Logica e Álgebra de Boole [4 ed.] 8522483043, 9788522483044

Citation preview

JACOB

DAGHLIAN

LodiCcAe

ALGEBRA de

BOOLE

JACOB

DAGHLIAN

E ALGEBRA DE BOOLE 4* Edicao

SAO PAULO EDITORA ATLAS S.A. - 2008

© 1986 by Editora Atlas S.A.

piTONAy

1. ed. 1986; 2. ed. 1988; 3. ed. 1990; 4. ed. 1995; 12. reimpressdo 2008

z

%s

3 BABS ¥ >. ES.

Capa: Paulo Ferreira Leite

Composi¢do: Style Up Dados Internacionais de Catalogacao na Publicagao (CIP) (Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Daghlian, Jacob, 1936 Légica e algebra de Boole/Jacob Daghlian. - 4. ed. - 12. reimpr. - Sdo Paulo : Atlas, 2008. Bibliografia. ISBN 978-85-224-1256-3

1. Algebra booleana 2. Légica simbdlica e matematica I. Titulo. 95-0876

CDD-511.324

indice para catdlogo sistematico: 1. Algebra booleana 511.324 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - E proibida a reproducdo total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violacdo dos direitos de autor (Lei n* 9.610/98) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Cédigo Penal.

Depésito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto n* 1.825, de 20 de dezembro de

1907.

Impresso no Brasil/Printed in Brazil

a Editora Adas S.A. Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elisios) 01203-904 Sdo Paulo (SP) Tel.: (O_ -11) 3357-9144 (PABX) www.EditoraAtias.com. br

Agradecimentos

Antonio Angelo Fratoni

(Desenhos do Capitulo 14) Vania Linda Domingues

(Datilografia do Capitulo 14)

A Carlos Alberto Garcia Calioli (in memoriam)

e Rubener da Silva Freitas

Mestres e amigos cujo entusiasmo e

incentivo me conduziram ao Magistério.

Pela ajuda de dois sébios: meus pais, Leon e Hripsimé Pelo incentivo de minha esposa: Hulda Pela carinhosa presenca de meus filhos: Leon e Ricardo Pelos meus irmaos: Carlos, Luiz e Celi Pela oportunidade de realizar este trabalho

Elevo o pensamento em gratidao a DEUS.

Sumario Prefacio,

13

Apresenta¢ao, 15

] SISTEMAS DICOTOMICOS, 17 1.) 1.2 1.3 1.4

Interruptores, 18 Conjuntos, 22 Proposicdes, 26

Exe

1.4.1 Princfpios fundamentais da l6gica matemdtica, 27 1.4.2 Tabela-verdade, 28 4$, 29

Introducdo, 17

2 OPERACOES LOGICAS SOBRE PROPOSICOES, 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Negacio (’), 32 ConjuncJo (+), 32 Disjungdo inclusiva ou soma ldgica (+), 32 Disjun¢gdo exclusiva (®), 33 Condicional (——), 34 Bicondicional (+—~), 35

Exercicios, 36

3 CONSTRUCAO DA TABELA-VERDADE, 39 Exercicios, 42

4 RELACOES DE IMPLICACAO E DE EQUIVALENCIA, 46 4.1 4.2 4.3 44 4.5

Definicdes, 46 Relacdo de implicacdo, 47 Relagdo de equivaléncia, 47 Equivaléncias notdveis, 48

Propriedades, 5]

Exercicios, 5]

5 ARGUMENTO VALIDO, 54 5.1 5.2

Definigao, 54 Regras de inferéncia, 56

Exercicios, 58

6 TECNICAS DEDUTIVAS, 62 6.] 6.2 6.3 6.4 6.5

Prova direta, 62 Prova condicional, 65 Prova bicondicional, 67

Prova indireta ou por reducdo ao absurdo, 68

Prova indireta da forma condicional, 70 Exercicios, 71

10

7 FLUXOGRAMAS, 77 Exercicios, 85

8 QUANTIFICADORES, 89 8.1

Sentenga aberta, 89

8.2 8.3 8.4

Quantificador universal, 90 Quantificador existencial, 9] Valores légicos de sentengas quantificadas, 93

8.5

Negacdo de sentencas quantificadas, 93

Exercicios, 96

9 INTRODUCAO A ALGEBRA DE BOOLE, 97 9.1 Operador bindrio, 97 9.2 Propriedades das operacdes, 97 9.3 Sistemas algébricos, 105 Exercicios, 114

10 FUNCOES BOOLEANAS, 117 Exercicios, 120

11 REPRESENTACAO DAS FUNCOES BOOLEANAS, 122 11.1

Diagramas de Venn ou circulos de Euler, 122

11.2

Tabelas-verdade, 123

11.3 Representacdo geométrica, 124 Exercicios. 128

11

FORMAS NORMAIS, 131 12.1

12.2 12.3. 12.4

Forma normal an variaveis, 131

Forma normal disjuntiva, ]3] Forma normal conjuntiva, 133 FuncGdes na forma bindria, 134

12.5 Fungdes na forma decimal, 135 Exercicios, 137

13 MINIMIZAC AO DE FUNCOES, 139 13.1

13.2 13.3

Método algébrico, 139

Método do Mapa de Karnaugh, 140 Método de Quine-McCluskey, 148

Exercicios, 152

14 PORTAS LOGICAS, 154 Bibliografia, 166

Prefacio Os altimos 10 anos vém presenciando um aumento sem precedentes da aplicac3o da Matematica, particularmente da Algebra, no entendimento e soluc3o dos problemas das Ciencias da Computacao. Estruturas algébricas, cada vez mais, est3o sendo empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrdnicos e de sistemas de informacdes. A Algebra aplicada 4 computacdo vem sendo paulatinamente introduzida nos curriculos das escolas de 29 e 39 graus sob formas diversas. E, pois, com grande satisfac3o que apresentamos ao leitor este dedicado trabalho do colega Jacob Daghlian. Trata-se de um livro que surgiu como fruto do intenso trabalho de pesquisas bibliograficas e das experiéncias do magistério vivenciadas pelo autor no ensino de disciplinas cujos conteudos abrangem este texto. E sabido que os estudantes s30 mais hdbeis quando conhecem a causa pela qual aprendem uma técnica particular e tendem a perder o interesse se os métodos mateméaticos sdo apresentados de maneira puramente abstrata, sem aplicacdes préticas. Consciente, o autor adota a estratégia de ensinar, através de exemplos, utilizando o instrumental ldgico para o entendimento e a modelagem de sistemas reais. O uso de ilustracdes familiares como meio de exposicado, por certo, oferecerd base para generalizacoes e o proprio conhecimento e desenvolvimento da Logica pelo leitor.

Devemos deixar claro que ndo desaprovamos a abordagem orientada exclusi-

vamente

para

o

conhecimento

da

Matematica

Pura.

Porém,

entendemos

que,

quando o trabalho bésico inicial estiver bem assentado, o aluno tera est/mulo para aprofundar os indispensaveis conhecimentos tedricos da Matematica Pura. Com

esses objetivos

o autor

produziu

um

livro-texto claro e compreensivel

destinado aos cursos introdutorios de Algebra Aplicada 4 Computacao que certamente dara os fundamentos para que os leitores caminhem com seguranca estudos, investigacdes e pesquisas nessa area do conhecimento humano.

nos

13

Congratulamo-nos com o Prof. Jacob Daghlian e com a Editora Atlas pela publica¢do, augurando a continuacdo de empreendimentos desta natureza.

S3o Paulo, abril de 1986

PROF. GILBERTO DE ANDRADE

14

MARTINS

Apresentacao O presente texto originou-se das notas de aula do curso que ministramos ha alguns anos aos alunos do curso de Matematica da Faculdade de Filosofia, Ciéncias e Letras da Fundac3o Santo André. Ao redigi-lo, como primeira razio, moveu“nos o interesse de entregar aos nossos alunos um texto que contivesse os pontos principais de nosso curso e que superasse a necessidade, nesta primeira parte dos estudos, de livros estrangeiros de dificil e cara obtencdo. Outro aspecto importante que nos levou a este trabalho e nos mantém motivados no seu aprimoramento é a apresentacao de um sistema algébrico que representou importante passo no desenvolvimento da eletrénica, computacdo, pneumatica e outras aplicacdes que envoivem até a Pesquisa Operacional. Sua presenca é marcante nos estudos de automatizacdo, levando a simplificacdes com sensiveis reducdes de custo, tendo dado origem a métodos que representam grande economia de tempo em projetos com os quais possa relacionar-se. Nada apresentamos de original e, em alguns casos, incorremos na linguagem caracteristica de queridos mestres como o foi Alcides Boscolo, de saudosa memoria, e ainda o 6 Edgard de Alencar Filho, ndo deixando de mencionar a marcante influéncia de alguns textos citados na bibliografia. Agradecemos o apoio dos colegas, bem como as criticas recebidas, sendo os erros e imprecisdes de nossa inteira responsabilidade. Em particular, agradecemos ao Prof. José Otévio Moreira Campos o incentivo e empenho para a concretizacao deste trabalho. Finalizando, prestamos nossa homenagem aos professores que desde o Jardim da Infancia participaram de nossa formacao, dedicando-lhes este livro e, para evitar OmissGes, citando as diferentes escolas que cursamos: Jardim da Inf&ncia e Primdrio Academia de Comércio ‘Horacio Berlinck’’ — Jai — SP

15

Gindsio Gindsio Estadual de Jai — Jau — SP Colégio S30 Norberto — Jau — SP

Colégio Dante Alighieri — S30 Paulo — SP

Cientifico

Escola Preparatéria de Cadetes do Exército — Sao Paulo — SP

Escola Preparatéria de Cadetes do Exército — Porto Alegre — RS

Superior Academia Militar das Agulhas Negras — Resende — RJ Faculdade de Filosofia, Ciéncias e Letras da Fundacao Santo André — Santo André — SP

Organizac3o0 Santamarense de Educa¢ao e Cultura — OSEC — Sao Paulo — SP (Especializacdo) Pontificia Universidade Catélica de So

(Pés-Graduacao)

Instituto Metodista de Ensino Superior po — SP (Mestrado em Administracao)

Paulo — PUC —

IMS

— Sado Paulo — SP

— Sado Bernardo

do Cam-

Sao Paulo, 1995

JACOB DAGHLIAN

16

T

Sistemas Dicot6micos 1.1 INTRODUCAO O mundo em que vivemos apresenta situacdes com dois estados apenas, que mutuamente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir:

1

0

Sim

Nao

Dia

Noite

Preto

Branco

Ligado

Desligado

Ha situacdes como

morno

e tépido, diferentes tonalidades de vermelho etc. que

nao se apresentam como estritamente dicotémicas, ou seja, com dois estados ex-

cludentes bem definidos.

