Algebra Comutativa: um tour ao redor dos anéis comutativos [version 14 Mar 2011 ed.]

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´ Algebra Comutativa

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Eduardo Tengan (ICMC-USP)

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um tour ao redor dos an´ eis comutativos

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c 2010 E. Tengan Copyright Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this document provided the copyright notice and this permission notice are preserved on all copies.

“To get a book from these texts, only scissors and glue were needed.”

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J.-P. Serre, in response to receiving the 1995 Steele Prize for his book “Cours d’Arithm´etique”

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Chapter 1

Pref´acio Quando terminei de escrever meu livro anterior, estava t˜ ao esgotado que prometi a mim mesmo: meu pr´oximo livro ser´a intitulado “A Tabela dos Primos Pares (vers˜ao resumida)”. A Teoria de An´eis possui diversas aplica¸co˜es nas mais diversas partes da Matem´ atica, tais como Combinat´oria, Geometria Alg´ebrica, Teoria dos N´ umeros, An´alise, e at´e mesmo fora da Matem´ atica, como na Culin´aria (an´eis de cebola), no Transporte (anel rodovi´ario). No cinema, an´eis tˆem obtido grande destaque, em pel´ıculas como “O Senhor dos An´eis”, “Matrix” e “Corpo Fechado”. Os pr´e-requisitos para este livro s˜ao poucos, Bourbarki Lang

1 Devo ler este livro? 2 Terminologia Frequente e Nota¸ co ˜es Utilizamos a j´ a consagrada nota¸ca˜o N, Z, Q, R, C para denotar os conjuntos dos n´ umeros naturais (incluindo o zero), inteiros, racionais, reais e complexos. Denotamos ideais por letras g´ oticas. Al´em disso, ao longo de todo o livro utilizaremos a seguinte terminologia: 1.

Claramente:

N˜ ao estou a fim de escrever todos os passos intermedi´ arios.

2.

Lembre:

3.

Sem Perda de Generalidade:

4.

Verifique: Esta ´ e a parte chata da prova, ent˜ ao vocˆe pode fazˆe-la na privacidade do seu lar, quando ningu´em estiver olhando.

5.

Esbo¸co de Prova:

6.

Dica:

7.

Analogamente:

8.

Por um teorema anterior:

9.

Prova omitida:

N˜ ao dever´ıa ter que dizer isto, mas. . . Farei apenas um caso e deixarei vocˆe adivinhar o resto.

N˜ ao consegui verificar todos os detalhes, ent˜ ao vou quebrar a prova em peda¸cos que n˜ ao pude provar.

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A mais dif´ıcil dentre as muitas maneiras de se resolver um problema. Pelo menos uma linha da prova acima ´e igual `a prova deste caso.

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n˜ ao me lembro do enunciado (na verdade, nem tenho certeza se provei isto ou n˜ ao), mas se o enunciado estiver correto, o resto da prova segue.

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Acredite, ´e verdade.

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Chapter 2

anel anel zero morfismo! de m´ odulo morfismo! de grupo de unid anel produto ideal

Vamos ser amigos dos an´eis! Em contraponto ao restante deste livro, este cap´ıtulo inicial tem um car´ ater, digamos, mais explorat´orio: veremos an´eis comutativos em seu formato “bruto”, ainda n˜ ao lapidados por uma abordagem te´orica ´ e sistem´ atica, a ser adotada a posteriori. Cabe aqui bem lembrar que Algebra Comutativa n˜ ao ´e uma ´area isolada do resto da Matem´ atica; muito pelo contr´ario, ´e uma disciplina que bebe de diversas fontes, como a An´alise, a Teoria dos N´ umeros, a Geometria e a Topologia, entre outras. Conhecer esta intera¸ca˜o ´ ´e importante, n˜ ao s´o para compreender como a Algebra Comutativa se posiciona dentro do Cosmos matem´atico, mas tamb´em para entender a motiva¸ca˜o dos teoremas, m´etodos e exemplos que formam o tronco desta bela disciplina. Muito bem, mas o que de fato ´e feito neste cap´ıtulo? Afinal de contas, queremos menos palavras e mais a¸ca˜o! Come¸camos com uma breve revis˜ao das defini¸co˜es e conceitos b´ asicos que ser˜ao utilizados ao longo de todo o livro. Logo em seguida, introduzimos os grandes protagonistas no estudo dos an´eis comutativos: os ideais primos. Veremos o papel que eles assumem em diversos exemplos concretos. Por fim, encerramos este prel´ udio definindo a topologia de Zariski do espectro primo de um anel, sinalizando um dos temas recorrentes deste manuscrito: que an´eis comutativos s˜ao, sobretudo, objetos geom´etricos por natureza.

1 Nota¸ c˜ ao e Conven¸ co ˜es

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Esta se¸ca˜o ´e uma “cole¸ca˜o de pr´e-requisitos”, defini¸co˜es e conceitos assumidos como conhecidos e que ser˜ao frequentemente utilizados em todo o livro. Sugerimos que o leitor n˜ ao perca muito tempo nesta se¸ca˜o, fazendo apenas uma leitura r´apida para se familiarizar com as nota¸co˜es empregadas. Come¸camos com a no¸ca˜o de anel: como vocˆe j´a sabe, um anel nada mais ´e do que um conjunto onde podemos somar, subtrair e multiplicar; neste livro, convencionamos que o termo n˜ ao adornado anel significar´a sempre anel comutativo com 1. Note que o menor anel do universo, o anel zero A = 0 (com um u ´nico elemento 0 = 1) ´e um leg´ıtimo anel e n˜ ao est´ a banido por esta conven¸ca˜o. Um morfismo de an´ eis φ: A → B ´e um mapa que preserva soma e produto, i.e., φ(a1 + a2 ) = φ(a1 ) + φ(a2 ) e φ(a1 · a2 ) = φ(a1 ) · φ(a2 ) para todo a1 , a2 ∈ A, e que (ainda por decreto) satisfaz φ(1) = 1. Um A-m´ odulo M ´e, moralmente falando, um “espa¸co vetorial sobre A” em que 1 · m = m para todo m ∈ M . Um morfimo de A-m´ odulos ψ: M → N ´e uma “transforma¸ca˜o A-linear” entre M e N : ψ(a1 · m1 + a2 · m2 ) = a1 · ψ(m1 ) + a2 · ψ(m2 ) para todo a1 , a2 ∈ A e m1 , m2 ∈ M . Recorde que uma unidade u ∈ A ´e um elemento que possui inverso multiplicativo u−1 ∈ A. O conjunto de todas as unidades de A, juntamente com a opera¸ca˜o multiplica¸ca˜o, forma um grupo abeliano A× , o grupo de unidades de A. Por exemplo, Z× = {±1} e C[t]× = C× = C \ {0}. Q Dada uma cole¸ca˜o de an´eis Aλ , λ ∈ Λ, definimos o anel produto λ∈Λ Aλ como o anel dado pelo produto cartesiano dos Aλ , com a soma e multiplica¸ca˜o efetuadas coordenada a coordenada. O elemento neutro deste anel ´e a tupla constante com todas as entradas iguais a 0 e a identidade ´e a tupla constante com todas as entradas iguais a 1. Lembre ainda que um ideal a de um anel A ´e um A-subm´ odulo de A, ou seja, um subconjunto a ⊂ A fechado por combina¸co˜es A-lineares: x, y ∈ a e a, b ∈ A ⇒ ax + by ∈ A. Ideais generalizam a no¸ca˜o de conjunto de m´ ultiplos de um elemento. Dada uma fam´ılia arbitr´aria {bλ }λ∈Λ de elementos de A, o conjunto de todas as combina¸co˜es A-lineares (finitas) de elementos nesta fam´ılia  a1 · bλ1 + · · · + ar · bλr r ∈ N, ai ∈ A, λi ∈ Λ

´e um ideal de A, o ideal gerado por {bλ }λ∈Λ . Note que este ´e o “menor” ideal de A que cont´em o conjunto {bλ }λ∈Λ . O ideal gerado por a1 , . . . , an ∈ A ser´a denotado por uma das duas seguintes formas: (a1 , . . . , an ) = A · a1 + · · · + A · an

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Vamos ser amigos dos an´eis!

Ideais da forma (a), isto ´e, gerados por um u ´nico elemento, s˜ao chamados de ideais principais. Ideais podem ser multiplicados e somados: dados dois ideais a e b, a · b ´e o ideal P gerado por todos os produtosSa · b com a ∈ a e b ∈ b. Dada uma fam´ılia de ideais aλ , denotamos por λ aλ o ideal gerado pela uni˜ao λ aλ . Em particular, para ideais finitamente gerados, temos

ideal! principal ideal! pr´ oprio morfismo! quociente

(a1 , . . . , am ) · (b1 , . . . , bn ) = (a1 b1 , a1 b2 , . . . , ai bj , . . . , am bn )

(a1 , . . . , am ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn )

Um ideal a de A ´e dito pr´ oprio se a 6= A, isto ´e, se a ´e um subconjunto pr´oprio de A. Note que a ´e pr´oprio se, e s´o se, 1 ∈ / a ou, mais geralmente, se, e s´o se, A× ∩ a = ∅ (da sabedoria popular: “a melhor maneira de se livrar de um ideal pr´oprio ´e dar uma unidade a ele”). De fato, se A× ∩ a = ∅ ent˜ ao 1 6∈ a e portanto a 6= A. Reciprocamente, se a ´e pr´oprio mas existe u ∈ A× tal que u ∈ a ent˜ ao a = au−1 · u ∈ a para todo a ∈ A, o que ´e absurdo. Observe que todo anel, com exce¸ca˜o do anel 0, possui ideais pr´oprios (o ideal nulo, por exemplo). Ideais possuem um importante papel n˜ ao s´o em nossas vidas mas tamb´em nas vidas dos an´eis, sendo ingredientes essenciais na promo¸ca˜o da igualdade: dado um ideal a ⊂ A, o anel quociente A/a ´e o anel obtido “igualando-se” elementos que diferem por um elemento em a; formalmente, os elementos de A/a s˜ao as classes laterais do ideal a, que ser˜ao denotadas por uma das seguintes trˆes maneiras: a + a = a mod a = a ∈ A/a

(a ∈ A)

(sendo a u ´ltima nota¸ca˜o a utilizada se o ideal a est´ a claro pelo contexto). Escrevemos ainda a≡b

(mod a) ⇐⇒ a − b ∈ a ⇐⇒ a = b em A/a

de modo que as propriedades usuais de congruˆencias se verificam:    a + c ≡ b + d (mod a) a ≡ b (mod a) ⇒ a − c ≡ b − d (mod a) c ≡ d (mod a)  ac ≡ bd (mod a)

Por exemplo, para provar a u ´ltima propriedade, note que se a − b ∈ a e c − d ∈ a ent˜ ao ac − bd = c · (a − b) + b · (c − d) ∈ a. Estas propriedades nada mais expressam do que a compatibilidade das opera¸co˜es do anel com a rela¸ca˜o de equivalˆencia dada pelo quociente. Isto mostra que as opera¸co˜es em A/a def

a±b = a±b

e

def

a·b = a·b

(a, b ∈ A)

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a 7→ a

)

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est˜ ao de fato bem definidas, isto ´e, independem da escolha dos representantes de classe a, b. O anel quociente vem equipado de f´ abrica com um morfismo quociente ou morfismo proje¸ c˜ ao, claramente sobrejetor: q: A ։ A/a

(1

0

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7:

Ainda no que tange a quocientes, temos os seguintes resultados muito importantes, ainda que de demonstra¸co˜es singelas. O primeiro ´e o princ´ıpio “zero vai em zero”: para mostrar que um morfismo de um anel quociente A/a para um outro anel B est´ a bem definido, basta verificar que 0 7→ 0. O segundo fornece condi¸co˜es suficientes sob as quais este morfismo ´e um isomorfismo. O terceiro identifica os ideais do anel quociente A/a com os ideais de A contendo a.

? ? A/a Aqui q: A ։ A/a denota o morfismo quociente.

∃! φ

q

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φ B

-

A

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Teorema 1.1 (Propriedade Universal do Quociente) Sejam A e B an´eis e seja a um ideal de A. Dar um morfismo φ: A/a → B ´e o mesmo que dar um morfismo φ: A → B tal que φ(a) = 0. Explicitamente, se φ: A → B satisfaz φ(a) = 0 ent˜ ao existe um u ´nico morfismo φ: A/a → B tal que φ(a) = φ(a) para todo a ∈ A, ou seja, tal que o seguinte diagrama comuta:

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Teorema 1.2 (Isomorfismo) Seja φ: A → B um morfismo de an´eis. Ent˜ ao o kernel de φ def

ker φ = {a ∈ A | φ(a) = 0} ´e um ideal de A e φ induz (pelo teorema anterior) um morfismo φ: A/ ker φ ֒→ B que ´e injetor e que portanto estabelece um isomorfismo entre A/ ker φ e a imagem de φ. Teorema 1.3 (Correspondˆ encia de Ideais) Seja A um anel e a um ideal. O mapa quociente q: A ։ A/a estabelece uma bije¸c˜ ao entre   ideais b de A tais que b ⊃ a ↔ ideais de A/a b 7→ q(b)

Se N ´e um A-subm´ odulo de M , podemos definir o A-m´ odulo quociente M/N de maneira an´aloga, como o conjunto das classes laterais de N . Mutatis mutandis, os trˆes teoremas anteriores valem tamb´em no contexto de m´odulos. Lembre que um elemento a de um anel A ´e dito nilpotente se existe um n´ umero natural n tal que an = 0. Um anel A 6= 0 ´e chamado de reduzido se seu u ´nico elemento nilpotente ´e o 0. Um elemento a 6= 0 ´e um divisor de zero se existe b 6= 0 tal que a · b = 0. Recorde que um anel A 6= 0 sem divisores de zero ´e chamado de dom´ınio: mais explicitamente, um anel A ´e um dom´ınio se A 6= 0 e, para todo a, b ∈ A, temos a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0. Num dom´ınio, vale a “lei do cancelamento”: se c 6= 0 ent˜ ao a · c = b · c ⇒ a = b (j´ a que a · c = b · c ⇐⇒ (a − b) · c = 0 ⇐⇒ a − b = 0). Para elementos a, d em um dom´ınio A, escrevemos ainda d|a

(lˆe-se “d divide a” ou “a ´e m´ ultiplo de d”)

⇐⇒ a = b · d para algum b ∈ A

⇐⇒ (d) ⊃ (a) (como diz o velho ditado, “no mundo ideal, conter ´e dividir”)

Dois elementos a, b de um dom´ınio A s˜ao ditos associados se eles diferem de uma unidade (multiplicativamente falando), isto ´e, a = b · u para alguma unidade u ∈ A× . Ideais s˜ao “insens´ıveis a associados” no sentido que (a) = (b) ⇐⇒ a e b s˜ao associados

a c a·d+b·c + = b d b·d

a c a·c · = b d b·d

e

)

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0

s˜ao identificadas se, e s´o se, ad = bc; e as opera¸co˜es

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c d

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e

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a b

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o seu corpo de fra¸ co ˜es: aqui, duas fra¸co˜es s˜ao definidas do modo usual:

7:

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De fato, temos que (a) = (b) ´e equivalente a a | b e b | a, ou seja, `a existˆencia de elementos u, v ∈ A tais que a = b · u e b = a · v. Se a e b s˜ao associados, digamos a = b · u com u ∈ A× , temos tamb´em b = a · v para v = u−1 ; reciprocamente, se a = b · u e b = a · v temos a = a · vu, ou seja, a = b = 0 ou vu = 1 ⇒ u, v ∈ A× e em ambos os casos a e b s˜ao associados. Para um dom´ınio A, denotaremos ainda por o na Frac A = a, b ∈ A, b 6= 0 b

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Seja A ´e um dom´ınio. Um elemento π ∈ A \ (A× ∪ {0}) ´e dito irredut´ıvel se ele s´o possui fatora¸co˜es triviais: π = a · b ⇒ a ∈ A× ou b ∈ A× . Um dom´ınio A ´e chamado de dom´ınio de fatora¸ c˜ ao u ´ nica (DFU) se todo elemento a 6= 0 de A pode ser fatorado de maneira essencialmente u ´ nica como produto de irredut´ıveis, ou seja,

ET

1. (Existˆencia da fatora¸ca˜o) a pode ser escrito como a = π1 π2 . . . πm com πi irredut´ıveis; 2. (Unicidade da fatora¸ca˜o) Se a tamb´em se escreve como a = ρ1 ρ2 . . . ρn com ρi irredut´ıveis ent˜ ao m = n e existe uma permuta¸ca˜o σ: {1, 2, . . . , m} → {1, 2, . . . , m} tal que πi ´e associado a ρσ(i) , i = 1, 2, . . . , m = n. Um dom´ınio em que todo ideal ´e principal ´e chamado de dom´ınio de ideais principais (DIP). Por exemplo, Z e C[t] s˜ao DIPs. Temos ainda os seguintes importantes resultados (ver apˆendice):

m´ odulo quoci nilpotente reduzido divisor de zer elementos ass corpo de fra¸ c elemento! irre dom´ınio de fa dom´ınio de id

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Vamos ser amigos dos an´eis!

Teorema 1.4 Todo DIP ´e um DFU. Teorema 1.5 Se A ´e um DFU ent˜ ao A[x] tamb´em ´e um DFU.

ψ

-

Uma A-´ algebra ´e por defini¸ca˜o um morfismo de an´eis φ: A → B. Muitas vezes, φ (dito morfismo base) ´e claro pelo contexto e por isso nos referimos ao pr´oprio anel B como sendo uma A-´algebra. Por exemplo, o anel de polinˆomios A[x1 , . . . , xn ] ´e uma A-´algebra via a inclus˜ao A ֒→ A[x1 , . . . , xn ]; al´em disso, qualquer anel A ´e uma Z-´algebra pelo morfismo natural Z → A (que leva 1 ∈ Z em 1 ∈ A). Note que φ n˜ ao ´e necessariamente injetivo, mas se a ∈ A e b ∈ B denotamos φ(a) · b simplesmente por a · b, por abuso de linguagem. Finalmente, um morfismo f : B → C de A-´ algebras ´e um morfismo de an´eis compat´ıvel com os morfismos bases φ: A → B e ψ: A → C, isto ´e, tal que o diagrama f B C 6

´lgebra a complexo sequˆ encia exata produto direto soma direta

φ

A comuta (f ◦ φ = ψ). Utilizando o abuso de linguagem acima, um morfismo de an´eis f : B → C ´e um morfismo de A-´algebras se, e somente se, f ´e A-linear: f (ab) = af (b) para todo a ∈ A e b ∈ B. Rela¸co˜es lineares entre m´odulos s˜ao geralmente expressas atrav´es de sequˆencias exatas. Uma sequˆencia de morfismos de A-m´ odulos ···

- Mi+1

- Mi

- Mi−1

fi+1

fi

- Mi−2

fi−1

- ···

fi−2

´e um complexo se fi−1 ◦ fi = 0 ⇐⇒ im fi ⊂ ker fi−1 para todo i. Um complexo ´e uma sequˆ encia exata se im fi = ker fi−1 para todo i. Em particular, 0

- M

- N

f

- P

g

- 0

´e uma sequˆencia exata se, e s´o se, f ´e injetora, g ´e sobrejetora e ker g = im f , de modo que g induz um isomorfismo N/f (M ) ∼ encia exata curta. = P . Neste caso dizemos que a sequˆencia acima ´e uma sequˆ Uma maneira de interpretar uma sequˆencia exata curta ´e imaginar o m´odulo do meio como “composto” pelos m´odulos das pontas. Por exemplo, se os m´odulos acima s˜ao k-m´ odulos onde k ´e um corpo (i.e., M , N e P s˜ao k-espa¸cos vetoriais) ent˜ ao dimk N = dimk M + dimk P . Note que toda sequˆencia exata (M• , f• ) pode ser quebrada em sequˆencias exatas curtas 0 - im fi+1 - Mi - im fi - 0

)

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i∈I

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7:

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de modo que o estudo de sequˆencias exatas gerais pode ser reduzido ao estudo das sequˆencias exatas curtas. Dados dois A-m´ odulos M e N , o conjunto HomA (M, N ) de todos os morfismos φ: M → N de Am´odulos tamb´em ´e um A-m´ odulo (com a soma e o produto por escalares em A induzidos pelas opera¸co˜es em N ). Al´em disso, dada uma fam´ılia de A-m´ odulos Mi , i ∈ I, podemos construir dois novos A-m´ odulos: o produto direto Y Mi

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i∈I

0

que, como conjunto, ´e igual ao produto cartesiano dos Mi , sendo a soma e o produto por escalares realizada componente a componente; e a soma direta M Mi

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que ´e o subm´odulo do produto direto cujos elementos s˜ao as tuplas (mi )i∈I quase nulas, i.e., Lcom mi 6= 0 apenas para um n´ umero finito de ´ındices i. Um m´odulo que ´e isomorfo a uma soma direta i∈I Mi onde odulo livre sobre A. Por exemplo, espa¸cos vetoriais sobre um corpo k cada Mi ∼ = A ´e chamado de m´ s˜ao k-m´ odulos livres. Observe que temos os isomorfismos canˆ onicos Y Y
Y M
HomA (T, Mi ) = HomA T, Mi e HomA (Mi , T ) = HomA Mi , T i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

Q onde o primeiro isomorfismo leva (φi )i∈I no morfismo φ: T → i∈I Mi cuja i-´esima coordenada ´e
φi , L enquanto que o segundo isomorfismo leva (ψi )i∈I no morfismo ψ: i∈I Mi → T dado por ψ (mi )i∈I = P i∈I ψi (mi ), que faz sentido uma vez mi = 0 para quase todo i ∈ I.

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2 Ideais Primos e Maximais Nesta se¸ca˜o, iniciamos o estudo dos an´eis propriamente ditos. Para realmente entendermos um anel, precisamos sobretudo conhecer seus ideais. Dois tipos de ideais desempenham um papel primordial: os ideais primos e os maximais. Defini¸ c˜ ao 2.1 Seja A um anel. 1. Um ideal p de A ´e dito primo se satisfaz uma das (e portanto todas!) seguintes condi¸co˜es equivalentes: i. A/p ´e um dom´ınio; ii. p ´e um ideal pr´oprio e a · b ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p para todo a, b ∈ A; iii. p ´e um ideal pr´oprio e a · b ⊂ p ⇐⇒ a ⊂ p ou b ⊂ p para quaisquer ideais a, b de A.

2. Um ideal m ⊂ A ´e dito maximal se satisfaz uma das (e portanto todas!) seguintes condi¸co˜es equivalentes: i. A/m ´e um corpo; ii. m ´e maximal no conjunto parcialmente ordenado (por inclus˜ao) dos ideais pr´oprios de A, isto ´e, se a ´e um ideal pr´oprio de A e a ⊃ m ent˜ ao a = m.

Observe que como todo corpo ´e dom´ınio, todo ideal maximal ´e primo.

)

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FT

Intuitivamente, p ´e primo se p 6= (1) (afinal de contas, ao contr´ario da cren¸ca popular, 1 n˜ ao ´e um n´ umero primo!) e “p divide o produto a · b se, e s´o se, p divide a ou p divide b”. A equivalˆencia (i) ⇐⇒ (ii) na defini¸ca˜o de ideal primo ´e apenas uma par´ afrase em termos de quociente: A/p ´e dom´ınio se, e s´o se, primeiro, A/p 6= 0, ou seja, p 6= A e, segundo, a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0 para todo a, b ∈ A ou, em outras palavras, a · b ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p. Para ver que (iii) ⇒ (ii), basta tomar a = (a) e b = (b). Finalmente, para mostrar que (ii) ⇒ (iii), suponha por absurdo que p ⊃ ab mas p 6⊃ a e p 6⊃ b. Neste caso, existem elementos a ∈ a \ p e b ∈ b \ p, logo por (ii) temos a · b 6∈ p. Mas a · b ∈ a · b, o que contradiz a hip´ otese p ⊃ ab. A equivalˆencia (i) ⇐⇒ (ii) na defini¸ca˜o de ideal maximal decorre do fato de que a correspondˆencia de ideais no teorema 1.3 preserva a rela¸ca˜o de inclus˜ao, de modo que m ⊂ A ´e maximal dentre os ideais ´nico ideal pr´oprio de A/m. Mas um anel B pr´oprios de A ordenados por inclus˜ao se, e s´o se, (0) ´e o u possui um u ´nico ideal pr´oprio (necessariamente o ideal nulo) se, e s´o se, B ´e um corpo. De fato, se B ´e um corpo e b 6= (0) ´e um ideal de B, ent˜ ao b possui um elemento b 6= 0, que ´e uma unidade, logo 1 = b · b−1 ∈ b ⇒ b = B. Reciprocamente, se (0) ´e o u ´nico ideal pr´oprio de um anel B, ent˜ ao dado b 6= 0 temos (b) = B e portanto 1 ∈ (b), logo existe c ∈ B tal que bc = 1, isto ´e, b ∈ B × , mostrando que todo elemento n˜ ao nulo ´e uma unidade e que, portanto, B ´e corpo. Dado um morfismo de an´eis φ: A → B, se q ´e um ideal primo de B, ent˜ ao a sua pr´e-imagem φ−1 (q) ´e um ideal primo de A. De fato, note primeiramente que φ−1 (q) ´e pr´oprio, pois de outra forma 1 ∈ φ−1 (q) ⇐⇒ 1 = φ(1) ∈ q, contrariando o fato de q ser pr´oprio. Por outro lado, temos que

(1

RA

7:

a · b ∈ φ−1 (q) ⇐⇒ φ(a) · φ(b) = φ(a · b) ∈ q ⇐⇒ φ(a) ∈ q ou φ(b) ∈ q ⇐⇒ a ∈ φ−1 (q) ou b ∈ φ−1 (q)

Exemplo 2.3 (0) ∈ Spec A se, e s´o se, A ´e um dom´ınio.

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D

o morfismo entre espectros induzido por φ.

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q 7→ φ−1 (q)

0

Defini¸ c˜ ao 2.2 Dado um anel A, chamamos de espectro primo ou simplesmente espectro de A o conjunto de todos os ideais primos de A, denotado por Spec A. Se φ: A → B ´e um morfismo de an´eis, denotamos por Spec(φ): Spec B → Spec A

ET

Exemplo 2.4 Se A ´e um DFU e π ∈ A ´e irredut´ıvel, ent˜ ao (π) ´e um ideal primo. De fato, (π) ´e pr´oprio pois π ∈ / A× e, pela fatora¸ca˜o u ´nica em irredut´ıveis, temos que ab ∈ (π) ⇐⇒ π | ab ⇐⇒ π | a ou π | b ⇐⇒ a ∈ (π) ou b ∈ (π). Exemplo 2.5 Seja A um DIP (por exemplo, A = Z ou A = C[t]). Ent˜ ao   Spec A = (0) ∪ (π) | π ´e irredut´ıvel

ideal primo ideal maxima espectro

12

Vamos ser amigos dos an´eis!

De fato, j´a sabemos pelo exemplo anterior que se π ´e irredut´ıvel ent˜ ao (π) ´e primo. Reciprocamente, se um ideal (principal) n˜ ao nulo (π) ´e primo ent˜ ao π 6= 0 ´e irredut´ıvel: π ∈ / A× pois caso contr´ario (π) = A e se π = a · b ent˜ ao como a · b ∈ (π) e (π) ´e primo temos a ∈ (π), digamos, logo existe c ∈ A tal que a = πc ⇐⇒ a = abc ⇐⇒ 1 = bc (note que a 6= 0 pois π 6= 0 e A ´e dom´ınio) e portanto b ∈ A× , isto ´e, a fatora¸ca˜o de π ´e trivial. Em particular, temos   Spec Z = (0) ∪ (p) | p ´e primo   Spec C[t] = (0) ∪ (t − a) | a ∈ C

Exemplo 2.6 Se A ´e um DIP, todo ideal primo n˜ ao nulo de A ´e maximal. De fato, para mostrar que A/(π) ´e um corpo se π ´e irredut´ıvel, tome a ∈ A tal que a 6= 0, ou seja, tal que π ∤ a. Como A ´e DIP, temos que (π, a) = (d) para algum d ∈ A. Mas ent˜ ao d | π, logo, como π ´e irredut´ıvel, d ´e associado ou a 1 ou a π, sendo que o u ´ltimo caso n˜ ao ocorre pois d | a mas π ∤ a. Resumindo, (π, a) = (1) e assim existem r, s ∈ A tais que r · π + s · a = 1 ⇒ s · a = 1 em A/(π) Ou seja, a ´e uma unidade em A/(π), como quer´ıamos mostrar. Exemplo 2.7 Se a ´e um ideal qualquer de um anel A e q: A ։ A/a ´e o mapa quociente ent˜ ao pelo teorema da correspondˆencia de ideais (teorema 1.3) temos que Spec(q): Spec A/a ֒→ Spec A ´e injetor, com imagem dada pelos ideais primos em Spec A que contˆem a. Por exemplo, temos  Z = (p) p primo, p | n (n)  C[t]
= (t − a) a ∈ C, f (a) = 0 Spec f (t) Spec

(Lembre que “conter ´e dividir” e t − a | f (t) ⇐⇒ f (a) = 0)

O pr´oximo teorema mostra que ideais maximais (e portanto primos) existem em abundˆ ancia. Teorema 2.8 Seja A 6= 0 um anel n˜ ao zero. Ent˜ ao A possui um ideal maximal. Consequentemente: 1. Spec A = ∅ ⇐⇒ A = 0

2. se a ⊂ A ´e um ideal, ent˜ ao a ´e pr´ oprio se, e s´ o se, a ⊂ m para algum ideal maximal m de A.

RA

c∈C

)

(1

7:

28

FT

Prova Seja A 6= 0 e seja P o conjunto de todos os ideais pr´oprios de A, parcialmente ordenados por inclus˜ao. Devemos mostrar que P possui um elemento maximal, o que seguir´a do lema de Zorn. Note que P 6= ∅ pois (0) ∈ P (aqui utilizamos A 6= 0). Temos agora que mostrar que qualquer cadeia C em P ´e limitada superiormente. Considere [ u= c

29

,O ct

ET

D

,2

01

0

Se mostrarmos que u ´e um ideal pr´oprio de A, claramente u ser´a um limitante superior de C em P e o resultado segue. Primeiramente, u ´e ideal pois se x, y ∈ u existem ideais g, h ∈ C tais que x ∈ g e y ∈ h e podemos supor que g ⊂ h (lembre-se de que C ´e uma cadeia). Assim, ax + by ∈ h ⊂ u para quaisquer a, b ∈ A. Al´em disso, u ´e pr´oprio, pois caso contr´ario 1 ∈ u e assim 1 ∈ c para algum c ∈ C, contradizendo o fato de que c ∈ P ´e pr´oprio. Agora, para mostrar o item 1, note que se A 6= 0 ent˜ ao Spec A 6= ∅ pois A possui pelo menos um ideal maximal, que ´e primo; por outro lado, se A = 0, n˜ ao h´ a ideais pr´oprios e, em particular, n˜ ao h´ a primos, logo Spec A = ∅. Para obter o item 2, se a ´e pr´oprio ent˜ ao A/a 6= 0 e portanto A/a possui um ideal maximal, que corresponde a um ideal maximal m de A com a ⊂ m pelo teorema da correspondˆencia de ideais (teorema 1.3). A rec´ıproca ´e imediata. Encerramos esta se¸ca˜o com uma generaliza¸ca˜o do famoso Teorema Chinˆes dos Restos, que afirma que dados inteiros m1 , m2 , . . . , mn , dois a dois coprimos (i.e., gcd(mi , mj ) = 1 se i 6= j), ent˜ ao existe um isomorfismo de an´eis Z ∼ - Z × Z × ···× Z (m1 m2 . . . mn ) (m1 ) (m2 ) (mn )

13

Por exemplo, para m1 = 3 e m2 = 5, temos a seguinte tabela, cujas linhas s˜ao indexadas por elementos de Z/(3) e as colunas, por elementos de Z/(5) e cuja entrada na posi¸ca˜o (a, b) ∈ Z/(3) × Z/(5) ´e o elemento de Z/(15) correspondente: 0

1

2

3

4

0 1

0 10

6 1

12 7

3 13

9 4

2

5

11

2

8

14

Teorema 2.9 (Chinˆ es dos Restos) Seja A um anel e sejam a1 , . . . , an ideais dois a dois coprimos, isto ´e, ai + aj = (1) para i 6= j (esta condi¸c˜ ao ´e por exemplo satisfeita se os ai s˜ ao todos ideais maximais distintos). Ent˜ ao 1. a1 ∩ · · · ∩ an = a1 · . . . · an 2. Temos um isomorfismo

A A = a1 · . . . · an a1 ∩ · · · ∩ an

- A × ···× A a1 an

∼

dado pelo mapa natural a mod a1 ∩ · · · ∩ an 7→ (a mod a1 , . . . , a mod an ) Prova Observe que, em geral, a1 ∩ · · · ∩ an ⊃ a1 · . . . · an . Para mostrar a inclus˜ao oposta, procedemos por indu¸ca˜o em n, o caso n = 1 sendo trivial. Para n = 2, existem ai ∈ ai tais que 1 = a1 + a2 pois a1 e a2 s˜ao coprimos. Assim, se c ∈ a1 ∩ a2 temos c = ca1 + ca2 ∈ a1 · a2 , como desejado. Agora seja n > 2. Basta mostrar que a1 ∩ · · · ∩ an−1 e an s˜ao coprimos, pois neste caso por hip´otese de indu¸ca˜o (para n − 1 e 2 ideais) concluiremos que (a1 ∩ · · · ∩ an−1 ) ∩ an = (a1 · . . . · an−1 ) ∩ an = (a1 · . . . · an−1 ) · an . Como ai e an s˜ao coprimos, existem ai ∈ ai e bi ∈ an tais que ai + bi = 1 para i = 1, . . . , n − 1. Assim 1 = (a1 + b1 ) · · · (an−1 + bn−1 ) ∈ a1 . . . an−1 + an ⊂ (a1 ∩ · · · ∩ an−1 ) + an

FT

A → A/a1 × · · · × A/an

a 7→ (a mod a1 , . . . , a mod an )

)

o que mostra que (a1 ∩ · · · ∩ an−1 ) + an = (1), encerrando a prova do item 1. Para o item 2, temos que o mapa natural

(1

0

01

RA

7:

28

tem kernel a1 ∩· · · an , logo induz um morfismo injetor A/(a1 ∩· · · an ) ֒→ A/a1 × · · ·× A/an . Para mostrar que este morfismo ´e sobrejetor, observe que por “A-linearidade” basta encontrar, para cada i = 1, . . . , n, pr´e-imagens para os vetores da forma (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (com 1 na i-´esima entrada), ou seja, elementos ei ∈ A tais que  ei ≡ 1 (mod ai ) ei ≡ 0 (mod aj ) para j 6= i

29

,O ct

D

,2

De fato, neste caso teremos que a = b1 e1 + · · · + bn en ser´a uma pr´e-imagem para um vetor arbitr´ario (b1 , . . . , bn ). Por simetria, podemos assumir i = n. Pela demonstra¸ca˜o do item anterior temos que a1 ∩ · · · ∩ an−1 e an s˜ao coprimos, logo existem elementos en ∈ a1 ∩ · · · ∩ an−1 e b ∈ an com en + b = 1. Temos que en satisfaz as condi¸co˜es pedidas.

ET

Exemplo 2.10 Seja k um corpo e considere o anel k[x], que ´e um DIP e logo um DFU. Seja f (x) ∈ k[x] um polinˆomio n˜ ao nulo e seja f (x) = c · p1 (x)e1 · · · pn (x)en , c ∈ k × a fatora¸ca˜o de f (x) em potˆencias de polinˆomios mˆonicos irredut´ıveis distintos pi (x). Note que se i 6= j ent˜ ao (pi (x)ei ) + (pj (x)ej ) = (pi (x)ei , pj (x)ej ) = (1), pois k[x] ´e um DIP e (pi (x)ei , pj (x)ej ) ´e gerado por um elemento que divide pi (x)ei e pj (x)ej , logo associado a 1. Pelo Teorema Chinˆes dos Restos temos k[x] k[x] k[x] × ···× = (f (x)) (p1 (x)e1 ) (pn (x)en )

teorema chinˆ e ideais! coprim

14

Vamos ser amigos dos an´eis!

Observa¸ c˜ ao 2.11 Tome cuidado: embora x e y n˜ ao possuam fatores comuns no DFU k[x, y] (para k um corpo), os ideais (x) e (y) n˜ ao s˜ao coprimos pois (x) + (y) = (x, y) 6= k[x, y]. E, de fato, k[x, y]/(xy) n˜ ao ´e isomorfo a k[x, y]/(x) × k[x, y]/(y)! Uma maneira de ver isto ´e a seguinte: o anel produto possui um idempotente n˜ ao trivial e = (1, 0), isto ´e, um elemento e diferente do elemento neutro e da identidade satisfazendo e2 = e. Por outro lado, todos os idempotentes de k[x, y]/(xy) s˜ao triviais: se f ∈ k[x, y] ´e 2 tal que f = f em k[x, y]/(xy), ent˜ ao xy | f (f − 1) e pela fatora¸ca˜o u ´nica em k[x, y] temos que, primeiro, x | f ou x | f − 1 e, segundo, y | f ou y | f − 1. Testando as 4 possibilidades, obtemos apenas f = 0 ou f = 1. Por exemplo, se x | f e y | f , temos xy | f (novamente pela fatora¸ca˜o u ´nica) e assim f = 0. Por outro lado, se x | f e y | f − 1 ent˜ ao f = x · g e f − 1 = y · h para algum g, h ∈ k[x, y], logo x · g − y · h = 1, o que ´e impos´ıvel (o lado esquerdo se anula para x = y = 0 mas o direito n˜ ao).

anel de s´ eries formais

3 An´ eis que aparecem na Natureza ´ Algebra Comutativa n˜ ao ´e uma disciplina isolada; muitos de seus m´etodos e exemplos foram inspirados em partes diversas da Matem´ atica, como a An´alise, a Teoria dos N´ umeros, a Geometria e a Topologia. Vejamos alguns casos concretos. 3.1 S´ eries Formais Come¸camos com um exemplo de um anel modelado em s´eries de potˆencias estudadas em An´alise, mas com a vantagem de n˜ ao termos de nos preocupar com as irritantes quest˜ oes de convergˆencia. Seja A um anel. O anel de s´ eries formais A[[t]] com coeficientes em A ´e o anel cujos elementos s˜ao “polinˆomios infinitos” na vari´avel t, i.e., express˜oes da forma a 0 + a 1 t + a 2 t2 + · · · ,

ai ∈ A

sendo a soma e a multiplica¸ca˜o definidos da maneira usual, como no anel de polinˆomios: (a0 + a1 t + a2 t2 + · · ·) + (b0 + b1 t + b2 t2 + · · ·) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + (a2 + b2 )t2 + · · ·

(a0 + a1 t + a2 t2 + · · ·) · (b0 + b1 t + b2 t2 + · · ·) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )t + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )t2 + · · ·

O anel de s´eries formais em v´arias vari´aveis A[[x1 , . . . , xn ]] ´e definido indutivamente por A[[x1 , . . . , xn ]] = A[[x1 , . . . , xn−1 ]][[xn ]]. Por exemplo, em Z[[t]] temos (1 − t) · (1 + t + t2 + t3 + · · ·) = 1

)

28

7:

,2

(a0 + a1 t + a2 t2 + · · ·)(b0 + b1 t + b2 t2 + · · ·) = 1

(1

Prova Um elemento a0 + a1 t + a2 t2 + · · · ∈ A[[t]] ´e uma unidade se, e s´o se,

0

RA

A[[t]]× = {a0 + a1 t + a2 t2 + · · · ∈ A[[t]] | a0 ∈ A× }

01

Lemma 3.1.1 Seja A um anel. Ent˜ ao

FT

de modo que 1 − t e 1 + t + t2 + t3 + · · · s˜ao unidades em Z[[t]] (intuitivamente, a soma da “PG infinita” 1 ). Em geral temos 1 + t + t2 + · · · ´e 1−t

a1 b 0 + a0 b 1 = 0

ET

a2 b 0 + a1 b 1 + a0 b 2 = 0 .. .

29

a0 b 0 = 1

,O ct

D

tem solu¸ca˜o nas “vari´aveis” bi ’s, ou seja, se, e s´o se, o seguinte “sistema triangular” possui solu¸ca˜o:

Assim, se a0 + a1 t + a2 t2 + · · · ´e unidade ent˜ ao a0 b0 = 1 ⇒ a0 ∈ A× . Reciprocamente, se a0 ∈ A× , −1 podemos recursivamente definir b0 = a0 e bn = −a0−1 (an b0 + an−1 b1 + · · · + a1 bn−1 ) para n ≥ 1, que ´e solu¸ca˜o do sistema acima, logo a0 + a1 t + a2 t2 + · · · ∈ A[[t]]× .

15

Exemplo 3.1.2 Um caso interessante ocorre quando o anel de coeficientes ´e um corpo k. Neste caso, como k[[t]]/(t) ∼ = k, temos que (t) ´e um ideal maximal; como o complementar de (t) ´e exatamente k[[t]]× , temos que todo ideal pr´oprio est´ a contido em (t), que ´e portanto o u ´nico ideal maximal de k[[t]]. Um anel com um u ´nico ideal maximal ´e chamado de anel local. Vamos mostrar agora que o espectro de k[[t]] consiste apenas de dois elementos: Spec k[[t]] = {(0), (t)} De fato, como k[[t]] ´e um dom´ınio, temos que (0) ´e um ideal primo. Se p 6= (0) ´e um ideal primo e f ∈ p ´e um elemento n˜ ao nulo, “descascando” a maior potˆencia de t que divide f podemos escrever f = tn · u × com u ∈ k[[t]] e n ≥ 1 (pois p ⊂ (t)). Agora f = tn · u ∈ p ⇒ t ∈ p ⇒ (t) ⊂ p e como (t) ´e maximal devemos ter p = (t). S´eries formais possuem in´ umeras aplica¸co˜es. Por exemplo, elas podem ser utilizadas para “resolver” recurs˜oes, como mostra o seguinte Exemplo 3.1.3 (Sequˆ encia de Fibonacci) A sequˆencia de Fibonacci Fn ´e a sequˆencia definida recursivamente por F0 = 0, F1 = 1 e Fn = Fn−1 + Fn−2 para n ≥ 2 Assim, seus primeiros termos s˜ao F0 0

F1 1

F2 1

F3 2

F4 3

F5 5

F6 8

F7 13

··· ···

F8 21

Para encontrar uma f´ ormula expl´ıcita para Fn , considere o elemento S = F0 +F1 t+F2 t2 +F3 t3 +· · · ∈ R[[t]]. Temos S = F0 + F1 t + F2 t2 + F3 t3 + F4 t3 + · · · F0 t + F1 t2 + F2 t3 + F3 t3 + · · ·

S·t=

S · t2 =

F0 t2 + F1 t3 + F2 t3 + · · ·

e como Fn = Fn−1 + Fn−2 para n ≥ 2 temos portanto

√

√

t 1 − t − t2

FT

(1 − t − t2 ) · S = F0 + (F1 − F0 )t ⇐⇒ S =

28

7:

01

para todo n ≥ 0.

,2

3.2 Inteiros Alg´ ebricos

αn −β n α−β

29

Assim, comparando coeficientes, temos que Fn =

0

n≥0

(1

 1 1 1  X αn − β n n t = = · − ·t 2 1−t−t α−β 1 − αt 1 − βt α−β

RA

S=

)

Agora sejam α = 1+2 5 e β = 1−2 5 , de modo que 1 − t − t2 = (1 − αt)(1 − βt). Utilizando “fra¸co˜es 1 parciais” e a f´ ormula da “soma da progress˜ao geom´etrica” 1 + αt + αt2 + · · · = 1−αt temos portanto

,O ct

D

Uma grande fonte de an´eis comutativos ´e a Teoria Alg´ebrica dos N´ umeros. O conceito central aqui ´e o de inteiro alg´ebrico:

√

√

ET

Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Dizemos que θ ∈ C ´e um inteiro alg´ ebrico se θ ´e raiz de um polinˆomio mˆonico p(x) ∈ Z[x] (lembrando: um polinˆomio mˆonico ´e aquele cujo coeficiente l´ıder ´e igual a 1). Por exemplo, os n´ umeros α = 1+2 5 e β = 1−2 5 do exemplo anterior s˜ao inteiros alg´ebricos pois s˜ao ra´ızes do polinˆomio mˆonico com coeficientes inteiros x2 − x − 1 = 0. Inteiros alg´ebricos generalizam o conceito de inteiro; uma das motiva¸co˜es para esta defini¸ca˜o ´e o seguinte lema, que caracteriza os elementos de Z como sendo exatamente os inteiros alg´ebricos que moram dentro de Q:

anel local inteiro alg´ ebr

16

Vamos ser amigos dos an´eis!

Lemma 3.2.2 Seja θ ∈ Q uma raiz de um polinˆ omio mˆ onico com coeficientes inteiros f (x) = xn + cn−1 xn−1 + · · · + c0 ,

ci ∈ Z

Ent˜ ao θ ∈ Z. Prova Escreva θ = a/b com a, b ∈ Z primos entre si. Substituindo x = θ em f (x) e limpando os denominadores obtemos an + cn−1 an−1 b + cn−2 an−2 b2 + · · · + c0 bn = 0 Como b divide todos os termos a partir do segundo, temos que b divide an tamb´em. Mas como a e b s˜ao primos entre si temos que a u ´nica possibilidade para que isto ocorra ´e b = ±1, logo θ = ±a ∈ Z. Se θ ´e um inteiro alg´ebrico, raiz de um polinˆomio mˆonico f (x) = xn + cn−1 xn−1 + · · · + c0 ∈ Z[x] de grau n, temos que o conjunto def

Z[θ] = {a0 + a1 θ + · · · + an−1 θn−1 | ai ∈ Z} ´e um subanel de C. De fato, este conjunto ´e fechado por soma e tamb´em por produto, j´a que aplicando v´arias vezes a rela¸ca˜o f (θ) = 0 ⇐⇒ θn = −cn−1 θn−1 − · · · − c0 ⇒ θn+i = −cn−1 θn+i−1 − · · · − c0 θi para i ≥ 0 podemos escrever qualquer potˆencia em θ de grau maior ou igual a n em termos de potˆencias de grau menor do que n. Note a importˆ ancia do fato de f (x) ser mˆonico, o que dispensa a necessidade de dividir a rela¸ca˜o acima pelo coeficiente l´ıder de f (x). Conclus˜ ao: Z[θ] ´e um anel que ´e finitamente gerado sobre Z como Z-m´ odulo, algo que n˜ ao se vˆe todo dia! An´eis como Z[θ] tˆem diversas aplica¸co˜es em Teoria dos N´ umeros, vejamos uma: Exemplo 3.2.3 Seja Fn o n-´esimo n´ umero de Fibonacci. Vamos mostrar que m | n ⇒ Fm | Fn

def

(∗)

)

Fkm αkm − β km Fn = = m = (αm )k−1 + (αm )k−2 (β m ) + (αm )k−3 (β m )2 + · · · + (β m )k−1 Fm Fm α − βm

28

FT

Suponha que m | n, digamos n = mk com k ∈ Z. Utilizando a f´ormula expl´ıcita de Fn encontrada no exemplo anterior, obtemos

(1

0

01

,2

RA

7:

Agora observe que tanto α como β = 1 − α s˜ao elementos do anel Z[α] = {a + bα | a, b ∈ Z}. Este anel tem uma propriedade muito interessante: todo elemento de Z[α] ´e um inteiro alg´ebrico: como α+ β = 1 e αβ = −1, multiplicando pelo “conjugado” temos que a + bα ´e raiz do polinˆomio mˆonico com coeficientes inteiros

x − (a + bα) · x − (a + bβ) = x2 − (2a + b)x + (a2 + ab − b2 )

29

,O ct

D

n Desta forma, de (∗) temos que FFm ´e um elemento de Z[α] e, portanto, ´e um inteiro alg´ebrico. Mas um n ∈ Z ⇐⇒ Fm | Fn , o que encerra n´ umero racional que ´e um inteiro alg´ebrico deve ser inteiro, ou seja, FFm a prova.

ET

Utilizando o fato que Z ´e um dom´ınio de ideais principais, ´e f´acil verificar que Spec Z = {(0)} ∪ {(p) | p ´e um n´ umero primo} e que, com exce¸ca˜o de (0), todo ideal primo ´e maximal. Para encontrar o espectro de an´eis mais complicados como Z[α] acima, podemos utilizar o mapa f : Spec Z[α] → Spec Z associado `a inclus˜ao Z ֒→ Z[α], como mostra o seguinte

17 Exemplo 3.2.4 Seja Z[α] e f : Spec Z[α] → Spec Z como acima. Vamos descrever Spec Z[α], mostrando em particular que, como em Z, todos os ideais primos com exce¸ca˜o de (0) s˜ao maximais. Dado q ∈ Spec Z[α], observe inicialmente que f (q) = q ∩ Z, de modo que temos dois casos a considerar: • f (q) = (0) ⇐⇒ q ∩ Z = (0). Neste caso, provaremos que q = (0). Para isto, supomos que q 6= (0) e vamos mostrar que q ∩ Z 6= (0). Seja a + bα ∈ q um elemento n˜ ao nulo. Multiplicando pelo “conjugado” a + bβ, obtemos como no exemplo anterior que (a + bα)(a + bβ) = a2 + ab − b2 ∈ q ∩ Z, que ´e um elemento n˜ ao nulo j´ a que a + bα 6= 0 e a + bβ 6= 0. • f (q) = (p) ⇐⇒ q ∩ Z = (p) para algum n´ umero primo p. Neste caso, como q ⊃ (p), pela correspondˆencia de ideais, temos que determinar Spec Z[α]/(p). Como Z[α] ∼ = Z[x]/(x2 − x − 1), temos que 2 ∼ Z[α]/(p) = Fp [x]/(x − x − 1) e assim temos alguns subcasos, de acordo com a fatora¸ca˜o de x2 − x − 1 em Fp [x]. Se x2 − x − 1 ´e irredut´ıvel em Fp [x], temos Fp [x]/(x2 − x − 1) ´e um corpo e assim (p) ´e maximal em Z[α]. Por outro lado, se x2 − x − 1 = (x − a ¯)(x − ¯b) ´e redut´ıvel em Fp [x] com fatores distintos, ent˜ ao pelo Teorema Chinˆes dos Restos temos que Fp [x] Fp ∼ Fp [x] ∼ × = = Fp × Fp (x − a ¯) (x − ¯b) (x2 − x − 1) ´e o produto de dois corpos, de modo que seus ideais primos s˜ao os maximais (0) × Fp e Fp × (0), que correspondem aos ideais maximais (¯ x−a ¯) e (¯ x − ¯b) em Fp [x]/(x2 − x − 1), ou seja, aos ideais maximais (α − a, p) e (α − b, p) em Z[α], onde a, b ∈ Z s˜ao levantamentos de a ¯, ¯b ∈ Fp . Finalmente, se x2 − x − 1 tem 2 ra´ızes m´ ultiplas em Fp [t], o que ocorre quando (x − x − 1, 2x − 1) = (1) em Fp [t] (crit´erio da derivada), isto ´e, quando p = 5 (verifique!), ent˜ ao F5 [x]/(x2 − x − 1) ∼ = F5 [x]/(x − ¯3)2 . Se (p(x)) ´e um ideal primo 2 2 de F5 [x] contendo (x − ¯ 3) , ent˜ ao p(x) | (x − ¯3) , de modo que devemos ter (p(x)) = (x − ¯3). Assim, ´nico ideal primo (¯ x − ¯3), que ´e maximal e corresponde ao ideal maximal F5 [x]/(x2 − x − 1) tem um u (α − 3, 5) de Z[α]. Resumimos os casos acima no seguinte diagrama esquem´ atico, onde os ideais maximais s˜ao representados por pontos e os ideais (0) pelas linhas cheias (a escolha desta representa¸ca˜o, que deve ficar mais clara posteriormente, foi feita em analogia com os “an´eis geom´etricos” correspondentes das se¸co˜es seguintes): (11, α − 4) (7)

(7)

RA

f : Spec Z[α] → Spec Z

Spec Z

(11)

28

(3)

7:

(2)

)

(11, α + 3)

f

(5)

Spec Z[α]

(1

(3)

0

(2)

FT

(α − 3, 5)

29

,O ct

D

,2

01

Observa¸ c˜ ao 3.2.5 Temos que x2 − x − 1 ´e redut´ıvel em Fp [t] se, e s´o se, seu discriminante ∆ = 2 1 − 4 · (−1) = 5 for um quadrado perfeito em Fp . Utilizando a lei de reciprocidade quadr´ atica (ver por exemplo J.-P. Serre, “A course in Arithmetic”, cap´ ıtulo I), temos que isto ocorre para p 6= 2, 5

exatamente quando p5 = 1 ⇐⇒ 5p = 1 ⇐⇒ p ≡ ±1 (mod 5). 3.3 Anel de fun¸ co ˜es cont´ınuas e anel de fun¸ co ˜es holomorfas

ET

An´alise e Topologia s˜ao duas outras grandes fontes de an´eis comutativos. Dado um espa¸co topol´ogico X, podemos considerar o seu anel de fun¸ co ˜es cont´ınuas reais def

C(X) = {f : X → R | f ´e cont´ınua } onde a soma e o produto s˜ao os usuais de fun¸co˜es. Note que C(X)× consiste nas fun¸co˜es cont´ınuas f : X → R que n˜ ao se anulam em nenhum ponto de X (o inverso de f ´e 1/f , que ´e cont´ınua). Em geral,

18

Vamos ser amigos dos an´eis!

C(X) n˜ ao ´e um dom´ınio (por exemplo, se X = R podemos encontrar fun¸co˜es n˜ ao identicamente nulas f e g que se anulam em (−∞, 1) e (0, ∞), respectivamente, de modo que f g ´e identicamente nula). Muitas propriedades geom´etricas de X refletem-se em propriedades alg´ebricas de C(X). Por exemplo, cada ponto P ∈ X define um ideal mP de C, o ideal das fun¸co˜es que se anulam em P : def

mP = {f ∈ C | f (P ) = 0} Este ideal ´e um ideal maximal de C(X), j´ a que o mapa “avalia¸ca˜o em P ” C(X) → R

f 7→ f (P )

´e sobrejetor (tome fun¸co˜es constantes por exemplo) e tem kernel mP , de modo que C(X)/mP ∼ = R, que ´e um corpo, mostrando que mP ´e maximal. Se Y ´e outro espa¸co topol´ ogico e φ: X → Y ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua, temos um morfismo induzido de an´eis na dire¸ca˜o oposta, dado por composi¸ca˜o com φ: φ# : C(Y ) → C(X) g 7→ g ◦ φ

Note que o morfismo de espectros associado Spec(φ# ): Spec C(X) → Spec C(Y ) leva mP em (φ# )−1 mP = mφ(P ) . Adicionalmente, se supusermos que X compacto, podemos mostrar que todo ideal maximal de C(X) ´e da forma mP para algum P ∈ X. De fato, basta mostrar que para todo ideal pr´oprio a de C(X) existe um ponto P ∈ X tal que a ⊂ mP . Suponha, por absurdo, que tal n˜ ao aconte¸ca, isto ´e, que para cada ponto P ∈ X podemos encontrar uma fun¸ca˜o aP ∈ a tal que aP (P ) 6= 0. Seja UP uma vizinhan¸ca aberta de P onde aP n˜ ao se anula (aqui usamos a continuidade de aP ). Como X ´e compacto, existe um n´ umero finito de pontos P1 , . . . , Pn tais que a uni˜ ao dos UPi cobrem X. A fun¸ca˜o a2P1 + · · · + a2Pn ∈ a e n˜ ao se anula em nenhum ponto de X, o que ´e um absurdo, pois a2P1 + · · · + a2Pn ´e ent˜ ao uma unidade mas a ´e pr´oprio. Desta forma, para X compacto e Hausdorff temos uma bije¸ca˜o {pontos P de X} ↔ {ideais maximais mP de C(X)}

)

(1

0

01

29

,2

RA

7:

28

FT

relacionando a ´algebra de C(X) com a geometria de X! J´a mostramos no par´ agrafo anterior que P 7→ mP ´e sobrejetor; por outro lado, a injetividade segue do lema de Urysohn (X ´e normal), que garante a existˆencia de uma fun¸ca˜o cont´ınua f : X → R tal que f (P ) = 0 mas f (Q) 6= 0 para dois pontos P 6= Q dados, de modo que P 6= Q ⇒ mP 6= mQ . Veremos mais tarde que os ideais mP n˜ ao esgotam todos os ideais primos de C(X). Al´em disso, como vimos antes, se φ: X → Y ´e um mapa cont´ınuo com Y tamb´em compacto e Hausdorff, temos que o mapa de espectros associado Spec(φ# ): Spec C(X) → Spec C(Y ) se restringe aos subconjuntos dos ideais maximais de X e Y , levando mP 7→ mφ(P ) . Assim, a bije¸ca˜o acima permite recuperar o mapa φ a partir do morfismo de an´eis φ# ! Temos tamb´em uma vers˜ao “anal´ıtica” do exposto acima: se U ´e um subconjunto aberto de C, definimos os an´eis H(U ) = {f : U → C | f ´e uma fun¸ca˜o holomorfa}

,O ct

D

M(U ) = {f : U → C ∪ {∞} | f ´e uma fun¸ca˜o meromorfa}

ET

Assim, H(U ) ´e um subanel de M(U ). Estes an´eis s˜ao muito mais bem comportados do que o anel de fun¸co˜es cont´ınuas reais; por exemplo, se U ´e conexo, ent˜ ao H(U ) ´e um dom´ınio e M(U ) ´e um corpo. De fato, se f, g ∈ H(U ) s˜ao tais que f (z)g(z) = 0 para todo z ∈ U mas f (z0 ) 6= 0 para algum z0 ∈ U ent˜ ao por continuidade f (z) 6= 0 para todo z em alguma vizinhan¸ca aberta V de z0 e assim g(z) = 0 para todo z ∈ V . Mas zeros de fun¸co˜es anal´ıticas n˜ ao nulas em abertos conexos s˜ao isolados, logo g deve ser identicamente 0 em U . De maneira an´aloga, prova-se que M(U ) ´e um corpo. Utilizando-se o teorema de fatora¸ca˜o de Weierstraß (veja por exemplo J. B. Conway, “Functions of One Complex Variable”, VII.§5), pode-se inclusive mostrar que M(U ) ´e o corpo de fra¸co˜es de H(U ).

