Lógica general

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Luis Piscoya Hermoza es Doctor en Educación y Doctor en Filosofía, grados académicos conferidos por la UNMSM. Asimismo, es Doctor honoris causa por la Universidad de Trujillo y Profesor honorario de la Universidad Ricardo Palma En San Marcos ha ejercido, entre otros, los cargos de Director de la Escuela de Postgrado Jefe del ex Departamento Académico de Humanidades y Director de la revista Letras. Actualmente es Profesor Principal en los programas de Maestría en Epistemología y en el Doctorado en Filosofía, donde dirige seminarios como el de Lógica Matemática y Epistemología de las ciencias naturales y formales. Profesor investigador visitante del Instituto de Filosofía, Epistemología y Lógica de la Universidad de Ludwig Maximiliam de Múnich (1999-2000), del Departamento de Filosofía de la Universidad de Dortmund (1992), Alemania, y del Departamento de Filosofía de la Universidad de Castellón (1997), España, entre otras. Hizo estudios de Postgrado en la Universidad de Kansas en la Universidad de Stanford, California, y en la Universidad de Chile. Entre sus libros mencionamos: Investigación científica y educacional, Metapedagogía, Tópicos en Epistemología, Lógica general, Filosofía y Lógica para Educación Secundaria, Filosofía para el Bachillerato peruano, Filosofía: guía del profesor y Perfil de la formación docente en el Perú. Actualmente es Consultor del Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe de la UNESCO y miembro del Consejo Nacional para la Educación.

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Luis Piscoya Hermoza

Ediciones del Vicerrectorado Académico UNMSM

Luis Piscoya Hermoza es Doctor en Educación y Doctor en Filosofía, grados académicos conferidos por la UNMSM. Asimismo, es Doctor honoris causa por la Universidad de Trujillo y Profesor honorario de la Universidad Ricardo Palma En San Marcos ha ejercido, entre otros, los cargos de Director de la Escuela de Postgrado Jefe del ex Departamento Académico de Humanidades y Director de la revista Letras. Actualmente es Profesor Principal en los programas de Maestría en Epistemología y en el Doctorado en Filosofía, donde dirige seminarios como el de Lógica Matemática y Epistemología de las ciencias naturales y formales. Profesor investigador visitante del Instituto de Filosofía, Epistemología y Lógica de la Universidad de Ludwig Maximiliam de Múnich (1999-2000), del Departamento de Filosofía de la Universidad de Dortmund (1992), Alemania, y del Departamento de Filosofía de la Universidad de Castellón (1997), España, entre otras. Hizo estudios de Postgrado en la Universidad de Kansas en la Universidad de Stanford, California, y en la Universidad de Chile. Entre sus libros mencionamos: Investigación científica y educacional, Metapedagogía, Tópicos en Epistemología, Lógica general, Filosofía y Lógica para Educación Secundaria, Filosofía para el Bachillerato peruano, Filosofía: guía del profesor y Perfil de la formación docente en el Perú. Actualmente es Consultor del Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe de la UNESCO y miembro del Consejo Nacional para la Educación.

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Luis Piscoya Hermoza

Ediciones del Vicerrectorado Académico UNMSM

Luis Piscoya Hermoza

Lógica

general

Ediciones del Vicerrectorado Académico UNMSM

ISBN: 9972-46-374-7

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.°: 2007-13522 Primera edición: Lima, 1997 Segunda edición: Lima, 2001 Tercera edición: Lima, diciembre de 2007 © Luis Piscoya Hermoza © Fondo Editorial de la UNMSM Tiraje: 500 ejemplares

La universidad es lo que publica Carátula: Derechos reservados

C e n tr o de P r o d u c c ió n F o n d o E d it o r ia l U n iv e r s id a d N a c i o n a l M a y o r d e S a n M a r c o s

Calle Germán Amézaga s /n Pabellón de la Biblioteca Central 4." piso - Ciudad Universitaria, Lima-Perú Correo electrónico: [email protected] Página web: http://www.unmsm.edu.pe/fondoeditorial/ Director / José Carlos Bailón Vargas — P r o d u c c ió n —

Editor / Odín R. Del Pozo O. Diagramador / Gino Becerra Flores — V e n t a s y D is t r ib u c ió n —

Adolfo Franklin Winkelried Salazar 619-7000 (anexo 7530) — A d m in is t r a c ió n —

Erminia Pérez Vásquez Telefax: 619-7000 (anexo 7529) — D if u s ió n —

Miriam Castro Castañeda 619-7000 (anexo 7529)

Impreso en Lima-Perú Queda prohibida la reproducción total o pardal sin permiso escrito de la casa editora.

Contenido

Reconocimientos

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Introducción

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Metodología

23 I PROPOSICIONES

CUESTIONARIO 1: Proposiciones LECCIÓN 1. Proposiciones 1.1. Definición 1.2. No son proposiciones 1.3. Proposiciones elípticas y descripciones definidas 1.4. Metalenguaje y lenguaje objeto

29 31 31 33 34 34

II EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUESTIONARIO 2: El lenguaje de la lógica proposicional LECCIÓN 2. El lenguaje de la lógica proposicional 2.1. El lenguaje de PM 2.2. La conjunción 2.3. Tablas de verdad 2.4. Conjunción lógica vs conjunción en el lenguaje natural.

39 41 41 42 44 47

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III D IS Y U N C IÓ N Y N E G A C IÓ N

CUESTIONARIO 3: Disyunción y negación LECCIÓN 3. Disyunción y Negación 3.1. Las disyunciones inclusiva y exclusiva 3.2. La negación 3.3. Negación de una conjunción y de una disyunción 3.4. Doble negación

51 53 53 55 57 59

IV EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN CUESTIONARIO 4: El condicional y la implicación LECCIÓN 4. El condicional y la implicación 4.1. Delimitación conceptual 4.2. El condicional

63 65 65 66

4.3. Condicional contrafáctico 4.4. Relación de atingencia 4.5. Condicional vs. Lenguaje Natural 4.6. Implicación 4.7. Implicación estricta 4.8. Condición necesaria vs condición suficiente

67 69 69 70 71 71

V BICONDICIONAL, FUNCIONES DE VERDAD Y EQUIVALENCIA CUESTIONARIO 5: Bicondicional, funciones de verdad y equivalencia LECCIÓN 5. Bicondicional, funciones de verdad y equivalencia 5.1. El bicondicional

77 79 79

5.2. Las conectivas como funciones de verdad 5.3. Dominio y rango

80 82

5.4. Proposiciones atómicas y moleculares

83

8

5.5. Proposiciones lógicamente equivalentes 5.6. Traducción de la proposición bicondicional a una conjunción de dos condicionales. 5.7. Bicondicional y definición

84 85 86

VI JERARQUÍA DE LAS FÓRMULAS DEL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUESTIONARIO 6: Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional LECCION 6. Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional 6.1. Lenguaje natural versus lenguaje formalizado 6.2. Reglas de formación de fórmulas 6.3. La jerarquía en el lenguaje PM 6.5. Ocurrencias de una variable proposicional 6.6. Reglas auxiliares sobre jerarquía 6.7. Los puntos como signos de jerarquía 6.8. Tabla de verdad de las proposiciones con más de dos variables

91 93 93 94 95 98 99 101 102

VII TAUTOLOGÍA, PRINCIPIOS LÓGICOS Y VALIDEZ Cuestionario 7: Tautologías principios lógicos y validez Lección 7. Tautologías, principios lógicos y validez 7.1. Fórmulas tautológicas, consistentes y contradictorias 7.2. Fórmulas tautológicas vs. proposiciones tautológicas 7.3. Limitaciones en la transformación de proposiciones tautológicas 7.4. Los principios lógicos clásicos 7.5. La validez lógica 7.6. Tautologías vs. fórmula lógicamente válida 7.7. Tautología vs. contenido informativo

107 111 111 111 113 114 116 117 118

9

VIII F O R M A L IZ A C IÓ N

Cuestionario 8: Formalización 123 Lección 8. Formalización 127 8.1. Formalización mediante un lenguaje proposicional 127 8.2. ¿Qué significa 'postular la verdad de una proposición? 129 8.3. Inferencia 130 8.4. Formulación y análisis de la validez de argumentos mediante el lenguaje de la lógica proposicional 131 8.5. Formalización y validez de argumentos complejos 134 8.6. Formas conocidas de argumento 136 8.7. Método indirecto 138 8.8. Reglas adicionales de abreviación 142 IX DEDUCCIÓN NATURAL Cuestionario 9: Deducción natural Lección 9. Deducción Natural 9.1. La deducción de Gentzen 9.2. Transferencia de la verdad 9,3* Deducción e implicación 9.4. Esquemas de fórmulas 9.5. Reglas de deducción natural para un lenguaje proposicional 9.6. Aplicación de las reglas RDN 9.7. Las RDN no constituyen un algoritmo 9.8. Prueba condicional 9.9. Demostración por reducción al absurdo

147 153 153 153 154 155 156 158 160 161 163

X SIMPLIFICACIÓN DEL LENGUAJE PROPOSICIONAL PM CUESTIONARIO 10: Simplificación del lenguaje proposicional PM

10

167

LECCIÓN 10. Simplificación del lenguaje proposicional PM 10.1. Las 16 funciones de verdad posibles 10.2. Lenguaje de Nicod 10.3. Algoritmo de Traducción de Post 10.4. Traducción algorítmica al lenguaje de Nicod 10.5. El Ideal de Simplicidad 10.6. La Navaja de Occam 10.7. Traducción del sistema Hilbert-Ackerman 10.8. Lenguaje de Nicod y Tecnología

169 169 170 171 173 177 178 180 181

XI BASES LÓGICAS DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL CUESTIONARIO 11: Bases lógicas de la inteligencia artificial 185 LECCIÓN 11. Bases lógicas de la inteligencia artificial 187 11.1. Sistemas expertos y robots 187 11.2. Hardware y Software 188 11.4. Diseño de circuitos eléctricos para computadoras 190 11.5. Circuitos lógicos a compuertas 195 11.6. Circuitos lógicos a compuertas para fórmulas negadas 200 11.7. Compuertas NAND y ÑOR 201 11.8. Tablas de verdad vs. tablas aritméticas 202 XII LÓGICA CLÁSICA CUESTIONARIO 12: Lógica clásica LECCIÓN 12. Lógica clásica 12.1 Criterio de demarcación 12.2 El silogismo clásico 12.3 Las cuatro proposiciones predicativo - categóricas clásicas 12.4 El cuadro de Boecio 12.5 Modos y Figuras silogistas 12.6 Tipos de generalidad 12.7 Los nombres propios

207 209 209 211 215 216 218 219 221

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xm DIAGRAMAS DE VENN CUESTIONARIO 13: Los diagramas de Venn LECCIÓN 13. Los diagramas de Venn 13.1 El método de los diagramas de Venn 13.2 Aplicación de los diagramas de Venn a la decisión de la validez de silogismos. 13.3 Silogismo en los que se establecen condiciones necesarias 13.4 Inferencias inmediatas 13.5 Falacias Lógicas y Retóricas

225 235 235 241 248 249 250

XIV EL LENGUAJE PREDICATIVO CUESTIONARIO 14: EL LENGUAJE PREDICATIVO PMP LECCIÓN 14. Un lenguaje predicativo PMP

255 257

14.1 Predicados lógicos 257 14.2 Proposiciones en el lenguaje PMP 259 14.3 Términos y fórmulas 260 14.4 Cuantifícadores 261 14.5 Fórmulas cerradas 262 14.6 Alcance de un cuantificador 263 14.7 Forma normal prenex 264 14.8 Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje PMP 266 14.9 Formalización de proposiciones con predicados de grado 2 267 14.10 Reglas de equivalencia entre cuantifícadores 268 14.11 Reglas de eliminación y reintroducción de cuantifícadores 269 14.12 Aplicación de las reglas RDNP a la deducción silogística 272 14.13 Deducción con predicados relaciónales 273 14.14 Mecanismo de refutación de hipótesis 275

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XV L A IN D U C C IÓ N C L Á S IC A

Cuestionario 15: La inducción clásica LECCION 15. La inducción clásica 15.1 La inducción como inferencia amplificadora 15.2 El fundamento del silogismo 15.3 Las seudoinducciones 15.4 El principio de uniformidad de la naturaleza 15.5 Premisas mayor de un silogismo inductivo 15.6 Leyes de la naturaleza y sistema axiomático 15.7 La ley de la causalidad 15.8 Aspectos de la causalidad 15.9 Los métodos de Stuart Mili 15.10 La deducción 15.11 Resultados de la inducción clásica

279 281 282 283 284 286 287 288 289 290 292 299 300

XVI RESEÑA HISTÓRICA DE LA LÓGICA CUESTIONARIO 16: Reseña histórica de la lógica LECCION 16. Reseña histórica de la lógica 16.1 Aristóteles y los orígenes de la lógica 16.2 Los precursores de la Lógica matemática 16.3 La lógica matemática contemporánea 16.4 La lógica matemática en América Latina 16.5 La lógica matemática y otras «lógicas»

305 307 307 309 310 313 313

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

315

Glosario

317

SOLUCIONARIO

329

ACTIVIDAD: MAPAS CONCEPTUALES

354

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Reconocimientos

Deseo expresar mi gratitud a las siguientes personas: A mi amigo el pro­ fesor Isaac Canales Quevedo por haberme invitado a escribir un libro de Lógica que satisfaga las necesidades deformación humanística e instnimental requeridas por una adecuada educación universitaria, a la pro­ fesara Julia Rubio Calderón que ha coordinado con dedicación y eficien­ cia al equipo de correctores y digitadores de este texto, a la señorita Li­ lia Pizarro y al señor Oliver Oscco que han tenido la gentileza de elabo­ rar la primera versión del solucionario, al señor Cristóbal Suárez por haberme ayudado a un mejor tratamiento pedagógico del texto propo­ niendo la redacción de los objetivos de las lecciones y diseñando los ma­ pas conceptuales. Al profesor Alberto Vásquez Tasayco que leyó la pri­ mera versión y sugirió algunos cambios terminológicos A la señorita Victoria Santisteban y al señor Femando Varas que han hecho la com­ posición de texto, en diferentes etapas, con la paciencia y el cuidado que impone la edición de un libro que contiene muchos signos especiales. A la señorita Carla Piscoya Salinas que ha corregido, sin concesiones, las tres primeras pruebas de página a las que se ha sometido el cuerpo de este texto. No me hubiera sido posible elaborar este manual, en la forma final que tiene, sin el esfuerzo, la inteligencia y la generosidad de este equipo sanmarquino de trabajo. Sin embargo, debo enfatizar que los erro­ res que el lector encuentre son de mi estricta responsabilidad. Ciudad Universitaria de San Marcos, octubre de 2001. El autor

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Introducción

Iniciaremos este texto examinando algunas creencias generaliza­ das que usualmente se tiene sobre lo que es o debería ser la lógi­ ca. Ellas han merecido nuestra atención porque son desorientadoras aunque, presumiblemente, sean parte de nuestras tradicio­ nes culturales. «La lógica es una y sólo una» Normalmente se cree que existe una única manera de pensar lógicamente que correspondería a la estructura profunda de la mente, de la razón o del cerebro, según sea el caso. Esto conduce a suponer que la Lógica se descubre de manera análoga a como se habría descubierto la estructura de la célula o del átomo. Por tan­ to, la Lógica existiría ya hecha en algún lugar y la tarea del profesor —ya sea a través de las clases o de un libro— consistiría en ense­ ñarnos a descubrirla. Sin embargo, el desarrollo no sólo de la ló­ gica sino de lo que actualmente se conoce como ciencias cognitivas, nos conduce a pensar que lo anterior es un error. En efecto, en sentido estricto no existe, dentro de la comunidad científica y filo só fic a , la L ó g ic a como una unidad sino un conjunto diversificado de sistemas lógicos o, en términos más descripti­ vos, de lenguajes lógicos que no siempre son equivalentes en­ tre sí. Y es de esta manera, porque todos los investigadores nota­ bles lo que han hecho es crear lenguajes lógicos, que pueden ser utilizados como reglas, para analizar la corrección de los argu­ mentos científicos y de los que se usan en la comunicación coti­

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diana. Por ejemplo, uno es el lenguaje lógico creado por Aristóteles, y otros notablemente distintos entre sí los creados por Russell y Whitehead, por Brouwer y Heyting, y por Vasiliev entre otros. De lo anterior se deduce que lo que se enseña propiamente en las universidades y en otros centros educativos no es propiamente la Lógica sino un determinado lenguaje lógico, presuntamente el más difundido o más usual dentro de nuestros medios académicos.

«La lógica permite establecer verdades fundamentales» Con frecuencia se acude a la Lógica cuando se quiere probar que ciertos puntos de partida o afirmaciones básicas son clara­ mente verdaderos a la luz de los hechos o de nuestra experiencia. Este afán es infructuoso porque los lenguajes lógicos —vale de­ cir, la lógica— no están diseñados para probar la verdad de una afirmación básica que constituye el punto de partida de una argumentación científica, filosófica o cotidiana. La lógica está diseñada estrictamente para transferir o transmitir la verdad de unas afirmaciones a otras una vez que ésta ya ha sido estableci­ da, por medios no lógicos. Haciendo una analogía con el compu­ tador, que hoy es parte de la vida diaria, podemos afirmar que la lógica debe ser entendida como un conjunto de comandos para transferir la verdad pero no para producirla.

«La lógica es difícil a causa de los signos que utiliza» En la medida que los cursos de lógica introducen al estudiante en el manejo de lo que se denomina un lenguaje formalizado, cu­ yos componentes se han tomado básicamente del lenguaje mate­ mático, se cree usualmente que en el carácter «poco natural» o «artificial» de estos signos radica la dificultad en el aprendizaje de la lógica. Ello se debería a que se trata de un sistema de signos muy alejado de la claridad y naturalidad que se experimenta cuan­ do se usa el lenguaje cotidiano. Empero, en lo fundamental el aprendizaje de la lógica con­ siste, como siempre que se aprende una ciencia, en el aprendiza­ je de un sistema de conceptos y los signos especiales sólo cons­ tituyen un medio para expresar con precisión tales conceptos. Por tanto, la dificultad se produce cuando se olvida los conceptos y se produce una enseñanza mecanicista que convierte la clase de

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lógica en un ejercicio que consiste en transformar unas manchas de tinta en otras manchas de tinta sin que se comprenda el senti­ do del simbolismo y el tipo de problemas que soluciona. Como se deduce, el mismo riesgo corre la enseñanza de la matemática. «De afirmaciones falsas se deduce lógicamente sólo falsedades» Es común encontrar que personas, incluyendo muchas de las que han aprobado un curso de lógica, crean que ésta garantiza que si partimos de afirmaciones falsas llegaremos a conclusiones igualmente falsas. Se puede dar muchos ejemplos para probar lo contrario, como lo haremos en la sección correspondiente, pero el argumento principal para poner en evidencia este error consiste en precisar que los lenguajes lógicos son diseñados estrictamen­ te sólo para transmitir la verdad y, por tanto, no brindan ningu­ na garantía cuando las afirmaciones de partida son falsas. Por tanto, hacer deducciones desde premisas falsas constituye un mal uso de un sistema lógico y posibilita obtener cualquier con­ clusión, inclusive una verdadera. Lo anterior hace comprensible que los científicos sólo acudan al uso de un sistema lógico cuando consideran que cuentan con al menos un punto de partida que sus investigaciones prueban que es verdadero. "Conclusiones verdaderas presuponen premisas verdaderas" Esta es la creencia errónea complementaria o recíproca res­ pecto de la anterior. Parece tener analogía con la expresión que sugiere que si los frutos son buenos la planta también debe ser buena. Sin embargo, es importante señalar que la lógica no esta­ blece relaciones de causa a efecto o de efecto a causa sino rela­ ciones de deducción, implicación o de consecuencia que son de otra naturaleza, pues no está prohibido por las reglas de los sis­ temas lógicos en uso que la conclusión sea verdadera y las premisas, sin embargo, falsas. En breve, la verdad de la conclu­ sión no asegura la verdad de las premisas o puntos de partida. Lo que sí es correcto afirmar es que si la conclusión es falsa, en­ tonces al menos una de las premisas es falsa. Por ello se ha dicho que la lógica es la ciencia que transmite la verdad y retrotransmite la falsedad.

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"La lógica formal es un saber abstracto e inútil" Existe entre los planificadores y diseñadores de los currículos de los distintos niveles de nuestro sistema educativo, con alguna frecuencia, la creencia de que la lógica formal es una disciplina que consiste en la capacidad para manejar fórmulas, parecidas a las de la matemática, pero que carecen de aplicaciones importan­ tes y que no ayudan a mejorar sensiblemente ni el razonamiento cotidiano ni el razonamiento científico. Por el contrario, se cree que existen recursos retóricos que no requieren del usuario el manejo de fórmulas pero que son muy útiles para construir argu­ mentos que convencen o persuaden con eficiencia al interlocutor. Según los cultores de esta creencia, lo que debería incluirse en los currículos para mejorar la capacidad argumentativa de los alum­ nos es elementos de retórica o alguna forma de lógica intuitiva que no exija el manejo de fórmulas. Respecto del prejuicio antes descrito podemos afirmar, sin riesgo de inexactitud, que dentro de la comunidad académica in­ ternacional todos los sistemas lógicos científicamente reconoci­ dos son estructuras simbólicas que están constituidas por conjun­ tos de fórmulas sometidas a reglas precisas de transformación y deducción. En breve, dentro del ámbito de la ciencia y de la tec­ nología lo único que existe, desde hace algo más de un siglo, para decidir la validez de los argumentos y de las pruebas son los sis­ temas de lógica matemática denominados genéricamente lógica formal. Asimismo, dichos sistemas, creados inicialmente por George Boole y desarrollados posteriormente con diversidad, profundi­ dad y complejidad crecientes, se han convertido en el sector del conocimiento teórico que ha dado lugar a las más impresionantes y eficientes aplicaciones tecnológicas durante los últimos sesenta años. A ello debe añadirse sus aplicaciones en la matemática, en el análisis, construcción y reconstrucción de teorías científicas, en el diseño experimental de simuladores de las funciones del cere­ bro y de la mente y en el conocimiento metodológico, por men­ cionar sólo algunos ejemplos. Refiriéndonos a las aplicaciones tecnológicas, es suficiente1 destacar que tanto la arquitectura del computador electrónico

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como los lenguajes de autómata son subproductos de las investi­ gaciones en lógica-matemática realizadas alrededor de 1935 por A. Church, S. Kleene, A. Turing y C. Shannon, entre otros. Asi­ mismo, los circuitos de todo computador electrónico, hasta la fe­ cha, están gobernados por las ecuaciones del álgebra de Boole que es anterior a 1850. Es innecesario abundar aquí en datos para mostrar cómo la tecnología digital, la robótica y la informática han transformado, entre otros campos, las comunicaciones, la pro­ ducción industrial y la medicina. En relación con las aplicaciones al desarrollo mismo de la ciencia, es relevante para los educado­ res reparar en el hecho, por citar sólo un ejemplo, de que las in­ vestigaciones psicológicas de Piaget en el campo del desarrollo conceptual humano son prácticamente ininteligibles para un lec­ tor que carece de conocimientos de lógica proposicional y de la estructura algebraica de grupo. Finalmente, pretender que la lógica puede ser sustituida por la retórica o por la teoría de la argumentación equivale a perder de vista el sentido de la filosofía y de la ciencia en su conjunto. El conocimiento científico y filosófico que utiliza la lógica como ins­ trumento de análisis y de prueba no se propone la persuasión o el convencimiento de un auditorio sino el establecimiento de un sa­ ber verdadero. Históricamente, el convencimiento o persuasión de un auditorio, con mucha frecuencia, no ha requerido de argu­ mentos lógicos estrictos sino de imágenes o figuras que interesen o agraden al interlocutor. Ello permite entender por qué durante casi quince siglos de nuestra era las mayorías representadas por los intelectuales oficiales pensaban y sostenían que la tierra era plana y que no se movía. De esta manera hemos aportado argu­ mentos suficientes para permitirnos advertir que lo que se pre­ tende como sustituto útil de la lógica ha sido históricamente un obstáculo para el desarrollo de la ciencia y para la búsqueda de la verdad.

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Metodología

La forma como está estructurado este texto parte de algunas te­ sis metodológicas que se fundan en lo que consideramos más pro­ ductivo para justificar la enseñanza de la lógica en los currículos universitarios. La estrategia didáctica aquí propuesta es conoci­ da en los medios pedagógicos como enseñanza por solución de problemas. 1.

2.

La enseñanza de la lógica, como disciplina científica, debe tomar en consideración que los estudiantes ingresan al cur­ so con una habilidad intuitiva para resolver correctamente algunos problemas lógicos. Consecuentemente, el éxito de la enseñanza de esta disciplina debe medirse por el incre­ mento de la capacidad de los estudiantes para compren­ der y solucionar problemas que antes de tomar el curso ex­ cedían sus posibilidades. La información que se proporciona en el texto de un curso de lógica debe tener como referencia precisa el tipo de pro­ blemas relevantes que permite resolver al usuario. Conse­ cuentemente, parece más productivo que la enseñanza esté organizada de tal manera que se parta de los problemas a la información y no viceversa. De esta suerte, el aprendi­ zaje se convierte en un proceso de investigación en el que el estudiante se enfrenta primero con problemas que debe examinar con atención y luego busca la información que, en función de sus necesidades, requiere para resolverlos

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3.

4.

5.

24

correctamente. En breve, consideramos que el orden más adecuado es el inverso al usado tradicionalmente en los manuales que proporcionan primero información y luego ejercicios. Teóricamente, si un alumno estuviera en condi­ ciones de resolver los problemas propuestos sin leer el tex­ to, entonces debería ser exonerado del curso y tomar uno más avanzado. Las consideraciones anteriores explican por qué en este tex­ to comenzamos las lecciones con un cuestionario de pro­ blemas o interrogantes y, luego, proporcionamos la infor­ mación necesaria para su solución. Pretendemos así que el método de enseñanza reproduzca, en lo que es posible, las inquietudes propias del método de investigación cien­ tífica, cuya dinámica depende de la profundidad e intensi­ dad con que el investigador percibe los problemas. * Las fronteras entre lógica y matemática son tan difusas como discutibles. Hay especialistas que consideran a la ló­ gica como parte de la matemática y otros que sostienen la tesis inversa. Sin tomar partido en esta discusión, en este manual no se abordará elementos de teoría de las clases o de los conjuntos porque actualmente ya se cuenta con tex­ tos especializados en lengua castellana. Asimismo, la formalización axiomática de la teoría de los conjuntos ex­ cede el nivel elemental de este libro. El sentido de este curso de lógica es formativo e instrumen­ tal. Desde el punto de vista formativo, se pretende ejerci­ tar funciones mentales como el conceptualizar, deducir, ar­ gumentar y contraargumentar. Desde el punto de vista ins­ trumental, se propone entrenar en el manejo de una frac­ ción de un lenguaje standard de primer orden que puede ser usada como herramienta, principalmente, en el ámbito del análisis de la ciencia y de su metodología de investiga- 1 ción. Por ello, concedemos un lugar importante al manejo de variables predicativas y cuantificadores, que posibilitan el análisis de relaciones que usualmente escapan al alcan­ ce de la mayor parte de los manuales en uso, aún de los buenos.

6.

7.

8.

Existe la creencia infundada pero difundida de que las co­ nocidas como falacias retóricas son parte de la lógica. Des­ de el punto de vista de los sistemas lógicos en uso, diseña­ dos principalmente para el análisis de argumentos cientí­ ficos, estas falacias carecen de relevancia porque es claro que su objetivo es la persuasión apelando a los sentimien­ tos y no la prueba de la verdad de una afirmación. Sin em­ bargo, como el uso de tales falacias es frecuente, particu­ larmente en el discurso político que no raras veces, preten­ de hacerse pasar por riguroso, hemos considerado alguna de ellas en vista de que los estudiantes tendrán poca opor­ tunidad de abordar este tema en otro curso. Asimismo, como ciertamente existen falacias propiamente lógicas, he­ mos incluido una sección especial (13.5) para abordar el asunto de manera elemental. Consideramos fundamental, desde el punto de vista formativo, que el estudiante logre una comprensión básica de la evolución histórica de los conceptos científicos. Ello permite apreciar la medida en que el pasado condiciona el presen­ te y el futuro. Empero, ¿cómo podría comprenderse ade­ cuadamente la evolución de conceptos que, presumi­ blemente, se ignora casi totalmente? La respuesta la hemos dado situando la parte histórica al final de nuestro texto, esto es, en la fase en la que el estudiante ha tenido ya con­ tacto con los conceptos cuya evolución nuestra breve re­ seña histórica pretende hacer inteligible. P a ra a p ro b a r el cu rso d el P ro g ra m a L E M M n o es in ­ d is p e n s a b le q u e e l a lu m n o c o n o z c a la s le c c io n e s 9 , 1 0 , 1 4 y 1 5 . E lla s e s tá n re s e r v a d a s p a ra q u ie n e s d e s e e n u n a a lta c a lific a c ió n . E n e s te c a s o , lo s in te r e s a d o s s o lic ita ­ r á n a lo s tu to re s d e l P ro g ra m a , la e v a lu a c ió n a d ic io n a l c o rre s p o n d ie n te .

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I PROPOSICIONES

Objetivos: • Identificar proposiciones y distinguirlas de las expresiones no proposicionales • Reconocer las proposiciones elípticas como proposiciones abreviadas. • Distinguir las descripciones definidas de las proposiciones. • Distinguir el lenguaje objetivo del metalenguaje.

CUESTIONARIO 1: Proposiciones Instrucciones.I. Entre las siguientes expresiones unas son proposiciones y otras no. Escriba sobre la línea que se encuentra frente a cada expre­ sión la palabra Sí en caso de que ésta sea proposición y la pala­ bra N o , en caso contrario. Para orientar adecuadamente su res­ puesta, estudie cuidadosamente el contenido de la lección 1. 1. El manco de Lepanto.,

2 2 . Existe a lo más un gato.

2 . El m anco es de Lepanto.

2 3 . «La noche está estrellada y tiritan

3 . E l cuadrado de dos.____

azules los astros a lo lejo s» ._____

4. ¡Eureka!________________

2 4 . E l dios de los Incas.

5. E l hijo de U lises.

2 5 . La B iblia es la palabra de Dios.

6. El teorema de Pitágoras.

2 6 . «¡Am ado sea el niño, que cae y aun

7. No matarás a tu prójimo.

llora, y el hombre que ha caído y ya

8. El quinto dice no matarás.

no llora!».

9. L a m ujer del César.______

2 7 . D os más dos son cinco.

10.

2 8 . El río que cruza P a rís._

L a m ujer del C ésar

2 9 . El río es caudaloso.

debe ser honesta.

3 0 . E s el hijo de Héctor.

11. L a mujer del C ésar

3 1 . ¿E s el h ijo de Héctor?_

fue honesta. 12. Cóm prame una novela..

3 2 . El h ijo de H éctor y Luisa.

13. El teorema es de Pitágoras.,

33. a

14. L a espada de D am ocles.___

3 4 . L a s Olimpiadas de Atenas._

15. E l solitario de Sayán.______

35. Las Olimpiadas fueron en Atenas._

16. E l culpable de la crisis.

3 6 . ¡O jalá me am aras!_____________

17. L isto s... ¡Fuego!______

3 7 . Hay un universo sin objetos.,

18. ¡Fuego!______________

3 8 . ‘ G ato’ es un animal.

19. Tres al cubo.

39 . ‘ C arla’ es bisilábica.

2 0 . T res no es cúbico.

4 0 . ‘2 x 3 = 6 ’ es el nombre

2

es siempre par._______

de 2 x 3 = 6

2 1 . O jalá hubiera m arcianos.

4 1 . ‘P erro’ es un mamífero

[29]

LECCIÓN 1 Proposiciones

1.1. Definición A continuación escribiremos un conjunto de afirmaciones con las que está familiarizado todo estudiante que ha concluido secundaria. a . El lapicero es rojo. b. El protón tiene carga positiva c . El teorema de Tales está demostrado en los Eletnentos d. Todo número entero positivo elevado a la potencia cero es igual a uno. e. 2 + 5 = 5 + 2 f. El sol es una estrella fija. g . La tierra no se mueve. h. Existe al menos un círculo con área equivalente a tin cuadrado.

Es sencillo constatar que estas afirmaciones pertenecen a cam­ pos distintos. La primera, por ejemplo, a la vida cotidiana de cual­ quier escolar. Las otras, a la matemática, a la física, etc. Asimis­ mo, todas ellas están expresadas en un lenguaje determinado que en este caso es el español, con excepción de la quinta que está expresada en lo que llamaremos l e n g u a j e m a t e m á t i c o . La afir­ mación 2+5=5+2 puede figurar de la misma manera en un libro en inglés, francés o cualquier otro idioma ya que es una expresión matemática que es parte de un lenguaje distinto a los indicados y que se usa intemacionalmente. Además, debido a que las afirma-

[31]

ciones anteriores están expresadas o formuladas en un lenguaje, todas están constituidas por un conjunto de signos escritos que respetan ciertas reglas. Por ejemplo, la que dice que el verbo copulativo 'ser7 o 'estar' debe estar entre el sujeto y el predicado. Hablando en términos que describen mejor lo que observamos, cada una de las afirmaciones está expresada por una sucesión o secuencia finita de signos, cada uno de los cuales es una letra de nuestro alfabeto. De otra parte, sabemos que algunos de nuestros ejemplos son afirmaciones verdaderas (los cinco primeros) y que otros están constituidos por afirmaciones falsas (los tres últimos). Esto signi­ fica que hay secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas y que hay secuencias finitas de sig­ nos que pueden ser calificadas de falsas. Las secuencias finitas de signos de esta clase nos interesan particularmente en un curso de lógica y se denominan proposiciones. En armonía con esto, pro­ porcionaremos la siguiente definición. Definición 1. Diremos que desde el punto de vista lógico son proposiciones: i) Todas las secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas. ^ ii) Todas las secuenáas finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de falsas. ^

De conformidad con la definición anterior todas las afirma­ ciones que hemos formulado al comenzar esta explicación son proposiciones. Las cinco primeras, por ser consecuencias finitas de signos que podemos calificar de verdaderas, satisfacen la pri­ mera condición de la definición. Las tres últimas, por ser secuen­ cias finitas de signos que podemos calificar de falsas, satisfacen la segunda condición de la definición. Podríam os definir abreviadamente 'proposición' indicando que es toda secuencia finita de signos que con sentido puede ser calificada de verda­ dera o de falsa. Esta definición es correcta a condición de que se entienda que esto no significa que una misma secuencia finita de signos pueda ser verdadera y falsa a la vez. Es importante puntualizar que así como a las personas y a las cosas les asignamos nombres que nos permiten hablar sobre ellas, de la misma manera podemos darle nombres a las proposiciones,

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los mismos, que pueden ser muy breves para ganar simplicidad. De este modo, podemos convenir que en nuestro listado inicial cada una de las letras es el nombre de la proposición a la cual antecede. La primera proposición tiene como nombre a, la segun­ da tiene como nombre b, y así, sucesivamente, hasta llegar a la octava cuyo nombre es h. En adelante, para abreviar, llamaremos a tales proposiciones por su nombre. Hay proposiciones que son oraciones gramaticales como es el caso de todas las de nuestro listado excepto e. Estas oraciones están formuladas en un lenguaje que en nuestra situación concre­ ta es el español, pero bien podría serlo el inglés, el francés, el ale­ mán o cualquier otra lengua que se use en la vida diaria o cotidia­ na. A tales lenguas se les denomina lenguajes naturales o vernáculos, y a las proposiciones que son oraciones dadas en es­ tos lenguajes se les llama proposiciones en lenguaje natural. En cambio, la proposición e está formulada usando signos especiales que no son los que usamos en la comunicación familiar o social sino cuando trabajamos en Matemática. Esta proposición está dada en un lenguaje especializado, el matemático. Y a los análogos a éste les llamaremos lenguajes formalizados, los mismos que no son usados en la comunicación cotidiana sino principalmente en la actividad científica. 1.2. No son p roposiciones En los lenguajes naturales hay oraciones que no son proposiciones. Tal es el caso de las oraciones interrogativas como ¿Qué hora es? u oraciones imperativas, como ¡Vete a dormir! que son ciertamen­ te secuencias finitas de signos pero que no pueden ser calificadas comq verdaderas o como falsas. Lo mismo ocurre con exclamacio­ nes como ¡Gracias a Dios! u ¡Ojalá ganaras! Las oraciones de nues­ tro listado inicial son de naturaleza especial, pues a ellas sí sin di­ ficultad las podemos calificar de verdaderas o de falsas debido a que todas afirman o describen «algo». Cuando ese «algo» es el caso, entonces decimos que son verdaderas y cuando ese «algo» no es el caso, entonces decimos que son falsas. Por esta razón estas ora­ ciones se llaman gramaticalmente aseverativas y podemos decir que toda oración aseverativa es una proposición.

33

Sin embargo, no podemos sostener que toda proposición es una oración aseverativa, pues la proposición e, que está escrita en lenguaje formalizado, no es exactamente una oración aseverativa sino es más propiamente un tipo de fórmula matemática.

1.3. Proposiciones elípticas y descripciones definidas Hay expresiones exclamativas como ¡Oro!, o ¡Fuego!, por citar sólo dos ejemplos, que podrían ser interpretadas como proposiciones en el sentido de que ellas pueden traducirse por 'En mi mina hay oro' y 'Allí hay fuego’, respectivamente. De esta suerte, las anterio­ res exclamaciones resultan proposiciones abreviadas o elípticas. La interpretación anterior en general es correcta y podemos decir que cuando una exclamación puede ser expresada de modo más deta­ llado, mediante una oración aseve-rativa, entonces tal exclamación puede ser considerada una proposición elíptica o abreviada. De otra parte, es importante advertir que hay un cierto tipo de frases que a menudo originan dificultades en los estudiantes que tienden a confundirlas con proposiciones. Por ejemplo, las frases 'El autor del Quijote7, 'El hijo de la Reina Madre', 'El cua­ drado de dos7, y las de su tipo, no son proposiciones porque no aseveran nada. Estas frases se reducen a ser meros artificios para sustituir nombres, pues la primera puede ser sustituida por 'Mi­ guel de Cervantes7, la segunda por 'Luis Miguel7, y la tercera por '47. En efecto, un nombre no es una proposición sino sólo un com­ ponente de ella. Consecuentemente, cuando nos encontramos ante una secuencia finita de signos que puede ser sustituida por un nombre, con toda seguridad tal secuencia no es una proposición y larílamaremos descripción definida. El uso de la palabra 'proposición 7 es muy difundido entre los especialistas, pero algunos prefieren usar palabras como 'enun­ ciado7, 'sentencia7/ oración', etc. para referirse a lo que, en este texto, denotamos con 'proposición'.

1.4. Metalenguaje y lenguaje objeto En la sección 1. hemos dicho que a, b, c, etc. son nombres de pro­ posiciones. Así el nombre de la proposición '2+5=5+27 es e. Esto

34

significa que e no es nombre de lo que se llama un objeto mate­ rial, por ejemplo, una mesa, sino el nombre de una proposición que es una secuencia de signos que denominamos objeto lingüís­ tico. Por esta razón e es un nombre metalingüístico y forma par­ te de un metalenguaje que se define como un lenguaje que se usa para describir otro lenguaje llamado lenguaje objeto. Esta distinción se refiere a dos funciones distintas y no a dos idiomas distintos. Así las afirmaciones que hacemos en este texto sobre las propiedades de las proposiciones son metalingüísticas y las pro­ posiciones mismas que usamos como ejemplos son parte del len­ guaje objeto. Una manera sencilla de construir el nombre de una proposición, que no excluye otras, consiste en escribirla entre co­ millas simples. De este modo '2+5=5+2' es el nombre de 2+5=5+2. La primera expresión pertenece al metalenguaje de este texto y la segunda a su lenguaje objeto. Análogamente se puede construir nombres de nombres, de predicados, etc. Por ejemplo, 'perro 7 es el nombre de la palabra perro y 'audaz7 es el nombre de la pala­ bra audaz. Y no puedo decir que 'perro7 es un animal pero sí qu e 'perro7 es bisilábica, pues en este caso no estoy hablando de un animal sino de la palabra misma. Afirmaciones como 'gato' es un animal son malas construcciones y no se consideran proposicio­ nes sino sin sentidos.

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II EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Objetivos: • Aprender la lógica como la ciencia dedicada a la construcción de lenguajes formales. • Identificar las características de lenguaje standard de PM. • Definir la conjunción como conectiva proposicional. • Reconocer y aplicar el concepto de variable proposicional en la construcción de fórmulas conjuntivas. • Definir las condiciones de verdad de una proposición conjuntiva. • Construir algorítmicamente tablas de valores.

CUESTIONARIO 2: El lenguaje de la lógica proposicional

Instrucciones I. Escriba las proposiciones componentes de las siguientes expre­ siones, reemplace cada proposición componente por una varia­ ble proposicional y luego construya una fórmula conjuntiva. 1. 2. 3. 4.

]uan y Pedro viajarán al Japón, El profesor de historia es amistoso pero estricto. El hijo de Ulises fu e paciente pero no buen arquero. El problema de la cuadratura del círculo ha tenido solución, aunque fue difícil encontrarla. 5. Gustavo tiene dificultades con su investigación, sin embargo perseve­ rará en su empeño. 6 . El número ocho es una potencia par y Lima es una ciudad grande. 7. 2" es una potencia par pero 3nes una potencia impar. 8 . Pedrito predica caridad; sin embargo vive con mucho lujo. 9. Francisco es a la vez juez y parte. 10. Fortunato cobra dinero a pesar de que no trabaja. 11. Sam, el defensor de los torturados, es también empresario. 12. Pan y circo destruyeron a los romanos. 13. Fútbol y circo distraen a las multitudes. 14. La integral de Nezuton era correcta pero la de Riemann era más sencilla.

[39]

II. Señalar cuáles en el siguiente listado son afirmaciones falsas: 1. El signo especial llamado conectiva de conjunción forma parte del len­ guaje natural. 2. Las variables proposicionales son parte de nuestro lenguaje objeto. 3. Como el alfabeto es finito nosotros podemos obtener nuevas variables proposicionales, en caso de necesitarlas, escribiendo la misma letra con diversos subíndices y tendremos p 1........ p 4. El margen de una tabla para una proposición con cuatro variables proposicionales tiene 12 arreglos. 5. La matriz de la conjunción es verdadera para el tercer arreglo. 6. Para que una proposición conjuntiva sea falsa es necesario que sus dos componentes sean falsos. III. Responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo sería la matriz de la conjunción si en lugar de comenzar el margen con un arreglo constituido por dos valores verdade­ ros lo comenzarámos con un par de valores falsos? 2. ¿Cómo se define algoritmo? 3. ¿Son las cuatro operaciones elementales de la aritmética algorítmicas? 4. ¿Por qué la matriz principal de una conjunción de dos variables proposicionales no puede tener dos valores verdaderos? 5. ¿Qué relación hay entre el número de valores que puede tomar una variable y la definición de proposición? 6 . ¿Podemos entender el primer arreglo del margen como un par de proposiciones verdaderas? 7. ¿Quedes lo importante en la tabla de verdad, el valor de las pro­ posiciones o su significado?

