Lectii de algebra comutativa

Citation preview

~i JN1 iii

1

v, E.1rf>i$1 'li :tr IA, 'îli iE. 1A\ 1

1

IG)'I' ~I Jt"r

18: l,'41(a i~

,PA:~ia~it>t,~~~~0~

IR iE

Ş,

UNI VE R S I T AT E A

D I N · ,. B U O U R

EŞ

T -I

FACULTATEA DE MATEIL\TIOĂ

f#ERBAN RAIANU

ll'OMA.AI,BU

_LEOŢII

DB AWEBRĂ OOMUTA'RIVĂ

Ltu·

D

';;J

~-1-~:t/)I

C'.L~

_/J l-t-1? /4~"e

--7~~

/~~-~~~-- s-~ /,"d',_,:

Bucureşt'i

1984

·r

,.r

'·

Pl-ezen-Ul. OlQiş e,~•-4•atip11.sw-_ aJilt-Hl 1 . IV, V do.la »•O.Ul• tabea de Matem•t;ic~; :.~..:-e '.ie rd.. · · ..

denţilor CU.A

OUJ.1aul s fQS'!S a14a1i 11at •Sn -colac. tivul de oatodl't=. ~ar-=· e--a d.flolarat-de a-

c;io~ cu anil tiplicu·aa l.ui tn ~aotare. ·

ao1Jualâ .iie--.

PREFAŢĂ

Lucrarea de

taţi

este o versiune extinal a Cursului de Alge-

brl Comutativi ~inut; de primul dintre autori studenţilor anului III al Pacultlţii

de Matematici în anul Wliversitar 1980/1981. Ounoştinţele ne~eaare pentru parcurgerea clr,11 aînt aproape

tn exclusivitate acoperite de programa de Algebra a.anilor I lacult4ţilor

şi

II a

de Matematici •.

Pantr~ a miri gradul de acceaib111tate al clrţil, ~eaonstraţiile

sînt date ctt mai detailat iar absen~a

demonstraţiilor

(ln rarele

oazuri_cind apare) este suplinitl de trimiteri bibliografice precise. Intenţia

autorilor a tost de a cup~inde 'într-un

zonabile Wl num&r c!t mai

■are

Yolu■

de

cli■enaiuni

de reaultate de bazl din Algebra

re-

Oo■uta­

tivl, expuse lntr-o maniera accesibili oriolr~ absolvent al anului II al unei

Bacultlţi

un.•-

de Matematici. Din aceste motive a fost depus

fo~t pentru a tace prezentarea materialului ctt Dai independantl de alte

texte. i'iecare din cele 23 de paragrafe ale cl~ii ae tncheie cu exerciţii

al clror .rol este, pe 4e o par1ie, _de a

prezentata în text, verificare a

şi,

însuşirii

Din cauaa

îmboglţi informaţia

p~ de alta parte, 4a a constitui un

■i~loc

de

paragrafu.lui respectiv.

bog&ţiei

~

surselor bibliografioe, nu totdea11:Ua a

toat posibila in4ioarea·looului clin literaturi de wlde au toat extras• rezultatele preaenta~e tn text. Bu putea

totuşi

al nu

menţiona■ ■ono­

gratiile care au COD&tituit.principala noaatra surd de inspiraţie,

BOURJWa {1961-1965], A'llIAH 8Dd. IIAOJ>OBALD [1969) şi 11&1 alea OPLABSU . . (1970], aceasta din urma fiind. cea care a influenţat 1n cea aai ■are al-

4

sura structura 91 punctele de vedere ale luorlrii de taţi. :~-

!iberiu D1111itreaou a citit ou multi aten~i• man.u~crisul: \

tlotncl o serie de

,.

'

observaţii

.

-

orlril. Ii multual• 91 pe.ao•asta oale.

Buoureştt·22 lfo:le■l>ria

198J

•

•

i

oare au oontribuit .la lab11Dlt11,1_rea. lu·~

'

5

.