19

3.4 Conjuntos Alg´ ebricos Afins Dados polinˆomios f1 , . . . , fd ∈ C[x1 , . . . , xn ], podemos considerar o conjunto de seus zeros comuns def

V = V (f1 , . . . , fn ) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Cn | fi (a1 , . . . , an ) = 0 para todo i = 1, . . . , d}

Subconjuntos de Cn da forma acima s˜ao chamados de conjuntos alg´ ebricos. Note que podemos tamb´em tomar o ideal I = (f1 , . . . , fn ) e considerar def

V = V (I) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Cn | f (a1 , . . . , an ) = 0 para todo f ∈ I},

o que fornece uma defini¸ca˜o equivalente para conjuntos alg´ebricos em termos de ideais de C[x1 , . . . , xn ] (veremos mais tarde que todo ideal deste anel ´e finitamente gerado pelo teorema da base de Hilbert). Exemplos familiares de conjuntos alg´ebricos incluem o espa¸co todo Cn (definido pelo polinˆomio nulo), qualquer ponto (a1 , . . . , an ) ∈ Cn (definido pelos polinˆomios x1 − a1 , . . . , xn − an ), retas e c´ırculos no “plano complexo” C2 (como os dados pelas equa¸co˜es x = y e x2 + y 2 = 1), entre muitos outros. Note que se p, q ∈ C[x1 , . . . , xn ] s˜ao tais que p ≡ q (mod (f1 , . . . , fd )) ent˜ ao p(a1 , . . . , an ) = q(a1 , . . . , an ) para todos os pontos (a1 , . . . , an ) ∈ V . Assim, os elementos do quociente def

A = A(f1 , . . . , fd ) = C[x1 , . . . , xn ]/(f1 , . . . , fd ) podem ser vistos como fun¸co˜es polinomiais de V em C. Por outro lado, como na se¸ca˜o anterior, um ponto P = (a1 , . . . , an ) ∈ V define um ideal maximal def

mP = {a ∈ A | a(P ) = 0}

das fun¸co˜es polinomiais em V que se anulam em P . Aqui, por outro lado, podemos dar uma descri¸ca˜o muito mais expl´ıcita de mP , como sendo o ideal gerado pelas fun¸co˜es xi − ai ∈ A: mP = (x1 − a1 , . . . , xn − an )

De fato, por um lado ´e claro que xi − ai ∈ mP de modo que mP ⊃ (x1 − a1 , . . . , xn − an ). Para mostrar a inclus˜ao oposta, seja f ∈ mP , representado por um polinˆomio em C[x1 , . . . , xn ] que ainda denotamos por f . Temos que f (x1 , . . . , xn ) ≡ f (a1 , . . . , an ) (mod x1 − a1 , . . . , xn − an )

e como f (a1 , . . . , an ) = 0 por hip´ otese, temos que f ∈ (x1 − a1 , . . . , xn − an ), o que encerra a prova. Dados dois pontos distintos de V , que diferem em suas primeiras coordenadas a1 e a′1 digamos, a no ideal do primeiro ponto mas n˜ ao na do segundo. Assim, a associa¸ca˜o temos que x1 − a1 ∈ A estar´ V → {ideais maximais de A}

(a1 , . . . , an ) 7→ (x1 − a1 , . . . , xn − an )

)

28

Lemma 3.4.1 1. O conjunto

FT

´e injetiva. Veremos mais tarde (pelo Nullstellensatz Hilberts) que esta associa¸ca˜o ´e na verdade uma bije¸ca˜o, e assim como na se¸ca˜o anterior novamente testemunhamos uma estreita rela¸ca˜o entre a ´algebra do anel A e a geometria do conjunto V !

o 1 ∈ C(x) λ ∈ C x−λ ´e linearmente independente sobre C. Em particular, C(x) possui dimens˜ ao incont´ avel sobre C. 2. Se V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ ao cont´ avel sobre C e T : V → V ´e um operador linear, ent˜ ao existe λ ∈ C tal que T − λ n˜ ao ´e bijetor em V . P ai Prova Se temos uma rela¸ca˜o de dependˆencia linear 1≤i≤n x−λi = 0, multiplicando por x − λ1 e substituindo x = λ1 conclu´ımos que a1 = 0; repetindo este procedimento, obtemos ai = 0 para todo i. Para provar (2), suponha por absurdo que T − λ ´e bijetor para todo λ ∈ C. Tome qualquer vetor v ∈ V n˜ ao nulo e considere o conjunto {(T − λ)−1 v ∈ V | λ ∈ C}

(1

0

01

29

,O ct

D

,2

RA

7:

n

ET

Como este conjunto ´e incont´ avel e a dimens˜ao de V ´e cont´ avel, existe uma rela¸ca˜o de dependˆencia linear X −1 ai (T − λi ) v = 0 P

1≤i≤n

ao nulo pelo item (1). Escrevendo f (x) = p(x)/q(x) Seja f (x) = 1≤i≤n ai (x − λi ) ∈ C(x), que ´e n˜ com p(x), q(x) ∈ C[x] e fatorando estes polinˆomios em termos lineares, temos que p(T ) e q(T ) s˜ao transforma¸co˜es lineares bijetoras em V , logo p(T )q(T )−1 v = 0 implica v = 0, uma contradi¸ca˜o. −1

conjuntos alg

20

Vamos ser amigos dos an´eis!

Teorema 3.4.2 (Nullstellensatz) Todo ideal maximal de C[x1 , . . . , xn ] ´e da forma (x1 − a1 , . . . , xn − an ) com ai ∈ C. Prova Seja m um ideal maximal de C[x1 , . . . , xn ]. Temos que V = C[x1 , . . . , xn ]/m ´e um corpo que tem dimens˜ao cont´ avel sobre C (pois isto j´ a vale antes do quociente). Assim, para o operador linear em V dada pela multiplica¸ca˜o por xi existe ai ∈ C tal que a multiplica¸ca˜o por xi − ai n˜ ao ´e bijetora em V , o que s´o ´e poss´ıvel se xi − ai = 0 j´ a que V ´e um corpo. Logo m ⊃ (x1 − a1 , . . . , xn − an ) e devemos ter a igualdade j´a que ambos s˜ao ideais maximais. Mais ainda: dados dois conjuntos alg´ebricos V ⊂ Cn e W ⊂ Cm , definidos por ideais I ⊂ C[x1 , . . . , xn ] e J ⊂ C[y1 , . . . , ym ], digamos, podemos considerar os mapas polinomiais φ: V → W entre V e W , isto ´e, mapas que s˜ao da forma φ(a) = (p1 (a), . . . , pm (a)), a ∈ V , onde p1 , . . . , pm ∈ C[x1 , . . . , xn ] s˜ao polinˆomios fixos tais que
g(y1 , . . . , ym ) ∈ J ⇒ g p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , pm (x1 , . . . , xn ) ∈ I

(∗)

Note que a u ´ltima condi¸ca˜o (∗) garante que (p1 (a), . . . , pm (a)) ∈ W para todo a ∈ V . Esta condi¸ca˜o s´o precisa ser verificada num conjunto de geradores de J, que ´e finito (pelo teorema da base de Hilbert, a ser provado mais tarde). Como no caso dos an´eis de fun¸co˜es cont´ınuas, associado a φ temos um morfismo de an´eis dado pela composi¸ca˜o com φ: φ# : A(J) = C[y1 , . . . , yn ]/J → A(I) = C[x1 , . . . , xn ]/I g 7→ g ◦ φ

que neste caso possui uma descri¸ca˜o muito mais expl´ıcita: φ# ´e o morfismo de C-´algebras dado por y i 7→ pi (x1 , . . . , xn ). Novamente a condi¸ca˜o (∗) garante que este morfismo est´ a bem definido. O morfismo de espectros correspondente Spec(φ# ): Spec A(I) → A(J) se restringe aos subconjuntos de ideais maximais de A(I) e A(J) e leva mP 7→ mφ(P ) , de modo que pela bije¸ca˜o entre pontos e ideais maximais podemos recuperar o mapa φ a partir do morfismo de C-´algebras φ# ! Exemplo 3.4.3 Como C[t] ´e um dom´ınio de ideais principais, temos que Spec C[t] ´e formado por (0) e por ideais principais gerados por polinˆomios irredut´ıveis em C[t], ou seja, Spec C[t] = {(0)} ∪ {(t − a) | a ∈ C}

)

28

0

(1

7:

← (0)

,2

Spec C[t]

(t − 1) 1

01

(t) 0

RA

(t + 2) −2

FT

Note que obtemos desta forma uma bije¸ca˜o a ↔ (t − a) entre pontos a ∈ C da “reta complexa”e ideais maximais (t − a) ⊂ C[t] do anel de fun¸co˜es polinomiais nesta reta. Como acima, (t − a) ´e o conjunto das fun¸co˜es polinomiais que se anulam no ponto a. Representando os ideais maximais por pontos e o ideal (0) pela linha cheia, temos o seguinte diagrama esquem´ atico:

29

,O ct

ET

D

Exemplo 3.4.4 Vamos determinar Spec C[x, y]/(y 2 − x3 + x). Para isto considere o morfismo de Calgebras φ: C[x] → C[x, y]/(y 2 − x3 + x) dado por φ(x) = x. Note que este morfismo ´e injetor (nenhum ´ polinˆomio na vari´avel x apenas pode ser m´ ultiplo de y 2 − x3 + x), de modo que podemos pensar em √ 2 3 C[x] como subanel de C[x, y]/(y − x + x) e que este u ´ltimo ´e obtido “adicionando-se x3 − x a C[x]”. Observe ainda que como y 2 − x3 + x ´e um polinˆomio irredut´ıvel no dom´ınio de fatora¸ca˜o u ´ nica C[x, y], temos que (y 2 − x3 + x) ⊂ C[x, y] ´e um ideal primo e C[x, y]/(y 2 − x3 + x) ´e um dom´ınio. Utilizando a rela¸ca˜o y2 = x3 − x, todo elemento de C[x, y]/(y 2 − x3 + x) pode ser representado unicamente como um polinˆomio p(x) + q(x)y de grau no m´aximo 1 em y. Agora seja f : Spec C[x, y]/(y 2 − x3 + x) → Spec C[x] o morfismo associado a φ. Como no exemplo 3.2.4, temos dois casos considerar: que q = (0).
Se q 6= (0) • f (q) = (0) ⇐⇒ q ∩ C[x] = (0). Como no exemplo 3.2.4, vamos mostrar
e a(x) + b(x)y ∈ q ´e um elemento n˜ ao nulo, temos que a(x) + b(x)y · a(x) − b(x)y = a(x)2 −

21 b(x)2 (x3 − x) ∈ q ∩ C[x] ´e um elemento n˜ ao nulo, pois ´e o produto de dois elementos n˜ ao nulos no dom´ınio C[x, y]/(y 2 − x3 + x). • f (q) = (x − a) ⇐⇒ q ∩ C[x] = (x − a) para a ∈ C. Como no exemplo 3.2.4, devemos calcular Spec C[x, y]/(y 2 − x3 + x, x − a). Seja b ∈ C tal que b2 = a3 − a, de modo que C[x, y]/(y 2 − x3 + x, x − a) ∼ = C[y]/(y 2 − a3 + a) = C[y]/(y 2 − b2 ). Se b 6= 0, temos pelo Teorema Chinˆes dos Restos que 2 C[y]/(y − b2 ) ∼ = C[y]/(y − b) × C[y]/(y + b) ∼ = C × C, que possui dois ideais primos (0) × C e C × (0), correspondendo aos ideais primos (e maximais) (y − b, x − a) e (y + b, x − a) do anel original. Se b = 0 (isto ´e, se a3 − a = 0 ⇐⇒ a = 0 ou a = ±1) ent˜ ao s´o h´ a um primo (y) em C[y]/(y 2 ), que corresponde ao ideal primo (e maximal) (y, x − a). Resumindo: Spec C[x, y]/(y 2 −x3 +x) consiste no ideal (0) e nos ideais maximais (x−a, y−b), exatamente um para cada ponto (a, b) ∈ C2 da curva complexa y 2 = x3 − x. Novamente representado cada ideal maximal pelo ponto correspondente da curva e o ideal (0) por toda a curva, temos que f corresponde `a “proje¸ca˜o no eixo x” como mostra o seguinte diagrama esquem´ atico (compare com o diagrama no exemplo 3.2.4):

(a, b) (x − a, y − b) f (x − a)

Spec C[x]

Spec C[x, y]/(y 2 − x3 + x) 3.5 An´ eis graduados Ao contr´ario da cren¸ca popular, an´eis graduados n˜ ao s˜ao aqueles com um diploma. A origem do nome anel graduado seria mais clara se ele fosse rebatizado “anel grau-duado”, mas at´e os matem´aticos est˜ ao sob a ´egide das regras ortogr´aficas. . .

)

28

7:

RA

(1

d∈Z

como soma direta de subgrupos abelianos Ad tal que  ai ∈ Ai ⇒ ai aj ∈ Ai+j aj ∈ Aj

FT

Defini¸ c˜ ao 3.5.1 Um anel Z-graduado (ou simplesmente anel graduado ´e um anel A cujo grupo aditivo admite uma decomposi¸ca˜o M A= Ad

d∈Z



29

ai ∈ Ai ⇒ ai mj ∈ Mi+j mj ∈ M j

ET

de modo que

,O ct

D

,2

01

0

para todo i, j ∈ Z. Os elementos de ad ∈ Ad ⊂ A s˜ao chamados de elementos homogˆ eneos de grau d. Um morfismo de an´eis φ: A → B entre dois an´eis graduados ´e um morfismo de an´ eis graduados se φ respeita a gradua¸ca˜o: φ(Ad ) ⊂ Bd para todo d ∈ Z. Um A-m´ odulo Z-graduado M ´e um A-m´ odulo cujo grupo aditivo ´e uma soma direta de subgrupos abelianos M M= Md

para todo i, j ∈ Z. Como no caso de an´eis, os elementos em Md s˜ao chamados de homogˆeneos de grau d e um morfismo de m´odulos graduados ´e um morfismo de m´odulos que respeita a gradua¸ca˜o. Se Ad = 0 para d < 0 diremos que A ´e um anel N-graduado. Analogamente definimos m´odulos N-graduados.

elementos hom

22

Vamos ser amigos dos an´eis!

O exemplo canˆ onico de anel graduado ´e o anel de polinˆomios k[x1 , . . . , xn ] sobre um corpo k, que admite a gradua¸ca˜o M k[x1 , . . . , xn ] = k[x1 , . . . , xn ]d

ideal homogˆ eneo s´ erie de Hilbert

d∈Z


onde k[x1 , . . . , xn ]d = 0 se d < 0 e k[x1 , . . . , xn ]d ´e o k-espa¸co vetorial de dimens˜ao n+d−1 gerado pelos d monˆ omios xe11 xe22 . . . xenn de grau d = e1 + · · · + en para d ≥ 0. Um ideal a de A que ´e graduado como A-m´ odulo, ou seja, admite a decomposi¸ca˜o M (a ∩ Ad )

a=

d∈Z

´e chamado de ideal homogˆ eneo. Se a ´e homogˆeneo, o anel quociente A/a tamb´em ´e graduado de maneira natural pois podemos escrever A M Ad = a a ∩ Ad d∈Z

L

Lema 3.5.2 (Ideais Homogˆ eneos) Seja A = condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: 1. a ´e um ideal homogˆeneo;

Ad um anel graduado e a um ideal de A. As seguintes

P 2. a ´e tal que um elemento a = ad ∈ A com ad ∈ Ad pertence a a se, e somente se, cada componente homogˆenea ad pertence a a; 3. a ´e gerado por elementos homogˆeneos (possivelmente de graus diferentes).

Prova Claramente temos 2 ⇐⇒ 1 ⇒ 3. Para mostrar que 3 ⇒ 1, suponha que a ´e gerado por elementos homogˆ eneos fi e seja a ∈ a. Ent˜ ao podemos escrever a = gi1 · fi1 + · · · + gin · fin . Expandindo P cada gi = d gi,d como soma de suas componentes homogˆeneas, temos que o termo de grau d em a ´e dado por ad = gi1 ,d−deg(fi1 ) · fi1 + · · · + gin ,d−deg(fin ) · fin e assim ad ∈ a.

(1

7:

· · · + am−2 bn+2 + am−1 bn+1 + am bn + am+1 bn−1 + am+2 bn−2 + · · ·

RA

)

28

FT

Muitas propriedades de ideais homogˆenos podem ser verificadas testando-se apenas elementos homogˆeneos. Por exemplo, temos o seguinte L Lemma 3.5.3 Seja A = Ad um anel graduado. Um ideal homogˆeneo pr´ oprio p de A ´e primo se, e s´ o, ab ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p para todos os elementos homogˆeneos a, b ∈ A. L Prova Ad elementos arbitr´arios e escreva-os como soma de elementos homogˆeneos: P Sejam a, Pb ∈ A = a= ad , b = bd com ad , bd ∈ Ad . Suponha por absurdo que ab ∈ p mas a ∈ /peb∈ / p; sejam m e n os menores inteiros para os quais am ∈ / p e bn ∈ / p. O termo de grau m + n em ab ´e

01

0

Como p ´e homogˆeneo e ab ∈ p, temos que esta soma tamb´em pertence a p. Por´em cada termo ai bj com i < m ou j < n pertence a p, logo am bn ∈ p, uma contradi¸ca˜o.

d≥0

Teorema 3.5.5 (Hilbert) Com a nota¸c˜ ao acima, temos HM (t) = para algum polinˆ omio p(t) ∈ Z[t].

p(t) (1 − t)d

,O ct

(dimk Md ) · td ∈ Z[[t]]

ET

X

D

HM (t) =

29

,2

Defini¸ c˜ ao 3.5.4 Seja k um corpo e seja A = k[x1 , . . . , xn ]. Seja M um A-m´ odulo graduado finitamente gerado. A s´ erie de Hilbert de M ´e definida como

23

3.6 Conjuntos Alg´ ebricos Projetivos

espa¸ co projet

Pnk

Dado um corpo k, o espa¸ co projetivo de dimens˜ao n sobre k ´e definido como o conjunto de todas as dire¸co˜es no espa¸co afim k n+1 de dimens˜ao n + 1. Em outras palavras, um ponto em Pnk pode ser representado como um vetor n˜ ao nulo (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ k n+1 ; dois vetores (a0 , a1 , . . . , an ) e (b0 , b1 , . . . , bn ) definem o mesmo ponto se eles s˜ao homot´ eticos, isto ´e, existe um λ ∈ k n˜ ao nulo tal que ai = λbi para i = 0, 1, . . . , n. Representamos o ponto definido pelo vetor (a0 , a1 , . . . , an ) atrav´es da sugestiva nota¸ca˜o (a0 : a1 : . . . : an ). Por exemplo, temos que a reta projetiva pode ser decomposta como P1k = {(1 : a1 ) | a1 ∈ k} ∪ {(0 : 1)} pois se a0 6= 0 ent˜ ao (a0 : a1 ) = (1 : aa01 ) e se a0 = 0 ent˜ ao (0 : a1 ) = (0 : 1). Assim, a reta projetiva consiste de uma “reta afim”, composta pelos pontos da forma (1 : a1 ), e mais um “ponto no infinito” (0 : 1). Da mesma forma, temos que o plano projetivo P2k = {(1 : a1 : a2 ) | (a1 , a2 ) ∈ k 2 } ∪ {(0 : a1 : a2 ) | a1 6= 0 ou a2 6= 0} ´e a uni˜ao de um “plano afim” (primeiro termo, j´a que (1 : a1 : a2 ) = (1 : a′1 : a′2 ) ⇐⇒ a1 = a′1 e a2 = a′2 ) e uma reta projetiva no “infinito” (segundo termo). Note que a escolha de “reta no infinito” ´e completamente arbitr´aria, pois poder´ıamos tomar uma outra decomposi¸ca˜o, por exemplo P2k = {(a0 : a1 : 1) | (a0 , a1 ) ∈ k 2 } ∪ {(a0 : a1 : 0) | a0 6= 0 ou a1 6= 0} e agora os pontos com a2 = 0 formam a “reta no infinito”. Agora falaremos um pouco sobre curvas alg´ebricas planas. No plano afim k 2 , temos que qualquer polinˆomio p(x, y) ∈ k[x, y] define uma curva C = {(a, b) ∈ k 2 | p(a, b) = 0} (que pode eventualmente degenerar em um ponto, em todo o plano, ou mesmo no conjunto vazio, mas n˜ ao vamos nos preocupar com estes detalhes agora). Por´em, no mundo projetivo s´o podemos considerar polinˆomios homogˆ eneos, isto ´e, polinˆomios cujos monˆ omios tˆem todos o mesmo grau. De fato, se p(x0 , x1 , x2 ) ∈ k[x0 , x1 , x2 ] ´e homogˆeneo de grau d ent˜ ao temos que p(a0 , a1 , a2 ) = 0 ⇒ p(λa0 , λa1 , λa2 ) = λd p(a0 , a1 , a2 ) = 0.

7:

28

C = {(a0 : a1 : a2 ) ∈ P2k | p(a0 , a1 , a2 ) = 0}.

)

FT

Assim, faz sentido dizer quando um polinˆomio homogˆeneo p(x0 , x1 , x2 ) se anula em uma classe de vetores homot´eticos e podemos considerar a curva projetiva definida por p(x0 , x1 , x2 ):

(1

0

01

29

D

,2

RA

Por exemplo temos que x0 = 0 ´e uma equa¸ca˜o da “reta no infinito” descrita acima. Temos que para qualquer (a, b, c) 6= (0, 0, 0) a equa¸ca˜o ax0 + bx1 + cx2 = 0 define uma reta projetiva em P2k ; esta reta ´e a uni˜ao de uma reta afim de equa¸ca˜o a + bx + cy = 0 (x0 6= 0) e de um “ponto no infinito” (0 : −c : b) (supondo b 6= 0 ou c 6= 0), intersec¸ca˜o das retas ax0 + bx1 + cx2 = 0 e x0 = 0. Em geral, duas retas distintas  ax0 + bx1 + cx2 = 0 dx0 + ex1 + f x2 = 0

ET

,O ct

possuem exatamente um ponto de intersec¸ca˜o, pois a solu¸ca˜o do sistema linear homogˆeneo acima ´e 1 dimensional (n˜ao pode ser 2 dimensional, pois neste caso as retas seriam coincidentes), logo define exatamente um ponto em P2k (ou seja, uma dire¸ca˜o em k 3 ). Defini¸ c˜ ao 3.6.1 Um conjunto alg´ ebrico projetivo ´e um subconjunto de Pn definido por zeros de polinˆomios homogˆeneos, ou seja, um subconjunto da forma {(a0 : . . . : an ) ∈ Pn | f (a0 , . . . , an ) = 0 para todo f ∈ a} onde a ´e um ideal homogˆeneo de k[x0 , x1 , . . . , xn ].

24

Vamos ser amigos dos an´eis!

Blow-up Se a ´e a homogeneous ideal of R = k[X0 , . . . , Xn ], we can extend the definition of V (a) as the set of common zeros of todo homogeneous polinˆomios in a. Ent˜ ao, as before, we may replace a por the homogeneous ideal it generates. In the same way, the projective alg´ebrico sets satisfy the axioms para closed sets, e define a topology on Pn which we also call the Zariski topology. Algum things s˜ao different, though: paraP instance, se e R+ ´e its irrelevant ideal, ent˜ ao V (R+ ) = ∅, even though R+ 6= R. ao V (a) = ∅, como a contains the homogeneous More generally, se a = d≥d0 Rd para algum d0 > 0, ent˜ polinˆomios X0d0 , . . . , Xnd0 , whose set of common zeros consists of the single tuple (0, . . . , 0), which ´e not a ponto of Pn .

topologia de Zariski

Defini¸ c˜ ao 3.6.2 An irreducible projective alg´ebrico set ´e called a projective variety.

4 Topologia de Zariski Nos exemplos anteriores de “an´eis de fun¸co˜es”, os ideais maximais puderam ser identificados com os pontos do espa¸co considerado. Por analogia, para um anel qualquer A, queremos considerar os elementos de A como “fun¸co˜es” no “espa¸co” Spec A de todos os ideais primos (e n˜ ao s´o os maximais). Para uma “fun¸ca˜o” f ∈ A, vamos apenas definir quando f se “anula” num “ponto” p ∈ Spec A: f se anula em p se, e s´o se, f ∈ p (o ideal p ´e o conjunto de todas as “fun¸co˜es” que se anulam neste “ponto”). Neste esp´ırito, temos a seguinte Defini¸ c˜ ao 4.1 Seja a ⊂ A um ideal. Definimos a variedade cortada por a como sendo o subconjunto de Spec A dado por def

V (a) = {p ∈ Spec A | p ⊃ a} Seja h ∈ A um elemento. Definimos o dom´ınio de 1/h como o subconjunto de Spec A dado por def

D(h) = {p ∈ Spec A | p 6∋ h} Para aproximar Spec A um pouco mais de um objeto geom´etrico, definimos agora uma topologia neste espa¸co: Teorema 4.2 (Topologia de Zariski) Seja A um anel. Ent˜ ao 1. V ((0)) = Spec A e V ((1)) = ∅;

FT

2. V (a) ∪ V (b) = V (ab); P T 3. λ V (aλ ) = V ( λ aλ );

28

)

Desta forma, os conjuntos da forma V (a) definem os fechados de uma topologia em Spec A, denominada topologia de Zariski.

(1

0

29

,O ct

D

Vejamos algumas propriedades da topologia de Zariski.

Lemma 4.3 Seja A um anel. Temos

01

,2

RA

7:

Prova O primeiro item ´e claro. Para o item 2, devemos mostrar que para p ∈ Spec A temos p ⊃ ab ⇐⇒ p ⊃ a ou p ⊃ b. A implica¸ca˜o ⇐ ´e imediata; por outro lado, se p ⊃ ab mas p 6⊃ a e p 6⊃ b, ent˜ ao existem a ∈ a \ p e b ∈ b \ p, mas como p ´e primo, ab ∈ ab T \ p, uma contradi¸ca˜o, o que completa a prova do item 2. Finalmente, para P que p ∈ λ V (aλ ) se, e s´o se, p ⊃ aλ para todo λ, o que ocorre P o item 3 basta notar se, e s´o se, p ⊃ λ aλ ⇐⇒ p ∈ V ( λ aλ ).

2. D(gh) = D(g) ∩ D(h).

ET

1. Os conjuntos D(h), h ∈ A, formam uma base da topologia de Zariski.

3. se φ: A → B ´e um morfismo de an´eis, Spec(φ): Spec B → Spec A ´e um mapa cont´ınuo.

ogico). Em particular, m ∈ Spec A ´e um ponto 4. se p ∈ Spec A, temos {p} = V (p) (fecho topol´ fechado se, e s´ o se, m ´e um ideal maximal e se A ´e um dom´ınio, (0) ´e um ponto denso. 5. Spec A ´e compacto.

25 S ao cont´em a se, e Prova O primeiro item segue da identidade Spec A \ V (a) = h∈a D(h) (um primo p n˜ s´o se, p n˜ ao cont´em algum elemento h ∈ a), enquanto que o segundo item ´e apenas uma reinterpreta¸ca˜o de gh ∈ / p ⇐⇒ g ∈ / peh∈ / p para um primo p. Para mostrar que Spec(φ) ´e cont´ınuo, pelo primeiro item basta mostrar que a pr´e-imagem de D(h) ´e um aberto em Spec A, o que segue de Spec (φ) j´a que q ∈ Spec (φ) item 4 segue de


−1


−1



D(h) = D φ(h)



D(h) ⇐⇒ Spec (φ)(q) = φ−1 (q) ∈ D(h) ⇐⇒ q ∈ D φ(h) . Finalmente, o {p} =

\

V (a) = V

X  a = V (p) a⊂p

V (a)∋p

Agora vamos provar o item 5. Pelo item 1, ´e suficiente provar que uma cobertura de Spec PA por uma ao fam´ılia {D(hα )}, hα ∈ A, tem uma subcobertura finita. Como D(hα ) cobre P Spec A, o ideal α (hα ) n˜ (h ). Portanto podemos est´ a contido em nenhum ideal primo, logo n˜ a o pode ser pr´ o prio e assim A = α S α P escrever 1 = 1≤i≤n ai hαi para hαi e ai ∈ A. Mas isto implica Spec A = 1≤i≤n D(hαi ), o que encerra a prova. Exemplo 4.4 Seja k um corpo. Em Spec k × k = {(0) × k, k × (0)}, ambos os ideais s˜ao maximais e portanto fechados, logo todos os subconjuntos de Spec k s˜ao fechados e a topologia de Zariski coincide com a discreta. Por outro lado, em Spec k[[t]] = {(0), (t)} temos que (t) ´e um ponto fechado enquanto que (0) ´e um ponto denso. Assim, os fechados de Spec k[[t]] s˜ao o vazio, todo o espectro e {(t)}. Exemplo 4.5 Em C[t], todos os ideais primos s˜ao maximais, logo fechados, `a exce¸ca˜o de (0), que ´e denso (isto explica nossa escolha de representar o (0) pela linha cheia, “espalhado” por toda a reta). Assim, os conjuntos fechados de Spec C[t] s˜ao os seus subconjuntos finitos e o espectro todo. De maneira similar, os fechados pr´oprios de Spec C[x, y]/(y 2 − x3 + x) no exemplo 3.4.4 tamb´em s˜ao dados pelos subconjuntos finitos deste espectro. Os fechados do espectro Spec Z[α] do exemplo 3.2.4 tamb´em possuem a mesma descri¸ca˜o, o que explica a nossa escolha de represent´ a-lo como uma “curva”, em analogia aos dois casos geom´etricos anteriores. Exemplo 4.6 Here ´e an amusing application: we mostrar que se A e B s˜ao n × n matrices com entries in k, ent˜ ao the characteristic polinˆomios of AB e BA s˜ao equal. In fact, se A ´e invertible, this follows from det(xI − AB) = det(A−1 ) det(xI − AB) det(A) = det(xI − BA)

)

28

FT

onde I ´e the n × n identity matrix. To extend the result to todo matrices, fix B e consider A as a ponto 2 in An . The set 2 V = {A ∈ An | det(xI − AB) = det(xI − BA)}

,2

01

det(xI − BM ) = xn + dn−1 (xij ) · xn−1 + · · · + d0 (xij )

(1

det(xI − M B) = xn + cn−1 (xij ) · xn−1 + · · · + c0 (xij )

0

RA

7:

´e an alg´ebrico set. This can be seen as follows: consider the n × n matrix M = (xij ) whose entries s˜ao indeterminates xij , 1 ≤ i, j ≤ n. Write

29

,O ct

ET

D

onde cl , dl s˜ao polinˆomios in k[xij ]. Ent˜ ao V = V (cn−1 − dn−1 , . . . , c0 − d0 ). Now V contains the nonempty open set D(det M ) consisting of those matrices A com det A 6= 0, i.e., the invertible ones. But 2 2 open sets in the Zariski topology s˜ao huge, e in this case, como An ´e a variety, V ´e the whole set An . 2 2 In fact, this follows from An = V ∪ V (det M ), portanto we must have V = An . This concludes the proof. Encerramos esta se¸ca˜o com a “vers˜ao projetiva” da topologia de Zariski. L Defini¸ c˜ ao 4.7 Seja A = d≥0 Ad um anel N-graduado. O ideal homogˆeneo def

A+ =

M d>0

Ad

26

Vamos ser amigos dos an´eis!

´e chamado de ideal irrelevante. Definimos

ideal irrelevante

def

Proj A = {p ∈ Spec A | p ´e homogˆeneo e p 6⊃ A+ } Para todo ideal homogˆ eneo a ⊂ A, definimos a variedade projetiva cortada por a como o subconjunto de Proj A dado por def V+ (a) = {p ∈ Proj R | p ⊃ a} Da mesma forma, para todo elemento homogˆ eneo h ∈ A, definimos o dom´ınio de 1/h como def

D+ (h) = {p ∈ Proj R | p 6∋ h} (esta defini¸ca˜o ´e literalmente demais!) Como antes, temos que 1. V+ ((0)) = Proj R e V+ ((1)) = ∅. 2. V+ (a) ∪ V+ (b) = V+ (ab) P T 3. λ V+ (aλ ) = V+ ( λ aλ )

de modo que os conjuntos da forma V+ (a) s˜ao fechados de uma topologia em Proj A, tamb´em chamada de topologia de Zariski. Mostra-se da mesma forma que os conjuntos D+ (h) formam uma base de abertos desta topologia.

5 Exerc´ıcios 01. Seja A um anel e a ∈ A um elemento nilpotente. Mostre que 1 + a ∈ A× . 02. Encontre f´ormulas expl´ıcitas para as seguintes recurs˜oes: (a) G0 = 0, G1 = 1 e Gn+2 = 5Gn+1 − 6Gn para n ≥ 0. (b) P0 = P1 = 1, P2 = 0 e Pn+3 = 7Pn+1 − 6Pn para n ≥ 0.

03. Seja θ ∈ R e n um inteiro positivo. Calcule o resto da divis˜ao do polinˆomio (cos θ + x sin θ)n ∈ R[x] por x2 + 1. 04. Mostre que x2 = 1 + t possui solu¸ca˜o x em R[[t]] (ou seja, 1 + t ´e um quadrado perfeito em R[[t]]!). 05. Considere o anel A=

(x2

Q[x, y] + y 2 − 1)

)

7:

28

FT

(a) Mostre que h´ a uma bije¸ca˜o entre o conjunto de todos os morfismos de an´eis f : A → Q e pontos racionais (i.e. pontos com ambas as coordenadas racionais) do c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + y 2 = 1. (b) Mostre que h´ a uma bije¸ca˜o entre o conjunto de todos os morfismos de an´eis f : A → Q(i) e pontos do c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + y 2 = 1 com ambas as coordenadas em Q(i). √ (c) Determine (geradores para) ker f , onde f : A → C ´e o morfismo dado por x ¯ 7→ i e y¯ 7→ 2.

(1

0

01

29

,O ct

ET

D

,2

RA

06. Seja p > 5 um n´ umero primo. Neste exerc´ıcio, mostraremos que p |√Fp2 −1 onde F√n denota o n-´esimo n −β n onde α = 1+2 5 e β = 1−2 5 s˜ao as ra´ızes de n´ umero de Fibonacci. Lembre-se de que Fn = αα−β 2 x − x − 1 = 0. (a) Mostre que α, β ∈ Z[α]× . (b) Mostre que o quociente Z[α]/(n) ´e um anel finito com n2 elementos para todo inteiro positivo n. Mostre ainda que a inclus˜ao Z ֒→ Z[α] induz uma inclus˜ao Z/(n) ֒→ Z[α]/(n). 2 2 (c) Mostre que (2α)p e 2α possuem a mesma imagem em Z[α]/(p). Conclua que αp −1 e 1 possuem a mesma imagem em Z[α]/(p). Hint: utilize o pequeno teorema de Fermat para inteiros: ap − a ´e um m´ ultiplo de p para todo inteiro a e primo p. Vocˆe se lembra da demonstra¸ca˜o deste resultado? (d) Mostre que (α − β) · Fp2 −1 pertence ao ideal (p) ⊂ Z[α]. Conclua que Fp2 −1 ´e um m´ ultiplo inteiro de p. 07. Mostre que todo anel A 6= 0 possui um ideal primo minimal, ou seja, um ideal primo p tal que q ∈ Spec A e q ⊂ p ⇒ q = p (por exemplo, se A ´e um dom´ınio, ent˜ ao (0) ´e o u ´nico primo minimal de A). Quais s˜ao os primos minimais de C[x, y]/(x2 − y 2 )? Dˆe uma interpreta¸ca˜o geom´etrica.

Chapter 3

conjunto mul mapa de loca

Manobras B´asicas Chegou a hora de aprender os “truques do of´ıcio”.

1 Localiza¸ c˜ ao Defini¸ c˜ ao 1.1 Seja A um anel. Um conjunto multiplicativo S ⊂ A ´e um subconjunto tal que 1 ∈ S e que ´e fechado com rela¸ca˜o ao produto: s, t ∈ S ⇒ st ∈ S. As duas escolhas mais populares para S s˜ao: 1. S = { hn | n ≥ 0 }, o conjunto das potˆencias de um elemento fixo h ∈ A.

2. S = A \ p, o complemento de um ideal primo p ∈ Spec A.

Dado um conjunto multiplicativo S ⊂ A, vamos construir um novo anel S −1 A onde todos os elementos de S se tornem unidades. Fazemos isto invertendo formalmente os elementos de S, tomando alguns cuidados para evitar problemas com os divisores de zero em A: Defini¸ c˜ ao 1.2 Seja S ⊂ A um conjunto multiplicativo. A localiza¸ c˜ ao S −1 A do anel A com rela¸ca˜o a S ´e o anel   fra¸co˜es a/s com a ∈ A e s ∈ S, onde duas fra¸co˜es a1 /s1 e a2 /s2 s˜ao −1 S A= identificadas se existe t ∈ S tal que t · (a1 s2 − a2 s1 ) = 0 em A onde a soma e o produto s˜ao definidos da maneira usual: a1 a2 a1 s2 + a2 s1 + = s1 s2 s1 s2

a1 a2 a1 a2 · = s1 s2 s1 s2

O anel S −1 A vem equipado de f´ abrica com um morfismo ρ: A → S −1 A dado por ρ(a) = a/1, que ´e chamado de mapa de localiza¸ c˜ ao.

a2 b2 = s2 t2

com a1 , a2 , b1 , b2 ∈ A, s1 , s2 , t1 , t2 ∈ S

7:

ent˜ ao existem u, v ∈ S tais que u(a1 t1 − b1 s1 ) = v(a2 t2 − b2 s2 ) = 0. Devemos mostrar que

)

e

28

b1 a1 = s1 t1

FT

Devemos verificar que estas opera¸co˜es est˜ ao bem definidas, o que ´e f´acil, mas deveras chato (e melhor feito a`s escondidas, quando ningu´em estiver olhando). Vejamos s´o que a soma est´ a bem definida. Se

(1

0

01

RA


b 1 t2 + b 2 t1 a1 s2 + a2 s1 = ⇐⇒ w (a1 s2 + a2 s1 )t1 t2 − (b1 t2 + b2 t1 )s1 s2 = 0 s1 s2 t1 t2
⇐⇒ w (a1 t1 − b1 s1 )s2 t2 + (a2 t2 − b2 s2 )s1 t1 = 0

29

,O ct

D

,2

para algum w ∈ S. Basta tomar w = uv. Quando A ´e dom´ınio e 0 ∈ / S temos o crit´erio usual as = bt ⇐⇒ at = bs (para a, b ∈ A e s, t ∈ S) e assim podemos interpretar S −1 A como subanel de Frac A, o corpo de fra¸co˜es de A. Em particular, o mapa de localiza¸ca˜o ´e sempre injetivo. Em geral, na presen¸ca de divisores de zero isto ´e falso, como mostra o

ET

Exemplo 1.3 Seja A = Z/12Z e S = A− (2) = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Vamos determinar o kernel do mapa de localiza¸ca˜o ρ: A → S −1 A. Utilizando o fato de que os u ´nicos elementos em S que possuem divisores de zero em A s˜ao 3 e 9 (os demais s˜ao unidades) temos a1 = 01 ⇐⇒ sa = 0 para algum s ∈ S ⇐⇒ a ∈ (4). Agora podemos “calcular” S −1 A. Note que ρ ´e sobrejetor: para mostrar isto, basta verificar que as ao na imagem. Se s 6= 3, 9 temos s ∈ A× , logo ρ(s−1 ) = 1/s. Por outro lado, fra¸co˜es 1/s com s ∈ S est˜ ρ(−1) = 1/3 pois −1/1 = 1/3 ⇐⇒ 3 · (−1 · 3 − 1 · 1) = 0 e portanto 1/9 = (1/3)2 = 1/1 tamb´em est´ a na imagem de ρ. Pelo teorema do isomorfismo, S −1 A ∼ = A/ ker ρ = A/(4) = Z/4Z.

28

Manobras B´asicas

O anel S −1 A ´e o “maior” anel em que todos os elementos de S se tornam unidades, no seguinte sentido: se φ: A → B ´e um morfismo de an´eis tal que φ(s) ∈ B × para todo s ∈ S ent˜ ao existe um u ´ nico φ fazendo o seguinte diagrama comutar (ρ ´e o mapa de localiza¸ca˜o):

propriedade universal localiza¸ c˜ ao

φ B

∃! φ

-

A ρ

? S −1 A Esta ´e a chamada propriedade universal da localiza¸ c˜ ao. Em termos categ´oricos, esta propriedade diz que S −1 A representa o funtor HomS (A, −) dos morfismos que levam S em unidades, ou seja, composi¸ca˜o com ρ fornece uma bije¸ca˜o natural Hom(S −1 A, B)

- HomS (A, B)

∼

φ 7→ φ ◦ ρ

As provas de todos estes fatos seguem diretamente das defini¸c˜oes e s˜ao deixadas a cargo do leitor. ∼ Exemplo 1.4 Seja h ∈ A e S = {hn | n ∈ N}. Ent˜ ao temos um isomorfismo φ: S −1 A - A[x]/(1−hx). n Para construir φ, basta notar que o morfismo de A-´algebras A → A[x]/(1 − hx) leva h em uma unidade pois h¯ x = ¯1 ⇒ hn x ¯n = ¯ 1 em A[x]/(1 − hx), de modo que pela propriedade universal acima, temos um −1 morfismo φ: S A → A[x]/(1 − hx) dado por φ(a/hn ) = a¯ xn (x “faz o papel” de h−1 ). Para mostrar que φ ´e um isomorfismo, basta construir o mapa inverso. Temos que o morfismo de A-´algebras A[x] → S −1 A dado por x 7→ 1/h leva 1 − xh em 0, logo define um mapa ψ: A[x]/(1 − hx) → S −1 A, e uma verifica¸ca˜o imediata mostra que ψ ◦ φ = id e φ ◦ ψ = id, o que conclui a prova.

Podemos tamb´em localizar m´odulos (em particular, ideais) e ´algebras: dado um A-m´ odulo M , a localiza¸ c˜ ao S −1 M de M com rela¸ca˜o a S ´e o S −1 A-m´ odulo   fra¸co˜es m/s com m ∈ M e s ∈ S, onde duas fra¸co˜es m1 /s1 e m2 /s2 s˜ao −1 S M= identificadas se existe t ∈ S tal que t · (s2 m1 − s1 m2 ) = 0 em M onde as opera¸co˜es s˜ao dadas por a m m2 s 2 m1 + s 1 m2 am m1 + = · = s1 s2 s1 s2 t s ts para todo a ∈ A, s, t ∈ S e m, m1 , m2 ∈ M . Novamente, verifica¸co˜es tediosas mostram que tudo funciona como deveria funcionar.

)

28

FT

Defini¸ c˜ ao 1.5 Seja A um anel e M um A-m´ odulo. Para h ∈ A, denotamos por Ah e Mh as localiza¸co˜es de A e M com rela¸ca˜o ao conjunto das potˆencias de h. Se p ∈ Spec A, Ap e Mp denotam as localiza¸co˜es de A e M com rela¸ca˜o a A − p.

(1

S −1 φ: S −1 M → S −1 N

RA

7:

Localiza¸ca˜o ´e na verdade um funtor da categoria de A-m´ odulos para a categoria de S −1 A-m´ odulos. Se φ: M → N ´e um morfismo de A-m´ odulos, temos um morfismo induzido de S −1 A-m´ odulos

,2

01

0

(m ∈ M e s ∈ S) φ(m) m 7→ s s estando tudo bem definido como ´e f´ acil (e tedioso) verificar. Um fato not´avel ´e que este funtor ´e exato.

S −1 M ´e uma sequˆencia exata de S −1 A-m´ odulos.

S −1 φ

- S −1 N

S −1 ψ

- S −1 P

ET

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Ent˜ ao

- P

ψ

,O ct

- N

φ

D

M

29

Teorema 1.6 (Localiza¸ c˜ ao ´ e um funtor exato) Seja A um anel, S um conjunto multiplicativo e

Prova Note que im S −1 φ ⊂ ker S −1 ψ j´ a que S −1 ψ ◦ S −1 φ = S −1 (ψ ◦ φ) = 0. Para mostrar a inclus˜ao −1 oposta, seja n/s ∈ ker S ψ (onde n ∈ N e s ∈ S). Como ψ(n)/s = 0/1 em S −1 P existe t ∈ S tal que t · ψ(n) = ψ(t · n) = 0. Pela exatid˜ao da sequˆencia de A-m´ odulos, existe m ∈ M tal que φ(m) = t · n e portanto (S −1 φ)(m/ts) = tn/ts = n/s, o que mostra que n/s ∈ im S −1 φ.

29

Sequˆencias exatas podem ser utilizadas para codificar diversas rela¸co˜es “lineares” entre m´odulos. Por exemplo, o teorema anterior possui as seguintes consequˆencias u ´teis Corol´ ario 1.7 Seja A um anel, S um conjunto multiplicativo e φ: M → N um morfismo de A-m´ odulos. 1. se φ ´e injetor (respectivamente sobrejetor, bijetor) ent˜ ao o mesmo vale para S −1 φ. 2. localiza¸c˜ ao comuta com kernels, cokernels e imagens: ker S −1 φ ∼ = S −1 ker φ, coker S −1 φ ∼ = −1 −1 ∼ −1 S coker φ, im S φ = S im φ. 3. localiza¸c˜ ao tamb´em comuta com quocientes: se M ´e um subm´ odulo de N ent˜ ao S −1 (N/M ) ∼ = −1 −1 S N/S M .

Prova O primeiro item ´e uma consequˆencia do segundo, que pode ser mostrado localizando sequˆencias exatas adequadas. Por exemplo, localizando a sequˆencia exata de A-m´ odulos 0

- ker φ

- M

- N

φ

obtemos a sequˆencia exata de S −1 A-m´ odulos 0

- S −1 ker φ

- S −1 M

S −1 φ

- S −1 N

o que mostra que ker S −1 φ ∼ = S −1 ker φ. As provas para coker φ e im φ s˜ao an´alogas. Finalmente, o terceiro item segue da localiza¸ca˜o da sequˆencia exata 0 → M → N → N/M → 0

Temos ainda uma importante rec´ıproca para o teorema anterior: Teorema 1.8 (Um princ´ıpio “local-global”) Seja A um anel. 1. Seja M um A-m´ odulo. Ent˜ ao M = 0 ⇐⇒ Mm = 0 para todos os ideais maximais m de A - P

ψ

um complexo de A-m´ odulos. Se as localiza¸c˜ oes - Nm

φm

- Pm

ψm

28

Mm

)

- N

φ

M

FT

2. Seja

(1

0

RA

7:

s˜ ao exatas para todos os ideais maximais m de A ent˜ ao o complexo anterior de A-m´ odulos ´e exato. Em particular, um morfismo de A-m´ odulos ´e injetor (respectivamente sobrejetor) se, e s´ o se, todas as localiza¸c˜ oes com rela¸c˜ ao aos ideais maximais possuem a mesma propriedade.

def

29

,O ct

D

,2

01

Prova O segundo item segue do primeiro aplicado ao A-m´ odulo ker ψ/ im φ e do fato de que localiza¸ca˜o ´e um funtor exato e portanto (ker ψ/ im φ)m = (ker ψ)m /(im φ)m = ker ψm / im φm . Resta provar o primeiro item, e a implica¸ca˜o ⇒ ´e clara. Para mostrar ⇐, seja m ∈ M ; vamos provar que m = 0. Para isto, considere o anulador de m ann(m) = {a ∈ A | a · m = 0}

ET

que claramente ´e um ideal de A. Temos que mostrar que ann(m) = A e para isto basta mostrar que ann(m) 6⊂ m para todo ideal maximal m. Mas isto segue do fato de Mm = 0: como m/1 = 0/1, existe um s ∈ A \ m tal que sm = 0 ⇐⇒ s ∈ ann(m) e portanto ann(m) 6⊂ m. Como estamos acrescentando unidades ao anel A, um efeito colateral da localiza¸ca˜o ´e o “massacre de ideais”. Isto simplifica o anel original e ´e um dos motivos que tornam a localiza¸ca˜o um dos instrumentos mais u ´teis no estudo de an´eis.

anulador

30

Manobras B´asicas

Teorema 1.9 (Localiza¸ c˜ ao e Ideais) Seja A um anel e S um conjunto multiplicativo. Denote por ρ: A → S −1 A o mapa de localiza¸c˜ ao. 1. Todo ideal de S −1 A ´e da forma S −1 a para algum ideal a de A.

2. O mapa de espectros Spec(ρ): Spec S −1 A ֒→ Spec A ´e injetor e tem como imagem o conjuntos dos primos p de A tais que p ∩ S = ∅; a pr´e-imagem de um tal p ´e dada por S −1 p. Prova Primeiramente note que se a ⊂ A ´e um ideal de A, ent˜ ao S −1 a ⊂ S −1 A ser´a um S −1 A-subm´ odulo −1 −1 de S A, isto ´e, um ideal de S A, pois localiza¸ca˜o, sendo exata, preserva injetividade. Reciprocamente, def ´ f´acil ver que a ´e um ideal de A e que S −1 a ⊂ b. Por outro se b ´e um ideal de S −1 A, defina a = ρ−1 b. E lado, se b/s ∈ b (b ∈ A, s ∈ S) ent˜ ao multiplicando por s/1 obtemos ρ(b) = b/1 ∈ b, ou seja, b ∈ a. Logo b ⊂ S −1 a e portanto devemos ter a igualdade, o que prova o item 1. Para o item 2, seja DS ⊂ Spec A o conjunto dos primos p tais que p ∩ S = ∅. Note primeiramente que a imagem de Spec(ρ) est´ a contida em DS : se p = Spec(ρ)(q) ⇐⇒ p = ρ−1 q e h´ a um elemento s ∈ S ∩ p ent˜ ao ρ(s) ∈ q, mas como ρ(s) ´e unidade em S −1 A, isto ´e imposs´ıvel. Observe ainda que para p ∈ DS , a ∈ A e s ∈ S temos a ∈ S −1 p ⇐⇒ a ∈ p (∗) s A implica¸ca˜o ⇐ ´e ´ obvia; por outro lado, se a/s ∈ S −1 p, ent˜ ao existem p ∈ p e t ∈ S tais que a/s = p/t e isto por sua vez implica que existe um r ∈ S tal que r(at − ps) = 0. Portanto rta ∈ p e, como p ∩ S = ∅, a deve pertencer a p. Agora mostremos que S −1 p ∈ Spec S −1 A quando p ∈ DS : primeiro, S −1 p ´e um ideal pr´oprio pois ′ caso contr´ario ter´ıamos 1/1 ∈ S −1 p ⇒ 1 ∈ p por (∗); por outro lado, se as · as′ ∈ S −1 p (a, a′ ∈ A e s, s′ ∈ S) ent˜ ao aa′ ∈ p novamente por (∗), assim ou a ou a′ pertence a p, isto ´e, ou a/s ou a′ /s′ deve pertencer a S −1 p, como requerido. Finalmente provemos que Spec(ρ): Spec S −1 A → DS e o mapa no sentido oposto p 7→ S −1 p, p ∈ DS , s˜ao inversos um do outro e portanto estabelecem uma bije¸ca˜o entre Spec S −1 A e DS . Se p ∈ DS ent˜ ao Spec(ρ)(S −1 p) = p por (∗). Agora, dado q ∈ Spec S −1 A, se p = Spec(ρ)(q) temos que q = S −1 p pelo item 1. Isto completa a demonstra¸ca˜o.

FT

Exemplo 1.10 (Localiza¸ c˜ ao em um elemento) Seja h ∈ A e considere o anel localizado Ah com mapa de localiza¸ca˜o ρ: A → Ah . Neste caso, o conjunto multiplicativo ´e o das potˆencias de h e temos que a imagem de Spec(ρ): Spec Ah ֒→ Spec A ´e justamente D(h), o dom´ınio de 1/h: como h/1 ´e uma unidade em Ah , todos os primos que cont´em h s˜ao mortos durante a localiza¸ca˜o.

(1

0

01

RA

7:

28

)

Exemplo 1.11 (Localiza¸ c˜ ao em um ideal primo) Seja p ∈ Spec A a e considere o anel localizado Ap com mapa de localiza¸ca˜o ρ: A → Ap . Neste caso, temos que o conjunto multiplicativo sendo invertido ´e o S = A \ p e a imagem de Spec(ρ): Spec Ap → Spec A consiste nos primos contidos em p; todos os demais primos s˜ao “assinados” quando invertemos os elementos de S. Desta forma, Ap possui um u ´ nico ideal maximal S −1 p, que usualmente denotamos por pAp (o ideal gerado por ρ(p)). Como localiza¸ca˜o comuta com quociente e a imagem de S em A/p consiste nos elementos n˜ ao nulos deste anel, temos que o corpo def k(p) = Ap /pAp = S −1 (A/p) = Frac(A/p)

29

,2

´e o corpo de fra¸co˜es do dom´ınio A/p (lembre-se de que p ´e primo!). Este corpo k(p) ´e chamado corpo residual de p.

,O ct

ET

D

Note os efeitos complementares da localiza¸ca˜o e do quociente: enquanto Spec(ρ): Spec Ap → Spec A “filtra” os ideais primos contidos em p, o mapa de espectros Spec(q): Spec A/p ֒→ Spec A associado ao mapa quociente q: A ։ A/p tem como imagem V (p), a variedade cortada por p, que consiste em todos os ideais primos que cont´ em p. Combinando localiza¸ca˜o e quociente, podemos desta forma selecionar qualquer conjunto de primos que desejamos estudar. Por exemplo, o mapa f : Spec k(p) ֒→ Spec A associado `a composi¸ca˜o ρ - k(p) A - Ap tem como imagem exatamente o primo p pois f ´e a composi¸ca˜o Spec k(p) ֒→ Spec Ap ֒→ Spec A

31

e a imagem do primeiro mapa ´e pAp , que ´e levado em p pelo segundo mapa. Em outras palavras, o quociente e a localiza¸ca˜o filtram os primos que contˆem e que est˜ ao contidos em p e o que sobre ´e apenas o primo p.

