Charaktere symmetrischer und monomialer Gruppen als Polynomfunktionen

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r BAYREUTHER MATHEMATISCHE SCHRIFFEN ISSN 0172—1062

Heft 2, 1979

Bernd Wagner: Charaktere symmetrischer und

monomialer Gruppen als Polynomfunktionen

Selbstverlag der Universität Bayreuth Schriftleitung: Prof. Dr. A. Kerber, Lehrstuhl II für Mathematik Postfach 3008 - 8580 Bayreuth, W.-Deutschland

_v-

Einleitung und Inhaltsübersicht

Gegenstand dieser Arbeit ist die Beschreibung von Charakteren der symmetrischen und monomialen Gruppen als Polynbm-

funktionen. Für jede Permutation " einer endlichen Menge und jede positive ganze Zahl 5 sei aj(n) die Anzahl der j-Zyklen von n.

Schon Netto und Frobenius (Frobenius [l], 190H) gaben Zusammenhänge zwischen der Transitivität ron Permutationsgruppen P und dem arithmetischen Mittel über die Produkte

(al(u))' -\

b1

‚(ak(n) bk

von Binomialkoeffizienten (ne?) an.

Ferner zeigte Frohenius Formeln für die Werte der irredu— ziblen Charaktere-der symmetrischen Gruppen als Polynom-

funktionen in den Zahlen aj(n). Andere Formeln dieser Art gaben später Gamba [1]

(1952) und Specht [2] (1960). Erst

Specht ([2]) bemühte sich ansatzweise um eine systematische Untersuchung der Polynomfunktionen in den aj(“)° Aufgabe der vorliegenden Arbeit ist die_konéequente Weiter-

führung solcher Überlegungen und ferner die Verallgemeinerung auf monomiale Gruppen, d.h.‘Kranzprodukte GWSn (S“ die symmetrische Gruppe vom Grad n). Die Ergebnisse sind geeig-

net zur Untersuchung von inneren Tensorproduktefi (Kapitel 10) und von Transitivitätsfragen (Kapitel 11).

Ich will nun das Vorgehen in dieser Arbeit genauer beschreiben.

'Vi'

Sei nes“. Die Folge (a1(n),a2(n)‚.„)=:A(n) heißt der 219 von n. Dann gilt ijuaj(n)=n. Zwei Elemente von S“ gehören bekanntlich genau dann zu derselben Konjugiertenklasse, wenn

sie denselben Typ haben. In eine Funktion F in endlich vielen der Variablen xj

(j=1,2,3,...) können wir Typen einset-

zen, indem wir für alle j aj(n) in xj einsetzen. Jedem nESn wird dann der Funktionswert auf A(n) zugeordnet. (Unser

Wertebereich sei ein Körper K der Charakteristik 0.) Der Funktionswert, der n zugeordnet wird, ist nur von der Konjugiertenklasse von n abhängig; wir erhalten also aus einer

Funktion F in den xj eine Klassenfunktion mnüfi von Sn,und zwar für jedes nem eine; also wird F abgebildet auf eine Folge

(QO(F),Q1(F),W2(F),...), wobei mn(F) eine Klassenfunktion von Sn ist. Als Funktionen F betrachten wir im folgenden stets Polynomfunktionen. Wir haben also für.jede natürliche Zahl n eine

Abbildung an von der Polynomalgebra K[k1‚x2‚...] in die Algebra CF(Sn) der Klassenfunktionen von Sn nach K; diese Abbildung ist ein K-AIgebren—Homomorphismus. Jedes einzelne Polynom liefert so eine Folge von Klassen-

funktionen; spezielle geeignete Polynome liefern Folgen, wo fast alle Glieder irreduzible Charaktere sind. Die oben erwähnten Charakterformeln von Probenius, Gamba und Specht

sind nun als verschiedene Formeln für diese Charakterpolynome zu interpretieren.

sjstematische Untersuchung Die systematische U des Polynomrings mit den

-vii—

Homomorphismen an gibt nun einen Einblick in die Struktur

der CF(Sn):

Alle

CF(Sn) (nem)

sind Bilder eines

Poly-

nomrings; es ergibt sich eine Erklärung für die ”Verwandt— schaft" von Charakteren verschiedener Sn's dadurch, daß diese Charaktere mn-Bilder von ein- und demselben Charakterpolynom sind. Ferner wird in Kapitel H_gezeigt, daß die Skalarprodukte auf den einzelnen CF(Sn) via an ein gemeinsames Skalarprodukt auf dem Polynomring liefern. Der systematische Gebrauch dieser Fakten führt zu einheitlichen Methoden zur Bearbeitung von Aufgaben, zu deren Lösung sonst mehr problemabhängige Mittel verwendet werden. Mit Hilfe der Rekursionsformel 10.5 für den Zerfall des inneren Tensorprodukts irreduzibler Charaktere in Irredüzible können so in Kapitel 11 Sätze über mehrfach transitive Permutationsgruppen gezeigt werden.

