Le idee, i numeri, l’ordine. La dottrina della «Mathesis universalis» dall’Accademia antica al Neoplatonismo

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ELENCHOS Collana di testi e studi sul pensiero antico diretta da

GABRIELE GIANNANTONI XIV

LINDA M. NAPOLITANO VALDITARA

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE La dottrina della mathesis universalis dall' Accademia antica al neoplatonismo

•

BIBLlOPOLlS

Questo volume è stato pubblicato con il contributo dell'Universi­ tà di Padova - Istituto di Filosofia.

Proprietà letteraria riservata

ISBN 88-7088- 189-X Co py right

© 1988 by

«C.N.R., Centro di studi del pensiero antico,) diretto da GABRIELE GIANNANTONI

INDICE C APITOLO P RIMO: PER UNIVERSAUS:

U N A DEFINIZIONE DI

MATHESIS

NOTAZIONI STORICHE ED INDICAZIONI SE­

MANTICHE

pago 1 1

La definizione cartesiana di mathesis universalis, p. 1 1. Il concetto di mathesis universalis nei secoli XVI e XVII, p. 2 6 . Note, p. 4 1 . C APITOLO S ECONDO: Le PRINCIPALI FONTI (STORICHE E TEORICHE ) DELLA MATHESIS UNIVERSALIS: PLATONE, ARISTOTELE, E UCLIDE, PROCLO L'uso delle fonti, p. 45 . Le fonti storiche: dai " problemi " ai " teoremi " ; dal numero figurato alla quantitas, p. 50. Le fonti teoretiche: Euclide, p. 74. Le fonti teoretiche: Proclo, p. 96. Note, p. 1 1 6 . C APITOLO TERZO: I L PROGETTO DELLA MATHESIS UNI' VERSALIS NELL A CCADEMIA ANTICA Riflessioni introduttive, p. 1 49. Speusippo, p. 156. Senocrate, p. 185. Eudosso di Cnido e la teoria delle proporzioni. Teorie e problemi dell'Epinomide, p. 209 . Conclusioni sull' Accademia antica, p. 229 . Note, p. 2 3 2 . C APITOLO Q UARTO: LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSALIS FRA IL III ED IL I SECOLO A . C . . L'Accademia scettica e l" ' irrazionalità " dell'epoca ellenistica, p. 2 8 3 . La prima Accademia scettica: Arcesilao di Pitane, p. 286. La nuova Accademia scettica: Carneade di Cirene, p. 293 . Filone di Larissa, Antioco di Ascalona e la ripresa del realismo, p. 306. La scuola scientifica di Alessandria fra teoria e tecnira. Rigore ed i nvenzi o ne in Archimede, p: 310. Nullo, p. �2'J.

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149

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8

INDICE GENERALE

CAPITOLO QUINTO: ALCUNE CONNESSIONI TRA MATHE­ SIS UNIVERSAUS, FILOSOFIA MEDIOPLATONICA E NEOPITAGORISMO

pag. 343

Il medioplatonismo, p. 343 . La sistemazione delle scienze nel Didaskalikòs: il ruolo dell' analisi ed il significato della dialettica, p. 348. La caduta della matematizzazione nella Ideenlehre medioplatonica. Plutarco, la cpo..T\ «pt9\LT\'tUdj ed il pitagorismo, p. 378. Il neopitagorismo, l'aritmologia ed il matematismo di Nicomaco di Gerasa, p. 4 1 3 . L'esemplarità matematica nella nuova teologia neopitagorica e me­ dioplatonica, p. 4 3 4 . La matematica dell'età imperiale: storia e storiografia, p. 469 . Note, p. 48 1 .

CAPITOLO SESTO: ApPUNTI PER UNA CONNESSIONE FRA MATHESIS UNIVERSAUS E NEOPLATONISMO

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CONCLUSIONI

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BIBUOGRAFIA

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INDICE DEI LUOGHI

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Mathesis universalis e neoplatonismo, p. 5 3 7 . Giamblico di Calcide: IIept 'tijç XOtvijç \L«9T\\Lcx"ttx7jç è1tta-tTt\LT\ç, p. 539. Note, p. 564.

Concezione arcaico-tradizionale del numero e mathesis universalis, p. 5 7 3 . Le definizioni del numero e la dottrina dei principi dualistica e monistica, p. 5 7 5 . Forme della mathesis universalis nella tradizione platonica e pitagorica, p. 5 7 7 . Le relazioni d'ordine, p. 580. Ordo geometricus e gnoseologia, p. 583 . I correttivi al matematismo, p. 586.

A Marco

.

« . . L'uomo che noi intendiamo e vogliamo, che aspiriamo a diventare, potrebbe ogni giorno scambiare la sua scienza o la sua arte con qualunque altra, farebbe rifulgere nel Giuoco delle perle la logica più cristallina e nella grammatica la fantasia più creativa. . . . In alcuni secoli abbiamo inventato e sviluppato il Giuoco delle perle come linguaggio e metodo universali per esprimere tutti i valori e concetti spirituali e artistici e ridurli ad una misura comune... ».

(H. HESSE, Il giuoco delle perle di vetro) .

•

C APITOLO PRIMO PER UNA DEFINIZIONE DI MA THESIS UNIVERSALIS: NOTAZIONI STORICHE ED INDICAZIONI SEMANTICHE « Geometriam aliqui pro arte magica habuerunt ». (T. H OBBES, Leviathan, Opera latina, pp . 3 7 -8).

III,

A) LA

DEFINIZIONE CARTESIANA D I

MATHESIS UNIVERSAUS

Scrivendo nel marzo del 1636 all' amico Padre Mersenne, Re­ né Descartes gli sottoponeva il progetto di una nuova opera, un lavoro diviso in quattro saggi, il primo dei quali propositivo ed introduttivo e gli altri tre esemplificativi : all'inizio dell'estate del­ l' anno successivo il lavoro ormai completato usciva con il titolo ben noto di Discorso sul metodo. Della lettera a Mersenne ci inte­ ressa proprio il titolo che Descartes proponeva flCr l'opera che sarebbe divenuta il suo scritto fondamentale e che in quella sede è presentata dunque come : «Progetto di una Scienza Universale che possa elevare la nostra natura al più alto grado di perfezione . Più la Diottrica, le Meteo­ re e la Geometria: in cui le più curiose materie, scelte per prova della Scienza universale proposta dall' Autore, sono spiegate in modo che possano essere intese anche da coloro che non le hanno mal studiate »1. Con il Discorso sul metodo, J)escartes tematizzava rigorosa­ ment e cd in lIn'opl�ra organica l'i n t lliz io ne dei mirabilis scientiae

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

lundamenta, che già l'aveva entusiasmato alla fine del 16 19, come ricorda negli Olimpica2• La " Scienza universale", cui egli accen­ na due volte nel titolo provvisorio del futuro Discorso sul metodo, deve dunque avere nella sua formazione un peso notevole, se egli dedicò all'elaborazione di quella scienza ben diciotto anni, ed al " metodo" esposto nell'opera va attribuito, nell'economia del pen­ siero cartesiano, un valore forse non minore di quello che ha il

Cogito. Non stupisca questo esordio nell'ambito della filosofia mo­ derna per una ricerca tesa a ricostruire il significato e la storia del concetto di mathesis universalis in alcune fasi del pensiero gre­ co classico, ellenistico ed imperiale; l'esordio ha una duplice giu­ stificazione : da un lato, pare potersi trovare in Descartes, nelle

Regulae ad directionem ingenii, la definizione più chiara e filosofi­ camente più pregnante del concetto di mathesis universalis; dal­ l'altro, questo concetto giunge a formarsi in Descartes procedendo su linee storiche assai datate e sulle quali si collocano esattamen­ te gli autori ed i filoni per noi più direttamente interessanti. Quan­ do dunque la si comprenda sufficientemente, la definizione cartesiana della " Scienza universale", proprio per la sua chiarez­ za e per la sua rilevanza filosofica, può costituire, sul piano teore­ tico, un'ottima pietra di paragone per valutare le definizioni precedenti e, sul piano storico, una sorta di meta, di cui più facil­ mente si individuano le tappe per quanto lontane di approssima­ zione .

È

evidente tuttavia il carattere occasionale e se si vuole

strumentale di questo riferimento alla filosofia moderna: non pre­ tendo perciò di conferire a questo primo nucleo di considerazioni l'approfondimento ed il rigore doverosi, qualora il tema di speci­ fica discussione fosse stato la mathesis universalis nello stesso De­ scartes e nel pensiero moderno . Come già detto, Descartes dedicò all'elaborazione del suo " metodo" o " Scienza universale" almeno diciotto anni, appli­ candovisi nel periodo che va dal 1619, anno in cui, per la prima volta, gli balenò alla mente l'idea di un'unica scienza, al 163 7 , anno nel quale pubblicò appunto il Discorso sul metodo: entro tali termini e, come pare assodato, precisamente nel 1628, si colloca

PER UNA DEFINIZIONE DI

MATHESIS UNIVERSAUS

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quel breve saggio, incompiuto, m a densissimo, noto come Regu­ lae ad directionem ingenU, Nelle ventuno regole lasciateci, Descar­ tes costruisce pezzo per pezzo la " Scienza universale", che si configura, fin dall'inizio, esattamente come metodo atto a cono­ scere le cose « con chiarezza ed evidenza »; già nella Regola IV

-

il cui enunciato suona appunto « Per l'investigazione della ve­

rità delle cose, è necessario un metodo »3 - Descartes chiarisce significato e funzione del metodo stesso: « Per metodo [ . .) inten­

do delle regole certe e facili, osservando le quali nessuno darà mai per vero ciò che sia falso e senza consumare inutilmente al­ cuno sforzo della mente, ma gradatamente aumentando sempre il sapere, perverrà alla cognizione di tutte quelle cose di cui sarà capace »4, Non è necessario essere filosofi, scienziati o comunque uomini di cultura, per entusiasmarsi dinnanzi a simili promesse: Descartes pretende di avere trovato il filtro atto ad esorcizzare la stessa possibilità dell'errore, a cancellare cioè quel carattere che appartiene specificamente all'uomo, fin da quando gli fu proi­ bito di mangiare dei frutti dell' albero della scienza del bene e del male, Il metodo di Descartes infatti eleva « la nostra natura al più alto grado di perfezione », perché"con esso « nessuno pren­ derà mai per vero ciò che sia falso »: la proposta cartesiana mo­ stra dunque una traccia significativa dell'ideale di fondazione del

regnum hominis, già annunciato dal pragmatismo baconiano, sot­ teso, nonostante il finale richiamo all' amor Dei intellectualis come negazione di sé, all'ambiziosa descrizione dell'intera realtà del­

l'Etica spinoziana e che passerà poi, proprio attraverso il raziona­ lismo cartesiano, nella filosofia e nella cultura, non a caso con­ notata come enciclopedistica, dell'Illuminismo,

I caratteri del metodo vanno però chiariti, come le ragioni specifiche che consentono a Descartes di definirlo " Scienza uni­ versale", Nel seguito della Regola IV, egli, ripercorrendo il cammino intellettuale che lo portò alla formulazione del metodo stesso, ri­ corda di essersi applicato per molto tempo alle discipline mate­ matiche, in particolare all' aritmetica ed glIa geometria, «perché si diceva fossero semplicissime e quasi via alle altre »'; questo stu-

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

dio però non lo soddisfece, perché, sebbene egli potesse verifica­ re, tramite le operazioni di calcolo con le quali si esercitava, la" " verità " delle proposizioni matematiche, non comprendeva tut­ tavia « perché le cose vadano così e in qual modo venissero ritro­ vate »6: nessun manuale di matematica esplicitava cioè il " criterio di verità " delle sue proposizioni e le modalità di rinvenimento di quelle proposizioni vere . Descartes giunse perciò a ritenere inu­ tile un esercizio mentale tutto sommato tanto meccanico e super­ ficiale. « Ma » - prosegue - « pensando in seguito donde pertanto venisse che un tempo i primi autori della filosofia non volessero

ammettere allo studio della sapienza akuno che non avesse cono­ scenza di matematica [ . . . . ] ben mi accorsi che essi conoscevano una specie di matematica molto diversa da quella comune ai nostri tempi [ . ] »7; egli si riferisce qui a quei filosofi i quali sostenevano, tra .

.

l' altro, che « la virtù è preferibile al piacere e l'onesto all'utile », e cita esplicitamente, come ultimi rappresentanti di quella " vera matematica " , Pappo e Diofanto. Conclude infine con una serie di notazioni semantiche e concettuali particolarmente illuminanti: «E avendomi questi pensieri richiamato dai particolari studi di aritmetica e di geometria ad una generale investigazione della mate­ matica, mi domandai innanzitutto che cosa di preciso tutti inten­ diamo con quel nome, e perché non soltanto quelle che già abbiamo indicato, ma anche l' astronomia, la musica, l'ottica, la meccani­ ca, e altre parecchie, si dicano parti della matematica. Qui infatti non basta considerare l'origine della parola; poiché significando il nome di matematica soltanto il medesimo che disciplina, esse non sarebbero dette matematica a minor diritto della stessa geo­ metria [ . ] E a chi ciò consideri più attentamente, si rende noto infine che si riferiscono alla matematica soltanto tutte quelle cose nelle quali si esamina l'ordine e la misura, e che non ha interesse se tale misura si debba cercare nei numeri, o nelle figure, o negli astri, o nei suoni, o in qualunque altro oggetto: e perciò ci dev 'esse­ . .

re una scienza generale, che spieghi tutto ciò che si può chiedere circa l'ordine e la misura non riferita ad akuna speciale materia, ed essa,

non già con un vocabolo straniero, ma con uno già antico e accet­ tato dall'uso, ha da essere chiamata matematica universale, poiché in questa si contiene tutto ciò per cui altre scienze sono dette parti della matematica »8.

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Descartes dichiara infine di essersi attenuto a tale metodo, coltivando appunto la " matematica universale " , nel condurre le proprie ricerche.

li riferimento di Descartes all' aritmetica dei cosiddetti nume­ ri reali ed alla geometria delle figure tridimensionali, cioè all' arit­ metica elementare ed alla geometria euclidea, non ha qui valore esemplificativo od occasionale, ma ha un peso determinante nell'e­ laborazione della scienza universale cartesiana: in questa infatti, la forma assiomatico-deduttiva, nella quale quelle discipline siste­ mano le proprie iroposizioni, viene sottratta all ' ambito di applica­

zione specificamente matematico e considerata metodo valido per " ogni " conoscenza che abbia pretese di scientificità e dunque di coglimento della verità; solo la forma assiomatico-deduttiva porta a conoscere (e a descrivere adeguatamente) «l'ordine e la misura » ritenuti presenti negli oggetti delle matematiche stesse ed « in qua­ lunque altro oggetto ». I passaggi teorici di questo privilegiamento della forma assiomatico-deduttiva sono poi coglibili a partire dalle prime due Regole, dove Descartes, posto che « il fine degli studi è quello di guidare la mente a giudizi certi e sicuri», e, nel comples­ so, ad una conoscenza altrettanto « certa e sicura »9, lamenta il fat­ to che molte delle scienze non assolvano in realtà al loro ruolo di « cognizione certa ed evidente »10, poiché si muovono fra dati soltanto probabili e talora falsi, e puntualizza che quelle effettiva­ mente capaci di far conoscere con certezza ed evidenza il loro og­ getto sono solo l' aritmetica e la geometria. Le ragioni di questa loro superiorità sono esplicitate poi nella Regola III, in cui Descar­ tes esamina gli atti dell' intelletto approdanti all' auspicato grado di certezza ed evidenza, vale a dire l"' intuito " e la " deduzione " . Il primo è inteso come « un concetto della mente pura ed attenta tanto ovvio e distinto, che intorno a ciò pensiamo non rimanga

assolutamente alcun dubbio; ossia [. . . ] un concetto non dubbio della mente pura ed attenta, il quale nasce dalla sola luce della ragione

1 ... 1»11 . Con l'intuito dunque la verità dell'oggetto è colta " imme­ diat amente", po iché "immediatamente " evidente. La dcdm:ione indica a sua volta « tutto ciò che viene conclu­ so lIeccssariamente da certe altre cose conosciute con certezza

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

[ ] ciò si è dovuto fare, perché moltissime cose si sanno con cer­ . . .

tezza, nonostante non siano di per sé evidenti, solo che vengano dedotte da veri e noti principi mediante un moto continuo e mai interrotto dd pensiero intuente chiaramente le singole cose [ . ] »12 . .

•

La deduzione è dunque strettamente legata all'intuito, poiché con­ siste nd guadagnare " mediatamente " un'evidenza e certezza pa­ ri a quelle di una verità " intuita " , progressivamente esplicitando ciò che di necessità consegue ad essa. La differenza e la rdazione tra le due forme di conoscenza sono infatti indicate da Descartes altrettanto chiaramente : « In ciò in tanto distinguiamo l'intuito della mente dalla deduzione certa, che in questa si concepisce un movimento o una serie di successione, e in quella no; e inoltre perché a questa non è neces­ saria un'evidenza in atto, come all'intuito, ma essa mutua piutto­ sto dalla memoria la sua certezza »1). Intuito e deduzione si distinguono dunque come l'immediatezza e la mediazione, come la stasi ed il movimento, ma sono come qudli in stretta rdazio­ ne, poiché la deduzione presuppone l'intuito (come sua " memo­ ria " ) e questo a sua volta dev'essere accompagnato dalla dedu­ zione, in ordine al raggiungimento della verità completa, perché si possano cogliere gli aspetti non autoevidenti di questa. Il valore scientifico che Descartes attribuisce a queste due forme di conoscenza è a parte subiecti assoluto ed esaustivo: « Que­ ste due vie sono certissime della scienza, né se ne debbono am­ mettere di più rispetto all'intelligenza ma tutte le altre sono da respingere come sospette e soggette ad errori [. ] »14. ..

Presupposta dunque una definizione di scienza o conoscenza vera che grossomodo suonerebbe come ciò che necessariamente si deduce da premesse autoevidenti, appare chiaro il motivo della pre­ dilezione di Descartes per l' aritmetica e per la geometria, le quali risultano « di gran lunga le più certe delle altre discipline L ] pd . .

motivo che esse sole vertono intorno ad un oggetto cosi puro e semplice, che non suppongono proprio alcuna cosa che l'esperienza abbia reso incerta, ma bensl consistono interamente nel dedurre logicamente delle conseguenze »u. Ciò che affascina Descartes in queste discipline e che lo porta a farne " il" modello

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della scienza è dunque in primis l'impianto formale, che consen­ te loro di volgersi ad un oggetto « tanto puro e semplice », da poter essere appreso per intuizione, e di descriverlo nei partico­ lari per successive deduzioni; la lunga applicazione a studi di aritmetica e di geometria aveva consentito a Descartes di verifi­ care la funzionalità ed operatività dei teoremi che veniva stu­ diando: essi erano « certi ed evidenti ». Da ciò conseguiva « non certamente che si debbano imparare soltanto l' aritmetica e la geometria, ma semplicemente che coloro i quali cercano il retto cammino della verità non debbono occuparsi di nessun oggetto, intorno a cui non possano avere certezza pari a quella della dimostrazione aritmetica e geometrica »16. Per rinvenire il crite­ rio sottostante a quella certezza ed evidenza, Descartes si volse ' dunque alla cultura greca ed in particolare alla concezione che dell' aritmetica e della geometria avevano, come lui stesso dice, «i primi autori della filosofia ». A questo specifico proposito, è facilmente individuabile, nelle notizie pur generiche fornite nella IV Regola, un riferimento ad ambiti di pensiero come

il pitagorismo e più ancora la filosofia platonica, sufficientemen­ te connotati da dati quali il non voler ammettere « allo studio della sapienza alcuno che non avesse conoscenza di matematica » - riecheggiante quasi puntualmente l ' iscrizione !J.Tj8ttç O:"(tw!J.i'tpTj'toç tlahw, che si presume figurasse all'ingresso dei

giardini dell'Accademia -, il ritenere la matematica « massima­ mente necessaria per ammaestrare e preparare la mente alla con­ quista di altre scienze più importanti » - dato che a sua volta richiama la programmazione didattica proposta da Platone nei libri centrali della Repubblica - e la morale che pone come ,

valori la virtù e l'onestà, rispetto al piacere e all'utile. Nella tradizione culturale platonica ed accademica si collocano d ' al­ tronde i due matematici del III secolo d.C. esplicitamente citati da Descartes, cioè Pappo e Diofanto, eredi a loro volta del lavoro scientifico realizzato ad Alessandria da Euclide, il cui debito nei confronti di Platone e dell' Accademia è ricordato da Proclo , suo commentatore, con le parole: «Per le idee, Eucli­ de

era

platonico ed aveva molto familiare questa filosofia [. . . ] »17.

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L'esplicitazione dei riferimenti storici probabili della IV Re­ gola legittima innanzitutto unI), rapida verifica del parallelismo esi­ stente tra la definizione cartesiana di aritmetica e geometria consistenti per intero nel dedu"e logicamente delle conseguenze

-

e le definizioni fornite rispettivamente da Platone neli a Repub­

blica e da Aristotele negli Analitici Secondi: Platone, in un passo famoso e sul quale torneremo, nota infatti come « coloro che si occupano di geometria, di calcoli e di simili studi » ammettano, come dati « ad ognuno evidenti », « il pari e il dispari, le figure, tre specie di angoli e altre cose analoghe a queste », e da queste vadano poi svolgendo «i restanti punti dell' argomentazione », giun­ gendo coerentemente a dimostrare quanto si erano proposti18 • Ana­ loga è la definizione degli Analitici Secondi, in cui Aristotele, cercando un modello di scienza che sia comune a tutte le discipli­ ne particolari, ne rinviene, com'è noto, i caratteri nella distinzio­ ne fra una parte della scienza cosiddetta anapodittica, concernente le premesse vere ed immediate, ed una parte apodittica, consi­ stente a sua volta nella deduzione ordinata di quanto necessaria­ mente consegue a quelle premesse19 • Le tre definizioni sono presentate entro contesti tematici ra­ dicalmente diversi e con intenzioni teoretiche altrettanto diffe­ renti: le ho volute avvicinare innnanzitutto per anticipare una considerazione storica che mi propongo di circostanziare meglio in seguito, per rilevare cioè che già al tempo della Repubblica pla­ tonica le matematiche avevano raggiunto uno sviluppo tale, entro e fuori l'Accademia, da consentire una caratterizzazione della lo­ ro metodologia come assiomatico-deduttiva. Quelle definizioni ap­ prodano inoltre, esplicitamente o implicitamente, ad una prima connotazione della matematica generale (o mathesis universalis), in cui il livello di " Qniversalità " è parificato a quello di un genere (la comune struttura formale) rispetto alle specie (le singole scien­ ze che, come l' aritmetica, la geometria, la musica, la meccanica, la fisica, ecc . , sono dotate di quella struttura formale) . Se però la definizione della Repubblica è avanzata con un' intenzione no­ toriamente critica e se quella di Aristotele è proposta soltanto come una descrizione, l'intenzione con la quale Descartes indivi-

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MATHESIS UNIVERSALIS

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dua il carattere della matematica greca nella capacità di spiegare « tutto ciò che si può chiedere circa l'ordine e la misura non rife­ rita ad alcuna speciale materia » mira esattamente ad una fruizio­ ne filosofica, per giunta estremamente spinta, di quella definizione:

in sintesi, dunque, l'operazione teorica cartesiana è riassumibile anzitutto rispetto all' aspirazione di Descartes ad una conoscenza certa ed evidente; l' aritmetica e la geometria forniscono poi al nostro filosofo il modello di una conoscenza appunto certa ed evi­ dente e lo spingono a sondare le radici di tale modello; poiché poi la superiorità dell' aritmetica e della geometria rispetto alle altre scienze si radica nel loro impianto formale assiomatico­ deduttivo, Descartes restringe l'efficacia conoscitiva delle facoltà dell'intellettp umano a quelle che presiedono precisamente all' ap­ prendimento di una struttura assiomatico-deduttiva, vale a dire l' intuito e la deduzione; tale operazione gli consente infine di va­ rare la definizione di " scienza " , genere comune a tutte le scien­ ze particolari o matematica generale, come ciò che necessariamente si deduce da premesse autoevidenti. La matematica generale diviene però " universale " e dun­ que " metodo " , quando Descartes non la considera più soltanto comun denominatore delle scienze cosiddette esatte e riunite tra­ dizionalmente, seppur con aggiustamenti vari, sotto il nome di discipline del quadrivio, ma la ritiene estensibile « ad ogni sorta

di materie », come scrive a Mersenne nel 163 72°; egli cita, fra l'al­ tro, quali esempi di applicazione del metodo, anche la medicina e

la metafisica, ambiti di ricerca che tradizionalmente avevano

" resistito " ad approcci investigativi ed a sistemazioni di tipo assiomatico-deduttivo, ma che consentono, in particolare il se­ condo , di estendere ad un piano assoluto i limiti di applicazione

dci metodo stesso, se questo è inteso come necessario e sufficien­ le a cogliere la struttura " dell'intera realtà " . L'universalità che J)escartes giunge con ciò ad attribuire al proprio metodo è dun­

que tale da conferirgli, anche sul piano filosofico, il maggior peso possihile, poiché esso non può non divenire metodo

della stessa

/i/o'w/ia, quando questa voglia effettivamente apprendere la veri­ tà. Ciò

esat tamente perché l'onnicomprensività della matematica

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LE IDEE , I NUMERI, L'ORDINE

universale cartesiana non è più semplicemente quella di un genere rispetto alla specie, ma è considerata " assoluta " e perché, in parti­ colare, quest' assolutezza si può specificare in due sensi: la mathesis

universalis cartesiana è dunque assoluta non solo " in senso estensi­ vo ", ed è perciò esaustiva, in quanto metodo di " ogni " scienza definibile come tale, ma è assoluta anche " in senso intensivo " , ed è perciò assolutamente efficace, in quanto struttura metodologica che consente ad ogni forma di conoscenza di penetrare la verità. Tale mathesis universalis ha dunque in primis una rilevanza gnoseologica: essa consiste infatti in un 'estensione assoluta dell'am­

bito di applicazione dell'impianto formale assiomatico-deduttivo pro­ prio dell'aritmetica elementare e della geometria euclidea, quando i due atti conoscitivi dell'intuire e del dedurre, caratteristici di quell'impianto formale e vie « certissime della scienza», vengano a costituire il modello metodologico di " ogni " scienza che voglia dirsi tale . La definizione in questione giustifica d' altronde la re­ lazione funzionale intercorrente fra la mathesis universalis e la già ricordata costruzione del regnum hominis, in quanto si pretende, quando appunto il metodo diviene " universale " , che nessun cam­ po della realtà sfugga più alla comprensione e al dominio dell'uo­ mo, liberato dalla sua secolare cecità2 1. Per verificare la correttezza di tale definizione e tutto il suo peso filosofico e per coglierne d' altronde la rilevanza specifica­ mente ontologica, è opportuno leggere ancora le Regulae: nel pro­ sieguo dell'opera, Descartes puntualizza le singole operazioni intellettuali che vanno compiute per un corretto uso del metodo e parallelamente richiama, nella loro specificità, i momenti sa­ lienti dei processi logici propri della struttura formale matematica. Le Regole V e VI, e quelle immediatamente successive, chia­ riscono innanzitutto quale sia l' " ordine " che la mathesis univer­

salis comporta: il metodo viene osservato correttamente, infatti,

« se ridurremo gradatamente le proposizioni involute ed oscure ad altre più semplici, e poi dall' intuito di tutte le più semplici tenteremo di salire per i medesimi gradi alla conoscenza di tutte le altre »22 . Il metodo è fonte di ordine poiché prevede di " proce­ dere per gradi " , partendo appunto dalle cose più semplici (i n qu a n

-

21

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

to tali immediatamente evidenti e perciò oggetto dell'intuito) , per passare poi alle cose progressivamente più complesse, che alle prime cc

succedono " , i n quanto deducibili d a esse o con esse costruibili.

L'ordine cui Descartes allude - il quale comporta non solo un movimento in senso verticale, entro un sistema unilaterale di re­ lazioni di dipendenza, dal semplice al complesso, ma anche la pun­ tualizzazione dei gradi di distanza intercorrenti fra un oggetto e l' altro, il coglimento dell'uguale valore degli oggetti che si col­ locano allo stesso livello ed una loro enumerazione in senso oriz­ zontale quanto più possibile completa - riproduce in modo evidente la struttura gerarchica delle proposizioni degli Elementi di Euclide : l'opera, espressione del livello più maturo di assioma­ tizzazione raggiunto dalla geometria greca, segue, com'è noto, un preciso ordine espositivo, dagli elementi " veri e propri, cioè cc

dalle cose più semplici - gli OPOt (definizioni) , gli Otl"t"l)ILOt"tOt (po­ stulati) e le lCOtvOtL lwotOtt (nozioni comuni) - alle proposizioni via via più complesse. I primi presiedono alla fondazione delle proposizioni successive nella duplice accezione del termine cnOt· J(Eiov, il quale, nell' orizzonte della terminologia euclidea e come

più avanti documenterò, è ad un tempo

cc

principio di deduzio­

ne " (come gli hòroz) e principio di composizione " o costru­ zione " (come gli aitèmata e le koinài ènnoiai), duplice valenza cc

cc

di cui lo stesso Descartes sembra tener conto, nel momento in cui eguaglia, nella serialità, la relazione fra c

quella fra

cc

cc

causa ed effetto "

semplice e composto " . L' anteriorità dei principi eu­

clidei rispetto alle proposizioni successive è motivata in generale, oltre che dalla loro autoevidenza, dal fatto che essi, in quanto

.. pri m i , "

cc

comportano " le proposizioni successive, che sono rin­

Ilcnibi/i a partire da quei principi secondo un ordine univoco e neces­ Iori() , il quale costituisce la geometria appunto in ('ll'mentj2'.

cc

sistema " di

Nclla Regola VI, Descartes nota ancora che l'ordine stesso e necessario, perché « tutte le cose possono venir dispo­ serie, non già in quanto si riferiscono a qualche genedi l'nll', così mmc i filosofi le ripartirono nelle loro categorie,

ì' poss ihilc

l/t' P(';' certe 1'('

11111

in

qlllllliO le Unt' poss()n() esserc' c()n()sciute dopo di altre»24. La

22

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

scansione conoscitiva ed il conseguente ordinamento degli ogget­ ti di conoscenza stessi secondo successioni e serie si fondano a loro volta sul fatto che « tutte le cose L . . ] si possono dire assolute o relative » e, più precisamente, " assoluta " è «( Ogni cosa che con­ tenga in sé la natura pura e semplice, di cui si sta discorrendo

L . . ] tutto ciò che è considerato L . . ] indipendente, causa, semplice, universale, uno, eguale, retto, o altre cose di tal specie L . . 1 » e " re­ lativo " è « ciò che partecipa della medesima natura L . . ] secondo cui può venir riferito all'assoluto ed essere dedotto da esso attra­ verso una certa serie [ . . . ] ogni cosa che si dice dipendente, effetto,

composto, particolare, molti, diseguale, obliquo, etc. . . . »25 . L' ordine proprio della mathesis universalis si specifica dun­ que, secondo Descartes, come progressiva scansione delle cose, a seconda del loro configurarsi come " assolute " o " relative " , ed è proprio in questo ordine gerarchico che consiste infine « il

segreto di tutto il metodo », per il quale è necessario che « in tutte le cose si avverta con diligenza ciò che è massimamente assoluto » e si tenga comunque sempre presente che alcune cose « sotto un dato punto di vista sono più assolute di altre, ma considerate di­ versamente sono più relative; [ . . . 1 »26. Emerge proprio a questo punto l' aggancio ontologico del me­ todo cartesiano : quando si dice infatti che « tutte le cose possono

venir disposte per certe serie », distinguendole, seppur con una di­ versificazione di rispetti, in assolute e relative, si sfuma, di fatto e come lo stesso Descartes riconosce, la trama dell'impianto on­ tologico categoriale, basato piuttosto, come in Aristotele, sulla multivocità dei significati dell ' essere-molteplicità dei modi della predicazione ed incentrato sul concetto di oùaLcx, per tematizzare un ordine , considerato operante " dalla parte delle cose " , in cui vale principalmente la " collocazione " (e perciò il " grado ") di ciò che viene " prima " - in quanto indipendente, semplice , pre­ supposto - e di ciò che viene " dopo " - in quanto a sua volta dipendente, composto, dedotto - . Lo schema ontologico tradi­ zionale impallidisce di fronte alla corposità del nuovo impianto e serve ora solo come supporto alla gerarchizzazione verticale, per distinguere i " punti di vista " che consentono di graduare

23

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

il livello di assolutezza-relatività di una cosa: la definizione di triangolo, per esempio, non ha più rilevanza in quanto serva a " de-finire " uno specifico genere di ente, ma in quanto è assoluta e " prima " rispetto a tutte le proposizioni sul triangolo, essendo però " seconda " rispetto alla definizione di figura piana; la tradi­ zionale distinzione fra generi (etOT), fondati e definiti sulla base dei caratteri " essenziali " ) è dunque presente, ma pare sia intera­ mente assorbita nell' ambito della struttura verticale. In partico­ lare pare non si faccia più questione delle relazioni molteplici fra " generi " , e perciò le differentiae specificae tra le cose (il diversificarsi-relazionarsi delle ousìai) non sono più il criterio pri­ mo della descrizione di una trama razionale del reale e dunque dell'elaborazione stessa di un'ontologia: conta viceversa il cogli­ mento della struttura verticale, giocata appunto sulla relazione antecedente-conseguente, che viene ritenuta valida per " ogni am­ bito della realtà " . Le implicazioni ontologiche della mathesis universalis carte­ siana27 sembrano una diretta conseguenza dell'assolutizzazione del­ l' ambito di applicazione della matematica generale, di quella specificata

come

assolutizzazione

" intensiva " :

il

metodo

assiomatico-deduttivo è considerato assolutamente sufficiente a co­

noscere la verità e ciò comporta dunque che sia " vera " ( � oggettiva) la stessa struttura assiomatico-deduttiva; la forma del metodo, cioè l'ordine di scansione seria le 'ltponpov-ucnepov, di­ viene perciò struttura ontologica e regola oggettiva di sussistenza del­ le cose stesse. Spinoza raccoglierà in qualche modo l'eredità di �ale ontologizzazione di una forma logica, l' ordo geometricus, nella for­ mula famosa che parifica l'ordine e la connessione delle idee al­ l'ordine ed alla connessione delle cose2 8 •

I tratti specifici del concetto di mathesis universalis in De­ scartes paiono dunque complessivamente due: innanzitutto essa consiste nell'universalizzazione assoluta della forma assiomatico­

deduttiva comune alle discipline matematiche, su un piano pro­ priamente gnoseologico, quando tale forma sia intesa come mo­ dl'//o di ogni scienza; in un secondo momento tale forma si apprez­ �a anche come struttura ontologica, con il conseguente pri-

24

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

vilegiamento di un ordinamento del reale secondo serialità, gra­ dualità e gerarchizzazione verticale, che sporge rispetto ad altri tipi di organizzazione razionale del reale stesso (per esempio sulla descrizione dei rapporti " multivoci " intercorrenti fra enti diver­ si " per essenza " ) . S i può notare i n chiusura l a presenza nelle Regulae d i un ultimo aggancio storico, non privo nella sua specificità di una certa importanza. Nell'enunciato della Regola V, che ho già riportato, si dice che il metodo viene osservato « se ridurremo gradatamente le proposizioni involute ed oscure ad altre più semplici, e poi dal­ l'intuito di tutte le più semplici tenteremo di salire per i medesi­ mi gradi alla conoscenza di tutte le altre »29; il riferimento all'impianto formale della geometria euclidea si specifica qui an­ cor più chiaramente, poiché sono coglibili in quel " ridurre " il complesso al semplice ed in quel " salire " viceversa dal semplice al complesso i due movimenti con i quali è percorribile nei due sensi il sistema della geometria elementare, cioè i procedimenti classici rispettivamente dell" , analisi " e della " sintesi "30. L'ag­ gancio storico fra i due movimenti tematizzati nell'enunciato del­ la Regola V ed i procedimenti dell' analisi e della sintesi si fonda, paragonando le definizioni che dei due procedimenti propri della matematica antica hanno dato rispettivamente Descartes stesso nelle Risposte alle Seconde Obiezioni alle sue Meditationes de pri­

ma philosophia, Proclo nel suo Commento al I libro degli Elementi di Euclide, e Thomas Heath, il quale a sua volta traduce da un manoscritto degli Elementi (una definizione quest'ultima che, se non è attribuibile con certezza ad Euclide, doveva essere però di comune accettazione nella tradizione della geometria eu­ clidea) . a) Descartes : « L'analisi mostra la vera via per mezzo della quale una cosa è stata metodicamente scoperta, e fa vedere come gli effetti dipendano dalle cause. La sintesi, al contrario, e come esaminando le cause per i loro effetti, [. . . ] dimostra [. . ] chiaramente tutto quello che è contenuto nelle sue con­ clusioni »31 . .

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

b) Proclo:

25

[ . . ] La scienza matematica si svolge e percorre l' or­

« .

dinamento incorporeo dei concetti, ora procedendo dai prin­

cipi ai risultati, ora andando in senso inverso; ora dal già conosciuto alle cose cercate, ora dalle cose cercate a quelle che nella ricerca sono antecedenti »32 c) Euclide (?): « L'analisi consiste nell'assunzione di ciò che viene cercato come fosse vero e neL passaggio attraverso le sue con­ seguenze fino a quakosa di noto. La sintesi consiste nell'as­ sunzione di ciò che è noto e nel passaggio attraverso le sue conseguenze fino ad ottenere ciò che viene cercato »)) . •

Le analogie tra le definizioni e quanto detto nella V Regola appaiono chiare, per quanto Descartes, nella sua definizione, accentui particolarmente l'interrdazione fra cause ed effetti, pro­ prio a seguito della sua ontologizzazione dd metodo : dementi comuni sono comunque la tematizzazione della possibilità di per­ correre nei due sensi il sistema, quanto la specificazione dei due movimenti rispettivamente come passaggio dal complesso al semplice (dall'effetto alla causa o dal derivato al principio) l'analisi, e come passaggio dal semplice al complesso (dalla causa all'effetto o dal principio al derivato) la sintesi. Altre considera­ zioni sarebbero necessarie, sul progressivo emergere dei due pro­ cedimenti nella storia della matematica antica e sul loro specifico carattere logico, ma, riservandomi una successiva trattazione di tali temi, sottolineo qui soltanto questo ulteriore aggancio fra il concetto cartesiano di mathesis universalis e la tradizione della geometria dementare greca, aggancio che non solo suffraga l'i­ potesi fatta che il metodo sia universalizzazione (gnoseologica

cd ontologica) della forma assiomatico-deduttiva della matemati­ ca antica, ma permette di indicare nuovamente l' ambiente fi losofico-scientifico classico ed ellenistico come sede in cui è di fatto rinvenibile molto di una linea di pensiero tanto rilevan­

te nella storia della filosofia moderna.

26

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

B) IL CONCETrO XVII

DI

MATHESIS UNIVERSAUS

NEI SECOLI

XVI

E

Gli agganci fra la concezione cartesiana della mathesis uni­ versalis e la tradizione scientifico-filosofica greca paiono dunque evidenti: non è tuttavia pensabile che la paternità teorica della

mathesis universalis di Descartes debba ricercarsi " immediatamen­ te " in quella tradizione scientrtico-filosofica, attraverso uno spa­

zio di mille anni; esiste in realtà una sorta di filo rosso, che colloca

il " recupero " attuato da Descartes entro una prospettiva storica più concreta, e che, dal mondo antico, attraverso le ricerche logi­ che della Scuola padovana del 1 3 00 e le discussioni metodologi­ che della cultura del Rinascimento, approda alle edizioni moderne degli Elementi di Euclide e del Commento procliano ad essi ed in particolare alla riflessione che quelle pubblicazioni determina­ rono, sul finire del XVI secolo e nei primi decenni del secolo successivo34

•

Gli Elementi apparvero prima in latino nel 1 482 e poi, nel­ l'editio princeps greca, curata da Symon Grynaeus, nel 1 5 3 3 a Ba­ silea; quell' edizione recava anche il testo greco del Commento procliano, che fu poi tradotto in latino, a Padova, nel 1 5 60, da Francesco BarozzP' . La pubblicazione dei due testi - in un' epo­ ca già di per sé aperta ad una riflessione su materiali di derivazio­ ne antica e ad un approfondimento delle più svariate discipline, fra le quali rientravano nuovamente anche le matematiche - fu seguita dalla stesura di una serie di opere ad un tempo propositi­ ve e critiche: Giovanni Crapulli ha esaminato questo vasto mate­ riale - dai primi commenti moderni ad Euclide, alle opere tematiche di Piccolomini, Catena, Barozzi, Dasipodio, Pereira, van Roomen e Alsted -: egli 'Percorre dunque per intero il ponte che verosimilmente collega la cultura matematica antica e quella moderna; ma, cosa ancor più interessante, nel contempo conside­ ra l'emergere sempre più specifico proprio del concetto di mathe­

sis universalis nel secolo XVI e nei primi decenni del XVII , spingendosi dunque assai avanti, nella ricostruzione storica di quel concetto, verso l'epoca redazionale delle Regulae cartesiane. L ag '

-

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSAUS

27

gancio fra l'intento critico-propositivo, che, seppur non unitaria­ mente, sottostà alla pubblicazione di questi lavori, e l' attività di Descartes, è coglibile, al di là della puntualità delle coincidenze cronologiche, quando si ricordi che il padre Cristoforo Clavio (au­ tore fra l' altro di un Commento ad Euclide e di una confutazione ai Cyclometrica duo di Scaligero in cui difendeva i matematici an­ tichi in merito al problema della quadratura del cerchio) ebbe un ruolo di primo piano nella riforma dell'insegnamento delle mate­ matiche, che coinvolse'i maestri dei collegi della Compagnia di Gesù e dunque verosimilmente anche quel padre François, che fu insegnante di Descartes a La Flèche36 • Molti dei matematici che parteciparono al dibattito della fine del '500 o degli inizi del '600, inoltre, furono gesuiti come Benito Pereira, o si formarono a loro volta in collegi della Compagnia di Gesù, come Adrian van Roomen: l'interesse per la matematica, per una chiarificazione dei suoi concetti, della sua terminologia, dei suoi metodi di ricer­ ca e d'esposizione, oltre che del posto che le spetta in un sistema generale del sapere, pare dunque ampiamente diffuso nell' ambiente i n cui Descartes si formò e ciò conferisce più senso alle sue note storiche ed alle sue riflessioni teoriche sulla matematica greca. Nelle opere di coloro che contribuirono al recupero tardo­ rinascimentale e seicentesco delle matematiche, ricorre già d'al­ tronde il termine mathesis universalis o dei termini concettualmente similP7 ; il lavoro di Crapulli consente dunque anche di verificare se il concetto di mathesis universalis abbia in questi studiosi lo stesso significato che ha in Descartes , e se dunque il debito di costui nei loro confronti sia totale, o se viceversa la mathesis uni­

versalis di Piccolo mini, Dasipodio e Alsted sia diversa da quella di Descartes, eventualmente in che senso e quale rapporto si può

in tal caso stabilire fra le due . Questo confronto permette in pri­ mis di costruire una definizione il più possibile completa e stori­ camente fondata del concetto di mathesis universalis, criterio della presente ricerca, e consente d' altronde di esplicitare le ragioni primarie d'essere di questa: stabilire se il riferimento alla mate­ IIllitica ant ica ed in particolare se l' utilizzazione di testi di tradi­ zione platonica, quali gli Elementi di Euclide ed il Commento

28

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

procliano (che anche Descartes forse conosceva, quantomeno per via indiretta) , suggeriscano rispettivamente nel ' 500 e nel ' 600 configurazioni della mathesis universalis tutte univocamente aggre­ gabili attorno alla definizione forte datane da Descartes, è pro­ blema che rende poi obbligatoria l' analisi degli atteggiamenti assunti nei confronti della mathesis universalis in primis dalla stes­ sa tradizione culturale antica. Secondo Crapulli comunque, le discipline matematiche, già raggruppate dai Pitagorici (aritmetica, o della quantità discreta, geometria, o della quantità continua, musica, o della quantità nel tempo, astronomia, o della quantità nel movimento) e raccolte poi anche nel mondo latino sotto il ben noto nome di quadrivio, risultavano all'inizio del ' 5 00 unificate, o a causa della " natura comune " del genere (quantitas) « dalla cui specificazione traevano origine i soggetti di èiascuna di esse »} 8 , oppure per il " carattere mediale del loro oggetto " , che si collocava a mezzo fra l'oggetto intelligibile della teologia e quello sensibile della filosofia natura­ le, il che conferiva un maggior grado di certezza alle loro dimo­ strazioni (rispetto a quelle della filosofia naturale) . Crapulli è interessato appunto al concetto sempre più esplicito e tematizza­ to di una disciplina " matematica " , che sia " genere comune " per le discipline matematiche particolari che ad essa sottostanno quale che sia la ragione, di analogia di oggetto oppure di metodo, fondante quella comunanza - e dunque in sostanza mira a far emergere proprio le ragioni che giustificano la sopra detta unifi­ cazione delle discipline matematiche. Nella sua ricostruzione sto­ rica, egli usa due termini, mathesis universa e mathesis universalis, dei quali il primo corrisponde alla semplice considerazione delle discipline matematiche come complesso unitario o " somma " di specifici elementi, ed il secondo viceversa indica una disciplina

autonoma e specificamente matematica, base e fondamento di tut­ te le altre: in entrambi i casi, Crapulli descrive dunque la mate­ matica come un Tévoç in cui figurino unificate varie specie, ma mentre nel caso della mathesis universa egli pare sottolineare l'ac­ cezione " estensiva " del genere (come semplice somma o colle­ zione di elementi) , nel secondo caso, quello proprio della matbesis