2 Localiza¸ c˜ ao em A¸ c˜ ao Vejamos em alguns exemplos pr´aticos como a utiliza¸ca˜o da localiza¸ca˜o pode simplificar o estudo de an´eis. 2.1 Nilradical Defini¸ c˜ ao 2.1.1 Seja A um anel e a um ideal de A. O radical de a ´e definido como √ def a = {a ∈ A | an ∈ a para algum n ≥ 1}

p O nilradical de A ´e definido como o conjunto de todos os elementos nilpotentes de A, i.e., como (0). √ √ √ ao ´e claro que ra ∈ a para qualquer r ∈ A; por Observe que a√´e de fato um ideal: se a ∈ a, ent˜ outro lado, se a, b ∈ a, podemos escolher n grande o suficiente de modo que an e bn est˜ ao ambos em a. Ent˜ ao   X 2n i 2n−i (a + b)2n = ab ∈a i 0≤i≤2n

√ pois ou i ≥ n e portanto a ∈ a ou i ≤ n ⇐⇒ 2n − i ≥ n e portanto b2n−i ∈ a. Assim, a + b ∈ a. p H´ a uma conex˜ ao muito forte entre o nilradical e os primos de um anel. Se p ∈ Spec A e a ∈ (0), ent˜ ao para algum n temos an = 0 ⇒ an ∈ p ⇒ a ∈ p i

Portanto um elemento nilpotente pertence a todo ideal primo de A: p (0) ⊂

\

p

p∈Spec A

FT

p Na verdade, a inclus˜ao acima ´e uma igualdade! Para mostrar isto, vamos provar que para todo h ∈ / (0) existe p ∈ Spec A tal que h ∈ / p. Como o mapa Spec Ah ֒→ Spec A associado ao mapa de localiza¸ca˜o tem imagem D(h), mostrar a existˆencia de tal primo ´e equivalente a mostrar que Spec Ah 6= ∅ ⇐⇒ Ah 6= 0. Mas Ah = 0 se, e s´o se, 1/1 = 0/1 em Ah , isto ´e, se, e s´o se, existe um n tal que hn (1 · 1 − 1 · 0) = 0 em A, ou seja, se, e s´o se, h ´e nilpotente. Com isto, acabamos de provar o p T Teorema 2.1.2 Para qualquer anel A, (0) = p∈Spec A p.

(1

RA

7:

28

)

Aplicando o teorema acima para A/a no lugar de A e observando que o nilradical de A/a corresponde ao radical de a na correspondˆencia de ideais, obtemos o T √ Corol´ ario 2.1.3 Para qualquer ideal a do anel A, a = p∈V (a) p.

29

,2

u ∈ k×

01

f = u · pe11 . . . perr ,

0

Exemplo 2.1.4 Seja k um corpo e considere o anel A = k[x1 , . . . , xn ], um dom´ınio de fatora¸ca˜o u ´ nica. Se f ∈ A ´e um elemento n˜ ao nulo e

,O ct

D

´e a fatora¸ca˜o de f em potˆencias de polinˆomios mˆonicos irredut´ıveis p1 , . . . , pr ∈ A, ent˜ ao utilizando a fatora¸ca˜o u ´nica conclu´ımos que

ET

p (f ) = (p1 . . . pr ) = (p1 ) ∩ · · · ∩ (pr )

Por outro lado, observe que se p ∈ Spec A ent˜ ao f ∈ p ⇒ pi ∈ p para algum i e, como os pi s˜ao irredut´ıveis em A, (pi ) j´ a s˜ao ideais primos, donde conclu´ ımos que os (pi ) s˜ao os ideais primos minimais contendo p (f ). Pelo corol´ ario acima, (f ) ´e a intersec¸ca˜o dos (pi ), o que concorda com a computa¸ca˜o direta feita acima. Assim, obtemos uma comprova¸ca˜o experimental do teorema anterior! Vejamos agora algumas aplica¸co˜es no estudo da topologia de Zariski.

radical nilradical

32

Manobras B´asicas

Lemma 2.1.5 Seja A um anel, a e b ideais e g, h ∈ A. √ √ √ 1. V (a) ⊂ V (b) ⇐⇒ a ⊂ b. Em particular, V (a) = V (b) ⇐⇒ a = b. p 2. D(h) ⊂ D(g) ⇐⇒ h ∈ (g).

elementos idempotent

Teorema 2.1.6 (Morfismo Dominante) Seja A ⊂ B uma inclus˜ ao de dom´ınios. Ent˜ ao o mapa f : Spec B → Spec A ´e dominante, i.e., sua imagem ´e densa. Prova Devemos mostrar que a imagem de f intercepta qualquer aberto n˜ ao vazio. Para isto, note que, para um aberto b´ asico D(h) ⊂ Spec A n˜ ao vazio, isto ´e, com h 6= 0, temos
f −1 D(h) = D(h) ⊂ Spec B,

que tamb´em ´e n˜ ao vazio.

ao Dizemos que um anel A ´e decompon´ıvel se existe um isomorfismo A ∼ = B × C para dois an´eis n˜ nulos B e C. Neste caso, os elementos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) satisfazem as rela¸co˜es e21 = e1

e1 + e2 = 1

e22 = e2

e1 e2 = 0

Dois elementos n˜ ao nulos e1 e e2 de um anel qualquer A s˜ao chamados de idempotentes ortogonais se as rela¸co˜es acima se verificam. Observe que as duas u ´ltimas identidades seguem das duas primeiras. Temos que um anel A ´e decompon´ıvel se, e s´o se, possui idempotentes ortogonais: j´a vimos uma das dire¸co˜es; para mostrar a rec´ıproca observe que se e1 , e2 ∈ A s˜ao ent˜ ao s˜ao idempotentes ortogonais, podemos definir suban´eis B = Ae1 e C = Ae2 de A e ´e f´acil verificar que os mapas A

- B×C

∼

a 7→ (ae1 , ae2 )

B×C

- A

∼

(b, c) 7→ b + c

s˜ao isomorfismos inversos um do outro. Lemma 2.1.7 Seja A um anel e seja a um ideal tal que a ⊂

p (0). Ent˜ ao

FT

A/a ´e decompon´ıvel ⇐⇒ A ´e decompon´ıvel

28

)

Prova (⇐) Sejam e1 , e2 ∈ A idempotentes ortogonais; ent˜ ao suas imagens e1 , e2 ∈ A/a tamb´ p em s˜ao idempotentes ortogonais: basta verificar que eles n˜ ao s˜ao nulos. Mas se ei = 0 ent˜ ao ei ∈ a ⊂ (0), logo eni = 0 para algum n. Aplicando a rela¸ca˜o e2i = ei v´arias vezes, obtemos ei = 0, uma contradi¸ca˜o.

(1

0

RA

7:

(⇒) Sejam e1 , e2 ∈ A/a idempotentes ortogonais e seja e1 ∈ A uma p pr´e-imagem de e1 . Defina e2 = 1−e1 , que ´e uma pr´e-imagem de e2 . Como e1 e2 = 0, temos e1 e2 ∈ a ⊂ (0) e portanto (e1 e2 )n = 0 para algum n. Da expans˜ao de (e1 + e2 )2n , definimos dois novos elementos

+

e′2

=

e′1

+

e′2

29

,O ct

e′1

  2n n n + e e = (e1 + e2 )2n = 1 n 1 2

ET

de modo que

D

,2

e2n 1

01

      2n 2n−1 2n 2n−2 2 2n + e1 e2 + e1 e2 + · · · + en+1 e2n−1 1 2 n−1 1       2n 2n 2n 2n−1 ′ def 2n 2 2n−2 e2 = e2 + e1 e2 + e e + ···+ en−1 en+1 2 2n − 1 2n − 2 1 2 n+1 1 def e′1 =

Al´em disso e′1 e′2 = 0 pois ´e uma soma de elementos da forma ei1 ej2 com i, j ≥ n. Como e1 e2 ∈ a, temos ′ ′ que e′i tamb´em ´e uma pr´e-imagem de ei = e2n i para i = 1, 2 e como acima temos que ei 6= 0. Assim, e1 e ′ e2 s˜ao idempotentes ortogonais de A, que ´e portanto decompon´ıvel.

33

Teorema 2.1.8 (Conexidade e Indecomponibilidade) Seja A um anel. Ent˜ ao Spec A ´e desconexo se, e s´ o se, A ´e decompon´ıvel. Prova Sendo B e C dois an´eis n˜ ao nulos, temos uma uni˜ao disjunta Spec B × C = V (a) ⊔ V (b)

onde a = (0) × C

e

b = B × (0)

Como a e b s˜ao ideais pr´oprios de A × B, os conjuntos fechados V (a) e V (b) s˜ao n˜ ao vazios e assim Spec B × C ´e desconexo. Reciprocamente, se Spec A ´e desconexo, digamos Spec A = V (a) ⊔ V (b) para dois ideais pr´oprios a e b ent˜ ao
   V (a + b) = V (1) =∅ a + bp = (1) V (a) ∩ V (b) = ∅
⇐⇒ ⇐⇒ ab ⊂ (0) V (a) ∪ V (b) = Spec A V (ab) = V (0) = Spec A Assim, pelo teorema chinˆes dos restos temos um isomorfismo

A A A A = = × ab a∩b a b Como a e b s˜ao pr´oprios, os an´eis A/a e A/b s˜ao n˜ ao nulos e assim A/ab ´e decompon´ıvel. Pelo lema anterior, temos portanto que A ´e decompon´ıvel. 2.2 Fibras Agora vamos utilizar o par localiza¸ca˜o/quociente na descri¸ca˜o de fibras. Fibra ´e somente um nome pomposo para a pr´e-imagem de um ponto. No nosso caso, estamos interessados em obter as fibras de mapas entre espectros: Teorema 2.2.1 (Fibras) Seja φ: A → B um morfismo de an´eis e seja f : Spec B → Spec A o mapa correspondente de espectros. Seja p ∈ Spec A e seja S = A − p. Ent˜ ao o mapa Spec S −1 (B/pB) → Spec B associado ao mapa natural B → S −1 (B/pB) estabelece uma bije¸c˜ ao

FT

ideais primos em Spec S −1 (B/pB) ↔ ideais primos em f −1 (p)

A

(1

- Spec B

01

0

⊂

,2

Spec φ

? Spec A/p

29

 A/p 

φ

Spec B/pB

,O ct

φ

B 6

D

 B/pB  6

RA

7:

28

)

Observe que no teorema acima estamos interpretamos B como uma A-´algebra via φ, de modo que pB denota o ideal de B gerado por φ(p) e assim por diante. Vamos analisar separadamente o efeito do quociente e da localiza¸c˜ao. O primeiro d´ a origem aos seguintes diagramas comutativos

⊂

Spec φ

? - Spec A

ET

onde φ ´e o mapa induzido por φ, ou seja, φ(a) = φ(a) para todo a ∈ A. Note que o mapa Spec A/p ֒→ Spec A identifica Spec A/p com V (p). Vamos mostrar que a imagem de Spec B/pB ֒→ Spec B consiste justamente na pr´e-imagem (Spec φ)−1 V (p), de modo que no segundo diagrama Spec φ pode ser interpretado como a “restri¸ca˜o” de Spec φ ao conjunto V (p) e `a sua pr´e-imagem (as fibras de V (p)). De fato, um primo q ∈ Spec B est´ a na imagem de Spec B/pB ֒→ Spec B se, e s´o se, q ⊃ pB. Mas pB ´e o ideal de B gerado por φ(p), assim a u ´ltima condi¸ca˜o ´e equivalente a q ⊃ φ(p) ⇐⇒ φ−1 q ⊃ p ⇐⇒ Spec(φ)(q) ∈ V (p), que era o quer´ıamos provar. Da mesma forma, temos diagramas comutativos

Fibra

34

Manobras B´asicas

S −1 B  6 S −1 φ S

−1

Spec S −1 B

B 6

- Spec B

Spec S −1 φ

φ A

⊂

Spec φ

? Spec S −1 A

A

⊂

? - Spec A

onde os mapas horizontais no primeiro diagrama s˜ao os mapas de localiza¸ca˜o. Vamos mostrar que Spec S −1 φ pode ser interpretado como o conjunto das fibras dos primos de A que est˜ ao contidos em p, ou seja, vamos mostrar que a imagem de Spec S −1 B ֒→ Spec B ´e a pr´e-imagem por Spec φ do conjunto dos primos de A contidos em p. A imagem de Spec S −1 B ֒→ Spec B consiste dos primos q de B tais que q ∩ φ(S) = ∅ (lembre-se de que o produto de um elemento de A por um de B ´e feito via o morfismo base φ e que portanto S −1 B denota na verdade a localiza¸ca˜o de B com rela¸ca˜o ao conjunto multiplicativo φ(S)). Por´em q ∩ φ(S) = ∅ ⇐⇒ φ−1 q ∩ S = ∅, ou seja, Spec(φ)(q) ⊂ p, como desejado. O teorema agora segue compondo os dois resultados acima: S −1 (B/pB)  6 S −1 φ S −1 (A/p) 

 B/pB  6 φ  A/p 

B 6 φ A

Spec S −1 (B/pB) ⊂- Spec B/pB Spec S −1 φ

⊂

- Spec B

Spec φ

? Spec S −1 (A/p)

⊂

Spec φ

? - Spec A/p

⊂

? - Spec A

Note que S −1 (A/p) = k(p) ´e o corpo residual de p, logo Spec S −1 (A/p) consiste em um u ´ nico ponto, cuja imagem em Spec A ´e justamente p. Assim, o mapa Spec S −1 (B/pB) ֒→ Spec B tem como imagem precisamente a fibra de p. Exemplo 2.2.2 (C´ alculo do Spec C[x, y]) Considere a inclus˜ao φ: C[x] ֒→ C[x, y]. Vamos calcular as fibras de Spec φ. Temos dois casos: • Fibra de p = (x − a), a ∈ C. Seja S = C[x] \ p. Temos S −1

 C[x, y]  x7→a ∼ = C[y] (x − a)

)

(1

0

01

29

,O ct

D

,2

RA

7:

28

FT

Assim, temos que os primos na fibra de p s˜ao da forma (x − a) e (x − a, y − b) com b ∈ C, que s˜ao respectivamente as imagens de (0) e (y − b) pelo mapa Spec C[y] ֒→ Spec C[x, y]. • Fibra de p = (0): seja S = C[x] \ {0}. Temos S −1 C[x, y] = C(x)[y], que ´e um dom´ınio de ideais principais
visto que C(x) ´e um corpo. Assim, Spec C(x)[y] consiste no primo (0) e nos ideais principais f (x, y) gerados por elementos irredut´ıveis f (x, y) ∈ C(x)[y]. Sem perda de generalidade, podemos supor que f (x, y) ∈ C[x, y] pois podemos multiplic´a-lo por um polinˆomio n˜ ao nulo em C[x] (que ´e uma unidade em C(x)[y], logo n˜ ao altera o ideal). Mais ainda, podemos supor que os coeficientes de f (x, y) ∈ C[x][y], visto como polinˆomio em y, s˜ao primos entre si (ou seja, f (x, y) ´e primitivo). Pelo lema de Gauß, temos que f (x, y) ´e irredut´ıvel em C(x)[y] se, e s´o se, ´e irredut´ıvel em C[x, y]. Assim,
Spec C(x)[y] = {(0)} ∪ { f (x, y) | f (x, y) ∈ C[x, y] \ C[x] e ´e irredut´ıvel em C[x, y]}
A imagem de (0) por Spec C(x)[y] → Spec C[x, y] ´e (0), enquanto que a imagem de q = f (x, y) ⊂ C(x)[y]
´e q ∩ C[x, y], que ´e f (x, y) ⊂ C[x, y]: se f (x, y)g(x, y)/s(x) ∈ C[x, y] ∩ q, g(x, y) ∈ C[x, y] e s(x) ∈ C[x], pela fatora¸ca˜o u ´nica em C[x, y] temos s(x) | g(x, y) j´a que f (x, y) ´e primitivo, logo f (x, y)g(x, y)/s(x) ´e m´ ultiplo de f (x, y) em C[x, y].

ET

Exemplo 2.2.3 (Blow-up) Considere o mapa f : Spec C[x, y, z]/(y −zx) → Spec C[x, y] correspondente ao morfismo de C-´algebras φ: C[x, y] → C[x, y, z]/(y − xz) dado por φ(x) = x e φ(y) = y. Note que φ ´e injetor, de modo que podemos identificar A = C[x, y] como um subanel de B = C[x, y, z]/(y − zx). Geometricamente, A ´e o anel de fun¸co˜es polinomiais do plano complexo C2 enquanto que B ´e o anel de fun¸co˜es polinomiais na superf´ıcie em C3 de equa¸ca˜o y = zx, que ´e uma uni˜ao de retas (para z = m constante, y = mx ´e a reta de coeficiente angular m, desenhada na “altura” z = m). O mapa f corresponde `a proje¸ca˜o da superf´ıcie no “plano xy”.

35

Vamos calcular a fibra de um ideal maximal da forma m = (x − a, y − b) ∈ Spec A. Temos uma bije¸ca˜o de f −1 m com Spec S −1 (B/mB), onde S = A \ m e S −1

a  B      x7y7→ →b B C[x, y, z] C[z] ∼ = S −1 = S −1 = mB (x − a, y − b) (x − a, y − b, y − xz) (b − az)

Note que como m consiste nos polinˆomios que se anulam em (a, b), temos que no u ´ ltimo isomorfismo todos os elementos de S s˜ao levados em constantes n˜ ao nulas, que j´a s˜ao invers´ıveis em C[z]. Agora temos alguns casos a analisar. Se a 6= 0, C[z]/(b − az) ∼ ´ nico ponto. = C e a fibra consiste em um u Para encontr´ a-lo, basta tomar a imagem de Spec C ֒→ Spec B associada ao morfismo B → C que mapeia x 7→ a, y 7→ b, z 7→ b/a. Tal ponto ´e o ideal maximal (x − a, y − b, z − b/a) ⊂ B, que geometricamente corresponde ao ponto (a, b, b/a) ∈ C3 da superf´ıcie y = xz, que ´e o u ´nico que projeta no ponto (a, b) ∈ C2 . Agora se a = 0 e b 6= 0, C[z]/(b − az) = 0 e a fibra ´e vazia. Finalmente, se a = b = 0, C[z]/(b − az) = C[z] e a fibra ´e a imagem do mapa Spec C[z] ֒→ Spec B associado ao morfismo B → C[z] que mapeia x 7→ 0, y 7→ 0, z 7→ z. Temos neste caso f −1 (x, y) = {(x, y)} ∪ {(x, y, z − d) | d ∈ C} onde o ideal (x, y) ´e a imagem de (0) ∈ Spec C[z] enquanto que (x, y, z − d) ´e a imagem de (z − d) ∈ Spec C[z]. Geometricamente esta fibra ´e uma reta, com um ponto denso correspondente a (x, y) e pontos fechados correspondentes aos pontos (0, 0, d) ∈ C3 da superf´ıcie y = xz, que s˜ao justamente os pontos cuja proje¸ca˜o ´e a origem (0, 0) ∈ C2 . Calculemos agora a fibra do ideal primo p = (y 2 − x2 (x + 1)) ∈ Spec A. Sendo S = A \ p, temos S −1

   B    B C[x, y, z] = S −1 = S −1 2 2 mB (y 2 − x2 (x + 1), y − xz) (y − x (x + 1)) =

S −1 C[x, y, z] S −1 C[x, y, z] S −1 C[x, z] ∼ −1 = = = S C[z] ((xz)2 − x2 (x + 1), y − xz) (z 2 − (x + 1), y − xz) (z 2 − (x + 1))

)

(1

0

01

29

,O ct

ET

2.3 An´ eis Locais

D

,2

RA

7:

28

FT

Aqui, no antipen´ ultimo isomorfismo utilizamos o fato de x ser unidade em S −1 C[x, y, z] j´a que x ∈ S. ´ltimo, por x 7→ z 2 − 1, z 7→ z. Note O pen´ ultimo isomorfismo ´e dado por x 7→ x, y 7→ xz, z 7→ z e o u −1 que S C[z] = C(z), o corpo de fra¸co˜es de C[z], pois qualquer fra¸ca˜o em C[z] pode ser escrita como f (z) f (z)g(−z) e uma fun¸ca˜o par, ou seja, s´o possui monˆ omios cujos g(z) = g(z)g(−z) com denominador g(z)g(−z) que ´ expoentes s˜ao pares. Mas qualquer polinˆomio par ´e a imagem de algum polinˆomio h(x) ∈ S na vari´avel x apenas, j´ a que a composi¸ca˜o ψ dos isomorfismos acima leva x 7→ z 2 − 1. A fibra consiste portanto em um u ´nico elemento, que ´e pela imagem do mapa Spec C(z) → Spec B associado ao morfismo ψ: B → C(z) que leva x 7→ z 2 − 1, y 7→ z(z 2 − 1), z 7→ z. Esta imagem ´e o ideal primo ψ −1 (0) = (z 2 − x − 1) de B. De fato, ´e claro que ψ −1 (0) = ker ψ cont´em (z 2 − x − 1) e portanto ψ induz um morfismo ψ: B/(z 2 − x − 1) → C(z). Assim, para mostrar a inclus˜ao oposta basta verificar ´ ltimo isomorfismo que ψ ´e injetor. Como B/(z 2 − x − 1) = C[x, y, z]/(z 2 − x − 1, y − xz) ∼ = C[z], onde o u ao ´e leva x 7→ z 2 − 1 e y 7→ z(z 2 − 1), seguindo os v´arios isomorfismos conclu´ımos que ψ: C[z] ֒→ C(z) n˜ nada al´em do mapa de inclus˜ao, o que encerra a prova. Geometricamente, este primo (z 2 − x − 1) corresponde a “abrir” a curva singular y 2 = x2 (x + 1): os dois “ramos” que passam pela origem tˆem dire¸co˜es tangentes distintas, logo s˜ao levadas a alturas diferentes. Obtemos assim a curva n˜ ao singular z 2 = x + 1 sobre a superf´ıcie y = xz, como ilustra a figura a seguir. Observe ainda na figura que cada ponto (a, b) ∈ C2 do plano de baixo tem uma u ´ nica pr´e-imagem (a, b, b/a) na superf´ıcie, ` a exce¸ca˜o da origem, cuja pr´e-imagem ´e uma reta.

Defini¸ c˜ ao 2.3.1 Um anel local A ´e um anel que possui um u ´nico ideal maximal m. O quociente k = A/m ´e chamado de corpo residual. Escrevemos (A, m, k) para denotar um anel local A com ideal maximal m e corpo residual k. Um morfismo φ: A → B entre dois an´eis locais (A, m, k) e (B, n, l) ´e um morfismo local se φ−1 n = m ou, equivalentemente, φ(m) ⊂ n. Note que um morfismo local induz um morfismo injetivo de corpos ¯ k → l dado por a mod m 7→ φ(a) mod n para a ∈ A. residuais φ:

anel local corpo residua morfismo loca

36

Manobras B´asicas

truque do determinan base minimal

Fibra de p = (y 2 − x2 (x + 1)) Observe que, em qualquer anel A, u ∈ A× ⇐⇒ (u) = A ⇐⇒ u n˜ ao pertence a nenhum ideal maximal de A (veja teorema II.2.8)

Desta forma, um anel A ´e local se, e somente se, A \ A× ´e um ideal. De fato, se A ´e local com ideal maximal m, ent˜ ao u ∈ A× ⇐⇒ u ∈ / m pela observa¸ca˜o acima e assim m = A \ A× . Por outro lado, se × A \ A ´e um ideal, todo ideal pr´oprio de A est´ a necessariamente contido em A \ A× , que ´e portanto o u ´nico ideal maximal de A. Em vista do princ´ıpio local-global (teorema 1.8), diversas quest˜ oes sobre an´eis gerais podem ser reduzidas a an´eis locais, que possuem portanto um papel central em ´algebra comutativa. Um dos principais resultados sobre an´eis locais ´e o aparentemente in´ocuo Lema 2.3.2 (Nakayama) Seja (A, m, k) um anel local, a um ideal pr´ oprio de A e M um A-m´ odulo finitamente gerado. 1. Se aM = M ent˜ ao M = 0. 2. Se N ´e um subm´ odulo de M tal que M = N + aM ent˜ ao M = N . Prova O segundo item segue diretamente do primeiro aplicado ao A-m´ odulo M/N . Para provar o primeiro item, utilizaremos o famoso truque do determinante. Seja ω1 , . . . , ωn geradores de M . Por hip´otese, existem aij ∈ a ⊂ m tais que

)

ωn = an1 ω1 + a2n ω2 + · · · + ann ωn

28

ω2 = a21 ω1 + a22 ω2 + · · · + a2n ωn .. .

FT

ω1 = a11 ω1 + a12 ω2 + · · · + a1n ωn

(1

0

01

,2

RA

7:

Considere a matriz n × n dada por T = (aij ) e seja I a matriz identidade de ordem n. Em nota¸ca˜o matricial, podemos escrever o “sistema linear” acima como (I − T ) · w = 0, onde 0 denota a matriz coluna n × 1 nula e w ´e a matriz coluna cujas entradas s˜ao os ωi . Multiplicando pela matriz adjunta, obtemos det(I − T ) · ωi = 0 para i = 1, . . . , n. Por´em, como aij ∈ m, temos det(I − T ) ≡ det I = 1 (mod m), ou seja, det(I − T ) ∈ A× e assim ωi = 0 para todo i, mostrando que M = 0.

29

,O ct

D

Como aplica¸ca˜o, vamos mostrar que para um m´odulo finitamente gerado sobre um anel local, o n´ umero de elementos em um conjunto minimal de geradores (com rela¸ca˜o `a inclus˜ao) ´e o mesmo, independentemente do conjunto escolhido: Corol´ ario 2.3.3 (Bases Minimais) Seja (A, m, k) um anel local e M um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao qualquer conjunto minimal de geradores de M possui dimk M/mM elementos.

ET

Prova Seja d = dimk M/mM e seja ω1 , . . . , ωn um conjunto minimal de geradores de M . Temos que as imagens ω 1 , . . . , ωn ∈ M/mM dos ωi geram o k-espa¸co vetorial M/mM e portanto n ≥ d. Na verdade, n = d, ou seja, os ωi formam uma base. Caso contr´ario, ter´ıamos m < n elementos ω 1 , . . . , ωm (digamos) def que gerariam M/mM . Mas neste caso o subm´odulo N = Aω1 + · · · + Aωm de M satisfaz M = N + mM e por Nakayama ter´ıamos que M = N , ou seja, ω1 , . . . , ωm gerariam M , contrariando a minimalidade do conjunto de geradores acima.

37

Mas aten¸ca˜o! Embora um conjunto minimal de geradores receba o nome de base minimal, este conjunto n˜ ao forma uma base em geral! Ou seja, estes elementos n˜ ao s˜ao necessariamente linearmente independentes. Exemplo 2.3.4 Seja B = C[x, y]/(y 2 − x2 (x + 1)) e considere o ideal maximal n = (x, y) de B. Vamos determinar o n´ umero m´ınimo de geradores do ideal maximal nBn do anel local Bn . Temos inicialmente que o corpo residual de Bn ´e Frac B/n = C. Agora seja A = C[x, y] e considere o ideal maximal m = (x, y) de A. Temos que Bn = Am /(y 2 − x2 (x + 1)) e como mAm ⊃ (y 2 − x2 (x + 1)) e (mAm )2 ⊃ (y 2 − x2 (x + 1)), pela correspondˆencia de ideais obtemos que o n´ umero m´ınimo de geradores de nBn ´e dimC

nBn mAm = dimC 2 (nBn ) (mAm )2

e este u ´ltimo espa¸co vetorial tem dimens˜ao 2. De fato, vamos verificar que os elementos x e y de mAm /(mAm )2 s˜ao linearmente independentes sobre C. Se a, b ∈ C s˜ao tais que ax + by = 0 ⇐⇒ ax + by ∈ mAm , ent˜ ao existem polinˆomios p(x, y), q(x, y), r(x, y) ∈ A e s(x, y) ∈ A \ m (isto ´e, s(0, 0) 6= 0) tais que p(x, y) · x2 + q(x, y) · xy + r(x, y) · y 2 ax + by = s(x, y) Substituindo y = 0, conclu´ımos que a = p(x, 0) · x/s(x, 0), isto ´e, a pertence ao ideal maximal (x) do anel local C[x](x) , o que s´o ´e poss´ıvel se a = 0. Analogamente, mostra-se que b = 0, o que completa a prova da afirma¸ca˜o. Agora seja p = (x + 1, y) ⊂ A e q = (x + 1, y) ⊂ B. Vamos determinar o n´ umero m´ınimo de geradores do ideal maximal do anel local Bq . Como acima, temos que este n´ umero ´e dimC

pAp qBq = dimC 2 (qBq )2 (y − x2 (x + 1)) + (pAp )2

ET

,O ct

(0, 0)

D

(−1, 0)

29

(1

0 01

,2

RA

7:

)

28

FT

(note que agora (pAp )2 6⊃ (y 2 − x2 (x + 1)), por isso o ideal correspondente em Ap muda). Como x ´e unidade em Ap , temos que (y 2 − x2 (x + 1)) + (pAp )2 = (y 2 − x2 (x + 1), y 2 , (x + 1)y, (x + 1)2 ) = (y), logo ou ´ltimo quociente acima ´e gerado apenas por x + 1, ou seja, ´e de dimens˜ao 1 e, assim, qBq = (x + 1) ´e um ideal principal. Geometricamente, temos que B ´e o anel de fun¸co˜es polinomiais da curva complexa plana y 2 = x2 (x + 1) e que n corresponde ` a origem (0, 0) ∈ C2 , enquanto que q corresponde ao ponto (−1, 0) ∈ C2 . Sendo uma curva (dimens˜ ao 1), intuitivamente espera-se que, localmente, um ponto seja determinado pelos zeros de um u ´nico elemento de B, como ocorre com o ponto regular (−1, 0), que ´e definido por x + 1 = 0 (note ao pode que x + 1 ´e justamente o gerador de nBn ). Entretanto, o ponto (0, 0) ´e singular, e portanto n˜ ser definido pelos zeros de um u ´nico elemento, precisamos de pelo menos dois elementos. Por exemplo, a equa¸ca˜o y = 0 define dois pontos (−1, 0) e (0, 0) sobre a curva, enquanto que x = 0 define um “ponto duplo” (0, 0) pois o “anel de fun¸co˜es” correspondente Bn /(x) ∼ ao ´e exatamente C, mas uma = C[y]/(y 2 ) n˜ ´algebra de dimens˜ao 2 sobre C.

A curva y 2 = x2 (x + 1)

38

Manobras B´asicas

Observa¸ c˜ ao 2.3.5 Se A ´e um anel qualquer e m ´e um ideal maximal de A, o corpo residual do anel local Am ´e k = A/m e temos um isomorfismo de k-espa¸cos vetoriais

mapa bilinear produto tensorial

m mAm = m2 (mAm )2 o que permite simplificar o c´ alculo do exemplo anterior. Para provar o isomorfismo acima, seja S = A\m. Basta observar que as imagens dos elementos de S j´a s˜ao invers´ıveis em k = A/m e assim, utilizando a comutatividade entre localiza¸ca˜o e quociente, temos   mAm m −1 m = 2 = S (mAm )2 m2 m

3 Produto Tensorial 3.1 Defini¸ c˜ ao e Propriedades B´ asicas Seja A um anel e sejam M , N e T A-m´ odulos. Um mapa bilinear f : M × N → T ´e uma fun¸ca˜o que ´e A-linear em cada entrada separadamente: para todo m, m′ ∈ M , n, n′ ∈ N e a ∈ A, 1. f (am, n) = af (m, n) = f (m, an)

2. f (m + m′ , n) = f (m, n) + f (m′ , n) 3. f (m, n + n′ ) = f (m, n) + f (m, n′ ) O conjunto de todos os mapas bilineares de M × N a T ser´a denotado por BilA (M × N, T ). O produto tensorial M ⊗A N de M e N (denotado tamb´em por M ⊗ N se A ´e claro pelo contexto) ´e definido como o quociente L (m,n)∈M×N A · e(m,n) def M ⊗A N = R L do A-m´ odulo livre (m,n)∈M×N A · e(m,n) com base e(m,n) pelo subm´odulo R gerado pelos elementos da forma 1. e(am,n) − a · e(m,n) ;

e(m,an) − a · e(m,n)

2. e(m+m′ ,n) − e(m,n) − e(m′ ,n)

3. e(m,n+n′ ) − e(m,n) − e(m,n′ )

28

1. (am) ⊗ n = a(m ⊗ n) = m ⊗ (an)

)

a ∈ A. Denotamos a imagem de e(m,n) em M ⊗A N por m ⊗ n (chamados Assim, os tensores elementares geram M ⊗A N e um elemento arbitr´ario como uma soma finita m1 ⊗ n1 + · · · + mk ⊗ nk de tensores elementares. origem ` as rela¸co˜es correspondentes

FT

2. (m + m′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m′ ⊗ n

RA

7:

3. m ⊗ (n + n′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n′

(1

onde m, m′ ∈ M , n, n′ ∈ N e de tensores elementares). de M ⊗A N pode ser escrito Em M ⊗A N , 1–3 acima d˜ ao

,2

(m, n) 7→ m ⊗ n

01

⊗: M × N → M ⊗A N

0

e assim o produto tensorial vem equipado de f´abrica com um mapa bilinear

⊗

? M ⊗N

- T

-

29

,O ct

f

∃! fˆ

M ×N

ET

D

A “raison d’ˆetre” da constru¸ca˜o acima ´e a seguinte propriedade universal, que caracteriza o produto tensorial a menos de isomorfismo: para qualquer “m´ odulo de teste T ”, dado um mapa bilinear f ∈ BilA (M × N, T ), existe um u ´nico morfismo de A-m´ odulos fˆ: M ⊗A N → T fazendo o seguinte diagrama comutar:

39

De fato, como f ´e bilinear, o kernel do mapa M

(m,n)∈M×N

X i

A · e(m,n) → T ai e(mi ,ni ) 7→

X

ai f (mi , ni )

i

P cont´ ´nico mapa fˆ: M ⊗A N → T dado por fˆ( i ai (mi ⊗ ni )) = P em o subm´odulo A, logo define um u ca˜o i ai f (mi , ni ) e que faz o diagrama anterior comutar. Em outras palavras, temos uma bije¸ HomA (M ⊗A N, T ) = BilA (M × N, T ) fˆ 7→ fˆ ◦ ⊗

Assim, em termos categ´ oricos, o produto tensorial representa o funtor BilA (M × N, −). Note que a propriedade universal acima diz que ´e muito f´acil construir um morfismo partindo de M ⊗A N : basta construir uma aplica¸ca˜o bilinear partindo de M × N . O produto tensorial ´e uma ferramenta geral que inclui diversas outras constru¸co˜es como quocientes e localiza¸co˜es. O seguinte teorema lista as propriedades b´ asicas que permitem escrever o produto tensorial em termos que nos s˜ao mais familiares: Teorema 3.1.1 (Isomorfismos B´ asicos) Seja A um anel. Temos isomofismos 1. (associatividade) (M ⊗A N ) ⊗A P = M ⊗A (N ⊗A P ) dado por (m ⊗ n) ⊗ p 7→ m ⊗ (n ⊗ p);

2. (elemento neutro) A ⊗A M = M dado por a ⊗ m 7→ am;

3. (comutatividade) M ⊗A N = N ⊗A M dado por m ⊗ n 7→ n ⊗ m; L
L 4. (distributividade) M ⊗A Ni = (M ⊗A Ni ) dado por m ⊗ (ni ) 7→ (m ⊗ ni );

5. (localiza¸c˜ ao) para qualquer conjunto multiplicativo S de A, (S −1 A) ⊗A M = S −1 M dado por (a/s) ⊗ m 7→ am/s; 6. (quociente) para qualquer ideal a de A, M ⊗A (A/a) = M/aM dado por m ⊗ a ¯ 7→ am.

(−→ lim Mi ) ⊗A N = −→ lim (Mi ⊗A N )

FT

7. (produto tensorial comuta com limite direto) se Mi ´e um sistema direto de A-m´ odulos e N ´e um A-m´ odulo qualquer ent˜ ao

(1

0

01

29

,O ct

D

,2

RA

7:

28

)

Prova As provas s˜ao simples, consistindo em verificar que os mapas acima est˜ ao bem definidos utilizando a propriedade universal e em construir morfismos inversos expl´ıcitos para estes mapas. A t´ıtulo de exemplo, provemos (6). Observe que o mapa M × (A/a) → M/aM dado por (m, a ¯) 7→ am independe da escolha do representante de classe de a ¯; al´em disso, ele ´e A-bilinear, logo pela propriedade universal temos que f : M ⊗A (A/a) → M/aM dado por m ⊗ a ¯ 7→ am est´ a bem definido. Para mostrar que este mapa ´e um isomorfismo, vamos construir o seu inverso. Considere o mapa M → M ⊗A (A/a) definido P ¯ por m → 7 m ⊗ 1. Se m ∈ aM , digamos m = a m com a ∈ a e m i i ∈ M , o mapa anterior leva m em i i i P P 1 = i mi ⊗ ai = 0. Portanto o mapa anterior induz um morfismo g: M/aM → M ⊗A (A/a) ( i a i mi ) ⊗ ¯ tal que g(m) = m ⊗ ¯ 1. Agora basta checar que f ◦ g e g ◦ f s˜ao os mapas identidade, o que ´e f´acil: temos que f ◦ g(m) = f (m ⊗ ¯ 1) = m e g ◦ f (m ⊗ a) = g(am) = am ⊗ ¯1 = m ⊗ a. Exemplo 3.1.2 Seja k um corpo e V e W dois espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre k. Sejam ω1 , . . . , ωm e τ1 , . . . , τn bases de V e W respectivamente. Usando a distributividade, temos que  M

1≤i≤m

 M   M k · ωi ⊗ τj k · τj = k · ωi ⊗ k

ET

V ⊗k W =

1≤j≤n

1≤i≤m 1≤j≤n

Logo V ⊗k W ´e um espa¸co vetorial com base ωi ⊗ τj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, e portanto dimk (V ⊗k W ) = (dimk V ) · (dimk W ).

40

Manobras B´asicas

Exemplo 3.1.3 Sejam m, n ∈ Z e d = gcd(m, n). Temos Z/(m) ⊗Z Z/(n) =

Z/(m) = Z/(d) (n) · (Z/(m))

Note que se f : M → M ′ e g: N → N ′ s˜ao dois morfismos de A-m´ odulos, ent˜ ao o mapa M × N → M ⊗A N ′ dado por (m, n) 7→ f (m) ⊗ g(n) ´e A-bilinear. Assim, pela propriedade universal temos um mapa de A-m´ odulos f ⊗ g: M ⊗A N → M ′ ⊗A N ′ . Em particular, para um m´odulo fixo N , temos um funtor − ⊗A N da categoria de A-m´ odulos para ela mesma, que leva a flecha f : M → M ′ na flecha ′ f ⊗ id: M ⊗A N → M ⊗A N . O teorema a seguir traduz uma das propriedades mais importantes do produto tensorial: ′

Teorema 3.1.4 O produto tensorial ´e um funtor exato ` a direita, i.e., se M

-N

f

- P →0

g

´e uma sequˆencia exata de A-m´ odulos, ent˜ ao o mesmo vale para M ⊗T

- N ⊗T

f ⊗id

- P ⊗T →0

g⊗id

para qualquer A-m´ odulo T . Prova Em primeiro lugar, observe que g ⊗ id ´e sobrejetor: dado um gerador p ⊗ t de P ⊗ T onde p ∈ P e t ∈ T , pela exatid˜ao da primeira sequˆencia podemos encontrar n ∈ N tal que g(n) = p e assim (g ⊗ id)(n ⊗ t) = p ⊗ t. Agora seja I ⊂ N ⊗ T a imagem de f ⊗ id. Como (g ⊗ id) ◦ (f ⊗ id) = (g ◦ f ) ⊗ id = 0, temos que I est´ a claramente contido no kernel de g ⊗ id, assim g induz um morfismo φ: (N ⊗ T )/I → P ⊗ T . Para mostrar que I = ker(g ⊗ id), basta portanto mostrar que φ ´e um isomorfismo, e para isto constru´ımos explicitamente o mapa inverso. Considere o mapa P × T → (N ⊗ T )/I dado por p ⊗ t 7→ n ⊗ t + I onde n ∈ N ´e qualquer elemento tal que g(n) = p (com p ∈ P e t ∈ T ). Observe que se g(n′ ) = p ent˜ ao n′ = n + f (m) para algum m ∈ M , logo n′ ⊗ t = n ⊗ t + (f ⊗ id)(m ⊗ t), ou seja, n′ ⊗ t + I = n ⊗ t + I, ´ f´acil ver que este mapa tamb´em logo o mapa anterior n˜ ao depende da escolha da pr´e-imagem n de p. E ´e bilinear, logo define um morfismo ψ: P ⊗ T → (N ⊗ T )/I. Uma verifica¸ca˜o imediata mostra que φ ◦ ψ e ψ ◦ φ s˜ao os mapas identidade, o que completa a demonstra¸ca˜o.

)

FT

Exemplo 3.1.5 Produtos tensoriais podem destruir a injetividade: considere a sequˆencia exata de Z-m´ odulos 2 0 - Z - Z - Z/(2) - 0

(1

- Z/(2)

id

- 0

0

- Z/(2)

0

01

que n˜ ao ´e exata ` a esquerda.

- Z/(2)

,2

0

RA

7:

28

2 - Z denota a multiplica¸ca˜o por 2. Como o funtor M 7→ M ⊗Z Z/(2) ´e isomorfo ao funtor onde Z M 7→ M/2M , tensorizando a sequˆencia acima com Z/(2) obtemos a sequˆencia

29

´ 3.2 Mudan¸ ca de Base e Produto Tensorial de Algebras

,O ct

ET

D

Uma das interpreta¸co˜es mais u ´teis do produto tensorial ´e como mudan¸ ca de base. Seja B uma A´lgebra; se M ´e um A-m´ a odulo, ent˜ a o B ⊗ M pode ser visto como um B-m´ odulo via multiplica¸ca˜o A P P na primeira coordenada: b · ( bi ⊗ mi ) = (bbi ) ⊗ mi para b, bi ∈ B e mi ∈ M . Como o mapa B × M → B ⊗A M dado por (b′ , m) 7→ bb′ ⊗ m ´e bilinear, temos que a opera¸ca˜o anterior est´ a bem definida. Em outras palavras, temos um funtor − ⊗A B da categoria de A-m´ odulos para a categoria de Bm´odulos. Este ´e o chamado funtor mudan¸ ca de base. Intuitivamente, a opera¸ca˜o − ⊗A B consiste em “trocar os coeficientes” de A para B. Por exemplo, se K ⊂ L ´e uma extens˜ao de corpos e V ´e um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao n e base ω1 , . . . , ωn , temos que V ⊗K L ´e um L-espa¸co vetorial de dimens˜ao n e base ω1 ⊗ 1, . . . , ωn ⊗ 1.

41

Note que neste contexto produtos tensorias comutam com a mudan¸ca de base: dados A-m´ odulos M e N , temos um isomofismo de B-m´ odulos (B ⊗A M ) ⊗B (B ⊗A N ) = B ⊗A (M ⊗A N ) definido por (b ⊗ m) ⊗ (b′ ⊗ n) 7→ (bb′ ) ⊗ (m ⊗ n). Al´em disso, se M ´e um A-m´ odulo e P ´e um B-m´ odulo, temos um isomorfismo de B-m´ odulos (transitividade da mudan¸ca de base) P ⊗B (B ⊗A M ) = P ⊗A M dado por p ⊗ (b ⊗ m) 7→ bp ⊗ m. Aqui P ⊗A M ´e visto como B-m´ odulo via multiplica¸ca˜o na primeira coordenada. Exemplo 3.2.1 (Invariˆ ancia de Posto) Como uma aplica¸ca˜o simples da mudan¸ca de base, vamos odulos ent˜ ao n = m. mostrar que o posto de um m´odulo livre est´ a bem definido. Se An ∼ = Am como A-m´ De fato, se m ´e qualquer ideal maximal de A e k = A/m, aplicando − ⊗A k e usando a distributividade, a que a dimens˜ao de um k-espa¸co vetorial est´ a bem determinada. Se obtemos k n ∼ = k m , logo m = n j´ vocˆe achou esta aplica¸ca˜o babaca, ent˜ ao talvez vocˆe se surpreenda com o fato de que existem an´eis n˜ ao-comutativos A para os quais R ∼ = R2 ! Um exemplo ´e dado pelo anel R = HomC (CN , CN ) dos endomorfismos do C-espa¸co vetorial de dimens˜ao cont´ avel CN . Podemos tensorizar ´ algebras tamb´em: dadas duas A-´algebras B e C, o produto tensorial B ⊗A C admite estrutura de anel via  X X X bi b′j ⊗ ci c′j , bi , b′j ∈ B, ci , c′j ∈ C b′j ⊗ c′j = b i ⊗ ci i,j

j

i

Como temos um mapa multilinear B × C × B × C → B ⊗A C dado por (b, c, b′ , c′ ) 7→ bb′ ⊗ cc′ , utilizando a propriedade universal ´e f´ acil verificar que a opera¸ca˜o acima est´ a bem definida. Desta forma, B ⊗A C admite a estrutura de uma A-´algebra: multiplica¸ca˜o por a ∈ A ´e dada por a(b ⊗ c) = (ab) ⊗ c = b ⊗ (ac). Exemplo 3.2.2 (Mudan¸ ca de Base de An´ eis de Polinˆ omios) Seja B uma A-´algebra, ent˜ ao A[x] ⊗A B = B[x] como B-´algebras, pois A[x] ´e um A-m´ odulo livre com base xn , n ≥ 0. Assim, pela distributividade temos um isomorfismo de A-m´ odulos A[x] ⊗A B = B[x] e ´e f´acil verificar que este isomorfismo preserva as estruturas de B-m´ odulos correspondentes. Em particular, obtemos que A[x] ⊗A A[y] = A[x, y]. Exemplo 3.2.3 Seja B um A-m´ odulo e f (x) ∈ A[x]. Tensorizando por B a sequˆencia exata - A[x]

-

f (x)

A[x]
f (x)

- 0

FT

A[x]

- 0

28

A[x]
⊗A B f (x)

RA

,2

Q[x] C[x] C[x] C[x] √ × √ = C×C ⊗Q C = 2 = 2 (x − 2) (x − 2) (x − 2) (x + 2)

29

√ Q( 2) ⊗Q C =

7:


e, assim, o isomorfismo de B-´algebras A[x]/(f (x)) ⊗A B = B[x]/(f (x)). √ Exemplo 3.2.4 O que ´e Q( 2) ⊗Q C como C-´algebra? Temos

(1

-

0

- B[x]

f (x)

01

B[x]

)

(o mapa da esquerda ´e a multiplica¸ca˜o por f (x)), obtemos a sequˆencia exata

D

pelo exemplo anterior e pelo teorema Chinˆes dos Restos.

6

φ ⊗ id k(p) = A ⊗A k(p) 

B 6

ET

B ⊗A k(p) 

,O ct

Exemplo 3.2.5 (Fibras como mudan¸ ca de base) Seja φ: A → B um morfismo de an´eis e p ∈ Spec A. A fibra de p com rela¸ca˜o a Spec φ: Spec B → Spec A pode ser calculada via uma mudan¸ca de base: seja k(p) = Frac A/p o corpo residual do anel local Ap . Temos diagramas comutativos

φ

Spec φ ⊗ id

A

Spec B ⊗A k(p)

? Spec k(p)

⊂

- Spec B Spec φ

⊂

? - Spec A

42

Manobras B´asicas

onde A → k(p) ´e o mapa natural e B → B ⊗A k(p) ´e o mapa obtido tensorizando por B este mapa natural. Sendo S = A \ p, temos que

A-plano

B ⊗A k(p) = (B ⊗A S −1 A) ⊗S −1 A k(p) = S −1 B ⊗S −1 A (S −1 A/S −1 p) = S −1 B/S −1 pB = S −1 (B/pB) e portanto B → B ⊗A k(p) ´e isomorfo a B → S −1 (B/pB), de modo que o diagrama `a direita representa a restri¸ca˜o de Spec φ ` a fibra de p. Al´em do c´ alculo de fibras, outros teoremas tamb´em podem ser enunciados na linguagem do produto tensorial, que possui a vantagem de ser concisa e funtorial. Por exemplo, temos Teorema 3.2.6 (Nakayama, segunda vers˜ ao) Seja (A, m, k) um anel local e M um A-m´ odulo finitamente gerado. Temos M ⊗A k = 0 ⇐⇒ M = 0 Geometricamente, para um anel A qualquer, podemos pensar em um A-m´ odulo M como uma “fam´ılia” de espa¸cos vetoriais M ⊗A k(p), um sobre cada “ponto” p ∈ Spec A (aqui k(p) = Frac A/p denota o corpo residual de Ap ). Nakayama pode ent˜ ao ser entendido como um resultado de “continuidade”: se M ´e finitamente gerado e “se anula” sobre um “ponto” p, ent˜ ao M se anula em uma vizinha¸ca de p. De fato, como M ⊗A k(p) = Mp ⊗Ap k(p) = 0 ⇒ Mp = 0 e M ´e finintamente gerado, digamos M = Aω1 + · · · + Aωn , como ωi /1 = 0/1 em Mp , existem si ∈ A \ p tais que si ωi = 0 em M e portanto h = s1 . . . sn anula M . Desta forma, Mq = 0 ⇒ M ⊗A k(q) = 0 para todo q na vizinha¸ca aberta D(h) de p. Temos ainda a seguinte reformula¸ca˜o: Teorema 3.2.7 (Bases Minimais, segunda vers˜ ao) Seja (A, m, k) um anel local e M um A-m´ odulo finitamente gerado. O n´ umero m´ınimo de geradores de M ´e dado por dimk M ⊗A k ´ 3.3 M´ odulos e Algebras Planas

- C[x]

ax

- C[x]/(ax)

- 0

)

(1

0

- C[x]

,2

0

01

obtendo uma nova sequˆencia (exata ` a direita) isomorfa a

RA

7:

28

FT

A falta de exatid˜ao ` a esquerda no produto tensorial faz com que mudan¸cas de base arbitr´arias facilmente “destruam” as rela¸co˜es lineares entre m´odulos. Por exemplo, considere o mapa f : Spec C[t, x]/(tx) → Spec C[t] associado ao morfismo de C-´algebras C[t] → C[t, x]/(tx) dado por t 7→ t. Pense nas fibras de f como uma “fam´ılia” de subconjuntos alg´ebricos de C parametrizadas pelo “tempo” t. Quando t 6= 0, de tx = 0 temos que o conjunto alg´ebrico correspondente ´e apenas a “origem” x = 0; por´em quando t = 0, temos que o conjunto alg´ebrico correspondente ´e todo o C. Esta “descontinuidade” pode ser entendida algebricamente da seguinte forma: ao calcular a fibra de (t − a), aplicamos − ⊗C[t] C[t]/(t − a) `a sequˆencia exata C[t, x] tx - 0 0 - C[t, x] - C[t, x] (tx)

29

,O ct

ET

D

Note que quando a 6= 0, esta sequˆencia ´e exata tamb´em `a esquerda, por´em isto ´e falso para a = 0; neste u ´ltimo caso a rela¸ca˜o “tx = 0” no u ´ltimo termo “se perde”. A fim de evitar o problema acima, definiremos ´algebras planas A → B como as ´algebras para as quais a mudan¸ca de base sempre preserva todas as estruturas “lineares” dos m´odulos originais, ou seja, para as quais − ⊗A B ´e exato. Geometricamente, isto se traduz em um “comportamento cont´ınuo” para as fibras de Spec B → Spec A. Defini¸ c˜ ao 3.3.1 Seja A um anel e M um A-m´ odulo. Dizemos que M ´e A-plano se o funtor M ⊗A − ´e exato. Se B ´e uma A-´algebra, dizemos que B ´e A-plana se ela ´e plana vista como A-m´ odulo. Observa¸ c˜ ao 3.3.2 Como qualquer sequˆencia exata pode ser quebrada em sequˆencias exatas curtas e o produto tensorial ´e sempre exato ` a direita, temos que um A-m´ odulo M ser´a plano se, e somente se, o funtor M ⊗A − preserva injetividade.

43

Exemplo 3.3.3 (M´ odulos livres) Qualquer A-m´ odulo livre ´e A-plano. Se B ´e uma A-´algebra que ´e livre como A-m´ odulo ent˜ ao B ´e A-plano sobre A. Por exemplo, B = A[x] ´e A-plano para qualquer anel A, e se k ´e um corpo, qualquer k-´algebra ´e plana sobre k. Exemplo 3.3.4 (Localiza¸ c˜ ao) Para qualquer conjunto multiplicativo S de A, temos que S −1 A ⊗A − ´e isomorfo ao funtor localiza¸ca˜o, que ´e exato. Assim, S −1 A ´e uma ´algebra A-plana. Exemplo 3.3.5 Se a ´e um ideal de A, ent˜ ao B = A/a ´e A-plano se, e s´o se, a = 0; afinal de contas, nada melhor do que quocientes para destruir a injetividade! Formalmente, basta tomar um elemento n˜ ao nulo a ∈ a e considerar a inclus˜ao (a) ֒→ A; tensorizando por A/a obtemos o mapa zero (a)/(a) · a = (a) ⊗A A/a → A ⊗A A/a = A/a, o que mostra que A/a n˜ ao pode ser A-plano. Mais tarde, utilizando m´etodos homol´ ogicos, veremos diversos crit´erios que permitem decidir na pr´atica se uma ´ algebra ´e ou n˜ ao plana. Nesta se¸ca˜o, nos contentamos em listar e provar algumas de suas propriedades b´ asicas. Teorema 3.3.6 Seja A um anel e M um A-m´ odulo. Sejam φ: A → B e ψ: B → C duas ´ algebras. 1. (Estabilidade por Composi¸c˜ ao) Se φ: A → B e ψ: B → C s˜ ao planas, o mesmo vale para ψ ◦ φ: A → C. 2. (Estabilidade por Mudan¸ca de base arbitr´ aria) Se M ´e plano sobre A, ent˜ ao M ⊗A B ´e plano sobre B. Em particular, se S ´e um conjunto multiplicativo de A, S −1 M ´e plano sobre S −1 A quando M for plano sobre A. 3. (Natureza local) M ´e plano sobre A se, e somente se, Mm ´e plano sobre Am para todos os ideais maximais m de A. 4. (Natureza microlocal) Seja N um B-m´ odulo. Ent˜ ao N ´e plano sobre A se, e somente se, Nn ´e plano sobre Aφ−1 (n) para todos os ideais maximais n de B. Prova (1) segue imediatamente do isomorfismo M ⊗A C = M ⊗A B ⊗B C

)

28

FT

que mostra que o funtor − ⊗A C ´e a composi¸ca˜o dos funtores exatos − ⊗A B e − ⊗B C, sendo portanto tamb´em exato. Da mesma forma, (2) segue do isomorfismo de funtores − ⊗B (M ⊗A B) = − ⊗A M . Mostremos agora (3). De (2), j´ a sabemos que se M ´e A-plano, ent˜ ao Mm ´e Am -plano. Reciprocamente, seja N ֒→ N ′ uma inje¸ca˜o de A-m´ odulos; se Mm ´e Am -plano para todo ideal maximal m, como ′ ′ ⊗Am Mm tamb´em ´e injetor. Por´em ´e injetor (exatid˜ ao da localiza¸ca˜o), Nm ⊗Am Mm ֒→ Nm Nm ֒→ Nm

7:

Nm ⊗Am Mm = (N ⊗A Am ) ⊗Am (M ⊗A Am ) = (N ⊗A M ) ⊗A Am = (N ⊗A M )m

(1

0

01

29

,2

RA

Portanto (N ⊗A M )m ֒→ (N ′ ⊗A M )m ´e injetor para todo m; pelo princ´ıpio local-global (teorema 1.8), temos que N ⊗A M ֒→ N ′ ⊗A M ´e injetor, logo M ´e A-plano. A prova de (4) ´e similar e ´e deixada para o leitor. Seja q be a maximal ideal of B. Se N ´e a Bq -m´ odulo,

,O ct

D

N ⊗Aφ−1 q Bq = N ⊗A Bq = (N ⊗A B) ⊗B Bq

ET

Como localisation preserves exactness, the computation above shows that se B ´e flat sobre A ent˜ a o Bq ´e flat sobre Aφ−1 q . Reciprocamente, suponha que Bq ´e flat sobre Aφ−1 q para todo maximal ideals q of B. Seja N ′ ֒→ N be an injection of A-m´ odulos, e denote por K the kernel of N ′ ⊗A B → N ⊗A B. Localising at q, temos por the computation above 0 → Kq → N ′ ⊗Aφ−1 q Bq → N ⊗Aφ−1 q Bq e portanto Kq = 0 para todo maximal ideals q. Por the local-global principle, K = 0.