Das folgende Schema zeigt, wie die Kapitel dieser Arbeit. aufeinander aufbauen: Kapitel 1

‘———4Kapitel ?]

Kapitel 10 Ka-itel 11.

{Kapitel 6[

-viii-

In den Kapiteln 1 bis 5 werden grundlegende Strukturen auf dem Polynomring und auf der Algebra der Klassenfunktionen

‘und Zusammenhänge dazwischen untersucht, und zwar gleich in voller Allgemeinheit für (endliche) monomiale Gruppen Gwfin.

In Kapitel 6 wird das Skalarprodukt auf dem Polynom-

ring wahrscheinlichkeitstheoretisch interpretiert, was eine Erklärung für das Auftreten der Charlier-Poisson—Polynome in Kapitel 5 liefert. Kapitel 6 ist ohne Auswirkung auf die folgenden Kapitel und kann daher beim Lesen auch übergangen

werden. in Kapitel 7 werden für den (wichtigsten) Spezialfall G=(1}, Gwenasn,_die Polynome betrachtet, die Charak-

tere von irreduziblen Darstellungen'liefern. Mit den Metho. den, die dann in Kapitel 8 bereitgestellt werden, können in Kapitel ? die Ergebnisse von Kapitel 7 auf beliebige ®a übertragen werden. Kapitel 10 ist dann der Untersuchung von “inneren Tensorprodukten irreduzibler Charaktere gewidmet; es kann auch_gelesen werden, ohne Kapitel 8 und 9 zu kennen,

wenn man sich auf den Spezialfäll r=1, G=(1} beschränkt. .Kapitel 11 baut nur auf diesem Spezialfall auf.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. Kerber für die Betreuung dieser Arbeit und wichtige Anregungen und Diskussio4 nen dazu danken. Mein Dank gilt ferner dem Cusanuswerk für seine Förderung_während der Zeit, in der ein Teil der Arbeit entstanden ist. Bernd Wagner

Pix-

Inhaltsverzeichnis v

Einleitung und Inhaltsübersicht

Generalvoraussetzungen

i;

'

Inhaltsverzeichnis

_

_

x

x

Bezeichnungen 1.

>

1

.

Grundlagen

5

2. Die Algebra HCF{GWGn) und die an

}. Homomorphismen L=$Ö'F(Ga)

>K[ X]

15

h. Shalarprodukt auf K[X1

22

5 . Eine Bäsis mit Orthogonalitätsrelationen auf K[X1

28

6. Beziehung der Linearform 1 zur Poisson—Verteilung

H3

7. Die Charakterpolynome für die symmetrischen Gruppen "7 8 . Homomorrihismeri o:G°‘>H und „wsn:cvrsn-—“—>sn

65

9. Die Charakterpolynome für GwrSn

77

10.Das innere Ténsorprodukt

-

.

86

‘

11.Mehrfache Transitivität

99

12 . Schlußbemerkung Literaturverzeichnis Register der Bezeichnungen

’ 1

‘

111 I V

-x—

GENERALVORAUSSETZUNGEN: K sei ein Körper, der die rationalen Zahlen enthält; zusätzlich sei K von der Mitte von Kap. 9 an ein Zerfällungskörper der Gruppe G. Darstellungen seien stets endlichdimensional.

Bezeichnungen:

m:=(0,1‚2‚...)

Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen

N*:=(1',2,3‚...}

Menge der positiven ganzen Zahlen

Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen

G)

n

= {152,...,n} X

MN

für nE]N kartesisches Produkt von Mengen

Menge der Abbildungen von der Menge N.in die Menge M, z.B.:

M£""+

Menge der gxiN+-Matrizenüber M

(bn)n€M

N-Tupel (N Menge)

IM!

Anzahl der Elemente der endlichen Menge M‘

ij

Kronecker-Symbol:

_: 1, falls i=j

-

6ij"{0, falls i#j’ “°bel i,j aus irgendeiner Menge ”

Ende eines Befieises

fast alle

alle bis auf endlich viele

min(.„}‘(max(„.}) kleinstes (größtes) Element von („f) exp(...) 0

Exponentialfunktion zur Basis e

'

Hintereinanderausführung von Abbildungen

..xi-

f:M———9N

f ist Abbildung von M nach N.

f:M——e»N

f ist surjektive Abbildung von M naeh N.

f:M>——9N

f ist injektive Abbildung von M nach N.

r:n»—>u

f ist_bijektive Abbildung von M nach N.

flM

Einschränkung der Abbildung f auf die

Teilmenge M des Definitionsbereiches f[M]

'

Bild der Teilmenge M des Definitionsbe-

'

_

vreiches unter f

f”1 [N]

Urbild der Teilmenge N des Wertebereiches .von f

aF—-—>bl

'

'Das Element a wird abgebildet auf das Element b.

