Mathematik zur Fachhochschulreife Technik [1 ed.] 9783464412015, 3464412015

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Cornelsen

Mathematische

Zeichen und Symbole Beispiel, Erläuterung,

Zeichen (Symbol)

Bedeutung;

+

plus, und minus, weniger multipliziert, mal

3+4=7 5-3=2 2·12=24

dividiert,

123=4;

-

:

Sprechweise

geteilt durch

n-te Wurzel aus (n = 2: Quadratwurzel

< > :S: ;::::

A. B.C L ~(L b, c)

~.\ I . . ~ N N* 71. 71.* 71.>0 71.0 71."'0 : h(t)= =-2g+ + vot + ho Der Funktionsterm für die Höhe h (t) ergibt sich als Summe aus der Turmhöhe ho , dem Anteil des Weges vot aus der geradlinig- gleichförmigen Bewegung des Wurfs nach oben und aus dem Anteil des Weges

5gt , der aus dem

sofort mit Wurfbeginn einsetzenden freien Fall resultiert. Bei

diesem physikalischen Ansatz wird der Luftwiderstand vernachlässigt. Das nebenstehende Bild zeigt den Graphen der Funktion h für ho = 30 m und v. = 25 m /s. Für die Fallbeschleunigung g, deren Wert in Mitteleuropa etwa 9 ,81 m /s2 be

t ( in s) h (t) ( in m )

30

1

2

3

4

5

50

60

60

50

300

6

trägt, verwenden wir den gebräuchlichen Näherungswert 10 m / s2. Vernachlässigen wir die Einheiten , so ergibt sich der Funk tionsterm h (t) = - 56 + 25t + 30 . Nach einer bestimmten Zeit t, ist h (t ) = , d . h ., der Stein hat den Erdboden erreicht. Man stellt fest, dass dies bei t ; = 6 s der Fall ist. Für die Funktion h ergibt sich damit als

h (t) = - 512 + 251 + 30

sinnvole Definitionsmenge das Zeitintervall D (h ) = [ ; 6 ]. Der Graph der Funktion h ist eine nach un ten geöffnete Parabel, weil der Koeffizient - 5 des quadratischen Gliedes negativ ist.

2

3

4

5

6

t

46

2 Funktionen

Allgemein bewirkt ein positiver Koeffizient a (aeR > ') im Funktionsterm a x² + bx + c einer qua dratischen Funktion die Parabelöffnung nach oben und ein negativer Koeffizient a (aeR < 9) die Parabelöffnung nach unten . Zusätzlich verändert der Graph einer quadratischen Funktion seine Form mit dem Wert für a . Beispiel 2 .31 . Die Funktion go : 86 (x ) = 2x2 ; D (g .) = R hat doppelt so große Funktionswerte wie die Funktion g : g (x ) = x2 ; D (g) = R ; der Graph von go ist gegenüber dem Graphen

186(x ) = 2x² H

yon g „ schmaler “, er ist gestreckt. . Die Funktion g7: 87(x) = ,5x²; D ( g . ) = R hat halb so große Funktionswer te wie g ; ihr Graph ist im

Verhältnis zum

Graphen von g ,,breiter“, er ist gestaucht.

86(x)

8

18

| g (x ) |4,5 |2

| ,5

8

2

2

| ,5 | 2

8 (x ) = r2

18

8 - (x ) = ,5x2

|4,5

• Analog ist auch der Graph von 8 :: 88(x) = – 3x2; D (gs) = R gestreckt und der Graph von 89: 8 ,(x) = - , 25 x2; D (g,) = R gestaucht. -3 88(x)

-2

-1

1

2

3

– 27 - 12

-3

-3

- 12

– 27

|8,(v) -2,25 -1 - ,25

g ( x ) = x2

- ,25 - 1 -2,25

-4

-3

-2

-1

2

3

4 X

Bei quadratischen Funktionstermen vom Typ ax? + bx + c bzw . vom Typ a (x - x )² + y ( a = ) gibt al die Deh nung des Funktionsgraphen an und heißt deshalb Dehnungsfaktor des Funktions terms.

8 . (x ) = - .25 . 89(x ) = - 3.72

47

2 .3 Quadratische Funktionen Merke :

heißen quadratische Funktio • Funktionen vom Typf: f (x ) = a x2 + bx + c ; D ( S) = R mit a Argumentvariable x in höchster Potenz quadratisch , Funktionsterm die tritt nen . In ihrem d . h . in zweiter Potenz, auf. . Die Graphen quadratischer Funktionen heißen Parabeln . Sie besitzen zwei zueinander sym metrische Parabeläste. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse. Gilt a = 1, b = und C = , so heißt die Parabel Normalparabel. . Ein Funktionsterm vom Typ f (x ) = ax2 + bx + c heißt allgemeine Form der quadratischen Funktion f mit dem Dehnungsfaktor a und dem Absolutglied c. sind die Parabeln nach oben geöffnet. Für a > Für a < sind die Parabeln nach unten geöffnet. . Für |al > 1 sind die Parabeln im Unterschied zur Normalparabel gestreckt. • Für al < 1 sind die Parabeln im Unterschied zur Normalparabel gestaucht. . Das Absolutglied c markiert den Ordinatenabschnitt der Parabeln . . Ein Funktionsterm vom Typ f (x ) = a (x - x ) + y, heißt Scheitelpunktform der quadrati schen Funktion fmit dem Dehnungsfaktor a und den Scheitelpunktkoordinaten x , und ys . S < x ,ly, ) ist der Scheitelpunkt der Parabel. Funktionsterme einer quadratischen Funktion in ihrer allgemeinen Form f (x ) = ax2 + bx + c las sen keine direkten Rückschlüsse auf die Scheitelpunkte der zugehörigen Parabeln zu , deren Kenntnis jedoch das Zeichnen von Parabeln erheblich vereinfacht . Während das Ausmultiplizie ren der Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen keine großen Schwierigkeiten bereitet , gestaltet sich das Umwandeln der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform schwieriger. Beispiel 2 . 32 Der Term der Funktion f : f (x ) = x2 + 6x; D (S) = R ist in allgemeiner Form mit dem Absolutglied dargestellt. Seine Scheitel punktform ist gesucht. 6

-5

-4

-3

-2

f (x ) = x2 + 6 x

Den Funktionsterm x2 + 6x kann man mit Hilfe der ersten Binomischen Formel in sei ne Scheitelpunktform bringen .

-1 L - 1 /4

1

2 X

48

2 Funktionen

Das Problem hierbei besteht in der umgekehrten Anwendung dieser Binomischen Formel ,,von hinten nach vorne“ , d . h . aus

(a + b )2 = a² + 2ab + b2

1. Binomische Formel

a

umgekehrte Leserichtung

+ 2ab + b2 = (a + b )2

dem

Term x2 + 6x soll durch Ergänzungen das Quadrat eines Binoms entstehen .

Schreibt man den obigen Term in der Form * 2 + 2 x : 3 , so entspricht er den ersten bei den Summanden der ersten Binomischen Formel (a2 + 2 · a · b ).

a? + 2 ·a·b f (x ) = x² + 2 x 3 a² + 2 · a ·b + b2

Aus dieser Darstellung wird schnell deut lich , dass die Zahl für b die Zahl 3 sein muss . Der so bestimmte Wert für b wird noch quadriert und zu dem Term x2 + 6x ergänzt, damit dieser Gesamtterm

zum

= x² + 2 : X 3 + 32 – 32 = (x² + 6x + 9) - 9

Quadrat ei

= (x + 3)2 – 9

nes Binoms umgeformt werden kann .

S < - 31 - 9 )

Um den „ Wert“ des Funktionsterms nicht zu verändern , muss dabei die ergänzte Quadratzahl (9) wieder subtrahiert werden . Da immer das Quadrat einer Zahl einen Term der Form

x2 + px zum Quadrat eines Binoms ergänzt, nennt man dieses Quadrat auch quadratische Ergänzung. Diese zu quadrierendeZahl ( im Beispiel die Zahl 3) entspricht aufgrund der ersten Binomischen Formel immer der Hälfte des

Koeffizienten des zweiten Summanden in der allgemeinen Form ( im mand 6x).

Beispiel lautet dieser Sum

Analog wird nach der zweiten Binomischen Formel durch eine Quadratzahl ein Term der Form x2 - px zu einem

vollständigen Quadrat ergänzt, wie im

folgenden Beispiel gezeigt wird .

Beispiel 2 .33 Der Term der Funktion f: f (x ) = x2 – 3x + 2 ; D (S ) = R ist in allgemeiner Form mit dem Absolutglied 2 dargestellt. Der Scheitel punkt der Parabel ist gesucht.

f(x) = x2 - 3x + 2

1

-3

-2

-1

1

2

3

4

5 x

2.3 Quadratische Funktionen Auch bei diesem Beispiel entspricht die Zahl für b der Hälfte des Koeffizienten des

f (x) = x2 – 3x + 2

quadratische Ergänzung 1,52

= x2 - 2 - x . 1 ,5 + 1,52 – 1, 52 + 2

zweiten Summanden in der allgemeinen Form , damit ihr Quadrat den Term x2 – 3x

= x2 – 2. x : 1,5 + 2,25 – 2,25 + 2 = (x² – 3x + 2,25) – 2,25 + 2

zu einem vollständigen Quadrat ergänzt.

= (x – 1,5)2 – ,25

Die ergänzte Quadratzahl (2,25) wird wie der subtrahiert und mit dem Absolutglied ( 2 ) zusammengefasst.

→ S ( 1,51 – ,25 )

Extremalprobleme werden häufig mit den Methoden der Differentialrechnung gelöst. Einige die ser Aufgaben können aber bereits mit einfacheren Mitteln behandelt werden . Beispiel 2 . 34 Von allen Rechtecken , deren Umfang 20 m beträgt , ist dasjenige mit dem größten Flächeninhalt zu ermitteln . Ist x die Längenmaßzahl der einen Seite des Rechtecks, so hat die zweite Seite die Maßzahl 10 – x. Da der Flächeninhalt des Rechtecks das Produkt der beiden Seitenlängen ist, ergibt sich die folgende Funktion für die Maßzahl des Flächeninhalts : A : A (x) = x - (10 - x); D ( A ) = [ ; 10 ]. Die Funktion A kann als Flächeninhalt of fensichtlich keine negativen Werte anneh men . Wir haben deshalb sinnvollerweise als

A ( x ) = - 12 + 10x 5

Definitionsmenge das Intervall [ ; 10 ) fest gelegt, obwohl der Funktionsterm für alle reellen Zahlen definiert ist. Der Graph der Funktion A ist eine nach unten geöffnete Parabel; im Scheitelpunkt nimmt die Funktion ihren größten Wert an . Wir berechnen also die Scheitelpunktkoor

10 x A (x) = - x2 + 10x = - [x2 – 10x ]

quadratische Ergänzung 25

= - [(x2 – 10x + 25) – 25 ] = - [(x – 5)2 – 25]

dinaten des Graphen . Um die zweite binomische Formel anwen den zu können ,muss dabeizunächst einmal

= - (x – 5)2 + 25 = S < 5|25 )

- 1 ausgeklammert werden , so dass der Term in der Klammer mittels seiner quad ratischen Ergänzung in seine Scheitel punktform

gebracht werden

kann. Zur

Scheitelpunktbestimmung wird danach die [eckige ] Klammer wieder aufgelöst. Zur Bestimmung einer sinnvollen Definitionsmenge D ( A ) war es in dem obigen Beispiel erforder lich , diejenigen Werte von x zu bestimmen , für die der Flächeninhalt des Rechtecks verschwindet , für die also der Funktionswert A ( x ) gleich null ist. Solche Stellen der Definitionsmenge einer Funktion , an denen die Funktion den Wert null annimmt, heißen Nullstellen der Funktion . Die Nullstellen einer Funktion sind die x -Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der X - Achse.

2 Funktionen Zur Bestimmung der Nullstellen einer quad ratischen Funktion entsteht somit eine

|

A (x) = )

- x2 + 10x = - * (x - 10 ) =

quadratische Gleichung ( in diesem Beispiel

x=

A (x ) = ). Die Lösung dieser Gleichung führt zu den Nullstellen von A und somit zu

Lösung: Xo1 =

oder x = 10 und Xo2 = 10

den Abszissen der Schnittpunkte des Gra phen von A mit der x -Achse . Die Funktion f: f(x) = x2 – 3x + 2 ; D (S) R= aus Beispiel 2.33 hat die beiden Nullstellen

f

(x) = ) =

(x2 – 3x + 2,25) – 2,25 + 2 =

Xon = 1 und Xo2 = 2. Beachten Sie : Jede quadratische Gleichung der Form x2 = a mit aeR20 ist lösungs gleich zur Gleichung (x1 = 1 a.

quadratische quas Ergänzung 2,25

x2 - 3x + 2 =

☆ (x - 1,5)2 = ,25

V x2 = 1x |

☆ | x - 1,51 = ,5

Beispiel 2.15

x = 1 oder x = 2 Lösung: Xo1 = 1 und Xo2 = 2

In den letzten Beispielen galt |a = 1, in den nächsten beiden Beispielen ist |a | + 1 und |a | + . Beide Beispiele werden zeigen , dass eine quadratische Gleichung in der Menge der reellen Zahlen auch nur eine oder sogar keine Lösung haben kann. Beispiele 2 . 35 Wie lauten die Scheitelpunkte und die Schnittpunkte mit der x -Achse der beiden Funktionsgra phen von fi und f2 ? •

fi : f (x) = ,2 x2 + 2x + 5 ; D (S ) = R .

fi (x ) = ,2 x2 + 2x + 5 = ,2 (x2 + 10x + 25) f (x ) =

= ,2 (x + 5)2 →S< - 510 ) f (x) =

=

,2(x + 5) =

☆

(x + 5)2 =

☆

x+ 5 =

☆

,2.x2 + 2x + 5

x = -5

Lösung : x = - 5

einzige Nullstelle von fi -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

• $2: f2 (x) = – 2 x2 + 12x – 20; D (F ) = R . 2(x) = – 2x2 + 12x – 20 = - 2 (x2 - 6x + 10) = - 2 [( x2 - 6x + 9) - 9 + 10 ]

Ź

3

4

= – 2[(x - 3)2 + 1] = - 2( x – 3)2 – 2 = S ( 31 – 2) $2(x) =

=

- 2[(x – 3)2 + 1] =

=

(x – 3)2 + 1 = )

=

(x – 3)2

= - 1

Die Gleichung ( x – 3) = - 1 besitzt keine Lösung, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist nicht negativ. Somit hat f2 keine Nullstellen .

42(x) = - 2x + 12x - 20

-1

x

2 .3 Quadratische Funktionen

Aus der allgemeinen Form quadratischer Funktionen f (x ) = a x² + bx + c lässt sich die Scheitel punktform f (x) = 2 (x - x ) + y, und ihre Nullstellen folgendermaßen allgemein bestimmen : Berechnung der Scheitelpunktform f (x ) = ax? + bx + c

Berechnung der reellen Nullstellen a

f (x)=

I

Y +

b 2 4 ac - 621 = a0 2 al T4a2 A 0

b2b2 - 4ac 4a Fallunterscheidung : 4ac - b2 = a [x + b ) = a (x + 2a) + 4a a b 4ac - 621 S ( - 2a 4a

1. Ist b2 - 4ac > , so hat f zwei Nullstellen : =>

x

= 4ac 2 al 2a 2a:Vb2 -

Lösung: Xon = und

ža

LaiVB

4ac

Kop = - bazaVB - 4ac

2. Ist b2 - 4ac = , so existiert nur eine reelle Nullstelle von f, nämlich xo = -

(= Schei

telpunktstelle) 3. Ist b2 - 4ac < , so hat f keine reellen Nullstel len , weil das Quadrat einer reellen Zahl nicht kleiner als sein kann .

Es ist anhand der möglichen Lagen der Parabeln im Koordinatensystem anschaulich klar, dass eine quadratische Funktion höchstens zwei Nullstellen haben kann . Mit Hilfe der dritten Binomischen Formel [a – b2 = (a + b) (a - b )] ist es bei Existenz reeller Nullstel len stets möglich , eine weitere Darstellungsform quadratischer Funktionen anzugeben . Die Scheitelpunktform der Funktion f mit f (x ) = x2 – 3x + 2 ; DIS) = R aus Beispiel 2 .33 ist f : f (x) = (x - 1,5)2 – ,25 ; D (F ) = R ; ihr Funktionsterm besteht aus der Summe zweier quadratischer Terme, der nach der dritten Binomischen Formel in einen Pro duktterm umgewandelt werden kann . Aus einer Darstellung des Funktionsterms einer quadratischen Funktion in der Form f (x ) = a ( x - Xo1) ( x - X02) lassen sich die Nullstellen von f bequem ablesen . Man sagt, der Funktionsterm ist in seine Linear faktoren zerlegt.

f (x) = (x - 1,5)2 - ,25 = (x - 1,5)2 – ,52 = [(x – 1,5) + ,5 ][(x – 1,5) - ,5 ] = ( x - 1) (x - 2 )

(x ) =

(x - 1) ( x - 2 ) = # x = 1 oder x = 2

Lösung : Xon = 1 und Xo2 = 2

Nullstellen von f

2 Funktionen Multipliziert man

in

der quadratischen

(x - Xo1 )(x – Xo2 ) =

Gleichung (x - Xoi)(x - Xo2) = die Klam mern aus, so erhält man die sogenannte

x2 – X01 *

Xo2x + Xo1Xo2 =

x2 + ( - Xo1 – Xo2) + X01 Xo2 =

Normalform der quadratischen Gleichung:

p

x ? + px + q = .

q

Es gilt : p = - (Xo1 + Xo2) und q = X01* Xo2 Dabei

ergibt die negative Summe der

Beispiel : x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) =

Lösungen Xol und Xo2 der Gleichung x2 + px + q = den Koeffizienten p des line

p = - (1 + 2 ) wahre Aussage q = 1.2

aren Gliedes ; das Produkt der Lösungen er gibt das Absolutglied q.

wahre Aussage

Sind Xoi und Xo2 Lösungen der quadratischen Gleichung vom - (Xo1 + xo2) = p

und

Xo1 "Xo2 = q

Typ x² + px + q = , so gilt :

(Satz von VIETA).

Der Satz von VIETA ermöglicht es , ohne großen Rechenaufwand zu einer in Normalform vorlie genden quadratischen Gleichung die Probe durchzuführen . Ist nämlich die Summe der beiden errechneten Werte die Zahl für - p und ihr Produkt die Zahl für q, so hat man die Gleichung richtig gelöst. Beispiele : Die Gleichung x2 + 6x + 8 = sungen x = - 2 und X2 = - 4.

hat die Lö -

|

- (x1 + x2) = 6 x X2 8=

Die Gleichung x2 + 6x – 5 = hat nicht die Lösungen x = - 2 und x = - 4 .

- (x1 + x ) = 6 X , X2 8=

p = 6 wahre Aussage = 8 wahre Aussage

q

p = 6 wahre Aussage = 8 falsche Aussage

Nicht immer lässt sich ein Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen . – 2 [(x – 3)2 + 1] der Funktion f2 hat z. B . nicht die Form , um ihn nach der dritten Der Term Binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen zu können . Somit existieren auch keine reellen Nullstellen von $2 (s. o.). Merke : . Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion f (x ) = 2 (x - x.)? + ys geht aus ihrer Normalform f (x ) = a x2 + bx + c mittels quadratischer Ergänzung hervor, wobei 4ac - b2 und y = 4a 2 a b4ac - b2 . Der Scheitelpunkt ist dann gegeben durch S (2a 4a • Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet man durch Lösen der entsprechenden quadratischen Gleichung $ (x) = . Für b2 - 4ac > hat f zwei Nullstellen : 1 b b 1 . vb2 _ Xo1 = 2a 2a 1b2 - 4ac und Xo2 = - 2a + 2a Vara4ac . b Für b2 - 4ac = hat f nur eine Nullstelle : xo = . Für b2 - 4ac < hat f keine Nullstelle . Kann man den Term einer quadratischen Funktion f in Linearfaktoren a (x - Xo1 )(x - Xo2 ) zerlegen , so lassen sich die Nullstellen von f unmittelbar zu Xoi und Xo2 ablesen . . Sind x , und x , Lösungen der Gleichung x² + px + q = , so gilt: - (x1 + x ) = p und X1 X2 = q (Satz von VIETA ).

2 .3 Quadratische Funktionen Bestimmen quadratischer Funktionsterme Sind vom Graphen einer quadratischen Funktion drei Punkte gegeben , so lässt sich deren Funk tionsterm bestimmen . Beispiel 2 .36 Der Graph einer quadratischen Funktion gehe durch die Punkte A (2014 ) ; B ( 4120 ) und C 6 18 ). Wie lautet der Funktions term ?

< 4120 * < 6118 )

2114 )

1

2

4

3

5

Der allgemeine Term einer quadratischen Funktion f ist f (x) = ax? + bx + c.

f (2) = 14 = a : 22 + b · 2 + c = 14

Um die drei Koeffizienten a, b und c eindeu

f (4) = 20 = 9 :42 + b . 4 + c = 20

tig bestimmen zu können , benötigt man drei lineare Gleichungen in den Variablen a , b und c , die aus den Aufgabeninformatio nen gewonnen werden müssen .

f (6) = 18 = a :62 + b .6 + c = 18

Die drei Punktepaare ( 2014 ), (4120 ) und

Lineares Gleichungssystem

( 6 | 18 ) sind Teil aller Punktepaare ( x [f (x )) auf dem Graphen der Funktion f und ihre Koordinaten müssen somit die Gleichung f (x ) = ax2 + bx + c erfüllen . Das lineare Gleichungssystem lässt sich lö sen , indem man zunächst aus drei Glei

40 + 2b + c 16a + 4b + c

36a + 6b + c

I - II

Gleichungen mit nur noch zwei Variablen herstellt und dieses LGS löst (vgl. S . 38 f.). Hier wird am einfachsten c eliminiert.

- II III

= 14 =

= 18

40 + 2b + c = 14

( 1)

16a + 4b + c = 20 36a + 6b + c = 18

(II) (III)

4a + 2b + c = 14 – 16a - 4b - c = - 20 + - 12a - 2b

chungen mit drei Variablen durch beliebige Elimination einer der drei Variablen zwei

6

= - 6

(IV )

- 16a - 4b - C = - 20 — 36a + 6b + c = 20a + 2b

= -

2

(V )

7

8 x

54

2 Funktionen

Dabei bedient man sich des sog. Additions verfahrens, das ggfs. eine Anpassung der einzelnen Gleichungen derart verlangt, dass bei Addition zweier Gleichungen die zu eli minierende Variable wegfällt . Hier wird die zweite Gleichung mit – 1 multipliziert, da mit bei Addition der Gleichungen I und

IV V

– 12a - 2b 20a + 2b

= - 6 = - 24

+

- 8

8a

a = -

1

- II die Variable c eliminiert wird . Entsprechend wird mit der nächsten Vari ablen (hier b ) verfahren , um aus zwei Glei chungen mit zwei Variablen eine Gleichung

Ersetzen von ( - 1) für a in V liefert : 20 :( - 1) + 2b = - 2 b =

mit einer Variablen zu erhalten , die dann bequem

gelöst werden kann .

Dabei werden Umformungen , die 2 Glei

9

Ersetzen von ( - 1) für a, 9 für b in I liefert: 4 . ( - 1) + 2 .9 + c = 14

chungen betreffen , durch das Symbol J +

c =

markiert, das angibt, welche Gleichung zu der jeweils anderen Gleichung addiert wird . Hierbei müssen eventuell durchzuführende Operationen an beiden Gleichungen zuvor beachtet werden . Anschließend bestimmt man nacheinander

Probe z . B . in II: - 16 + 36 = 20

die Werte für b und c und bestätigt die erhaltenen Werte für a , b und c durch eine Probe ( im Kopf) in allen Ausgangsglei chungen .

20 = 20

wahre Aussage

= f (x) = – x2 + 9x

Anhand des ermittelten Funktionsterms f (x ) = - x2 + 9x oder des Graphen der Funktion f lassen sich nun Funktionswerte auch für andere als die gegebenen x -Werte berechnen . Beispielsweise hat f an der Stelle x = 3 den Funktionswert 18 .

f (x ) = - 12 + 9x

1

2

3

4

5

6

7

8 x

2 .3 Quadratische Funktionen

55

Schnittpunkte von Funktionsgraphen Die Berechnung der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen führt wie das Null stellenproblem auf die Aufgabe der Lösung entsprechender Gleichungen . So bilden alle reellen Lösungen der Gleichung f (x ) = g (x ) die Menge der x -Koordinaten der Schnittpunkte der Gra phen der Funktionen f und g , denn in einem Schnittpunkt stimmen die Funktionswerte der beiden Funktionen überein . Wir betrachten zwei Beispiele. Beispiel 2.37

Schnitt von Parabel und Gerade

Wir berechnen die Schnittpunkte der Gra - | phen der quadratischen Funktionen f und der linearen Funktion g mit

Es gilt : f (x ) = g (x ) ,5x2 + 3x - 8 = 5x - 5 , 5 ,5x2 – 2x – 2,5 =

f (x ) = ,5 x2 + 3x – 8; g (x) = 5x – 5,5.

x2 - 4x – 5 = (x2 – 4x + 4) - 4 - 5 = (x - 2)2 – 32 = (x - 2) + 3)(x - 2) – 3) = ☆

(x - ( - 1))(x – 5) =

☆ 3

4

x = - 1

oder

x = 5

Ordinaten der Schnittpunkte:

5 x

f ( - 1) = g ( - 1) = – 10,5 ; $ (5) = g (5) = 19,5 Die Graphen von f und g schneiden sich in den Punkten S , ( - 11 - 10 ,5 ) und S2 ( 5 |19,5 ).

Beispiel 2.38

Schnitt zweier Parabeln

Wir berechnen die Schnittpunkte der Gra phen der beiden quadratischen Funktionen f und g mit

|

Es gilt: f (x) = g (x ) 3 x2 – 7x + 6 = x2 + 3x - 6

f (x ) = 3 x2 – 7x + 6 ; g (x ) = x2 + 3x – 6.

2x2 - 10x + 12 = x2 – 5x + 6 = (x2 – 5x + 23) – 2 + 6 = (x - 32 - 02)2 = ((x – 3) + ) (x - 3) - 1) = (x - 2)(x - 3) = x = 2

oder

x = 3

Ordinaten der Schnittpunkte : х

f(2) = g (2) = 4; f (3) = g(3) = 12 Die Graphen von f und g schneiden sich in den Punkten S , ( 214 ) und S , ( 3 / 12 ).

56 Übungen

2 Funktionen zu 2.3

1. Zeichnen Sie sowohl die nach oben als auch die nach unten geöffnete Parabel durch den jeweiligen Scheitelpunkt, wenn bekannt ist, dass sie durch Verschiebung und Drehung aus der Normalparabel ent steht. (Hinweis: Normalparabel-Schablone ) a ) S ( 1 /2 ) b ) S ( 31 - 2 ) c) S ( - 2 /4 ) d ) S - 41 - 3 ) e ) S ( , 51 - 6 ) 2 . Zeichnen Sie zu den angegebenen Scheitelpunktformen der quadratischen Funktionen f die jeweiligen Parabeln und formen Sie die Funktionsterme in die jeweilige allgemeine Form von f um . Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die jeweiligen Achsenschnittpunkte von G (S ). a ) f (x ) = (x - 2)2 – 3 b ) f (x ) = (x + 3)2 - 1 c) f (x) = (x – 3)2 + 2 d ) f (x ) = (x + 1,5 )2 e) f (x ) = (x - 2,5)2 - 3 f) f (x ) = - ( x - 1) + 1 g) f (x) = - 2 (x + 2) + 9 h ) f (x ) = - 4 (x – ,5)2 – 3 i) f (x ) = - ,5 ( x - 2) + 4 ,5 3. Bringen Sie folgende quadratische Funktionstermeauf ihre Scheitelpunktformen , bestimmen Sie die Schei telpunkte der einzelnen Parabeln und zeichnen Sie die Graphen. c ) f ( x ) = x2 - 8x - 15 a ) f (x ) = x² + 4x - 12 b ) f (x ) = x2 - 2x - 3 d ) f (x ) = x² + 3x + 15 e) f ( x ) = x2 – 5x + 20 f) f (x ) = x2 - x - 1 4 . Bringen Sie folgende quadratische Funktionstermeauf ihre Scheitelpunktformen ,bestimmen Sie die Schei telpunkte der einzelnen Parabeln und zeichnen Sie die Graphen . a ) f (x ) = - x + 4x - 12 b ) f (x ) = 2x² + 4x + 16 c ) f (x ) = - 3x2 + 9x - 27 d ) f (x ) = 4x² + x + 6 f) f (x ) = ,25 x2 – 2x + 1 e) f (x ) = - ,5x2 + 2x – 5 h ) f (x ) = - 2x2 + 5x - 8 g ) f (x ) = 5x2 + 5x + 25 i) f (x ) = 2x² + 6x - 3 5 . Bestimmen Sie aus der angegebenen allgemeinen Form der quadratischen Funktion die jeweilige Scheitel punktform von f und zeichnen Sie die zugehörige Parabel. Welchen Scheitelpunkt und welche Achsen schnittpunkte haben die einzelnen Graphen ? Ermitteln Sie, sofern vorhanden , die Schnittpunkte der ein zelnen Parabeln mit dem Graphen der linearen Funktion g: g (x ) = x + 1; D (g) = R . a) f (x ) = - x b) f (x) = x² + 4x - 5 c) f (x) = x² - 8x + 12 d) f (x) = x ? – 6,25 e) f (x ) = x² + 3x - 10 g ) f ( x ) = - x + 5x + 14 f) f (x) = x2 – 2,5 x + 1,5 j) f ( x) = ,2 x2 + x + 1,2 h ) f ( x ) = 2x2 - 12x + 16 i) f (x ) = ,5x2 – 2x - 2,5 m ) f (x ) = - ,5x² + 3,5 x - 3 k ) f (x ) = - 3x2 – 18x + 21 1 ) f (x ) = - 2x2 – 7x + 25 6 . Der Bogen einer Hängebrücke von der Form einer Parabel verläuft gemäß dem Graphen der Funktion f in nebenstehendem Bild : f (x) = - ,004 x² + 1,2 x - 32,4 ; D (F ) = R20. Die Verankerungspunkte der Brücke liegen unterhalb der durch die x - Achse markierten Straße . a ) Wie hoch ist die Brücke ? (Abstand von der Straße) b ) Wie lang ist die Straße auf der Brücke (Strecke AB) ? Straße A c ) Wie tief unter der Straße befinden sich die Veranke I - - L rungspunkte der Brücke ? d ) Wie lauten die Funktions gleichungen der Träger durch C und S bzw . D und S ? 7 . Gegeben sind die Punkte A11 - 5 ) , B ( 21 - 9 ) und C ( - 11 - 15 ) einer Parabel. a ) Bestimmen Sie den zugehörigen quadratischen Funktionsterm f (x ) und zeichnen Sie den Graphen von f. b ) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte des Graphen von f. 8 . Gegeben ist die quadratische Funktion f: f (x ) = ,5 x² + 3x + 2,5 ; D (S ) = R . a ) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte des Graphen von f. b ) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G (f ) mit dem Graphen von g : g (x ) = 6x ; D (g) = R und zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem .

2 .3 Quadratische Funktionen 9. Gegeben sind die Funktionen fi : fi(x) = - ,6x2 – 5x - 6 ,4 ; D (S ) = R und f : f (x ) = x +5 x + 2 ; D = R . a ) Bestimmen Sie die Schnittpunkte S , und S , der Graphen der beiden Funktionen . b ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion , deren Graph S , und S , verbindet. c ) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte der Graphen aller drei Funktionen . d ) Zeichnen Sie die Graphen aller drei Funktionen . = R schneiden 10 . Die Graphen der Funktion fi: f ( x ) = - (x + 2 )2 - 1 ; D ( ) = R und f : f (x ) = x + , 25 ; D sich in den Punkten S , und S . a ) Bestimmen Sie S , und S , rechnerisch und zeichnerisch. b ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der linearen Funktion , deren Graph den Graphen der Funktion f im Punkt S , rechtwinklig schneidet. 11. Gegeben sind die Funktionen fi: f (x ) = x² + 5x + 2 ,25 ; D = R und f : f ( x ) = - 1,5x - 5, 25 ; D (12) = R . a ) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte der Graphen beider Funktionen . b ) Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen . 12. Die Graphen der drei linearen Funktionen fi: f ( x ) = 1,5 x + 6 ; D ) = R , f : f2 (x ) = - 3x + 15 ; DV = R und f3: f (x ) = - 4 ,5 x + 30 ; D ( 83) = R bilden mit ihren Schnittpunkten ein Dreieck . a ) Bestimmen Sie die drei Eckpunkte des Dreiecks . b ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der quadratischen Funktion, deren Graph durch die Eckpunkte des Dreiecks geht. c ) Zeichnen Sie die Graphen der vier Funktionen . 13 . Der Graph der Funktion fi: f (x ) = (x + 2 )2 - 1 ; D = R wird f : f (x ) = ,5 (x + 2) + 3 ,5 ; D = R in den Punkten P , und P2 geschnitten . a ) Bestimmen Sie P , und P2 rechnerisch und zeichnerisch . b ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Schnittgeraden .

vom

Graphen

von

14 . Der Graph einer Funktion fi: f (x ) = (x + 3,5 )2 – 6 ; D = R wird vom Graphen der Funktion $2: 2(x ) = x + 3,5 ; D ( ) = R in den Punkten P , und P2 geschnitten , wobei P , der tieferliegende Punkt ist. Rechtwinklig zu G ( f2) verläuft der Graph der linearen Funktion f; durch Pz . a ) Bestimmen Sie P , und P2. b ) Bestimmen Sie den Funktionsterm von fz. c ) Zeichnen Sie die Graphen der drei Funktionen . 15 . Wie lauten die Funktionsterme der quadratischen den Punkte gehen ? a ) A ( - 516 ) ; B < - 31 - 4 ) ; C ( 3 | 14 ) c) A ( - 61 - 8 ) ; B < - 2 | 12 ) ; C ( 31 - 8 ) e) A ( - 6 |4 ) ; B < - 31 - 5 ) ; C ( 419 )

Funktionen f, deren Graphen jeweils durch die folgen b ) A ( - 20) ; B ( 214 ) ; C (310 ) d ) AC - 313 ) ; B ( 11 - 3 ) ; C ( 517 ) f) A ( - 11 - 10 ) ; B (21 - 1 ) ; C (61 - 3 )

16 . Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch den Punkt P , P , ( 2 | f (2 ) > und P ; < - 3 f ( - 3 )) vom Graphen der Funktion g : g ( x ) a ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion f. b ) Zeichnen Sie die beiden Graphen .

> und wird in den Punkten ; D ( g ) = R geschnitten .

17 . Von einer an einem geradlinigen Kanal gelegenen Weidefläche soll ein rechteckiges Stück unter Einschluss des Kanals als Grenze mittels eines 240 m langen Zaunes eingegrenzt werden . a ) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Flächeninhaltsfunktion A . b ) Zeichnen Sie den Graphen von A . c) Bestimmen Sie rechnerisch mit Hilfe der Scheitelpunktform die Seitenlängen der eingegrenzten Weide fläche so , dass der Flächeninhalt maximal ist . 18 . Ein Stein wird aus einer Höhe von ho = 25 m über der Erdoberfläche mit der Anfangsgeschwindigkeit Vo = 2 ,5 m / s senkrecht nach unten geworfen (vgl. Beispiel 2 . 30 , Seite 45 ). a ) Ermitteln Sie den Funktionsterm h (t), der die Höhe des Steins in Abhängigkeit von der Zeit t für t > beschreibt. b ) Nach welcher Zeit trifft der Stein auf die Erdoberfläche ?

2 Funktionen 2.4

Ganzrationale Funktionen

Funktionen vom Typ f : f (x ) = , * " + an - 1 * " - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a; x + 2 , ; D ( S) = R mit , 70 und a , CR , in deren Funktionstermen die Argumentvariable x in der Potenz einer beliebig großen natürlichen Zahl für n auftritt, heißen ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen n -ten Grades; ihre Funktionsterme werden Polynome genannt. Lineare Funktionen vom Typ f: f (x ) = mx + b bzw . f (x ) = a , x + ao ; D ( S ) = R sind somit spezielle ganzrationale Funktionen ersten Grades. Quadratische Funktionen vom Typ f : f (x ) = ax2 + bx + c bzw . f (x ) = a2x2 + a , x + a. ; D ( S) = R sind spezielle ganzrationale Funktionen zweiten Grades. Ganzrationale Funktionen dritten Grades vom Typ f : f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d bzw . f (x ) = azx3 + az x2 + a , x + ao ; D (S ) = R heißen auch kubische Funktionen . Der Grad einer ganzrationalen Funktion ergibt sich aus der höchsten Potenz , in der die Argumentvariable x im Funktionsterm auftritt. Beispiel 2.39

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades

Aus einer rechteckigen Metallplatte mit den Maßen 30 cm und 14 cm soll ein offener Kasten mit maximalem Volumen hergestellt werden . Welche optimale Kastenhöhe h ist zu wählen ? Für das Kastenvolumen gilt: Vra: b . h . Mit a = 30 - 2h und b = 14 - 2h ergibt sich für das Volumen der Funktionsterm V (h) = (30 – 2h ) (14 – 2h ).h

600

= 4h3 – 88 hP + 420h . Aus dem Graphen lässt sich vermuten , dass das Volumen für ho = 3 cm

am

größten ist.

Wir werden dies später mit den Mitteln der Differentialrechnung bestätigen . Im

V (h )

V (h ) = 4h3 - 88h2 + 420 h

400 200 + 1

2

3

4

5

6

7

Folgenden sollen einige ganzrationale Funktionen genauer untersucht werden . Beispiele 2.40

• Der Graph der ganzrationalen Funktion dritten Grades f: f (x ) = x3; D (S) = R ist ei ne Parabel dritten Grades (kubische Para bel), die punktsymmetrisch zum Koordina tenursprung verläuft, d . h ., sie wird durch Spiegelung am Koordinatenursprung auf sich selbst abgebildet. • Der Graph der ganzrationalen Funktion fünften Grades fi: fi (x ) = x® ; D (61) = R heißt Parabel fünften Grades .

f (x ) = rs

f(x ) = x3

2.4 Ganzrationale Funktionen • Auch

der Graph der ganzrationalen 3 + f (x ) = x - x3

Funktion fünften Grades $2: $2 (x ) = x – x3; D (12) = R ist punktsymmetrisch zum Koor dinatenursprung.

J , xe

:

Für die Funktionen f, fi und $2 gilt : Der Funktionswert an einer Stelle xocRist gleich dem entgegengesetzten Funktions

1

*

2

x

wert an der Stelle – Xo . 712 (-x )

Funktionen mit der Eigenschaft, dass für alle xeD ) gilt f (x) = - f ( - x ), heißen ungerade Funk tionen . Ihre Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. • Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades f3 : 3(x ) = x4; D (13) = R ist eine zury- Achse symmetrische Parabel vierten Grades.

fz(x) = x+

Normal parabel f (x ) = x2

. Auch der Graph der Funktion vierten Grades

2

x

Xo 2

x

ganzrationalen f (x) = x+ +.x2 - 2

fa : f4 (x) = x4 + x2 – 2 ; D (14) = R ist symme trisch zur y- Achse. Für die Funktionen fz und fa gilt: Der Funk tionswert x ,ER ist gleich dem Funktions wert an der Stelle - Xo .

ting

-------2 -%

-1

tatto

2 Funktionen Funktionen mit der Eigenschaft, dass für alle x ED(f) gilt f(x) = f( - x ), heißen gerade Funktionen Ihre Graphen verlaufen achsensymmetrisch zur y - Achse . • Der Term der ganzrationalen Funktion sechsten Grades fs : fs(x) = x - x - x + x ; D ( f ) = R besteht sowohl aus Summanden

$3(x) = x6 – 25– r? + x

von Potenzen mit geraden als auch aus Summanden mit ungeraden Exponenten . Der Graph von fs ist weder achsensymmet risch zur y -Achse, noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, denn z. B . an der (Null-)Stelle gilt f (1) = , aber :

-2 f (1) = f ( - 1) und f (1) = - f ( - 1).

f(- 1)

2

-1

x

= (- 1)6 –(- 1)= –( 1) +(- 1) = 1 + 1 + 1 - 1 = 2.

- f(- 1)= – 2.

Merke : • Funktionen vom Typ f : f (x) = , *" + , - 1X " - 1 + an - 24 " - 2 + ... + 02x2 + a , x + ao ; D (S ) = R , a, , a ,ER heißen ganzrationale Funktionen n - ten Grades. • Ganzrationale Funktionen , in deren Funktionstermen die Argumentvariable nur mit gera den Exponenten auftritt, sind gerade Funktionen ; ihre Graphen verlaufen achsensymmet risch zur y -Achse. Für diese Funktionen gilt f (x ) = f ( - x ) für alle xeR . Ganzrationale Funktionen , in deren Funktionstermen die Argumentvariable nur mit unge raden Exponenten auftritt und bei denen das Absolutglied ist, sind ungerade Funktionen ; ihre Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für diese Funktionen gilt f (x) = - f ( - x ) für alle xeR .

Aus den Funktionstermen ganzrationaler Funktionen lassen sich neben den Symmetrieeigen schaften ihrer Graphen noch weitere wichtige Funktionseigenschaften ableiten . Die Nullstellen bestimmung bei ganzrationalen Funktionen gestaltet sich unterschiedlich . Dazu werden die vorstehenden Funktionen f2 und fe noch einmal betrachtet. . Die Nullstellen von f : f2(x ) = x5 – x3; D (12) = R lassen sich unmittelbar der voll

12 (x ) =

x } (x2 – 1) =

ständigen Linearfaktorzerlegung des Funk tionsterms entnehmen . Da in dieser der Li nearfaktor x dreimal auftritt, nennt man eine dreifache Nullstelle der Funktion f. ► x = x -

-> x5 – x3 = = x x x (x - 1). (x + 1) = x = oder x = 1 oder x = - 1

Lösung : Xo1 = , Xo2 = 1, Xo3 = - 1

Nullstellen von f

61

2.4 Ganzrationale Funktionen Allgemein verstehtman bei einer ganzratio nalen Funktion unter der Vielfachheit einer Nullstelle x , die maximale Anzahl, mit der der Term ( x - x .) als Linearfaktor im Funk tionsterm enthalten ist.

| 12 : 32 (x ) = x3 (x - 1) (x + 1) = X .X X =(x - 1) (x + 1) ► vollständige Linearfaktorzerlegung

Xo2 = 1

Nullstelle mit der Vielfachheit 1

Xo3 = - 1

Nullstelle mit der Vielfachheit 1

• Der Funktionsterm der Funktion fa mit | f (x) = f4 (x ) = x4 + x2 – 2 ; D ( SA) = R lässt sich zwar in Faktoren , aber nicht vollständig in Line arfaktoren zerlegen . Bei der Gleichung x4 + x2 - 2 = handelt es sich um eine sog. biquadratische Gleichung. Ersetzt (substi tuiert)man jedoch in ihr den Term x2 durch z , so erhält man die quadratische Gleichung z2 + z – 2 = . Diese Gleichung lässt sich dann z .B .mittels des Verfahrens der „ quadratischen Ergän zung“ für z und im Anschluss daran auch für x lösen .

Nullstelle mit der Vielfachheit 3

→ Xo1 =

x4 + x2 – 2

=

z2 + z – 2

=

x =z

= (2 - 1) ( z + 2 ) = = z = 1 oder z = - 2

z = x2

#

x2 = 1 oder x2 = - 2

►

x = - 2 hat keine Lösung |x = 1 x = - 1 oder x = 1

Lösung : Xoi = - 1 und Xo2 = 1 ►Nullstellen von f fa: f4 (x) = (x - 1)- (x + 1)(x² + 2 ) vollständige Faktorzerlegung → Xo1 = - 1 Xo = 1

Nullstelle mit der Vielfachheit 1 Nullstelle mit der Vielfachheit 1

Beispiel 2 .41 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion dritten Grades fo : f (x ) = ,5 ( x - 1)(x + 2 )(x - 4); D (f ) = R und versuchen Sie, dieselben auch aus ihrer Darstellung in Normalform fo mit fo(x ) = ,5x3 – 1,5x2 – 3x + 4 ; D (f ) = R zu ermitteln . Ist der Term einer Funktion bereits vollständig in seine Linearfaktoren zerlegt, so lassen sich ihre Nullstellen nach dem Satz „ Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist“ bestimmen .

x - 1 =

oder x + 2 =

oder x - 4 =

x = 1 oder x = - 2 oder x = 4 . Lösung : Xo1 = 1 und Xo2 = – 2 und Xo3 = 4.

Aus der Darstellung von fo : f6 (x ) = ,5 x3 – 1,5 x2 – 3x + 4 ; D (f ) = R in Normalform lassen sich die Nullstellen nicht sofort ermitteln . Da beide Terme aber dieselbe Funktion be - | schreiben , können sie gleichgesetzt werden . Die Äquivalenzumformungen zeigen , dass mittels Division eines Polynoms dritten Grades durch ein lineares Polynom ein quadratisches Polynom entsteht, dessen Nullstellen z . B . mittels des Verfahrens der „ quadratischen Ergänzung“ berechnet wer den können .

,5x3 – 1,5 x2 – 3x + 4 = ,5 (x - 1)(x + 2 )(x - 4) x3 – 3 x2 – 6x + 8

= (x - 1)(x + 2)(x - 4)

Für x # 1 gilt weiter : (x2 – 3x2 - 6x + 8): (x - 1) = (x + 2)(x – 4 ) (x3 — 3x2 – 6x + 8 ): (x - 1) = x2 – 2x – 8.

2 Funktionen Diese Äquivalenzumformungen zeigen weiterhin , dass man bei Kenntnis einer Null stelle der Funktion fo in Normalform (z. B .

f (x ) = ,5x3 – 1,5 x2 – 3x + 4 = ,5(x - 1)(x2 – 2x – 8) →x - 1 =

Xon = 1) die Bestimmung der weiteren Null stellen auf die Lösungen einer quadrati schen Gleichung zurückführen kann .

oder x2 – 2x - 8 =

Das Problem besteht im Auffinden einer Nullstelle von f6. In der Regel wird man bei ganzrationa len Funktionen vom Grad > 3 versuchen , eine ihrer Nullstellen durch Probieren zu finden . Hat man eine Nullstelle xo , von fe durch Probieren gefunden , kann man mit Hilfe des Verfahrens der Polynomdivision das Polynom dritten Grades durch den Linearfaktor (x – Xo1) mit x + Xoi dividie ren und erhält ein quadratisches Polynom . Dabei wird jeweils nur der erste Summand des „ Dividenden “ (x ) durch den ersten Summanden des „ Divisors“ (x ) dividiert; man erhält x2 als Ergebnis . Dieses Ergebnis wird anschließend mit dem gesamten Divisor (x - 1) multipliziert und das erhaltene Resultat vom Dividenden ab

|

Polynomdivision (x3 - (x3 - (-

— 3x2 -6x + 8): (x - 1) = x2 – 2x – 8 - x2) durch Probieren 2x2 - 6x Xon = 1 gefunden 2x2 + 2x) - 8x + 8 - ( - 8x + 8) Resto

gezogen . Der Restterm

– 2 x2 - 6x + 8 wird wieder

durch x dividiert, usw . Dieses Verfahren führt man so lange durch , bis kein Rest mehr bleibt.

► f (x) = ,5x3 – 1,5x2 – 3x + 4 = ,5 (x3 – 3 x2 - 6x + 8) → Die Funktionen fo und f : f (x ) = x3 – 3x2 - 6x + 8 besitzen in R dieselben Nullstellen .

Mittels des Verfahrens der „ quadratischen Ergänzung“ werden die beiden weiteren Nullstellen der Funktion fo als Lösungen

x2 – 2x – 8 =

der Gleichung x2 – 2x – 8 = nung bestimmt.

Lösung:

durch Rech

= (x - 1)2 = 9 |x - 1| = 3 Ax = - 2 oder x = 4

Xo2 = – 2 und Xo3 = 4

Vielfachheit 1

Mit Hilfe des Verfahrens der Polynomdivision lässt sich von einer ganzrationalen Funktion leicht die Vielfachheit einer Nullstelle feststellen . Die Vielfachheit einer Nullstelle x , ergibt sich daraus, wie oft sich ihr Funktionsterm durch den Linearfaktor ( x - xo) ohne Rest teilen lässt . Anmerkungen : . Sinnvoll ist die Anwendung des Verfahrens der Polynomdivision zur Bestimmung der Null stellen einer ganzrationalen Funktion n - ten Grades immer dann , wenn man sie aus einer Gleichung der Form X" + , - 1 * " - ' + ... + 0o = bestimmen soll. Sind die Zahlen für an - 1... do ganzzahlig und sucht man ausschließlich nach ganzzahligen Lösungen der Gleichung x " + an - , x " - 1 + . .. + 00 = , so müssen sie unter den Teilern der Zahl für a , zu finden sein . Den Term einer ganzrationalen Funktion n -ten Grades kann man in höchstens n Linearfakto ren vollständig zerlegen. Dabei kann ein Linearfaktor ( x - xo) auch mehrmals auftreten . Würde man den Term einer ganzrationalen Funktion n -ten Grades nämlich in weniger bzw .mehr als n Linearfaktoren vollständig zerlegen können , so erhielte man eine Funktion niedrigeren bzw höheren Grades als n . Somit kann eine ganzrationale Funktion n -ten Grades maximal n reelle Nullstellen haben , wobei die Vielfachheit jeder Nullstelle mitzählt.

2.4 Ganzrationale Funktionen Horner -Schema Bei der Untersuchung ganzrationaler Funktionen stehen wir immer wieder vor der Aufgabe, Funktionswerte f ( x ) zu verschiedenen Argumentwerten x zu berechnen . So benötigen wir bei spielsweise beim Zeichnen eines hinreichend genauen Funktionsgraphen eine ganze Tabelle von Funktionswerten . Liegt der Term einer ganzrationalen Funktion n -ten Grades in der Form f (x) = 2 , X" + an - 1x - " + an- 2.xn - 2 + ... + az x3 + az x2 + a , x + a . vor, so sind für eine Funktionswertberechnung n + (n - 1) + (n - 2 ) + . . . + 3 + 2 + 1 =

n . (n + 1) Mul 2

tiplikationen erforderlich . Die Anzahl der notwendigen Multiplikationen kann drastisch gesenkt werden , wenn der Funktionsterm durch mehrfaches Ausklammern der Variablen x umgeformt wird . Dabei ergibtsich ein einfaches Rechenschema, das in der praktischen Mathematik unter der Bezeichnung Horner -Schema bekannt wurde. ) Beispiel 2 .42 Wir betrachten die ganzrationale Funktion 3.Grades mit dem Term f (x ) = ,5 x3 – 1,5 x2 – 3x + 4 . Zur Ermittlung von f (2) wäre zu rechnen : f (2) = ,5- 2 - 2. 2 - 1,5 .2 . 2 + 3 . 2 + 4 ; es sind also 3 + 2 + 1 = 3 = 6 Multiplikationen erforderlich. Wir klammern nun im

Funktionsterm mehrmals die Variable x in folgender Weise aus:

f(x) = ,5 x3 – 1,5x2 – 3x + 4 = [ ,5 x2 – 1,5x – 3] x + 4 = [( ,5- x - 1,5).x - 3].x + 4 Wir stellen fest, dass zur Berechnung eines Funktionswertes mit dem Funktionsterm klammerten Form nur noch 3 Multiplikationen erforderlich sind.

in der ausge

Auf welche Zahl verringert sich die Anzahl der notwendigen Multiplikationen entsprechend bei einer ganzrationalen Funktion n -ten Grades ? Die Rechnung nach dem neuen Term kann nun folgendermaßen verbal beschrieben werden : Multipliziere den Höchstkoeffizienten ,5 mit dem x -Wert, addiere zum Produkt den näch sten Koeffizienten – 1,5, multipliziere die Summemit dem x -Wert, addiere zum Produkt den nächsten Koeffizienten – 3, multipliziere die Summe mit dem x -Wert und addiere zum Produkt das Absolutglied 4. Analysiertman die Vorgehensweise, so stelltman fest, dass sich die Rechenschritte ständig wieder holen. Die Rechnung kann also in eleganter Weise schematisiert werden . Dazu schreibt man , beginnend mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz, alle Koeffizienten des ganzrationalen Funktionsterms in einer Reihe auf, wobei für nicht vorkommende Glieder die Zahl zu schreiben ist. Links neben dem Schema notiert man den x -Wert, zu dem der Funktionswert berechnet werden soll. Nun notiert man 2 Zeilen genau unterhalb des Höchstkoeffizienten diesen noch einmal, multipliziert ihn mit dem x -Wert und schreibt das Produkt in die Zeile genau unter den zweiten Koeffizienten . Nun bildet man die Summe aus Produkt und Koeffizient und notiert das Ergebnis in der 3 . Zeile, usw . Die letzte Summe ist der gesuchte Funktionswert. ,5 x = 2 ,5

– 1,5

– 3

4

1

- 1

- 8

– ,5

-4

- 4 = f (2)

azaz x = xy Szraz

a

do

S3 •X , S2' X

, Xo

s

1) William George Horner (1786 - 1837 ) englischer Mathematiker

si

So = f (xo)

2 Funktionen Wir notieren zu diesem

Beispiel noch das

Horner-Schema für die Berechnung des Funktionswertes an der Stelle x = 3 .

Horner -Schema für f (3): ,5

– 1,5

x = 3

Horner-Schema für die x -Werte - 1, , 1, 2 , 3 und 4 .

4 - 9

,5 Die zweite Zeile mit den Produkten kann auch weggelassen werden . Es werden also nur die Summen notiert. Die nebenstehende Tabelle enthält die Ergebnisse nach dem

– 3

1, 5

,5

- 3

– 5 = f (3)

- 1,5

-3

4

f (x) 4

OLI

- 3, - 2,

Wir sehen , dass mit Hilfe des Horner-Sche mas alle 3 Nullstellen der Funktion f gefun den werden konnten .

AwN totnoT

totnot

oņ

oņ

Mit Hilfe eines Taschenrechners kann man die Funktionswerte wie folgt berechnen : 1. Eingabe von x , in den Speicher (z . B .: 3) 2. Eingabe des Höchstkoeffizienten (hier : ,5 ) 3. Multiplikation mit dem Speicherinhalt 4 . Addition des nächsten Koeffizienten (,, = “ nicht vergessen !) 5. Ist das Absolutglied erreicht, dann ist man fertig ; ansonsten Fortsetzung mit 3.

Beispiel 2.43 Horner - Schema für f (x ) = 3x + 3x2 - 6x - 6 :

Wir untersuchen die Funktion f mit f (x) = 3x3 + 3 x2 - 6x - 6 und berechnen

zunächst wieder

x einige

Funktionswerte mit dem Horner- Schema. Die nebenstehende Tabelle weist nur eine Nullstelle von f auf: f ( - 1) = . Zur Berech nung weiterer Nullstellen spalten wir den Linearfaktor x + 1 durch Polynomdivision ab und erhalten :

||

3

|

3

-6

f (x) bob

Î

aroT

é ão

(3x3 + 3x2 - 6x - 6 ): (x + 1) = 3x2 – 6. Das Restpolynom 3x? – 6 besitzt die Null stellen 12 und - 12. Notieren wir das Restpolynom in der vollständigen allgemeinen Form 3 . x2 –

-x - 6,

so fällt auf, dass die Koeffizienten des Restpolynoms gerade die Summen in der zugehörigen Zeile des Horner -Schemas sind. Wir verzichten hier auf einen allgemeinen Beweis.

2 .4 Ganzrationale Funktionen Merke : Eine erste Nullstelle xo, einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lässt sich häufig nur durch Probieren bestimmen . Mittels der Polynomdivision des Terms dritten Grades durch den linearen Term (x – xo ) entsteht dann ein quadratischer Term . Die beiden möglichen weiteren Nullstellen der ganzrationalen Funktion dritten Grades können dann z . B . mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ermittelt werden . Bei der Nullstellen bestimmung einer ganzrationalen Funktion vierten oder noch höheren Grades muss die Reduktion auf ein quadratisches Polynom unter Umständen durch ent sprechend häufiges Probieren zum Aufsuchen von Nullstellen mit anschließender Polynom division durch den jeweiligen linearen Term (x - xo), x , Nullstelle von f, erfolgen . . Unter der Vielfachheit einer Nullstelle xo versteht man die maximale Anzahl, mit der der Term ( x - xo) als Linearfaktor im Funktionsterm enthalten ist. Eine ganzrationale Funktion n -ten Grades hat höchstens n Nullstellen , wobei die Vielfach heit jeder Nullstelle mitzählt. Beispiel 2 .44 Der Graph der ganzrationalen Funktion fo : fo (x ) = ,5x3 – 1,5x2 – 3x + 4 ; D (16) = R hat drei Schnittpunkte mit der X - Achse . Um dreimal die x - Achse schneiden zu kön nen , muss er sein Steigungsverhalten zwi schen benachbarten Nullstellen ändern. Das kann dort aber nur in Punkten gesche hen , von denen ab der Graph seine Rich tung umkehrt. Ein solcher Punkt heißt Ex trempunkt (Hoch - oder Tiefpunkt).

7

44fo(x) = ,5x3– 1,5x2 - 3x + 4 H

W -3

- 2

-1

1

2

3

4

5 x

G (f ) besitzt zwischen den Nullstellen je weils genau einen Extrempunkt. Diese Ex trempunkte teilen den Definitionsbereich der Funktion fo somit in einzelne Steigungs intervalle ein . Da G (f ) zwei Extrempunkte besitzt, muss der neben dem Hochpunkt zweite Extrem punkt ein Tiefpunkt sein . Zwischen diesen Extrempunkten ändert G ) sein Krümmungsverhalten bei W ( 110 ) . Dieser Punkt teilt den Definitionsbereich der Funktion fo somit in zwei Krümmungsintervalle ein .

G (S ) hat drei Nullstellen , zwei Extrempunkte und einen Wendepunkt W ( 110 ) . G (1 ) steigt bis zum Hochpunkt H (ungefähr ( - ,815,2 )), fällt bis zum Tiefpunkt T (ungefähr ( 2,81 – 5,2 >) und steigt dann wieder. G ( f.) ist zunächst rechts -, dann linksgekrümmt.

Ein Punkt, von dem ab sich das Krümmungsverhalten eines Graphen von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung (oder umgekehrt) ändert, heißt Wendepunkt Im vorstehenden Beispiel wurde der Verlauf eines Graphen einer ganzrationalen Funktion quali tativ beschrieben . Die Differentialrechnung ( Kapitel 5 ) stellt Mittel bereit, die Extrem - und Wendepunkte des Graphen einer ganzrationalen Funktion auch quantitativ zu bestimmen .

66

2 Funktionen Merke : • In Extrempunkten (Hoch - oder Tiefpunkten ) ändert der Graph einer ganzrationalen Funk tion sein Steigungsverhalten . •

In Wendepunkten ändert der Graph einer ganzrationalen Funktion sein Krümmungsverhalten .

Beispiel 2.45 Beschreiben Sie anhand der nebenstehen den Zeichnung den qualitativen Verlauf des Graphen der Funktion $1: $ (x) = ,5 x4 – 1,5x2 – 3x² + 4x;

| ( f (x) = ,5x4- 1,5x3 – 3x2 + 4x)

D (S) = R . Der Graph der ganzrationalen Funktion $ : f (x ) = ,5x4 - 1,5 x3 – 3x2 + 4x ; D ( S ) = R schneidet viermal die x -Achse , besitzt drei Extrempunkte und zwei Wende punkte .

-3

- 2

-1

1

1

2

3

5 x

4

G ( ,) fällt von links nach rechts bis zum ers ten Tiefpunkt, steigt bis zum Hochpunkt, fällt dann bis zum zweiten Tiefpunkt und steigt dann wieder. G ( S ) ist zunächst links-, dann rechts- und dann wieder linksgekrümmt.

Im Folgenden soll zwischen dem Steigungsverhalten des Graphen einer Funktion f und dem zuge hörigen Monotonieverhalten der Funktion f begrifflich unterschieden werden . Beispiel 2 .46 Im

Beispiel 2.44 steigt G (f ) im

M2 ständig bis zu seinem

Intervall M , ständig bis zu seinem Hochpunkt, fällt im

Intervall

Tiefpunkt und steigt dann im Intervall M3 ständig nur noch .

Steigt G (f ) im Intervall M ständig, so neh men dort die Funktionswerte von links nach rechts zu , d . h . für x , < x , ist dort auch f ( x ) < fo (x2). In diesem Fall heißt die Funk tion f streng monoton steigend in M . Fällt G (fo) im Intervall M2 ständig, so neh men dort die Funktionswerte von links nach rechts ab , d .h ., für x , < x4 ist dort fo(xa) < fo( x3). In diesem Fallheißt die Funk tion fo streng monoton fallend in M . Im Intervall M , steigt fo wieder streng mo noton, d . h., für x > < xo ist dort fo(xs) < fo (x6).

G (f)

-3

- 2 112

M1

M3

2.4 Ganzrationale Funktionen

67

Steigt G (f ) nicht nur in einem Monotonieintervall M ständig, sondern im gesamten Definitionsbe reich D (S ), so heißt die Funktion f streng monoton steigend . Fällt G ( f ) nicht nur in einem Monotonieintervall M ständig , sondern im gesamten Definitionsbe reich D ( S ), so heißt die Funktion f streng monoton fallend . Abweichend von der strengen Monotonie kann eine Funktion f auch nur monoton steigend oder monoton fallend sein , wenn ihr Graph teilweise parallel zur x -Achse verläuft. Im nebenstehenden Bild gilt : Im Intervall M , steigt f streng monoton , im Intervall M , verläuft G ( ) parallel zur x Achse . Dort gilt für x ; < x die Aussage f ( x ) = f ( x2). Im Intervall M3 steigt f wieder streng mo noton . Betrachtet man alle drei Monotonieinter valle , also den gesamten Definitionsbereich D ( S), so gilt für x , < x2 nur die Aussage

|

м,

M,

Max

f (xi) < f (x2). In diesem Fall heißt die Funktion fmonoton steigend .

x , < x2 = f (x,) = f(x2) ► f steigt monoton

Im nebenstehenden Bild gilt : Im Intervall M , fällt f streng monoton , im Intervall M , verläuft G (f ) parallel zur x Achse . Dort gilt für x ; < X , die Aussage f ( x ) = f ( x2) Im Intervall M , fällt f wieder streng mono ton .

G (A)

Betrachtet man alle drei Monotonieinter valle, also den gesamten Definitionsbereich D (S), so gilt f ( x ) = f (x1).

für

x , < x2

die

Aussage

In diesem Fall heißt die Funktion f mono ton fallend .

|

м, Т.

М.

X; < X2 = f(x ) = f(x,) ► f fällt monoton

Merke : Für das Monotonieverhalten einer Funktion f in einem Intervall M • • • •

für alle für alle für alle für alle

x, < x, x , < x2 x, < x2 x , < x2

= = = =

f (xi) < f (x2) < f (x ) < f (x2)


Wird der Druck verdoppelt, so verringert sich das Volumen auf die Hälfte . Wird der Druck verdreifacht, so verringert sich das Volumen auf ein Drittel. Halbieren wir den Druck , so verdoppelt sich das Gasvolumen .

fp = 12

Es liegt also eine indirekte Proportionalität von Gasdruck und Gasvolumen vor. Dieser Zusammenhang wird auch aus dem neben stehenden Graphen der Funktion f deut lịch.

4

6

8

P

Beispiele 2 .50 . Der Graph der Funktion

f: f(x ) = =

D (S) = R \ { } ist eine zum Koordinatenur Je größer die x -Werte vom Betrag her wer den , desto kleiner werden ihre Funktions werte und nähern sich dabei immer mehr der Zahl . Der Graph von f nähert sich daher der Geraden , die mit der x -Achse zu sammenfällt.

f

H

sprung punktsymmetrische Hyperbel.

(x ) = ?

24H -4

-3

-2

+ -1

1 1

2

3

4

x

Eine solche Gerade, der sich der Graph von f in dieser Form nähert, heißt Asymptote. Für x→ - o nähert sich der Graph von f der x - Achse von unten , für x → oben . An der Stelle

von

ist die Funktion f nicht definiert, da der Nenner eines Bruches nie sein kann . Weil erklärt ist, nenntman die Stelle eine Definitionslücke

aber f unmittelbar links und rechts von der Funktion f.

74

2 Funktionen

Nähert man sich der Definitionslücke von links – man schreibt dafürx→

für x
– so wachsen die zugehörigen Funktionswerte über jede Grenze, d .h . f (x ) → 00 . In beiden Fällen schmiegt sich G (ſ ) immer enger an die zur x - Achse senkrechte Gerade durch die Definitionslücke an, die hier mit der y- Achse zusammenfällt . Eine solche zur x -Achse senkrechte Gerade durch eine Definitionslücke einer Funktion f, an die sich ihr Graph ,,bis ins Unendliche“ immer enger anschmiegt, heißt senkrechte Asymptote oder Polasymptote . Die Stelle , an der f eine solche Definitionslücke hat,heißt Polstelle oder einfach Pol.

• Der Graph von g:g(x) =

;

D ( g) = R \ { } ist eine zur y-Achse achsen symmetrische Hyperbel, deren Asymptote für x→ bzw . x → 00 mit der x - Achse zusammenfällt.

g(x) =

Im Unterschied zum Graphen von f nähert sich der Graph von g der X - Achse nur von oben , da der Funktionsterm g ( x ) für alle xeD (g) positiv ist.

- 2x

An der Stelle hat g eine Definitionslücke, ihr Graph nähert sich dort ihrer Polasymptote , die mit der y- Achse zusammenfällt . Da die Funktionswerte von g links und rechts von dieser Polstelle immer dasselbe Vorzeichen haben (hier alle Vorzeichen positiv), sprichtman von einem Pol ohne Vorzeichenwechsel . Zum Unterschied dazu hat f links und rechts von der Polstelle verschiedene Vorzeichen ; deshalb einen Pol mit Vorzeichenwechsel (VZW ). hat f an der Stelle . An

der

fi: fi (x)=

Stelle 1

hat die

Funktion

- 1; D (Si)= R \{1} eine Defini

tionslücke, einen Pol mit VZW ; ihr Graph nähert sich für x → bzw . x → der mit der X -Achse zusammenfallenden Geraden , seiner Asymptote , und zwar für xeR > von oben und für xeR < von unten . Der Graph von fi ist der um eine Einheit nach rechts verschobene Graph von f.

f(x)= x 4

-3

-2

-1 3 TO

TYQ

4

x

2 .5 Gebrochen -rationale Funktionen . An der Stelle - 2 hat die Funktion 81: 81(x) = (x + 2)23 D (8 ) = R \ { - }

eine

Definitionslücke, einen Pol ohne VZW ; ihr Graph nähert sich für x→ -

bzw . x

00

8, (x) = (x + 2)2

der x - Achse für alle xeR \ { - 2 ) von oben . Der Graph von g, ist der um zwei Einheiten nach links verschobene Graph von g. -4

-3

2

1

-1

2

3

4 X

Merke : • Der Graph einer Funktion vom

Typ f: f(x) = --2h -1; D (S) = R \{ }, neN * ist eine zum

Koordinatenursprung punktsymmetrische Hyperbel. An der Stelle hat f eine Definitionslücke, und zwar einen Pol mit Vorzeichenwechsel. Der Graph einer Funktion vom Typ g: g (x) = X2 - 2n; D (g) = R \ { }, neN * ist eine zur y -Achse achsensymmetrische Hyperbel. An der Stelle

hat f eine Definitionslücke, und zwar einen Pol ohne Vorzeichenwechsel.

. Beide Hyperbeläste schmiegen sich an die Koordinatenachsen immer enger an . Die mit der X - Achse zusammenfallende Gerade heißt ihre Asymptote , die mit der y -Achse zusammenfal lende Gerade heißt ihre Polasymptote. Abhängig vom Grad m

des Zählerpoly

noms P.m (x) und vom Grad n des Nennerpo

sow _ 4.mx" + am - 1* m - 1 + ... + 2x2 + a , x + 20 f (x ) = b , * " + bn - , xn - 1 + ... + b2x2 + b , x + bo

lynoms 9 . (x ) unterscheidet man zwischen echt (m < n ) und unecht m( n ) gebrochen rationalen Funktionen .

_ Pm (x ) 9 .(x )

Bei allen gebrochen -rationalen Funktionen lässt sich mit relativ einfachen Mitteln klären , ob sich ihr Graph der Asymptote für x + bzw . x → von oben oder von unten nähert. Beispiele 2 .51 x + 1 • Die Funktion 82: f2( x) = T 2)23

82 ( ) =

+ 2)/2

D ( ) = R \ {2 } hat an der Stelle 2 einen Pol ohne VZW . Das Nennerpolynom von f2 ist für alle XER \ {2 } immer positiv. Da das Zählerpolynom für x + nega tiv wird, ist auch der Funktionsterm von f2 für x + , x < - 1 negativ . Somit nähert sich G ( ) der X - Achse von unten für x → - 00 . Da das Zählerpolynom für x→ 00 positiv ist, ist auch der Funktionsterm

von f, für

x → positiv. Somit nähert sich G (f ) der X - Achse von oben für x .

-3

► ►

-2

12 (x ) < f2( x) >

-1

1

2

für xel - 00 ; – 1) für xe ( - 1; )

3

4

5 x

76

2 Funktionen

Da der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, ist f eine echt gebrochen - rationale Funktion . Echt gebrochen - rationale Funktionen besitzen immer die mit der X - Achse zusammenfallende Gerade als Asymptote, weil sich deren Funktionswerte für vom Be trag her größer werdende Argumentwerte dem Wert beliebig genau annähern , ohne ihn dabei aber jemals zu erreichen .

-1 • Die Funktion fs:f3 (x)= 2x x + 1 D (13) = R \ { - 1} hat an der Stelle - 1 einen Polmit VZW , da f (x) links von der Stelle - 1 nur positive und unmittelbar rechts da

[z(x)= 2 +

von negative Funktionswerte annimmt. YA(x ) = 2

Der Graph von ſz nähert sich für x + und für x → 00 immer mehr einer Geraden , nämlich dem Graphen von Ya : y . (x ) = 2 ; D (y ^) = R . Diese Gerade ist die Asymptote des Graphen von f3 . -4

Da der Grad des Zähler - und Nennerpoly- | noms von f (x ) gleich ist, ist f eine unecht

-3

-2

10 V -1 +

1

►

$3 (x ) >

für xel - 00 ; – 1)

►

f (x)
. Der Graph von f; nähert sich daher dem Graphen der Asymptote G (y ) von oben .

f (x) ist hierbei immer größer als 2.

x2 + x - 2 • Die Funktion fa : fa(x) =- 47 x -2 D

- x2 + x - 2 X- 2

ER { 2 } hat an der Stelle 2 einen Pol mit VZW , da fa(x) unmittelbar links von der Stelle 2 negative und rechts davon nur positive Funktionswerte annimmt. Der Graph von fa nähert sich für x + - 00 und für x→ immer mehr der Geraden mit der Gleichung ya = x + 3. Da das Stei gungsmaß dieser Geraden von Null ver

YA (r) = x + 3

schieden ist, nennt man sie eine schräge Asymptote des Graphen von fa . -3 -2

Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms von f4 (x) ist, ist auch f4 eine unecht gebrochen -ratio nale Funktion .

|

Anhand der Darstellung

|

fa(x)= x + 3 + X *- ,2 sieht man sofort, dass ya: y (x ) = x + 3; D (y ^) = R die Asympto tenfunktion ist. G (fa) nähert sich Gly .) für x→ unten , da für x→ - 00 gilt :

von

R (x ) → und R (x ) < . G (84) nähert sich G (Y2) für x → 00 von oben , da für x → gilt: R (x ) → und R (x ) > .

