Letter-Place-Algebren und ein charakteristik-freier Zugang zur Darstellungstheorie symmetrischer und voller linearer Gruppen

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BAYREUTHER MATHEMATISCHE SCHRIFTEN ISSN 0172—1062

Heft 4, 1980

Michael Clausen:

Letter—Plaoe-Algebren und ein oharakteristik-freler Zugang

zur Darstellungstheorie symmetrischer und voller linearer Gruppen

Selbstverlag der Universität Bayreuth Schriftleitung: Prof. Dr. A. Kerber, Lehrstuhl II für Mathematik Postfach 3008 - 8580 Bayreuth, W.-Deutschland

ZUSAMMENFASSUNG

Die von Désarménien, Kung und Rote zu invariantentheoreti-

schen Zwecken eingeführte Letter-Place-Algebra x; über einem

Körper K läßt sich zu einer GL(m,K)- und zu einer Sn-Algebra machen und besitzt nach einem Satz von Rota eine,

jetzt auch

darstellungstheoretisch interpretierbare Basis aus sogenann-

ten standard Bideterminanten. Angeregt durch die Carter-Lusz-

tig-Konstruktion von Weylmoduln werden hier symmetrisierte Bideterminanten eingeführt und näher untersucht: Zentrales

Resultat ist dabei eine Straightening-Formel für symmetrisierte Bideterminanten.

Zwei Typen von Specht- bzw. Weylmoduln lassen sich besonders bequem in der Letter-Place—Algebra definieren: Bei Moduln vom Typ 1 sind gewöhnliche, bei denen vom Typ 2 sind symmetrisierte Bideterminanten involviert. Gewisse Capelli-Opera— toren bilden die Moduln vom Typ 2 homomorph in die entspre-

chenden Moduln vom Typ 1 ab. Im gewöhnlichen Fall handelt es sich dabei um Isomorphismen irreduzibler Sn- bzw. GL(m,K)— -Moduln.

Im allgemeinen Fall stellen sich die Bilder unter

konkret angebbaren Bedingungen heraus als die jeweiligen

irreduziblen (!) Sockel in den Moduln vom Typ 1. Dies liefert eine charakteristik-freie Beschreibung irreduzibler Moduln

für symmetrische und volle lineare Gruppen. Schließlich wird ein Algorithmus entwickelt, mit dem man bis auf Äquivalenz die sämtlichen irreduziblen Darstellungsmatrizen für die symmetrischen Gruppen über einem beliebigen Körper K berech— nen kann.

Diese Arbeit wurde von der Fakultät für Mathematik und Physik der Uni—

. versität Bayreuth als Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktor's der Naturwissenschaften genehmigt. D 703

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Einleitung und übersicht Bez eichnungsregister

vii

KV

I. Letter-Place-Algebren unter darstellungstheo-

retischen Asgekten

5 1 Motivation, Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Der Straightening-Algorithmus für Bideter-

20

minanten

Capelli—Operatoren und die lineare Unabhän—

43

gigkeit der standard Bidetérminanten Ein Straightening-Algorithmus für symmetri-

53

sierte Bideterminanten

Bisymmetrische Transformationen und Polari-

68

sationsoperatoren

II.

Zur charakteristik-freien Darstellungstheorie

76

symmetrischer und voller linearer Gruppen

5 6 Specht- und Weylmoduln vom Typ 1 und die Erzeugung von Specht- und Weylreihen mit Hilfe

von Capelli-Operatoren

76

..vi-

5 7 Specht— und Weylmoduln vom Typ 2 und das Zu-

90

sammenspiel dieser Moduln mit denen vom Typ 1 bei direkten Zerlegungen 5 8 Eine charakteristik-freie Konstruktion von

101

irreduziblen Moduln für symmetrische und volle lineare Gruppen

5 9 Ein Algorithmus iur Gewinnung der darstellenden Matrizen für die (modular)

117

irreduziblen

Darstellungen der symmetrischen Gruppen

Literaturverzeichnis

131

_

Vii .-

Einleitung und Übersicht

Diese Arbeit liefert einen neuen, rein konstruktiven, charakteristik-freien Zugang zur Darstellungstheorie

symmetrischer und voller linearer Gruppen mit Hilfe der von J. Désarménien, J. P. S} Kung und G.—C. Rota [4]

zu invariantentheoretischen Zwecken eingeführten Letter-Place-Algebren (kurz: LP-Algebren).

Die gewöhnlichen irreduziblen Darstellungsmoduln der sym-

metrischen Gruppe Sn lassen sich bekanntlich über 0 und realisieren.

demnach über Z

Zu den Partitionen ; von n,

die ja sowohl die Konjugiertenklassen als auch die Klassen der gewöhnlichen absolut irreduziblen Darstellungen der S“

parametrisieren, gibt es also 2 [Sn]-Moduln $A(ZZ) , so daß für einen Körper K mit zu n! teilerfremder Charakteristik

die Menge {:PÄ(K):=Z&(Z) “EK / ). Partition von n}

ein voll-

ständiges System paarweise inäquivalenter, absolut irreduzibler K[Sn]-Moduln ist. Diese Moduln ÜÄ(K)

lassen sich konkret be-

schreiben als von sogenannten Spechtpolynomen erzeugte K[Sn]-Untermoduln des Polynomrings K[x1,...‚xn]‚ den man vermöge „x.1

:= xa(i)

(aesn)

nennt diese auf W.

zu einer Sn-Algebra gemacht hat. Man

Specht Ü6]

zurückgehenden Moduln Specht-

moduln. Läßt man die Forderung char Kfn!

fallen, so sind die

Spechtmoduln nicht mehr notwendig irreduzibel, jedoch besitzen,

wie G. D. James

[8]

1976 zeigte, die zu p-regulären Partitionen

; gehörigen Spechtmoduhm %(p) := J;(mp), p eine Primzahl, einen

- viii -

eindeutig bestimmten maximalen Teilmodul‚ nämlich der Schnitt von

95p) mit seinem orthogonalen Komplement Jä(p7‘ bezüglich einer natürlichen, Sn-invarianten Bilinearform auf "dem" zu

x

gehö-

rigen Permutationsdarstellungsmodul. Darüberhinaus konnte

James zeigen, daß die Menge {$Ä(%Ä(P )ln%(p) /x p-reguläre Partition von n) ein vollständiges System paarweise inäquivalenter, absolut irreduzibler zp[sn]-Moduln ist; er merkte aber

in [9] an, daß diese Radikalfaktormoduln nur schwer zu hand— haben sind .

Ein analoger Sachverhalt liegt bei den irreduziblen, polynomialen K-Darstellungen der vollen linearen Gruppen GL (m,l()

vor.

Hier "entsprechen" den Spechtmoduln die von R. W. Carter und G. Lusztig [1] konstruierten Weylmoduln1lä(l()

(A wieder eine

Partition von n) , die sich als Konstantenreduktionen von minimal zulässigen Z-Gittern bestimmter GL (111,0) -Untermoduln des Tensorraumes 30m herausstellen. Während im gewöhnlichen Fall die Menge

(”;(0)

/ A eine Partition von nE.NO mit höchstens m

Teilen} ein vollständiges System paarweise inäquivalenter, absolut irreduzibler, polynomialer GL (m,Q)—Moduln ist, sind die Weylmoduln VÄ(K) im allgemeinen Fall nicht irreduzibel, besitzen aber jeweils einen eindeutig bestimmten maximalen Teilmedul, der sich wieder als "Radikal" einer Bilinearform deuten

läßt . Der Zugang über die LP-Algebren ermöglicht es uns, die unhandlichen Beschreibungen der irreduziblen Moduln als Radikalfaktormoduln zu dualisieren.

In 58 werden wir zeigen:

- ix -

Ist die zu A assoziierte Partition # p-regulär, so besitzt der Spechtmodul fÄ(p)

einen eindeutig bestimmten, konkret angeb-

baren, minimalen Sn-Untermodul $Ä(p)#o‚ und

'{$Ä(p)

/ # p—reguläre Partition von n} ist ein vollständiges

System paarweise inäquivalenter, absolut irreduzibler Eplsn]-Moduln._

Der Formulierung des analogen Resultates für die vollen linearen

Gruppen müssen wir eine Reihe von Vorbemerkungen vorausschicken,

denn erst vom Standpunkt der Theorie der LP-Algebren wird deutlich, daß die von Carter und Lusztig konstruierten Weylmoduln bei beliebigen Grundkörper nicht den Spechtmoduln entsprechen,

sondern in gewisser Weise eine duale Konstruktion zu den Specht-

moduln darstellen. Um dieses näher erläutern zu können, müssen wir zuerst die darstellungstheoretische Bedeutung der LP-Algebren skizzieren.