44

Manobras B´asicas

Exemplo 3.3.7 (Blow-up n˜ ao ´ e plano) Sejam A = C[x, y] e B = C[x, y, z]/(y − xz), visto como A-´algebra da maneira usual. Ent˜ ao B n˜ ao ´e plano sobre A: as fibras de Spec B → Spec A n˜ ao variam “continuamente” j´ a que h´ a um salto de dimens˜ao na origem. De fato, aplicando − ⊗A B `a inclus˜ao (x, y) ֒→ A, obtemos um mapa ψ: a ⊗A B → B

fielmente plano

que n˜ ao ´e injetor: temos que ψ(x ⊗ z − y ⊗ 1) = 0, por´em x ⊗ z − y ⊗ 1 6= 0 em a ⊗A B. De fato, considere o morfismo de A-m´ odulos φ: a →

A⊕A {a(y, −x) | a ∈ A}

α = p(x, y)x + q(x, y)y 7→ (p(x, y), q(x, y)) mod b ´ f´acil verificar que este mapa est´ E a bem definido, isto ´e, independe da representa¸ca˜o de α como combina¸ca˜o A-linear de x e y. Assim, temos um mapa φ⊗ id: a ⊗A B → (B × B)/b. Now φ⊗ 1(x⊗ z − y ⊗ 1) = (z, −1) + b ´e not 0, e portanto x ⊗ z − y ⊗ 1 6= 0, as required. Agora vamos definir ´ algebras e m´odulos com rela¸ca˜o aos quais a mudan¸ca de base ´e “revers´ıvel”. Defini¸ c˜ ao 3.3.8 Um A-m´ odulo M ´e fielmente plano sobre A se M ´e A-plano e se vale a “propriedade de cancelamento” M ⊗A N ⇒ N = 0 para todo A-m´ odulo N Uma A-´algebra B ´e fielmente plana se ela ´e plana como A-m´ odulo. Exemplo 3.3.9 Qualquer ´ algebra livre ´e fielmente plana. Em particular, qualquer ´algebra sobre um corpo ´e fielmente plana. Observa¸ c˜ ao 3.3.10 Uma ´ algebra φ: A → B fielmente plana ´e sempre injetora, de modo que podemos considerar A como subanel de B. De fato, seja a = ker φ. Da planaridade e da sequˆencia exata 0 → a → A → A/a → 0 obtemos outra sequˆencia exata 0 → a ⊗A B → A ⊗A B → (A/a) ⊗A B → 0 Por´em o mapa A ⊗A B → (A/a) ⊗A B corresponde ao mapa B → B/φ(a)B = B, que ´e um isomorfismo. Portanto a ⊗A B = 0 e a = 0, como quer´ıamos. 1. M ´e fielmente plano sobre A.

´e exata se, e s´ o se, (∗) ´e exata.

(∗)

(1

7:

- N ′′ ⊗A M

g⊗id

0

- N ⊗A M

f ⊗id

01

N ′ ⊗A M

- N ′′

g

(∗∗)

,2

a sequˆencia

- N

f

RA

N′

28

2. Para qualquer sequˆencia de A-m´ odulos

)

FT

Teorema 3.3.11 (Fidelidade) Seja M um A-m´ odulo. As seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes:

29

3. M ´e plano e mM 6= M para todo ideal maximal m de A.

de modo que (∗) ´e um complexo. Al´em disso, 0= e portanto (∗) ´e exata.

,O ct

ET

D

Prova (1 ⇒ 2) Se (∗) ´e exata, ent˜ ao (∗∗) ´e exata pois M ´e A-plano. Reciprocamente, se (∗∗) ´e exata, como M ´e A-plano, temos que o funtor − ⊗A M comuta com kernels, imagens e quocientes e, assim,
0 = im (f ◦ g) ⊗ id = im(f ◦ g) ⊗A M ⇒ f ◦ g = 0  ker g  ker g (ker g) ⊗A M ker(g ⊗ id) ⊗A M ⇒ = = =0 im(f ⊗ id) (im f ) ⊗A M im f im f

45

(2 ⇒ 1) Claramente 2 implica que M ´e A-plano. Como por hip´otese 0 → N → 0 ´e exato se, e s´o se, 0 → M ⊗A N → 0 ´e exato, temos que M ⊗A N = 0 ⇒ N = 0. (1 ⇒ 3) Como A/m 6= 0, temos M ⊗A A/m = M/mM 6= 0.

(3 ⇒ 1) Seja N um A-m´ odulo qualquer e suponha que N 6= 0; temos que mostrar que M ⊗A N 6= 0. Seja n ∈ N um elemento n˜ ao nulo; como M ´e A-plano, temos que M ⊗A An ֒→ M ⊗A N ´e injetor, assim basta mostrar que M ⊗A An 6= 0 ⇐⇒ M ⊗A A/ ann(n) = M/ ann(n)M 6= 0 Mas isto ´e f´ acil: seja m um ideal maximal de A tal que m ⊃ ann(n), ent˜ ao M ) mM por hip´otese, logo M ) ann(n)M . Do crit´erio 3, obtemos Corol´ ario 3.3.12 Seja A um anel local e B uma A-´ algebra local. Ent˜ ao B ´e A-plano se, e s´ o se, ´e fielmente A-plano. A ideia de trabalharmos com ´ algebras fielmente planas ´e que, para verificar que um certo m´odulo ou ´algebra possui uma certa propriedade, ´e em geral mais f´acil fazˆe-lo ap´os uma mudan¸ca de base. Por exemplo, qualquer extens˜ao de corpos ´e fielmente plana, ent˜ ao pode-se trabalhar sobre o fecho alg´ebrico k alg de k ap´os uma mudan¸ca de base −⊗k k alg e depois tentar “descer” ao corpo original. Como ilustra¸ca˜o desta filosofia, vejamos o Exemplo 3.3.13 Seja B uma A-´algebra fielmente plana. Vamos mostrar que um A-m´ odulo M ´e plano sobre A se, e s´o se, o B-m´ odulo M ⊗A B ´e plano sobre B. Como planaridade ´e est´ avel por mudan¸ca de base arbitr´aria, basta mostrar que se M ⊗A B ´e plano sobre B ent˜ ao M ´e plano sobre A. Dada uma sequˆencia exata de A-m´ odulos N ′ → N → N ′′ (∗) tensorizando por M sobre A, obtemos uma nova sequˆencia N ′ ⊗A M → N ⊗A M → N ′′ ⊗A M que ser´a exata se, e s´o se,

FT

´e exata. Mas esta sequˆencia ´e isomorfa a

28

(N ′ ⊗A B) ⊗B (M ⊗A B) → (N ⊗A B) ⊗A (M ⊗A B) → (N ′′ ⊗A B) ⊗B (M ⊗A B)

)

(N ′ ⊗A M ) ⊗A B → (N ⊗A M ) ⊗A B → (N ⊗A M ) ⊗A B

(1

RA

7:

que ´e obtida a partir da sequˆencia original (∗) aplicando-se primeiro o funtor exato −⊗A B e, em seguida, o funtor exato − ⊗B (M ⊗A B).

01

0

A “reversibilidade” da mudan¸ca de base fielmente plana possui uma express˜ao geom´etrica:

,2

Teorema 3.3.14 Seja A → B um morfismo plano de an´eis. Ent˜ ao A → B ´e fielmente plano se, e s´ o se, Spec B → Spec A ´e sobrejetor.

29

,O ct

ET

D

Prova Temos que Spec B → Spec A ´e sobrejetor se, e s´o se, para todo p ∈ Spec A, a fibra Spec B ⊗A k(p) de p ´e n˜ ao vazia, ou seja, se, e s´o se, B ⊗A k(p) 6= 0. Assim, se Spec B → Spec A ´e sobrejetora ent˜ ao, para todos os ideais maximais m de A, B ⊗A k(m) = B/mB 6= 0, logo A → B ´e fielmente plano pelo crit´erio 3 do teorema anterior. Reciprocamente, se A → B ´e fielmente plano, como k(p) 6= 0 para todo p ∈ Spec A, temos B ⊗A k(p) 6= 0 e portanto Spec B → Spec A ´e sobrejetor.

4 Condi¸ co ˜es de Finitude Nesta se¸ca˜o, veremos algumas condi¸co˜es de finitude sobre an´eis e m´odulos que frequentemente s˜ao verificadas na pr´atica e alguns resultados importantes que fazem uso destas condi¸co˜es de finitude.

46

Manobras B´asicas

4.1 An´ eis e M´ odulos Noetherianos

noetheriano

Defini¸ c˜ ao 4.1.1 Um anel A ´e noetheriano se satisfaz qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes: 1. todo ideal a de A ´e finitamente gerado; 2. toda cadeia ascendente de ideais estabiliza, isto ´e, dada uma cadeia de ideais a0 ⊂ a1 ⊂ a2 ⊂ a3 ⊂ · · · ent˜ ao ai = ai+1 para i suficientemente grande; 3. todo conjunto n˜ ao vazio I de ideais possui um ideal que ´e maximal em I com rela¸ca˜o `a inclus˜ao. Vamos verificar a equivalˆencia das condi¸co˜es acima. S • (1) ⇒ (2) Tome a = i≥0 ai , que ´e um ideal de A: dados a, b ∈ a e r ∈ A, escolha i grande o suficiente para que a, b ∈ ai , de modo que a + b ∈ ai ⊂ a e ra ∈ ai ⊂ a. Sejam a1 , . . . , an ∈ A geradores de a. Ent˜ ao existe um i0 grande suficiente tal que a1 , . . . , an ∈ ai0 , logo a = ai0 e portanto ai = ai+1 para todo i ≥ i0 . • (2) ⇒ (1) Seja a um ideal e tome a1 ∈ a. Se (a1 ) 6= a, tome a2 ∈ a \ (a1 ). Se (a1 , a2 ) 6= a, tome a3 ∈ a \ (a1 , a2 ). E assim por diante. Como a cadeia (a1 ) ⊂ (a1 , a2 ) ⊂ (a1 , a2 , a3 ) ⊂ · · · estabiliza, temos que a = (a1 , . . . , an ) para algum n. • (2) ⇒ (3) Suponha que I n˜ ao possua elemento maximal e seja a0 ∈ I. Ent˜ ao existe a1 ∈ I tal que a0 ( a1 . Repetindo este procedimento, obtemos uma cadeia ascendente estrita a0 ( a1 ( a2 ( · · ·, o que ´e um absurdo. • (3) ⇒ (2) Dada uma cadeia ascendente a0 ⊂ a1 ⊂ a2 ⊂ · · ·, tome I = {ai | i ≥ 0}. Se ai0 ´e um elemento maximal de I ent˜ ao devemos ter ai = ai+1 para todo i ≥ i0 . Quase todos os an´eis que aparecem na natureza s˜ao noetherianos: por exemplo, corpos e PIDs (tais como Z) s˜ao noetherianos e veremos a seguir que qualquer ´algebra finitamente gerada sobre um anel noetheriano tamb´em ´e noetheriano. O exemplo cl´assico (isto ´e, visto em classe) de anel n˜ ao noetheriano ´e o anel de polinˆomios k[x1 , x2 , . . .] em um n´ umero infinito de vari´aveis sobre um corpo k (isto ´e, cada elemento deste anel ´e um polinˆomio usual cujas vari´aveis est˜ ao em um subconjunto finito de {x1 , x2 , . . .}). De fato, neste anel temos a cadeia ascendente estrita de ideias

FT

(x1 ) ( (x1 , x2 ) ( (x1 , x2 , x3 ) ( · · ·

(1

RA

7:

28

)

Os axiomas acima podem ser interpretados como substitutos para o “princ´ıpio de indu¸ca˜o finita” ou para o “princ´ıpio da boa ordem” dos n´ umeros naturais. A “invers˜ao” da ordem se deve ao fato que, para ideais, “conter significa dividir”: por exemplo, em Z, o fato de n˜ ao existir uma cadeia ascendente estrita de ideais (d1 ) ( (d2 ) ( (d3 ) ( · · · corresponde ao fato de n˜ ao existir uma “cadeia descrescente de divisibilidade” · · · | d3 | d2 | d1 . Vejamos como utilizar este “novo PIF noetheriano” no seguinte

29

,O ct

D

,2

01

0

Exemplo 4.1.2 (Indu¸ c˜ ao Noetheriana) Seja A um anel noetheriano. Vamos demonstrar que todo ideal a cont´em um produto finito de ideais primos. Suponha que isto seja falso e seja I o conjunto de ideais que n˜ ao contˆem produtos finitos de ideais primos. Seja b um elemento maximal em I. Por hip´otese, b n˜ ao ´e primo, logo existem a, b ∈ / b tais que ab ∈ b. Como (a) + b ) b e (b) + b ) b, pela maximalidade de b temos que ambos os ideais (a) + b
e (b) + b
cont´em produtos finitos de ideais primos. Mas neste caso, como ab ∈ b, temos que b ⊃ (a) + b · (b) + b e, assim, b tamb´em cont´em um produto finito de ideais primos, uma contradi¸ca˜o.

ET

O exemplo anterior mostra que um anel noetheriano A possui apenas um n´ umero finito de ideais primos minimais: como (0) ⊃ p1 · · · pn para certos pi ∈ Spec A, temos que para qualquer q ∈ Spec A, q ⊃ p1 · · · pn , logo q ⊃ pi para algum i. Assim, os primos minimais de A formam um subconjunto dos pi ’s acima. Talvez o mais importante dos resultados sobre an´eis noetherianos ´e o famoso Teorema 4.1.3 (Basissatz Hilberts) Se A ´e um anel noetheriano, ent˜ ao A[x] e A[[x]] tamb´em s˜ ao noetherianos.

47

Prova Seja a um ideal de A[x]. Para mostrar que a ´e finitamente gerado, considere para cada inteiro d ≥ 0 o conjunto cd dos coeficientes l´ıderes polinˆomios em a de grau d, juntamente com o 0. Temos que cada cd ´e um ideal de A e que cd ⊂ cd+1 . Como A ´e noetheriano, esta cadeia de ideais estabiliza, logo existe D tal que cd = cD para todo d ≥ D. Para cada d = 0, 1, . . . , D, escolha um n´ umero finito de polinˆomios de grau d em a tais que seus coeficientes l´ıderes geram cd . Seja {p1 (x), . . . , pn (x)} o conjunto de todos os polinˆomios escolhidos. Vamos mostrar que estes polinˆomios geram a. Seja f (x) ∈ a. Temos que o coeficiente l´ıder de f (x) ´e uma combina¸ca˜o linear de coeficientes l´ıderes dos pi (x), logo ´e poss´ıvel escolher monˆ omios mi (x) = ci xei tais que
deg f (x) − m1 (x)p1 (x) − · · · − mn (x)p(x) < deg f (x)

Por indu¸ca˜o no grau de f (x), podemos supor que f (x) − m1 (x)p1 (x) − · · · − mn (x)p(x) ∈ a pertence ao ideal (p1 (x), . . . , pn (x)), logo f (x) ∈ (p1 (x), . . . , pn (x)) tamb´em, como desejado. A demonstra¸ca˜o de que A[[x]] ´e noetheriano ´e an´aloga e ´e deixada como exerc´ıcio para o leitor. Vejamos agora como obter uma pl´etora de an´eis noetherianos! Lemma 4.1.4 Seja A um anel noetheriano. Ent˜ ao 1. A/a ´e noetheriano para todo ideal a. 2. Se S ´e um conjunto multiplicativo, ent˜ ao S −1 A ´e noetheriano. 3. Qualquer A-´ algebra finitamente gerada B ´e noetheriana. Prova (1) segue diretamente do teorema da correspondˆencia de ideais, enquanto que (2) segue do teorema 1.9. Por fim, (3) ´e consequˆencia do Basissatz Hilberts: se B ´e gerado sobre A por ω1 , . . . , ωn , temos uma sobreje¸ca˜o de A-´algebras A[x1 , . . . , xn ] ։ B xi 7→ ωi Se a ´e o kernel desta sobreje¸ca˜o, temos portanto que B ´e isomorfo a A[x1 , . . . , xn ]/a. Como A[x1 , . . . , xn ] ´e noetheriano pelo teorema anterior, por (1) temos que B tamb´em ´e noetheriano. Observa¸ c˜ ao 4.1.5 O produto tensorial de ´algebras noetherianas sobre um anel noetheriano nem sempre ´e noetheriano.

FT

Como para an´eis e ideais, podemos definir m´odulos noetherianos de maneira completamente an´aloga:

28

)

Defini¸ c˜ ao 4.1.6 Seja A um anel qualquer (i.e. n˜ ao necessariamente noetheriano). Um A-m´ odulo ´e noetheriano se satisfaz uma (e portanto todas) das seguintes condi¸co˜es equivalentes:

7:

1. todo subm´odulo N de M ´e finitamente gerado;

(1

,2

ent˜ ao Ni = Ni+1 para i suficientemente grande;

0

N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ · · ·

01

RA

2. toda cadeia ascendente de subm´odulos estabiliza, isto ´e, dada uma cadeia de subm´odulos de M

0

- M′

- M

f

29

,O ct

1. Seja

ET

Teorema 4.1.7 Seja A um anel.

D

3. todo conjunto n˜ ao vazio N de subm´odulos de M possui um elemento que ´e maximal em N com rela¸ca˜o ` a inclus˜ao.

- M ′′

g

- 0

uma sequˆencia exacta de A-m´ odulos. Ent˜ ao M ´e noetheriano se, e s´ o se, M ′ e M ′′ s˜ ao noetherianos. 2. Seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Se A ´e noetheriano, ent˜ ao M ´e noetheriano.

noetheriano

48

Manobras B´asicas

Prova (1) Sem perda de generalidade, podemos supor que M ′ ´e subm´odulo de M e que M ′′ = M/M ′ . Assim, se M ´e noetheriano, claramente M ′ ´e noetheriano e M ′′ ´e noetheriano pelo teorema de correspondˆencia de subm´odulos. Reciprocamente, suponha que M ′ e M ′′ s˜ao noetherianos. Dada uma cadeia ascendente de subm´odulos de M M1 ⊂ M2 ⊂ M3 ⊂ · · · temos que as cadeias de subm´odulos, respectivamente de M ′ e M ′′ , M1 ∩ M ′ ⊂ M2 ∩ M ′ ⊂ M3 ∩ M ′ ⊂ · · ·

e

M1 + M ′ M2 + M ′ M3 + M ′ ⊂ ⊂ ⊂ ··· M′ M′ M′

estabilizam para i ≫ 0. Assim, basta provar que Mi ∩ M ′ = Mi+1 ∩ M ′

e

Mi + M ′ Mi+1 + M ′ = ⇒ Mi = Mi+1 ′ M M′

Tome mi+1 ∈ Mi+1 . Como mi+1 ∈ Mi+1 + M ′ = Mi + M ′ , existe mi ∈ Mi e m′ ∈ M ′ tal que mi+1 = mi + m′ . Mas ent˜ ao m′ = mi+1 − mi ∈ Mi+1 ∩ M ′ = Mi ∩ M ′ . Portanto mi+1 = mi + m′ ∈ Mi e assim Mi+1 ⊂ Mi . Como j´ a temos a inclus˜ao oposta, o resultado segue. (2) Note que A ´e noetheriano como A-m´ odulo e, por (1), um m´odulo livre de posto finito An tamb´em ´e noetheriano. Se M ´e finitamente gerado sobre A, existe uma sobreje¸ca˜o An ։ M para algum n (basta levar os elementos da base de An para os geradores de M ). Logo, novamente por (1), M ´e noetheriano.

Encerramos esta se¸ca˜o com uma aplica¸ca˜o menos trivial. O m´etodo de demonstra¸ca˜o a seguir, “devissag´e” (desmantelamento), ´e extremamente u ´til e importante e subjaz os diversos m´etodos homol´ ogicos que ser˜ao estudados mais tarde. Teorema 4.1.8 Seja A um anel noetheriano e B um A-m´ odulo plano. Seja M um A-m´ odulo finitamente gerado e N um A-m´ odulo qualquer. Ent˜ ao o mapa canˆ onico HomA (M, N ) ⊗A B → HomB (M ⊗A B, N ⊗A B) φ ⊗ b 7→ φ ⊗ mb

(onde mb denota a multiplica¸c˜ ao por b) ´e um isomorfismo de B-m´ odulos.

28

φ ⊗ b 7→ φ ⊗ mb

)

HomA (T, N ) ⊗A B → HomB (T ⊗A B, N ⊗A B)

FT

Prova O funtor HomA (−, N ) ⊗A B ´e exato ` a esquerda, pois ´e a composi¸ca˜o do funtor exato `a esquerda HomA (−, N ) e o funtor exato − ⊗A B. Da mesma forma, HomB (− ⊗A B, N ⊗A B) tamb´em ´e exato `a esquerda. Note que o mapa natural

- 0

≈

0

,O ct

(1

0

- HomA (An , N ) ⊗A B - HomA (An , N ) ⊗A B

ET

- HomA (M, N ) ⊗A B

D

e obtemos o seguinte diagrama comutativo com linhas horizontais exatas: 0

01

- M

,2

- An

29

Am

RA

7:

´e um isomorfismo quando T = An ´e livre, j´ a que neste caso o mapa acima se transforma no isomorfismo N n ⊗A B = (N ⊗A B)n . Como M ´e finitamente gerado, existe uma sobreje¸ca˜o An ։ M , cujo kernel tamb´em ´e finitamente gerado pois An ´e noetheriano. Assim, podemos escrever uma sequˆencia exata

? ? - HomB (M ⊗A B, N ⊗A B) - HomA (B n , N ⊗A B)

≈

? - HomB (B n , ⊗A B)

As duas flechas verticais da direita s˜ao isomorfismos, logo a flecha vertical da esquerda tamb´em, por um “easy diagram chase” (ou aplica¸ca˜o do “lema dos 5”).

49

4.2 An´ eis e M´ odulos Artinianos “Invertendo” a defini¸ca˜o de anel noetheriano, obtemos a no¸ca˜o de anel artiniano (n˜ao, n˜ ao ´e anel onairehteon!) Defini¸ c˜ ao 4.2.1 Um anel A ´e artiniano se satisfaz qualquer uma das seguintes propriedades equivalentes: 1. toda cadeia descendente de ideais estabiliza, isto ´e, dada uma cadeia de ideais a0 ⊃ a1 ⊃ a2 ⊃ a3 ⊃ · · ·

ent˜ ao ai = ai+1 para i suficientemente grande; 2. todo conjunto n˜ ao vazio I de ideais possui um ideal que ´e minimal em I com rela¸ca˜o `a inclus˜ao.

Ao contr´ ario dos an´eis noetherianos, que existem em grande profus˜ao (olhe para o ch˜ ao, garanto que vocˆe acabou de achar um anel noetheriano!), an´eis artinianos s˜ao mais “raros”. Intuitivamente, an´eis artinianos s˜ao “an´eis muito pequenos”; por exemplo, veremos que seus espectros s˜ao sempre finitos. Exemplo 4.2.2 Seja k um corpo. Ent˜ ao um k-m´ odulo M (vulgo k-espa¸co vetorial) ´e artiniano se, e somente se, dimk M < ∞. De fato, se dimk M < ∞ ent˜ ao uma cadeia descendente de subspa¸cos vetoriais de M estabiliza pois as dimens˜oes destes subespa¸cos formam uma sequˆencia n˜ ao crescente de naturais, que ´e eventualmente constante. Por outro lado, se dimk M = ∞, tome uma sequˆencia ω1 , ω2 , . . . de L ao M0 ) M1 ) M2 ) · · · ´e elementos linearmente independentes de M e defina Mn = i≥n k · ωi . Ent˜ uma cadeia estritamente descendente de subm´odulos de M , e portanto M n˜ ao ´e artiniano. Exemplo 4.2.3 An´eis finitos, tais como Z/n, s˜ao claramente artinianos. O anel Z, por sua vez, n˜ ao ´e artiniano, pois temos a cadeia estritamente decrescente de ideais (2) ) (22 ) ) (23 ) ) · · · por exemplo. O anel C[t]/(tn ) ´e artiniano, pois possui apenas um n´ umero finito de ideais, correspondentes aos ideais (p(t)) de C[t] tais que p(t) | tn , ou seja, (ti ) com i = 0, 1, . . . , n.

A demonstra¸ca˜o do teorema seguinte ´e completamente an´aloga ao teorema para m´odulos noetherianos e ´e deixado como exerc´ıcio para o leitor ( = estou com pregui¸ca de escrever a prova). Teorema 4.2.4 Seja A um anel. 1. Seja 0 → M ′ → M → M ′′ → 0

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Ent˜ ao M ´e artiniano se, e s´ o se, M ′ e M ′′ s˜ ao artinianos. 2. Seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Se A ´e artiniano, ent˜ ao M ´e artiniano.

FT

4.3 Comprimento de m´ odulos Nesta se¸ca˜o, vamos estender a no¸ca˜o de dimens˜ao de espa¸cos vetoriais para m´odulos que s˜ao simultaneamente noetherianos e artinianos.

7:

28

)

Defini¸ c˜ ao 4.3.1 Seja A um anel. Um A-m´ odulo M 6= 0 ´e simples ou irredut´ıvel se os seus u ´ nicos subm´odulos s˜ao 0 e M . Equivalentemente, M ´e simples/irredut´ıvel se, e s´o se, M ∼ = A/m para algum ideal maximal m de A.

(1

0

01

,2

RA

Verifiquemos a equivalˆencia acima. Se m ´e um ideal maximal de A, ent˜ ao M = A/m ´e um A-m´ odulo irredut´ıvel, pois os subm´odulos de M correspondem aos subm´odulos de A (popularmente conhecidos como ideais) que contˆem m. Reciprocamente, se M ´e simples e m ∈ M ´e qualquer elemento n˜ ao nulo, ent˜ ao devemos ter M = Am e assim M ∼ = A/ ann(m). Novamente pelo teorema de correspondˆencia de ideais, devemos ter que ann(m) deve ser maximal.

29

D

Defini¸ c˜ ao 4.3.2 Dado um A-m´ odulo M , uma s´ erie de composi¸ c˜ ao de M de tamanho n ´e uma sequˆencia de subm´odulos

,O ct

M = Mn ⊃ Mn−1 ⊃ Mn−2 ⊃ · · · M1 ⊃ M0 = 0

ET

tais que os quocientes consecutivos Mi+1 /Mi s˜ao todos A-m´ odulos simples. O comprimento de M sobre A, denotado lenA M , ´e o m´ınimo entre todos os tamanhos das s´eries de composi¸ca˜o de M , ou ∞ se M n˜ ao admite s´erie de composi¸ca˜o finita. Por exemplo, um k-espa¸co vetorial ´e irredut´ıvel se, e s´o se, tem dimens˜ao 1. Assim, uma s´erie de composi¸ca˜o para um espa¸co vetorial V ´e uma sequˆencia V = Vn ⊃ Vn−1 ⊃ Vn−2 ⊃ · · · V1 ⊃ V0 = 0

onde dimk Vi = i. Assim, lenk V = n = dimk V .

artiniano simples irredut´ıvel s´ erie de comp comprimento

50

Manobras B´asicas

Lemma 4.3.3 M possui comprimento finito se, e s´ o se, M ´e artiniano e noetheriano. Prova Suponha que M seja artiniano e noetheriano. Podemos construir uma s´erie de composi¸ca˜o da seguinte maneira: dentre os subm´odulos n˜ ao nulos de M , tome um subm´odulo minimal M1 , que existe pois M ´e artiniano; temos que M1 ´e necessariamente simples. Dentre os subm´odulos de M que contˆem M1 propriamente, tome M2 minimal; deste modo M2 /M1 ser´a simples tamb´em. Procedendo desta forma, teremos uma cadeia ascendente pr´opria 0 ( M1 ( M2 ( · · · que eventualmente terminar´ a em M pois este ´e noetheriano. Ou seja, M admite uma s´erie de composi¸ca˜o finita. Para mostrar a rec´ıproca, faremos uma indu¸ca˜o sobre lenA M < ∞. Se lenA M = 0 ent˜ ao M = 0 e o resultado ´e claro. Se n = lenA M > 0, existe uma s´erie de composi¸ca˜o M = Mn ⊃ Mn−1 ⊃ Mn−2 ⊃ · · · ⊃ M1 ⊃ M0 = 0 Assim, M/M1 admite uma s´erie de composi¸ca˜o M/M1 = Md /M1 ⊃ Md−1 /M1 ⊃ · · · ⊃ M1 /M1 = 0 De fato, note que o quociente entre dois termos consecutivos ´e um m´odulo simples pois temos o isomofismo Mi /M1 Mi = Mi−1 /M1 Mi−1 Assim, temos que lenA M/M1 ≤ d − 1, logo M/M1 ´e noetheriano e artiniano por hip´otese de indu¸ca˜o. Como M1 ´e claramente noetheriano e artiniano pois ´e simples. Portanto M ´e noetheriano e artiniano. O seguinte teorema ´e um caso especial do teorema de Jordan-H¨ older. Teorema 4.3.4 Seja M um A-m´ odulo de comprimento finito. Ent˜ ao todas as s´eries de composi¸c˜ ao de M tˆem tamanho lenA M . Prova Novamente faremos uma indu¸ca˜o em d = lenA M . Se d = 0, ent˜ ao M = 0 e o resultado ´e claro. Agora seja d > 0 e suponha que o teorema valha para todos os m´odulos de comprimento estritamente menores do que d. Tome uma s´erie de composi¸ca˜o de tamanho d para M : M = Md ⊃ Md−1 ⊃ Md−2 ⊃ · · · ⊃ M1 ⊃ M0 = 0

)

28

′ ′ ⊃ Me−2 ⊃ · · · ⊃ M1′ ⊃ M0′ = 0 M = Me′ ⊃ Me−1

FT

Como na demonstra¸ca˜o do lema anterior, temos lenA M/M1 ≤ d − 1, logo todas as s´eries de composi¸ca˜o de M/M1 tˆem tamanho lenA M/M1 = d − 1 por hip´otese de indu¸ca˜o. Agora seja

(1

RA

7:

uma segunda s´erie de composi¸ca˜o de M de tamanho e ≥ d. Como M1 ´e simples, para cada i = 0, 1, . . . , e temos que Mi′ ∩ M1 = 0 ou Mi′ ∩ M1 = M1 . Seja r o menor ´ındice para o qual Mr′ ∩ M1 = M1 ⇐⇒ Mr′ ⊃ M1 (que existe pois Mn′ ∩ M1 = M1 ). Ent˜ ao afirmamos que

,2

01

0

M′ M ′ + M1 M ′ + M1 M M′ M′ M ′ + M1 = e ⊃ e−1 ⊃ · · · ⊃ r = r−1 ⊃ r−2 ⊃ ··· ⊃ 0 =0 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1

e

M′ Mi′ /M1 = ′i ′ Mi−1 /M1 Mi−1

29

,O ct

M′ Mi′ + M1 = Mi′ = ′ i M1 Mi ∩ M1

ET

D

´e uma s´erie de composi¸ca˜o de M/M1 , logo tem comprimento d − 1 = e − 1 ⇒ e = d, o que encerra a prova do teorema. ′ ′ Para verificar a afirma¸ca˜o, observe inicialmente que Mr′ = Mr−1 + M1 pois Mr′ /Mr−1 ´e simples, ′ ′ ′ logo n˜ ao h´ a subm´odulos de M estritamente entre Mr−1 e Mr , e M1 6⊂ Mr . Por outro lado, temos que os quocientes entre termos consecutivos da s´erie acima s˜ao simples pois para i = 0, 1, . . . , r − 1

para i = r + 1, r + 2, . . . , e

51

Teorema 4.3.5 (Aditividade em Sequˆ encias Exatas) Seja A um anel e 0

- M′

- M

- M ′′

- 0

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Ent˜ ao M possui comprimento finito sobre A se, e somente se, M ′ e M ′′ possuem comprimento finito sobre A. Neste caso, lenA M = lenA M ′ + lenA M ′′ Prova Sem perda de generalidade podemos supor que M ′ ⊂ M e que M ′′ = M/M ′ . Temos que M ´e artiniano (respectivamente noetheriano) se, e s´o se, M ′ e M ′′ s˜ao artinianos (respectivamente noetherianos), logo M possui comprimento finito se, e s´o se, M ′ e M ′′ possuem comprimento finito. Neste caso, para mostrar a aditividade dos comprimentos, dadas duas s´eries de composi¸ca˜o ′ ′ ⊃ Md−2 ⊃ · · · M1′ ⊃ M0′ = 0 M ′ = Md′ ⊃ Md−1

e ′′ ′′ M ′′ = Me′′ ⊃ Me−1 ⊃ Me−2 ⊃ · · · M1′′ ⊃ M0′′ = 0

˜ ′′ denota o de M ′ e M ′′ , basta combin´ a-las em uma s´erie de composi¸ca˜o de M de tamanho d + e: se M i ′′ ′′ subm´odulo de M contendo M1 correspondente ao subm´odulo Mi de M , ent˜ ao ′ ′′ ˜ e−1 ˜ 0′′ = M ′ = Md′ ⊃ Md−1 ˜ e′′ ⊃ M ⊃ · · · ⊃ M0′ = 0 ⊃ ··· ⊃ M M =M

´e uma s´erie de composi¸ca˜o de M , como desejado. Exemplo 4.3.6 Vamos calcular o comprimento ℓ(n) do C[x]-m´odulo C[x]/(xn ). Para n = 0 temos que ℓ(0) = 0 e para n ≥ 1 temos uma sequˆencia exata 0

n−1 ) - (x (xn )

- C[x] (xn )

-

C[x] (xn−1 )

- 0

Como a multiplica¸ca˜o por x induz um isomorfismo C[x] (x)

n−1 ) - (x x (xn )

∼

e lenC[x] C[x]/(x) = 1 pois C[x]/(x) ´e simples (o ideal (x) ´e maximal), temos pela aditividade do comprimento em sequˆencias exatas curtas que ℓ(n) = ℓ(n − 1) + 1. Assim, ℓ(n) = n para todo n natural.

-

C[x, y] (xn−1 , y m )

- 0

)

- C[x, y] (xn , y m )

28

n−1 m ,y ) - (x (xn , y m )

7:

0

FT

Exemplo 4.3.7 Vamos mostrar que o comprimento do C[x, y]-m´odulo C[x, y]/(xn , y m ) ´e mn. Isto ´e claro se m = 0 ou n = 0, ent˜ ao vamos supor que m, n > 0. Temos uma sequˆencia exata

(1

0

01

29

,O ct

D

,2

RA

Pela aditividade de comprimentos e por hip´otese de indu¸ca˜o em n, basta agora mostrar que o comprimento de M = (xn−1 , y m )/(xn , y m ) ´e m. Temos uma sobreje¸ca˜o C[x, y] ։ M dada por f (x, y) 7→ xn−1 f (x, y), que induz um isomorfismo C[y] ∼ C[x, y] ∼M = (y m ) (x, y m ) Note que como M ´e anulado por x, podemos vˆe-lo como um m´odulo sobre C[y] ∼ = C[x, y]/(x), assim temos que o comprimento de M ´e o comprimento do C[y]-m´odulo C[y]/(y m ), que ´e m pelo exemplo anterior.

ET

Observa¸ c˜ ao 4.3.8 Nos exemplos acima, temos que os comprimentos das C-´algebras de dimens˜ao finita C[x]/(xn ) e C[x, y]/(xn , y m ) coincidem com suas dimens˜oes sobre C (uma base sobre C para a segunda ´algebra ´e dada pelos monˆ omios da forma xi y j com 0 ≤ i ≤ n − 1 e 0 ≤ j ≤ m − 1). Por´em, se k ´e um corpo e A uma k-´algebra de dimens˜ao finita qualquer, em geral, lenA A 6= dimk A. Para ver isto, basta tomar por exemplo A como um corpo que ´e extens˜ao finita de k com dimk A > 1; como A ´e simples, temos lenA A = 1. (interpreta¸ca˜o geom´etrica como multiplicidade de intersec¸ca˜o) Utilizando o comprimento, podemos agora provar o importante

52

Manobras B´asicas

Teorema 4.3.9 (Estrutura de An´ eis Artinianos) Seja A um anel artiniano. 1. Spec A = {m1 , . . . , mn } ´e finito e todos os seus elementos s˜ ao ideais maximais (e portanto ideais primos minimais tamb´em). 2. dim A = 0. 3. A ´e noetheriano. 4. O mapa canˆ onico A

- Am1 × · · · × Amn

∼

´e um isomorfismo. Prova Em primeiro lugar, vamos mostrar que A possui um n´ umero finito de ideais maximais. Por contradi¸ca˜o, suponha que haja uma quantidade infinita de ideais maximais m1 , m2 , . . .. Temos uma cadeia descendente de ideais m1 ) m1 m2 ) m1 m2 m3 ) · · · Para chegar a uma contradi¸ca˜o, basta verficar que a cadeia acima ´e estrita: se m1 . . . mn = m1 . . . mn+1 , ent˜ ao mn+1 ⊃ mi para algum i, 1 ≤ i ≤ n, e como ambos os ideais s˜ao maximais, devemos ter mn+1 = mi , uma contradi¸ca˜o. Agora seja a = m1 . . . mn = m1 ∩ · · · ∩ mn a intersec¸ca˜o de todos os ideais maximais m1 , . . . , mn de A (o chamado radical de Jacobson de A). Vamos mostrar que am = 0 para algum m. Isto implicar´ a que todo ideal primo p de A ´e maximal, pois p ⊃ am e portanto p = mi para algum i. Desta forma, concluiremos tamb´em que Spec A ´e finito e que dim A = 0. Como as potˆencias de a formam uma cadeia descendente, existe um m tal que am = am+1 ; provemos que am = 0. Por contradi¸ca˜o, suponha que am 6= 0 e seja S o conjunto de todos os ideais b tais que bam 6= 0. Temos S 6= ∅ j´ a que (1) ∈ S, assim existe um ideal minimal b em S. Isto significa que xam 6= 0 para algum x ∈ b e pela minimalidade de b temos que b = (x) ´e principal. Por outro lado, (bam ) · am = ba2m = bam 6= 0

7:

(1

RA

⊃ am−1 ⊃ am−1 m1 ⊃ · · · ⊃ am = 0

0

⊃ a2 m1 ⊃ a2 m1 m2 ⊃ · · ·

28

⊃ am1 ⊃ am1 m2 ⊃ · · · ⊃ a2

)

FT

e portanto bam pertence a S tamb´em; novamente pela minimalidade de b, temos b = bam ⇐⇒ (x) = xam . Consequentemente, x = xa ⇐⇒ (1 − a)x = 0 para algum a ∈ am . Mas 1 − a ∈ A× j´a que a ∈ a e portanto 1 − a n˜ ao pertence a nenhum mi . Assim, (1 − a)x = 0 ⇐⇒ x = 0, o que contradiz bam = xam 6= 0. Portanto am = 0, como afirmado. Para mostrar que A ´e noetheriano, vamos mostrar que A tem comprimento finito sobre si mesmo. Considere a cadeia A ⊃ m1 ⊃ m1 m2 ⊃ m1 m2 m3 ⊃ · · · ⊃ a = m1 . . . mn

29

ET

A → Am1 × · · · × Amn

,O ct

D

,2

01

Sejam M e mi M dois termos consecutivos desta cadeia. Basta mostrar que M/mi M tem comprimento finito sobre A, ou seja, que M/mi M ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre A/mi . Mas isto ´e claro, pois o ideal M ´e um A-m´ odulo artiniano, logo M/mi M ´e artiniano sobre A e tamb´em sobre A/mi e um espa¸co vetorial sobre um corpo ´e artiniano se, e s´o se, ´e de dimens˜ao finita. Finalmente, para mostrar que o mapa natural (produto dos mapas de localiza¸ca˜o)

´e um isomorfismo, basta mostrar que todas as suas localiza¸co˜es com rela¸ca˜o aos ideais maximais de A s˜ao isomorfismos, o que ´e claro. ´ 4.4 Algebras e M´ odulos de Presenta¸ c˜ ao Finita Nesta se¸ca˜o, apresentamos certas condi¸co˜es “relativas” de finitude.

53

Defini¸ c˜ ao 4.4.1 Seja A um anel. Um A-m´ odulo M ´e de presenta¸ c˜ ao finita sobre A se existem m e n e uma sequˆencia exata de A-m´ odulos Am

- An

- M

- 0

Uma A-´algebra B ´e de presenta¸ca˜o finita se ela se escreve como um quociente A[x1 , . . . , xn ] B∼ = (f1 , . . . , fm )

fi ∈ A[x1 , . . . , xn ]

Se A ´e um anel noetheriano, ent˜ ao todo m´odulo finitamente gerado e toda ´algebra finitamente gerada s˜ao de presenta¸ca˜o finita. Por exemplo, se B ´e gerado como A-´algebra por ω1 , . . . , ωn , ent˜ ao temos uma sobreje¸ca˜o de A-´algebras A[x1 , . . . , xn ] ։ B xi 7→ωi Mas como A[x1 , . . . , xn ] ´e noetheriano pelo Basissatz Hilberts, temos que o kernel deste mapa ´e finitamente gerado, logo B ´e de fato de presenta¸ca˜o finita sobre A. Isto mostra que “ser de presenta¸ca˜o finita” ´e uma esp´ecie de “noetherianidade relativa”, j´a que A n˜ ao ´e, necessariamente, noetheriano. Teorema 4.4.2 (Morfismos de presenta¸ c˜ ao finita) 1. (Estabilidade por composi¸c˜ ao) Se A → B e B → C s˜ ao ´ algebras de presenta¸c˜ ao finita, o mesmo vale para a composi¸c˜ ao A → C.

2. (Estabilidade sob mudan¸ca de base arbitr´ aria) Seja B uma A-´ algebra de presenta¸c˜ ao finita e A′ ′ ′ uma A-´ algebra arbitr´ aria. Ent˜ ao B ⊗A A ´e de presenta¸c˜ ao finita sobre A .

3. A localiza¸c˜ ao Ah de um anel A em um elemento h ∈ A ´e de presenta¸c˜ ao finita sobre A, a saber Ah ∼ = A[x]/(xh − 1).

4. Se φ: B ։ C ´e um morfismo sobrejetor de A-´ algebras de presenta¸c˜ ao finita ent˜ ao ker φ ´e um ideal finitamente gerado de B. Prova Os itens (1)–(3) s˜ao deixados como exerc´ıcios para o leitor; aqui provaremos apenas o item (4). Como B ´e o quociente de uma ´ algebra polinomial A[x1 , . . . , xn ] por um ideal finitamente gerado, basta provar o teorema para B = A[x1 , . . . , xn ]. Escreva C = A[y1 , . . . , ym ]/a onde a ´e um ideal finitamente gerado de A[y1 , . . . , ym ]. Como A[y1 , . . . , ym , x1 , . . . , xn ] C= a + (x1 , . . . , xn )

)

(1

0

01

,2

RA

7:

28

FT

´e de presenta¸ca˜o finita sobre B, podemos reduzir a prova para o caso B = A. A prova agora ´e por indu¸ca˜o no n´ umero de vari´aveis m e ´e suficiente provar a afirma¸ca˜o para m = 1: pois neste caso, como φ: A ։ C se fatora como ψ A[y1 , . . . , ym ] A → A[y1 , . . . , ym−1 ] ։ C = a com ψ sobrejetor, temos que ker ψ ´e finitamente gerado e podemos escrever C = A[y1 , . . . , ym−1 ]/ ker ψ. Portanto temos uma sobreje¸ca˜o φ: A ։ A[y]/a de A-´algebras onde a ´e um ideal finitamente gerado de A[y] e temos que mostrar que ker φ tamb´em ´e finitamente gerado. Mas como y est´ a na imagem de φ
existe a ∈ A tal que y − a ∈ a. Logo se f1 (y), . . . , fr (y) s˜ao geradores de a ent˜ ao C ∼ = A/ f1 (a), . . . , fr (a) , i.e., o kernel de φ pode ser gerado por f1 (a), . . . , fr (a).

29

,O ct

D

O seguinte resultado explicita a rela¸ca˜o entre ´algebras de presenta¸ca˜o finita e an´eis noetherianos. Este teorema (e seus companheiros) s˜ao frequentemente utilizados para reduzir demonstra¸co˜es que envolvam ´algebras gerais de presenta¸ca˜o finita ao caso noetheriano. Como n˜ ao utilizaremos este teorema, omitimos sua prova (que ´e um pouco longa, mas n˜ ao ´e particularmente dif´ıcil), referindo o leitor a EGAIVc , 8.9.1, p´ ag. 34.

ET

Teorema 4.4.3 (“Redu¸ c˜ ao Noetheriana”) Seja A um anel e B uma A-´ algebra de presenta¸c˜ ao finita. Ent˜ ao existe um anel noetheriano A0 , um mapa A0 → A e uma A0 -´ algebra B0 finitamente gerada tal que B = B0 ⊗A0 A. A ideia central da prova ´e escrever A como uni˜ao (limite direto) de suas sub´algebras finitamente geradas sobre Z e utilizar o fato que as rela¸co˜es que definem B sobre A podem ser expressas em termos de elementos de algum destes suban´eis.

presenta¸ c˜ ao fi

54

Manobras B´asicas

5 An´ eis completos

´lgebra do blow-up a algebra de Rees ´

5.1 Topologia a-´ adica e o teorema de Artin-Rees Seja A um anel e a um ideal. O conjunto das potˆencias an de a formam uma base de abertos do 0; a ´ f´acil mostrar que as opera¸co˜es de soma e topologia definida em A ´e chamada de topologia a-´ adica. E T produto s˜ao cont´ınuas com rela¸ca˜o a esta topologia e que A ´e Hausdorff se, e somente se, n≥0 an = (0). Da mesma forma, dado um A-m´ odulo M , o conjunto an M ´e uma base de abertos de 0 que define a topologia a-´adica de M . O pr´oximo teorema diz que a topologia a-´adica de um subm´odulo N de um m´odulo M coincide com a topologia induzida pela topologia a-´adica de M . Teorema 5.1.1 (Artin-Rees) Seja a um ideal de um anel noetheriano A e seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Seja N um subm´ odulo de M . Ent˜ ao existe um r tal que para todo n ≥ r
(an M ) ∩ N = an−r · (ar M ) ∩ N

Em particular, para n grande o suficiente, an N ⊂ (an M ) ∩ N ) ⊂ an−r N , logo a topologia a-´ adica em N ´e a mesma que a induzida pela topologia a-´ adica de M . Prova Considere o anel graduado Ba (A) def

Ba (A) = A ⊕ a ⊕ a2 ⊕ · · · Este anel ´e chamado de ´ algebra do blow-up ou ´ algebra de Rees de a. Temos tamb´em o Ba (R)-m´odulo graduado Ba (M ) def Ba (M ) = M ⊕ aM ⊕ a2 M ⊕ · · · Afirmamos que o anel Ba (A) ´e noetheriano e o m´odulo Ba (M ) ´e finitamente gerado sobre Ba (A). De fato, sejam a1 , . . . , an geradores de a. Temos um morfismo sobrejetor φ : A[x1 , . . . , xn ] ։ Ba (A) xi 7→ (0, ai , 0, 0, . . .)

FT

de A-´algebras graduadas, logo Ba (A) ´e finitamente gerada sobre A e portanto ´e noetheriana tamb´em. Por outro lado, se M = Am1 +· · ·+Amd , ent˜ ao Ba (M ) ´e generada sobre Ba (A) pelos elementos (mi , 0, 0, . . .), 1 ≤ i ≤ d. Desta forma, Ba (M ) ´e um m´odulo noetheriano.
A inclus˜ao (an M ) ∩ N ⊃ an−r · (ar M ) ∩ N ´e clara. Para mostrar a inclus˜ao oposta, considere o subm´odulo de Ba (M ) M def P = (an M ) ∩ N n≥0

0≤i≤r

(1



an−i · (ai M ) ∩ N ⊂ an−r · (ar M ) ∩ N

0

X

29

,2

(a M ) ∩ N =

01

0≤i≤r

n

RA

7:

28

)

Como Ba (M ) ´e noetheriano, P ´e finitamente gerado sobre Ba (A). Fixe um conjunto de geradores homogˆeneos e seja r o grau m´aximo de um elemento deste conjunto. Ent˜ ao, para n ≥ r, X Pn = Ba (A)n−i · Pi ⇒

,O ct

ET

D

Observa¸ c˜ ao 5.1.2 Geometricamente, Proj Ba (A) corresponde ao blow-up de Spec A com centro no subesquema fechado Spec A/a, da´ı o nome de ´algebra de blow-up. Por exemplo, se A = C[x, y] e a = (x, y), o ideal correspondendo ` a “origem” de C2 , temos um isomorfismo de C[x, y]-´ algebras graduadas (exerc´ıcio!) C[x, y, w, z] ∼B(x,y) (C[x, y]) (yw − xz) w 7→ (0, x, 0, 0, . . .) z 7→ (0, y, 0, 0, . . .)

e a variedade definida por yw − xz = 0 ´e o blow-up usual do plano C2 na origem.

55

Teorema 5.1.3 (Intersec¸ c˜ ao de Krull) Seja A um dom´ınio noetheriano e a um ideal pr´ oprio de A. Ent˜ ao \ an = (0) n≥0

T Prova Seja b = n≥0 an . Pelo teorema de Artin-Rees, existe c tal que, para n ≫ 0, b = b ∩ an+c ⊂ ban , isto ´e, b = ba. Localizando em um ideal maximal m ⊃ a e aplicando Nakayama, temos que bm = 0. Como A ´e dom´ınio, temos que isto implica b = 0. 5.2 Completamento Seja A um anel e a ⊂ A um ideal qualquer. Uma sequˆencia an ∈ A ´e uma sequˆ encia de Cauchy se dado d > 0 existe um n0 > 0 tal que m, n ≥ n0 ⇒ am − an ∈ ad Dizemos que uma sequˆencia (an ) em A converge para um elemento a ∈ A se dado d > 0 existe um n0 > 0 tal que n ≥ n0 ⇒ an − a ∈ a d Um anel A ´e completo com rela¸ca˜o ` a topologia a-´adica se toda a sequˆencia de Cauchy em A converge. Podemos construir o completamento de A como o limite projetivo n Y Aˆ = ←− lim A/an = (an ) ∈ A/an an ≡ am n≥1

(mod am ) para todo n ≥ m

o

Lemma 5.2.1 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Seja M be an A-m´ odulo e N be a finite subm´ odulo of M . Ent˜ ao lim N/an N = ←− lim N/(N ∩ an M ) ←−

RA

d = A[[x]] Exemplo 5.2.2 A[x]

)

(1

7:

28

FT

Prova temos natural maps fn : N/an N → N/(N ∩ an M ) which determines a mapa f : ←− lim N/an N = n n lim N/(N ∩ a M ). Seja us mostrar que f ´e an isomorfismo. Seja (Xn ) ∈ ←− lim N/a N be tal que ←− fn (Xn ) = 0 para todo n. Ent˜ ao fn+r (Xn+r ) = 0 implies Xn = φn+r,n (Xn+r ) = 0 por the Artin-Rees ˜ n tal que fn (X ˜n ) = theorem. Portanto f ´e injetivo. Now seja (yn ) ∈ ←− lim N/(N ∩ an M ). Choose X ˜ n+r ). Como fn+r (φn+r+1,n+r (X ˜ n+r+1 ) − X ˜ n+r ) = 0, again por Artinyn e define Xn = φn+r,n (X ˜ ˜ Rees 0 = φn+r,n (φn+r+1,n+r (Xn+r+1 ) − Xn+r ) = φn+1,n (Xn+1 ) − Xn . Portanto (Xn ) ∈ ←− lim N/an N e f (Xn ) = (yn ), proving that f ´e surjective.

,2

01

0


P Observa¸ c˜ ao 5.2.3 Frac Z[[x]] = 6 Q((x)). Por exemplo, se pn denota o n-´esimo primo, ent˜ ao n≥0
tn ∈ Q((x)) \ Frac Z[[x]] .

- M

f

,O ct

- M′

- M ′′

g

- 0

ET

0

D

Teorema 5.2.4 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Se

29

We can now mostrar que under our assumptions completion preserve exactness.

´e an exact sequence of finite m´ odulos, ent˜ ao the corresponding sequence of a-adic completions 0

- M ˆ′

fˆ

- M ˆ

ˆ ˆ /M ˆ ′. ´e also exact. In particular, temos (M/M ′ ) = M

- M ˆ ′′

gˆ

- 0

1 pn

·

sequˆ encia de completo completamen

56

Manobras B´asicas

Prova We may assume that M ′ ´e a subm´odulo of M e that f ´e the inclus˜ao mapa. Ent˜ ao the exact sequence ′′ M′ f g - M - M - 0 0 M ′ ∩ an M an M an M ′′ determines an exact sequence of inverse systems 0

M′ - lim ←− M ′ ∩ an M

- lim M ←− an M

f

′′

- lim M ←− an M ′′

g

- 0

which we will prove to be exact. Exactness at the first two m´odulos ´e easy, seja us just check the last one. Dado (yn ) ∈ ←− lim M ′′ /an M ′′ , we shall construct elements Xn ∈ M/an M inductively de modo que ˜n ∈ (Xn ) ∈ ←− lim M/an M e gn (Xn ) = yn . suponha que Xn−1 has already been determined, choose X n ′ ˜ n ) = yn . Now gn−1 (Xn−1 − φn,n−1 (X ˜ n )) = 0, portanto existe a z ∈ f (M )/f (M ′ )∩ M/a M tal que gn (X ˜ n ). Defining Xn = z + X ˜ n , temos que φn,n−1 (Xn ) = Xn−1 an M com in−1 ◦ φn,n−1 (z) = Xn−1 − φn,n−1 (X ˜ e gn (Xn ) = yn . This shows that g ´e surjective. Now combining the above com the previous corollary finishes the proof. Teorema 5.2.5 Seja A be a noetherian anel, a e b be ideals of A e M be a finite A-m´ odulo. Seˆdenotes the a-adic completion, temos ˆ 1. M ⊗A Aˆ = M ˆ =b ˆM ˆ 2. (bM )ˆ= bM

Prova

1. Consider the exact sequence Am → An → M → 0. temos the seguinte diagrama comutativo Am ⊗ Aˆ

- An ⊗ Aˆ

- M ⊗ Aˆ

? Aˆm

? - Aˆn

? - M ˆ

- 0

- 0

FT

The top row ´e exact como the tensor product ´e right exact; the bottom row ´e exact por the previous theorem e the isomorfismo Aˆm = (Am )ˆ. Now the first two vertical flechas s˜ao isomorfismo, portanto so ´e the third.

- M ˆ

f

- (M/bM )ˆ

g

(1

ˆn M

- 0

0

e portanto

RA

7:

28

)

2. Seja b = Ab1 + · · · Abn e define f : M n → M por f (m1 , . . . , mn ) = b1 m1 + · · · + bn mn . temos an exact sequence f g M n - M - M/bM - 0

29

,O ct

D

,2

01

ˆ = im(fˆ) = ker(ˆ ˆ /(bM )ˆ, ker(ˆ ´e also exact. Portanto bM g). Como (M/bM )ˆ = M g ) = (bM )ˆ e portanto ˆ e portanto b ˆM ˆ ˆ ˆ = bM ˆ , completing bM = bM )ˆ. Finally, applying this last result to M = A, temos bA = b, the proof. Teorema 5.2.6 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Se a = Aa1 + · · ·+ Aan , the a-adic completion of A ´e isomorphic to A[[X1 , . . . , Xn ]]/(X1 − a1 , . . . , Xn − an ). In particular, Aˆ ´e noetherian.

ET

Prova Seja A = A[X1 , . . . , Xn ], m = Ax1 + · · · + Axn e n = A(X1 − a1 ) + · · · + A(Xn − an ). Denoting ˆ n = A/n ˆ Aˆ = A[[X1 , . . . , Xn ]]/(X1 − por ˆ the m-adic completion, temos que A ∼ = A/n implies Aˆ ∼ = A/ˆ a1 , . . . , Xn − an ). However, the m-adic completion of A as an A-m´ odulo coincides com the a-adic completion of A as a anel, e the result follows. Como A ´e noetherian, A[[X1 , . . . , Xn ]] ´e also noetherian e ˆ portanto so ´e A.