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LECCIÓN 2 El lenguaje de la lógica proposicional

2.1. El lenguaje de PM La lógica actual, también denominada Lógica matemática, pue­ de ser definida, en una primera aproximación, como una ciencia dedicada a la construcción de lenguajes especiales, llamados len­ guajes formales o artificiales, adecuados para el análisis de la es­ tructura y contenido de las teorías científicas. Por extensión, los lenguajes lógicos también son muy productivos en el análisis del método de investigación científica y de estructuras argumentati­ vas filosóficas, morales y jurídicas, por citar sólo algunos ejem­ plos. La variante que es necesario enfatizar, desde el inicio, es que cuando un lenguaje lógico se usa para analizar una teoría mate­ mática o física, entonces ocurre que se usa un lenguaje formal para examinar otro lenguaje formal, pero cuando se lo usa en el análi­ sis de una argumentación moral o política, sucede que se usa un lenguaje formal para analizar lo que se llama el lenguaje natural, que es el que se usa en la comunicación cotidiana, por lo que tam­ bién se le llama lenguaje ordinario. Los lenguajes lógicos tienen diferentes usos y niveles de com­ plejidad. A un lenguaje que reúne los requisitos mínimos como para ser adecuado para el análisis de discusiones científicas y fi­ losóficas se lo conoce como un lenguaje de primer orden. Asimis­ mo, hay variantes importantes dentro de los lenguajes de primer orden y en el desarrollo de un curso hay que elegir el que goza de mayor aceptabilidad dentro de la comunidad científica intema-

[41]

cional. Consideramos que el lenguaje de primer orden más ade­ cuado para nuestros objetivos es el que se construye a partir de la obra señera de B. Russell y A. Whitehead, titulada Principia Mathematica, cuya primera edición se publicó en Londres en 1910. Nos referiremos a él con la sigla PM y en lo que sigue de este texto, que es muy elemental, desarrollaremos sólo algunos frag­ mentos de este lenguaje, siendo el primero el que corresponde a lo que se denomina un lenguaje proposicional. Procederemos a explicar la función de una clase especial de térm inos que los lógicos su elen denom inar co n ectiv a s proposicionales porque, en general, cumplen la función de co­ nectar o enlazar a las proposiciones entre sí. En algunos libros de lógica se les denomina conectores; en otros, términos de enlace u operadores proposicionales constantes lógicas. Los autores que los denominan operadores proposicionales desean enfatizar que estos términos además de enlazar proposiciones establecen ope­ raciones entre ellas, que son análogas a cualquier operación ma­ temática. Nosotros hemos preferido usar la denominación conectivas proposicionales porque es la que con mayor frecuen­ cia se usa en los textos de lógica que hay en lengua española. 2.2. La co n ju n ció n Para explicar esta conectiva tomemos como punto de partida las dos siguientes proposiciones: a. Kant fue un notable filósofo b. Gódelfue un lógico checoslovaco. Sobre la base de estas dos proposiciones, enlazándolas me­ diante la partícula 'y' nosotros podemos construir una nueva. De este modo tenemos: c. Kant fue un notable filósofo y Gódel fu e un lógico checoslovaco. Como puede observarse, la proposición c tiene como compo­ nentes a las proposiciones a y b, las mismas que se encuentran ligadas por la partícula 'y', a la cual llamaremos conjunción. Asi­

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mismo, a la nueva proposición c la denominaremos proposición conjuntiva y quien la afirma dice la verdad solamente en el caso que la proposición 'Kant fue un notable filósofo' sea verdadera y la proposición 'Godel fue un lógico checoslovaco' sea verdadera. Vale decir, las dos proposiciones componentes deben ser verda­ deras para que una proposición conjuntiva sea verdadera. Siguiendo el mismo procedimiento nosotros podemos cons­ truir un número ilimitado de proposiciones conjuntivas. Todo lo que necesitamos hacer es elegir pares de proposiciones y luego ligarlas mediante la conectiva 'y'. De esta manera tendremos tan­ tas proposiciones conjuntivas como deseemos y todas ellas ten­ drán en común una forma lógica o estructura que puede ser re­ presentada así

y En este esquema los puntos suspensivos que están hacia la iz­ quierda de la 'Y representan el lugar que ocuparía la primera pro­ posición, y los puntos suspensivos hacia la derecha de la 'Y repre­ sentan el lugar que ocuparía la segunda proposición. Este recurso también nos muestra que para entender la estructura lógica de una proposición conjuntiva, no es indispensable recurrir a ejemplos concretos sino que los puntos suspensivos son suficientes para in­ dicamos que los lugares a la derecha y a la izquierda de la 'y 7 pue­ den ser ocupados por cualquier par de proposiciones. Debido a lo anterior es posible que en lugar de los puntos suspensivos utilicemos las últimas letras de nuestro alfabeto ( p, q, r, s, e tc ) para representar proposiciones sin necesidad de inte­ resamos en especificarlas al detalle. A estas letras se les denomi­ na variables proposicionales por analogía con las variables algebraicas de expresiones tales como ' 2 x + c', en las que la varia­ ble algebraica V representa a cualquier número no especificado. De modo semejante, por ejemplo, la variable proposicional/? re­ presenta a cualquier proposición. En armonía con lo anterior pro­ porcionaremos la siguiente definición: D efinición 2. Son variables proposicionales las le/ras p , q, r, etc., que tienen la Junción de representar a cualquier proposición no especificadas.

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Empleando variables proposicionales, la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva puede ser formulada así: p

y

q

donde la variable proposicional p representa la primera propo­ sición que elijamos y la variable proposicional q representa la segunda. Pero además, para incrementar este nuevo lenguaje que estamos construyendo, podemos reemplazar la 'y' por el signo especial a al que llamaremos conectiva de conjunción y lo tra­ duciremos al castellano por 'y'. De esta manera, utilizando va­ riables proposicionales y el signo a podemos representar, de la siguiente manera la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva. '

'

'

p

a

'

q

La expresión anterior constituye en sentido estricto una fór­ mula lógica que no está dada en idioma español sino en un len­ guaje lógico formalizado que iremos incrementando progresiva­ mente. Debido al nivel elemental de este curso, a la fórmula ante­ rior también la llamaremos proposición conjuntiva sin entrar en otras distinciones propias de niveles más avanzados. El mis­ mo procedimiento será adoptado en adelante en casos similares. El vocabulario lógico introducido anteriormente nos permite ahora dar una definición que establezca las condiciones de ver­ dad de una proposición conjuntiva.

---------f -----------------------------------;------------------------------------------------ v Definición S. Si las variables proposicionales p y q representan cualquier par de proposiciones, luego la proposición conjuntiva de la forma p a q es verdadera solamente en el caso que p sea verdadera y q también sea verdadera. En cualquier otro caso la proposición p a q es falsa.

\________________________________________________________ /

2.3. Tablas de verdad Para determinar cómo funciona la definición anterior en la prác­ tica, es necesario recurrir a un artificio lógico llamado tabla de

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verdad, el cual parece que fue conocido de manera rudimentaria desde la antigüedad. La presentación que hoy día tiene es la que usó el filósofo Ludwig Wittgenstein en su libro Tractatus LogicoPhilosophicus. La tabla de verdad es necesaria debido a que por definición de variable proposicional es posible que p y q repre­ senten en unos casos a proposiciones verdaderas y en otros a pro­ posiciones falsas, lo que nos da varias posibilidades de com­ binar sus valores. Sin embargo, todo lo que puede ocurrir debido a esto es que p sea en unos casos verdadera y en otros casos falsa y lo mismo con q. Consecuentemente, p puede asumir o tomar dos posibles valores (Verdadero - Falso) y la variable q también. Luego, la tabla de verdad debe presentar en orden todas las com­ binaciones posibles de los valores de las variables p y q para lue­ go aplicar la correspondiente definición y establecer la verdad de la proposición conjuntiva. El proceso de construcción de la tabla de verdad puede hacerse siguiendo las siguientes reglas.

2.3.1. Algoritmo para la construcción de tablas de verdad R l. Dibújese una tabla, denominada de doble entrada, como la que sigue, de tal manera que para cada variable proposicional exista una correspondiente columna debajo de ella y los valores que asuma la proposición conjuntiva, por aplicación de la Defi­ nición 3, puedan ser escritos, paralelamente y en corresponden­ cia, con los valores de las variables proposicionales. Al sector de la tabla donde deben estar las columnas de valores de las varia­ bles se les llama margen.

p

q

p

A

q

MARGEN

R2, Escríbase en columnas todas las combinaciones posibles, de los posibles valores de las variables p y q de tal manera que éstos aparezcan ordenados por pares. (Usese para el valor verdadero

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la abreviatura V y para el falso F). A cada uno de dichos pares se le denomina arreglo. El número de valores que van a constituir cada columna se calcula aplicando la fórmula: N.° de valores de cada columna = 2n. En esta fórmula la letra 'n' es una variable numérica cuyo valor depende del número de variables proposi­ cionales que tenga la proposición que vamos a tabular. En nues­ tro caso, dado que nuestra proposición a tabular contiene sola­ mente las variables p y q, entonces n = 2 y, consecuentemente, 2n = 4. El número de arreglos coincide con el número de valo­ res que constituyen cada columna. Efectuado lo dicho en R 2, la tabla queda así:

Primer arreglo Segundo arreglo Tercer arreglo Cuarto arreglo

P

q

V V F F

Y F V F

p

a q

Es recomendable escribir en la primera columna como apa­ rece aquí, la mitad de valores verdaderos y la mitad de valores falsos. En la segunda columna un cuarto de valores verdaderos y un cuarto de valores falsos; en la tercera, cuando hay tres varia­ bles, un octavo y así sucesivamente. Estas sucesivas particiones de las columnas de valores aléticos son siempre posibles debido a que todo número que se obtiene aplicando la fórmula 2 es siem­ pre par.' R$. Inspecciónese cada uno de los arreglos y escríbase deba­ jo de la conectiva de la proposición conjuntiva el valor que les corresponde de acuerdo a lo establecido por la Definición 3. Por ejemplo, en este caso la proposición conjuntiva es verdadera sola­ mente en el primer arreglo, pues es el único en el que se cumple que ambas variables proposicionales son verdaderas, como lo pres­ cribe la Definición 3. En todos los demás arreglos le asignaremos a la proposición conjuntiva el valor falso porque al menos una de las dos variables proposicionales es falsa. Así obtenemos una nue­ va columna de valores que llamaremos matriz de la conjunción. La tabla queda finalmente de esta manera:

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p

q

V V F F

V F V F

p A q

V F F F

MATRIZ DE LA CONJUNCIÓN

Tabla 1 Este proceso de construcción de una tabla de verdad puede parecer largo y tedioso a un principiante. Sin embargo, con muy poca práctica, se encuentra que es muy sencillo y rápido. Lo que ocurre es que la explicación ha sido lo más detallada posible para que queden claros todos los aspectos que deben tenerse en cuen­ ta, para lograr una comprensión lúcida que permita luego cons­ truirla mecánicamente. En efecto, la construcción de una tabla de verdad es un procedimiento mecánico que adecuadamente apli­ cado conduce necesariamente al resultado buscado y a los proce­ dimientos de esta clase se les denomina en lógica algoritmos. Es importante aclarar, antes de seguir adelante, que algunas palabras que en el lenguaje natural no tienen exactamente el mis­ mo uso que 'y', deben ser traducidas al lenguaje lógico por la conectiva de conjunción. Es el caso de palabras como 'pero' 'sin embargo', 'aunque', 'empero', que desde el punto de vista lógico son equivalentes a 'y'. Si asumimos que la variable proposicional p representa a la proposición 'Carlita irá al cine' y que la variable q representa a la proposición 'Carlita no tiene dinero', luego p a cj es la traducción lógica de las siguientes proposiciones: Carlita irá al cine pero no tiene dinero. Carlita irá al cine, sin embargo no tiene dinero. Carlita irá al cine aunque no tenga dinero.

2.4. Conjunción lógica vs conjunción en el lenguaje natural. De otra parte, la conjunción en lógica es conmutativa, mientras que en el lenguaje natural no ocurre siempre así. Por ejemplo, en lenguaje natural la proposición 'Gustavo disparó y mató al vena­ do' tiene distinto sentido que 'Gustavo mató al venado y dispa-

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ró\ La diferencia radica en que la primera sugiere claramente una relación de causalidad que se desvirtúa en la segunda que ya no expresa claramente a qué disparó Gustavo. Sin embargo, la co­ nectiva de conjunción no establece ningún tipo de nexo causal o de orden. En armonía con ello, las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes aunque en el lenguaje natural no sea así:

Luis abrazó a su novia y se fu e a la China. Luis se fu e a la China y abrazó a su novia.

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III DISYUNCIÓN Y NEGACIÓN

Objetivos: • D efinir la disyunción y la negación como conectivas proposicionales. • Esclarecer el carácter inclusivo y exclusivo de la disyunción. • Diferenciar entre la negación de una variable proporcional y la negación de una conectiva u operador de conjunción y de disyunción • Definir las condiciones de verdad de la disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y de la negación • Expresar en el lenguaje lógico las proposiciones disyuntivas y negativas del lenguaje natural. • Distinguir los usos de la doble negación en el lenguaje formal y en el lenguaje natural.

CUESTIONARIO 3: Disyunción y Negación

Instrucciones I. Usando el lenguaje lógico expresar las siguientes proposiciones, distinguiendo las disyunciones inclusivas de las exclusivas: 1 .Jaime es pimponista o tenista. I.Este polígono es un triángulo o un cuadrado. 3. Volverás con el escudo o sobre el escudo. 4. Se presentarán al Jurado los que tengan libreta electoral o sean mayo­ res de 18 años. 5. Ingresarán a la Escuela Politécnica los que aprueben el examen de ingreso o los que estén exonerados de él. 6. El soldado sobrevivirá o perecerá en combate. 7. El libro es voluminoso o interesante. 8. Borges es cuentista o novelista. 9 .0 aceptas el aumento o vas a la cárcel. 10. Recibirás el dinero o la casa pero no ambas cosas. I I . Perico es alto o bajo. 12. Perico es alto o María es estudiosa. 13. César conquista las Galias o Cleopatra no es reina de Egipto. 14. Perico no es piadoso o Jaime no es belicoso. 15. Perico nunca ganará el premio o será feliz. 11. Usando el lenguaje lógico expresar las siguientes proposicio­ nes (no debe usarse la disyunción exclusiva):

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1. No es el caso que seis sea impar o que existan agujeros negros en el cosmos. 2. No es el caso que seis sea impar, o que existan gatos. 3. No es el caso que el acusado sea inocente y que sea sentenciado. 4. No es el caso que un número sea divisible entre dos y que no sea par. 5. No es el caso que una persona obligatoriamente sea atea o inmoral 6 . Es el caso que Lina es estudiosa o no es aplicada. 7. No es el caso que no te diviertas o seas infeliz. 8. No tengo nada o soy muy rico. III. Indicar cuáles en el siguiente listado son afirmaciones falsas: 1. La matriz de la disyunción exclusiva tiene más valores verdaderos que la matriz de la inclusiva. 2. Si a la negación de p la negamos,, nuevamente obtenemos una matriz igual a los valores de p. 3. Basta que una variable sea verdadera para que la matriz de la disyun­ ción inclusiva sea verdadera. 4. La disyunción exclusiva es verdadera en el único caso en que la inclusiva es falsa. IV. Responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué la negación es un mecanismo inversor? 2. ¿En qué se diferencia la negación lógica de la castellana? 3. ¿Existe en español un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva?

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LECCIÓN 3 Disyunción y negación

3-1. Las d isyu nciones in clu siv a y exclusiva A menudo nosotros nos encontramos con proposiciones tales como las siguientes: a. Carlos es un buen jugador de ajedrez o un buen lector. b. El marco de una pintura es deforma rectangular o deforma circular. Lo que tienen en común las proposiciones a y b es que ellas han sido construidas sobre la base de otras proposiciones que han sido enlazadas mediante la partícula 'o' que en lógica se denomi­ na conectiva de disyunción. De manera detallada, las proposi­ ciones que constituyen la proposición cuyo hombre es a son 'Car­ los es un buen jugador de ajedrez7 y'Carlos es un buen lector'. En nuestro ejemplo aparecen de manera abreviada que evita redun­ dancias no elegantes en idioma castellano. La proposición disyun­ tiva que forman estas proposiciones es de carácter inclusivo en el sentido de que, aunque se dice que Carlos tiene una entre dos propiedades, no excluye la posibilidad de que pueda poseer ambas. Es completamente posible que alguien pueda ser al mis­ mo tiempo un buen jugador de ajedrez y un buen lector. Distinta es la situación del ejemplo nombrado por b. La ra­ zón de ello es que las proposiciones componentes 'El marco de una pintura es de forma rectangular' y 'El marco de una pintura es de forma circular' no pueden ser ambas verdaderas. Si se da el caso de que el marco es rectangular, entonces ya no puede ser circular y si se da el caso de que es circular, entonces ya no puede

[531

ser rectangular, porque tales propiedades son excluyentes entre sí. Vale decir, en nuestro segundo ejemplo, la verdad de una de las proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. Por eso se dice que se trata de una disyunción en sentido exclusivo. Aunque en español en ambos casos se usa la misma letra V , en lógica la disyunción exclusiva se denota por el signo V para dis­ tinguirla de la inclusiva que se denota por el signo V 7. Utilizando las variables proposicionales que representan en cada caso a las proposiciones componentes, la estructura lógica de la disyunción inclusiva es mostrada por la siguiente fórmula: pvq y la de la disyunción exclusiva por

p

*

q

Debemos anotar que la distinción anterior es importante, pero no indispensable. Se puede prescindir de la disyunción exclusiva con relativa facilidad en lógica, razón por la que muchos autores no la mencionan y la mayor parte de los ejercicios de este texto, sólo requiere, para su ejecución, de la disyunción inclusiva. f D . efinición 4. La proposición disyuntiva inclusiva de la forma p v q es verdadera \ siempre que p sea verdadera o que q sea verdadera o que ambas variables prop osicion ales sean verdaderas. Es fa ls a sólo cuando am bas variables ^proposicionales son falsas._____________________________________________ Definición 5. La proposición disyuntiva exclusiva de la forma p ^ q e s verdadera si una, y solamente una de las variables proposicionales, es verdadera. En cualquier oti& caso es falsa.

Con el auxilio de estas definiciones nos encontramos en con­ diciones de construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva y de la disyunción exclusiva. Para ello es necesario proceder exac­ tamente de la misma manera como procedimos en el caso de la conjunción, hasta la aplicación de la regla R2. En el momento de realizar el paso correspondiente a la regla R3, entonces la variante consistirá en que aplicaremos la Defini­ ción 4, para obtener la matriz de la disyunción inclusiva y la De-

54

finición 5, para obtener la matriz de la disyunción exclusiva. La tabla de verdad de la disyunción inclusiva es como a continua­ ción se grafica:

MATRIZ DE LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA T a b la 2

____ í

1

Asimismo, la tabla de verdad de la disyunción exclusiva que­ da graficada del siguiente modo: p V V F F

q V F V F

p*q F V V F T a b la 3

t

MATRIZ DE LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ____ í

Es evidente que la disyunción inclusiva sólo es falsa en el cuarto arreglo debido a que es el único en que ambas variables son falsas. La disyunción exclusiva es verdadera en los arreglos segundo y tercero porque sólo en ellos una y sólo una de las va­ riables es verdadera. Remarcaremos que la diferencia entre am­ bas tablas se encuentra en el valor correspondiente al primer arre­ glo que es verdadero en la disyunción inclusiva, y falso en la ex­ clusiva que no admite que dos proposiciones sean verdaderas.

3.2. La negación La negación es una conectiva especial porque no enlaza proposi­ ciones sino que se aplica directamente a sólo una proposición. Esto lo comprenderemos muy fácilmente usando ejemplos. Tengamos las proposiciones:

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c. El cuaderno es rojo. d. El número seis es par. En efecto, a partir de ella es posible construir nuevas propo­ siciones que sean sus negaciones, introduciendo la partícula 'no7. Así tenemos: e. El cuaderno no es rojo. f. El número seis no es par. Y este procedimiento podemos aplicarlo tanto como quera­ mos, pues, dada una proposición, siguiendo un mecanismo se­ mejante a éste, siempre es posible construir una nueva que sea su negación, a la que se denomina proposición negativa. Sin embar­ go, el uso de la partícula 'no 7 en lógica no se hace dentro de la oración como en los casos anteriores, en los que se respeta la gra­ mática española usual. Los lógicos prefieren construir la nega­ ción de una proposición anteponiéndole la partícula 'no7. Siguien­ do este criterio, las negaciones lógicas de a y b son: el. no - (El cuaderno es rojo) f l. no - (El número seis es par) Esto nos permite comprender que la estructura lógica de una proposición negativa cualquiera puede ser grafícada como sigue: n° - ( ................................... ) SiAisamos variables proposicionales y el signo ' ~ 7 que se usa en lógica para simbolizar la partícula 'no7, entonces tenemos que una proposición negativa se escribe en lenguaje lógico así: ~P Es claro que 'e l 7 y 'f l 7 no son afirmaciones elegantes en español aunque sean lógicamente correctas. Para salvar este detalle ellas pueden ser traducidas por 'No es el caso que el cuaderno sea rojo7 y por JNo es el caso que el número seis sea par'. Asimismo, resulta muy

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intuitivo que cuando una proposición es verdadera su correspon­ diente proposición negativa debe ser falsa y viceversa. Definición 6. La proposición negativa de laform a ~p es verdadera solamente cuando la variable p es fa lsa y es fa lsa solamente cuando la variable p es verdadera.

Con ayuda de esta definición y de las reglas R1 y R2 pode­ mos construir fácilmente la tabla de verdad para una proposición negativa. La variante en este caso será, además de la aplicación de la Definición 6 , que hay una sola variable proposicional, por lo que en el margen habrá sólo una columna. Asimismo, la columna ten­ drá solamente dos valores debido a que en este caso n = 1 y 2 = 2 porque hay una sola variable proposicional.

V F

T a b la 4

Debe observarse que los valores de la matriz de ~ p se escri­ ben en columna debajo de la conectiva para no confundirlos con los valores de la variable p. Asimismo, la disposición de la tabla nos permite comprender ahora que, es muy conveniente colocar la negación delante de la variable para poder escribir los valores de la matriz sin dar lugar a confusiones. Anotamos también que la conectiva de negación funciona como un artificio inversor que transforma el valor verdadero en falso y viceversa.

3.3. Negación de una conjunción y de una disyunción Hemos dicho que la conectiva de negación se aplica a una pro­ posición. Los ejemplos e y f muestran ello con proposiciones sim­ ples pero una proposición también puede ser compuesta como es el caso de las conjuntivas y disyuntivas. Por ejemplo, podemos examinar las siguientes proposiciones:

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g. No es el caso que Juan sea honesto y tenga una conducta inmoral. h. No es el caso que Hugo sea piloto o cocinero. En los ejemplos anteriores no se niega proposiciones simples sino se niega operaciones lógicas con proposiciones simples: en el ejemplo g se niega una conjunción y en el ejemplo h una disyun­ ción. Como en este caso no se niega proposiciones aisladas sino la «conexión» entre proposiciones, los esquemas que corresponden a g y h, respectivamente son:

~ ( ..... A ......) ~ ( ..............v ............... ) De este modo las fórmulas del lenguaje proposicional que corresponden a g y h, en el mismo orden, son: gl. ~ ( p A q ) h l. ~ ( p v q ) Así queda claro que es verdad que la conectiva de negación siempre se aplica a una sola proposición, la misma que puede ser simple o compuesta. En este segundo caso, para hacer visible la unidad de la proposición compuesta, hemos procedido a ence­ rrarla entre paréntesis y de este modo se logra que se perciba con claridad que el alcance de la conectiva llega hasta el corres­ pondiente paréntesis de cierre. Aunque posteriormente trataremos con detalle la jerarquía de las conectivas, podemos adelantar que en g l y h l la conectiva de negación es la de mayor jerarquía, pues en el primer caso nie­ ga la matriz de la conjunción y en el segundo la matriz de la disyun­ ción inclusiva. Por ello a las reglas R l, R2 y R3 hay que añadirles, en este caso, la regla que establece que la matriz principal de una fórmula es la que corresponde a su conectiva de más alta jerar­ quía. Como se aprecia en las tablas de verdad, los valores verdadero-falso de las proposiciones simples no están negadas.

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p

q

~ ( P Aq)

V V F F

V F V F

F V V V

V F F F

MATRIZ PRINCIPAL DE LA NEGACIÓN ALTERNATIVA

P

q

~ ( P V q)

V V F F

V F V F

F F F V i

V V V F

MATRIZ PRINCIPAL DE LA NEGACIÓN CONJUNTA

El lógico norteamericano W. O. Quine denomina negación alternativa a la negación de la conjunción y negación conjunta a la negación de la disyunción. Para entender el sentido de estas denominaciones es necesario conocer las fórmulas de De Morgan que presentaremos en una lección posterior. Asimismo, la nega­ ción alternativa la utilizaremos para definir la regla de construc­ ción de la matriz de la conectiva que en este libro llamamos «ba­ rra de Nicod».

3.4. Doble negación En los lenguajes lógicos, como el lenguaje PM, es frecuente el uso de la doble negación para construir las fórmulas que correspon­ den a expresiones como: i. No es el caso que el número cuatro no sea par. La fórmula correspondiente a i se obtiene a partir de un es­ quema como el siguiente: No (n o ( el número cuatro es par) ) que traducido a fórmula permite obtener ~ ( ~ ( p ) ) o simple­ mente, prescindiendo de los paréntesis, se tiene — p. La tabla de verdad respectiva es:

V F

F V

MATRIZ PRINCIPAL DE LA DOBLE NEGACIÓN

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Esto permite constatar que los valores de p coinciden con los de la matriz de — p. Por ello se dice que en lógica la doble negación de una proposición siempre equivale a su afirmación. Esto no ocu­ rre igualmente en castellano. Una persona en lugar de decir «Yo no tengo dinero» para negar que posee dinero, dice coloquialmente: «Yo no tengo nada». Si procedemos a anteponer la negación, como señalan las reglas de PM, obtenemos el esquema No ( Yo tengo nada ) el mismo que podemos interpretar como «No es verdad que yo tenga nada» que permite entender que «Yo tengo algo», lo que contradice la intención del hablante cuando dice «Yo no tengo nada». En este sentido, si contamos "nada7 como una segunda ne­ gación, debemos aceptar que en castellano frecuentemente la do­ ble negación sigue siendo negación. Un ejemplo adicional y frecuente lo proporciona la expre­ sión coloquial «No hay nadie», usada en castellano para expresar la completa ausencia de personas en un recinto determinado. Si interpretamos el segmento 'hay nadie 7 en términos de «no existe en el recinto al menos una persona», encontramos que la mencio­ nada locución da lugar al siguiente esquema: No ( no existe en el recinto al menos una persona ) El esquema anterior como se aprecia, contiene claramente una doble negación que da lugar a que, desde el punto de vista lógico, se lo pueda interpretar como equivalente a «Existe en el recintb al menos una persona», lo que contradice la intención del hablante que dice «No hay nadie», normalmente, en sentido ne­ gativo. Esta peculiaridad del castellano, que consiste en admitir usos que transgreden la regla de equivalencia lógica entre una proposición afirmada y su doble negación, no es compartida por - otros idiomas como el inglés o el alemán cuyas oraciones negati­ vas usan una sola vez la negación. En castellano esta discrepancia entre regla lógica y uso se puede subsanar si en lugar de decir «No hay nadie», decimos «No hay persona alguna». Esta última expresión conserva el sentido negativo del lenguaje coloquial y usa sólo una negación.

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IV EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN

Objetivos: • Definir el condicional como una conectiva proposicional. • Distinguir entre los conceptos de condicional, implicación, im­ plicación estricta y condicional contrafáctico. • Reconocer las condiciones de verdad de un condicional. • Distinguir la verdad de una proposición condicional de la rela­ ción de atingencia entre antecedente y consecuente. • Definir lógicamente los conceptos de condición necesaria y con­ dición suficiente.

CUESTIONARIO 4 El condicional y la implicación

Instrucciones I. Subrayar el antecedente y el consecuente de cada una de las siguientes proposiciones. 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Si vas a la Iglesia, entonces eres creyente. Si comes alimentos, entonces no adelgazarás. Si lloras, entonces no demostrarás valor. Si Arístides no es honrado, entonces nadie es honrado en Atenas. Si Pancho no es deshonesto, entonces nadie es deshonesto. Si los precios suben por la crisis, entonces hay quien está ganando dinero con la crisis. Si la Aritmética es consistente, luego la Geometría también lo es. Si hay problemas sociales, entonces seremos muy cautos con las distracciones.

II. Expresar en el lenguaje lógico las siguientes proposiciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Iré al cine solamente si tengo dinero. Las crisis se producen porque alguien toma malas decisiones. Un número es par si es divisible por 2. Una figura es un triángulo siempre que tenga exactamente 3 lados. La Geometría de Riemannfue posible porque existió la de Euclides. Los vendedores de armas ganan dinero solamente si hay guerra.

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7. Si alguien gana dinero con la crisis, entonces hay alguien que tiene interés en mantener la crisis. 8 . No es posible gastar en distracciones porque no hay dinero para la solución de las necesidades primarias. III. Realizar las siguientes tareas: 1. Construir cinco ejemplos de condicionales contrafácticos. 2. Construir cinco ejemplos de implicaciones. 3. Construir tres ejemplos de implicaciones estrictas. IV. Responder a las siguientes preguntas: 1. ¿A qué se llama relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente? 2. ¿Es necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente para que una proposición condicional sea lógicamente correcta? V. Construir fórmulas y tablas para: 1. Si p, luego no es el caso que no p . 2. Si no es el caso que no p, luego p. 3. Si p o n o p , entonces no es el caso que no p. 4. Si p, luego no p. 5. p si no es el caso que no p. (En este grupo de ejercicios debe usarse de manera explícita la doble negación.)

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LECCIÓN 4 El condicional y la implicación

4.1. D elim itació n concep tu al En esta sección abordaremos probablemente la conectiva más dis­ cutida por los especialistas y de mayor relevancia en la compren­ sión de lo que es el razonamiento lógico denominado por Piaget pensamiento hipotético deductivo: el condicional o implicación material. Al respecto los trabajos especializados distinguen entre el condicional o implicación material, la implicación y la impli­ cación estricta desarrollada por C. I. Lewis. Las diferencias son finas e importantes pero en este texto, bastante introductorio, no podemos detallarlas. Por ahora sólo señalaremos que las tres «im­ plicaciones» antes mencionadas tienen en común corresponder en castellano a la expresión esquemática «Si..., entonces....» que a su vez corresponde a nuestras oraciones hipotéticas del tipo 'Si me sacara la lotería, me compraría un Mercedes Benz'. En este caso, no estoy afirmando sin condiciones que me voy a comprar un Mer­ cedes Benz sino que lo haré si tuviera lugar la hipotética situa­ ción de que me sacara la lotería. Normalmente no se me conside­ rará mentiroso si no me compro un Mercedes Benz mientras no me saque la lotería, pero sí en el caso de que me la saque y no lo compre. En buena cuenta, podemos entender que lo que quiere decir la anterior oración hipotética es: JNo es posible que me saque la lotería y que no me compre un Mercedes Ben¿. Esta expresión tra­ ducida al lenguaje de PM corresponde a la fórmula: ~ ( p a - q )

[65]

En esta sección trataremos el condicional o implicación ma­ terial entendiéndolo como un operador (así también se suele lla­ mar a las conectivas) que equivale a la negación de una conjun­ ción cuya primera variable proposicional está afirmada y cuya segunda variable proposicional está negada. Asimismo, preferi­ mos usar en esta expo-sición inicialmente la palabra 'condicional' para luego introducir con mayor precisión el uso de la palabra 'implicación7. 4.2. E l cond icion al Iniciaremos esta explicación a partir de algunos ejemplos muy cer­ canos a nuestra experiencia: a. Si son dados el par de puntos A y B, entonces se puede trazar una recta que los una. b. Si Ricardo Palma ha nacido en Lima, entonces es peruano. c. Si todos los gatos son negros, entonces algunos gatos son negros. d. Si Túpac Ama.ru hubiera atacado el Cusco, entonces su revolución habría triunfado. e. Si la Luna se ve blanca, entonces la Luna es de queso. Todas estas proposiciones, llamadas proposiciones condicio­ nales, tienen la característica común de tener una estructura del tipo 'Si...entonces...'. Lo que las diferencia es que los componentes que ocupan los lugares que corresponden a los puntos suspensivos son en cada ejemplo distintos. Como en los casos anteriores, a la lógica le interesa fundamentalmente el aspecto estructural. Por eso la expresión 'S i ... entonces .../ se interpreta como la conectiva denominada condicional cuyo signo lógico es A la proposición que se encuentra entre 'Si7 y 'entonces7 se denomina antecedente y a la que se encuentra después de 'en­ tonces7 se le denomina consecuente. Por ejemplo, de manera de­ tallada, en la proposición a el antecedente es 'son dados el par de puntos A y B' y el consecuente e s 'se puede trazar una recta que una a los puntos A y B7. Este consecuente no coincide exactamente con el que aparece en a pero es estrictamente equivalente a él. Lo que ocurre es que a como las otras proposiciones de nuestro listado, contiene algunas abreviaciones propias del idioma español que

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nosotros hacemos completamente explícitas cuando damos la versión detallada. De manera intuitiva y sin mayor discusión, se puede conce­ der que las cuatro primeras proposiciones del listado son correc­ tas. La proposición a porque es un postulado conocido de la Geo­ metría. La proposición b porque establece una condición que sa­ tisfacen todos los limeños que, por ser tales, son necesariamente peruanos. Aceptamos la correción de c porque esta proposición no afirma a secas Todos los gatos son negros'. Más bien, nos dice que si éste fuera el caso, si aceptamos esta hipotética situación en la que todos los gatos son negros, entonces algunos de ellos (una parte) tienen que ser negros. 4.3. C o n d icio n al contrafáctico La proposición d es usualmente reclamada como correcta por los historiadores, pues no se afirma que Túpac Amaru atacó el Cus­ co, sino que si se hubiera producido esa hipotética situación, en­ tonces habría triunfado su revolución. En esta condición, noso­ tros aceptamos que d expresa un razonamiento correcto a pesar de que sabemos que el antecedente aisladamente no es una pro­ posición verdadera ni el consecuente tampoco. A las proposicio­ nes como d se las llama condicionales contrafácticos, porque se acepta su correción a pesar de que sus antecedentes y sus conse­ cuentes van contra los hechos. Otro ejemplo de este tipo es 'Si Dante Alighieri hubiera nacido en Lima, entonces sería paisano de José Santos Chocano', cuya correción lógica es irreprochable. Una situación distinta nos plantea la proposición e. Todos diríamos que es falsa. Lo importante en este caso es precisar cuál es la variante que presenta esta proposición condicional respecto a las anteriores que nos obliga a calificarla de falsa. Una primera inspección nos muestra que el antecedente 'La Luna se ve blcmcd es verdadero mientras que el consecuente 'La Lima es de queso' es decididamente falso. Esta es ciertamente una situación nueva, como lo demostraremos. En efecto, examinando el ejemplo a ocurre que su anteceden­ te es una proposición verdadera y su consecuente también es una proposición verdadera. Lo mismo puede decirse de b. En el caso

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de la proposición condicional c encontramos que el antecedente es una proposición falsa y el consecuente una proposición verda­ dera. Examinando la proposición condicional d es claro que el antecedente es una proposición falsa y el consecuente también es una proposición falsa. Sin embargo, estos distintos valores de los antecedentes y consecuentes de estas cuatro proposiciones condi­ cionales parecen no alterar fundamentalmente la situación gene­ ral, pues ocurre que en tanto cada una de ellas expresa una co­ nexión razonable entre antecedente y consecuente, las calificamos como verdaderas sin mayor dificultad. En cambio, cuando el an­ tecedente es verdadero y el consecuente es falso la situación ge­ neral sí cambia, pues la proposición condicional resulta inacepta­ ble racionalmente y por ello la calificamos de falsa, como es el caso de e. Este análisis puede ser esquematizado como sigue, usan­ do la abreviación V para verdadero y la abreviación F para falso. EJEMPLO

ANTECEDENTE

CONSECUENTE

PROPOSICIÓN CONDICIONAL

a b c d e

V V F F V

V V V F F

V V V V F

Esto muestra claramente que las proposiciones cuya estruc­ tura lógica está dada por 'Si ... entonces solamente son falsas cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Asimismo, si usamos variables proposicionales para el antecedente y el consecuente, y el signo entonces tenemos que la fórmula lógica de una proposición condicional es:

p ->q defin ición 7. La proposición condicional de la form a p q, que tiene como antecedente a p y como consecuente a q, es fa lsa solamente cuando p es verdadera _____ j y q es falsa. En cualquier otro caso es verdadera.

Con ayuda de esta definición y siguiendo las reglas que ya conocemos, construiremos a continuación la tabla de verdad de una proposición condicional.

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La tabla anterior permite entender que el condicional puede ser interpretado como una prohibición que dice que no es posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Si esto sucede, entonces la proposición condicional es falsa. Igualmente nos asegura que una proposición condicional con antecedente verdadero sólo es verdadera cuando su consecuente también es verdadero. 4.4. R elació n de atingencia Es necesario aclarar, además, que la verdad de una proposición condicional es completamente independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y del consecuente. En los ejemplos de nuestro listado existe rela­ ción entre lo que afirman los antecedentes y los consecuentes; ha­ blan de lo mismo, por decirlo así. Cuando esto ocurre, entonces, hay una relación de atingencia entre el antecedente y el conse­ cuente. Sin embargo, pueden encontrarse muchos ejemplos de proposiciones condicionales verdaderas en las que no se da una relación de atingencia, pues lo que dice el antecedente es com­ pletamente diferente de lo que dice el consecuente. Así, tenemos la proposición 'Si 2 + 2 = 4, entonces el Perú está en Sudaméricd es verdadera a pesar de que no existe relación entre los significados de sus proposiciones componentes, porque el antecedente ' 2 + 2 = 4' es verdadero y el consecuente 'el Perú está en Sudamérica' tam­ bién es verdadero. Sin embargo, es importante aclarar que los con­ dicionales interesantes para la ciencia y la filosofía general­ mente son atingentes. 4.5. C ond icional vs. Lenguaje N atural Asimismo, la fórmula, en lenguaje lógico, p —> q n o sólo sirve para expresar proposiciones de la forma 'Si p, entonces q', sino tam­ bién proposiciones frecuentes en español de las formas: p solamente si q qsip q porque p q siempre que p

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Para ilustrar lo anterior daremos algunos ejemplos. Supon­ gamos que la variable p representa la proposición 'Gustavo com­ pra un reloj' y que la variable q representa la proposición 'Gusta­ vo recibe una propina de su padre'. Luego la proposición p -» q es la expresión lógica de las siguientes proposiciones formuladas en lenguaje natural: a. P Gustavo compra un reloj solamente si recibe una propina de su padre

tJ b. q Gustavo recibe una propina de su padre U c.

q

Gustavo recibe una propina de su padre Gustavo recibe una propina de su padre |

-u

es p ara comprar un reloj porque

comprará un reloj

siempre que

compre un reloj

ü

Como se aprecia, cuando se usa /... solamente si el orden dado en el lenguaje natural se conserva en el mismo sentido en la expresión lógica. Pero cuando se usan las partículas'... s i ...', '... porque ...' y /... siempre que ...' el orden de las proposiciones se in­ vierte cuando se pasa a la expresión lógica. 4.6. Im p licación El antecedente de un condicional puede ser cualquier proposición compuésta y de la misma manera el consecuente. Por ejemplo, Si Irene no va a misa y Juan no es católico, entonces Juan se casará reli­ giosamente o no es católico. En este ejemplo el antecedente es una conjunción y el consecuente una disyunción. Si usamos paréntesisTpara separar claramente el antecedente del consecuente, en­ tonces obtendremos la siguiente fórmula y su respectiva tabla de verdad (construiremos ocho arreglos debido a que la traducción requiere tres variables proposicionales).

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p q r

(~ p

a

~ q )->

V V V V F F F F

F F F F V V V V

F F F F F F V V

F F V V F F V V

V V F F V V F F

V F V F V F V F

MATRIZ DEL ANTECEDENTE

(r

V V V V V V V V

MATRIZ PRINCIPAL

v

■~ q)

V F Y V V F V V

F F ,v V F F V V

MATRIZ DEL CONSECUENTE

Observando la matriz principal se encuentra que esta propo­ sición condicional es siempre verdadera (por ello se le denomina tautología). Ello nos permite definir una implicación como un condicional cuya matriz principal es siempre verdadera. Tam­ bién se califican los condicionales de este tipo de lógicamente válidos. Esta peculiaridad diferencia al condicional anterior d e p - > q , cuya matriz principal no es siempre verdadera.

4.7. Implicación estricta En este caso daremos directamente un ejemplo y procederemos a construir su correspondiente tabla de verdad. Si una proposición es verdadera o no lo es, entonces no es posible qne sea verdadera y al mismo tiempo no lo sea. Como se observa, es una implicación pero se diferencia de la anterior en que la matriz de su antecedente es siempre verdade­ ra. Así definiremos una implicación estricta como una implica­ ción cuyo antecedente es siempre verdadero.

4.8. Condición necesaria vs condición suficiente De otra parte, en el vocabulario lógico se dice que cuando se tie­ ne una proposición condicional de la forma p —» q, entonces el

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consecuente es condición necesaria del antecedente y el antece­ dente es condición suficiente del consecuente. Cabe precisar que tradicionalmente a la condición necesaria se le ha conocido como condición sine qua non, lo que en caste­ llano significa condición sin la cual no se produce un cierto he­ cho, acontecimiento o fenómeno. Por ejemplo, en condiciones usuales, el oxígeno es condición necesaria para la combustión. Por tanto, nosotros podemos añrmar el siguiente condicional 'Si se produce combustión en la habitación Z en to n ces existe oxígeno en la habitación Z, con la seguridad de que siempre que el antecedente es verdadero el consecuente también, inevitablemente, lo es. En cambio el condicional recíproco 'Si existe oxígeno en la habita­ ción Z, entonces se produce combustión en la habitación Z' es falso porque es posible que exista oxígeno en cualquier habita­ ción, por ejemplo en la Z, y, sin embargo, no se produzca com­ bustión, como ocurre todos los días en las habitaciones de nues­ tras viviendas. De este análisis se deduce que si reconocemos un condicional como verdadero, entonces lo afirmado en el conse­ cuente es condición necesaria para lo afirmado en el antecedente, y lo afirmado en el antecedente es condición suficiente para lo afirmado en el consecuente. En nuestro ejemplo, la existencia de combustión en la habitación Z basta para afirmar la existencia de oxígeno en dicha habitación. Sin embargo, no es condición nece­ saria porque es completamente factible cambiarla. Podemos de­ ducir el mismo consecuente desde otro antecedente. Por ejemplo: 'Si existen personas respirando satisfactoriamente en la habitación Z, entonces existe oxígeno en Zf es un condicional también verdadero. En cambio, la condición necesaria no la podemos cambiar, pues tod^s sabemos que 'No es posible que se produzca combustión y no que haya oxígeno'. Esta última afirmación formalizada correspon­ de a ~ ( p A ~ q ) , que pone en evidencia que para que se cumpla 'p' la presencia del oxígeno es inexcusable. Asimismo, si se hace la tabla de verdad de dicha fórmula, se verá que coincide con la de p -> q. Existe la tendencia errónea a creer que la condición necesaria debería aparecer primero, vale decir, como antecedente. Espera­ mos que ello esté suficientemente aclarado en esta sección. Igual­ mente es un error intentar definir estos conceptos sin una refe­

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rencia específica. Ninguna afirmación expresa en sí misma una condición necesaria o una suficiente. Son conceptos relaciónales. Debido a ello siempre un A, por ejemplo, es condición necesaria para algún B, pero podría no serlo para un C. La manera efectiva de evitar imprecisiones es construir condicionales verdaderos cada vez que estos conceptos estén en discusión.

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V BICONDICIONAL, FUNCIONES DE VERDAD Y EQUIVALENCIA

Objetivos: • Definir el bicondicional como una conectiva proposicional. • Reconocer las condiciones de verdad del bicondicional. • Relacionar el concepto de función matemática y el concepto de función de verdad. • Distinguir las proposiciones atómicas de las moleculares. • Determinar cuándo las fórmulas son lógicamente equivalentes. • Usar las fórmulas equivalentes como definiciones que permi­ ten reemplazar una fórmula por otra. • Traducir las proposiciones bicondicionales en condicionales.

CUESTIONARIO 5 Bicondicional, funciones de verdad y equivalencia

Instru cciones I. Sabiendo que las letras p, q, etc. representan proposiciones, ex­ presar completamente en lenguaje lógico las siguientes afirma­ ciones. 1.

2. 3. 4. 5.

p, si y solamente si p No p si y solamente si no p Si no p, entonces no q Si no q, entonces p No p si y solamente si q

II. Traducir al lenguaje lógico las siguientes afirmaciones.

1. 2. 3. 4. 5.

Un número es par si y solamente si es divisible por 2 Iré ajuicio si y sólo si estoy seguro de ganar. Ganarás dinero solamente si trabajas. Juan campeonará si gana la pelea. El postulado V es verdadero si y sólosi el espacio es recto.

III. Dados los bicondicionales p q y r q ) lógicamente equivalente a ~ ( p

a ~ q ) l 4. ¿ Es ( p -» q ) lógicamente equivalente a (~ p v q ) ? 5. ¿ 4 s ( p v q ) lógicamente equivalente a ~ (~ p a ~ q ) ?

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LECCIÓN 5 Bicondicional, funciones de verdad y equivalencia

5.1. El bicondicional El bicondicional es una conectiva que en algunos libros es llama­ da equivalencia. En el lenguaje natural su sentido está dado por la expresión/... si y solamente s i que en el lenguaje lógico se de­ nota mediante el signo que es una flecha en ambas direccio­ nes. Las proposiciones bicondicionales se encuentran especialmen­ te en la matemática. Por ejemplo, 'Un número es par si y solamente si es divisible por 2'. En el lenguaje natural también encontramos proposiciones bicondicionales tales como 'Matías viajará a Jauja si y solamente si toma el tren. Lo que caracteriza esencialmente a los ejemplos anteriores es que establecen las siguientes propo­ siciones, cada una de las cuales está constituida por dos proposi­ ciones condicionales de sentido inverso. a. Si un número es par, entonces es divisible por dos y si un número es divisible por dos, entonces es par. b . Si Matías viaja a Jauja, entonces toma el tren y si Matías toma el tren, entonces viaja a Jauja. Como puede apreciarse, las proposiciones bicondicionales sancionan relaciones más exigentes que las puramente condicio­ nales. Establecen que si el antecedente es verdadero, entonces el consecuente tiene que ser verdadero pero, además, que si el con­ secuente es verdadero, entonces el antecedente también tiene que

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serlo. En otras palabras, la verdad o falsedad de una proposición exige necesariamente la verdad o falsedad de la otra. Definición 8. La proposición bicondicional de la forma p q es verdadera cuando las variables p y q tienen e l mismo valor, esto es, cuando am bas son verdaderas y cuando am bas son falsas. En cualquier otro caso es falsa.

