Mecánica: Libro, 1 [1] 9703244998, 9789703244997

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Temas de física

Mecánica Libro 1

Mecánica Libro 1 Fermín Alberto Viniegra Heberlein

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

Mécanica. Libro 1 1º edición, 2007 D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Circuito exterior s/n Ciudad Universitaria, México 04510, D.F. [email protected] ISBN obra completa: 978-970-32-4498-0 ISBN 1er. libro: 978-970-32-4499-7 Diseño de portada: Laura Uribe Tipografía y figuras: Mauricio Vargas Díaz Impreso y hecho en México

A la memoria de mi madre Anna Helene Heberlein Lang (1910-1967)

CONTENIDO

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducción

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1. Antecedentes de la mecánica . . . . . 1.1. El orto de la mecánica . . . . . . . 1.2. El sistema ptolemaico . . . . . . . 1.3. Nicolás Copérnico . . . . . . . . 1.4. Johannes Kepler y Tycho Brahe . . . 1.5. Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann 1.6. Galileo Galilei . . . . . . . . . .

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2. Newton y su mecánica . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Newton y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Las fuerzas: segunda ley . . . . . . . . . . . . . 2.4. Torcas y momento angular . . . . . . . . . . . . 2.5. Tercera ley de la mecánica y la estática . . . . . . . . 2.6. Sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Despegue, vuelo e inyección en órbita de un cohete 2.7. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . .

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3. Las ecuaciones de movimiento 3.1. Trabajo y energía cinética . . 3.2. Sistemas conservadores . . . 3.3. El problema de los dos cuerpos 3.4. Campo central . . . . . .

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Contenido

3.5. La teoría newtoniana de la gravitación . . . . . . . . 3.6. Movimiento en un campo de fuerza repulsivo: dispersión de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Inyección en órbita de un satélite artificial . . . . . . 3.7.1. Los parámetros keplerianos . . . . . . . . . 3.7.2. Tamaño de la órbita . . . . . . . . . . . . 3.7.3. La forma de la órbita . . . . . . . . . . . . 3.7.4. Orientación del plano orbital en el espacio . . . . 3.7.5. Orientación de la órbita . . . . . . . . . . . 3.7.6. El argumento del perigeo . . . . . . . . . . 3.7.7. La localización instantánea del satélite en su órbita 3.8. Astrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 4. El cuerpo rígido . . . . . . . 4.1. El cuerpo rígido . . . . . . 4.2. Marcos de referencia acelerados 4.3. Cinemática del cuerpo rígido . 4.4. Dinámica del cuerpo rígido . . 4.5. Satélites artificiales . . . . . 4.6. Problemas del capítulo . . . .

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PRÓLOGO

Hace ya un buen tiempo que estoy pensando en ti. Trato de imaginar cómo eres: tu edad, tu profesión, tus gustos científicos. Se trata de una cuestión muy importante para mí, porque si ya estoy decidido a escribir este libro, debo formar en mi mente una imagen tan clara como sea posible de tu persona, para que lo que yo escriba te sea útil e interesante. Así, el objetivo fundamental de este libro se alcanzará cabalmente: tú aprenderás este hermoso tema de la Mecánica; sus fundamentos, la historia de su desarrollo, sus técnicas de ataque y resolución de los problemas y sus aplicaciones. Quizá consiga apasionarte por este tópico tanto como yo lo estoy y tal vez logre convencerte de que se trata de una parcela del pensamiento científico y de la investigación teórica que vale la pena explorar, pues, en contra de lo que algunos piensan, se trata de un tema que a más de cuatrocientos años de haber visto la luz, aun guarda secretos y reserva sorpresas espléndidas. Déjame intentarlo: tú eres un joven estudiante de alguna de las carreras del área de las físico-matemáticas, como dicen por allí. Tal vez estás próximo a obtener un grado de maestría en ciencias, en ingeniería o en química, así que tu edad debe ser entre los veintitrés y treinta años. Tu ambición es obtener un puesto en una universidad, o bien llegar a dirigir alguna línea de producción, o tal vez una planta, dentro del ámbito industrial de tu país. Eres inteligente, estudioso y, sobre todo, desde pequeño has tenido una enorme curiosidad; has buscado siempre hallar explicación a la pregunta de por qué funcionan las cosas en nuestro universo y tal vez te has planteado esa otra de cómo podrían funcionar mejor. Me atrevo a pensar que tú has sido uno de esos niños que destripan juguetes, inundan sus habitaciones y se han quemado los dedos manejando sustancias peligrosas. Muy probablemente cuando muy joven, pusiste en serios aprietos a tus atribulados padres por las preguntas que les hacías acerca de temas que en algunas ocasiones ni siquiera habían reparado. Te gusta leer, dominas la computado-

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Prólogo

ra sin haber tenido que llevar curso alguno sobre su manejo y tienes buen humor. Sientes la alegría del conocimiento nuevo como el gozo de llegar a la cima de un cerro, nomás por haber llegado allí y por la oportunidad de ver todo el paisaje desde las alturas. Pero también puede ser que tú seas una persona mayor. Si, creo que vislumbro a alguien que es de mi profesión. Un profesor, un docente que busca material para su cátedra. Alguien que siente el placer de enseñar, de presentar el conocimiento de forma novedosa y variada; que trata de agarrar la atención de sus estudiantes y no soltarla más en el curso. Inducir en sus pupilos la misma pasión por el conocimiento que enseña, que la que él mismo siente y darles una formación sólida y duradera que les permita en adelante, cuando egresen de las aulas, atacar y resolver los problemas que enfrenten, incluso el de formar a su vez a otros estudiantes. No sé si mi visión haya sido correcta. No sé si tú, quien ahora lees estos renglones, realmente sientas que lo que acabo de escribir te describe aunque sólo sea un poco. Espero sinceramente que sí. Ojalá haya acertado al dibujar con letras el perfil de quien ha decidido gastar un poco de su tiempo para buscar aquí respuestas a sus inquietudes científicas y aprender (o recordar) ese bellísimo modelo de la física que se conoce como la mecánica. Por otra parte, ¿qué te puedo ofrecer yo con este libro que no lo encuentres en otros? Pensándolo con cuidado, hay cientos de libros que han aparecido desde finales del siglo XVII sobre este mismo tema. Algunos de ellos han resultado ser obras maestras por su lucidez o por la profundidad de los conocimientos que ofrecen. Autores de la talla de A. Sommerfeld o de L. D. Landau y E. M. Lifshitz, sin contar con el propio I. Newton, representan monumentos científicos y literarios muy difíciles de superar. Lo que yo intento con este libro es simplificar el aprendizaje de la mecánica, optimizar el material que debe aprenderse y hacer ameno el proceso de aprendizaje. Como seguramente ya te habrás enterado, la mecánica puede enfocarse desde muy variadas perspectivas. Las hay que buscan, por ejemplo, tocar el fondo de las cosas. Los autores de esta línea nos llevan verdaderamente a las profundidades abisales; a los terrenos de la topología diferencial, de los espacios fibrados y los grupos extraños. Hay gustos para todo en este mundo y la mecánica fundamental es un tema con un atractivo muy especial para algunos. Hay otros que, por el contrario, les gustan solamente las aplicaciones y de ellas, esas que se pueden encontrar ya resueltas en tablas o en paquetes computacionales. Para estas personas, las

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Prólogo

inmersiones en aguas profundas de la mecánica no son atractivas y no están dispuestos a dar su tiempo en aras de la “metafísica” de la mecánica. Mi intención es la de proporcionarte un material didáctico que tú ciertamente puedas estudiar en dos semestres normales de mecánica dentro de alguno de los planes de estudio de posgrados en ciencias o ingeniería que se ofrecen en el mundo. Con los conocimientos de nivel universitario que muy probablemente ya tienes de álgebra, de geometría analítica, de cálculo y de ecuaciones diferenciales, no deberás enfrentar problemas mayores para asimilar el contenido de este libro. Si en algún capítulo vamos a requerir de cierto material no tan “ortodoxo”, entonces lo desarrollaremos de tal modo que tu aprendas ese tema matemático allí mismo, sin tener que acudir a otras fuentes bibliográficas. Tengo el deseo de desarrollar este libro en cuatro vertientes básicas: la primera es la histórica; en la medida de lo posible, trataré de contarte historias breves que sirvan de soporte al tema que en ese momento estudies, con el objetivo de hacer amena la lectura, darte un descanso y permitirte que te distraigas momentáneamente del rigor del desarrollo científico. Así mismo, quiero que te ubiques históricamente en aquellas épocas en las que esos tópicos se hicieron. Estoy seguro que esas anécdotas te serán de utilidad cuando llegue el momento de dar una clase o dictar alguna conferencia sobre ello. A lo largo de treinta y cinco años, a mí me ha servido mucho invocar, en un determinado momento de mis exposiciones, a una historia o a un cuento para “aflojar” el ambiente, sobre todo, cuando hay que hacer una zambullida en aguas profundas de la física o las matemáticas. La segunda vertiente que desarrollaré es la de los conceptos fundamentales; es decir, que trataré de exponerte las ideas básicas con la mayor amplitud y claridad que me sea posible. Así, las leyes de Newton que en la mayoría de los libros solamente se enuncian para que el estudioso del tema las recite como una oración, en mi libro te voy a exponer las ideas que subyacen a las leyes y quiero mostrarte también sus alcances y sus limitaciones. En fin, que deseo aprovechar la oportunidad para recrear el pensamiento prístino que desemboca en tal o cual idea y echar un vistazo a sus detalles e implicaciones. La tercera línea que pretendo seguir en este libro es la de las aplicaciones. Para expresarlo lo más claro que sea posible, deseo aterrizar toda la teoría que voy a exponerte, invocando a ejemplos y ejercicios de la vida real, en la medida en que el tema lo permita. Estoy pensando en ti, como ya lo men-

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Prólogo

cioné al principio y debo imaginar que tú, siendo un ingeniero o un científico, debes estar ansioso de dar respuesta a varios problemas que te han planteado o te han estado dando vueltas en la cabeza, desde hace algún tiempo, sobre esos rubros que aquí estudiarás. Bueno, tal vez con los ejercicios, los ejemplos y los comentarios puedas alcanzar tus metas. Finalmente, la cuarta vertiente de este libro será la de hilvanar a la mecánica con otros grandes temas de la ciencia. Deseo que me permitas, al final de ciertas unidades, mencionar la forma cómo ese tópico dio lugar a ideas dentro de otras áreas de la ciencia, o bien, cómo fue posible comprender ciertos fenómenos que están fuera de la mecánica, pero que a partir de las ideas de la mecánica pudieron esclarecerse. Entiéndeme bien, no se va a tratar de que me ponga yo a escribir ahora sobre electromagnetismo o sobre relatividad o termodinámica. Sería tanto como salirme del tema y en cierto modo traicionar a la idea original. No, lo que deseo hacer es indicarte aquí y allá, a manera de pequeñas disgresiones, las ramificaciones que han brotado de la mecánica y que finalmente han dado lugar al desarrollo de nuevos temas de la ciencia, pero sin entrar en ellos propiamente. Espero haber acertado al imaginarte. Ojalá el material que aquí te presento sea de utilidad y ayude a darte los conocimientos, las destrezas científicas y la habilidad para afrontar los problemas de la ciencia o la técnica que se presentarán en tu vida profesional. La escritura de este libro ha sido para mí la realización de un anhelo largamente acariciado y muchas veces pospuesto. La mecánica fue un legado que me dejó mi viejo profesor Juan B. de Oyarzabal cuando un día sintió que había llegado el momento de pasar la estafeta a un joven docente, después que él mismo la había recibido muchos años antes de su mentor y la había expuesto ante sus estudiantes en las aulas. Ese día me llamó a su cubículo de la universidad y sin más me invitó a tomar su cátedra e impartir la materia en los siguientes períodos lectivos. Me sentí abrumado por aquel inesperado honor, máxime que en el claustro docente había en aquellos momentos una buena cantidad de profesores; muchos estupendos y de excelentes calificaciones. Desde entonces, cada vez que tengo oportunidad, imparto mi curso. Han pasado ya treinta años y sigo haciéndolo con el mismo entusiasmo y emoción con que lo hice desde el inicio. Siempre he querido materializar en la forma de un libro el conocimiento que trato de meter en las cabezas de mis estudiantes y al mismo

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Prólogo

tiempo dejar una obra tangible que pueda ser utilizada por otros que también serán mis estudiantes aunque no necesariamente lleguemos a conocernos personalmente. Ahora lo he logrado, después de casi dos años de escritura. Por las mañanas, muy temprano, antes del inicio de mis actividades en la UNAM, en mi casa, me propuse la tarea de escribir este libro. Y si tú vas a poder abrir las páginas y estudiar esta obra quiero que tomes en cuenta que, ante todo, es a aquel viejo profesor mío a quien en última instancia le debemos, tanto tú como yo la posibilidad de tenerlo en las manos. Tú, porque el conocimiento, el entusiasmo y la pasión por enseñar el tema me fue transmitida por él; esos fueron dos ingredientes indispensables que hicieron posible este libro. Por mi parte, sin ellos nunca hubiera tenido ese impulso para sentarme a escribirlo; me hubiera perdido el placer que su escritura me causó. Pero para ser justo tengo que decirte que este libro tampoco hubiera podido llegar a ver la luz del día si no hubiera yo contado con la ayuda de otras personas. Muy particularmente debo expresar aquí mi sincero y profundo agradecimiento a la M. en C. Barbarela Dávila, quien actualmente se encuentra desarrollando su tesis doctoral bajo mi dirección, y que en una forma absolutamente desinteresada, se echó a cuestas la fatigosa tarea de transcribir mi manuscrito a una vieja y achacosa computadora; de importar las figuras que yo dibujé y de dibujar otras muchas. Una tarea, digo, que solamente por el entusiasmo por la lectura del tema y por el gusto por el trabajo, realizó a lo largo de estos meses. No puedo menos que expresar aquí mi agradecimiento y reconocer la invalorable ayuda que me prestó. Sin ella, esta obra, como decía, nunca hubiera podido llegar a ser. Fermín A. Viniegra Heberlein México, 2002

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INTRODUCCIÓN

La ciencia es una disciplina teórico-experimental que busca conocimiento nuevo y verdadero acerca de la naturaleza y sus procesos. Mientras mayor es ese conocimiento, las posibilidades de aplicarlo para el provecho del ser humano son mayores también y, al menos idealmente, estas aplicaciones permiten mejorar la calidad de la vida, su duración y la trascendencia de la especie en el universo. Para hacer ciencia hay que seguir una estrategia general que, excepto por pequeñas diferencias propias de cada campo del conocimiento, es la misma siempre. Esta estrategia se conoce como el método científico. Se trata de un esquema conceptual que desde su estructuración primitiva, allá por la segunda mitad del siglo XVI ha sido la guía con la cual se consigue el objetivo de esta rama de la actividad humana. No nació de golpe y porrazo y tampoco apareció ya totalmente estructurado hasta sus mínimos detalles. El método científico mismo ha venido evolucionando al través del tiempo, haciéndose cada vez más preciso y más específico para cada parcela del conocimiento. Hoy en día, en efecto, esta estrategia tiene diferencias, según que se aplique a la ciencia básica que a la ingeniería o a la medicina, por citar tan solo tres de todos los ámbitos del saber donde ha sido utilizado y ha rendido resultados positivos. En términos generales, el método científico debe ejercitarse, siguiendo tres grandes etapas sucesivas; estas son, la etapa de acumulación, análisis y síntesis de la información pertinente, seguida por la de la inducción y se concluye con la etapa de la deducción. Como se indica, la primera etapa consiste en el trabajo de hacerse de la información que concierne a ese fenómeno, ese experimento; en fin, ese hecho que se desea investigar. Todo aquello que se juzgue a priori pertinente al objeto de la investigación y que se tenga a la mano, como son libros, artículos, reportes; así como los resultados de observaciones hechas por el interesado, o por otras personas,

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Introducción

se debe acumular. Todo ese material debe ser estudiado cuidadosamente para hacer una primera clasificación y evaluación de su contenido. Hay que descartar lo que no sea relevante y hay que conservar lo importante. Aquí comienza el conocimiento, cuando de pronto, en toda aquella maraña de libros, artículos, fotos, gráficas, comienzan a notarse ciertos rasgos; ciertas tendencias sistemáticas. Esta es la fase de la síntesis del conocimiento. Con toda esa información clasificada y analizada; con todos esos detalles y rasgos importantes sintetizados, el científico está en condiciones de dar el segundo gran paso en su trabajo: establecer ciertos asertos generales, a partir de la experiencia acumulada. Esta es la fase de la inducción. Esta es, quizá, la etapa más difícil y azarosa de todo el proceso, pues inducir; esto es, afirmar (o negar) cuestiones generales a partir de datos particulares; ir de lo particular a lo general, es algo que al humano le cuesta mucho trabajo y con frecuencia se equivoca. Hay una buena cantidad de dolorosos ejemplos de equivocaciones conocidas en distintas partes del ámbito científico, como aquella que se dio recientemente, cuando se descubrió que las piedras fundamentales para la vida no necesariamente son aquellas que se habían establecido en la primera mitad del siglo XX y que se referían al bióxido de carbono, en particular, que junto con el agua y el amoniaco deben conducir a la formación de amino ácidos y estas moléculas, a su vez, enlazarse e imbricarse con otros compuestos para dar lugar a las macromoléculas que adquieren la facultad de auto repetirse. Estas ideas, desarrolladas a partir de las inducciones de un bioquímico ruso: A. I. Oparin (1894-1980) fueron, por ejemplo, las que llevaron a los exploradores del planeta Marte a afirmar que en ese mundo no hay vida, allá por los 70´s del siglo pasado. Hoy en día, con la evidencia acumulada aquí mismo, en el planeta Tierra, en las profundas chimeneas volcánicas del fondo del mar, se ha podido comprobar que no sólo de bióxido de carbono, sino también de óxidos de azufre se puede dar el fenómeno de la vida. Estos descubrimientos echaron abajo toda aquella teoría y dieron nuevos bríos a la búsqueda de vida extraterrestre. Aquella inducción, fundamentada en evidencias ciertas, pero insuficientes, condujeron a errores que obligaron a regresar al punto de partida, buscar más información, hacer una nueva clasificación de ella y realizar una síntesis de mayor alcance; más potente, por decirlo de alguna manera. Entonces, la inducción permitió dar un concepto de los fundamentos de la vida más amplio. Hoy en día, a la luz de estas investigaciones, se sabe que la vida, en formas diversas, surge con

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Introducción

facilidad en una dilatada gama de condiciones: desde los gélidos ambientes polares y estelares, hasta las ardientes aguas de las chimeneas abisales. Ello ha llevado a pensar, así mismo, que casi en cualquier lugar del universo donde existan condiciones para la formación de compuestos básicos, puede haber vida. El camino de la creación se ha bifurcado; cada vez más y con mayor evidencia se ve que aquel acto divino que colocaba al planeta Tierra en el mero centro del universo, fue mucho más amplio ya que involucró a todo él en ese formidable plan de dotarlo de inteligencia. Y como en un tobogán por el cual se deslizan los niños, así el método científico permite al investigador acceder a conocimiento nuevo una vez que ha ascendido por la empinada y peligrosa escalera de la inducción. Así, una vez que se han alcanzado esos hitos a partir del proceso inductivo, la tercera etapa del proceso: la fase deductiva, da comienzo. Aquí por lo contrario de la parte inductiva, hay que partir de aquellos asertos generales a los que se había llegado y realizar el descenso (como en un tobogán), hasta alcanzar las conclusiones menudas y prolijas que permitió el modelo. Nuevamente, la experimentación y la observación aparecen en el proceso. Cada resultado de una deducción hay que contrastarlo, en el laboratorio o en el observatorio, con los datos, con las fotografías y gráficas que se obtienen aquí, para estar cada vez más seguros de aquel modelo teórico que se había estructurado a partir de la síntesis, con asertos inductivos. Estos hallazgos constituirán más tarde, los elementos que otros investigadores usarán como puntos de partida para hacer sus propios ascensos por las montañas de la inducción y llegar a proponer hipótesis más generales, con las cuales el modelo actual amplíe sus alcances y fortalezca su estructura; o bien, en el caso de que algún resultado experimental contradiga de algún modo a la teoría, se deba demoler ésta completa o parcialmente y se tenga que iniciar de nueva cuenta el trabajo de construir un modelo teórico que remonte las fallas que el anterior exhibió y que no tenga puntos de discrepancia con la naturaleza. Así es el camino de la ciencia. El método científico comenzó a ser estructurado en su forma más primitiva en el siglo XVI, cuando Nicolás Copérnico inició la práctica de observar el cielo con una tabla ranurada, anotar ordenadamente los datos de sus observaciones en hojas y hojas de registro, a lo largo de treinta años, para luego con ellos, hacer dibujos con las posiciones de los planetas, referidas al Sol. Fue así como Copérnico pudo, al fin de tantos años de paciente trabajo, llegar a la afirmación de que los planetas giran alrededor

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Introducción

del Sol y no, como se creía hasta entonces, que la Tierra es el centro del sistema y a su alrededor, tanto el Sol, como la Luna y el resto de los planetas conocidos, giran describiendo sus trayectorias. Así fue como nació el sistema heliocéntrico que hoy por hoy se da como un hecho elemental. El mismo procedimiento general siguió Johanes Kepler cincuenta años después, cuando paciente, tozudamente convirtió los datos astronómicos de su colega, Tycho Brahe, en puntos sobre un papel y demostró que las órbitas de los planetas, en su tránsito alrededor del Sol no son círculos, como Copérnico había propuesto, sino elipses, en uno de cuyos focos se encuentra esta estrella. Luego, haciendo una y otra vez los mismos cálculos a partir de relaciones geométricas sintetizadas de aquellas figuras, pudo proponer como postulados colosales, sus otras dos leyes: que los planetas al recorrer esas órbitas oblongas alrededor del Sol barren áreas iguales en tiempos iguales y que al hacerlo, el cuadrado de sus periodos de orbitación son proporcionales al cubo de las distancias medias que los separa del centro de atracción. Así, esa empinada escalera que se asciende, pisando los peldaños de la recopilación de la información pertinente, seguido por la selección y ordenación de la misma, para después hacer el análisis y la síntesis del conocimiento y culminar con el establecimiento de asertos generales, como resultado de una inducción, fueron cumplidos meticulosamente por aquel gigante alemán. A partir de sus tres formidables leyes sobre el movimiento planetario se pudo entonces descender, como en un tobogán, por la llana superficie de la deducción. Decenas, si no es que cientos de resultados se siguieron de ellas, con los cuales fue posible dar precisión al calendario, construir efemérides y predecir eclipses, entre muchas otras cosas. El método científico empezó en aquella época a producir cantidad de resultados ciertos, precisos y confiables, con los cuales la agricultura, la ingeniería y otras ramas del conocimiento se enriquecieron e hicieron posible importantes avances en la civilización. De Polonia y Alemania, el método científico viajó al sur de Europa y se hizo presente en Pisa y Venecia; dos hermosas ciudades de Italia. Allí, en distintas épocas de su vida, un pelirrojo algo chaparro y fortachón, pendenciero y malediciente, jugando con esferas y otros objetos de piedra o de madera que dejaba resbalar cuesta abajo por planos inclinados que él mismo había construido, provocó un salto gigantesco en el conocimiento científico al establecer los principios de eso que hoy en día se conoce como la cinemática; aquella parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos materiales.

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Introducción

Galileo Galilei, usando nuevamente esa formidable herramienta intelectual que Copérnico y Kepler utilizaron con tanto éxito, llegó al concepto de aceleración como el cambio de la velocidad de los objetos y echó las bases de las leyes de la mecánica que otro genio habría de usar para estructurar su propio modelo teórico. Isaac Newton tomó, en efecto, esos estupendos resultados que habían sido hallados por Copérnico, por Kepler, por Galileo y otros gigantes de la misma talla que éstos, y en un acto impresionante de potencia intelectual construyó la estructura que hoy, y desde hace cerca de trescientos cincuenta años, se conoce como la mecánica clásica. Este es el tema del primer libro. En 1668, Newton sintetizó su teoría en un conjunto de axiomas fundamentales que conciernen a la estructura del espacio físico; el escenario de los acontecimientos naturales, como un espacio euclideo de tres dimensiones, donde los observadores pueden realizar sus medidas sin interferir con los objetos y los fenómenos que observan. Esta es la base para definir el concepto de marco de referencia, que es esencial en la teoría. Así mismo, Isaac Newton postuló al tiempo como un ente que transcurre en forma monótona y absoluta para todos los observadores del universo, de tal suerte que en cualquier punto de él y en todo instante, un lapso sea exactamente igual para todos los demás, sin importar sus ubicaciones, ni sus condiciones cinemáticas. Y el objeto único sobre el cuál se manifiestan todos los agentes físicos que existen en el mundo es la masa. Todo cuerpo material posee masa y ésta la definió el genio británico como aquella reticencia que exhiben los cuerpos a cambiar sus respectivos estados de movimiento. Tanto mayor será ésta, cuanto más masivo sea el cuerpo y mutatis mutandi. Al espacio, al tiempo y a la masa, Newton adicionó un cuarto elemento, un cuarto axioma: la fuerza. Para él, la fuerza es la causante prístina de todos los fenómenos naturales. Los cuerpos materiales que en el universo se mira cómo ejecutan toda suerte de virajes, aceleraciones, piruetas y machincuepas, lo hacen por una y solamente una razón; ésta es que se encuentran actuados por alguna o algunas fuerzas. Las fuerzas están allí, en todo el ámbito del universo; sus orígenes pueden ser varios, pero todas ellas se manifiestan sobre los cuerpos materiales de una sola forma: cambiando el estado de su movimiento. Las fuerzas, tal como las postuló Newton, son entes con existencia física definida, independientemente de quién, o desde qué marco de refe-

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Introducción

rencia las observe. Por eso se dice que, dentro del marco conceptual de la mecánica, las fuerzas tienen realidad objetiva, aludiendo al concepto cartesiano. Finalmente, las fuerzas son, desde el punto de vista matemático, vectores; esto es, que poseen, además de magnitud, dirección y sentido de aplicación. Como tales, las fuerzas deben entonces manipularse; descomponiéndose en sus componentes independientes, sumándose, restándose o multiplicándose de acuerdo con las reglas para los vectores. Así, con esta tetralogía de elementos esenciales: el espacio euclideo tridimensional, el tiempo absoluto, la masa y las fuerzas vectoriales, Newton construyó su mecánica. En este libro se muestra en detalle la génesis, la construcción y las aplicaciones más importantes del modelo newtoniano. Uno de los objetivos que persigue el autor con este nuevo texto de mecánica, en efecto, consiste en mostrar al lector interesado en el tema, la forma como se construyó; las ideas prístinas que dieron lugar a él y luego, los problemas que atacó y con los cuales fue posible contemplar la escena del mundo desde una nueva y brillante perspectiva. Siguiendo la historia, se muestra en forma prolija la teoría de la gravitación newtoniana y se llega al encuentro de las tres leyes de Kepler. Aquellos asertos, que con tanto trabajo y sufrimiento fueron propuestos por el astrónomo alemán en los albores del siglo XVII, aparecen como teoremas en el formidable juego matemático de Newton. Encontrarlos, demostrar que en efecto, se trata de teoremas a los que se llega como resultado de un proceso intelectual de deducción de las leyes de la mecánica, fue vital para el genio británico. Por una parte, fue la confirmación a posteriori de la validez de su modelo. Sin esos resultados toda la teoría hubiera sido totalmente inútil, excepto por su bellísima estructura, así que muy bien pudo haber quedado como una pieza del museo de la mente humana (que es muy posible que por ningún lugar del planeta se pueda hallar). Las leyes de Kepler, una vez demostradas, fueron, en efecto, la prueba fehaciente de que la mecánica clásica funciona. Pero no nada más probaron eso, que en sí ya había constituido un espléndido logro del talento científico. Probaron, así mismo, que aquel método que Newton había ensayado por primera vez en su totalidad; desde sus primeros pasos en la búsqueda de la información, hasta el establecimiento de las leyes en forma inductiva y luego seguir la pendiente del proceso deductivo; esos

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pasos del incipiente método científico, conducen, en efecto, al encuentro de la verdad (así, con minúsculas). Mostrar la deducción de las leyes de Kepler es también una parte esencial, ineludible de cualquier libro sobre la mecánica. Es por ello que aquí se muestra al estudioso del tema, la forma como, a de partir de aquellos primeros principios, se puede llegar a ellas, siguiendo un procedimiento matemático simple y directo. El conocimiento de la mecánica de los planetas fue la llave con la cual se cerró definitivamente y para siempre la controversia sobre si el sistema planetario es geocéntrico o heliocéntrico. Después de que estos resultados vieron la luz, ya ningún ser inteligente y sensato pudo objetar que el sistema planetario verdaderamente se mueve alrededor del gran astro solar en ese ballet celestial de inefable belleza. También quedó claro que las órbitas oblongas de los planetas (tal como las había llamado Kepler), no se deben a traviesos ángeles que las sacan de sus caminos originales; que deforman las órbitas inicialmente circulares en sus juegos espaciales, cuando usan a estos cuerpos celestes como bolas de un billar astronómico y les dan empujones y jalones colosales. No, las órbitas planetarias son, ni más ni menos, que la conclusión natural de una interacción que sigue una proporcionalidad con el inverso del cuadrado de las distancias. La mecánica planetaria llevó desde aquel entonces y hasta el presente, a desarrollar la llamada astrodinámica; esto es, a comprender cabalmente el movimiento de todos los cuerpos que en el espacio se mueven bajo la acción de la fuerza gravitacional propuesta por Newton. No nada más los planetas fueron desde entonces objetos de estudio de la mecánica. Satélites, asteroides y cometas fueron también puestos en las platinas de los microscopios de los hombres y mujeres de ciencia para hallar hasta los más nimios detalles de sus conductas. Este estudio habría de abrir las puertas de la investigación espacial que hoy por hoy tiene a la humanidad a un tris de convertirse en habitante de otros planetas; de liberarse finalmente de las cadenas que desde los albores de la historia la han tenido atada a la Tierra. En este libro, naturalmente, se dedica una buena parte al estudio de la astrodinámica. El cuerpo rígido fue otro de los más sonados éxitos que se anotó la mecánica newtoniana. El problema de describir los giros y cabeceos de cuerpos rígidos materiales bajo la acción de fuerzas y torcas, en efecto, fue uno de los grandes retos que se plantearon los investigadores desde el final del

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siglo XVII que comenzaron a ensayar el modelo de Newton. No fue fácil. Su planteamiento, ataque y resolución desafió a grandes talentos durante doscientos años, sin resultados importantes. Fue hasta las postrimerías del siglo XIX que una bella cuanto talentosa mujer, Sonia Kowalewskaia pudo al fin alcanzar la cima de este tema, al describir matemáticamente la rotación, la precesión y la nutación de trompos pesados, simétricos, que pivotean sobre puntos fijos, debido a la torca gravitacional que la Tierra ejerce sobre ellos. Hoy en día, el tratamiento del trompo continúa siendo un tema obligado en el estudio de la mecánica clásica. Un tema que no siempre se expone correctamente en los libros de texto y que es causa de frecuentes confusiones y equivocaciones entre los estudiosos. Aquí se expone con profundidad este bello tema. Mas no se crea que con esta formidable máquina teórico-matemática que se conoce como la mecánica clásica, todos los problemas relativos al movimiento de los cuerpos materiales actuados por agentes físicos quedaron automáticamente resueltos y listos para su utilización en la búsqueda de mayor conocimiento o en la utilización de sus resultados para la confección de artefactos mecánicos. ¡Nada de eso! Por el contrario, ante cada avance que se dio en este tema, nuevos problemas, nuevos retos y desafíos aparecieron para ocupar a las brillantes inteligencias de los científicos. El problema de muchos cuerpos materiales, o el problema de describir el movimiento desde marcos de referencia no inerciales sumieron en profundas cavilaciones a decenas o centenas de hombres y mujeres de ciencia de los años que pasaron después que la teoría había quedado completa y estructurada por el genio británico. La dinámica de un sistema de muchas partículas es fundamental para la mecánica clásica. No hubiera sido muy útil la teoría si solamente hubiese servido para estudiar a una sola partícula puntual. Ni existe, ni es importante, un solo corpúsculo como el que se plantea en el tópico correspondiente y sobre todo, el universo está hecho de miríadas y miríadas de cuerpos que interactúan entre sí, de manera que el evento de uno solo, aislado del resto, resulta absolutamente improbable. Por otra parte, el problema de un sistema de muchos cuerpos, si bien se plantea con relativa facilidad, no admite soluciones analíticas, cerradas, excepto cuando son sólo dos los cuerpos, o bien en casos muy especiales, cuando se tienen tres.