Es sei R ein beliebiger kommutativer Ring mit 1#0. Der Polynom— ring1

n{‚‘‚ == Rl(ilj) lierg‚jer_ll in den m-n Unbestimmten (ilj) heißt Letter-Place-Algebra in m Buchstaben und n Plätzen [4]. Diese LP—Algebra wird zu einer sd—

und GL(m‚R)-Algebra, indem man die bekannten Sn- und GL(m,R)— Aktionen auf dem Tensorraum 3Rm kopiert. Es zeigt sich, daß das

‚Konzept der LP-Algebren in der in 1.7

beschriebenen Weise die

"klassischen" Konzepte wie Gruppenalgebra R[Sn], Polynomring

n [ R[x1‚...,xnl und Tensorraum 9Rm umfaßt.

1Ein Bezeichnungsregister schließt direkt an diese Einleitung an.

..x-

Gewisse, den totalen Grad eines Monoms verfeinernde Homo— genitätsbedingungen führen zu folgender direkten Zerlegung der LP—Algebra R3£

R;=$ kemo

® a=(a1,...‚am)l=k

R

.

aß

B=(B1‚...‚Bn)Fk

In 5 1 zeigen wir, daß die von den Monomen vom Inhalt

(a,ß)

erzeugten Räume RnB folgende darstellungstheoretische Interpretation zulassen:

RGB = HmR[SR] (R[Sk].R[S°]R'R[SR]QR[SB]R) .

Demnach sind LP-Algebren direkte Summen von Verkettungsräumen, und der Verkettungssatz von Mackey (vgl.

[3])

legt es nahe, nach

einer darstellungstheoretisch relevanten R-Basis von RnB zu su—

chen. Eine solche Basis, die aufgrund von Youngs Regel (vgl.ho]) eng mit den standard Bitableaux vom Inhalt

(5,6)

zusammenhängen

sollte, wurde, wenn auch unter anderen Gesichtspunkten, von

Désarménien, Kung und Rota in [4] angegeben:

Die Menge SBD(u.B) der standard Bideterminanten vom Inhalt

(5,8)

bildet eine R-Basis von Ruß'

Daß die standard Bideterminanten vom Inhalt

(a.ß)

den Raum Ruß

erzeugen, ergibt sich unmittelbar aus einer Straightening—Formel für Bideterminanten ([4]; vgl.

auchnüt 52 ), die auf einer erheb-

“Xi“

lich verallgemeinerten Garnir-Relation ([4]; vgl.

auch mit 2.16)

basiert. Die lineare Unabhängigkeit der standard Bideterminanten erhält man aus gewissen Eigenschaften sogenannter Capelli-Operatoren C(S,T)‚

(S‚T)

ein Bitableau.

Aus darstellungstheoretischer Sicht sind diese Capelli-Opera-

toren zu "groß"; wir werden sie in einen "Letter-Anteil" und

einen "Place-Anteil" aufspalten:

C(S‚T) = CL(S)° CP(T).

Während die Capelli—Letter-Operatoren CL(S) men sind,

R[Sn]—Homomorphis—

liefern die Capelli-Place—Operatoren CP(T)

RiGL(m,R)]—

Homomorphismen; es wird sich in dieser Arbeit zeigen, daß den Capelli—Operatoren in der Darstellungstheorie symmetrischer und voller linearer Gruppen eine zentrale Bedeutung beizumessen ist.

übersetzt man "typische" Elemente der von Carter und Lusztig konstruierten Weylmoduln‘“ä(k)

in die Sprache der LP-Algebren,

so stößt man auf den Begriff der symmetrisierten Bideterminante. Wir führen diesen Begriff in 5 4 in größerer Allgemeinheit ein

und leiten eine straightening-Formel für symmetrisierte Bideter-

minanten her. Das Ergebnis dieses Straightening-Prozesses läßt eine gewisse Dualität zur Straightening-Formel für Bideterminanten erkennen.

(gewöhnliche)

- xii -

Den durch

|

J'Ä(R) ‚= < (TMT) / TETÄ(1n) >R'

(Ai-n)

in der Sprache der LP-Algebren ausgedrückten Spechtmoduln

entsprechen als GL(m,R)-Analoga vom Standpunkt der LP-Algebren die Räume

|

U?(R) :— < (T|T„) / Teu'"(r_n) >R

(„m).

deren GL(m,R)-Invarianz sich direkt aus der Straightening—Formel

ergibt. Wir nennen $Ä(R) bzw.lßT(k) den Specht- bzw. Weylmodul vom Typ 1. Der Zusatz "Typ 1" ist notwendig, weil der hier eingeführte WeylmodultfiT(R)

im allgemeinen von dem von Carter und

Lusztig eingeführten Weylmodul'Uä(R)

(Weylmodul vom Typ 2) ab-

weicht. Der Carter-Lusztig Konstruktion der Weylmoduln entspricht

die Konstruktion der Spechtmoduln ÜÄ(R) vom Typ 2, bei denen ebenfalls symmetrisierte Bideterminanten involviert sind. Die Capelli-Operatoren

CL&A') : J*(R) _, N‘“ bzw.

°p‘*„? : väm -——‚ u‘;'(n) (genauer: die Einschränkungen der obigen Capelli-Operatoren auf

die entsprechenden Moduln)

bilden Specht- bzw. Weylmoduln vom

Typ 2 in naheliegender Weise in die entsprechenden Moduln vom Typ 1 ab. Diese Abbildungen sind im gewöhnlichen Fall sogar

— xiii -

Isomorphismen. Allgemein stellt sich heraus, daß die Bilder Isomorphismen.

dieser

Homomorphismen entweder 0 oder irreduzibel sind. Das

ermöglicht

uns eine charakteristik-freie Konstruktion absolut

irreduzibler Darstellungsmoduln für die symmetrischen und vollen linearen Gruppen. Für die symmetrischen Gruppen haben wir schon zu Beginn dieser Einleitung das Endresultat erwähnt.

Das analoge Ergebnis für die vollen linearen Gruppen können wir nun formulieren:

Ist

A eine Partition von n mit höchstens m Teilen, so gilt

bei hinreichend großem Grundkörper K ({Ki>n): Der Weylmodul ‘WT(K)

vom Typ 1 besitzt einen eindeutig bestimmten, konkret

angebbaren, minimalen GL(m‚K)-Untermodul.fi?(K)*

und

\;

0. Sind

A

zwei verschiedene Partitionen mit höchstens m Teilen

und gilt sowohl |x| < |Kf als auch Ip! < iR! Moduln J1?(K) und JiT(K)

, so sind die

nicht isomorph.

Der Beweis dieses Ergebnisses wird erleichtert durch Ausnut-

zung der in 5 5 bewiesenen Tatsache, daß die Algebra

EndR Sn](eRm ) der bisymmetrischen Transformationen als epimorphes Bild der entfärbten L-SPO-Algebra

‘9L (m, n; R)

ange—

sehen werden kann.

Über die

Dimensionen der modular irreduziblen Darstellungs-

moduln für die symmetrischen und-vollen linearen Gruppen

scheint

wenig bekannt zu sein. Auch unser Beitrag ist

eher als bescheiden zu bezeichnen:

Neben einer charakte-

ristik—freien unteren Schranke für die Dimension eines irreristik-freien

duziblen

GL(m,K)—Moduls.fl?(K)

geben wir eine Beschreibung

— xiv —

dieser Dimension

als Summe von p—Rängen

(charK

= p)

ge-

wisser ganzzahliger Matrizen an. Als Folgerung ergibt sich

eine Möglichkeit, die Dimension eines irreduziblen Zp[Sn]Moduls

'$Ä(p)

auszudrücken als p-Rang einer weiteren Matrix

über % , die eng mit der Sram-Matrix zu der von James ein-

geführten Bilinearform zusammenhängt.

In einem abschließenden Paragraphen können wir aufgrund der entwickelten Methoden einen Algorithmus zur Gewinnung der

darstellenden Matrizen für die (p-modular) irreduziblen Dar— stellungsmoduln der symmetrischen Gruppen Sn angeben.

In

allen Einzelheiten führen wir diesen Algorithmus für die Fälle n=3 und n=4 vor.

Diese Arbeit ist mit der Absicht angelegt werden, einen in sich weitgehend abgeschlossenen, charakteristik-freien Zu— gang zur Darstellungstheorie symmetrischer und voller linearer Gruppen zu beschreiben. Aus diesem Grund war eine "darstellungstheoretische Aufbereitung" der kürzlich ent— wickelten allgemeinen Theorie der LP-Algebren

(vgl. 52 und

53 dieser Arbeit) nicht zu umgehen. An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. A. Kerber für die wertvollen Anregungen und Hinweise zu dieser Arbeit bedanken.