(auch: Die Operation a wird durch

die Abbildung in die Operation b überführt.) a+--+b

wie "ahäb"‚ wenn die Abbildung bijektiv ist "

(a+———>b)

_

die Abbildung, die das Element & auf das.

Element b abbildet —

.

zeigt über einem Pfeil Gruppenhomomorphie

(meist bezüglich "+") an. a

’

‘

'

_

—>AK‚.. °‘K

Gruppenisomorphie Index K zeigt K-Linearität an.

Multiplikationszeichen unter "——ä " oder "=" zeigt Homomor—

phie bezüglich der betreffenden Multipli—

kation an. USV, U(B) Mc). M_(;!)_. 'l_l(C!_G_)-_° M(G)A

mit B+C= A

A! = ;; w(B)-w(c)- sm

‘

BH r;k CH r;n-k mit B+C=A

Definieren wir noch für B,AETYP(r) 2.7.

BSA ‚@ für alle 1,3: bij5aä.

8

A-B := (aij-bia.) € TYP(I') für ESA.

so erhalten wir: 2.9.Lemma: Für nel], kell, kSn, w€CF(GW°SK), *ECF(GW°Sn_k),

A‚(A)

-

A H (r;n) gilt:

H

r;

(A- B) (A-BH

BSA 2.10.Bemerkungz Da "#" und "+" für Klassenfunktionen passend zum äußeren Tensorprodukt und zum Induzieren von Darstellungen

definiert sind, ergibt sich für zwei Charaktere «9,1: von Derstellungen, daß «MW wieder Charakter einer Darstellung ist. 2.11.Bemerkungz Mit der Multiplikation aus 2.2/2.9 wird 1TCF(GVPSfl)

E(Gvrso)

eine kommutative Algebra. Bezeichnen wir mit

den —Einscharakter von Gvrso, so ist E(Gvrso)+o+o+.„

das Einselement dieser Algebra. Das Produkt zweier Elemente von

9 CF(Ga ) nem

daß $CF(Gw-Sn)

liegt wieder in der direkten Summe; so

eine Unteralgebra des direkten Produktes wird;

....45 .

X x(B) (B)) - x'E(Gwsn_k) -

mn( %“

für alle nEN.

Für verschiedene nEli unterscheiden sich die mn-Bilder eines Polynome der Form

;%5

x(B)(ä) also nur durch den Faktor,

r;k

mit dem x multipli£iert wird. Beliebige Polynome aus K[X] sind Summen von Polynomen der oben angegebenen Form.

'

Um das Ergebnis 2.18 etwas allgemeiner formulieren zu können,

fassen wir die an zu einer Abhildung m zusammen wie folgt: Aus 1.7 haben wir die Familie (an)

nem

Ivan K-Homomorphismen

mn: K[X] —==eK CF(GHPS„). Ferner gehört zum direkten Produkt || ' nem (nn)neli

CF(&msn)

eine Familie

von kanonischen Projektionen

n: n

||

dEli

CF(GWS n‚) *» K CF(Gw-S n ).

‚Aus der für direkte Produkte charakteristischen Universaleigenschäft erhalten wir den K-Homomorphismus

-12-

2.19.

CF(Gursn)

||

-—=—>K

@: K[x]

nE]N

P

4—>

2

mn(P)

nel!

mit (lin : un 0 (D für alle nEJN.

2.18 liest sich dann wie folgt:

)( näem °n(ä x(B)(B))

m( H r_k x(B)°(ä))

na; x!

x*E(GWS _ )

ne£

% X*E(Gvrsn_k)

' x*ä

nzk

“ k

E(GvrS _ )

" k

E(GvrS ).

“

In dieser Form kann man per Linearität beliebige Summen von x's zulassen. Damit erhalten wir:

2.20.8atz: Sei P€K[X]. Dann ist P eindeutig darstellbar als

Linearkombination der (ä) (2.1'4); es gibt daher eindeutige xkeCF(Gvrsk),

kelN‚

"k

fast alle 0 (etwa

für k>l), mit 1>(x) = % ?. „( ‚(km)-(ä). Dann ist

1

MP) = (% xk)*(2 =

Das dabei auftretende Element

'

E(Gvrsn)).

