Meccanica Computazionale 9788893853873

Table of contents :
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MECCANICA COMPUTAZIONALE
Indice
Prefazione
1. Introduzione
1.1. Premesse
1.2. Il Metodo delle Differenze Finite
1.3. Il Metodo degli Elementi Finiti
2. Discretizzazione del dominio
2.1. Generazione e memorizzazione del reticolo
2.2. Una procedura di triangolazione a passi
2.3. Una tecnica di trasformazione conforme del dominio
3. Generazione delle equazioni agli elementi finiti
3. 1. Costruzione dei polinomi interpolanti
3.2. La matrice di rigidezza
3.3. Trasformazione conforme dei triangoli del reticolo nel triangolo canonico
4. Risoluzione, del sistema di equazioni algebriche lineari
4.1. Metodi diretti
4.2. Schemi di memorizzazione per matrici sparse
4.3. Metodiiterativi
5. Teoria dell'elasticità
5.1. Equazioni fondamentali dell'equilibrio elastico nel piano
5.2. Definizione del Metodo degli Elementi Finiti tramite l'operatore di Lamè
5.3. Definizione del Metodo degli Elementi Finiti tramite il principio dei lavori virtuali
5.4. Il problema elastico nelle tre dimensioni
5.5. I problemi di diffusione
6. Funzioni di forma
6.1. Elementi monodimensionali
6.2. Elementi bidimensionali
6.3. Elementi tridimensionali
6.4. Elementi finiti subparametrici ed isoparametrici
6.5. Le integrazioni all' interno di ciascun elemento
6.6. Leformule di integrazione numerica secondo Gauss-Legendre
6.7. L'applicazione al problema elastico piano
6.8. La condizione di completezza
6.9. La compatibilità all'interfaccia tra due elementi
6.10. La convergenza monotona
7. Travi e lastre piane inflesse
7.1. Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane
7.2. Travi ad asse rettilineo
7.3. Travi piane ad asse curvilineo
7.4. Lastre piane
7.5. Equazione di Sophie Germain
7.6. Teoria elastica di Cosserat
8. Lastre a doppia curvatura
8.1. Richiami di geometria differenziale delle superfici
8.2. Equazioni indefinite di equilibrio per le lastre curve
8.3. Equazioni cinematiche per le lastre curve
8.4. Equazioni costitutive e formulazione finale del problema delle lastre curve
8.5. Casi notevoli
9. Trattazione unificata
9.1. Premesse
9.2. Principio di minimo dell'energia potenziale totale
9.3. Metodo di Ritz-Galerkin
9.4. Principio dei lavori virtuali
9.5. Condizioni al contorno di tipo cinematico
9.6. Deformazioni iniziali e tensioni residue
10. Calcolo automatico dei telai
10.1. Premesse
10.2. Sistemi di bielle in parallelo
10.3. Sistemi di travi in parallelo
10.4. Calcolo automatico dei sistemi di travi a molti gradi di iperstaticità
10.5. Travature reticolari piane
10.6. Telai piani
10.7. Grigliati piani
10.8. Telai spaziali
10.9. Funzioni di forma per le travi
Appendice. Esempi di utilizzazione di codici di calcolo automatico
A.1. Introduzione
A.2. Elementi di libreria
Esempio 1. Travatura reticolare isostatica
Esempio 2. Travatura reticolare iperstatica
Esempio 3. Telaio piano generico
Esempio 4. Telaio piano a nodi fissi
Esempio 5. Telaio Shear Type
Esempio 6. Grigliato piano
Esempio 7. Telaio spaziale
Esempio 8. Arco con forza in chiave
Esempio 9. Paratia semicircolare con carico idrostatico
Esempio 10. Trave parete con carico distribuito
Esempio 11. Lastra tesa con foro circolare
Esempio 12. Lastra tesa con foro ellittico
Esempio 13. Forza concentrata agente su di un semipiano elastico
Esempio 14. Tubo cilindrico di grosso spessore soggetto a pressione interna
Esempio 15. Trave con sezione a L in tre dimensioni
Esempio 16. Lastra circolare appoggiata con carico uniformemente distribuito
Esempio 17. Lastra circolare incastrata con carico uniformemente distribuito
Esempio 18. Tubo sottile con carico radiale nella sezione di estremità
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INGEGNERIA STRUTTURALE

Alberto CARPINTERI

MECCANICA COMPUTAZIONALE

Collana di INGEGNERIA STRUTTURALE

ALBERTO CARPINTERI

MECCANICA COMPUTAZIONALE

I

ISBN 978-88-9385-387-3 © Copyright 2023 Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

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Indice

Prefazione

IX

1. INTRODUZIONE . .......... ... ......... . ................... .• ....... . 1. I . Premesse ........................ '. .. .. .... . .. . ...... . .... .. . . . .. . 1.2. Il Metodo delle Differenze Finite ... .... .. . ... .. ... ......... . . . , . . . . . . . 1.3. Il Metodo degli Elementi Finiti

7

.......................... . . :. . . . . . . . .

15

2. DISCRETIZZAZIONE DEL DOMINIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Generazione e memorizzazione del reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Una procedura di triangolazione a passi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. Una tecnica di trasformazione conforme del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3. GENERAZIONE DELLE EQUAZIONI AGLI ELEMENTI FINITI . . . . . . . . . .

45

3. 1. Costruzione dei polinomi interpolanti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

45

3.2. La matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3. Trasformazione conforme dei triangoli del reticolo nel triangolo canonico

....

57

4. RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE ÙN.EARI . .

61

4.1. Metodi diretti

.......................................... '·.. . . . . . . . .

61

4.2. Schemi di memorizzazione per matrici sparse . ..... . .. . .. . . . ... : . . . . . . . .

65

4.3. Metodiiterativi .. . .. ...... ..... ....... ........... ....... ·.'........ .

71

5. TEORIA DELL'ELASTICITÀ . .. .... . . .. . . . .......... ... .. . ·"•. .. .. ....

79

5. 1. Equazioni fondamentali dell'equilibrio elastico nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.2. Definizione del Metodo degli Elementi Finiti tramite l'operatore di t àmè . . . . .

86

5.3. Definizione del Metodo degli Elementi Finiti tramite il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . .

92

5.4. Il problema elastico nelle tre dimensioni .... .... .. . . .. ....... .• . . . . . . . . . 104

5.5. I problemi di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6. FUNZIONI DI FORMA .......-.. . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. .. . .. . .. . . . 109 6.1. Elementi monodimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 V

6.2. Elementi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3. Elementi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.4. Elementi finiti subparametrici ed isoparametrici . ..... ..... . ..... ...... . : 122 6.5. Le integrazioni all' interno di ciascun elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.6. Leformule di integrazione numerica secondo Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . 126 6.7. L'applicazione al problema elastico piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.8. La condizione di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.9. La compatibilità all'interfaccia tra due elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.10. La convergenza monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7. TRAVI E LASTRE PIANE INFLESSE

. .. .. .. . . .. .. . .. . . . . .. . .. . .. .. . . . . 133

7.1. Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 133 7.2. Travi ad asse rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3. Travi piane ad asse curvilineo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4. Lastre piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5. Equazione di Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.6. Teoria elastica di Cosserat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8. LASTRE A DOPPIA CURVATURA . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. .. . .. . . . . .. . 159

8.1. Rich iami di geometria differenziale delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2. Equazioni indefinite di equilibrio per le lastre curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.3. Equazioni cinematiche.per le lastre curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.4. Equazioni costitutive e formulazione finale del problema delle lastre curve . . . . 202 8.5. Casi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9. TRATTAZIONE UNIFICATA .... .... .. .... . ...... . .................... 217

9.1. Premesse . ... ..... . ..... ........... . . . ...... . .. . . , ..... . .... . .... 217 9.2. Principio di minimo dell'energia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.3. Metodo di Ritz-Galerkin .... . .. .. ... ... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.4. Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.5. Condizioni al contorno di tipo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.6. Deformazioni iniziali e tensioni residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 10. CALCOLO AUTOMATICO DEI TELAH

235

IO.I. Premesse ............................ .. ..... . ......... . .......... 235 10.2, Sistemi di bielle in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.3. Sistemi di travi in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 l 0.4. Calcolo automatico dei sistemi di travi a molti gradi di iperstaticità . . . . . . . . . . 244 10.5. Travature reticolari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 I 0.6. Telai piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10. 7. Grigliati piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 VI

10.8. Telai spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.9. Funzioni di forma per le travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

APPENDICE ESEMPI DI UTILIZZAZIONE DI CODICI DI CALCOLO AUTOMATICO A. I. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 A.2. Elementi di libreria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

PARTE I. SISTEMI DI TRAVI . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . . . .. .. . . . 273 Esempio I.

Travatura reticolare isostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Esempio 2.

Travatura reticolare iperstatica ... ...... . .. . ..... . . ... .. . . ·. .. . .... 281

Esempio 3.

Telaio piano generico . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Esempio 4.

Telaio piano a nodi fissi

Esempio 5.

Telaio Shear-Type . . ... . ......... . ... . .. . .. . ... . ......... . .... . 301

Esempio 6.

Grigliato piano

307

Esempio 7.

Telaio spaziale

313

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

PARTE II. SOLIDI ELASTICI MONO-, BI- E TRIDIMENSIONALI . . . . . . . . . . . 273 Esempio 8.

Arco con forza in chiave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Esempio 9.

