Lezioni Di Complementi Matematica [1 ed.] 9788841336182

Citation preview

A. Ghizzetti - F. Mazzarella - A. Ossicini

A. Ghizzetti F. Mazzarella A. Ossicini

lezioni di complementi di matematica

Editrice Veschi

•

o

~~

oo-/

+QJ

che · sono somme di serie di potenze

L

k =O

ak (z-z 0

/

.

con raggio di

f Onvergenza r >.O (eyentualmente r = +wLSappiamo infatti che una 't ale f (z r -risulta o1omorfa nel cam o circolare definito da z-z 0

1

R

e non per

~lz-z· 0 I

la (1.2.3)

t


~I d_;.vv-. &:, i>~ Come nel § precedente, supponiamo che A sia ~n campo c~n­ - Singolarità essenziali

lM.

nesso, z 0 EA, { f(i_ J EH(A-{z 0 } Jf ; suppo~iamo inoltre ' che z 0 "Sia un punto singolare essenziale per f(z')~ lo studio del compor-1-.1 f) tamento di f(z) in prossimita' di z 0 richiede svilu i appro- l\J E'.> fonditi e · carattere elevato c~e non es o remo · qu__es volume; ci limiteremo ad _enunciare, senza darne l a! dimostrazione, il teorema conclusivo di tale ~tudio e ~io~ il celebre eorema

~~c ard:

y~reorema

~t·

?.

1. I - Se ·i!QI e' un punto s ingo ' are essenziale per A la funzion f) fCz comunque si fissino un numero (i] (escluso al 1'cà\"OJ piu' un valore eccezionale À) ed un i o circolare C ·del i pu.n o ze, esistono in in initi unti in cui la unzione fl ""-_.....z assume il valore w (

Questo teorema m7tte in evidepza il .-modo estremamente comlicato con cui la f(z) si com orta nelle vicina b. ze di z : in ( qualsiasi in~orno di ze, er iccolo che sia, la z assumè tutti i va ori ossibili, uno al iu' eccettuato. · Illustriamo ~ eorema i Picar con un esempio, considerando la f\}n~ione ~ che, come gia' sappiamo ( § L 11) ha un punto singolare essenziale in z =O. Questa funzione non assume mai il valore zero; esiste quindi il valore eccezionale À menzionato dal teorema di Picard e si ha À =O . Per studiare il comortamento della funzione nell'intorno del punto z=O, poniamo

1

=l.

=é+i71

ed osserviamo che

la

~

.

funzi .one e , essendo penopossibili (zero .edel tipo· (k=0,±1,±2, .. ·.).

Per vedere quali sono le figure che nel pia.n o (x,y) della variabile z corrispondono a tali strisciè, osserviamo che dalla

t

=e

1 + i11

= --.x+ iy

x- iy 2 X

2

+y.

_j

(Cap . 1

- 44 segue

Ne cleri va che alla retta 6: 2k corrisponde la curva di e2 2 quazione 2kn:(x +y )+y=O, vale a aire una retta (asse x) se k=O, o~pµre una circonferenza tangente nell'origine all'asse x, con centro nel punto

(o, - 4 ~n:

.k

k/O. Percio' ad una striscia Sk

cor s e S' com reso fra due consecutive curve ve . 1.13. 1e1. 13. 2) Si vede immediatamente che, al crescere di k , quest i insiemi sk diventano sem iccoli e si accumulano attorno all'origine . Come . la assume tutti i valo ri possibi i 1

s eluso) in ciascuna striscia Sk, cosi

I/

assume tutti i va-

x.e+ y z+ ~!:::o .llCir

I

~K

6 Jr

$2

s,

" 1(

, 2 J(

.s'a

o

.s_,

-a TT

j

.S_2

-lt,,

S-~

Fi g. 1 .13. 1

Fig. 1.13 . 2

lori possibili (zero escluso) in ciascuno dei predetti dominii Si vede pertanto che, in un intorno com1,1nque piccolo del

f!IJ.

punto z =O, la e'Z assume ili valori (reali o complessi), escluso il valore accezionale 0.\ E' ben verificato il teorema di Picard \ La 1 verifica .del teorema di Picard relati vamen te alla funzione

ez

si pud anche ottenere 1

maniera. L'e.quazione e 7

piu' rapidamente nella seguente ·.

