acht zuerst bezeichneten B e stimmungsweisen, welche eben deshalb die

algebraischen

heifsen 5 dieser dagegen, mit dem vorigen verbunden, von allen andern, über die Sphäre der algebraischen

hinausgehenden,

VII

und welche gerade deswegen, nichlunpassend, t r a n s c e n d e n t e genannt werden. Die B e w e g u n g des Geistes, von diesen beiden Anfängen einschliefslich a u s , gleichsam

bis zu den gegenwärtigen Grenzen

organischen

Entwickelung

und ß e s o n d e r u n g

der der

Analysis, mit der erforderlichen Ausführlichkeit und der möglich gröfsten Klarheit, auf eine, der jetzigen Stufe des wissenschaftlichen Bewustseins

entsprechende W e i s e , zur Darstel-

lung zu bringen, ist es nun, was ich mir vorgesetzt habe. N u r aus Rücksicht gegen den dermaligen Zustand der in Rede stehenden Wissenschaft und gegen die Stellung, welche die herrschenden Ansichten der Gegenwart ihr gegenüber einzunehmen scheinen, fange ich die Herausgabe dieser Arbeit, dem darzustellenden Enlwickelungsgange selbst zuwider, mit der von der transcendenten Analysis an. Die Bemerkung namentlich, dafs sich die gedachten acht algebraischen Bestimmungsweisen insgesammt von ein und demselben Grundacte aus zur Vermiltelung und Bestimmung bringen lassen, möchte sich, bei einer n a h e m Betrachtung, als nicht so sehr versteckt herausstellen, und gerade deshalb eine, diesen Gegenstand betreffende Arbeit

eben nicht besonders

dringlich

erscheinen

lassen; ungeachtet man sich nach einem W e r k e , in welchem diese Ableitung auf eine, den jetzigen wissenschaftlichen Anforderungen genügende

Weise

zur

wäre, vergeblich umsehen dürfte. der

transcendcnlen

Analysis.

Durchführung

gebracht

Anders verhält es sich mit

Von der

oben

angedeuteten

Einheit ihrer unterschiedenen organischen Beslimmungsformen enthält die Darstellung dieser Wissenschaft, wie sie in den vorhandenen Schriften

angetroffen

wird,

noch

keine Spur.

Auch sind die, einem gewissen Z w e i g e derselben, und namentlich der sogenannten Differenzialrechnung, wenigstens Anfangs, zu G r u n d e gelegten Prinzipien, lange Zeil hindurch, der Gegenstand der lebhaftesten und schneidendsten

Widersprüche

gewesen, über welche man sich zwar endlich beruhigt, indefs

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noch keinesweges gehörig verständigt zu haben scheint. Selbst in Ansehung der Frage, in wie fern die E r g e b n i s s e der transcendenten Analysis wirklich auf eigentümlichen Prinzipien beruhen, oder lediglich milteist algebraischer Fortbestimroung zu erlangen seien, scheinen die Ansichten, seit Lagrange's Theorie der analytischen Funktionen, getheilt zu sein. Durch eine, Alles aus ein und demselben Prinzipe vermittelnde, und eben hierdurch die unterschiedenen Theile zu einer Einheit verbindende, jede Dunkelheit, wie auch jedwede Unbestimmtheit entfernt haltende, streng methodische Darstellung dieses Gesammtgegenstandes schmeichle ich mir daher, der Wissenschaft und dem wissenschaftlichen Erkennen keinen geringem, dem dermaligen herrschenden Bewufslsein gegenüber der Wissenschaft aber vielleicht einen gröfsern Dienst zu leisten. Zwar finde ich den Gedanken, dafs die in der transcendenten Analysis üblichen Bestimmungsformen insgesammt aus ein und derselben Quelle fliefsen, bereits anderwärts, und namentlich bei Hnttou in dessen Wörterbuch der Mathematik und Physik, ausgesprochen, aber auch zugleich als diese Einheit die Exhaustions-Methode, und zwar nur factisch, angegeben. Hutton's Nachfolger, Klügel, widerlegt diesen letzten Punkt mit vollständiger Bündigkeit, indem er zeigt, dafs sich dasjenige, was wir mit dem Namen „Exhaustions-Methode" zu bezeichnen pflegen, nicht einmal als eine Einheit, sondern vielmehr als eine Vierheit darstellt (KlihjeVs Mathem. Wörterb., Thl. 2, S. 170). Weder Euclid, noch Archimed hat M e t h o d e n gelehrt; beide halten sich auf die Vermittelung und Begründung von Beziehungen zwischen geometrischen Quantis beschränkt. Die Vorstellung von Methode, als Bewufstsein über die Form der geistigen Fortbewegung aufgefafst, welche wir aus ihren Schriften schöpfen, ist das Resultat unserer eigenen freien Thätigkeit, zu dein wir gelangen, indem wir zunächst das Begründete von dem Act des Begründens trennen, darauf zur gegen-