57

Lema 5.2.7 (Hensel) Seja (A, m, k) um anel local completo. Se f (x) ∈ A[x] ´e um polinˆ omio mˆ onico tal ′ que sua imagem f (x) ∈ k[x] = A[x]/mA[x] possui uma raiz simples α em k (i.e. f (α) = 0 e f (α) 6= 0) ent˜ ao f (x) possui uma raiz a ∈ A tal que a mod m = α. Lema 5.2.8 (Nakayama Completo) Seja (A, m, k) um anel local T completo e M um A-m´ odulo (n˜ ao ao necessariamente finitamente gerado sobre A) que ´e m-separado, i.e., n≥0 mn M = 0. Ent˜ M ⊗A k = 0 ⇐⇒ M = 0

Teorema 5.2.9 (Prepara¸ c˜ ao de Weierstraß) Seja (A, m, k) um anel local completo e f (x) ∈ A[[x]]
tal que f (x) ∈ / mA[[x]]. Ent˜ ao A[[x]]/ f (x) ´e uma extens˜ ao finita de A.

Prova Temos

A[[x]] k[[x]]
⊗A k =
f (x) f (x)

´e finita sobre k. Utilizando o Nakayama completo, podemos levantar uma base desta k-´algebra. Teorema 5.2.10 Seja A um anel noetheriano, a um ideal de A e M um A-m´ odulo finitamente gerado. ˆ os completamentos a-´ Denote por Aˆ e M adicos de A e M , respectivamente. Ent˜ ao ˆ. 1. Temos um isomorfismo M ⊗A Aˆ = M 2. Aˆ ´e plano sobre A.

3. se a = (a1 , . . . , an ) ent˜ ao Aˆ ∼ = e portanto Aˆ tamb´em ´e noetheriano.

A[[x1 , . . . , xn ]] (x1 − a1 , . . . , xn − an )

Lemma 5.2.11 Seja (A, m) be a local noetherian anel, e M be a finitely generated A-module. Se N ´e a submodule of M generated por ω1 , . . . , ωd , temos ˆ = Aω ˆ 1 + · · · + Aω ˆ d N

FT

ˆ , onde the hat denotes the completion com respect to the m-adic topology. In as a submodule of M ˆ particular, se a ´e an ideal of A, ent˜ ao ˆa = aA.

0≤j 1, temos uma sequˆencia exata 0

- M1

- M

- M/M1

- 0

e M/M1 admite uma cadeia de comprimento n − 1. Assim, por hip´otese de indu¸ca˜o, Ass M1 e Ass M/M1 s˜ao finitos, logo Ass M ´e finito pelo lema anterior.

74

Extens˜oes Finitas e Integrais

Teorema 6.9 Seja A um anel noetheriano, p ∈ Spec A e seja M um A-m´ odulo. Ent˜ ao AssAp Mp = {qAp | q ∈ AssA M, q ⊂ p} Prova Se q ∈ AssA M e q ⊂ p, say q = ann(m), m ∈ M , ent˜ ao qAp = ann(m/1), so qAp ∈ AssAp Mp . Reciprocamente, se qAp ∈ AssAp Mp para algum prime ideal q ⊂ p, we may write qAp = ann(m/s) para algum m ∈ M e s ∈ A\p. Como q ´e finitamente gerado, existe a t ∈ A\p tal que tqm = 0 para todo q ∈ q. Portanto q ⊂ ann(tm), e reciprocamente se x ∈ ann(tm), ent˜ ao x/1 ∈ ann(tm/1) = ann(m/s) = qAp , i.e., x ∈ q. Portanto q ∈ AssA M . Teorema 6.10 (Suporte e Primos Associados) Seja A um anel noetheriano e M um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao [ Supp M = V (q) q∈Ass M

Al´em disso, todo primo minimal em supp M ´e associado. Prova Temos p ∈ Supp M ⇐⇒ Mp 6= 0 ⇐⇒ AssRp Mp 6= ∅ ⇐⇒ p ⊃ q para algum q ∈ Ass M

Lemma 6.11 Seja A be a noetherian normal domain, e seja x ∈ A be a nonzero element. Ent˜ ao para qualquer p ∈ Ass A/x, ht p = 1. Prova Como p ∈ Ass A/x implies pAp ∈ Ass Ap /x, we may assume that A ´e local com maximal ideal p. Por definition of associated prime, p = (x : y) para algum y ∈ / (x). Observe that xy · p ´e an ideal of A. y But y/x ∈ / A, portanto the previous lemma implies that x · p 6= p, e portanto xy · p = A ⇐⇒ p = (y/x). Como p ´e principal, conclu´ımos que ht p = 1. Teorema 6.12 Seja A um dom´ınio noetheriano normal. Ent˜ ao A=

\

Ap

FT

ht p=1

D

a contradiction. This finishes the proof.

(1

0 01

,2

m x = ⇒ sx = my ⇒ sax = may ⇒ s ∈ ann(ax) = p, y s

,O ct

7 A¸ c˜ ao de Grupo e Going-down

29

f=

RA

7:

28

)

T ´ claro que A ⊂ T Prova E ht p=1 Ap , x, y ∈ A. We need to ht p=1 Ap . Reciprocamente, tome f = x/y ∈ mostrar que f ∈ A. Suponha not; ent˜ ao the image x of x in A/y ´e not zero. Amongst todo the ideals of the form ann(rx), r ∈ A, pick a maximal one, say p = ann(ax). Ent˜ ao p ∈ Ass(A/y), e por the lemma, ht p = 1. But f ∈ Ap , so h´ a m, s ∈ A, s ∈ / p, tal que f = m/s. Ent˜ ao

ET

Seja B um anel e G ⊂ Aut(B) um grupo de automorfismos de B. Denote por A = B G o subanel fixo por G, isto ´e, def A = B G = {b ∈ B | σ(b) = b para todo σ ∈ G} Note que se S ´e um conjunto multiplicativo de A, ent˜ ao a localiza¸ca˜o de σ ∈ G fornece um automorfismo S −1 σ de S −1 B que fixa cada elemento de S −1 A. Temos S −1 A = (S −1 B)G

75 onde ainda denotamos por G o subgrupo de Aut(S −1 B) obtido localizando-se os automorfismos de G ⊂ Aut(B). De fato, temos uma sequˆencia exata 0

- A

- B

-

f

Y

B

σ∈G

b 7→ (σ(b) − b)σ∈G Localizando-a com rela¸ca˜o a S, obtemos uma nova sequˆencia exata 0

- S −1 A

- S −1 B

S −1 f

-

Y

S −1 B

σ∈G

donde (S −1 B)G = S −1 A. Resumindo: a a¸ca˜o de grupo ´e compat´ıvel com localiza¸ca˜o arbitr´aria, o que ser´a frequentemente usado para reduzir o caso geral para o caso local. Agora se G ´e finito, ent˜ ao B ´e integral sobre A, pois b ∈ B ´e raiz do polinˆomio mˆonico p(x) =

Y

σ∈G


x − σ(b) ∈ A[x]

cujos coeficientes s˜ao express˜oes sim´etricas elementares em σ(b), σ ∈ G, e portanto s˜ao fixos por G. Agora seja p ∈ Spec A e S = A\p. Temos uma extens˜ao integral de an´eis S −1 A ⊂ S −1 B com (S −1 B)G = S −1 A. Al´em disso, se P ∈ Spec B pertence ` a fibra de p com rela¸ca˜o ao mapa Spec B → Spec A induzido pela inclus˜ao, temos pelo lema 2.1 que S −1 P ´e um ideal maximal de S −1 B. Assim, quando G ´e finito, localizando poderemos sempre supor que A ´e local e que B ´e semi-local (i.e., possui um n´ umero finito de ideais maximais). Teorema 7.1 (A¸ c˜ ao transitiva) Sejam B um anel, G um grupo finito de automorfismos de B e A = B G . Ent˜ ao G age transitivamente nas fibras de Spec B ։ Spec A. Prova Sejam P, P′ ∈ Spec B dois primos da fibra de p ∈ Spec A. Localizando com rela¸ca˜o a S = A \ p, podemos assumir que A ´e local com ideal maximal p e que P, P′ s˜ao ideais maximais em B. Suponha por absurdo que P, P′ possuam ´ orbitas disjuntas: {σ(P) | σ ∈ G} ∩ {σ(P′ ) | σ ∈ G} = ∅

def

NG (b) =

Y

σ(b) ∈ P ∩ A = p

)

28

,2

σ∈G

RA

Da primeira congruˆencia, temos que a “norma” de b ´e tal que

para todo σ ∈ G

7:

σ(b) ≡ 0 (mod P) σ(b) ≡ 1 (mod P′ )

(1



0

b ≡ 0 (mod σ −1 (P)) ⇐⇒ b ≡ 1 (mod σ −1 (P′ ))

01



FT

Como os ideais σ(P) e σ(P′ ) s˜ao maximais (logo comaximais), pelo teorema chinˆes dos restos, existe um elemento b ∈ B tal que

29

,O ct

D

Por´em, como NG (b) ∈ p ⊂ P′ tamb´em, ter´ıamos σ(b) ∈ P′ para algum σ ∈ G, o que contradiz a segunda congruˆencia. Logo a a¸ca˜o de G ´e transitiva na fibra de p.

ET

Corol´ ario 7.2 Seja A um dom´ınio normal com K = Frac A. Seja L ⊃ K uma extens˜ ao normal de corpos e seja B o fecho integral de A em L. Ent˜ ao G = AutK (L) age transitivamente nas fibras de Spec B ։ Spec A. Prova Observe inicialmente que todo σ ∈ G se restringe a um A-automorfismo de B: de fato, se b ∈ B ´e raiz de um polinˆomio mˆonico p(x) ∈ A[x] ent˜ ao p(σ(b)) = σ(p(b)) = 0, o que mostra que σ(b) ∈ B. Primeiro, tratamos do caso em que L ⊃ K ´e uma extens˜ao finita e separ´ avel e portanto Galois com grupo de Galois G. Neste caso, A ⊂ B G ⊂ K mas como B G ⊂ B e A ´e normal, devemos ter A = B G . O resultado agora segue do teorema anterior.

76

Extens˜oes Finitas e Integrais

O caso em que L ⊃ K ´e uma extens˜ao Galois infinita pode ser reduzido ao anterior por uma “casa dos pombos infinita”. Dados dois primos P e P′ de B, para cada corpo M tal que L ⊃ M ⊃ K e M ⊃ K ´e Galois finito, considere o conjunto F (M ) = {σ ∈ G | σ(P ∩ M ) = P′ ∩ M } Temos que F (M ) ´e n˜ ao vazio (pelo j´ a demonstrado) e fechado em G na topologia de Krull. Assim, como G ´e compacto, temos \ F (M ) 6= ∅ M

onde M percorre todas as subextens˜oes Galois finitas de L ⊃ K. Um elemento σ nesta intersec¸ca˜o ´e um automorfismo de G = ←− lim AutK (M ) tal que σ(P) = P′ , como desejado. M

Agora, para L ⊃ K ´e arbitr´ario, seja M = LG . Temos que L ⊃ M ´e Galois enquanto que M ⊃ K ´e puramente insepar´ avel. Assim, basta tratar do caso em que L ⊃ K ´e puramente insepar´avel com p = char K > 0. Note que neste caso G ´e trivial, assim temos que mostrar que a fibra de um primo p ∈ Spec A possui um u ´nico elemento. De fato, como para qualquer b ∈ B existe um natural n > 0 tal n que bp ∈ K ∩ B = A, o u ´nico primo de B na fibra de p ´e def

n

P = {b ∈ B | bp ∈ p para algum n > 0}

Exemplo 7.3 Seja τ (z) = z a conjuga¸ca˜o complexa. Seja B = Z[i] e G = {id, τ } ⊂ Aut(B). Ent˜ ao A = Z. Se p ´e um n´ umero primo da forma 4k + 3, ent˜ ao (p) ´e primo em B e G fixa (p). Por outro lado, se p ´e um n´ umero primo da forma 4k + 1, ent˜ ao p se fatora como p = (a + bi)(a − bi), a, b ∈ Z, de modo que (a + bi) e (a − bi) s˜ao os primos da fibra de (p), que s˜ao claramente permutados por τ . Teorema 7.4 (“Going-down”) Seja B ⊃ A uma extens˜ ao integral de dom´ınios com A normal. Ent˜ ao se P′ ∈ Spec B est´ a sobre p′ ent˜ ao existe P ∈ Spec B sobre p tal que P ( P′ .

(

P′ | p′

(

B | A

(

7:

⊂ M | ⊂ L | ⊂ K

(1

C | ( B | ( A

0

(

,2

01

′

( σ(Q′ ) = Q′0 Q | ′ ( P = Q′0 ∩ B | ( p′

RA

σ(Q) Q | def P = σ(Q) | p

28

Prova Sejam K = Frac A, L = Frac B e M o fecho normal de L. Seja C o fecho integral de A em M .

)

(

FT

∃P | p

29

,O ct

ET

D

Pelo going-up, existem primos Q ( Q′ de C tais que Q ∩ A = p e Q′ ∩ A = p′ . Temos Q ∩ B ( Q′ ∩ B, de modo que ´e tentador definir P como Q ∩ B, mas infelizmente pode ocorrer um “desalinhamento” Q′ ∩ B 6= P′ , mas que pode ser facilmente corrigido utilizando-se um automorfismo de AutK (M ), j´a que este grupo age transitivamente sobre a fibra de p′ . “Going-up once more”, tome Q′0 ∈ Spec C tal que Q′0 ∩ B = P′ . Existe σ ∈ AutK (M ) tal que σ(Q′ ) = Q′0 . Basta tomar agora P = σ(Q) ∩ B. Teorema 7.5 (“Going-down Plano”) Seja B uma A-´ algebra plana. Dada uma inclus˜ ao de ideais primos p ⊂ q de A e um ideal primo Q de B sobre q, existe P ∈ Spec B tal que P ⊂ Q e P est´ a sobre p. Prova Como B ´e plano sobre A, BQ ´e fielmente plano sobre Aq , logo Spec BQ → Spec Aq ´e sobrejetor. Assim, existe P ∈ Spec B tal que a imagem de PBQ ´e pAq . Mas ent˜ ao P ⊂ Q e P est´ a sobre p.

77

Defini¸ c˜ ao 7.6 Sejam B um anel e G ⊂ Aut(B) um grupo de automorfismos de B. Temos que G induz uma a¸ca˜o em Spec B; dado P ∈ Spec B, definimos o grupo de decomposi¸ c˜ ao GP de P (com rela¸ca˜o a G) ´e como o estabilizador de P com rela¸ca˜o a esta a¸ca˜o, ou seja, def

GP = {σ ∈ G | σ(P) = P} Um automorfismo σ ∈ GP induz um automorfismo σ ∈ Aut(B/P) dado por def

para todo b ∈ B

σ(b) = σ(b) Assim, temos um morfismo de grupos

GP → Aut(B/P) σ 7→ σ

cujo kernel IP ´e chamado de grupo de in´ ercia de P. Exemplo 7.7 Seja B = C[x] e G o grupo de “rota¸co˜es” G = {id, ρ, ρ2 , . . . , ρn−1 } onde ρ denota o automorfismo de C-´algebras ρ: B → B

x 7→ x · e2πi/n

ao nulo, temos que a ´orbita de (x − a) consiste em n primos Temos A = B G = C[xn ] ∼ = C[y]. Se a ∈ C ´e n˜ distintos: {(x − a · e2πik/n ) ∈ Spec B | k = 0, 1, . . . , n − 1} de modo que o grupo de decomposi¸ca˜o G(x−a) = {id} ´e trivial. Por outro lado, temos que G(x) = G. Como ρ = id ∈ Aut(C), temos tamb´em que I(x) = G.

GS −1 P = GP

e

IS −1 P = IP

FT

´ f´acil mostrar Na nota¸ca˜o da defini¸ca˜o, seja S um conjunto multiplicativo de A tal que S ∩ P = ∅. E que os grupos de decomposi¸ca˜o e in´ercia s˜ao compat´ıveis com a localiza¸ca˜o em S:

28

)

Al´em disso, os corpos residuais dos primos n˜ ao se alteram com a localiza¸ca˜o. Isto nos permitir´a localizar com rela¸ca˜o a p = P ∩ A ∈ Spec A, de modo que poderemos supor A local e B semi-local.

Denote ainda por l′′ o corpo residual de q′′ . Pictoriamente:

⊂

q′

⊂

p

⊂

l | l′′ | k k k

,O ct

B | B ′′ | B′ | A

ET

q′′

⊂

D

q

29

(1

0

01

,2

RA

7:

Setup 7.8 Seja B um anel, seja G ⊂ Aut(B) um grupo finito de automorfismos e seja A = B G . Seja q ∈ Spec B e seja p = q ∩ A ∈ Spec A. Sejam k e l os corpos residuais de p e q respectivamente. Finalmente, sejam B ′ = B Gq q′ = q ∩ B ′ ∈ Spec B ′ e q′′ = q ∩ B ′′ ∈ Spec B ′′ B ′′ = B Iq

(a igualdade dos corpos residuais de p e q′ ser´a justificada no pr´oximo lema).

grupo de deco grupo de in´ er

78

Extens˜oes Finitas e Integrais

Teorema 7.9 (Anel de decomposi¸ c˜ ao) Na nota¸c˜ ao do setup 7.8, temos: 1. q ´e o u ´nico primo de B sobre q′ . 2. A inclus˜ ao k(p) ֒→ k(q′ ) de corpos residuais ´e um isomorfismo. 3. pBq′ ′ = q′ Bq′ ′ . Prova

1. Como Gq age transitivamente sobre a fibra de q′ e Gq estabiliza q, o resultado ´e claro.

Para os pr´oximos itens, podemos localizar com rela¸ca˜o a S = A \ p e portanto supor que (A, p, k) ´e local e que q e q′ s˜ao maximais em B e B ′ , respectivamente. 2. Vamos mostrar que para todo b′ ∈ B ′ existe a ∈ A tal que a ≡ b′ (mod q). Seja σ1 , . . . , σg um sistema de representantes de classes laterais `a esquerda de Gq em G com σ1 = 1. Como G permuta transitivamente os primos na fibra de p, esta fibra consiste nos ideais maximais σ1 (q), . . . , σg (q). Se i 6= 1 ent˜ ao σi−1 ∈ / Gq e portanto σi−1 (q) 6= q. Ent˜ ao (1) implica que σi−1 (q) ∩ B ′ 6= q′ e portanto pelo teorema ′ chinˆes dos restos existe x ∈ B tal que 

x ≡ b′ (mod q′ ) ⇒ x ≡ 1 (mod (σi−1 q) ∩ B ′ ) para i 6= 1

Ent˜ ao a “norma” de x def

a =

Y

1≤i≤g

σi (x) ≡ b′



x ≡ b′ (mod q) σi (x) ≡ 1 (mod q) para i 6= 1

(mod q)

´e um elemento com a propriedade desejada. De fato, vejamos que a ∈ A. Dado σ ∈ G, escrevendo = σσi = σji τi com 1 ≤ ji ≤ g e τi ∈ Gq , temos que ji1 6= ji2 se i1 6= i2 : caso contr´ario, σσi1 τi−1 1 −1 −1 −1 ′ σσi2 τi2 ⇐⇒ σi1 τi1 = σi2 τi2 , o que ´e imposs´ıvel j´a que σi1 Gq 6= σi2 Gq . Assim, como x ∈ B ´e fixo por Gq , temos Y Y Y σ(a) = σσi (x) = σji τi (x) = σi (x) = a 1≤i≤g

1≤i≤g

1≤i≤g

o que prova que a ´e fixo por todo elemento de G, isto ´e, a ∈ A.

)

28

7:

2≤i≤g

σi (x) ∈ q ∩ A = p ⇒ x ∈ pBq′

(1

Y

RA

x·

FT

3. Como p ⊂ q′ , basta mostrar que q′ ⊂ pBq′ ′ . Sejam q′1 = q′ , q′2 , . . . , q′s os ideais maximais de B ′ . Note que, mutatis mutandis, a mesma prova do item anterior mostra que qualquer x ∈ q′1 \ (q′2 ∪ · · · ∪ q′s ) pertence a pBq′ ′ . De fato, se σ ∈ / Gq ent˜ ao σ −1 (q′ ) = q′i para algum i 6= 1; isto implica que σ(x) ∈ / q′ . Q ′ / q onde σi s˜ao como em (2). Portanto Portanto 2≤i≤g σi (x) ∈

01

29

,O ct

D

1

,2

Bq′ ′ Bq′ ′s B′ 1 = × · · · × pB ′ pBq′ ′ pBq′ ′s

0

Em seguida, observe que como a fibra de p ´e finita, temos que Spec B ′ /pB ′ ´e um conjunto finito, logo a k-´algebra B ′ /pB ′ ´e um anel artiniano (corol´ario 3.9). Portanto temos um isomorfismo

ET

Para provar que pBq′ ′ = q′ Bq′ ′ precisamos mostrar que o ideal maximal q′1 Bq′ ′ /pBq′ ′ do primeiro fator ´e 1 1 0. Seja t ∈ q′1 Bq′ ′ /pBq′ ′ e seja x ∈ B ′ uma pr´e-imagem do elemento (t, 1, . . . , 1) no produto acima. Ent˜ ao 1 1 ′ ′ ′ ′ x ∈ q1 \ (q2 ∪ · · · ∪ qs ) e pelo que j´ a provamos x ∈ pBq . Mas isto implica t = 0, como desejado. Observa¸ c˜ ao 7.10 Note que pelo item 1 do teorema anterior, Spec B → Spec B ′ induz uma bije¸ca˜o entre os primos da fibra de p em B e B ′ , respectivamente, ou seja, o primo p “se decompˆ os” totalmente em B ′ , o anel fixo por Gq , da´ı o nome grupo de decomposi¸ca˜o para este u ´ltimo grupo.

79

Teorema 7.11 (Anel de In´ ercia) Na nota¸c˜ ao do setup 7.8, temos 1. q′′ ´e o u ´nico primo de B ′′ sobre q′ . 2. l ⊃ k ´e uma extens˜ ao normal de corpos, i.e., qualquer polinˆ omio irredut´ıvel f (x) ∈ k[x] que possui uma raiz em l se fatora completamente. 3. O morfismo Gq ։ Aut(l/k) ´e sobrejetor. Assim, temos um isomorfismo Gq /Iq = Aut(l/k) 4. l′′ ⊃ k ´e a m´ axima subextens˜ ao separ´ avel de l ⊃ k, de modo que Aut(l/k) = Aut(l′′ /k). 5. pBq′′′′ = q′′ Bq′′′′ .

Prova 1. Segue de (1) do teorema anterior juntamente com o fato de que Spec B ։ Spec B ′′ ´e sobrejetor (B ⊃ B ′′ ´e uma extens˜ao integral). 2. Seja f (x) ∈ k[x] um polinˆomio mˆonico irredut´ıvel e suponha que a imagem b ∈ l de b ∈ B ´e uma raiz de f (x). Temos que b ´e raiz do polinˆomio mˆonico Y m(x) = (x − σ(b)) ∈ A[x] σ∈G

cuja imagem m(x) em k[x] se fatora completamente em l[x]. Mas como f (x) ´e o polinˆomio minimal de b e m(b) = 0, temos que f (x) | m(x). Assim, f (x) tamb´em se fatora completamente em l[x].

3. Observe que pelo teorema anterior p e q′ tˆem mesmo corpo residual e que pBq′ ′ = q′ Bq′ ′ . Portanto, substituindo A por Bq′ ′ e B pela localiza¸ca˜o com rela¸ca˜o a B ′ \ q′ , podemos supor que todos os an´eis A, B e B ′′ s˜ao locais e que Gq = G. Seja ks ⊃ k a m´axima subextens˜ao separ´ avel de l ⊃ k. Pela prova do item anterior, qualquer elemento b ∈ ks ´e raiz um polinˆomio m(x) de grau |G|. Assim, pelo teorema do elemento primitivo, [ks : k] ≤ |G| ´e finito e podemos escrever ks = k(b) para algum b ∈ B. Seja f (x) ∈ k[x] o polinˆomio minimal de b. Sendo m(x) como no item anterior, temos que f (x) | m(x), logo as ra´ızes de f (x) s˜ao todas da forma σ(b) = σ(b), σ ∈ G = Gq . Assim, dado um automorfismo φ ∈ Aut(l/k) = Gal(ks /k), como φ permuta as ra´ızes de f (x), temos que existe σ ∈ G tal que φ(b) = σ(b), o que implica φ = σ j´a que b gera ks sobre k. Portanto G ։ Aut(l/k) ´e sobrejetor, como quer´ıamos demonstrar.

)

(1

0

,2

[k(θ) : k]sep ≥ |G| ≥ [k(θ) : k] ≥ [k(θ) : k]sep

01

RA

7:

28

FT

4. Observe que aplicando os itens anteriores a B ′′ no lugar de A temos que l′′ ⊃ l ´e uma extens˜ao normal de corpos com Aut(l′′ /l) ´e trivial (pois Iq ։ Aut(l′′ /l) ´e sobrejetor). Logo l ⊃ l′′ ´e puramente insepar´avel e portanto ks ⊂ l′′ (mantemos as nota¸co˜es e redu¸co˜es do item anterior). Queremos mostrar que ks = l′′ . Para isto, substituindo B ′′ por B, l′′ por l e G = Gq por Gq /Iq , podemos assumir que Iq ´e trivial e que, portanto, G = Aut(l′′ /k). Observe inicialmente que qualquer elemento b ∈ l′′ ´e raiz de um polinˆomio em k[x] de grau menor Q ′′ ou igual a |G| (tome a imagem de σ∈G (x − σ(b)) ∈ A[x]). Agora seja k0 = (l′′ )Aut(l /k) . Temos que l′′ ⊃ k0 ´e uma extens˜ao Galois de grau |G| e que k0 ⊃ k ´e puramente insepar´avel. Pelo teorema do elemento primitivo, podemos escrever l′′ = k0 (θ) para algum θ ∈ l′′ . Temos que θ ´e separ´ avel sobre k: como θ possui |G| conjugados distintos, temos

n

n

29

n

,O ct

n

D

e assim temos igualdade em todos os lugares, o que mostra que k(θ) ⊃ k ´e uma extens˜ao separ´ avel de grau |G|. Para concluir que l′′ ⊃ k ´e separ´ avel, devemos mostrar que k0 = k. Como k0 ´e puramente insepar´avel sobre k ´e suficiente mostrar que, dado um elemento λ ∈ k0 , λ ∈ k(θ), sendo portanto separ´ avel sobre k. n Denote por p = char k > 0. Existe um n natural tal que λp ∈ k. Assim, n

ET

(λ − θ)p = λp − θp ⇒ k(θp ) ⊂ k(λ − θ) Mas como θ ´e separ´ avel sobre k temos que k(θp ) = k(θ). Por outro lado, [k(λ − θ) : k] ≤ |G| = [k(θ) : k], logo k(λ − θ) = k(θ). Finalmente, isto implica que λ = θ + (λ − θ) ∈ k(θ) e portanto λ ´e separ´ avel sobre k, como quer´ıamos. 5.

80

Extens˜oes Finitas e Integrais

Teorema 7.12 (Completamento e Grupo de Decomposi¸ c˜ ao) Seja B um anel noetheriano, G um grupo finito de automorfismos de B e A = B G . Seja p ∈ Spec A e sejam P1 , . . . , Pg ∈ Spec B os primos da fibra de p com rela¸c˜ ao a Spec B ։ Spec A. Ent˜ ao temos um isomorfismo B ⊗A Aˆp =

Y

discriminante

ˆ Pi B

1≤i≤g

onde o chap´eu denota completamentos com rela¸c˜ ao aos ideais maximais correspondentes. Temos que G ˆPi ´e age transitivamente sobre B ⊗A Aˆp , permutando seus fatores. O estabilizador do i-´esimo fator B GPi e
ˆPi GPi = Aˆp B

8 Exerc´ıcios 01. (Nilva’s problem) Seja A um anel noetheriano e m um ideal maximal. Mostre que A/mn ´e artiniano para todo n ≥ 0. 02. Seja d um inteiro livre de quadrados (i.e., ao ´e divis´ıvel por nenhum quadrado de primo). Mostre √ d n˜ que o anel A dos inteiros alg´ebricos em Q( d) ´e A = Z + Zω onde ω=



√ 1+ d 2 √

d

se d ≡ 1 (mod 4) caso contr´ario

03. Seja A = C[x, y]/(y 2 − x2 (x + 1)). Mostre que as localiza¸co˜es Am s˜ao normais para todos os ideais maximais m de A com exce¸ca˜o de m = (¯ x, y¯). 04. Mostre que C[x, y]/(y 2 − x3 + x) ´e normal. 05. Seja G um grupo finito de automorfismos de um anel B e seja def

A = B G = {b ∈ B | σ(b) = b para todo σ ∈ G}

FT

o anel fixo por G. (a) Mostre que B ´e integral sobre A. (b) Seja B = C[x, y] e considere G = {id, σ} onde σ: B → B ´e o automorfismo de C-´algebras definido por σ(x) = −x e σ(y) = −y. Mostre A = B G = C[x2 , xy, y 2 ] e determine explicitamente a a¸ca˜o de G sobre as fibras de Spec B → Spec A sobre os ideais maximais de A.

(1

0

01

RA

7:

28

)

06. Seja A um dom´ınio com K = Frac A. Seja L ⊃ K uma extens˜ao finita separ´ avel de corpos de grau n = [L : K]. (a) Mostre que existe uma base ω1 , . . . , ωn ∈ L de L sobre K tal que cada ωi ´e integral sobre A. (b) Seja B ⊂ L o subanel dos elementos integrais sobre A. Utilize o truque do determinante para mostrar que ωn ω1 + ··· + A· A · ω1 + · · · + A · ωn ⊂ B ⊂ A · D D

29

,O ct

√ √ √ 3 3 3 Z[ 2] = {a + b 2 + c 4 | a, b, c ∈ Z}

´e normal (sugest˜ ao: localize ou utilize o exerc´ıcio anterior).

ET

07. Mostre que

D

,2

onde D ∈ A ´e o determinante da matriz (TrL/K (ωi ωj ))1≤i,j≤n (D ´e chamado de discriminante da base ωi ). (c) Conclua que se A ´e noetheriano ent˜ ao B ´e finito sobre A e portanto ´e noetheriano. Al´em disso, se A ´e um dom´ınio de ideais principais ent˜ ao B ´e um A-m´ odulo livre de posto n.

08. Seja A uma k-´algebra finitamente gerada onde k ´e um corpo. (a) Mostre que o conjunto de todos os ideais maximais ´e denso em Spec A. √ (b) Seja a um ideal de A. Mostre que a ´e igual `a intersec¸ca˜o de todos os ideais maximais de A contendo a.

81 09. Seja A um dom´ınio finitamente gerado sobre Z. Mostre que um ideal m de A ´e maximal se, e somente se, A/m ´e um corpo finito. Dica: seja S = Z \ {0} e aplique o teorema de normaliza¸ca˜o de Noether para a Q-´algebra finitamente gerada S −1 A. 10. Seja A um dvr e seja p(x) ∈ R[x] um polinˆomio de Eisenstein. Mostre que R[x]/(p(x)) tamb´em ´e um dvr. 11. Mostre que um dom´ınio de Dedekind com um n´ umero finito de primos ´e um PID. 12. Mostre que qualquer ideal em um dom´ınio de Dedekind pode ser gerado por dois elementos. 13. Seja 0

- M′

- M

- M ′′

- 0

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Mostre que supp M = supp M ′ ∪ supp M ′′ 14. Seja A = C[x, y] e M = C[x, y]/(x3 y 4 ), visto como A-m´ odulo. Determine Ass(M ) e escreva sua cadeia prim´ aria.

29

,O ct

ET

D

(1

0 01

,2

RA

7:

)

28

FT

15. Seja θ uma raiz do polinˆomio irredut´ıvel f (x) = x3 − x2 − 2x − 8 ∈ Q[x] e seja K = Q[θ]. (a) Mostre que ν = (θ2 + θ)/2 ´e um inteiro alg´ebrico. (b) Mostre que o fecho integral de Z em K ´e Z + Zθ + Zν.

ET

,O ct

29

,2

01

0 28

7:

(1 )

FT

RA

D

Chapter 5

dimens˜ ao de altura catern´ ario polinˆ omio bin

Dimens˜ao 1 Dimens˜ ao de Krull Defini¸ c˜ ao 1.1 Seja A um anel. A dimens˜ ao de Krull dim A de A ´e definida como o maior comprimento n de uma cadeia (numerada a partir do zero) p0 ( p1 ( p2 ( p3 ( · · · ( pn de ideais primos em A. Defini¸ c˜ ao 1.2 Seja A um anel e p ∈ Spec A. A altura ht p de p ´e definida como dim Ap ou, equivalentemente, o maior comprimento n de uma cadeia (numerada a partir do zero) p0 ( p1 ( p2 ( p3 ( · · · ( pn = p de ideais primos em A contidos em p. Exemplo 1.3 Se k ´e um corpo, temos dim k = 0. Como todo ideal primo n˜ ao nulo de k[t] ´e maximal, temos que dim k[t] = 1. Da mesma forma, temos tamb´em que dim Z = 1 e dim k[[t]] = 1. Diretamente das defini¸co˜es, temos dim A ≥ ht p + dim A/p para todo p ∈ Spec A. Se ocorre a igualdade para todos os ideais primos de A, dizemos que A ´e catern´ ario. Os an´eis do exemplo anterior s˜ao todos catern´ arios.

2 Algumas Identidades Binomiais

)

(1

RA

7:

28

FT

Seja d ≥ 0 um inteiro. Definimos o polinˆ omio binomial de grau d como o polinˆomio em Q[x] dado por   x def x(x − 1)(x − 2) . . . (x − d + 1) = d! d

n! Observe que se n ∈ Z ent˜ ao nd ∈ Z. Para n ≥ d ´e um inteiro positivo, nd = d!(n−d)! coincide com o coeficiente binomial usual. Podemos utilizar este fato para dar provas combinat´orias de certas identidades de polinˆomios binomiais, por exemplo, a identidade       x x x+1 + = d d+1 d+1

def

29

,O ct

ET

D

,2

01

0

pode ser demonstrada da seguinte forma: se x = n ≥ d ´e um inteiro positivo, temos que ambos os lados da igualdade contam o n´ umero de maneira
de escolhermos d + 1 dentre n + 1 objetos; no lado esquerdo, esta contagem ´e feita considerando as nd maneiras que incluem
o (n + 1)-´esimo objeto (basta escolher os n d objetos que faltam dentre os n primeiros objetos) e as d+1 maneiras que n˜ ao incluem o (n + 1)-´esimo objeto. Agora, como ambos os lados s˜ao polinˆomios em Q[x] que concordam para um n´ umero infinito de valores, ou seja, a diferen¸ca ´e um polinˆomio com um n´ umero infinito de ra´ızes, temos que eles devem ser iguais como polinˆomios em Q[x]. Seja ∆ o operador “derivada discreta” ∆f (n) = f (n + 1) − f (n) Por exemplo, a identidade binomial acima pode ser reescrita como     x x ∆ = d d−1

84

Dimens˜ ao

Lemma 2.1 1. Um polinˆ omio p(x) ∈ Q[x] de grau d ´e tal que p(n) ∈ Z para todo inteiro n ≫ 0 se, e s´ o se, ´e da forma         x x x x + a0 + · · · + a1 + ad−1 p(x) = ad 0 1 d−1 d com ai ∈ Z e ad 6= 0. 2. Seja f : N → N uma fun¸c˜ ao. Suponha que, para n ≫ 0, f (n+1)−f (n) = q(n) para um polinˆ omio q(x) ∈ Q[x] de grau d − 1. Ent˜ ao, para n ≫ 0, f (n) = p(n) para um polinˆ omio p(x) ∈ Q[x] de grau d.

fun¸ c˜ ao de Hilbert

Prova 1. Pela interpreta¸ca˜o combinat´oria, ´e claro que qualquer combina¸ca˜o Z-linear de polinˆomios binomiais assume valores inteiros para valores inteiros positivos de x.
Para mostrar a rec´ıproca, faremos uma indu¸ca˜o em d, sendo o caso d = 0 claro. Como os polinˆomios xd formam uma base de Q[x] sobre Q, podemos escrever         x x x x + a0 + · · · + a1 + ad−1 p(x) = ad 0 1 d−1 d com ai ∈ Q. Para mostrar que estes coeficientes s˜ao, de fato, inteiros, considere       x x x + · · · + a1 + ad−1 ∆p(x) = ad 0 d−2 d−1

L

3 Polinˆ omio de Hilbert-Samuel

FT

Como ∆p(n) = p(n + 1) − p(n) ∈ Z para todo inteiro n ≫ 0, por hip´otese de indu¸ca˜o temos que a1 , . . . , ad ∈ Z. Mas ent˜ ao       x x x p(x) − ad − ad−1 − · · · − a1 d d−1 1 ´e um polinˆomio constante a0 ∈ Z. 2. Por (1), podemos escrever       x x x ai ∈ Z + · · · + a1 + ad−1 q(x) = ad 0 d−2 d−1 Seja       x x x + · · · + a1 + ad−1 p(x) = ad 1 d−1 d Temos que ∆(f − p)(n) = 0 para todo inteiro n ≫ 0. Em outras palavras, f (n) − p(n) = a0 ∈ Z ´e constante para n ≫ 0 e o resultado segue.

RA

hM (n) = dimk Mn

(1

7:

28

)

Seja A = d≥0 Ad um anel graduado. Suponha que k = A0 ´e um corpo e que A ´e finitamente gerado sobre k por elementos de grau 1 (por exemplo, o anel de polinˆomios k[x1 , . . . , xd ] possui esta propriedade). Seja M um A-m´ odulo graduado finitamente gerado. Definimos a fun¸ c˜ ao de Hilbert de M por

01

0

Teorema 3.1 Nas condi¸c˜ oes acima, existe um polinˆ omio p(x) ∈ Q[x] tal que hM (n) = p(n) para todo inteiro n ≫ 0.

29

,O ct

D

,2

Prova Faremos uma indu¸ca˜o no n´ umero de geradores d de grau 1 de A sobre k. Se d = 0, temos que A = k e M ´e um k-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, logo hM (n) ´e uma fun¸ca˜o constante. Agora suponha que d > 0 e seja g ∈ A1 um gerador de A sobre k. Temos uma sequˆencia exata de A-m´ odulos graduados g - 0 0 - N - M - M [1] - P

ET

onde N e P s˜ao respectivamente o kernel e o cokernel da multiplica¸ca˜o por g e M [1] denota o m´odulo M com gradua¸ca˜o “deslocada por 1”, ou seja, M [1]d = Md+1 para d ≥ 0. Olhando para a dimens˜ao da parte de grau n obtemos dimk Nn − dimk Mn + dimk Mn+1 − dimk Pn = 0 ⇐⇒ hM (n + 1) − hM (n) = hP (n) − hN (n)

Como g anula P e N , podemos vˆe-los como A/(g)-m´odulos finitamente gerados. Por hip´otese de indu¸ca˜o, hP (n) e hN (n) s˜ao fun¸co˜es polinomiais para n ≫ 0, logo o mesmo vale para hM (n) pelo lema anterior.

85

Exemplo 3.2 Seja A = k[x1 , . . . , xd ], k corpo. Ent˜ ao

fun¸ c˜ ao de Hil polinˆ omio de fun¸ c˜ ao de Hil polinˆ omio de sistema de pa

  n+d−1 hA (n) = d ´e um polinˆomio de grau d. Pelo exemplo anterior, temos que o grau da polinˆomio de Hilbert mede, de certa forma, o “n´ umero de parˆ ametros independentes” de A. Agora utilizaremos este fato no estudo da dimens˜ao de um anel local noetheriano. At´e o final deste cap´ıtulo, (A, m, k) denotar´a um anel local noetheriano. Defini¸ c˜ ao 3.3 A fun¸ c˜ ao de Hilbert-Samuel hA (n) do anel A ´e definida como def

hA (n) = lenA

A mn

Teorema 3.4 Existe um polinˆ omio χA (x) ∈ Q[x] tal que hA (n) = χA (n) para n suficientemente grande. Este polinˆ omio ´e chamado de polinˆ omio de Hilbert-Samuel. Prova Basta mostrar que hA (n+1)−hA(n) ´e uma fun¸ca˜o polinomial para n ≫ 0. Temos uma sequˆencia exata mn - A - A - 0 0 - n+1 n+1 m m mn de modo que hA (n + 1) − hA (n) = lenA mn /mn+1 = dimk mn /mn+1 . Portanto esta diferen¸ca ´e a fun¸ca˜o de Hilbert da k-´algebra graduada M mn n≥0

mn+1

que ´e gerada sobre k = A/m pelos geradores de m em grau 1. At´e o final deste cap´ıtulo, (A, m, k) denotar´a um anel local noetheriano. Defini¸ c˜ ao 3.5 A fun¸ c˜ ao de Hilbert-Samuel hA (n) do anel A ´e definida como def

hA (n) = lenA

A mn

28

4 Teorema de dimens˜ ao de Krull

)

FT

Teorema 3.6 Existe um polinˆ omio χA (x) ∈ Q[x] tal que hA (n) = χA (n) para n suficientemente grande. Este polinˆ omio ´e chamado de polinˆ omio de Hilbert-Samuel.

(1

RA

7:

Defini¸ c˜ ao 4.1 Seja (A, p m, k) um anel local. Um conjunto {a1 , . . . , an } ⊂ A ´e chamado de sistema de parˆ amteros de A se (a1 , . . . , an ) = m.

01

,2

29

1≤i≤n

0

Teorema 4.2 (Prime avoidance) Seja a um ideal arbitr´ ario e p1 , . . . , pn be ideais primos em um anel. Ent˜ ao [ a⊂ pi ⇒ a ⊂ pi para algum i

,O ct

ET

D

Prova S A prova ´e por indu¸ca˜o em n. Se n = 1 o resultado ´e claro. Agora seja n > 1 e suponha que a contido na uni˜ao de n − 1 primos pi ’s, de modo que o resultado a ⊂ 1≤i≤n pi . Mostremos que a est´ S S segue por indu¸ca˜o. Suponha, por absurdo, que a ⊂ 1≤j≤n pj mas que a 6⊂ j6=i pj para todo i. Para S / pj se i 6= j. Considere o elemento cada i, tome ai ∈ a \ j6=i pj , de modo que ai ∈ pi mas ai ∈ a = a1 + a2 a3 . . . an ∈ a. Ent˜ ao a n˜ ao pertence a nenhum primo pi :  na ∈ p a1 ∈ / pi 1 1 ⇒a∈ / pi para i = 2, 3, . . . , n ⇒a∈ / p1 e a2 a3 . . . an ∈ / p1 a2 a3 . . . an ∈ p i Isto contradiz a ⊂

S

1≤i≤n

pi .

86

Dimens˜ ao

Lemma 4.3 Seja (A, m, k) um anel local. Seja a ∈ m, B = A/(a) e denote por dA e dB os graus de χA e χB respectivamente. Ent˜ ao 1. dB ≥ dA − 1;

2. se a ´e regular (i.e, n˜ ao ´e divisor de zero em A), ent˜ ao dB = dA − 1.

Prova Denote por m a imagem de m em B. O anel B ´e um anel local com ideal maximal m e corpo residual B/m = A/m = k. Temos isomorfismos A B n = m (a) + mn

e

(a) + mn A (a) a = = n n m (a) ∩ m (m : a)

onde o u ´ltimo isomorfismo ´e induzido pela multiplica¸ca˜o por a e (mn : a) denota o ideal {b ∈ A | ab ∈ mn }. Assim, obtemos a seguinte sequˆencia exata: 0→

A B A → n → n →0 (mn : a) m m

Portanto, como mn−1 ⊂ (mn : a), temos lenA

 A  B   A + len = len A B n mn m (mn : a) B   A  ≤ lenB + lenA mn mn−1

Assim, para n grande o suficiente, temos que χB (n) ≥ χA (n) − χA (n − 1) ⇒ dB ≥ dA − 1. Agora assuma que a ´e regular. Ent˜ ao, pelo teorema de Artin-Rees, temos que existe uma constante r para a qual (mn : a) ⊂ mn−r para todo n grande o suficiente. De fato, basta observar que b ∈ (mn : a) ⇒ ba ∈ (a) ∩ mn = mn−r · ((a) ∩ mr ) ⊂ amn−r

lenA

 A  B   A + len = len A B n mn m (mn : a)  A  B  + lenA ≥ lenB mn mn−r

FT

e, como a ´e regular, ba ∈ amn−r ⇒ b ∈ mn−r . Assim,

28

)

Isto implica que, para n grande o suficiente, temos χB (n) ≤ χA (n) − χA (n − r) ⇒ dB ≤ dA − 1 ⇒ dB = dA − 1.

(1

0

RA

7:

Teorema 4.4 (Krull) Seja (A, m, k) um anel local noetheriano. Ent˜ ao dim A ´e finito. Al´em disso, dim A ´e igual ao grau dA do polinˆ omio de Hilbert-Samuel χA (n) e ` a menor cardinalidade δA de um sistema de parˆ ametros de A.

29

,O ct

ET

D

,2

01

Prova Vamos mostrar uma sequˆencia de desigualdades dim A ≤ dA ≤ δA ≤ dim A. Observe que a primeira desigualdade mostra que dim A ´e finita. (i) dim A ≤ dA : vamos mostrar, por indu¸ca˜o em dA , que dada uma cadeia de ideais primos p0 ( p1 ( · · · ( pn de tamanho n, temos n ≤ dA . Se dA = 0, ent˜ ao χA (n) = lenA A/mn ´e constante para n suficientemente grande. Mas como χA (n + 1) = χA (n) + lenA mn /mn+1 , temos que mn ⊗A k = mn /mn+1 = 0 para n grande. Por Nakayama, temos que mn = 0 para algum n, logo Spec A = {m} e portanto n ≤ 0. Agora suponha que dA > 0. Como dA/p0 ≤ dA , basta mostrarmos que n ≤ dA/p0 . Assim, substituindo A por A/p0 , podemos assumir que p0 = (0) e que A ´e um dom´ınio. Seja a ∈ p1 um elemento n˜ ao nulo e seja B = A/(a). Como a ´e regular, temos pelo lema que dB = dA − 1. Por outro lado, as imagens de p1 , . . . , pn em B formam uma cadeia de tamanho n − 1, assim por hip´otese de indu¸ca˜o temos que n − 1 ≤ dB = dA − 1 ⇒ n ≤ dA , como desejado. p (ii) dA ≤ δA : vamos utilizar indu¸ca˜o em δA . Se δA = 0, ent˜ ao m = (0) e portanto lenA A/mn = lenA A ´e constante para n suficientemente grande, provando que dA = 0. Agora suponha que δA > 0. Seja

87

a ∈ A um elemento pertencente a um sistema de parˆ ametros de cardinalidade δA e seja B = A/(a). Ent˜ ao δB ≤ δA − 1 e por hip´ otese de indu¸ca˜o δB = dB . Assim, pela parte (a) do lema, temos que dA − 1 ≤ dB = δB ≤ δA − 1 ⇒ dA ≤ δA . (iii) δA ≤ dim A: vamos fazer uma p indu¸ca˜o em dim A (que j´a sabemos ser finito por (i)). Se dim A = 0, ent˜ ao Spec A = {m}, logo (0) = m e portanto δA = 0. Agora suponha que dim A > 0. Como A ´e noetheriano, A possui apenas um n´ umero finito de ideais primos minimais. Assim, utilizando o “prime avoidance”, podemos escolher a ∈ m que n˜ ao pertence a nenhum primo minimal, de modo que B = A/(a) ´e tal que dim B ≤ dim A − 1. Por hip´otese de indu¸ca˜o, temos portanto δB ≤ dim B. Note ainda que se a1 , . . . , ar ∈ A s˜ao elementos cujas imagens em B formam um sistema de parˆ ametros de B, ent˜ ao a, a1 , . . . , ar forma um sistema de parˆ ametros de A, logo δA ≤ δB + 1. Assim δA − 1 ≤ δB ≤ dim B ≤ dim A − 1 ⇒ δA ≤ dim A. Corol´ ario 4.5 (Teorema do Ideal Principal de Krull) Seja A um dom´ınio noetheriano e seja a 6= 0 um elemento de A. Ent˜ ao qualquer ideal primo que ´e minimal dentre os que contˆem (a) tem altura 1. Mais geralmente, qualquer ideal primo que ´e minimal dentre os que contˆem (a1 , . . . , an ) tem altura menor ou igual a n. Prova Seja p ∈ Spec A que ´e minimal dentre os primos contendo (a1 , . . . , an ). p (a1 , . . . , an ), logo ht p = dim Ap = δAp ≤ n.

Portanto pAp =

Como δA ´e menor ou igual ao n´ umero m´ınimo de geradores do ideal maximal m, temos

Corol´ ario 4.6 Seja (A, m, k) um anel local noetheriano. Ent˜ ao dimk

m ≥ dim A m2

Defini¸ c˜ ao 4.7 Um anel local noetheriano (A, m, k) ´e regular se m pode ser gerado por dim A elementos. Um anel noetheriano B qualquer ´e regular se todas as suas localiza¸co˜es Bn com rela¸ca˜o aos seus ideais maximais n s˜ao regulares.

FT

Exemplo 4.8 Seja A = Z[x] e seja m = (3, x). Ent˜ ao dim Am = 2 e Am ´e regular. De fato, como temos uma cadeia de ideais primos (0) ( (x) ( (3, x), conclu´ımos que dim Am ≥ 2. Por outro lado, mAm pode ser gerado por dois elementos, assim dim Am = δAm ≤ 2. Em suma: dim Am = 2, que tamb´em ´e igual ao n´ umero m´ınimo de geradores de mAm , assim Am ´e regular.

(1

0

m (3, x) (3, x) mAm = 2 = 2 = (9, 3x, x2 ) (mAm )2 m (9, 3x, x )

01

RA

7:

28

)

Exemplo 4.9 Seja A = Z[x]/(x2 − 18) e seja m = (3, x). Ent˜ ao dim Am = 1 e Am n˜ ao ´e regular. De fato, como temos uma cadeia de ideais primos (0) ( (3, x), conclu´ ımos que dim A ≥ 1. Por outro lado, m p 2 como x = 18 ⇒ x ∈ (3), temos que {3} ´e um sistema de parˆ ametros e portanto δAm ≤ 1. Logo dim Am = δAm = 1. Por outro lado, temos isomorfismos de F3 -espa¸cos vetoriais

29

D

,2

que tem dimens˜ao 2 sobre F3 , portanto o n´ umero m´ınimo de geradores de mAm ´e 2. Assim, Am n˜ ao ´e regular.

,O ct

Teorema 4.10 Um anel local noetheriano regular (A, m, k) ´e um dom´ınio.

ET

Prova Indu¸ca˜o em dim A. Se dim A = 0, temos que m = (0) e portanto A ´e um corpo. Agora suponha que n = dim A > 0 e sejam a1 , . . . , an geradores de m. Ent˜ ao B = A/(a1 ) ´e um anel noetheriano local cujo ideal maximal pode ser gerado por n − 1 geradores. Mas como dim B ≥ dim A − 1 = n − 1, devemos ter dim B = n − 1 e portanto B ´e regular, logo um dom´ınio por hip´otese de indu¸ca˜o. Assim, (a1 ) ´e um ideal primo. Dados x, y ∈ A com xy = 0, se ambos estes elementos s˜ao n˜ ao nulos ent˜ ao dividindo x e y por a1 , podemos supor x, y 6∈ (a1 ), o que ´e um absurdo.

88

Dimens˜ ao

Teorema 4.11 (Dimens˜ ao das Fibras) Sejam (A, m, k) e (B, n, l) an´eis locais noetherianos e seja φ: A → B um morfismo local (i.e., φ−1 (n) = m). Ent˜ ao dim B ≤ dim A + dim B ⊗A k com igualdade se B ´e (fielmente) plano sobre A. Prova Sejam m = dim A e n = dim B ⊗A k. Seja a1 , . . . , am um sistema de parˆ ametros de A e sejam b1 , . . . , bn ∈ B pr´e-imagens de um sistema de parˆ ametros de B ⊗A k = B/φ(m)B. Para provar que dim B ≤ m + n, pelo teorema de dimens˜ao de Krull ´e suficiente mostrar que os m + n elementos ametros de B. Para mostrar que p b1 , . . . , bn , φ(a1 ), . . . , φ(am ) formam um sistema de parˆ r n = (b1 , . . . , bn , φ(a1 ), . . . , φ(am )), tome b ∈ n. Existe um r natural tal que b ∈ (b1 , . . . , bn ) em r s B ⊗A k = B/φ(m)B, ou seja, b ∈ (b1 , . . . , bn ) + φ(m)B. Como m ⊂ (a1 , . . . , am ) para algum natural s, temos brs ∈ (b1 , . . . , bn ) + φ(m)B


s

⊂ (b1 , . . . , bn ) + φ(ms )B ⊂ (b1 , . . . , bn , φ(a1 ), . . . , φ(am ))

como desejado. Agora suponha que B seja plano sobre A, de modo que o going-down vale. Escolha uma cadeia de primos em A p0 ( p1 ( · · · ( pm = m e uma cadeia de primos em B contendo φ(m), ou seja, primos da fibra de m em B: φ(m) ⊂ qm ( qm+1 ( · · · ( qm+n = q Pelo going-down, podemos estender a cadeia anterior para uma cadeia de primos em B q0 ( · · · ( qm−1 ( qm ( · · · ( qm+n = q com qi sobre pi para i = 0, 1, . . . , m. Assim, dim B ≥ m + n e portanto dim B = m + n. Corol´ ario 4.12 Seja A um anel noetheriano. Ent˜ ao

FT

Prova Dada uma cadeia de ideais primos de A

28

p0 ( p1 ( · · · ( pn

)

dim A[x] = dim A + 1

(1

RA

7:

temos uma cadeia de ideais primos em A[x]

0

p0 · A[x] ( p1 · A[x] ( · · · ( pn · A[x] ( pn + (x)

29

,2

01

de modo que dim A[x] ≥ dim A + 1. Para mostrar a desigualdade oposta, seja q um ideal maximal de A[x] tal que dim A[x] = dim A[x]q . Seja p = q ∩ A ∈ Spec A e seja k = Frac(A/p) seu corpo residual. Como A[x] ´e plano sobre A, temos que A[x]q ´e plano sobre Ap , logo

,O ct

ET

D

dim A[x] = dim A[x]q = dim Ap + dim A[x]q ⊗A k = dim Ap + dim k[x]q ≤ dim A + 1

Lemma 4.13 Seja A um anel noetheriano. Se A ´e regular, ent˜ ao A[x] tamb´em ´e regular. Prova Seja q ∈ Spec A[x] e seja p = q ∩ A. Seja k = Frac A/p o corpo residual de p. A fibra de p ´e isomorfa a Spec k[x], logo temos duas possibilidades: q = pA[x] ou q = (p, f (x)) onde f (x) ∈ A[x] ´e tal que sua imagem em k[x] ´e irredut´ıvel. No segundo caso, como dim A[x]q = dim Ap + 1 e pAp ´e gerado por dim Ap elementos, temos que A[x]q ´e regular.

89

5 Exerc´ıcios 01. Para cada um dos an´eis locais noetherianos a seguir, determine: (i) um sistema de parˆ ametros minimal; (ii) o polinˆomio de Hilbert-Samuel; (iii) a dimens˜ao de Krull. Diga ainda se cada um destes an´eis ´e regular ou n˜ ao. (a) um corpo K

(b) Z(p) , p primo

(c) Q[t](t)

(d) Q[t](t2 +1)

(e) C[x, y](x,y)

(f) C[x, y, z](x,y,z)

(g) Z[x](3,x)

(h) C[x, y](y2 −x3 )

(i) Am onde A = C[x, y]/(y 2 − x2 (x + 1)) e m = (x + 1, y)

(j) Am onde A = C[x, y]/(y 2 − x2 (x + 1)) e m = (x, y) (k) Am onde A = Z[x]/(x2 − 15) e m = (3, x)

29

,O ct

ET

D

(1

0 01

,2

RA

7:

)

28

FT

(l) Am onde A = Z[x]/(x2 − 45) e m = (3, x)

ET

,O ct

29

,2

01

0 28

7:

(1 )

FT

RA

D

Chapter 6 complexo exato morfismo homologia homotopia

M´etodos Homol´ogicos Em Topologia, um fato surpreendente ´e que a “falha” ou “obstru¸ca˜o” de certa propriedade pode ser quantificada pela falha de exatid˜ao de certas sequˆencias. Por exemplo, o grupo de homologia H1 (X, Z) de um espa¸co topol´ ogico X pode ser entendido como uma medida da “falha” de X ser simplesmente conexo. Neste cap´ıtulo, veremos como esta filosofia oriunda da Topologia se aplica no estudo de an´eis regulares e de planaridade.

