Инженерные расчеты в Mathcad

Citation preview

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Теория механизмов и машин»

ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ В MATHCAD

Учебно-методическое пособие

Электронный учебный материал

Минск 2018

УДК 681.3 (075.4) ББК 32.81я7 И62

Авторы Н.Я. Луцко, О.Н. Кавальчук

Рецензенты И.А. Каштальян, профессор кафедры «Технология машиностроения» машиностроительного факультета БНТУ, доктор технических наук, профессор

Учебно-методическое пособие к лабораторным работам включает раздел «Инженерные расчеты в Mathcad» дисциплины «Информационные технологии». Изучаются и закрепляются инструментарий и технологии Mathcad в процессе построения Mathcad документов для решения простейших технических задач. Рассмотрены принципы использования Mathcad для определения пределов, производных, интегралов, решения задач дисциплин «Теоретическая механика», «Механика материалов» и «Теория механизмов и машин». Для студентов даны инструкции к выполнению шести лабораторных работ. Настоящее издание адресовано студентам инженерно-технических специальностей ВУЗов, может быть полезным магистрантам и аспирантам, научным работникам.

Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)2927787 E-mail:[email protected] http://www.bntu.by/msftmm.html Регистрационный № БНТУ/МСФ26-18.2018 © БНТУ, 2018 © Луцко Н.Я., Кавальчук О.Н.

Содержание Введение .........................................................................................................................................4 Лабораторная работа № M1 Знакомство с Mathcad ................................................................... 5 Лабораторная работа № M2 Основные элементы Mathcad ..................................................... 10 Лабораторная работа № M3 Решение в Mathcad технических задач, моделируемых объектами высшей математики .................................................................................................. 22 Лабораторная работа № M4 Циклические вычислительные процессы в Mathcad ............... 27 Лабораторная работа № M5 Решение технических задач в Mathcad ..................................... 35 Лабораторная работа № M6 Решение задач динамики в Mathcad .......................................... 41 Список использованных источников.........................................................................................46

3

Введение Mathcad – инженерное, математическое программное обеспечение, которое позволяет выполнять и анализировать важнейшие инженерные расчеты, обмениваться ими. Представленные в удобном интерфейсе математические обозначения, действующие в режиме реального времени, средства анализа единиц измерения и мощные функции выполнения инженерных расчетов позволяют инженерам и проектно-конструкторским группам документировать и передавать инженерные математические расчеты, критические параметры конструирования и знания в области проектирования и конструирования в целом. Среди возможностей Mathcad можно выделить: численные и аналитические расчеты; решение уравнений и неравенств; решение задач математического анализа; возможности обработки данных; статистические расчеты; построение графиков и диаграмм; программирование; анимацию; интеграцию с САПР-системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров. В учебном процессе простота изучения и возможности Mathcad позволяют использовать его в качестве инструмента решения задач дисциплин «Теоретическая механика», «Механика материалов», «Теория механизмов и машин» и других, связанных с математически сложными техническими расчетами. Представленное учебно-методическое пособие ориентировано на самостоятельную работу студента. В результате тщательной проработки теоретического материала и выполнения предложенных лабораторных работ, студент изучит назначение и основные функции математической системы Mathcad; овладеет технологиями построения автоматизированного документа с использованием формул и графиков.

4

Лабораторная работа № M1 Знакомство с Mathcad Ц е л ь р а б о т ы : ознакомление с математическим пакетом Mathcad; изучение основных технологий и приобретение навыков построения документа Mathcad для решения технической задачи. Постановка задачи. Для треугольника, заданного длинами трех сторон a, b и с, определить: полупериметр p; С площадь S; радиус описанной окружности R; радиус вписанной окружности r; длину медианы ma, проведенной из вершины A к стороне a; длину биссектрисы l , проведенной из вершины A к стороне a; a b длину высоты ha, проведенной из вершины A к стороне a; величину внутреннего угла , измеренного в радианах и градусах; А величину внутреннего угла , измеренного в радианах и градусах; c величину внутреннего угла , измеренного в радианах и градусах. В

b, S

Значения a = 45 мм, b = 40 мм, c = 30 мм. Математическая модель задачи. При заданных длинах сторон треугольника a, a b c с полупериметр p . Площадь треугольника по формуле Герона 2 p( p a)( p b)( p c) . Радиус описанной окружности вычисляется по формуле

abc рад рад рад , радиус вписанной окружности – r ptg . Длины медианы tg tg 2 2 2 4S ma , высоты ha , проведенных из вершины A, и биссектрисы угла – l определяются 1 ma 2b2 2c 2 a 2 , 2 2 p( p a)( p b)( p c) ha , a R

рад

2bc cos

2 . b c воспользуемся теоремой косинусов в виде

l Для определения величины угла a2

b2

c2

2bc cos . Отсюда значение угла в радианах

Используя теорему синусов Значение угла

рад

a sin

b рад

вычислим по формуле

sin

, получим рад

2arctg

рад

5

рад

b2

arccos

a b tg a b

рад

c2 a2 . 2bc

arcsin рад

рад

2

b sin a .

рад

.

Для вычисления значений углов , , в градусах построим и используем пользо180 рад вательскую функцию Grad ( рад ) . Документ Mathcad. Решим поставленную задачу, построив документ Mathcad 1. Загрузите

математическую систему Mathcad и разместите окно на свободной части экрана монитора, выполнив Пуск – Программы – Mathcad – Mathcad 14 – Mathcad 14.

. Обратите внимание на следующие элементы 2. Изучите окно окна: 2.1 строку заголовка; 2.2 строку меню; 2.3 Панель инструментов Стандартная; 2.4 Панель инструментов Форматирование. 3. Если необходимо отобразите Панель Математика полнив Вид – Панели инструментов – Математическая.

, вы-

4. Закройте, если развернуто, окно трассировки. 5. Сохраните будущий документ в файле M1_Ф_N.xmcd (Ф – ваша фамилия на русском языке, N – номер группы). 6. Постройте стили для оформления текста в документе. Для этого: 6.1 измените параметры стиля Normal. Для этого: 6.1.1 активизируйте пункты меню Формат – Стиль…; 6.1.2 в окне Стили текста выберите стиль Normal; 6.1.3 нажмите кнопку Изменить…; 6.1.4 в окне Определение стиля нажмите кнопку Шрифт…; 6.1.5 в окне Формат текста установите: шрифт: Times New Roman , размер: 12, начертание: обычный; 6.1.6 в окне Формат текста нажмите кнопку OK; 6.1.7 в окне Определение стиля нажмите кнопку OK; 6.2 измените параметры стиля Title, задав шрифт: Times New Roman , размер: 14, начертание: жирный; 6.3 создайте стиль Заголовок 1. Для этого: 6.3.1 активизируйте пункты меню Формат – Стиль…; 6.3.2 в окне Стили текста нажмите кнопку Новый…; 6.3.3 в окне Определение стиля введите имя Заголовок 1; 6.3.4 нажмите кнопку Шрифт…; 6.3.5 в окне Формат текста установите: шрифт: Times New Roman , размер: 16, начертание: жирный; 6.3.6 в окне Формат текста нажмите кнопку OK; 6

6.3.7 в окне Определение стиля нажмите кнопку OK; 6.4 создайте стиль Заголовок 2, имеющий параметры: шрифт: Times New Roman , размер: 14, начертание: жирный, курсив. 6.5 в окне Стили текста нажмите кнопку Закрыть. 7.Создайте в документе поясняющий текст Лабораторная работа № M1. Для этого: 7.1 вставьте текстовую область. Для этого: 7.1.1 выполните LC в том месте рабочего документа, где должен располагаться текст, курсор примет вид (визира); 7.1.2 активизируйте пункты меню Добавить – Текстовую область, курсор примет вид ; 7.1.3 установите на Панели Форматирование стиль Заголовок 1; 7.1.4 установите русский язык для клавиатуры; 7.1.5 наберите с клавиатуры текст: Лабораторная работа № M1; 7.1.6 выполните LC вне текстовой области. 8. Введите текст, содержащий название лабораторной работы, установив стиль Заголовок 1. 9. Введите текст, содержащий название решаемой задачи: Определение параметров треугольника, установив стиль Заголовок 2. 10. Введите текст, содержащий Вашу фамилию и номер группы, установив стиль Title. 11. Введите текст Исходные данные, установив стиль Title. 12. Задайте значение исходному данному – переменной a. Для этого: 12.1 выполните LC под текстовой областью Исходные данные; 12.2 введите с клавиатуры a; 12.3 разверните Панель Калькулятор, нажав кнопку - Панель калькулятора на Панели Математика; 12.4 введите оператор присваивания, нажав кнопку на Панели Калькулятор, выражение примет вид ; 12.5 в шаблон введите с клавиатуры значение 45; 12.6 выполните LC вне блока; 12.7 задайте единицы измерения, используя текстовую область и стиль Normal. 13. Задайте значения остальным исходным данным – переменным b и c. Блоки целесообразно скопировать, вставить и отредактировать. 14. Введите текст Вычислительные формулы, установив стиль Title. 15. Постройте формулу для вычисления полупериметра, используя оператор присваивания . Формула должна иметь вид 15.1 постройте