,·

TERIIIBOID.GIB, lfOTAŢII BI COBVBRtII • • •• • • • • • • ·• • • • • •

1

OAPITOLUL I. LOOALIZARE

Def~iijia inelelor· _şil .·■ocidl.~le. «t•·· :,-.~,tţ

I .I! l

~ ~

10 ·

B I~2 Proprietilli ale :11odlilelor 4e .r.t=âcijU. • ·• • .• · ~· •

i5

I I. 3 Ideale 1A inele-111 ele frâ~lil • -~ •· • .• .• • • • •

21

OAPifOLUL II. a• 'b E: S). Se observi ol s este exact complementara în A a idealului prim {o} al lui. A. in general, claca

•

A-e

R este· UD ideal prim

al llli ·A,

un

sisiielll aaultipllcatb incbis 1â -J.. ADa~og ou . 1 construcţia 1u1·· Gl se poate construi illellll de rraoţii. a; A notat 4e o-

atunci s

1

bicei

"e•

e,ta

Deoarece s poate 2

conţine

divizori ai lui

1e~, relaţia

(

de

· eobi valenţa (a, a) "-'(b, ii) ·a1a ~ ba. din ax (a. - (o ţ ) âe modificfl Uşor

1n sensul ~ t o r (a,a)-(b,t)4=r>, 3 u e 8 cu u(at-ba) •

o,

ude (a,li),

( b, t) E- A x s •. Procedeul de treoere de Ja inelul A la inelul 1 ( care_ 2 1

este un inel looal, 1n ăeDaul· .oi.

âre un

alqur ideal rtâd.•ai) M a\llteş­ ,te localizare. Ouvin~ul de ~~l. looal P"~ dia Geoae.ria Al9eltriol.1 inelul funcţiilor rat~on~-e pe o v~etate algebi'-ioll, rep1a1te Sn11.,..uil pWlct este UD 1Dei looal. Oons~oţia lld. ·•i · ae '!~ale s•eralisa .o~~a1~er1ncl

abtera

ta

loolll ·

lui SJl • A-1 ~ 11ultipli.caţ;iv ~o~a oueo~e a. treoel'ea 4•· 1• 1 s la a~ A, sau 11a1·_-general. de la.• la s-1A-aod\llul ise

nwae9'be prin extensia

•-•~ui.•

logalipare. , • •o.

s-1-

looallalrii a toa1; iA'troduS&

·

lo da .KRULL [[19,a]], d~ deplina ei generalitate a fost atineA abia odatA ~u articolul lui UZKOV [[194,1]. În general, o p~obleml de Algebrl

Oomutali.vl se poate descompune tn do\111 se treoa de la M la M pentru 2 fiecare .a e: Spao(A) (localizare) şi apoi din analiza locali. a problemei se poate trage o concluzie asupra lui M (globalizare). Sl

menţionAm

el

tn Algebra Necomutativi existl mai multe generalizlri_ale tehnicii de loc_alisare din Algebra Comutativii, în ultimii ani

ele fiind studiate

foarte intens.

1.1 Definitia inelelor si modulelor de tractii ,. . In acest paragraf a·• ~elineşte modulul da trao-t;ii al unui Amodul, şi în parthulm- inelul: de trac,11 al Wlui inel A în raport au un sistem caultiplic·ativ .încllis în

'universalitate a inelelor de

A,şi

se

demonstraazA proprietatea de

fracţii.

Datinitie. lie A un inel. O submul~ime Sa lui A ae sistem 1tultipl1cativ inchia dacfl 1 e 8

şi

numeşte

a•t f: S pentru orice a, t

~

s•

. ,Exemple. Pentru odoe inel A, urmltoarele aul~imi stnt evi-

dent sisteme multiplicativ închise: (1). {l}.

(11) llulţiaiea U(A) • { a

inversabile (sau a

unităţilor)

E:

A\ 3b

E': A

a. 1. ab • l

l

a elementelor

din A.