PER UNA DEFINIZIONE DI

MATHESIS UNNERSAUS

29

universalis, fa valere un significato intensivo di ghènos, come ciò che, pur distinto dalle specie, ne estrapola e tematizza i caratteri comuni; egli è appunto interessato al progressivo emergere stori­ co di questo secondo concetto . Il livello di universalità che Crapulli attribuisce alla mathesis universalis è comunque sempre quello già ricordato di un genere rispetto alle specie e non quello assoluto che abbiamo visto emer­ gere in Descartes: quella che Crapulli va ricercando è appunto una " disciplina matematica " e non una " metafisica matematiz­ zata " o una dottrina " universale " della scienza modellata sulla matematica. Nel caso dello stesso Descartes, tuttavia, il livello superiore o assoluto di universalità è guadagnato tematizzando un grado inferiore di universalità delle matematiche, paragonabi­ le appunto a quella di un ghènos (nell' accezione intensiva) rispet­ to alle specie, con l'individuazione di un carattere comune alle matematiche particolari di tipo specificamente strutturale, gene­ re che solo in un secondo momento assume rilevanza assoluta su un piano gnoseologico (divenendo modello di " ogni scienza " ) e su un piano ontologico (quando l'ordine seriale sia oggettivizzato dalla parte stessa delle cose) . La fase di generalizzazione interme­ dia, che raccoglie dunque le disc�pline matematiche in un genere comune, sembra storicamente necessaria per ogni fruizione filo­ sofica forte della matematica (e perciò significativa per ogni rico­ str�zione di quest'ultima) : è in tale fase infatti che la matematica esplicita la propria caratterizzazione scientifica e mostra dunque le ragioni (il riferimento alla quantità quale criterio omogeneo di razionalizzazione, la certezza conoscitiva, la consequenzialità ra­ zionale) che giustificano una sua esemplarità e dunque una sua t'vcntuale fruizione filosofica forte . Da notarsi innanzi tutto, nell' ambito dei materiali considera­ I

i da Crapulli, è la convergenza pressoché generale, al di là delle

variazioni di tono e di contesto, su un punto : la mathesis universa­ Iis

Il

matematica generale viene fondata sottolineando la " comu­

IIl1l1za ('SSII

di oggetto" (e non di metodo) delle singole discipline ad

afferenti, quando si affermi l'esistenza di « una disciplina co­

IIIll11l'

ulle scienze matematiche, in primo luogo all'aritmetica ed

30

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

alla geometria, che tratta della natura, dei principi e delle proprietà comuni » e quando quella natura comune sia indicata nella quanti­ tas, definibile, al di là delle specificazioni di volta in volta assun­ te, come " oggetto comune " a " tutte " le discipline matematiche39• Cosl pensa per esempio Alessandro Piccolomini ( 1 547) : « [ . . . ] hic obiter unum est notandum magni ponderis, quod cum quantum

phantasiatum ostenderimus esse mathematicorum materiam sive su­ biectum, hoc quidem non geometriae, vel arithmeticae, quae duae sunt mathematicae prima genera, subiectum esse dicitur, sed cuiu­ sdam facultatis communis ad geometriam et arithmeticam »40 . An­ che Francesco Barozzi ( 15 85 ) ricorda i « nonnulla communia mathematica principia de quantitate ipsa quatenus quantitas est, in qua omnis mathematica scientia versatur [. . . ] »4 1 ed analogo è il processo di fondazione di una universalis quaedam mathematica cognitio et doctrina da parte di Corrado Dasipodio, il quale nota ( 1 5 64) che i principi e le proposizioni della matematica generale sono comuni a tutte le discipline particolari, poiché « eorum uni­ versalis est natura »42 . Anche Benito Pereira sottolinea ( 1 5 76) l'e­ sistenza di una scientia mathematica communis, avente per oggetto lo studio delle affezioni della quantitas abstracta43; Adrian van Roo­ men ( 1 597) a sua volta definisce la mathesis universalis come « [. . ] scientiam [. . . ] quandam mathematicam communem arithmeticae .

omnibus quantitatibus [ . . . ] »44, e Johann Heinrich Alsted infine pro­ pone la sua definizione in termini chiarissimi ( 1 6 1 3 ) : «Mathema­ tica generalis est scientia tractans de quantitate communiter »4' . L' insistenza sul comune " oggetto " c�me elemento unifican­

te e come criterio di fondazione della matematica generale indica dunque una prima differenza fra questi autori e Descartes, il qua­ le, nella cosiddetta fase intermedia di generalizzazione, pur ricor­ dando l'oggetto « puro e semplice » delle matematiche, aveva piuttosto insistito sul comune " metodo " di quelle scienze, consi­ stenti « interamente nel dedurre logicamente delle conseguenze ». Differenza fondamentale fra Descartes e questi studiosi è comun­ que il fatto che questi ultimi paiono " fermarsi " alla fondazione di una mathesis universalis intesa prevalentemente nel senso filo­ sofico debole: essa è dotata infatti di un'universalità che le con-

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

31

sente di coprire, in quanto ghènos, il solo e specifico campo delle discipline matematiche, che è dunque minore dell'universalità del­ la mathesis universalis cartesiana e che, a differenza di questa, non la eleva a modello preferenziale di scientificità, né la amplia a schema ontologico e dunque a struttura metafisica del reale (ma­

thesis universalis in senso forte) . Particolare è forse la posizione di Corrado Dasipodio, il quale, partito da considerazioni appunto sulla universalis natura delle ma­ tematiche, natura che per prima giustifica la fondazione della 'uni­

versalis mathematica cognitio et doctrina,

progressivamente

alleggerisce tale posizione, a favore di un accentuato riconosci­ mento degli universalia principia et theoremata e dunque, più car­ tesianamente, del comune methodus et orda delle matematiche46 • Una più significativa analogia con Descartes Dasipodio rivela pe­ rò quando, influenzato verosimilmente dall' opera procliana, sem­ bra ampliare il valore tanto della quantitas, oggetto comune delle matematiche, quanto dei principi e teoremi comuni prefigurando forse una mathesis universalis in senso forte: nel proemio all' edi­ zione del v libro degli Elementi di Euclide, e più specificamente a proposito delle proporzioni, Dasipodio infatti dice: « Hic quin­ tus liber peculiarem doctrinam instituit de proportionibus, quae diffusae sunt per universam rerum naturam [. . . ] »47 . Alle definizio­ ni e proposizioni del v libro degli Elementi si era già attribuita una generalità notevole, che rendeva applicabili le proporzioni e le loro proprietà non solo agli oggetti della geometria, . ma alla

quantitas in .generale (e dunque agli oggetti dell' aritmetica, dell' a­ stronomia, della musica, ecc . ) , quando, sulla scia delle traduzioni latine degli Elementi di C ampano, Pacioli e Lefèvre, si era tra­ dotto il vocabolo greco !J.t'Yt90� appunto con quantitas48• La di­ pendenza teorica fra quantità e proporzione era poi stata colta da vari commentatori, come, per esempio, Nicola Tartaglia, che, nella sua traduzione in volgare degli Elementi, nel 1 5 4 3 , scrive, seguendo Campano : « [. . . ] il proprio della quantita e esser detta secondo quella equal over inequale, come vuoI Aristotile in li pre­ dicamenti, onde e manifesto la proportione pri'1lamente esser tro­ vata in la quantita, e per quella in tutte le altre cose. Ne puo

32

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

esser proportione in alcune cose alla quale simile non sia in alcu­ ne quantita, per laqualcosa ben ha detto Euclide la proportione simplicemente esser in la quantita »49. Dell'alto grado di generalità del v libro degli Elementi di Eu­ clide - secondo alcuni attribuibile a Eudosso di Cnido - e del­ le considerazioni fatte da Aristotele nelle Categorie (4 b 22-2 5 ) , a proposito della quantità come fondamento della relazione di uguaglianza, tengono conto comunque tutti gli autori interessati alla storia ed alla filosofia della matematica nel XVI secolo: ma Dasipodio, affermando che le proporzioni sono diffuse per uni­ versam rerum natur,!m, non sembra considerare la quantità " sol­ tanto " fondamento teorico della proporzione e pare piuttosto

attribuire alla proporzione stessa, e dunque alla quantità che la fonda, un grado di onnicomprensività assoluto e dunque un valo­ re " ontologico " , prefigurando appunto una metafisicizzazione della quantità stessa . Affiora qui dunque un altro possibile significato della mathesis universalis intesa in senso forte, significato che com­ pleta la definizione (cartesiana) di essa come mutuazione in sede ontologica dell' ordine seriale pròteron-hysteron: quando si pensi possibile disegnare una trama razionale del reale che privilegia la disposizione delle cose per serie gerarchiche procedenti dal sem­ plice al complesso, pare necessario disporre di un' " unità di mi­ sura " che consenta di numerare gli elementi delle serie stesse, di stabilirne il grado e di determinarne le relazioni reciproche. La quantità (con le sue proprietà) diviene allora strumento di let­ tura primario delle serie e delle regole di collocazione e del rap­ portarsi dei loro elementi: una mathesis universalis si costituirebbe dunque non solo per la mutuazione in sede ontologica della for­ ma assiomatico-deduttiva delle matematiche, ma anche per l'ado­ :done di una normatività quantitativa come criterio (necessario e sufficiente) di ordinamento razionale di tutte le cose, disposte secon­ do serie. Assume qui rilevanza specifica non solo la tematica della " omogeneità " degli elementi della serie e della loro conseguente leggibilità in termini di " proporzionalità " (&\lCXÀO-yLCX) , ma anche della " raffrontabilità " fra serie differenti (per essenza), tema que­ sto rispetto al quale, come cercherò di mostrare in seguito, rivela

PER UNA DEFINIZIONE DI

MATHESIS UNIVERSALIS

33

il suo punto critico l a perdita della normatività ontologica secon­ do differenza eidetica, nel momento in cui l'intera trama del reale possa essere descritta come semplice variabilità di rapporto fra quantità (omogenee) . Tornando alla nostra ricostruzione storica, pare comunque non meno significativo quanto Dasipodio afferma nella proposi­ zione VII della sua Protheoria mathematica ( 1 593), dove nota che, per un approccio ordinato e graduale con la matematica, « prius communia illa [principia, accidentia, theoremata] sunt explicanda [ . ] quatenus omnibus rebus mathematicis aliisque attribuuntur >>'o : .

.

anche qui, s e i principi e d i teoremi della matematica sono appli­ cabili non solo agli oggetti della matematica ( = quantità) , ma alii­

sque, " tutte le cose " ammettono una configurazione ontologica di tipo quantitativo (il che " ontologizza " l' ' ' oggetto " della ma­ tematica) e sono ordinate secondo una scansione verticale, che si modella a partire da quei principi e teoremi (il che " ontologiz­ za " il " metodo " della matematica stessa) . Per entrambi i luoghi dell'opera di Dasipodio, si tratta co­ munque di indicazioni marginali e di suggestioni troppo fragili, per affermare che egli ricalchi posizioni matematizzanti già pre­ senti nei testi antichi, o che prepari consapevolmente e compiu­ tamente un materiale teorico poi ripreso da Descartes . La presenza, pur episodica e solo relativamente pregnante, di una simile linea teorica di tendenza, nella cultura scientifica dell'epoca emerge comunque in forma negativa anche da alcune considerazioni ricorrenti nel manuale De communibus omnium re­

rum naturalium principiis di Benito Pereira ( 1 5 62) e nell' Apologia pro Archimede di Adrian van Roomen ( 1 6 1 3 ) : entrambi gli stu­ diosi, in queste sedi, sottolineano il carattere " specificamente ma­ tematico " della mathesis universalis, Pereira indicandone, nello schema di divisione tripartita della filosofia, l'esatta posizione che subordina quella disciplina alla metafisica e la distingue dunque da essa" , e van Roomen specificando che la denominazione di

prima. mathesis o prima mathematica, attribuita alla matematica ge­ nerale, è giustificata dall' " analogia " che essa ha con la metafisi­ ca o prima philosophia, la quale fornisce oggetto, principi e

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

proprietà comuni alle discipline matematiche; van Roomen poi, nel dichiarare appunto solo " analoghe " e dunque " non identifi­ cabili " metafisica e matematica, puntualizza addirittura il senso delle sue precisazioni, fatte « ut omnis tollatur ambiguitas »'2. Per­ ciò degli scivolamenti, dall'elaborazione di una mathesis universa­

lis debolmente intesa come genere comune alle scienze esatte, verso una metafisicizzazione dell'impianto contestuale o formale delle matematiche stesse, si erano in qualche modo già verificati, nel dibattito sul valore, sui caratteri e sulla storia di esse, tenutosi a cavallo dei secoli XVI e XVII. Per riassumere, comunque, gli studiosi di questo periodo sono interessati ad un concetto di ma­

thesis universalis diverso dalla mathesis universalis cartesiana per due aspetti fondamentali: con tale termine essi infatti intendono per lo più una disciplina " matematica " , la quale si pone come

genere comune a tutte ed alle sole scienze esatte, in ragione della loro " comunanza d'oggetto " (quantitas) , e perciò tanto il livello di universalità di questa mathesis, quanto il dato che fonda la sua generalità rispetto alle specie sono differenti da quelli attribuibili alla mathesis universalis cartesiana. Mentre Descartes d'altronde accentua il tratto della consequen­ zialità e della certezza conoscitiva che il (comune) metodo assiomatico­ deduttivo garantisce alle scienze esatte, rispetto alla sua personale esigenza di un metodo che fosse " modello " gnoseologico, gli autori coinvolti nella riscoperta moderna delle matematiche si limitano ad indicarne la collocazione nel tradizionale schema tripartito del sape­ re e le subordinano per lo più alla teologia: l'unico fra questi studio­ si che, seppur indirettamente, pare anticipare l'entusiasmo di Descartes per la struttura formale della matematica è van Roomen, il quale, nello scritto sulla quadratura del cerchio diretto a difende­ re Archimede ed i matematici antichi dalle critiche di Scaligero, pre­ mette al testo greco, alla traduzione ed alla paràphrasis latina del relativo opuscolo archimedeo la serie di definizioni e di assiomi, che sono verosimilmente ed implicitamente presupposti alla dimostra­ zione figurante nell' opuscolo stesso, e che lo rendono perciò piena­ mente comprensibile, mostrando con ciò quantomeno di aver capito tratti e vantaggi dell' assiomatica euclidea.

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

35

Si può comunque escludere u n rapporto d i " filiazione di­ retta " fra la matbesis universalis di Piccolomini, Dasipodio, Al­ sted e gli altri e quella di Descartes e nella successione teorica cultura antica-filosofia della matematica del ' 500-pensiero carte­ siano vanno perciò colte precise scansioni e connessioni più estrin­ seche: con le edizioni moderne degli Elementi euclidei e dunque con la ripresa dei maggiori nodi teorici della matematica antica, con la ricostruzione dei punti salienti della sua storia, condotta attraverso il Commento procliano a Euclide ed i luoghi matema­ tici delle opere di Platone e di Aristotele, la cultura tardo­ rinascimentale e del primo ' 600 forni a Descartes innanzitutto un orientamento culturale, che lo avrebbe accompagnato per buona parte della sua attività speculativa. È verosimile inoltre che Descartes sia direttamente debitore agli studiosi che di poco

lo precedettero del progetto esplicito di una matematica genera­ le, intesa però nel senso debole di un genere comune alle mate­ matiche, definito sulla base del loro comune oggetto (quantitas) , . progetto che quegli studiosi potevano avere a loro volta tratto dall' aristotelica flcx87jflCX'tLXf! xcx8 6À01J o dalla teoria procliana di una oÀ7j flcx87jflCX'tLXTjH . Descartes avrebbe recepito tale eredità teorica e l' avrebbe " superata " , continuando, nell' ambito di un interesse più spiccatamente gnoseologico, a riflettere sullo statuto epistemologico delle scienze esatte ed elevando infine il loro comune metodo a norma assoluta di esemplarità gnoseolo­ gica e di strutturazione ontologica (matbesis universalis in senso forte) . Resta ora da esaminare il materiale di derivazione antica ed ora è chiaro il grado di interesse di un simile esame : va cioè verificato se i materiali antichi - Platone ed Aristotele, come fonti storiche, Euclide e Proclo, cui fanno riferimento gli studiosi che precedono Descartes, ed in generale la tradizione filosofica e matematica ruotante attorno al platonismo antico, cui Descartes stesso riserva la propria attenzione - presentino " di per sé " gli estremi per essere letti come altrettante proposte di una matbesis universalis ed eventualmente in che senso ed in che grado .

36

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

Mathesis universalis in senso debole relativa alla sola filo­ sofia della matematica (gene­ re comune a " tutte ed alle sole " scienze " esatte " )

le matematiche operano con il medesimo " metodo " (la forma assiomatico-deduttiva) che de­ duce il mediato conseguente dall ' immediato presupposto (con la sintesi) e che riconduce quello a questo (con l' analisi) ; le matematiche riguardano il medesimo " oggetto " (quantitas);

gnoseologia : il metodo delle ma­

tematiche è il me­ todo proprio di " ogni " conoscenza vera;

mathesis universalis i n senso forte relativa alla filosofia tout-court (genere comune di " tutte " le scienze, a " tu t. te " preordinato) antologia

" tutte " le cose so­ no ordinate in serie in cui l'bysteron pro­ cede dal pròteron; " tutte " le cose hanno come archè la quantitas e perciò sono determinate e rapportabili secon­ do invarianti quan­ titative .

Una prima e fondamentale indicazione della mathesis univer­

salis filosoficamente rilevante è rinvenuta dunque nelle Regulae cartesiane : con tale termine s' intende precisamente - come De­ scartes e a differenza dei suoi immediati predecessori

�

l' am­

pliamento " illimitato " dell' ambito di applicazione del metodo ma­ tematico assiomatico-deduttivo, fino a fare di esso il metodo di " tutte " le scienze e della stessa filosofia (mathesis universalis gno­ seologica) ; a tale metodo corrisponde una parallela scansione ge­ rarchica delle cose, che di per se stesse dunque giustificano un

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

37

ordinamento razionale secondo anteriorità del semplice-posteriorità del complesso ed una loro percorribilità tramite l' analisi e la sin­ tesi (mathesis universalis ontologica) . La mathesis universalis onto­ logica ha però un secondo significato ed è determinante, per metterlo in luce, la stessa insistenza degli studiosi del tardo ' 5 00 e del primo ' 600 sulla quantitas come oggetto o natura comune delle matematiche: nell'ambito di una ontologizzazione della strut­ tura formale assiomatico-deduttiva, che attribuisca alla trama del reale un ordine di serialità secondo pròteron-hysteron, la stessa quan­

titas (con le sue proprietà) può divenire norma ontologica. Per mathesis universalis si può perciò intendere anche l' ampliamento " illimitato " del valore della quantitas, la quale non è più soltanto oggetto comune " di tutte e delle sole " scienze esatte, ma divie­ ne appunto criterio e norma di una strutturazione razionale ed esaustiva della realtà. In generale, il significato di mathesis universalis che privile­ gia appunto l' aspetto dell" ' ontologizzazione " del metodo e/o del­ l'oggetto delle matematiche pare particolarmente adeguato ad un' analisi della cultura filosofica antica e comunque più adeguato della definizione di mathesis universalis, che viceversa sottolinea ed assolutizza cartesianamente l'esemplarità " gnoseologica " del­ le matematiche stesse : il pensiero antico pare affrontare infatti in modo in generale diverso dal pensiero moderno non solo la problematica gnoseologica, ma soprattutto il tema del rapporto ontologia-gnoseologia; là dove Descartes esprime dunque, in con­ sonanza di stile con il pensiero moderno, delle attese esplicite e consapevoli rispetto al modello di una conoscenza « certa ed evi­ dente », è viceversa probabile che il mondo antico si mostri più immediatamente esigente rispetto all' aspettativa di un modello ontologico. Adotterò comunque come criterio di conduzione della pre­ sente ricerca il termine mathesis universalis nell' accezione filosofi­

ca forte, intendendolo come elevazione a struttura ontologica o

dell'impianto metodico o dell'oggetto proprio delle matematiche o di entrambi; parallelamente , ma subordinatamente, per le ragioni sopra indicate , adotterò il termine in questione anche nel signifi-

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

cato che indica l'assolutizzazione gnoseologica del metodo assiomatico-deduttivo e dunque l'assunzione di esso a modello di scien­ za. Il termine " matematismo " qualificherà in generale la posi­ zione teorica 'approdante alla fondazione di una mathesis unwersalis in senso forte. Qualche precisazione infine sulla scelta di una limitazione cronologica al periodo che va dalla prima Accademia al neoplato­ nismo chiarirà anche l'uso fatto nella presente ricerca della ma­ thesis universalis in senso debole. La tradizione dd platonismo antico è ambito obbligatorio d'esame, come mostra lo stesso con­ vergere, pur nella diversità di toni, degli storici della matematica dei secoli XVI e XVII e di Descartes nell'indicare quella tradi­ ziQne come termine a quo delle loro riflessioni; Platone per pri­ mo sarà considerato, seppure, per le ragioni che indicherò, più come storico della matematica che come filosofo, mentre ampio spazio riserverò sia ai matematici che lavorarono in rapporto di vicinanza alla sua scuola, sia a rappresentanti della tradizione più propriamente filosofica di essa. Perché però partire dall' Accademia antica e non dai Preso­ cratici?

È probabile in

. flessione

effetti che non poche espressioni della ri-

presocratica

suIl ' &pX7)

siano

leggibili

in

senso

matematistico: .se infatti si può dire matematistica l' ontologia che privilegia, quale norma di ordinamento delle cose, la rdazione semplice-complesso e che risolve le stesse differenze qualitative in altrettante mutazioni d' invarianti quantitative di fondo, non sarebbe illegittimo trattare anche l' dementarismo espresso dalla filosofia della cpuat� di Anassimene o di Democrito ed ancor più la descrizione pitagorica dd reale come metafisica dd numero. L'esclusione di tali esponenti dd pensiero antico è dovuta al fat­ to che sono significativi, nella presente prospettiva di ricerca, quei filoni e quelle posizioni in cui la presenza di eventuali tratti di matematismo sia mediata da un sufficiente sviluppo storico e teo­ rico delle matematiche, tale da consentire il passaggio attraverso quella che si è detta fase di generalizzazione intermedia delle ma­ tematiche stesse (daborazione di una mathesis universalis " in sen­ so debole "). La mathesis universalis, secondo la definizione forte,

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS

39

ha infatti un reale peso filosofico, se l' adattamento contestuale o formale delle matematiche all'ontologia (ed alla gnoseologia) si accompagna ad un certo grado di consapevolezza teorica: questo a sua volta è possibile solo quando lo sviluppo delle scienze esatte sia sufficiente a garantire appunto da un lato un' astrazione­ concettualizzazione della quantitas (non rinvenibile nell'elemen­ tarismo atomistico e d' altronde non ancora riscontrabile nel pita­ gorismo pre-platonico, dopo che la concezione aritmogeometrica e materialistica di quantità era stata distrutta dalla scoperta delle grandezze incommensurabili), e, dall' altro, una definizione chia­ ramente tematica e sufficientemente generalizzata del metodo ma­ tematico (definizione che, a sua volta, come vedremo, la cultura scientifica greca pare acquisire solo . . dopo " la fondazione del­ l'Accademia platonica). Solo dall' Accademia perciò si può cominciare a sondare la presenza nel pensiero greco della mathesis universalis in senso for­ te: la scuola di Platone, per il suo carattere interdisciplinare, pare presentarsi come la sede più adatta per un dibattito sullo statuto epistemologico delle scienze esatte, e, soprattutto, solo a partire dal secolo IV a . C . , dalle ricerche di Teodoro di Cirene, di Teete­ to e di Eudosso, e dalla filosofia della matematica di Platone e di Speusippo, si cominciano a tematizzare i tratti (oggetto e me­ todo) appartenenti in comune all' aritmetica ed alla geometria. La ricerca va condotta perciò sul doppio binario della storia della matematica e della storia della filosofia. Il neopitagorismo pare inserirsi poi di diritto nel piano della ricerca, dal punto di vista filosofico per il modo in cui esso media la tradizione platonico-accademica e quella pitagorica, e, sul ver­ sante della storia della matematica, perché esso si colloca dopo secoli di approfondimento delle scienze esatte: e ad alto livello specialistico la matematica greco-ellenistica era giunta già, come vedremo, nei secoli III e II a . C . con la scuola matematica di Ales­ sandria. L' attenzione dedicata infine ad alcuni esponenti del neopla­ tonismo si giustifica soprattutto a partire dalla figura di ProcIo, il cui .Commento al I libro degli Elementi di Euclide contiene tutta

40

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

una serie di riflessioni storiche e teoriche sul lavoro del fondato­ re della scuola matematica di Alessandria e pare mediare a sua volta la tradizione dell' assiomatica euclidea con l'eredità del pIa­ tonismo accademico; a Proclo comunque, esponente più vicino a noi della tradizione platonica, la rinnovata cultura matematica tardo-rinascimentale dedica, come abbiamo visto, un' attenzione spesso non minore di quella riservata a Euclide . Nel lavoro non si è assunta un' ottica " storicistica " , né sa­ rebbe d' altronde corretto guardare con una prospettiva del gene­ re e con pretese di serietà ad un arco di pensiero anche meno ampio di quello qui esaminato : non ci si può attendere dunque

di rinvenire in questo uno sviluppo lineare e conseguente del con­ cetto di mathesis universalis, legittimato da una sorta di " diritto teoretico " , preliminarmente (e dunque scorrettamente) riservato a tale concetto; si è tentato piuttosto di ricostruire delle linee di tendenza e di far emergere dei collegamenti fra di esse il più possibile oggettivi, pur con la consapevolezza di una limitazione ermeneutica (quale che fosse), oÌtre che dei tagli e delle frettolo­ sità imposti dalla stessa ampiezza del materiale in esame.

Note

I DESCARTES, Oeuvres,

I,

2

x,

DESCARTES, Oeuvres, ) Regole, p. 1 2 . • Ivi, p. 1 3 . , Ivi, p. 1 5 .

pp. 339-40; cfr. Regole, p. pp. 1 79 e 188.

XIV .

6 Ibid. 7 Ivi, pp. 15-6, corsivo mio. 8 Ivi, p. 1 7 , corsivo mio. La descrizione cartesiana di una mathematica gene­

ralis, come scienza dell' ordine e della misura « non riferita ad alcuna speciale ma­ teria lO, richiama la descrizione aristotelica di una (.ICXfl'l)fLO''tlX7) xcx86Àou, la quale, a differenza delle singole scienze esatte, rivolte 11:tp! 'ttVCX CPUOtV, è 11:CXOWV [cpuo,wv] XOtvlj (ARIsTOT. metaph. E 1 . 1 026 a 25-27; cfr. infra, cap. n, B, nota 6 1 ) . Ha perciò ragione Descartes a sottolineare l''' antichità " dell'espressione mathemati­ ca genera/is. •

Cfr. Regole, enunciati delle Regole I e III, rispettivamente a p. 3 e a p. 5 .

IO Ivi, p. 5 . I I Ivi, p. l O .

12

lui, p. I l .

I ) Ibid. 1 4 Ibid.

U Ivi, p. 8 , corsivo mio. 16 Ibid. 1 7 PROCLO, Comm. E/em. Eue/. , p. 74 (68, 20 sgg. Friedlein). 1 8 resp. VI 5 1 0 C-D (nella trad. ital. di F. SARTORI, Bari 1 9 7 1 ) . 1 9 a n o posto A 2 . 7 1 b 20 sgg.

20

DESCARTES, Oeuvres, I, p. 349, e Regole, p. xv . 21 Per le considerazioni svolte a proposito della definizione cartesiana di ma­ thesis universa/is, rimando al saggio di BERTI, Origini matematismo modemo, pp. 162-70 in particolare. 22 Regole, p. 1 8 . 2 ) Per u n primo approccio critico con l'impianto formale degli Elementi eu­ clidei , sono fondamentali: l'ampia sezione dedicata a Euclide da HEATH, Greek Mathematics, l, pp. 354-446 (in particolare pp. 3 7 1 -2 sull'analisi e la sintesi) ; quanto

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

figura nell'introduzione all' edizione italiana de Gli Elementi di Eue/ide, curata da FRA]ESE e MACCIONI; le riflessioni di ENRIQUES, Eue/. critica ant. mod. , e quelle di CAMBIANO, Sistemazione eue/. geom. , nonché il recente lavoro di MUELLER, Eue/. Elem. L'ordine seriale nella matematica greca si afferma, come vedremo, in senso polivalente ed onnicomprensivo: esso scandisce infatti non solo la successione del­ le proposizioni della geometria (secondo ciò che viene conosciuto " prima " e ciò che viene conosciuto " dopo " ) , ma la stessa serie dimensionale (punto-linea­ superficie-solido) e la serie dei numeri reali (i quali si costituiscono " progressiva­ mente " a partire dall'unità) ; le due serie poi già per i Pitagorici sono rapportabili sulla base di tale analogia di scansione ( l -punto, 2-linea, 3-superficie, 4-solido) e lo stesso complesso delle discipline matematiche è organizzabile in una sorta di " sistema " , sulla base della norma che pone appunto " prima " il semplice e " dopo " il complesso (ciò è pienamente esplicitato quantomeno all'altezza storica di Aristotele: cfr . , per esempio, metaph. M 3. 1078 a 9-14). La relazione 1tpO"tEpCX­ UCI"tEpCX, che, come vedremo, assume nella tradizione platonico-accademica una ri­ levanza ontologica e gnoseologica particolare, in quanto rapporto generale di di­ pendenza non bilaterale, è descritta, nel quadro della tecnicizzazione terminologica operata dallo Stagirita, nei termini seguenti: sono pròtera OClCX èvSéXt"tcxl tLVCXI cllvtu cllÀÀwv, mentre sono hystera èxtivcx Sè cllvtu èxtlVWV [sc o 1tpo"tépwv] f.l1} (cfr. metaph. t:. 1 1 . 1 0 1 9 a 2-3). 2 4 Regole, p. 20. 2 ' Ibid. Abbastanza curioso è il fatto che, nella descrizione cartesiana dell' " as­ soluto " e, rispettivamente, del " relativo " , compaiano almeno due dei termini che già i Pitagorici elencavano, nella lista dei contrari loro attribuita da Aristotele (metaph. A 5. 986 a 23 sgg.), rispettivamente nella ClUCl"tOlXICX positiva del 1tépcxç ed in quella negativa dell' c111ttlpOV: l'assoluto è infatti per Descartes ciò che è « uno » e « retto » (iv ed tù96 nella lista pitagorica) e relativo è ciò che è a sua volta « mol­ ti » ed « obliquo » (1tÀij9oç e xcxf.l1t6Àov per i Pitagorici); la tradizione platonico­ accademica, come vedremo in seguito, accoglieva a sua volta esplicitamente nel proprio schema di bipartizione degli esseri non solo in primis la coppia xcx9' cxu.:o-1tpOç "tI, ma altre coppie figuranti poi nella descrizione cartesiana, per esempio LClOV-cllvICIOV. 26 Ivi, pp. 20. 1 . 2 7 Cfr. BERTI, Origini matematismo moderno, p. 167. 28 B . SPINOZA, Ethica more geometrico demonstrata, Parte Il, Prop . VII: sulle modalità del matematismo spinoziano� cfr . , fra l'altro, F. BIASUTTI, La dottrina della scienza in Spinoza, Bologna 1979. 2 9 Regole, p. 18, corsivi miei. lO Cfr. DESCARTES, Meditationes de prima philosophia, in Oeuvres, VII, pp. 155-6, in cui vengono esplicitamente citate e definite l'analisi e la sintesi; cfr. BERTI, Origini matematismo moderno, p. 166. H Cfr. citazione alla nota 30. l2 PROCLO, Comm. Elem. Eue/. , pp. 38-9 ( 1 8 , 24-28 Friedlein) . H HEATH, Eue/. Elem. , l, p. 1 3 8 ; EUCLIDIS Elementa, ad libro XIII propp.

PER UNA DEFINIZION E DI MATHESIS UNIVERSALIS

43

1-) (IV. 364, 1 7 -366, 2 Heiberg); sul significato ed il valore dell'analisi in parti­ colare, cfr . , fra gli altri, ROBINSON, Analysis, p. 466, e BERTI, Analisi ed analitica. Su questi saggi tornerò meglio più avanti. } 4 Cfr. in proposito BERTI, Origini matematismo moderno, p. 1 72 sgg . ; ENRI­ QUES, Eucl. critica ant. mod. ; C. VASOLI, La dialettica e la retorica dell'umanesimo, Milano 1958; J. H. RANDALL, The School 01 Padua and the Emergence 01 m�dern Science, Padova 196 1 ; N . W . GILBERT, Renaissance Concepts 01 Methad, New York 19632; E. DE ANGELIS, Il metodo geometrico della lilosofia del Seicento, Pisa 1 964; A. CRESCINI, Il metado analitico nella filosofia del Cinquecento, Udine 1965; CRA­ PULLI, Mathesis XVI sec. }> Fra il 1 482 ed il 1 5 3 3 , uscirono altre due versioni latine degli Elementi, quella del 1 505 di Bartolomeo Zamberti e quella del 1509 di Luca Pacioli, que­ st'ultima emendata dalla versione del 1482, a sua volta forse attribuibile a Cam­ pano da Novara. Cfr. CRAPULLI, Mathesis XVI sec. , pp. 1 3-4 e 20- 1 , e FRA]ESE-MACCIONI, Elem. Eucl. , pp. 20-6 . ) 6 BERTI, Origini matematismo moderno, p. 1 7 3 ; cfr. É. GILSON, Comm. a R. DESCARTES, Discours de la méthode, Paris 19674, pp. 127-8. )7 Si veda la carrellata compiuta da CRAPULLI, Mathesis XVI sec. , p . 150, sulle varie denominazioni che tale concetto riceve negli autori da lui esaminati. ) 8 CRAPULLI, Mathesis XVI sec. , p . 9. ). Cfr. Mathesis XVI sec. , p. 145, corsivo mio. Questo è d'altronde il signifi­ cato che Aristotele stesso (cfr. supra, nota 8) attribuisce alla fLCX9TjfLCX"ttlCÌj xcx96Àou; l'accezione di mathesis universalis ritenuta valida da Crapulli avrebbe perciò un antecedente illustre nello stesso pensiero antico. 4 . Ivi, p. 38. Crapulli cita dal Commentarium de certitudine mathematicarum, pubblicato nel 1547, a Roma, unitamente ad una parafrasi della Meccanica di Ari­ stotele. Nel capitolo dedicato a Piccolomini, si parla diffusamente dell'ambiente culturale padovano ed universitario in particolare, dove lo studioso senese si formò fra il 1538 ed il 1542 e dove è rilevabile un notevole interesse per la matematica (fondazione nel 1540 dell'Accademia degli Infiammati) e più specificatamente, nel­ l'ambito di tale interesse, per materiali di derivazione antica: a Delfino, lettore di matematica e di astronomia dal 1520 al 1547, è attribuibile per esempio un Tracta­ tus sui luoghi matematici dei Topici e degli Elenchi Sofistici; Catena redasse, a sua volta, nel 1556, un'opera sui luoghi matematici degli Analitici e Barozzi tradusse in latino il Commento procliano, e ne fece oggetto di un corso universitario, manife­ stando, fra l'altro, l'intenzione di redigere un lavoro d'insieme sui passi matematici figuranti nelle opere di Platone e di Aristotele. Di uso comune dovevano essere poi gli Elementi di Euclide, cui tutti questi studiosi fanno costante riferimento . . . Ivi, nota 4 3 , p. 60 (citazione della Cosmographia) . ., Ivi, p. 74, dove si fa riferimento al cosiddetto Elementum Primum, edizione dci I libro degli Elementi, con testo greco, versione latina ed un' appendice di Scholia . . . Ivi, p. 9 7 , con riferimento al I libro del De communibus omnium rerum lIaltl ralillm principiis ('t alfectionibus.

44

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

44 Ivi, p. 1 12 (citazione dell'Apologia pro Archimede) .

., Ivi, p. 1 3 1 , dalla Methodus admirandorum mathematicorum. Tutte le defi­ nizioni citate riecheggiano dunque la già riportata definizione di Aristotele (cfr. note 8 e 39, e quanto detto ancora infra, cap. II , B). Tutti i corsivi delle citazioni latine sono miei. 4 6 Ivi, pp. 86-7, con riferimento alla Protheoria mathematica del 1593. 41 Ivi, p. 76. 4 8 Ivi, p. 14. G i à all'altezza d i Eudosso d i Cnido, comunque, l a matematica greca sembra disporre di una teoria " generalizzata " delle proporzioni. 49 Ivi, nota lO, p. 16. Anche qui va verificato, ma è comunque interessante il riferimento ad una generalizzazione " già antica " della teoria delle proporzioni. , . Ivi, p. 86, corsivo mio. Anche Tartaglia diceva, significativamente, che la proporzione si trova nella quantità «e per quella in tutte le altre cose » (corsivo mio). " Iv;, p. 94 sgg. 5 2 Ivi, p. 1 1 3 (dall ' Apologia pro Archimede) . 53 Per Aristotele, cfr. ancora la citazione fatta alla nota 8; la teoria procliana (e giamblichea) di una oÀ'l (o XOLvIj) Il.cdl'l!LOL1:LX7) sarà documentata più avanti (capp. II, D, e VI, B).

CAPITOLO SECONDO LE PRINCIPALI FONTI (STORICHE E TEORIC HE) DELLA MA THESIS UNIVERSALIS: PLATONE , ARISTOTELE , EUC LIDE , PROCLO

tV 'tcx!t; !LCXOTl!LCX'tLXOt!t; [. ] 7) !Lìv reW!Le'tpLCX xcxt licnpOÀOrLCX 7tepL 'tLVCX cpuaLv daLv, 7) Sì xcx06Àou 7tcxawv XOLV7) • •

(ARISTOT. metaph. E 1 . 1 026 a 25-27)

A) L' uso DELLE FONTI Descartes e gli studiosi del tardo Rinascimento e del primo

'600 rimandano esplicitamente ad Aristotele, ad EucIide ed a Pro­ cIo (e mediamente a Platone e all'Accademia), come referenti pri­ mari per la fondazione di una mathesis universalis - intesa in entrambi i significati indicati per quel concetto -, ma quando ci si volga ad un esame diretto di quelle fonti, pare proficuo e necessario distinguere livelli diversi di approccio critico con esse e della loro stessa utilità. Vanno dunque distinti i materiali anti­ chi che possono avere un valore eminentemente storico, poiché con­ tengono notizie fondamentali circa il progressivo sviluppo delle matematiche nel mondo greco, da quelle che, insieme ad indica­ zioni di questo genere, possono recare anche i lineamenti teorici di una loro propria fondazione della " mathesis universalis . Nello "

specifico , sembra legittimo ed utile adottare la lettura di tipo sto­ rico per i testi platonici ed aristotelici, ed esaminare viceversa IInche e soprattutto dal punto di vista teoretico le opere di EucIi-

46

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

de e di Proclo: la diversità di approccio va naturalmente giusti­ ficata. Vanno per primi però indicati motivi e senso specifico del­ l' inserimento di una fonte cui gli autori moderni, visti nel

I

capi­

tolo, non si rifanno né esplicitamente, né direttamente, nelle loro considerazioni sulla mathesis universalis, e cioè Platone: tale inse­ rimento è apparso quantomeno non illegittimo, per la necessità, da un lato, di risalire al referente più antico del " platonico " Eu­ clide e del neoplatonico Proclo e, dall' altro, per motivare storica­ mente certe affermazioni moderne (per esempio quella relativa ad una funzione propedeutica della matematica alla filosofia) , ri­ tornando a quei « primi autori della filosofia » cui esse J? aiono ori­ ginariamente ascrivibili. Che poi Platone sia fonte preziosissima per la storia della matematica greca lo provano il gran numero di riferimenti e di esempi matematici rinvenibili nei dialoghi e d' altronde l' interesse che, almeno a livello programmatico, alcuni degli storici della matematica già a cavallo fra il ' 5 00 ed il ' 600 espressero per un esame particolareggiato di essi 1. Sembra perciò altrettanto legittimo guardare a Platone come " fonte per la sto­ ria " della matematica greca: pare anzi ci sia nei dialoghi materia­ le sufficiente a documentare uno sviluppo delle scienze esatte, nei primi decenni del secolo IV a . c . , nel senso di una tematizza­ zione dei loro procedimenti dimostrativi e di una concettualizza­ zione del loro (comune) oggetto, cioè per l' elaborazione di quella

mathesis universalis in senso debole apparsa mediatore teorico di un vero e proprio matematismo. L'uso dei dialoghi platonici sarà perciò proprio e soltanto storico . Se non è illegittimo trattare > l'uno dall' altro e tali che la loro diffe­ renza eidetica si riflette sulle unità che li costituiscono, renden­ dole incombinabili (cXaUlL�ÀTj'tCXL) le une con le altre'6. In secondo luogo, tali numeri matematici paiono adatti, proprio perché mol­ teplici, ad assolvere i compiti operativi dell' aritmetica, che il nu­ mero ideale, nella sua immobile staticità, viceversa non può assolvere: le unità indifferenziate che si combinano a costituire i numeri matematici simili, proprio perché identiche ed infinita­ mente molteplici, possono, per la medesima ragione, coprire in­ fatti il campo intero delle operazioni aritmetiche (come è probabile che gli enti geometrici intermedi, distinti, secondo gli stessi cri­ teri, dalle figure geometriche ideali, potessero assolvere ai compi­ ti operativi della geometria)" . I numeri matematici platonici potrebbero poi, come meglio vedremo in seguito, essere oggetto

LE PRINCIPALI FONTI DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

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" comune " delle scienze esatte, in ragione quanto meno della prio­ rità dell' aritmetica rispetto a quelle. TI parallelismo fra l'intermedietà gnoseologica della diànaia platonica e l'intermedietà ontologica degli enti matematici descritti da Aristotele, unito a questa adeguatezza degli intermedi stessi ad assolvere compiti operativi, rendono probabile che Platone aves­ se elaborato un concetto di mathematikà cosi intesi, per farne l'og­ getto proprio delle matematiche: l'attribuzione aristotelica è stata però spesso messa in dubbio e di conseguenza il problema di un' e­ ventuale teoria platonica degli intermedi matematici è stato di­ battuto dagli studiosi, resi sospettosi dalla mancanza nei dialoghi della proposta esplicita di tale concetton . Già altrove indicavo tuttavia le ragioni per le quali dare credito all' attribuzione aristo­ telica: innanzi tutto la tesi secondo cui Platone, se effettivamente avesse sostenuto la dottrina degli intermedi, ne avrebbe dovuto esplicitamente parlare almeno nel brano finale del VI libro della Repubblica, va corretta, ricordando che quella parte del dialogo non ha affatto uno scopo scientifico, il che giustifica la cursorietà e la scarsa chiarezza dei temi matematici in essa figuranti; in se­ condo luogo, va ricordato che quel passo della Repubblica propo­ ne esplicitamente una scansione delle facoltà conoscitive ed una loro distinzione, proporzionale e parallela al grado di verità pos­ seduto dai loro oggetti (resp. VI 5 1 1 E) , il che legittima e forse esige l'esistenza di un oggetto proprio per la facoltà dianoetica, che sia sostanzialmente diverso dalle idee ed ontologicamente in­ feriore ad esse. Altri due elementi suffragherebbero infine la va­ lidità dell' attribuzione aristotelica e cioè, da un lato, il fatto che non solo Aristotele, ma anche gli altri allievi di Platone docu­ mentano e addirittura usano il concetto di enti matematici (in particolare quello di " numero matematico "), e, dall' altro, l' asym­ blesis, tipica dei numeri e delle figure ideali, che li rende total­ mente inoperativi in sede matematica e che pare comportare effettivamente l'elaborazione di un concetto di numero e di figu­ ra manipolabili in sede aritmetica e geometrica'9. A tutte queste ragioni si aggiunge d' altronde l'esigenza stes­ sa di una riformulazione teorica del concetto di unità aritmetica,

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LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

dopo la lunga crisi della concezione materialistica pitagorica60 : per tutti questi motivi, non è azzardato ritenere che nell'ambiente accademico, notevolmente impegnato, com'è noto, in ricerche scientifiche, si sviluppasse una teoria nuova dell'oggetto delle ma­ tematiche, che sia accettabile, per una specificazione dei caratte­ ri di esso, la descrizione che Aristotele ne dà, in particolare nei libri A e M della Metafisica, e che infine, in ordine alla tematizza­ zione di una comunanza d'oggetto per le scienze esatte, abbia una qualche rilevanza la nozione specifica di " numero matemati­ co " , il quale è certamente oggetto dell' aritmetica, ma, per la prio­ rità a questa conferita rispetto alle altre scienze, può d' altronde porsi come oggetto " comune " a tutte, in quanto espressione di pura quantitas. Dalla descrizione di Aristotele risulta in effetti un concetto di arithmòs, ruotante attorno alla definizione di unità come « ciò che è privo di parti » (resp. VII 526 A; soph. 245 A) : questa indivi­ sibilità - che i Pitagorici pretendevano avesse un corrispettivo oggettivo ed immediato nella realtà sensibile - rivendica ora vi­ ceversa il proprio carattere logico-trascendentale e dunque l'uni­ tà aritmetica - su cui si fonda il concetto di quantità, come ciò che è misurato secondo l'indivisibile - diventa ciò che viene ra­ zionalmente posto come uno. Con ciò si supera l'orizzonte mate­ rialistico dei primi Pitagorici, ma è tuttavia evidente che, nell' ambito dell'usuale sostanzializzazione platonica del trascen­ dentale, all'unità così definita non si potesse che conferire una sussistenza nel mondo sovrasensibile: per questo pare legittimo ravvisare la prima forma di razionalizzazione dell'unità aritmeti­ ca nel criterio di costituzione di quei mathematikòi arithmòi, che Platone avrebbe posto come ontologicamente " intermedi " fra il sensibile e le idee. La concettualizzazione della quantitas, dun­ que, parrebbe compiuta, ma entro lo schema del realismo logico platonico, e sarà questa concettualizzazione-sostanzializzazione a creare, stando a quanto rilevò già Aristotele, il presupposto teori­ co di proposte matematistiche (ontologizzazione della quantitas), che, se sono dubbie per lo stesso Platone, sono però chiare nei suoi successori immediati.