115

2

E(Gwsn)

von

ne]N

"

CF(GW*Sn)

nE]N

hat ein Inverses, wie wir gleich sehen werden. 2.21.Def.z Für ne]N

sei A(GvrSfl)

von GWS“,

A(Gvrsn)z

der alternierende Charakter_

d.h.‘

Ga

> K mit

(f;n) l-—> sgn(n), wobei

_13-

_={ 1, falls 11 gerade Permutation, 1, falls n ungerade Permutation,

sgn(n)

2(J' 1) iaij-;(f H) = (-1)3

2.22.Lemma: % E(GWS ). Z (-1)n A(GvrS ) ne

. Bewe13:

E

n

E(GvrSfl) *

ne

ne]N

2

= 1.

n

(-1)

n

A(GvrSn)

nE'IN

= .

= % % (-1)k A(Gwisk)eE(ewsn_k). Nun ist für AH(r;n): n

(% (-1)k A(Gvrsk)*E(Gwsn_k))(ß.) = X 1 13 (A) (2.18) (B)) < _ 1) JI(J-1)£bn

-

" ( _ 1)k m„( H r; - kg

.

n

(_1) k + Z(J-1)2b.. „

% BHär;%

%

“( = .];:i äbij)

(-1) % bij (£)

H r;

A (B)

Fai (_ 1)£Zbij Tr (aij) bij

"

j,i b1j=

= „ --a(11)iJ 5,1

b

a

< 1> “ ( iä-) =

|| 60a--=50A'

51,1

’ l.]

’

Also gilt 2 (-1)“ A(Gvrsk)*E_(Gw-Sn_k) = s k=0

“’°

//

2.23.Bemerkungz 2.22 ist: geläufiger in Form einer Aussage über symmetrische Polynome; siehe 2.5. Littlewood [1], 3.8},

6.2.3.‚ Knutson[1], S_.31 oder Wagner [1], 3.99.

_1u-

2.2H.Korollar zu 2.20 und 2.22: '

m ist injektiv‚

was man aber auch direkt mit Hilfe von S.Lang‚ 8.121 unten, Cor.2 zeigen kann.

_15_

}. Homomorphismen L: GCF(GmSn) —"-—> K[X]

Nach Lemma 2.18 ist im Zusammenhang mit einer Klassenfunktion XECF(GWSK)

das Polynom

?

x(B)(ä) von Bedeutung.

H r;k

Dieses Polynom ähnelt der sogenannten Charakteristik von )( (Speoht [1], 3.18), die definiert ist als _

„

,

(mij(a)'xij)

bij

‚(mid—___.

lr;

B!

Für G=(1) ist dies der verallgemeinerte Zykelindex von Sk zur Klassenfunktion x. Wir wollen für unsere Zwecke zur Vereinheitlichung eine kleine Änderung vornehmen und anstelle von

"

. ." ' mij (G) . x1J einfach

ll

' Xi.)_" schreiben, was nur ein kle1'_

ner Variablenwechsel ist.

3.1.Def.: Seien Li:

9

CF(Gwz-sn)‘—”—>K mx] (1:1,2) die durch

neiN

Li:

«A

L2 :

.:A

l——>

A

ÄXT’

(X)

—A M = (X.A , AETYP(r)‚

definierten K-Vektorraum-Homomorphismen.

Wegen CF(GVPSfl)

:

A

eine K—Basis von $CF(GwS„),

bilden die «A, AETYP(r),

was obige Definition rechtfertigt.

Nach 2.1“ wird diese Basis bijektiv auf eine Basis von K[X] abgebildet, so daß 3.2

die L].. K-Isomorphismen sind.

-15_

von K[X] ermöglicht es,

Der Vektorraum—Automorphismus L20L1":l

Ergebnisse, die aus Rechnung mit der einen der beiden Polynogn- ' basen erhalten wurden, auf die andere zu übertragen (siehe

,

Specht [2] und siehe "Umbral-Kalkül" z.B. bei Rote}.

Mit 3.1 schreibt sich 2.18/2.20 nun so:

ist die *-Multi-

3.3.Lemina: 1) Die Abbildung (Dn°L2 CF(GWSK)

plikat ion mit E (Gwsn_k) . 2) Die Abbildung tl)ol’..2 ist die *—Multiplikation mit E

E(Gwsn).

ne

Wir wollen nun untersuchen, wohin "*" unter den Li gebracht '

wird: 3.H.

Sei („(x) )AETYP(r) eine Familie von Polynomen aus K[X].

Sei L:

CF(Ga) _N_>.K K[X] der K-Homomorphismus mit

9 ne]!

bA(X) KA

l-———> A!

Für zwei Basiselemente KA‚KB von ®CF(GWSn) 3.5.