(Ul) Mulţimea R(A) • { a

6

A I daci b

6

A cu ab • O atW1oi b•O}

a elementeior regulata (sau a noq.-clivizorilor lui zero) diD A. (iv) [1,a,a2 , ••• ,an, ••• ) pentru orice elem8Jlt a E-A. (v) A-J! pen~ru orice ideal pria

· llai ■ult, daoa ·.e asto

Wl

a al lui A.

ideal al lui A atunci este clar ci A-.e este

un eiatea multiplicativ incbis tn A daol .

şi

-

numai daci a este un ideal

pri■•

.

(vi) Orice interseq,i~ de ais~eme multiplicativ închis~ 1n A

este de asemenea un siatea mulţiplloativ lnchia în A. ■ A

In cele ce urmeazl s •• deseua un sistem multiplioativ tnchis 1n inelul A, iar M va desemna un A••~dul.

• 11

În m\ll1;1mea JlxS -{('11,a)

l meit,

s~s} co11aidar111 ur11111toarea

relaţie a

{x,a),v(y, t) 3 u. E S ou u(tx „ a1) • O

se probeazl imediat li x

s.

ci . •,..,n este o relaţie de ech1valen1;1 ~ 11ul1;1mea ,,,,,...._

Vom nota. ou ~ cu. x/$) s ( .sau uneori . . . clasa de e·ohivalen1;1 (x. a) a

lui (x,a) E li xs şi cu s-¾& a.,iţ.iaea tuturor acestor clase de ecbiva1e111;1. Aşadar s·1•.• [f Ix GM, a~ S l • Ţin!nd

x,y t: • ,1 a, te-

a,

cont de

definiţia relaţiei

"-v"

rezultA ol daci

atunci

. j • 1f

3a

E

s cu u( tx - ay) • o •

•În particular ob1;111ea regul~ de arapliticare-ai11pliticare1

tx i~ • U

I

'-' V X f: llt

u

V

St f; (:

8•

Mul.1;imea s- 1■ se poate orsantsa cu o structura de A-modul, detinillcl.

iX+Z li.

bl·'' •

a-.l • y a

pentru orice x,ye li, s,t E: 8

şi

Ci

a &A. LasAm pe seama c:Ltitor~ui veritl-

carea faptului ci detinifea ad.WIArii fi• ~ul1;1rii cu scalari este 111d.ependuta·de alegerea representau1;1lo~ 1n mulţiaea precua·,1 verificarea axiomelor 4a m,dul.

s·Ii.

uneori ,1 ·prin

•rs-

Obaarvl■

(;r,t?

s·1a,

ae numeşte pgduiul

tracUi ~ lui li relativ. ·1a 1;1iatnul IIUl.UplicatiY 11 aa1!'

cit;

s

şi

se

4e

aai notead

Ms·

ci daoa o ·e._s, atuci orice doul elemente (z,y) •

I

cllA • x 8 alnt; ecJlivalen:te ·e1.e1 O(tx - s7) •

o,

deci

Qi

s-1ia : o.

Daca sc;B(A) {1.e. s este toraaa1i nwaai clin noA-cliviaori ai· .lui O) a-

tunci (z,a) -(7, t;)

4'=>

t;x •

a7 •

12

\f:

Ap~ioat;ia canonici

• f•

1

li --. . s-111 'definltll prin lf':(x) •

pe care o vora nota adeseori prescurtat

'f, aste

evident un aor-

tisra de A-module iar

Ker( lf )

• {:u. li I

3 s

E

S

cu:

ax • O ] •

Bxeoutînd conatru.ct;ia de mai sus asupra A-modulului A• obiectul oare ia Daştera, ,1 anume A-modulul s-1, are în plus oi o structuri de inel - dupll cum aa poate uşor verifica - d.atinin4.opera1jia iDternl de tnault;ire ln s~1 A aattela

-pentru orice ·a,·b ~ A. şi a, t

Ea.

-Apl~caţia canonici

\f' a A __... s-1.1 este evident

de inele oare este in.)ecti~ daca 91 ~mai daoa 8

UD

■orfism

~ B(A).

Peracheâ (s-1A., ~) tndeplineşte ur111toarea proprietate. de universalitatea

I.l.l.

