Mathematische Lehrstunden: Aufgaben aus der Lehre vom Größten und Kleinsten [Reprint 2018 ed.] 9783111485898, 9783111119229

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichniß
Einleitung
Erstes Kapitel
Zweites Kapitel
Drittes Kapitel
Viertes Kapitel. Aufgaben mit mehreren Veränderlichen
Fünftes Kapitel. Vermischte Aufgaben
Tafeln

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Mathematische Lehrstunden von

K. H. Schellbach, Professor der Mathematik am Königl. Friedrich.WilhelmS-Gymnasium und an der Königl. Kriegs.Akademie zu Berlin.

Aufgaben anS der

Lehre vom Größten und Kleinsten. Bearbeitet und herausgegeben von

A. Bode und E. Fischer,

Dr.

phil.

Mit sechs Figurentafeln.

Berlin. Druck und Verlag von Georg Reimer.

1860.

V o r w o r t. !^ie Verfasser des vorliegenden Buches hatten als Mitglieder des mathematischen Seminars, welches am hiesigen Friedrich - Wilhelms - Gymnasium errichtet ist,

vielfache Ge­

legenheit, den mathematischen Unterricht des Herrn Professor Schellbach genauer kennen zn lernen. Sie übernahmen da­ her gern den Auftrag desselbeu, die von ihm in der Prima jenes Gynmasiums vorgetragenen und theilweise schon geord­ neten Aufgaben aus der Theorie der Mayima und Minima in seinem Sinne zu bearbeiten und herauszugeben, indem sie hofften, daß diese sowohl an sich interessanten, als in ihrer Behandlung pädagogisch fruchtbarm Probleme auch in weiteren Kreisen ein brauchbares Material für den Unterricht bieten dürften.

Diese Aufgaben find fast sämmtlich, wenn auch mit

Hülfe des Lehrers, von den Schülern unseres Gymnasiums aufgelöst worden, und wir haben uns dadurch überzeugt, daß solche Probleme in der That mit Erfolg auf unseren Schulen behandelt werden können.

Die Methoden, welche wir an­

gewandt haben, die höheren und transscendenten Gleichungen numerisch aufzulösen, haben es uns möglich gemacht, die Auf­ lösung aller Probleme vollständig durchzuführen, ein Punkt, auf den wir noch besonders aufmerksam zu machen wünschten. Auch für Studirende der exacten Wissenschaften möchte in diesem Buche Manches enthalten sein, was einerseits zur

Einleitung in die höhere Analysis dienen und andererseseits neue Gesichtspunkte für dieselbe darbieten kann. Ferner 1 ha­ ben wir einzelne besonders wichtige Probleme, die sich in i den meisten Lehrbüchern kaum angedeutet finden, mit einer be­ sonderen Ausführlichkeit durchgeführt. Leider sahen wir uns aber genöthigt, manche pädagogische Rücksichten fallen zu lassen, um der vorliegenden Sammülung eine wissenschaftlichere Gliederung und einen bessern Abschhlnß geben zu können. Wir wiirden z. B. die wenigen im §§. 1 des ersten Capitels zusammengestellten Aufgaben und ebvenso die meisten die kürzesten Linien betreffenden Abschnitte zu einner Behandlung auf der Schule nur in seltenen Fällen für: er­ sprießlich halten. Ebenso möchten wir es vorziehen, das Z im Anfange des dritten Capitels in seinen Principien ausSeinandergesetzte Rechnungsverfahren nicht zuerst den Schülilern vorzutragen, sondern dieselben durch schickliche Behandlung z der Aufgaben selbst allmählig in den Gedanken der Methode t ein­ zuführen. Einige, besonders physikalische, Aufgaben haben wir bbeide Yen vom Herrn Professor Scheltbach behandelten hinzizugefügt. Außerdem hatten die Herren F. G. Mehler i und Dr. I. W. O. Nöthig die Rechnung in einzelnen Nllummern bereits früher durchgeführt. Berlin, Ende März 1860. A. Bode.

E. Fischer, Dr. philil.

Inhaltsverzeichnis Seite

Einleitung......................................................................................

1

Erstes Kapitel. Funktionen, aus deren Gestalt sich durch bloße Umformung ihre größten und kleinsten Werthe ergeben. 8.1. Algebraische Funktionen, Nr. 1—5.........................................

2

§.2. Trigonometrische Funktionen, Nr. 6—9................................

5

Zweites Kapitel. Functionen, deren größte und kleinste Werthe durch Auflösung quadrati­ scher Gleichungen gefunden werden, Nr. 10—16................................

x

9

Drittes Kapitel.

Allgemeine Methode die größten und kleinsten Werthe beliebiger Funktio­ nen mit einer Veränderlichen aufzufinden......................................... 16 §. 1. Geometrische Aufgaben, Nr. 17 —39.....................................19 17—31 stereometrische Aufgaben, 32 — 35, 38 und 39 Aus­ gaben aus der ebenen, Nr. 36 und 37 aus der sphärischen Tri­ gonometrie. $. 2. Mechanische Aufgaben

. .. ........................................................... 59

§.3. Physikalische Aufgaben................................................................. 72 . Stillstand der Planeten 48, Regenbogen 49, Mond- und Son­ nenhöfe 50, photometrische Probleme 51—59. Der Körper der stärksten Attraction 60.

VI

Inhaltsverzeichnis

Viertes Kapitel.

@eite

Größte und kleinste Werthe von Funktionen mit mehreren Veränderlichen . 112 Nr. 61—66.

Fünftes Kapitel. Vermischte Ausgaben . ..................................................................... 122 Theorie der kürzesten Linien Nr. 70—75 und isoperimetrische Probleme von Steiner, Nr. 76—85.

Einleitung.

Ä/tan versteht unter einer Funktion der Größe x eine zweite Größe M, welche von der ersteren auf irgend eine Weise so abhängt, daß ihr Werth bestimmt ist, wenn x bestimmte sonst aber beliebige Werthe annimmt. Man nennt deshalb x die unabhängig und M die abhängig veränderliche (variable) Größe. Im Folgenden betrachten wir nur solche Funktionen, deren Ab­ hängigkeitsgesetz sich in die Form eines mathematischen Ausdrucks kleiden läßt und stellen uns zur Aufgabe, diejenigen Werthe der un­ abhängig Veränderlichen x zu finden, welche einer gegebenen Funktion ihre Maximal- oder Minimalwerthe geben. Wir verstehen aber unter denselben diejenigen besondern Werthe der Funktion, welche bei einer stetigen Veränderung von x, im ersteren Falle größer, im andern kleiner sind, als die unmittelbar vorhergehenden und die unmittelbar folgenden. Offenbar fallen die absolut größten und kleinsten Werthe einer Funktion mit unter diese Definition, wenn wir von einigen Ausnahmefällen, die bei den folgenden Aufgaben nicht vorkommen, absehen wollen.