1 Complexos e Homologia Defini¸ c˜ ao 1.1 Dado um anel A, uma sequˆencia de morfismos de A-m´ odulos ···

- Mi+1

- Mi

di+1

- Mi−1

di

- ···

di−1

´e um complexo se a composi¸ca˜o de duas flechas consecutivas ´e 0, ou seja, di ◦ di+1 = 0 ⇐⇒ im di+1 ⊂ ker di

para todo inteiro i

Se im di+1 ⊂ ker di para todo i, dizemos que o complexo ´e exato. Um morfismo entre dois complexos (M• , d• ) e (N• , e• ) de A-m´ odulos ´e uma cole¸ca˜o de morfismos de A-m´ odulos φi : Mi → Ni tais que o seguinte diagrama comuta: - Mi+1 di+1 - Mi φi+1 ···

? - Ni+1

di -

φi

Mi−1

di−1 -

···

φi−1

ei+1 - ? Ni

ei -

? Ni−1

ei−1 -

···

FT

···

28

7:

RA

ker di im di+1

(1

def

Hi (M• , d• ) =

)

Defini¸ c˜ ao 1.2 Dado um complexo (M• , d• ), definimos a sua i-´esima homologia como o A-m´ odulo

01

,2

Dado um morfismo do complexos φ• : (M• , d• ) → (N• , e• ), temos um morfismo induzido em homolo-

29

gias

0

Observe que (M• , d• ) ´e exato se, e s´o se, Hi (M• , d• ) = 0 para todo i. Assim, a homologia de um complexo quantifica a “falta de exatid˜ao” de um complexo.

D

Hi (φ• ): Hi (M• ) → Hi (N• )

z ∈ ker di

,O ct

z mod im di+1 7→ φi (z) mod im ei

ET

´ f´acil verificar que este mapa est´ E a bem definido e que ele preserva identidade e composi¸co˜es. Temos portanto que cada Hi ´e um funtor da categoria de complexos de A-m´ odulos para a categoria de Am´odulos. Defini¸ c˜ ao 1.3 Sejam dois complexos (M• , d• ) e (N• , e• ) de A-m´ odulos e sejam φ• e ψ• dois morfismos entre eles. Uma homotopia entre φ• e ψ• ´e um cole¸ca˜o de mapas ki : Mi → Ni+1 tais que φi − ψi = ei+1 ◦ ki + ki−1 ◦ di

92

M´etodos Homol´ogicos

para todo i. Dois morfimos s˜ao homot´ opicos se existe alguma homotopia entre eles. - Mi+1

···

di Mi−1

Mi

k i φi , ψi

φi+1 , ψi+1 ? - Ni+1

···

di+1 -

k i−

ei+1 - ? Ni

1

di−1 -

quase-isomorfismo sequˆ encia exata curta morfismos conectores

···

φi−1 , ψi−1

ei - ? Ni−1

ei−1 -

···

A importˆ ancia de homotopias se deve ao seguinte Lemma 1.4 Se φ• , ψ• : (M• , d• ) → (N• , e• ) s˜ ao homot´ opicos, ent˜ ao eles induzem a mesma homologia. Prova Seja k• uma homotopia entre φ• e ψ• . Temos que mostrar que Hi (φ• ) = Hi (ψ• ), ou seja, que Hi (φ• − ψ• ) = 0. Mas k• “constr´ oi pr´e-imagens” para anular a homologia: se z ∈ ker di , temos que φi (z) − ψi (z) = ei+1 ◦ ki (z) + ki−1 ◦ di (z) = ei+1 ◦ ki (z) ∈ im ei+1 que portanto possui imagem 0 em Hi (N• , e• ). Defini¸ c˜ ao 1.5 Um morfismo de complexos φ• : (M• , d• ) → (N• , e• ) ´e um quase-isomorfismo se os morfismos induzidos em homologia Hi (φ• ): Hi (M• )

- Hi (N• )

∼

s˜ao todos isomorfismos. Uma sequˆ encia exata curta de morfismos de complexos - M•

- M′ •

0

f•

- M ′′ •

- 0

- M ′′ i

- 0

g•

´e uma sequˆencia de morfismos de complexos para a qual - Mi

- M′ i

0

fi

gi

- 0

7:

- M•′′

g•

(1

f•

RA

- M•

- M•′

0

28

Teorema 1.6 (A sequˆ encia exata longa) Dada uma sequˆencia exata curta de complexos

)

FT

´e exata para cada i. O pr´oximo resultado ´e a ferramenta mais importante no estudo e c´ alculo da homologia de complexos.

01

,2

- ···

δi−1

29

´e exata.

- Hi−1 (M ′′ ) •

Hi−1 (g• )

,O ct

- Hi−1 (M• )

Hi−1 (f• )

D

Hi−1 (M•′ )

0

existem morfismos δi : Hi (M•′′ , d′′• ) → Hi−1 (M•′ , d′• ), chamados de morfismos conectores, tais que a sequˆencia Hi (g• ) •) i - Hi (M•′ ) Hi (f- Hi (M•′′ ) δ··· Hi (M• )

Prova Vamos primeiro definir δi . Considere o seguinte diagrama commutativo com linhas exatas: - M′ i d′i 0

fi Mi di

gi - ′′ Mi

ET

0

- 0

d′′i

? f ? ? i−1 ′ ′′ - Mi−1 - Mi−1 gi−1- Mi−1

- 0

93 Dado um elemento z ∈ Hi (M•′′ ) representado por z ∈ ker d′′i , tome y ∈ Mi tal que gi (y) = z. Como ′ gi−1 ◦ di (y) = 0, existe um u ´nico x ∈ Mi−1 para o qual fi−1 (x) = di (y). gi

y ∈ Mi

- z ∈ M ′′ i

di ′ x ∈ Mi−1

⊂

? fi−1 (x) = di (y) ∈ Mi−1

fi−1 -

´ f´acil verificar que d′ (x) = 0 e que δi (z) = x + im d′ ´e independente das escolhas de z ou y. E i−1 i Um “diagram chase” simples (mas longo e tedioso, vocˆe pode fazer quando ningu´em estiver olhando) mostra que a sequˆencia longa acima definida ´e realmente exata. Observa¸ c˜ ao 1.7 Os mapas δi s˜ao transforma¸co˜es naturais: dado um diagrama comutativo com linhas exatas 0

- M•′

- M•

- M•′′

- 0

0

? - N•′

? - N•

? - N•′′

- 0

temos um diagrama comutativo δiM Hi (M•′′ ) Hi−1 (M•′ )

? ? δN i Hi−1 (N•′ ) Hi (N•′′ ) ` vezes, trabalharemos com complexos com numera¸ca˜o crescente: Uma observa¸ca˜o final. As - M p−1

dp−1

- Mp

dp

- M p+1

dp+1

- ···

FT

···

(1

0

ker dp im dp−1

RA

H p (M • ) =

7:

28

)

Mutatis mutandis, todos os resultados e defini¸co˜es anteriores tamb´em se aplicam para essas “sequˆencias crescentes”; neste caso, convencionamos escrever os ´ındices como superescritos. Por exemplo, para a sequˆencia anterior, sua homologia ´e definida por

01

2 Sequˆ encias Regulares e o Complexo de Koszul

29

,2

Como primeiro exemplo de aplica¸ca˜o pr´atica, vejamos como as t´ecnicas homol´ ogicas s˜ao u ´ teis no estudo de sequˆencias regulares.

,O ct

ET

D

Defini¸ c˜ ao 2.1 Seja A um anel e M um A-m´ odulo. Dizemos que um elemento a ∈ A ´e M -regular se a a multiplica¸ca˜o por este elemento M - M ´e injetora, ou seja, am = 0 ⇒ m = 0 para todo m ∈ M . Dizemos que uma sequˆencia a1 , . . . , an ∈ A ´e uma M -sequˆ encia regular (ou apenas M -sequˆ encia) se as seguintes condi¸co˜es s˜ao satisfeitas: 1. ai ´e M/(a1 , . . . , ai−1 )M -regular para cada i = 1, . . . , n; 2. (a1 , . . . , an )M 6= M .

Exemplo 2.2 Seja (A, m, k) um anel local noetheriano regular de dimens˜ao n, de modo que m = (a1 , . . . , an ). Temos que a1 , . . . , an ´e uma sequˆencia A-regular pois A/(a1 , . . . , ai−1 ) ´e um anel noetheriano local regular, logo um dom´ınio, de modo que ai n˜ ao ´e divisor de zero neste anel.

M -regular

94

M´etodos Homol´ogicos

No estudo de sequˆencias regulares, o seguinte complexo ter´ a papel central.

complexo de Koszul

Defini¸ c˜ ao 2.3 Seja M um A-m´ odulo e a = (ai )1≤i≤n uma sequˆencia de elementos em A. O complexo de Koszul (K• (a, M ), d• ) associado a M e a ´e definido da seguinte maneira:  se p < 0 0 M se p = 0 Kp (a, M ) = L  se p > 0 M · e i1 ...ip 0≤i1 1, dp : Kp (a, M ) → Kp−1 (a, M ) X m · ei1 ...ip 7→ (−1)k−1 aik m · ei1 ...ˆik ...ip 1≤k≤p

onde ei1 ...ˆik ...ip ´e o elemento da base obtido omitindo-se o ´ındice ik . Para p = 1, d1 (m · ei ) = ai m, 1 ≤ i ≤ n. Note que realmente temos um complexo: dp−1 ◦ dp (m · ei1 ...ip ) X = (−1)k−1 aik dp−1 (m · ei1 ...ˆik ...ip ) 1≤k≤p

=

X

k−1

(−1)

aik

j−1

(−1)

1≤j≤k−1

1≤k≤p

=0

X

aij m · ei1 ...ˆij ...ˆik ...ip +

X

j

k+1≤j≤p

(−1) aij m · ei1 ...ˆik ...ˆij ...ip

!

pois cada elemento da base ei1 ,...,ep com dois ´ındices ij e ik omitidos aparece duas vezes na soma acima com coeficientes de sinais opostos. Exemplo 2.4 Para n = 1, o complexo de Koszul ´e simplesmente 0

- K0 = M

- K 1 = M e1

d1 =a1

- 0

onde d1 ´e simplesmente a multiplica¸ca˜o por a1 . Assim, a sequˆencia a1 ´e M -regular se, e s´o se,

)

0

d2 (me12 ) = a1 me2 − a2 me1

d1 (m1 e1 + m2 e2 ) = a1 m1 + a2 m2

28

- 0

7:

RA

onde os mapas di s˜ao dados por

- K0 = M

d1 =(a1 ,a2 )

(1

Exemplo 2.5 Para n = 2, o complexo de Koszul ´e dado por   −a2 d2 = a1 - K 1 = M e1 ⊕ M e2 0 - K2 = M e12

FT

H0 (K• ) 6= 0

e

01

H1 (K• ) = 0



? - M

- 0

a1

? ? ? m1 e1 + m2 e2 7→ m1 2 - M e1 me1 7→ meM e1 ⊕ M e2 M

- 0

(a1 , a2 )

a1 0



ET

0

−a2 a1

29

me12 7→ me1 M e1

- M e12

,O ct

- 0

D

0

,2

Vejamos a rela¸ca˜o entre este complexo e a M -regularidade de a1 , a2 . Para isto, considere a seguinte sequˆencia exata de complexos de Koszul:

id

? -M

? - 0

- 0

95

Aqui as linhas s˜ao exatas, a coluna do meio ´e o complexo de Koszul para a1 , a2 e as colunas externas s˜ao os complexos de Koszul para a1 , sendo o da direita “deslocado” em uma posi¸ca˜o. Temos portanto uma sequˆencia exata (n˜ao muito) longa 0

- H2 (K• (a1 , a2 , M ))

- H1 (K• (a1 , M ))

δ2

- H0 (K• (a1 , M ))

δ1

- H1 (K• (a1 , M ))

- H1 (K• (a1 , a2 , M )) - H0 (K• (a1 , a2 , M ))

- H0 (K• (a1 , M )) - 0

Vamos descrever explicitamente os morfismos de conex˜ ao. Seja me1 , m ∈ M , um representante de um elmento de H1 (K• (a1 , M )), de modo que a1 m = 0. Temos δ2 (me1 ) = d2 (me12 ) = −a2 me1 Assim, δ2 ´e induzido pela multiplica¸ca˜o por −a2 . Da mesma forma mostra-se que δ1 ´e ´e induzido pela multiplica¸ca˜o por +a2 . Se a1 , a2 ´e M -regular, ent˜ ao H1 (K• (a1 , M )) = 0 e δ1 ´e injetor, pois a2 ´e regular em M/a1 M = H0 (K• (a1 , M )). Portanto, da sequˆencia exata acima, temos H1 (K• (a1 , a2 , M )) = H2 (K• (a1 , a2 , M )) = 0 enquanto H0 (K• (a1 , a2 , M )) = M/(a1 , a2 )M 6= 0. Agora suponhamos adicionalmente que (A, m, k) ´e um anel noetheriano local, que a1 , a2 ∈ m e que M ´e finitamente gerado sobre A. Vejamos o que ocorre quando H1 (K• (a1 , a2 , M )) = 0 e H0 (K• (a1 , a2 , M )) 6= 0. Neste caso, a2 anula H1 (K• (a1 , M )). Mas como M ´e noetheriano, temos que esta homologia ´e um m´odulo ´e finitamente gerado sobre A, logo por Nakayama conclu´ımos que H1 (K• (a1 , M )) = 0, ou seja, a1 ´e regular. Assim, temos tamb´em que H2 (K• (a1 , a2 , M )) = 0. Isto implica que a2 ´e regular em M/a1 M : se a2 m2 = a1 m1 para mi ∈ M , temos que m1 e1 − m2 e2 ∈ ker d1 = im d2 , logo m2 ∈ a1 M . Resumindo: se (A, m, k) ´e um anel noetheriano local, a1 , a2 ∈ m e M 6= 0 ´e um m´odulo finitamente gerado sobre A, ent˜ ao a1 , a2 ´e M -regular ⇐⇒ H1 (K• (a1 , a2 , M )) = 0 j´a que, por Nakayama, H0 (K• (a1 , a2 , M )) = M/(a1 , a2 )M = 0 ⇐⇒ M = 0. Note que, em particular, a1 , a2 ´e M -regular se, e s´o se, a2 , a1 ´e M -regular, pois a condi¸ca˜o H1 (K• (a1 , a2 , M )) = 0 ´e claramente independente da ordem dos ai ’s.

FT

No exemplo anterior, temos que a homologia do complexo de Koszul ´e uma “medida de falha” de regularidade de uma sequˆencia. Podemos generalizar este exemplo, para isto provemos inicialmente o seguinte

28

- K• (a1 , . . . , an−1 , M )[−1] → 0

,2

onde [−1] denota “deslocamento” por −1, isto ´e,

0

g

01

- K• (a1 , . . . , an , M )

f

(1

RA

7:

1. Temos uma sequˆencia exata de complexos 0 → K• (a1 , . . . , an−1 , M )

)

Lemma 2.6 Seja A um anel, M uma A-m´ odulo e a = (ai )1≤i≤n uma sequˆencia de elementos em A. Denote Hp (K• (a, M )) por Hp (a, M ).

def

29

,O ct

D

Kp (a1 , . . . , an−1 , M )[−1] = Kp−1 (a1 , . . . , an−1 , M ) Desta sequˆencia, obtemos uma sequˆencia exata longa da forma (−1)p an

(−1)

p−1

- Hp (a1 , . . . , an−1 , M ) → Hp (a1 , . . . , an , M ) → Hp−1 (a1 , . . . , an−1 , M )

ET

···

- Hp−1 (a1 , . . . , an−1 , M ) → Hp−1 (a1 , . . . , an , M ) → · · ·

an

2. Para todo p, an Hp (a1 , . . . , an , M ) = 0. Em particular, Hp (a1 , . . . , an , M ) ´e anulada por qualquer elemento do ideal (a1 , . . . , an ).

96

M´etodos Homol´ogicos

Prova

1. Para cada p, defina fp : Kp (a1 , . . . , an−1 , M ) → Kp (a1 , . . . , an , M ) por m∈M

fp (mei1 i2 ...ip ) = mei1 i2 ...ip e gp : Kp (a1 , . . . , an , M ) → Kp (a1 , . . . , an−1 , M )[−1] por gp (mei1 i2 ...ip ) =



mei1 i2 ...ip−1 0

se ip = n se ip < n

m∈M

Temos portanto sequˆencias exatas 0

- Kp (a1 , . . . , an−1 , M )

- Kp (a1 , . . . , an , M )

fp

- 0

- Kp (a1 , . . . , an−1 , M )[−1]

gp

e ´e f´acil verificar que os mapas fp e gp comutam com os diferenciais dp dos complexos de Koszul. Assim, temos uma sequˆencia exata de complexos. Falta ainda mostrar que os morfismos de conex˜ ao δp : Hp (a1 , . . . , an−1 , M )[−1] → Hp−1 (a1 , . . . , an−1 , M ) s˜ao dados por multiplica¸ca˜o por (−1)p−1 an . P Tome um representante mi1P ...ip−1 ei1 ...ip−1 ∈ ker dp de um elemento de Hp−1 (a1 , . . . , an−1 , M ). O resultado segue observando que mi1 ...ip−1 ei1 ...ip−1 n ∈ Kp (a1 , . . . , an , M ) ´e uma pr´e-imagem deste elemento por gp e que dp =



X

mi1 ...ip−1 ei1 ...ip−1 n  X  X p−1 k−1 (−1) aik mi1 ...ip−1 ei1 ...ˆik ...ip−1 n + (−1) an mi1 ...ip−1 ei1 ...ip−1

i1 ,...,ip−1

p−1

= (−1)

1≤k≤p−1

an

utilizando o fato que

X

P

2. Podemos escrever

mi1 ...ip−1 ei1 ...ip−1

mi1 ...ip−1 ei1 ...ip−1 ∈ ker dp .



Kp (a1 , . . . , an , M ) = ⊕ip 0.

ET

Teorema 2.7 Seja M 6= 0 um m´ odulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano local (A, m, k). Sejam a1 , . . . , an ∈ m. As seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes:

3. H1 (a1 , . . . , an , M ) = 0. Prova Observe inicialmente que M/(a1 , . . . , an )M 6= 0 automaticamente por Nakayama (lema III.2.3.2). A prova ´e por indu¸ca˜o em n, sendo que os casos n = 1 e n = 2 seguem dos exemplos. Seja n > 1.

97

(1 ⇒ 2) A sequˆencia exata longa do lema anterior, juntamente com a hip´otese de indu¸ca˜o, mostra que Hp (a1 , . . . , an , M ) = 0 se p > 1. Para p = 1, temos o seguinte fragmento da sequˆencia exata longa: 0 =H1 (a1 , . . . , an−1 , M )

- H0 (a1 , . . . , an−1 , M )

- H1 (a1 , . . . , an , M )

f

- H0 (a1 , . . . , an−1 , M )

an

Como an ´e regular em H0 (a1 , . . . , an−1 , M ) = M/(a1 , . . . , an−1 )M , conclu´ımos que f = 0. Portanto H1 (a1 , . . . , an , M ) = 0 e o resultado vale para p = 1 tamb´em. (2 ⇒ 3) Claro. (3 ⇒ 1) Temos uma sequˆencia exata: H1 (a1 , . . . , an−1 , M )

- H1 (a1 , . . . , an−1 , M )

- H1 (a1 , . . . , an , M ) = 0

−an

Como an ∈ m, por Nakayama (lema III.2.3.2) temos H1 (a1 , . . . , an−1 , M ) = 0. Por hip´otese de indu¸ca˜o, temos que a1 , . . . , an ´e M -regular. Por outro lado, a exatid˜ao de - H0 (a1 , . . . , an−1 , M )

0 = H1 (a1 , . . . , an , M )

- H0 (a1 , . . . , an−1 , M )

an

mostra que an ´e regular em H0 (a1 , . . . , an−1 , M ) = M/(a1 , . . . , an−1 )M . Novamente como temos um isomorfismo de complexos K• (a1 , . . . , an , M ) ∼ = K• (aσ(1) , . . . , aσ(n) , M ) para qualquer permuta¸ca˜o σ de 1, 2, . . . , n, obtemos o seguinte Corol´ ario 2.8 Nas condi¸c˜ oes do teorema anterior, uma permuta¸c˜ ao de uma sequˆencia M -regular ´e M -regular. Continuamos nas condi¸co˜es do teorema anterior. Queremos agora considerar M -sequˆencias que s˜ao maximais; elas certamente existem pois para toda M -sequˆencia a1 , a2 , . . ., temos uma cadeia ascendente estrita (a1 ) ( (a1 , a2 ) ( · · ·, que estabiliza pois A ´e noetheriano. O fato surpreendente ´e que todas as M -sequˆencias possuem o mesmo comprimento: Teorema 2.9 Seja (A, m, k) um anel local noetheriano. Sejam b1 , . . . , bn geradores de m e seja q = max{i | Hi (b1 , . . . , bn , M ) 6= 0}

Ent˜ ao toda M -sequˆencia maximal tem tamanho n − q.

Prova Seja a1 , . . . , as uma M -sequˆencia maximal, provemos por indu¸ S ca˜o em s que s = n − q. Se s = 0, ent˜ ao todo elmento de m ´e um divisor de zero em M , logo m ⊂ p∈Ass(M) p. Pelo “prime avoidance” (teorema V.4.2), temos m ∈ Ass(M ), assim existe v 6= 0 em M tal que m = ann(v). Portanto v ∈ Hn (b1 , . . . , bn , M ) = {m ∈ M | b1 m = · · · = bn m = 0}

max{i | Hi (b1 , . . . , bn , M/a1 M ) 6= 0} = q + 1

(∗)

)

FT

o que mostra que neste caso q = n. Agora seja s > 0. Vamos mostrar que

- 0

Temos uma sequˆencia exata de complexos de Koszul

···

- Hp (b1 , . . . , bn , M )

- Hp (b1 , . . . , bn , M )

a1

- Hp−1 (b1 , . . . , bn , M )

- 0

- Hp (b1 , . . . , bn , M/a1 M )

- Hp−1 (b1 , . . . , bn , M )

a1

,2

e portanto uma sequˆencia exata longa

- K• (b1 , . . . , bn , M/a1 M )

29

- K• (b1 , . . . , bn , M )

a1

,O ct

- K• (b1 , . . . , bn , M )

D

0

(1

- M/a1 M

0

- M

a1

01

- M

0

RA

7:

28

Deste modo, por hip´ otese de indu¸ca˜o aplicada `a M/a1 M -sequˆencia maximal a2 , . . . , as de tamanho s − 1, teremos s − 1 = n − (q + 1) ⇐⇒ s = n − q. Para provar (∗), considere a sequˆencia exata

- Hp−1 (b1 , . . . , bn , M/a1 M )

- ···

ET

Mas como a1 ∈ m = (b1 , . . . , bn ) anula estes m´odulos (lemma 2.6), esta sequˆencia longa se parte em sequˆencias menores da forma 0 - Hp (b1 , . . . , bn , M ) - Hp (b1 , . . . , bn , M/a1 M ) - Hp−1 (b1 , . . . , bn , M ) - 0 Se p > q + 1, temos Hp (b1 , . . . , bn , M ) = Hp−1 (b1 , . . . , bn , M ) = 0 e portanto Hp (b1 , . . . , bn , M/a1 M ) = 0 tamb´em para o termo do meio. Finalmente, para p = q + 1, obtemos Hq+1 (b1 , . . . , bn , M/a1 M ) ∼ = Hq (b1 , . . . , bn , M ) 6= 0, o que encerra a prova de (∗) e do teorema.

98

M´etodos Homol´ogicos

Defini¸ c˜ ao 2.10 Nas condi¸co˜es do teorema anterior, o n´ umero de elementos depth M em qualquer M sequˆencia maximal ´e chamado de profundidade de M . Exemplo 2.11 Seja k um corpo e A = k[x, y](x,y) /(y 2 − x3 ). O complexo de Koszul de A com rela¸ca˜o a sequˆencia x, y ´e `   −y x - A - 0 - Ae1 ⊕ Ae2 (x,y) 0 - Ae12

Cohen-Macauley exato ` a esquerda exato ` a direita exato

Como A ´e um dom´ınio e x, y n˜ ao s˜ao 0, temos que H2 (x, y, A) = 0. Por outro lado, temos que o elemento ao pertence a im d2 , j´a que y ∈ / (x) (caso contr´ario, este anel seria regular, o −x2 e1 + ye2 ∈ ker d1 mas n˜ que j´a sabemos n˜ ao ser verdade). Isto mostra que H1 (x, y, A) 6= 0. Assim, depth A = 2 − 1 = 1.

A profundidade ´e um importante invariante de m´odulos e an´eis. Temos a seguinte rela¸ca˜o com a dimens˜ao: Teorema 2.12 Seja (A, m, k) um anel local noetheriano. Ent˜ ao depth A ≤ dim A

p Prova Indu¸ca˜o na dimens˜ao. Se dim A = 0 ent˜ ao m = (0) e portanto depth M = 0. Se dim A > 0 e a1 , . . . , as ´e uma sequˆencia A-regular maximal (s = depth A) ent˜ ao depth A/a1 A = s − 1, tanto como A-m´ odulo e como A/a1 A-m´ odulo. Por outro lado, dim A/a1 A = dim A − 1 pois a1 n˜ ao ´e divisor de zero. Por indu¸ca˜o, temos portanto que s − 1 = depth A/a1 A ≤ dim A/a1 A = dim A − 1 ⇐⇒ depth A ≤ dim A Exemplo 2.13 Seja k um corpo e A = k[x, y](x,y) /(xy, x2 ). Temos que dim A = 1 pois y ´e um sistema de parˆ ametros. Por outro lado, como (x, y) = ann(x) ´e associado, temos que todo elemento deste ideal maximal ´e divisor de zero e portanto depth A = 0, mostrando que a desigualdade acima pode ser estrita. Defini¸ c˜ ao 2.14 Um anel noetheriano local A ´e Cohen-Macauley se depth A = dim A. Veremos mais tarde que a condi¸ca˜o acima ´e uma esp´ecie de “regularidade fraca.” Em particular, an´eis regulares s˜ao Cohen-Macauley, j´ a que uma base minimal para o ideal maximal ´e uma sequˆencia regular.

3 Resolu¸ co ˜es e Funtores Derivados

28

3.1 M´ odulos Projetivos e Injetivos

)

FT

Ap´os este breve interl´ udio com o complexo de Koszul, voltemos `a situa¸ca˜o abstrata geral. Vamos estudar agora a “falha de exatid˜ao” de certos funtores, o que nos leva ao conceito de funtor derivado.

0

- FM′

- FM

(1

- M ′′

- 0

- F M ′′

0

- M

01

a sequˆencia

- M′

,2

0

RA

7:

Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Seja F um funtor da categoria de A-m´ odulos para a categoria de grupos abelianos. Dizemos que F ´e exato ` a esquerda se para toda sequˆencia exata curta de A-m´ odulos

- FM

- F M ′′

29

- 0

,O ct

FM′

D

tamb´em ´e exata. Por outro lado, o funtor F ´e dito exato ` a direita se para toda sequˆencia exata curta de A-m´ odulos como acima, a sequˆencia

ET

´e exata. O funtor F ´e exato se ´e simultaneamente exato `a esquerda e `a direita, ou seja, preserva sequˆencias exatas. Se G ´e um funtor contravariante, dizemos que ele ´e exato `a esquerda se 0

- GM ′′

- GM

- GM ′

´e exato para toda sequˆencia exata curta de A-m´ odulos como acima. Analogamente define-se funtor contravariante exato ` a direita e funtor contravariante exato.

99

Exemplo 3.1.2 Seja N um A-m´ odulo qualquer. Ent˜ ao − ⊗A N ´e exato `a esquerda, sendo exato se, e s´o se, N ´e A-plano. Exemplo 3.1.3 Para qualquer A-m´ odulo N , temos um funtor HomA (N, −) que associa a cada A-m´ odulo M o grupo abeliano dos morfismos de A-m´ odulos φ: N → M . Para cada flecha f : M1 → M2 , este funtor associa a flecha HomA (N, f ): HomA (N, M1 ) → HomA (N, M1 ) φ 7→ f ◦ φ

Agora ´e f´acil checar que HomA (N, −) ´e um funtor exato `a esquerda. Da mesma forma, define-se o funtor contravariante HomA (−, N ), que tamb´em ´e exato `a esquerda. Defini¸ c˜ ao 3.1.4 Um A-m´ odulo P ´e projetivo se o funtor HomA (P, −) ´e exato. Um A-m´ odulo I ´e injetivo se o funtor HomA (−, I) ´e exato. L ao Exemplo 3.1.5 Todo m´odulo livre ´e projetivo: se M = i∈I Aei ´e livre, ent˜ HomA (M, T ) =

Y

HomA (Aei , T ) =

i∈I

Y

T ei

i∈I

e portanto o funtor HomA (M, −) ´e exato. Teorema 3.1.6 Um A-m´ odulo I ´e injetivo se, e s´ o se, para qualquer ideal a de A HomA (A, I) ։ HomA (a, I) ´e sobrejetor, i.e., qualquer morfismo f : a → I se estende para um morfismo f˜: A → I sobre todo A. Prova A necessidade ´e clara. Para mostrar que a condi¸ca˜o ´e suficiente, seja N ⊂ M uma inclus˜ao de A-m´ odulos e tome φ ∈ HomA (N, I); temos que obter uma extens˜ao φ˜ ∈ HomA (M, I), o que ´e mais uma tarefa para o lema de Zorn: considere a cole¸ca˜o das extens˜oes (T, ψ) de φ, isto ´e, n o (T, ψ) T ´e um A-m´ odulo tal que N ⊂ T ⊂ M e ψ ∈ HomA (T, I) ´e tal que ψ|N = φ

parcialmente ordenado da maneira usual:

FT

(T1 , ψ1 ) ≤ (T2 , ψ2 ) ⇐⇒ T1 ⊂ T2 e ψ2 |T1 = ψ1

(1

0

˜ n ˜∈N

01

a ∈ A,

29

ˆ N ˆ →I φ: ˜ n) + f˜(a) n ˜ + am 7→ φ(˜

,2

RA

7:

28

)

´ f´acil verificar que toda cadeia ´e limitada superiormente, de modo que o conjunto acima admite um E ˜ ˜ , φ). ˜ = M . Suponha por absurdo que n˜ elemento maximal (N Devemos mostrar que N ao e tome ˜ ˜ m ∈ M \ N . Considere o ideal a = {a ∈ A | am ∈ N }. Por hip´otese, existe f˜: A → I estendendo o mapa ˜ ˆ =N ˜ + Am e f : a → I dado por f (a) = φ(am), a ∈ a. Podemos agora definir N

,O ct

D

ˆ . Mas Observe que φˆ est´ a bem definido, i.e., independe da particular representa¸ca˜o de um elemento em N ˆ ˜ ˆ ˜ ent˜ ao (N , φ) ´e estritamente maior que (N , φ), o que ´e absurdo.

ET

Utilizando o crit´erio anterior, podemos dar agora exemplos de m´odulos injetivos. Relembrando: um grupo abeliano G ´e dito divis´ıvel se a multiplica¸ca˜o por n em G ´e sobrejetora para todo inteiro n > 0. Por exemplo, Q e Q/Z s˜ao grupos abelianos divis´ıveis. Lemma 3.1.7 Qualquer grupo abeliano divis´ıvel G ´e um Z-m´ odulo injetivo. Prova Todo ideal de Z ´e principal. Assim, dado d ∈ Z e um morfismo f : (d) → G, basta definir uma extens˜ao f˜: Z → G, o que ´e f´ acil: se y ∈ G ´e tal que dy = f (d), basta por f˜(1) = y.

projetivo injetivo grupo divis´ıve

100

M´etodos Homol´ogicos

Defini¸ c˜ ao 3.1.8 Uma sequˆencia exata curta de A-m´ odulos 0

- M′

- M

cinde se¸ c˜ ao

- M ′′

i

p

- 0

cinde se a inje¸ca˜o i admite uma se¸ c˜ ao s, isto ´e, um morfismo de A-m´ odulos s: M → M ′ tal que s ◦ i = id ou, equivalentemente, a proje¸ca˜o p admite uma se¸ca˜o t, isto ´e, morfismo de A-m´ odulos t: M ′′ → M tal que p ◦ t = id. Neste caso, temos isomorfismos M

- M ′ ⊕ M ′′

∼

m 7→ (s(m), p(m))

M ′ ⊕ M ′′

e

′

- M

∼

′′

(m , m ) 7→ i(m′ ) + t(m′′ )

Exemplo 3.1.9 Sobre um corpo k, toda sequˆencia exata curta de k-espa¸cos vetoriais cinde. A sequˆencia de Z-m´ odulos 2 0 - Z/2 - Z/4 - Z/2 - 0 n˜ ao cinde, pois Z/4 ∼ 6 Z/2 ⊕ Z/2. = Lemma 3.1.10 Seja 0

- M′

- M

- M ′′

- 0

uma sequˆencia exata curta de A-m´ odulos. 1. Se M ′ ´e injetivo ou se M ′′ ´e projetivo ent˜ ao a sequˆencia acima cinde. 2. Se a sequˆencia acima cinde, ent˜ ao para qualquer funtor F exato ` a esquerda ou ` a direita a sequˆencia - F M ′′ - 0 0 - FM′ - FM ´e exata. Prova Se M ′ ´e injetivo, qualquer extens˜ao s: M → M ′ da identidade id: M ′ → M ′ ´e uma se¸ca˜o de M ′ ֒→ M , logo a sequˆencia cinde. Teorema 3.1.11 (Projetivo como Somando de Livres) Um m´ odulo M ´e projetivo se, e s´ o se, existe M ′ tal que M ⊕ M ′ ´e livre.

)

28

0

,2

M ´e livre ⇒ M ´e projetivo ⇒ M ´e plano

01

RA

Lemma 3.1.12 Seja M um A-m´ odulo. Ent˜ ao

(1

7:

Assim, como M ´e projetivo, a sequˆencia acima cinde e F ∼ = M ⊕ N.

FT

Prova Existe um m´odulo livre F e uma sobreje¸ca˜o F ։ M . Seja N o kernel deste mapa; temos uma sequˆencia exata - M - 0 0 - N - F

-

id ⊗i

⊂

-

id ⊗i

⊂

29

,O ct

(M ⊗ N ′ ) ⊕ (M ′ ⊗ N ′ )

-

id ⊗i

⊂

(M ⊕ M ′ ) ⊗ N k (M ⊗ N ) ⊕ (M ′ ⊗ N )

ET

(M ⊕ M ′ ) ⊗ N ′ k

D

Prova J´a sabemos que todo m´odulo livre ´e projetivo. Agora suponha que M ´e projetivo e seja M ′ tal que M ⊕ M ′ ´e livre. Seja i: N ′ ֒→ N uma inje¸ca˜o qualquer de A-m´ odulos. Ent˜ ao

´e injetor, logo o mesmo vale para M ⊗ N ′ ֒→ M ⊗ N , provando que M ´e plano.

101

Teorema 3.1.13 (“Abundˆ ancia Projetiva e Injetiva”) Seja M um A-m´ odulo. 1. existe um A-m´ odulo projetivo P e uma sobreje¸c˜ ao P ։ M . 2. existe um A-m´ odulo injetivo I e uma inje¸c˜ ao M ֒→ I. Prova O primeiro item ´e uma consequˆencia direta do fato que todo m´odulo ´e quociente de um m´odulo livre. Para o segundo item, vamos primeiro mostrar o resultado quando A = Z. Para qualquer grupo abeliano M , defina M ∨ = HomZ (M, Q/Z), o grupo dual de M . Temos 1. O dual F ∨ de um grupo abeliano livre F ´e Z-injetivo (i.e., ´e um grupo divis´ıvel) 2. H´ a uma inje¸ca˜o canˆ onica de M no duplo dual M ֒→ M ∨∨ m 7→ (φ 7→ φ(m); φ ∈ M ∨ ) Para mostrar que o mapa acima ´e de fato injetor, observe que dado m 6= 0 existe um mapa n˜ ao zero φ: Zm → Q/Z e como Q/Z ´e injetivo, φ se estende a um mapa n˜ ao zero φ˜ ∈ M ∨ . Agora dado um grupo abeliano M , tome F um grupo abeliano livre e uma sobreje¸ca˜o φ: F ։ M ∨ . Dualizando, obtemos uma inje¸ca˜o M ∨∨ ֒→ F ∨ . Assim, a composi¸ca˜o M ֒→ M ∨∨ ֒→ F ∨ ´e uma imers˜ao de M em um Z-m´ odulo injetivo F ∨ . Vejamos agora o caso geral. Em primeiro lugar, para um grupo abeliano G, note que podemos ver HomZ (A, G) como A-m´ odulo da seguinte forma: dados f ∈ HomZ (A, G) e a ∈ A, af ∈ HomZ (A, G) ´e o mapa x 7→ f (xa), x ∈ A. Denotando por M0 o grupo abeliano subjacente de um A-m´ odulo M , temos 1. H´ a uma inje¸ca˜o de A-m´ odulos

M ֒→ HomZ (A, M0 ) m 7→ (a 7→ am; a ∈ A) 2. Para todo grupo abeliano G, temos um isomorfismo de A-m´ odulos HomA (M, HomZ (A, G))

- HomZ (M0 , G)

∼

φ 7→ (m 7→ φ(m)(1); m ∈ M0 ) O mapa inverso ´e dado por HomZ (M0 , G)

- HomA (M, HomZ (A, G))

∼

ψ 7→ (m 7→ ψm ; m ∈ M ) onde ψm ∈ HomZ (A, G) ´e dado por ψm (a) = ψ(am).

RA

3.2 Resolu¸ co ˜es Projetivas e Injetivas

)

(1

7:

28

FT

Agora dado um A-m´ odulo M , seja M0 ֒→ I0 uma imers˜ao de M0 em Z-m´ odulo injetivo I0 . Temos portanto uma inje¸ca˜o HomZ (A, M0 ) ֒→ HomZ (A, I0 ). Mas como HomA (−, HomZ (A, I0 )) = HomZ (−, I0 ) ´e exato, HomZ (A, I0 ) ´e um A-m´ odulo injetivo, logo a composi¸ca˜o M ֒→ HomZ (A, M0 ) ֒→ HomZ (A, I0 ) ´e a imers˜ao pedida.

,2

01

0

Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Um complexo (M• , d• ) ´e limitado superiormente se Mi = 0 para i ≫ 0 e ´e limitado inferiormente se Mi = 0 para i ≪ 0. O complexo ´e limitado se ´e limtado superiormente e inferiormente.

∃f2 ···

? - Q2

d2 P1

∃f1 d′2 - ? Q1

29

d1 P0

ǫ M

,O ct

- P2

ET

···

D

Teorema 3.2.2 (Extens˜ ao Projetiva) No seguinte diagrama, a linha superior ´e um complexo com Pi projetivos e a linha inferior ´e exata.

∃f0

d′1 - ? Q0

- 0

f ǫ′ - ? N

- 0

Ent˜ ao qualquer morfismo f : M → N pode ser estendido a um morfismo f• : P• → Q• entre os dois complexos. Al´em disso, esta extens˜ ao ´e u ´nica a menos de homotopia.

102

M´etodos Homol´ogicos

Prova Vamos construir os fi ’s indutivamente. Como P0 ´e projetivo e Q0 ։ N ´e sobrejetor, por defini¸ca˜o de m´odulo projetivo existe f0 : P0 → Q0 que ´e um “levantamento” da composi¸ca˜o f ◦ ǫ: P0 → M → N . Agora, utilizando a comutatividade do quadrado mais `a esquerda, temos ǫ′ ◦ (f0 ◦ d1 ) = f ◦ (ǫ ◦ d1 ) = 0 ⇒ im(f0 ◦ d1 ) ⊂ ker ǫ′ = im d′1 Logo temos um mapa f0 ◦ d1 : P1 → im d′1 e uma sobreje¸ca˜o d′1 : Q1 ։ im d′1 . Como P1 ´e projetivo, existe um levantamento f1 : P1 → Q1 de f0 ◦ d1 . Procedendo desta forma, obtemos indutivamente fi : Pi → Qi como levantamento de fi−1 ◦ di : Pi → im d′i . Agora temos que mostrar que duas extens˜oes de f s˜ao homot´ opicas. Para isto, basta mostrar que qualquer extens˜ao f• de f = 0 ´e homot´ opica a 0. Vamos construir os mapas de homotopia ki : Pi → Qi+1 indutivamente. Como f = 0, temos ǫ′ ◦ f0 = f ◦ ǫ = 0 ⇒ im f0 ⊂ ker ǫ′ = im d′1 . Assim, temos um mapa f0 : P0 → im d′1 e como P0 ´e projetivo e d′1 : Q1 ։ im d′1 ´e sobrejetor, existe um levantamento k0 : P0 → Q1 de f0 . Assim, f0 = d′1 ◦ k0 Da mesma forma, temos d′1 ◦ (f1 − k0 ◦ d1 ) = d′1 ◦ f1 − (d′1 ◦ k0 ) ◦ d1 = f0 ◦ d1 − f0 ◦ d1 = 0 ⇒ im(f1 − k0 ◦ d1 ) ⊂ ker d′1 = im d′2 Assim, temos um mapa (f1 − k0 ◦ d1 ): P1 → im d′2 , que pode ser levantado para k1 : P1 → Q2 . Portanto f1 = k0 ◦ d1 + d′2 ◦ k1 Procedendo indutivamente desta forma, definimos ki : Pi → Qi+1 como o levantamento de (fi − ki−1 ◦ di ): Pi → im d′i+1 de modo que fi = ki−1 ◦ di + d′i+1 ◦ ki

Teorema 3.2.3 (Resolu¸ co ˜es Projetivas) Dado um complexo (M• , d• ) limitado inferiormente, existe um complexo (P• , d• ) limitado inferiormente quase-isomorfo a (M• , d• ) com Pi projetivo.

FT

Prova Sem perda de generalidade vamos supor que Mi = 0 para i < 0. Seja P0 ։ M0 uma sobreje¸ca˜o com P0 projetivo.

- I1

d1

- I2

- ···

28

d0

7:

- I0

ǫ

(1

- M

RA

0

)

Defini¸ c˜ ao 3.2.4 A injetivo resolu¸ca˜o (I • , d• ) of M ´e a complex of injetivo m´odulos together com an injection ǫ: M ֒→ I 0 de modo que the augmented complex

0

´e exact. The resolu¸ca˜o ´e said to be finite se I p = 0 para todo sufficiently large p.

,2

29

0 → Z → Q → Q/Z → 0

D

01

We define the injetivo dimens˜ao of a m´odulo as the length of the shortest injetivo resolu¸ca˜o, in the same way as we did para projetivo dimens˜ao. por exemplo,

ET

,O ct

´e an injetivo resolu¸ca˜o of the Z-m´ odulo Z, which portanto has injetivo dimens˜ao 1; it cannot be 0 como Z ´e not injetivo. We now mostrar que todo m´odulo has an injetivo resolu¸ca˜o. The proof of the corresponding result para projetivo resolu¸ca˜os was based on the fact that todo m´odulo ´e the quociente of a free m´odulo. Similarly in order to show the existence of an injetivo resolu¸ca˜o, todo that we need ´e to mostrar que qualquer m´odulo can be embedded into an injetivo m´odulo, para once temos an embedding M ֒→ I0 of M into an injetivo m´odulo I0 , we can embed the cokernel of this mapa into another injetivo m´odulo I1 to obtain an exact sequence 0 → M → I0 → I1 ; iterating this process, obtemos an injetivo resolu¸ca˜o of M.

103

Lema 3.2.5 (Resolu¸ co ˜es) Dado um complexo (M• , d• ) de A-m´ odulos limitado inferiormente, existe um outro complexo (P• , e• ) quase-isomorfo a (M• , d• ) e tais que os m´ odulos Pi s˜ ao todos projetivos. Defini¸ c˜ ao 3.2.6 Um funtor F ´e aditivo se para qualquer f, g ∈ Hom(M, N ), F (f + g) = F (f ) + F (g). Defini¸ c˜ ao 3.2.7 Seja F um funtor aditivo exato `a esquerda. O funtor derivado ` a esquerda LF de F. 3.3 Tor e Ext Exemplo 3.3.1 (Tor sobre Z) Seja M e N be finitamente gerado Z-m´ odulos (a.k.a finitamente gerado abelian groups). We can write a surjection ǫ: F0 ։ M com F0 free of finite rank. Como Z ´e a PID, ker ǫ ´e also free of finite rank, so obtemos a projetivo resolu¸ca˜o 0

- F1

- F0

d1

- M

ǫ

- 0

of M . This shows that TorZp (M, N ) = 0 para p > 1. Como TorZ0 (M, N ) = M ⊗ N , the s´o thing left to be computed ´e TorZ1 (M, N ) = ker d1 ⊗ 1. But como M e N s˜ao direct sums of free Z-m´ odulos, which s˜ao flat, e finite cyclic groups, everything boils down to the computation of TorZ1 (Z/(m), Z/(n)). A free resolu¸ca˜o of Z/(m) ´e m ǫ 0 - Z - Z - Z/(m) - 0 Deleting the term Z/(m) from this sequence e tensoring it com Z/(n), conclu´ımos que TorZ1 (Z/(m), Z/(n)) ´e the kernel of the multiplication por m in Z/(n), i.e., TorZ1 (Z/(m), Z/(n)) = Z/(d) onde d = gcd(m, n). Teorema 3.3.2

depth M = min{i | Exti (k, M ) 6= 0}

4 Planaridade Lemma 4.1 Seja 0

- M′

- M

- M ′′

- 0

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos com M ′′ plano. Ent˜ ao, para qualquer A-m´ odulo N , a sequˆencia 0

- M′ ⊗ N

- M ⊗N

- M ′′ ⊗ N

- 0

´e exata. Prova Temos uma sequˆencia exata longa - M ⊗N

- M ′′ ⊗ N

28

onde o termo da esquerda se anula pois M ′′ ´e plano.

- 0

)

- M′ ⊗ N

FT

0 = Tor1 (M ′′ , N )

(1

RA

7:

Teorema 4.2 Seja (A, m, k) um anel noetheriano local e M um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao

0

M ´e livre ⇐⇒ M ´e projetivo ⇐⇒ M ´e plano

29

,2

01

Prova Basta mostrar que, nas condi¸co˜es do enunciado, todo m´odulo plano ´e livre. Seja M um A-m´ odulo plano finitamente gerado e seja {ω1 , . . . , ωn } um conjunto minimal de geradores de M ; sabemos que as imagens dos ωi em M ⊗ k = M/mM formam uma base deste k-espa¸co vetorial. Defina

,O ct

D

φ: An ։ M

(a1 , . . . , an ) 7→ a1 ω1 + · · · + an ωn 0

- N

- An

ET

e seja N = ker φ, de modo que temos uma sequˆencia exata curta - M

φ

- M

- 0

Queremos mostrar que N = 0. Como M ´e plano sobre A, pelo lema anterior temos que esta sequˆencia permanece exata quando a tensorizamos por k. Mas como φ ⊗ k ´e um isomorfismo por constru¸ca˜o, temos que N ⊗A k = 0. Temos ainda que A ´e noetheriano e M ´e finitamente gerado, logo N ´e finitamente gerado tamb´em. Portanto N = 0 ⇐⇒ N ⊗A k = 0 por Nakayama (lema III.2.3.2), como desejado.

aditivo funtor derivad

104

M´etodos Homol´ogicos

O pr´oximo resultado mostra que, para m´odulos finitamente gerados sobre an´eis noetherianos, projetivo = localmente livre Corol´ ario 4.3 Seja A um anel noetheriano e seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao M ´e projetivo ⇐⇒ Mm ´e livre para todo ideal maximal m de A Prova Pelo teorema anterior, devemos mostrar que M ´e projetivo se, e s´o se, cada Mm ´e projetivo. Se M ´e projetivo, ent˜ ao ´e somando de um m´odulo livre, propriedade que ´e preservada sob localiza¸ca˜o, o que mostra que cada Mm ´e projetivo. Reciprocamente, suponha que cada Mm ´e projetivo. Seja N • uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Pelo princ´ıpio local-global (teorema III.1.8), temos que HomA (M, N • ) ser´a uma sequˆencia exata de Am´odulos se, e s´o se, HomA (M, N )m for exata para todo m maximal. Mas como M ´e finitamente gerado e Am ´e plano sobre A, temos um isomorfismo (teorema III.4.1.8) HomA (M, N )m = HomAm (Mm , Nm ) para qualquer A-m´ odulo N . Como localiza¸ca˜o ´e um funtor exato, temos que cada sequˆencia de Am • • ) ´e exata e portanto M m´odulos Nm ´e exata. Assim, como Mm ´e projetivo, temos que HomAm (Mm , Nm ´e projetivo, como quer´ıamos. Exemplo 4.4 Todo ideal a em um A ´e um m´odulo projetivo. Por exemplo, j´a √ dom´ınio de Dedekind √ sabemos que o ideal a = (3, 1 + 2i 5) de A = Z[i 5] n˜ ao ´e principal (isto ´e, n˜ ao ´e um A-m´ odulo livre), mas que ele ´e localmente principal. Teorema 4.5 Seja M um A-m´ odulo. Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: 1. M ´e A-plano; 2. TorA odulo N ; n (M, N ) = 0 para todo n ≥ 1 e todo A-m´

odulo N ; 3. TorA 1 (M, N ) = 0 para todo A-m´

4. o mapa natural a ⊗A M ։ aM ´e um isomorfismo para todo ideal a de A.

- A/a

- 0

0

- M ⊗A a

- M

- M/aM

- 0

7:

- 0

(1

- M ⊗A (A/a)

0

- M ⊗A A

RA

que ´e isomorfa a

- M ⊗A a

01

Temos uma sequˆencia exata longa 0 = TorA 1 (M, A/a)

)

- A

28

- a

,2

0

FT

Prova 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ´e claro. Vamos mostrar que 3 ⇒ 4. Considere a sequˆencia exata curta

N ′′

29

,O ct

ET

D

e portanto a imagem de M ⊗A a → M ´e igual a aM , o que mostra (4). Agora vamos provar que 4 ⇒ 1. Seja N ′ ⊂ N uma inclus˜ao de A-m´ odulos; temos que mostrar que ′ N ⊗ M → N ⊗ M ´e injetor. Primeiro, vejamos que sem perda de generalidade podemos assumir que N/N ′ ´e finitamente gerado. Temos N ⊗ M = (−→ lim N ′′ ) ⊗ M, onde N ′′ percorre todos os m´odulos tais que N ′ ⊂ N ′′ ⊂ M e N ′′ /N ′ ´e finitamente gerado. P ′ Assim, se P ′ ′ ′′ n ⊗ m ∈ N ⊗ M tem imagem 0 em N ⊗ M , ent˜ a o existe N como acima tal que i i i ni ⊗ mi tem i imagem 0 em N ′′ ⊗ M , ou seja, se existe um contra-exemplo N ′ ⊂ N para a planaridade de M , existe um com N/N ′ finitamente gerado. Podemos at´e mesmo supor que N/N ′ ´e gerado por um u ´ nico elemento,

105 pois se a injetividade ´e preservada neste caso especial, ent˜ ao para o caso geral N = N ′ + Aω1 + · · · + Aωn ′ podemos escrever N ⊗ M → N ⊗ M como composi¸ca˜o de inje¸co˜es (N ′ + Aω1 + · · · + Aωi ) ⊗ M ֒→ (N ′ + Aω1 + · · · + Aωi+1 ) ⊗ M Suponha portanto que N/N ′ = Aω de modo que N/N ′ = A/a para a = ann(ω). Da sequˆencia exata curta 0 - a - A - A/a - 0, obtemos uma sequˆencia exata longa 0 = Tor1 (M, A)

- Tor1 (M, A/a)

- M ⊗a

- M ⊗A=M

onde o termo da esquera ´e zero pois A ´e plano sobre si mesmo. Como M ⊗a ֒→ M ´e injetivo por hip´otese, da sequˆencia acima conclu´ımos que Tor1 (M, A/a) = 0. Finalmente, da sequˆencia exata - N′

0

- N

- A/a

- 0

obtemos a sequˆencia exata 0 = Tor1 (M, A/a)

- M ⊗ N′

- M ⊗N

que mostra que M ⊗ N ′ ֒→ M ⊗ N ´e de fato injetor. Corol´ ario 4.6 Seja 0

- M′

- M

- M ′′

- 0

uma sequˆencia exata de A-m´ odulos. Se M ′ e M ′′ s˜ ao A-planos, o mesmo vale para M . Prova Para todo A-m´ odulo N , temos uma sequˆencia exata 0 = Tor1 (M ′ , N )

- Tor1 (M, N )

- Tor1 (M ′′ , N ) = 0

onde os extremos, e portanto o meio, se anulam pois M ′ e M ′′ s˜ao A-planos. Assim, M ´e A-plano pelo teorema anterior. Teorema 4.7 (Crit´ erio Local de Planaridade) Seja (A, m, k) uma anel local noetheriano. Seja B uma A-´ algebra noetheriana local e M um B-m´ odulo finito. Para n ≥ 1, escreva An = A/mn e n Mn = M ⊗A An = M/m M . As seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes:

FT

2. TorA 1 (k, M ) = 0; 3. Mn ´e plano sobre An para todo n ≥ 1.

28

Prova (1 ⇒ 2) ´e claro.

)

1. M ´e plano sobre A;

- N

- N/N ′

- 0

(1

0

- N′

01

0

RA

7:

(2 ⇒ 3) Provemos inicialmente que TorA odulo N de comprimento finito por 1 (N, M ) = 0 para todo A-m´ indu¸ca˜o em lenA N : se lenA N = 0 ent˜ ao N = 0 e se lenA N = 1 ent˜ ao N ∼ = A/m = k e em ambos os A casos Tor1 (k, M ) = 0. Para lenA N > 1, podemos escrever uma sequˆencia exata curta

- TorA (N/N ′ , M ) = 0 1

,O ct

- TorA (N, M ) 1

D

′ 0 = TorA 1 (N , M )

29

,2

onde N ′ ´e um subm´odulo simples de N , de modo que lenA N ′ e lenA N/N ′ s˜ao estritamente menores do que lenA N . O resultado segue da hip´ otese de indu¸ca˜o e da sequˆencia exata

Agora, dado um an ideal de An , precisamos mostrar que o mapa natural an ⊗An Mn → Mn ´e injetor. Temos uma sequˆencia exata de A-m´ odulos - an ⊗A M

- An ⊗A M

ET

TorA 1 (An /an , M )

- (An /an ) ⊗A M

- 0

Mas como An /an ´e anulado por mn , seu comprimento sobre A ´e finito e portanto TorA 1 (An /an , M ) = 0. Assim, an ⊗An Mn = an ⊗A An ⊗A M = an ⊗A M ֒→ An ⊗A M = Mn

´e injetor, como quer´ıamos.

106

M´etodos Homol´ogicos

(3 ⇒ 1) Dado um ideal a ⊂ A, devemos mostrar que o mapa natural a ⊗A M → M ´e injetor. Seja n o ideal maximal de B. Como a ⊗A M ´e um m´odulo finitamente gerado sobre o anel noetheriano local B e mB ⊂ n, temos \ \ nn (a ⊗A M ) = 0 ⇒ mn (a ⊗A M ) = 0 n≥1

n≥1

´ at´e mesmo suficiente Assim, ´e suficiente mostrar que ker(a ⊗A M → M ) ⊂ mn (a ⊗A M ) para todo n. E mostrar que  ker(a ⊗A M → M ) ⊂ ker a ⊗A M → De fato, da sequˆencia exata 0

- a ∩ mn

- a

 a
⊗ M A a ∩ mn -

a a ∩ mn

para todo n

(∗)

- 0

temos uma sequˆencia exata - a ⊗A M

(a ∩ mn ) ⊗A M

-



a  ⊗A M a ∩ mn

- 0

Al´em disso, pelo teorema de Artin-Rees (teorema III.5.1.1), existe um
inteiro positivo r tal que a ∩ mn ⊂
a n−r ao m a para todo n ≥ r. Portanto
se x ∈ ker a ⊗A M → a∩mn ⊗A M para todo n ≥ 0 ent˜ x ∈ im (mn−r a) ⊗A M → a ⊗A M = mn−r (a ⊗A M ) para todo n ≥ r. Tensorizando o diagrama comutativo -

a ∩

a a ∩ mn ∩

? A

? A = An mn

com M , obtemos o diagrama comutativo

? ? - An ⊗A M ============ Mn

28

∩

7:

∩

)

 a  a  ⊗A M == ⊗ An M n n a∩m a ∩ mn

(1



FT

? M

-

RA

a ⊗A M

29

,2

01

0

Mas como Mn ´e plano sobre An por hip´ otese e a/(a ∩ mn ) ֒→ A/mn ´e injetor, a flecha vertical `a direita no u ´ltimo diagrama tamb´em ´e injetora. Assim, (∗) se verifica, o que completa a prova.