Con el auxilio de esta definición y de reglas que ya no necesi­ tamos repetir, construiremos la tabla de verdad de una proposi­ ción bicondicional de la siguiente manera.

p

q

V V pr F

V b \VT

F

p

q

V rT7 pr V

MATRIZ DE LA PROPOSICIÓN BICONDICIONAL /

A

Tabla 6 Observando la tabla anterior se encontrará que la conectiva bicondicional puede ser interpretada como inversa de la disyun­ ción exclusiva, en el sentido de que es verdadera en los arreglos en los que la disyunción exclusiva es falsa y es falsa en los arre­ glos en los que la disyunción exclusiva es verdadera. Asimismo, en la proposición bicondicional p q se dice que p es condición necesaria y suficiente de q y que q es condición necesaria y suficiente de p.

5.2. Lás conectivas como funciones de verdad El concepto de función es uno de los más fundamentales de la matemática y por ello desde los cursos introductorios de aritmé­ tica y álgebra todo estudiante lo conoce. Como es sabido, un ejem­ plo de función aritmética es ' y = 2x 7 que se comporta de la si­ guiente manera:

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Cuando 'x' es igual a 1, entonces 'y ' es igual a 2. Cuando V es igual a 2, entonces 'y ' es igual a 4. Cuando 'x' es igual a 3, entonces 'y' es igual Y así sucesivamente... Puede apreciarse fácilmente que el mecanismo de la función consiste en que a un determinado valor de la variable 'x' le co­ rresponde un único valor de la variable 'y'. Y no es posible que dos valores distintos de la variable 'y' correspondan al mismo valor de la variable 'x\ Este tipo de correspondencia, que va de los valores de 'x' a los valores de 'y', es lo que da lugar a que los valores de 'y sean determinados única y exclusivamente por los valores de 'x . De otra parte, analizando cualquiera de las tablas de verdad que hemos construido, por ejemplo, la de la conjunción, encon­ tramos que en ella se establece una correspondencia de tal mane­ ra que a cada arreglo ( a cada par de valores de p y de q ) le co­ rresponde solamente un valor en la matriz, y los valores de ésta son determinados única y exclusivamente por los valores de las variables proposicionales. Veámoslo en la tabla.

P 1.° 2.° 3.° 4.°

p Aq

q

►V

a rre g lo

(V ,

V)

a rre g lo

(V ,

F ) - ------ ► F

a rre g lo

(F ,

V

a rre g lo

(F ,

—

---- ► F * H -------► F ) -

Debido a la existencia de este tipo de correspondencia, que va de los valores de las variables proposicionales a los valores de la matriz, es que, por analogía con la matemática, se ha llamado a las conectivas funciones. Pero como en este caso las variables no asumen valores numéricos sino sólo el valor verdadero y el valor falso, entonces para tipificarlas se les denomina funciones de verdad. El lógico que inició el estudio de las funciones de verdad fue Gottlob Frege en su libro escrito en alemán bajo el título de Begriffsschrift, publicado en 1879.

81

5.3. Dominio y rango Recurriendo al concepto matemático de función, sabemos que toda función f ( x ) se define tomando como referencia un con­ junto dominio y un conjunto rango. La función f es una regla que asocia cada valor que toma la variable x en el conjunto dominio con un único valor en el rango. Si A es el dominio y B el rango, la función f ( x ) se define mediante el esquema: f ( x ): A => B En el caso de las funciones lógicas o funciones de verdad el conjunto base es W = { V, F } que tiene solamente dos objetos distintos. Si, por ejemplo, la conjunción la representamos como función, escribimos f l ( p, q ) y podemos definirla así: fl(p,q):WxW=> W Hemos tomado como dominio el producto cartesiano de W x W (W2) debido a que f 1 es una función que tiene dos variables y, por tanto, asocia, cada vez, un par ordenado (arreglo) con un úni­ co valor del rango. Esta definición puede aplicarse a todas las conectivas de dos variables. La negación, que podríamos repre­ sentarla como la función f 0 ( p ) sería la única función, que por tener una sola variable, puede definirse simplemente de W en W como a continuación: f 0 ( p ) : W => W Los gráficos conjuntistas de f l y fO se representan así: W2

W

W

W

A f 1 se le llama función suryectiva y a fO se le llama función biyectiva.

82

Definición 9. Las fórmulas conjuntivas, disyuntivas, negativas, condicionales y bicondicionales son funciones de verdad definidas tomando como base el conjunto W= { V,F} debido a que los valores de sus matrices son determinados de manera única y exclusiva por los valores de sus variables proposicionales componentes.

5.4. P rop osicion es atóm icas y m olecu lares Las conectivas lógicas que hemos introducido en las secciones pre­ cedentes constituyen, junto con las variables proposicionales, los elementos básicos del lenguaje de la lógica proposicional desarro­ llada en este curso. A partir de ellos construiremos proposicio­ nes más complejas, analizaremos la corrección lógica de argumen­ tos o razonamientos y esbozaremos alguna aplicación de la lógi­ ca a la solución de problemas tecnológicos. Antes de continuar, es necesario que sobre la base de lo hasta aquí dicho demos una clasificación muy sencilla de las proposi­ ciones que las divide en atómicas y moleculares. A las primeras también se les denomina simples y a las segundas compuestas. Definición 10. Se dice que una proposición es atómica cuando no contiene entre sus signos a ninguna conectiva proposicional y puede ser representada sólo por una variable proposicional p.

V________________________________________________________ / Definición 11. Se dice que una proposición es molecular cuando entre sus signos contiene al menos una conectiva proposicional.

En armonía con las definiciones anteriores, todas las propo­ siciones para las cuales hemos construido tablas de verdad son moleculares, pues ellas contienen necesariamente una conectiva proposicional. En cambio, las proposiciones siguientes, debido a que todas carecen de conectivas proposicionales, son atómicas. c. La pizarra es verde. d. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 e. (a + b ) + c = (a + b ) + c f. Juan es hermano de Enrique. g. Luna estu entre Tr'ujulo ¿ ícu.

83

Existe la creencia errónea de considerar que una proposición atómica debe tener un sólo sujeto. Los ejemplos g y f demuestran lo contrario a nivel del lenguaje natural, en el sentido de que, des­ de el punto de vista lógico, Lima, Trujillo e lea son tres nombres, que tienen la misma jerarquía en una relación, en este caso, triádica. Lógicamente, ninguno es predicado. En estos ejemplos los predicados son '...entre ...'y y hermano de ...'. Asimismo, a modo de ejemplo, daremos un razonamiento para luego señalar las proposiciones atómicas que lo constituyen y las variables proposicionales que pueden representar a cada una de ellas. O los pájaros están trinando o la bebé está llorando. Si lar bebé no está llorando, el viento no está soplando. O los pájaros no trinan o el viento no sopla. En consecuencia, si la bebé no está llorando, los pájaros no están trinando. Las proposiciones atómicas que constituyen este razonamien­ to son: Los pájaros están trinando ( la representamos por p ). La bebé está llorando ( la representamos por q ). El viento está soplando ( la representamos por r ). Evidentem ente, toda proposición negativa es tam bién molecular de acuerdo con la Definición 11. Las proposiciones moleculares pueden ser claramente distinguidas porque contie­ nen conectivas y están separadas por punto y seguido. 5.5. P rop osicion es ló g icam en te equ iv alen tes Para exponer el concepto de proposiciones lógicamente equiva­ lentes o de fórmulas lógicamente equivalentes es aconsejable pasar al examen directo de una tabla de verdad que facilite el ac­ ceso a definiciones generales. Tomaremos como ejemplo la tabla de verdad de una proposición bicondicional cuyos componentes son proposiciones moleculares. En Id tabla anterior el primer miembro dei bicondicional es una conjunción con los componentes negados y el segundo miem­

84

bro es una disyunción negada. La matriz principal, que corres­ ponde a la conectiva bicondicional, es siempre verdadera (tauto­ logía) debido a que la matriz del primer miembro asigna a cada arreglo del margen los mismos valores que la matriz del segundo miembro. Esta igualdad de valores en sus matrices significa que la fórmula del primer miembro es lógicamente equivalente a la fórmula del segundo miembro. Por tanto, la tabla prueba que la fórmula ( ~ p a ~ q ) es lógicamente equivalente a ~ ( p v ¿7 ). Otra manera de expresar el mismo concepto es decir: si una fórmula bicondicional es verdadera en todos sus arreglos (tautología), en­ tonces sus dos miembros son entre sí proposiciones o fórmulas lógicamente equivalentes. Probar que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es muy importante dentro del estudio de la lógica y cada que lo hacemos, como en la tabla anterior, tenemos lo que en breve se denomina una equivalencia. Esta permite que podamos reem­ plazar una fórmula por la otra cada vez que lo consideremos necesario. En la práctica, una equivalencia es una fórmula bicondicional tautológica que funciona como una regla que autoriza a transformar una fórmula en otra. Como referencia histórica, señalamos que el ejemplo de nuestra tabla se conoce como equivalencia o tautología de De Morgan (DM) en home­ naje a Augusto De Morgan, uno de los fundadores de la Lógica matemática. 5.6. T ra d u cció n de la p ro p o sició n b ic o n d ic io n a l a u na co n ju n ció n de dos c o n d ic io n a le s . Para facilitar el manejo del lenguaje de la lógica proposicional de PM se usa con frecuencia una equivalencia que posibilita el re­ emplazo de una fórmula bicondicional ( p p ). Este procedimiento, dentro del lenguaje natural o coloquial, se usa en la sección 5.1 de esta lección con los ejemplos a y b. En este caso lo haremos dentro del lenguaje formalizado y para ello construiremos una tabla de verdad que nos permite demostrar que la equivalencia antes mencionada existe.

85

p

q

V V F F

V F V F

( P q )

MATRIZ DEL MIEMBRO IZQUIERDO

( ( p - > q ) A Í q - > p ) )

V V V V

T

MATRIZ PRINCIPAL

V F V V

V F F V

V V F V

4 MATRIZ DEL MIEMBRO DERECHO

Como se observa, la fórmula tabulada muestra una matriz principal siempre verdadera lo que prueba que sus miembros son fórmulas lógicamente equivalentes y pueden reemplazarse mu­ tuamente. Resulta pertinente destacar que el primer miembro de esta fórmula es a su vez una fórmula bicondicional pero no una equivalencia en tanto que es claro que ( p ) no es una tautolo­ gía. Lo que es una equivalencia es la fórmula total.

5.7. Bicondicional y definición La conectiva bicondicional, en la medida que posibilita construir equivalencias, es utilizada para construir reglas de traducción de un lenguaje lógico a otro, como ocurre con los diccionarios bilin­ gües. Como miembro izquierdo o entrada se escribe la fórmula que queremos definir y que pertenece a un lenguaje L° que no es el nuestro. Como miembro derecho se escribe la fórmula equiva­ lente a la primera y que pertenece a nuestro lenguaje L1. De esta manera se establece una regla que permite traducir una fórmula de L° a otra de L1. El bicondicional en su conjunto es propiamen­ te una definición. Al miembro izquierdo se lo denomina definiendum y al miembro derecho definiens. Si suponemos, verbi gracia, que L es el lenguaje de PM y que nuestro lenguaje L es una versión, reducida en el número de conectivas, que contiene solamente las de conjunción ' A ' y nega­ ción entonces las definiciones que son reglas de traducción de las fórmulas de L a las de L son:

86

( p v q) f > ~ ( ~ p A ~ q ) (P ~ > q) * * ~ ( P A ~ q ) ( p * q) 0 ~ ( p A q ) A ~ ( ~ p A ~ q ) ( p o q ) f>~(pA~q)A~(~pAq) (Ejercicio: construir las tablas correspondientes a las cuatro equivalencias anteriores).

87

VI

JERARQUÍA DE LAS FÓRMULAS DEL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Objetivos: • Conocer y aplicar las reglas de formación de fórmulas. • Definir y aplicar en el lenguaje formalizado el concepto de Jerarquía. • Reconocer el carácter convencional de los sistemas de jerarquía. • Aplicar notaciones alternativas para jerarquizar fórmulas • Establecer el orden de operaciones en la resolución de tablas de verdad.

CUESTIONARIO 6 Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional

Instrucciones I. ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas de PM ? I . (p-> (q

a

r ) ) —» ~ ( ~ q v ~ ( ~ r ) )

2- ( P -> q -> ) P 3. ~ p ( q v r ) p 4( P v q ) ->(p A q ) 5- ( ( P A q - > r 5. p —> q —> r v p —> r v q 6. p - » q

-»q-»r-»p-»r

[91]

7 p-»~q^q -»~p

8. p -> q a r . A . p - » q v p - » r III. Ordenar por el método de los puntos las siguientes proposicio­ nes de tal manera que la jerarquía no se altere.

1. ( p v q ) A ( r v p ) 2. ( p v q ) A ( r v - p ) 3. p —> ( q a ( t a - s )) 4. ( p - > q ) v ( ( r - >

s ) a ( s v p ))

5- ( ( p - > q ) v s ) A ~ r IV. Construir tablas de verdad para las proposiciones de los gru­ pos II y III. V. Usando el método de los paréntesis proceder a negar las si­ guientes proposiciones: 1. p - > q 2. p * q 3. p v ~ q 4 . p —> ~ q

5. ( p —» q ) —> ( q —» p ) 6. ( p - >

q ) —> ( ( p - > q ) v r )

VI. Responda a las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué es necesario establecer una jerarquía entre las conectivas? 2. ¿Son equivalentes dos proposiciones que tienen las mismas variables componentes, las mismas conectivas, pero diferente jerarquía? 3. ¿En qué consiste el método mixto de jerarquización? 4. ¿Existen sólo los métodos de jerarquización aquí estudiados o cualquier persona podría proponer y usar otro? 5. ¿Qué significa decir que un método es convencional?

92

LECCIÓN 6 Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional

6.1. Lenguaje natural versus lenguaje formalizado Tomando como punto de partida nuestro conocimiento del len­ guaje natural, comenzaremos esta sección enfatizando lo impor­ tante que es el uso de los signos de puntuación, para precisar el sentido de aquello que deseamos comunicar. Son conocidos ejem­ plos tales como: a. Mientras dormían, los centinelas vigilaron el campamento b. Mientras dormían los centinelas, vigilaron el campamento. Como se aprecia entre los ejemplos a y b hay una diferencia sustantiva de sentido. En el primer caso, se entiende que fueron los centinelas los que realizaron la vigilancia. En cambio, en el segundo, fueron otras personas las que presuntamente vigilaron mientras los centinelas descansaban. Es importante percibir que a y b son conjuntos de palabras que tienen exactamente los mis­ mos elementos pero que, sin embargo, dicen cosas distintas debi­ do a que están ordenadas o jerarquizadas de manera distinta por la coma. Esto significa que para entender castellano no es sufi­ ciente conocer el uso de las palabras. Se necesita también conocer las reglas que rigen su ordenamiento, las mismas que definen una jerarquía. Entre tales reglas son muy importantes ias refe­ rentes al uso de los signos de puntuación.

[93]

Una diferencia notable entre los lenguajes lógicos y los len­ guajes naturales es que estos tienen una cantidad, en términos comparativos, muy grande de palabras en relación con los len­ guajes formalizados. Un lenguaje formalizado, como el tipo PM que estamos desarrollando, cuenta propiamente con sólo seis fór­ mulas básicas. Ellas son las fórmulas de negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Asimismo, hay muchos lenguajes para la lógica proposicional que usan sólo dos fórmulas básicas. Entre ellos el lenguaje de Post usa solamente las fórmula de conjunción y nega­ ción. En el caso límite, hay lenguajes que usan sólo una fórmulas básica. Un ejemplo lo brinda el lenguaje de Nicod que usa sólo la fórmula de incompatibilidad. La otra diferencia es que los lenguajes formalizados, propia­ mente, no jerarquizan sus fórmulas mediante signos de puntua­ ción sino a través de signos de agrupación, que establecen el or­ den en que debe ejecutarse las operaciones que la fórmula define. Como veremos los signos de agrupación más usuales en los len­ guajes lógicos son los paréntesis, sin embargo ello no obsta para usar otras convenciones, que bien pueden ser puntos, que tratán­ dose de fórmulas lógicas también funcionan como signos de agru­ pación que definen un orden de operaciones. 6.2. Reglas de formación de fórmulas En los lenguajes lógicos las fórmulas, a diferencia de las oracio­ nes en los lenguajes naturales, se construyen en base a reglas de formación muy precisas y todas ellas pueden ser interpretadas corno proposiciones o afirmaciones. Ahora es oportuno hacer una aclaración. Hasta el momento hemos usado de manera casi indistinta los términos 'fórmula' y 'proposición'. En un curso introductorio ello no entraña mayores dificultades, pero es importante señalar que en el trabajo especia­ lizado, existe una diferencia sustantiva entre ambos conceptos. Por ahora, basta señalar que las proposiciones, que hemos usado en este libro, generalmente han sido expresadas en un lenguaje natural o en lenguaje matemático, en cambio las fórmulas sola­ mente en el lenguaje PM. Las fórmulas están sujetas al concepto

94

de prueba o deducción, mientras las proposiciones al concepto de verdad. Asimismo, todas las fórmulas que hemos usado hasta el momento pueden ser interpretadas como proposiciones, pero una cosa es una fórmula y otra su interpretación. Por ahora, deja­ mos anotado que los sistemas lógicos frecuentemente se desarro­ llan como conjuntos de fórmulas sin interpretar, lo que no impide que a nivel elemental sigamos hablando indistintamente de fór­ mulas y proposiciones. Si mantenemos la convención de llamar al lenguaje proposicional que estamos exponiendo, lenguaje PM, las reglas de formación o construcción de fórmulas son las siguientes: rl. r2. r3. r4.

Si p es una variable proposicional entonces es una fórmula de PM. Si p es una fórmula de PM, entonces ~ p es también una fórmula de PM. Si p y q son fórmulas de PM, entonces también p a q, p v qf p ^ *?/P *7 Y P * * q sonfórmulas de PM. (Regla de cierre) Solamente son fórmulas de PM aquellas expresiones construidas por la aplicación de r l, r2 o r3.

Las reglas anteriores son metalingüísticas y definen a PM como un lenguaje de estructura predeterminada y cerrada. Lo primero debido a que las reglas preven la estructura de toda po­ sible fórmula de PM y lo segundo porque se excluye que cual­ quier otra fórmula, obtenible por la aplicación de reglas distin­ tas, sea considerada como elemento o miembro de PM. Por otro lado rl, r2, r3 y r4 constituyen lo que se conoce como una definición recursiva de 'fórmula' en el lenguaje PM y, a su vez, son un algoritmo que permite decidir mecánicamente si una expresión cualquiera es o no una fórmula dé PM. 6.3. La jerarquía en el lenguaje P M La existencia de dos o más conectivas plantea la necesidad de eslauiCLCi una jc ia iq u ia c íilíc caacjo y p a ia cuu caíolcíl ic^iab que: nu

son estrictamente novedosas porque han sido tomadas de la ma­ temática. Consecuentemente, esta explicación partirá de la expe-

95

riencía que gana un estudiante en cualquiera de sus cursos de matemática, por ejemplo, el de álgebra elemental. Supongamos que alguien escribiera en la pizarra la siguiente expresión 3x + 2 - 5 . 4 - 7x = 8 y luego nos pidiera que la calculemos. La respuesta inmediata es que no se puede hacer ningún cálculo en tales condiciones, pues no se ha establecido ninguna jerarquía entre las operaciones; de tal modo que no está claramente determinado por cuál co­ menzar y por cuál terminar. Esta es la razón por la que un pro­ fesor de matemática, cuando quiere que se haga un cálculo pre­ ciso, presenta la expresión anterior, por ejemplo, de la siguiente manera: 3 (x + 2 ) - 5 ( 4 - 7 x ) = 8 Entonces ahora sí está unívocamente establecido que la ope­ ración de mayor jerarquía es la resta que está al centro del pri­ mer miembro de la igualdad y que la suma y la resta que están dentro de los paréntesis tienen menos jerarquía que los pro-ductos establecidos fuera de los paréntesis. Así podemos decir que el primer miembro de la igualdad es una diferencia de dos produc­ tos y ningún estudiante diría que 5 ( 4 - 7x ) es una resta sino un producto, porque sabe que toda operación exterior a los parén­ tesis tiene más jerarquía que toda operación interior a los pa­ réntesis y que la operación de mayor jerarquía es la que da nom­ bre a una expresión. 6.4. Jerarquía y tablas de verdad En el lenguaje lógico puede producirse una situación similar a la anterior. Valiéndose del vocabulario que hemos introducido, es posible escribir una expresión tal como: p v p —> q

96

que no puede ser tabulada porque hay dos conectivas y rio se sabe cuál es la de mayor jerarquía para establecer un orden en la cons­ trucción de la tabla. Valiéndonos del método de los paréntesis, usado en la matemática, podemos darle la siguiente presentación a la operación anterior: p v (p

q)

De esta manera hemos establecido una jerarquía o un orden que, siguiendo la regla general de uso de paréntesis, nos indica que la conectiva principal es la disyunción porque está fuera del paréntesis y que la de menor jerarquía es el condicional porque es interno al paréntesis. Ésto significa además que si confecciona­ mos la tabla de verdad habrá dos matrices: una secundaria, que irá debajo de la conectiva de menor jerarquía, y una principal, que irá debajo de la conectiva de mayor jerarquía y que tiene la condición de ser el resultado final de la tabla de verdad. Como el acto de escribir una matriz debajo de la conectiva puede ser entendido como una operación, entonces podemos de­ cir sin dificultades que cada una de las conectivas estudiadas de­ termina una operación lógica. En este mismo sentido, podemos decir que la jerarquía que establecen los paréntesis en una propo­ sición determina de manera inequívoca un orden de operaciones que va desde las operaciones de menor jerarquía hasta finalizar en la de mayor jerarquía. Antes de construir la tabla de verdad, de la proposición que hemos ordenado o jerarquizado mediante paréntesis, señalaremos a través de la siguiente figura el orden de operación a seguir: Observando el orden de operaciones anterior, la tabla resul­ ta así: pv(p-^q)

MATRIZ SECUNDARIA

ra. 2 da p en la que la negación tiene menor jerarquía que la disyunción in­ clusiva y, consecuentemente, al hacer la tabla, la primera matriz que se calcula es la de la negación. La tabla es como sigue :

98

F

v V V

F

V

p

q

V V

V

F F

V

(p.

F

t

~

q ) ->

P

V V V

r se lee como si fuera p ( q -> r) q ^ r se lee como si fuera p ( q * r ) v q ^ r se lee como si fuera ( p v q ) j = r a q v r se lee como si fuera ( p a q ) v r

Consecuentemente, la proposición siguiente, bastante más compleja que las anteriores,

pAq^r«-»r^pvq

100

se le e c o m o s i fu e r a

( ( p Aq ) - M - ) < - > ( r - > ( p v q ) ) A pesar de que esta regla es una convención bastante usa­ da por los lógicos, nosotros en este texto la usaremos lo menos posible. 6.7. Los p u ntos com o signos de jerarq u ía R 6 . Se puede determinar la jerarquía de las conectivas reempla­ zando algunos o todos los paréntesis por puntos. La conectiva que tiene el mayor número de puntos es la de mayor jerarquía. Si se usan puntos y paréntesis, entonces se cumple que toda conectiva interna a los paréntesis, aunque tenga puntos, es de menor jerar­ quía que otra externa a los paréntesis aunque no tenga puntos. La proposición anterior, ordenada por el método de los pun­ tos, queda de la siguiente manera: p A q ^ ro r^ p v q

Si usamos tantos puntos como paréntesis, entonces tenemos: ( P a q -> r )

( r -> p v q )

En este caso, aunque el bicondicional no tiene puntos es de mayor jerarquía que los dos condicionales que tienen puntos por­ que están internos en los paréntesis. El método mixto de usar puntos y paréntesis tiene su origen en la obra de Whitehead y Russell titulada Principia Mathematica y es empleado por muchos autores. Nosotros lo indicamos para que el estudiante lo conozca, pero sólo usaremos los paréntesis y cuando sea necesario las convenciones establecidas por la regla R5. Aclaramos que los métodos de ordenar proposiciones, así como muchos otros aspectos relacionados con los signos lógicos, son completamente convencionales. Dcp Uj. LÍÍ.C1Líi.d CÍ\_lid díj CÁ.CiUD especialistas. Nosotros hemos elegido uno que nos parece ade­ cuado, pero con igual éxito puede seguirse otro.

101

6.8. Tabla de verdad de las proposiciones con más de dos variables En este caso la mayor variante está en el margen, pues al haber tres proposiciones entonces la fórmula '2n' para 'n=3' da lugar a 8 arre­ glos que es el valor de dos al cubo. A continuación daremos un ejemplo señalando previamente el orden de operaciones estableci­ do por los paréntesis para luego construir la tabla de verdad.

(( P AJ I ) V ( p A r ) ) ~ p 3 .a matriz

2

.a matriz

1 .amatriz

4.a matriz i-------------v------------- ■ 5.a matriz (principal) La tabla de verdad es como sigue: p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

((P a q) v (p a r )) ~ P V V F F F F F F

V V V F F F F F

V F V F F F F F

Tabla 10

T F F V F F F F

T

F F F F V V V V

MATRIZ PRINCIPAL

Otro ejemplo de tabla de verdad deuna proposición con tres variables es:

102

p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

( ( p v ~ p ) - > ( q A ~ q ) ) A r V V V V V V V V

F F F F V V V V

Tabla 11

F F F F F F F F

F F F F F F F F

F F V V F F V V

F F F F F F F F 4 MATRIZ PRINCIPAL

VII TAUTOLOGÍA, PRINCIPIOS LÓGICOS Y VALIDEZ

Objetivos: • • • •

Reconocer fórmulas tautológicas consistentes y contradictorias. Diferenciar las fórmulas de las proposiciones tautológicas. Identificar los principios lógicos clásicos. Distinguir el concepto de fórmula lógicamente válida del de fórmula tautológia. • Diferenciar la validez lógica del contenido informativo.

CUESTIONARIO 7 Tautologías principios lógicos y validez

Instru cciones I. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas son tautologías, cuáles con­ sistentes y cuáles contradictorias?

1. ( pAq) ->p 2.

(p

v q ) -> ( p a q )

3 ( p - > q ) - > ( ( p - > q ) v (r->p)) 4. ( p -> q ) ( ~p v q ) 5-~((p->q)v(q->p))A(r->p) M ( p - > q ) Aq ) - > p II. Determine a qué fórmulas tautológicas corresponden los siguien­ tes razonamientos: 1. Si existe un libro, entonces existe un lápiz o un libro. 2. Dadas dos proposiciones distintas, ocurre que la segunda se deduce de la primera o la primera de la segunda. 3. Una proposición implica que cualquier otra proposición la implica. 4. Si desde una proposición se deduce una contradicción, entonces esta proposición debe ser rechazada. 5. Una proposición de la que se deduce su propia negación debe ser rechazada. III. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones verdaderas no son tautológicas y cuáles son atómicas.

[107]

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Si n es un número natural, entonces n tiene un sucesor. Todo número natural es par o impar. Todo número es igual a sí mismo. El número tres es mayor que cero. No es posible que el mismo número sea par e impar. No existe un número entero positivo que sea mayor que todos los otros.

IV.Determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes.

23. 45.

(p q) ( p v ( q Ar)) ( P -» ~ q ) (p e q )

y y y y y

~ ( p A q) (~ pv q) ( ( P v q ) A ( P v r )) ( q - > p)

< l &

pv~q

> -Q < l

1.

V. En lo que sigue usamos las abreviaturas V para verdadero y F para falso. Completar correctamente las siguientes afirmacio­ nes usando las mismas abreviaturas. 1. Si un condicional tiene el antecedente igual a F, luego, sin importar el valor del consecuente, el condicional es necesariamente.... 2 . Si un condicional tiene su consecuente igual a V, entonces el condicio­ nal completo es igual a..... 3. Si la primera variable de una conjunción es F, entonces la conjunción es....... 4. Un condicional con consecuente F para ser verdadero debe tener como antecedente...... 5. La negación del principio de no contradicción da una matriz con sólo í valores........ 6. Una disyunción inclusiva que tiene una variable V es necesariamen­ te..... 7. Si se pone una disyunción exclusiva como antecedente de un condicio­ nal y una inclusiva como consecuente, luego él condicional en el pri­ mer arreglo será..... 8 . Si p es V, luego la negación de la negación de p es... 9. Si ~ p es F, luego la negación de ~p es..... 10. Si la negación de la negación de p es F, luego p es....

108

VI. Responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos arreglos tendrá la tabla de verdad de una proposición con cinco variables? 2. ¿Qué es una implicación? 3. ¿A qué se denomina lógica polivalente? 4. ¿Cómo se define el «espacio lógico»? 5. ¿Qué diferencia existe entre sinonimias y equivalencias lógicas? 6. ¿Qué significa afirmar que las tautologías abren el espacio lógico? 7. ¿Por qué las contradicciones cierran el espacio lógico? 8. ¿Por qué las tautologías, no transmiten información específica alguna?

109

LECCIÓN 7 Tautologías, principios lógicos y validez

7.1. F órm ulas tau tológicas, consisten tes y contradictorias Las tablas de verdad que hemos construido hasta ahora son sufi­ cientes para permitimos comprender que los valores de la ma­ triz principal de una fórmula se encuentran necesariamente en una de las tres siguientes condiciones: 1) todos sus valores son verdaderos, 2) algunos de sus valores son verdaderos y algunos son falsos; y 3) todos sus valores son falsos. Las fórmulas cuya matriz principal se encuentra en la primera condición se llaman tautologías. (Ver tabla 7). Las fórmulas que poseen una matriz principal que se encuentran en la segunda condición se denomi­ nan consistentes. Entre otros ejemplos pueden verse las tablas 8, 9 y 10. Las fórmulas cuya matriz principal se encuentra en la ter­ cera condición se denominan contradicciones. Un ejemplo nos lo proporciona la fórmula de la tabla 11. 7.2. F órm ulas tau tológicas vs. p roposiciones tautológicas Hasta esta sección hemos hablado indistintamente de proposicio­ nes tautológicas y de fórmulas tautológicas, aunque hemos ad­ vertido que no es el mismo concepto. El tema que ahora tratare­ mos requiere que precisemos un criterio de diferenciación y lo haremos a partir de ejemplos.

[111]

a. p v ~ p b. Lucas es casado o no es casado c. Mercedes es silenciosa o no es silenciosa El ejemplo a es claramente una fórmula siempre verdadera o tautológica como puede establecerse, fácilmente, construyendo la correspondiente tabla de verdad. Y decimos que a es una fór­ mula porque el significado de la proposición que está represen­ tada por la variable proposicional p está indeterminado. Teórica­ mente, cualquier proposición puede ocupar el lugar de p, lo que equivale a decir, ninguna en especial. Los ejemplos b y c si son genuinas proposiciones tautológicas. Son proposiciones porque, claramente, tiene cada una un signifi­ cado específico que es un prerrequisito para poder calificar a una proposición de verdadera, pues no podemos hablar de la verdad de una proposición cuyo significado ignoramos porque ello equi­ valdría a hablar de la verdad de lo que desconocemos, y son tautológicas porque tienen la forma de la fórmula tautológica p v ~ p , sin embargo b y c son dos proposiciones semánticamente distintas. En efecto, una cosa es hablar del estado civil de Lucas y otra del temperamento o carácter de Mercedes. Una fórmula como la del ejemplo a es fundamentalmente una forma o estructura que admite reemplazos en sus lugares en blan­ co, que son los ocupados por p; y que tiene la propiedad de que todos sus reem plazos posibles dan lugar a proposiciones disyuntivas verdaderas. Como esto es así, abreviadamente, se acostumbra a decir que la fórmula p v ~ p es siempre verdadera, pero lo riguroso sería afirmar que todos sus reemplazos son verdañeros. Es más, en la medida que toda la función que cumple la variable p se reduce a la de representar un espacio a ser ocupado por una proposición, podemos usar otro artificio que cumpla la misma función. Por ejemplo, si usamos puntos suspensivos y pa­ réntesis que representan la noción de espacio en blanco, la fór­ mula a puede ser reemplazada, sin pérdida alguna, por; ( ................... ) v

112

-

( ....................... )

7.3. L im itacion es en la tran sform ació n de proposiciones tau tológicas Una ventaja sustancial del ejemplo a sobre los otros dos es que todas las transformaciones que hagamos sobre él, aplicando equi­ valencias lógicas, dan lugar a fórmulas que son, igualmente, siem­ pre verdaderas (tautologías). En cambio, si trabajamos con el ejem­ plo b y hacemos reemplazos usando lo que serían equivalencias en castellano, encontraremos que algunas transformaciones po­ drían ser falsas. Si definimos 'casado7 como 'no soltero7, y hace­ mos el reemplazo correspondiente en el segundo componente de la disyunción b, obtendremos lo siguiente: b'. Lucas es casado o no no soltero. Y ocurre que V puede ser una afirmación falsa si sucede que Lucas es, por ejemplo, viudo. Bajo tal situación la proposición 'Lucas es casado' será falsa y también la proposición 'Lucas es no no soltero' pues, conociendo que en PM la doble negación equi­ vale a una afirmación, esta última proposición equivale a 'Lucas es soltero7 que, obviamente, no puede ser verdadera si Lucas es viudo. Como sabemos, una disyunción, en este caso b', con am­ bos componentes falsos es falsa. Consecuentemente, la transfor­ mación de b a b ' es lógicamente inadmisible porque obtiene a partir de una proposición verdadera una falsa. Vale decir, no se cumple el sentido fundamental de la lógica que es la transmisión de la verdad. Sin embargo, lo anterior no se debe a deficiencias lógicas sino a deficiencias en el castellano. Nosotros hemos supuesto que 'ca­ sado7y 'no soltero7son sinónimos y eso no es correcto. Ello debi­ do a que en los lenguajes naturales la sinonimia es siempre muy imprecisa. Por tanto, b ' no ha sido obtenida desde b por aplica­ ción de reglas lógicas sino por aplicación de sinonimias castella­ nas que, por ser imprecisas, conducen a error. De este modo queda aclarado que las proposiciones tauto­ lógicas formuladas en un lenguaje natural tienen la propiedad de no poder ser transformadas, sin restricciones, por sus supuestas equivalentes. En cambio, las fórmulas tautológicas pueden ser

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reemplazadas, sin limitación alguna, por sus equivalentes. El no conocer esta distinción conduce al error de atribuir las mismas propiedades a las fórmulas tautológicas y a las proposiciones tautológicas. Por ello, en esta sección el lector deberá tener pre­ sente cuándo nos referimos a unas y cuándo a las otras. En lo que sigue consideraremos a las proposiciones tauto­ lógicas como un caso particular o un ejemplo, en un lenguaje na­ tural, de la estructura o forma que muestra la correspondiente fórmula tautológica. Asimismo, todas las reglas lógicas proporcio­ nadas en este libro se refieren, propiamente, a fórmulas de PM.

7.4» Los principios lógicos clásicos Es importante señalar que los lógicos desde Aristóteles hasta el siglo pasado acostumbraron a hablar de tres principios lógicds fundamentales: el de identidad, el de no-contradicción y el del tercio excluido. Las proposiciones que en lenguaje natural corres­ ponden a cada uno de estos principios, en el mismo orden en que han sido nombrados, son las siguientes: c. Toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera. d. No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. e. Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No'-existe una posibilidad intermedia. Estas tres proposiciones, introduciendo variables proposicionales, podemos expresarlas así: c'. p es verdadera si y sólo si p es verdadera. d'. No es posible que p sea verdadera y falsa a la vez. e'. O p es verdadera o p es falsa. Luego introduciendo las conectivas que conocemos y acep­ tando que escribir la variable p sin negación equivale a decir p es verdadera y con negación, a decir p es falsa, nosotros podemos tra­ ducir las proposiciones, c, d y e dadas en lenguaje natural, a las siguientes formuladas en el lenguaje lógico.

114

( Principio de identidad) ( Principio de no-contradicción) ( Principio del tercio excluido)

c". p p d". ~ ( P A ~ p) e". p v ~ p

Mediante el método de las tablas probaremos que estas pro­ posiciones son tautologías. P V F

P P V V

Tabla 12

Los filósofos tradicionales magnificaron las tres proposiciones anteriores y consideraron que eran las que tenían la jerarquía máxi­ ma dentro de la lógica. Igualmente, pensaron que eran los princi­ pios fundamentales de la realidad, razón por la que fueron conside­ radas las proposiciones fundamentales de la Ontología. Hoy día cual­ quier aprendiz de lógica sabe que rigen el comportamiento de los lenguajes lógicos standard, tipo PM, pero que admiten usos diferen­ ciados en los lenguajes no clásicos, como los que se usan para cons­ truir los sistemas polivalentes de Lukasiewicz, el sistema intuicionista de Heyting o los sistemas paraconsistentes de Jaskowskiy Da Costa, entre otros. El error de los filósofos y lógicos tradicionales radicó en sostener que estas proposiciones eran privilegiadas por ser las úni­ cas necesariamente verdaderas de manera evidente. La investigación de este siglo ha probado fehacientemente que, por ejemplo, el principio del tercio excluido no es umversalmente verdadero. Esto se desprende de la lógica del polaco Lukasiewicz, que admite, además de los valores verdadero-falso, un tercer valor. A esta lógica se le denomina polivalente para oponerla a la que es­ tudiamos en este texto que se llama bivalente, porque sus variables pueden asumir sólo dos valores (verdadero, falso). Los trabajos de Lukasiewicz son un argumento entre muchos contra la lógica tradi­ cional y contra el no menos tradicional criterio de evidencia. Es pertinente aclarar que el principio de identidad también puede ser lógicamente expresado mediante un condicional que tiene como antecedente y consecuente a la misma variable.

115

Es muy sencillo probar que esta fórmula es una tautología. (Dejamos como ejercicio para el estudiante la construcción de la tabla de verdad correspondiente).

7.5. La validez lógica Las tautologías son fórmulas que han llamado la atención de los filósofos y de los lógicos por tener la peculiaridad de ser siempre verdaderas. Por esta razón se les denomina fórmulas lógicamen­ te verdaderas o lógicamente válidas. En ellas no resulta decisivo el valor concreto que asuman las variables proposicionales componentes, pues el valor verdadero corresponde de la misma manera a todos los arreglos. De esta suerte, las tautologías, originan una situación muy similar a la de las funciones constantes en matemática. Por ejemplo, la función 'y = x ' siempre da lugar a 'y = V para todos los valores enteros de V , pues es conocido que una potencia de grado cero es igual a 1, cualquiera que sea el número entero de la base. De manera análoga, una tautología es una función de verdad constante que siempre toma el valor verdadero sea cuales fueren los valores de sus variables componentes. El estudio de esta clase de funciones de verdad constituye la tarea fundamental de los sistemas de ló­ gica proposicional, en tanto ellas son un instrumento poderoso para el análisis de los argumentos dados en el lenguaje natural y en los lenguajes formalizados, como es el caso de la matemática. Definición 14. Si una proposición formulada en el lenguaje de lógica proposicional es-una tautología, entonces se dice que es una proposición lógicamente verdadera o lógicamente válida,

y

Algunos autores llaman a las proposiciones lógicamente vá­ lidas, simplemente, válidas. Otros ponen énfasis en el hecho de que el método de las tablas es puramente formal y se realiza con total independencia de la observación de los hechos, razón por la que a las tautologías las llaman proposiciones analíticamente verdaderas o verdaderas a priori.

116

7.6. Tautologías vs. fórmula lógicamente válida Durante las décadas de 1920 y 1930 muchos filósofos y lógicos, en­ tre ellos L. Wittgenstein, usaron los conceptos de afirmación lógi­ camente válida y de tautología como sinónimos. Sin embargo, este uso generó dificultades cuando se usó el lenguaje de PM para for­ malizar teorías matemáticas que presuponen la existencia de con­ juntos infinitos actuales, las mismas que resultaron ser la mayoría. Una solución fue denominar tautologías solamente a las fórmulas lógicamente válidas del lenguaje proposicional y a las de los len­ guajes predicativos cuyas fórmulas sean traducibles a las del len­ guaje proposicional. Pero a las fórmulas de los lenguajes predica­ tivos que son siempre verdaderas y que no son reducibles a fór­ mulas del lenguaje proposicional de PM se les denominó sólo ló­ gicamente válidas o lógicamente verdaderas. Rudolf Camap, no­ table lógico de nuestro siglo, usó la expresión afirm ación L-verdadera para expresar esta calificación. La distinción anterior significa que en el uso actual el con­ cepto de fórmula lógicamente válida tiene mayor generalidad que el de tautología. Es decir, toda tautología es una fórmula lógicamente válida pero no toda fórmula lógicamente válida es una tautología. En breve, el conjunto de las tautologías es un subconjunto propio del conjunto de las fórmulas lógicamente válidas. Para ilustrar lo antes afirmado será suficiente dar un ejemplo intuitivo, en lenguaje natural, de una afirmación que siempre es verdadera pero que no es reducible a una fórmula proposicional. Es el caso de la afirmación T ara todo objeto x, se cumple x = x' (Todo objeto es igual a sí mismo ). En efecto se trata de una afirma­ ción atómica, lógicamente válida, que no puede ser representada simplemente por p, pues de hacerlo tendríamos que aceptar que puede tomar el valor verdadero o el valor falso. Y nuestra afirma­ ción en ningún caso es falsa. Por tanto, no es expresable en el len­ guaje proposicional de PM.

117

7.7. Tautología vs. contenido informativo En la tabla de una fórmula de dos variables proposicionales, el margen siempre contiene cuatro arreglos que son los pares orde­ nados ( V, V ), ( V, F ), ( F, V ) y ( F, F ). En general, para una fórmula de n variables proposicionales, el margen contendrá 2n arreglos y cada uno de ellos será una n-ada ordenada tal que la primera tendrá n valores verdaderos y la última n valores falsos. El esquema es como sigue:

Cada arreglo del margen del esquema anterior ha sido inter­ pretado como un 'mundo posible', concepto acuñado por el filó­ sofo Leibniz. Esto quiere decir que el primer arreglo representa un mundo cuyos hechos convertirán en verdaderas a todas las variables de la fórmula dada y el último arreglo representa un mundo cuyos hechos convertirían en falsas a todas sus variables. Los arreglos intermedios, que sólo se sugieren, representarían diversos mundos que convertirían en verdaderas a unas variablesy en falsas a otras. Según el filósofo Wittgenstein, el conjunto délos mundos posibles (arreglos) constituye el 'espacio lógico'. En la medida que cualquier tautología es una función de ver­ d ad / ( pt , —, p n ) siempre verdadera, significa que es igualmen­ te verdadera en todos los mundos posibles sin excepción. De esto se deduce que una tautología no describe específicamente mun­ do alguno y, por tanto, no nos dice nada especial del llamado mundo real en el que vivimos. Por tanto, una tautología sería una manera de decirnos que todos los mundos son igualmente posi­ bles, el nuestro y cualquier otro racionalmente pensable. Debido a ello Wittgenstein afirmó que las tautologías "abren el espacio

118

lógico" mientras las contradicciones lo cierran al ser siempre fal­ sas, lo que equivale a afirmar que ningún mundo es posible. Lo dicho significa que las tautologías son lógicamente váli­ das pero vacías de contenido informativo. Por ello no nos sirven como afirmaciones científicas sobre la realidad sino como re­ glas de deducción que transfieren la verdad establecida previa­ mente por la investigación científica. Son poderosas para orga­ nizar lógicamente el conocimiento pero no para producirlo.

119

VIII FORMALIZACIÓN

Objetivos: * Definir y aplicar el concepto de formalización de argumentos expresados en un lenguaje natural en función de fórmulas de PM. * Comprender el concepto de postulación. * Definir la noción de inferencia. * Analizar la validez o invalidez de argumentos formulados en el lenguaje natural. * Conocer y aplicar el método indirecto al análisis de la válidez lógica de argumentos.

CUESTIONARIO 8 Formalización

Instrucciones I. Responder de manera precisa a las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. 5.

