Numerische Strömungsberechnung: Schneller Einstieg in ANSYS-CFX durch einfache Beispiele [5. Auflage] 3658424052, 9783658424053, 9783658424060

Table of contents :
Vorwort
Symbolverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1: Einführung
1.1 Ziel dieses Buchs
1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung
1.3 Aufbau des Buchs
2: Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik
2.1 Ziel dieses Kapitels
2.2 Herleitung der Erhaltungsgleichungen
2.2.1 Massenerhaltungsgleichung
2.2.2 Impulserhaltungsgleichungen
2.2.3 Energieerhaltungsgleichung
2.3 Navier-Stokes-Gleichungen
2.3.1 Vollständige Navier-Stokes-Gleichungen
2.3.2 Zusätzlich benötigte Gleichungen und Größen
2.3.3 Randbedingungen
2.3.4 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen
2.3.5 Turbulenzmodelle
2.4 Vereinfachungsmöglichkeiten
2.4.1 Einführung
2.4.2 Thin-Layer-Navier-Stokes-Gleichungen
2.4.3 Euler-Gleichungen
2.4.4 Grenzschicht-Gleichungen
2.4.5 Potentialgleichung
3: Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen
3.1 Ziel dieses Kapitels
3.2 Was bedeutet Diskretisierung?
3.3 Räumliche Diskretisierung
3.3.1 Diskretisierung der 1. Ableitungen
3.3.2 Diskretisierung der 2. Ableitungen
3.4 Zeitliche Diskretisierung
3.4.1 Zeitasymptotische bzw. stationäre Lösungen
3.4.2 Zeitgenaue bzw. instationäre Lösungen
3.5 Differenzengleichungen
3.5.1 Herleitung
3.5.2 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
3.5.3 Additive numerische Viskosität
3.5.4 Upwind-Diskretisierung
3.5.5 Explizite und implizite Diskretisierung
3.5.6 Zusammenfassung
4: Rechennetze
4.1 Ziel dieses Kapitels
4.2 Übersicht
4.3 Strukturierte Rechennetze
4.3.1 Kartesische Rechennetze
4.3.2 Schiefwinklige Rechennetze
4.3.3 Die Koordinatentransformation in schiefwinklige Koordinaten
4.3.4 Blockstrukturierte Rechennetze
4.4 Unstrukturierte Rechennetze
4.5 Rechennetzadaption
4.5.1 Die Netzverdichtung
4.5.2 Adaptive Rechennetze
5: Lösungsverfahren
5.1 Ziel dieses Kapitels
5.2 Übersicht
5.3 Zentrale Verfahren
5.3.1 Übersicht
5.3.2 Lax-Wendroff-Verfahren
5.3.3 Runge-Kutta-Mehrschritt-Verfahren
5.3.4 ADI-Verfahren
5.4 Upwind-Verfahren
5.4.1 Übersicht
5.4.2 Flux-Vector-Splitting-Verfahren
5.4.3 Flux-Difference-Splitting-Verfahren
5.4.4 Zusammenfassung
5.5 High-Resolution-Verfahren
5.5.1 Übersicht
5.5.2 Monotonie-, TVD- und Entropiebedingung
5.5.3 Limiter-Funktionen
5.5.4 Zusammenfassung
5.6 Vergleich der Verfahren
5.6.1 Stationäre Strömung durch eine divergente Düse
5.6.2 Instationäre Strömung in einem Stoßwellenrohr
6: Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung
6.1 Ziel dieses Kapitels
6.2 Übersicht
6.3 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)
6.4 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)
6.5 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)
6.6 Strömungsberechnung (Lösung)
6.7 Auswertung (Ergebnisse)
6.8 Validierung
6.9 Einführung in die Übungsbeispiele
6.10 Die Arbeitsumgebung Ansys-Workbench
7: Übungsbeispiel Tragflügelumströmung
7.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)
7.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)
7.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes
7.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes am Profil
7.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen
7.2.4 Beenden des Programms Meshing
7.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)
7.3.1 Starten des Programms CFX-Pre
7.3.2 Definition der Rechenparameter
7.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen
7.3.4 Beenden der Programms CFX-Pre
7.4 Berechnung der Strömung (Lösung)
7.4.1 Starten des Programms CFX-Solver
7.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens
7.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver
7.5 Auswertung (Ergebnisse)
7.5.1 Starten des Programms CFD-Post
7.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern
7.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern
7.5.4 Erzeugung von Stromlinien-Bildern
7.5.5 Erzeugung von Diagrammen
7.5.6 Berechnung von Integralwerten
7.5.7 Erstellung eines Berichtes
7.5.8 Beenden des Programms CFD-Post
8: Übungsbeispiel Rohrinnenströmung
8.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)
8.1.1 Importieren der CAD-Datei
8.1.2 Erzeugung des Rechengebiets mit dem Programm DesignModeler
8.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)
8.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes
8.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes an den Rohrwänden
8.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen
8.2.4 Beenden des Programms Meshing
8.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)
8.3.1 Starten des Programms CFX-Pre
8.3.2 Definition der Rechenparameter
8.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen
8.3.4 Beenden des Programms CFX-Pre
8.4 Berechnung der Strömung (Lösung)
8.4.1 Starten des Programms CFX-Solver
8.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens
8.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver
8.5 Auswertung (Ergebnisse)
8.5.1 Starten des Programms CFD-Post
8.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern
8.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern
8.5.4 Erzeugung von Stromlinien-Bildern
8.5.5 Beenden des Programms CFD-Post
9: Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager
9.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)
9.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)
9.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes
9.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes an den Rohrwänden
9.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen
9.2.4 Beenden des Programms Meshing
9.3 Vorbereitung der Rechnung (Setup)
9.3.1 Starten des Programms CFX-Pre
9.3.2 Definition der Rechenparameter
9.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen
9.3.4 Beenden des Programms CFX-Pre
9.4 Berechnung der Strömung (Lösung)
9.4.1 Starten des Programms CFX-Solver
9.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens
9.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver
9.5 Auswertung (Ergebnisse)
9.5.1 Starten des Programms CFD-Post
9.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern
9.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern
9.5.4 Erzeugung von Diagrammen
10: Beispiel Parametervariation
10.1 Definition der Eingabeparameter
10.2 Definition der Ausgabeparameter
10.3 Parametersatz
10.4 Vergleich der Ergebnisse zur Validierung
11: Antworten zur Zielkontrolle
11.1 Kap. 2 Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik
11.2 Kap. 3 Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen
11.3 Kap. 4 Rechennetze
11.4 Kap. 5 Lösungsverfahren
11.5 Kap. 6 Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung
Literatur
Stichwortverzeichnis

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Stefan Lecheler

Numerische Strömungsberechnung Schneller Einstieg in ANSYS-CFX durch einfache Beispiele 5. Auflage

Numerische Strömungsberechnung

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Stefan Lecheler

Numerische Strömungsberechnung Schneller Einstieg in ANSYS-CFX durch einfache Beispiele 5. Auflage

Stefan Lecheler Fakultät Maschinenbau Universität der Bundeswehr München Neubiberg, Deutschland

ISBN 978-3-658-42405-3    ISBN 978-3-658-42406-0 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0  

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über https://portal.dnb.de abrufbar. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2009, 2011, 2014, 2018, 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Eric Blaschke Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Das Papier dieses Produkts ist recyclebar.

Vorwort

Inzwischen haben die kommerziellen Strömungsberechnungsprogramme wie zum Beispiel CFX, FLUENT und STAR-CD einen so hohen Entwicklungsstand hinsichtlich Flexibilität, Genauigkeit und Effizienz erreicht, dass sie für sehr viele Strömungsprobleme bei industriellen Anwendungen eingesetzt werden. Ohne sie wäre eine effiziente Entwicklung zum Beispiel neuer Fahrzeuge, Flugzeuge, Motoren und Turbinen nicht mehr möglich. Aus diesem Grund müssen die Entwicklungsingenieurinnen und -ingenieure heutzutage die Anwendung von CFD-Programmen (Computational Fluid Dynamics) beherrschen. Da schon kleine Eingabefehler große Auswirkungen auf das Rechenergebnis haben können, sind diese auf jeden Fall zu vermeiden. Hierzu möchte dieses Buch beitragen und neben den wichtigsten theoretischen Grundlagen vor allem zahlreiche praxisrelevante Tipps und Erfahrungen vermitteln. Dieses Buch entstand aus der Vorlesung Numerische Strömungsberechnung, welche im Masterstudiengang Computer Aided Engineering an der Universität der Bundeswehr München angeboten wird. Hier lernen die Studierenden anhand von praktischen Übungen mit einem kommerziellen Strömungsberechnungs-Programm wie dieses zu bedienen ist, welche Theorie dahintersteckt und wie die Ergebnisse zu interpretieren sind. Ihre Anregungen flossen in das Buch mit ein. So wurde zum Beispiel auf komplizierte Mathematik soweit möglich verzichtet und viel Wert auf Anschaulichkeit und Verständlichkeit gelegt. Danken möchte ich an dieser Stelle allen Betreuern, Kolleginnen und Kollegen, die mich bei meinen Arbeiten auf dem Gebiet der numerische Strömungsberechnung unterstützt haben am Institut für Raumfahrtsysteme der Universität Stuttgart, am von Karman Institute in Brüssel, im Labor Thermische Maschinen bei ABB Turbo Systems in Baden/ Schweiz, in der Gasturbinenentwicklung bei ALSTOM Baden/Schweiz und an der Universität der Bundeswehr München. Ich freue mich sehr, dass nun die fünfte Auflage erscheinen kann. In ihr wurden ein paar Korrekturen durchgeführt und die drei Übungsbeispiele an die neueste Version Ansys2022R2 angepasst. Die CAD-Eingabedateien stehen im Internet auf der Internetseite der UniBw München unter www.unibw.de/mb/institute/we5/we51/downloads/downloads-­ start zur Verfügung. Zudem wurde die Parametervariation in Kap. 10 an einem neuen Beispiel Messblende anschaulicher beschrieben. Aus Gründen der besseren L ­ esbarkeit wird V

VI

Vorwort

auf eine geschlechtsneutrale Differenzierung verzichtet. Es werden jedoch stets und ausdrücklich alle Geschlechter angesprochen. In der neuen Ausgabe sind auch sog. Flashcards verfügbar. Dies sind Fragen zum Stoff der jeweiligen Kapitel, die zur Selbstkontrolle als Multiple-Choice-Test beantwortet werden können. Die Fragen hierfür wurden für Online-Lerneinheiten der Virtuellen Hochschule Bayern im Programm SMART-vhb erstellt. Für die Freigabe bedanke ich mich beim SMART-vhb-Team recht herzlich. Bedanken möchte ich mich auch bei den Firmen Ansys und ISimQ für die Bereitstellung von Beispielbildern, die die Leistungsfähigkeit moderner Strömungsberechnungsprogramme zeigen. Ebenso danke ich Herrn Blascke und dem Lektorat Maschinenbau des Springer Vieweg Verlags für die gute Unterstützung. Bad Tölz, Deutschland Juni 2023

Stefan Lecheler

Symbolverzeichnis

Symbol A a a CFL cv cp dx,dy,dz

Einheit m2 m/s2 m/s – J/kg/K J/kg/K M J/s

Bezeichnung Fläche, Oberfläche Beschleunigung Schallgeschwindigkeit Courant-Friedrichs-Levy-Zahl Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck Seitenflächen des Volumenelements dV Energiestrom

J/kg m2/s3 N – –

Spezifische innere Energie Turbulente Dissipation Kraft Flussvektoren in kartesischen Koordinaten Flussvektoren in krummlinigen Koordinaten

m/s2 J/kg – N/s

Erdbeschleunigung Spezifische Enthalpie Einheitsmatrix Impulsstrom

– m2/s2 W/m/K – kg kg/s

Netzpunktindex in die 3 Raumrichtungen Turbulente kinetische Energie Wärmeleitkoeffizient Machzahl Masse Massenstrom



– –

Numerische Randbedingungen Divergenz

n μ ω

– Pa s m2/s3

Normalenrichtung Dynamische Viskosität Turbulente Frequenz

E e ε F F,G,H

Fˆ , Gˆ , Hˆ g h I

I i,j,k k λ Ma m

m NRB 

VII

VIII Symbol PRB p ϕ Q

Symbolverzeichnis Einheit – Pa – – –

Bezeichnung Physikalische Randbedingungen Druck Potential Quellterm in kartesischen Koordinaten Quellterm in krummlinigen Koordinaten

Q

W

Wärmestrom

q

W/kg

Spezifischer Wärmestrom

R ρ S T t,τ U

J/kg/K kg/m3 J/K K s –

Uˆ

–

Gaskonstante Dichte Entropie Temperatur Zeit Erhaltungsvektor in kartesischen Koordinaten, auch allgemeine Strömungsgröße Erhaltungsvektor in krummlinigen Koordinaten

u,v,w V,dV

m/s m3 W

Geschwindigkeitskomponenten in x-, y-, z-Richtung Volumen, Volumenelement Leistung

m -

Kartesische Raumkoordinaten Krummlinige Raumkoordinaten Bezeichnung Raumrichtungen x-, y-, z-Richtung Zeitebene total Wand Positiver Eigenwert Negativer Eigenwert

Qˆ

W x,y,z ξ,η,ζ Index i,j,k x,y,z n t w + −

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung���������������������������������������������������������������������������������������������������������    1 1.1 Ziel dieses Buchs����������������������������������������������������������������������������������������    1 1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung������������������������������������    2 1.3 Aufbau des Buchs ��������������������������������������������������������������������������������������    9 2 Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik������������������������������������������   11 2.1 Ziel dieses Kapitels ������������������������������������������������������������������������������������   11 2.2 Herleitung der Erhaltungsgleichungen ������������������������������������������������������   12 2.3 Navier-Stokes-Gleichungen������������������������������������������������������������������������   22 2.4 Vereinfachungsmöglichkeiten��������������������������������������������������������������������   38 3 Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen����������������������������������������������������   45 3.1 Ziel dieses Kapitels ������������������������������������������������������������������������������������   45 3.2 Was bedeutet Diskretisierung?��������������������������������������������������������������������   46 3.3 Räumliche Diskretisierung��������������������������������������������������������������������������   48 3.4 Zeitliche Diskretisierung����������������������������������������������������������������������������   54 3.5 Differenzengleichungen������������������������������������������������������������������������������   56 4 Rechennetze��������������������������������������������������������������������������������������������������������   67 4.1 Ziel dieses Kapitels ������������������������������������������������������������������������������������   67 4.2 Übersicht ����������������������������������������������������������������������������������������������������   68 4.3 Strukturierte Rechennetze��������������������������������������������������������������������������   70 4.4 Unstrukturierte Rechennetze����������������������������������������������������������������������   79 4.5 Rechennetzadaption������������������������������������������������������������������������������������   81 5 Lösungsverfahren����������������������������������������������������������������������������������������������   85 5.1 Ziel dieses Kapitels ������������������������������������������������������������������������������������   85 5.2 Übersicht ����������������������������������������������������������������������������������������������������   86 5.3 Zentrale Verfahren��������������������������������������������������������������������������������������   87 5.4 Upwind-Verfahren��������������������������������������������������������������������������������������   90

IX

X

Inhaltsverzeichnis

5.5 High-Resolution-Verfahren ������������������������������������������������������������������������   96 5.6 Vergleich der Verfahren������������������������������������������������������������������������������  100 6 Ablauf  einer numerischen Strömungsberechnung ����������������������������������������  113 6.1 Ziel dieses Kapitels ������������������������������������������������������������������������������������  113 6.2 Übersicht ����������������������������������������������������������������������������������������������������  114 6.3 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)������������������������������������������������  115 6.4 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)����������������������������������������������������������  117 6.5 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)����������������������������������������  118 6.6 Strömungsberechnung (Lösung)����������������������������������������������������������������  119 6.7 Auswertung (Ergebnisse)����������������������������������������������������������������������������  119 6.8 Validierung��������������������������������������������������������������������������������������������������  120 6.9 Einführung in die Übungsbeispiele������������������������������������������������������������  121 6.10 Die Arbeitsumgebung Ansys-Workbench ��������������������������������������������������  124 7 Übungsbeispiel Tragflügelumströmung ����������������������������������������������������������  127 7.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)������������������������������������������������  127 7.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)����������������������������������������������������������  128 7.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)����������������������������������������  132 7.4 Berechnung der Strömung (Lösung)����������������������������������������������������������  143 7.5 Auswertung (Ergebnisse)����������������������������������������������������������������������������  146 8 Übungsbeispiel Rohrinnenströmung����������������������������������������������������������������  155 8.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)������������������������������������������������  155 8.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)����������������������������������������������������������  158 8.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)����������������������������������������  162 8.4 Berechnung der Strömung (Lösung)����������������������������������������������������������  166 8.5 Auswertung (Ergebnisse)����������������������������������������������������������������������������  168 9 Übungsbeispiel Doppelrohr-­Wärmeübertrager����������������������������������������������  173 9.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie)������������������������������������������������  173 9.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)����������������������������������������������������������  174 9.3 Vorbereitung der Rechnung (Setup)������������������������������������������������������������  179 9.4 Berechnung der Strömung (Lösung)����������������������������������������������������������  186 9.5 Auswertung (Ergebnisse)����������������������������������������������������������������������������  187 10 Beispiel Parametervariation������������������������������������������������������������������������������  193 10.1 Definition der Eingabeparameter��������������������������������������������������������������  193 10.2 Definition der Ausgabeparameter ������������������������������������������������������������  194 10.3 Parametersatz��������������������������������������������������������������������������������������������  195 10.4 Vergleich der Ergebnisse zur Validierung ������������������������������������������������  197

Inhaltsverzeichnis

XI

11 Antworten zur Zielkontrolle ����������������������������������������������������������������������������  199 11.1 Kap. 2 Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik��������������������������  199 11.2 Kap. 3 Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen����������������������������������  200 11.3 Kap. 4 Rechennetze����������������������������������������������������������������������������������  201 11.4 Kap. 5 Lösungsverfahren��������������������������������������������������������������������������  202 11.5 Kap. 6 Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung������������������������  203 Literatur����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  205 Stichwortverzeichnis��������������������������������������������������������������������������������������������������  207

1

Einführung

1.1 Ziel dieses Buchs Wenn Sie (noch) keine Ahnung von numerischer Strömungsberechnung haben, dann ist dieses Buch das Richtige für Sie. Es ist einfach und verständlich gehalten, zumindest aus Sicht des Autors. Es richtet sich an angehende Ingenieure des Maschinenbaus und ähnli­ cher Studienrichtungen, die bereits mit der Strömungsmechanik und Thermodynamik ver­ traut sind. Kenntnisse über numerische Lösungsverfahren und in Mathematik sind von Vor­ teil, aber nicht zwingend. Die Ziele in Einzelnen sind, dass Sie • ansatzweise verstehen, welche Theorie hinter CFD-Programmen (CFD = Computatio­ nal Fluid Dynamics = numerische Strömungsberechnung) steckt, • die wichtigsten Begriffe und Gleichungen aus dem CFD-Bereich kennen, • wissen, wie kommerzielle CFD-Programme wie z. B. Ansys-CFX funktionieren und sie auch bedienen können, • den Einsatzbereich, die kritischen Punkte und die Ergebnisse von CFD-Programmen beurteilen können. Dieses Buch zielt nicht darauf ab, dass Sie eigene CFD-Programme schreiben können. Dies ist bei der Anwendung kommerzieller CFD-Programme auch meistens nicht nötig. Falls Sie sich nach der Lektüre dieses Buches für weitere Details interessieren, stehen die Übersichtsliteratur [1] bis [5] und die Fachliteratur [6] bis [29] zur Verfügung.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_1

1

2

1 Einführung

Springer Nature Flashcards Als Käufer bzw. Käuferin dieses Buches können Sie kostenlos die Springer Nature Flash­ cards App mit Fragen zur Wissensüberprüfung und zum Lernen von Buchinhalten nutzen. Für die Nutzung folgen Sie bitte den folgenden Anweisungen: 1. Gehen Sie auf https://flashcards.springernature.com/login 2. Erstellen Sie ein Benutzerkonto, indem Sie Ihre E-Mailadresse angeben und ein Pass­ wort vergeben. 3. Verwenden Sie den folgenden Link, um Zugang zu Ihrem SN-Flashcards-Set zu erhal­ ten: ▸ https://sn.pub/ZcgNVQ Sollte der Link fehlen oder nicht funktionieren, senden Sie uns bitte eine E-Mail mit dem Betreff „SN Flashcards“ und dem Buchtitel an [email protected].

1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung Die Strömungsgleichungen (dies sind die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie, wie später gezeigt wird) haben nur für einfachste Anwendungen wie die ebene Platte oder die Zylinderumströmung theoretische Lösungen. Nur für diese Spezialfälle können die Drücke, Geschwindigkeiten und Temperaturen analytisch berechnet werden. Für reale Strömungsprobleme aus z. B. der Luft- und Raumfahrt, der Energietechnik, dem Automobilbau, der Waffentechnik, der Marinetechnik oder der Medizintechnik muss die Strömung entweder experimentell oder numerisch bestimmt werden (Abb. 1.1). Beim Experiment wird ein maßstäbliches Modell des zu untersuchenden Körpers in den Wind- oder Wasserkanal gestellt und die Drücke, Temperaturen, Geschwindigkeiten und Kräfte werden mittels Sonden erfasst. Experimente sind meistens aufwendig und teuer: • Die realen Mach- und Reynolds-Zahlen können oftmals nicht eingestellt werden, womit die Ähnlichkeit mit dem Original begrenzt ist. Zum Beispiel, lassen sich hohe Strömungsgeschwindigkeiten wie im Hyperschall nur mit großem Aufwand (durch Kryotechnik) oder kurzzeitig (im Stoßwellen-Windkanal) erzielen. • Strömungsdetails können oftmals nicht erfasst werden, wie z. B. die rotierende Innen­ strömung in Turbinen, da hier Sonden aus konstruktiven Gründen nur sehr aufwendig installiert werden können. Letztendlich verfälschen viele eingesetzten Sonden auch die zu messende Strömung. Die numerische Strömungsberechnung hilft hier, diese Nachteile zu überwinden. Durch die Entwicklung von leistungsfähigen Computern lassen sich die Strömungsgleichungen numerisch lösen und reale Probleme aus der Praxis können genau, schnell und kosten­ günstig berechnet werden. Gerade bei der Entwicklung neuer Produkte wie z. B. Flugzeu­ gen, Raketen, Automobilen und Turbinen müssen für die strömungstechnische Auslegung und Optimierung Hunderte von Varianten durchgerechnet werden, bis beispielsweise die Strömungsverluste minimal sind.