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seitigen Vergleichung der Begründungsacte selbst schreiten und endlich von ihren Verschiedenheiten abstrahiren.' J e weiter wir diesen Vergleichungs- und Abstractionsact fortführen, desto allgemeiner und umfassender wild der so gewonnene Begriff einer Methode. Dies ist anch der Gang, den Kliigel wirklich nimmt, und durch welchen er sich aus den Schriften der oben gedachten Autoren vier unterschiedene Methoden abstrahirt. Hätte Kliigel diesen Gang um Einen, höchstens zwei Schritte weiter verfolgt, so würde ihm die, jener Vierheit zu Grunde liegende Einheit, und hiermit der B e g r i f f dessen, was allenfalls Exhaustions - Methode genannt werden könnte, schwerlich entgangen sein: wie ich dies §. 69, Anmerk. 3, wo ich das betreffendeArchim cd'sehe Verfahren nicht beschrieben, sondern zu erklären versucht, gezeigt habe. — Es ist gerade die Auffassung dieser Einheit, mit welcher die Wissenschaft demnach, ihres häufigen Redens von der Exhaustions •Methode ungeachtet, bislang schwerlich zu Stande gekommen sein dürfte, welcher dieses Werk seinen nächsten Ursprung verdankt. Nur war in Ansehung dieser Einheit noch eine weitere Trennung in Vollzug zu bringen, um zu dem Begriff eines Erzeugungsactes zu gelangen, der geeignet sein möchte, der gesammten transcendenten Analysis, deren gegenwärtigem Inhalt gcmäfs, zu Grunde gelegt zu werden. Der wissenschaftliche Standpunkt, von welchem aus ich hier die oben näher bezeichnete Darstellung aufnehme, ist der für diesen Zweck möglich beschränkteste, namentlich der der sogenannten Buchstabenrechnung, angewandt auf die Zahlen und die algebraischen Gröfsen. Nur dürfte der Gesichtspunkt, unter welchen dieser Gegenstand hier als aufgefaßt, und die Bekanntschaft, welche in seiner Beziehung als erworben, vorausgesetzt wird, sich von demjenigen, was die Lehrbücher darüber zur Sprache zu bringen pflegen, in einer Weise unterscheiden, deren nähere Erörterung hier vielleicht nicht überflüssig sein könnte.

X

Wie bereits oben angedeutet worden, unterscheide ich zwischen Zahlen und algebraischen Gröfsen: beide sind für mich verschiedene Begriffe, wenngleich der letztere durch den erstem und dessen Beziehungsformen seine Vermittelung und Bestimmung erhält. Unter einer Zahl verstehe ich, mit Nevlon und Wolfj sowohl die Null, als das (geometrische) Verhällnifs zweier gleichartigen Quanta; dieselbe heifst angebbar oder unangebbar, j e nachdem sie zu dieser, oder zu jener Gattung gehört: die Null übrigens als eine gerade Zahl angesehen. Die Lehre von den Zahlen heifst hier A r i t h m e t i k , und die von den algebraischen Gröfsen A l g e b r a . Der begriffsmäfsige Entwickelungsgang, auf dessen genauere Auffassung es hier insonderheit ankommt, ist für beide Zweige ein und derselbe, und läfst sich daher an einem derselben, z. B. der Arithmetik, mit einer, für den vorliegenden Zweck hinreichenden Vollständigkeit, characterisiren. Die Lehre von den Zahlen hebt mit der Bestimmung des betreffenden Begriffs und dessen Hauptbesonderungen an, schreitet darauf zur Vermittelung und Feststellung der einfachem Beziehungsformen zwischen einzelnen Zahlen fort, und gelangt so zur Vermittelung der diesen entsprechenden ß e stimmungsformen zwischen eben jenen Zahlen. Nachdem sie diese Stufe erreicht und sich hiermit ferner zu dem allgemeinen Begriff der nähern Bestimmung einer Zahl mittelst anderer Zahlen (einer unbekannten mittelst bekannter) erhoben hat, wendet sie sich zur Vermittelung der Anwendung jener ß e ziehungs- und Bestimmungsformen auf Zahlen, in so fern diese durch andere als näher bestimmt vorausgesetzt werden, und dann ferner zur Betrachtung der besondern Beziehungen, welche sich aus diesen neuen Feststellungen ergeben. Von diesem Standpunkte aus angesehen, treten sogleich einige Trennungen als nothwendig hervor, für die es, meines Erachtens, an der Zeit sein dürfte, in die Wissenschaft eingeführt zu werden, und deren nähere Andeutung hier um so weniger

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(übergangen werden darf, als sie diesem ganzen Werke zu Grunde liegen. In Ansehung eines jeden, zum Behuf der nähern Bestimm u n g einer Zahl mittelst anderer aufgestellten, Satzes sind zunächst zwei Hauptfälle von einander zu unterscheiden: entw e d e r lassen sich die Bedingungen desselben, den vorhergehenden Feststellungen gemäfs, wenigstens durch Eine der einzelnen Zahlen erfüllen, oder nicht. Im ersten Fall wird von d>er, durch jenen Salz als näher bestimmt gesetzten Zahl ges a g t , dafs sie m ö g l i c h , — im letzten Fall dagegen, dafs sie u n m ö g l i c h sei. Die Möglichkeit jener Zahl vorausgesetzt, sind wiederum zwei Fälle von einander zu unterscheiden: entweder sind die Bedingungen des betreffenden Satzes von der Art, dafs denselben, ebenfalls vorhergehenden Feststellungen nach, wenigstens durch zwei einander ungleiche einzelne Zahlen entsprochen werden kann, oder nicht. In dem letztem dieser beiden Fälle wird von der in Rede stehenden Zahl gesagt, dafs sie v o l l s t ä n d i g b e s t i m m t , im erstem dagegen, dafs sie u n v o l l s t ä n d i g b e s t i m m t sei. Eine jede von den einzelnen Zahlen, die den Bedingungen der Bestimmung einer unvollständig bestimmten Zahl zu entsprechen vermögen, wird ein b e s o n d e r e r W e r t h von dieser genannt; auch wird von der letztgedachten Zahl, oder auch von ihrer Bestimmung selbst, gesagt, dafs sie denselben g e s t a t t e t e oder dessen f ä l l i g sei. Die Möglichkeit der auf die in Rede stehende Weise näher bestimmten Zahl festgehalten, gibt es noch zwei andere Fälle von einander zu trennen. Entweder ist die betreffende Bestimmung von der Art, dafs sich, vermöge bereits gewonnener Ergebnisse, für jeden besondern Werth derselben unter den "einzelnen Zahlen eine finden läfst, welche von jener um weniger verschieden sei, als jede anderweitig gesetzte angebbare Zahl, wie klein übrigens auch, — oder solches ist nicht der Fall. Im ersten Fall wird von jener näher bestimmten