Erstes Kapitel. §. 1.

In vielen Fällen läßt die Form einer Funktion M sofort die Werthe der unabhängig Veränderlichen erkennen, welche dem Maximum oder Minimum entsprechen, oder läßt wenigstens sofort die Gleichun­ gen aufstellen, durch welche dieselbe bestimmt wird. Dies findet unter andern Statt, wenn M eine Summe von Quadraten oder auch Constanten und Quadraten ist, oder sich unter der Form einer Schellbach, Mathematische Lehrstunden.

1

2

Erstes Kapitel.

einfachen trigonometrischen Funktion darstellt, wie auS den folgenden Problemen ersichtlich ist. 1. (Sitte gegebene Strecke 2a soll so in zwei Theile getheilt werden, daß das aus beiden Stücken gebildete Rechteck den größt­ möglichen Inhalt hat. Bezeichnet man das eine Stück der gegebenen Strecke mit a+x, so ist das andere a—x und der Flächeninhalt des aus beiden ge­ bildeten Rechteckes M --- as—x*. Offenbar hat nun M für x = 0 seinen größten Werth, so baß das aus der Seite a gebildete Quadrat das gesuchte größte Rechteck ist. 2. Für welche Werthe von x wird die Funktion:

ein Minimum? Aus der gegebenen Form von M folgt leicht:

M — a(x+«)H—7-----aa v ’ x+a --- a(x+«)+2}/ab+^qL- — (aa+2|/äb) --- —(a« + 2yab)+ jl/a(x+«) +

'

Man erhält nun offenbar den kleinsten Werth von M, wenn das Quadrat in der letzten Gleichung verschwindet. Die gesuchten x sind also durch die Gleichung bestimmt:

>/a(x+«) + j/^ = 0 oder

Der kleinste Werth der Funktion M aber selbst ist

M — — (act+2j/ab). Dabei ist noch zu berücksichtigen, daß die Wurzel ein doppeltes Vor­ zeichen haben kann, so daß M zwei Minimalwerthe hat.

Erstes Kapitel.

3

3. ES soll das Maximum der Funktion

a x+«

b x+ß

M = —----------—5 gefunden werden. Man hat offenbar identisch:

= (x +— oder, wenn man nach Auflösung der Klammern

2yab

subtrahirt:

________

________

addirt und

»(«-A Die Maximalwerthe von M sind also durch die Gleichung bestimmt:

J&(x+ß) r x+a

,/b(x+«) _ i x+ß ~u-

Erweitert man mit

so erhält man mit Berücksichtigung

der doppelten Wurzelzeichen:

+«yir—ßfä

x_ Y^+Yb Die entsprechenden größten Werthe von M aber sind: m

=

a—ß

4. Aehnliche Beispiele ließen sich auch für den Fall aufftellen, daß M eine Funktion mehrerer unabhängig Veränderlicher ist. ES ist z. B.

M = (x-y)(^-y) = (Va+yb)2—(|/^±]/y) ein Maximum, wenn matt hat:

Vf+l/f=o. 5. Ebenso ist

____

____

M = a)/x+«—b/y+z? oder

M* = (a*—b’)(x—y+a—ß)-\-(^f+ß— bl/x+ä)* 1*

Erstes Kapitel.

4

ein Minimum, wenn man annimmt, daß x—y immer denselben konstanten Werth behält, und «man außerdem (1.) a/y-J-/?—b^x+a — 0 setzt. Auf eine Funktion von der vorliegenden Form führt, 3. B. das folgende Problem, welches übrigens in Nr. 40 noch einmal be­ handelt ist. Von welcher Höhe CA = x (Fig. 24) muß eine voll­ kommen elastische Kugel fallen, damit sie zurückspringend in der kürzesten Zeit einen auf der Vertikale CA liegenden Punkt B wieder erreiche? Cs sei BA — h. Die Kugel fällt von C bis A in der Zeit

Die Zeit r aber, welche die Kugel gebraucht, um wieder nach B zurückzuspringen, ist ebenso groß als die Zeit, in welcher der von C fallende Körper die Strecke BA zurücklegt. Mithin

Cs soll nun M — 2|/x—}/x—h --- 2 /x—y'y

ein Minimum werden. Diese Funktion ist aber mit dem obigen M identisch, wenn man a = 2, b = l,

oder

k^2

h

und

)/3ro2

}/3 nl

k^3 s = i---------

/37t2 Aus diesen Werthen folgt auch leicht die Proportion: x2:h2:s2 — 1:2:3. Die Aufgabe ein kegelförmiges Flüssigkeitsmaß zu konstruiren, dessen Volumen ein gegebenes ist, und dessen Oberfläche so klein wie mög­ lich sein soll, damit ein möglichst kleiner Theil der zu messenden Flüssigkeit verloren gehe, wird leicht auf ganz ähnliche Weise gelöst. Man findet die Oberfläche M, wenn

I

der gegebene Inhalt ist, und man

die Bezeichnungen der vorigen Aufgabe beibehält, durch die Gleichung:

Geometrische Aufgaben.

Diese Function wird aber ein Minimum, wenn eS x4 + Man setze also

qi*

23 9I2

wird.

9P

x4—x;1 + 4-^ —5t8-tX2,-t = o 5t'X*

oder, wenn man die beiden Brüche ans einen Nenner bringt und x‘—xj absondert: (x*-xj)j(x*+x;)-^r} = 0.

Also auch , ,

,

x +x> =

91-

Setzt man aber x —x,, so ergiebt sich »912 2x — —r 5t* und h =

v oder

x = i/ir 1/' —— 51/2 also h = x y*2.

Daß aber das gefundene x und h in der That einem kleinsten Werthe. entspreche, wird ganz ähnlich, wie in der vorhergehenden Aufgabe gezeigt.

.

19 Es soll aus einem gegebenen Kreise vom Radius r ein Sektor ACB (Fig. 10) so ausgeschnitten werden, daß, wenn der Rest zu einem Kegelmantel zusammengebogen ist, der Inhalt dieses Kegels so groß als möglich werde. Die Existenz eines solchen Maximum ist von vorn herein ein­ leuchtend. Wird nun der Sektor ACB herausgeschnitten und der überstumpfe Winkel ACB mit 25ix bezeichnet, so wird der Rest der Kreisperipherie — 25trx. Derselbe soll aber der Umfang der Kegel­ grundfläche sein. Bezeichnet man also den Radius derselben mit (>, so ergiebt sich

(1)

e - rx.