►

-1

11

f4 (x)


für xe (2 ;

2

3

4

)

fu (x) = (x2 + x - 2) : (x - 2) = x + 3 + 3 - (x2 – 2x) 3x - 2 y (x ) R ( x ) - (3x - 6 )

5 x

2 Funktionen

• Die Funktion fs : fz(x) = x° - 1: D (13) = R \ { } hat an der Stelle xo = einen Pol mit VZW , da fs (x ) links von der Stelle nur positive und unmittelbar rechts davon

y (x ) = x2

negative Funktionswerte annimmt. Der Graph von fs nähert sich für x + - o0 und für x700 immer mehr dem Graphen der Funktion ya : y . (x ) = x². Da dieser Graph keine Gerade ist , nennt man ihn asymptotische Linie des Graphen von fs .

fz(x) = ** -4

-3

-2

1

-1

2

3

4 X

-2 + A Da für x→ - 00 das Restglied R (x ) ver schwindend klein wird, aber positiv ist, d .h . R (x) → und R (x ) > , nähert sich G ( f ) der asymptotischen Linie G (yd) von oben für x → - 00 . Für x→00 wird das Restglied R (x) auch verschwindend klein , aber negativ, d. h . R (x ) → und R (x ) < . Deshalb nähert sich G (f ) der asymptotischen Linie G (ya) von unten für x + 00 .

►

fs (x) >

für xel - 00 ; )

►

fs(x)
), so nähert sich der Graph von f bei dieser „ Bewegung“ seiner Asymptote bzw . asymptotischen Linie von oben ; wird fürx→ - o das term den Wert

.

Restglied negativ (R (x ) < ), so nähert sich der Graph von f bei dieser ,,Bewegung“ seiner Asymptote bzw . asymptotischen Linie von unten . Eine entsprechende Aussage gilt auch für die Bewegung“ x700 .

2.5 Gebrochen -rationale Funktionen Beispiele 2.52 Bestimmen Sie die Definitionslücken der Funktion f : f (x) = Untersuchen Sie, von welcher Art die Definitionslücken sind. Bestimmen Sie den Funktionsterm y _ (x ) der Asymptotenfunktion von f; von welcher Seite nähert sich G ( S) ihrer Asymptote G (YA) ? Zeichnen Sie G ( f) und G (YA). Der Definitionsbereich schließt die Null stellen des Nennerterms 72 (x ) von f (x) aus. → D (S ) = R \ { - 2; 2 }. Somit sind Untersuchungen über die Art der jeweiligen Definitionslücke an den Stel len - 2 und 2 erforderlich . Um festzustellen , wie G (f ) in der Nähe der Stellen - 2 und 2 verläuft, werden Funk tionswerte unmittelbar links und rechts die ser Stellen untersucht. Die Funktion f besitzt unmittelbar links der Stelle - 2 positive und unmittelbar rechts dieser Stelle negative Funktionswer te. Diese Vermutung wird durch die Vorzei chenuntersuchung des Zähler- und Nenner terms bestätigt. Entsprechendes gilt für die Stelle 2 . Daher hat f an diesen Stellen jeweils einen Pol mit Vorzeichenwechsel (VZW ). Die Ge raden mit den Gleichungen x = - 2 und x = 2 sind also Polasymptoten . Der Funktionsterm f (x) wird in einen ganzrationalen und einen echt gebrochen rationalen Term zerlegt.

||

x2 f : f ( x ) = x2 - 4

P2 (x ) 92( x )

x2 – 4 =

92(x) = ) ►

> x = - 2 oder x = 2 Lösung: xx, = – 2 und Xn2 = 2 _ x _ P2 ( x) * f : f ( x ) = x2 – 492 (x )

- 99,25

f ( - 1,999) = - 999,25 f (1,99)

für xeD (S)

92 (x ) > für x < - 2 = f (x ) > für x < - 2

( - 2 ,01) = 100 , 75 20011 _ 100075 | f ( - 2,001) = 1000,75 f ( - 1,99) =

P2 (x)

92(x) < für xe ( - 2 ; 2) = f (x ) < für xel- 2; 2)

f (1 ,999)

= - 99 ,2592(x ) < für xe( - 2 ; 2) = f (x ) < für xe( - 2; 2) = - 999 .25

f (2,01)

=

100,75 = 1000,75

f (2 ,001)

92 (x)> für x > 2 = f (x ) > für x > 2

x ? : ( x² – 4 ) = 1 + 72 4 - ( x2 – 4 ) 1 Î y (x) R ( x) R (x ) > für alle x < - 2 und für alle x > 2

R (X ) = X2 - 4

Der ganzrationale Term y4 (x) ist der Funk tionsterm der „ geraden Asymptote“. Anhand des Restgliedes R (x ) erkennt man , von welcher Seite sich G ( f) der „ geraden Asymptote“ nähert. Da R (x) > für x→ und für x→00 gilt , schmiegt sich G ( f) bei beiden „ Bewe gungen “ von oben an Gly .) an . 4

-3

2

yo -2 +

3

4

X

80

2 Funktionen

Auch aus dem Funktionsterm leicht bestimmen .

einer gebrochen -rationalen Funktion lassen sich ihre Nullstellen

Die Nullstellen einer gebrochen - rationalen Funktion f: f (x ) = Pmsind die Nullstellen der durch 9 . (x ) den Zählerterm p (x) definierten Polynomfunktion pm im Definitionsbereich von f. Beispiele 2 .53 Bestimmen Sie die Nullstellen folgender gebrochen -rationaler Funktionen . 2x - 1 x + 1 \{2 } . f3: 13(x) = 2x (x - 2)2; D (( ) = R x + 11 ; D ( fy)= R \{ - 1} x + 1 52 =

12(x ) = =

x +1 =

=

x = - 1

2x - 1 X + 71 =

[3(x) =

Pm (x) = x + 1

- leD(S)

►

2x - 1 =

=

x = ,5

pm (x)= 2x - 1

,5€D ( S3)

Lösung : Xo = - 1

Lösung: xo = ,5

• fa:fy(x)=*** 2 2; D[f.) = R ${2} X -*=

• fs:f}(x)=*°=1; D( 83 = R \{ }

fa(x)=

f (x)=

* * X *-*2 52 =

p. (x)=x²+ x -2

* * ??=

→ x2 + x - 2 =

► x3 - 1 = x

= (x + ,5)2 = 2,25 |x + ,5 ) = 1,5 >> x = - 2 oder x = 1

p (x)= xP- 1

- 2€D ( ) und led ( fa )

>

= 1 x =1

1ED ( 3)

Xo = 1

Lösung :

Lösung : Xo1 = – 2 und Xo2 = 1 Eine gebrochen -rationale Funktion kann neben Polstellen noch weitere Arten von Definitionslü cken haben . Beispiel 2 .54 Der Graph der Funktion f : f ( x D (S ) = R \ { ; 1} hat an der Stelle Polstelle , nicht aber an der Stelle 1.

2 x - 2 XP - X

2x - 2 x? - x

2 ( x - 1) x ( x - 1)

2 x

= H

eine

In unmittelbarer Nähe der Stelle 1 nähern

Zum ,,Durchzeichnen “ des Graphen von f an dieser Stelle fehlt ein einziger Punkt.

2

f(x) =

sich die Funktionswerte von beiden Seiten dem Wert 2 beliebig genau , wie man dem gekü rzten Funktionsterm unmittelbar ent nehmen kann . -3

-2

-1

1

2

3

4 X

81

2.5 Gebrochen - rationale Funktionen

Eine solche Stelle , an der die Nenner- und die Zählerpolynomfunktion einer gebrochen -rationalen Funktion eine Nullstelle besitzen , wobei die Vielfachheit der Nullstelle der Nennerpolynomfunk tion kleiner oder gleich der Vielfachheit derselben Nullstelle der Zählerpolynomfunktion ist, heißt behebbare Definitionslücke dieser gebrochen - rationalen Funktion , weil man eine solche Defini tionslücke nachträglich beheben könnte.

Im obigen Beispiel haben sowohl die Zäh ler - als auch die Nennerpolynomfunktion von f an der Stelle 1 eine einfache Nullstel

H8*(x) =

le; somit hat f dort eine behebbare Defini tionslücke. In

D(S) gilt f(x)= , weil man wegen -3

x - 100 den gegebenen Bruchterm durch (x - 1) kürzen darf. Der Term

-2 -

-1 + -1

1

2

3

4 X

ist auch

Funktionsterm der Funktion f *: f* (x) = = ; D (F *) = R *, die in R \ { ; 1} mit der Funk tion f übereinstimmt, aber zusätzlich noch an der Stelle 1 erklärt ist.

Die Funktion f * setzt die Funktion f an der Stelle 1 gewissermaßen fort oder ergänzt sie dort. Sie heißt daher auch Ergänzungsfunk

!

Sf (x)

für xeR \ { ; 1 }

12

für x = 1

f * ist Ergänzungsfunktion von f zur Stelle 1 .

tion von f zur Stelle 1. Man sagt auch : Die Definitionslücke der Funktion f könnte nachträglich durch den Funktionswert der Funktion f * an der Stelle 1 behoben wer den , so dass ihr Graph , ohne den Zeichen stift abzusetzen , auch über die Stelle 1 hin aus gezeichnet werden könnte.

Merke : Eine gebrochen -rationale Funktion vom Typ f : f (x) = PmW hat bei X , EDS) eine Nullstelle , (*) qn(x ) " wenn dort ihre Zählerpolynomfunktion Pm eine Nullstelle hat. Eine Stelle , an der die Nenner - und die Zählerpolynomfunktion einer gebrochen - rationalen Funktion eine Nullstelle besitzen ,wobei die Vielfachheit der Nullstelle der Nennerpolynom funktion kleiner oder gleich der Vielfachheit derselben Nullstelle der Zählerpolynomfunk tion ist, heißt behebbare Definitionslücke dieser gebrochen - rationalen Funktion . • Eine Funktion f *, die in einer Umgebung einer behebbaren Definitionslücke einer gebro chen -rationalen Funktion f mit f übereinstimmt und zusätzlich an dieser Definitionslücke von f definiert ist, heißt Ergänzungsfunktion von f zu dieser Stelle .

2 Funktionen Beispiel 2 .55 x2 + 3x + 2 x + 2

Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Definitionslücke der Funktion f : f D (S) = R \ { - 2}.

Die Funktion f: f (x) =

x2 + 3x + 2 x + 2

f (x )=

D (S ) = R \ { - 2 } besitzt nur die Nullstelle xo = - 1. Die zweite Lösung – 2 der Glei chung f (x ) = ist kein Element von D (S ) und daher auch keine Nullstelle von f. An der Stelle - 2 hat die Funktion f eine behebbare Definitionslücke. Wegen x2 + 3x + 2 = (x + 1)+(x + 2) lässt sich nämlich der Funktionsterm auch nennerfrei

x + 3x + 2 = x + 2

Pm (x) = x2 + 3x + 2

→ x2 + 3x + 2 = => x = - 1 oder x = - 2 Lösung: xo = - 1

- 1ED ( S ) und - 26D ( )

Nullstelle

_ x2 + 3x + 2 _ (x + 1)+(x + 2) f(x )= 4 2x + x +2 = x + 1 ; D (S) = R \ { - 2}

schreiben. Die Funktion f * : f * (x ) = x + 1; D ( f * ) = R ist eine Ergänzungsfunktion von f zur Stelle - 2 mit dem Funktionswert f * ( - 2) = - 1.

Exemplarische Untersuchung einer gebrochen -rationalen Funktion Im

Folgenden wird unter Anwendung der bisher bekannten Verfahren eine gebrochen -rationale

Funktion untersucht. Dabei können eventuell vorhandene Extrem - und Wendepunkte nur quali tativ, nicht aber quantitativ bestimmt werden . Das Steigungs - und Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen wird ebenfalls qualitativ festgestellt und der Graph mit den gewonnenen Er gebnissen skizziert.

Beispiel 2 .56 Zu untersuchen ist die gebrochen - rationale Funktion f : f ( x ) =

x² - 4

Definitionsbereich (Definitionslücken ) : Da der Nennerterm im Funktionsterm von

Nennerterm

f nur dann ist, wenn x den Wert an nimmt, ist f für alle reellen Zahlen außer für

x =

O definiert.

Lösung: xo = .

→DO) = R \ { }. An der Stelle xo = tionslücke.

besitzt f eine Defini

x

2 .5 Gebrochen - rationale Funktionen Verhalten in der Nähe der Definitionslücke: Um festzustellen , wie G ( f ) in der Nähe der Stelle xo = verläuft,werden Funktionswer te unmittelbar links und rechts dieser Stelle

4 _ P2( x) | f: f (x) = x X91 ( x ) =

f ( - ,1)

=

Die Funktion f besitzt unmittelbar links

f ( - ,01) =

der Stelle xo = positive und unmittelbar rechts der Stelle negative Funktionswerte. Diese Vermutung wird durch die Vorzei

$ ( - ,001) = 3999,998

Daher hat f an dieser Stelle Xo = einen Pol mit Vorzeichenwechsel (VZW ). Die mit der y - Achse zusammenfallende Gerade ist also

für xe ( - 2 ; 2 )

3

f ( - 1)

untersucht.

chenuntersuchung des Zähler- und Nenner terms bestätigt.

p2(x )
für xel – 2 ; )

f (1)

=

-3

f ( ,1)

=

- 39 ,8

f ( ,01)

=

- 399,98

f ( ,001)

= - 3999,998

4. (x) > für xe( ; 2) = f (x) < für xe( ; 2)

die Polasymptote von G (f ).

Verhalten für x + -

bzw . r → 00 und Asymptoten :

Bei der Funktion f handelt es sich um eine unecht gebrochen -rationale Funktion . Der Zählergrad ihres Funktionsterms ist um 1 größer als ihr Nennergrad. Aufgrund des um 1 größeren Zählergrades schmiegt sich G ( f) an eine schräge Asymptote an . Für x → - o gilt auch f (x ) — - 00 , und für x→ der Funktion f keine waagerechte Asymptote. Der Funktionsterm f (x ) wird in einen ganzrationalen und einen echt gebrochen rationalen Term zerlegt .

gilt auch f (x ) →0 . Daher besitzt der Graph

x2 - 4 - 4 = = x + — YA (x ) R (x )

Der ganzrationale Term ya(x ) ist der Funk tionsterm der „ schrägen Asymptote“ . Anhand des Restgliedes R (x ) erkennt man , von welcher Seite sich G (f ) der „ schrägen Asymptote “ nähert. Da R ( x) > für x → gilt, schmiegt sich G ( f ) bei dieser „ Bewegung“ von oben an G ( y ) an .

R

= —

R (x ) > R (x )


Für x +

gilt dagegen R (x ) < ; G ( S) schmiegt sich bei dieser Bewegung“ von unten an Glya) an . Symmetrieeigenschaften : f ist eine ungerade Funktion , d. h., G ( ſ) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenur sprung.

Es gilt für alle xeD (S) : -f( x)=

X (-x—) X =4_ x2+4=f( x).

84

2 Funktionen

Achsenschnittpunkte : Die Abszissen der Schnittpunkte von G (S ) mit der x -Achse erhält man als Lösungen der Gleichung f(x) = .

|

f (x) =

< x2 – 4 = x = - 2 oder x = 2

Lösung :

Wegen D ( S) = R \ { } existiert kein Schnitt punkt von G ( S ) mit der y -Achse.

Xo1 = – 2 und Xo2 = 2

Nullstellen von f

P ; < - 20), P , (210 )

Schnittpunkte mit der X - Achse

Qualitative Beschreibung des Graphen in Bezug auf Extrem - und Wendepunkte, Monotonie - und Krümmungsverhalten : Da f sowohl in R < als auch in R > ºstrengmonoton steigend ist , besitzt G ( f) keine Extrempunk te.

Übungsaufgabe 3

Da sich andererseits G (f ) für x→ von oben an G (ya) und am Pol von links an den positiven Teil der Polasymptote immermehr anschmiegt, ist G ( f) für alle xeR < in der Tendenz von links nach rechts hin linksgekrümmt. Da sich G (f ) von rechts an den negativen Teil der Polasymptote und für x → von unten an rechts hin Tendenz von links nach ( S ) für alle xeR > ° in der mehr anschmiegt, ist G G (ya ) immer rechtsgekrümmt. Eine qualitative Aussage über Wendepunkte von G ( S ) lässt sich an dieser Stelle nicht machen .

Anmerkung : Man kann vermuten : An einem

Pol mit VZW ändert sich das Krümmungs -, aber nicht das

Steigungsverhalten des Graphen von f. Diese Vermutung lässt sich mit Mitteln der Differential rechnung bestätigen . Graph der Funktion : Die berechneten Schnittpunkte mit der X Achse sowie G ( v . ) und die Polasymptote

YA ( X ) = x

werden in ein Koordinatensystem eingetra gen . Der Graph wird unter Berücksichti gung der qualitativen Verlaufsbeschreibung skizziert. Pol ( - 20 ) Po2 (210 ) y (x ) = x

Schnittpunkte mit der S x- Achse schräge Asymptote

-4 . - 3

12

/

3

4

f(x) = x2х 4

X

2.5 Gebrochen - rationale Funktionen

Übungen

85

zu 2 .5

1. Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden durch ihre Funktionsterme gegebenen Funktionen in R sowie das Symmetrieverhalten ihrer Graphen . Bestimmen Sie sowohl die Art der Definitionslücken als auch die Art ihrer Asymptoten (asymptotischen . Linien ). Von welcher Seite nähern sich die einzelnen Graphen ihren Asymptoten (asymptotischen Linien ) ? Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte der einzelnen Funktionsgraphen und machen Sie qualitative Aus sagen über Extrempunkte und Steigungsverhalten von G ( S ) und - wenn möglich – auch über Wende punkte und Krümmungsverhalten von G (S ). Skizzieren Sie jeweils den Graphen . Seite 82 ff., Beispiel 2.56 3 5 a ) f (x ) = b) f (x) = _x -+ 3 c) S(x)= _- X- -7 4 x - 2 6 - ,5 1 = d ) f (x) = e ) f (x ) = Tx x + 3 4 (x + 1) – 3) i) f (x ) = x + 2 +4 b) f(x) = *x +* 1* g) f(x) =x x -2 2x + 2 x - 3 x + 5 -3 2x = ) ( x ) = f (x j) f ( x ) = x + 2 x2 _ 4 x - X - 2 x² + 3x - 4 x ? + 6x + 8 x2 - 3x + 2 n ) f (x ) = m ) f(x) = * x - 2 x + 1 2x x² + 6x + 8 12 2x2 - 8x - 10 + 7x p) S (x) = 4 x + 3 9) f(x)=- x²2x - 7 " W 3x - 6 x2 + 5x + 6 XP - 7x + 12 2x2 - 8x - 10 u) f (x) = t) f (x ) = x2 - 4 x² + 1 x3 16 2x v ) f (x ) = - * 1 x) S(x) = = - 1 w )f(x)= X - 1 x 2 . Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden durch ihre Funktionsterme gegebenen Funktionen in R . Bestimmen Sie die Artder Definitionslücken und die Ergänzungsfunktion an den behebbaren Definitions lücken . Bestimmen Sie die Art ihrer Asymptoten (asymptotischen Linien ). Von welcher Seite nähern sich die einzelnen Graphen ihren Asymptoten (asymptotischen Linien ) ? Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte der einzelnen Funktionsgraphen und skizzieren Sie die Graphen in einem geeigneten Bereich . 2x2 - 8x + 6 -2 b ) f (x ) = a) f(x) = x - -x 2 d) (x)= xX -- 11 c) f(x) = 2 * X x - 3 x2 - 4 3. Zeigen Sie rechnerisch , dass die gebrochen-rationale Funktion f : f(x) = * = * ; D (S) = R \{ } streng mo noton steigend ist. xta 4 . Eine gebrochen - rationale Funktion vom Typ f : f (x ; mit reellen Zahlen a , b und chat an der x + bx + c ' Stelle 2 einen Pol und an der Stelle - 4 eine behebbare Lücke. a ) Bestimmen Sie die Werte für a , b und c im Funktionsterm f ( x ). b ) Welche Asymptote besitzt der Graph von f ? c) Wodurch müsste der Funktionsterm ergänzt werden , damit G (s ) die Asymptote ya : y . (x ) = 3 hat ? 5 . Die Zugspannung o in einem runden ,massiven Stab wird nach der Formel o = - berechnet. Dabei ist F die A Kraft, die den Stab belastet, und A der Stabquerschnitt. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung, die es ermöglicht, bei vorgegebener Kraft F = 2000 N die Zugspannung o in Abhängigkeit vom Stabdurchmesser zu berechnen . Skizzieren Sie den Graphen der Funktion . 6 . Der Widerstand R eines elektrischen Leiters ist abhängig von der Länge 1, vom Querschnitt A und vom 2 .mm spezifischen Widerstand o des Leiters; es gilt: R = ; . Ein Leiter aus Kupfer (e = ,01786 habe m eine Länge von 1400 m . Wie lautet die Gleichung der Funktion, die dem Querschnitt A den Leiterwider stand R zuordnet ? Skizzieren Sie den Graphen der Funktion .

2 Funktionen

2.6

Exponential- und

Logarithmusfunktionen ,

Umkehrfunktionen Exponentialfunktionen In der Natur, in der Ökonomie und in der Technik treten häufig Wachstums- und Abnahmepro zesse auf, die dadurch gekennzeichnet sind, dass bestimmte Bestandsgrößen sich in gleichen Zeitspannen verdoppeln oder verdreifachen oder auch halbieren etc. Beispiele für solche Wachs tumsprozesse sind die Vermehrung der Anzahl von Zellen in einer Nährlösung oder das Anwach sen eines Kapitals, dem die jährlichen Zinsen immer wieder hinzugefügt werden . Ein Beispiel für einen entsprechenden Abnahmeprozess bildet die Verringerung der elektrischen Spannung zwi schen den Platten eines Kondensators bei dessen Entladung über einem Ohm 'schen Widerstand. Beispiel 2.57 Bei der Beobachtung von Zellen in einer Nährlösung wurde festgestellt , dass sich die Anzahl der Zellen pro Zeiteinheit (z. B . Stunde) näherungsweise verdoppelt. eine Zelle Liegt also zum Zeitpunkt t = Zeiteinheit , teilt sich diese nach einer vor,so und zum Zeitpunkt t = 1 liegen zwei Zellen

1 | 2

| 5 (1)

1

2

4

3 | 4 | 5 | 6 8

16

16

vor. Nach Ablauf der gleichen Zeiteinheit kommt es bei jeder der zwei Zellen wieder zur Teilung, und zum Zeitpunkt t = 2 sind bereits vier Zellen vorhanden . Nach erneu ter Teilung werden zum Zeitpunkt t = 3 acht Zellen gezählt, usw . Die Anzahl der Zellen verdoppelt sich also pro Zeiteinheit ; wir können das Wachstum der Zellkultur

f (t) = 2

offensichtlich durch die Funktion f : f (t) = 2', D (S ) = N , beschreiben . In der nebenstehenden Tabelle sind einige Wertepaare von f zusammenge fasst; im Koordinatensystem sind die ent sprechenden Punkte des Graphen markiert. Beispiel 2.58 Ein Kapital von 5000 , - € wird bei einem Zinssatz von 12 % zu Beginn eines Jahres angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital zugerechnet und vom nächsten Jahr an mitverzinst. Am Ende des ersten Jahres wächst das Ka pital um die Zinsen , und zwar um 12 % von 5000 , - € , an . Somit ergibt sich zum Jah resende ein Kapital von 5600 , - € .

|

K ( ) = 5000

Anfangskapital bezogen auf die GE €

K ( 1 ) = 5000 + 5000 . , 12 = 5000 (1 + ,12 ) = 5600

32

64

87

2 .6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen Am Ende des zweiten Jahres werden 12 % von 5600 , - € dem Kapital K (1) zuge schlagen , so dass sich 6272, - € ergeben , usw .

|

K (2) = 5600 + 5600 . ,12 = 5600 -( 1 + , 12) = 5000 - (1 + ,12).(1 + ,12) = 5000 (1 + ,12)2 = 6272

Wie hoch ist das Endkapital nach n Jahren ?

Kapital nach n Jahren

K (n) = 5000 -(1 + ,12)" Für eine beliebige Anzahl von n Jahren (neN ) lässt sich das angesammelte Kapital durch die Funktion

Kapital 16000 | 14000

K: K (n)= K( )=(1+ 100) ; D(K)= N ;

12000 bzw. K: K(n)= K(O)•g“ mit q=(1+ 100)"; 10000

K ( ) = R > º, pe( ; 100 ) beschreiben .

8000 6000 Bei den Berechnungen und der graphischen Darstellung der einzelnen Kapitalien in Ab hängigkeit von den Jahren fällt auf, dass die Kapitalzuwächse von Jahr zu Jahr immer

4000

K (n ) = 5000 . (1 + ,12 )" Zeit Jahre

2000

um denselben Faktor (1 + ,12) größer wer den .

1

2

3

4

5

6

7

8

Beispiel 2.59 Ein Kondensator, zwischen dessen Platten eine Spannung von 1 V besteht, wird über einem Ohm 'schen Widerstand entladen .

1 U (t)

1

1

2

,5

,25

3

4

,125

,0625

Dabei wird nach Ablauf einer bestimmten Zeiteinheit noch eine Spannung von ,5 V gemessen . Nach nochmaligem Ablauf der selben Zeit hat sich die Spannung wieder halbiert und beträgt nun nur noch ,25 V usw . Im nebenstehenden Diagramm sind die Spannungswerte für die Zeitpunkte , 1, 2, 3 und 4 durch Punkte markiert. Im Ge gensatz zu den ersten beiden Beispielen sind bei diesem Beispiel auch Zwischenwerte de finiert; der Graph ist eine zusammenhän

U (t) = ,5

gende Kurve , auf der die Punkte zu den Wertepaaren der Tabelle liegen . Für die MaBzahl der Spannung ergibt Funktion

sich

die

U : U (t) = ,51, D (U ) = R20. 4

88

2 Funktionen

Allgemein zählt man Terme der Form af mit xeR und einer positiven reellen Zahl für a zu den Potenztermen . Solche Potenztermemit beliebigen reellen Exponenten lassen sich auf Potenzterme mit nur rationalen Exponenten zurückführen .

Abschnitt 2.2.2, Übungsaufgabe 19

Man nennt reelle Funktionen vom Typ f : f ( x) = at; D (S ) = R mit aeR > , bei denen die Argumentvariable x im Funktionsterm als Exponent einer positiven Basis steht, Exponentialfunktionen . Auch solche Funktionen zählt man zu den Exponentialfunktionen , bei denen dieser Funktions term – wie bei der Funktion K – noch mit einem konstanten Faktor multipliziert ist. Da Exponentialfunktionen vom Typ f : f (x ) = a *; D (D) = R mit aeR > eine positive Basis haben , besteht auch deren Wertebereich nur aus positiven Zahlen , und jede positive Zahl tritt auch als Funktionswert auf, falls a # 1 gilt. → W ( S) = R > . Für a = 1 ist 1 * = 1 für alle XER , und f ist in diesem

Fall die konstante Funktion f : f (x ) = 1; D ( S) = R .

Die Graphen von fi: f1 (x) = 2* ; D (S ) = R , D (12) = R ; $3: f3(x ) = ,5 % ; 12: 42 (x) = 3 *; D (83) = R und fa: f4(x ) = ,7% ; D (94) = R ha ben alle den Ordinatenabschnitt 1.

f (x) = 31 13 (x) = ,5 %

Die Graphen der Funktionen fi und f2 stei gen ständig, ihre Funktionsterme sind vom

f (x ) = 2x

Typ atmit a > 1. Die Graphen der Funktionen fz und fa fal

f ( x) =

,7 *

len ständig , ihre Funktionsterme sind auch vom Typ a*, jedoch mit ( < a < 1.

-2

Exponentialfunktionen vom Typ f : f (x) = at; D (S) = R sind für a > 1 streng monoton steigend ( und umso strenger , je größer die Zahlen für a sind) und für < a < 1 streng monoton fallend (und umso strenger, je kleiner die Zahlen für a sind ). Die Graphen dieser Exponentialfunktionen nähern sich asymptotisch der X - Achse immer von oben .

Merke: • Exponentialfunktionen vom Typ f : f (x ) = at; D (S ) = R sind nur für positive Zahlen anstelle von a (aeR > ) definiert und haben den Wertebereich W ( f ) = R > . Für < a < 1 sind diese Exponentialfunktionen streng monoton fallend. Ihre Graphen nä hern sich asymptotisch von oben dem positiven Teil der X -Achse . • Für a > 1 sind diese Exponentialfunktionen streng monoton steigend. Ihre Graphen nähern sich asymptotisch von oben dem negativen Teil der X - Achse . Alle Graphen dieser Exponentialfunktionen verlaufen durch den II. und I. Quadranten des Koordinatensystems und gehen durch den Punkt P (01) .

89

2 .6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen

Die Funktionsterme der Exponentialfunktionen vom Typ f : f (x) = af sind Potenzterme af mit reellen Exponenten für x und positiver reeller Basis für a . Für das Rechnen mit solchen Potenzter men gelten die schon für natürliche Zahlen als Exponenten bekannten Potenzregeln 1 bis 3 : 1 . Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden

1.

ati . a * 2 = a * 1 + x2

2.

a * . b + = (a . b ) *

3.

( a +1) *2 = a *1*X2

multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die gemeinsame Basis beibe hält. 2. Zwei Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den gemeinsamen Expo nenten beibehält. 3. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. Als Folgerung von 1. und 2 . erhält man dann auch Regeln für Quotienten .

17

Hierbei sind noch die nebenstehenden Fest setzungen zu beachten .

a

=

a = 1

*

a +

Steht insbesondere x

für eine rationale m Zahl, also für einen Term der Form п- mit

meZ und neN *, so lassen sich die Potenzen mit positiven Basen für a und gebrochenen

Vam = ( a)", da a > ,wobei /a = a

Exponenten auf den Wurzelbegriff zurück führen und die Potenzgesetze mit Hilfe der Wurzelgesetze streng beweisen . schlagseite

3. Um

Beispiele 2.60 Berechnen Sie 363.8 •

4 .99 und V4. 12.976

362.8 * =

Im Produkt werden die Basen der Faktoren als Potenzen geschrieben und das Produkt ausgerechnet.

36 .8 * =(62)-(22) +

3. Potenzregel

=64.22-25 = 61.2-1= 6.5 = 3

90

2 Funktionen 14.

V 12 -16 Die einzelnen Wurzeln werden als Potenzen geschrieben und der Bruch wird mit Hilfe

112.

(28.3):(23.35 233 . 2 _ 8. 3_ 2 12 3 12 551.31

der Potenzgesetze umgeformt. Die Poten zen 23 und 3 3 berechnet man dann mit Hilfe der yex - Taste des Taschenrechners nä herungsweise und bestimmt dann ihr Pro dukt.

2 B.3 = P

TR

= ,6597. ,9125 = ,602

Steht x für irrationale Zahlen , also für reelle Zahlen , die nicht rational sind, so lassen sich die Potenzen ať mit positiven Basen für a mittels der Potenzen mit gebrochen -rationalen Exponenten erklären und dann die Potenzregeln ebenfalls streng beweisen .

Als Anwendung der 1. Potenzregel ergibt sich für Exponentialfunktionen vom unmittelbar das sog. Additionstheorem : f (x1 + x2) = f (x1). f (x2).

Typ f : f (x ) = a *

Merke: Für Exponentialfunktionen vom

Typ f : f (x) = a* ; D (S) = R gilt das Additionstheorem : f (x + x2) = f(x )- f (x2).

Bei den bisherigen Beispielen zu Exponentialfunktionen f mit f ( x ) = c•a * ergab sich die Basis a und der konstante Faktor c jeweils aus dem c = 1 und a = 2 ; beim c = 1 und a = , 5 .

inhaltlichen Zusammenhang. So gilt beim Beispiel 2.57:

Beispiel 2.58 : c = K (

= 5000 und a = 1 +

6

= 1,12 ; beim

Beispiel 2.59 :

Mit Hilfe der Potenzgesetze ist es möglich , den Funktionsterm U (t) = ,54 des Beispiels 2 .59 auch mit einer anderen Basis – etwa mit der Basis 2 – darzustellen , wobei im Exponenten allerdings ein konstanter Faktor hinzukommt. So können wir für die Basis a = ,5 schreiben : , 5 = 2 - 1. Nach dem dritten Potenzgesetz gilt nun : U (t) = , 5° = (2 - 1); = 2 – 1). . Anstelle der Basis a = ,5 tritt die neue Basis b = 2 auf, und im Exponenten steht der zusätzliche konstante Faktor d = - 1 . Offensichtlich kann jede Exponentialfunktion zu f (x ) = C . at in der Form f (x ) = c . bd x mit einer beliebig wählbaren neuen Basis b mit b >

und b # 1 dargestellt werden .

Wählen wir, nachdem wir b festgelegt haben , die Zahl d so , dass a = bd ist, dann gilt : f (x ) = C . at = c . (b )x = c - hd -x. Damit ergibt sich die Möglichkeit , für alle Exponentialfunktionen ein und dieselbe Basis zu wählen . Für technische Berechnungen bringt diese Möglichkeit viele Vorteile.

2.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen Die e -Funktion Zur mathematischen Modellierung technischer Zusammenhänge, die auf Exponentialfunktionen führen , wurde eine spezielle Basis gewählt, die der Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783) mit dem Buchstaben e bezeichnet hat. Die Zahl e ist eine irrationale Zahl; sie besitzt also eine Darstellung als unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch . Ein Näherungswert ist e

2,718281828459.

Die Exponentialfunktion f mit f (x ) = et heißt e-Funktion ; man spricht auch von der natürlichen Exponentialfunktion . Die Wahl der Basis e ergab sich aufgrund der besonderen Eigenschaft dieser Exponentialfunktion, die darin besteht, dass der Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion zu f ( x ) = e * im Punkt P ( xo |f (x ) stets gleich dem Funktionswert f (xo) ist. Wir werden darauf in der Differen tialrechnung zurückkommen . Diese Besonderheit bringt so große praktische Vorteile , die den Nachteil des Charakters von e als Irrationalzahl wettmachen . Die Exponentialfunktion zu f ( x) = e * ist auf jedem wissenschaftlichen Taschenrechner fest einpro grammiert. Bei einigen Taschenrechnern und den meisten Programmiersprachen für Computer wird auch das Symbol exp (x ) für den Funktionsterm verwendet. In den folgenden beiden Beispielen wird die Anwendung der e- Funktion demonstriert. Wir begin nen mit dem Beispiel der Kondensatoraufladung, wobei im Gegensatz zur Kondensatorentladung von Beispiel 2.59 die wichtigen technischen Größen nun in die Modellierung einbezogen werden . Beispiel 2.61

Kondensator

in s

Ein Kondensator der Kapazität C = 60 uF wird über einem Ohm 'schen Widerstand R = 18 k 2 mit Hilfe einer Gleichspannungs

. ,5

(t) in mA

quelle (U = 100 V ) aufgeladen .

+

5,56

3, 50

1

3

5

2,20

,35

, 05

i( t)

Die Ladestromstärke kann in Abhängigkeit von der Zeit durch die folgende Funktion i beschrieben werden : U i: i(t) = 4R .

i (t) =

5; D (i) = R20.

Die sogenannte Zeitkonstante t lässt sich mit Hilfe der Formel r = CR berechnen . Mit C = 60 uF = 60 - 10 - 6 As und

R = 18 k2 =

18 . 103 erhält man t = 1,08 s und 5,56 . 10 - 3 A = 5,56 mA. Der Funktions term hat damit die Form i(t) = 5,56 e 1,05

t in s

|

u (t) in V |

,5 ,5

|

|

| 37,06

1

|

60,38

3

|

93,78

5 99,02

u (t)

Dabei ist die Zeit in Sekunden einzusetzen ; die Stromstärke ergibt sich in der Einheit Milliampere .

|u(t)= 100 (1-e1,08 )

Für den zeitlichen Verlauf der Konden satorspannung gilt: u : u (t) = U (1 - e 6); D (u) = R > .

1

2

3

4

92

2 Funktionen

Beispiel 2.62

Barometrische Höhenformel

Wie groß ist der Luftdruck aufder Zugspit

h in m

ze (2963 m .ü . d. M .) und auf dem Mont blanc (4808 m . ü . d . M .), wenn davon ausge gangen wird , dass der Luftdruck in Meeres

2000

4000

6000

8000

p (h ) in hPA

778,8

606,5

472,4

367,9

spiegelhöhe (Po) ungefähr 1000 hPa (Hekto pascal) beträgt ?

Ap (h)

Der Luftdruck in der Höhe h über dem

1100

Meeresspiegel lässt sich annähernd durch

1000

sogenannte barometrische Höhenformel p (h ) = Po e -kh

900

mit ko 8000 m

800

beschreiben . Mit den Näherungswerten für

700

Po und k ergibt sich die Exponentialfunk tion

600

p(h )= 1000 .e 8000

500 5

p : p (h) = 1000 e 5000 ; D (p) = R20,

400

wobei die Höhe h in Meter (über dem Mee resspiegel) einzusetzen ist und sich der Luft

300

druck p in Hektopascal ergibt. Für die Zug spitze erhalten wir : 2963 p (2963) = 1000 e 5000

690 (hPa);

für den Montblanc ergibt sich : 480S p (4808) = 1000-e - 5000 550 (hPa).

2

1

000

4000

6000

8000

Logarithmen und Logarithmusfunktionen Im Beispiel 2.59 aufSeite 87 könnte man auch fragen , nach wie vielen Zeiteinheiten die Ladespan nung von 1 V auf ,1 V gesunken ist. Nach dem

Funktionsgraphen muss dieser Zeitpunkt zwi

schen 3 und 3,5 Zeiteinheiten liegen . Wir bestätigen dieses Ergebnis , indem wir die beiden Zeitwer te in die Funktionsgleichung einsetzen und (gegebenenfalls mit Hilfe eines Taschenrechners) die zugeordneten Funktionswerte berechnen . Wir erhalten : U (3) = ,53 = ,125

und

U (3,5) = ,53,5

,088.

Offensichtlich besteht das Problem darin , eine Lösung der folgenden Exponentialgleichung für die Variable t zu bestimmen : ,54 = , 1. Aus der graphischen Darstellung der Funktion ist sofort ablesbar, dass eine eindeutige Lösung dieser Gleichung existiert. Mit Hilfe eines Taschenrechners können wir durch Intervallschachte lung Näherungswerte für diese Lösung finden ; beispielsweise gilt : ,53,3 > ,101

und

,53,4 < ,095.

Also liegt die gesuchte Lösung t zwischen 3, 3 und 3, 4 Zeiteinheiten . Die Zahl 3, 3 ist bereits ein recht guter Näherungswert. Bei Bedarf kann die Näherungslösung weiter verbessert werden . gegebenen Funktionswert y > die Lösung x (bzw . eine Nähe rungslösung) der Exponentialgleichung y = ,5 * ermitteln . Dieselben Schlussfolgerungen gelten auch für Exponentialfunktion mit einer anderen positiven , von 1 verschiedenen Basis a . Entsprechend kann man bei jedem

2.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen Die zu den Exponentialfunktionen vom

93

Typ f : f (x) = at; D ( f) = R mit a # 1 gehörenden Glei

chungen y = a* besitzen also für yeR > eine eindeutige Lösung für x. Man nennt die Gleichungen y = a * Funktionsgleichungen dieser Exponentialfunktionen und die eindeutig bestimmte Lösung für x im Falle yeR > ° den Logarithmus von y zur Basis a und schreibt dafür x = loga y. Hierbei 1 gemacht werden , denn , da 1 * = 1 für jedes xeR ist, lässt sich eine muss die Einschränkung a Zahl für x nicht eindeutig bestimmen , falls a = 1 gilt. Den

Logarithmus einer nicht negativen

Zahl zu berechnen heißtalso , den Exponen ten einer Potenz zu bestimmen . Der Loga rithmus von y zur Basis a ist also diejenige reelle Zahl, mit der man

Beispiele : log , 1 = log , aº = log, a ' = 1

a potenzieren

muss, um y zu erhalten . log , a" = n , denn der Logarithmus von a" zur Basis a ist ja gerade die Zahl, mit der man a potenzieren muss , um a " zu erhalten .

log , a " = n co = 8 denn 23 log2 8 = 3 ; log 8 = 1,29202.. .; denn 51,29202 ... = log ,08 = , 90308 .. . ; denn 100,90308 ... = 8

Merke : Gilt acR > ; a = 1 und yeR > , so bezeichnet loga y diejenige Zahl für x , für die gilt af = y. loga y wird der Logarithmus von y zur Basis a genannt. Näherungswerte für Logarithmen hat man früher aus speziellen Tabellen ( sogenannten Loga rithmentafeln ) entnommen . Heute kann man Logarithmen mit Taschenrechnern oder Computern näherungsweise bestimmen . Für das praktische Rechnen werden häufig die Logarithmen zur Basis 10 benutzt, für die es auf wissenschaftlichen Taschenrechnern eine spezielle Taste gibt. Man nennt die Logarithmen zur Basis 10 dekadische Logarithmen oder Zehnerlogarithmen. Statt log10 y schreibt man kürzer Ig y . In den Naturwissenschaften und der Technik bevorzugtman dagegen die Logarithmen zur Basis e und spricht von natürlichen Logarithmen . Anstelle von loge y schreibt man kurz in y. Auch für diese Logarithmen gibt es auf den meisten Taschenrechnern eine Taste. Nach Definition des Logarithmus kann jede positive Zahl y als Potenz mit einer positiven , von 1 verschiedenen Basis a geschrieben werden : y = alogay. Genauso gilt mit b > , b # 1 : y = blogby und a = bloga. Damit erhalten wir : blogby = alogay = (bloghalogay = blogga- logay Durch Exponenten - Vergleich ergibt sich : log, y = log , a logay,

also

logh y log, y = 1 log, a

Es reicht also grundsätzlich aus, nur die Logarithmen zu einer ausgewählten Basis zu kennen , denn jeder Logarithmus zu einer anderen Basis lässt sich durch erstere ausdrücken . Damit können wir jeden Logarithmus zu einer Basis a ausdrücken durch dekadische oder natürliche Loga rithmen . Merke : _ Igy _ In y Für yeR > ° und aeR > ° mit a # 1 8gilt: log, y = ; . Salg a In a

94

2 Funktionen

Wir sind nun in der Lage, einfache Exponentialgleichungen zu lösen . Zunächst vollenden wir die Lösung unseres Einstiegsproblems zur Kondensatorentladung von Seite 92. Beispiel 2.63 ,50 =

Zu lösen ist die Exponentialgleichung

,1

In , 1 = t = logo,50,1 = 10 In ,5

,5 = ,1. Nach ungefähr 3,32 Zeiteinheiten ist die Kondensatorspannung also ,1 V gesunken .

von

1 V

auf |

“ t=

T R

– 2,30258509 2011 10 = 3,321928095 23,32

Beispiel 2.64 In welcher Höhe über dem Meeresspiegel beträgt der Luftdruck 750 hPa ? Beispiel 2.62

| 1000 .e - 8000 = 750 →

Zu lösen ist die Exponentialgleichung

e- sávo = ,75 8000 = ln ,75

TR

1000 - e - 8000 = 750 . → In ungefähr 2 300 m .ü .d .M .beträgt der Luft druck 750 hPa

3000 = – ,28768207

→

h = ( - ,28768207):( - 8000)

2300

Grundlage für das Rechnen mit Logarithmen sind die nachstehenden Logarithmenregeln ,die sich für u , veR + aus den entsprechenden Potenzregeln folgern lassen . 1. Ein Produkt wird logarithmiert, indem man die Logarithmen der Faktoren addiert.

log, (u : v) = log, u + log , v

Beweis : Setze log , u = x ,; logav = x2 . Dann gilt : a *i = u und a *2 = v. Also : u :v = q '1.q *2 = qx1 + x2

1. Potenzgesetz

→log.(uºv) = log, ax + x2 = X1 + x2 und wegen x , = logqu ; xz = loga v folgt hieraus die 1. Regel. 2 . Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Lo garithmus des Nenners subtrahiert.

loga = log ,u – logav

Beweis : Setze log , u = X1; log , v = Xz . Dann gilt: axt = u und at? = v. u a* Also : " = " = qXI- X2 Potenzgesetz für Quotienten Va2 => loga " = log,a* -* = x;– xz und wegen x , = log , u ; X2 = log, v folgt hieraus die 2 . Regel.

95

2.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen 3. Eine Potenz wird logarithmiert, indem man den Logarithmus der Potenzbasis mit

log, u " = n · log, u

dem Exponenten multipliziert. Beweis : Setze log, u = x ,. Dann gilt: atl = u . Also : u " = (a * i)" = a *i'n = a " * 1

3. Potenzgesetz

→loga u " = loga a "-* 1 = nºx, und wegen x , = log, u folgt hieraus die 3 . Regel. Zu jeder nicht negativen reellen Zahl für x lassen sich zu den verschiedenen Basen für a mit aeR > ° und a = 1 die Logarithmen loga x eindeutig als die Exponenten angeben , für die gilt: alogax = x . Die Zuordnungen xH > loga x liefern daher für jede zulässige Basis eine reelle Funktion . Funktionen vom Typ g : g (x ) = loga x ; D (g ) = R > º heißen daher Logarithmusfunktionen zur Basis a . Loga rithmusfunktionen zur Basis a besitzen den Wertebereich W ( g ) = R . Auch bei Logarithmusfunktionen interessiert deren Graphenverlauf in Abhängigkeit von a . Die Graphen der Funktionen 81: 87(x ) = log10x = 1gx ;82:82(x) = logex = lnx; 83: 83 (x) = logo,sx und 94: 94(x ) = logo,1 x mit dem Definitionsbereich R > haben alle den

82(x ) = ln x

Abszissenabschnitt 1 auf der x - Achse . Die Graphen von gı und g2 steigen ständig. Die Terme dieser Logarithmusfunktionen

8 (x ) = lgx

A

2

haben eine Basis a mit a > 1. Die Graphen von gz und ga fallen ständig. Die Terme dieser Logarithmusfunktionen haben eine Basis a mit < a < 1.

3

4

5

6

7

8 x

84(x ) = logo,14

83(x) = logo,5 *

Logarithmusfunktionen sind für a > 1 streng monoton steigend (und umso strenger, je kleiner die Werte für a sind) und für ( < a < 1 streng monoton fallend (und umso strenger, je grö ßer die Werte für a sind). Die Graphen der Logarithmusfunktionen nähern sich asymptotisch der y -Achse immer von rechts . Merke : • Funktionen vom Typ g : g (x) = loga x ; D (g) = R > ° mit einer positiven reellen Zahl für a und a # 1 heißen Logarithmusfunktionen zur Basis a. Sie besitzen den Wertebereich W (g) = R . Für

< a < 1 sind die Logarithmusfunktionen streng monoton fallend . Ihre Graphen nähern

sich asymptotisch von rechts dem positiven Teil der y -Achse. Für a > 1 sind die Logarithmusfunktionen streng monoton steigend . Ihre Graphen nähern sich asymptotisch von rechts dem negativen Teil der y -Achse . Alle Graphen von Logarithmusfunktionen verlaufen durch den I. und IV . Quadranten des Koordinatensystems und gehen durch den Punkt P ( 10 ) .

2 Funktionen

96 Umkehrfunktionen

Zwischen den Exponentialfunktionen f und den Logarithmusfunktionen g zur gleichen (zulässi gen ) Basis für a besteht eine enge Beziehung. Zum einen gilt : W ( S) = D (g) (

D (g) = R > 9) und W (g) = D ( ) (

Führtman andererseits auf einen Argument- | wert für x erst die eine Funktion aus und anschließend auf seinen Funktionswert die andere, so erhält man in jedem Fall wieder

D (A) = R ).

Für jedes xed (f ) gilt: xta

*

log at

logga = x

also : f (x) = af und g (a *) = x.

den ursprünglichen Argumentwert für x . Denn einerseits steht log, at gerade für die jenige Zahl, mit der man a potenzieren muss , um wieder af zu erhalten - also für x – und andererseits stellt alogax per Defini tion des Logarithmus gerade die Zahl für x dar .

Für jedes xeD (9) gilt: x H

logo xt

qlobar

aloxax = x

also : g(x) = loga x und f (loga x) = x . Beispiele :

10 für a

lg 1000 = 3, denn 103 = 1000 und 101g 1000 = 1000, denn lg 1000 = 3. Vergleichtman die Graphen von Exponen tial- und Logarithmusfunktionen zur glei chen (zulässigen ) Basis für a miteinander, so stellt man fest, dass sie durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III.

GO

Winkelhalbierende

Quadranten des Koordinatensystems aus einander hervorgehen . GF-1)

-2

-1 7 -1H

1

2

3

4

5

6

x

Allgemein nenntman zwei reelle Funktionen f und g mit WIB) = D (g ) und W (g ) = D (S ) Umkehr funktionen voneinander , wenn sie die für die Exponential- und Logarithmusfunktionen ausge sprochenen Argumenteigenschaften besitzen , d .h ., wenn sie ihre Zuordnungen gewissermaßen gegenseitig wieder umkehren , wenn also gilt: xtf

(x)

=

g (f (x)) mit g (f (x)) = x für jedes xeD (S)

und xHg

(x) +

f (g (x)) mit f(g (x)) = x für jedes xeD (g).

Merke : Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen zur gleichen Basis sind Umkehrfunktio nen voneinander.

2.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen

97

Besitzt eine reelle Funktion f eine Umkehrfunktion g, so ist diese eindeutig bestimmt, d. h ., es kann nicht mehr als eine Umkehrfunktion zu f geben . Beweis : Denn wären g, und g2 zwei Umkehrfunktionen zu f, so müssten für yeW ( S), also für y = f (x ), sowohl gı (y) = g ( f (x )) = X als auch gz(y) = 82 (f (x )) = x gelten . →g (y) = gz (y) = für alle yeW

) ►

D (81) = W ( S) und D (82) = W

).

Die Funktionen g , und g , sind identisch .

→8 = 82

Sind f und g Umkehrfunktionen voneinander, so nennt man auch jede dieser Funktionen umkehr bar und bezeichnet die zu f gehö rige Umkehrfunktion g auch mit f - 1 bzw . die zu g gehö rige Umkehrfunktion f auch mit g 1. Es gilt also : g = f - und f = g - 1. Es stellt sich nun die Frage,wann eine reelle Funktion f umkehrbar ist, also eine Umkehrfunktion f - 1 besitzt. Für eine umkehrbare reelle Funktion f ist es offenbar notwendig , dass die ihr zu grunde liegende Zuordnung xf(x ) mit xeD (F ) umkehrbar eindeutig ist. Das be deutet, dass die umgekehrte Zuordnung f ( x ) x mit f (x ) W (f ) ebenfalls eindeutig ist, also auch eine Funktion ist. Denn die Umkehrfunktion f - ' macht ja die Zuord nung xHf(x ) auf ihrem Definitionsbereich

| Ist die reelle Funktion f umkehrbar, so ist auch die zu xHf (x ); XED (f) umgekehrte Zuordnung f (x)6

x

x

; f (x) W (f ) eine Funktion :

=

Ź

f (x ).

fi

D (f - ') = W ( S ) gewissermaßen wieder rück gängig : f - 1: f (x)

x.

Das Kriterium für die umkehrbare Eindeu tigkeit einer reellen Funktion f ist , dass es zu verschiedenen Argumentwerten x , und x2 aus D ( S ) auch verschiedene Funktions werte gibt, wie man durch Rechnung bestä tigt.

Sind dann x1, x2€D (S ), so gilt: f (x,) = f(x ) = f -'(f (x )) = f - '(f( x2)) → x1 = X2 . Also : f (x ) = f (x ) = x ; = x2. Hiermit gleichbedeutend ist : x ; + x2 = f (xy)

Die Bedingung x , + x2 = f (x ) = f (x2) für alle x1, x2€D ( ) ist aber auch für eine reelle Funktion hinreichend dafür, dass es die Um kehrfunktion f - gibt. Denn sie lässt sich mit der Wertemenge W ( f ) als ihren Defini tionsbereich durch die eindeutige Zuord x bestimmen . nung f ( x )

f (x2) für alle xị, xzeD ( f).

Gilt für eine reelle Funktion f x1 + x2 = f (x ) = f (x2) für alle x ,, XzED (1 ), so ist f umkehrbar und f - 1: f - ' (f (x)) = x ; f (x )e W ( ) ist die Umkehrfunktion von f mit dem tionsbereich D (f - 1) = WIS ).

Defini

Merke : Eine reelle Funktion f ist genau dann umkehrbar , wenn ihre Zuordnung xHf(x) umkehrbar eindeutig ist, d .h ., wenn für alle x1, x2ED (S ) gilt: x , # x2 = f (x ) = f (x2).

98

2 Funktionen

Anschaulich bedeutet die Umkehrbarkeit einer reellen Funktion f, dass ihr Graph von jeder Parallelen zur X -Achse in höchstens einem Punkt geschnitten wird .

Der Graph der Funktion f: f (x ) = x2; D (S ) = R wird oberhalb der x -Achse von

| Graph einer nicht umkehrbaren Funktion :

jeder Parallelen zur x -Achse genau zweimal geschnitten . Daher ist f nicht umkehrbar.

- 2

Der Graph der Funktion f : f ( x) = x2 mit dem eingeschränkten Definitionsbereich D ( S) = R * ° hingegen wird von jeder Paral

-1

Graph einer umkehrbaren Funktion : valon

lelen zur X -Achse höchstens einmal ge schnitten . Daher ist f jetzt umkehrbar.

-2

-1

2

x

Winkelhalbierende

Der Graph der Umkehrfunktion f - 1 einer umkehrbaren reellen Funktion f geht aus dem Gra phen von f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten hervor. Stellt man auf diese Winkelhalbierende senkrecht einen Spiegel, so kann man im Spiegel den Graphen der Umkehrfunktion sehen .

Z . B . sieht man im Spiegel zum Graphen der Funktion f : f ( x ) = 2x - 1 ; Df) = R den Graphen der Umkehrfunktion f - '(x ) = ,5 x + ,5 ; D (F - ) = R .

f (x ) = 2x - 1

f - ! mit

f ' ( x) = ,5x + ,5 -2

-1

Winkelhalbierende

2

X

99

2 .6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen Rechnerisch erhält man den Funktionsterm der Umkehrfunktion f - 1 aus dem Funk tionsterm der Funktion ſ, indem man die Funktionsgleichung y = f ( x ) nach x auflöst und anschließend die Variablen x und y ge genseitig vertauscht.

y = 2x - 1

Funktionsgleichung von f Auflösen nach x

→x = (y + 1)

Vertauschen von x und y Funktionsgleichung der →y = ( x + 1 ) ► Umkehrfunktion Funktionsterm der →f - ' (x ) = ,5x + .5 Umkehrfunktion

Die Bedingung x1 + x2 = f (x1) f (x2) für alle x1, x2€D (S ) ist für streng monotone reelle Funktio nen immer erfüllt, da entweder x ; < x2 = f ( x1) < f (x2) ► f streng monoton steigend oder x , < x2 = f (x ,) > f ( x2) ► f streng monoton fallend für alle x1, x2€D ( ) gilt. Merke: • Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn ihr im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestell ter Graph von jeder Parallelen zur x -Achse in höchstens einem Punkt geschnitten wird . Der Graph der Umkehrfunktion f - entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion f an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten . • Streng monotone reelle Funktionen sind umkehrbar. Hiernach sind also insbesondere alle linearen Funktionen , also Funktionen f : f (x ) = mx + b ; D ( S) = R als strengmonotone Funktionen umkehrbar.

des

Typs

Aber auch alle Exponentialfunktionen des Typs f : f (x) = a *; D (S ) = R und alle Logarithmusfunk tionen g : g (x ) = loga x ; D (g) = R > sind streng monoton und daher umkehrbar. Im Folgenden wird anhand des radioaktiven Zerfalls ein Beispiel für Umkehrfunktionen ent wickelt. Dazu beschreiben wir zunächst in kurzer Form das Zerfallsgesetz und die dabei auftreten den Größen . Für den radioaktiven Zerfall gilt das Zerfallsgesetz : n (t) = n , e n (t) : Anzahl der zur Zeit t vorhandenen instabilen Atomkerne no : 2 :

Anzahl der zu Beginn der Zeitzählung vorhandenen instabilen Atomkerne Zerfallskonstante

Die Zeit, nach der die Zahl n , der instabilen Ausgangskerne auf die Hälfte abgesunken ist, bezeich net man als Halbwertszeit T. Ist T bekannt, so kann 2 bestimmt werden : no . e - 17 = ; n .

1 : no Definition des natürlichen Logarithmus

* ☆

- 2. = ln = _ In ,5 = ,69315

1:(- 1)

100

2 Funktionen

Da die Masse der radioaktiven Substanz proportional zur Anzahl der instabilen Kerne ist, kön nen anstelle von n (t) und n , im Zerfallsgesetz auch die entsprechenden Massen eingesetzt werden : m = f(t) = m , e -d . Beispiel 2 .65 Zur Zeit t = seien 250 mg Cäsium 137 vorhanden. Die Halbwertszeit von Cäsium 137 beträgt 33 Jahre . Auf Grundlage dieser An

| Aus T = 33 und 1 = = 1970, folgt: T -_ - In ,5 _ ,69315 _ 0021 ,021. 33 T

gaben soll ein Funktionsterm f (t) aufgestellt werden , der für jeden Zeitpunkt t die Be rechnung der Masse m der noch nicht zer fallenen Substanz ermöglicht. Die Funktion f ordnet dann also jedem Zeitpunkt t die Masse m des noch vorhandenen Cäsiums zu .

Mitmo = 250 erhalten wir : f: m = f(t) = 250 .e - ,0211; D (S ) = R .

m = 250 .e - ,0211

Lösen wir die Funktionsgleichung von f nach der Zeit t auf, so erhalten wir die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion Die Funktion f -

ordnet jeder Masse m des 1

noch vorhandenen Cäsiums den entspre chenden Zeitpunkt t zu . Mit dem Funktionsterm von f - kann man aus der vorhandenen Masse an radioaktiver Substanz die verstrichene Zeit berechnen .

Übungen

=

,0211 - 250

,021t = In

/2501 m /

= In 250 - In m

In 250 - In m ,021 In 250 - In m > | f - : t = f - ' (m ) = ; D (f -') = R ,021

zu 2.6

1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Exponentialfunktionen und bestimmen Sie rechnerisch ihre Funktionswerte für xe {1 , 2, 3, 5, 10 ) . b ) f: f (x ) = 3 * a ) f : f (x ) = 2* c) f : f (x) = ,5* 1) f : f (x) = 6 e) f: f (x) = ( )* d) f: f (x ) = * 2. Die chinesische Bevölkerung betrug 1995 ca , 1, 2 Mrd . Menschen . Man rechnet mit einem jährlichen Bevölkerungswachstum von 3, 5 % . a ) Bestimmen Sie den Funktionsterm dieser Exponentialfunktion. b ) Berechnen Sie die voraussichtlichen Einwohnerzahlen in den Jahren 2000 , 2010 und 2020. c ) In welchem Jahr wird sich bei gleicher Wachstumsrate die chinesische Bevölkerung im Vergleich zu 1995 verdoppelt haben ? 3. Der indische König SCHEHRAM forderte den Erfinder des Schachspieles auf, sich eine Belohnung zu wünschen . Dieser bat ihn , auf das erste Feld des Schachbrettes ein Weizenkorn zu legen , auf das nächste 2 Weizenkörner, auf das nächste 4 Weizenkörner , usw . a ) Stellen Sie den Funktionsterm der Funktion auf, die angibt, wie viele Weizenkörner auf den verschiede nen Schachbrettfeldern liegen . b ) Berechnen Sie die Anzahl der Körner auf dem 8., 20 ., 32 . und 64. Feld .

101

2.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen , Umkehrfunktionen 4 . Berechnen Sie: a) 642. 161

b) 645.81

c) 64*. 277

d) 646.81

36 132

1/27

5 . Bestimmen Sie jeweils die Lösungen der folgenden Exponentialgleichungen . a ) 1,04 * = 1,36856905 b ) 4 . ,8 * = ,219902326 c) 6789 . 2* = 38 404 ,3835 d ) , 123. 3 * = 269,001 e) 32 ,5 - 1,005 * = 33,82297893 f) 6484 . ,95* = 4766 ,335819 h ) , 992x + 3 = ,895338254 g ) 1,02% - 2 = 1,21899442 i) 3 . 3 * = 9 * + 2 6 . Zeigen Sie , dass für Exponentialfunktionen des Typs f: f (x) = a*; D (S) = R und für Logarithmusfunktio nen des Typs g : g ( x ) = log , X ; D ( g) = R > gilt : W ( S ) = R ºund W g ) = R . 7 . Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen umkehrbar sind. a ) f : f (x) = x ' + 1 ; D (S ) = R c) f : f(x) = log 2x ; D (S) = {xER | < x < 10 ;

b) f: f(x) = V6,25 – x2; D (S) = {xER |0sx52,5} x2 für < x < 2 d) f: f(x) = { x + 2 für 2 < x < 5

8 . Ermitteln Sie, ob die angegebene Funktion g Umkehrfunktion der gegebenen Funktion f ist. a ) f : f (x) = 2x; D ( ) = {1, 2, 3 }, g: g(x) = ,5x ; D (g) = {2, 4 , 6} b ) f : f (x) = x ?; D (S) = R20, g : g (x ) = 1 x ; D (g) = R20 c) f: f(x) = x2 - 1; D (S) = {1, 2, 3, 4 , g: g(x) = Vx + 1; D (g) = { , 3, 8, 15} d) f: f (x) = x?; D ( ) = {x€R – 25x52 }, g: g(x)= V x ; D (g) = {xER |x54 } e) f: f(x) = 5

; D (S) = R > ,

8: 8 (x)=

1 ; D (9) = R >

) f:f(x)=3 + ;D(A)=RO g) 1: f (x) = 2x + 3; D (S) = { xER | < x < 3}, h) f: f (x)= 2*; D (f) = R ,

8: g(x)= + ; D(3) = R3

i) f: f(x)= 2x,; D (S)= R20,

g: g(x) = > * ; D (9) = {xER | < x < 2}

k ) f : f (x ) = 2x + 1 ; D (S) = R > ,

g: g(x)= ,5x – 1,5; D(g) = {xER |35x59} g: g(x) = log, X ; D (g) = R >

8: g(x)= 52 – 2; D(g)= R >

9. Zeigen oder begründen Sie, dass nachfolgende Funktionen streng monoton sind. Geben Sie zu jeder Funktion die Umkehrfunktion an . a ) f : f (x ) = ,25 x + 2 ; D ( S ) = R b ) f: f (x ) = 2x2 – 3; D (f) = R20 c) f: f (x ) = ,5x? - 2 ; D (S)R = d ) f: f (x ) = x ; D (S) = R20 e) f: f (x ) = 2 + log 3x ; D (S) = R > f) f : f (x ) = 3 * - 4 ; D ( S ) = R 10 . Von einer Exponentialfunktion f der Form f (x ) = c•a * sind die Wertepaare ( - 218 ) und ( - ,5 | 1) bekannt. Bestimmen Sie die Parameter a und c des Funktionsterms. De 11. Die Basis der natürlichen Exponentialfunktion e gilt: 1\ n e = lim ( 1 + - ) .

2 ,718 ist der Grenzwert einer speziellen Zahlenfolge ; es

a ) Bestimmen Sie mit Hilfe Ihres Taschenrechners eine Folge von 7 Näherungswerten für die Zahl e, indem Sie die entsprechenden Folgeglieder für n = 1 ; 10 ; 100 ; ... ; 1000000 berechnen . b ) Wählen wir bei einem zehnstelligen Taschenrechner für n die größtmögliche natürliche Zahl n = 9999999999 , so liefert das Gerät 19999999999 19999999999 E 19999999999 E 1. (1 + 9999999999) E Wie kommt es zu diesem Phänomen ? c) Ermitteln Sie für Ihren Taschenrechner diejenige natürliche Zahl n, für die das Gerät noch einen „ richtigen“ Näherungswert für e berechnet.

2 Funktionen

102

12. Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Gesetz n (t) = n , e - t0). Uran 235 hat eine Halbwertszeit von 7,1 · 108 Jahren , Uran 238 eine von 4,5 - 10° Jahren .Berechnen Sie für beide Substanzen die Zerfallsrate ... 13 . Aus Sicherheitsgründen muss nach DIN VDE ein Kompensationskondensator von 6uF in 60 s von U = 230 V auf U < 50 V entladen sein . Berechnen Sie den Entladewiderstand R , wenn gilt: U (t) = Ube- t/" mit t = RC. 14 . Bei einem KFZ - Stoßdämpfer legt der Kolben beim Einschieben einen Weg y nach dem Weg -Zeit-Gesetz y (t) = yo :( 1 - e -kh) zurück . a ) Skizzieren Sie den Graphen der Wegfunktion für k = 2s- und yo = 30 cm . b ) Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Zeit, nach der der Kolben 14 ,8 cm eingeschoben ist. 15 . Strahlungen werden beim Durchdringen von Materie geschwächt. Die Intensität f (x ) einer Strahlung nach Durchgang durch einen Stoffmit der Schichtdicke x kann mit Hilfe der Funktionsgleichung f (x) = yo. e * * berechnet werden. Mit yo wird dabei die Strahlungsintensität unmittelbar vor Eintritt in die Materie bezeichnet. Gegeben sei Lichtmit einer Lichtstärke von 300 Lux, das beim Durchgang durch eine 1 cm dicke Glasplat te 8 % der Helligkeit verliert. a) b) c) d)

Bestimmen Sie den Term der Funktion f. Ermitteln Sie rechnerisch die Intensität nach Durchgang durch 8 solcher Glasplatten . Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion f - 1. Wie viele Glasplatten sind erforderlich , damit die Lichtstärke nach dem Durchgang weniger als 1 Lux beträgt.

16 . Man kann mit Hilfe einer Funktion Nachrichten verschlüsseln . Dazu ordnet man jedem Buchstaben des Alphabetes seine Nummer zu und benutzt die Zahl O für Leerzeichen : ABC ... X Y Z 1 2 3 ... 24 25 26 . Aus der Nachricht STRENG GEHEIM wird so die Zahlenfolge 19 , 20 , 18 , 5 , 14 , 7, , 7 , 5 , 8, 5 , 9, 13. Jede Zahl dieser Folge wird sodann als Argument einer „ Kodierfunktion “ genommen , z. B . f : f (x ) = 2x - 11 : 27 , 29, 25 , - 1 , 17, 3, - 11 , 3 , - 1, 5 , - 1 , 7 , 15 . a ) Wie lässt sich eine so verschlüsselte Nachricht wieder dekodieren ? b ) Welche Bedingung muss die Kodierfunktion erfüllen ? c ) Entschlüsseln Sie die folgenden Nachrichten : 15 , - 9 , 29 , 5, - 1 15 , - 9, - 5, 5, 29 27, 21, - 9 , 27, 27

- 1, 27, 27 , - 1, 17 19 , 5, 17, - 1 25, - 1, 31, - 1

15 , - 9, - 5 , 5 15, - 9, 13 21, - 9 , 31, 27, - 1.

103

2 .7 Winkelfunktionen

2 .7

Winkelfunktionen

Bei zahlreichen technischen Systemen treten Größen auf, deren Wert zwischen zwei Extremwerten wechselt, wobei alle Zwischenwerte durchlaufen werden . Das einfachste Beispiel ist das Pendel einer Uhr. Nachdem es die sogenannte Ruhelage passiert hat, schlägt es zunächst zu der einen Seite bis zu einem maximalen Abstand von der Ruhelage aus. Dann kehrt es seine Bewegungsrich tung um und schwingt wieder durch die Ruhelage, um auf der gegenüberliegenden Seite ebenfalls bis zum maximalen Abstand von der Ruhelage zu gelangen. Diese Hin - und Herbewegung setzt sich gleichmäßig fort, jedenfalls solange, wie die Spannung der Uhrfeder diesen Prozess unter stützt. Man spricht von einer (mechanischen ) Schwingung Auch eine Stimmgabel kann in eine Schwingung versetzt werden , die sich wiederum auf die Luft moleküle überträgt, deren Schwingungen schließlich unser Trommelfell zum Schwingen anregen . Die Membran eines Lautsprechers führt ebenfalls mechanische Schwingungen aus, die hervorge rufen werden durch die elektrischen Schwingungen eines Wechselstroms. Wechselt die Stromstärke gleichmäßig zwischen einem negativen Maximalwert und einem positiven Maximalwert gleichen Betrages, so erzeugt dieser Wechselstrom im Lautsprecher einen gleichbleibenden Ton . Beiden bisher aufgeführten Beispielen handelt es sich stets um erwünschte bzw . nützliche Schwin gungsvorgänge. Schwingungen treten aber auch unerwünscht auf, sie können beispielsweise bei Hochhäusern und Brücken zu katastrophalen Folgen führen . Umso wichtiger ist es, die naturwis senschaftlich - technischen Zusammenhänge bei Schwingungen exakt zu untersuchen . Dies gelingt über die mathematische Beschreibung von Schwingungsvorgängen . Zur Erfassung der mathematischen Zusammenhänge betrachten wir die Schwingung des Kolbens eines Verbrennungsmotors . Diese für die Fortbewegung des Fahrzeugs zunächst unbrauchbare Hin und Herbewegung des Kolbens wird über Pleuelstange und Kurbelwelle in eine Drehbewegung umgewandelt, die schließlich über das

Einlassventil Y vor Vergaser

Getriebe auf die Räder übertragen wird .

Kolben

Uns interessiert der Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel der Kurbelwelle und der Auslenkung des Kolbens. Offensichtlich ist die

Pleul stange

maximale Auslenkung des Kolbens aus seiner „ Ruhestellung“ gleich der Länge r der Kurbelwelle , deren Endpunkt einen Kreis mit dem Radius r beschreibt. Wir wählen den Radius r als Längen

Kurbel welle

Auslassventil V zum Auspuff

einheit , betrachten also der Einfachheit halber einen Einheitskreis . Zeichnen wir diesen Kreis so in den II. und III . Quadranten eines Koordinatensystems, dass sein Mittelpunkt auf der Abszissenachse liegt, so vollführt die Projektion eines auf dem Kreis umlau fenden Punktes auf die Ordinatenachse annähernd die Schwingung des Kolbens. Tragen wir für jeden Drehwinkel x die Ordinate y des umlaufenden Punktes in dem Koordinatensystem ab , so erhalten wir den Graphen der Funktion f, die jedem Drehwinkel x die Auslenkung y zuordnet. 1

01

0° 45°

90° 135° 180 2250 275 315 360 405 450 495 540 535 630 675" 7209

104

2 Funktionen

Wir verallgemeinern unser Beispiel, indem wir den Funktionswert f (x ) als Ordinate desjenigen Punktes P des Einheitskreises definieren , in dem der zweite Schenkel des Winkels x den Kreis schneidet. Diese Ordi nate heißt Sinus des Winkels r ; man

Ordinatenachse

sin x

schreibt: y = sin x . Die so erklärte Sinus funktion ist für alle reellen Zahlen definiert,

Abszissenachse

wenn auch negative Drehwinkel (also Win

M

kel im Uhrzeigersinn ) zugelassen werden .