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Con más cuerpos, el problema se vuelve imposible de resolver, excepto en forma aproximada. El asunto de los marcos de referencia no inerciales, igualmente reviste una importancia toral para la mecánica. Pensándolo bien, aunque el concepto de un observador inercial es la base de la teoría y la existencia de él es la esencia de la primera ley de Newton, sin lo cual el esquema teórico no puede estructurarse, da la casualidad que en el universo, por lo visto, no existe un solo sitio donde pueda colocarse un observador y clamar que se trata de un marco de referencia inercial. ¡Es claro! Aquí todo es un mar de interacciones de la más variada índole. Todo son choques, empellones, roces de unos cuerpos contra otros. Por ninguna parte se puede encontrar un lugar que durante un lapso razonable esté exento de fuerzas y torcas, así que no deja de ser tan solo una bella utopía la exigencia del dichoso marco inercial. Pero entonces, si no se puede hallar un sitio del universo donde pueda anclarse un sistema de coordenadas cartesiano, desde el cual se ratifiquen las leyes de la mecánica, parecerá que la teoría completa queda condenada a ser no más que una bellísima pieza del intelecto, sin mayor utilidad. Una retícula de postulados básicos y leyes; una formidable estrategia lógica que habrá de ver pasar los años desde atrás de las paredes de vidrio de algún museo de la ciencia en algún ignoto pueblo del mundo, tal como se mencionó anteriormente. Gustave Gaspard de Coriolis salvó este ominoso obstáculo. Su trabajo fue transcribir toda la mecánica clásica de Newton a marcos acelerados (se dice fácilmente, pero se hizo dolorosamente). Así pudo describirse el movimiento desde una perspectiva más real, más apegada a las condiciones que verdaderamente enfrenta un observador cuando desea registrar el paso de cuerpos masivos por el espacio. En este libro se aborda el tema de los marcos de referencia en rotación y se muestra al lector interesado la manera como aparecen las mal llamadas fuerzas inerciales; esas fuerzas ficticias que resultan de la adopción de un sistema coordenado que gira. Conforme se resolvían más y más problemas, las barreras al conocimiento se remontaban una a una y éste se hacía cada vez mayor y más preciso. La astronomía se desarrolló como nunca antes lo había hecho y el movimiento de los cuerpos materiales se comprendió en su cabal dimensión. Pero tal parece que en la ciencia hay una suerte perversa que por

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cada velo que disipa aparece un obstáculo aun mayor que el que acaba de ser sorteado; un velo todavía más oscuro y espeso que impide el siguiente avance y el nuevo conocimiento. Cuando parecía que las fuerzas se conocían y sus fórmulas habían sido establecidas. Una clase nueva de estos agentes físicos apareció en escena y se negó durante cerca de cuarenta años a todo intento de caracterizarlas. Las fuerzas de reacción, esas que fueron predichas por el propio Isaac Newton en su tercera ley de la mecánica, resistieron todo intento de descripción mediante alguna fórmula general. Una y otra vez, testarudamente, uno de los grandes de la mecánica: D´Alembert, intentó someter esta clase de fuerzas al imperio de la teoría a través de alguna fórmula general que las sintetizara a todas. Una y otra vez fracasó. Las fuerzas de reacción se negaron en forma aún más tozuda a ser descritas. Al final fueron esas las que ganaron la batalla. D´Alembert tuvo que desistir del intento y hubo de aceptar la evidencia: las fuerzas muertas (como él las llamó), no permiten formulación generalizada alguna. Pero da la circunstancia que las fuerzas de reacción aparecen en todas partes. Siempre que un agente físico actúa sobre un cuerpo, éste reacciona instantáneamente oponiendo su fuerza de reacción contra aquella, tratando de nulificarla. Así es en el caso de un péndulo o de una leva o de cualquier mecanismo. Entonces, la falta de una fórmula general para tratar estas fuerzas que, en vez de propiciar el movimiento de los cuerpos, lo obstruyen, aparecía, de nueva cuenta, como un colosal obstáculo al desarrollo del tema y a la obtención de aplicaciones prácticas. Parecía el fin de la mecánica. Pero he aquí que fue el propio D´Alembert quien sacó a la teoría del atolladero. Agudo en sus observaciones y deducciones, propuso un principio con el cual fue posible remontar el problema; aquel que parecía insalvable y permitir que la teoría pudiera continuar adelante con sus logros. El principio del trabajo nulo de las fuerzas de reacción es, hoy por hoy, una de las herramientas más útiles para la resolución de una amplísima variedad de problemas de la mecánica. En este contexto se trata el principio de D´Alembert. Pero este principio no nada más sirvió para resolver una dilatada variedad de problemas de la mecánica. Fue el medio del que se valieron Lagrange y Euler, dos gigantes de la ciencia del siglo XVIII, para marcar un nuevo hito en la historia de este tema. Con el principio de D´Alembert

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fue posible generalizar las ecuaciones de la mecánica para cualquier sistema de coordenadas. Así, la llamada mecánica analítica surgió como una nueva descripción; un nuevo esquema teórico, con el cual se pudieron plantear en forma mucho más simple y elegante los problemas que tratan sobre el movimiento de los cuerpos materiales. Con la mecánica analítica de Lagrange y Euler las fuerzas de reacción, o de constricción, en un sentido más general; lejos de ser los más temidos íncubos de la dinámica, ante cuya presencia los científicos e ingenieros se santiguaban y corrían despavoridos, se convirtieron, por el contrario, en dóciles mascotas, que causaron la alegría y el regocijo, pues su presencia significa un trabajo matemático menor; una carga menos, con lo cual se hace ligera la marcha para ellos. Las fuerzas de constricción disminuyen los grados de libertad y por ende, el número de ecuaciones diferenciales que es necesario resolver. Pero no nada más esa ventaja se tiene de la formulación de la mecánica analítica. La descripción en términos de coordenadas generalizadas de un espacio homogéneo de configuración, permite atacar cada problema de mecánica en sus propias variables; en sus particulares simetrías. Y si se da el caso de que ciertas variables son ignorables —esto es que debido a esas simetrías peculiares del sistema que se trata, las coordenadas generalizadas correspondientes no aparecen explícitamente en la función del estado dinámico del sistema— entonces de inmediato se obtiene una ley de conservación. Así, las leyes de conservación vienen a ser, dentro del formalismo de Lagrange, las expresiones objetivas de las simetrías del sistema dinámico. Por cada una de éstas, una ley de conservación se sigue. Emmy Nöther, matemática de la segunda mitad del siglo XIX y la primera del XX, propuso el célebre teorema que lleva su nombre, en el cual describe explícitamente esa relación inextricable entre las simetrías de un sistema dinámico y las leyes de conservación. Ese teorema ha resultado esencial para la física de las partículas elementales, ya que debido a su ínfima pequeñez resulta imposible observarlas y solamente sus leyes de conservación pueden registrarse. La energía, la carga, la paridad y otras características invariantes de ellas pueden detectarse cuando, a la salida de los gigantescos aceleradores, se realizan esas catastróficas colisiones entre corpúsculos nucleares y sus detritos se registran en cámaras fotográficas inmersas en campos electromagnéticos controlados a fin de conocer sus

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simetrías. Así, no obstante que las partículas elementales no pueden ser vistas, a través del conocimiento de sus leyes de conservación y por consiguiente, de sus simetrías, de acuerdo con el teorema de Nöther, un retrato difuso pero verdadero de ellas emerge. La mecánica analítica de Lagrange y Euler, basada en el principio de D´Alembert y el teorema de Nöther, son los temas que se abordan en los capítulos quinto, sexto y séptimo de este libro. En este último, por cierto, se muestra, como una aplicación directa de los conceptos y desarrollos teóricos de la mecánica, uno que inexplicablemente no forma parte de los tratados sobre este tema. Se trata de la mecánica de los fluidos, ese modelo que G. G. Stokes sintetizó a partir de los postulados de Newton. En efecto, G. G. Stokes dio estructura, en la segunda mitad del siglo XIX, al modelo que se conoce actualmente como la mecánica de los fluidos. Para hacerlo, tomó íntegramente los postulados de Newton de la mecánica, así como la primera ley de la termodinámica y les adicionó otro conocido como la hipótesis del medio continuo. Con este juego básico pudo proponer sus célebres ecuaciones diferenciales de balance de masa, momento (lineal) y energía. En total, se trata de un sistema de cinco ecuaciones diferenciales, acopladas, que una vez resueltas, proporcionan toda la información concerniente al flujo de los fluidos. Este modelo ha funcionado desde hace ciento cincuenta años en forma por demás exitosa, resolviendo una innumerable cantidad de problemas de ingeniería; desde el diseño de ductos, represas y válvulas, hasta la teoría del vuelo supersónico. Se puede afirmar que sin un modelo como éste, la actual ingeniería jamás hubiera sido posible. Tal vez la razón por la cual este tema fundamental no haya sido incluido hasta hoy en los textos de mecánica, es porque, por una parte se ha llegado a pensar que la mecánica de los fluidos ya dio todo lo que podía dar desde el punto de vista teórico y lo único que puede extraerse de ella son cantidades adicionales de resultados prácticos, en forma de gráficas o tablas numéricas que sólo sirven al diseño, pero nada tienen que dar al conocimiento científico básico. ¡Nada más falso! El estudio de este tema depara al investigador curioso una buena variedad de temas de investigación, que fácilmente ocuparán su vida entera y aun permitirá brindar a sus pupilos gran cantidad de trabajo intelectual interesante y con aplicaciones potenciales. De hecho, quien estudie esta parte de la mecánica de fluidos en la

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segunda mitad de este libro, podrá percatarse de la enorme cantidad de trabajo teórico que aún requiere este tema para poder afirmar que ha sido explotado en su mayoría y que ya no tiene más que dar de sí. Otra razón por la cual el tema de los fluidos no aparece comúnmente en los libros de mecánica, es que el enfoque que tradicionalmente se da a este tópico va dirigido en la dirección de otros modelos de la física teórica, como son la mecánica cuántica o la relatividad. Ciertamente el signo de los tiempos en el siglo pasado fueron estos dos temas, así que, considerando que los autores de los tratados de mecánica que aparecieron a lo largo de esos años tenían en sus mentes utilizar a la mecánica clásica como una suerte de trampolín para dar el salto hacía aquellos otros rubros de la física, y su motivo consistía en mostrar los métodos propios de ese tema para dar herramientas que pudieran utilizarse en las teorías modernas, entonces es explicable por qué el énfasis se puso tanto en las asociaciones con la mecánica cuántica de Schrödinger y Heisenberg o bien en los métodos que condujeron a la teoría especial de la relatividad de Einstein y poco o nada se mencionaron implicaciones hacia la comprensión del fenómeno de fluir. En este libro, sin descuidar ciertos resultados que desembocan en las teorías mencionadas y comentar de soslayo sus implicaciones históricas, el acento se ha puesto precisamente sobre las posibilidades que el gran tema de la mecánica clásica abrió para el estudio y la comprensión de la conducta de esos cuerpos materiales; los más comunes del universo macroscópico, que se conocen como los fluidos. De hecho, como ya se podrá imaginar el lector, el autor de este trabajo ha sido durante la mayor parte de su vida un entusiasta de la mecánica de los fluidos. Al través de muchos años ha podido desarrollar una estructura teórica alternativa para esos cuerpos deformables, a la cual le ha llamado la mecánica analítica de los fluidos. Esta teoría, por el contrario de la de Stokes, está fundamentada en el aparato de la mecánica analítica de Lagrange, Euler, Hamilton y Nöther. El enfoque analítico ofrece ventajas variadas e interesantes. Desde aquellas evidentes que ofrecen al investigador toda una teoría basada en un juego mucho más compacto de postulados y con una potencia formidable, como el principio de Hamilton o el teorema de Nöther, que llevan a una formulación generalizada, del tipo de las ecuaciones de Lagrange y que, adicionalmente y por primera vez, ofrecen un método para el esta-

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blecimiento de las ecuaciones constitutivas; esto es, de las fórmulas para los esfuerzos que operan sobre los fluidos, hasta las que ofrece toda teoría lagrangiana-hamiltoniana, como son los métodos de cálculo e integración de las ecuaciones diferenciales con algoritmos iterativos, muy propios para el cálculo numérico electrónico. La mecánica analítica de los fluidos forma parte de este libro y se expone al lector interesado en dos capítulos: el octavo y el décimo primero. La primera parte (capítulo 8), se presenta como una secuencia didáctica lógicamente hilvanada con los capítulos inmediatamente precedentes, en los que se desarrolló el formalismo de Lagrange de la mecánica de partículas y cuerpos rígidos. El capítulo 11, en cambio, muestra el tema desde la perspectiva del formalismo de Hamilton. Viene a ser, igualmente, una aplicación natural de las ideas contenidas en los capítulos noveno y décimo, en los cuales se ve esta parte de la mecánica, atribuida a Hamilton. William Rowan Hamilton es otro de los gigantes del pensamiento científico. Su formulación de la mecánica es un tema obligado en todos los textos sobre la materia, desde su publicación en la alborada del siglo XIX y hasta hoy en día. Hoy por hoy se considera a ésta como la estructura teórica más avanzada de la mecánica; con ella, en cierto sentido, el viaje a través de las distintas formulaciones lleva de vuelta al punto de partida, cerrando esa tautología de inefable belleza. Sin embargo, a pesar de que en todos los textos sobre el tema se menciona, en ninguno de ellos se alcanza a vislumbrar la dimensión de este científico formidable. En primer lugar fue él quien propuso un principio que, con el paso del tiempo, ha venido mostrando más y más su potencia, hasta convertirse hoy en día en el rector de casi todos los procesos naturales. No importa si se habla de física, o de biología, o bien se está dentro del ámbito de las ciencias económicas, o incluso de la muy discutible “ciencia” de la guerra; en todas partes parece confirmarse la validez de este principio que afirma, en pocas palabras, que la naturaleza invierte tan pocos esfuerzos en sus procesos, como sea posible, de modo que cuando ocurren, lo hacen optimizando; esto es, reduciendo al mínimo su propio desgaste. Así, la evolución de cualquier enfermedad, por citar un ejemplo dramático del principio de Hamilton, seguirá un curso tal que al final, con o sin medicamentos, el paciente se habrá recuperado, o bien habrá sucumbido al mal, de manera que la acción sobre su organismo fue extremal.

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Igual ocurre con los sistemas materiales sobre los cuales actúan fuerzas. Como respuesta a ellas, estos cuerpos cambian sus estados de movimiento y evolucionan por el espacio. Pues bien, esos movimientos, por más que parezcan azarosos y desordenados, se llevan a cabo siguiendo obedientemente el principio de acción extrema de Hamilton. A partir de este simple pero poderoso principio, es posible deducir las ecuaciones que Lagrange, Euler y D´Alembert, con tantos sudores y fatigas, habían encontrado. Lo único que se necesita para hallarlas es postular este aserto y luego, con la ayuda del cálculo, en forma por demás directa, se encuentran. Pero no se vaya a creer que el trabajo de ese genio se redujo a establecer su postulado. ¡Nada de eso! A partir del principio de Hamilton se abre todo un universo. De él se sigue en forma directa, un juego de ecuaciones diferenciales ordinarias, de primer orden, que son una nueva opción para la resolución de problemas de movimiento de cuerpos materiales. Pero lo realmente novedoso es que las ecuaciones de Hamilton, como se llama a este sistema de ecuaciones diferenciales, se expresan en forma natural en un espacio llamado de las fases, por el propio autor de ellas y ese parece ser el escenario en el cual ocurren los fenómenos dinámicos que conciernen a los cuerpos materiales. Es un espacio dentro del cual, embebido, se halla un campo físico: el campo de la función hamiltoniana. Este campo escalar posee información, así que todo cuerpo en presencia de él, recibe esa información y actúa consecuentemente, cambiando su estado de movimiento. En aquellos tiempos, en los albores del siglo XIX, la idea de un campo físico era totalmente desconocida. Pensar que en el más absoluto vacío del espacio hubiera cierta propiedad física que paradójicamente lo llena y se encuentra embebida hasta el último resquicio en él, era impensable. Más aún, esa propiedad: el campo físico, posee información dinámica y es capaz de transmitirla a los cuerpos materiales, constituyendo éste el mecanismo mediante el cual cambian sus estados de movimiento. Esto era realmente ajeno a todas las maneras de pensar de aquellos tiempos. Hamilton fue un precursor en muchos aspectos de la ciencia. Él propuso una matemática nueva y poderosa, a la que llamó cuaterniones y se adelantó a otras mentes brillantes por casi un siglo al introducir en la física teórica el concepto de campo físico (aunque él no lo nombró de esta ma-

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nera). Ese mismo que hoy por hoy es la base de todas las teorías acerca de las interacciones entre los cuerpos. Con estas bases, otro científico llamado Sophus Lie, propuso la teoría de los grupos continuos de transformaciones del espacio de las fases en él mismo, a las cuales se les nombró inicialmente las transformaciones de contacto y en la actualidad se les conoce como las transformaciones canónicas. Con estas bases físico-teóricas se pudo dar un nuevo paso en el conocimiento del movimiento, al verlo desde el punto de vista de transformaciones que mapean puntos en puntos, dentro del propio espacio de las fases del sistema. Mapeos generados por una particular función generadora que, a posteriori, resultó ser ni más ni menos, la acción, aquella que fue postulada años atrás por Hamilton, para encontrar las ecuaciones diferenciales del movimiento. Así, el viaje de la mecánica llegó después de tantos estudios, después de tantas formulaciones, al punto de partida: a la acción y el principio de Hamilton. De todas las transformaciones canónicas que puedan plantearse a priori y que mapean puntos en puntos, dentro del espacio de las fases de un sistema dinámico, la acción es la que lo hace en forma más simple y genera la trayectoria que en verdad sigue ese sistema. Para encontrar la forma explícita que debe exhibir esa función generadora: la acción, es necesario resolver una ecuación diferencial. Se le conoce como la ecuación de Hamilton-Jacobi y es una expresión en términos de las primeras derivadas parciales de la función principal de Hamilton (la acción). Resolverla no es asunto fácil en general; sin embargo, en algunos problemas de dinámica, es la única opción que queda cuando otras formulaciones han sido impotentes para conducir a una solución. La gran virtud de la ecuación de Hamilton-Jacobi es que casi siempre se puede tratar con métodos como el de separación de variables, con el cual, al menos algunas de las soluciones pueden ser halladas. En este libro se ha hecho una presentación suscinta de la formulación de Hamilton-Jacobi y se ofrecen al estudioso del tema métodos de solución de ella, como son las teorías de las perturbaciones, tanto dependientes del tiempo, como independientes de él. A grandes rasgos, estos son los temas que habrán de encontrarse en esta obra.

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CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES DE LA MECÁNICA

1.1. El orto de la mecánica La mecánica forma parte de un cuerpo de conocimientos más amplio que se conoce como la física. Es el modelo teórico más antiguo; el primero que se estructuró y es también el esquema que ha servido como patrón para construir las demás teorías que integran la física. La mecánica se ocupa del estudio de los movimientos de cuerpos materiales en el espacio, así como de los agentes causantes de esos movimientos. Para hacerlo, establece un esquema en general; una estrategia que conduce a ciertas expresiones matemáticas, llamadas las ecuaciones de movimiento, con las cuales es posible trazar curvas que representan las trayectorias que siguen los cuerpos en el espacio. Ese esquema es siempre el mismo y consta de un conjunto de etapas que es necesario cubrir ordenadamente para arribar a las soluciones deseadas. En la figura 1.1.1 se muestra un diagrama con esas etapas sucesivas. La primera es la que consiste en establecer en forma matemática las fórmulas generales para describir el movimiento. Se trata de la maquinaria fundamental, imprescindible para atacar cualquier problema de la mecánica. Más adelante en este libro, se desarrollará con detalle esa herramienta teórica. La formulación general se muestra en el diagrama de la figura 1.1.1 como el primer bloque en la parte superior. Esa formulación general sirve para todos los problemas de la mecánica, sin importar si se trata de una sola partícula o un conjunto de cuerpos articulados, o un planeta o una galaxia. Para hacer funcionar esa formulación es necesario alimentarla con la información pertinente de cada caso particular que se considera. Esa información concierne a los agentes físicos que causan el movimiento. En la mecánica clásica se consideran dos clases de ellos: las fuerzas y las torcas (En este libro se hablará ampliamente

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Antecedentes de la mecánica

Formulación general

Ecuaciones constitutivas

Ecuaciones diferenciales

兰 Condiciones iniciales

Ecuaciones de movimiento

Figura 1.1.1 Esquema general de la mecánica para resolver problemas.

de estos conceptos más adelante). Es necesario proveer a la maquinaria matemática fundamental de fórmulas para las fuerzas y las torcas que urgen a los cuerpos. Fórmulas matemáticas con las cuales se plantee el problema a tratar y que se vaya a resolver para hallar el movimiento correspondiente. A esas fórmulas se les llama genéricamente ecuaciones constitutivas. Las ecuaciones constitutivas son, como se ha afirmado en el párrafo anterior, fórmulas matemáticas que representan a las fuerzas y a las torcas que actúan sobre los cuerpos materiales y que son las causantes de su movimiento; o mejor dicho, de los cambios en los estados de movimiento de ellos. Se trata de fórmulas empíricas; esto es, que no surgen de teoría alguna; ni siquiera de la propia mecánica, sino que han sido sintetizadas a partir de observaciones y medidas cuidadosas y prolijas en una gran cantidad de experimentos. Así pues, las ecuaciones constitutivas sirven para alimentar a las fórmulas generales. Al hacerlo, se obtienen ecuaciones diferenciales; las llamadas ecuaciones diferenciales de movimiento. Éstas forman generalmente un sistema que es necesario integrar. Una vez concluido el proceso de inte-

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El otro de la mecánica

gración, es necesario imponer las condiciones iniciales; es decir, establecer matemáticamente el valor de ciertos parámetros que identifican al sistema de cuerpos que se esté estudiando, en ciertos valores temporales de referencia. Generalmente se proponen valores de la posición en dos instantes dados, o bien valores de la posición y la velocidad de los cuerpos en un instante inicial. Con este último paso de la secuencia se arriba a la meta: obtener expresiones matemáticas en forma de funciones de la posición y el tiempo, con las cuales, como se mencionó al principio, se pueden trazar curvas en un espacio tridimensional, que representan las trayectorias que deben seguir en el espacio físico los cuerpos estudiados, urgidos por la acción de agentes físicos dados. Estas funciones matemáticas se conocen como ecuaciones de movimiento o ecuaciones de trayectorias. Alcanzar este objetivo: las ecuaciones de movimiento, es la meta de la mecánica. Al llegar a las ecuaciones de trayectorias se dice que el problema de mecánica que se atacó, ha concluido. Las ecuaciones de movimiento, hay que recalcarlo, son expresiones matemáticas que representan las trayectorias que trazan los cuerpos en el espacio, como consecuencia de las fuerzas y/o las torcas que los urgen. Son expresiones que aparecen generalmente parametrizadas por el tiempo, en una forma como la siguiente: r r r  r (t ) . La mecánica es una teoría predictiva; es decir, que permite adelantarse a los acontecimientos y responder a la pregunta de cómo se moverá un cuerpo o un conjunto de cuerpos y dónde se encontrarán en un instante futuro, sabiendo sus localizaciones y estado de movimiento actual o pretérito. Pero también es posible ir hacia el pasado y conocer el estado que guardaba el cuerpo tiempo atrás, sabiendo su ubicación y su movimiento actuales. Pues si bien el tiempo fluye solamente en la dirección del pasado al futuro, la teoría exhibe lo que se conoce como reversibilidad temporal; es decir, permite invertir el sentido del parámetro temporal para hurgar en el pasado y conocer el estado de las cosas hace tiempo. El esquema de la mecánica, tal como el que se muestra en la figura 1.1.1 fue desarrollado por una persona en el siglo XVII: Isaac Newton (1642-1727). Forma parte del llamado método científico y es empleado actualmente en una buena cantidad de esquemas teóricos de la física, como la termodinámica o el electromagnetismo.

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Antecedentes de la mecánica

Verdaderamente la mecánica se ha venido constituyendo y estructurando desde hace buen tiempo. No debe pensarse que nació de pronto, como en un destello luminoso instantáneo en la mente genial de Newton y que él se aplicó frenéticamente a la tarea de escribir toda la materia y publicarla. La mecánica comenzó su largo camino desde hace muchos años. No se sabe con certeza cuando ocurrió aquel evento que puede ser llamado el orto de la mecánica. Tal vez pudiera afirmarse que la mecánica nació cuando algún homínido usó una rama seca y dura de un árbol como palanca para mover un cuerpo pesado, o bien cuando algún antepasado del hombre inventó el arco y la flecha; o también pudo ser aquel portentoso instante en el que el ser humano levantó su mirada al cielo y empezó a estudiar el movimiento de los astros a través de la bóveda celeste, tratando de comprenderlo y luego asociarlo a las estaciones, a los climas y a la vida en la Tierra. Desde el siglo III a.C. Aristóteles (384-322 a.C.) comenzó a estudiar un tema que hoy se sabe que forma parte de la mecánica: la teoría del sonido. Aristarco de Samos (⬇ 270 a.C.) propuso un sistema heliocéntrico en su trabajo Sobre el tamaño y las distancias del Sol y de la Luna. Posteriormente en Siracusa, Arquímedes (287-212 a.C.) hizo exhaustivos estudios sobre palancas, levas, poleas y polipastos, así como sobre elasticidad y fluidos, sentando las bases de lo que hoy es la ingeniería mecánica y sus aplicaciones a la agricultura y la industria. Por la misma época, Eratóstenes de Alejandría (276-194 a.C.) calculó por primera vez la circunferencia de la Tierra, observando la sombra proyectada por el Sol a medio día en el solsticio de verano, en dos sitios distantes (Siena y Alejandría). Para hacer su cálculo, Eratóstenes tuvo que proponer alguna hipótesis de trabajo, tal como se hace hoy en día, con el objetivo de simplificar el tratamiento. Así, supuso que los rayos solares llegan a los dos puntos de observación (Siena y Alejandría) paralelamente. Además, propuso que ambas ciudades están sobre un mismo meridiano y, finalmente, que la Tierra es una esfera perfecta. Así, aceptando las hipótesis anteriores, se puede deducir de inmediato y con la ayuda de la figura 1.1.2, la expresión para el radio terrestre R, conociendo la distancia l medida entre los dos puntos y el ángulo  de los rayos de luz solar incidentes, que proyectan una sombra en Alejandría.

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El otro de la mecánica

Alejandría Siena 

Figura 1.1.2. Al medio día del solsticio de verano dos estacas, una clavada en Alejandría y otra en Siena (800 Km al sur) proyectan diferentes sombras.

R  l . De consideraciones así de sencillas, Eratóstenes fue capaz de deducir el tamaño de la Tierra. Su resultado, traducido a las unidades actuales fue muy cercano al correcto (según las medidas de Eratóstenes, la distancia entre Alejandría y Siena es de 5 000 “estadios” y el ángulo proyectado por la estaca de Alejandría a las doce del día del 21 de junio fue de un cincuentavo de una circunferencia completa. Si se toma como 163 m la equivalencia de un estadio en el SI se obtiene que el radio terrestre es de 6 485.6 Km y su circunferencia es de 4 0750 Km). La mecánica tuvo que esperar, después de Arquímedes y Eratóstenes cerca de mil quinientos años. La razón es fácil de comprender si se considera que en la época de aquellos genios aún no había nacido el álgebra. Esta formidable herramienta fue desarrollada por árabes a partir del siglo III d.C. en el norte de África, en el cercano oriente y en Persia. Fue hasta el siglo X que su uso comenzó a extenderse lentamente por Europa.