Da ferner die Seite des Kegels, dessen Höhe — h sein mag, so groß wie der Radius r des gegebenen Kreises sein muß, so hat man r* = ß*+h* oder

(2)

h = y?=7.

Dritte» Kapitel.

24

Nun ist aber der Inhalt des Kegels

M — Also hat man nach (1) und (2)

M — £jrr3.yx4—x6. Diese Funktion wird nun zugleich mit x4—x6 ein Maximum. setzt also nach der bekannten Methode: x4—x4 —(x6—xj) = 0

Man

oder

(x2—xj){x*+xj—(x4+xsx3+-0! --- 0. Also auch: x°+xj—(x4+x°xj+xj) = 0. Mithin, wenn man x --- x, setzt: x --- Vl,

die einzige Lösung, welche von Wichtigkeit ist. Somit ist die Länge des auszuschneidenden Bogens AB

AB = 2nr(l—Vi) und der Winkel ACB = 66°,06144. Ferner wird:

Q = iVi

und

h = r/i.

Für den Winkel « aber, den die Axe des Kegels mit den Seiten desselben bildet, erhält man: 0 , tg a = ~ = y2

und daraus

a = 54° 44' 8", 2. SO. Das Problem, das zweckmäßigste chlindrische Flüssigkeits­ maß zu finden, auf dessen Oberfläche so wenig als möglich von der zu messenden Flüssigkeit haften bleibt, wird leicht auf die rein geo­ metrische Aufgabe zurückgeführt, einen Cylinder zu konstruiren, der ein gegebenes Volumen hat, und dessen Mantel und Grundkreis zu­ sammengenommen ein Minimum werden. Ist r der Radius, h die Höhe und I der gegebene Inhalt des gesuchten Cylinders, so hat man erstens: I — «hx*. Die Summe des Mantels und des Grundkreises aber ist:

M = 2rexh + xJn. Eliminirt man also h mit Hülfe der ersten Gleichung, so findet man:

Geometrische Ausgaben.

25

H -- —+x*rt. x

Man setze daher: -+x1« = -+x> X

X,

1

oder

31 ^—-^1 folglich, wenn man die erste Differenz auf einen Nenner bringt: 2I^}-M(x-x,)(x + x,) = 0.

Dividirt man diese Gleichung mit x—x, und setzt dann x -- x„ so ergiebt sich: —r = nx oder x*

Dieser Werth von x ist aber offenbar der dem Minimum von M entsprechende. Ganz ähnlich wird die folgende Aufgabe behandelt. 21. Welche Form müssen chlindrische Münzen vom Volu­ men I haben, damit sie so wenig wie möglich abgenutzt werden. Man hat also einen Cylinder von der Höhe h, einem Grund­ kreise x und einem gegebenen Inhalte I so zu bestimmen, daß seine Gesammtoberfläche M so klein als möglich werde. Es ergiebt sich nach diesen Bezeichnungen: I — »hx* und M — 2nxh + 2x2ti daher M -- —+2x*«. x Man setze nun

IiiSr}+”(x,-xi)=0’ folglich, wenn man mit x—x, dividirt und dann x — x, setzt 3

2x

= h,

26

Drittes Kapitel.

d. h. die Höhe der Münze muß gleich dem Durchmesser ihrer Basis sein. «. Wie verhält sich eine Kugel zum größten Kegel, zum größten Cylinder und zum größten quadratischen Prisma, das aus ihr geschnitten werden kann? 1) Das Verhältniß der Kugel zum größten ausgeschnittenen ge­ raden Kegel. Der Kreis mit dem Mittelpunkte M (Fig. 12) sei ein größter Kreis der gegebenen Kugel, und ABC ein Durchschnitt des Kegels mit der Kreisebene. Der Radius der Kugel sei ---- r, der der Kegelbasis =p. Die Entfernung des Kugelmittelpunktes von der Kegelbasis — x. Man findet demnach für den kubischen Inhalt eines einge­ schriebenen Kegels M— x2)(r+x). Da diese Funktion ein Maximum werden soll, und auch, wie man sich leicht überzeugt, in der That ein solches hat, so setze man nach der bekannten Methode: (r‘—x‘)(r+x) --- (r3 —x3)(r+x,) oder r'O-x.) —r(x3—x3)—(x3—xf) = 0. Hebt man aber mit x—x, und setzt alsdann x — x,, so ergiebt sich als einziger Werth von x, der eine geometrische Bedeutung hat, x = ^r; p3 — fr* und die Höhe des Kegels h — *r. Daraus ergiebt sich denn das gesuchte Verhältniß — 2) Das Verhältniß der Kugel zum größten ausgeschnittenen Cy­ linder. M (Fig. 13) sei wiederum der Mittelpunkt der gegebenen Kugel, deren Radius — r ist. y sei die halbe Höhe des Cylinders und x der Radius seines Grundkreises. Man findet nach dieser Bezeichnung den Inhalt deS halben Cylinders M = Ji(r3 — y3)y. Hieraus folgt aber nach der gewöhnlichen Methode für das größte M X = r/l und y = ry^. Das gesuchte Verhältniß ist demnach — /3. 3) Das Verhältniß der Kugel zum größten ausgeschnittenen qua­ dratischen Prisma.

Geometrische Ausgaben.

27

ES sei ABCD (Fig. 13) ein ebener Schnitt, der durch zwei Diagonalen des eingeschriebenen Prisma gelegt ist und zur qua­ dratischen Grundfläche senkrecht steht, x sei die halbe Diagonale der letzteren und y die halbe Höhe des Prisma. Wir erhalten nach diesen Bezeichnungen als den Inhalt desselben M — 4(r*—y*)y also wie bei dem soeben untersuchten Cylinder: y = r/i- und x — y'l-r. 7El/3

Das gesuchte Verhältniß aber ist — —• Soll ferner nicht das Volumen der eingeschriebenen Körper, son­ dern ihre Gesammtoberfläche ein Maximum werden, so wird man ebenfalls auf Gleichungen geführt, deren Behandlung keine besonderen Schwierigkeiten bietet. Wir unterlassen deshalb eine speciellere Be­ handlung dieser Aufgaben. 158. Um eine gegebene Kugel vom Radius r soll ein Kegel so beschrieben werden, daß 1) sein Inhalt, 2) sein Mantel, 3) seine Oberfläche, so klein wie möglich werde. Von der Existenz der sämmtlichen Minima, um welche es sich hier handelt, überzeugt man sich zunächst ohne alle Schwierigkeit. Es sei ABC (Fig. 14) ein ebener Schnitt durch die Axe AE des umschriebenen Kegels und folglich auch durch den Mittelpunkt v der gegebenen Kugel. Setzt man BE — x, AE = y und AF = u, so erhält man (1) r:u = x:y. Ferner ist: (2) y* = u(u + 2x). Folglich, wenn man aus (1) und (2) u eliminirt:

1) Man hat demnach für den Inhalt M des der Kugel um­ schriebenen Kegels:

Drittes Kapitel.