2. M ´e plano sobre A e M ⊗A k ´e plano sobre B ⊗A k.

5 Teorema de Serre 5.1 Dimens˜ ao Global e Resolu¸ co ˜es Minimais Livres

,O ct

ET

1. M ´e plano sobre B

D

Corol´ ario 4.8 Sejam A → B → C morfismos locais entre an´eis locais noetherianos. Seja M um Cm´ odulo finitamente gerado. Suponha que B seja plano sobre A. Seja k o corpo residual de A. S˜ ao equivalentes:

107

Defini¸ c˜ ao 5.1.1 Seja M um A-m´ odulo. Dizemos que M tem dimens˜ ao projetiva finita se M admite uma resolu¸ca˜o projetiva finita: 0

- Pn

- Pn−1

- Pn−2

- ···

- P0

- M

- 0

Neste caso, definimos proj. dim M como o menor comprimento n dentre todas estas resolu¸co˜es. Se todas as resolu¸co˜es projetivas de M s˜ao infinitas, escrevemos proj. dim M = ∞. Da mesma forma, definimos a dimens˜ ao injetiva inj.dim M de um m´odulo M . Defini¸ c˜ ao 5.1.2 Seja A um anel. A dimens˜ ao global de A ´e o supremo de proj. dim M quando M percorre todos os A-m´ odulos finitamente gerados. Observa¸ c˜ ao 5.1.3 A dimens˜ao global pode tamb´em ser definida como o supremo de todas as dimens˜oes projetivas de todos os m´odulos, finitamente gerados ou n˜ ao. Exemplo 5.1.4 Como todo m´odulo sobre um corpo ´e livre, temos que a dimens˜ao global de qualquer corpo ´e 0. Por outro lado, temos que a dimens˜ao global de Z ou de qualquer PID A ´e 1: para A-m´ odulos da forma A/(a) 6= 0, temos uma resolu¸ca˜o projetiva de tamanho 1 0

- P0 = A

- P1 = A

a

- A/(a)

- 0

Como A/(a) n˜ ao ´e projetivo, temos assim que proj. dim A/(a) = 1 e portanto a dimens˜ao global de A tamb´em ´e 1, j´ a que qualquer A-m´ odulo finitamente gerado ´e soma direta de c´ opias de A e de m´odulos da forma A/(a). Temos a seguinte caracteriza¸ca˜o das dimens˜oes projetivas e injetivas de um m´odulo. Lemma 5.1.5 Seja A um anel e M um A-m´ odulo. 1. proj. dim M ≤ n ⇐⇒ Exti (M, N ) = 0 para todo A-m´ odulo N e todo i ≥ n + 1;

2. inj.dim M ≤ n ⇐⇒ Exti (N, M ) = 0 para todo A-m´ odulo N e todo i ≥ n + 1.

- 0

obtemos uma sequˆencia exata - HomA (M, N ′ )

- HomA (M, N )

- HomA (M, N ′′ )

- Ext1A (M, N ′ ) = 0

RA

0

)

- N ′′

28

- N

7:

- N′

(1

0

FT

Prova Se proj. dim M ≤ n, utilizando uma resolu¸ca˜o projetiva de M de comprimento menor ou igual a n para calcular Exti (M, N ), obtemos imediatamente Exti (M, N ) = 0 para i ≥ n + 1. Reciprocamente, suponha que Exti (M, N ) = 0 para todo A-m´ odulo N e todo i ≥ n + 1. Mostremos por indu¸ca˜o em n que proj. dim M ≤ n. Para n = 0, dada uma sequˆencia exata de A-m´ odulos

- M

- 0

01

- P

,2

- Q

(∗)

29

0

0

e portanto HomA (M, −) ´e exato, ou seja, M ´e projetivo e portanto proj. dim M = 0. Para n > 0, faremos um “dimension shift”: considere uma sequˆencia exata

- Exti (P, N )

,O ct

Exti (M, N )

D

com P projetivo. Para qualquer A-m´ odulo N , temos uma sequˆencia exata - Exti (Q, N )

- Exti+1 (M, N )

ET

Para i ≥ n, temos que Exti+1 (M, N ) = 0 por hip´otese e Exti (P, N ) = 0 tamb´em, pois P ´e projetivo e i ≥ 1. Assim, Exti (Q, N ) = 0, logo por indu¸ca˜o temos que Q admite uma resolu¸ca˜o projetiva de comprimento menor ou igual a n − 1. Desta forma, podemos estender (∗) para uma resolu¸ca˜o projetiva de M de comprimento no m´aximo n, como quer´ıamos. A demonstra¸ca˜o do segundo item ´e an´aloga e ´e deixada como (mais um!) exerc´ıcio para o leitor.

dimens˜ ao pro dimens˜ ao inje dimens˜ ao glob

108

M´etodos Homol´ogicos

Agora nos restringiremos ao caso local. Nesta situa¸ca˜o, um tipo especial de resolu¸ca˜o projetiva nos ser´a especialmente importante no estudo das dimens˜oes projetivas e globais. Defini¸ c˜ ao 5.1.6 Seja (A, m, k) um anel noetheriano local. Uma resolu¸ca˜o livre minimal de M ´e uma resolu¸ca˜o projetiva ···

- Fi−1

- Fi

di

- ···

- M

- F0

di−1

d1

ǫ

- 0

satisfazendo as seguintes propriedades: 1. Todos os Fi s˜ao A-m´ odulos livres de posto finito. 2. Para todo i, os mapas di ⊗ id: Fi ⊗ k → Fi−1 ⊗ k s˜ao zero. Em outras palavras, im di ⊂ mFi−1 . 3. O mapa ǫ ⊗ id: F0 ⊗ k → M ⊗ k ´e um isomorfismo.

Vamos mostrar que todo A-m´ odulo finitamente gerado M possui uma resolu¸ca˜o minimal. Tome uma base minimal ω1 , . . . , ωn de M e defina a sobreje¸ca˜o def

ǫ: F0 = An ։ M (a1 , . . . , an ) 7→ a1 ω1 + · · · + an ωn

∼ - M ⊗ k ´e um isomorfismo. Agora seja L0 = ker ǫ, Por constru¸ca˜o, temos que ǫ ⊗ id: F0 ⊗ k que ´e um A-m´ odulo finitamente gerado pois A ´e noetheriano. Repetindo o procedimento com L0 no lugar de M , obtemos um A-m´ odulo livre F1 de posto finito e um mapa sobrejetor d′1 : F1 ։ L0 tal que ∼ d′1 ⊗ id: F1 ⊗ k - L0 ⊗ k ´e um isomorfismo. Assim, definindo d1 : F1 → F0 como a composi¸ca˜o de d′1 e da inclus˜ao i0 : L0 ֒→ F0 , temos que d1 ⊗ id: F1 ⊗ k → F0 ⊗ k ´e o mapa zero: da exatid˜ao de

L0 ⊗ k

- F0 ⊗ k

i0 ⊗id

- M ⊗k

- 0

ǫ⊗id ≈

temos que i0 ⊗ id = 0, logo d1 ⊗ id = (d′1 ⊗ id) ◦ (i0 ⊗ id) = 0. Procedendo indutivamente desta forma, obtemos a resolu¸ca˜o minimal de M desejada. Exemplo 5.1.7 (Resolu¸ co ˜es Minimais Livres e Complexo de Koszul) Seja (A, m, k) um anel noetheriano local e a1 , a2 , . . . , an ∈ m uma A-sequˆencia regular, de modo que pelo teorema 2.7 o complexo de Koszul K• (a1 , . . . , an , A) fornece uma resolu¸ca˜o livre de M = A/(a1 , . . . , an ): A dn d1 - K0 (a1 , . . . , an , A) ǫ- M = - 0 0 - Kn (a1 , . . . , an , A) - · · · (a1 , . . . , an ) Esta resolu¸ca˜o ´e minimal, pois cada termo Kp (a1 , . . . , an , A) ´e livre de posto finito e, al´em disso, im dp ⊂ mKp−1 (a1 , . . . , an , A) pois ai ∈ m. Finalmente, temos isomorfismos K0 (a1 , . . . , an , A) ⊗ k = A ⊗ k = k

M ⊗k =k

e

FT

e com estas identifica¸co˜es ǫ ⊗ id: k → k ´e o mapa identidade.

28

)

O pr´oximo lema permite-nos restringir a resolu¸co˜es livres minimais no lugar de resolu¸co˜es projetivas arbitr´arias.

de comprimento n.

- ···

-M

- F0

dn−1

d1

ǫ

(1

dn

- 0

0

- Fn−1

- Fn

01

0

RA

7:

Lemma 5.1.8 Seja (A, m, k) um anel noetheriano local e seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Se n = proj. dim M < ∞, M admite uma resolu¸c˜ ao livre minimal

- F0

- M

ǫ

- 0

(∗)

,O ct

- L0

D

0

29

,2

Prova Indu¸ca˜o em proj. dim M . Se proj. dim M = 0, M ´e projetivo, logo livre de posto finito e o resultado ´e claro. Agora se proj. dim M > 0, escreva a sequˆencia exata

ET

como na constru¸ca˜o da resolu¸ca˜o minimal de M descrita acima. Para todo A-m´ odulo N , temos uma sequˆencia exata Exti (M, N ) - Exti (F0 , N ) - Exti (L0 , N ) - Exti+1 (M, N ) Se i ≥ proj. dim M , temos que Exti+1 (M, N ) = 0. Al´em disso, como F0 ´e projetivo e i ≥ 1, Exti (F0 , N ) = 0, o que mostra que Exti (L0 , N ) = 0 para todo i ≥ n. Portanto proj. dim L0 ≤ n − 1 e por indu¸ca˜o L0 ter´ a uma resolu¸ca˜o livre minimal de tamanho no m´aximo n − 1, o que permite estender (∗) a uma resolu¸ca˜o livre minimal de M de tamanho menor ou igual a n (na verdade igual pois proj. dim M = n).

109

O teorema a seguir traduz o fato que, para calcular a dimens˜ao global de um anel noetheriano local (A, m, k), basta calcular a dimens˜ao projetiva de k, o “menos livre” dentre todos os A-m´ odulos. Teorema 5.1.9 Seja (A, m, k) um anel noetheriano local e seja M um A-m´ odulo. Suponha que - Fn−1

- Fn

0

dn

- ···

- F0

dn−1

d1

-M

ǫ

- 0

´e uma resolu¸c˜ ao minimal livre finita de M com Fi 6= 0 para todo i. Ent˜ ao 1. proj. dim M = n = max{i | Tori (M, k) 6= 0} 2. proj. dim M ≤ proj. dim k. Em particular, temos que a dimens˜ ao global de A ´e igual a proj. dim k. Prova 1. Tensorizando a resolu¸ca˜o acima por k, obtemos Tori (M, k) = Fi ⊗ k 6= 0 para todo i. Portanto n = max{i | Tori (M, k) 6= 0}. Por outro lado, temos max{i | Tori (M, k) 6= 0} ≤ proj. dim M ≤ n

onde a primeira desigualdade segue do c´ alculo de Tori (M, k) utilizando-se uma resolu¸ca˜o de tamanho proj. dim M . Assim, devemos ter igualdade em todos os lugares e o resultado segue. 2. Calculando Tori (M, k) com uma resolu¸ca˜o projetiva de tamanho proj. dim k, vemos que max{i | Tori (M, k) 6= 0} ≤ proj. dim k

o que, combinado com o primeiro resultado, fornece a desigualdade desejada. Podemos relacionar agora a dimens˜ao projetiva e a profundidade de um m´odulo no importante Teorema 5.1.10 (Auslander, Buchsbaum) Seja (A, m, k) um anel noetheriano local e M um Am´ odulo de dimens˜ ao projetiva finita. Ent˜ ao proj. dim M = depth A − depth M Prova A prova ´e por indu¸ca˜o em proj. dim M . Se proj. dim M = 0, M ´e livre e portanto depth M = depth A. Agora faremos um “dimension shift”. Sejam a1 , . . . , an geradores de m; pelo teorema 2.9 podemos calcular profundidades utilizando o complexo de Koszul K• (a1 , . . . , an , M ). Por legibilidade, denotaremos Hi (K• (a1 , . . . , an , M )) simplesmente por Hi (M ). Suponha inicialmente que proj. dim M = 1. Temos que mostrar que depth M = depth A − 1, isto ´e, que n − max{i | Hi (M ) 6= 0} = depth A − 1 ⇐⇒ max{i | Hi (M ) 6= 0} = n − depth A + 1 0

- F1

- F0

d1

- M

ǫ

- 0

Temos ainda

28

FT

uma resolu¸ca˜o livre minimal de M . Temos uma sequˆencia exata longa · · · - Hi (F1 ) - Hi (F0 ) - Hi (M ) - Hi−1 (F1 ) - Hi−1 (F0 ) - · · ·

)

Para isto, seja

7:

depth F0 = depth F1 = depth A = n − max{i | Hi (F0 ) 6= 0} = n − max{i | Hi (F1 ) 6= 0}

- F0

d1

Sendo L = im d1 , temos uma sequˆencia exata curta 0 - L - F0

- M

- M

(1

0

01

,2

- F1

- 0

29

- ···

dp

,O ct

- Fp

D

0

RA

Assim, temos que Hi (M ) = 0 para i ≥ n − depth A + 2, logo basta mostrar que Hi (M ) 6= 0 para i = depth A + 1. Para isto, basta mostrar que Hi (F1 ) → Hi (F0 ) ´e zero, pois isto implicar´ a Hi (M ) ∼ = Hi−1 (F1 ) 6= 0 para i = depth A + 1. Por´em Hi (F1 ) → Hi (F0 ) ´e induzido por d1 ; como a resolu¸ca˜o acima ´e minimal, im d1 ⊂ mF0 . Mas j´ a sabemos que m anula Hi (F1 ) e o resultado segue. Para p = proj. dim M > 1, temos uma resolu¸ca˜o livre minimal

- 0

ET

com proj. dim L = proj. dim M −1. Por hip´otese de indu¸ca˜o, depth L = depth A−proj. dim L < depth F0 . Da sequˆencia exata longa - Hi (L) - Hi (F0 ) - Hi (M ) - Hi−1 (L) - · · · ···

temos como antes depth M = depth L − 1. Assim,

proj. dim M = proj. dim L + 1 = depth A − depth L + 1 = depth A − depth M

110

M´etodos Homol´ogicos

5.2 An´ eis Locais Regulares Teorema 5.2.1 (Serre) Um anel local noetheriano (A, m, k) ´e regular se, e s´ o se, sua dimens˜ ao global ´e finita. Prova Se A ´e regular de dimens˜ao de Krull n, seu ideal maximal m pode ser gerado por n elementos a1 , . . . , an , que formam uma sequˆencia A-regular. Assim, o complexo de Koszul K• (a1 , . . . , an , M ) ´e exato e fornece uma resolu¸ca˜o livre minimal de k, de modo que A tem dimens˜ao global proj. dim k = n < ∞. Reciprocamente, suponha que a dimens˜ao global de A ´e finita, ou seja, proj. dim k < ∞. Pela f´ ormula de Auslander-Buchsbaum, proj. dim k = depth A − depth k = depth A. Como dimk m/m2 ≥ dim A ≥ depth A = proj. dim k se mostrarmos que proj. dim k ≥ dimk m/m2 teremos igualdade em todos os pontos, de modo que dimk m/m2 = dim A, i.e, A ´e regular. Seja n = dimk m/m2 e sejam a1 , . . . , an geradores de m. Seja (F• , d• ) uma resolu¸ca˜o livre minimal finita de k (que existe pois proj. dim k < ∞). Considere ainda o complexo obtido do de Koszul K• (a1 , . . . , an , A) apensando o mapa K0 (a1 , . . . , an , A) → k → 0. Como cada Ki (a1 , . . . , an , A) ´e livre, temos um mapa f : K• (a1 , . . . , an , A) → F• que estende a identidade em k. Vamos mostrar que f ´e injetivo e que ela “cinde” F• , ou seja, que f identifica K• (a1 , . . . , an , A) com um somando direto de F• . Isto provar´a que proj. dim k ≥ n. Precisamos de um Lemma 5.2.2 Seja f : K → F um mapa entre A-m´ odulos livres de posto finito. Se f ⊗ id: K ⊗ k → F ⊗ k ´e injetivo, ent˜ ao existe g: F → K tal que g ◦ f = id. Prova Escolha α1 , . . . , αn ∈ K e β1 , . . . , βm ∈ F tais que α1 ⊗ 1, . . . , αn ⊗ 1 e β1 ⊗ 1, . . . , βn ⊗ 1 s˜ao bases dos k-espa¸cos vetoriais K ⊗ k e F ⊗ k, respectivamente, e tais que f ⊗ id(αi ⊗ 1) = βi ⊗ 1 para 1 ≤ i ≤ n, o que ´e poss´ıvel pois f ⊗ id ´e injetivo. Por Nakayama lema III.2.3.2, α1 , . . . , αn e β1 , . . . , βm s˜ao bases dos m´odulos livres K e F . Podemos portanto definir  αi para 1 ≤ i ≤ n g(βi ) = 0 para n < i ≤ m

28

7:

(1

0

,2

Kp (a1 , . . . , an , A) Kp (a1 , . . . , an , A) ⊗ k ∼ = mKp (a1 , . . . , an , A)

⊂

dp

29

6

f p−1

,O ct

fp ⊗ k

- mFp−1 m2 Fp−1 6

∪

- mKp−1 (a1 , . . . , an , A) m2 Kp−1 (a1 , . . . , an , A)

ET

Fp Fp ⊗ k ∼ = mFp

D

Para p > 0, temos um diagrama comutativo

FT

K0 (a1 , . . . , an , A) ⊗ k

RA

f0 ⊗ k

≈ k w w w w w w w w w w ≈ k

01

F0 ⊗ k 6

)

Assim, basta mostrar que os mapas fp ⊗ k: Kp (a1 , . . . , an , A) ⊗ k → Fp ⊗ k s˜ao injetivos. Para p = 0, isto segue do diagrama comutativo com linhas que s˜ao isomorfimos:

onde dp e f p−1 s˜ao induzidos por dp e fp−1 , respectivamente. Afirmamos que dp e f p−1 s˜ao injetivos, o que ´e suficiente para mostrar que fp ⊗ k ´e injetivo. Por indu¸ca˜o, fp−1 ⊗ k ´e injetor, logo pelo lema existe uma se¸ca˜o gp−1 : Fp−1 → Kp−1 (a1 , . . . , an , A) para f p − 1. Assim, existe um mapa g p−1 : mFp−1 /m2 Fp−1 → mKp−1 (a1 , . . . , an , A)/m2 Kp−1 (a1 , . . . , an , A) tal que g p−1 ◦ f p−1 = 1, provando que f p−1 ´e injetor.

111 P Para mostrar que dp ´e injetor, suponha que i1 ...ip ai1 ...ip ei1 ...ip ⊗ 1 + mKp (a1 , . . . , an , A) perten¸ca a ker dp . Ent˜ ao X X (−1)k−1 aik ai1 ...ip ei1 ...ˆik ...ip ⊗ 1 ∈ m2 Kp−1 (a1 , . . . , an , A) i1 ...ip 1≤k≤p

Como a1 , . . . , an ´e uma base minimal de m, temos que a1 + m2 , . . . , an + m2 ´e uma base do k-espa¸co vetorial m/m2 . Portanto a identidade anterior implica que ai1 ...ip ∈ m para todo 1 ≤ i1 < . . . < ip ≤ n. Logo dp ´e injetor. Um importante corol´ ario ´e o seguinte: Corol´ ario 5.2.3 Se (A, m, k) ´e um anel local noetheriano regular, ent˜ ao Ap ´e tamb´em regular para todo p ∈ Spec A. Prova Como A ´e regular, proj. dim A/p < ∞ e assim A/p admite uma resolu¸ca˜o livre minimal finita. Localizando esta resolu¸ca˜o em p, obtemos uma resolu¸ca˜o livre finita do corpo residual de Ap , mostrando que a dimens˜ao global de Ap ´e finita, logo Ap ´e regular.

6 Teorema de Auslander-Buchsbaum Seja A um dom´ınio. Recordando: dizemos que um elemento p ∈ A \ (A× ∪ {0}) ´e irredut´ıvel se p = ab ⇒ a ∈ A× ou b ∈ A× . Dizemos que p ´e primo se o ideal (p) ´e primo. Note que todo elemento primo ´e irredut´ıvel, mas em geral n˜ ao vale a rec´ıproca. Dois elementos a, b ∈ A s˜ao associados se geram o mesmo ideal, ou seja, se existe u ∈ A× tal que a = ub. Temos que A ´e um UFD se cada elemento n˜ ao nulo de A se escreve como produto de elementos primos. A “unicidade” ´e autom´ atica: se up1 . . . pr = vq1 . . . qs com u, v ∈ A× e pi , qj primos, ent˜ ao como q1 . . . qs ∈ (p1 ), temos q1 ∈ (p1 ), digamos, e como p1 e q1 s˜ao irredut´ıveis existe w ∈ A× tal que q1 = wp1 . Portanto up2 . . . pr = vwq2 . . . qs e por indu¸ca˜o no n´ umero de fatores temos que r = s e que, ap´os uma permuta¸ca˜o, cada pi ´e associado a qi . Se A ´e noetheriano, por “PIF noetheriano” temos que todo elemento em A \ (A× ∪ {0}) ´e produto de irredut´ıveis. Assim, um dom´ınio noetheriano ´e um UFD se, e s´o se, todo irredut´ıvel ´e primo. Neste caso, sendo K = Frac A, temos uma sequˆencia exata M div Z - 0 0 - A× - K × ht p=1

onde a soma percorre todos os primos de altura 1.

FT

Lemma 6.1 Um dom´ınio noetheriano A ´e um UFD se, e somente se, todo ideal primo ideal p de altura 1 ´e principal.

(1

0

01

29

,2

RA

7:

28

)

Prova Suponha primeiro que A ´e um UFD e seja p ∈ Spec A um ideal primo de altura 1. Temos que p cont´em algum elemento irredut´ıvel p (basta tomar qualquer elemento n˜ ao nulo de p e escrevˆe-lo como produto de irredut´ıveis, um dos quais deve pertencer a p). Por´em como (p) ´e primo e ht p = 1, devemos ter p = (p), mostrando que este ideal ´e principal. Reciprocamente, suponha que todo ideal primo de altura 1 em A ´e principal. Devemos mostrar que todo irredut´ıvel q ´e primo. Um ideal primo minimal p contendo q possui altura 1 pelo teorema do ideal principal de Krull (corol´ario V.4.5), logo por hip´otese p = (p). Mas como (p) ⊃ (q) ⇐⇒ p | q e q ´e irredut´ıvel, temos que p e q s˜ao associados, logo q ´e primo.

,O ct

D

Lemma 6.2 Seja A um dom´ınio noetheriano e seja p ∈ A um elemento primo. Se Ap ´e um UFD ent˜ ao o mesmo vale para A.

ET

Prova Seja q ∈ Spec A de altura de 1. Se p ∈ q ent˜ ao q = (p) ´e principal, caso contr´ario, qAp ∈ Spec Ap tem altura 1 e pelo lema anterior ´e principal, digamos qAp = (q). Como p ´e unidade em Ap , multiplicando por uma potˆencia de p, podemos supor que q ∈ A. Tome q ∈ A tal que q gera qAp e qA ´e maximal em A com essa propriedade (A ´e noetheriano). Temos q ∈ q = qAp ∩ A, logo (q) ⊂ q. Reciprocamente, dado a ∈ q ⊂ qAp , temos que a = qb/pn ⇐⇒ apn = qb para algum b ∈ A e n ∈ N. Como p ´e primo temos p | q ou p | b. O primeiro caso n˜ ao pode ocorrer pela maximalidade de q. Ent˜ ao p | b; cancelando o fator p e repetindo o argumento eventualmente chegaremos a a = qb′ para algum b′ ∈ A, ou seja, a ∈ (q), o que prova a inclus˜ao oposta q ⊂ (q).

irredut´ıvel associados

112

M´etodos Homol´ogicos

Queremos mostrar que ideais primos de altura 1 em s˜ao principais, ou seja, livres de posto 1 como A-m´ odulos. Isto ´e feito em dois tempos: Lemma 6.3 Seja A um anel e M um A-m´ odulo projetivo que admite uma resolu¸c˜ ao livre finita. Ent˜ ao M ´e “estavelmente livre”, ou seja, existe um A-m´ odulo livre F tal que M ⊕ F ´e livre. Prova Seja 0

- Fn

- · · · → F1

dn

- F0

d1

- M

ǫ

- 0

uma resolu¸ca˜o livre finita de M . A prova ´e por indu¸ca˜o no comprimento desta resolu¸ca˜o. Se n = 0, M∼ = F0 ´e livre. Se n > 0, seja L = im d1 de modo que temos uma sequˆencia exata 0

- L

- F0

- M

- 0

Como M ´e projetivo, esta sequˆencia cinde e portanto M ⊕ L ∼ = F0 . Assim L ´e projetivo e admite uma resolu¸ca˜o finita livre de comprimento n − 1, logo por indu¸ca˜o L ´e estavelmente livre, i.e., existe F ′ livre def tal que F = L ⊕ F ′ ´e livre e portanto M ⊕ F ∼ = F0 ⊕ F ′ tamb´em ´e livre. Para ideais, estavelmente livre ´e o mesmo que livre. ao a ´e principal. Lemma 6.4 Seja A um dom´ınio e seja a um ideal tal que a ⊕ An ∼ = An+1 . Ent˜ Prova Seja ω0 , . . . , ωn uma base de An+1 e identifiquemos a ⊕ An e A ⊕ An como subm´odulos de A ⊕ An = An+1 = Aω0 ⊕ Aω1 ⊕ · · · ⊕ Aωn da maneira natural (i.e. inclus˜ao componente a componente). Seja M = (aij )0≤i,j≤n a matriz corre∼ spondente ao isomorfismo φ: An+1 - a ⊕ An nesta base, i.e., φ(ωi ) =

X

aij ωj

0≤j≤n

0

0 0 1 0 0 1 0 0

 ··· 0 ··· 0  ··· 0  ..  . ··· 1

28

a 0  0 N =  

FT



)

Vamos mostrar que a = (d) onde d = det M . Como ai0 ∈ a para 0 ≤ i ≤ n, temos claramente que d ∈ a. Reciprocamente, dado a ∈ a, considere a matriz

(1

0 01

e portanto a ⊂ (d), o que encerra a prova.

RA

7:

Como aω0 , ω1 , . . . , ωn ∈ im φ, podemos encontrar uma matriz P tal que M P = N . Tomando determinantes, temos det M · det P = det N ⇐⇒ d det C = a ⇒ a ∈ (d)

,2

Teorema 6.5 (Auslander-Buchsbaum) Todo anel local noetheriano regular (A, m, k) ´e um UFD.

29

,O ct

ET

D

Prova A prova ´e por indu¸ca˜o em dim A. Se dim A = 0, A ´e um corpo e o resultado ´e claro. Suponha agora que dim A > 0 e escolha p ∈ m − m2 . Ent˜ ao p ´e primo (c.f. prova do teorema V.4.10). Pelo que j´a provamos, precisamos mostrar que Ap ´e um UFD, ou seja, que todos os ideais em Spec Ap de altura 1 s˜ao principais. Para isto, basta mostrar que estes ideais s˜ao projetivos e admitem resolu¸ca˜o livre finita. Um ideal de Spec Ap de altura 1 ´e da forma qAp para algum q ∈ D(p) ⊂ Spec A de altura 1. Como A ´e regular, temos que sua dimens˜ao global ´e finita, logo q, e portanto qAp , admitem resolu¸co˜es livres finitas. Falta mostrar que qAp ´e projetivo, ou seja, que ele ´e localmente livre. Seja n um ideal maximal de Ap ; note que (Ap )n ´e um anel local com dimens˜ao estritamente menor do que dim A (j´ a p ∈ m) e ´e regular pelo teorema de Serre. Por hip´ otese de indu¸ca˜o, temos que (Ap )n ´e um UFD. Portanto (qAp )n , que ´e ou igual a (Ap )n ou um primo de altura 1, ´e principal, logo livre de posto 1.

113

´ 7 Algebra Multilinear O produto tensorial pode ser utilizado para construir certas ´algebras n˜ ao comutativas que s˜ao frequente´ mente utilizadas em Algebra e, especialmente, em Geometria e Topologia. Defini¸ c˜ ao 7.1 Seja M um A-m´ odulo. A ´ algebra tensorial de M ´e a A-´algebra graduada (n˜ao comutativa em geral) dada por def

T (M ) =

M

n≥0

M ⊗n = A ⊕ M ⊕ (M ⊗ M ) ⊕ (M ⊗ M ⊗ M ) ⊕ · · ·

onde o produto de um elemento homogˆeneo m1 ⊗ · · · ⊗ mr ∈ M ⊗r de grau r por outro n1 ⊗ · · · ns ∈ M ⊗s de grau s ´e dado por (m1 ⊗ · · · ⊗ mr ) · (n1 ⊗ · · · ns ) = m1 ⊗ · · · ⊗ mr ⊗ n1 ⊗ · · · ns ∈ M ⊗(r+s) A´ algebra exterior de M ´e A-´algebra graduada (n˜ao comutativa em geral) dada pelo quociente ^

def

M =

T (M ) (m ⊗ m | M )

⊗2 de T (M ) pelo ideal homogˆeneo bilateral V gerado por elementos da forma m ⊗ m ∈ M . A imagem do ⊗r elemento m1 ⊗ · · · ⊗ mr ∈ M em M ser´a denotada por m1 ∧ · · · ∧ mr . Finalmente, a ´ algebra sim´ etrica de M ´e A-´algebra graduada comutativa definida como o quociente def

S(M ) =

T (M ) (m ⊗ n − n ⊗ m | m, n ∈ M )

de T (M ) pelo ideal homogˆeneo bilateral gerado por elementos da forma m ⊗ n − n ⊗ m ∈ M ⊗2 . Note que como, em geral, m ⊗ n 6= n ⊗ m ∈ M ⊗2 , T (M ) n˜ ao ´e comutativa. Por outro lado, como S(M ) ´e gerado em grau 1 pelas imagens dos elementos de MV , que comutam por defini¸ca˜o, temos que S(M ) ´e sempre comutativa. Finalmente, a ´algebra exterior M ´e anti-comutativa: para m, n ∈ M temos (m + n) ∧ (m + n) = 0 ⇐⇒ m ∧ m + m ∧ n + n ∧ m + n ∧ n = 0 ⇐⇒ m ∧ n = −n ∧ m L

Axi1 ⊗ xi2 ⊗ . . . ⊗ xid ,

)

(i1 ,...,id )∈{1,...,n}d

28

M

M ⊗d =

Axi de posto n com base x1 , . . . , xn , como

1≤i≤n

FT

Exemplo 7.2 Para o A-m´ odulo livre M =

(1

- T (M )

xi 7→ (0, xi , 0, 0, . . .)

0

∼

01

Ahx1 , . . . , xn i

RA

7:

´e um A-m´ odulo livre de posto nd , ´e f´ acil ver que temos um isomorfismo de A-´algebras graduadas

29

,O ct

D

,2

onde Ahx1 , . . . , xn i ´e a ´ algebra dos polinˆomios nas vari´aveis n˜ ao comutativas x1 , . . . , xn , ou seja, a Aa´lgebra associativa livre em x1 , . . . , xn . Por outro lado, neste isomorfismo temos que o ideal de T (M ) gerado por m⊗n−n⊗m, m, n ∈ M , corresponde ao ideal de Ahx1 , . . . , xn i pelos comutadores xi xj −xj xi , 1 ≤ i, j ≤ n, e assim temos o isomorfismo

ET

S(M ) = A[x1 , . . . , xn ]

da ´algebra sim´etrica com a ´ algebra comutativa usual dos polinˆomios. Finalmente, utilizando a antiV Vd M de M ´e dada por comutatividade, temos que a parte de grau d d ^

M=

M

1≤i1 0 a caracter´ıstica de k. Ent˜ ao existe um elemento em A cujo polinˆomio minimal f (x) ∈ k[x] ´e da forma f (x) = xpn + an−1 xp(n−1) + · · · + a1 xp + a0 , ai ∈ k Observe que f (x) ´e uma p-´esima potˆencia em k alg [x]; seja g(x) ∈ k alg [x] tal que g(x)p = f (x). Ent˜ ao A ⊗k k alg cont´em uma sub´ algebra (k alg ´e fielmente plano sobre k) que ´e isomorfa a k alg [x] k alg [x] k[x]

⊗k k alg =
= f (x) f (x) g(x)p que n˜ ao ´e reduzida, absurdo. (2 ⇒ 4) Seja B = A ⊗k k alg . Como k alg ´e fielmente plano sobre k, basta mostrar que ΩA/k ⊗k k alg = 0. Mas isto segue da mudan¸ca de base ΩA/k ⊗k k alg = ΩB/kalg = 0.

FT

(4 ⇒ 2) Como dimkalg A ⊗k k alg = dimk A < ∞ e, por mudan¸ca de base, Ω(A⊗k kalg )/kalg = ΩA/k ⊗k k alg = 0, substituindo k por k alg e A por A ⊗k k alg podemos assumir que k ´e algebricamente fechado. Mais ainda, como A ´e artiniano, logo um produto de an´eis locais, ´e suficiente mostrar que se (A, m, k) ´e uma algebra local de dimens˜ao finita sobre um corpo algebricamente fechado k e ΩA/k = 0 ent˜ ´ ao A = k, ou seja, m = 0. Por´em, pelo teorema 1.2.4, temos ΩA/k = m/m2 , logo por Nakayama, m = 0. Defini¸ c˜ ao 1.3.2 Uma k-´algebra A satisfazendo as condi¸co˜es 1–4 do teorema anterior ´e dita separ´ avel.

(1

RA

7:

28

)

Defini¸ c˜ ao 1.3.3 Seja L ⊃ K uma extens˜ao de corpos. Um subconjunto B ⊂ L ´e chamado de base de transcendˆ encia separante de L sobre K se B ´e uma base de transcendˆencia de L sobre K e L ´e separ´ avel sobre K(B), o subcorpo de L gerado por B sobre K.

01

0

Teorema 1.3.4 Seja K um corpo perfeito e seja L ⊃ K uma extens˜ ao finitamente gerada de corpos. Ent˜ ao L admite uma base de transcendˆencia separante x1 , . . . , xn sobre K.

29

D

,2

Prova Podemos assumir que p = char K > 0. Seja x1 , . . . , xn uma base de transcendˆencia de L sobre K tal que o grau de separabilidade [L : K(x1 , . . . , xn )]sep de L sobre K(x1 , . . . , xn ) ´e m´ınimo. Vamos mostrar que x1 , . . . , xn ´e uma base de transcendˆencia separante. Suponha por absurdo que n˜ ao; ent˜ ao existe um elemento θ ∈ L \ K(x1 , . . . , xn ) que ´e raiz de um polinˆomio da forma

ET

,O ct

f (y) = ad · y pd + ad−1 · y p(d−1) + · · · + a0 , ai ∈ K[x1 , . . . , xn ] que ´e irredut´ıvel em K[x1 , . . . , xn ][y] e portanto em K(x1 , . . . , xn )[y] pelo lema de Gauß. Temos tamb´em que f ∈ / K[xp1 , . . . , xpn , y], caso contr´ ario como K ´e perfeito f seria uma p-´esima potˆencia. Portanto podemos supor que xn ´e separ´ avel sobre K(x1 , . . . , xn−1 , θ). Mas ent˜ ao x1 , . . . , xn−1 , θ seria uma base de transcendˆencia para a qual [L : K(x1 , . . . , xn )]sep = [L : K(x1 , . . . , xn , θ)]sep · [K(x1 , . . . , xn , θ) : K(x1 , . . . , xn )]sep > [L : K(x1 , . . . , xn−1 , θ)]sep

o que contradiz a minimalidade de [L : K(x1 , . . . , xn )]sep .

123

Corol´ ario 1.3.5 Nas condi¸c˜ oes do teorema, temos M ΩL/K = L · dxi

n˜ ao-ramificad

(n = tr. degK L)

1≤i≤n

Prova Como no exemplo 1.1.5, mostra-se que ΩK(B)/K ´e
um K(B)-espa¸co vetorial com base {dx | x ∈ B}. Agora observe que toda deriva¸ca˜o D ∈ DerK K(B) se estende unicamente a uma deriva¸ca˜o em DerK (L). De fato, seja θ ∈ L e seja f (x) = an xn + · · · + a0 seu polinˆomio minimal sobre K(B)[x], que ´e separ´ avel por hip´ otese, de modo que f ′ (θ) 6= 0. Ent˜ ao qualquer extens˜ao de D deve satisfazer
D(an ) · θn + D(an−1 ) · θn−1 + · · · D(a0 ) D f (θ) = 0 ⇒ D(θ) = f ′ (θ)

o que prova a unicidade. Para mostrar a existˆencia, utilize a express˜ao acima para definir a extens˜ao.

Defini¸ c˜ ao 1.3.6 Seja L ⊃ K uma extens˜ao de corpos de caracter´ıstica p > 0. Um subconjunto B ⊂ L ´e chamado de p-base de L sobre K se, B gera L sobre o comp´osito Lp · K e, para todo subconjunto finito {x1 , . . . , xn } ⊂ B, o conjunto {xe11 . . . xenn | 0 ≤ ei < p}

´e linearmente independente sobre Lp · K.

Uma aplica¸ca˜o simples do lema de Zorn (exerc´ıcio!) mostra que p-bases sempre existem. A importˆ ancia de p-bases em nosso estudo de deriva¸co˜es ´e que qualquer mapa D: B → L se estende unicamente a uma deriva¸ca˜o D ∈ DerK (L) por X D(xe11 . . . xenn ) = ei · xe11 . . . xei i −1 . . . xenn · Dxi 1≤i≤n

para todo {x1 , . . . , xn } ⊂ B. Portanto ΩL/K possui base {dx | x ∈ B} sobre L. 1.4 Discriminante e Diferente d = ann ΩB/A

2 Morfismos n˜ ao-ramificados

FT

Defini¸ c˜ ao 2.1 Uma A-´algebra φ: A → B ´e n˜ ao-ramificada se ´e de presenta¸ca˜o finita e ΩB/A = 0.

28

)

Exemplo 2.2 Seja A um anel e a um ideal qualquer de A. Ent˜ ao o morfismo quociente A ։ A/a ´e n˜ ao ramificado.

(1

RA

7:

Teorema 2.3 Seja k um corpo e A uma k-´ algebra finitamente gerada. Ent˜ ao A ´e n˜ ao ramificada sobre k se, e s´ o se, A ∼ ao corpos que s˜ ao extens˜ oes finitas separ´ aveis de k. = l1 × · · · × ln , onde li s˜

Lemma 2.4

29

,O ct

ET

D

,2

01

0

Prova Como A ´e finitamente gerado sobre k, A ´e noetheriano e portanto automaticamente de presenta¸ca˜o finita sobre k. Portanto A ´e n˜ ao ramificado sobre k se, e s´o se, ΩA/k = 0. Se A ∼ aveis de k, temos que = l1 × · · · × ln , onde li s˜ao corpos que s˜ao extens˜oes finitas separ´ ΩA/k = 0, logo A ´e n˜ ao ramificado sobre k. Reciprocamente, suponha que ΩA/k = 0. Seja p um ideal primo minimal de A e seja K = Frac(A/p). Ent˜ ao K ´e finitamente gerado (como corpo) sobre k; al´em disso, ΩA/k = 0 ⇒ ΩK/k = 0. Portanto K ´e uma extens˜ao finita separ´ avel de k e assim dim A/p = tr. degk K = 0. Portanto dim A = 0, i.e., A ´e uma k-´algebra de dimens˜ao finita. O resultado agora segue do teorema da se¸ca˜o anterior.

1. (Composi¸c˜ ao) A composi¸c˜ ao de dois morfismos n˜ ao ramificados ´e n˜ ao ramificado; 2. (Mudan¸ca de Base) Se φ: A → B ´e n˜ ao ramificado e A′ ´e uma A-´ algebra qualquer, ent˜ ao a ′ ′ mudan¸ca de base φ ⊗ id: A → B ⊗A A tamb´em ´e n˜ ao ramificada.

124

Aspectos Diferenciais de An´eis

Teorema 2.5 Seja φ: A → B um morfismo de presenta¸c˜ ao finita. As seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes. 1. φ ´e n˜ ao-ramificado; 2. O morfismo fibra φ ⊗ id: k(p) → B ⊗A k(p) ´e n˜ ao-ramificado para todo ideal primo p ∈ Spec A; 3. Para todo ideal primo q ∈ Spec B, sendo p = φ−1 (q) ∈ Spec A, temos que qBq = pBq e k(q) ⊃ k(p) ´e uma extens˜ ao separ´ avel de corpos.

Prova Como B ´e of finite type sobre A, ΩB/A ´e a finite B-m´ odulo, e portanto (ΩB/A )q = 0 se, e s´o se, existe h ∈ B − q tal que (ΩB/A )h = 0, which ´e equivalent to Bh being unramified sobre A. Portanto 1 ⇔ 2. Furthermore, como (ΩB/A )q = ΩBq /Ap , temos que 2 ⇔ 3. Now we prove that 4 ⇔ 5. Como f −1 (y) = Spec B ⊗A k(p) ´e of finite type sobre Spec k(p), we can apply the last theorem, e 4 holds se e s´o se Bq ⊗A k(p) ´e a finite separable corpo extens˜ao of k(p). But that means that pBq equals the maximal ideal qBq of Bq , e that k(q) = Bq /qBq = Bq /pBq ´e separable over k(p), which ´e precisely condi¸ca˜o 5. Finally, we mostrar que 2 ⇔ 4. We already know that 4 holds se, e s´o se, Of −1 (y),x = Bq ⊗A k(p) ´e formally unramified sobre k(p). Write k = k(p), B = Bq ⊗A k(p) = Bq /pBq, e l para the common residue corpo of B e Bq . Ent˜ ao 4 holds se, e s´o se, ΩB/k = 0, while 2 holds se, e s´o se, ΩBq /Ap = 0. But como ΩB/k e ΩBq /Ap s˜ao finite m´odulos over B e Bq , respectively, Nakayama’s lemma implies that ΩBq /Ap = 0 ⇐⇒ ΩBq /Ap ⊗Bq l = 0 ⇐⇒ (ΩBq /Ap ⊗Bq B) ⊗B l = 0 ⇐⇒ ΩB/k ⊗B l = 0 ⇐⇒ ΩB/k = 0

3 Morfismos ´ etales 3.1 Condi¸ co ˜es Abertas Lemma 3.1.1 Seja A um dom´ınio noetheriano e seja B ⊃ A com B finitamente gerado sobre A. Seja f : Spec B → Spec A o mapa correspondente a ` inclus˜ ao A ֒→ B. Ent˜ ao existe um elemento n˜ ao nulo h ∈ A tal que D(h) ⊂ f (Spec B).

(i)

(i)

FT

Prova Escreva B = A[x1 , . . . , xn ] em que x1 , . . . , xd s˜ao algebricamente independente sobre Frac A e os demais xi satisfazem rela¸co˜es alg´ebricas

Y

28

,2

d+1≤i≤n

c(i) ri (x1 , . . . , xd ) 6= 0

0

t(x1 , . . . , xd ) =

RA

para i = d + 1, . . . , n. Considere o produto dos coeficientes l´ıderes:

(1

7:

c(i) ri (x1 , . . . , xd ) 6= 0

01

(i)

cj (x1 , . . . , xd ) ∈ A[x1 , . . . , xd ]

)

(x1 , . . . , xd ) · xri i + cri −1 (x1 , . . . , xd ) · xri i −1 + · · · + c0 (x1 , . . . , xd ) = 0, cr(i) i

29

,O ct

D

Localizando com rela¸ca˜o ao elemento t(x1 , . . . , xd ), temos que Bt ´e integral sobre A[x1 , . . . , xd ]t , portanto Spec Bt ։ Spec A[x1 , . . . , xd ]t ´e sobrejetor. Seja h ∈ A qualquer n˜ ao nulo de t(x1 , . . . , xd ). Temos que D(h) ⊂ f (Spec B). De fato, dado p ∈ D(h) temos que t ∈ / p · A[x1 , . . . , xd ] e portanto p · A[x1 , . . . , xd ]t ´e um ideal primo; tome P ∈ Spec B tal que PBt ´e levado em p · A[x1 , . . . , xd ]t . Ent˜ ao f (P) = p.

ET

Teorema 3.1.2 (Morfismos Planos s˜ ao Abertos) Seja A um anel noetheriano e seja B uma A´lgebra plana finitamente gerada. Ent˜ a ao o mapa associado de espectros f : Spec B → Spec A ´e um mapa aberto.
Prova Temos que mostrar que f D(h) ´e aberto para todo h ∈ B. Substituindo B por Bh , ´e suficiente mostrar que f (Spec B) ´e aberto. Seja F = Spec A \ f (Spec B); temos que mostrar que F ´e fechado em Spec A. Como A ´e noetheriano, podemos escrever o fecho F de F como uni˜ao finita Z1 ∪ · · · ∪ Zn de

125

fechados irredut´ıveis Zi = V (pi ) com pi ∈ SpecSA. Basta mostrar que pi ∈ F para todo i: de fato, como B ´e A-plano, pelo going-down temos que F ⊃ i Zi , i.e., F = F ´e fechado. Seja p ∈ f (Spec B) e seja q ∈ Spec B tal que f (q) = p. Afirmamos que existe um aberto W ⊂ Spec A tal que W ∩V (p) ⊂ f (Spec B). De fato, isto do fato que V (p) ´e homeomorfo a Spec A/p e do lema anterior aplicado a A/p ֒→ B/q. Provemos que pi ∈ F . Suponha por absurdo que n˜ ao. Neste caso, temos pi ∈ f (Spec B) e portanto f (Spec B) ⊃ W ∩ Zi para algum aberto W ⊂ Spec A. Mas como pi ∈ / Zj para j 6= i, temos pi ∈ W ∩ Portanto W ∩

S

j6=i

Zj

3.2 Morfismos ´ etale


c

[

Zj

j6=i


c

⊂ W ∩ (f (Spec B) ∪ Zi ) ⊂ f (Spec B)

´e uma vizinhan¸ca aberta de pi disjunta de F , contradizendo pi ∈ F .

Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Uma A-´algebra φ: A → B ´e ´ etale se ´e de presenta¸ca˜o finita, n˜ ao-ramificada e plana. Seja C be an A-´algebra that ´e a free A-m´ odulo of finite rank. Para qualquer c ∈ C, multiplication por c gives rise to an A-linear mapa Tc : C → C; se ω1 , . . . , ωn ´e a base of C, we can express Tc in terms of a matrix (aij )1≤i,j≤n com entries aij ∈ A satisfazendo c · ωi =

X

aij ωj ,

i = 1, . . . , n

1≤j≤n

The trace of c, written TrC/A (c), ´e defined to be the trace of the matrix (aij ); it ´e easy to see that TrC/A (c) ´e independent of the choice of base above. Notice that para qualquer base change φ: A → A′ temos TrC⊗A A′ /A′ (c ⊗ 1) = φ(TrC/A (c)). Lemma 3.2.2 Seja C be an A-´ algebra that ´e free of finite rank as an A-m´ odulo. 1. Se c ∈ C ´e nilpotent, ent˜ ao TrC/A (c) ∈ A ´e also nilpotent.

2. Suponha that A ´e a normal domain com Frac A = K. Se c ∈ C ⊗A K ´e integral sobre C, ent˜ ao TrC⊗A K/K (c) ∈ A.

3. Seja f ∈ A[x] be a monic polinˆ omio of grau n, e suponha that C has the form A[x]/f . The determinant of the n × n matrix (TrC/A (xi+j ))1≤i,j≤n ´e equal to the discriminant of f , i.e., to the resultant of f e f ′ .

(1

0 01

RA

2. Se A ´e normal, ent˜ ao B ´e normal.

7:

Teorema 3.2.3 Seja B be an ´etale A-´ algebra. 1. Se A ´e reduced, ent˜ ao B ´e also reduced.

)

28

FT

Prova 1. We need to mostrar que TrC/A (c) ∈ p para todo p ∈ Spec A, i.e., that TrC/A (c) maps to 0 in k(p), or equivalently, that TrC⊗A k(p)/k(p) (c) = 0. But c ´e nilpotent in C, so c ⊗ 1 ´e nilpotent in C ⊗A k(p). But that means that the k(p)-linear mapa Tc⊗1 ´e nilpotent, e portanto its trace ´e 0, as required.

29

,O ct

D

,2

Prova Todo properties s˜ao local, so we may assume that (A, m, k) ´e local, e that B = Cq , onde C = A[x]/f para algum f ´e monic polinˆomio of grau n, q ∈ Spec A[x] contains f e lies sobre m, e f ′ ´e a unit in B. 1. Se b = c/s ´e in the nilradical of B, ent˜ ao existe t ∈ C − q tal que ct ´e nilpotent in C. Now write

Ent˜ ao, para i = 0, . . . , n − 1, temos

TrC/A (tcxi ) =

X

ai ∈ A

ET

ct = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 ,

aj TrC/A (xi+j )

0≤j 0 pequeno e considere a seguinte cobertura aberta de S 2 (formada pelos hemisf´erios norte e sul): def

def

2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 e z ≤ +ǫ} S−

2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1 e z ≥ −ǫ} S+

trivializa¸ca˜o do fibrado tangente π: T → S 2 de

∼ - F um isomorfismo de fibrados e sejam ξi : Ui × Rn ∼- π −1 Ui e Observa¸ c˜ ao 6.4 Seja λ: E E ∼ ◦ χ sobre U ∩ U . Ent˜ ao, χi : Ui × Rn - πF−1 Ui trivializa¸co˜es de modo que φij = ξj−1 ◦ ξi e ψij = χ−1 i i j j sobre Ui , temos um automorfismo de fibrados µi : Ui × Rn → Ui × Rn dado pela composi¸ca˜o

µi : U i × R n

- π −1 Ui F

- π −1 Ui E

ξi

λ

χ−1 i

- U i × Rn

ψij = µj ◦ φij ◦ µ−1 i

sobre

FT

Agora um c´ alculo simples mostra que, para todo i, j, Ui ∩ Uj

(1

0

01

RA

7:

28

)

Caso haja automorfismos µi of Ui × Rn tais que a rela¸ca˜o acima se verifica, dizemos que os 1-cociclos ´ f´ {ψij } e {φij } s˜ao cohom´ ologos. E acil verificar que a rela¸ca˜o acima ´e de equivalˆencia e que temos uma bije¸ca˜o ( ) classes de isomorfismo de fibran o dos vetoriais de posto n trivial- ↔ classesˇ de cohomologia de U-Cech 1-cociclos izados por U

,2

7 Topologias de Grothendieck e Descenso Fielmente Plano

e mapas

i,j

Ui ∩ Uj

29

,O ct

G

Y ×X Y ×X Y =

e

p

ET

Y ×X Y =

D

F Agora sejam X e U como na se¸ca˜o anterior e seja Y = i Ui a uni˜ao disjunta dos Ui . Considere o mapa h: Y → X induzido pelas inclus˜oes Ui ֒→ X. Ent˜ ao temos homeomorfismos G

i,j,k

Ui ∩ Uj ∩ Uk

12 p1 h −→ Y ×X Y −→ Y −→ X Y ×X Y ×X Y −→ −→ −→ p2 p23

Aqui p1 e p2 s˜ao os mapas de proje¸ca˜o e p12 (y1 , y2 , y3 ) = (y1 , y2 ), p13 (y1 , y2 , y3 ) = (y1 , y3 ) (a “flecha do meio” na flecha tripla, n˜ ao indicada por falta de espa¸co), p23 (y1 , y2 , y3 ) = (y2 , y3 ). Agora dar uma

164

Esquemas

coler¸ca˜o {φij } de automorfismos de fibrados (Ui ∩ Uj ) × Rn ´e o mesmo que dar um u ´ nico automorfismo de fibrados sobre Y ×X Y : ∼ φ: Y ×X Y × Rn - Y ×X Y × Rn A condi¸ca˜o de 1-cociclo ´e agora resumida por uma u ´nica rela¸ca˜o p∗13 φ = p∗23 φ ◦ p∗12 φ onde p∗ij φ denotam os pull-backs de φ com rela¸ca˜o a pij , isto ´e, o morfismo em Y ×X Y ×X Y × Rn induzido por φ na componente (i, j) e pela identidade na componente remanescente: por exemplo, p∗13 φ(y1 , y2 , y3 , v) = (y1 , y2 , y3 , w) onde φ(y1 , y3 , v) = (y1 , y3 , w). Agora dois automorfismos φ e ψ s˜ao ∼ cohom´ ologos se, e s´o se, existe um automorfismo µ: Y × Rn - Y × Rn tal que ψ = p∗ µ ◦ φ ◦ p∗ µ−1 . 2

1

Algebricamente, Y = Spec B ter´ a o papel de uni˜ao disjunta da cobertura de X = Spec A. Como trabalhamos com an´eis em vez de esquemas, as flechas ser˜ao invertidas e os pull-backs ser˜ao dados pelo produto tensorial. Escrevemos p1 : B → B ⊗ A B

p2 : B → B ⊗ A B

b 7→ b ⊗ 1

b 7→ 1 ⊗ b

Se N ´e um B-m´ odulo, sejam p∗1 N = N ⊗B (B ⊗A B) = N ⊗A B

p∗2 N = (B ⊗A B) ⊗B N = B ⊗A N

e

os pull-backs de N , ou seja, os B ⊗A B-m´ odulos obtidos tensorizando N com respeito `as primeira e segunda entradas respectivamente. Ent˜ ao p∗i N far´a o papel do fibrado trivial Y × Rn . Seja φ: p∗1 N

- p∗2 N

∼

be um isomorfismo de B ⊗A B-m´ odulos (φ ter´ a o papel de um automorfismo de Y ×X Y × Rn ). Considere os “mapas de proje¸ca˜o duais”

b1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗ 1 ⊗ b2

28

p23 : B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A B

)

b1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗ b2 ⊗ 1

p13 : B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A B

FT

p12 : B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A B

7:

b1 ⊗ b2 7→ 1 ⊗ b1 ⊗ b2

B ⊗A N ⊗A B

e

B ⊗A B ⊗A N

(1

0

01

e

,2

N ⊗A B ⊗A B

RA

e os pull-backs de N para B ⊗A B ⊗A B, obtidos tensorizando o u ´ltimo anel com N sobre B com respeito `s primeira, segunda e terceira entradas de B ⊗A B ⊗A B, respectivamente: a

p∗13 φ: N

⊗A B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A N

p∗23 φ: B ⊗A N ⊗A B → B ⊗A B ⊗A N

29

,O ct

p∗12 φ (n ⊗ 1 ⊗ 1) =

ET

p∗12 φ: N ⊗A B ⊗A B → B ⊗A N ⊗A B

D

Tensorizando φ com id sobre B com respeito a terceira, segunda e primeira entradas de B ⊗A B ⊗A B, obtemos morfismos de B ⊗A B ⊗A B-m´ odulos

p∗13 φ

(n ⊗ 1 ⊗ 1) =

p∗23 φ (1 ⊗ n ⊗ 1) =

P

P

P

i bi

⊗ ni ⊗ 1

i bi

⊗ 1 ⊗ ni

i

1 ⊗ b i ⊗ ni

P ao o papel de pull-backs do automorfismo de Y ×X Y ×X Rn para φ(n ⊗ 1) = i bi ⊗ ni . Estes mapas far˜ n para Y ×X Y ×X Y × R . Podemos agora enunciar e provar

165

Teorema 7.1 (Grothendieck’s Faithfully Flat Descent) Seja B ⊃ A uma extens˜ ao fielmente plana de an´eis. 1. Para qualquer A-m´ odulo M , a sequˆencia 0

- M

- M ⊗A B

ǫ

d0

- M ⊗A B ⊗A B

d1

d2

- M ⊗A B ⊗A B ⊗A B

- ···

´e exata. Aqui ǫ(m) = m ⊗ 1 e dr (m ⊗ b0 ⊗ · · · ⊗ br ) =

X

0≤i≤r

(−1)i · m ⊗ b0 ⊗ · · · ⊗ bi−1 ⊗ 1 ⊗ bi ⊗ · · · ⊗ br

2. Seja N um B-m´ odulo (ou uma B-´ algebra). Ent˜ ao existe uma bije¸c˜ ao entre as classes de isomorfismo de A-m´ odulos (ou A-´ algebras) M tais que M ⊗A B ∼ = N e as classes equivalˆencia de B ⊗A B-isomorfismos ∼ φ: N ⊗A B - B ⊗A N satisfazendo a condi¸c˜ ao de 1-cociclo p∗13 φ = p∗23 φ ◦ p∗12 φ, de modo que temos um diagrama comutativo N ⊗A B ⊗A B

p∗12φ

p1∗

3φ

B ⊗A N ⊗A B p∗23 φ

- ? B ⊗A B ⊗A N Dois B ⊗A B-isomorfismos φ e ψ s˜ ao equivalentes se, e s´ o se, existe um B-automorfismo ∼ N tal que µ: N ψ = p∗2 µ ◦ φ ◦ p∗1 µ−1 ∼ onde p∗1 µ = µ⊗ id: N ⊗A B - N ⊗A B e p∗2 µ = id ⊗µ: B ⊗A N de φ com rela¸c˜ ao a p1 e p2 .