Bayreuth, im Juni 1979 Michael Clausen

“XV“

Bezeichnungsregister

Vorab eine für die gesamte Arbeit geltende Vbrab Konvention

Im folgenden bezeichnen wir mit R,

sofern nicht ausdrücklich

Einschränkendes gesagt wird, einen beliebigen kommutativen Ring mit Einselement

1R

1 # O.

Def. auf

Symbol / Begriff

0 ; c ;

Seite

up

Kommentar

Körper der rationalen bzw. komplexen Zahlen; Primkörper mit p Elementen

%

; No ; N

Menge der ganzen, nichtnegativen ganzen bzw. positiven ganzen

||M}

(=natürlichen)

Zahlen

‚Mächtigkeit der Menge M

idM

identische Abbildung von M

N"

Menge aller Abbildungen von M nach N; statt

flA]] ; f

Menge der Bilder von A5M unter einer Abbil-

f ENM schreiben wir auch

A

f:M-'N

-dung f=M-+N ; Einschränkung von f auf A

-1

[ f[B}

Menge der Urbilder zu den Elementen aus

35N

i

5.:= {1,2,...,k}

P Pk(M)

Menge der k-elementigen Teilmengen von M

a u

h k , (X. a

\

51

‘

sa a

‘

bzgl. der Abbildung f:M-'N

k ! ; ä

l X + k N' l

(l) (>»)

“1|= |a|

k

8

; 5 := {1,3,...,£} (k€lü

uneigentliche Partition

8 8

Young-Untergruppe zu a

8

(eigentliche) Partition

20

'zo

assoziierte Partition zu x

- xvi -

Symbol / Begriff

Def. auf Seite

Kommentar

a < B

lexikographische Anordnung uneigent-

& 4 B

Dominanzhalbordnung uneigentlicher

licher Partitionen Partitionen:

s(T)

; c(T) *

TA ; H(T)

TA

20

251 a. < 22: B.

j9ä ein m-dimensionaler (freier)R-Modul‚ so wird der Tensorraum

n

n

R — eRm

?

zum

R[S bzw. R[GL(n-.‚R)] R R[Sn]— -Modul vermöge R n]- bzw.

(1)

oe

:= e

(oesn; fea£)

bzw. (ii)

(3

°g(i)f(ifi eg

(f(i)li) erklärt und e f ‚_,11’ ((a st )ecnm,m; fem£)‚ iEn sowohl einen R[Sn]- als auch einen‘R[GL(m,R)]-Monomorn

phismus w3

: DRm———>R;.

Die Beweise sind trivial. E

n

Im folgenden identifizieren wir den Tensorraum flRm mit seinem

.„3-311d.

Bei einer genaueren darstellungstheoretischen Untersuchung der

LP-Algebra R; spielen gewisse R-Untermoduln, die durch bestimmte Homogenitätsbedingungen definiert sind, eine große Rolle. Um eine Präzisierung der damit verbundenen Begriffe geht es in den folgen— den

1.8 Definitionen

.

Es sei F

= rEk (lrljr) . .. n _ . € Mm(Rl‚ für k=o se1 F ._= 1.

(1) Grad F (1)

:= k heißt der

(totale)

Grad von F; wir setzen

„;(k‚k) := {F e “;(R) / Grad F = k} und Rä(k) :=< Mä(k‚n) >R.

(2)

Für sen und ten sei

aus := |{re5 / ir=s}| bzw. 81: := „re; / jr=t}|. Dann heißt

GL(F)

== (°1"“'°m)=°

der L-Inhalt,

cP(F)

== (B1,...,ßn)=ß

der P-Inhalt und

c(F)

(3)

:= (u.ß) der Inhalt des Monoms F.

Y=(y1‚... 'Yt) heißt eine uneigentliche Partition von RE:}!> (Abk.: yl=k), wenn sämtliche 11 in N (Offenbar gilt in

(4)

0

liegen und k=y1+...+y

t

(2): a}=k und ß}=k.)

Y=(Y1‚...,yt) heißt eine Partition von ken

(Abk.: w-k), wenn

Yr=k und „>. . .>yt>o ist.

(5)

Zu Y=(Y1‚...,yt)l=k und 165 sei

31 :=.{y1+...+yi_1+1‚...‚y1+...+yi}. Ferner nennen wir 8

(6)

:= {wesklvles “[£1]=51}

die Young-Untergruppe zu vl=k.

Zu „=(a1‚...‚am)r-k und ß=(ß1,...,ßn)l=k bezeichne "man“ die Menge der normierten Monome aus R:; vom Inhalt

(0,6) .

R aß := ä.

Wir listen eine Reihe von nützlichen - wenn auch mehr oder weniger trivialen - Bemerkungen

(ohne Beweise zu liefern)

auf:

ist.

1 . 9 Lemma

a=(a1,. . . ‚am)l=k und B=(B1, . . . ,ßn)l=k€li. Es seien a

(1)

Rä(k) ist GL(m‚R)XSfl-invariant.

(2)

R

a aß

ist genau dann Sn-invariant, wenn für ein tell

ß=(r, . . . ,r)== (x“) gilt.

(3)

(4)

R a

n

[

]

R

(1“)(1")

(Vgl.

(5)

ist R[Sn]-isomorph zum Permutationsdarstellungsmodul

ER!“ =

und die Gruppenalgebra R[Sn] sind R[Sn]—isomorph

1.7(1)).

9 R n a=(u1,...,am)hn a(1 )

ist eine direkte Zerlegung des

Tensorraumes als R[Sn]-Modul.

Der restliche Teil dieses Paragraphen dient der darstellungstheoretischen Charakterisierung der Räume Ra.ß

ß=(ß1 ‚.. . ‚ßn)ß=kell) .

(«=(a1 , . . . ‚am)l=k,

Den Nachweis der R-Isomorphie von Raß und

a zaß(R) " Homkiskl(R[skl °R[S°]R'R[sk] °R[sß]R’ beginnen wir mit folgendem

-10-

1.10 Lemma

Es sei G = U

Ugiv die Doppelnebenklassenzerlegung der end-

ied lichen Gruppe—G bzgl. des Untergruppenpaares

(U‚V) .

Zu MSG

sei 5 := 8 m € R[G]. Bezeichnen wir mit R stets den trivialen mEM

MB]-Modul, H eine Untergruppe von G, so kann man den R[G]-Modul

R[G] nR[U] R

als Untermodul von R[G] mit R-Basis G2 := {g / xeG}

realisieren. Wir behaupten:

'J£== Homme] (R[G] .:R[U] R,

R[G] 0 RW]R)

ist ein freier R-Modul mit R—Basis

{°Ugiv == 01 / 1eg}‚ „(g) := XU‘31V—

Beweis:

.

Offenbar liegen die 01 in x. Die lineare Unabhängigkeit von °1""'°d folgt aus der Tatsache, daß oi(g)

der Indikator der

Doppelnebenklasse Ugiv ist. Somit bleibt zu zeigen, das?! von 01 , . . . '°d erzeugt wird.

Nun gibt es zu jedem oe? eine eindeutig bestimmte Abbildung

c° : nGg -———>R‚ so daß für alle x_q & G_q gilt: o(gg) - Z c°(x_u‚yx>y_v.

üe6!

Wir werden zeigen:

m

o = 1% c°(g.qiw _ oi-

_11...

Eine leichte Rechnung ergibt für 0€Xund x,y€Gz

c°(xü‚y_v) = c°(9.x'1xv); speziell gilt für x€U

C

(Hifi)

und yEG:

_

-

C

0

(Elfi)

d. h. die Funktion yo——>c°(g‚y_V)

= C

o

(yEG)

(Elx

-1

!V) I

ist konstant auf den

(U,V)-Doppelnebenklassen von G, somit ist:

«um = Z c°(u‚g v) o.(U), und da R[G] °R[U]R = ein zyklischer R[G]—Modul ist, haben wir

(*)

bewiesen .

Das folgende Lemma ist nur eine triviale Umformulierung des InhaltBegriffes:

1.11 Lemma

Raaß = die Angabe von °C (

Die Matrix C=(°ij)

4 —> R 4 o(1 ) ß(1

gehörigen R[S4]-

zu konstruieren. Da

ist, genügt zur Beschreibung von °C schon

1 1 2 2

1 2 3 4

)eR[s4]

legt folgende

1 3 3 3

1 2 3 4

.

(vage) Vorschrift nahe:

-

"Man mache "Man

je cij Buchstaben 1 zu j und summiere alle so

erhaltenen

Führt man

Monome auf."

die Substitutionen sukzessive - also in “irgend—

einer" vorher einer"

sich

15 _

festgelegten — Reihenfolge aus aus, so sieht man

bald vor folgende Entscheidung gestellt: Darf oder soll

man einmal substituierte Buchstaben nochmals zur Substitution zulassen?