LE PRINCIPALI FONTI DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

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La teoria platonica degli intermedi, se fonda storicamente, seppur con le eccezioni indicate, una concettualizzazione della

quantitas, legittima anche, come sopra si accennava, la tesi di una generalizzazione dell'oggetto delle matematiche: i mathematikòi arithmoi platonici, separati, immobili ed eterni, infinitamente mol­ teplici e costituiti sulla base di criteri aritmetico-costruttivistici, a partire dall'infinita capacità di symblesis delle infinite unità in­ differenziate, non solo si pongono ad oggetti dell' aritmetica tout­ court, ma per la primarietà a questa riconosciuta dallo stesso Pla­ tone, finiscono per diventare forse oggetto " comune " a tutte le scienze esatte. La diànoia, che esprime un livello di organizzazio­ ne logico-concettuale del molteplice sensibile tramite criteri arit­ metici o, più genericamente, quantitativi e che è la facoltà conoscitiva operante in varie. scienze, dall' aritmetica all' astrono­ mia, diversificate a seconda della porzione di realtà sensibile cui si dirige la comune capacità di determinare, unificare, confronta­ re ed organizzare secondo invarianti quantitative, esige d' altron­ de come proprio oggetto un'unità di misura costante per tutte queste operazioni: i mathematikòi arithmòi potevano senza diffi­ coltà incarnare tale oggetto. Essi avrebbero dunque rilevanza non solo per il processo storico di razionalizzazione delle nozioni di unità aritmetica e di quantità, ma anche per la fondazione di una mathesis universalis intesa nel senso debole di un genere, di cui tutte le matematiche specifiche partecipano per comunanza

d'oggetto 6 1 . U n ulteriore passo i n avanti nella tematizzazione di una quan­ titas astratta è coglibile ancora nelle opere di Aristotele: egli si sbarazza innanzitutto del realismo logico platonico, per questo come per altri aspetti dell' essere, escludendo una sostanzializza­ zione del numero e vanificando la distinzione fra numeri ideali e numeri matematici; la teoria aristotelica, com'è noto, intende infatti la quantità solo come modo della predicazione della so­ stanza; la quantità è detta di altro (pròs ti) ed è quindi solo del sinolo, in quanto ousìa (avente esistenza separata) , che si possono predicare attributi secondo la quantità, quali il numero, la misura lineare , l'estensione, il volume, il peso, ecc. Aristotele chiarisce

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

infatti che, se si può ammettere un'anteriorità dd numero secon­ do la nozione h(!> À6'Y'� lL6vov), intendendo con ciò indicare « quelle cose le cui nozioni entrano nella composizione di altre nozioni »62, tuttavia « non tutto ciò che ha anteriorità nell'ordine della nozio­ ne ha anche anteriorità nell' ordine della sostanza h(!> e{vOtL) »63 e non è perciò tale da avere un'esistenza separata; il ruolo che, su tale base, Aristotele attribuiva alle matematiche è indicato poi chiaramente da Alessandro di Afrodisia: « Le scienze matemati­ che non si occupano né delle cose sensibili in senso assoluto in­ quanto-sensibili, né affatto di altre cose che siano diverse da quelle sensibili, ma si occupano di cose che sono sl sensibili, ma non-in­ quanto-sensibili bens1 in quanto sono grandezze e linee e su­ perfici »64 . La nota di Alessandro consente innanzitutto di diversificare la posizione di Aristotde, a proposito dell'oggetto delle matema­ tiche, tanto da quella dei Pitagorici, quanto da quella di Platone, poiché sottolinea il valore puramente trascendentale della quanti­ tas, che non ha una propria sussistenza autonoma, improporiibile

secondo Aristotde sia nell'orizzonte fisico-empirico in cui si col­ locava il pensiero pitagorico, sia nell'ambito sovrasensibile (ra­ zionale) cui si rivolgeva la filosofia platonico-accademica. La quantità, in quanto modo della predicazione, può avere un' ante­ riorità logico-razionale, cui tuttavia non corrisponde per Aristo­ tde una parallda anteriorità sul piano ontologico (sostanzializ­ zazione o esistenza separata)6' . Il commento di Alessandro però non solo fa emergere le specifiche modalità della concettualizza­ zione aristotelica della quantitas, con la tematizzazione dd suo carattere, trascendentale,

rispetto

alla

concettualizzazione­

sostanzializzazione platonico-accademica, ma indica che Aristo­ tde, con la definizione generale della quantità come modo della predicazione o categoria, aveva di fatto individuato un campo co­ mune entro il quale si collocano " tutte " le scienze matematiche: tutte, infatti, operando su oggetti sensibili, « ma non-in-quan­ to-sensibili bens1 in quanto sono grandezze e linee e superfi­ ci », si rivolgono ad " un medesimo oggetto " , la " categoria " di quantità.

LE PRINCIPALI FONTI DELLA

MATHESIS UNIVERSAUS

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Non a caso dunque i n due sedi Aristotele fornisce una defi­ nizione della quantità in termini non solo razionali ed astratti, ma generali, facendo rientrare gli elementi specifici (la quantità discreta e la quantità continua) nell' ambito più generale della quan­

titas (7toa6v) tout-court; nella Metafisica infatti è detto: « Si dice quantità ciò che è divisibile in due o più elementi immanenti, ciascuno dei quali è per sua natura una cosa sola e individuale. Una molteplicità è una quantità se è numerabile, una grandezza se è misurabile »; simile, seppur più descrittiva, è la definizione delle Categorie: « Della quantità l'una è discreta, l' altra è conti­ nua, ed ancora l'una costituita di parti che hanno posizione le une rispetto alle altre, l'altra di parti che non hanno posizione »66 . Fedele alle proprie acquisizioni teoriche e dunque in parte diverso dai suoi predecessori, Aristotele concorda però con essi nella fondazione di una mathesis universalis in senso debole, pre­ posta alle matematiche particolari, in forza della loro comunanza d' " oggetto " oltre che di " metodo " . Questa sommaria ricostruzione storica della prima matema­ tica greca non solo ha chiarito quale fosse, dal punto di vista del metodo e dell'oggetto, la matematica che poteva eventualmente costituirsi come materiale teorico sussumibile dalla filosofia clas­ sica, ma ha confermato le ragioni che portano a scegliere l'Acca­ demia platonica come prima sede storica per una ricerca della dottrina della mathesis universalis: è in quell' ambito infatti, o co­ munque a partire dalla prima metà del IV secolo a. C . , che la matematica antica progressivamente acquisisce quella configura­ zione strutturale assiomatico-deduttiva e quella capacità di tema­ tizzare razionalmente il proprio oggetto come quantitas (mathesis

universalis in senso debole), che paiono porsi come condizioni pre­ liminari per la fondazione di una dottrina della mathesis universa­ lis (in senso forte). Da un lato dunque la sistemazione delle acquisizioni teoriche, in particolare nel campo della geometria, in uno schema che subordina rigorosamente le conclusioni ai loro presupposti logici prelude all' ancor maggiore livello di assioma­ tizzazione espresso dagli Elementi euclidei e fornisce un modello

di scienza cui non è casuale Aristotele guardi per la sua apoditti-

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

ca; dall' altro lato, la possibilità di dare una definizione rigorosa­ mente razionale dell'unità aritmetica, come ciò che, indivisibile secondo la quantità, consente di costruire serie di termini nume­ rabili e di determinare le relazioni reciproche fra questi stessi ter­ mini e fra essi e i termini di altre serie, fornisce a sua volta un modello di strutturazione razionale, che verrà utilizzato non solo per un ordinamento della realtà fisica (secondo i tratti espressi già dall'elementarismo presocratico ed in particolare da quello arit­ mogeometrico dei primi Pitagorici) , ma per una sistemazione pro­ priamente ontologica della (intera) realtà.

C) LE FONTI TEORETICHE: EUCLIDE Nel suo Elenco dei geometri, ProcIo segue la storia della geo­ metria della sua fonte probabile, Eudemo di Rodi, sino al matema­ tico Filippo di Mende, forse contemporaneo dello stesso Eudem067: inizia poi la parte su Euclide, che è dunque verosimilmente origi­ nale e che occupa lo spazio finale della seconda parte del Prologo; in essa ProcIo esprime la sua ammirazione per il matematico ales­ sandrino e, oltre ad indicazioni teoriche che ben testimoniano questa ammirazione, fornisce alcune delle poche notizie biografiche che abbiamo di Euclide. Un primo problema, com'è noto, è relativo ad una precisa indicazione del periodo della sua vita e della sua fioritura culturale, indicazione tanto più obbligatoria, poiché non solo nell'età medievale e rinascimentale, ma anche in tempi recen­ ti, si è spesso confuso il matematico alessandrino con il filosofo contemporaneo di Socrate Euclide di Megara68. ProcIo, fornendo in proposito notizie abbastanza presise, afferma per parte sua che Euclide « visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide »69; Tolomeo regnò fra il 306 e il 283 a.c. e la notizia consente dunque di collo­ care Euclide nel periodo di tempo intercorrente fra la morte di Platone (347 a.c.) e la vita di Archimede (287-2 12 a.C.), e di por­ re dunque intorno al 300 a.c . , periodo della sua verosimile fioritu­ ra, anche la stesura e la pubblicazione degli Elementt70•

LE PRINCIPALI FONTI DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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Il primo riferimento teorico interessante di Proclo è comun­ que relativo al presunto " platonismo " di Euclide: « Per le idee Euclide era platonico », scrive infatti Proclo, « ed aveva molto fa­ miliare questa filosofia, tanto che si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chia­ mate platoniche »7 1 . Gli interpreti ammettono concordemente che Proclo carichi la notizia del platonismo di Euclide, attribuendo ad uno dei suoi due maestri un debito culturale nei confronti del­ l'altro pari a quello che egli stesso ha nei confronti di questi: è dunque il " platonico " Proclo ad attribuire ad Euclide un plato­ nismo pari al propri072; in particolare, poi, la notizia per cui sco­ po fondamentale degli Elementi sarebbe stata la costruzione delle figure cosiddette platoniche, cioè dei poliedri regolari richiamati da Platone nel Timeo, è parso un debito eccessivo, o, meglio, trop­ po puntuale, di Euclide nei confronti del filosofo ateniese. Gli agganci fra Platone ed Euclide vanno comunque verifi­ cati soprattutto in relazione all' altra notizia, secondo cui Euclide avrebbe avuto « molto familiare » la filosofia platonica, sondando, per quanto possibile, in cosa consista tale " familiarità " e tentan­ do di valutare quanto della « seconda navigazione », della dialetti­ ca e del realismo logico (operante, come abbiamo visto, anche nella filosofia platonica della matematica) passi negli Elementi eu­ clidei, in particolare per ciò che riguarda i " principi " e la forma metodica delle proposizioni ritenute vere. Una tesi provocatoria, ma per ciò stesso stimolante, può es­ sere quella che, a questo specifico proposito, si esprima per esem­ pio cosi: « La geometria di Euclide si affianca alla metafisica platonica a denotare, sul piano della visione greca dell' es�ente, la struttura razionale e oggettiva della realtà, indipendentemente dagli aspetti empirici delle ' costruzioni ' geometriche. Come tale, essa è l'impalcatura ideale dell'universo; e la sua funzione è quella di condurre il pensiero umano alla comprensione dell� condizioni originarie della realtà sensibile »73 . Tale tesi ricalca le notizie pro­ cliane, nell'ammettere dunque un rapporto di filiazione diretta fra il pensiero platonico e quello euclideo, ed individua nell' uno e nell' altro due contributi culturali parallelamente funzionali ad

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LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

un'unica interpretazione (o, più correttamente, ad una pretesa " de­ scrizione ") della realtà: E�clide avrebbe dunque realizzato in cam­ po scientifico un progetto teoretico in tutto simile a quello realizzato da Platone in filosofia. Questa tesi, a conti fatti abbastanza comune, corre tuttavia il rischio di appiattire tanto il pensiero platonico quanto quello euclideo e di dare per scontata nella cultura antica una relazione significativa tra filosofia e matematica, soprattutto se è avanzata con nettezza e se non è accompagnata dalle ragioni teoretiche e storiche che possono suffragare la relazione cui allude. Essa è però provocatoria, in quanto contiene un'ipotesi particolarmente suggestiva da verificarsi, in uria ricerca sulla mathesis universalis nel mondo greco: la relazione fra Platone ed Euclide va allora assunta piuttosto come problema e va d' altronde inserita in un discorso problematico più vasto, valutando appunto in che senso Euclide - massimo esponente e sistematore della cultura mate­ matica greca e punto di riferimento obbligatorio per gli autori del ' 500 e del ' 600 visti nella prima parte - possa costituire una fonte " teoretica " per la dottrina della mathesis universalis. È tut­ tavia inutile cercare a questo scopo negli Elementi una teorizza­ zione esplicita del peso filosofico della matematica (come invece sarà possibile fare per Proclo), che si deve invece saper apprezza­ re a partire da dati puramente impliciti: non si tratta comunque più di verificare l'eventuale presenza di un discorso matematico in una sede che si propone come filosofica, ma, al contrario, di ricercare l'entroterra filosofico di una trattazione matematica; la trattazione euclidea potrebbe essere infatti referente primario per una fruizione filosofica della matematica, in quanto già in se stes­ sa legata ad una tradizione culturale, a sua volta radicantesi in precise sedi filosofiche: sarebbe questa tradizione culturale a ren­ dere più semplice l'eventuale successivo adattamento della mate­ matica euclidea alla filosofia. La ricerca di quell'entroterra filosofico tende nello specifico a far emergere gli agganci fra una tradizione scientifica, culminante in Euclide, ma iniziatasi prima di lui quantomeno con Eudosso e Teeteto, ed una tradizione filo­ sofica che, per le ragioni già indicate, pare passare a sua volta

LE PRINCIPALI FONTI DELLA

MATHESIS UNIVERSAUS

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attraverso l'Accademia: non s i può dare tuttavia per scontato che, nel corso di questa operazione, si rinvenga in Euclide un entro­ terra filosofico soltanto platonico ed in ogni caso le modalità di questo " platonismo " andranno chiarite. Si può utilmente lavorare per lo scopo propostoci sul I libro degli Elementi ed in particolare sulla trattazione delle archài della geometria euclidea, trattazione che, per la centralità che il con­ cetto di archè aveva assunto nella tradizione filosofica del mondo greco, pare ammettere in sé un particolare grado di apprezzabili­ tà filosofica. Cosa intende dunque Euclide per archè, quali sono le connotazioni precise che assume per lui tale concetto, quali sono i termini che indicano le archài ed in quale tradizione filoso­ fica specifica possono inserirsi quei termini: ecco i quesiti princi­ pali cui pare importante tentare di rispondere. Uno dei meriti che Proclo attribuisce ad Euclide è dunque quello di non avere incluso nella sua trattazione tutti i teoremi ed i problemi « che gli era possibile raccogliere, ma solo quanti

potevano fungere da elementi »74: da esaminarsi sul piano storico­ semantico è dunque innanzitutto la nozione stessa di stoichèion, che non figura soltanto nel titolo dell'opera (TÒt CTtOLXetcx tijç yew­ lle"tpLcxç) , ma è usata complessivamente per tutti i concetti e le proposizioni che Euclide assume appunto come archài. Lo stesso Proclo sente l'esigenza di indicare il significato del termine, quando chiarisce che « sono chiamati elementi quei teoremi la cui teoria

conduce alla conoscenza degli altri, e dai quali ci proviene la solu­ zione dei dubbi che in questi avevamo »; proseguendo, Proclo pun­ tualizza: « Perché, come ci sono dei principi primi, i più semplici e indivisibili del linguaggio scritto, ai quali diamo il nome di ' ele­ menti ' ed ogni parola ed ogni discorso è formato da questi, allo stesso modo ci sono dei teoremi che sono alla testa di tutta la geo­ metria e hanno rapporto di principi coi teoremi seguenti, si applica­ no in tutti e forniscono la dimostrazione di molti casi particolari

[. . ] »n . .

I l richiamo procliano alle lettere dell' alfabeto, i n rapporto al termine stoichèion, non è casuale, poiché « sembra che il primo e fondamentale significato di elemento tanto in greco (CTtOLXetov)

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LE IDEE, I NUMERI, L' ORDINE

quanto in latino (elementum), sia quello di lettera o carattere come parte di una sillaba, donde 'tÒt CTtOLXELOt, elementa, per alfabeto »76. I termini della chiarificazione procliana vanno dunque ribaltati:

stoichèion indicava primariamente e propriamente le lettere del­ l'alfabeto e dunque, con un richiamo alla funzione che queste svol­ gono rispetto alle sillabe ed alle parole, esso indica gli elementi " più semplici " e " primi " di un discorso, di una trattazione, di una qualunque " struttura composita " , i cui componenti siano le­ gati agli stoichèia da una relazione unilaterale di dipendenza (pTÒteron-hysteron, semplice-complesso); anche Euclide adopera stoi­ chèion in questo senso, rifacendosi probabilmente tanto a questo comune uso mediato e traslato del termine, quanto ad una più specifica accezione che esso poteva aver acquisito in sede scienti­ fica. Di questa ulteriore e più specifica mediazione semantica, co­ stituitasi a partire dall'originario uso grammaticale, è testimone comunque già Aristotele, il quale, in almeno due sedi, usa stoi­ chèion in un ambito propriamente geometrico (considerato paral­ lelamente a quello grammaticale) , per indicare le proposizioni elementari contrapposte ai &LOt",(PcXlLlJ.Ot'tOt, o " proposizioni " e " teo­ remi " ulteriori, in un' accezione dunque sostanzialmente simile a quella qui attribuita da Proclo ad Euclide77• Testimonianze sul significato del nostro termine si rinvengono più indietro anche in Platone: il Des Places indica infatti per stoichèion almeno una decina di luoghi nei dialoghi platonici, in cui esso avrebbe l'origi­ nario valore alfabetico; in Platone pare mancare invece l' accezio­ ne geometrica derivata riscontrabile in Aristotele78 . Il significato di stoichèion - poiché il termine indicava co­ munemente le lettere dell' alfabeto - pare dunque logicamente legato a ciò che funge da principio come parte più semplice, non

ulteriormente scomponibile e perciò prima, di una struttura composi­ ta, la quale, a sua volta, si costituisce quando l'elemento ad essa intrinseco venga " ripetuto " (costruzione di una serie) , oppure " collegato " , o " sommato " ad altri elementi simili. A tale eco­ nomia logico-teoretica allude d'altronde ancora una volta Aristo­ tele, quando, nella Metafisica, definisce in termini generali ciò che si intende con quel vocabolo: « Elemento significa il componente

LE PRINCIPALI FONTI DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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primo immanente di cui è costituita una cosa e che è indivisibile in altre specie »79. La definizione aristotelica conferma dunque che la funzione logico-teoretica per cui lo stoichèion si pone come prin­ cipio è effettivamente legata ad un approccio " compositivo " e " costruttivo " con le cose (qual è quello sotteso al significato gram­ maticale originario) e che solo in un simile approccio lo stoichèion sa essere " principio " . Il valore compositivo-costruttivo, per cui lo stoichèion è principio come parte immanente e più semplice di un composto, emerge d' altronde nello stesso Euclide, il quale - stando sempre a Prodo - avrebbe avanzato la seguente defi­ nizione: « si dice elemento la parte più semplice nella quale si risolve un composto »80 . Per i referenti storici di questo approccio costruttivo­ compositivo con le cose, che ne segnala ad archè la parte più sem­ plice, è facile rimontare ancora una volta all'elementarismo della filosofia presocratica della physis, in particolare all' atomismo de­ mocriteo, ed alla " metafisica " costruttivistica pitagorica, incen­ trata sul ruolo dell' hèn-stigmè, " limite " delle cose, concezione questa che rigorizza l'elementarismo qualitativo ionico, col ricor­ so ad invarianti quantitative (monadi-punti) o a modelli geome­ trici (le figure cosmogoniche del Timeo) . Ulteriore rigorizzazione dell' elementarismo protopitagorico si sarebbe guadagnata con la concezione, sempre pitagorica, ma forse più matura, del numero come lògos delle cose: la descrivibilità delle differenze e delle re­ lazioni fra le cose stesse, tramite un generale schema di propor­ zionalità fra i numeri che le esprimono, rompe l' approccio immediatamente empirico con esse, presupposto all ' originaria de­ scrizione aritmogeometrica delle loro forme (Eurito) , e, presup­ ponendo la riformulazione in termini astratti dell'unità aritmetica (dovuta presumibilmente ad Archita) , rivela la capacità propria di tale unità di costruire (rei/erandosi) la serie dei numeri: in tale fase, lo stoichèion pare non essere più solo l'elemento " più sem­ plice " di un composto, ma comincia forse e più precisamente ad essere anche il " primo di una serie " . La definizione dell'elemento come « parte più semplice nella quale si risolve un composto » non copre tuttavia completamente

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

l' ambito di significanza che Euclide avrebbe riservato al termine: Proclo precisa infatti che questo è solo uno dei due significati dello stoichèion di Euclide, il quale avrebbe chiarito anche: « ciò

che dimostra è elemento di ciò che è dimostrato »81 . Tale significato di . . elemento " è in realtà indicato per primo da Proclo, forse non a caso: questa accezione del vocabolo infatti, individuando il principio esattamente nel . . presupposto " , in ciò che tout-court .. fonda " dunque l'esistenza e l'intelligibilità di qualcosa, non sol­ tanto è più immediatamente vicino alla definizione introduttiva per cui, in Euclide, « sono chiamati elementi quei teoremi la cui teoria conduce alla conoscenza degli altri », ma risponde alla por­ tata generale dell' archè greca, che progressivamente, dalla physis ionica alla metafisica platonica, si specifica esattamente come ra­

uo essendi et cognoscendi della realtà sensibile, cioè come . . fonda­ mento " d'essere e d'intelligibilità. Nello specifico è tuttavia probabile che il senso dell ' " anteriorità " logica ed ontologica del­

l'archè sia diverso nella tradizione dell'elementarismo presocrati­ co e pitagorico (dove esso pare dunque legato all' anteriorità della parte rispetto al tutto e del primum di una serie costituitasi per costruzione rispetto ai componenti della serie stessa) ed in quella dell'idealismo platonico (dove viceversa la primarietà dell'idea pare legata alla sua pienezza nell' essere, la quale a sua volta fonda la pienezza nella conoscenza) : mentre nel primo caso dunque i prin­ cipiati sono omogenei al principio e riducibiti ad esso, la primarietà dell'idea si basa sulla sua radicale differenza ontologica rispetto ai principiati. Se in un significato dello stoichèion euclideo ( Ivi, 24, 2 1-25 , 4 . Corsivi tutti miei. Antecedente proprio di questo tema procliano (che risente anche dell' aritmologia medioplatonica e neopitagorica) po­ trebbe essere, come vedremo, il proposito giamblicheo, nella Synagoghè delle dot­ trine pitagoriche, di trattare, dopo la matematica generale, i numeri dal punto di

vista « fisico », « etico » e « teologico ». 1 44 Ivi, 27, 10- 1 3 , trad. mia. Cfr. la trad. di MORROW, Pracl. Comm. firsl Eucl. E/em. : « lf, then, these are the factors of beauty, and mathematics is cha­ racterized by them, it is clear that there is beauty in il » (corsivo mio) . BRETON,

Philos. mathém. Pracl. , p. 87: « TeI est le monde proclusien de la mathématique. C'est un ordre qui gouverne, par ses structures, l'infinie diversité du réel ». E, più avanti (p. 89): « Science générale de l'ordre: telle serait l'approximation la moins infidèle [ . . . ] qui expliquerait [ . . . ] l'universalité onniprésente de la mathesis ». ,., Anche BRETON, Philos. mathém. Pracl. , p. 89, nota come, una volta che la matematica si specifichi « science universelle de l' ordre », essa diventi « non plus la discipline intermédiaire que nous supposions, mais la science fondamentale ». È possibile tuttavia che Proclo " erediti " un modello ontologico ed ontogonico esso per primo inconsapevolmente plasmato sulla struttura serialmente e gerarchi­ camente ordinata delle proposizioni geometriche e dei numeri naturali: è quanto dimostreremo ripercorrendo appunto le tappe del matematismo accademico, me­ dioplatonico e neopitagorico soprattutto. 1 4 6 Cfr. Comm. Elem. Euel. ) 7, 1 3 - 1 0 , 14, e 1 8 , 1 0-20, 7 . 1 47 Ivi, 9, 1 7-24, corsivo mio. 1 4. Ivi, 42, 13-43, l , corsivo mio. Si veda anche il passo 3 1 , 22-32, 7, in cui Proclo, commentando le considerazioni della Repubblica sul carattere " ipote­ tico " e dunque " non scientifico " attribuito da Platone alle matematiche, dice: « [ . . ] una sola infatti è realmente la scienza: quella secondo cui noi siamo in grado di conoscere tutto ciò che è, dalla quale derivano tutti i principi delle altre scienze [ . . . ] Pertanto dunque diremo non che Platone esclude la matematica dalle scienze, ma che la dimostra come seconda rispetto alla sola scienza suprema; né che egli affer­ ma che essa ignori i suoi principi, ma che, avendoli ricevuti da quella, cioè dalla scienza suprema, e possedendoli senza dimostrazione, dimostra le conseguenze che ne discendono » (corsivo mio) . Si confronti il valore di tali affermazioni di .

Proclo rispetto al problema della distinguibilità di dialettica e matematica nella Repubblica, affrontato supra, alla nota 1 3 1 . 1 4. Ivi, 4, 1 1 - 1 4 , corsivo mio. ". Ivi, 43, 1-5. Questi stessi metodi sono considerati caratteristici e propri della " dialettica ", come vedremo, già nell'opera medioplatonica Didaskalikòs, at-

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

tribuibile ad Albino di Smirne (cfr. in/ra, capitol� v, B). Proclo è più felice del suo predecessore medioplatonico (che appunto considera tout-court questi me­ todi come dialettici) nel ritenere sia la scienza prima a fornirli alla matematica e nell'ammettere dunque in qualche modo un'interazione fra le due a questo specifico proposito. Anche Giamblico di Calcide, come Proclo, considerava prima di lui, come del pari vedremo, analisi e sintesi come metodi della " dialettica " (cfr. in/ra, capitolo VI, B) . U! Cfr. BRETON, Philos. mathém. Prae/. , pp. 123-32, e ibidem (HARTMANN, Prae/. principes philos. mathém. ) , pp. 22 1 -43 . 1 5 2 BRETON, Philos. mathém. Prae/. , p. 130, corsivo mio. m Prae/. Comm. /int Eue/. Elem. , Introduction, pp. XL, XLI, e XLn, rispetti­ vamente . .,. Comm. Elem. Eue/. , 69, 1 3 - 1 9 , corsivo mio. m Per i possibili antecedenti di Proclo, nella considerazione dell'analisi quale parte propria della dialettica, cfr. quanto detto supra, alla nota 150. Per la presunta assimilabilità fra anagoghè geometrica e synagoghè dialettica, si veda­ no le due interpretazioni contrapposte di CORNFORD, Mathem. Dial. Republ. , soprattutto p. 72, e di ROBINSON, Analysis, p. 467 sgg . ; il primo ritiene possibile la sovrapposizione, il secondo considera invece necessaria la distinzione (cfr . , i n proposito, quanto detto già supra, capitolo n, B , nota 2 3 ) . Dell'interpretazio­ ne data da Robinson avevo tenuto conto in Matem. dial. in Pl. , e con Robinson devo nuovamente sottolineare il carattere "scompositivo " e l' andamento " de­ duttivo " dell'analisi matematica, rispetto alla ricerca " induttiva " ed " elencti­ ca " di un elemento essenziale e comune ad una molteplicità di cose sensibili, che consente la risalita all'idea come loro principio e che è tipico della via all'in su platonica. Il tema dell' analisi geometrica è comunque ulteriormente ripreso infra; al capitolo v, B . . , 6 Philos. mathém. Prae/. , p. 1 0 7 . m BEIERWALTES, Praklos, cit . , pp. 1 8 - 9 . Tale unità ( o parallelismo) fra orda rerum ed orda idearum è a sua volta messa in luce ed accentuata, prima di Proclo, nel neopitagorismo. U8 Pracl. principes philos. mathém. , in BRETON, Philos. mathém. Prae/. , pp. 189-209, in particolare 1 9 1 . Hartmann rafforza, fra l'altro, la traduzione del passo 5, 1 3 - 1 8 del Commento procliano, relativo ai principi del Limite e dell'Illi­ mitato: « C'est en contemplant les principes de l'etre mathématique que nous nous élevons précisément à ces principes qui traversent tout ce qui est et ptodui­ sent tout à partir d'eux-memes, je veux dire la limite et l'illimité >> (p. 9 1 ) . no HARTMANN, ivi, p. 193 . 160 HARTMANN, ivi, p. 1 9 7 . Per il neopitagorismo e per Giamblico, più volte indicati come antecedenti propri ed immediati della concezione procliana della matematica, prenderò in considerazione (in/ra, capitoli v e VI ) un altro tratto matematisticamente rilevante, e cioè la possibile mutuazione in sede teologica del concetto di unità aritmetica (hèn-pròtos theòs) . Non posso impegnarmi in un' anali-

LE PRINCIPALI FONTI DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

147

s i del genere per Proclo con qualche pretesa d i serietà, senza, tener conto ( e sa­ rebbe impossibile in questa sede) della teologia plotiniana. 161 Per la mathesis universalis debole, Proclo si ricollega, come vedremo, alle figure medioplatoniche, neopitagoriche e neopIatoniche (Plutarco, Nicomaco, Teone, Giamblico) proponenti un ordinamento delle matematiche e rappresenta l'ultima e più matura voce di questo filone; per l' ontogonia seriale e gerarchica sono poi esplorabili gli antecedenti protoaccademici e neopitagorici, per l' analisi e la sinte­ si quali metodi della dialettica vanno visti, come già ho detto, " Albino " (il Dida­ skalikòs) e Giamblico; ed infine, per l'intermedietà " forte " della sostanza matematica fra mondo della pura (ed ineffabile) intelligibilità e mondo dei sensi­ bili (e per la parallela intermedietà della matematica stessa fra intelletto e sensa­ zione) andrà considerato soprattutto Giamblico. Tale intermedietà forte dei ma­ thematikà sarebbe del resto confermata dalla concezione procliana del numero: questo, in generale " serie " o " flusso " procedente dall'unità, si articola in specie ordinate, le prime solo noetiche, le ultime incarnantisi nelle figure geometriche cosmogoniche; tramite " necessario " fra le une e le altre è, ancora, il numero " matematico " (TROUILLARD, Nombre selon Proclos, p. 234) . Che questo incida sull'elaborazione procliana di un'architettura ontologica e che ciò valga per V oV'twv cpuaewç) », poiché in generale « cose che sono più per/ette derivano sempre da cose imperfette e indeterminate (lç c!top(crtwv c!t'ttÀ6>V 'tt c!td 'tdc 'ttÀtL6npcx) )';;7 . È ancora Aristotele,

dopo aver esplicitamente collegato « i Pitagorici e Speusippo » (fra l' altro in uno dei pochissimi passi in cui indica per nome il suc­ cessore di Platone ! ) , a segnalare anche la connessione precisa fra questa tesi speusippea ed il metodo scompositivo-elementarizzante di origine pitagorica: « [ . . ] affermare che tale principio è l'Uno, .

o comunque, se non l'Uno, un elemento e un elemento dei numeri

(crtoLXt!6v 'tt xcxt crtOLXt!OV c!tpL8fL6>V) è impossibile [' . . h>, egli dice e nota ancora come la difficoltà nasca esattamente dal fatto di

«porre l'Uno come principio, e come principio inteso nel senso di elemento ('tò tV c!tPX7JV xcxt c!tPX7JV wç crtOLXt!OV) e dal far derivare da quest'Uno il numero »'S . L a deviazione speusippea d a una delle tesi centrali del plato­ nismo ortodosso (il porsi del principio anipotetico come archeti­ po delle idee per il suo essere Bene) rimonta dunque ancora all' accettazione di quell' approccio scompositivo-elementarizzante con la realtà, per il quale i Pitagorici ponevano come stoichèion di essa l'indivisibile che, ripetuto, è in grado di costruirla: se le cose sono frutto di composizione tramite un movimento dal sem­ plice al complesso, dalla parte al tutto, l' elemento modulare che determina quella composizione è certamente archè di essa ed in tanto merita il nome di " principio " , ma di per se stesso non può essere detto perfetto, poiché il suo compito è proprio quello di determinare, reiterandosi, la perfezione. li principio speusippeo, in quanto stoichèion pitagoricamente inteso, è dunque pura po­ tenzialità di un bene che si dà solo 7tpo7)À8 ouGT\ç 'rijç 't6>V OV'tWV

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

175

cpua&Wç. « Ciò che è ' principio ' », nota l a Isnardi Parente, « cioè condizione prima del numero, elemento che rende possibile il suo formarsi, non è essere metafisicamente superiore, ma cnOLXtLOV del ' numero stesso; non è ancora oùaLcx, ma piuttosto condizione della

oùaLCX [ 1 >>,9 . • • .

L' identificazione d i Uno e Bene sarebbe stata comunque da Speusippo rifiutata anche per sfuggire alle difficoltà ad essa con­ nesse: in particolare, se l'Uno fosse Bene, poiché tutto rimonta ad esso, tutte le cose diverrebbero bene-in-sé e cosi si avrebbe « una gran profusione di beni »60; inoltre, se l'Uno fosse Bene, il suo opposto, la Molteplicità, dovrebbe essere il male-in-sé61 ; ed infine, ancora, poiché tutte le cose partecipano della Moltepli­ cità, se questa fosse male, tutte le cose, ad eccezione dell'Uno, parteciperebbero del male62 • La testimonianza aristotelica sui principi speusippei è sem­ brata in parte confermata dalle notizie del De communi mathema­

tica scientia di Giamblico di C alcide; la tesi per la quale l'Uno speusippeo non è assimilabile al Bene è sembrata infatti risuona­ re nel passo giamblicheo relativo ad un uno, principio dei nume­ ri, che è ou-ct xcxÀòv OU-Ct eX"(cx06v, poiché d' altronde il bene compare 7tpOLOUO"l\ç [ ] eX7tÒ -CWV Lv eXpxn cpua&Wç: il passo in questione è sta­ . • .

to perciò considerato riferibile a Speusipp063 . Giamblico appare tuttavia assai più deciso di Aristotele nel notare come il principio cosi inteso si sottragga non solo ad una valutazione di tipo assio­ logico, ma comporti addirittura un " salto " ontologico rispetto all'essere: mentre Aristotele infatti si limita a rilevare che, date la divaricazione speusippea fra Bene ed Uno e la configurazione del principio come imperfetto ed indeterminato, allora « l'Uno in sé non sarà neppure un determinato essere (!L7)8i. OV -CL trVCXL -CÒ tV CXÙ-co) »64 , Giamblico attribuirebbe invece recisamente all'Uno di Speusippo una collocazione in qualche modo " oltre " l'essere

(Ù7ttpcXVW) , al di fuori e al di sopra di ciò che propriamente è, ribaltando dunque il senso stesso della testimonianza aristotelica6' . A questo punto si pongono, per la serie speusippea dei piani della realtà (numeri-grandezze-anima-cose sensibili) , ciascuno dei quali, come già ricordato, è dotato di principi propri66 , almeno

176

L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

due ordini di problemi. La prima questione è posta da Aristotele stesso : la teoria speusippea, secondo la quale « c'è una successio­ ne di sostanze senza termine, e [. . ] per ciascuna sostanza ci .

sono principi diversi », ridurrebbe infatti « la realtà dell'universo ad una serie di episodi », disarticolando i vari piani, che non avrebbero alcun influsso uno sull' altro, e si mostrerebbe perciò incapace di porre un solo principio ontologico per tutta la real­ tà67 •

È

necessario dunque verificare se Speusippo preveda un

qualche aU\lStaILOC; dei piani del reale, in mancanza del quale non solo la sua ontologia risulterebbe effettivamente disarticola­ ta e parcellizzata, ma lo status stesso dei numeri quali sostanze prime verrebbe svuotato di senso e sarebbe d' altronde vanifica­ to lo stesso progetto di ricomprensione sistematica del reale in una pansophìa. Oltre a questa, la critica ha sollevato però un' altra questio­ ne: ammessa come possibile una sistemazione onnicomprensiva dei piani del reale, essa è da interpretarsi in senso forte, come movimento di " derivazione " dei vari livelli da " un unico princi­ pio primo " , sottratto all' alternativa assiologica Bene-Male, poi­ ché posto, secondo la notizia giamblichea, al di sopra, " oltre " l'essere, per cui l' ontologia speusippea si configurerebbe come una sorta di caduta verticale, anticipatrice della pròodos ontogonica neoplatonica? Oppure, al contrario, ferma restando la scansione speusippea delle ousìai e soprattutto dei principi ed ammesso non­ dimeno un syndesmos a legare i vari piani, l'ontologia speusippea è piuttosto da leggersi come un sistema di " costruzione progres­ siva " del reale dal semplice al complesso, dal minore al maggiore, di sapore pitagorico (7tp6a9taLC;)? Anche la scelta fra queste due alternative esegetiche appare qui rilevante, per un chiarimento dello specifico programma speusippeo di matematizzazione della realtà: i referenti storici e teorici sono ancora una volta il pitago­ rismo da un lato ed il neoplatonismo dall' altro, ma la seconda lettura ascrive a Speusippo un matematismo eminentemente " co­ struttivistico ", la prima viceversa, in analogia con la stoichèiosis procliana, un matematismo di tipo " deduttivistico " . Per il primo problema comunque, cioè per la pretesa disartico-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

177

lazione dei piani serialmente ordinati della realtà speusippea, è Aristotele stesso, sollevato il problema, ad indicarne la soluzio­ ne : parlando delle grandezze (del livello, nell' ontologia speusip­ pea, immediatamente successivo a quello primario dei numeri) , egli riferisce infatti di coloro che « le fanno derivare dal punto (il punto è, secondo l'opinione di costoro, non l'uno, ma simile

(oLoII) all'uno) e da una diversa materia, che è simile (OL«) al

molteplice, ma non è il molteplice »68 . Esiste perciò una struttura comune ai vari piani della realtà, poiché in ciascuno ed in tutti operano in maniera " analoga " due principi: come la funzione propria dell'Uno è svolta infatti, al livello delle grandezze, da un principio " simile " all'Uno, il Punto, cosl la funzione propria della Molteplicità sarà svolta per le grandezze stesse da un prin­ cipio " analogo " a quella ,ed il criterio dell' " analogia funziona­ le " dei principi, basata sulla loro " somiglianza " , è estensibile a tutti i livelli del reale. La Isnardi Parente ha tentato una descrizione dei principi che opererebbero secondo tale analogia funzionale in ciascuno dei piani speusippei del reale, ponendo la coppia di contrari

&11 e 1tÀTj90c; per i numeri, la coppia CTtL11L7J-'t61toC; per le entità geometriche, quella di 'tt'tprlXWC;-8LCXCTtrlCnc; per il mondo vivente organico ed infine, in relazione alle ricerche speusippee sui " si­ mili " , la coppia 'trlù't611-9cX'ttpoII per l'infinità degli individui69 .

È l a Isnardi stessa a chiarire poi quale sia il legame unitario, il syndesmos, che, operando in tutta l'ontologia speusippea, sia orizzontalmente che verticalmente, consente una conoscenza si­ stematica ed esaustiva del reale stesso e dunque quella pansophìa che i rilievi di Aristotele parevano compromettere: « II legame che unisce fra di loro gli esseri, sia quelli appartenenti alla sfera razionale, sia gli esseri di natura empirica», ella nota infatti, «è quello della oILOL6'tT)C; », la quale eguaglia verticalmente la fun­ zione dell'Uno e del Punto da un Iato, e quella della Molteplici­ tà e del Luogo dall' altro, proprio in quanto hòmoia, e che consente ugualmente, su un piano orizzontale, una sistemazione organica dell'infinita molteplicità degli individui sensibili, « istituendo ta­ vole regolari e ordinate di 0ILOLrl, di realtà simili ». L' homoiòtes

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L E IDEE, I NUMERI, L' ORDINE

che lega i sensibili, ella conclude, non ha lo stesso rigore della homoiòtes propriamente matematica, « ma tuttavia [. . . ] è il solo [rapporto] che ci permetta di superare l' infinità o indefinitività della dispersione, cioè l'ignoranza ed il male conoscitivo »7 0 . La riconducibilità dell'ontologia speusippea ad una fonda­ mentale unità di struttura ha dunque non poca rilevanza per la lettura di quell'ontologia come mathesis universalis, poiché è l'unità di struttura che sostanzia e dà corpo al progetto di una pansophìa : tutte le cose, ad ogni livello del reale, rimontano dunque a principi simili e sono esse stesse hòmoia; la facoltà conoscitiva (l7tL\!'tW\! epucJtwç, e recupererebbe viceversa la connessione platonica fra principio anipotetico e Bene: facen­ do tuttavia confluire con ciò nel secondo principio l' indetermina­ to ed il male, egli parrebbe d' altra parte collegarsi all'iposta­ tizzazione bipolare di valori anche assiologici, palesemente legata alla lista pitagorica dei contrari . Seppure in modi diversi e più complessi di quanto talora si creda, Speusippo e Senocrate ap� paiono quindi entrambi debitori al pitagorismo, per la dottrina dei principi. I principi senocratei dunque paiono effettivamente essere l'as­ soluto hèn-agathòn e l' assoluto aòriston-kakòn che cooperano a de- . terminare innanzitutto i numeri, presumibilmente quei numeri, ideali e matematici ad un tempo, con i quali si identificano le idee: che i numeri (-idee) siano il primo prodotto dell'interazione Uno-Diade Indefinita, secondo la problematica procedura di de­ rivazione sopra ricordata, è confermato da varie testimonianze, nelle quali i numeri stessi sono considerati archài ontologiche, da cui « derivano le altre cose, quali linee e superfici, fino ad arriva­ re alla sostanza dell'universo fisico e degli oggetti sensibili »124 ;

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

203

anche ProcIo, nel commento al Parmenide platonico, si richiama al primato ontologico delle idee (-numeri) , dai cui principi Seno­ crate avrebbe fatto dipendere 1'« intera generazione delle cose »1 2 ' • Lo specifico movimento di generazione (eterna e non tem­ porale) dei piani del reale dai numeri è suggerito poi ancora da Aristotele, quando questi ricorda come OL -cÒt tl'8Tj -cLOtfLtllOL derivi­ no «le grandezze dalla materia e dal numero (-cÒt fLtytOTj lx 'tijç uÀTjç XCXL &pLOfLofl) »1 26 : i numeri derivano dunque da Uno e Diade Inde­ finita e, combinandosi poi a loro volta nuovamente con la Diade Indefinita (la « materia » nella terminologia aristotelica), darebbe­ ro luogo alle grandezze; è presumibile perciò che lo stesso schema generativo si ripeta ad ogni livello e che le grandezze cosi formate, combinandosi nuovamente con la Diade, originino i cieli e que­ sti, infine, per ulteriore combinazione con il secondo principio, le cose sensibili. L'Uno, che si pretende sia assoluta e perfetta determinazio­ ne, agirebbe direttamente dunque in tale schema generativo una volta sola, mentre, ai livelli successivi, sono i prodotti del livello superiore a fungere propriamente da principi di determinazione ed a comporsi di volta in volta con la Diade 12 7 : lo schema pare dunque comportare, se l'Uno rappresenta il Bene e la Diade il Male, un progressivo allontanamento dal Bene assoluto, uno sbia­ dirsi della sua azione, che andrebbe di conserva al costituirsi del­ la realtà stessa; e ciò non tanto perché emerge un principio negativo (che è presente fin dall'inizio del processo ed altrettanto necessa­ rio ad esso) , ma perché, al ripetersi dell' azione del secondo prin­ cipio in tutta la sua purezza ed efficacia, si accompagna viceversa il graduale offuscarsi di un' azione pura del primo principio, il quale infatti interverrebbe solo mediatamente, attraverso quelli che so­ no già (e sempre più) prodotti di una mistione. Per tale aspetto, abbastanza particolare, l'ontogonia senocratea si stacca dall'oriz­ zonte pitagorico cui aveva attinto, sia per il primato dei numeri, sia per il contrapporsi assiologico dei principi, e si configura par­ zialmente come caduta verticale e progressiva dall'assolutamente per­ fetto, poi tipica di sistemi ontologici posteriori ed assente al contrario in Speusippo: elemento frenante in questa direzione è

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

forse proprio la parità ontologica dei due principi, per cui il se­ condo, quello dell'imperfezione e del male, appare - con l'ecce­ zione della testimonianza di Aezio - primario quanto l' altro ed appunto altrettanto necessario . Il tratto costruttivistico, derivan­ te dall' elementarismo pitagorico, che faceva dell' ontogonia speu­ sippea una pròsthesis (passaggio dal meno perfetto al più perfetto) , in Senocrate pare comunque ampiamente ridimensionato o addi­ rittura assente, benché egli pretenda di conservare una tçtç arit­ metica ai suoi numeri, di costruire le sue entità geometriche riproponendo la connessione 2-linea, 3-superficie, 4-solido, e ben­ ché aggiunga una dimensione cosmica e dunque materiale al suo processo di generazione dell' essere: Senocrate pare essere in real­ tà il primo filosofo (con l' esclusione " forse " di Platone) per il quale il tratto fondamentale di un' ontologia, o più propriamente di un' ontogonia, sia specificamente una " caduta di perfezione " , cioè u n allontanamento dal Bene. L' essere di Senocrate appare comunque assai più unitario e concatenato di quello speusippeo, per il valore assolutamente pri­ mario ed onnicomprensivo che assumono i principi; mentre infat­ ti i vari piani dell' essere speusippeo sono legati soltanto dalla

homoiòtes di funzione attribuibile alle coppie di principi specifi­ camente operanti in ogni piano, l'essere in Senocrate è " comple­ tamente e continuativamente " pervaso dall' azione dell'Uno e della Diade Indefinita. Esso è leggibile come « un vero e proprio siste­ ma deduzionistico o derivazionistico », proprio perché i principi sono « le condizioni basilari di tutto l' essere nel quale emergeran­ no di volta in volta in articolate varietà di forme, che sono per altro in chiara derivazione da quelle che sono le forme primarie »128. Né meno importante appare infine, come criterio di distin­ zione dall' ontologia speusippea e di anticipazione di modelli on­ togonici posteriori, il valore " cosmogonico " del processo seno­ crateo di costituzione della realtà, il quale fonda non solo un es­ sere, ma esplicitamente appunto una physis, nonostante la pun­ tualizzazione dello pseudo-Alessandro che la gbènesis senocratea varrebbe soltanto 8t8cxaxcxÀ(cxç xcXpw XCXL "tou "'(VWVCXtI29 : la notizia dello pseudo-Alessandro potrebbe riferirsi infatti solo al valore