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Zahl gesagt, dafs sie g e g e b e n , — im letzten dagegen, dafs sie n i c h t - g e g e b e n sei. Die so zur Vermittelung und Feststellung gebrachten Bestimmungsbegriffe: M ö g l i c h s e i n , U n m ö g l i c h s e i n , V o l l s t ä n d i g b e s t i m m ts e i n , U n v o l l s t ä n d i g b e s t i m m t s e i n , G e g e b e n s e i n , N i c h t g e g e b e n s e i n , in so fern sie auf eine Zahl bezogen werden, setzen demnach die Zahl stets als durch andere Zahlen näher bestimmt voraus. Ganz dem vorhin characterisirten ähnlich ist der Entwickelungsgang der Lehre von den algebraischen Gröfsen. Die Theorie der vollständig bestimmten Zahlen, der vollständig bestimmten algebraischen Gröfsen nebst deren einfachen Beziehungs- und Beslimmungsforrnen, so weit diese namentlich die sogenannte Buchstabenrechnung zu behandeln pflegt, ist es nun, was hier die Grund- oder Elementarlehren der Arithmetik und der Algebra genannt und, in Verbindung mit der Lehre von den quadratischen Gleichungen mit reellen W u r zeln, welche jedoch erst im sechsten Kapitel zur Sprache kommt, als bekannt vorausgesetzt wird. Was die einzelnen Lehrsätze betrifft, welche im Laufe dieses Werkes vorzugsweise vermittelnd auftreten; so habe ich nicht versäumt, dieselben in den betreffenden Vorbemerkungen besonders zur Sprache zu bringen. Ich nenne dieses W e r k : O r g a n o n d e r g e s a i n m t c n t r a n s c e n d e n t c n A n a l y s i s , um dadurch zu erkennen zu geben, dafs es nicht so sehr die analytischen Besonderheiten, als vielmehr die allgemeinern analytischen Formen zum Gegenstande hat, durch welche, nach dem dermaligen Standpunkt des wissenschaftlichen Bewufstseins, alle analytischen Erkenntnisse vermittelt und zur Darstellung gebracht werden müssen. Eine ausführliche Anwendung dieses Organon auf nähere analytische Bcsondcrungen bleibt einem eignen Werke aufgehoben. — Das Werk selbst zerfällt in zwei Theile, von denen der erste, welcher hiermit erscheint, die vollständig bestimmten Zahlen

XIII

und algebraischen Gröfscn, und der zweite die unvollständig bestimmten oder, schärfer gesprochen, die veränderlichen Z a h len und algebraischen Gröfsen betrifft. D a s Verhältnifs von jenem zu diesem ist theils das des Einfachen zu dem Z u s a m mengesetzten,

theils das

des Besondern

zum Allgemeinen;

und es ist aus diesem Grunde, dafs ich den ersten Theil mit dem Namen

„transcendente

Elementarlehre"

belege.

Der

zweite Theil wird den organischen Z w e i g der Funktionenlehre enthalten. D e r gegenwärtige Theil besteht aus acht Kapiteln.

Das

erste Kapitel ist, von dem oben näher bezeichneten wissenschaftlichen Standpunkt ausgehend, auf die Verinittelung einer Grundlage für die Bestimmung des Begriffs „unendliche R e i h e " gerichtet.

Die Analysis, wie sie in den Lehrbüchern

ange-

troffen wird, ist wohl nichts weniger, als arm an Betrachtungen unter dieser Ueberschrift zu nennen. W a s aber das W e sentliche des diesen Betrachtungen zu Grunde liegenden P r i n zips betrifft, so dürfte sie mit diesem bis jetzt schwerlich zu Stande gekommen sein; indem sie namentlich eine unendliche Reihe noch fortwährend, den Quantis, Zahlen und algebraischen Gröfsen analog, unter die Bestimmung

eines Products

des

Denkens, und nicht unter die des Denkens selbst, setzt. Eine unendliche Reihe ist nicht, wie ein Quantum, eine Zahl, oder eine algebraische Gröfsc, als ein, durch einen Denkact

Hervorgebrachtes,

geschlossenen

sondern als ein Erzeugen

oder

Hervorbringen selbst, — nicht als eine T h a t , sondern an ein Thun, aufzufassen.

Dieser Standpunkt des wissenschaftlichen

Bewufstseins dem in Rede stehenden Begriffe gegenüber kann als die w a h r e W u r z e l des Mangels an Evidenz

angesehen

werden, von weichein die bisherige Darstellung der Theorie des Unendlichen keinesweges freizusprechen sein dürfte. — Von diesem Punkte an ist nun der Entwickelungsgang dem, in Ansehung der Zahlen und der algebraischen Gröfsen oben n ä l e r bezeichneten vollkommen analog gehalten.