1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung

3

Abb. 1.1  Die drei Disziplinen der Strömungsmechanik Theorie

Experiment

Numerik

Abb. 1.2  Kryogene Ventileinspritzung in einen Kolben. [Mit freundlicher Genehmigung von Ansys]

Es muss allerdings darauf hingewiesen werden, dass die Genauigkeit des CFD-­Programms für den jeweiligen Anwendungsbereich immer zuerst anhand einer Validierung überprüft werden sollte. Validierung bedeutet, dass die Rechenergebnisse mit theoretischen und/oder experimentellen Ergebnissen für ähnliche Geometrien und Strömungen verglichen werden. Erst wenn die Übereinstimmung zufriedenstellend ausfällt, können CFD-Programme zuver­ lässig zur Auslegung und Optimierung neuer Geometrien angewendet werden. Die Abb. 1.2 bis 1.12 zeigen typische Beispiele für die Leistungsfähigkeit moderner CFD-Programme:

4

1 Einführung

• Die Berechnung der Strömung in einem zukünftigen Kolbenmotor, bei dem kryogener Wasserstoff in das Ventil einströmt, ist in Abb. 1.2 zu sehen. Dargestellt ist der Mas­ senanteil des Wasserstoffs bei einem Kurbelwinkel von 460°. • In Abb. 1.3 sind die berechneten Stromlinien um einen Formel 1 Rennwagen darge­ stellt. Die Strömung kommt gleichmäßig an, verwirbelt sich an den Rädern und löst vor allem hinter dem Heck des Rennwagens ab. • Inzwischen können moderne CFD-Programme auch die Lärmausbreitung aufgrund von Luftverwirbelungen vorhersagen. Abb.  1.4 zeigt diese Verwirbelungen und die damit verbundene Lärmausbreitung um einen PKW. • Abb. 1.5 zeigt die Ergebnisse einer Strömungsberechnung um einen Flugzeugtragflügel mit ausgefahrenen Landeklappen. Neben den Stromlinien ist hier auch die Turbulenz­ intensität auf der Oberfläche dargestellt. Der Farbwechsel zeigt den Bereich der Tran­ sition von laminarer zu turbulenter Strömung. • Abb. 1.6 zeigt das Ergebnis einer Fluid-Struktur-Interaktions-Rechnung um eine Was­ serturbine. Dargestellt sind neben den Stromlinien um die Schaufeln auch die Spannun­ gen in den Rotorblättern.

Abb. 1.3  Strömung um einen Formel 1 Rennwagen. [Mit freundlicher Genehmigung von Ansys und BMW Sauber F1 Team]

1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung

5

Abb. 1.4  Luftverwirbelungen und aeroakustische Lärmausbreitung um einen Pkw. [Mit freundli­ cher Genehmigung von Ansys und FCA Italien]

Abb. 1.5  Strömung um einen Flugzeugtragflügel mit ausgefahrenen Landeklappen. [Mit freundli­ cher Genehmigung von Ansys]

6

1 Einführung

Abb. 1.6  Strömung und Schaufelbelastung an einer Wasserturbine [mit freundlicher Genehmigung der Universität von Cardiff (CMERG), dem Low Carbon Research Institute (LCRI) und dem Super­ Gen Centre for Marine Energy Research (UKCMER)]

Abb.  1.7  Machzahlverteilung auf den Schaufeln eines transsonischen Axialverdichters. [Mit freundlicher Genehmigung von ALSTOM]

• In Abb. 1.7 ist die Machzahlverteilung auf den Schaufeln eines fünfstufigen transsoni­ schen Axialverdichters dargestellt. Auch hier zeigen die roten Gebiete auf den ­Saugseiten des ersten und zweiten Laufrads eine Überschallströmung, die mit einem schwachen Verdichtungsstoß endet.

1.2 Aufgaben der numerischen Strömungsberechnung

7

• In Abb. 1.8 sind die Druckverteilungen und die Stromlinien in einem Radialverdichter zu sehen. Bei diesen Berechnungen wurde der Einfluss des Ausströmdiffusors auf das Druckverhältnis und den Wirkungsgrad untersucht. • Auch im Bereich des Sports werden CFD-Rechnungen zur Reduzierung des Wider­ stands eingesetzt. Abb. 1.9 zeigt die Druckverteilung an einem Rennrad. • Abb. 1.10 zeigt die Stromlinien im Wasser bei der Umströmung eines Schwimmers. Hierdurch kann die Form des Badeanzuges strömungstechnisch optimiert werden. • Auch zur Berechnung der Strömung in und um komplexe Gebäude werden CFD-­ Verfahren eingesetzt. Abb.  1.11 zeigt die Stromlinien um das Amsterdamer Fuß­ ballstadion.

Abb. 1.8  Druckverteilung und Stromlinien in einem Radialverdichter. [Mit freundlicher Genehmi­ gung von ISimQ und PCA Engineering]

Abb. 1.9 Druckverteilung eines Rennrads. [Mit freundlicher Genehmigung von Ansys]

8

1 Einführung

Abb. 1.10  Strömung um einen Schwimmer mit Schwimmanzug. [Mit freundlicher Genehmigung von Speedo und Ansys]

Abb. 1.11  Strömung um das Fußballstadion Amsterdam Arena [mit freundlicher Genehmigung von Twan van Hoof und Bert Blocken, Technische Universität Eindhoven]

1.3 Aufbau des Buchs

9

Abb. 1.12  Strömung um das Logo der Universität der Bundeswehr München. [Mit freundlicher Genehmigung der UniBw München]

• Abb. 1.12 trägt den Titel „Athene im Sommerwind“. Für eine Weihnachtskarte wurde die Strömung um das ehemalige Logo der Universität der Bundeswehr berechnet. Es zeigt die Geschwindigkeitsvektoren bei einer Anströmung von 50 m/s. Strömungstech­ nisch könnte es sicherlich noch optimiert werden☺.

1.3 Aufbau des Buchs In Kap. 2 werden die Strömungsgleichungen vorgestellt. Dies sind die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie, wie sie aus den Vorlesungen für Strömungs­ mechanik und Thermodynamik bekannt sind. Neben den Navier-Stokes-Gleichungen, die alle physikalisch relevanten Effekte beinhalten, werden auch übliche Vereinfachungsmöglichkeiten vorgestellt. Diese benötigen kürzere Rechenzeiten bei oftmals ausreichen­ der Genauigkeit. Kap. 3 befasst sich mit der Diskretisierung der in Kap. 2 vorgestellten Differenzial­ gleichungen. Dies beinhaltet die Bildung der räumlichen und der zeitlichen Differenzen, ihre Genauigkeitsordnung und ihren Einfluss auf die Stabilität. In Kap. 4 werden die unterschiedlichen Arten von Rechennetzen und deren Vor- und Nachteile behandelt. Dies beinhaltet zum einen die strukturierten Rechennetze in Form von rechtwinkligen, schiefwinkligen und blockstrukturierten Netzen. Zum anderen wer­ den auch unstrukturierte und adaptive Rechennetze vorgestellt.

10

1 Einführung

Kap. 5 befasst sich mit den Lösungsverfahren der in Kap. 2 bzw. 3 vorgestellten Glei­ chungssysteme. Neben den klassischen zentralen Verfahren werden auch die modernen Lösungs-Algorithmen der Upwind- und High-Resolution-Verfahren vorgestellt, mit ­denen die Strömungsgrößen auf den Rechennetzpunkten genau, schnell und robust be­ rechnet werden können. In Kap. 6 wird der typische Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung von der Geometrieerzeugung bis zur Auswertung und Validierung exemplarisch dargestellt. Der Neueinsteiger in die numerische Strömungsberechnung bekommt hier zahlreiche Tipps aus der Praxis. In den Kap. 7, 8 und 9 werden drei einfache Anwendungsbeispiele für den typischen Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung mit Ansys-CFX vorgestellt. Dabei han­ delt es sich in Kap. 7 um die Umströmung eines Tragflügelschnitts, in Kap. 8 um die In­ nenströmung in einem Rohr mit zusätzlichem seitlichem Einlauf und in Kap. 9 um den Wärmedurchgang von einem warmen an ein kaltes Fluid in einem Doppelrohr-­ Wärmeübertrager. Die CAD-Dateien für die drei Übungsbeispiele können von der Homepage des Labors für Thermodynamik der Fakultät für Maschinenbau der Univer­ sität der Bundeswehr München unter www.unibw.de/mb/institute/we5/we51/downloads/ downloads-­start herunterladen werden. Zu Beginn jedes Kapitels sind Ziele in Form von Fragen formuliert. Diese Fragen soll­ ten Sie nach der Lektüre des Kapitels beantworten können. Die richtigen Antworten kön­ nen weiterhin von der Homepage des Labors für Thermodynamik heruntergeladen wer­ den. Sie stehen jetzt aber auch zusätzlich am Ende des Buchs. Für Rückmeldungen und Fragen können Sie sich auch gerne direkt per E-Mail an mich wenden unter [email protected].

2

Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

2.1 Ziel dieses Kapitels An den Anfang meiner Promotion kann ich mich noch gut erinnern. Ich übernahm von einem Mathematiker ein Computerprogramm zur Strömungsberechnung in Turbomaschinen. Während seine Beschreibung der Theorie praktisch nur eine Gleichung enthielt, war das dazugehörige Computerprogramm sehr umfangreich. Wie passte das zusammen? Nun, Mathematiker versuchen meistens alles zu verallgemeinern und kurz und prägnant in eine Formel zu packen. Die sieht elegant aus, aber einem Ingenieur wird sich ihre Bedeutung in den meisten Fällen verschließen, da ihm die mathematischen Spezialkenntnisse der Vektor- und Tensorrechnung nicht so geläufig sind. Nach einigen Tagen und vielen Seiten Papier hatte ich diese eine Gleichung so umgewandelt, dass ich sie verstand. Meine Gleichungen waren zwar länger, aber für einen Ingenieur verständlicher. In diesem Kapitel wird deshalb versucht, die der Strömungsmechanik zugrunde liegenden Gleichungen möglichst einfach darzustellen. Folgende Fragen sollten Sie anschließend beantworten können: 1. Welche fünf Größen bleiben bei der Strömungsberechnung erhalten? 2. Was ist der Unterschied zwischen der Integral- und der Differentialform? 3. Wie kommt man auf die Massenerhaltungsgleichung? 4. Aus welcher Gleichung lassen sich die Impulserhaltungsgleichungen herleiten? 5. Aus welcher Gleichung lässt sich die Energieerhaltungsgleichung herleiten? 6. Wie lautet die vektorielle Form der Navier-Stokes-Gleichungen mit Erhaltungsvektor, Flussterm und Quellterm? 7. Welche Gleichungen braucht man noch um die Strömung berechnen zu können? 8. Was ist der Unterschied zwischen physikalischen und numerischen Randbedingungen?

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_2

11

12

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

9. Wie viele Randbedingungen muss man vorgeben an einem Unterschall-Zuströmrand, an einem Überschall-Abströmrand und am Festkörperrand? 10. Was ist der Unterschied zwischen den vollständigen und den Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen 11. Warum sind für letztere Turbulenzmodelle nötig? 12. Was wird bei den Thin-Layer Navier-Stokes-Gleichungen vernachlässigt? 13. Welche Terme werden bei den Euler-Gleichungen vernachlässigt? Für welche Re-­ Zahlen gelten sie deshalb nur? 14. Welche Vereinfachungen führen zur Potentialgleichung? 15. Welche Gleichungen benötigt man zur Berechnung der Polare (Auftriebs- und Widerstandsbeiwert über dem Anstellwinkel) eines Tragflügelprofils? 16. Sie wollen die Stoßlage um ein Hyperschallflugzeug abschätzen. Welche Gleichungen würden ausreichen?

2.2 Herleitung der Erhaltungsgleichungen Bedeuten Erhaltungsgleichungen, dass sie uns ein ganzes Leben lang erhalten bleiben? Zumindest für einen Strömungsberechnungs-Ingenieur stimmt dies. Der Name kommt aber natürlich von der Erhaltung bestimmter physikalischer Größen wie Masse, Impuls und Energie. Hieraus ergeben sich die fünf Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik: • • • • •

Massenerhaltung Impulserhaltung in x-Richtung Impulserhaltung in y-Richtung Impulserhaltung in z-Richtung Energieerhaltung

Allen modernen CFD-Programmen ist gemeinsam, dass sie diese fünf Erhaltungsgleichungen lösen, um die Strömung von Gasen oder Flüssigkeiten zu berechnen. Die Erhaltungsgleichungen lassen sich auf zwei unterschiedliche Arten angeben, in Integral- und in Differentialform. Tab. 2.1 zeigt die wichtigsten Unterschiede. Beide Formulierungen können ineinander überführt werden. In der Regel wird in modernen CFD-Programmen die Integralform bzw. die Finite-Volumen-Diskretisierung verwendet. Sie kann Verdichtungsstöße besser erfassen, da sie Unstetigkeiten innerhalb des Kontrollvolumens V zulässt, während die Differentialform bzw. die Finite-­Differenzen-­ Diskretisierung voraussetzt, dass die Strömungsgrößen im Volumenelement V differenzierbar, d. h. stetig sind. Dies ist bei Verdichtungsstößen aber nicht der Fall. Dagegen ist die Differentialform mathematisch anschaulicher, da sie Differentiale verwendet. Deshalb werden die Erhaltungsgleichungen der Einfachheit halber in Differentialform aufgestellt und die Integralform wird nur zum Vergleich angegeben.

2.2  Herleitung der Erhaltungsgleichungen

13

Tab. 2.1  Gegenüberstellung der Integral- und Differentialform der Erhaltungsgleichungen Fluid strömt durch

Integralform ein endliches Kontrollvolumen V

Differentialform ein infinitesimal kleines Volumenelement V

Kontrolloberfläche A

Kontrollvolumen V Volumenelement V Erhaltungsgleichungen Diskretisierung

in Integralform

in Differentialform

als Finite-Volumen-Verfahren (FV)

Vorteile

Physikalisch anschaulicher: Zeitliche Änderung der Strömungsgröße im Inneren des Kontrollvolumens V entspricht der Änderung der Flüsse durch die Kontrolloberfläche A. Ist bei unstetigen Verläufen wie bei Verdichtungsstößen genauer. Mathematisch komplexer, da Integrale auftauchen.

als Finite-Differenzen-­ Verfahren (FD) Mathematisch anschaulicher, da keine Integrale auftauchen.

Nachteile

Physikalisch unanschaulicher, da Volumen gegen Null geht.

2.2.1 Massenerhaltungsgleichung Abb.  2.1 zeigt ein kartesisches Koordinatensystem x,y,z mit dem raumfesten Volumenelement V = dx · dy · dz. Die Strömung wird beschrieben durch die Dichte des Fluides ρ = f(x, y, z, t) als Funktion der drei Raumkoordinaten x, y, z und der Zeit t, den Strömungsgeschwindigkeiten u, v, w  =  f(x, y, z, t)  in x-, y- und z-Richtung und der Masse m = ρ · V = ρ · dx · dy · dz im Inneren des Volumenelementes V. Für dieses raumfeste Volumenelement wird nun die Massenbilanz aufgestellt: • Im raumfesten Volumenelement V entspricht die zeitliche Änderung der Masse der par   tiellen Ableitung nach der Zeit  m      V      dx  dy  dz  . t t t • Der in x-Richtung durch die Fläche Ax  =  dy  ·  dz eintretende Massenstrom ist    (ρ · u) · dy · dz und der austretende Massenstrom ist    u      u   dx   dy  dz . x   • Der in y-Richtung durch die Fläche Ay  =  dx  ·  dz eintretende Massenstrom ist   ∂ (ρ · v) · dx · dz und der austretende Massenstrom ist ( ρ ⋅ v ) + ( ρ ⋅ v ) ⋅ dy  ⋅ dx ⋅ dz . ∂y   • Der in z-Richtung durch die Fläche Az  =  dx  ·  dy eintretende Massenstrom ist    (ρ · w) · dx · dy und der austretende Massenstrom ist    w      w   dz   dx  dy . z   Für die Massenbilanz gilt dann

14

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

y

dz

z

V

dy dx

x

Abb. 2.1  Infinitesimal kleines, raumfestes Volumenelement mit den Massenströmen



∂ ∂ ( ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ) + ( ρ ⋅ u ) + ( ρ ⋅ u ) ⋅ dx  ⋅ dy ⋅ dz − ρ ⋅ u ⋅ dy ⋅ dz ∂t ∂x     ∂ + ( ρ ⋅ v ) + ( ρ ⋅ v ) ⋅ dy  ⋅ dx ⋅ dz − ρ ⋅ v ⋅ dx ⋅ dz ∂ y   ∂   + ( ρ ⋅ w ) + ( ρ ⋅ w ) ⋅ dz  ⋅ dx ⋅ dy − ρ ⋅ w ⋅ dx ⋅ dy = 0 ∂z  

und nach Kürzung der (ρ · u), (ρ · v), (ρ · w)-Terme und Division durch dx · dy · dz ergibt sich die konservative Form der Massenerhaltungsgleichung in Differentialform in kartesischen Koordinaten



           u     v     w  0 t x y z

(2.1)

Sie bedeutet: Die Änderung der Dichte ρ mit der Zeit im Volumenelement plus die Änderung des Massenstroms ρ · u in x-Richtung plus die Änderung des Massenstroms ρ · v in y-Richtung plus die Änderung des Massenstroms ρ · w in z-Richtung sind Null. Zum Vergleich wird noch die Massenerhaltungsgleichung in Integralform für die Finite-Volumen-Diskretisierung angegeben:



∂  ρ ⋅ dV + ∫∫ ρ ⋅ u ⋅ dS = 0 ∫∫∫ V S ∂t



(2.2)

2.2  Herleitung der Erhaltungsgleichungen

15

Sie bedeutet: Die Änderung der Dichte ρ mit der Zeit im Kontrollvolumen Vplus die Än derung des Massenstroms   u über die Oberfläche S des Kontrollvolumens ist Null. Die Gl. 2.1 und 2.2 beinhalten dieselbe Physik. Dies wird anschaulicher, wenn man Gl. 2.1 als Massenerhaltungsgleichung in Divergenzform anschreibt



           u   0 t

(2.3)

     mit der Divergenz      u      u      v      w  in kartesischen Kox y  z ordinaten und dem Geschwindigkeitsvektor u  u  i  v  j  w  k in die drei Raumrichtungen i, j, k.

2.2.2 Impulserhaltungsgleichungen Die Impulserhaltung auf dem zweiten Gesetz von Newton: Kraft gleich Masse mal  basiert  Beschleunigung F  m  a . Die Kraft entspricht der zeitlichen Ableitung des Impulses   dI F= und die Beschleunigung kann durch die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit dt   du a= ausgedrückt werden. Für die drei Raumrichtungen ergibt sich dann dt

Fx  m  a x bzw. Fy  m  a y bzw. Fz  m  az bzw.

dI x du  m dt dt  dI y

(2.4)

dv dt 

(2.5)

dI z dw  m dt dt 

(2.6)

dt

 m

 Der Kraftvektor F (Abb. 2.2) beinhaltet sowohl Körperkräfte wie die Schwerkraft und die elektromagnetische Kraft als auchOberflächenkräfte wie die Druckkraft und die Rei­ bungskräfte. Letztere setzen sich wiederum aus der Normalspannungskraft, die das Teilchen in die Länge zieht und der Schubspannungskraft, die das Teilchen schert, zusammen. Abb. 2.3 zeigt ein kartesisches Koordinatensystem x, y, z mit einem diesmal mit der Strömung mitbewegtem infinitesimal kleinen Volumenelement V = dx · dy · dz und alle angreifenden Kraftkomponenten. Die Flächen sind wieder  Ax  =  dy  ·  dz,  Ay  =  dx  ·  dz und Az = dx · dy. Hierbei ist p = f(x, y, z, t) der Druck des Fluides und τ = f(x, y, z, t) ist die Spannung in x-Richtung. τxx ist die Normalspannung normal zur x=konstant-Fläche dy · dz, τyx ist die Schubspannung entlang der y=konstant-Fläche dx · dz und τzx ist die Schubspannung entlang der z=konstant-Fläche dx · dy.

16

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

F = m. a Körperkräfte Schwerkraft

Oberflächenkräfte

Elektromagnetische Kraft

Druckkraft

Reibungskräfte

Normalspannungskraft

Schubspannungskraft

Abb. 2.2  Zusammensetzung der Kraft für Fluide y

dz

V z

dy dx x

Abb. 2.3  Die Kräfte in x-Richtung an einem infinitesimal kleinen Volumenelement

Nachfolgend wird am Beispiel von Gl.  2.4 die Impulserhaltungsgleichung in x-­ Richtung für ein mitbewegtes Volumenelement in Differentialform aufgestellt und für die Kraft, die Masse und die Beschleunigung die jeweiligen ausführlicheren Terme eingesetzt. Die Kraft bzw. der Impulsstrom in x-Richtung ergibt sich somit zu Fx 

dI x      p    xx    yx    zx      gx   dx  dy  dz dt  x y z x 

(2.7)

Die Masse im Inneren des Volumenelementes V ist wie bei der Massenerhaltung wieder

m    V    dx  dy  dz (2.8)

2.2  Herleitung der Erhaltungsgleichungen

17

Die Beschleunigung ist die totale Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ax 

u u u du u  u  v  w x y z dt t

(2.9)

Werden die Gl. 2.7, 2.8 und 2.9 in 2.4 eingesetzt, so folgt     p  x  xx   y  yx   z  zx   x   ·g x   dx  dy  dz     Fx

 u u u u    dx  dy  dz    u   v   w       t z x y m  



ax



oder



   p u u u u  xx    yx    zx      gx   ·    u     v     w  x y z x t x z y

Diese Gleichung ist die so genannte nicht-konservative Form der x-Impulsgleichung, da die Terme ρ, ρ · u, ρ · v und ρ · w auf der rechten Seite vor den Ableitungen stehen. Diese nicht-konservative Form der Erhaltungsgleichung ist bei der späteren Diskretisierung ungenauer, da der Impuls nicht vollständig erhalten bleibt. Diesen Nachteil hat die konservative Form nicht. Bei ihr wird der Impuls auch nach der Diskretisierung komplett erhalten. Um auf die konservative Form zu kommen, wird die rechte Seite weiter umgeformt, so dass alle Größen unter den Ableitungen stehen. Werden die mathematischen Gesetzmäßigkeiten für die Umformung von Differentialen nach den nicht-konservativen Termen aufgelöst     u t





   u2

x

y     u  w



z

u   u     u  u u    t t t t t

    u  u  u      u     u  u      u   u      u  2

x

   u  v

 

  v

  w

x

x

x

x



    v     v u u     u  v    v u u  y y y y y

    w     w u u     u  w    w u u  z z z z z

18

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

folgt für die rechte Seite



u u u u   u     v     w  t x y z



    u



2     u     u  v     u  u   u t x x y t     v     u  w     w u  u y z z



    u t





   u2

      u  v      u  w  u

x y       u      v      w        x y z  t     

z

Massenerhaltung  0



    u t





   u2 x

      u  v      u  w y

z

Der Term in der eckigen Klammer verschwindet, da er identisch mit der Massenerhaltungsgleichung nach 2.1 ist und somit zu Null wird. Eingesetzt folgt dann die x-­Impulserhaltungsgleichung in Differentialform in kartesischen Koordinaten

       u     u2  p   xx     u  v   yx      u  w   zx     gx t x y z





(2.10)

Analog ergibt sich die y-Impulserhaltungsgleichung in Differentialform in kartesischen Koordinaten aus Gl. 2.5        v      v  u   xy     v2  p   yy     v  w   zy     gy t x y z





(2.11)

und die z-Impulserhaltungsgleichung in Differentialform in kartesischen Koordinaten aus Gl. 2.6        w      w  u   xz      w  v   yz     w2  p   zz    gz (2.12) t x y z





2.2  Herleitung der Erhaltungsgleichungen

19

Anmerkung: Die reibungsbehafteten Normal- und Schubspannungen τ lassen sich noch durch die Geschwindigkeitsgradienten ausdrücken. Diese Ausdrücke sind für die so genannten „Newtonschen Fluide“ und die so genannten „Nicht Newtonschen Fluide“ unterschiedlich: • Bei Newtonschen Fluiden sind nach Newton die Spannungen proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten. Dieses Modell gilt praktisch immer in der Aerodynamik. • Bei Nicht-Newtonschen Fluiden sind die Spannungen nicht proportional zum Geschwindigkeitsgradienten. Dies ist bei stark viskosen Fluiden wie z. B. Honig der Fall.