- B ⊗A N s˜ ao os pull-backs

∼

(1

7:

m ⊗ b0 ⊗ b1 ⊗ · · · ⊗ br 7→ s(m ⊗ b0 ) ⊗ b1 ⊗ · · · ⊗ br

RA

)

28

k r : M ⊗A B ⊗(r+1) → M ⊗A B ⊗r

FT

Prova 1. Primeiro vamos mostrar que o complexo dado ´e homot´ opico a 0 se o mapa ǫ: M → M ⊗A B admite uma se¸ca˜o s: M ⊗A B → M (isto ´e, s ◦ ǫ = id). Defina

,2

01

0

Agora verifique que id = dr−1 ◦ k r + k r+1 ◦ dr para todo r. Isto mostra que o complexo ´e exato. Para o caso geral, como B ´e fielmente plano sobre A, basta mostrar que a sequˆencia ´e exata ap´os a mudan¸ca de base − ⊗A B. Portanto ´e suficiente mostrar que o mapa ǫB : M ⊗A B → M ⊗A B ⊗A B admite uma se¸ca˜o. Defina s: M ⊗A B ⊗A B → M ⊗A B por s(m ⊗ b1 ⊗ b2 ) = m ⊗ b1 b2 e verifique que s ◦ ǫ = id.

29

- B ⊗A (M ⊗A B)

∼

ET

φ: (M ⊗A B) ⊗A B

,O ct

D

2. Suponha que M ´e um A-m´ odulo tal que M ⊗A B = N . Ent˜ ao podemos definir um isomorfismo ∼ odulos por φ: N ⊗A B - B ⊗A N de B ⊗A B-m´

m ⊗ b1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗ m ⊗ b2

que, em nossa discuss˜ ao geom´etrica, corresponde ao automorfismo de Y ×X Y × Rn que identifica as n restri¸co˜es de Ui × R e Uj × Rn sobre Ui ∩ Uj . Agora um c´ alculo direto mostra que φ satisfaz a condi¸ca˜o de 1-cociclo. Observe que por (1), podemos identificar M com o A-subm´ odulo de N dado por {m ⊗ 1 | m ∈ M }.

166

Esquemas

Agora sejam M1 e M2 dois A-m´ odulos tais que M1 ⊗A B = M2 ⊗A B = N e sejam φ1 e φ2 os iso∼ morfismos correspondentes N ⊗A B → B ⊗A N . Se existe um isomorfismo de A-m´ odulos ν: M1 - M2 , ∗ ∗ −1 ent˜ ao ele induz um B-automorfismo µ = ν ⊗ id de N e temos que φ2 = p2 µ ◦ φ1 ◦ p1 µ pois p∗2 µ ◦ φ1 ◦ p∗1 µ−1 (m2 ⊗ b1 ⊗ b2 ) = (id ⊗ν ⊗ id) ◦ φ1 ◦ (ν −1 ⊗ id ⊗ id)(m2 ⊗ b1 ⊗ b2 ) = (id ⊗ν ⊗ id) ◦ φ1 (ν −1 m2 ⊗ b1 ⊗ b2 ) = (id ⊗ν ⊗ id)(b1 ⊗ ν −1 m2 ⊗ b2 )

= b1 ⊗ m2 ⊗ b2 = φ2 (m2 ⊗ b1 ⊗ b2 )

para todo m2 ∈ M2 e b1 , b2 ∈ B. Reciprocamente, se φ2 = p∗2 µ ◦ φ1 ◦ p∗1 µ−1 ⇐⇒ φ2 ◦ p∗1 µ = p∗2 µ ◦ φ1 ∼ ∼ ent˜ ao µ: N - N se restringe a um isomorfismo ν: M1 - M2 j´a que φ2 (µ(m1 ) ⊗ 1) = φ2 ◦ p∗1 µ(m1 ⊗ 1) = p∗2 µ ◦ φ1 (m1 ⊗ 1) = p∗2 µ(1 ⊗ m1 ) = 1 ⊗ µ(m1 ), i.e., µ(m1 ) ∈ M2 para todo m1 ∈ M1 .

Agora temos que mostrar que dado um isomorfismo φ: N ⊗A B - B ⊗A N satisfazendo a condi¸ca˜o de 1-cociclo, existe um A-m´ odulo M tal que M ⊗A B = N . “Secretamente”, sabemos que M existe e que φ ´e dado pela “f´ ormula de troca” acima, portanto ´e natural definir ∼

def

M = {m ∈ N | φ(m ⊗ 1) = 1 ⊗ m}

F que, em termos geom´etricos, corresponde ao subconjunto de Y × Rn = i Ui × Rn dos elementos que “concordam nas intersec¸co˜es” Ui ∩ Uj . O subconjunto M ⊂ N ´e claramente um A-m´ odulo. Vamos mostrar que o mapa natural λ: M ⊗A B → N

m ⊗ b 7→ bm

´e um isomorfismo de B-m´ odulos. Para isto, considere o seguinte diagrama

? e0 - B ⊗A B ⊗ N e1

)

? ǫ B ⊗A N

7:

? N

≈ p∗23 φ

φ ≈

28

λ ≈

α ⊗id - B ⊗A N ⊗A B β ⊗ id

FT

M ⊗A B - N ⊗A B

(1

0

01

,2

β

RA

onde os mapas horizontais de linha inferior s˜ao os de (1), a saber, e1 (b⊗n) = 1⊗b⊗n e e0 (b⊗n) = b⊗1⊗n para b ∈ B, n ∈ N , e os mapas da linha superior s˜ao obtidos pela mudan¸ca de base fielmente plana − ⊗A B da sequˆencia exata α M - N - B ⊗A N

29

,O ct

ET

D

que define o A-m´ odulo M , onde α(n) = φ(n ⊗ 1) e β(n) = 1 ⊗ n. Em particular, temos que M ⊗A B ´e o equalizador de α ⊗ id e β ⊗ id, enquanto que N ´e o equalizador de e0 e e1 . Portanto o isomorfismo φ induzir´a o isomorfismo pedido λ uma vez que mostrarmos que o diagrama acima comuta. Mas ´e f´acil checar que o quadrado da direita formado pelas flechas inferiores β ⊗ id e e1 comuta e o mesmo vale para o quadrado da esquerda pela defini¸ca˜o de M . O quadrado da direita formado pelas flechas superiores α⊗id e e0 tamb´em comuta pois p∗23 φ◦α⊗id(n⊗b) = p∗23 φ◦p∗12 φ(n⊗1⊗b) = p∗13 φ(n⊗1⊗b) = e0 ◦φ(n⊗b). Se N ´e uma B-´algebra, temos tamb´em que mostrar que o mapa de multiplica¸ca˜o m: N ⊗B N → N tamb´em “desce,” o que pode ser feito por c´ alculos similares aos anteriores e que deixamos como exerc´ıcio para o leitor. Exemplo 7.2 (Variedade de Brauer-Severi)

167

8 Exerc´ıcios 01. Mostre que Proj A[x, y, z, w]/(yw − xz) = P1A ×Spec A P1A . 02. Seja S um esquema noetheriano. Sejam X e Y dois S-esquemas de tipo finito. Seja x ∈ X e y ∈ Y dois pontos com mesma imagem s ∈ S. Sejam f : X → Y e g: X → Y dois morfismos tais que f (x) = g(x) = y e os morfismos OS,s -´algebras fx# : OY,y → OX,x e gx# : OY,y → OX,x s˜ao iguais. Prove que existe uma vizinhan¸ca aberta U de x tal que f |U = g|U .

29

,O ct

ET

D

(1

0 01

,2

RA

7:

)

28

FT

Teorema 8.1 Para qualquer esquema Y , existe a reduced esquema Yred e a morfismo Yred → Y com the seguinte propriedade: se X ´e a reduced esquema, a morfismo f : X → Y factors through Yred → Y , i.e., f determines a unique g: X → Yred tal que f ´e the composition of g e the mapa Yred → Y .

ET

,O ct

29

,2

01

0 28

7:

(1 )

FT

RA

D

Chapter 9 base

Apˆendice Para a conveniˆencia do leitor, recordamos neste apˆendice alguns conceitos b´ asicos que s˜ao frequentemente utilizados ao longo de todo o livro.

1 Topologia Geral Um espa¸ co topol´ ogico ´e um conjunto X juntamente com uma cole¸ca˜o O de subconjuntos de X, chamados de abertos, satisfazendo os seguintes axiomas: 1. ∅ ∈ O e X ∈ O (vazio e todo o espa¸co s˜ao abertos);

2. U, W ∈ O ⇒ U ∩ W ∈ O (intersec¸ca˜o finita de abertos ´e aberto); S ao arbitr´aria de 3. se {Uλ }λ∈Λ ´e uma fam´ılia qualquer com Uλ ∈ O ent˜ ao λ∈Λ Uλ ∈ O (uni˜ abertos ´e aberto).

Um subconjunto F ⊂ X ´e chamado de fechado se ele ´e o complementar de algum aberto em X. Os conjuntos fechados satisfazem portanto os seguintes axiomas: 1. ∅ e X s˜ao fechados;

2. se F e G s˜ao fechados ent˜ ao F ∪ G tamb´em ´e fechado; T 3. se {Fλ }λ∈Λ ´e uma fam´ılia qualquer de fechados ent˜ ao λ∈Λ Fλ tamb´em ´e fechado.

)

(1

0

01

RA

7:

28

FT

Se a cole¸ca˜o O estiver clara pelo contexto, por abuso de linguagem diremos que o conjunto X ´e ele pr´oprio um espa¸co topol´ ogico. Todo conjunto X admite ao menos a chamada topologia discreta, em que todo subconjunto de X ´e aberto (e portanto fechado). Dados dois espa¸cos topol´ ogicos X e Y , dizemos que uma fun¸ca˜o f : X → Y ´e cont´ınua se, para todo aberto V de Y , a sua pr´e-imagem f −1 (V ) ´e um aberto de X. Equivalentemente, f ´e cont´ınua se a pr´eimagem de um conjunto fechado de Y ´e fechado em X. Se f ´e uma bije¸ca˜o cont´ınua e sua inversa tamb´em ´e cont´ınua, dizemos que f ´e um homeomorfismo e que X e Y s˜ao espa¸cos homeomorfos. Uma fun¸ca˜o cont´ınua f : X → Y ´e dita aberta (resp. fechada) se a imagem de todo aberto (resp. fechado) de X ´e um aberto (resp. fechado) de Y . Assim, uma bije¸ca˜o cont´ınua f : X → Y ´e um homeomorfismo se, e s´o se, f ´e um mapa aberto (ou fechado). Em vez de prescrever todos os conjuntos abertos (ou fechados) de X, uma outra maneira de descrever a topologia de X ´e por meio de uma base B, isto ´e, uma cole¸ca˜o de subconjuntos abertos de X tal que qualquer aberto de X pode ser escrito como uma uni˜ao de elementos de B. Por exemplo, a cole¸ca˜o de todas bolas abertas formam uma base para a topologia usual do Rn . Uma base B de X satisfaz as seguintes duas propriedades: S 1. U∈B U = X

,2

2. se U, U ′ ∈ B ent˜ ao U ∩ U ′ pode ser escrito como uni˜ao de elementos em B.

29

,O ct

ET

D

Por outro lado, dada uma fam´ılia B de subconjuntos de um conjunto X satisfazendo os dois axiomas acima, podemos definir uma topologia em X, bastando para isto declarar um subconjunto U de X aberto se ele se escreve como uni˜ ao de elementos de B. Trabalhar com bases em geral simplifica algumas tarefas. Por exemplo, para verificar que um mapa f : X → Y ´e cont´ınuo, ´e suficiente verificar que as pr´e-imagens f −1 (V ) de abertos V de uma base de Y s˜ao abertos em X. Seja X um espa¸co topol´ ogico e x ∈ X um ponto deste espa¸co. Uma vizinhan¸ ca aberta ou simplesmente vizinhan¸ ca ´e qualquer conjunto aberto contendo x. Para qualquer subconjunto S ⊂ X, definimos o seu fecho S como sendo o menor conjunto fechado que cont´em S, i.e., o n \ def ao S = F = x ∈ X toda vizinhan¸ca de x tem intersec¸ca˜o n˜ vazia com S F ⊃S F fechado

170

Apˆendice

ao “arbitrariamente pr´oximos” de S. Se S = X, Em outras palavras, S ´e o conjunto de pontos x que est˜ dizemos que S ´e denso em X. Dado um subconjunto arbitr´ario Y ⊂ X de um espa¸co topol´ogico X, Y tamb´em ´e um espa¸co topol´ogico com a chamada topologia induzida: os abertos de Y s˜ao aqueles da forma U ∩ Y onde U ´e um conjunto aberto em X. A topologia induzida ´e a topologia mais grossa para a qual o mapa da inclus˜ao Y ֒→ X ´e cont´ınuo. Lemma 1.1 Seja Uα be an open cobertura of X. A subset F ⊂ X ´e closed in X se, e s´ o se, F ∩ Uα ´e closed in Uα (com the subspace topology) para todo α. T Prova Se Fα s˜ao closed sets in X tal que F ∩ Uα = Fα ∩ Uα , ent˜ ao F = (Fα ∪ Uαc ), which ´e a closed set in X.

topologia induzida topologia quociente topologia produto Hausdorff quasi-compacto compacto desconexo conexo redut´ıvel lema de Zorn limitante superior elemento maximal limitante inferior elemento minimal universo de Grothend

Se ∼ ´e um rela¸ca˜o de equivalˆencia em X, podemos definir uma topologia no espa¸co quociente X/ ∼, chamada de topologia quociente, da seguinte forma: um conjunto de classes de equivalˆencia U em X/ ∼ ´e aberto se, e somente se, a sua uni˜ ao ´e um aberto em X. A topologia quociente ´e a mais fina para a qual a proje¸ca˜o X → X/ ∼ ´e cont´ınua. Finalmente, se {Xi }i∈I ´e uma cole¸ca˜o de espa¸cos topol´ogicos, definimos a topologia produto em Q X = i∈I Xi como a mais grossa das topologias para a qual todos os mapas de proje¸ca˜o pi : X → Xi s˜ao T e um subconjunto cont´ınuos. Uma base de X ´e formada pelos conjuntos dos forma i∈I0 p−1 i (Ui ) onde I0 ´ finito de I e cada Ui ⊂ Xi ´e aberto no respectivo espa¸co. Dizemos ainda que um espa¸co topol´ ogico X ´e: 1. Hausdorff se para cada par de pontos distintos x, x′ ∈ X existem dois conjuntos abertos disjuntos U e U ′ tais que x ∈ U e x′ ∈ U ′ ; S 2. quasi-compacto se toda cobertura aberta X = λ Uλ de X admite uma subcobertura finita X = Uλ1 ∪ . . . ∪ Uλn ; seguindo a tradi¸ca˜o francesa, dizemos que X ´e compacto se ele ´e quasicompacto e Hausdorff; 3. desconexo se ele ´e a uni˜ ao de dois fechados disjuntos n˜ ao vazios (que, portanto, tamb´em s˜ao abertos). Caso contr´ ario, X ´e dito conexo; 4. redut´ıvel se ele ´e a uni˜ ao de dois conjunotos fechados pr´oprios. Caso contr´ario, X ´e chamado (adivinhe!) de irredut´ıvel. Equivalentemente, X ´e irredut´ıvel se, e somente se, quaisquer dois subconjuntos abertos n˜ ao vazios tˆem uma intersec¸ca˜o n˜ ao vazia. Em particular, os espa¸cos irredut´ıveis s˜ao conexos. Este conceito s´o ´e interessante para os espa¸cos n˜ ao Hausdorff.

28

Teorema 1.2 (Tychonoff ) O produtos de espa¸cos quasi-compactos ´e quasi-compacto.

)

FT

Se Y ´e um subconjunto arbitr´ario de X, dizemos que Y ´e quasi-compacto, irredut´ıvel e assim por diante, se Y tem a propriedade correspondente com rela¸ca˜o `a topologia induzida de X. O seguinte resultado ´e equivalente ao axioma da escolha (e n˜ ao somos um daqueles hereges que n˜ ao acreditam no axioma da escolha!).

(1

0

01

29

,2

RA

7:

J´a que mencionamos o axioma da escolha, conv´em tamb´em relembrar uma de suas formas equivalentes mais u ´teis, o chamado lema de Zorn. Seja (P, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. Uma cadeia C ´e um subconjunto de P no qual quaisquer dois elementos x, y s˜ao compar´aveis, isto ´e, se x, y ∈ C ent˜ ao ou x ≤ y ou y ≤ x. Um limitante superior de C ´e um elemento u ∈ P tal que x ≤ u para todo x ∈ C (observe que u n˜ ao pertence necessariamente a C). Um elemento maximal m de P ´e um elemento para o qual m ≤ x implica x = m. Analogamente definimos limitante inferior e elemento minimal.

,O ct

D

Teorema 1.3 (Zorn’s lemma) Seja (P, ≤) um conjunto parcialmente ordenado em que toda cadeia possui um limitante superior. Ent˜ ao (P, ≤) possui um elemento maximal.

ET

Temos um resultado an´alogo trocando limitante superior por inferior e elemento maximal por minimal. Na maioria das aplica¸co˜es, P ´e uma fam´ılia de subconjuntos de um conjunto fixado e ≤ ´e a inclus˜ao de conjuntos ⊂.

2 Categorias e Funtores

Um universo de Grothendieck U ´e um conjunto muito grande no qual podemos realizar as opera¸c˜oes usuais da teoria dos conjuntos em seus elementos sem jamais sair de U. Precisamente, um conjunto n˜ ao vazio U ´e universo de Grothendieck se satisfaz os seguintes axiomas:

171

1. se x ∈ U e y ∈ x ent˜ ao y ∈ U;

2. se x, y ∈ U ent˜ ao {x, y} ∈ U;

3. se x ∈ U ent˜ ao 2x ∈ U (aqui 2x denota o conjunto das partes de x); S 4. se I ∈ U e (xi )i∈I ´e uma fam´ılia de elementos de U ent˜ ao i∈I xi ∈ U.

O axioma de universo garante que, dado qualquer conjunto x, existe um universo U tal que x ∈ U. Adotamos esta axioma, que ´e independente dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Com isto, evitaremos certas dificuldades l´ogicas do tipo “conjuntos de todos os conjuntos” no que segue. Uma categoria C consiste em 1. um conjunto Obj(C), cujos elementos s˜ao chamados de objetos de C; 2. para cada par de objetos X, Y ∈ Obj(C), um conjunto HomC (X, Y ), cujos elementos s˜ao chamados de morfismos ou flechas de X em Y ; 3. para cada terna de objetos X, Y, Z ∈ Obj(C), uma lei de composi¸ c˜ ao de morfismos HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) → HomC (X, Z) (f, g) 7→ g ◦ f

satisfazendo os seguintes axiomas: i. (identidade) para cada objeto X ∈ Obj(C), existe um morfismo idX ∈ HomC (X, X), chamado de morfismo identidade de X, tal que f ◦ idX = f

idX ◦g = g

e

para todo f ∈ HomC (X, Y ) e g ∈ HomC (Z, X). ii. (associatividade) para todo f ∈ HomC (W, X), g ∈ HomC (X, Y ) e h ∈ HomC (Y, Z), h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

)

(1

0

01

29

,O ct

1. um objeto F (X) ∈ D para cada objeto X ∈ C;

ET

D

,2

RA

7:

28

FT

Por exemplo, fixado um universo de Grothendieck U, podemos considerar a categoria dos conjuntos Set, cujos objetos s˜ao todos os conjuntos que pertencem a U e HomSet (X, Y ) ´e simplesmente o conjunto de todas as fun¸co˜es f : X → Y ; a lei de composi¸ca˜o de morfismos nada mais ´e do que a composi¸c˜ao usual de fun¸co˜es. Outro exemplo ´e a categoria dos grupos abelianos Ab, cujos objetos s˜ao todos os grupos abelianos que pertencem a U e HomAb (X, Y ) ´e simplesmente o conjunto de todos os morfismos de grupos f : X → Y ; a lei de composi¸ca˜o ´e a usual. Temos ainda a categoria Top de todos os espa¸cos topol´ogicos em U e cujos morfismos s˜ao as aplica¸co˜es cont´ınuas. No que segue, frequentemente omitiremos referˆencia expl´ıcita ao universo U fixado, referindo-nos `as categorias de “todos” os conjuntos, grupos abelianos, espa¸cos topol´ ogicos, etc. Uma maneira pr´atica de se pensar em um categoria ´e em termos de seu grafo subjacente (na verdade, um multigrafo dirigido), cujo v´ertices s˜ao os objetos da categoria e cujas arestas s˜ao os morfismos da categoria. Cada v´ertice tem um la¸co distinto, a flecha identidade, e temos uma regra de composi¸ca˜o de arestas satisfazendo os axiomas usuais. Se C ´e uma categoria denotamos por C◦ a chamada dual ou oposta, obtida invertendo-se o sentido de todas as flechas de C (ou seja, HomC◦ (X, Y ) = HomC (Y, X)). Por abuso de linguagem que costumamos escrever X ∈ C se X ´e um objeto de C. Dizemos que h ∈ HomC (X, Y ) ´e um isomorfismo se existe g ∈ HomC (Y, X) tal que g ◦ f = idX e f ◦ g = idY . N´ os escrevemos X ∼ a um isomorfismo = Y se h´ entre X e Y . Sejam C e D duas categorias. Um funtor covariante ou simplesmente funtor F : C → D de C em D ´e uma regra que associa 2. um morfismo F (φ) ∈ HomD (F (X), F (Y )) para cada morfismo φ ∈ HomC (X, Y ), respeitando morfismos identidade bem como as leis de composi¸ca˜o: F (idX ) = idF (X)

e

F (φ ◦ ψ) = F (φ) ◦ F (ψ)

para todo X ∈ C e todos os morfismos φ e ψ de C que podem ser compostos.

axioma de un categoria flechas morfismo iden dual oposta isomorfismo funtor covaria funtor

172

Apˆendice

Em termos dos grafos subjacentes, um funtor nada mais ´e do que um morfismo de grafos que respeitam os la¸cos identidade e as leis de composi¸ca˜o das arestas. Um funtor F : C◦ → D ´e `as vezes chamado de funtor contravariante de C para D, uma vez que ele inverte os sentidos das flechas. Exemplos cl´assicos de funtores s˜ao: o funtor inclus˜ao F : Ab ֒→ Set, tamb´em chamado funtor esquecimento (basta “esquecer” as estruturas de grupo abeliano, tanto para objetos como para morfismos); o funtor π1 : PTop → Group dado pelo grupo fundamental π1 (X, x0 ) de um espa¸co topol´ogico pontuado (X, x0 ) (aqui os objetos de PTop s˜ao pares (X, x0 ) onde X ´e um espa¸co topol´ogico e x0 ∈ X ´e um “ponto base” e um morfismo f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) ´e um mapa cont´ınuo f : X → Y preservando pontos base, i.e., f (x0 ) = y0 ). Dados dois funtores F, G: C → D, um morfismo de funtores ou transforma¸ c˜ ao natural φ: F → G entre F e G ´e uma cole¸ca˜o de morfismos φX ∈ HomD (F (X), G(X)), um para cada objeto X ∈ C, tal que φX-

F (X)

funtor contravariante morfismo de funtores transforma¸ c˜ ao natura fiel plenamente fiel subcategoria plena essencialmente sobrej lema de Yoneda

G(X) G(f )

F (f ) ? F (Y )

φY-

? G(Y )

comuta para todos X, Y ∈ C e todos f ∈ HomC (X, Y ). O conjunto de todos os morfismos (em algum universo) entre F e G ser´a denotado Hom(F, G). Um funtor F : C → D d´ a origem a um mapa FX,Y : HomC (X, Y ) → HomD (F (X), F (Y ))

•



⇄

•



)

(1

0

e

01

•



RA

7:

28

FT

para cada par de objetos X, Y ∈ C. Dizemos que ´e F pleno (respectivamente fiel, plenamente fiel) se FX,Y ´e sobrejetora (respectivamente injetora, bijetora) para todo X, Y ∈ C. Um funtor fiel F n˜ ao precisa ser injetor em objetos ou morfismos: podemos ter f : X → Y e f ′ : X ′ → Y ′ com F (X) = F (X ′ ), F (Y ) = F (Y ′ ) e F (f ) = F (f ′ ); a injetividade s´o ´e garantida apenas para morfismos entre um par fixo de objetos. Da mesma forma um funtor pleno n˜ ao precisa ser sobrejetor em objetos ou morfismos. ′ Uma subcategoria C de C ´e uma categoria cujos objetos e morfismos s˜ao subconjuntos dos de C e cuja regra de composi¸ca˜o de flechas ´e a mesma de C; um subcategoria C′ de C ´e dita plena se o funtor inclus˜ao C′ ֒→ C ´e plenamente fiel. Em termos dos grafos subjacentes, uma subcategoria corresponde a um subgrafo e uma subcategoria completa, a um subgrafo induzido, ou seja, um subgrafo obtido escolhendo v´ertices de um grafo e incluindo todas as arestas entre eles. Dizemos que duas categorias C e D s˜ao equivalentes se houver funtores F : C → D e G: D → C e isomorfismos G ◦ F ∼ a = idC e F ◦ G ∼ = idD , onde id denota o funtor identidade. Um funtor F : C → D d´ uma equivalˆencia das categorias se, e somente se, ele ´e plenamente fiel e essencialmente sobrejetor: cada objeto de D ´e isomorfo a F (X) para algum X ∈ D. Em particular, uma equivalˆencia de categorias n˜ ao precisa ser uma bije¸ca˜o. Por exemplo, as categorias dadas pelos seguintes grafos s˜ao equivalentes:

Hom(X, F )

29

,O ct

ET

D

,2

Um funtor plenamente fiel F : C → D estabelece uma equivalˆencia entre C e sua imagem, uma subcategoria plena de D. Para cada objeto X ∈ C, temos um funtor X: C → Sets dado por X(−) = HomC (X, −). Dizemos que um funtor F : C → Sets ´e represent´ avel por um objeto X ∈ C se existe um isomorfismo F ∼ = X. Uma consequˆencia direta, mas u ´til, das defini¸co˜es acima ´e o chamado lema de Yoneda, que afirma que para qualquer funtor F : C → Sets e para cada X ∈ C existe uma bije¸ca˜o natural - F (X)

∼

φ 7→ φX (idX ) que ´e funtorial em X, ou seja, quando fazemos X percorrer os objetos de C as bije¸co˜es acima produzem um isomorfismo entre os funtores X 7→ Hom(X, F ) e F . Em particular, temos um isomorfismo natural

173

Hom(X, Y ) = HomC (X, Y ) para cada X, Y ∈ C, mostrando que um objeto que representa um funtor ´e u ´nico a menos de isomorfismo. Sejam F : C → D e G: D → C funtores. Dizemos que F ´e um adjunto ` a esquerda de G e que (surpresa!) G ´e um adjunto ` a direita de F se, para cada X ∈ C e Y ∈ D, existe uma bije¸ca˜o natural HomD (F (X), Y )

- HomC (X, G(Y ))

∼

funtorial em ambas as entradas X e Y : para X fixo, conforme Y percorre os objetos de D, as bije¸co˜es acima d˜ ao origem a um isomorfismo entre os funtores HomD (F (X), −) e HomC (X, G(−)), e analogamente para Y fixo.

3 Limites 3.1 Conjuntos Direcionados e Categorias Filtrantes Come¸camos definindo o nosso “conjunto de ´ındices”. Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Uma rela¸ca˜o  em um conjunto I ´e uma pr´ e-ordem se satisfaz os seguintes dois axiomas: 1. (Reflexividade) i  i para todo i ∈ I.

2. (Transitividade) se i  j e j  k ent˜ ao i  k.

Um conjunto pr´e-ordenado (I, ) ´e chamado de direcionado se, para quaisquer i, j ∈ I, existe k ∈ I tal que i  k e j  k (ou seja, existe k “majorando” dois elementos i e j quaisquer). Exemplo 3.1.2 Conjuntos direcionados que aparecem na Natureza s˜ao, por exemplo, 1. o conjunto 2X das partes de um conjunto X (i.e., o conjunto de todos os subconjuntos de X), pr´e-ordenados pela inclus˜ao ⊆. Dados dois subconjuntos A e B de X, temos que A ∪ B majora A e B. 2. os conjuntos de subm´odulos finitamente gerados de um m´odulo M , pr´e-ordenados pela inclus˜ao. Dados dois subm´odulos N e P , temos que N + P ´e finitamente gerado e majora N e P . 3. os elementos de um conjunto multiplicativo S de um anel, pr´e-ordenados pela rela¸ca˜o de divisibilidade | em S (i.e., s  t ⇐⇒ s | t ⇐⇒ existe u ∈ S tal que t = su). Dados dois elementos t, s ∈ S, temos que o produto st majora s e t.

FT

Note que nos dois primeiros exemplos, a rela¸ca˜o de pr´e-ordem ´e uma rela¸ca˜o de ordem (i.e., vale a propriedade anti-sim´etrica), mas n˜ ao no u ´ltimo exemplo: se S ´e o conjunto multiplicativo de Z formado por todos os elementos n˜ ao nulos, temos que 2 | −2 e −2 | 2 mas 2 6= −2.

7:

28

)

Um conjunto direcionado (I, ) pode ser visto como uma categoria da seguinte forma: os objetos desta categoria s˜ao os elementos de I e as flechas s˜ao dadas por  def Hom(i, j) = {i → j} se i  j ∅ caso contr´ario

(1

0

01

RA

para quaisquer i, j ∈ I. Esta categoria ´e o exemplo mais importante de uma categoria filtrante, como na seguinte 1. Dadas duas flechas

,2

Defini¸ c˜ ao 3.1.3 Uma categoria I ´e dita filtrante se satisfaz os seguintes axiomas:

ց

k

,O ct

D

i

29

j

ր

j i

ET

elas “eventualmente convergem”: existem j → l e k → l tais que o seguinte diagrama comuta: ր

ց

ց

ր

k

l

adjunto ` a esq adjunto ` a dir direcionado filtrante

174

Apˆendice

2. Dadas duas flechas

conexa cofiltrante colimite limite direto

i⇉j elas podem ser “equalizadas”: existe j → k tal que as composi¸co˜es i⇉j→k de i para k s˜ao iguais. 3. I ´e conexa vista como um grafo n˜ ao direcionado, i.e., quaisquer dois objetos i e j de I podem ser conectados por um caminho de flechas, ignorando as suas orienta¸co˜es: i ← x1 → x2 ← x3 → · · · ← xn−1 → xn ← j Dizemos que a categoria I ´e cofiltrante se a categoria oposta I◦ ´e filtrante. 3.2 Colimite ou Limite Direto Seja I uma categoria filtrante e C uma categoria qualquer. Seja F : I → C um funtor (covariante). Pense em I com um “conjunto de ´ındices” para objetos F (i) ∈ C. Queremos definir agora uma esp´ecie de “uni˜ ao” dos F (i), o chamado colimite ou limite direto de F . Formalmente, o limite direto ´e um objeto −→ lim F (i) ∈ C, juntamente com “mapas de inclus˜ao” em C i∈I

- lim F (i) −→

φi : F (i)

i∈I

i∈I

que s˜ao “compat´ıveis entre si”, isto ´e, para qualquer flecha i → j em I, temos um diagrama comutativo φj lim F (i) −→

F (j) 6

φ

i

-

i∈I

F (i) e −→ lim F (i) ´e o “menor objeto” com a propriedade acima, i.e., satisfaz a seguinte propriedade universal: i∈I

dado um “objeto de teste” T ∈ I e uma cole¸ca˜o de morfismos fi : F (i) → T , i ∈ I, compat´ıveis entre si, ou seja, para qualquer flecha i → j em I, temos um diagrama comutativo em C φj T

F (i)

)

7:

28

φ

i

6

FT

-

F (j)

(1

i∈I

RA

existe um u ´nico morfismo f : −→ lim F (i) → T tal que fi = f ◦ φi para todo i ∈ I.

D

S 7→ S

29

,2

01

0

Exemplo 3.2.1 (Uni˜ ao como limite direto) Seja X um conjunto qualquer e seja I a categoria filtrante associada ao conjunto das partes de X, com elementos ordenados por inclus˜ao. Considere o funtor de “inclus˜ ao” F : I → Set

ET

,O ct

Temos que −→ lim F = X com os mapas de inclus˜ao usuais S ֒→ X. De fato, basta verificar que a propriedade universal ´e satisfeita, o que ´e claro: dar um morfismo (vulgo fun¸ca˜o) f : X → T em Set ´e o mesmo que dar uma fam´ılia de fun¸co˜es fS : S → T compat´ıveis no sentido que fS = fS ′ |S sempre que S ⊂ S ′. Da mesma forma, seja A um anel e M um A-m´ odulo qualquer. Se I ´e a categoria filtrante associada ao conjunto de subm´odulos de M finitamente gerados e F : I → A−Mod ´e o funtor de inclus˜ao, temos que lim F = M : definir um morfismo de A-m´ odulos f : M → T ´e o mesmo que definir uma fam´ılia compat´ıvel −→ de morfismos fN : N → T , N ∈ I, j´ a que todo elemento m ∈ M pertence a um subm´odulo finitamente gerado (por exemplo, N = Am).

175

Podemos expressar a propriedade universal de uma maneira mais sucinta da seguinte forma. Para um objeto X ∈ C, seja cX : I → C o funtor constante que leva todo i ∈ I em X e toda flecha em idX . Note que dar uma fam´ılia compat´ıvel de morfismos fi : F (i) → X, i ∈ I, ´e o mesmo que dar um morfismo de funtores F → cX . Assim, o limite direto de F pode ser definido agora como qualquer objeto (caso exista) representando o funtor X 7→ Hom(F, cX ), ou seja, temos uma bije¸ca˜o natural HomC (−→ lim F, X) = Hom(F, cX ) f 7→ {f ◦ φi }i∈I

Pelo lema de Yoneda ou pela propriedade universal, temos que quaisquer dois limites diretos s˜ao isomorfos entre si. Exemplo 3.2.2 (Limite Direto de Grupos Abelianos) Seja I uma categoria filtrante e F : I → Ab um funtor. Vamos mostrar que o limite direto de F sempre existe; o mesmo m´etodo de constru¸ca˜o se aplica a outras categorias al´em de Ab. Defina L def i∈I F (i) lim F = −→ H onde H ´e o seguinte subgrupo: identificando um elemento g ∈ F (i) com o vetor na soma direta cuja i-´esima componente ´e g e cujas demais componentes s˜ao nulas, temos que H ´e gerado pelas diferen¸cas xi − xj ,

xi ∈ F (i),

xj ∈ F (j)

onde existem flechas f : i → k, g: j → k em I com

F (f )(xi ) = F (g)(xj )

Em outras palavras, identificamos dois elementos na “uni˜ ao” dos F (i)’s desde que eles “eventualmente concordem”. Lemma 3.2.3 Se as sequˆencias 0 s˜ ao exatas, ent˜ ao 0

- M′ i

- lim M ′ −→ i

- Mi

- M ′′ i

- lim Mi −→

i∈I

- 0

- lim M ′′ −→ i

i∈I

- 0

i∈I

tamb´em ´e exato.

)

i∈I

(1

0

,O ct

ψj

D

i∈I

29

,2

compat´ıveis entre si, ou seja, tais que, para cada flecha i → j, os diagramas ψi F (i) lim F (i) ←−

01

i∈I

RA

7:

´e um objeto em C que representa o funtor X 7→ HomC (cX , F ), ou seja, temos a “f´ ormula” HomC (X, ←− lim F ) ∼ = Hom(cX , F ) Explicitamente, isto significa que temos uma fam´ılia de “mapas de proje¸ca˜o” ψi : ←− lim F (i) - F (i) i∈I

28

FT

3.3 Limite ou Limite Inverso O conceito “dual” de limite direto ´e o de limite inverso. Novamente seja I uma categoria filtrante, C uma categoria qualquer e F : I → C um funtor. O limite inverso ou limite projetivo ou ainda simplesmente limite de F , em s´ımbolos, lim F (i), ←−

ET

-

? F (j)

comutam, e ←− lim F (i) ´e o “menor objeto” com esta propriedade: dado um “objeto de teste” T juntamente i∈I

com mapas de proje¸ca˜o pi : T → F (i), compat´ıveis entre si como acima, existe um u ´ nico morfismo p: T → ←− lim F (i) tal que pi = ψi ◦ p para todo i ∈ I. i∈I

funtor consta limite inverso limite projeti limite

176

Apˆendice

Exemplo 3.3.1 Seja k um corpo e ks seu fecho separ´ avel. Seja I a categoria filtrante cujos objetos s˜ao os subcorpos l de ks que s˜ao extens˜oes Galois finitas de k; temos uma flecha l → l′ se, e s´o se, se l ⊃ l′ . Considere ainda o funtor F : I → Groups

separ´ avel separ´ avel puramente insepar´ ave fecho separ´ avel normal Galois

l 7→ Gal(l/k)

e que associa, para cada flecha l → l′ , isto ´e, para cada inclus˜ao l ⊃ l′ , a proje¸ca˜o natural dos grupos de Galois Gal(l/k) ։ Gal(l′ /k) l ⊃ l′ φ 7→ φ|l′ Ent˜ ao afirmamos que ←− lim F = Gal(ks /k), com os mapas de proje¸ca˜o Gal(ks /k) ։ Gal(l/k) usuais. Isto segue do seguinte fato: dar um elemento σ ∈ Gal(ks /k) ´e dar uma cole¸ca˜o de elementos σl ∈ Gal(l/k) compat´ıveis entre si, ou seja, tais que σl |l′ = σl′ sempre que l ⊃ l′ . De fato, a partir de σ ∈ Gal(ks /k) podemos definir σl = σ|l e, reciprocamente, dada uma fam´ılia de elementos σl ∈ Gal(l/k) compat´ıveis, como todo elemento a ∈ ks pertence a alguma extens˜ao Galois finita l ⊃ k, podemos definir σ(a) = σl (a), defini¸ca˜o esta que claramente independe da escolha de l. Portanto, dar um morfismo de grupos p: T → Gal(ks /k) ´e o mesmo que dar uma fam´ılia de morfismos pl : T → Gal(l/k) compat´ıveis, logo Gal(ks /k) possui a propriedade universal do limite inverso.

4 Alguns Resultados Alg´ ebricos 4.1 Extens˜ oes Alg´ ebricas Seja L ⊃ K uma extens˜ao finita de corpos de grau n = [L : K]. Dizemos que L ´e separ´ avel sobre K se existem exatamente n K-imers˜oes σ1 , . . . , σn : L ֒→ K alg de L no fecho alg´ebrico de K. Teorema 4.1.1 (Elemento Primitivo) Seja L ⊃ K uma extens˜ ao separ´ avel finita. Ent˜ ao L = K(θ) para algum θ ∈ L. Teorema 4.1.2 As seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: 1. L ⊃ K ´e separ´ avel.

FT

2. Todo elemento b ∈ L ´e separ´ avel, i.e., o polinˆ omio minimal de b sobre K n˜ ao possui ra´ızes m´ ultiplas. 3. L ⊗K K alg ´e reduzida (i.e., n˜ ao possui elementos nilpotentes al´em de 0).

(1

RA

7:

28

)

Um polinˆomio f (x) ∈ K[x] possui ra´ızes m´ ultiplas se, e s´o se, gcd(f (x), f ′ (x)) 6= 1. Se f (x) ´e ′ irredut´ıvel, isto ocorre se, e s´o se, gcd(f (x), f (x)) = f (x), isto ´e, se, e s´o se, f ′ (x) = 0 (pois deg f ′ (x) < deg f (x)). Isto significa que f (x) = g(xp ) para algum g(x) ∈ K[x] e p = char K > 0. Em particular, extens˜oes de corpos de caracter´ıstica 0 s˜ao sempre separ´ aveis.

,2

01

0

Defini¸ c˜ ao 4.1.3 Seja L ⊃ K uma extens˜ao de corpos de caracter´ıstica p > 0. Dizemos que L ⊃ K ´e n puramente insepar´ avel se para todo b ∈ L existe um n (que depende de b) tal que bp ∈ K.

29

,O ct

ET

D

Note que toda extens˜ao de corpos L ⊃ K pode ser quebrada em uma extens˜ao separ´ avel M ⊃ K seguida de uma puramente insepar´ avel L ⊃ M . Basta tomar M como o conjunto de todos os elementos separ´ aveis de L. O corpo M ´e chamado de fecho separ´ avel de K em L. Uma extens˜ao de corpos L ⊃ K ´e dita normal se, para todo b ∈ L, todos os seus conjugados pertencem a L. Uma extens˜ao de corpos ´e Galois se ´e normal e separ´ avel. Teorema 4.1.4 Seja L ⊃ K uma extens˜ ao normal e seja G = AutK (L). Seja M o corpo fixo por G: def

M = K G = {b ∈ L | σ(b) = b para todo σ ∈ G} Ent˜ ao L ⊃ M ´e Galois e M ⊃ K ´e puramente insepar´ avel.

177

4.2 Grau de Transcendˆ encia Seja L ⊃ K uma extens˜ao de corpos. Um subconjunto Ω = {ωi } de L ´e algebricamente independente sobre K se n˜ ao existe rela¸ca˜o polinomial n˜ ao trivial entre os ωi , ou seja, dado um polinˆomio f (x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ], f (ωi1 , . . . , ωin ) = 0 ⇒ f (x1 , . . . , xn ) = 0 para todo subconjunto finito {ωi1 , . . . , ωin } de Ω. Um subconjunto maximal (com rela¸ca˜o `a inclus˜ao) Ω ⊂ L algebricamente independente sobre K ´e chamado de base de transcendˆ encia de L sobre K. Note que Ω ´e uma base de transcendˆencia de L sobre K se, e s´o se, a K-sub´algebra K[Ω] de L ´e isomorfa a um anel de polinˆomios nas “vari´aveis” ω ∈ Ω e L ´e alg´ebrico sobre K(Ω) = Frac K[Ω]. Por exemplo, {x1 , . . . , xn } e {x21 − x2 , x2 , . . . , xn } s˜ao duas bases de transcendˆencia de K(x1 , . . . , xn ) = Frac K[x1 , . . . , xn ] sobre K. Quaisquer duas bases de transcendˆencia possuem mesma cardinalidade, que ´e chamada de grau de transcendˆ encia de L sobre K e ´e denotada por tr. degK L. Assim, no exemplo tr. degK K(x1 , . . . , xn ) = n. No caso finito, como para espa¸cos vetoriais, para mostrar que quaisquer duas bases possuem mesma cardinalidade, basta provar o Lema 4.2.1 (Axioma de troca de Steinitz) Sejam Ω e Ω′ duas bases de transcendˆencia de L sobre K. Dado qualquer ω ∈ Ω, existe ω ′ ∈ Ω′ tal que (Ω \ {ω}) ∪ {ω ′ } ´e uma base de transcendˆencia.

Prova Sejam Ω = {ω1 , . . . , ωr } e Ω′ = {ω1′ , . . . , ωs′ } com ω = ω1 . Para cada i = 1, . . . , s, considere uma rela¸ca˜o polinomial n˜ ao trivial pi (ωi′ , ω1 , . . . , ωr ) = 0 entre ωi′ , ω1 , . . . , ωr , que existe devido `a maximalidade de Ω. Ent˜ ao pelo menos um dos pi ’s deve envolver ω1 n˜ ao trivialmente, caso contr´ario todos os elementos de Ω′ , e portanto de L, seriam alg´ebricos sobre K(ω2 , . . . , ωr ). Mas ent˜ ao ω1 seria alg´ebrico sobre K(ω2 , . . . , ωr ), o que contradiz a independˆencia alg´ebrica de Ω. Sem perda de generalidade, seja p1 (ω1′ , ω1 , . . . , ωr ) = 0 tal rela¸ca˜o envolvendo ω = ω1 . Afirmamos que (Ω \ {ω}) ∪ {ω1′ } = {ω1′ , ω2 , . . . , ωr } ´e uma base de transcendˆencia de L sobre K. De fato, da maximalidade de Ω, temos que L ´e alg´ebrico sobre K(ω1′ , ω1 , . . . , ωr ) e a rela¸ca˜o polinomial acima mostra que ´ ltimo corpo, o que ω1 ´e alg´ebrico sobre K(ω1′ , ω2 , . . . , ωr ), de modo que L tamb´em ´e alg´ebrico sobre este u mostra a maximalidade de (Ω \ {ω}) ∪ {ω1′ }. Por outro lado, se este u ´ltimo conjunto n˜ ao fosse algebricamente independente, como {ω2 , . . . , ωr } ´e algebricamente independente, ter´ıamos que ω1′ seria alg´ebrico sobre K(ω2 , . . . , ωr ). Mas como acabamos de ver, temos que L ´e alg´ebrico sobre K(ω1′ , ω2 , . . . , ωr ) e portanto L seria alg´ebrico sobre K(ω2 , . . . , ωr ), o que contraria a maximalidade de Ω. Isto completa a prova.

28

4.3 Tra¸ co e Norma

)

FT

Agora, aplicando Steinitz um n´ umero finito de vezes, podemos transformar Ω em uma base contida em Ω′ e vice-versa, mostrando que |Ω| = |Ω′ |.

(1

RA

7:

Seja B uma A-´algebra que ´e livre como A-m´ odulo de posto finito n. Todo elemento b ∈ B define, por multiplica¸ca˜o, uma transforma¸ca˜o A-linear

01

x 7→ bx

0

Mb : B → B

29

,O ct

D

,2

Definimos o tra¸ co TrB/A (b) ∈ A de b ∈ B como o tra¸co de Mb ; da mesma forma, a norma NB/A (b) ∈ A de b ∈ B ´e definida como o determinante de Mb . Explicitamente, se {ω1 , . . . , ωn } ´e uma base de B sobre A, escrevendo b · ω1 = a11 ω1 + a12 ω2 + · · · + a1n ωn

ET

b · ω2 = a21 ω1 + a22 ω2 + · · · + a2n ωn .. .

com aij ∈ A, temos

b · ωn = an1 ω1 + a2n ω2 + · · · + ann ωn TrB/A (b) = Tr(aij ) =

X

1≤i≤n

aii

e

NB/A (b) = det(aij )

algebricamen base de trans grau de trans tra¸ co norma

178

Apˆendice

e, como em ´algebra linear, mostra-se que estes dois valores independem da escolha da base de B sobre A. Diretamente das defini¸co˜es, temos que o tra¸co ´e aditivo e a norma ´e multiplicativa: para b1 , b2 ∈ B, TrB/A (b1 + b2 ) = TrB/A (b1 ) + TrB/A (b2 )

NB/A (b1 · b2 ) = NB/A (b1 ) · NB/A (b2 )

e

Observe ainda que se a ∈ A, ent˜ ao TrB/A (a) = na e NB/A (a) = an . Se C ´e uma B-´algebra que ´e livre de posto finito como B-m´ odulo, temos ainda que TrC/A = TrB/A ◦ TrC/B

NC/A = NB/A ◦ NC/B

e

Isto segue alculo expl´ıcito com matrizes, utilizando bases B = Aω1 ⊕ · · · ⊕ Aωn , C = Bτ1 ⊕ · · · ⊕ Bτm L do c´ eC= 1≤i≤n Aωi τj . 1≤j≤m

Agora, vamos especializar a discuss˜ ao acima para corpos: seja L ⊃ K uma extens˜ao alg´ebrica finita de grau n = [L : K]. Pelo teorema do elemento primitivo, podemos escrever L = K(θ) = K[θ] para algum θ ∈ L com polinˆomio minimal p(x) ∈ K[x], que possui n ra´ızes distintas θ = θ1 , θ2 , . . . , θn em K alg . Neste caso, podemos descrever explicitamente as imers˜oes σi como as composi¸co˜es de K-´algebras ≈ σi : L = K[θ]  7→

θ1

≈ - K[θi ] ֒→ K alg

K[x]
p(x)

7→

x

θi

Assim, se p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , utilizando a base 1, θ, . . . , θn−1 de L sobre K, temos que para calcular a norma e o tra¸co de θ, precisamos calcular o determinante e o tra¸co da “matriz companheira” de p(x):   0 0 ··· 0 −a0 −a1  1 0 ··· 0   −a2  0 1 ··· 0   ..   .

Portanto

TrL/K (θ) = −an−1 =

−an−1

X

θi =

1≤i≤n

NL/K (θ) = (−1)n a0 =

Y

X

σi (θ)

1≤i≤n

θi =

1≤i≤n

Y

σi (θ)

1≤i≤n

e, em geral, temos

)

0 ··· 1

FT

0

e

1≤i≤n

NL/K (b) =

Y

(1

σi (b)

σi (b)

τ (b)

29

X τ

,O ct

D

TrL/K (b) = TrL/K(b) ◦ TrK(b)/K (b) = m ·

,2

Prova Seja m = [K(b) : K]. Temos, pelo c´ alculo acima, que

0

1≤i≤n

01

X

RA

TrL/K (b) =

7:

28

Lemma 4.3.1 Seja L ⊃ K uma extens˜ ao alg´ebrica finita separ´ avel de corpos de grau n = [L : K] e sejam σ1 , . . . , σn : L ֒→ K alg as n K-imers˜ oes de L no fecho alg´ebrico de K. Ent˜ ao, para todo b ∈ L,

ET

onde τ percorre as m K-imers˜oes de K(b) em K alg . Como L ⊃ K(b) ´e separ´ avel, temos que cada K-imers˜ao τ : K(b) ֒→ K alg se estende para exatamente n/m = [L : K(b)] K-imers˜oes de L em K alg . Portanto X X TrL/K (b) = m · τ (b) = σi (b) τ

como desejado. A prova para a norma ´e an´aloga.

1≤i≤n

179

Teorema 4.3.2 (Basic properties of norms e traces) Seja K/k be a finite extens˜ ao of corpos of grau n. 1. The trace ´e k-linear e the norm ´e multiplicative: para todo α, β ∈ K e a, b ∈ k, TrK/k (aα + bβ) = a TrK/k (α) + b TrK/k (β) NK/k (αβ) = NK/k (α)NK/k (β) TrK/k (a) = na

e

NK/k (a) = an

2. Seja ns e ni denote respectively the graus of separability e inseparability of K/k . h´ a exactly ns k-embeddings (i.e., embeddings that restrict to the identity on k) of K into an alg´ebrico closure ao, para qualquer α ∈ K, k alg of k; denote them por σ1 , σ2 , . . . , σns . Ent˜ TrK/k (α) = ni

X

σj (α)

e

NK/k (α) =

1≤j≤ns

 Y

1≤j≤ns

ni σj (α)

In particular, the trace ´e zero se the extens˜ ao ´e inseparable. 3. (Transitivity) Seja L/K be another finite extens˜ ao of corpos e seja α ∈ L. Ent˜ ao TrL/k (α) = TrK/k ◦ TrL/K (α) NL/k (α) = NK/k ◦ NL/K (α)

Prova

1. Follows easily from the definitions.

2. Seja p be the characteristic of k. Se p(X) denotes the minimal polinˆomio of α sobre k, we may write e p(X) = f (X p ) para algum f (X) = X d + cd−1 X d−1 + · · · + c0 com distinct roots r1 , r2 , . . . , rd in k alg . e We may assume that αp = r1 . Como ni /pe ´e an integer e ni ns = n, temos  Y

1≤j≤ns

ni  Y ni /pe  Y ni /pe  Y n/(dpe ) n /d σj (α) = σj (r1 ) = = rj s rj 1≤j≤ns

1≤j≤d

1≤j≤d

But por the last example we also have n/(dpe )

NK/k (α) = (−1)n c0

n/(dpe )  Y n/(dpe )  Y = rj = (−1)n (−1)d rj 1≤j≤d

1≤j≤d

FT

The argument works similarly para the trace. Moreover, se the extens˜ao ´e inseparable, ni ´e a power of p, so the trace vanishes.

e similarly para the trace. 4.4 Discriminante

D

= NK/k ◦ NL/K (α)

1≤i≤ns

(1

0

01

1≤i≤ns 1≤j≤ms

mi ni  Y ni = σi τj (α) σi (NL/K (α))

,2

Y

29

 Y

,O ct

NL/k (α) =

RA

7:

28

)

3. Seja ms e ns be respectively the graus of separability of L/K e K/k , e mi e ni be respectively the graus of inseparability of L/K e K/k . Seja τ1 , . . . , τms be the K-embeddings of L into k alg , e seja σ1 , . . . , σns denote extens˜oes of the k-embeddings of K to algum normal extens˜ao of k containing L. Ent˜ ao σi τj s˜ao the ms ns k-embeddings of L. Como the grau of inseparability of L/k ´e mi ni , temos

ωi = ci1 τ1 + · · · + cin τn

ET

Sejam ω1 , . . . , ωn e τ1 , . . . , τn bases de K sobre Q e seja C = (cij ) a matriz de mudan¸ca de base: i = 1, . . . , n

Sejam ∆(ω1 , . . . , ωn ) = (TrK/Q (ωi ωj )) e ∆(τ1 , . . . , τn ) = (TrK/Q (τi τj )) os discriminantes das duas bases. Ent˜ ao ∆(ω1 , . . . , ωn ) = ∆(τ1 , . . . , τn ) · (det C)2

180

Apˆendice

e ambos os discriminantes s˜ao n˜ ao nulos. Sejam σi : K ֒→ C as imers˜ oes de K em C e considere a matriz δ(ω1 , . . . , ωn ) = (σj (ωi )). Multiplicando pela transposta, temos δ(ω1 , . . . , ωn ) · δ(ω1 , . . . , ωn )T = Por outro lado, δ(ω1 , . . . , ωn ) =

 X

 X

1≤k≤n

1≤k≤n

torsion free m´ odulo

   σk (ωi )σk (ωj ) = TrK/Q (ωi ωj ) .

 cik σj (τk ) = C · δ(τ1 , . . . , τn ).

Assim, ∆(ω1 , . . . , ωn ) = (det δ(ω1 , . . . , ωn ))2 = (det C)2 · (det δ(τ1 , . . . , τn ))2 = (det C)2 · ∆(τ1 , . . . , τn )

Como det C 6= 0, para mostrar que estes discriminantes s˜ao n˜ ao nulos, basta mostrar isto para uma base espec´ıfica. Escrevendo K = Q(θ) (teorema do elemento primitivo ), temos que 1, θ, . . . , θn−1 ´e uma base de K sobre Q. Sendo θi = σi (θ) os conjugados de θ, temos o determinante de Vandermonde det δ(1, θ, θ2 , . . . , θn−1 ) = det(θji−1 ) =

Y

1≤i