Paratia semicircolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Esempio I O. Trave-parete con carico distribuito . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Esempio 11. Lastra tesa con foro circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Esempio 12. Lastra tesa con foro ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Esempio 13. Forza concentrata agente su di un semipiano elastico ... ... .. .. . .. . . .. 351 Esempio 14. Tubo cilindrico di grosso spessore soggetto a pressione interna . . ....... 355 Esempio 15. Trave con sezione a L in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Esempio 16. Lastra circolare appoggiata con carico uniformemente distribuito . . . . . . . . 363 Esempio 17. Lastra circolare incastrata con carico uniformemente distribuito . . . . . . . . . 369 Esempio 18. Tubo sottile con carico radiale nella sezione di estremità .. . . . . . ... . . . .. 373 Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

VII

Prefazione

Con lo sviluppo delle tecnologie elettroniche e la produzione di computers via via più potenti e capaci, il calcolo strutturale ha subito negli ultimi tre decenni una vistosa metamorfosi. Le procedure di calcolo, eseguite manualmente dai singoli ingegneri, con l'ausilio tuttalpiù dei tradizionali metodi grafici, sono state progressivamente sostituite e ormai soppiantate dalle procedure di calcolo automatico eseguite dai moderni calcolatori. Sino ad alcuni anni or sono il calcolo delle deformazioni e delle sollecitazioni interne di strutture a geometria complessa, non potendosi affrontare in forma chiusa, veniva eseguito con approssimazioni, a volte grossolane e in certi casi scarsamente realistiche. Oggigiorno i modelli numerici consentono invece di considerare anche un numero elevato di punti, i cosiddetti nodi, con i relativi spostamenti e le relative deformazioni e sollecitazioni interne. Il metodo degli elementi finiti è al tempo stesso un metodo di discretizzazione, poichè considera un numero finito sebbene grande di nodi strutturali, e un. metodo di interpolazione, poichè consente di stimare le grandezze statiche e cinematiche anche al di fuori dei nodi. L'enorme mole di informazioni da gestire viene organizzata ed ordinata in forma matriciale dal calcolatore. In questo modo il linguaggio stesso dell'analisi strutturale ha assunto un aspetto diverso, sicuramente più sintetico e omogeneo. Ciò significa che, per ogni tipo di elemento strutturale, è possibile scrivere equazioni statiche, cinematiche e costitutive aventi la medesima forma, le quali, una volta discretizzate, forniscono una matrice di rigidezza globale, che presenta una dimensione pari al numero dei gradi di libertà considerati. Tale matrice, moltiplicata per il vettore degli spostamenti nodali, che rappresenta l'incognita primaria del problema, fornisce il vettore delle forze esterne applicate ai nodi, che a sua volta rappresenta il termine noto del problema. Risolta questa equazione matriciale, e tenendo conto delle eventuali condizioni al contorno, è possibile infine risalire alle deformazioni ed alle sollecitazioni interne nodali. Nel Capitolo 1 del presente volume si introducono i concetti fondamentali che permettono l'automatizzazione del calcolo strutturale. In particolare vengono presentati i due principali metodi di discretizzazione: il Metodo delle Differenze Finite e il Metodo degli Elementi Finiti. Per quanto riguarda il primo, ne viene mostrata l'utilizzazione nella risoluzione dei tre tipi fondamentali di equazioni differenziali alle derivate parziali: ellittiche, iperboliche, paraboliche. Per quanto riguarda il secondo, si espongono i principi generali che lo caratterizzano, omettendo i dettagli relativi ai problemi fisici più particolari. In questo contesto, ne viene sottolineata l'equivalenza della formulazione operatoriale con quella variazionale. IX

Nel Capitolo 2 si esamina il problema della generazione e della memorizzazione di elementi triangolari bidimensionali piani. Viene presentata dapprima una procedura semi-automatica per la «triangolazione» di un qualsivoglia dominio piano. Tale procedura richiede .che l'utilizzatore fornisca una triangolazione grossolana del dominio, che rifletta una prima suddivisione. Il reticolo (mesh) viene poi infittito automaticamente secondo un fattore specificato dall'utilizzatore. Il capitolo contiene anche la descrizione di due procedure completamente automatiche di discretizzazione: la prima è una procedura a passi, mentre la seconda si basa su una tecnica di trasformazione conforme del dominio. Sebbene tali algoritmi non si configurino come prodotti finiti, essi possono comunque rappresentare per il lettore degli utili schemi esemplificativi. Nel Capitolo 3 si esamina il problema della generazione delle equazioni agli elementi finiti. Vengono pertanto descritte le condizioni a cui devono soddisfare i polinomi interpolanti, affinchè nei nodi e lungo il contorno degli elementi vengano soddisfatti i requisiti di continuità e di regolarità della soluzione polinomiale a tratti. Si utilizza la relazione matriciale che lega il vettore dei coefficienti polinomiali con il vettore dei parametri cinematici nodali, per definire la matrice di rigidezza locale relativa al singolo elemento. Le matrici di rigidezza locale vengono quindi composte, con il cosiddetto procedimento di assemblaggio, e concorrono a formare una grande matrice rappresentativa delle proprietà dell'intero sistema. Nel Capitolo 4 si espongono i metodi di risoluzione delle equazioni agli elementi finiti, che costituiscono sistemi algebrici lineari, con matrice dei coefficienti sparsa. Sono perciò introdotti i concetti di banda e di profilo, assai utili qualora i coefficienti non nulli si addensino attorno alla diagonale. Vengono descritti sia l'Algoritmo di Eliminazione di Gauss, sul quale, al di là di alcune particolari varianti, si basano tutti i Metodi Diretti, sia gli Algoritmi di Jacobi e di Gauss-Sidel, che sono i più noti tra i Metodi Iterativi. Nel Capitolo 5 si considera l'applicazione del Metodo degli Elementi Finiti alla Teoria dell'Elasticità. Dopo avere introdotto le equazioni fondamentali dell'equilibrio elastico, e in particolare l'equazione di Lamè per il vettore spostamento, viene definita la matrice di rigidezza applicando il Metodo di Ritz•-Galerkin all'operatore di Lamè. La matrice di rigidezza viene inoltre ridefinita in modo alternativo applicando il Principio dei Lavori Virtuali ad ogni singolo elemento e assemblando i vari contributi nella matrice globale. Viene infine fatto un cenno all'applicazione del metodo ai problemi diffusivi, sottolineandone le analogie con l'applicazione ai problemi elastici. Nel Capitolo 6 si pres(:nta una trattazione dettagliata delle funzioni di forma, nel caso dei domini mono-, bi- e tridimensionali. Vengono definiti gli elementi isoparametrici e si illustrano le procedure di integrazione all'interno di ciascun elemento. Vengono infine descritte le condizioni di completezza, compatibilità e convergenza monotòna. Nel Capitolo 7 sono introdotte le equazioni indefinite cli equilibrio, le equazioni indefinite di congruenza e: le equazioni costitutive per le travi piane ad asse curvilineo. Si sottolinea la dualità che intercorre tra gli operatori statico e cinematico, che sono l'uno il trasporto dell'altro, a meno dei segni algebrici degli elementi fuori dalla diagonale. Si discute inoltre del problema delle lastre inflesse con i relativi operatori duali e della semplificazione che presenta la trattazione qualora si trascurino le deformazioni taglianti (Equazione di Sophie Germain). Viene infine fatto un cenno al solido elastico X

di Cosserat, che, analogamente alle lastre, trasmette anche momenti flettenti interni oltre che le usuali forze interne (sforzi normali e tangenziali). Nel Capitolo 8 è trattato il problema delle lastre a doppia curvatura, soggette a regimi sia membranali che flessionali. Le equazioni cinematiche vengono ricavate da quelle statiche tramite il Principio dei Lavori Virtuali, non trascurando i contributi deformativi dovuti al taglio. Viene contemplato a parte il caso delle lastre di rivoluzione, con i due casi notevoli delle lastre circolari e delle lastre cilindriche. Per analogia, viene fatto un cenno anche al problema del solido tridimensionale di rivoluzione. Nel Capitolo 9 viene presentato il Metodo degli Elementi Finiti in maniera del tutto generale, senza specificare l'elemento strutturale a cui venga applicato, sia esso mono-, bi- o tridimensionale, e, nei primi due casi, con o senza una curvc!-tura intrinseca. Vengono peraltro messe in luce le due dimensioni che lo caratterizzano: la dimensione del vettore degli spostamenti generalizzati e la dimensione comune ai due vettori delle caratteristiche statiche e deformative. In questo contesto viene fornita una spiegazione all'inversione di segno algebrico che mostrano i termini ~nitari degli operatori matriciali statico e cinematico, i quali, nel caso di travi e lastre, risultano essere uno l'aggiunto dell'altro. Viene infine fatto un cenno ai problemi delle deformazioni iniziali e delle tensioni residue. Nel Capitolo 10 viene trattato il calcolo automatico delle strutture intelaiate. Dopo avere introdotto il Metodo degli Spostamenti, considerando sistemi elementari di bielle e travi in parallelo, si passa allo studio della procedura di calcolo per sistemi generici di travi a molti gradi di iperstaticità. Si esaminano in particolare i casi delle travature reticolari, dei telai a nodi fissi o a nodi spostabili, dei grigliati piani. Si estrapola inoltre· l'analisi effettuata al caso più generale dei telai spaziali. Della procedura proposta si dà infine una interpretazione coerente con il Metodo degli Elementi Finiti, attraverso la definizione di opportune funzioni di forma per le travi. Nell'Appendice sono infine mostrate varie applicazioni pratiche del metodo, riguardanti sia i sistemi di travi che i solidi elastici, in particolare le lastre piane soggette a stati tensionali sia membranali che flessionali. Speciale attenzione viene posta in tale contesto alla metodologia per trasmettere alla macchina i dati geometrici e meccanici della struttura da analizzare (fase di input), così come alla presentazione sintetica dei risultati statici e cinematici (fase di output). Concludendo questa Prefazione, colgo l'occasione per ringraziare del notevole impegno profuso e della competenza dimostrata, il Professor Silvio Valente, l'Ingegner Pietro Cornetti e l'Ingegner Giuseppe Ferro, che hanno rispettivamente curato i Capitoli 6 e 8, nonchè l'Appendice sulle applicazioni. Alberto CARPINTERI Politecnico di Torino, Aprile 1996