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Antecedentes de la mecánica

1.2. El sistema ptolemaico Cuatrocientos años después de Eratóstenes las ideas sobre el movimiento de los cuerpos habían progresado muy poco. Aquella concepción heliocéntrica de Aristarco de Samos había sido olvidada por carecer de sustento y porque muy fácilmente se podía rebatir la cuestión de que la Tierra no esta fija en el firmamento, sino que viaja alrededor del Sol. Si así fuera, decían entonces los estudiosos de la astronomía, se podría ver el paralaje de las estrellas; esto es que una misma estrella, tomada como punto de referencia se vería en posiciones diferentes en relación a un observador terrestre en dos posiciones diametrales de la órbita de la Tierra. Como este efecto no se observaba, entonces se concluyó que, por el contrarío, la Tierra debe estar fija, en tanto que los demás cuerpos celestes: estrellas, planetas, la Luna y el Sol giran en órbitas distintas en torno de ella. Por supuesto, ningún paralaje podía observarse, dadas las enormes distancias a las que se encuentran todos los cuerpos celestes entre sí y a la carencia de instrumentos de observación otros que los ojos. Además, la idea de que la Tierra fuese simplemente otro cuerpo celeste más en el universo, repugnaba a la razón, sobre todo si se toma en cuenta que este planeta y sólo éste es el asiento de la vida humana y el hombre es la criatura privilegiada ante la religión. Ferviente partidario del sistema geocéntrico fue Claudio Ptolomeo (85-151 d.C.), el último científico importante de la antigüedad. Él sostenía, en efecto, que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas giran alrededor de la Tierra, ocupando órbitas concéntricas sucesivas. Para explicar las conductas tan extrañas de los planetas; sobre todo de Marte, que a veces se adelantan y otras parecen descansar y se retrasan en sus vuelos al través de la bóveda celeste, Ptolomeo propuso la idea de que cada planeta gira en una órbita circular llamada epiciclo, que está centrada en una esfera mayor, concéntrica con la Tierra, a la cual llamó deferente (véase figura 1.2.1). Con esa superposición de círculos concilió dos aspectos importantes de su teoría: en primer lugar pudo, en efecto, dar una explicación, al menos cualitativa, del movimiento que se observa en los planetas; en segundo término pudo resolver airosamente el asunto de que solamente esferas o circunferencias podían explicar tales movimientos. Como se sabe, el círculo es la figura perfecta, la única que puede ser atribuible a Dios, y como Él y sólo Él fue quien creó el mundo y lo echó a andar,

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El sistema ptolemaico

epiciclo

La Tierra

deferente

Figura 1.2.1. Epiciclo y deferente de un planeta que orbita a la Tierra en el sistema geocéntrico de Ptolomeo.

entonces, el movimiento que imprimió a los cuerpos celestes, en torno a la Tierra, tuvo que ser perfecto; esto es, órbitas generadas por círculos. Por otra parte, Ptolomeo fue el primero que dibujó meridianos y paralelos sobre un mapa para ubicar con precisión la localización de los sitios geográficos. Fue este acto, el que marcó la costumbre de establecer sistemas de coordenadas para referir lugares, cosas y acontecimientos a un origen o punto de referencia. Este científico griego-egipcio también propuso que la Tierra presentaba un pequeño efecto de cabeceo alrededor del polo norte geográfico. Un movimiento que hoy por hoy se conoce como la precesión de los equinoccios y que se sabe, tiene un período de alrededor de 26 000 años. Hay que recalcar el hecho de que estos resultados los obtuvo sin más ayuda que sus ojos y su profunda, su brillante inteligencia. No se debe olvidar que en el siglo II d.C. no existían ni telescopios, ni el álgebra y aún tendrían que pasar más de mil quinientos años para contar con una teoría con la cual se pudiera comprender por qué un cuerpo masivo con simetría axil, sujeto a la acción de la gravedad precede como lo hace la Tierra.

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Antecedentes de la mecánica

Actualmente la figura de Claudio Ptolomeo ha caído (indebidamente) en el descrédito y muchas veces se le ha tachado de farsante. Nada más lejano a la verdad, pues él, en verdad fue uno de los científicos más completos de su época. Lo que ha pasado es que su modelo geocéntrico, esa concepción del sistema de planetas resultó ser equivocada y en el siglo XVI fue olvidada para dar paso el “nuevo modelo”; el heliocéntrico, el de Copérnico y Aristarco de Samos. La otra razón por la cual Claudio Ptolomeo lleva hasta esta época el estigma de la charlatanería, es por haber sido el creador de la astrología; ese conocimiento que pretende adscribir caracteres peculiares a la personalidad de los individuos, en relación con la fecha y hora de su nacimiento, debido a la influencia que en cada instante ejercen los astros sobre las personas. En este sentido es preciso aclarar que Ptolomeo, como toda la gente de su época y una inmensa cantidad de personas después de él y hasta esta fecha, creen en estas cosas como resultado de un cierto proceso de inducción: si el Sol tiene influencia sobre el clima, sobre las estaciones en la Tierra y si el clima y las estaciones influyen en forma importante sobre una buena cantidad de rasgos de las personas, entonces cada cuerpo celeste lo hace en forma especial. Hasta ahora no ha sido posible probar tal creencia. Por el contrario, abundan las evidencias de que la presencia de la Luna o de Saturno en nada influye para determinar la personalidad de los individuos que han nacido bajo su “signo”. De hecho, debido precisamente a la precesión de los equinoccios, los signos zodiacales ya no corresponden con los que Ptolomeo asoció hace cerca de dos mil años a los meses del año, de modo que nacer en el mes de marzo, por ejemplo, ya no significa estar en la casa de Aries, etc. Pero lo peor de todo no se debe a Ptolomeo mismo, sino a la tergiversación que se ha hecho de sus ideas, pues hoy en día abundan los ignorantes, los supersticiosos que no dan un paso fuera de sus hogares por las mañanas, antes de salir con rumbo a sus labores cotidianas, sin haber leído primero su horóscopo. Así que los astros no nada más determinan el carácter o la personalidad de los individuos a la hora del nacimiento (que en todo caso debería ser al momento de la concepción, que es cuando el ser humano comienza a ser), sino que también establece el destino; se proyectan al futuro. Entonces, al leer el horóscopo se pueden enterar de las travesuras que los veleidosos astros han maquinado para ese día y la persona que lo lee, previsora e “inteligente”, está en condiciones de alterar

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El sistema ptolemaico

ese destino si se percata a tiempo de lo que le espera. Esta propiedad de vaticinar el futuro que tienen los “astrólogos” leyendo las posiciones de los astros es totalmente ajena a aquellos estudios de Ptolomeo, de modo que los actuales seguidores del Almagesto (el libro de astrología de Ptolomeo), no sólo han equivocado aquellas de por sí discutibles enseñanzas, sino que las han convertido en un cúmulo de tonterías. Lo realmente trágico de todo esto es que con sus charlatanerías han hecho que una respetabilísima figura como la de Ptolomeo, el último gran científico de la edad antigua, haya caído en el desprecio de la actualidad.

1.3. Nicolás Copérnico La obra de Claudio Ptolomeo quedó como parte del acervo de la biblioteca de Alejandría; la más grande, la más importante de la antigüedad, junto con las obras originales de Arquímedes, de Eratóstenes y otros científicos contemporáneos. En el año 415, el 90% de las más de 500000 obras que allí se guardaban con cuidado y respeto, se convirtieron en cenizas, cuando una turba de enardecidos cristianos, azuzados por el obispo de Alejandría, Cirilo, incendiaron la biblioteca y lapidaron a sus ocupantes. Casi todo se perdió en aquel incendio. De las 123 obras de Sófocles, solamente se salvaron de la chamusquina veinte; entre ellas Edipo Rey y Medea. Camelleros que pasaron por allá, rescataron de entre las pavesas todas las obras que pudieron. Cerca de cincuenta mil rollos de papiro fueron salvados de aquel atentado a la inteligencia y fueron a parar a otra biblioteca: la de Bagdad. Durante los siguientes mil años la razón fue borrada de Egipto. De hecho, Europa vivió durante ese lapso uno de los periodos más obscuros de su historia. Pero el conocimiento y la ciencia en general no murieron. Desde Bagdad, los restos de la malhadada biblioteca de Alejandría dieron lugar a nuevos hallazgos; a nuevos desarrollos intelectuales. La química recibió un fuerte impulso y con ella la minería y la metalurgia. Pero el más importante paso en la ciencia lo dieron los árabes que desarrollaron el álgebra. Se puede entender hoy en día que la ciencia tuvo después de Alejandría un receso; un necesario descanso para dar oportunidad a que la numeración y el álgebra surgieran con los árabes, para poder continuar adelante. Hoy se

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Antecedentes de la mecánica

reconoce que las matemáticas son el lenguaje en el que se expresa propiamente la ciencia, así que sin ese precioso ingrediente no hubiera podido dar sus siguientes pasos. Las matemáticas, la química y en general la ciencia, entraron a Europa desde España. Lentamente, este conocimiento comenzó a propagarse no sin oposición. La iglesia católica opuso feroz resistencia al conocimiento científico. Decenas de personas fueron enviadas a la hoguera, lapidadas o encarceladas de por vida por sus “herejías” científicas. No obstante, la ciencia continuó su expansión. En un pequeño pueblo de Europa oriental llamado Torun, en lo que hoy en día es Polonia, nació el 14 de febrero de 1473 quien más adelante sería conocido como Nicolás Copérnico. Estudió leyes y medicina, obteniendo su doctorado en la Universidad de Padua en Italia, después de haberse ordenado sacerdote. Después de graduarse regresó a Polonia para encargarse del curato de Frauenburg. Allí vivió siempre, hasta su muerte en 1543, a la edad de 70 años. Copérnico fue siempre un estudioso del cielo. Estando en Frauenburg recibió una invitación del Papa en Roma para integrarse a un equipo científico del más alto nivel que se encargara de corregir el viejo calendario establecido por Julio César desde el principio de la era cristiana y que aceptaba la duración del año, de 365.25 días. Después de mil quinientos años, pequeños errores se habían acumulado, haciendo que las fiestas sacras tuvieran lugar en fechas totalmente distintas a aquellas que marcaban las Sagradas Escrituras. Para corregir esos errores había que establecer un nuevo calendario, más preciso. Pero éste sólo podía calcularse con base en observaciones de los planetas que también fuesen mucho más exactas. Copérnico declinó con gran cortesía la invitación del Papa, pero de inmediato se abocó a la tarea de observar y registrar el movimiento de los planetas. Mandó construir una tabla ranurada, recta y plana y la dotó con una plomada y un sistema de compases, para conocer la ascensión recta y la declinación de los objetos que observara. Todas las noches, durante los siguientes treinta años, observó el cielo y anotó sus resultados. Para su sorpresa, sus datos presentaban discrepancias enormes con respecto a las predicciones que se hacían con el modelo de Ptolomeo vigente. Algo realmente malo estaba pasando. Se trataba de errores de fondo, de esencia con el modelo ptolemaico.

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Nicolás Copérnico

Copérnico se puso a estudiar. En particular, le llamó poderosamente la atención aquel trabajo de Aristarco de Samos, sobre el tamaño y las distancias del Sol y de la Luna, donde proponía en forma por demás general y vaga, sin mayores fundamentos, un sistema de planetas orbitando al Sol. Tanto se interesó por esas ideas tiempo atrás olvidadas, que se puso a dibujar sobre grandes pliegos de papel las posiciones de la Tierra y de los planetas tomando como referencia al Sol. Salvo pequeñas discrepancias atribuibles naturalmente a la crudeza de sus observaciones desde la tabla ranurada, muy pronto se le hizo claro a Copérnico que en efecto, tanto la Tierra, como los planetas parecían obedecer a un sistema heliocéntrico. Sin esos epiciclos, ni deferentes ni ecuantes que era necesario aceptar en el sistema ptolemaico; sino simplemente con círculos concéntricos alrededor del Sol, los planetas seguían sus caminos. La verdad de las cosas es que con el modelo heliocéntrico de Copérnico no mejoraron los vaticinios, ni fueron más confiables las efemérides que aquellas que se hacían con el modelo geocéntrico de Ptolomeo. Las órbitas de los planetas no se ajustaban completamente a los círculos y el Sol parecía resistirse a quedar justo en el centro de aquellos, pero era innegable que el nuevo sistema era mucho más simple. Mejorando las observaciones y haciendo pequeños ajustes se le pudo dar mayor confiabilidad al modelo, aunque no fue posible darle mayor exactitud a las predicciones. No obstante al publicarse los primeros resultados, rápidamente se generalizó en Europa el uso del modelo. En 1536, el cardenal Nicolás Schonberg de Capúa, envió una carta a Copérnico, alentándolo para hacer una nueva publicación, más formal y más prolija, pues juzga que ese trabajo será de grandísima utilidad para la ciencia. En 1582, casi cuarenta años después de la muerte de Copérnico, el Papa Gregorio XVIII reformó el calendario, haciendo un ajuste a la duración del año que se pudo hacer sobre la base del sistema heliocéntrico. Desde el 15 de octubre de ese año y hasta hoy la duración del año es de 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos.1 1

Nota sobre la duración del año: según los cálculos de aquella época, el año tiene una duración de 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, o sean: 31556926 segundos. Por lo tanto, cada cuatro años es bisiesto, cada cien años no es bisiesto, excepto si el año es múltiplo de 400. Cada 4 000, febrero tiene sólo 27 días y cada 20 000 años febrero tiene 26 días. Así en 20000 años se tienen 631138521600 segundos, que son 1600 segundos más de la cuenta exacta. Pero tomando en cuenta que la Tierra se retrasa aproximadamente 1 600 segundos cada 20 000 años, la cuenta se compensa. En resumen: son bisiestos los años

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Antecedentes de la mecánica

1.4. Johannes Kepler y Tycho Brahe Sólo tres años habían pasado desde la muerte de Copérnico, cuando nació Tycho Brahe. El 14 de diciembre de 1546, en Dinamarca, vio la primera luz quien sería el más grande astrónomo de su época. De muy buena cuna y mejor fortuna creció y se educó en los mejores centros de estudio de Europa y posteriormente obtuvo del rey de Dinamarca el uso de una isla de más de 500 ha de extensión, con todo y sus habitantes, para instalar un observatorio; el de Uraniborg, dotado con los mejores instrumentos de observación y medición que se podían tener en aquel entonces. Entre otros, Brahe contaba con una especie de sextante de 12 m de diámetro, con el cual podía dar la ubicación de un cuerpo celeste con un poco menos de un minuto de error. Dotado de una extraordinaria visión, así como de un espíritu metódico y sistemático que lo hicieron sin lugar a dudas el primer auténtico científico de su época, Tycho Brahe acumuló a lo largo de cuarenta años de trabajo, una lista de más de mil cuerpos celestes, clasificados y ubicados con una exactitud nunca antes alcanzada. Él fue quien identificó y dio nombre por primera vez a una nova y demostró sin lugar a dudas, que se trataba de un fenómeno translunar, esto es, que ocurrió más allá de la esfera de la Luna. Este hecho le valió una enorme notoriedad y representó un acontecimiento de gran importancia, pues quedó demostrado, en contra de las creencias religiosas, que el universo no es inmutable. Así mismo, Brahe estableció con toda precisión las posiciones de los planetas Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno. Por su parte, Marte no pudo ser ubicado correctamente. Todo intento de Tycho Brahe por determinar su órbita falló debido a su errática trayectoria por la bóveda celeste, con aceleraciones imprevistas y luego retrasos marcados, dando la impresión de ser, al mismo tiempo ortógrado y retrogrado. Estos hechos desconcertantes obligaron al astrónomo a retrasar la publicación de su propio modelo planetario “semi heliocéntrico” (véase figura 1.4.2). En 1589 Tycho Brahe aceptó la oferta de convertirse en el matemático y astrónomo del rey Rodolfo II de Checoslovaquia. Se trasladó a Praga y allí estableció el más importante centro de estudios astronómicos de la época. Así mismo, aprovechó la generosa oferta del soberano para contratar al 1600, 2000, 2400, 2800; febrero tendrá 27 días los años 4 000, 8 000; en el año 20 000 febrero tendrá 26 días.

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Johannes Kepler y Tycho Brahe

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Figura 1.4.1. El sistema heliocéntrico de Nicolás Copérnico (1473-1543), con los periodos de revolución alrededor del Sol. Todas las órbitas son circulares y el Sol está al centro.

más brillante teórico de la astronomía: al alemán Johannes Kepler. Con este joven científico a su lado Tycho Brahe pensó que el problema de Marte y su extraña trayectoria se podría finalmente resolver. De hecho, cuando el encuentro entre el danés y el teutón se produjo, el primer trabajo que Tycho dio al joven astrónomo fue precisamente que se encargara de resolver el dilema de Marte a la brevedad posible. Esto fue hacia 1600. Johannes Kepler nació en el pequeño pueblo de Weil, dentro del estado de Wurtemberg, en Alemania, el 27 de diciembre de 1571. Se graduó en teología en 1591 y se dedicó a la docencia y a la investigación. Sobre todo, Kepler se destacó por ser un formidable matemático, pues era capaz de resolver complicados problemas que involucraban extensas operaciones, con gran habilidad y rapidez. Su fama llegó a oídos del astrónomo danés y puesto que el problema de la órbita de Marte había resistido todo intento de solución, juzgó que su colega alemán lo resolvería finalmente. Por su parte, Kepler estaba particularmente interesado en trabajar al lado del gran Tycho Brahe por dos razones muy poderosas: en primer lu-

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Antecedentes de la mecánica

Figura 1.4.2. Sistema planetario “semi heliocéntrico” de Tycho Brahe (15461601). La Tierra es el centro del sistema, pero el Sol, girando en torno a ésta, es a su vez el centro alrededor del cual giran Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.

gar, porque se sabía que éste había acumulado a lo largo de muchos años de intensa labor observacional, una impresionante lista de datos muy precisos y confiables sobre las posiciones de los planetas. Datos que él precisaba con desesperación para probar sus propias ideas sobre la relación que guardan las órbitas con las dimensiones de los sólidos perfectos y que podrían servir de explicación al profundo misterio acerca de por qué los radios de las órbitas guardan ciertas proporciones entre sí (casi dos siglos después, en 1766, otro astrónomo alemán llamado Johann Elert Bode (1747-1826) propuso una regla empírica para dar las distancias relativas entre los planetas, conocida como “Regla de Bode”. Más adelante, en este contexto se tratará nuevamente esta cuestión). Esos datos que necesitaba Kepler, jamás podría haberlos obtenido él mismo, pues requerían de instrumentos de observación muy precisos y costosos, y él era una persona sin recursos económicos para adquirirlos y, por otra parte, aunque hubiera podido hacerlo, el alemán era miope como topo; no podía distinguir a un gato de un conejo a cuatro metros de distancia. Por otra parte, la paga que

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Johannes Kepler y Tycho Brahe

le ofreció Tycho Brahe representaba la solución a todos sus apremios económicos presentes y futuros, así que ante esta oportunidad Johannes Kepler no lo pensó dos veces y se puso de inmediato a las órdenes del danés. En la primera entrevista, pedantemente ofreció a su nuevo patrón que resolvería el problema de Marte en una semana. La verdad es que pudo resolverlo en tres años. En todo caso, ya para cuando Kepler pudo contar con cálculos confiables sobre las posiciones del llamado planeta rojo, Tycho Brahe había muerto, así que el modelo semi heliocéntrico nunca vio la luz (en realidad sí fue publicado, pero a nombre de otra persona: un plagiario de los documentos de Brahe). Curiosamente, aquellos datos que Kepler necesitaba tanto para resolver su problema con las órbitas planetarias, jamás se los dio Tycho Brahe, porque éste tenía su propio modelo del mundo y no podía permitir que otro se sirviera de ellos para robarle sus ideas. El hecho es que Brahe murió sin haber mostrado ni uno solo de esos resultados de sus desvelos. Kepler, en un acto temerario y desesperado, penetró por la fuerza al observatorio de quien había sido su jefe mientras sus restos eran velados en otra parte y sustrajo los volúmenes conteniendo la preciosa información planetaria. Su hazaña tuvo éxito y sólo de ese modo pudo este personaje proseguir con su propia teoría. La verdad es que Kepler nunca pudo ajustar las distancias planetarias relativas a las proporciones entre las aristas de los sólidos regulares. Hasta el fin de sus días estuvo intentándolo sin éxito. Pero en el intento fue sintetizando una a una las tres leyes fundamentales del movimiento planetario. Posteriormente se regresará al tema de las leyes de Kepler, cuando la mecánica deba ser comprobada a la luz de la gravitación. Kepler murió el 15 de noviembre de 1630 en Ratisbona, Alemania.

1.5. Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann Kepler revolucionó la concepción del universo con tres simples leyes empíricas: las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses y no círculos como creía Copérnico, o como deseaba la Iglesia. Son elipses y en uno de sus focos, no en el centro, se encuentra el Sol, el que atrae a todos con su inmensa fuerza (“kraft”). A veces los planetas van más deprisa y otras más

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Antecedentes de la mecánica

despacio; pues el Sol atrae más intensamente cuando están cerca de él y más suavemente cuando están lejos. A veces el tirón gravitacional se hace más fuerte (en el perihelio) y otras más leve pero siempre el planeta barre áreas a una rapidez constante. Finalmente, conforme la distancia media a la que se halla un planeta del Sol aumenta, su período también se dilata pero en una proporción tal que el cubo de la distancia es proporcional al cuadrado del período; i.e.: R 3  kT 2 siendo k una constante que es la misma en todo el Sistema Solar: k ≡ 3.3961018

⎡ m3 ⎤ ⎢ 2 ⎥. ⎢⎣ s ⎥⎦

Curiosamente, Kepler no conocía suficientemente la geometría. Cuando publicó su célebre obra Mysterium cosmographicum, donde mencionó sus leyes, no se refiere a las elipses en relación con las órbitas de los planetas, sino simplemente escribe que los cuerpos celestes recorren órbitas “oblongas” en su tránsito alrededor del Sol. Aún tendría que pasar cierto tiempo para que el uso de la geometría en la ciencia se generalizara. El 31 de marzo de 1579 nació en la ciudad de la Haya, René Descartes y aunque por nacimiento fue holandés y radicó en Holanda durante un buen tiempo en su madurez, se le considera como francés porque allí fue llevado desde su tierna infancia y allí, en Francia, en la Universidad de Poitiers se graduó de abogado después de su ordenación como jesuita. Nunca ejerció su profesión. En vez de ello se enlistó en el ejército y viajó por Europa como oficial de estrategia. Aquejado por la mala salud se retiró del ejército y se estableció en Alemania; en la ciudad de Neuberg para meditar y escribir. Allí desarrolló la geometría analítica (1619) pero por temor no la publicó hasta 1629, pues se enteró del juicio que la Santa Inquisición le fincó a Galileo Galilei en Roma. Fueron 14 años que tuvieron que pasar para que Descartes publicara sus cuatro obras fundamentales, de las cuales, la que mayor impacto tuvo para la mecánica en particular fue su Discurso del método

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Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann

Planeta Sol

Figura 1.5.1. Los planetas describen elipses. El Sol está en un foco. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales.

para guiar propiamente a la razón en la búsqueda de la verdad dentro de la ciencia (1637).2 Si bien el álgebra y la geometría se asociaron desde sus comienzos, René Descartes fue el primero que la desarrolló como un lenguaje geométrico sistematizado diciendo que “Cualquier problema de geometría se puede reducir a tales términos que solamente se requiere el conocimiento de las longitudes de ciertos (segmentos de) rectas para su construcción. Así como la aritmética consiste de sólo cuatro o cinco operaciones, a saber, suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces… así también es la geometría, pues para encontrar las líneas requeridas sólo hay que sumar o sustraer líneas…”

Ha sido un avance muy importante el asociar a operaciones con segmentos de líneas rectas las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. En la siguiente figura se muestran estas operaciones geométricas. Por cierto, Descartes fue quien usó letras para simbolizar las distancias, tal como se muestra en la figura 1.5.2. Pero seguramente la contribución más espectacular de René Descartes a la ciencia fue la invención de la geometría analítica. 2 Los siguientes párrafos fueron tomados de: Hestenes, David: New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer Academic Press (1990), pp. 5-12.

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Antecedentes de la mecánica

a

a







b

b



ab

ab

Figura 1.5.2. Suma y resta geométrica de segmentos de recta tal como los propone René Descartes.

En su encierro en Neuberg, cuando se sumió en las meditaciones, escribió frenéticamente, como si ello fuese un asunto de vida o muerte. Al salir de aquel enclaustramiento, todas las ideas sobre geometría habían sido puestas en orden. Así, la idea de proponer la llamada recta numérica; esa recta que “contiene” a todos los números reales, se propuso por primera vez. También estableció el llamado sistema de coordenadas cartesiano, constituido por dos rectas numéricas trazadas perpendicularmente una a la otra, donde un punto cualquiera puede ser ubicado mediante sus “coordenadas”; su abscisa y su ordenada… y su cota, si se trata de un sistema de tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares. Con los sistemas coordenados cartesianos fue posible hacer representaciones geométricas precisas de líneas, planos, volúmenes y otras figuras que ocurren o se imaginan en el espacio real de dos o tres dimensiones, adscribiéndoles valores numéricos a sus lados. El movimiento mismo se pudo representar como líneas; las llamadas “trayectorias”, en sistemas coordenados cartesianos. Sin lugar a equivocaciones se puede afirmar que sin la geometría analítica de René Descartes, la mecánica no habría podido estructurarse. Después de Descartes, el uso de la geometría analítica se expandió con una pasmosa rapidez por el mundo. Sin embargo aún faltaban elementos esenciales por incorporar a aquella espléndida estructura para hacerla más apta para su uso en la ciencia y particularmente en la física. La generalización del número para incorporar la noción geométrica de dirección tuvo que esperar aun un buen tiempo. Descartes murió el 11 de febrero de 1649. En realidad, el concepto de vector, como un ente geométrico, algebraico nació casi contemporáneo con la geometría analítica de Descartes y

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Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann

E

C

B D

A

Figura 1.5.3. Multiplicación de segmentos de rectas. Si el segmento BD tiene longitud a y BC tiene longitud b, el segmento BE tiene longitud ab. Para mostrarlo supóngase que el segmento AB tiene tamaño unidad.

muy cerca de éste. En Brujas, una bella ciudad de Bélgica, nació en 1548 (casi medio siglo antes que Descartes) Simón Stevin o Stevinius de Brujas, como también se le conoce. Fue burócrata y llegó a ser director de la oficina de caminos y canales de Bélgica. Pero se distinguió como militar. En el ejército propuso métodos para inundar los campos mediante sistemas de represas y esclusas, que se usaban con el fin de entorpecer y detener el avance del enemigo cuando intentaba invadir el país, anegando extensiones de tierra. Pero la importancia de Stevinius de Brujas para este contexto radica en el hecho de que él fue quien introdujo por primera vez el concepto de vector y las reglas para la suma y resta de estos entes. Él propuso, en efecto, que un vector es un segmento de línea recta dotada de un tamaño y un sentido. Se dice que la idea le vino a este individuo cuando se enfrentó al problema de jalar un cuerpo muy pesado, como un cañón de artillería por un terreno difícil. Se percató que para tirar de él había que ejercer fuerzas en varias direcciones específicas, con el objeto de hacer la tarea más eficiente. Además, se dio cuenta que la intensidad y el sentido de cada una de esas fuerzas se podían componer, de acuerdo con una regla de adi-

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Antecedentes de la mecánica

x

a

90°

b

Figura 1.5.4. Dados dos segmentos con longitudes a y b se construye un círculo de diámetro a b. La semicuerda x tiene longitud √ab ⎯⎯ . Así se extraen raíces geométricamente.

ción simple, para encontrar la resultante. Esta es la ahora bien conocida regla de suma de vectores, de acuerdo con la regla del paralelogramo (véase figura 1.5.5). Adicionalmente, Stevin asignó a sus vectores letras, tal como lo hizo Descartes con los segmentos de recta, y de esa manera pudo dar una descripción simbólica de estos entes geométricos, apta para su manipulación algebraica. El trabajo y las ideas de Stevinius de Brujas solamente fueron conocidos en su ciudad natal y no fueron divulgados hasta mucho tiempo después. La razón de este retraso fue que hasta 1586 publicó un muy breve panfleto titulado Thiende que trataba, entre otras cosas, de los vectores. No obstante, su obra se conoció hasta bien entrado el siglo XVII, cuando Isaac Newton usó el concepto de vector y sus axiomas aritméticos para el desarrolló de su mecánica. Stevin murió en Holanda en 1620. Muchos años después, en 1844, Hermann Grassmann desarrolló aquellas prístinas ideas de René Descartes y de Simón Stevin y publicó su trabajo en un libro. Hermann Günther Grassmann nació el 15 de abril de 1809 en Stetin, antes, Alemania (hoy Polonia) y murió allí mismo el 26 de septiembre de 1877. Su libro se tituló Die ausdehnungslehre o tratado sobre las extensiones. En ese libro se establece finalmente y con precisión la idea de un vector, así como de las operaciones matemáticas y sus interpretaciones geométricas: Para Grassmann un simple segmento de recta, como el que propuso Descartes es un escalar y se representa por medio de una letra latina minúscula

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Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann

2aជ

2aជ

λaជ ; λ escalar

aជ

Figura 1.5.5. Vectores con la misma dirección pero con diferentes magnitudes o sentidos. Se denotan por letras minúsculas con una flecha encima.

como a, b… o bien mediante letras griegas minúsculas, como , ,… Cada escalar positivo designa una clase de equivalencia de segmentos de recta congruentes. Esta es la regla usada por Descartes para relacionar números con segmentos de rectas. Por su parte, un vector es un segmento de recta dirigido. Se representa mediante flechas cuya longitud corresponde (en las unidades adecuadas) a la magnitud de ese vector. Además, los vectores poseen dirección y sentido. Así, dos flechas paralelas son vectores con la misma dirección. Si además las puntas de esas flechas están en los mismos extremos de esos segmentos de recta, se dice que son dos vectores que apuntan en el mismo sentido, además de tener la misma dirección. Si por el contrario, las dos flechas paralelas tienen sus puntas en extremos opuestos, se dice que estos vectores tienen la misma dirección pero con sentidos contrarios. Los vectores se denotan mediante letras latinas minúsculas con una pequeña flecha encima, como aជ, uជ, wជ,…. Todo vector aជ se puede descomponer en el producto de su magnitud y su dirección r r a ≡ a aˆ

(1.1)

donde | aជ | denota la magnitud y aˆ es un vector unitario, tal que | aˆ | es siempre igual a la unidad.

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Antecedentes de la mecánica

bជ aជ

rជ

aជ rជ

bជ

Figura 1.5.6. Adición de dos vectores. Las flechas aជ y bជ se pueden “sumar” geométricamente, bien sea, uniendo la punta del primero con la cola del segundo y luego trazando el vector resultante rជ, o bien, siguiendo la regla del paralelogramo de Stevinius, como se muestra a la derecha. Como la resultante es la misma, se ve que los vectores son deslizantes.