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

205

non temporale della generazione senocratea, ed il carattere co­ smologico di essa è d' altronde confermato in sede teologica, dato che Senocrate divinizza i cieli, l' aria, l' acqua, la terra, il sole e la luna, ponendo fra dei e mondo una complessa gerarchia di dè­ moni, e soprattutto dalla posizione del cielo stesso come livello intermedio fra sostanza intelligibile e sostanza sensibile . Signifi­ cative d' altra parte in questa direzione teorica sono le testimo­ nianze rispettivamente di Proclo e di Alessandro di Afrodisia in una traduzione araba: Proclo cita infatti la definizione senocra­ tea dell'idea come exl·dex 'ltexpex8tL'Y'!J.ex"tLXT! "tW\I xex"tÒt cpuCJt\I ciel CJU ­ \ltCJ"tw"tW\I, che esclude vi siano idee di ciò che è 'ltCXpÒt cpuCJt\I e di ciò che è xcx"tÒt "ttX\IT)\I; Alessandro invece, all'interno di una me­ desima valorizzazione del mondo fisico, attribuisce per parte sua a Senocrate una priorità della specie rispetto al genere13O • In generale non vanno sottovalutate le differenze teoriche, tutt' altro che marginali, che sono rilevabili ad una lettura attenta delle ontologie dei primi due successori di Platone e che sono state sopra richiamate: Speusippo e Senocrate guardano entrambi alla matematica per elaborare i loro sistemi, ma secondo valenze per larghi versi differenti e che, nel momento in cui ribadiscono la complessità e la ricchezza di pensiero nonostante tutto espres­ se dalla prima Accademia, ripropongono in termini altrettanto ar­ ticolati la tematica storica del rapporto generale filosofia-mate­ matica e rendono forse obbligatoria un'ulteriore riflessione su un matematismo propriamente platonico, cui si dà probabilmente trop­ po credito, soprattutto qualora lo si ritenga l'unica e fondamen­ tale molla ispiratrice di sistemi che, pur matematistici, appaiono tuttavia fra loro tanto diversi. Nonostante il confluire nel pensiero di Senocrate di istanze teoriche differenti e spesso difficilmente conciliabili in un qua­ dro armonico, si può ugualmente tentare di riassumerne i tratti più significativi, soprattutto per l'impostazione matematistica rav­ visabile in questa filosofia: rilevante in tale direzione interpreta­

tiva è dunque innanzitutto quella che si può chiamare teoria senocratea del numero tout-court, la quale, identificando i con­

cetti in Platone ancora distinti di " numero ideale " e " numero

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

matematico " , pare presupporre una totale sovrapposizione fra la nozione eidetico-qualitativa e la nozione aritmetico-compositiva di hèn. Per tale sovrapposizione il pensiero senocrateo converge con l' analoga assimilazione individuabile già in Speusippo: la so­ vrapposizione poi, nonostante l'interesse per le scienze esatte ascri­ vibile a Senocrate a partire quantomeno dalle opere di argomento matematico attribuitegli da Diogene Laerzio, finisce in realtà per compromettere l' autonomia e specificità scientifica della matema­ tica stessa, prefigurandone la fruizione filosofica più spinta. Per questo primo dato siamo già debitori di Aristotele e la sua relazione sul pensiero senocrateo va letta in una prospettiva quanto più possibile globale e coerente: chi ritenga perciò i riferi­ menti dello Stagirita attendibili e rilevanti per una ricostruzione del pensiero di Platone, deve probabilmente in generale far cre­ dito ad Aristotele di un' attendibilità quantomeno pari, per i ren­ diconti sui suoi antichi compagni di studi e soprattutto per le differenze che egli dichiara esservi fra le teorie di costoro e fra queste e la filosofia del comune maestro . Determinante per il matematismo è poi la configurazione se­ nocratea delle sostanze prime, in cui si identificano " idee e nu­ meri " : l' assimilazione sembra frutto, come già in Speusippo, del tentativo di risolvere i problemi connessi alla struttura monadica, ma articolata, dell'idea, attraverso l'estensione illimitata (ontolo­ gica) dell' orizzonte di applicazione del numero, esso sl contempo­ raneamente e senza difficoltà " uno e molti " . La specificità teorica dell' hèn inteso in senso eidetico­ qualitativo non viene in Senocrate garantita dai tratti attribuibili all'Uno, alla cui azione rimontano le prime sostanze: esso infatti si pretende sia principio di determinazione ontologica forte, e dun­ que causa della systoichìa del perfetto, del compiuto, dell' òn in senso pieno e del pensabile kath'autò di contro ai caratteri del principio opposto, che è viceversa causa dell' àpeiron, del mè òn, dello psèudon e del pròs ti ; ma se ciò che dal primo princi­ pio primariamente procede sono le " idee-numeri " , è appunto l'U­ no stesso a mostrarsi gravato della confusione succitata fra le due nozioni di hèn ed essa permane d' altronde in " tutta " la costru-

-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

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zione ontologica senocrateà, in forza dell'unitarietà e della conti­ nuità ad essa attribuibili . Che vi sia d' altra parte in Senocrate un' ambiguità fra un ap­ proccio con le cose di tipo scompositivo-elementarizzante (in cui il fondamento è l'indivisibile come " parte ") ed un approccio on­ tologico universalizzante (in cui viceversa il fondamento è l'indi­ visibile determinazione eidetica di ciò che è " una certa cosa " ) è confermato dai tratti cosmologici del suo pensiero : l'universo fisico procede infatti " senza soluzione di continuità " dalle so­ stanze immateriali, per il tramite dei cieli, ed in ciò Senocrate prelude a quell' appiattimento dell'ontologia sulla fisica che ve­ dremo propria dell'Epinomide e d'altra parte caratteristica dei mag­ giori sistemi teorici dell'ellenismo; nell'Epinomide, come per Senocrate, gli astri sono dei e sono la prima causa dell'ordine del­ l'essere, un ordine non a caso anche in quella sede espresso dal . numero, ciÀ7J97jç À6yoç. Permangono in Senocrate " alcuni " elementi di pitagorismo (cui è sembrato d' altronde ampiamente debitore Speusippo) , non soltanto per certe sopravvivenze terminologiche (aènaos, systoi­

chìa), ma per il parallelismo che assimila la serie dei primi quattro numeri alla successione delle dimensioni spaziali ( l -punto; 2-linea; 3-superficie; 4-solido) . Ancora più pitagorizzante appare la con­ trapposizione, parzialmente già richiamata, fra i due principi e le systoichìai che ad essi fanno capo e che vede coagularsi in serie ontologiche opposte i tratti positivi dell' hèn (che è dunque pèras, agathòn, kath'autò e " maschio ") e quelli negativi della duàs (che è viceversa aòristos, kakòn, pròs ti e " femmina "), in analogia spesso anche terminologicamente precisa con le determinazioni figuran­ ti nella lista pitagorica dei contrari. E tuttavia, se per Speusippo la riconduzione a modelli teori­ ci di tipo pitagorico è apparsa in qualche modo sufficiente a spie­ garne il pensiero ed il matematismo e se d' altronde sono sembrate sospette le testimonianze che portavano a considerarne la filoso­ fia in qualche modo anticipatrice di modelli teorici successivi (so­ prattutto per la dottrina dell'Uno) , è in Senocrate che paiono viceversa emergere tratti che ritroveremo in parte nelle sedi tar-

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LE IDEE, I NUMERI, L' ORDINE

de del neopitagorismo e del neoplatonismo. Rilevante in tal sen­ so è apparsa innanzitutto la tematica dell' " unicità " dei principi

hèn e duas aòristos, la cui azione pervade l' ' ' intero essere­ universo " , attraverso le idee-numeri, le grandezze ed i cieli, fino alle cose sensibili, dando luogo cosÌ ad una vera onto-cosmogonia, potentemente orientata nel senso dell' " unitarietà " e della " con­ tinuità " : il fatto che l'essere ed il cosmo procedano in Senocrate

senza soluzione di continuità dagli stessi principi, finisce anzi per creare, come si è visto, il problema della stessa distinguibilità del­ le ghenèseis degli enti eterni e di quelli sensibili. A tali dati se ne

aggiungono altri: la graduale e continua costi­

tuzione dell'essere e del cosmo dai principi è infatti struttura gene­ rativa eterna, in cui progressivamente si attenua l'ai/lthòn insito nel principio di determinazione assolutamente perfetto, a mano a mano che la Diade Indefinita viene reiterando la sua azione, fino alla mol­ teplicità sparsa e disorganica delle cose sensibili; l' ontogonia seno­ cratea è dunque, diversamente da quella di Speusippo, anche " perdita " del Bene, " allontanamento " da esso e " caduta " . La te­ stimonianza di Aezio infine, relativa al ruolo dell' hèn, principio di­ vino maschile, « che regna nel cielo », ed alla caratterizzazione della diade, divinità femminile che viceversa « regge la sorte delle cose che sono al di sotto del cielo », quando ripropone problematicamen­ te per Senocrate l'aggancio ellenistizzante di ontologia e teologia e sempre che " questa " diade sia identificabile con la Diade Indefi­ nita, pare alludere ad una subordinazione di essa al primo principio e dunque ad una radicale primarietà dell' hèn, che rompe il bipolari­ smo pitagorizzante e suggerisce un potenziale monismo (a sua volta, come vedremo, pienamente rinvenibile in sedi teoriche tarde, in par­ ticolare nel neopitagorismo) . L'impostazione derivazionistica dell'ontologia senocratea, il suo orientarsi per cosÌ dire da ciò che è più per/etto in poi, la sua stessa forte connotazione cosmologica e teologica allontanano co­ munque il sistema di Senocrate dal matematismo costruttivistico dei Pitagorici e di Speusippo e preludono invece ad altri modelli ontologici sempre di tipo matematistico, in cui tuttavia la con­ nessione fra principio e principiato si pretenderà sia in qual-

IL PROGETTO DELLA

MATHESIS UNIVERSAUS

209

che modo necessaria quanto quella che lega antecedente e conse­ guente in una serie numerica, o premesse e conseguenze in un teorema, ed altrettanto univocamente determinata.

D) EUDOSSO DI CNIDO E LA TEORIA DELLE PROPORZIONI. TEORIE E PROBLEMI DELL'EPINOMIDE L'indagine su un eventuale matematismo accademico limita­ ta ai soli Speusippo e Senocrate rischia di essere riduttiva e so­ prattutto di non tenere conto di quegli elementi di interdisci­ plinarità, caratteristici delle attività dell' Accademia, che più giu­ stificano uno studio di essa secondo il rapporto filosofia-mate­ matica. Primo degli oggetti di un esame ulteriore e più ampliato è certamente Eudosso di Cnido, non propriamente filosofo, ma scienziato e matematico di vaglia, cui ProcIo attribuisce l'incre­ mento « dei teoremi detti generali ("twv XOt96Àou XOtÀOUlLévwv 9twP7JlLcX"twv) >> e della trattazione sulle proporzioni e sulla sezio­ ne, nonché l'uso di un metodo analitico ("tOt!ç cXvOtÀuaecJLv l7t'Otù"twv XP7JacXlLevoç) U1 . In realtà la stessa pertinenza (o il livello di perti­ nenza) di una trattazione dedicata a Eudosso nel presente ambito di ricerca va giustificata: se la sua fama di matematico e le noti­ zie su una sua vicinanza a Platone e all ' Accademia legittimano tale trattazione, d' altro canto, per dare corpo a questa, esigono di essere affrontate almeno tre questioni. Anche per Eudosso man­ chiamo delle opere originali e disponiamo di fonti scarse e non tutte attendibili, ma sono innanzitutto il grado ed il significato della sua vicinanza storica a Platone e all ' Accademia ad apparire poco chiari: tutte le fonti concordano su tale vicinanza, oscillan­ do però nel dichiarare Eudosso ijÀLXLW"t7jç o L"tOt!poç di Platone, o, alternativamente, suo maestro, e graduandone differentemen­ te l'importanza nella scuola stessa, fino a suggerire che Platone gliene affidasse la direzione durante il secondo viaggio in Sicilia1}2. Il problema è complicato, infine, da una cronologia incerta.

2 10

LE IDEE, I NUMERI , L'ORDINE

La seconda questione riguarda la teoria secondo Aristotele eudossiana della " mescolanza " : da un lato pare infatti difficile coglierne 1' eventuale significato matematistico, poiché non sono chiaramente ravvisabili le saldature fra la posizione di Eudosso in merito alle idee ed i suoi orientamenti specificamente matema­ tici; dall' altro, la teoria della mìxis pare porre Eudosso " al di qua " della revisione delle idee operata da Speusippo e da Senocrate - con la posizione di idee xcxorÒt aUÀÀ1\cjIw e con 1'assimilazione di esse ai numeri - ed escludere dunque un rapporto fra la teo­ ria eudossiana delle idee e la dottrina accademica della mathesis

universalis, almeno nei termini in cui si è venuta sinora deli­ neando1 3 3 • Terzo, ma. non minor problema è costituito dalla tradizione che vede in Eudosso l'iniziatore della nuova matematica quale sapere speciale, separato dalla filosofia e dunque non più identifi­ cabile con essa: tale dato porrebbe Eudosso decisamente al di fuori di un orientamento filosofico matematistico1 34 • Per le notizie storiche ed il problema della cronologia innan­ zitutto, le fonti ci consentono quantomeno di suffragare l'ipotesi

di incontri e di scambi fra Eud� sso e Platone, ciascuno a quanto

sembra parimenti interessato, nella propria specializzazione, alla disciplina coltivata dall' altro: meno determinante, almeno nella nostra ricerca, è stabilire se Eudosso fosse membro regolare del­ l'Accademia, quale dei due studiosi abbia maggiormente influito sull' altro, o se le relazioni cult,:uali fra i due fossero sempre sere­ nem . Più interessante è forse la questione di uno scolarcato tem­ poraneo di Eudosso, durante il secondo viaggio di Platone in Sicilia, poiché la circostanza gli farebbe credito non solo di un' ap­ partenenza giuridica all' Accademia, ma di una evidente posizio­ ne di preminenza all' interno di essa136• A questa si collega d' altronde la questione della cronologia: mentre infatti Apollodo­ ro e Diogene Laerzio pongono l' acme di Eudosso nella CIII Olim­ piade (appunto fra il 368 ed il 367) e consentono perciò di collocare la sua vita fra il 408 ed il 355 circa, incrementando la possibilità del suddetto scolarcato ad interim, una testimonianza di Plinio posticipa la vita di Eudosso al periodo compreso fra il 3 9 1 ed

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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il 3 3 8 m . Le ragioni a suo tempo addotte a sostegno della notizia apollodorea restano comunque convincenti e fanno perciò sup­ porre attendibile la cronologia riferentesi al 408-3 5 5 1 38 : l'impor­ tanza che alla dottrina eudossiana Aristotele conferisce nel suo giovanile De ideis fa d' altronde pensare effettivamente ad una pre­ senza (non secondaria) di Eudosso nella scuola di Platone e preci­ samente in un periodo che precede di molto la morte di quest'ultimo . Per risolvere i problemi del rapporto di Eudosso con Platone e l'Accademia, è però necessario guardare anche alle testimonianze relative alla sua dottrina. Anche in questo caso la fonte primaria è Aristotele, ma non si può neppure ora discutere la sua attendibilità ed accuratezza di cronista: meglio piuttosto tentare di esplicitare l' ambito teori­ co in cui egli ci fornisce certe informazioni, allo scopo di com­ prendere il senso di queste . L'impatto di Eudosso con la dottrina platonica delle idee ed un suo contributo originale ad essa (e l'in­ ferenza da tali circostanze di dati storici e cronologici più precisi) sono ipotizzabili, com'è noto, dall'esame comparato di un passo della Metafisica aristotelica e del relativo commento di Alessan­ dro di Afrodisia, riconosciuto quest'ultimo come frammento del già citato De ideis aristotelico . Discutendo nella Metafisica della causalità delle idee, Aristo­ tele finisce per escluderla, poiché le idee non sono immanenti alle cose, ma pur sempre xtxwpLalLtVOtL; e continua: « Se fossero immanenti, potrebbe forse sembrare che esse fossero causa delle cose sensibili nella stessa maniera in cui il bianco per mescolanza è causa del bianco di un oggetto (&v Lawc; OtL'tLOt 86çtLtV tLVOtL WC; 'tò Àtuxòv ILtlLLilLtvov 'tetl. ÀtUXetl) . Ma questo ragionamento - che per primo Anassagora e, successivamente, Eudosso e altri ancora hanno fatto valere - è insostenibile: infatti contro tale opinione è assai facile adunare molte e insuperabili difficoltà »139 •

Un recupero della causalità delle idee - compromessa evi­ dentemente dalla teoria del chorismòs attraverso la raffigura­ zione di idee immanenti ai causati era stato dunque ipotizzato : -

ma non è sostenibile l'immanenza che sia basata su una sorta di

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

" mescolanza " del causante al causato, analoga al mescolarsi ad un oggetto di una tinta pura che ne determini la colorazione; essa sarebbe stata sostenuta da Anassagora (evidentemente secondo un' interpretazione aristotelica della dottrina delle omeomerie) e da Eudosso (probabilmente anche in questo caso secondo un'in­ terpretazione di Aristotele) . Lo Stagirita allude infine alle molte difficoltà che rendono insostenibile quella posizione, ma non le elenca in modo articolato, forse perché tanto la teoria della mìxis, quanto le ragioni della sua inconsistenza nell'applicazione alla dot­ trina delle idee erano già note ai destinatari dei concetti esposti nel

I

libro della Metafisica. Quest 'ultima circostanza legittima il

collegamento del passo appunto con il commento di Alessandro di Afrodisia, il quale doveva disporre di quel De ideis di origine accademica, in cui Aristotele aveva affrontato in modo più parti­ colareggiato questi temi . « Anche Eudosso », esordisce dunque per parte sua Alessan­ dro, « fra gli amici di Platone ("tWI/ nÀcX"twl/oç "'(IIW pLIJ.WI/) , riteneva che ciascuna cosa fosse, in virtù della mescolanza delle idee nelle cose che hanno l'essere in relazione ad esse [ . . . ] (IJ.LçtL "tWI/ l8twI/ &1/ "tOLç 7tpÒç ouhÒtç "tò dl/otL F:xouaLli TjytL"tO exota"tol/ dl/otL) »140 . E continua: « [Aristotele] afferma che questo discorso è assai facilmente con­ futabile da parte di colui che ritiene invece che ciascuna delle cose che sono riceva il proprio essere determinato (exota"tol/ "tWI/ OI/"tWI/ "tÒ ELl/otL "t68t "tL F:xtLI/) dalla partecipazione (lJ.t9içtL) a qualco­ sa [. . . ]. Poiché costui non pensava, come Eudosso, che le altre cose [ricevano il proprio essere determinato] dalla mescolanza delle idee (IJ.LçtL "tWI/ l8twI/ "tÒt CiÀÀot) , Aristotele afferma che è facile rac­ cogliere molte difficoltà avanzate contro questa tesi »141 . Prima di entrare nel merito specifico di queste difficoltà, va riba­ dita l'effettiva alta pr9babilità che Alessandro scrivesse avendo sotto gli occhi il De ideis aristotelico; egli infatti conclude: « Esaminando questa opiniQne nel n libro del D.e ideis, di quante altre difficoltà [Aristotele] la mostrava gravata! Per questo motivo egli afferma che ' è facile raccogliere contro questa opinione molte e insupera­ bili difficoltà ' , perché le ha in effetti raccolte in questa sede »14 2 .

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IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

Aristotele pare dunque riferirsi, nel passo della Metafisica, a dottrine note ai suoi uditori e, allo stesso modo, Alessandro, scrivendo in un momento in cui il De ideis era verosimilmente ancora in circolazione, riferiva tesi controllabili dai suoi lettori, né poteva perciò falsificare di proposito i concetti esposti nello stesso De ideis o nella Metafisica: anche per lui Eudosso è un " ami­ co " di Platone ed autore di una tesi che è leggibile, almeno nella formulazione aristotelica, come : « ogni cosa è in virtù della mesco­ lanza delle idee nelle cose che hanno l'essere in relazione ad esse

(,,(çtL 'tW'oI l8tw'oI &'01 'to!C; 7tpÒC; ocù'tcXc; 'tÒ tt'olOCL exoucJL'oI TJTe!'to exoccno'ol ttVOtL) ) (linee 8-9) , oppure ancora « ciascuna delle cose che sono ri­ ceve il proprio essere determinato dalla mescolanza delle idee ([lxctcmw 'tW'oI O'ol'tW'oI 'tò tt'olotL 't68t . 'tL eXtLV] ,,(çeL 'tW'oI l8tw'oIh> (linee 1 0- 1 1 , integrate con la 1 2 ) . Era stato facile raccogliere difficoltà contro questa tesi da parte di chi sosteneva viceversa un rapporto idee­ cose in termini di partecipazione: Alessandro sembra riferirsi ad una polemica effettivamente svoltasi, circostanza che, a sua vol­ ta, non può non rimandarci al brano del Parmenide ( 1 3 1 A-D) , in cui il rapporto di metessi fra idee e cose è detto sottrarsi all' al­ ternativa partecipazione " a tutto il genere " o " ad una sua par­ te " , che parrebbe conseguente ad una considerazione fisicistica delle idee, qual è quella, come lo stesso Alessandro mostra, effet­ tivamente presupposta al raffigurarne l'inerenza ai sensibili come mescolanza. Le opere dalle quali sono ricavabili - direttamente o indi­ rettamente - notizie sulle posizioni filosofiche di Eudosso (cioè la Metafisica, il De ideis ed il Parmenide) alludono dunque in pa­ rallelo all' Accademia come ambito nel quale la dottrina eudossia­ na della mescolanza sarebbe stata utilizzata per consolidare la dottrina platonica delle idee e si possono, già a questo livello, considerare relativamente certi alcuni dati: a) la teoria della me­ scolanza è attribuita esplicitamente a Eudosso; h) essa viene ri­ tradotta in termini aristotelici, ma la ritraduzione non poteva essere tale da :violarne totalmente la formulazione originale, non solo perché, a quanto pare, essa era nota ai lettori delle opere suddette, ma perché almeno il De ideis, se non il

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libro della

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

Metafisica, era stato composto quando lo stesso Eudosso era an­ cora in vita (quale che sia la cronologia ritenuta valida) e dunque in grado di controllarne la veridicità; c) la teoria eudossiana sa­ rebbe stata utilizzata nell' Accademia per chiarire il rapporto idee-là

àlla, " in alternativa alla relazione di metessi " , e dunque avrebbe rilievo rispetto al rapporto verticale idee-cose sensibili, oggetto d'esame nella fase del pensiero platonico che va dal Fedone al

Parmenide; d) la teoria della mescolanza, infine, aveva nell' Acca­ demia tanto spicco non solo da essere utilizzata per la dottrina delle idee, ma da meritare almeno in parte l' attenzione e la consi­ derazione critica dello stesso Platone, come si può dedurre dal

Parmenide. Queste conclusioni confermano a loro volta la partecipazio­ ne diretta di Eudosso alle attività della scuola, con un ruolo di rilievo, e la cronologia che ne pone l' acme intorno al 368-7, pe­ riodo inoltre della verosimile pubblicazione del Parmenide 143 • Interessante, per le questioni storiche proposte, e soprattut­ to per una comprensione dei rapporti fra la dottrina eudossiana ed il matematismo accademico, è poi l' esame delle difficoltà se­ condo Aristotele avanzate contro una teoria delle idee inerenti alle cose per mescolanza: prima conseguenza insostenibile è la fi­ sicizzazione delle idee, cioè la necessità, per poter instaurare il rapporto di mescolanza fra esse e le cose sensibili, di considerarle come altrettanti corpi (7tpw"tov IL&V aWlLcx"tcx iXv tttV) 144 ; secondo pro­ blema è l' instaurazione di una opposizione (tVcxv"tLwaLt;) fra idee e cose, poiché, secondo Aristotele, la mescolanza si avrebbe solo fra elementi dello stesso 'genere, ma opposti14' . Le tre obiezioni successive sono poi conseguenti alla corpo­ reità riattribuita alle idee, la quale presuppone (contraddittoria­ mente) una loro divisibilità: innanzitutto non sarebbe chiaro se l'idea si mescoli a ciascun causato nella sua interezza (wt; Tj oÀTjv) o in parte (Tj lLépot;) e d' altronde non è sostenibile né la prima alternativa - che presuppone un moltiplicarsi dell'idea, sostan­ zialmente " una " (iv [. . . ] xcx"tcX "tòv ÒtPL91L6v) -, né la seconda che attribuisce un essere determinato ad una parte di ciò che è (predicativamente) quell' essere determinato, e non a ciò che fon-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

2 15

da quell' essere _146. La difficoltà successiva esplicita d' altronde il concetto in base al quale vale l'obiezione precedente, cioè l' am­ missione contraddittoria di idee 81CXlpE'tCXt e ILEpla'tCXt, ma pur sem­ pre cX1tCX9ELç; l'ultimo problema del gruppo, relativo dunque alla " divisibilità " delle idee, segnala infine che esse vengono conce­ pite come composte di parti simili (OILOIOILEpTj) , « dato che tutte le cose aventi una parte d' idea sono simili fra loro », mentre evi­ dentemente non è possibile « che la parte dell'uomo sia uomo, come la parte dell'oro è oro »147. L'ordine logico delle tre difficoltà potrebbe per maggior chia­ rezza essere così mutato : se le idee, poiché si mescolano alle cose, sono corpi, sono anche divisibili, cosa però contraddittoria, poi­ ché le idee sono impassibili; è nondimeno necessario parlare di divisibilità, poiché la singola cosa sensibile o si mescola all'idea nella sua interezza (ma ciò è impossibile, perché ogni idea è " una "), o si mescola ad essa per una sua parte (ma allora la de­ terminazione ontologica spetterebbe a quella parte e non all'idea) ; bisognerebbe infine considerare ogni parte dell'idea, di cui una cosa sensibile partecipa, determinata ontologicamente come l'i­ dea stessa ed articolare dunque l'idea in parti simili, ciascuna di per sé sufficiente alla determinazione ontologica come l'intero. La divisibilità dell'idea, conseguente alla fisicizzazione necessaria per descrivere la sua causalità in termini di mescolanza ai causati, si rivela in ogni caso contraddittoria. La sesta obiezione considera poi la necessità di una mìxis non solo fra idee e sensibili, ma anche fra le idee stesse: poiché infatti l'uomo (sensibile) è anche animale, esso si " mescola " tan­ to all'idea di uomo, quanto a quella di animale e va perciò pre­ supposta una mescolanza analoga fra le due idee; però « cosl le idee non sarebbero più semplici, ma composte di molti (ex 1toÀÀw'J CJU1XEtILE'JCXL) e le une di esse prime e le altre seconde »; oppure bisogna ammettere che l'uomo non sia animale148 . L'obiezione chiarisce ulteriormente anche la questione della cronologia eudos­ siana: quando Aristotele ravvisa nella teoria eudossiana una con­ traddizione fra idee considerate da un lato cX1tÀCXL e dall'altro lx 1toÀÀw'J CJU1XEtILE'JCXL, egli evidentemente « non ignora la teoria del-

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L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

le idee come entità composte, quella che ha prevalso nell' Accade­ mia » con Speusippo e Senocrate, i quali derivano le idee da prin­ cipi contrapposti e le assimilano ai numeri, proprio perché unità composte di una molteplicità149 : Aristotele può far valere contro Eudosso questa confutazione, evidentemente perché Eudosso stes­ so pensa ancora ad idee &1tÀctL e non ad idee Xct'tÒt croÀÀT\cjILv, come Speusippo e Senocrate (contro i quali, non a caso, Aristotele fa valere argomentazioni di altro genere) . Eudosso resterebbe dun­ que, come si è detto, al di qua della revisione delle idee operata dagli immediati successori di Platone e la sua teoria della mesco­ lanza si proietterebbe perciò sulla dottrina delle idee " ortodos­ sa " , contenuta nei dialoghi compresi appunto tra il Fedone ed il Parmenide, che raffigura le idee precisamente come " incorpo­ ree " , " indivisibili " , " impassibili " , " semplici " , " separate " ed " immobili " 150. Questa circostanza, se da un lato riconferma la cronologia apollodorea e la partecipazione di Eudosso alle attivi­ tà accademiche in un periodo precedente le grandi problematiche dei dialoghi platonici cosiddetti dialettici, obbliga però a stabilire se abbia senso interessarsi di Eudosso in rapporto al matemati­ smo accademico, quando le sue teorie, se anche incisero sulla dot­ trina delle idee, lo fecero comunque in un periodo in cui essa era verosimilmente ancora lontana da una flessione in senso ma­ tematistico, sia da quella problematica per lo stesso Platone, sia da quella più certa dei suoi immediati successori. Per risolvere la questione, vanno ulteriormente approfonditi i caratteri della

mìxis di Eudosso, soprattutto in rapporto alle sue attività pro­ priamente scientifiche e va d' altro canto letta con più attenzione l'obiezione settima che Aristotele (Alessandro) rivolge alla dottri­ na eudossiana delle idee. Per il primo punto, va infatti notato che Eudosso è pur sem­ pre uno scienziato, versato - oltre che nell' aritmetica - nella geometria, nell' astronomia, ed in particolare nella medicina, del­ la quale era stata importante centro di sviluppo proprio la sua patria, Cnido: il proiettarsi della teoria eudossiana della mìxis spe­ cificamente sulla " prima dottrina " delle idee potrebbe perciò es­ sere frutto non tanto di concrete circostanze cronologiche, quanto

IL PROGETTO DELLA

MATHESIS UNIVERSALIS

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piuttosto di una precisa vocazione teoretica. Eudosso, da scien­

ziato qual era, sarebbe stato interessato - piÒ che alla struttura

logico-ontologica delle idee in sé, messa a tema da Platone dal

Parmenide in poi - al rapporto intercorrente fra le cose sensibili (dotate comunque d'ordine e di misura, nelle prospettive pur di­ verse delle singole scienze) ed i principi intelligibili di quell'ordi­ ne e di quella misural5 l • L' impostazione scientifica prevarrebbe anche nel versante più propriamente filosofico del pensiero eu­ dossiano ed il " principio " razionale fondante l'ordine e la misu­ ra del mondo sensibile non sarebbe più principio di determinazione ontologica e dunque " idea " in senso forte, quanto piuttosto « crtOLXeLOY in senso meramente fisico »1'2, " principio compositi­ vo " , che, reiterato nelle cose in misure " quantitativamente di­ verse " , costituirebbe i modi infinitamente vari dell'essere sensibile, legati l'uno all' altro, ed al principio stesso, da una " sostanziale omogeneità ontologica " : il principio eudossiano è con ciò " im­ manente " ai sensibili e l'essere ha una trama qualitativamente omogenea, articolata soltanto, sia verticalmente che orizzontal­ mente, in differenze quantitativamente determinate. A tale risul­ 'tato (che giustifica dunque il collegamento aristotelico fra la teoria della mìxis e la dottrina anassagorea delle omeomerie) contribui­ rebbero da un lato gli studi di medicina di Eudosso, dall' altro le sue ricerche in campo matematico. Per il primo tratto, è stato già sottolineato il rapporto fra Eudosso e la scuola medica appun­ to di Cnido, il cui presupposto sarebbe precisamente « una teoria della composizione elementare della sostanza fisica umana cui il concetto di mistione non può essere estraneo », come apparirebbe anche dalla centralità che termini quali xpcicJLç e aulLlL(cryea9cxL as­ sumono nel trattato medico De victuIH • Altrettanto utile, i n tale ambito, è l' esame delle possibili re­ lazioni fra dottrina della mìxis e teoria generalizzata delle propor­ zioni, attribuita al matematico di Cnido1H . n libro v degli Elementi contiene una teoria generalizzata delle proporzioni, poiché indi­ vidua criteri di proporzionalità validi per tutte le grandezze (quelle commensurabili e quelle incommensurabili) , rispetto ad una teo­ ria " ingenua " delle proporzioni stesse, che stabiliva viceversa i

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

criteri di proporzionalità per le sole grandezze commensurabili (per i numeri interi in particolare, come nel libro

VII

degli Ele­

menti, il quale sistema materiale teorico con tutta probabilità più antico di quello figurante nel v) "' . Il criterio base per ridurre allo stesso lògos le grandezze commensurabili, cioè l'individua­ zione del loro massimo comun divisore, si rivela inutile nel caso delle grandezze incommensurabili, dove la ricerca del massimo comun divisore, essendo questo espresso da un numero irraziona­ le, procede all'infinito: con la teoria generalizzata delle proporzio­ ni Eudosso in effetti contribul sostanziosamente alla presa di posizione caratteristica della matematica greca contro l'infinito. In base alla definizione quinta del v libro degli Elementi dun­ que, l'uguaglianza di due rapporti fra grandezze è stabilita " in generale " quando « tutti i possibili valori razionali approssimati per difetto di uno dei rapporti siano valori approssimati per di­ fetto anche dell' altro rapporto, ed analogamente per i valori ap­ prossimati per eccesso »U6: con essa Eudosso evita dunque un ricorso diretto all'infinito e reinserisce le grandezze incommensu­ rabili in una considerazione rigorosa della proporzionalità, imbri­ gliando per cosl dire e fermando in una determinazione razionale il processo all'infinito cui le grandezze incommensurabili riman­ danou7. Con questa riformulazione della teoria delle proporzioni Eudosso in effetti risolve uno dei problemi fondamentali che la matematica greca si portava dietro, sin dalla scoperta delle gran­ dezze incommensurabili: le differenze fra grandezze sono final­ mente e totalmente riducibili e la trama delle loro relazioni può essere ritessuta in un unico complesso rigoroso, nel quale è ricon­ dotto anche quell'infinito che fino ad allora aveva rappresentato l'indeterminabile, o, più propriamente, il non-misurabile. Analo­ ghìa significa ora specificamente ed in senso forte riconducibilità dei diversi al medesimo lògos, con la risoluzione delle differenze stesse in una sostanziale homoiòtes: ciò che vale in sede aritmeti­ ca e geometrica potrebbe però acquistare pari valore in ambito fisico ed ontologico ed i diversi potrebbero a Eudosso ugualmen­ te apparire riconducibili ad uno stesso lògos, al principio cioè che,

mescolandosi ad essi secondo proporzioni differenti, li determina al-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

2 19

l'essere e li fa simili (poiché riferibili appunto allo stesso princi­ pio) e diversi (secondo la " quantità " di riferimento al principio stesso) . L'ipotesi che Eudosso possa aver ampliato, anche inconsape­ volmente, l' applicabilità della homo;òtes aritmo-geometrica pre­ supposta alla sua teoria delle proporzioni all' ambito fisico ed ontologico con la teoria della mìxis trova in effetti conferma nel­ l'obiezione settima che nel De ideis Aristotele (Alessandro) gli ri­ volge; vi si legge infatti: « Inoltre, se [le idee] si mescolano alle cose che sono in relazione ad esse, come potrebbero essere anco­ ra modelli, come essi affermano? Infatti i modelli non sono causa della somiglianza che le immagini hanno rispetto ad esse in que­ sto modo, cioè in base alla mescolanza (où8ì "YcXp oihwç 1:cX 7tCXpcx8EL"Y(LCX1:CX 1:CXLç tLXOaL 'tijç 0(LOL01:'l11:0ç 'tijç 7tpÒç CXÙ1:cX CXL1:LCX 1:e'il (L&(LLX9cxL) » U8 . L'obiezione intende confutare la convinzione contradditto­ ria che le idee siano modello " paradigmatico " delle cose - se­ condo la concezione ortodossa delle idee stesse - e che nel contempo la loro causalità sia leggibile come mescolanza alle cose medesime: ma, ed è questo che ci interessa, la " somiglianza " (0(LOLO'tTjç) del modello all'immagine non può essere del tipo che si presuppone valga quando il principio (idea) si mescola al princi­ piato; altro è dunque la teoria platonica ortodossa della mùnesis -

che presuppone la determinazione ontologica del principiato

rispetto alla perfezione nell'essere del paradigma-principio -, al­ tro è l' homoiòtes ontologica che nella dottrina della mìxis lega prin­ cipio e principiato, differenziandoli, a quanto pare, in base ad una scansione puramente quantitativa (come nel caso di un colo­ re puro, principio e modello di un colore impuro) ; cosl come altro è lo sfondo " eidetico e qualitativo " della prima (e la concezione di " uno " e di " determinato " ad essa presupposta) ed altro è il carattere " fisicistico e compositivo " della seconda (e, ancora, la concezione di " uno " fatta valere al suo interno) . Se dunque è possibile una coniugazione fra teoria delle pro­ porzioni e dottrina delle idee, è però arduo stabilire se Eudosso ne abbia tratto le conseguenze fino a questo punto: se, com'è

220

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

probabile, non fu raggiunta questa tematizzazione completa, solo implicitamente sarebbe attribuibile a Eudosso un'ontologia ma­ tematistica. Egli del resto non pare interessato ad un totale ap­ profondimento del discorso filosofico: la teoria della mìxis si sovrapporrebbe dunque in modo piuttosto ambiguo alla prima teo­ ria delle idee ed il matematico di Cnido resterebbe ancora lonta­ no dai poderosi tentativi di aggiustamento della dottrina delle idee stesse operati da Speusippo e da Senocrate, con il ricorso esplici­ to e completo alla razionalità matematica. Va però in ogni caso sottolineata l' ' ' ispirazione " a ricorrere ad una simile razionalità che la teoria della mìxis da un lato, la teoria delle proporzioni più esplicitamente dall' altro possono aver suggerito: l'eliminazio­ ne del residuo indeterminabile o irrazionale rappresentato dal­ l'infinito aritmogeometrico, con la riformulazione generalizzata delle proporzioni, può aver appunto suggerito ad altri, più di Eu­ dosso interessati e portati al discorso filosofico, la possibilità di ricondurre l'intera realtà ad una sostanziale homoiòtes ontologi­ ca, che renda le cose reciprocamente riducibili e totalmente con­ frontabili; un tale entroterra teorico è rinvenibile in effetti nella già richiamata ontologia speusippea, dove i numeri matematici sostituiscono le idee e dove dei principi, simili a quelli dei nume­ ri stessi, operano, con funzioni analoghe, ad ogni livello del rea­ le, ridisegnando in un'unica trama di interrelazioni razionali il progressivo e continuo costituirsi dell'essere ed il suo articolarsi in entità infinitamente molteplici, tra loro hòmoia. Elementi interessanti per una mathesis universalis protoacca­ demica possono infine rinvenirsi nell' Epinomide, breve, ma cor­ posa operetta figurante, com'è noto, insieme con il Minosse, le

Lettere e le Leggi , nella nona delle tetralogie in cui Trasillo divise il corpus platonicum, e tradizionalmente leggibile in istretto ac­ cordo con le Leggi stesse, sia per il contenuto fondamentale (in che consista la sapienza di cui devono dar prova i legislatori del Consiglio Notturno) , sia per l' accenno ad un precedente accordo a ritrovarsi per continuare la discussione, con il quale il cretese Clinia, lo spartano Megillo e l' Ospite Ateniese (gli stessi perso­ naggi delle Leggi ) esordiscono nell'EpinomideU9. L' aggancio teo-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

22 1

rico e drammatico con le Leggi, nella volontà dell' autore del dia­ logo, è dunque evidente, ma, benché talora nell' antichità si sia indicata l' opera addirittura come « tredicesimo libro delle Leggi », non solo essa va considerata a sé rispetto a queste, ma va discussa innanzitutto l'effettiva attribuibilità di essa a Platone, al quale le Leggi sono al contrario ascritte con certezza160• L' autenticità dell'Epinomide è stata largamente dibattuta nel nostro secolo e addirittura imponente appare la letteratura critica in proposito161; gli elementi utilmente valutabili in tale direzione si possono dividere in tre gruppi: le fonti antiche, dalle quaii pos­ siam.o ricavare notizie circa l'autore dell' Epinomide; i tratti formali ed espressivi dell'opera; il complesso dei contenuti teorici in essa presenti. Questi sembrano essere i punti di riferimento fondamen­ tali del recente studio di L. Taran, le cui conclusioni paiono con­ vincenti, non certo per il fatto di essere le più recenti, ma per l'uso particolarmente accurato del materiale appunto disponibile per la questione. Taran si pronuncia dunque per l" ' inautenticità "

dell'Epinomide, basandosi su tre argomentazioni fondamentali. a) Le fonti antiche: avrebbero dunque valore relativo le testi­ monianze di Cicerone, Nicomaco, Teone, Giamblico, Clemente ed Eusebio, che attribuiscono l'Epinomide a Platone, poiché que­ sti autori attribuiscono in altre sedi a Platone dialoghi certamen­ te inautentici162; maggior valore avrebbe la notizia di Diogene Laerzio, che cita Filippo di Opunte come editore delle Leggi , e d' altronde l' espressione laerziana 'tou'tou [se. ClILÀ(7rnOU] 8è XCXL

'Em"o!L(8cx q>CX>j sen­ za di essa, l'uomo diverrebbe l' animale « più stupido ed insensa­ to », mentre al contrario chi la possiede, oltre che sapiente, diviene buon cittadino, sia egli al governo oppure sia governato, « degno delle sue funzioni e sempre in armonia »170 . Ma « a passare per così dire in rassegna, ad una ad una le scienze, quella che ha dato a tutta la stirpe mortale il numero (� 'tòv IÌpL9!J.òv 80uacx) , questa sola è capace di produrre tale effetto »17 1 . L a scienza del numero è dono del Cielo, che è a sua volta causa di tutti i beni: è il Cielo infatti, con le posizioni e rivoluzioni ordinate dei suoi astri, con il succedersi del giorno e della notte, con l' alternarsi delle fasi della luna, con il ritmo delle stagioni, a dare alle cose sensibili vita e nutrimento e ad insegnare all'uomo a numerarej ed appun­ to fra i doni del Cielo, « il bene più grande è che, una volta accet­ tato da lui il dono del numero, ci si metta sulla via di comprendere

il totale periodo dell'universo (M.II 'tLt; "tTj1l IÌpL9!J.wv CXù'tou 86aLIi 8tçli!J.tllot; &1ttçiÀ9'{l 1tiiacxII "tTj1l 1ttpL0801l) »172 . Il numero è perciò prin­ cipio di conoscenza in senso estensivo, poiché consente di coglie­ re il " sistema " dell' ordine fisico dell'universo, cioè il complesso delle relazioni statiche e dinamiche che, attraverso il moto com­ binato degli astri e dei pianeti, ne regola la vita. Ma la mathesis universalis dell' Epinomide si specifica e si chiarisce rispetto ad una capacità conferita al numero di porsi come principio di conoscen­ za anche e soprattutto in senso " intensivo " : infatti, vi si dice, « se togliessimo il numero alla natura umana, non potremmo mai essere saggi » e mai, d' altronde, « l ' anima dell' essere vivente che mancasse di ragione potrebbe afferrare la virtù tutta quanta »173 ; l'essere privo della capacità di numerare infatti sarebbe incapace di rendere ragione di ciò che conosce, si fermerebbe al livello della sensazione, e quindi, « spoglio della vera ragione (IÌÀ7)91!t;

À6jot;) , non potrebbe mai divenire sapiente, e chi manca di sa­ pienza, che è la parte fondamentale di ogni virtù, non potendo mai divenire perfettamente buono, non potrà mai essere felice »174 . Il numero, alethès lògos, è dunque « causa di tutti i beni, ma di nessun male »: il suo essere principio di razionalità per eccellenza,

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

225

valido non solo sul piano gnoseologico, ma anche su quello onto­ logico ed assiologico, è esplicitato completamente quando si am­ mette « che il movimento irrazionale, informe, disordinato, aritmico e disarmonico, come tutto ciò che partecipa di qualsivo­

glia vizio, manca assolutamente di numero »17' . Questi passi rappresentano forse la testimonianza più diret­ ta ed esplicita della teorizzazione accademica di una metafisica del numero, tanto più palese, quanto più ingenuamente dichiara­ ta e quanto meno preoccupata dunque di " dimostrare " la pro­ pria validità o di fondare realmente l'onnicomprensività ontologica di quell' alethès lògos aritmetico che ne costituisce il principio. Le conseguenze dell'identificazione numero-lògos sono poi note : la proposta pedagogica dell' Epinomide dichiara l' aritmetica

IJ.cX97J1J.0t IJ.tyLCTt611 'te XOtl 7tpW'tOIl, con la specificazione che si tratta comunque dello studio « dei numeri in sé, non dei numeri che hanno corpo »176. Il cursus studiorum per gli aspiranti all a vera sa­ pienza comprenderà poi la geometria, la stereometria e l' armoni­ ca e culminerà nell' astronomia, appunto la vera sapienza: essa sola infatti insegna a cogliere la ratio numerica che fonda ed articola l'essere nella sua realizzazione più perfetta, cioè nel sistema dei movimenti astrali, nell'« ordine che la Ragione, la più divina fra tutte, ha stabilito che sia visibile ai nostri occhi »177. È implicito poi in tale proposta un culto del Cielo e degli astri, che sono epi­ fania appunto del lògos universale, culto nel quale i Greci perfe­ zionarono le nozioni astronomiche dovute ai barbari, fondendole con la tradizione delfica e con « tutto il complesso del culto divi­ no istituito dalle leggi »178 . Due nodi tematici ancora vanno esaminati per comprendere il matematismo del dialogo : da un lato bisogna infatti vedere che ne è della dialettica, all' interno del cursus studiorum che in esso si propone, e, dall' altro, va compreso perché, se il numero è ale­

thès lògos, sia l' astronomia e non l' aritmetica tout-court la scienza suprema. Per il primo punto, si può concordare con Taran, secondo il quale, nell'opera in questione, la dialettica avrebbe, come già ricordato, un ruolo secondario rispetto a quello conferito alle scien-

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

ze esatte, argomento del quale Taran si serve, con altri, per giun­ gere all' atetesi. Della dialettica l'opera parla infatti piuttosto cur­ soriamente, dopo aver indicato i mathèmata che portano alla vera sapienza, ed il tono di questa allusione è per giunta tale da sugge­ rire che la " regina delle scienze " platonica abbia in questa sede un valore puramente strumentale: oltre a quanto detto per i ma­

thèmata scientifici (7tPÒç 'tOU'tOLç) , il « ricondurre l'individuale al­ l'universale, sia interrogando sia confutando le risposte errate » è considerato infatti « la migliore, la prima pietra di paragone per comprendere se rettamente si proceda »179; con ciò la dialettica sembra effettivamente ridotta ad una metodica euristica, che con­ sente semplicemente di espungere l' errore nella ricerca e che pare comunque priva di un campo di applicazione specifico180 . La centralità conferita al numero, quale fondamento dell' or­ ganizzazione razionale del cosmo e quale principio di ogni cono­ scenza, la configurazione dell' astronomia quale scienza suprema e la restrizione radicale delle potenzialità gnoseologiche della dia­ lettica costituirebbero dunque materiale sufficiente per caratte­ rizzare in senso matematistico la filosofia dell' Epinomide. L' individuazione delle ragioni per le quali la proposta acca­ demica più ingenuamente esplicita di una metafisica del numero si accompagni tuttavia all'indicazione dell' astronomia, e non del­ l' aritmetica, quale scienza suprema, non pare però a questo pun­ to problema ozioso, né marginale: all' aritmetica, benché sia detta giustamente ILcX97)ILCX lLiYLCTt6v 'te. XCXL 1tpw'tov, è riservato, nel pro­ gramma pedagogico del dialogo, un ruolo propedeutico rispetto all' astronomia, che è il culmine del processo conoscitivo, proprio in quanto disciplina capace di far contemplar� l' ordine razionale « visibile ai nostri occhi ». Che i mathèmata scientifici (aritmetica, geometria piana e solida, musica ed astronomia) fossero unificati in un solo tròpos181 , che configura quella che si è chiamata mathe­

sis universalis debole, è, come si è visto, tema consolidato nella tradizione pitagorico-platonica: ma i problemi affrontati dagli al­ lievi di Platone, nella revisione delle idee e nella sovrapposizione (o sostituzione) a queste di lògoi quantitativi, come d' altra parte le acquisizioni eudossiane della generalizzazione delle proporzio-

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

227

ni e della razionalizzazione dell'infinito matematico, avevano con­ ferito all'aritmetica una dignità teorica che esige per essa una su­ premazia sulle altre discipline, derivante dalla stessa configurazione del lògos numerico come " fondamento " logico ed ontologico. Di ciò del resto l'Epinomide pare tener conto, perché vi si dice: « ogni figura, ogni sistema numerico, ogni composisizione armonica, co­ me l' accordo di tutte le rivoluzioni astrali, necessariamente rive­ lano [ . . ] la loro unità e tale unità si manifesterà quando [ . ] .