= ti

( w I O), posto

1J =

pe

i cp

, p >O, e' sod-

1.13,1.14)

disfatta assumendo z = [ log p +i ( unti di accumulazione in A, in modò che risulti f(z) EH(A-N)( ) e che ogni punto d1 N s i a un ( ) ' pu nto singolare isolata di f(z) . Per esempio, la funzione tg z (vedi § 1. 12)· e' a pu.nti singolari isolati in tutto il piano.

..

~~~:·r:::m:~::: I e~c~i: ' ;~:~n:::

t;uYz::::a:e:u::: i~~~~o

lari

'-:::;:; i so l ati in un dato campo connesso A. Sia D un dominio regolare contenut o in A e tale che la sua rontìera dD non conten a a cun punto singolare i f(z) 1 Detti z 1 ,z 2 . , • • • , z n i punti singo(

.

...

)

lari che sono interni a D e R(z 1 ),R(z 2 du i di f(z) tn tali punti si ha · (•) A-Ne' certamente un campo connesso,

.

) , •••

,R(z ) i resiP

come e' facile persuadersi.

(*•)Ogni punto zo EN appartiene ad un campo Ao . tale che

f(z) EH(Ao-{zo});

percio' z 0 si trova nelle condizioni dette all'inizio del§ 1.11 ed ha senso richiedere che esso sia per f(z) un punto singolare isolato. (•••)Tali punti

sono necessariamente

in un numero finito (eventualmente

nullo) . Infatti,se fossero infiniti, per il teorema di Bolzano-\Veierstrass il loro insieme avrebbe in D (e quindi . in A) un punto di accumulazione, contro l'ipotesi. Se p =O,

l'integrale (1.1 4 . 4 ) risulta nullo ,conf ormeme n.om.p.c anche il secondo teo-

~orema di _Ca uchy. La (1.14 .4 rema di Cauchy,

come~

fa ci le verificare.

1.14,1.15)

(1.14.4)

-

l~f

t

f(z)dz =i(z 1

+ÒD

27tt

47 -

Dim. - Con centri

)

+R(z 2

)

·+ • • • t R z

p

). }

nei

o

~c~o~n~f~e~r~e~n~z~ e ~r"'-c.:_::D:._..!~h=--=~1:;.,..:2~~ · -~-,..P esterne l'una all'altra. Sia D' i 1 dominio are) ttenu to dà D togliendogli i punti interni a tali circonferenze; esso e' evi den temente contenuto in un campo in cui f(z) ~ olomorfa e perc10,per i eorema di C~u­ chy, si ha

f (z )dz +ÒD

I

=o/ Fig . 1 .14. l

ossia

1(j

-.

2rri

PJ .

f(z)dz . +~

+oD

k-t

f(z)dz

-I'k

)

=0. j

Ne segue

e poiche',

in

virtu' di

.

(1.14. U,

.

.

l'integrale

J

-1.

2rri

+r

J

f (z)dz e,'

. k.~-u gu al e al residuo R(zk) di f(z) nel puntp z k , s1 ott i en e la ( 1. 14. 4) , e. d . d .j . Questo teorema dei residui ha molte applicazioni nel calcolo degli in te rali defin · .t · , . '. come c i proponi amo di far v edere nel su cces=s1vo

~ Applicazioni d~l ~

tegral i

teorema dei residnj al calcolo di in-

defini ti j

Ci proponiamo di dare alcuni esempi /~} cal co l o di i n te - / grali d e f i niti ~ e dian te ap li ca zione de l teor e ma d ei re sidu i . A tal ine conv1 e n·e prem e ttere una . fo r mu ll a d i magg i ora-

-

48 -

(Cap. 1

zione di una funzione una circonferenz zione razionale

er z variabile su .,,....=.......~ Considerata ~ n-

~ (i) . ~

g(z) Y\o\ ~ Q

F(z) = f(z) 'flt~ Q

max

hJ ..~. ('l - ~>i!iai-~=::::Co;;e..:r~c:..h u,;:;i.,:;o:_...i. dimodoche' nel pi ano c omple ss o si puo' Fi g. 1 . 17 .1

(•)Si dimostra facilmente che ad ogni circonferenza della sfera, non pas·sante per N,corr isponde una circonferen.za del piano (.x,y) .Un semplice calcolo mostra infatti che 1 punto P di coordinate

a P(.x,y) corrisponde

sulla

superficie sferica il

(segue)

1 . 1 7]

-

63 -