Propoziţie. fie S \IA aiste■ ■ultipl.ioativ închis 1n 1 A Qi 'f aA---+ s- .1 rao~lismul canonic. Atunci au loc atirmat;iilea

Ci) 'f Ca> ~ ucs-1A)~ (1-1) Pentru orice inel B ş_i orice ■orfism de inele ta.A.

--fi

B

pentru care t(s) (3) este evidenta cllci llax(A) ~ Spec(~). (3)

~ (1) a fie M' • Ker(u) 91 oonaiderl.11· şirul o~~-0 _:_. li' ~.li. -!l. 5 ,

unele 1 oate inclecai;ia canonica. Atunci, pentru orice .!I 6llui(A), avea_ şirul exacta·

19 deoi 11•!.:: Xer(.'l!) M' •

o,

O pentru orioe !! E llax(A). Oontoraa lui I.2.3, avem

a

monomorfism. ■

d~ci u _este un

Î~ oontinuare ne vom ocupa de legl:ltura oare eld.atl1 îni;re la0

ticele 'LA(M) --~i

.e, _l cs-1io, s

A

A

~\lltiplicativ inohis în A.

.eA(li)

Dac~ 1f E

Sata(N)

a

li .tU.nd un A-modul clat .~

aiste■

s un

~

, cfns1clera11 aaul1;1mea

{x"o1

J

a 868

cu ~Elf}.

Bvid8llt Sata(N) '= L Â.(M) şi lf~ Sata(B) • Submod~lUl sata(N) 88 DUlleşte S~saturatul aubmodulului Na R se zice s-aat\Îl'at daol ··-

Cf a li

~ ~ ·s-111

,eill), atuno1.""sat8 (lf) • nio

eao-

8

6)·.fia& ~ sistem aulUplieataiv .tnebia

ta .t.

fi 01 ) 161 o 1

f&11ilie de A-111adl1.l.e. SA .se demoastreze.oA eld.atA Wl iaollOrfin canom.o de s·1A-aodula s•l( E& M1 ) ::i:t EB a-lyi .91 Wl aortiaa oauoaio de s-1.t.. iLI . iE·I module

a-1 , fT ·•1) ___. 161:

fT s-,1 •

iGI

7)fie S • &-:-(O} 91 ■a • & ponilZ'll ori.oe ndl. H

o• IIOrtbaul

O&DODi..O

•

·

.

•

1

a- cTT •11> ,

.__...

D6fH

n

&-Gif

a-·,

sa se d.eaonailre-.

nu eat;e sv-ieetlv. ·

I

- 8) fto B. vi P aub■Gd.ule lll11r-~ ~-modul•• sa se dGflOllnN■e

ci B c. P 8 8

peD.1;1'U

orioe !! _& llaz(A)c=b 11 ~P.

CJ). Jrie M •

r#-.•

81 ae ·deaoAa'Ci~ese

du pantl&'U ~rioe nllllb pri■ p, ~(p) eate

1.3·1c1aa1e h

ip.9lele

1111

oa li

11\l

eaiJe &4o4u1 libe-•,

"(p) - aocwl. Ubu.

4• tgg1iii

~copul. aoeatui parfqlral_est~ 'cle a inveatliaa· lea&~ura oue en.a,a lntre 1~1i1oea idealelor ~ul inel .t. ,1 la~iooa idealelor 1111'1111-

fda. 171!/!JBI/ faSD.8

22

nel da fracţii

s-1A

0

al lui A. Se prezint! totodatl lagatur• intre.

Speo(A) şi Spec(s- 1A) şi se demonstreazl un rezultat frecvent utilizat

în Algebra Oomutativl

şi

anume Lema de evitare a lui lloOOI.