XI

1 Introduzione

1.1. PREMESSE

Il Metodo degli Elementi Finiti è una tecnica di Analisi Numerica volta ad ottenere soluzioni approssimate per una molteplicità di problemi di Fisica e di Ingegneria. Benchè originariamente sviluppato per studiare il campo tensionale nelle strutture aeronautiche, è stato poi esteso ed applicato al vasto campo della Meccanica dei Continui. Per la sua varietà di impiego e duttilità quale strumento di analisi, è stato sviluppato ed è attualmente utilizzato nelle Università e nelle Industrie. In numerosi problemi fisici e ingegneristici risulta sufficiente ottenere soluzioni numeriche approssimate, piuttosto che soluzioni analitiche esatte. Per esempio, ci si potrebbe porre il problema della determinazione della capacità di carico di una piastra con elementi di rinforzo e fori di forma qualsivoglia, della distribuzione neutronica all'interno del nocciolo di un reattore nucleare, ovvero del campo delle velocità di un fluido attraverso una condotta di sezione arbitraria. È sempre possibile scrivere le equazioni differenziali e le condizioni al contorno per questi problemi, ma si può riscontrare come non sempre sia possibile trovare una soluzione analitica in forma chiusa, a causa della irregolarità della geometria. Una possibìlità per superare questo scoglio è, ed è stata specialmente in passato, quella di fare ipotesi semplificative per ridurre il problema dato ad uno possibile da trattare. Talvolta questa filosofia si è mostrata soddisfacente, ma più spesso ha portato a gravi inesattezze e a risposte errate. Ora che sono largamente disponibili calcolatori anche potenti, un'alternativa è quella di conservare la complessità geometrica del problema, cercando una soluzione numerica approssimata. Negli ultimi decenni si sono sviluppati vari metodi di Analisi Numerica. Il primo metodo, cronologicamente, è stato quello delle Differenze Finite. Tale metodo lascia per così dire inalterato il modello fisico e discretizza le equazioni differenziali del problema. L'algoritmo delle equazioni alle differenze finite aumenta di efficacia al crescere del numero dei punti di intersezione della griglia, che si sovrappone al dominio di definizione della funzione incognita. Con il metodo delle Differenze Finite si possono trattare problemi anche molto complessi. Se peraltro subentrano geometrie irregolari o specifiche insolite nelle condizioni al contorno, tale metodo diventa di difficile applicazione. Più recentemente il Metodo delle Differenze Finite è stato soppiantato dal Metodo

I Introdl11zione

Figura 1.1

degli Elementi Finiti. Contrariamente al primo metodo, che vede il dominio da analizzare come una serie di punti di un reticolo, il Metodo degli Elementi Finiti vede il dominio come l'unione di tanti sottodomini di fmma elementare. Sintetizzando, come si è fatto in precedenza, si può dire che, in quest'ultimo caso, le equazioni differenziali vengono lasciate inaltera~e (relativamente a ciascun elemento) mentre il dominio viene discretizzato. Per fare un esempio di come sia difficile talvolta la descrizione di un'area di forma complessa mediante una griglia «rigida», si consideri la fig. 1.1 (sezione trasversale di una pala di una turbina). Per questo oggetto si potrebbero determinare i campi degli spostamenti e delle tensioni, relativamente a una distribuzione nota di forze esterne, ovvero il campo delle temperature per assegnate condizioni di flusso termico al contorno. Un reticolo alle differenze finite (che può essere solo a maglia rettangolare, a m,eno che non si ricorra a trasformazioni conformi del dominio) mostra in ogni caso 2

1 Introduzione

un contorno esterno seghettato, che mal riproduce il contorno reale del corpo. Al contrario il reticolo agli elementi finiti, anche utilizzando l'elemento bidimensionale più semplice, cioè il triangolo, fornisce una migliore rappresentazione dell'area da analizzare e richiede un minor numero di nodi. Si ha infatti una migliore approssimazione del contorno, poichè la linea curva è rappresentata in questo caso da una spezzata che ne segue quasi perfettamente l'andamento (fig. I. I). Un'analisi più approfondita dei due metodi citati e dei rapporti che intercorrono tra essi sarà presentata nei seguenti Paragrafi 1.2 e 1.3. In un problema al continuo di qualsivoglia dimensione, cioè in un corpo o in una regione dello spazio in cui abbia luogo un partìcolare fenomeno, la variabile di campo, come la pressione, lo spostamento, la temperatura, la velocità o la densità, è funzione di ciascun generico punto del dominio di definizione. Di conseguenza il problema presenta un numero infinito di incognite. La procedura di discretizzazione agli elementi finiti lo riduce ad un problema con un numero finito di incognite, suddividendo il dominio in elementi ed esprimendo il campo incognito in termini di funzioni approssimanti, definite all'interno di ogni elemento. Le funzioni approssimanti, chiamate anche funzioni di interpolazione, vengono individuate mediante i valori che la variabile dipendente assume in punti specifici detti nodi. l nodi sono posti di solito sul contorno degli elementi, in punti comuni a due o più elementi. Oltre ai nodi sul contorno un elemento può presentare dei nodi al suo interno. I valori che la variabile di campo assume nei nodi, ne definiscono univocamente l'andamento all'interno dell'elemento. Nella rappresentazione agli elementi finiti di un problema, i valori nodali della variabile di campo rappresentano le nuove incognite. La soluzione deriva da una procedura ordinata, che si sviluppa in più passi successivi. (1) Il primo passo consiste nella Discretizzazione del Dominio di Definizione. Si possono usare elementi di varia forma, ed anche forme diverse nello stesso dominio. La fig. 1.2 mostra una lastra con un foro ellittico, sottoposta a trazione uniassiale, e il modello agli elementi finiti di un quarto di essa per l'analisi dello stato tensionale piano. La fig. 1.3 rappresenta un supporto meccanico e il corrispondente modello tridimensionale agli elementi finiti. (2) Il secondo passo consiste nella Scelta delle Funzioni di Interpolazione. Cioè, si assegnano i nodi ad ogni elemento e si sceglie il tipo di funzlone di interpolazione, che rappresenti l'andamento della variabile di campo sull'elemento. La variabile di campo può essere uno scalare, un vettore o un tensore. Spesso si scelgono dei polinomi come funzioni di interpolazione, poichè sono semplici da derivare e integrare. Il grado del polinomio scelto dipende dal numero dei nodi assegnati all'elemento, dal numero di incognite nodali e da certi requisiti di continuità imposti nei nodi e sul contorno degli elementi. ·I valori della variabile di campo, come pure i valori delle sue derivate parziali, forniscono le incognite nodali. (3) Il terzo passo consiste nell'Assemblaggio delle Proprietà degli Elementi per ottenere le Equazioni Risolventi. Si combinano, cioè, le equazioni matriciali, che esprimono il comportamento di ciascun elemento, per formare l'equazione matriciale, che 3

1 Inttrodl11zione

y

I------+---.u,

( 4 .56) la (4.55) diventa: ( 4 .57)

IIA Il 2". 11>-ull = l>-1 · llull = l>-1,

per qualsiasi autovalore >, , e quindi anche per quello con modulo massimo. Si consideri nuovamente la risoluzione iterativa di un sistema algebrico lineare e si i•ndichi con eC 11 l il vettore errore, o scarto, alla v-esima iterazione:

( 4 .58) Si riscriva quindi la (4.37) alla v-esima iterazione: (4 .59) e, nel caso di soluzione esatta: ( 4 .60)

Mx= Nx+ b.

Sottraendo membro a membro si ottiene: ( 4 .61) e perciò:

( 4 .62) con T = M-'N. Dalla (4.62) ricorsivamente si ha:

75

4 Risoluzione del sistema di equazioni algebriche lineari

( 4 .63) ove e< 0} è lo .scarto iniziale della prima stima dalla soluzione reale. Per la defini'zione (4.50), si può porre: ( 4 .64) e per la proprietà (5): ( 4 .65) Si può pt:rtanto concludere che: condizione necessaria e sufficiente affinchè si abbia la convergenza a zero dell'errore per qualsiasi e< 0> (cioè per qualsiasi stima iniziale x< 0} ) è che IIT Il < 1 . Da ciò deriva che si ha la convergenza del metodo, si: e solo se tutti gli autovalori di T sono minori dell'unità in valore assoluto. Infatti dalla (4.54) si ha: p(T)




:n

I e che

o.

00

----->

oo per p{T)

----->

li numero di iterazioni v , necessarie a ridurre e< O} del fattore 10 -m , è fornito dalla disuguaglianza:

da cui risulta: (4.69)

m

V~

YB

.

00

Poichè ad ogni iterazione il numero delle moltiplicazioni e divisioni è approssimativamente pari a n2 , il numero totale di operazioni per ridurre l'errore iniziale di 1O- m è

n2

;1' . D'altra parte l'algoritmo di eliminazione di Gauss richiede circa

~ oo

zioni. Si prderiscono i metodi iterativi quando:

76

.

3

!?'._ opera-

3

4 Risoluzione del sistema di equazioni algebriche lineari

e pertanto: ( 4 .70)

3m

n> .03 ' 00

e quindi allorchè il numero di incognite sia sufficientemente elevato. È interessante osservare come le matrici a diagonale dominante abbiamo una rapida convergenza, sia con il Metodo di Jacobi che con quello di Gauss-Sidel. Si ha infatti: T = 0- 1 E, essendo 0- 1 l'inversa di una matrice con elementi diagonali relativamente grandi in modulo. Le matrici simmetriche e definite positive, invece, convergono con il Metodo di Gauss-Sidel, mentre con quello di Jacobi non sempre, almeno con una rapidità accettabile. Per accelerare il processo di convergenza, spesso si opera uno smembramento della matrice A nella somma dì due matrici dipendenti da un parametro w : ( 4 .71)

A= M(w) - N(w),

in modo tale che la matrice T ( w) = M - I ( w) N ( w) , e quindi la velocità di convergenza .:n 00 ( w) , dipendano dal parametro stesso. Si sceglie naturalmente quel valore di w per cui .93 00 ( w) risulti massima. Si può porre ad esempio:

I

( 4 .72 .a)

M(w) =-[D -wL],

(4.72.b)

N(w) =-[wR + D( I - w)]. w

w

I

Tali metodi sono detti di sovrarilassamento. Per risolvere i problemi elastici sono in genere più efficienti i metodi diretti.