¿Es el concepto de verdad sinónimo del de deducción? ¿ Es verdad que a la lógica no le interesa la semántica? ¿Cuáles han sido los aportes de Tarski y Kurt Godel a la lógica? ¿Cómo se define el proceso de formalización lógica? ¿Es el lenguaje proposicional de PM adecuado para la forma­ lización de argumentos científicos? 6. ¿Cómo se denomina la forma de argumento (fórmulas) que es­ tablece que si el antecedente es verdadero el consecuente tam­ bién lo es? 7. ¿Cómo se denomina la forma de argumento (fórmulas) que es­ tablece que si una conjunción es verdadera, entonces cualquie­ ra de sus componentes también lo es? 8. ¿Cómo se denomina la forma de argumento (fórmulas) que es­ tablece que la relación de deducción es transitiva? II. Decidir por el método indirecto la validez lógica de las siguien­ tes fórmulas. 1. ( ( p A q )

a i )

- > ( s —> q )

2- ((pvq)vr)—» ( p A s ) 3-((p-»q)A ( r - » s ) ) - » ( ~ s - » ~ p )

[123]

4. ( p - > q ) - > ( r v ( p - > q ) ) 5.(p-^(qvr))-> ((q A r)A s) III.

Determinar si los siguientes razonamientos son válidos. (Sólo debe usarse en la formalización la disyunción inclusiva).

1. Si el postulado V es independiente, entonces no puede ser un teorema. El postulado V es independiente, luego no es un teorema. 2. Si la geometría de Lobaclievski es correcta, entonces el postulado es independiente. Si el postidado V no es independiente, entonces no es un teorema. Por tanto; si la geometría de Lobaclievski es correcta, en­ tonces el postulado no es un teorema. 3. Un número es inductivo o transfinito. Pero no es inductivo. Luego es transfínito. 4. Si Gódel hubiera estado joven, entonces habría demostrado la hipóte­ sis del continuo. Pero Gódel no demostró la hipótesis del continuo. En consecuencia, Gódel no estaba joven. 5. Si un país no puede cubrir las necesidades primarías de. su gente, en­ tonces no puede gastar dinero en distracciones como el fútbol. Pero si gasta en distracciones como el fútbol, entonces los aficionados olvida­ rán sus problemas mientras dure el partido. Luego, si un país no pue­ de cubrir las necesidades primarías de su gente, entonces los aficiona­ dos olvidarán sus necesidades mientras dure el partido. 6. Si las leyes son justas, entonces todos son tratados de manera igual. Si hay privilegiados, entonces no todos son tratados igual O todos son tratados de manera igual o no lo son. En consecuencia, o las leyes no son justas o no hay privilegiados. 7. No es posible que una persona sea privilegiada y defensora de lo justo. Pero es privilegiada, entonces no es defensora de lo justo. 8. Si la matemática es correcta, entonces es eficaz. La matemática es efi­ caz. Por tanto, la matemática es correcta. 9. Si alguien impone su voluntad por la fiierza, entonces está recurrien­ do a la ley del más fuerte. Si alguien recurre a la ley del más fuerte, entonces se está portando como si fuera una fiera en la selva. Por tan­ to, si alguien no se comporta como una fiera de la selva, entonces no impone su voluntad por la fuerza. 10. Hitler ordenó la quema de libros porque creyó que las ideas podían ser quemadas. Si Hitler no tuvo éxito, entonces los que hoy queman libros

V

V

124

correrán la misma suerte. O bien los que queman libros no corren la misma suerte. O bien Hitler no ordenó la quema de libros. En conse­ cuencia, o Hitler tuvo éxito o las ideas no pueden ser quemadas. IV. Responda a las siguientes preguntas: 1. ¿En qué consiste la postulación ? 2. De acuerdo con la Lógica y a la Matemática moderna ¿hay al­ guna diferencia entre axioma y postulado? 3. ¿Cómo se define la inferencia? 4. ¿Cuándo un argumento está adecuadamente formalizado? 5. ¿Qué se hace para que los argumentos muestren su estructura lógica? 6. ¿Cuándo es un argumento lógicamente válido? 7. ¿Asegura la validez lógica la verdad de las premisas de un ar­ gumento? 8. ¿Qué es lo que esencialmente prohibe la validez lógica de un argumento? V. Complete correctamente las siguientes afirmaciones: 1. Un condicional cuyo antecedente es una proposición contradictoria es necesariamente.......................... 2. En todo argumento se postula la verdad d e .............. 3. Un argumento carece de fiabilidad lógica cuando se encuentra que las premisas son................................... 4. Un argumento no es lógicamente válido si hay un arreglo en el que las premisas son..............y la conclusión e s ...........

125

LECCIÓN 8 Formalización

8.1. Formalización mediante un lenguaje proposicional Iniciamos esta sección definiendo el concepto de formalización, como el proceso de traducción de un conjunto A de afirmacio­ nes, formuladas en un lenguaje L, a fórmulas escritas en un len­ guaje lógico, en este caso, el lenguaje PM. Este proceso a su vez puede definirse como una función matemática f que toma como dominio al conjunto de afirmaciones A y como rango al conjun­ to B, el mismo que tiene como miembros a cada una de las fór­ mulas de PM . La función f se comporta de tal manera que a cada una de las afirmaciones de A le asigna una única fórmula de B. El proceso de formalización es el mecanismo más conocido para aplicar un lenguaje proposicional al análisis del lenguaje científico y del lenguaje natural. Sin embargo, el lenguaje proposicional PM y todos sus similares son muy pobres para analizar el lenguaje científico, razón por la que sus aplicaciones más usuales se realizan con el lenguaje natural. Ello explica que numerosos textos de lógica elemental, se dediquen a examinar razonamientos que carecen de toda relevancia científica y que inclusive son perogrullescos. Es verdad que en la medida que la lógica trata propiamente con fórmulas; el contenido de las afirmaciones que se usa como ejemplos es irrelevante para la comprensión de las propiedades lógicas de las fórmulas. Pero esto no ocurre desde la perspectiva de la aplicación. En efecto, la lógica moderna o matemática no se

[127]

inventó para analizar razonamientos cotidianos sino para abor­ dar con rigor los procesos deductivos que realizan los matemáti­ cos, y los científicos que usan la matemática como medio expresi­ vo de sus teorías. Por ejemplo, una preocupación central de Frege, uno de los fundadores de la lógica actual, fue la fundamentación lógica de la definición del concepto de número natural y de la aritmética. Nosotros asumimos como criterio, en la elaboración de este texto, que la enseñanza de la lógica debe tender a usar ejemplos que permitan visualizar su relevancia en el desarrollo de la cien­ cia y de la tecnología. Para ello el lenguaje proposicional es muy pobre porque carece de medios para analizar conceptos científi­ cos debido a que carece de predicados, relaciones y cuantificadores. Ello da lugar a que no permita hablar de la verdad de pro­ posición alguna respecto de un conjunto de objetos y de relacio­ nes definidas entre los mismos, lo que constituye el meollo de las proposiciones científicas significativas. La formalización teóricamente interesante se realiza mediante la construcción de modelos para las teorías científicas. Este es un proceso a través del cual se dota a un sistema de fórmulas lógicas de significado específico respecto de las propiedades de los obje­ tos que son miembros del conjunto de base del modelo. De esta manera se asigna a los sistemas lógicos una semántica que da lugar a que la lógica no sea una disciplina puramente sintáctica o formal. Ciertamente, el concepto de verdad es el más importante de la semántica lógica y el de deducción o prueba de la sintaxis. Por algún tiempo se pensó que los conceptos anteriores tenían la misma extensión. Se conjeturó que las afirmaciones' Si A es deduciblédentro de la teoría T, entonces A es verdadera en un modelo de Y y ' Si A es verdadera en un modelo de T, entonces A es deducible en T eran, ambas, verdaderas. El investigador Kurt Gódel derrumbó esa esperanza en 1931 cuando demostró que la segunda afirma­ ción era falsa. Probó que en toda teoría matemática interesante existe al menos una proposición que es verdadera en el modelo principal pero que es indeducible. Este resultado, conocido como el segundo teorema de Gódel sobre proposiciones indecidibles, es, tal vez, el más famoso del siglo XX en lógica matemática por-

128

que establece que el concepto de verdad tiene un significado más rico que el de deducción o prueba. El lógico polaco Alfredo Tarski es reconocido como el instaurador de la Teoría lógica de modelos en la década de 1940. Se mencionan a su lado los trabajos de Henkin y Robinson. Destaca­ mos este hecho porque todos lo trabajos serios en formalización lógica están enmarcados dentro de la teoría de modelos y noso­ tros en este curso introductorio no estudiaremos estos conceptos. Sin embargo, daremos algunos instrumentos conceptuales y sim­ bólicos para que nuestros ejercicios de formalización no se limi­ ten al puro análisis del lenguaje natural. Asimismo, presentare­ mos los elementos básicos para comprender la aplicación de la lógica al diseño de circuitos para computadoras digitales, para lo cual sí es suficiente un lenguaje proposicional reducido.

8.2. ¿Qué significa 'postular' la verdad de una proposición? Para comprender adecuadamente cualquier análisis lógico de in­ ferencias, llamadas también argumentos, es indispensable tener una idea muy clara del significado del concepto de postulación. De la misma manera, la comprensión de este concepto es clave para la captación de la naturaleza de la demostración matemáti­ ca y de las hipótesis de las ciencias empíricas. Se postulan esencialmente proposiciones y hacerlo equivale exactamente a suponer que ellas son verdaderas. Consecuente­ mente, el que postula la verdad de una proposición no afirma que esa proposición es efectivamente verdadera sino que él adopta la estrategia de suponer o ponerse en el caso de que sea verdadera. Si la proposición postulada resulta falsa entonces sólo cabe retirarla y postular otra en su lugar. Las proposiciones fundamentales o primitivas de la mate­ mática y de la lógica son esencialmente postulaciones, motivo por el cual muchos especialistas contem-poráneos prefieren hablar de postulados en lugar de axiomas. Sin embargo, cuando un mate­ mático contemporáneo o un lógico todavía habla de axiomas, no lo hace pensando en proposiciones evidentes por sí mismas, como tradicionalmente se pensó desde Euclides, sino en proposiciones cuya verdad se supone. Consecuentemente, los axiomas de cual­

129

quier sistema matemático son postulaciones que se hacen con in­ dependencia de que su verdad sea o no evidente. Asimismo, los conceptos de axioma y de postulado son hoy día, en los medios especializados, completamente equivalentes. 8.3. In feren cia Tradicionalmente se da como ejemplo de inferencia razonamien­ tos como los siguientes: (I) a. b.

Si estoy viendo una película entonces estoy en el cine. Estoy viendo ima película. Por tanto, estoy en el cine.

Juan es buen alumno o buen hijo. d. Juan no es buen alumno. Por tanto, Juan es buen hijo.

(II) c.

El sentido de estos dos razonamientos es afirmar la verdad de las proposiciones llamadas conclusiones (las que se encuen­ tran debajo de las rayas) a partir de la verdad de las proposicio­ nes llamadas premisas (las que se encuentran sobre las rayas). Lo importante aquí es reconocer que la verdad de las premisas es postulada. Sólo si se admite la suposición de su verdad, la infe­ rencia tiene sentido. De ser falsas las premisas, la inferencia no es incorrecta sino sin relevancia desde el punto de vista lógico.

rDefinición 15. Una inferencia o deducción es una operación lógica p or la que a partir de la postulación de la verdad de ciertas proposiciones llam adas premisas, se deriva la verdad de otra proposición llam ada conclusión.

Los ejemplos de inferencia dados anteriormente se encuen­ tran formulados en lenguaje natural. Podemos dar otro usando esta vez proposiciones de la matemática.

Si 2x =8, entonces x = 4 f. 2x = 8___________________________ Por tanto x = 4

(III) e.

130

Para diferenciar las inferencias de la matemática, que gene­ ralmente son llamadas demostraciones, de las formuladas en el lenguaje natural, los autores usualmente llaman a las segundas razonamientos o argumentos. Nosotros utilizaremos esta última denominación.

8.4. Formulación y análisis de la validez de argumentos mediante el lenguaje de la lógica proposicional En efecto, los ejemplos I y II son típicamente argumentos porque están dados completamente en lenguaje natural. Estos argumen­ tos constituyen inferencias pero todavía no sabemos si son, ade­ más, lógicamente válidas. Dar un método que nos permita esta­ blecer o decidir si esto último ocurre es lo que nos preocupará en adelante. Lo primero que hay que hacer para poder decidir la validez lógica de un argumento es determinar su estructura o forma. Nosotros estamos en condiciones de hacerlo, por ejemplo, con los argumentos I y II, porque estamos en condiciones de traducirlos al lenguaje lógico. A este proceso de traducción de un argumento dado en lenguaje natural al lenguaje lógico es lo que se denomina la formalización lógica de un argumento. Por extensión, cuando una demostración matemática es traducida al lenguaje lógico tam­ bién se dice que ha sido formalizada. Un argumento está adecuadamente formalizado cuando cada una de sus distintas proposiciones atómicas ha sido sustituida por distintas variables proposicionales y las palabras tales como y, o, Si... entonces ..., etc., han sido sustituidas por los correspon­ dientes signos lógicos, denominados conectivas. Esto le da al len­ guaje lógico capacidad para mostrar la estructura de los argu­ mentos sin considerar su contenido o significado. Examinando el ejemplo I y representando por p la proposi­ ción Estoy viendo una película y por q la proposición Estoy en el cine, encontramos fácilmente que la traducción de tal argumento al lenguaje lógico es la siguiente:

131

p —> q

\

P

J q}

s ( p A 0 ) -» s 0 -> s 1 p v~p

< X

B. p - > ( q v r v ~ r ) p - > ( q v 1) p-»l 1

( por (por ( por ( por

ra6.2) ra6.4) ra6.8) ra6.1)

( por ( por ( por ( por

ra6.1) ra6.5) ra6.7) ra6.1)

C. ( p A q A ( s v ~ s ) ) - > ( q v ( P A P ) ) ( por ra6.1 y ((P A q )A l)-> (q v O ) ( por ra6.3 y ( P A q ) —> q La ventaja de las reglas ra6.1 - ra6.8 parece obvia. Es claro que la fórmula simplificada es equivalente, en cada caso, a la inicial.

143

IX DEDUCCIÓN NATURAL

O b je tiv o s.• Comprender y usar las reglas de deducción natural (RDN) como aquellas que permiten transferir la verdad de unas proposicio­ nes a otras. • Ejecutar deducciones directas y por reducción al absurdo (RAA) adquiriendo destreza en el manejo de 21 reglas de Gentzen. • Manejar las RDN como procedimiento no algorítmico de carác­ ter heurístico. • Resolver problemas cuya solución requiere del ejercicio del pen­ samiento hipotético deductivo.

Cuestionario 9 Deducción natural

Instru cciones I. Justifique las siguientes deducciones propuestas por Irving Copi en su libro Symbolic Logic 1.(1) (O - > ~ P ) a ( ~ Q - > R ) (2) ( S - » T ) a ( ~ U - » ~ Z ) (3) ( ~ P - > S ) a ( R - > ~ U ) (4) ( T v ~ Z ) —» ( W a X ) (5) O v ~ Q / \ W a X 6. ~ P v R 7. S v ~ U 8. T v ~ Z 9. W a X 2.(1) (2) (3) (4) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

[(Av ~ B )V C ]-> [D (E ( A v ~ B ) —» [ ( F « * G ) - > H] A [ ( E F ) - » ( F G )] A / \ D —» H Av ~B (Av~ B )v C D ( E « * F ) ( E « * F ) - > ( F G) D —» ( F G ) (F G)->H D —» H

[147]

3.(1) (2) (3) (4) (5) 6. 7.

A -» B C -> D ~ Bv~ D ■ A ( E a F ) - » C / \ ~ ( E a F) (A->B) a (C->D) ~A v ~C

8.

~C

9.

~ (EaF)

4.(1) (2) (3) (4) (5) 6. 7. 8. 9.

( G - » H ) - » ( I M ) ( G -> H ) v ~ K N -> ( L -> M ) ~ (I o j ) / \~N ~ ( G -> H ) ~K ~ ( L -> M ) ~N

5.(1) H -> ( I -» J ) (2) K -» ( I - > J ) (3) ( ~ H a ~ K ) - > ( ~ L v ~ M ) (4) ( ~ L - » ~ N ) a ( ~ M ~O) (5) ( P - > N ) a ( Q - » O ) (6).~(I-> J ) / \ ~ P v ~ Q 7. ~ H 8. ~ K £ ~H a ~K 10. ~ L v ~ M 11. ~ N v —O 12. ~ P v ~ Q II.

Ejecute las siguientes deducciones o pruebas formales. Los ejer­ cicios 4 y 5 deben ser resueltos por reducción al absurdo

1.(1) F v ( G v H ) (2) ( G - > I ) a ( H - > J )

148

(3) ( I v J ) - » ( F v H ) (4) ~ F / H 2.(1) (2) (3) (4)

K -» L M -> N ( O -» N ) ÍJ ( P -» L ) (~Nv~L)a(~M v~0) /

3.(1) (2) (3) (4) (5)

Q -> ( R - > S ) ( R -» S ) -> T (S aU)->~P ~P ->(R ~W ) ~ T v ~ ( R < - > ~ W) /

(~Ov~P)a(~

M

v

~K)

~ Q v ~ ( S a U)

4.(1) ( 0 - » ~ P ) a ( P - » Q ) (2) Q - > O (3) ~ R -> P / R 5.(1) (2) (3) (4)

X - » (Y -> Z ) X -» ( A -» B ) X a (Y v A) ~ Z / .‘. B

6 .( 1) C - » ( D - > ~ C ) (2) D/ ~ C a ~D 7.(1) J v ( ~ K v J ) (2) K v ( ~ J v K ) /

(JaK )v (~ J a~ K )

8.(1) ( L v M ) v ( N a O ) (2) ( ~ L a O ) a ~ ( ~L a M ) / III.

~La N

Resolver aplicando la RDN, de prueba condicional, las siguien­ tes deducciones

1.(1) ( A v B ) - > ( C a D) (2) ( D v E ) - » F / A -» F

149

2.(1)

(EvF)-> G (2) ( J - > ~ G ) a ~ H K (3) J v K / /. E

3.(1) Q - > P (2) T v S (3) Q v ~ S /

~(Pv R)-> T

4.(1) A - > ( B - > C ) (2) B -» ( C -> D ) / /. A —> ( B —> D ) IV. A continuación se presenta un conjunto de premisas y un con­ junto constituido por conclusiones, algunas de las cuales se si­ guen lógicamente desde las premisas y otras no. En otras pala­ bras, algunas de las conclusiones propuestas completan las * premisas de manera tal que configuran con ellas un razonamien­ to o argumento lógicamente válido, mientras que otras no se comportan así. El ejercicio consiste en decidir mediante tablas de verdad, en cada caso, si la conclusión propuesta se sigue lógicamente o no desde el conjunto dado de premisas. Además, debe construirse una deducción sólo para los casos en los que el argumento es lógicamente válido. a)Premisas 1) La lógica es difícil o no le gusta a muchos estudiantes. 2) Si la matemática es fácil, luego la lógica no es difícil. Conclusiones propuestas ¿Se sigue lógicamente? C . La matemática no es fácil si a muchos estudiantes les gusta la lógica.____________________________ C2. A muchos estudiantes no les gusta la lógica si la matemática no es fácil._______________________________________________ C3. La lógica no es difícil o la matemática es fácil._______________________________________

150

Conclusiones propuestas

¿Se sigue lógicamente?

C„.La matemática no es fácil o la lógica es difícil._______________________________________ C5. La lógica no es difícil o la matemática no es fácil.________________________________________________ C6. La lógica es difícil o la matemática no es fácil._______________________________________________ Cr Si a muchos estudiantes les gusta la lógica, Luego la matemática no es fácil o la lógica no es difícil.______________________________________________

151

LECCIÓN 9 Deducción natural

9.1. La deducción de Gentzen Las reglas conocidas como de Deducción Natural fueron propues­ tas en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen. Desde entonces se conocen diversas variantes de ellas que algunos textos de lógica presentan como reglas para construir deducciones o pruebas for­ males. A nosotros nos parece más adecuado respetar su denomi­ nación original de Reglas de Deducción Natural, aunque la versión que presentamos ya no sea la de Gentzen sino una versión más in­ tuitiva y pedagógica. Esto al propio tiempo quiere decir, desde el punto de vista lógico, un conjunto más recargado de reglas puesto que la facilidad pedagógica hace recomendable que se usen como si fueran reglas necesarias, algunas que realmente son omitibles por aplicación reiterada de otras reglas básicas. Sin embargo, si obviaramos las reglas que no son básicas, las deducciones serían más sim­ ples si se considera que se utilizaría un número menor de reglas, pero serían menos pedagógicas y más laboriosas si se considera la mayor longitud de las deducciones resultantes.

9.2. Transferencia de la verdad Para entender el sentido fundamental de las Reglas de Deducción Natural (RDN) es necesario tener presente que la función esen­ cial, de cualquiera de estas reglas, es la transferencia de la ver­ dad de unas proposiciones a otras. A las proposiciones que se usa

[1531

como condiciones iniciales para este proceso de transferencia se les conoce como premisas y a las proposiciones que reciben la ver­ dad transferida o que «heredan la verdad», por así decirlo, se les denomina conclusiones o consecuencias lógicas. Esta idea se pue­ de graficar (Fig. 1) a través de un modelo de caja negra que con­ cibe a las reglas de deducción como una máquina, la que cada que entra información verdadera en sus unidades de procesamien­ to, emite o produce como salida, necesariamente, información ver­ dadera. Adicionalmente, la máquina no proporciona garantía al­ guna cuando la información que ingresa es falsa, pues no está di­ señada para procesar entradas falsas. Recíprocamente, la máquina sí está diseñada para asegurar­ nos que si la salida emite información falsa, entonces está ingre­ sando, necesariamente, información falsa. Esto se puede graficar (Fig. 2) mediante el mismo modelo de caja negra añadiendo un circuito de feed back o de retroalimentación. Fig. 1

Fig. 2

V

V Entrada

Salida

Entrada

Salida

F

F ------------- B B -» C ..A ->C 4. A v B -A B 156

Modus Ponens

(MP)

Modus Tollens

(MT)

Silogismo Hipotético

(SH)

Silogismo Disyuntivo

(SD)

5. A —» B Dilema C -> D Constructivo A vC • B vD 6. A-> B Dilema C -> 1) -B v ~D Destructivo -A v~ C 7. P a Q y también P a Q .P Q p 8. P y también Q Q .Q a P PaQ V también P 9. P ■Qv P ..P v Q 10. ~ ( P a Q) -(P v Q )

sss sss

~P v ~ Q ~P a ~ Q

11. ( P a Q) (P v Q ) 12. P A (Q A R) P V (Q V R) 13. P a (Q v R) P v (Q a R) 14. P 15. A ->B

sss sss sss sss sss sss sss sss

( Q a P) (Q v P )

16. A ^ -B

sss

(PaQ)aR

(P v Q )v R

(DC) (DD) Simplificación (Simp.) Conjunción (Conj.) Adición (Ad.) Regla de De Morgan (DM) Conmutatividad (Conm.) Asociatividad (As.)

(PaQ)v(PaR

)Distributividad (Dist.)

(Pv Q ) a (Pv R)

—P Doble negación (DN) ~B —> ~A Transposición (Trans.) ~A v B Definición de 4— por ‘v ’

157

17. A o B

sss

18. A B 21. A —> ( B a ~ B ) ~A

Reducción al absurdo (RAA)

9.6. Aplicación de las reglas RDN En lo que sigue presentamos ejemplos de deducción natural que prueban que una fórmula denominada conclusión se deduce de otras fórmulas que son, en cada caso, las premisas. Es importan­ te enfatizar que las fórmulas en sí mismas no son ni conclusiones ni premisas y que estas denominaciones hacen referencia a la fun­ ción específica que cumplen en una situación determinada. Di­ cha función podría ser muy distinta en otro contexto. Al respec­ to, mencionamos que hay otro tipo de deducciones, denomina­ das axiomáticas, y semiaxiomáticas que no abordaremos en esta sección. Cada deducción está constituida por una secuencia de líneas numeradas, en cada una de las cuales está escrita una fórmula. Las líneas con los números entre paréntesis son las premisas y las Otras son las consecuencias lógicas de las premisas obtenidas por la aplicación de las RDN. La última línea debe ser necesariamen­ te la conclusión que se pretende deducir. En términos descriptivos, una deducción o prueba es una secuencia finita de líneas que por aplicación de los RDN transfor­

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ma unas fórmulas denominadas premisas, en otras fórmulas hasta obtener una deseada, denominada conclusión. A la derecha de cada línea, por razones pedagógicas, hemos escrito unas abreviaturas que corresponden al nombre de la regla que nos ha permitido obtener la respectiva fórmula. También apa­ recen, unos números que corresponden a las líneas anteriores a las que hemos aplicado las reglas, para obtener la transformación deseada. A estas inscripciones o anotaciones se les conoce como justificaciones de las líneas de deducción. Una presuposición válida y comprensible es que la forma­ lización de algún argumento que no hace falta especificar, ha dado lugar a la construcción de las premisas y de la conclusión pro­ puesta. El sentido de la prueba es establecer que desde las premisas se deduce la conclusión, más no que las premisas sean, en efecto, verdaderas, cuestión que como sabemos, no concierne a las re­ glas de deducción lógica. A continuación proporcionaremos un ejemplo explicativo del mecanismo de construcción de una deducción, conocida también como prueba formal. Nos valdremos nuevamente de un ejemplo tomado del libro de Irving Copi titulado Symbolic Logic. 1. (1) ( A a B ) -> [ A -» ( D a E ) (2)( A a B ) a C / .*. D v E 3. A a B 4. A - > ( D a E) 5. A 6. D a E 7. D 8. D v E

] Simp. (2) MP (1), 3 Simp. 3 MP 4, 5 Simp. 6 Ad. 7

Este ejercicio está constituido por ocho líneas de demostración o prueba. Las dos primeras (1) y (2) son premisas y desde la línea 3. a la número 8. tenemos seis líneas deducidas desde las premisas aplicando las RDN. Al costado de la línea (2) y después de un seg­ mento diagonal, sucedido por tres puntitos, se encuentra escrita la conclusión que se pretende obtener o probar. Por tanto, la parte que está a la derecha de los tres puntitos no es parte de la deduc-

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ción sino sólo una ayuda para que el aprendiz tenga presente a dónde quiere llegar con los pasos demostrativos. Las líneas (1) y (2) no requieren justificación porque la verdad de las premisas se presupone o postula. La línea 3. ha sido deduci­ da de la linea (2) por la RDN N.° 7, de simplificación, debido a que ( A a B ) a C tiene la forma del esquema de fórmula P y\Q. La línea 4. ha sido obtenida por aplicación de la RDN N.°l (MP) a las líneas (1) y 3, debido a que ( A a B ) —> [ A —> ( D a E ) ] tiene la forma de A -> B , de tal manera que ( A a B ) es A. La línea 5. se ha obtenido por una nueva aplicación de la regla de simplificación a la línea 3. La línea 6. se ha obtenido por una nueva aplicación de la regla 1., MP, a las líneas 4. y 5. La línea 7. se ha obtenido por aplicación, una vez más, de la regla de simplificación a la línea 6. Finalmente, la línea 8. se ha obtenido por aplicación de la RDN N.° 9, de Adición, a la línea 7. De este modo se ha deducido la conclusión propuesta desde las premisas numeradas con (1) y (2). Es claro que en cada deducción, cada línea tiene sólo dos posibilidades: O es una premisa o es consecuencia de una o más premisas obtenida por algunas de las RDN. Asimismo, es com­ pletamente lícito aplicar la misma regla tantas veces como se juz­ gue necesario. El ejercicio que hemos realizado se denomina de justificación de las líneas de deducción.

9.7. Las RD N no constituyen un algoritmo A continuación desarrollamos un ejemplo, también de I. Copi, muy similar al anterior. Este tiene la peculiaridad de contener 7 letras variables distintas. Esto significa, que si alguien deseara pro­ ba? por el método de las tablas que la conclusión se deduce de las premisas, tendría que construir una tabla con un margen de 128 arreglos que es el valor de 27. Asimismo, el uso del método indirecto para decidir si una fórmula es una tautología también sería laborioso. Por ello, una deducción de 9 líneas resulta un pro­ cedimiento breve y elegante que muestra las virtudes de las RDN. La limitación de las reglas que estamos presentando es que no constituyen un algoritmo porque no garantizan que, en un núme­ ro finito de pasos, decidiremos si la conclusión se sigue o no de las premisas. Podría ocurrir que la decisión debiera ser positiva

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pero que carezcamos del ingenio suficiente como para construir la deducción adecuada. Pero podría ser que la decisión debiera ser negativa y que carezcamos de ingenio para probar que la con­ clusión no se deduce de las premisas. Sólo tenemos garantías ple­ nas en un caso: cuando somos capaces de construir la deducción. Si es así, sabemos que la conclusión se deduce de las premisas como en el ejemplo que sigue.

(1)(~Xv ~ Y )-> [A -> (P a ~Q)] (2)(~Xa ~ R )-> [(P a ~Q)->Z] (3)(~Xa ~ R ) a ( ~ Z v A) / .*. A - ^ - Z 4. ~ X a ~ R

5. ( P a ~ Q ) - > Z 6. - X 7. ~ X v - Y 8. A - > ( P a

9. A - * Z

~Q)

Simp. (3) MP (2), 4 Simp. 4 A d.6 MP (1), 7 SH 8 ,5

Es importante puntualizar que los problemas lógicos y mate­ máticos tratables algorítmicamente son los más elementales. En lógica todos ellos se reducen, en última instancia, a la construcción de tablas de verdad o a su equivalente. En matemática, sólo son algoritmizables las funciones que se reducen a sumas. Empero los problemas relevantes en lógica y matemática plantean la creación de deducciones, lo que excede en mucho el nivel algorítmico.

9.8. Prueba condicional Ahora introduciremos un ejemplo que ilustre el manejo de la RDN 20, conocida como regla de la prueba condicional. Teóricamente, esta regla es muy importante porque expresa con claridad la idea de consecuencia lógica y es, además, irreductible a las diecinue­ ve anteriores. Destacaremos, inmediatamente, este segundo aspec­ to señalando que de las diecinueve reglas anteriores, diecisiete son redundantes en el sentido de que son omitibles al costo de hacer mucho más laboriosas las deducciones. Se trata de reglas que son derivables con ayuda de las no-omitibles que son el Modus Po­ nens, la definición que figura como RDN 16, la Prueba condicio­

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nal y la RDN 21, que es la regla de deducción o demostración por reducción al absurdo. Por tanto, las reglas omitibles cumplen la función de abreviaciones deductivas, las mismas que tienen un obvio interés desde el punto de vista pedagógico. Para comprender de qué manera esta regla da expresión al concepto de consecuencia lógica, podemos referir el hecho de que hay deducciones, lógicamente válidas, que sólo son posibles si se usa la regla de la prueba condicional (PC). Por ejemplo, la fórmu­ la A —> ( A a B ) se deduce desde la fórmula ( A -> B ). Sin embar­ go, la demostración correspondiente sólo se puede realizar, den­ tro del sistema de Gentzen, usando PC. La razón de ello, es que es la única regla que nos permite incrementar nuevas premisas para «ayudar» a las que ya disponemos, las mismas que pueden ser insuficientes. Sin embargo, esas premisas adicionales son una es­ pecie de «muletas» que una vez que nos permiten lograr el objeti­ vo deseado, podemos desecharlas, eventualidad que en el papel no se puede representar de manera muy intuitiva porque la refe­ rida «muleta» está escrita de la misma manera que las premisas propiamente dichas. A causa de ello se introduce una simbología especial prescrita por las reglas que a continuación especificamos. rcl. La regla PC está indicada en las deducciones en las que la conclusión a deducir tiene la forma condicional A —> B. rc2. Debe añadirse a las premisas dadas, como una premisa adi­ cional, la fórmula que sea antecedente de la conclusión buscada,y escribirse a su derecha Pr. ai., que es la abreviatura de Premisa adicional. rc3. Üsando las premisas dadas y la premisa adicional, aplicando fes RDN, deben hacerse las transformaciones que permitan de­ ducir la fórmula que figure como consecuente de la conclusión, lo cual se alcanza en el paso n de la deducción, al que lo llama­ remos línea Ln. rc4. En la línea siguiente, en Ln + 1 , constrúyase una fórmula con­ dicional que tenga como antecedente a la premisa adicional y como consecuente a la fórmula obtenida en la línea Ln. Escríba­ se a la derecha de la línea Ln + 1 , como justificación, la abrevia­ tura PC, con el número correspondiente a la línea de la premisa adicional y el número correspondiente a Ln.

162

rc5. Después de aplicada la regla anterior, trácese una flecha en L de tal manera que nazca al costado izquierdo del número de la línea de la premisa adicional y termine como si subrayara la fórmula de Ln. El sentido de esta flecha es precisar que la fórmula de Ln + 1 , que es la conclusión buscada, no depende de la premisa adicional sino solamente de las inicialmente dadas. Es el paso que marca el abandono de las «muletas» y es de uso muy importante cuando se aborda deducciones no muy elementales, las que escapan al alcan­ ce de este manual. Sin embargo, sería un error omitir esta regla. Nuestro ejemplo estará constituido por las fórmulas que ci­ tamos antes, por ser particularmente ilustrativas.

(1) A - > B /

A —> (A a B )

rc2

2. A

Pr. ad. Por

3. B

MP en (1) y 2 . Según

4. A a B ------------------------ >

5. A ^ ( A a B)

rc3 Conj. en 2 y 3 .Según rc3 PC en 2, - 4 según rc4

Un ejemplo adicional lo proporciona el siguiente ejemplo, tomado con algunas adaptaciones, del libro de Suppes titulado Introducción a la lógica matemática. S a ( ~ P v M) (2) M - > ( Q v R ) / :. P -> (~ Q -> R) 3. P 4. ~ P v M (1)

5. — P 6. M

7. Q v R 8. — Q v R 9. ~ Q ^ R ^ 10. P - > ( ~ Q - > R )

Pr. ad. Simp. en (1) DN en 3 SD en 4, 5 MP en 2, 6 DN en 7 RDN 16 en 8 PC en 3, 9

9.9. Demostración por reducción al absurdo La regla RDN 21 (RAA) es conocida desde la antigüedad en ma­ temática y la usó Euclides en su famosa obra Elementos. Consiste en postular o suponer que la conclusión no se deduce de las pre-

misas, para luego rechazar esta postulación debido a que condu­ ce a una contradicción de la forma A a ^ A. La aplicación de la deducción por reducción al absurdo es un caso particular de la deducción por PC. La variante radica en que se añade como premisa adicional la negación de la conclusión buscada. Luego, a partir de las premisas dadas y de la adicional, se deduce una fórmula contradictoria, se aplica PC y se niega (re­ chaza) la premisa adicional aplicando RDN 21. Finalmente por RD N 14, doble negación, se demuestra que la negación de la pre­ misa adicional es la conclusión buscada. En breve, la hipótesis básica de esta estrategia demostrativa es que toda postulación que conduce a contradicción es absurda y, por tanto, debe ser rechazada. Un ejemplo dará operatividad a esta explicación.

( 1 ) A - > ( B a C) (2) ( B v D ) -> E (3) D v A 4. ~E 5. ~( B v D ) 6. ~B a ~ D 7. ~D 8. A 9. B a C 10. B 11. ~B 12. B a ~B 13,. ~ E —» ( B a ~ B ) 14. — E 1'5. E

/.-. E Pr. Ad. MT en (2), 4 DM en 5 Simp. en 6 SD en (3), 7 MP en (1), 8 Simp. en 9 Simp. en 6 Conj. en 10, 11 PC en 4, - 12 RAAen 13 DN en 14

Los textos frecuentemente dan por concluida la deducción en la línea 12, cuando se deduce la contradicción. Eso es una abre­ viación. La idea completa es como se muestra en la deducción ¿nterior.

164

X SIMPLIFICACIÓN DEL LENGUAJE PROPOSICION AL PM

Objetivos: • Identificar el lenguaje Nicod como un lenguaje capaz de expre­ sar de manera completa la lógica proposicional standard me­ diante el uso de un solo operador. • Conocer y manejar las reglas del algoritmo de Post, para la tra­ ducción de una fórmula cualquiera en el lenguaje PM. • Comprender la importancia del lenguaje de Nicod en la tecno­ logía del diseño de los circuitos que constituyen la arquitectura del computador electrónico.

CUESTIONARIO 10 Simplificación del lenguaje proposicional PM

Instrucciones I. Responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Hasta cuántas conectivas de dos argumentos puede definirse? 2. ¿Puede seleccionarse sólo dos conectivas para construir un len­ guaje proposicional adecuado? 3. ¿Es posible enumerar las funciones de verdad diádicas que no tienen uso en el lenguaje PM?, ¿cuáles son? 4. ¿Existe alguna función de verdad diádica equivalente a la ne­ gación de la variable p y otra equivalente a la negación de la variable q l 5. Entre las funciones de verdad de dos argumentos ¿cuántas son funciones de valor constante? 6. Si a la negación de una función de verdad f la denominamos función inversa de f , ¿es verdad que cada función de verdad de dos argumentos tiene su función inversa? 7. Si consideramos funciones de verdad de tres argumentos o va­ riables proposicionales y las denominamos funciones triádicas ¿cuántas funciones de verdad triádicas puede definirse? 8. ¿Cómo se prueba que toda fórmula de PM es traducible al siste­ ma de Nicod? 9. ¿Es el lenguaje lógico más simple, a la vez, el de manejo más sencillo?

[167]

10. ¿Por qué puede afirmarse que el sistema de Nicod expresa el ideal de la Navaja de Occam? 11. ¿Podría el lenguaje construido por Nicod reemplazar al de PM? 12. ¿Es verdad que una fórmula del lenguaje PM admite una única traducción en el lenguaje de Nicod? II.Traducir al lenguaje de Nicod las siguientes fórmulas (en este ejercicio usaremos letras mayúsculas):

1. ~ ( ~ ( A a B ) a ~ ( D a E ) ) 2. ( ~ A a ~ B ) v ( ~ B a C )

3. ~ ( A v B ) v ~ ( C v D )

4. ~ ( ~ ( ~ ( C a D ) a ~ E ) a ~ ( ~ A a B ) ) 5. ( A a B ) v ( C a D ) 6. ~ ( ( ~ A v ~ B ) a ( ~ C v ~ D ) )

7. ~ ( ( A - > B ) a ( B - > A ) ) 8. ~ (( A v B) a ( A B ))

9 . ~ ( ~ ( A « B ) a ( C v D)) 10. 11. ( A v B ) -> ( B v 12. A -> ( B v A )

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A)

((

A —► B ) a A ) —► B

LECCIÓN 10 Simplificación del lenguaje proposicional PM

10.1. Las 16 funciones de verdad posibles Es importante señalar que las conectivas que utiliza el lenguaje PM son las que parecen más adecuadas para la formalización del lenguaje científico y del lenguaje natural. Sin embargo, ellas son sólo una parte del conjunto de las funciones de verdad de dos argumentos. Anteriormente, hemos definido cada conectiva diádica como una función f : W2 -> W, donde W = { V, F }, lo que equivale a afirmar que las matrices de la conjunción, disyunción, etc., son elementos de un conjunto de 16 funciones de verdad diádicas posibles, como lo demostraremos a través de la siguiente tabla. p q

f

f

f

V V F F

V V V V

V V V F

V V V V V V V V F F F F F F V V F F V F V F V F

V F V F

f

f5 f

f

f

f

f1 f 2 f3 f4 f5 f6

F F F F F F F V V V V F F F V V F F V V F V F V F V F V

F F F F

La tabla anterior muestra que su margen, que está constitui­ do por los cuatro pares ordenados del producto cartesiano W x W (W 2), puede ser asociado con 16 matrices posibles. Es visible que la función f2 corresponde a la disyunción inclusiva, f5 al con­ dicional, f 7 al bicondicional, f8 a la conjunción y flO a la disyun­ ción exclusiva. Las otras once matrices no tienen normalmente uso en PM, sin embargo, algunas de ellas podrían ser especial­

[169]

mente útiles, lo que de hecho ocurre con f9 y f l5 que se conocen como operadores de Sheffer. El primero se denomina operador de incompatibilidad y el segundo de negación conjunta. Aunque ambos se traducen de manera poco común al lenguaje ordinario, son especialmente productivos en los usos teóricos y tecnológicos de la lógica proposicional. En esta sección dedicaremos especial atención al operador de incompatibilidad, el mismo que sirvió a Nicod para crear un sistema lógico particularmente interesante por sus aplicaciones a la tecnología. Para representar la función f9 como conectiva usaremos el signo"/', conocido también como barra de Nicod. Su tabla de ver­ dad es:

p v

q v

V F F

V V F

p/q V V V F

Una inspección mostrará que la matriz de una fórmula de incompatibilidad es equivalente a la de ~ ( p a q ). Esto nos permitirá definirla explícitamente en los términos siguientes: /

_ \ Definición 17. Unafórm ula de incompatibilidad p / q e s fa lsa s i , y sólo si, sus dos variables proposicionales p, q son verdaderas. En cualquier otro caso el valor de su matriz será verdadero.

10.2. Lenguaje de Nicod Se conoce como lenguaje de Nicod a un lenguaje capaz de expre­ sar de manera completa la lógica proposicional standard a tra­ vés del uso exclusivo del operador , denominado barra de Ni­ cod, y de signos de agrupación ordinarios como paréntesis, cor­ chetes, etc. En términos operacionales la fórmula 'p/ q' se define como la negación de la conjunción ordinaria, lo que claramente establece la validez de la equivalencia '( p / ^ ) o ~ ( p a ^ Desde el punto de vista operacional, la traducción de las fórmulas de la lógica proposicional, escritas usualmente en el lenguaje de Prin­

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cipia Mathematica (PM), al lenguaje de Nicod se facilita mucho cuando se utiliza como intermediario al lenguaje de Post, el mis­ mo que se limita a usar exclusivamente los operadores de ' a ' y de más los usuales signos de agrupación. Las traducciones ordinarias del lenguaje de PM al lenguaje de Post son las que a continuación escribimos: D I. D2. D3. D4.

(pvq) = Df~(~pA~q) (p q ) = Df ~ ( p a ~ q ) ( p< - » q) = D f ~ ( p A ~ q ) A ~ ( ~ p A q ) (p*q) = Df~(pAq)A~(~pA~q)

Las traducciones anteriores son operacionalmente equivalen­ cias en el sentido de que la tabla de verdad que corresponde a la fórmula de la izquierda tiene la misma matriz final que la tabla de verdad de la fórmula que se encuentra a la derecha de la defi­ nición. A la fórmula de la izquierda se le conoce como D efiniendum, y a la de la derecha como Definiens. Esto significa que las cuatro definiciones anteriores pueden ser entendidas como una máquina muy simple que tiene la propiedad que consiste en que cada vez que introducimos en ella un Definiendum, en el len­ guaje de PM, emite com o salida u n D e fin ie n s en el lenguaje de Post. La ú nica excepción a las definiciones anteriores está dada por las fórm ulas que son tautologías. Sin em bargo, ello se subsana con sencillez cuando la traducción al len­ guaje de P ost no se realiza intuitivam ente, sino se la regula a través de u n conjunto de reglas de operación de eficacia inevitable que se denom ina algoritm o.

10.3. Algoritmo de Traducción de Post Consideremos que toda fórmula de la lógica proposicional se es­ cribe utilizando las letras p, q, r,..., etc. como variables proposi­ cionales distintas. Sin embargo, también se pueden escribir tan­ tas variables proposicionales distintas como se desee, utilizando sólo una letra a la cual se le añade cada vez que es necesario un subíndice distinto. Así, por ejemplo, asumimos que P , P2,..., Pn son n variables proposicionales distintas. Evidentemente, en cada

171

caso concreto el valor específico de n dependerá del número de variables distintas que necesitamos. Asimismo, tomando como referencia la tabla de verdad de una fórmula de PM cualquiera, estableceremos que con la expre­ sión Ai podemos referirnos a cualquiera de los 2n arreglos de valores verdadero-falso que existen en el margen de la Tabla y con la expresión Fi a cualquiera de los valores falsos que apare­ cen en la matriz final de dicha tabla. Consecuentemente, diremos que un valor falso Fi corresponde al arreglo Ai. En el caso de una tabla de verdad para una fórmula que tiene sólo las variables proposicionales P l, P2, P3, es claro que el valor de n es igual a 3 y el número de arreglos verdadero-falso es 8. Si la matriz de dicha fórmula fuera falsa en el primer y en el último arreglo, entonces Fi se transformaría en F l en el primer caso y en F8 en el segundo caso. A F l le correspondería el arreglo V W y a F8 le correspon­ dería el arreglo FFF. Asumiendo las convenciones anteriores, las reglas del algo­ ritmo de Post, para traducir una fórmula W, dada en el lenguaje de PM, a otra WO en el lenguaje de Post, debe procederse de la siguiente manera: RP1. Se identifica las n letras variables proposicionales que aparecen en W y se procede a construir su tabla de verdad para sus 2n arreglos de valores verdadero-falso. Existen sólo dos posi­ bilidades relevantes para W según las características de su matriz final. O la fórmula es una tautología porque posee sólo valores verdaderos para sus 2n arreglos, o no es una tautología y tiene un número n de valores falsos tal que n es siempre mayor que cero. ^RP2. Si W no es una tautología, se procede a construir un número n de espacios entre paréntesis; se antepone a cada uno de dichos espacios el signo de negación y entre cada par de espacios entre paréntesis se escribe el signo de conjunción. De esta mane­ ra, cada uno de los espacios entre paréntesis corresponde a cada uno de los valores Fi y a cada uno de los arreglos Ai en los que W resulta falsa en la tabla de verdad. Por ejemplo, si una fórmula tiene en su matriz principal 3 valores falsos ( n = 3) se escribirán tres espacios entre paréntesis así ( .......................... )

172

A ~

( .................................)

a

~

( .............................)