-

'

Daol ta A~B este un mortism de inele,.! este un ideal al lui A şi]! este un ideal al lui B

voa folosi urmltoarele notai11

Evident J!e este un·idaal. ln, (oara este tocmai idealul lui B genera~ de imaginea t(a)

~

idealului A 1n B) nullit extensia lui

în B relativ la mo~tismul ~• Acest ideal ae not~azl adeaa~ri

J!B. Bete de asemenea clar ol i~ag~nea inversl este un ideal hi ~, nuai t · contJ.tactia lui ll 1n

a

0

pri~

ta

şi

.a

prin

idealului

ll

A relativ la mortismul f. 11~ 8 un aiste11 ■ultiplicativ închis 1n A, 'fa A----+ s-1A

mortismul canonic

şi

.I :,un ideal 1n A. ·Avem

• {i l a t .!

_a '= s } •

Observa.li ol u/ • s-1A -.!ns ~ l l . . tunoi I E: s- â daci exist& as. .I ş1 a

s-1J! •

I a intr-adevar, hei Ji8 Ei

S :cu

•

f • ~. ad~ol t( s-a)

s-1A. a

a-

O pen""'.

tru un an~:h tE. s, deci a11 „ td EJ!flS. Reciproc, d.aol ans ~ pi ş1 a E- .8 ll s, atunci t: s-1.t şi este un elemen~ inversabil 1n s-1A, deci s-1.1. s-1A.

f

f

1,,.1 L99A. A ou O (. 8 şi .f! IC A cu {O} ). fie .j8 •

fie 8 un aistem multiplioativ lnchia·in inelul

.a o S

• r/>

l R I l! '- A,

( exisU aaamenea ideale Jh de exemplu :

.! C:. l!t

l! n S

•

9' } •

23 Atunci mulţimea ")' ordonatl _taţi de n ~" are elem~te maximale· şi o8 ri ce element maximal ai lui -:/8 es1ia Wl ideal prim. Demonstratia. llul~imea J 8 aste navidl clei .1 -= 7 8 şi ti&Ve inductiv ordonata taţi da "~" dupll oum se p,ţobeazl uşor, deci :18 ara element;a aaximale Of?Dform lemei.lui Zon. Fi~

R 11D

asemenea ele-

:, • Bate olar olu ol E ~ A. fie a,b EA cu ab ER 8 şi presupunem ol a t/ p_ ,1 b ;. p. At~ci I + Aa il R şi I + Al> ip, deci ment maximal al lui

(p + Aa) f')S ~ ~ şi 82 • P2 +

,1 Cp + Ab)n S ~

za:1:,

S ou P1,P2E

•E:

8 18 2

,p •

Bxiatl ~ader

R ,1 si, X2 & ....

8i

P1 + •1• G8

m

Avem

• (p1+Xj_a)(p2+J1ah )• P1P2•P1X2b +Pcrt1a•~1zaab'

deci a1 8 , 8 n l>• ab8~• În_ concluzie R 6-Spe-e(A)·. Îl 2 Obae.rvatie. Luînd .I •{O}şi 8 • {l} ob~ine11 ol

~ A, !l ~ A } , deci . elementele _maximal.a ale lui maximala ala lui

's • {!llll ~

:78 elnt exact idealele

A.a

Daoa 8 este un sistea aul'biplioaUv 1Achia la A,

.i • {1; '-AI 3 a & S şi · b 6 A ou a • tb ' ~ ~u alte cuvinte S este mUlţimaa tut\l1'or diviaorilor h lementelor lui--~. Bate olar ci ieste in A V~

chia

a.

oa QS, i. ă Sistemul

adie& 4acll X7 E-8

a~ numeşte

Wl

saturatul 11ul1fiplio~tiv ln~his s ~ x e: S 91 7 G s.

1,,,2 Propo11ty

vo■

notla

},

.

A a tuturor e-

aisteia aultlplioaUv bohi.s aisteaul\11 11ul111plioativ ln-

ae •tce

aaturaj

daci

s • i,

Un&toaraie atina~ii a1nt ecbivaleate

pentru o parte nevid& 8 a lui. Aa · (1) S este a

si·atem aultiplioativ lnobia ia A saturat.