A Légica comecou a desenvolver-se com Aristételes (384-322 a.C.) e os an-

tigos fildsofos gregos passaram a usar em suas discussdes sentencas enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificacdo e clareza, com efeito de grande valia em toda a Matematica. Por volta de 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) usou em varios trabalhos o que chamou ca/cu/us ratiotinator, ou /ogica mathematica ou /logistica. Estas idéias nunca foram teorizadas por Leibniz, porém seus escritos trazem a idéia da Logica Matematica. grafica

No

século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representacao das relagoes entre sentencas ou proposicdes, mais tarde ampliada por

John Venn

(1834-1923),

1847, Augustus DeMorgan

E. W. Veitch em (1806-1871)

1952 e M. Karnaugh

publicou um

em

1953. Em

tratado Formal logic envol-

17

vendo-se em discussdo publica com o fildsofo escocés William Hamilton (que nada tinha a ver com o matematico William Rowan Hamilton), conhecido por sua aver: sao a Matematica, 0 qual, entre outras coisas escreveu: ‘‘A Matematica congela e embota 2 mente; um excessivo estudo da Matematica incapacita a mente para as energias que a filosofia e a vida requerem.’’ George Boole (1815-1864), ligado pela amizade a DeMorgan, interessou-se pelo debate entre o fildsofo e o matematico, escrevendo The mathematical analysis of logic (1848) em defesa de seu amigo;

mais tarde publicou um livro sobre Algebra de Boole, chamado An investigation

of the laws of thought (1854) e em

1859 escreveu Treatise on differential equa-

tions no qual discutiu o método simbolico geral. O trabalho de George Boole foi ampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933), Sheffer (1913) e outros. Este periodo de desenvolvimento da Logica culminou

com a publicacdo do Principia mathematica por Alfred North-Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda para completar o programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base ldgica para toda a Matematica.

A Algebra de Boole, embora existindo hd mais de cem anos, nao teve qualquer utilizac3o pratica até 1937, quando foi feita a primeira aplicacdo a andlise de circuitos de relés por A. Nakashima, que nao foi bem-sucedido, pois, ao invés de desenvolver a teoria jd existente, tentou desenvolver a Algebra Booleana por conceitos proprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestrado no Departamento de Engenharia Elétrica do MIT (Massachusetts Institute of Technology), a aplicacao da Algebra de Boole na andlise de circuitos de relés, usando-a com rara elegadncia, o que serviu de base para o desenvolvimento da teoria dos interruptores. O assunto deste curso, ainda que elementar,

visa mostrar as aplicacoes da

Algebra de Boole ou Algebra Logica nao s6 no processamento automatico de dados (computacao), como também na automatizacado da producao industrial, mediante a utilizacdo desta teoria aplicada aos fluidos.

1.2

INTERRUPTORES

Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir um dos dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quando fechado, o interruptor permite que a corrente passe atraves do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto. Representacao: a a

18

aberto fechado

Por conveniéncia, representaremos os interruptores da seguinte maneira:

Neste cacdo remos estado

caso, somente conheceremos o estado de que a = 1 ou a = 0. Conhecendo-se denotar também por a qualquer outro de a, isto 6, aberto quando a esté aberto

do interruptor se tivermos a indio estado de um interruptor a, podeinterruptor que apresente o mesmo e fechado quando a estd fechado.

Um interruptor aberto quando a estd fechado e fechado quando a estd aberto chama-se complemento (inverso ou negacdo) de a, e denota-se por a’. Sejam a e 5 dois interruptores ligados em para/elo. Numa ligac3o em paralelo, s6 passara corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado, isto é, apresentar o estado 1. Denotaremos a ligac¢do de dois interruptoresa e b em paralelo por a + b. Entdo:

fF

ee

LLp__

—_—___

3a + bE

Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligac3o em série sO passard corrente se ambos os interruptores estiverem fechados, isto é, se a = b= 1. Oenotaremos a ligac3o de dois interruptores a e b em série por a ° b ou simplesmente ab. Entdo: a

b

—————a‘ b

Assim, considerando os estados possiveis de serem assumidos res nas ligacdes em série e em paralelo, podemos notar que: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 a+b=bta a+a’=1 a+O=a at+i=1 Todas estas equacdes podem priado. As ligacGdes de:

fF:

pelos interrupto-

0-020 0°-1=0 1°00 1-121 a-b=b-a a°a’=0 a°0=0 a-il=a ser verificadas desenhando-se 0 circuito apro-

a b

sio a ° (b +c) e (a * b) + (a + c), respectivamente. Os circuitos estio ambos abertos se a = 0 ou b = c = 0, e esto ambos fechados se a = 1 e (b= 1 ouc = logo, suas liga¢oes sdo iguais. Ent3o: a° (b +c) =(a°

1);

b) + (a> c).

As ligacdes de: a

Lb

|

Cc ——

a -

b

c

sido a + (b ° c) e (a + b) * (a +), respectivamente. Os circuitos estao ambos abertos se a = 0 e (b = 0 ou c = QO), e ambos fechados se a= 1 ou b=c = 1; logo, suas ligacoes sdo iguais. Entdo: a+(b°c)=(a+b)°*

(a+c).

Vejamos alguns exemplos. 19 Exemplo:

Determinar a ligag3o do seguinte circuito: — a —_|

Lb

n

L_

p

Solu¢ao: (a+b)

-c+(n°

p).

2° Exemplo: Desenhar os circuitos cujas ligagdes sao:

a) p° (p’+q> p) b) (x +y’) ° (x’ +y). Solu¢ao: a)

20

a

Pp

—__

b)

Ly FL, x

-—

x’

EXERCICIOS 1. Dar ase xpress 6es algébricas dos circu ircuitos desen hados:

a)

—_— xX

b)

c)

d)

e)

f)

g)

—

h) C

——_

d —_ _

|

a

—

d—-c — b—d—-—

21

i)

fT

Cc

Lb i)

r——

|g §

——@

—

pb __1

b—c

——b

—~_c’

one

—

|

U—a'

—

b’—c

—

b —-

Pa

a’. bie a—_b’__c

-L,

—b a—b

__

—c’ —c’

Ly ve La’

—__

b’ —_

Cc

2. Desenhar os circuitos cujas ligacdes sdo dadas pelas expressdes: a) p° (q +r) b) m+(p’*q’> r’)

c)

m+n+pt+q

d) e) f) g)

(x * y) +(x’z) (x’ > y) +(x° y’) (p +q) * (p’ +q’) (p +q) ° (p+q’ +r’)

h) (a+b-°c)

° (a’* b’ +c’) ta’ * b’ ec’

i) p> [q’*(s+r) +r-s] +(q +p’) (r°s’ +5)

Atengao:

O leitor nao deve passar as pdginas seguintes sem que se sinta perfeitamente capaz e desembaracado nos dois tipos de exerCf{cios das seqiéncias acima. Tente de novo, marcando o tempo e os erros cometidos.

1.3 CONJUNTOS

22

Sejam a, b, c, .... conjuntos de pontos tomados num espaco E dado. Na figura abaixo, o retanguio é o nosso espaco E e as figuras internas sdo os conjuntos.

Denotaremos por a + b 0 conjunto de todos os pontos que pertencem s6 ao conjunto a ou sé ao conjunto b ou a ambos. Dizemos que a + b é a unido de a com b.

O conjunto de pontos comuns a ambos, isto 6 que pertencem aa e Db, sera

denotado por a ° b. Dizemos que a * b é a interseccdo de a e b, que pode ser deno-

>

3

b

BG a+b

a-b

Seja a’ o conjunto de todos os pontos do espaco considerado que nao pertencem aa. Dizemos que a’ 6 o complemento de a. Chamaremos conjunto vazio e o denotaremos por 0 o conjunto que nao contém pontos; denotaremos por 1 oconjunto de todos os pontos, que é 0 conjunto universo.

ae eee fae a eaek, ., apt as .

e

2 .

,

’

ft 4, lee 4

.

23

Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades: 0+0=0 O0+1=1 1+0=1 1+1=1 a+a’=1 atb=b+a a+O= a at+t1=1

0-0=0 0-1=0 1° 0=0 1°-1=1 a°-a’=0 a°-b=b-°a a°-0=0 a-ica

Podemos verificar sua validade construindo os diagramas apropriados, por

exemplo, pelos cfrculos de Euler ou diagramas de Venn. Outros resultados podem

ser obtidns para trés conjuntos quaisquer a, b e c. 19 Exemplo:

Mostrar mediante diagramas apropriados que: a+(b°c) = (a+b)

Solucdo:

24

° (a+c).

(a+b)

- (a+c)

20 Exemplo: Ilustrar pelos circulos de Euler a expressdo pr’ + p’qr. Solu¢ao:

pr’ + p’qr # Exemplo:

Dar a expressdo da regido hachurada no diagrama:

Solucao:

25

EXERCICIOS 1. Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar:

a) p +q’ b) p° q’ c) p°q’+p’:q d) (p+q)er e) (p’+q’)°r f) (p+q)eor 2. Dar as expressGes correspondentes aos conjuntos hachurados: a)

Anal

oils si “lt hi Wh,

3. Usando circulos de Euler, mostrar que:

a) (p +q)’ =p’: q’ b) p+(p’- q)=pt+q c) (p’)’=p

1.4

PROPOSICOES Chamamos

conceito primitivo

aquele conceito que aceitamos sem

defini-

¢Zo. Enquadraremos neste caso o conceito de proposicao e, portanto, nao o defi-

niremos. Entretanto, nada impede que conhecamos suas qualidades, lembrando que proposigao 6 uma sentenca declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma simbélica ou na linguagem usual. Entio, si0 proposicées:

a) tg 2 =1 b) /3 r 6 da forma bicondicional; a proposicgo p + q’ —>q°r é da forma condicional, ao passo que, p + (q’ —~> q ° r) é composta por disjuncdo. Portanto, a correta colocacao de parénteses, quando for o caso, é de extrema importdncia.

EXERCICIOS 1. Sejam as proposicoes p: Jodo joga futebol e q: Joao joga ténis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposicoes:

a) b) c) d) e) f)

p+q p-q p* q’ p’* q’ (p’)’ (p’ + q’)’

2. Dadas as proposicées p: Maria é bonita e q: Maria é elegante, escrever na linguagem simbédlica as sequintes proposicées:

a) Maria é bonita e elegante. b) Maria é bonita, mas ndo é elegante.

C) N&o é verdade que Maria n3o é bonita ou elegante. d) Maria nao 4 bonita nem elegante. e) Maria é bonita ou ndo é bonita e elegante.

f) E falso que Maria no é bonita ou que nio é elegante. 3. Classificar as proposicdes compostas abaixo, como conjuncgao, disjun¢éo, con-

dicional, bicondicional ou negacao. a), (p * q’)’ b) p + (q° r’)

c) p* (q—>r)

d)p-q—r'’

e) (p * q’)’ + (r +s) f) (p +q’) (r > s)

g) (p —+(q

(q° r)]’

i) [Iptlqer)]}'’—s'

ji) (pq)

—r’

4. Determinar o valor Idgico de cada uma das seguintes proposicces:

36

a) 3+2=7

e

§+5# 10.

b) sent =O ecosz = 0.

c) 3>2 ou sen90° > tg45°. d) se |-111—> 3° = 3. f) r>4—>

39> V5.

g) tg7 = 1 se e somente se senz = 0. h) N3o 6 verdade que 12 6 um nGmero {mpar. i) (141272q) =0. Vip+~q)=1.

. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo que:

a) Vip— q) =1

e Vip-q)=0.

b) Vip —~>q)=1

e

Vip+q)=0.

c) Vip+> q) = 1 d) Vip+> q) =O

ee e

Vi(p-q) =1. Vi(p'+q) =1.