RP3. Escribir dentro de cada espacio entre paréntesis corres­ pondiente a cada Fl las variables proposicionales P l, P2,..., Pn de tal manera que si en el respectivo arreglo Ai una letra Pi (1 < Pi< n ), tiene asignado el valor verdadero, entonces se la escribe afirmada y si tiene asignado el valor falso, se la escribe negada. Entre cada par de letras cualquiera, escríbase el signo de conjunción. RP4. Si W es tautología, entonces escríbase sólo un espacio entre paréntesis, antepóngasele el signo de negación, escríbase dentro de él las P l, P2,...,Pn letras variables proposicionales y añádase a ellas ~Pn. Entre cualquier par de letras escríbase el operador de conjunción. Las reglas anteriores dan lugar a que toda fórmula de la lógica proposicional en el lenguaje de Post tenga la forma de ~ ( . . . a . . . a . . . a ...) o de conjunciones cuyos componentes re­ producen el esquema anterior. Cuando una fórmula reúne es­ tos requisitos se afirma que constituye una Forma Normal de Post y por ello a las cuatro reglas anteriores se les llama algo­ ritmo de normalización de Post. Como ejercicio elemental de aplicación, el lector puede aplicar el algoritmo de Post a las fórmulas de las definiciones D I, D2, D3 y D4. Haciendo la ta­ bla de verdad de cada D efiniendum , obtendrá el D efiniens, mecánicamente, por el algoritmo de Post.

10.4. Traducción algorítmica al lenguaje de Nicod Ahora, volviendo a nuestro objetivo inicial, ocurre que debido a que el operador de Nicod, llamado también de incompatibilidad, se define mediante la negación de la conjunción y a que la forma normal de Post consiste de una o más conjunciones negadas, en­ tonces resulta sencillo establecer un algoritmo para traducir fór­ mulas que contienen a lo más dos variables proposicionales dis­ tintas, y que están escritas en el lenguaje de Post, a fórmulas en el lenguaje de Nicod. Las reglas son: rl. Toda fórmula de la forma ~ ( p A q ) se traduce por la fórmu­ la de la forma p / q . r2. Toda fórmula de la forma ~p se traduce por p /p . r3. Toda fórmula de la forma p A q se traduce por ( p / q ) / ( p /q ) .

173

Es importante advertir que cuando hablamos de «una fór­ mula de la forma...» es necesario tomar esta expresión con mucho cuidado. Por ejemplo, una fórmula de la forma ~ A puede ser ~q o también una que anteponga la negación a un paréntesis, tal como ~ ( V A *7 )• Lo que define la forma en este caso es que la fórmula en cuestión tenga como operador de más alta jerarquía al de ne­ gación. Análogamente, una fórmula de la forma A a B es cual­ quier fórmula que tiene el operador de conjunción como el de más alta jerarquía. Esto significa que las formas específicas del componente p y del componente q quedan sin determinación al­ guna. Puede ocurrir que a su vez tanto p como q sean de la forma del esquema ~ ( .... ), aunque esto último no tiene que ser necesa­ riamente así. En el caso de fórmulas en el lenguaje de Post, que tienen más de dos variables proposicionales, es suficiente dar una regla adi­ cional que se aplica igualmente a las expresiones que están den­ tro de los paréntesis como a la jerarquización de las conjunciones externas a los paréntesis. r4. Si se tiene una conjunción de la forma P1 a P2 a ... Pn deberán usarse paréntesis, tantos como sean necesarios para que la fórmu­ la adquiera la forma A a B. Realizado este proceso se aplica r3. Consecuentemente, mediante la aplicación mecánica y mo­ nótona de las reglas RP1, RP2, RP3, RP4 y r l, r2, r3, r4 podemos transformar toda fórmula de la lógica proposicional del lenguaje PM, lenguaje standard, en una fórmula en el lenguaje de Nicod. A continuación desarrollaremos un ejemplo completo. Sea W una fórmula dada en el lenguaje de PM, tal que W es: ( ( p - > q ) A ( q - > r ) )

-»

( r - > p )

Para construir su correspondiente fórmula WO, conocida como forma normal de Post, aplicamos RP1 construyendo su tradicio­ nal tabla de verdad.

174

pqr l.V 2.V 3.V 4.V 5.F 6.F 7.F 8.F

((p->q)A(q->r))->(r->p) V V F F V V V V

VV VF FV F F VV VF FV F F

V F F F V F V V (3)

(1)

V F V V V F V V (2)

V V V V F V F V (5)

V V V V F V F V (4)

En este caso W no es tautología y el número n de valores falsos en su matriz principal es 2. En la quinta línea y en la sépti­ ma, esto es lo que denotamos como F5 y F7 que corresponden al arreglo A5 que es F V V y al arreglo A7 que es F F V, respec­ tivamente. De esta manera construimos W aplicando RP2 y RP3, lo que da como resultado la conjunción de los dos siguientes pa­ réntesis negados, uno por cada Fi. W°: ~ ( ~ p

a

q A

r)

a

~ ( ~ p A ~ q A

r)

A esta fórmula, que hemos denominado WO, le aplicaremos las reglas r l, r2, r3, r4 para obtener una nueva fórmula W00 que será la traducción de WO, luego por transitividad W00 será tra­ ducción de W. Por razones de comodidad transformaremos primero el pri­ mer componente de la conjunción, el mismo que por tener más de dos variables proposicionales, aplicando r4, lo reescribiremos así: ~ ( ( ~ p a q)

a

r)

aplicando r l tendremos: (~PAq)/r

175

lo que aplicando r2 resulta en (( p / p ) a q ) / r, donde el compo­ nente '({p / p ) A q ) ' es de la forma A a B. Debido a ello aplican­ do r3 obtenemos: '(((p/p)/q)/((p/p)/q))/r',

que denominaremos abreviadamente D. Aplicando el mismo pro­ cedimiento al segundo componente conjuntivo de W° obtenemos: ' ( ( ( p / p ) / ( q / q ) ) / ( ( p / p ) / ( q / q ) ))/*', que denominaremos abreviadamente E. De lo anterior se deduce que la fórmula W ha quedado trans­ formada por ahora en el esquema que abreviadamente se escribe D a E. Pero como este esquema mantiene todavía el signo de ma­ yor jerarquía de W°, que es el operador externo de conjunción, en­ tonces debemos aplicarle r3 y así obtenemos el esquema: W "(D/E)/(D/E) que es el esquema de la nueva fórmula en el lenguaje de Nicod, a la que hemos llamado W . Ella se escribe explícitamente, reem­ plazando D y E por las fórmulas que representan, de la siguiente manera: (((p/p)/q)/((p/p)/q))/r./.(((p/p)/(q/q))/((p/p)/ (q / q ) ) )/*:/: ( ( ( p /p ) /q ) /( ( p /p ) /q ) ) /r ./.( ( ( p /p ) / ( q / q ))/

(fp/p)/(q/q)))/r Dada la longitud de la expresión, para no abundar en parénte­ sis, que dificultan la lectura, hemos recurrido a un método de Russell para establecer la jerarquía de los operadores usando puntos, con la variante de que Russell tiende a prescindir de los paréntesis, lo que nosotros no hacemos, pues hemos optado por una alternativa mixta. La regla de jerarquía prescribe que entre cualquier par de operadores (en este caso barras de Nicod), igualmente externos a los paréntesis, tiene mayor jerarquía el operador que posee en sus

176

flancos el mayor número de puntos. En nuestro ejemplo, la barra punteada :/: es el operador de mayor jerarquía y divide la expre­ sión en dos compo-nentes iguales. A su vez cada componente está subdividido de manera semejante en dos segmentos por la barra punteada /. que obviamente tiene mayor jerarquía que una barra sin puntos. Como se comprenderá, el esquema ( D / E ) / ( D / E ) tiene en esta exposición una función pedagógica y no lógica. Su escritura es omitible si se tiene práctica en el manejo de fórmulas de longitud mayor que la de una línea.

10.5. El Ideal de Simplicidad Es importante advertir que si bien el procedimiento algorítmico que hemos propuesto nos conduce necesariamente desde una fór­ mula W de PM a otra W00 en el lenguaje de Nicod, sin embargo, una misma fórmula de PM tiene traducciones alternativas en el lenguaje de Nicod, igualmente válidas pero con algunas propie­ dades distintas, como la de simplicidad. Por ejemplo si a 'p B) a ~(B A ) ) puede ser, aplicando la RDN16, transformada fácilmente en A v B ) a ~(~B v A )).

11.8. Tablas de verdad vs. tablas aritméticas En esta sección sugeriremos el mecanismo a través del cual una tabla de verdad puede ser interpretada como una tabla aritméti-

202

ca. La idea central se funda en el hecho de que si en lugar de F escribimos 0 y en lugar de V escribimos 1, entonces si comenza­ mos primero con los valores falsos y pensamos en una tabla para una fórmula con tres letras variables p, q, rf el primer arreglo se escribirá 000, lo que corresponderá al primer número entero 0, pues los ceros a la izquierda no añaden valor a la cifra. El segun­ do arreglo se escribirá 001, que corresponde al número entero po­ sitivo 1, pues, reiteramos, los ceros a la izquierda no añaden va­ lor a la cifra. El tercer arreglo se escribirá 010, que corresponde al número dos del sistema decimal. Y como este tercer caso no es de comprensión obvia como los anteriores, describiremos breve­ mente el principio que regula la construcción de sistemas numé­ ricos con cifras de valor posicional. En principio todo sistema de numeración usa un determina­ do número de signos. El decimal, que es cotidiano, usa diez: 0,1, 2 ,3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9. Y el binario, que es el que resulta de las tablas de verdad, usa sólo dos signos 0, 1. La base de un sistema de numeración está dada por el número de signos que usa. En este caso la base de nuestro sistema es 2. Una característica inherente a los sistemas de numeración posicional es que el valor de la base no se puede escribir, dentro del sistema, usando un sólo signo. Una muestra de ello es que diez es el primer número que se escri­ be con dos signos dentro del sistema decimal. Análogamente, dos no se puede escribir con un sólo signo dentro del lenguaje binario. En efecto se necesita dos signos para escribir dicho valor: 10. En el párrafo anterior aparece con un 0 adelante, pero prescindimos de él porque está a la izquierda. En lo que sigue hablaremos genéricamente de cifra binaria y diremos que cualquier cifra binaria es una n-ada de dígitos 0,1 cuyo valor es igual a la suma del valor posicional de sus compo­ nentes. El valor posicional de cada componente se determina multiplicándolo por la potencia correspondiente de una n-ada de potencias en base 2 crecientes hacia la izquierda. Esta n-ada de potencias tiene la forma: 2n, 2 n -l,..., 2o. Por razones pedagógicas hemos confeccionado una tabla de doble entrada cuyas columnas precisan el valor posicional de cada digito binario.

203

23

23

23

1

0

1

1

11

1 0

1 0

0

0

12

1

0

02

23

V alor d ecim al

La cifra binaria 1011 corresponde al once de nuestro sistema decimal. Esto se explica por qué el primer 1 de la derecha vale uno debido a que se multiplica por 20que siempre es igual a uno. El siguiente 1 se multiplica por 21 y , consecuentemente vale dos. El 0 , obviamente tiene valor cero y e l l del extremo izquierdo, por las razones dadas, vale ocho, pues se multiplica por 23. Su­ mando los valores anteriores 1 + 2 + 0 + 8 = 1 1 , obtenemos el valor de la cifra binaria examinada. Aplicando el criterio anterior se constatará que la cifra 1100 corresponde al valor doce y no hace falta pormenorizar por qué a 10 le corresponde el valor dos. De igual manera se comprobará que el margen de cualquier tabla de verdad, con las sustituciones propuestas y comenzando con el valor F, en este caso 0, puede leerse como una sucesión creciente de números escritos en código binario. Cuando la tabla sea para tres variables, el último arreglo corresponderá al valor siete. Si es para cuatro letras variables, el últi-mo arreglo corresponderá al valor 15. Esto demuestra, que aumentando el número de arreglos, podemos obtener una cifra binaria para un número tan grande como se desee. Todos los cálculos que realiza un computador los efectúa en dígitos binarios y luego los traduce al sistema decimal. En efecto, sus Circuitos están gobernados por fórmulas lógicas que se com­ putan como tablas de verdad, las mismas que son equivalentes a tablas aritméticas en código binario. Asimismo, la estructura in­ terna del hardware son circuitos y estos en en último término pue­ den distinguir entre dos cosas reducibles al hecho elemental de que la corriente pase o no pase.

204

XII LÓGICA CLÁSICA

Objetivos.• Reconocer proposiciones categóricas típicas en el cuadro de Boecio. • Distinguir en un silogismo las premisas, la conclusión y sus tres términos. • Definir y construir silogismos categóricos y reconocer en ellos el modo y la figura a la que pertenecen. • Distinguir entre contradicción y oposición entre proposiciones. • Distinguir a las proposiciones por su grado de generalidad. • Identificar nombres propios en lógica.

CUESTIONARIO 12 Lógica clásica.

Instrucciones I. Responde a las siguientes preguntas 1. ¿En qué sentido Principia Mathematica es una obra que se inscri­ be dentro de la lógica clásica? 2. ¿Porqué se considera a la lógica intuicionista no-clásica? 3. ¿Cuál es la característica de los sistemas llamados paraconsistentes? 4. ¿Excluye Principia Mathematica al silogismo aristotélico? 5. ¿Porqué el lenguaje proposicional PM no permite establecer re­ glas para decidir la validez de silogismos? 6. ¿Por qué 'perro7, 'g a to ',' hombre' y otros sustantivos comunes no son nombres desde el punto de vista lógico? 7. ¿Cómo se decide cuál es la premisa mayor y cuál es la premisa menor de un silogismo? 8. Si los silogismos tuvieran tres premisas y una conclusión ¿Cuán­ tos modos habría? 9. ¿Es correcto afirmar que la negación de una proposición gene­ ral universal es a veces también universal? 10. Considerando que los términos S y P tienen un significado es­ tablecido ¿cuántas contradicciones pueden construirse en el cuadro de Boecio? 11. ¿Es correcto afirmar que dos silogismos tienen la misma es­ tructura si coinciden en la figura pero no en el modo? 12. ¿Por qué las preposiciones existenciales también son generales?

[207]

13. ¿Por qué una descripción individual no corresponde a ningu­ no de los esquemas del cuadro de Boecio? 14. ¿Cómo se define una constante individual y cómo se represen­ ta en caso de que necesitemos millones de ellas? 15. Porqué la expresión' proposición particular' es desorientadora? II. Dados los siguientes silogismos, determinar su modo y figura. 1. Ningún cuadrúpedo sabe silbar. Algunos gatos son cuadrúpedos.__________________________ Luego, algunos animales que saben silbar no son gatos. 2. Ningún borrego es terrible. Algunos sueños son terribles. Luego, algunos sueños no son borregos. 3. Ninguna criatura razonables espera imposibles. Todo bogavante es razonable. Luego, ningún bogavante espera imposibles. 4. Todas las criaturas hoscas son mal acogidas. Todas las avispas son hoscas.______________________________ Luego, todas las avispas son mal acogidas. 5. Ningún canario que se siente melancólico canta con potencia. Todos los canarios bien nutridos cantan con potencia.________ Luego, ningún canario bien nutrido se siente melancólico. 6. Ninguna experiencia desagradable se busca con avidez. Toda pesadilla es desagradable Luego, ninguna pesadilla se busca con avidez. 7. Todos los mamíferos respiran a través de pulmones. Algunos mamíferos son animales acuáticos. Lúego, algunos animales acuáticos respiran a través de pulmones. 8. Todas las serpientes marinas son animales acuáticos Todas las serpientes marinas son serpientes. Luego, todas las serpientes son animales acuáticos. 9. Todos los no-fumadores ahorran dinero Todos los vegetarianos son no-fumadores. Luego, todos los vegetarianos ahorran dinero. 10.Todos los no-fumadores ahorran dinero Ningún vegetariano es fumador. Luego, ningún vegetariano es gastador.

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LECCIÓN 12 Lógica clásica

12.1 Criterio de demarcación En los llamados textos de lógica moderna se asume, de manera explícita o implícita que la lógica clásica o aristotélica está cons­ tituida por la teoría de silogismo y el manejo del cuadro de Boe­ cio. A ello se añade que la lógica moderna, simbólica o matemá­ tica, surge a mediados del siglo pasado con el Algebra de Boole y con el tratamiento que hizo, posteriormente, Gottlob Frege de la lógica proposicional, en su famosa obra Begriffsschrift. Sin embargo, este esquema que traza una línea de demarca­ ción entre la lógica clásica y la lógica matemática se ha ido modifi­ cación paulatinamente. En principio, se ha establecido con clari­ dad que los lógicos megáricos de la antigua Grecia, entre ellos Crisipo, Filón y Diodoro Cronos, tuvieron ideas interesantes sobre la lógica proposicional, sector considerado inicialmente cono pa­ trimonio exclusivo de la lógica moderna. Asimismo, se ha encon­ trado que muchos desarrollos contemporáneos de la lógica mate­ mática, a pesar de ser deductivamente mucho más poderosos que el silogismo de Aristóteles comparten con él algunas propiedades sustanciales que los inscriben dentro de la misma concepción de lo que está permitido y excluido por las reglas lógicas. Para precisar este análisis señalamos que Principia Mathematica (PM), de Whitehead y Russell, es el primer trabajo sistemático que se reconoce como expresión completa del nuevo sistema de lógi­ ca, que marca una diferencia radical con el Organon de Aristóteles,

[209]

el mismo que no queda excluido de la lógica sino convertido, des­ pués de haberlo sido todo por más de 2000 años, en una pequeña subestructura del nuevo edificio de la lógica-matemática. Sin embargo, esta diferencia tan notoria entre lo nuevo y lo antiguo no excluía el hecho de que tanto el silogismo como el sistema PM compartían los mismos principios lógicos y, por tanto, las mis­ mas estrategias deductivas. Por ejemplo, tanto Aristóteles cono Russell y Whitehead admitían la estrategia de demostración o deducción por reducción al absurdo, que hemos examinado cuan­ do estudiamos las reglas RDN de Gentzen. Sin embargo, los lógicos y matemáticos intuicionistas de la primera mitad de nuestro siglo, como Brouwer y Heyting, objeta­ ron duramente la validez del método de demostración de reduc­ ción al absurdo, porque presuponía la plena vigencia del princi­ pio lógico clásico del tercio excluido, que ellos consideraban que debía ser omitido para rigorizar la matemática a través de méto­ dos constructivos. En ese sentido, los intuicionistas consideraban que en lo fundamental el sistema de PM era tan clásico como el de Aristóteles y que ellos eran los primeros en crear sistemas no aristotélicos. Francisco Miró Quesada, investigador peruano, a partir de este hecho ha propuesto un criterio para calificar a un sistema lógico de clásico o no. Un sistema lógico S es clásico si admite como válidos los tres principios lógicos de identidad, no-contra­ dicción y del tercio excluido. Y un sistema S no es clásico, en ma­ yor o menor medida, si desconoce la validez plena de uno, dos o todos los principios clásicos. En este sentido, que recoge un punto de vista extendido en la comunidad académica internacional, el sistema de PM es clásico pero no antiguo y los sistemas de Heyting y Broouwer son no-clásicos. Existen otros sistemas que debilitan el uso del principio de no-contradicción, a los que el mismo Miró Quesada ha denominado paraconsistentes. Entre ellos se cuentan los de Vassiliev, Jaskowski, da Costa y Routley. Consecuentemen­ te, hablar de lógica clásica no es necesariamente hacer referencia a la lógica aristotélica, pues tanto PM como todos los sistemas que se deriven de PM, que son los más usados por la ciencia con­ temporánea, son sistemas clásicos en el sentido aquí definido. Por otra parte, hablar de lógica no-clásica es hacer referencia a un con-

210

junto de sistemas lógicos disímiles entre sí. Por ejemplo, los cál­ culos Cn de da Costa admiten la demostración por reducción al absurdo que excluyen los sistemas intuicionistas. En esta sección desarrollaremos algunos elementos de lógica clásica, en el sentido de lógica aristotélica o de la antigua Grecia. Este aporte ha estado vigente por más de dos mil años a tal extre­ mo que filósofos notables como Kant consideraron que a lo hecho por Aristóteles no era pertinente quitarle o añadirle algo. El siste­ ma del silogismo era toda la lógica y parecía cosa acabada en su perfección. Respecto a los sistemas no-clásicos, hay que decir que conservan vitalidad; pero en este texto sólo podemos mencionar­ los con motivo de este necesario esclarecimiento terminológico.

12.2 El silogismo clásico Como se conoce, Aristóteles inventó la lógica como disciplina sis­ temática y estudió con detalle el silogismo que es una estructura deductiva históricamente anterior a la lógica proposicional pre­ sentada en las páginas precedentes. En esta unidad se estudia al silogismo pero sin recurrir a las reglas aristotélicas clásicas, cuyo estudio podría ser muy tedioso para el estudiante que se inicia. Por este motivo hemos preferido un tratamiento más moderno, en base al álgebra de Boole, que tiene la ventaja de ser más sim­ ple y de no adolecer de algunos importantes errores del genial estagirita. Para introducirnos en los conceptos de esta parte de la lógica comenzaremos reflexionando sobre un ejemplo de argumento o inferencia que tiene particular interés para nosotros. (I) Ningún m am ífero es insecto. Algunos anim ales dom ésticos son mamíferos. Luego, algunos anim ales dom ésticos no son insectos. Es fácil darse cuenta de que el argumento anterior es lógica­ mente válido, pues la verdad de la conclusión se deduce clara­ mente de la verdad de las premisas. No se viola la exigencia lógi­ ca que prohíbe que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, porque positivamente sabemos que las premisas son verda-

211

deras y que la conclusión también lo es. Sin embargo, si forma­ lizáramos el argumento precedente usando el lenguaje de la lógi­ ca proposicional, encontraríamos que resultaría lógicamente in­ válido porque si representamos las premisas con las variables p y q, y la conclusión con r, ocurre que el condicional: (P a q) -> r no es una tautología , los cual puede verificar el lector cons­ truyendo la tabla de verdad correspondiente. Este hallazgo plantearía una especie de contradicción entre lo que intuitivamente vemos con claridad y lo que establece la lógi­ ca. Pero afortunadamente ésta no es una situación de esa clase. En efecto, el anterior argumento es lógicamente válido y lo que ocu­ rre es que la lógica proposicional no es un instrumento lo suficien­ temente potente para mostrar su estructura y decidir su validez. En este caso es inadecuado proceder a representar directamente las proposiciones componentes por variables proposicionales, de­ bido a que es necesario analizar los componentes de cada proposi­ ción para que se nos revele su estructura interna y podamos pro­ nunciarnos sobre la validez lógica del argumento. Avanzando en nuestro estudio podemos esquematizar con sencillez nuestro argumento. Si por el término 'mamífero7 usa­ mos la abreviación M, por 'insecto' la abreviación P y por 'ani­ males domésticos' la letra S, tenemos: (E l) Ningún M es P Algunos S son M Luego, algunos S no son P Este esquema es una aproximación a la estructura lógica del argumento examinado y además pone en evidencia que pode­ mos construir otros, del más variado contenido/ que posean la misma forma. Por ejemplo: (II)

Ningún p eru an o es chilen o. Algunos fu tbolistas son peruanos. L u ego, algunos fu tbolistas no son chilenos.

212

Representando los términos 'peruano7, 'chileno7 y 'futbolis­ ta7 por las letras mayúsculas, M, P y S, respectivamente, obten­ dremos el esquema E l. De otra parte, también es posible cons­ truir argumentos similares como el que a continuación sigue, in­ troduciendo algunas variantes. (III) Todos los m am íferos son vertebrados. Todos los gatos son mamíferos. Luego, todos los g atos son vertebrados. Esta vez el esquema es así: (E2) Todos los M son P Todos los S son M Luego, todos los S son P Los argumentos anteriores se llaman silogismos y son los que ocuparon preferentemente la atención del filósofo griego Aristóteles. Como lo sugiere la observación de los esquemas que hemos formulado, el estudio del silogismo requiere que se ponga aten­ ción en los elementos componentes de las proposiciones, que son palabras. En ellos se representan con signos especiales (letras mayúsculas) las palabras que aparecen como sujetos y predica­ dos de las proposiciones, las que en lógica se denominan térmi­ nos. De esta suerte cada proposición posee un término predica­ do y un término sujeto. Es importante enfatizar que las denominaciones precedentes se refieren a la función que desempeña un término en la inferen­ cia y no al término en sí mismo. Por ejemplo, en los silogismos I, II y III se cumple que el término que es sujeto en la primera premi­ sa, representado en los esquemas por M, desempeña la función de predicado en la segunda. Los términos sujeto y predicado de la lógica no deben ser iden­ tificados con sus correspondientes gramaticales. Los sujetos gra­ maticales normales son denotados por nombres propios como 'juan Hinojosa7 y por nombres comunes como 'perro7. Nosotros en esta parte del curso sólo trabajaremos con sustantivos comunes, que desde el punto de vista lógico son predicados porque ellos hacen

213

referencia a propiedades y no a un individuo en concreto, como la hacen los nombres propios. Así, en nuestros ejemplos, las propie­ dades de las que se habla son la de "ser mamífero, la 7ser insecto", la de 'ser animar, la de 'ser peruano', etc. Consecuentemente, aun­ que términos como los anteriores pueden desempeñar la función de sujetos en las proposiciones, ellos no son nombres en este con­ texto sino predicados lógicos porque denotan propiedades. Por esta razón, a la parte de la lógica que se ocupa del estudio de tales términos se le llama lógica de los predicados. En lo que sigue, en base a la observación de los ejemplos que hemos dado, definiremos el silogismo y proporcionaremos algu­ nos detalles adicionales. Definición 18. Un silogismo es un tipo de inferencia o argumento que consta de tres proposiciones de las cuales dos son premisas y una conclusión. Tiene tres términos y cada unos se repite dos veces. Hay uno que aparece en ambas premisas y se omite en la conclusión.

Examinando el ejemplo II, o cualquiera de los dados, se cons­ tata que en efecto tienen dos premisas y una concusión. En el in­ dicado ejemplo los términos son 'peruano', 'chileno' y 'futbolis­ ta', y cada uno se repite dos veces. El término común a ambas premisas es 'peruano'. Aunque no es indispensable, daremos la nomenclatura que tradicionalmente se utiliza para los silogismos, debido a que to­ davía muchos autores recurren a ella y el estudiante podría des­ orientarse, por un detalle irrelevante, al leer otro libro. Al término común a ambas premisas, que se omite en la con­ clusión, se le llama término medio y se lo simboliza con la letra mayúscula M. El predicado de la conclusión recibe el nombre de término mayor y se lo representa por la letra mayúscula P. El sujeto de la conclusión es el término menor y se lo simboliza mediante la letra mayúscula S. A la premisa que contiene al tér­ mino mayor se le llama premisa mayor y a la que contiene al tér­ mino menor se le denomina premisa menor. En el ejemplo I, el término medio es 'mamífero', el término mayor 'insecto' y el tér­ mino menor 'animales domésticos'. La premisa mayor es la pro­ posición 'Ningún mamífero es insecto' y la premisa menor la pro­ posición 'Algunos animales domésticos son mamíferos'.

214

El mismo Aristóteles también llamó al silogismo inferencia mediata, porque tiene más de dos proposiciones. Asimismo, al si­ logismo cuyo estudio hemos iniciado se le dice categórico para di­ ferenciarlo del hipotético, que es una forma de argumento que per­ tenece a la lógica proposicional y que no es de origen aristotélico.

12.3 Las cuatro proposiciones predicativo - categóricas clásicas Todo silogismo se construye sobre la base de proposiciones, cada una de las cuales corresponde a uno de los cuatro esquemas siguientes: A. E. I. O.

Todos los S son P Ningún S es P Algunos S son P Algunos S no son P

Las letras que aparecen a la izquierda son los nombres con que se conoce a estas proposiciones desde que los medievales enseñaban el famoso cuadro de Boecio. El esquema A correspon­ de a proposiciones como Todos los pájaros tienen alas. El esquema E a proposiciones como Ningún gato es perro. El Esquema I a propo­ siciones como Algunos sabios son físicos. Y el esquema O a proposi­ ciones como Algunos lógicos no son griegos. Puede afirmarse que la lógica aristotélica se redujo al conoci­ miento de estas cuatro proposiciones y a las inferencias que se puede construir con ellas. Hoy día es un sector muy pequeño y débil de la lógica, pues en él no se pueden expresar los problemas matemáticos y científicos relevantes. En el esquema A el sentido de la palabra 'todos' es muy im­ portante, pues hay proposiciones que no contienen dicha palabra pero que corresponden al mencionado esquema. Por ejemplo, las proposiciones 'Cada hombre tiene una cabeza', 'Cualquier número par es divisible por 2', deben ser traducidas a las proposiciones 'Todo hombre tiene una cabeza' y 'Todo número par es divisible por 2' que mantienen su sentido y corresponden a la forma canónica que hemos establecido como esquema A.

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Asimismo, hay proposiciones que son generales pero que no contienen explícitamente una palabra que denote cantidad, como 'Los hombres son mortales', cuya expresión más precisa es 'Todos los hombres son mortales'. El esquema A corresponde a las proposicio­ nes universales afirmativas. El esquema E corresponde a las pro­ posiciones universales negativas y en él la palabra 'ninguno' debe entenderse en el sentido de 'Ni siquiera uno' o de 'No existe aunque sea uno'. Por tanto, afirmar 'Ningún felino es cetáceo' equivale a decir 'Ni siquiera un felino es cetáceo' o 'No existe aunque sea un felino que sea cetáceo'. El esquema I corresponde a las proposiciones particulares afirmativas y el esquema O a las particulares negativas. En am­ bos esquemas aparece la palabra 'algunos' y su sentido es el de 'al menos uno'. Esto significa que cuando en general uno o varios ob­ jetos, pero no todos, tienen una propiedad se puede decir que algunos la tienen. Por ejemplo, sabemos que muchos futbolistas son veloces, pero no todos lo son. Luego podemos decir 'Algunos futbolistas son veloces'. Asimismo, sólo podemos decir 'Algunas es­ trellas son conocidas' porque no tenemos la seguridad de conocer todas, aunque tenemos información sobre millones de ellas. Otra variante para 'algunos', muy usada por los lógicos, es 'hay al menos uno'. Si recurrimos a ella nuestros ejemplos anterio­ res son traducidos a 'Hay al menos un futbolista veloz' y 'Hay al menos una estrella conocida'. Es importante puntualizar que las llamadas inferencias in­ mediata clásicas también se construyen con proposiciones que corresponden a uno de los cuatro esquemas expuestos. Nosotros noclas abordamos en detalle pero el método que emplearemos para determinar la validez de los silogismos se usa también para decidir la validez de tales inferencias que constituyen argumen­ tos más sencillos. 12,4 El cuadro de B o ecio Tradicionalmente se atribuye al lógico Ancius Boecio, que vivió entre los años 480-524 de nuestra era, una manera muy especial de clasificar y presentar las cuatro proposiciones predicativo - ca­ tegóricas clásicas.

216

Las proposiciones de las formas A, O son recíprocamente con­ tradictorias. Asimismo, lo son las formas E, I. Esto significa que A es equivalente a la negación de O y, recíprocamente, O es equivalente a la negación de A. También que E es equivalente a la negación de I, e I es equivalente a la negación de E. La relación anterior entre las proposiciones puede verse con más claridad a través de ejemplos. La proposición 'Algunos hombres no son altos' es de la forma O. Su negación 'No es el caso que algunos hombres no sean altos' equivale exactamente a 'Todos los hombres son altos' que es de la forma A. Ahora, la negación de esta última proposición es 'No es el caso que todos los hombres sean altos', que equivale a algunos hom­ bres no son altos. Consecuentemente, ~ O El gráfico dibujado a continuación muestra que este silogis­ mo es lógicamente inválido porque, siendo la conclusión de for­ ma A, toda la zona de S que está fuera de P debe quedar rayada y esto, en efecto, obviamente no sucede.

246

Como se puede constatar, la conclusión no ha quedado automáticamente grafícada porque no aparece equis alguna en la zona S n P , lo que significa que el silogismo examinado no es válido. Añadiremos un ejemplo en el que se usa un predicado nega­ tivo, lo que a menudo fuerza el uso del lenguaje natural pero pone a prueba el uso de los diagramas de Venn para representar la intersección entre dos o más conjuntos. El predicado que usare­ mos es 'no-fumador':

Todos los no-fumadores son ahorradores Ningún vegetariano es fum ador Luegoy todo vegetariano es ahorrador. Las fórmulas de Boole correspondientes son: =

( V y ) F ( x ) ) 4. (V x ) (V y ) F ( x , y ) -» R ( x , y ) 5. P ( x ) a ~ Q ( x ) 6. P ( a ) A ~ Q ( a ) II. Determinar cuáles de las siguientes fórmulas están en forma normal prenex. 1. (V X ) F ( X ) V ( 3 y ) G ( y ) 2 . F ( a , b ) - > ( 3 x ) ( F ( X/b) a ~ P ( x ) ) 3. (Vx)( 3 y ) R ( x , y ) 4. (Vx) F ( x ) -» (V x ) Q( x ) 5. (Vx)( 3 y ) ( R ( x , y ) - > S ( x ) ) 6. (Vx) (Vy) (Vz) ( ( R ( x , y ) A R ( y , z ) ) - > R ( x , z ) ) III. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas no son lógicamente válidas? 1. ( V x ) F ( x ) ^ F a 2. ( 3 x ) F ( x ) - > F ( y ) 3. F a ^ ( V y ) F ( y ) 4. ( 3 x ) F ( x ) - > ( V y ) F ( y ) 5. ( 3 y ) P ( y ) - > ( V x ) P ( x ) ) 6. ( V x ) ( 3 y ) R ( x , y ) - » ( 3 y ) ( V x ) R ( x , y ) IV. Formalizar, usando cuantifícadores, las siguientes afirmaciones: 1. No todos los números son pares. 2. Algunos números son primos.

[255]

3. 4. 5. 6.

Ningún electrón es un protón. Cada alumno tiene nota aprobatoria. Solamente los aprobados recibirán diploma. Si todos son enemigos de todos, entonces cada uno es su propio enemigo. 7. Hay una persona que ama a todas las personas. 8. Hay un número natural que es menor que todos los números naturales. 9. Hay al menos un alumno que se matricula en todos los cursos 10. Todas las cabezas de caballo son cabezas de animales. V. Probar las siguientes equivalencias (Puede usarse la regla RAA)

l-(3y)(P(y)-*(Vx)P(x))*>((Vy)P(y)-»(Vx)P(x)) 2 . ( Vx ) ( P ( x ) a Q ( x ) ) o ( ( V x ) P ( x ) ) a ( V x ) Q ( x ) ) 3.(Vx)(P(x)v(Vy)Q(y))H((Vx)P(x)v(Vy)Q(y)) 4 . ( 3 x ) ( P ( x ) v Q ( x ) ) « ( ( 3 x ) P ( x ) v ( 3 x ) Q ( x )) VI. Construir una deducción que pruebe que las premisas impli­ can a la conclusión.

1. Todos los cuadros son rombos Algunos rectángulos no son rombos Luégo, algunos rectángulos no son cuadros. 2. Ningún número imaginario es un número real Algunos números complejos son números reales Luego, algunos números com plejos no son imaginarios. 3. Ningún número imaginario es un número real Todos los números racionales son números reales Luego, ningún número racional es imaginario. 4. Todos los cuadros son polígonos regulares Ningún trapezoide es un polígono regular Luego, ningún trapezoide es un cuadrado 5. Hay un cisne que no es negro Luego, no todos los cisnes son negros.

256

LECCIÓN 14 Un lenguaje predicativo PMP

En esta lección, nos proponemos incrementar el repertorio de sím­ bolos y de reglas del lenguaje proposicional PM extendiéndolo a un lenguaje predicativo PMP, el mismo que se construye añadien­ do medios expresivos que nos permitirán analizar la estructura interna de las proposiciones y ampliar nuestras reglas de deduc­ ción. Si consideramos un esquema de fórmula como A B , ahora estaremos en condiciones de decidir, en situaciones específicas, en base al examen de la estructura interna de A y de B, si el con­ secuente se deduce o no del antecedente.

14.1 Predicados lógicos Hay una semejanza parcial entre los predicados del lenguaje na­ tural y los predicados lógicos, en el sentido, de que palabras, que denotan propiedades o cualidades como 'rojo', 'caliente', 'veloz7, 'peruano', etc. son predicados gramaticales y también son predi­ cados lógicos de una posición, porque se afirman de sólo un nom­ bre; por ejemplo, 'Juan es veloz'. La diferencia se produce con tér­ minos como 'gato', 'león' u otros que son sustantivos comunes pero que en lógica, en ningún caso, son nombres sino predicados. La situación se acentúa más con palabras como 'hermano', 'cu­ ñado', 'cabeza'que el lenguaje PMP considera predicados de dos posiciones o predicados relaciónales en el sentido de que se apli­ can a dos nombres; por ejemplo, 'Juan es hermano de Magda' o 'Elena es cuñada de Rosa'. En estos casos, de manera general, los

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predicados son '...hermano de '...cuñada de../, '...cabeza de...'. Como para comprender el sentido de estos predicados no es ne­ cesario determinar nombre alguno, en lugar de ello podemos usar letras tales como x, y, z, etc. cuyo sentido es representar cualquier nombre sin necesidad de especificarlo. Debido a lo dicho, tales letras se conocen como variables de nombre o variables indivi­ duales. De manera análoga, en lugar de 'hermano de', 'cuñado de' y 'cabeza de' podemos usar letras mayúsculas R, S, T, VV, etc. De tal suerte que los ejemplos anteriores pueden quedar repre­ sentados por las fórmulas R( x , y ), S( x , y ), T( x , y ). A las letras mayúsculas anteriores se les denomina variables predica­ tivas o, simplemente, letras predicativas. Su función es represen­ tar cualquier predicado de dos posiciones lo que no quiere decir que sen las únicas variables predicativas que usemos. Podemos usar cualquier otra letra mayúscula, y, lo que define su sentido en el lenguaje PMP, es el número de variable de individuo que se escribe a su derecha. Los predicados que se aplican a una sola variable de nombre también se representan mediante variables predicativas. Por ejem­ plo, el predicado 'número par' se escribe en PMP así: P ( x ). Análogamente, 'gato' se puede representar por G ( y). En el lenguaje natural la fórmula P ( x ) se lee x es P o x tiene la propiedad P. Particularizando la expresión a la interpretación que hemos dado en estas exposición, tendríamos como lectura: x es una número par. Y para G ( y ) la lectura sería y es un gato. En circunstancias en las que el contexto está claro y se requiere ser muy rápido y operativo las fórmulas como P(x) se leen en térmi­ nos eje P de x. Á las fórmulas de la forma R ( x , y ) se las lee: el par x, y satisface la relación R, o el par x , y cumple la relación R. En algu­ nos textos se propone la siguiente lectura: entre el par x, y existe la relación R. Esta propuesta es intituitiva pero es inexacta por­ que equivale a cuantificar existencialmente a la variable predi­ cativa R, lo que rebaza a un lenguaje de primer orden como PMP. Sin embargo, el lector principiante sólo podrá comprender este argumento, con exactitud, en un texto más avanzado que este. A las fórmulas P ( x ) , G ( y ) etc. Se les denomina funciones proposicionales monádicas o de grado 1 porque su variable

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predicativas se aplican a una sola variable de nombre. A las fór­ mulas R ( x , y ) , S ( w , z ) , etc. Se les llama fu nciones proposicionales diádicas porque sus variables predicativas se aplican a un par de variables de nombre. Hay funciones proposicionales triádicas porque sus variables predicativas se aplican a tres variables. Y, en general, hay funciones proposi­ cionales de grado n cuando sus variables predicativas se apli­ can a n variables de nombre y n es un número tan grande como se desee. La forma general de una función predicativa de grado n es P ( x , xy ..., x ) en la que el exponente n sólo indica el grado de la variable"predicativa P y, por tanto, de la fórmula en su conjunto. Siempre que n 3 2, la variable predicativa es una relación.

14.2 Proposiciones en el lenguaje PMP Debido a que el lenguaje PMP es de primer orden, se asume que las variables predicativas se comportan como predicados o cons­ tantes predicativas en el sentido de que siempre que se las escri­ be, el contexto determina su significado específico. Sin embargo, aunque se asume que el significado de las va­ riables predicativas es conocido, por lo que se les llama abrevia­ damente predicados, en cambio el significado de una función proposicional cualquiera P ( x ) se considera desconocido porque como x no es un nombre no se sabe de qué objeto se predica P y, consecuentemente, P ( x ) no es ni verdadera ni falsa. Sim ple­ mente, las funciones proposicionales, desde el punto de vista lógico, carecen de valores de verdad (verdadero-falso) llamado también valores aléticos o veritacionales. Un primer mecanismo para lograr dotar a una fórmula P ( x ) de un valor alético consiste en reemplazar todas sus variables de nombre por nombres o constantes individuales que se represen­ tan por las primeras letras minúsculas del alfabeto a, b, c , ... En caso necesario se usa subíndices a , ay ..., ba, by ... Estas constan­ tes individuales son, en este contexto nombres propios abre­ viados . Si asumimos que P es el predicado 'peruano' y a una manera abreviada de escribir Tupac Amaru' entonces desde P ( x ) podemos obtener P ( a ) como una proposición verdadera porque

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la variable x ha sido reemplazada por el nombre de un individuo que tiene la propiedad de ser peruano. Si b es una manera abre­ viada de escribir 'Leonardo de Vinci' entonces P ( b ) será, evi­ dentemente, una proposición falsa. Es importante señalar que, en el lenguaje PMP, los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos son considera­ dos nombres propios o constantes indi-viduales. De tal suerte, que si Q es el predicado 'impar7, entonces Q ( y ) es una función proposicional y Q ( 6 ) es una proposición falsa. En general, a fórmulas como P ( b ), Q (6) etc. las llamaremos ejemplificadones, las mismas que permiten deducir que para dotar de significado a una función proposicional o interpretarla es necesario recurrir a un conjunto, no vacío, de objetos o individuos nombrables al que denominaremos dominio de interpretación. Este puede ser un conjunto muy pequeño o bastante grande; pero siempre limitado a sólo los objetos de los que pretendemos hablar: personas, nú­ meros, figuras geométricas, etc. Los conjuntos que pretenden in­ cluir todo tipo de objetos están excluidos como dominios de in­ terpretación. Asimismo la única manera de hablar de los objetos de un conjunto es asignándoles nombres al7 a3, ...etc. Definición 19. Una función proposicional P(x^.,.xJ de grado n se convierte en proposición si, y sólo sí, cada una de sus variables de nombre es reemplazada por una letra constante individual o nombre.

14.3 Términos y fórmulas A las letras variables de nombre y a las constantes individuales se le» denomina, por convención, términos y nos referimos a ellos mediante la letra minúscula t. En cambio, a las letras P, Q, R, etc., como dijimos antes, las denominaremos abreviadamente predi­ cados. Las variables de nombre son términos que se refieren a in­ dividuos u objetos no especificados del dominio de interpretación cuya identidad se desconoce. Las constantes individuales están asociadas con individuos específicos del dominio de interpreta­ ción. Adicionalmente, aunque no las utilizaremos en este manual, las letras que denotan funciones matemáticas de la forma f (x) tam­ bién son términos en el lenguaje PMP. Asimismo, una letra pre-

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dicativa del tipo P, Q, etc. No es una fórmula de PMP y tampoco lo es un término aislado. Pero una letra predicativa de grado n seguida de n términos si es una fórmula. Es el caso de P( x ), P ( a ), R ( x, y ), R ( a , y ), R ( x , b ), R ( a, b ), que sí son fórmulas de PMP bajo la suposición de que P es un predicado de grado 1 y de que R es un predicado de grado 2. Las fórmulas anteriores son, excepto la segunda y la última, funciones proposicionales porque en ellas hay al menos una variable que no ha sido susti­ tuida por un nombre, la misma que se llama variable libre. Asi­ mismo, las fórmulas predicativas que tienen al menos una varia­ ble de nombre libre se denominan fórmulas abiertas. Todas las fórmulas anteriores son atómicas y la conjunción, disyunción in­ clusiva, disyunción exclusiva, el condicional, la equivalencia y la incompatibilidad que las tienen como componentes son fórmu­ las predicativas moleculares de PMP. Ejemplo : P ( x ) v R ( x , b ) .