77

5

Teoria dell'elasticità

5.1. EQUAZIONI FONDAMENTALI DELL'EQUILIBRIO ELASTICO NEL PIANO

Si consideri un dominio piano deformabile nella sua configurazione indeformata 21 e in una configurazione deformata 21 ' (fig. 5.1 ). Il generico punto P del dominio, di coordinate ( x , y) nella configurazione !!P, si troverà ad avere coordinate ( x', y') nella configurazione 21 ':

( 5. I)

xl + [u(x, y) l · [ v(x,y) y

In forma compatta:

(5 .2)

{P'} = {P} + {r,},

ove il vettore incrementale {r,} è detto vettore spostamento. Perchè non vi siano lacerazioni o compenetrazioni, le funzioni u e v e le loro inverse devono essere continue e ad un solo valore. Sviluppando in serie di Taylor la funzione {r,} nell'intorno del punto P0 ed arrestandosi ai termini del primo ordine si ha:

( 5 .3)

In forma compatta: (5 .4)

{7/} = {7/o} + [ J]{ O·

La matrice [ JJ descrive gli spostamenti dei punti vicini a Po , con. rifetitnentoaHo stesso punto P0 . In essa si sommano sia i contributi dovuti alla rotazìone rigida dei

79

5 Teoria dell'elasticità

y

o

X

Figura 5.1

corpo attorno a P0 che quelli dovuti alla defonnazione nell' intorno di P0 • Ricordando che qualsiasi matrice è uguale alla somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica, e che la matrice che descrive gli spostamenti dovuti al moto rigido è antisimmetrica, si può concludere che la matrice che descrive gli spostamenti dovuti alla defonnazione è la parte simmetrica di [ J] :

(5 .5)

I

au ax _!__ (au + av) 2 ay ax

_!_ ( 2

au av ) Òy + ax av ay

I

Solitamente la matrice .( e] , detta tensore di deformazione, si scrive come segue:

(5 .6)

Per quanto riguarda il significato fisico degli elementi di [e], cx ed cY rappresentano le dilatazioni lineari nelk direzioni rispettivamente dell'asse X e de ll 'asse Y, mentre Ìxy rappresenta la variazione_deH'angolo, originariamente retto, fonnato dalle due rette passanti per P0 e parall1elè agli assi X e Y . 80

5 Teoria dell'elasticità

_ _ _ _ __.'txy

....... ... ...... ..... ...... . ... ...... . ........... .... ......... . . . . . . . . .. . ..... ...... .. ..... ... ........... .-:-:-: . . .-:-.:-:-:-x:-: .. .. . .. . .. .... .... .. .. .. .. . .. ...... .... .. ....... . . . . .. .. ...... .. .. .. ..

Figura 5.2

Mentre lo stato deformativo di un corpo piano è descritto compiutamente dalla funzione vettoriale {77} , ovvero dalla funzione tensoriale [e] , lo stato tensionale è descritto dalla funzione tensoriale [ (J] :

(5 .7)

Per quanto riguarda il significato fisico degli elementi del tensore [ (J] , O" x e CJY rappresentano le componenti normali dello sforzo rispettivamente nelle direzioni X e Y , mentre Txy rappresenta la componente tangenziale dello sforzo nel punto P0 (fig. 5.2). Tali elementi hanno le dimensioni fisiche di una forza per unità di superficie (se la lastra è di spessore unitario), cioè di una pressione, e la simmetria del tensore garantisce l'equilibrio alla rotazione dell'elemento di volume infinitesimo di fig. 5.2 .. Imponendo l'equilibrio alle traslazioni orizzontale e verticale dell'elemento d'area di fig. 5.3, si ottengono le due equazioni indefinite di equilibrio : 81

5 Teoria dell'elasiicità

Oy+~dy

ay

Ox+ ÒOx dx ------►·

dy

'txy+ Ò'txy

ax

ax

dx

'txy

L dx

Figura 5.3

(5.8 .a} (5.8.b)

ove con .7_-r, ed

8crx +

ax

8Txy

ax

8Txy

8y

+ !Jr. = O X

,

+ 8crY + !Jr. = O 8y Y '

:J7.;. si sono irtdicate le forze esterne applicate per unità di volume.

Riepilogando, in un problema elastico piano si hanno complessivamente cinque incognite: le due componmti di spostamento e le tre componenti del tensore simmetrico degli sforzi. Per risolverlo occorrono altrettante equazioni: le due equazioni di equilibrio e le tre equazioni che legano le componenti di deformazione alle componenti di sforzo. Queste ultime sono dette leggi costitutive, e per un solido elastico lineare e isotropo, ne:llo stato deformativo piano, sono le seguenti: 82

5 Teoria dell'elasticità

(5 .9)

ove E è il modulo elastico nonnale (di Young) e v è il coefficiente di contrazione trasversale (di Poisson). In fonna compatta:

( 5. IO) L' inversa della precedente relazione è:

(5 .11)

In fonna compatta:

{cr} = [H]{t:}.

( 5 .12)

Si intende ora ottenere una equazione operatoriale che governi la funzione spostamento su un dominio elastico piano. A questo scopo si esprima il vettore delle deformazioni come un prodotto fonnale tra matrici:

a o o a

ox ( 5 .13)

[::.]

oy

a a ày

[:]

àx

In fonna compatta:

( 5 .14)

{t:} = [81{1)} .

D'altra parte, le equazioni indefinite di equilibrio (5.8) si possono riscr.ivere in fonna compatta: ( 5 .15) Applicando la (5 . 12) e la (5 .14), la (5.15) si trasfonna come segue:

( 5 .16)

([8f[H][8]) {1J} = - {..?}.

Si ottiene quindi un ' equazione operatoriale del tipo (1.33):

83

5 Teoria dell'elasticità

( 5 .17) ove l'operatore è dato da:

( 5 .18) La (5.17) è detta equazione di Lamè. La matrice [ $] è una (2 x 2) e i suoi elementi sono operatori differenziali. Si costruisce qui di seguito la matrice [ $] in modo esplicito:

o

a 8y

:y][l-v a

V

ax

o

E [ (I+ v)( 1 - 2v)

v

o

a vax

a v8y

a (1-v)8y

ax 1

a ax

o

o

a 8y

a

a

av

ax

2 + 8x 2

(l _ v).!!_

E

(5.20) [ $]

=

E

=

(I+ v)(l - 2v)

e ;2") :"], e-~)~ ax

2

2 (-1-_2v) _a 2 8y 2

a2 ( 1 - 2 v ) a2 V 8x8y + - 2 - 8x8y

2

V

j

2

a ( 1 _ 2v ) a 8x8.y + - 2 - 8x8y

(1-v)-+ -- 2

8 8y 2

(

.

2

I - 2v) 8 2 8x 2

l

In definitiva si ha:

[$ G

r

]

1 ~2v

(1-v)~-

[8 ]T[H][8]'= [8f[H]

-----(1 + v H 1 - 2 v)

o O

1-v

$ t!t!

t!U

Sfuv

$vv

E

=

(l+v)(l-2v) [

a2

(I -2v) 8y2a

2

2

( I - v),ax2 +

-2-

-~~

2 oxoy

8 2I oxoy

]

rJ2 . 1 - 2 v a (1-v)-+ ( - ) - 2 2

oy2

2

·

ox

Si desidera infine dimostrare il teorema fondamentale dei. continui elastici, che va sottoH nome di f?rincipio dei Lavori Virtuali. Si consideri un dominio elastico piano soggetto alle forze di contorno e alle forze di volume (a): 84

5 Teoria dell'elasticità

(5 .21.a) (5 .21.b)

{p(a)

f

=[p~a), p~a)], ( X, y) E 3"',

{.r+F< 1>+--d0! - F+F +M< 2>+---da? = - - d a 1 + - --da2 .

8 0!1

OO!z

aal

8 O!z

Riprendendo le espressioni (8.81) e (8.84) di M< 1> ed M< 2> sopra riportate si ottiene: (8.93)

{ :

0 1

[(M1t 2

-

M 12 t 1)A2] +

0

:

2

[(M21 tz

- M 2t 1)A 1) }da1da 2 ,

e quindi:

(8 .94)

Facendo nuovamente ricorso alle (8.49), la somma dei momenti interni vale:

oA 1 M _ o(A1M2) _ i9(A 2M 12 ) { [ 8a2 I 8a2 8a1 ( 8 .95)

8(A2 M 1) + [ ----=-----''8a1 + [

Ak~

2

M 12

-

-

_

oA1 M? ] t + 8a1 _1 I

8A 2 M oA. M 8(A M )] + - -1 + - -1-21- t?+ 8a1 2 O

:i :i :i

Cbl~

o

-1

I,..

li Cb

o

o

-~I

o

I,..

"' I

o

o

-~I . .

o

+

Cb

-,~· Cbl~ -1

o

+

-I~ +

o

-~I . . +

Cb

Cbl~ -1

il . Cb

o

o

I

-,~ I

IctS

~

o

-:

00

186

o

o

I

I

o

o

o

o

o

o

o

IctS

"' .1 ... ,.- I >-

Cb

-I>-

IctS

-~I . . ~1~ -~I "' +

Cbl~

+

I,..

-~I . .

IctS

IctS

I,..

I,..