Da sich keine der möglichen Reihenfolgen beim Substitutionsprozeß als "die natürlichste" anbietet, sollte das Substitu— ieren von der Reihenfolge unabhängig sein. Demnach darf man einmal substituierte Buchstaben bei den folgenden Substitu— tionsvorgängen nicht mehr berücksichtigen. Wie sieht man aber

einem Buchstaben an, daß er zu den bereits substituierten gehört?

Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, ist die Einführung

von gefärbten (d. h.: bereits substituierten) Buchstaben.

Bevor wir im Beispiel fortfahren. definieren wir die gerade

motivierten Operatoren in voller Allgemeinheit:

1.16 Definition [4] Essüenr߀N;LAHM‚„.AkEEUQ;m32%,„.ßk€guy ‘

Für eine Menge N beteichne Pr(N) die Menge der r-elementigen

i

Teilmengen von N.

-15_

(1)

Der durch

‘Il'

teä

(A

B)!——>Z

1r

MEPI({IIA1=A}) ten

tl “

(14|3)

Tr

“ p55\M

(AIB)

P P

. . r n definierte R-Endomorplusmus DL(A'‚A) : gmn ___-) gm wird der je r Buchstaben A in A'

substituierende Buchstaben-

sation —Mengen-Polarisationsoperator (engl.: letter _s_et golarisation

gperator) genannt. (Abk.: L-SPO.) DL(K‚A) °

:- id “ . _

ä‚„ (2)

Der in Analogie zu

(1)

gebildete Platz-Operator Dä(B'‚B)

Platz—Mengen-Polarisationsoperator.

(Abk.: P-SPO.)

Trivial ist folgendes

1.17 Lemma . 1‘ . . (1) Die von {DL(l‚i)l reNo; i,]€m} U {Dä(g,u)lsel‘%; u,veg) erzeugte Unteralgebra von Endn(ä)

(2)

Die von den L—SPO's erzeugte Unteralgebra 2L(m,n;R) von

n

EndR(g_m)

(3)

ist komutativ.

n

liegt in EndR[snj(gm) .

Die von den P-SPO'S erzeugte Unteralgebra b (m‚n;R) von n

-P

n EndR(gm) liegt 1“ Endn[GL(m ‚R)l(gm)'

(4)

Die Elemente von 2L(m‚n;R) sind mit allen Elementen von

£P(m‚n;R) vertauschbar.

heißt

-17-

Wir kehren zum Beispiel zurück und ordnen der Matrix

C

=

1 0 1

0 0 2)

den Operator

-o

NN—‘—'

zu, den wir nun auf

1>WN—'

oc == Dl(1‚1)o nl(gfi)- Dä(g‚z) anwenden (wegen 1.17 (1) ist die

Reihenfolge der auftretenden L-SPO's beliebig):

11 12

23

24

_1_1 12

11 12

24

24

11

g1

33 *2_—_'> DL(3,21g4

23 34

"““—*

DL(1,1)

23*53"7'—>

DL(3‚1)

11 32

31 12

24

24

53*23

22+12

'

Damit aus dieser Zuordnung eine Abbildung von R

4

«(1 )

nach R

4

ß(1 )

wird, haben wir die linke Seite des Ergebnisses noch zu “entfärben“.

1.18 Definition Den durch

a

.

b

a .

b

c

d

rum “ 11(1_. R J in j 1

1.21 Definition

(1)

Die von {Bow

von EndR(Rä)

n

(m,n;R) / wegä(m‚ngk)} erzeugte Unteralqebra lk(m,n;R)

nennen wir die entfärbte L-SPO-Algebra.

_19_

(2)

Analog zu 2£(m‚n;n) definieren wir die entfärbte P-SPO— -Algebra

(3)

3P(m‚n;R) .

Offenbar ist der Tensorraum

n

flRm ein 4E(m,n;R)-invari—

enter Teilraum von RE. Wir setzen:

:= .‘b“(R) m

(w |3Rm

/ we£L (m ' mm}.

5 2

-

_ 20

Straiqhtenind—Alqorithmus für Bideterminanten Der Straightening-Algorithmus

Um das weitere Vorgehen motivieren zu können, erinnern wir zu—

nächst an einige Sprechweisen und Fakten aus der gewöhnlichen Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen. Da wir im Laufe die-

ser Arbeit charakteristik-freie Verallgemeinerungen dieser Fakten beweisen, ohne auf die klassischen Resultate zurückzugreifen, dienen die Aussagen aus der gewöhnlichen Darstellungstheorie

symmetrischer Gruppen lediglich der Motivation eines charakteristik-freien Ansatzes.

Ist x=(x1‚...,xh)n-|xi=n‚ so heißt x'=(x'1‚x'z,„.) mit Xi:=l{rehlxr>i}l die zu A assoziierte Partition. Ein A—TableauT ist eine Abbildung T von (k) l T(i‚j)

:= \ ] {i}x Xi in eine Menge M. Statt

i€h schreiben wir tij und veranschaulichen T wie üblich auf

folgende Weise:

11

t12

21

22

h1

th2

......

""

...

t

tz;

thx

Meistens ist M=E oder M=EU; für ein geeignetes keli. heißt die Gestalt

(engl.: shape)

von T. Im FallM=k

s(T):=A ordnen wir

T das k-Tupel u=(u1‚...‚uk) mit ar:=i((i‚j)/tij=rll zu und nennen C(T):=a den Inhalt

(engl.: content) von T. TÄ(£), k€li,

sei die

Menge aller l k-Tableaux T=(tij) mit tijéä. Ist a=(a1,...‚ak)hlxl‚

_21_

so sei TÄ(a) die Menge aller A—Tableaux vom Inhalt «.

s=(sij) und T=(tij) aus THE) sind sgalten-äggivalent (Abk.: SET), wenn es zu jedem Spaltenindex j ein qSÄ‚_ gibt, (1,3) gilt:

so daß für alle

sij = tr.j(i)j° Analog heißen S und T zeilen-äggivalent

(Abk.: S;T)‚ wenn es zu jedem Zeilenindex 1 ein 0163}

gibt, so 1

daß für alle (i,j) gilt: 5

ij = tioi(j) .

SET : (—)(s„,sz1,...‚sh1,s12,s22‚.„)

Durch < (t11,t21‚...) bzw.

S?T : (=) (S11’s12""’s1x1'521'522“") < (t11‚t12,...) wird TX (£)

spalten- bzw.

zeilenlexikographisch angeordnet.

Ein Tableau T=(tij) 5T)‘(5)

heißt zeilen- bzw.

spaltenmonoton,

wenn für alle 1 bzw. für alle j gilt: ti.| R

.

Der Beweis dieses Hauptsatzes erfolgt in zwei Schritten:

Gegenstand des zweiten Schrittes, der einen großen Teil von 5 3 beanspruchen wird, ist der Beweis der linearen Unabhängigkeit

von SBD(u‚B). Der erste Schritt - wesentlicher Teil dieses Para— graphen - besteht aus dem Nachweis, daß die standard Bideterminanten vom Inhalt

(u‚ß) den Raum Raß erzeugen. Dieser Nachweis

basiert auf dem sogenannten Straightening-Algorithmus, mit dem man beliebige Bideterminanten vom Inhalt

(a,ß)

sukzessive durch

standard Bideterminanten gleichen Inhalts ausdrücken kann.

Für viele Zwecke reicht schon folgende Aussage, hinter der sich

der Straightening-Algorithmus verbirgt:

-28-

2.6 Satz [4]

Für (sur) emÄ (.. .ß) gilt:

—o

(SIT) e < U ssn“(„‚ß) >

Z.1 R

ul'k u>Ä

die Bideterminante zu einem x-Bitableau läßt sich also als Z.1R-Linearkomination von Bideterminanten zu standard Rita— bleaux gleicher oder größerer Gestalt als A schreiben.

Wir ziehen zunächst aus diesem Satz eine

wichtige

2.7 Folgerung R&B = < SBD(u,B) >R'

Beweis:

Für ein Monom

I

(irljr)€Raß = < Muß(R) > gilt:

r€£

][

re5

(irljr) =

11 :

j1:

€

:

;

2.6

ik

jk

< U

SED „ (onß) >.

uhk u>(1k)

Der Straightening-Algorithmus leistet mehr als in Satz 2.6 zum Ausdruck kommt, denn bei der Darstellung von (SIT) als Linear-

kombination von standard Bideterminanten benötigt man nicht alle Elemente aus SBDÄ(u,B). Eine für darstellungstheoretische Zwecke

-

_ 29

nützliche Verschärfung ist der folgende

2.8 Satz

Für (S‚T)GBT‘ (a ,ß) gilt:

(S|T) & < (U|V) / (UN) e sm“m.ßh« U55 AV5T>

Z.1R

+

ul-k

m.1 R

.

u>x

Der Beweis dieses Satzes erfordert einige Vorarbeiten, mit denen wir jetzt beginnen wollen.