La suma de dos vectores aᠬ y bᠬ da como resultado un vector rជ que geométricamente se encuentra de acuerdo con la figura 1.5.6. Algebraicamente esta operación se escribe como: r r r a  b r (1.2) se ve de lo anterior que la suma es conmutativa; esto es: r r r r a b ≡ b  a

(1.3)

Así mismo, a partir de su construcción en la figura 1.5.6, se puede ver que añadiendo un nuevo vector cជ: r r r r r r a b  c ≡ a  b  c . (1.4)

(

(

)

)

También se ve que el vector 0 (así, sin flecha encima), es tal que al sumarlo a otro vector aជ cualquiera, lo deja igual r r r a  0 ≡ 0 a  a

(1.5)

y si dos vectores aជ y bជ al sumarse producen el vector cero como resultante, entonces uno de ellos es el negativo del otro: r r r r a  b  0 ⇒ b  a (1.6)

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Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann

aជ

α bជ

Figura 1.5.7. El producto escalar de dos vectores es igual a la proyección de la magnitud de uno de ellos sobre el otro, multiplicada por la magnitud de este otro.

esto es que bជ es un vector de igual magnitud e igual dirección que aជ, pero que apunta en sentido contrario a él. Los vectores también se pueden multiplicar. De hecho hay varios tipos de productos de vectores. El producto interno de dos vectores a y b se denota como a ⴢb y es igual a un escalar que se construye con el producto de las magnitudes de cada uno de los vectores, multiplicado por el coseno del ángulo que forman los dos (véase figura 1.5.7): r r r r a ⋅ b  a b cos  . (1.7) Se puede ver de su definición que el producto escalar es conmutativo; esto es que r r r r a ⋅ b b ⋅ a . (1.8) En particular, si el producto escalar de dos vectores es igual a cero, entonces de acuerdo con (1.7) se ve que los vectores son ortogonales. Otro es el producto vectorial. Dados dos vectores aជ y bជ, su producto vectorial se denota por

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Antecedentes de la mecánica

cជ

bជ B

aជ

Figura 1.5.8. El producto vectorial de dos vectores aជ y bជ da un nuevo vector cជ perpendicular a ellos y cuyo sentido es directo.

r r a b y da como resultado un nuevo vector cជ que es ortogonal a los dos vectores originales. La magnitud del vector resultante |cជ| es numéricamente igual al área del paralelogramo generado por los vectores originales, tal como se muestra en la figura 1.5.8. El sentido del vector cជ queda establecido por la llamada regla de la mano derecha: poniendo los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha rígidos, de modo que apunten en tres direcciones mutuamente perpendiculares y suponiendo que el dedo índice coincide con la dirección del vector aជ, en tanto que el dedo medio lo hace con la dirección del vector bជ, entonces el vector producto vectorial cជ apuntará en la dirección del pulgar. De acuerdo con la figura 1.5.8, si el área del paralelogramo generado por los vectores aជ y bជ es B, entonces r c B. Y puesto que cជ es normal a aជ y bជ, entonces se debe cumplir que

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(1.9)

Descartes, Stevin de Brujas y Grassmann

r r r r a ⋅ c  b ⋅ c 0 .

(1.10)

Finalmente, el producto vectorial de dos vectores es antisimétrico; esto es: r r r r a  b  b  a . (1.11) Existen otros productos que se pueden definir entre vectores; algunos de ellos muy interesantes e importantes para la mecánica. Grassmann exploró, por ejemplo, el producto externo r r a ∧b B (1.12) cuyo resultado es un bi-vector, que representa una superficie plana dirigida.

1.6. Galileo Galilei El siglo XVI fue prolijo en talentos. Gran número de pintores y científicos vieron la luz en ese tiempo. En la bella ciudad de Pisa, en Italia, nació otro de los grandes talentos que habrían de contribuir a la estructuración de la mecánica. Se trata de Galileo Galilei (15 de febrero de 1564-8 de enero de 1642). Hijo de un noble venido a menos, Galileo inició estudios de medicina en la universidad de su ciudad natal, pero pronto los abandonó, pues sintió que esa no era su vocación, además de que nunca le convencieron las ideas aristotélicas con las que se enseñaba esa profesión. Su pasión, en cambio, fue la investigación. Desde muy joven comenzó a pensar en ese problema que hoy en día se conoce como la cinemática; esto es, el estudio del movimiento de los cuerpos materiales, sin atender a sus causas. En aquella época, de acuerdo con las ideas de Aristóteles, que habían pervivido por cerca de dos mil años, se pensaba, por ejemplo, que los cuerpos masivos caen con tanta mayor rapidez cuanto mayor sea su peso. Así, si un cuerpo pesa el doble que otro, debería caer, según estas ideas, con el doble de rapidez que aquel. Galileo rechazaba estos conceptos y de una manera simple pero rotunda, demostró su equivocación. Su razonamiento era más o menos este: supóngase que, en efecto, los cuerpos más masivos caen con una celeridad

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Antecedentes de la mecánica

mayor que los ligeros, entonces es posible pensar en un experimento de caída libre en el cual, después de haber dejado caer uno pesado y uno leve, se haga la tercera acción de unir a ambos y dejarlos caer nuevamente, el uno atado al otro. Siendo el cuerpo compuesto de los dos originales, su masa es mayor que la de cada uno de ellos y por lo tanto, siguiendo las ideas aquellas, deberá caer con una celeridad mayor que la que se observó en los anteriores. Sin embargo, pensando que el cuerpo ligero cae más lentamente que el pesado, se debe concluir igualmente que al unirse a éste va a tender a retardar su caída, así que muy bien podría esperarse que al momento de dejar caer a los dos cuerpos adheridos entre sí, lo que se observara sería que, por el contrario, cayera más lentamente que el cuerpo masivo original. Por lo tanto, es de concluirse que aquellos conceptos acerca de la caída de los graves están equivocados. Los cuerpos materiales al caer libremente lo hacen con la misma aceleración, independientemente de sus masas. Galileo era un individuo más bien bajo de estatura, de facciones toscas, pelirrojo, de espaldas anchas y caminaba balanceándose de un lado a otro, con los pies muy abiertos. Era un tipo desaliñado que muy pocas veces se bañó y nunca se peinó el cabello. Su carácter era jovial y dicharachero, pero con cualquier pretexto abandonaba la discusión para entrar al terreno de los puñetazos. Así que a lo largo de su vida hizo buenos amigos, pero también enemigos, algunos de ellos muy poderosos por cierto. Fue profesor de matemáticas en la universidad de Pisa durante un tiempo, pero tuvo que buscar otras opciones que le dejaran mejor salario pues, a la muerte de su padre, quedaron en la miseria tanto él como su madre y numerosas hermanas y tuvo que ver por ellas desde entonces. De Pisa pasó a Venecia y luego a Padua, la misma universidad donde Copérnico había estudiado y donde se sentía un ambiente de veneración hacia aquel célebre astrónomo que había cambiado la concepción del mundo. Allí pasó Galileo sus mejores años. En Padua desarrolló la cinemática y fue allí donde adquirió aquella experiencia tan importante para pulir lentes y fabricar telescopios que le valió fama internacional al descubrir que Júpiter, el quinto planeta del sistema, posee sus propias Lunas que lo orbitan, con lo cual quedó una vez más demostrado que la Tierra no es el centro del universo. Observó también que la Luna no es una esfera perfecta, sino que se encuentra tachonada de cráteres, montañas y hondonadas y finalmente, descubrió que las estrellas son mucho más distantes que los planetas, con lo cual se pudo explicar la falta de paralaje en las observaciones de esos cuerpos celestes en dis-

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Galileo Galilei

tintas épocas del año, así que la más importante objeción al sistema heliocéntrico se derrumbó. Todas sus observaciones las publicó en un libro titulado El mensajero sideral. Se puede decir que este libro fue el que marcó el inicio de las desgracias para el italiano Galileo, pues escrito en tono de burla contra la Iglesia y de desprecio hacia la religión católica, desagradó sobremanera a los jerarcas eclesiásticos, quienes empezaron a mover los hilos sutiles de las intrigas y los chismes contra él. Pero la gota que derramó el vaso fue el segundo libro de Galileo: Diálogos sobre los dos principales sistemas del mundo, publicado en 1632. En esta obra, Galileo expone sus puntos de vista sobre el movimiento de los cuerpos materiales; eso que hoy en día se conoce como cinemática. Lo hace en forma clara, usando un lenguaje simple y preciso, con lo cual cualquier persona es capaz de leerlo y entenderlo. El punto que causó toda la tragedia fue que para desarrollar sus argumentos, Galileo creó tres personajes que sostienen una discusión sobre la física. Uno, Salvati, es un individuo sensato, analítico e inteligente; es el que encarna al propio autor: Galileo. El otro personaje es Sagredo, quien representa un papel neutral, sin tomar partido a favor o en contra de los otros dos y juega el rol de moderador en las discusiones. Pero el tercer personaje, Simplicio, es un aristotélico que sostiene tozudamente puntos de vista retrógrados y que denotan profunda ignorancia sobre las ideas del mundo aceptadas en los medios científicos de aquella época. Este personaje caricaturiza al Papa. Ante esos sarcasmos, la Iglesia reaccionó ferozmente. Fue acusado de hereje ante el Santo Oficio, que en 1633 le instruyó juicio: “Por cuanto a ti, Galileo Galilei, hijo de Vincento Galilei, de setenta años de edad, fuiste demandado a este Santo Oficio por sostener como verdadera una falsa doctrina, a saber, que la Tierra se mueve y posee también movimiento diurno (de rotación alrededor de su eje norte-sur); así como por tener discípulos a quienes instruyes en las mismas ideas; así como por mantener correspondencia sobre el mismo tema con matemáticos alemanes (Johannes Kepler); así como por publicar ciertas cartas sobre las manchas del Sol;…; así como por responder a las objeciones que se suscitan continuamente, acerca de las Sagradas Escrituras, en el sentido que (1) el Sol es el centro del mundo y está inmóvil en su sitio; lo cual es filosóficamente falso y formalmente herético. Y (2) por cuanto a que después de haber aparecido un libro tuyo, publicado en Florencia, a saber, Los diálogos de Galileo Galilei sobre los dos sistemas principales del mundo, el de Ptolomeo y el de Copérnico; y por cuanto a que la Sagrada Con-

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Antecedentes de la mecánica gregación ha oído que va ganando terreno diariamente la opinión falsa del movimiento de la Tierra y la estabilidad del Sol, se ha examinado cuidadosamente el mencionado libro y se ha hallado en él una violación manifiesta (de las ideas verdaderas). Por ello pronunciamos nuestra final sentencia: que el libro “Diálogos” de Galileo Galilei sea prohibido y sea inscrito en el Index expurgatorius (que es el mismo lugar donde años atrás se había inscrito el libro Sobre las revoluciones de las esferas celestes de Nicolás Copérnico) y a ti te condenamos a prisión formal (y perpetua)”.

En atención a su avanzada edad y a su ceguera, así como a su pobre estado de salud, el Santo Oficio conmutó la sentencia de prisión en la cárcel, por un arresto domiciliario de por vida. Galileo tuvo que dictar su abjuración: “Yo, Galileo Galilei, de setenta años de edad, hijo de Vincento Galilei, arrodillado ante vos, los eminentes y reverendos cardenales de este Santo Oficio; inquisidores generales de la República Universal Cristiana, contra la depravación herética, teniendo ante mí los Sagrados Evangelios que toco con mis propias manos, juro que siempre he creído (en) todos los artículos que la Sagrada Iglesia Católica Apostólica Romana sostiene, enseña y predica y… abjuro, maldigo y detesto los errores y las herejías en los que he incurrido y juro abandonar para siempre la opinión falsa de que el Sol es el centro inmóvil y que la Tierra no es el centro inmóvil, y en testimonio de ello, con mi propia mano, he suscrito este presente escrito de mi abjuración, en Roma, en el Convento de Minerva, en el 22 de junio de 1633…”

Galileo regresó a Pisa, su ciudad natal y allí permaneció en su prisión domiciliaria hasta su muerte, el 8 de enero de 1642. Sus libros permanecieron inscritos en el Index expurgatorius por más de doscientos años, sin poderse publicar. En 1992 el Papa Juan Pablo II rectificó finalmente el fallo de aquel tribunal y absolvió a Galileo. En 1999, nuevamente el Papa Juan Pablo II, a nombre de la Iglesia Católica, pidió perdón a Galileo y a todas los miles de personas que fueron injustamente juzgadas por la Iglesia. Después de aquel brutal golpe a la inteligencia y al talento científico y por los trescientos años siguientes, ningún otro italiano se atrevió a cometer otros “delitos” de ese género.

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CAPÍTULO 2 NEWTON Y SU MECÁNICA

2.1. Newton y sus leyes El genio, esa aura que ilumina a ciertos individuos y les da el encargo, la pesada responsabilidad de levantar en vilo a toda la humanidad para lanzarla a alturas cada vez mayores de conocimiento y de cultura, viajó por el continente europeo como nunca antes lo había hecho. Pasó de Polonia a Alemania y Dinamarca, tocó Francia y tuvo una dolorosa caída en Italia, con el juicio a Galileo. En el mismo año que murió el genio italiano, el 24 de diciembre de 1642, en la brumosa Inglaterra, nació Isaac Newton. Hijo de un humilde agricultor analfabeto, que murió tres meses antes que él naciera y de una inculta mujer que al contraer nuevas nupcias dejó en encargo permanente a su hijo con su madre, Newton creció y se desarrollo en un ambiente bucólico. Su futuro natural hubiera sido el convertirse a su vez en granjero y cuidar de la granja de su abuela; sin embargo, desde muy temprano dio muestras de talento; así que un pariente de él, un pastor, lo envió a Londres para continuar sus estudios en Cambridge. Allí obtuvo una especie de beca con la cual obtenía comida y alimentación a cambio de realizar tareas de intendencia: borrar los pizarrones después de las clases y servir a sus profesores y condiscípulos a la hora de la comida. En el verano de 1665, a los veintitrés años, Newton obtuvo su licenciatura en artes. Ese mismo año apareció en Inglaterra la peste bubónica, así que todos los centros escolares del país fueron cerrados de inmediato como una medida para evitar la propagación de la terrible enfermedad. Newton regresó a la granja de su abuela en el condado de Woolsthorpe. Allí permaneció por espacio de dos años hasta que las autoridades sanitarias abrieron nuevamente las escuelas y universidades del país, cuando la epidemia

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Newton y su mecánica

desapareció. En ese lapso Newton se dedicó a crear. Metido en una buhardilla que había acondicionado como su estudio, allí en la casa de su madre adoptiva pensó, dedujo, realizó algunos experimentos caseros y tomó nota de sus hallazgos y deducciones. En ese lapso de poco más de dos años Newton realizó una obra monumental, como nunca antes se había hecho; como nunca después ser humano habría de conseguir: propuso una teoría sobre la luz y los colores, estableció, estructuró y construyó la mecánica clásica; inventó el cálculo diferencial y sentó las bases para una teoría de la gravitación universal, entre otras cosas. Este trabajo de dos años, hoy en día hubiera dado cinco o más premios Nobel a otros tantos científicos; no obstante, Newton no publicó su obra sino veintiún años después. De hecho, quién se tomó todo el trabajo de compilar y redactar la obra de Newton fue su amigo Edmond Halley. Él mismo llevó los manuscritos a la imprenta y supervisó la impresión. En 1687 se publicó Philosophiae naturalis principia mathematica, a los cuarenta y cinco años del autor. Las razones de ese enorme retraso son de dos tipos: por una parte, el carácter retraído y huraño de Newton, así como su enorme desagrado por la crítica, hicieron que se resistiera a dar a conocer su trabajo. Ante la insistencia de su amigo Halley se negó una y otra vez, aduciendo a que la gente aún no estaba preparada para recibir ese conocimiento y que se corría el riesgo de que sus hallazgos pudieran ser utilizados para hacer el mal. Por otra parte, la obra aun adolecía de ciertos puntos débiles: el cálculo diferencial e integral aún no había sido desarrollado totalmente; en particular, el problema de integrar volúmenes. Así mismo, en su teoría de la gravitación todavía quedaba por demostrar que la fuerza gravitacional que ejerce un cuerpo masivo, esférico, uniforme, sobre una pequeña partícula exploradora lejana es idéntica a la fuerza ejercida por un punto material que tenga la misma masa que aquella. Por su parte, a Halley le interesaba sobremanera que Newton echara a la luz pública su trabajo, pues él mismo sería el primer beneficiado. Desde hacía algún tiempo había estudiado los arribos de ciertos cometas a la Tierra; particularmente había uno de ellos que aparecía con gran regularidad cada setenta y seis años. Halley quería demostrar que se trataba, en efecto, de un mismo cuerpo y deseaba calcular su órbita para predecir futuros arribos; el más próximo sería en 1759. Fue por esta razón que urgió a su amigo para que publicara su obra y fue por lo mismo que él se encargó de todo el trabajo, una vez que Newton finalmente accedió a hacerlo.

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Newton y sus leyes

En realidad solamente se publicaron los dos primeros volúmenes de los Principia mathematica en ese año. El tercero apareció hasta 1704. En el volumen 1, Newton establece los principios de la mecánica, así como la ley de la gravitación y deduce las tres leyes de Kepler. En el segundo volumen presenta el primer tratamiento serio sobre la mecánica de fluidos. En el tercero, el más tardío, describe el movimiento de satélites en órbita alrededor de los planetas y de éstos alrededor del Sol; calcula el achatamiento de la Tierra y con ello da explicación al efecto de precesión de los equinoccios, que si bien desde la antigüedad había sido conocido, nunca había sido explicado. Propone así mismo, en este su volumen señero la explicación de las mareas terrestres y describe las órbitas de los cometas alrededor del Sol, con lo cual allanó el camino a su amigo Halley para describir al cometa que ahora lleva su nombre y que, por cierto, él mismo nunca vio, pues murió antes de su siguiente paso por la Tierra. Fueron de tal envergadura las consecuencias de la obra de Newton, que desde entonces se ha adoptado una visión mecanicista del mundo, que propone que su pasado y su futuro se puedan conocer a partir de la mecánica. Después de haber publicado su obra, Newton perdió todo interés en la ciencia y no volvió a trabajar más en un asunto científico. En secreto, se dedicó a la astrología y a la alquimia. En 1699 se le confirió el cargo de alcalde de la casa de moneda de Inglaterra. En este puesto rindió grandes servicios a la corona, pues él fue quien unificó la moneda y estableció las bases para una economía más racional, más “científica”. Se convirtió en un hombre rico y poderoso y en 1703 la Real Academia de Inglaterra lo nombró su presidente. En 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana de ese país. El 20 de marzo de 1727 murió el más brillante genio de todos los tiempos.

2.2. La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica Para establecer la mecánica, Newton postuló un conjunto de axiomas acerca del espacio, del tiempo y de la materia, así como las características que debe poseer un observador: aquellos que miden y registran las cosas que ocurren. Así, propuso que el espacio es el escenario de los acontecimientos

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Newton y su mecánica

físicos; se trata de un recinto de tres dimensiones y que es euclideo, esto es, que se satisfacen en él todos los postulados de Euclides: Postulado 1: Por dos puntos en el espacio puede pasar una recta. La distancia del primer punto al último es la misma que la distancia de este punto a aquel. Postulado 2: Por tres puntos no colineales en el espacio puede pasar un plano. Postulado 3: Dos planos no paralelos se intersectan en una línea recta. Postulado 4: Una línea recta no paralela a un plano, lo intersecta en un punto. Postulado 5: Dos líneas rectas no paralelas que están en un plano se intersectan en un punto (si las líneas son paralelas no se intersectan). Si una tercera línea se traza sobre ese plano y no es paralela a ninguna de las anteriores, se forma un triángulo cuyos ángulos interiores siempre suman 180°. Con estos cinco postulados se genera toda una geometría, la llamada geometría de Euclides o euclidiana. Newton postuló, así mismo que el espacio físico es homogéneo e isótropo. Con estos axiomas quiso poner énfasis en el hecho de que en ese escenario no hay puntos privilegiados, ni direcciones privilegiadas, así que cualquier lugar del universo es igual, desde el punto de vista de las cualidades del espacio y en cualquier dirección que se vea se hallará esencialmente lo mismo. En pocas palabras, el espacio, ese recinto de los acontecimientos físicos, no tiene estructura intrínseca. En cuanto al tiempo, Newton postuló que se trataba de un fenómeno que ocurre siempre en el sentido de pasado a futuro, que es uniforme (esto es que un segundo es igual a otro segundo, por cuanto a su duración) y que es absoluto. Esto último significa que la medida del tiempo se puede hacer desde cualquier punto del universo y cualquiera sea el estado de movimiento del observador, un segundo es igual a otro segundo y las medidas del tiempo simultáneas hechas por dos o más observadores situados en lugares distintos del universo serán simultáneas entre sí. Finalmente, si dos acontecimientos son simultáneos para un observador, lo serán también para cualquiera otro que los observe.

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

Un observador, por su parte, es esencialmente una persona dotada de una escala de medida, con la cual puede registrar distancias, y de un reloj, con el que puede medir lapsos. Así mismo, un observador debe estar equipado con todos aquellos aparatos necesarios para tomar medidas de otras entidades físicas pertinentes; como la masa de los cuerpos. Un observador puede, en fin, ser todo un laboratorio de física, sí así se requiere, pero, por otro lado, hay una característica esencial que debe poseer un observador en la mecánica de Newton: no debe estorbar al fenómeno que observa. Sus acciones deben ser cuidadosas y lejanas de manera que esos cuerpos, esas fuerzas que él observa y mide, ocurran libremente; igual que si no estuviera presente. La idea de un observador se complementa como un marco de referencia, si se le dota, adicionalmente, de un sistema de coordenadas cartesiano en cuyo origen se coloca al observador mismo y desde el cual se hacen todas las medidas necesarias. Así pues, en la mecánica newtoniana, un marco de referencia es un sistema de coordenadas cartesiano, en cuyo origen se encuentra un observador ideal, como el que se definió. Más aún, Newton definió un marco de referencia inercial como aquel que durante cierto lapso puede considerarse que se encuentra en una posición fija en el espacio, con relación a las estrellas lejanas; esas que se llaman estrellas fijas, debido a su enorme lejanía, o al menos se mueve con una velocidad uniforme con relación a ellas. De acuerdo con esta definición, aquí, sobre la Tierra, sólo de manera instantánea puede construirse un marco de referencia inercial pues, debido a la rotación terrestre, las estrellas fijas se miran como si tuviesen una cierta aceleración. Una mejor opción puede ser situar, al menos idealmente, un marco de referencia en el centro del planeta; así, el efecto debido a la rotación diurna desaparece. Un marco así, en efecto, puede considerarse inercial durante lapsos mayores. Sin embargo, dado que la Tierra orbita al Sol, tampoco resulta, a la larga, una buena elección pues con instrumentos refinados puede detectarse el paralaje de las estrellas. Se puede notar en tal caso que este sistema, en verdad está sujeto a una aceleración, así que no cumple cabalmente con el requisito de ser inercial. A plazos mayores y con mayor refinamiento se pueden imaginar marcos de referencia colocados sucesivamente en el centro del Sol, en el centro de la Vía Láctea, en el centro del cúmulo local, etc. En cada uno de estos intentos se puede ratificar que cumplen con la condición de inercialidad de

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Newton y su mecánica

manera más y más precisa; durante lapsos cada vez mayores y aún haciendo las mediciones más y más refinadas, las estrellas lejanas parecerán cada vez más, como si estuvieran, en efecto, fijas. Por un proceso ideal de tendencia a un límite, se puede llegar a la conclusión de que debe existir un lugar del universo; un punto donde se pueda colocar el origen de un marco de referencia y desde el cual, sin importar durante cuánto tiempo se observe, o con qué precisión se hagan las medidas, las estrellas fijas se verán, en efecto, fijas. Ese marco es el llamado marco de referencia inercial primario; el más absolutamente inercial de todos los marcos de referencia. Claramente, la localización de ese sitio tan especial del universo ha tenido que ver con cierto proceso de promediación, en el cual se ha tomado en cuenta a todos los planetas, a todos los sistemas solares, a todas las galaxias, cúmulos galácticos, etc.; a toda la materia; materia que provoca interacciones gravitacionales, para ubicar esa región en la cual todas esas influencias parecen cancelarse. También ha sido necesario tomar en cuenta a la radiación de todas las longitudes de onda, a las partículas cargadas y en fin, toda forma de energía que pudiera influir sobre el estado de movimiento de algún cuerpo testigo, sobre algún observador. Independientemente de que una tarea como esta pudiera llevarse a cabo con los medios observacionales más adelantados del momento, para hacer semejante promedio es necesario que (valga la perogrullada) sea posible, al menos en principio, hacerse. Desgraciadamente, todo parece indicar que en verdad ese procedimiento no puede conducirse, por varias razones: en primer lugar el universo esta literalmente lleno de la llamada materia obscura. Un noventa por ciento de todo aquello que está dotado de inercia es esta materia obscura, de la cual lo único que se sabe y no muy ciertamente es que se puede tratar de neutrinos “masivos”; partículas sin carga eléctrica y con masas extraordinariamente pequeñas, pero dotadas de altísimas energías, que viajan a velocidades muy próximas a la de la luz; que los demás cuerpos del universo son prácticamente transparentes a ellas y que, por consiguiente, son muy difíciles de detectar y cuantificar. Por otra parte, también se ha vuelto cada día más y más evidente que el universo en bulto no está localizado en un escenario euclideo, sino en un espacio curvo, con curvaturas negativas, como una gigantesca silla de montar, así que hacer un censo de sus cuerpos se complica aún más por el hecho de que la ponderación tendrá que hacerse sobre las distan-

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

cias relativas y ocurre que enormes regiones están desconectadas del cúmulo local donde está el Sol y su sistema planetario, así que de nueva cuenta, el proceso de promediación se complica. Finalmente, nadie puede afirmar ahora que el universo sea acotado, con lo cual cabe la posibilidad de que tal cálculo ni siquiera sea posible llevarse a cabo en esencia. En todo caso, si fuese posible plantar en alguna parte del universo ese marco de referencia inercial primario; el más absolutamente inercial de todos los marcos de referencia, se tendría un patrón: un sistema de coordenadas euclideo patrón y un observador patrón que serviría para realizar observaciones y medidas sin importar qué tan grandes o qué tan pequeñas fuesen las distancias o los lapsos, o las masas que se observen desde él. Además, y esto es quizá lo más importante, cuando se tiene un patrón, se pueden hacer copias fieles de él, así que en el caso del marco de referencia inercial primario, se puede, igualmente, construir otro igual a él aquí, sobre la superficie de la Tierra, o muchos, uno para cada pequeño lapso y para distancias moderadamente grandes, desde los cuales se pueda eliminar cualquier influencia extraña, porque son copias del marco inercial primario. Hacer esto: copiar un marco de referencia, es relativamente simple; todo es cosa de hacer transformaciones de coordenadas. Transformaciones de coordenadas que, según se verá más adelante, son lineales, es decir, fáciles de llevar a cabo. Desde un marco de referencia inercial, copia exacta de aquel primario en el “centro del universo”, se tiene ahora forma de observar acontecimientos sin influir en lo observado y sin verse influido por “impurezas” intrínsecas del marco de referencia; aquellas que en uno no inercial inevitablemente están presentes por el hecho de que el observador está sujeto a interacciones. Desde un marco de referencia inercial se puede, ahora, establecer lo que será el movimiento patrón; aquel que servirá para clasificar otros movimientos de los cuerpos. El movimiento que servirá de patrón para estudiar todos los demás y compararlos contra éste es el movimiento rectilíneo uniforme. Es el movimiento rectilíneo uniforme el más simple de todos; se trata de aquel con el cual un cuerpo recorre distancias iguales en tiempos iguales, sobre una trayectoria rectilínea, observado desde un marco de referencia inercial. En otras palabras, el movimiento rectilíneo uniforme es aquel que está caracterizado porque el cuerpo lleva impresa una velocidad constante.

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Newton y su mecánica

Como se recordará, la velocidad se define como un vector y se obtiene analíticamente como la derivada, con respecto al tiempo, del vector de posición instantánea de un cuerpo cualquiera que se mueve por el espacio. En la figura 2.2.1. se muestra un marco de referencia inercial, en cuyo origen 0 se encuentra el observador; aquel que mide y registra sin influir en lo observado. El marco está dotado de tres ejes coordenados, mutuamente perpendiculares, construidos con tres rectas numéricas, cuyo cero coincide en el origen y con unas puntas de flecha que indican hacia donde progresa la secuencia de números reales en sentido positivo, tal como se hace en la geometría analítica. También se muestra en la figura 2.2.1, un cuerpo cualquiera, que se mueve en el espacio describiendo una trayectoria arbitraria. Obviamente, el cuerpo que se dibujó en 2.2.1 no lleva un movimiento rectilíneo uniforme. Por el contrario, ese cuerpo cambia en forma caprichosa la dirección y sentido de su movimiento. La figura 2.2.1 se ha dibujado, específicamente, para mostrar lo que son el vector de posición y el vector velocidad de un cuerpo. El vector de posición es aquel que parte del origen del sistema coordenado y su punta llega hasta el interior del cuerpo, en cada instante. Así el vector de posición va cambiando de dirección, de magnitud y aun de sentido, conforme el cuerpo se desplaza por el espacio. Se acostumbra denotar al vector de posición por el símbolo r r (t ) m .

[ ]

Por otra parte, el vector velocidad parte del cuerpo y apunta en cada momento en la dirección y sentido en que se mueve; su magnitud cambia conforme el cuerpo se desplaza con mayor (o menor) rapidez. El vector velocidad, pues, es un vector tangente a la trayectoria que sigue el cuerpo en el espacio. Se acostumbra denotar al vector velocidad como

[ s ].

r v (t ) m

El vector velocidad, adicionalmente, se define como igual a la derivada temporal del vector de posición; esto es: r d r (t ) r (2.1) v (t ) ≡ . dt

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

z

pជ

rជ

y

0 x

Figura 2.2.1. Marco de referencia inercial desde el cual se observa un cuerpo en movimiento.

Por todo lo anterior, se puede ahora establecer en forma matemática precisa, la expresión para el movimiento rectilíneo uniforme. Simplemente, este movimiento es tal, que el vector velocidad del cuerpo es constante: r v (t ) ≡ const.

(2.2)

Entiéndase bien, lo que la expresión (2.2) afirma es que el vector, con todas sus cualidades, permanece constante a través del tiempo; su magnitud, su dirección y su sentido son constantes a lo largo del movimiento rectilíneo uniforme. El valor de su magnitud es conocido como la rapidez; esto es: r v ≡ v (const.).

(2.3)

En particular, el reposo se puede entender como un caso particular del movimiento rectilíneo uniforme, cuando la rapidez del cuerpo es igual a

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Newton y su mecánica

z

pជ rជ 0

y

x

Figura 2.2.2. Trayectoria que sigue un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme.

cero. Así, movimiento rectilíneo uniforme y reposo son dos estados de la misma clase. Regresando a la definición anterior, desde un marco de referencia inercial, el movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo se describe matemáticamente mediante su vector de velocidad, afirmando que es constante. Un cuerpo moviéndose así describe en el espacio una trayectoria recta dada por la expresión siguiente: r r r r (t )  bt  r0 . (2.4) Ésta, es el resultado de integrar (2.2) con respecto al tiempo, donde bជ y rជ0 son vectores constantes y t es el tiempo. La ecuación (2.4) es, en efecto, la expresión vectorial, parametrizada por el tiempo, para una trayectoria recta en el espacio euclideo de tres dimensiones. La constante de integración vectorial bជ da información sobre la pendiente de la recta, en tanto que rជ0 expresa la posición de la partícula en el instante t igual a cero.

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

Se acostumbra dotar a cada uno de los ejes coordenados de un sistema euclideo de vectores unitarios que apuntan en cada una de las direcciones; esos vectores se describen como: iˆ, jˆ, kˆ

(2.5)

y tienen las siguientes propiedades: iˆ  ˆj  kˆ 1,

(2.6 a)

iˆ ⋅ ˆj  iˆ ⋅ kˆ  ˆj ⋅ kˆ 0 ,

(2.6 b)

ˆ iˆ  ˆj  k;

ˆj  kˆ  i; ˆ kˆ  iˆ  ˆj .