(2) Bxistl. o. tamilie de_ ideale prime A- S • U li (I . i E- I

I ;

dad S ~ .A).

aempnatrat"ie

Cp1 ) 16 1 aa1ilel inoitl

U 1:a,WLcl S•A- U Pl' · i6f~ 1Er' • [~ I(A-i,1>, deci lqES implici -q;,1 pentru orice 1 &I, de unde ·

(2)

-=;)

(1). Daci A-S •

24 .

xt!Jpi

şi

7 (2) a Presupune11

• rf, caci s este saturat. R n 8 a; şi p maxim'1 cu dar, orice x l:- A-8

oe ·termini

8

~

şi

yt::.S.

A, qi fie x

6

A-81 awnoi Ax ns...

l~A ou. Ax s:_p, Atunci Re Speo(A). Aşa­

OontorP:1 lui 1.3.1 existl aceste proprietlţi.

ap.µ-ţine

UDui ideal prim lJ;l A disjunct de

a,

cativ închis in A saturat, iar A - s •

I A, este un sistem multipli-

s

U Pi, este clar ol ~in familia

& I · (p1 ) 1 6. I de ideale priq1e se pot elimina idealele priiae oare

.maximale tn mulţimea {~1 Ii EI} • { n-1 f j 6

~.,

ceea

demonstraţia.a

1.·, .. , .Obsaryatii. (1) Daci

·

s,

J} cu

1

i

J;lU

sint

ob,inindu-s-, astfel o mulţime

P ..

J{;;; I şi astfel incit A-S •

lui P este un element maximal in

mulţiaaea

(2) Daci S • {1} , ~tunci

S•

U

p„ şi orice element al

J6r"

P orclonatl

faţl

U (A) şi A-S •

c;le

n ~ n.

U .

!!! E Uax(A)

S.

(3) Mulţimea R(A) a tuturor elementelor regulate (sau a non-

divizorilor lui zero) din A este un sistem multiplicativ inchis în A,

aatur~t deci

mulţimea

.

I

'

Z(A) • A-R(A) a divizorilor lui sero li A este

o reuniune de ideale primea conform celor de .aai sus Z(A) este o re, uniune de ideale prime toate aax~male în mulţimea tuturor idealelor prime a ollror reuniune este Z(A).1 A

In continuare vom prezenta bgltur_a intre idealele lui A

şi idealele lui O 4s.

s-1A, a

fiind un sistem multiplicativ închis în A cu Ne v~ interesa de asemenea legltur_a intre. Spec(A) şi Speo(s-1 A);

Pentru aoea•ta voa partioulariaa I.2.5 la oazul K • A. Submodulele

S~saturate

S-saturate ale lui M ~Ase numesc ideale

I,3.4 Propoaitie. A cu O r/. s,

M.'(s-1A), latioea

ţimea tuturor

Fie sun sistem multiplioativ inchia în tuturor idealelor lui s~1i. şi ~(A) mul-

idealelor a-saturate ale o
J ~

~

ll-4:J\· ft~l:M. -fi·• ~ .,_... fi• L ii de A••tUM• At\lilol .ai ta~e ~eetilr~q .(n:~p. Boa~hHl-. (Jlesp.ee"':v.

•

~-••J•

· i!lfj!RPWY..t• ''- ---~•

A

.n •l. u•.

i~J • o .I

U" ~ O un tir eHeti

btinl~)~

li'

ti. li" alat

zi~·al· oaa~l itoe*rian.

.

( ~ ) ftâ ~~ llâ~ ••.Clă 14ă4' ••• ua iail1; fi.s:oe~cfeat 4e a\lbmo4ule ale lut- ■• •. !tnutei t'Ol:1-)G 1('4) "- •••..~. aaoenden.t; de s\lbâlodule ale • t--J(t(~)) lui lh

ta •

1•1(·111 )'°' g-1 (~)

§ • .. •

11,.1~

. '

(Arbinian) 1 lfo n

GA

aatf el incit

el

.

f - ( 'b 1 ~41 + ••• + 1, n :t4n ) d d

este po~~•ul aul aau un poli.noa do gra4

(J"), putea presupune

epimoirtisn. de A-11oclule

) este un morfismul surjectiv de inele definit prin

ideal finit generat al lui Ai ~e aplici în continuare Ex.5). 1

II. 2 Module de lW1ffime fini t.l de modul de lungime tinitl este o generalizare na-

Noţiunea

t111'ail a no1jiuni1 de spaţiu vectorial de dimensiune finitl.