Als Handwerkszeug im Umgang mit Bideterminanten bietet sich der

Laplacesche Entwicklungssatz an; wir erinnern zunächst an seinen gruppentheoretischen Hintergrund:

2.9 Lemma

Ordnet man die Elemente der symmetrischen Gruppe Sk vermöge

vn‚cfisk u.° Wir halten an diesen Bezeichnungen fest und behaupten:

4.5 Lemma Für jedes S ETÄ(u) gilt:

=2 e o 7T(fllfl”) 163

=:(.nl‘f{"ß !...i(fll*fi"

..

B__eweisz Fiir (S, T)€ BT (a, 8) setzen wir @I'N ==

S'Z:S [SIT] .

cs Dann gilt:

(@I‘ä) = 256E" a {E]I;A} 06

-z; wma „ ist:

—z;“„ „Tnmlav'a

-57-

(Der Beweis zeigt, daß die *-Multiplikation wohldefiniert und assoziativ ist.)

Den ersten Schritt beschließen wir mit einer

Beschreibung des Reduktionsvorgangs:

Alle Behauptungen sind trivial, falls x = (1k) ist; es sei also A1>2. Wir können o.B.d.A. annehmen, daß S spaltenmonoton ist. Falls S nicht standard ist, gibt es eine Zeilenverletzung.

Es sei t der Index der ersten Spalte, in der für ein 1 gilt: sit>si‚t+1' Wir spalten S bzgl. y =

(y1,yz,y3)

:= (f.-1,2,A1—t—1)

auf. Mit Lemma 4.5 ergibt sich:

(EUR) = (_„*"M|Ä“%«(Efi|äjfi . SY'2 sei vom Inhalt

; =

(;1‚...‚cm) und von der Gestalt u.

Da SY'2 nicht standard ist, können wir Schritt gezeigt wird (

*

SY'2

‘TÄY'2)

-

-

wie im zweiten

schreiben: *

=

uesw"(;) _U gs 712

zU-(EJJ ITÄY'2)

, tz.1R .

Demnach gilt wieder mit 4.5: «l—

(IT)= @

"

Z

uesw”(c)

*

z-(-|T)‚ U

"

0 g S Yl2

wobei S(t‚U) das aus SY'1 . U und SY'3 zusammengesetzte Tableau ist. Wegen S(t‚U) *

g S können wir per Induktion

([:JITA) in der gewünschten Form schreiben.

_58_

Zweiter Schritt: Wir beschreiben im folgenden Lemma die Wirkung von L-SPO's

auf'ein- und zweispaltige symmetrisierte Bideterminanten: 4.6 Lemma k

.

Es sei. a

falls a

i n‚ so gilt:

< EA / AeGL(m.R) % = EndR[s ](3Rm)

.

n

Der folgende Satz zeigt, daß die aus dem Konzept der LP-Al-

gebren sich natürlich anbietende Algebra 83(R) , die ja von

den auf

dem Tensorraum operierenden L-SPO's erzeugt wird,

stets mit

End

n

RISn ](8Rm)

übereinstimmt.

5.4 Satz

Es sei R ein beliebiger kommutetiver Ring mit 1. Dann gilt: n

_

n

am(n) _ Endsn](eRm)

_

_69_

n Beweis: Wir benutzen die Schreibweisen aus 1.7 (3). Für f‚gegr bezeichne Efg den durch

Efg(eh) .

11 (vnem—)

‘hg °f

definierten R-Endamorphismus von 3Rm.

{Efg | mama) _

bildet eine R-Ba51s von

n

Endg(nnm).

Aufgrund einer einfachen Rechnung erhält man für jedes 2 f n A = f g afg Efg

.

(1)

€ EndR(flnm)z

n

A€EndR[snl(aRm)

«.

v"

esn

v

f‚g€mfl

Wegen (i) nennt man die Elemente von End

a

fg = afoo,goa'

R[SJ

(&Rm) auch

bisymmetrische Transformationen.

(ii) AEEndR(BRm) ist also genau dann eine bisymmetrische Transformation, wenn die Funktion (f‚g)F—->afg konstant auf den Bahnen ist, die die symmetrische Gruppe Sn vermöge

o*(f‚g) := kfoa'1,g.a") auf mEx 55 liefert. Bezeichnen wir mit [f,g]

die zu

(f‚g)

gehörige Sn-Bahn und

setzen

Eif.g]

E

[ ] ““ (h‚k)e[f.g]

'

; 70 _

so gilt für ein Repräsentantensystem & der Bahnen:

(iii)

EnaR[sn](ßam) = >R.

Es genügt also zu zeigen, daß die Elemente E[f g] in '

$3(R) liegen. Dies leistet das folgende

5.5 Lemma

Für f,g€g‘—‘ gilt:

El£.q]

=

60

-, . -‚

‘n'

Dif

i‚j€m

[l]“

g

[i]](ili)

-

n _

.

J

3% Beweis:

Zunächst ist die Äquivalenzklasse [f,g] analog zur

Aussage des Lemmas von Coleman eindeutig durch die msn—Matrix

(°ij)' cij := |?1[j]n 51[i]|‚ charakterisiert. Folglich hängt die rechte Seite in 5.5 ebenfalls nur von [f,g] ab. 1)

Wir können o.B.d.A. annehmen, daß 9652 eine

(schwach) monoton

steigende Funktion ist;

folglich existiert eine uneigentliche

Partition u=(u1‚...‚um)

von n mit

1)

Eine Erläuterung dieses Sachverhaltes findet man auf Seite

74 oben.

%

e

=

-

_ 71

1

1

1

u1

2

« +1

.

9

%

= F'

(n°). 1

1613

.1

i1+a2

ré m

15

[Hier haben wir wieder 8Rm mit Bild w3 identifiziert 1.7(3))

N (ihn)

:=

(vgl.

und die schon in 5 4 benutzte Schreibweise

F'(ilj), n, verwandt.] j€N

Eine leichte Rechnung zeigt, daß für 0692 im Fall woa#g der Basistensor ew

(Vcesn)

im Durchschnitt der Kerne beider in 5.5

auftretenden Operatoren liegt. Da beide Operatoren RIS„]-Homomorphismen sind, bleibt noch zu zeigen

E[f‚g](e9)

=

[5

.

Tl'

i,jE1_n_

? f1ijl"

DL

515“|(1‚1>

(e) 9

Nun ist einerseits

Eiflg] (eg)

=

Z

e

(h‚g)eif‚g]] “

'

s _ hé{f-c/o€SQ}

e

h

..72..

...-.- __--_________‚ r}(a1+...+ 1-1 +1) _

a « +...+u _ +1

|

,

'

!

163

I

|

f(u1+...+ai)

a1+...+ai

andererseits gilt (beachte: 61[i] = 9%):

6 . T|'

-1 .

-1‚'

D” [J] " 9 Li“(1.1)(e ) =

m“em L

IF

9

-1‘.

u

7

E.1r n}f “]" 21*(i‚1)(iugpj =

ie@

j€13 f(u1+...+ai_1+1)

Tr iem

.

.

u1+...+ai

f(a1+...+ai)

Zusammen

u1+...+ai_1+1

.

.

mit dem Satz von Thrall liefert das gerade gewonnene

Ergebnis folgenden

5.6 Satz

Es sei R ein Körper,

|R]>n. Dann gilt:

45“-

_ m(R) — EndR[sn](flRm) — < aA / AEGL(m‚R) %ä

-

n

.

Folglich ist ein Teilraum U von 0Rm genau dann 33(R)-invariant‚

_73_

wenn er GL(m,R)-invariant ist.

Insbesondere sind GL(m‚R)-Untermoduln des Tensorraumes auch invariant unter allen

(entfärbten)

Capelli-Letter-

-Ogeratoren.

Es sei B=(B1‚...‚ßn)hn. Da

& o “' j63

“. Dä(i,i) sowohl einen R[GL(m,R)]- als auch einen 162€

äL(m‚n;R)-Epimorphismus

3

0

n &

B

63

:=

-—»

Rn

RE’B

a=(u1,...‚am)Fn

Ruß

liefert, erhalten wir das folgende Korollar zum letzten Satz:

5.7 Korollar

Es sei R ein Körper, |R|>n; ß=(ß1‚...‚ßn)hn. Ein Unterraum U von Rm B ist genau dann 2L(m‚n;R)-invariant‚ wenn er GL(m‚R)_!

-invariant ist.