. Для этого:

; 7

15.2 постройте в шаблоне будущий числитель; 15.3 нажмите нужное количество раз клавишу Пробел для выделения курсором числителя

;

15.4 нажмите на Панели Калькулятор кнопку

– Деление /;

15.5 в выражении заполните шаблон знаменателя; 15.6 выполните LC вне формулы. 16. Постройте S

формулы

p( p a)( p b)( p c) ,

для

вычисления

радиуса

описанной

площади

окружности

треугольника abc , медианы 4S

R

2 p( p a)( p b)( p c) 1 . Для обращения к простей2b2 2c 2 a 2 , высоты ha a 2 шим стандартным функциям Mathcad, например, Квадратный корень, Синус, Тангенс, Экспонента и т.д. используйте соответствующие кнопки Панели Калькулятор.

ma

17. Постройте в документе Mathcad формулу для вычисления переменной математической модели имеет вид

рад

arccos

b

2

2

c a 2bc

rad , которая в

2

. Для построения греческого

символа разверните панель Греческая, нажав кнопку – Панель греческих символов на Панели Математика. Для обращения к сложным стандартным функциям Mathcad, например, acos используйте технологию: 17.1 нажмите кнопку – Вставить функцию на Панели инструментов Стандартная; 17.2 в окне Вставка функции выберите категорию функций – Тригонометрические; 17.3 выберите функцию acos; 17.4 изучите комментарии в окне Вставка функции к функции acos; 17.5 нажмите кнопку OK; 17.6 введите аргумент.

2bc cos 18. Постройте рад

arcsin

формулы

b sin

окружности r

рад

a ptg

рад

2

для и

tg

вычисления 2arctg

рад

рад

2

tg

рад

2

биссектрисы

a b tg a b

рад

l рад

2

b c

19. Для вычисления значений углов в градусах

20. Введите текст Результаты, установив стиль Title. 8

; ;

2

,

углов

, радиуса вписанной

.

19.1 постройте пользовательскую функцию Mathcad 19.2 используйте её для вычисления в виде 19.3 вычислите и .

рад

21. Для каждого определяемого параметра постройте результирующую формулу и текстовую область, содержащую единицы измерения. Например,

.

22. Введите текст Построение разветвлений, установив стиль Title. 23. Докажите, что сумма внутренних углов треугольника равна . Используйте алгоритм , если рад рад рад то вывод сообщения «Равна » иначе вывод сообщения «Не равна ». Здесь – точность вычислений и исходное данное Для этого: 23.1 задайте значение в категории Исходные данные;

0,001.

23.2 вставьте функцию if категории Кусочно-непрерывные 23.3 в первый шаблон введите логическое выражение рад

; рад

рад

, Для

построения логической операции используйте Панель Логический, которая развернется при нажатии кнопки – Панель логики на Панели Математика; 23.4 во второй шаблон, используя русский шрифт, введите текст «Равна ПИ»; 23.5 в третий шаблон введите текст «Не равна ПИ»; 23.6 выделите курсором все выражение и активизируйте операцию =. 24. Докажите, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 . 25. Сдайте работу преподавателю.

9

Лабораторная работа № M2 Основные элементы Mathcad Ц е л ь р а б о т ы : закрепление основных технологий математической системы MathCad и навыков их использования для построения документа MathCad при решении технической задачи. Задания для выполнения Для поставленных задач постройте документ Mathcad следующей структуры поясняющий текст Лабораторная работа № M2 и название лабораторной работы; сведения о студенте, включающие фамилию, инициалы, номер учебной группы, номер выполняемого варианта; текст: Задача и ее номер; название решаемой задачи, определяющее исследуемый объект или процесс; текст: Исходные данные ; исходные данные с заданием вычислительной формулы и единиц измерения в выбранной системе счисления; текст: Вычислительные формулы ; вычислительные формулы Mathcad строго в соответствии с алгоритмом решения задачи; текст: Результаты ; окончательные результаты, содержащие наименования параметров, результирующие формулы, единицы измерения. Сохраняйте документ в файле с именем М2_Ф_N.xmcd. Выполните три задачи. Сдайте работу преподавателю. Студенты, претендующие на экзаменационную оценку выше 6, дополнительно решают четвертую задачу.

Вариант 1 S

площадь полной поверхности 1. Вычислить R2 r2 ( R r )l , где r kR и l ( R r ) cos . Значения k 0,5 , 0,5233рад, R 40 мм. 2. Вычислить значение функции t cos 2arctg

1 y1

8

e 2

ln (

)

, где

усеченного

5

tg( x) y1 x

конуса

x

y1

и

.

Значения x 0,2 , y1 1,65 . Результат для проверки: 2,373, 0,544 , t 10,539 . 3. Вычислить значение движущей силы FД, действующей на тело, при заданном значении перемещения S, удовлетворяющем условию S нач S S кон , : FД

где d

d S , если S нач S ST ; d S 2 , если ST S S кон ,

a

b

Значения S нач

a tg . b 0 м, ST

0,9 м, S кон 1,2 м, S 1,05 м, a 1,25 , b 5,75 . 10

4. Вычислить значение движущей силы FД, действующей на тело, при заданных значениях перемещения S нач S S кон и номере закона движения k, d S,

где FД

если S нач

S

S p;

5,5 d , если S P

S

ST ;

d S 2 , если ST

S

S кон ;

причем d

2,5, если k 1,5, если k

1 или 5; 2 или 4;

10,2, если k

3 или 6.

0 м, S Р

Значения Sнач

0,5 м, ST

0,9 м, S кон 1,2 м, S

0,7 м, k

3.

Вариант 2 1. Вычислить площадь боковой грани прямой треугольной призмы Sгр a

a h , где

2 Sтр .

Значения h

800 мм2.

50 мм, Sтр

2. Вычислить

значение

функции

sin 2 г cos3 c , c e

S

где

г

3

x1 1

3 x12

,

и

3 tg(a 2 ) . г) a Значения x1 7,2 , a 5,4 . Результат для проверки: 0,041, с 1,243, S 0,157 . 3. Вычислить значение скорости v v0 at движущегося тела при заданном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач t tкон , : c

sin(arccos

v0

1,5 k , если tнач t tT ; 2 k,

если tT t tкон ,

где k sin y e x . Значения tнач 0 с, tT 7,9 с, tкон 10,2 с, t 8,7 с, a 1,5 м/c2, x 1,2 , y 0,75 . 4. Вычислить значение скорости v v0 at движущегося тела при заданных значениях времени tнач t tкон и номере закона движения n,

1,5 k , если tнач t t p ; где v0

причем k

k t,

если t p t tT ;

2 k,

если tT t tкон ,

2,5 , если n 1 или 5; 1,5, если n 2 или 4; 7,5 ,

Значения tнач

если n

0 с, t р

3 или 6 .

5,2 с, tT

7,9 с, tкон 10,2 с, t

11

0,7 с, a 1,5 м/c2, n 1.

Вариант 3 S

1. Вычислить площадь поверхности 2(ab bc ac) , где b n1a и c n2a . Значения a 45 мм, n1 0,7 , n2 0,8 2. Вычислить

y

tg

значение

x arcsin 2x 1 c1

sin

3

функции

прямоугольного

lg 2 x e x

t

1 tg y 2

параллелепипеда

0,3

,

где

x

c13

c12

,

.

2

Значения c1 13,2 , 5,38 . Результат для проверки: x 0,271, y 0,159 , t 1,327 . 3. Вычислить значение ускорения а движущегося тела при заданном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач t tкон , :

a

t

k,

если tнач t tT ;

sin(k t ), если tT t tкон ,

где k cos y y 2 . Значения tнач 0 с, tT 7,9 с, tкон 10,2 с, t 8,2 с, y 1,5 . 4. Вычислить значение ускорения а движущегося тела при заданных значениях времени tнач t tкон и номере закона движения n, где a

t k,

если tнач t t Р ;

t k,

если t Р t tT ;

sin(k t ), если tT t tкон , причем k

0,5 , 1,5 ,

если n 1 или 3; если n 4 или 5;

4,5 ,

если n

Значения tнач

0 с, t Р

2 или 6 .

5,2 с, tT

7,9 с, tкон 10,2 с, t

0,7 с, n 5 .

Вариант 4 1. Вычислить объем цилиндра V Значения k 0,5 , R 40 мм.

R 2 h , где h

2. Вычислить значение функции q

b

cos(

3

1 tg

be

at

kR .

arcsin2

sinщt

, где a

ln(t 0,5) 3

k12

2,5

,

2

. a Значения t 3,4 , 0,3 , k1 0,7 . Результат для проверки: a 0,622 , b 1,583, q 11,086.

k1 )

v0t

3. Вычислить значение перемещения S

at 2

ном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач

12

движущегося тела при задан-

2 t

tкон , :

v0

1,5 r , если tнач t tT ; 2 r,

если tT t tкон ,

где r c 2 beb c . Значения tнач 0 с, tT

7,9 с, tкон 10,2 с, t

v0t

4. Вычислить значение перемещения S ных значениях времени t нач

t

t кон

9,3 с, a 1,5 м/c2, c 0,5 , b 1,5 . at 2

движущегося тела при задан2 и номере закона движения n,

1,5 r , если tнач t t p ; где v0

r,

если t p t tT ;

2 r,

если tT t tкон ,

причем r

2,5 , 1,5,

если n 1 или 5; если n 3 или 4;

10,5 ,

если n

Значения tнач

0 с, t р

2 или 6 .