. Para que valores légicos de p.e q se tem V(p > q) = V(p —> q)? . Se Vip) = Vi(q) = 1 e V(r) = V(s) = 0, determinar os valores Idgicos das seguintes proposicces: a) p’ +r

b) c) d) e) f)

[r+ (p— s)] {p’ + (r+ s)’] [q + (p’: s)}’ (p +> q) + (q-—> p’) (p> q) ° (r’— s)

37

g) {[q’ + (p> s’)}}

h) p’ + [q- (r —>s’)] i) (p’ +r) —+(q—s) ji) [p’ + (qe s)l + (r —+ 8)

I) q's [(r’ +s) + (p —> q’)] m) [p — (q— nr)’ —s 10. Determinar os valores l6gicos das proposicdes abaixo, justificando os casos em que os dados forem insuficientes: a) p’ —>

(q +r’), sabendo que V(r) = 0.

b) (p «> q) + (q —

c) d) e) f) g) h)

p’), sabendo que V(q) = 0.

p*[q’ —> (r- s)], sabendo que p—> (q° s), sabendo que V(p) (p’ + r) —> (q —> s), sabendo (p — > r)° s, sabendo que V(r) p—— (r +s), sabendo que V(r) (p * q) +> fr, sabendo que V(q)

V(p) = 0. = 1. que V(q) = 0. = 1. = 1. = 1.

i) ((p —> q) - p]—> p’, sabendo que V(p) = 0.

ji)

Pp —

(q’° r), sabendo que V(q) = Oe V(r) = 1.

3

Construcdo da Tabela-verdade Para se construir a tabela-verdade de uma proposic3o composta dada, procede-se da sequinte maneira: a) determina-se o numero truir; b) observa-se a precedéncia ma das proposicdoes que c) aplicam-se as definicdes

de linhas da tabelaverdade que se quer consentre os conectivos, isto é, determina:se a forocorrem no problema; das operacdes Idgicas que o problema exigir.

Vejamos alguns exemplos: 19 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposicdo: P(p,q) = (p ° q’)’. Solugao:

p

q

q | p°Qq’|

(p: q’)’

0

0

1

Q

0 1

1 9)

0 1

0 1

1 0

1

1

0

0

1

"

Considerando as linhas da tabela-verdade, temos:

P(OO) = 1 P(01) =1 P(10) =0

P(11) =1

39

e, para todas as linhas da tabela-verdade, vem: P(00,01,10,11) = 1107. O conjunto V = {00,01,10,11} 6 0 conjunto de todos os valores poss{veis de serem assumidos pelas proposicdes componentes de P(p,q) e, considerando que a cada elemento de V corresponde um e somente um dos valores de {0,1}, diremos que

P(p.q): V —> {0,1}, OU seja, a tabela-verdade de P(p,q) é uma aplicac3o de V em {0,1}. O mesmo se dé com proposicdes compostas por um niimero maior de proposicdes componentes.

2? Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposi¢céo:

P(p,q) = (p> q)’ +(q + p)’. Solucao:

p

q

0 0 1 1

0 1 0 1

p°qi(p°q)’| 0 0 0 1

1 1 1 0

f

q+*>p]

(q+*p)’|

(p- a)’ + (q+ p)’

1

0 1 1 0

1 1 1 0

Oo

0 1

Procedendo de maneira anéloga ao exemplo anterior, temos:

P(00) P(O1) P(10) P(11)

=1 = 1 = 1 = 0, ou P(00,01,10,11) = 1110.

Ent&o, determinar P(00,01,10,11) consiste em construir a tabela-verdade proposic&o dada e responder na forma indicada nos exemplos dados.

40

para a

H& outros métodos para construcSo de tabelas-verdade, porém nos restringiremos ao método utilizado nos exemplos dados.

39 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposicao:

Pip,.qr) =pt+r—aqrr'.

Solugao: p

q

r

r’

ptr’ |

qee | ptr’ —aqrr’

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0 0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

No caso de trés proposicoes componentes, temos: P(000) = 0

P(100) =0

P(001) = 1

P(101) =0

P(010) = 1

P(110) = 1

P(011) =1

P(111) =0,

ou

P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 01110010.

Fazendo V = {000,001,010,011,100,101,110,111}, ou seja, V & o conjunto de todos os valores possiveis de serem assumidos pelas proposicées componentes de P(p,q,r), mediante raciocinio andlogo ao caso de P(p,q), temos:

P(p,qa,r): V —

{0,1}.

Entdo, a tabela-verdade de P(p,q,r) € uma aplicac3o de V em {0,1}.

49 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposicao:

P(p,q.r) = (p —> q) > (q—>r) —

(pr).

41

aw’ ax at a a ax ax ’

—_ — ©0Ooo0o--o —-

= O-8m

(pq) * (qr) + (pr)

a’

= O-7m-~ =

=

= O- = O-w-2

(pq) * (q>r)

-

?

q

i 2 = = ©0024 ~=—=2=

~o-0o0o--7"

0-0

2O};}2 © = 0O—OF =—@2 a

_—2a

=

=-§

Oodeod;|v

Solucao:

Neste caso, temos:

P(000) = P(001) = P(010) = P(011) = P(100) = P(101) = P(110) =P(111) =1,

P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 11911111.

Ou

Quando o valor légico de uma proposicgo composta for sempre a verdade (1), quaisquer que sejam os valores idgicos das proposicdes componentes, temos uma tauto/ogia. Quando o valor Idgico de uma proposics0 composta for sempre a

falsidade (0), temos uma contradic&o. E, finalmente, quando na tabela-verdade de uma proposicgo composta ocorrem os valores 0 e 1, temos uma contingéncia ou indeterminagso.

EXERCICIOS 1. Construir as tabelas-verdade das proposicdes seguintes: a) (p° q’‘)’ b) (p —> q’)’ c) p°-q—>ptq

d) p’ —+ (q——> p)

e) (p —>q)—> p°q f) q+ q'*p

g) (p++ q’) —+ Qt+p h) (p p’+q i)

p’*r—+qtr

j)} p—rsqtr’

42

l)

p—>

(p—

rr’)

+ qtr

m) (p +q —>r) + (p’ ++ qQ +r’)

. Determinar P(00,01,10,11) em cada um dos seguintes casos: a) b) c) d) e)

P(p.q) P(p,q) P(p.q) P(p,q) P(p,q)

= = = = =

(p’ «+ q)’ p’ +q—+p (p + q) - (p> q)’ (p > q’) + (p’ > q) ((p + q) ° (p’ + q’))’

. Determinar

P(000,001,010,011,100,101,110,111)

em

cada

um

dos

seguintes

casos:

a) P(p,q.r) =p r’ —+q’ b) P(p.q,r) =p q’ (p +r’)’ c) P(p,q,r) = (p +q’)’ ° (p’ +r) . Determinar P(101) em cada um dos seguintes casos:

a) b) c) d)

P(p.q,r) P(p,q,r) Pip,q.r) P(p,q,r)

= p’ + (q ° r’) =(p+r’) ° (q +r’) = (r ° (p+q’)) ¢ (r’ + (p> q))’ = (p +(q —r’)) ° (p’ +r ++ Q')

. Sabendo que V(p) = V(r) = 1 e Viq) = V(s) = 0, determinar o valor légico de cada uma das proposicoes:

a) p°q+>rs’ b) (p’ ——+ q) —> (s —> r)

c) p—+q’«>(ptr)s)—+pts . Sabendo que os valores légicos das proposicdes p, q, re s $30, respectivamente, 1, 1,0 e O, determinar o valor légico de cada uma das proposicdes: a) p—>

b) ((p +s)

c) (r ——

qe

Q—>p

° (s +r))’

p) —>

(p —

r)

d) (p ——> r) —> (p’ —> r’) . Dizer quais as proposicdes que satisfazem as tabelas-verdade abaixo:

a)i|

p |

q

?

o|lo|1 0 1 0 1 o/; 1 1 1 1

b)i

p |

aq

?

ololo o/|3i1tio 1 oo] 1 1 1 )

c)i

p | qa]

?

o/|o]o oj] 1 1 1/0] 1 1 1/70

A:p+q

A:p+q’

A:p—dq

B:p°q C:p—q D:q-——>p

B:p-——q C:p’—+q D:p’>q

B:q-~p C:p++q D: p’ +> q’

E: nenhuma delas.

E: nenhuma delas.

E: nenhuma delas.

8. Determinar as proposicdées compostas por conjuncdo que satisfazem a cada uma das tabelas-verdade indicadas.

p

q!|A]sB

Cc} 0;

E

0

0

1

1

0};

0

1

0 1 1

1 0 1

1 1 0;

0 0 0

1 1 1

0; 1 0

0 1 1

9. Determinar as proposicées compostas por disjuncdo que satisfazem a cada uma das tabelas-verdade indicadas. +

10.

Determinar

p

q

A

B

C

D

E

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 0

1 0 1 1

as proposicdes

compostas

por condicional

que satisfazem

uma das tabelas-verdade indicadas. —>

p

q

A

B

C

D

E

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

1 0 0 0

0 1.7 1 1

0 0 1 0

1 0 1 1

a cada

das sequintes proposicdes

11. Determinar quais contingéncias:

a) p —

b) c) d) e)

(p’ —

s3o tautologias, contradicdes ou

q)

— (p—— q) p’+q p)) (q—— p—— (q — Pp ((p —> q) + q) p+ q’ —> (p—> q’)

f) p’+q’ —> (p —> q)

Pp—> (pt+aq)tr g) (p+ qtr) h) p°q— p) —> (p — Q) i) (q——

45

4

Relacées de Implicacdo e de Equivaléncia O estudo das relacdes de implicac3o ¢ de equivaléncia, de grande importancia na Loégica, seré feito de maneira suscinta, como convém ao nosso estudo. Antes, porém, definiremos alguns conceitos introdutdrios.

4.1

DEFINICOES

a) Duas proposigées sao ditas independentes ocorrem as quatro alternativas.

quando,

em

suas tabelas-verdade,

Oo; 2 O--

©

oO}; =—-

V

Exemplo:

b) Dizemos que duas proposicées s30 dependentes quando, em suas tabelas-verdade, uma ou mais alternativas nao ocorrem.

Exemplo:

~~

entre peq—

ocorre

a alternativa 10 p.

-

Ndo

OF

0;2

q~—*p

Neste caso, dizemos que existe uma re/acao entre as proposicdes p e q —— p. Examinaremos as re/agdes simples (quando uma alternativa nao ocorre) e as re/a-

coes duplas (quando duas alternativas no ocorrem).

4.2

RELACAO

DE IMPLICACAO

Diz-se que uma proposicéo p implica uma proposicgo q quando, em suas tabelas-verdade, nao ocorre 10 (nessa ordem!).

Notagao: p ===> a. Observa¢ao

importante:

N&o confundir os s(/mbolos ——> e ==>, pois, enquanto o primeiro rePresenta uma operacdo entre proposicdes dando origem a uma nova proposicéo, o segundo indica apenas uma relac&o entre duas proposicdes dadas. Exemplo:

Verificar se p =>

q——

p.

Qq-—~>Pp

—-~

O

—-

© /8

Solucéo:

Comparando as tabelas-verdade p e q —> p, verificamos que nado ocorre 10 (nessa ordem!) numa mesma linha. Portanto: p ==> q — p.

4.3

RELACAO DE EQUIVALENCIA

Diz-se que uma proposicdo p é equiva/ente a uma proposicso q quando, em suas tabelas-verdade, néo ocorrem 10 nem 07.

47

Notacao: p > a. Observacao importante:

Vale para os simbolos «—> —e

Exemplo:

e

a mesma

observacao feita para

=>.

Veriticar se p * q (p’ +q')’.

Solucao: p

q

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

Comparando

p

.

q

p’

q'

p’

+ q’

(p’

+

q’)’

1

as tabelas-verdade de p ° q e (p’ + q’)’, verificamos que nao

Corre 10 nem OF numa mesma linha. Portanto, p > q

(p’ + q’)’.

De maneira pratica, verifica-se que duas proposicées dadas sao equivalentes

Vuando suas tabelas-verdade forem iguais.