+

8 Lastre a doppia curvatura

N-oM

' ' _________«\lo Li 2

Figura 8.9

8.3. EQUAZIONI CINEMATICHE PER LE LASTRE CURVE Premesse

Come si è visto nel paragrafo precedente, il problema delle lastre curve nella sua formulazione generale è tre volte internamente iperstatico. Ciò significa che per la sua risoluzione non sono sufficienti le sole equazioni di equilibrio (come avviene per le travi), ma è necessario ricorrere alle equazioni cinematiche, che legano le deformazioni agli spostamenti, ed alle equazioni ~ostitutive, che pongono in relazione le caratteristiche della sollecitazione interna con le deformazioni e dipendono dalla natura del materiale. In generale è più facile ricavare lè equaziorÙ di e·quilibrio che non quelle cinematiche, la cui derivazione è sempre piuttosto complessa e necessita di ipotesi semplificative non sempre corrispondenti a quelle statiche. È possibile, peraltro, ricavare le deforma187

8 Laiitre a doppia curvatura

zioni direttamente dalle equazioni statiche senza ulteriori ipotesi. Gli strumenti con cui giungere alle equazioni cinematiche a partire da quelle statiche sono: (1 ) il Teorema di Green e l'integrazione per parti; (2) il Principio dei Lavori Virtuali. L'analisi dettagliata della loro applicazione sarà l'oggetto di questo paragrafo. Due sono i vantaggi che conseguono dal procedere in questo modo: (I) la trattazione che ne risulta è più snella e più semplice; le ipotesi di base rimangono le due enunciate all' inizio del precedente paragrafo (lastra sottile e piccoli spostamenti); (2) viene messa in evidenza la dualità statico-cinematica, cioè la profonda connessione che intercorre tra le relazioni di equilibrio e le rdazioni deformazioni-spostamenti. Dal punto di vista concettuale la dualità statico-cinematica assume un'importanza notevole in quanto ogni grandezza in campo statico ha la sua corrispondente in campo cinematico e viceversa: qualsiasi assunzione od ipotesi semplificativa assunta in uno dei due campi si ripercuote sull'altro, a meno di non introdurre delle contraddizioni nel modello. Con ciò non si vuol dire che non sia utile talvolta trascurare alcuni termini e non i loro duali, ma bisogna essere consci del fatto che, così facendo, si viola la dualità statico-cinematica.

Defì11izio11e delle caratteristiche cinematiche Si tratta anzitutto di definire quali siano le grandezze cinematiche nella teoria dei gusci. Esse possono essere divise in due gruppi: gli spostamenti e le deformazioni. Per quanto concerne il vettore degli spostamenti generalizzati riferito al sistema locale, esso presenterà cinque componenti: tre ordinarie relative al vettore spostamento propriamente detto e due relative al vettore rotazione. La rotazione attorno alla normale viene trascurata in quanto si considera ide:nticamente soddisfatta l'eqùazione di equilibrio (8.103) alla rotazione attorno alla nonnale stessa. Indicando dunque con {1/*} il vettore degli spostamenti generalizzati, si avrà:

Per quanto riguarda le convenzioni di segno, gli spostamenti saranno considerati positivi se diretti secondo gli assi locali di riferimento, mentre le rotazioni seguiranno la convenzione dei momenti sulle facce positive dell'elemento infinitesimo di lastra, come già considerato in fig. 8.7. Riassumendo, u 1 , u 2 e uN sono le componenti dello spostamento secondo i versòri t 1 , t 2 ed N ; ip 1 e ip 2 sono le componenti della rotazione, dirette, se positive, là prima secondo · t2 e la seconda secondo ( -t 1) • Tutte le componenti, con i propri versi positivi, vengono evidenziate in fig. 8.10. Anche le caratteristiche della deformazione possono essere organizzate in forma vettoriale. Il vettore delle caratteristiche deformative sarà il duale del vettore delle caratteristiche statiche, introdotto al paragrafo precedente e che yiene qui riportato coerentemente con le semplificazioni (8.102): 188

8 Lastre a doppia curvatura

N

Figura 8.10

{Q} = [N 1 , N 2 , N 12 , T 1 , Ti, M 1 , M 2 , M 12

f.

Si indichi con { q} il vettore delle deformazioni:

{q} = [s1, s2, sii, ,1,

,2, X1, Xi, x12f ·

Le componenti di {q} , così come quelle di { 77*}, si riferiscono alla superficie media._ Come verrà evidenziato più avanti, le grandezze statiche del primo vettore compiono lavoro (per unità di superficie) se moltiplicate per le rispettive quantità cinematiche del secondo. Più in dettaglio, le componenti del vettore { q} presentano i seguenti significati fisici: (1) s 1 , s 2 rappresentano le dilatazioni lungo le linee di curvatura; (2) s 12 è lo scorrimento angolare tra le linee di curvatura e misura la diminuzione dell'angolo compreso tra le direzioni principali di curvatura a deformazione avvenuta; (3) , 1 , , 2 sono gli scorrimenti angolari medi tra la normale e ciascuna delle due direzioni principali di curvatura; (4) x 1 , x2 rappresentano la variazione delle curvature principali della superficie media; (5) x 12 è il doppio dell'angolo unitario di torsione; come si può constatare, la sua definizione è analoga a quella della curvatura e come questa ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza. Gli spostamenti e le deformazioni devono soddisfare in tutti i punti della superficie media alcune relazioni, dette equazioni cinematiche, che, con notazione matriciale, si possono esprimere come:

(8.109)

{q} = [8]{77*}.

In tal caso il sistema di deformazioni { q} e di spostamenti { 7J} viene detto cinematicamente ammissibile. Scopo di questo paragrafo è proprio quello di determinare l'operatore matriciale cinematico [8] . 189

8 Lai;tre a doppia curvatura

Matrici di trasfonnazione del sistema di riferimento Tanto le equazioni di equilibrio quanto le grandezze cinematiche introdotte finora sono state riferite al sistema locale, definito nel primo paragrafo. Spesso, peraltro, sia il vettore delle sollecitazioni esterne che gli spostamenti incogniti sono dati o richiesti nel sistema di riferimento esterno, che chiameremo globale ed è individuato dalla tema cartesiana di assi x, y, z , rispetto a cui è definita la superficie media della lastra. Come in precedenza, si indicano i. vettori con un asterisco qualora siano espressi nel sistema di riferimento locale t 1 , t 2 , N ; viceversa, l'assenza dell'asterisco implicherà n riferimento globale. Per passare dalle componenti nel sistema di riferimento globale a quelle locali è sufficiente premoltiplicare il vettore, scomposto secondo gli assi x, y, z, per una opportuna matrice di rotazione, che viene indicata con [ N] . Si ha dunque, nel caso del vettore spostamento:

{'TJ*} = [N ] {'TJ},

(8.ll0)

5xl

5x6 6xl

La matrice di rotazione [ N] non è quadrata in quanto il vettore spostamento nel sistema di riferimento locale è privo della componente di rotazione attorno alla normale; nel sistema globale la rotazione ha invece tre componenti, una per asse:

La matrice [ N] è costituita da quattro sottomatrici di cui due nulle; le altre due, una quadrata e l'altra rettangolare per quanto detto, presentano colonne costituite dai coseni direttori dei versori degli assi x, y, z nel sistema locale I, 2, N. La quarta e quinta riga della matrice possono essere comprese facendo riferimento alla fig. 8.1 O e alla direzione e verso che vi assumono rp I e 'P?. :

G

cos fiì

cos r;

cosh

cos 2y

cos 2z

cosNx

cos Ny

cos Nz

o o

o o

o o

cos

(8.111) [N] =

o o o COS

2X

-cos

G

o o o

o o o

cos 2y

cosh

- cos 1y

- cos r;

Si constata facilmente come il vettore spostamento nel sistema di riferimento globale possa essere espresso in funzione del medesimo vettore nel sistema di riferimento locale per mezzo della relazione: (8.112) Un discorso analogo a quello del vettore spostamento può essere ripetuto per i vettori delle forze esterne, agenti rispettivamente sulla superficie della lastra e sul suo contorno. Il90

8 Lastre a doppia curvatura

Ricordando le ipotesi fatte nel precedente paragrafo sulle sollecitazioni esterne, si avrà, nel sistema di riferimento locale:

ed in quello globale:

Tra i due vettori varranno le relazioni

(8.113.a) (8.113.b)

{Y*} =[N]{.97}, {.97} =[Nf {Y*}.

Mentre le forze di superficie sono espresse per unità di area, quelle agenti sul contorno vengono espresse per unità di lunghezza. Anch'esse, come le caratteristiche della sollecitazione interna, se espresse nel riferimento locale presentano cinque componenti, non essendovi la componente di momento secondo la normale. Si indichi con n la retta normale al contorno e appartenente al piano tangente alla superficie. II vettore {p*} delle forze agenti sul contorno nel sistema locale si presenta come segue:

Le prime due componenti risultano dalla scomposizione nelle direzioni I e 2 della somma degli sforzi membranali, la terza rappresenta Io sforzo tagliante, la quarta e la quinta sono le componenti dei momenti flettenti e torcenti rispettivamente nelle direzioni 2 e ( - I ) (il meno sta ad indicare che il verso positivo è opposto a quello dell'asse I). Lo stesso vettore, nel sistema di riferimento globale, appare come:

Le relazioni che legano i due vettori sono analoghe alle precedenti:

(8 .114.a) (8.114.b)

{p*} =[N]{p}, {p} =[N]T {p*}.