XIV

Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Bestimmung und der Zergliederung des gedachten Begriffs und deren nächsten Folgen. Indem hier die, theihveise so vielfach, und zwar nicht ohne Grund, angefochtenen, Bestimmungen: e n d l i c h , u n e n d l i c h , u n e n d l i c h k l e i n , a n g e b b a r e G r e n z e , wie ich hoffe, auf eine, von jedweder Dunkelheitbcfreite Weise, gewonnen werden, treten zugleich noch andere, meistens verwickeitere, hervor, welche, zum Behuf einer vollständigen Erkennlnifs des Gegenstandes, gleichfalls Berücksichtigung fordern. Das dritte Kapitel hat die einfachem algebraischen Beziehungsformen der vollständig bestimmten unendlichen Reihen, ebenfalls eine, bisher gröfstcntheils nicht gebräuchliche Betrachtungsweise derselben, zum Gegenstande, und zerfällt in zwei Abschnitte. Der erste Abschnitt befafst die Bestimmung dieser Begriffe und die Erwägung ihrer nächsten Folgen in Ansehung der vollständig bestimmten unendlichen Gröfsenreihen überhaupt. Der zweite Abschnitt enthält die Anwendung jener Bestimmungen auf Reihen, in so fern diese der Ordnung, dem Geschlecht, der Klasse, der Gattung u. s. w. nach, als näher bestimmt vorausgesetzt werden. Die in diesem Abschnitte gewonnenen Lehrsätze sind, als Elementar-Lehrsätze der gesammten tranccendenten Analysis, von der höchsten Wichtigkeit; auf ihre vollständige und klare Begründung kam hier alles an; und es ist gerade deswegen, dafs, bis zu diesem Punkte, jede abgekürzte Bezeichnung sorgfältig vermieden worden ist. Die beiden ersten Abschnitte des vierten Kapitels beschäftigen 6ich damit, die sinnliche Darstellung des bisher Festgestellten und Ermittelten, durch Einführung einer einfachem, prinzipienmäfsigen Bezeichnung, der, in der Analysis üblichen und zum Behuf von dessen Anwendung höchst wünschenswerten Form näher zu bringen. Die hier eingeführten Hülfsbegriffe: a l l g e m e i n e s G l i e d und G r e n z e einer unendlichen Gröfsenreihc, welche man in eben der Allgemeinheit

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auffassen und festhalten wolle, in der sie hier bestimmt werden, dienen zu diesem Zweck. Die Darstellung des Inhalts dieses Kapitels, wie die von Manchem der folgenden, würde beträchtlich kürzer ausgefallen sein, wenn ich mich hierbei des Hülfsbegriffs einer Veränderlichen hätte bedienen wollen. Ich habe diesen Begriff hier mit Bedacht vermieden, weil derselbe den Grundgegenstand des folgenden Theiles bilden wird. Der wissenschaftliche Zweck, dem die Betrachtung der vollständig bestimmten unendlichen Gröfsenreihen und deren Grenzen untergeordnet ist, besieht in dein Gebrauch derselben zur vollständigen Bestimmung algebraischer Grüfsen; und es ist wiederum dieser Zweck, welcher zu dem Begriff dessen führt, was hier die t r a n s c e n d e n t e G r u n d b e s t i m m u n g s f o r m der Analysis genannt wird. Der dritte Abschnitt des in Rede stehenden Kapitels hat die nähere Feststellung dieses Begriffs und die Erwägung ihrer nächsten Folgen zum Gegenstande. Es ergibt sich hier, dafs eine vollständig bestimmte unendliche Gröfsenreihe eine algebraische Gröfse nur in so fern unmittelbar vollständig zu bestimmen vermag, als sie entweder unendlich klein-werdend, oder eine Reihe mit einer angebbaren Grenze ist. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich daher mit der Ermittelung der characteristischen Merkmale dieser Reihen, und dürfte zugleich den ersten streng methodischen Versuch über die Theorie der Convergenz und der Divergenz der unendlichen Reihen bilden: es bildet zugleich den Beschlufs der eigentlichen transccndcnten Elementarlehre. Den verschiedenen Kapiteln und Abschnitten sind häufig Betrachtungen unter der Ueberschrift „Besondere Erörterungen" angehängt worden, über deren Zweck und Inhalt ich mich meistens jedesmal bestimmt genug ausgesprochen habe. In denjenigen Fällen, wo dies nicht statt gefunden hat, sollen solche Erörterungen lediglich dienen, tlieils auf die Einheit solcher, in der Wissenschaft zerstreut liegenden, Besonderheiten aufmerksam zu machen, theils einige Besonderungen zum Behuf eines