28

M = £ rer*

x4 x*—r 2

oder, wenn man mit x4 die rechte Seite hebt: 1

M = t Ji.r-

1

r2

Damit nun M ein Minimum werde, muß -p—ein Maximum werden.

Nach der bekannten Methode muß dann: x --- r/2

und

y = 4r

sein,

so daß also die Höhe des gesuchten Cylinders gleich dem doppelten Durchmesser der umhüllten Kugel ist. 2) Für den Mantel deö Kegels erhält man nach den obigen Bezeichnungen:

x*+r r M = rrx4- x^r 2

*

Man setze also: oder:

x*(x»+r’) (x: -r*)-x» (x?+r2) (x2-r2) = 0. Löst man ferner die Klammem auf, so erhält man: X4 x] —xj X1 — r2

(x4 — X?)—r4 (x2—x?) = 0 oder x’ x* (x* —xj)—r2 (x* — x?) (x*+x3)—r4 (x* — x*) = 0. Dividirt man diese Gleichung mit x2 —x2 und setzt dann x — x,, so ergiebt sich:

x4—2r2x*—r4 — 0 x = rVl + /2.

oder

3) Für die Gesammtoberfläche des umhüllenden Kegels findet man endlich:

Der von x abhängige Theil ist aber ganz derselbe, wie in Nr. 1, folglich erhält man ganz denselben Kegel wie in Nr. 1 und Wie­ demm ist:

x — r/2.

Geometrische Aufgaben.

29

Derselbe umhüllende Kegel also, der das größte Volumen hat, be­ sitzt auch zugleich die größte Gefammtoberfläche. Man könnte dies Resultat auch leicht synthetisch beweisen. Faßt man nämlich den Kegel als eine Pyramide auf, deren Basis ein Polygon von unend­ lich vielen Seiten ist, so besteht sein Mantel aus unendlich vielen unendlich kleinen Dreiecken. Betrachten wird dieselben aber als Basen von Tetraedern, deren gemeinschaftliche Spitze der Mittelpunkt der umhüllten Kugel ist, so können wir das Volumen des zu unter­ suchenden Kegels als Summe dieser Tetraeder auffassen, wenn wir noch den Kegel hinzufügen, dessen Spitze ebenfalls im Mittelpunkte der Kugel liegt, und dessen Basis die Basis des ursprünglichen Ke­ gels ist. Nun aber haben sämmtliche Volumenelemente dieselbe Höhe r. Sondern wir also den gemeinschaftlichen Faktor Zr ab, so bleibt als zweiter Faktor die Basensumme sämmtlicher den Kegel zusammensetzenden Körper, dieselbe aber ist nichts als eben die Gesammtoberfläche des Kegels. Es ist also das Volumen = i-r Gefammtoberfläche. Da nun r konstant ist, so hat derjenige Kegel zugleich das größte Volumen, der die größte Gefammtoberfläche hat. 24. Es sei ein Flüssigkeitsmaß von der Form eines abge­ stumpften Kegels so zu konstruiren, daß bei gegebener Neigung « der Seiten zur Grundfläche und bei gegebenem Inhalte — I , seine Ober­ fläche so klein als möglich werde. Der Radius des Grundkreises MA (Fig. 15) sei gleich x, der deS oberen GrenzkreiseS M'B — q die Höhe des Gefäßes M'M --- y und die Seite AB = s. Man hat nach dieser Bezeichnung:

,

p — x—ycota, sin«

also, da 1 —

ist: (1)

I = £rctg«{x3—(x—ycota)3}.

Die Oberfläche M des zu suchenden Maßes nun besteht aus der kreisförmigen Basis =?tx2 und dem Mantel eines abgestumpften Kegels. Man findet demnach:

Drittes Kapitel.

30

M = »ix8-

2?ixy sin «

»iy2cot« sin« „2

Oder wenn man, nach Division mit n,

COS«

auf der rechten Seite

abbitt und subtrahirt:

Mcos« „2». , , x, —-— — 2x8cos8|«—(x—ycot«)*. Nun folgt aber aus (1)

(2)

x—ycot«

V(,•——)*, Ttisa' rotgi

also, wenn man diesen Werth in die Gleichung für M einsetzt:

M cos « n

— 2x8cos84«— )x3 ‘ f

31 jitg«

ES soll nun x so bestimmt werden, daß M ein Minimum wird. Nachdem man der Abkürzung halber noch a für 2cos2^« und b

31

für -

substituirt hat, setze man also nach der bekannten Me­

thode: ax8—(x3—b)'* — axj—(xf — b)*

oder

a (x2— xJ) — {(x3—b)S — (x3 — b)5} --- 0. Um aus der Differenz der hier auftretenden Wurzelgrößen den Faktor x—x, absondern zu können, erweitere man dieselbe mit /(x3—b)4 + )/(x3—b)2(xj-b)2 + ]/(x3-b)4. Da nämlich nach einer bekannten Formel, deren Herleitung auch durchaus keine Schwierigkeiten darbietet:

Vp2—vV —

p8—q8

yp'+ypV+yq1

ist, so erhält man nach dieser Operation:

, a(x

XJ

(x3—b)8—(x?—bj8 (x3— b)i+(x3— b)l (X3—b)* + (x3 —b)f -- 0.

Hebt man aber mit x -x, und setzt alsdann x = x,, so ergiebt sich:

ax(x3—b)/(x3—b) — x2(x3 — b). Diese Gleichung wird nun erfüllt, wenn m«t: x = 0

oder auch:

Grornetrische Aufgaben.

x3—b — 0

31

oder endlich:

3

a/x5—b — x

setzt.

Die erste Wurzel entspricht aber keinem abgestumpften, sondern einem gewöhnlichen Kegel. Ebenso die Wurzel

Denn man erhielte aus der Gleichung (2): (> — x—ycote = 0.