(2.6 c)

Es decir, que tienen magnitud unidad (no tienen dimensión alguna), según se muestra en (2.6 a); son ortogonales entre sí, tal como se escribe en (2.6 b) y forman un sistema derecho (2.6 c). En términos de ellos, cualquier vector Aជ se puede escribir como: r r A  i A1  ˆjA2  kˆ A3 , siendo (A1, A2, A3) las componentes del vector Aជ a lo largo de los ejes coordenados (ver figura 2.2.3). Así, el vector de posición; ese que parte del origen 0 y apunta a la posición instantánea del cuerpo, descrito en términos de sus componentes se escribe así: r ˆ (t ) , ˆ (t )  ˆj y (t )  kz r (t )  ix

(2.7)

siendo x(t), y(t), z(t) las coordenadas instantáneas de un punto del cuerpo. Igualmente, el vector velocidad vជ descrito en términos de sus componentes es: r ˆ (t ) , v (t )  iˆv1(t )  ˆjv 2 (t )  kv 3

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(2.8)

Newton y su mecánica

z A3

Aជ

kˆ iˆ

jˆ

A2 y

0

A1

x FIGURA 2.2.3. Componentes de un vector Aជ y vectores unitarios.

donde v1(t), v2(t) y v3(t) son las componentes instantáneas del vector, tales que vi (t ) ≡

dxi (t ) dt

; i 1,2 ,3 ;

(2.9)

esto es, que cada componente de la velocidad es la derivada de la correspondiente componente del vector de posición, con respecto al tiempo. Existe en la mecánica otra entidad vectorial que es sumamente importante para la teoría. Esta es la aceleración. Se define como la primera derivada temporal del vector velocidad, o bien, como la segunda derivada temporal del vector de posición; esto es: r d v (t ) r a (t ) ≡ , dt

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(2.10 a)

La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

r d 2 r (t ) r a (t ) ≡ . dt 2

(2.10 b)

Igualmente, si a1(t), a2(t) y a3(t) son las componentes cartesianas de la aceleración, entonces a i (t ) ≡

a i (t ) ≡

d v i (t ) dt

, i 1, 2 , 3 ,

d 2 x i (t ) dt 2

, i 1, 2 , 3 ,

r a (t )  iˆ a1(t )  ˆj a2 (t )  kˆ a3 (t )

[m s ].

(2.11 a)

(2.11 b)

(2.12)

La expresión (2.12) exhibe el carácter vectorial de la aceleración, referida a un marco de referencia inercial. Este comentario es pertinente porque en verdad la aceleración no es un auténtico vector. Solamente cuando se expresa desde un marco de referencia inercial la aceleración es un auténtico vector. Referida a otro tipo de marcos pierde su calidad de vector. Este hecho se verá más adelante en este libro. Volviendo una vez más al movimiento rectilíneo uniforme, que se introdujo páginas atrás, es posible dar una descripción matemática completa del mismo, en términos de los vectores de aceleración, de velocidad y de posición: Movimiento rectilíneo uniforme Vectorial

Componentes a1  a2  a3  0 v1  const. v2  const. v3  const. x  b1t  x0 y  b2t  y0 z  b3t  z0

aជ 0 vជ  const. rជ (t)  bជt  rជ0 bជ  const. rជ0  const.

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Newton y su mecánica

Así, desde un marco inercial, un cuerpo que se observa moviéndose con movimiento rectilíneo uniforme, tiene una aceleración nula (no está acelerado), su vector velocidad es constante, así como cada una de las componentes de éste y su vector de posición es lineal en el tiempo; sus componentes son las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio tridimensional euclideo, con parámetro t (el tiempo). El marco de referencia inercial es un marco que sirve como patrón; es aquel desde el cual se describen los acontecimientos en su forma prístina, es decir, sin influencias extrañas. Desde ese marco, un cuerpo simple, que se encuentre a su vez libre de toda interacción debe observarse con un movimiento que sea el más simple de todos. Esto es lo que intuyó Newton; es la esencia de la primera ley de la mecánica: Desde un marco de referencia inercial, todo cuerpo sin interacciones externas se observará en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Newton tenía una personalidad sombría y retraída; no era buen conversador, ni tenía amigos, a excepción de Halley, como ya se relató. Al escribir su manuscrito, aquel que sería el primer volumen de los Principia, dijo lo menos que pudo. No quería que su conocimiento llegara a todos; solamente a aquellos capaces de pensar profundamente y llegar por sí mismos a las conclusiones importantes. En particular, las leyes de la mecánica las escribió compactas y herméticas. Después de él, cientos o quizá miles de libros han sido escritos sobre el tema de la mecánica. Llama la atención que tales leyes se hayan trascrito en forma idéntica a aquella como fueron escritas por primera vez. Casi ningún autor las discute; simplemente se escriben para que el lector las aprenda y sea capaz, posteriormente de recitarlas. De aquellos, son pocos los que han osado dar interpretación y sumergirse más en el contenido de las leyes, hay una buena proporción de ellos que muestran una falta de comprensión impresionante. Así, ha habido quien ha dicho que la primera ley de Newton, en realidad no es ley, sino que se trata de un corolario de la segunda (que se verá en seguida). Otros, entre los que se encuentran personalidades del mundo de la ciencia, han mencionado que la primera ley sólo sirve para definir a la fuerza nula (cuando no hay interacciones). La verdad de las cosas es que la primera ley no es un corolario sino un postulado fundamental de la mecánica. Un postulado imprescindible que

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

establece, por decirlo de alguna manera, las reglas del juego: Al caso más simple desde el punto de vista de interacciones, que es el caso llamado de partícula libre, se le hace corresponder el movimiento rectilíneo uniforme; o dicho de otra manera: un cuerpo al que nada le ocurre, se le observa con la más simple de todas las trayectorias: el reposo, o el movimiento rectilíneo uniforme, pero todo esto, desde un marco de referencia inercial. De hecho, lo que propone Newton con esta ley es una forma práctica de hallar un lugar en el espacio y construir allí un marco de referencia inercial. Sólo es cosa de observar un cuerpo que se mueva libremente, sin interacciones. Un marco inercial será aquel desde el cual ese cuerpo se observe con movimiento rectilíneo uniforme. Por otra parte, un cuerpo que desde un marco de referencia inercial se observa con un movimiento distinto al rectilíneo uniforme, no es un cuerpo libre de interacciones. Un cuerpo así esta acelerado. Pueden darse muchos casos de cuerpos acelerados: puede ser, por ejemplo, que se mueva con movimiento rectilíneo, pero no uniforme, en cuyo caso se dice que el “movimiento es rectilíneo acelerado” (o decelerado, en el caso en que tienda al reposo). También puede ser que se mueva ejecutando una trayectoria circular uniformemente; en este caso, recorre distancias iguales en tiempos iguales sobre una circunferencia, sin embargo se halla acelerado. A este tipo de movimiento se le llama circular uniforme y la aceleración es centrípeta (esto es hacia el centro de la trayectoria). Obviamente hay una infinidad de movimientos posibles. Todos ellos pueden ser estudiados desde un marco de referencia inercial. Al estudio del movimiento de cuerpos materiales macroscópicos en el espacio euclideo de tres dimensiones, sin atender a las causas o a los agentes físicos que los obligan a ejecutar tales movimientos, se le llama la cinemática. Por ejemplo, un cuerpo que se desplaza por el espacio, con un movimiento uniformemente acelerado y en línea recta, su trayectoria está descrita mediante la simple expresión vectorial: r a  const.

(2.13)

Para hallar las expresiones para la trayectoria de ese objeto, es necesario recordar de (2.10) que la aceleración es igual a la segunda derivada del vector de posición instantánea, así que para alcanzar este objetivo, habrá que

43

Newton y su mecánica

integrar dos veces a aquel vector. En una primera integración se obtiene el vector velocidad; esto es: t

r r r r r v (t )  v0  adt  v0  a (t  t 0 ) ,

∫

(2.14)

t0

donde el proceso de integración se ha llevado a cabo entre un instante inicial dado, t0 tomado como referencia, hasta cualquier otro posterior t. La constante de integración vជ0 es, a su vez, la velocidad del cuerpo en aquel instante inicial t0. Estas son las constantes que hay que aceptar como condiciones iniciales del problema. Muchas veces se acostumbra dar a t0 el valor cero; es decir, que la cuenta del tiempo se inicia en el instante cero. En tal caso la fórmula (2.14) adquiere la bien conocida expresión: r r r v (t )  v0  a t ,

(2.15)

aunque (2.14) es más general. Integrando de nueva cuenta el resultado (2.14) se obtiene ahora la expresión para el vector de posición instantánea: 2 r r r r r (t )  r0  v0 t  t 0  12 a t  t 0 ,

(

)

(

)

(2.16)

donde rជ0 es la nueva constante de integración que representa la posición del cuerpo en el instante t0. Haciendo otra vez t0 igual a cero se obtiene: r r r r r (t )  r0  v0 t  12 a t 2 ,

(2.17)

que es la bien conocida fórmula para describir las posiciones instantáneas de un cuerpo que se mueve en el espacio con una aceleración constante. Se debe apreciar de (2.15) que la velocidad del cuerpo aumenta (si aជ es positiva) en una forma uniforme en el transcurso del tiempo. Considérese ahora que ese objeto cuyo movimiento se estudia, se mueve con una aceleración constante sobre un plano; por ejemplo, el plano cartesiano xOy, e imagínese que partió con velocidad igual a cero en el instante

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

t0 igual a cero. En este caso la fórmula (2.17), escrita por componentes tiene el siguiente aspecto: x (t )  x 0  12 a x t 2 ,

(2.18 a)

y (t )  y 0  12 a y t 2 ,

(2.18 b)

donde x(t) y y(t) son las componentes del vector de posición en dos dimensiones y ax y ay son las correspondientes componentes de la aceleración. Despejando el tiempo de la segunda fórmula se consigue: t ±

1 ay

2a y ( y  y 0 )

sustituyendo ahora este resultado en la primera componente del vector de posición se llega a lo siguiente: x (t )  x 0 

ax ( y  y0 ) ay

(2.19)

que es una expresión lineal. Así, se puede ratificar que el movimiento uniformemente acelerado es rectilíneo. Si bien aquí se ha demostrado para dos dimensiones y con una velocidad inicial nula, es posible demostrar que, en general, el movimiento es rectilíneo. Se deja como ejercicio demostrar este resultado. Otro movimiento interesante es el llamado circular uniforme. Un cuerpo que gira con movimiento circular uniforme, describe, en efecto, trayectorias circulares alrededor de un punto fijo que es el centro de movimiento. Además, recorre la circunferencia barriendo ángulos iguales en tiempos iguales, tal como se muestra en seguida, en la figura 2.2.4. Es relativamente directo percatarse que éste es un movimiento acelerado, pensando que, al contrario de lo que prescribe la primera ley de la mecánica, el movimiento que aquí se estudia no es libre, puesto que cambia de dirección instantáneamente; por consiguiente su aceleración no puede ser nula, como en el movimiento rectilíneo uniforme. En otras palabras: si bien la magnitud del vector velocidad es constante, su dirección cambia

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Newton y su mecánica

0

Figura 2.2.4. Un cuerpo se mueve en sentido directo con movimiento circular uniforme, alrededor del centro 0.

siempre, así que el vector no es el mismo. Si se recuerda que el cambio del vector velocidad con respecto al tiempo es la aceleración, entonces es claro que este movimiento está acelerado. Más aún, la magnitud de la aceleración depende de las magnitudes de los vectores de velocidad y de posición (esto es, del radio de giro del cuerpo, si se supone al origen del sistema de coordenadas en el centro de la circunferencia). Para demostrar esto obsérvese el detalle del movimiento que se muestra en la figura 2.2.5. Supóngase que en algún instante el cuerpo se encuentra en el punto A. Un lapso muy pequeño después t, el cuerpo se encuentra en el punto C. Si se compara el movimiento que tiene el cuerpo en cuestión con el que llevaría si estuviese desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme, ⎯ dado por el segmento de recta AB, en ese mismo lapso t, se verá que, en efecto, el cuerpo ha “caído” hacia el centro del movimiento. La “caída” está dada por ε. Ahora, en la misma figura 2.2.5, y usando el teorema de Pitágoras, se entiende que:

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La cinemática: marcos inerciales y la primera ley de la mecánica

t

B

A

C r

r

0

Figura 2.2.5. Comparación del movimiento circular uniforme con el rectilíneo uniforme.

(r  ε )2  r 2  v 2Δ t 2 . Despejando se consigue: r  ε  r 1

v2 r2

Δt 2 ≈ r 

v2 2 Δt , 2r

o bien, que la “caída” es ⎛ v2 ⎞ ε  12 ⎜ ⎟ Δt 2 . ⎝ r ⎠

(2.20)

Si bien el resultado (2.20) ha surgido como una aproximación al desarrollar el radical y tomar solamente los primeros dos términos de la serie, al

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Newton y su mecánica

hacer tender el lapso t a cero, se obtiene una expresión exacta, lo que el resultado (2.20) sugiere, es que la distancia ε que separa las posiciones del cuerpo en su movimiento circular uniforme con el que tendría en el caso que hubiese seguido la línea recta en ese mismo lapso, es como una caída, en efecto, que ha tomado lugar, debida a una aceleración uniforme ac ≡

v2 r

(2.21)

que tiende hacia el centro del movimiento. Esta es la llamada aceleración centrípeta. Como se ve, se trata de un efecto que puede representarse mediante un vector dirigido hacia el centro del movimiento, cuya magnitud está dada por la fórmula (2.21). Se trata, pues, de un movimiento acelerado, con una aceleración constante. Por otra parte, su carácter centrípeto queda plenamente demostrado con las siguientes figuras. En ellas se observa cómo superponiendo dos vectores velocidad, de igual magnitud, correspondientes a dos posiciones sucesivas del cuerpo que se desplaza con un movimiento circular uniforme, la diferencia de ellos da como resultado un vector que apunta precisamente en la dirección del centro de movimiento. Este resultado es tanto más exacto, cuanto más próximas se tomen las posiciones del cuerpo. Así, la diferencia r r r Δv ≡ v (2)  v (1) da como resultante, al tender al límite r r Δv d v  . lím Δt →0 Δt dt

(2.22)

Este es el vector aceleración del cuerpo. Como se aprecia en la figura 2.2.6, este vector va en la dirección del radio y apunta hacia el centro del movimiento. Esta es la aceleración centrípeta. Por supuesto, se puede dar una infinidad de movimientos diferentes en la naturaleza. Aquí solamente se han descrito tres de ellos: el movimiento rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado y el circular uniforme.

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Las fuerzas: segunda ley

(1) vជ(1)

vជ(2) 0

(2) vជ(2)

Figura 2.2.6. Un cuerpo se mueve con movimiento circular uniforme. Comparando (restando) los vectores velocidad se encuentra vជ. Este vector va en la dirección radial y apunta al centro del movimiento.

En general, al estudio del movimiento de los cuerpos, sin atender a las causas que los originan se le llama la cinemática. Más adelante se estudiaran otras clases de movimientos, que son igualmente interesantes para la mecánica, pero ello se hará tomando en consideración las causas que los originaron; es decir, las fuerzas.

2.3. Las fuerzas: segunda ley Como se vio en la sección anterior, un cuerpo al que nada le ocurre, se observa desde un marco de referencia inercial, en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Reposo o movimiento rectilíneo uniforme son, de hecho, situaciones equivalentes desde el punto de vista que ambas corresponden a una aceleración nula. Este es el contenido de la primera ley de la mecánica.

49

Newton y su mecánica

Por otra parte, si desde un marco de referencia inercial se observa a un cuerpo desplazarse por el espacio con un movimiento acelerado, entonces debe pensarse que ese cuerpo no es libre, en el mismo sentido que se explicó arriba. Por el contrario, si un cuerpo se mueve aceleradamente, cualquiera que sea su aceleración, hay que inferir que algún ente físico está urgiéndolo; algún tipo de interacción está experimentando, de modo que su respuesta ante ella ha sido a cambiar su velocidad. Esto es el contenido de la segunda ley de la mecánica: Cualquier tipo de interacción que experimenta un cuerpo es una fuerza que lo urge a cambiar su estado de movimiento. Tan escueta, tan simple en su enunciado, la segunda ley de la mecánica encierra, sin embargo, varios detalles sutiles que es necesario aclarar. En primer lugar hay que decir que todo el juego de la mecánica debe llevarse a cabo desde marcos de referencia inerciales; aquellos que han servido como patrón para realizar las observaciones y los registros “limpios”; esto es, sin influir en lo que se observa y sin estar el observador mismo influido por agentes ningunos que distorsionen sus mediciones. En particular, la segunda ley se expresa implícitamente desde un marco de referencia inercial, aunque no lo mencione. Cabe anotar que muchos años después de Newton, en la primera mitad del siglo XIX, Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843) de quién se hará mención más adelante, complementó la mecánica con un formidable trabajo donde introdujo los marcos de referencia no inerciales; los acelerados, con lo cual esta teoría se pudo desarrollar mucho más. Esto se discutirá después. Pero en un principio, al establecer los fundamentos de la mecánica, Newton siempre se basó en los marcos de referencia inerciales para proponer sus axiomas. El segundo ingrediente en el establecimiento de la segunda ley es el concepto de cantidad de movimiento. Varios han sido los nombres que ha recibido este concepto a lo largo del tiempo: ímpetu, momentum, momento lineal, son tal vez los más conocidos. Se trata de un vector que se forma con el producto de la masa del cuerpo, m y su velocidad vជ. A la cantidad de movimiento se le acostumbra denotar por:

50

Las fuerzas: segunda ley

[kg ⋅ m s ].

r r p ≡ mv

(2.23)

El estado de movimiento de un cuerpo se define ahora como el valor instantáneo del vector de cantidad de movimiento. Así, la magnitud, la dirección y el sentido de pជ determinan en cada instante su estado de movimiento. Por supuesto, si la masa del cuerpo es constante, entonces el estado de movimiento es proporcional a su velocidad; en caso contrario, cuando la masa varía, entonces ambos: masa y velocidad juntos determinan ese estado de movimiento. En otros contextos, al estado de movimiento de un cuerpo se le llama también su inercia. Se dice entonces que todo cuerpo posee inercia y se añade que esta propiedad es la que se preserva cuando al cuerpo nada le ocurre y que cambia cuando sufre alguna interacción. Se trata de un concepto muy ilustrativo de esa reticencia que tienen todos los cuerpos materiales a cambiar su movimiento: bien sea al pasar del reposo al movimiento, o de pasar del movimiento al reposo, o bien, de pasar de un estado de movimiento a otro diferente. También sirve para hacer ver cómo dos cuerpos, con iguales velocidades, pueden oponer muy diferentes resistencias a cambiar sus respectivos estados de movimiento. Así, una locomotora, moviéndose a la misma velocidad que un mosquito, evidentemente es mucho más difícil de detener que éste, debido a la enorme inercia que le da su masa. Un cuerpo libre de interacciones se observará moverse, tal como se menciona en la primera ley con un movimiento rectilíneo uniforme. Esto se describe simplemente por r p const.,

(2.24)

en el caso de que su masa sea constante. Sin embargo, si su masa varía, aunque esté exento de interacciones externas, el cuerpo sufrirá una aceleración. Ello se interpreta afirmando que en este caso, si bien no hay interacciones externas, si las hay de carácter interno, como sería el caso de un cohete que viaja por el espacio sideral perdiendo masa debido a la combustión de sus componentes internos (oxígeno e hidrógeno, por ejemplo). En efecto, si de acuerdo con (2.24), p es constante, entonces al derivar

51

Newton y su mecánica

este vector con respecto al tiempo se obtiene cero, pero, debido a su definición3 (2.23): r 1 dv r d ⎡ ln (m) ⎤ ≠ 0, v (2.25) ⎦⎥ d t ⎣⎢ dt Un movimiento así, es acelerado y en consecuencia el cuerpo no es libre en el sentido de la primera ley de la mecánica. Por lo tanto, la expresión (2.24) es equivalente a la primera ley sólo en el caso de que el cuerpo que se estudia tenga masa constante. Finalmente, al enunciar la segunda ley aparece el concepto de fuerza. Para Newton la fuerza es la única causa de que los cuerpos cambien sus estados de movimiento. No importa si se trata del contacto físico de cuerpos en colisión, o de la acción a distancia que un cuerpo ejerce sobre otro, o de la interacción que un campo físico genera sobre un cuerpo; todo se reduce a un mismo concepto: la fuerza. La fuerza es la intensidad con que un agente físico (colisión, acción a distancia, campo físico, etc.) actúa sobre un cuerpo. Se trata de una entidad física que tiene realidad objetiva; esto es, existe, independientemente de quien o cómo lo observen. La fuerza es un vector, así que tiene magnitud y está caracterizada por una dirección de aplicación y un sentido definidos. La fuerza, independientemente de su origen, tiene un solo efecto general sobre los cuerpos: cambiar su estado de movimiento. Finalmente, dependiendo de su procedencia, la fuerza puede describirse matemáticamente mediante alguna fórmula vectorial empírica que describe su efecto particular en los cuerpos; en sus parámetros constitutivos. Estas fórmulas vectoriales empíricas son las llamadas ecuaciones constitutivas. De ellas se tratará con detalle más adelante. Baste por el momento agregar que las ecuaciones constitutivas no se deducen de la mecánica, sino que son independientes de ella; se obtienen de la experimentación, de 3

Esta ecuación puede integrarse de inmediato: r r ⎛ m0 ⎞ v (t )  v 0 ⎜ ⎟ , ⎝ m⎠

así que en el caso de un cuerpo que pierde masa (m0m), se ve que la velocidad aumenta con el transcurso del tiempo.

52

Las fuerzas: segunda ley

la observación, o bien, recientemente, de las llamadas teorías fundamentales, y se incorporan a la mecánica para la resolución de los problemas. Se acostumbra denotar por Fជ a las fuerzas. La fuerza Fជ es, pues, un vector, cuya unidad en el sistema internacional de unidades (si) es el Newton. 1 N 1 Kg ⋅

m s2

,

esto es, un Newton es aquella unidad que equivale a la fuerza que es necesario aplicar a una masa de un kilogramo, para imprimirle una aceleración de un metro por segundo, en cada segundo. Así que la segunda ley de Newton se establece en forma matemática como: r d pr (2.26) F ; dt es decir, que en efecto, la fuerza causa en cada cuerpo un cambio en su estado de movimiento. En particular, si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna, entonces, de acuerdo con (2.23) y (2.26) se obtiene que: r F 0, (2.27) y si adicionalmente su masa es constante, entonces se mueve en línea recta y con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme). Este resultado ha confundido a muchas personas, incluso a celebridades del mundo de la física, quienes han llegado a afirmar que (2.27) demuestra el hecho de que la primera ley de la mecánica no es ley en sentido estricto, sino solamente un corolario, un caso particular de la segunda ya que surge de ésta cuando se considera una fuerza nula. Tal afirmación es incorrecta por varias razones: en primer lugar hay que percatarse de que la primera ley es la que establece las reglas básicas del juego de la mecánica. La existencia de un marco de referencia inercial primario y su posibilidad de fabricar réplicas instantáneas de él en todo punto del universo y en cada instante, son sólo una parte de los axiomas que se requiere aceptar para establecerla. En segundo lugar, la primera ley postula el movimiento patrón: rectilíneo uniforme y lo adscribe al

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Newton y su mecánica

estado físico patrón: el cuerpo libre, no urgido por agente alguno. Por último, el hecho de que para un cuerpo con masa constante, sin interacción, se obtenga que su movimiento es el que está dado por (2.27), o sea movimiento rectilíneo uniforme, significa que la segunda ley es compatible con la primera desde un marco de referencia inercial. Newton se pasó veintiún años repasando cada punto de su teoría, cavilando sobre todas las posibles implicaciones que traería hasta el mínimo detalle, cuidando que en ningún asunto, por nimio que fuera, pudiera haber el más pequeño indicio de error o contradicción. Así era este hombre. Tenía verdadero terror a la crítica y no podía, por lo tanto, tomar nada a la ligera. No es, por lo tanto, un asunto de capricho o de dejadez que la ley más importante de la mecánica —la que sirve para atacar prácticamente todos los problemas de los cuerpos en movimiento sujetos a fuerzas, la ley que se enunció anteriormente y que se expresa matemáticamente con la fórmula (2.26)— haya sido propuesta por el genio británico como la segunda. ¡No la primera! Lo que ocurre es que, pensándolo detenidamente, se llega a la conclusión de que esta ley: la segunda, carecería de pleno significado si no se hubiera propuesto antes la ley de la inercia; la primera ley. Muchos de los problemas de la mecánica tienen que ver con cuerpos cuyas masas no varían a lo largo del tiempo. En tales casos, la expresión (2.26) se puede rescribir en una forma más simple y que es muy conocida: r r F  ma , (2.28) siendo aជ la aceleración del cuerpo y m su masa. En la práctica, todos los problemas de mecánica que se plantean, comienzan por (2.26) o (2.28). Estas son las expresiones fundamentales para el proceso de resolución. Como se dijo desde el principio de este capítulo, para plantear un problema hay que proponer una fórmula para la fuerza; esto es, las ecuaciones constitutivas de las que ya se ha escrito. Allí en donde se ha puesto la letra Fជ para la fuerza, allí es que hay que sustituir la ecuación constitutiva particular, que corresponde al cuerpo y a la interacción de que se trata. En ese momento, (2.26) o (2.28), según sea el caso, se convierte en una ecuación diferencial. Esta ecuación, al integrarse, proporciona toda la información pertinente del problema.

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Las fuerzas: segunda ley

Ahora bien, hay varias ecuaciones constitutivas, correspondientes a otros tantos casos de interacciones. Llama la atención el hecho de que sean tan pocas pensando que en el universo hay una infinita variedad de posibilidades pues en contra de lo que dicta el sentido común, ni siquiera llegan a diez las fórmulas que se han hallado hasta ahora. De éstas, dos fueron propuestas por el propio Isaac Newton. Tuvo que hacerlo, pues necesitaba probar su teoría, así que fue indispensable arrancar toda su maquinaria teórica para ver cómo marchaba. Las ecuaciones constitutivas que propuso Newton; las primeras en usarse en la mecánica, corresponden a la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre los cuerpos masivos; la primera es la que se identifica con el peso de un cuerpo de masa m, r r r F  m g, g 9.806 m 2 , (2.29) s al nivel del mar. La segunda es la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos, de masas M y m, alejados entre sí una distancia r: r Mm r F G 3 r , r

(2.30)

siendo G una constante universal que, en el sistema internacional de unidades (si) tiene el siguiente valor: 2 G  6.668 1011 N ⋅ m

Kg 2

.

En realidad ambas fórmulas son equivalentes en cierto ámbito. Si se considera a aquellos cuerpos que se encuentran muy cercanos a la superficie terrestre; esto es, que la magnitud del vector rជ sea del orden del radio terrestre, r⊕  6.3782 106 m , y se toma a la masa terrestre con el valor:

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Newton y su mecánica

m

rជ

M

Figura 2.3.1. Un cuerpo masivo, con masa M, atrae a otro de masa m. El radio vector rជ va del centro del primero al centro del segundo.

M  5.976 1024

Kg ,

entonces la expresión (2.30) adquiere la misma forma que (2.29); esto es, que r g ≡ GM

r ⊕2

(2.31)

siendo r䊝 el radio medio terrestre. Posteriormente un militar francés; Charles Augustine Coulomb (17361806), pudo establecer una fórmula para la fuerza con que dos cuerpos cargados eléctricamente se atraen o se repelen. Esta es la llamada ley de Coulomb. r F

1 qQ r r 4 ∈0 r 3

56

(2.32)

Las fuerzas: segunda ley

q

rជ

Q

Figura 2.3.2. Un cuerpo cargado eléctricamente, con carga Q atrae o repele a otro con carga q de acuerdo con la ley de Coulomb.

Aquí, Q y q sirven para denotar los valores de las cargas eléctricas de cada uno de los cuerpos que experimentan la interacción, rជ es el radio vector desde el centro de una de las cargas, hasta la otra y ∈0 es una constante que representa la permitividad eléctrica del vacío ∈0  8.854 1012

e2

N ⋅ m2

con esta constante, el valor de 1/4 ∈0 es: 1  8.987 109 4 ∈0

N ⋅ m2 C2

.

Si bien Coulomb se guió en gran medida en Newton para proponer su fórmula, como puede apreciarse comparando (2.30) y (2.32), a la postre ha resultado que la fórmula de Newton no es tan acertada, tan precisa para

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Newton y su mecánica

describir el fenómeno gravitacional, en tanto que la de Coulomb, no obstante haber sido sometida a escrutinio muy severo, ha pasado hasta hoy todas las pruebas. Es quizá la fórmula más exacta que hay para medir una interacción. Por su parte, la fórmula de Newton (2.30) para la interacción gravitacional, presenta una falla leve al aplicarse a la atracción entre masas muy grandes, como la del Sol, actuando sobre los planetas. Desde la mitad del siglo XIX se pudo observar que el más cercano de los planetas al Sol: Mercurio, no parece obedecer la ley de la atracción gravitacional (2.30) en una forma satisfactoria. Su órbita alrededor del Sol no es exactamente la que se predice con base en los cálculos a partir de (2.30) sino que precede lentamente, con una precesión del perihelio de aproximadamente 42 segundos de arco, por cada 100 años terrestres. Este efecto, aunado a otros, como la observada deflexión de los rayos de luz que pasan cerca del Sol provenientes de estrellas lejanas y el corrimiento de las rayas espectrales de las estrellas masivas hacia la zona del rojo, son muestras de que la célebre fórmula newtoniana (2.30) no es tan precisa como parece. Estos efectos, si bien son extraordinariamente pequeños, llamaron la atención de los científicos del siglo XIX. En los primeros años del siglo XX Albert Einstein (1879-1955) pudo dar explicación a todos ellos al proponer una teoría alternativa a la de Newton: la llamada teoría de la relatividad generalizada. Años después de Coulomb, otro investigador, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), ganador del premio Nobel en 1902, propuso otra ecuación constitutiva. La fórmula que propuso sirve para describir la fuerza que experimenta un cuerpo con una carga eléctrica q, que se mueve por el espacio a una velocidad instantánea vជ y que lo hace en presencia de un campo de inducción magnética, con una intensidad dada por el vector Bជ. Esa fórmula se escribe así: r q r r F  v B, c

(2.33)

siendo c la constante que representa la rapidez de propagación de la luz en el vacío

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Las fuerzas: segunda ley

c  2.99793 108 m . s Robert Hooke (1635-1703), contemporáneo de Newton descubrió la elasticidad de los cuerpos sólidos y propuso su célebre ley Ud tensio sic vis (a tal tensión, tal fuerza) que transcrita a una fórmula matemática se puede escribir así: r F  k xiˆ

(2.34)

siendo k la llamada constante de rigidez del material o, tratándose de un resorte como el que se muestra en la figura 2.3.3, es la constante (de rigidez) del resorte. El vector unitario iˆ se ha utilizado en (2.34) para darle carácter vectorial a la expresión; se trata del vector unitario correspondiente al eje de las abscisas. La variable x, por su parte, representa la elongación (positiva) o la compresión (negativa) del resorte, respecto de su configuración de equilibrio (no deformada). En el mejor de los casos, podrían incluso incluirse dos fórmulas más para agregar a la exigua colección que se tiene; fue propuesta por un japonés de apellido Yukawa que intentó con ella describir la interacción que ocurre dentro de los núcleos atómicos entre dos nucleones; la llamada interacción fuerte y la otra es una expresión que ha servido bien hasta la fecha, para la fuerza entre dos moléculas con simetría esférica cuando se aproximan entre sí. Esta es la fórmula de Lenard-Jones. Sin embargo, dada su escasa utilidad no se menciona con detalle aquí. En realidad, no más de cinco fórmulas son las que se tienen para ponderar las fuerzas de interacción que experimentan los cuerpos materiales. La segunda ley de la mecánica, tal como se escribe en forma matemática en (2.26) y (2.28), tiene una apariencia muy sencilla. Muchas personas, aun aquellos entrenados en el tema, expresan su sencillez y simplemente la recitan tal como fue propuesta más de trescientos años atrás: la fuerza es igual al cambio del momento lineal en el tiempo, o aún más simplemente, en el caso de cuerpos con masa constante, la fuerza es igual a la masa por la aceleración.