14.4 Cuantificadores En el lenguaje natural hay términos como 'todos7, 'cada uno', 'cualquiera', etc. que se usan para hacer referencia a la totalidad de los miembros de un conjunto. Por ejemplo la afirmación 'Cual­ quier ciudadano puede defender la constitucionalidad de la Re­ pública' significa que todo ciudadano puede hacerlo. Si en el sa­ lón de clases el profesor dice Cada uno tome su lápiz, se entiende que la orden debe ser cumplida por todos los alumnos. Todas estas expresiones del lenguaje natural son expresadas en el lenguaje PMP mediante el operador ' V ' que se denomina cuantificador universal. También hay expresiones como 'hay un objeto', 'existe al menos uno', 'alguna cosa', 'al menos una cosa' etc. que en el lenguaje PMP son representadas por el operador' 3 ' denominado cuantificador existencial. En la medida que los cuantificadores están siempre asociados a variables de nombre los escribiremos así ( V x) y ( 3 x ). Asimismo, anotamos que las variables de nombre cumplen en PMP una función muy semejan­ te a la cumplida por los pronombres personales en los lenguajes naturales como el castellano, ingles, etc. Supongamos que la función proposicional L ( x,a ) la inter­ pretamos en el lenguaje natural como la expresión 'x aprende

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Matemática' donde a es el nombre de la asignatura de Matemáti­ ca y señalamos como dominio de interpretación al conjunto de los alumnos de un salón de clase D. Es posible que afirmemos la proposición 'Hay al menos un alumno que aprende Matemática', la misma que puede ser formalizada en el lenguaje PMP como ( 3 x ) L ( x , a ) . Igualmente, la proposición Todos los alumnos de la clase aprenden Matemática' puede ser formalizada como (V x ) L ( x, a ). La primera fórmula la leeremos Existe al menos un indivi­ duo x tal que x aprende Matemática y la segunda Para todo individuo x, x aprende Matemática. De lo anterior se infiere que cuando anteponemos un cuantificador existencial a una función proposicional lo que hacemos es afirmar que el conjunto de individuos que satisface un determi­ nado predicado no es vacío.En cambio, cuando anteponemos un cuantificador universal a una función proposicional afirmamos que todos los miembros de un conjunto satisfacen un predicado. Como sabemos, en ambos casos, ese conjunto se denomina domi­ nio de interpretación.

14.5 Fórmulas cerradas Si tenemos una función proposicional L ( x , y ), denominada tam­ bién fórmula abierta, y le anteponemos un cuantificador que afec­ ta a cada una de sus variables libres, entonces obtenemos una fór­ mula cerrada de la forma ( V x ) ( 3 y ) L ( x , y ) y a l a s letras x , y se les denomina en este caso variables ligadas. Si asimismo mante­ nemos la interpretación anterior de tal manera que x varía sobre el conjunto D de los alumnos e y varía sobre el conjunto D* de las asignaturas del currículum, entonces la fórmula anterior puede leer­ se en lenguaje natural como Para todo alumno x, existe al menos una asignatura y, tal que x estudia y. Esta proposición equivale a la ora­ ción coloquial Todo alumno estudia alguna asignatura'. En este caso el dominio de interpretación es un conjunto de pares ordenados que constituyen el producto cartesiano D x D*. Es respecto de este dominio que los cuantificadores adquieren significado y que la fórmula anterior es verdadera o falsa. Será lo primero si, en efecto, todo alumno estudia al menos una asigna­ tura. Y será lo segundo si existe algún alumno que no estudia

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asignatura alguna. De lo dicho se deduce que una fórmula ce­ rrada sí es una proposición en el sentido de que es verdadera o falsa respecto de un dominio de interpretación.

14.6 Alcance de un cuantificador Examinemos los siguientes ejemplos: i) ( V x ) ( P ( x ) v Q ( x ) ) ii) ( V x ) L ( x , y) v ( 3 y ) R ( x , y ) m) (3 x ) L ( x,a) v Q ( x ) ) Se denomina alcance de un cuanfificador a la porción de una fórmula, hacia su derecha, dentro de la cual liga las ocurrencias o apariciones de una variable. Un cuantificador hacia su derecha sólo puede tener o un paréntesis '('/ llamado de abre, o una letra predicativa con n términos de la forma P ( t t ). En el primer caso, su alcance llega hasta el respectivo paréntesis')', llamado de cierre, y en el segundo caso, su alcance llega hasta el paréntesis que cierra al término t . En el ejemplo i) la variable x tiene dos ocurren­ cias ligadas, porque el cuantificador es el operador de mayor jerar­ quía debido a que es externo respecto de los paréntesis que agru­ pan a la disyunción inclusiva. La primera ocurrencia de x en i) no la contamos porque en ella forma parte del cuantificador. Con la ex­ cepción anterior, definimos las ocurrencias de una variable de nombre v en una fórmula F como el número de veces que aparece v en F a la derecha de algún predicado. En el ejemplo n) la disyunción inclusiva es el operador de mayor jerarquía, porque el alcance del primer cuantificador ter­ mina antes de la primera conectiva a su derecha. El segundo cuantificador no puede disputarle la jerarquía a 'v' porque, sim­ plemente, no tiene alcance hacia la izquierda y 'v ' sí tiene alcance hacia la izquierda y hacia la derecha. En este ejemplo la primera ocurrencia de y es libre porque el primer cuantificador sólo liga la primera ocurrencia de x y el segundo no tiene alcance alguno hacia la izquierda. Asimismo, la segunda ocurrencia de x tam­ bién es libre porque el segundo cuantificador no liga a x pero si la segunda ocurrencia de y.

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En el ejemplo m) las dos ocurrencias de la única variable es­ tán ligadas y a la letra a no se le puede aplicar un cuantificador porque no es una variable sino una constante individual con sig­ nificado específico. Tanto el primer ejemplo como el tercero son fórmulas cerradas interpretables como proposiciones generales, universal y existencial, respectivamente. El segundo ejemplo es una función proposicional de forma disyuntiva a causa de que tiene a y como variable libre, en su primera ocurrencia, y a x en la misma situación, en su segunda ocurrencia. Por tanto, este ejem­ plo no es una proposición en el lenguaje PMP.

14.7 Forma normal prenex Si consideramos una función proposicional tal como L ( x , y ) en­ contramos que hay ocho maneras distintas de cerrarla. (Vx)(Vy)L(x,y) ( Vy)( Vx)L(x,y) (3x)(3y)L(x,y) (3y)(3x)L(x,y) (Vx)(3y)L(x,y) (3y)(Vx)L(x,y) (Vy)(3x)L(x,y) (3x)(Vy)L(x,y)

Si esta vez interpretamos L ( x, y ) como x ama a y, entonces el dominio de interpretación va a ser el conjunto de los pares o pa­ rejas de seres humanos. Si denominamos al conjunto de los seres humanos H, entonces el dominio de interpre-tación estará consti-

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tuidos por el producto cartesiano de H x H ( H ). En la medida que todas las fórmulas anteriores son cerradas, entonces cada una 2 de ellas será verdadera o falsa respecto de H . La interpretación de las dos primeras fórmulas afirma que todo ser humano ama a todo ser humano lo que equivale a soste­ ner que todos los pares ordenados que formemos con el conjunto H satisfacen la función proposicional x ama a y. De ser asi, las dos primeras fórmulas son lógicamente equivalentes. Las fórmulas tercera y cuarta también son lógicamente equi­ valentes. La interpretación de ambas afirma hay al menos una persona que ama a al menos una persona. Las cuatro primeras fórmulas establecen que el orden es irrelevante cuando los cuantificadores que están antepuestos a una fórmula, denominados en conjunto prefijo, son todos universales o todos existenciales. La quinta fórmula se interpreta en función de que toda perso­ na ama a al menos tina persona. Esta proposición excluye la posibili­ dad de que haya una persona que no ame a persona alguna. La sexta fórmula establece que hay al menos una persona que es amada por todos, cuyo sentidos es distinto del de la ante­ rior a causa sólo del diferente orden en el que aparecen los cuantificadores. La séptima fórmula afirma la totaüdad de las personas es amada por al menos una persona. Y la última afirma que hay al menos una persona que ama a todas las personas. El sentido distinto, en cada caso, que muestran las interpre­ taciones de las cuatro últimas fórmulas prueban que cuando los cuantificadores que forman el prefijo son universales y existen­ ciales el orden es relevante y si es alterado se altera también las condiciones de verdad de las fórmulas correspondientes. Se dice que cuando una fórmula exhibe todos los cuanti­ ficadores adelante, independientemente del orden en que se en­ cuentren, entonces está en forma normal prenex. Asimismo, si ocurre que en el prefijo todos los cuantificadores existenciales preceden a los cuantificadores universales, entonces está en for­ ma normal de Skolem. Los ocho ejemplos anteriores están en forma normal prenex. Los ejemplos sexto y octavo son ejemplos de la forma normal de Skolem. Las fórmulas tercera y cuarta ilustran, además, el caso en el que el número de cuantificadores universales es igual a cero.

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14.8 Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje PMP Un ejemplo de la proposición A del cuadro de Boecio es la afir­ mación física 'Todos los cuerpos que se someten a la acción del calor se dilatan. En esta afirmación hay dos predicados monádicos. El primero x es un cuerpo sometido a la acción del calor y el segundo x se dilata. Al primero lo escribimos como P( x ) al segundo como Q ( x ), siguiendo convenciones antes establecidas. Un aspecto adicional a considerar es que toda afirmación general universal del tipo de A es interpretada como hipotética en el sentido de que no es posible constatar que todos los individuos de un conjunto tienen una propiedad cuando este conjunto es infinito. Y ocurre que en la formalización de las teorías científicas con frecuencia hay que postular que los dominios de interpretación son conjun­ tos infinitos, como, por ejemplo, el conjunto de los números na­ turales. Ello conduce a que se interprete que la estructura interna de una proposición A es condicional y a que pueda ser adecua­ damente parafraseada como sigue: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad P, entonces x tiene la propiedad Q. Ello nos conduce a la siguiente fórmula: (A )

(Vx)(P(x)-»Q(x)

Una afirmación del tipo E también es en el lenguaje PMP una fórmúla general universal de estructura interna condicional por la misma razón que antes expusimos. Manteniendo la misma in­ terpretación de los predicados P y Q, la afirmación Ningún cuerpo sometido a la acción del calor se dilata puede ser parafraseada así: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad de ser sometido a la acción del calor, entonces x no tiene la propiedad de dilatarse. Esto da lugar a la siguiente fórmula: (E )

( V x ) ( P ( x ) —» ~ Q ( x ) )

Una afirmación del tipo I, que es una fórmula general existencial afirmativa, dentro de la misma interpretación es parafraseada así: Existe al menos un objeto x tal que x tiene al mismo

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tiempo la propiedad de ser sometido a la acción del calor y de dilatarse. La respectiva fórmula es la siguiente: (I)

(3x)(P (x)aQ (x)

De manera análoga el parafraseo de una proposición del tipo O es: Existe al menos un objeto x, tal que x tiene la propiedad de ser sometido a la acción del calor y x no se dilata. La fórmula en este caso es : (O )

( 3 x ) ( P ( x ) a ~ Q ( x ))

14,9 Formalización de proposiciones con predicados de grado 2 Una limitación fundamental del cuadro de Boecio y de la teoría del silogismo de Aristóteles, es que no permite traducir al lenguaje lógico proposiciones científicas, inclusive algunas muy elemen­ tales. La razón es que las afirmaciones científicas establecen re­ laciones entre los objetos de un conjunto o dominio, lo que no pue­ de ser formulada mediante predicados monádicos que son los únicos que admiten el cuadro de Boecio. Por ejemplo, la afirma­ ción que dice dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí, que se usa como axioma en los Elementos de Euclides, no puede ser expresada usando los medios expresivos del cuadro de Boe­ cio debido a que este viejo axioma contiene el predicado de igual­ dad que sólo puede ser formalizado usando un predicado de gra­ do 2, denominado también una relación. Sí formalizamos el predicado x es igual a y mediante la fun­ ción proposicional R ( x, y ), entonces la proposición matemática antes mencionada da lugar a la siguiente formalización: (V X ) (V y ) (V z ) ( ( R ( x , y ) a ( R ( y, z ) ) —> R ( x , z )) La lectura de esta fórmula, que es también su parafraseo en lenguaje natural es: Para toda terna de objetos x, y, z, si el primero está con el segundo en la relación R y si el segundo está con el tercero en relación R, entonces el primero está con el tercero en la relación R.

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Hay otras afirmaciones, comunes en aritmética, que tampo­ co pueden ser expresadas en el lenguaje de Aristóteles y Boecio. Por ejemplo la proposición T ara todo tipo de número natural existe siempre otro mayor que él" la misma que equivale a la pro­ posición negativa 'No existe el mayor número natural'. Si forma­ lizamos el predicado relacional x es mayor que y mediante la fun­ ción proposicional M ( x, y ), la formalización correspondiente es: ( Vy ) ( 3 x ) M ( x, y )

14.10 Reglas de equivalencia entre cuantificadores Los esquemas de fórmula que presentamos, en lo que sigue, tie­ nen validez general sin que las limite el hecho de que el predica­ do que escribimos sea presentado como monádico. Lo que ellas autorizan es a intercambiar un cuantificador universal negado en el flanco izquierdo (externo) por uno existencial negado en el flan­ co derecho (interno) y un cuantificador existencial negado en el flanco externo por uno universal negado en el flanco interno. La tercera y la cuarta equivalencia son consecuencias lógicas de las anteriores. ~(Vx)P(x)o(3x)~P(x) ~ ( 3,x ) P ( x ) < - » ( V x ) ~ P ( x ) ~(3x)~P(x)-o-(Vx)P(x) ~{ V x ) ~ P ( x ) o ( B x ) P ( x ) Si se supone que el dominio de interpretación es un conjun­ to finito de n objetos, la prueba de las equivalencias anteriores es inmediata en relación con los conocimientos brindados en este manual. Ella se basa en la aplicación de las reglas de De Morgan. En tal caso una cuantificación universal es definida como una conjunción de n compo-nentes y una cuantificación existencial como una disyunción de tam bién n componentes. En la medi­ da que estamos trabajando con cuantificadores negados, la fór­ mulas ~ ( V x ) P ( x ) y ~ ( 3 x ) P ( x ) dan lugar a las siguientes equivalencias:

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~ ( V x ) P ( x ) ^ ~ ( P ( a i ) A P ( a 2) A ........A P ( a J ) - ( 3 x ) P ( x ) - ( P ( a 1) v P ( a 2) v / . . . / v P ( a n) ) Si se obtiene, aplicando la regla de De Morgan, la equivalen­ cia de la conjunción negada, se tendrá una disyunción con cada uno de sus n componentes negados que corresponde a la defini­ ción de (3 x ) ~ P ( x ). Y si, análogamente, se obtiene la equiva­ lencias de la disyunción negada, se obtendrá una conjunción de n componentes, cada uno negado que es la definición de ( V x ) ~ P ( x ). Los detalles los dejamos como ejercicio en la medida que el lector atento, al estudiar esta parte del libro, ya tiene conocimien­ tos y entrenamiento suficiente como para hacer las verificaciones necesarias. La prueba de validez de la equivalencia mostrada por la tercera y cuarta fórmula, restringida a este contexto, también se puede efectuar, de manera inmediata, siguiendo el mismo pro­ cedimiento. Esta tarea la dejamos al lector.

14.11 R eg las de e lim in a ció n y re in tro d u cció n de cuantificadores La realización de deducciones con fórmulas cuantificadas requiere de una ampliación de la versión que hemos dado antes de las re­ glas RDN de Gentzen. De esta manera, construiremos un siste­ ma de deducción natural RDNP que está constituido por RDN más las reglas adicionales que a continuación expondremos. Es­ tas reglas tienen como función eliminar cuantificadores por me­ dios lógicamente válidos para permitir la aplicación de las reglas de deducción a las conectivas que forman parte de la estructura interna de las fórmulas cuantificadas. Luego, posibilitan la rein­ troducción de los cuantificadores, allí donde es posible, para ob­ tener las conclusiones buscadas.

14.11.1 Ejemplificación universal Una fórmula de la forma ( Vx ) P ( x ) es verdadera respecto de un dominio D si todos (y cada uno) de los elementos de D per­ miten la construcción de afirmaciones verdaderas de la forma Pa, Pb, etc. (En este caso y en adelante, por razones de simplicidad,

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escribiremos las constantes individuales sin paréntesis). Supon­ gamos que D = { 2, 4, 6..., 2n \y que la función proposicional P ( x ) es interpretada como x es par, luego la fórmula cerrada ( Vx ) P ( x ) es verdadera en D debido a que cada una de las afirmaciones P (2), P (4), etc. es verdadera. Como cada una de estas afirmacio­ nes es un ejemplo o un caso particular respecto de ( Vx ) P ( x ), podemos decidir que esta fórmula es verdadera en D porque to­ dos sus ejemplos son verdaderos. Lo anterior pone en claro que la definición de la verdad de una proposición cuantificada debe realizarse necesariamente respecto de un dominio, pues una mis­ ma proposición puede ser verdadera respecto de un dominio y falsa respecto de otro. Por ejemplo, si tomamos como dominio de interpretación el conjunto de los números naturales N = { 1, 2, 3, ..., n, n+1, ... \,debe resultar claro que la proposición ( Vx ) P ( x ) no es verdadera respecto de N porque tendría infinitos ejemplos falsos, tales como P ( 1 ) , P ( 3 ), etc. Lo dicho nos permite dedu­ cir que si ( V x ) P ( x ) es verdadera, entonces cualquier ejemplo de ella es verdadero o también un ejemplo concreto. La idea de cualquier ejemplo la expresaremos a través de P ( y ) pues la va­ riable y no identifica individuo alguno. La idea de un ejemplo con­ creto la expresaremos usando nombres propios en fórmulas ta­ les como Pa. El esquema de esta reglas es:

( Vx ) P ( x ) ---------- ■ ---------P(y)

( Vx ) P ( x ) ---------------------

(EU) RDNP22

Pb

La postulación es que desde una fórmula cuantificada um­ versalmente podemos derivar o un ejemplo arbitrario o un ejem­ plo ¿concreto debido a que damos por sabido que todos los miem­ bros del dominio satisfacen la función proposicional P ( x ). La idea de un ejemplo arbitrario es la de un ejemplo tomado al azar como, por ejemplo, cuando se saca un bolo de un ánfora en un sorteo.

14,11.2 Generalización universal Esta regla permite reintroducir el cuantificador universal bajo la presuposición de que la propiedad que es verdadera de un indi-

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viduo arbitrariamente tomado de un dominio, es verdadera de todo el dominio. Vale decir, si en una línea de deducción tene­ mos el ejemplo arbitrario P ( y ) y sabemos que la variable y no está libre en nin-guna de las premisas que estamos utilizando, en­ tonces podemos deducir ( V x ) P( x ). El esquema es el siguiente:

P(y) -------------------------( G U ) RDNP 23 ( Vx ) P ( x ) siempre que y no aparezca al menos una vez libre en alguna línea anterior que es premisa. Esta regla no nos permite deducir, por ejemplo, de la afirma­ ción x es ladrón la conclusión Todos son ladrones porque la variable x está libre en la única premisa que hemos usado.

14.11.3 Ejemplificaciones existencial Una fórmula ( 3 x ) P ( x ) es verdadera, en un dominio D, si exis­ te al menos un objeto del domino que permite construir un ejem­ plo verdadero. Este objeto, que podría ser único, lo designaremos con un nombre propio o constante individual que debe satisfacer la condición de no haber aparecido antes en la deducción para evitar la presuposición innecesaria de que se trata del mismo ob­ jeto al que hacen referencia otras proposiciones. El esqueleto es el siguiente: (3x)P(x) ( E E . ) RDÑP 24 Pa siempre que a no aparezca antes en la deducción Esta regla nos impide deducir desde Hay un gato y Hay un perro la conclusión Hay un animal que es a la vez perro y gato porque tendríamos que presuponer que las premisas hacen referencia al mismo objeto, lo que se impide con la restricción que establece que el nombre propio que se introduzca por aplicación de EE. no debe aparecer antes en la deducción.

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14.11.4 Generalización existencial Si en una línea de deducción tenemos un ejemplo arbitrario del tipo P ( y ), entonces podemos deducir (3 x ) P ( x ). Esta fórmula también puede ser deducida de un ejemplo con constante indivi­ dual tal como Pb. El esquema es como sigue: P(y) --------------------(Bx)P(x)

P(a) --------------------(3x)P(x)

( G E .) RDNP 25

Debe anotarse que en esta exposición la fórmula P ( y ) es denominada función proposicional y también ejemplo arbitrario. Ello introduce una dosis de ambigüedad que no puede evitarse sin complicar la simbología que estamos utilizando a un nivel que excede los alcances de este manual. Esta concesión al rigor es co­ mún en los textos introductorios.

14.12 A plicación de las reglas R D N P a la deducción silogística En esta sección formalizaremos algunos silogismos presentados en lenguaje natural y mostraremos que su conclusión se deduce desde las premisas aplicando las reglas RDNP. Para el efecto re­ curriremos directamente a un ejemplo.

Todas las criaturas hoscas son vistas con desconfianza Todas las avispas son criaturas hoscas lu e g o , todas las avispas son vistas con desconfianza Si representamos con M ( x ), S ( x ) y P ( x ) los predicados x es una criatura hosca, x es una avispa y x es una criatura vista con desconfianza, respectivamente, entonces la formalización en el len­ guaje PMP del silogismo anterior y la deducción a que da lugar aplicando las RDNP es la siguiente: 1. ( V x ) ( M ( x ) —» P ( x ) ) 2. ( V x ) ( S ( x ) —» M ( x ) ) / 3. M ( y ) -> P ( y )

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( V x ) ( S ( x ) -> P ( x ) ) EU. en ( 1 )

4. 5. 6.

S (y )->M (y ) S ( y ) -> P ( y ) ( Vx ) ( S ( x ) -> P ( x ) )

EU. en(2) SH. en 3,4 GU. en 5

El procedimiento anterior puede ser aplicado a la siguiente deducción que es frecuentemente presentada como sí fuera un silogismo:

Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre Luego, Sócrates es mortal. La correspondiente formalización en PMP y la deducción a que da lugar es: (1)(Vx)(H(x)->M(x))

(2) 3. Ha -> Ma 4. Ma

Ha /M a Eu. en 1 MP. en (2), 3

/.\ M a

Como se puede apreciar, no es propiamente un silogismo porque solamente tiene, en lenguaje clásico, dos términos ( H ( x ), M ( x )). El nombre propio 'Sócrates' lo hemos representado por a. Como se comprende fácilmente, los diagramas de Venn no per­ miten decidir la, validez de esta sencilla y antigua deducción por­ que no consideran el uso de nombres propios.

14.13 Deducción con predicados relaciónales El lenguaje PMP posibilita formalizar deducciones que contienen predicados relaciónales. Examinemos el siguiente ejemplo:

Quienquiera que perdone a cualquier persona es un santo No hay santos Luego, nadie perdona a nadie.

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Si representamos x perdona a y por F ( x, y ) y x es un santo por S ( x ), entonces el razonamiento anterior da lugar a la siguiente deducción. (1) ( V x ) ( Vy ) ( F ( x , y ) —» S ( x ) ) (2) ~ ( 3x) S ( x ) / :. ( V x ) ( V y ) ~ F ( x , y )

EU. en (1) (3)(Vy)(F(w,y)->S(w)) (4) F ( w , z ) -> EU. S (w en) 3. (5) ( V x ) ~ S ( x ) Equiv. de cuant. en 2. EU. en 5. (6) ~ S ( x ) (7) ~ F ( w , z ) MT. en 4,6 (8) ( V y ) ~ F ( w , y ) GU. en 7. GU. en 8. (9) ( V x ) ( V y ) ~ F ( x, y ) Para entender la formalización dada es importante conside­ rar que las afirmaciones negativas, en el lenguaje natural, tienen una traducción lógica poco intuitiva pero precisa. Por ejemplo, si deseo representar en PMP la afirmación Nadie es matemático, pue­ do usar la función proposicional P ( x ) para representar x es mate­ mático y la fórmula ( V x ) ~ P ( x ) para expresar la idea de que todos los individuos del dominio de interpretación no son mate­ máticos lo que equivale a la afirmación Nadie es matemático. Este criterio de traducción debe ser considerado para comprender la traducción que le hemos dado a la conclusión del razonamiento anterior que equivale a la afirmación Para todo par de personas, no se cumple que una perdone a la otra. Asimismo, desde el punto de vista de la aplicación de las RDNP, es importante señalar que en la línea 3, al hacer EU. no era posible usar la variable y debido a que hubiera quedado ligada por el cuantificador ( Vy ) que se mantiene, en esa línea, dentro del cuerpo de la fórmula. Esa es la razón por la que necesaria­ mente recurrimos a la variable w, pues de otro modo se incurriría en incorrección deductiva. Por tanto, cuando se aplica la regla EUen lina determinada línea de deducción, la variable y utilizada no sólo no debe ser libre en premisa alguna usada en la deducción sino, además, no debe quedar ligada por un cuantificador todavía no eliminado en esa línea. Ésta es una restricción que no hemos incluido en la sección 14.11.1 por razones pedagógicas.

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14.14 Mecanismo de refutación de hipótesis Las reglas RDNP posibilitan mostrar el mecanismo de refutación de hipótesis científicas, bajo la suposición bastante aceptada de que toda hipótesis científica se formaliza mediante una fórmula A del cuadro de Boecio o mediante una versión relacional de esta fórmula, análoga a la estructura de la primera premisa del ejem­ plo de la sección anterior. El mecanismo lógico a mostrarse aprovecha, como paso in­ termedio, la relación de contradicción que existe en el cuadro de Boecio entre una fórmula A y una O, en el sentido de que la ver­ dad de ambas no puede ser afirmada simultáneamente debido a que O es equivalente a la negación de A y A es equivalente a la negación de O. Esto es, si se asume o se prueba la verdad de una proposición de la forma O, entonces se concluye la verdad de ~A, lo que equivale a la falsedad de A que representa a una hipótesis cualquiera. Este mecanismo que consiste en probar la verdad de una proposición O para demostrar la falsedad de una hipótesis de forma A fue utilizado por el filósofo Karl Popper para susten­ tar sus tesis epistemológicas falsacionistas. El argumento parte de la tesis que sostiene que toda observa­ ción de hechos específicos se describe mediante enunciados sin­ gulares que identifican a los objetos de los que estamos hablando. Así, supongamos, por ejemplo, que observamos un objeto a que es cuervo y que no es negro. Esto daría lugar a la verdad del enuncia­ do singular Pa a ~ Qa, el mismo que sería un refutador o falsador de la hipótesis Todos los cuervos son negros, ( V x ) ( P ( x ) - » Q ( x ) ) , en la medida que permitiría deducir la verdad de su negación, como mostramos a continuación. (1) Pa a ~ Qa //.~(Vx)(P(x)->Q(x)) 2. ( 3 x ) P ( x ) a ~ Q ( x ) GE en (1) 3.(3x)~(~P(x)vQ(x)) DM. En 2 4. (3x)~(P(x)-»Q(x)) RDNP 1 6 e n 3 5. ~ ( V x ) ( P ( x ) - » Q ( x ) ) Equiv. 14.10en4. Es importante alcarar que en tanto todas las reglas de deduc­ ción aplicadas al ejemplo anterior son equivalencias, no ha sido necesario usar las reglas EE y GU.

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XV LA INDUCCIÓN CLÁSICA

Objetivos: • Extender la introducción de Stuart Mili como un procedimien­ to de investigación de los casos de causación. • Conocer la lógica subyacente en los manuales de metodología de la investigación.

CUESTIONARIO 15 La inducción clásica

Instrucciones I. Responda a las siguientes preguntas, respecto de la lógica de Stuart Mili: 1. ¿Cuál es la obra de lógica principal de Stuart Mili y cuál es su temática? 2. ¿Qué es lo específico de las inferencias estrictas según S. Mili? 3. ¿Es el silogismo una inferencia circular según S. Mili? 4. ¿Acepta S. Mili el criterio que establece que lo que legitima a una inferencia es la transferencia de la verdad? 5. ¿Es la inducción exhaustiva una genuina inferencia? 6. ¿Es la inducción matemática una genuina inducción? 7. ¿En qué consistió el error de S. Mili respecto de la naturaleza de la matemática? 8. ¿Cuál es la limitación de las leyes de Kepler según S. Mili? 9. ¿Cómo se define el principio de uniformidad de la naturaleza? 10. ¿Cuál sería el fundamento del principio de uniformidad de la naturaleza? 11. ¿Cómo se justifica lógicamente un silogismo inductivo? 12. ¿Es el principio de uniformidad de la naturaleza evidente por sí mismo? 13. ¿Cómo se define una ley de la naturaleza? 14. ¿Son leyes de la naturaleza las regularidades derivadas? 15. ¿Cómo se definen los fenómenos sicrónicos?

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16. ¿Cómo se definen los fenómenos diacrónicos? 17. ¿Cuál es la ley de los fenómenos diacrónicos? 18. ¿Es lo mismo una relación causal que una relación de invarianza? 19.. ¿Sostiene S. Mili que la casualidad es siempre aditiva? 20. ¿Por qué el método de la concordancia no proporciona induc­ ción completa? 21. ¿Cuál es el método que S. Mili privilegia por su grado de fiabi­ lidad ? 22. ¿Se asocia la tesis de Laplace sobre probabilidad con los méto­ dos deS. M ili? 23. ¿Juega la enumeración de casos un rol importante en los méto­ dos de S. Mili? 24. ¿Cuál fue la propuesta de S. Mili sobre la oposición tradicional entre inducción y deducción?

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LECCIÓN 15 La inducción clásica

La presente lección se propone hacer un estudio de los plantea­ mientos fundamentales que sobre la inducción formuló Stuart Mili (1806-1873) en su conocido libro Sistema de lógica. Las referencias que haremos se basan en la versión castellana de Daniel Jorro pu­ blicada en Madrid en 1917. La naturaleza misma de nuestra ta­ rea nos ha llevado a elegir aquello que consideramos sustantivo y a desestimar lo que podría ser considerado accesorio o de ca­ rácter reiterativo, como, por ejemplo, las diversas y abundantes ejemplificaciones en las que entra con alguna frecuencia Stuart Mili para probar la misma tesis. Consideramos importante aclarar que en la literatura espe­ cializada en lógica matemática es normal que se omita como tema la inducción clásica. Sin embargo, si se revisa los manuales de metodología de la investigación de carácter operativo y de uso actual generalizado, se encontrará que ellos se basan en la lógica Stuart Mili más que en los resultados específicos de la lógica con­ temporánea. Por ejemplo, la lógica subyacente en los llamados diseños de investigación, ya clásicos, de Campbell y Stanley, no es de manera directa un sistema de lógica matemática sino las reglas decimonónicas de Stuart Mili sobre los casos de causación. Debido a la consideración anterior, hemos juzgado necesario incluir este capítulo que facilita la comprención de los manuales sobre investigación científica y que apertura una forma distinta de razonar que en nuestro siglo ha sido perfeccionada a través de los sistemas de lógica probabilitarios.

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La presente exposición la hemos dividido en dos partes: la primera referente a la ubicación y fundamentación de la induc­ ción dentro de lo que podríamos considerar una teoría general de la inferencia; y la segunda versa sobre la inducción entendida básicamente como un procedimento de investigación de los casos de causación. Asimismo, hacemos notar que la segunda parte es la que usualmente se resume en algunos manuales de lógica y metedología bajo la denominación de los métodos de Mili. En lo que sigue procedemos a desarrollar el plan antes descrito.

15.1 La inducción como inferencia amplificadora Comenzaremos puntualizando que Struart Mili define a la lógi­ ca como una disciplina cuyo objeto de estudio es la prueba de la verdad de proposiciones o aserciones, lo que se desprende clara­ mente de una lectura del numeral 1 del capítulo primero del li­ bro II de Sistema de lógica (SL). Asimismo, considera que la ac­ ción de probar consiste principalmente en hacer inferencias, pero, hasta donde hemos podido constatar, no se esmera en proporcio­ nar inicialmente una definición explícita, precisa y rigurosa de in­ ferencia sino que prefiere proporcionar un conjunto de nociones a partir de las cuales el lector puede derivar una caracterización de ella. Entre tales nociones podemos citar la siguiente: «Inferir una proposición de otra proposición previa o de otras; prestarle fe o exigir que se le preste fe como conclusión de alguna otra, es razo­ nar en el sentido más amplio de la palabra» (p. 182). De este texto se sigue que inferir es la operación por la que se desprende o se deriva una conclusión a partir de otra u otras proposiciones, lo cual, en gran medida, coincide con lo que clásicamente se ha di­ cho al respecto. Sin embargo, la lectura numeral 2 revela que Stuart Mili no está pensando exactamente igual que los clásicos aristotélicos porque, en esta parte de su exposición, de manera sumaria, anali­ za las tradicionales inferencias inmediatas sistematizadas en el cuadro de Boecio y concluye que no son inferencias. La razón es que se trata de equivalencias, de modos distintos de decir lo mis­ mo, esto es, de meras traducciones que como tales sólo compor­

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tan una modificación en los medios expresivos; pero no en el es­ tado del conocimiento que de esta manera no sufre incremento alguno. El hecho de que Stuart Mili descalifique como inferencias a operaciones lógicas clásicas, por ser equivalencias, se compren­ de, si se considera que sus planeamientos de manera clara exigen que para que algo pueda ser denominado inferencia posea una conclusión cuya verdad sea nueva con respecto a lo dicho en las premisas. Vale decir, toda inferencia genuina debe producir un proceso de real incremento del conocimiento y en ese sentido debe ser amplificadora. Consecuentemente, de acuerdo con esta con­ cepción, las operaciones realizadas por la lógica no son meros medios de explicitación de lo ya dicho en las premisas sino genuinos instrumentos de descubrimiento de verdades que antes no se conocían.

15.2 El fundamento del silogismo Stuart Mili, inicialmente, distingue dos tipos de inferencias: las que operan de lo particular a lo general, llamadas inductivas, y las que operan de lo general a lo particular, llamadas silogismo o argumentaciones. Al hacer esta clasificación se aparta de las prosiciones inductivistas tradicionales, como la de Bacon, que consi­ deraban al silogismo como un procedimento circular y como una seudoinferencia. En cambio, para Stuart Mili, por definición, el silogismo es una inferencia en sentido estricto porque permite el paso de lo conocido a lo desconocido. Abundando en detalles argumentativos, afirma que la pre­ misa mayor de un silogismo es una fórmula cuya «intención» con­ densa un conjunto muy grande de inferencias que proceden de lo particular a lo general, lo que significa que el fundamento de la premisa mayor es su intención inductiva. El silogismo resulta así una inferencia en sentido estricto porque su conclusión no esta contenida en la proporción denominada premisa mayor, sino, que es obtenida conforme a su «intención» inductivas que no es lo mismo. La implicación material, tal como lo sostuvo el obispo Whately y otros filósofos, era de este modo insuficiente para justificar la

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validez del silogismo, pues Mili rechaza el criterio que dice que lo que legitima a una inferencia es la imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. El fundamento del silogismo, es en última instancia, la intención inductiva de la premisa mayor. En concordancia con este punto de vista, rechaza la posibilidad de reducir la teoría del silogismo a un formalismo algebraico, lo que en su tiempo, sin embargo, ya había sido logra­ do por los trabajos de Boole y de Venn. Con relación a la inducción, Struat Mili es explícito en su definición como vemos en la siguiente cita: «La inducción por consiguiente, es la operación del espíritu por la cual inferimos que lo que sabemos ser verdadero en uno o varios casos particu­ lares será verdadero en todos los casos que se parezcan a los pri­ meros bajo ciertas relaciones asignables. En otros términos, la in­ ducción es el procedimiento por el cual concluimos que lo que es verdadero de ciertos individuos de una clase es verdadero de toda la clase, o que lo que es verdadero algunas veces, lo será siempre en circunstancias semejantes», (p. 292). En esta definición se aprecia claramente el carácter amplificatorio asignado a la inducción, pues la verdad de la conclusión afecta a más casos que los incluidos en las premisas. Pero esto no debe llevamos a pensar en que el sentido de esta inferencia es establecer una relación que va del presente al futuro (predictiva), en la medida que muchos de los casos referidos por la conclusión puedan coexistir con los descritos por las premisas con la diferen­ cia de que en un determinado momento todavía no son conoci­ dos. Consecuentemente, lo fundamental en todo proceso induc­ tivo, como en cualquier inferencia, es proceder de lo conocido a lo desconocido.

15.3 Las seudoinducciones En armonía con el planteamiento anterior, nuestro autor considera necesario señalar tres tipos de seudoinducciones debido a que son tenidas como inferencias genuinas por algunos tratadistas. (i) El primer tipo de seudoinducción es lo que hoy día podemos llamar inducción exhaustiva, caracterizada porque en las

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premisas se agotan los casos del universo del discurso o lo que hemos denominado antes dominio de interpretación y, por con­ siguiente, la conclusión no puede agregar ninguno más, convir­ tiéndose así en una escritura abreviada de las premisas. Evi­ dentemente, los procedimientos de este tipo no satisfacen la de­ finición de inferencia adoptada por Mili, pues la conclusión no excede lo dicho en las premisas. (ii)El segundo tipo de seudoinducciones lo constituyen las demos­ traciones por inducción matemática. Es oportuno anotar que en este caso S. Mili da muestras de no conocer las diferentes for­ mas que puede adoptar la inducción matemática, a pesar de que se trata de un método conocido desde los trabajos de Pascal. La base de su error consiste en que confunde las leyes de la matemática con las leyes de la naturaleza; así por ejemplo, iden­ tifica las leyes de la geometría con las leyes del espacio real, desconociendo que ya en su tiempo estaban desarrolladas las geometría no-euclidianas de Lobachevski y Riemann, cuya co­ rrespondencia con el espacio real no tenía ningún significado matemático. (m)El tercer tipo de seudoinducción está constituido por las llama­ das coligaciones que, según S. Mili, no son propiamente infe­ rencias sino solamente descripciones que se reducen a los casos observados y que, consecuentemente, no dicen nada acerca de los casos no observados. La coligaciones se limitan a ser des­ cripciones de concordancia que se observan en la naturaleza, como sería el caso de las llamadas leyes de Kepler sobre las órbitas de los planetas. De acuerdo a Mili, estas leyes enuncian relaciones constantes o uniformidades observadas; pero no per­ miten un conocimiento mayor debido a que no establecen las causas. En cambio, las inducciones hacen referencia a regulari­ dades observadas, pero, también, hacen afirmaciones acerca de hechos nuevos que exceden en contenido a las coligaciones. Después de examinar las seudoinducciones, señalaremos que lo importante, para Mili, no es solamente hacer inducciones genuinas sino ser capaz de escoger aquellas que son relevantes para probar algo con respecto a ciertos objetos. Las reglas de la lógica nos sirven para determinar la validez de las inducciones una vez

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que éstas han sido creadas, sin embargo son de poca ayuda para crear las inducciones que necesitamos. Esta tesis, con ligeras va­ riantes, ha sido defendida en nuestro siglo por el positivismo ló­ gico y también por Popper, entre otros.

15.4 El principio de uniformidad de la naturaleza El fundamento de la inducción, según S. Mili, está dado por el principio de uniformidad de la naturaleza, el mismo que está pre­ supuesto en toda inferencia de este tipo. En efecto, la generali­ dad inherente a toda conclusión obtenida por métodos inducti­ vos sólo es posible si se asume como principio que en circunstan­ cia semejantes la naturaleza se comporta de la misma manera. Mili expresa esta idea en los siguientes términos. «Es preciso ante todo observar que hay un principio implicado en el enunciado mismo de lo que es la inducción, un postulado relativo al curso de la na­ turaleza y al orden del universo, a saber: que hay en la naturale­ za casos paralelos; que lo que sucede una vez sucederá también en circunstancias bastantes semejantes, y sucederá siempre que las dichas circunstancias se presenten». Pero afirmar que el principio de uniformidad de la naturale­ za es el fundamento de la inducción no significa en modo alguno, para Mili, aceptar algunas tesis tradicionales que veían en él la expresión de una especie de tendencia instintiva a inducir, que supuestamente era inherente a la naturaleza humana. Sostiene, que el fundamento de este principio también es inductivo en la medida que lo adquirimos como una especie de generalización suprema de nuestra experiencia. Por tanto no constituye una de nuestras inducciones más simples y más primigenias, sino más bien se encuentra en el rango de ser la más elaborada. Esto expli­ ca, que el enunciado de dicho principio prácticamente haya sido accesible sólo al espíritu entrenado de los filósofos, que han sido capaces de derivarlo de otras generalizaciones de menor jerar­ quía. En efecto, sería la constatación de que en los diversos órde­ nes de la naturaleza existen leyes científicas que expresan relacio­ nes uniformes y constantes respecto de fenómeno de un cierto género, lo que habría conducido a los filósofos a pensar que las diversas regularidades conocidas, sólo son la manifestación de

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una regularidad y unifor-midad universal inherente al compor­ tamiento de la naturaleza como un todo. El proceso del razona­ miento ha sido inductivo, sostiene S. Mili, en tanto se ha inferido que en todos los nuevos fenómenos que se conozcan, la naturale­ za observará un comportamiento uniforme, consistente en que condiciones semejantes serán seguidas por efectos semejantes.

15.5 Premisas mayor de un silogism o inductivo Evidentemente el planteamiento anterior abre inmediatamente una interrogante crucial, ¿cómo es posible que un principio, que ha sido obtenido presuponiendo un número muy grande de in­ ducciones, sirva de fundamento a la inducción? La respuesta de S. Mili es que el principio de uniformidad de la naturaleza es el fundamento de la inducción, no en el sentido de que a partir de él se construyan todas las inducciones, porque esto es claramen­ te falso, sino en el sentido de que este principio constituye la jus­ tificación lógica que hace legítima a toda inferencia inductiva. Y esta justificación consiste en que él guarda con las inferencias in­ ductivas la misma relación que la premisa mayor con un silogis­ mo. Por consiguiente, el mencionado principio es fundamento no porque sirva para explicar las inducciones sino porque es condi­ ción necesaria para la prueba de su validez lógica, puesto que de acuerdo a reglas clásicamente conocidas no hay conclusión legí­ tima si es que no hay una premisa mayor en la cual fundarla. Este punto de vista, que luego no recibe un tratamiento deta­ llado y sistemático, está presente de manera implícita y a veces explícita en el desarrollo de la inducción que hace S. Mili espe­ cialmente en el libro III. Su importancia radica en que, nuestro autor, no cayó en la tradición baconiana de oponer deducción a inducción pues, como resulta claro de lo dicho anteriormente, la inducción es lógicamente válida solamente porque puede ser for­ mulada en los términos de un silogismo válido cuya premisa mayor es el principio de uniformidad de la naturaleza. Aunque Mili no lo afirma con suficiente claridad, su posición implica lógi­ camente que la inducción es un caso particular de silogismo en la medida que, de acuerdo con sus tesis, toda inducción puede ser traducida a la forma de un silogismo que tiene como premisa

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mayor al principio de uniformidad de la naturaleza. Sin embargo pero no todo silogismo tiene que ser necesariamente inductivo en el sentido de que puede tener una premisa mayor distinta.