. .

rettamente si apprenda, mai perdendo di vista l'unità medesima: a chi rifletta apparirà, infatti, che un solo naturale vincolo (8&aIJ.6�) articola tutti i fenomeni »; tale vincolo è appunto il numero, l' ale thès lògos 1 82 . Perché dunque qui l a scienza suprema è l' astrono­

­

mia e non l' aritmetica e perché soprattutto oggetto sommo di conoscenza è il cosmo e non quei numeri " privi di corpo " , che Speusippo e Senocrate avevano posto al culmine del loro sistema ontologico e gnoseologico? Sono proponibili soluzioni banali: l'Epinomide può essere ope­ ra di una personalità formata e versata più nell' astronomia, che nell' aritmetica pura, forse appunto di quel Filippo (di Opunte) che compi le proprie ricerche in campo astronomico e che fu da Platone avviato alla studio della matematica183 ; oppure ancora il dialogo risentirebbe dell'interesse per l ' astronomia e per i culti astrali che, come in esso stesso si dice, il mondo greco apprese o incrementò nell'impatto con la cultura orientale, divenuto vio­ lento a seguito delle campagne militari e delle realizzazioni politi­ che di Alessandro Magno . Ma l'elemento forse più rilevante per una chiarificazione di questo tratto del dialogo, come per una mag­ giore comprensione del matematismo esplicitamente e nonostan­ te questo in esso presente, è proprio l' ' ' ingenuità " cui più volte si è �uso come carattere costante dell'opera. L' autore dell' Epinomide pare aver recepito in forma attutita le problematiche ontologiche dei suoi contemporanei Speusippo e Senocrate; il confine stesso fra ontologia e fisica è per lui ormai labilissimo, o addirittura inesistente, ed il livello di astrazione cui egli pone dunque il problema dell'individuazione del lògos uni­ versale è tale da escludere vi sia uno stacco fra teorizzazione pro-

228

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

priamente ontologica del numero quale lògos onnicomprensivo e descrizione cosmologica della struttura ordinata secondo rapporti numerici delle sfere celesti. La convinzione che il numero sia lò­ gos strutturante l'essere, poiché esso è principio ordinatore dei fenomeni sensibili, è talmente radicata ed ormai indiscussa che non si distingue più tra òn e physis ed è il sistema dei movimenti astrali, più che il numero che ne fonda l'ordine, che va conosciu­ to ed adorato. Il Cielo - che ancora in Senocrate era il tramite fra noetòn ed aisthetòn, luogo delle figure demoniche, non più del divino e del vero e non ancora dell'umano e del falso - nel­

l'Epinomide infatti non è semplicemente la " copia visibile " di un sistema ontologico ordinato secondo costanti numeriche, ma è esso stesso immediatamente la perfezione di tale ordine ed in tanto è degno di conoscenza scientifica e di culto religioso. Già Senocrate comunque, identificando gli astri cOQ gli dei ed elabo­ rando una complessa demonologia, aveva tentato una sorta di rac­ cordo non solo tra divino ed umano, ma soprattutto tra la perfezione dei principi incorporei e l'imperfezione del mondo fi­ sico, prolungando per cosi dire i lògoi ontologici astratti nella par­ ticolarità concreta del sensibile1 84: per l' autore dell'Epinomide non sembra �serci più bisogno di tale raccordo, poiché vi è soltanto

una struttura fisica, in cui cielo e terra sono legati da un solo de­ smòs numerico, il quale articola e scandisce senza soluzione di continuità il sistema leggibile geometricamente dei cinque elementi ed il complesso di esseri (dei, dèmoni, creature viventi) da questi costituiti e che subordina totalmente la vita della terra ai perfetti movimenti del cielo. Non è probabilmente corretto sul piano storico, .data l'incer­ tezza non solo della paternità, ma della cronologia dell' Epinomi­ de, sottolineare un vero processo teorico, che approderebbe appunto nel dialogo all' appiattimento dell'ontologia sulla fisica, per il tramite prima dell'enciclopedismo speusippeo e poi dell'on­ tocosmogonia senocratea, e che segnerebbe la perdita progressiva delle acquisizioni del Fedone platonico: e tuttavia si può almeno ipotizzare la presenza di questo filo rosso, che legherebbe Plato­ ne alle teorizzazioni protoaccademiche e che segnalerebbe però

IL PROGETTO DELLA

MATHESIS UNIVERSALIS

229

nel contempo l'infedeltà di queste a quello . Per i primi Accade­ mici dunque parrebbe priva ormai di senso la posizione di lògoi immateriali e puramente intelligibili a spiegazione dell'essere, poi­ ché essi sembrano concepire il principio di questo per lo più co­ me l'indiviso che, ripetuto in composizioni e secondo proporzioni diverse, lo costituisce; non ha d' altronde senso allora disegnare la trama di un òn " oltre " , " accanto " alla physis e questa, in quan­ to ha " in sé " i propri lògoi, si mostra come " essere " e " dover essere " ad un tempo . La concezione protoaccademica dell' archè sarebbe di per sé inscritta in un orizzonte fisicistico e, per quan­ to inoltre essa non sia parsa estranea ad un atteggiamento mate­ matistico in filosofia, il matematismo stesso avrebbe qualche responsabilità nella perdita del mondo platonico delle idee da parte dei primi Accademici.

E) CONCLUSIONI SULL'ACCADEMIA ANTICA

TI raccordo tra la filosofia ed una matematica sufficientemente sviluppata soprattutto per la tematizzazione del proprio oggetto è dunque carattere comune delle produzioni teoriche dei primi allievi di Platone, benché la descrizione del reale tramite il lògos numerico dia luogo a posizioni diverse : poderosi appaiono, nono­ stante la scarsità di fonti, i tentativi di sistemazione e di riformu­ lazione dell' ontologia platonica di Speusippo e di Senocrate; più ingenue e meno articolate sembrano le posizioni riconducibili agli scienziati della prima Accademia: esse mostrano comunque un'i­ dentica fede nella possibilità di ordinare il reale tramite il lògos numerico e rivelano più apertamente la sovrapposizione tra filo­ sofia e scienze esatte nella semplificazione che la prima accusa, quando i suoi principi teorici siano desunti dalle seconde .

TI progetto della mathesis universalis comune alla generazione dei primi Accademici si specifica dunque in rapporto ad alcuni elementi fondamentali:

1) il ricorso al lògos numerico conseguirebbe alla necessità di rifondare teoreticamente la contemporanea unità e molteplici-

230

L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

tà dell'idea platonica e si sostanzierebbe della fusione fra una no­ zione eidetico-contemplativa di ciò che è " uno " e " primo " (me­ todo universalizzante) ed una nozione viceversa compositivo­ quantitativa di esso (metodo dementarizzante) , fusione la cui equi­ vocità è rilevata già da Aristotde: al sovrapporsi delle due nozio­ ni rimonterebbe d' altronde la progressiva e sempre più esplicita fusione di ontologia e fisica.

2) Le due concezioni di uno e di indivisibile - della cui diversità terrebbe invece conto, in sede di filosofia della matema­ tica, la corretta distinzione di numeri ideali e numeri matematici, attribuita da Aristotde a Platone - paiono compresenti d' altron­ de, come si è visto, nella stessa nozione euclidea di stoichèion: la prima Accademia fruisce e risente comunque di tutta la ric­ chezza e complessità della riflessione, caratteristica di questo pe­ riodo, sullo statuto teorico della quantitas e sulle metodologie proprie della ricerca e teorizzazione matematica.

3) Forte appare l'influenza dell'dementarismo costruttivisti­ co pitagorico, benché compaia anche una tendenza

a.

sistemare

unitariamente l' essere come progressione verticale e derivazioni­ stica, che parifica la successione ontogonica di principio-principiato a quella logica di antecedente-conseguente, individuando nella pri­ ma lo stesso legame necessitante della seconda, e che pare antici­ pare la struttura dell'ontologia neoplatonica.

4) La mathesis universalis si specifica dunque per lo più come mutuazione in sede ontologjca dell'unità o del numero che è principio in sede matematica, col conseguente conferimento di centralità ai principi (Determinato-Uno; Indeterminato-Molti), che soli consen­ tono di fondare la stessa ratio quantitativa: su tali basi viene da­ borata una pansophìa. Meno chiaro appare invece il trasferimento in sede gnoseologica dell'impianto formale (assiomatico-deduttivo) della matematica stessa, come sarà poi in Descartes, e ciò proba­ bilmente non solo per il diverso atteggiamento del mondo greco dinnanzi ai problemi gnoseologici, ma anche perché i primi Acca­ demici si pongono, seppur di poco, al di qua della presunta epoca redazionale degli Elementi euclidei - che rappresentano la te­ matizzazione più piena e perfetta di quell'impianto formale.

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

23 1

La matematica non è posta ancora a modello della filosofia per la sua capacità di dedurre logicamente delle conseguenze da prin­ cipi autoevidenti, per quanto il fascino della certezza conoscitiva garantita dal suo impianto formale affiori nella tendenza dell' on­ tologia sopra descritta a parificare ordo idearum ed ordo rerum; questo elemento e l'ideale stesso d i una pansophzà elaborata su basi quantitativistiche giustificano nondimeno il riferimento di Descartes a questi « primi autori della filosofia ».

5) Lo sforzo di razionalizzazione e di sistemazione del reale si accompagna però alla comparsa di elementi teorici di significa­ to opposto, tanto più evidenti quanto più ci si addentra in epoca ellenistica: l' erompere del discorso teologico, il moltiplicarsi delle figure di dei e semidei e dei personaggi demonici, ai quali spetta il compito di saldare mondo celeste e mondo sensibile, la personi­ ficazione e divinizzazione degli astri, il risolversi dell' astronomia in astrolatria, sono spie di un senso problematico dell'uomo e del mondo che è diverso da quello del razionalismo platonico ed in cui opera altrettanto problematicamente il sincretismo culturale ellenistico: probabilmente allora la stessa nozione di razionalità muta di segno e di significato.

Note

I Uno status degli studi generali sull' Accademia antica è rinvenibile, in lin­ gua italiana, in: ISNARDI, Studi recenti e problemi aperti sulla struttura e la funlione della prima Accademia platonica, « RSh, LXXI ( 1 959) pp. 2 7 1 - 9 1 ; BERTI, Primo Aristot. , pp. 143-59; ISNARDI PARENTE, Studi e discussioni recenti sul Platone esote­ rico, l'Accademia antica ed il neoplatonismo, « D H .. , XXII-XXIII ( 1 967) pp. 2 1 7-44; ZM, II 3/2 , pp. 86 1-77, a c. della stessa ISNARDI PARENTE. Un andamento più teoretico hanno i due più recenti lavori: BERTI, Aristot. dial. filos. , pp. 143-72, e ISNARDI, Studi, in cui l'A. rimedita in forma critica i contributi qui ricordati e non pochi altri. Cfr. inoltre la prima parte dell'edizione di Speusippo, curato dalla stessa Isnardi, in cui figura una raccolta di testimonianze sull' Accademia, dovuta a M. GIGANTE (cfr. ISNARDI, Speus. , pp. 9-25) . Cfr. KRAMER, A ltere Akad. , pp. 4-2 1 . 2 Cfr. gli studi ormai classici: 1 . BRUNS, Die Testamente der griechischen Phi­ losophen, « Zeitschr. f. Savigny-Stiftung .. , I ( 1 880) pp. 1-52; WILAMOWITZ­ MOELLENDORFF, Ant. Kar. , pp. 263-9 1 ; C. WACHSMUTH-P. NATORP, Akademia (1 e 2), in RE, I ( 1 893), collo 1 1 32-4 e 1 1 34-7; F. POLAND, Geschichte der griech. Vereinswesens, Leipzig 1909, p. 453 sgg., p. 464 sgg . ; B. LAUM, Stiftungen in der griech. r6mischen Antike, Berlin 1 9 1 4 , pp. 1 5 7 sgg . ; WILAMOWITZ-MoELLENDORFF Platon, I, pp. 270-5 ; P. BOYANCÉ, Le culte des Muses chel /es philosophes grecs, Paris 1936, pp. 261-7; HERTER, Pl. Akad. , p. 7 sgg . : H . l . MARROU, Histoire de l'éducation dans l'antiquité, Paris 1 948 (trad. ital. Roma 1 950), pp. 97- 102 ; O . SEEL, Die platonische Akademie, Stuttgart 1953, p. 1 4 sgg. ) Si veda il rapido status quaestionis condotto supra alle note l, 2 e 3 del cap. II e quanto detto nel testo cui si riferiscono le note stesse. Utili sono inoltre le considerazioni fatte dalla ISNARDI, Speus. , pp. 53-63 a proposito del mutamento della storiografia filosofica sull' Accademia dal secolo scorso al nostro, in relazione al mutare della stessa interpretazione di Platone. 4 ZM, II 3/2 , p. 892 . , Per tale filone interpretativo si vedano dunque: ZM, II 3/2 , p. 862 sgg . ; BERTI, Primo Aristot. , p p . 143-5 1 . I maggiori sostenitori d i tale tesi sono stati: H . USENER, Die Organisation der wissenschaftlichen Arbeit. Bilder aus der Geschich­ te der Wissenschaft, > (fr. 48 b Lang, fr. 82 a Isnardi, F 38 Taran) . La traduzione dei passi è sempre quella di REALE, i corsivi sono miei. Per metaph. M 8. 1083 a 20-3 5 , si veda, in particolare, ROBIN, Th. pl. Idées Nombr. , nota 222 , p. 2 1 7 , e nota 349, p. 438; Ross, Aristot. Metaph., Il, p. 44 1 ; ANNAs, Metaph. M N, p. 175, cfr. p. 195 e 2 14, e ISNARDI, Speus. , pp. 3 10- 1 . Sull'Uno, principio dei numeri speusippei, cfr. TARAN, Speus. Ath. , p. 33-8 ed i commenti a F 34 (pp. 3 1 1-5), F 45 a (pp. 342-5) e F 38 (pp. 323-6) . Per le critiche di Aristotele alla posizione speusippea dell'Uno come principio, si vedano sempre metaph. M 8. 1083 a 20-35 e quanto detto in REALE, Aristot. Meta/. , Il, nota 5 , p. 382. 5 2 metaph. N 5. 1092 a 3 5 - 1 092 b 2 (le lYOty"tiwy EL1l /iy o &pI8!L6ç) (fr. 48 a Lang, fr. 82 Isnardi, F 38 Taran) ; N 1. 1087 b 4-8 (fr. 48 b Lang, fr. 82 a Isnardi, F 39 Taran) ; M 9. 1085 b 5 - 1 3 (fr. 48 c Lang, fr. 83 Isnardi, F 40 Taran) . TARAN, Speus. Ath. , p. 40, ritiene tale lettura indebita e derivante dal .. pregiudizio " di Aristotele, secondo cui tutti i suoi predecessori avrebbero posto a principi dei contrari. H metaph. N 4. 1 09 1 b 30-34 (fr. 35 a Lang, fr. 64 Isnardi, F 45 a Taran) ; A lO. 1075 a 3 1 -37 (fr. 35 d Lang, fr. 66 Isnardi, F 46 a Taran) ; N 5 . 1092 .

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

a 35-1092 b 2 (fr. 48 a Lang, fr. 82 Isnardi, F 38 Taran) ; N 1. 1087 b 4-8 (fr. 48 b Lang, fr. 82 a Isnardi, F 39 Taran) : "(&yvwV"tCXt "(à:p Ot cipt9iJ.OL [ . . l &x -coii IIl"'l9ouç, UIIÒ "t7jç -coii Évòç oùaLcxç [ . . . l; ibid. 25-32; M 9. 1085 b 5-13 (fr. 48 c Lang, fr. 83 Isnardi, F 40 Taran) : [ . . . l &LVCXt &X -coii Évòç xcxì -coii IIÀTj90uç -còv cipt9iJ.ov. Aristotele ritiene la dottrina che oppone all'Uno la Molteplicità più corretta di altre (metaph. N 1 . 1087 b 25-32, fr. 48 b Lang, fr. 82 a Isnardi, F 39 Taran), e nondimeno critica Speusippo, notando che, in generale, è « assurdo ed anzi im­ possibile [ . . l porre un processo di generazione per le cose che sono eterne » (me­ taph. N 3 . 109 1 a 12-30, fr. 45 Lang, F 4 1 Taran) . Cfr. REALE, Aristot. Metaf. , n, nota 24, p. 436; ANNAS, Metaph. M N, pp. 1 95-6 e 2 1 1 -2, e TARAN, Speus. Ath., pp. 332-4. Taran in particolare ritiene illegittima anche questa critica di Aristotele, possibile per l'ennesima distorsione del pensiero di Speusippo, che, per parte sua, « [ . . . l could hardly have derived, let along generated, the numbers L .. l ,. (p. 28) : essi sarebbero visti in realtà come enti eterni ed immutabili, il che rende ingiustificata qualunque lettura " forte " di una loro generazione dai princi­ pi e quindi inutile il rilievo di Aristotele. Il già richiamato commento procliano a Euclide (PROCL. in primo Eue/. E/em. 77, 1 5 -78, lO Friedlein fr. 46 Lang, fr. 36 Isnardi, F 72 Taran) ricorda in effetti che, secondo Speusippo, se non si dà generazione degli enti che siano eterni e se i numeri sono eterni, -cà:ç ai "(&véa&tç .

.

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CltÙ""Cwv où lIotTj-ctx6lç ciì.ì.à: "(Ywa-ctXWç ÒpWiJ.&v.

>4 È utile a questo punto una considerazione più estesa dei motivi condutto­ ri dello studio di TARAN, sulla dottrina speusippea dei principi (cfr. Speus. Ath. , pp. 32-47 ed i commenti ai frammenti trattanti tale tematica) : da un lato infatti, l'autore segnala e giustifica l'illegittimità di ogni lettura neoplatonizzante dell'U­ no e dell'ontologia speusippea in generale (su questo punto tornerò in seguito); dall' altro, sottolinea la pari illegittimità della rilettura aristotelica dei princip� speu­ sippei, in termini di " causa formale " e " materiale " del piano della realtà in cui operano, di " contrari " e di " elementi " . Punto di partenza dell'interpreta­ zione di Taran è la tesi secondo cui l' hèn speusippeo - che è principio solo " dei numeri " - sarebbe « identica/ with the number one, which is the first number and, precise/y because of this, the principle, i. e. the beginning of numben (Speus. Ath. , p. 35, corsivi miei: la possibilità di assimilare l'hèn speusippeo all 'uno-primo­ numero rimonterebbe secondo Taran al già richiamato passo dei The% goùmena Arithmetikà (82 , 1 0-85 ,23) dov'è detto che IIp6npoç ci&! &a-ctV o lI&ptaGÒç -coii cip-CLoU F 28 Taran - e a due passi della Metafisica, dove le espressioni secondo cui Speusippo poneva più sostanze cillÒ -coii Évòç cip�cìiJ.&voç metaph. Z 2. 1028 b 21-24 = F 29 a Taran, cfr. Speus. Ath. , p. 34 e considerava principio dei numeri cxù-cò -cò &V - M 8. 1083 a 23-27 F 34 Taran, cfr. Speus. Ath. , p. 37 - significherebbero che l'uno in questione, principio dei numeri, non è che il primo numero). Radicalmente diversa sarebbe dunque tale concezione rispetto a quella aristotelica, poiché l' hèn non è affatto per Speusippo ipostatizzazione del predicato universale " uno " , significante unità determinata (Speus. Ath. , p. 35): d'altronde i passi nei quali Aristotele allude aU' hèn speusippeo come sostanza -

-

-

=

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

247

separata, collocata . . a l d i sopra " o . . prima " dell' essere e quindi dei numeri stessi (metaph. N 5. 1092 a 9 sgg. = fr. 34 e Lang, fr. 57 Isnardi, F 43 Taran; Z 2. 1028 b 2 1 -24 = fr. 33 a Lang, fr. 48 Isnardi, F 29 a Taran) - passi utilizzati poi per le scorrette interpretazioni neoplatonizzanti - non avrebbero senso, se­ condo Taran, se si riferissero all'uno inteso come ipostatizzazione del predicato universale, e contrasterebbero con le altre affermazioni di Aristotele, per cui in Speusippo sono i numeri - e non l'uno - la .. sostanza prima " ; questi passi acquisterebbero invece significato se si considerano riferiti appunto all'uno-primo­ numero: « since it is a number, one has separate existence as all other numbers have » (Speus. Ath. , p. 35). Se perciò l'uno speusippeo non è che il primo numero, esso non può essere .. causa formale " dei numeri ed in effetti Taran restringe il significato stesso che l'archè avrebbe avuto in Speusippo, quando afferma che nel suo pensiero « [ . . . ] to be a principle of something means to be the first mini­ mal entity of its kind » (Speus. Ath. , p. 45), il che legittima anche la posizione della stigmè quale principio delle grandezze. Vero tutto questo, non è neppure legittimo concepire la Molteplicità come .. causa materiale " dei numeri, o inten­ derIa come " contraria " all'Uno: Speusippo non avrebbe affatto concepito la Mol­ teplicità come ipostatizzazione di un universale, come sostanza separata o come infinita; essa sarebbe sempre invece " molteplicità determinata " ( Cfr. PESCE, Idea, num., an. , p. 65; sulla demonologia senocratea si vedano i frr. 23-25 Heinze e l'introduzione a questa edizione dei frammenti (Xenokr. , pp. 78-123), dove la demonologia è considerata tematica centrale nel pensiero senocrateo e punto di raccordo e di equilibrio di tutte le sue parti; cosl parzial­ mente anche DORRlE, s.v. Xenokr. , collo 1524-5 , mentre KRAMER, Ursprung, p. 326, connette la dottrina demonologica a quella metafisica dei due principi oppo­ sti. Cfr. ancora i frr. 222-230 Isnardi, con i relativi commenti, Senocr. , pp. 4 14-8, anche per le connessioni fra demonologia e psicologia senocratea: il simbolismo

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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misticheggiante di Senocrate emerge dalle notizie di Plutarco e di Proclo secondo cui egli avrebbe assimilato la divinità al triangolo equilatero, il demone al triango­ lo isoscele e l'uomo al triangolo· scaleno (cfr. frr. 222-224 Isnardil , simbolismo matematico per il quale Senocrate anticipa discorsi aritmologici appunto di Plutarco. 86 Cfr. D.L. IV 12- 14 fr. 2 Isnardi. Cfr. HEINZE, Xenokr. , pp. 1 5 7-8; ISNARDI, in ZM, Il 3/2 , nota 2, p. 93 1 , e nota 3 , pp. 93 1-2, e Senocr. , pp. 280- 1 , per l' amplissima produzione letteraria del nostro filosofo e per le difficoltà di comprensione del valore di alcune di queste opere. DORRlE, s.v. Xenokr. , col. 15 16, ritiene trattassero di geometria anche le due opere figuranti nel catalogo laerziano rispettivamente col titolo TIpòç 'HcpCXLa-tiwvcx e TIpòç 'Appu�cxv. 8 7 D.L. IV lO fr. 2 Isnardi (cfr. frr. 56-60 Isnardi; cfr. fr. 2 Heinze, in particolare SUIDAS, s.v. Àcx�cxi, Il l, 48 1 , 18 Bernh: Àcx�cxì cpLÀoCJocpicxç .xpL9fLTj"rLXi} =

=

xcxì TtWfLt"rpLXi)) . 88 metaph. M 8. 1083 b 3

=

fr. 34 Heinze, fr. 109 Isnardi. L'edizione ita­ liana dei frammenti in parte amplia le testimonianze aristoteliche riferibili a Se­ nocrate, nel senso che vedrò specificamente in seguito. 8 9 DORRlE, s.v. Xenokr. , col. 1 5 1 7 . 9 0 metaph. Z 2 . 1028 b 24-26 = fr. 34 Heinze, fr. 1 0 3 Isnardi. I l passo è riferito a Senocrate esplicitamente già da ASCLEP. in Metaph. 379, 17 sgg. Hay­ duck fr. 104 Isnardi, e l' accordo in tal senso anche dei maggiori critici moder­ ni è ricordato dalla ISNARDI, Senocr. , p. 337. Lo specifico interesse del commento di Asclepio a questo passo della Metafisica è rilevato dalla ISNARDI stessa (ivi, pp. 337-8): esso puntualizza infatti la ragione della identificazione senocratea di idee e numeri matematici, ravvisandola nella loro « coincidenza di funzione » (ivi, p. 337), poiché, come i numeri " definiscono » ciò che numerano, ugualmente le idee "definiscono » la materia cui ineriscono (WcntEP ol .xpL9fLOì 1tEpLOpLa-tLXOi E1CJLv C:;v dCJLV .xpL9fLOi, oChw 8i} xcxì "r&: d'8Tj 1tEpLOpLa-tLX&: tijç uÀTjç U1tcXPXOUCJLV); esso specifica inoltre l'identificazione senocratea delle idee con i " soli " numeri matematici, poiché gli altri mathematika, le linee ed i piani, oggetto, come i numeri, di conoscenza dianoetica, sono detti 8EunpcxL OÙCJicxL (cfr. ISNARDI, Senocr. , p. HO) ; il passo prelu­ de infine ad una lettura della scansione ontologica senocratea di idee-numeri, enti matematici e cose sensibili come unico sistema ontogonico " , lettura come ve­ dremo confermata dal fatto che Senocrate, a differenza di Speusippo, pose per tutti e tre i piani ontologici due soli principi . 9 1 Cfr. metaph. A 1 . 1069 a 33-35 fr. 34 Heinze, fr. 106 Isnardi; M 1 . 1076 a 1 9-2 1 fr. H Heinze, fr. 107 Isnardi. Trad. REALE, corsivi miei. 92 Dei tre passi aristotelici, il più chiaro e quello che conferma d'altronde l'esegesi di Asclepio richiamata alla nota 90, è appunto M 1 . 1076 a 19-2 1 ( = fr. 107 Isnardi) , dove la fLLCX cpUCJLç è detta propria delle idee e dei numeri matema­ tici; mentre infatti Z 2. 1028 b 24-26 (fr. 103 Isnardil attribuisce la stessa physis ad idee e ad arithmòi tout-court e lascia perciò imprecisato se si tratti di numeri .. matematici .. o .. ideali " (in questo secondo caso la dottrina senocratea sarebbe stata per Aristotele identica a quella da lui stesso attribuita a Platone), A 1 . 1069 =

••

=

=

256

LE I D E E , I NUMERI, L' ORDINE

a 33-35 ( = fr. 106 Isnardi) parla genericamente di mathematikà, facendo con ciò sospettare che Senocrate avesse identificato le idee non solo con i numeri, ma anche con gli .. enti geometrici " . metaph. M 1 . 1076 a 19-2 1 chiarisce la que­ stione ed è controprova della successione ontologica descritta già in Z 2. 1028 b 24-26, che poneva linee e superfici ad un livello .. successivo " a quello delle idee-numeri: perciò, « mentre !'idea, per Senocrate, ha pura essenza numerica, le forme geometriche, mediante le quali la razionalità matematica si prolunga nel­ la spazialità fisico-cosmica, conservano il loro carattere di intermediario, distinte dalle idee-numeri. L'ordine dei numeri può quindi da lui considerarsi [ . . . ] riassor­ bito nell'ordine ideale e facente tutt'uno con esso, ma non quello delle figure » (IsNARDI, Senocr. , p. 340) . Poco prima la Isnardi a sua volta denuncia la genericità di A 1 . 1 069 a 33-35, dove Aristotele « usa l'espressione 'tdt ,laTj xcxt 'tdt JLCX9Tjf.Lcx­ 'tlm, che potrebbe riferirsi a enti matematici in forma più ampia e indicare un riossorbimento totale della matematica nella metafisica » (ibid. , corsivo mio): il « rias­ sorbimento totale della matematica nella metafisica » può esser ugualmente ascrit­ to al filosofo di Calcedonia, nonostante egli identificasse le idee con i soli numeri matematici e riservasse agli enti geometrici una posizione ontologicamente infe­ riore, poiché, come già mostrato nel Il capitolo, è legittimo credere che i numeri matematici accademici, vera la loro configurazione di quantitates abstractae, secon­ do lo stile del realismo logico platonico, fossero oggetto non solo dell' aritmetica, ma di .. tutte " le matematiche, raccolte nel genere comune di una mathesis univer­ salis nel senso debole; l'aritmetica inoltre, sarebbe implicitamente presupposta a tutte le matematiche, poiché tutte presuppongono il riferimento ai numeri. Già con Senocrate, la matematica può essere indicata attraverso la sua parte primaria e fondamentale, l'aritmetica. La subordinazione degli enti geometrici alle idee­ numeri senocratee è comunque riproposta in metaph. N 3. 1 090 b 21 sgg. ( fr. 38 Heinze, fr. 1 1 7 Isnardi), dov'è detto che le grandezze venivano da Seno­ crate derivate ix 'tijç uÀTjç xcxt 'tOii dtpl9f.Loii (il fatto che due righe dopo questa preci­ sazione Aristotele critichi ancora la tesi che confonde le idee genericamente con i mathematikà legittima la convinzione che con tale termine egli indichi talvolta i soli numeri matematici, mostrando con ciò di chiamare appunto la .. parte " evi­ dentemente più importante - l'aritmetica - a significare il .. tutto " - la mate­ matica -l. Cfr. KRAMER, A ltere Akad. , p. 52. Sulla teoria senocratea delle .. grandezze ideali " si vedano i frr. 37-38 Heinze (frr. 1 1 7- 1 1 8 Isnardi, con i commenti alle pp. 344-6) e quanto detto anche qui, in/ra, nota 1 12 . 9 ) metaph. Z 2 . 1028 b 24-26 ( fr. 3 4 Heinze, fr. 1 0 3 Isnardi). Sul passo si veda, fra l'altro, GAISER, Pl. ung. Lehre, pp. 489-90. 94 Sulla dottrina dei principi (frr. 26-28 Heinze, frr. 98- 102 Isnardi) e sul tratto derivazionistico dell' ontologia senocratea tornerò nello specifico più avanti. U Nell'esaminare la dottrina senocratea delle idee, la critica ha posto ancora soprattutto la questione della continuità o meno di questa rispetto a quella origi­ nale platonica e le soluzioni proposte paiono ancora dipendere dal grado di atten­ dibilità riservato ad una dottrina delle idee-numeri .. propriamente platonica " : =

=

257

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

assai cauto appare perciò l o HElNZE, Xenokr. , p. 47 sgg . , nel proporre l a suddet­ ta continuità Platone-Senocrate, soprattutto per un presunto valore metaforico o mistico dell'identificazione senocratea fra idee e numeri, identificazione che sarebbe però ravvisabile; a partire dal Fi/ebo, già nelle opere di Platone; più decisi nel sottolineare il contesto metafisico dell'identificazione senocratea e nell'avanzare la proposta della continuità sono coloro che, tanto in un'attività platonica orale, riferita da Aristotele nelle opere giovanili, quanto nei dialoghi, soprattutto tardi, dello stesso Platone, individuano già una dottrina delle idee­ numeri: cosi già RODIN, Th. pl. Idées Nombr. , nota 2 1 5 , p. 206; Ross, Aristot. Metaph. , I, p. LXXXIV sgg . , p. 163, p. 250 e passim; e soprattutto KUMER, già in Arete, poi in Ursprung, nota 42, p. 33, e A ltere Akad. , pp. 5 1-4. Contrario all'ipotesi della continuità Platone-Senocrate è viceversa CHERNISS, ACPA, p. 567, e L 'enigma, p . 52; del pari esplicita in questa direzione, in forza della lettura sopra ricordata della ldeen/ehre senocratea, è la ISNAROI, Studi, pp. 88-9, e, con più cautela, Senocr. , p. 34 sgg. e passim; sulla linea di Cherniss è d'altron­ de TARAN, Speus. Ath. , p. 19, il quale trae tutte le conseguenze metafisiche dal fatto che, a suo avviso, « Speusippus, Xenocrates and Aristotle failed to understand the significance of Plato's conception of numben. Per una breve ricostruzione della dottrina senocratea delle idee, cfr. ancora BERTI, Aristot. dial. filos. , p. 1 6 1 , e, per lo status quaestionis sui problemi qui richiamati, ISNAR­ DI, in ZM, n 3/2, nota 19, p. 945 sgg. 9' metaph. M 6. 1080 b 2 1 sgg. fr. 34 Heinze, fr. 1 08 Isnardi (ho riporta­ to il testo greco con le integrazioni esplicative figuranti nello Heinze; trad. REA­ LE) . Ho qui sintetizzato il contenuto del cap. 6 del libro M della Metafisica: l'attribuzione della prima posizione a Platone risulta chiara, in forza di quanto Aristotele stesso ascrive al suo maestro già in A 6. 987 b 14-18, ed altrettanto chiaramente la seconda tesi è speusippea (cfr. fr. 42 c Lang, fr. 75 Isnardi, F 33 Taran). La Isnardi (Senocr. , pp. 339-40) segnala l'accordo dei commentatori moderni della Metafisica per la paternità teorica di queste posizioni; cfr. ancora già RODIN, Th. pl. Idées Nombr. , nota 258, p. 247, ed ANNAS, Metaph. M N, p. 164. 9 7 metaph. M 8. 1083 b 1-8 fr. 34 Heinze (linee 2-3), fr. 109 Isnardi. La trad. è sempre quella di REALE, che in questo caso ho scelto, perché pare meno generica e compromettente di quella della Isnardi: più preciso sembra infatti Reale nel tradurre (linee 2-3) "tÒ ttllOtt "tÒv 1XÙ"tÒv &pt9!LÒY -ròy -rWY t!8wy XOtI "tÒv fUX9-tjfUX-rtx6v con « il numero ideale e il numero matematico si identificano .. , rispetto alla tradu­ zione della Isnardi ( ÀOrct> l'/td EPTct> "(t civflp'/j"CCtI o fJ.Ct9'ljfLCt"Cuc6ç (!8!etç "(cip XlXl OÙ fJ.Ct9'ljfLCt"ClMç u'/to9fCJELç Àt"(OUCJIV) . Cfr. il commento della ISNARDI, Senocr. , pp. 340- 1 : la critica di Aristo­

tele, secondo cui Senocrate avrebbe parlato « in termini matematizzanti e allo stesso tempo ou fJ.Ct9'/jfJ.Ct"ClXWç lO, tenderebbe a difendere la specificità della mate­ matica dinnanzi alla pretesa senocratea di fondare « una matematica filosofica su­ periore a quella dei cultori della scienza matematica strettamente considerata lO. 109 BERTI, Aristot. dial. filos. , p. 1 6 1 , corsivo mio. 1 1 0 L'ammissione senocratea del solo numero matematico è richiamata nei commenti alla Metafisica appunto dello pseudo-Alessandro e di Siriano: il primo, commentando M 6. 1080 b 1 1 sgg . , scrive che o! '/ttpl :::: tvoxpcX"C'/jv consideravano il numero matematico separato dalle cose sensibili ed affermavano che esso è '/tpW'tov '/tcXv"Cwv, facendosi beffe del numero ideale ("Cou t!1ì'/j"ClXOU XIX"COpl(OUfJ.tVOl) (cfr. [ALEX.] in Metaph. 745 , 27 Hayduck fr. 35 Heinze, fr. 1 12 Isnardil ; il secondo poi, nel commentare M 8. 1083 b 1, è ancora più esplicito: egli accomuna infatti Speu­ sippo e Senocrate nella tesi di chi, non distinguendo più i due tipi di numero, ma « mettendo insieme il numero ideale avente in sé il numero matematico hoùç =

&:pl9fJ.oùç "Cou"Couç fJ.1! 1ìICtXplvwv ciÀÀèt CJ\I"(l(twv "CDV "CE t!1ì'/j"ClXÒV ciPl9fJ.òV El(OV"CCt lv &Ctu"Cii> "CDv fJ.Ct9'ljfJ.Ct"C1XÒV ciPI9fJ.6v), pone a fondamento del tutto il numero matematico (U'/toCJ"CcX"C'/jv "CWV oÀwv '/tolti tx"Còv "Còv fJ.Ct9'ljfJ.Ct"Clx6v) ed attribuisce così al principio generatore di tutte le cose un carattere aritmetico ("Cii> "CE XCtl ltOI'/j"tlj "Cwv ltcXV"Cwv ciPI9fJ.'/j"ClX1!V EçIV lttpl"C19'/jCJlV) lO, posizione assai poco credibile (SYRlAN. in Metaph. 1 4 1 , 2 1 sgg. Kroll, trad. mia; cfr. fr. 36 Heinze, fr. 1 1 5 Isnardi). La testimonianza di Siriano, nono­

stante la corruzione del testo e la sua relativa attendibilità, per la perdita di una distinzione fra teorie speusippee e teorie senocratee (cfr. ISNARDI, Senocr. , pp. 341-2, e d'altronde già DORRlE, S.V. Xenokr. , col.. 1 5 1 7 , e la stessa ISNARDI, Studi, nota 143, p. 107), è tuttavia interessante: nel rilevare infatti l'assorbimento dei tratti del numero ideale in quello matematico, essa consente di notare non solo la perdita di una specificità teorica della matematica, ma, complementariamente, l'attribuzione di una gelç ciPI9fJ.'/j"Cucij al principio del tutto, quando il monstrum ideale/matematico sia posto a UltoCJ"CcX"C'/j del tutto stesso: il risultato metafisico del­ la sovrapposizione senocratea di numero matematico e numero ideale (in quanto ignora la differenza ontologica fra i due tipi di numero) è dunque precisamente l'elaborazione di una mathesis universalis. Siriano afferma tra l'altro che, nono­ stante le indebite assimilazioni, Speusippo e Senocrate n1ìtCJCtv XCt"C'tl'8'/j 1ìlcXXplCJlV "CWV 1ìICtcp6pwv ciPl9fJ.wv: non è chiaro qui se Siriano intenda riferirsi alla 1ìlcXXplCJlç che, nella formulazione originaria, intercorreva .. fra un numero ideale e l'altro " (che è effettivamente 1ìlcXxplCJlç XCt"C'tl'8'/j), o alla differenza " di specie " che distin­ gueva il complesso dei numeri ideali dal complesso dei numeri matematici; non cambia comunque la considerazione della gravità dell'assimilazione fra i due tipi

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

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di numero, che emerge immediatamente qualora si legga la aLCXXpLO'Lç come diffe­ renza appunto fra le due specie di numero e mediatamente qualora la si con­ sideri viceversa differenza eidetica fra un numero ideale e l'altro, che non è carat­ teristica attribuibile ai numeri matematici e che ugualmente vieta dunque l'assi­ milazione stessa. La Isnardi Parente, benché proponga in modo assai chiaro la distinzione fra da"/j"tLXOç e j.LOVCXaUCÒç &pLOj.LOç (Studi, p. 107), non sembra approfon­ dire le conseguenze metafisiche dell'identificazione senocratea fra i due tipi di numero, forse sempre nella presupposizione - confortata in parte dal riferimento alla definizione di Ela"/j"tucòç &pLOj.LOç come O'U"l'XELj.LEVOç le Elawv (THEMIST. paraphr. in De ano 1 1 , 19 Heinze = fr. 39 Heinze, fr. 260 Isnardi) - che la dottrina delle idee-numeri riferita da Aristotele e basata sull'identificazione idee-numeri ideali tout-court sia senocratea. D'altronde già in ZM, II 3/2, nota 24, p. 967, ella aveva sostenuto che (metaph. N 3. 1090 b 21 -30, trad. REALE, corsivo mio fr. 38 Heinze, fr. 1 1 7 Isnardi). È difficilt; chiarire definitivamente quale fosse la collocazione ontologica degli enti geometrici senocratei e stabilire se fosse stato Senocrate ad esprimersi poco chiaramente, o se sia viceversa Aristotele a sbagliarsi, oppure ancora a mescolare rendiconto e criti­ ca in proporzioni per noi non più chiaramente app�zzabili: gli enti geometrici do­ vrebbero comunque per Senocrate essere ontologicamente " secondi " rispetto al numero, almeno secondo lo schematismo ormai tradizionale, che subordinava la geo­ metria per la sua fisicità alla più astratta aritmetica. L'assimilazione di matematico e ideale, riferita anche per le figure geometriche, è leggibile perciò come conseguen­ za di difficoltà che Senocrate poteva avere a concepire le figure ideali, difficoltà analoghe a quelle già viste per i numeri ideali, e rimontanti probabilmente ancora alla perdita della distinzione platonica fra livello dell'ideale tout-court e quello (in­ termedio) della matematica. Alla teoria senocratea delle grandezze ha coinunque dato una certa importanza la critica (già ROBIN, Th. pl. Idées Nombr. , p. 439 sgg . ; KitAMER, Unprung, p. 204 sgg.), anche i n relazione a l problema dell'anima come " medio " fra intelligibile e sensibile (GAISER, PI. ungo Lehre, p. 46 sgg.); la ISNARnI, Senocr. , pp. 344-6, commentando i due passi di Aristotele citati, nota come « sia difficile enucleare una vera e propria teoria delle grandezze ideali dai passi di Seno­ crate finora addotti a sostegno di tale ipotesi » (p. 345), ricordando l'ulteriore e non minore problema dell'illegittimità teorica di una spazialità ideale, che pure par­ rebbe necessaria alla fondazione di enti derivati « dalla materia e dal numero ». La concezione senocratea della geometria spicca in tutta la sua complessità, quando si ricordi infine la tematica delle " linee indivisibili " , che sarebbero principio di tutte le figure geometriche (come ultimo limite indivisibile del continuo) e conse­ guenza della stessa identificazione di matematico e ideale a livello degli enti geome­ trici: la teoria, che, secondo metaph. A 9. 992 a 20-2 1 , era già di Platone, sarebbe stata aspramente criticata da Aristotele, secondo alcuni nell' omonimo trattatello; sulla tematica delle linee indivisibili, si vedano dunque i frr. 4 1-49 Heinze (frr. 123-147 Isnarcli) e soprattutto [ARrsTOT.l de lineis insecabilibus 968 a l, 141 sgg. Apelt fr. 42 Heinze, fr. 127 Isnardi; sul trattato pseudo-aristotelico, si veda poi lo status quaestionis in: De lineis insecabilibus, a c. di M. TIMPANARO CARDINI, Milano-Varese 1970; KRAMER, Plat. beli. Phil. , nota 353, pp. 335-6, e Altere Akad. , p. 55; ISNARDI, Senocr. , pp. 357-67, mentre, per tutta la questione delle linee indi­ visibili, cfr. la ISNARDI, rispettivamente in ZM, D 3/2, note 23-4, pp. 964-9; Studi, p. 109, e Senocr. , pp. 354-73 . Questa teoria, oltre a non essere di facile comprensio=

=

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IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

ne, pone vari problemi: queUo della sua paternità (Platone o Senocrate?); quello del collegamento col tema della divisibilità (finita o infinita?) dello spazio geometri­ co (il legame con gli argomenti zenOnfani emerge esplicitamente dal materiale docu­ mentario); quello di una sua eventuale ripresa, in particolare nel metodo meccanico di Archimede (la tesi di un " platonismo " del Siracusano, legato proprio alla tema­ tica platonico-senocratea delle linee indivisibili, è sostenuta per esempio da l.-L. GARDIES, La méthode mécanique et le platonisme d'Arr:himède, « RPFE », cv (1980) pp. 39-43); ed ancora quello del carattere " matematico " o " ideale " della stessa «"tOILOC Tpatl'!Li). Quest'ultima questione pare tuttavia superflua, in relazione nuova­ mente alla perdita di una reale distinguibilità ed opzionalità fra i due ambiti, che emerge in una delle argomentazioni addotte a sostegno della teoria: bisogna ammet­ tere linee indivisibili, si dice, in forza di un'assimilazione fra la primarietà dell'idea rispetto ai partecipanti sinonimi e la primarietà della parte rispetto al tutto; nel De /ineis insecabi/ibus leggiamo infatti: « se esiste una idea della linea, e la linea è prima rispetto a tutte le realtà che hanno il suo stesso nome, e le parti sono per natura anteriori al tutto, la linea in sé deve essere anche indivisibile » (cfr. fr. 127 Isnardi, nella trad. della stessa ISNARDI). Per il commento al passo, cfr. ISNARDI, Senocr. , pp. 359-63, con richiami anche al dibattito critico in proposito ed alle pro­ poste che vedevano già in questa argomentazione « una confusione di piano metafi­ sico e piano geometrico » (p. 360) . Nel complesso perciò anche la teoria delle linee indivisibili denuncia l'atteggiamento matematistico di Senocrate. \ I J SIMPL. in Aristot. Categ. 63, 22 Kalbfleisch fr. 12 Heinze, fr. 95 Isnardi: 01 TÒtP xtpl Stvoxplin) [' .. l xliV"tcx "tii> xcx9'cxù"tò xcxl "tii> xpOC "tt XtptÀcx\L�livttv 80xoiicnv. Sul passo cfr. il commento della ISNARDI, Senocr. , pp. 327-9. 1 1 4 Studi, p. 7 1 ; cfr. p . 75: « Le forme dell'essere appaiono a Senocrate ri­ spondenti ai due diversi e contrastanti aspetti della finitezza e interna autosuffi­ cienza di ciò ch'è in sé e della infinitezza di ciò ch'è relativo ad altro ». Per la contrapposizione ad Aristotele, cfr. ancora ISNARDI, Senocr. , p. 328, dove si ricor­ da come per Senocrate dunque « l'essere non si dice xOÀÀCXXWC, ma 8txwc », e per la dipendenza di tale bipartizione dai principi, cfr. ivi, p. 329, dove si ribadisce che la teoria senocratea « fa discendere dai principi la fondamentale differenzia­ zione categoriale-ontologica del reale ». La trattazione in proposito della Isnardi (tanto negli Studi, p. 75 sgg . , quanto in Senocr. ) è tuttavia caratterizzata da un presupposto esegetico particolare: una dottrina delle categorie sarebbe elaborazio­ ne accademica e " non platonica " , cosi come sarebbe accademica la convergenza di pròs ti, àpeiron e mè òn individuabile in quella dottrina delle categorie; l'esclu­ sione dal novero delle idee degli tt81'l "twv xpoc "tt e degli tt81'l "twv cixocpliaE6lv (oltre che degli tt81'l "twv Xot"tÒt "ttXVl'lv) , che Aristotele nel De ideis pone come base per una serie di argomentazioni critiche contro le idee e che presupporrebbe appunto una dottrina delle categorie, sarebbe dunque secondo la Isnardi da ascriversi alla dottrina " senocratea " delle idee e non a quella " platonica " ; appunto 'per tale presupposto esegetico la Isnardi inserisce nella sua raccolta di Senocrate tanto il passo della Metafisica in cui Aristotele verosimilmente riassume le argomenta=