chiamare into,J' no circolare di\z-;-cDil cam o costituito dai ti esterni ad un qualsiasi cerchio. Questi intorni ar-i =co, considerati nel piano comples·so senza punto all'infinito, sono campi non semp mente connessi considerati invece nel lesso con uno al in in1 o risultano essere sem icemen e connessi ;l i in ~ i ci";7; olari di qualsiasi al t ro punto). Ci si convince subito di cio' pensando alle corrispondenti immagini sulla sfera complessa. Mostriamo subito l'opportunita' della convenzione fatta, ,prendendo in esame una trasformazione --l{neare della variabile com lessa z ~ n un'altra variabile complessa i ' ~ cioe' una tra - ' ~f ormazione definita da una formula del tipo

(1.17.1)

z

(con ad-be

I

O) . y)

La ( 1. 17,Yl) e' univoèamente ~ rtibile

nella ~ .__)

( 1. 17. 2)

17

-

' . -d, "b

~

x'

@z';r

e percio' stabilisce una corrispondenza fra i punti del pi ano complesso z ed i so z ~J Se ta i p1an1 sono conside.rati e se e O v1 sono ero eccez1on1 a

,_ a

cisamente

al

punto z = - -

del piano z

~

.

I

n·on

@

corrisponde alcun

punto del piano ! 1 mentre il punto. z =. (:) del piano z

corrispondente di alcun punto

2%

I

del

non e' il

piano z ~ Ma . dalle (1.17.1),

2y

u

y

%

I

I

onde , se P" ·d escrive sulla .superficie sferica una circonferenza non .passante per N(0,0,1), vale a dire se P' , oltre a muoversi sulla sfera, si 1

1

1

muove anche sul piano a% +by +cu +d=O con c+dfO, il puntoP descrive nel piano la curva d'equazione

2%

a--,---

2 %

%2+y2+i 2

2

ossia (c+d)(% +y )+2a%+2by-(c-d) =O, c.d.d .

2

+y -1.

+d

=o

[Cap. 1

- 64 -

(l.17.2) risulta ovviamente che lim

z---dc

lz ' I =+cxi,

lz I =+cxi

lim I

a

z'

lim

. . jzj-+a>

=~, \d

z =

lim lz'j :..+a>

f1iì,

~

e questo ci suggerisce di eliminare

z · e

le precedenti eccezioni pensando ciascun piano do~ato di punto all'infinito e convenendo di far corrispondere al punto z il

-

unto z ' =cxi ed

al

pu~o

z =cxi il

punto

z

=-

d

e Con cio' l~

a

/!c orrispondenza fra · idue piani risulta biunivoca senza eccezioQuesto vale anche -nel caso e= O in cui ovviamente si deve pensare che a z =cxi corrisponda z' =cxi. La corrispondenza biunivoca definita da (1.17.1) fra i due piani (dotati,ciascuno,di punto all'infinito) implicaun'analoga corrispondenza fra due sfere complesse. Lasciamo al lettore di dimostrare che, in tale corrispondenza, le circonferenze di una sfera sono trasformate in circonferenze dell'altra sfera ~ Osserviamo ancora che,se e IO, la(l.17.1) puo' essere realizzata eseguendo successi vamen.J;..e le seg-u.ent i t_E.e trasformazion i lineari di tipo particolare \

/!EiJ

;p}_rà~-t-b Ct-

Z1 = cz + d,

0.17.3)

~~ -da/+ b

1

(1.17.4)

~ l -Q..

Z2 Z1

(1.17.5)

z

I

=

be-ad e

J..

t

a

Z2

+-.

e

L'ipotesi esprime che la (1. 17. 1) fa corrispondere a /..i =cxi1 un punto al finito. Ora é ovvio che (1.17 . 3) e (1.17.5) lasciano fermo il punto all' infinito e soltanto ( 1. 17. . 4) lo sposta (a z1 =-cxi Ia co_rrispond_e re z2 = 0). Percio', volendo considerare trasformazioni lineari che spostino il punto all'infinito del piano, non è restrittivo limitarsi a considerare la trasformazione particolare

z

(1.17.6) E' ovvio

che

la (1.17.6)

1 z trasforma

l'intorno

lzl >p del punto z =cxi nell'intorno circolare to z '=O ,