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etwaigen lernern Gebrauchs zu gewinnen. Da dieses Werk die Bestimmung hat, dasjenige, was bisher in dem in Rede stehenden Gebiete etwa unklar war, zur vollständigen Deutlichkeit zu erheben; so wird es die Anforderung, dafs es selbst, innerhalb seiner Grenzen, sowohl in den Begriffen, als in concreto, vollkommen klar sei, als unbedingt gegründet erkennen müssen. Dieser Deutlichkeit nach allen Kräften förderlich zu sein, ist der Hauptzweck jener besondern Erörterungen, sowohl dem Inhalt, als der äufsern Form der Behandlung nach. Nicht das Resultat, als solches, sondern die Vermittelung desselben, die Darstellung der Art und Weise, auf vollkommen strengem Wege zu demselben zu gelangen, bildet hier das eigentliche Object. Dies ist auch der Grund der, Manchem vielleicht ermüdend erscheinenden, Länge und Ausführlichkeit von mehren dieser Betrachtungen Man wolle diese nicht zu sehr tadeln; sie betreffen gerade solche Punkte, über welche die W issenschaft sich bisher noch nicht besonders lang und ausführlich auszusprechen vermochte. Die Aufgabe, welche diesem ersten Theil zur Lösung gestellt war, bestand, wie dies auch S. 617 bemerkt worden ist, darin: I o die Grundform der gesammten transcendenten Bestimmungsweisen der Analysis, von dem Standpunkte der Elemente der Algebra aus, zur Vermittelung und Feststellung zu bringen: 2° die, zum Behuf einer nähern Erkenntnifs der durch diese Form, in Verein mit den Grundlehren der Algebra, bewirkten Bestimmungen, unentbehrlichen Elementarsätze zu begründen, und die auf eben diesen Zweck gerichtete Anwendung derselben, durch die Betrachtung von mehr besondern Formen, ausführlich zu erläutern. Diese Aufgabe habe ich durch das Vorhergehende zu entsprechen und hiermit denjenigen Theil der transcendenten Analysis zu gewinnen mich bestrebt, durch welchen alle ferneren Bestimmungen ihre Vermittelung erhalten werden. Im Falle also die transcendente Analysis Begriffs-Schwierigkeiten enthalten sollte, würden diese

XVII

hier au suchen sein; und würden solche hier wirklich: gefunden, so würde daraus folgen, dafs bereits die Theorie der unendlichen Reihen, gegen die man bisher keine Zweifel dieser Art zu erheben pflegte, mit diesen Schwierigkeiten behaftet sei. Die weitere Aufgabe, welche der Gegenstand des zweiten Theiles dieses Werkes sein wird, ist nun, jene transcendente Grundbestimmungsform, mittelst näherer Bedingungen, zu denjenigen Hauptbesonderungen fortzuführen, welche, gleichsam als organische, in der Analysis entweder bereits üblich sind, oder doch mit überwiegendem Nutzen angewandt werden können, — wie auch, die nächsten Anwendungen dieser Hauptbesonderungen, ebenfalls mit der erforderlichen Ausführlichkeit, zu verdeutlichen. Es ist zunächst mit Hinblick auf die, aus diesem Zweck entspringenden Bedürfnisse, dafs diesem Theile noch das sechste und das siebente Kapitel, die Theorie der sogenannten logarithmischen und Kreis-Transcendenten betreffend, beigefügt sind. Leider scheint der prinzipiellen Darstellung dieser Theorie von den grofsen Fortschritten, welche das wissenschaftliche Bewufstsein während der letzten fünfzig Jahre gemacht hat, noch wenig oder gar nichts zu Gute gekommen zu sein; dieselbe dürfte vielmehr, seit Euler, in manchen Lehrbüchern eine rückgängige Bewegung erfahren haben. Der fernere Zweck der genannten Kapitel ist daher, auf das Mangelhafte der bisherigen Darstellung dieser Theorie, dem dermaligen Standpunkte der Wissenschaft gegenüber, nicht durch tadelnde Bemerkungen, sondern durch eine theilweise factische Darstellung selbst, aufmerksam zu machen. In Gegensatz mit der bisher üblichen Darslellungsweise dieser Lehre wird hier allenthalben, zur Erreichung und zur Wahrung der, der Wissenschaft geziemenden Strenge und Allgemeinheit, von dem Begriff der algebraischen Gröfse, welcher sowohl die imaginären, als die reellen algebraischen Gröfsen unter sich enthält, ausgegangen, und zu den betreffenden Besonderungen atlmälig fortgeschritten: die Voraussetzung des V o l l s t ä n d i g -

XVIII

b e s t i m m l s e i n s blieb indefs auf dieser Stufe, dem Vorhergehenden gemäfs, durchgängig festzuhalten. Die Aufhebung dieser Voraussetzung wird in dem folgenden Theil zur Vermittelung gebracht, und dadurch zugleich der wahre Gang klar vor Augen gelegt werden, den die Analysis zu nehmen hat, um zu dem Inhalt zu gelangen, mit welchem sie, nach ihrem gegenwärtigen Standpunkte, ihre Sätze als erfüllt betrachtet. Der Zweck, den die Wissenschaft mit der Betrachtung solcher einzelnen Formen verbindet, ist in den Gebrauch derselben zur vollständigen Weiterbestimmung zu setzen. Um diesem Zwecke entsprechen zu können, ist es erforderlich, dafs sie selbst in ihrer Sphäre vollständig bestimmt seien. Dies ist der Grund, weshalb den bekannten Zeichen l g a , a r e s i n a , arccosa u . s . w . allenthalben vollständig bestimmte Bedeutungen untergelegt sind. Die Bestimmungen mittelst Potenzen negativer Wurzeln, wenn der Exponent der Bruch eines ungeraden Nenners ist, und mittelst Potenzen imaginärer Wurzeln, wenn der Exponent ein Bruch ist, sind hier deshalb auch bis zum achten Abschnitt des siebenten Kapitels ausgeschlossen worden. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit der Feststellung des diese Potenzen betreffenden Begriffs und mit der Erwägung von deren nächsten Folgen. Wie betreffenden Orts ausdrücklich bemerkt worden, sind die in Rede stehenden Erörterungen lediglich auf dfcn oben angedeuteten Zweck, und keinesvveges auf eine systematische Darstellung der Theorie der betreffenden Transcendenten, oder auf eine vollständig durchgeführte Erkenntnifs derselben, gerichtet. Nur das achte Kapitel hat die Ergänzung einiger, im Vorhergehenden zur Sprache gebrachten Punkte dieser Theorie zum Gegenstande. Die Fortführung der in den beiden letzten Abschnitten dieses Kapitels befafsten Betrachtungen wird der folgende Theil enthalten.— Mich hier jeder weitern, diesen Gegenstand betreffenden Erörterung mit Bedacht enthaltend, bemerke ich nur noch, dafs sich bei einer genauem Vergleichung der hier gewonnenen Ergebnisse mit dem in Ansehung dieses