În acest

paragraf sa prezint! Teo~ema JORDAN-H&LDER precum şi cîteva propr1etll1;1 elementare ale Datinitie

tamilie (M1 ) 0

~

"funcţiei"

Be

numeşte lanţ

de aubmodule al lui Mt: Mod-A o

1 ~ n de submodule ale lui li astfel înci t O • M0

numlrul n se

lungime a unui modul.

nuiaeşte

< M1 < 112 < ... O •.

(7)

Demonstraţie

At~rma~~ile (1), (2),

c,>

o~ (4)

rezultl ime-

diat din defiAiţia rad~~alului unui ideal. 'PeAtru a demonstra (5) este suficient conform lUi. III.1.9 ~I probam urmltoarele

Intr-adevlr avema

collform lui 1.3.7, deci V(J! n ]?) ~ V(!• l!) c;. V(.1) U V(l!) V(.1) U V()!) b V(,! n ,!!) e&te evidenta.

IAcluziunea.

, 6) Oontorm lui: (1) şi (2) J! +

'1 ""i + ,{] • Bie acu11 x 8

deci x

•

y

•♦

a cu y

E:

E:

-fE

l!

~ -fj +

fi,

deci 'i .! + l! c;

'J vE + "11 atunci xa e fi'+ fi pentru un 11> o,

şi

z

e-"I• Aşadar

y 8 E: .!

şi

ztE: J? pentru a-

numiţi a, t >O. Rezultl ca xmat • (y+z) 8tE: .! + Jl , deci x e Y,! + Î!• ÎA concluzie +'iiO. ■

ti;A.

oi

III.1.14 Propozitie Daca·s este un sistem ■ultiplicativ hchis în A, atunci cJl'(s-1.A) • s-1..N'(A). Demonstratie Pie

.

deci exista t

es

deci 3 • B

·s-W(A).

8

ii

E

Reciproc, d-cl

. r!l •.

O pentru

wi

o.

ou t;.,/1 •

i

6

t

Beaulta oa ( 1ix)11

s-\#-(A) t atunci

n >O, de W1da

Detinitip

III.l.l;

Un

1A), atunci

t:: «N'(s-

(~t •.i

inel A se

t

X

•

~ an o,

•

°

1 pentru un

adiai tx

E (/l'(A)

adlcll

tJ

A

>o,

cN'(A),

şi s E S, deci

~ 4= cl{ts-1.A). ■

nwaaşte ;redu,g dacii fH'(A) • o . ■

Oorolar

Daoa A·aata un inel redus, atunci pen'bru orice sistem auitiplicativ lnchia s iJl A, s-1A este 1101; ~ illel redus.a Rezultat~ care lnoheie acest para.pat arata ca proprietatea

Wlu+

inel.de a ti redus este o proprietate localll.

III.l,16 Propozitie Urmltoarele pentru un inel A:

af'inaţii

atnt echivalente

56 (1) A oste inel redus. este inel redus pentru orice p,; f;ipec( A).

(2) A

(,>

A?

A! este inel redus pentru orice !! ,; Max( A).

J>emonatratie

(_l) =P (2) rezulta

din III • .l.14 iar

(2) ~(')este evidenta. Ave■

Probam acum implica~ia (') ='> (1). • O pentru orice .!'="Max(A), deci

cK(.l)! • •Jr(A!)•

Jf'(A) • O contora lui 1.2d ••

Exercitii 1) 1'ie x f: cJr(A) şi u '= U(A). 81 se deaonstreze ca x f:

+

u ·~

U(A).. 2) SI se determine c}{(zn) şi

r •

3) Fie

urmltoarele

80

♦ alx + .....

J(zn>•

8n.xn" A[Xl

• 81 se dell'onatreze

atirmaţii1

(1) tE.U(AlX))