COS X

f: f (x ) = sin x ; D (sin ) = R Liegt der Punkt P im

I. oder II. Quadran

ten , so gilt: sin x = |PQ|. Befindet sich P im III. oder IV. Quadranten , so gilt: sin x = - |PQI. Wir können weitere Winkelfunktionen am Einheitskreis einführen . So wird die Abszisse des Punktes P als Kosinus des Winkels x bezeichnet ; man schreibt: y = cos x . Die Kosinusfunktion ist ebenfalls für alle reellen Zahlen definiert : D (cos) = R . Liegt der Punkt P im

I. oder VI. Quadranten, so gilt : cos x = |MQ|.

Liegt der Punkt P im

II . oder III. Quadranten , so gilt : cos x = - |MQI.

Die Strecken PQ und MQ sind Katheten in dem bei Q rechtwinkligen Dreieck MQP , dessen Hypotenuse die Länge 1 hat. Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann (PQ1? + IMQ12 = 12, also sin ? x + cos? x = 1 Zur Definition der Winkelfunktionen Tan cotx

gens und Kotangens betrachten wir im ne benstehenden Bild die Dreiecke MRS und UTM , die offensichtlich dem Dreieck MQP ähnlich sind. Damit stehen die Seiten der drei Dreiecke im

tan x

gleichen Verhältnis. We

sin x

gen |MR | = |MT| = r = 1 ergibt sich :

tan x =

sin x COS X

und

COS X cotx = sin x

M

Diese Beziehungen gelten auch , wenn der Punkt P in den anderen Quadranten liegt. Liegt P auf der Ordinatenachse, so gilt cos X = und der Tangens ist nicht definiert. Liegt P

auf der Abszissenachse, so

sin x =

und der Kotangens ist nicht defi

niert. Damit folgt: D (tan) = R \ {x | x = 90° + k . 180° ; keZ }, D (cot) = R \ {x | x = k . 180° ; keZ } .

gilt

cOS X

Q

R

105

2 .7 Winkelfunktionen Bei der Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis ergab sich der Wert sin x für 0° < x < 90° als Länge der dem Winkel x ge genüberliegenden Kathete eines rechtwink ligen Dreiecks mit der Hypotenusenlänge 1 . Man nennt diese Kathete die Gegenkathete des Winkels. Die zweite Kathete heißt ent

r . sinx sinx

sprechend Ankathete des Winkels. Bei ei nem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypo tenusenlänge 1 ist die Ankathetenlänge nach Definition

gleich dem

Kosinus des

7 . COS X

COS X

entsprechenden Winkels. Wir betrachten nun ein rechtwinkliges Drei eck , das dieselben Winkel aber eine belie bige Hypotenusenlänge r besitzt. Aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke folgt, dass die Gegenkathete des zweiten Dreiecks die Länge risin x und die Ankathete die Länge r . cos x besitzt.Mit dieser Erkenntnis erhal ten wir die nebenstehenden Berechnungs formeln für die vier Winkelfunktionen bei

sin x = COS X =

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse

Gegenkathete tan x = Ankathete cotx =

Ankathete Gegenkathete

beliebigen rechtwinkligen Dreiecken . Zur Bestimmung von Werten der Winkelfunktionen stehen auf wissenschaftlichen Taschenrech nern die Tasten sin , cos und tan zur Verfügung, mit denen man Näherungswerte direkt abrufen kann . Auf eine Taste für den Kotangens wird meist verzichtet. Sind die Winkel im Grad maß gegeben , so ist der Taschenrechner im Modus „ DEG “ ) zu betreiben . Beispiel 2.66

Berechnung der Größen in einem rechtwinkligen Dreieck

Von dem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Länge c = 5 cm der Hypotenuse AB und der Winkel bei A mit a = 63° be

| Gegeben : c = 5 cm ; a = 63° ; y = 90° Gesucht: a ; b ;

kannt. Man berechne die Längen a , b der

Lösung:

Katheten und das Winkelmaß ß.

sin a

Skizze :

→ a = C sin a = 5 cm → a = 5 cm cosa

sin 63º

,891006524

TR

4,455 cm

,

> b = c . cos Q = 5 cm . cos 63º

TR

+ b = 5 cm . ,453990499 z2,270 cm Für die Katheten gilt az4,455 cm und b2,270 cm ; der dritte Winkel besitzt das Maß B = 27°

B = 90° ~ 63° = 27° Probe mit dem Satz des Pythagoras : a + b2

4 ,552 + 2,270225 = 52 = c2

1) degree (engl.): Grad (auch Altgrad); bei dieser Einstellung hat ein rechter Winkel das Maß 90°. Alternativ stehen die Modi ,GRA“ für Neugrad (rechter Winkel: 100 gon ) und RAD für Winkel im Bogenmaß zur Verfügung. Das Bogenmaß eines Winkels wird auf Seite 107 definiert.

106

2 Funktionen

Auf wissenschaftlichen Taschenrechnern sind auch die Umkehrfunktionen sin - , cos - und tan - 1 abrufbar, d .h., man kann bei gegebenem Winkelfunktionswert das Maß des Winkels berechnen . Beispiel 2 .67 Bekanntlich ist das Dreieck mit den Seiten längen a = 3 cm , b = 4 cm und c = 5 cm rechtwinklig mit y = 90°. Wie groß sind die beiden anderen Winkel ? Zunächst wird durch ein

Quotientenbildung Winkelfunktionswert berechnet und

Mit einem sin a = =

Taschenrechner ergibt sich : = ,6

cos a =

= = ,8

tan a =

=

) + 0236,87°

= ,75 )

daraus mit der zugehörigen Umkehrfunk tion des Taschenrechners das Winkelmaß.

Ebenso : sin B =

Man erhält : a 236,87° und ß53,13°.

Probe:

=

= ,8 = B = 53,13°

a + B + y236 ,87° + 53,130 + 90° = 180°

Bei den bisherigen Beispielen wurden die Winkelfunktionen auf Grund ihrer Definition nur zur Berechnung rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Da jedes spitzwinklige Dreieck in zwei recht winklige Teildreiecke zerlegt werden kann und jedes stumpfwinklige Dreieck durch ein rechtwink liges Dreieck zu einem zweiten rechtwinkligen Dreieck ergänzt werden kann , besteht auch bei beliebigen Dreiecken stets die Berechnungsmöglichkeit mithilfe der Winkelfunktionen . Durch solche Zerlegungen bzw . Ergänzungen kann man Formeln zur Berechnung allgemeiner Dreiecke gewinnen ; in beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz sin a a

sin ß b

sin y c

und der Kosinussatz a ? = b2 + c - 2bc cos O , b2 = a? + c - 2ac cos , c? = a + b2 - 2ab cos y . Wegen der großen Bedeutung der Winkelfunktionen in der Dreiecksberechnung ( Trigonometrie) nennt man sie auch trigonometrische Funktionen . Im Folgenden geben wir ein Beispiel für eine solche trigonometrische Berechnung. Beispiel 2.68 Die Entfernung x zweier unzugänglicher Geländepunkte A und B ist zu bestimmen . Man wählt dazu im Gelände zwei weitere Punkte C und D so , dass deren Entfernung s und die Winkel a , b , y und & gemessen werden können . Aus den Messergebnissen wird dann unter Verwendung der Winkel funktionen die Entfernung x berechnet. Es wurden folgende Werte gemessen : s = 738,6 m ; a = 51,2° ; B = 112,3º; y = 32,7° ; S = 84 ,9º.

107

2 .7 Winkelfunktionen Wir berechnen zunächst aus den gemesse

Q =

nen Winkelmaßen die Maße y und y der Winkel * CAD bzw . * CBD .

v = I * CBD / = 180° —

Dann wenden wir zweimal den Sinussatz

Im Dreieck BCD gilt: sin \ _ sin & Sa

an ; zunächst auf das Dreieck BCD

und

* CADI = 180° — B — y = 35,0° - 8 = 43,9°

_ s . sin a _ 738 ,6 m . sin 51, 2° sin y sin 43,90

dann auf das Dreieck ACD . Damit berech nen wir die Seitenlängen a = |BC | und b = |AC des Dreiecks ABC .

Im Dreieck ACD gilt: sinS g _ sin b ß → _ 738 ,6 m .sin 112,3° n _ s .sin ß- = " sing sin 35,0°

Schließlich berechnen wir durch Anwen

Im Dreieck ABC gilt:

dung des Kosinussatzes auf das Dreieck ABC die Entfernung x .

x2 = a? +

Die Entfernung zwischen den Punkten

A

830 , 14 m

1191, 40 m

– 2ab cos (8 — Y)

| | →x2946 ,7 m

und B beträgt ungefähr 946 ,7 m . Bisher haben wir alle Winkel im Gradmaß („ Altgrad “ ) angegeben und bei Berechnungen mit dem Taschenrechner den Winkelmodus DEG verwendet. Bei diesem Winkelmaß hat ein rechter Win kel 90°. Bruchteile von 1º werden in dezimaler Teilung angegeben . Häufig findet man aber auch die sexagesimale Teilung. Dabei wird 1 Grad in 60 Minuten (Schreibweise : 60 ') und eine Minute in 60 Sekunden (Schreibweise : 60'') unterteilt. Für die Anwendung ist bei den meisten Taschen rechnern eine Umrechnung in die dezimale Teilung erforderlich . In der Vermessungstechnik wird heute meist eine andere Winkelteilung - die Gonteilung („ Neu grad “ ) – verwendet. Bei diesem Winkelmaß hat ein rechter Winkel 100 gon . Üblich ist eine dezimale Teilung und auch die kleinere Einheit Milligon (1 gon = 1000 mg). Aufdem Taschenrech ner ist der Winkelmodus GRA zu wählen . In der Mathematik ist ein weiteres Winkelmaß gebräuchlich , das sog. Bogenmaß . Das Bogenmaß eines Winkels ist gleich der Längenmaßzahl des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Da dieses Winkelmaß auch in den meisten technischen Disziplinen verwendet wird , werden wir es für die folgenden Betrachtungen zugrunde legen . Auf dem (Radiant) zu wählen .

Taschenrechner ist der Winkelmodus RAD

Bezeichnen wir mit a die Größe eines Win kels im Gradmaß und mit x die Längen maßzahl des zugehörigen Bogens im Ein heitskreis, so gilt die Umrechnungsformel x α 27360° weil die Maßzahl des Umfangs des Ein heitskreises 2 t beträgt. Man gibt das Bogenmaß eines Winkels gern als Vielfaches von n an : 0° x

30°

45°

57,2957795... 1

60° |

90°

1350 3

180°

270°

360°

720°

1

34

21

411

108

2 Funktionen

Das Bogenmaß erweist sich insofern als sehr vorteilhaft, weil nun auch die Definitionsmengen wie bereits die Wertemengen der Winkelfunktionen reelle Zahlen sind. Trägt man also auf der X - Achse das Bogenmaß der Winkel ab , so erhält man folgende Graphen der Winkelfunktionen . Graph der Sinusfunktion zu y = sin x ; D (sin ) = R ; W ( sin ) = [ - 1; 1] T

-21

-4

-3

-2

-1 4

2 3

4

5

7

8

X

&

- 1

Graph der Kosinusfunktion zu y = cos x ; D (cos) = R ; W (cos) = ( - 1; 1] ty

4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

- - 2 Graph der Tangensfunktion zu y = tan x ; D ( tan ) = R \ {x |x =

-

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

+ kt ; keZ } ; W (tan) = R

8

5

9

10

7 - 11

Graph der Kotangensfunktion zu y = cot x ; D (cot) = R \{ x |x = km ; keZ } ; W (cot) = R

-4

-3

-2

-

6

LTTI

7

8

9

10

X

2. 7 Winkelfunktionen

109

Wir fassen die Eigenschaften der vier Winkelfunktionen zusammen . Merke : Während die Sinus - und die Kosinusfunktion für alle reellen Zahlen definiert sind, besitzen die Tangens- und die Kotangensfunktion unendlich viele Definitionslücken . Die Tangens funktion ist in den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert ; die Kotangensfunktion hat ihre Definitionslücken bei den Nullstellen der Sinusfunktion . Diese Lage der Defini tionslücken ergibt sich bereits aus der Definition von tan und cot (vgl. S . 104). • Die Sinus - und die Kosinusfunktion nehmen nur Werte aus dem Intervall ( - 1; 1] an. Dagegen umfasst die Wertemenge der Tangens- und der Kotangensfunktion alle reellen Zahlen . Die Sinus- und die Tangensfunktion besitzen dieselbe Nullstellenmenge, es gilt : N (sin ) = N (tan ) = { x | x = 1t + kr ; keZ . Die Kosinus- und die Kotangensfunktion besitzen ebenfalls dieselbe Nullstellenmenge : N (cos)= N (cot)= { x|x =

+ kit;kez }.

Die Sinusfunktion nimmt ihre Extremwerte in den Nullstellen der Kosinusfunktion an ; die Kosinusfunktion hat ihre Extremwerte in den Nullstellen der Sinusfunktion . Die Winkelfunktionen sind periodisch . Die kleinste Periode der Sinus- und der Kosinus funktion ist 27 ; die Tangens - und die Kotangensfunktion besitzen die kleinste Periode T . Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion ; ihr Graph verläuft achsensymmetrisch zur y -Achse. Für alle xeR gilt : cos ( – x) = cOS X . Die Sinus -, die Tangens- und die Kotangensfunktion sind ungerade Funktionen ; ihre Gra phen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für alle x der entsprechen den Definitionsmengen gilt : sin ( - x ) = - sin x, tan ( - x ) = - tan x, cot ( - x ) = - cot x. . Der Graph der Kosinusfunktion ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um in Richtung der negativen x -Achse verschoben ; es gilt also : Cos x = sin Der Graph der Kotangensfunktion ergibt sich aus dem Graphen der Tangensfunktion durch Verschiebung um in Richtung der positiven x -Achse und anschließender Spiegelung an der x -Achse ; es gilt also : cotx = - tan (x2 . Zwischen den Winkelfunktionen bestehen die Beziehungen (vgl. S . 104 ): sina x + cos2x = 1 , tan x =

sin x cos x '

Aufgrund der Periodizität und der Sym metrieeigenschaften kann man weitere Eigenschaften finden . So gelten für < x < z . B . die nebenstehenden „ Qua drantenbeziehungen “ .

COS X - , also tan x . cotx = 1 . sin x

sin x = sin (Tt - x) = – sin (rt + x) = - sin (21 - x ) cos x = - cos (it - x ) = - sin (11 + x ) = cos (2 T1 - x ) tan x = - tan ( it - x ) =

tan ( it + x ) = - tan (2

cotx = - cot ( Tt

cot (ft + x) = - cot (21 - x )

x)=

- x)

110

2 Funktionen

Bei einer Reihe von Anwendungen ist es von Vorteil, wenn man den Winkelfunktionswert der Summe zweier Winkel durch Winkelfunktionswerte der Summanden ausdrücken kann . Solche Beziehungen heißen Additionstheoreme. Für alle Winkelmaße x , und X2, für die die einzel nen Winkelfunktionsterme definiert sind , gilt :

sin (x1 + x ) = sin x , cos X2 + cos x , sin x2, cos (x , + x2) = cos x , cos xy - sin x , sin X2 , tan x , + tan xz tan (x , + x ) = 11 - tan x , tan X2

Wir beschränken uns auf eine anschauliche Begründung des Additionstheorems zur Sinusfunk tion für den Fall, dass gilt: x , > , xz > und xy + x , < .Mit diesen Vorgaben für die Winkelmaße kann aus dem nebenstehenden Bild die Gültigkeit der folgenden Beziehungen direkt abgelesen werden . Dabei wird ausgenutzt, dass * EFC ebenfalls das Maß x , besitzt, weil die Schenkel von * BAC und * EFC paarweise aufeinander senkrecht stehen . Es sei r = |AF | = 1 (Einheitskreis ). Dann gilt: |AC | = cos xz, CF = sin x , und |DF | = sin (x2 + x2) = |DE | + | EF |. Außerdem

ist | BC | = |DEJ. Wir suchen nun

Ausdrücke für DE | und |EF |. Aus dem Dreieck ABC lesen wir ab : DE sin x, = bal; also sin xy = 14 * 1 cos x2 JACI

17

E

= |DE| = sin x , cos xz Aus dem Dreieck FEC lesen wir ab : !EF1 cosx = EF ;also cosx,= sin x2

DB

> |EF | = cos x , sin X2 Damit folgt insgesamt: sin (x + x2) = sin x , cos x2 + cos x , sin x2. Das Additionstheorem für die Kosinusfunktion kann in ähnlicher Weise begründet werden . Das Additionstheorem für die Tangensfunktion ergibt sich aus denen für Sinus und Kosinus. Damit könnte auch sofort eine entsprechende Gleichung für cot (x , + x ,) entwickelt werden , woraufhier aber verzichtet wird . Aus den obigen Additionstheoremen für die Summe von Winkeln können unter Anwendung der Symmetrieeigenschaften sin ( - x ) = - sin x , cos ( - x ) = cos x und tan ( - x ) = - tan x unmittelbar entsprechende Gleichungen für die Differenz von Winkeln hergeleitet werden , indem man in den Gleichungen x , durch

- X2 ersetzt.

Für alle Winkelmaße x , und X2, für die die einzel nen Winkelfunktionsterme definiert sind, gilt des halb auch :

sin ( x , - X ) = sin x , cos X , - cos x , sin X2, cos (x ; – x2) = COS X , cos x2 + sin x , sin X2, tan x , -- tan x2 tan ( x , - X2) = 1 + tan x , tan X2

111

2 .7 Winkelfunktionen Die Funktionen zu g ( x ) = a•sin (bx + c ) + d Beispiel 2.69

Wechselstrom

Aus dem physikalischen Praktikum kennen wir den Kathodenstrahloszillographen , mit dem

.

CON

.

der zeitliche Verlauf von Wechselspan

O je

nungen dargestellt werden kann. Auch der zeitliche Verlauf einer Wechselstromstärke ist so darstellbar, indem

man den zur

Stromstärke proportionalen Spannungsab fall über einem Ohm 'schen Widerstand mit

all

dem Gerät aufzeichnet. Einige Oszillogra phen gestatten auch die gleichzeitige Dar

REK TAD

stellung von Wechselspannung und Wech selstromstärke. Das Bild auf dem Schirm des Oszillographen zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung und der Stromstärke eines Wechselstromes unseres Stromnetzes. Man kann feststellen , dass es sich um einen sinusförmigen Verlauf handelt, d . h ., Spannung u und Stromstärke i eines solchen Wechsel stromes sind spezielle Sinusfunktionen der Zeit t. Allgemein kann man die Funktionen u und i durch folgende Funktionsgleichungen beschreiben : Wechselspannung

Wechselstromstärke

u : u (t) = Uo sin (ot + Q)

i: i(t) = i, sin (ot + o)

Größen :

Größen :

u (t): Momentanwert der Spannung

i(t): Momentanwert der Stromstärke

Uo: Maximalwert der Spannung

io :

Maximalwert der Stromstärke

In beiden Funktionsgleichungen treten außerdem die Größen o und 4 auf. Ist f = die Frequenz des Wechselstromes, so nenntman die Größe o = 27f= 2* Kreisfrequenz des Wechselstromes. Die Zeit Tist dabei die Dauer einer Periode.Mit o wird der sog . Phasenwinkel bezeichnet, der von der Wahl des zeitlichen Nullpunktes abhängt. Im vorliegenden Beispiel handelt es sich um die Funktionsgleichungen von harmonischen Schwin gungen . Fast immer, wenn wir es mit Schwingungen oder anderen periodischen Vorgängen zu tun haben , stimmen deren Graphen nicht mit denen der einfachen Grundfunktionen zu f ( x ) = sin x bzw . f (x ) = cos x überein . Es liegen Dehnungen , Stauchungen , Verschiebungen und Ü berlagerun gen verschiedener Funktionen vor . Diese Veränderungen gegenüber den Grundfunktionen erge ben sich durch zusätzliche Parameter im Funktionsterm . Im obigen Beispiel tritt als Argument der Sinusfunktion nicht einfach die Variable x auf, sondern es steht dort der Term ot + , der die Va riable t enthält. Außerdem werden in den obigen Funktionstermen die Sinusterme noch mit Fakto ren uo bzw . io multipliziert. Nun wäre es auch noch denkbar, dass die Wechselspannung u (t) mit einer Gleichspannung U zusammengeschaltet wird ; der Term der neuen Funktion u besitzt dann die Form u (t) = Uo . sin (ot + ) + U . Die Parameter u . ,

,

und U haben bestimmte Auswirkungen auf den Graphen der Funktion u .

Der Term der Funktion u besitzt die allgemeine Form a sin (bx + c) + d . Im Folgenden sollen deshalb die Auswirkungen der Parameter a , b , c und d auf die Graphen der Funktionen zu g (x ) = a . sin (bx + c) + d untersucht werden .

112

2 Funktionen

Bei der Untersuchung der Auswirkung der Parameter gehen wir wie bei den quadratischen Funk tionen vor und betrachten zunächst den Einfluss jedes einzelnen Parameters für sich . Wir betrach ten also anhand von Beispielen nacheinander Funktionen mit Termen der Form g (x) = a .sin x, g (x) = sin (bx), g (x) = sin (x + c), und g (x) = sin x + d und vergleichen die Graphen dieser Funktionen mit dem Graphen der Funktion fmit f (x ) = sin x .

Beispiele 2.70

Funktionen mit dem

Term g (x ) = a•sin x

• Multipliziertman den Term sin x mit der reellen Zahl 2 , so erhält man den Funk tionsterm einer neuen Funktion

2

81: g (x) = 2 sin x ; D (8 ) = R , deren Funktionswerte doppelt so groß sind wie die der Funktion zu f (x ) = sin x . Der Graph von g, ist gegenüber dem Graphen von f gestreckt.

12

x

• Die Funktion 82: 82(x) = - ,5 . sin x ; D (82) = R , hat im Vergleich zu f dem Betrage nach halb so große Funktionswerte mit jeweils entge gengesetztem Vorzeichen , ihr Graph ist im Verhältnis zum

Graphen von f gestaucht

und an der x -Achse gespiegelt. Merke : Bei der Funktion zu g (x ) = a . sin x bewirkt der Faktor a im Fall |al > 1 eine Streckung und im Fall < lal < 1 eine Stauchung des Graphen der Sinusfunktion in Richtung der y-Achse . Im Fall a < kommt noch eine Spiegelung des Graphen an der X -Achse hinzu . Die Zahl |a | ist das Maximum der Funktion zu g (x) = a .sin x. Wird durch die Funktion g eine Schwingung modelliert, so heißt |a | Amplitude.

Beispiele 2.71

Funktionen mit dem

Term g ( x) = sin (bx )

• Multipliziertman die Variable x im Term sin x mit der reellen Zahl 2 , so ergibt sich die neue Funktion 83: g3 (x) = sin (2 x ); D (83) = R , deren Graph gegenüber dem Graphen zu f (x ) = sin x in Richtung der x -Achse ge staucht ist. Der Faktor b = ,5 bewirkt dann offenbar eine Streckung in Richtung der x -Achse .

2

x

113

2 .7 Winkelfunktionen . Bei der Funktion 84: 84(x) = sin ( – 2x); D (84) = R , kommt noch eine Spiegelung an der y- Ach se hinzu .

त

TC

T

Die Funktionen gz und g4 habe beide die kleinste Periode p = 2 = 1 . Merke : Bei der Funktion zu g (x ) = sin (bx) bewirkt der Faktor b im Fall | b | > 1 eine Stauchung und im Fall ( < [b ] < 1 eine Streckung des Graphen der Sinusfunktion in Richtung der X -Achse. Im

Fall b
' ) ; Readln ; 23 END . Das Verfahren beruht auf dem mathemati schen Satz, dass eine auf einem abgeschlos senen Intervall ſa ; b ] stetige Funktion f in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle

f (b )

besitzt, wenn die Funktionswerte f (a ) und f (b )

verschiedene

Vorzeichen

besitzen ;

wenn also gilt : f (a) f (b )
. Dann muss die Nullstelle im Intervall [a ; c) liegen , und man wiederholt das Verfahren für dieses Intervall; setzt als b = c . 3) Es ist f (c) < . Dann muss die Nullstelle im

Intervall [c; b ) liegen , und man wiederholt das

Verfahren für dieses Intervall; setzt als a = c. Diese wiederholte Mittelbildung und Fallunterscheidung wird im

Programm in einer REPEAT

Schleife (Zeilen 18 - 21 ) solange fortgesetzt, wie der Funktionswert f (c) größer als die Abbruch schranke d ist . Für d ist eine kleine Zahl (etwa ,0000000001) einzugeben . Das neue Intervall ist stets nur noch halb so groß wie das vorhergehende Intervall. Das Verfahren liefert eine Intervallschachtelung für die gesuchte Nullstelle der Funktion, also für die Lösung der Gleichung f (x ) =

.

Der Funktionsterm steht in Zeile 6 des Pro gramms. Hier wird also nach der Lösung der Gleichung x - cos x = gefragt, die mit den vorher betrachteten Verfahren nicht ge löst werden kann. Die Gleichung ist äquiva lent zu x = cos x ; es sind also alle Schnitt punkte der Graphen zu y = x und y = cos X zu bestimmen .Man sieht sofort, dass es nur

- 3

-2

-

genau einen solchen Schnittpunkt gibt, der im Intervall [ ; 1] liegt. Das Programm lie fert mit den Eingaben a = , b = 1 und d = ,0000000001 als letzten wert die Zahl ,739085133.

Näherungs

Mit dem Programm können die „ gutartigen “ Nullstellen beliebiger stetiger Funktionen berechnet und damit eine Vielzahl von Gleichungen numerisch mit hoher Geschwindigkeit gelöst werden . Sollen beispielsweise Lösungen der Gleichung cos x + cos (2x) = des Beispiels 2 .81 (Seite 120 mit dem Halbierungsverfahren berechnet werden , so ist nur die Zeile 6 des Programms zu ändern : f i= cos ( x ) + COS ( 2 * x ); Durch eine Skizze sind dann noch Intervallgrenzen zu ermitteln , zwischen denen die gesuchte Nullstelle liegt. Wir betrachten dazu den Graphen der zugehörigen Funktion des Beispiels 2 .81. Die erste Nullstelle im Intervall [ ; 21 ist . Das Programm liefert mit a = , b = 1,5 und d = .0000000001 den Wert 1,047197551, also mit Taschenrechnergenauigkeit. Bei der zweiten Nullstelle (Tt) versagt das Verfahren , weil in unmittelbarer Umgebung der Nullstelle alle Funk tionswerte dasselbe Vorzeichen haben . Hier liegt keine „ gutartige Nullstelle “ vor ! Startet man das Programm mit a = 1,5, b = 6 und d = .0000000001, so erhält man den Wert 5,235987756 ; also die dritte Nullstelle 5 Ist auf einem

Computer Turbo -Pascal nicht installiert, so kann das Programm leicht in eine

andere Programmiersprache „übersetzt“ werden . Und wenn kein Computer zur Verfügung steht, kann die Rechnung mit einem Taschenrechner erfolgen , wobei man die Zwischenwerte in einer geeigneten Tabelle notieren sollte .

2 Funktionen

124 Übungen

zu 2.7

1 . Geben Sie die Maße der Winkel im Bogenmaß an. b ) 150 a ) 10° c ) 30° e ) 60° f) - 135° g) 8450

d ) 45° h ) – 723°

2. Bestimmen Sie die Maße der im Bogenmaß gegebenen Winkel im Gradmaß . b ) 10 a ) 2,5 c ) – 3,2 d) 3 e) ,51 f) ,757 g ) - 2,511 h) - ,331 3. Ermitteln Sie mit einem a ) sin 32,6° e) sin 6 ,4 i) sin 2 ,771

Taschenrechner die Winkelfunktionswerte. b ) cos 123,50 c ) tan ( - 17,7 %) f) cos ( - 5,2) g ) tan , 03 j) cos ,81 k ) tan (3,51 + 1, 1)

d ) cot 270 ,5° h ) cot ( - 10 ,5 ) 1) cot ( - 1,37 - ,3)

4 . Ermitteln Sie das Winkelmaß x mithilfe eines Taschenrechners im Grad - und im Bogenmaß . a ) sin x = ,8905 c) tan x = ,2345 b ) cos x = - ,5678 d ) cot x = 2,8888 e) sin x = ,0053 f) cos x = ,4345 g ) tan x = - 1,3323 h ) cot x = - 100 ,4 5 . Bestimmen Sie die Funktionswerte an den Stellen x , = t ; X2 = ,5 ; X2 = ,25 ; X4 = - ,2 und x3 = - 21 . a ) f (x ) = sin (2x) b ) f ( x ) = 2 sin x c ) f (x ) = sin [2 (x + 1)] d ) f ( x) = sin ( ,5x + 1 ) g ) f ( x ) = cos [2 ( x + 1)] h ) f (x ) = cos ( ,5 x + 1) e) f ( x) = cos (2x) f) f (x ) = 2 cos x 6 . Beweisen Sie unter Benutzung der Additionstheoreme: a ) sin (2x) = 2 . sin x . coS x b ) cos (2x ) = cos x - sinºx 7. Bestimmen Sie a aus sin (30° + Q ) + sin (30° - ( ) = ,9135. 8. Vereinfachen Sie den Term . a) sin x b) tan x Cos x tan x

cos (2x ) tan x

9 . Ermitteln Sie die Lösungsmenge der goniometrischen Gleichung. a ) 2 sinº x + sin x = 1 b ) 4 sin x = 3 cos x d ) 2 sin x - tan x = e) sin (2x) + 2 sin x =

d) cos x 11 + tan ” x c ) tan ” x + 2 tan x - 1 = f) 2 cos ? x = 2 + sin (2x )

10. Ermitteln Sie Amplitude und Phase der Sinusschwingung, die sich durch Superposition der gleichfrequen ten Schwingungen zu f und g ergibt. b ) f (x ) = ,5 sin [2 ( x + 1) ], g ( x ) = 2 sin [2 (x - 2 )] a ) f (x ) = 3 sin (2x), g (x ) = 4 cos (2x ) c) f (x ) = cos (x + 37 / 4 ), g (x ) = cos (x - Tt/4 ) d) f (x) = sin [3 x — T /2 )], g (x) = sin [3x + /3)] 11 . Ermitteln Sie den Graphen der Funktion , die durch Superposition der Funktionen f und g mit f ( x ) = sin (2x) + cos (x ) und g (x ) = ,5 cos x - 2 sin x entsteht. 12. Ermitteln Sie die Frequenz und Schwingungsdauer der Wechselspannung. Bestimmen Sie die Zeit des ersten Nulldurchgangs. b ) u (t) = 20 V . sin [200 s - .(t - ,025 s) + 30 ] a ) u (t) = 1,8 V . cos ( ,2 s - 1. t + 1) 13 . Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f. a ) f (x ) = 3 . sin [5 ( x - 1)] + 2

b ) f(x) = 3 cos (2x)

14 . Die Funktion f : f (x ) = sin x , DIS ) = [ - 5; ] ist umkehrbar (vgl. Seite 96 ). Die Umkehrfunktion ist die Arkussinusfunktion : f - : f - ' (x ) = arcsin x ( gelesen : Arkus-Sinus von x ). a ) Zeichnen Sie den Graphen von f - durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden zu y = x. b ) Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge von f - an . c) Ermitteln Sie arcsin / 3. 15 . Auf geeignet eingeschränkten Definitionsbereichen besitzen auch die Kosinusfunktion , die Tangensfunk tion und die Kotangensfunktion jeweils Umkehrfunktionen , die als Arkuskosinusfunktion (arccos), Arkus tangensfunktion ( arctan ) bzw . Arkuskotangensfunktion (arccot) bezeichnet werden . a ) Schränken Sie die Definitionsbereiche der Kosinusfunktion , der Tangensfunktion und der Kotangens funktion so ein , dass umkehrbare Funktionen entstehen . b ) Zeichnen Sie die Graphen der drei Umkehrfunktionen durch Spiegelung der Geraden zu y = x und geben Sie die Definitions- und die Wertemengen an .

125

2.7 Winkelfunktionen

c) Bestimmen Sie x aus der Gleichung arccos x = . d ) Wie kann mit Hilfe der Arkustangensfunktion der Anstiegswinkel a einer Geraden mit der Gleichung y = ax + b ausgedrückt werden ? 16 . In einem rechtwinkligen Dreieck (y = 90°) sei die Höhe h = 4,5 cm und a = 64º. Berechnen Sie die Seitenlän gen a , b und c sowie das Winkelmaß ß . 17. In einem Dreieck seien die Längen der drei Seiten mit a = 16 ,4 cm , b = 6 ,5 cm und c = 18, cm gegeben . Berechnen Sie die Innenwinkelmaße. 18 . Entwickeln Sie eine Formel für x , wenn a und a gegeben sind .

19 . Bestimmen Sie das Kontrollmaß a = 40°, b = 12 mm und d = 25 mm .

x

für

20 . Zwei Kräfte F , = 20 N und F = 55 N , die unter einem Winkel an einem Punkt angreifen , können durch die Resultierende Fr = 43 N ersetzt werden . Wie groß ist das Maß y des Winkels zwischen den Kräften Fi und F2 ? 21. Wie groß ist die Entfernung der Punkte A und B , zwischen denen ein Gebäude liegt, das die gegenseitige Sicht versperrt, wenn | BC = 75 ,25 m , | AC = 51,75 m und * BCA ) = 71°15 '45" ist ?

B

126

3 Komplexe Zahlen

3

Komplexe

Zahlen

3.1

Komplexe Zahlen

in

trigonometrischer Darstellung

Im Kapitel 1. 2 wurden die komplexen Zahlen bereits als Zeiger in der Gauß ’schen Zahlenebene veranschaulicht. Dabei wurde die sogenannte kartesische Darstellung z = a + bj der komplexen Zahl z mit reellen Koordinaten a und b eingeführt. Dabei ist die reelle Zahl a der Realteil von z, die reelle Zahl b der Imaginärteil von z und j die imaginäre Einheit ; für diese gilt : j2 = - 1. Für die Länge r = 1 a2 + b2 des Zeigers führten wir den Begriff des Betrages z | der komplexen Zahl z = a + bj ein . Mit den nun zur Verfügung stehenden Winkelfunktionen können wir eine weitere Darstellung der komplexen Zahlen erzeugen . Der einer komplexen Zahl z = a + bj zuge

Im z j4

ordnete Punkt P (alb ) in der Gaußschen Zahlenebene ist auch eindeutig durch die

P : z = a + bj

Länge r des entsprechenden Zeigers – also durch den Betrag r = | z1 = V a² + 62 – und durch den im mathematisch positiven Drehsinn gemessenen Winkel zwischen

b = r . sino

a = r . COS

Rez

der positiven reellen Achse und dem Zeiger bestimmt. Dieser Winkel heißt Argument von z ; man schreibt : Q = arg z." Mit der Definition der Winkelfunktionen Sinus

und

Kosinus

im

rechtwinkligen

Dreieck (vgl. Seite 105) ergibt sich die soge nannte trigonometrische Darstellung komplexen Zahl z : z = r ( cos

einer

+ j sin o ).

Aus a = r . cos o , b = r . sing und z = a + bj folgt : z = r cos

+ jr sin q = r(cos p + j sin p).

Das Argument o ist dabei bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 tt bzw . 360° eindeutig bestimmt.

Wir verfügen somit über zwei gleichwertige Darstellungen komplexer Zahlen , deren gegenseitige Umrechnung vielfach benötigt wird . Wegen der besseren Anschauung werden wir das Argument o meist im Gradmaß angeben . Daneben ist natürlich auch das Bogenmaß gebräuchlich . Beispiel 3.1

Umrechnung von der trigonometrischen in die kartesische Darstellung

Ermitteln Sie die kartesische Darstellung der komplexen Zahl z = 2• (cos 60° + j sin 60°). Die Zahl z besitzt also die kartesische Dar stellung z = 1 + 1/ 3 . j.

Die Zahl z hat den Betrag r = 2 und das Argu ment p = 60° bzw . p = . Es gilt cos 60° = ž und sin 60° = 72

.

= 1 + 1/ 3.j

1) r und o nennt man Polarkoordinaten des Punktes P . Der Betrag einer komplexen Zahl z wird auch als Modul, das Argument auch Arkus oder als Phase von z bezeichnet. 2) Man spricht auch von der goniometrischen Darstellung der komplexen Zahl z .

127

3.1 Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung Beispiel 3.2

Umrechnung von der kartesischen in die trigonometrische Darstellung

Ermitteln Sie die trigonometrische Darstellung der komplexen Zahl

Die Zahl z besitzt den Realteil a = Rez = - 2 und den Imaginärteil b = lm z = 2.

z = - 2 + 2j. Man bestimmt zunächst den Betrag von z .

= r = 1z | = V_a? + 62 =14 + 4 = 21/222,8

Zur Ermittlung des Arguments fertigen wir eine Skizze der Gauß'schen Zahlenebe ne an mit dem Zeiger der Zahl z . Von dem

Im z . j 2 = - 2 + 2j

bei Q rechtwinkligen Dreieck PRO kennen wir die Längenmaßzahlen | a | und b . der Katheten und können damit den Tangens

2 +

von a ausdrücken ; es gilt :

Rez

bl tan « = "6 , also a= tan

1

10Tal

-3

-2

-1

1

2

3

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion heißt Arkustangensfunktion : a = tan -1161= arctan be al Das Argument o der komplexen Zahl z er gibt sich aus der jeweiligen Lage der Zahl z in der Gauß ’schen Zahlenebene; es gilt: im

I. Quadranten :

im im

II . Quadranten : III. Quadranten :

= 180° — Q., Q = 180° + ,

im IV. Quadranten :

p = 360° — Q .

tana =

12 1 - 92 = 1

Q = tan - ' 1 = 45°

= d, Es gilt a = - 2
.

Die komplexe Zahl z liegt also im II. Quadranten der Gauß ’ schen Zahlenebene.

Trigonometrische Darstellung der Zahl z:

→

Q = 180° — Q = 180° — 45º = 135°

z = 212 (cos 135º + j sin 135°) bzw . z = 212 (cos 3 + j sin

bzw .Q =3

).

Merke: Zwischen dem Realteil a = Re z , dem

Imaginärteil b = Im z , dem

Betrag r = | z | und dem Argu

ment o = arg z bestehen die folgenden Beziehungen : aretan ,

für a >

und b >

90°

für a =

und b >

180° - arctan

für a
[2f (1) + (n - 1)d ).

Wir können die Summenformel weiter vereinfachen , indem

wir den Zusammenhang zwischen

dem ersten Glied f (1) und dem n -ten Glied f(n ) = f (1) + (n - 1)d berücksichtigen : f (1) + f (n ) s(n) =5 +[2f (1) + (n − 1)d ]= " [F(1) + ($ (1) + (n − 1)d)]= n.11); Bezogen auf das Beispiel erhalten wir: 40 s(40) = * :[2. 20 + (40 – 1). 10] = 20 -[40 + 390] = 8600.

Beispiel 4 .4b Der Auftraggeber (vgl. Beispiel 4 .4 a) wendet sich an eine weitere Firma, die für den ersten Meter ebenfalls 20 € aber für jeden weiteren Meter 10 % mehr als für den jeweils vorhergehenden Meter verlangt. Mit welchen Kosten muss der Auftraggeber bei Inanspruchnahme dieser Firma für die 40 m tiefe Bohrung rechnen ?

148

4 Folgen und Reihen

Die Kosten für den jeweils zuletzt gebohr ten Meter entsprechen den Gliedern einer

1. Meter : f (1) = 20 2 . Meter : f ( 2 ) = 20 + 20 . , 1

geometrischen q = 1, 1.

3. Meter: f (3) = 20- 1,1 + 20 1,1- ,1 = 20- 1,12 4 . Meter: f (4) = 20 - 1,12 + 20 . 1,12 . ,1 = 20 1,13

Folge mit

f (1) = 20 und

= 20 - 1,1

f : f (n ) = 20 . 1,1" - 1; D (S) = {1, 2, ... , 40 }. Die Variable n steht für die Anzahl der ge bohrten Meter. Für den letzten zu bohrenden Meter fallen Bohrkosten in Höhe von 822,90 € an . Die Gesamtkosten s (40 ) ergeben sich als Summe der Kosten , die bis zu 40 Meter Bohrtiefe entstanden sind : s(40 ) ist die Summe f (1) + f (2) + ... + f (40 )

40. Meter : f (40) = 20 - 1,139 = 822,90 s( 1) = s(2 ) = s( 3) = =

f (1) = 20 f (1) + f (2) = 20 + 20 . 1,1 f (1) + F (2) + Š (3 ) 20 + 20 1,1 + 20 . 1,12

= 42 = 66 ,20

der ersten 40 Glieder der zugrunde gelegten Folge

s (4 ) = f (1) + f (2 ) + f (3) + f (4) = 20 + 20 - 1, 1 + 20 - 1, 12 + 20 - 1,13 = 92,82

f: f (n) = 20 . 1,1" -1; D (S) = {1, 2, ..., 40}, also eine endliche Reihe. Die Gesamtkosten für die Bohrungen be tragen zusammen 8851,85 € .

s(40) = 20 + 20 . 1,1 + 20 . 1,12 + ... + 20 . 1,139 = 8851,85

TR

Da in jeder der Reihen s(n) mit s(n ) = f (1) + f (2) + ... + f (n) für ne {1, 2 , ..., 40 } die einzelnen Summanden Glieder einer geometrischen Folge f sind, bezeichnet man solche Reihen als geometrische Reihen . Allgemein lässt sich der Wert jeder endlichen geometrischen Reihe s(n) auf den Wert f (1) der geometrischen Folge und auf dessen konstanten Multiplikator q zurückführen , falls q = 1 ist. Dazu multipliziert man die Gleichung s(n) = f(1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) = f (1) + f (1) q + f(1): q* + ... + f (1): q" - ' mit q. → s(n).q = [f(1) + f (1):q + f(1).q2 + ... + f (1): q" - '1. 9 = f (1): 9 + f (1). q? + f (1). q ' + ... + f (1) q" Subtrahiert man dann s(n ) von s(n )- q, so erhält man : s(n).q - s (n )

=

f (1) 9 + f(1). q? + f (1). q + ... + f (1).q" - 1 + f (1).q"

= f (1) + f (1):q + f (1): q? + f (1). q2 + ... + f (1): q" - 1

s(n ). q - s(n ) = f (1). q" - f (1) s(n) (q - 1) = f (1).(q" – 1) #

s(n ) = f (1): 9

= f (1)

29" 1 - 9

q

1 mit ( - 1) erweitert

Das Ergebnis im Beispiel 4.4b als Summen wert s(40 ) lässt sich nach der Formel q" - 1 . s (n ) = f (1): 9 besonders leicht mit dem 9 - 1 Taschenrechner berechnen .

940 - 1 s(40) = f(1). 9 - 1 140- 1 = 20 . 1, ,1 = 8851,85

f (1) = 2 ; q = 1,1

149

4 .1 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Merke :

. Eine arithmetische Reihe s(n ) = f ( 1) + F (2) + ... + f (n ) ist die Teilsumme der ersten n Glie der f (1), f(2 ), ..., f (n ) einer arithmetischen Folge f: f (n ) = f (1) + (n - 1) . d. Es gilt: _ . f ( 1 ) + f (n ) s(n ) = f (1) + f(2) + ... + f(n ) = ” . (2f(1) + (n - 1)d = n . " (!) • Eine geometrische Reihe s (n ) = f (1 ) + f (2 ) + ... + f (n ) ist die Teilsumme der ersten n Glie der f(1), f (1), ..., f(n ) einer geometrischen Folge f: f(n ) = f (1) . q"- 1. Es gilt: 1).| -1=-1).4-4" )+...+f(n)=f( 1)+F(2 s(n)=f(

Übungen

zu 4. 1

Beachten Sie: ne {1, 2, ..., k }

N *.

1. Geben Sie zu nachstehenden Bildungsgesetzen der einzelnen Folgen f die ersten 5 Folgenwerte an und untersuchen Sie, welche dieser Folgen geometrische Folgen sind. a ) f (n ) = 2 - 21 - 1 b ) f (n ) = 5 . 1" - 1 c) f (n) = ,5 .( - 2)» –1 71 \ n 11 - 1 1 d) f(n)= 5•( ) 12 g) f(n) = 27 + 1

e) f(n)=3-(- 3) h ) f (n ) = i + 1)

2 . Bestimmen Sie die Bildungsgesetze der nachstehenden Folgen . 11 3 18 27 b ) 2, a ) 1, 2 & * ** 25 100 ' 500 . 16 2 3 4 5 6 d) 2 4 8 - , 3 ' 9 ' 27 e ) 4567

) sin)=" = 1 i) f(n)=-

1

1 2 3 4 c ) 23:45 * ** f)

1, - 24

816

** *

3 . Berechnen Sie f ( 10 ) und s ( 10 ) für die Folge 3 , 6 , 12 , 24, ... . 4 . Bestimmen Sie die Anzahl der Summanden und den Wert der folgenden Summe: 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 65536 . 5 . Wie viele Glieder der Folge 2 , 6 , 18, 54, ... ergeben als Summe 59048 ? 6 . Vom wievielten Folgenglied ab sind die Werte der Folgen a ) 3 , 12 , 48 , 192 , .. . größer als 10 , b ) 1 ; ,5 ; ,25 ; , 125 ; .. . kleiner als 10 - 6 ? 7 . Der 7. Folgenwert einer geometrischen Folge mit q = 2 ist 96 . Entwickeln Sie die Folgenwerte f (1 ) bis f (6 ). 8 . Der 6 . Folgenwert einer geometrischen Folge ist 243, der 4 . Wert ist 27. a ) Bestimmen Sie die ersten 6 Folgenwerte der Folge. b ) Berechnen Sie die Summe der ersten 6 Folgenwerte. 9 . Gegeben ist die Folge 2 ,

48

.. . .

a ) Bestimmen Sie den 6 . Folgenwert. b ) Berechnen Sie die Summe der ersten 12 Werte der Folge. 10 . Fünf Bakterien teilen sich jeweils alle 20 Minuten einmal, wenn sie einen geeigneten Nährboden finden . Wie viele Zellen haben sich nach 6 Stunden entwickelt ? 11. Bei welcher geometrischen Folge f mit f (1 ) = 5 und f (7 ) = 3645 ist die Summe der ersten 6 Glieder - 910 ?

150

4 Folgen und Reihen

12 . In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 12 cm wird ein gleichseitiges Dreieck so eingezeichnet , dass die Ecken des eingezeichneten Dreiecksmit den Halbierungspunkten der Seiten des Ausgangsdreiecks zusammenfallen . In dieses Dreieck wird wiederum ein Dreieck nach demselben Verfahren eingezeichnet usw . a ) Bestimmen Sie jeweils das Maß der Flächeninhalte der ersten drei Dreiecke. b ) Ermitteln Sie die Summe der Flächeninhaltsmaße der ersten fünf Dreiecke. c ) Berechnen Sie die Summe der Flächeninhaltsmaße aller Dreiecke, wenn insgesamt 15 Dreiecke einge zeichnet werden . 13 . In so a) b) c) d)

ein Quadrat mit der Seitenlänge 20 cm wird der Inkreis gezeichnet, in diesen wieder ein Quadrat usw ., dass jeweils 10 Quadrate und Kreise entstehen . Berechnen Sie jeweils die Maßzahlen der Flächeninhalte der ersten drei Quadrate . Ermitteln Sie jeweils die Maßzahlen der Flächeninhalte der ersten drei Kreise . Bestimmen Sie die Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte der ersten 10 Quadrate . Bestimmen Sie die Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte der ersten 10 Kreise.

14 . Die Intensität einer radioaktiven Strahlung nimmt beim Durchgang durch eine Bleiplatte um 12 % des Anfangswerts I(1) ab . a ) Ermitteln Sie das Bildungsgesetz einer Zahlenfolge, die die verbleibende Intensität bei Durchgang durch n Bleiplatten derselben Stärke beschreibt. b ) Wie viel Prozent des Anfangswerts I (1) sind nach Absorption durch 10 Platten noch vorhanden ? c ) Durch wie viele Bleiplatten muss die radioaktive Strahlung absorbiert werden ,wenn nur noch 50 % des Anfangswerts vorhanden sein sollen ? 15 . In einem elektrischen Stromkreis wird die Stromstärke gemessen . Der Anfangswert I(1) beträgt 5 A . Im Abstand von jeweils 10 s ( = 1 Zeiteinheit) werden die Werte I (2 ), I (3 ), ... gemessen , wobei der jeweilige Wert um 13 % kleiner ist, als der unmittelbar vorher gemessene Wert. a ) Wie lauten die Folgeglieder I (1), I ( 3), I (4 ) und I (5 ). b ) Die untere Messgrenze eines Strommessgerätes liegt bei 10 - 3 A . Ist der nach Ablauf von 90 s fließende Strom noch mit diesem Gerät messbar ? c) Wird die Stromstärke jemals ?

4 .2

Zinseszinsrechnung

In der Zinseszinsrechnung beschäftigt man sich mit der Entwicklung von einmalig angelegten Kapitalbeträgen zu einem Zinssatz, der in der Regel im Zeitablauf fest bleibt. Beispiel 4 .5 Eine Beamtin legt am Ende eines Jahres ihr Weihnachtsgeld in Höhe von 4000, - € auf ein Sparbuch mit 4 - jähriger Kündigungsfrist . Das Kreditinstitut vereinbart mit ihr einen Zinssatz von 5 % . Wie entwickelt sich das Sparguthaben ? Das Anfangskapital beträgt K ( ) = 4000 . Am Ende des 1 . Jahres hat sich das Kapital

K ( ) = 4000

um

K (1) = 4000 + 4000 . ,05 = 4000 1,05

die Zinsen des 1. Jahres erhöht.

Am Ende des 2 . Jahres werden zu dem Ka pital K (1 ) die Jahreszinsen des 2. Jahres ad diert. Am Ende des 3 . Jahres werden wieder die Zinsen von 5 % zu K ( 2 ) addiert.

Anfangskapital

K (1) = K ( ) + K ( )- ,05

+ K (1 )- ,05 K (2) = K (1) K (2 ) = 4000 1,05 + 4000 - 1,05 . ,05 = 4000 . 1,052 K (3) = K (2)

+ K (2)- ,05

K (3) = 4000 1,052 + 4000 1,052 . ,05 = 4000 . 1 ,053

151

4.2 Zinseszinsrechnung Das endgültige Guthaben am Ende des 4 . | Jahres ergibt sich aus der Summe von K (3) und den Zinsen von K ( 3). Die Sparerin kann nach 4 Jahren über einen

K (4) = K (3) + K (3) ,05 K (4) = 4000 - 1,053 + 4000 - 1,053. ,05 = 4000 1,053 . (1 + ,05) = 4000 - 1,054

Betrag von 4862,03€ verfügen .

= 4862,03

Nach n Jahren beträgt das Kapital somit : K (n) = K (

-1,05".

Dabei ist K : K (n ) = K0). 1,05 " eine endliche geometrische Folge mit D ( K ) = {1, 2, ..., k } c N * . Ab dem

ersten Folgenglied geht bereits das Anfangskapital K ( ) in die Folgenwerte ein .

Alle Lösungsansätze in der Zinseszinsrech nung gründen sich darauf, dass die verzin

K:K (n)= K(

sten Kapitalbeträge durch geometrische Folgen beschrieben werden können , wobei

(1+ 100)

100 =p% ;q=1+ 160

= K ( )" q"; D (K ) = N *

n die Anzahl der Zinsjahre, p die Zinssatz zahl (

160 = p% ), K(n)der Wert desGut

habens nach n Jahren und K ( ) das An fangskapital bedeuten .

In der Praxis wird die Zinssatzzahl immer auf % (

1 % = 6 ) bezogen ; dann erhält man den

sog, Zinssatz p% (

p% = 100 ) zu dem ein Kapital festgelegt oder ausgeliehen wurde.

Den Faktor

im

Term für K (n ) nennt man Zinsfaktor und bezeichnet ihn mit q .

Anmerkung : Der Begriff „ Zinssatzzahl“ für p wird hier im Unterschied zum Zinssatz p % bewusst neu einge führt, denn in der kaufmännischen Literatur wird zwischen diesen beiden mathematisch unter schiedlichen Termen in der Regel nicht begrifflich und sprachlich unterschieden . Der Zinssatz ist grundsätzlich ein Jahreszinssatz . Abweichungen von diesem Grundsatz werden ausdrücklich vermerkt.

In vielen Fällen interessiertman sich aber nicht für das Guthaben nach einer bestimmten Anzahl von Jahren , sondern dafür, • zu welchem Zinssatz (p % ) ein vorhandenes Anfangskapital [K (C)] eine bestimmte Anzahl von Jahren (n )festgelegtwerden muss, um nach dieser Zeit zu einem vorgegebenen Guthaben [K (n)] angewachsen zu sein (Beispiel 4 .6); oder • welcher einmalige Betrag [K ( )] zum Zinssatz p % für n Jahre angelegt werden muss, um dann zu einem bestimmten Guthaben [K (n)] angewachsen zu sein ( Beispiel 4 .7) ; oder • wie lange ein Betrag [K ( )] zu einem Zinssatz p % verzinst werden muss, damit am Ende des Zinszeitraums ein gefordertes Guthaben K (n ) zur Verfügung steht ( Beispiel 4.8 ). Im folgenden wird das Kapital K (n ) nach n Jahren auf die Einheit € bezogen .

4 Folgen und Reihen

152 Beispiel 4 .6

Zu welchem Zinssatz müssen 3325, 29 € für 7 Jahre angelegt werden , damit am Ende des 7 . Jahres 5000 , - € zur Verfügung stehen ? Das Anfangskapital K ( ) beträgt 3 325,29 .

K ( ) = 3325 ,29

Das Guthaben nach 7 Jahren (K (7) = 5000)

K (7) = 5000

ergibt sich , indem das 7 Jahre verzinst wird .

K(7)=K( ):(1+ 100)

Anfangskapital

5000 = 3325,29:(1+1:00) 5000 3325 ,29 = ( 1 + 100 )

Stellt man die Zinseszinsformel K (n ) = K ( )•q" nach q bzw . p % um , so er hält man als Ergebnis einen Zinssatz von 6 % .

hao -

599

-1 - TR:100

%

p% = 6%

Beispiel 4 .7 Für einen Autokauf sollen in 5 Jahren 20000 , - € zur Verfügung stehen . Welchen Betrag müsste man dafür jetzt zu 7 % anlegen ? K (5) soll 20000 betragen . Der gesuchte Anlagebetrag K ( ) muss sich dafür 5 Jahre lang zu 7 % verzinsen lassen . Durch Umstellen der Zinseszinsformel K (n ) = K ( ) . q " nach K ( ) erhält man für K ( ) den Anlagebetrag 14259,72 € .

K (5)

= 20000

K (5)

= K ( )- (1 + ,07)

20000 = K ( ). 1,075 K( )

=

20000 5

TR

K ( ) = 14 259,72 Beispiel 4 .8 Wie lange müssen 6808 ,24 € zu 6,5 % angelegt werden , bis sie auf 12000 , - € gewachsen sind ? Gesucht ist die Anzahl n der Jahre, in denen 6808 ,24 € zu 12000 , - € anwachsen , wenn der Zinssatz 6 ,5 % beträgt.

Die Auflösung der Gleichung nach n erfor dert das vorherige Logarithmieren der Ter me auf beiden Seiten der Gleichung.

K ( )

= 6808 ,24

K (n ) = 12000 K (n ) = K ( )- (1 + ,065)" 12000 = 6808,24 1,065 " 12000 cm 1 , 065 " = 6808 , 24 12000 lg 11,,065 065"" == ]g lg lg 6808, 24 12000 n . lg 1 , 065 = lg 6808, 24

153

4 .2 Zinseszinsrechnung In 9 Jahren steht der gewünschte Betrag zur Verfügung.

12000 19 6808 , 24 n = lg 1,065 n = 9

Merke : K (n ) ist das n Jahre lang zu einem Zinssatz von p % verzinste Anfangskapital K ( ) und lässt sich nach der Zinseszinsformel K (n ) = K ( )" q" mit q = 1 + ko berechnen . Ersetzt man in der Zinseszinsformel drei der vier Variablen K (n ), K (O ), q und n durch vorgegebene Werte, so erhält man Gleichungen mit jeweils einer Variablen . Je nach Vorgabe der Werte wird das Anfangskapital K ( ) mit K ( )= km), K (n ) lg die Laufzeit n mit n = KO oder lg a der Zinsfaktor q m

K ( *) bzw . der Zinssatz p % mit p %

= 1/ K ( Ο ) - 1 oder

die Zinssatzzahl p mit p =(1/K (( m)– 1).100 bestimmt. )

Übungen

zu 4.2

1. Auf welchen Betrag wachsen folgende Anfangskapitalien an ? a ) 1800, - € bei 5 % Zinssatz in 10 Jahren . b ) 6000 , - € bei 6 ,5 % Zinssatz in 15 Jahren . c ) 25000 , - € bei 4 % Zinssatz in 6 Jahren . 2 . Ein Vater legt am 01.01. 1996 ein Sparbuch über 1000 , - € für seine Tochter an . Über welchen Betrag kann die Tochter am 31.12.2011 verfügen , wenn das Sparguthaben mit 3,5 % verzinst wird ? 3 . Auf welchen Betrag wachsen 16000 , - € an , wenn das Guthaben 12 Jahre langmit a) 4 % , b ) 5 ,5 % oder c ) mit 8 % verzinst wird ? 4 . Ein Betrag in Höhe von 6000 , - € wurde am 01.01. 1990 zu 4,5 % angelegt. Welche Summe steht dem Anleger am 31. 12 . 1998 zur Verfügung ? 5 . Ein Betrag in Höhe von 15000 , - € wurde am 01.01. 1985 mit 6 % festgelegt. Ab dem 01.01. 1988 wurde das Kapital nur noch mit 5 % verzinst. Am 01.01.1991 sank der Zinssatz auf 4 % . Wie hoch war das Kapital einschließlich Zinsen am 31.12 . 1995 ? 6 . Wie viel Zinsen bringen bei einer 5 % igen Verzinsung unter Berücksichtigung von Zinseszinsen 4000, - € , die vom 01.04. 1990 bis zum 31.03. 1996 festgelegt wurden ? 7. Ein Vater möchte, dass seinem Sohn am 31. 12.2010 ein Betrag von 30000 , - € ausgezahlt wird . Welche Summemuss er am 01.01. 1996 anlegen , wenn er mit einer Verzinsung von 5 ,5 % rechnet? 8 . Ein Kapital wurde 5 Jahre lang mit 5 % und danach 6 Jahre mit 4 % jährlich verzinst. Wie hoch war das Kapital, wenn es auf 9 876 , - € angewachsen ist ?

154

4 Folgen und Reihen

9 . Jemand zahlt am Anfang des 1., 5. und 6 . Jahres 4000, - € auf sein Sparkonto ein . Am Ende des 8. Jahres besitzt er ein Guthaben von 17584,22 € . Wie hoch war der Kontostand auf dem Sparbuch vor der ersten Einzahlung von 4000 , - € bei einem Zinssatz von 3,5 % ? 10. Eine junge Frau hat die Wahl zwischen folgenden Kapitalien : 12000, - € , Auszahlung sofort, oder 22 500, - € , Auszahlung in 10 Jahren, oder 36000, - € , Auszahlung in 20 Jahren . Welches Kapital ist – bezogen auf einen gemeinsamen Stichtag – am höchsten , wenn man von einer 6 % igen Verzinsung ausgeht? 11. Der Käufer eines Hauses macht dem Verkäufer 3 alternative Angebote : 400000, - € sofort oder 100000, - € sofort und 400 000, - € in 5 Jahren oder 3 Raten in Höhe von je 158000, - € , und zwar die erste Rate sofort, die zweite Rate nach 3 Jahren und die dritte Rate nach 6 Jahren . Welches Angebot ist unter Berücksichtigung einer 6 % igen Verzinsung das günstigste ? 12 . Eine Mutter lieh ihrem Sohn für eine Unternehmensgründung einen hohen Kapitalbetrag . 5 Jahre später lieh sie ihm denselben Betrag noch einmal. 3 Jahre nach der 2. Auszahlung waren die Schulden des Sohnes auf 302577 ,47 € angewachsen . Wie hoch waren die ausgeliehenen Beträge, wenn ein Zinssatz von 7,5 % vereinbart worden war ? 13. Ein Kapital in Höhe von 5000, - € verdoppelt sich in 12 Jahren . Welcher Zinssatz liegt dieser Berechnung zugrunde ? 14 . Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 5000, - € ausgeliehen , wenn es in 5 Jahren auf 6535, - € angewachsen ist ? 15 . In wie viel Jahren verdoppelt bzw . verdreifacht sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 4 % (5 % ) ? 16 . In wie viel Jahren wächst ein Kapital von 10000 , - € bei einem Zinssatz von 5 % auf 14774 , 55 € an ? 17. In wie viel Jahren bringt ein Kapital von 15000 , - € bei 6 % iger Verzinsung 5073,38 € Zinsen ? 18 . Jemand macht eine Stiftung von 198 000 , - € mit der Auflage, dass der Betrag so lange bei einer Bank mit 5 % angelegt wird , bis die jährlichen Zinsen für vier Stipendien im Wert von jeweils 4000, - € ausgezahlt werden können . Nach welcher Zeit ist die Auszahlung möglich (Jahre aufrunden )?

4 .3

Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen

Bisher sind spezielle endliche Folgen betrachtet worden . Der Definitionsbereich dieser Folgen wurde als endliche Teilmenge { 1, 2, ..., k } von N * vorausgesetzt oder konnte als solche durch die Aufgabenstellung angesehen werden . Jetzt sollen innermathematische Eigenschaften von Folgen behandelt werden , deren Wertemengen W (S) Zahlenmengen sind. Solche Folgen heißen Zahlenfolgen . Im Gegensatz aber zum Ab schnitt 4 .1 wird jetzt als Definitionsbereich dieser Zahlenfolgen die unendliche Menge N * selbst zugelassen . Folgen , welche N * als Definitionsbereich haben , sind unendliche Folgen . Anmerkung : Wenn man in der Mathematik von einer ,,Folge “ spricht, dann ist damit eine „ unendliche Folge “ gemeint. Der Zusatz „ unendlich “ wird also weggelassen , der Zusatz ,,endlich “ dagegen nicht.

155

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen Monotonie und Beschränktheit von Zahlenfolgen

Beispiel 4 .9 Das radioaktive Element Francium

223 hat eine Halbwertszeit von 22 Minuten , d . h . dass sich

innerhalb von jeweils 22 Minuten die vorhandene Masse dieses Isotops halbiert. Es sei 1 kg Francium vorhanden . Die Folge kann mit dem

Bildungsgesetz

f : f (n ) = 106 . ,5", neN *, beschrieben werden . Dabei ist n die Anzahl der verstrichenen Halbwertszeiten und f (n ) die nach n Halbwertszeiten verbleibende Masse in mg.

500 000 Masse mg 250000

Hier liegt ein exponentieller Abnahmepro zess vor ; man sagt: die Folge f fällt streng monoton .

140 000

Es gilt für alle neN * : f (n + 1) < f (n ).

100000

120 000

Die Folgenwerte liegen alle zwischen ihrem größten Wert 500000 , der auch als Folgen wert angenommen wird , und , die nicht als

80 000

Folgenwert angenommen wird. Es gilt so mit für alle neN * :

40 000

60000

20000 < f (n ) < 500000 .

f (n) = 106- ,5 "

Minuten Halbwertzeit

@ +

Man nennt die Folge nach oben beschränkt durch 500 000 und nach unten beschränkt durch .

Anschaulich bedeutet diese Beschränktheit der Folge f, dass ihr Graph ganz in dem streifen der Breite 500000 oberhalb der Abszissenachse verläuft.

Horizontal

Man kann sich jede Folge f, ob endlich oder unendlich , statt durch ihren Graphen in einem Koordinatensystem auch als Stellenwertfolge auf einer Zahlengeraden veranschaulichen . Dazu trägt man für jedes Folgenglied den ihm entsprechenden Folgenwert auf der Zahlengeraden ab . Bei dieser Auffassung schreibt man dann für eine Folge f statt f :n6f(n ) üblicherweise ( f (n )), setzt also den Folgenterm f (n ) in spitze Klammern . Für die Folge f aus Beispiel 4 .9 bedeutet ihr streng monotones Fallen in der Darstellung < f (n )), dass jedes nachfolgende Folgenglied links vom vorhergehenden Folgenglied liegt, und ihre Beschränktheit nach oben und unten , dass alle Folgenwerte im Inter vall ( ; 500000] liegen .

f (3)

f (2 ) 500000 Zahlengerade

In der Darstellung der Folge als < f (n ) ) liegt f (n + 1) links von f (n ), und alle Folgenglieder liegen im Intervall ( ; 500000 ).

156

4 Folgen und Reihen

Beispiel 4 .10 Die n -te Teilsumme 3 3 3 1000 +...+ 10n;neN * + 100 10 + s(n)= der Folge f: f(n) =

.3 | 10 * 100 + 1000 +... + ion = , 333.. n -mal n-mai

m; stellt die Dezimal

zahl ,333 ... 3 dar. n -mal Der kleinste Folgenwert der Teilsummen -

s (1) = ,3

kleinster Folgenwert

folge s:s(n)= 16 + ...+ ión ;neN * ist ,3.

Die Folge steigt streng monoton neN * .

für alle

Obwohl die Folge streng monoton steigt, so übersteigt sie doch niemals die reelle Zahl

s(n + 1)> s(n) für alle neN * sa

für alle neN *

, wie man leicht zeigen kann :

Die Folge f: f(n) = ion ; ist eine geometri-

f: f (n) = 3. ,1"; D (S) = N *

geometrische Folge

sche Folge mit q = ,1. 3 3 Damit ist s(n)= 10 + 102+...+ ionfür jedes neN * eine geometrische Reihe, für die die

s(n)=f(1).1 . 1 - ,1"

Summenformel gilt . Die Werte der Folge 3 3 S : s (n ) = s:s(n)= 10 18 + jồ2+...+ iš

,3 . 1 - ,1 ,1" = ,3.1 -,9 gen also alle liegen also alle

unterhalb der reellen Zahl

Die Folge ist somit nach oben beschränkt durch

- ,1") sin

1 - , 1" < 1 für jedes neN *

für jedes neN *

und nach unten beschränkt durch

,3.

Man nennt - eine obere Schranke und ,3 eine untere Schranke der Folge s.

In der Darstellung von s als ( s ( n )> liegt je des nachfolgende Folgenglied rechts vom vorhergehenden Folgenglied , und alle Fol genwerte liegen im

Intervallo

,3 s(1).s(2) ... s steigt streng monoton .

Zahlengerade

157

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen Beispiel 4 .11 2n - 1 Zeigen Sie , dass die Folge f: f (n) = = - nach unten durch

und nach oben durch 2 beschränkt

ist. Zeigen Sie außerdem , dass f streng monoton steigt.

Beschränktheit nach unten : Wenn f nach unten beschränkt wäre durch , dann müssten alle Folgenwerte größer oder gleich

f (n ) 20

►

30 2n -1120 n +

Annahme neN *

sein .

Die Lösungsmenge der Ungleichung f (n ) ist N *, also gilt f (n ) > für alle neN * .

=

2n - 120

©

2n21

allgemein gültige Aussageform

n20,5

Somit ist eine untere Schranke von f und damit auch jede Zahl, die kleiner ist als .

L = N *

►

f (n ) < 2

• Beschränktheit nach oben : Es wird geprüft, ob f nach oben beschränkt

2n - 1 < 2 n + 1 -

ist, indem man die Lösungsmenge der Un gleichung f (n ) < 2 bestimmt.

Annahme neN *

2n - 152n + 2

Die Ungleichung f (n) < 2 gilt also für alle neN * ; somit ist 2 eine obere Schranke von f und damit auch jede Zahl, die größer ist als 2 .

#

2n < 2n + 3

☆

.n < 3 L = N *

>

Strenge Monotonie :

allgemein gültige Aussageform

Für den Nachweis der strengen Monotonie

f (n + 1) > f (n ) 2 ( n + 1 ) - 1 2n - 1

von f muss gezeigt werden , dass für alle

(n + 1) +1

neN * gilt f (n + 1) > f (n ).

+ 1

2n + 1 2n - 1 n +2 n + 1

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist N *, damit ist die Folge also streng monoton

2n2+ 3n + 1 > 2n + 3n - 2 ►

steigend .

.n? +

Annahme

.n > - 3

neN * allgemein gültige Aussageform

L = N * Veranschaulicht man sich ſ wieder als < f (n ) , so liegt jedes nachfolgende Folgen glied rechts vom vorhergehenden Folgen glied ( f steigt streng monoton ), und alle Folgenwerte liegen im Intervall ( : 2 ).

o

f ►

(1)

f(2)...

2

Zahlengerade

In der Darstellung von f als < f (n )) liegt f (n + 1) rechts von f (n ), und alle Folgenwerte liegen im Intervall ( ; 2 ).

158

4 Folgen und Reihen Merke:

. Eine Folge f heißt streng monoton steigend, wenn für alle neN * gilt : f(n + 1) > f (n). . Eine Folge f heißt streng monoton fallend , wenn für alle neN * gilt: f (n + 1) < f (n ). . Eine Folge ſ heißt nach oben beschränkt durch eine reelle Zahl für SER ,wenn für alle neN * gilt: f (n ) SS. . Eine Folge ſ heißtnach unten beschränkt durch eine reelle Zahlfür ser ,wenn für alle neN * gilt: ssf (n ). . Eine Folge f heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. • Besitzt eine Folge eine obere Schranke, so ist jede größere Zahl ebenfalls eine obere Schran ke dieser Folge. • Besitzt eine Folge eine untere Schranke, so ist jede kleinere Zahl ebenfalls eine untere Schranke dieser Folge .

Ubungen 1. Gegeben sind die Folgen f: f (n ) = ,2 " und g : g (n ) = 10 . ,5" . a ) Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie. b ) Zeigen Sie , dass 10 eine obere und eine untere Schranke der Folgen ist. c) Stellen Sie die Folgen graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. 2. Gegeben ist die Folge BC 1, 1 , 2 43 . . a ) Bestimmen Sie den Funktionsterm dieser Folge . b ) Geben Sie den 5., 8 . und 12 . Folgenwert der Folge an . c ) Zeigen Sie, dass 1 eine obere und eine untere Schranke der Folge ist. d ) Weisen Sie nach , dass die Folge streng monoton fallend ist. e ) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar . 3. Untersuchen Sie die gegebenen Folgen f auf Monotonie und Beschränktheit und stellen Sie die Folgen graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. n + 1 c) f : f (n ) = 1 2n a ) f : f (n ) = b) f:f(n)= 5 – n d ) f : f (n ) = 3n + ( - 1)" e) f: S(n)= (2 + ( - 2)") 21 ) f: f(n)= 11 4 . Geben Sie eine Zahlenfolge an , deren größte untere Schranke - 2 und deren kleinste obere Schranke 2 ist. 5. Gegeben ist die Folge < f(n)) mit f(n) = a ) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie. b ) Untersuchen Sie, ob 1 eine obere und - 1 eine untere Schranke der Folge ist. c) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. n² + 1 6 . Gegeben ist die Folge f (n )) mit f (n ) = 2 a ) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie . b ) Untersuchen Sie, ob 3 eine obere und 1 eine untere Schranke der Folge ist. c) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. 7. Gegeben ist die Folge

f (n )) mit f (n ) =

a ) Führen Sie den Monotonienachweis. b ) Zeigen Sie , dass die Folge eine untere Schranke - 1 hat. c) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar.

159

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen n - 1 8. Gegeben ist die Folge f : S (n) " = n 71 + 19 a ) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie. b ) Untersuchen Sie , ob 1 eine obere und - 1 eine untere Schranke der Folge ist. c ) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. 1 9. Gegeben ist die Folge f : f(n) = a ) Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie. b ) Untersuchen Sie, ob 1 eine obere und eine untere Schranke der Folge ist. c ) Stellen Sie die Folge graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar.