XIX

Inhalts sonst Bekannten einige Unterschiede herausstellen dürften, die der Beachtung nicht unwerth sein könnten. Soviel über den Z w e c k und den Inhalt der gegenwärtigen Schrift.

W a s die Darstellung selbst anbelangt, so habe ich

diese nicht ohne das volle Bevvufstsein der damit verbundenen Schwierigkeiten zu unternehmen v e r m o c h t ; und wie sehr ich auch bemüht gewesen bin, dieselben aus dem W e g e zu r ä u m e n , so fühle ich doch noch Ursach g e n u g , in dieser Beziehung die gütige Nachsicht meiner Leser in Anspruch

zu

nehmen. Ohne irgend einen Vorgänger in der hier zu Grunde liegenden Auffassungs- und Betrachtungsweise, w a r ich, was die Form dieser Arbeit betrifft, gänzlich mir selbst überlassen; und es ist eben diese Seite derselben, rücksichllich welcher ich gegen die wissenschaftlichen Leistungen der verschiedenen Jahrhunderte gle^ichmäisige Verbindlichkeit habe.

W a s dage-

gen die prinzipielle und die materielle Seite dieser Darstellung anbelangt, so bin ich mir in dieser Ansehung gegen einige Schriftsteller einer nähern Verpflichtung bewufst, deren Namen, obgleich von dem Sachkundigen leicht zu e r r a t h e n , hier ausdrücklich zu nennen, das Gefühl der Erkenntlichkeit mich nöthigt. E s sind

EUCLID, ARCHIMED,

Von Seiten

MAC LAURIN, EULER, GAUSS, CAUCHY.

derjenigen L e s e r , welche sich aus dem ma-

thematischen Wissen, wie es in den gewöhnlichen Lehrbüchern behandelt wird, bereits heraus gewunden und über dasselbe erhoben haben, werde ich keine misfallige Aufnahme dieser Arbeit, wie mangelhaft sie dieselbe übrigens auch finden mögen, zu befürchten haben. D e r Kreis solcher Leser kann aber, der N a t u r der Sache nach, nur beschränkt ausfallen; und bei Manchem dürfte dieses W e r k , welches sich, ich läugne dies kein e s w e g e s , in Ansehung sowohl des Ausgangspunkts, als der Fortbewegung, von den gewöhnlichen so wesentlich unterscheidet; welches, jedes äufserliche Zeichenspiel mit Sorgfalt entfernt hallend, Alles durch selbslbewufstes Denken bewirkt wissen will, und erst in den bestimmtem Ergebnissen, und dann auch häufig noch nur unter sehr beschränkenden Bedingungen, mit

XX

dent sonst Gewohnten zusammenfällt; welches — um es mit Einein Wort zu sagen — auf nichts Geringeres, als auf eine Umgestaltung der bisherigen Auffassyngs- und Darslellungsweise des prinzipiellen Theiles der gesummten transcendenten Analysis gerichtet ist, auf ernste Hindernisse stofsen. P e r aufrichtige Wunsch, dafs nur das darin enthaltene Wahre zur Anerkennung gelange, verbunden mit der innigen Ueberzeugung, dafs das Wahre die Kraft in sich trägt, sich Geltung zu verschaffen, sobald seine Zeit gekommen ist, ist indefs im Stande, mir über diesen Punkt die vollständigste Beruhigung zu gewähren. Von denjenigen Lesern, denen es in ihren mathematischen Bestrebungen um die W i s s e n s c h a f t und um das w i s s e n s c h a f t l i c h e E r k e n n e n zu thun ist, und welche daher mit den Bedingungen des W i s s e n s vertraut sind, läfst sich mit Zuversicht erwarten, dafs sie ihr Urtheil über dieses Werk, dessen Häuptwirksamkeit £ich jedoch erst in dem/folgenden Theil zu bekunden vermag, nur nach einer sorgfältigen Prüfung und einer reifen Erwägung feststellen werden. Indefs darf nicht in Abrede gestellt werden, dafs die hohe formale Ausbildung, deren sich die Mathematik erfreut, es gestattet, dieselbe auch historisch zu lernen, und dafs es der Anwendung derselben auf Gegenstände der Erfahrung, wie auch dem Forlfolgern in der Wissenschaft selbst, unter den gewöhnlichen Umständen, gar wenig verschlägt, ob man die zu Grunde liegenden Sätze wirklich eingesehen, oder nur auf guten Glauben angenommen habe. An Diejenigen also, welche in einer solchen Beziehung zur Wissenschaft stehen, wie auch an alle Die, welche in ihren mathematischen Beschäftigungen durch äufsere> dem Wissen völlig fremdartige, Zwecke geleitet und bestimmt werden, und demzufolge sich auch ein angelegentliches Geschäft daraus zu machen pflegen, sich als die Sprecher und Repräsentanten der Wissenschaft zu betragen, hat eben diese, als W i s s e n s c h a f t , keine Ansprüche zu begründen. Berlin, den 28. Juni 1845.