Es ist also die dritte Lösung allein die entsprechende, d. h.

oder, wenn man für a und b wieder ihre ursprünglichen Werthe substituirt: tt

i a (1+2 cos * ^ a+4 cos4£ «)

Hat man nun x gesunde», so erhält man auch y durch eine ein­ fache geometrische Construktion. Halbirt man nämlich den Winkel MAB — « und verlängert die Halbirungslinie, bis sie daS Loth MM' im Punkte C schneidet, so ist CM das gesuchte y. Daß endlich das gefundene x einem Minimum entspreche, ist klar. Für x = wird nämlich auch M = oo. Wird aber x klei­ ner, so sinkt M, bis x jenen einzigen ausgezeichneten Werth erreicht. Da es also, wenn x noch kleiner wird, wieder steigen muß, so ist in der That ein Minimum von M gefunden. Im Uebrigen entspricht die vorliegende Aufgabe ganz jener in Nr. 20 gelösten, die nur als besonderer Fall der vorliegenden (« — 90°) zu betrachten ist. ®5. Aus einem gegebenen geraden Kegel, dessen Seite --- s ist, soll die Parabel geschnitten werden, deren Oberfläche DBF (Fig. 11) so groß als möglich ist. Von der Möglichkeit der Aufgabe oder von der Existenz wenig­ stens eines Maximum überzeugt man sich zunächst leicht. Setzt man alsdann den Winkel ACB — 2« und die Strecke von C bis zum Scheitel der Parabel D = x, so kann man stets

Dritte- Kapitel.

32

eine Relation zwischen DM = | und ME — rj, d. h. die Gleichung der Parabel aufstellen. Man erhält nämlich: l — MA = DD' --- xsina.

Also, wenn man den Radius des Grundkreises QA mit r bezeichnet: QM = r—2xsina.

Folglich:

= 4rxsina—4x2sin‘a.

Nun ist aber:

r --- ssin«.

Also

r]* --- 4sxsin*« + 4x*sin,a

(1)

= 4x(s—x)sina* — 4x^ sin a1.

oder

Ferner hat man für die Oberfläche der Parabel M die bekannte Gleichung: M = St.5, und diese Funktion ist nun so zu bestimmen, daß sie ein Maximum wird. Da aber $ --- s—x ist, so folgt aus (1) rj — 2sin«/x(s—x). Also erhält man für den Flächeninhalt der Parabel: M --- 4sina(s—x) ^x(s—x) — |sina]/x(s—x)\

Man hat mithin nur den größten Werth von x(s—x)‘ zu suchen. Substituirt man aber s—x = u, also x = s—u, so nimmt dieser Ausdruck die Form an: u3(s—u) Setzt man aber u3(s—u) = u3(s —u,) u. f. w>, so ergießt sich u = |s, also x = -jS. und das entsprechende: S2

M = -VSsina. 4

96. Es soll eine Kugel so bestimmt werden, daß aus ihr ein Kugelausschnitt geschnitten werden kann, dessen Inhalt gleich dem Inhalte einer gegebenen Kugel ist, und dessen Gesammtoberfläche ein Maximum wird.

Geometrische Aufgaben.

33

Der Radius der gegebenen Kugel sei =(>, der Radius der zu bestimmenden =x, und die Höhe des Kugelabschnitts = h.

Man

hat alsdann zwischen x und h die Bedingungsgleichung: — ^ttxMi

oder

h=*. x4 Da ferner die Oberfläche M des Kugelausschnittes aus einer Kugel­ kalotte und dem Mantel des zugehörigen Kegels besteht, so erhält man: M = 2rtxh + 7ix}/h (2x—h), oder, wenn man h mit Hülfe der obigen Gleichung eliminirt:

Setzt man noch

= u,

so ist u so zu bestimmen, daß der Aus­

druck:

_____ 2u + u/u3—i

seine ausgezeichneten Werthe erhalte.

Setzt man also:

2u + u]/^- —1 = 211,4-11,

2(u

U,)+U

1

U,

1

y^-1

oder

=

0

und sondert, nachdem man die Differenz der beiden Wurzeln mit ihrer Summe erweitert, den Faktor u—u, ab, so ergiebt sich:

-+(«+»,) 2

—

also, wenn man u = u, setzt:

2

2u3+l —

oder, wenn man die rechte Seite mit u3 hebt:

=

3 + —— 1. u3

Drittes Kapitel.

34 Substituirt man endlich

—1 = z, so findet sich:

z1—4z+3 = 0 oder z — 3 und z — 1. Dem entsprechend findet man für u die beiden Werthe: u = v'-jV 3

und u = /£, 3

also

x = ß/10

und x = g/2

und

h = £(>/iO und h = (i/2.

Für bl erhält man demgemäß #rp2/l00 und n^/108. Der durch x = h = p/2 bestimmte Kugelausschnitt ist eine Halbkugel vom Radius p/2, die in der That ebenso groß ist als die gegebene Kugel. Außer diesen beiden soeben aufgefundenen ausgezeichneten Werthen von x sind aber die Grenzwerthe der Funktion M selbst noch größte oder kleinste Werthe, ohne allerdings Maxima und Mi­ nima in dem Sinne zu sein, wie tvir dieselben bisher desinirten und wie wir sie durch unsere Methode auffinden können. Betrachtet man nämlich den Ausdruck M = Su+uj/i,-!

oder den identischen

______ M = 2u+"/-jj—u%

so sieht man, daß in demselben u nicht kleiner werden kann als 0. Für u = 0 wird aber die Wurzel und folglich M — oo* Ebenso wird das entsprechende X — oc und h = 0. Wird also aus einer unendlich großen Kugel ein Ausschnitt vom Volumen i\ng3 genommen, so ist die Oberfläche desselben — oo und die Höhe der zugehörigen Calotte — 0. Der andere äußerste Grenz­ werth, den u annehmen kann, ohne daß M imaginär wird, ist u = l, also X = Q und h = 2 Q und das zugehörige M=

Geometrische Aufgaben.

35

Dieser Werth ist nun der letzte und zugleich der kleinste, den M überhaupt annehmen kann, wie man sich leicht durch eine Vergleichung mit den obigen Werthen überzeugt.

Der Kugelausschnitt aber re-

ducirt sich ans die gegebene Kugel, deren Oberfläche also kleiner ist als die jedes gleich großen Kugelausschnittes.

Aus noch kleineren

Kugeln läßt sich natürlich kein Stück von der verlangten Größe mehr herausschneiden, so daß x nur zwischen +oc und g batiken kann. Nach diesen Betrachtungen nun kann man auch leicht entscheiden, ob die oben gefundenen Werthe von x Maximis oder Minimis ent­ Ist nämlich x — oo, so wird auch M = oo. Nimmt nun x ab, so fällt auch M, und der erste ausgezeichnete Werth von x,

sprechen.

den diese Größe erreicht, d. h. x — gy' 10, gehört also einem Mi­ nimum jener Funktion an.

Dieselbe muß folglich, wenn x noch kleiner

wird, wieder steigen bis zum folgenden ausgezeichneten Werthe, d. h. 3

bis x =

wird.