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Newton y su mecánica

x

Figura 2.3.3. Un resorte en equilibrio (arriba) y elongado (abajo).

En honor a la verdad, tras una reflexión cuidadosa, se puede apreciar que la segunda ley NO es la definición de la fuerza, como algunos creen. No, la segunda ley iguala aritméticamente la fuerza Fជ, al producto de la masa por la aceleración, pero esto no significa que ambas cosas sean físicamente iguales. La fuerza, si se piensa un poco, es un ente siempre ajeno al cuerpo que se observa. Es el resultado de la presencia de otros cuerpos masivos, o de un campo electromagnético externo, que, en todo caso, actúan sobre el cuerpo. Es la intensidad con que un impacto dado por un martillo, por ejemplo, urgió a un cuerpo, o la tensión que se aplica a un resorte, para que se elongue. En todo caso, la fuerza no proviene del cuerpo que se estudia. Por otra parte, el cambio del momento lineal, o su equivalente en el caso de masas constantes: el producto de la masa por la aceleración, son efectos observados en el cuerpo; su masa y su velocidad cambian como respuesta a la fuerza aplicada. Son, en pocas palabras, el resultado de la fuerza. Así pues, se entenderá ahora que la segunda ley enfrenta dos clases muy diferentes de entes: la fuerza ajena al cuerpo, por cuanto a su origen, pero

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Las fuerzas: segunda ley

que se aplica a él y la respuesta a esa fuerza que, según lo afirma Newton, sin importar el origen de aquella, siempre se traducirá en un cambio del estado de movimiento del cuerpo. Claro que la igualdad debe ser correcta aritméticamente y también deben ser equivalentes ambos miembros de ella desde el punto de vista de sus dimensiones. Por ello es que la fuerza es un vector con unidades iguales al del producto de masa por aceleración; es decir, Newtons (N ): 1 N ≡ 1Kg ⋅ m

s2

.

La segunda ley en su forma matemática, pone en correspondencia entidades esencialmente diferentes. A esa correspondencia se le da el nombre de dinámica. Así pues, la dinámica es aquella parte de la mecánica que se ocupa de estudiar, predecir y vaticinar las conductas de los cuerpos materiales sujetos a la acción de agentes físicos. Un último comentario es pertinente en este punto, acerca de la segunda ley: como se mencionó, las fórmulas (2.26) y (2.28) son meramente recetas para resolver los problemas de describir movimientos de cuerpos materiales. En sí mismas, sin embargo, estas fórmulas, estas recetas, de nada sirven si no se ponen en acción mediante las ecuaciones constitutivas. Así por ejemplo: r r F m a de ninguna utilidad será para hallar el movimiento de un cuerpo con masa m que se ve urgido por un resorte al que está sujeto, si no se propone previamente cuál es la fuerza que ese cuerpo experimenta al elongarse y comprimirse, sucesivamente, el resorte mismo. Estableciendo que r F  kxiˆ, (2.34) —esta es la ley de Hooke— y sustituyendo esta ecuación constitutiva en la fórmula general de la segunda ley, se pone en marcha, ahora sí, la maquinaria teórica de la mecánica. Ahora se tiene que r  kxiˆ  ma

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Newton y su mecánica

y, recordando que la aceleración es igual a la primera derivada de la velocidad, o bien, la segunda derivada de la posición, se tiene que d 2x dt2

 20 x  0

(2.35)

para la componente vectorial a lo largo del eje de las abscisas (las otras dos componentes dan resultados triviales), siendo 0 la llamada frecuencia angular fundamental del cuerpo, definida como

20 ≡ k

[ s ]. 2

m

(2.36)

Ahora, lo que se tiene es una ecuación diferencial para x como función del tiempo. Integrándola, y después de establecer las condiciones iniciales del problema físico, se hallará específicamente la solución; esto es, la expresión matemática que describirá las posiciones sucesivas de ese cuerpo, con masa m y adherido a un resorte de constante k, a lo largo del tiempo. Para este caso, como se verá con todo detalle más adelante, la solución es: x (t )  A cos 0t ,

(2.37)

donde A es la amplitud máxima de este mecanismo, al que por cierto se le llama el oscilador armónico simple, y t es, como de costumbre, la letra que se usa para denotar el tiempo. La expresión (2.37) es la ecuación de la trayectoria del oscilador armónico simple. Esta ecuación muestra cómo la masa se desplaza en un movimiento de vaivén alrededor de cierto punto de equilibrio, con una amplitud A, que es la máxima elongación del resorte y con una frecuencia angular 0 que viene dada en radianes en cada segundo. Así pues, x(t) indica la posición instantánea de esa masa conforme transcurre el tiempo. En este caso, la condición inicial que se impuso sobre la solución de la ecuación diferencial (2.35) fue que el instante inicial, a partir del cual se comienza a observar el movimiento, es el instante cero y en ese momento el oscilador exhibía su máxima amplitud A. Como se vio desde el principio de este libro, esta es la estrategia general que debe usarse para atacar y resolver los problemas de mecánica.

62

Torcas y momento angular

2.4. Torcas y momento angular El problema del oscilador armónico que se mostró en la sección anterior de este trabajo constituye un ejemplo claro y simple de resolución de problemas de mecánica; es un mecanismo que se mueve en una sola dimensión uniformemente y sigue una trayectoria también muy sencilla, dada por la función coseno. Desafortunadamente no todos los problemas de la mecánica son así de sencillos. En general será necesario considerar las tres dimensiones del espacio euclideo y, como se verá más adelante, plantear solamente las ecuaciones diferenciales a partir de la segunda ley de Newton, no es siempre suficiente. Casi siempre será necesario acudir a otras expresiones diferenciales complementarias para hacerlo. Tales expresiones aparecen en el modelo teórico de la mecánica como resultado de otro tipo de razonamiento que se desarrollará en seguida. Para hacerlo, es preciso regresar de nueva cuenta a (2.26) o (2.28) y contemplar estas expresiones desde una perspectiva un poco diferente. En primer lugar es necesario percatarse de algunos hechos relativos al vector de momento lineal pជ. Este vector, como ya se mencionó, es definido como el producto de un escalar: la masa del cuerpo, multiplicada por el vector de velocidad instantánea vជ, tal como se hizo en (2.23). Ahora hay que notar que por su definición, este vector es, en cada punto de la trayectoria del cuerpo, tangente a ella. No importa qué tan uniforme o qué tan curvada sea esa trayectoria; el hecho es que, punto a punto de ella, el vector momento lineal es tangente. Esto es importante de notarse en este momento porque la expresión (2.26) puede muy bien considerarse como la expresión diferencial de primer orden para obtener la familia de vectores tangentes a la trayectoria r r p ≡ p (t ) . Ahora bien, tratándose de trayectorias de las llamadas planares; esto es, aquellas curvas en el espacio que pueden ser dibujadas sobre una superficie plana, como la que se muestra en la figura 2.4.1, la familia de vectores tangentes pជ(t) describe completamente a la trayectoria, ya que en cada punto están bien definidas (siempre y cuando la curva no ejecute un rizo), tanto en su magnitud y su dirección, como en su sentido. De hecho para este tipo de curvas (sin rizadura), llamadas no alabeadas y plana-

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Newton y su mecánica

pជ

z

pជ

pជ

pជ pជ

pជ

y x

Figura 2.4.1. Trayectoria de un cuerpo en el espacio euclideo 3D. Se muestra el plano de la trayectoria y los vectores tangentes pជ.

res (que están dibujadas sobre una superficie 2D plana), los vectores tangente pជ, la “generan”; esto es, al ir transcurriendo el tiempo son ellos los que van dibujando la trayectoria en el espacio. Sin embargo, puede ocurrir y de hecho ocurre con cierta frecuencia, que una trayectoria sea “no-planar”; o sea, que la superficie sobre la cual se dibuja no sea plana, sino curvada, como la que se muestra en la figura 2.4.2. En este caso, la familia de vectores tangentes a la trayectoria; los vectores de momento lineal, ya no son suficientes para dar una descripción completa de la trayectoria por sí solos. En este caso, según se sabe de la geometría, es necesario dar, punto a punto de la trayectoria, dos vectores: el vector tangente y el llamado vector normal o perpendicular. En este sentido, la ecuación diferencial (2.26) no posee toda la información necesaria para conocer completamente una trayectoria cualquiera. Sólo en el caso de trayectorias planares es suficiente con integrar (2.26). En este punto Newton tuvo que detenerse. Se percató de que algo aún faltaba en su modelo de la mecánica; una pieza importante sin la cual la

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Torcas y momento angular

z

0

y x

Figura 2.4.2. Trayectoria “no–planar”. La superficie sobre la cual se dibuja la trayectoria es curva.

solución general al problema de la mecánica, esto es, el estudio del movimiento de los cuerpos materiales atendiendo a sus causas, no podría tener una solución completa. Si las fuerzas son la causa de que el vector de cantidad de movimiento cambie y éste es el vector que va generando las curvas en el espacio, entonces —pensó— debe haber otra expresión diferencial más; debe ser aquella que describa de alguna manera los planos de las trayectorias y sus cambios, sus curvaturas, como resultado de algún nuevo tipo de agente físico; algún ente que aún no ha sido definido. Bueno, si las fuerzas fuerzan al vector tangente, defínanse a esos nuevos entes como las torcas. Las torcas serán, por lo tanto, la manifestación de ciertos entes físicos que tuercen los planos de las trayectorias. Más aún, si hជ representa a la familia de vectores normales al plano de trayectoria, en cada punto de la misma, entonces se puede muy bien proponer una expresión diferencial parecida en su estructura a aquella que se estableció para describir matemáticamente a la segunda ley (2.26), y que tendría la siguiente forma:

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Newton y su mecánica z hជ

hជ

hជ

hជ 0

y

x

Figura 2.4.3. Una trayectoria se dibuja sobre una superficie curva. Este es el plano (curvo) de la trayectoria. Los vectores hជ son normales al plano.

r r dh N dt

⎡ m2 ⎤ ⎢Kg ⋅ 2 ⎥ , s ⎥⎦ ⎢⎣

(2.38)

siendo Nជ un vector que representa a la torca y hជ el vector normal al plano de la trayectoria. Así, un movimiento planar; esto es, uno que se desarrolla a lo largo de una trayectoria en una superficie plana, corresponde a un vector normal hជ constante, que no cambia. Por lo tanto, de acuerdo con (2.38), un movimiento así es aquel no sujeto a torcas; i.e.: r r h  const ⇔ N  0. (2.39) Por otra parte, si sobre un cuerpo actúan torcas, su efecto se podrá observar de inmediato porque el plano de movimiento de ese objeto se curvará, se torcerá.

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Torcas y momento angular

Además, conociendo, tanto el vector tangente pជ, como el vector normal hជ, en cada punto, la trayectoria del cuerpo será totalmente dada. Así, el problema de la mecánica ha quedado resuelto… …hasta cierto punto, porque si bien técnicamente el movimiento puede ser conocido con esta pareja de vectores pជ y hជ por el simple y directo procedimiento de integrar (2.26) y (2.38), otra dificultad ha surgido: no se sabe qué cosa es la torca ni qué clase de objeto cinemático es el vector normal hជ. La dificultad no es menor. De hecho, la proposición que hizo Newton acerca de la existencia de las torcas, representa una profunda contradicción en su modelo. En efecto, para proponer la segunda ley, Newton aceptó que el resultado de las interacciones naturales con cuerpos materiales son, ni más, ni menos, que las fuerzas. Ellas y sólo ellas son, según lo afirmó, las causantes de los cambios de estado de movimiento de los cuerpos. Ahora, a la luz de las consideraciones precedentes, resulta que no hay un solo tipo de agentes físicos que actúan sobre los cuerpos, sino dos: las fuerzas y las torcas. La naturaleza ejerce su acción modificando trayectorias mediante el expediente de cambiar vectores tangentes y vectores normales. Esto no puede ser así, pensó Newton; la naturaleza es vasta y rica en recursos, pero ciertamente no tiene poder de discernimiento; no es posible que ella “sepa” y “decida” cuándo cambiar tangentes y cuándo hacerlo con los planos de movimiento, cambiando vectores normales. Este problema retrasó la culminación del trabajo de estructurar la mecánica clásica, pero no lo detuvo. Fue uno de los dos grandes obstáculos a los que se enfrentó el genio de Woolsthorpe (Inglaterra). La solución al asunto de las torcas fue como sigue: El vector normal hជ puede definirse de forma operativa, como un momento del vector pជ, ponderado por el radio vector rជ. En efecto, si se propone que r r r h ≡ r x p, (2.40) entonces se consigue que, punto a punto, hជ sea un vector perpendicular a pជ, de tal suerte que se resuelve automáticamente la necesidad de contar con uno tangente y uno normal para dejar completamente definida la trayectoria de la partícula que se estudia.

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Newton y su mecánica

Ahora pudo Newton definir a hជ como el momento de la cantidad de movimiento, o también, tal como se le conoce actualmente, como el momento angular. Con esta definición Newton, se puede afirmar, mató tres pajaritos con un mismo disparo: por una parte da una definición operacional del vector normal; ese que había imaginado, pero que no había puesto hasta este momento en términos de cantidades cinemáticas. Ahora, escrito en términos del vector de posición y del vector de cantidad de movimientos instantáneos, el momento angular ha adquirido significación cinemática; esto es, que sirve como complemento para describir el movimiento. En segundo lugar, es claro que los dos vectores, rជ y pជ definen en todo punto un plano (excepto que rជ y pជ sean paralelos, cuando el movimiento es radial); este es el plano de movimiento del cuerpo. Así, si al principio del trabajo, cuando se mencionó la idea de un plano de movimiento no se había establecido cuál de todos los planos imaginables es ése, ahora se puede describir con todo detalle como aquel que se genera con el vector radial, que va del origen del sistema de coordenadas al cuerpo, y con el vector tangente a la trayectoria; el vector de cantidad de movimiento, tal como se muestra en la figura 2.4.4. En ella se observa una trayectoria, así como el plano instantáneo de movimiento, generado por rជ y pជ. El vector de momento angular hជ, por definición, es perpendicular, tanto a rជ como a pជ. Para conocer el sentido de hជ se acude a la regla de la mano derecha: si el dedo índice de esta mano se pone recto, apuntando en el sentido de rជ y el índice medio se hace apuntar en el sentido del vector pជ, entonces el pulgar, erecto y perpendicular a los otros dos apuntará en el mismo sentido que hជ. El tercer pajarito que Newton abatió con el mismo disparo, según se había escrito anteriormente en un sentido jocoso, tuvo que ver con la definición misma del vector de torca. En efecto, al haber propuesto a hជ como el momento de la cantidad de movimiento, automáticamente lo llevó a la definición de la torca, así como de su significado. Si se acepta la relación diferencial (2.36), entonces, de acuerdo con (2.40) se tiene que: r d r r r d pr N  (r  p )  r  . (2.41) dt dt

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Torcas y momento angular z

0 y

x

Figura 2.4.4. El plano instantáneo de movimiento generado por rជ y pជ. El vector de momento angular es perpendicular a éste.

Pero ahora, de acuerdo con la expresión para la segunda ley (2.26), la derivada del momento lineal debe asociarse con la fuerza Fជ; por lo tanto, si (2.41) ha de ser consistente con la segunda ley, debe cumplirse que la torca Nជ es el momento de la fuerza; esto es: r r r N ≡ r xF . (2.42) Con esta definición, la última duda acerca de la naturaleza de las torcas ha quedado automáticamente disipada. Las torcas no son un nuevo y extraño tipo de agente físico que urge a los cuerpos; se trata, ni más ni menos, que de una forma alternativa como actúan las fuerzas. Esta vez, no se trata, empero, de un ente que cambia el vector tangente, sino de aquel que tuerce los planos de movimiento. ¡El mismo origen: las fuerzas!, pero diferente efecto. Así, puede verse ahora con toda claridad que existen fuerzas que si bien cambian al vector tangente pជ de acuerdo con (2.26), no tienen efecto

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Newton y su mecánica

alguno sobre el plano de la trayectoria; esto es, no afectan al vector normal, de manera que éste permanece constante a lo largo del movimiento del cuerpo. Este tipo de movimiento ocurre cuando la fuerza es radial, o bien, tal como se dice en el argot de la mecánica: es una fuerza central. En efecto, si r r r F / / r ⇒ N 0 y por consiguiente hជ es constante (movimiento planar). En algún momento, cuando Newton escribía su monumental obra, los Principia, como se le conoce en el mundo de la ciencia, pensó en establecer una ley adicional para describir el movimiento de los cuerpos, esa era la ley para la torca y el cambio del momento angular (2.38). Sin embargo, cuando se percató de que el origen de las torcas no es distinto del de las fuerzas, decidió no darle la jerarquía de ley a esa expresión matemática. A la fecha, la fórmula general (2.38) se conoce simplemente así, como la relación de la torca con el cambio del momento angular. Como se verá más adelante, al atacar los problemas de la dinámica, esta fórmula resultará imprescindible para llegar a alguna solución. Sin ella sería imposible en la mayoría de los casos. El modelo de la mecánica prácticamente ha quedado completo; no obstante es necesaria una última ley para considerarlo cerrado. Esta es la tercera ley de Newton que se estudiará en seguida.

2.5. Tercera ley de la mecánica y la estática Falta aún algo por establecer, en efecto, para que el modelo teórico de la mecánica pueda considerarse concluido y cerrado, desde el punto de vista estructural. La primera ley, para expresarlo en pocas palabras, es de carácter puramente cinemático, pues concierne exclusivamente al movimiento, a su descripción desde un marco de referencia inercial. Por su parte, se dice que la segunda ley es dinámica, por cuanto a que enfronta al movimiento y mejor dicho al cambio del estado de movimiento de los cuerpos materiales con aquello que lo causa: las fuerzas (y las torcas, en una visión ampliada a las dos fórmulas previamente estudiadas). Es la segunda ley una proposición híbrida que iguala entre sí las causas (ajenas al cuerpo), con los efectos de ellas en los cuerpos mismos, en una simple y compacta fórmula.

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Tercera ley de la mecánica y la estática

La tercera ley es una proposición que concierne a las fuerzas únicamente, sin atender a sus efectos cinemáticos. Como todo mundo lo sabe, la tercera ley se enuncia de la siguiente forma: Tercera ley de la mecánica: a toda acción, corresponde una reacción igual y de sentido contrario. Así la estableció Newton en sus Principia y así se ha venido escribiendo, de libro en libro desde la segunda mitad del siglo XVII, haciendo traducciones literales de su postulado. Lo que la tercera ley afirma es que siempre que una fuerza se aplica sobre algún cuerpo, éste reacciona en forma instantánea a ella, oponiendo una resistencia al cambio de su estado de movimiento original. Esa resistencia es, a su vez, una fuerza que se aplica sobre aquello que causó la fuerza primera y que vectorialmente es de la misma magnitud y de la misma dirección que ella, pero con un sentido opuesto. Matemáticamente hablando, si se escribe como r F12 a la fuerza con que un cuerpo 1 actúa sobre un cuerpo 2, sin importar de qué tipo de interacción se trata, entonces el cuerpo 2 reaccionará instantáneamente con una fuerza r F 21 sobre el primero, siendo ésta, una fuerza igual a aquella en magnitud y dirección pero con sentido opuesto; esto es: r r F12  F 21 . (2.43) Hay por allí, en el mundo ciertas personas, ciertos caracteres, espíritus hechos para crear dificultades, para hallar el pero, el detalle en todas las cosas; sobre todo cuando éstas no surgieron de su propia inteligencia y creatividad. En la ciencia parece ser que estos individuos se han dado cita. Basta con que un nuevo teorema, un nuevo esquema lógico haya aparecido por ahí, que venga a representar un paso más que da el intelecto hu-

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Newton y su mecánica

mano en el camino del conocimiento, para que espontáneamente aparezcan sus detractores; científicos de diversas partes del mundo que opinan acerca de ese teorema, de esa teoría, aduciendo las más variadas fallas al logro aquel: que si el teorema esta mal planteado, que si viola tal o cual otro resultado archicomprobado, etc. Todo podría estar bien. La ciencia es afortunadamente una lucha que trata de derribar logros pasados y obtener nuevos, más ambiciosos, de mayor alcance; más precisos. Así son las cosas; no bien una fórmula aparece para calcular tal o cual hecho experimental, cuando otro investigador publica un artículo exhibiendo otra fórmula aún mejor que la anterior. Todo estaría muy bien si la lucha se limitara a una competencia por hallar la verdad y ensanchar el universo del conocimiento, por más feroz que ésta fuera. Lo malo es que se incurra en la insidia o en la mentira y sobre todo, se mezclen los asuntos personales con el trabajo científico. La razón de todo esto y sobre todo, por la aparente impertinencia del comentario, cuando se ha estado viendo el desarrollo de las leyes de Newton, es precisamente porque a la hora de sacar a la luz su pensamiento científico en los Principia, se le vino el mundo encima al pobre genio británico. Desde la burla de la chusma por su forma de vestir y su lenguaje engolado y afectado, hasta acusaciones de plagio de ideas le llovieron de todas partes… hasta la fecha, a más de doscientos cincuenta años de su muerte. Aquí y allá han aparecido libros, algunos de importantes científicos, que tratan de lanzar tierra sobre el pensamiento y la obra de Newton. De toda esa crítica malsana y estéril, la más socorrida, la que más se ha difundido en el mundo científico es la que gira en torno a la paternidad de las leyes de la mecánica. Gente conspicua en el ámbito de la ciencia ha osado publicar afirmaciones verdaderamente inverosímiles acerca de ellas. Eddington, el genio británico de la física contemporánea, alguna vez expresó que la primera ley de la mecánica, ni es ley, ni es de Newton. No es ley, dice Eddington, porque es en realidad un teorema que se deduce de la segunda ley para el caso de la fuerza nula. En un tono jocoso, se puede parafrasear la primera ley diciendo que todo cuerpo conservará su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que deje de hacerlo. Con esta expresión, ha rebajado la primera ley y todo su contenido; todo aquello que significa, a la categoría de una vulgar perogrullada.

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Tercera ley de la mecánica y la estática

Otros autores también han contribuido con su granito de arena (pero inútilmente) al descrédito de la obra de Newton. En varios libros sobre el tema, que preferiblemente no mencionaremos de ellos ni su autor, ni su título, pero que andan aún por allí en el mundo, regando la duda, se dice que en apego a la verdad, Newton no fue el autor de la primera ley, ya que Galileo la había propuesto varios años antes. Galileo, al realizar aquellos importantes experimentos con cuerpos que se deslizaban en planos inclinados, llegó a conclusiones trascendentales para la mecánica. En particular, al disminuir gradualmente la inclinación de los planos hasta llevarlos a la horizontalidad, pudo inferir que la aceleración de los objetos que se deslizan a lo largo de ellos disminuye, de manera que en el límite, cuando el plano se vuelve paralelo al piso, un cuerpo que se mueve sobre él lo hará con aceleración cero; esto es, con velocidad constante y aún más: que preservará ese mismo estado de movimiento indefinidamente, a menos que otra fuerza se le oponga (la fricción contra el piso, por ejemplo). Allí estaba, en efecto, si bien en estado embrionario, la primera ley. No hay que perder de vista, sin embargo, que el contenido y los alcances de esta ley, tal como la propuso Newton, son mucho más profundos, mucho más altos. En el mejor de los casos se puede decir del resultado de Galileo que fue, en efecto, el antecedente de la primera ley, pero, jamás que éste haya sido el autor de ella. Por cuanto a la segunda ley tampoco faltan los detractores de Newton, quienes de nueva cuenta arremeten contra él, afirmando que fue Galileo quien la propuso por primera vez. Nuevamente y sin ánimo de restarle importancia al genio de Pisa, cabe aquí la misma apreciación que se hizo para la primera ley: Galileo fue quien, en efecto, descubrió que es la aceleración y no la velocidad, como se pensaba entonces, la repuesta a las fuerzas. En aquellos tiempos poca gente había concebido siquiera que hubiese algo como la aceleración; esto es, el cambio de la velocidad y, por otra parte, reinaba una absoluta confusión por cuanto a las fuerzas. Había muchas personas que igualmente le daban el nombre de fuerza a lo que es energía y viceversa. Galileo fue el primero que empezó a poner orden en aquel caos de conceptos y dio el significado correcto a las fuerzas; el mismo que hoy en día se tiene de estos entes físicos. Él mismo propuso, adicionalmente, que hay un vínculo directo entre las fuerzas y la aceleración de los cuerpos y llegó a darse cuenta que la constante de proporcionalidad

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Newton y su mecánica

entre ambas entidades es, en efecto, la masa, tal como se propone en (2.28). Sin embargo, a diferencia de Newton, Galileo siempre pensó en 1) fuerzas de contacto: empujones o jalones directos sobre el cuerpo que se observa, 2) escalares; esto es, que nunca se le ocurrió que las fuerzas tienen componentes y que, en general no se pueden representar por medio de escalares ya que tienen varios atributos, aparte de su magnitud, como son: su dirección, su sentido, su punto de aplicación y su carácter deslizante. Cierto que en aquella época los vectores aún no se conocían, pero Galileo, en todo caso, no alcanzó a percatarse de su complejidad. Así pues, tampoco en este caso se puede decir otra cosa que Galileo sentó las bases de la mecánica con sus experimentos y sus definiciones, lo que no es poca cosa, pero definitivamente, la segunda ley con toda su generalidad, con su amplísimo concepto de fuerza como un vector y cuya naturaleza puede ser variada, no sólo de contacto sino de acción a distancia, establece una enorme diferencia con aquellas ideas originales del italiano. Por contraste con lo anterior, la tercera ley de la mecánica no tiene ni objeción ni demérito alguno. Nadie ha puesto siquiera en duda la paternidad de esta ley. No parece haber en toda la historia anterior a Newton, o contemporánea a él, registro alguno de otro postulado siquiera parecido a la tercera ley. Se cuentan historias, por cierto falsas, de cómo fue que este genio llegó a la ley, pero la esencia es que, en efecto, su postulación fue enteramente debida a él. Con el ánimo de llamar la atención de quien estudie este tema, se propone a continuación un ejemplo teórico que puede servir para clarificar aún más los alcances de esta, en apariencia, sencilla ley de la mecánica. Considérese el ejemplo de dos cuerpos materiales; el cuerpo 1 y el cuerpo 2 que se hallan en medio del espacio sideral, en un sitio donde ninguna interacción debida a agente físico externo alguno los alcanza. La única interacción posible es aquella que uno de los cuerpos ejerce sobre el otro y viceversa, debida a sus respectivas masas, a sus cargas eléctricas o a sus momentos magnéticos. Así, el sistema de dos cuerpos está totalmente aislado del resto del universo, si bien, internamente existen esas fuerzas de interacción: Fជ12 es la fuerza con que el cuerpo 1 urge al cuerpo 2, y Fជ21 es, por el contrario, la fuerza de interacción del cuerpo 2 sobre el 1. En la figura 2.5.1 se han dibujado estas fuerzas como vectores que apuntan en cualesquiera direcciones. Posteriormente se encontrarán las magnitudes, direcciones y sentidos relativos correctos. Ahora, debido a

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Tercera ley de la mecánica y la estática

2

Fជ12

1

Fជ21

Figura 2.5.1. Dos cuerpos interactúan entre sí con fuerzas Fជ12 y Fជ21, respectivamente.

que el sistema de dos cuerpos está aislado de toda interacción externa, la cantidad de movimiento total debe ser constante, de acuerdo con la segunda ley de la mecánica; esto es: r PTOT  cons tan te. Así debe ser también de acuerdo con la primera ley de la mecánica. Más aún, como se trata de un sistema de dos cuerpos, entonces r r r PTOT  P1  P2 , es decir, que la cantidad de movimiento del sistema PTOT debe descomponerse como la suma de los vectores de momento lineal de cada uno de los cuerpos. Si ahora se deriva con respecto al tiempo la igualdad anterior, tomando en cuenta que PTOT es constante, se obtiene que

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Newton y su mecánica

Fជ12 2

1 Fជ21 Figura 2.5.2. Los mismos cuerpos de la figura anterior, con las fuerzas de interacción tales como marca la tercera ley.

r d p1 dt



r d p2 dt

.

Pero, de acuerdo con la segunda ley de la mecánica (2.26), se pueden sustituir estas derivadas por las fuerzas que dieron origen a los respectivos cambios de los estados de movimiento: r r F21  F12 . Este resultado muestra que en la circunstancia que aquí se ha analizado, la acción de un cuerpo sobre el otro, cualquiera que haya sido su origen, es igual vectorialmente, pero en sentido opuesto a la fuerza que aquél haya ejercido sobre el primero. ¡Esta es la tercera ley de Newton! ¡Así que, utilizando las leyes primera y segunda se ha podido “demostrar” la tercera ley! ¿Qué está pasando aquí? Si se considera con cuidado, parece que la tercera ley no lo es; se trata de un teorema que puede ser demostrado con la ayuda de las otras dos leyes. ¿Qué le pasó a Newton? ¿Se le escapó este detalle?