1999 auf Monotonie und Beschränktheit und + + ... + < s(n )> mit s (n ) = 10 . Untersuchen Sie die Folge olge ( s(n )) mit s(n ) = 10 * 100 + ... + 10 au Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar. Folge graphisch i m stellen Sie die 11. Die Begriffe Monotonie und Beschränktheit können auch für endliche Zahlenfolgen verwendet werden . a ) Zeigen Sie, dass die endliche Zahlenfolge 1, 2 , 3, 4, 5 , 6 , 7 streng monoton steigt und beschränkt ist. b ) Untersuchen Sie die endliche Folge f : f (n ) = = ; D ( S ) = { 1, 2, 3, ..., 100) aufMonotonie und Beschränkt heit. c) Untersuchen Sie die endliche Folge f: f (n)= -2 ; D (S) = {5, 6, 7, ..., 54} auf Monotonie und Be schränktheit . d ) Stellen Sie die Folgen graphisch im Koordinatensystem und auf der Zahlengeraden dar.

Konvergenz von Zahlenfolgen In den Beispielen 4.9 bis 4.11 waren alle Folgen beschränktund entweder strengmonoton steigend oder streng monoton fallend. Betrachtet man das Beispiel 4 .10 noch etwas genauer, so stellt man fest,dass die Reihenwerte s(n ) der Folge s immer weiter gegen die Bruchzahl wachsen , sie zwar nie erreichen , ihr aber beliebig nahe kommen , je größer man die Zahl n wählt. Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Graph von s der Parallelen im

Abstand

zur x -Achse

asymptotisch immer mehr von unten anschmiegt.

So trennt z.B.nur noch z. 10.100 den Folgen wert s( 100)von der Zahl ,während es voms

s(10 =5:(1 – ,110)= ( 100) = 1:(1– ,1100) =

3. 1016 10100

Folgenwert s (10) noch 7. 1010 waren . Anders ausgedrückt: Da die Folge ( s(n) ) strengmonoton steigt, liegen aufder Zahlengeraden alle Folgenwerte für n > 100 , und das sind fast alle bis auf die ersten 100 Folgenglieder, dichter als 1 bei . 3.10:00 Im Beispiel 4.9 wird die Masse des radioaktiven Isotops Francium 223 immer geringer, weil die Folge f eine streng monoton fallende Folge ist. Die Masse kann nicht unter sinken , aber sehr dicht an O herankommen . Der Graph von f nähert sich mit größer werdenden Zahlen für n asymptotisch immer mehr der Abszissenachse von oben .

160

4 Folgen und Reihen

Zur Bestimmung der Folgenwerte, die bei- | spielsweise weniger als 10 - 6 von auf der Zahlengeraden entfernt sind, kann die Lö

106 . ,5" < 10 - 6 $

,5" < 10 -12

Logarithmieren

# n·lg ,5 < - 12

sungsmenge der Ungleichung R (n) < 10 -6 ermittelt werden . Dabei muss man beach ten , dass bei einer Ungleichung die Ord

g ,5
1000

f (n )

lend , noch streng monoton steigend - also

- 10,5

neN *

...

1000

1001

1001 -

nicht streng monoton . Die Folgenwerte liegen zwar einmal links und einmal rechts von Null auf der Zahlen geraden , ihre Abstände zur Zahl Null wer den aber immer kleiner.

-1

- 3

1

x

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen

161

Um die Eigenschaften der Folgen aus den Beispielen 4 .9 bis 4 .12 besser erfassen zu können , sich mit ihren Folgenwerten einer reellen Zahl für immer größer werdende Zahlen für neN * auf der Zahlengeraden zu nähern , wird der Begriff der Umgebung einer reellen Zahl eingeführt: Bezeichnet g eine reelle Zahl und & (Epsilon ) eine positive reelle Zahl, so heißt das offene reelle Intervall (g - E; g + ɛ) eine Umgebung von g. Genauer sprichtman von einer E -Umgebung von g , in Zeichen E - U (g ). Zu einer E -Umgebung von g gehören also alle reellen Zahlen , deren Abstand von g auf der Zahlengeraden kleiner als ε ist. Es gilt für eine ε -Umgebung um g : (g - €; g + ɛ) = {x |g - < < x < g + ε } = { x |8 - 8 < x und g + & > x } = {x | - (x - 3) < ɛ und x - g < e } = {x | lx - g | < £}. Intervall- und Mengenschreibweise für eine E-Umgebung

Beispiel 4.13 Zeigen Sie auf der Zahlengeraden : Die 2- Umgebung um 6 [2- U (6)] umfasst alle reellen Zahlen zwischen 4 und 8, wobei die Zahl 6 in der Mitte des Intervalls (4 ; 8) liegt 2- U( 6) = ( 4; 8) = {x |6 – 2 < x < 6 + 2 } = {x | |X - 6 ] < 2 }

4

6

8

Beispiel 4.14 Geben Sie mit einer Kettenungleichung an , welche Zahlen in der ,001-Umgebung von į liegen und stellen Sie diese Zahlen auf der Zahlengeraden dar. XIX 1000-u( )={x/x-3 -1000 ) ={x /x-}< 1000 und — (x-3)< 1000) ={x }x}_1000)

1 3

1 1000

1 3

1+ 1 3 + 1000 1 1 1 1 z A1 und - + 1 000 liegen Alle Zahlen zwischen in der ,001-Umgebung von

997x21003)

Beispiel 4. 15 g steht für die reelle Zahl – 2 und & für die reelle Zahl 10 - 4. Stellen Sie die ε- U (g ) auf verschiedene Arten in der Mengenschreibweise dar und veranschaulichen Sie diese Umgebung auf der Zahlen geraden . 1

10 - 4-U ( - 2) = {x | \x + 2 ] < 10 - 4} = {x | x + 2 < 10 - 4 und - (x + 2) < 10 - 4 = {x \x < - 2 + 10 - 4 und - x - 2 < 10 - 4} = {x | x < - 1,9999 und x > - 2,0001 = {x \ - 2,0001 < x < - 1,9999 }

- 2,0001

- 2

- 1, 9999

Alle Zahlen zwischen –2 - Tor und –2+ jo liegen in der 10 - 4 -Umgebung von - 2 .

162

4 Folgen und Reihen

Die Eigenschaft einer Folge, dass ihre Folgenwerte mit größer werdenden Zahlen für n immer dichter einer reellen Zahl für g zustreben , kann man jetzt auch mit Hilfe des Umgebungsbegriffes erfassen : Wenn in jeder (insbesondere noch so kleinen ) Umgebung um g fast alle Folgenwerte der Folge f : nef(n ) bzw . < f (n )) liegen ,dann bezeichnet man die Zahl für g als Grenzwert der Folge f bzw . ( f (n )) und schreibt: lim

f (n ) = g (gelesen : „ Limes ( lat. Grenze ) f von n für n gegen unendlich

gleich g “). „ Fast alle“ bedeutet „ alle bis auf endlich viele “. Gleichbedeutend mit dieser Definition des Grenzwertes einer Folge ist die Aussage : g heißt Grenzwert der Folge f bzw . ( f (n )), wenn es zu jeder a-Umgebung um

g (&-U (g)) eine

Platznummer n (e) gibt, von der ab alle weiteren Folgenwerte in der E- U (g) liegen . Das wiederum bedeutet, dass eine Zahl für g nur dann Grenzwert einer Folge sein kann, wenn innerhalb jeder E-Umgebung um g unendlich viele Folgenglieder liegen , während es außerhalb jeder a-Umgebung nur höchstens endlich viele gibt. Der Grenzwert g einer Folge f lässt sich auf zwei Arten veranschaulichen : .

im Koordinatensystem : ogb + &

Zeichnet man im

Abstand g zur X - Achse eine Parallele, so verläuft der Graph von f

obog b

für jeden Parallelstreifen der Breite 2ɛ um g schließlich ganz innerhalb dieses Parallel streifens. E >

1 •

2

3

4

5

6

x

8 - U (g )

auf der Zahlengeraden :

In jeder ε -Umgebung um g liegen fast alle Folgenwerte der Folge ( f (n )) , d .h . außer halb derselben nur endlich viele. Besitzt eine Folge den Grenzwert g, dann sagt man : Die Folge konvergiert gegen g. Die Eigen schaft einer Folge , einen Grenzwert zu besitzen , nenntman Konvergenz. Beispiel 4.16 Untersuchen Sie für die Folge f: f(n) =

für verschiedene e-Umgebungen um

, wie viele Folgen

glieder innerhalb und außerhalb der 8-Umgebungen liegen . Verallgemeinern Sie für eine beliebige E -Umgebung um und bestätigen Sie die Konvergenz der Folge mit dem Grenzwert . Je größer die Zahlen für n werden , desto näher liegen die Folgenwerte bei . Man kann daher vermuten , dass von f ist.

In

,001- U (O ) liegen die Folgenwerte von f mit

If (n ) - 01 < ,001

Grenzwert

In ,001- U ( ) liegen fast alle Glieder von f, nämlich alle außer den ersten 1000. Für & = , 001 ist also n (s ) mit n (a ) = 1001 eine Platznummer, von der ab alle weiteren Fol genglieder in ,001 - U ( ) liegen .

1000 1 n

1 1000

n > 1000

neN *

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen Was ändert sich , wenn die Umgebung um g sehr viel kleiner ist ?

|

Außerhalb der gegenüber ,001- U ( ) viel kleineren 10 -6 -U (O ) liegen zwar mehr Fol genglieder als außerhalb von 10 - 3 - U ( ), aber innerhalb derselben immer noch fast alle , d . h . unendlich viele ; denn nur die er

|

163

In 10 - 6- U ( ) liegen die Folgenwerte von f mit If (n ) - 01 < 10 - 6 neN *

sten 10 “ Glieder liegen außerhalb von 10 - 6 U ( )

ñ 109 n > 106

Für e = 10 -6 ist also n (e) mit n (a) = 10 + 1 eine Platznummer, von der ab alle Folgen glieder in 10 - 6- U ( ) liegen . Liegen auch immer noch fast alle Folgen werte in einer e-Umgebung um , bei der & beliebig klein ist ? Dazu betrachtet man die Folgenwerte für f (n ), die in der E- U ( ) liegen (8 > ). Alle Fol genwerte , deren Platznummer größer ist als

In e-U ( ) liegen die If (n ) - 01 < &

-

Folgenwerte von f mit

E>

- O EneN

n

Rand der e-Umgebung. Also ist

der Grenzwert der Folge f,d.h., es gilt:

= .

Eine konvergente Folge f nennt man eine Nullfolge , wenn sie Die Folge f: f(n) =

als Grenzwert besitzt .

ist also eine Nullfolge.

Beispiel 4.17 Das Beispiel 4.11 zeigt, dass sich die Glieder der Folge f : f (n ) =

2n - 1 . immer mehr der Zahl 2 n + 1

nähern , je größer die Zahlen für n werden . Ist 2 Grenzwert von f ? Alle

Folgenwerte für f (n ) liegen E- U (2 ), für deren Platznummer gilt:

in

In e- U (2) liegen If (n ) — 21 < £ ►

die

Folgenwerte

E>

12n - 1 _ 2 < E In + 1 2n - 1 - 2 ..(n + 1) n + 1 n + 1

< e

3 - 1< n

neN *

von f mit

4 Folgen und Reihen

164 Wählt man z. B . & = ,001, dann liegen alle Folgenwerte in gilt : n > 1 - 1 = 2999 . " ,001

,001- U (2), für deren Platznummern

n ( ,001) hat also den Wert 3000.

Verkleinertman die Umgebung noch weiter , indem man k = 10 - wählt , dann liegen ebenfalls fast alle Folgenwerte in dieser kleinen Umgebung um 2, nämlich alle , für deren Platznummern gilt : 3 n > 2 n ( ) steht hier für die natürliche Zahl 3000000. 10 - 6 - 1 = 2999999. 2n - 1 2 ist also der Grenzwert der Folge f, d .h ., es gilt : g = 2 = lim f (n ) = lim noon + 1 Beispiel 4. 18 Die Glieder der Teilsummenfolge s: s(n) = *:(1 - ,1") aus Beispiel 4.10 nähern sich mit größer werdenden Zahlen für n der Zahl 5. Liegen in jeder Umgebung um fast alle Folgenglieder ? Alle Folgenwerte, die in &- U ( ) liegen , erfül len die Betragsungleichung. Bei der Auflö

1s(n ) – }\


els (1 – ,1*) - |


106. ,5" < &

Logarithmieren

6 + n · lg ,5 < lg &

lg a - 6 Für alle n > lg , 5 liegen die Folgenwerte für f(n) in der -Umgebung um

f (n ) - 01 < &

n ·lg ,5 < lg 8 6 -

.

n >

Grenzwert der Folge und damit

feine Nullfolge.

-6 n lg 10-9 lg ,5

Für = 10 - 9 z. B . gilt n (a) = 50 . Somit lie gen 49 Folgenwerte außerhalb und ab dem 50 . Folgenwert unendlich viele Folgenwerte innerhalb 10 - 9- U ( ).

=

→g = nlim

→n(10 - ') = 50

f (n ) = lim ( 10 . ,5 ") = . n00

lg & - 6 lg ,5

> 2 ,9 = 49,82...

1g0,5
, da f (n ) = 1 für jedes neN * ► nlim - 00 f (n ) = 1

Beispiel 4 .21 Zeigen Sie , dass die Folge < f (n )) mit f (n) = ( - 1)" keinen Grenzwert besitzt. S - 1 für ungerade Zahlen für n 1 für gerade Zahlen für n

Alle Folgenwerte sind entweder – 1 oder 1. • Man

zeigt, dass keine Zahl außer 1 Grenzwert der Folge sein kann :

Nimmtman an , dass eine Zahl für a , die von 1 verschieden ist, Grenzwert ist, so müssten außerhalb jeder Umgebung von a nur endlich viele Folgenwerte liegen . Wählt man aber um a eine e- Umgebung, in der 1 nicht liegt, dann liegen alle Folgen werte für f (n ), für die die Zahlen für n gera de sind, also unendlich viele , außerhalb der 8-Umgebung von a . Also kann a nicht Grenzwert der Folge sein . Damit kommt aber nur noch 1 als Grenzwert in Frage.

a= 1 - 1

1

a

Zahlengerade

oder

- 1 ► ►

a

1

Zahlengerade

1 = f (n ) für alle geraden Zahlen für n f (n ) ( a - e ; a + E ) für alle geraden Zahlen für n

• Man zeigt, dass 1 nicht Grenzwert der .5

Folge sein kann : Wählt man z. B . um 1 die e-Umgebung ,5 - U (1 ),dann liegen außerhalb dieser Um gebung alle Folgenwerte für f (n ), für die die Zahlen für n ungerade sind , also unendlich viele. Damit kann 1 nicht Grenzwert der

- 1

.5 1

Zahlengerade

>

- 1 = f (n ) für alle ungeraden Zahlen für n ► f (n ) € ( ,5 ; 1,5) für alle ungeraden Zahlen für n

Folge sein . = f besitzt keinen Grenzwert. Die Folge ist daher nicht konvergent; man sagt: f ist divergent. Merke: . Eine Zahl für geR heißt Grenzwert einer Folge, wenn in jeder e-Umgebung um g fast alle Folgenwerte liegen . Ist g der Grenzwert einer Folge f, so schreibt man dafür : g = lim f (n ). • Äquivalent hierzu ist : g ist Grenzwert der Folge f, wenn es zu jeder reellen Zahl für & mit E> eine natürliche Zahl für n (e) > gibt, so dass für allen n (e) gilt: If (n ) - g < £. • Besitzt eine Folge einen Grenzwert, so nennt man sie konvergent, sonst divergent. • Konvergente Folgen , deren Grenzwert ist, nennt man Nullfolgen .

4 Folgen und Reihen

166 Anmerkung: Wegen n

für neN * gilt der Grenzwertbegriff nicht für endliche Folgen .

Die Erklärung des Grenzwertes einer Folge gestattet es nicht, den Grenzwert einer Zahlenfolge zu berechnen . Man kann lediglich beweisen , dass eine Zahl, von der man vermutet, sie sei der Grenzwert, wirklich der Grenzwert ist. Oft wird man aber versuchen , durch geeignete Vorüberlegungen zu einer Vermutung über den Grenzwert einer Zahlenfolge zu gelangen , und anschließend wird man diese Vermutung anhand der Grenzwerterklärung überprüfen . Häufig erreicht man dadurch sein Ziel, indem man im Term der Zahlenfolge für n „ große“ Zahlen setzt. Beispiel 4 .22 3n Stellen Sie eine Vermutung darüber auf, gegen welchen Wert die Zahlenfolge f : f (n ) = - 5* n + konvergiert, und zeigen Sie dann, ob ihre Vermutung richtig ist. Setzt man immer größere Zahlen für n, dann nähern sich die Folgenwerte immer | mehr der Zahl 3 . Die Vermutung, dass 3 Grenzwertder Folge f ist, wird überprüft, indem man zeigt, dass fast alle Folgenwerte in jeder &- U (3) liegen .

f (100) = 2,857143 f ( 1000 ) = 2,985075 f (10 %) = 2, 999985 If (n ) – 3| < &

Ausgangs Betragsungleichung

3n - 3 / < E In + 5 3n - 3 (n + 5 ) n + 5 neN *

n + 51 Alle

Folgenwerte , deren

größer sind E - U ( 3 ).

als

Platznummern

15 - 5, liegen

in jeder

15 SE n + 15 < n + 5

£>

3 ist also Grenzwert der Zahlenfolge f, d.h., es gilt: lim

15

lime + 5 = 3. f (n) =non

Beispiel 4 . 23 Stellen Sie eine Vermutung darüber auf , welche ZahlGrenzwert der Folge f: f (n) = = " _ 2 sein könnte und überprüfen Sie Ihre Vermutung. Setzt man immer größere Zahlen für n, dann nähern sich die Folgenwerte immer mehr der Zahl - , 5 . Die Vermutung, dass – ,5 Grenzwert der Folge ſ ist , wird mit jeder e- U ( - ,5) über prüft.

= - ,500025001 f ( 100 ) f ( 1000 ) = - ,50000025 (10000) = - ,500000002 If (n ) - ( - ,5) < & n2 1 - 2 n2 "

Ausgangs Betragsungleichung

167

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen Da der Betrag eines Bruches gleich dem Quotienten aus den Beträgen von Zähler und Nenner ist, können Zähler und Nenner

| 22 + , 1 -501 2n –? 20° ) < E |

einzeln untersucht werden . Der Term

in den Betragsstrichen des Zäh

10 ,51 11 - 2n21 VE

lers ist eine positive Zahl, deshalb können dort die Betragsstriche entfallen .

- (1 – 2n?) .5

mit neN * der Term in den Betragsstrichen negativ . Multipliziert man diesen Term mit

2n2 - 1

- 1, so können auch hier die Betragsstriche -

Es zeigt sich , dass fast alle Folgenwerte nämlich alle , deren Platznummer größer als .25 ( ,22 + ,5 ist – in - U ( - ,5) liegen .

1 – 2n2 < ; neN *

,5

Im Nenner ist für alle Zahlen anstelle von n

entfallen .

,5 L 1 - 2n

E


und 2n- - 1 >

,5< 2nP -1 > ,25 + ,5 E n> 10,25,5

- ,5 ist also Grenzwert der Folge f, d.h., es gilt : lim f (n ) = lim

7 " ) 2 = - ,5.

Beispiel 4 .24 Durch Setzen „ großer “ Zahlen für n ergibt sich die Vermutung, dass 2 der Grenzwert der Folge 2n - 1 2n - 1 f : f (n) = -n + 1 - ist, dass also nlim n + 71 = 2 gilt. Kann man den vermuteten Grenzwert 2 unmittelbar aus dem Folgenterm berechnen ? Da der Zähler - und der Nennerterm für sich genommen bei großen Werten für n über alle Schranken wachsen , klammert man im Zähler- und Nennerterm von f (n ) die je weils höchste vorkommende Potenz von n aus und kürzt.

2n - 1 n + 1

Ausklammern von n im Zähler- und Nennerterm

Kürzen

Jetzt sieht man die Grenzwerte für die Fol gen des Zähler- und des Nennerterms un mittelbar. Man vermutet also , dass f (n ) für n — gen 1 = 2 konvergiert.

ge

Hierbei hat man von einer naheliegenden , aber nicht bewiesenen Vermutung Gebrauch gemacht, nämlich dass lim

2n - 1 n + 1

lim n00

168

4 Folgen und Reihen

Diese Vermutung lässt sich auch beweisen . Auf den Beweis soll aber in diesem Buch verzichtet werden , da es hier auf die Anwendungen der sog. Grenzwertsätze ankommt. Darunter verstehtman die folgenden Beziehungen zwischen den Grenzwerten von Zahlenfolgen . Grenzwertsätze für Zahlenfolgen :

1. Wenn lim fı(n ) = g , und 100 lim f (n ) = 82 existieren , dann gilt : lim [ ;(n) + f2 (n)]= lim fi (n)+ lim f2 (n) = g, + 82. 2. Wenn lim

fi (n) = g, und lim

12 (n) = 82 existieren , dann gilt :

lim [S (n): f2(n)] =no lim f (n ) lim

12(n) = gı •82.

3. Wenn lim f (n ) = 81 und lim 00 f2 (n ) = 82 mit g2 + im Ji(n) lim n + f (n)

existieren , dann gilt:

lim fi (n) lim f2(n) n

82

4 . Wenn100 lim f (n ) = g existiert und ceR ist, dann gilt : lim [c. f (n)] = c. lim

f (n ) = c . g.

Mit Hilfe der vier Grenzwertsätze lassen sich Grenzwerte oft unmittelbar berechnen .Man braucht dann keinen Konvergenznachweis mehr zu führen. Allerdings ist hierbei zu beachten , dass die Grenzwertsätze nur gelten , falls auch alle in ihnen vorkommenden Grenzwerte existieren . Deshalb ist es zweckmäßig, einen gegebenen Folgenterm zunächst ohne das Limeszeichen umzuformen und dieses erst dann hinzufügen , wenn die Existenz der Grenzwerte aller auftretenden Teilfolgen gesichert ist. Beispiel 4 .25 - 6n + 3 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge f mit f (n ) = 2n + 5 - mit Hilfe der Grenzwertsätze. Man klammert im Zähler - und im Nenner term

von f (n ) die jeweils höchste vorkom

- 6n + 3 2n + 5

mende Potenz von n aus und kürzt, um die Grenzwertsätze anwenden zu können . +

Ausklammern von n im Zähler - und Nennerterm

Kürzen ; neN *

asiw Danach berechnet man jeweils den Grenz wert der durch den Zähler - und Nenner term gegebenen neuen Folgen unter An wendung des 1. Grenzwertsatzes. Da die Grenzwerte dieser Teilfolgen existieren , exi stiert auch der Grenzwert der Folge f. Nach dem 3. Grenzwertsatz ist der Grenz wert der Folge f dann – 3.

2+

lim f (n ) = lim n00 n00

lim (2+ ) = 2

3. Grenzwertsatz Grenzwert von f für n + 00

169

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen Beispiel 4 .26

2n? + 4n + 1 - mit Hilfe der Grenzwertsätze. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge f mit f (n ) = = " n° + 2 Man klammert im Zähler - und im Nenner term von f (n ) die höchste vorkommende

2n? + 4n + 1 f (n) = n + 2 12 4 1 n .(- + - + ) In nº nº IN n . 11 3) 1+ ( : °

Potenz von n aus und kürzt, um die Grenz wertsätze anwenden zu können .

2 4 1 - + - + n ' n23

Danach berechnet man jeweils den Grenz wert der durch den Zähler- und Nenner

Kürzen ; neN neN * ; Kürzen

lim + -+

\

- + 5 + nº nº

term gegebenen neuen Folgen unter An wendung des 1. Grenzwertsatzes. Da die Grenzwerte dieser Teilfolgen existieren , exi stiert auch der Grenzwert der Folge f. Nach dem 3. Grenzwertsatz ist der Grenz wert der Folge f dann

lim

f ( n ) = lim

2 4 1 + 3 - + nnn +

3 . Grenzwertsatz

.

Die Folge ist eine Nullfolge.

Beispiel 4.27 2n² + 4n + 1 - auf Konvergenz . Untersuchen Sie die Folge f : f (n ) = = n + 2 Man klammert im Zähler- und im Nenner term von f (n ) die jeweils höchste vorkom mende Potenz von n aus und kürzt.

Ausklammern von na im Zähler- und von n im me kahter-und von'nin Nennerterm

2n + 4n + 1 f( m)= 288 n++492 +1 14 1 na . ( 2 + - + n ny

Kürzen ; neN *

n . 1 +

= n .

4 1 2 + - + n . n 1 +

2+ 4+ 1 NI Die Folge q : q (n ) = - " " - konvergiert 1 + n

+ 2 +nn + IN q (n ) = 1 +

1 4 1 lim (2 14g | + n 1n )=2 lim 1 + 10 n

zwar gegen den Grenzwert 2 , aber die Folge g: g(n ) = n divergiert. Damit divergiert auch die Folge f mit f (n ) = g (n ). q (n ); die Folgenwerte streben über alle Grenzen . Hierfür schreibt man symbolisch : lim f (n ) =

.

lim

g ( n ) = lim

n lim - 00 g (n ) = lim

2 + - ++ 2 SnI . n

►qkonvergiert

n = 00

► 11 lim - 00 f (n ) = lim (n . q (n)] = o0f

g divergiert divergiert

170

4 Folgen und Reihen

Für Folgen wie in den Beispielen 4 .25 bis 4.27 mit einem gebrochen -rationalen Funktionsterm lässt sich die Berechnung der Grenzwerte nach einer allgemeinen Regel vornehmen : j a ; . n ' ta + a ; - 1 ni ' n ' - ' + . .. + a Ausklammern der jeweils höchsten Potenz von n f (n ) = im Zähler- und Nennerterm von f(n) brunk + bk - , nk - 1 + ... + b ni S(n)

:9(n)= lim

g(n)= BO

Man muss folgende drei Fälle unterscheiden : 1. i< k: Dann gilt : lim:oo *nk*=

2.i=k: Dann gilt: lim

und somit lim f(n) = .

–1 und somitlim f(n = .

3. i> k: Dann ist die Folge g:g(n)=*

divergent, also auch die Folge 5:f(n)= *:g(n).

Merke: an' + a ; - n ' - ' + . .. + do . Eine Folge des Typs f: 1 (n ) = b , nk + bx - nk - ! + ... + ; D (S ) = N * ; a;, beR * bo • konvergiert für i < k gegen den Grenzwert (lim

f (n ) = ),

• konvergiertfür i=k gegen den Grenzwert 5 (lim 11 f(n)=

).

. divergiert für i > k. Hierfür schreibt man : lim f(n) = 00 . -

Ü bungen 1. Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen . Berechnen Sie die Zahl für n so , dass die Folgenwerte weniger als 10 - 3 Abstand vom Grenzwert haben . a) f: f(n)= ,2"

b) f: f(n) = 3-(1)

c) f: f(n) = 571 n + 1

2 . Vom wie vielten Folgenwert ab sind die Werte der Folge f : f (n ) = 5 . 2" größer als 10Ⓡ ? , ... kleiner als 10 -s ? 3. Vom wie vielten Folgenwert ab sind die Werte der Folge 1, , n - 1 4 . Gegeben ist die Folge ( f (n)) mit f (n ) = (n + 1) a ) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. b ) Bestimmen Sie für e = ,01 die natürliche Zahl für n (e), von der ab alle Folgenwerte in der e -Umgebung des Grenzwertes liegen . Olge ffm einen Grenzwert Grenzwe hat, und führen Sie gegebenenfalls den 5 . Untersuchen Sie, ob die Folge f: f (n ) -= 2 - \ n einen 1 + 1n Konvergenznachweis für diesen Grenzwert. 6. Gegeben ist die Folge < f (n )) mit f (n) =

n² + 2n + 1 2

a ) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. b ) Bestimmen Sie für e = ,01 die natürliche Zahl für n (e), von der ab alle Folgenwerte in der E-Umgebung des Grenzwertes liegen .

171

4 .3 Grundlegende Eigenschaften unendlicher Zahlenfolgen

7. Gegeben ist die Folge ( f(n)) mit f(n) = 2. G( 10 ) a ) Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge. b ) Bestimmen Sie für ε = 10 - 6 die natürliche Zahl für n (e), von der ab alle Folgenwerte in der e-Umgebung des Grenzwertes liegen . 8. Gegeben ist die Folge f: f(n) = ( - )". a ) Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge. b ) Bestimmen Sie für e = ,001 die natürliche Zahl für n (e ), von der ab alle Folgenwerte in der ε -Umgebung des Grenzwertes liegen . 3n - 1 9 . Gegeben ist die Folge f : f (n ) = ( - 1)" . n + 1 ' a ) Geben Sie die ersten 6 Werte der Folge fan . b ) Bilden Sie die Teilfolge der geraden Folgenglieder und die Teilfolge der ungeraden Folgenglieder. c) Ermitteln Sie die Grenzwerte dieser Teilfolgen und bestimmen Sie für e = ,001 die natürliche Zahl für n (e ), von der ab alle Werte der Teilfolgen in der e -Umgebung ihres Grenzwertes liegen . 79 4 , 5 ... .

10 . Gegeben ist die Folge f : f

a ) Bestimmen Sie ein mögliches Bildungsgesetz der Folge . b ) Bestimmen Sie ein mögliches Bildungsgesetz für die Teilfolge der positiven Folgenwerte und für die Teilfolge der negativen Folgenwerte. c ) Berechnen Sie die Grenzwerte dieser Teilfolgen und bestimmen Sie für e = 10 - die natürliche Zahl für n (e), von der ab alle Werte der Teilfolgen in der e-Umgebung ihres Grenzwertes liegen . d ) Untersuchen Sie, ob die Folge f einen Grenzwert besitzt (Begründung !). 3n4 - 2n² + 1 11. Untersuchen Sie die Folge < f (n)) mit f (n ) = = " , - auf Konvergenz. n² + 3 12. Untersuchen Sie die Folge ( f (n)) mit f(n) =

- ,5n + 4n auf Konvergenz. n + 1

13. Untersuchen Sie die Folge f: f(n) = 8 + ( - 1)" auf Konvergenz. + 3) auf Konvergenz . 14. Untersuchen Sie die Folge f: f (n) = ( - 1)" +n +:(2n 2 15 . Bestimmen Sie jeweils zwei Zahlenfolgen, die die angegebenen Zahlen als Grenzwert haben . a) 2

b) – 3

c) ,5

d)

e) 1

16 . Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Widerlegen Sie die falschen Aussagen jeweils durch ein Gegenbeispiel. a) b) c) d) e) f) g)

Jede konvergente Folge ist monoton und beschränkt. Jede monotone Folge ist konvergent. Jede konvergente Folge ist monoton . Jede nicht beschränkte Folge ist divergent. Jede divergente Folge ist nicht beschränkt. Jede beschränkte Folge ist konvergent. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

17. Ermitteln Sie den Grenzwert der geometrischen Reihe s : s(n ) = f (1) 1 - 9" " 1 - ?4 mit

< q < 1, qeR .

18 . Zeigen Sie , dass die Zahl 1 Grenzwert der Folge s : , 9 ; ,99; , 999 ; ... ist und man daher schreiben kann : ,9 = 1. Seite 159 ; Übungsaufgabe 10

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

172

5

Grenzwerte

von

reellen

5.1

Grenzwerte von

Funktionen

Funktionen

für | x | → 00

Im Abschnitt 4 . 3 sind Folgen für neN * auf mögliche Grenzwerte für n →00 untersucht worden . Der Grenzwertbegriff für Folgen lässt sich in einfacher Weise auf beliebige reelle Funktionen übertragen , die eine rechtsseitig unbegrenzte Definitionsmenge haben . Beispiel 5 . 1 Die Kosten K eines Betriebes lassen sich in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x mit K : K (x) = 10x + 100 ; D ( K ) = R2° darstellen . variable Kosten Fixkosten Wie entwickeln sich die Stückkosten bei zunehmender Produktionsmenge ? Die Abhängigkeit der Stückkosten k von der produzierten Stückzahl x lassen sich durch eine gebrochen -rationale Funktion beschreiben : 10 + 100 k : k (x) – K (x) _ 10x + 100 - = 10 ♡ X X D (k ) = R O>

R

k (r)

lo

1

2

110

60 20 20

.. .

30

...

15

k (r)

100

...

1000

...

11

...

10 ,1

...

> ist rechtsseitig unbegrenzt

Mit zunehmender Produktion sinken die Stückkosten („ Kostendegression“ ), sie nä

k (x )

10000

100000

10 ,01

10 ,001

hern sich immer mehr dem Wert 10 . Aus ökonomischer Sicht lässt sich das da durch erklären , dass die variablen Kosten pro Stück unabhängig von der Produk tionsmenge 10 GE betragen , der Beitrag der fixen Kosten an den Stückkosten aber im mer geringer wird , je größer die Produk tionsmenge ist. Aus dem Graphenverlauf lässt sich das da k (x) = 10x + 100

durch erklären , dass sich G (k ) bei zuneh mender Produktionsmenge

immer mehr

seiner Asymptote G (ya) mit ya(x ) = 10 an nähert, und zwar von oben , weil das Rest 100 glied R (x )mit R (x) = für sehr große po sitive x -Werte zwar verschwindend klein wird , aber immer positiv bleibt. ► Abschnitt 2 . 5

2

4

6

8

10

12

14

16 x

5 .1 Grenzwerte von Funktionen für 1x100

173

Die Wertetabelle , die ökonomischen Überlegungen und der Graph legen die Vermutung nahe, die Zahl 10 - wie bei Zahlenfolgen - als Grenzwert der Funktion k fürx 00 anzusehen , wobei x →

bedeutet, daß die x -Werte über alle Schranken wachsen .

Legt man um die Zahl 10 auf der y- Achse eine E -Umgebung und bildet mit dieser ei nen Horizontalstreifen H ( 10 ), dann zeigt es sich , dass es eine reelle Zahl für x (8) gibt, so dass für alle x > * (a) die zugehörigen Punkte für P ( x |k (x )) in diesem Horizontalstreifen liegen .

k(x) = 10x + 100

10

Diese Zahl für x (a) lässt sich durch die Be

20 X(€ )

30

40

50

60

70

80 x

|k (x) — 101 < E

tragsungleichung |k (x ) — 101 < € ermitteln. Abhängig von der Größe der Umgebung gilt : 100 Für alle x > " liegen die Funktionswerte k (x) in der e-Umgebung um

10.

Man kann also für x (8) setzen : x (£ =

10+ 100–10
x>

100 < & X

E >

100 E

x

( )=

100

z.B . gilt x (ə) = 105 für e = 10 -3.

Die Eigenschaft der Funktionswerte einer reellen Funktion , mit einer rechtsseitig unbegrenzten Definitionsmenge für x→ immer dichter einer reellen Zahl für g zuzustreben , kann man auch mit Hilfe des Umgebungsbegriffs erfassen : Wenn es zu jeder &-Umgebung um g (8 > ) eine reelle Zahl für x (8) gibt, so dass alle Funktions werte in - U (g ) liegen , für die die Argumente größer als x (a) sind, dann bezeichnet man g als Grenzwert der Funktion f für x → und schreibt: lim f (x) = g. Anschaulich bedeutet dies, dass sich G (f ) bei zunehmenden Argumentwerten von f immer mehr der Geraden mit der Funktionsgleichung y = g nähert. Eine solche Annäherung des Graphen von f an die Gerade mit der Gleichung y = g kann sowohl nur von unten , Gif )

Annäherung von G (ſ) von unten an die Ge rade mit der Gleichung y = g

174

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

oder nur von oben , G (f)

Annäherung von G (f ) von oben an die Gera de mit der Gleichung y = g als auch von beiden Seiten erfolgen . Wie diese Annäherung im speziellen Fall er folgt, bleibt weiteren Untersuchungen vor 197 behalten .

G (f )

Annäherung von G ( f ) beidseitig an die Gerade mit der Gleichung y = g K (x ) Für die Stückkostenfunktion k : k (x ) = ” .

10x + 100

100 100 = 10 + ; D (k) = R >

gilt demnach :XOC lim k (x ) = 10 , d .h ., G (k) nähert sich für x→

aus Beispiel 3.1

immer mehr der Parallelen zur

x - Achse durch den Punkt P < | 10 ) an . Anmerkung: 100 2 ; D (k ) = N * sind für die Variable x in Man beachte : Im Gegensatz zur Folge k : k (n ) = 10 + 100 k : k (x) = 10 + 7° ; D (k) = R > ° nicht nur natürliche Zahlen , sondern beliebige positive reelle Zah len – insbesondere also die Werte einer Zahlenfolge mit lauter positiven Folgengliedern selber wieder – zugelassen . An die Stelle einer natürlichen Zahl für n (e ) muss daher in der allgemeinen Grenzwertdefinition eine reelle Zahl für x (a) treten . Im Unterschied zu den Folgen , bei denen nur positive Argumentwerte für n zugelassen sind, lässt sich bei reellen Funktionen mit linksseitig unbegrenzter Definitionsmenge auch eine Grenzwert betrachtung anstellen , bei der für x Zahlen gesetzt werden , die immer kleiner werden , d . h . unter alle Schranken fallen , also für x - 00 . Beispiel 5.2 Stellen Sie eine Vermutung darüber an , gegen welche Zahl die Werte der Funktion X -4 streben . Begründen Sie ihre Vermutung auch an 1 ; D (S) = R \{ – 2} für x + f: f (x) = hand des Graphenverlaufs. Setzt man für x immer kleinere Zahlen , dann nähern sich die Funktionswerte im mer mehr ,5 . Außerdem weist der durch Polynomdivision ermittelte Funktionsterm für f (x ) die Gerade mit der Funktionsglei chung y = ,5 als Asymptote von G (f ) aus. ► Abschnitt 2.5 Das legt die Vermutung nahe, dass ,5 der Grenzwert von f für x - 00 ist.

f ( - 1000)

= ,503006012

f ( - 10000 ) = ,500300060 f( - 10%)

= ,500003000

X - 4 II Polynomdivision 2 x + 41 = =

-6 ,,35 ++ _ 2x + 4

y .(x )

R (x )

175

5.1 Grenzwerte von Funktionen für |x | →00 Legt man um ,5 auf der y -Achse eine e Umgebung und bildet mit dieser einen Ho rizontalstreifen H .( ,5), dann zeigt es sich , dass es eine reelle Zahl für x (8) gibt, so dass für alle x < x (ε) die zugehörigen Punkte für

f(x)= 2*

P ( x | f (x )) in diesem Horizontalstreifen lie gen .

- 14

- 16

Diese Zahl für x (a) lässt sich durch die Be

- 12 - 10

tragsungleichung |f (x ) – ,5 ) < ɛ ermitteln .

If (x) - ,5 < & Ix - 4

Da der Zähler negativ und der Nenner für

12x + 4

-4

-

< E

-

ist, ist der Bruch positiv .

-6

>

X - 4 - , 502 2x + 4

genügend kleine Zahlen für x auch negativ

-8

,5 + 8 .5 - € 1 X

- 6 Für alle x < = 2 - 2 liegen

die Funktions

werte f (x) in der e- U ( ,5). Man kann also für x (8) setzen :

2x + 4 | < &

2x + 4
) eine reelle Zahl für x (a) gibt, so dass alle die Funktions werte in E- U (g ) liegen , für die die Argumente x kleiner als x (£ ) sind , dann bezeichnet man g als Grenzwert der Funktion f für x→ - oo und schreibt: lim f (x) = g. Anschaulich bedeutet dies, dass sich G (f ) bei abnehmenden Argumentwerten von f immer mehr der Geraden mit der Funktionsgleichung y = g nähert . Die Arten der Annäherung entsprechen denen für die Bewegungx→00 .

Beispiel 5.1

X - 4 Für die Funktion f: f (x) =

; D ( S) = R \{ – 2} aus Beispiel 3.2 gilt demnach : X lim- O f(x) = ,5

und G (f) nähert sich für x → - 00 immer mehr der Parallelen zur x -Achse durch den Punkt P ( | ,5 ) an .

Beispiel 5 .3 Zeigen Sie , dass die Funktion f : f ( x ) = den Grenzwert 2 hat.

2x - 3

f) = R * sowohl für x →

als auch fürx→ - 00

176

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Die Funktion f besitzt eine beidseitig unbe grenzte Definitionsmenge .

\f (x) - g| < £

„ Bewegung“ x→00 : Zu jeder -Umgebung um g gibt es eine reel le Zahl für x (€), so dass für alle x > x (8) die Funktionswerte von f in dieser Umgebung liegen .

& >

Wegen x→ 00 gilt für x irgendwann einmal x >

KE

Diese Zahl ist abhängig von der Größe der ►

Umgebung und kann als wählt werden .

x >

und 8 >

Es gilt also : lim f (x) = 2. Der Graph der Funktion f nähert sich für x > und x → der Parallelen zur x - Achse

Ty 2

durch den Punkt P (012 ) - seiner Asym ptote – immer mehr von unten an , da für alle x > gilt:

+

2+

| | 3

< 2.

f(x)=2+

,,Bewegung“ r → - 00 :

- 3 f (x ) = 2 .X

6

9

12

\f (x) - g |
eine reelle Zahl für x (ə) gibt, so dass für alle x < x (£) gilt : If (x ) - g | < E. Man sagt, die Funktion f konvergiert für x → - o gegen den Grenzwert g und schreibt : lim f ( x ) = g . * + - 00 • Besitzt die Funktion f mit beidseitig unbegrenzter Definitionsmenge denselben Grenzwert g für x

und für x→ - 00 , so schreibt man auch : lim

f (x ) = g.

Existieren die Grenzwerte X00 lim f (x) bzw . X lim- 00 f (x ) einer Funktion f, so kann man sich bei den bzw . x - o insbesondere vorstellen , dass die Variable x die Werte einer

Bewegungen x →

Zahlenfolge durchläuft . Eine solche Zahlenfolge lässt sich aufder x -Achse als Zahlengeraden auch als Stellenwertfolge ( xn > darstellen . Abschnitt 4.3 Durchläuft dann x die Werte der Folge < x» ), so durchläuft f (x) die Werte der Folge (f (x, )), die man sich zweckmäßigerweise auf der y - Achse als Zahlengeraden ebenfalls als Stellenwertfolge veranschaulicht denken kann .Man kann daher den jeweiligen Grenzwert der Funktion f aufden Grenzwert lim f (x,) für Folgen zurückführen . Es lässt sich zeigen , dass der jeweils so ermittelte Grenzwert einer Funktion immer derselbe ist , und zwar unabhängig davon , welche Folge ( x , ) man für die Bewegungen x + bzw . x → wählt . Daher lassen sich für die Bewegungen x + 00 bzw . x - 00 die Grenzwertsätze für Folgen ohne Schwierigkeit auf beliebige Funktionen übertragen und folglich damit dann auch Grenzwerte berechnen . Anmerkung: Aus der Tatsache, dass für eine Folge < x > mit x , →00 bzw . xn

- oo der zugehörige Folgengrenz wert100 lim f (x,) = g, geR existiert, lässt sich umgekehrt noch nicht auf die Existenz des Funktions grenzwertes lim f (x ) bzw .XOC lim f (x ) und auf die Gültigkeit von lim f (x ) = g bzw . lim f (x ) = g schließen . Vielmehrmuss dazu gesichert sein , dass für jede Folge ( xn) mit xn 700 bzw . x , → der zugehörige Folgengrenzwert existiert und alle diese Folgengrenzwerte gleich g sind . ► Ü bungsaufgabe 1

178

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Unter den Grenzwertsätzen für Funktionen versteht man folgende Beziehungen zwischen den Grenzwerten von Funktionen : Grenzwertsätze für Funktionen 1. Wenn lim f (x) = g, und lim lim

12 (x ) = g2 existieren , dann gilt :

(f (x) + f2(x)] = lim fı (x) + lim f2(x) = 81 + 82.

2. Wenn lim

f (x ) = g , und lim

f2 (x ) = g2 existieren, dann gilt:

lim (f (x) f2 (x)] = lim f (x) lim f2 (x) = 81 82. 3. Wenn lim fi (x) = g, und lim f2(x) = g,mit g2 + lim x=+

) fi(x) _ lim f1(x f2 (x) lim f (x )

existieren , dann gilt :

82

4. Wenn lim f (x) = g existiert und ceR ist, dann gilt: lim

[c. f (x)] = c. lim f (x) = c.g.

Für x→ -

gelten die Grenzwertsätze analog .

Da sich die Grenzwertsätze für Folgen ohne Schwierigkeiten auf die hier behandelten Grenzwerte beliebiger Funktionen übertragen lassen , gelten insbesondere auch die für Folgen getroffenen Feststellungen über Polynomquotienten für beliebige gebrochen -rationale Funktionen vom Typ am X " + .. . + ao s Abschnitt 4 .3 mit a, # und bm + : f : f ( x ) = bx® + .. . + bo • n < m = Xlim f (x) = lim

f(x) = .

• n = m = X lim f(x)= lim

f(x)= ";

Für n > m führt man auch hier den Begriff des „ uneigentlichen Grenzwertes“ ein . Man schreibt dann : „,lim

f (x) = + 00 " bzw . , lim

Funktionswerte für x→ Schranken fallen .

bzw . für x7 -

f (x ) = + 00 " und meint damit, dass die

über alle Schranken wachsen oder unter alle

Anmerkung: Der Begriff des „ uneigentlichen Grenzwertes“ ist bei gleicher Interpretation auch auf eine be liebige reelle Funktion mit einseitig oder beidseitig unbeschränkter Definitionsmenge anwendbar. Beispiel 5 .4 Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktion f:f(x)= für x → -

+ 1 ; D(S)= R \{ - 1} für x + 00 und x2x73

. Welche Bedeutung haben diese Grenzwerte für den Graphenverlauf ?

179

5 .1 Grenzwerte von Funktionen für 1x100 Man klammert x im Zähler - und Nenner term des Funktionsterms aus und kürzt.

|

f (x) =

- 2x + 3 X2 *+ 175

Ausklammern von x im Zähler Zähler-- und und Nennerterm Nennerterm

X + Jetzt sieht man , dass für x→ bzw . x → die Grenzwerte der ,,Zähler- und der Nennerfunktion “ existieren und für bei de Bewegungen den Wert - 2 bzw . 1 haben . Daher gilt : lim

1 +

D

►

lim ( 1 + 1 = 1 1x1 + x) ) ist beidseitig unbegrenzt

f (x) = - 2 . lim f(x)= =2= -2 1x100

Anschaulich bedeutet dies, dass sich G (S ) seiner Asymptote mit der Funktionsglei chung y = - 2 immer mehr nähert, je größer die x -Werte vom Betrag her werden .

f(x ) =

- 2x + 3 x + 1

Ob diese Annäherung jeweils von oben oder von unten erfolgt, lässt sich aus dem Restglied R (x ) des durch Polynomdivision erhaltenen Funktionsterms von f entneh men . Abschnitt 2 .5

f(x)= –2+x67:D(A)=R \{-1} R (x )

-8

-6

-4

2

-2

4

6

8

x

( – 2x + 3) : (x + 1) = - 2 + + 1 x ( - 2x - 2 ) 5

Beispiel 5 .5 Berechnen Sie die Grenzwerte der Funktion f:f (x) = - * 72 ; D (S) = R für x→00 x + - o und deuten Sie das Ergebnis graphisch . D ( S) ist beidseitig unbegrenzt.

X)

- x2 + 2 x2 + 4

Ausklammern von x2 im Zähler - und Nennerterm

Man klammert x2 im Zähler - und Nenner term des Funktionstermes aus und kürzt. Auch hier sieht man , dass für x + bzw . x + die Grenzwerte der Zähler - und der Nennerfunktion“ existieren und für bei de Bewegungen den Wert - 1 bzw . 1 haben . Daher gilt :

und für

x

180

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

lim f (x ) = - 1. 1x100

►

D ( ) ist beidseitig unbegrenzt

Anschaulich bedeutet dies, dass sich G ( f ) seiner Asymptote mit der Funktionsglei chung y = - 1 immermehr nähert, je größer

x + 2 x² + 4

die x -Werte vom Betrag her werden . Diese Annäherung erfolgt jeweils von oben und lässt sich aus dem Restglied R ( x ) des durch Polynomdivision

erhaltenen Funk

8

6

4

12

2

4

6

8 x

tionsterms von f entnehmen . ► Abschnitt 2 .5 f(x) = - 1 +

14 ; D (S) = R

6 ( - x? + 2 ): (x² + 4) = - 1 + 7244 - ( - x2 — 4)

R (x ) Die Grenzwertsätze für Funktionen gelten nur, wenn alle darin auftretenden Grenzwerte als endliche Grenzwerte existieren . Unter Beachtung gewisser ,,Rechenregeln “ lassen sich Grenzwert sätze aber auch für uneigentliche Grenzwerte aussprechen . Beispiel 5 .6 Die Kosten K eines Betriebes lassen sich in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x durch die Kostenfunktion K : K (x ) = x3 – 9x² + 30 x + 16 ; D (K ) = R20 beschreiben . Die Betriebsleitung interes siert sich dafür, wie sich die Stückkosten bei

K : K (x) = x * – 9 x² + 30x + 16 ; D (K ) = R20 variabler

fixer Kostenanteil

steigender Produktion entwickeln . Die Stückkosten können als eine gebro chen -rationale Funktion k in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl dargestellt werden . Da der Grad der ,,Zählerfunktion " im Term der Stückkostenfunktion größer ist als der Grad der „ Nennerfunktion “ , oo über al wachsen die Stückkosten fürx le Schranken .

k : k (x ) = 14 )

Stückkostenfunktion

x3 – 9x² + 30x + 16 . D (k) = R > lim

k ( x) = 00

uneigentlicher Grenzwert

Die Betriebsleitung interessiert sich nun da für, wodurch diese Kostenexplosion im Ein zelnen verursacht wird .

x3 - 9x2 + 30 x + 16

Aus dem durch Polynomdivision ermittel ten Funktionsterm für k (x ) liest sie ab, dass bei steigender Produktion zwar die fixen Kosten 16 einen immer geringer werdenden Beitrag zu den Stückkosten liefern , dafür aber die variablen Kosten einen Beitrag, der ins Unermessliche steigt.

-

Polynomdivision

= x2 - 9x + 30 + ►

16 x limf > 00 X =

lim (x2 –9x + 30 ) = 00

5 .1 Grenzwerte von Funktionen für | x |

00

Die Stückkosten setzen sich also für die Betriebsleitung bei unbegrenzt steigender Pro duktion symbolisch wie folgt zusammen : = o0 + .

Bei formaler Anwendung der Grenzwert sätze folgt symbolisch : X lim > 00 k(x)= lim (x2 – 9x + 30)+ x lim →

= + 00 = 00 +

16 16 x

x lim - 00 k (x ) =

Setztman im vorstehenden Beispiel f: f (x) = x2 – 9x + 30 und g : g(x) =

für xeR > ", so gilt für

x +

auch f(x ) + g (x ) → 00 .

einerseits f (x) →

und g (x ) →

und andererseits wegen k (x ) →

Diesen Grenzwert fasst man abgekürzt zur ,,Gleichung“

+

=

zusammen .

Die Schreibweise 00 + = 00 darf aber nicht darüber hinwegtäuschen , dass sie nur symbolischen Charakter hat, denn oo ist nur ein Symbol und keine reelle Zahl, aber eben doch ein Symbol, unter dem man sich eine sehr große reelle Zahl vorstellen kann . Mit Hilfe dieser Vorstellung lässt sich die „Gleichung“ 00 + = auch als „ Rechenregel“ im folgenden Sinne verstehen : ,,Addiert man zu einer sehr großen reellen Zahl eine dazu relativ sehr kleine reelle Zahl, so ändert sich die sehr große reelle Zahl praktisch nicht.“ In

entsprechender Weise lassen sich „ Gleichungen “ wie z. B . 00 + a = 00 , 00 - a = 00 , a - 00 + a = - 00 , < = , - " = oder a = für a = R >º interpretieren , die man durch formale

Anwendung der Grenzwertsätze wie im Beispiel 5.6 erhalten kann .

Beispiel 5.7 Untersuchen Sie die ganzrationale Funktion f : f (x ) = – x3 + 2 x2 – 8 ; D ( S) = R auf ihr Verhalten für | | → 00 . Das Verhalten einer ganzrationalen Funk tion f für |x | → wird durch die höchste im Funktionsterm vorkommende Potenz ihrer Argumentvariablen x bestimmt. Daher wird x3 im Funktionsterm ausge klammert und dann jeweils der zweite Grenzwertsatz für Funktionen formal ange wendet . Da der Exponent der höchsten Potenz von x ungerade ist, hat die Funktion für x → 00 einen anderen uneigentlichen Grenzwert als für x

lim f ( x) = lim ( - x + 2x2 – 8 ) * 70

= 00 :( - 1) = - 00

= – 00 :( - 1) = →00 f(x) # lim- 00 f(x) ► x lim

- 00 .

Beispiel 5 . 8 Untersuchen Sie die ganzrationale Funktion f : f (x) = 2x4 – 3x3 + x ten für x .

2 ; D (F ) = R auf ihr Verhal

182

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für 1x100 wird durch die höchste im Funktionsterm vorkommende Potenz

x lim→00 f (x )

ihrer Argumentvariablen x bestimmt. Daher wird x4 im klammert und

Funktionsterm ausge dann jeweils der zweite

= lim (2x4 – 3x3 + x - 2) 11 . 3 1 2 = lim x4 . 12 - - + = 00 . 2 = 00

lim f ( x ) = x - 00

Grenzwertsatz für Funktionen formal ange wendet .

1 3 1 lim x4 . 2 - - + x x - 00

x

= 00 : 2 = lim

f (x ) =

lim

f (x )

Da der Exponent der höchsten Potenz von x gerade ist, hat die Funktion für x700 und für x7 - 00 denselben uneigentlichen Grenzwert.

Beispiel 5 .9 Untersuchen Sie die gebrochen -rationale Funktion f : f (x) = asymptotisches Verhalten für x + 00 .

2 x2 - 3 1 ; D (S) = R \{ - 1 } auf ihr

Um das Verhalten der gebrochen - rationa len Funktion f für 1x100 festzustellen , klammert man jeweils die höchste im Zäh ler - und Nennerterm vorkommende Potenz der Argumentvariablen aus, kürzt und wen det die Grenzwertsätze formal an .

(x) =

2x2 - 3 x + 1 +

= X X 1 + x(1+ )

17

lim f(x) = 00 :2 X00 = 00 und X lim- 00 f (x ) = – 00 : 2 = - 00

Um aber das asymptotische Verhalten der

2x2 - 3

Funktion f festzustellen , ist es zweckmäßi ger, ihren Funktionsterm durch Polynom division als Summe eines ganzrationalen Terms und eines gebrochen - rationalen Terms darzustellen . Hieran erkennt man , wie sich G ( f ) an seine Asymptote mit der

x + 1 = 2x - 2 +

Polynomdivision - 1 x + 1

YA(x) R (x )

Funktionsgleichung y = 2x - 2 für | | → 00 Abschnitt 2 . 5 anschmiegt. Wegen R (x )
für x→ – schmiegt sich G (ſ ) von oben an seine Asymptote an , wobei gleichzeitig die Funktionswerte gegen o bzw . streben .

=

lim f (x) = 00 + ( - ) X - 00

und X lim- 00 f (x ) = – 00 + = - 00

Merke : Grenzwertsätze lassen sich auch für uneigentliche Grenzwerte als „ Rechenregeln “ aufstellen aufstellen. . “ tregeln

183

5 .1 Grenzwerte von Funktionen für | x | n00 Übungen

zu 5.1

Allgemeine Übungen : x + 1 { ; 1 ) mit Hilfe der den Grenzwert der Funktion f mit f (x ) = 2x2 ; - 2x- ; D ( S ) = R nachfolgenden Funktionenfolgen . Begründen Sie, dass der Grenzwert g der Funktion f existiert, und zeigen Sie an diesem Beispiel, dass er unabhängig von der Wahl der Folgenwerte ist, die die Variable x durchlaufen .

1. Berechnen Sie fürx→

a ) ( x . ) mit xn = 1 + n ? b ) ( x , ) mit x . = n - 1,5 c) ( xn ) mit lim x = 2 . Gegeben sind folgende gebrochen - rationale Funktionen mit der Grundmenge R : a) f : f (x) = x2 - 1 3x c) f : f (x) = x2 - 4

b) f: f (x ) = = - 1

d) f:f(x)= * 3 (x - 1) x²+ 2 e) f :f f) f:f(x)= x - 5 2x² + 3 3x3 2x2 - 3x + 1 h ) f: f (x) g ) f : f (x ) = 3x3 + 2 = x’ – x x - 1 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der Funktionen und den Grenzwert lim f (x ) bzw . lim Beschreiben Sie jeweils das asymptotische Verhalten dieser Funktionen .

f (x ).

3. Bestimmen Sie jeweils für die Funktionen der Aufgaben 2a) bis 2e) eine reelle Zahl für x ( ,001) so, dass alle Funktionswerte für x > x ( ,001) in der ,001-Umgebung des Grenzwertes der Funktion für x + liegen . 4 . Bestimmen Sie jeweils für die Funktionen der Aufgaben 2 a ) bis 2e) eine reelle Zahl für x ( ,001) so, dass alle Funktionswerte für x < x ( , 001) in der , 001- Umgebung des Grenzwertes der Funktion für x + - o liegen . 5 . Gegeben sind folgende ganzrationale Funktionen mit D ( ) = R : a ) f: f (x) = x2 – 2x + 1

b) f: f (x) = - * ° + x + 3

c) f: f (x) = ,25x4 + 2x - 1

d ) f: f(x) = x - 1

Bestimmen Sie für obige Funktionen die Grenzwerte lim f(x ) und X lim- 00 f(x ). 6 . Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte : a ) lim 2 * und lim 2x ; b ) lim 2 - und lim 2 - * . 7. Gegeben ist die Kostenfunktion K : K (x ) = ,04 x 3 - ,6 x2 + 3 x + 2 ; D (K ) = R > . Bestimmen Sie den Grenzwert lim K (x ) und den der Stückkosten fürx 00 .

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

184 5 .2

Grenzwerte von

Funktionen an einer

Stelle

x,

Funktionen können Eigenschaften besitzen , die auch die Untersuchung von Grenzprozessen er forderlich machen , bei denen die Zahlen für x gegen eine reelle Zahl für X , streben (x + x ). Eine solche Untersuchung ist bei einer Funktion f insbesondere immer dann erforderlich, wenn die Zahl für x , selbst nicht zum Definitionsbereich von f gehört, wohl aber alle Zahlen unmittelbar links und rechts davon . In diesem Fall existieren zwar Funktionswerte für Stellen in unmittelba rer Nähe “ von Xo, für die Stelle x , selbst aber gibt es keinen Funktionswert. Eine solche Stelle Xo wurde eine Definitionslücke der Funktion f genannt.

Abschnitt 2.5

Obwohl diese Erklärung einer Definitionslücke sehr anschaulich ist, ist sie für eine rechnerische Handhabung nicht geeignet, weil die in ihr verwendete Formulierung „ unmittelbare Nähe“ zu unbestimmt ist. Mit Hilfe des Umgebungsbegriffs einer reellen Zahl ( Abschnitt 2.2.2) lässt sich diese Erklärung jetzt präzisieren . Dazu wird der Umgebungsbegriff &- U (X .) in der Weise erweitert,dass in ihm die Stelle xo selbst nicht mehr auftritt. Man nennt eine

EER >

solche ε-Umgebung der Stelle x , eine punk tierte Umgebung von xo und schreibt dafür

&- U (Xo) = { x |

-Umgebung von xo punktierte e-Um < \x – xol < s} gebung von xo

E- U (xo) = {x | |x - x ,l < }

&- U ( * o), streicht also die Stelle Xo aus E- U (X .). Dann lässt sich sagen : Merke : Eine Stelle x , ist eine ,Definitionslücke“ einer Funktion f, wenn zwar xo nicht zu D ( ) gehört, es aber eine punktierte e-Umgebung von xo gibt, die ganz zu D ( ) gehört: &- U (* o)CD( S) .

Beispiel 5 .10 Die Funktion f: f(x)=

+ 3;

D (S) = R \ {2 } ist nur an der Stelle xo = 2 nicht definiert.

f(x) = 12 + 3

Mit anderen Worten : f ist in jeder punktier ten ε -Umgebung der Stelle 2 definiert. Die Stelle xo = 2 ist daher eine Definitionslücke der Funktion f. Nähert man sich dieser De finitionslücke von links, so fallen die Funk tionswerte von f unter alle Schranken , nä hertman sich ihr von rechts, so wachsen die Funktionswerte von f über alle Schranken .

1

2

3

4

Polasymptote

5

6

7 x

185

5 .2 Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo Dieses Verhalten der Funktionswerte in der Nähe der Stelle 2 lässt sich rechnerisch fest stellen , indem

man die Variable x Stellen

wertfolgen < xn ) durchlaufen lässt, die nur von links oder nur von rechts gegen die Zahl 2 konvergieren , und den jeweils zuge hörenden Grenzwert der Folge f (x )) er mittelt. Abschnitt 5. 1

• ( xn ) mit xn 2 und x , < 2 . Annäherung an 2 von links 6 = f(x ) = 5 + 3 → lim f (x)) = – 00 + 3 = - 00 z.B.x, = 2 – =>f(x,)= 4 + 3= -6n + 3 lim f (x.„) = – 00 + 3 = - 00 → 100

Bei diesen Annäherungen an die Stelle xo muss allerdings die Einschränkung ge macht werden , dass nur solche Stellenwert folgen ( x , ) zugelassen werden dü rfen , bei denen fü r alle Stellenwerte gilt: x,

•

2 Annäherung an 2 von rechts 6

→ f(x )= 1--2 + 3

2.

Andernfalls wäre f ( xn) nicht definiert.

► lim f(x») = 00 + 3 = z.B.x,= 2 + + 3 = 6n + 3 → lim f (x -) = 00 + 3 = 00 n00

Da fü r die beiden „ Bewegungen “ die ermit telten uneigentlichen Grenzwerte voneinan der verschieden sind, ist die Stelle 2 eine Polstelle der Funktion f mit Vorzeichen wechsel. Abschnitt 2 .5

► 2 ist Pol mit VZW → G (f) schmiegt sich seiner Polasymptoten durch den Punkt P ( 210 ) sowohl von links als auch von rechts immer mehr an .

Man sagt auch : Die Definitionslü cke der Funktion f ist eine (zweiseitige) Unendlich keitsstelle.

Weil lim f (x -) = - o

unabhängig davon gilt, welche Stellenwertfolge ( x , ) mit n lim+ 00 x, = x , und X , < x, zugrundegelegt wird , schreibt man auch l-limS0 f(x)= lim f(x) = und spricht vom x < xo „ linksseitigen uneigentlichen Grenzwert der Funktion f an der Stelle ro" . Entsprechend schreibt man auch r- lim f (x ) = lim f (x ) = X - XO X XO x > xo eigentlichen Grenzwert der Funktion f an der Stelle ro “. Da im

und spricht vom „ rechtsseitigen un

Beispiel 5.10 die beiden einseitigen uneigentlichen Grenzwerte l-lim f (x ) und r- lim f (x )

nicht ü bereinstimmen , kann man auch nicht davon sprechen , dass der uneigentliche Grenzwert der Funktion f an der Stelle 2 existiert.

186

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Nicht immer muss eine Definitionslücke einer Funktion eine Unendlichkeitsstelle sein . Beispiel 5 .11 Die gebrochen -rationale Funktion x2 - 1 , f:f(x)= * = besitzt die Definitionsmen

der Nähe der Stelle 1 wird geprüft, ob für Stellenwertfolgen ( x ,) mit lim X,

-- 1 x² –x

2

3

lim f(x) = 2

ge D (S) = R \ { ; 1}. Daher ist die Funktion in der punktierten Umgebung ,5 -U (1) der Definitionslücke 1 definiert. Zur Untersu chung des Verhaltens der Funktionswerte in

for f (x ) =

-4

-3

-2

-1

1

4 X

x, = 1 und

D ( f ) die Folge der zugehörigen Funk

tionswerte < f ( x ) ebenfalls konvergiert. Zweckmäßigerweise drückt man solche Stellenwertfolgen mit Hilfe einer Nullfolge Chn ) aus, indem man xn = 1 + h , setzt.

xn = 1 + h → lim

Weil 100 lim f (x ) = 2 unabhängig davon gilt , welche Stellenwertfolge < x» ) mit n lim> 00 x, = 1 und x,,£D (S) zugrunde gelegt wird, schreibt man auch lim f(x)= lim x - 1 XP - X = 2 und spricht vom „ Grenzwert der Funktion f an der Stelle 1 " .

x, = 12lim (1 + hn) = 1 + n lim+ 00 h , = 1

(hm) ist Nullfolge

Es gilt dann : 2h , + h ; (1 + h )2 – 1 f(x ) =(1 + h.)2 - (1 + hi) hath h . (2 + h ) Kürzen ; h , , weil x , eD (S ) h, ( + h ) 2 + h 1 + hn lim ( 2 + h , - 00 (2+ h.) 2 " nlim ► lim f (x») = lim ( 1 + n + 00 100

Grenzwert Grenzwert an der Stelle 1

Die Definitionslücke 1 ist also keine Unend lichkeitsstelle der Funktion f. Da f an dieser Stelle einen endlichen Grenzwert besitzt, nennt man diese Definitionslücke eine be hebbare Definitionslücke und meint damit dass man diese Definitionslücke nachträg lich durch die Festsetzung f (1) = 2 schließen könnte , so dass der Graph von f an dieser Stelle nicht mehr unterbrochen sein müss te. Abschnitt 2 .5

f(x) =

4

--

-3

P ( 112 )

-2

-1

1

2

3

4 X

1 ist eine behebbare Definitionslücke von f. Der Punkt P ( 112 ) ergänzt G (ſ ).

187

5.2 Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle Xo Anmerkung : Wählt man im

Beispiel 3 .11 eine Nullfolge ( h . ) mit positiven Folgenwerten , so stellt ( xn ) mit

X , = 1 + h , eine Stellenwertfolge dar, die sich der Stelle xo = 1 von rechts nähert und für x, = 1 - hn eine solche, die sich dieser Stelle von links nähert. Je nach „ Bewegung“ kann man also auch hier – wie bei jeder Funktion - von einem linksseitigen Grenzwert XXO l-lim f (x ) und von einem rechtsseitigen Grenzwert r-lim f (x ) sprechen . Da in diesem x →X0 Beispiel der Grenzwert existiert, müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein . Der Grenzprozess x→ X , bei einer reellen Funktion f ist nicht nur durchführbar, wenn x , eine Definitionslücke von f ist, sondern auch wenn xoe D (f ) gilt.

Beispiel 5 . 12 ‫ܢ‬ ‫ܗ‬

Wir betrachten die Funktion f: f(x) =

,5x + 2,

D (S) = R , ‫ܛܠ‬ ‫ܗ‬ ‫ܝܢ‬

an der Stelle xy = 3. Die Funktion f ist an der Stelle x , definiert; der Funktionswert beträgt dort f (3) = 3,5. Nähert man sich der Stelle xo = 3 von links, dann nähern sich die Funktionswerte der Zahl 3, 5 ; nähert man sich der Stelle x , von rechts, so nähern sich die Funktionswerte ebenfalls der Zahl 3,5 . Durchläuft die Vari

‫܂‬

-4

-3

-2 L

-1

1

2

3

4

X

able x eine beliebige Stellenwertfolge ( x ) mit x , 3 und x, + 3, so strebt die zugehö rige Funktionswertfolge < f (x - > stets gegen 3,5 . Die Funktion f hat also an der Stelle Xo = 3 den Grenzwert 3 ,5 .

►lim f (x) = 3,5

Auch bei dem folgenden Beispiel sind rechts - und linksseitige Grenzprozesse durchführbar.

Beispiel 5 .13 Wir wollen das Verhalten der abschnitts weise definierte Funktion x2 f: f(x) = { 10,5x + 1,5

für

< x < 1

für x 21

mit D ( S) = R *° an der Stelle xo = 1 unter suchen . Die Funktion f ist in Xo definiert ; der Funktionswert beträgt dort 2 . Nähert man sich der Stelle Xo = 1 von links, dann nähern sich die Funktionswerte der Zahl 1 ; nähert man sich der Stelle xo von rechts, so nähern sich die Funktionswerte der Zahl 2 .

4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

188

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Diese beiden Grenzprozesse erkennt man rechnerisch , wenn man die Variable x belie bige Stellenwertfolgen ( xn ) mit X , + 3 durchlaufen lässt einmal mit x , < 1 und in

. (xn) mit x, + 3 und x , < 1 =

→ l-lim f(x)=n00 lim f(xn) = lim x2 = (lim x.)2

einem zweiten Fall mit x , > 1. • Gilt für alle Folgenglieder x , < 1 , so er gibt sich eine Annäherung an 1 von links. Gilt für alle Folgenglieder x ,, > 1, so ergibt

f(xn) = x

= 12 = 1

linksseitiger Grenzwert

. ( xn) mit xn → 3 und x , > 1

sich eine Annäherung an 1 von rechts.

= f (x ) = ,5x, + 1,5

Zwar existieren für die Funktion f sowohl

>

der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle Xo = 1 als endliche Werte , aber beide Werte sind voneinander verschieden . Man kann daher nicht davon sprechen , dass der Grenzwert der Funktion f an der Stelle 1 existiert. An der Stelle 1 hat

r-lim f(x).=100 lim f(x.) =100 lim ( ,5x, + 1,5) =

,5 n lim - 00 x. + 1,5

= ,5- 1 + 1,5 = 2

rechtsseitiger Grenzwert

►

l-lim f(x) # r-lim f(x)

►

f besitzt an der Stelle 1 keinen Grenzwert

die Funktion f eine sog. Sprungstelle . Merke: .

Eine reelle Zahl für g heißt Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle xo , wenn für jede Stellenwertfolge (xn ), deren Werte in D ( ) liegen und die gegen x , mit x + x, konvergiert , die Folge der zugehörenden Funktionswerte (f ( x ) den Grenzwert g hat. Man schreibt dann : Xlim+ X0 f(x ) = g und liest dies „ Limes von f (x ) für x gegen * , gleich g“ . Limes lateinisch ,,Grenze “ Gilt dies für die Stellenwertfolgen ( xn ) mit x , < xo , so spricht man von einem linksseitigen Grenzwert von f an der Stelle x , und schreibt llim f (x ). XOXO Entsprechend sprichtman für xn > x , von einem rechtsseitigen Grenzwert von f an der Stelle

x , und schreibt r- limf(x ). XX0 . Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert einer Funktion an derselben Stelle nicht überein , so besitzt die Funktion an dieser Stelle keinen Grenzwert. stehen . . Für g können auch die Symbole o bzw . – Dann spricht man von uneigentlichen Grenzwerten . An der Stelle x , liegt dann eine Unendlichkeitsstelle vor.

Anmerkungen : •

In manchen Fällen (

Beispiel 5. 11) ist es zweckmäßig, eine Stellenwertfolge ( xn ) mit Hilfe

einer Nullfolge ( hn ) auszudrücken : x = xo + hn . Dann gilt: lim x, = lim n >001 - 00 ( xo + h,) = xo + lim h, = X +

= xo.