Durch eine Modifikation von 5.5 holen wir jetzt den Beweis von

1.20 nach:

Es sei ken;

l> mäx{m‚n}. k

Wegen der Sk-Zerlegung DR1 =

EB

v=(v1‚..-‚71)Fk

R

k

v(1 )

.gilt:

_74_

@

E“ d R[Sk] (äRl) '5

G=(a1l'°'lal)'=k

Horn R[l (Ru(1k) ‚R ß(1k) )

ß=(ß1,. . . ,ßl)Fk Ill

“ein”.

[Daher ist es auch nicht weiter verwunderlich, daß die Äqui-

valenzklasse [f,g] in 5.5 durch die Matrix C=(cij) , cij == lf1[j] „ ä1[i]l charakterisiert ist.]

c(g) := (|51[11|,.„,|51[11p heißt der Inhalt von ge_l_£.

Mit dieser Bezeichnungsweise gilt dann für jedes „=(°1‚...,u1)}=k

und he;£ mit c(h)=a:

R

= a(1k)

9

_

R

= R .

Sind f‚gef—‘ mit c(f)=ß=(ß1‚„.,ßln=k und c(g)=„=(„‚.‚.,„)\=k‚ so ist aufgrund des Beweises von 5.5 klar, daß Elf 9] den Raum I

R

k

m(1 )

in R

k

e(1 )

abbildet, und daß @

R

k

'1*a v(1 )

liegt. Also ist

Hom

(R

‚R

[ ] a R[sk] an") an“)

< E[[ f 191] !.

R

! aan“)

) =

/ f‚ge;5. c(f)=ß‚c=aa >.

im Kern von Elf

"3

]

-75_

Aus 5.5 folgt nun mit u=(u1,...,am‚o,...‚0)

und

B=(B1,...‚Bn,o,...,o) die Behauptung des Satzes 1.20.

-76-

I].

z u r

c h a r a k t e r i s t i k - f r e i e n

D a r s t e 1 1 u n g s t h e o r i e

s y m m e -

t r i s c h e r

1 i n e a r e r

u n d

v o 1 1 e r ‘

G r u p p e n

5 6

Specht- und Weylmoduln vom Typ 1

und die Erzeugung von

Specht- und Weylreihen mit Hilfe von Capelli-Operatoren

Aufgrund von Raß = >R und wegen 1.9(5)

Snm

03

|_l

6.1

Diese

> . R

R-Basis des Tensorraumes ordnen wir im folgenden auf

zwei Weisen an und erhalten Ketten von R[Sn]— bzw. R[GL(m‚R)]— —Untermoduln -Untermoduln

von 3Rm. Es wird sich herausstellen, daß die

auftretenden Faktotmoduln im gewöhnlichen Fall irreduzible [ ] bzw. R[GL(m‚R) }—Moduln sind. R[Sn]— 4

Die weitere Vorgehensweise soll am Beispiel DR2 demonstriert

werden. werden. Wir beginnen mit der Betrachtung von

4

an? R2 als R[S4l-Modulz n Da ÄR ®Rm R eine direkte Zerlegung von m = n a=(u1‚-.o‚am)Fn u(1 ) n n . ®Rnlals ÄR R[ ist, können wir uns beim Studium des m als R[sn]-Modul n R[sn]—Moduls R[S n konzentrieren. n]-Moduls 0Rm auf die Räume R '

a(1

)

_77-

Die Straightening-Formel legt — unter Berücksichtigung

der gerade gemachten Bemerkung - folgende Anordnung der aus standard Bideterminanten bestehenden Basis des

R[SAJ-Moduls 3R2 nahe:

—78-

2

\.I

3

123 111

2

\II\’ 4

124 .l.|l

111

2

\)

Ill

1234 1122

2

2

124

123

22

13 II.

22

12 III 11

‚I.!

2

112

2

112

\J\II)\II) 3 4 24 34

134

112

Ill

2

\, 2

122

\ 1134 1234 . 1222

3

)

124 |||!

2

122

4

123

)

(0.4) (14)

R

(

2222

\) 1234

}

(?

'R

( (

\.lll\ul134 1234 1234 111

2

((([(

11112

( (

ll|lll (

£

(

(22m‘) R

>

(

1111-

(

R(3,1) (1°)

L r

R(4.om4)

-79-‚

Aus dem Straightening-Algorithmus ergibt sich unmittel-

4 unterhalb eines Querstrichs bar, daß die in einem R c“) stehenden standard Bideterminanten einen R[S4]-invarianten Untermodul erzeugen.

R

(3.1)(1‘)

besitzt also folgende Kette von R[S ]-invarianten

‘

Teilmoduln:

R

(3,1)(14)

=: U

Für R

(22) (14)

ergibt sich folgende Kette von R[S4]—invarianten

Untermoduln:

R

(22)(14)

=: V

< Y2,...,Y6>=g v

0

2

=: V3

== V4

.

Von besonders einfacher Bauart sind dabei die "untersten"

nichttrivialen

Moduln U2 bzw. V3. Diese einfache Bauart

_ 80 _

rührt von der Tatsache her‚ daß das linke Tableau, also

T

(2,12)

bzw. T

(22)

, die Eigenschaft besitzt, daß die Ele—

mente der (i+1)—ten Zeile des Tableaus eine Teilmenge der

Elemente_der i-ten Zeile des Tableaus sind, was zur Folge hat, daß beim Straightening-Prozeß keine Tableaux größerer

Gestalt auftreten können.

6.2 Definition

Ist ihn, so heißt

!

°°x“" := < (T„|T) / TeT*(1”) >R der Spechtmodul vom Typ 1

Für r1>1

zur Partition A.

definiert die Zuordnung

(i|j»———yxä-1

(vieg‚vjeg) einen Epimorphismus

!: R:U(T2)>...>U(TI)>O == U(T r+1 )

aufgrund von 3.5 und 3.6 folgende Eigenschaften:

(i)

cL(T1)[U(T1)J = ‘55(T1‚.(R)‚ V1€£;

(ii)

U(Ti)nl(ern CL(T1)' = U(Ti+1)‚ vieg.

Also ist 6.6 eine Spechtreihe für R

n mit den behaupteten a (1 )

Vie 1 fachheiten .

Ist R ein Körper mit char R‘fn! ,

6.5 (2) ergibt:

so ist R{Sn]

halbeinfach, und

-84-

O" . \!

RIS] '=' 9 f* “

___

Abu

?;

(R).

Benutzt man die Wedderburnschen Sätze über halbeinfache

(Gruppen—) Algebren, sowie Korollar (83.7) aus [3]. so erhält man:

6.8 Satz

(1)

Ist R ein Körper, char a!‚ so bildet {53(R)| Ähn} ein vollständiges System von paarweise inäquivalenten,

absolut irreduziblen R[Sn]-Moduln.

(2)

Q und folglich jeder Körper ist ein Zerfällungskörper

für Sn.

wir befassen uns jetzt mit dem Tensorraum

3R2 als R[GL(2‚R)]-Modul

und geben analog zum Vorgehen bei der S4 zunächst eine der

RIGL(2‚R)]-Modulstruktur angepaßte Anordnung der Basis aus

standard

Bideterminanten an:

-35_ \ 1234

.

\n.) 1234

= .. z

2

1112

\

.\

= .. z

3

1122

= .. z

4

1.222

1234

.

\II

= .. z

5

2222

1234

4

123

4

= .. z

6

z

= .. ..I

4

123

11

= .. z

8

3

124

9

2 111

z

= ..

(((

2 112

123

« z6"'°'z16 >>}?

1234

W2 2 111

:= >R (((((

1

1111

= .. Z

2

1

1.

0

2

124

W3 == >R Z

1

1

22

124

2 .l

Z

134

134

1-

1.1.

2

1

2

22

134

n

2=2_2=2 11 11

13

)) 34 24

W5 := >R

12

R

>

"6

:= >R W4 111

Z

z„:=

22

W1

_86_

!

Wiederum folgt unmittelbar aus dem Straightening-Algorithmus,

daß W

> W

1

2

> ... > w7 eine Kette von R[GL(2‚R)]-invarianten 4

Teilmoduln von flR2 ist.

Mit Hilfe von Capelli-Place-Operatoren, die ja R[GL(2‚R)]-Homomorphismen sind, beschreiben wir analog zum Vorgehen bei

MNNN

...n—t—2-l

NN-A—l

_\_l-l_fl

N-n.aa

1 2 P 3 4

_l_-l_l_n

> 2 1 , 2 1

Als Kern erhalten wir W4.

'

12 12

W4

————>> , („> c

P

3 4

Kern ist hier W 5.

‚ 2 1 ' 2 1

'

. ;i

-

— WS ——-> _ 13) cP 24

87 _

12 12 -'-

_ (12

cp

34

\

1

>R S€ST (1 )

liegt. Da letzteres Ideal minimal ist, und da wegen

c = 01 A1!) 2 (T„}T„) 1:0 die Elemente

(@ 151) #0 sind, gilt die Aussage (2). Damit sind auch die restlichen Behauptungen klar.