4.4

EQUIVALENCIAS NOTAVEIS

Dupla negacdo:

(p’)’ p.

b) p+ pep.

p

p+p]}

p°p

Leis comutativas:

3) p +Q pp —q b) q=#> p-qe>p

c) p ++ q’ nao implica p’—> a’ d) p ndo implicap * q

e) p+q=4>>p

3. Verificar mediante tabelas-verdade as segquintes equivaléncias:

a) ((p +r)')’ ptr b) ((p ° a’)')’ pq’

drei

Sr

p*q’ p-q’

d)p:q’'+ e) (p’ +q)’ S—=>

f) p+q’s rom

(q+p’)’

a ertp

a)

pp

qq

F7>9)

m) (p —— q) + (p —> Fr) ==> p— rr’ — n) (p —> Q) —a Sp

4. Dadas as proposicoes abaixo,

e

((p +.q)‘)’ ((p’ > q’)")’

p°q b) Leis idempotentes:

p’+q’

(p —> q) + (p —> q) ((p —~>q)’*

(p —>

q)’)’

c) Leis comutativas:

(p’> q) +r

(s* r) * (p —>s)’

(p ——> s) * (p +r) d) Leis de De Morgan:

(p’ +’) ((p +q) > (rf —=> s)’) (p—>q) rr’

e) Leis associativas: r+(p’ +q’)

p> ((r—+s) * (s +r)) ((p+q)* (p—>r)) + (p +s) f)

Leis distributivas:

s'* (p’ +q)

50

p+((q°r)’> (r —+s))

—€o

qtr

escrever as proposicdes

equivaléncias notéveis indicadas. a) Dupla negacdo:

ar

pp —

(p — ar) SS

Goes

e

equivalentes usando as Uu

g) Contrapositivo: p’ ——

(q°r)’

(p ——

q) ——>

(p+q) —-r’

(r —+s)’

h) Condicional:

p’ —— (q° r)’ p + (q—> rr) (p’ + q)’ i)

Bicondicional:

((p’ —— q’) ° (q’ —> p’)) ((p * q) —+r’) > (r’ —>+ (p+ q))

(p +> q’)

D

Argumento Valido 5.1 DEFINICAO Chama-se argumento vdlido toda seqiéncia de proposicdes p;, P2, ---. Pn+i: n& WN, na qual sempre que as premissas P—,, Pz, ---, Pn S30 verdadeiras a conc/usso Pnei também é verdade e tal que a conjuncdo das n primeiras implica a ultima, isto é: P1 °P2° neira:

Ps °... ° Pn =>

Poet,

Entdo, para testar a validade de um argumento, procede-se da seguinte maa) constréi-se a tabelaverdade de p, ° P2 ° P3 °...° Pn; b) constrdéi-se a tabela-verdade de prj+1;

c) comparam-se as tabelas: se na mesma linha ocorrer 10 (nesta ordem!), no hé implicag¢So (=f>>) e o argumento 6 fa/ho; se na mesma linha n&o ocorrer 10, haverd implicagdo (==>) e o argumento é valido.

Observacao. A sequéncia das proposicdes pode apresentar-se nas sequintes formas:

Pi P2 P3

Pn

54

. Pn+

ou

Pi.

P2. D3.

---s Pr.

Pn 1.

19 Exemplo: Testar a validade do argumento: p -—>q,

q, p-

Solucao: Temos:

P,:p—Qq P2:q D3:p

Devemos verificar se nas condicSes da definicSo, p,; * p; ==>

(p-—>+ q) °q => Procedendo conforme o

p |

q

o|

0

ofa}

1] 0 1/1

Na 2? linha, as premissas Na 48 linha, as premissas A 2® linha contradiz a verdadeiras, a conclusdo deve e 0 argumento 6 fa/ho.

P;,

isto é:

p?

critério ja estabelecido, temos:

i(p—aq)}

q

1

0

0

0

0 1

0 1

0 1

1 1

oa

|(p>q)-q]

faf

4

p

o|

sJ0 verdadeiras e a conclus%o é falsa. e a conclusdo sSo verdadeiras. definicao de validade: sempre que as premissas so ser verdadeira. Ocorre 10. Portanto, (p-»q). Qupp

O leitor deve ter notado na tabela a repetic’o da coluna correspondente a ultima proposicgo da seqiiéncia p , para evitar que, na verificagcdo da ocorréncia ou n3o, numa mesma linha, dos valores 10, ndo se incorra em erro, verificando a implicagdo:

p =>

(p—

q)°q

em vez de verificar:

(p —~+ q) ° qq => que seria a forma correta.

p 55

29 Exemplo: Testar a validade do argumento: ptq

-q

p

Solucdo: Devemos verificar se nas condicdes da definicdo:

(p+q)°p’ ==> qConstruindo as tabelas-verdade correspondentes, temos:

P|

qi]

0}; oj;

0] 1 1]1

1

0

1 Neste argumento,

p

| ptq]

(p+q)-p’]

a

0 1

0 1

0 1

0

1

0

0

1 | 0

1

0

1

somente

a 2* linha tem ambas as premissas verdadeiras.

Como a conclus%o é também verdadeira, ndo ocorre 10. Portanto, (p+q) -p’=>q

e o argumento 6 vdlido.

5.2

REGRAS DE INFERENCIA As regras de inferéncia s30 argumentos validos (simples).

Unido (U): p

= . E a implicac3o: p * q ==> p° a.

Modus Ponens (MP):

56

p —— q,

9

p

smolicacko : (p(a . E aimplic aco:

——» a)q) °* pp => ==3 a.

Modus Tollens (MT): p—q,q’

. E a implicacdo: (p ——> q) * q’ ==> py’.

p’

Adicao (A): —

.E a implicacéo: p ==> p+dq.

Simplificago (S): —-

. E a implicacdo: p - q ===> p.

Silogismo Hipotético (SH): p—- q,q——> pr

.

E a implicacgo: (p —> q) - (q—> r) ==> p —r.

Silogismo Disjuntivo (SD): p+q,p’

—

E a implicacao: (p + q) ° p’ =>

a.

Regras do Bicondicional (BIC): a)

————

b)

. Ea implicacdo: (p —> q) ° (q—

psa

. Ea implicac3o: p q ===>

(p —>q) - (q——> p)

p) =>

p — a.

(p — q) - (q—> p).

Dilema Construtivo (DC): p—-q,

r—s,

ptr

ats

. E a implicacdo: (p —~ q) > (r —> 8) * (p +r) = =>

qts.

Dilema Destrutivo (DD): o

°

ar

e

“4

,

+

,

~.

.

e

implicagao: (p —+ q) » (r —>s) Ea e (q’ + 3’) => p’ + r’

-

57

Dupia Negacdo (DN): er

ou

by:

E a implicacao: (p’)’ ==> p ou p ==> (p’)’.

Regra da Absorcio (RA): p—q Sal”

; "o—» 9q=—> = E a ;implicacdo: p p

° (p°q)

_—_—_—

Simplificac%o Disjuntiva (S ,): pt+r,

5

ptr’

. Ea implicacdo: (p +r) + (p +r’) ==> p.

EXERCICIOS 1. Testar a validade dos seguintes argqumentos: a) p——> ’

b) t——r,r’

,t+s,s

p+q’

q

p’

(C)

(D) oOo -

(B)

os = =

CoO =

(A)

~=—==— 0

2. Dados os conjuntos de valores ldgicos:

2

premissa |

premissa | conclusso a | a om

? ? ? ?

oOo" oO —

|; © © =

=

—-§

58

~

©

OO! VU

qual deles torna o segquinte argumento valido?

.

3. Dado o argumento: p

q |

premissa | premissa | conclusao

0

0

0

0

?

0

1

1

1

?

1

0

1

1

?

1

1

1

0

?

o-Oo =

(C)

(D) =00 —

(B)

oo- =

(A)

= = o—

qual dos conjuntos de valores ldgicos abaixo torna esse argumento vélido?

4. Mediante o uso de tabelas-verdade, testar a validade dos arqumentos:

a) q—— p’ (p’)’ q

b) p ——> q’ p+q

p+ q’ c)

r'—>

p’

(p’ + q)’ q’

d) a——

(b +c), b a’, —

a’.

e) (p+q)’,q—— r,p +(p—~q),

f) p—

qtr

q’,q—— r',_,ptr',q’ tr’

5. Dar os nomes de cada um dos seguintes argumentos: a) (c +d)’ —+e

(c + d)’

e

59

b) f —— (b +d)

(b +d)’ f’

c) (p> q’) +(q-r’) (p ° q’)’ qr’ d) d+ (a+b’) a+b’ e) r'—

s’

(s’)’ r

f) (a * b)’ c-—a

(a* b)’ * (c —> a) g) b——c (b —~> cc) +d’ h) a—— b’ b’——c

a——c i) (a*b) +c’ (a> b) +c a°b

j) a—>

(b—— c) a

b-——~c 1)

(a—>c) + (d +e)

(d +e)’ ac

m) r——> (p +q)’ ((p +q)’)’

o) (a’ ——>

b’) +c

(a’ —— b’)’ Cc

p) s’ —— (t° r) (t > r)’ s . Completar cada um dos seguintes argumentos validos:

a) (r * p) —> 7’ (q’)’ ? b) a——> (b ——> ce) ?

c) (a° b’) + (b> c’) ?

a> b’

d) (a’ —> b’)' +c

61

6

Técnicas Dedutivas 6.1

PROVADIRETA Diz-se que uma

proposicao

q é formalmente dedutivel

(conseqiiéncia)

de

certas proposicdes dadas (premissas) quando e somente quando for poss(vel formar uma sequéncia de proposicées p,, P2, P3. ..., Pn de tal modo que:

a) Pr 6 exatamente q; b) para qualquer valor de i (i = 1, 2, 3, ..., n), pj ou é uma das premissas ou constitui a conclus3o de um argumento valido formado a partir das proposic¢ées que a precedem na sequéncia. Escreve-se:

P3 e

ou

P;,

P2,P3.---.Pn-! [——

Pn(q).

- Pn(q)

A proposicao q no caso de ser formaimente dedutivel ctama-se teorema e a seqiiéncia formada chama-se prova ou demonstragao do teorema.

62

Vejamos alguns exemplos:

49 Exemplo: Provar s’ dadas as premissas: 1.t 2. t—> q’ 3. q’——$’ Demonstra¢ao: 1. t

premissa

2. t—- q’ 3. q’'——S$’ 4. q’ 5. s’

premissa premissa Modus Ponens, 1 e 2 Modus Ponens, 3 e 4 c.q.d.

Justificac¢io da passagem 4: t—+q’,t q’

, ou seja, (t—> q’) ° t ===> 7’, conforme pela lista das regras de inferéncia.

2? Exemplo: Provar r +s’ dadas as premissas: 1.s°q

2. t——>@q’ 3. t’ ——> Fr. Demonstra¢éo:

SONONAWH—

.$°q

. t—q’ .vt—rr -Qq

- (q’)’

v r r+s

MP, 3e6

Justificac¢3o das passagens: 4.

§.

4

premissa premissa premissa s,1 ON,4 MT,2e5

, OU seja,s°q=—>aq

q ' ou seja, : q ===> (q’)‘ye a’)

A, 7 c.q.d.

se pode verificar

6.

t—>

q’, (q’)’ t’

7. FOOT ._—, r+s

, ou seja, (t—+ q’) * (q’)’ =>’.

ou seja, (tf +)

Pr.

,ow seja,r => rts’.