II vettore {p*} delle sollecitazioni esterne agenti sul contorno è legato al vettore delle ~ollecitazioni interne {Q} : Se acl esempio, un )ato ddla ,tastra coincide con la linea coordinata I e la linea 2 è uscente (faccia positiva), .1~ componenti di {p*} coin. ,cidono çon Je caratteristiche della sollecitazione interna ivi age,nti. Se la linea 2 è invece entrante,,coincideranno in modulo, ~a avram;io segno opposto. II legame diventa più complesso se i lati della lastra non.cQincidono con linee coordinate: J91

8 Lastre a doppia rurvatura

Figura 8.11

Figura 8.12

( 8 .115)

{p*} 5xl

= [A!)T {Q}. 5x8

llxl

Le equazioni che corrispondono a questa scrittura matriciale vengono dette equazioni di equivalenza al cqntomo; esse sono cinque e possono essere facilmente ottc!nute tramite condizioni di equilibrio tra le forze agenti sulle facce di un elemento infinitesimo di lastra di cui una~oincidente con il contorno della lastra stessa. Si faccia riforimento alla fig. 8.11, dove it contorno della lastra è segnato a tratto continuo e le linee coordinate I sono tratteggiate\ Dall'equilibrio alla traslazione nella direzione l si ha: 192

8 Lastre a doppia curvatura

( 8 .116)

Nn 1 ds = N 1 cos

cl ds + N 12 cos ;;i ds,

da cui si ottiene: ( 8 .117) che rappresenta la prima delle equazioni di equivalenza al contorno. In modo analogo si possono determinare altre due relazioni in base all'equilibrio alla traslazione. Infine, due ulteriori equazioni si trovano imponendo l'equilibrio tra i momenti (fig. 8.12). Poichè peraltro tali equazioni possono essere ricavate più facilmente per altra via, si rimanda al seguito la definizione della matrice [ JY]T .

Il Principio dei Lavori Virtuali Sia dato un sistema (a)di forze esterne costituito da forze {.97:} agenti sulla superficie della lastra e {p:} agenti sul suo contorno. Si ipotizzi che il sistema (a) sia staticamente ammissibile e cioè che soddisfi le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni di equivalenza al contorno: ( 8 .118 .a)

[8]*{Qa} = -{.97:},

(8.118.b)

[A1 f {Qa} = {p:},

VP ES, VP E W,

avendo indicato con P un punto qualsiasi della lastra, con S la sua superficie media e con W il suo contorno. Sia dato inoltre un sistema (b) di spostamenti {11;} e deformazioni { qb} cinematicamente ammissibile, soddisfacente cioè le equazioni cinematiche:

(8. ll9) Il Principio dei Lavori Virtuali afferma che il lavoro esterno compiuto dal sistema di forze (a) per il sistema di spostamenti (b) è uguale al lavoro interno compiuto dalle caratteristiche statiche del sistema (a) per le deformazioni del sistema (b). In simboli:

(8 .120) Il lavoro delle forze esterne di superficie vale:

(8 . 121) mentre quello delle forze agenti sul contorno è:

(8.122) II lavoro interno d'altra parte vale: 193

8 Lastre a doppia curvatura

y

n

\2jdy dx

X

Figura 8.13

(8.123) e dunque:

(8.124)

Il Teorema di Green Si enuncia ora il teorema dell'analisi matematica che verrà utilizzato nella derivazione delle equazioni cinematiche.

Sia §i! una regione del piano xy semiconvess;.1 rispetto alle direzioni di ambo gli assi e sia ry la curva regolare a tratti costituente la frontiera di §i! , orientata nel verso che lascia l'interno a sinistra (fig. 8.13); sia: _w

= M(x,

y)dx + N(x, y)dy,

una forma differenziale con M, N di classe 3"' 1 in ( 8 .125)

194

§i! .

Sussiste quindi la formula :

r (aN aM) .dxdy . 11I w = JfZJ Eh - -oy

8 Lastre a doppia curvatura

Alcune osservazioni sòno necessarie per potere applicare il teorema nel seguito. (I) II teorema è valido anche per domini di tipo più generale: è sufficiente che, mediante un numero finito di «tagli», la regione si possa decomporre in regioni semiconvesse rispetto ai due assi; !'2f può dunque essere concava o presentare fori. (2) Il teorema viene dimostrato in base alle due uguaglianze:

(8.126 .a)

/

8 : dxdy = 8

0

[ 8 N dxdy = 8X

(8 .126.b)

J!zf

t

Mdx,

J Ndy. J,

(3) Si indichi con dA l'elemento infinitesimo di area del dominio !'2f e con ds l'arco elementare della linea chiusa costituente il contorno 1. Dalla fig. 8.13, tenendo conto del verso di percorrenza di 1 e dell'orientazione degli assi, risulta:

(8.127.a)

dx= - dscos ny,

(8.127 .b)

dy =ds cos nx,

da cui discende:

(8.128.a)

f!zf

8 8: dA =

(8.128 .b)

/

~: dA

0

=

t t

M cos nyds, N cos nxds .

(4) Nel caso in cui M od N siano pari al prodòtto di due funzioni, si ottiene la regola di integrazione per parti su dominio bidimensionale. Ad esempio, se N = f • g , si ha: (8 .129)

Derivazione delle equazioni cinematiche e di equivalenza al contomo

Mediante la formula di integrazione per parti ed il Principio dei Lavori Virtuali, è possibile ricavare la matrice cinematica e la matrice delle equazioni di equivalenza al contorno. Si consideri una lastra in equilibrio sotto l'azione di un sistema di forze esterne, di superficie {.7*} ed al contorno {p*}. Il lavoro delle forze di superficie vale:

(8 .130) Per le equazioni di equilibrio (8.98) risulta: 195

8 Lagtre a doppia curvatura

(8.131) La matrice [ 8] * può essere scomposta nella somma di due matrici, di cui una contenente i termini operatoriali, [d] * , l'altra i termini algebrici, [F]T: [ 8]* = [ d]* + [F]T .

( 8 .132)

Owiamente solo la seconda seguirà le regole del calcolo matriciale secondo cui, date due matrici [A] e [B ] , vale: (8 .133)

([A][B]

f=

[Bf[Af.

Si ha dunque:

(8 .134)

Il secondo integrale al secondo membro della (8.134) va trattato a parte. Anzitutto 8

la matrice [ d] * è formata da soli operatori differenziali, per metà uguali a Al I

8 0!1

8

. Dùnque è sufficiente analizzare i passaggi relativi 2 8 0!2 a due soli termini della matrice (8.104), ad esempio il (2,3) ed il (5,7). Si consideri il primo: e per l'altra metà pari a Al

(8 .135)

-1-l_

8N12 u2dS.

sA1 8a1

L' integrazione estesa alla superficie S compresa in 3'b 3 può .essere ricondotta (fig. 8.14) al dominio !?iJ nel piano ( 0! 1, 0! 2 ) ricordando che: (8 .136)

(8 .137)

f

8Np

= - }qr. 80!1- ( u2A2 )d0!1 da2. Ci sono ora le condizioni per poter applicare il Teorema di Green nella forma (8.129),

196

8 Lastre a doppia curvatura

z

Figura 8.14

essendo 1 il contorno di §25 . I due integrali a secondo membro sono estesi rispettivamente a §25 e 1 . Moltiplicando e dividendo la funzione integranda del primo per A 1 A 2 e osservando che, come evidenziato in fig. 8.12:

(8.139) essi possono essere ricondotti ad integrazioni su S e W (fig. 8.14). Come definito in precedenza, n è la retta normale al contorno e appartenente al piano tangente alla superficie. Dunque:

(8.140)

Per il termine (5, 7) di [ d] * valgono passaggi simili:

(8.141)

197

8 Lutre a doppia curvatura

Sviluppando calcoli del tutto analoghi per i rimanenti termini di [ d] • , si possono nuovamente sintetizzare in forma matriciale i risultati, introducendo le matrici [ d] ed [ A] . Si ottiene infatti:

Nei passaggi sviluppati in precedenza si è dimostrato come i termini (2,3) e (5,7) della matrice [ d]*, una volta trasformati, divenitino i termini (3,2) e (7,5) delle matrici [./JI] e [ d] . Quest'ultima matrice si ottiene dunque trasponendo la prima dopo avere effettuato le seguenti sostituzioni:

a

(8 .143.a)

A1 0011

a

(8 .143.b)

--

A2

a

---t

l l BA? --+----A1 OOl1 A1 A2 OOl1 '

---t

I I. 8A - - + - - - -1 A2 OOl2 A1 A2 OOl2 .

0012

a

La matrice [ A] è analoga alla [ d] : ai termini con derivata parziale rispetto ad 01 1 corrisponde il coseno direttore di n rispetto alla direzione I; ai termini con derivata parziale rispetto ad 01 2 corrisponde il coseno direttore di n ·rispetto alla direzione 2. Ritornando alla (8.134), si potrà scrivere:

(8.144) ($est)s

=-

=

fs {Qf[F]{r,*}dS fs {Qf[d]{r,*}dS - fw{Qf[ .///]{r,*}ds = +

1s {Q}T ([d] - [F]) {r,*}dS - f ~{Q}T[AJ{r,*}ds.