Inhaltsverzeichnifs E r s t e s

Kapitel. Seite

Von den Progressionen, dem Progressionsacl und den Reihen Z w e i t e s

1

K a p i t e l .

Von den unendlichen Reihen

. . . .

17

E r s t e r A b s c h n i t t . Von den unendlichen Reihen überhaupt, den möglichen, den gegebenen und den vollständig bestimmten unendlichen Reihen. Gleichheit und Ungleichheit der unendlichen Reihen

17

Z w e i t e r A b s c h n i t t . Eintheilung der vollständig bestimmten ten unendlichen Reihen

23

A r t i k e l I. Eintheilung der vollständig bestimmten unendlichen Zahlenreihen

23

A r t i k e l II. Eintheilung der vollständig bestimmten unendlichen Gröfsenreihen

34

D r i t t e r A b s c h n i t t . Lehrsätze in Betreff der rollständig bestimmten unendlichen Reihen

45

A r t i k e l I.

Lehrsätze in Betreff der vollständig bestimm-

ten unendlichen Zahlenreihen

45

XXII

Seite A r t i k e l n . Lehrsätze in Betreff der vollständig bestimmten unendlichen Gröfsenreihen

56

A r t i k e l III.

73

Anmerkungen D r i t t e s

K a p i t e l .

V o n den einfachen algebraischen ßeziehungsformen der unendlichen Reihen

80

E r s t e r A b s c h n i t t . Von den einfachen algebraischen Beziehungsformen der unendlichen Reihen überhaupt A r t i k e l I.

Von der Summe unendlicher Reihen. . . .

80 80

A r t i k e l II. Von der Differenz zweier unendlichen Reihen.

84

A r t i k e l III.

87

Von dem Producte unendlicher Reihen.

A r t i k e l IV.

.

Von dem Quotienten zweier unendlichen

Reihen

90

A r t i k e l V.

Von der Potenz einer unendlichen Reihe.

A r t i k e l VI. Reihe

.

93

Von den Summenreihen einer unendlichen 97

A r t i k e l VII.; Von den DifTerenzenreihen einer unendlichen Reihe

119

A r t i k e l VIII. Reihe

Von den Integralreihen einer unendlichen 147

A r t i k e l IX. Reihe

Von der Productenreihe einer unendlichen 168

A r t i k e l X. Von der Kettenbruchsreihe zweier unendlichen Reihen

172

A r t i k e l XI.

186

Schlufsbemerkung

Z w e i t e r A b s c h n i t t . Von den einfachen algebraischen Beziehungsformen, mit Rücksicht auf näher bestimmte unendliche Reihen betrachtet. A r t i k e l I.

187

Von den einfachen algebraischen Beziehungs-

formen rücksichtlich reeller unendlichen Reihen. .

.

.

A r t i k e l II. Von den einfachen algebraischen Beziehungs-

187

XXIII Seite formen riicksichtlich einer reellen u n d einer imaginären unendlichen R e i h e Artikel

III.

"

Von

den

einfachen

algebraischen

190 Bezie-

hungsformen rücksichtlich positiv-werdender unendlichen Reihen

191

A r t i k e l IV. Von den einfachen algebraischen B e z i e h u n g s formen rücksichtlich einer positiv- und einer negativ-werdenden unendlichen R e i h e Artikel

V.

Von

den

193

einfachen

algebraischen

Bezie-

hungsformen rücksichtlich n e g a t i v - w e r d e n d e r unendlichen Reihen

195

A r t i k e l VI.

Von den einfachen algebraischen B e z i e h u n g s -

f o n n e n rücksichtlich einer e n d l i c h - b l e i b e n d e n u n d einer u n e n d l i c h - w e r d e n d e n unendlichen R e i h e Artikel

VII.

Von

den

einfachen

algebraischen

198 Bezie-

.hungsformen rücksichtlich einer e n d l i c h - b l e i b e n d e n u n d einer unendlich klein-werdenden unendlichen R e i h e . Artikel

VIII.

Von

den einfachen algebraischen

hungsformen rüsksichtlich

.

unendlich-werdender

unend-

einfachen algebraischen

Bezie-

lichen Reihen Artikel

IX.

219

Bezie233

Von

den

hungsformen rücksichtlich unendlich klein-werdender unendlichen Reihen

240

A r t i k e l X. Von den einfachen algebraischen Beziehungsformen riicksichtlich einer u n e n d l i c h - und einer u n e n d lich k l e i n - w e r d e n d e n unendlichen R e i h e

246

A r t i k e l X I . Von den einfachen algebraischen B e z i e h u n Ds s o formen rücksichtlich einer endlich-bleibenden unendlichen G r ö f s e n r e i h e mit einer angebbaren G r e n z e und einer u n endlich klein - werdenden Artikel

XII.

Von

den einfachen algebraischen

254 Bezie-

hüngsformen rücksichtlich unendlicher Gröfsenreihen mit angebbaren G r e n z e n A r t i k e l XIII.

Schlufsbemerkungen

259 274

XXIV

V i e r t e s

K a p i t e l . Seite

V o n den a l l g e m e i n e n

Gliedern und d e n G r e n z e n

der vollständig b e s t i m m t e n unendlichen R e i h e n . T r a n s c e n d e n t e Grundbestimmungsform der A n a lysis

276

Erster Abschnitt.