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Tercera ley de la mecánica y la estática

No parece creíble, sobre todo recordando que este individuo, temiendo a la crítica, revisaba una y otra vez sus escritos; pensaba y repensaba hasta disipar la más mínima duda sobre su trabajo. En particular ésta, la tercera ley, que, como se ha establecido, no tenía antecedente alguno, sino que fue producto enteramente del genio de Newton. La verdad es que aquí ha habido trampa. Para comenzar, debe ser claro que en la “demostración” de este teorema han sido propuestas como válidas dos cuestiones que nunca antes habían sido discutidas: la primera es que el momento lineal del sistema de cuerpos es la suma de los momentos lineales de cada uno de ellos. Se trata de un principio de superposición de estados. Si no se acepta a priori este principio, entonces no puede ser demostrado el teorema. En segundo lugar, si este mismo “teorema” se quiere demostrar para más de dos cuerpos, ya no es posible hacerlo. Las cosas deben entonces ponerse en su sitio: la tercera ley es, en efecto, una ley; esto es, un postulado fundamental de validez universal en la mecánica clásica. No importa qué número de cuerpos estén involucrados, las interacciones serán así siempre que un cuerpo, ejerciendo una fuerza sobre cualquiera otro, experimenta la reacción de ése como una fuerza igual a la ejercida, pero en sentido contrario, tal como se muestra en la figura 2.5.3. Además, si un sistema de N cuerpos, formando un cúmulo, se encuentra en el espacio, no sujeto a interacción externa alguna; no importa cuántos cuerpos sean, ni cuál es la interacción interna de uno sobre el otro; siempre se cumplirá que r r Fij  F ji , (2.44) siendo i y j índices que pueden adquirir cualesquiera valores {1, 2, 3,…, N} con la única excepción de que no se pueden tomar valores iguales; esto es: Fជ11, Fជ22,…, ya que ello representa la interacción de un cuerpo con él mismo. En este contexto se considerarán únicamente cuerpos simples, supuestamente inertes químicamente o nuclearmente, que no experimenten auto interacción alguna. En particular, para dos partículas se cumple el “teorema”. En este caso también se llega a otros resultados básicos para la teoría: así si, como se describe, se tiene un cúmulo de N cuerpos materiales en el es-

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Newton y su mecánica

k

i 2 Fជji 3 1 Fជij j

Figura 2.5.3. En un sistema de N cuerpos la fuerza Fជij es igual pero en sentido contrario a Fជji.

pacio, todas sus interacciones serán internas si, en efecto, se encuentran aisladas del mundo exterior. En tal caso las únicas fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos son aquellas debidas a la presencia de los demás cuerpos. Por ejemplo: el cuerpo número 1 (cualquiera que éste sea) experimenta fuerzas debidas a los cuerpos 2, 3,…, N, r r r F21 , F31 , K , F1N pero él mismo ejerce fuerzas de reacción sobre esos cuerpos; i.e.: r r r F12 , F13 , K , F1N de acuerdo con la tercera ley de la mecánica. Si se toma la suma de todas las fuerzas de interacción interna en el cúmulo y se suman, se obtiene que

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Tercera ley de la mecánica y la estática

r

N

∑ Fij  0

(2.45)

i, j  1 (i ≠ j )

puesto que, de acuerdo con la tercera ley, se van a cancelar por parejas; la fuerza Fជ12 con la Fជ21, la Fជ13 con la Fជ31, etc. Así, el resultado (2.45) lleva a la conclusión de que en un cúmulo de N cuerpos materiales, donde N puede ser cualquier número natural, las interacciones mutuas entre parejas de cuerpos, de acuerdo con la tercera ley, se cancelan por pares, de manera que la fuerza neta total interna en el cúmulo es siempre cero. r F TOT 0. (2.46) En todo lo anterior, de una manera casi imperceptible, se han venido utilizando un par de axiomas fundamentales para la estructuración de la mecánica: uno es el llamado principio de superposición de estados, el otro es aquel que da a los vectores su carácter deslizante. En efecto, para dar sentido pleno a la expresión (2.45) es necesario aceptar que las fuerzas, así como el resto de las entidades vectoriales que se manejan en este modelo teórico se pueden sumar o restar de acuerdo con aquellas viejas recetas de Stevin de Brujas que se discutieron en (1.1) a (1.4). Pero lo novedoso no es tanto que las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo se sumen para dar una resultante; lo realmente nuevo es que se pueda hablar de una resultante de un conjunto de fuerzas que actúan sobre varios cuerpos. Es claro que para sumarlas será necesario invocar a las reglas del paralelogramo o del polígono de Stevinius; esto es un principio de superposición de estados, pero lo que subyace a toda esta argumentación es que los vectores deben poderse desplazar paralelamente a sí mismos para poder realizar esta suma. Este es el principio sobre el carácter deslizante de los vectores. Así pues, en el caso de N cuerpos se puede hablar de una fuerza resultante; la FជTOT. El punto que aún está por resolverse es acerca de dónde se aplica la fuerza resultante. Este asunto se tratará en la siguiente sección de este capítulo. Por otra parte, volviendo al caso de un solo cuerpo sobre el cual actúan varias fuerzas, haciendo uso de la regla de suma vectorial, es posible, como se mencionó arriba, obtener una resultante. Esta es, a su vez un vector fuerza que es igual a la suma vectorial de aquellos.

79

Newton y su mecánica

Si la resultante de un conjunto de vectores que actúan sobre un cuerpo es cero, se dice entonces que ese cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional. Esto significa que, a pesar de todas las fuerzas que lo urgen, el cuerpo no cambiará su estado de movimiento; así, si estaba en movimiento rectilíneo uniforme, preservará ese mismo movimiento y si estaba en reposo, continuará en reposo. Matemáticamente, la condición de equilibrio traslacional se expresa así: r (2.47) Fi 0,

∑ i

siendo Fជ1, Fជ2,…, Fជn, las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo ¿Y qué se puede decir de las torcas, en el mismo sentido que se han estudiado las fuerzas? Para comenzar, considérese nuevamente el caso de dos cuerpos masivos que forman un sistema aislado en el espacio; esto es, exento de interacciones externas. Llamando de nuevo por Fជ12 a la fuerza con que el cuerpo 1 (ver figura 2.5.3) urge al 2 y Fជ21 la inversa; esto es, la fuerza con la cual el cuerpo 2 actúa sobre el 1, se tiene que la torca total es, de acuerdo con el principio de superposición vectorial estudiado anteriormente: r r r N TOT ≡ N 21  N 12 , (2.48) o bien, recordando la definición de la torca vista en (2.42): r r r r r N TOT ≡ r1  F21  r2  F12 ,

(2.49)

siendo rជ1 y rជ2 los radios vectores que van desde el origen de coordenadas del marco de referencia inercial desde el cual se observa al sistema, hasta cada uno de los cuerpos, respectivamente. Ahora, de acuerdo con la tercera ley, expresada matemáticamente en (2.43), se puede escribir la torca total (2.49) como: r r r r N TOT ≡ r2  r1  F12 . (2.50)

(

)

Pero, la diferencia de los vectores de posición en la expresión anterior se puede sustituir por el vector relativo

80

Tercera ley de la mecánica y la estática

ជr 12

ជr 1

ជr 2

Figura 2.5.4. El vector relativo entre dos cuerpos rជ12 es aquel que va del cuerpo 1 al 2.

r r r r12 ≡ r2  r1 .

(2.51)

Este es un vector que, por definición, va del cuerpo 1 al cuerpo 2, tal como se muestra en la figura 2.5.4. Sustituyendo (2.51) en (2.50) se obtiene ahora: r r r N TOT  r12  F12 . (2.52) Así, la torca total resulta tener la misma estructura que se dio en (2.42), pero lo que describe es un plano nuevo; el plano formado por el vector relativo rជ12 y el vector tangente pជ2. La torca total NជTOT tiende a torcer este plano. Evidentemente, debido a la tercera ley, así como a la definición del vector relativo (2.51), la torca total se puede escribir igualmente como

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Newton y su mecánica

r r r N TOT  r21  F 21

(2.53)

y su significado se refiere ahora a la tendencia a torcer el plano generado por rជ21 y pជ1. Esto significa que un observador situado en el cuerpo 2 ve una situación enteramente equivalente a la que observa el que esté parado en el cuerpo 1. Pero lo realmente interesante es que ahora, la torca total NជTOT no es nula, no obstante que las fuerzas son opuestas, de acuerdo con la tercera ley. Bueno, no es nula, a menos que la fuerza de interacción Fជ12 sea paralela al vector relativo. En este caso r N TOT 0 (2.54) Este caso se conoce como fuerzas centrales. Se trata de pares de fuerzas de acción y reacción que actúan en la misma dirección que el vector relativo. Pueden ser atractivas o repulsivas, según que apunten hacia dentro o hacia fuera de los cuerpos sobre los cuales actúan (véase figura 2.5.5). Este tipo de fuerzas es muy importante en la mecánica. La fuerza gravitacional de Newton (2.30) y la fórmula de Coulomb para la fuerza de atracción o de repulsión entre dos cuerpos cargados eléctricamente (2.32) son fuerzas centrales. Por su parte, la fórmula para la fuerza debida a H. A. Lorentz (2.33) no es central. Las fuerzas centrales tienen torca nula; por lo tanto, el vector normal hជ (el momento angular) permanece constante cuando estas fuerzas actúan, así que el movimiento que generan es planar. No así las fuerzas que no son centrales, como la de Lorentz, éstas cambian al vector normal; tuercen el plano del movimiento. Sobre un cuerpo material en el que actúan las torcas, en general, se puede obtener la torca resultante con el mismo criterio que se utilizó para las fuerzas; es decir, haciendo la suma vectorial de ellas r r N TOT ≡ Ni . (2.55)

∑ i

Nuevamente, puede ocurrir que al hacer dicha suma vectorial, la torca resultante sea nula; esto es, que:

82

Tercera ley de la mecánica y la estática

bជ

aជ

aជ

bជ

Figura 2.5.5. Fuerzas centrales; aជ y aជ son atractivas; en tanto que bជ y bជ son repulsivas.

r N TOT 0,

(2.56)

en este caso, se dice que el cuerpo se halla en equilibrio rotacional. Lo anterior significa que ese cuerpo no tiene la tendencia a girar (y su plano de movimiento permanece apuntando en una misma dirección). Ahora, si sobre un cuerpo material cualquiera actúa un conjunto de fuerzas y torcas, pero las resultantes de ellas son ambas nulas; o sea que el cuerpo está en equilibrio traslacional y rotacional, simultáneamente, entonces se dice que ese cuerpo esta en equilibrio mecánico. Así pues, equilibrio mecánico significa que la suma vectorial de las fuerzas es cero y simultáneamente, que la suma de las torcas que actúan sobre él también es igual a cero: r N i 0, (2.57 a)

∑ i

83

Newton y su mecánica

r

∑ N i 0.

(2.57 b)

i

Un cuerpo en equilibrio mecánico ni tiende a desplazarse en el espacio, ni tiende a girar. Un cuerpo así está estático. Por la misma razón, la parte de la mecánica que estudia a los cuerpos materiales en equilibrio mecánico se llama la estática. Se trata de una parte muy importante, sobre todo para la ingeniería, pues ella es la que permite proyectar, diseñar y construir estructuras estáticas que ni se desplacen, ni giren.

2.6. Sistemas de partículas El modelo de la mecánica clásica ha quedado prácticamente completo desde el punto de vista axiomático. Con las tres leyes, la ley de las torcas y el cambio del momento angular; con el principio de superposición y el axioma sobre el carácter deslizante de los vectores, se puede ya, en principio, abordar cualquier problema que concierna a un solo cuerpo. No obstante, aún queda cierto camino por recorrer. Una parte muy importante; fundamental, es aquella que trata con un sistema de N cuerpos materiales que se mueven en el espacio euclideo tridimensional, actuados, en general por fuerzas y torcas, tanto internas como externas. Considérese pues, un cúmulo de N partículas que se encuentran en el espacio, moviéndose bajo la influencia de fuerzas y torcas, tanto externas (esto es, debidas a agentes físicos externos al cúmulo), como internas (debidas a las interacciones entre ellas de tipo gravitacional, electromagnéticas, por impacto directo u otra). Supóngase que se designa a las masas de cada una de ellas como m1, m2, m3,…, mn. Si en un instante t sus posiciones son rជ1(t), rជ2(t), rជ3(t),…, rជN(t), se puede escribir, para cualquier partícula i de ese cúmulo, de acuerdo con la segunda ley de la mecánica, que: r F (i a ) 

N

∑ ƒ ji  mi

j 1 ( j ≠ i)

con i 1, 2, 3,…, N

84

r d 2ri (t ) dt 2

,

(2.58)

Sistemas de partículas

donde Fជi(a) es el vector que representa a la fuerza neta resultante de todas las fuerzas externas que se aplican instantáneamente sobre la partícula i-ésima del cúmulo. A este vector se le llamará la fuerza aplicada. Por su parte, los vectores ƒជij representan la fuerza interna con la cual la partícula j-ésima del cúmulo actúa sobre la i-ésima. La sumatoria se extiende, pues, sobre todas las partículas del cúmulo, excepto, por supuesto, la i-ésima, pues, como ya se mencionó antes, hay que descartar las autointeracciones. Por cierto, de aquí en adelante y por sencillez se adoptará una taquigrafía para denotar las derivadas temporales, que se usa casi en todos los textos sobre este tema y que resulta de gran utilidad. Las derivadas temporales se describirán mediante un punto encima del símbolo de la variable: r r˙ d r r ≡ , (2.59 a) dt r r d 2r r˙˙i ≡ 2 , dt

(2.59 b)

así que la fórmula (2.58) se puede rescribir utilizando esta convención como: N r r ƒ ji  mi r˙˙i ; i 1, 2, 3, K, N . F (i a ) 

∑

(2.58)

j 1 ( j ≠ i)

Si las fórmulas para la fuerza aplicada, así como para las fuerzas de interacción interna ƒជij se conocen, entonces (2.58) representa un sistema de N ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden, acopladas. Una vez resuelto este sistema, e impuestas las condiciones iniciales sobre cada una de las partículas del cúmulo, se hallarán las soluciones. Éstas tendrán la forma general siguiente: r r ri ≡ ri (t ) i 1, 2, 3, K , N .

(2.60)

Se trata, por supuesto, de las N ecuaciones de las trayectorias; esto es, de aquellas que describen el sendero que cada una de las partículas del cúmulo

85

Newton y su mecánica

sigue en el espacio, como resultado de todos los agentes físicos que la urgen, al través del tiempo. En la generalidad de los casos es imposible resolver el sistema de ecuaciones diferenciales (2.58) para un sistema de más de dos cuerpos en el espacio y tres cuerpos en el plano, con ciertas restricciones. Las fuerzas de interacción complican enormemente su tratamiento. El caso más trivial, desde luego, es aquel en el que no hay fuerzas de interacción internas ƒជij; este es el llamado sistema incoherente de partículas. Cada una se mueve, en este caso, como si las demás no existieran , sujeta únicamente a la fuerza externa que actúa sobre ella. En esta circunstancia, todas las ecuaciones (2.58) están desacopladas, pudiéndose tratar a cada una por separado para integrarla y hallar la solución. Tal vez el ejemplo físico que más se asemeja al caso incoherente es el de ciertos polvos, como esos que se usan para apagar fuegos; las pequeñas partículas de polvo fluyen casi libremente en chorros que no presentan una interacción interna apreciable. Por otra parte, si el número de partículas es muy, muy grande y éstas son tan pequeñas como las moléculas, entonces es posible sustituir a las fuerzas de interacción en (2.58) por un término que surge de un tratamiento estadístico y que macroscópicamente se interpreta como el gradiente de la presión. Este tratamiento y estos resultados dan lugar a la famosa ecuación de Euler para los fluidos perfectos.4 En general se pueden obtener resultados interesantes para un sistema de N partículas si se lleva a cabo cierto proceso estadístico de promediación. Por ejemplo, se define el llamado centro de masa de un cúmulo de partículas, como el lugar del espacio donde parece concentrarse la masa de todo ese sistema. Matemáticamente se define el centro de masa como un radio vector Rជ dado por la siguiente fórmula: r

mr r ∑ ii i R . ∑ mi

(2.61)

i

Se trata, en efecto, de un promedio de las posiciones de las partículas, ponderado por las masas. Si se le llama 4

Véanse los capítulos 6 y 9 de este texto.

86

Sistemas de partículas

z

m1 m3

m2

ជr 3

ជr 1 ជr 2

C.M.

Rជ

mi

ជr i y

0

x

Figura 2.6.1. Un cúmulo de N partículas con masas m1, m2,…, mi,…, mN. Se muestran los radios vectores y el vector Rជ al centro de masa del cúmulo.

M≡

N

∑ mi

(2.62)

i 1

a la masa total del cúmulo de N partículas, la fórmula (2.61) se puede rescribir en una forma ligeramente diferente, de la siguiente manera: r MR ≡

N

r

∑ miri .

(2.63)

i 1

Ahora, derivando ambos miembros de (2.63) con respecto al tiempo y suponiendo que las masas de las partículas del cúmulo permanecen constantes a lo largo de su movimiento, se obtiene que

87

Newton y su mecánica

r˙ MR 

r

∑ mir˙i .

(2.64)

i

Esto viene a representar dos cosas: por una parte, se trata nuevamente de un promedio; es el promedio de las velocidades de las partículas, ponderado sobre sus respectivas masas; por otra parte, comparando el miembro de la izquierda de (2.64) con la definición (2.23) se ve que es el momento lineal. En efecto, este producto representa el momento lineal o cantidad de movimiento neto total del sistema de N cuerpos. Uniendo estos dos conceptos, se puede apreciar que este producto al que se viene aludiendo en este párrafo es un vector que se puede dibujar a partir del centro de masa (C.M.) del cúmulo; es pues, el momento del centro de masa. Derivando nuevamente con respecto al tiempo, se obtiene ahora: ˙˙r MR 

r

∑ mir˙˙i

(2.65)

i

que representa 1) la aceleración promedio del cúmulo, 2) la aceleración del centro de masa y 3) si se invoca a las expresiones (2.58) donde se establecen las ecuaciones de movimiento de las partículas, se puede constatar fácilmente, de acuerdo con (2.65) que r

r

˙˙r

∑ Fi( a )  ∑ ∑ ƒ ji  MR . i

i

j ≠i

(2.66)

Pero, revisando la doble sumatoria en el miembro de la izquierda de (2.66), se ve que al desarrollarlo da como resultado lo siguiente: r r r r r ƒ ji  ƒ12  ƒ13  K  ƒ 21  K  ƒ 31  K  0. (2.67)

∑∑ i

j ≠i

Si se piensa un poco, se llegará a la solución de que cada término de este desarrollo se cancela con su reacción correspondiente, de acuerdo con la tercera ley de la mecánica, así que la contribución de esta doble sumatoria

88

Sistemas de partículas

al movimiento del cúmulo de partículas como un todo, es nula. Por lo tanto, regresando a la expresión (2.66) se tiene que: r F TOT ≡

r

˙˙r

∑ Fi( a )  MR .

(2.68)

i

Esto significa que lo único que contribuye al movimiento de un cúmulo de partículas es la resultante de las fuerzas aplicadas y esta resultante es un vector que se “aplica” sobre el centro de masa (C.M.), provocando su cambio de estado de movimiento. Son notables varias características de este resultado (2.68). En primer lugar, debe llamar la atención que se ha vuelto a la estructura original de la segunda ley, donde la fuerza se hace igual, matemáticamente al producto de la masa por la aceleración. Solamente que ahora se trata de la fuerza neta aplicada y de la masa total del sistema, multiplicada por la aceleración del centro de masa. En segundo lugar, es importante hacer notar que la única fuerza que provoca el movimiento del sistema como un todo, es la fuerza neta aplicada. Las fuerzas de interacción internas no son capaces de cambiar el estado de movimiento de ese cúmulo. Pero debe tenerse cuidado de no mal interpretar el resultado. Una cosa es que las fuerzas internas no cambien el estado de movimiento del cúmulo como un todo y otra cosa muy diferente es que no provoquen movimiento alguno. Una nube es un magnífico ejemplo de un cúmulo de N partículas (las moléculas de agua o las pequeñas gotas de este líquido que se hallan en suspensión). Pues bien, la nube como un todo se mueve y cambia de dirección debido a la fuerza (aplicada) del viento. Las miríadas de partículas que componen este sistema, ejercen entre sí fuerzas de atracción o de repulsión eléctrica; estas son las fuerzas de interacción internas del tipo ƒជij. Pueden ser extraordinariamente intensas y violentas, sobre todo en las tempestades. No obstante, estos agentes físicos, de acuerdo con (2.67), no pueden provocar el cambio del movimiento de la nube como un todo debido a que en todo instante se cancelan por pares, según lo establece la tercera ley. Pero es claro también que a escala local, las fuerzas de interacción si actúan. Todos los vórtices y torbellinos; las rachas y las descargas internas son el resultado de las fuerzas de interacción. Así, aunque el mo-

89

Newton y su mecánica

vimiento de la nube, como un todo, es únicamente la respuesta a las fuerzas externas aplicadas, sus cambios de forma y sus movimientos internos son el resultado de las fuerzas de interacción interna. Finalmente, cabe recalcar que la fuerza neta total, FជTOT se aplica sobre el centro de masa del sistema, según se puede observar en (2.68). Este punto, como se vio, es el lugar en el que la masa de todo el sistema se concentra aparentemente, y puede ser un sitio que esté ocupado por alguna partícula del cúmulo, pero también puede ocurrir que sea un sitio vacío. Por ejemplo, un proyectil que se dispara desde un cañón de artillería, está dotado de un sensor barométrico que lo hace estallar en cientos de pedazos cuando a su caída, alcanza cierta altura. Esto se hace, desgraciadamente para causar mayor daño. El ejemplo sirve, sin embargo, para mostrar objetivamente el resultado que se menciona anteriormente. Mientras va en vuelo el proyectil es un cuerpo sólido que tiene su centro de masa en algún punto de su interior, donde hay materia. Sin embargo, en todo momento, desde que fue disparado, hasta que sus pedazos tocaron tierra, el movimiento de este cuerpo ha sido determinado por la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia del aire (que son fuerzas aplicadas), aplicadas sobre su centro de masa. Al estallar el proyectil se liberaron gigantescas fuerzas de interacción, pero ellas no tuvieron papel alguno en el movimiento del cúmulo como un todo. Cierto es que los fragmentos volaron y se desperdigaron por todas partes con enormes velocidades, pero el sistema de N partículas que resultó de esta explosión continuó su movimiento y su centro de masa siguió en el mismo curso que llevaba originalmente el proyectil cuando estaba completo, como si nada hubiera pasado, pues las fuerzas internas son inútiles para modificar el estado de movimiento del sistema. En cuanto a las torcas, se puede abordar el problema para N partículas de una manera enteramente semejante a lo que se hizo para las fuerzas. Así, si sobre un sistema de N corpúsculos actúan fuerzas internas y fuerzas aplicadas, de acuerdo con la fórmula (2.58), se obtiene, multiplicando vectorialmente por cada radio vector ri que: r r ri  Fi( a ) 

N

r

r

r

r

∑ ri  ƒ ji  ri  mir˙˙i .

j 1 ( j ≠ i)

90

(2.69)

Sistemas de partículas

Entonces, denotando por Ni(a) a la torca neta aplicada para la partícula i-ésima del cúmulo; r r r N i( a ) ≡ ri  Fi( a ) (2.70) y haciendo la definición de hជi para el momento angular de esa misma partícula r r r (2.71) hi ≡ ri  mi r˙i se puede reescribrir (2.69) de la siguiente manera: r N i( a ) 

N

r

r˙

r

∑ ri  ƒ ji hi .

(2.72)

j 1 ( j ≠ i)

Esta es la ecuación para las torcas y el cambio de momento angular de la i-ésima partícula de un cúmulo. Para obtener la fórmula correspondiente al cúmulo total, es necesario sumar, de la misma forma que se hizo para las fuerzas; esto es; haciendo N r (a) N TOT ≡ N i( a ) (2.73)

∑

i 1

r h≡

N

r

∑ hi

(2.74)

i 1

se obtiene ahora:

r a)  N (TOT

r

r

N

˙ r ∑ (r  ƒ )  h . i

j, i  1 (i ≠ j )

ji

(2.75)

Observado ahora con mayor cuidado las torcas internas, es posible ver que si se desarrollan las dos sumatorias y se agrupan de acuerdo con la tercera ley, por parejas de acción y reacción, se obtiene lo siguiente:

91

Newton y su mecánica

N

∑

r r ri  ƒ ji 

i , j 1 (i ≠ j )

N

r

r

∑ rji  ƒ ji ,

(2.76)

j 1 ⇒ E 3 > 0 .

(3.120)

Elipses e hipérbolas son las trayectorias que suelen observarse con frecuencia en la astronomía. Círculos y parábolas no. Curiosamente, aquellas órbitas perfectas: los círculos, que durante cerca de dos mil años se supuso que eran los senderos destinados por el Altísimo para los planetas; aquellas trayectorias que suscitaron discusiones y enconos y que llevaron a algunos infelices a la hoguera, o al menos a prisión, resulta ahora, a la luz de la gravitación de Newton que son totalmente improbables. Que alegría debió haber sentido aquel genio inglés cuando al resolver sus ecuaciones resultó que las órbitas de los planetas, tal como la descubrió Kepler casi sesenta años antes, son elipses, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol y que barren áreas iguales en tiempos iguales. En particular, las órbitas elípticas tienen un conjunto de características muy interesantes. Así, de la figura 3.5.2 se puede distinguir: i) El radio desde el foco (ocupado por el Sol) hasta el planeta es la variable r de (3.113). Este radio es, instantáneamente, la distancia desde el centro del Sol al centro del planeta. ii) La elipse contiene siempre dos focos; uno está ocupado y el otro está vacante. iii) La distancia desde el foco ocupado, hasta el punto más cercano de la órbita al Sol es el perihelio. En el caso de que se estudie la órbita elíptica de un satélite de la Tierra, entonces el punto de mayor acercamiento a ella es el perigeo y en un caso general, un cuerpo que orbita a otro, cuando está en ese punto; el más cercano al centro de la fuerza, se dice que se encuentra en el periapsis. iv) Por el contrario, el punto de mayor alejamiento es, en el caso del sistema planetario, el afelio; en el caso de la Tierra es el apogeo y en el caso general es el apoapsis.

160

La teoría newtoniana de la gravitación y

ជr  0

x

Figura 3.5.2. Movimiento elíptico de un planeta alrededor del Sol.

v) En general, los puntos extremos de la elipse son los ápsides y la distancia entre ambos es el eje mayor “2a”. La mitad de esta longitud; esto es, la distancia del centro de la elipse a un ápside es el semi eje mayor a. Así, si Rp es la distancia del foco ocupado al perihelio y RA es la distancia del foco ocupado al afelio, entonces a

(

)

1 Rp  RA . 2

(3.121)

vi) El eje menor es la distancia perpendicular al eje mayor que pasa por el centro de la elipse; se denota por b. vii) La distancia entre los focos es 2c y se puede ver fácilmente que 2c  R A  R p

(3.121 a)

viii) La anomalía verdadera es el ángulo medido a partir del periapsis (o perihelio) hasta el punto sobre la órbita, donde se encuentra instantáneamente el cuerpo. En la figura 2.5.2. la anomalía verdadera es el ángulo  más 180°.