Na indicaco das regras de inferéncia utilizadas na demonstracdo de um teorema, MP 3 e 6 significam que a regra Modus Ponens foi aplicada entre as proposicdes de nPS 3 e 6 da seqiléncia, o mesmo ocorrendo com as demais abreviacces. Observacées:

a) Qualquer tautologia pode ser inclufda na seqiéncia apdés qualquer proposicdo ja colocada. De fato, seja a uma proposicso qualquer jé escrita na seqiéncia e B uma tau-

=a

é valido, pois:

°

a

e

at

tologia. E claro que o argumento

n%o ocorre 10

°

Lo

Ct

b) Se a for uma proposicao j4 colocada na seqUéncia e 6 for outra sentenca tal que 8 ===> a, entio, seguindo-se a a pode-se colocar f. De fato, sendo

8B ==>

a, temos: 8 «— a. Logo, 8 a pode entrar na

sequéncia por ser uma tautologia. Mas, da na sequéncia.

B «>a . Logo, a — 8 pode ser incluf-

E, finalmente, pode-se escrever 8 pela regra do Modus Ponens.

3° Exemplo: Provar x = 0 dadas as seguintes premissas: 1. x #0, entdo, x =y 2.x

= y, ent&o, x =2

3.x#2

Inicialmente, por razGes de conveniéncia, passemos as proposicdes para a forma simbolica. Nosso problema reduzir-se-d ao seguinte:

dadas

Provar a dadas as premissas:

1. a’ —> b 2. b—c 3. c’

a’—— b b-—c Cc b’

UU UD

ANLWN—

Demonstra¢ao:

e

MT,2e3 MT,1e4 ON,5 c.q.d.

(a‘)’

49 Exemplo: Provar a dadas as premissas:

1 a’'—>c 2. c —— m’ 3. mtr 4. r Demonstra¢ao:

OONAAPWHN

1. a’—— c

6.2

cm mtr

r

m

(m’)’

c’

(a’)’

PROVA CONDICIONAL

Seja provar a—> 8 dadas as premissas p; , P2, P3, ---. Pn. Fazendo a.conjuncfo das premissas igual a P, trata-se de mostrar que 6 vdl/ido o argqumento P +——

p

-— a —~> 8, isto 6: Tap’

Trata-se de validar esse argumento. Ocorrendo a

65

validade, temos: P ==>

(a —*8) ou P ——

(a 8). A

letra grega

T

sobreo

simbolo do condicional indica tratar-se de uma tautologia.

Principio da Exportacao

Para mostrar este principio utilizaremos a equivaléncia notavel: p —> q p’ + q. Entdo, temos:

P ——+ (a —> B) P’ + (a —> f) => P' + (a’ + 8) (P'+

+a’) + B

(P- a)’ + B

(P > a) ——~8B. Portanto, se P - a——8 for

tautologia, isto é, se P - a ==> 8B, ou seja, se for poss(vel deduzir B de P > a, também seré uma tautologia a proposicdo equivalente e, portanto, P ==> (a ——— ) é dedutfvel de P. Dessas consideracdes, seque-se a técnica da prova condicional: pa-

ra demonstrar a validade do argumento cuja conclusdo tem forma condicional a —— 8, introduz-se a como premissa proviséria (indicada por pp) e deduz-se f. 19 Exemplo: Provar r ——

p’ dadas as premissas:

1.p—q 2. —>q’ Demonstra¢ao:

1. p—7q

p

3. Ff

pp

2.° —>@q’

Pp

4. q’

MP, 2e3

6.r —p’

Prova Condicional de 3 a5

5. p’

MT,1¢e4

c.q.d.

2° Exemplo: Provar c ——

d‘ dadas as premissas:

1. b—- Ce’ 2. (d. b’)’ Demonstra¢cSo: 1.b—-—~ ec’

p

3.c

pp

2. (d * b’)’

p

BNO S

(c’)’ b’

ON, 3 MT, 1e4 De Morgan, 2 SD,5e6 PC,3a/7

d’ + (b’)’ d’ c—- d’

c.q.d.

39 Exemplo: Provar a ——

b dadas as premissas:

1. at+j—g 2. j —> (g’ °h’) 3. j+b

Demonstragao: UU DUD

liatj——g

2. j—>

(g’ - h’)

3. j+b 4.4 5. atj 6. 9

pp

A,4 MP, 1e5 Equivaléncia, 2

7. j—> (g +h)’

8.gt+h

A, 6 DN, 8

9. [(g +h)‘]’

10. j’ 11.b 12. a—~>b

“"MT,7e9 SD, 3e10 PC,4a11 c.q.d.

6.3

PROVA BICONDICIONAL

A prova de um argumento dicional a —— 8 6 semelhante a em duas partes distintas. Entio, -se a —— e, a seguir, prova-se

cuja conclusgo é uma proposicao da forma prova condicional, com a diferenca de que dada uma proposicso a +—— B, primeiro 8 —— a, concluindo-se pela validade do

bicon4 feita provaargu-

mento.

67

Exemplo: Provar a +

v dadas as premissas:

1.t—a

2.v——t 3.a7—m 4.v+m’ Demonstrac¢ao: 1.t—a 2.v——>t 3.a——m 4. v+m’

p p p p

5a. 6a. 7a.

a m v

pp MP, 3e 5a SD, 4e 7a

5b. Go. 7b. 8b.

v t a v——

ppMP, 2 e 5b MP, 1 e 6b PC, 5b, 7b

8a.

9. 10.

a—— v

PC, 5a, 7a

a

(a—~v)° (v— a) av

U, 8a, 8b Equivaléncia, 9 c.q.d.

6.4

PROVA INDIRETA OU POR REDUCAO AO ABSURDO

Observemos, inicialmente, que de uma contradicZo pode-se deduzir quaiquer proposicéo. De fato, seja a contradicfo p - p’ e a uma proposicéo qualquer. Temos:

P | Pp | pp’ 0 1

1 0

0 0

1. p°p’

2. p 3. p’ 4.p+a 5. a

p

S, 1 S,1 A,2 SD,3e4

p°p a

Seja agora provar a a partir das premissas Pp, , P2,P3, ..., Pn, sequéncia essa que chamaremos P. Consideremos as premissas P e a’ e procuremos deduzir a a partir delas, isto 6, vejamos se P « a’ +— a. A proposicao a é formalmente dedutivel de t P-a’ se P* a’ ==>a, isto 6, P * a’ ——— a. Mas:

T

P* a’ ——

T

a

P ——> (a’ ——

Ora, essa Ultima proposic3o implicacdo: P ==>

a —

(a’ —

a S—

_. Ph—a

e

a),

a) (Princfpio da Exportacdo)

constitui uma tautologia se ocorrer a sequinte

isto é, P-+—— a’ ——

(0’)' ta Sa

a

+t aaS—

a...

P*a’t—a

Entdo, para mostrar a validade de um argumento por prova ou demonstra¢3q indireta, introduz-se a negaca’o da condiusso como premissa proviséria e de-

duz-se uma contradicao (por exemplo:

q ° q’).

1? Exemplo: Provar r dadas as premissas: 1.p’-—r 2. r° —q

3. (p+ q)’ Demonstra¢ao:

1. p’—r 2. r°’ —q

p p

4.r’

pp

5. q 6. p’ +q’

MP, 2e 4 De Morgan, 3

3. (p+ q)’

p

7. (q’)’ 8. p’

DN, 5 SD, 6e 7

9. Fr 10. r° fr’

MP, 1e8 U,4e9

Wor

Prova indireta de 4a 10 c.q.d.

Observa¢ao: Da mesma forma como encontramos a contradic&o r * r’ para provar r, poderemos encontrar a contradicao q * q’ para provar p’, como veremos no exemplo a seguir. Isto 6, a contradic3o procurada pode envolver ou nao a mesma letra da proposicdo a ser provada.

2° Exemplo: Provar p’ dadas as premissas: 1. qQ’ +r

2.p—r’ 3.q Demonstracao:

OMONAKH

PAWL

.Q tr

6.5

p—r’

q

(p’)’

p r

q’ q:q’ p

PROVA INDIRETA DA FORMA CONDICIONAL Para provar a validade de um argumento cuja conclusio é da forma condicio-

nal (p ——~ q) mediante a demonstracio indireta, usamos (p ——> q)’ como premis-

sa proviséria (pp), a seguir (p’ + q) por equivaléncia e (p * q’), ..., eguindo-se dal:

p, q’. Na prética, comecamos pela hipétese (H) e pela negagso da tese (T) como

premissas provisérias: H Provar:

f 4,

70

p—~*q

T

n+

1.(p—>q)’

n+ 2. (p’ +q)’ n+3.p°q’ n+4.p n+5.q’

Provar r ——

pp

Equivaléncia, (n + 1) De Morgan, (n + 2) S, (n + 3) S, (n +3)

q’ dadas as premissas:

1. er’ +3’ 2.Qqa——s

=a

SW

ODNAMNP WN >

Demonstra¢cao: r' +s’ q—s r

(q‘)’ (r’)’ $

q q

e

e

q°q’

r—q’

p p pp pp

ON,3 SD, 1e5 MT, 6e2 ON,4 U,8e7 Pi, 3a9 c.q.d.

EXERCICIOS 1.

Provar t’ dadas as premissas: 1.p—s

2.p°q

3.8°6f——t’ 4,.q-——r Provar s dadas as premissas: 1.t%t—r 2. r’ 3. t+s Provar t ° s dadas as premissas: les 2. t —j’

3. e° j

Provar s dadas as premissas:

1p—aqrer 2. p 3. t—q’ 4.t+s Provar r +s’ dadas as premissas:

1. $°Qq 2. t—q’ 3. t'—?*r Provarx + y = 5 dadas as premissas:

1, 3x+y =11+— + 3x =9

2. (3x = 9 —> 3x +y = 11) + 3. y#2 ou xt+y=5

yy = 2

Utilizando a demonstra¢géo condicional: Provar a ——

h dadas as premissas:

1.a+f—rg 2. j—g' ch’ 3. j Provar t + s’ ———> r dadas as premissas: 1. r°—q 2. t’ 3. s' —q’ Provar q’ ——

t dadas as premissas:

1.s-r 2.8+p

3.p—q

4.r—t

Utilizando a demonstracéo indireta: 10.

72

Provary = 2——

x = y dadas as premisses:

1. x#%y——x>y ou y>x 2. y#2 ou x#2 3 x>y ou y>x—xF2

11.

Provar t’ dadas as premissas: 1t-—s’ 2.f——r 3. s+f

12.

Provar e’ + m dadas as premissas: 1. str

2.s——e’ 3.

13.

r———>m

Provar (t + s)’ dadas as premissas: 1. 7° +b’ 2.t+s—r 3. b+s’ 4. t’ Utilizando a demonstragao indireta do condicional:

14.

Provar p ——

q dadas as premissas:

1. (p—q)tr

2.s¢+t—r’ 3. s+(t°u)

15.

Provar p ——

q dadas as premissas:

1.p—aqtr 2.

16.

Provar p ——> s dadas as premissas:

1. (p—* q) + (r° s)

2. Q’

Utilizando um método dedutivo de sua escolha:

17."

Provar p —— 1peq—r' 2.r°s

18.

Provar p’ —— 1. p+q 2. r +qQ’

q’ dadas as premissas: +3’

r’ dadas as premissas:

73

19.

Provar s’ dadas as premissas: 1. pt+q

2.s——

3. (q +r)’

p’

Provar s’ dadas as premissas:

1. (p —>q) —

2.ep—arr 3.96

21.

Provar 2x = 12 —— 1. 2. 3. 4.

22.