2.2.3 Energieerhaltungsgleichung Die Energieerhaltung ist als 1. Hauptsatz der Thermodynamik bekannt dEges

dt

 W  Q

(2.13)



und bedeutet, dass die Änderung der Gesamtenergie Eges im Volumenelement gleich der Leistung W am Volumenelement plus dem Wärmestrom Q in das Volumenelement ist. Gl.  2.13 gilt für ein geschlossenes System ohne Massentransfer, weshalb sich das ­Volumenelement hier mit der Strömung mitbewegen muss. Die drei Terme Gesamtenergie, Leistung und Wärmestrom werden nachfolgend näher beschrieben. Die Gesamtenergie Eges setzt sich aus drei Teilen zusammen: • der inneren Energie Ein = m · e mit der spezifischen inneren Energie e, 1 1   • der kinetischen Energie Ekin   m  u 2   m  u 2  v 2  w 2 mit u 2  u 2  v 2  w 2 2 2 als Quadrat des Geschwindigkeitsbetrages • und der potentiellen Energie Epot = m · g · h, die für Gase vernachlässigt werden kann und deshalb der Übersichtlichkeit wegen vernachlässigt wird.





Somit ergibt sich für die Gesamtenergie eines Gases



1 1     Eges  Ein  Ekin  m  e   m  u 2  m   e   u 2  2 2   1   1 2       V   e   u     dx  dy  dz   e   u 2  2 2     1 2       e   u   dx  dy  dz 2  

20

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

und die totale Ableitung nach der Zeit lautet dEges dt



d   1      e   u 2    dx  dy  dz  dt   2 

1     1             e  u 2      u   e   u 2  2   x  2    t   

1     1   

      v   e   u 2       w   e   u 2    dx  dy  dz 2 2  z y        

(2.14)

Die Leistung W ist die Leistung durch Körper- und Oberflächenkräfte und ergibt sich aus dem Produkt von Kraft mal Geschwindigkeitskomponente in Kraftrichtung. Die Leistung setzt sich aus den folgenden drei Teilen zusammen: • der Gravitation g, die auf das Volumenelement wirkt, • dem Druck p, der auf die Oberflächen des Volumenelements wirkt • und den Normal- und Schubspannungen τ, welche ebenfalls auf die Oberflächen wirken. Mit den Flüssen in x-Richtung aus Abb. 2.4 und den entsprechenden Flüssen in y- und z-Richtung ergibt sich für die Leistung

y

dz

V dy z

dx x

Abb.  2.4  Die Leistungs- und Wärmeflüsse in x-Richtung an einem infinitesimal kleinen Volu­ men­element

2.2  Herleitung der Erhaltungsgleichungen



21

    W      u  g x  v  g y  w  gz    u  p    v  p    w  p  x y z         u  xx  v  xy  w  xz    u  yx  v  yy  w  yz  y x     u  zx  v  zy  w  zz   dx  dy  dz z 

(2.15)

Der Wärmestrom Q setzt sich wiederum aus drei Teilen zusammen: • der Wärmeleitung q L über die Oberfläche des Volumenelements, hervorgerufen durch Temperaturgradienten • der Wärmestrahlung q S , die auf das Volumenelement wirkt (wird hier der Übersichtlichkeit wegen vernachlässigt) • und der Konvektion, die aber hier nicht erscheint, da das Volumenelement mit der Strömung mitschwimmt. Somit ergibt sich für den Wärmestrom      Q     q L , x    q L , y    q L , z    dx  dy  dz y z  x 

und mit dem Fourierschen Wärmeleitungsgesetz für q L , x    ergibt sich folgende Gleichung    T Q       x  x

T T T q L , y    q L , z    x y z

   T   y    y  

   T      z  z

    dx  dy  dz 

(2.16)

Werden die Gl.  2.14, 2.15 und 2.16 in 2.13 eingesetzt, so folgt daraus die Energie erhaltungsgleichung mit u 2  u 2  v 2  w 2 zu    1     1     1        e   u 2      u   e   u 2      v   e   u 2    t   2 2 2     x     y 



  1      w   e   u 2       u  g x  v  g y  w  gz  z  2        u  p   v  p   w  p   u  xx  v  xy  w  xz  x y z x   u  yx  v  yy  w  yz  z  u  zx  v  zy  w  zz  y   T    T    T      

0  x  x  y  y  z  z 



22

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

Diese Gleichung kann noch vereinfacht werden. Wenn die spezifische Enthalpie h = e + p/ρ anstelle der spezifischen inneren Energie e für die räumlichen Ableitungen verwendet wird, fällt der Druckterm weg. Werden dann die Terme nach ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z geordnet, so ergibt sich die Energieerhaltungsgleichung in Differentialform in kartesischen Koordinaten   1     1   T     e   u 2       u   h   u 2   u  xx  v  xy  w  xz       x t   2 2 x        1 2  T      v   h   u   u  yx  v  yy  w   yz      y  2 y      1   T     w   h   u 2   u  zx  v  zy  w  zz    

 z  2 z   

  u  g x  v  g y  w  gz



(2.17)

2.3 Navier-Stokes-Gleichungen 2.3.1 Vollständige Navier-Stokes-Gleichungen Als Navier-Stokes-Gleichungen werden die fünf Erhaltungsgleichungen von Masse, Impuls und Energie bezeichnet (früher wurden oftmals auch nur die drei Impulserhaltungsgleichungen so genannt). Vollständig bedeutet, dass die Strömung vollständig, d. h. auch mit den kleinsten Wirbeln und Turbulenzen beschrieben wird. Allerdings sind die Rechenzeiten zur Lösung der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen so groß, dass für technische Anwendungen die so genannten Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen verwendet werden, wie später im Abschn. 2.3.4 gezeigt wird. Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung einer zähen, isotropen Flüssigkeit und werden zu Ehren der Herren Navier und Stokes so genannt. Ihre wichtigsten Lebensdaten sind in Abb. 2.5 angegeben. Die Navier-Stokes-Gleichungen bilden ein gekoppeltes nichtlineares Differentialgleichungssystem und konnten bisher analytisch nur für Spezialfälle wie z.  B. eindimensionale Strömungen um die ebene Platte gelöst werden. Deshalb wird dieses Gleichungssystem für allgemeine Fälle numerisch gelöst. Die Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich auf unterschiedliche Art und Weise darstellen: • in Skalarform • in Vektorform • in Divergenzform. Diese drei Formen werden nachfolgend näher beschrieben.

2.3 Navier-Stokes-Gleichungen

23 Claude Louis Marie Henri Navier – Französischer Physiker und Ingenieur – 15. Februar 1785 bis 23. August 1836 –

Ab 1819 Professor in Paris

–

Bedeutende Beiträge zur Mechanik, Baustatik und Hydromechanik

Sir George Gabriel Stokes – Britischer Mathematiker und Physiker – 13. August 1819 bis 1. Februar 1903 – Ab 1849 Professor in Cambridge – 1885-90 Präsident der Royal Society –

Bedeutende Beiträge zur Analysis (Stokesscher Integralsatz), Optik (Stokessche Regel) und zur Hydrodynamik (Stokessches Reibungsgesetz)

Abb. 2.5  Die Namensgeber der Navier-Stokes-Gleichungen

Navier-Stokes-Gleichungen in Skalarform (kartesische Koordinaten) Die Skalarform ist die im letzten Kapitel verwendete Form. Der Übersicht halber werden die fünf Erhaltungsgleichungen für Masse (Gl.  2.1), Impuls (Gl.  2.10, 2.11, 2.12) und Energie (Gl. 2.17) nochmals angegeben



           u     v     w  0 t x y z



       u     u2  p   xx     u  v   yx      u  w   zx     gx t x y z



       v      v  u   xy     v 2  p   yy     v  w   zy     gy t x y z



       w      w  u   xz      w  v   yz     w2  p   zz    gz t x y z



   1     1   T     e   u 2       u   h   u 2   u  xx  v  xy  w  xz     t   2 2 x   x    













1     T  

 v   h   u 2    u  yx  v  yy  w  yz      2 y  y   



24

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik



1     T  

 w   h   u 2    u  zx  v  zy  w  zz      2 z  z   



    u  g x  v  g y  w  gz 

Die Navier-Stokes-Gleichungen enthalten drei Arten von Termen:  • die zeitliche Ableitung ∂ der Erhaltungsgrößen U mit der Dichte ρ, dem Impuls ∂t 1       u und der totalen Energie    e   u 2  . Sie geben die Änderungen der gesuchten 2   Variablen im Volumenelement mit der Zeit an. Nach ihnen werden die Gleichungen aufgelöst.    • Die räumlichen Ableitungen ∂ , ∂ , ∂ der Flussterme E, F und G mit den ∂x ∂y ∂z  konvektiven Termen mit ρ · u, den Drucktermen mit p, den Reibungstermen mit den Spannungen τ und den Wärmeleitungstermen mit λ. Sie geben an, was in das Volumenelement durch alle Oberflächen hinein und hinaus fließt. • Die Terme ohne Ableitungen werden Quellterme Q genannt, da sie wie eine Quelle im Volumenelement wirken. Dies ist die Schwerkraft mit der Gravitationskonstante g (und ggf. die Wärmestrahlung q S ). Navier-Stokes-Gleichungen in Vektorform (kartesische Koordinaten) Eleganter und kürzer lassen sich die Navier-Stokes-Gleichungen in Vektorform schreiben. Sie ist auch für die Umsetzung in ein Computerprogramm nützlich



         U E F G Q t x y z 

(2.18)

      u      v  U   w      1 2 2 2     e  2 u  v  w      

(2.19)

 mit dem Erhaltungsvektor U







2.3 Navier-Stokes-Gleichungen

25

   den Flussvektoren E, F , G in x-, y- und z-Richtung



  u       u 2  p   xx       v  u   xy  E   (2.20)    w  u   xz       u  h  1 u 2  v 2  w 2   u  xx  v  xy  w  xz    T     2 x   



  v       u  v   yx        v 2  p   yy  F  (2.21)    w  v   yz       v  h  1 u 2  v 2  w 2   u   v   w     T  yx yy yz    2 y   



   w       u  w   zx      v  w   zy G  (2.22) 2     w  p   zz      w  h  1 u 2  v 2  w 2   u   v   w     T  zx zy zz    2 z    













 und dem so genannten Quellterm Q (der hier nur aus der Schwerkraft besteht):



   0   gx     Q     gy       gz          u g v g w g x y z    

(2.23)

26

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

Navier-Stokes-Gleichungen in Divergenzform Eine eher mathematische Schreibweise, die aber vom Koordinatensystem unabhängig ist,  lässt sich auch oft in der Literatur finden. Sie verwendet den Geschwindigkeitsvektor U,   den Gravitationsvektor g, die Divergenz ∇, die Einheitsmatrix I und die Spannungsmatrix τ     xx  xy  xz   gx   x  u  10 0             u   v  g   g y      I  010     yx  yy  yz  y   g     w  0 01  z   zx  zy zz      z 



Hierdurch wird die Massenerhaltungsgleichung zu         u  0 t



und die drei Impulserhaltungsgleichungen lauten mit dem Vektorprodukt ⊗          u        u  u  p  I      g t



und die Energieerhaltungsgleichung ergibt sich zu



     1       1         e   u 2         u   h   u 2    u  T     g  u  t   2 2     

Nochmals zu einem Gleichungssystem zusammengefasst ergibt sich



        0      u               g      u   u  u  p  I  t           u   h  1  u 2    u T     g  u      e  1  u 2          2 2   

bzw. abgekürzt



     U F  Q t

(2.24)

Bei dieser Formulierung in Divergenzform wird die Analogie zur Integralform sichtbar



     U  dV   F  dS   Q  dV  V S V t

(2.25)

2.3 Navier-Stokes-Gleichungen

27

2.3.2 Zusätzlich benötigte Gleichungen und Größen Die fünf Erhaltungsgleichungen reichen zur Lösung nicht aus, da sie mehr Unbekannte als Gleichungen enthalten. Um alle 17 Unbekannten (ρ, u, v, w, p, e, h, T und die 9 τ -Terme) zu ermitteln, werden zusätzlich zu den fünf Erhaltungsgleichungen noch 12 weitere Gleichungen benötigt. Dies sind drei Zustandsgleichungen für das Fluid und 9 sog. Stokessche Beziehungen für die Normal- und Schubspannungen. Die thermische Zustandsgleichung koppelt den Druck p mit der Dichte ρ und der Temperatur T. Sie lautet z. B. für ein ideales Gas mit R als Gaskonstante



p    R  T (2.26)

Die kalorischen Zustandsgleichungen koppeln die spezifische innere Energie e und die spezifische Enthalpie h mit der Temperatur T. Für ein ideales Gas lautet sie mit cv als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen und cp als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck z. B.



de  cv  dT (2.27) dh  c p  dT

(2.28)

Die Stokesschen Beziehungen koppeln bei den so genannten Newtonschen Fluiden die Spannungen τ mit den Geschwindigkeiten u, v, w. Die Terme lauten mit μ als dynamischer Viskosität des Fluides

(2.29)



2  u v w  u  xx         2  3  x y z  x

(2.30)



2  u v w  v  yy         2  3  x y z  y

(2.31)



2  u v w  w  zz         2  3  x y z  z

(2.32)



 v u   xy        x y 

28

2  Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik

(2.33)



 u w   xz        z x 

(2.34)



 w v   yz        y z 

(2.35)



 v u   yx   xy        x y 

(2.36)



 u w   zx   xz        z x 

(2.37)



 w v   zy   yz        y z 

Die Stoffwerte Zu beachten ist weiterhin, dass die Stoffwerte wie cv, cp, λ, μ in der Regel von der Temperatur T abhängen: • die spezifische Wärmekapazitäten cv, cp und der Wärmeleitkoeffizient λ werden oftmals als konstant angenommen oder aus Tabellen interpoliert. • Die dynamische Viskosität μ kann ebenfalls aus Tabellen interpoliert werden. Für Luft wird sie oftmals auch näherungsweise mit der so genannten Sutherland-Formel berechnet 

T 1,5   mit T in [ K ]  T + 110, 4 

µ = 1, 458 ⋅ 10 −6 ⋅ 

(2.38)

2.3.3 Randbedingungen Die zuvor gezeigten Navier-Stokes-Gleichungen gelten für (fast) alle Strömungen. Sowohl die Überschallströmung um ein Flugzeug als auch die Unterschallströmung um ein Auto oder auch die Innenströmung in einem Rohr lassen sich damit berechnen. Wie wird zwischen diesen unterschiedlichen Strömungsfällen unterschieden, wo doch die Gleichungen dieselben sind? Um das konkrete Strömungsproblem lösen zu können, sind neben der jeweiligen Geometrie deshalb auch Randbedingungen notwendig. Typische Randbedingungen sind zum Beispiel:

2.3 Navier-Stokes-Gleichungen

29

• Was strömt in das Rechengebiet hinein (Zuströmrand)? • Was strömt aus dem Rechengebiet heraus (Abströmrand)? • Wie ist die Strömung an einer festen Wand (Festkörperrand)? Nur durch richtige Wahl der Randbedingungen stellt sich auch eine Strömung ein. Zum Beispiel muss der Totaldruck in der Zuströmung höher sein als in der Abströmung. Da in den fünf Erhaltungsgleichungen die fünf Unbekannten ρ, u, v, w, e übrig bleiben, müssen auch fünf Größen am Rand bekannt sein. Je nach Art des Randes und der Strömung dürfen aber nicht alle fünf Größen vorgegeben werden, manche Größen müssen auch berechnet werden: • Die vorgegebenen Größen am Rand nennt man physikalische Randbedingungen (PRB). Sie werden vom Anwender in Form von bekannten Größen, meistens aus Messungen oder theoretischen Herleitungen, vorgegeben. Meistens sind dies Drücke, Geschwindigkeiten, Temperaturen oder Massenströme. Ihre Verteilung am Rand kann konstant oder variabel sein. • Die berechenbaren Größen am Rand nennt man numerische Randbedingungen (NRB). Dies sind Gleichungen, die den Rand mit dem Innenfeld verknüpfen und vom Programm berechnet werden. Am genauesten ist die Verwendung ausgewählter Erhaltungsgleichungen, da diese die Physik richtig wiedergeben. Weniger genau, aber einfacher, ist die Extrapolation der Strömungsgrößen aus dem Innenfeld auf die Ränder. Die Summe aus PRB und NRB muss immer der Anzahl der zu lösenden Erhaltungsgleichungen entsprechen. Somit ergeben sich für die Anzahl der physikalischen und numerischen Randbedingungen je nach der räumlichen Dimension



3D : PRB  NRB  5 2 D : PRB  NRB  4



1D : PRB  NRB  3



(2.39)

Die Anzahl der physikalischen Randbedingungen PRB kann aus der so genannten Charakteristiken-­ Theorie bestimmt werden. Diese Theorie beschreibt u.  a. die Ausbreitungsrichtung von Informationen in einer Strömung. Zum Beispiel gibt es in einer Überschallströmung keine Stromauf-Wirkung, alle Charakteristiken laufen stromab. Die Strömungsgeschwindigkeit u ist größer als die Schallgeschwindigkeit a (u > a). Dies führt dazu, dass sich bei einem Überschallflugzeug der Überschallknall nur nach hinten ausbreitet; von vorne hört man nichts. In einer Unterschallströmung läuft hingegen eine Charakteristik stromauf und transportiert Informationen entgegen der Strömungsrichtung (u  0 entstehen auf der rechten Seite eine Stoßwelle und eine Kontaktfläche. An ihnen springen die Strömungsgrößen un­ stetig. Gleichzeitig breitet sich auf der linken Seite ein Expansionsfächer aus, an dem sich die Strömungsgrößen stetig ändern. Die sich ausbreitende instationäre Strömung in diesem Stoßwellenrohr lässt sich exakt berechnen unter der Annahme, dass die viskosen Effekte klein sind und dass das Rohr un­ endlich lang ist, damit keine Reflektionen an den beiden Rohrenden entstehen. Der Stoß und die Kontaktfläche breiten sich mit konstanten Geschwindigkeiten in Gebiete mit kon­ stanten Zuständen aus.

5 Lösungsverfahren

106

Anfangszustand zum Zeitpunkt Membran Zustand L

Zustand R

Strömungszustand zum Zeitpunkt

Zustand L

Zustand 3

Expansionsfächer

Zustand 2

Zustand R Verdichtungsstoß

Kontaktfläche

Abb. 5.14  Schematische Darstellung des Stoßwellenproblems t

Expansionsfächer

Kontaktfläche Verdichtungsstoß

Zustand 5 gestört

Zustand 3 gestört

Zustand 2 gestört

t=6,1 ms Zustand R ungestört

Zustand L ungestört

x=x0

x

Abb. 5.15  x-t-Diagramm für das Stoßwellenproblem mit der Ausbreitung des Verdichtungsstoßes, der Kontaktfläche und des Expansionsfächers

Abb. 5.15 zeigt die sich ausbreitenden Charakteristiken, die beiden Unstetigkeiten Stoß und Kontaktfläche sowie den Expansionsfächer im x-t-Diagramm. Es kann zwischen fol­ genden Gebieten unterschieden werden: • Ganz rechts der Zustand R beinhaltet das ungestörte Gas mit dem niedrigen Druck pR. • Es ist durch einen Verdichtungsstoß vom Zustand 2 getrennt, welcher das schon ge­ störte Gas mit niedrigem Druck enthält.

5.6  Vergleich der Verfahren

107

• Die Kontaktfläche trennt den Zustand 2 vom Zustand 3 mit hohem Druck, der durch den Expansionsfächer bereits gestört wurde. • Im Expansionsfächer herrscht Zustand 5. In ihm variieren die Strömungsgrößen kontinuierlich. • Ganz links gibt es noch das ungestörte Hochdruckgebiet mit dem Zustand L. Dies ist ein anspruchsvoller Testfall für die numerischen Verfahren, da sie sowohl die Stoßwelle und Kontaktfläche mit ihren unstetigen Änderungen als auch der Expansions­ fächer mit seiner stetigen Änderung der Strömungsgrößen auflösen müssen. Für folgende Lösungsverfahren werden die numerischen Lösungen mit der theoreti­ schen Lösung verglichen: • Zentrales Verfahren 2. Ordnung nach MacCormack ohne numerische Dämpfung (Abb. 5.16 links) • Zentrales Verfahren 2. Ordnung nach MacCormack mit numerischer Dämpfung nach Neumann und Richtmyer (Abb. 5.16 rechts) • Zentrales ADI-Verfahren 2. Ordnung nach Beam und Warming mit expliziter und im­ pliziter numerischer Dämpfung (Abb. 5.17 links) • Upwind-Verfahren 1. Ordnung mit Flux-Vector-Splitting nach Van Leer (Abb. 5.17 rechts) • Upwind-Verfahren 2. Ordnung nach Van Leer (Abb. 5.18 links) • High-Resolution-Verfahren 2. Ordnung nach Roe mit Superbee-Limiter (Abb.  5.18 rechts). Die Abb. 5.16 bis 5.18 zeigen als rote Linie die exakte theoretische Lösung zum Zeitpunkt t = 6,1 ms. Dargestellt sind Machzahl, statischer Druck und die Entropie/Gaskonstante. Deutlich sichtbar sind: • Der Expansionsfächer zwischen 2,7  1,0) und das blaue Ablösegebiet (Ma ≈ 0) auf der Saugseite.

122

6  Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung

Abb.  6.5  Vergleich des gemessenen und berechneten Auftriebsbeiwerts an einem Tragflügelsegment bei einer Machzahl von Ma = 0,11

Beim zweiten Beispiel in Kap. 8 wird die Vermischung zweier unterschiedlich warmer Wasserströme in einem T-Rohrstück berechnet. Diese Innenströmung ist dreidimensional. Abb. 6.7 zeigt die Linien konstanter Temperatur (Isothermen). Deutlich sichtbar ist das Eindringen des roten Warmwasserstroms von oben in den von links eintretenden blauen Kaltwasserstrom und die anschließende Vermischung bis zum Austritt rechts. Das dritte Beispiel in Kap.  9 behandelt einen typischen Gegenstrom-Doppelrohr-­ Wärmeübertrager, bei dem die Wärme von einem heißen Fluid im Innenrohr durch die Rohrwand an das kalte Fluid im Außenrohr übertragen wird. Es werden sowohl die Strömung im inneren und äußeren Rohr als auch die Wärmeleitung im dazwischenliegenden Kupferrohr berechnet. Abb. 6.8 zeigt die Isothermen am Eintritt des kalten Wasserstroms außen (blau) zusammen mit dem Austritt des warmen Wasserstroms innen (grün bis rot) und dem dazwischenliegenden Kupferrohr (hellblau).