Dieser Satz motiviert folgende Definition, bei der R nun wieder beliebig ist:

7.2 Definition Es sei Arn. Dann heißt

*

l

:!”‘(n) := < (THE) / TeT*(1“) >R der Spechtmodul vom Typ 2 zur Partition A.

7.3 Satz

(1)

Der Spechtmodul fÄ(R) vom Typ 2 ist wegen

(vi„|El ) = ni„| El)

(vuesn)

[ ein zyklischer R[Sn]-Modul.

(2)

l Î .'P°(R) = >R.

(3)

‘3Ä(R) und l

|

€Ä(R) sind im gewöhnlichen Fall isomorph.

_94_

Beweis: Die Aussage (1) iSt trivial. (2) 5019t aus der Straightening—Formel für symmetrisierte Bideterminanten

und Satz 4.9.

und 7.1

(3) ist eine Umformulierung von 7.1

(S)

(7). a

Wir definieren als Gegenstück zum Weylmodullf?(k) nun in Analogie zu 7.2:

7.4 Definition

Es sei x=(x1‚...‚xh)l-n. Dann heißt „;(R) := < (El|i„) / |

SeTx(g) %!

der Weylmodul vom Typ 2 in m Buchstaben zur Par-

tition A.

„;(R) := R.

Dies ist die Konstruktion der Weylmoduln nach Carter und Lusztig [1], ausgedrückt in der Sprache der LP-Algebren.

7.5 Satz

Es sei A=(x1‚...‚xh)bn.

(1)

1JÄ(m*o 'max{xi,ui} ist, gilt Ai=ai. Da os0 ist, muß ST"'(A) # 0 sein. Das liefert p> >.; aus Symmetriegründen

gilt dann auch 7\>p. Folglich ist A=u.

Ohne Beweis erwähnen wir das folgende, wohlbekannte Resultat [5], fish

7.10 Satz: Ist R ein Körper der Charakteristik 0, so ist

x ' {um(R) / anemo A = (‚\1,...‚xh)l—n A x1

l ‚m Ä1


! n A1 ist isomorph zum Weylmodullß?(k) vom Typ 1.

Beweis: Zu (1): Jedes Element der wegen 4.11 |

l|

linear unabhängigen Teilmenge

((E) ||T) / s;s-r*m_n ), resrr*(1“)‚ ist von 0 verschieden. Also wird

.— 100 -

bei festem sesr f(g) der Spechtmodul :9Ä(R) durch 5 . DL(s,vr„) | isomorph auf > abgebildet.

Nun bleibt aufgrund der Irreduzibilität und Inäquivalenz der Spechtmoduln noch zu zeigen, daß für ;Fn mit #1 (m die Menge

\

(N)

{(ENT) / (s‚r)esm*(g‚u“n linear unabhängig ist.

(*)

Ist

2 aST (EHT) = o (S‚T)

eine nichttriviale Linearkombination, so suchen wir aus {T /

as aST* 0}

das spaltenlexikographisch kleinste Ele-

ment heraus und nennen es ?. Wenden wir Eé($)

auf

(*)

an,

so erhalten wir die Gleichung:

(A)

swr”(m)

a „ (@IT ) = o.

ST

’"

Nun ist aber < (@ IT») / SE STÄ'(;_E) .> aufgrund der Straightening-Formel für symmetrisierte Bi-

determinanten und wegen ([::][T„) = (TNITN)* 0 ein nichttrivialer R[GL(m‚R)]—invarianter Untermodul des irreduzib-

(m)} len GL(m‚R)-Moduls m;“(R) . Folglich ist { (@ [T„) / sesfl'(nh linear unabhängig, und in asa=o; diein 04)

(A)

sind alle Koeffizienten

angegebene Menge ist also doch linear un-

abhängig. abhängig.

Die restlichen Beweise verlaufen ähnlich.

—101-

5 8

Eine charakteristik-freie Konstruktion von irreduziblen Moduln für synunetrische und volle lineare Gruggen

Bevor wir auf die Konstruktion irreduzibler Moduln zu sprechen kommen, wollen wir zunächst die im“ Laufe dieses Paragraphen

mehrfach benötigten “kombinatorischen”

Argumente bereit-

stellen (vgl. mit [10]. [11] und [13])-

8.1 Definition

Zu nesn setze l_4A := Z 60 o. OEM Wir nennen tjA die alternierende Summe zu MES“.

8.2 Lemma

Für ser*(1“), rer“(1“) gilt:

(1)

Hgs)A-vm *o ...

H(S)nV(T)

{1}.

(2)

vm— n(5)“#0 .. H(S)„V(T)

{1}.

(3)

H(S)AV(T) ={1}

(4)

A>u

-*

Ä4u.

— vun-mm“ = H(S)A.v('r) = o.

Beweis : Ist H(S)„V(T)

=

{1 },

so ist der Koeffizient von 13

sowohl in

n

'— 102 —

H(S)A-V(T)

]

als auch in V(T)'H(S)A gleich +1. Haben aber H(S)

und.V(T) nichttrivialen Durchschnitt, so liegt in diesem Durchschnitt eine Transposition (ab); man beachte dazu, daß der Durchschnitt von zwei Young-Untergruppen wieder eine

Young-Untergruppe ist. H(S)

(bzw. V(T)) ist dann semidirektes

Produkt von {(1)‚(ab)} mit einem Normalteiler x (bzw. Y); ins-

ll

g“(1-(an))

(1-(ab)) 5A

n

z

< .5

U!

besondere gilt:

! (1+(ab))

(1+(ab)) ;.

und

H(s>A.V(T) V(T)°H(S)A Damit sind

"

Wir erhalten:

3“(1-(ab»-(1+(ab)) ; = o und Y (1+(ab))(1—(ab)) ;“ = 0.

(1)

und

(2)

bewiesen.

Zu (3): Da die Elemente einer Zeile von s in T in verschiedenen Spalten stehen, kann man mit einer Spaltenpermutation ok€V(T) erreichen, daß die Elemente der k ersten Zeilen von S auch in

den k ersten Zeilen von k vorkommen. Dasergibt x 4p.

(4) (4) folgt unmi unmittelbar aus (1)-(3).

8.3 Lemma l „ Ä Fur S,TÎT S,TET ((ln) Für (1))

sind die folgenden Aussagen äquivalent:

H(S) S H(S)'Sn V(T)°T#$

- 103 -

(2)

H(S)A-V(T) ; o

(3)

ua)-@“ . 0.

2222323 (1)=9(2 :

Es sei aS=1T (OEH(S)‚TEV(T)).

Dann gilt:

n(s)“.vm

ea H(US)A.V(T) ea um)".vvr) Eu' T.;wm“. .". V(T) ea-r-[g_(_'r_)_

_

Die Äquivalenz der Aussagen (2) und (3) wurde bereits in 8.2 gezeigt.

(2)==?(1): Nach 8.2 (1) ist H(S)AV(T) = {1}, d.h. Elemente aus einer Zeile in S stehen in T in verschiedenen Spalten.

Durch entsprechendes oEH(S) kann man also erreichen, daß 05 und T spaltenäquivalent sind.

8.4 Definition Zu einem

A-Tableau T=(tij)

t t

.. T

:=

111 212

definieren wir

t t

1A1 1 2x2

—1

..... ...

t t

11

21

'

thx

.

.. th1

.

- 104 -

Schließlich benötigen wir. noch folgendes

8.5 Lemma

Es sei TET"(1“)‚ T'3T.

Dann gilt:

vu*mug“ * 04=) T*e(V(T)nV(T*))-'r . Beweis: “>R. Es sei O#X =Z

.

usa-" (1“)

&

‚„ (T„|T>eu.

-112-

5 sei das spaltenlexikographisch kleinste Tableau mit es # 0. Wir behaupten:

u) V(S)—x

=

as('r„lfä])—

Da per Definition vg )o(T»IS) = (T„| LE!) ist, bleibt noch ‘ zu zeigen:

|

(ii)

V(S) annulliert alle (T»lT), sofern TGST"(1“) spalten.-

lexikographisch größer als S ist.

Es sei j der Index der ersten Spalte, in der T = (trq) von S =

(srq)

differiert. Setze i:= m:i.n{k/tkj #skj}.

Wegen TäS ist tij>sij' Beachte, daß i>1 gilt. Da T standard ist, kommt das Element sij in T an einer Position

mit i'£ annehmen.

Es sei 0 : £Ä(R)-1bäu(n) ein R[Sn]-Isomorphismus. Bei festem '

TeT“(1")

genügt zur vollständigen Beschreibung von o die Angabe

von

our„lEln =Z

'

sesr“ (1“)

as (T„.l@).