Für diesen Werth ist also M ein Maximum,

und es sinkt von demselben an, bis x den äußersten Werth x = g an­ nimmt, bei welchem die Curve:

M = 2u-|-u}/u3—1 plötzlich abbrechen,

oder sich

vielmehr mit ihrem zweiten Zweige

vereinigen würde, den man erhält, wenn man das negative Vorzeichen der Quadratwurzel berücksichtigt, der aber in unserem Falle keine geometrische Bedeutung hat. Ueber die Gestalt der Vienenzellen.

Bekanntlich

haben die Bienenzellen die Form eines geraden sechsseitigen Prisma, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck bildet.

Ist die Seite

desselben — r>, so kann man das sechsseitige Prisma in drei andere Prismen zerlegen, deren Basen Rhomben von derselben Seite a sind. Diese drei Prismen aber werden oben durch Ebenen geschlossen, die zur Basis nicht parallel sind, sondern eine bestimmte Neigung zu. derselben haben.

Es soll nun gezeigt werden, daß bei diesem Ver­

schlüsse der sechsseitigen Zellen die Oberfläche derselben kleiner wird, daß also zu ihrer Construktion weniger Wachs erforderlich ist, als dies bei einer parallelen Grenzebene der Fall sein würde, ohne daß dabei aber der räumliche Inhalt der Zelle ein anderer wird.

Es

sei A'C (Fig. 16) eines der drei die Zelle zusammensetzenden Prismen,

3*

Drittes Kapitel.

36

dessen Basis der Rhombus AB CD ist. Ferner sei A'B'C'D' ein Schnitt des Prisma parallel zur Grundebene. A'A sei — b. Der Schnittpunkt der Diagonalen A'C' und B'D' heiße G. Man lege nun durch A'C noch eine zweite Ebene die B'B in E und D'D in F schneiden mag, so daß also D'F — EB' — x ist. Der Rhombus A'FC'E nun, der den wirklichen Verschluß des Prisma, wie er von den Bienen gemacht wird, darstellen mag, be­ grenzt offenbar daö betrachtete rhombische Prisma so, daß sein Rauminhalt ungeändert derselbe bleibt wie bei dem Prisma A'C, da die Tetraeder FA'C'D' und EA'C'ß' kongruent sind. Hingegen ist die Oberfläche des Prisma eine andere geworden. Da es sich aber nur um ihre wirklich in Wachs ausgeführten Theile handelt, so hat man nur den Rhombus FE mit der Summe des Rhombus D'B' und der beiden Dreiecke A'B'E+B'EC zu vergleichen. Eine einfache geometrische Betrachtung zeigt nun, daß, wenn man die Ebene B'A'D'C um A'C dreht, der Rhombus FE anfänglich kleiner wird als jene Summe, daß also ebenso die Oberfläche des Prisma bei dieser Drehung anfänglich kleiner wird, bis sie einen ausgezeichneten Werth erreicht, der mithin ein Minimum sein muß. Um denselben aber aufzufinden, hat man zunächst die Ober­ fläche M der zu untersuchenden Zelle als Funktion von x darzu­ stellen. Es ist nun: B'G -- *BD — 4», ferner A'G = ii/3.a

und

EG — ]/x2+ja2. Mithin ist der Rhombus C'FA'E = a/3]/x2+ja2. Ferner sind die Trapeze AA'EB = CC'EB = ab—^ax. Folglich ist die wirklich aus Wachs gebildete Oberfläche der Bienen­ zelle, die aus drei Prismen besteht, wie das betrachtete, mit Aus­ nahme der konstanten sechseckigen Basis — 3{ay'3j/x2+ia2+2ab—ax} — M.

37

Geometrische Aufgaben.

Diese Funktion M nun soll ein Minimum werden. Man setze also: a /3 {yF+iV—/xf+iV} = a (x—xj.

Erweitert man noch die Differenz der Wurzeln mit ihrer Summe, so ergiebt sich, nachdem man mit x—x, gehoben: x+x.

a /3 -

]/x*+ia2+/x!+ia* folglich, wenn man x — x, setzt: x/3

/x’ + J x —

— 1,

— a,

oder

2/2

Ans diesem Resultate folgt leicht, daß, wenn die Oberfläche der Bienenzelle ein Minimum sein soll, A'E = 3B'E fern muß. S§, Wie muß ein Rechteck von der Länge l und der Breite b gebogen werden, damit das dadurch entstehende rechtwinklige Paral­ lelepipedon A'C (Fig. 17) das größtmögliche Volumen M erhalte. Es ist AA' --- CG' = b, AB+BC+CD = l, AB —vG sei x. Von der Existenz eines Maximum überzeugt man sich zunächst leicht, da wenn AB entweder nahezu — | oder nahezu =0 wird, das Volunien des Parallelepipedon sehr klein wird. Daraus folgt also, daß zwischen diesen beiden Werthen von x ein größtes Volumen existiren muß. • Man hat aber nach den obigen Bezeichnungen: M = bx(Z—2x), also für das größte M: x = £ l.

TT In den mit einer Flüssigkeit angefüllten gegebenen gera­ den Kegel BAG (Fig. 9) werde ein Würfel so eingetaucht, daß seine untere Fläche parallel mit der Kegelbasis bleibe. Wie groß muß dieser Würfel sein, damit er so viel Wasser als möglich verdränge? Daß die Menge des verdrängten Wassers in der That ein Maximum werden kann, ist klar. Ist nämlich der Würfel sehr klein, so ist auch das verdrängte Volumen sehr klein; ebenso, wenn der

38

Drittes Kapitel.

Würfel so groß ist, daß feine Diagonale fast — AC geworden. Um nun den dazwischen liegenden Würfel zn finden, der die größte Menge der Flüssigkeit verdrängt, lege man durch die Kegelaxe und zwei Kanten des Würfels eine Ebene. Dieselbe schneide den Kegel in ABC und den Würfel im ungleichseitigen Rechteck GHH'G'. Die Diagonale GH sei — 2x und HF der eingetauchte Theil der Seite HH' = y. Bezeichnet man ferner die gegebene Höhe des Kegels mit h und den Radius seines Grundkreises mit r, so folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke CHF und CBD h (r—x) Das Volumen M des im Kegel befindlichen rechtwinkligen Paral­ lelepipedon erhält man ferner durch die Gleichung M — 2x*y — — x-(r—x). r Daraus folgt denn für das dem größten M entsprechende x: x = |r und y — zh. Die Seite des gesuchten Würfels a ist aber — §/2r. Hat nun der gegebene Kegel eine solche Gestalt, daß 2/2r a wird, sondern auf ein unbe­ grenztes rechtwinkliges Parallelepipedon mit quadratischer Grund­ fläche, dessen Kontinuität nicht wie bei dem Würfel durch willkürliche Begrenzung unterbrochen ist. Im klebrigen folgt leicht aus den obigen Betrachtungen, daß von allen Würfeln, die in Kegel ein­ getaucht werden sollen, für welche 2/2r < h ist, derjenige der größte ist, dessen obere Grenzfläche, nach dem Ein­ tauchen, mit der Basis des Kegels zusammenfällt. Denn von ihm an wird das Volumen aller tiefer in den Kegel hinabragenden Wür­ fel wieder kleiner. Sollte man nicht ein regelmäßiges vierseitiges Parallelepipedon, sondern irgend ein anderes gerades Prisma, dessen Basis ein regel-

Geometrische Aufgaben.