In diesen Fällen setzt man x = xo + h und schreibt statt lim f (x) = g : h0 lim f (x , + h ) = g. X + X0 • Oft ist es schwierig nachzuweisen , dass eine Funktion f an einer Stelle X , den Grenzwert g besitzt, weil es eben nicht genügt, nur zu zeigen , dass es Folgen ( xn ) mit xn → X , gibt, für die lim f (x ) = g gilt. Vielmehr muss gezeigt werden , dass es keine Folge ( x ) mit xn → X , gibt, für n00

189

5 .2 Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo

die die Folge der Funktionswerte f (x ) ) nicht gegen g konvergiert. Erst dann ist sichergestellt , dass für jede Stellenwertfolge < x» ) mit x , → X , die Folge der zugehörenden Funktionswerte gegen g konvergiert. Man kann sich den Grenzwert g einer Funktion f an einer Stelle x , auf einfache Weise veranschau lichen und gelangt so zu einer anderen Erklärung des Grenzwertbegriffes. Beispiel 5 .14 Die Aussage Xlim+ X0 f (x) = g mit geR hat zum Inhalt , dass für jede Folge (xn ) mit x , # xo und n lim→ x , = xo gilt : lim

f (xv) = g.

Das bedeutet anschaulich , dass die Funk tionswerte f (xn) beliebig nahe bei g liegen , wenn die Argumentwerte x, hinreichend wenig von xo abweichen , ohne je mit x , zu sammenzufallen . Mit anderen Worten : In der Nähe des Punktes P ( xolg ) kann

Hori zontal streifen He(9)

g +E + 9 + e -U (9) g - EK

man den Graphen von f – mit der mögli

( 8 - u (x )

chen Ausnahme dieses Punktes – in einen beliebig niedrigen und hinreichend schma len & - Kasten einsperren .

Vertikalstreifen Vs(X ) Zu jedem Horizontalstreifen H ,(g) gibt es eine punktierte Umgebung S - U ( * ) in D (S ), so dass für xed- U ( * ) die zugehörenden Punkte (x |f (x )) in H .(g) liegen .

Merke : Eine reelle Zahl für g ist Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle Xo , wenn es zu jedem Horizontalstreifen H .(g) eine punktierte Umgebung 8 -U (* ) mit S- U (X ) CD (f) gibt, so dass gilt: xed- U (* o) ( x ]f (x )) EH .(g). Anmerkung: Diese anschauliche Deutung eines Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle xo gilt auch für lim x → 00 f (x) bzw . fürlim x - 00 f (x), wenn man unter U (00) bzw . U ( - 00) die folgenden Mengen versteht: U (

) = { x | x > * (8)},

U ( - 00 ) = {x | x < x (a)).

Abschnitt 5.1

Besitzt eine Funktion f an einer Stelle x , den Grenzwert g, so muss die Zahl für g selbstverständ lich auch linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert von f an dieser Stelle sein . Durch die obige Veranschaulichung, die man sich in ganz entsprechender Weise auch für die Grenzwerte l-lim f (x ) und r-X - limX0 f (x) vorstellen kann , wobei man lediglich jeweils nur linke bzw . nur rechte Hälften punktierter 8-Umgebungen der Stelle x , zu betrachten braucht, wird auch umgekehrt deutlich : Stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle x, überein , so ist diese Zahl zugleich der Grenzwert von f an der Stelle xo .

190

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Bezeichnet man nämlich mit jeweils die kleinste der beiden Zahlen für d, und 82, so ist 8 - U ( *o) stets eine punktierte Umgebung von xo, für die die zugehörenden Punkte von G ( f) im Horizontalstreifen H .(g) lie gen .

g +E 1

HE( 9)

g - et

► l-lim f (x) = r- lim f (x) = g ; geR XX0 ► lim f ( x) = g XX0 Da sich auch der Grenzwertbegriff für Funktionen an einer Stelle x , auf den Grenzwertbegriff für Zahlenfolgen zurückführen lässt, gelten analoge Grenzwertsätze für die ,,Bewegung“ x → Xo, wie sie für die „ Bewegung“ x → formuliert wurden . Abschnitt 5.1 An die Stelle des Symbols of muss dort lediglich X , gesetzt werden . Beispiel 5 . 15 Die Funktion f: f (x) = 5x3 – 4x2 + x + 3, D (S) = R , soll auf ihre Grenzwerte x + x, für x,ER untersucht werden . f ist eine ganzrationale Funktion , die an jeder Stelle xoeR den Funktionswert f (xo) besitzt. Bei den Grenzwertbildungen ist zu beachten , dass l-lim x = r -lim x = x , und l-lim c = r - lim c = x 80 xH80 XX0 * + X0 gilt.

f (x ) = 5x3 – 4xã + xo + 3 lim f (x )

Grenzwertsätze 1, 2 und 4

f hat an jeder Stelle x, ihres Definitionsbe reiches somit einen Grenzwert für x → Xo , der

= lim (5x3 – 4x² + x + 3) * + X0 = 5 . lim x3 – 4 . lim x² + lim x + lim 3 x - 30 X + X0 x 30 x - X0 = 5 . ( lim x ) – 4 . (lim x )2 + lim x + lim 3 XX0XX0XX0 5x - 4x3 + x) + 3

gleich dem Funktionswert f (x ) ist.

= f (x ) ► lim f (x) = f (xo) * + X0

Grenzwert

Die Beweisführung im Beispiel 5 . 15 lässt sich allgemeiner auf jede ganzrationale Funktion vom Typ f : f (x) =

, *" +

- 1 *" - ' + ... + a, x + 00 ; D ( ) = R übertragen . Für x ,eD (f ) folgt:

( lim x)" – 1 + ... + a :(lim X lim - X0 f (x) = 4, (lim x 10 x ) + lim = a. x + X0 x)" + an - 1 XX0 a, x3 + a, - x3 - ' + ... + a Xo + ao = f (x ) Merke : Für ganzrationale Funktionen lässt sich die Bestimmung eines Grenzwertes an einer Stelle ihres Definitionsbereiches auf die Berechnung ihres Funktionswertes an dieser Stelle zurückführen : lim →X0 f(x) = f(x.).

5 .2 Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo Beispiel 5 . 16 Die gebrochen - rationale Funktion f : f ( x ) =

* +

1D ; Df)) = R

- 1 ) soll in der Nähe der Stelle

untersucht werden , an der sie nicht definiert ist, also um xo = - 1 herum . Würdeman die Grenzwertsätze 3, 1 und 2 für x → einen sog. unbestimmten Ausdruck der Form

1 formal auf

x2 - 1

anwenden , so erhielte man

" , der keine Zahl und auch nicht eines der Symbole

bzw . o darstellt. Daher kann man bei dieser Vorgehensweise keine Grenzwertaussage machen . Hier bietet sich aber eine andere Vorgehensweise an : Der Graph der Funktion f ist bis auf den fehlenden Punkt bei der Definitionslücke X . = - 1 identisch mit dem Graphen der li nearen Funktion g : g (x ) = x - 1 ; D (g ) = R , weil sich der Funktionsterm von f in D (S ) zu x - 1 vereinfachen lässt. Y

x2 - 1

( x - 1 ) - (x + 1 ) X + 1

x + 1

= x - 1

-4

x + 1 = X

-3

- 1

Aufden vereinfachten Funktionsterm von f lassen sich die Grenzwertsätze ohne Schwierigkeiten anwenden . Da f an der Stelle - 1 einen endlichen Grenzwert be sitzt, handelt es sich bei der Definitions lücke um eine behebbare Definitionslücke.

3

-2

+ -2

X lim

f (x) = X lim

(x - 1) ►

= lim x - lim 1 * -1 -1 = - 1 - 1 = - 2

f( x) =

4

X

-1 x + 1

x= - 1

Grenzwert

- 1 ist eine behebbare Definitionslücke von

Das Beispiel 5.16 hat einen sehr wichtigen Aspekt zum Inhalt , der sehr oft die Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion f an einer Stelle x , auf die Berechnung des Funktionswertes an der Stelle

X , einer anderen

Funktion g zurückführen

lässt. Die Funktionen f : f (x ) =

; x + 1 '

D ( S) = R \ { - 1} und g : g (x ) = x - 1 ; D (g) = R stimmen in einer punktierten Umgebung der Stelle Xo = - 1 überein (sogar in jeder), wie man dem gekürzten Funktionsterm von f oder ihren Gra phenverläufen entnehmen kann. Daher müssen auch ihre Grenzwerte an der Stelle x , übereinstim men , wie sich aus der anschaulichen Deutung des Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle unmittelbar folgern lässt. Da der Grenzwert einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle xo gleich seinem Funktionswert an dieser Stelle ist, lässt sich der Grenzwert wie folgt berechnen : x lim- 1 f (x) = lim

g (x) = g ( - 1) = - 2.

Merke : Sind zwei Funktionen f und g in einer punktierten Umgebung U ( * ) gleich , so gilt : lim f (x) = * lim →X0 g (x ). XX0

192

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

Mit dieser Regel kann man den Grenzwert einer Funktion f oft an einer Definitionslücke xo berechnen , falls der Funktionswert der Funktion g an der Stelle x , existiert. Beispiel 5. 17 x3 - 6x² + 9x Bestimmen Sie an den Definitionslücken der Funktion f: f (x ) = * 7x2 3x 9x ; D (S ) = R \ { ; 3 } die Grenzwerte . Der 3. Grenzwertsatz lässt sich nicht auf die Funktion f für die Bewegungen x

bzw .

x →3 anwenden , weil er auf einen unbe

_ x - 6x2 + 9x _ P3 (x ) f : f (x ) = x2 – 3x . 92( x ) lim pz(x)= P3( xo) x lim →X0 (x3– 6x2 + 9x)=XXO

stimmten Ausdruck der Form „ “ führt.

→ P3( ) = ►

lim lim q2(x) = 92(x ) X - X0 (x2 – 3x) = XX0

►92( ) = Zerlegt man aber die Funktionsterme der Funktionen pz und q2 in ihre Linearfakto ren , dann erkennt man, dass man den Funktionsterm von f innerhalb des Defini tionsbereiches kürzen kann . Die Funktion f stimmtmit der ganzratio nalen Funktion g : g (x ) = x - 3 ; D (g ) = R in jeder punktierten e -Umgebung der Stellen und 3 überein , falls & < 3 ist. Daher lassen sich die Grenzwerte von f an ihren Definitionslücken als Funktionswerte der Funktion g berechnen .

Ü bungen

und P3(3) =

und q2(3) =

* •(x – 6x + 9) f: f (x) = *° – 6x² + 9x _ x2 – 3x x (x – 3) _ x :(x - 3)2

= x - 3

x = , x = 3

g : g (x ) = x - 3; D (g) = R stimmt in D ( f) mit f überein . →

*lim f (x) = lim g (x) = g( ) = - 3

und lim f(x) = lim g(x) = g(3) =

zu 5 . 2

1. Ermitteln Sie die Definitionslücken der Funktion f. Prüfen Sie , ob es sich um Unendlichkeitsstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt. Für welche Definitionslücken existiert ein endlicher Grenzwert ? x - x 1 b) S(x)= * a) S(x) = xx -+ 11 c) f (x ) = x2 + x - 3x 6 - x2 - x x - ,5x - ,5 d ) f ( x) = e ) f (x ) = 72 + ) f(x) = x -(x x2 - x 5x + 6 22 2 . Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze für Zahlenfolgen : Konvergiert die Stellenwertfolge (xn ) gegen Xo , so konvergiert auch die Folge f (x ) ). x + 1 c) f (x ) = x2 - x2 b) f (x) = 211 a) f (x) = 1 + x2 3 . Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion sgn ist für xeR wie folgt erklärt; 1 für x > für x = . sgn (x ) = 1 - 1 für x < a ) Zeichnen Sie den Graphen der Signumfunktion . b ) Ermitteln Sie den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert der Signumfunktion an der Stelle . c) Welchen Grenzwert besitzt die Signumfunktion an der Stelle ?

5 .2 Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo

193

4 . Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Grenzwerte an den gegebenen Stellen : a ) f : f (x) = x² + 1 ; D (S ) = R an der Stelle xo = . b) f: f(x) = *° * *; D (S) = R * an der Stelle xo = . c) f: f (x ) = { ,5x 10 ,5x + 1

für < x < 2 für 2 < x < 4 an der Stelle xo = 2.

d)8: f(x)= ;D(S)= R * an der Stelle xq = . e) f: f(x)= * = 10 ;D(S)= R \{4} an der Stelle xv=4. 22 8:f(x)= * 2; D[])= R an der Stelle x = . g)8: S(x)= 3; D(S)= R* an der Stelle x = . h)f:S(x)=2x- ) ; D(S)= R\{1} an der Stelle xo= 1. i).S: 1(x)=2 * 2;D(S)= R \{1} an der Stelle xo=1. j) f: f(x)= 12 * =,11 ; D(S) = R \{1} an der Stelle x6 = 1. 5 . Zeigen Sie : Für jede gebrochen -rationale Funktion f : f (x) = Pm stimmt der Grenzwert an einer Stelle 9 .(x) " ihres Definitionsbereiches mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein .

5 Grenzwerte von reellen Funktionen

194

5 .3

Stetigkeit von reellen

Funktionen

Für die graphische Darstellung einer reellen Funktion im

Koordinatensystem wird man in der

Regel eine Wertetabelle aufstellen , die Wertepaare als Punkte in das Koordinatensystem übertra gen und durch einen Linienzug zum Graphen der Funktion verbinden . Bei dieser Vorgehensweise ist jedoch zu beachten , dass der Verlauf des Funktionsgraphen zwischen den einzelnen Punkten auch ganz anders aussehen könnte, ja es sogar noch nicht einmal sicher ist, ob man die Punkte überhaupt durch eine Linie in einem Zug - also ohne den Zeichenstift abzusetzen – miteinander verbinden darf. So könnte der Funktionsgraph – wie bei der Funktion aus Beispiel 5 .13 – an einer Stelle x , eine endliche Sprungstelle haben , so dass er sich eben nicht als geschlossener Linienzug darstellen lässt. Die Unsicherheit über den genauen Verlauf des Graphen bleibt prinzi piell auch dann bestehen , wenn man die Wertetabelle erweitert ; denn durch sie lassen sich stets nur endlich viele Punkte des Graphen bestimmen . Es stellt sich hier also die Frage, unter welchen mathematischen Bedingungen die einzelnen Punkte eines Funktionsgraphen so eng „ zusammenhängen “, dass man ihn in einem Zug zeichnen darf, bei dem also , wie man auch sagt, ein stetiger Kurvenverlauf gewährleistet ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist es nütz lich , sich anhand von Beispielen zunächst einmal klar zu machen , welche Gründe da

f(x)= x2+ 3

für sprechen , dass ein solcher stetiger Kur venverlauf nicht vorliegen kann , um hieraus Bedingungen zu folgern , die dafür erfüllt sein müssen . Beispiele 5. 18 •f:f(x)=

1

- 2 + 3; D (?) = R \{2}

2

3

4

5

6

7 x

1

2

3

4 X

G ( ) ist an der Stelle xo = 2 nicht stetig, weil die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist; der Funktionswert existiert nicht. Beispiel 5 .10 | ( 2) existiert nicht

•f:f(x) = * = 1; D (S) = R \{- 1} G ( f ) ist an der Stelle Xo = - 1 nicht stetig , weil die Funktion an dieser Stelle nicht defi niert ist; der Funktionswert existiert nicht.

Beispiel 5.16

-4

-3

-2

-1

6 -2 Har)= * - 1 ;x€ IR \{-1} f ( - 1) existiert nicht

195

5.3 Stetigkeit von reellen Funktionen

Da der Graph einer Funktion nicht übereine Definitionslücke hinaus durchgezogen werden kann , kommen für die Stetigkeitsuntersuchungen einer Funktion - und damit für ihren Graphen - nur Stellen in Frage, an denen die Funktion auch definiert ist. Beispiel 5.19

f: f (x) =

x2 - 1 x +1 ( 1:

XeR \{ - 1} 1 x = - 1

Bei dieser Funktion existiert der Funktions wert an der Stelle xo = - 1 im Unterschied zur zweiten Funktion des vorigen Beispiels. Aber der Punkt P ( - 1| 1 ) „ passt “ sich nicht dem übrigen Graphenverlauf an , d . h ., der Funktionswert f ( - 1) stimmt nicht mit

-4

-3

-2

-1

1

dem Grenzwert der Funktion an der Stelle - 1 überein .

Beispiel 5.16

(x ) =

G (S) ist an der Stelle xy = - 1 nicht stetig. ►

f ( - 1) = 1, aber lim

2

3

4 X

172 _ 1 } ; xe IR \ { - 1 } x + 1 ( 1 ;x = -1

f(x) = – 2

Damit ein stetiger Kurvenverlauf eines Funktionsgraphen gewährleistet ist ,muss also der Funk tionswert an einer Stelle mit dem Grenzwert an derselben Stelle übereinstimmen .

Beispiel 5.20 Aus der Regelungstechnik ist die sogenannte Sprungfunktion bekannt: ſo für t < f: u = f(t) Tuo für t20 Bei dieser Funktion existiert zwar auch der Funktionswert an der Stelle to = ; es ist f ( = U , aber die Funktion besitzt an dieser Stelle keinen Grenzwert .

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

t

Beispiel 5 .13 G (ſ ) ist an der Stelle to =

nicht stetig .

f( ) = uo, aber limf(t) existiert nicht.

Für einen stetigen Kurvenverlauf eines Funktionsgraphen an einer Stelle x , des Definitionsbe reichs muss also gesichert sein , dass der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert. Aus den Beispielen 5.18, 5. 19 und 5 .20 lassen sich die Bedingungen erkennen , die man an eine Funktion f stellen muss, damit ein stetiger Kurvenverlauf ihres Graphen G (f ) an einer Stelle xo vorliegt: 1. f muss an der Stelle x, definiert sein , d. h. x,ED ( S). 2 . Der Grenzwert von f muss an der Stelle x , existieren und mit dem Stelle übereinstimmen .

Funktionswert an dieser

196

5 Grenzwerte von reellen Funktionen Merke :

Eine Funktion f nennt man stetig an einer Stelle x, ED (S),wenn gilt: lim f (x) = f (xo ). XXO Anmerkungen : Der Stetigkeitsbegriff an einer Stelle hängt offensichtlich sehr eng mit dem Grenzwertbegriff an derselben Stelle zusammen . •

Verbindet man den Stetigkeitsbegriff einer Funktion f an einer Stelle X , mit der anschaulichen Deutung des Grenzwertbegriffes an dieser Stelle, so ist zu beachten , dass wegen der Bedingung X , EDS) nicht nur eine punktierte Umgebung U (* o), sondern eine volle Umgebung U (xo) Teilmenge von D sein muss . Beispiel 5.13 ; der hier dargestellte Graph einer Funktion an der Stelle xo ist nicht stetig .

. Nach der Definition des Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle x , als Folgengrenzwert ist eine Funktion f an der Stelle x , stetig , wenn für jede Stellenwertfolge (xn ) mit lim

x,, = x, gilt:

lim f (x.) = f (xo). Nach Ersetzen von x , durch 100 lim x , erhält man : lim f (x. ) = f (lim n + 00 x.). Die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x , bedeutet also formal, dass man beim Ausdruck lim f (xn) die Operationen der Grenzwert- und der Funktionswertbildung vertauschen kann . 100 . In manchen Fällen ( Beispiel 5.11 ) ist es zweckmäßig, eine Stellenwertfolge ( x. ) mit Hilfe einer Nullfolge ( h ) auszudrücken : x = xo + hn. Dann bedeutet die Stetigkeitsbedingung einer Funktion f an der Stelle Xo, dass für jede Nullfolge t:t(x) = f'(x .). x + f (xo) — f'(xo)• Xo = f'(x .) (x – x .) + f (x.); xeR Tangentenfunktion

Merke : Eine Funktion f heißt differenzierbar an einer Stelle x , eDf), wenn der l-lim da - h ) und der r - lim d (h ) für h→0 (heR > ) als endliche Werte existieren und gleich sind, also der endliche - lim Grenzwert lim d(h) = lim h h

f (xo + h ) - f (x ); ). heR * existiert.

Anschaulich bedeutet diese Existenz das Vorhandensein einer Tangente an den Graphen von f im Punkte P . < xolf (x )) . Dieser Grenzwert wird mit f'(xo) bezeichnet und gibt die Steigung der Tangente an G ( ) in P . < xolf (xo)) an . Es gilt also : f (xo + h ) - f (xo) . heR * ' f '(x ) = hlim f '(xo) heißt die Ableitung von f an der Stelle X , und ist die Steigung von G (S ) im Punkt P . (xolf (xo)). Die lineare Funktion t: t(x ) = f '(xo)- (x – xo ) + $ (x ); xeR mit der Steigung f '(x ) heißt Tangentenfunktion von f im Punkt P . ( xolf (x )) . . Für den Steigungswinkel a im

Punkt P . (xolf (x.)> gilt : tan a = f '(X ).

Folgerung : • Die Funktion s: s(t) = ť – 6t + 15t + 32 ; D (S) = [ ;6 ] ist also für alle te ( ; 6) differenzierbar. Da s'(t) = 3t2 – 6t + 15 für alle te ( ; 6) definiert und eindeutig ist, stellt s' wieder eine Funktion mit der Argumentvariablen t und dem Definitionsbereich D ( S ') = ( ; 6 ) dar . s': s' (t) = 3t - 6t + 15 , D (s') = ( ; 6) heißt Ableitungsfunktion der Funktion s. Anmerkung : Der Definitionsbereich der Funktion s ist D (s) = [ ; 6], also das volle abgeschlossene Intervall von O bis einschließlich 6 . Der Definitionsbereich der Funktion s' ist aber nur das offene Intervall ( ; 6 ), weil sich an den Intervallgrenzen und 6 nur einseitige Grenzwerte der jeweiligen Differenzenquo tientenfunktionen bilden lassen . Zur Bestimmung der Ableitung f '(xo) einer Funktion f an einer Stelle x, ihres Definitionsberei ches ist oft eine sehr mühsame Grenzwertberechnung von d an der Stelle mit Hilfe der Grenz wertsätze notwendig .Mühsam können diese Grenzwertberechnungen vor allem deshalb sein , weil man in dem Funktionsterm d (h ) den Wert O für h selbst nicht setzen darf, da nicht zum Defini tionsbereich von d gehört.

6 .2 Ableitungsfunktion und Differenzierbarkeit von Funktionen

209

In vielen Fällen lassen sich diese Grenzwertberechnungen aber vermeiden und durch die Berech nungen von Funktionswerten zugehöriger Ergänzungsfunktionen d * ersetzen , wie an dem folgen den einfachen Beispiel dargestellt werden soll.

Beispiel 6 .2 Der

Funktionsterm

tientenfunktion

d

der Differenzenquo zur

Funktion

f mit

f (x) = x2 + 1 ; D (S) = R zu einer Stelle XoED (S ) = R kann mittels Kürzung durch h #

quotientenfrei geschrieben werden .

Der Term 2 xo + h ist nicht nur Funktions term der Funktion d mit D (d ) = R * , son dern auch der Funktionsterm der Funk

f(x ) d(h) = J (Xo + h) -

heR *

_ ( x + h)2 + 1 = (x3 + 1) 2xh

+ h2

h . ( 2 xo + n )

Kürzen ; h =

= 2xo + h

tion d * : d * (h ) = 2xo + h mit D (d * ) = R . Die Funktion d * stimmt für alle heR * mit der Funktion d überein , ist aber zusätzlich noch an der Stelle definiert und hat dort den Funktionswert 2 xo , d . h . : d * ( ) = 2xo. Die Funktion d * ist eine Ergänzungsfunk tion für die Funktion d . Daher gilt: lim d (h ) = d * ( ); also f'(xo) = 2 xo . h Da x , eR eine beliebige Stelle ist, ist die Ab

d * : d * (h ) = 2 xo + h ; D (d *) =R

leitung f '(x ) = 2x, für jedes x ,ER definiert, d . h ., die Funktion f ist an jeder Stelle xo

> f '(x ) = 2xo; X ,ER

ihres Definitionsbereiches D (f) = R renzierbar .

Ergänzungs funktion für d

= h0 lim d (h) = d * ( ) = 2x , Ableitung von f an der Stelle xo

diffe

Dieses Kürzungsverfahren und das Verwenden von Ergänzungsfunktionen klappt bei allen ganz rationalen Funktionen , da sich bei ihnen die Terme der Differenzenquotientenfunktionen nach Kürzung durch h = stets quotientenfrei schreiben lassen . Ganzrationale Funktionen sind daher in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar .

Merke : Ist eine Funktion f an jeder Stelle x ,eD mit DCDS) differenzierbar, dann . heißt die Funktion differenzierbar in D , • existiert die Ableitung an jeder Stelle x , ED , existiert die Ableitungsfunktion f'. Dabei ist der Definitionsbereich D (f ) der Ableitungs funktion die größtmögliche Teilmenge D von D ( f), in der f differenzierbar ist.

210

6 Die Ableitung einer Funktion

Anmerkung : Man beachte , dass der Definitionsbereich D (F ') der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f immer im Definitionsbereich D ( S) der Funktion f enthalten sein muss, weil f ' nur für die Stellen aus D ( f ) definiert sein kann , für die f differenzierbar ist. Nicht immer stimmen der links- und rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion einer Funktion an einer Stelle überein . Die Differenzenquotientenfunktion besitzt dann also an einer solchen Stelle keinen Grenzwert, und folglich ist die Funktion f dort nicht differenzierbar.

Beispiel 6 .3 ( x2 für xeR 50 auf Differenzierbarkeit an der Stelle xe = Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = { * x x für xeR >

.

Fasst man die Terme x2 und x jeweils als Funktionsterme ganzrationaler Funktionen auf, so sind beide Funktionen im Innern ih rer jeweiligen Definitionsbereiche differen zierbar. Somit dort auch die Funktion f.

x2 für xe IR SO ( x für xe TR > O

f(x ) = -1

Nur an der ,,Nahtstelle “ Xo = dieser Defi nitionsbereiche stimmen der links- und der

1- lim d ( h

1

h ) = lim h0

4

5

h2 = lim - = lim (–6)= r - lim d ( h ) = lim h0 h-

( + h ) O-

= lim h h

= lim 1 h0

Beispiel 6.4 Untersuchen Sie , für welche reellen Zahlen anstelle von a die Funktionen fif.(

3

( - h2 - 02 ► h> - h

rechtsseitige Grenzwert von d nicht überein . Der Grenzwert von d an der Stelle exi stiert also nicht, somit ist die Funktion f an auch nicht differenzierbar. der Stelle x =

2

Sx2 + a ; xER 51 an der Stelle xo = 1 differenzierbar sind . 2x + 1 ; XER > 1

h

>

6

x

211

6 .2 Ableitungsfunktion und Differenzierbarkeit von Funktionen L- lim da - h ) = h hlim-

fa ( 1 – h) - f ( 1) - h

h=

-(1 + a) lim (1 –h)? +ah =20 = lim 2 Get

x2 + 2 für xe IRS 12x + 1 für xe IRỒI

h2 - 2h + = lim (2 — h)= 2 -h

f.01 r - lim d (h ) = lim Jall + hh ) - Ja ( 1) h0

2x

lim = h→0

TO

= lim 1-

h >

2 (1 + h ) + 1 - (1 + a ) 2 + 2h - a

Die einseitigen Grenzwerte der Differenzen quotientenfunktionen d zur Stelle xo = 1 stimmen an der Stelle

nur überein , wenn

a = 2 gilt. Somit ist nur die Funktion ( x2 + 2 für xeRs1 32 : 82 (x)/ = 12x + 1 für xeR > I 12:121

Dieser rechtsseitige Grenzwert ist nur dann 2 - a

an der Stelle xo = 1 differenzierbar.

gleich 2,wenn lim ? Ta = .

Für a # 2 sind die Funktionen f. an der Stel le xo = 1 nicht differenzierbar.

Das wiederum ist nur der Fall, wenn gilt a = 2 .

Die Funktionen fa sind für a # 2 an der Stelle xo = 1 unstetig ; ihre Graphen weisen dort einen endlichen Sprung auf. Nur die Funktion ſ2 ist an der Stelle xo = 1 stetig. Man könnte daher vermuten , dass die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle eine hinreichende Bedingung für deren Differenzierbarkeit dort ist . Dass dem nicht so ist, zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 6 .5 Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der Betragsfunktion f: f (x ) = \x7; D (S ) = R an der Stelle Xe = . - S - x für xeR < f(x f ( x )) == x1 x = für xeR20 Die Betragsfunktion ist überall stetig, ins besondere also an der Stelle xo = . Abschnitt 5. 3, Übungsaufgabe 1

f (x ) = 1x1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

212

6 Die Ableitung einer Funktion

Dort ist sie aber nicht differenzierbar , denn die einseitigen Grenzwerte der Differenzen quotientenfunktion d zur Stelle x , = men an der Stelle nicht überein .

- ( - h) -

l- lim da - h ) = lim 10

stim

h

= lim h-

Es leuchtet unmittelbar ein , dass die Be

r-lim d (h) = lim hh-

tragsfunktion f : f ( x) = |x |; D ( S) = R an der Stelle nicht differenzierbar ist: Durch den Punkt ( 010 ) lassen sich unendlich viele Ge

-h (

= lim h - oh

► h >

= lim - 1 = - 1 h + h ) -

= lim1 h-

h > = 1

raden legen , unter denen keine in der Weise als Tangente ausgezeichnet ist, dass sie sich in einer Umgebung der Stelle

dem

1-lim da - h r - lim d (h ) h0 = f ist bei xo = nicht differenzierbar.

Gra

phen von f „ optimal“ anpasst. Das Beispiel zeigt also :

Ist eine Funktion f an einer Stelle x, stetig , so braucht sie keineswegs an dieser Stelle differenzierbar zu sein . Die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle ist also keine hinreichende Bedingung für deren Differenzierbarkeit dort . Umgekehrt gilt jedoch : Ist eine Funktion an einer Stelle x , ihres Definitionsbereiches differenzierbar, so ist sie dort auch stetig . Das lässt sich leicht beweisen . Beweis: Wegen f(xo + h) = f (xo + h) – f (xo) + F (x ) =

f ( xo + h ) - f (xo) . h + f (x )

h =

folgt mit Hilfe der Grenzwertsätze und der Differenzierbarkeit von f an der Stelle xo: hlim- f(xo + h) = lim = lim h-

( f ( xo + h ) - f (xo) . h + f (x ) ) f (xo + h ) - f (xo). lim bilim + lim f (x2)) ► f ist bei X, differenzierbar %. 1Iim ,40 h" 7140710 h

= f'(xo). + f(x ) = f (x ) = lim f (xo + h) = f (xo) = f ist stetig bei Xo. Man sagt: Die Stetigkeit ist für die Differenzierbarkeit eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung .

Merke : . Eine an einer Stelle x ,ED (F ) stetige Funktion f braucht an dieser Stelle nicht differenzierbar zu sein . . Ist eine Funktion f jedoch an einer Stelle x ,ED (ſ ) differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.

213

6 .2 Ableitungsfunktion und Differenzierbarkeit von Funktionen . Übungen

zu 6.2

1. Ein Pkw beschleunigt aus dem Stand 6 Sekunden lang mit der Beschleunigung 5 -7 und fährt dann mit gleichförmiger Bewegung weiter. Die funktionale Abhängigkeit zwischen dem Weg s und der Zeit t lässt sich dann durch die Funktion s beschreiben : 12,5t für xe[ ; 6 ] s : s (t) = 30t - 90 für xe (6 ; 00 ) a ) Berechnen Sie die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t.. = 5 und to. = 7 (Zeiteinheit: s ). b ) Zeigen Sie, dass die Funktion s an der Stelle to = 6 differenzierbar ist , geben Sie die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt an und zeichnen Sie G (s ). 2. Ermitteln Sie jeweils f '(x ) mit Hilfe der Grenzwerte der Differenzenquotientenfunktionen . In welchen Punkten hat G ( f ) jeweils die angegebene Steigung für m ? a ) f : f (x) = 5x² – 2x + 3; D ( S) = R ; m = 8 b ) f : f (x ) = - 3x2 - 12x + 12 ; D (S ) = R ; m = - 6 c ) f : f (x) = - 2x ? + 5x ; D (S) = R ; m = - 1 d) f: f (x) = - 5x² + 10x; D (S ) = R ; m = 30 3. Gegeben sind die Funktionen f, mit f (x ) = a x? ;Df) = R ; aeR . a ) Zeichnen Sie für a = 1 den Graphen GG ) und berechnen Sie, in welchem Punkt Q von G ( fi ) die Sekante durch die Punkte PC - 1 / 1 ) und die Steigung hat. b ) Untersuchen Sie , für welche reelle Zahl anstelle von a die Tangente an G (f ) im Punkt ( 1 || . (1 ) die Steigung 4 hat. Zeichnen Sie in den Aufgaben 4 bis 6 jeweils den Graphen der Funktion . ( x2 - 4x + 1 - 8x - 3 a ) Zeigen Sie , dass die Funktion an der Stelle b ) Zeigen Sie , dass die Funktion an der Stelle

4 . Gegeben ist die Funktion f : f (x )

1 für xeRS - 2 für xeR > - 2 xy = - 2 stetig ist. xo = - 2 differenzierbar ist.

( x2 - 4x + 1 für xeRs - 2 5 . Gegeben ist die Funktion g: g(x) = 3 & 11 13x + 19 für xeR > - 2 : a ) Zeigen Sie, dass die Funktion an der Stelle xy = - 2 stetig ist. b ) Überprüfen Sie , ob die Funktion an der Stelle xo = - 2 auch differenzierbar ist. ( x - 4x + 1 für xeRs - 2 13x + 6 für xeR > - 2 : a ) Überprüfen Sie , ob die Funktion an der Stelle x , = - 2 stetig ist. b ) Begründen Sie, warum die Funktion an der Stelle xo = - 2 nicht differenzierbar ist.

6 . Gegeben ist die Funktion 1:1(x) =

) - J - ,1 x - 4,7 für xeRS - 3 7. Gegeben ist die Funktion fi f (x 10 , 1 x3 + ,7 für xeR > - 3 . a ) Zeigen Sie, dass die Funktion an der Stelle xo = - 3 stetig ist. b ) Ist die Funktion an der Stelle xo = - 3 differenzierbar ? c ) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit einer Zeichnung von G (f ) im Intervall ( - 5 ; ). 8 . Untersuchen Sie die Funktionen an den angegebenen Stellen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit und zeichnen Sie jeweils G ( S) . a ) f : f ( x) = \ x - 31 + 1 ; D (S ) = R ; Xo = 3 b ) f: f (x ) = 12x + 11 - 2 ; D (S) = R ; Xe = - , 5 ; Xp = 1 c ) f: f ( x) = x - x ]; D (S) = R ; Xo = d ) f: f (x ) = \ x2 - x - 2 ); D (S ) = R ; Xe = - 1 ; Xp = 2; Xp = 3 e ) f : f (x ) = 12 x2 - 12x + 161 – 2 ; D ( S ) = R ; Xo = 1 ; xo = 2 ; xo = 4 9 . Für welche reellen Zahlen anstelle von a sind die folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen stetig bzw . differenzierbar ? 3 Xo = 1 für XeR > I x2 fax + 3 für xeR2 c) fa:f (x)= {( xcom + 3 + a für XeR > 2 Xo = 2

d) fi: f (x )

fax ? für xeR - 1 ( 3 ax + 2 für XER > - 1

Xo = - 1

214

6 Die Ableitung einer Funktion

10 . Bei einer U - Bahn-Fahrt zwischen zwei Haltestellen wird der zurückgelegte Weg s (t) als Funktion der Zeit t untersucht (Weg in m , Zeit in s ). Dabei ergibt sich folgender Zusammenhang :

s(t) =

,51 ,2 (t + 18 ) – 108

für Ost < 12 für 12 < t < 35

| 21,2 (t – 35) + 453,8 für 35 < t 38 1 - ,48 (t - 60)2 + 749,72 für 38 < t360

a ) Zeichnen Sie den Graphen von s für < t < 60 . b ) Untersuchen Sie s auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Intervall [ ; 60 ). 11. Eine Kupferwicklung eines Transformators hat bei einer Temperatur von 15 °C , also bei T. = 288 K , den Widerstand R ..Während des Dauerbetriebs steigt der Widerstand auf einen Wert R > R . und die Tempera tur auf einen Wert T > T.; es besteht näherungsweise der folgende Zusammenhang: T - T. R - R.

T. - 39 K R .

für T > T.;

Temperaturänderung und Widerstandsänderung sind also proportional mit dem empirischen Proportio T. - 39 K Diese Beziehung nutzt man zur Fernüberwachung der Betriebstemperatur von nalitätsfaktor 1 R . Transformatoren : Löst man die obige Gleichung nach Tauf, dann erhält man eine Funktionsgleichung T = T (R ), mit deren Hilfe aus dem bei Dauerbetrieb messbaren Widerstand R die entsprechende Tempera tur T (R ) berechnet werden kann. a ) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung T = T ( R ). b ) Bei einem Transformator sei R . = 18 2. Berechnen Sie die Temperaturen T (23,5 2 ) und T (29 12). c ) Zur Beurteilung der Qualität der Temperaturmessung ist es wichtig , wie stark sich die Temperatur bei einer Widerstandserhöhung ändert. Wird eine kleine Temperaturerhöhung durch eine große Wider standsänderung angezeigt, so ist die Messung zwar sehr genau , es wird aber nur ein kleiner Temperatur bereich abgedeckt. Wird andererseits eine große Temperaturerhöhung bereits durch kleine Wider standsänderungen angezeigt, so wird die Messung zwar unpräzise , es wird aber ein großer Temperatur bereich abgedeckt. Berechnen Sie die Sekantensteigungen der Funktion zu T = T (R ) bei Widerstandsänderungen von 23,5 2 auf 23 ,722 bzw . von 28 2 auf 28,2 12. d ) Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die Steigung der Funktion T - also die Empfindlichkeit der Temperaturmessung – zu jedem Widerstandwert R berechnen kann . 12. Bestimmen Sie näherungsweise die Steigung an jeweils drei verschiedenen Stellen der folgenden Kenn linien . Beachten Sie dabei die Achseneinteilung. b )

U

l/mA 4 Kennlinie einer Diode

UN

©

= ".

Aufladung eines Kondensators

150 100 +

-1,5 -

41, C

- ,5

,5

1,

U /V

-507 2

4

6

8

10 t/s

215

7.

Differentialrechnung

Nachdem im Abschnitt 6.2 die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ihres Definitionsbereiches hergeleitet und definiert wurde , sollen in diesem Kapitel zunächst Verfahren zur einfacheren Bestimmung von Ableitungen erarbeitet werden , die sog. Differenzierungs- oder Ableitungsregeln . Durch diese ist es für viele Funktionen vom selben Typ möglich , den oft mühsamen Weg über die Berechnungen von Grenzwerten zu vermeiden und stattdessen die Ableitung rein formelmäßig vorzunehmen . Anschließend dienen diese Regeln dann zur Definition höherer Ableitungen .

7.1

Ableitungsregeln

und höhere Ableitungen

Besonders häufig kommen in den Anwendungen ganzrationale Funktionen mit Funktionstermen wie x , x2, x3, x4, ... vor. Da diese Potenzterme sind, nennt man die zugehörigen Funktionen auch Potenzfunktionen vom Grad 1, 2 , 3 , 4 , ... usw . Merke : Eine ganzrationale Funktion vom vom Grad m .

Typ f: f (x ) = xm ; D (S) = R , meN * heißt Potenzfunktion

Potenzfunktionen sind als ganzrationale Funktionen an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar. Für sie lässt sich leicht eine Ableitungsregel finden .

Beispiele 7.1, 7.2 .

Beispiel 7 . 1 Berechnen Sie die Ableitungsfunktion fi der Funktion fi: f (x ) = x ; D ( i) = R und vergleichen Sie den Grad von fi mit dem Grad von fi. Zur Berechnung der Ableitung f '( x ) an einer beliebigen Stelle X , ED ( 1) wird die Differenzenquotientenfunktion

don

= (xo + h)° — xo _ x3 + 3 xã h + 34u hỏ + h – xổ

1 . ( 6) _ J1 ( Xot " ) - Jiko) . De)

IR * _ 3x3: h + 3xp: hºth

gebildet und ihr Grenzwert an der Stelle bestimmt.

Lh:(3x3 + 3x . h + h )

►h=

3x3 + 3x : h + hº =

lim(3x + 3x

fi (xo) = 3xõ ist die Ableitung der Funktion fi an einer beliebigen Stelle x ,ER .

=

f (x)) =3x3

h+ h ) =3x3

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist

fi:fi(x) = 3x2; D (S ) = R

Ableitungsfunk tion von fi

fi : fi'(x) = 3x2 ; D ([ ') = R . Mit f, ist auch fí wieder eine ganzrationale Funktion. Der Grad von fí ist um Grad von fi :

1 kleiner als der

216

7 Differentialrechnung

Beispiel 7 .2 Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f der Funktion f2 : f2 (x) = x +; D (12) = R und vergleichen Sie den Grad von fa mit dem Grad von f2. Zur Berechnung der Ableitung f (x ) an ei- | ner beliebigen Stelle X ,ED (12) wird die

_ (x , + h)* — x4

Differenzenquotientenfunktion

_ x3 + 4x3h+ 6x3 : 12 + 4x :

d : dch

f2 ( xo + h ) - f2 ( xo) . D ( d ) = R * h

+ hº - x3

4x3. h + 6 xz. h2 + 4x, h3 + h4

gebildet und ihr Grenzwert an der Stelle bestimmt.

h :(4x3 + 6 xz h + 4x," h? + h ) ?

h

4x3 + 6x + h + 4xo: h + h f2 (x ) = 4 xã ist die Ableitung der Funktion f2 an einer beliebigen Stelle x, ER . Die zugehörige Ableitungsfunktion ist $2 : $2 (x) = 4x '; D (B2 = R .

→

lim (4x + 6x7. h + 4x," h? + h?) = 4x3

►

fz (X.) = 4xă

f1: f2 (x) = 4x”; D (52) = R

Ableitungsfunk tion von f2

Mit f ist auch fz wieder eine ganzrationale Funktion . Der Grad von f2 ist um 1 kleiner als der Grad von f2. Vergleicht man die Funktionen mit ihren

fi(x ) = x3

Ableitungsfunktionen in den Beispielen 7.1

f' (x) = 3x3 – 1 = 3 x2

und 7.2 noch etwas genauer, so fällt auf, dass die Exponenten der Argumentvaria

$2(x) = x +

blen der Funktionen fı bzw . f2 wieder als Koeffizienten von Potenzen der Argument

= f2 (x ) = 4x4 –1 = 4x3

variablen in den Funktionstermen von fi bzw . f auftreten . Das lässt erkennen , dass alle Ableitungsfunktionen f ' zu Potenzfunktionen vom D (S ) = R ,MEN * auf dieselbe Weise gebildet werden :

Typ f : f (x) = xm ;

f': f '(x ) = m - Xm - 1; DIF ') = R ,meN * . Potenzfunktionen vom Typf: f ( x) = x " ; D (F) = R und meN * sind als spezielle ganzrationale Funk tionen fü r jedes x , eR differenzierbar. Um fü r Potenzfunktionen eine allgemeinee Ableitungsregel herleiten zu können , ersetzt man im Term der Differenzenquotienten funktion zu einer Stelle x ,ED ( f) die Hilfs variable h durch x - xo. Der erhaltene Quo o lässt sich durch Poly X - Xo nomdivision immer nennerfrei schreiben .

l

ach11) _ (xo + h)" — xo h - x

h = x - Xo Polynomdivision

- x -xo = xm - 1 + xo' x* – 2 + xã xm – 3 + ...

tiententerm

... + xm -2 . x + xm - 1 ► m Summanden

217

7.1 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen

→ lim (xm - 1 + xo xm - 2 + x3 xm -3 + ... * + X0 ... + xm -2 .x + xm - 1)

Statt h→0 lässt man dann x + x, streben und erhält den Term m . xm - 1 als Ablei tungsterm von f : f (x ) = x" an der Stelle xo .

x -l + x : x3 -2 + x3x3 -3 + ... ... + x * –2 . xo + x * – 1

Weil dieses fü r jedes XoED ( ) gilt, sind f ' : f ' (x ) = m . Xm - 1 die Ableitungsfunktio nen der Funktionen vom Typ f : f (x ) = x "

= m -xm - 1

f'(xo) Ableitungsfunktionen

f ': f' (x ) = m . X - 1

Die Bildung der Ableitungsfunktionen f ' einer Potenzfunktion f erfolgt somit immer nach dersel ben „ Regel" : Multipliziere die um 1 verminderte Potenz der Argumentvariablen von f mit ihrem ursprü nglichen Exponenten Diese Ableitungsregel heißt Potenzregel. f: f(x) = xm ; D (S) = R ;meN * = f': f'(x) = m . xm - 1; D (F ) = R ;meN *. Anmerkung : Die Einbeziehung des Falles 1 fü r m in die allgemeine Potenzregel ist unter formal-mathemati schem Aspekt problematisch , da f ': f ' (x ) = 1 . xº nur fü r xeR * erklärt ist. Korrekterweise mü sste man hier zusätzlich die stetige Fortsetzung f ' ( ) = 1 von f ' bei angeben . Andererseits ist aber klar, dass der Graph von f : f (x ) = x eine Gerade mit der Steigung 1 ist.

Die Potenzregel lässt sich auch bei Funktionen vom den , wie die folgenden beiden Beispiele zeigen .

Typf: f (x) = x -m ; D (S ) = R * ,meN * anwen

Beispiel 7.3 Berechnen Sie mit Hilfe der Potenzregel die Ableitungsfunktion f; der Funktion f3 : f3 (x) = x - 2; D ( ) = R * und fü hren Sie den Nachweis der Differenzierbarkeit dieser Funktion innerhalb ihres Definitionsbereiches allgemein durch . Durch

formale Anwendung der Potenzregel ergibt sich die Ableitungsfunktion

f3 : f3(x ) = x - 2 - f3 : f} (x ) = - 2x - 3

f} : f3 (x) = – 2x -3 Zum allgemeinen Nachweis der Differen zierbarkeit dieser Funktion bildet man den Grenzwert der Differenzenquotientenfunk

|

_ (xo + h ) -2 - Xo2

x _ x - (x. + h )2 h•x :(xo + h)2

zu einer beliebigen tion d an der Stelle Stelle x ,ED (f ) und erhält: f:'(x ) = - 2. xo ?.

_ (x , + h )2 h

Somit lautet die Ableitungsfunktion

_ x3 - (x3 + 2xo + h + h ) hx3:0x0 + h) - 2x, h - h2 h : ( - 2x, - h )

$3 : $ : (x ) =

2x - 3 ; D ({}) = R * .

Th•x L

(x + h)2h. xz:(xo + h)2

- 2xo - h xổ ( xo + h)

►h=

Grenzwertsätze und xo +

218

7 Differentialrechnung

Für f; ergibt sich also auf diese Weise der selbe Funktionsterm wie durch Anwendung der Potenzregel.

Somit ist also die Funktion f; in ihrem ge samten Definitionsbereich differenzierbar.

- 2xo - h = lim Ah- oxł :(xo + h )

- 2xo _ - 2 x x

= f}'(x ) = – 2x ?

|

f3 : f3 (x) = - 2x - 3; D (13) = R *

Ableitungs funktion

Beispiel 7.4 Berechnen Sie mit Hilfe der Potenzregel die Ableitungsfunktion fã der Funktion fa : f1 (x ) = x - 3; D ( A) = R * und führen Sie den Nachweis der Differenzierbarkeit dieser Funktion innerhalb ihres Definitionsbereiches allgemein durch . Durch formale Anwendung der Potenzregel ergibt sich die Ableitungsfunktion $4 : $4 (x ) = - 3x - 4 Zum allgemeinen Nachweis der Differen zierbarkeit dieser Funktion bildet man den

fa : f«(x) = x - 3 = f4 : f4 (x) = - 3x -4

x 3 d(n) _ ( x + h) -3 -

Grenzwert der Differenzenquotientenfunk tion d an der Stelle

zu einer beliebigen

Stelle x , ED ( ) und erhält: f/ (x ) = - 3 . xo 4. Somit lautet die Ableitungsfunktion fa : f (x) = - 3x - 4; D (82) = R *.

_ (Xo + h)} h

x h

x - (xo + h)3 . x (xo + h )

_ * - (x : + 3 xz h + 3x ," h? + h?) hx (x + h) – 3x3 h - 3x

họ –

h. x >:(x , + h) -

h :( - 3x – 3x, h - ha) ►h = hxh (x + h)

L - 3x3 - 3x, hẳh x (x , + h)3

Grenzwertsätze und xo +

Für fá ergibt sich also auf diese Weise der selbe Funktionsterm wie durch Anwendung

- h2 – 3x ► lim – 3x – 3x, h = limx ) + (x , + h )3 = x

der Potenzregel.

= fá (xo) = - 3xo 4

Somit ist also die Funktion fa in ihrem ge samten Definitionsbereich differenzierbar.

= $4 : $ (x ) = - 3x - 4 ; D (84) = R *

xy

Ableitungs funktion

Anmerkung : Funktionen vom Typ f: f (x ) = x -m ; D (S) = R *, meN * sind spezielle gebrochen -rationale Funk tionen .Man kann allgemein zeigen : Gebrochen - rationale Funktionen sind in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar. Die bisherigen Beispiele zeigen insgesamt: Die Potenzregel lässt sich auch für alle meZ * anwenden . f: f(x) = x"; D (J) = R *;meZ * = f':f'(x) = m +xm -'; D (S = R *,meZ * Neben der Potenzregel kann man noch weitere Ableitungsregeln herleiten , z . B . für konstante Funktionen , wie das folgende Beispiel zeigt:

219

7 .1 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen Beispiel 7 .5 Berechnen

Sie die Ableitungsfunktion f ' der konstanten

Funktionen vom

Typ f: f (x ) = c ;

D ( S) = R mit einer reellen Zahl für c. C - CO —

Da f (xo + h ) = c und f (x ) = c an jeder Stelle X ,ER gilt, sind die Differenzenquotienten funktionen d zu jeder Stelle x , die Nullfunk tion , d .h ., es gilt : d (h) = für jedes heR *. Somit gilt auch h→0 lim d (h ) = , also f '(x ) = , und zwar für jedes x ,ER .

→limd(h) = h > f'(x ) = .

Die Ableitungsfunktion lautet somit : f': f '(x) =

; D (F ') = R .

= f': f '(x ) = ; D ( F') = R

Ableitungsfunktion

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist also an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches und somit die Ableitungsfunktion die Nullfunktion. Dieser Sachverhalt ist auch anschaulich unmittel bar einleuchtend , denn der Graph jeder konstanten Funktion ist eine Parallele zur X - Achse, und deren Steigung ist Null. Das ist der Inhalt der sog. Konstantenregel. f: f(x) = c ; D ( S) = R , c reell = f': f'(x) = ; D (f') = R .

Besteht der Funktionsterm einer reellen Funktion aus dem Produkt einer reellen Zahl mit einer Potenz der Argumentvariablen vom Typ x* , so lässt sich eine weitere Regel herleiten . Beispiel 7 .6 Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f' einer Funktion vom einer reellen Zahl für c . Als ganzrationale Funktion ist f in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier bar.Mit Hilfe des Kürzungsverfahrens lässt sich der Term der Differenzenquotienten funktion nennerfrei schreiben und die Ab leitung zu einer beliebigen Stelle x ,ED (F ) entweder durch Grenzwertbildung oder mittels einer Ergänzungsfunktion direkt an geben . Abschnitt 6 .2 ; Beispiel 6 .2 Die Ableitungsfunktion lautet somit :

d (h

Typ f: f(x) = c -x ; D (S) = R mit

c. (xo + h ) - Cºx h c .(x3 + 3 xz· h + 3xoh? + h ) - c . x3 c . 3x2 . h + c . 3x, h

+ ch

h: (c 3x + c . 3x, h + ch?) = C -3xấ + c -3x, h + ch?

3x3 > lim h (c:3x3 + c^ 3xo: h + ch”) = c^ = f'(x ) = c•3xz = 3cx;

f ': f'(x) = c: 3x² = 3cx?; D (S') = R .

ht

= f' : f' (x ) = 3cx? ; D (f ') = R

Ableitungs funktion

Hieraus ist ersichtlich , dass der konstante Faktor c beim Differenzieren beibehalten wird .

220

7 Differentialrechnung f ((xo xo ++ hh ) ) - f ( xo) d(h) = }

Allgemeiner noch lässt sich zeigen : Wenn

fi eine differenzierbare Funktion

XED ( ) beliebig

_ cf ( x + h) - c f ( x )

ist, so sind auch die Funktionen vom Typ f : f (x) = c.fi(x) mit einer reellen Zahl für c differenzierbare Funktionen mit

= p . fi( xo + h ) - f (x )

D (S) = D (fi), und es gilt : f: f(x) = c.f1(x) = f ': f '(x) = c.f{(x).

→

Diese Ableitungsregel wird als Faktorregel bezeichnet.

) . filxo h ) -- ff (x (xo ++ h) ( xo) limc: J1 h -10

Grenzwertsätze

+ h ) - f (x ) = limc. lim J1( xo --0h0 = c.f' (x ) =

f'(x ) = cºf'(x )

→

f': f ' (x) = c .f '( x) ; D (S ) = D (S) ▸

Ableitungs funktion

Ist der Funktionsterm einer Funktion f die Summe zweier Funktionsterme fi(x ) und f2 (x) von differenzierbaren Funktionen fi und f2, also f : f (x ) = fi (x ) + f2(x ), so ist auch f differenzierbar und lässt sich nach einer allgemeinen Regel ableiten . Dabei ist zu beachten , dass der Definitionsbereich D ( f ) aus den gemeinsamen Elementen von D (fi) und D ( 2) besteht.

Beispiel 7.7 Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f' der Funktion f:f (x) = x3 + x =2; D ( f) = R *. Die Funktion f kann als sog. Summe der Funktionen fi: fi (x) = x3; D (S1) = R (

Beispiel 7.1) und

$2: 82(x ) = x - ?; D ( 12 ) = R * (

| (x + y) + (x + drxo)(h) =

x - xã

Beispiel 7.3), ( x + h) - x3 + , ( x + hồ” h

d.h ., f = fi + f2 mit f(x ) = fı (x ) + f2 (x ) aufge fasst werden .

=

Man bildet den Term der Differenzenquo tientenfunktion der Funktion f zu einer be liebigen Stelle xoe D ( S ) . Dieser lässt sich als

_( Xo + h) - xỏ (xo + h)

Summe von zu den Funktionen fi und f2 gehörenden Differenzenquotienten schrei ben . Zur Verdeutlichung, um welche Differen

► lim dr(xo)(h)

= f '(xo) + f2 (xo)

Durch Grenzwertbildung erhält man die

= f '( x ) = 3 xẽ — 2x5

der

Stelle

x , zu

xổ

= dfixo)(h) + dravo)(h)

zenquotientenfunktion es sich dabei jeweils handelt, werden dri(x0)(h ) und dfatxo)(h ) zur Unterscheidung hier mit dem vollen Index geschrieben .

Ableitung von f an f ' (x ) = f (xo) + f2 (xo).

x3

= lim [df1(vo)(h) + d%26x )(h)] = 3 x + ( - 2xo ?)

Beispiele 7.1 und 7.3

7. 1 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen Da xoeD ( ) beliebig war, lautet die Ablei - ] tungsfunktion f ' somit :

221 = f': f'(x) = f'(x) + f2(x)

Ableitungsfunktion

= 3 x2 – 2x - 3; D (F ') = R *

f ': f' (x) = 3 x2 + ( - 2x - 3) = 3x2 – 2x - 3; D (S ') = R *.

Allgemeiner noch lässt sich zeigen : Wenn f, und ſ2 differenzierbare Funktionen sind , so ist auch die Summe f : f (x) = fi (x) + f2(x) eine differenzierbare Funktion , wobei zu D ( f) alle gemeinsamen Elemente von D ( ) und D (12) gehören , und

+ h) - f (x ) df(xo,(h) = J( Xo h _ f1 (xo + h ) + f2(xo + h) – [ 4: (xo) + f2(x )] LƯ ( xo + h) = f (x ) + f (x + 1) =f (x)))

es gilt: f': f '(x) = f'(x) + f (x ). f(x + h - (84), A(x)+b)- ,8) Diese Ableitungsregel wird als Summen regel bezeichnet ; sie gilt auch für mehr als zwei Summanden .

→ limdrox)(h) ; - (f ( x + 1) = f (xo) f (xo + h) - J2 ( xo ) = lim ( h h h Th Grenzwertsätze o + h) - f (x ) lim – hlimfixo+h ) h fi(80 4 h tim - fa&xo+h )-facra f (x)) + f (x ) ► f'(x ) = f'(x.) + f2 (xo).

Merke : .

Für die Ableitung von Funktionen des Typs f : f (x) = xm ; meZ * gilt die Potenzregel : f : f (x ) = xm ; meZ * = f': f '(x ) = mºxm - l; meZ * .

. Für die Ableitung von konstanten Funktionen gilt die Konstantenregel: f: f(x ) = c mit ceR = f ': f'(x) = . Ist eine Funktion f, an einer Stelle x , differenzierbar und ist c eine Konstante, dann ist auch die Funktion f : f(x) = c.f.(x) an der Stelle x, differenzierbar, und es gilt die Faktorregel : f : f (x ) = c . f. (x ) = f '( xo) = c•fi'( xo). • Sind zwei Funktionen f, und f2 an einer Stelle x, differenzierbar, dann ist auch ihre Summe, d .h . die Funktion f : f (x ) = f (x ) + 12(x ) an der Stelle x , differenzierbar, und es gilt die Summenregel: f : f (x ) = f (x) + f2 (x ) = f '(x ) = f '(x ) + f (xo ).

Anmerkung : Der Begriff „ Ableitung“ wird in der Mathematik sowohl für die Ableitungsfunktion f ' einer Funktion f als auch für den Ableitungsterm f '(x ) an einer Stelle x , verwendet. Mögliche Ver wechslungen werden durch den Textzusammenhang ausgeschlossen . Abschnitt 6 . 2

7 Differentialrechnung

222 Ableitungen höherer Ordnung

Ganzrationale Funktionen f: f (x ) = , x " + an - / xn - 1 + ... + a , x + ao; D (S ) = R vom Grad n sind differenzierbar Abschnitt 6 . 2 ). Ihre Ableitungen sind wieder ganzrationale Funktionen , und zwar vom Grad n - 1. Sie lassen sich nach der Summenregel durch gliedweises Differenzieren mit Hilfe der Potenz -, Faktor- und Konstantenregel leicht erhalten : f: f (x ) =

, x " + Ar - 1x* - + + ... + a , x + 20 = f ':f '(x ) = (an * ") + (an - 1.xn - 1) + ... + (a , x ) + (a )' = n ·a , xn - 1 + (n - 1).an- 1x - 2 + ... + 2, + xn - 2 + . .. + a . = n . a , X " - 1 + (n - 1) . a ,

Beispiel 7.8 Die Ableitung f' der ganzrationalen Funktion f: f (x ) = x6 – 3x4 + 2 x3 – 2 x2 + 2 ; D (S) = R erfolgt gliedweise und wird dann mit Hilfe der Potenz -, Faktor- und Kon stantenregel ermittelt. Hiernach ist f ': f '(x ) = 6x5 – 12x} + 6x2 - 4x ; D (F ') = R

G ( f)

die Ableitungsfunktion von f. Sie heißt auch Ableitung erster Ordnung

2

x

oder erste Ableitung. f ' ist wieder eine ganzrationale Funktion . Somit kann man die Ableitung von f ' bil den , die mit f " (f-zwei- Strich ) bezeichnet wird und Ableitung zweiter Ordnung oder zweite Ableitung heißt. f" : f " (x) = 30x4 – 36x² + 12x - 4 ; D ( F '') = R .

-247

Entsprechend heißt f " : f ' '(x ) = 120x3 – 72x + 12 ; D (f ''') = R . Ableitung dritter Ordnung oder dritte Ablei tung.

f'(x) = 6 .46 –1 – 3 .4x4 - 1 + 2 · 3x3 - 1 – 2- 2 x2- 1 = 6x5 – 12 x3 + 6x2 - 4x f ' (x) = 5 .6x5 -1 – 3- 12x3- 1 + 2 ·6x2 –1 – 4x1 - 1 = 30 x4 – 36 x² +.12 x - 4

Von der vierten Ableitung an verzichtet man auf die Ableitungsstriche und schreibt:

f'' (x) = 4 . 30x4- 1 - 2 - 36 x2 -1 + 12 x1 - 1 = 120x3 – 72 x + 12

f(4): f(4)(x) = 360 x2 – 72 ; D (F(4)) = R .

f(4 x) = 3. 120x3 –1 – 72 x1- 1 = 360 x2 – 72

Ableitung vierter Ordnung oder vierte Ablei tung .

223

7 .1 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen f (5): f(s)(x) = 720x ; D (F (5)) = R .

f(5)(x) = 2 . 360x2- 1 = 720 x

Ableitung fünfter Ordnung oder fünfte Ab leitung fo: f

(x) = 720 ; D (F ) = R .

f

( x) = 720x1 - 1 = 720

Ableitung sechster Ordnung oder sechste Ableitung f(*): f(7)(x) = ; D ( F(7) = R .

f(1)(x) =

Ableitung siebenter Ordnung oder siebente Ableitung Weitere Ableitungen ergeben stets die Null funktion .

Merke : Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion fist wieder ganzrational und damit auch wieder in ihrem gesamten Definitionsbereich R differenzierbar. Hinsichtlich f werden die einzelnen Ableitungen geordnet: f ' (f-Strich ) ist die erste Ableitung von f ; f " (f-zwei- Strich ) ist die Ableitung von f' und die zweite Ableitung von f; f " (f-drei-Strich ) ist die Ableitung von f " und die dritte Ableitung von f ; Von der vierten Ableitung an schreibt man f(4) (f-vier- Strich ), f (s), f ),... usw . Allgemein erhältman die Ableitung n - ter Ordnung von f als Ableitung (n - 1)-ter Ordnung von f, d . h .: f(m) = (f (n )) .

Technisch / physikalische Bedeutung des Ableitungsbegriffs Der Funktionswert der Ableitungsfunktion f ' gibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunk tion f an einer bestimmten Stelle an . In den Naturwissenschaften und der Technik hat die Ab leitungsfunktion weitere Interpretationen . Wie wir im Beispiel 6 .1 gesehen haben , gibt die Ablei tung s' der Wegfunktion s für jeden Zeitpunkt t die Momentangeschwindigkeit zu diesem Zeit punkt an . • Statt die auftretenden Funktionen stän dig mit f zu bezeichnen , verwendet man üblicherweise die in der jeweiligen Fach richtung gebräuchlichen Namen . Die Wegfunktion bekommt den Namen s, die Geschwindigkeitsfunktion den Namen v und die Beschleunigungsfunktion den Namen a .

Beispiele für Funktionsterme Weg zur Zeit t

s (t)

Geschwindigkeit zur Zeit t

v (t)

Beschleunigung zur Zeitt

a (t )

224

7 Differentialrechnung

• Die erste Ableitung einer Funktion nach der Zeit t kennzeichnet man statt mit einem kleinen Strich mit einem Punkt über dem Funktionsnamen . Entspre

Unabhängige Ausgangs erste zweite Variable funktion Ableitung Ableitung

chend werden die höheren Zeitableitun gen mit mehreren Punkten versehen . Man schreibt: v(t) = s(t),

x

f (x)

f '(x)

f " (x)

z

f(z)

f'(2)

f" (z)

Zeitt

f(t)

f(t)

f (t)

a (t) = i(t) = f(t).

In der Physik und der Technik gibt es zahlreiche physikalische Größen , die über die Ableitung miteinander verknüpft sind. Die folgende Tabelle enthält eine Zusammenstellung einiger Größen . Ausgangsfunktion

Ableitung

Zusammenhang

Ladung q (t)

i(t) = 9(t)

Beim

Stromfluss durch einen elektrischen Leiter

ist die Stromstärke i (t) die erste Ableitung der elektrischen Ladung q (t) nach der Zeit t. Stromstärke iſt)

u (t) = L : i(t)

Fließt durch eine Spule der Induktivität L ein zeitlich veränderlicher Strom der Stromstärke i(t), so ergibt sich die elektrisache Spannung u (t) als Produkt aus Induktivität und der Ableitung der Stromstärke nach der Zeit t.

Weg s(t)

v (t) = s(t)

Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Momen tangeschwindigkeit v (t) gleich der ersten

Ab

tung des Weges s(t) nach der Zeit t. Geschwindigkeit v (t)

a (t) = v (t)

Bei einer geradlinigen

Bewegung ist die Be

schleunigung a (t) gleich der ersten Ableitung der Geschwindigkeit v (t) nach der Zeit t. Weg s (t )

a (t) = $(t)

Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Beschleu nigung a (t) gleich der zweiten Ableitung des Weges s (t) nach der Zeit t.

Drehwinkel o (t)

( t) = $ (t)

Winkelgeschwindigkeit o (t)

(t) = m (t)

Die augenblickliche Lage eines Massenpunktes bei einer Drehbewegung wird durch den zeit abhängigen Winkel y (t) beschrieben . Die Win kelgeschwindigkeit o (t) ist die erste Ableitung des Drehwinkels o (t) nach der Zeit t. Die Winkelbeschleunigung a (t) ist die erste Ab leitung der Winkelgeschwindigkeit o (t) nach t.

Drehwinkel y (t)

O (t) = ö (t)

Die Winkelbeschleunigung a (t) ist die zweite Ab leitung des Drehwinkels o (t) nach der Zeit t.

Wir bemerken noch , dass sich in den Naturwissenschaften und der Technik gewisse Sprechweisen eingebürgert haben , die von den exakten mathematischen Begriffsbildungen abweichen . Schreibt man beispielsweise s (t) so ist in der Mathematik der Funktionsterm der Funktion s oder der Funktionswert der Funktion s an der Stelle t gemeint, was jeweils aus dem Zusammenhang deutlich wird. In den Naturwissenschaften und der Technik bezeichnet man häufig die Funktion bzw . das entsprechende Weg -Zeit -Gesetz mit dem Symbol s(t).

225

7 .1 Ableitungsregeln und höhere Ableitungen Übungen

zu 7.1

1 . Bestimmen a ) f : f (x ) = c) f : f (x ) = e) f: f (x) = g) f : f (x ) = i) f : f (x ) = k) f: f(x) = m ) f : f (x ) =

Sie die dritte Ableitung folgender Funktionen bzw . Funktionstypen : ,5 x '; D ( S ) = R b ) f : f (x ) = 1,5x4; D (S ) = R ,5x + 3x2 ; D (S ) = R d ) f : f (x ) = x " ; D (S ) = R ; meN * - ,5x' ;DS) = R f) f : f (x ) = ,5 x + 1 ; D (S ) = R h ) f : f (x ) = ,2x - ? ; D (F ) = R * 3x – 5 ; D (S ) = R j) f : f (x ) = 3x2 - ,5x3 ; D ( S ) = R * - ,5x - 5 ; D ( S) = R * - 3x + 1 ; D ( F ) = R 1) f : f ( x ) = a + 3bx?; D (F ) = R ; a , beR ax" ; DIS = R * ; meZ * ; aeR n ) f : f (x ) = - ,5bx- " ; D (D) = R * ;neN * ; beR 1 1 p) f: f (x) = - cx"; D (S) = R ;neN * ; CER . o) f: f(x)= – * + 2x –5; D (S) = R *

2. Leiten Sie die folgenden Funktionen bzw . Funktionstypen so oft ab, bis die jeweilige Ableitungsfunktion eine konstante Funktion ist ( D ( S) = R ). b ) f : f (x ) = , 25 x8 + ,5 x10 - 3 a ) f : f ( x ) = 3x7 - ,5 x c ) f : f (x ) = , 125 x8 - 30x4 d) f: f (x ) = ,03 x® + ,005 x4 – 3 x e) f : f ( x) = ,01 a x1 - ,5b x8; a ,beR f) f : f (x ) = ,25ax+ + ,56 x – 3 ; a ,beR g) f : f (x ) = 3ax: - ,5bx4; a , beR h ) f : f ( x) = ,2 ax: + , 5b x® – 3 ; a, beR i) f : f (x ) = ,125 x8 + ,25x6 - 2x5 – 4x3x² + 12x - 15 3. Bestimmen a ) f : f (x ) = c ) f : f (x ) = e) f : f ( x ) =

Sie die Steigungsmaße der ,5x?; DIS ) = R ; ,5x + 1 ; D (F ) = R ; 3x2 - ,5x - 3 ; D ( S ) = R * ;

Graphen folgender Funktionen an den jeweiligen Stellen . X, = 2 b ) f : f (x ) = - ,5x '; D (F ) = R ; X; = - 1 x; = 2 d ) f : f (x ) = ,5x2 + 3x ; D (F ) = R ; x ; = 3 x; = - 2 f) f : f (x ) = - 3x + 2x ; D ( S ) = R ; x; =

4. An welcher Stelle hat der Graph der Funktion a ) f : f (x ) = ,5 x + 2x; Df) = R ; b ) f : f ( x ) = 3x2 - ,5x3; D ( S ) = R * ; c) f : f (x ) = ,5x2; DIS ) = R ; d ) f : f ( x ) = 2x - 3x2; Df) = R ;

das Steigungsmaß das Steigungsmaß das Steigungsmaß das Steigungsmaß

3 ,5 ; - 4 ,5 ; 2; 12 ?

5 . Bestimmen Sie die Steigungsmaße folgender Funktionen jeweils an der Stelle 2 und zeichnen Sie deren Graphen im Intervall [ ; 3 ). b ) f : f2 (x ) = ,5 x + 3 ; D (F ) = R a ) fi: f1(x) = ,5x"; D (S) = R d ) fa : f (x ) = ,5x3 - 2,5 ; D ( f ) = R c) f3: f (x ) = ,5x3 - 5 ; D (F ) = R 6 . Geben Sie jeweils eine Funktion mit folgendem Ableitungsterm an . a ) f ' (x ) = 2 b ) f ' (x ) = x d ) f ' (x ) = 2x + 1 e) f '(x) = x ? - *

c) f'(x) = 3x? f) f ' (x ) = , 25x3

7 . Zeigen Sie mit Hilfe der Polynomdivision und unter Anwendung der Grenzwertsätze am Funktion f : f (x ) = xS; D (F ) = R , dass der Term der Ableitungsfunktion 5x4 ist.

Beispiel der

8 . Aus dem Weg -Zeit-Gesetz s (t) einer Bewegung kann man die Momentangeschwindigkeit v (t) und die Mo mentanbeschleunigung a (t) berechnen . Es gilt: v (t) = s (t) und a (t) = s (t). Ermitteln Sie zu dem gegebenen Term s(t) die Funktionsterme v (t) und a (t). a ) s (t) = 3 " . t + 2 m b ) s (t) =4 t + 10 . t + 1 m c) s (t) = 1 . . t - g . t Zeichnen Sie zu den Teilaufgaben a und b jeweils das Weg -Zeit-, das Geschwindigkeit-Zeit- und das Be schleunigung-Zeit- Diagramm 9 . Das Weg -Zeit-Gesetz für den senkrechten Wurf lässt sich durch die ganzrationale Funktion s : s (t) = vot - ,5gt?; D (s) = R beschreiben , wobei v , die Anfangsgeschwindigkeit (z . B . eines Balles beim Verlassen der Hand) und g die Gravitationskonstante ( 10 m /s2) bezeichnet. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 30 m /s. a ) In welcher Höhe befindet sich der Ball nach 2 s, 4 s, 6 s ? b ) Berechnen Sie die Ballgeschwindigkeit nach 2 s, 4 s, 6 s. c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Balles zu dem Zeitpunkt, zu dem der Ball seine höchste Flughöhe erreicht hat, und wie hoch fliegt der Ball dann ?