—

gilt nach 2.9:

KA * KB = (AÄB).KA+B‚

\

b

(X)

A!-B! b — (x) Für L=L1, d.h. bA(X)=XA, ist “B A!.Bl

-

also L(KA*KB) = 4—5L,

A+B A B EC— : X_.K_ : A!°B'

A'

B'

=L1(KA)QL1(KB), so daß L1 "a." in "-" überführt. Für L=L2,

d.h. bA(X)=(X)A‚ können wir wegen K[X]= GWS.

AH r;n

=

r;n

n

A

M(G)

) _Ic_n_ ‚G„‘.s „„ L3‘ I A ‘ | K K .

PEK[X] Ist P ÎK[X] , so ist P endliche Sumrfie von Polynomen der Form

L2(X) L (c) mit x aus einem CF(GVPSR). 2

Nun ist für n=k nach 3.3.1

und dem Frobeniusschen Reziprozitätsgesetz: 14.8.

rnomn(L2(x))

1n(x*E(cvrsn_k))

(X*E(Gwsn_k) ,E(Gvrsn) ) (x# E(Gvrsn_k) +GwSfl‚E(Gw—Sh) )

-2u_

( X#E(Gvrsn_k) , E(GwSfl)+(Gw-Sk)x(6wsn_k) )

"

( X*E(GWS n-k) , E(Gwsk)#E(6wsn_k) ) (

x

,

E(GVPSK)

)

'

(

E(Gwsn-k)

,

E(Gwsn_k)

)

( x ‚ E(GWSK) ') = rk(x)

unabhängig von der Wahl von nak. 1

u.9.nef.: Für 151! sei ": 1 := L2 [ @ cp(cwsk)]

I‘3(""")'L3((A)'
> {l} . Wir betrachten allgemeiner Homomor— phismen o:G—-"—>H, wobei G, H endliche Gruppen sind. 8.1.Def.: Sei für alle ne]N HvrS der durch _n______n.

\(f;n)F--ä (uof5n) definierte Homomorphismus.

8.2.Def.: Seien CH’1={1H}, CH’ 2 , CH’3‚ ..., C H,s die Konjugiertenklassen von H und

CG’1=(1G}, CG_’2‚ CG_’3‚ ..., c°*" die Konjugiertenklassen von G.

Die CH’A mit: AH(s;n) seien die Konjugiertenklassen von HvrS , und _______JL____

die CG’Bmit-Bl-‚Kr;n) seien die Konjugiertenklassen

von Ga . 8.3.Def.z Für i=1‚...,r sei w(i) die Nummer der Konjugierten-

klasse von H, in die die Konjugiertenklasse CC"1

von G durch a) abgebildet wird (d.h. w:g—-d,—_s_ sei definiert durch o[CG’i]scfl’w(i) für alle iq). Se]. "==(“kl) d1e 5x£-Matrix mit "kl:= 6k‚w(l)'

-55-

8.H.Lemma: Für AH(r;n) gilt:

1) WA l-l (s;n)a

2) („ws [CG’A]ECH’W'A, 3) 11-75 = W. Beweis: Zeige: Ist A der Typ von (fm), (f;n)€Gvr3fi,

so ist»

W°A der Typ von mvrSn(f;n). "WoÄ = W" folgt dann aus der Tatsache, daß Inverse durch Homomorphismen auf Inverse abgebildet werden.

Nun gilt axj(°“'sn(fi“)) = akj((°°f5“)) Anzahl der j-Zyklen (il...ij) von _

n mit m(f(ij))- . . .—0(f(i1))€ .

2) 8.1H gilt auch für i=3‚4‚ d.h.:

H (w-x) .- - ———..A

_

H (x) =

A!

B

‚

rm mit W.B=A

-(W-X-M)A _ A!

und

B!

(X—M(G))B

=

—

gär;n; mit W—B=A

3) W:; ——»5

B!

für alle nem,

AH(s;n).

_—

surjektiv.

Ä) owsnzcwsn -——"—»Hvz:Sn

surjektiv für alle neN.

s) mrs [CG’B] = CH°W'B

(BH(r;n)) für alle. nEJN.

—n____——

6) Multiplikation mit: W): TYP(P)fi>TYP(S) Surjektiv. 7) nm injekt'iv für alle nelN.

-7u_

8) 9 injektiv.

9) ! injektiv.

10) Für alle oe ecmm-sfl), XEUCF(HWSn) ist (Q(w)‚fl(x)) = (w‚x); d.h. Q ist mit dem Skalarprodukt verträglich.

11) Für alle P,QEK[Y] ist (MP),W(Q))K[X]=(P,Q)K[Ylg d.h.

? ist Skalarprodukt-verträglich.

12) Für alle PEK[Y] ist gew(v(P))=gew(?% Beweisz_

G,.k

.