39

mäßiges nEck ist, in einen gegebenen Kegel hineintauchen, so würde man zu ganz ähnlichen Resultaten gelangen. Es würde nämlich: 2ti

M = -insin---- x2y n J

,

. 2;i

h j,

.

— in sin--------- x (r—x). * n r x '

Man erhält also wiederum: x —Zr und y = ih. Sämmtliche Prismen müßten folglich bis auf ein Drittel der Höhe in den Kegel hineinragen, um die größte Flüssigkeitsmenge zu ver­ drängen. Daß also von allen Prismen der Cylinder am meisten verdrängt ist klar, da er bei derselben Höhe des eingetauchten Stücks die größte Grundfläche hat. Für eine eingetauchte Kugel ließe sich eine ganz ähnliche Aufgabe aufstellen und ebenso leicht, wie die obige, lösen. 30. Ein Kegel E'AG' (Fig.20), ist bis zur Linie EG mit einer Flüssigkeit erfüllt. Taucht man alsdann irgend ein gerades Prisma, dessen Basis ein regelmäßiges nEck ist in den Kegel hinein, bis DC, so wird die verdrängte Flüssigkeit bis zur Höhe AF' aufsteigen. Wie muß dann das eingetauchte Prisma gestaltet sein, damit diese Höhe AF' so groß als möglich sei. Daß in der That das gesuchte Maxinmm existire, sicht man leicht ein. Ist nämlich die n-seitige Basis sehr klein, oder sehrgroß, so wird auch nur sehr wenig Flüssigkeit verdrängt und also der Wasserspiegel EG auch nur sehr wenig gehoben. Zwischen beiden muß also nothwendig wenigstens ein Maximum existiren. Es sei E'G' ein Schnitt durch die Kegelaxe und zwei Prismakanten, so daß DE die Diagonale des n Ecks ist, welches die Basis des ein­ getauchten Prisma bildet. Die Höhe des eingetauchten Stückes BF' fei = y, BA = z, und die ursprüngliche Höhe der Flüssigkeit AF — h. Der bekannte Winkel BAC sei — «. Nach diesen Bezeichnungen wird das Volumen der vorhandenen Flüssigkeit =imh3tga. Addirt man nun dasselbe zum eingetauchten Stücke des Prisma, so muß es gleich dem Volumen des Kegels E'AG' werden. Danach erhält man nun folgende Bedingungsgleichung zwi­ schen y und 2:

Dritte» Kapitel.

40

£»ih3lg2a-{-^nsin -^-lg2otyz

oder, wenn man mit iTitg2« dividirt und (1)

3n

2n h3+ayz2 = (y+z)3.

. 2n sin-----— a n

setzt

Die Funktion M aber, die ein Maximum werden soll, ist (2)

M = y+z.

Man eliminire nun aus dieser Gleichung y mit Hülfe von (1), indem man (2) mit az2 erweitert. ES ergiebt sich dann durch Subtraktion: (3)

h3—az3 = M3—aMz‘.

Man könnte nun allenfalls diese Gleichung nach M auflösen und erhielte nach der gewöhnlichen Methode M = |z.

Setzt man diesen Werth in die Gleichung (2) ein, so ergiebt sich: yAlso nach der Gleichnng (1) 2h

3

yi

2n . 2n 9ti n

— sui —

Für einen eingetauchten Cylinder würde folglich: z=—

/lö Man kann aber die vorliegende Aufgabe auf eine andere kürzere Weise lösen. Gehen wir zu diesem Zwecke noch einmal auf die Gleichung (3) zurück. Eö giebt für jedes z immer ein zugehöriges z,, für welches M dasselbe bleibt, wie für z. Man kann also stets die folgenden

Gleichungen ansetzen: h3—az3 = M3—aMz* und h3—az? = M3—aMz?.

Durch Subtraktion dieser Gleichung erhält man: a(z3—z?) = aM (z*—z?)

oder wenn man mit a(z—z,) hebt: (z*+zz, + z?) = M(z+z,).

Für den größten Werth von M nun wird z = z, und mithin z = iM, folglich y = iM. Setzt man diesen Werth in (1) ein, so ergiebt sich: hs + /TaM3 = M3 also M — -3 ■ h - - und

y1

24ra 2h

z = ——• 3 yi—a Das gesuchte Prisma taucht also bis auf zwei Drittel von M in den Kegel ein. Dies Resultat hätte sich auch leicht aus der Lösung der vorigen Aufgabe (Nr. 29) ergeben. Gesetzt nämlich, AF' sei die größte Höhe, zu der durch das Eintauchen des Prisma die Flüssig­ keit ansteigen kann. Alsdann ist auch D'DCC' das größtmögliche Prismenstück, das in den Kegel E'AG' eingetaucht werden kann, da alle Prismen, deren Volumen kleiner als dies größte ist, die Flüssig­ keit eben nicht so hoch heben würden. Daraus folgt aber unmittel­ bar nach Nr. 29 y = •Jz. Also aus der Gleichung (1) 2h

z = —y=T

3yi-,v« 31, Auf der Centrale zweier gegebenen Kugeln MM' soll der Punkt A (Fig. 18) gefunden werden, von welchem aus die Summe der beiden überblickten Calotten ein Maximum ist. Die Radien der beiden Kugeln seien r und r', die Entfernung ihrer Mittelpunkte MM' — a. Setzt man ferner AM — x also AM' = a—x, so erhält man für die Höhen der gesuchten Calotten leicht die folgenden Werthe: HB --> — — und x r'2 B'H' = r'----- ----a—x Daraus folgt aber die Summe der beiden gesuchten Calotten: M == 2nv% + 2nxn—2n j ——|— ----) • l x a—x )

Drittes Kapitel.