7,9 с, tкон 10,2 с, t

5,2 с, tT

0,7 с, a 1,5 м/c2, n 4 .

Вариант 5 1. Вычислить объём усеченного конуса V

r

k2 R . Значения R

1 h( R 2 3

Rr

r 2 ) , где h

k1R и

40 мм, k1 1,2 , k2 1,5 . 3

2. Вычислить значение функции z

x 2 1 xy y ctg 2 , где x 2 lg x 1 q1

2

sin(

q13 ) 1

x . 6 Значения 1,2 , q1 3,5 . Результат для проверки: x 4,631, y 1,78 , z 10,591. 3. Вычислить значение угловой скорости вращающегося тела при заданном значении угла поворота , удовлетворяющем условию нач кон , :

и y

e

0, 2 q1

arcsin

q

,

если

q

2

, если

T;

нач T

кон

,

sin z zx . z 2 x2 Значения нач 0 , T 4,7101рад, кон 6,2830, 5,1415 рад, z 1,5 , x 2,1 . 4. Вычислить значение угловой скорости вращающегося тела при заданных значениях угла поворота нач кон и номере закона движения k,

где q

q

где

,

если

1,5 q, если q

2

, если

нач

p;

p

T;

T

кон

,

13

0,5 , 3,25 ,

если k если k

1 или 4; 2 или 3;

1,05 ,

если k

5.

причем q Значения

3,1415 рад, k

0 рад,

нач

1,0467 рад,

р

T

4,7101рад,

кон

6,2830рад,

3.

Вариант 6 1. Вычислить радиус r вписанной окружности и площадь S равностороннего треa2 3 S угольника со сторонами a по формулам S иr , где p – полупериметр. 4 p Значения a 30 мм. 3 t a 1 t 2 2. Вычислить значения функций и , где a e 0,3t 2 a t ln (t 2,7) 5 h cos2 1 . t Значения t 12,3 , h1 2,06 . Результат для проверки: a 0,921, 0,286 , 0,023 . 3. Вычислить значение углового ускорения вращающегося тела при заданном значении угла поворота , удовлетворяющем условию нач кон , : a

tg arcsin

cos q, если

нач

q

T

,

если

где q tg( y Значения

x)

кон

,

y. 0,

нач

T;

T

4,7101рад,

кон

6,2830рад,

5,1415 рад, x 1,5 ,

y 1,1. 4. Вычислить значение углового ускорения вращающегося тела при заданных значениях угла поворота нач кон и номере закона движения k, где

cos q, если

нач

1,5 q, если

p

T;

T

кон

q

,

причем q Значения

3,1415 рад, k

если

p;

,

0,67 , 3,25 ,

если k если k

1 или 4; 2 или 3;

0,5 ,

если k

5 или 6 .

нач

0 рад,

р

1,0467 рад,

T

4,7101рад,

кон

6,2830рад,

2.

Вариант 7 1. Вычислить площадь полной поверхности конуса S Значения R 36 мм, 1,0467рад.

14

Rl

R 2 , где l

R cos .

2. Вычислить

x

tg(c d 2

значение

0,5р) sin(cd 2 ) d 22

c

2

функции 3

и л

x2 lg(c 1)

cx

t

ed 2

d2

Значения c 3,6 , d 2 0,4 . Результат для проверки: x 0,036 , 3. Вычислить значение угла поворота нии времени t, удовлетворяющем условию tнач

cos2 x

y

9

x 1 , л arcsin d 2

где

.

0,096 , y 0,74 . вращающегося тела при заданном значеt tкон , :

k , если tнач t tT ;

2 k , если tT t tкон ,

a b . ab 1 Значения tнач 0 с, tT 8,9 с, tкон 11,2 с, t 9,7 с, a 2,5 , b 1,5 . 4. Вычислить значение угла поворота вращающегося тела при заданных значениях времени tнач t tкон и номере закона движения n, где k

k , если tнач t t p ;

t где

t k , если t p t tT ; 2 k , если tT t tкон , 0,5 , если n 1 или 5; 1,5, если n 2 или 4;

причем k

4,5 , Значения tнач

если n

0 с, t р

3 или 6 .

4,2 с, tT

8,9 с, tкон 11,2 с, t 1,7 с, n 1 .

Вариант 8 1 2 R h , где h 3 0,7853рад.

1. Вычислить объём конуса V Значения R

28 мм,

2. Вычислить значение функции k

tg 2 a ctg 2 t 2

n12

e

ae

R tg .

n1t

sin(kt arccosв

)

, где

a

5

t

t ln t

и

.

n1t

Значения n1 1,2 , t 1,6 , 0,3 . Результат для проверки: a 1,197 , k 0,813 , 0,108 . 3. Вычислить значение силы сопротивления FС, действующей на тело, при заданном значении перемещения S, удовлетворяющем условию S нач S S кон , : FC

где

d S 2,

если S нач S

d S,

если ST S

d

a

2

ST ; S кон ,

a . b2

15

Значения S нач 0 м, ST 2,9 м, S кон 4,2 м, S 3,4 м, a 5 , b 2,5 . 4. Вычислить значение силы сопротивления FС, действующей на тело, при заданных значениях перемещения S нач S S кон и номере закона движения k, d S 2,

где FC

если S нач S S p ;

15,5 d , если S p S ST ; d S,

если ST S Sкон ,

2,5 , 1,5 ,

причем d

если k если k

1или 5; 2 или 4;

10,5 , если k Значения S нач

0 м, S Р

3 или 6 .

1,5 м, ST

2,9 м, S кон

4,2 м, S

0,7 м, k

5.

Вариант 9 1. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра S

h

k1R . Значения k1 1,8 , R 2. Вычислить 3 2

v

2 Rh 2 R 2 , где

t

t)

1 sin( v0

значение

функции

T

1 lg t (m v)2

m v , ln 2 m 1

где

v0t e t . arcsin(v 0,7)

и m

tg 3t

38 мм.

Значения v0 17 , t 7 , 0,2 . Результат для проверки: v 0,284 , m 85,436 , T 2,031. 3. Вычислить значение момента движущих сил MД, действующего на вращающееся тело, при заданном значении угла поворота , удовлетворяющем условию нач кон , : MД

где p

2

p

,

если

2,5 , если cos x

Значения

x

2

y 1

T

,

кон

. 0,

нач

T;

нач

T

4,3632 рад,

кон

6,2830рад,

4,8862рад, x 2,5 ,

y 1,0 . 4. Вычислить значение момента движущих сил MД, действующего на вращающееся тело, при заданных значениях угла поворота нач кон и номере закона движения m, 2

, если

sin p,

если

p

где M Д

2,5 , если

нач p T

p; T; кон

,

16

причем p

2,5 , 1,5 ,

если m 1 или 4; если m 2 или 5;

7,5 ,

если m

Значения

0 рад,

нач

1,3862рад, m

3

.

1,0467 рад,

р

T

4,3632 рад,

кон

6,2830рад,

2.

Вариант 10 1. Вычислить площадь трапеции с основаниями a > b, высотой h и острым углом a b a b по формуле S h , где h tg . 2 2 Значения a 42 мм, b 34 мм, 0,7853рад.

a

1 d

cos 2arctg

tg

4

d

f

2. Вычислить значение функции

p1 2

ln (a

e )

, где

sin

d 1 p1

3

и

1 . 21,06

p1

Значения p1 24,2 , d 71,24 . Результат для проверки: 0,96 , a 2,231, f 7,033. 3. Вычислить значение момента сил сопротивления MC, действующего на вращающееся тело, при заданном значении угла поворота , удовлетворяющем условию нач кон , :

MC

f, f

где f

,

нач

если

T

кон

T

4,7101рад,

T;

,

a b2 . a b

Значения

b

если

0,

нач

6,2830рад,

кон

5,6981рад, a 1,13 ,

4,2 .

4. Вычислить и вывести значение момента сил сопротивления MC, действующего на вращающееся тело, при заданных значениях угла поворота нач кон и номере закона движения l, f, если нач p; где M C

10

f , если

p

T;

f

,

T

кон

0,5 , 1,5 ,

причем f

если если l если l

10,5 , если l Значения

0,6981рад, l

нач

0 рад,

,

1 или 3; 2 или 5; 4 или 6 или 7 р

1,0467 рад,

3.

17

. T

4,7101рад,

кон

6,2830рад,

Вариант 11 S бок

1. Вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, 2 S 3ah где a и h d 2 a2 . 0 sin 60 Значения S 173,205 мм2, d 36 мм. a1 a2 2. Вычислить значение функции S e n , где b cos2 ( d ) и 3 2 n d

1 lg a1

a2

b 1

arcsin tg

.

a1 1

Значения d 1,3 , a1 7,5 , n 11. Результат для проверки: a2 1,432 , b 0,345 , S 0,911. 3. Вычислить значение момента сил сопротивления MC, действующего на враща, удовлетворяющем условию ющееся тело, при заданном значении угла поворота нач кон , : a MC

где a

a

, ,

b

d 2b

Значения

d

если

нач

если

T

T; кон

,

.