circolare

1

Iz ' I < - p

del pun -

1.17,1.18)

- 65 -

1. 8 - Comportamento nel

lomorfa

I

pQqto . a1l~1nfinito

di un7a funzione o-

/

Sia f(z) una funzioneibJamadaft in t_µ-t"ti i punti al finito di un campo A connesso ed ÌÌZimita.to ~ . . -?roponiamoci · di studiare il com orta e t · z · · o z =co. \ Ci limiteremo a con. siderare i casi analoghi a qy-elli gia' esamiria"ti quando · si tra te i un unto z al finito e cas-o del punto di olomorfia e quello del punto singolare isolato. Ricor iamo c e 1n questi due casi esisteva un intorno c i rcolare (S) si zo tale che f(z)EH(C) ( 0 }[(z)EH(C-{z 0 }J; ne segue che, per 10 J gtydiold1· 1 Ù: =col_Qovremo supporre che il"predetto campo A sia tafe da con ..t._enere tutti i Pt'ilti al finito di un intorno circolare di z =CO E' subito visto che cio'equivale a richiedere che i unti a {/

1

finito della frontiera A costituiscano un insieme

imi

ato

Conviene fare un'altra osservazione pera sulla . variab~0 una tra~ormazionei.s~=====~

,,::::~. ;

muta nella g(z')=f(az:+b). Supposto cc/O, se z 0 cz +d unto di olomorfia [o isolato] per f(z) e cL.

la f(z) e' un

&· zo_I

s1

:J.

s1 vede immedi:tamenté

z~ (che e' al finito e

~

ad-b, f O,

I- - )

per ~.

che

e' punto d i

il punto corrispondente olomorfia [oppure sin-

richiedere~r

golare isolato) E' a.llora naturale di he uesta ro rieta' di in va · unti di olomorfia e de· punti singolari isolati .J rispetto alle trasformazioni lin e ari valga ancora quando s1 passa da un punto al finito al pun t z = co . ______. Tenuto conto c he, per quanto si e' detto _alla fine de l §

::::7te 7::.::n:::::::ea1:

0

:::

t::o~::: e:::~::::::: ;::i'. i-

( • ) E'a nche fa c ile ve d e re , valendos i d e i teoremi dei § 1.12 e 1.1 3 , ch e un p olo ~i o rdine n si tra s forma in un polo dello stesso ordine e ch e u n pu n to sin go l a r e essenziale s i

trasforma in un punto singol are ess en zial e .

A.Ghizz et Ù, F. Ma zz a r e lla, A.Ossicini -Complementi di Mate mati ca

Dis p. 9

J(//2 t_)

(Cap. 1

- 66 -

Sia A un campo connesso, illimitato con oA limitata e f(z) eH(A). Noi diremo che d punto z =CD e' per f(z) un punto di olomorfia, o un polo di ordine n, o un punto singolare essenziale secondoche' il punto z' =0 e' · un punto di olomorfia, o un polo di ordine n, o un punto singolare essenzial·e . per la fun1 zione g ( z ' ) = f ( z ' ) . . . Nei tre casi ora menzionati esiste un intorno circolare C' di z' ""O (contenuto nel campo A' trasformato di A) in modo che valgano rispettivamente questi sviluppi:

(1.18.1)

g(z ' ) = a0

( 1.18.2)

g(z I)

+a 1 z 1

+ a2 z '

,

,2

(a 0 +·a 1 z

a2z

2

'(z'eC');

·+ ••• ,

a

a_ -n ) +a--1+ ... , +--+ + ... + -, n z z' z (a

f.,,j,, ( 1. 18. 3)

g(z,)

(

·. ,

a 0 +a1z +a2z

,2

+ ...

)

-n

IO

z 'eC'-{O}); dLC7U9\.i a _2 a _3 +IJl(J

a _1 + - ,- + - - + - - + z, .Z I 3 z

...

,

(còn infiniti · coefficienti a_1,a-2,a-3, ..... diversi da zero, z' eC' ·-{O}J. . 1 Poniamo. ora z'=- in ·queste formule. Con ciò la g(z') si muta nella g (

~) = f(:),

mentre

al

predetto intorno circolare

C' del · punto z' =O viene a corrispondere, nel piano z, . un certo intorno C del punto .z =ro (contenuto nel campo A). Tenuto con~ to di cio', le (l.18-_ 1),(1.18 . 2),(1.18 .3 ) si mutano rispettivamente nelle(•) · (z eC);