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LE IDEE, I NUMERI, L' ORDINE

zioni del De ideis, quanto i passi del commento di Alessandro che danno ampio conto di quelle argomentazioni (cfr. ARISTOT. metaph. A 9. 990 b lO sgg. = fr. 93 Isnardi; ALEX. in Metaph. 79, 15 Hayduck = fr. 92 Isnardi, con i relativi commenti Senocr. , pp. 3 2 1 - 5 ; cfr. d' altronde quanto l'A. già scriveva in PI. Acc. idee 'artefacta '; Interpr. dottr. idee, p. 20 sgg . ; ZM, TI 3/2, nota 19, pp. 949-55 , e Dottr. idee princ. , p. 107 1 sgg . ) . Un giudizio s u questa esegesi s i può dare solo entrando nel merito di quanto figura nel De ideis e di una sua valutazione, che è però notoriamente questione ancora aperta, com'è desumibile dal relativo status quaestionis, in lingua italiana figurante già in BERTI, Primo Aristot. , pp. 196-240, e, più di recente, dopo la pubblicazione della recensio altera del commento di Alessandro alla Metafisica dovuta a Dieter HarIfinger, in LESZL, De ideis Aristot. , pp. 77-9 1 , passim. Nella linea interpretativa della Isnardi andrebbe forse riserva­ ta attenzione anche ad un altro passo del commento di Alessandro, cioè quello nel quale viene esplicitata la tematica figurante in metaph. A 9. 990 b 1 7-22 ( fr. 93 Isnardi) : secondo Aristotele, 01 71:tpi "tWII tl8wII )'6yol in generale elimine­ rebbero ciò alla cui esistenza i sostenitori delle idee tengono più che alle idee stesse (e cioè probabilmente i principi) e porterebbero a considerare il numero anteriore alla diade ed il pros ti anteriore al kath 'autò. Commentando tale notizia, Alessandro (in Metaph. , 85, 1 5 -86, l O Hayduck = fr. 4 Ross) ritiene la critica diretta specificamente contro qualcuno il cui pensiero presenta dei tratti perfet­ tamente coincidenti con quelli da Aristotele ascritti alla filosofia di Senocrate: a) secondo i destinatari di tale critica innanzi tutto tipXOIi 8t tlal "tò &11 XCIi 1) tiOpla"tOç 8utiç (85 , 16- 1 7) ; b) per essi le cose che vengono dopo i principi e che derivano da questi sono " anche " le idee (e vengono coinvolte nell' tiliOliptalç dei principi stessi) (tiIl0lIpt8"at"t0l1 XCIi "tàt I-Lt"tàt "tàtç tiPXtiç, t, yt "tOlil"tOl be "tWII tiPXWII, wa"tt XCIi 0I1 18tOlI; 85 , 20-2 1 ) : costoro dunque ammettono idee e " derivano " dai principi le idee stesse e " qualche altro tipo di entità " ; c) per costoro la posizione della duàs aòristos come principio esige la posizione di un'anteriore idea di duàs (XOI"t'I}yOptL"tOlI 8È XOIi -rijç tiopia"tou 8uti80ç 1) 8utiç, t'T) &11 OIÙ-rijç 71:pw"t611 "tI XOIi 18tOl; 85, 22-23) (ed è la stessa ISNARDI, Senocr. , p. 324, a ricordare come « gli Accade­ mici e Senocrate in particolare [ . . . ] venivano L . . ] riducendo la dottrina delle idee al suo aspetto autopredicativo ») ; ti) per costoro infine le idee sono numeri (011 yàtp 18tcxl tipl8I-Loi OIÙ"tOLç XtLII"tOlI) . Lasciando in forse dunque se tali tematiche siano o meno ascrivibili a Platone, sembra non vi siano difficoltà a vedere in esse un riferimento a Senocrate, contro il quale sarebbero dirette le critiche di Aristotele all'incompatibilità fra dottrina delle idee e dottrina dei principi (cfr. d'altronde quanto già scriveva BERTI, Primo Aristot. , p. 232: « II richiamo alla dottrina dei principi serve per Aristotele soprattutto a mostrare che essa esiga l' abbandono totale della dottrina delle idee, e quindi è rivolta contro coloro che nell' Accade­ mia, dopo la formulazione della dottrina dei principi, pretendevano di tenere an­ cora in vita la dottrina delle idee e di conciliarla con quella dei principi ») . Se dunque si accetta che i riferimenti e le critiche del De ideis abbiano come oggetto Senocrate, anche questo passo, veri i presupposti esegetici della Isnardi, avrebbe =

IL PROGETTO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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dovuto figurare, con gli altri due, in particolare con quello richiamato poco fa della Metafisica, nella raccolta di Senocrate curata dalla Isnardi stessa. La ricostru· zione della dottrina accademico-senocratea delle categorie e dei principi realizzata dall' autrice non perde comunque di puntualità, per il presupposto esegetico sud­ detto: è vero d'altronde che sono state date interpretazioni diametralmente oppo­ ste del valore che il relativo, l'indefinito e il negativo avrebbero in Platone e negli Accademici: si vedano, a mo' di esempio ed ancora, quanto rispettivamente scrivono CHERNISS, ACPA , p. 260 sgg . , p. 2 8 1 sgg . , e KRAMER, Arete, p. 1 4 3 , p. 44 l . 1 1 5 Per Ermodoro, cfr. SIMPL. in Phys. 247, 30-248, 5 Diels = fr. 7 Isnardi (della raccolta di Ermodoro annessa all'edizione di Senocr. , pp. 261-3): la sua divi­ sione fondamentale delle cose sarebbe stata in kath 'autà e pros hètera, e di queste ancora (diaireticamente) in " contrari " (enantìa) e " relativi puri " (pròs ti). Su Er­ modoro e sul collegamento fra questa dottrina ed il Peri tagathoù aristotelico, cfr. BERTI, Primo Aristot. , pp. 277·86, e soprattutto pp. 279-80, e nota 128, p. 279, con discussione della letteratura critica e dove si tende a mostrare la corrispon­ denza fra la divisione categoriale di Ermodoro e la riduzione dei contrari a due principi opposti, riduzione che, secondo Alessandro (in Metaph. 56, 1 3 · 2 1 Hay­ duck, cfr. 250, 1 7-20 ntpl 1:&:,.cx90ii fr. 5 Ross) sarebbe stata già di Platone. La ISNARDI, Studi, p. 1 2 3 , e Senocr. , pp. 439-44, sottolinea la maggiore vicinanza a Platone della classificazione ermodorea, sia per l'uso dello schema diairetico, sia per il mantenimento di una distinzione fra relativo e indefinito (cfr. su questo già MERLAN, Beitr. Gesch. Plat. I, p. 43); ella ricorda inoltre parte della polemica sulla ricollegabilità o meno di queste tematiche al Platone degli àgapha dògmata (ivi, pp. 4 4 1 .2). Ad una fase successiva della speculazione accademica si riferireb­ be viceversa la testimonianza di SEXT. adv. math. x 263-265 (cfr. 266-273), dove è proposta una classificazione non più diairetica, ma tripartita: Sesto esordisce infatti ricordando che, secondo « i pitagorici », « [ . . . ] degli enti, alcuni sono pensa­ ti secondo differenza (xcx1:à; SLCXq>OpcXII) , altri secondo opposizione (XCX1:'lIlCXIl'tu"CJLII), altri in relazione a qualcosa htp6� 1:L) ». Assai chiaro è poi il collegamento sestiano con la dottrina dei principi, poiché le cose pensate per sé rimandano all'Uno, quelle contrarie all'uguale e disuguale, quelle relative all'eccesso e difetto ed i tre generi si riducono a loro volta a due principi: « L'uguaglianza si riduce all'U­ no; infatti l'Uno è uguale a se stesso in modo primario, mentre la disuguaglianza mira all' eccesso e difetto. Ma anche l'eccesso e difetto sono ordinati secondo la ragione della diade indefinita, poiché il primo eccesso e difetto è in due, l'ecce­ dente e l'ecceduto » (adv. math. x 2 7 5 ; la ISNARDI, Senocr. , p. 439, ha sottolineato viceversa il sostanziale " monismo " della classificazione ermodorea, poiché in es­ sa « si nega al grande-piccolo la qualità di vero e proprio principio ») . Sull'accade­ micità delle teorie riferite da Sesto si pronunciano comunque: MERLAN, Beitr. Gesch. Plat. l, pp. 35-5 3 ; WILPERT, Aristot. Friihschrift. , p. 190; CHERNISS, ACPA, p. 286; KKAMER, Arele, p. 285 ; BERTI, Primo Aristot. , pp. 281-3, e la stessa ISNARDI, Studi, p. 78, Senocr. , p. 440 sgg . : i risultati esegetici sono diversi (e non posso =

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LE IDEE,

1

NUMERI, L'ORDINE

qui renderne conto nello specifico), sia per l'eventuale antecedente platonico del­ lo schema sestiano, sia per l'analogia con la classificazione ermodorea. Non si possono avere dubbi sulla connessione all' Accademia antica del materiale teorico sestiano: poiché però nel suo rendiconto Sesto parla esplicitamente e solo di . . Pi­ tagorici " e poiché molte sono le analogie con la rielaborazione neopitagorica di teorie protoaccademiche, riprenderò in considerazione questo materiale al cap. v , dedicato al neopitagorismo. Cfr. infine, per la confluenza accademica di pros ti ed àpeiron, Divisiones Aristoteleae, D.L. m 108 e 109, ed il complesso di consi­ derazioni fatte in proposito dalla ISNARDI, Studi, pp. 75-7. 1 16 Il termine systoichìa, che la Isnardi introduce a proposito della testimo­ nianza già richiamata di Sesto, appartiene, com'ella stessa nota, al vocabolario pitagorico più antico (Studi, p. 79). Per la lista dei contrari si veda metaph. A 5. 986 a 2 1 -26, dove Aristotele ricorda appunto che alcuni Pitagorici -;àtç dcp"àtç BÉxat À.t-yOUcrIV -;àtç XQI-;àt crucr-;OI"Uxç À.e-yofdvau;. Sul termine systoichìa cfr. ancora Ross, Aristot. Metaph. , I, p. 150, e TIMPANARO CARDINI, Pitagorici, m, p. 80; qui si nota, già a proposito della lista dei contrari, come sia in essa « evidente !'intento di ricondurre al principio del limite ciò che è migliore e perfetto, al senza limite il peggiore e imperfetto .. (ivi, p. 8 1 ) . 1 1 7 Per l a notizia teofrastea sui principi, cfr . THEOPHR. metaph. V I a 23 Use­ ner, p. 12 Ross-Fobes fr. 26 Heinze, fr. 100 Isnardi (aalv il"tl Cll iÀl7t7tOç Ò '07tOUV"tIOç 1:0Ùç N6ILouç aù1:oi) [se. 1:0i) nÀcX1:WVoç] ILt1:trpaciltv oV1:aç lv X'lpcj>· 1:06-.:011 Sì XQ\1 'E7tlvolL(!ìa q>aalv t{val (LASSERRE, Fragm. Acad. , p. 163). Altrove, sulla base del significato di ILt1:arp.xq>tLV, Taran esclude per giunta che dalla notizia laerziana si possa dedurre che Filippo facesse qualcosa di più che .. trascrivere " o .. copiare " le Leggi (cfr. ' Epinomis ', p. 130 e la nota 543 ivi figurante) . Dalla testimonianza avevano al contrario ricavato la conclusione che l'Opunzio avesse edito anche l' Epinomide per esempio TAYLOR, Plato, p. 497; Plato and the Autorship 01 the ' Epinomis ', « PBA », xv ( 1 929) pp. 235-3 1 7 , cfr. nota 2, p. 235; On the Authenticity 01 the ' Epinomis ', Logos 4 (Firenze 1 92 1 ) pp. 42-55; H . RAEDER, Platons Epinomis, Copenhagen 1 93 1 , p. 4 . 16 4 [OLYMPIOD.] proleg. l O . 24 , 1 0- 1 5 Westerink; TARAN, ' Epinomis ', pp. 8-12, con la discussione delle differenti interpretazioni in particolare di H. REu­ THER, De Epinomide platonica, Lipsiae 1907; di TAYLOR, On the Authenticity, cit. , pp. 49-54; e d i B. EINARSON, A n ew Edition 01 th e ' Epinomis ': Review Article, « CP », Lm ( 1 958) pp. 9 1 -9, per l'argomentazione astronomica; e ancora di TAY­ LOR, On the Authenticity, cit . , pp. 47-9, e di F. NOVOTNY, Platonis Epinomis Com­ mentaria Illustrata, Pragae 1 960, per l'argomentazione storica. 16 5 Cfr. ' Epinomis ', pp. 48- 1 1 4 . 166 G li interpreti favorevoli, prima d i Taran, all'atetesi del dialogo, sono ci=

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

tati in ZM, Il 3/2 , p. 1035 in particolare, dove la Isnardi ricorda come già Wila­ mowitz, Shorey, Jaeger, Bréhier, Robin, Stefanini, Moreau ed altri si fossero pro­ nunciati in tal senso, sulla base di considerazioni analoghe a quelle di Taran. 1 6 7 Cfr. ' Epinomis ', pp. 24-3 3 . 168 Cfr. ' Epinomis ', p. 1 1 3 . 169 Le notizie su Filippo di Opunte sono esaminate in ' Epinomis ', pp. 1 15-39: quelle qui riportate sono dovute a Diogene Laerzio (III 3 7 e 46), all' Index Hercula­ nensis (III 36-4 1 , dove si parla di un tùÀ6yct» »19 . I problemi interpretativi al riguar­ do sono stati appunto sostanzialmente due : innanzitutto stabilire se l' èulogon arcesilaico sia leggibile come " verosimile " ed ancor .

più se esso anticipi la dottrina carneadiana del pithanòn e, in se­ condo luogo, comprendere se questa sia dottrina positiva di Ar­ cesilao o, ancora, solo elemento delle sue confutazioni agli Stoici20 . In questa sede è tuttavia opportuno porre anche un altro proble­ ma relativo al criterio arcesilaico : qualora infatti si dia all' èulogon anche un valore teoretico e lo si avvicini al " probabile " carnea­ diano, esso rappresenterebbe il dato della provvisorietà e dell" , ap­ prossimazione " non solo sul piano dell' agire, ma anche su quello del pensare, sarebbe cioè, per dirla con Antonio Russo, « un cal­ colo per eccesso e difetto » dei motivi che configurano come « ra­ gionevole » un certo comportamento (o vero un certo oggetto) o che lo indicano come più o meno « ragionevole » (più o meno ve­ ro) di un altro . « D ' altra parte », continua perciò Russo, « il mate­ maticismo che, come ombra platonica, sussisteva a fior di pelle anche in Arcesilao, non poteva non suggerire a quel forte dialet­ tico [. . . ] che tÙÀOytLV (ben pensare) non dista molto da tùÀOy(�tLV (calcolare) e che il comune etimo À6yoç aveva, tra le sue moltepli­ ci accezioni, anche quelle di ' rapporto ' , di ' proporzione ' e, infi­ ne, di ' relazione logica ' »2 1 . Stando a tale lettura, il matematismo che sembrava escluso dallo scetticismo arcesilaico, per la divari­ cazione fondamentale che esso pone fra soggetto conoscente ed oggetto di conoscenza, ricomparirebbe dunque in sede pratica, ricoinvolgendo comunque anche la sfera teoretica, non solo, ma esso dovrebbe essere ricollegato alla nozione pitagorica, platonica ed eudossiana di lògos come proporzione: un elemento di continui­ tà fra Platone ed Arcesilao - e dunque fra la prima Accademia ed Arcesilao - sarebbe perciò " anche " il dato matematistico, in radicale contrasto con quanto finora qui si è tentato di mostrare.

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

Si può però addirittura ribaltare la tesi della continuità cosi intesa, se non fra Platone ed il caposcuola dell' Accademia scetti­ ca, quantomeno fra la prima Accademia ed Arcesilao : innanzitut­ to, l' ambito pratico ed addirittura pragmatico entro il quale è chiamato ad operare l'èulogon - anche inteso come calcolo del più e del meno, come approssimazione per eccesso e per difetto ad un vero (o buono o giusto) che resta comunque inconoscibile - fa cambiare totalmente di segno a quel sapere matematico che Platone affermava doversi staccare dall'ambito pratico-operativo. Ma ciò non basta: anche quando si ritenga pura mediazione l'ap­ plicazione in sede pratica dell' èulogon stesso e si pensi viceversa ad una primarietà teoretico-gnoseologica del

cc

buon calcolo " , an­

che quando si colleghi quest'ultima alla' dottrina delle proporzio­ ni, l' " ombra platonica " (e più ancora accademica) che Russo ritiene di ravvisare nell' èulogon cosi inteso è talmente pallida da essere pressoché irriconoscibile. L'operazione teorica che amplia il valore gnoseologico ed ontologico dell' analoghìa pitagorico­ eudossiana al punto di farne il perno di una descrizione esaustiva ed oggettiva del reale - come fecero Speusippo ed Eudosso o che indica nel

cc

più-meno " uno dei principi del reale stesso

- come per Senocrate - sarebbe infatti radicalmente diversa da quella che assume l'analoghìa o il

cc

più-meno " a criterio di

approssimazione ad un vero che non si crede conoscibile e che per giunta compie tale assunzione perché, restando il vero appun­ to inconoscibile, la nostra vita non rimanga « sprovvista di un crite­ rio da cui dipende la nostra fiducia nel conseguimento della felicità». Altro sarebbe dunque nutrire piena fiducia nella conoscibilità delle cose ed elaborare un' ontologia matematistica che attribuisce alle co­ se di " per se stesse " o una struttura numerica, che consenta di comprenderne e ridurne le differenze, o delle interrelazioni necessi­ tanti come i passaggi della dimostrazione di un teorema; altro sa­ rebbe invece disperare della conoscibilità delle cose stesse ed individuare una regola, nel complesso abbastanza aspecifica e non tecnica, che ridia l' approssimarsi della ragione ad una verità sempre negatale, che descriva il faticoso conteggio dei motivi in favore o contro la verità sempre irraggiungibile. La fruizione filosofica di

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

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concetti desunti dalla matematica pare graduata nella prima e nella seconda posizione a livelli totalmente differenti, poiché appunto totalmente diverso è ancor prima il grado di fiducia nella poten­ zialità ed efficacia gnoseologica della ragione, e la ricerca di even­ tuali connessioni storiche fra la prima e la seconda posizione può perciò con molta difficoltà approdare al risultato di una vera e propria continuità. Il fatto che neanche cento anni dopo la morte di Senocrate il valore attribuito alla razionalità matematica si riduca alle com­ petenze pratico-operative del " buon calcolo " arcesilaico mostra piuttosto una volta di più la profondità dello stacco fra l'Accade­ mia antica e la media.

C) LA NUOVA ACCADEMIA SCE'ITICA: CARNEADE DI CIRENE Fra lo scolarcato di Arcesilao, che muore nel 24 1 , e quello di Carneade di Cirene, fondatore, intorno al 160, della " terza " o " nuova " Accademia, intercorrono circa ottanta anni, anche se il grande avversario dello stoicismo crisippeo si mise in luce pro­ "babilmente nell' Accademia stessa fin dai primi anni del II seco1022. Degli immediati successori di Arcesilao nello scolarcato, Lacide di Cirene, Telecle, Evandro ed Egesino di Pergamo, non sappiamo granché, ma il nucleo del pensiero arcesilaico restò con essi sostanzialmente invariato, se C arneade poté riprenderlo ed approfondirlo tanto efficacemente23 . Carneade ricevette comunque una prima formazione nell' am­ biente culturalmente assai vivace di Cirene, avendo forse come maestro il suo compatriota Aristippo, a sua volta allievo di Laci­ de; ad Atene, fu poi allievo di Egesino di Pergamo e conobbe a fondo il pensiero stoico, sia attraverso Diogene di Babilonia, che fu scolarca della Stoa e poi suo compagno, nel 1 5 5 , durante l'ambasceria a Roma, sia dalle opere dello stesso Crisippo24 . I tratti positivi della personalità intellettuale di Carneade sono ricordati da Cicerone e riconosciuti a suo dire anche dagli avversaril' : no­ tevole doveva essere comunque il suo impegno nel lavoro filosofi-

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C026. La contrapposizione allo stoicismo crisippeo è tratto domi­ nante della produzione teorica di Carneade (famosa è la sua sen­ tenza: « Se Crisippo non ci fosse stato, non ci sarei neanch'io ») , ma, come vedremo, la critica gradua talora a livelli diversi tale contrapposizione, ritenendo che tutto quanto C arneade teorizzò fosse attacco dialettico agli Stoici, oppure, al contrario, che sia recuperabile nel suo pensiero un nucleo propriamente detto di " dottrina " , che rivendica positivamente il valore di una ragione " media " , contro un razionalismo dogmatico più generale27 . Carneade appare uomo del suo tempo, sia nella minore pro­ pensione alla fisica che all' etica ascrittagli da Diogene Laerzi028, sia, soprattutto, nella considerazione pessimistica dello stesso pos­ sesso umano della ragione, che Cicerone

gli attribuisce, come tratto

fondamentale della sua polemica contro la fiducia stoica nell'esi­

stenza di una provvidenza divina: il presunto dono divino all'uo­ mo della ragione non può infatti secondo Carneade essere invocato a sostegno di alcun provvidenzialismo, come pretendevano gli Stoi­ ci, poiché l'uomo usa per lo più male di tale dono, cosi la provvi­ denza ammessa dagli Stoici « è da considerare colpevole se ha concesso la ragione a chi sapeva ne avrebbe fatto cattivo uso. A meno che non si dica che la divinità non ne sapeva niente »29 . I l rendiconto ciceroniano su C arneade del De natura deorum tra­ suda dunque dell' amaro pessimismo e del doloroso stupore del­ l'uomo posto dinnanzi ai risultati dell' asservimento della ragione umana al vizio e mostra, di converso, la convinzione tipicamente ellenistica di potere e dovere decidere della positività della ragio­ ne stessa solo in base alla sua capacità di fondare un'etica real­ mente vivibile. Carneade riprende ed approfondisce le tematiche arcesilai­ che sull'impossibilità di un approccio conoscitivo con le cose: a livello della conoscenza sensibile, infatti, non può essere criterio della verità, come per gli Stoici, il carattere catalettico delle rap­

presentazioni, poiché è impossibile distinguere, quanto al modo

del loro darsi al soggetto ed all'efficacia che hanno nell'impres­ sionarlo, le sensazioni vere da quelle false . Della definizione stoi­ ca di phantasìa kataleptikè come « quella che proviene da un oggetto

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LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

esistente e che è impressa e improntata in conformità con l'og­ getto esistente ed è tale da non poter derivare da un oggetto che non esista »30, Carneade avrebbe rifiutato proprio la notazione « ta­ le da non poter derivare da un oggetto che non esista»: « Difatti certe rappresentazioni », continua a riferire Sesto, « allo stesso mo­ do che da cose esistenti, provengono anche da cose non esistenti. Ed è un indizio della loro indistinguibilità il fatto che esse risul­ tano ugualmente evidenti ed efficaci, e del fatto che sono ugual­ mente evidenti ed efficaci, è un indizio il legame che esse hanno con le azioni che ne conseguono »3 1 . Le sensazioni (false) che pos­ siamo avere in sogno, nel delirio o nella follia ci si presentano con uguale vividezza ed efficacia e possono di conseguenza deter­ minare la nostra azione allo stesso modo delle sensazioni (vere) che abbiamo in istato di veglia e di lucidità; l' evidenza non può dunque più essere invocata a criterio valido per la distinzione delle rappresentazioni vere da quelle false ed anzi non si dà " alcun criterio " per la loro distinzione : « non c'è alcuna rappresentazio­ ne vera che sia tale da non poter diventare falsa »32 . L' indistin­ guibilità delle sensazioni è poi conseguenza del presupposto forte dell' argomentazione carneadiana, vale a dire appunto dell'esclu­ sione della riferibilità all' oggetto esterno, come termine di con­ fronto per stabilire la veridicità delle sensazioni stesse: non vi è infatti per Carneade « mezzo alcuno per uscire dall' alterazione o modificazione in cui consiste la rappresentazione e per poter giungere a stabilire un confronto fra la rappresentazione e la real­ tà esterna »H ; su quest'ultima non possiamo dire nulla, né possia­ mo chiamarla a sostegno di quanto " ci appare " , poiché, ancora, non potremmo riferirci ad essa che attraverso il nostro apparato sensoriale. Tolto dunque tale rapporto con gli oggetti di cono­ scenza, lo statuto delle sensazioni si specifica nel solo orizzonte del loro proporsi (con un certo grado di vividezza ed efficacia) al soggetto ed il loro " essere " o meno si risolve dunque nel loro " apparire " o meno vereH • Fra le argomentazioni di C arneade, tese a rivendicare la so­ stanziale omogeneità qualitativa delle sensazioni ( loro indistin­ =

guibilità secondo vero e falso) , interessante appare l' impiego dei

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

soriti, già usati da Zenone di Elea e da Eubulide di Mileto a so­ stegno di uno statuto ontologico unitario dell'essere: come gli Elea­ ti mostravano, attraverso i soriti, che è impossibile porre in modo incontraddittorio differenze che fondino la molteplicità dell'esse­ re, ugualmente Carneade mostra, per loro tramite, come sia im­ possibile distinguere la prima sensazione vera dall'ultima falsa, ponendo fra esse uno stacco che sia realmente discriminante" . L a ricalibratura dell' opzionalità vero/falso, come tratto pro­ prio e criterio della conoscenza, coinvolge comunque anche la sfera propriamente razionale di essa, non solo per la dipendenza del­ l'intelletto dai sensi, ma per l'incapacità ascritta all'intelletto stesso di decidere della verità o falsità dei giudizi: alla pretesa stoica che l'intelletto sia sufficiente a ciò, Carnéade contrappone l' argo­ mento del mentitore ( ttatL, sono incombinabili da un numero al­ l' altro e la cui serie si costituisce perciò senza che il numero successivo includa il precedente4' . Il primo tipo di numero, come più volte ricordato, è quello più specificamente rispondente alle esigenze operative della matematica e dunque quello più corretta­ mente concepibile come oggetto proprio e comune delle scienze esatte: il fatto che Carneade ne riecheggi la nozione conferma ancora il suo riconoscimento di una specificità, in questo caso di contenuto, della matematica, contro ogni tendenza ad amplia­ re su un piano ontologico il ruolo del numero stesso. La posizione di Carneade, per la rottura degli schemi mate­ matistici della prima Accademia, appare dunque ancor più artico­ lata di quella di Arcesilao : il rifiuto di ogni forma di razionalismo realistico esclude dunque che ci si possa pronunciare sullo statuto effettivo delle cose, " dalla parte delle cose stesse " , e comporta quindi già in sé un giudizio negativo sulla matematica greca, la quale pretendeva viceversa che le proprie assunzioni definitorie corrispondessero ad oggetti realmente esistenti; se nulla si può dire sulla realtà in sé e se il nostro impatto con essa si risolve nella dimensione del puro apparire, si potrà evidentemente ancor meno pretendere di ingabbiare la realtà entro griglie di costanti numeriche o di nessi gerarchici, necessari come i passaggi di una dimostrazione. Se tali elementi puramente negativi figurano già in Arcesilao, il poco che troviamo nelle testimonianze sul pensie­ ro carneadiano di considerazioni realmente tematiche sulle scien­ ze esatte conferma coerentemente la configurazione dell' aritmetica,

300

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

della geometria e della musica come altrettante discipline specifi­ che, delle quali la prima è dotata del bagaglio tecnico di una con­ cezione operativo-costruttivistica di quantità numerica: il valore di verità del sistema assiomatico-deduttivo nel suo complesso è limitato poi alla pura convenzionalità ed è perciò evidente che, secondo il Cireneo, scolarca della stessa Accademia di Speusippo e di Senocrate, non è con la matematica che si comprende e che si interpreta l' essere, ammesso e non concesso che l'uomo possa comprenderlo ed interpretarl046 .

.

Per una reale comprensione del pensiero di Carneade, ma, ancora, soprattutto per un ulteriore chiarimento del suo abban­ dono del modello matematistico protoaccademico, merita infine attenzione la tematica del 7tLOCXIIOII: il rifiuto del criterio di verità dato dalla discriminante vero/falso comporta per Carneade, come già per Arcesilao, la sospensione dell' assenso : « ma, d' altra par­ te », riferisce Sesto, « poiché anche lui va alla ricerca di un certo criterio per la condotta della vita e per il conseguimento della felicità, virtualmente anch' egli viene sospinto a formularne una teoria, assumendo sia la rappresentazione ' probabile ' , sia quella che è, nello stesso tempo, probabile, irreversibile e regolata (7tL0cxvTi, &7ttpLa7tCX B, in modo appunto che A B D. Si suppone di poter costruire una successione di grandezze TI, T2 , T" . . , omogenee tanto ad A quanto a B: -

=

.

D 0 -- 0 _ 0 _ 0 __ 0 ___ 0 ______

o

B

A

La costruzione viene fatta sulla scorta di alcune condizioni:

i) la successione sia prolungabile indefinitamente; ii) le grandezze

320

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

che costituiscono la successione siano tutte minori (approssimate per difetto) tanto di A, quanto di B; iii) sia possibile approssi­ marsi quan to si vuole alla granaezza supposta maggiore A. Per questa terza condizione, si troverà ad un certo punto una gran­ dezza Tn' che si approssima ad A più di B (e dunque per meno di D); ma, in tal caso, Tn è maggiore di B stessa, contro la se­ conda condizione, che voleva " tutte " le grandezze della succes­ sione minori tanto di A quanto di B.

La grandezza Tn

" s 'infiltrerebbe " dunque fra A e B: esse, perciò, non possono essere tali che A > B. Con lo stesso procedim�nto si riduce al­ l' assurdo l' ipotesi B > A, e dunque, effettivamente, A

=

B96.

Il metodo d'esaustione ha valore in quanto applica rigorosa­ mente la nozione di approssimabilità all'infinito a grandezze da­ te: esso presuppone infatti di potersi avvicinare indefinitamente ad una grandezza data (qualunque) , attraverso il rinvenimento di valori di approssimazione sempre minori, e fonda tale presuppo­ sizione sull' assunzione di uno spazio geometrico scomponibile al­ l' infinito in elementi sempre più piccoli di qualunque grandezza prefissata97• T ali presupposti generali intervengono specificamen­ te nel metodo in questione a mostrare come non sia possibile scin­ dere la serie (indefinita) dei valori approssimati per difetto alla grandezza A dalla serie (indefinita) dei valori approssimati per difetto alla grandezza B : o la successione delle approssimazioni è la stessa (ma allora le due grandezze tendono a mostrarsi ugua­ li) , oppure le approssimazioni divergono, nel senso che la succes­ sione dei valori approssimati per difetto alla grandezza maggiore contiene grandezze di necessità maggiori della grandezza minore; in tal caso le due grandezze A e B risultano sl disuguali, ma allora non è possibile porre come condizione della costruzione della suc­ cessione delle grandezze ad esse approssimate che queste siano tutte minori di " entrambe " le grandezze considerate. Il metodo d'esaustione si mostra comunque procedura non euristica, quando si evidenzi la sua capacità di " confermare " sem­ plicemente una relazione di uguaglianza fra grandezze, mentre esso non .può, di per sé, indicare la ragione per la quale l'ugua­ glianza stessa emerga (e vada perciò provata) proprio per quella

LA FLESSIONE DELLA

MATHESIS UNIVERSALIS

32 1

specifica coppia di grandezze: o si ripete il procedimento per tut­ te le coppie possibili di grandezze omogenee, o si decide di appli­ carlo a coppie scdte a caso, sperando nella fortuna, oppure bisogna ammettere che il metodo d'esaustione valga appunto " in sede di prova e non di ricerca " e che certe coppie di grandezze si mostri­ no per altra via dotate di rdazioni interessanti. È appunto il metodo meccanico che, viceversa, opera nella fase euristica e che consente di cogliere tali rdazioni fra determi­ nate coppie di grandezze. I suoi presupposti fondamentali sem­ brano essere due. Anche in questo caso, innanzitutto, le grandezze si presumono scomponibili in un numero infinito di dementi in­ finitamente piccoli: le superfici si suppongono " costituite " da tutte le sezioni lineari parallde ad una certa direzione ed i solidi a loro volta da tutte le sezioni bidimensionali parallele ad una certa giacitura; ricompare qui perciò ancora la nozione di scom­ ponibilità all'infinito dello spazio geometrico, con la quale dun­ que Archimede introdurrebbe nella sua geometria un " principio di natura infinitesimale " , quello stesso che i matematici del seco­ lo XVII, da Cavalieri fino a Newton ed a Leibniz, avrebbero do­ vuto ridaborare praticamente da zero, non conoscendo l'opera archimedea dedicata appunto al Metodo. La scomponibilità all'in­ finito delle figure geometriche ammessa dal Siracusano è però evi­ dentemente un concetto « [. . . ] di tipo empirico-materiale: si comprende facilmente come un metodo su di esso fondato non potesse avere agli occhi dei rigorosi matematici dell'epoca nessun valore dimostrativo »9 8 . Il secondo presupposto dd metodo meccanico è che le gran­ dezze possano essere confrontate, stabilendone il " peso " sui piatti di un' ideale bilancia - fermi restando i principi della meccanica rdativi al concetto di leva avente un certo fulcro, di equilibrio, di baricentro, e cosi via - e che il peso degli dementi geometrici cosi confrontati sia proporzionale alla loro lunghezza o alla loro superficie . Il confronto secondo il peso viene stabilito in primis per una delle infinite sezioni (lineari o bidimensionali) delle figu­ re considerate e poiché, vero il presupposto precedente, le figure stesse si risolvono nella " somma " delle loro infinite sezioni, il

322

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

confronto ponderale - e la relazione da questo risultante - vale per le figure nel loro complesso. La denominazione stessa di todo meccanico " chiarisce che

«(

cc

me­

si tratta di un procedimento che

utilizza concetti della meccanica (leva in equilibrio, posizione del baricentro) , ma non già di un procedimento che meccanicamente conduca al risultato »99

•

I presupposti della geometria archimedea nella sua fase euri­ stica si chiariscono qualora si legga la proposizione I del Metodo, con la relativa dimostrazione, con la quale il Siracusano esplicita la relazione (4/3) intercorrente fra l' area di un segmento parabo­ lico ( o sezione del cono rettangolo) e 1' area del triangolo inscrit­ to; questa proposizione segna probabilmente l' " invenzione " del metodo stesso da parte di Archimede1oo.

Metodo sui teoremi meccanici ad Eratostene, Prop . I: «Sia il segmento ABC compreso dalla retta AC e dalla sezione di cono rettangolo ABC, e si divida per metà la AC nel [punto] D, si tracci la DBE parallela al diametro e si traccino le congiungenti AB, BC Dico che il segmento ABC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo ABe.

M

K

A �__��__��________�

323

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

Si conducano dai punti A, C la AF parallela alla DE, la CF tangente al segmento, e si prolunghi la C B fino a K, e si ponga la KH uguale alla CK. Si immagini la leva CH col punto medio K e sia la MO parallela alla ED. Poiché dunque la C BA è una parabola (1tCXpOt�oÀTj, interpola­ :done) e la CF è tangente, la EB è uguale alla BD: ciò infatti viene dimostrato negli Elementi (Quadr. parabola, 2 ) . Per il fatto, poi, che le FA, MO sono parallele alla ED, la MN è uguale alla NO, e la FK alla KA . E poiché CA : AO MO : OP (Quadr. parabola, 5) e inoltre CA : AO C K : KN e CK è uguale a KH, dunque: HK : KN MO : OP. E poiché il punto N è centro di gravità della retta MO (lemma IV) e poiché MN è uguale a NO, se dunque poniamo TG OP ed è il [punto] H il suo centro di gravità, in modo che sia TH HG, la THG farà equilibrio alla MO che resti [dov'è] per il fatto che la HN è stata divisa in parti inversamente proporzionali ai pesi TG, MO, e: HK : KN MO : GT (Equi!. piani, I , 6-7) cosicché K è il centro di gravità del[la grandezza composta da] ambedue i pesi (lemma III) . Inol­ tre, similmente, quante si traccino parallele alla ED nel triangolo FAC , faranno equilibrio, restando dove sono, alle loro parti stac­ cate dalla parabola trasportate in H, cosicché il centro di gravità della grandezza composta da ambedue è K. E poiché il triangolo CFA consta delle [rette] tracciate nel triangolo CF A, mentre il segmento [parabolico] ABC consta delle [rette] tracciate similmente alla OP, il triangolo FAC , restando [dov 'è], farà equilibrio nel punto K [assunto come fulcro], al segmento della sezione [conica] posto intorno al centro di gravità H, cosicché il centro di gravità della grandezza composta da ambedue [triangolo e segmento] è il [punto] K . S i divida dunque l a CK nel [punto] W i n modo che la CK sia tripla della KW : sarà il punto W il centro di gravità del triangolo AFC : ciò infatti è stato dimostrato nei [libri sugli] Equilibri (8i8tLX'tOtL yÒtp 'tou'to iv 'toLe; 'Iaopo1t1tLXoLe;) . Poiché dun­ que il triangolo FAC rimanendo dov'è fa equilibrio nel punto K [come fulcro] al segmento BAC posto intorno al centro di gravità H, ed il centro di gravità del triangolo FAC è il [punto] W, dunque come il triangolo AFC sta al segmento ABC posto intorno al centro H, cosÌ [sta] la HK alla KW : dunque il trian­ golo AFC è triplo del segmento ABC . Ma inoltre il triangolo F AC è quadruplo del triangolo ABC per il fatto che la FK è uguale alla KA, e la AD [è uguale] alla DC : dunque il segmen­ to parabolico ABC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo =

=

=

=

=

=

ABC »IO I .

324

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

La dimostrazione procede dunque scegliendo una qualunque delle infinite sezioni lineari del triangolo (in questo caso il seg­ mento MO) e del segmento parabolico (il segmento PO, traspor­ tato in H) e supponendole applicate agli estremi della leva di fulcro K: ciò consente poi appunto di mostrare che " tutto " il triangolo FAC , lasciato dov'è, fa da equilibrio a " tutto " il segmento para­ bolico ABC trasportato in H. Si confrontano a questo punto le due aree, ognuna delle quali è proporzionale alla lunghezza del braccio di leva cui è applicata; esse sono legate da un rapporto inversamente proporzionale a quello intercorrente fra le lunghez­ ze dei bracci medesimi : perciò Triangolo : Segmento parabolico =

HK: KW e poiché, evidentemente, HK

=

3 KW, anche il

triangolo FAC sarà triplo del segmento parabolico . Poiché inol­ tre il triangolo ABC , inscritto nel segmento parabolico, è 1/4 di FAC , il segmento parabolico stesso avrà un' area uguale ai 4/3 del­ l' area del triangolo ABC in esso inscritto . L' uguaglianza fra il rapporto segmento parabolico/triangolo ed il rapporto 4/3 si acquisisce presupponendo effettivamente in primis la scomponibilità delle figure nei loro elementi infinitesimi e la raffrontabilità ponderale tra le figure stesse, fondata sulla validità del rapporto peso-lunghezza e successiva al confronto pon­ derale di due delle infinite sezioni delle figure stesse. Ma le " con­ dizioni " dell'instaurarsi stesso del confronto verrebbero create giocando in parte sulla " costruzione " (grafica) , in parte sull ' " in­ tuizione " : n bisogna innanzi tutto " trovare " la figura che possa. efficacemente fungere da termine di paragone ed il triangolo FAC viene " costruito e composto " con elementi che sono ciascuno per sé dotati di una certa relazione con il segmento parabolico :

il triangolo ha infatti la stessa base del segmento parabolico, ha un lato che è sulla retta " condotta " da un estremo del segmento parabolico parallelamente al suo asse e l' altro sulla tangente al segmento parabolico stesso, " condotta " dall' altro estremo fino ad intersecare la parallela suindicata; In in un secondo tempo, viene " tracciata " la retta CK, bisettrice di ACF e la si prolunga in modo che HK KC . Gli elementi che, dalle costruzioni ef­ =

fettuate, compaiono nella situazione geometrica così creatasi, con-

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

325

sentirebbero già a questo punto l' ' ' intuizione " del rapporto fra il triangolo FAC ed il triangolo ABC , inscritto nel segmento pa­ rabolico, per cui il primo è il quadruplo del secondo; IIl) la retta HC cosÌ costruita è considerata come somma dei bracci HK e KC di una leva di fulcro K; le precedenti costruzioni hanno con­ sentito dunque di evidenziare degli elementi geometrici - due segmenti individuati consecutivamente e secondo certe regole sulla medesima retta - j quali, pur conservando tale connotazione, possono " intuitivamente " essere " trasformati " in elementi mec­ canici ed essere " visti " appunto come somma dei bracci di una leva: è questo il tratto genialmente intuitivo del procedimento archimedeo,

che violerebbe veramente le pretese eidetico­

contemplative della tradizione platonico-euclidea, poiché ammet­ te addirittura un'oscillabilità delle determinazioni essenziali degli enti geometrici, che possono, pur mantenendo la propria deter­ minazione originale (segmenti di retta) , assumerne nel contempo altre (bracci di una leva) . IV) L' applicazione agli estremi della leva di due delle infinite sezioni delle figure in gioco presume infine un' altra " costruzione " , il " trasporto " del segmento PO - sezione del segmento parabolico - nell'estremo H . L a fase III indicherebbe dunque l a fondamentale incidenza dell'intuizione nel metodo archimedeo, mentre la I, la II e la IV espliciterebbero l' importanza che in esso assumono la costruzio­ ne (grafica) ed in generale lo studio e la manipolazione delle figu­ re, con l'effettuazione di prolungamenti, trasporti, dimezzamenti, rotazioni e di tutte quelle operazioni che, delimitando ulteriori porzioni di spazio, " generino " nuove figure. Archimede con ciò riprenderebbe, contro la diversa impostazione " teorematica " di Euclide, quel procedimento " problematico " ed intuitivo, carat­ teristico d' altronde della prima fase euristica della geometria gre­ ca: non a caso essa aveva adottato a suo metodo l' analisi, intesa appunto come studio e manipolazione scompositiva effettuata di­ rettamente sulle figure, secondo l' esempio sopra richiamato del

Menone102• Il rapporto Euclide/Archimede presenta perciò tratti com­ plessivamente disomogei : da un lato il Siracusano segue il mae-

326

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

stro nella svalutazione dell' aspetto applicativo della sua produ­ zione, cui non concede spazio nelle opere, e nel considerare l' ap­ plicazione pratica stessa - dettata dalla necessità - fase distinta e non immediatamente conseguente all'elaborazione teorica, la qua­ le dunque, per parte sua, non è subordinata a quella. Rimonta ugualmente ad una matrice euclidea la propensione di Archimede ad " ordinare " i risultati teorici raggiunti in un piano di conse­ quenzialità logica, che sistema organicamente le proposizioni dal­ le premesse O..CXIL�cxv61LIt\lCX o Àf)ILILOt'tCX) alle conseguenze. Archimede si mostra influenzato dalla tradizione platonico-euclidea anche ed in particolare quando considera le proprietà che instaurano rela­ zioni di commensurabilità tra le figure « da sempre inerenti alla

natura delle figure stesse »103, mostrando con ciò di credere che a mutare ed a procedere sia la conoscenza di tale natura, la quale però di per sé comporta delle proprietà immutabili. Infine Archi­ mede accoglierebbe entrambi i significati dello stoichèion eucli­ deo, come parte più semplice di un composto (con il concetto, seppur limite, di infinitesimo) e come principio di deduzione o antecedente logico104 . Ma ugualmente evidenti sono le differenze fra i due grandi matematici: Archimede infatti non disdegnò, quantomeno per ra­ gioni storiche connesse alla sua figura pubblica, di tradurre " an­ che " in applicazioni pratiche i risultati delle sue scoperte; adottò consapevolmente un metodo che impiega procedure diverse da quelle operanti in sede rigorosamente dimostrativa e che per giunta si colloca a monte della dimostrazione stessa, approntando i ma­ teriali cui possa applicarsi la cogenza logica della pura deduzione e senza i quali la perfezione di questa apparirebbe vuota ed impo­ tente . Le stesse grandezze geometriche vengono dal Siracusano confrontate, misurate, pesate, generate, attraverso la scomposi­ zione e la ricomposizione dello spazio geometrico, in aperta vio­ lazione dell' approccio puramente contemplativo con esso instaurato dalla tradizione euclidea . Infine la concezione di quantità che so­ stiene le ricerche archimedee ed in particolare l' ammissione di un infinito potenziale ed inesauribile, cioè infinitamente scompo­ nibile in parti sempre più approssimate ai limiti minimi, sarebbe-

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSAUS

327

ro totalmente diverse dall' idea platonica di quantità, ingabbiata

ab aeterno in quei numeri ideali, scomponibili in parti prefissate e la cui differenza eidetica escludeva la riducibilità stessa ad una misura comune . Con le ricerche della scuola di Alessandria la matematica im­ bocca dunque la via dello specialismo e si mostra con Archimede dotata di un apparato teorico assai complesso per gli oggetti trat­ tati e capace comunque di articolare consapevolmente, in fasi di­ stinte ed equilibrate, il momento della ricerca, quello della sistemazione dei risultati raggiunti e quello della loro applicazio­ ne pratica. Gli Elementi euclidei sarebbero viceversa espressione di un momento eminentemente " sistematico " della storia della matematica greca, poiché raccolgono e coordinano organicamen­ te gli oggetti teorici pervenuti attraverso vie non sempre lineari, eliminando comunque ciò che su tali vie pure era stato compiuto in sede di sondaggio euristico e di applicazione tecnica. Archime­ de procede " oltre " tale momento di centralità della sistemazio­ ne, riprendendo lo stile spregiudicato della ricerca e trasferendo le proprie acquisizioni in campo tecnico-pratico . Sarebbe perciò ancora la sistemazione euclidea a rivelarsi singolare, come mo­ mento d' oro della razionalità matematica: la sua perfezione che non esaurisce né gli oggetti definibili, né i processi logici ope­ ranti in sede matematica - si era imposta (e s'imporrà) alla filo­ sofia come modello preferenziale di razionalità, proprio perché è accentuazione del solo momento sistematico, in tanto teso a definire come perfettamente compiuti i propri oggetti ed a pro­ porne una conoscenza per vie altrettanto necessarie e perfette . Quando la matematica non privilegia più tale momento sistema­ tico e lo ricolloca comunque in una prospettiva che lascia spazio anche ai metodi meno cogenti della ricerca, essa non si propor­ rebbe più come modello perfetto e sicuro (e perciò preferenziale) di conoscenza. La flessione della dottrina filosofica della mathesis universalis in epoca ellenistica si radica perciò certamente nella generale mu­ tazione del clima spirituale vista all' inizio del capitolo ed è inter­ pretabile come conseguenza della crisi del razionalismo gnoseo-

328

LE IDEE, I NUMERI, L 'ORDINE

logico in particolare per l'Accademia scettica; ma l'esame pur cur­ sorio della storia della matematica di questo periodo rivela anche in questa ragioni complementari a quelle suindicate, a spiegare la divergenza ellenistica fra le due discipline, cosi saldamente unite nell' Accademia speusippea e senocratea: se la filosofia dell'epoca cerca dunque sicurezze che valgano immediatamente in sede an­ tropologica ed etica, se talora mette in dubbio la capacità stessa della ragione umana di " conoscere " alcunché, la matematica ap­ pare di per sé impegnata con materiali forse troppo specialistici e d' altronde ora priva di un tratto accentuatamente o addirittura esclusivamente sistematico, per potersi proporre alla filosofia, co­ m'era accaduto poco tempo prima, a modello di razionalità per­ fettamente conseguente e sicuro. Saranno il consolidamento della forma euclidea assiomatico-deduttiva, la nuova definizione di nu­ mero come " serie " o " flusso " e (in filosofia) il recupero neopi­ tagorico di tematiche protopitagoriche e protoaccademiche a riconsentire, in età imperiale, proposte filosofiche leggibili come espressioni di una mathesis universalis.