нач

0,

4,7123рад,

T

кон

6,2830рад,

5,1415 рад, b 1,5 ,

2,1.

4. Вычислить значение момента сил сопротивления MC, действующего на вращающееся тело, при заданных значениях угла поворота нач кон и номере закона движения k, a , если нач P; где M C

a

,

если

10

, если

0,5 , 1,5 ,

причем a

если k если k

10,5 , если k Значения

3,1415 рад, k

нач

T;

P

,

кон ,

T

1 или 3; 2 или 5; 4 .

0 рад,

р

1,0467 рад,

T

4,7123рад,

кон

6,2830рад,

3.

Вариант 12 1. Вычислить площадь боковой грани правильной четырехугольной пирамиды

Sбок

1 d2 a l , где a Sосн и l 2 Значения Sосн 14400 мм2, d

2

a . 2 100 мм.

18

2. Вычислить значение функции S

иb

arcsin(q 2 )(q 2

3

n)

b

e

1

q2 n

cos(

n) , где

ln(q2

0,03)

4

2,5

n3

q 22

. tg 2 Значения q2 0,15 , n 7 . Результат для проверки: 1,176, b 0,13 , S 0,227 . 3. Вычислить значение угла поворота вращающегося тела при заданном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач t tкон , :

t k , если tнач t tT ; 7 k , если tT t tкон , cos x y где k . x2 1 Значения tнач 0 с, tT 7,9 с, tкон 10,3 с, t 9,8 с, x 2,5 , y 1,0 . вращающегося тела при заданных значе4. Вычислить значение угла поворота ниях времени tнач t tкон и номере закона движения n,

t k , если tнач t t p ; где

t k , если t p t tT ; 7 k , если tT t tкон ,

причем k

0,8, 3,5,

если n 1 или 3; если n 2 или 4;

2,7 ,

если n

Значения tнач

0 с, t р

5 или 6 .

3,1 с, tT

7,9 с, tкон 10,3 с, t

0,7 с, n

2.

Вариант 13 1. Вычислить объём правильной четырехугольной пирамиды V

a

d2 и H l2 2 Значения d

1 2 a H , где 2

2

d . 2 60 мм, l

50 мм.

2. Вычислить значение функции t

lg( 2n13 ) e f

n12

4a

, где a

d

n1

n1

4,6

3

n12 и

tg 2a . 7 arccos(-0,27 ) Значения n1 5,7 , d 9,6 . Результат для проверки: a 1,308 , f 6,249 , t 7,23 . 3. Вычислить значение движущей силы FД, действующей на тело, при заданном значении перемещения S, удовлетворяющем условию S нач S S кон , : f

cos

FД

d S 2,

если S нач S

6,5 d , если ST S

ST ; S кон ,

19

где d

2

a . b3

a Значения S нач 0 м, ST 1,0 м, S кон 2,3 м, S 1,9 м, a 5 , b 2,5 . 4. Вычислить значение движущей силы FД, действующей на тело, при заданных значениях перемещения S нач S S кон и номере закона движения k,

d S 2 , если S нач S S p ;

где FД

d S,

если S p S ST ;

6,5 d , если ST S S кон ,

3,5 , 2,5,

причем d

если k 1 или 6; если k 2 или 3;

11,2 , если k

Значения S нач

0 м, S Р

4 или 5 .

0,6 м, ST

1,0 м, S кон

2,3 м, S

0,9 м, k

5.

Вариант 14 H

1. Вычислить объем d cos . d sin и a 5 Значения d 100 мм,

прямоугольного

параллелепипеда

V

2a 2 H ,

где

0,52353рад.

2. Вычислить значение функции b

a1e

a1t

tg 2

t , где a1

t 3,7 ln и 3 2 14,5 t

cost ln3 a1 . arcsin( 1) t Значения t 2,6 , 0,6 . Результат для проверки: a1 0,109 , 11,406 , b 703,908. 3. Вычислить значение скорости v v0 at движущегося тела при заданном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач t tкон , :

v0

6,5 k , если tнач t tT ; 7 k,

если tT t tкон ,

где k cos y y 2 . Значения tнач 0 с, tT 6,9 с, tкон 9,2 с, t 7,6 с, y 1,5 , a 1,5 м/с2. 4. Вычислить значение скорости v v0 at движущегося тела при заданных значениях времени tнач t tкон и номере закона движения n,

6,5 k , если tнач t t p ; где v0

причем k

k t,

если t p t tT ;

7 k,

если tT t tкон ,

2,5 , 7,5,

если n 1 или 3; если n 2 или 6;

1,5 ,

если n

5 или 4 . 20

Значения tнач

0 с, t р

4,2 с, tT

6,9 с, tкон

9,2 с, t

0,6 с, n

2.

Вариант 15 4 3 1. Вычислить объём шара V R , где d 3 Значения S 800 мм2, h 30 мм. 2. Вычислить

a1 d 2

значение

функции

2S и R

x

3

q2

h

lg q

d 2

2

2

.

tg( p 0,9 ) , arccos3 p

где

sin2 (a1d 1) cos(a12

p) . d e Значения a1 5,1 , d 6 . Результат для проверки: p 0,12 , q 0,399 , x 0,238. 3. Вычислить значение ускорения а движущегося тела при заданном значении времени t, удовлетворяющем условию tнач t tкон , :

p

a12

2

a

и q

d

sin(k t ), если tнач t tT ; k t,

если tT t tкон ,

где k sin y e y . Значения tнач 0 с, tT 7,9 с, tкон 10,2 с, t 8,7 с, y 0,75 . 4. Вычислить значение ускорения а движущегося тела при заданных значениях времени tнач t tкон и номере закона движения n, k 2 t , если tнач t t p ;

где a

t

k , если t p t tT ;

k t , если tT t tкон ,

причем k

0,5 , 1,5 ,

если n 1 или 5; если n 4 или 3;

4,5 ,

если n

Значения tнач

0 с, t р

2 или 6 .

5,2 с, tT

7,9 с, tкон 10,2 с, t

21

0,7 с, n

2.

Лабораторная работа № M3 Решение в Mathcad технических задач, моделируемых объектами высшей математики Ц е л ь р а б о т ы : приобретение навыков использования пакета Mathcad для решения технических задач, математическими моделями которых являются объекты высшей математики. 1. Загрузите

математическую систему Mathcad и на свободной части экрана монитора.

разместите

окно

2. Если необходимо закройте окно трассировки. 3. Сохраните документ в файле M3_1_Ф_N.xmcd (Ф – ваша фамилия на русском языке, N – номер группы). 4. Создайте в документе текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 5. Введите поясняющий текст 1 Суммирование в MathCad. 6. Вычислите Sum

iкон

i 1 , где i изменяется от iнач = 0 до iкон = 6 с шагом i = 1, исполь-

i iнач

зуя оператор суммирования MathCad. Для этого: 6.1 задайте значения исходных данных; 6.2 выполните LC в месте расположения вычислительной формулы; 6.3 постройте левую часть оператора присваивания вида Sum : ; 6.4 вставьте оператор суммирования, нажав кнопку – Суммирование на Панели Исчисление. Для активизации Панели инструментов Исчисление нажмите кнопку – Панель вычисления на Панели Математика; 6.5 заполните шаблоны; 6.6 вычислите значение Sum. 7. Вычислите Sum1

iкон

jкон

i

j , где i изменяется от iнач = 1 до iкон = 5 с шагом i = 1 и

i iнач j jнач

j изменяется от jнач = 0 до jкон = 3 с шагом MathCad. 8. Докажите, что ln 1 t1

t1

t12 2

t13  3 0,001.

j = 1, используя оператор суммирования

1n

1

t1n n

, где

– точность вычисле-

ний. Значения t1 0,53 , n 20 , Для этого: 8.1 введите исходные данные; 8.2 постройте формулу для вычисления правой части равенства sl1 ln 1 t1 ; 8.3 постройте формулу для вычисления левой части равенства n i 2 3 n t1 t1 t1 t1 ; sl 2 t1 1n 1 ( 1) i 1  n i1 i 2 3 22

8.4 докажите выполнение условия .

sl1 sl 2

, используя функцию if категории

9. Докажите равенства, используя значения b1 1,32 , 9.1 sin b1

b1 b13 1! 3!

9.2 cos 5

1

b15 5!

52 2!

54 4!

1n

 

1n

b12n 1 2n 1 !

5 9,128 , n

20 ,

0,001.

;

5 2n 2n !

.

10. Введите поясняющий текст 2 Произведение в MathCad . iкон

11. Вычислите proiz

i 1 , где i изменяется от iнач = 3 до iкон = 8 с шагом i = 1, ис-

i iнач

пользуя оператор для вычисления произведения, нажав кнопку на Панели Исчисление.