226

7 Differentialrechnung

10 . Für die Stromstärke gilt i(t) = g (t), wobei q (t) die elektrische Ladung ist, die durch einen Leitungsquer schnitt fließt. Sei q (t) = 2 - 2t + t? (Zahlenwertgleichung). Bestimmen Sie die Stromstärke und die zeitliche Änderung der Stromstärke zum Zeitpunkt t = 5. 11. Für den freien Fall gilt s(t) = ; g .t?. a ) Wie groß ist die Auftreffgeschwindigkeit bei einem Fall aus einer Höhe von 20 m (40 m ) ? b ) Aus welcher Höhe muss ein Stein fallen , wenn er mit 50km auftreffen soll ? 12 . Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t, beim senkrechten Wurf nach unten ? (Es gilt: s(t) = žgit + Vo* t.) 13 . Eine punktförmige Masse bewegt sich auf einer Geraden nach dem Gesetz seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung zur Zeit t = 4 .

3t. Bestimmen Sie

14 . Das Weg-Zeit-Gesetz für die Bewegung eines Massenpunktes sei s (t) = 2t – 12t + 18t + 8 . a ) Bestimmen Sie s und a für v = . b ) Bestimmen Sie s und v für a = . c ) In welchem Bereich wächst s ? d ) In welchem Bereich wächst v ? e ) Wann wechselt die Bewegungsrichtung ? 15. Ein Körper bewege sich reibungsfrei nach dem Gesetz s(t) = } + 12t. a ) Wann wächst s und wann fällt s ? b ) Wann wächst v und wann fällt u ? c ) Bestimmen Sie die Gesamtstrecke, die der Körper in den ersten 5 s der Bewegung zurücklegt. 16 . Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn gegen den Uhrzeigersinn nach dem Gesetz y (t) = ,02t - t, wobei o im Bogenmaß und t in s gemessen wird . Berechnen Sie y (10 ), ( 10 ) und a (10 ). (o (t) : Winkelgeschwindigkeit; a (t) : Winkelbeschleunigung.) 17. Ein Träger ist an einem Ende fest eingespannt und liegt an seinem anderen Ende fest auf. Infolge seines Eigengewichts biegt sich der Träger nach unten durch . Die Lage der neutralen Faser des Trägers ist durch die Gleichung 13x 2x y = - k 1921 .(x - q3 gegeben . Dabei ist a = 8 m die Länge des Trägers und k eine positive dimensionslose Konstante . a ) An welcher Stelle hängt der Träger am weitesten durch ? b ) Wie groß ist k , wenn der Winkel zwischen der Kurventangente im Auflagepunkt und der Horizontalen 1° beträgt?

7 .2

Eigenschaften

von

ganzrationalen

Funktionen

Physikalisch -technische Problemstellungen wie z . B . Geschwindigkeits - und Beschleunigungspro bleme beibewegten Körpern lassen sich mittels Ableitungen einfach und quantitativ genau lösen . In der Differentialrechnung interessieren die Ableitungen aber vor allem als Hilfsmittel zur Be stimmung wichtiger Eigenschaften der Funktionsgraphen bzw . Funktionskurven (deshalb : Kur vendiskussion Abschnitt 7 . 3). Zur Kurvendiskussion gehören auch die Bestimmung der Ach senschnittpunkte, die Untersuchung der Graphen ganzrationaler Funktionen auf Symmetrie sowie zusätzlich die Angabe von Definitionslücken und Asymptoten bei Graphen gebrochen rationaler Funktionen . Anhand des Graphenverlaufs der ganzrationalen Funktion f: f (x) = x4 – x3 – 4 x² + 4x ; D (S ) = R sollen die besonders wichtigen Eigenschaften eines Funktionsgraphen ,,lokaler Extrempunkt“ und „ absoluter Extrempunkt“ verdeutlicht werden .

227

7. 2 Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen Alle Punkte des Graphen in unmittelbarer Nachbarschaft von P , liegen unterhalb von P2. Ein von f, Punkte von ihm

Punkt P ( xelf (xe) eines Graphen dessen unmittelbar benachbarte auf dem Graphen links und rechts einen kleineren f ( x )-Wert besitzen ,

f(x) = x4_ 13 -4x2 + 4x H

heißt lokaler Hochpunkt. Ist P (xe|f (xe) ein lokaler Hochpunkt, so heißt die Stelle

G (f)

Xe lokale Maximalstelle und der zugehörige f (xe)-Wert lokales Maximum . Gilt f ( xe ) > f (x ) nicht nur für eine Umge bung

der

Stelle

Xe , sondern

für alle

xeD ( S) \ {xe }, so heißt P ( xelſ (xe)) abso luter Hochpunkt. Alle Punkte des Graphen in unmittelbarer Nachbarschaft von P , bzw . P , liegen ober halb von Pi bzw . Pz . Ein Punkt P (xelſ (xe) eines Graphen von f, dessen unmittelbar benachbarte Punkte auf dem Graphen links und rechts von ihm einen größeren f ( x )-Wert besitzen , heißt lokaler Tiefpunkt. Ist P (xelſ (Xe) ein lokaler Tief punkt, so heißt die Stelle xe lokale Minimal stelle und der zugehörige f (xe)-Wert lokales Minimum . Alle Punkte des Graphen von f liegen ober halb von P . Gilt f (xe) < f (x ) nicht nur für eine Umgebung der Stelle xe , sondern für

P . (XE,IF (XE,) ► absoluter Tiefpunkt P2 < x£, f (XE,) ► lokaler Hochpunkt lokaler Tiefpunkt

lokale Extrempunkte von G ( f )

alle xeD( f) \ { x }, so heist P ( xelf ( xg) absoluter Tiefpunkt. Die lokalen Maximal- und Minimalstellen einer Funktion f nennt man zusammenfas send auch ihre lokalen Extremstellen . Ent sprechend nennt man die lokalen Hoch - und

XE , XE, XE2 XE , XE , XE,

lokale Minimalstellen von f ► lokale Maximalstelle von f F lokale Extremstellen von f

Tiefpunkte von Gf) zusammenfassend seine lokalen Extrempunkte .

Die drei Extremstellen XE , XE, und XE , teilen den Definitionsbereich von ſ (D ( S) = R ) in vier Monotonieintervalle M , M2, M3 und M4 ein . Zwischen diesen Intervallen ändert G ( S) sein Steigungsverhalten , innerhalb dieser Intervalle aber nicht.

M

= ( - 00 ; XE ) >

G ( f) fällt

M

= (XE , XE )

>

G ( ) steigt

M

= ( XE, XE,)

-

M4= (XEz; 00 )

G (f) fallt G (f ) steigt

228

7 Differentialrechnung

Monotonieverhalten und lokale Extremstellen Beispiel 7.9a Gegeben ist die ganzrationale Funktion f : f (x ) = , 125 x3 – ,375 x2 – 1, 125x + 2,375 mit D (S ) = R , die auf ihr Monotonieverhal ten und auf Extremstellen untersucht wird . Für die Ableitung von f gilt : f ': f '(x) = ,375 x? – ,75x - 1,125 ; D (f ') = R . Monotonieverhalten : Betrachtet man die Graphen von f und f ',

-4

-3

so erkennt man , dass G (f ') dort oberhalb der x - Achse verläuft (f'(x) > ), wo G (f ) steigt. Entsprechend verläuft G ( f ') dort un

-2

1

-1

2

3

4

1 -27 x ) = ,12583 - ,375x2 – 1, 125x + 2 ,375 -3

terhalb der x- Achse (f '(x) < ), wo G (S ) fällt. Man erkennt außerdem : Ist Xe eine lokale Maximalstelle von f, so müssen die Tangenten an den Graphen von f in unmittelbarer Umgebung von xe links vom Punkt (xelf (xe ) steigen und rechts davon fallen , während die Tangente im Punkt ( xelf (xe) selbst waagerecht ver läuft. Für die Funktion f bedeutet dies, dass in unmittelbarer Umgebung der Stelle xe gelten muss : f'(x ) > f '(x ) = f '(x )
für alle xel schließt man ,dass f in I sogar streng monoton steigt. Aus f ' ( x )


für alle xeMrf ist im

f '(x )
lokaler Hochpunkt von G ( S ). Wechselt f' (x) bei xp sein Vorzeichen stelle ;

von - nach + " , so hat f dort eine lokale Minimal

mit f (xe) als lokalem Minimum ist T < xelf(xe)> lokaler Tiefpunkt von G (S ). Lokale Extremstellen müssen Lösungen der Gleichung f' (x ) = sein (notwendige Bedin gung ). Die Lösungen der Gleichung f ' (x ) = sind aber nur mögliche Extremstellen von f. Sie sind auch tatsächlich Extremstellen von f, falls für f' (x) bei diesen Stellen ein Vorzei chenwechsel stattfindet (hinreichende Bedingung). Anmerkungen : • Besitzt eine ganzrationale Funktion keine lokalen Extremstellen , wie z . B . die Funktion f : f (x ) = x '; D (S ) = R , so bildet der gesamte Definitionsbereich R = ( - 00 ; 00 ) ein einziges Monotonieintervall. Für eine in einem

Intervall M

streng monotone Funktion f kann umgekehrt i. allg . nicht f ' (x ) > für alle xeM gefolgert werden . So ist z . B .die Funktion f : f (x ) = x3 für alle xeR streng f ' (x) = 3 x² gilt: f ' ( ) = . monoton steigend, obwohl an der Stelle Entsprechendes gilt für eine streng monoton fallende Funktion . • Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grad n , so ist ihre Ableitungsfunktion f 'wieder ganzra tional und vom Grad n - 1. Die Funktion f kann daher höchstens n - 1 Nullstellen besit zen . Abschnitt 2 .4 Da unter diesen Nullstellen der Ableitungsfunktion f ' auch alle lokalen Extremstellen der Funktion f vorkommen müssen, kann eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n - 1 lokale Extremstellen besitzen .

234

7 Differentialrechnung

Krümmungsverhalten und Wendestellen Anhand des Graphenverlaufs der ganzrationalen der Funktion g: g (x ) = ,25 x4 – x3 + 1 ; D (g) = R sollen weitere wichtige Eigenschaften eines Funktionsgraphen verdeutlicht werden . Beispiel 7.10b „ Durchfährt “ man den Graphen der Funk tion g : g ( x) = ,25 x4 – x3 + 1 ; D (g) = R von links nach rechts – wie auf einer Straße mit

g '(x ) = r3 - 3.x2

einem Auto - , so muss man bis zum Punkt (011 ) linksherum steuern , vom Punkt

g (x ) = , 25x4-

+1

( 011 ) bis zum Punkt ( 21 – 3 ) rechtsherum und anschließend wieder linksherum steuern . Dementsprechend heißt der Graph von g im Intervall ( - 00 ; ) linksgekrümmt, im In tevall ( ; 2 ) rechtsgekrümmt und im Inter vall (2 ;

) wieder linksgekrümmt.

-3

-2

-1

1

2

3

4

5x

12

3

4

5x

Die Punkte ( / 1) und (21 – 3), bei denen G ( 8 ) sich sein Krümmungsverhalten ändert, heißen Wendepunkte , die Stellen und 2 Wendestellen .

Krümmungsverhalten : Für die ersten beiden Ableitungen von g gilt : g': g'(x) = x2 – 3x?; D (g') = R ; g" : g' (x) = 3x² – 6x ; D (g'') = R . Betrachtet man die Graphen von g , g' und g'', so erkennt man, dass G (g) in den Inter 2

vallen nach linksgekrümmt ist, in denen g' streng monoton steigt und somit G (g'') oberhalb der x -Achse verläuft (g ' (x ) > ). In dem Intervall, in dem G (g) nach rechts gekrümmt ist, fällt g ' streng monoton , und somit verläuft G (g '') dort unterhalb X - Achse ( g '' ( x ) < ).

-

-3

-2

-1

der

Also sind die Monotonieintervalle von g' die Krümmungsintervalle von g . Man erkennt außerdem : Ist Xw eine Wendestelle von g, bei der sich die Krümmung des Graphen von einer Links- in eine Rechtskrümmung ändert, so hat g ' dort eine lokale Maximalstelle.

g ' (x ) = 3x2- 63

235

7.2 Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen

Für die Funktion g' bedeutet dies, dass in unmittelbarer Umgebung der Stelle xw gelten muss : g" (x ) >

für x < Xw ;

g" ( xv ) = , g" ( x) < für Xw < x . Eine entsprechende Aussage gilt für eine Wendestelle von g, bei der sich die Krümmung des Graphen von einer Rechts - in eine Linkskrümmung ändert. Dort besitzt die Ableitungsfunktion g ' eine lokale Minimalstelle. An einer Wendestelle xw von g besitzt die Ableitungsfunktion g' eine lokale Extremstelle, und der Graph G (g'') schneidet hier die x -Achse. Dort gilt demnach g''(xw ) = ,und G (g) ändert hier sein Krümmungsverhalten . Die beiden aus der Zeichnung ersichtlichen Wendestellen von g sind also Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion g ' und bilden Grenzen von Krümmungsintervallen von g . Zur rechnerischen Bestimmung dieser Wen wird daher die Gleichung destellen g' (x ) =

3x2 - 6x =

g' (x) = (

= 3x :(x - 2) = x = Lösung : Xw ; =

oder x = 2 und Xw2 = 2

gelöst.

und 2 teilen den Die beiden Wendestellen Definitionsbereich von g in die drei Krüm mungsintervalle K1, K2 und K , ein , wobei und Xw , = 2 Grenzen der Krüm Xw , = mungsintervalle bilden , selbst aber nicht zu den jeweiligen Intervallen gehören (offene

= ( - 00 ; )

K

G (g) rechtsgekrümmt

K2 = ( ; 2) K3 = (2 ;

G (g ) linksgekrümmt

)

G (g) linksgekrümmt

Intervalle ), da G (g) an diesen Stellen weder nach rechts noch nach links gekrümmt ist.

g " (x ) = 3x2- 67

Anhand der Zeichnung erkennt man , dass im Intervall K , gilt g " (x ) > . Dort steigt g' streng monoton und ist G ( g) nach links ge krümmt. In Ką gilt g " (x ) < . Dort fällt g' streng mo noton und ist G (g) nach rechts gekrümmt. In K , gilt wieder g " (x) > . Dort steigt g ' demnach wieder streng monoton und ist G (g ) wieder nach links gekrümmt. Zur Feststellung des Krümmungsverhal tens in einem Krümmungsintervall reicht i.allg. der Nachweis des Vorzeichens von g '' (x ) an einer beliebigen Teststelle des je weiligen Intervalls aus. Denn es gilt für ein beliebiges Intervall I:

-

-3

-2

-1

fol

t

k

3

4

5 x

g '(x ) = x3 - 3r2

8 (x ) = ,25x4 - r3 + 1

236 Aus g " (x ) > für alle xel lässt sich schlieBen , dass G (g) in diesem Intervall linksge krümmt ist; aus g " (x ) < für alle xel lässt sich schlie Ben , dass G (g) in diesem Intervall rechtsge krümmt ist.

7 Differentialrechnung K

= ( - 00 ; ) : g' ( - 1) = 9

Vorzeichen ,, + "

= G (g ) ist in K , linksgekrümmt. K2 = ( ; 2): g" (1) = - 3

Vorzeichen „, - “

→ G (g ) ist in K , rechtsgekrümmt. K ; = (2 ; 00 ): g" (3) = 9

Vorzeichen „ +“

→ G (g) ist in K , linksgekrümmt. Weiß man umgekehrt, dass K ein Krüm mungsintervall der Funktion g ist, so muss dort entweder g' (x) 20 oder g' (x ) < für alle xeK gelten .

Für ein g' (x ) >

Krümmungsintervall K von g oder g ' (x ) < für alle xeK

gilt:

Ohne den Graphenverlauf aus der Zeichnung zu kennen ,würde man noch nichts über die jeweili ge Art der berechneten Wendestellen von g wissen . Die nachfolgenden Überlegungen liefern ein sehr brauchbares Kriterium zur Feststellung der Art der Wendestelle . An einer Wendestelle Xw der Funktion g besitzt die Ableitungsfunktion g' eine lokale Extremstelle , d . h ., es gilt dort g " ( x ) = . Diese ist nur dann eine lokale Maximal- bzw . Minimalstelle von g', wenn der Graph von g bei xw einen Links-Rechts -Krümmungswechsel bzw . einen Rechts- Links hat. Daher lässt sich das Vorzeichenwechselkriterium (VZW ) für g " ( x ) ver wenden , um aus der Art der Extremstelle Xw der Ableitungsfunktion g' auf die Art der Wendestelle xw von g zu schließen . Ist nämlich Xw eine Wendestelle der Funktion g mit einem Links-Rechts-Krümmungswechsel von G (g ), so müssen die Tangenten an G (g') in unmittelbarer Nähe links des Hochpunktes H ( xw |g' (xw )) von G (g') steigen und rechts davon fallen . D . h.,das Vorzeichen von g' (x) wechselt dort „ von + nach - " . Entsprechend gilt : Wenn Xw eine Wendestelle mit einem Rechts- Links- Krümmungswechsel von G (g ) bezeichnet , so müssen die Tangenten in unmittelbarer Nähe links des Tiefpunktes Txw g'(xw ) von G (g') fallen und rechts davon steigen . D . h., das Vorzeichen von g' (x )wechselt dort „ von – nach + " . Wendepunkte : An der Stelle xw , = schneidet G (g '') die x -Achse und fällt in der Nähe dieser Stelle ständig. An dieser Stelle gilt: g " (O) = und g " (x) wechselt bei von links nach rechts sein Vorzeichen „ von + nach - “ (G (g ) ist erst links- und dann rechtsge

Nullstelle von g"

g" (O) = g'' ( - 1) = 9

Vorzeichen „ + “ ; - 1


für alle xeK = G (f ) ist im

f " (x )
Wendepunkt von G (ſ ). Wechselt f ''(x) bei Xw sein Vorzeichen „ von – nach + ", so hat f dort eine Wendestelle , an der sich das Krümmungsverhalten von G ( f) von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung ändert; mit f (xw ) istWxw \f (Xw ) Wendepunkt von G (S). • Wendestellen müssen Lösungen der Gleichung f ' (x ) = sein (notwendige Bedingung). Die Lösungen der Gleichung f ' (x ) = sind aber nur mögliche Wendestellen von f. Sie sind tatsächlich Wendestellen von f, falls für f '' ( x ) bei diesen Stellen ein Vorzeichen wechsel stattfindet (hinreichende Bedingung). Anmerkungen : • Besitzt eine ganzrationale Funktion keine Wendestellen , wie z. B . die Funktion f: f (x) = x +; D (S ) = R , so bildet der gesamte Definitionsbereich ein einziges Krümmungsintervall. . Für einen in einem

Intervall K linksgekrümmten Graphen einer Funktion f kann umgekehrt für alle xeK gefolgert werden . So ist z. B . der Graph der Funktion f : f (x) = x4 für alle xeR linksgekrümmt, obwohlan der Stelle gilt : f ' ( ) = . ► f ' (x) = 12 x2 Entsprechendes gilt für einen rechtsgekrümmten Graphen einer Funktion . i.allg. nicht f ' (x) >

. Ist f eine ganzrationale Funktion vom Grad n , so ist ihre zweite Ableitungsfunktion f " wieder ganzrational und vom Grad n - 2 . Die Funktion f " kann daher höchstens n - 2 Nullstellen besitzen . Abschnitt 2.4 Da unter diesen Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion f " auch alle Wendestellen der Funktion f vorkommen müssen , kann eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n - 2 Wendestellen besitzen .

7 Differentialrechnung

240 Ein weiteres hinreichendes Kriterium

für die Existenz lokaler Extrempunkte

Obwohl das VZW -Kriterium für f'(x ) in der Nähe einer Nullstelle von f sehr anschaulich für die Existenz einer lokalen Extremstelle der Funktion f ist, lässt es sich oft nur schwierig handhaben , weilman eine dafür geeignete Umgebung der Nullstelle finden muss. Einfacher wäre es,wenn man die Nullstelle von f' direkt auf ihre mögliche Extremstelleneigenschaft in Bezug auf die Funktion f überprüfen könnte. Das wird in der Tat durch folgende Überlegung möglich : Da ein lokaler Hochpunkt nur auf dem rechtsgekrümmten Teil eines Graphen und ein lokaler Tiefpunktnur auf dem linksgekrümmten Teil eines Graphen liegen kann , lässt sich vermuten , dass an einer Stelle xe mit f '(xp) = eine lokale Maximalstelle vorliegt, falls f ''(xe) < , und eine lokale Minimalstelle gilt. Diese Vermutung ist richtig , auf ihren Beweis wird aber in diesem vorliegt, falls f ' (xp) > Buch verzichtet. Extremstellen der Funktion f aus Beispiel 7.9 a lassen sich nach diesem Kriterium dann folgender maßen ermitteln :

Beispiel 7.9c Mit Hilfe der zweiten Ableitung f ' (x ) wird die Art der in Beispiel 7 . 9 a ermittelten Ex

f(x) = ,125r3 – ,375 x2 - 1,125x + 2,375

tremstellen der reellen Funktion f festge stellt : f (x) = ,125 x3 - ,375 x2 – 1,125 x + 2,375 ; = f'(x ) = ,375 x2 – ,75x - 1,125

-4

> f' (x ) = ,75 x - ,75 .

-3

-2

-10 f'(x ) = , 375.82 - .75x - 1.125

f " (x ) = ,75.x - ,75

Somit gilt für xe, = - 1 : f '( - 1) =

und f " ( - 1) = - 1,5

( f " ( - 1) < ). An dieser Stelle muss also G (S ) einen loka len Hochpunkt besitzen . Entsprechend gilt für die zweite lokale Ex

f'( - 1) =

- 1 Nullstelle von f'

f''(XE,) = f " ( - 1) = - 1,5

Vorzeichen , - “

> X = - 1 ist lokale Maximalstelle von f. - 13 ) ist lokaler Hochpunkt und H von G ( f ) . ► f ( - 1) = 3

tremstelle re, = 3 : f'(3) =

und f" (3) = 1,5

(f" (3)>

).

An dieser Stelle muss also G (f ) einen loka len Tiefpunkt besitzen .

f' (3) =

3 Nullstelle von f'

f " (xe ) = f ' (3) = 1,5

Vorzeichen ,, + “

► XE = 3 ist lokale Minimalstelle von f, und T ( 31- 1 ) ist lokaler Tiefpunkt von G ( f ). ► f (3) = - 1

7.2 Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen

241

Beispiel 7.10c Für die Funktion g : g (x) = ,25x4 – x3 + 1 ; D (g ) = R aus Beispiel 7. 10a lassen sich nach diesem Kriterium für die Nullstellen und 3

g " (x) = 3r2 - 6x

von g' folgende Feststellungen treffen : g (x ) = ,25 x4 – x3 + 1; D (g) = R . →g' ( x) = x3 – 3 x2 ►g' (x ) = 3 x2 - 6x -3

-2

-1

3

1

4

5

x

g'(x ) = x3 - 3.12 XE = : g'(

=

und g " (

g (x) = ,25r4 - x + 1

= .

Weil auch g' ( ) =

gilt, kann nach diesem Kriterium keine Aussage über das Vorlie gen einer lokalen Extremstelle von g ge macht werden .

g" (

XE2 = 3 : g'(3) =

g '( ) =

und g" (3) = 9 (g' (3) > ).

An dieser Stelle muss also G (g ) einen loka len Tiefpunkt besitzen .

=

Nullstelle von g' weder g" ( )
, so hat f an der Stelle xp eine lokale Minimalstelle ; mit f ( xe) als lokalem Minimum ist T (xelf (xe )> lokaler Tiefpunkt von G ( S). Lokale Extremstellen müssen Lösungen der Gleichung f '(x ) = sein (notwendige Bedin gung ). Die Lösungen der Gleichung f '( x ) = sind aber nur mögliche Extremstellen von f. Sie sind tatsächlich Extremstellen von f, falls an diesen Stellen auch f' (x ) = gilt (hinrei chende Bedingung). Anmerkung: Die beiden Bedingungen f' (xp) = und f ' (xe) # sind zusammen nur eine hinreichende Bedin gung für das Vorhandensein einer lokalen Extremstelle der Funktion f bei xp . D . h ., es kann an einer Stelle Xped ( f ) auch dann eine Extremstelle vorliegen , falls mit f ' (x ) = auch f ' (x ) = gilt. ► f (x ) = x4; Beispiel 7.12

7 Differentialrechnung

242

Ein weiteres hinreichendes Kriterium

für die Existenz von Wendepunkten

Obwohl auch das Vorzeichenwechselkriterium für f ' (x) in der Nähe einer Nullstelle von f' sehr anschaulich für die Existenz einer Wendestelle der Funktion f ist, lässt es sich oft nur schwierig handhaben , weil man auch dafür eine geeignete Umgebung der Nullstelle finden muss. Einfacher wäre es, wenn man die Nullstelle von f " direkt auf ihre mögliche Wendestelleneigen schaft in Bezug auf die Funktion f überprüfen könnte . Das ist in der Tat möglich , denn die Wendestellen der Funktion f sind die lokalen Extremstellen der Funktion f '. Man kann daher die Überprüfung der Wendestelleneigenschaft in Bezug auf die Funktion f auf die Überprüfung der Extremstelleneigenschaft in Bezug auf die Funktion f' zurückführen . Hiernach besitzt f ' an der Stelle Xwed (f ) eine lokale Maximalstelle – und somit f an der Stelle Xw

eine Wendestelle mit Links-Rechts-Krümmungswechsel

f '' (xw )
4x = =

x =

Lösung: Xe =

Funktion f noch keine Aussage über das Vorliegen einer Extremstelle machen . Bildet man weitere Ableitungen , so erhält man f (4 ( ) = 24 als erste von Null verschie dene Ableitung an der Stelle .

f '( ) f ( ) f '' ( ) f(4)(O)

= = = = 24

Vorzeichen „ + “

Für ganzrationale Funktionen kann man allgemein zeigen : Gilt f'(x ) = und ist die erste von Null verschiedene Ableitung an der Stelle xe von gerader Ableitung vierter Ordnung), so gibt deren Vorzeichen Aufschluss Ordnung (hier: f(4)( ) = 24 über die Art der Extremstelle. Ist f' (xe) < , neN * ,n gerade, so ist xe lokale Maximalstelle von f; Ist f(n)(x2) > ,neN *, n gerade, so ist xp lokale Minimalstelle von f. Im obigen Beispiel 7.12 gilt somit : f'( ) = und f(4)( ) = 24 (→ Vorzeichen ,, + " ): Mit f ( ) = ist T ( 010 ) lokaler Tiefpunkt von G (ſ ).

245

7 .2 Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen

Beispiel 7.13 Der

Graph der Funktion f : f (x) = x"; D (J) = R hat den Wendepunkt W ist, so liegt bei Xw eine Wendestelle von f mit einem „ Rechts -Links Krümmungswechsel“ vor . Das folgende Schema soll für ganzrationale Funktionen fmindestens dritten Grades mit D ( S) = R einen Überblick über die Eigenschaften und diemöglichen Zusammenhänge von f, f', f " und f " bzw . ihrer Graphen geben . Hierbei bezeichnen M bzw . K offene Intervalle . f ',G (f )

f,G (f ) f hat Nullstelle xo; f (x ) = Вепа inn Mм f monton steigend

f' (x)

für alle xeM

f monoton fallend in M

f' (x)


x < 200

ohne Halbkreise und somit ohne integrierte Spielfläche bestehen würde, könnten die

und

x20

beiden Geraden höchstens 200 m lang sein . → xe[ ; 200)

< x < 200

►

Gültigkeitsbereich von x. A (x ) =

Zu untersuchen ist also die Zielfunktion

400 x - 2x2

2 x? A : A (x)= 400 x – 44 ; x€ [ ; 200]

400 –4x » A'(x)= TT

Die möglichen Extremstellen von A sind die Lösungen der Gleichung A ' (x ) = .

A'(x) =

Da der Funktionswert A (100) größer als beide Randwerte ist, ist das lokale Maxi mum auch das absolute Maximum .

Der Radius r entspricht ,5 y, und somit ist r = 31,83.

x = 100

=

Die gefundene Lösung 100 der Gleichung A '(x ) = liegt im Gültigkeitsbereich [ ; 200 ] für die Variable x. Da A " (100 ) < gilt , ist Xe = 100 eine lokale Maximalstelle von A .

~ 400 - 4x =

A”(x)

= -- für alle xe[ ; 200]

=> A” (100 )= =

Vorzeichen , “

Lösung : XE = 100

xe[ ; 200].

A (100 ) = 6366,2. → Amax = ( 100 |6366,2 ) . A( ) = r=

und

A (200) =

200 2 . 1 = 31,83.

( 366 , 2 m²), wenn die Geraden der Laufbahn Schlusssatz : Die Spielfeldfläche ist dann am größten 6 100 m lang sind und der Radius der Halbkreise 31,83 m beträgt. Beispiel 7. 19 Ein mit Diesel betriebenes landwirtschaftliches Kombifahrzeug dessen Kraftstoffkosten (bezogen auf € je Stunde) durch die Funktion Ksi: Ks (v) = ,00002 v2 + 6 beschrieben werden , muss zur Auslieferung von Getreide eine 120 km lange Strecke zurücklegen . (Dabei entspricht v der Maß zahl der Geschwindigkeit des Kombis bezogen aufkm /h . Die Höchstgeschwindigkeit des Kombis beträgt 80 km /h .)

261

7 .4 Extremwertaufgaben Mit welcher Geschwindigkeit fährt das Kombifahrzeug am kostengünstigsten ? Wie hoch sind die Spritkosten für die 120 km lange Strecke ? Die Spritkosten für die Fahrt ergeben sich als Produkt aus den Kraftstoffkosten (bezo gen auf € pro Stunde ) und der Fahrtzeit (bezogen auf Stunden ). → Zielfunktion : K : K (v, t) = KS.(v). t Mittels der Nebenbedingung lässt sich die Abhängigkeit der Zielfunktion K auf eine Variable (v) reduzieren . Der Term der Zielfunktion in Abhängigkeit der Variablen v lautet somit :

v t

Maßzahl der Geschwindigkeit des Kombis Maßzahl der Fahrtzeit

Spritkosten : K : K (v, t) = Ks (v)· t Fahrzeit : s = vot

hier : t = 120 V K (v) = ( ,00002 v + 6). 120

720 K (v) = ,0024 v2 + 20 Der Gültigkeitsbereich von v ergibt sich aus der Höchstgeschwindigkeit des Kombifahr zeuges : ve ( ; 80 ]. Zu untersuchen ist also die Zielfunktion 720 K : K (V) = ,0024 v2 + 20 ; ve ( ; 80). Die möglichen Extremstellen von K sind die Lösungen der Gleichung K '(v) = .

Zielfunktion K Nebenbedingung; physikalische Formel

= ,0024y2 + 720 V > v < 80

K bei nicht definiert Höchstgeschwindigkeit des Kombis

K (v) = ,0024v2+ 720 → K'(v)= ,0048 v

720

,0048v2 – 720

K'(v)= =

,0048 v3 = 720 v=

= Die gefundene Lösung 53,13 der Gleichung K ' (v) = ist Element des Gültigkeitsberei

150000

= 53 , 13

ches ( ; 80] von v.

K ”(v)= ,0048 + 1440 für alle ve( ; 80 ]

Da K ” (53,13) > gilt , ist ve = 53, 13 eine lo kale Minimalstelle von K .

K ” (53,13) = ,0144

Vorzeichen „ + “

Lösung : Ve = 53,13

53,13€( ; 80]

K (53, 13 ) = 20, 33 Kmin (53,13|20,33). Die Randuntersuchung für y → ergibt, dass das lokale Minimum auch das absolute Mi nimum ist.

lim K (v ) = VO

und

K (80 ) = 24 ,36

Schlusssatz : Das Kombifahrzeug fährt mit einer Geschwindigkeit von ca . 53, 13 km /h am kostengünstigsten . Bei dieserGeschwindigkeit betragen die Spritkosten für die 120 km lange Strecke ca. 20,33 € .

7 Differentialrechnung

262 Beispiel 7 . 20

Untersuchen Sie , welches gleichschenklige Dreieck mit der Schenkellänge 10 cm Flächeninhalt hat.

den größten

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks teilt dessen Grundseite in zwei gleich große Teile .

x

Maßzahl für die Grundseitenlänge

h

Maßzahl für die Höhe

Flächeninhalt des Dreiecks : = Zielfunktion : A : A (x, h) =

h

A : A (x, h ) =

h

Zielfunktion A

Mittels der Nebenbedingung („ Satz des Py

Schenkellänge :

thagoras“) lässt sich die Abhängigkeit der Zielfunktion A auf eine Variable (x ) reduzie ren .

k +( ) = 102 → Nebenbedingung

1x12

Der Term der Zielfunktion in Abhängigkeit

1²= 100

von x lautet somit: A (x)=

/ 400 – x?

A(x)=

Sollten beide Katheten zusammen so lang sein wie die Hypotenuse (x ), so kann die Grundseite maximal 20 cm lang werden .

1/ 100

x20

**

V400 —x .

Länge der Grundseite

| x < 10 + 10

Summe beider Kathetenlänger

» xe[ ; 20]. Anstelle der Funktion Funktion

A : A (x ) wird die

AP( x ) =

2)= + (400x2 – x*)

A2: A ? ( x ) auf Extremstellen un ►

tersucht, denn sie besitzt auch alle Extrem stellen der Funktion A : A ( x ).

A?(x) = f(x)

→ Übungsaufgabe 1 Zu untersuchen ist also die Zielfunktion f:f(x)= 16 (400x²– x*); xe [ ; 20 ). Die möglichen Extremstellen von f sind die Lösungen der Gleichung f ' (x ) =

.

= f'(x)= 1a (800x – 4x) X - 4x ) =

(x) = *

,25x :(200 – x ?) = x =

oder x = - 1/ 200 oder x = 1200

7.4 Extremwertaufgaben

263

Von diesen Lösungen hat nur die Lösung 1/ 200 einen praktischen Sinn , da es keine Dreiecke mit Maßzahlen kleiner oder gleich Null für die Grundseitenlänge gibt. Die gefundene Lösung 1200 der Gleichung f ' (x ) = ist Element des Gültigkeitsberei

| 1200 = 14,14

14,14 praktisch sinnvolle Lösung

f " (x)= +*:(800 – 12x2) für alle xe[ ; 20) →f" ( 200) = - 100

Vorzeichen ,,- "

Lösung : Xe = 14 ,14

14,14 € [ ; 20 ]

ches [ ; 20 ] von x . Da f " (14,14) < gilt, ist Xe = 14 ,14 eine lo kale Maximalstelle von f. Der maximale Flächeninhalt wird wieder durch die Funktion A : A (x ) berechnet. Da der Funktionswert A ( 14 , 14) größer als beide Randwerte ist , ist das lokale Maxi mum auch das absolute Maximum .

AQ / 200) = 50. → A max = ( 14,14 |50 ). A( ) = A (20) =

Anhand der Nebenbedingung lässt sich die Maßzahl für die Höhe h berechnen .

h2 = 100 - 200 = 100 - 50 = 50 => h = 1/ 50 = 7,07

Wegen

h =

ist

das

gleichschenklige

Dreieck sogar ein rechtwinkliges Dreieck . Schlusssatz : Das gleichschenklige Dreieck mit der Schenkellänge 10 cm , der Grundseitenlänge von ca . 14 , 14 cm und der Höhe von ca . 7 ,07 cm hat den größten Flächeninhalt ( 50 cm ).

Beispiel 7 .21 Zwischen dem Graphen der Funktion f : f (x ) = x * - * x2 + und der x -Achse soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt wie in der Zeichnung eingeschrieben werden . Untersuchen Sie , wie groß der maximale Rechteckinhalt ist und welche Längen die Rechteckseiten haben . Da f eine gerade Funktion und G ( f) somit achsensymmetrisch zur y -Achse ist, liegt

x4 - 212 + 2 35

auch das Rechteck symmetrisch zu beiden Seiten der y -Achse zwischen den Nullstellen - 1,84 und 1,84 der Funktion f. Zeichnung Diese Nullstellen lassen sich rechnerisch aus sx4 - { x ? + = mit Hilfe des Substitu tionsverfahrens ermitteln . Daher kann für x € [ ; 1,84 ] die Länge der Grundseite des

1

Rechtecks mit 2 x und die Länge der Höhe mit y = f (x ) (Nebenbedingung ) bezeichnet werden . Für xe [ ; 1 ,84 ] gilt : 2x

Länge der Rechteckgrundseite

y = f (x)

Länge der Rechteckhöhe

264

7 Differentialrechnung

Mit Hilfe der Nebenbedingung erhält man die von nur einer Argumentvariablen (x) abhängige Zielfunktion

| Flächeninhalt des Rechtecks: A : A (x , y) = 2 - x .y

Zielfunktion A

24, 18 A: A(x )= 2· x•f(x) = 33.4 – 3x2 + 3 x; xe[ ; 1,84]. Die möglichen Extremstellen von A sind die Lösungen der Gleichung A '(x ) = . Beim Lösen dieser Gleichung wird das Substitu tionsverfahren angewendet . Abschnitt 2.4

→ A '(x) = ,4x4 - 4x2 + 3,6 A '(x ) = (

,4x4 - 4x² + 3,6 = x4 – 10x2 + 9 =

Substituiere x2 = z: 22 - 10z +

* * – 10x2 + 9 = 1

9 =

z? – 10z + 25 = 16 = (2 , 5)2

= 16 =

4

= z = 1 oder z =

2 - 51

9

Rücksubstituiere z = x2 : z= 1 =

x2 = 1

=

= |x = 1

x = - 1 1

oder x1 = z = 9 #

x2 = 9

♡

|x = 3

X = - 3

Nur die gefundene Lösung 1 ist Element des Gültigkeitsbereiches [ ; 1,84 ] von x.

oder x = 3

Da A ' (1 )
ist eine Materialkonstante . Wie muss man einen Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt (Radius r ) zuschneiden , um einen Balken mit größtmöglicher Festigkeit zu erhalten ? Welchen Durchmesser müsste ein Baumstamm mindestens haben , wenn die schmale Seite des optimalen Balkens 12 cm betragen soll ?

267

7 .5 Das Newton 'sche Näherungsverfahren

7 .5

Das Newton 'sche Näherungsverfahren

Die bisherigen Ausführungen im Kapitel 7 haben gezeigt , dass Nullstellen von Funktionen in vielfacher Weise eine Bedeutung haben können . Als Nullstellen der Ableitungsfunktion f einer sind sie z . B .mögliche Extremstellen der Funktion f. und als Nullstellen von f " sind sie mögliche Wendestellen von f. Durch die Nullstellen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktionen f ' und f " lässt sich daher der Verlauf von G (f ) im wesentlichen beschrei ben. Deshalb kommt der Bestimmung von Nullstellen einer Funktion eine besondere Rolle zu . Die systematische Probiermethode" zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion fist zwar ein brauchbares ,aber auch oft ein sehr langwieriges Verfahren , vor allen Dingen dann, wenn es keine ganze Zahl als Nullstelle gibt. Abschnitt 2 .4 Mit Hilfe der Ableitung einer differenzierbaren Funktion f lässt sich ein sog. Iterationsverfahren verwenden , das die Nullstellen von fdurch Wiederholung des gleichen Rechenvorganges auf einen zuvor ermittelten Wert und bei Beachtung gewisser Bedingungen mit beliebiger Genauigkeit berechnet. Die grundlegende Idee ist dabei Q < blf(b ) die folgende : f (b ) - - - - Haben die Funktionswerte f (a ) und f (b ) einer differenzierbaren Funktion f unter

IN

X

schiedliche Vorzeichen , so besitzt die Funk tion f im abgeschlossenen Intervall [a ; b ] mindestens eine Nullstelle xn . Ab schnitt 5.3 ; Nullstellensatz von BOLZANO

|

f(a) -- -

Palf(a )>

Für die folgenden Betrachtungen wird angenommen , dass die Funktion f in [a ; b ] genau eine Nullstelle xy besitzt. Das ist z. B . dann der Fall, wenn f dort streng monoton ist. Legt man an den Graphen von f im Punkt | Pa f (a ) die Tangente an , so schneidet diese die x -Achse im Intervall [a ; b ] an einer Stelle x , . Die Nullstelle xn von f liegt dann

Q fort und erhält durch die Schnittstelle x , der Tangente mit der X - Achse eine weitere An näherung an die Nullstelle xn . Durch stän dige Wiederholung des Verfahrens kann man die Nullstelle xy immer genauer ein grenzen , d .h . die Stellenwertfolge ( xn ) kon vergiert gegen xn .

- - - - - - - - - - - - - - - - --

Q legen und erhält als Schnittstelle dieser Tangente mit der X -Ach se die Stelle x, .

f ' (a )

tiit, (x) = f '( x))+(x – x ,) + f ( x )

P , < x ,1f (x )) ist Graph der Tangentenfunk tion ty : tz (x) = f' (x,)•(x – x ) + f (x ). Ihre Nullstelle und damit die Schnittstelle von G (t,) mit der x -Achse ist Lösung der Glei chung t ( x) = .

Tangentenfunktion von f im Punkt Palf (a ))

to (x) =

Tangentenfunktion von fim Punkt P., -1 > t - (x) = f (xn - 1) x = Xn - 1 - f' ( xn - 1)

neN *

Lösung : xn = Xn - 1 - f ' ( xn - j)

►

n - te Näherung

Besitzt die Funktion z. B . an den Stellen x.n – , und x , Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzei chen , so hat man die Nullstelle xy zwischen den Stellen xn - , und x , eingeschlossen . Beispiel 7 .22 Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton 'schen Näherungsverfahren Nullstellen der ganzrationalen Funktion f : f (x ) = x3 – 2x – 5 ; D (S ) = R auf 4 Nachkommastellen genau . Als ganzrationale Funktion ungeraden Grades muss die Funktion f mindestens eine Nullstelle xy besitzen . Abschnitt 2.4

lim

f (x ) = - 00 und lim f (x ) = 00

= f besitzt mindestens eine Nullstelle y

Anhand des Graphenverlauf z . B . wird klar, dass die Funktion f auch nur eine Nullstelle hat. Dies lässt sich auch durch Monotonie

f (x) = x3 - 2x - 5

untersuchungen mit Hilfe der 1. Ableitung begründen . ► Abschnitt 7.2 Wegen f (2)
liegt diese Null stelle im Intervall [2 ; 3 ). Nullstellensatz von BOLZANO

3

►

f (2) = - 1, f (3) = 16

x

269

7.5 Das Newton 'sche Näherungsverfahren Mit Hilfe der Ableitungsfunktion f ': f' (x ) = 3 x2 – 2 ; D (F ') = R und der Tan gentenfunktion to : t. (x ) = f ' (2) ( x 2 ) + f (2 )

x1 ; == 22 *

-

2 -

wird eine erste Näherung x, der Nullstelle

(2) f ' ( 2) — 10

xx berechnet.

Wegen f (2 )


liegt die Null

stelle im Intervall [2 ; 2,1 ]. Dieses Intervall hat die Intervallänge , 1. Deshalb weicht die erste Näherung auch höchstens um , 1

►

f (2) = - 1 f ( 2,1) = ,061 → Xxe [2 ; 2,1]

von dem Wert für die Nullstelle xy ab . Da mit hat man die Nullstelle auf die Vorkom mastelle 2 genau bestimmt. Mit x , = 2 ,1 als neuem Startwert wird das Verfahren wiederholt ; man erhält als zweite Näherung für die Nullstelle xy den Wert 2,094 mit drei Dezimalstellen nach dem Komma. Man kann die Genauigkeit dieses Ergebnis ses dadurch testen , indem man die letzte Ziffer um 1 vermindert bzw . erhöht und für diese neuen Werte die Funktionswerte be rechnet. Wenn das Vorzeichen wechselt, hat man die Nullstelle eingeschlossen .

| (2,1) *2 = 2 _ * = = f'(2,1) ,061 2 > TR 2= 2,094

2. Näherung

f (2,093) = – ,0173 ; f(2,095) = ,0050 → Die Nullstelle liegt im Intervall [2,093; 2,095). → Die Nullstelle xy ist durch X , auf 2 Nachkommastellen genau bestimmt.

Wiederholt man das Verfahren mit dem

►

neuen Startwert x2 = 2,094 erneut, so erhält man den Wert xz = 2 ,09455 mit 5 Dezimal stellen nach dem Komma.

2,094) xz = 2,094 – $( f '(2 ,094 )

Testet man dieses Ergebnis, indem man die letzte Ziffer um 1 vermindert bzw . erhöht, so stellt man fest, dassman die Nullstelle im Intervall [2,09454 ; 2,09456 ] eingeschlossen hat. Damit ist die Nullstelle xy durch den drit ten Näherungswert für X , auf 4 Nachkom mastellen genau bestimmt.

f (2,094 ) = - ,0062

- ,0062 = 2,094 - 11, 1545

TR

= 2,09455

3. Näherung

f (2,09454) = - ,000128 ; $ (2,09456) = ,000095 → Die Nullstelle liegt im Intervall [2,09454 ; 2,09456 ]. → Die Nullstelle xy ist durch xz auf 4 Nachkommastellen genau bestimmt. → Xy = 2,0945

Merke : Besitzt eine differenzierbare Funktion f im Intervall [a ; b ] eine Nullstelle xy , so kann man zu ) f (x ihrer Berechnung die Rekursionsformel mit dem Ausgangswert xo = a und x , = x , _ In - 1 f' ( xn - 1) mit neN * verwenden . Newton 'sches Näherungsverfahren

7 Differentialrechnung

270 Anmerkung :

Wegen des Auftretens der 1. Ableitung der Funktion f im Nenner der Rekursionsformel von NEWTON ist das Verfahren immer dann durchführbar,falls f der Bedingungf'(x) = im Intervall [a ; b ) genügt. Dann ist f in [a ; b ) auch streng monoton . Abschnitt 7.2 Besitzt f darüber hinaus an den Rändern des Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzeichen , so gibt es in [a ; b ) genau eine Nullstelle von f. Das Newton 'sche Näherungsverfahren versagt in der Regel, wenn die Tangente an den Graphen der Funktion f bei einer Näherungsstelle für die Nullstelle nahezu parallel zur X - Achse verläuft. Das gilt auch dann , wenn zwischen der Näherungsstelle und der Nullstelle eine Extremstelle oder eine Wendestelle mit nahezu paralleler Wendetangente liegt. Außerdem sollte die Nullstelle vom ersten angenommenen Näherungswert nicht zu weit entfernt sein . Beispiel 7 . 23 Bestimmen Sie 12 mit Hilfe des Newton 'schen Näherungsverfahrens auf 5 Stellen nach dem Komma genau . Um das Newton 'sche Näherungsverfahren anwenden zu können , wird die positive Nullstelle der Funktion f : f (x) = x2 – 2 ; D ( f ) = R auf 5 Stellen nach dem Komma bestimmt.

f (x ) = x2 - 2

2

Wegen f': f' (x ) = 2x ; D (f ) = R und f (1) = - 1, f (2) = 2 erhält man die Rekur sionsformel x,={ (x -1+

);neN* mit

dem Ausgangswert xo = 1 .

x

f (1) = - 1, f (2 ) = 2 = 1

Ausgangswert 2x . - 1

X - 1/ x ; = 1,5; X2 = 1,416 ; Xz = 1,41421 Testet man das Ergebnis von x3, indem man die letzte Ziffer um 1 vermindert bzw . er höht, so stelltman fest, dass man die Null stelle eingeschlossen und schon auf 4 Nach

|(1,41420) = – ,000038 ; $ (1,41422) = ,000018 X4 = 1,41421356 f (1,41421355) = - ,00000003 | (1,41421357) = ,00000002

kommastellen genau bestimmt hat. Ein weiterer Iterationsschritt liefert dann

→ XNE [1,41421355 ; 1,41421357]

die Nullstelle sogar schon mit 7 Nachkom mastellen genau .

→ Der Fehler von X4 liegt nur in der letzten De zimalstelle .

271

7.5 Das Newton 'sche Näherungsverfahren Ein Computerprogramm zum Newton 'schen Verfahren Das Beispiel 7.23 zeigt, dass das Newton verfahren bereits nach wenigen Iterations schritten sehr genaue Ergebnisse liefern kann. Verwendet man für die Rechnung einen Taschenrechner, so können sich den noch wegen der Vielzahl von Tastenbetäti gungen leicht Eingabefehler einschleichen .

Pascal- Programm „ Newtonverfahren “ : WNA 1 PROGRAM Newtonverfahren ; 2 USES Crt ; CONST d = 1E - 8 ; nmax = 50 ; 4 VAR q , x : Real ; n : Integer ; 01 FUNCTION f ( x : Real ) : Real ; 6

Da sich andererseits derselbe Rechenzyklus mehrmals wiederholt, bietet sich die Umset zung in ein Programm für einen program mierbaren Taschenrechner oder einen Com puter geradezu an . Der nebenstehende Quelltext stellt eine Realisierung des Verfahrens in Turbo -Pas cal dar. Nach Eingabe eines Startwertes (Zeile 15) erfolgt in der REPEAT-UNTIL Schleife die Iteration so lange , bis die ,,Kor

O 10 AWNA 11 13 OU

00

rektur“ - f (x )/f '( x) betragsmäßig kleiner ist als eine vorgegebene Zahl d , wobei die Anzahl n der Iterationen durch nmax be grenzt ist. Falls das Programm für eine an

NA

dere Funktion angewendet werden soll, so sind nur die Zeilen 7 (Funktionsterm ) und

W

BEGIN f : = x *X - 2 ; END ; FUNCTION f1 ( x : Real) : Real ; BEGIN f1 : = 2 * X ; END ; BEGIN Clrscr ; n : = ; Write ( ' Startwert : ' ) ; Readln ( x ) ; REPEAT q : = - f ( x ) / f1 ( x ) ; X : = x + q ; n : =n + 1 ; writeln ( n : 3 , x : 20 : 10 ) ; UNTIL ( abs ( q ) < d ) OR ( n > = nmax ) ; Writeln ( ' Ende : < Enter > ' ) ; Readln END .

11 ( Term der 1. Ableitung) zu ändern. ► Aufgabe 4

Übungen zu 7.5 1. Zeigen Sie : Wenn eine Stellenwertfolge (x» ) mit xo = a und xn = Xn -1 - IX des Newton'schen Nähe f ' ( x , –1 - 1) rungsverfahrens konvergiert, dann muss sie gegen eine Nullstelle der Funktion f konvergieren . 2 . Begründen Sie , dass nachfolgende Funktionen mindestens eine Nullstelle besitzen sowie im jeweils angege benen Intervall I streng monoton sind , und bestimmen Sie nach dem Newton 'schen Näherungsverfahren jeweils die Nullstelle der folgenden Funktionen f mit dem Definitionsbereich D ( S) = R auf wenigstens 3 Nachkommastellen genau . a ) f : f (x ) = x - 2x - 5x - 3 ; I = [3 , 4 ] b ) f: f ( x ) = x2 - x2 - 8x - 7 ; 1 = [3 ; 4 ) c ) f : f ( x ) = ,5x2 - x² + x - 1 ; 1 = [1 , 2 ] d ) f : f (x) = ,25 x ? - ,25 x² + 1,25x - 1 ; I = [ ; 1] e ) f : f ( x ) = - x + 2x² + 2 ; 1 = [2 , 3 ] f) f : f (x) = x - 3x° + 5 ; 1 = [ - 2 ; – 1] g) f : f (x) = x + x – 4 ; 1 = [1; 2 ] h ) f :f (x) = ,1x5 – ,2x* + 3x3 – 1; 1 = [ ; 1] 3. Bestimmen Sie nach dem Newton 'schen Näherungsverfahren die folgenden Wurzeln aufwenigstens 3 Nach kommastellen genau. a) 13

b) 15

c) V11

d) / 19

h ) i 19 -

i) i 37

;

√ 456

e

) 131 k )1 5

) V 526 11 15

g) 95 4 . Bearbeiten Sie die Aufgaben 2 und 3 mit Hilfe eines Computerprogramms. Verwenden Sie dazu entweder eine verfügbare Software, die das Newton 'sche Verfahren anbietet, oder das obige Pascal-Programm in Verbindung mit entsprechender Software ( Turbo- Pascal). Falls Sie eine andere Programmiersprache und - umgebung bevorzugen , so kann das obige Programm als Anregung dienen .

272

7 .6

7 Differentialrechnung Untersuchung weiterer Funktionenklassen

Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion Ein Körper gleitet auf einer Bahn , die bei geeigneter Maßstabswahl in guter Nähe rung einem Teil des Graphen der Kosinus funktion entspricht. Es steht die Aufgabe,

f(x) 4 1 +

für jeden Bahnpunkt die dabei auftretende Gleitreibungskraft zu berechnen . Die Reibungskraft ist der sog. Normalkraft proportional, die in jedem Punkt der Bahn in Richtung der Normalen der Kurve in die sem Punkt wirkt, welche wiederum senk recht auf der

entsprechenden

Tangente Normale

Tangente

steht. Die Aufgabenstellung führt also auf das Problem , die Ableitungsfunktion der Kosinusfunktion zu ermitteln .

Beispiel 7.24 Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f ' der Funktion f : f (x) = cos x ; D (f ) = R . Zur Berechnung der Ableitung f ' (x ) an einer beliebigen Stelle x ,ED (f ) wird die Dif ferenzenquotientenfunktion

_ cos (xo + h) - cos Xo d (h ) = Anwendung des Additionstheorems:

di dah ) = f(xo + h ) - f (xo) : D (d) = R * h

hầsin xp sinh - cosx ) d1 ( h, ) =_ cos xp cos

gebildet und ihr Grenzwert an der Stelle bestimmt.

Ausklammern von cos x , und ordnen : cos h - 1 sin hh sin - sin x .. d (h) = cos xocos h

Setzen wir für die Winkelgröße h ( im Bo genmaß) betragsmäßig immer kleinere Zah len ein , so nähert sich der Wert des Terms sinh 11 und der Wert des Terms h der U Zahl LA cosh - 1 dem Wert .

Es gilt :

f ' (x ) = - sin x , ist die Ableitung der Funk tion f: f (x ) = cos x an einer beliebigen Stelle

1 lim cos h h→0 h

Sinh , lim h h

1.

Damit : d ( h ) = cos xp

cos h - 1 sinh 1, - sin Xo .

X, ED (S ). Die zugehörige Ableitungsfunktion ist f': f'(x ) = - sin x ; D (F ') = R .

lim d (n) = cos Xp: h

-

sin xo: 1

→ h0 lim d (h ) = f' (x ) = - sin Xo.

Auf gleichem Wege ergibt sich die Ableitungsfunktion g' der Funktion g: g (x) = sin x ; D (S) = R : g': g '(x ) = cos x ; D (g') = R . ►

Aufgabe 1

273

7 .6 Untersuchung weiterer Funktionenklassen

Die Ableitung von Exponentialfunktionen Im Abschnitt 2.6 haben wir Exponentialfunktionen untersucht, mit denen verschiedene Wachs tums- und Abnahmeprozesse beschrieben werden können . Bei solchen Prozessen wird häufig nach der Wachstumsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt gefragt. Diese ergibt sich als Ableitung der entsprechenden Exponentialfunktion im jeweiligen Zeitpunkt. Es entsteht damit die Aufgabe, Ableitungsfunktionen von Exponentialfunktionen zu berechnen . Wir betrachten die Exponentialfunktionen fa: fa(x) = a *; a >

; D ( fa) = R .

Die Graphen der Funktionen fa besitzen im

f( x) = 1,5 %

Punkt P < | 1 ) stets eine Tangente , deren Anstieg positiv ist. Der Anstieg ist offen sichtlich umso größer, desto größer die Ba sis a der jeweiligen Exponentialfunktion ist. Unter allen diesen Exponentialfunktionen wollen wir diejenige auszeichnen , deren Tangente in P den Anstieg 1 besitzt : qoth _ a . ah - 1 ) = lim w = lim - = 1. hoh o - h Die Basis a mit dieser Eigenschaft wird mit dem Buchstaben e bezeichnet. Die soge nannte Euler'sche Zahl e ist also diejenige reelle Zahl, für die gilt:

f(x ) = et

lime" - 1 h h -> Die Zahl e ist eine Irrationalzahl. Ein Nä herungswert für e ist 2,718281828459 . Wir ermitteln nun die Ableitungsfunktion f ' der e- Funktion f: f( x) = e*; D ( S) = R , indem wir zunächst an einer beliebigen Stelle x ,eD (F ) die für heR * definierte Differenzenquotientenfunk tion d bilden und anschließend ihren Grenzwert an der Stelle bestimmen . Bildung der Differenzenquotientenfunktion

exo + h - exo

exo. eh - exo

dan - | (xo + h) - f (xo): D (d) = R *. Berechnung des Grenzwertes der Differen zenquotientenfunktion an der Stelle unter Verwendung der Beziehung hlim - "" h 1 = 1.

7 eh - 11 en - 1 = eo. lim lim d (h ) = lim leo . = exo . 1 h0 h→0 h h h = e* = f(xo)

Die Funktion f mit f ( x) = e ist also für alle x , ER differenzierbar ; es gilt : f '(x ) = f (x ) = e . Dies bedeutet, dass die Ableitungsfunktion der e -Funktion wieder die e-Funktion ist. Auf der Grundlage dieses Ergebnisses können wir nun auch die Ableitung einer Exponentialfunk tion mit beliebiger positiver und von 1 verschiedener Basis a ermitteln .

274

7 Differentialrechnung

Wir bilden für die Exponentialfunktion zu f (x ) = af mit aeR > ° \ { 1 } und D ( S) = R die

d (h) =

axo + h - a * o afo . ah - aXo - = h h

Differenzenquotientenfunktion d , ersetzen im Zähler des Bruchtermsan die Basis a durch den gleichwertigen Term elna und er weitern schließlich mit In a. Strebt h gegen

satz auch k = h .In a gegen eh - lna - 1

lim h-

h . In a

h . In a

, so geht nach Grenzwert ; deshalb gilt :

. ek - 1 = lim = 1. 670 k

Wir erhalten : eh Ina - 1 limona - = a o . In a . lim d (h ) = qxo.In a -h h→0 h . In a Die zugehörige Ableitungsfunktion ist also f ': f' (x) = a* . In a ; D (f ') = R .

Beispiel 7.25

Der Term

der Ableitungsfunktion zu f (x) = 2* ist f'(x) = 2 *.In 2 ~ ,693. 2%.

Merke : • Die Sinusfunktion f : f (x ) = sin x ; D (S ) = R besitzt die Ableitungsfunktion f ': f '(x ) = cos x ; DIF') = R . • Die Kosinusfunktion f : f (x ) = cos x ; D (S ) = R besitzt die Ableitungsfunktion f': f '(x ) = - sin x ; D (F ') = R . . Die e-Funktion f :f (x ) = e*; D (S) = R besitzt die Ableitungsfunktion f': f'(x ) = et; D (S ') = R . Für die spezielle Exponentialfunktion mit der Basis e = 2,718 ... gilt also : (e*) = e*. • Die Exponentialfunktion f : f(x) = a*; D (S) = R besitzt die Ableitungsfunktion f': f'(x) = a*. In a ; D [f') = R .

Weitere Ableitungsregeln Bei Aufgabenstellungen in der Technik ergeben sich nur selten Funktionen , deren Terme von einfacher Gestalt wie beispielsweise x " , sin x , ex, etc . sind . Vielmehr treten häufig Funktionsterme auf, die durch unterschiedliche Verknüpfungen mehrerer einfacher Terme entstehen . Beispiele 7 .26 1 ) Bei einer Rakete , die durch den Treibstoffverbrauch an Masse verliert, sind sowohl die Masse m als auch die Beschleunigung a Funktionen der Zeit t. Die wirkende Kraft F (t) ist damit gleich dem

Produkt m (t). a (t) zweier zeitabhängiger Funktionen .

2) Für den Widerstand eines Leiters, bei dem sich sowohl die stoffliche Zusammensetzung (und damit der spezifische Widerstand o ) als auch der Querschnitt A mit zunehmender Länge ländern , gilt die Formel R (1) = 240 "; R ist also Quotient zweier Funktionen von l. 3) Für die Wechselstromstärke i gilt beispielsweise i(t) = i, sin (ot + ); hier liegt also eine Verket tung der Sinusfunktion zu i = sin z mit der linearen Zeitfunktion zu z = ot + q vor. Im

Folgenden werden Ableitungsregeln für solche Funktionen entwickelt.

275

7 .6 Untersuchung weiterer Funktionenklassen Die Ableitung des Produktes zweier differenzierbarer Funktionen

Sind die Funktionen u und v an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Summenfunktion utu dort differenzierbar und es gilt die Summenregel: (u (x) + (u (x))' = u'(x ) + D'(x ). Man könnte nun vermuten , dass auch für das Produkt gilt : (u (x )- (v (x ))' = u' (x ). v' (x ). So einfach können die Verhältnisse aber nicht liegen. Denn wählt man beispielsweise u (x ) = x2 und v (x) = 1, so erhältman auf der linken Seite der letzten Gleichung den Term 2 x , rechts aber den Term ; die Gleichung ist also nicht allgemein gültig . Um eine allgemein gültige Formel für die Ableitung des Produktes zweier an der Stelle x differen zierbarer Funktionen u und v zu gewinnen , bilden wir die Differenzenquotientenfunktion d zur Funktion fmit f (x) = u (x)•v (x ). Im Zähler des Quotienten subtrahieren wir den Term u (x)•v (x + h ), addieren ihn aber sogleich wieder, zerlegen dann den Bruch term und klammern schließlich so aus, dass sich Differenzenquotienten der Funktionen u und v ergeben .

am _ f (x + h) - f(x) _ u (x + h)+ (x + h) – u (x)v (x) u ( x + hv( x + h ) - u (x ) (x + h ) + u ( x ) (x + h ) - u ( x ) (x ) h u(x + h )v (x + h) – u (x)v (x + h) ,+ u (x)v(x + h) – u (x)v(x) h _ u(x + h)– u(x).v(x +h)+u(x)."(x + h)— v(x)

Wegen der Differenzierbarkeit von u und v u (x + h) – u(x ) = u ' ( x an der Stelle x ist lim ) und lim h -

) (x + h) — v (x * ) = v (x);aus der Diffe

- u (x ) d(h ) = lim u (x + h) W . lim v (x + h ) lim hh + h) — v(x) +lim u(x).Lim "(x = u'(x )•v (x ) + u ( x )• v'(x )

renzierbarkeit von v folgt die Stetigkeit von v, also :ho lim v (x + h ) = v (x).

Die Produktfunktion fru v zweier Funktionen u und v ist also an allen Stellen x differenzierbar, an denen sowohl u als auch v differenzierbar sind ; für die zugehörige Ableitungsfunktion gilt : f '(x ) = u '(x )•v (x) + u (x )•v '(x ). Damit haben wir die Produktregel bewiesen . (u (x)•v (x)) = u'(x)=v (x ) + u (x)•v*(x)

Beispiel 7.27 Wir ermitteln den Term der Ableitungsfunktion f ' zu f (x ) = (2x - 3). cos x . Mit u (x) = 2x – 3, also u'(x) = 2, und v(x) = cos x, also v'(x) = - sin x, ergibt sich : f'(x) = u '(x)=v (x) + u (x)•d'(x) = 2 .cos x + (2x - 3).( - sin x) = 2cos x - (2x - 3)sin x.

7 Differentialrechnung

276 Die Ableitung des Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen

Zur Herleitung einer Formel für die Ableitung der Quotientenfunktion f = " zweier an der Stelle x differenzierbarer Funktionen u und v (mit v (x) = ) könnte man die Gleichung f (x) = "(* nach u (x ) auflösen , in der sich ergebenden Gleichung f (x )•v (x) = u (x ) auf beiden Seiten formal die Ableitung bilden (links mit Hilfe der Produktregel) und schließlich die dabei entstehende Gleichung nach f '(x) auflösen : f'(x)v (x) = f(x)v?(x) = u'(x)

^

f'(x)+ (x) + "U (*) (X )

(x) = u'(x)

crow _ u'(x) (x) – u (x) u'(x) f'(x) = [v (x)]

=

Dabeiwürde man allerdings stillschweigend voraussetzen , dass die Quotientenfunktion f = " diffe renzierbar ist. Dies ist aber nicht selbstverständlich . Zum Beweis der Differenzierbarkeit ist also wie bei der Produktregel der Nachweis der Existenz des Grenzwertes der Differenzenquotienten funktion erforderlich . Wir können diesen Beweis allerdings etwas vereinfachen , wenn wir zunächst die Kehr wertregel herleiten, indem wir die Differen zenquotientenfunktion d zur Funktion g = . untersuchen . Wegen der Differenzierbarkeit von v an der : v (x + h ) - v ( x ) Stelle x ist lim = ' (x ); aus der h 1-0 Differenzierbarkeit von v folgt die Stetigkeit

g (x + h) - g (x) dan -_ 8674 h d(

v (x )

v (x + h ) - v (x ) v (x ) - 1 ( x + h ) v (x) + (x + h). h lim

v (x )v (x + h )

v (x + h ) - v ( x )

lim d (h ) = = h→0 lim v ( x ) lim v ( x T+ "h )) 1 - " h-

von v, also lim v (x + h) = v (x ). h Die Funktion g = ! (mit v ( x ) =

v (x + h )

D' (x ) [u(x)] ) ist also an allen Stellen x differenzierbar, an denen auch v

differenzierbar ist; für die zugehörige Ableitungsfunktion gilt : ) g'(x) = ( 1

(x) [u(x)]?

Aus der Produktregel folgt nun, dass die Quotientenfunktion f = " ebenfalls an allen Stellen x differenzierbar ist, an denen sowohl u als auch v differenzierbar sind, denn der Funktionsterm v (( x ) kann als Produkt in der Form u (x) de geschrieben werden . Die Quotientenregel (u (x )\' v (x ))

u '(x ): v (x ) - u (x )• v'(x ) [u (x )]?

kann nun unmittelbar mit Hilfe der Pro duktregel aufgestellt werden .

8'(x)=( *) =(u(x)oct) ==(w ).

+uw ).(-fuery)

_ u'(x )=v(x) – u (x)•v'(x) [v (x)]

Beispiel 7 .28 Wir ermitteln den Term der Ableitungsfunktion f' zu f(x) =

x3 - 2x2 7 . x - 1

Mit u (x) = x3 – 2x2, also u'(x) = 3x² – 4x, und v (x) = x - 1, also v'(x) = 1, ergibt sich : _ u'(x)•v(x) – u (x) •v *(x) _ (3 x2 - 4x)+(x - 1) - (x2 – 2x2). 1 _ x :(2x2 – 5x + 4) (x - 1 ) (x - 1) [v (x)]

277

7 .6 Untersuchung weiterer Funktionenklassen Die Ableitung verketteter Funktionen

Besitzt eine Funktion beispielsweise den Funktionsterm sin (ax + b ), dann sprichtman von verket teten Funktionen , denn bei dem betrachteten Beispiel hat die Sinusfunktion nicht einfach das Argument x , sondern es wird der Sinus des linearen Funktionsterms g (x ) = ax + b gebildet. Man schreibt deshalb : f (g (x )) = sin (ax + b). Ist die Ableitung einer solchen Funktion gesucht, so wäre wieder der Grenzwert der entsprechen den Differenzenquotientenfunktion d : d (h ) = f(g(x + h ) --(g(x)) zu bilden . In vielen Fällen kann man aber auch spezielle Gesetzmäßigkeiten ausnutzen , um die Ableitung zu erhalten . Wir betrachten zwei Beispiele . Beispiel 7.29

Ableitung der Funktion mit dem

Es ist die Ableitung der Verkettung mit dem Funktionsterm f (g ( x )) = sin (2x) zu bilden . Dabei wenden wir die bekannten Formeln

Funktionsterm sin (2x)

( sin (2x )) = (2 .sin x .cos x ) = 2(cos x cos x + sin x :( - sin x)) = 2 (cosẽ x - sin ? x )

für sin (2x) und cos (2x ) (S. 118 ) an . Die Ab leitung bilden wir mit der Produktregel. Beispiel 7.30

= 2 . cos(2x)

Ableitung der Funktion mit dem

Es ist die Ableitung der Verkettung mit dem Funktionsterm f (g ( x )) = e3x + 5 zu bil den . Dabei wenden wir die Potenzgesetze an : e3x + 5 = (eº)*. e . Bei der Bildung der Ab leitung nutzen wir die Regel (a *) = a * In a .

Funktionsterm

e3x + 5

(e3x + 5) = ((e ?)*. es) = (23)¥. In (e ).es = e3x . 3 . es = 3 . e3x + 5

Bei beiden Beispielen fällt auf, dass sich die Ableitung der Verkettung als Produkt aus der Ablei tung der inneren Funktion g an der Stelle x und der äußeren Funktion f an der Stelle g (x ) ergibt; bei beiden Beispielen gilt also : [ f (g (x))]’ = g'(x)=f '(g (x)). Diese Regel gilt allgemein , wenn die innere Funktion g an der Stelle x und die äußere Funktion f an der Stelle g (x) differenzierbar sind . Die Ableitungsregel heißt Kettenregel, man schreibt sie meist in der Form [f(g(x) ]' = f'(g (x))- g'(x). Wir bestätigen die Regel anhand eines weiteren Beispiels. Beispiel 7.31

Ableitung der Funktion mit dem Funktionsterm (2x3 + 1)2

Es ist die Ableitung der Verkettung mit dem Funktionsterm f (g (x )) = (2x3 + 1)2 zu bil

(2x + 1)2) = 2 (2x3 + 1). 6 x2 = 12 x? (2 x3 + 1)

den . Die äußere quadratische Funktion f besitzt Die Ableitung 2 g ( x ) = 2 (2x + 1 ), die Ableitung der inneren Funktion g ist 6x2. Wegen (2 x3 + 1)2 = 4x6 + 4x3 + 1 kö nnen wir die Ableitung auch auf herkö mmlichem Wege bilden und vergleichen .

(2 x + 1)2) = (4x® + 4x3 + 1)' = 24 x3 + 12x2 = 12 x? (2x3 + 1)

278 Übungen

7 Differentialrechnung zu 7.6

1 . Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f ' der Funktion f : f ( x ) = sin x ; D ( S) = R , indem Sie den Grenzwert der zugehörigen Quotientendifferenzenfunktion d für h→0 bilden . ► Ableitung der Kosinusfunktion , S . 272

Übungsaufgaben zur Produktregel 2 . Ermitteln Sie die Ableitungsfunktion. b ) f (x ) = x . cos x a ) f (x ) = x2 . sin x d ) f (x ) = e *. sin x e ) f ( x ) = e * . (x3 – 7x2 + 5x )

c ) f (x ) = e* . (x² - 1) f) f (x ) = e * sin x . cos x

3. Bestimmen Sie die 1. und die 2 . Ableitung. a ) f (x ) = (2x - 3 ) (x - 2x) b ) f ( x ) = e * . (x2 - 3) e) f ( x ) = (2 + e * sin x )(x2 - 3 ) d ) f (x ) = e *. (x + + sin x )

c ) f (x ) = ( x4 - 2 ) sin x f) f (x ) = ( x2 - cos x )( et - sin x )

Übungsaufgaben zur Quotientenregel 4 . Ermitteln Sie die Ableitungsfunktion. 2x2 b ) f(x ) = 4x - 3 ( x2 - 1) . sin x e) f (x ) = 73 + 1

2 sin x c) f (x ) = 72 + 1 (x } – 2x²).e * f) f (x )= 3 - (3 + sin x)

b ) f(x ) = e - ,5% e) f (x ) = (1 - cos x )

c ) f (x ) = ( x2 – 3) f) f (x ) = ecos(2x)

a ) f ( x ) = sin (2x + 5 )

b) f(x) = e*+1. sin (2x + 2)

c) f(x)= (x 373x)"

d) f(x) = 3-e -2 . sin ( 2x - 4)

e) f(x) = (ex* - =x 2)3

a) f(x)= " et - 1 d ) f( x) = že ' + 1

Übungsaufgaben zur Kettenregel 5 . Bilden Sie die 1. Ableitung. a ) f (x ) = sin (3x + 2 ) d ) f (x ) = 3 .e2x + 1

Vermischte Aufgaben 6 . Ermitteln Sie die 1. Ableitung.