—

mkj(a) = 212 M

1) (waa(e))ij = 21

m“ [(i)] °"‘“

m“ [(i)]

|c°*“|

= 1

j°lGl

k:o[C

1

:

’

]sC.’

.

'I0-1[CH’1]I.

j'|Gl

Nun ist @ surjektiv und daher |Jllcfl’lfl=

_

' '°

H‚i

ICH’II.IKern cl

|G|

"TT|'

Einsetzen ergibt: ”-M G

(*

2) 2)

..

())13

=

1 5.161

|

C

H’i

.

IG!

' ""

(W-X-M(H))A = (wm-v:-1w(e))A

=

lc“’il 'j.lHl

= m..(H)

_“

//

nach 1)

(w. (X-M(G) ) >“. Setzen wir in 8.1“.1 (X-M(G)) anstelle von X ein‚_so erhal-

ten wir die Behauptung für i=ü. Für i=3 erhalten wir dann:

..75-

'°L3‚Y : '°L2,Y°L2‚;1°L3,Y : '°L2,Y°L1,;1°Lll,y

nach 8.1ü

= L2’x'czoLl‚y'loLu,Y : Lg‚x°L1‚i4°w°Lu‚y

: L2,xoLl‚£40L„’xon

nach. 5.19

'

nach 8.1Hl

néeh obigem (8.1ü für i:h)

= L2‚XOL2‚£1OL3‚XOQ nach 5.19

3 -6

//

' '

'

= L3‚x°n. sind trivial.

7) Sei 0€CF(HWPSn)‚.Qn(W)=O.

Dann ist ber definitionem

wd(Multiplikation mit W) = 0, also nach 6: 0ä0.

8

folgt sofort daraus.

9

folgt äus 8.13 und der Injektivität von 9 (8) und

von mY (2.2H).

10) Es genügt, sich auf w=rA‚ x=n”,‘A‚NETYP(S), zu beschränken.

,

KB'>

KB

(n(x“>,a) = ( mit W-B=A

: %,

%

mit w-a=m

B! (xB ‚xB ) : g%; M(G)

_

- :::iääEEIIIIIII

F=ETYP(I‘) mit

55,3

__ (wm und Xn Charaktere von Darstellungen von G bzw. Sn,

so ist auch ’(wsxn) Charakter einer Darstellung von Gwsn. N

' n

(o;xn) = AH „ #w(A)°xn(wA) & ? ! im

x (B) 11

_(3_‘ AH rm mit WoA=B

" (A)

A.

+

«0

K

_79_

9.ü.Satz: Für jedes @€CF(G) ist

(‘N')!'T[_CF(Sn)——:———>K

“ CF(GW°S„ ) mit nE]N

x

I————-'é

(cp;x)

ein K—Algebren-Homomorphismus

mit Bild[CF(8n) ]ECF(Ga) Beweis:"ßild[0F($„)]SCF(GWSn)" folgt aus 9.3; die K-Vektor—raum-Homomorphie folgt laus den entsprechenden Eigenschaften von 9. Zu zeigen bleibt die u-Multiplikativität.

Sei x 1 ECF(Sn)‚ x 2 ECF(Sm). (w;x1)*(w;x2)

“" 1 ®“ 2 (#0®Q(x ))+(+w®fl(x ))+Gvr*$m+n 71\« fn\«

(=u= o+=ll=w) @ (9(x )+n(x2))+Gu-smn “”“ ((=m=mm+(Gwsn)>2;[a21>*...«(wr;[ar1)

-81-

1

= @

v»L (( 2;[u2])!...a(wr;[arl)) n-lal+lu1l+lazl+„.+lurl(

2_

°

(3 8)

1

= mn(v(P° )!L2((02;[a21)&...i(@r;[ur]))). Damit können wir 7.8 verallgemeinern:

9‚.7.Def.z Für ae?art£ sei 1

P“ ==*V(P° )*L2((w2;la2])*.-.*(wr;[arl))

1

.

.

= ?“ (W-X)iL2((oa;lazl)m..*(wr;[arl))(x) 9.8.Lemna: Für u=(a1,u2‚...,ur)ePart£‚ nel! gilt:

[n-lal,al = mn(P°). Aüs 5.17 und 3.7.2 folgt: gew(P°) = geu(v(P°1))+gew(L2(oz;lazl))+...+gew(L2(or;larl))

= geu(Pel)+lual+...+lq

(8.17-12)

= la1l+lozl+...+larl

(7.11.”)

= lol. Somit ist 7.10 und 7.11.“ von S“ auf Ga verallgemeinert. Damit kann der Beweis von 7.11.1-3 leicht verallsemeinert werden und wir erhalten

2.9.Satz: 1) x[x] = = s G‚B für alle a,߀?art£. -

3) "$1 -

«? ° "°'51»J{

'

für alle l€]N.