6.9  Einführung in die Übungsbeispiele

123

Abb. 6.6  Iso-Linien konstanter Machzahl um einen Tragflügelschnitt bei α = 8° Anstellwinkel

Abb. 6.7  Iso-Linien konstanter Temperatur (Isothermen) bei der Vermischung in einem T-Rohr

124

6  Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung

Fluid außen Kupferrohr Fluid innen

Abb. 6.8  Iso-Linien konstanter Temperatur (Isothermen) bei einem Doppelrohr-Wärmeübertrager

6.10 Die Arbeitsumgebung Ansys-Workbench Für die nachfolgenden drei Übungsbeispiele wurde die Version 22R2 verwendet, die zum Zeitpunkt der Erstellung der 5. Auflage dieses Buches verfügbar war. Die Optionen und Aufrufe, die aktiviert bzw. angeklickt werden müssen, sind fett angegeben. Ansys-Workbench ist die gemeinsame Benutzeroberfläche für alle Ansys-Programme von der Geometrieerstellung über die Netzgenerierung bis zur Strömungssimulation und Festigkeitsberechnung. Sie ermöglicht den Zugriff auf alle Dateien, die im Rahmen von Ansys-Workbench-Projekten erstellt wurden. Nachfolgend noch zwei wichtige Hinweise zur Fehlervermeidung: • Eingabe von Zahlen mit Komma oder Punkt? Die ersten beiden Programmteile Geometrie und Netz haben bei der derzeitigen Ansys-Version eine deutsche Benutzeroberfläche, weshalb hier Dezimalzahlen mit Komma eingegeben werden müssen. Die drei restlichen Programmteile Setup, Lösung und Ergebnis haben eine englische Benutzeroberfläche und die Dezimalzahlen müssen mit Punkt eingegeben werden. • Keine Umlaute wie ä, ö, ü in Verzeichnis- und Dateinamen verwenden! Dies führt ab dem englischsprachigen Programmteil Setup zu einem Absturz, da Verzeichnisse und Dateien mit Umlauten dann nicht mehr gefunden werden.

6.10  Die Arbeitsumgebung Ansys-Workbench

125

Abb. 6.9  Die Arbeitsumgebung Ansys-Workbench

Das Programm wird gestartet über das Windows-Fenster unten links. Hier das Programm Ansys“Version“/Workbench“Version“ aufrufen. Die verwendete Version hier ist „2022R2“). In der Ansys-Workbench-Benutzeroberfläche gibt es auf der linken Seite die Toolbox. Bei den Analysesystemen klicken Sie mit der linken Maustaste Fluiddynamik (CFX) an und ziehen das Rechteck in das Fenster Projektschema. Den Namen können Sie nach Wunsch ändern z.  B. in Fluegel (Abb.  6.9). Diese Projektstruktur wird beim späteren Schließen dann in einer wbdb-Datei gespeichert. Die Maßeinheiten können oben bei Bedarf noch umgestellt werden. Für die hier verwendeten Übungen wird von Meter [m] auf Millimeter [mm] und von Kelvin [K] auf Celsius [°C] umgestellt, also von SI-Einheiten auf Metrisch. Der bevorzugte Geometrie-Editor (DesignModeler, SpaceClaim oder Discovery) kann oben unter Extras → Optionen → Geometrieimport eingestellt werden. Die Einstellung ist egal, da nur die CAD-Datei eingelesen werden muss. Hier wird der DesignModeler verwendet.

7

Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Wie in Abschn. 6.10 beschrieben muss zuerst das Programm Ansys-Workbench gestartet werden und anschließend das Analysesystem Fluiddynamik (CFX) im Projektschema angelegt werden.

7.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie) Das Programm Geometrie mit Doppelklick starten und die gewünschte CAD-Datei auswählen: • • • •

Datei Externe Geometriedatei importieren CAD-Datei zum Beispiel Fluegel.igs auswählen Erstellen (gelber Blitz).

Abb. 7.1 zeigt das Rechengebiet für den Flügel. Es erstreckt sich vom linken Zuströmrand bis zum rechten Abströmrand. Oben und unten liegen die beiden periodischen Ränder und vorne und hinten zwei Symmetrieebenen. In der Mitte ist die Flügeloberfläche als Festkörperrand vorhanden. Das Innere des Profils wurde weggeschnitten. Die eingelesene Geometriedatei umfasst beim Tragflügel das durchströmte Fluidvolumen. Hier soll die Strömung um einen zweidimensionalen Flügelschnitt berechnet werden. Da Ansys-CFX ein (dreidimensionales) Volumen benötigt, wird eine willkürliche Spannweite von nur 10  mm gewählt. Dadurch lässt sich die Netzpunktzahl in Spannweitenrichtung geringhalten. Nach erfolgreichem Importieren der CAD-Datei erscheint im Projektschema bei Geometrie ein grüner Haken (siehe Abb. 7.2).

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_7

127

128

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.1  Fluegel: Rechengebiet Abb. 7.2 Fluegel: Projektschema nach erfolgreichem Beenden des Geometrieimports

7.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz) 7.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes Zur Erzeugung des Rechennetzes klicken Sie in der Ansys-Workbench Projektschema das Feld Netz doppelt an. Das Programm Meshing startet. Durch Anklicken von Netz erstellen in der Aufgabenleiste wird ein erstes unstrukturiertes Netz mit den vom Programm vorgegebenen Standardparametern erzeugt (Abb. 7.3).

7.2  Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

129

Abb. 7.3  Fluegel: Standardnetz

7.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes am Profil Mit den Standardeinstellungen des Programms Meshing wird die Strömungsgrenzschicht am Profil nicht gut aufgelöst und es kann keine genaue Strömungslösung erwartet werden. Deshalb muss das Rechennetz am Flügelprofil verfeinert werden. Dies geschieht beim Programm Meshing durch die Einführung einer sog. Prismenschicht am Profil, einem lokalen strukturierten O-Rechennetz aus Hexaedern. Bei Hexaedern ist zudem wegen der geringeren Schiefwinkligkeit der Abbruchsfehler kleiner als bei Tetraedern, was der Genauigkeit der numerischen Lösung zu Gute kommt. Der Ablauf ist wie folgt: • Im Strukturbaum Netz mit rechter Maustaste anklicken, dann • Einfügen und • Erzeugung der Prismenschichten (Inflation). In der Detailansicht können nun die Parameter eingegeben werden (um auf die richtige Detailansicht zugreifen zu können muss ev. im Strukturbaum Erzeugung der Prismenschichten markiert werden).

130

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

In der Detailansicht unter Bereich angeben: • Zuweisungsmethode: Geometrieauswahl • Geometrie anklicken, es erscheint Anwenden • Dann im Grafikfenster den Körper auswählen. Ggf. zuvor in der Aufgabenleiste Körper auswählen (grüner Würfel oben). In diesem Fall gibt es nur einen Volumenkörper. • Anwenden anklicken, es erscheint 1 Körper. In der Detailansicht unter Definition angeben: • Randzuweisung: Geometrieauswahl • Rand anklicken, es erscheint Anwenden • Dann im Grafikfenster die Randfläche auswählen. Ggf. zuvor in der Aufgabenleiste Fläche auswählen (Würfel mit grüner Fläche). In diesem Fall ist es die Innenseite des Tragflügelprofils um die das Netz für die Auflösung der Grenzschicht verfeinert werden soll. • Anwenden anklicken, es erscheint 1 Fläche. • Option zur Erzeugung der Prismenschichten: Dicke der ersten Schicht • Höhe der ersten Schicht: 0,5 mm. (Falls in der Aufgabenleiste unter Maßeinheiten m eingestellt ist auf mm umschalten oder den Wert in m eingeben). • Maximale Anzahl der Schichten: 10. In der Aufgabenleiste Netz erstellen anklicken. Das verfeinerte Rechennetz wird erzeugt. In der Aufgabenleiste muss ggf. Netz anzeigen markiert werden, damit das Netz sichtbar ist. In Abb. 7.4 ist die Prismenschicht um das Flügelprofil dargestellt. Das vollständige verfeinerte Rechennetz ist in Abb. 7.5 zu sehen.

7.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen Alle Flächen haben standardmäßig Nummern als Namen. Um später im Setup die richtigen Flächen für die Definition der physikalischen Randbedingungen zu finden, ist es vorteilhaft, wenn jede Randfläche separat als Komponente mit einem assoziativen Namen definiert wird. Die Vorgehensweise ist wie folgt: • In der Aufgabenleiste Fläche markieren (Würfel mit grüner Fläche). • Im Grafikfenster eine Randfläche markieren, zum Beispiel den Zuströmrand links Diese Fläche wird dann grün. Gegebenenfalls muss im Grafikfenster die Geometrie gedreht werden, bis diese Randfläche sichtbar wird und angeklickt werden kann. • Mit rechter Maustaste Komponente erstellen auswählen. • Die Komponente hat standardmäßig den Namen Auswahl. Diese mit rechter Maustaste im Strukturbaum anklicken und Umbenennen zum Beispiel in Zustroemrand.

7.2  Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

131

Abb. 7.4  Fluegel: Verfeinertes Rechennetz mit strukturiertem O-Netz am Profil

Abb. 7.5  Fluegel: Verfeinertes Rechennetz

Für folgende sieben Randflächen sollten in diesem Beispiel Komponenten erstellt und benannt werden: Zustroemrand, Abstroemrand, Profil, Periodisch_oben, Periodisch_unten, Symmetrie_vorne und Symmetrie_hinten. Diese Randflächen werden im Grafikfenster mit roten Pfeilen angezeigt, sofern sie im Strukturbaum markiert sind (Abb. 7.6).

132

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.6  Fluegel: Nach der Benennung der Randflächen (Komponenten)

7.2.4 Beenden des Programms Meshing Durch das Schließen des Programms Meshing rechts oben werden die Netzdaten automatisch in einer Datei CFX.cmdb abgespeichert. Sie steht dann für die anschließende Vorbereitung der Rechnung zur Verfügung. Im Ansys-Workbench-Projektschema erscheint jetzt ein grüner Haken bei Netz. Hinweis: falls dies nicht der Fall sein sollte, dann bitte Netz nochmals mit der rechten Maustaste anklicken und System aktualisieren auswählen. Das Programm Meshing läuft dann nochmals durch.

7.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup) Achtung: ab hier müssen Dezimalzahlen mit Punkt eingegeben werden entsprechend der englischen Schreibweise.

7.3.1 Starten des Programms CFX-Pre Zur Erzeugung der Eingabedaten für die Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Setup doppelt an. Das Programm CFX-Pre startet (Abb. 7.7). Das Rechennetz kann mit angezeigt werden, indem im Strukturbaum die Netzdatei CFX.cmdb markiert wird.

7.3  Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

133

Abb. 7.7  Fluegel: Startfenster des Programms CFX-Pre

7.3.2 Definition der Rechenparameter Die meisten Rechenparameter sind bereits mit sinnvollen Standardwerten besetzt. Nachfolgend werden einige Parameter angegeben, die von allgemeiner Bedeutung sind oder geändert werden sollten. Zum Schließen der Eingabefenster gibt es immer drei Optionen: • Wenn das Fenster kann mit OK geschlossen wird, so werden die Änderungen wirksam und das Fenster schließt sich. • Wenn mit Apply geschlossen wird, so werden die Änderungen wirksam und das Fenster bleibt offen. • Wird mit Close geschlossen so schließt sich das Fenster ohne dass Änderungen übernommen werden. Im Strukturbaum unter Analysis Type kann angegeben werden, ob eine stationäre (Steady State) oder instationäre (Transient) Strömung berechnet werden soll. Der Standardwert ist Steady State und wird auch für dieses Beispiel verwendet.

134

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Im Strukturbaum unter Default Domain/Basic Settings sollten folgende Parameter definiert werden (Abb. 7.8): • Domain Type: Fluid Domain für eine Strömungsberechnung (Standard) • Fluid Definition: Material Library und Air Ideal Gas für eine Rechnung mit idealem Gasverhalten. • Reference Pressure: Hier wird das Druckniveau für die Berechnung vorgegeben. Alle später eingegebenen Drücke sind Relativwerte und beziehen auf diesen Referenzwert. Die Eingabe von 0 [Pa oder bar] hat den Vorteil, dass Absolut- und Relativdrücke identisch sind. Abb. 7.8 Fluegel: Auswahlfenster Default Domain/Basic Settings

7.3  Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

135

Ins Fenster Default Domain/Fluid Models wechseln, wo folgende Parameter gewählt werden sollten (Abb. 7.9): • Heat Transfer Option: Total Energy und incl. Viscous Work Term. In der Energieerhaltungsgleichung wird die totale bzw. gesamte Energie berücksichtigt, die sich aus innerer, kinetischer und potentieller Energie (nur bei Flüssigkeiten) zusammensetzt. Die Option Viscous Work Term berücksichtigt auch die Reibungsterme bei der Energieerhaltungsgleichung. • Turbulence Option: Shear Stress Transport ist das für Industrieanwendungen und die Übungen empfohlene Turbulenzmodell in CFX. Es löst die k-ε-Gleichung und schaltet in der Nähe der Wand auf die k-ω-Gleichung um. Hierdurch ergibt sich eine gute Genauigkeit bei kurzen Rechenzeiten.

Abb. 7.9  Fluegel: Auswahlfenster Default Domain/Fluid Models

136

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.10  Fluegel: Auswahlfenster Solver Control/Basic Settings

Bei Bedarf kann im Strukturbaum der Rechenlauf näher spezifiziert werden, sofern von den unten angegebenen Standardeinstellungen abgewichen werden soll. Hierzu im Strukturbaum Solver Control doppelklicken. Es öffnet sich das Fenster Basic Settings. Hier sind folgende Standard-Parameter zu finden (Abb. 7.10): • Advection Scheme Option: High Resolution. Dies ist der Lösungsalgorithmus, der eine gute Genauigkeit und Robustheit, auch an Stößen, liefert. • Max. Iterations: 300. Wenn die Residuen nicht unter den Zielwert sinken, hört der Rechenlauf nach spätestens dieser Iterationszahl auf. • Timescale Control: Auto Timescale. Hier kann der Zeitschritt eingegeben werden. Bei stationären Rechnungen wird er automatisch berechnet.

7.3  Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

137

• Residual Target: 1.E-4 bzw. 0,0001. Der Rechenlauf hört auf, wenn das Residuum kleiner als 10−4 wird. Dies bedeutet, dass alle Erhaltungsgleichungen bis auf einen Fehler von 10−4 erfüllt sein müssen. Bei höheren Genauigkeitsanforderungen kann er auch auf 10−5 gesetzt werden, wobei die sich dann die Anzahl der Iterationen und die benötigte Rechenzeit verlängert. Mit OK bestätigen. Des Weiteren können noch zusätzliche Ausgabegrößen für den Rechenlauf definiert werden. Im Strukturbaum Output Control mit Doppelklick öffnen. Ins Fenster Monitor wechseln (Abb. 7.11). Hier können zusätzliche Konvergenzgrößen definiert werden, die während des Rechenlaufes zur Konvergenzkontrolle angezeigt werden.

Abb. 7.11  Fluegel: Auswahlfenster Output Control/Monitor

138

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

• Das Kästchen Monitor Objects aktivieren. Es erscheinen sechs Optionen. • Unter der Option Monitor Points and Expressions kann jetzt ein Netzpunkt und eine Strömungsgröße definiert werden. • Das Feld Add New Item rechts daneben anklicken. Es erscheint das Fenster Monitor Point 1. Mit OK bestätigen. Es wird dann ein Monitorpunkt angelegt, dessen Lage und Variable nun definiert werden können: • Option: Cartesian Coordinates • Output Variables List: Absolute Pressure • Cartesian Coordinates: 0 0 0. Hier können die Koordinaten des Monitorpunktes angegeben werden, wie zum Beispiel die Vorderkante. Alternativ kann der Punkt auch im Grafikfenster markiert werden. Er erscheint dann als gelbes Kreuz. • Mit OK bestätigen. Bei der späteren Strömungsberechnung wird nun der Verlauf des statischen Drucks an der Vorderkante des Tragflügels als Konvergenzverlauf angezeigt. Die Strömung im Vorderkantenbereich konvergiert erfahrungsgemäß am langsamsten, da dort starke Gradienten herrschen und sich die richtige Lage des Staupunkts erst einstellen muss.

7.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen An allen Rändern des Rechengebiets müssen Randbedingungen vorgegeben werden, damit sich die gewünschte Strömung einstellt. Die physikalischen Werte müssen zuvor berechnet werden. Für das Tragflügelprofil sind zum Beispiel eine Reisefluggeschwindigkeit von Ma = 0,75 und eine Reiseflughöhe von h = 11,2 km vorgegeben. Anhand der Normatmosphäre ergibt sich für diese Flughöhe ein statischer Druck von p = 22.625 Pa und eine statische Temperatur von T = 216,5 K. Hieraus ergeben sich für eine kompressible Luftströmung mit κ = 1,4 der Totaldruck und die Totaltemperatur zu 

(7.1)



  1   1 pt  p   1   Ma 2   32.858Pa,  2  

(7.2)



  1  Tt  T   1   Ma 2   241K.  2  

und die Gesamtgeschwindigkeit zu



vges  Ma  a  Ma    R  T  221

m . s

(7.3)

7.3  Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

139

Hieraus lassen sich die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten u, v je nach dem Anstellwinkel α des Tragflügels berechnen (für diese rein zweidimensionale Strömung gilt w = 0): α u = vges ⋅  cos (α) v = vges ⋅  sin (α)

0° 221,0 0,0

4° 220,5 15,4

8° 219,1 30,8

12° 216,4 46,9

Grad m/s m/s

Die physikalischen Randbedingungen können auf zwei Arten erzeugt werden:

• entweder über die Aufgabenleiste mit dem Symbol Boundary (Symbol mit 2 Pfeilen nach links) • oder über den Strukturbaum. Hierzu ist Default Domain mit der rechten Maustaste zu markieren. Über Insert und Boundary wird die Randbedingung erzeugt. Es erscheint das Fenster Insert Boundary, wo ein sinnvoller Name für die Randbedingung eingegeben werden kann. Dies betrifft folgende Ränder: Zuströmrand links,Abströmrand rechts, Festkörperrand am Tragflügelprofil, beide Symmetrieebenen vorne und hinten und die beiden periodischen Ränder oben und unten. Zuströmrand Für den Zuströmrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Inlet eingegeben. Es er­scheinen die zwei neuen Fenster Basic Settings und Boundary Details (Abb. 7.12): Im Fenster Basic Settings wird die Randart definiert und eine Region zugeordnet: • Boundary Type: Inlet • Location: Zustroemrand Im Fenster Boundary Details werden die physikalischen Randbedingungen eingegeben: • • • • • • • • • •

Flow Regime Option: Subsonic Mass and Momentum Option: Total Pressure (Stable) Relative Pressure: 32.858 Pa bzw. 0,32858 bar Flow Direction Option: Cartesian Components X Component: 219,1 m/s (fur α = 8°) Y Component: 30,8 m/s (fur α = 8°) Z Component: 0 m/s Turbulence Option: Medium (Intensity = 5 %) Heat Transfer Option: Total Temperature Total Temperature: 241 K bzw. − 32,15 °C.

Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert.

140

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.12  Fluegel: Auswahlfenster Boundary: Inlet/Boundary Details

Abströmrand Für den Abströmrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Outlet eingegeben. Es erscheinen wieder die beiden Fenster Basic Settings und Boundary Details: Die Eingabe im Fenster Basic Settings sieht wie folgt aus: • Boundary Type: Outlet • Location: Abstroemrand Im Fenster Boundary Details wird für eine Unterschallströmung eine physikalische Randbedingung vorgegeben: • Flow Regime Option: Subsonic • Mass and Momentum Option: Average Static Pressure. • Relative Pressure: 22.625 Pa bzw. 0,22625 bar.

7.3  Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

141

Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert. Festkörperrand Für den Festkörperrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Solid eingeben. Im Fenster Basic Settings ist zu wählen: • Boundary Type: Wall • Location: Profil. Im Fenster Boundary Details wählen: • Mass and Momentum Option: No Slip Wall. Dies entspricht einer reibungsbehafteten Strömung an der Wand. (Hinweis: Free Slip Wall entspricht einer reibungsfreien Strömung an der Wand.) • Heat Transfer: Adiabatic. Dies entspricht einer Wand ohne Wärmetransfer. Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert. Symmetrieebenen Für die Definition der beiden Symmetrieebenen wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Symmetry1 und Symmetry2 eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen: • Boundary Type: Symmetry. • Location: Symmetrie_vorne bzw. Symmetrie_hinten. Das Fenster Boundary Details erscheint hier nicht, da an Symmetrieebenen keine physikalischen Randbedingungen vorgegeben werden müssen. Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert. Periodische Randbedingungen Die periodischen Randbedingungen werden von CFX-Pre formal nicht als Randbedingungen, sondern als so genannte Domain Interfaces behandelt. Hierfür muss in der Aufgabenleiste das Symbol Create a Domain Interface (zwei blaue Gebiete mit Verbindungslinien) angeklickt werden. Es erscheint das Fenster Insert Domain Interface, wo der Name angegeben wie zum Beispiel Periodicity angegeben werden kann. Im Fenster Domain Interface wählen: • • • •

Interface Type: Fluid Fluid Interface Side1 Region List: Periodisch_oben für den oberen periodischen Rand Interface Side2 Region List: Periodisch_unten für den untern periodischen Rand Interface Models Option: Translational Periodicity da die Strömungsgrößen an den beiden periodischen Rändern in y-Richtung translatorisch verschoben sind.

142

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.13  Fluegel: Setup mit allen Eingaben

Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert. Sind alle Ränder definiert, so verschwindet im Strukturbaum unter Outline der Begriff Default Domain Default. Im Grafikfenster sind die Randbedingungen für das Rechengebiet als Pfeile angedeutet, siehe Abb. 7.13.

7.3.4 Beenden der Programms CFX-Pre Die Daten der Vorbereitung der Strömungsrechnung werden beim Schließen von CFXPre in den Dateien Fluegel,cfx und Fluegel.def gespeichert. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-Workbench-Projektschema ein grüner Haken für das Setup.

7.4  Berechnung der Strömung (Lösung)

143

7.4 Berechnung der Strömung (Lösung) 7.4.1 Starten des Programms CFX-Solver Zum Starten der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-Workbench-Projektschema das Feld Lösung doppelt an. Der CFX-Solver Manager startet und das Fenster Define Run (Abb. 7.14) öffnet sich: • Unter Run Definition oben kann bei Parallel Environment angegeben werden, ob die Strömungsberechnung auf einem (Serial) oder auf mehreren Rechnern parallel durchgeführt werden soll (zum Beispiel Intel MPI Local Parallel). Hierdurch lässt sich die Rechenzeit verkürzen. • Unter Initial Values ist die Option Current Solution Data (if possible) standardmäßig aktiviert. Dies bedeutet, dass bei einem Folgelauf die letzte vorhandene Lösung als Startlösung verwendet wird, sofern es diese gibt. Wenn es keine gibt startet das Programm mit automatisch aus den Randbedingungen berechnetet Anfangswerten. Dies ermöglicht auch die Option Initial Conditions, d. h. die Rechnungen starten immer wieder bei 0 Iterationen. Die Strömungsberechnung mit Start Run starten.

7.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens Das Konvergenzverhalten während der Strömungsberechnung wird im Fenster CFX-­ Solver-­Manager dargestellt. Links sind mehrere Grafikfenster und rechts ein Textfeld sichtbar. Im rechten Textfenster werden die wichtigsten Größen des Rechenlaufes ausgegeben: • • • •

die gewählten Eingabegrößen die Residuen für jede Erhaltungsgleichung bei jedem Iterationsschritt Warnungen und Fehlermeldungen und die Rechenzeit.