7 . Ermitteln Sie eine Ableitungsregel für die Tangensfunktion . 8 . Ermitteln Sie eine Ableitungsregel für die In - Funktion , indem f (g (x )) = enx = x und g (x ) = In x setzen.

Sie in der Formel für die Kettenregel

9 . Eine gedämpfte Schwingung kann durch den Funktionsterm f (t) = e -il. sin (@ t + o ) beschrieben werden . a ) Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion f'. auf die Graphen von f und f ' mit Hilfe eines b ) Untersuchen Sie den Einfluss der Parameter 2 , o und Computerprogramms zur Darstellung von Funktionsgraphen .

279

7.6 Untersuchung weiterer Funktionenklassen 10 . Für das Weg-Zeit-Gesetz einer ungedämpften Schwingung eines Federpendels der Masse m und der Federkonstanten D gilt s (t) = A . sinf Wm Dabei ist А die Amplitude. Ermitteln Sie Funktionsterme für die Geschwindigkeit s (t) und die Beschleunigung s (t). Drücken Sie die Beschleunigung mit Hilfe der Weg -Zeit Funktion aus.

11. Bei einem schrägen Wurf gilt für die erreichte Höhe das Gesetz - 5x² h (x ) = x .tana (vo. cos a ) Dabei ist a der Wurfwinkel, v , die Abwurfge schwindigkeit und x der horizontal zurückge legte Weg . Berechnen Sie mit Hilfe der Diffe rentialrechnung den höchsten Punkt und überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie den Scheitelpunkt der Parabel ermitteln . Wie weit fliegt der Körper ? Zusatz: Bestimmen Sie den Abwurfwinkel für die maximale Wurfweite .

12 . Ein Strom fließt durch eine elektrische Spule mit der Impedanz L . Der Strom sei abklin gend : i (t) = i,. e - 1. Dabei ist i, die Anfangsstromstärke und a eine (positive ) Abklingkonstante. Ermitteln Sie einen Funktionsterm u (t) = L . i (t ) für die induzierte Spannung u .

13. In der Nachrichtentechnik werden zur Ü ber tragung kleine Leistungen verwendet. Daher muss man den jeweiligen Verbraucher so an die Energiequelle anpassen , dass möglichst wenig Energie ,, verlorengeht“ , d . h ., dass der Verbraucher möglichst viel von der abgege benen Leistung aufnimmt. Als Beispiel betrachten wir als Energiequelle einen Verstärker mit dem Innenwiderstand R , als Verbraucher eine Lautsprecherbox mit dem Anpassungswiderstand R . Für die Lei stungsaufnahme P des Lautsprecher gilt : PORUZ .RO P (R ) ( R + R ) Wie muss man den Widerstand R , des Laut sprechers wählen , damit dessen Leistungsauf nahme maximal wird ?

0000000

h(x)

i(t)

ult)

iſt)

280

8

Integralrechnung

Die Differentialrechnung ist aus dem

Bedürfnis heraus entstanden , den Anstieg der Tangente in einem Punkt des Graphen einer Funktion zu berechnen ( Tangentenproblem ), die Integralrechnung aus dem Bedürfnis heraus, den Flächeninhalt krummlinig begrenzter Flächenstücke zu ermitteln ( Flächeninhaltsproblem ). Während sich das eine auf eine Eigenschaft im Kleinen bezieht, befasst sich das andere mit einer Eigenschaft im Ganzen . Trotz dieses grundlegenden Unterschiedes besteht eine so enge Beziehung zwischen den beiden Problemen , dass beide unter gewissen Voraussetzungen als Umkehrungen voneinander angesehen werden können , ähnlich wie die Multiplikation und die Division Umkehrungen voneinander sind . Das ist im wesentlichen der Inhalt des sog. Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, der im Folgenden erarbeitet wird. Beispiele 8 . 1 Wie groß sind die Maßzahlen der Inhalte der jeweiligen markierten Flächen ?

• fi : f (x) = 3; D

)= R.

f,(x) = 3

Aus der Zeichnung erkennt man , dass der Rechteckinhalt 12 FE umfasst; die Flä chenmaßzahl ist somit 12. Variiert man die Grundseitenlänge des Rechtecks, so erhält man in Abhängigkeit dieser Länge verschiedene Maßzahlen für die einzelnen Flächeninhalte ; dabei bleibt die Rechteckbreite erhalten . Somit kann man die Inhalte der jeweiligen

Rechtecksinhalt : „ Breite· Länge“

Flächen in Abhängigkeit von x durch die Funktion A1: A1(x ) = 3 x ; D ( A ) = R aus drücken .

A (4) = 3 .4 = 12 .

Die markierte Fläche hat den Inhalt 16 FE .

• fa: f2 (x) = 2x ; D []) = R .

Die Maßzahlen der Dreiecksflächeninhalte sind das Produkt aus den Höhen (82(x) = 2x) und den halben Grundseitenlängen ( ,5x).

f (x) = 2x

Für verschiedene x-Werte gilt also : A2: A2(x) = (2x) ( ,5x) = x?; D ( A2) = R .

2

3

4

A2 = A2 (4) = (2- 4) ( ,5 -4 ) = 16 . Dreiecksinhalt : ,,Höhe .halbe Grundseitenlänge “

Die markierte Fläche hat den Inhalt 28 FE.

281

• fa: f3(x) = 2x + 3; D (43) = R .

Dabei setzt sich die Flächenmaßzahl des

vi

Trapezes OACD aus den Maßzahlen des Dreiecks DBC und des Rechtecks OABD

10

f (x ) = 2x + 3

zusammen . Für verschiedene x -Werte gilt : Az: Az(x) = (2x) ( 5x) + 3 x = x2 + 3x ; D (A3) = R .

Az(4 ) = (2- 4) ( ,5 -4 ) + 3. 4 = 28 . „ Dreiecksinhalt + Rechtecksinhalt " Alle Flächenmaßzahlen der Flächen unterhalb der Graphen in den Intervallen [ ; x ] hängen von der oberen Intervallgrenze für x eindeutig ab und bestimmen somit jeweils eine Funktion A . In den folgenden Beispielen soll einerseits die Abhängigkeit des Flächeninhalts von der Länge des Intervalls untersucht sowie andererseits Zusammenhänge zwischen der Flächenmaßzahlfunktion A und der Funktion f, deren Graph die Fläche begrenzt, dargestellt werden . Dabei soll auch hier zunächst der Flächeninhalt der markierten Fläche elementar und dann die zu f gehörende Flächenmaßzahlfunktion A bestimmt werden . Beispiel 8 . 2 Die markierte Fläche ist genauso groß wie die markierte Fläche aus den Beispielen 8.1. Das Flächenstück ist hier aber gegenüber

• fi: fi (x ) = 3; D ( ) = R . IXTE 39

D

(x) = 3

dem aus den Beispielen 8.1 in Richtung der positiven x -Achse verschoben . Nach den Beispielen 8.1 gilt: Aj (x) = 3 x.

Zur Berechnung der Maßzahl dieser mar kierten Fläche kann man zunächst die Maßzahl der Fläche des Rechtecks OBCE bestimmen und davon die Maßzahl der Flä

5

x

A (OBCE ) – A, (OADE ) = A ,(5) – A (1)

che des Rechtecks OADE abziehen .

= 3.5 – 3 .1 = 3 (5 – 1) = 3 .4 = 12 = A ,(4 ). 55 Anstelle von A (5) – A (1) schreibtman auch A, (x ) = x undmeint hiermit die Flächeninhalts formel des Flächenstücks unterhalb des Graphen von f im

Intervall [1 ; 5 ).

282 Beispiel 8 .3 Nach den Beispielen 8 . 1 gilt : Az (x ) = x² + 3x.

8 Integralrechnung • $3 : 13 (x ) = 2x + 3 ; D ( 3) = R . y f3(x) = 2 x + 3

Die Inhaltsmaßzahl der markierten Fläche entspricht der Differenz der Maßzahlen der gesamten Trapezfläche OBCE und der Flä che des Trapezes OADE, wobei zur Verein fachung wieder zunächst wie in den Beispie len 8 . 1 die entsprechenden Dreiecks- und Rechtecksflächenmaßzahlen bestimmt wer den .

2 Auch hier lässt sich die Maßzahl der sog. Differenzfläche in der Schreibweise 14 Az(x ) = x2 + 3x angegeben .

3

4

5

Az (OBCE) – Az (OADE) = A3(4) – Az (1) = (2- 4) ( ,5 -4 ) + 3. 4 - [(2 . 1) ( ,5 - 1) + 3 . 1)] = 42 + 3.4 - ( 12 + 3 . 1) = 24

Bei allen Beispielen ergeben sich ganzrationale Flächenmaßzahlfunktionen A , die als solche in den betrachteten abgeschlossenen Intervallen differenzierbar sind, wobei an den Intervallgrenzen nur die einseitige Differenzierbarkeit gemeint ist . Bildet man die Ableitungen A’ aller Flä - | A| (x) = 3x + A {(x) = 3 = fi(x) chenmaßzahlfunktionen A , so fällt auf, dass | Az (x ) = x2 → A (x ) = 2x = f2(x ) | Az(x ) = x2 + 3 x bei allen Beispielen A '(x ) = f (x ) gilt. A (x ) = 2x + 3 = f (x ) Bisher wurden nur Maßzahlen von Flächen berechnet, die von Graphen linearer Funktionen begrenzt waren . Den allgemeinen Zusammenhang zwischen A und f stellt die folgende Betrach tung her : Beispiel 8 .4a

f : f ( x ) = x2 + 1 ; D ( F ) = R

Lässt sich z . B . auch eine Maßzahl der Flä che zwischen der X -Achse und dem Gra phen von f : f (x ) = x2 + 1; D ( S) = R im In tervall ( xo; Xo + h ] mit h > bestimmen , ob wohl die Fläche durch den Graphen nicht geradlinig begrenzt wird ? Ist auch die zu f gehö rende Flächenmaßzahlfunktion A dif

f (x ) = x2 + 1

ferenzierbar ? Die Maßzahlder markierten Fläche lässt sich nach unten und oben abschätzen . Denn : Die Funktion f ist in D ( ) stetig, also auch in jedem Intervall (Xo; Xo + h ].

*o + h

283 Wählt man daher für die stetige Funk tion f allgemein zwei Stellen xo und Xo + h (h > ) aus D ( S) als Intervallgrenzen , so ist die Maßzahl der Differenzfläche

f stetig , h > |

h .f (x ) < A (x , + h) – A (x ) < h .f (x + h )
F(x)= -* **+ 2x

tung von f. Da F Stammfunktion von f im

Intervall

[ - 2 ; 2 ) ist, kann man die Flächenmaßzahl für die Fläche im Intervall [ ; 2 ] auf die Be rechnung der Differenz F (2 ) – F ( ) zurück führen . Will man nun die Maßzahl der Gesamtflä che berechnen und bildet dazu die Differenz F (2 ) - F ( - 2), so erhält man als Ergebnis , obwohl man für das punktsymmetrisch lie

F( 2)=F()=F )| –,258°+2x2 lo = - 4 + 8 - ( + = 4. Flächenmaßzahl in [ ; 2 ]

f(2)=F(-2)=F( )1 - , 2 = - ,25x*+ 2x %, =

- 4 + 8 - ( - 4 + 8)

gende Flächenstück eher eine Verdoppe lung des ersten Flächeninhalts vermuten würde. Die formale Berechnung der Flächenmaß zahl für die Fläche im Intervall ( - 2 ; ), also von F ( ) - F ( - 2), ergibt mit – 4 eine nega tive Zahl. Da aber auch die Maßzahl einer Fläche un terhalb der X - Achse positiv sein muss , be rechnet man den Betrag | F ( ) - F ( - 2) = 1 - 41 = 4.

dieser

FO)–F(-2)=E( )* =- ,25x*+2x51 = ( - ( - 4 + 8 ) = - 4.

[ F ( ) – F ( - 2) = 1 - 41 = 4 .

Flächenmaßzahl in [ - 2 ; ]

Zahl

Um die Maßzahl der markierten Fläche zu ermitteln , muss also zwischen der oberhalb der X - Achse und der unterhalb der X - Achse liegenden Fläche unterschieden werden . Man sagt, die eine Fläche ist positiv orientiert, die andere negativ orientiert.

288

8 Integralrechnung

Die Maßzahl der Gesamtfläche ist somit die Summe der Beträge | F ( ) – F ( - 2) und | F (2) — F ( )), die sich zwischen den Nullstel len der Funktion f bilden lassen . Hierbei kann man die Betragsstriche bei der positiv orientierten Fläche auch weglassen .

|F ( ) – F ( - 2)] + \F (2) - F ( )| lo 12 = 4 + 4 = 8.

10

12

Im Unterschied zu 1

F (x)

1- 2 Trotzdem hat auch F (x)

Flächenmaßzahl in [ – 2; 2]

1-2

keine Flächenmaßzahl an .

oft die Bedeutung einer Flächenmaßzahl, wobei F eine Stammfunktion

einer Funktion f in einem Intervall [a ; b ) ist.

Beispiel 8.4 a

Daher führt man für die Differenz F (b ) – F (a) einen allgemeinen Namen und eine besondere Schreibweise ein . Ist F eine Stammfunktion einer Funktion f in einem Intervall [a ; b ] < D ( f ),dann heißt die Zahl für F (b ) - F (a) das Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b und wird mit 5 f(x)dx bezeichnet. Es gilt also : 5 f (x) dx = F (b) – F (a). Das Zeichen 5 f (x) dx lässt sich historisch erklären ,aber beidieser Einführung in die Integralrech nung nicht verständlich machen . Insbesondere kann hier nicht begründet werden , warum in diesem Zeichen das sog. „ Differential“ dx auftritt .Man liest dieses Zeichen „ Integral von a bis b f von x dx“ . Dabei heißt f die Integrandfunktion , f (x) der Integrand, x die Integrationsvariable , a die untere Grenze und b die obere Grenze des Integrals. Auf das Zeichen für die Integrationsvariable kommt es nicht an . Statt x kann man auch einen anderen Buchstaben , z .B . den Buchstaben t verwenden . Es gilt also auch Nur für den Fall a < b und f (t)

für alle

f (x) dx = ff(t) dt. G (h)

te [a ; b] stellt das Integral ſf(t)dt die Flä chenmaßzahl der Fläche zwischen der x Achse und dem Graphen von f im Intervall [a ; b ] dar.

A (b )

Die markierte Fläche hat die Flächenmaßzahl | f (t)dt Wie bereits gezeigt wurde, gilt dann für die zugehörige Flächenmaßzahlfunktion A die

G ()

Beziehung A (x) = F (x) – F (a) oder in der Integralschreibweise A (x ) = \ f (t)dt. In dieser Schreibweise tritt die obere Gren ze des Integrals als Funktionsvariable der Funktion A auf, während die untere Grenze für alle Funktionswerte von A für dieselbe Zahl steht.

A (x )

Die markierte Fläche hat die Flächenmaßzahl ( / (t)dt

289 Auch für andere in einem Intervall [a ; b ) integrierbare Funktionen f lässt sich der Integralbegriff dadurch erweitern , dass man die obere Grenze des Integrals als Funktionsvariable auffasst. Da durch wird jedem Wert für die obere Grenze der betreffende Integralwert als Funktionswert zugeordnet. Man nennt solche Funktionen Integralfunktionen und bezeichnet sie mit I . Der Index a soll hier darauf hinweisen , dass die Funktionen zu einer bestimmten unteren Grenze gebildet werden . Merke : Unter der Integralfunktion einer zwischen den Grenzen a und b integrierbaren Funktion f versteht man die Funktion 1, mit 1 (x) = ff (t) dt für xe[a ;b ).

Jede Integralfunktion einer Funktion f ist | Ist F irgendeine Stammfunktion von f in [a ; b ), auch eine Stammfunktion von f,wie die ne- | so gilt : benstehende Rechnung zeigt. 1.(x) = 5f(t)dt = F (x) – F (a). → →

1 (x ) = F'(x) -

= f(x )

(x) = f (x) ► 1, ist Stammfunktion von 1

Den Inhalt der Gleichung l (x) = f ( x) oder – anders geschrieben kurz folgendermaßen ausdrücken :

x ), kann man

Bildet man zu einer integrierbaren Funktion f erst die Integralfunktion und differenziert diese dann , so erhält man wieder die ursprüngliche Funktion . In diesem Sinne sagt man auch : Die Differentiation ist die Umkehrung der Integration Mit Hilfe des Begriffs der Integralfunktion lässt sich auch der Inhalt der Beziehung Sf(x)dx = F (b) – F (a)

anders ausdrücken .

Da F eine Stammfunktion von f ist, gilt also F'(x) = f (x) und somit ſF' (x ) dx = F (b ) – F (a )

bzw .,

wenn man die obere Integrationsgrenze als Variable betrachtet : F '(t) dt = F (x ) – F (a ). Hat die Funktion F an der Stelle a eine Nullstelle, gilt also F (a) = , so erhält man j F '( t) dt = F (x ). Der wesentliche Inhalt dieser Gleichung ist : Bildet man zu einer Funktion F erst die Ableitungsfunktion Fund zu F ' anschließend die Integral funktion , so erhält man wieder die ursprüngliche Funktion , falls F an der unteren Integrationsstelle eine Nullstelle hat. (Dies ist z . B . der Fall, wenn F die Flächenmaßzahlfunktion A ist.) In diesem Sinne sagt man auch : Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation

290

8 Integralrechnung d

In der Literatur werden die Beziehungen 5 f(x)dx = F (b) – F (a )

häufig als Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung bezeichnet und ihr wesentlicher Inhalt auf die folgende Kurzformulierung gebracht: Differenzieren und Integrieren sind einander entgegengesetzte Rechenoperationen .

Merke : . Für eine integrierbare Funktion f ist Intervall [ a , b ].

f(x) dx = F (x)

= F (b) – F (a) das Integral von f im

Besitzt f nur nicht negative Funktionswerte in [a ; b ), so stellt das Integral Sf (x ) dx die Flächenmaßzahl der Fläche zwischen der X -Achse und dem Graphen von f dar. Gilt für alle Funktionswerte f (x) < chenmaßzahl dar .

in [a ; b), so stellt der Betrag von

f (x) dx diese Flä

Integrationsregeln Die folgenden Regeln über integrierbare Funktionen vereinfachen oft die Integration; sie werden formuliert, bewiesen und jeweils anhand eines Beispiels deutlich gemacht. Beispiel:

Faktorregel: Ist f im

Intervall [a , b ] integrierbar, so

12xºdx= 12. jx ?dx

auch c . f für jede reelle Zahl für c, und es gilt : ſc- f(x)dx = c5f(x)dx. = 3.(256 – 16 ) = 720

Beweis: Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist c . F eine solche von c . f, und es gilt: b jc.f(x) dx = c:F (x)

Durch das Herausziehen des konstanten Fak tors 12 wird die Berechnung des Integrals verein facht.

= c. F(b) – c.F (a)

= c-[F(b)– F(a)]=c-jf(x)dx. Summenregel :

Beispiel: 3

Sind f und g im Intervall [a ; b ) integrier bar, so auch f + g, und es gilt : fis« +g[v]dx= jf(x dx +jg(x)dx.

}(3x2 + 4x ) dx = j3x?dx+ ſ4x?dx

= (27 – 1) + (81 – 1) = 106.

291

Beweis : Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g . Dann ist F + G eine Stammfunktion von f + g, und es gilt :

Bei einer ganzrationalen Funktion kann die Inte gration „ gliedweise“ erfolgen . Das vereinfacht die Integration erheblich .

S [f (x) + g(x)] dx = [F (x) + G (x)] = [F (b) + G (b)] – [F (a) + G (a)] = [ F (b) – F (a)] + [G (b) - G (a )] = jf(x) dx+ jg(x)dx

Die vorstehenden beiden Regeln bezogen sich auf die Integrandenfunktion . Die nachfolgenden beiden Regeln beziehen sich auf die Integrationsgrenzen . Intervalladditivität:

Beispiel: - joxdx+ j6x?dx 12 14 12

Ist f in den Intervallen (a ;b) und [b; c) integrierbar, so auch im Intervall (a ; c ), und es gilt :

= 16 - ( - 2) + 128 – 16 = 130.

$f(x) dx =ff(x) dx +ff(x)dx.

5 6x?dx =2 x3

= 128 – 1–2)

= 130. Beweis : Ist F eine Stammfunktion von f im Inter vall [a ; c)CD ( f ), dann ist F auch eine Stammfunktion von ſ

für die Intervalle

[a; b ]cD (f) und [b; c)CD ( ), und es gilt :

Die Intervalladditivität ist besonders dann von Bedeutung, wenn die Flächenmaßzahl einer Flä che oberhalb und unterhalb der X - Achse berech net werden soll.

Beispiel 8.5

5 f(x)dx = F (c) – F (a) = [F (c) – F (a)] + F (b) – F (b) = [F (b) – F (a)] + [F (c) – F (b)] =F(x)*+F(x) = js (v)dx + 55(x)dx. b Bisher wurde in der Integralschreibweise | f (x )dx immer stillschweigend vorausgesetzt, dass a < b gilt, weil f im Intervall [a ; b] betrachtet wurde. Diese Einschränkung kann in der Integralschreib weise aber fallengelassen werden , wenn man zusätzlich

f (x ) dx =

festsetzt .

292

8 Integralrechnung

Vertauschen der Integrationsgrenzen :

Beispiel :

Ist f integrierbar im Intervall [a ; b ), so auch - f, und es gilt : Sf(x)dx = -\ f(x)dx.

1-2x dx ==3x| -

81–1–3)=– 78.

}-9xdx = -1– 9x®dx= 19xdx li = 3x 13 = 3 – 81= – 78.

Beweis : Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt : fs )dx =F(x) =F(b)–F(a )

Manchmal ist es für die Berechnung eines Inte grals bequemer, vom entgegengesetzten Inte granden mit vertauschten Integrationsgrenzen auszugehen .

= -[F(a)– F(b)]= - įs «)dx. Merke: Für in Intervallen integrierbare Funktionen gelten : . Faktorregel: • Summenregel :

ſc f(x)dx =c.ff(x)dx;

Ircw +e(

dx= jswv) dx+ jgew)dx;

Intervalladditivität: fr «)dx = js(x)dx+ js( wdx; • Vertauschen der Integrationsgrenzen :

įf(x)dx = - ff(x)dx

Mit den vorstehenden Integrationsregeln lassen sich auch Maßzahlen komplizierterer Flächen berechnen . Dabei ist zu beachten : Wenn der Funktionsterm einer Funktion f in einem Intervall einmal oder mehrmals das Vorzeichen wechselt, so ist das Intervall so in Teilintervalle zu zerlegen , dass der Funktionsterm in jedem Teilintervall vor zeichenbeständig ist. Hierzu muss man also die Nullstellen der Funktion f im gegebe nen Intervall bestimmen . Für die Maßzahl der farbigen Fläche im ne benstehenden Bild gilt dann : A(x)=\ff(x)dx[+ lſ f(x)dxl+ IS F(x)dxl Hierbei könnte man die Betragsstriche beim ersten und dritten Summanden auch weglassen , weil die zugehörigen Flächen positiv orientiert sind .

e

X

293 Beispiel 8 .6 Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen der x -Achse und dem Graphen von f mit f (x) = ,25 x4 – 1,25 x2 + 1 ; D (S ) = R im

Intervall [ – 2 ; 2].

Um die Maßzahlen der einzelnen Teilflächen bestimmen zu können , müssen zu nächst die Nullstellen der Funktion f im

| f (x ) =

-

Intervall ( - 2 ; 2 ] berechnet werden .

,25x4 – 1,25 x2 + 1 = biquadratische Gleichung; Substituiere x2 = 2

50,25z2 – 1,25z + 1 = 01: ,25 z2 - 52 + 4 > (2 - 2,5)

= 2,2511 = 1,5

52- 2 ,5 ) = z = 1 oder z = 4. Rücksubstituiere z = x2 : x2 = 1

• z = 1:

x f(x ) = ,25x4 - 1,25x2 + 1

= - 1 oder x

= 1

→ Lösung: Xo1 = - 1 und Xo2 = 1 • z = 4:

x = 4 = - 2 oder x

=

→ Lösung : Xo3 = - 2 und X04 = 2 f(x)= ,25x* – 1,25x2 + 1 12 Da G ( S ) Graph einer geraden Funktion ist, müssen nur die Maßzahlen für Az und Ad der Flächeninhalte zwischen und 1 und zwischen 1 und 2 berechnet werden .

Az =

+ x

Stammfunktion von f

F x

+ x

II

= 30 Wegen der Achsensymmetrie von G ( S) zur y -Achse sind die Maßzahlen für A , und A4 bzw . für A2 und Az gleich .

4x=\F(x)

14 3115 = Die Maßzahl für A der Gesamtfläche entspricht dann dem Doppelten der beiden Maßzahlen für A und A4 .

191 301

- 301

30

A = 2 . (Az + A2) 30 Flächeninhalt 30 = 2

294

8 Integralrechnung

Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich auch Maßzahlen noch komplizierterer Flächen berech nen , z. B . von Flächen , die von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen werden . Hierbei ist zu beachten : Schließen zwei Funktionsgraphen G (f ) und G (g ) mit genau zwei Schnittpunkten eine Fläche ein , die oberhalb der x - Achse im Ko ordinatensystem liegt, so berechnet sich die Maßzahl dieser Fläche als Betrag der Diffe renz der Flächenmaßzahlen von den jeweils unter den einzelnen Funktionsgraphen mit der X -Achse eingeschlossenen Flächen . Die Integrationsgrenzen sind dabei die Abszis sen x , und x der beiden Schnittpunkte.

►

A =IŠf(x)dx = $ g(x)dxI= ŠIS(x)= g(x)]dx| X1 X1 Hier könnte man die Betragsstriche auch weglassen , da in [x ]; xz] gilt: f (x ) g ( x ).

Schließen zwei Funktionsgraphen G (f ) und G (g ) mit genau zwei Schnittpunkten eine Fläche ein , die teilweise oder ganz auch un terhalb der X -Achse im Koordinatensystem liegt, so darf man sich beide Funktionsgra phen in Richtung der positiven y - Achse zu sammen verschoben denken , bis die einge schlossene Fläche wie vorstehend oberhalb

G18

der x- Achse liegt. Durch diese Verschie bung ändert sich die Maßzahl der einge schlossenen Fläche nicht,da sich die Funk tionsterme beider Funktionen f und g um dieselbe additive Konstante c ändern , wel che bei ihrer Differenzbildung wieder weg fällt .

► A =1} (x)+c] dx =$16(x)+c]dx / = 1ŠIS (x) –g(x)] dx ! Hier könnte man die Betragsstriche auch weglassen , da in [ x ; ; x2] gilt : f ( x ) g ( x ).

Man braucht bei der Berechnung der Maßzahl einer Fläche zwischen zwei benachbarten Schnitt stellen von Funktionsgraphen G ( f ) und G ( g ) also nicht zu berü cksichtigen , ob die Funktionen f und g dort selbst Nullstellen besitzen. Entscheidend ist vielmehr, ob die Differenz f ( x ) - g ( x ) dort vorzeichenbeständig ist. Beispiel 8.6 ; f (x ) - g ( x) ist der Funktionsterm der Differenzfunktion h = f - g mit h (x ) = f (x ) - g (x ); die Nullstellen von h sind die Abszissen der Schnittpunkte von G ( f) und G (g ).

295 Besitzen die Funktionsgraphen G ( f) und

G ()

G (g) zweier Funktionen f und g mehr als zwei Schnittpunkte , so zerlegt man das In tegrationsintervall zweckmäßigerweise in einzelne Abschnitte , in denen die Differenz f (x ) - g (x ) vorzeichenbeständig ist, und be stimmtdie Flächenmaßzahl der Fläche zwi schen den Funktionsgraphen als Summe von Flächenmaßzahlen zwischen den Ab szissenwerten benachbarter Schnittpunkte.

Beispiel 8 . 7 Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwi schen den Graphen der Funktionen

+ x

X2

A= 1štf(x)=g(x)]dx/+1İtf(x)=g(x)]dx[+ 4 ) - g ( x )] dx X3 Hier könnte man beim 1. und 3 . Summanden die Betragsstriche auch weglassen , da dort stets gilt: f (x) g (x ).

+ 9 f(x ) = ,5x23 - x2 - 2 ,5x + 6 u

f : f (x ) = ,5 x3 – x2 – 2,5x + 6 ; D (S ) = R und g : g (x ) = - 1,5x + 3x² + 7,5x - 6 ; D (g) = R . Die Maßzahl als Summe von Flächenmaß zahlen fü r die Fläche zwischen den Gra phen der Funktionen f und g muss in tervallweise bestimmt werden , weil in den verschiedenen Intervallen sowohl f (x ) – g (x ) als auch f (x ) - g (x ) < gilt. Die Integrationsgrenzen sind hier die Ab szissen der Schnittpunkte G ( ) und G (g).

noy +

-

der Graphen 1 i

2

qt• pqos

iuq

g (x ) = - 1,5.r3 + 3x2 + 7,5x - 6

296 Diese Abszissen

8 Integralrechnung sind die

Lösungen

der

f (x ) = g (x ) f (x ) - g (x ) =

Gleichung f (x ) = g (x ).

= 2x3 – 4 x? – 10x + 12 = x3 – 2 x2 – Da f (x ) g (x ) = 2x2 - 4x2 – 10x + 12 ein ganzrationaler Term dritten Grades ist und nicht direkt in ein Produkt von linearen

Xon = 1 durch Probieren gefunden . (x3 – 2 x2 – 5x + 6): ( x - 1) = x2 - x - 6 - (x - x2) 9 (x ) - X2 - 5x

oder quadratischen Termen umgeformt werden kann ,muss eine Nullstelle der Diffe.

- ( - x2 +

renzfunktion f - g : (f - g) (x ) = f (x) - g (x ); D ( f - g ) = R durch Probieren gefunden werden . Nachdem eine Nullstelle von (f - g) gefun den worden ist, reduziert sich die weitere

x)

- 6x + 6 - ( 6x + 6)

|

9 (x) =

x - x -6

=

= x2 - x + ,25

= 6,25

(x - ,5)2

= 6,25

Suche nach Nullstellen von (f - g) auf die Bestimmung der Nullstellen der zu dem

x - ,51

Term x2 - x - 6 gehörenden quadratischen Funktion g . Die Lösung der quadratischen Gleichung g ( x ) = liefert zwei weitere Nullstellen von

5x + 6 =

= x = - 2 oder x = 3 Lösung : Xo2 = - 2 und Xo3 = 3.

(f - g ). Zu berechnen ist also : A = A , + A2 = 1 | [f(x) – g(x)]dx/ + ISIS (x) – g(x)]dxl.

11(2x° -4x2 – 10x + 12)dx !+1}(2x -4x?– 10x+ 12)dx | -1x * x =5x + 12 / 21+13** * x +3x+ 12x131 - -

+

2 -

Diese Berechnung erfolgt für jeden der bei den Summanden nach der Faktor- und der Summenregel. Die Maßzahl der Fläche zwischen den bei den Graphen von f und g beträgt 42, 17 Flächeneinheiten (FE).

Technisch - physikalische Bedeutung des Integralbegriffs Der Wert des bestimmten Integrals Sf(x)dx gibt im Fall f(x) >

den Flächeninhalt der Fläche an ,

die vom Graphen der Funktion f, von der x- Achse und von den Geraden zu x = a und x = b begrenzt wird . Dieser Flächeninhalt hat bei einigen physikalischen Problemen eine bestimmte Bedeutung. Das Integral kann deshalb wie die Ableitung (vgl. S . 223) in verschiedenem Sinne physikalisch interpretiert werden . Beispiele enthält die folgende Tabelle .

297

Ausgangsfunktion Geschwindigkeit v(t)

Integral 12 S = ſu (t) dt

Skizze

Zusammenhang

v (1)

Der Flächeninhalt entspricht dem

im

Zeitintervall [tı; tz]

zurückgelegten Weg.

a (t)

Der Flächeninhalt entspricht der im Zeitintervall [tı; tz] er reichten Geschwindigkeit.

Beschleunigung aſt)

W =

Kraft F (s)

Stromstärke i(t)

F (s)ds

(t t )dt )dt i = fi(

F

F(s)4

n

Der Flächeninhalt entspricht der im Wegintervall [sı; S2] ver richteten mechanischen Arbeit.

i

12

Übungen

T

Der

Flächeninhalt entspricht

der

im

Zeitintervall

[tı ;tz]

durch den Strom transportier ten elektrischen Ladung .

zu 8

1. Bilden Sie die Stammfunktionen zu folgenden Funktionen für ein Intervall [a ; b ). b ) f : f ( x) = 2x + 5 ; D (F )) == RR a) f: f (x ) = 3x ; D (S) = R d ) f : f ((xx)) == 272 2x2 – 3x; D ( S) = R c ) f : f (x ) = - ,5x2 ; D ( f ) = R e) f : f ( x ) = 4x + 2x² + x ; DISER f) f : f (x ) = - 5x4 + 2xP ; D (S ) = R h ) f: f ( x) = ax" – bx " - "; D ( S ) = R ; a , beR . g) f : f (x ) = x" ; D (S ) = R 5 2. Gegeben ist die Funktion f: f(x) = x + 2x2 –2x; D (S) = R . a ) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie G ( S ) . b ) Berechnen Sie die Maßzahl der vom Graphen der Funktion und der x -Achse begrenzten Fläche . 3 . Gegeben sind die Funktionen f : f (x ) = x² - 6x + 5 ; D (S) = R und g : g ( x ) = 2,5 x - 10 ; D (g) = R . Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche , die zwischen den Graphen beider Funktionen liegt . 4 . Gegeben sind die Funktionen f: f (x ) = x ? ; D ) = R und g : g (x ) = - x + 12 ; D (g) = R . Berechnen Sie die Maßzahl der von beiden Graphen und der y -Achse eingeschlossenen Fläche. 5 . Gegeben sind die Funktionen f : f (x ) = x2 - 4 ; D ( S ) = R und g : g (x ) = - x2 + 14 ; D (g) = R . Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den beiden Graphen. 6 . Gegeben sind die Funktionen f : f ( x ) = (x - 2 ) ; D ( f ) = R und g : g (x ) = - (x - 2 )2 + 8 ; D (g ) = R . Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den beiden Graphen . 7. Gegeben sind die Funktionen f : f ( x ) = - x + 4 ; D ) = R und g : g Maßzahl der Fläche zwischen den beiden Graphen .

g) = R . Berechnen Sie die

8 . Zeigen Sie am Beispiel der Funktion f : f ( x ) = x ; D (S ) = R , dass nicht jede Stammfunktion auch eine Integralfunktion sein muss.

298

8 Integralrechnung

9. Ein Massenpunkt wird aus der Ruhelage auf einer geradlinigen Bahn gleichmäßig beschleunigt mit der konstanten Beschleunigung a = 3 . Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die der Körper nach 10 s erreicht hat. Welchen Weg hat der Körper in dieser Zeit zurückgelegt ? Berechnen Sie die Geschwindigkeit und den zurückgelegten Weg für den Fall, dass der Beschleunigungs vorgang nicht aus der Ruhelage sondern mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 - beginnt. 10 . Beim senkrechten Wurf nach oben wirkt auf einen Körper durch die Erdanziehungskraft die konstante Fallbeschleunigung g = 9,81

gegen die Bewegungsrichtung. Stellen Sie die Formel v = v(t) für die Ge schwindigkeits -Zeit-Funktion auf, die es erlaubt, zu jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit des Körpers zu berechnen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit vo = 4 -S beträgt. Zu welchem Zeitpunkt t wird der Funktionswert v (t) gleich ? Welche Bedeutung hat dieser Zeitpunkt für den Bewegungsablauf ? Der Körper wurde 10 m über der Erdoberfläche abgeworfen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung s = s (t) der Weg - Zeit-Funktion der entsprechenden Bewegung. Wie hoch fliegt der Körpermaximal ? Wann kommt er wieder an der Abwurfstelle vorbei ? Wann erreicht er den Erdboden ? 11. Wird eine Schraubenfedermittels einer Kraft F gedehnt, so ist die Verlängerung s proportional der wirken den Kraft (Hooke'sches Gesetz " ). Der Proportionalitätsfaktor D heißt Federkonstante ; es gilt also : F (s) = D .s. N Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten D = 12 – wird um 10 cm gedehnt. Wie groß ist die verrich m tete mechanische Arbeit ? 12 . Auf Seite 91 haben wir das Beispiel der Aufladung eines Kondensators mit der Ladestromstärke i (t ) = 5 , 56 . e 1,08 betrachtet (i in mA; t in s). Zeigen Sie durch Bilden der Ableitung, dass die Funktion

mit

Q (t) = - 6 .0048 .e 1, 08 eine Stammfunktion von i ist. Wie kann man auf dieser Grundlage die in den ersten 4 s transportierte Ladung berechnen ? 13. Ein sinusförmiger Wechselstrom habe eine Frequenz von 50 Hz und eine Amplitude von 1 A . Berechnen Sie die während einer halben Periode transportierte elektrische Ladung Q . 14 . Der sogenannte Effektivwert einer Wechselstromstärke zu i(t) = Imaxi sin -

(T. Periodendauer ; Imax : Stromamplitude)

ist durch die Formel 1a poat definiert . Zeigen Sie durch Bilden der Ableitung, dass die Funktion fmit T . 2at 2nt - Sin f (t ) 27 TT eine Stammfunktion von i?: if (t) = Imax sin

1) Robert Hooke, englischer Physiker ( 1635 – 1703)

ist und ermitteln Sie den Effektivwert left

299

9

Vektoralgebra

9 .1

Der

Begriff des Vektors

Bei der Lösung vieler Problemeim Bereich Naturwissenschaften und Technik kommtes insbeson dere darauf an, ob die beteiligten physikalischen Größen allein durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit charakterisiert sind , oder ob zusätzliche Angaben notwendig sind . So ist beispielswei se die Angabe, dass ein Körper eine Masse von 100 Kilogramm hat, für die Beschreibung dieser physikalischen Größe ausreichend. Für die vollständige Beschreibung des Gewichts dieses Kör pers reicht aber die entsprechende Angabe, dass dieses 981 Newton beträgt, nicht aus. Für das Gewicht ist über die Angabe von Maßzahl und Einheit hinaus noch die Tatsache wichtig, dass es sich beim Gewicht wie bei jeder Kraft um eine gerichtete Größe handelt. Größen , die allein durch Maßzahl und Einheit beschreibbar sind, heißen Skalare. Demgegenüber spricht man bei gerichteten Größen von Vektoren . Die Formelzeichen vektorieller Größen kenn zeichnet man durch einen Pfeil : v. Wir stellen in der folgenden Tabelle einige Beispiele für Skalare und Vektoren zusammen . Beispiele für Vektoren

Beispiele für Skalare Größe

Formelzeichen

Masse Zeit Temperatur elektrische Spannung

Formelzeichen

Größe Kraft Weg Beschleunigung magnetische Feldstärke

Bei der mathematischen Behandlung skalarer Größen in physikalische Formeln verfährt man wie mit gewöhnlichen Variablen .Man wendet also bei der Umformung solcher physikalischer Bezie hungen , die nur Skalare enthalten , die bekannten algebraischen Umformungen an . Für die mathematische Behandlung von Vektoren wurde die Vektoralgebra entwickelt, deren grundlegende Begriffsbildungen und Rechengesetze im Folgenden behandelt werden . Vektorbegriff und graphische Darstellung von Legen wir mehrere Kompasse nebeneinan der , so zeigen die Kompassnadeln alle pa rallel zueinander in dieselbe Richtung ; jede einzelne repräsentiert die Feldlinien des magnetischen Feldes der Erde. Die magnetische Feldstärke in einem be stimmten kleinen Bereich ist damit darstell bar durch zueinander parallele Pfeile , die den Kompassnadeln entsprechen . Zusätz lich gibt man den Pfeilen eine solche Länge , die der Maßzahl der dortigen Feldstärke entspricht.

Vektoren

300

9 Vektoralgebra

Nun fasst man alle Pfeile, die die gleiche Länge haben , zueinander parallel und gleich orientiert sind, zu einer Pfeilklasse zusammen und bezeichnet eine solche Pfeilklasse als Vektor . Merke : Man versteht unter einem Vektor die Menge aller Pfeile gleicher Richtung und gleicher Länge. Alle Pfeile, die zu einem Vektor gehören , sind also gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert.

Für die Anwendung des Vektorbegriffs in der Technik ist es sinnvoll, Vektoren durch ausgewählte Pfeile – sog. Repräsentanten des Vektors – in einem Bezugssystem darzustellen . Wir kennen be reits eine entsprechende Veranschaulichung von der Zeigerdarstellungkomplexer Zahlen im zwei dimensionalen kartesischen Koordinatensystem der Gauß'schen Zahlenebene (

Kap . 1 und 3).

Ist ein technischer Sachverhalt auf eine Ebene beschränkt, so reicht eine zweidimensionale Dar stellung aus. Bei den meisten technischen Sachverhalten - so beispielsweise in der CNC - Technik - ist aber eine räumliche und damit eine dreidimensionale Darstellung erforderlich . Hier wird im Allgemeinen das „ rechtshändi ge “ kartesische Koordinatensystem ange wendet. Die drei Koordinatenachsen eines solchen Systems besitzen die gleiche Aus richtung wie Daumen , Zeigefinger und Mit telfinger bei deren senkrechter Ausrichtung. Der Daumen zeigt dabei in x -Richtung, der Zeigefinger in y-Richtung und der Mittel finger in z-Richtung. Dreht man die positi ve x -Achse auf kürzestem Wege zur positi ven y- Achse , so bewegt sich das System wie eine rechtsgängige Schraube in Richtung der positiven z -Achse . Komponentendarstellung von

Vektoren

Wir kennen die Beschreibung der Lage eines Punktes P im zweidimensionalen kartesischen Koor dinatensystem durch seine Koordinaten x und y als geordnetes Paar : (x | y) bzw . P ( x ; y ) . Im dreidimensionalen Koordinatensystem ergibt sich entsprechend eine Beschreibung durch die drei Koordinaten x , y und z als geordnetes Zahlentripel (x | y |z) bzw . P ( x |y1z ). Wählen wir als Repräsentanten eines Vek tors den Pfeil, der vom Koordinatenur sprung ausgeht, so sprechen wir von einem Ortsvektor zum Punkt P . Dieser ist in ein deutigerweise durch die Koordinaten x , y und z seiner Pfeilspitze P charakterisiert , die als Komponenten des Vektors bezeichnet werden . Wir erhalten damit die Komponen tendarstellung des Vektors als sog. Zeilen vektor : F (P ) = OP = (x |y|z).

r(P ) = OP = (xlylz)

301

9.1 Der Begriff des Vektors

Anstelle der Zeilenschreibweise werden wir im Folgenden häufig die Schreibweise als Spaltenvek tor verwenden :

FP = OP =(?) Ist ein Vektor ü durch einen Pfeil (Reprä sentanten ) gegeben , der nicht im Koordina Punkt einem tenursprung , sondern in P , ( x y, z ) beginnt und dessen Spitze im Punkt P2 ( xz| y2|22) liegt, so ergeben sich die Komponenten Vx , v , und v, des Vektors ū als Differenzen der Koordinaten der bei den Punkte :

Ü = P , P2 =

v = (v.lv, lv, )

( x2 - x; lux ! y2 - y = v ). 122 - / \v./

x

Gleichheit, Addition , Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren Zwei Vektoren v und w sind gleich, wenn sie dieselbe Pfeilklasse besitzen . Dann stimmen aber auch die Ortsvektoren und damit ihre Komponenten überein .

Gleichheit von Vektoren : ū = w

Ux = W , und v, = w , und v. = w ,

Aus dem obigen Bild geht hervor, dass der Pfeil OP , die geometrische Summe der Pfeile OP und P .Pist. Damit ist es gerechtfertigt, dass der Vektor 1, als Summeder Vektoren 7, und ū angesehen wird : 7 =

+ .

Der Vektor ū ergibt sich damit als Differenz der Vektoren 72 und 7 ,: ū = 72 - 77 . Wir sehen , dass die Komponenten des Differenzvektors ū sich als Differenz der Komponenten der Vektoren 72 und rergeben . Damit können wir die Summenbildung und die Differenzbildung von Vektoren auf der Grundlage der Komponentendarstellung erklären : Summe von Vektoren :

Differenz von Vektoren :

10x ü + w = lv,

Ü - w =

w 10x + w \ w, = ,+ w, Twal \u₂ + w₂ /

lux ,

-

v + w VW

W x lux -Wx) w , = , - wy Tw2/ ₂ - W2/

9 Vektoralgebra

302

Die Vielfachbildung von Vektoren – also die Multiplikation eines Vektors mit einer natürlichen Zahl – kann man als mehrfache Addition ein und desselben Vektors auffassen . Beispiel 9 . 1 Setzen wir ausgehend vom Koordinatenur sprung 3-mal ein und denselben Pfeil anein ander, so erhalten wir einen Pfeil gleicher Richtung aber dreifacher Länge . Die Kom ponenten des neuen Vektors w = 3 . v erge ben sich als das Dreifache der Komponen ten des Ausgangsvektors ū w = 30 = 3 .

Jul ,

30 30 y

\u, Dieses Ergebnis kann für die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen verallgemeinert werden .Man multipliziert also einen Vektor ū mit einer reellen Zahl c, indem man jede Kompo nente des Vektors ū mit c multipliziert . Da der Vektor ū mit dem „ Skalar“ c multipliziert wird , spricht man von der S-Multiplikation ." Es gilt : 10x w = c :ū = c .lv ,

= -

col cu, cool

für alle ceR .

Spezialfälle ergeben sich bei der Multiplikation eines Vektors mit den Zahlen – 1 und . Bei der Multiplikation mit - 1 ergibt sich ein Vektor mit gleicher Pfeillänge aber ent ein Vektor mit gleicher Pfeillänge aber ent gegengesetzter Pfeilrichtung, was man aus den Komponenten der beiden Vektoren ab

t = , 1 = : -( ;) -

= = - , - :- ( = ;)

lesen kann. Man spricht von inversen Vek toren . Bei der Multiplikation mit ergibt sich der sog. Nullvektor, dessen sämtliche Koordi naten sind. Es ist zweckmäßig , dem Null vektor jede Richtung und jede Orientierung zuzuordnen .

coo .

=

.

,

Beispiele 9. 2 |

1 2

/ +

4 - 3

/

(1)-( -)-(-1 )

(

5) 1 -2 ) -1 -6 )= 6 ); 750 / ) 4: )

) - 2 - 7 = 7 ; 3 II / ( 303 ) (1303) «(30 1) Wohlgemerkt: Man spricht hier nicht vom Skalarprodukt, denn dieser Begriff ist mit einer Verknüpfung von zwei Vektoren verbunden , die auf Seite 309 ff. eingeführt wird .

303

9 .1 Der Begriff des Vektors

Wie verfährtman nun , wenn die Summe von mehr als zwei Vektoren zu bilden ist ? Ist beispiels weise die Summe der drei Vektoren ü , ü und w zu ermitteln , so kann man offensichtlich zunächst die Summe der Vektoren ū und ü bilden und erhält einen Vektor 1 :

F = ū + ū =

u, \ u₂

+

, \u₂

=

, + , ). \u₂ + U₂ /

Durch Addition der Vektoren 7 und w erhältman dann den Summenvektor s der drei gegebenen Vektoren ü , v und w : ux + x ) Iwx ux + x + W x ) š = ū + u + w = i + w = fu , + v , + 1 w , = 4, + , + w , \ u , + v. / \ w .) \ u , + v, + w , Man erhält also die Komponenten des Summenvektors, indem man die entsprechenden Kompo nenten der einzelnen Summanden jeweils addiert. Die geometrische Lösung wird nach der Po lygonregel durchgeführt, d. h ., die den Sum manden entsprechenden Pfeile werden be ginnend im Koordinatenursprung aneinan dergefügt; der Pfeil zum

w

Summenvektor

reicht dann vom Ursprung zur Pfeilspitze des zuletzt angefügten Pfeils. Das Bild deutet das Aneinanderfügen der Pfeile im Raum an . Die Konstruktion kann natürlich nur auf Papier ausgeführt werden , wenn alle Pfeile in einer Ebene liegen und zwar besonders leicht, wenn alle Pfeile bei spielsweise in der x - y- Ebene liegen . Kollinearität von Vektoren Beispiel 9 .3 Wir betrachten zwei Vektoren ū und ü , die durch ihre Komponenten gegeben sind.

ú =

24 ) ;

=

- 4

Die beiden Vektoren können im vorliegen den Fall jeweils als Vielfaches von ein und demselben Vektor w = ( - 2 |8 | 3) geschrie ben werden .

ū = 3.

8

:

Jeder Pfeil zum Vektor ü ist zwar 3-mal so lang wie jeder Pfeil zum Vektor w , aber alle Pfeile verlaufen parallel und haben dieselbe Orientierung. Jeder Pfeil zum

Vektor ū ist zwar ;-mal so lang wie jeder Pfeil zum

Vektor w , aber alle Pfeile

verlaufen ebenfalls parallel, die Pfeile zum Vektor y sind allerdings entgegengesetzt orientiert. Man sagt: Die Vektoren u und ū sind kollinear. Somit beinhaltet Kollinearität von Vektoren , dass die Pfeile der beiden zugehörigen Pfeilklassen zueinander parallel sind . Die Orientierung spielt dabei keine Rolle. Algebraisch zeigt sich die Kollinearität zweier Vektoren darin , dass man einen weiteren Vektor w so finden kann , dass ū und v jeweils Vielfache von w sind .

304

9 Vektoralgebra

Der Betrag eines Vektors Alle Pfeile ein und derselben Pfeilklasse also alle Pfeile , die zu ein und demselben Vektor u gehören – haben die gleiche Län genmaßzahl. Diese Zahl nenntman den Be trag des Vektors und schreibt | | oder ein fach v. Wir bestimmen ő aus den Kompo nenten Vx, v, und v , des Vektors ū , indem wir mit dem Satz des Pythagoras die Hypo tenusen der rechtwinkligen Dreiecke OBC und OAB ausdrücken . Es gilt: d

lül = d2 + ? = vž + 03 + 02 →

10 = 107 +

-

* + v?

Beispiel 9 .4

Für den Vektor7=( 22) sit: Jāl=V7–38 +2+8= 13826 ,16. Multipliziertman einen Vektor v mit dem Kehrwert ü kollinearen Vektor ē . Wir wollen am

. seines Betrages, dann erhält man einen zu

Beispiel untersuchen, welchen Betrag ő hat.

Beispiel 9 .5

( Der Vektor ēr

ü

)-

) - 12 - 769- 63 )+603 -7 * -:

hat also den Betrag 1. Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.

Man kann analog zum Beispiel 9.5 zeigen : Multipliziert man einen beliebigen vom Nullvektor verschiedenen Vektor mit dem Kehrwert seines Betrages,dann ergibt sich stets ein Einheitsvektor. ► Aufgabe 11 . Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ū bildet mit den Achsen des Koordinatensystems Richtungswinkel o , ß und y, für die die folgenden Beziehungen gelten :

cosx=to

cos p=

. cosY=

Aufgabe 12.

Beispiel 9 .6 • COS Für den Vektor v =12 Für den Vektor7— ( ) sit:cos

=

8 - ,4867 = 72 =- ,4867 =

4x119,1°. 22119.19.

305

9.1 Der Begriffdes Vektors Basiseinheitsvektoren Die Vektoren i =

70 %

), j = 11 10

und k = 10 1

haben alle den Betrag 1; sie sind also Einheitsvek

toren . Bei genauer Betrachtung stellt man fest, dass i in Richtung der positiven x -Achse , j in Richtung der positiven y -Achse und k in Richtung der positiven z- Achse zeigt. Diese drei Ein heitsvektoren spannen also das Koordinatensystem auf. Man bezeichnet diese drei Vektoren deshalb häufig auch mit ex, ē, und ē . Mit Hilfe dieser drei Einheitsvektoren kann jeder beliebige Vektor ausgedrückt werden , denn es gilt : lol ü =

lol

lol

lol

v = + , + = , \ v. ) lol lol \u /

/11 + ,

1

+ ,

) = v , i + v . ] + v, k . 1

| und k = 10 bilden eine Basis des dreidimen Man sagt: Die Einheitsvektoren i = sionalen Raumes. Mansar:Die Einheitsvektoren7=C ) .5-C) undx-6 ) bladen eine Bois des dreidimen Beispiel 9 . 7

Für den Vektori=(22) sin:B=(-3 ; 1+2 1+5 .

Ein Anwendungsbeispiel zur Vektorrechnung Beispiel 9 .8 Ein Flugzeug wird durch eine Schubkraft von 4,8 kN in konstanter Flughöhe geradlinig angetrie ben . Der Wind übt eine gleichbleibende Kraft von ca. 3 kN in einem Winkel von etwa 70° zur Flugrichtung aus. Welche Kraft wirkt insgesamt auf das Flugzeug ? Unter welchem Winkel zur gewünschten Flugroutemuss Kurs gehalten werden ,um an den Zielort zu gelangen ? Die Aufgabe soll graphisch und algebraisch gelöst werden . Wir beginnen mit der graphischen Lösung, weil wir damit gleichzeitig die Anschauung für den algebraischen Lösungsweg erhalten . Das Problem kann in der Ebene - also mit zweidimensionalen Vektoren - behandelt werden . Der Einfachheit halber legen wir die Wirklinie der Schubkraft auf die y - Ach se . Mit einem geeigneten Kräftemaßstab lässt sich die Zeichnung erstellen und das abgemessene Ergebnis zur physikalischen Größe umrechnen .Man erhält : Fo ~ 6,5 kN , 1 * (FS; FO) 226°.

1 LE = 1 kN

306

9 Vektoralgebra

Zur rechnerischen Lösung bestimmen wir

Fs = 0kN ; Fsx = 4,8 KN

die Komponenten der gegebenen Vektoren . Die Komponenten Fsx und Fs, der Schub kraft Fs können unmittelbar der Zeichnung entnommen werden .

> Es=(43 )KN

Die Komponenten Fwx und Fw , der Wind kraft berechnen wir mithilfe der Winkelbe

Fwx = Fw .cos (90° — 70°) = 2,82kN

ziehungen im rechtwinkligen dreieck des Vektors Fur

Fwy = Fw .sin (90° — 70°) = 1,03kN

Steigungs = Fx=(,83)KN

Damit können wir die auf das Flugzeug wirkende Gesamtkraft in Komponenten schreibweise ermitteln und den Betrag der Gesamtkraft sowie den durch die Wind

Fo= Fs+ Tv +(23)\N+(182)EN

kraft verursachten Ablenkungswinkel be rechnen . Insgesamt wirkt auf das Flugzeug Kraft von ca. 6 ,5 kN .

eine

Um zum Zielort zu gelangen muss unter ei nem Winkel von etwa 26° zur eigentlichen

|| Fol = 1 (2,82kN)? + (5,83 kN )2 = 6,48 kN

|*(Es;FJ1= tan-

= 25,80

Flugroute Kurs gehalten werden .

Übungen

zu 9.1

1. Welche der physikalischen Größen sind vektoriell, welche skalar ? Geschwindigkeit, Leistung, elektrischer Widerstand, Reibung, Druck , Scherspannung, Dichte 2 . Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors zu P , P . b ) P , ( 41 - 5 ) ; P2 - 719 ) a ) P , ( 213 ) ; P2 < 512 ) d ) PC - 8 31 - 4 ) ; P2 (21 - 24 ) c) P, < 11 - 416 ) ; P2< - 3111 - 5 ) 3. Führen Sie zu r =

, t = b) S f) u -

a) P + e) 7 + ū +

+ w

101 - 51 / 7 - 5 ), u = 1 ), ü = 4 ), w = 1 - 9 17 1o ) 3) c ) 2r + 38 g) 7 - ū - ü - W

folgende Rechnungen aus. d ) 47 - 55 h ) 27 – 3ū + 40 - 5w

4 . Zeigen Sie allgemein , dass für die Addition von Vektoren das Assoziativgesetz gilt: u + + w = ( u + v ) + w = u + ( v + w ). 5 . Die Abbildung zeigt einen Quader mit den Maßen 4 x 3 x 3. Ermitteln Sie den Vektor und seinen Betrag, a) PP

b) PP

d) PP

e) PPS

j) P2P3

h ) P P, k ) P2P

m )P ,P

n) PHP,

g) P , P2

c) PP f) PPT i

) P, P 1) POP ) P, P

6 . Nennen Sie zur nebenstehenden Abbildung fünf Paare kollinearer Vektoren .

LP

307

9. 1 Der Begriff des Vektors 7. Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch zu den Vektoren 7-6).3+(-3 ) 7+( den Vektor v. a) 7 = 3.5

und

=(-3) b) ü = - 2 . 5 e) i = lūl. ú

8 . Gegeben sind : 1 = 1 4 ), s =

5

und

a ) X = 2r + 35 d ) x = , 25 s - ,6 (4 ,57 - 8,27)

78 = 1 6 ). Berechnen Sie x . 19 / b) x = 45 - 7 e ) 57 - 2x = 95

c) x = (1 - 1 ) 1) m (28 + 35) + 2n (7 – 2x ) = 7

9. Gegeben sind die Vektoren (2 1 - 6 r = 4 ), S = - 5 ) und i = 3 18 / - 3 Bestimmen Sie Zahlen k , m und n so, dass die Summekr + m . sun . den Vektor u ergibt. 1 17 ,4 15 - 13,5 a) v = - 4 c ) U = - 13 b) ü = - ,5 d) ü = 16 ,75 27 - 5 1 - 3,75 ) 10,7 / 10. Berechnen Sie den Betrag. - 3 e) U = - 3 d) ú = - 5 16/ » -(1) ---(7) () ---(3) 11. Beweisen Sie : Multipliziertman einen beliebigen vom Nullvektor verschiedenen Vektor mit dem Kehrwert seines Betrages, dann ergibt sich stets ein Einheitsvektor (vgl. S . 304 ). a) r =

b ) s = 17 - 8/ ---()

- 1

c) T =

12 . Begründen Sie die Formeln für die Richtungswinkel d , ß und y, die ein vom Nullvektor verschiedener Vektor mit den Achsen des Koordinatensystems bildet. cosapoi

cos B=

cos y

13. Berechnen Sie die Einheitsvektoren , die gleiche Richtung und gleichen Richtungssinn haben wie die Vekto ren von Aufgabe 10 . 14 . Für welche Zahlenwerte von t ist der Vektor ein Einheitsvektor ?

15 . Bestimmen Sie die Variablen so , dass der Betrag des Vektors 5 ist.

16 . Auf den Schwerpunkt eines Körpers wirken die folgenden Kräfte : 7, =(20)N ;8;= (- 20)N; 8;=(50 )N. Ermitteln Sie zeichnerisch und rechnerisch die Größe und die Richtung der resultierenden Kraft. 17 . An einem Lager greifen folgende Kräfte an : F , = ( 3 ) k Fz = 11 kN . 17 .An einem Lager seien olerinde Koike an:- )ox :8 ()ux:2-( .s Welche Komponenten muss die Gegenkraft des Lagers haben , damit das Bauteil statisch im Gleichgewicht ist ?

308

9 Vektoralgebra

18 . Der dargestellte Wanddrehkran wird mit einer Kraft von 14 kN belastet. Bestimmen Sie die vektorielle Darstellung der Kräfte, die auf die drei Trag- und Stützprofile wirken . Werden die Profile auf Zug oder auf Druck belastet ? Ermitteln Sie die Kräfte auch zeichnerisch .

3 ,5 m

m 9 , 3

m 9 , 1

19 . Auf einem CNC gesteuerten Bohrautomaten werden pro Werkstück 9 Bohrungen gradlinig hintereinander in gleichen Abständen gefertigt. Durch eine Betriebsstörung sind nur noch die Koordinaten der dritten Bohrung mit P , ( 130 | 85 |115 ) und der achten Bohrungmit Pg ( 305 | 185 | 190 ) gegeben (Angaben in mm ). Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten. Welchen Abstand haben die Bohrungen voneinander ? 20 . Ein Ruderer versucht,mit seinem Boot einen 76 m breiten Fluss auf kürzestem Weg zu überqueren . Er erreicht eine Eigenge schwindigkeit von ve = 3,8 km . Der Fluss besitzt eine Strömungs geschwindigkeit von vs = ,5m . Mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel zur beabsichtigten Richtung bewegt sich das Boot ? Wie viel m beträgt die Abweichung vom anvisier ten Zielpunkt ? Welche Zeit wird für die Fahrt benötigt ?

21. Der Grat an einem Gesenkschmiedeteil wird an einer Presse mit einem Abschrotmeißel entfernt. Der Keilwinkel beträgt B = 70°, die Pressenkraft F = 380 N . Ermitteln Sie zeichnerisch und rech nerisch sowohl die Trennkraft als auch die Normalkraft, die auf die Flanken des Meißels wirkt. Wie groß muss der Keilwinkel sein , wenn bei gleicher Pressenkraft die Trennkraft verdoppelt werden soll ?

700

22. Im Apparatebau soll eine Trennwand aus Stahl durch ein nume risch gesteuertes Bolzenschweißgerätmit Befestigungsbolzen be stückt werden . Von der Fläche, die die Form eines Parallelo grammsbesitzt, sind die Koordinaten von 3 Ecken in m gegeben : E , ( 15 | 22 | 3 ) ; E , ( 25,82516 ,6 ) ; Ez (17| 2619) . In 3 zu E , E , pa rallelen Reihen sollen jeweils 5 Bolzen in gleichmäßigen Abstän den angebracht werden . Berechnen Sie die Koordinaten und die Abstände der Schweißstellen in mm und die Koordinaten von E4 in m .

ttttt

ttttt

ttttt

23 . Ein Gewindedrehmeißel bewegt sich mit einem Vorschub von 12,5 mm bei einem Drehdurchmesser von 34 mm und einer Schnittgeschwindigkeit von 12 . Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Wirk geschwindigkeit und den Wirkwinkel. Welche Hauptzeit wird für einen Schnitt bei einem 700 mm langen Gewinde benötigt ? 24 . Die auf der Planscheibe einer Drehmaschine aufgespannten Teile (Werkstück , Spannpratzen ,Gegengewichte) bewirken im Betrieb die in der Skizze dargestellten Fliehkräfte Fi = 1,4 kN ; F , = ,6 kN ; Fz = ,9 kN ; F = ,7 kN . Bestimmen Sie die Kom ponenten und den Betrag derjenigen Kraft zeichnerisch und rechnerisch , die auf das Radiallager der Arbeitsspindel wirkt. Bei der vektoriellen Darstellung wird das Koordinatensystem als mit der Planscheibe umlaufend angenommen .

E60

309

9.2 Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt

9.2

Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren In der Physik werden vielfach zwei vektorielle Größen miteinander verknüpft ,wobeidas Ergebnis kein Vektor, sondern ein Skalar ist. Ein Beispiel ist der physikalische Begriff der mechanischen Arbeit W . Die Arbeit ist eine skalare Größe; sie ist sinnvoll festgelegt als eine spezielle Verknüp fung der vektoriellen Größen Kraft F und Weg s, die man als Skalarprodukt bezeichnet: W = F . S. Anhand des Beispiels der mechanischen Arbeit werden wir im Folgenden diese „ Produktbildung“ von Vektoren kennenlernen . Beispiel 9 .9 Wirkt auf einen Körper eine konstante Kraft und legt der Körper aufgrund die ser Kraftwirkung den Weg 5 in Richtung der wirkenden Kraft zurück , dann versteht man unter der an dem Körper verrichteten mechanischen Arbeit das Produkt aus den Beträgen F = F

und s = 15 | der vektoriel

len Größen Kraft und Weg : W = F . s. Wird beispielsweise ein Körper mit der Masse m = 1 kg angehoben , so ist dazu die Kraft F = 9,81 N erforderlich . Legt der Kör per beim Anheben den Weg s = 1 m zurück , so beträgt die verrichtete Hubarbeit W = F . s = 9,81 N . 1 m = 9,81 Nm . Stimmen Kraft - und Wegrichtung nicht überein – wie das beispielsweise der Fall ist, wenn ein Traktor schräg einen Eisen bahnwaggon zieht, der auf einem zur Straße parallelen Gleis läuft - , dann wird die Be wegung nur durch den Anteil der Kraft F bewirkt, der in Wegrichtung liegt. Dieser Anteil, den wir mit F,bezeichnen wollen , ist gleich der Projektion des Vektors F auf die Wegrichtung. Für den Betrag F , von Fer gibt sich : F = Fl= |F |· Cosa Damit erhalten wir für die Arbeit W = F1:151 = |F |-|S |.Cosa . Den Ausdruck |FL | S |. cos a nennt man das Skalarprodukt der Vektoren F und s.

Skalarproduktder Vektoren F und s : F . s = |F |:|S |.COS ..

9 Vektoralgebra

310

Abgeleitet vom physikalischen Begriff der mechanischen Arbeit verallgemeinern wir die derartige Verknüpfung als Skalarprodukt für beliebige Vektoren u und v : ū•ū = lül· löl. cos a.. Dabei ist & das Maß des Winkels , den zwei in einem Punkt angetragene Repräsentanten der Vektoren ū und ū einschließen , wobei gilt : 0° < a < 180° Einige Eigenschaften des Skalarproduktes können aus der Definitionsgleichung unmittelbar ab gelesen werden : 1) Sind die beiden Vektoren orthogonal, gilt also a = 90° ,dann ist cos a = . Das Skalarproduktū•ū ist damit ebenfalls gleich . Das Skalarprodukt von Vektoren kann also auch sein , wenn keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist ! 2 ) Sind die beiden Vektoren kollinear, dann gilt für einen eingeschlossenen Winkel entweder a = 0° oder a = 180°. Wegen cos 0° = 1 und cos 180° = - 1 ist ū · ū = lül·lül für a = 0°

und

ū•ū = - lül·lő

für a = 180°.

Das Skalarprodukt ist in diesen beiden Fällen betragsmäßig maximal, da cos a in allen anderen Fällen , also für 0° < a < 180°, zwischen

– 1 und 1 liegt .

3) Jeder Vektor ist zu sich selbst kollinear, es gilt also : Ö•ū = 101 = v? + * + v?, Die Gleichung v . v = v3 + 03 +

also

lol = 10.7 = 10& + v1 + v?

liefert einen

Term für das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, der die Komponenten des

ū - v

Vektors enthält. Es wäre vorteilhaft, wenn wir jedes Skalarprodukt ü . durch die Komponenten der beiden Vektoren ü und ausdrücken könnten . Dies gelingt mithilfe des Kosinussatzes (s. S . 106 ). Für das abgebildete Dreieck gilt nach dem Kosinussatz Tū – 012 = lūl2 + 1012 – 2 ū|| |cos & = lül + 1012 – 2•ü 'ü. Andererseits gilt ū – ū =

u , - v, ), also : \ u , - v ,/

Jū – ūl = (uz – „ _)? + (U, – ,)2 + (u . — v.)? = (u? – 24xV: + v}) + (u} – 24, , + v}) + (u? – 2u,v. + v2) = ( už + u; + uş)+ (v? + 03 + 02) – 2 (4_ 0x + 49V, + u.v.) =

lūl2

+

Tül

Vergleichen wir die letzte Zeile mit dem ü : v = uu + u , v, + u ,v ..

– 2.(u _0x + , , + u_ .)

+

Ergebnis aus dem Kosinussatz, dann sehen wir :

311

9 .2 Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt

Damit haben wir eine sehr einfache Formel für die Berechnung des Skalarprodukts erhalten für den Fall, dass die Komponenten der beiden Vektoren gegeben sind. Insbesondere lässt sich mit dieser Gleichung und der Definitionsgleichung des Skalarproduktes aus den Komponenten das Winkelmaß a bestimmen :

cosa

üü Jülilü

Uvx + u , , + u , v , Tüllöl

uzu, + 4 , , + u ,v , Vu? + uz + u ?: 1

+ v + v?

Bevor wir die Ergebnisse zusammenfassen , wenden wir sie in vier Beispielen an .

Beispiel 9 .10 In einem Braunkohlentageabbau wird die abgebaute Braunkohle aus einer Tiefe von bis zu 300 m durch Förderbänder direkt in ein Kraftwerk transportiert. Ein geradlini ges Teilstück von 1050 m Länge führt einen Hang mit dem Steigungswinkel von 15° hinauf. Welche Hubarbeit wird dort an je der Tonne geförderter Kohle verrichtet ? ( Eine Tonne Kohle hat ein Gewicht von 9810 Newton .)

Gegeben : F = F1 = 9810 N S =

S = 1050 m

4 = 90° - 15° = 75° Wir berechnen durch

Bildung des Skalarpro

dukts die Hubarbeit : W = F . 5 = | |:15 | cosa W = 9810 - 1050 . cos 75° Nm

2 ,666 . 10 Nm

Beispiel 9 .11 Welche potentielle Energie hat das Gefährt einer Achterbahn zusätzlich erhalten , wenn es mit der Kraft F um die Strecke s angeho ben wurde ? Die Zunahme der potentiellen Energie ist gleich der verrichteten Hubarbeit, die wir als Skalarprodukt unmittelbar mit den ge gebenen

Komponentendarstellungen

der

Gegeben :

F –(39 )N, 3= Gm Im

W = FS

W = 80 N 0m + 230 N . 7 m = 1610 Nm

Vektoren F und s berechnen können .

Beispiel 9. 12 Gegeben sind die Spaltenvektoren

5 Der Parameter t ist so zu bestimmen , dass die beiden Vektoren orthogonal sind . Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren und wenden die Orthogonali tätsbedingung ū . u = an .

Skalarprodukt von ü und v : ū ū =13 : 2t 1 ) 15 = ( - 2 ) . 4 + 3 . 2t + 1 . 5 = bt - 3 Orthogonalitätsbedingung: ü:

= 6t – 3 =

- t=

312

9 Vektoralgebra

Beispiel 9 . 13 Zum den

Verschweißen von Verstrebungen in Tragkonstruktionen mehrerer Lager

hallen soll eine Vorrichtung gebaut werden . Die räumliche Ausrichtung zweier Anschlä ge ist durch die Vektoren 7 und s festgelegt, wobei die zweite Komponente s, von s noch zu bestimmen ist und zwar so , dass die Streben einen Winkel von 60° einschließen .

egeben :

- 3

/ Q = 1 * (* ; 5)] = 60°

Wir notieren die Gleichung für das Skalar

7 . 5 = 171115 |. cosa

produkt und schreiben dann auf der linken

TxSx + r, S, + r.s = 1F1:15 .Cosa

Seite die Komponentenform .

2 – 25, = 1/8 .1/ 10 + s}

Nach dem Einsetzen der Komponenten ,der Beträge und für cos 60° ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für die gesuchte Komponente sy . Durch das Quadrieren die ser Wurzelgleichung können Scheinlösun gen eingeschleppt werden . Es ist also unbe

(2 – 2s,)2 = 8 (10 + sz). 4 - 85, + 45 = 20 + 2 s; 25; - 85, - 16 = 51 - 45, - 8 = (s,

2)2 = 12

dingt eine Probe in der Ausgangsgleichung erforderlich ! Die Gleichung (sy - 2) = 12 besitzt die Lö

Probe für S, = 2 + 1 12:

sungen s, = 2 + 1 12 und s, = 2 - 1 12. Zur Probe setzen wir die beiden Lösungen in die

2 – 2(2+ 1/ 12 )= V8

Gleichung 2 – 25, = V8V10 + s

- 2 – 2V12 = 18.V10 + (2+ 1/ 12)2. > falsche Aussage

ein .