N) gew(P°) : In! für alle u€Partn. 9.10

7.12 läßt sich fast wörtlich auf den allgemeinen Fall

übertragen (anstelle von «1 in 7.12 tritt nun uä).

7.13/7.1ü kann ebenfalls leicht übertragen werden. Die

)

-82-

Umformungen von [(n-lul‚u1)‚a2‚...,ur)] gemäß 7.2 betreffen‘ dann nur al.

Die Verallgemeinerung von 7.15 und 7.17 geht ebenfalls glatt„

Beim darauffolgenden Beweie von 7.18 ist zu beachten, daß .

"_"

nun bei G#(1) nicht mehr immer triviäl operiert. Dies wirkt sich auf die Pu folgendermaßen aus:

p° . 351(w.x>.L21*([ß/> =

[a1+tz‚11 + + [a/(1)]*[1]*[11*[11 +

1«/1+[121+[11+ _ +[a/(2)1+[121+[11+[a/) =

[a1+t131 +

.

[a/(1)1+[121+[1J +

{a/(12>1+[21+[11+[a/(2>1+[121+[11+{a/(1)1+{;21 + [u/(13)1+[31+[a/(2,191+t2,11+[u/(3)1+[131+ +(la1/(t11+111))+[11+[11 + (tal/([11+t21»+[1%+([«1/,o‚.„,on = [M, wobei („i)jeweils die zu ai assoZiierte Partition sei (Vgl. dazu die— Literatur über Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen,

z.B. Kerber [1], 3.20 und 65). Ferner ist Sb )/A(Gvrsk_n) = A(GWS A(Gvrsb b-(k-n))' 10.13.

=

I5_1(Pa.P(k(l

2min{lalb)

7 k=0

D

),o‚n.o))

:

Int(— 2)

S?- S“— [u/a]*[((1b_k+n),O‚-o)]*[a'/«n).° .....)1 n=0

ok(r; k-fi)

ä_ #.: ‘€'

Setzen wir in 10.12 und 10.13 noch[°]=E(Gwßa ) oder =A(Gw€a ), % ist). so erhalten wir für r=-1 (was nach 9. H mit @:—EG keine B. d. A. ist):

_97_

(Sei r=1.)

10.1u.

1) L

3-1 (P (a) °P (b) )

2m1n {a b) Int (%)_

%%

=

.

2m1n a b

b

k

Int(—)

—

[a-k+nh[b—k+n]a—[k—2n'j. _

.

2) L{1(P(a).r(l )) = äjf 22“ [a-k+n]*[1b'kml*[(lk “)/(n)1. k=0

___—_

2 in a b

= $“

k=

n=0

.

_

([a-k]*[lb'kl*llkl + [a-k+11*[1b'k+11.[1k 21). ‘

.

R -

b

11:

Dabei sei [111=0=[1] für 1" läßt sich noch verallgemeinern:

U k-fach transitiv => U transitiv auf ((i1‚...,ik)li1,...,ikEn_, la_=lb = a=b)

-100-

=>

Für alle ß=(ßl,...,ßk‚0,...)ePart, lßl5k‚ operiert U transitiv auf der Menge

{((11, ,ißl} , (iBl+1 ‚...‚ißl+ß2} , , {ißf„dßk__l+l‚.„‚i1 „, >): | 11""’1|ßlen und 1a=1b=> a=b}.

(Stabilisator eines solchen Tupels von Mengen ist

Sn-lßlxsßlx>

(EU’E(S(n-lßl‚ ß)+Sn{rU)=l für alle 8 mit lßl$k

=>

(EU,[n-lßll*[ä]_h..*[ßk]+U)=1 für

'

11.3.

alle [3 mit lßl5k

=> (Eu,mnoL2([ßll«—...*['ßkl)+v)=1= 1(L2([31]*...*[ßk1)) für alle B mit lßlsk

(3.3.1) . (Dies gilt auch, wenn n-lßl) für alle PEW REU

Sk. .

-101-

"c==" gilt wegen 11.2 und (xl)kewsk' Beschränken wir uns bei den P auf eine Basis von “sk’

so erhalten wir für die Basis der (X)A ein Lemma von Netto

und Frohenius (Frobenius [l]) und für die )(A den ersten Teil

des Lemma 3' in Tsuzuku [1]. Für die Basis der Pcl erhalten

wir mit r(P°)=öa,o das folgende Lemma, das im wesentlichen

bei Frohenius [1] steht. 11.5.Lemma: Sei nem, USER, ksn. U k-fach transitiv

Dann gilt: «==>

„(P°‘)+U)=Gcl 0 für alle a mit |al$k für alle a mit Ia-l$k

=>

(EU,[n—lal,o]+U)=öq

=>

(EU,[n-mu‘‚a]+U)=éOL 0 für alle a mit Ial$k

‚0

und n—laläa1.