Im linken Grafikfenster werden die Konvergenzverläufe grafisch dargestellt: • im Unterfenster Momentum and Mass für die Massen- und die drei Impulserhaltungsgleichungen in x-, y- und z-Richtung • im Unterfenster Heat Transfer für die Energieerhaltungsgleichung • im Unterfenster Turbulence für die Turbulenzmodelle • und im Unterfenster User Points für den zuvor in CFX-Pre definierten Monitorpunkt.

144

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.14  Fluegel: Startfenster für den Rechenlauf mit CFX-Solver

Wurde der Rechenlauf erfolgreich beendet, so erscheint die Meldung Solver Run Finished Normally. Bei diesem Rechenlauf geschah dies nach 203 Iterationen, da dann alle Residuen kleiner als 10-4 sind, wie in CFX-Pre angegeben. Abb. 7.15 zeigt die Verläufe der Residuen für die Massen-(rot), x-Impuls- (grün), y-Impuls- (blau) und z-­Impulserhaltungs­ gleichung (gelb).

7.4  Berechnung der Strömung (Lösung)

145

Abb. 7.15  Fluegel: Konvergenzverläufe nach Beendigung des Rechenlaufs

Im Unterfenster User Points ist der zuvor in CFX-Pre definierte Monitorpunkt für den statischen Druck an der Tragflügelvorderkante über der Iterationszahl dargestellt (Abb. 7.16). Die Rechnung ist konvergent, wenn sich dieser Wert nicht mehr merklich ändert. Dies ist hier in etwa erfüllt, da die y-Achse für den Druck sehr fein aufgelöst ist.

7.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver Beim Schließen des Programms CFX-Solver werden zwei Ergebnisdateien automatisch gespeichert: • Die Ergebnisdatei wie zum Beispiel Fluegel_001.res. Auf ihr stehen das Ergebnis und die Konvergenzverläufe. Das Ergebnis wird für Folgeläufe und die Auswertung in CFD-Post verwendet. Die Konvergenzverläufe können mit CFX-Solver nochmals dargestellt werden. • Die Textdatei wie zum Beispiel Fluegel_001.out. Sie enthält den im obigen rechten Fenster während der Rechnung angezeigten Text. Die Nummer 001 ist die Nummer des Rechenlaufs. Bei einem Folgelauf wird der Zähler der Ergebnisdateien um eins auf Fluegel_002.res und Fluegel_002.out erhöht.

146

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.16  Fluegel: Konvergenzverlauf für den Monitorpunkt

7.5 Auswertung (Ergebnisse) 7.5.1 Starten des Programms CFD-Post Zum Darstellen der Ergebnisse der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Ergebnisse doppelt an. Das Auswerteprogramm CFD-Post startet. Unterhalb des Grafikfensters sind fünf Register sichtbar: • • • • •

3D Viewer für 3D-Ansichten Table Viewer für Tabellen Chart Viewer für Diagramme Comment Viewer für Kommentare Report Viewer für automatisch erstellte Berichte.

7.5  Auswertung (Ergebnisse)

147

Mit CFD-Post sind zahlreiche grafische und tabellarische Auswertungen möglich: • • • • • •

Isolinien auf Flächen Strömungsvektoren auf Flächen Stromlinien und Teilchenbahnen auf Flächen Verläufe entlang von Linien Integralwerte wie zum Beispiel Auftrieb und Widerstand Automatisch erzeugte Berichte über die durchgeführte Rechnung.

Zur Veränderung des Bildausschnitts stehen ebenfalls zahlreiche Möglichkeiten zur Verfügung. Sie können über den unteren Teil der Aufgabenleiste, die direkt über dem Grafikfenster liegt, aufgerufen werden, wie zum Beispiel: • Drehen (zwei sich drehende Pfeile) • Verschieben (vier Pfeile in alle vier Richtungen) • Vergrößern oder Verkleinern (Lupe + und ‒). Alternativ kann das Vergrößern und Verkleinern des Bildausschnitts auch mit dem Zoomrad der Maus ausgeführt werden.

7.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern Für dieses zweidimensionale Beispiel ist vor allem die Darstellung auf der Symmetrieebene sinnvoll. Hierfür kann das Rechengebiet so gedreht werden, dass nur diese Ebene sichtbar ist: • Im Grafikfenster die Z-Achse anklicken und die xy-Ebene wird angezeigt. Zur Erzeugung von Isolinien-Bildern ist in der Aufgabenleiste das Symbol Contour (Quadrat mit bunten Kreisen) anzuklicken: • Im Fenster Insert Contour kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Contour1. • In der Detailansicht können nun die Ebene und die Variable der Isolinien angegeben werden, zum Beispiel für die Machzahl auf der Symmetrieebene (Abb. 7.17): • Locations: Symmetry1 • Variable: Mach Number • # of Contours: 11 ist die standardmäßige Anzahl von Isolinen. • Apply anklicken. Contur1 erscheint dann im Strukturbaum links oben. Als Variablen stehen zahlreiche Größen zur Verfügung wie Drücke, Temperaturen und Geschwindigkeiten. 16 Variablen können durch Anklicken des nach unten gerichteten D ­ reiecks ausgewählt werden, zahlreiche weitere durch Anklicken der drei Punkte rechts daneben.

148

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.17  Fluegel: Isolinien der Machzahl auf der Symmetrieebene

Die Bilder können auch gespeichert werden. Hierfür in der Aufgabenleiste anklicken: • File und Save Picture. • Im neuen Fenster Print kann der Dateiname und das Ausgabeformat zum Beispiel Machzahl.jpeg angegeben werden.

7.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern Zur Erzeugung von Vektorbildern ist in der Aufgabenleiste das Symbol Vector (3 Pfeile) anzuklicken.: • Im Fenster Insert Vector kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Vector1. • Im Strukturbaum sollte das Isolinienbild Contour1 deaktiviert werden. Ansonsten sind Isolinien und Vektoren überlagert im Grafikfenster dargestellt. • In der Detailansicht ist einzugeben: • Locations: Symmetry1 • Apply anklicken und Vector1 erscheint im Strukturbaum links oben. Auf jeden Knoten wird ein Vektor gesetzt, dessen lokale Länge der Geschwindigkeit entspricht. Die globale Vektorlänge wird automatisch anhand der Netzfeinheit berechnet. Sie kann aber auch aus Gründen der Übersichtlichkeit manuell eingestellt werden: • In der Detailansicht ins Register Symbol wechseln • Symbol Size: 0,2. Die globale Vektorlänge wird auf 20 % reduziert.

7.5  Auswertung (Ergebnisse)

149

Abb. 7.18  Fluegel: Geschwindigkeitsvektoren auf der Symmetrieebene

Abb. 7.18 zeigt die Geschwindigkeitsvektoren um den Tragflügelschnitt.

7.5.4 Erzeugung von Stromlinien-Bildern Zur Erzeugung von Stromlinienbildern ist in der Aufgabenleiste das Symbol Streamline (Tragflügel mit Stromlinien) anzuklicken: • Im Fenster Insert Streamline kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Streamline1. • Im Strukturbaum sollte wiederum das Isolinien- und das Vektorbild deaktiviert werden, damit nicht mehrere Bilder übereinander angezeigt werden • In der Detailansicht ist einzugeben: • Start From: Inlet • # of Points: 25. Standardmäßig sind 25 Stromlinien eingestellt. • Apply anklicken und Streamline1 erscheint im Strukturbaum links oben. Abb. 7.19 zeigt die Stromlinien um den Tragflügelschnitt.

150

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

Abb. 7.19  Fluegel: Stromlinien auf der Symmetrieebene

7.5.5 Erzeugung von Diagrammen Zur Erzeugung von Diagrammen muss zuerst die Linie definiert werden, auf der die Strömungsgröße dargestellt werden soll. Hierzu in der Aufgabenleiste unter Insert/Location/Polyline anklicken: • Im Fenster Insert Polyline kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Polyline1. Er erscheint dann im Strukturbaum links oben. In der Detailansicht ist einzugeben: • Method: Boundary Intersection • Boundary List: Profil • Intersect with: Symmetry1. Hiermit ist die Linie zwischen dem Tragflügelprofil und der Symmetrieebene definiert. Im zweiten Schritt wird das Diagramm definiert. In der Aufgabenleiste das Symbol Chart (xy-Diagramm mit 3 bunten Linien) anklicken. • Im Fenster Insert Chart kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Chart1.

7.5  Auswertung (Ergebnisse)

151

In der Detailansicht werden nun die Details definiert: • • • • •

Bei General unter Title: Druckverteilung auf Druck- und Saugseite Bei Data Series unter Location: Polyline 1 Bei X Axis unter Variable: X Bei Y Axis unter Variable: Pressure Apply anklicken und Chart1 erscheint im Strukturbaum links oben.

Jetzt erscheint im Grafikfenster die Druckverteilung entlang Druck- und Saugseite im Register Chart Viewer (Abb. 7.20). Diese Werte können auch in einer Datei gespeichert werden für die spätere Verarbeitung zum Beispiel in Excel. Hierfür muss in der Detailansicht unten: • Export angeklickt werden. • Im Export-Fenster kann der Dateityp gewählt werden wie zum Beispiel *.csv oder *.txt. • Nach der Eingabe des Dateinamens mit Save abspeichern.

7.5.6 Berechnung von Integralwerten In CFD-Post können auch Integralwerte wie zum Beispiel die Kräfte am Tragflügel direkt ausgegeben werden. Hierzu in der Aufgabenleiste das Symbol Function Calculator (Taschen­

Abb. 7.20  Fluegel: Druckverteilung entlang dem Tragflügelschnitt

152

7  Übungsbeispiel Tragflügelumströmung

rechner mit Funktion f) anklicken. Alternativ kann auch im Strukturbaum auf das Fenster Tools gewechselt werden, wo Function Calculator anzuklicken ist: In der Detailansicht eingeben: • Function Force • Location: Solid • Direction: Global X oder Y. Nach Anklicken von Calculate erscheint das Ergebnis im Feld Results: • 0 [N] für die Kraft Fx in x-Richtung • 27 [N] für die Kraft Fy in y-Richtung. Diese Werte gelten für das Koordinatensystem des Tragflügels. Üblicherweise werden Auftriebs- und Widerstandskraft in Bezug auf die Zuströmung angegeben. Die Umrechnung geschieht wie folgt (bei einem Anströmwinkel von α = 8°):

Fa  Fy  cos    Fx  sin    25, 4N, 

(7.4)

Fw  Fy  sin    Fx  cos    3, 5N. 

(7.5)

Diese Kräfte gelten für die (willkürliche) Spannweite des Tragflügels von 10 mm, welche bei der Erzeugung des Rechengebiets im DEesignModeler vorgegeben wurde. Erst die dimensionslosen Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte ca, cw sind unabhängig von der Spannweite: Fa , 1 2    vges,  A   2 Fw cw  , 1 2    vges,  A   2 ca 





(7.6)

(7.7)

da durch die Flügelfläche A wieder dividiert wurde.

7.5.7 Erstellung eines Berichtes Zur Dokumentation der Rechnung wird automatisch ein Bericht erstellt. Er ist im Grafikfenster im Register Report Viewer sichtbar. Kapitel des Berichts können auch im Strukturbaum unter Report deaktiviert werden. Mit Refresh Preview in der Detailansicht wird der Bericht dann aktualisiert.

7.5  Auswertung (Ergebnisse)

153

7.5.8 Beenden des Programms CFD-Post Alle im Strukturbaum erstellten Eingabedaten werden beim Schließen des Programms CFD-Post automatisch in einer Datei Fluegel.cst abgespeichert. Diese wird beim erneuten Aufruf von CFD-Post für weitere Auswertungen wiederverwendet, wodurch wieder dieselben Bildarten (aber mit den neuen Ergebnissen) automatisch erzeugt werden.

8

Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

Wie in Abschn.  6.10 beschrieben muss zuerst das Programm ANSYS-Workbench gestartet werden und anschließend das Analysesystem Fluiddynamik (CFX) im Projektschema angelegt werden. Neben dem Einlesen der CAD-Datei in Abschn. 8.1.1 wird hier zusätzlich noch die Erzeugung der Geometrie mit dem Programm DesignModeler in Abschn. 8.1.2 beschrieben.

8.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie) 8.1.1 Importieren der CAD-Datei Das Programm Geometrie mit Doppelklick starten und die zuvor in einem CAD-­ Programm separat erzeugte CAD-Datei auswählen: • • • •

Datei Externe Geometriedatei importieren CAD-Datei zum Beispiel TRohr.igs auswählen Erstellen (gelber Blitz)

Die eingelesene Geometriedatei umfasst beim TRohr das durchströmte Fluidvolumen im Inneren des Rohrs. Die Ein- und Auslassöffnungen wurden zuvor in einem CAD-­ Programm geschlossen, damit das Innere ein Volumenelement wird. Um Rechenzeit zu sparen wird die Symmetrie ausgenutzt und nur ein halbes Rohr verwendet. Abb. 8.1 zeigt das Rechengebiet für das halbe TRohr. Nach erfolgreichem Importieren der CAD-Datei erscheint im Strukturbaum bei Geometrie ein grüner Haken.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_8

155

156

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

Abb. 8.1  TRohr: Rechengebiet

8.1.2 Erzeugung des Rechengebiets mit dem Programm DesignModeler Einfachere Geometrien wie diese Rohrverzweigung können auch direkt in der Ansys-­ Workbench erstellt werden. Hier wird als Geometrieprogramm DesignModeler verwendet, siehe auch Abschn. 6.10. Für das nachfolgende Beispiel wurde in der obersten Leiste die Einheit von Meter auf Millimeter umgestellt, damit keine so kleinen Zahlenwerte eingegeben werden müssen. Das Programm DesignModeler durch doppeltes Anklicken von Geometrie im Projektschema starten. Dann werden die beiden Zylinder erstellt: • Hierfür ist in der oberen Aufgabenleiste Erstellen/Grundelemente/Zylinder auszuwählen. Es werden zwei Zylinder erstellt mit dem Standardnamen Zylinder1 und Zylinder2. • In der Detailansicht werden die Lage und die Abmessungen der beiden Zylinder definiert: Zylinder: Ursprung x-Koordinate: Ursprung y-Koordinate: Ursprung z-Koordinate:

Zylinder1 0 mm 0 mm − 300 mm

Zylinder2 0 mm 0 mm 0 mm (Fortsetzung)

8.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie) Zylinder: Achse x-Komponente: Achse y-Komponente: Achse z-Komponente: Radius:

Zylinder1 0 mm 0 mm 500 mm 25 mm

157 Zylinder2 0 mm 200 mm 0 mm 20 mm.

• Anschließend in der Aufgabenleiste auf Erstellen klicken. Beide Zylinder erscheinen jetzt im Grafikfenster, siehe Abb. 8.2. Um bei der Strömungsberechnung Rechenzeit zu sparen, können Symmetrieebenen ausgenutzt werden (siehe Abschn. 6.3). Bei der vorliegenden Rohrströmung kann deshalb eine Hälfte weggeschnitten werden. Die Vorgehensweise ist wie folgt: • In der oberen Aufgabenleiste Extras/Symmetrie anklicken. Es wird der Standardnamen Symmetrie1 im Strukturbaum angelegt. • Im linken Detailfenster wird für Symmetrie1 die Ebene definiert: –– Symmetrie: Symmetrie1 –– Symmetrieebene: YZ_Ebene im Strukturbaum markieren und Anwenden anklicken. • In der oberen Aufgabenleiste Erstellen anklicken.

Abb. 8.2  TRohr: Nach der Erstellung der beiden Zylinder

158

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

Abb. 8.3  TRohr: Nach der Halbierung des Rechenraums

Der halbierte Rechenraum ist in Abb. 8.3 im Grafikfenster zu sehen. Diese Geometriedatei wird automatisch beim Schließen des Programms DesignModeler als agdb-Datei gespeichert. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-­ Workbench- Projektschema ein grüner Haken für die Geometrie.

8.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz) 8.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes Das Rechennetz wird wieder mit dem Programm Meshing erzeugt. Hierzu in der Ansys-­ Workbench beim Projektschema Netz doppelt anklicken. Durch Anklicken von Aktualisieren oder Netz erstellen in der Aufgabenleiste wird ein unstrukturiertes Rechennetz mit den Standardparametern erzeugt (Abb.  8.4). Falls das Netz im Grafikfenster unsichtbar ist, kann es aktiviert werden durch Markieren von Netz im Strukturbaum oder Netz anzeigen in der Aufgabenleiste. Die standardmäßige Auflösung mit einem Winkel der Krümmungsnormalen von 18° führt dazu, dass einem Umfangswinkel von 180° für das halbe Rohr nur 10 Netzzellen in

8.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

159

Abb. 8.4   TRohr: Standardnetz

Umfangsrichtung entstehen. Dies ist zu grob, weshalb das gesamte Netz noch global verfeinert wird: • • • •

Im Strukturbaum Netz mit rechter Maustaste markieren. In der Detailansicht die Elementgröße aufklappen (+ anklicken): Den Winkel der Krümmungsnormalen verkleinern vom Standardwert 18° auf 6° Netz erstellen in der Aufgabenleiste anklicken.

Jetzt ergeben sich 30 Netzzellen über den halben Rohrumfang.

8.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes an den Rohrwänden Zur Erhöhung der Genauigkeit in der Grenzschicht wird an den Rohrwänden eine Prismenschicht (Inflation) eingefügt. Im Strukturbaum Netz mit der rechten Maustaste markieren und dann Einfügen und Erzeugung einer Prismenschicht (Inflation) auswählen. In der Detailansicht können nun die Parameter eingegeben werden (um auf die richtige Detailansicht zugreifen zu können muss ev. im Strukturbaum Erzeugung der Prismenschichten markiert werden).

160

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

In der Detailansicht unter Zuweisung angeben: • Zuweisungsmethode: Geometrieauswahl • Geometrie anklicken, es erscheint Anwenden • Dann im Grafikfenster den Körper auswählen. Ggf. zuvor in der Aufgabenleiste Körper auswählen (grüner Würfel oben). In diesem Fall gibt es nur einen Volumenkörper. • Anwenden anklicken, es erscheint 1 Körper. In der Detailansicht unter Definition angeben: • Randzuweisung: Geometrieauswahl • Rand anklicken, es erscheint Anwenden • Dann im Grafikfenster die Randfläche auswählen. Ggf. zuvor in der Aufgabenleiste Fläche auswählen (Würfel mit grüner Fläche). In diesem Fall sind es die beiden Zylinderwände an denen das Netz für die Auflösung der Grenzschicht verfeinert werden soll. Mit der STRG-Taste können beide Flächen markiert werden. • Anwenden anklicken, es erscheint 2 Flächen. • Option zur Erzeugung der Prismenschichten: Gesamtdicke • Maximale Anzahl der Schichten: 15 • Maximale Dicke: 10 mm (Falls in der Aufgabenleiste unter Maßeinheiten m eingestellt ist auf mm umschalten oder den Wert in m eingeben). In der Aufgabenleiste Netz erstellen anklicken. Das verfeinerte Rechennetz wird erzeugt. In der Aufgabenleiste muss ggf. Netz anzeigen markiert werden, damit das Netz sichtbar ist. Abb. 8.5 zeigt das Rechennetz mit der Prismenschicht an beiden Rohrwänden.

8.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen Um später im Programm CFX-Pre die physikalischen Randbedingungen richtig definieren zu können, muss wieder jede Randfläche separat als Komponente definiert werden. Die Vorgehensweise ist wie folgt: • In der Aufgabenleiste Fläche markieren (Würfel mit grüner Fläche). • Im Grafikfenster eine Randfläche markieren, zum Beispiel den Zuströmrand links. Diese wird dann grün. Gegebenenfalls muss im Grafikfenster die Geometrie gedreht werden, bis diese Randfläche sichtbar wird und angeklickt werden kann. • Mit rechter Maustaste Einfügen und Komponente auswählen. • Die Komponente hat standardmäßig den Namen Auswahl. Diese mit rechter Maustaste im Strukturbaum anklicken und Umbenennen zum Beispiel in Zustroemrand_vorne.

8.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

161

Abb. 8.5  TRohr: Verfeinertes Rechennetz

Für folgende fünf Randflächen müssen in diesem Beispiel Komponenten definiert werden: Zustroemrand_vorne, Zustroemrand_oben, Abstroemrand, Symmetrie und Wand. Mehrere Flächen können durch Halten der Strg-Taste markiert werden. Die Randflächen werden im Grafikfenster mit roten Pfeilen angezeigt (Abb. 8.6).

8.2.4 Beenden des Programms Meshing Diese Netzdatei wird wieder automatisch beim Schließen des Programms Meshing als CFX.cmdb gespeichert. Diese steht anschließend für dir Vorbereitung der Rechnung zur Verfügung. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-Workbench-­ Projektschema ein grüner Haken für das Netz. Hinweis: falls dies nicht der Fall sein sollte, dann bitte Netz nochmals mit der rechten Maustaste anklicken und System aktualisieren auswählen. Das Programm Meshing läuft dann nochmals durch.

162

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

Abb. 8.6  TRohr: Nach der Benennung der Randflächen (Komponenten)

8.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup) Achtung: ab hier müssen Dezimalzahlen mit Punkt eingegeben werden entsprechend der englischen Schreibweise.

8.3.1 Starten des Programms CFX-Pre Zur Erzeugung der Eingabedaten für die Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Setup doppelt an. Das Programm CFX-Pre startet. Das Rechennetz kann mit angezeigt werden, indem im Strukturbaum die Netzdatei CFX.cmdb markiert wird.

8.3.2 Definition der Rechenparameter Die Rechenparameter sind bereits mit sinnvollen Standardwerten besetzt. Es werden nur diejenigen angegeben, die geändert werden sollten.

8.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

163

Im Strukturbaum unter Default Domain/Basic Settings sind dies: • Material: Water • Reference Pressure: 0 Pa. Es werden Absolutdrücke berechnet. (Bei 1  atm würden Relativdrücke zum Referenzdruck von 1 atm berechnet.) Ins Fenster Default Domain/Fluid Models wechseln und noch folgende Parameter ändern: • Heat Transfer Option: Total Energy • Turbulence Option: Shear Stress Transport. Mit OK speichern.