Introducendo la matrice [ 8 ] = [ d] - [ F] , si giunge all'uguaglianza finale:

( 8 .145) Alla lastra si può applicare peraltro il Principio dt:i Lavori Virtuali, considerando: come sistema (a) le forze esterne agenti e le relative caratteristiche della sollecitazione interna (sistema staticamente ammissibile); come sistema (b) gli spostamenti e le deformazioni generati dal sistema (a), e quindi cinematicamente ammissibili. Ne risulta, per l'uguaglianza del lavoro virtuale esterno con quello interno, che:

( 8.146) Il confronto tra le ultime due uguaglianze, per l'arbitrarietà della superficie cui sono estesi gli integrali, ci permette di concludere che:

198

(8.147.a)

{q} =[8]{71*},

(8.147 .b)

{p*} =[AJT{Q},

8 Lastre a doppia curvatura

e dunque dimostrare che [ 8] ed [.,1f]T sono rispettivamente l'operatore matriciale cinematico e la matrice delle equazioni di equivalenza al contorno. Tramite il Principio dei Lavori Virtuali ed il Teorema di Green si sono dunque ricavate tanto le equazioni cinematiche che le equazioni di equivalenza al contorno, mostrando inoltre come le matrici che le rappresentano siano strettamente collegate tra loro. Si è così ben evidenziata la dualità statico-cinematica che informa tutta la teoria fin qui sviluppata. Nella pagina successiva vengono riportate per esteso le equazioni cinematiche. La matrice cinematica (8.148) è la duale della (8.104); si ottiene da essa: (1) trasponendola; (2) cambiando di segno i termini finiti; (3) effettuando la trasformazione (8.143) sugli operatori differenziali. Vengono inoltre riportate le equazioni di equivalenza al contorno (8.149). Tali equazioni legano le sollecitazioni agenti sul contorno con le caratteristiche della sollecitazione interna e, così come si è visto per la prima di esse, l'equazione (8.117), possono in alternativa essere dedotte dalle figure 8.11 e 8.12 con considerazioni di equilibrio. Si conclude la precedente dimostrazione con un paio di osservazioni. (I) La corrispondenza tra coseni direttori e derivate parziali nelle matrici [ 8] ed [ .,1Y] è una diretta conseguenza del Teorema di Green. (2) Le trasformazioni (8.143) sono dovute alla presenza dei parametri di Lamè A 1 ed A 2 • Laddove i due parametri che descrivono la superficie media siano anche ascisse curvilinee delle rispettive linee di curvatura, i parametri di Lamè risultano costanti e pari·all'unità, così che la trasformazione (8.143) scompare. Dunque, nei casi dove ciò è possibile, come le lastre piane o cilindriche, la matrice statica e quella cinematica sono semplicemente l'una la trasposta dell'altra, con i termini finiti di segno opposto. ( 8 .149)

N1 Nnl

coscl

o

cos ;J

Nn2

o o o o

cos;à

cos cl

o o o

o o o

Tn Mnl Mn2

o o

o o

cos nl

cos n2

o o

o o

o o o cos cl

o o o o

o o o cos3

o

cos;à

cos cl

N2 N12 T1 T2 M1 M2 M12

Lastre di rivoluzione

Si applicheranno nel seguito i risultati ottenuti alle lastre di rivoluzione . . La superficie media della lastra sia descritta in funzione dei parametri s e {} , come si è fatto 199

N

CIO

g

i

.,~

~

Q

't:I 't:I

;·

,.,

= '.:!

!!?.

=

a é1

é2

é12

A 1 8a 1 l 8A, +----A1A2 8a 1 8 l 8A 1 A2 8a 2 - A 1 A2 8a2 1

'"Y1

(8.148)

R1

i:l

I 8A + - - -1 A1A2 8a2 l 8 -A2 8a2 8 I 8A 2 A 1 8a 1 - A 1A2 8a 1

o

l +R1

o

o

+R2

l

o

o

o

o

o U1

a -

A 1 8a 1

+l

O

O

+I

R2

1 a -A 2 8a2

o

o

O

l 8 A 1 8a 1

+-l_8A 1 A 1A 2 8a2

X2

o

o

O

+-1_8A2

_I_~

A 1A 2 8a 1

A 2 8a2

X12

o

o

o

'"Y2

o

X1

U2

uN

-

a -

A 2 8a 2

I 8A1 A 1A 2 8a2

l

a-

A 1 8a 1

I 8A2 A 1A 2 8a 1

"

4.0

(.l

00

__.,

~

(!;I

e:

C>

3.0

·r:;;

e: (!;I

E-t

2.0

1.0

o

Soluzione analitica Mesh 1 Mesh2

r

k

+

.. . .. .... ..

'""""

o.o

I

50

100

-

~

' 150

200

i

i

i

.,i

250

300

350

400

450

Ascissa (cm)

Figura A.60

simmetria. Si sono consideratè due mesh, la prima costituita da 42 nodi e 30 elementi, la seconda da 99 nodi ed 80 elementi (fig. A.59), mentre gli elementi utilizzati sono uguali a quelli dell'esempio precedente. 348

Nel diagramma di fig. A.60 sono riportate le tensioni O"Y ottenute dal calcolo agli elementi finiti per la sezione della lastra normale all'asse Y e passante per l'origine degli assi. Si noti come in prossimità del bordo del foro le tensioni tendano al valore teorico 7 kg/cm 2 .

349

Esempio 13 Forza concentrata agente su di un semipiano elastico 13.1. GENERALITÀ

Si consideri un semipiano elastico sollecitato da una forza concentrata di 20 t. Il semipiano è simulato con un rettangolo di base 9 m ed altezza 4.5 m, di modulo elastico E = 250000 kg/cm 2 , coefficiente di Poisson v = 0.25 e spessore s = I cm (fig. A.61 ). Anche in questo caso è stata sfruttata la simmetria strutturale. Sono state considerate tre mesh, costituita ciascuna da una serie di nodi disposti lungo quarti di circonferenze

y

F = 20t X

h

= 4.5 m

b=9m

Figura A.61

351

14

L

.IC-------"'-=------4

L

15

(a)

(b)

L (e) Figura A.62

concentriche. Le prima mesh presenta 16 nodi e 12 elementi, la seconda 55 nodi e 48 elementi, la terza 188 nodi e 176 elementi (fig. A.62).

13.2. VINCOLI

Per motivi di simmetria si sono annullate le traslazioni lungo l'asse X per i nodi del lato verticale a destra. Ai nodi dei lati verticale a sinistra ed orizzontale inferiore si sono impedite le traslazioni, supponendo il rettangolo confinato da carrelli.

13.3. ELEMENTI

Gli elementi utilizzati sono del tipo PLANE STRESS, a tre nodi per il cerchio adiacente al punto di applicazione dellà forza, a quattrò nodi altrove. Si riporta l'input della prima mesh, per mettere in evidenza i due differenti tipi di elementi utilizzati.

352

ELEMENTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ESTREMI 2,1, 5 5,1, 9 9, 1, 11 11, 1, 13 4, 2, 5, 8 8, 5, 9, 10 10, 9, 11, 12 12, 11, 13, 14 7, 4,8, 3 3, 8, 10, 6 6, 10, 12, 16 16, 12, 14, 15

TIPO ELEMENTO 1

1 1 1 1 1

TIPO CARICO

o o o o o o o o o o o o

ELEMENTI TIPO 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - elemento piane stress E v spessore 2.500e+5 2.500e-l l.000e+l

13.4. CARICHI

Poichè è stata analizzata soltanto mezza struttura, la forza applicata al nodo I è di I O t, ovvero metà della forza totale.

Figura A.63

353

o

,-,

e:u

-100

··-·······-·· ······-·····-··· · ····•··•·

-200

o

Mesh 1 Mesh2 □ ~ Mesh 3 - - Soluzione analitica

---✓ Cl:! .....

Cl ;:l

-300

Cl -400 -500 -2000

-1500

-1000

-500

Tensione radiale a (kg/cm r

2

o

)

Figura A.64

13.5. SPOSTAMENTI

In fig. A.63 si riporta la deformata per la mesh 3.

13.6. SOLLECITAZIONI

Si consideri una circonferenza di diametro d , con centro sull'asse X e tangente all 'asse Y nel punto di applicazione della forza (fig. A.61). Per ciascun punto di tale circonferenza, con l'eccezione del punto di applicazione della forza, si ha:

Nel diagramma di fig . A.64 sono riportate le tens ioni radiali ottenute con le tre mesh e l'andamento delle tensioni teoriche sull'asse X . Esse presentano una singolarità nel punto di applic~ione della forza. Tale singolarità, utilizzando elementi a tensione costante, non può essere colta pienamente, se non con un numero elevato di elementi (mesh 3).

354

Esempio 14 Tubo cilindrico di grosso spessore soggetto a pressione interna 14.1. GENERALITÀ

Si consideri un tubo cilindrico di raggio interno R 1 = 2.5 m e raggio esterno R 2 5 m, soggetto a pressione interna unifonne P; = 1 kg/cm 2 (fig. A.65). Le tre mesh considerate per lo studio del tubo riguardano solo un quarto dello stesso, in virtù della simmetria polare del problema. La prima mesh presenta 15 nodi e 8 elementi, la seconda 45 nodi e 32 elementi, la terza 153 nodi e 128 elementi (fig. A.66).

=

14.2. VINCOLI X

Per motivi di simmetria si sono annullate le traslazioni lungo l'asse X per la sezione Y per la sezione Y = O .

= O e le traslazioni lungo l'asse

y

X

FiguraA:65

355

15

15

L

L (b)

(a)

L (e)

Figura A.66

14.3. ELEMENTI Gli elementi util~zzati sono del tipo PLANE STRESS. Il modulo di elasticità è

E =250000 kg/cm 2 , il coefficiente di Poisson v = 0.15, Io spessore s =l cm.

14.4. CARICHI La pressione interna uniformemente distribuita è stata simulata mediante forze radiali agenti sui nodi del contorno interno. 356

0.2---.-------ir------,------r--------,-----,

~ 0.0-r----+------t---------t-----,------,=,:;;;~-,

-:2

._ef

-0.2-t-- - - - + -- -- --t---~l""'!'--'-----i--- -- ----i

'--'

O

Mesh 1

O

Mesh2 6 Mesh3 - - Soluzione analitica

-1.2-+--'--'--"--..__l--'~~~-~~-'--'---t-..__..__~--t~~~~-1

250

300

350

400

450

500

Coordinata radiale (cm)

Figura A.67

14.5. SOLLECITAZIONI Le componenti di tensione a-r e a-li sono date dalle seguenti espressioni:

P;Rf R~

-m

Queste espressioni mostrano come ar sia sempre di compressione e a-li sempre di trazione. Quest'ultima è massima sulla superficie interna del cilindro, ove: _ P; (R 2I + R2) 2

a-li ( max ) -

?