Note

I

Cfr. E.R. DoDDS, The Greeks and the Irrational, Berkeley-Los Angeles 195 1 ,

trad . ita!., Firenze 1959, pp. 244-5 .

2 The Greeks and the Irrational, cit. , p. 245 . ) Vastissima è la letteratura storica, sociologica, economica e religiosa sull'elleni­ smo: fondamenta!e resta l'opera di J. G. DROYSEN, Geschiehte des Hellenismus, Ham­ burg 1836-'43 (Base! 19522). Rilevanti appaiono inoltre: J. BwEZ-F. CUMONT, Les mages hellénisés, Paris 1938; M. POHLENZ, Der hellenische Mensch, GOttingen 1947 (trad. ita!. Firenze 1961); R. COHEN, La Grèce et l'hellénisation du monde antique, Paris 1948; W. TARN-G.I. GRlFFlTIl , Hellenistic Civilisation, London 1952); M. Ro­ sroVZEZ, Soci41 and economie History 01 the hellenistic World, London 19532 (trad. ita!. Firenze 1966); M. P. Nn.ssoN , Geschiehte der f}'iechischen Reli?)on, I, Miinchen 1%12; H. SHAPlRo-E-M. CURLEY, Hellenistic Philosopby. Selected Reading; in Epicur­ eanism. Stoieism, Skepticism and Neoplatonism, New York 1965 ; C. SCHNEIDER, Kul­ turgeschiehte des Hellenismus, Miinchen 1967; A.A. loNG, Hellenistic Philosopby: Stoics, Epicureans, Sceptics, London 1974; AA.VV. , Doubt and Dop;natism, Stuàies in Helleni­ stic Epistemology, ed. by M. SCHOFIELD , M. BURNYEAT, J. BARNES, Oxford 1980. 4 Cle. de fin. IV 6. Polemone fu scolarca verosimilmente dal 3 15/14 a! 270/69. , D.L. IV 18. 6 Per Polemone ed i suoi rapporti con la Stoa, cfr. VON FRrIZ, S.V. Po/emon, in RE, XXI 2 (1952) coli. 2524-9; ZM, n 3/2, pp. 1043-5; GIGANTE, Po/emonis Acade­ miei Fragnenta, Ace. di Archeologia, Lettere e Belle Arti Napoli 1977 (già in « Ren­ diconti dell' Ace. di Archeologia, Lettere e Belle Arti di Napoli », u (1976) pp. 91- 144). Per Cratete, successore di Polemone nello scolarcato, si vedano: WlLAMownz­ MOEllENIlORFF , Ant. v. &r. , p. 66 sgg.; H. VON ARNIM s.v. Krates, in RE, XI 2 (1922) coli. 163 1-3. Per Crantore, infine, che non fu scolarca, ma membro importan­ te della scuola, legato di amicizia ad Arcesilao ed autore di un commento a! Timeo, si vedano F. KAYSER, De Cranton! AcaJemico Dissertatio , Heidelberg 1841; Wn.AMOvrn:­ MOEll.ENIlORFF , Ant. v. &r. , p. 68 sgg. , e VON ARNIM s.v. Krantor, in RE, XI 2 ( 1 922) coli. 1585-8. 7 Per la vita di Arcesilao, cfr. D.L. IV 28-45 ; una raccolta di testimonianze si trova in Wn.AMOwnz-MoEl.LENlXlRA' , Ant. v. &r. , [v. Anl:esilaos], pp. 70-6; cfr. Russo , Scettici, pp. 163-20 1 , i n particolare 1 7 1 -8 1 ; si veda anche VON ARNIM, S.V. Anl:esilaos oon Pitane, i n RE, n l ( 1 895) coli. 1 1 64-8. Dci maestri di Arcesilao, esclu,

,

,

330

L E I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

so Teofrasto, non si sa molto: ci sono rimasti tuttavia due testi at tribuibili ad Autolico di Pitane, leggibili nell'edizione a c. di F . R . HUI.TSCll , Autolyci de sphaera quae movetur liber, De ortibus et occasionibus libri duo , Leipzig 1 885 , e nell ' altra, più recente, a c. di P. MOGENET, Autolycus de Pitane, histoire du texte, suivie de l'édition critique des Traités ' , Louvain 1950. Su Autolico, cfr. ancora HEATH , Greek Matbematics, I, pp. 348·53 . • D . L . IV 29. 9 DAL PRA, Scetticismo greco, I, p . 1 1 7 : l ' A ricorda la spiegazione d e l passag­ gio all'Accademia, qui richiamata e già ' di CREDARO, Scetticismo Accad. , I , pp. 128-9; radicalmente diversa è la tesi di WEISCHE , Cicero neue Akad, pp. 1 8-20, il quale individua un' origine peripatetico-teofrastea dello scetticismo di Arcesilao, una tesi che Russo, Scettici, nota 8, p. 1 3 8 , giudic a , per quanto audace, « non solidamente dimostrata ». Contro Weische potrebbe forse valere la data del pro­ babile ingresso nell'Accademia di Arcesilao e la conseguente possibilità di con­ frontare la durata della sua permanenza in questa e nel Liceo : Diogene Laerzio (IV 30) attribuisce personalmente a Teofrasto il rammarico di aver perso un allie­ vo cosl valido, per cui il passaggio di Arcesilao all' Accademia va collocato " pri­ ma " della morte di Teofrasto (la cui data presunta oscilla fra il 288 ed il 284); se Arcesilao prende lo scolarcato dell' Accademia dopo C r a t e t e , n e l 268, re sta nel­ l'Accademia stessa, come allievo, per 1 5 -20 anni. È impossibile che una perma­ nenza cosl lunga nella scuola non incidesse, e significativamente, sull a sua formazione filosofica. Cfr. ancora IOPPOLO, Opinione e scienza, pp. 1 5 0- 1 . I O A questo specifico proposito rimando a l mio breve saggio Arcesilao, Car­ neade matem. , sul quale tornerò anche in seguito. 1 1 Le due posizioni estreme in merito sono tenute per esempio da L. HAAS, De pbilosopborum scepticorum successionibus eorumque usque a d Sextum Empiri­ cum scriptis, Wirceburgi 1875, p. 2 1 (il quale ritiene totale il debito di Arcesilao nei confronti di Pirrone), e da BROCHARD, Sceptiques, p. 97 sgg. (il quale pensa viceversa sia stata inutile !'influenza pirroniana). Più equilibrati paiono i nostri critici: cfr. DAL PRA, Scetticismo greco, I, pp. 124-5 ; per una ricostruzione dello status quaestionis, cfr. ivi, p. 122 sgg . , e già KUMER, Plat. beli. Pbi l. , pp. 5 - 1 3 : Kramer i n particolare ritiene che i l metodo arcesilaico sia prosecuzione della dia­ lettica protoaccademica descritta negli stessi Topici aristotelici (ivi, pp. 14-27); egli tende in generale a sottolineare gli elementi di . . continuità " fra Accademia antica e nuova (ivi, pp. 5 1 -75), soprattutto per la svalutazione (già platonica) della conoscibilità del sensibile, attraverso la dottrina senocratea del flusso (aènaon) ed il rifiuto speusippeo ed aristotelico della stessa validità dell'universale come oggetto di conoscenza, fino alla sospensione arcesilaica del giudizio: pare però difficile spingere fino a questo punto l'interpretazione della continuità che la prassi dialettica avrebbe avuto in Platone, nell' Accademia antica e nella nuova, poiché la svalutazione pur comune del sensibile, dell'individuale e del contingente porte­ rebbe ad esiti gnoseologici fra loro del tutto diversi. 1 2 CIC. Lucull. VI 1 8 . •

.

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

33 1

I ) SEXT. adv. math. VII 248-252 ; VII 154; CIC. Lucull. LXXIX-cvm (in partico­ lare LXXxvII-cvm) , e SEXT. adv. math. VII 402-4 1 1 , citano tutta una serie di argo­ menti in favore della tesi secondo cui, in realtà, non è possibile trovare una rappresentazione che non possa essere anche falsa, dato che i sensi, limitati, mo­ strano talora le cose per come .. non " sono; Cicerone scrive avendo come fonte probabile ii i libro del IIEpl l1toxfjç di Clitomaco, allievo di Carneade, ed il secon­ do attribuisce quanto va riferendo « ai seguaci di Carneade .. , ma è probabile che il nucleo originario di tali argomentazioni risalga proprio ad Arcesilao ed alla sua polemica contro la tesi di Zenone e di Cleante, secondo cui la sensazione è un'im­ pressione eccitata in noi dall'esterno. Cfr. DAL PRA Scetticismo greco, I, p. 1 3 1 sgg . . 1 4 CIC. Lucull. xvm 5 9 . Arcesilao ampliò probabilmente l a nozione stoica di &1tOX7l 1tEpl 'tOU cXxcx'texÀij1t'tou (sospensione del giudizio su ciò che non appare evidente) trasformandola in &1tOX7l 1tEpl 1tcXY't(o)v ed a lui DAL PRA, Scetticismo greco, I, pp. 143-4, e nota 92, p. 144, attribuisce l'invenzione del termine stesso epochè. " Per la contrapposizione alla Stoa, ricostruita secondo una prospettiva neo­ pitagorica, si veda NUMENIUS, apud Eus. praep. evo XIV 5, 10-6, 14 (cfr. la raccol­ ta di Russo, Scettici, pp. 1 8 1 -7); per il preteso dogmatismo di Arcesilao, cfr. SEXT. py"h. hyp. I 232-234, 233 in particolare: sono concordi nel ritenere infondata l'accusa CREDARO, Scetticismo Accad. , II , pp. 38-43 ; ROBIN, Py"hon, e DAL PRA Scetticismo greco, I, p. 1 4 7 . DAL PRA, ivi, pp. 157-60, ha poi esaminato la tesi di un presunto dogmatismo esoterico di Arcesilao, il quale si sarebbe mostrato scettico all'esterno, ma sarebbe stato platonico all'interno della scuola (convergo­ no su tale tesi: SEXT. py"h. hyp. I 234; CIC. Lucull. xvm 60; AUGusT. contra Acad. m 37-4 1 , e NUMENIUS, apud Eus. praep. evo XIV 6, 4 sgg.): DAL PRA, esami­ nate queste testimonianze, le trova inconsistenti e concorda perciò con ROBIN, Py"hon, p. 68, e BROCHARD, Sceptiques, pp. 1 15-9, nel ritenere infondato " an­ che " questo discorso. Sul problema cfr. ancora C. LEVY, Scepticisme et dogmati­ sme dons l'Académie: ' /'ésotérisme ' d'Arcésilas, « REL .. , LVI, ( 1 978) pp. 335-48. Una ricalibratura del valore dialettico ed antistoico delle argomentazioni arcesilai­ che sull' epochè e sull' èu/ogon è stata di recente sostenuta dalla IOPPOLO, ' Eulo­ gon ' (cfr. in/ra nota 20), e soprattutto Opinione e scienza, p. 1 2 1 sgg. 1 6 Scetticismo greco, I, p. 1 6 3 . L'A. dichiara il suo debito, per la distinzione fra realtà ed apparenza, centrale nello scetticismo, alla STOUGH, Greek Scepticism, p. 20 sgg. in particolare (altrettanto precisamente egli indica comunque pregi e limiti di questo studio: Scetticismo greco, I, pp. 22-30) . 1 7 SEXT. py"". hyp. I 1-4, corsivo mio, nella trad. ita!. di Russo, Scettici, p. 1 4 1 . 18 Cfr. i l mio saggio Arcesilao, Carneade matem. , p p . 185-6; sulla testimo­ nianza di Timone secondo cui Pirrone sosteneva che le cose sono appunto cì:8tcXCPO PCX , cXcn:ti9IJ.Tj'tex e cXVE1tlxpt'tex, cfr. ARISTOCLE, apud Eus. praep. evo XIV 18, 3 . Riprendo qui quanto già rilevato alla nota 1 1 , contro l' interpretazione kriimeriana del rap­ porto Accademia antica-nuova in termini di continuità: l'Accademia scettica man­ tiene certamente la metodica confutatoria e dialettica, ma perde la nozione di un oggetto eterno ed i m m u t ahile di conoscenza (sia esso idea e/o numero) e ,

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d'altronde di un ordine onnicomprensivo del reale, garantito dalla stessa rilevanza ontologica di questi fondamenti conoscitivi; pare infine che nell' Accademia scet­ tica non vi sia traccia né della mathesis universalis protoaccademica, né della Gei­ stmetaphysik che Kramer stesso attribuisce a Senocrate_ Per tali mancanze, se è corretto ed utile indicare " anche " (e forse " soprattutto ") nella dialettica socra­ tica e platonico-accademica l'antecedente della metodologia propria dello scettici­ smo arcesilaico e carneadiano, vanno nel contempo colti gli elementi di " rottura " - ben più rilevanti - che quest'ultimo presenta rispetto alla tradizione socratico­ platonica ed al razionalismo greco in generale . • 9 SEXT. adv. math. vn 1 5 8 (cito nella traduzione di DAL PRA, Scetticismo greco, l, p. 1 4 7 , corsivo mio) . Russo, Scettici, nota 16, p. 167, richiama anche la spiegazione di tiiÀO'Y'OIl «�iwfLCt della Suda, come « ciò che presenta un maggior numero di pretesti per la verità .. , e paragona la nozione di èu/ogon a quella stoica di axìoma. Cfr. ancora le accurate considerazioni di ordine filologico della IopPO­ LO, . Eu/ogon ', pp. 1 42-52 . 20 Cfr. il breve status quaestionis in proposito di Russo, Scettici, nota 16, pp. 167-8, e le notazioni già di DAL PRA, Scetticismo greco, l , p. 148: questi rileva, in particolare, con CREDARO, Scetticismo Accad. , n, pp. 45-58, e con la SroUGH, Greek Scepticism, nota 32, pp. 50- l , come, mentre il pithanòn carneadiano avreb­ be un valore anche teoretico ( ciò che fa su di noi l'impressione del vero), il criterio arcesilaico avrebbe funzione eminentemente pratica. Per la seconda que­ stione, il valore puramente dialettico dell' èu/ogon è sostenuto, con argomentazio­ ni convincenti, da DAL PRA, Scetticismo greco, l , pp. 1 48-56, sulla scia di ROBIN, Pyrrhon, pp. 61-4: secondo Dal Pra, Arcesilao si limiterebbe a ritorcere l'èu/ogon contro la dottrina stoica di una doppia morale, una razionalistica, fondata sulla conoscenza della verità ed in tanto fallimentare, l'altra realistica e pragmatistica, fondata sul semplice xotOfjXOII. Se è condividibile l'ipotesi della IOPPOLO, • Eu/o­ gon ', p. 1 5 1 sgg . , che Arcesilao avrebbe introdotto la nozione di azione « ragione­ vole .. o « retta .. « non soltanto per motivi antistoici .. (cfr. Opinione e scienza, p. 121 sgg.), va rifiutata una positività dell' èu/ogon che ricoinvolga l'impianto pessi­ mistico della gnoseologia arcesilaica, se ciò reintroduce una contraddizione fra l'indicazione per cui non si può sapere nulla, salvo appunto che non si può sapere nulla (come assunzione positiva). Tale contraddizione non poteva restare inavver­ tita in un dialettico smaliziato come Arcesilào. 2 . Russo, Scettici, pp. 168-9. Anche secondo KRAMER, Plat. hel/. Phi/. , pp. 75-107 (96- 107 in particolare), la concezione protoaccademica del mondo sensibi­ le, come soggetto al principio del più e del meno, si prolungherebbe nell'ellenismo e la stessa dottrina protoaccademica delle categorie si ripresenterebbe nell' Acca­ demia nuova, pur svuotata del tratto metafisico-ontologico: in tale quadro po­ trebbe perciò rientrare anche il buon calcolo " arcesilaico. Si può, ancora, ridimensionare la portata di questa continuità, ribadendo che non pare irrilevante la perdita scettica della funzione " ontologica " del rapporto " più-meno " . 2 2 Sulla fondazione della " terza " Accademia d a parte di Carneade, cfr. SEXT. =

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py"h. hyp. 1 220-22 1 ; sull'assunzione dello scolarcato e sulla cronologia della vita, cfr. GALEN . hist. phi/. 3, e Index Herculanensis, xxv 4 sgg. 2 ) Cfr. C. GEFFERS, De Arcesilai successoribus, Gi:ittingen 1842; W. CAPEL­ LE, s.v. Lakydes, in RE, XII 1 ( 1 924) coli. 5 30-2, per i problemi della cronologia di Lacide e per le datazioni differenti rispettivamente dell' Index Herculanensis (XXVII 1 sgg.) e di D . L. (IV 6 1 ) ; cfr. ancora DAL PRA, Scetticismo greco, l, pp. 165-6, e Russo, Scettici, pp. 205-6. Significativa può essere per noi la notizia laerziana secondo cui Lacide iniziò " tardi " a studiare geometria (D.L. IV 60), in contrasto con la tradizione pedagogica platonica e protoaccademica; cosi già GOEDECKEMEYER, Griech. Skeptizismus, e Russo , Scettici, nota 8, p. 208. ,. DAL PRA, Scetticismo greco, l, pp. 167-8, per la formazione di Carneade; dell'ambasceria a Roma rende conto PLuT. Cat. Ma. 222-223 ; cfr. in merito DAL PRA, Scetticismo greco, l, pp. 169-7 1 , nonché Russo, Scettici, pp. 230-2. 2 ' Cfr. elC. VaIT. XII 46. 26 D.L. IV 62 . 2 7 Per lo stretto legame Crisippo-Carneade e per la " sentenza " citata, cfr. D.L. IV 62; per la contrapposizione fra un'esegesi radicalmente dialettica e speci­ ficamente antistoica del pensiero carneadiano ed una sua lettura al contrario in senso positivo, si vedano le due posizioni emblematicamente diverse di DAL PRA, Scetticismo greco, l, sulla scia, ancora, della letteratura francese (Couissin, Robin) , e, sull'altro versante, della NONVEL PIERI, Carneade, in accordo viceversa con i risultati della letteratura anglosassone (la già ricordata Stough, ma anche LoNG, He/lenistic Phi/osophy, cit . ) . Dei rispettivi debiti nei confronti dei due diversi am­ biti geografici e di ricerca e del divaricarsi delle esegesi su Carneade, sono consa­ pevoli d'altronde tanto DAL FRA, Scetticismo greco, l, nota 2 1 8, p. 283, quanto la NONVEL PIERI , Carneade, pp. 103-4. Legge in senso non solo antistoico il pen­ siero di Carneade la IoPPOLO, Opinione e scienza, p. 193 sgg . , pur accettando che esso approdi soltanto ad una « certezza soggettiva » (p. 207) . 28 D.L. IV 62. 2. CIC . de nato deor. m 3 1 , 76-78; DAL FRA, Scetticismo greco, l , p . 209. ) 0 SEXT. adv. math. VII 402 , cfr. 248 e 252, trad. di A. Russo, Bari 1975. ) ! SEXT. adv. math. VII 402-403 ; benché Sesto dica che Carneade rifiutava solo « l'ultima parte della definizione stoica », questo rifiuto evidentemente coin­ volge la definizione nel suo complesso. ) 2 SEXT. adv. math. VII 164; cfr. CIC . de nato deor. l 5, 12, e Lucull. xm 42: vo/unt eHicere iis omnibus quae visa sint veris adiuncta esse falsa quae a veris nihi/ diHerant; ea cum talia sint non posse comprehendi. Sull'indistinguibilità delle sensazioni, cfr. la STOUGH, Greek Scepticism, pp. 42-4; DAL PRA, Scetticismo gre­ co, I, pp. 1 74-8 1 , indica le argomentazioni specifiche usate da Carneade, per fon­ dare tale indistinguibilità; cfr. anche NONVEL PIERI, Carneade, p. 17 sgg . ; IoPPOLO, Opinione e scienza, pp. 198-9. " DAL PRA , Scetticismo greco, l , p. 1 7 5 . .. Sulla distinzione dei modi d'essere della sensazione « l'uno in relazione

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all'oggetto rappresentato, l'altro in relazione al soggetto che formula la rappresen­ tazione », cfr. SEXT. adv. math. VII 168- 1 70. La rottura della relazione realistica è ammessa dalla STOUGH, Greek Scepticism, p. 49, ed anche per lei comporta un' ac­ centuazione della dimensione soggettiva delle sensazioni (-Ij 'l',) , indica­ zione a sua volta mancante nel DidIJskalikòs; questo poi perde

ALCUNE CONNESSIONI

- ed è più grave ancora - le precisazioni platoniche circa i ca­ ratteri della liUTj ureo9tatç, quella utile appunto a rendere ragione della prima: per Platone infatti, l'ipotesi da scegliersi dev'essere i1'ttç 'tWII lillw9tll �tÀ'tLa'tTj cpCXLIIQt'tO, cioè una proposizione " ante­ riore " e " più universale " rispetto alla precedente, della quale, allo " stesso modo di prima " , si mostri la sostanziale incontrad­ dittorietà, fino a giungere treL 'tt LXCXIIOIl86• Se nel Didaskalikòs re­ stasse traccia del carattere di questa seconda ipotesi (appunto « la migliore fra quelle che sono più in alto ») , sarebbe superflua la successiva indicazione ad esaminare se l'ipotesi fatta per prima " consegua " a questa seconda (&1 'tò repoupoll ureou9tll recXÀw ta'tLII IÌxoÀou9011 liU'(I ureo9iatt) : ma la genericità del riferimento " albi­ niano " a questa liUTj ureo9tatç esige tale precisazione ed essa a sua volta creerebbe una concatenabilità fra le ipotesi in gioco, appunto secondo l'akolouthìa (verosimilmente l'implicazione lo­ gica stoica segnalata da Hintikka e Remes) , che nel testo platoni­ co non è elemento centrale e che suggerisce un'influenza sul nostro autore di ambiti, come quello matematico, nei quali valga appun­ to questa stretta concatenabilità secondo l'akolouthìa fra propo­ sizioni più universali e pròteroi ed altre particolari ed hysteroi87 • Differenza vi è infine fra i punti d i arrivo dei due procedi­ menti, appunto fra il sommesso treL 'tt LXCXIIOII di Platone ed il più compromettente treL 'ttllCX IÌPX7J1I &:wrco9t't0ll del Didaskalikòs, espres­ sione che, giustificata dalla pretesa esplicita che il terzo tipo di analisi giunga " ai principi " , ha rimandato appunto, ancora, al VI libro della Repubblica88• In realtà, solo su un piano generale sono raffrontabili la definizione del Didaskalikòs e quanto la Re­ pubblica dice del salire dialettico tre'lÌpX7J1I IÌwreo9t'toll: in questo caso l'eccesso d'informazione è nel Didaskalikòs, poiché la Re­ pubblica segnala solo la capacità della dialettica di servirsi delle ipotesi non come di principi, ma come di ipotesi vere e proprie, per salire appunto « sino a ciò che non ha più presupposti, al prin­ cipio del tutto », ma non prescrive affatto che le ipotesi, per rag­ giungere questo scopo, siano trattate nel modo indicato dal terzo tipo dell' analisi " albiniana "89: è solo forzando il testo platonico a d ire ciò che esso di fatto non dice e nd l u SIll'rllnza forse di

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trovare un commento esplicativo di ciò che appunto la Repubbli­ ca non dice, che si può paragonare puntualmente questo testo platonico ed il Didaskalikòs circa il procedimento le ù1toOtatw� l1t'cXllu1tOOt'tou� cXp",cX�. L'unico punto - pure importante - di raffronto fra i due testi resterebbe il comune accenno all' anipotetico : ma, anche a questo proposito, ed è circostanza particolare, mentre la Repub­ blica parla sempre dell' cXP"'1J cX\lU1toOt'to� in termini tali da farne supporre l' ' ' unicità " (al punto che la tematica del Bene della Re­ pubblica sarebbe stata una delle basi del monismo neopitagorico e neoplatonico) , l' autore del Didaskalikòs, " tutte " le volte in cui usa l'espressione analoga a quella di Platone, lo fa o adottando il plurale (t1tL 'tÒt� cX\lU1toOt'tou� cXp",cX�; t1tL 'tÒt 1tpw'tcx XCXL cXP",LxÒt XCXL cXIIU1tOOt'tCX) , o comunque lasciando intendere che il principio in questione non sia affatto unico (l1tL 'tLIICX cXP"'1JII cXIIU1tOOt'tOIl)90 Il passaggio dal singolare al plurale per un'espressione che, nella Re­ pubblica, doveva avere un significato abbastanza forte e preciso, può avere varie spiegazioni (ricordando sempre comunque che an­ che per " Albino " l' approdo agli « anipotetici » è tratto caratte­ rizzante la dialettica e distintivo di essa rispetto alla matematica e che tale approdo le sarebbe possibile soprattutto mediante il terzo tipo di analisi) : l' autore dell'opera usa il plurale, perché il punto d' arrivo del terzo tipo di analisi sono le idee (ma ciò non è affatto probabile, sia perché l'espressione semitecnica del Dida­ skalikòs ad indicare le idee è 'tÒt 1tpw'tcx IIOTj'tcX e non 'tÒt cX\lU1toOt'tcx, sia perché in tal caso il terzo tipo di analisi sarebbe una sostan­ ziale ripetizione del primo)9 1 ; oppure ancora chi scrive il Didaska­ likòs usa il plurale, perché nel suo pensiero i principi sono effettivamente molti, cioè Dio, gli intelligibili, la materia (ma Pla­ tone, cui è stata attribuita una dottrina dei principi del pari dua­ listica, usa nella Repubblica l'espressione in questione al singolare, conferendole con ciò appunto un significato ontologico forte, che il suo glossatore medioplatonico mostra una volta di più di non capire)92; oppure infine il nostro autore usa il termine archè al plurale, poiché, insieme al testo platonico, cui egli si riaggancia con la " libertà " più volte rilevata e dal quale certamente trae 0 0 0

o

ALCUNE CONNES SIONI

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l' attributo cXV\J7toOt'tor;, egli s i rifà a tradizioni culturali o forse ad­ dirittura a specifiche sedi testuali in cui - anche in eventuali definizioni del procedimento di analisi - il termine archè veniva usato " legittimamente " al plurale. Alludo qui evidentemente al­ la tradizione ed alla storia della matematica greca, la quale, a par­ tire dal trattato euclideo e dalle forme di diffusione manualistica di esso, in uso nelle scuole ellenistiche, chiamava archài, come già si è visto, le definizioni, i postulati e le nozioni comuni. Vanno dunque valutati il modo ed il grado della presenza di questa tradizione, nell' organizzazione " albiniana " dei tre tipi suddetti di analisi come parti proprie della dialettica (platonica) : già si è mostrata la parziale infedeltà a Platone, per questo tema, del nostro autore, non solo perché nei dialoghi non figura la pa­ rola anàlysis e men che meno in connessione con la dialettica o secondo la tabulazione del Didaskalikòs, ma soprattutto perché " Albino " non si limita, come nell' analisi del primo tipo, a chia­ mare " analisi " ciò che Platone poteva chiamare altrimenti; egli mostra, soprattutto con la definizione dell' analisi del terzo tipo, di avere presenti i contesti dei dialoghi in cui Platone procede con la dialettica " all' in su " , e dunque analiticamente, verso i prin­ cipi, ma mostra contemporaneamente di non saper più leggere sino in fondo questi passi (o di non aver più bisogno di leggerli sino in fondo) e di trascurarne perciò elementi teorici fondamentali. Eppure la terminologia del Didaskalikòs è più tecnica di quella platonica, non solo nel secondo tipo di analisi, dove, nonostante lo scoraggiante scollamento rispetto a tutte le sedi platoniche in­ dicate dai critici come possibili termini di riferimento e a dispet­ to della scarsa perspicuità della definizione proposta, il nostro autore mostra tuttavia di disporre di un vocabolario efficace ed ormai consolidato dall'uso. Termini come o C7J'twv ('tò C7J'tOUlLtVOV nel secondo tipo di analisi) , cXxoÀouOtiv ed cXxoÀouOov, per quanto d'uso comune ed in accezioni assai vaste nella prosa filosofica gre­ ca, insieme con lo stesso anàlysis e con l'espressione 'tò 0ILOÀO­ YOUlLtVOV, figurante a sua volta nel secondo tipo di analisi, non possono non assumere un certo grado di tecnicità rispetto all'ana­

lisi praticata nella matematica93 •

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È ipotizzabile dunque che il nostro autore, il quale doveva conoscere almeno la geometria elementare e l' aritmetica delle scuo­ le ellenistiche e che doveva riservare loro la considerazione pre­ sumibile in un platonico ortodosso, qualifichi in generale (e forse " per la prima volta " ) " analisi " il procedimento dialettico che indaga le cose a partire dal basso, in ragione appunto della dire­ zione di movimento condivisa in questo caso dalla dialettica e dall' analisi geometrica. Quando poi egli deve approfondire ed esemplificare i procedimenti della " analisi dialettica " ed i suoi specifici punti di partenza e di arrivo guarda sl ai dialoghi, ma non può dimenticare la tradizione matematica, nella quale legitti­ mamente s'inscrive prima la pratica e poi la teorizzazione (e forse la definizione del xm libro degli Elementi euclidei) dell'analisi stes­ sa come metodo di ricerca e di dimostrazione: se dunque il suo primo tipo di analisi conserva una certa ortodossia rispetto alla dialettica platonica, già il secondo rivela una qualche compene­ trazione fra una metodica specificamente matematica ed una me­ todica propriamente dialettica, per l'ammissione che l'implicazione reciproca fra le proposizioni, che già Aristotele aveva riconosciu­ to come valida ILciÀÀol/ ÈI/ 1:0L� IL0t91iILOtaLI/, si dia " anche in sede dialettica " , quando sia possibile IÌ7t08tLXI/UtLI/ 1:Òt 7tp61:tpOt IÌ7tÒ 1:WI/ ua"ttpWI/. Ma è soprattutto il terzo tipo di analisi che mostra tale aggancio a contesti matematici: l'indicazione che il ricercatore ax07ttL 1:L IÌxOÀOU9tL all'ipotesi fatta rimanderebbe più all'esame con­ dotto 8LÒt 1:WI/ IÌxoÀou9wI/ della definizione euclidea di analisi, che all'indagine del Fedone platonico sulla consistenza reciproca delle conseguenze di un'ipotesi (1:Òt oPILTj9tll"t0t [ ] d �ILCPWl/tL 0tÀÀ1iÀO�)94; il ricorso ad un'ipotesi cui la prima possa essere a sua volta (7tcXÀLI/) IÌx6Àou9o�, come termine di riferimento per rendere ragione di questa, rimanda poi all'organizzazione sistematica delle proposi­ zioni geometriche - dalle più universali, note e prime, alle parti­ colari e seconde - tipica dell'opera euclidea ed alla stretta concat�nazione che essa instaura fra le proposizioni medesime, a partire appunto dai " principi " ; 1' accenno infine agli IÌPXLXÒt IÌl/u7t69t1:0t " sempre al plurale " confermerebbe un quadro di rife­ rimento matematico, ben diverso da quello (la Repubblica) dal qua• . •

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le l' autore del Didaskalikòs trae questa espressione. Non sarebbe casuale infine che di questo terzo tipo di analisi non si citino esempi e verrebbe anzi da chiedersi quale testo dei dialoghi potrebbe il­ lustrarlo. Che la compenetrazione fra ciò che Platone aveva origina­ riamente teorizzato come metodica filosofica (dialettica) e ciò che all'altezza storica dell' autore del Didaskalikòs già da tempo era stato definito in generale come metodo propriamente matemati­ co, che tale compenetrazione configuri di fatto una posizione di stampo matematistico, nei termini sopra delimitati, è dunque ve­ ro: ma è altrettanto fondata un'attenuazione del grado di consa­ pevolezza e quindi di reale responsabilità dell' autore del Didaskalikòs nel condurre questa operazione. Egli non pare con­ sapevole, con la sua sistemazione dell'analisi quale parte propria della dialettica, di confondere dialettica e matematica (come non lo erano, sul fronte dell'oggetto della matematica, i primi Acca­ demici), né verosimilmente " vuole " confonderle, e ne dichiara anzi apertamente la distinguibilità, in omaggio alla posizione ori­ ginariamente platonica: egli sembra perciò matematista (sul ver­ sante formale) più suo malgrado, che volontariamente e consapevolmente. Il risultato cui egli giunge è inscrivibile piutto­ sto nello sforzo di rimeditazione e di sistemazione del pensiero platonico compiuto dal platonismo medio, sforzo nel quale pare legittimo ed efficace anche varcare i limiti, dottrinali e termino­ logici, di quello stesso pensiero e far riconfluire in esso, per illu­ strarlo, teorie, concetti, definizioni e termini ad esso estranei. Nulla di strano dunque che l' autore del Didaskalikòs, conoscendo la dialettica come " via all' in su " , verso i principi, la chiamasse " analisi " e che si sforzasse poi di chiarirla, con le descrizioni e le definizioni che dell' analisi venivano proposte in altre sedi tecniche (Aristotele) od in altri ambiti disciplinari (la tradizione matematica) . Si può parlare dunque solo molto cautamente di una mathe­ sis universalis nel Didaskalikòs, intesa come perdita di una specifi­ ca fisionomia metodica rispettivamente della dialettica e della matematica e come iniziale compenetrazione dei due ambiti di

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sapere; l'involontarietà e l'inconsapevolezza con le quali presumi­ bilmente l' autore del nostro scritto conduce l'operazione sopra illustrata attenuano tutto sommato il reale peso del suo matema­ tismo. Nonostante ciò, l'operazione suddetta non perde un suo oggettivo e rilevante grado di gravità, sia per il fatto che l' autore del Didaskalikòs si contraddice (nella sua dichiarata fedeltà a Pla­ tone e, più particolarmente, nell' affermata distinguibilità fra dia­ lettica e matematica) , sia soprattutto perché, dato il carattere stesso di manuale, di commento a Platone, del Didaskalikòs, è verosimi­ le che, insieme ad altre dottrine, anche la sovrapposizione fra la dialettica (filosofia) e l' analisi (matematica) potesse diventare un tòpos progressivamente comune nella tradizione platonica, e co­ me nuova acquisizione e come interpretazione del platonismo ori­ ginario . Sulla significanza del costituirsi di una simile tradizione si può utilmente riflettere, qualora si ammetta che l' autore del nostro scritto sia l'Albino tanto noto e studiato presso i Neopla­ tonici9' .

C) LA CADUTA DELLA MATEMATIZZAZIONE NELLA IDEENLEHRE ME­ DIOPLATONICA. PLUTARCO, LA cl>IAH API9MHTIKH ED IL PITAGORISMO Del medioplatonismo sono interessanti per il nostro tema due aspetti particolari: il riferimento preminente e talora esclusivo ai dialoghi, quali fonte del pensiero di Platone; la dottrina delle idee, che, per quanto sia riconducibile a lineamenti comuni e benché esibisca tratti nuovi, originali e costituenti talora effettive tappe di evoluzione verso il neoplatonismo, perderebbe comunque l'a­ spetto, tipico della dottrina delle idee protoaccademica, che assi­ milava le idee stesse ai numeri; il medioplatonismo attua infatti una matematizzazione ontologica del primo principio, di Dio, nel suo rapporto con i principiati, piuttosto che delle idee, che confi­ gura per lo più come pensieri di Dio stesso . Il primo di questi due aspetti, già esemplificato nell'esame appena condotto sul Didaskalikòs, è significativo rispetto alla ve­ xata quaestio del pensiero platonico non scritto: i commentatori

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dei primi secoli dell'era cristiana, proprio come l' autore del Di­ daskalikòs, si attengono per lo più ai dialoghi quale fonte valida per la conoscenza di Platone, citano passi dei dialoghi a sostegno delle teorie a questi attribuite - con maggiore o minore grado di legittimità - e non sembrano comunque avvertiti di alcun contrasto fra i dialoghi medesimi ed un nucleo di platonismo esoterico, conoscibile per vie diverse. l Medioplatonici ignore­ rebbero dunque un platonismo orale o ne avrebbero persa la memoria. Ciò vale anche nei casi in cui parrebbe possibile un riferimento al platonismo esoterico, ed in cui ciò che sappiamo di questo ci porterebbe addirittura ad attenderci un simile riferi­ mento: di àgrapha dògmata nulla pare sapere Apuleio, che pure, nei capitoli iniziali del suo De Platone et eius dogmate, sottolinea la forte dipendenza di Platone da Pitagora e di pitagorismo, seppur rimaneggiato, si sarebbero sostanziate le dottrine platoni­ che non scritte9 6 • La dottrina dei principi, che il medioplatoni­ smo accoglie ed elabora per lo più in una tripartizione individuante i principi stessi in Dio, nelle idee e nella materia e che sarebbe stata, secondo alcuni, punto focale del platonismo esoterico, è presentata da questi autori senza agganci - né posi­ tivi, né polemici - a ciò che Platone avrebbe " detto " sui prin­ cipi stessi: persino Plutarco, come vedremo il più pitagorizzante dei Medioplatonici in tema di dottrina dei principi, il quale critica Platone per essersi espresso 7toÀÀOtxoii in forma oscura circa i principi stessi, indica poi, come sede nella quale final­ mente il maestro avrebbe a questo proposito parlato OÙ 8L'OttIlLY!J.W1I Où8& au(.L�OÀLxéi)t; (Is. et Oso 3 70 F) , non gli àgrapha dògmata, ma il passo delle Leggi sulla psychè cosmica. Infine il Timeo, il dialo­ go più letto, commentato ed utilizzato dai Medioplatonici, il dialogo più sostanziato di pitagorismo, il dialogo citato da Ari­ stotele in relazione ai platonici ÀE.yO(.LE.IIOt !XYPOtCPOt 86y(.LOt'tOt e per la tematica della Diade-materia, è studiato per lo più senza ac­ cenni a teorie orali di Platone connesse alle dottrine del dialogo stesso. Sarebbe dunque proficuamente conducibile una ricerca tesa a documentare l' ignoranza, o la voluta messa tra parentesi, di

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LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

una tradizione platonica non scritta da parte dei Medioplatonici e che nel contempo ne espliciti le cause. (I Medioplatonici non conoscevano il platonismo orale; potevano conoscerlo, quanto­ meno dalle relazioni protoaccademiche, ma non ne avevano al­ cun bisogno, perché la nuova prospettiva " demiurgica " risolveva semplicemente il problema del rapporto fra intelligibile e sensi­ bile; essi rappresentano l'ala ortodossa della tradizione platoni­ ca, i chernissiani ante litteram, mentre sono propriamente i Neopitagorici i continuatori del platonismo non scritto; ecc . ) Non è questa però l a sede n é per documentare meglio la circostanza segnalata, né per tentare una risposta al problema del suo verificarsi: i rapporti fra medioplatonismo e platonismo degli àgrapha dògmata non sono stati finora né messi a tema, né studiati (forse perché troppo poco studiato ancora il medio­ platonismo in generale, e troppo recenti certe conclusioni, in odore di " definitività " , sul Platone esoterico stesso) . Questo non vuoI comunque dire che i Medioplatonici non debbano " di fatto " nulla a ciò che è stato ricostruito come platonismo nori scritto: resta però il fatto che essi non indicano fonti diverse dai dialoghi per ciò che credono sia pensiero di Platone. Resta tuttavia da vedere se questa ignoranza significhi, per essi, anche ignoranza o messa tra parentesi di ciò che i primi Accademici, in verosimile aggancio appunto al platonismo esote­ rico, avevano teorizzato, oltre che sui principi, in particolare sulle idee. E qui appunto emerge il secondo degli aspetti partico­ lari del medioplatonismo : benché i Medioplatonici mostrino di conoscere ed addirittura ripropongano alcuni dei concetti della dottrina delle idee protoaccademica (per esempio l' ammissione di idee delle sole realtà naturali), essi trascurano in generale il tratto " più matematistico " della Ideenlehre protoaccademica, e cioè l'assimilazione delle idee a numeri o la sostitu�ione di esse con questi. Questo secondo aspetto del medioplatonismo, poiché più direttamente afferente alla nostra ricerca, esige, a differenza del precedente, di essere rapidamente documentato . Nel Dida­

skalikòs, per esempio, le idee sono trattate in due sedi redazio-

381

ALCUNE CONNESSIONI

nali e teoriche diverse : nel capitolo

IV,

dedicato alla teoria della

conoscenza ed al criterio di verità, e nel

IX,

nella trattazione

della dottrina dei tre principi. Diverso è dunque l' approccio alle idee delle due sedi: gnoseologica è la prospettiva del capitolo IV,

ontologica quella del

IX.