- 114 -

Nun gilt:

v(r*z (T„|El) = vgrq-Ä (T„|T°) ?

= V$T*2 2

8.5 (r=rr)

o€V(T)nV(T")

a (T„|T ) .

= ET vg1*z '

a(T„|T*) OEV(T)AV(T+)

= eT |V(T)AV(T*) | -(T„| .) # 0, da ” p-regulär ist.

Das liefert folgenden Widerspruch:

o =. o(vvr*)- (T„| [fin = V(T") —o(T„l EJ) =V(T").

a('1‘‚| ): o. gs “ @ 3.2(4)

Wegen Satz 8.9 ist Der Beweis von

(4) bewiesen.

(5) verläuft entsprechend zu 7.9

(3).

Aufgrund von 1.7(1) und 4.3 kann man

8.13

Al

£Ä(R) :-

\

BoDL(%Ä„TA‚)[QÄ(R)] = < ('|El) / TeST*(1“) >RR

(l (Ähn) als Links- und

- 115 -

8.14

A $Ä(R) =-< (@ IFS!) / res-r Ä’ (1 n ) 31

als Rechtsideal der Gruppenalgebra R[Sn] ansehen.

Zu 8.12 (4) erhalten wir folgendes

8_-JLEL°HE£ Es sei R ein Körper, char R - p>0. Dann ist {31(R) / Jul-n, x' p-regulär} ein vollständiges System paarweise inäquivalenter minimaler Linksideale der Gruppenalgebra R[Sn].

Ein entsprechendes Resultat gilt für die Rechtsideale.

Beweis:

Es sei x‘ p-regulär.

Der Operator .; . DLä)."TA')

f). := < (

bildet 3x (R)

homomorph auf

|T) / TeST”(1“) äz ab. Es genügt zu zeigen, daß

dieser Epimorphismus injektiv ist:

Wenn nicht, gibt es eine nichttriviale

x -

'

TeST”(1“)

a

T

Darstellung der 0, etwa

(. T)‘ = o.

”'

wobei nicht alle aT = 0 sind.

Ist S das spaltenlexikographisch kleinste Element mit a so ergibt sich folgender Widerspruch:

S

#0,

- 116 -

o=ö(s)(x) -'

P

3.6

a(@r)=t '0.

3

l*ß.11

Schließlich geben wir noch eine charakteristik-freie untere

Schranke für die Dimension von.”$(k) an: 8.16 Satz Ist R ein Körper, A=(A1‚...‚Ah)hn, x

m m x dimd(„(n)> (x)'(xl\'

Beweis: auf

Wendet man die in GL(m‚R)

(TÄITÄ)GI$(R)

an,

1

(un so gilt:

x_ °-(ä‘h‘)

.

liegenden Permutationsmatrizen

so erhält man, daß die linear unabhängige

Menge

x {(TITfl/T -(tfles'r (g) A 'i0.

Wir beginnen mit einer abstrakten Beschrein der R-Dimension von 3x (R) und Ä?(R) ,

Zu

A=(A1, .

‚xh)l-n_‚ A'12 stets die alter-

n (Ep)

nierende Darsteflulxg von S“;

hingegen ist con“) (E:)

für n>1

stets die triviale Darstellung von Sn'

Da die Rechnungen für11

23

« 2

1 2

' 3

_

»o '

33 = 33 = ;3 1

0

(12,12=21___12_13 3 3 . s 3 2 1 3 2

-

(23) . ; 2

=

; 3

°©(13) (Q)

=

>° =_

(23)

'

1 2 3

'

°

0-1

’0

1>„„‚((23„ =(

1

1

O

2. Schritt:

Fall A = (2,1) = A'

zu betrachten.

1

0

(slternierende Darstellung)

Aufgrund der eben gemachten Bemerkung

-1

haben wir nur noch den

- 122 —

Die Berechnung der Matrix BA

vereinfacht sich.durch die Felt-

stellung, daß der: Koeffizient von (T»|T„}

in °C}(S) ”in“

Ses'r’lu"), offenbar gleich |sx| ist: d.h.: l3‚l BA

._

.

' l»

'.

ISÄI Wegen

-— 13 CP‘ 2 ’

1 2 3

1 1 21 1 ' 2 +1 ' '1

c P ( 312 )

1 3

=

2

B

(2,1)

2

'

1 1

und

21__ _ 11

2

+ 1

=

2 _1

ist

-1 2

3. Schritt:

-B(2.1) '(-1

2)

„

ah(a al==

1

(-1

.B(2'1)

.

4. Schritt:

2-Rang (& ;) = 2, folglich ist '9( 2,1) ‘”2’

=

‘J:2‚1)(z2) ;

es gibt hier keine nichttrivialen 2-Relationen.

(

liefert die Einsdarstellung von S3.

Tabelle 1: Die irreduziblen Darstellunqen der S 3

' nichttriviale " 33

Basis von .?Ä(2zp)

Ex

Bx

(mod p)

p-Relationen

mf((12))

Df((23))

1

1

0 ‚@

Einsdarstellung für: p=0.

(3) ' ist 2u. 3—singulän

(3)

1 3

_3°

(2,1)

—123-

2 1

$2

(2,1)

103

(2.1)

0

„3,

3

2

21

3

2

—1

-1

2

1

1

1

1

0

1

o1

o1

3

3

%

21

3 = 1

3

2

"

0

_1

"

° 1

0

1

1

0

1

°

1

1

0

‘

3

o

1

1

-1

-1

@]

1

EE

1

/-

1

1

@

1

7-

-1

—1

32

(13)

Bemerkunlgen

Ei sdarst °

"

altem. Dg.

Einsdarst .

eltern. Dt';.

!) ..

(Einsdarstellung)

4

$

« 1 4

(3,1)(0)

=

ä

1 3 ’

%

1 2 li

» 0

=

|

i 14 (12) 2 3

13

(12) 2

=

=

4

1 4 2 3

;

13

o

2

D(3'1)((12)) =

4

1 2 (12) 3 4

=

21 1—2 1 3 T 3 = - 3 - 2 - 2 4 4.8 4 4 3

14 (23) 2 3

=

14 2 3

=

3

13 (23) 2

12

4 1 2 (23) 3 4

-

4 =

1 3 2 4

=

2

1 4 (34)

2

3

13

(34) 2 4

0

D(3‚1)((23)) =

‘

°

"

.o

o

—1

1

°

°

o

1

o

o

0

1

0

-1

1

1 3 4

14

= 2 3

_

n?31)((34)) = '

° 1

o

'

°

o

o

1

o

- 125 -

1 (34) 3 4

1 3 4

=

.‘b(2,2) (9)

'

»

‚„ 8 =:B

o -8

.

”’“

.

„ =:

-1

B

(2,2)

2 „ 1

.

—1

2

‚.,

3 1.“ 3 a 1

"

.

=-

_

4. Schritt:

Da

N

”

B(3'1) und

B(2'1'1)

vollen 3-Rang besitzen, gibt es in

diesen Fällen keine nichttrivialen 3-Relationen.

"B

(2,2)

-“ =

0

0

(mod 3) _

liefert die 3-Relation

_

13_12 —

2 4

110

Schließlich erhalten wir ans

B(2 1 1) 5

0

1

1

'O

0

0

II

.

_

_

die 2 Relation.

1 2 3

‘

3 4

=

.12 3 4l

+

1 2 &] 4

3

(mod 2)

.

— 129 -

5. Schritt:

Die darstellenden Matrizen entnehme man der nachstehenden Tabelle.

Tabelle 2:

Die irreduziblen Darstellungen der S4

s‚_

Basisvm-9Ä(Ep)

Bl

51 (modp)

nichttrivi3ale

p-Re1atiorm

n€((12))

n€«2311

Dä’((34)1

0

Bamlumge1 _

1 (4)

30 14 (31).2 ' 3

12 3 4

6-2—2 —26—2 -2-26

‚93 141312 (31)2 2 3 ' 3 4 4 „9 0 (2,2) 093

-2-2.6 0—88 00-8

110 012 0 01 4 -2 -2 4

34

1

m

4 -2 0 6 01

_

—/.

1

Einsdarst.

10-1 01-1 00-1

100 010 001. 100 010001

1-0-1 01-1 0 0-1

100 10 001100 010 01

1—1 0 -1

01

1

m=m

0 1

1 0

1

1

1-1 0 —1 Einsthrst .

1

_

(2.2)

&

1

nn

‚9

0 £(212) 334

123

'v

2-11 -1 2-1

1-12 0 1 1

1-1. 0-1

010 1 0 0

1-12

-100 0 0 1

004

00-1

00-1-

010

„32 2 134 124 (2'1) 2 3

'

0

1234

"g.

000 }

°9