161

Las ecuaciones de movimiento

De acuerdo con (3.111), la distancia al afelio es cuando se toman 0 y  iguales a cero: ⎛ 2 Eh 2 ⎜ 1 1 2 2 3 G M m RA ⎜ ⎜ h2 ⎜ GMm 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

(3.122)

en tanto que la distancia al perihelio es cuando 0 es igual a cero, en tanto que  adquiere el valor de 180°: ⎛ 2 Eh 2 ⎜ 1 1 2 2 3 G M m Rp ⎜ ⎜ h2 ⎜ GMm 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

,

(3.123)

por lo tanto, los valores de los semiejes mayor y menor se obtienen de (3.122), (3.123) y (3.121), en términos de las masas, la energía total y la magnitud del momento angular. ix) La excentricidad se define como la relación entre la distancia entre los focos y el eje mayor: ∈

2c . 2a

(3.124)

Como se recordará, la excentricidad, es el parámetro que define a la cónica. x) Tomando como punto de partida la ecuación general de las cónicas (3.112), así como la expresión para el semieje mayor (3.122) en términos de los radios apsidales, se puede ver de inmediato que el semi lado recto l puede expresarse en términos de a y de la excentricidad ∈:

162

La teoría newtoniana de la gravitación

l⎛ 1 l 1 ⎞ a  12 R A  R p  ⎜  ⎟ 2 ⎝ 1  ∈ 1  ∈⎠ 1  ∈2

(

)

así que, despejando:

(

)

l  a 1  ∈2 . Por otra parte, puesto que la interacción gravitacional newtoniana es central, entonces cumple con la segunda ley de Kepler enunciada y demostrada en (3.102). Por lo tanto, si se integra a toda la duración  de un periodo de traslación completa sobre su órbita, la expresión (3.102) da como resultado τ

hτ

dA

∫ dt dt  A  2m 0

así que el periodo de tránsito  se puede expresar también en términos de los parámetros de la órbita; en particular, recordando que el área de la elipse está dada por A  π ab , se tiene que

τ 2π ab

m . h

(3.125)

De la figura 3.5.3. se puede observar que, por construcción de la elipse a  c2 b2 , así que se puede expresar al semieje menor b en términos de a y ∈ como: b  a 1  ∈2

163

(3.126)

Las ecuaciones de movimiento

P

b

F

F

a 2C

Figura 3.5.3. Para construir una elipse se usa el hecho de que todos sus puntos 苴 es una distancia constante. son el lugar geométrico tal que el segmento 2FP

de manera que el periodo de tránsito (3.125) es

τ  2π a 2 1  ∈2

m h

(3.127)

ahora, de acuerdo con (3.113) y (3.122) se puede ver con gran facilidad que: a

GMm 2E

(3.128)

y por lo tanto: 1  ∈2 

h 1 m aGM

(3.129)

así que sustituyendo (3.129) en (3.127) se consigue finalmente el resultado:

164

La teoría newtoniana de la gravitación

τ2 

4π 2 3 a μ

(3.130)

siendo

μ ≡ GM⊗  3.98506 1014 m

3

s2

(3.131)

para el caso del Sol y se le conoce como el parámetro gravitacional. Se debe reconocer en (3.130) la expresión matemática de la tercera ley de Kepler, que establece que: El cuadrado de los períodos de tránsito alrededor del centro de la fuerza, es proporcional al cubo de las distancias. Esta ley ha resultado ser de enorme ayuda en astronomía, ya que los períodos de tránsito se pueden observar directamente de los planetas; entonces, mediante la regla (3.130) se calcula de inmediato la distancia al Sol. Muchas de las propiedades esenciales de las trayectorias de cuerpos sujetos a la acción de la gravitación newtoniana pueden ser conocidas sin necesidad de integrar la expresión para la conservación de la energía total (3.75), cuando se sustituye en ella la fórmula para la energía potencial V (r ) 

μm ; r

(3.132)

la misma que se empleó en la integral (3.111) para las órbitas. Haciendo esta simple operación, la ecuación para la conservación de la energía total adquiere el siguiente aspecto: l h2 μm  E mr˙2  2 2 r 2mr

(3.133)

en donde se ha hecho uso de la conservación del momento angular. El segundo sumando a la izquierda de la igualdad en (3.133) se conoce como la barrera centrífuga. En términos generales se puede considerar a la expresión (3.133) como la ley de conservación de la energía total del cuerpo, compuesta por su

165

Las ecuaciones de movimiento

energía cinética radial y una energía potencial efectiva Vef que a su vez está constituida por la suma de la energía potencial gravitacional (3.132) y el término de barrera centrífuga; es decir Ve f (r ) ≡

h2 2mr

2



μm r

(3.134)

siendo este último siempre positivo, en tanto que el otro: la energía potencial gravitacional es siempre negativo, de modo tal que habrá ciertos valores del radio r para los cuales domine la barrera centrífuga, en tanto que para otros, la atracción gravitacional será preponderante. Para ver mejor esta competencia entre ambas funciones, vale la pena hacer una gráfica de las mismas. Ésta se ha dibujado en la figura 3.5.4. Lo que muestra esta figura es la superposición de las dos funciones: la barrera centrífuga (positiva) y la energía potencial gravitacional (negativa). El resultado de esa superposición es la curva que corre entre las dos anteriores, y que exhibe la peculiaridad de tender al infinito (positivo) para valores muy pequeños de la distancia r al centro de la fuerza, para volverse nula y luego negativa a medida que r aumenta. La forma de esta función es como de una concavidad, por lo cual se le conoce como El pozo de la energía potencial. El punto interesante de esta gráfica, y del hecho que la energía potencial efectiva tenga un dominio en el cual es positiva y otro en el cual es negativa en particular, es que para la región positiva, la energía total E debe ser, así mismo, positiva, de acuerdo con (3.133) ya que, por su parte, la energía cinética radial siempre es positiva. Sin embargo, en la región donde la energía potencial efectiva es negativa, (en el semi plano inferior) el valor de la energía total deberá estar acotado por ciertos valores, ya que 1 mr˙2  E 2

V e f  0

(3.135)

esto es, que la energía cinética radial debe ser siempre positiva (o nula). Puesto que Vef es negativa en esta región, entonces se ve de (3.135) • que E debe ser, a su vez, negativa, de tal manera que el caso de r0 sea la cota inferior de esa desigualdad. En este caso límite, la energía total y

166

La teoría newtoniana de la gravitación

Vef h 2/ 2mr2

0

r

m/r

Figura 3.5.4. Gráfica de la energía potencial efectiva vs la distancia.

la energía potencial efectiva son de la misma magnitud, de modo que el movimiento del cuerpo es aquel en el cual, ni se acerca ni se aleja del centro de la fuerza; se trata de un movimiento circular. En la figura 3.5.5 se ha dibujado de nueva cuenta el pozo de energía potencial; allí se aprecia el caso de que la energía total sea negativa y tenga un valor E0 que sea igual al valor mínimo de la energía potencial efectiva. Evidentemente, en este caso, la energía cinética radial es nula, de acuerdo con (3.135), de modo que el movimiento del cuerpo es circular y ocurre a una distancia ro del centro de la fuerza. Este caso corresponde al valor dado en (3.117) para la energía total. Por otra parte, si la energía total adquiere un valor E1 que es negativo, acotado entre E 0 < E1 < 0 tal como se muestra en la figura 3.5.6, se puede observar que todos los puntos que se encuentran a la izquierda de la intersección de la curva de energía potencial efectiva con el nivel de energía E1, igual que todos los

167

Las ecuaciones de movimiento

Vef

ro r

0

Eo

Figura 3.5.5. El nivel de energía E0 corresponde al mínimo de la energía potencial efectiva Vef .

puntos que se encuentran a la derecha de la intersección de esa gráfica con el nivel de energía; esto es r < rp r > ra corresponden a ciertas distancias al centro de la fuerza que están “prohibidas” para la partícula. Es decir, el cuerpo dotado con una energía total E1 jamás podrá, ni acercarse al centro de la fuerza, más allá de rp, ni alejarse más allá de ra. Esto es así porque para todos estos puntos E1 < Vef que significa que la energía cinética radial debería ser negativa; lo cual es físicamente imposible, pues implicaría la existencia de velocidades radiales imaginarias, como puede apreciarse de (3.135). Por lo tanto el movimiento de un cuerpo dotado de una energía con valor E1 solamente puede ocurrir cuando la distancia al centro de la fuerza está acotada entre los valores

168

La teoría newtoniana de la gravitación

Vef

E3 rp

ra

E2 r

0 E1

Figura 3.5.6. Niveles de energía para las cuatro clases de movimiento de cuerpos bajo la acción de la fuerza gravitacional newtoniana.

rp  r  ra estos son los radios apsidales; el radio del perihelio y del afelio, respectivamente, para el caso del Sistema Solar, tal como se describió anteriormente.

r0

Figura 3.5.7. Correspondiente al nivel de energía E0, se da la órbita circular, con un radio r0.

169

Las ecuaciones de movimiento

rp

ra

Figura 3.5.8. Al nivel de energía E1 le corresponde una órbita elíptica con radios apsidales ra y rp.

Este hecho se muestra en la figura 3.5.8. Se trata, en efecto de una órbita elíptica. Considerando ahora un nivel de energía E2, con valor cero como el que se muestra en la figura 3.5.6, se ve que el movimiento del cuerpo nuevamente se halla acotado por la izquierda. Todos los puntos que sean más cercanos al centro de la fuerza, que el punto de intersección de la curva de energía potencial efectiva con la línea que representa el nivel de energía E20, son prohibidos para el movimiento, porque implican un valor no físico de la velocidad radial. Por el lado de la derecha ambos, el nivel E2 y la curva se intersecan en el infinito. Como ya se mencionó, estos movimientos corresponden a cuerpos que llegan al Sistema Solar de allende sus fronteras, tal vez del llamado cinturón de Kuiper, donde se encuentran grandes concentraciones de hielo y polvo cósmico aglutinados, o de más lejos y que por alguna colisión con otro cuerpo, inician de pronto su viaje hacia el Sol. Lentamente al principio pero cada vez más velozmente se acercan al astro rey hasta que pasan rasantes a él a velocidades enormes. Dan la vuelta debido a la atracción gravitacional y se alejan entonces de regreso al infinito. También se hizo la anotación de que en particular, órbitas parabólicas son extraordinariamente improbables, ya que una energía total E2 que sea exactamente igual a cero parece que nunca se dará en verdad. Pero otras

170

La teoría newtoniana de la gravitación

ra

rp

Figura 3.5.9. Cuando el cuerpo tiene el nivel de energía E1, el movimiento está acotado entre dos círculos con radios apsidales ra y rp.

órbitas sí son posibles. Un cuerpo con una energía E4 positiva sí se puede dar. Nuevamente, son cuerpos que provienen del espacio exterior al Sistema Solar y que de pronto entran al campo de atracción del Sol. Se acercan hasta casi rozar su superficie para salir despedidos con fuerza, de vuel-

rp

ra

Figura 3.5.10. Para un nivel de energía E30, la órbita es abierta; se trata de una parábola, con un radio apsidal rp cercano al centro de la fuerza y el otro en el infinito.

171

Las ecuaciones de movimiento

ta a las profundidades del espacio infinito. Una trayectoria así, corresponde a una hipérbola. En este punto es necesario parar, para aclarar algunos detalles que se han soslayado hasta ahora, pero que, tanto desde el punto de vista conceptual, como desde el punto de vista histórico tienen mucha relevancia para comprender profundamente la teoría newtoniana de la gravitación y darle su justo sitio dentro de la ciencia. En primer término es necesario aclarar que el asunto de la gravitación, tal como se ha atacado aquí es de un solo cuerpo, urgido por una fuerza central. La verdad es que se trata justamente de un problema de (al menos) dos cuerpos: un cuerpo masivo, como el Sol, que atrae y pone en movimiento a otro (u otros) menores. Aquí debe hacerse una primera corrección a la teoría. Es necesario considerar dos cuerpos que, de acuerdo con lo que se vio en la sección 3.3, orbitan, ambos, alrededor del centro de masa del sistema. Este será el tema que se desarrollará a continuación. Posteriormente se tratará el otro punto: el hecho de que los cuerpos son macroscópicos; no necesariamente son esferas uniformes de materia, sino, tal vez, cuerpos amorfos que interactúan gravitacionalmente. Finalmente, para concluir con el capítulo, habrá que mencionar un poco, los llamados efectos finos de la gravitación. En efecto, considerando el problema de la gravitación entre dos masas puntuales m1 y m2 en el espacio, observadas desde un marco de referencia inercial, tal como se ve en la figura 3.5.11, la fuerza de atracción mutua es ahora la siguiente: r mm r r F  G r 1 2 3 (r2  r1 ) . r2  r1

(3.136)

Es decir, que depende del producto de las masas e inversamente del cuadrado de la distancia que las separa. Para recalcar su carácter central, en (3.136) se ha hecho uso del vector unitario

(rr2  rr1 ) r r r2  r1

que yace sobre la línea de m1 a m2 y apunta en la dirección de esta masa.

172

La teoría newtoniana de la gravitación

z m1 C.M. rជ12 rជ1 m2

Rជ rជ2 0

y

x

Figura 3.5.11. Dos cuerpos, de masas m1 y m2 interactúan gravitacionalmente.

Recordando aquellos resultados que se obtuvieron en la sección 3.3, cuando se trató el problema general de los dos cuerpos, se ve que es posible usar el vector relativo rជ12 para describir la interacción gravitacional (3.136) en forma más compacta: r mm r (3.137) F  G 13 2 r12 r12 con r r r r12 ≡ r2  r1 . También debe ser claro que, siendo conservadora la fuerza gravitacional newtoniana dada en (3.137), existe la función escalar de energía potencial del sistema y que ésta debe depender de la magnitud del vector relativo: V ≡ G

m1m2 . r12

(3.138)

Así que invocando a la expresión de la energía total del sistema y tomando la descripción para el sistema de dos cuerpos en términos de los

173

Las ecuaciones de movimiento

vectores al centro de masa y relativo, dada en (3.73), se ve que en este caso se tiene: l ˙2 l 2 mm MR  ηr˙12 G 1 2  E 2 2 r12

(3.139)

siendo nuevamente M la masa total del sistema y  la masa reducida. Si la única interacción que experimentan los cuerpos es aquella que se debe a su mutua atracción gravitacional y ninguna otra fuerza aplicada los urge, entonces, el •centro de masa del sistema se desplazará por el espacio a una velocidad R uniforme, tal como se vio en la sección 2.6 cuando se estudió la dinámica de un cúmulo de muchas partículas. Por lo tanto, en estas circunstancias, el primer término de la izquierda en la fórmula (3.139) es una constante y puede incorporarse a la energía total E si se hace la definición 1 E *  E  MR˙ 2 (3.140) 2 siendo E* la energía total gravitacional del sistema. Así, el problema se ha reducido considerablemente, pues ahora sólo hay que abordarlo, como se hizo al principio de esta sección, como el estudio del movimiento de un solo cuerpo que gravita alrededor del centro de la fuerza. Hay que notar, sin embargo, tal como se expresa en (3.139), haciendo uso de la definición (3.140): mm 1 2 η r˙12  G 1 2  E * r12 2

(3.141)

hay que atender a ciertas pequeñas diferencias con el problema tratado anteriormente. En efecto, ahora la energía cinética que aparece en el primer término de la izquierda de (3.141) corresponde a la energía cinética de un cuerpo que tiene la masa reducida del sistema y que se mueve bajo la influencia del campo de energía potencial gravitacional debido a la presencia de m1 y m2. Más aún, de la definición dada en (3.72) se ve que el producto de las masas participantes en esta interacción se puede escribir, en términos de la masa reducida y de la masa total del sistema, como:

174

Movimiento en un campo de fuerza repulsivo

m1m2  ηM

; M ≡ m1  m2

(3.142)

así que el problema es el de un cuerpo con masa  que se mueve bajo la acción de otro con masa M (la masa total del sistema). Claramente, el procedimiento para resolverlo es esencialmente igual al que se siguió en el principio de esta sección para el campo gravitacional central anclado en el origen del sistema de coordenadas. Por ello, no merece la pena hacer el desarrollo para este caso nuevamente. El resultado final será que las órbitas que sigue la masa  están dadas por:

1  r12

1

2E *h 2 G 2 M 2η3

1 cos(θ  θ0 )

h2

.

(3.143)

GMη 2 Por supuesto, si la masa de uno de los cuerpos es muy grande, en comparación con la otra, entonces los resultados (3.113) y (3.143) son idénticos.

3.6. Movimiento en un campo de fuerza repulsivo: dispersión de Rutherford Hay una aplicación física importante que concierne al movimiento de una partícula en un campo central, en el cual la ley de fuerza es del tipo de inverso del cuadrado de la distancia, pero repulsiva. Esta aplicación fue sugerida cuando se iniciaron experimentos para descubrir la estructura atómica de la materia mediante el “bombardeo” de muestras de sustancias conocidas, con partículas nucleares de altas energías, como protones, partículas alfa (núcleos de helio), electrones y otras más. Se observó desde estos primeros intentos, que al hacer incidir sobre una delgada lámina de algún material puro, como el oro, un haz de partículas con carga eléctrica positiva, lo que se daba es un fenómeno de dispersión del haz. Este hallazgo mostró que la materia está constituida por átomos con un núcleo central, positivamente cargado. El haz de partículas cargadas positivamente y disparado a altas energías contra el blanco, se encuentra con los núcleos

175

Las ecuaciones de movimiento

Figura 3.6.1. Un haz de partículas alfa, de alta energía incide sobre una delgada placa de oro desde la izquierda. Las partículas salen por la derecha del blanco, dispersas. Este es el experimento de Rutherford.

atómicos del material, que también están dotados de una carga eléctrica positiva. Debido a este hecho, ocurre una repulsión eléctrica que desvía a las partículas alfa o a los protones y los obliga a ejecutar una trayectoria hiperbólica, alejándose del núcleo atómico, tal como se ve en las figuras 3.6.1. y 3.6.2. Para tratar este problema, considérese una partícula puntual de carga q y masa m que incide desde la izquierda a alta velocidad y que pasa cerca de otra partícula puntual (el núcleo de un átomo) que se encuentra fija y cuya carga eléctrica es q. De acuerdo con la fórmula de Coulomb, la partícula incidente sufre una repulsión (si ambas cargas son del mismo signo) dada por la magnitud: F

qq r2

donde la posición r se mide desde el origen de coordenadas, O (aquí se omite el factor 1/4 0 por razones de simplificación). De acuerdo con lo visto anteriormente, la ecuación diferencial de órbitas para este caso es la siguiente:

176

Movimiento en un campo de fuerza repulsivo

rmin

o



a 0

Figura 3.6.2. Trayectoria hiperbólica de una partícula cargada que se mueve en el campo repulsivo de otra partícula con carga, en reposo.

d 2u dθ

2

 u 

qq mh 2

.

(3.144)

Esta ecuación diferencial se resuelve fácilmente siguiendo los mismos procedimientos que se emplearon para el caso atractivo, gravitacional. Lo que se obtiene es lo siguiente:

1  r

1 1

2mh 2 E q 2q2

cos(θ  θ0 ) .

2

mh qq

(3.145)

Se observa de la fórmula (3.145), que la excentricidad de esta órbita es ∈≡ 1 

2mh 2 E

(qq)2 177

>1

(3.146)

Las ecuaciones de movimiento

Vef

E 0

0

r

rmin

Figura 3.6.3. Interacción entre una partícula con energía total positiva y un pozo de potencial. La órbita es abierta.

de modo que se trata de una hipérbola. Esto se puede ver del hecho de que la energía de esta interacción es siempre positiva (en el caso de repulsiones la energía es positiva). Si se dibuja un esquema de potencial efectivo Uef contra distancia r se obtiene un pozo de potencial como el de la figura 3.6.3., y un nivel de energía E que es la línea recta horizontal, por encima del eje de las abscicas (E 0). Este esquema muestra cómo la partícula se acerca desde el infinito hasta una distancia mínima del centro de la fuerza, rmin, y luego se aleja nuevamente hasta el infinito. Esto corresponde precisamente al fenómeno de dispersión que se ha ilustrado en la figura 3.6.1 y en la figura 3.6.2. La partícula incidente se aproxima desde una asíntota y luego se aleja siguiendo la otra rama de esta misma figura geométrica. En la figura 3.6.2 se ha dibujado la primera asíntota de modo tal que la partícula viene desde r con un ángulo 0. El valor mínimo de la distancia al centro de la fuerza rmin ocurre cuando cos(0)1; esto es, cuando 0. Y puesto que r  en 0, entonces, de la fórmula B se ve que la distancia también se vuelve infinita para 20. Por lo tanto, el ángulo entre las dos asíntotas es 20 y el ángulo por el cual ocurre la dispersión de la partícula es , dado por

φ  π 2θ0

178

(3.147)

Movimiento en un campo de fuerza repulsivo

como se ve en la figura 3.6.2. Más aún, si se toma en cuenta que, a partir de las condiciones iniciales establecidas, se cumple que

ε cos θ0 1 entonces se demuestra de inmediato que tan θ0 ≡

2mh 2 E 2

2

q q

≡ cot

φ . 2

(3.148)

La fórmula anterior puede usarse para contrastar la teoría con el experimento. El ángulo  puede ser medido si, por ejemplo, a la salida del haz se coloca una pantalla luminiscente, que emite destellos luminosos cada vez que una partícula cargada, dispersa, choca contra ella. La carga de los proyectiles así como su energía y su masa también pueden ser conocidas a priori, así que en la fórmula (3.148), la carga de los núcleos atómicos, q puede inferirse despejándola de ella. La única dificultad es evaluar la magnitud del momento angular de las partículas incidentes, h, pero, como se verá en seguida, esta dificultad puede remontarse si se hacen ciertas consideraciones adicionales. Como se sabe, en ausencia de torcas, el momento angular de las partículas es una constante; así pues, la magnitud de esta cantidad es r r h ≡ r  mν  const. a lo largo del movimiento, antes y después de la dispersión (aun en presencia del núcleo, el momento angular es constante puesto que se trata de un campo de fuerza central). Si se calcula el momento angular cuando el proyectil está muy lejos del blanco y se acerca a él con una alta velocidad 0 entonces h  pmν 0 siendo p el llamado parámetro de impacto, igual a la distancia perpendicular desde el origen (que es el centro de la dispersión, donde se encuentra el núcleo atómico) hasta la línea de movimiento original de la partícula, que no es otra cosa que la asíntota izquierda de la hipérbola en la figura 3.6.2.

179

Las ecuaciones de movimiento

Por lo tanto, la fórmula anterior puede volverse totalmente predictiva si se toma en cuenta el parámetro de impacto y se evalúa la energía cinética del proyectil 1 E  mν 02 . 2

(3.149)

Tomando en cuenta estas consideraciones se consigue la siguiente fórmula de dispersión: cot

φ ⎛ m 2ν 02 ⎞  p. 2 ⎜⎝ q 2q2 ⎟⎠

(3.150)

Esta fórmula predijo con bastante buena concordancia los resultados experimentales y constituye un triunfo más de la mecánica clásica.

3.7. Inyección en órbita de un satélite artificial Cabe recordar en este momento que como resultado de la fuerza gravitacional cuya fórmula propuso Newton en el siglo XVII: r Mm r F  G 3 r , r se obtiene una ecuación diferencial; la que se muestra en términos de la masa reducida del sistema de dos partículas. Resolviendo la ecuación diferencial se arriba a una expresión general para las trayectorias de los cuerpos sujetos a esa fuerza. Es la ecuación de las órbitas r

∈d . 1  ∈cos θ

Para situar en una órbita preestablecida a un cuerpo, es necesario calcular cuidadosamente los parámetros iniciales con los cuales se hará el disparo desde un lugar determinado de la Tierra.

180

Inyección en órbita de un satélite artificial

Figura 3.7.1. Un satélite artificial es colocado en una órbita elíptica alrededor de la Tierra, situada en el foco F; F  es el foco no ocupado, O es el centro de la elipse, a el semi eje mayor, b el semi eje menor, c la distancia focal, d el semi lado recto, u es la anomalía verdadera del satélite,  es el ángulo del vector velocidad con la tangente en el punto r y v la velocidad.

Si la órbita va a ser una elipse, el centro de la Tierra es necesariamente uno de los focos de esta cónica; el foco ocupado. El disparo inicial del cohete portador deberá hacerse a cierto ángulo 0: la llamada anomalía verdadera inicial, que es ese ángulo que se mide con respecto a la dirección del perigeo; esto es, el punto de máximo acercamiento de la órbita a la Tierra. Normalmente los cohetes se disparan hacia el este, debido a que en esa dirección gira la Tierra, así que al momento del disparo el cohete lleva, aparte de la velocidad que sus motores le imprimen, una buena componente de velocidad adicional debida a la rotación de la Tierra. Por alguna razón se puede dar el caso que se desee poner a un cuerpo en una órbita retrograda; esto es, que el cuerpo recorra su camino en sentido opuesto a la rotación terrestre. En tal caso habrá que lanzarlo con una dirección inicial hacia el Oeste. Sin embargo, en este caso habrá que hacerlo de modo que el efecto de rotación de la Tierra se anule. Esto significa necesariamente el gasto de mucho mayor combustible para dar al cuerpo una energía extra que cancele esa velocidad inicial. Es por esta razón que las estaciones de lanzamiento de cohetes; todos los astródro-

181

Las ecuaciones de movimiento Los parámetros de la órbita son: Origen de la elipse: O Foco ocupado por la Tierra: F Foco vacío: F Directriz de la elipse: DD´ Línea apsidal: AA Semi eje mayor: a Semi eje menor: b Distancia focal: c Excentricidad: ∈ Distancia del foco ocupado a la directriz: d Anomalía verdadera:  Ángulo de vuelo:  Vector de posición del satélite: r y

rជ0

F

0 rជp

x

Figura 3.7.2. La anomalía verdadera inicial 0 es el ángulo al que se debe lanzar el cohete para que entre en órbita. rជ0 es el radio vector de posición para la inyección en órbita. El origen de este sistema de coordenadas es F; el foco ocupado de la elipse. rជp es el radio vector al perigeo.

182

Inyección en órbita de un satélite artificial

ជ0 0

0

rជ0 F

rជp

Figura 3.7.3. Condiciones iniciales para la inyección en órbita de un objeto lanzado desde la Tierra; en el foco ocupado, F. Velocidad inicial de inserción en la órbita: ជ0 Ángulo inicial de vuelo: 0. Vector de posición para la inyección en órbita: rជ0 Anomalía verdadera inicial: 0. Radio vector al perigeo: rជ0.

mos y cosmódromos, de preferencia deben ubicarse lo más ecuatoriales que sea posible, para aprovechar el giro de la Tierra al máximo y lo más cercanos a la costa oriental que se pueda, para que al hacer los lanzamientos y al caer a Tierra los desechos, no pongan en peligro a los humanos. Así pasa con cabo Cañaveral o con la Guyana Francesa. Si México construyera una estación para el lanzamiento de cohetes, debería hacerlo en un sitio que estuviera al sur; lo más al sur que fuese posible y al este; lo más al este que se pudiera. Esto último es imposible, desgraciadamente, debido a que más allá de las costas orientales del país existe una enorme cantidad de islas pequeñas y grandes que estarían en la ruta de descenso de los cohetes disparados desde México y que quedarían en situación de gran peligro si se diese el evento de abortar un despegue o simplemente al caer los desperdicios de cada lanzamiento. No es posible, en definitiva, situar una estación de disparo de cohetes en punto alguno sobre la vertiente oriental del país.

183

Las ecuaciones de movimiento

Hay sin embargo, un punto extraordinariamente interesante que podría servir estupendamente al propósito de construir un cosmódromo mexicano, que cuenta con las características precisas para ese objetivo: en primer lugar, está situado muy cerca del Ecuador; a 10° de latitud norte, de manera que allí, la rotación terrestre casi es la máxima que se puede tener; del orden de unos 1 400 Km/hr hacia el oriente y que serviría como velocidad adicional para los cuerpos que se deseara situar en órbitas directas o derechas. Por otra parte, se trata de una isla; una pequeña isla en el océano Pacífico a unos mil doscientos kilómetros de la costa occidental de México más cercana, cuyas coordenadas son 10°17’N, 109°13’ W, de modo que los disparos podrían hacerse con mucha seguridad hacia el oriente, sin el peligro de afectar con los detritos a otros países o comunidades humanas. Se trata de la isla de Clipperton. Esta pequeña cresta de tierra que emerge desde el fondo marino por encima del nivel medio del océano Pacífico es la isla más occidental y la más austral del país. Estuvo habitada desde finales del siglo XIX y hasta la segunda guerra mundial por una veintena de familias mexicanas que trabajaron allí con ahínco y dedicación, edificando una pequeña colonia de pescadores y agricultores; en condiciones verdaderamente heroicas con apenas el mínimo apoyo de las autoridades del gobierno mexicano. En la segunda gran guerra, Francia utilizó la isla como una base donde acumuló pertrechos bélicos y maquinaria pesada. Al finalizar el conflicto armado, los franceses aparentemente se retiraron de la isla, dejando una gran cantidad de desechos: maquinaria, armamento y chatarra que con el paso del tiempo se ha convertido en un montón de óxido inútil. Desgraciadamente, a partir de entonces y tal vez por derecho de conquista (¡ !), Francia tiene por suya esa isla, cuando en la realidad y desde hace más de tres siglos, pertenece a México. En todo caso, considérese el caso que en aquella isla perdida en el océano pacífico; tan pequeña que no aparece en los mapas; tan insignificante que ni siquiera en los libros que sobre el territorio mexicano ha editado el propio gobierno, aparece mención alguna a su presencia; que en esa diminuta isla, México tuviera una base para hacer lanzamientos de cohetes que permitiesen poner en órbitas bajas, artefactos para percepción remota del territorio y los mares continentales. En tales circunstancias habría que calcular con sumo cuidado y con anticipación el despegue, el vuelo inicial y la inyección en órbitas precisas,

184

Inyección en órbita de un satélite artificial

vជ 0 rជ0 0 F

rជp

Figura 3.7.4. Un objeto se inyecta en una órbita elíptica. Se lanza desde la base espacial en la isla de Clipperton, México (aprox. 10°N, 105°W), donde está el foco F.

los cuerpos que habrán de servir al ser humano en el espacio, tal como se menciona al principio de este relato. Para establecer estas cuestiones con precisión, habrá que situar a priori el punto del espacio donde se dará el perigeo de la órbita; esto es, el punto de mayor acercamiento del cuerpo a la Tierra, una vez que se encuentre en su órbita. Hacia esa dirección habrá que tender el radio vector; al perigeo rជp como el que se ha dibujado en las figuras (3.7.2), (3.7.3) y (3.7.4). Con respecto a este vector, una vez establecido, se tenderá otro; el radio vector al punto de inyección del cohete en su órbita rជ0 y se determinará con gran cuidado y precisión el ángulo que estos dos vectores: rជp y rជ0, forman entre sí. Este es el ángulo 0 que se muestra en las figuras. Adicionalmente y para completar las condiciones iniciales para la inyección a órbita, es necesario establecer el ángulo de vuelo inicial. Este parámetro es el ángulo que formará el vector de velocidad inicial del cuerpo en órbita,

185

Las ecuaciones de movimiento

vជ0 con la normal al vector de posición inicial rជ0, en el punto de inyección. Se acostumbra denotar por 0 al ángulo inicial de vuelo. A partir de estos datos iniciales, la órbita queda completamente determinada, como se verá en seguida. En particular, la excentricidad de la cónica se podrá calcular. De la fórmula general para las cónicas que se obtuvo como resultado de la integración de las ecuaciones diferenciales de movimiento, para el caso gravitacional newtoniano, dada anteriormente; 1 1  ∈cos θ  r l

(3.151)

donde la excentricidad es: ∈≡ 1 

2 Eh 2 G 2 M 2m

(3.152)

y el semi lado recto: l ≡ ∈d 

h2 GM

(3.153)

se ve fácilmente que para 0, la distancia al perigeo es rp tal que: h2  rp (1  ∈) GM

(3.154)

así que regresando a la expresión general para las cónicas, escrita anteriormente, se puede rescribir como: 1 1  ∈cos θ  . r rp (1  ∈)

(3.155)

Por otra parte, la magnitud de la proyección de la velocidad inicial, 0, escrita en términos del ángulo de vuelo inicial es

186

Inyección en órbita de un satélite artificial

h v0 cos β0  r0θ˙0  r0

(3.156)

ya que se trata de la componente tangencial de la velocidad. La otra componente de la velocidad inicial también se puede encontrar de inmediato: ⎛ d ⎛ 1⎞ ⎞ MG ∈ senθ0  v0 sen β0 ≡ r˙0  h ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ (3.157) r0v0 cos β0 ⎝ dθ ⎝ r ⎠ ⎠ θ  θ 0 en donde se ha hecho uso de las dos fórmulas anteriores. Regresando a la penúltima fórmula anterior, es posible despejar al momento angular h; así que, con la ayuda de la ecuación de órbita, se obtiene en forma directa, la siguiente relación: r0v02 cos 2 β0 ≈ 1  ∈cos θ0 . MG

(3.158)

Entonces de estas dos últimas fórmulas es posible despejar una expresión que ya no contenga a la excentricidad ∈ y que la dependencia de la anomalía verdadera inicial 0 en términos del ángulo de inyección 0 sea la siguiente:

tan θ0 

⎛ r0v02 ⎞ ⎜ MG ⎟ sen β0 cos β0 ⎝ ⎠ ⎛ r0v02 ⎞ 2 ⎜ MG ⎟ cos β0 1 ⎝ ⎠

.

(3.159)

Ahora sumando los cuadrados de ∈sen0 y ∈cos0, se obtiene una fórmula para la excentricidad: ⎞ ⎛ r v2 ⎞⎛ r v2 ∈ 1  2⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ cos 2 0 . ⎠ ⎝ MG ⎠ ⎝ MG

187

(3.160)

Las ecuaciones de movimiento

Finalmente, comparando esta expresión, con la que se obtuvo en general para la excentricidad, se ve que: Er0 r v2  0 0 1, MG 2 MG

(3.161)

que da una fórmula para la energía total E, por unidad de masa del cuerpo, en función de los parámetros de inyección al concluir la combustión. En particular, si 00, entonces,

θ0  0 ,

∈

r0v02 1. MG

(3.159 a)

(3.160 a)

En este caso, una órbita circular (∈0) se daría si r0v02 1. MG

(3.161 a)

La órbita será elíptica cuando 1