(r> s—— t)

y = 4 dadas as premissas:

2x + 3y = 24 (x = 6 —~ yy = 4) ou 2x = 12 (2x = 12 -——> x = 6) ou 2x + 3y # 24 x#6

Verificar, mediante as regras de inferéncia, a validade dos seguintes argumentos:

a) (s° e)’,e’—+g,s —>g b) s—>p,p—> (w+j), s* w’,j

c) a——u, u’ + (b° j’), bb —~ a, (j’> a)’ +b, ja’ 23.

Nas demonstracdes abaixo, justificar as passagens indicadas.

a) 1.p——~q

p

3. (p’ +s’)’

p

2. r° ——q’

4.p°s 5. p 6.q Ve 8. s 9. res

p

c.q.d.

b) 1. j}—

e’

p

2. (e’.* s’)’

p

3. j

74

d. 6. s

p

0

UU

UD

(b —— ¢)

(c-d)—~e f ——> (b° d) (f’ + a’)’

—_

=

PWN OD

ot at at

DANAAAHPWH>

. a—

oh

SO

PWHN DNA

UD UU

>

UD

2

c.q.d.

=

G

SWH

pp

ONAN

@

—

c.q.d.

c.q.d. —»

b’)’

+

Cc

d-atd-b c —— (d —— b)}

oO

(a’

HNAMAWH o

f)

.d°*(a+b’) a+b’ a’

> b’

d——b

7§

c.q.d.

a°c

TG

2

+

oD

SOMNAMSWNH

=

pp

c.q.d. ~y

OMONONRWN>

10. b 11.

.(s—r'y’

pp

.$sar’

a—>

c.q.d. (b——

. (acd) +(a- e) (b’ +d)’

c)

a* (d +e) a b-—c b: d’ b Cc .dt+e . d’ .e .c°e . (b’ +d)’ —> (c° e)

76

p UG

=o A

-p°q - —p

WN > OONOMP

ah

ah

. (p+q)

pp

c.q.d.

7

Fluxogramas O fluxograma constitui um método alternativo para as tabelas-verdade na verificacado da validade de um argumento, no qual se ilustra 0 raciocfnio utilizado. Neste método, para verificacgo da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte maneira: 1. consideram-se as premissas verdadeiras; 2. aplicam-se as definicdes dos conectivos légicos para determinar o valor Idgico da conclus3o que deverd ser a verdade (1), para que o argumento seja valido ou o teorema provado; Caso ocorram situacdes em que nfo se possa determinar o valor ldgico da conclusSo, ou em que 0 = 1 (contradic&o), o argumento 6 fa/ho. O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante 0 uso do fluxograma pode ser feito pelo método direto ou indireto, obedecendo as particularidades de cada uma das técnicas dedutivas j4 estudadas. Vejamos alguns exemplos.

19 Exemplo: Provar p’ dadas as premissas:

1.p—-q

2. q'

Solu¢ao: 1.

p——-q=!

3.

p—o-1

4.

q’=1

p=0

Justificagéo: Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p —> q = 1e q’= 1. Como q’ = 1, pela negac3o temos: q = 0. Levando q = 0 em p—— q = 1, temos:p —— 0 = 1. Pela definic¢o de condicional p —— 0 = 1 se e somente se p = 0. Como p = 0, temos p’ = 1, o que mostra ser vélido o argumento, pois premissas verdadeiras conduzem a uma conciusdo verdadeira.

OAaWwhD—

. . . . .

2? Exempio:

Testar a validade do argumento: a——

b, a’, b’

Solucfo:

78

1.

a——> b= 1

3.

Oo——~b=1

4.

L

1

b=?

a=

n

Justificaggo:

1. 2. 3. 4.

Consideremos as premissas verdadeiras fazendo a —> b= 1e a’ = 1. Como a’ = 1, pela negacdo, a = 0. Levandoa = 0 em a—>b= 1, temos:0 b= 1. No podemos concluir se b é verdadeira ou falsa, pois, pela definicZo

de condicional, 0 —— 1 = 1 e O ——~ 0 = 1. Se b pode ser verdadeira ou falsa, entZo a conclusdo b’ pode também ser verdadeira ou falsa e,

portanto, o argumento é falho. 3° Exemplo: Provar q’ dadas as premissas: 1. p+q’ 2.p——r 3. fr’

Soluggo: 1.

pt+q’=1

p—r=1

3.

p— 0=1

4.

p=0

5.

‘|

r=]

O+q’=1

. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p+q’=1,p—>r=1e r= 1. . Como r’ = 1, por negacdo temos: r = O. Levando r= 0 emp —~ r = 1, temos: p —— 0 = 1. . Pela definicZo de condicional p ——0 = 1 se e somente se p = 0. . Fazendo p = 0 na premissa p + q’ = 1, temos:0 + q’ = 1. . Pela definicSo de disjunc%o 0 + q’ = 1 somente se q’ = 1. Portanto, o argumento 6 vélido.

Onhwn

aud

Justificacéo:

4° Exemplo: Testar a validade do argumento:

p+q,

p+q’,p

Solu¢éo:

1.

p+q=1

2.

p+q’=1

p=1

q=1

|

3.

p+l'=1

4.

p+0=1

5

p=1

Justificacdo: 1. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p+q=1ept+q’=1. 2. Pela definicfo de disjuncdo, se p +q = 1, entZop = 1ouq= 1.Sep2 = 1, o argumento é vélido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclusSo verdadeira.

3. Seq= 1, substituindo na premissa p + q’ = 1, temos:p + 1’= 1. 4. Pela negacdo, temos: p + 0 =

1.

5. Pela definicgo de disjuncdo, p + 0 = 1 somente se p = 1. Portanto, o argumento é valido, pois premissas verdadeiras sSo verdadeira.

59° Exemplo: Testar a validade do argumento: p——~q (p’

+ q)’

--P

levam a uma conclu-

Solu¢go:

1.

p—q=!1

(p'+q)’=1

2.

[—

3.

q=0

4.

-

5.

1—>

6.

p’+q=0 p’=0

p=

0=1

0=1

Justificacdo:

1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p —— q = 1 e (p’ + 2. 3. 4. 5. 6.

+q)'=1. Pela negacdo, p’ +q = 0. Pela definic¢&o de disjunc3o, se p’ + q = 0, entdo p’ = Oe gq = 0. Como p’ = 0, pela negac%o temos: p = 1. Levando p = 1 eq = Ona premissa'‘p —— q = 1, temos: 1 —>0 = 1. Pela definic¢3o de condicional 1 ——> 0 = 0. Considerando as premissas verdadeiras, chegamos a uma contradic&o. Portanto, o argumento 6 falho.

69 Exemplo: Provar p’ ——

r dadas as premissas:

1. p+q 2.q-—r Soluggo:

Como a conclusdo é da forma condicional, consideramos o antecedente p’ verdadeiro e procuraremos mostrar que o conseqiente r 6 verdadeiro.

81

p+q=1

q-——r?1

2.

p'=1

3.

f

4.

O+q=1

5.

q=1

6.

p=0

1i~-—_re

7.

r=

1

1

Justificaggo: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1eq—— r= 1. 2. Consideremos verdadeiro o antecedente da conclusdo (premissa pro-

viséria), fazendo p’ = 1. 3. 4. 5. 6. 7.

Como p’ = 1, pela negacdo, temos: p = 0. Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos 0 +q = Pela definicSo de disjunc3o, 0 + q = 1 somente se q Substituindoq = 1 em q—— r= 1, temos: 1 —— r Pela definicfo de condicional, 1 —— r = 1 somente

1. = 1. = 1. se r = 1. Portanto,

a conciusSo 6 verdadeira, pois p’ = 1 leva ar = 16 1——~*>1=1.Néo

consideramos a possibilidade de a premissa proviséria p’ ser falsa, pois, se p’ = 0, aconclus3o p’ —— r seria verdadeira, isto é,0 ——> r= 1.

72 Exemplo: Provar p dadas as premissas: 1. p+q

2. p’

—_——» q’

Solu¢éo:

82

Usemos 0 método indireto.

1.

p+q=]

p’—~q’=1

p=0 3.

Q’

4,

—»

qQ’

1-—_

Q’

5.

q’'=1

6.

qa=0

=

=

1

|

{ )

7.

0+0=1

Justificacgao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1e p’——>-q’= 1.

2. Consideremos a conclusdo falsa (negac%o da conclusfo) fazendo p = 0. 3. 4. 5. 6. 7.

Levando p = 0em p’ ——> q’ = 1, temos: 0’ ——> q’ = 1. Pela negacdo, temos: 1——> q’ = 1. | Pela defini¢go de condicional 1 ——> q’ = 1 somente se q’ = 1. Pela negacdo, q = 0. Fazendo p =Oeq=Oemp +q = 1, temos:0+0= 1. Usando a premissa proviséria p = 0, chegamos & contradicg0 0 + 0 = 1. Portanto, p = 0 é eliminada, ficando a outra possibilidade p = 1 como solucdo.

8° Exemplo: Provar p dadas as premissas:

1. p+q

2.q-——r 3.9’ Solugao: Usemos 0 método

indireto.

1.

r=

q—r=l

p+q=1

2.

p=0

3.

O+q=1

4.

q=1

5.

r=0

6.

| 1—0=1

Justificagao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1,qQ——r = =ler’=1. 2. Consideremos a conclusdo falsa, fazendo p = 0. 3. Fazendo p =O emp +q = 1, temos:0 +q = 1. 4. Pela definic&o de disjunc3o 0 + q = 1 somente se q = 1. 5. Pela negacdo, r = 0. 6. Substituindoq = 1er =Oemq—~r= 1, temos: 1 —~ 0= 1. Usando a premissa proviséria p = 0, chegamos a contradicfo 1 ——> — 0=1. Portanto, p = 0 é eliminada ficando a outra possibilidade p = 1 como solucdo.

99 Exemplo:

Provar p’ ——~ r dadas as premissas: 1. ptq

2.q-——r Solu¢cao: Usemos o método indireto.

p+q=1

q-——

r=!

2.

p’—r=0

3.

r=0

4.

p’=1

p=0

5.

q—

6.

0-1

q=0

7.

0+0=1

Justificagao: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Consideremos as premissas verdadeiras. Consideremos a conclusJo falsa (negac3o da conclusgo). Pela defini¢go de condicional p’ —— r = 0 somente se p’ = 1 e r = 0. Pela negac3o, temos: p = 0. Fazendo r= 0 emq—>r = 1, temos:q —~ 0 1. Pela definicSo de condicional q ——~ 0 = 1 somente se q = 0. Substituindo p =0eq=0emp +q = 1, temos:0 +0 = 1. Usando a premissa proviséria p’ ——> r = 0, chegamos a uma contradi¢Jo 0 + O = 1. Portanto, p’ —~ r = 0 é eliminada, ficando a outra possibilidade p’ —— r = 1 como solucio.

EXERCICIOS 1.

Testar a validade dos argumentos abaixo, mediante o uso de fluxogramas.

a) q—— p’, (p’)’, Q’ b) p——q’,

P'q.q

c) p’+q,q-——~r’,p’

d) a—> b, (c’ + b)’, c’ —— a’

e) ptr',p—q,Qq— 7,8’, Fr’

f) (p —~ q) +r’, cr’ —> g)

1+x=1——~x=0

2x 2.

s, 8° +Q,q

x #0 ou 2x =0 #FO— 1+xF1

Mostre através do fluxograma, usando os métodos direto e indireto, que o argumento abaixo tem premissas contraditérias. p—~*q (p’

+q)’

p

3.