Von den allgemeinen Gliedern der un-

endlichen Reihen

276

A r t i k e l I.

276

Allgemeine Bestimmungen

A r t i k e l II. Verbindung dieser Bestimmungen mit vorhergehenden Lehrsätzen. Zweiter Abschnitt.

.

.

285

Von den Grenzen der rollständig be-

stimmten unendlichen Reihen

300

A r t i k e l I.

Allgemeine Bestimmungen

300

A r t i k e l II.

Verbindung dieser Bestimmungen mit vorher-

gehenden Lehrsätzen

326

A r t i k e l III.

Besondere Erörterungen

352

A r t i k e l IV.

Schlufsbemerkungen

404

Dritter Abschnitt.

Von der trnnscendenten Grundbestim-

mungsform der Analysis und den einfachen Transcendenten überhaupt

409

A r t i k e l I.

Allgemeine Bestimmungen

409

Artikeln.

Schlufsbemerkungen

417

F ü n f t e s

K a p i t e l .

V o n den c o n v e r g i r e n d e n unendlichen Reihen. . Erster Abschnitt.

Von den convergirendea unendlichen Rei-

hen überhaupt und deren gegenseitigen Beziehungen. , Zweiter Abschnitt.

420

.

.

420

Lehrsatze in Betreff der hinreichenden

Bedingungen der Convergenz und der Divergenz uneridlicher Reihen Dritter Abschnitt.

455 Besondere Erörterungen,

524

XXV

S e c h s t e s

K a p i t e l .

Seit«

Von einigen expliciten einfachen Transcendenten.

624

E r s t e r A b s c h n i t t . Von der hyperbolischen Exponentialgröfse.

624

Zweiter Abschnitt.

645

A r t i k e l I. A r t i k e l II.

Von dem Sinus und dem Cosinus.

.

Von dem Sinus

645

Von dem Cosinus

652

A r t i k e l III. Beziehungen zwischen der hyperbolischen Exponentialgrüfse, dem Sinus und dem Cosinus. . . . A r t i k e l IV.

661

Von der Gröfse n und der hyperbolischen

Exponentialgröfse, dem Sinus nebst dem Cosinus, insofern die Argumente derselben durch n bestimmt werden.

676

D r i t t e r A b s c h n i t t . Von den Argumenten der hyperbolischen Exponentialgröfse, des Sinus und des Cosinus, insofern diese selbst als bestimmend angesehen werden

711

S i e b e n t e s

Kapitel.

Von einigen expliciten zusammengesetzten Transcendenten 748 E r s t e r Abschnitt.

Von dein hyperbolischen Logarithmus. .

748

Zweiter Abschnitt.

Von dem Arcus-Sinus

765

Dritter Abschnitt.

Von dem Arcus-Cosinus

776

Vierter Abschnitt.

Von der Tangente

783

F ü n f t e r Abschnitt.

Von dem Arcus-Tangens o S e c h s t e r A b s c h n i t t . Von der Cotangente S i e b e n t e r Abschnitt. Achter Abschnitt.

803 815

Von dem Arcus-Cotangens.

Von der

.

.

.

Gleichung u > ' = a + 6 i und

den Potenzen negativer, oder imaginärer Wurzeln A r t i k e l I.

822

1

827

Von der Gleichung t o n = « + bi

827

A r t i k e l II. Von den Potenzen negativer, oder imaginärer Wurzeln

834 **

XXVI

A c h t e s

K a i» i t e 1.

Erörterung einiger anderweitigen Beziehungen zwischen den bisher besprochenen Transcendenten. Erster Abschnitt. Zweiter Abschnitt. p=OD r

Vermittelang einiger Hülfssätze. . Von den Transcendenten «e'+'l f=ce r

und l - f

P

.

861 .

862

aV+'n

GrSf[pf{^)]

D r i t t e r A b s c h n i t t . Von den Transcendenten sin/

W

>

beziehungsweise in einer vollständig bestimmten Folge hervortretend, — und hiermit, Erkl. 1. zufolge, eine Gröfsen Progression, gewinnen läfst, deren Glieder in Ansehung ihrer Werlhe, allgemein gesprochen, anders ausfallen werden, jenachdem, aufser den angenommenen Gröfsen, die Form anders gewählt wird, durch welche sie beziehungsweise durch diese bestimmt gedacht werden. Jene Gröfsen nebst der Beslimmungsform für jedes Glied als vollständig bestimmt vorausgesetzt, wird die so erzeugte, oder als erzeugt gedachte Progression in Bezug auf den Werth des Gliedes eines jeden vollständig bestimmten Index ebenfalls vollständig bestimmt sein, uud lediglich noch in Ansehung der Anzahl der in ihr enthaltenen Glieder, welche offenbar durch den Index des Gliedes, bis welches cinschliefslich die Fortsetzung jenes Denkactes sich erstrecken soll, vollständig bestimmt wird, verschieden gedacht werden können. — Die folgenden Beispiele mögen zur Verdeutlichung dieser Methode der Erzeugung von Progressionen dienen. B e i s p i e l 1. Es bezeichnen a und 8 die angenommenen algebraischen Gröfsen, und es besiehe jene Bestimmungsweise darin, dafs von der zu erzeugenden Progression das Glied vom Index 0 gleich der Summe beider, und jedes folgende Glied gleich der Summe des unmittelbar vorhergehenden und der Gröfse 8 sein solle. Alsdann ist «o =

at = «„+