15.6 Leyes de la naturaleza y sistema axiomático Consecuentemente, para que la lógica inductiva sea posible de­ ben existir previamente premisas mayores que permitan justifi­ car las inferencias, y por tanto, es necesario para construir este tipo de lógica postular la existencia de ciertas inducciones bási­ cas y universales, análogas al principio de uniformidad de la na­ turaleza, que ya no se justifican dentro del sistema de la lógica inductiva sino que lo hacen posible. Asimismo, si somos más exac­ tos, el mencionado principio debe ser entendido como una plu­ ralidad de uniformidades más que como una sola. Se trata más bien de una conjunción de las uniformidades que se dan separa­ damente en los diferentes fenómenos que acaecen. De otra parte, entre esta multitud de uniformidades puede distinguirse aquellas que son primitivas e irreductibles y aquellas que resultan como una combinación de las premisas y que son, por tanto, reducibles a sus componentes básicos. Según S. Mili, solamente las unifor­ midades que son irreductibles pueden llamarse propiamente le­ yes de la naturaleza y aquellas que son derivadas, como serían las de Kepler, son meras concordancias que pueden ser deriva­ das de proposiciones más simples como las leyes de Newton. Con­ secuentemente la investigación de las leyes de la naturaleza con­ siste en tratar de responder a la siguiente pregunta: «¿Cuál es el nújnero mínimo de proposiciones generales desde las cuales po­ drían ser inferidas deductivamente todas las uniformidades de la naturaleza?». Como puede comprenderse, esta manera de plantear la in­ vestigación de las leyes de la naturaleza coincide con el proceso de construcción de un sistema hipotético-deductivo de proposi­ ciones, conocido tradicionalmente como sistema axiomático, en el que a partir de un número mínimo de axiomas se derivan las otras como teoremas. Este modelo de investigación científica, que tienen su origen en los Elementos de Euclides, fue tradicionalmen­ te usado para ejemplificar un método deductivo que se entendía

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como opuesto al inductivo. Sin embargo, en S. Mili encuentra una especie de conciliación con los planteamientos inductivistas, pues aunque el desarrollo del sistema es deductivo y consiste en «silo­ gizar», la naturaleza de los axiomas es la de inducciones básicas e irreductibles que constituyen las uniformidades primarias de la naturaleza. En el logro de esta comprensión no-baconiana del proceso de desarrollo y organización de la ciencia, indudablemente influyó la posibilidad que tuvo S. Mili de conocer la versión axiomática de la mecánica debida a Newton. Esta presunción re­ sulta completamente plausible cuando se constata que a lo largo de la obra estudiada abundan los ejemplos tomados de los Prin­ cipios de matemática aplicados a la filosofía natural. Asimismo, aunque podría ofrecerse abundantes argumento para apoyar la interpretación de que Mili consideró al modelo hipotético-deductivo como el paradigma hacia el cual debería ten­ der la organización de la ciencia, consideramos que será suficien­ te aportar la siguiente cita, cuya claridad y comprensión nos exi­ me de hacer mayores comentarios: «Así no hay que desesperar de elevar la Química y la Fisiología al rango de las ciencias deduc­ tivas, pues aunque sea imposible deducir todas las verdades quí­ micas y fisiológicas de las leyes o principios de las sustancias simples o agentes elementarlos, podrían ser deducidas de las le­ yes que aparecen cuando estos elementos se reúnen en un peque­ ño número de combinaciones no muy complejas».

15.7 La ley de la causalidad Mili divide en general los fenómenos, en sincrónicos y diacrónicos. Las leyes de los fenómenos sincrónicos son las referentes al número y a la figura, esto es, son las leyes de la aritmética y de la geometría que, como dijimos antes, él les otorgó el mismo esta­ tuto que a las demás leyes de la naturaleza. Al hacer esta tipifi­ cación, sin embargo, no pudo dejar de notar que las leyes de la aritmética pueden ser intituivamente entendidas con referencia a la sucesión de los números naturales y, consecuentemente, pue­ den fácilmente, por este hecho, ser caüficadas de leyes de fenó­ menos diacrónicos. Debido a ello, concedió que las leyes del nú­ mero se cumplen también en los fenómenos sincrónicos además

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de en los diacrónicos, mientras que las de la geometría, que es­ tán referidas a las propiedades del espacio, se limitarían a los fe­ nómenos sincrónicos. Pero como la verdad de las leyes de lo sin­ crónico puede ser establecida sin necesidad de presuponer el transcurso de un intervalo de tiempo, las leyes de ambas ciencias pueden ser entendidas como intemporales y como establecidas universalmente de una sola vez para siempre. De manera análoga, los fenómenos diacrónicos tienen a su vez una ley fundamental que es privativa de ellos porque su ver­ dad presupone necesariamente la noción de sucesión temporal. Esta ley, que es una de las pocas que gozan del mismo grado de universalidad que las verdades matemáticas, es la de causalidad. S. Mili expresa esta idea de la manera siguiente: «Esta ley, sin embargo, es universal también en otro sentido; es coextensiva con el campo entero de los fenómenos, pues todos los hechos de suce­ sión son ejemplos de ella. Esta ley es la ley de causalidad. Es ver­ dad de que todo lo que comienza a ser tiene una causa que es coextensiva a toda la experiencia humana». La cita anterior, además de revelarnos la universalidad que nuestro autor atribuyó a la causalidad, nos proporciona una enun­ ciación muy general de dicho principio, al cual dedicaremos al­ gunas líneas más. Este proceder se justifica porque, según el pen­ samiento examinado, la noción de causa es la «raíz de toda la teoría de la inducción» (p.325). En consecuencia, una compren­ sión correcta de la lógica inductiva clásica requiere que precise­ mos cuatro aspectos de la noción de casualidad a los que S. Mili otorga especial atención.

15.8 Aspectos de la causalidad (i) En principio, para S. Mili, una causa no es simplemente en evento sino una conjunción de condiciones que producen un efecto o que son seguidas por un efecto, de tal suerte que cada que tal conjunción de condiciones se repite, se seguirá necesariamente el mismo efecto. (n) La referida conjunción de condiciones, sin embargo, no tiene que ser hecha explícita completamente siempre, pues en la prác­ tica resulta suficiente enumerar sólo las condiciones más rele­

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vantes y muchas pueden ser omitidas en la formulación sin mayor dificultad. Simultáneamente, con la conjunción de condiciones que son se­ guidas de un cierto efecto, pueden darse algunas condiciones contrarias. Para incluir este caso, la causa en sentido general es la suma algebraica de las condiciones positivas y negativas «el total de las contingencias de toda naturaleza, que siendo rea­ lizadas, hacen que siga el consiguiente de toda necesidad» (p. 332). (m) Aunque una relación de causalidad establece una relación de invarianza o uniformidad, la causalidad es mucho más que esta última, es además una relación incondicionada. Un ejemplo de relación invariante es la sucesión del día y la noche que se pro­ duce uniformemente en el tiempo, sin embargo, no es una rela­ ción de causalidad, porque todos sabemos que el día no es la causa de la noche ni viceversa. Más bien ambos fenómenos tie­ nen una causa común en el movimiento de la tierra alrededor del sol. La relación de causalidad según S. Mili, es incondi­ cionada en el sentido de que la relación entre la causa y el efecto es necesaria en todas las circunstancias imaginables y, por tan­ to, para explicar el efecto siempre será suficiente recurrir a su antecedente y no a otro elemento ajeno a la sucesión, lo que es necesario en el caso de la secuencia establecida por el día y la noche. Consecuentemente, mientras toda relación de causalidad es una relación de uniformidad no toda relación de uniformi­ dad o de invarianza es una relación de causalidad, con lo que se estatuye que la relación de causalidad es un caso particular muy importante, dentro del conjunto de las relaciones de invarianza. A partir de la distinción anterior, S. Mili deduce los casos en los que un método establece una inducción completa y los casos en los que esto no es posible. Un método conduce al logro de una inducción completa cuando permite la determinación de una relación incondicionada. Si sólo permite la determinación de una relación de invarianza o concordancia, entonces no aporta una inducción completa en la medida que no nos permite aso­ ciar inequivocadamente una causa con su efecto y viceversa. (iv) Según S. Mili la relación de causalidad es, en general, aditiva en el sentido de que el efecto total de un conjunto de causas es

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igual a la suma de los efectos que producirían éstas por separa­ do. Esta relación es análoga a la de composición de fuerzas en la mecánica, en la cual la resultante de la aplicación de un con­ junto de fuerzas es igual a la suma de los efectos que éstas pro­ ducirían por separado (la suma es aquí obviamente entendida en sentido algebraico puestos que unas causas pueden actuar en sentido distinto o contrario a las otras, tal como ocurre con las fuerzas). Excepcionalmente, según S. Mili la causalidad no es aditiva, en el sentido de que el efecto total de un conjunto de causas no es igual a la suma de los efectos que estas produci­ rían por separado. En este caso, el todo es algo más que la suma de las partes y tiene leyes que difieren de las que gobiernan las partes tomadas aisladamente. Es el caso de la Química y de la Fisiología que por esta razón están constituidas por leyes que S. Mili llama heteropáticas. En la imposibilidad de reducir las le­ yes de la química a las de sus componentes más simples, radi­ caría el origen de la dificultad para lograr una presentación axiomática de esta disciplina.

15.9 Los métodos de Stuart Mili Realizadas las delimitaciones anteriores sobre la noción de cau­ salidad, en lo que sigue pasaremos a exponer los métodos de S. Mili cuyo objetivo es «determinar cuáles son las leyes de causa­ ción existentes en la naturaleza, determinar los efectos de cada causa y las causas de todos los efectos» (p. 355). Para exponer los métodos será conveniente que previamente establezcamos algunas convenciones de notación. Las causas las denotaremos con las letras mayúsculas A, B, C, D,...etc. y sus efec­ tos respectivos con las correspondientes minúsculas a, b, c, ...etc. Usaremos una flecha que en este trabajo es sólo una manera abre­ viada de decir «desde...se sigue... », lo cual no debe confundirse ni con la noción de implicación lógica ni con el nexo casual. Cuando la flecha debe expresar además de «desde...se sigue...» un nexo cau­ sal, lo indicaremos al costado entre paréntesis.

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15.9.1 El método de la concordancia El enunciado del método de la concordancia propuesta por S. Mili es el siguiente: «Si dos o más fenómenos objeto de la investigación tienen sola­ mente una circunstancia común, la circunstancia en la cual todos los casos concuerdan es la causa (o el efecto) del fenómeno» (p.369).

El enunciado anterior nos conduce a una inferencia de la si­ guiente forma: A, B , C , -------------------------------------------------- ^ a , b, c. A, D, E , ---------------------------------------------------" ^ a , d, e. Luego

A

^

a

La inferencia anterior nos indica que siempre que sucede A también ocurre a, pero para ser válida requiere que entre los con­ juntos de circunstancias ABC y ADE deba haber solamente una circunstancia común porque si además de A hubiera otra implíci­ ta, entonces cualquiera de las dos podría ser la causa. De haber más de una circunstancia en común, A seguiría siendo un antece­ dente de c, como lo es el día de la noche, pero no necesariamente la causa. El método de la concordancia no proporciona inducción com­ pleta, en la medida de, que no existe ningún procedimiento segu­ ro para decidir si dos conjuntos de circunstancias tienen solamente un elemento en común. Asimismo, al no permitirnos identificar de manera unívoca la causa no es aparente para la experimenta­ ción, pues ella exige que seamos capaces de producir un efecto lo que no es posible sin el conocimiento unívoco de su causa. Conse­ cuentemente, este método sólo permite el establecimiento de re­ laciones de invarianza, lo que reconoce claramente S. Mili en el siguiente texto: «El método de concordancia no conduce más que a las leyes de los fenómenos (como se les llama a veces, pero impropiamente, pues que las leyes de causalidad son también le­ yes de los fenómenos), es decir, a uniformidades que, o no son leyes de causación, o respecto de las cuales la cuestión de la causalidad puede por el momento quedar» (p. 373).

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Sin embargo, es importante señalar que nuestro autor consi­ dera que en ciertas condiciones que exigen reiteradas variaciones de las circunstancias y el uso de métodos adicionales, la concor­ dancia puede permitirnos establecer relaciones de causalidad. Aquí la cuestión radica en el número de variaciones de las cir­ cunstancias necesitado y el número de concordancia que es signi­ ficativo para pensar que un antecedente es además una causa. Esta problemática puede ser respondida por el cálculo de las pro­ babilidades a través de la noción de frecuencia relativa. Para S. Mili el gran auxilio en este caso es el desarrollo realizado por Laplace en su Ensayo filosófico sobre la probabilidad, regla sexta, que aparece ampliamente comentada en el Cap. XVIII, numeral 5, del libro III de Sistema de lógica. Lo que aquí ha expuesto S. Mili no es otra cosa que los fundamentos del conocido teorema de Bayes para averiguar la probabilidad de una causa. El razonamiento que justifica este recurso según nuestro autor es que es mejor recurrir a la probabilidad para determinar una causa que pensar que cier­ tos acontecimientos se producen por una especie de coincidencia maravillosa que supera en mucho las leyes del azar. Consecuen­ temente, cuando se usa el método de la concordancia variando muchas veces las circunstancias y se encuentra una uniformidad que excede mucho las reglas del azar, tal como fueron definidas por Laplace, entonces hay que pensar que esta uniformidad o invarianza es además una relación de causalidad.

15.92 Método de la diferencia La enunciación que Mili da del método de la diferencia es la si­ guiente: «Si un caso en el cual el fenómeno se presenta y un caso en el que no se presenta tienen todas las circunstancias comunes, fuera de una sola, presentándose ésta solamente en el primer caso, la circunstancia única en la cual difieren los dos casos en el efecto o la causa, o parte indispensable de la causa del fenómeno» (p. 370). Esta regla conduce a una inferencia del siguiente tipo: A, B , C, A, C, Luego "K causalmente a)

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Esta inferencia según Mili nos proporciona inducción com­ pleta porque el hecho de que en dos circunstancias semejantes la presencia de A da lugar al efecto a y la ausencia de A conlleve la desaparición del mencionado efecto, nos autoriza a concluir que la causa del efecto a es la circunstancia A. Este resultado, asimis­ mo, nos pone en condiciones de producir y suprimir el efecto a en la medida que ¿01 icemos su causa, la razón por la que el método de la diferencia es considerado como el adecuado a la investiga­ ción experimental mientras que el de la concordancia es restringi­ do a los casos en lo que es factible sólo la observación. S. Mili considera que este método es conclusivo porque es posible decidir con seguridad cuando dos situaciones se diferen­ cian solamente en una condición sin importar que tengan más puntos de coincidencia de los que ya tenemos enumerados. Des­ de su punto de vista es más fácil controlar las diferencias que las semejanzas, pues nosotros podemos introducirlas experimental­ mente en forma tal que, por ejemplo, el estado de un perro en el momento M es el mismo que en el momento M' con la diferencia única de que en M' hemos puesto un trozo de carne ante su vista. De esta manera, si se produce salivación ella debe ser causada por el factor introducido y esto se ratifica cuando comprobamos que después que retiramos la carne la salivación cesa. Actualmente se sabe que es más fácil controlar las diferen­ cias manteniendo constantes ciertas condiciones, sin embargo, tampoco hay ninguna regla que nos asegure completamente que la única diferencia entre dos estados es la que nosotros hemos introducido, pues bien podría haberse producido una sin que nos percatemos de ella. Consecuentemente, aquí la inferencia tam­ bién es de probabilidad, aunque nuestro autor no haya recomen­ dado el cálculo de las probabilidades en este caso. Sin embargo, es evidente que este tipo de inferencia, cuando es posible, es el más compatible con los diseños experimentales que buscan un control óptimo de las variables consideradas en una investiga­ ción. Los metodólogos contemporáneos han prestado especial atención a esta regla y a la circunstancia diferencial A la denomi­ nan variable experimental.

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15.9.3 Método indirecto de la diferencia El enunciado de este método es el siguiente: «Si dos casos o más en los cuales se efectúan el fenómeno tienen una sola circunstan­ cia en común, mientras que dos casos o más en los cuales no se efectúan no tienen más en común que la ausencia de esta circuns­ tancia, la circunstancia por la cual únicamente difieren los dos gru­ pos de casos es el efecto, o la causa, o una parte necesaria de la causa del fenómeno» (p. 376). Este método es una combinación de los anteriores, se trata de dos grupos de concordancias que pueden ser distinguidos por­ que tienen diferente elemento común. En el primer grupo el ele­ mento común es una circunstancia A y el segundo el elemento común es la circunstancia no-A, esto es la ausencia de la circuns­ tancia anterior. Vale decir, al interior de los dos pares de grupos hay concordancia y al exterior de ellos diferencia por un sólo fac­ tor. La forma de la inferencia es como sigue: A, B , C , D, A ,F ,G ,H , no - A , B , C , D n o -A ,F ,G ,H

A

a

Según Mili este método debería proporcionar inducción completa pues los dos grupos al presentar sólo una variante per­ mitiría]? aplicar el método de la diferencia que es conclusivo. Sin embargo, su debilidad estaría en que cada grupo tomado aisladamente es un caso de concordancia y este no es un método conclusivo.

15.9.4 Método del residuo El enunciado de este método es el siguiente: «Separad de un fe­ nómeno la parte que se sabe, por inducciones anteriores, ser el efecto de ciertos antecedentes restantes» (p.379).

296

Esta regla nos conduce a una inferencia de la forma:

A, B, C, ----------------------------^

a,

b, c,

Por inducciones anteriores se sabe que: A

------------------------^

a

B ---------------------^ b Luego, C

--------------------------- c

Como es claro, esta es una variante del método de la diferen­ cia. Lo distintivo de este caso es que recurre a inducciones ante­ riores como premisas, mientras que en todos los casos anteriores se supone que las premisas son registros inmediatos de observa­ ciones. Obviamente, la confiabilidad de este método depende de la confiabilidad con que hayan sido obtenidas sus premisas. Si ellas han sido obtenidas por el método de la diferencia y se está seguro de que C es el único antecedente de c, entonces según Mili, el método es conclusivo. Sin embargo, él mismo reconoce que es muy difícil llegar a estar seguro de que C es el único antecedente de c por lo que no afirma que en general el método del residuo aporte una inducción completa. A este método frecuentemente se le ha llamado deductivo por su forma, pues presenta la estructura de una premisa mayor general y premisas particulares de las que se concluye también una proposición particular. Esto, no afecta la posición de Mili, porque él no hace inconciliables inducción y deducción y, por otro lado, el hecho de que algo se concluya para un caso, según S. Mili, no significa que la conclusión necesariamente es particular, pues si la inferencia ha sido correcta, lo que es verdad de un caso lo es también de todos los de su género. Según S. Mili la enumeración no siempre es necesaria en la inducción ni lo más importante, pues lo fundamental es como se eligen los casos. A veces puede ser suficiente un caso, como lo indica en el siguiente texto: «Cuando un químico anuncia la existencia de una sustancia nuevamente descubierta y de sus propiedades, si tenemos confianza en su exac­ titud estamos seguros de que sus conclusiones deben valer uni­

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versalmente, aunque su inducción no se funde más que en un solo hecho» (p.313).

15.9.5 M étodo de las variaciones concomitantes El enunciado de este método es el siguiente: «Un fenómeno que varía de cierta manera, siempre que otro fenómeno varía de la misma manera, es, o una causa o un efecto de este fenómeno, o está ligado a él por algún hecho de causación (p. 382). Para re­ presentar la inferencia a que da lugar esta regla, introduciremos la notación v (A) que es una abreviación de la expresión «varia­ ción de A...». A ,B 9C

---------------------------^ a , b, c

v ( A ), B, C ----------------------- ^ v ( a ) , b , c Luego~A

V a ( De A se sigue ^ causalmente a ).

En la interpretación que hemos hecho de la regla de Mili he­ mos presupuesto, legítimamente, a nuestro juicio, que la intro­ ducción de una variación en una condición se hace manteniendo constantes todas las demás condiciones para poder sentirnos au­ torizados a atribuir la variación en el efecto a este hecho y no a otro. SegúrtS. Mili, la proposición que sirve de base a este método es la siguiente: «Una cosa cuyas modificaciones tienen siempre por consecuentes las modificaciones de un efecto debe ser la cau­ sa (o debe estar ligada a la causa) de este efecto» (p. 384). Nuestro esquema lo que expresa es que si A es un anteceden­ te de a y una variación de A es seguida por una variación de a, entonces A es la causa de a. La única limitación que señala nues­ tro autor a esta inferencia es la mayor o menor posibilidad de observar las variaciones; siempre que tal observación pueda ha­ cerse, la inferencia es conclusiva, esto es, da inducción completa. Como puede apreciarse, es te método para llevarse a la prác­ tica necesita algún tipo de medida o de cuantificación de las va­ riaciones lo que propicia la matematización de la inferencia. Lo que propiamente se establece aquí, es una relación de funcio­ nalidad que bien puede ser directa o inversa. Será directa si a

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mayores valores de A corresponden mayores valores de a y a menores valores de A corresponden menores valores de a. Será inversa si a mayores valores de A corresponden menores valores de a y a menos valores de A corresponden mayores valores de a. En la investigación en ciencias humanas de nuestros días se usa frecuentemente un esquema parecido a éste que es expresado a través del método estadístico de la correlación, solamente que a esta no se la considera siempre reveladora de causalidad, salvo cuando relación entre A y a es claramente asimétrica y tiene sen­ tido, además, afirmar que A produce o genera a. 15.10 La deducción Stuart Mili declara que los cuatro métodos anteriores son los úni­ cos métodos inductivos que él conoce y puede imaginar. Cierta­ mente no está contando al tercero que es una combinación de los dos primeros. Todo lo que queda fuera de ellos es la deducción de la cual ya dimos una idea en la parte introductoria. Sin em­ bargo, puede encontrarse otra caracterización de la deducción, un tanto más general, que la define como un método que está cons­ tituido por tres partes: la inducción, el razonamiento y la verifi­ cación. A la deducción así definida se le asigna un rol preponde­ rante en la ciencia. En sus palabras: «Al método deductivo así de­ finido en sus tres partes constituyentes: la inducción, el razona­ miento y la verificación debe el espíritu humano sus más brillan­ tes triunfos en la investigación de la Naturaleza. Le debemos to­ das las teorías que reúnen fenómenos numerosos y complicados bajo algunas leyes simples, que, consideradas como leyes de es­ tos fenómenos, no habrían podido nunca ser descubiertas por el estudio directo» (p. 439). Hemos creído pertinente citar el texto anterior, para indicar cómo para S. Mili, con toda claridad, la inducción sólo tenía sen­ tido dentro del marco de la deducción, aunque los axiomas de los sistemas deductivos sean obtenidos inductivamente, razón por la que la inducción es la primera fase de la deducción. De esta ma­ nera, la lógica es entendida como una teoría de la prueba a través de inferencias deductivas, las mismas, que cuando tienen como

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premisa mayor una proposición sobre uniformidades de la natu­ raleza, se llaman inducciones. Lo anterior corrobora fuertemente la afirmación que hicimos anteriormente en el sentido de que S. Mili constituye un antece­ dente muy claro de la tesis contemporánea que concibe a las teo­ rías científicas como sistemas hipotéticos-deductivos de enun­ ciados contrastables. En efecto, inscribir la inducción dentro de un proceso deductivo más complejo, como un momento de él, no es otra cosa que asignarle en la práctica científica la fase constitui­ da por la postulación de hipótesis o conjeturas de las que hay que obtener consecuencias observables (proceso de razonamiento) para luego someterlas a contrastación (verificación). Es ciertamente un mérito de S. Mili el haber establecido las bases del llamado modelo hipotético-deductivo, el mismo que es uno de los ejes sobre los que ha girado la discusión epistemológica en los últimos sesenta años. Evidentemente, el modelo hipotético deductivo como método de trabajo científico existe desde la épo­ ca de los Elementos de Euclides, en la forma de método axiomáti­ co, pero su conceptualización filosófica y su uso como criterio de cientificidad son logros recientes. Es la conjunción, del aporte de S. Mili y del desarrollo fron­ doso de la lógica matemática en nuestro siglo, lo que ha posibili­ tado que la tradicional oposición entre inducción y deducción sea resuelta en términos de la teoría de la probabilidad, recibiendo a su vez un tratamiento hipotético deductivo que circunscribe la discusión a la naturaleza de las probabilidades básicas.

15.11 Resultados de la inducción clásica 1. La tesis de S. Mil que caracteriza la inferencia, en sentido estric­ to, como la operación lógica en la que el contenido cognoscitivo de la conclusión excede al de las premisas remite la decisión, en últimas instancia, a la medida de la cantidad de información que portan las premisas y la conclusión. Este recurso, aun con­ siderando los aportes de la moderna teoría de la información, tiene grandes dificultades para lograr resultados precisos y la mayor de ellas la única definición disponible de cantidad de información es la de Shannon, pero no es aplicable a esta discu-

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sión la pretensión parece ser que las reglas de deducción en un sistema lógico dado sólo deban permitir el paso lógicamente necesario desde un conjunto de fórmulas P (consideradas como premisas o axiomas) a un conjunto de fórmulas C (consecuen­ cias); pero no el proceso recíproco. Sin embargo, esta propie­ dad no parece autorizar de manera precisa ninguna estimación fundada sobre la cantidad de información de los referidos con­ juntos de fórmulas. Lo que sí queda a salvo es la idea del desa­ rrollo deductivo y, por tanto, de la superación al menos de la circularidad formal. 2. La tesis de nuestro autor, que afirma que una inducción sólo es fundada y válida cuando puede ser formulada como un silogis­ mo en el que la premisa mayor es el principio de uniformidad de la naturaleza, privilegia definitivamente al silogismo como modelo de inferencia válida y es claramente incorrecta, Esto ex­ cluiría del tratamiento lógico de la ciencia a todas las propieda­ des expresables como predicados de grado 2 o mayores que 2. Afortunadamente, en este aspecto y en otros conexos, la evolu­ ción de los hechos ha sido muy distinta a la que S. Mili previo. Asimismo, esta tesis presupone que existen premisas mayores o inducciones básicas que propiamente no pertenecerían al sis­ tema de proposiciones inductivamente probadas sino que lo hacen posible. La justificación de éstas, también llamadas uni­ formidades básicas, sigue siendo problemática. 3. El planteamiento directo de la lógica inductiva como un conjun­ to de métodos para investigar los casos de causación es proba­ blemente uno de los aspectos más rescatables del pensamiento de Mili y que de hecho ha tenido una acusada influencia entre los metodólogos de nuestro siglo. Sin embargo, dentro de la filo­ sofía epistemológica contemporánea este aporte incidiría direc­ tamente en lo que se ha denominado contexto del descubrimien­ to y gravitaría menos sobre el llamado contexto de la justifica­ ción. Asimismo, como en gran medida la discusión filosófica hasta aproximadamente 1960 ha sido sobre el contexto de la justifica­ ción, la atención que en los círculos epistemológicos han mereci­ do los métodos de S. Mili no ha sido de mayor significación. 4. La relación de causalidad es para S. Mili en general aditiva, pero las excepciones que el señala para la Química, la Fisiología así

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como las ciencias humanas, que estarían constituidas por leyes heteropáticas, esto es, no aditivas, tienen especial significación porque tal análisis es una interesante aproximación a las difi­ cultades, actuales para usar el modelo hipotético deductivo, particularmente, en ciencias humanas, pues, en otras áreas, como la Química, la dificultad ha sido superada. 5. A pesar de que S. Mili estuvo dedicado al cultivo de la lógica, se aprecia en su pensamiento grandes dificultades para reconocer la peculiar naturaleza de la lógica y de la matemática respecto de las ciencias naturales. Asimismo parece que desconoció o no con­ cedió la debida importancia a aportes de su época como los de Boole, Venn y las geometrías no-euclidianas. Posiblemente ese desconocimiento lo llevo a privilegiar al silogismo otorgándole posibilidades que no tenía o negándole otras que sí tenía, como su expresión algebraica. Lo que sí es rescatable, en este aspecto, es su concepción de la lógica como una disciplina dedicada al estudio de la prueba de la verdad de las proposiciones. 6. Tal vez el aporte mayor de Sistema de Lógica es que echa las bases para la construcción del modelo hipotético-deductivo como ca­ tegoría central para el análisis de la ciencia. Esto permitió su­ perar el tradicional antagonismo entre inducción y deducción dentro de un marco más general e integrador que el de la teoría de la probabilidad. También ha permitido resolver las insuficien­ cias de la inducción enumerativa, en cualquiera de sus formas, introduciendo el criterio de relevancia en la investigación de los casos de causación. Podría afirmarse que el aporte del sector neopositivista de la filosofía epistemológica contemporánea, con algunas excepciones importantes, ha consistido básicamente en úna profundización de la óptica hipotético-deductiva de S. Mili a través del uso de aparatos formales lógico matemáticos y de categorías e instrumentos de carácter semántico.

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XVI RESEÑA HISTÓRICA DE LA LÓGICA

Objetivos: • Comprender la evolución histórica de los conceptos lógicos. • Adquirir información básica sobre las etapas históricas princi­ pales del desarrollo de la lógica. • Identificar a los principales investigadores en lógica a través de la historia.

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CUESTIONARIO 16 Reseña histórica de la lógica

1. ¿Qué importancia histórica tiene el Organon y quién fue su autor? 2. ¿Cómo se denomina el tipo especial de deducción a cuyo estu­ dio dedicó Aristóteles sus mayores esfuerzos? 3. ¿Aristóteles estudió las deducciones desde el punto de vista de su estructura o desde el punto de vista desde su contenido? 4. ¿Por qué para Aristóteles la lógica es una ciencia formal? 5. ¿Existieron en la antigua Grecia, además de Aristóteles, otros filósofos interesados en la lógica? 6. ¿Cuál es el primer sistema axiomático de la historia? 7. ¿Cuál fue el aporte de Guillermo de Occam? 8. ¿Por qué Leibniz es el primer precursor genuino de la Lógica Matemática? 9. ¿Por qué la Lógica Matemática creada por G. Boole es un len­ guaje muy distinto al de Aristóteles? 10. ¿Por qué Leibniz quería convertir la lógica en un calculo? 11. ¿Estuvo en lo correcto el filósofo Kant cuando consideró a la lógica un conocimiento cerrado y agotado por Aristóteles? 12. ¿Cúal ha sido el aporte de Gottlob Frege? 13. ¿Cuál es el hito que marca el inicio de la Lógica Matemática contemporánea ? 14. ¿Cuáles fueron los hechos que crearon la necesidad de que Hilbert inventara la Metamatemática? 15. ¿Cúal ha sido el aporte de Kurt Gódel? 16. ¿Cuál fue la contribución de Claudio Shannon?

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17. ¿Qué estudios han contribuido al surgimiento de la disciplina de la Epistemología? 18. ¿Conoces los nombres de dos lógicos soviéticos? 19. ¿Conoces los nombres de dos lógicos latinoamericanos? 20. ; Qué diferencias existen entre la Lógica-Matemática y las otras "lógicas"?

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LECCIÓN 16 Reseña histórica de la lógica

16.1 Aristóteles y los orígenes de la lógica La disciplina científica conocida como lógica, en sentido más pro­ pio, se denomina Lógica Matemática debido a que una de sus principales características, a partir del siglo pasado, ha sido la incorporación a su campo de métodos y símbolos algebraicos. El desarrollo desbordante de esta disciplina durante el último si­ glo ha dado lugar a que influya decisivamente en la ciencia con­ temporánea, tanto en sus proyecciones teóricas como tecnológi­ cas. Así, por ejemplo, puede afirmarse que la actual revolución electrónica debe su dinamismo y eficacia a las contribuciones del álgebra de Boole, a las creaciones de Church y Turing y a la teo­ ría lógica de circuitos eléctricos de Claudio Shannon, entre otros aportes. Los orígenes de la lógica científica^se remontan al filósofo griego Aristóteles (384-322 a. C) quien en su trabajo conocido como el Organo?i desarrolló el primer estudio sistemático de la deducción en la sección denominada Primeros Analíticos. Aristóteles examinó en particular un tipo especial de deducción: el silogismo. Un ejemplo típico de él nos lo proporciona el razo­ namiento: Si todos los cuadrados son rombos y todos los rombos son p aralelogram os, en to n ces todos los cuadrados son paralelogramos. El acierto de Aristóteles radicó principalmente en estudiar estas deducciones considerando sólo su forma o estructura con

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independencia de su significado o contenido. De esta manera un razonamiento como: Si todos los peruanos son americanos y to­ dos los americanos son occidentales, entonces todos los perua­ nos son occidentales es, desde el punto de vista lógico, igual al anterior porque tienen exactamente la misma estructura o forma. Desde el punto de vista de su significado, el primero habla de figuras geométricas y el segundo de seres humanos pero si se exa­ mina las relaciones que existen entre sus términos, se encontrará que en ambos casos son las mismas. Los dos ejemplos correspon­ den al esquema «Si todo A es B y todo B es C, luego todo A es C». Lo dicho anteriormente nos sirve para hacer comprensible que la notable contribución aristotélica fue desarrollar una teoría sobre la validez de los razonamientos o deducciones que no ten­ gan en cuenta el contenido de los mismos, sino su forma o estruc­ tura. Esta es la razón por la qué la lógica desde su creación es una ciencia formal o estructural y este carácter lo mantiene hasta nues­ tros días después de veinticuatro siglos. Asimismo, el tratamien­ to estructural que hizo el estagirita (así se le llama a Aristóteles por haber nacido en Estagira) de la deducción, le posibilitó otro aporte sustancial al desarrollo de la lógica y de la matemática: el método axiomático. Debido a que todos los razonamientos po­ dían ser considerados como estructuras, Aristóteles axíomatizó su teoría del silogismo, seleccionado como puntos de partida cua­ tro estructuras básicas, a las que llamó axiomas, y luego constru­ yó todas las demás como derivaciones de las básicas. De esta manera la teoría del silogismo constituye el primer sistema axiomático-de la historia de la ciencia. Casi contemporáneos con Aristóteles fueron los lógicos es­ toicos, quienes tuvieron el mérito de profundizar en algunos cam­ pos a los que el autor del Organon no les había concedido sufi­ ciente atención. Estos filósofos son los precursores más lejanos de la actual lógica proposicional y de las teorías que incluyen predi­ cados relaciónales que son indispensables para dotar a la mate­ mática de una lógica adecuada que el silogismo no proporciona. También los lógicos conocidos como megáricos hicieron en épo­ cas, cercanas a Aristóteles, aportes ingeniosos a la llamada lógica modal. El más importante de ellos Diodoro Cronos, se dedicó a la lógica de las modalidades temporales esclareciendo relaciones

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importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el influjo de Aristóteles fue avasallador y los estoicos y megáricos fueron des­ conocidos en la Edad Media durante la cual las investigaciones lógicas se centraron en el silogismo y sus aplicaciones. Esta temá­ tica acaparó las preocupaciones de Boecio, Tomás de Aquino, Pedro Hispano y Juan Buridano. Escaparon a ella Abelardo, Lulio y Occam que visualizaron otros horizontes, especialmente este último que trabajó apreciablemente la lógica proposicional y co­ noció sus principales reglas de inferencia, a pesar de no manejar un lenguaje simbólico adecuado, lo que hizo muy difícil su tarea. Por añadidura, su conocida concepción nominalista de los uni­ versales, que interpreta a los conceptos como nombres genéricos, es muy próxima a la noción contemporánea de predicado lógico.

16.2 Los precursores de la Lógica Matemática Los especialistas consideran al filósofo alemán Leibniz (1646-1716) como el primer genuino precursor de la Lógica Matemática, aun­ que reconocen que esta idea ya estaba en germen en la obra Ars Magna del español medieval Raimundo Lulio. Leibniz fue el pri­ mero que sostuvo con claridad que el método para convertir la teo­ ría de la deducción lógica en una ciencia estricta e infalible era con­ vertirla en un cálculo mediante la utilización de procedimientos matemáticos. Esta nueva ciencia sería una mathesis universalis cuya función consistiría en demostrar la verdad de las afirmacio­ nes filosóficas y científicas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura expresada en símbolos de un lenguaje ar­ tificial, construido especialmente para calcular. Leibniz decía que calcular era operar con símbolos y, consecuentemente, así como se podía calcular con símbolos aritméticos también ello era factible con símbolos que representen estructuras deductivas. El ideal leibniziano era lograr un instrumento lógico lo suficientemente podero­ so como para traducir cualquier discusión significativa sobre la cprrección de las deducciones a una operación en la que los oponen­ tes se limiten a revisar los cálculos para ubicar el error, de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera. El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracasó. Aunque su intuición fue grande, estuvo lejos de lo posi-

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ble y de la construcción de un lenguaje simbólico que supere significativamente la vieja silogística aristotélica. Fue la inexis­ tencia de un lenguaje lógico-matemático adecuado hasta media­ dos del siglo XIX lo que llevó al filósofo Kant (1724-1804), a pesar de su genialidad, a afirmar erróneamente que la lógica creada por Aristóteles era un conocimiento acabado, cerrado y comple­ to, puesto que la investigación post-aristótelica no había ni refu­ tado ni aportado nada nuevo en relación con las enseñanzas del Organon. Este famoso error del filósofo de Kónisberg se debió fun­ damentalmente a que no conoció o no valoró suficientemente los avances de los estoicos, de los megáricos y de Guillermo de Occam. El creador indiscutible de la Lógica-matemática fue el inglés George Boole (1815-1864) a través de sus obras Análisis matemáti­ co de la lógica e Investigaciones de las leyes del pensamiento. Boole utilizó el lenguaje del álgebra para atacar los problemas lógicos tradicionales planteados por el silogismo aristotélico, los cuales resolvió a través de procedimientos mecánicos de cálculo. Sin embargo, este nuevo lenguaje, conocido como Algebra de Boole, manifestó su potencia resolviendo problemas que excedían los alcances de la lógica aristotélica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del estagirita. El Algebra de Boole también se conoce como álgebra de clases o álgebra de conjuntos que con­ tinuó investigando Augusto de Morgan (1806-1878). Posterior­ mente el inglés Jevons, el alemán Schroeder y el soviético Poretskiy convirtieron el álgebra de clases en un álgebra de proposiciones; y Gottlob Frege en su trabajo titulado Begriffsschríft (en español, Ideografía), propuso un método de cálculo de matrices para la ló­ gica proposicional muy semejante al que se usa actualmente. Asi­ mismo, Frege desarrolló de manera importante la lógica predica­ tiva con el fin de aplicar el método axiomático a la naciente teoría de conjuntos de G. Cantor.

16.3 La lógica matemática contemporánea La lógica contemporánea debe mucho de manera inmediata a las enseñanzas de Frege y el hito que marca su inicio es la obra mo­ numental de Bertrand Russell y Alfred Whitehead titulada Prin­ cipia Mathematica aparecida en 1910, editada en Inglaterra, en tres

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tomos. El propósito de esta obra fue poner toda la matemática co­ nocida hasta entonces en estricto orden lógico, utilizando lo que ahora se conoce como un lenguaje lógico de primer orden. Para ello Russell y Whitehead aprovecharon los hallazgos del matemá­ tico italiano Peano expuestos en su libro Los principios de la arit­ mética presentados por un nuevo método, en el que se aplica por pri­ mera vez el método axiomático a la aritmética. Debido a este he­ cho, el simbolismo lógico más usado actualmente (es el que se usa en este manual) recibe el nombre de notación Peano-Russell. La aparición de las geometrías no euclidianas por creación de Lobachevski (1793-1856), Bolyai (1802-1860) y Riemann (1826-1866) introdujo en la matemática espacios hiperbólicos y esféricos que alteraban el espacio rectilíneo trabajado por Euclides. Alteraciones semejantes en el álgebra tradicional habían sido introducidas por la creación del álgebra abstracta por Evaristo Galois en 1832. Estos hechos crearon la necesidad de estudiar a las teorías matemáticas mismas a fin de determinar sus propiedades. David Hilbert, en esta línea de trabajo, inventó la Metamatemática cuyo objetivo es el es­ tudio de las teorías matemáticas aplicando los lenguajes lógicos que habían sido creados por Frege y Russell. Notables investigado­ res han dedicado sus mejores esfuerzos a la Metamatemática y a la solución de sus grandes problemas que fueron planteados por Hilbert en un Congreso de Matemática realizado en 1900. El más conspicuo de todos ha sido Kurt Godel, quien demostró alrededor de 1930 el más importante teorema de Lógica-Matemática de este siglo, conocido como Teorema de las proposiciones indecidibles. En 1938, Claudio Shannon aplicó el álgebra de las proposiciones al diseño de circuitos eléctricos a conmutadores y relays lo que cons­ tituye el aporte más importante a la construcción de las modernas computadoras electrónicas digitales. De esta manera, la Lógicamatemática dejó de ser un instrumento puramente teórico para convertirse en un instrumento que sirve de soporte a la tecnología más sofisticada de nuestro siglo. La diversificación de las investigaciones en Lógíca-Matemátíca, durante los últimos sesenta años, ha conducido al surgimiento de ramas altamente especializadas. El polaco Lukasiewicz desa­ rrolló las lógicas polivalentes y Tarski, del mismo origen, creó la semántica lógica con sus investigaciones sobre el concepto de ver-

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dad en los lenguajes formalizados y demostró la necesidad inelu­ dible de usar metalenguajes, reafirmando así los resultados de Russell y Hilbert. A partir de estos resultados se'ha formulado la moderna teoría de modelos que tiene entre sus representantes a Tarsky, Keisler, Kreisel, Morley y Robinson. De otra parte Hans Reichenbah, Keynes, Carnap y Popper han desarrollado las lógi­ cas probabilitarias y las han aplicado al análisis de teorías físicas y del método de investigación científica. Estos estudios y sus resul­ tados han contribuido al nacimiento y afianzamiento de una nue­ va disciplina llamada Epistemología, cuyo sentido es el análisis de la ciencia utilizando instrumentos proporcionados por la Lógi­ ca-Matemática a través de sus diferentes ramas. Han destacado como epistemólogos el mismo Popper, Hempel, Nagel, S. Barker, Stegmüller, Moulines y el argentino Mario Bunge, entre otros. En Estados Unidos han descollado alrededor de la década del cin­ cuenta los trabajos de Kleene y los de Church sobre funciones recursivas, cuyos resultados han permitido esclarecer a nivel teó­ rico y práctico las limitaciones y los alcances de una computadora electrónica cualquiera. También son notables en este país los tra­ bajos del profesor W. O. Quine quien ha inventado lenguajes muy complejos y potentes. Sin embargo, el mayor aporte de la lógica norteamericana está dado por la demostración que hizo Paul Cohén, en la década del sesenta, de la independencia de la de la hipótesis del continuo en la teoría de conjuntos de Cantor. Este teorema que al igual que el de Gódel constituye una respuesta a uno de los veinte problemas de Hilbert, puede ser considerado el segundo en im­ portancia en la Lógica-matemática de nuestro siglo. Eñ la Unión Soviética también ha habido aportes sustancia­ les a través de Malser, Kolmogorov, P.S. Novikov, A. Markov y Shanin, entre otros. En la China se han destacado Wang Hsien Chun, Hao Wang y Shih Hua. El segundo ha trabajado en Esta­ dos unidos y ha aportado al método de procesamiento de teore­ mas lógicos a través de computadoras.

16.4 La Lógica Matemática en América Latina La Lógica-Matemática ha ocupado la actividad de un número cre­ ciente de investigadores latinoamericanos durante los últimos

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veinte años. Tal vez el núcleo más activo sea el ubicado en Brasil en las universidades de Sao Paulo y Campiñas. Su representante más distinguido es Newton da Costa, quien es creador de lengua­ jes lógicos especiales conocidos como paraconsistentes debido a que hacen un uso muy especial del principio de no-contradicción. Otro sector importante de investigadores se agrupa alrededor de la universidad de Bahía Blanca en Argentina y entre ellos mere­ ce especial mención L. Monteiro, que con un grupo de profeso­ res colaboradores ha hecho importantes publicaciones en lógica algebraica. En Chile destacó un residente alemán, Gerold Stahl, quien hizo investigaciones metamatemáticas. En las universida­ des católicas de Santiago y Valparaíso existe un grupo de profe­ sores que trabajan en lógica algebraica y lógica probabilitaria. En el Perú, la actividad en Lógica-Matemática la inició el po­ laco Rosenblat y la continuó Francisco Miró Quesada C. Los tra­ bajos están orientados en su mayor parte a la divulgación, espe­ cialmente en niveles introductorios. Sin embargo, la actividad es creciente y su núcleo más activo se encuentra en la Universidad de San Marcos y en la Universidad Católica de Lima.

16.5 La lógica matemática y otras «lógicas» El filósofo Hegel es uno de los grandes responsables de las ambi­ güedades producidas con el uso de la palabra lógica. En efecto, escribió el libro titulado La ciencia de la Lógica que no es una obra que trate de sistemas deductivos sino de filosofía metafísica. Con las modificaciones adecuadas, C. Marx fundó a partir de Hegel el método dialéctico materialista al que algunos de sus seguido­ res han denominado lógica dialéctica. Este método también es fi­ losófico y no es, ni Marx pretendió que lo fuera, un procedimien­ to altamente sofisticado de cálculo que sólo es posible si se usa un lenguaje matemático. Sin embargo, debido a que a veces se ha utilizado la palabra lógica libremente por el motivo antes explicado, se han cometido confusiones adicionales al considerar como métodos lógicos a for­ mas del antiguo pensamiento oriental indio y chino que difieren sustancialmente del racionalismo occidental. Es verdad que esas formas del pensar tienen su propia estructura interna y que exis­

313

ten leyes y reglas que las gobiernan, las cuales en un sentido es­ pecial constituyen su lógica interna. Pero eso es hablar de lógica en un sentido, muy lejano al de la Lógica-Matemática. Es difícil definir breve y elementalmente a la Lógica-matemática. Empero, para los fines que nos proponemos es suficiente decir que es una ciencia formal dedicada a la construcción de lenguajes especiales, llamados lenguajes formales, que sirven para expresar o mostrar la estructura de la teorías científicas y para dar las reglas que permiten transformar una estructura dada en otra. Como puede comprenderse a partir del estudio de su historia y de sus problemas, esta disciplina se encuentra indisolu­ blemente unida a la matemática y sus principales esfuerzos y lo­ gros han estado orientados hacia el esclarecimiento de los funda­ mentos de la aritmética, de la teoría de conjuntos, de la geometría y del álgebra abstracta. Es a partir de sus aportes en estos campos que la Lógica-Matemática ha aportado decisivamente a la cons­ trucción de computadoras y ha hecho posible la elaboración de lenguajes para la comunicación entre el hombre y la máquina. Como se comprende, no existe dificultad en que alguien hable de otras lógicas siempre y cuando no pierda de vista la diametral diferencia que existe entre ellas y la Lógica-mate­ mática. En el caso de un manual introductorio, como éste, hacer una distinción clara y fundada es tarea ineludible que esperamos haber cumplido.