– Продукт итерации

12. Введите поясняющий текст 3 Факториал в MathCad. 13. Вычислите F1 = m! и F2 = m! двумя разными способами при m = 6. Сравните результаты. 14. Введите текст 4 Определенный интеграл в MathCad. 15. Определите площадь фигуры, ограниченной кривой y x

x нач и x

cos(x) , осью 0x, прямыми xкон

x кон , вычислив определенный интеграл S

cos xdx . Значения x нач

0,

xнач

. 4 Для этого: 15.1 задайте исходные данные; 15.2 постройте левую часть оператора присваивания S:= ;

xкон

15.3 нажмите кнопку

– Определенный интеграл на Панели Исчисление;

в виде ; 15.4 заполните шаблон 15.5 вычислите значение S, добавьте единицы измерения. tкон

16. Определите путь S, пройденный телом, вычислив S

a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt . Зна-

tнач

чения t нач

0 c, t кон

15 c, a = 1,75 м, b = 0,78 м.

17. Определите угловую скорость нач

0 рад,

кон

рад, M 0

2 JП

, вычислив

10 Н м J П

2

10 кг м . 23

кон

M 0 1 sin

нач

d . Значения

18. Сохраните файл M3_1_Ф_N.xmcd как файл M3_2_Ф_N.xmcd. В файле M3_2_Ф_N.xmcd удалите пункты 1 Суммирование в Mathcad – 4 Определенный интеграл в Mathcad. 19.Введите текст 5 Пределы в MathCad. 20. Определите предельную силу сопротивления воздуха Rmax, действующую на летящий шарик, вычислив Rmax lim A 1 e 2t . Значение A 0,94 H. t

Для этого: 20.1 задайте исходные данные; 20.2 постройте левую часть оператора присваивания Rmax:= ; 20.3 нажмите кнопку – Двухсторонняя граница на Панели Исчисление; 20.4 заполните

шаблон

Двухсторонняя

граница

в

виде

;

20.5 выделите курсором (синим уголком) весь предел 20.6 активизируйте пункты меню Символика – Вычислить – Символически; ; 20.7 Mathcad построит вычислительную формулу вида 20.8 вычислите значение Rmax, добавьте единицы измерения.

;

21. Определите скорость установившегося движения инструмента vуст, вычислив v уст

S

lim v рез S рк

S S рк

1 2 S sin S рк 2

. Значения vрез = 0,26

м , Sрк = 0,15 м. с

22. Определите максимальное значение аналога ускорения движущегося инструмента v1, вычислив v1

lim S

S рк 2

v рез S рк

2 S S рк

1 cos

. Значения vрез = 0,26

м , Sрк = 0,15 м. с

23. Введите текст 6 Производные в MathCad. 24. Зная

v( S )

v рез

зависимость

S S рк

1 2 sin S 2 S рк

скорости ,

движущегося

постройте

зависимость

аналога

инструмента ускорения

d v(S ) . dS Для этого: 24.1 постройте левую часть функциональной зависимости V1(S):=; 24.2 нажмите кнопку – Производная на Панели Исчисление; v S

24.3 заполните шаблон Производная

в виде 24

;

24.4 выделите курсором дифференцирование 24.5 активизируйте пункты меню Символика – Вычислить – Символически;

24.6 Mathcad построит зависимость вида

;

.

25. Зная зависимость заряда колебательного контура q (t ) d мость силы тока I (t ) q(t ) . dt Для этого:

q0 cos

0t

, постройте зависи-

25.1 постройте функцию ; 25.2 постройте левую часть функциональной зависимости I(t):=; 25.3 нажмите кнопку – Производная на Панели Исчисление;

25.4 заполните шаблон Производная в виде ; 25.5 выделите курсором дифференцирование; 25.6 нажмите кнопку – Символьное вычисление на панели Символьная. Для доступа к панели Символьная нажмите кнопку слов на панели Математическая; 25.7 выполните LC вне полученного выражения;

– Панель символьных ключевых

25.8 Mathcad построит зависимость вида

.

26. Введите текст 7 Неопределенные интегралы в MathCad . 27. Зная зависимость углового ускорения (t ) 4 sin 2t , постройте зависимость угловой t dt . скорости t Для этого: 27.1 постройте левую часть функциональной зависимости (t):=; 27.2 нажмите кнопку

27.3 заполните шаблоны

– Неопределенный интеграл на Панели Исчисление;

в виде

;

27.4 выделите курсором интегрирование ; 27.5 активизируйте пункты меню Символика – Вычислить – Символически; 27.6 Mathcad построит зависимость вида . 28. Зная зависимость угловой скорости t , постройте зависимость угла порота пользуя кнопку – Символьное вычисление на Панели Символьная.

25

t , ис-

29. Зная зависимость аналога ускорения

d 2S

2

h

кулачкового механизма, cos d 2 2 2П П dS постройте зависимости аналога скорости и функции положения S, используя интегриd рование. 30. Введите поясняющий текст 8 Упрощение выражений.

31. Потенциальная энергия П системы, состоящей из трех тел массой m каждое и трех пружин жесткостью c0 каждая, задается формулой 1 1 1 П c0 x12 c0 x2 x1 2 c0 x3 x2 2 . Упростите формулу П. Для этого: 2 2 2 31.1 постройте вычислительную формулу; 31.2 нажмите кнопку на Панели Символьная; 31.3 выполните LC вне полученного выражения. 32. Кинетическая энергия Т системы, состоящей из трех тел массой m каждое и трех пруmv12 mv 22 mv32 жин жесткостью c0 каждая, задается формулой T . Упростите форму2 2 2 лу Т, активизируя пункты меню Символика – Упростить. 33. Сдайте работу преподавателю.

26

Лабораторная работа № M4 Циклические вычислительные процессы в Mathcad Ц е л ь р а б о т ы : приобретение навыков использования пакета Mathcad для решения задач циклической структуры. 1. Загрузите

математическую систему Mathcad и на свободной части экрана монитора.

разместите

окно

2. Если необходимо закройте окно трассировки. 3. Сохраните документ в файле M4_Ф_N.xmcd (Ф – ваша фамилия на русском языке, N – номер группы). 4. Создайте в документе текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 5. Введите поясняющий текст 1 Дискретные переменные, установив стиль Заголовок 2. 6. Определите значения дискретной переменной S, изменяющиеся от S нач до S кон с шагом 1, если S нач 0 , S кон 5 . Для этого: 6.1 введите исходные данные ; 6.2 постройте формулу для вычисления дискретной переменной S. Для этого: 6.2.1 выполните LC в месте расположения формулы; 6.2.2 введите S и оператор присваивания;

6.2.3 разверните панель инструментов

– Матрица, нажав кнопку

– Панель векторов и матриц на панели Математика; 6.2.4 нажмите кнопку – Область переменной ; на Панели Матрица; 6.2.5 введите в первый шаблон имя переменной , во второй шаблон – имя переменной ; 6.3 вычислите значения дискретной переменной S. 7. Определите значения дискретной переменной t, изменяющиеся от t нач до t кон с шагом t , если t нач 0 , t кон 3 , t 0,5 . Для этого: 7.1 введите исходные данные в той же строчке, где расположены исходные данные для предыдущего примера; 7.2 постройте формулу для вычисления дискретной переменной t. Для этого: 7.2.1 выполните LC в той же строчке, где расположена формула для вычисления S; 7.2.2 введите t и оператор присваивания; 7.2.3 нажмите кнопку – Область переменной на Панели Матрица. 7.2.4 введите в первый шаблон имя переменной tn , введите с клавиатуры запятую, введите во второй шаблон выражение tn t (начальное значение переменной плюс шаг), в третий шаблон – имя переменной tk ; 27

7.3 вычислите t. 8. Введите поясняющий текст 2 Примеры с дискретными переменными, установив стиль Заголовок 2. 9. Постройте фрагменты документа MathCad, расположив результаты компактно. 9.1 определите значения дискретной переменной r2, изменяющиеся от r2 нач до r2 кон с шагом r 2 , если r 2 нач 8 , r 2 кон 6 , r 2 0,2 . 9.2 определите значения дискретной переменной , изменяющиеся от нач до кон с шагом

, если

нач

0,

кон

2 ,

3

.