?

R 2 -Ri

è maggiore della pressione P; , per qualsiasi valore del rapporto R 2 / R 1 • Nei diagrammi delle figg. A.67 e A.68 si riportano i valori delle tensioni ar e a-li lungo lo spessore, ottenuti rispettivamente dal calcolo agli elementi finiti e analiticamente.

357

t:" 1.8 E3

-(.)

t () ~

---✓

t, (I)

O

Mesh 1 Mesh2 I::, Mesh 3 - - Soluzione analitica

1.6

O

(I)

1.4

~

-~3

i:= (I)

1.2

~~ i:= C)

1.0

;.,.

·~-

(.)

;.,.

(.)

(I)

i::

.S~ u~ i::

(I)

E-◄

0.8 0.6 250

Figura A.68

358

300

350

400

Coordinata radiale (cm)

450

500

Esempio 15 Trave con sezione a L in tre dimensioni 15.1. GENERALITÀ

Si consideri una mensola lunga 3 m, con sezione retta a forma di L di altezza e base 30 cm e spessore 10 cm, caricata sull'estremità libera con una forza concentrata F = 1 t, passante per il punto di intersezione delle linee medie dei due rettangoli costituenti la sezione (fig. A.69). Per il calcolo tridimensionale della trave in esame si è utilizzata una mesh costituita da cubi di lato 1O cm. In totale la mesh conta 150 elementi cubici e 378 nodi (fig. A.70).

y

z

BI

g Il

.e

s = IO

-.cmJ_ ◄ --·-- ""1

s=IOcm b = 30 cm

Figura A.69

359

Figura A.70

15.2. VINCOLI Per il tipo di elemento utilizzato, i nodi non possono ruotare, ma esclusivamente traslare nello spazio. I 12 nodi della faccia incastrata hanno invece tutti i gradi di libertà bloccati.

15.3. ELEMENTI Gli elementi utilizzati sono del tipo BRICK. Per ogni elemento è necessario indicare il numero d'ordine, i nodi da N 1 a N 8 , il tipo di elemento, il tipo di carico applicato. Si è scelto un modulo di elasticità E = 300000 kg/cm 2 e un coefficiente di Poisson v = 0.15. Si riporta l'input per i 5 elementi sulla faccia incastrata.

ELEMENTI TIPO 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - elemento brick E u 3.000e+5 1.500e-1

360

ELEM. N° 1

NODI 5, 6, 8, 7, 1, 2, 4, 3

TIPO ELEMENTO

31 61 91 121

7, 8, 128, 127, 3, 4, 126, 125 127; 128, 190, 189, 125, 126, 188, 187 128, 251,252, 19~ 12~ 249, 25~ 188 251,313,314,252,249,311,312,250

1

1 1

TIPO CARICO

o o o o o

15.4. CARICHI La forza concentrata di I tè stata suddivisa in due forze da 500 kg ciascuna, applicate ai due nodi superiori della sezione terminale della trave.

15.5. SPOSTAMENTI Le componenti di spostamento lungo gli assi X e Y del baricentro della sezione terminale della mensola, caricata da una forza concentrata diretta lungo l'asse Y, si determinano considerando le componenti di spostamento lungo i due assi principali d'inerzia della sezione retta ç ed 1/ :

_..,/2

Fl

v2 Ff,z3

u-23Eif. + 23EI

11

-

v2

Fl

v2

'

Fl

v--23Eif. +23E1

•

11

Il fattore v2/2 rappresenta il seno o il coseno dell'angolo 7T / 4 compreso fra gli assi X , ovvero tra gli assi 77 ed Y. Le componenti dello spostamento del baricentro della sezione terminale della mensola, ottenute dal calcolo agli elementi finiti, sono: Dx = - O.546 cm, Dy = -1.104 cm. In fig. A.71 è riportata la deformata della sezione terminale. Si noti come la sezione, oltre a traslare nel piano, ruoti in senso antiorario. Ciò significa che il centro di taglio si trova spostato a destra rispetto all'intersezione delle due linee medie, non potendosi considerare sottile tale sezione.

ç ed

15.6. SOLLECITAZIONI Per verificare i risultati derivanti dal calcolo agli elamenti finiti si è considerato il punto centrale dell'elemento superiore della sezione retta prossima all'incastro, di coordinate: X = -5; Y = 25; Z = 295 . Il calcolo analitico della tensione nel punto suddetto, conduce al seguente risultato: Mf.

IT,

M kg 11 - - 11 ç = 119.411 . 1€ 111 cm-

=-

L'output del calcolo agli elementi finiti, per l'elemento 150, fornisce: 361

Figura A.71

Sforzi negli elementi ELEM. N° 150

FACCIA O

S11 8.020e+O

S22 8.879e+O

S33 l.194e+2

S12 -2.415e-1

S23 4. 189e+O

Si osservi come la tensione s3; , che è la corrispondente della precedente pari a 119 .4 kg/cm 2 , e quindi coincida con quella ottenuta analiticamente.

362

S31 -5.362e-1

O"z,

risulti

Esempio 16 Lastra circolare appoggiata con carico uniformemente distribuito 16.1. GENERALITÀ Si corìsiéleri una lastra circolare di raggio R = 3 m e di spessore h = 5 cm, appoggiata al contorno e soggetta ad un carico uniformemente distribuito q = O.05 kg/cm 2 , ortogonale al piano medio (fig. A.72). Per il çalcòlo agli elementi finiti della lastra sono state utilizzate due mesh. Anche in questo caso la simmetria del problema ha permesso di considerare solo un quarto della struttura. La prima mesh, costituita da 16 elementi e 21 nodi, divide il quarto di lastra in quattro parti sia radialmente che circonferenzialmente (fig. A.73.a). La seconda mesh, invece, divide la lastra in otto parti secondo entrambe le direzioni, con 64 elementi e 73 nodi (fig. A.73.b).

z

q(x,y) = costante

o ················•·•···•·····•········•····

X

Fi:MaA.72

y

15

L

L

(b)

(a) Figura A.73

16.2. VINCOLI Gli unici gradi di libertà nodali sono la traslazione lungo l'asse Z, nonnale al piano medio della lastra, e le due rotazioni attorno agli assi X e Y . Per motivi di simmetria si sono annullate le rotazioni attorno all'asse Y per la sezione X = O , attorno all'asse X per la sezione Y = O . I nodi posti sul bordo esterno della lastra, per le condizioni di vinc:olo, hanno impedita la traslazione lungo l'asse Z , ortogonale al piano medio della lastra stessa.

16.3. ELEMENTI · Gli elementi utilizzati sono del tipo PLATE a tre ed a quattro nodi. Sono a tre nodi gli !!lementi convergenti nel centro della lastra, a quattro nodi i rimanenti. All'interno di tali elementi gli sforzi variano lineannente. Il modulo elasticito nonnale scelto è E = 2100000 kg/cm 2. , il coefficiente di Poisson v = 0.3, lo spessore s =5 cm. Si riporta l'input degli elemènti per la mesh a 16 elementi.

364

ELEMENTO

ESTREl\11

1 2

15, 12, 11, 14 . 14, 11. 10, 13

3 4 5

12, 9, 8, 11 11, 8. 7. 10 9, 6. 5, 8

TIPO ELEMENTO

TIPO CARICO

ELEMENTO

ESTREMI

TIPO ELEMENTO

TIPO CARICO

6 7 8 9 10

8, 5, 4, 7 6, 3, 2, 5 5, 2, 1 4 17, 18, 4, 1 18, 19, 7, 4 19, 20, 10, 7 20, 21, 13, 10 17, 16, 18 18 16, 19 19, 16, 20 20, 16, 21

1 1 1

1

11

12 13 14 15 16

I

1 1 1 1 1

I

1 1

I

1

ELEMENTI TIPO 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - elemento plate E v spessore 2.lO0e.+6 3.000e-1 5.000e+0

16.4. CARICHI

Il carico uniformemente distribuito viene assegnato questa volta direttamente agli elementi. Si riporta l'input dei carichi.

CARICO TIPO SUGLI ELEMENTI CONDIZIONE DI CARICO I Carico tipo 1 uniformemente distribuito sistema di riferimento globale

X

Y

Z

0.000e+0

O.000e+0

-5.000e-2

16.5. SPOSTAMENTI

L'espressione analitica della componente di spostamento nella direzione Z è la seguente:

w

= ._q_ {- 4 + 2( 3 + li) R 2 2 + [ 1 _ 2( 3 + li) ] R 4 }

64D

r

(l+ll)

r

(l+ll)

·

La freccia del punto centrale della lastra in esame vale: 4

f= qR 64D

[i -

2(3+ll)] (l+ll)'

ove:

365

Figura A.74

Eh 3 D = 12( I -

ll 2 ) .

Sostituendo i valori numerici, si ottiene f = 1.07 cm. D'altra parte, i valori che scaturiscono dal calcolo agli elementi finiti sono i seguenti: 1 a mesh (16 elementi): f = 1.08 cm; 2 a mesh (64 elementi): f = I .07 cm. L'errore che si commette è, in entrambi i casi, inferiore ali' 1%. In fig. A.74 si riporta la deformata per la mesh 2.

16.6. SOLLECITAZIONI Le espressioni analitiche dei momenti flettenti Mr e M,J '. rispettivamente radiale e circonferenziale, sono le seguenti:

Mr = - I~ [( 3 + li)( R 2 Mii = -

~ [( 3 + li) R 2 1

r

-

-

(

2

)] ,

I - 3 li) r 2 ]

Nel centro i due momenti si eguagliano, essendo:

Nel caso specifico si ha:

Mr(O) = M,J(O) = 928 kgcm.

366

.

o

""' a (.)

-200 -

00

e ....

::E

- - Soluzione analitica Mesh l Mesh 2

o

□

-400

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