Mostre através do fluxograma, usando os métodos direto e indireto, que o argumento

clus%o.

abaixo ndo contém

informacdes suficientes para deduzir a con-

p’ —q,(qtr’)’,p°s 4. Dados os argumentos abaixo, a qual deles corresponde o fluxograma?

a)

p'+q’

p’

——

b)

dq’

q’

p’+q’

c)

p’—> q’

p’

q p’'+q’=1

p’+q’

>Q’

d) nenhum deles.

q’'—> p’ p’—

q'=

1

q’ =0 p’—

0=

p’=0

0+0

O=1

=1

1

5.

A qual dos argumentos abaixo corresponde o fluxograma? a)

a’

——>>

b) a’ ——> b’

b’

b+c’

c) a’ ——> b’

b+c’

b+c’

c

-

a

d) nenhum deles.

a’

b+c’=1

b+1'=1 b+O=1

a’

>

v=

t

a’ 0= — 1

{

a’ =0

_t

a=1

6. a)

Qual fluxograma corresponde ao argumento: p + q’, q: r, p?

p+q’=1

Lo

oes

p+l=1

a

p+O=1

p=1

87

b)

q=1 p+q'=1

p=1

c)

p+q’=1

r=1

ee

Q°r=]

i q=1

d) nenhum deles.

yt

—

S

Quantificadores 8.1

SENTENCA ABERTA Sejam as proposicdes: p:3+5 ~=V x, (P(x))’.

93

Portanto: (¥ x, P(x))’ 9x, (P(x))’ Vejamos agora a que equivale a negacdo da sentenca 3x, P(x). Temos:

3x, P(x) Pla) + P(b) + P(c) + P(d) +... @ sua negacdo 6 dada por:

(3x, P(x))’

(P(a) + P(b) + P(c) + P(d) +...)’.

Pela lei de DeMorgan,

(3x, P(x))’ = (Pla))’ + (P(b))’ - (Plc))’ * (P(d))’ >... S—>_ ¥x, (P(x))’. Portanto:

(3x, P(x))’ ===> ¥ x, (P(x))’ Vejamos alguns exemplos. 19 Exemplo: Negar a sentenca: Alguns alunos sfo estudiosos. Solu¢&o: 3: alguns x: alunos

P(x): alunos sZ0 estudiosos Entdo:

Existem alunos estudiosos. ax, P(x). E a negacdo desta sentenca equivale a:

(3x, P(x)’ Fx, (P(x))' Ou seja, Todos os alunos n3o sdo estudiosos.

2° Exemplo: 94

Negar a sentenca: Todos os pescadores sf0 mentirosos.

Solu¢cgo: (Wx, P(x))’

3x, (P(x))’

Existe pescador que ndo 6 mentiroso. 3° Exemplo: Negar a sentenca:V x,x - 135. Solugéo: (Wx, x - 18)’

SS

3x, x -1 x #0. Solugso:

(3x, x? =1—>x#0)’

SV

>>

>

Observacso:

x, (x? = 1—>x #0)’ x, ((x? = 1)! + (x #0))’

Vx, ((x? = 1)’) > (x #0)’

Vx, (x? = 1) ° (x = 0).

Neste exemplo usamos a equivaléncia notével: p —— S—>> p' +a.

q

59 Exemplo:

Negar a sentenca: ((¥ x, sen?x + cos? x = 1) * (3x, 2x é (mpar)). Solugéo:

((* x, sen?x + cos?x = 1) * (3x, 2x 6 (mpar))’ (¥ x, sen?x + cos? x = 1)’ + (3x, 2x é (mpar)’

(3x, sen?x + cos?x # 1) + (Vx, 2xé par). 6° Exemplo: Negar a sentenca:' Vx 3y,x +y = 11. Solugao: (4x 3y,x ty = 11) SS

oxVy,xty#l1

79 Exemplo: Negar a sentenca: 3x Wy, ((x = 0) + (y+ 1 7))

95

Solugso:

(Ax ¥ y, ((x = 0) + (y+ 17)).

EXERCICIOS Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentencas abertas:

c) x2-7x+12=0 d) x7 -1=0 e) x? -4x+3 7. e) Para todo x, existe y tal que x + y< 3.

q.

9

IntroducGo 4 Algebra de Boole 9.1

OPERADOR

BINARIO

Iniciaremos nosso estudo recordando alguns conceitos primitivos de especial interesse que $30: a No¢ao de conjunto, elemento de um conjunto e a relacao de

pertinéncia. Assim, dado um conjunto A = {1,2,3}, dizemos que 1, 2 e 3 sdo e/ementos de A e, em conseqiéncia, pertencem ao conjunto A. Neste caso podemos escrever: 1€A,2€A, 3€A, que se lé: ‘1 pertence ao conjunto A”, etc. Caso tenhamos um elemento 4 que naa pertence ao conjunto A, denotamos o fato escrevendo 4 é A, que se lé: ‘4 nao pertence ao conjunto A”. Chama-se operador bindrio ou operacao bindria (*) a lei pela qual todo par

ordenado de elementos (x, y) leva um terceiro elemento z. Notacdo: x * y = z. Os sinais aritméticos +, -, °, + sd0 exemplos de operadores bindrios.

9.2

PROPRIEDADES DAS OPERACOES

P1. Seja X um conjunto. Dizemos que X é fechado em relac3o a © se x ° *y€& X, Vx, y © X. Por exemplo, considerando 0 conjunto C, de todos os interruptores, se a,b © C,, entSo,a+bEC, ea- bEC,, istoé,a+bea- b s&o também interruptores e pertencem a C,.

—_—

a

b

a+b

_——

.

a

b ,acb

Chamando C, 0 conjunto de todos os conjuntos de pontos, se a, b © C;, entZo a+b€C, ea bE Cy, isto é, a unido e a intersecSo de a com b sSo também conjuntos e, conseqientemente, pertencem a C3.

97

a+b

a°b

Se tomarmos o conjunto Cs de todas as proposicdes, e se a, bE C3, ent&o, atbeEC, ea> bE Cy, isto é, dadas as proposicées: a: Jodo estuda. b: Jodo trabalha.

Temos as seguintes proposicSes (compostas): a + b: Jo3o estuda ou trabalha. a ° b: Jodo estuda e trabalha. Ou, mediante as tabelas-verdade:

a

b

a+b

a°b

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

P2. O operador « 6 comutativo sex*ey=y

¢x, 0x, yEx.

19 Exemplo: Sea, bEC,, entfo,at+b=b+aea*b=b° a, isto é: a

b

b

a

a+b a

bt+a b

=

b

a

2° Exemplo: Sea,b€&C,,entdo,at+b=b+aea*b=b>° 4, istoéd:

3° Exemplo:

Sea, b&C;, entdo,at+b=bt+aea:b=b-a.

$ff

= 0 oo

oooO =

= = oa’

oa

=

=

-|c o-70

Co

CO

=

«| Oo

Podemos verificar esta propriedade mediante as tabelas-verdade.

+}

P3. Dizemos que o operador ° 6 associativo se x « (y « z) = (x * y) © z, x,y, zEX.

19 Exemplo:

Se a,b, cE C,, entSo, a +(b+c) = (a+b) +cea:

isto 6:

(l(b: c)=(acb°c

soe

LH

a+(b +c) —a

b a°(b°c)

(a+b) +c c-—

=

—-—a-——b

c-——

(a°b)°c

2° Exemplo:

Se a, b, cE Cy, ent&o, a+ (b +c) =(at+b)+ceas (b°c) =(a-b)°c, isto é:

a (b°c)

(a-b)-c

3° Exemplo:

Se a, b, cE Cy, entfo, a + (b +c) = (a+b) +ceaisto 6:

100

(b°c) =(a-b)-c,

a

b

c | b+tc

|a+(b+c) | a+b | (a+b) +c

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1 1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

o}o|

1

1

t a

b

c | bec

4

|ac(b-c) |] acb |

(av b) (b+c) =(a°* b) + (a °c), isto é:

_,_._

a+(b-c)

b

c a: (b+c)

- -L,_.

(a+b) - (a +c) 3

b

a c (a- b)+(a-c)

101

2° Exemplo: Se a,b, cE C,, entdo, a + (b+ +(a-°c), isto é:

c) = (a+b)

° (at+c)ea>

(a+b)

a* (b +c)

(b+)

=(a°

b) +

° (a +c)

(a> b) +(a-°c)

3° Exemplo:

Se a, b, cE C3, ent&o, a + (b * c) = (a+b) * (a+c)ea> (b+c) =(a° b)+ + (a °c), isto é, construindo-se as tabelas-verdade correspondentes a cada caso, teremos: a

b

Cc

b-c

|at(b-c)|]

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

atc]!

(a+b):

(atc)

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

Q

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

'@)

0

0

t 102

a+b |

;

portanto, a + (b> c) = (a +b) « (a +c), pois, suas tabelas-verdade s3o iguais.

Analogamente,

a

b

c | b+tc

la-(btc)]

ac-b |

arc]

(a-b)+(a-c)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0 0

1 1

1 0

1 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

1

1

0

0

0

0

0o/;0

{0

0

0

0

0

0

P5. Um elemento e, é um elemento neutro para a operac3o « se, e somente se,xe-e=eex=x, Vx Ex. 19 Exemplo: SejaaG C,,entéo,a+O=O+a=aea'1=1°a=a,

__

Po

VaEC;.

.

2° Exemplo: Dado a€ C,, entdo,a+O=O+a=aea-1=1°-a=a,¥aEC.

le-aza

103

3° Exemplo:

Dado a€ C3, entdo,a“e=e *a=a,WaECy. Para « = +, temos que a disjuncdo inclusiva ou soma ldgica é falsa, somente quando ambas as proposicdes consideradas forem falsas. Entdo, dada uma proposicdoa e V(a) = 1, vem: at+O=a,Va. Para « =

° , temos que a conjuncdo é verdadeira, somente quando as propo-

sicdes Componentes forem verdadeiras; logo, dada uma proposicdo a e V(a) = = 1, vem: ac

l=a,Wa.

EXERCICIOS 1.

Seja o conjunto C = {T, 1, O}. Definamos dois operadores binérios * e O pelas tabelas abaixo. Para ler a primeira tabela, por exemplo, a « b, tomamos a intersecdo da linha correspondente a a e coluna correspondente a b, onde a eb podem ser quaisquer destes simbolos. Ento:O* L=TeOO1L=1.

*{TiLIO T{TJO}L LO; LT OjL} TO

CT] TYTIL 1} T{L Tid

a) O operador * é comutativo? é associativo? b) O operador 0) é comutativo? é associativo? c) Os operadores « e DZ) s&o distributivos um em relac%o ao outro?

Dados os operadores aritméticos +, -, ° e +, dizer quais dentre eles so operadores binérios no conjunto Z de todos os inteiros. Considerando os operadores aritméticos +, -, - e =, dizer quais dentre eles s3o operadores bindrios no conjunto N dos numeros naturais.

Seja a * b = V a* +b?

104

onde a, bE R. O operador * é fechado? 6 comutati-

vo? 6 associativo? * é distributivo em relacdo a & ? 6 é distributivo em rela-

cio a « ? * admite elemento neutro?

5.

Dados os operadores « e C) distributivos um sobre o outro, reduzir ou desenvolver as expressdes a seguir de modo a apresentd-las sob forma diferente. a) a*(bOc).

b) a0 (a0 b).

c) a*(aO b).

d) a0 (b * (cOd)). e) (bO a) ¢ (bO b). f) (ae b)O (a ec).