(1.18.1'')

o. ·18. 2· >

f(z)

=(a

0

2 __, +ai - +a2 -2+ ... ) +a_1Z +a_ 2 z + •.. +a -n Zn,.

z

z

(a_n (•)Nel caso in cui z =ooe' un punto viene definita per z .= oo ponendo

di

olomorfia

f ( oo) = l i m f ( z) =Clo . • -oo

IO,

z eC-{ro});

(caso (1.18.l')) la f(z)

1.18]

- 67 -

( 1. 18 • 3 I (con

... ) + a

)

- 1

coefficienti ~-1 a _ 21 ~ a _3.,

infini t:l

/

z EC-{co}).

+~-2

••••

z

2

+ •.•

diversi

da

zero,

Conviene ora porre

(ak =a_k,

(1.18.4)

(k=O, ±1, ±2, ... )

e riunire le (118 . 1'),(l.18.2') , (l.18.3') nell ' unica formula .

(1.18. 5) f(z) "· ·J ...JIJ;:.~.:.· &_ "'""""

~- +--4

=(a

. 0

J(L~~ + a_

z

1

-

2

+ a_2

+ .• ·)'

'8~-~ 2

3

{a 1 z+a 2 z +a 3 z + .•• )

z

.

valida in un intorno C~A di z =co, con esclusione del zero. La 1(1.18.5) l mostra che,in un opportuno intorno di z =CO ui sia eventualmente escluso i z ammette un viluppo in serie bilatera di otenze (analo amente a quanto ccadeva er un unto al finito) econdo le defin1z1on1 poste poco sopra, possiamo aggiungere che se a secondo membro di (1.18. 5) manca l s.ec_on.da a · u o il punto z =CO e' per fu ) un punto di olomorfia f se tale seconda parte e'. un polinomio ~ z+ ••. +a 11 zn di grad o-' n (a . ,/O), il punto z =co è per f(z) .....].!n pòlo di ordine n; infine se la seconda parte una serie effettiva (c ioe' se fra i coef~icienti a1,a 2 ,a 3 , • • . ne esistono infiniti diversi da zero), il punto z =CO é per f(z) un punt~ singolare essenziale. . Lo sviluppo (1.18.5) sar~ chi~mato lo sviluppo di lauren ~ \_g.. di Taylor., se manca la seconda parte) della f(z}, relativo al punto z -co; la prima parte del secondo membro e' la parte re~la seconda la parte singolare. Si noti che succe ~ l'oppo sto di _g uanto si era trova~ nel caso dei punti al_ finito; attualmente sono le pot e nze di z ad esponente negativo che formano la parte regola~e, ment~e quelle con esponente positivo danno luogo alla parte singolare. Possiamo anche dare l'espression e integrale · dei coefficienti che figurano in ( 1. 18. 5); essa dis ce nd e subito da

e

ak

(*) Il l e ttore verifich ·e ra' fa c ilmente che cia.scuno di q uesti tre casi presenta carattere di invarianz a anche rispetto a·lle tra s formazion i lin e ari

de l ti po ·z ' = az + b eh e mutan o z = oo in z

1

= oo.

-

68

(Cap. 1

-

qu e lla nota dei coefficienti a k delle (1.18.1), (1.18 . 2), (1.18. 3). Sappiamo infatti che g (z I) ---dz' I k +1 z

OV e r ' e' Una qualsiasi Circonferenza di Centro fiUta in C'. Per la (1.18. 4) si ha allora

1

1 ak

= a - k = 2n: i

g(z I)

+r' z

,- k +1

dz

Z

I

:

o

I,

1 (. ) ed eseguendo nell'integrale la. sostituzione z'= -

g(z') si muta in

g(~)=f(z )

e

la

e COnte-

circonferenz~

r',

[con che percorsa ·

in verso positivo, in una circonferenza r di centro z =O, cont e nuta in e e percorsa in verso negativo):

_1 2n: i OSSl

J fl:l. (- .:!.:._) -r z

a

. 12n: i

(1.18. 6)

E'questa

k-1

1

z2

-f(z) --dz.

+r

zk + 1

l'~spressione