42

Setzt man also so erhält man nach der bekannten Methode: X

-

A3 a/r3+i/r'3

Substituirt man außerdem noch:

so ergiebt sich: x

a 1+ a

Daß aber der soeben gefundene Werth von x in der That einem Maximum entspreche, ließe sich leicht durch einfache geometrische Be­ trachtungen darthun, wenn man bemerkt, daß bei kleinen Verschie­ bungen von A um z/x der Zuwachs, resp. die Abnahme der Calottenhöhen nahezu —

wird. Wir ziehen es indessen vor, diesen Beweis ans der besondern Gestalt der Funktion M herzuleiten. Dieselbe wird nämlich für x — 0 und x = a negativ unendlich groß. Daraus folgt, daß cs zwischen diesen Grenzwerthen einen andern geben muß, für welchen M ein Maximum wird. Der einzige ausgezeichnete Werth von x, den wir aber gefunden haben, liegt immer zwischen den Grenzen 0 und a, folglich entspricht er diesem Maximum.

3®. Das gegebene Dreieck BHD rotirt in seiner Ebene um den festen Punkt B (Fig. 7) der ebenfalls festen Linie AC. In welcher Lage des Dreiecks ist die Summe der Lothe HA+DC am größten? Der Winkel ABC sei die unabhängig Veränderliche, die wir in diesem Falle mit Öi), so daß 2/x—/x—h ein Minimum werden muß. Man setze also nach der in diesem Kapitel angewandten Methode: 2(/x—A) — Vx—h—/x,—h, oder, wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit der Summe der Wurzeln erweitert und den Faktor x,—x forthebt, _______

2________ ______ ___________________ 1_________________ .

yx.+yx — A—h+yx—h daher, wenn man x -- x, setzt: x — i-h. Ebenso bieten die in §. 2 Kap. I behandelten mechanischen Aufgaben bei einer Lösung durch unsere allgemeine Methode durchaus keine Schwierigkeiten dar. 41, Es soll aus einem gegebenen chlindrischen Stücke Bauholz der festeste Balken geschnitten werden, vorausgesetzt, daß die Festigkeit parallelepipedischer Balken dem Pro­ dukte aus der Breite derselben und dem Quadrate ihrer Höhe pro­ portional sei. Der Kreis AC (Fig. 27) vom Radius r sei ein senkrechter Schnitt durch den gegebenen Cylinder und das Rechteck BD ein sol­ cher durch den parallelepipedischen Balken. ES fei ferner AB — x die Breite des Balkens, d. h. der Fläche, auf welcher er ruht, und AD — z seine Höhe. Die Festigkeit M des gesuchten Balkens ist alsdann nach der Voraussetzung: M — cxz2, wenn man unter c die Festigkeit eines Balkens von der Breite 1 und der Höhe 1 versteht, der ebenfalls aus dem vorliegenden Materiale geschnitten ist. Zwischen x und y findet außerdem die Bedingungö-

Mechanische Aufgaben.

61

gleichung Statt: z2 — 4r*—x2. Also wird

M — 4r*cx—cx3. Daraus folgt dann für das größte M:

2r oder

2y'2r z — 1,414.x

d. h. nahezu =

ix-

Ferner hat man:

AF = FE = EC = |*r.

.

418 Auf den beiden Geraden AC und BC (Fig. 28) bewegen sich zwei Punkte von A und B aus mit gleichförmiger Geschwindig­ keit, und zwar A mit der Geschwindigkeit «> und B mit der Ge­ schwindigkeit ß, nächsten?

wann sind sich diese beiden Punkte am

Nach der Zeit t sei A in E, B in D angelangt, dann ist AE —«t, BD = /?t, und wenn man AC = a, BC — b, 2ß.ACB = y, setzt, so wird: DEe= (a—«t)3+(b—ßl)2—2(a—at)(b—/9 t) cos y. Es ist nun t so zu bestimmen, daß DE ein Minimum wird. der gewöhnlichen Methode findet man für t den Werth: —

Nach

aa + b/9—(a/9 + ba) cosy a2 + ßl— 2aßcosy

Setzt man diesen Werth in die obige Gleichung ein, so erhält man für die kleinste Entfernung beider Punkte nach einigen Reductionen: DE —

(a/9—boc)siny

/«*+/?*—'2«/9cosy

.

48 Von einem Punkte A (Fig. 1) der Vertikalen AD glei­ ten Steine nach einem Punkte B der Vertikalen CB und werden von dort mit gleichförmiger Geschwindigkeit nach dem Punkt C be­ fördert, in welcher Höhe ist B anzunehmen, oder wie muß AB geneigt sein, damit die ganze Zeit, in welcher die Steine von A nach C gelangen, ein Minimum wird?

Dritter Kapitel.

62

Es sei ADj_BC und = a, der W.DBA — x, dann ist die Zeit, welche verfließt, bis die Steine von A nach B kommen, wenn von der Reibung abgesehen wird (s. Nr. 6),

Werden aber die Steine von B nach C mit der gleichförmigen Ge­ schwindigkeit

y in der Zeit t, befördert, so ist

Ist nun CD = b, so hat man BC --- BD+DC — b+a cotx, mithin t _b+a cotx

1

7

ES soll aber die ganze Zeit t+t, ein Minimum werden. Läßt man also das constante Glied

y- weg, so ist x so zu be­

stimmen, daß die Function

(1) ein Minimum werde. Daß überhaupt ein Minimum stattfindet, sieht man sogleich, da M ein Maximum wird, wenn x — 0 ist, indem dann beide Theile der rechten Seite unendllch werden. Die Gleichung (1) läßt sich auch auf die Form bringen:

sin2x~*+c cotx zu einem Minimum zu machen. Zu dem Zwecke setzt man nach der gewöhnlichen Methode

sin2x~l+c cotx — sin 2x,*+c cotx, oder

(2)

ysin2xsm2x,

f c(cotx—cotx,) = 0.

Mechanische Aufgaben.

63

ES ist aber: /-r-r— / . , sin2x,—sin2x ysin2x,—ysin2x = , ___ ysin2x+ysin2x, 2 sin (x, —x) cos (x+x,) ysin2x+ysin2x, und . sin(x,—x) —cotx. — . v 1 .---cotx—cotx, sin x sin x, Führt man diese Werthe in (2) ein, hebt den Faktor sin (x,—x) weg, und setzt dann x = x,, so erhält man für das dem Minimum entsprechende x die Gleichung: (3)

^- + ^ = 0,

sin 2xT smx welche, wenn man sie quadrirt, übergeht in: cos2x*sinx = 8c*. (30 cosx' Führt man endlich noch statt des Sinus und Cosinus die Tangente ein, so erhält man schließlich: 1-f tgx* eine Gleichung, welche für tgx vom 5k# Grade ist, und mit Hülfe der in Nr. 33 angegebenen Näherungsmethode gelöst werden kann. Eö sei z. B. 8c* = 12, dann geht die Gleichung (30 über in: ,,x Zcos2x\2 = 12.