9.3

SISTEMAS ALGEBRICOS

Antes de estudarmos a definic3o de uma Algebra de Boole vejamos o que é um sistema algébrico ou uma digebra abstrata também chamada simplesmente de dlgebra. Chamamos digebra abstrata ou sistema algébrico a um conjunto nao vazio munido de um ou mais operadores bindrios sobre ele definidos. Denotando por A © conjunto e por « e C) os operadores definidos sobre A, podemos ter:

(A, *) ou

(A,O)

que so dlgebras com um operador ou uma operacao, e

(A, e, O) que 6 uma digebra com dois operadores ou duas operacdes. Uma dlgebra pode satisfazer a alguma, a todas ou a nenhuma das propriedades dos operadores, assumindo nomes particulares para os diferentes casos, como: semigrupo, mondide, grupo, anel, corpo, espaco vetorial, conforme as propriedades satisfeitas pelo operador ou operadores definidos sobre um conjunto considerado. N&o trataremos destes casos em nosso curso, para o qual tém especial inte-

resse OS sistemas algébricos chamados Algebras de Boole, que definiremos a seguir.

Dizemos que 0 sistema algébrico (B, +, ° ) 6 uma Algebra de Boole quando e somente quando ¥ a, b, c & B, valem os axiomas: Al.

at+bEB.

A2.

a: beEB.

A3.

atb=bta.

A4.

a*b=b-a.

A5.

at+(b-°c)=(a+t+b)° (atc).

105

A6.

a: (bt+c)=(ab) +(a-°c).

A7.

30€8 tal que paracada

AQ.

Paracadaa€B, 3a’'€&B tal queat+a’'=lea:a’=0.

A8.

aE B,a+O=O+a=a.

3168 tal que paracadaa€GB,a° 121° a=a.

No axioma 9, o elemento a’ chama-se complemento de a.

Uma Algebra de Boole é dita degenerada quando os elementos neutros para

as operacdes + e ° sdo iguais, isto 6:0 = 1. Consideraremos apenas algebras nado degeneradas, isto é, Algebras de Boole nas quais 0 # 1. Vejamos alguns exemplos. 19 Exemplo:

B, =

{0,1} é uma Algebra de Boole cujos operadores s8o definidos pelas

tabelas a seguir:

0

1

+

0

0

0

0

1

0

1

1

1 1 1

1

Esta dligebra 6 conhecida como d/gebra dos interruptores ou digebra da co-

mutacao, e é a mais Util entre as Algebras de Boole. E o fundamento matemé-

tico da andlise e projeto dos circuitos de interruptores ou de comutacdo que compdem os sistemas digitais. B, 6 o exemplo mais simples de Algebra de

Boole nado degenerada.

2° Exemplo: B, = {0, a, b, 1} 6 uma Algebra de Boole com quatro elementos descrita pelas tabelas:

0

a

0

0

a

0

b 1

Teorema 1— 106

b

1

+

0

a

b

0

0

0

0

a

0

a

a

0

0

b

b

0

a

b

1

1

0

a

b

1

a

a

1

1

b

b

1

b

1

1

1

1

1

1

(Princ{pio da Dualidade): Todo resultado dedutf{vel dos axiomas de

uma Algebra de Boole permanece vélido se nele trocarmos + por °

e O por 1, e vice-versa.

Prove Pela simetria da definiclo de uma Algebra de Boole entre os operadores +e, e 0s elementos 0 e 1, tanto os operadores como 0 e 1 podem ser intercambiados conduzindo a outros resultados também verdadeiros. c.q.d. 19 Exemplo: Dualizar a express3o:x* y’+x’sy°z+y°2z’. Solucdo: Como +e+

a expressdo ndo apresenta os valores 0 e 1, basta trocar os sinais * por

por °; temos:

(x ty’) *(x’+y+z)° (y +2’) que 6 o dua/ da expresso dada. Obs.:—

1. N&o houve qualquer modificacSo nas letras complementadas, ou seja, onde aparecem x’, y’, z', continuam sendo x’, y’, z’. 2. A dualidade tem grande semelhanca com as leis de DeMorgan que veremos adiante, diferindo apenas pela observacSo 1.

2° Exempilo: Dar o dual da express3o: x’ + y = 0 Solugdo: Trocando na expressSo dada + por - e 0 por 1, vem: x'syn que 6 o resultado procurado.

Teorema2—

at+a=a,a°'a=a,¥acGB.

Prova ata=(atap>

eee

oo

=(ata)-(ata) £2 eat(asa) =atQ .

ata#a.

—

nee eee

ne eee rc

A8

AQ AS Ag A7

107

Analogamente, a-a=

acatQ

=

=

(a°a)+(a-a’)

a°(ata’)

=a]

=a . ac°ata Teorema3—

c.q.d.

a+1=1,a°0=0,¥acE&B.

Prova

a+1=

=

(at+1)°1 (a+1)°(ata’)

= at(1°a’) = ata’ = J . atir=i

Pelo Princfpio da Dualidade, temos: a-0=0

Teorema 4—

c.q.d.

(Lei da AbsorcSo):a +(a* b) = a,a° (a+b) =a.

Prova

at(a>b)

=

(a° 1) +(a°b)

=

a°(1+b)

=

a° (b+ 1)

=a-l 2s a

. at+(aeb)=a

e, pela dualidade, temos:

as(atb)=a TeoremaS—

c.q.d.

a+(a’*b)=atb.

Prova

at(a’*>b)

= (ata’) > (a+b)

=

1°(a+b)

.

at(a’*b)=a+b

= a+b

108

c.q.d.

Teorema 6 —

Os operadores + e * so associativos.

Prova

=

(a+b) +c

=

eee ee

((atb)+c) (ata)

(((Iatb)+c)-a)t+(((atb)+c)*> a’)

A8,9

........ A6

= (a°((atb)+c))+(a’* ((atb)+c)) = ((a°(at+b))+(a°c)) +((a’*(at+b)) = (a+(a-c)) + (((a’ * a) + (a’ * b)) + (a’ * c)) = a+((0+(a’* b)) +(a’° c)) =at((a’>b)t+(a’sc)) =at(a'-(b+c)) i — zsat(b+tc) . (a+b) +c=a+(b+c).

== ......05- A4 +(a’*c))........ A6 ... Teor. 4,A6 . Teor. 4,A4,9 in eee ee A3,7 Veeeeeee A6 Vueeee Teor.5

Pelo Princ{pio da Dualidade, temos:

(a> b)*c=a-(b°c)

c.q.d.

ExpressSes como (a + b) + ce (a° b) « c podem ser escritas sem parénteses, e expressSes tais como (a’ + b) - (c + d +e) podem ser desenvolvidas como na Algebra usual; a - b pode ser escrita ab e 0 operador * tem precedéncia sobre +, de modo que a + (b * c) pode ser escrita a +b ° c ou a + be.

Teorema 7—

O complemento

de cada elemento de uma

Algebra de Boole é

Gnico. Prova Suponhamos que a’ e x sejam complementos de a. Ento:

1 0.

a+x a°x

x (a+a’) aen-? @ a

Logo:x

ax + a’x 0 + a’x a’a + a’x a’(a + x)

c.q.d.

Coroldrio— Qualquer Algebra de Boole n’o degenerada tem um nimero par de elementos.

Teorema 8 —

(a’)’ =a.

Prova a’ é o complemento de a, ent4o: a + a’ = 1 ea °

a’ = 0. Mas estas equacdes

apenas mostram que a é o complemento de a’, isto é: a = (a’)’. Pelo teorema 7, existe um Unico complemento, portanto: (a’)’ =a. c.q.d.

Teorema 9 —

ab + ab’ =a.

Prova ab+ab’

= = = ’.

a(b +b’) a-1 a ab+ab’=a.

Teorema 10 -

c.q.d. 0’=1e

1'=0.

Prova OF = Po O°-12>Q0 logo:0°= Vz

e

ee A3,7 ee ee A4,8

2

Fo Q

ee AQ eee Teor. 1

2 2 . ., , 2.,.,;,2....0 c.q.d.

Teorema 11 - (De Morgan): (a ° b)’ = a’ +b’ e(a +b)’ =a’ > b’. Prova

(a’ +b’) + (a> b)’ =

(a’ +b’)

(a°b)

(a’ +b’ +a) ° (a’ + b’ + b) (1+b’)>(1+a’) 1°17

=

1

=

ae ae b+b’:a°b=0.

Entdo, (a‘ + b’) 60 complemento de (a ° b), isto é:

110

e

(a°b)’

=

a’ +b’

(at+b)’ = a’-b’.

c.q.d.

Teorema 12-

ab+a’c+be =ab+a‘c.

Prova

ab + a’c + bc (a +a’)

ab + a’c + be

abtact+be

= = = =

ab+a’c+abc + a’bc ab(1+c) + a’c(1+b) ab+a’‘c. ab+a‘c. c.q.d.

Teorema 13-

(a +b) (a’ +c) (b +c) = ac + a’b.

Prova

(a+b) (a’+c)(b+c) = (aa’ + ac + a’b + be) (b +c)

= 0 + abc + a’bb + bbe + acc + a’bc + bec = abc + a’b + be + ac + a’be + bc = abc + a’b + bc + ac + a’be

=

ac(1+b) +a’b(1 +c) +be

F act+a’b+be = act+a’b .. (a+b) (a’ +c) (b + c) = ac+a’b. c.q.d.

Teorema 14-

(a +b) (a’ +c) = ac + a’b.

Prova (a + b) (a’ +c)

.. (a +b) (a’ +c)

aa’ + ac + a’b + be = act+a’b+be = ac +a‘b + be (a + a’) = ac +a‘b + abc + a’be = a’b(1+ Cc) +ac(1+b) = a’b + ac ac + a’b.

.

c.q.d.

Esses teoremas tém sua grande aplicac&o na simplificag3o de expressdes booleanas e circuitos de interruptores, conforme veremos nos exemplos a seguir:

19 Exemplo:

Simplificar (a + b) (a +b’ +c’).

111

Solu¢zo: (a+b) (a+b’+c’)=

aa+ab’ + ac’ + ab + bb’ + be’ a+ ab’ + ac’ + ab + 0 + be’ a+be’

2° Exemplo: Simplificar o circuito:

——a—r —

HO

p

r’

p’

q’

—— r

Solu¢go:

(p + qr) (p’q’ +r’) + p’q’r’

=

pr’ +p’q’r

=

(pt+q’)r’

= (p+ p’q’)r’

@ 0 Circuito simplificado sera: p —_—

[a q’

3° Exemplo: Simplificar 0 circuito:

p

q

p—aq-—re

Solugéo:

pq’ +par+pr=

p(q’+aqr)+ pr = p(q’+r)+p'r

= pq’ t+pr+p’r

112

= pq’ +(p+p')r

pq’ + ir = og! +r

=

r——_—..

Desenhando 0 circuito da expresso simplificada, vem: Pp

q

49 Exemplo: Determinar 0 complemento de pq’ + p'q.

Solugéo: (pq’ + p’q)’= =

(pq’)’ * (p’q)’ (p’+(q’)’) * ((p’)’ +q’) (p’+q) ° (p +q’)

= p’p + p’q’ + pq + qq’ =

pq+p'q’

Teorema 15 - Se uma Algebra de Boole contém pelo menos dois elementos distintos, entdo 0 # 1.

Prova Suponhamos que existe uma Algebra de Boole com pelo menos dois elementos distintos, para a qual 0 = 1. Seja a um elemento tal que a # 0. Como, por hipdtese, tal elemento existe, entZo todos os outros elemen-

tos s8o iguais a 0. Logo, a= a°12#a-° Portanto, 0 # 1. c.q.d.

0=0, 0 que é uma contradicao.

Sejam a e b elementos de uma Algebra de Boole. Dizemos que a ¢ menor ou

igual a b (a