Nur der Wert s, = 2 - 1122 – 1,46 ist eine Lösung. Der Vektor s hat damit die Dar stellung

Probe für s, = 2 -

12 :

2 – 2 (2 -V12 ) = 1/8. –2 + 2

š =

10 + (2 + V 12) .

10 + (2 - V/12) .

12 = 1/8. 1/ 10 + (2 - V 12 2.

4,92820324 = 4,92820323 (TR !)

- 1,46 -3

wahre Aussage

Merke : Das Skalarprodukt zweier Vektoren ū und ü ist das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren , multipliziert mit dem ū•ū = lūl.lol. cos a

Kosinus des eingeschlossenen Winkels :

(0° < = < 180°).

, gegeben , so gilt : Sind die Vektoren in ihrer Komponentenform ū = u , und ū = . for 3-6) -- V ) seben 10 Uv = u , v + u ,, v , + u . V .

und

Cos a =

40. + 4 , , + u , v . V u ? + u; + u ? 102 + u + v ?

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ū und ü sind orthogonal genau dann , wenn gilt : ū . = . Sie sind kollinear genau dann , wenn ſü : ūſ = \üllül.

313

9 .2 Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt Das Vektorprodukt

Eine weitere Verknüpfung von Vektoren ist das sog. Vektorprodukt. Sie wird so bezeichnet, weil sich hier im Gegensatz zum Skalarprodukt als Ergebnis der Verknüpfung wieder ein Vektor ergibt.Man nennt das Vektorprodukt auch Kreuzprodukt oder auch äußeres Produkt. Demgegen über wird das Skalarprodukt auch als inneres Produkt bezeichnet. Die neue Verknüpfung zweier Vektoren lernen wir ebenfalls anhand eines Beispiels aus der Phy sik / Technik kennen . Beispiel 9.14 In vielen Bereichen der Technik spielt das Drehmoment eine große Rolle. Der Techni kerausspruch ,,Drehmoment = Kraft mal

Drehachse

Hebelarm “ ist nur bedingt richtig . Wie aus dem Bild ersichtlich , ist der Betrag M des Drehmomentes nicht nur abhängig von der Entfernung des Kraftangriffspunktes von der Drehachse, sondern von dem Anteil F der Kraft F , der rechtwinklig zum Hebel arm wirkt. Bildet der Kraftvektor F mit dem Hebelarm einen Winkel mit dem Maß dl, so gilt |F_1 = \F

sin a

und das Drehmoment hat den Betrag M = F

F = |F | F | sin d .

Nun ist das Drehmoment eine vektorielle Größe. Die Richtung des Drehmoments M stimmt mit der Richtung der Drehachse überein ; das Drehmoment steht auf der durch die Vektoren r und F aufgespannten Ebene senkrecht. Die Orientierung von M ergibt sich aus der folgenden Schraubenre gel : Dreht man aufkürzestem Wege r nach Ě , so bewegt sich das System wie eine rechtsgängige Schraube in Richtung von M . Man verwendet als Zeichen für das Vektor produkt nicht den Multiplikationspunkt, sondern das Zeichen x und spricht: ,, Vek

Vektorprodukt der Vektoren 7 und 7 : M = ixĚ

|M | = |* |-\Ē |· sin a

torrKreuz Vektor F ". Beim Vektorprodukt kommt es auf die Rei henfolge der Faktoren an . Der Betrag des Vektorproduktes ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts A des von den Vektoren 7 und F aufgespannten Paral lelogramms.

Es gilt: 7 xi = - (ixĚ) = - Ñ .

A = ( . Fl. sin a

314

9 Vektoralgebra

Wirkt die Kraft in Richtung des Hebelarms, so ergibt sich kein Drehmoment; anders ausgedrückt: Das Drehmoment ist in die

Kollinearität von Vektoren ü , üxörő

ū = a:

:

(aeR )

sem Fall der Nullvektor. Ist also a = 0° oder Q = 180° , dann sind í und F kollinear und es gilt : M = řxF = 7 . Damit haben wir ein Kriterium zur Überprüfung der Kollineari tät von Vektoren erhalten . Der Vektor w = ü xü ist nach Definition des Vektorproduktes orthogonal sowohl zum Vektor u als auch zum Vektor 7 . Aus dieser Bedingung kann mithilfe des Orthogonali tätskriteriums des Skalarproduktes - die ses wird bekanntlich Vektoren - und der

Komponentendarstellung des Vektorproduktes der Vektoren u =

für orthogonale Beziehung w =

und

u,

(u ,v - U₂v ) u₃ux - U V \u0, - u , v /

ü xü =

lül·lol sin a die Komponentendarstellung des Vektorproduktes hergeleitet werden . ► Aufgabe 13

Bevor wir die Eigenschaften des Vektorproduktes zusammenfassen , behandeln wir noch eine Beispielaufgabe. Beispiel 9. 15 Es ist zu prüfen , ob die beiden Vektoren 2 ū =

Wir berechnen zunächst das Vektorprodukt : /

- 3

und

Ü =

6

21

xū = 1 - 3 1 / 9 - 6

kollinear sind. Ist dies nicht der Fall, so ist der Flächenin halt A des durch die beiden Vektoren aufge spannten Parallelogramms zu berechnen .

/ x

4 6 - 3/ / 31

úxu = 1 4 + 6 = ( 10 + 7 \ 12 + 12 ) 24 / → Die Vektoren sind nicht kollinear. Für den Flächeninhalt ergibt sich : A = lü xül = 132 + 102 + 242 = 1685226,17.

Merke : Das Vektorprodukt ūx u zweier Vektoren ū und v ist ein Vektor, der sowohl zu ū als auch zu ü orthogonal ist; seine Orientierung ergibt sich aus der ,,Schraubenregel“ (s. S . 313). Für den Betrag des Vektorproduktes gilt : Jūxūl = lūl·lūlisin . und ū = Sind die Vektoren in ihrer Komponentenform ū = 1 ) gegeben , so gilt : Sind die Vektoren in ihrer Komponentenform ä=( )und7-(5 gegeben,so gilt: (u ,v - u _v, üxū = 4 , 0x - u v . \uxuy - u , Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ū und ü sind kollinear genau dann , wenn gilt : ủ củ = .

315

9.2 Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt Übungen

zu 9.2

- 6 1 - 2 1. Berechnen Sie mit r = 14 ) ; s = - 6 ; = 8 ); ū = - 9 die Skalarprodukte. 1 37 1 -3 1 . Berechnen Sie mi7-() :-( ): -( :-( + ) de skalsprodukter c) Fú b) 7.7 f) s . r + st + sū e ) rū + sū 2. Gegeben sind r = 8 und S = 12 ; der von den Vektoren eingeschlossene Winkel betrage 120°. Berechnen Sie : b ) s . (r + s ) c) ( - s ). s a ) 7 .( r + S) e ) (r + S ). ( - 5 ) f) (r - 3) (r - s ) d ) (r + $). ( + 5 ) 3 . Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren . b)7=(-9);3=(3)

4 . Bestimmen Sie den Parameter ter so , dass mit r = lt und s = 12 / a)

. s = 21

- 6

gilt :

b ) r . s = - 18

5 . Bestimmen Sie alle Winkel des Dreiecks, das durch die Vektoren eingeschlossen wird . b) 7=( );3=(-2) 9)7+(+2);5-( 3)

1) 7+(-3);3=(-1)

6 . Berechnen Sie die ZahlkeR so, dass die Vektoren orthogonal sind. / 3 1k +21 /k - 3 ) a ) r = 2 : S = 2k b) r = 5 ; s = k \k - 1/ \k + 4 / c) r =

3k \ k + 5) 2k ) ; s = k - 2 5k / \k + 3 /

21 - 11 P = k - 3 ); s = k + 2 2 / 3 /

7. Bestimmen Sie den Punkt P , so, dass P , P2 und P , P , orthogonal sind . a ) P , ( 3 |112) ; P2 (41513 ) ; P3 ( - 2y| 3 ) b ) P (6121 - 8 ) ; P2 (71 - 41 - 11 ) ; P , (31512 ) d) P , < - 3141 - 6 ) ; P2 < 5131 - 9 ) ; P , ( x |y |z ) c) P , ( 1157) ; P2 (01 - 618 ) ; P , ( x1312 ) 8 . Ein Schrägaufzug wird durch ein Drahtseil bewegt. Die Kraft, die über das Seil wirkt, lässt sich in der Form F = (6 | 2 | 3)kN darstellen . Der tiefste Punkt, den der Aufzug anfährt,hat die Koordinaten P . (550| 300 ( 150 ) , der höchste Punkt ist P , (670 |350 200 ). Die Angaben der Koordinaten erfolgen in m bezogen auf einen Vermessungspunkt. Welche Arbeit wird bei einer Aufzugsfahrt erbracht ? 9 . Ein Lastkahn wird in einer Hafenanlage von einer Lokomotive an den Landungssteg einer Firma getrei delt. Die Zugkraft in der Kette ist F = (3,3 |11, 510,6 )kN , wobei die Wasseroberfläche die x -y - Ebene dar stellt. Das Schiff legt einen Weg von 95 m zurück . Der Winkel zwischen der Kette und der Bewegungsrich tung des Schiffes beträgt 12º. Berechnen Sie die durch die Lokomotive aufgewendete Arbeit. Welcher Höhenunterschied besteht bei einer 14 m langen Kette zwischen dem Befestigungspunkt am Schiff und dem an der Lokomotive ?

316

9 Vektoralgebra

10 . Ermitteln Sie die Vektorprodukteřx š und s x 7. Berechnen Sie die Beträge der Ausgangsvektoren und der Vektorprodukte. - 4 — 9 : S = a) r = 1 2 . T = 2) c)

=

- 3

; 3 =

- 7

11. Berechnen Sie zu den Vektoren von Aufgabe 10a - d die Ausdrücke (pr) (r x P ) und ( 8 . 5) ( s xs). 12 . Prüfen Sie die Vektoren auf Kollinearität 1) durch Bestimmungsgleichungen , 2) mithilfe des Vektorproduktes. 7 - 91 / 51 a) r = 1 ); s = - 3 - 4 / 18)

72

1 - 12 /

- 1,8 /

\ 21,6

»:-(9):-( -3)

13. Leiten Sie die Komponentendarstellung des Vektorproduktes her. Verwenden Sie dabei die Eigenschaft des Vektorproduktes, dass das Vektorprodukt senkrecht auf jedem der Vektoren steht, durch die es gebildet wird, und die Gleichung für den Betrag des Vektorproduktes. 14. Berechnen Sie das Drehmoment in vektorieller Darstellung und als physikalische Größe in Nm . Berechnen Sie ebenso den rechtwinklig zum Hebelarm stehenden Anteil Ē, der Kraft F in N . a) F = (3,5 | 1,512)kN ; r = (500 | 200 | 100)mm b ) F = (30 |45| – 25) daN ; F = ( - 40| 30 | 10) dm 15 . Auf einer Werft soll ein Regenschutz in Form eines Parallelogramms zwischen vier Befestigungspunkten gespannt werden . Die Punkte besitzen die folgenden Koordinaten (Bezugsmaß : m ): P , < 4 |2 | 3) ; P2 ( 10 |614 ) ; P3 ( 121916 ); P4 ( 61515 ) . Wieviel m² Plane sind mindestens erforderlich ? Wie lang müssten Drahtseile mindestens sein , dieman zur Verstärkung diagonal abspannt? 16 . Berechnen Sie vektoriell und betragsmäßig die maximalen Drehmomente, die bei dem Wanddrehkran von Aufgabe 18 (Seite 308) auf alle Profile wirken . 17. Die untere Stückaufnahme eines Förderbandes liegt 1 m über dem Punkt P., ( 7 | 12 |4 ) m des völlig waage rechten Bodens einer Fertigungshalle . Ausgehend von dieser Aufnahme lässt sich die Anordnung und die Länge des Bandes durch den Vektor 7 ( 31915) m beschreiben . Von den größten zu befördernden Teilen mit einer Masse m = 23 kg können 8 gleichzeitig befördert werden . Vergleichen Sie die für diesen Fall notwen dige maximale Hubarbeit mit der für den gleichen Fall notwendigen Bandantriebsarbeit zur Ü berwindung der Hangabtriebskräfte. Welche Leistung muss der Motor bei einer Bandgeschwindigkeit von 8 m min destens erbringen ? Bestimmen Sie die Koordinaten des oberen Werkstückübergabepunktes. 18. Auf den abgebildeten Kolben wirkt in der momentanen Stellung ein Gasdruck von 38 bar. Bestimmen Sie den Kraftvektor in der Pleuelstange . Berechnen Sie den Momenten vektor bezogen auf die Kurbelwelle. Mit wel cher Kraft drückt der Kolben gegen die Zylinderwand ?

300

z

30°

317

9 .3 Lineare Gleichungssysteme

9.3

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Unabhängigkeit von

Vektoren

Im Rahmen der Behandlung des Skalarproduktes und des Vektorproduktes haben wir Möglichkeiten gefunden , Paare von Vektoren auf Kollinearität zu überprüfen (vgl. S . 310 In der Anwendung – beispielsweise bei der Betrachtung von Kräften in der Mechanik diese Kriterien gute Dienste. Wir wollen uns an dieser Stelle noch einmal die inhaltliche

jeweils u . 314 ). leisten Bedeu

tung des Begriffs Kollinearität in Erinnerung rufen . Auf Seite 303 haben wir die Festlegung getroffen , dass zwei Vektoren ū und ū kollinear heißen , wenn es einen weiteren Vektor w gibt, so dass ū und v jeweils Vielfache von w sind. Im

Fall der Kollinearität gibt es also zwei von

verschiedene reelle Zahlen a und ß , so dass gilt: üzvü

und

i = B-ü

bzw . w = + ū

und w =au.

Aus der letzten Beziehung folgt für die kollinearen Vektoren ü und o : , also

ū +( -BI )-i= o.

Auf der linken Seite der letzten Gleichung steht eine sog. Linearkombination der Vektoren ū und Ū ; setzen wir a =

und b = - , so besagt die damit entstehende Gleichung

a . ū + bū =

(mit a , beR * ),

dass es eine Linearkombination der beiden Vektoren gibt, die gleich dem Nullvektor ist. Man sagt : Die Vektoren ū und ū sind linear abhängig . Zwei kollineare Vektoren sind also stets linear abhängig. Der Begriff der linearen Abhängigkeit ist aber etwas weiter gefasst:Gilt a : ū + b•ū = im Fall, dass wenigstens einer der Faktoren a oder b von verschieden ist, so sind ü und ü linear abhängig. Nehmen wir beispielsweise an , dass a # gilt, dann kann die Gleichung nach ü aufgelöst werden , ü also als Vielfaches von ü dargestellt werden : ü = (_ a ). . Auf dieser Grundlage eröffnet sich eine einfache Möglichkeit , ein Vektorpaar auf lineare Abhän gigkeit zu untersuchen . Beispiel 9.16

Untersuchung auf lineare Abhängigkeit durch Quotientenbildung

Gegeben sind die Vektoren ū und 7 . Divi dieren wir die Komponenten von ü durch die entsprechenden Komponenten von v, so ergibt sich jeweils derselbe Quotient - 2 . Es gilt also : ū = ( - ). .

ú = ( - 5 ); v = ( 10 ) Es gilt : 2 : ( - 4) = ( - 5) : 10 = 1 : ( - 2) =

Der Begriff der linearen Abhängigkeit ist auch für mehr als zwei Vektoren sinnvoll. So heißen die drei Vektoren ü, v, w linear abhängig genau dann , wenn es eine Linearkombination der Vektoren mit der Eigenschaft a :ū + b . + c. w = gibt,bei der wenigstens einer der Faktoren a , b , c verschie den von Null ist.

318

9 Vektoralalgebra

In diesem Fall kann nämlich der entsprechende Vektor als Linearkombination der anderen beiden Vektoren ausgedrückt werden . Beispiel 9.17

Ist z. B . c # , so folgt w = ( - 9 .ū + ( - 5)

.

Folgt nun andererseits aus der Gleichung a · ú + bū + c. w =

, dass a = b = c =

gilt, dann heißen

die Vektoren ū , v, w linear unabhängig. Entsprechend wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit für zwei oder mehr als drei Vektoren definiert. Im folgenden Beispiel sollen zwei Vektoren anhand der Definition auf lineare Unabhängigkeit untersucht werden . Beispiel 9 .18 Sind die Vektoren ū =

1 - 1 - 4 ) und ū = 1 5 ) linear unabhängig oder linear abhängig ? 2 )

Wir bilden die Linearkombination a : ū + b7 und schreiben zur Bestimmung der Faktoren a und b die Vektorgleichung a•ū + bū= ausführlich auf. Man erhält ein lineares Gleichungssystem aus dreiGleichungen für die beiden Variab len a und b , auf dessen rechter Seite nur Nullen stehen ; man sagt: Das Gleichungs system ist homogen. Ein homogenes li neares Gleichungssystem hat offensichtlich stets den Nullvektor als Lösung.

| a : ū + bv = 7 =

2) )- (1 b = ( 1)

13 - 3 / --( 6a -

- 4a + 5b = ( - 3a + 2b =

(II) (III)

Man erkennt unmittelbar: 701 ist eine Lösung .

Es fragt sich nun , ob noch andere , also vom Nullvektor verschiedene Lösungen existie ren . Zur Beantwortung multiplizieren wir

5

+ 6

- 4

=> a

[

12a , 2b =

(II) (III) )

- 12a + 15b = ( - 12a + 8b =

(1 )

( 12a ,

(I.) (II ) (III )

Gleichung (I) mit 2, Gleichung (II) mit 3 und Gleichung (III) mit 4 und erhalten so das äquivalente System (L.), (II ), (III.). Im

zweiten Schritt behalten wir die Glei

chung (1.) bei und addieren diese zu den Gleichungen (II.) und (III.). Das äquivalen te System (12), (II ), (III ) hat in der Tat nur die triviale Lösung a = und b = .

(II ) > = (III )

L

sa =

2b = 13b = 6b =

(12) (II.) (III.)

und b =

ü und ✓ sind also linear unabhängig.

Beispiel 9 . 19 Für die Vektoren von Beispiel 9 . 16 liefert das Verfahren von Beispiel 9 .18 das neben stehende homogene lineare Gleichungssys tem . Man erkennt, dass dieses Gleichungs system nicht nur die triviale Lösung hat,

a :ū + b .v = 7 [ → l

2a , 4b = – 5a + 10b = a - 2b =

(I) (II) (III)

sondern unendlich viele Lösungen besitzt. Die Vektoren sind also in der Tat linear ab

Alle drei Gleichungen sind äquivalent zu a = 2b.

hängig .

> L={() a, ber mita= 26 }

319

9 . 3 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Zur Untersuchung von Vektorsystemen auf lineare Unabhängigkeit ist man immer wieder vor die Aufgabe gestellt, lineare Gleichungssysteme zu lösen . Darüber hinaus führt die Modellierung zahlreicher Anwendungen aus den Naturwissenschaften , der Technik und der Wirtschaft direkt auf lineare Gleichungssysteme. An einigen Stellen (vgl. z . B . die Seiten 38 f., 53f.,68f., 253) waren wir mit dem Problem der Lösung solcher Systeme bereits konfrontiert. Dabei haben wir als Lösungsverfahren meist das Additionsverfahren angewendet. Andere einfache Verfahren sind das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren . Im Folgenden werden wir zwei weitere Lösungsalgorithmen behandeln . Dazu betrachten wir zunächst ein Beispiel aus der Statik .

Beispiel 9 .20 Auf das Auflager B des skizzierten Konsol trägers wirken über zwei Stäbe die Stab kräfte S, und S2. Die Gleichgewichtsbedin gung ergibt für die Belastung B , in x- Rich tung die Gleichung sin 30°. 5 , + sin 50° . Sz = Bx ; für die Belastung B , in y- Richtung erhalten wir die Gleichung cos 30° . S, + cos 50° . Sz = B . Aus Festigkeitsgründen sind die höchst

,500 - S, + ,766 - S2 = 7

(1)

zulässigen Belastungen des Lagers mit B = 7 kN und B , = 8 kN vorgegeben . Set

,866 - S, + ,643- S2 = 8

(II)

zen wir diese Zahlenwerte und Näherungs werte für die Koeffizienten der Stabkräfte in die Gleichungen ein , so erhalten wir das

Mit z . B . dem Additionsverfahren (vgl. S . 39) er hält man für die maximalen Stabkräfte :

nebenstehende inhomogene lineare Glei chungssystem zur Berechnung der maximal

S, 24,8 kN ,

möglichen Stabkräfte S, und S2.

S226, kN .

Bei der Lösung linearer Gleichungssysteme nach dem Additionsverfahren sind immer wieder dieselben Rechenschritte durchzuführen . Wir untersuchen das Verfahren und die sich ergebenden Lösungen an einem dem obigen Gleichungssystem Zahlenkoeffizienten Variable schreiben :

entsprechenden System , bei dem wir für die

aux, + 212X2 = b , 221 * , + 422X2 = b2 2 ,1 * + 212x2 = b , 021X , + 422 X2 = b2 J

l. 222 l . ( - , 2)

,1 * 1 + 212X2 = b , 1:( - 22 ) 02, X , + 422x2 = b2

1.21

,1422X + 2022x2 = b ,422 1 - 012021X , - 012022 X2 = - 012b2

S - a ,1021X , - 4,2021X2 = - b , 221

→ ( ,1222 - 012221)•xy = b ,222 - a12b2

→ ( 1022 – 012021)• x2 = aub2 - b , 021

I

011021X1 + , 022x2 =

a1b2

9 Vektoralalgebra

320 Damit gilt : 011 * 1 + 012X2 = b ; 021 * 1 + 222 * 2 = b2Jl

f (a , 022 - 012021). * ; = b , 222 - 012b2 (411422 – ,2221) X2 =

,1b2 – b , 221

Wir bemerken , dass auf der linken Seite des rechten Systems derselbe Faktor D = , 022 - 012azı vorkommt, von dessen Beschaffenheit offensichtlich die Lösbarkeitseigenschaften des Gleichungs systemswesentlich bestimmt werden. Ist D = ,so besitzt das rechte System – und damit auch das Ausgangssystem - die einzige Lösung (* X2/)

mit x;= b, 42 – ;zbz und

x = 91,62D b, 421.

Die Zahl D = a0,2 - ,202, heißt Determinante der Koeffizientenmatrix gleichungssystems.Man schreibt : D - au a21

421 422 /

des Ausgangs

012 = 21, 222 012021 0221

Merke : Die Determinante einer zweireihigen Matrix (Tc dl) wird berechnet, indem man vom Produkt der Elemente a , d der „ Hauptdiagonale “ das Produkt der Elemente b, c der „ Nebendiagonale“ subtrahiert: a b = ad -be.

Beachten wir diesen Sachverhalt , dann stellen wir fest, dass im

Zähler der Lösungsterme von xi und X2 ebenfalls Determinanten von speziellen zweireihigen Matrizen stehen ; es gilt : Di = 16 : 1962

012 = b , a ,2 - a12b2 222

und

D2 = 01 " 11 02 = ajb2

b , 221

Wir können nun mit Hilfe von Determinanten ein systematisches Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen in übersichtlicher Form angeben . Das Verfahren wird als Cramer ' sche Regel " bezeichnet.

Merke : ,1 % , + 012 * 2 = b11 | besitzt im Fall D # die Lösungsmenge La21X1 + 222 X2 = b2 ] au 0121 Dabei ist die Nennerdeterminante D = Q12021 die Koeffizien Taz azzl = 1022 – au bil 012 tendeterminante ; die Zählerdeterminanten D , Tb₂ azal b ,222 — ,2b2 und D2 = lazı bal Das lineare Gleichungssystem

aub2 - b , az erhält man aus der Koeffizientendeterminante, indem man die zu x , bzw . x2 gehörenden Koeffizienten durch die Koeffizienten der rechten Seite des Systems ersetzt.

1) Gabriel Cramer (1704 - 1752), schweizer. Mathematiker

321

9 .3 Lineare Gleichungssysteme Wir wenden die Cramer'sche Regel auf das

D -

Gleichungssystem

= ,5 - ,643 - ,766 . ,866 = - ,3411856

,500 . S, + ,766 . S2 = 7

(I)

,866 . S , + ,643. S2 = 8

(II)

D _ 7 Di = 1 198

von Beispiel 9.20 (Seite 319) an . Das System besitzt die Koeffizientenmatrix ,500 ( ,866

, 766 ,643

,500 10,866

,766 091 = 7. ,643 – ,766 -8 = - 1,627 ,6437

,500 Dz = 10-366

,766 ) . ,643 )

D,

gebildet.

os = ,5- 8 – 7 : ,866 = - 2,062

_ - 1,627 ,759314 - , 341185674

S; = D D

die rechte Seite wird durch den Vektor

7

- 2,062 34118566,031779 - ,

Der Begriff der Determinante ist nicht auf zweireihige quadratische Matrizen beschränkt, sondern kann auf beliebige quadratische Matrizen ausgedehnt werden . Der Rechenaufwand steigt aller dings mit zunehmender Anzahl der Zeilen und Spalten sehr stark an . Ist ein lineares Gleichungs system von drei Gleichungen mit drei Variablen xı, X2, xz in der Normalform 411X1 + 212X2 + 013X3 = b1 021X1 + 022X2 + D23 X3 = b2 azıX1 + 032 X2 + 033X3 = b3 gegeben , so kann mit Hilfe des Additionsverfahrens analog zum Verfahren für zwei Gleichungen ein äquivalentes System der folgenden Form erzeugt werden , bei dem jede Gleichung wieder nur eine der Variablen enthält : D .x , = D ,

D -x2 = D2,

DºXz = Dz.

Dabei hat der Faktor D , der in allen drei Gleichungen vorkommt, die Form D = 441022033 - 011223432 – 021012233 + 221013032 + d31012023 – 0310 13 822. Klammert man aus den ersten beiden Summanden den Faktor a , aus den nächsten beiden Summanden den Faktor - a ,, und aus den letzten beiden Summanden den Faktor az, aus, so wird ersichtlich , dass D mittels zweireihiger Determinanten darstellbar ist : D = au (022233 – A23032 ) — 421 (012033 - Q13032) + 231 (Q12023 – 013 022 ) " 11 |a32

433421 |a32

233431 |222

223

Man bezeichnet die Zahl D als Determinante der dreireihigen quadratischen Matrix au | 221 \ azı

012 222 432

013 ) 223 ) 433 /

und schreibt:

jan1 D = |a21 | 431

212 222 432

213 223 433

Mit der Beziehung (* ) haben wir eine Möglichkeit erhalten , die Berechnung der Determinante einer dreireihigen Matrix auf die Berechnung von zweireihigen Unterdeterminanten zurückzufüh ren .Man beachte , dass die Unterdeterminanten mit den Koeffizienten der ersten Spalte multipli ziert werden , wobei sich die jeweilige Unterdeterminante aus der dreireihigen Determinante durch Streichen der ersten Spalte und durch Streichen derjenigen Zeile , in der der Koeffizient au bzw . 021 bzw . az, steht, ergibt.

322

9 Vektoralalgebra Merke :

Entwicklungssatz : (a , a ,2 9,3 | Die Berechnung der dreireihigen Determinante azı 222 223 kann auf die Berechnung zwei | 431 432 433 | reihiger Unterdeterminanten zurückgeführt werden. Es gilt : au

02 221 222 azı 432

013 223 = 2, 422 411 |a32 433 |

423 --a , 412 133 421 |azz

jan2013 0131 033 /7431 222 223

Die obige Entwicklung der dreireihigen Determinante erfolgte nach der ersten Spalte. Analog kann man eine dreireihige Determinante auch nach einer anderen Spalte bzw . einer der Zeilen entwickeln . Die folgende Gleichung stellt die Entwicklung nach der zweiten Spalte dar. au

012

013)

any as an

" |231

0332

azi

233432 |azı 223

Das Vorzeichen des Entwicklungskoeffizienten dik ist bestimmt durch den Ausdruck ( - 1)i+ k. Wir wollen nun noch ein anderes, sehr einprägsames Verfahren zur Berechnung dreireihiger Determinanten kennenlernen . Dazu ordnen wir die Summanden in der Formel D = au 022033 -

, 023032 – 021012233 + d21213 232 + 231012423 – 03, 013 022

zunächst nach dem Vorzeichen und dann nach aufsteigendem Zeilenindex innerhalb der Produkt terme: D = 01022033 + d31012023 + 021013032 - 031 013 22 - 01023 032 - 021012233 = a11222033 + 012023031 + 013021032 - 013 022 031 - 04 023 032 - 012021 233 . Damit ist ersichtlich , dass eine dreireihige Determinante auch leicht zu bestimmen ist, wenn man an die drei Spalten der Matrix nochmals die ersten beiden Spalten anhängt und in diesem Schema wie folgt rechnet :

011

412

413

411

412

221

222

223 azí

022

az1

232

233 231

232

C

+

+

+

Man bildet – wie durch die Pfeile dargestellt – in dem neuen Schema die Produkte der drei von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen und versieht diese mit einem Pluszeichen : +

, 022433;

+ 212023831 ;

+ 213 221432.

Dann bildet man die Produkte der drei von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagona len und versieht diese mit einem Minuszeichen : - Q13022031 ;

- 211023 32 ;

- 212221033.

Die Summe aller sechs Produkte ist dann gleich der gesuchten Determinante. Das Verfahren wird als Regel von Sarrus !) bezeichnet . 1) Pierre Fré dé ric Sarrus (1798 - 1861), frz. Mathematiker

9 .3 Lineare Gleichungssysteme

323

Bevor wir uns wieder unserem Gleichungssystem zuwenden , verweisen wir noch auf einen weite ren Zusammenhang. AufSeite 314 wurde die Komponentendarstellung des Vektorprodukts ange geben . Mit Hilfe der Basiseinheitsvektoren i, j, k (vgl. S. 305) erhält man eine weitere Darstellung : üxü = (u, , – u, v,) i + (u , , — UZU.) j + (u, v, - u ,V ) k , = (u, , – U .V,) i – (u, v — u _ ) ] + (u_ v, – u,v_ k. Die Differenzen von Komponentenprodukten in den Klammern sind zweireihige Determinanten . Damit kann schließlich das Vektorprodukt als spezielle Determinante geschrieben werden :

*

u,v

u

,

v,

"

u,

V,

u,

vel

Ergibt sich bei dieser Determinante der Nullvektor, so sind die Vektoren ü und ü kollinear, also linear abhängig ; andernfalls sind sie linear unabhängig. Schließlich sei darauf verwiesen , dass die beiden ebenen Vektoren w räumlichen Vektoren ( u , ) , ( , W \u .

und

bzw . die drei Vy !

w , linear unabhängig sind , wenn für die entsprechen \w .)

den Determinanten gilt :

lu ,

vylt

bzw . ä

u, .

, .

w, + . WAT

(

Aufgaben : S. 327)

Nach diesem kleinen Einblick in die Welt der Determinanten soll abschließend die Cramer 'sche Regel für das lineare Gleichungssystem aux, + 212X2 + 213 * 3 = b , 021 * , + 422X2 + 223 X3 = b2 431X; + 232X2 + 233 X3 = b3

(* )

formuliert werden :

Merke : Das lineare Gleichungssystem (* ) besitzt im

Fall D

(a , a , a , Dabei ist die Nennerdeterminante D = |a21 422 423

die Lösungsmenge L =

DI 3

die Koeffizientendeterminante; die

|431 432 433 Ib , a , a, la , b , a , lau a ,2 bil Zählerdeterminanten D , = |b2 222 223 , D2 = | a21 b , 023 , D2 = |a21 422 b2 erhält man aus | b, a32 433| | а, b, assl Jan ay, b, der Koeffizientendeterminante, indem man die zu x , bzw . x2 bzw . xz gehörenden Koeffizienten durch die Koeffizienten der rechten Seite des Systems ersetzt. Die Begründung der Regel kann wie im Cramer'sche Regel auf ein Beispiel an .

Fall von zwei Gleichungen erfolgen ; wir wenden die

324

9 Vektoralalgebra

Beispiel 9.21a

Lösung eines Gleichungssystemsmit der Cramer’schen Regel

Die Entwicklungsabteilung einer Firma hat bei der Untersuchung einer neuen Regeleinrichtung dreiMesspunkte P , (215 ), P2(317 ) , P3(113 ) erfasst. Weiterhin ist den Mitarbeitern der Abteilung bekannt, dass die gemessenen Schaltvorgänge in Abhängigkeit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit dem Term f (t) = ť + at? + bt + c zustande kommen . Um die Regeleinrichtung kalibrieren zu können , sind die Koeffizienten a , b und c der spezifischen Funktion zu ermitteln . Setztman die Koordinaten derMesspunkte | in die Funktionsgleichung ein , so erhält man ein lineares Gleichungssystem .

23 + a : 22 + b · 2 + c = 5

Wir berechnen die Potenzen und ordnen das Gleichungssystem zur Normalform .

4a + 2b + c =

14 Es hat die Koeffizientenmatrix

2 9 1

11 3 1

1 ). 1

Wir berechnen die Koeffizientendetermi nante D mit der Regel von Sarrus. D ist von system

verschieden ; das Gleichungs

ist also eindeutig lösbar.

Zur Ermittlung der Lösungen mit der Cra mer'schen Regel berechnen wir schließlich die Zählerdeterminanten De = Da, Da = D und Dz = D Die spezifische Funktion hat damit den Funktionsterm ) f (t) = ť – 6t + 13t - 5.

33 + a 32 + b . 3 + c = 7 13 + a : 12 + b . 1 + c = 3 – 3

9a + 3b + c = - 20 a +

b +c =

14 = 9 1 a =

2 3 1

| - 3 - 20 2 4 9 1

14 = 19 1

11 1 = 12 + 2 + 9 - 3 - 4 - 18 = - 2 11 2 3 1

- 3 - 20 2 2 3 1

2

11 1 = - 9 + 4 - 20 - 6 + 3 + 20 = 12 1 1] 1 = - 80 - 3 + 18 + 20 - 8 + 27 = - 26 1

- 31 - 20 = 24 - 40 - 27 + 9 + 80 - 36 = 10 2

Mit der Cramer'schen Regel folgt: = >a=- = -6, 1= =30= 13, c=

,

3

Die Cramer'sche Regel gilt analog auch bei größeren linearen Gleichungssystemen . Dabei sind die Determinanten mit Hilfe des Entwicklungssatzes durch drei- oder zweireihige Determinanten auszudrücken . Mit zunehmender Anzahl der Gleichungen steigt aber der Rechenaufwand sprung haft an , so dass das Verfahren auch bei Nutzung moderner Rechenanlagen nicht effizient ist. Man muss deshalb für die praktische Lösung größerer linearer Gleichungssysteme – wie sie beispielsweise bei der Berechnung komplexer Konstruktionen in der Statik oder großer elektri scher Netzwerke auftreten - nach anderen systematischen Verfahren suchen , die sich effektiv auf Computern umsetzen lassen . Ein solches Verfahren ist der Gauß 'sche Algorithmus 2), den wir anhand des oben behandelten Beispiels abschließend demonstrieren wollen . Die Idee von Gauß war, das in Normalform gegebene Gleichungssystem durch Äquivalenzumfor mungen schrittweise in ein System mit einer Matrix umzuwandeln , bei der unterhalb der Haupt diagonalen alle Koeffizienten gleich sind. Dieses System kann dann leicht von unten nach oben aufgelöst werden . 1) Bei solchen Aufgabenstellungen ist die Probe nicht durch Einsetzen in das Gleichungssystem , sondern durch Überprüfung der Messpunkte durchzuführen . 2) Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855), deutscher Mathematiker

9 .3 Lineare Gleichungssysteme Beispiel 9.21b

325

Lösung eines Gleichungssystemsmit dem Gauß'schen Algorithmus

System (I)), ( II ), (III ) : Das Anwendungsbeispiel von Seite 324 führt auf das nebenstehende Gleichungssystem (1.), (II ), (III .) in Normalform . In diesem System vertauschen wir die erste und dritte Gleichung . Dieser Umformungsschritt ist im vorliegenden Fall zwar nicht unbedingt erforderlich , er vereinfacht aber etwas die Rechnung

System (12), (II.), (III.): Die Gleichung (I,) halten wir fest und bilden eine neue zweite Gleichung (II2), indem wir

4a + 2b +

c =

9a + 3b +

c = - 20

(II.)

- 3

(1.)

a +

b +

c =

2

(III )

a +

b +

c=

2

(1 )

+ 3b + 4a + 2b +

a +

das ( - 9)-fache der Gleichung (I.) zur Glei chung (II ) addieren . Im gleichen Schritt bil

c = - 20

(II )

c =

- 3

(III )

c=

2

b +

(12 )

- 66 - 8c = - 38

(II.)

- 2b - 3c = - 11

(III )

den wir eine neue dritte Gleichung (III.), indem wir das ( - 4)-fache der Gleichung (1 ) zur Gleichung (II ) addieren . System ( 13 ), (II3 ), (III3): Um Brüche zu vermeiden , haben wir die

a +

letzten beiden Gleichungen vertauscht und durch Multiplikation mit ( - 1) die Minus zeichen beseitigt. System

b +

c =

2

(13)

2b + 3c =

11 ( 112)

6b + 8c =

38

(III3)

(L.), (II ), ( III ) :

Die Gleichung (II ) halten wir ebenfalls fest und bilden eine neue dritte Gleichung (III ), indem wir das ( - 3)-fache der Gleichung

at b +

c=

2

( 14 )

2b + 3c =

11

(II .)

- c =

5

(III )

( II3) zur Gleichung (III ) addieren . Damit haben wir ein zum Ausgangssystem äquivalentes Gleichungssystem erhalten ,

/1 10

dessen Koeffizientenmatrix die gewünschte Dreiecksstruktur besitzt. Dieses System kann leicht gelöst werden , indem man mit der letzten Gleichung beginnt, die nur die Variable c enthält. Die vorletzte Gleichung , die nur die Variablen b und c enthält, wird nach b aufgelöst, wobei der vorher aus der letzten Gleichung bestimmte Wert für c ein gesetzt wird . Schließlich wird die erste Glei

10

chung nach a aufgelöst, wobei die vorher bestimmten Werte für b und c eingesetzt werden . Der Gauß ' sche Algorithmus liefert dieselbe Lösung wie die Cramer 'sche Regel.

1 2

11 3 - 1/

c= -5 1 _ 11 – 3c _ 11 + 15 b = = 13 2 2 a = 2 - b - c = 2 - 13 + 5 = - 6

9 Vektoralalgebra

326

Abschließend fassen wir die wesentlichen Rechenschritte des Gauß'schen Algorithmus zusammen . Merke : Der Gauß 'sche Algorithmus ist in zwei Phasen gegliedert. 1. Phase : Erzeugung der Dreiecksgestalt Wir nehmen an , dass die ersten i-Zeilen bearbeitet sind , so dass das System

in der Form )

41 x , = b ,

auxi + 812X2 + 213 X3 + .. . +

01 ; x ; + . .. +

222X2 + 223x3 + ... +

02 ; + ... +

22

23X3 + ... +

az; X; + ... +

azn *n = bz

aix ; + ... +

divx , = b ;

= b,

;+ 1, *; + ... + di +1,1 *, = b ;+ 1 anix; + ... +

dnnxn = bn

vorliegt. Ist , = , so ist die i-te Gleichung mit einer der folgenden Gleichungen zu tauschen , in der der entsprechende Koeffizient verschieden von

14) ist.2) Ist 4,4 + , dann wird das ( - ";+ ai

fache der i-ten Gleichung zur (i+ 1)-ten Gleichung addiert,das ( - ;+21)-fache der i- ten Glei a chung zur (i + 2)-ten Gleichung addiert, ..., das - n -fache der i-ten Gleichung zur n -ten Gleichung addiert. In allen neuen Gleichungen ist der Koeffizient von x , dann gleich . In gleicher Weise verfährtman mit den restlichen Gleichungen , bis schließlich das Dreieckssystem vorliegt. 2 . Phase : Rückwärtseinsetzen Das Dreieckssystem ,1X + ,2X2 + 213x3 + ... +

21,1 - 1 * - 1 +

21, * n = b ,

222X2 + 223x3 + ... +

02.1 - 14, - 1 +

02n *, = b2

223 X3 + ... +

23,1 - 1 * , - 1 +

azn *» = b3

An - 1,n – 1 *n - 1 + 0n - 1,n * n = bn - 1 annxn = bn wird von unten beginnend nacheinander nach xn , X., - 1, ..., x , aufgelöst : X, = x,=

ann an

. bn

1 (bn - 1 - , - 1,n «»), ... Xn - 1 =anAn - - 1, n - 1 1

(1, - 2 ,2x2 – 013X3 - ... - Qın * ).

1) Wir verwenden der Einfachheit halber für die Koeffizienten immer dieselben Bezeichnungen a bzw . b , obwohldie Zahlenwerte sich beiden Umformungen ständig ändern . Bei der Umsetzung des Algorithmus in ein Computerprogramm werden die Werte ebenfalls in denselben ARRAY- Variablen gespeichert. 2) Gibt es keine solche Gleichung so bricht das Verfahren ab ; es muss dann untersuchtwerden , ob das System widersprüchlich ist oder unendlich viele Lösungen besitzt.

327

9 . 3 Lineare Gleichungssysteme Übungen

zu 9.3

1 . Untersuchen Sie das Vektorpaar auf lineare Unabhängigkeit bzw . Abhängigkeit 1) durch Quotientenbildung, 2 ) durch Berechnung der entsprechenden Determinante . 1,75) - ,25) b) = / - 25 / a) 7 = ( 2 ), š = (( ,75 ) 1- 2 ,63 b)==(-133, :25).5-( 31 12 ,4 1 - 6 ,6 ) c ) r = - 1,4 ), S = 1, 7 d) r = 1, 3 ), s = 1 1 - 21 3 ,9 / 1 - 4 ,8 / 1 - 8 ,6 / 2 . Bearbeiten Sie die Aufgabenstellung der Übung 1 für die Vektorpaare der Übung 12 von Seite 316 . 3. Weisen Sie mit Hilfe der Regel von Sarrus die Übereinstimmung des Kreuzproduktes zweier Vektoren mit der Berechnung der zugehörigen Determinante nach . 4. Lösen Sie die Aufgaben 10 und 11 von Seite 316 mit Hilfe der Koeffizientendeterminante. 5 . Prüfen Sie auf lineare Unabhängigkeit durch die Berechnung der zugehörigen Determinante 1) nach der Regel von Sarrus, 2 ) anhand des Entwicklungssatzes . 1 - 3 29 a) r = 5 ), S = - 7 ),

b) r =

9

,

=

1 - 6 14 . 4 /

i

6 . Weisen Sie mit Hilfe der Regel von Sarrus den Entwicklungssatz nach . 7. Gegeben sind die Vektoren 9 151 1) r = - 4 ) . S = - 1 ) ,

t =

,

ū =

15

N

9 | - 8 ), ú = - 3 ). - 2 5) - 14 ) ) 37-(.:-(*) :-(-3) .:-( -3 a ) Berechnen Sie mit Hilfe der Determinante zu den Vektoren i , s und den Parameter ker , der bei linearer Unabhängigkeit auszuschließen ist. b ) Bestimmen Sie nun für 1) k = 5 [2) k = 3 ] die skalaren Faktoren zu r , s, t , so dass ū sich als Linearkombi nation der Vektoren i , s und i ergibt. Benutzen Sie dazu die Cramer'sche Regel. 2 ) r =1

2

),

s=

k

),

8 . Berechnen Sie die Determinante . 11 - 2 - 31 1 - 5 - 6 31 a) 2 4 6 b) 1 - 4 51 1 2 2 3 13 2 3 1 x 21 |1 1 1 d) x y z e) 1

c)

7 4 - 9 - 7 | 1 - 1

51 2 91

|x y z ly oy

Zx 9 . Für welche Werte keR ist die Determinante verschieden von Null ? 12 k b) -k 12 b) 4 1 - 5 10 6 14 - 8 - 21 d) 9 k 5 18 - 2 31

e)

1 - 1 31 4 - 9 –3 2 -6 T-k

"

-

- 1

9 Vektoralalgebra

328 10 . Lösen Sie die Übung 13 von Seite 41 mit Hilfe der Cramer'schen Regel. 11. Bearbeiten Sie die Übung 9 von Seite 307 unter Verwendung der Cramer 'schen Regel. 12 . Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 1) nach der Cramer'schen Regel, 2 ) mit dem Gauß'schen Algorithmus . Machen Sie gegebenenfalls die Koeffizienten zunächst ganzzahlig . a ) 2x + 3y = 11 b ) 6x - 10 y = 17 - 4x + 4y = 28 8,2 x – 3,5 y = 15,1 e ) 6x + 5y + z = - 13 d) x + y = 2 x - z = - 4 - x + 3y - 92 = - 32 y - z = - 12 4x - 8y - z g)

2 (x + y ) + 6z = 5 + 8 x 10 (2z - 7) , 14x = 25 (3 – 3z ) - 6 52 - 18 y + 8x = 4 (9x + y + 7)

h)

y-

c) - X + 8y + 53 = x - 16 y - 109 = f) 3x + 4y + 52 - 93 = 2x + 4y - 62 - 82 = x - 2y - 3z + 19 =

cz -x +2)= (6+ 2x+ 3y)= z

f(x =2 +y+ 24)= {z+5y)+x 2- 3x +1)=>x== 3(x+y)

13. Der Graph einer Funktion mit dem Term f (x ) = x2 +ax + a , x + a , wird von der Geraden zu g (x ) an den Stellen X1, X , und xz geschnitten . Bestimmen Sie die Koeffizienten do , a , und az des Funktionsterms f (x )mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. Geben Sie den Funktionsterm an. a ) g (x ) = 2x + 3 ; x , = - 3 ; X2 = - 1 ; Xz = 2 b) g(x)= 3 * – 3; x1 = - 2; x2 = 2; X3 = 3.

14. Eine Gießerei hat am Lager Schmelzreste von Edelstählen , die zur Herstellung eines Stranggussprofils mit derMasse von 200 kg wieder verwendet werden sollen . Welche Mengen von Charge A mit 5 % Cr und 2 % Mo, von Charge B mit 1 % Cr und 5 % Mo und von Charge C mit 2 % Cr und , 5 % Momü ssen gemischt werden , um eine Schmelze mit Legierungsanteilen von jeweils 2 % zu erhalten ? IIIII

15 . Die nebenstehende Abbildung zeigt eine Abschei dewand in einem Filterbecken mit den zugehörigen Belastungen . Durch Anwendung der Gleichge wichtsbedingungen der Statik ergibt sich das fol gende lineare Gleichungssystem . a Sz + a . Fo + a F . = - S , + F. = - S2 + S ; + Fo - Fo = Stellen Sie das System so um , dass nur wenige Schritte des Gauß'schen Algorithmus notwendig sind und berechnen Sie die Stabkräfte S , S , und SZ fü r a = 3,5 m und Fo = 75 N . In welchen Stäben herrscht Zugbelastung, in welchen Druckbela stung ?

S.

CUF

329

9 .3 Lineare Gleichungssysteme 16 . Stellt man die Gleichgewichtsbedingungen für die Kräftesummen und die Momentensummen an den drei Knoten des Auslegers auf, so erhält man das lineare Gleichungssystem A - S - S , cos 30º = A , + S , sin 30º = IIS . cos 30º - Sz . cos 60º = B - S2 sin 30° - Sz .sin 60º = III Sz. cos 60° + S, = Sz. sin 60° - F = Formen Sie das Gleichungssystem so um , dass nur wenige Schritte des Gauß'schen Algorithmus ge nügen , um mit A , = - 6 kN , B = 24 kN und F = 18 kN die Stabkräfte S , S , und Sz zu berech nen . In welchen Stäben herrscht Zugbelastung, in welchen Druckbelastung ?

17. Mit Hilfe der Maschen - und Knotengleichungen erhält man für die gegebene Schaltung das folgende lineare Gleichungssystem . Knotengleichung K : I = 1, + 12 Maschengleichungen M ,: 1 . R , + 12: R3 - U2 - U , = M2: 1, R3 - 1, R = M : I. R , + I7R2 - U2- U = Es sei U , = 40 V , U2 = 18 V, R , = 512 , R2 = 622 und R ; = 3,6 12. Bestimmen Sie I, I, und I,, indem Sie das Gleichungssystem ordnen und den Gauß 'schen Algorithmus anwenden .

300

R

M , R

M3

Anhang A

330

Anhang

Physikalisch - technische Größen und Formeln

A

Physikalisch - technischeGrößen und Formeln

Vorsätze zur Kennzeichnung von Teilen oder Vielfachen von Maßeinheiten Zeichen

Sprechweise

Multiplikator mit der Basiseinheit

Beispiel

Piko

1000000000000

= 10 - 12

Pikofarad

pF

Nano

1000000000

Nanometer

nm

Mikro

1 000 000

= 10 - 9 = 10 - 6

Mikrogramm

Milli

1000

Zenti

10 -3 = 10 - 2

Milliampere Zentiliter

ug mA

dezi

= 10 - 1

Dezitonne

dt

Deka

= 10

Dekanewton

dan

Hektopascal

hPa

102

Hekto

cl

Kilo

1000

= 103

Kilowatt

kW

Mega

1000000

= 106

Megahertz

MHz

Giga

1000000000

= 10°

Gigawattstunde

GWh

Basisgrößen und Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems (SI) [ Auswahl] Größe Formelzeichen

Einheit Zeichen

Definition der Einheit

Länge I bzw . s

Meter

Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 299702458 Sekunden durchläuft.

Masse m

Kilogramm

m

kg

Das Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilo grammprototyps in Paris.

Temperatur I

Kelvin R

Das Kelvin ist 273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

Zeit

Sekunde

Die Sekunde ist das 9192631770 -fache der Periodendauer der beim Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstruktur niveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung.

Stromstärke

Ampere

Das Ampere ist die Stromstärke eines zeitlich unveränder lichen elektrischen Stromes, der , durch zwei im Vakuum pa rallel im Abstand von 1 m voneinander angeordneten , unend lich langen Leiter von vernachlässigbar kleinem , kreisförmi gem Querschnitt fließend , zwischen diesen Leitern je 1 m Lei terlänge elektrodynamisch die Kraft ,2 . 10 -6 N hervorrufen würde.

331 Auswahl zusammengesetzter bzw . abgeleiteter Größen und Einheiten Größe (Erläuterung/Hinweis)

Formel/Zeichen

Einheit WEB

Geschwindigkeit (bei gleichförmiger Bewegung) Beschleunigung (bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung) Umfangsgeschwindigkeit (speziell : Schnittgeschwindigkeit v.) Drehzahl

a =; v = d.n

min min - 1

Kraft (Einheit : Newton [ N ])

F = m .a

1 N = 1 kg m

Gewichtskraft (bei Erdbeschleunigung g = 9,812

Fo = m . g

N 1 Pa = 1 N

Druck (Einheiten : Pascal [Pa], Bar [bar]; 1 bar = 10% Pa) Federhärte (Verhältnis der Belastung F zum zugehörigen Federweg f. Bei linearem Verhalten heißt c Federkonstante.)

c =

Normalspannung (Zug /Druckspannung ; hervorgerufen durch | o = EN Normalkraft Fy senkrecht zur beanspruchten Fläche A ) Biegespannung (Verhältnis von Biegemoment M , und Widerstandsmoment W ) Drehmoment als Vektorprodukt

= M = Px7

Nm

M

= r :Fisina

Nm

mechanische Arbeit als Skalarprodukt

W = Fs W = F . S . COS O

Nm

mechanische Leistung (mit Winkelgeschwindigkeit w = 21 : n )

P = W = F .v P = M .

elektrische Ladung elektrische Feldstärke

Q = Iºt

As

elektrische Arbeit

Eus W = U · I· t

Ws

elektrische Leistung (Einheit : Watt [ W ])

P = U :I

1 W

Ohm 'scher Widerstand (eines Drahtes mit der Leitungs

R = Q

Betrag des Drehmoments

= 1 VA

2 (Ohm )

länge 1, dem konstanten Querschnitt A und dem spezifischen Widerstand o ) ( R = Ohm 'sches Gesetz : In einem geschlossenen Stromkreis sind die bei konstantem Widerstand R eines metallischen Leiters Spannung U und die Stromstärke I zueinander proportional.

12 = 1 %

Komplexe Darstellung des Ohm ' schen Gesetzes für Wechselstromkreise

112 = 18

Z = u /i

1 Hz = 14

Frequenz Periodendauer bzw . Schwingungsdauer Kreisfrequenz

T =; w = 21 . f

Induktivität einer Spule (Einheit: Henry [H ]) Kapazität eines Kondensators (Einheit : Farad [F ]) Komplexe Widerstände: Ohm 'scher Widerstand

1 H = 1% 1 F = 1 As

C = 8 Z = R

induktiver Widerstand

Z = X, =

kapazitiver Widerstand

Z = Xcuoc

:1

332

Anhang A

Physikalisch -technische Größen und Formeln

Gleichgewichtsbedingungen der Statik Ein Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte F , und die Summe aller durch diese Kräfte erzeugten Momente M , verschwindet. 1. Allgemeiner Fall

EF; = EF

,

M , = 7 bzw . in Komponenten " :

= , ZF.y = , EF

Mix = , 2. Knotengleichungen

M ,, = ,

= ,

M2=

Bei einem Kräftesystem mit einem EF = 7 bzw .

Fix = ,

F ., = ,

gemeinsamen Angriffspunkt gilt: F .:=

Schaltungen von elektrischen Widerständen Reihenschaltung Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist gleich der Summe der Teilwiderstände.

Rges = XR

Parallelschaltung Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes einer Parallelschaltung ist gleich der Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände . Knotenpunktgleichung bzw . 1. Kirchhoffsche Regel Die Summe der zum Knoten fließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knoten wegfließenden Ströme.

Izu =

lab

Maschengleichung bzw . 2. Kirchhoff'sche Regel Die auf einem

beliebigen geschlossenen Weg in einem Netzwerk gebildete Summe der Teilspannungen ist unter Beachtung der Vor zeichen stets gleich null.

U - SIR =

1) Je nachdem , ob es sich um räumliche oder ebene Kräftesysteme handelt, können Komponenten entfallen .

333

Stichwortverzeichnis

Ableitung 200ff., 206 höhere 222f. technisch - physikalische Bedeutung 223f. Ableitungsfunktionen 206ff. der Potenzfunktionen 215ff. der Sinus- und der Kosinus funktion 272 von Exponential funktionen 273f. Ableitungsregeln 215ff., 274ff . abschnittsweise definierte Funktionen 26 , 187, 195 Absolutglied 33, 47, 52 Abszisse 25 Abszissenachse 17 achsensymmetrisch 59 Addition komplexer Zahlen 12 , 128 von Vektoren 301 Additionstheorem (e ) der Exponential funktionen 90 , 133 der Winkelfunktionen 110 , 116 zweiter Art 116 Additionsverfahren 39 , 54 ,68 äußeres Produkt 313 allgemeine Form einer quadratischen Funktion 47 einer quadratischen Gleichung 14 Altgrad 107 Amplitude 112 Anfangskapital 153 Ankathete 105 Anpassungswiderstand 279 Anstieg der Tangente 207 Anstiegswinkel 207 Arbeit elektrische 331 mechanische 297 , 309, 331 Argument 22 einer komplexen Zahl 126 Argumentvariable 22 Arkuskosinusfunktion 124 Arkussinusfunktion 124 Arkustangens 127 Arkustangensfunktion 124 Asymptote 75 Asymptotenfunktion 76

asymptotische Linie 78 Aufleitung 286 Ausgangsmenge 20

barometrische Höhenformel 92 Basis des dreidimensionalen Raumes 305 Basiseinheiten (SI) 330 Basiseinheitsvektoren 305 , 323 Basisgrößen ( SI) 330 beschleunigte Bewegung 298 Beschleunigung 297 , 331 Beschränktheit von Zahlenfolgen 155 Bestimmung von Funktions termen 35 , 53, 68, 253 Betrag einer komplexen Zahl 13 , 126 eines Vektors 304 Betragsfunktion 34 Bewegung eines Körpers 29, 33, 200ff., 298 Biegefestigkeit 266 Biegespannung 331 Bildungsgesetz einer Folge 144 binomische Formel 47 , 51 biquadratische Gleichung61,69 Blindwiderstand 138 Bogenmaß 107 Boyle -Mariotte 'sches Gas gesetz 72

Computerprogramm 122 , 271, 278 Cramer'sche Regel 320, 323 D Definitionsbereich 23 Definitionslücke 73, 80 , 184 hebbare 81, 186 Definitionsmenge 23 Dehnungsfaktor 47 dekadische Logarithmen 93 Determinante 320ff. dicht 8 Differentialrechnung 200ff., 215ff. Differenzenquotient 201 Differenzenquotienten funktion 202

Differenzfläche 282 differenzierbar 206 Differenzierbarkeit 206 abschnittsweise definierter Funktionen 210 und Stetigkeit 212 Diskriminante 14 divergent 165 Division komplexer Zahlen 13 , 128 Drehmoment 313 , 331 Drehstreckung 129 Drehzahl 145 , 331 Drehzahlabstufungen 145 dreidimensionale Darstellung 300 Dreiecksberechnungen 105 , 106 Druck 331 Durchschnittsgeschwindig keit 201 E e (Euler 'sche Zahl) 91, 101, 273 echt gebrochen - rationale Funktionen 75 Effektivwert 298 e - Funktion 91, 133 , 273 Einheitskreis 103 Einheitsvektoren 304 Einheitswurzeln 131 einseitige Grenzwerte 185 Einsetzungsverfahren 38 Entwicklungssatz 322 E - Umgebung 161 Ergänzungsfunktion 81, 196 Euler'sche Formel 133 Euler'sche Zahl e 91, 101. 273 Exponentialfunktionen 86ff., 273f. Extremalproblem 49, 58 , 258 Extrempunkt absoluter 226 lokaler 226 Extremwertaufgaben 258ff. mitNebenbedingungen 259ff. ohne Nebenbedingungen 258f .

Faktorregel 220 , 290 fallend 67 Federhärte 331 Federkonstante 331

334 Feldstärke 331 Flächeninhalt 280 Flächeninhaltsproblem 280 Flächenmaßzahlfunktion 281 Folgen 144ff. arithmetische 145 endliche 144 geometrische 145 unendliche 154 Formel von Moivre 129 Fortsetzung, stetige 196 Frequenz 111 , 331 Funktionen 17ff . abschnittsweise definierte 26 , 187 , 195 abschnittsweise lineare 34 echt gebrochen -rationale 75 empirische 21 ganzrationale 58ff. gebrochen - rationale 72ff. gerade 60 konstante 34 kubische 58 lineare 29ff. quadratische 42ff. reelle 23 trigonometrische 103ff. unecht gebrochen - rationale 75 ungerade 60 verkettete 277 zwischen Größenbereichen 23 Funktionsbegriff 17ff . Funktionsgraph 17 Funktionsterm 24 Funktionsvariable 32 Funktionswert 24

ganze Zahlen 7 ganzrationale Funktionen 58ff. Gauß'scher Algorithmus 324f. Gauß'sche Zahlenebene 11 , 127 gebrochen - rationale Funktionen 72ff. Gegenkathete 105 geordnetes Paar 20 gerade Funktionen 60 Geradengleichung Punkt-Steigungs-Form 36 zwei- Punkte-Form 36 Geschwindigkeit 22, 33, 37 , 201, 279, 331 Geschwindigkeits -Zeit Diagramm 22 Getriebe 145 Gewichtskraft 331

Stichwortverzeichnis Gleichgewichtsbedingungen der Statik 332 Gleichheit von Vektoren 301 Gleichsetzungsverfahren 38 Gleichungen 130 biquadratische 61, 69 goniometrische 118 numerische Lösung 122 quadratische 14 Gleichungssystem 38 , 53, 68 , 253, 317ff. homogenes 318 inhomogenes 319 Lösbarkeit 39 , 318 , 320 , 323 , 326 goniometrische Gleichungen 118ff . Gonteilung 107 Grad einer ganzrationalen Funktion 58 Gradmaß 107 Graph einer Funktion 17 Graph einer Zuordnung 17 Graphen der Winkelfunktionen 108 Grenzwert( e ) bei Differenzenquotienten funktionen 203 einseitige 185 ganzrationaler Funktionen 190 gebrochen - rationaler Funktionen 191 uneigentliche 178 von Folgen 162ff. von Funktionen 172ff. Grenzwertsätze für Folgen 168 für Funktionen 178 Η Halbierungsverfahren 122f . Halbwertszeit 99, 155 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 290 Hauptwert der Wurzel 134 des Logarithmus 135 hebbare Definitions lücke 81, 186 Hochpunkt 227 höhere Ableitungen 222 homogenes Gleichungssystem 318 Hooke'sches Gesetz 29, 298 Horner- Schema63f. Hubarbeit 309

Hyperbel 73 , 75 Hypotenuse 105 1 imaginäre Einheit 11 imaginäre Zahlen 11 Imaginärteil 11 Impedanz 279 Induktivität 331 inhomogenes Gleichungssystem 319 Innenwiderstand 279 inneres Produkt 313ff. Integral 288 technisch - physikalische Bedeutung 296 Integralrechnung 280ff. Integrand 288 Integrandfunktion 288 Integrationsgrenzen 288 Integrationsregeln 290ff. Integrationsvariable 288 integrierbar 286 Intervalladditivität 291 irrationale Zahlen 9 Iterationsverfahren 267

j ( imaginäre Einheit) 11 Jahreszinsen 150 K Kapazität 91, 331 Kapital 150 Kehrwertregel 276 Kettenregel 277 Kirchoff sche Regeln 332 Knotengleichung 332 Koeffizientenmatrix 320 kollinear 303, 310 , 314 Kollinearität von Vektoren 303 komplexer Widerstand 137, 331 komplexe Zahlen 11ff., 126ff. Exponentialform 133 in der Technik 137 kartesiche Darstellung 126 trigonometrische Darstellung 126 Komponentendarstellung eines Vektors 300 Kondensator 87 , 91, 298 konjugiert komplexe Zahl 13 Konstantenregel 219 konvergent 165 Konvergenz von Zahlenfolgen 159ff.

Stichwortverzeichnis Koordinatensystem 17 rechtshändigeskartesisches 300 Kosinus 104 Kosinussatz 106 , 310 Kostenfunktion 172 Kotangens 104 Kraft 137 , 297 , 305ff., 319 , 331 Kreisfrequenz 113 , 331 Kreuzprodukt 313ff. Krümmung 234 Krümmungsintervalle 65, 234 Krümmungsverhalten 65 Krümmungswechsel 245 Kurvendiskussion 226ff .

Ladung 297 , 331 Länge 330 Laufzeit 153 Leistung 331 linear abhängig 317 lineare Funktionen 29ff. lineares Gleichungs system 38 , 53 , 68 , 253, 317ff. lineares Glied 52 lineare Unabhängigkeit 317ff. Linearfaktoren 52 Linearkombination 317 linear unabhängig 318 linksgekrümmt 234 linksseitiger uneigentlicher Grenzwert 185 Linsengleichung 72 Lösungsverfahren für quadra tische Gleichungen 14 , 50f. Logarithmen 92ff. komplexer Zahlen 135 Logarithmusfunktionen 92ff. M Maschengleichung 332 Masse 330 Maximalstelle 227 Maximum 227 Minimalstelle 227 Minimum 227 Moivre 'sche Formel 129 Momentangeschwindigkeit 202 monoton fallend 67, 228 steigend 67 , 228 Monotonie 66 , 155 , 228 der Exponentialfunktionen 88 und Umkehrbarkeit von Funktionen 99

! Monotonieintervalle 227 Multiplikation komplexer Zahlen 12 , 128

natürliche Logarithmen 93 natürliche Zahlen 7 Newton'sches Grundgesetz 29 Newton 'sches Näherungsver fahren 267ff. Normale 272 Normalform einer quadra tischen Gleichung 14, 52 Normalparabel 43 Normalspannung 331 Nullfolge 163 Nullfunktion 219 Nullstelle 37 , 51, 122, 197 , 267 Vielfachheit 65 Nullstellensatz von Bolzano 197 , 267 Nullvektor 302 numerisches Näherungsver fahren 122 , 267

Ohm 'sches Gesetz 21, 29, 331 in komplexer Darstellung 137 , 331 Ordinate 25 Ordinatenabschnitt 33, 47 Ordinatenachse 17 orthogonal 40 , 310 Orthogonalität von Geraden 40 Ortsvektor 300 Oszillograph 111, 115

Parabel 42 Parallelschaltung 140 , 332 Pascal-Programm 122 , 271 Periode 111 Periodendauer 331 Pfeil 299 Pfeildiagramm 18 , 20 Pfeilklasse 300 Phasenverschiebung 115 Phasenwinkel 111ff., 139ff . physikalischer Arbeitsbegriff 309 Pol 74 Polasymptote 75 Polygonregel 303 Polynomdivision 62, 174 Potenzfunktionen 215 Potenzregel 217

335

Produktregel 275 Projektion eines Vektors 309 proportionale Zuordnung 32 punktierte Umgebung 184 , 189 punktsymmetrisch 58

Quadranten 17 , 104 Quadrantenbeziehungen 109 quadratische Ergänzung 14 , 48 quadratische Funktionen 42 quadratische Gleichungen 14 , 50 Quotientenregel 276

radioaktiver Zerfall 99, 155 räumliche Darstellung 300 Randwerte 259 rationale Zahlen 8 Realteil 11 rechtsgekrümmt234 rechtshändiges kartesiches Koordinatensystem 300 rechtsseitiger uneigentlicher Grenzwert 185 rechtwinkliges Dreieck 105 reelle Funktionen 23 reelle Zahlen 8f. Regel von Sarrus 322 Reihen 144ff. arithmetische 145 geometrische 145 Reihenschaltung 138, 332 Relation 21 Repräsentant eines Vektors 300 Restglied 76 , 78 Resultierende von Kräften 137 , 305ff. Richtungswinkel 304

Sattelpunkt 236 Satz des Pythagoras 104 Satz von Bolzano 197 Satz von Vieta 52 Scheinleitwertdiagramm 140 Scheitelpunkt 43 Scheitelpunktform der quadra tischen Funktion 47 Schnittgeschwindigkeit 331 Schnittpunkte von Funktions graphen 55 Schranken von Zahlenfolgen 156 Schwingungen 103 Schwingungsdauer 331

Stichwortverzeichnis

336 senkrechter Wurf 45 Sinus 104 Sinussatz 106 Skalar 302 Skalarprodukt 309ff. S -Multiplikation 302 Spaltenvektor 301 Spannung 17 , 29 , 87 , 91, 111 , 137ff. Spannungsteilerschaltung 139 Spannungszeigerdiagramm 139 Spiegelung 112 Sprungfunktion 195 Sprungstelle 188 Stammfunktion 284 Stauchung 46 , 112 steigend 67 Steigung 30 einer Funktion an einer Stelle 200 Steigungsdreieck 30 Steigungsfaktor 32 Steigungsintervalle 65 Steigungsverhalten 65 Steigungswinkel 207 stetige Fortsetzung 196 Stetigkeit 194 und Differenzierbarkeit 212 Streckung 46 , 112 streng monoton fallend 67, 228 steigend 67 , 228 Stromstärke 17 , 29 , 42 , 91, 111 , 137ff., 297 , 330 Substitution 69 Subtraktion komplexer Zahlen 12, 128 von Vektoren 301 Summenregel221,, 290 290 Superposition 116 Symmetrieeigenschaften 60

Tangens 104 Tangente 206 Tangentenfunktion 208 Tangentenproblem 280 Tangentenverfahren 267 technisch -physikalische Bedeutung des Ableitungsbegriffs 223f. des Integralbegriffs 296f. Temperatur 330 Terrassenpunkt 236 Tiefpunkt 227 Trigonometrie 106

Überlagerung von Kurven 116 Umfangsgeschwindigkeit 331 Umgebung 161, 175 umkehrbare Funktionen 97 umkehrbar eindeutig 97 Umkehrfunktionen 96ff . unecht gebrochen -rationale Funktionen 75 uneigentliche Grenzwerte 178 Unendlichkeitsstelle 188 ungerade Funktionen 60 Unstetigkeitsstelle 199 Unterdeterminanten 321 Ursprungsgerade 31

Vektor 299ff. Vektoralgebra 299ff. Vektorprodukt313ff. Verbrennungsmotor 103 verkettete Funktionen 274 , 277 Verkettung 274 , 277 Verschiebung 114 Vertauschen der Integrations grenzen 292 Vielfachbildung von Vektoren 301 Vielfachheit einer Nullstelle 65 Vorsätze für Einheiten 330 W Wachstumsprozesse 20 , 86 Wärmeleistung 42 Wechselstrom 111 , 137ff. Wechselstromwiderstände 137ff., 331 Weg-Zeit -Diagramm 22 Weg-Zeit-Gesetz 29 , 224ff. Wegzuwachs 201 Wendestelle 234 Wertemenge 20 Wertetabelle 20 Widerstand 42 induktiver 138 , 331 kapazitiver 138 , 331 ohmscher 138 , 331 Widerstandsgesetz 21, 331 Winkelbeschleunigung 224 Winkelfunktionen 103ff. Eigenschaften 109 Winkelgeschwindigkeit 224, 331 Winkel zwischen zwei Vektoren 311 Wirkwiderstand 138

Wurfbewegung 298 Wurzeln aus komplexen Zahlen 131

X - Achse 25

y - Achse 25 y -Achsenabschnitt 33

Zahlen ganze 7 imaginäre 11 irrationale 9 komplexe 11ff., 126ff. natürliche 7 rationale 8 reelle 8f. Zahlenfolgen 144ff . Zahlenmengen 7 , 14 Zahlentripel 300 Zeiger 11 Zeilenvektor 300 Zeit 330 Zerfallsgesetz 99 Zerfallskonstante 99 Zielfunktion 258 Zielmenge 20 Zinseszinsformel 153 Zinseszinsrechnung 150ff. Zinsfaktor 153 Zinssatz 153 Zinssatzzahl 153 Zuordnung 17 , 20 eindeutige 21 proportionale 32 Zuordnungsvorschrift 21 Zwischenwertsatz 197

Mathematische Zeichen und Symbole Zeichen (Symbol)

Bedeutung; Sprechweise

D(f)

Definitionsbereich

W(f)

Wertebereich von

von

I;

Beispiel, Erläuterung, Verwendung

I; D von I

W von

Funktionsbildungsoperator; abgebildet auf G(f)

Graph von

I

wird

I: xi __n2+

G von I

G(f)= {P(xIY)

(Punktmenge);

bestimmtes Integral der Funktion zwischen den Grenzen a und b

U(x) dx

Stammfunktion

zu

D(fl=lR"O W(f)=lR,,1

I

1 ist die Funktion, die jedes x auf das zugehörige x2 + 1 abbildet.

I

=

I

F(x)=X2

F'(X) =/(x) = 2x

Stellenwertfolge

(x,,) = (I, 2, 3, 4, ... )

s-Umgebung von g mit, ElR>O

U,(g)={XIXE(g-', ={xllx-gl-'0

absoluter

D=

lv= I(x)}

S" 2x dx=F(b)-F(a)=b2-a2

J ~

1913=127=3

J

G) ,

ISBN 978-3-464-41201-5

111111111111111111111111 9 783464 412015