Die letzte Äquivalenz gilt, weil sich die [n-lal,u] mit lul$k und n—lai Es gilt nun einerseits:

(nu‚m„ (EU,[n-lal‚fll+U)= %,(o>* Für kleinere n müssen wir 7.13 anwenden. Dies sind aber dann nur noch endlich viele Fälle, die für die unten angegebenen Beispiele sowohl per Hand als auch mit einem Taschenrechner

TI 59 gerechnet wurden. Es gilt also:

11 11 33:11.Lemmaz Seien k, no, Pi wie in 11.6; alle mn(Pi) seien Charaktere von Darstellungen für nznbi

Tritt für alle a€Part mit |al$k

1) P° in der Zerlegung eines der Pi’ etwa Pi( },

325 (d.h. (Pi(a)‚P°)#o) 333 2) für jedes n zmax{no‚lal+al} mit n < min(gew(Pi(a))+al‚max(lßl+ßll(Pi(u),Pß)#0} ) der Charakter [n-lal,a] in der Zerlegung eines mn(Pi) in Irreduzible auf,

so gilt “ ===“ in 11.6.

(Ist no hinreichend groß,

so kann 2) entfallen.)

Tritt P° in mehreren Pi auf, so wird i(a) zweckmäßigerweise gewählt, daß die oben angegebene Schranke für n minimal so gewählt,

ist. ist.

-1o5_

Beisgiel-1:

s=1, P1=PB-Pß (B€Part).

Für lal$3 erhalten wir die Vielfachheit (PS-PB‚P°) =

=(P°-P°,P°)=(L£4(P°-P°),[ß]) aus 10.11. (Die Rollen von a und B“ sind hier gegenüber 10.11 vertauscht.)

L3'1(Pß-P(°)) = [B].

L'1(Pß-P(1)) enthält den Term [ß/(1)1.[11 , der für |ßlzl '

‘ -[_ß] als Bestandteil hat.

L'1(PB°P(2)) ebenfalls.’ L;1(PB°P(12)) ebenfalls.

4

}

L3'1(Pßgp(3))‚ L3'1(PB—P(2'1)‘), L3‘1(Pßop(l )) enthalten ([B]/([lhllhhühü], worin für Iß|22 der Bestand-

teil [ß] enthalten ist. Wir erhalten also aus 11.11:

.

" =" in 11.6 gilt mit k=1 und no=gew(PßoPß)+l=2lßli-l für jedes 5 mit 15121, mit k=2 und no=2|ßl+2 für jedes 3 mit

lßl21, mit k=3 und no=2lßl+3 für jedes B mit

' Henze. ‘ (Eine mögliche Verallgemeinerung für k=h kann mit finserer Methode jedenfalls nicht für beliebige ß gezeigt werden, da nach 10.1N.1 für B= (b) und a: (1" ) in PßvPB der Bestandteil

P(1 ) nicht auftritt. ) Wie in Beispiel 11.7.5 ist

(Eu,mn(pß-PB)+U)=(In-lßl,ß]+U-‚[n-lßl‚ßl+0) und :(P°-?°)=1. Wir erhalten das folgende Beispiel für 11.6:

-106-

11.12.

USS", [n-lßu,ß]+ü‚irreduZibel ==$ U ist 1-fach transitiv, falls n=2|ßl+1, lßl21 '

(Tsuzuku [1L Lemma 5).

2-fach transitiv‚ falls n22lßl+2, lßl21. 3-fach transitiv, falls n22IBI+3‚ l5122; Für k=3,'|ßl=2 liefert das Theorem } aus Tsuzuku [1]. Dort

wird allerdings n0=5 angegeben (in 11.12: no=2lßl+3=7).

Für ß=(2) können wir mit unseren Methoden die Grenze no

nicht mehr verbessern; für ß=(12) läßt sie sich mittels 11.11.2 noch auf no=5'herunterdrücken.

Beispiel 2: (Tsuzuku [1], erster Teil von Theorem ü)

k=5, s=1, P1=P(2’1)-P(2’1), " G==", no=6. . . 10.11 ergibt ' Insp1zieren der Zerlegung von P (2,1) -P (2,1) in

11.11.1. Die Fälle n:9,8.7‚6 müssen einzeln verifiziert werden. Es folgt:

11.13. Ussn, n26, [n-3‚2,1]+U ifreduzibel

==»

U 54fach transitiv. Beisgiel 3:

_

(Verschärfung des zweiten Teils von Theorem H in Tsuzuku [11)

P1 : P