314

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316

From Frege to Gódel Harvard: Harvard University Press.

Glosario

ABSTRACCIÓN: Tradicionalmente, abstraer es el proceso intelectual mediante él cual se separa, en la mente, una propiedad que en la realidad es indesligable de otras que constituyen la totalidad de un objeto. Por ejem­ plo, el concepto de «fisiología de corazón» Imce referencia específicamente al funcionamiento del corazón, aspecto que se puede estudiar aislándolo mentalmente de otros. Sin embargo; en la realidad el funcionamiento del corazón es inseparable de sus componentes anatómicos. No existe un co­ razón, sin componentes anatómicos, que funcione. En términos actuales podemos decir que la abstracción es el proceso de formación o construc­ ción de conceptos (Ver la definición correspondiente). ABSURDO: Una afirmación (o un conjunto de ellas) es absurda mando es lógicamente contradictoria. La contradicción puede estar constituida por ella misma o puede ser deducible de dicha proposición. De esta ma­ nera, lo contradictorio es lo irrazonable o lo racionalmente injustifica­ ble. Recientemente, en medios especializados, algunos investigadores han definido grados de contradicción para los sistemas lógicos, dejando abierta la posibilidad de que lo que es absurdo en un determinado sistema lógi­ co no lo sea del mismo modo en otro. A los sistemas lógicos, que de ma­ nera demostrada carecen de contradicción, se les llama sistem as con­ sistentes. ALETICIDAD: Es la propiedad que tiene cualquier proposición por ser susceptible de ser verdadera o falsa. A los valores «verdadero-falso» se les denomina valores aléticos o también valores veritativos., ALGORITMO: Es un conjunto finito de reglas, de aplicación m ecá­ nica o au tom ática a la solución concluyente de un cierto tipo de pro-

[317]

blemas. A los algoritmos también se les llama -procedimientos de deci­ sión, y los métodos para sumar, restar o sacar raíz cuadrada son ejem­ plos de algoritmos conocidos. Las tablas de verdad también son algorít­ micas pero no las reglas conocidas como de deducción natural. Asimis­ mo, cualquier conjunto de órdenes adecuadas para un computadores un algoritmo. CAUSALIDAD: Aristóteles, en su obra M etafísica distinguió cua­ tros causas: 1) la causa m aterial, que es aquello de lo que está hecho algo o aquello que lo constituye; 2) la causa form al, que es aquello que define específicamente a una cosa o que es su esencia; 3) la causa efi­ ciente, que es la fuerza que produce una cosa, la mueve o la modifica; 4) la causa fin a l, que es el fin hacia el cual tiende algo. Ellas responden a las preguntas «¿De qué...?, ¿Qué...?, ¿Por qué...? y ¿Hacia qué...? respectivamente. El principio de causalidad de la ciencia moderna, fun­ dada por Galileo, asume sólo la causa eficiente de Aristóteles al afirmar que todo hecho o acontecimiento que ocurre es efecto de otros que son su causa y, a su vez, él mismo es causa de otros efectos . De esta mane­ ra, se concibe a la naturaleza como una multiplicidad de hechos que constituyen elementos de cadena causales, las cuales pueden ser enten­ didas sin necesidad de recurrir a entidad sobrenatural alguna. Por con­ siguiente, la explicación de un hecho se convierte en la identificación del hecho o hechos que la causan. Con el surgimiento de la mecánica de Newton se comienza a hablar de leyes causales que rigen la naturaleza y, particularinente, el movimiento, dichas leyes eran ecuaciones que fue­ ron perfeccionadas por Laplace. De este modo, si se conocía los valores numéricos del m om ento y de la p osición de un móvil, por ejemplo la Luna, aplicando las ecuaciones diferenciales de Laplace, se podía deter­ minar ios valores de sus momentos y posiciones posteriores. Esto con­ dujo a Laplace al m ecanicism o, que fue una corriente filosófica que con­ cibió al universo como una gran máquina cuyo funcionamiento está regido por las leyes causales de Newton. El mecanicismo también es co­ nocido como determinismo y fue superado, en nuestro siglo, por la me­ cánica cuántica de Max Planck y Wemer Heisenberg. CIENCIA: La palabra 'ciencia' tiene como origen etimológico la pala­ bra griega «episteme» que fue usada por Aristóteles para referirse al co­ nocimiento de las causas que producen el movimiento de las cosas par­ ticulares y el cambio de las mismas. Actualmente, se usa 'ciencia' para hacer referencia al conocimiento que está constituido o conformado por

318

teorías científicas que se caracterizan por ser conjuntos de proposicio­ nes que muestran las relaciones más generales que existen entre los ob­ jetos y procesos que constituyen, un sector de la realidad. Las proposi­ ciones que constituyen las teorías son usualmente llamadas leyes cien­ tíficas, de manera preferente en lo campos de la física, química, biología y, por extensión, en los de las ciencia sociales como la economía y la so­ ciología, o en el campo de las ciencias de la conducta, como es el caso de la psicología. Las leyes científicas, en las áreas más desarrolladas del co­ nocimiento, se expresan en lenguaje matemático y cumplen la función de explicar con precisión las causas de los hechos o procesos, del ámbito que les es propio, y de predecir con rigor matemático el curso futuro más probable de los mismos. CIENCIAS EMPÍRICAS: Son todas aquellas ciencias constituidas por proposiciones cuya verdad se establece contrastándolas con los hechos de la realidad natural o social, que pueden ser percibidos por un obser­ vador. Consecuentemente, en estas ciencias es la experiencia la que nos permite decidir la verdad o falsedad de una proposición. A estas disci­ plinas también se les denominan ciencias fácticas. CIENCIAS FORMALES O ESTRUCTURALES: Son aquellas cien­ cias constituidas por proposiciones, cuya verdad se establece mediante la construcción de demostraciones que se ajustan a reglas lógicas de de­ ducción o inferencia. En estas ciencias carece de sentido intentar esta­ blecer la verdad de una proposición por medio de la contrastación con los hechos, pues en ellas sólo se admite una proposición como verdadera si es que existe una demostración o prueba lógica para ella. Las ciencias formales, son la Matemática y la Lógica-Matemática. Asimismo, la aplicabilidad de la matemática a la realidad natural y social no es una prueba de su verdad sino consecuencia de ella. Para distinguir las diferentes maneras de establecer la verdad en ciencias empíricas y en ciencias for­ males .se dice que las primeras poseen proposiciones empíricamente ver­ daderas o a p osteriori y las segundas proposiciones lógicamente ver­ daderas o válidas a priori. CLASE: En los niveles elementales se usa indistintamente los concep­ tos de clase y conjunto, lo que da lugar a imprecisiones de magnitud creciente. Desde Von Neumann, uno de los matemáticos más notables de este siglo, se ha establecido que el concepto de clase es de mayor ex­ tensión que el de conjunto. De este modo, intuitivamente, se admite que una clase es cualquier colección de elementos. Un conjunto es una clase

319

que puede ser elemento de otras clases y una clase últim a es una clase que no puede ser elemento de clase alguna. Así’ los objetos concretos son elementos de los conjuntos. Y los conjuntos, que son un tipo específico de clase, son elementos de las clases últimas. A grosso m odo se dice que un conjunto es una clase que no es demasiado grande y esta distin­ ción se ha hecho con el propósito de evitar paradojas que son contradic­ ciones especiales. Una consecuencia de ello, es que se puede definir «la clase de todos los conjuntos que satisfacen la condición P(x) ». Pero no «la clase de todas las clases que satisfacen la condición P(x) ». La «la clase de todas las clases» es simplemente una contradicción en los tér­ minos. (Los círculos de Venn usados en este texto representan conjun­ tos; y el rectángulo, una clase última.) CONCEPTO: Es un término que denota una propiedad que la posee o satisface un conjunto de objetos o elementos. Un concepto, se refiere a una pluralidad de individuos que constituyen el conjunto extensión del concepto. Un nombre propio es desde el punto de insta lógico, lo opuesto a un concepto en la medida que se refiere a un tínico elemento para iden­ tificarlo. Los conceptos pueden tener diversos grados de abstracción. Los menos abstractos son aquellos cuyo conjunto extensión tiene como ele­ mentos objetos macrofísicos como, por ejemplo, el concepto felin o. Los más abstractos tienen un conjunto extensión cuyos elementos o no son directamente observables como el concepto microfísico de quark, o sim­ plemente se trata de objetos sólo entendibles como el de número com ­ p lejo. Lógicamente, los conceptos son predicados de la forma P(x). CONJUNTO: (Ver CLASE) CONTRASTACIÓN: Es el acto por el cual se coteja lo que dice una proposición con lo que constatamos que ocurre en la realidad natural o social Así se decide si la proposición es empíricamente verdadera o em­ píricamente falsa. La contrastación puede hacerse directamente, esto es, estableciendo la correspondencia entre lo que dice la proposición y la rea­ lidad o indirectamente, esto es, cotejando con la realidad no la proposi­ ción misma en cuestión sino las proposiciones que se deducen lógica­ mente de ella. El concepto de contrastación, en la bibliografía actual, ha reemplazado prácticamente al de verificación debido a la influencia del filósofo Karl Popper. CUANTIFICADOR: En lógica se denomina cuantificador, en gene­ ral, a un operdador que nos permite referimos a todos los objetos de una clase, que se escribe ( V x ) , y a otro que nos permita afirmar que una

320

clase o universo dado tiene al menos un objeto, pudiendo tener muchos más. Este segundo se escribe así: (3x). Al primero se le denomina cuantificador universal y al segundo cuantificador existencia!. El cuantifica­ dor (\fx) se lee: «para todo objeto x , es el caso que» y el cuantificador (3x) se lee: «existe al menos un objeto x tal que». De este modo, la fór­ mula Ox) P(x) se lee: «Existe al menos un objeto x tal que este x tiene la propiedad P » y la fórmula (Vx)(P(x)—>Q(x)) se lee: «Para todo obje­ to x, si x tiene la propiedad P, entonces x, tiene la propiedad Q». Usan­ do el operador de negación los cuantificadores son interdefinibles y sustitiúbles entre sí. Así, la fórmula (\fx)P(x) es definible y sustitidble por ~ (3x) ~ P(x) y, de la misma manera, (3x) P(x) es reemplazada por ~ (Vx) ~ P(x). Esto significa que nn sistema lógico puede prescindir de tino de ellos . Para algunos casos especiales se usa al denominado cuan­ tificador iota, introducido por B. Russell que se escribe (3xi) y se lee: «Existe un único objeto x tal que». Este cuantificador es existencial y su uso es muy limitado porque se puede prescindir de él mediante el uso adecuado de los otros dos . Los cuantificadores también se utilizan con predicados relaciónales (ver PREDICADO). Por ejemplo la fórmula ( V x ) ( 3 y ) R ( x , y ) s e lee: «Para todo objeto x existe al menos un objeto tal que es el caso que x está en la relación R con y». El cuantifi­ cador de mayor jerarquía es el que aparece al comienzo de la fórmula y así en orden de jerarquía decreciente. DEDUCCION: Es una operación lógica que consiste en obtener, me­ diante la aplicación de reglas lógicas, llamadas de deducción, a partir de un conjunto de proposiciones, conocidas como premisas, una nueva proposición conocida como conclusión . Lo que garantizan, en lo fundamental, las reglas lógicas de deducción es que la conclusión se deriva de las premisas sin contradicción. Asi­ mismo, una demostración en matemática es estrictamente un ejemplo de deducción. DEFINICIÓN; Es una operación metodológica que sirve para explicar de manera precisa el significado de un término. Consta de un Definiendum y de un Definiens. El Definiendum, es el término cuyo signifi­ cado se pretende explicar o determinar y el D efiniens, es el conjunto de palabras de uso conocido que nos permite explicar el significado del De­ finiendum. Una definición se escribe a manera de una igualdad cuyo primer miembro es el Definiendum y cuyo segundo miembro es el De­ finiens. El requisito fundamental que debe cumplir toda buena defini-

321

ción es que el Definiendum no sea elemento del Definiens. Si esto ocu­ rre, la definición es defectuosa y se le llama circular. Existen muchos tipos de definiciones, tales como lexicográficas, estipulativas, operadonales, etc. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO (RAA): Una proposición P se demuestra lógicamente por Reducción al absurdo cuando el primer paso deductivo consiste en suponer que P es falsa (lo cual se formaliza mediante no-P), y a partir de esta suposición se de­ duce una contradicción de la forma A y no-A. A si se dice, como la ne­ gación de P conduce a contradicción, entonces P es una proposición ne­ cesariamente verdadera. A esta demostración se les llama indirectas o apagógicas. HIPÓTESIS: Es una conjetura que pretende dar respuesta a una inte­ rrogación que expresa un problema científico. También puede definirse como una solución tentativa a un problema científico. Una característi­ ca fundamental de las hipótesis es que deben ser decidibles como verda­ deras o como falsas, razón por la que son expresadas a través de propo­ siciones o enunciados. INDUCCIÓN: Tradicionalmente se considera la inducción como la in­ ferencia que, a partir de premisas que describen hechos singulares o particidares, derivan una conclusión de carácter universal o general. Sin embargo, como las premisas sólo se fundan en constataciones hechas en algunos de los objetos del universo estudiado, esto es, en lo que se lla­ ma una muestra, y la conclusión es tina proposición general que hace una afirmación sobre la totalidad de los objetos del universo, entonces no se le considera verdadera sino probable. En breve, los clásicos como Aristóteles y Francisco Bacon concibieron a la inducción como una in­ ferencia, opuesta a la deducción, que opera de lo particular a lo general En et siglo pasado John Stuart Mili precisó que la inducción no es una inferencia que estrictamente obtenga una conclusión general a partir de premisas particulares, debido a que contiene siempre como premisa im­ plícita una proposición general, denominado por él principio de uni­ fo rm id a d de la naturaleza. De este modo, para Stuart Mili la induc­ ción era una deducción que se distinguía de las demás por tener como premisa mayor al principio de uniformidad de la naturaleza. Actualmen­ te, la inducción se define como una inferencia no conclusiva que esta­ blece el grado de confirmación de una proposición general a partir de la verdad de las proposiciones de observación que de ella se deducen. Por

322

inferencia no conclusiva se entiende que la conclusión no se sigue nece­ sariamente de las premisas y el concepto de grado de confirmación es traducible por un valor detenninable dentro del cálculo de probabilida­ des, el mismo que fue utilizado por R. Carnap y C. Hempel para definir matemáticamente dicho concepto. Asimismo, la tendencia actual enca­ bezada por el filósofo Karl Popper sostiene que la inducción carece de fundamento y no forma parte del razonamiento científico. INDUCCIÓN MATEMÁTICA: El matemático italiano Guiseppe Peono fiie el primero en presentar la aritmética como una teoría riguro­ sa, esto es, como un sistema hipotético-deductivo de enunciados. Esta tarea la cumplió en su obra P rincipios de aritm ética publicada en 1889. El quinto axioma de su teoría es conocido como «principio de de­ ducción matemática o principio de inducción completa», que es un enun­ ciado implicativo de naturaleza muy distinta a lo que se denomina in­ ducción en la filosofía tradicional (Ver IN D U C C IÓ N ). Dicho princi­ pio afirma que si una propiedad cualquiera se cumple para el cero, y se cum ple adem ás para un núm ero natural cualquiera bajo la

presuposición de que se cum ple para su antecesor, entonces to ­ dos los núm eros naturales tienen la propiedad en cuestión . Usan­ do la simbología introducida en este glosario (Ver P R E D IC A D O y C U ANTIFIC AD O R), una formulación aceptable del quinto postidado de Peano es la siguiente: (P(0)&( Vn)(P(n)->P(n+l)))->("x)P(x) En este caso la letra «n» representa al número anterior al denota­ do por 'n+1' y la variable individual V hace referencia a cual­ quier número natural. La formulación anterior se conoce como «principio de inducción matemática débil». Existe la versión fuerte que se deduce de la primera. Intuitivamente se enuncia así: Si del hecho de que todos los números anteriores a un número n ten­ gan la propiedad P se deduce que también el número n tiene la propiedad P, entonces todos los números naturales tiene la propiedad P. Utilizando la expresión 'z < x para denotar que un número z cualquiera es anterior a otro x, la formula lógica de la llamada inducción fuerte es la siguiente: (Vx)[(Vz)(z( 7. [ ~ ( P A q ) A p ] - > ~ q

333

8 - [ ( p —> q ) / \ q ] —> p 9.

[ ( p - » q ) A ( q - » r ) ] - » ( ~ r - » ~ p )

10. { [ ( q ^ p ) A ( ~ r ^ s ) ] A ( - s v ~ p ) } ^ ( r v ^ q )

V.

1. V álido 2. Las premisas 3. falsas 4. Verdaderas - falsa. C U ESTIO N A RIO 9 Deducción natural

I. Justificación de deducciones (1)(0 -> ~ P )a (~Q ->R ) (2) ( S - » T ) a ( ~ U - > ~ Z ) (3) ( ~ P —» S ) a ( R - > ~ U ) (4) ( T v - Z ) —» ( W a X ) (5) O v ~ Q / W a X 6.~PvR 7. S v ~ U 8. T v - Z 9. W a X

DC. (1), (5) DC. (3), 6 DC. (2), 7 MP. (4), 8

2.

0) (2) (3) (4) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

334

[ ( A v ~ B ) v C ] —» [ D - » ( E F)] ( A v ~ B ) —» [ ( F < - > G ) —> H ] A - » [ ( E < -> F ) - > ( F G)] A / .. D - > H A v~B Adic. 4 (Av~B)v C Adic. 5 D -> ( E F) MP. ( 1) , 6 (E ^ F) -> ( F o G ) MP. (3), (4) D —> ( F G ) SH. 7,8 (F G ) —> H MP. (2) 5 D -> H SH. 9,10

•u> 0) (2) (3) (4) (5) 6. 7.

A -> B C -» D ~ B v ~D ~~A (Ea F) C/ ~(E (A —» B ) a ( C —» D ) ~ Av ~ C

8. 9.

~C ~(E

O) (2) (3) (4) (5) 6.

(G - » H ) - K I J) K v ~ ( L —» M ) ( G —» H ) v ~ K N -> ( L -> M) ~(I .-. ~N ~(G H) ~K ~ ( L -» M ) ~N

a

a

F)

F)

Adj. (1), (2) DC. (3), 6 SD. (4), 8 MT. (5), 8

4.

7. 8. 9.

MT. (1), (5) SD. (3), 6 SD. (2), 7 MT. (4)

5. (1)- H -> ( I -> J ) (2). K —> ( I —> J ) (3). ( ~ H a ~ K ) —> ( ~ L v ~ M) (4). ( ~ L —> ~ N ) a ( ~ M —> - O )

(5)(6). 7. 8. 9. 10. 11. 12.

(P-»N)a(Q-»0) ~(I->J) /.'. ~ P v ~ Q MT. (1), (6) ~H MT. (2), (6) ~K ~ Ha ~ K Adj. 7, 8. ~Lv~M MP. (3), 9 ~ Nv ~ O DC. (4), 10 ~Pv~Q DD. (5), 11

335

II. EJECUCIÓN DE DEDUCCIONES

(1) (2) (3) (4) 5) 6) 7) 8)

Fv(GvH) ( G —» I ) a ( H —> J ) ( Iv J ) - > ( F v H ) ~F /:. H G vH IvJ FvH H

(O (2) (3) (4)

K L M —>■N ( 0 -> M )a(P->L) ( ~ N v ~ L ) a ( ~ M v ~ O ) /.: . ( - O v ~ P ) v ~ K) Simp (4) ~ Nv ~ L ~Ov~P DD. (3), 5 ( M —» N ) a ( K—»■L ) Conj. (1),(2) ~Mv~K DD 5,7 (~Ov ~ P )a (~ M v ~ K) Adj. 6,8

SD. (1), (4) DC. (2), 5 MP. (3), 6 SD. (4), 7

2.

5) 6) 7) 8) 9)

J. 1) .2) •3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

336

Q —» ( R - > S ) ( R —» S ) - » T (SaU )^-P ~ P —» ( R ~ W) ~ T v ~ ( R o ~ W ) /:.■~ Q -> T (S a U )->(R o ~W) ~(R ~ ( S a U) Q->~(S a U) ~ Q v ~ ( S a U)

Q

v

~(SAU) SH. (1), (2) SH. (3), (4) CONM. (5) RDN. 16, SH. 7,9 Transp. 10 SH. 6,11 RDN. 16,

4.

(1) (2) (3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

( 0 - » ~ P ) a(P-»Q) Q -» N ~ R -» P / . . R ~R o->~p P >Q P Q ~o ~Q

11) Q a ~ Q 12) ~ R - > ( Q a ~ Q ) 13) ~ ~ R 14) R

(1) (2)

X —»■( Y —»■Z )

(3)

X

(4)

~Z

P.A. Simp. (1) Simp. (1) MP. (3), 4 MP. 6,7 MT. 5,7 MT. (2),9 Conj. 8,10 PC. 4, 11 RAA. 12 DN. 13

X —> ( A —> B ) ( Y v A)

a

/.. B

RA.

5) ~ B 6)

X

Simp. (3)

7)

Y —» Z

MP. (1),6

8)

A

MP. (2),6 Simp. (3)

B

MT. 5,8

11) Y 12) ~Y

SD. 9,10 MT. (4),7

13)

< >

Conj. 11, i:

14) 15) 16)

~ B -> (Y a ~Y) ~~B B

1) 2)

C - » ( D —» ~ C ) C D /.*. ~ C a ~ D

l

>*

9) Y v A 10) ~ A

PC. 5, 13 RAA. 14 DN. 15

337

3) 4) 5) 6) 7) 8) 6) 7)

( C a D)

v (' ~ C A ~ ) ~ C v (-- D v - - C) (~D v ~-C) v-~ c ~D v (~-C v ~ ■C) (~C v ~' C) v -~ D ~Cv~D ~ ( C a D) ~ Ca ~ D

DEF. BC (2) DEF. 16. (1) C0M .4 AS.5 C0M.6 IDEMP. 7 DM. 8 SD. 3,6

7.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Jv(~KvJ)

K v ( ~ J v K ) /.*. ( J a K ) v ( ~ J a ~ K ) (J v ~ K) v J Asoc. (1) (K v ~ J) v K Asoc. (2) ~JvK Asoc. + IDEMP. 4 ~K vJ Asoc. + IDEMP. 3 J-> K

K-> J

9) ( J —> K ) a ( K —> J ) 10 J K 11) ( J a K ) v ( - J a - K

)

DEF. Asoc. + RDN. DEF. Asoc.+RDN.ló, Conj. 7,8 DEF. BC. 9 DEF. BC. 10

8. 1) : ( L v M ) v ( N a O ) (-L aO )a ~ (-L a 2) ~ LaO 3) 4) ~ (~ L a M ) 5) Lv~M 6) M 7) ~ L a ~M 8) (LvM ) 9) 10) N a O 11) N 12) - L a N

338

M ) /. ~ L a N Simp. (2) Simp. 3 Simp. (2) DM. 5 SD. 4,6 Conj. 4,7 DM. 8 SD. (1), 9 Simp. 10 Conj. 4,11

III. PRUEBA CONDICIONAL

1. (1) (2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

( A v B ) ^ ( C a D) ( D v E ) - > F /.'. A - > F A A vB CaD D D vE F A -» F

PA. Adic. 3 MP. (1),4 Simp. 5 Adic. 6 MP. (2),8 PC. 3, 8

(1) (2) (3) 4) 5) 6)

10)

(EvF)->G ( J —» ~ G ) a ~ H JvK /.\ E - » K E EvF G J —> ~ G ~J K E->K

PA. Adic. 4 MP. (1),5 Simp. (2) MT. 6,7 SD. (3),8 PC. 4, 9

(1) (2) (3) 4) 5)

Q —> P T vS Qv~S ~ (Pv R) ~PA~R

6) 7)

~p ~Q ~s T

2.

7)

8) 9)

o

8) 9)

10)

~(PvR)^T

~ ( P v R ) - »T

PA. DM. 4 Simp. 5 MT. (1),6 SD. (3),7 SD. (2), 8 PC. 4, 9

4.

(1) (2)

A->(B->C) B —> ( C —» D )

A->(B->D)

339

A B B^C C^D C D B^D 10) A ^ ( B ^ D )

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

a) 1) 2)

PA. PA. MP. (1),3 MP. (2),4 MP. 4, 5 MP. 6, 7 PC. 4, 8 PC. 3, 9

Premisas. pv~q r ~p

C onclusiones que se siguen lógicam ente. C, (1) q —» ~ r C2 ( 5 ) ~ p v ~ r C7 (7) q ( ~ r v p )

II.

340

C U ESTIO N A R IO 10

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(A/B)/(D/E) ((A/B)/(B/B))/((B/B)/C) ((N/N)(B/B))/((N/C)/(D/D)) ((C/D)/(E/E))/((A/A)/B) (A/B)/(C/D) (A/B)/(C/D) 7) [ A / ( B / B ) ] / [ B / ( A / A ) ] 8) [ ( A / A ) / ( B / B ) ] / [ A / ( B / B ) ] 9) { [ A / (B/B)]/[(A/A)/B]}/[(C/C) /(D/D)] 10) { [ A / ( B / B ) ] / A . / . [ A / ( B / B ) ] / A } / ( B / B ) 11) [ ( A / A ) / ( B / B ) ] / { [ ( B / B ) / ( A / A ) ] / [ ( B / B)(A/A)]} 12) A / { [ ( B / B ) / ( A / A ) ] / [ ( B / B ) / ( A / A ) ] }

CUESTIONARIO 11

II. Construcción de circuitos para las fórmulas dadas:

S / +

-------

R ^ /c _________c /o

—cr SO /'

o------ 1

0------

Vo_ _v< V o --------&/V-

X / o ------i / *

4. ( p A q A r ) v ( p A q A ~ r ) v ( ~ p A ~ q )

p J a___s u / oo-------------____i—o l J/ o-------, 1 _____ i /

u /c ___ í /

r’o / "

o-

341

5.

{ ( p A q ) v [ p A ( ~ q v ~ r ) ] v ( r A s ) } A( q v r v s )

III.

l.(p A q ) v ( p v q ) ( AB ) + ( A+B )

AB B. (AB)+(A+B) A+B B

2 . ( p v ( q A r ) ) v ( r v s ) = ( A + ( B C ) ) + (C + D )

A+(BC)

BC

(A+(BC)) + (C+D) C+D

D

3 . ( p A q ' ) v ( ~ q A r ) v ( ~ p A ~ s ) = ( AB ) + ( BC ) + ( AD ) __A_

A.B

Bf B k B

A. H ^D

342

B.C

A.D

(AB)(BC) (AD)

4. ( p A q A r ) v ( p A q A ~ r _ ) v ( ~ p A ~ q ) s ( ABC ) + ( ABC ) ( A B )

5.((pAq)v(pA(~qv~r))v(rAs))A(qvrvs) ( ( AB ) + ( A ( B+C ) ) + ( CD ) ) . ( B+C+D ) A

AB

(AB) +(A.(B + C))+(CD)

((AB)+(A(B+C))+(CD)).(B+C+D)

343

IV. La fórmula es: ( pa ~ q)v (~pAq)v(~pA~q)

CUESTIONARIO 12 Io Debe saber:

Algunos Gatos son cuadrúpedos Ningún cuadrúpedo sabe silbar Luego, algunos animales que saben silbar no son gatos. II. 6. EAE.

Segunda figura

7. AII.

Tercera figura

8. AAA. 10. AEE.

Tercera figura Primera figura

CUESTIONARIO 13

I.

9. S h P =

10. SnP*

344

12. SnP*

13. SnP*

14. S n P ^ (| )

II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. III. 6.

c) B n A b) B n A a) A n B b) A n B a) A n B a) A n B c)A n B

8. a) A n B = 9. a ) A n B í i |i 1 0 . b ) A n B ^ 11. a) A n B = 12.a) A n B = 13.a) A n B =

= = = = = = cf) =(()

Premisas S n M =

S n P = (|)

Conclusión S n P -< | )

Conclusión S n P = (j)

CUESTIONARIO 14

1.- Determinar cuáles de las siguientes fórmulas no son interpretables com o proposiciones: 1- F(a,b) 2. (3y) F(x,y) 3- (3y) ( Fy —> (V y) F x ) 4. (V x) (V y) F(x,y) -» R (x,y) 5. Px A ~Qx 6. Pa A ~Qa

Sí

No No No No Sí

2.- Determinar cuáles de las siguientes fórmulas están en forma normal Prenex: 1. (V x) Fx V (3y) Gy No No 2. F (a,b) -» (3x) ( F(x,b) A -P x ) Sí 3- (V x) (3y) R (x,y) No 4. (V x) Fx - » (V x) Qx Sí 5- (V x) (3y) ( R (x,y) —> Sx) 6. (V x) (V y) (V z) ( ( R (x,y) A R (y ,z)) -> R (x ,z)) Sí 3.- ¿Cuáles de las siguientes fórmulas no son lógicam ente válidas? 1. (V x) Fx Fa : Lóg. válida 2. (3x) Fx —> Fy : N o es válida 3. Fa -» (V y) Fy : N o es válida 4. (3x) Fx -» (V y) Fy : N o es válida 5. (3y) ( Py-> (V x) P x ) : Lóg. válida 6. (V x) (3y) R (x,y) -» (3y) (V x) R (x,y) : N o es válida 4.- Fonnalizar, usando cuantificadores, las siguientes afirmaciones: 1. N o todos los números son pares. ~(V x) (N x -> Px) 2. A lgunos números son primos. (3 x )(N x A Px) 3. Ningún electrón es un protón. (V x) (Ex -» -P x ) 4. Cada alumno tiene nota aprobatoria. (V x) (Ex —> A x) 5. Solam ente los aprobados recibirán diploma. (V x) (D x - » A x)

347

6. Si todos son enem igos de todos, entonces cada uno es su propio enem igo. (V x) (V y) E( x ,y )-> ((V x) (3y) E(x,y) .A .(x=y)) 7. Hay una persona que ama a todas las personas. (3x) (V y) A ( y ,x ) 8. Hay un número natural que es menor que todos los números naturales. (3y) (V x) M ( x,y) 9. Hay al m enos un alumno que se matricula en todos los cursos. (3y) (V x) M ( x,y) 10. Todas las cabezas de caballo son cabezas de anim ales. (V x) (Cx—» A x)—» (V y)[(3x)( Cx A H(y,x)) -+(3x) (A x A H(y,x))] 5.- Probar las siguientes equivalencias:

1. (3 y ) { Py (V x) P x ) ((V y) Py - » (V x) Px). 1.1 (3y) ( Py -> (V x) P x ) -» ((V y) Py - » (V x) Px). P1 2. 3. 4. 5. 6.

(3y) ( Py -> (V x) P x ) (V y) Py P a -> (V x) Px Pa (V x) Px (V y) Py -» (V x) Px

((V y) Py —> (V x) Px) P.A. E.E. 1 E .U .2 M.P. (3,4) P.C. (2-5)

1.2 ((V y) Py - » (V x) Px)) - » (3y) ( Py - » (V x) Px) P V (V y) Py —> (V x) Px // (3y) ( Py -> (V x) Px) 2. ~(3y)(P y —> (V x) Px) RAA 3 . ( V y y (Py (V x) Px) R 14.10,2. 4. -(P y - » (V x) Px) R 1 4 . l l . 1,3 5. Py a ~ (V x) Px R D N. 16+D M ,4 6. Py Sim p. 5 7* (Vy) P P 1 4 .1 1.2,6 8. K V x)P x Sim p. 5 9. ~(V y)P y M T en P i, 8 10. (V y)Py a -- (V x) Px) RAA, 11 II. (V x) ( Px a Q x ) ((V x) Px a (V x) Qx) P l (V x) ( Px a Q x ) (V x) Px a (V x) Qx. 2. Py A Q y EU. 1 3. Py Simp. 2 4. Qy Simp. 2 5. (V x) Px GU. 3 6. (V x) Qx GU. 4 7. (V x) Px a (V x) Qx Conj. (5,6) 2.2 ((V x) Px a (V x) Qx) -> (V x) ( Px a Q x ) P l (V x) Px a (V x) Qx //.*. (V x) ( Px a Q x ) Simp. 1 2. (V x) Px Simp. 1 3. (V x) Qx E .U .2 4. Pz EU. 3 5. Q z Conj. (4,5) 6. Pz a Qz GU. 6 7. (V x) ( Px a Qx) 3. (V x) ( Px V (V y) Qy ) ((V x) Px V (V y) Qy ). 1. (V x) ( Px V (Vy) Q y ) / / . ’. ((V x) Px V (V y) Q y ) RAA. 2. ~((V x) Px V (V y) Q y ) DM.2 3. -(V x ) Px A ~(V y) Qy R. 14 J0 4. (3x) -P x A (3y)~Q y 5. Px V (V y)Q y EU,1 Simp. 3 6. -(V y ) Qy SD .5,6 7. Px GU.7 8. (V x) Px Simp.4 9. (3x) -P x 10. ~Pa EE.9 EU.8 11. Pa Adj. 11,10 12. Pa A -P a 13. - ( ( Vx)Px V (Vy)Qy) ^ (Pa A -P a) PC. 2,12 R A A ,13 14. (V x)Px V (V y )Q y

349

1, (Vx) Px V (Vy) Qy) II:. (Vx) ( Px V (Vy) Qy )■

2. ~(V x) ( Px V (V y) Qy ) 3. (3 x ) ~ ( Px V (V y) Qy ) 4. (3x) (~P x A ~(V y) Qy ) 5. ~Pa A ~ (V y) Qy 6. ~Pa 7. ~(V y) Qy 8. (V x) Px 9. Pa 10. Pa A ~Pa 11. ~(V x) (Px V (V x)Q y) (Pa A ~Pa) 12. (V x) (Px V (V y) Qy )

350

RAA R. 14.10,2 DM .3 EE. 4 Simp. 5 Simp. 5 SD. (1,7) EU. 8 Adj. 6,9 PC 2,10 R A A . 11

4. (3x) ( Px V Q x ) ^ (3x) Px V (3x) Qx. 1. (3 x ) ( Px V Q x ) //.-. (3x) Px V (3x) Qx. 2. ~ ((3 x ) Px V (3x) Qx) 3. ~ (3 x ) Px A ~ (3 x ) Qx 4. ( Vx) ~Px A (V x) ~Q x 5. (V x) ~P x 6. (V x) ~Q x 7. Pa V Qa 8. ~Pa 9. Qa 10. ~Q a 11. Q A~Q a 12. ~ ((3 x ) p x V (3x)Q x) -> (Q a A ~Q a) 13. (3 x ) Px V (3x) Qx

RAA. DM.2 R. 14:10.3 Sim p. 4 Simp. 4 EE. 1 EU. 5 SD .7,8 EU. 6 Adj. 9,10 PC. 2,11 RAA.

1. ((3 x ) Px V (3x) Qx) //.-. (3x) ( Px V Q x ) 2. ~ (3 x ) (Px V Qx) 3. (V x) ~ ( Px V Qx ) 4. (V x) (~ Px A ~ Q x ) 5. ~ Px A ~ Qx 6. ~Px 7. (V x) ~P x 8. ~ (3 x )P x 9. (3x)Q x 10. ~Q x

RAA. RR. 14.10 DM . 3 EU. 4 Simp. 5 GU. 6 R .14.10,7 SD . 1,8 Sim p. 5

11. (Vx)~Qx 12. Qa 13. -Qa 14. Qa A ~ Qa 15. ~(3x)(Px V Qx) -> (Qa A ~Qa) 16. (3x)(Px V Qx) 5.

GU.10 EE. 9 EU.ll Adj. 14 PC. 2,14 RAA. 15

(3y) ( Py ->(Vx) Px ) ^ (Vy) ( Py) -> (Vx)(Px) 1. (3y) ( Py ->(Vx) P x ) //.*. (Vy) (Py) -> (Vx)(Px) 2. (Vy)Py PA. 3. Pa -» (Vx) Px EE.l 4. Pa EU.2 5. (Vx)Px MP. 3,4 6. (Vy) Py -» (Vx) Px PC. 2,5

1. (Vy) ( Py) -» (Vx) (Px) // ,\(3y) ( Py -»(Vx) Px ) 2. M3y)(Py -> (Vx)Px) RAA. 3. (Vy) ~(Py -> (Vx)Px) R. 14.10,2 4. -(Py - » (Vx)Px) EU. 3 5. PyA ~(Vx)Px RDN.16+DM,4 6. -(Vx) Px 7. Py 8. (Vx)Px 9. (Vx)Px A ~(Vx)Px

Simp. 5 Simp. 5 GU.7 Adj. 6,8 10. ~(3y)(Py -» (Vx)Px) -> [(Vx)Px A ~(Vx)Px] PC. 2,9 11. (3y)(Py -» (Vx)Px) RAA.10

6.- Construir una Deducción que pruebe que las premisas implican a la conclusión: 1.- Todos los cuadrados son rombos. Algunos rectángulos no son rombos. Luego, algunos rectángulos no son cuadrados. 1. (Vx) (Cx - » Rx) 2. (3x) (Tx A -R x ) // (3x) (Tx A ~Cx) 3. Ta A ~Ra EE. 2

351

4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ca - > Ra ~Ra ~Ca Ta Ta A ~Ca (3x) (Tx A ~Cx)

EU. 1 Simp. 3 MT. (4,5) Simp. 3 Conj. (6,7) GU. 8

2.- Ningún número imaginario es un número real. Algunos números com plejos son números reales. Luego, algunos números com plejos no son imaginarios. 1. (Vx) (Ix —» ~Rx) 2. (3x) (Cx A Rx) 3. Cb A Rb 4. Ib ~Rb 5. Rb 6. -Ib 7. Cb 8. Cb A -Ib 9. (3x) (Cx A ~Ix)

//.-. (3x) (Cx A ~Ix) EE.2 EU. 1 Simp. 3 MT. (4,5) Simp. 3 Conj. (6,7) GE. 8

3.- N ingún número imaginario es un número real. Todos los números racionales son números reales. Luego, ningún número racional es imaginario. 1. (Vx) (Ix - » ~Rx) 2. (Vx) (Cx - > Rx)

(Vx) (Cx - > ~Ix)

3. Iy - > ~Ry

EU. 1

4. Cy—> Ry 5. Ry-> ~Iy

EU. 2 Transp. 3

6. C y-> ~Iy

SH. (4,5)

7. (Vx) (Cx - > ~Ix)

GU. 6

4.- Todos los cuadrados son polígonos regulares. Ningún trapezoide es un polígono regular. Luego, ningún trapezoide es un cuadrado.

352

1. (Vx) (Cx —» Px) 2. (Vx) (T x —>•~Px) 3. Cy - » Py

(Vx) (Tx -> EU. 1

4. Ty -► ~Py 5. ~Py —» ~Cy 6. Ty - > ~Cy

EU. 2 Transp. 3 SH. (4,5)

7. (Vx) (T x - > ~Cx)

GU. 6

5.- Hay un cisne que no es negro. Luego, no todos los cisnes son negros. 1. (3x) (Cx A~Nx) 2. ~(V x)~ (Cx A ~Nx) 3. ~(V x) (~Cx V Nx) 4. ~(V x) (Cx - > Nx)

/ / ~(Vx) (Cx -> R. 14. 10,1 DM. 2 Def. Cond. 3

ACTIVIDAD MAPAS CONCEPTUALES

A continuación presentamos una sugerencia de cómo podría es­ tudiar y provocar en usted un autoaprendizaje significativo, uti­ lizando la técnica de los mapas conceptuales. Esta técnica fue crea­ da por Joseph Novak quien la presenta como estrategia esquemá­ tica que pretende ayudar a los estudiantes a aprender represen­ tando gráficamente un conjunto de relaciones conceptuales. Construya un resumen esquemático de cada lección estudia­ da, ordenado los conceptos de manera jerarquizada. Situé cada concepto dentro de un recuadro y relaciónelo con los conceptos de jerarquía semejante mediante líneas horizontales en forma de flechas. Con los conceptos de menor jerarquía la relación se esta­ blece mediante flechas descendentes que nacen del recuadro co­ rrespondiente al concepto al que asignamos mayor jerarquia. Es­ tas flechas, con frecuencia, se bifurcan en ramas que deben correponder a las distinciones conceptuales que consideramos necesarias. Veamos ahora algunos ejemplos de mapas que se han cons­ truido en base a algunas lecciones que figuran en el texto. Ud. puede construir los suyos y así crear esquemas y estructuras rele­ vantes que le facilitarán la comprensión del sistema conceptual y operativo que ofrece este libro.

354

MAPA CONCEPTUAL N.° 1: DISYUNCIÓN

355

MAPA CONCEPTUAL N.° 2: BICONDICIONAL

El Bicondicional es un conectivo proposicional que relaciona Proposiciones a través de expresiones

formalizando

Condición necesaria y suficiente

Condición necesaria y suficiente

de

de

ejemplo Juan viaja a Jauja si, y sólo ' si si toma tren

[ e j e mp l o Juan toma tren si, y sólo si viaja a Jauja

I____________

se expresa como /

poq

que es la forma de una proposicion bicondicional 356

MAPA CONCEPTUAL N.° 3: DEDUCCIÓN NATURAL

357

MAPA CONCEPTUAL N.° 4 SILOGISMO CLÁSICO

“Algunos S “Algunos S “Todos los “Ninguno Son P” Son P” S Son P” S es P’9

358

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Melisa Moore En la encrucijada. Las ciencias sociales y la novela en el Perú. Lecturas paralelas de «Todas las sangres» Nanda Leonardini El grabado en el Perú republicano. Diccionario histórico Gonzalo Espino Relucé (comp.) Tradición oral, culturas peruanas — una invitación al debate— Martha Barriga Tello Influencia de la Ilustración borbónica en el arte limeño: siglo xvm

Normalmente se cree que existe una única manera de pensar lógicamente que correspondería a la estructura

,

>

profunda de la mente de la razón o del cerebro según el caso. Esto conduce a suponer que la Lógica se descubre de la manera análoga a cómo se habría descubierto la estructura de la célula o del átomo. Por tanto, la Lógica existiría ya hecha en algún lugar y la tarea del profesor -ya sea a través de las clases o de un libro- consistiría en enseñarnos a descubrirla. Sin embargo, el desarrollo no

Carlos García-Bedoya M. Para una periodización de la literatura peruana (segunda edición corregida y aumentada)

sólo de la Lógica sino de lo que actualmente se conoce

S erie C o e d ic io n e s

como ciencias cognitivas, nos conduce a pensar que lo

Thomas Cummins Brindis con el Inca. La abstracción andina y las imágenes coloniales de los queros UNMSM-UMSA (Bolivia)-Embajada de los EE.UU. Manuel Burga Nacimiento de una utopía. Muerte y resurrección de los incas UNMSM-Universidad de Guadalajara

anterior es un error: En efecto, en sentido estricto no existe

,

dentro de la comunidad científica y filosófica, la Lógica como una unidad sino un conjunto diversificado de

,

sistemas lógicos o, en términos más descriptivos de lenguajes lógicos que no siempre son equivalentes entre sí.

Cristóbal Aljovín de Losada J Eduardo Cavieres (eds.) Perú-Chile/Chile-Perú: 1820-1920 Convenio Andrés Bello-Universidad de Valparaíso Miguel Ángel Zapata (editor) Mario Vargas Llosa and the persistence of memory UNMSM-Hofstra University Liliana Regalado de Hurtado Clío y Mnemósine. Estudios sobre historia, memoria y pasado reciente UNMSM-Fondo Editorial PUCP Francisco Miró Quesada Del ágora ateniense al ágora electrónica. UNI-UNMSM José Enrique Briceño Berrú En busca del hombre. Consejo Hispanoamericano de Artes y Letras-UNMSM Carlos Calderón Fajardo La segunda visita ae William Burroughs Miguel Ángel Zapata (editor) Asir la forma que se va. Nuevgos asedios a Carlos Germán Bell i Rocío Quispe-Agnoli La Fe andina en la escritura: Resistencia e identidad de Guamán Poma de Ayala Biaggio D'Angeh Borges en el centro del infinito UNMSM-Universidad Católica Sedes Sapientae César Ferreira (editor) Edgardo Rivera Martínez: Nuevas lecturas S erie C l á s ic o s Sa n m a r q u in o s

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS La universidad es lo que publica

José Antonio Russo Delgado La ética en Demócrito

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