integrale cercata dei coefficienti ·si noti che l i l essa r denota una qualsiasi circonferenza con cent"ro nel punto z =O che contenga nel suo interno tutti i punti della frontiera {limitata) del campo A. ---Si estendono immediatamente al caso del punto z =oo molti dei risultati visti nei § 1. 9, . . _J .15 nel caso di un punto z 0 al finito ~ Passeremo ora rapidamente in rassegna questi r1sul 3 a~ dello sviluppo

(1.18.5);

1 . ha equazione z' =pei'P, allora r ha equazione z· =-e"'P; da cid . 1 . . p si vede che la sostituzione z'=-inverteilversodirotazione degli . angoli. z (•)Se

r'

\(

/I

,, pJL

1 . 18)

Il

11

-

69

11

-

lasciando al lettore di svol er.e le sem licissime dimotrazioni. Supposto chefZ:::ooT sia punto . di olomorfi ione f(z), si dira1 che esso e' per f(z) uno z ero di ordine n quando - nello sviluppo (1.18.) o tre ad essere a 1 -a 2 -a3= .... -0) risulta a 0 =a_ 1 =a_ 2 =... =a-(n-1)=0 , a_nlO. Condizio '.!.!......!!..ec~ria e\J/

sufficiente affinche' cio'si verifichi e' che il limite l~m[znf(z)]

W.

esista finito e diverso da zero (cfr. teor.1.10.IV). Condizione necessaria e suffici·e nte affinche' z =oo sia per f(z) un po o i ordine n e c e esista li nito e zero . f(z) . (•) il limite ltm - - ; oppure che sia lim IJ(z)j =+oA e che su oD non cada alcun punto ·singolare di f( z ). Detti .z.1 , z 2 , ••• ,zp i punti s__i ngolari al finito che sono esterni a D( ) s·i b.a_

(l.18.10) ·

~ 2rtt

1

+ ÒD

.

/ r:;\

f (z )dz = - [R (z 1 )+R(z 2 )+ .. , +R (zp )+R(oo)J. .

.

.

l'D"i:'I- Con

centro nell'origine tracciamo una · circonferenza nel suo interno il ·dominio D ed i punti Z1,z 2 , ... ,zp. Con centri in questi punti tracciamo poi altre p cir-

~ c~ntenga

conferenze, esterne l'una all'altra, situate all'esterno di D .. ed all'interno di r 0 ." Consideriamo poi il domi11io limitato @) tale che

o•=(

p

kvO

rk) u

o.I;

.

risulta

il primo teorema di Cauchy si ha

.1 --. 2rt t

.(*) Tali punti sono

f(z) EH(!::,)

f

+Òl'.

e

percio' per

f (z )dz = O, ossi a

in numero finito perche' altrimenti essi avrebbero all'esterno di D (e quindi in A) almeno un punto d'accumillazìon e al finito o all'infi~i.to, contro l'ipotesi .

~

OJft

V

~

- 72 -

-.1 -.J

(Cap. 1

1 -

2n: t

f(z)dz+

+ro

1 +-

2n: t

p

-oD

1 - -.

+L k =1

f(z)dz+

2n: t

.

J

f (z )dz =O.

-r Jr. Fig . 1 . 18.l

Ne segue

~1 f(z)dz=-(t~f. 2n:t 2n:i +r +oD

k =1

1 f(z)dz+ - -.

2n:i

k

f

-ro

f(z)dz)

e questa, tenuto conto di (l.lB.7),(1.18.8), equivale man:i,festamente alla (1.18.10), c.d.d. Combinando il teorema dei residui 1. 14.I e quello attuale si ottiene subito quest'altro teorema:

~'

eorema 1.18.11 - La funzione f(z) sia olomorfa in i punti del piano con l'eccezione di un numero finito di singolari z 1 ,z 2 , . . . ,zn al finito ed eventualmente del z .=ai . Risulta allora uguale a zero la somma dei residui f(z) ~li punti z 1 ,z 2 , . . . ,zn e nel punto z =ai. )

tutti

punti punto della

Dim. - Detto . D un qualsiasi dominio regolare tale che oD non contenga i punti . z 1 ,zo 2 , . . . ,"z n , distinguiamo questi punti in . . due categorie: qoelli ED (che indicheremo con z~) e quelli E r;ff~'4/L. (che indicheremo con z~). Per i due teoremi sopracitati si ha

1 - -.

2n: t

J

+oD

f(z)dz =2 .

..

R(z~),

~1 f(z)dz=-2R(z~)-R(ai), 2n: t

+ oD

da cui, sottraendo membro a membro, si ottiene la tesi. Aggiungiamo· qualche esempio sui concetti esposti in questo §. Un polinomio di grado ~:

·

1.18,1.19)

- 73 -

f ( z ) = cio

+ a 1 z + .•. + an z

n

ha evidentemente in z =, possiamo dire ch é se la f(z) non e' costante, il campo il non puo' coinci dere con S e quindi che on @ .\ I punti di on si chiamano ~si.agolari della f(z) e percio': ~oiam..at...fa Ho!fc ostante ammette almeno unto sin o lare ovvero le sole J_y nzio ni olomor .,!L_[}. ive ti singolari sono le costanti. La definizione di punto singolare che qui abbiamo data e' relativa alla scelta del campo massimale di olomorfia ed ha peicio signi icato intrinseco solo nel caso che D risulti univocamente det er minato. ] Cio' accade, per esem·p io, qu ando la funzione olomorfa ·é a riori definit · sso A senza i prolungamento (cioe', come si dice, e' defini. ( ) ta in grande) ~ ·e' ovv.io allora che D =A . Ma vi sono casi in cui · la fun:ùone olomorfa e' definita in piccolo (cioe' in modo che sia possibile prolungarla fuori d el suo campo di definizione A) ed allora puo' benissimo accadere che il campo massimale di olomorfia D · ossa · sce liersi in piu' modi diversi; in tal ·caso l'insieme dei punti singolari i z dipende alla scelta di D. ) Dia~o in proposito un semplice esempio 1 Nel campo A definito da y >O si pongru

~

..

t

...

(.*) Puo' darsi che Q=A, g(z) =t(z); cio' accade quando f(z) non e' prolungabile fuori di A. (**)Si tratta cioe' di .un campo di olomorfia di f(z} non contenuto in nessun altro campo di olomorfia della funzione stessa.

e···)

In tutti gli esempi che abbiamo fin qui considerati (polinomi, funzioni razionali, t~ascendenti intere, fun~ioni meromorfe, funzioni a ~unti singolari isolat;i , logaritmo principale.> si verif;i.ca · precisamente questo fatto.

1.19)

- 75 -

f(z) . =loglzl +iAtgz,

'(z) q> (

z)

79

-

2c

------z

2

z

b

3

q> I

c

a +- +- + 2 z z

(z)]: - _!:_I

q>(z)

... .

c.d.d.

a

~GMI~ l.IM>~~ L ~ Q.. (

Possiamo aggiungere

punto z =ooEO e se il medesimo f' (z) punto non e' zero per f(z), esso e' per almeno uno zero f (z) f I (z) VEldel 2° ordine, onde il residuo, in tale punto, di Teorema 1.20.111 - Se

il

...-·

f (z)

le zero.

Dim.- Basta ripetere la dimostrazione precedente con~ Cio' premesso , · sia D un dominio regolare la cui frontiera oDCO e sulla guale non cada alcuno zero di f(z )\ Poiche' oDcO' e

f' (~ f(z)

~(O ' J] possiamo

1 2n: i

(1.20.3)

considerare l'integrale

1

....,

•

~

f' (z) !ill

+ ÒD .

f (z )

e; z-,•

&

(c.. e

o, t,. O) di z e n de 11 a f( z ) .\ I n fa t ti s e c o s Ì non · · fosse, tali zeri ayrebbero in D · un punto di accumu1azione · Z / che dov~bbe essere o un punto di 11 oppu.re un~ di f (z) . . Ma queste ue eventua 1ta son ~ erc6~ s o in contraddizione la . rima col teor. 1.9.·II, la seconda col teor . 1.12.II \ · ; .... ~ ~~ ,·~~ ........:;n "':"'"lLì ~ "r.~

fJ.e-L

"'"""~ 9Ù "~:r...~ Wc-- " -Teorema 1.2(). IV - Nel-la predetta ipotesi,de ·t tt m1 ,m 2 , ••• , gli ordini degli ze ri z z 2 , ••• ,z di f(z) Qe n 1 ,n 2 , • • • ,ng_

M li ordini d ei

poli lE 1

, ( 2 , ••• ,

e cadono

in

D, s F"h a

1 ( 1. 2 O. 4 ) 2n i

f

. ·+ ÒD

f' (z) -f-(z-)-

dz

0

f'

- In D l e singo · l arita · ' d i' D ;m, •

~ pu~ti .xz:... , ~ P'

( z)

· sono esc l.usivamen àe i

f (z)

, ~ c~ep~r

~eor.1.20.I