8.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen An den Rändern des Rechengebiets müssen physikalische Randbedingungen vorgegeben werden. Bei diesem Beispiel werden folgende Randbedingungen verwendet: • An den Zuströmrändern werden Massenströme vorgegeben. Es ist zu beachten, dass beim halbierten Rohr auch nur der halbe Massenstrom vorgegeben werden darf. • Am Abströmrand wird der gemittelte statische Druck vorgegeben. Dies hat den Vorteil, dass der statische Druck selbst nicht konstant sein muss am Abströmrand. Hierdurch kann der Abströmbereich verkürzt werden ohne dass die Strömung beeinflusst wird. • An der Rohrwand werden ein Wärmeübergangskoeffizient und die Umgebungstemperatur vorgegeben. Generell muss zuvor immer überprüft werden, ob die Größen physikalisch sinnvoll sind und richtig umgerechnet wurden! Die Randbedingungen können wieder auf zwei Arten erzeugt werden, entweder über die Aufgabenleiste mit dem Symbol Boundary (Symbol mit 2 Pfeilen nach links) oder über den Strukturbaum. Hierzu ist Default Domain mit der rechten Maustaste zu markieren. Über Insert und Boundary wird die Randbedingung erzeugt. Zuströmränder Für die beiden Zuströmränder vorne und oben werden im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Inlet1 bzw. Inlet2 eingegeben. Es erscheinen die zwei neuen Fenster Basic Settings und Boundary Details. Im Fenster Basic Settings wählen: • Boundary Type: Inlet • Location: Zustroemrand_vorne bzw. Zustroemrand_oben

164

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

Im Fenster Boundary Details wählen: • • • • • •

Flow Regime: Subsonic Mass and Momentum Option: Mass Flow Rate Mass Flow Rate: 5 kg/s bzw. 3 kg/s (für die halben Rohre) Flow Direction: Normal to Boundary Condition Heat Transfer Option: Static Temperature Static Temperature: 20 °C bzw. 50 °C

Mit OK speichern. Abströmrand Für den Abströmrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Outlet eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen: • Boundary Type: Outlet • Location: Abstroemrand Im Fenster Boundary Details wählen: • • • • •

Flow Regime Option: Subsonic Mass and Momentum Option: Average Static Pressure. Relative Pressure: 2 bar Pressure Profile Blend: 0,05 Pressure Averaging Option: Averaging over whole outlet

Mit OK speichern. Festkörperrand Für den Festkörperrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Wall eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen: • Boundary Type: Wall • Location: Wand Im Fenster Boundary Details wählen: • Mass and Momentum Option: No Slip Wall • Wall Roughness: Smooth Wall • Heat Transfer Option: Heat Transfer Coefficient

8.3 Vorbereitung der Strömungsberechnung (Setup)

165

• Heat Transfer Coefficient: 400 W/m2/K • Outside Temperature: 15 °C Mit OK speichern. Symmetrieebene Für die Symmetrieebene wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel Symmetry eingegeben: Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Symmetry • Location: Symmetrie Das Fenster Boundary Details erscheint hier nicht, da an den Symmetrieebenen keine physikalischen Randbedingungen vorgegeben werden müssen. Mit OK speichern. Sind alle Randbedingungen definiert, so verschwindet Default Domain Default im Strukturbaum und die Randbedingungen sind mit Pfeilen im Grafikfenster sichtbar, wie in Abb. 8.7 gezeigt.

Abb. 8.7  TRohr: Setup mit allen Eingaben

166

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

8.3.4 Beenden des Programms CFX-Pre Die Daten der Vorbereitung der Strömungsrechnung werden beim Schließen von CFX-Pre in den Dateien TRohr,cfx und TRohr.def gespeichert. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-Workbench-Projektschema ein grüner Haken für das Setup.

8.4 Berechnung der Strömung (Lösung) 8.4.1 Starten des Programms CFX-Solver Zum Starten der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-Workbench-Projektschema das Feld Lösung doppelt an. Der CFX-Solver-Manager startet. Im sich öffnenden Fenster Define Run kann wieder unter Run Definition angegeben werden, ob der Rechenlauf auf einem (Serial) oder mehreren Prozessoren (zum Beispiel Intel MPI Local Parallel) ausgeführt werden soll. Bei paralleler Rechnung beträgt die Rechenzeit bei zum Beispiel vier Prozessoren nur noch ca. ein Viertel der seriellen Rechenzeit auf einem Prozessor. Die Strömungsberechnung mit Start Run starten.

8.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens Nach dem Start des Rechenlaufes erscheint das Register CFX-Solver. Neben der oberen Aufgabenleiste gibt es links wieder das Grafikfenster und auf der rechten Seite die Ausgabeliste. Im linken Grafikfenster werden die Verläufe der Residuen für jeden Zeitschritt dargestellt: • das Unterfenster Momentum and Mass zeigt die Erfüllung der Massen- und der drei Impulserhaltungsgleichungen. • Das Unterfenster Heat Transfer zeigt die Erfüllung der Energieerhaltungsgleichung. • Das Unterfenster Turbulence zeigt die Erfüllung der Turbulenzmodelle. • Falls Monitorpunkte in CFX-Pre definiert wurden, so werden sie im Unterfenster User Points angezeigt. In der rechten Ausgabeliste werden die Kontrolldaten der Ein- und Ausgabe, Warnungen und Fehlermeldungen, die Residuen zu jedem Zeitschritt und die Rechenzeiten angegeben. Die Rechnung wird beendet, wenn entweder: • Die Residuen der Erhaltungsgleichungen kleiner als der in CFX-Pre definierte Wert werden (hier 10−4). • Die in CFX-Pre angegebene maximale Anzahl der Zeitschritte erreicht wird (hier 100).

8.4 Berechnung der Strömung (Lösung)

167

Abb. 8.8  TRohr: Konvergenzverläufe nach Beendigung des Rechenlaufs

• Der Benutzer die Rechnung manuell abbricht. Hierzu ist in der Aufgabenleiste das Stop-Zeichen anzuklicken. In diesem Beispiel sind die Residuen aller Erhaltungsgleichungen nach 49 Iterationen kleiner als 10−4, womit der Rechenlauf automatisch beendet wird. Abb.  8.8 zeigt die Konvergenzverläufe für die Massenerhaltungsgleichung (rot) und die drei Impuls­ erhaltungsgleichungen (x: grün, y: blau, z: gelb).

8.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver Beim Schließen des Programms CFX-Solver werden wieder zwei Ergebnisdateien automatisch gespeichert: • Die Ergebnisdatei wie zum Beispiel TRohr_001.res. Auf ihr stehen das Ergebnis und die Konvergenzverläufe. Das Ergebnis wird für Folgeläufe und die Auswertung in CFD-Post verwendet. Die Konvergenzverläufe können mit CFX-Solver nochmals dargestellt werden. • Die Textdatei wie zum Beispiel TRohr_001.out. Sie enthält den im obigen rechten Fenster während der Rechnung angezeigten Text. • Die Nummer _001 ist die Nummer des Rechenlaufs. Bei einem Folgelauf wird der Zähler der Ergebnisdateien um eins auf TRohr_002.res und TRohr_002.out erhöht.

168

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

8.5 Auswertung (Ergebnisse) 8.5.1 Starten des Programms CFD-Post Zum Darstellen der Ergebnisse der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Ergebnisse doppelt an. Das Auswerteprogramm CFD-Post startet.

8.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern Für dieses Beispiel werden Temperatur-Isolinien erzeugt für vier Flächen, die Symmetrieebene, die beiden Zuströmränder vorne und oben und für den Abströmrand. In der Aufgabenleiste Contour (Quadrat mit bunten Kreisen) anklicken und den Namen eingeben, Standard ist Contour1. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Locations: Symmetry, Inlet1, Inlet2, Outlet. Über das Feld mit den drei Punkten können mit der Strg-Taste mehrere Flächen ausgewählt werden. • Variable: Temperature • # of Contours: 11 Apply anklicken. Es erscheint Contour1 im Strukturbaum links oben. Abb. 8.9 zeigt die Isothermen auf diesen vier Ebenen. Von links kommt die kältere Zuströmung in blau und von oben die wärmere Zuströmung in Rot. Deutlich sichtbar ist der Mischungsbereich in der rechten Rohrhälfte. Die Ergebnisse des halben Rohrs können auch durch eine Spiegelung wieder zu einem kompletten Rohr erweitert werden. Hierzu in der Aufgabenleiste wieder Contour anklicken und den Namen eingeben. Standard ist Contour2. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Locations: Outlet • Variable: Temperature • # of Contours: 11. In der Detailansicht unter View eingeben: • Den Haken aktivieren vor Apply Reflection/Mirroring • Method: YZ-Plane • X: 0 [mm] Apply anklicken. Es erscheint Contour2 im Strukturbaum links oben.

8.5 Auswertung (Ergebnisse)

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Abb. 8.9  TRohr: Isolinien der Temperatur auf vier Ebenen

Abb. 8.10  TRohr: Isolinien der Temperatur am Abströmrand

Abb.  8.10 zeigt die Isothermen am Abströmrand über das komplette Rohr. Deutlich sichtbar ist die noch ungleichmäßige Temperaturverteilung mit 20 °C (blau) unten und ca. 45 °C (orange) oben.

170

8  Übungsbeispiel Rohrinnenströmung

8.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern Geschwindigkeitsvektoren werden wie folgt erzeugt. In der Aufgabenleiste Vector (3 Pfeile) anklicken und den Namen eingeben. Standard ist Vector1. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Locations: Symmetry. In der Detailansicht unter Symbol eingeben: • Symbol Size: 0,4. Hierdurch kann die globale Länge der Vektoren gegenüber dem Standardwert von 1,0.angepasst werden, falls sie zu lange für eine übersichtliche Darstellung sind. Apply anklicken. Im Strukturbaum die anderen Bilder wie zum Beispiel Contour deaktivieren, da ansonsten die Bilder überlagert dargestellt werden. Abb. 8.11 zeigt die Strömungsvektoren auf der Symmetrieebene im Bereich der Rohrverbindung. Man erkennt hier das Rückströmgebiet nach der Mischung im oberen Bereich der rechten Rohrhälfte.

Abb. 8.11  TRohr: Geschwindigkeitsvektoren auf der Symmetrieebene

8.5 Auswertung (Ergebnisse)

171

8.5.4 Erzeugung von Stromlinien-Bildern Auch die Stromlinien werden wieder analog erzeugt. In der Aufgabenleiste Streamline (Tragflügel mit Stromlinien) anklicken und den Namen eingeben. Standard ist Streamline1. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Start from: Inlet1, Inlet2. Es können mehrere Flächen eingegeben werden, indem die drei Punkte rechts daneben angeklickt werden und die entsprechenden Flächen mit der STRG-Taste markiert werden. • # of Points: 25. Apply anklicken. Im Strukturbaum die anderen Bilder wie zum Beispiel Vector und Contour deaktivieren, da ansonsten die Bilder überlagert dargestellt werden. Auch hier ist in Abb. 8.12 das Totwassergebiet ohne Stromlinien nach der Vermischung im oberen rechten Rohrbereich sichtbar.

8.5.5 Beenden des Programms CFD-Post Alle im Strukturbaum erstellten Eingabedaten werden beim Schließen des Programms CFD-Post automatisch in einer Datei TRohr.cst abgespeichert. Diese wird beim erneuten Aufruf von CFD-Post für weitere Auswertungen wiederverwendet, wodurch wieder dieselben Bildarten (aber mit den neuen Ergebnissen) automatisch erzeugt werden.

Abb. 8.12  TRohr: Stromlinien auf der Symmetrieebene

9

Übungsbeispiel Doppelrohr-­Wärmeübertrager

Wie in Abschn. 6.10 beschrieben muss auch bei diesem Übungsbeispiel zuerst das Programm ANSYS-Workbench gestartet werden und anschließend das Analysesystem Fluiddynamik (CFX) im Projektschema angelegt werden.

9.1 Erzeugung des Rechengebiets (Geometrie) Auch in diesem Übungsbeispiel wird eine zuvor separat erzeugt CAD-Datei eingelesen. Hierfür das Programm Geometrie mit Doppelklick starten und die gewünschte CAD-­ Datei auswählen: • • • •

Datei Externe Geometriedatei importieren CAD-Datei zum Beispiel Waermerohr.igs auswählen Erstellen (gelber Blitz)

Die eingelesene Geometriedatei umfasst beim Doppelrohr-Wärmeübertrager drei Teile: • das Wasser im Innenrohr (Fluid_innen) • das Innenrohr aus Kupfer (Rohr) • das Wasser im Außenrohr (Fluid_aussen) Das Außenrohr selbst ist nicht nötig, da hier nur der Wärmedurchgang von inneren heißen Fluid durch die Kupferwand an das äußere kältere Fluid berechnet werden soll. Die Einund Auslassöffnungen müssen zuvor in einem CAD-Programm geschlossen werden,

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_9

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174

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

Abb. 9.1  Waermerohr: Drei Ansichten des Rechengebiets

damit das Innere ein Volumenelement wird. Um Rechenzeit zu sparen wird die Symmetrie ausgenutzt und nur ein halber Doppelrohr-Wärmeübertrager verwendet. Die drei Teile heißen standardmäßig alle Volumenkörper. Um diese nachher besser unterscheiden zu können, sind assoziative Namen vorteilhaft. Hierfür im Strukturbaum die drei Volumenkörper unter 3 Bauteile, 3 Körper umbenennen in Fluid_innen, Rohr und Fluid_aussen. Abb. 9.1 zeigt das Rechengebiet für das halbe Waermerohr.

9.2 Erzeugung des Rechennetzes (Netz) 9.2.1 Starten des Programms Meshing und Erzeugung eines Standardnetzes Das Rechennetz wird wieder mit dem Programm Meshing erzeugt. Hierzu im Ansys-­ Workbench-­Projektschema Netz doppelt anklicken. Das Programm Meshing startet und liest die zuvor erzeugte Geometrie ein. Durch Anklicken von Netz erstellen in der Aufgabeleiste wird das unstrukturierte Standardnetz erstellt. Falls das Netz im Grafikfenster unsichtbar ist, kann es aktiviert werden durch Markieren von Netz im Strukturbaum. Die standardmäßige Auflösung mit einem Winkel der Krümmungsnormalen von 18° führt dazu, dass einem Umfangswinkel von 180° für das halbe Rohr nur 10 Netzzellen in Umfangsrichtung entstehen. Dies ist zu grob, weshalb das gesamte Netz verfeinert wird:

9.2  Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

• Im Strukturbaum Netz mit rechter Maustaste markieren. • In der Detailansicht die Elementgröße aufklappen (+ anklicken): • Winkel der Krümmungsnormalen: vom Standardwert 18° auf 6° ändern Netz erstellen in der Aufgabenleiste anklicken. Abb. 9.2 zeigt das verfeinerte Netz mit 30 Netzzellen für das halbe Rohr.

Abb. 9.2  Waermerohr: Verfeinertes Standardnetz

175

176

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

9.2.2 Verfeinerung des Rechennetzes an den Rohrwänden Zur Erhöhung der Genauigkeit in der Grenzschicht werden drei Prismenschicht erzeugt: • eine an die Außenfläche des inneren Fluid, • eine an die Innenfläche des äußeren Fluids und • eine an die Außenfläche des äußeren Fluids. Es ist vorteilhaft, die beiden anderen Körper im Strukturbaum unter Geometrie auszublenden, damit nur ein Körper sichtbar ist. Im Strukturbaum Netz mit rechter Maustaste markieren, dann Einfügen und Erzeugung einer Prismenschicht (Inflation) auswählen. Dies muss für jede der drei Prismenschichten einzeln durchgeführt werden. In der Detailansicht unter Zuweisung angeben: • Zuweisungsmethode: Geometrieauswahl • Geometrie anklicken, es erscheint Anwenden • Im Grafikfenster den Körper auswählen, hier Fluid_innen bzw. Fluid_aussen. Ggf. zuvor in der Aufgabenleiste Körper auswählen (grüner Würfel oben). • Anwenden anklicken, es erscheint 1 Körper. In der Detailansicht unter Definition angeben: • Randzuweisung: Geometrieauswahl • Rand anklicken, es erscheint Anwenden • Im Grafikfenster die Randfläche auswählen, an die die Prismenschicht gelegt werden soll. Hier ist es jeweils die Rohrwand. • Anwenden anklicken, es erscheint 1 Fläche. • Option zur Erzeugung der Prismenschicht: Gesamtdicke • Anzahl der Schichten: 10 • Maximale Dicke: 1,5 mm Netz erstellen in der Aufgabenleiste anklicken. Jetzt müssen wieder alle Körper eingeblendet werden. Abb. 9.3 zeigt alle drei Prismenschichten.

9.2.3 Assoziative Benennung der Randflächen Alle Flächen haben standardmäßig eine Nummer. An dieser Stelle ist es sinnvoll, die Nummern in sinnvolle Namen umzuwandeln, damit sie im Programm CFX-Pre bei der Zuordnung der Randbedingungen einfach gefunden werden können. Hierfür werden für

9.2  Erzeugung des Rechennetzes (Netz)

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Abb. 9.3  Waermerohr: Verfeinertes Netzes mit den drei Prismenschichten

alle Randflächen wieder Komponenten angelegt. Um innere Flächen wie zum Beispiel die Wand zwischen Fluid innen und Rohr sichtbar zu machen, müssen die anderen Körper wieder ausgeblendet werden. Da es sich in diesem Beispiel um einen Gegenstrom-Wärmeübertrager handeln soll, liegen die Zuströmränder auf gegenüberliegenden Seiten, beim inneren Fluid links (z = 500 mm) und beim äußeren Fluid rechts (z = 0 m). Dies sollte bei der Namensgebung ­berücksichtigt werden um beim Setup die richtigen Zu- und Abströmflächen zuordnen zu können. Beim inneren Fluid gibt es die vier Randflächen Inlet, Outlet, Wall und Symmetry für die Komponenten erstellt werden: • Im Strukturbaum zuerst die Körper Rohr und Fluid_aussen mit der rechten Maustaste markieren und Körper ausblenden auswählen. Es ist dann nur noch der Körper Fluid_ innen sichtbar. • In der Aufgabenleiste Fläche markieren (Würfel mit grüner Fläche). • Im Grafikfenster eine Randfläche markieren. Diese wird dann grün. Gegebenenfalls muss im Grafikfenster die Geometrie gedreht werden, bis diese Randfläche sichtbar wird und angeklickt werden kann.

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9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

• Mit rechter Maustaste Einfügen und Komponente erstellen auswählen. • Die Komponente mit dem Standardnamen Auswahl umbenennen in einen sinnvollen Namen wie zum Beispiel IF_Inlet (links bei z = 0 mm), IF_Outlet (rechts bei z = 500 mm), IF_Wall, IF_Symmetry. Für das Rohr gibt es die fünf Randflächen Sidewall1, Sidewall2, Inner Wall, Outer Wall und Symmetry für die Komponenten erstellt werden: • Im Strukturbaum die Körper Fluid_innen und Fluid_aussen mit der rechten Maustaste markieren und Körper ausblenden auswählen. Es ist dann nur noch der Körper Rohr sichtbar. • In der Aufgabenleiste Fläche markieren (Würfel mit grüner Fläche). • Im Grafikfenster eine Randfläche markieren. Diese wird dann grün. Gegebenenfalls muss im Grafikfenster die Geometrie gedreht werden, bis diese Randfläche sichtbar wird und angeklickt werden kann. • Mit rechter Maustaste Einfügen und Komponente erstellen auswählen. • Die Komponente mit dem Standardnamen Auswahl umbenennen einen sinnvollen Namen wie zum Beispiel PI_Sidewall1, PI_Sidewall2, PI_Innerwall, PI_Outerwall, PI_Symmetry (2 Flächen mit STRG-Taste markieren). Und beim äußeren Fluid gibt es die fünf Randflächen Inlet, Outlet, Inner Wall, Outer Wall und Symmetry: • Im Strukturbaum die Körper Fluid_innen und Rohr mit der rechten Maustaste markieren und Körper ausblenden auswählen. Es ist dann nur noch der Körper Fluid_aussen sichtbar. • In der Aufgabenleiste Fläche markieren (Würfel mit grüner Fläche). • Im Grafikfenster eine Randfläche markieren. Diese wird dann grün. Gegebenenfalls muss im Grafikfenster die Geometrie gedreht werden, bis diese Randfläche sichtbar wird und angeklickt werden kann. • Mit rechter Maustaste Einfügen und Komponente erstellen auswählen. • Die Komponente mit dem Standardnamen Auswahl umbenennen einen sinnvollen Namen wie zum Beispiel OF_Inlet (rechts bei z = 500 mm), OF_Outlet (links bei z = 0 mm), OF_Innerwall, OF_Outerwall, OF_Symmetry (2 Flächen mit STRG-Taste markieren). Die Randflächen werden im Grafikfenster mit roten Pfeilen angezeigt (Abb. 9.4).

9.3  Vorbereitung der Rechnung (Setup)

179

Abb. 9.4  Waermerohr: Nach der Erzeugung der Komponenten

9.2.4 Beenden des Programms Meshing Die Netzdatei wird wieder automatisch beim Schließen des Programms Meshing als CFX. cmdb gespeichert. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-­Workbench-­ Projektschema ein grüner Haken für das Netz. Hinweis: falls dies nicht der Fall sein sollte, dann bitte Netz nochmals mit der rechten Maustaste anklicken und System aktualisieren auswählen. Das Programm Meshing läuft dann nochmals durch.

9.3 Vorbereitung der Rechnung (Setup) Achtung: ab hier müssen wieder Dezimalzahlen mit Punkt eingegeben werden entsprechend der englischen Schreibweise.

180

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

9.3.1 Starten des Programms CFX-Pre Zur Erzeugung der Eingabedaten für die Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Setup doppelt an. Das Programm CFX-Pre startet. Das Rechennetz kann mit angezeigt werden, indem im Strukturbaum die Netzdatei CFX. cmdb markiert wird.

9.3.2 Definition der Rechenparameter Bei diesem Beispiel besteht das Rechengebiet aus drei Teilen: • Ein Fluidgebiet mit Wasser innen, • ein Festkörpergebiet für das dazwischen liegende Kupferrohr und • ein Fluidgebiet mit Wasser außen. Hinweis: standardmäßig bestehen die Fluidgebiete aus demselben Material. Sollen unterschiedliche Fluide berechnet werden, wie zum Beispiel Wasser und Luft, so muss dies erst wie folgt bei den CFX-Pre-Optionen aktiviert werden: • In der Aufgabenleiste Edit und Options auswählen • Dann CFX-Pre/General/Beta Options/Physics Beta Features anklicken • Den Haken vor Enable Beta Features aktivieren. Die drei Teile haben standardmäßig Nummern, zum Beispiel B20, B47 und B68. Um diese nachher besser unterscheiden zu können, sind assoziative Namen vorteilhaft. Hierfür im Strukturbaum unter Mesh die drei Principal 3D Regions umbenennen in zum Beispiel IF, OF, PI. Für das innere Fluidgebiet mit Wasser im Strukturbaum Flow Analyis 1 mit rechter Maustaste markieren, Insert/Domain auswählen oder in der Aufgabenleiste Insert Domain (blauer Quader) auswählen und ihm einen sinnvollen Namen geben wie zum Beispiel IF für Inner Fluid. Im Register Basic Settings angeben (siehe Abb. 9.5 links): • • • •

Location: IF bzw. OF Domain Type: Fluid Domain Material: Water Reference Pressure: 1 atm bzw. 1.01325 bar

Im Register Fluid Models: • Heat Transfer Option: Total Energy • Turbulence Option: Shear Stress Transport.

9.3  Vorbereitung der Rechnung (Setup)

181

Abb. 9.5  Waermerohr: Auswahlfenster Default Domain/Basic Settings für Fluid und Solid

Mit OK speichern. Dasselbe ist für das äußere Fluidgebiet (hier zum Beispiel OF) zu wiederholen. Die Parameter in Basic Settings und in Fluid Models werden automatisch vom inneren Fluid IF übernommen. Für das Festkörpergebiet werden die Werte für Kupfer eingestellt. Im Strukturbaum Flow Analyis 1 mit rechter Maustaste markieren, Insert/Domain auswählen oder in der Aufgabenleiste Insert Domain (blauer Quader) auswählen und ihm einen sinnvollen Namen geben wie zum Beispiel PI für Pipe. Im Register Basic Settings angeben: • Location: PI • Domain Type: Solid Domain • Material: Copper Im Register Solid Models: • Heat Transfer Option: Thermal Energy Mit OK speichern.