10. Введите поясняющий текст 3 Использование дискретных переменных, установив стиль Заголовок 2.

k 1 для k изменяющегося от k нач до k кон с шагом 2 k нач 1 , k кон 2 , k 0,2 . Для этого: 11.1 введите исходные данные; 11.2 постройте формулу для вычисления дискретной переменной k;

11. Вычислите сумму

11.3 вычислите сумму, используя кнопку Панели Исчисление.

k . Значения

– Диапазон изменения суммирования на

u

для u изменяющегося от u нач до u кон с шагом u . u 1 Значения u нач 1,2 , u кон 2,4 , u 0,4 . Для этого: 12.1 введите исходные данные; 12.2 постройте формулу для вычисления дискретной переменной u; 12.3 вычислите произведение, используя кнопку – Диапазон изменений продукта итерации на Панели Исчисление. 12. Вычислите произведение

13. Введите поясняющий текст 4 Определение параметров поступательного движения, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи. Определите параметры поступательного равноускоренного движения тела, вычислив n значений времени t, скорости v v 0 at , перемещения at 2 s и силы F F0 (1 ) при изменении времени t от t нач до t кон . Значения 2 s кон t нач 0 с, t кон 5 с, v 0 3,5 м/с, a 0,5 м/с2, F0 90,5 Н, n 11. Постройте графики зависимостей v(t) , s(t ) , F (s) , v(t) и s(t ) в одних осях координат. Математическая модель процесса. Разобьем промежуток времени t нач , t кон на (t кон t нач ) . Полученные промежуn 1 равный элементарный интервал величиной t (n 1) точные точки пронумеруем от 1 до n. Используем переменную i для обозначения номера s

v0t

28

текущей точки. Значения параметров движения в i -ой точке вычисляются по формулам si ati2 ) для i 1, 2, ..., n . t i t нач i 1 t , v i v 0 ati , si v 0 t i , Fi F0 (1 s кон 2 14. Фрагмент документа Mathсad постройте по алгоритму 14.1 задайте исходные данные; 14.2 задайте стандартную переменную ORIGIN = 1; (t кон t нач ) 14.3 постройте формулу для вычисления t ; (n 1) 14.4 постройте формулу для вычисления дискретной переменной i; 14.5 постройте формулу для вычисления t i t нач i 1 t . При построении индекса используйте кнопку

– Нижний индекс [ на панели Матрица;

14.6 постройте формулы для вычисления v i

v0

F0 (1

v0ti

2 atкон ; 2

v 0 t кон

14.7 постройте формулу для вычисления s кон 14.8 постройте формулу для вычисления Fi

ati и si

ati2 ; 2

si

); s кон 14.9 в категории Результаты Mathcad документа вычислите массивы t, v, s, F; 14.10 постройте график v(t) . Для этого: 14.10.1 установите курсор в место расположения графика; 14.10.2 нажмите на Панели инструментов Математика кнопку – Панель графиков; 14.10.3 нажмите на Панели График кнопку – ; 14.10.4 заполните поле графика по образцу

14.10.5 выполните LC вне поля графика; 14.10.6 добавьте оси координат. Для этого: 14.10.6.1 поставьте курсор на поле графика и вызовите контекстное меню, выполнив RC; 14.10.6.2 выберите пункт Формат…; 14.10.6.3 заполните окно по образцу

29

14.10.6.4 нажмите кнопку ОК; 14.10.7 выполните LC вне поля графика. 14.11 постройте графики s(t ) , F(s); 14.12 постройте графики v(t) и s(t ) в одних осях координат. Для этого: 14.12.1 скопируйте график функции v(t) ; 14.12.2 в копии установите курсор в поле графика v(t) возле оси ординат после v; 14.12.3 нажмите на клавиатуре запятую; 14.12.4 в появившемся шаблоне введите s; 14.12.5 выполните LC вне поля графика. 15. Сдайте работу преподавателю. Студенты, претендующие на экзаменационную оценку выше 6, продолжают построение документа. 16. Введите поясняющий текст 5 Исследование технического процесса, установив стиль Заголовок 2. 17. Выполните задание по варианту. Для этого: 1. Изучите поставленную задачу. 2. В рабочей тетради постройте математическую модель исследуемого процесса и сдайте ее преподавателю. 3. В соответствии с математической моделью и алгоритмом решения задачи постройте фрагмент документа Mathcad, содержащий название решаемой задачи, определяющее исследуемый объект или процесс; сведения о студенте, включающие фамилию, инициалы, номер учебной группы и номер варианта; текст: Исходные данные ; исходные данные с указанием наименования параметра, технического обозначения, числового значения, единиц измерения в выбранной системе счисления; текст: Вычислительные формулы ; вычислительные формулы Mathcad строго в соответствии с алгоритмом решения задачи; текст: Результаты ; окончательные результаты, содержащие наименования параметров, результирующие формулы, единицы измерения; постройте графики требуемых зависимостей. 30

Задания для выполнения 1. Определить параметры движения тела, брошенного вертикально вверх, вычисgt 2 лив n значений времени t, скорости v v 0 gt и высоты подъема h v 0 t при изме2 нении времени t от t нач до t кон . Построить графики зависимостей v(t ) , h(t ) , v(t ) и h(t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 2,038736 с, v 0 20 м/с, g 9,8 м/с2, n 16 . 2. Определить параметры вращательного движения вала, вычислив n значений t2 t времени t, угловой скорости и угла поворота при изменении t 0 0 2 времени t от t нач до t кон . Построить графики зависимостей (t ) , (t ) , (t ) и (t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 15 с, 0 7,85 с-1, 0,588 с-2, n 9 . 3. На тело действуют движущая сила F Д и сила сопротивления FC . Определить силовые параметры движения, вычислив n значений времени t, движущей силы F0 (5,8 cos t ) при изменении времени t FД F0 (1 sin t ) и силы сопротивления FC n от t нач до t кон . Построить графики зависимостей F Д (t ) , FС (t ) , F Д (t ) и FС (t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 4 с, F0 60,3 H, циклической частоты 0,9 с-1, n 11. 4. На вращающийся вал действуют движущий момент M Д и момент сопротивления M C . Определить параметры вращения вала, вычислив n значений времени t, движущего момента и момента сопротивления M Д M 0 (2 cos( t 0 ))

M0 (1 sin( t 0 )) при изменении времени t от t нач до t кон . Построить графики 2 зависимостей M Д (t ) , M С (t ) , M Д (t ) и M С (t ) в одних осях координат. MC

Значения t нач частоты

0 с, t кон

9 с, начального момента M 0

-1

0,698131701 с , начальной фазы колебаний

0

15,3 H∙м, циклической

0,52359878 рад, n

9.

5. На тело действуют движущая сила F Д и сила сопротивления FC . Определить силовые параметры движения, вычислив n значений перемещения S, движущей силы S S F0 S кон S F Д F0 1 ln кон 1 и силы сопротивления FC при изменении S кон 4 S кон перемещения S от S нач до S кон . Построить графики зависимостей F Д (S ) , FС (S ) , F Д (S ) и FС (S ) в одних осях координат. Значения S нач 0 м, S кон

1,5 м, F0

10,3 H, n 10 .

6. На вращающийся вал действуют движущий момент M Д и момент сопротивления M C . Определить параметры вращения вала, вычислив n значений угла поворота 31

,

движущего MC

момента

MД

M0

2

2 кон 2 кон

2

и

при изменении угла поворота

M0 1

от

кон

момента

нач

до

сопротивления кон .

Построить гра-

фики зависимостей M Д ( ) , M С ( ) , M Д ( ) и M С ( ) в одних осях координат. Значения

0 рад,

нач

кон

2

рад, начального момента M 0

5,8 H∙м, n 12 .

7. Определить параметры гармонических колебаний тела, вычислив n значений времени t, амплитуды колебаний x A cos( t и скорости колебаний 0) v A sin( t 0 ) при изменении времени t от t нач до t кон . Построить графики зависимостей x(t ) , v(t ) , x(t ) и v(t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 8 с, максимальной амплитуды колебаний A 0,03 м, циклической частоты 1,570796327 с-1, начальной фазы колебаний 0 0 рад, n 17 . 8. Процесс резания металла характеризуется скоростью резания v(S ) и аналогом dv ускорения v ( S ) . Определить параметры резания, вычислив n значений перемещения dS S2 S S, скорости резания и аналога ускорения v v рез 2 3 2 S кон S кон

v

6 v рез S

S

при изменении перемещения S от S нач до S кон . Построить гра2 S кон S кон фики зависимостей v(S ) , v (S ) , v(S ) и v (S ) в одних осях координат. Значения S нач 0 м, S кон 0,65 м, начальной скорости резания v рез 0,3 м/с,

1

n 12 . 9. На тело действуют движущая сила F Д и сила сопротивления FC , которые совершают работу A Д и AC . Определить параметры процесса, вычислив n значений перемещения S, работы движущей силы A Д

F0 S кон 1

S2 2 S кон

и работы силы сопротивле-

S

ния AC

F0 S кон 1 e Sкон 4

при изменении перемещения S от S нач до S кон . Построить

графики зависимостей A Д (S ) , AС (S ) , A Д (S ) и AС (S ) в одних осях координат. Значения S нач

0 м, S кон

3,5 м, F0

10,3 H, n 10 .

10. На вращающееся тело действуют движущий момент M Д и момент сопротивления M C , которые совершают работу A Д и AC . Определить параметры процесса, вычислив n значений угла поворота боты момента сопротивления AC

, работы движущего момента A Д

M0 1 cos 2

2 32

M 0 1 tg

4

и ра-

при изменении угла поворота

от нач до кон . Построить графики зависимостей A Д ( ) , AС ( ) , A Д ( ) и AС ( ) в одних осях координат. Значения нач 0 рад, кон 5,75 рад, M 0 8,43 H∙м, n 10 . 11. Процесс резания металла характеризуется скоростью резания v(S ) и аналогом dv . Определить параметры резания, вычислив n значений перемещеускорения v ( S ) dS v рез v рез S S ния S, скорости резания v и аналога ускорения v 1 cos sin 2 S кон S кон 2 S кон при изменении перемещения S от S нач до S кон . Построить графики зависимостей v(S ) , v (S ) , v(S ) и v (S ) в одних осях координат. Значения S нач 0 м, S кон 0,4 м, начальной скорости резания v рез 0,15 м/с,

n 12 . 12. Процесс шлифования характеризуется угловой скоростью ( ) и аналогом d углового ускорения ( ) . Определить параметры шлифования, вычислив n значеd ний угла поворота ускорения

, угловой скорости 0

1 cos

кон

2

0

кон

1 2 sin 2 кон

при изменении угла поворота

и аналога углового от

кон

строить графики зависимостей ( ) , Значения нач 0 рад, кон n 12 .