il sono tutti oli di 1 ordine, con residui rispettivamente ugua.li a lll-1,, ... ,m, -n1, ... ,-n. D'altra parte si e' ovviamente in con.clip

(i-, ...

q

.

-

di applicare il teorema dei residui l. 14.I,e cosl facen-

._ -o

cons i

er anct· ~ o~,--,r..--.. s~ u~o,--tuo-

,

g.q, un integrale

g(z)

f f

I

(z) (z)

dz

/

ove f (z) è una ( unzione per cui valgono le ipotesi sopradette e g(z) e' una qual °S'i asi funzione olomorfa in un campo conten e nte il dominio D. Si ha allora la formula:

f (z) dz f (z) I

( 1.20.5)

(z)

per g(z) =1, si riduce alla (1.20. La ( 1. 20. 5) si dimostra come la prece ente: bast a osservare che , per esempio, nel punto z 1 [oppure t1J la funzione f I (z) g(z) ha un polo del 1° ord i ne con R(z 1 ) =m 1 g(z 1 )°[oppure f (z) ~ -n1g(t1 )J(**). Un altro caso in cui il calcolo dell'i ndi~t ore logaritche,

( * ) Convenendo di contare uno zero

o un polo un numero d'i volte uguale al

suo ordine e dicendo che in un polo la f( z) vale ro, la (1 . 20 . 4) si puci esprimere dicendo che l'indi catore logaritmico della f(z) relativo a D ~ ugua l e alla differenza fra il numero dei punti d i D il numero dei punti 4i D in cui va le ro. (**)Se questi residui punto di olomor fia .

sono nulli

non

in

cui f(z) vale O, ed

si ha un polo· del 1° ordine, ma un

.\ 1. 2 o]

- 81 \

ha quando all'esterno di D cade un numero inìto >-O di p,unti singolari della (z e tali punti sono tutti dei poli. Come dianzi (e tenendo presente che ~D contie-

m.ico e' immediato si

e il punt~=co) si vede che necessariamente in ~D ca e ul\ umero finito di zeri della f(z) ed allora si uo' d. strar el il teorema s .·

~ ~T~orem~ ~.20.v.- Ne~la

,,,.

gli ordini d gl gli ordini dei poli ha m

( l. 20 . 6)f-çì

z

i

t~,t 2 ,

predetta ipo~esi, detti m1 ,m 2 , ••• .. z di f(z) e n 1 ,n 2 , •• • ·,n .~.,t di f(z) che cad~no in ~o(•)s~

h . z

4

1

~ .J:ÒD

~

.

~D le singolarit~ di

Dim.- In

f'(z)

sono esclusivamente (z) i ~ punti .z.1,z 2 , ... , z , t 1 ,t 2 ,.:.· ,·tp.J se fra essi non hguraj

f

il punto z =co, possiamo dire (teor. l.20.I) che tali punti sono tutti~ di 1°ordine coi rispettivi residui m1 ,m 2 , •• • ,m, -n 1 ,-n 2

, •• •

1. 20. III)

,-nq-L._ d'altra

e

parte

risultaR(co)=O(per

il

teor.

perc i o', applicando_ il teorema esterno dei residui

~d .120.6)9j

1.18."I, si oi t·

Se i"nvece si ha . per esemp'l.-o z

=CO

[oppure (

·=co),

111

vir-

[oppure R(co)=~] e l'ap-

tu' del

plicazione del predetto . teorema conduce anco~a ovviamente alla p.20 .6), c.d.d l Facciamo un'applicazione dei due teoremi f(z) j"e' una f~nzione razionale ) (in articolare un essa sono a ica i i . sia a (l.20.4 sia la . i secondi membri, si ..-:-'i O".

I

(

z ) dz

J+ÒD~ (z)+Àg(z)

c~

il · numero N(À) degli zeri

o

la funzione f(z)+

+Àg(z) ha in D. Dalla (1. 20. 7) segue ovviamente GJ.ie N(A) e' funzione .c~ntinua di À e quindi (trattandosi . di un numero intero) che (À) e' costante. Si ha percio' N(O)=N(1) vale a d ire--che in o

D la f(z)+O•g(z) ha tanti zeri quanti ne ha f(zy'+1.·.g(z) : c.d.d. Facciamo un'applicazione del teorema di Rouche~ Determini~mo il numero degli zeri del polinomio p(z ) = appartenenti al ~rchi Posto f(z) =z 8 -4z ferenza = 1 si ha

lz I

z

8 -

4z

5

+

z

2 -

1

lzl