182

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

Ist eine höhere Genauigkeit als der Standardwert von 10−4 gewünscht, so kann dies im Strukturbaum unter Solver Control/Basic Settings definiert werden: • Max. Iterations: 200. Wenn die Residuen nicht unter den Zielwert sinken, hört der Rechenlauf nach spätestens dieser Iterationszahl auf. • Residual Target: 0,00001. Der Rechenlauf hört auf, wenn das Residuum kleiner als 10−5 wird. Dies bedeutet, dass alle Erhaltungsgleichungen bis auf einen Fehler von 10−5 erfüllt sein müssen. Mit OK bestätigen.

9.3.3 Definition der physikalischen Randbedingungen An den Rändern des Rechengebiets müssen physikalische Randbedingungen vorgegeben werden. Bei diesem Beispiel werden folgende Randbedingungen verwendet: • An den beiden Zuströmrändern werden Massenströme (0,01 kg/s ≅ 36 l/h) und Temperaturen (80 °C und 10 °C) vorgegeben. Es ist zu beachten, dass beim halbierten Rohr auch nur der halbe Massenstrom, also 0,005 kg/s vorgegeben werden darf. • An den beiden Abströmrändern wird der gemittelte statische Druck von 1 bar vorgegeben. Die Mittelung hat den Vorteil, dass der statische Druck selbst nicht konstant sein muss am Abströmrand. Hierdurch kann der Abströmbereich verkürzt werden ohne dass die Strömung beeinflusst wird. • An den beiden Stirnseiten des Kupferrohrs und für die Außenwand des äußeren Fluids wird eine adiabate Wand (kein Wärmestrom) vorgegeben. • Im Kupferrohr soll die Wärmeleitung mitgerechnet werden. Deshalb müssen hier keine Randbedingungen vorgegeben werden, sondern sog. Interface-Ebenen definiert werden. Generell muss zuvor immer überprüft werden, ob die Größen physikalisch sinnvoll sind und richtig umgerechnet wurden! Die Randbedingungen können wieder auf zwei Arten erzeugt werden, entweder über die Aufgabenleiste mit dem Symbol Boundary (Symbol mit 2 Pfeilen nach links) oder über den Strukturbaum. Hierzu ist das jeweilige Rechengebiet (hier IF, PI, OF) mit der rechten Maustaste zu markieren. Über Insert und Boundary wird die Randbedingung erzeugt. Zuströmränder für Fluid Innen bzw. Fluid Außen Für die Zuströmränder des Innen- bzw. Außenrohrs wird im Fenster Insert Boundary z. B. IF_Inlet bzw. OF_Inlet eingegeben. Es erscheinen die zwei neuen Fenster Basic Settings und Boundary Details.

9.3  Vorbereitung der Rechnung (Setup)

183

Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Inlet • Location: IF_Inlet bzw. OF_Inlet. Im Fenster Boundary Details wählen: • • • • • •

Flow Regime Option: Subsonic Mass and Momentum Option: Mass Flow Rate Mass Flow Rate: 0,005 kg/s (für das halbe Rohr) Flow Direction: Normal to Boundary Condition Heat Transfer Option: Static Temperature Static Temperature: 80 °C für das Fluid innen bzw. 10 °C für das Fluid außen.

Mit OK speichern. Abströmränder für Fluid Innen bzw. Fluid Außen Für den Abströmrand wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel IF_Outlet bzw. OF_ Outlet eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Outlet • Location: IF_Outlet bzw. OF_Outlet. Im Fenster Boundary Details wählen: • • • • •

Flow Regime Option: Subsonic Mass and Momentum Option: Average Static Pressure. Relative Pressure: 0 bar (relativ zum Referenzdruck von 1 atm) Pressure Profile Blend: 0.05 Pressure Averaging Option: Averaging over whole outlet

Mit OK speichern. Festkörperrand für Fluid Außen Für den Festkörperrand des äußeren Fluidbereichs werden im Fenster Insert Boundary zum Beispiel OF_Wall eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Wall • Location: OF_Outerwall

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9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

Im Fenster Boundary Details ist bereits ausgewählt: • Mass and Momentum Option: No Slip Wall • Wall Roughness: Smooth Wall • Heat Transfer Option: Adiabatic Mit OK speichern. Festkörperrand für Rohr Stirnseiten Für die Stirnseiten des Rohrs werden im Fenster Insert Boundary zum Beispiel PI_Sidewall eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Wall • Location: PI_Sidewall1 und PI_Sidewall2 (mit Strg-Taste) Im Fenster Boundary Details ist bereits ausgewählt: • Heat Transfer Option: Adiabatic Mit OK speichern. Symmetrieebenen für Fluid Innen, Fluid Außen und Rohr Für die Symmetrieebene wird im Fenster Insert Boundary zum Beispiel IF_Symmetry bzw. OF_Symmetry bzw. PI_Symmetry eingegeben. Im Fenster Basic Settings wählen • Boundary Type: Symmetry • Location: IF_Symmetry für das Fluid innen bzw. OF_Symmetry für das Fluid außen bzw. PI_Symmetry für das Rohr. Mit der Strg-Taste können mehrere Flächen markiert werden. Mit OK speichern. Interface-Ebenen zwischen Fluid und Rohr Die Verbindungsebenen zwischen den Rechengebieten Fluid und Festkörper werden als Domain Interfaces behandelt. Hierfür muss in der Aufgabenleiste das Symbol Create a Domain Interface (zwei blaue Gebiete mit Verbindungslinien) angeklickt werden. Es erscheint das Fenster Insert Domain Interface, wo der Name angegeben werden kann wie zum Beispiel IF_PI bzw. OF_PI:

9.3  Vorbereitung der Rechnung (Setup)

185

Im Fenster Domain Interface wählen: • • • • • •

Interface Type: Fluid Solid Interface Side 1 Domain: IF bzw. OF Interface Side 1 Region List: IF_Wall bzw. OF_Innerwall Interface Side 2 Domain: PI Interface Side 2 Region List: PI_Innerwall bzw. PI_Outerwall Interface Models Option: General Connection.

Über OK werden die eingegebenen Werte gespeichert. Sind alle Randbedingungen definiert, so verschwindet Default Domain Default im Strukturbaum und die Randbedingungen sind mit Pfeilen im Grafikfenster sichtbar, wie in Abb. 9.6 gezeigt.

9.3.4 Beenden des Programms CFX-Pre Die Daten der Vorbereitung der Strömungsrechnung werden beim Schließen von CFX-Pre in den Dateien Waermerohr,cfx und Waermerohr.def gespeichert. Nach dem Schließen des Programms erscheint im Ansys-Workbench-Projektschema ein grüner Haken für das Setup.

Abb. 9.6  Waermerohr: Setup mit allen Eingaben

186

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

9.4 Berechnung der Strömung (Lösung) 9.4.1 Starten des Programms CFX-Solver Zum Starten der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-Workbench-Projektschema das Feld Lösung doppelt an. Der CFX-Solver-Manager startet. Im sich öffnenden Fenster Define Run kann wieder unter Run Definition angegeben werden, ob der Rechenlauf auf einem (Serial) oder mehreren Prozessoren (zum Beispiel Intel MPI Local Parallel) ausgeführt werden soll. Bei paralleler Rechnung beträgt die Rechenzeit bei zum Beispiel vier Prozessoren nur noch ca. ein Viertel der seriellen Rechenzeit auf einem Prozessor. Die Strömungsberechnung mit Start Run starten.

9.4.2 Überwachung des Konvergenzverhaltens Nach dem Start des Rechenlaufes erscheint der CFX-Solver-Manager mit dem Grafikfenster links und der Ausgabeliste rechts. In diesem Beispiel sind die Residuen aller Erhaltungsgleichungen nach 129 Iterationen kleiner als 10−5, womit der Rechenlauf automatisch beendet wird. Im linken Grafikfenster werden die Verläufe der Residuen für jeden Zeitschritt dargestellt: • In den Unterfenstern Momentum and Mass-1 und -2 wird die Erfüllung der Massenund der drei Impulserhaltungsgleichungen für das innere und äußere Fluid gezeigt. • Das Unterfenster Heat Transfer zeigt die Erfüllung der Energieerhaltungsgleichung. Bei diesem Beispiel mit Wärmeübertragung von einem warmen inneren Fluid durch die Rohrwand an das andere kalte äußere Fluid werden drei Energieerhaltungsgleichungen gelöst, eine im inneren Fluid (rot), eine im äußeren Fluid (grün) und eine im Festkörper (blau), siehe Abb. 9.7. • Die Unterfenster Turbulence-1 und -2 zeigen die Erfüllung der Turbulenzmodelle für das innere und das äußere Fluid.

9.4.3 Beenden des Programms CFX-Solver Es werden wieder zwei Ergebnisdateien automatisch gespeichert: • Die Ergebnisdatei wie zum Beispiel Waermerohr_001.res. Auf ihr stehen das Ergebnis und die Konvergenzverläufe. • Die Textdatei wie zum Beispiel Waermerohr_001.out. Sie enthält den im obigen rechten Fenster während der Rechnung angezeigten Text. • Die Nummer _001 ist die Nummer des Rechenlaufs. Bei einem Folgelauf wird der Zähler der Ergebnisdateien um eins auf Waermerohr_002.res und Waermerohr_002.out erhöht.

9.5  Auswertung (Ergebnisse)

187

Abb. 9.7  Waermerohr: Konvergenzverlauf für die Energieerhaltung (Heat Transfer) nach der Beendigung des Rechenlaufs

9.5 Auswertung (Ergebnisse) 9.5.1 Starten des Programms CFD-Post Zum Darstellen der Ergebnisse der Strömungsberechnung klicken Sie im Ansys-­ Workbench-­Projektschema das Feld Ergebnisse doppelt an. Das Auswerteprogramm CFD-Post startet.

9.5.2 Erzeugung von Isolinien-Bildern In der Aufgabenleiste Insert und Contour anklicken oder alternativ das Quadrat mit den bunten Kreisen. Den Namen eingeben. Standard ist Contour1. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Domains: All Domains • Locations: IF_Symmetry, OF_Symmetry, PI_Symmetry für die Symmetrieebene und IF_Inlet, IF_Outet, OF_Inlet, OF_Outlet, PI_Sidewall für die Rohrenden (mit Strg-Taste können alle über die drei Punkte daneben markiert werden) • Variable: Temperature • # of Contours: 11.

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9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

Apply anklicken. Es erscheint Contour1 im Strukturbaum links oben. Um die Rohrenden als volles Rohr zu sehen, muss noch eine zweite Contour angelegt werden. Hierfür im Strukturbaum Contour1 mit der rechten Maustaste markieren und Duplicate anklicken. Es entsteht Contour2. Contour2 im Strukturbaum anklicken damit sich die Detailansicht öffnet. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Domains: All Domains • Locations: IF_Inlet, IF_Outet, OF_Inlet, OF_Outlet, PI_Sidewall für die Rohrenden (mit Strg-Taste können alle über die drei Punkte daneben markiert werden) • Variable: Temperature • # of Contours: 11. In der Detailansicht unter View eingeben: • Den Haken vor Apply Reflection/Mirroring aktivieren • Method: YZ-Plane • X: 0 [mm]. Apply anklicken. Es erscheint Contour2 im Strukturbaum links oben. Abb. 9.8 zeigt die Isothermen auf der Symmetrieebene und den Rohrenden zusammen. Das 80 °C warme Wasser strömt im Innenrohr von links nach rechts und gibt dabei Wärme durch das Kupferrohr an das kalte Wasser außen ab. Da es einem Gegenstrom-­ Wärmeübertrager entsprechen soll, strömt das 10 °C kalte Wasser im Außenrohr von rechts nach links. Die Isothermen an den beiden Rohrenden sind in Abb. 9.9 und 9.10 ­dargestellt.

Abb. 9.8  Waermerohr: Isolinien der Temperatur auf der Symmetrieebene und an den Rohrenden

9.5  Auswertung (Ergebnisse)

Abb. 9.9  Waermerohr: Isolinien der Temperatur am Rohrende mit warmer Zuströmung innen

Abb. 9.10  Waermerohr: Isolinien der Temperatur am Rohrende mit kalter Zuströmung außen

189

190

9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

9.5.3 Erzeugung von Vektor-Bildern Für die Geschwindigkeitsvektoren in der Aufgabenleiste Insert und Vector anklicken oder alternativ das Quadrat mit den drei Pfeilen. Dann den Namen eingeben, Standard ist Vector1. In der Detailansicht unter Geometry eingeben: • Domains: All Domains • Locations: IF_Symmetry, OF_Symmetry In der Detailansicht unter Symbol eingeben: • Symbol Size: 0,1. Hierdurch kann die globale Länge der Vektoren gegenüber dem Standardwert von 1,0.angepasst werden, falls sie zu lange für eine übersichtliche Darstellung sind. Apply anklicken. Im Strukturbaum die anderen Bilder wie zum Beispiel Contour deaktivieren, da ansonsten die Bilder überlagert dargestellt werden. Man erkennt hier das ausströmende innere Fluid und das einströmende äußere Fluid mit den Grenzschichten an den Rohrwänden (Abb. 9.11).

Abb.  9.11  CFD-Post: Geschwindigkeitsvektoren auf der Symmetrieebene beim kalten Eintrittsende

9.5  Auswertung (Ergebnisse)

191

9.5.4 Erzeugung von Diagrammen Um die Temperaturverläufe entlang der z-Achse von 0 mm bis 500 mm darstellen zu können, werden zwei Linien bei x = 0 mm definiert, die für das warme innere Fluid beim Radius von y = 0 mm und die für das kältere äußere Fluid beim Radius von y = 14 mm. Hierzu in der Aufgabenleiste unter Location/Line anklicken. Im Fenster Insert Line kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Line1. Er erscheint dann im Strukturbaum links oben. In der Detailansicht von Line1 ist einzugeben: • • • •

Domains: IF Method: Two Points Point 1: 0, 0, 0 Point 2: 0, 0, 500

Mit Apply bestätigen. Im Strukturbaum Line1 mit der rechten Maustaste markieren und Duplicate anklicken. Es entsteht Line2. In der Detailansicht von Line 2 ist einzugeben: • • • •

Domains: OF Method: Two Points Point 1: 0, 14, 0 Point 2: 0, 14, 500

Mit Apply bestätigen. Jetzt sind die beiden Linien entlang der Z-Achse für das innere und äußere Fluid definiert. Im zweiten Schritt wird das Diagramm definiert. In der Aufgabenleiste das Symbol Chart (xy-Diagramm mit 3 bunten Linien) anklicken. Im Fenster Insert Chart kann ein Name angegeben werden. Standardname ist Chart1. In der Detailansicht von Chart1 werden folgende Daten angegeben: • • • • •

General/Title: Inner Fluid Temperatur Data Series/Data Source/Location: Line 1 X Axis/Data Selection/Variable: Z X-Axis/Axis Range/Invert Axis anklicken, damit der Zuströmrand mit 80 °C links liegt Y Axis/Data Selection/Variable: Temperature.

Apply anklicken und Chart1 erscheint im Strukturbaum links oben. Im Strukturbaum Chart 1 mit der rechten Maustaste markieren und Duplicate anklicken. Es entsteht Chart 2.

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9  Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager

In der Detailansicht von Chart 2 lauten die Daten dann: • General/Title: Outer Fluid Temperature. • Data Series/Data Source/Location: Line 2 Apply anklicken und Chart 2 erscheinen im Strukturbaum links oben. Jetzt erscheint im Grafikfenster der Temperaturverlauf entlang der Strömung für das innere bzw. das äußere Fluid (Abb. 9.12). Das warme Wasser im Innenrohr kühlt sich von 80 °C auf ca. 78 °C ab, während sich das kalte Wasser im Außenrohr von 10 °C auf ca. 19 °C erwärmt. Diese Werte können auch in einer Datei gespeichert werden für die spätere Verarbeitung zum Beispiel in Excel. Hierfür muss in der Detailansicht: • File/Export angeklickt werden. • Im Export-Fenster kann der Dateityp gewählt werden wie zum Beispiel *.csv oder *.txt. • Nach der Eingabe des Dateinamens mit Save abspeichern. Des Weiteren können auch direkt Bilder erzeugt werden über die Aufgabenleiste mit File und Save Picture.

Abb. 9.12  Waermerohr: Temperaturverlauf des inneren und äußeren Fluides

Beispiel Parametervariation

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Oftmals sollen mehrere CFD-Rechnungen durchgeführt werden, bei denen sich Geometrie- oder Strömungsgrößen ändern. Beim Übungsbeispiel Tragflügelumströmung kann dies z.  B. der Anströmwinkel bzw. das Verhältnis der beiden Geschwindigkeitskomponenten u und v sein. Beim Übungsbeispiel Rohrströmung kommen hierfür zum Beispiel der Massenstrom m und beim Übungsbeispiel Doppelrohr-Wärmeübertrager die Rohrlänge l in Betracht. Dann können diese zu variierenden Größen einmal als Parameter definiert werden. Die Werte dieser Parameter werden dann anschließend in einem Parametersatz definiert. Die Rechnung muss dann nur einmal gestartet werden, alle Folgeläufe mit veränderten Parametern laufen dann automatisch nacheinander ab. In nachfolgendem Beispiel wurde die Druckdifferenz an einer Messblende zur Durchflussbestimmung für fünf verschiedene Massenströme automatisch berechnet. Diese Messblende wird in einem Praktikumsversuch verwendet, sodass auch eine Validierung durchgeführt werden kann. Zudem gibt es noch Werte aus einer Norm für Messblenden.

10.1 Definition der Eingabeparameter Zuerst muss im Setup der Eingabeparameter definiert werden. Hier wird der Massenstrom verwendet. Um Rechenzeit einzusparen wurde hier die Symmetrie ausgenutzt und nur das halbe Rohr berechnet. Folglich wird auch nur der halbe Massenstrom vorgegeben: • Insert Expression und als Zum Beispiel massflow bezeichnen • Dann unter Details den Startmassenstrom von 0,1 [kg s^−1] definieren • Unter Expression massflow anklicken und als Workbench input parameter definieren. Es erscheint ein →P vor massflow, siehe Abb. 10.1 links • Am Zuströmrand dann den Massenstrom mit dem Parameter massflow belegen anstelle eines Zahlenwertes, siehe Abb. 10.1 rechts. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 S. Lecheler, Numerische Strömungsberechnung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-42406-0_10

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10  Beispiel Parametervariation

Abb. 10.1  Setup/CFX-Pre: Definition des Eingabeparameters massflow

10.2 Definition der Ausgabeparameter Dann muss eine Strömungsberechnung mit Lösung durchgeführt werden. Anschließend kann dann unter Ergebnisse der Ausgabeparameter, hier zum Beispiel die Druckdifferenz vor und nach der Messblende definiert werden: • Insert Expression und als zum Beispiel deltap bezeichnen • Dann unter Details deltap definieren zum Beispiel als Druckdifferenz der flächengemittelten Drücke vor und nach der Messblende: ave(Pressure)@Point1  – ave(Pressure)@Point2 • Zuvor müssen noch die x,y,z-Koordinaten der beiden Druckmessstellen über Insert Location Point1 und Point2 definiert werden • Unter Expression deltap anklicken und als Workbench output parameter definieren. Es erscheint ein P→ vor deltap, siehe Abb. 10.2.

10.3 Parametersatz

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Abb. 10.2  Ergebnisse/CFD-Post: Definition des Ausgabeparameters deltap

10.3 Parametersatz In der Ansys-Workbench erscheint jetzt der Parametersatz, siehe Abb.10.3. Wird der Parametersatz in der Ansys-Workbench geöffnet, dann erscheinen auf der linken Seite die beiden definierten Parameter, siehe Abb. 10.4: • Der Eingabeparameter P1 massflow mit dem Startwert 0,1 kg s^−1 • Der Ausgabeparameter P2 deltap mit dem berechneten Wert 0,0054753 bar. Auf der rechten Seite des Parametersatzes (Abb. 10.5) werden nun die weiteren Massenströme, hier zum Beispiel 0,2, 0,3, 0,4 und 0,5 in der Tabelle für die Design Points vorgegeben. Sollen die Ausgabedateien der weiteren Designpunkte zur weiteren Auswertung zur Verfügung stehen, so ist der grüne Haken unter Behalten zu aktivieren. Dann werden in der Ansys-Workbench oben unter „Alle Design Points aktualisieren“ die weiteren Rechnungen gestartet. Nach der Berechnung der vier weiteren Designpunkte DP1, DP2, DP3 und DP4 erscheinen die berechneten Druckdifferenzen in der Tabelle (Abb. 10.6).

196

10  Beispiel Parametervariation

Abb. 10.3 Ansys-Workbench: Projektschema mit Parametersatz

Abb. 10.4  Setup/CFX-Pre: Definition des Eingabeparameters massflow

Abb. 10.5  Ansys-Workbench Parametersatz: Vorgabe der weiteren Eingabeparameter DP1 bis DP4

10.4  Vergleich der Ergebnisse zur Validierung

197

Abb. 10.6  Ansys-Workbench Parametersatz: Tabelle nach allen fünf Rechnungen DP0 bis DP4

10.4 Vergleich der Ergebnisse zur Validierung Diese berechneten Werte können dann mit anderen Werten im Rahmen einer Validierung verglichen werden, siehe Abb. 10.7. Hier erfolgt der Vergleich mit Messungen aus einem Praktikumsversuch und Werten aus der Norm ISO 5157. Es wird der Massenstrom für das volle Rohr aufgetragen. Die Übereinstimmung zwischen der CFX-Rechnung und der DIN-Norm ist sehr gut, die Messergebnisse weichen etwas ab. Dies liegt sehr wahrscheinlich an den nicht ganz optimalen Einbaubedingungen im Versuch.

Abb. 10.7  Validierung der Rechenergebnisse für eine Messblende

Antworten zur Zielkontrolle

11

11.1 Kap. 2 Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik 1. Erhaltungsgrößen sind die Masse, der Impuls in x-, y- und z-Richtung und die Energie. 2. Die Unterschiede zwischen Integral- und Differentialform sind in Tab.  2.1 zusammengefasst. 3. Die Massenerhaltungsgleichung wird an einem raumfesten Volumenelement hergeleitet. Die Summe aller Massenströme durch die sechs Oberflächen ist gleich der zeitlichen Änderung der Masse im Volumenelement. 4. Die Impulserhaltungsgleichungen werden aus dem zweiten Gesetz von Newton hergeleitet. 5. Die Energieerhaltungsgleichung wird aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik hergeleitet. 6. Die vektorielle Form der Navier-Stokes-Gleichungen ist als Gl. 2.18 angegeben. 7. Zusätzliche Gleichungen sind die thermische und die kalorischen Zustandsgleichungen und neun Beziehungen für die Spannungen, wie zum Beispiel die Stokesschen Be­ ziehungen. 8. Physikalische Randbedingungen müssen vom Benutzer vorgegeben werden, numerische Randbedingungen werden vom Programm berechnet. 9. Am Unterschall-Zuströmrand müssen vier physikalische Randbedingungen vorgegeben werden, an einem Überschall-Abströmrand keine (in 3D). 10. Die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen lösen die Turbulenzen auf und benötigen deshalb ein extrem feines Rechennetz. Die Reynolds-gemittelten Navier-­Stokes-­ Gleichungen verwenden Turbulenzmodelle und benötigen nicht so feine Rechennetze, weshalb die Rechenzeiten deutlich kürzer sind. 11. Turbulenzmodelle sind notwendig, um die hochfrequenten turbulenten Schwankungen, die vom Rechennetz nicht aufgelöst werden, berechnen zu können.