нач

до

кон .

По-

( ) , ( ) и ( ) в одних осях координат. 2 рад, начальной угловой скорости 0 5,8 с-1,

13. Определить параметры вращательного движения вала, вычислив n значений времени t, угловой скорости

0

3 2

t2 2 t кон

и углового ускорения

менении времени t от t нач до t кон . Построить графики зависимостей (t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 20 с, 0 5,6 с-1, n 12 .

4t

0 2 t кон

(t ) , (t ) ,

при из-

(t ) и

14. Определить энергетические параметры гармонических колебаний, вычислив n m 2 A 2 sin 2 ( t 0) значений времени t, кинетической энергии WК и потенциальной 2 m 2 A 2 cos2 ( t 0) энергии W П при изменении времени t от t нач до t кон . Построить 2 графики зависимостей WK (t ) , WП (t ) , WK (t ) и WП (t ) в одних осях координат. Значения t нач 0 с, t кон 10 с, массы тела m 0,2 кг, максимальной амплитуды колебаний A 0,2 м, циклической частоты 0,628318531 с-1, начальной фазы колебаний 0 0 рад, n 13 .

33

15. Процесс резания металла характеризуется скоростью резания v(S ) и аналогом dv ускорения v ( S ) . Определить параметры резания, вычислив n значений перемещеdS v рез

ния S, скорости резания v

S2 S кон S1

аналога ускорения v

S S кон S1 1

2v рез

если S нач S

S кон

v рез 1 2v рез

,

S кон ,

S1

1

S S кон

если S нач S

и

2

,

если S1 S

S кон

S1 ;

при изменении пере-

S

S кон , S кон S1

S1 ;

если S1 S

S кон

мещения S от S нач до S кон . Построить графики зависимостей v(S ) , v (S ) , v(S ) и v (S ) в одних осях координат. Значения S нач 0 м, S кон 0,6 м, начальной скорости резания v рез 0,4 м/с, перемещения S1

2,5n S м, n 12 . 6

34

Лабораторная работа № M5 Решение технических задач в Mathcad Ц е л ь р а б о т ы : закрепление навыков использования пакета Mathcad для решения технических задач. 1. Загрузите

математическую систему Mathcad и на свободной части экрана монитора.

разместите

окно

2. Если необходимо, закройте окно трассировки. 3. Сохраните документ в файле M5_1_Ф_N.xmcd (Ф – ваша фамилия на русском языке, N – номер группы). 4. Создайте в документе текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 5. Введите поясняющий текст 1 Задачи статики, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 1. Электрическая лампа весом P подвешена к потолку на шнуре AB и затем оттянута к стене веревкой BC. Определить натяжения: TA шнура AB и TC веревки BC. Весом шнура и веревки пренебречь. Значения P = 20 Н, угол = 60 , угол = 135 . A C

y

 TA

 TC

- 90 x

B  P

Рисунок 1 – Расчетная схема равновесия лампы Математическая модель процесса. Составим уравнения равновесия узла B TA cos TC cos 90 0 TA . Построим столбец неизвестных T . Тогда матрица TC TA sin TC sin 90 P системы A

cos sin

cos sin

90 90

, столбец свободных членов B

Используя для решения СЛАУ матричный метод, получим T 6. Фрагмент документа Mathсad постройте по алгоритму 6.1 задайте исходные данные; 6.2 задайте стандартную переменную ORIGIN = 1; 35

0 . P

A 1B .

6.3 постройте пользовательскую функцию Rad( ) для перевода значения угла из градусов в радианы; 6.4 используйте её для вычисления значения углов рад и рад = Rad( -90 ); 6.5 задайте матрицу A, используя кнопку рица; 6.6 задайте столбец свободных членов B;

– Матрица или вектор на панели Мат-

6.7 постройте формулу T рица;

A 1 B , используя кнопку

6.8 задайте T A T1 и TC Матрица; 6.9 вычислите TA и TC.

T2 , используя кнопку

– Инверсия на панели Мат– Нижний индекс [на панели

Постановка задачи 2. Прямоугольная однородная полка ABCD весом G удерживается в горизонтальном положении тросом EH, составляющим с плоскостью полки угол . Геометрические параметры AK = KB = DE = EC и HK перпендикулярно AB. Определить натяжение T троса (весом его пренебречь) и реакции петель A и B. Значения G = 120 Н, угол = 20 . z H

 ZA

 T

 A XA

K

B  XB

D E x

 ZB y

C

 G

Рисунок 2 – Расчетная схема равновесия полки Математическая

XA

X B T cos

ZA

Z B G T sin

модель

процесса.

Составим

уравнения

равновесия

0 0

AB AB T sin Z B AB 0 2 2 CB G T sin CB 0 2 AB X B AB T cos 0. 2 Продолжите построение математической модели, определив столбец неизвестных, матрицу системы, столбец свободных членов и формулу матричного метода. G

7. Постройте фрагмент документа Mathсad для решения задачи статики 2. 8. Сдайте работу преподавателю. 36

9. Сохраните документ M5_1_Ф_N.xmcd как файл M5_2_Ф_N.xmcd. 10. Очистите документ M5_2_Ф_N.xmcd, оставив текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 11. Введите поясняющий текст 2 Численное интегрирование, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 3. Определить время t перемещения рабочего органа пружинного механизма, вычислив

t

S max m F0

Sкон Sнач

dS S2

2S max S

S max m

, где F0

2 4t нач

.

Значения S нач 0,05 м, S кон 0,5 м, S max 0,1 м, m 0,1 кг, t нач 1 с, число интервалов n 12 . Математическая модель. Используем вспомогательную переменную S max m . Анализ постановки задачи показывает, что S – переменная интегрироваt1 F0 1 ния, f S – аналитически заданная подынтегральная функция. Для вы2 S 2S max S числения приближенного значения интеграла применим метод трапеций. Разобьем интерS кон S нач вал изменения аргумента S нач , S кон на n участков длиной S . Получим n n 1 положение тела. Используем переменную i для обозначения номера положения. Её значение будет изменяться от 1 до n + 1. Тогда для каждого i -го положения вычислим значение аргумента S i S нач i 1 S и значение подынтегральной функции 1 . Применяя формулу трапеций, получим fi Si2 2S max Si

Int

n 1 i 2

Окончательно t прибл

fi

1

fi

2

S.

t1 Int .

Для анализа приближенного значения времени t прибл определим точное значение времени t точн , вычислив в Mathcad интеграл точно. 12. Документ Mathсad постройте по алгоритму 12.1 задайте исходные данные Sнач, Sкон, Smax, m, tнач, n; 12.2 постройте пользовательскую функцию f(S), задающую подынтегральную функцию; 12.3 постройте формулы для вычисления F0, t1, S; 12.4 постройте формулу для вычисления дискретной переменной i; 12.5 постройте формулу для вычисления Si; 12.6 постройте формулу для вычисления приближенного значения интеграла, испольn 1 f S f Si i 1 S; зуя пользовательскую функцию, в виде Int 2 i 2 12.7 постройте формулу для вычисления t прибл t1 Int ; 37

12.8 постройте формулу для вычисления t точн

S max m F0

Sкон Sнач

dS S

2

;

2 S max S

12.9 вычислите tприбл и tточн; 12.10 сравните полученные результаты. Проведите вычислительный эксперимент с целью повышения точности вычисления tприбл. 13. Сдайте работу преподавателю. 14. Сохраните документ M5_2_Ф_N.xmcd как файл M5_3_Уравнения_Ф_N.xmcd. 15. Очистите документ M5_3_Уравнения_Ф_N.xmcd, оставив текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 16. Введите поясняющий текст 3 Задачи, моделируемые нелинейными уравнениями, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 4. Tело массой m брошено вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v 0 . Определить момент времени tp, в который тело поднимется на высоту yp. м м Значения v 0 20 , g 9,8 , yp = 10 м. с c2 y

 mg yp  v0

x Рисунок 3 – Расчетная схема движения тела, брошенного вертикально вверх ma

Математическая модель процесса. В соответствии со 2-ым законом Ньютона mg . Проинтегрировав и учтя начальные условия, получим зависимости

v0 gt 2 . Из условия v(tk) = 0 определим момент времени t k , 2 g когда тело поднимется на максимальную высоту yk. Момент времени tp является корнем уравнения y t y p 0 на интервале 0, t k . vt

v0

gt и y t

v0t

17. Документ Mathсad постройте по алгоритму 17.1 задайте исходные данные; 17.2 постройте пользовательскую функцию y(t); 17.3 постройте формулу для вычисления t k ; 17.4 постройте формулу для вычисления tp, используя для решения уравнения в Mathcad функцию root категории Решение в виде 38

;

17.5 вычислите tp . 18. Сохраните документ M5_3_Уравнения_Ф_N.xmcd как файл M5_3_Системы уравнений_Ф_N.xmcd. 19. Очистите документ M5_3_Системы уравнений_Ф_N.xmcd, оставив текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 20. Введите поясняющий текст 4 Задачи, моделируемые системами нелинейных уравнений, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 5. Тело массой m брошено под углом к горизонту с  начальной скоростью v 0 . В момент времени tp координаты тела равны xp и yp. Определить угол и начальную скорость v 0 . Силами сопротивления пренебречь. м Значения g 9,8 , tp = 2,7 с, xp = 45 м, yp = 0 м. c2 y  v0

 mg

yp

x

xp

Рисунок 4 – Расчетная схема движения тела, брошенного под углом к горизонту Математическая модель процесса. Координаты тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления определяются зависимостями x t v 0 t cos , gt 2 . 2 и v 0 необходимо решить систему нелинейных уравнений вида yt

Для определения

v 0 t sin

v0t p cos v 0 t p sin

xp , gt 2p 2

yp.