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11  Antworten zur Zielkontrolle

12. Bei den Thin-Layer Navier-Stokes-Gleichungen werden die Reibungs- und Wärmeleitungsterme in die beiden Richtungen parallel zur Wand vernachlässigt. 13. Bei den Euler-Gleichungen werden alle Reibungs- und Wärmeleitungsterme vernachlässigt. Sie gelten deshalb nur für hohe Reynoldszahlen und ablösefreie Strömungen. 14. Bei der Potentialgleichung werden alle Reibungs- und Wärmeleitungsterme wie bei den Euler-Gleichungen vernachlässigt und Verluste werden nicht zugelassen (Rotationsfreiheit bzw. isentrope und isenthalpe Strömung). 15. Die Polare kann nur mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnet werden, da bei größeren Anstellwinkeln die Strömung ablösen kann. 16. Um die Stoßlage um ein Hyperschallflugzeug abschätzen zu können, würden die Euler-­Gleichungen ausreichen.

11.2 Kap. 3 Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen 1. Diskretisierung bedeutet die Umwandlung der Differentiale in finite Differenzen. 2. Diskretisierungsmethoden sind die Finite-Elemente-Methode, die Finite-­Volumen-­ Methode und die Finite-Differenzen-Methode. 3. Die räumlichen Ableitungen können durch Vorwärtsdifferenzen, Rückwärtsdifferenzen oder zentrale Differenzen diskretisiert werden. 4. Die Genauigkeitsordnung ist die Größenordnung des Abbruchfehlers. Bei einer Genauigkeit 1. Ordnung ist der Abbruchfehler zum Beispiel O(Δx), bei 2. Ordnung O(Δx2). 5. Bei stetigem Verlauf der Strömungsgröße sollte die Genauigkeit 2. Ordnung sein, bei unstetigem Verlauf nur 1. Ordnung um Oszillationen an der Unstetigkeitsstelle zu vermeiden. 6. Die zeitliche Ableitung kann durch eine Vorwärtsdifferenz oder eine zentrale Differenz diskretisiert werden. 7. Bei der zeitasymptotischen Rechnung wird eine stationäre Lösung gesucht und die zeitliche Ableitung wird lediglich aus numerischen Gründen verwendet. Bei der zeitgenauen Rechnung wird die instationäre Lösung gesucht und die zeitliche Ableitung wird physikalisch aufgelöst. 8. Für die instationäre Rechnung wird eine zentrale Differenz verwendet, da diese eine Genauigkeit von 2. Ordnung hat. 9. Für stationäre Lösungen werden die zeitlichen Ableitungen mitgelöst, da dann die Erhaltungsgleichungen hyperbolisch bleiben und mit einem Lösungsverfahren gelöst werden können. 10. Nach der Diskretisierung erhält man die so genannten Differenzengleichungen. 11. Die Differenzengleichung ist konsistent mit der Differentialgleichung, wenn für Netzmaschenweiten, die gegen Null gehen, die Abbruchfehler auch gegen Null gehen, d. h. die Differenzengleichungen stimmen mit den Differentialgleichungen überein.

11.3  Kap. 4 Rechennetze

201

12. Ein numerisches Lösungsverfahren ist stabil, wenn die Abbruchfehler während des Rechenlaufs immer kleiner werden. Die numerische Lösung erfüllt dann die Differenzengleichung. 13. Eine numerische Lösung ist konvergent, wenn sie die Differentialgleichungen erfüllt. Das Residuum als Maß für die Erfüllung der Erhaltungsgleichungen muss immer kleiner werden. Sind die Residuen aller Erhaltungsgleichungen kleiner als 10−4, so spricht man in der Regel von einer konvergenten Lösung. 14. Eine additive numerische Viskosität wird bei der zentralen räumlichen Diskretisierung benötigt, um die Abbruchfehler zu dämpfen, das Verfahren stabil zu machen und Oszillationen an Unstetigkeitsstellen zu reduzieren. 15. Upwind-Diskretisierung bedeutet eine einseitige Diskretisierung, die die Ausbreitungsrichtung von Informationen berücksichtigt. 16. Bei der expliziten Diskretisierung werden die Flussterme zum bekannten Zeitpunkt n gebildet, während sie bei der impliziten Diskretisierung zum Zeitpunkt n + 1 gebildet werden. 17. Vorteil der impliziten Diskretisierung ist, dass größere Zeitschritte verwendet werden können. Hierdurch sind die Gesamtrechenzeiten üblicherweise kürzer als bei expliziten Verfahren. Nachteil ist die aufwändigere Programmierung, da ein Gleichungssystem gelöst bzw. eine Matrix invertiert werden muss. 18. Die CFL-Zahl (Courant-Friedrichs-Levy-Zahl) koppelt den Zeitschritt Δt an die Maschenweite Δx, siehe Gl. 3.31. 19. Bei einem rein expliziten Verfahren kann die maximale CFL-Zahl höchstens 1 sein.

11.3 Kap. 4 Rechennetze 1. Um Stützstellen für die Differenzengleichungen zu haben 2. Ein gutes Rechennetz soll möglichst rechtwinklig sein mit Änderungsraten kleiner als 1,2. Dann sind die Abbruchfehler am kleinsten und die Genauigkeit am größten (sieh auch Abschn. 6.4). 3. Bei schiefwinkligen Rechennetzen passen sich die Netzlinien der Wandkontur an, wodurch die Genauigkeit der Lösung am Rand steigt. 4. O-, C-, und H-Rechennetze sind schiefwinklige Rechennetze. Die Buchstaben geben die Form der Netzlinien an, siehe Abschn.  4.3.2. O-Rechennetze lösen die Grenzschicht an der Geometrie gut auf, allerdings nicht den Nachlauf. C- und H-­Rechennetze lösen Grenzschicht und Nachlauf gut auf. H-Rechennetze verschwenden allerdings Netzpunkte in der Zuströmung. 5. Rechennetze werden am Festkörperrand verdichtet, um die Strömungsgradienten in der Wandgrenzschicht auflösen zu können und die Genauigkeit zu erhöhen. Bei reibungsfreier Rechnung ist dies nicht notwendig, so dass am Festkörperrand die Rechennetze deutlich gröber sein können, was Rechenzeit spart.

202

11  Antworten zur Zielkontrolle

6. Die Grenzschicht soll bei reibungsbehafteter Rechnung mit mindestens 10 Netzzellen aufgelöst werden. 7. Der Vorteil blockstrukturierter Rechennetze ist, dass sie aus mehreren Blöcken zusammengesetzt werden können. Hierdurch lassen sich auch für komplexere Geome­ trien gute Rechennetze mit geringer Schiefwinkligkeit erzeugen. 8. Adaptive Rechennetze passen ihre Maschenweite automatisch den Strömungsgradienten an. Somit können zum Beispiel Verdichtungsstöße gut aufgelöst werden, während im restlichen Strömungsfeld unnötige Netzpunkte vermieden werden. Die Rechnungen können somit genau und effizient durchgeführt werden. 9. Unstrukturierte Rechennetze sind sehr flexibel und lassen sich auch an komplexe und zusammengesetzte Geometrien gut anpassen. 10. Eine ideale Netzzelle soll am besten rechtwinklig sein, da dann die Abbruchfehler klein sind und die Genauigkeit groß.

11.4 Kap. 5 Lösungsverfahren 1. Die drei Klassen von Lösungsverfahren sind zentrale Verfahren, Upwind-Verfahren und High-Resolution-Verfahren. 2. Zentrale Verfahren sind genau, haben aber Probleme an Unstetigkeitsstellen wie Verdichtungsstößen. Die Lösung oszilliert dort meistens. Upwind-Verfahren sind sehr robust und oszillationsfrei, allerdings nicht genau genug. High-Resolution-Verfahren kombinieren beides. Sie sind genau und verhindern die Entstehung von Oszillationen an Unstetigkeitsstellen. 3. Zu den zentralen Lösungsverfahren zählen die Lax-Wendroff-Verfahren, die Runge-­ Kutta-­Verfahren und die ADI-Verfahren. 4. Ein Vorteil der Upwind-Verfahren ist ihre Robustheit, auch bei Hyperschallströmungen mit starken Verdichtungsstößen. Nachteilig ist, dass sie nur eine Genauigkeit 1. Ordnung haben und somit bei stetigem Strömungsverlauf zu ungenau sind. 5. Monotone Lösungsverfahren verhindern die Entstehung von Extremstellen. Hierdurch können Oszillationen und unphysikalische Lösungen erst gar nicht entstehen. 6. Verfahren, die eine räumliche Genauigkeit von 2. Ordnung haben, sind nicht mehr streng monoton, da dies nur Verfahren 1. Ordnung erfüllen. 7. Für Verfahren 2. Ordnung wurde deshalb die TVD-Bedingung eingeführt, eine abgeschwächte Monotonie-Bedingung. Sie verhindert bei Verfahren von 2. Ordnung Genauigkeit die Entstehung von Oszillationen. Allerdings schließt sie unphysikalische Lösungen nicht aus. 8. Deshalb muss bei Verfahren mit einer räumlichen Genauigkeit von 2. Ordnung neben der TVD-Bedingung auch die Entropie-Bedingung erfüllt sein. Sie erlaubt nur Lösungen, bei denen die Gesamtentropie zunimmt.

11.5  Kap. 6 Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung

203

9. Limiter-Funktionen begrenzen die Steigungen der Zellgrößen an Unstetigkeitsstellen. Hierdurch wird an Unstetigkeitsstellen die räumliche Genauigkeit auf 1. Ordnung reduziert und Oszillationen werden verhindert. 10. High-Resolution-Verfahren bzw. TVD-Verfahren liefern sowohl bei stetigem, als auch bei unstetigem Strömungsverlauf genaue und oszillationsfreie Lösungen.

11.5 Kap. 6 Ablauf einer numerischen Strömungsberechnung 1. Bei einer numerischen Strömungsberechnung müssen folgende fünf Schritte durchgeführt werden: Erzeugung des Rechengebiets, Erzeugung des Rechennetzes, Vorbereitung der Strömungsberechnung (Pre-Processing), Strömungsberechnung und Auswertung (Post-Processing). 2. Die Geometrie kann üblicherweise als CAD-Datei oder als Textdatei mit den Koordinaten eingelesen werden. Moderne CFD-Programme haben auch Programmteile, mit denen die Geometrie direkt erzeugt werden kann. 3. Das Rechengebiet begrenzen folgende Randarten: Zuströmränder, Abströmränder, periodische Ränder und Symmetrieebenen. Durch sie kann das Fluid strömen. Nicht durchströmte Ränder sind die Festkörperränder, die durch die Geometrie selbst gebildet werden. 4. Symmetrieebenen helfen Rechenzeit zu sparen, da das Rechengebiet deutlich verkleinert werden kann, wodurch Netzpunkte und Rechenzeit eingespart werden können. 5. Üblicherweise sollen die Ränder des Rechengebiets drei charakteristische Geometrie­ längen wie zum Beispiel die Sehnenlänge beim Tragflügelprofil von der Geometrie selbst entfernt sein, um die Strömung an der Geometrie nicht zu verfälschen, da am Rand oftmals konstante Werte vorgeschrieben werden. 6. Das Rechennetz soll in Gebieten mit starken Gradienten verdichtet werden, um eine bessere Auflösung und Genauigkeit erzielen zu können. Dies ist bei starken Krümmungen und Knicken der Fall, in der Grenzschicht und an Unstetigkeitsstellen wie Verdichtungsstößen. 7. Eine Netzverfeinerungsstrategie ist sinnvoll, um schneller eine konvergente Lösung zu erhalten. Die Rechnung wird auf einem groben Netz gestartet. Nach einigen Iterationen wird die Lösung auf ein feineres Netz interpoliert. Auf diesem feinen Netz werden wieder einige Rechenschritte durchgeführt, bevor wieder auf das nächst feinere Netz interpoliert wird. Hierdurch werden die höherfrequenten Störungen schneller eliminiert. 8. Bei einer Netzunabhängigkeitsstudie werden Rechnungen auf unterschiedlich feinen Netzen durchgeführt und ihre Lösungen werden miteinander verglichen. Ziel ist es, das Netz mit der kleinsten Netzpunktzahl zu finden, bei dem die Lösung nahezu keine Unterschiede zum feinsten Netz aufweist.

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11  Antworten zur Zielkontrolle

9. Beim Pre-Processing wird die Strömungsberechnung vorbereitet und es werden alle notwendigen Parameter und die Randbedingungen definiert. 10. Es sollte die ähnlichste vorhandene Lösung als Startlösung verwendet werden um, da dann die Rechnung am schnellsten konvergiert. 11. Die Strömung kann am besten mittels Geschwindigkeitsvektoren oder Stromlinien sichtbar gemacht werden. 12. Validierung bedeutet den Vergleich einer numerischen Lösung mit theoretischen oder experimentellen Ergebnissen um sicherzustellen, dass das Rechenprogramm zuverlässige Ergebnisse liefert. 13. Wenn CFD-Programme für neuartige Anwendungen verwendet werden, sollte zuerst eine Validierung durchgeführt werden. 14. Im Bereich von 0° bis 12° stimmen Rechnung und Messung in Abb. 6.5 gut überein. In diesem Bereich kann das CFD-Programm mit guter Genauigkeit eingesetzt werden. 15. Die Berechnung größerer Ablösegebiete ist schwierig, weil die Strömung instationär wird und die Turbulenzmodelle oftmals zu ungenau sind.

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Stichwortverzeichnis

A Abbruchfehler 49, 57, 63, 70, 72, 88, 200 Abbruchkriterium 119 Abströmrand 29, 31, 32, 72, 115, 127, 139, 140, 163, 164, 168, 182 Ansys-Workbench 124, 125, 127, 128, 132, 142, 143, 146, 155, 156, 158, 161, 162, 166, 168, 173, 174, 179, 185, 195 Aufgabenleiste 130, 139, 147, 149, 150, 152, 157, 158, 160, 167, 178, 181 Auftirebsbeiwert 119, 120 B Baldwin-Lomay-Modell 37 Basic Settings 140, 164 Beschleunigung 15, 17, 89

C CAD 68, 115, 117, 127, 155, 173 CFD-Post 153, 168, 187 CFL-Zahl 63, 64, 88–90, 201 CFX-Pre 132, 141–143, 145, 160, 162, 166, 180, 185 CFX-Solver 143, 145, 166, 167, 186 Charakteristik 29, 32, 63, 91, 93, 106 Courant-Friedrichs-Levy-Zahl (CFL) 64 C-Rechennetz 72

D DesignModeler 125, 155, 156, 158 Detailansicht 159, 168, 170, 171, 176, 187, 190–192 Dichte 24, 27, 105 Differential 47 Differentialform 12–14, 18, 22, 47 Differentialgleichung 22, 36, 46, 48, 58, 68, 73, 200 Differenz, zentrale 48 Diskretisierung 9, 12, 13, 17, 45, 47, 48, 51, 54, 60, 63, 86 Diskretisierungsmethode 45, 48 Divergenz 15, 26 Druckkraft 15 E Eigenvektor 96 Eigenwert 93, 96 Ein-Gleichungsmodell 36 Einheitsmatrix 26 Energie innere 27 kinetische 36, 37 potentielle 19, 135 Energieerhaltung 12, 19, 22, 26 Enthalpie 27 Enthalpiedämpfung 89 Entropiebedingung 96, 98, 100

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208 Erhaltungsgleichung 9, 12, 17, 23, 27, 29, 45, 47, 55, 58, 77, 93, 166, 167, 182, 186, 200, 201 Erhaltungsvektor 24, 68, 95 Euler-Gleichung 40–42, 56, 200 Expansionsfach 94, 105, 107 Extrema 91, 94

F Festkörperrand 29, 31, 32, 53, 69, 81, 82, 115, 116, 139, 141, 164, 183, 201 Finite-Differenz 47, 48, 79, 200 Finite-Differenzen-Diskretisierung (FD) 47 Finite-Element 47 Finite-Elemente-Methode (FE) 47 Finite-Volumen 47, 80 Finite-Volumen-Diskretisierung (FV) 47 Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 116 Flussvektor 25, 39 Form, konservative 17, 76 Fourier 21, 34

G Gaskonstante 27, 100, 107 Genauigkeitsordnung 9, 49, 52, 57, 111 Geometrieerzeugung 10 Gesamtenergie 19 Geschwindigkeitsvektor 26, 41, 149, 170, 190 Gleichungssystem 22, 26, 62, 63, 90 Grafikfenster 130, 138, 143, 148, 152, 158, 160, 166, 176, 177 Gravitation 20, 24, 26 Grenzschicht-Gleichung 41 Grenzschichtprofil 81

H Haftbedingung 32, 41, 81 Hauptdiagonale 63 Hauptsatz 19, 199 Hexaeder 79 Hinterkante 71, 81 H-Rechennetz 72

Stichwortverzeichnis I Ideales Gas 27 Impulserhaltung 12, 15, 16, 18, 22, 26, 143, 166 Integralform 12–14 Isofläche 119 Isotherme 122, 168

J Jacoby-Determinante 74–76

K Komponente 130, 157, 160, 178 Konsistenz 57 Kontaktfläche 94, 105, 106 Kontrollvolumen 12, 15 Kontur 70, 119 Konvektion 21 Konvergenz 13–15, 18, 23, 24, 57, 58, 63, 71, 72, 74, 75, 89–91, 115, 117, 143, 145, 156, 167, 186, 194 Koordinatentransformation 72 Körperkraft 15 Kraft 15, 16, 20, 120, 152 elektromagnetische 15 k-ε-Modell 37 k-ω-Modell 37

L Leistung 19, 20 Limiter 98, 99, 105 Linearisierung 63 Lösung instationäre 200 numerische 1, 58, 201 stationäre 55 zeitsymptomatische 55

M Machzahlverteilung 6 Massenerhaltung 12–14, 16, 18, 26, 100 Massenstrom 13, 30, 119, 163, 193, 197

Stichwortverzeichnis Mehrgittertechnik 63, 89 Meshing 128, 129, 132, 158, 161, 174, 179 Mittelwert 35 Monotonie 96, 98, 101, 202 N Navier-Stokes-Gleichung 22, 35–39, 41, 43, 46, 88, 199 Netzeinflussstudie 118 Netzgenerierung 69, 115 Netzunabhängigkeitsstudie 118, 203 Netzverdichtung 81, 82 Netzverfeinerung 118, 203 Normalspannung 15 Normatmosphäre 138 Null-Gleichungsmodell 36 O Oberflächenkraft 15, 20 O-Rechennetz 71, 81, 129 Oszillation 60, 88, 91, 94, 97, 99, 101 Outlet 140 P Post-Processing 119, 203 Potentialgleichung 42 Pre-Processing 203 Prisma 80 Prismenschicht 129, 130, 159, 176 Q Quellterm 24, 25, 59, 68, 75 R Randbedingung 28, 34, 41, 90, 116, 119, 143, 163, 165 numerische 29, 30, 34 periodische 141 physikalische 29–32, 34, 37, 130, 138–140, 163 Randfläche 116, 130, 160, 176–178

209 Rechengebiet 30, 34, 60, 69, 70, 115–117, 127, 142, 180, 182, 203 Rechennetz adaptives 82 blockstrukturiertes 77 kartesisches 70 schiefwinkliges 71, 72 strukturiertes 79, 117 unstrukturiertes 79, 82, 158 Rechennetzadaption 81 Rechenparameter 133, 162, 180 Reibungskraft 15 Relaxationsverfahren 63 Residuenglättung 89 Reynolds-Spannung 35–37 Reynolds-Stress-Modell 37 Reynoldszahl 37–39 Riemann 92, 94 Rotationsfrei 42 Rotationssymmetrie 116 Rückwärtsdifferenz 48–51, 60, 61, 77, 88

S Schallgeschwindigkeit 64, 77, 81, 93, 129 Schubspannung 15, 19, 20 Schwankungsgröße 35 Schwerkraft 15, 24 Shear Stress Transport 36, 135, 163, 180 Skalarform 23 Spannungsmatrix 26 Spiegelsymmetrie 116 SST-Modell 37 Stabilität 57, 58, 90 Standardnetz 128, 158, 174 Stoffwert 28 Stokessche Beziehung 27 Stoßwelle 93, 100, 105, 107 Stromlinie 4, 42, 147, 149, 171 Strömungsgeschwindigkeit 2, 13, 29, 93 Strömungsvektor 147, 170 Strukturbaum 28, 129, 131, 133, 136, 142, 148, 149, 152, 155, 157, 159, 163, 168, 171, 174, 177, 180

210 Sutherland-Formel 28 Symmetrie translatorische 117 Symmetrieebene 69, 116, 127, 139, 141, 147, 150, 157, 165, 170, 184, 187, 203 T Tangentialbedingung 41 Taylor-Reihe 49, 51, 91 Tetraeder 80, 129 Thin-Layer 39, 41 Totaldruck 30 Totaltemperatur 30 Transition 4 Tridiagonal 63, 90 Turbulenzmodell 35, 36, 119, 120, 135, 143, 166, 186, 199 TVD-Bedingung 98, 99, 111 U Überschall-Abströmrand 32 Überschall-Festkörperrand 33 Überschallströmung 28, 29 Überschall-Zuströmrand 31 Übungsbeispiel 121, 124, 193 Umkehrtransformation 74 Unstetigkeit 12, 41, 42, 47, 53, 60, 100, 106, 107 Unterschall-Abströmrand 32 Unterschall-Festkörperrand 33 Unterschallströmung 91 Unterschall-Zuströmrand 30, 199 Upwind-Diskretisierung 60, 63

V Validierung 120, 193, 197, 204 Vektorform 22, 24, 75 Verdichtungsstoß 82, 85, 94, 100, 101, 106, 107 Verdrängungsdicke 42 Verfahren ADI 89, 90

Stichwortverzeichnis Flux-Difference-Splitting 93 Flux-Vector-Splitting 93 Godunov 92–94 High-Resolution 96 Lax-Wendroff 88 monotones 91 Predictor-Corrector 88 Runge-Kutta-Mehrschritt 88 TVD 91, 96, 100, 203 Upwind 90, 91 zentrale 87, 91, 96 Viskosität additive numerische 59, 63, 88, 90, 100 dynamische 28 physikalische 59 Volumenelement 13, 15, 16, 19, 21 Vorderkante 72, 120, 138 Vorwärtsdifferenz 48–50, 53, 54, 56, 61, 88, 200 W Wand, adiabate 116, 182 Wandtemperatur 32, 33 Wärmekapazität 27, 28 Wärmeleitkoeffizient 28 Wärmeleitung 21 Wärmestrahlung 21, 24 Wärmestrom 19, 21, 34, 182 Wirbelsimulationsmodell 36 Wirbelviskositätsmodell 36, 37 Z Zeitschritt 55, 57, 63, 64, 89 Zelleckpunkt 47 Zellzentrum 46, 94 Zustandsgleichung kalorische 27 thermische 27 Zuströmrand 29–31, 72, 115, 127, 130, 139, 163, 191, 199 Zuströmrichtung 30 Zuströmung 30, 31, 72, 152, 168 Zwei-Gleichungsmodell 36