21. Документ Mathсad постройте по алгоритму 21.1 задайте исходные данные; 21.2 задайте стандартную переменную ORIGIN = 1; 21.3 задайте приблизительные начальные значения неизвестных переменных, наприм мер, v 0 1 и рад. с 6 21.4 для решения системы нелинейных уравнений постройте вычислительный блок Given – Find. Для этого: 21.4.1 наберите служебное слово Given; 21.4.2 постройте первое уравнение системы, используя логический оператор равно; 39

21.4.3 постройте второе уравнение системы, используя логический оператор равно; 21.4.4 постройте формулу для формирования вектора X, элементами которого являются неизвестные переменные, в виде ; 21.5 постройте вычислительные формулы для неизвестных в нашем случае в виде и ; 21.6 постройте формулу для вычисления сах; 21.7 вычислите v 0 и град . 22. Сдайте работу преподавателю.

град

– значения угла , выраженного в граду-

40

Лабораторная работа № M6 Решение задач динамики в Mathcad Ц е л ь р а б о т ы : закрепление навыков использования пакета Mathcad для решения задач динамики. 1. Загрузите

математическую систему Mathcad и на свободной части экрана монитора.

разместите

окно

2. Если необходимо, закройте окно трассировки. 3. Сохраните документ в файле M6_1_Ф_N.xmcd (Ф – ваша фамилия на русском языке, N – номер группы). 4. Создайте в документе текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 5. Введите поясняющий текст 1 Задачи динамики, моделируемые линейным дифференциальным уравнением в форме задачи Коши, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 1. На тело массой m, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v нач , изображенное на рисунке 1, действуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха FC kv , где v – скорость тела, k – коэффициент пропорциональности. Тело достигнет максимальной высоты подъема hmax в момент времени g m ln . k k v нач g m Исследовать изменение высоты подъема тела в зависимости от времени при движении вверх и определить максимальную высоту подъема. Построить график зависимости h(t). м кг м Значения m 0,5 кг, v нач 5 , k = 0,2 , g 9,8 2 , t нач 0 с, число разбиес с c ний интервала t нач , t кон n 100 . t кон

y

 v

h

 FC  mg

 v нач

x Рисунок 1 – Расчетная схема движения тела, брошенного вертикально вверх 41

Математическая модель процесса. В соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальное уравнение движения в проекции на ось 0y запишется в виде d 2h m 2 mg kv dt с начальными условиями h (t нач ) v нач и h(t нач ) 0 . Таким образом, математической моделью движения тела, брошенного вертикально вверх, является задача Коши вида

d 2h 2

dt h t нач h t нач

k dh g, m dt v нач , 0.

Ее решение на промежутке времени t нач , t кон покажет характер изменения высоты подъема тела при полете вверх. 6. Документ Mathсad постройте по алгоритму 6.1 задайте исходные данные; 6.2 постройте формулу для вычисления tкон; 6.3 для решения задачи Коши постройте вычислительный блок Given – Odesolve. Для этого: 6.3.1 наберите служебное слово Given; 6.3.2 постройте дифференциальное уравнение, используя кнопки Панели инструментов Исчисление и логический оператор равно, в виде ; 6.3.3 постройте начальные условия, используя логический оператор равно, в виде , . Для задания штриха в производной h используйте одновременное нажатие клавиш [Ctrl]+[F7]; 6.3.4 постройте формулу для формирования функции h(t), используя функцию Mathcad Odesolve категории Решение дифференциальных уравнений, в виде . Здесь t – переменная, от которой зависит функция; tk – tкон – правая граница интервала поиска решения; n – число шагов, используемое методом Рунге-Кутта; 6.4 постройте формулу для вычисления hmax в виде ; 6.5 постройте график зависимости h(t) на интервале t нач , t кон , используя построенную функцию h(t); 6.6 вычислите hmax. Постановка задачи 2. Для тела, рассмотренного в предыдущей задаче, исследовать изменение скорости полета в зависимости от времени, построить график зависимости v(t). Указания к выполнению. Постройте задачу Коши, определяющую изменение скорости полета тела. Продолжите построение документа Mathcad, используя для решения задачи Коши вычислительный блок Given – Odesolve. Постройте график зависимости v(t). 7. Сдайте работу преподавателю. 8. Сохраните документ M6_1_Ф_N.xmcd как файл M6_2_Ф_N.xmcd. 42

9. Очистите документ M6_2_Ф_N.xmcd, оставив текстовые области, содержащие номер лабораторной работы, её название, сведения об исполнителе. 10. Введите поясняющий текст 2 Задачи динамики, моделируемые системой дифференциальных уравнений в форме задачи Коши, установив стиль Заголовок 2. Постановка задачи 3. Тело массой m , изображенное на рисунке 2, брошено под  к горизонту с начальной скоростью v 0 . На тело действует сила сопротивления

углом   FC kv , направленная горизонтально.

Исследовать характер движения тела, построив графики зависимостей v x (t ) , x(t ) , v y (t ) , y(t ) , v(t ) и y(x) . Исходными данными являются v 0

6

рад, t нач

0 с, t кон

5

м , m 1 кг, k с

2,8

кг , g с

9,8

м c2

,

0,5103 с, количество разбиений интервала t нач , t кон n = 100.

y  v0

 FC

 mg x

Рисунок 2 – Расчетная схема движения тела, брошенного под углом к горизонту Математическая модель процесса. В соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси 0x и 0y запишутся в виде d 2x m 2 kv x , dt d2y m 2 mg . dt dx Начальные условия движения тела x t нач 0 , y t нач 0 , t нач v0 cos , dt dy t нач v0 sin . dt Таким образом, для исследования характера движения тела необходимо найти решение задачи Коши

43

d 2x 2

k vx m

dt dx v 0 cos t нач dt x t нач 0 d2y

g dt 2 dy t нач v 0 sin dt y t нач 0 . Преобразуем ее к системе дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями dv x k vx dt m dx vx dt v x t нач v 0 cos x t нач dv y dt dy vy dt v y t нач

0 g

v 0 sin

y t нач 0 . Для построения документа Mathcad установим соответствия y1 t v x t , y2 t x t , y3 t yt . v y t , y4 t Тогда систему дифференциальных уравнений первого порядка можно представить в виде k y1 t y1 t m y2 t y1 t

y3 t

g

y4 t y3 t и начальные условия запишутся как y1 t нач v 0 cos y 2 t нач

0

y3 t нач

v 0 sin

y 4 t нач 0 . Учитывая правую часть системы, сформируем матрицу D(t,y) вида

44

D t, y

k y1 m y1 и столбец начальных условий y 0 g y3

v 0 cos 0 v 0 sin

.

0

Найдя совокупность значений v x и v y вычислим v по формуле v

v 2x

v 2y .

11. Документ Mathсad постройте по алгоритму 11.1 задайте исходные данные; 11.2 задайте стандартную переменную ORIGIN = 1; 11.3 постройте матрицу D(t,y); 11.4 постройте столбец y0; 11.5 для решения системы дифференциальных уравнений используйте функцию Mathcad rkfixed категории Решение дифференциальных уравнений в виде ; 11.6 постройте формулы для вычисления технических параметров в виде

,

, , , , используя кнопку – Столбец матрицы на Панели инструментов Матрица; 11.7 постройте формулу для вычисления v; 11.8 постройте графики зависимостей v x (t ) , x(t ) , v y (t ) , y(t ) , v(t ) и y(x) . 12. Сдайте работу преподавателю.

45

Список использованных источников 1. http://www.ptc.ru.com/engineering-math-software/mathcad 2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad 3. Гурский, Д.А. Вычисления в Mathcad / Д.А. Гурский – Минск.: Новое знание, 2003. – 814с. 4. Информатика : методическое пособие к лабораторным работам для студентов машиностроительных специальностей : в 4 ч. / П. П. Анципорович [и др.]. – 2е изд., испр. и доп. – Минск : БНТУ, 2007. – Ч. 1 : Алгоритмизация инженерных задач. – 56 с. 5. Макаров, Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad 15 / Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2011. – 402 с. 6. Очков, В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В.Ф. Очков. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007. – 356 с.

46