Eppure in nessuna delle due sedi,

nonostante l' emergere di tratti nuovi ed originali e nonostante l'esplicito aggancio, nella seconda sede, alla definizione senocra­ tea di idea come « causa paradigmatica delle cose esistenti secon­ do natura » , in nessuna delle due sedi, dicevo, si ha traccia di

un 'assimilazione delle idee stesse a ' lògoi ' di tipo quantitativo97• Interessante è la definizione generale di idea, preposta, nel capi­ tolo

IX ,

alla trattazione delle idee stesse, nell' ambito della dottri­

na (ontologica) dei tre principi: « L'idea » , scrive " Albino " , « è, in rapporto a Dio, sua intellezione, in rapporto a noi, intelligibi­ le primo, in rapporto alla materia, misura (1tpÒç -div uÀTJv l'é'tpov) , in rapporto al mondo sensibile, modello, in rapporto a se stessa, sostanza »98 . Tratto più importante della definizione è apparso ovviamente quello che l'idea sia 1tpÒç 9e.òv V6TJOLt; cxù'tou, che, poco oltre, è base per una delle prove dell'esistenza delle idee stesse99, e che soprattutto documenta in modo emblematico la trasformazione medioplatonica delle idee in pensieri di Dio 100 . Per il matematismo, sembra invece importante l' altro tratto del­ la definizione, quello per il quale l'idea è " misura della mate­ ria " : anche su questo l' autore del Didaskalikòs costruisce una prova dell'esistenza delle idee, mostrando che se la materia è senza misura per sua stessa natura (cXl'e.'tpOt; [ . . . ] xcx'teX 'tÒV lcxu'tfjt; À610V) , « bisogna che trovi misura in qualcos' altro, migliore e non materiale » ; poiché d' altronde è vera l' antecedente, è vera la conseguente, e perciò « le Idee esistono come misure non mate­ riali (e.loìv cx[ l8 écxL l'é'tpcx 'tLVcX cXuÀcx U1t«PXOUOCXL) »101 . La prova non sembra del tutto completa e coerente, poiché definisce le idee (trascendenti) come l'é'tpcx cXuÀcx e tace su quegli intelligibili secondi, su quelle forme immanenti alla materia, cui più legitti­ mamente spetterebbe il compito di dare ad essa " misura " : la prova comunque conferma una « ridotta propensione » dell' auto­ re del Didaskalikòs

«(

alla teoria della matematizzazione delle idee,

382

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

operata dal tardo Platone e nell' antica Accademia: anche affron­ tando la tematica del metron della materia, l' autore del Didaska­ likòs si limita ad accenni molto generici [ . . . ] »102 . Stessa genericità circa le idee quali mètra della materia si rileva d' altronde al capitolo

XII,

dove, dell' attività demiurgica

generante il mondo e del ruolo giocato in essa da lògoi aritmetici e geometrici, si dice solo : « [ . . .] presa la materia, che si muoveva disordinatamente e sregolatamente prima della nascita del cielo, [Dio] l'ha condotta dal disordine all'ordine più perfetto, dispo­ nendo le parti del mondo con numeri e figure adatti (cXpL9ILOLç "tpt7tOUaL "tcX ILtPTi xoaILTjacxç CXÙ"tOU XCXL axTjILcxaLII) »103 . L' autore del Didaskalikòs mostra dunque, per un verso, di conoscere la dottrina delle idee protoaccademica ed in particola­ re senocratea, sia nel suo riferimento ad una definizione data dai Platonici (Òp(COII"tCXL) dell'idea come 7tCXPa.8tL"YILCX "tWII XCX"tcX cpuaLII

cxlwllLOII, sia nel richiamo alla maggioranza dei Platonici (01 7tÀtLa"tOL "tWII CX7tÒ llÀa."twlloç) , che avrebbe rifiutato idee di arte/acta, di cose contro natura, di individui, di relazioni, ecc . , richiamo que­ sto alle tematiche affrontate già da Aristotele nel De ideis, vero­ similmente in funzione antiaccademica104 : eppure sbiadita risulta nel contempo la matematizzazione delle idee, cosl centrale in Senocrate, poiché l'idea è, sl, mètron della materia, ma anche pensiero di Dio, intelligibile primo e, soprattutto, paràdeigma del sensibile e sostanza; l'essere misura e dunque criterio di razionalizzazione del sensibile secondo il quantum non sembra esaurire la funzione dell'idea stessa e risulta fortemente edulco­ rato rispetto alla dottrina senocratea, che dotava idee e numeri (matematici) della " medesima natura " e che parificava addirit­ tura la funzione determinatrice (7ttpLWpLa"tLXTj) dell'idea rispetto alla materia a quella dei numeri rispetto ai numerati. L'idea " albiniana " non sarebbe perciò " in se stessa " un numero, come lo era quella senocratea, e la sua funzione di

mètron si esplicherebbe del resto nel solo mondo fisico, non nella totalità del reale, che a sua volta ammetterebbe altri criteri di razionalizzazione, verosimilmente, in primis, quello qualitati­ vo dell' idea intesa come paràdeigma (miglior modo d' essere, esse-

ALCUNE CONNESSIONI

383

re pienamente e compiutamente in un certo modo) : il Didaskali­

kòs non matematizza le idee e non riproduce dunque la metafisi­ ca matematistica della prima Accademia. Ancor meno caratterizzabile in tal senso pare la teoria delle idee di Apuleio nel I libro del De Platone et eius dogmate, dove egli rende conto della philosophia naturalis, di quella parte della filosofia che Platone pure avrebbe tratto a Pythagoreism . Le idee sono descritte anche qui nell' ambito della teoria degli initia

rerum, che Apuleio, da medioplatonico e come l' autore del Dida­ skalikòs, ritiene Platone identificasse con la materia, con gli in­ telligibili e con Dio, e la loro trattazione è condotta nei limiti scarni della manualistica scolastica: delle idèai o formae platoni­ che si segnalano infatti genericamente la semplicità, l'eternità e l'incorporeità e se ne ricorda il ruolo paradigmatico rispetto al sensibile, nell' attività demiurgica di Dio; riecheggia forse an­ cora Senocrate la descrizione delle idee quali exempla rerum quae sunt eruntque e che vuole le forme e le figure di tutte le cose « soggette a nascita (gigJ1entium omnium) >> marcate da quegli exem­ pla 10 6 • Apuleio ci dà dunque sulle idee meno informazioni rispet­ to allo stesso Didaskalikòs, poiché tace su un'eventuale distinzione fra idee trascendenti e forme immanenti (benché essa sia forse leggibile nei due appellativi stessi di idèai e formae) , sulla confi­ gurazione delle idee come pensieri di Dio e, circostanza per noi interessante, su un'eventuale funzione di esse quali misure della materia107 • D ' altronde, nel tema successivo della generazio­ ne del mondo, estremamente generico, ed ancor più dello stesso

Didaskalikòs, è il riferimento apuleiano all'uso divino di numeri e misure (numeris et mensuris) per condurre dal disordine all'or­ dine gli elementi primi della materia108 • Se perciò nel Didaskali­ kòs le idee hanno " anche " una funzione razionalizzatrice di tipo quantitativo, quantomeno rispetto alla materia, e che costi­ tuirebbe il labile residuo della matematizzazione protoaccademi­ ca delle idee stesse, nello scarno resoconto dell' apuleiano De

Platone, si sarebbe veramente perduta ogni traccia di questa. Emblematica tuttavia della posizione dei Medioplatonici sulle idee in generale (prima ancora che su un' eventuale matematizza-

384

L E I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

zione di esse) è la dottrina di Plutarco, contenente innaQzitutto una compressione della teoria delle idee tout-court: il " saggio di Cheronea " , come gli altri Medioplatonici, sembra più interes­ sato alla conoscenza di ciò che egli chiama complessivamente

noetòn - ed in cui rientra anche ed in primis Dio - che ad una descrizione e difesa scolastica delle idee 109• Con approssimazione si può perciò concludere che i Medio­ platonici parlano poco delle idee in se stesse, perché conferisco­ no loro un ruolo subordinato rispetto a quello del pròtos theòs, e che praticamente tacciono sul loro eventuale " essere numeri " , benché tutti richiamino l a mediazione di lògoi quantitativi nel­ l'ordinamento cosmogonico della materia originaria. Ciò tuttavia non indicherebbe che, a quest' altezza della storia del platoni­ smo, l'esemplarità della matematica sia perduta, con la tenue eccezione delle intemperanze di " Albino " nei confronti dell' a­ nalisi: i Medioplatonici elaborano in realtà una mathesis universa­

lis, almeno embrionale, conferendole per eli più tratti precisamente anticipatori del matematismo di Proclo. Proprio per Plutarco, per esempio, se in nessun passo delle ottantadue opere rimasteci del catalogo di Lampria compare un'as­ similazione esplicita delle idee ai numeri, il raffinato eclettismo dell' autore di quelle opere sembra contenere un' ipoteca non irri­ levante di matematismo, per l'indubbia conoscenza che Plutarco ha di teorie protoaccademiche (egli è fonte primaria per le dot­ trine di Senocrate, soprattutto per la demonologia) , per le paten­ ti e specifiche " aperture " al pitagorismo e per gli espliciti entusiasmi nutriti verso la matematica. L'uso plutarcheo di que­ sta e delle tradizioni pitagorica e protoaccademica aiuta dunque a chiarire la generale disposizione dei Medioplatonici - che per lo più certamente non matematizzano le idee - verso la matematica stessa quale modello preferenziale di sapere: ciò at­ traverso l'esame di una cultura e di un pensiero che, quali ap­ punto quelli plutarchei, sono peraltro originali e personalissimi. Non è facile per lo storico della filosofia cimentarsi con l'opera di Plutarco, nata con tratti opposti a quelli della piana e scarna manualistica filosofica medioplatonica: gli elementi af-

ALCUNE CONNESSIONI

385

ferenti alla propria disciplina vanno infatti riconosciuti in un testo che non è, né vuole essere, trattato di filosofia e che pure parla di filosofia e propone una filosofia, mentre è soprat­ tutto ricchissima rammemorazione dei più disparati materiali della cultura classica ed ellenistica; l'esegesi filosofica va poi fatta su uno stile non sempre chiaramente propositivo e che cela il pensiero dell' autore dietro l' alternarsi possibilista delle soluzioni contrapponentisi nel dialogo, nella diatriba, negli �7J't'f)ILCX'tCX e dietro gli espedienti drammatici delle figure e delle entrate e delle uscite dei vari personaggi. La letteratura critica relativa, infine, è sterminata e non sempre chiaramente delimitata a sua volta in uno specifico ambito disciplinare. Le conclusioni rag­ giungibili, in particolare in questa sede, sono perciò ipotetiche e provvisorie. La figura di Plutarco è " sospetta " , in rapporto appunto ad un'ipoteca matematistica, innanzitutto per i legami con il pitagorismo, più stretti che in altri Medioplatonici, ed in secon­ do luogo per la sistemazione di tutte le forme di sapere (e perciò anche delle scienze esatte) in un unico LCTtOpeLV, subordinato a sua volta alla conoscenza del divino: i due temi meritano un' a­ nalisi, partendo, per opportunità, dal secondo .

È lo spartano Cleombroto, nelle battute iniziali del De de­ fectu oraculorum, ad incarnare la concezione onnicomprensiva e sistematica che Plutarco aveva del sapere : egli è reduce infatti dall' Egitto e dal Mar Rosso, dove, benestante com'è e perciò libero dal bisogno e desideroso d' altronde di imparare, si è reca­ to, poiché « raccoglieva nozioni (auvTjrev LCTt0PLCXV) come materiale pei' una filosofia che avesse come ultima meta - secondo il suo modo di chiamarla - la teologia »l 1O . Agiatezza, conseguen­ te libertà di axoÀ��ew ed essere qlLÀOlLcx6i)ç fanno parte della tipologia dell'uomo di cultura classico, ma nuova e rilevante appare la subordinazione dell' LCTtopLCX alla filosofia e di questa alla teologia: le stesse opere di Plutarco indicano poi quanto vasto ed articolato fosse nel suo caso l' historèin, comprendente le discipline più disparate, dalla letteratura alla grammatica, dal­ le religioni alle mitologie , dall ' astronomia alla musica, alla geo-

386

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

metria, alle storie speciali. Ammonio, maestro di Plutarco nel­ l'Accademia o, come si è puntualizzato, in " un' " Accademia ricostituitasi ad Atene in età neroniana1 1 1 , ci conferma, sempre nel De defectu, tale rapporto sistematico historìa-filosofia-teologia, inscrive in esso le scienze esatte ed indica il senso della conce­ zione del sapere da esso rappresentata: è una concezione che smantella la superstizione e porta alla profonda, fiduciosa reli­ giosità " filosofica " , di cui Ammonio stesso si fa portavoce alla fine del De E apud Delphos. Nel De defectu dunque, per risolve­ re il problema proposto da Cleombroto (la necessità di una quan­ tità di olio sempre minore per mantenere accesa la lampada votiva, nel tempio egiziano del dio Ammone) , Ammonio mostra che, inutili le interpretazioni catastrofiche come l' accorciamento dell' anno solare, sono proprio le scienze, la fisica, persino l' agra­ ria, a fornire soluzioni più realistiche e meno angosciose. Non è casuale sia Ammonio il pacato, illuminato portavoce di que­ st'uso delle scienze: egli vi si sarebbe formato dall' enciclopedi­ smo culturale di Alessandria, che esprime, proprio fra il I secolo a. C . ed il I secolo d . C . , figure come quelle del platonico pitago­ rizzante Eudoro, studioso anche di astronomia e di idrografia, e dell'astronomo pitagorico Trasillo, editore dei Dialoghi pIa­ tonici 1 1 2 . Meta dell' historèin plutarcheo è certamente la teologia, poi­ ché Plutarco, come Cleombroto, ripone il tèlos neila "tou 7tpw"tou X1U. I culti tradizionali vanno perciò prati­ cati ed i miti narrati ed ascoltati, ma tutti vanno studiati e compresi nella loro origine, nella loro storia, nelle analogie che tracciano la mappa di una sorta di religione universale, e ciò perché il mito è propriamente, rispetto a noi, « enigma del divi­ no (CXt'VL"(!LCX 'tOil 9dou) >> e, rispetto all'Ordinatore delle cose, op"(cxvov e 'ttXVTj di cui egli si serve, svelandosi e celandosi, per trarre a sé il nostro intelletto1 16 • La filosofia avrebbe dunque, nella storia delle religioni, nel culto delfico in particolare, dei grossissimi concorrenti per la designazione di " via regia " al mondo intelligibile e a Dio; nel

De de/ectu, parlando dei poteri della Pizia, Plutarco descrive addirittura i caratteri e le possibilità della conoscenza profetica con espedienti letterari tradizionalmente propri della conoscenza filosofica: Apollo è rappresentato come il sole e la vista si rap­ porta alla luce come l' anima all' afflato profetic01 1 7 • Se l' analogia ha un precedente illustre nella Repubblica, la prospettiva com­ plessiva di essa muterebbe radicalmente, quando alla nòesis, cul­ mine del processo conoscitivo dialettico, si sostituisca il delirio profetico. In un simile contesto, ancor più ridotti sembrerebbero lo spazio e la dignità delle scienze esatte : eppure non è cosl; la religione cui Plutarco tende, con la stesura di trattati come il

De Iside et Osiride, è la religione filosofica del fondamento meta­ fisico , l' attaccamento a Delfi non è che l'ossequio ad Apollo come simbolo storico di quel fondamento e se i sistemi storici del sacro parlano il linguaggio enigmatico che allude a quel fon­ damento, non è meno efficace il ruolo delle scienze esatte, ri­ spetto al tè/os della conoscenza del divino, anzi potrebbe essere esso un ruolo di preminenza. Emblematico i n proposito è già parso ad altri l ' atteggiamen-

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L E IDEE, I NUMERI, L' ORDINE

to con il quale Plutarco, nel De facie in orbe lunae, argomenta circa la natura terrosa (e non ignea od eterea) del nostro pianeta, concludendo poi il trattato con un mito : « mito e scienza, demo­ nologia ed astrofisica stanno effettivamente sullo stesso piano di dignità e collaborano, ciascuno per la sua parte, ad una conce­ zione di cui tutti sono componenti essenziali »118 . Su un piano quantomeno di parità, rispetto alla conoscenza del divino, si pongono d' altronde matematica e religiosità delfica, nella secon­ da parte del De E apud Delphos: le ultime due risposte circa il significato della l, figurante sul frontone del tempio di Apollo delfico, fanno infatti appello, rispettivamente, alla matematica (pitagorica) ed all'ontologia (platonica) : la prima intende la l, quinta lettera dell' alfabeto greco ; come " segno " del numero

5, che, somma del primo pari e del primo dispari, significa per l' aritmologia pitagorica la totalità ordinata del reale; la seconda intende la l come tr, « tu sei » , unica affermazio rie possibile circa l'essere pienamente realizzato del dio ed unica dichiarazione, oltre che vera, compiutamente devota 1 1 9 • Non è casuale d' altra parte che le due riposte siano messe in bocca rispettivamente al Plutarco giovane, allora (nel 66-7 d. C . ) allievo dell' Accade­ mia, ed al suo maestro Ammonio, espediente drammatico con il quale Plutarco conferirebbe rilievo ad entrambe le soluzioni, l' aritmologica e la teologica, rispetto alle prime quattro soluzioni del significato dello ierogramma delfico 120 • In questa sede dun­ que, la matematica, da un lato, e l'ontologia e la religiosità delfica, dall'altro, avrebbero la medesima capacità conoscitiva, la medesima dignità nell' approccio alle verità teologiche e si porrebbero effettivamente in un rapporto di alternanza e di com­ pletamento, non di opzionalità o di subordinazione reciproca. L' historèin plutarcheo comprendeva anche la storia della ma­ tematica greca e le concezioni aritmogeometriche ed aritmologi­ che del pitagorismo e, d' altronde, proprio nel De E Plutarco traccia una propria storia intellettuale rispetto alla matematica stessa; egli attribuisce infatti a se stesso giovane una vera e propria passione per la matematica: « [. . ] allora io ero davvero .

appassionato della matematica ('tT)Vl.XOtu'tcx 1tpoO'txtL!J.TjV .'tor� !J.CX6i)!J.CXO'L

389

ALCUNE CONNESSIONI

lIL7t0t9wç» ), egli ci confessa infatti, e lo era al punto che un altro personaggio, Eustrofo di Atene, raffigurato come suo anti­ c� amico e forse compagno nell'Accademia, invitandolo ad espli­ citare la soluzione aritmologica paragonante la l al 5 , può parlare del giovane Plutarco e di se stesso come di « noi che poniamo

nel numero il fondamento di tutte le cose, degli esseri e dei principi sia divini, che umani e lo riteniamo causa prima di ciò che è bello e prezioso »121 . L' interesse giovanile di Plutarco per quella che Eustrofo stesso, in questo contesto, chiama la (j)o..T} &pL9ILT}­

"tLXTj sembra travalicare dunque la passione di tipo tecnico o erudito (le dimensioni stesse dell' historèin) ed ammettere piutto­ sto, sull'esempio del pitagorismo tradizionale, una vera metafisica matematistica: queste notizie offrirebbero perciò materia di ri­ flessione per la nostra ricerca, oltre che per un approfondimento dei legami di Plutarco con il pitagorismo, se si potesse supporre in lui un perdurare di questa passione giovanile. Plutarco stesso, però, nel medesimo dialogo, prima di dar voce al proprio " dop­ pio " giovane per la soluzione aritmologica e pitagorizzante al problema della l, conclude: « [ . . ] allora io ero davvero appassio­ .

nato della matematica, sebbene di Il a poco tempo, dopo l'in­ gresso nell' Accademia, dovessi prendere ad apprezzare in ogni cosa il detto ' nulla di troppo ' ("tcXXOt 811 ILÉÀÀwV tlç 7tcXV"tOt "tLILTjO"tLV "tò ILT}8èv Otr&v lv 'AxOt8tlLtLQt rtV6ILtVoç» ) 1 22. La prescrizione " nul­ la di troppo " non è accademica, ma delfica, benché tutta l' affer­ mazione sembri uno stratagemma con il quale Plutarco richiama il correttivo dello scetticismo accademico, effettivamente ope­ rante sul suo iniziale dogmatismo pitagorizzantel23 ; anche ora comunque Plutarco ci sfugge; la soluzione aritmologica al proble­ ma della l, ammessa da lui stesso giovane, è solo una fra le soluzioni possibili e spetta ad Ammonio, più attendibile alter ego dell'autore al momento della stesura di questo dialogo, con­ cludere la discussione sulla l delfica con una soluzione - quella ontologica - che richiama piuttosto i nuclei più ortodossi del platonismo : ed Ammonio considera più blandamente la matema­ t ica « una parte non trascurabile della filosofia (où "tÒ (j)OtIlÀ6"tOt"tOV lv IL0t9T}1L0t"tLXn (j)LÀOO"O(j)LOtç "tL9ÉILtVOç) » 1 2 4 .

390

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

Questo sarebbe dunque l' atteggiamento del Plutarco matu­ ro verso la matematica, risultato di un itinerario �ntellettuale dal pitagorismo al platonismo, dalla scienza del numero a quella dell' essere; è comunque interessante richiamare i dati documen­ tanti l'influenza sul nostro autore appunto del pitagorismo : ad esso rimontano l' aritmologia plutarchea, almeno in parte la

Prinzipienlehre dualistica ed infine certi schemi di costruzioni aritmogeometrica dei sòmataI2' . L' aritmologia plutarchea non presenta tratti originali, quan­ tomeno sul piano formale delle ragioni (di alcune ragioni) fon­ danti l'eccellenza di " un certo " numero rispetto agli altri: una trattatistica simile è documentata già all'epoca della nascita di Cristo, come la sezione sull' eccellénza del numero 7 nel filonia­ no De opificio mundi, e fino appunto al II secolo, come la misti­ ca teologizzante dei primi dieci numeri, nei Theologoùmena

Arithmetikà di Nicomaco di Gerasa; se già il richiamo a Filone la può dire lunga sulle probabili interazioni, in questa tematica, fra tradizione pitagorica ed aritmosofia orientale, si potrebbe d' altronde delineare una storia dell' aritmologia e cogliere cosl, in un' area tematica formalmente comune, accentuazioni ed obiet­ tivi spesso diversi da un autore all' altro . Nel caso di Plutarco, è lui stesso, in due passi del De lside

et Osiride, prima, a collegarsi esplicitamente al pitagorismo per l' aritmologia e poi ad indicare il senso per lui corretto di una trattazione aritmologica. Parlando dunque in generale dei " se­ gni " del divino, egli ricorda che : «l Pitagorici adornarono anche numeri e figure con nomi di divinità (XOtt cipt9lJ.oùt; XOtt ax-/jIJ.Ot"tOt

9tWV ixoalJ.7JaOtV 1tpOCJ7jyOpLOttt;) »126: il triangolo equilatero, egli con­ tinua esemplificando, è Atena, nata dal capo di Zeus; l'uno è Apollo (ci-1toÀut;) , per il rifiuto della molteplicità e per la sem­ plicità della monade (8t'cX1tÀ0"t7J"tOt "tTit; lJ.ov&8ot;) ; il 2, contrapposi­ zione di 2 unità, è la contesa; il 3 , dove la terza unità bilancia l' eccesso/difetto delle altre 2, è la giustizia; il 36, somma dei primi 4 numeri pari e dei primi 4 dispari, è il mondo stesso . Plutarco sembra negare qui una rilevanza matematistica dell'a­ ritmologia: egli precisa infatti che questa non fa onore ai numeri

391

ALCUNE CONNESSIONI

ed alle figure stessi, ma, per loro tramite, a l divino (où 'totu'tot

'tt(J.wv'tot�, eX)..À Òt 8tÒt 'tolhwv 'tò GeLov) , col che evidentemente esclu­ de l'assimilazione immediata fra il divino ed il numero, da alcu­ ni letta nelle connessioni instaurate da Nicomaco di Gerasa fra i primi dieci numeri e le divinità del pàntheon greco 127 • Il divino resta per Plutarco " altro " dai numeri che possono simboleggiar­ lo, anch'essi dunque, come i miti, otMy(J.ot'tot 'tou Gdou e degni " soltanto per questo " di onore e di sacralizzazione. Segno particolare del divino è comunque per Plutarco il 5, scelta per la quale egli si stacca sia dalla predilezione filonia­ na, ma già protopitagorica, per il 7 (numero non generato, né generante) , sia dal conferimento neopitagorico di valore assoluto alla monade: la fiducia plutarchea in un'eccellenza simbolica del­ la pentade è in effetti documentata, sia nel De E, dove, come già visto, piace ad un Plutarco giovane un collegamento fra lo ierogramma delfico ed il 5, sia nel De de/ectu, dove, per bocca di Lampria, Plutarco stesso argomenta sulla possibilità di ferma­ re proprio a 5 il numero (comunque finito) dei mondi; a schemi aritmologici che privilegiano le pentade si legano d' altronde cer­ te interpretazioni, verosimilmente originali, di temi dei dialoghi platonici. Interessa qui comunque stabilire " rispetto a quali cri­ teri " Plutarco argomenti circa l'eccellenza del 5 ed inoltre chia­ rire

se,

usando

tali

criteri,

egli

non

recuperi,

casomai

inconsapevolmente, l'ipoteca di matematismo esclusa nella defi­ nizione dell'impiego (solo simbolico) dell' aritmologia. Il 5 presenta dunque particolarità: in sede aritmetica, in sede empirica, in sede, si potrebbe dire, di storia della filosofia, e, ultima, ma per noi più importante, in sede metafisica. In ambito aritmetico, il 5 esibisce proprietà specifiche, per i modi nei quali si rapporta ad altri numeri, sia come " misura " di essi - nel produrli -, sia come " misurato " da essi nell'essere da quelli prodotto -: esso infatti, ricorda Plutarco, se moltiplicato per un numero pari, dà sempre la decina, che è, pitagoricamente, numero perfetto, se moltiplicato per un di­ spari , riproduce se stesso (numeri terminanti con la cifra 5) 128 ;

ancora, il 5 è la somma dei primi due quadrati, l' l ed il 4 129 ;

392

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

il suo quadrato, poi, è uguale alla somma dei quadrati dei numeri che immediatamente lo precedono (52

= 32

+

42) ed esso esprime

perciò, aritmogeometricamente ed in riferimento al teorema di Pitagora, il triangolo rettangolo " più perfetto " 130 ; esso infine, come somma del 3 e del 2, è il primo numero a produrre la pro­ porzione di 1 + ad 1 1 3 1 •

L' eccellenza del 5 è rilevata anche in sede empirica, poiché, proprio basandosi su di esso, « la natura opera la maggior parte delle sue ripartizioni » U2 : 5 sono gli accordi e gli intervalli musi­ cali, elenca Plutarcol H ; gli esseri umani hanno 5 sensi, 5 parti dell' anima (vegetativa, sensibile, concupiscibile, irascibile e razio­ nale) , 5 dita per mano e, ancora, non si ha notizia di parti gemel­ lari superiori al numero di 5 figli, che, dunque, rappresenterebbe la " misura " del seme più fecondo1H • Ancora: vi sono 5 classi di esseri viventi (dei, dèmoni, eroi, uomini e animali) m , 5 zone della terra e 5 circoli del cielo (2 artici, 2 tropici e l' equatore) e 5 orbite dei pianeti, poiché « Sole, Venere e Mercurio hanno un percorso comune »136 . Questo secondo ambito di esplicitazione dell'eccellenza del 5 rivela dunque come l' aritmologia sfociasse anche in giochi de­ scrittivi e classificativi banali, di cui peraltro Plutarco non è re­ sponsabile in misura maggiore di altri autori: riferimenti di questo genere sono presenti in tutta una tradizione del discorso aritmo­ logico (per esempio nella stessa aritmologia filoniana del De opifi­ cio mundi) 137 e non è d' altronde escluso che figurino, nella trattazione plutarchea, con il peso specificamente retorico di ar­ gomentazioni " di contorno " , addotte, nel maggior numero pos­ sibile, a sostegno delle tesi che ci si prova a difendere (nei casi specifici, la connessione l/5 e l' esistenza di 5 mondi) . Il riferi­ mento, precedentemente descritto, ad

un

ambito propriamente arit­

metico, in cui si rileverebbero le particolarità del 5, rientra poi nella tradizione che fa capo al primo pitagorismo, dove ugualmen­ te si faceva questione delle " qualità " di ogni numero in rapporto allo schema costitutivo/costituito (sottomultiplo/multiplo) , alla ge­ nerazione dei numeri stessi per somme e per moltiplicazioni ed ancora alla " descrivibilità " di essi tramite le figure geometriche.

ALCUNE CONNESSIONI

393

Più raffinato e d originale è invece Plutarco, i n particolare nel De defectu, quando usa schemi ermeneutici basati appunto sul­ l'eccellenza del 5 per l' interpretazione dei dialoghi platonici e per l' approfondimento di nuclei concettuali di origine pitagorica: il riferimento a dottrine platoniche sembra anche ora soprattutto un artificio retorico, con il quale Plutarco " rimpolpa " la propria argomentazione dell' esistenza di un numero finito di mondi (esat­ tamente 5); nello stesso tempo, la lettura dei dialoghi attraverso schemi pentadici o l' approfondimento, tramite questi, di teorie protopitagoriche illustrano il modo plutarcheo di fare storia della filosofia: Plutarco non riferisce semplicemente le teorie dei suoi predecessori, ma le " interpreta " , operazione della quale egli si mostra del resto consapevole. Nel De delectu, dunque, figura non solo la connessione fra i 5 solidi primi del Timeo ed i 5 elementi fisici, nell'interpretazio­ ne datane da Teodoro di Solil 38 , ma un'ulteriore connessione fra i 5 solidi primi e gli elementi fisici con i 5 generi sommi del Soli­

sta: il cubo, in virtù della sua solidità, rappresenta, a livello ele­ mentare, la terra e riproduce la categoria della Quiete; la piramide, « per la sottigliezza delle sue facce laterali e per l' acutezza dei suoi angoli » , è segno del fuoco e della categoria del Moto; il do­ docaedro, che comprende tutti gli altri solidi, è l'Essere, «i limiti dell'universo corporeo » ; il Diverso è a sua volta associato all' ico­ saedro ed all' acqua e l' Identico, infine, all'ottaedro ed all ' ariamo Tale lettura di teorie platoniche è presentata esplicitamente da Plutarco come propria: l'interpretazione del Timeo attribuita a Teodoro di Soli e messa in bocca a Lampria è infatti criticata da Ammonio e a questo punto Lampria-Plutarco, già impegnatosi a difendere la tesi antiaristotelica della pluralità finita di mondi e della " probabilità " che essi siano appunto 5, dovendo giustifi­ care l'eccellenza stessa di questo numero, risponde ad Ammonio: « Credo sia meglio rendere conto delle mie stesse opinioni, piutto­ sto che di quelle altrui »140 . Altrettanto originale è, nel De E, la rivendicazione di una superiorità del 5 contro coloro (i Pitagori­ ci) che prediligevano il numero 4: Plutarco riprende qui gli sche­ mi protopitagorici di costruzione della serie di mensionale in

394

LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

riferimento ai primi 4 numeri ( l -punto; 2-linea; 3 -superficie; 4-solido) ; non basta, egli puntualizza però, giungere al quarto li­ vello, che lascia privi di movimento e di vita i corpi cosi costrui­ ti: « È chiaro che solo il 4 può spingere la natura fino al punto di creare un corpo e di attribuire ad esso un volume tangibile e resistente; ma poi lo lascia privo dell' esito più importante [. . . ] il processo o il mutamento che introduce l' anima in un corpo por­ tando alla perfezione l' opera della natura, avviene sulla base del numero 5 , che è dunque tanto superiore al 4, quanto l'essere vi­ vente ha più valore dell'essere inanimato »14 1 . L'originalità ermeneutica e la raffinatezza di quest' aritmolo­ gia non candidano tuttavia Plutarco alla qualifica di matematista: già l'hanno in parte esclusa i correttivi autobiografici ad una let­ tura matematistica della connessione ierogramma delfico/numero 5, nel De E, e le cautele generali premesse alla simbolizzazione aritmetica e geometrica del divino, nel De Iside et Osiride; nel

De defectu, d' altronde, Plutarco conclude la trattazione aritmolo­ gica a sostegno dell'esistenza di 5 mondi, dicendo che non giure­ rebbe sul fatto che essi siano proprio 5, benché l'ipotesi del numero finito di mondi non gli sembri più irrazionale di quella dell' asso­ luta unicità del mondo o di quella del numero infinito di mon­ dP4 2 . L'ipotesi, che ha dunque in sé una dignità, è specificabile con un riferimento al 5 , la cui eccellenza è del resto sostenibile sulla base della speculazione aritmologica; ma, ancora, questa ec­ cellenza " proprio " del 5 è abbassata al rango di ipotesi possibile dalle parole di Ammonio, che, nel De E, cosi commenta la con­ nessione fra ierogramma delfico e numero 5 fatta dal giovane Plu­ tarco : « ogni numero può offrire ampia materia a chi voglia lodarlo ed esaltarlo »143 . L' eventuale matematismo dell'aritmologia plutarchea non si gioca comunque sulle particolarità aritmetiche o empiriche del 5 o sulla possibilità di fare di esso una chiave per la produzione di schemi storiografici originali: esso si decide esplicitando la ra­ gione forte - " metafisica " - della predilezione plutarchea per questo numero . Il 5 è degno di attenzione perché è il risultato dell'unione (somma) del primo pari e del primo dispari ed è dun-

ALCUNE CONNESSIONI

395

que segno dell'interagire ontogonico dei principi Dispari-Bene e Pari-Male144: nel De defectu leggiamo: « l due principi supremi , voglio dire l'unità e la diade indeterminata L . . ] si manifestano anzitutto nei numeri (7tpw'tov L . . ] 7ttpt 'tÒV &ptOIJ.ÒV t7ttcpotLvov'tott) [ . . . ] Il principio indeterminato è l'origine del pari; l' altro princi­ pio, il migliore, è l' origine del dispari . Il primo fra i numeri pari è il 2 e il 3 è il primo fra i dispari : dalla loro somma deriva il numero 5 , che partecipa quindi di entrambi, ma che in realtà ri­ sulta dispari »14 ' ; « è quindi logico » , conclude Plutarco nel De E, « che il primo numero prodotto dalla combinazione dei primi nu­ meri pari e dispari abbia ricevuto il più alto onore »146 . Questa è la ragione fondamentale dunque che spinge Plutar­ co ad una trattazione aritmologica del 5 , ad una descrizione delle sue particolarità aritmetiche e della sua normatività empirica, a fare di esso un criterio storiografico ed un simbolo religioso, a prediligerlo come numero dei mondi esistenti: esso è il " segno " del venire all'essere delle cose e perciò è &ptOIJ.Òç 'tWV 7tcXv'twv. È ammessa addirittura una connessione etimologica fra i termini greci indicanti rispettivamente il 5 (7tlvn) e la totalità ('tcX 7tcXv'tot) : il secondo deriverebbe dal primo ed « a ragione perché il 5 è com­ posto dai primi due numeri »147 . L' aritmologia plutarchea reagisce dunque negativamente di per sé alla cartina di tornasole del matematismo, poiché, con le precisazioni generali del De Iside, il numero sarebbe solo " segno " del divino e l' aritmologia stessa sezione parziale di una esplicita­ zione più ampia degli otMylJ.ot'tot 'tou OtLOII : il matematismo va cer­ cato piuttosto nella sede positivamente proposta come metafisica e specificamente nella dottrina dei principi, nella quale il nostro autore sembra strettamente legato al pitagorismo e, almeno nella terminologia, alla prima Accademia 1 4 8 . Certo dunque che Plutar­ co conoscesse la dottrina dei principi delle due scuole, la pitagori­ ca e l' accademica, è meno sicuro, ma per noi più importante, stabilire se egli accolga, nella propria metafisica, il dualismo e se lo riproduca con le valenze matematistiche dei suoi predecessori. Per il primo problema non basta forse rifarsi ai dialoghi deI­ fici: già ho richiamato i correttivi autobiografici del De E, men-

396

L E I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

tre, nel De defectu, il riferimento ai principi nella forma linguisti­ ca e concettuale protopitagorica (i principi come pari e dispari) può apparire semplice espediente retorico adeguato al generale tema aritmologico di quel punto del dialogo 149 . In una sede tutta­ via Plutarco sembra argomentare in modo esplicito e propositivo un proprio generale dualismo: nel De Iside, egli aggancia ad una ragione metafisica forte la propria historìa delle due figure miti­ che di Osiride (il Bene) e di Tifone (il Male); in esse è simboleg­ giata l'opposizione metafisica originaria, che va ammessa, poiché «è impossibile tanto che una qualsiasi cosa cattiva si generi, lad­ dove Dio è causa di tutto, quanto che si generi una qualsiasi cosa buona, laddove Dio non sia causa di nulla (à;13uvcx'tov rÒtp Ti wIJ.Cav, amp mL IIOT\"tWII "tt XCtL CXla9T)"tWII), alcu­ ni sono unificati ed allo stato di coesione ("tÒt !dll lcmll 7)vwIJ.EVCX XCtL &ÀÀTj­ ÀOUXoUlJ.tvcx), come l'essere vivente, il mondo, l'albero e tutto ciò che a questi somiglia, e sono quelli che, in senso proprio e particolare si chiamano grandezze, gli altri sono divisi ed allo stato di giustapposi­ zione e come prodotti di un accumulo ("tÒt 8l 8L"{lP'fIIJiVCX ""et XCtL Eli 1tCXpCX9ÉatL XCtL oÌOll xat"tÒt awptCav), e questi si chiamano molteplicità, come un greg­ ge, un popolo, un mucchio, un coro e tutte le cose simili. Si deve pen­ sare che la sapienza è la scienza di queste due torme» 238. Alla distinzione noetàfaisthetà si aggiunge dunque l'ulteriore di­ stinzione fra .. continuo " (criterio di costituzione delle .. grandezze ") e . . discontinuo " (criterio di costituzione delle . . molteplicità "): è per noi significativo che questa distinzione si . . sovrapponga " in realtà alla prima, riassorbendola in sé, poiché è comprensiva di entrambi i termini di quella. Secondo Nicomaco, dunque, sia i noetà, che gli

aisthetà possono essere . . continui " o . . discontinui "; è questa dun­ que la prima, la fondamentale delle condizioni dell'essere ed è ovvio che la sapienza (scienza della verità nell'essere) la assuma, come subi­ to precisa Nicomaco, a proprio oggett0239• Questa distinzione è interessante in rapporto al matematismo per tre

aspetti. Innanzitutto una distinzione continuo/discontinuo vale

per enti descrivibili secondo norme quali la relazione maggiore/mi­ nore/uguale, i procedimenti di aumento e diminuzione, di divisibilità­ scomponibilità-delle-parti, ed ancora secondo criteri di riferimento qua­ li lo spazio ed il tempo: ora non c'è dubbio che tali norme valgano per il mondo degli aisthetà, mentre è verosimilmente inammissibile che valgano per il mondo dei noetà, almeno nella prospettiva orto­ dossamente platonica cui Nicomaco poco prima sembrava voler esse-

424 re

LE

IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

tanto fedele. La distinzione non dovrebbe valere per il mondo delle

idee: sono note infatti le difficoltà che ebbe Platone a descrivere le idee stesse di relazione (l'uguale in sé del Fedone), la sua esclusione di una scomponibilità dell'idea in parti (al punto che gli stessi nume­ ri ideali, sempre che siano le " idee dei numeri ", ammetterebbero un comportamento del tutto particolare, l'asymblesis delle parti-unità che li costituiscono) ed infine il costante rifiuto di una qualsiasi col­ locazione delle idee nello spazio e la rivendicazione della loro eternità. Con la distinzione appena detta, Nicomaco si conferma dunque platonico, ma un platonico particolare, non ortodosso e forse, come subito si vedrà, non del tutto coerente.

n secondo aspetto da valutarsi della distinzione continuo/discon­ tinuo è infatti quello (contraddittorio) specificamente conseguente al­ l'eterodossia appena detta: se anche i noetà sono subordinati a questa distinzione e dunque alla connessa griglia di norme spazio-temporali, essi sono da Nicomaco " fisicizzati ", cioè considerati " simili " ai sen­ sibili cui quelle norme propriamente si applicano e dai quali sensibili d'altronde i noetà, enti " in senso proprio " , dovrebbero distinguersi. Quando gli esseri in senso proprio ammettano criteri di descrivibilità secondo il più grande ed il più piccolo, secondo la parte ed il tutto, secondo l'accrescimento e la diminuzione, secondo il prima ed il do­ po, si assottiglia infatti proprio la distinzione eleatico-platonica fra " essere " e " divenire " , fra " permanere " e " mut�e " , il che è con­ traddittorio rispetto alle precedenti affermazioni di Nicomaco: non c'è più allora fra i due ambiti del reale il salto ontologico inizialmen­ te ammesso, ma una " continuità ", la stessa che era presupposta alla teoria eudossiana del rapporto idee-cose in termini di mÌJCis ed alle stesse ontogonie unitarie di Speusippo e di Senocrate. La nostra distinzione infine instaura fra i due ambiti del reale rapporto non solo di continuità, ma di sostanziale e specifica "com­ mensurabilità " (le norme sopraddette, valendo per entrambi gli am­

un

biti, permettono di apprezzare le loro identità o differenza nella " misura "): l'impianto teorico della distinzione in questione sarebbe dunque lo stesso che consentiva, nelle plutarchee Platonicae Quae­

stiones, di porre il problema della maggiore estensione della parte ai­ sthetòn o della parte noetòn del reale.

425

ALCUNE CONNESSIONI

Nessuno degli aspetti appena detti della nostra distinzione (la deviazione dall' idealismo dei dialoghi platonici, l ' autocon­ traddittorietà, il rapporto di continuità e di commensurabilità fra

noetà

ed

aisthetà)

consente di per sé di qualificare come

certamente matematistica la dottrina della

ca

Introduzione Aritmeti­

di Nicomaco : alcuni di questi tratti li abbiamo però trovati

in teorie caratterizzate matematisticamente e sono questi tratti che esigono, in ogni caso, un'ulteriore indagine su " come " e " che cosa " specificamente siano i

noetà

di Nicomaco .

Poco oltre, come a questo punto era forse naturale aspettar­ si, egli effettivamente identifica idee e numeri, ma percorrere nello specifico le fasi approdanti a questa identificazione, con­ sente, nel contempo, di delineare la forma di

mathesis universalis

forse più completa ed articolata finora incontrata nel nostro

iter

storico .

È

vero dunque, prosegue Nicomaco, che la sapienza è scienza

delle due condizioni fondamentali dell' essere, la molteplicità e la grandezza: poiché queste però per natura « tendono all' infini­ tO » (l'una, a partire da una determinata " radice " , ad aumentare indefinitamente, l ' altra, a partire da una determinata totalità, a diminuire indefinitamente) e poiché d ' altronde

soltanto di oggetti finiti e determinati,

si dà scienza

queste due condizioni non

possono essere conosciute per se medesime; si darà scienza per­ ciò piuttosto degli oggetti determinati costituentisi a partire da ciascuna delle due forme infinite, della quantità ('tò 1toa6v) , costi­ tuentesi per determinazione della forma infinita molteplicità, e dell' estensione ('tò 1tT)ÀLXOV) , costituentesi per determinazione della forma infinita grandezza24o • A partire dagli oggetti determinati " quantità " ed " esten­ sione " il nostro neopitagorico fornisce, all' inizio del capitolo m

dell'Introduzione Aritmetica,

un ordinamento dei

mathèmata

(aritmetica, musica, geometria, sferica), definendo ciascuna scienza rispetto al suo oggetto, e tale ordinamento può essere schematiz­ zato nel modo seguente24 1 :

426

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

vista in se stessa e senza alcuna relazione =

Aritmetica

=

Musica

in riposo ed in stabilità

=

Geometria

in movimento ed in rivoluzione

=

Sferica

con un' altra quantità (es . : pari, dispari,

perfetto) scienze della quantità relativa ad un' altra quantità che esiste già ed è concepita in relazione a questa (es . : doppio di. . . , più Y/fJnde di. . . , più pic-

colo di . . . , metà di . . . )

scienze del/'estensione

{

L'ordinamento nicomacheo ha innanzitutto importanza storica,

in quanto abbozzo esplicito del futuro qUadrivium, trasmesso dal mon­ do tardoantico a quello altomedievale attraverso ProcIo e Boezi0242; ad esso si coordinano poi due tratti di particolare interesse per la no­ stra tematica della mathesis universalis: da un lato infatti Nicomaco riprende la tematica tradizionale della propedeuticità dei mathèmata alla filosofia, dall' altro egli sovraordina esplicitamente l'aritmetica alle altre scienze esatte, anticipando con ciò la mathesis universalis in senso debole, poi oggetto di ricerca e di descrizione da parte dei matemati­ ci del '500 e del '600. Documenta il primo tratto la precisazione del nostro autore se­ condo cui, senza le scienze suindicate, non è possibile conoscere esat­ tamente le forme dell'essere, né trovare la verità che è negli esseri, né filosofare correttamente (oùx [. ] "tÒt "tOU Olrto�80 . L'approdo all'unità esige quindi per questi " Pitagorici " un'as­ similazione fra il modo nel quale il costituito " presuppone " il costi­ tuente Qe figure tridimensionali presupI1ngono quelle piane e queste le linee) ed il modo nel quale la specie " presuppone " il genere (le idee presuppongono i numeri che consentono di numerarle, le linee presuppongono i numeri che consentono di dare un nome alle figure da esse formate)281 : l'assimilazione fra i due tipi diversi del rapporto principio-principiato e cioè fra O'UO"tCX'tLX6Y-O'UIIEO"tWç e ;lJènos-èidos, è possibile perché entrambe le relazioni sono considerate come rappor­ ti di pTÒteron-bysteron, di presupposto (ciò che 7tpOe7tLlloeL'tcxL, ciò, si po­ trebbe dire, xwptç mi OÙ lIev67rtcxL)-conseguenza, cioè esattamente nell'aspetto dell'ordine gerarchico e della connessa parificazione fra ordine logico ed ordine ontologico; è lo stesso aspetto ammesso da Nicomaco nell'Introduzione Aritmetica. Torniamo però a quelli che i Pitagorici di Sesto consideravano principio: eravamo giunti all'unità, fondante secondo costoro l"' es­ sere uno " (determinato) di ciascun numero: « questa [unità] quan­ do è pensata nella sua identità con se medesima, è pensata appunto come unità (xcx't'exù't6nrtcx !ÙII lcxU'tTjç llOOUI'ÉlITj1l � lIoeLaOcxL); in­ vece, aggjunta a se medesima secondo l'alterità, produce kl dualità indeterminata (l7tLO'UlI'tegeLacx\l 8 ' lcxlrt"[j xcx9' lup6n)'tcx CÌ7touÀeLIi 't1)y

xcxÀou!LÉ1ITJII &6pLO"tOII 8u«&t»>. La Diade indefinita è così chiamata, perché non è alcuna delle diadi aritmetiche e determinate, ma è il fondamento per partecipazione al quale tutte sono pensate. E si conclude: «l principi degli esseri sono dunque due, la prima unità (il u 7tpW-tT) �), per partecipazione alla quale tutte le

44 1

ALCUNE CONNESSIONI

unità che si contano sono concepite appunto come unità, e la dualità indéterminata (xcxi Tj ; ed il secondo, a sua volta: « è detta monade [ . . . ]

per il suo stare separata ed isolata dalla restante molteplicità dei numeri (&7tÒ "toii 8L1XXtxp La9!XL XIlt ILtILovWa9IlL li7tò "toii ÀOL7toii 7tÀTjOouç "tWII lipLOILWllh>336.

ALCUNE CONNES SIONI

457

Le considerazioni tuttora valide di Festugière possono co­ munque essere ulteriormente integrate, sempre a partire dalla duplice caratteristica assunta a quest' altezza storica dalla mona­ de aritmetica: come primo elemento della serie numerica, la mo­ nade è dunque " immanente " a questa, è omogenea e parificata agli altri numeri e perfettamente confrontabile con essi; nella funzione già vista in Nicomaco ed assai accentuata in tutta la matematica dell'epoca, per cui la monade è radice e " principio " di tutti i numeri, essa è invece " trascendente " ai numeri stessi, fa parte a sé rispetto ad essi e non può essere con essi confronta­ ta. Il Dio numeniano, lo si è visto, è difficilmente inquadrabile in una prospettiva di radicale opzione fra trascendenza ed imma­ nenza e si può dire forse trascendente quanto all'essenza ed imma­ nente quanto agli effetti di questa: questo duplice carattere di Dio consegue forse anch'esso all' assunzione, quale modello con­ cettuale, dell'unità aritmetica, a sua volta per un verso trascen­ dente e per l' altro immanente, di quella unità aritmetica che - come puntualizzerà Giamblico nei Theologoùmena Arithmeu­ kà - trasmette agli altri numeri appunto gli " effetti " della sua essenza (semplice, immutabile, perfettamente identica a sé) , quando, per esempio, moltiplicandoli per se stessa, non fa che riprodurli nella loro identitàH7 • La monade aritmetica, nella sua funzione di principio dei numeri, entra come modello concettuale nella nozione numenia­ na e neopitagorica di Dio Primo in modo atematico ed inconsa­ pevole: sono anzi talora rinvenibili circostanze che vanno in senso esattamente contrario all' assimilazione fra theòs ed arith­ mòs e fra theòs e monàs (o hèn), come la tendenza, altrettanto concordemente rilevabile nel neopitagorismo, a distinguere tipi e funzioni differenti dell'unità stessa - unità " intelligibile " ed unità " aritmetica " - ed a porli in un rapporto gerarchico di subordinazioneH8 • Complessivamente e a dispetto d i simili distinzioni, s i ha però l'impressione che il neopitagorismo non riesca a tenere distinto il complesso di caratterizzazioni proprie della monade aritmetica nel suo essere principio dei numeri (" primo " , " sem-

458

L E IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

plice " , " stabile " , " trascendente ") dal complesso di caratteriz­ zazioni che spettano a Dio in quanto pròte archè: l' affermazione di Nicomaco, per cui Dio « contiene in embrione tutte le cose, come l'unità contiene in embrione tutti i numeri »H9, non sem­ bra perciò soltanto un'immagine allegorica, ma una formula che " matematizza " il rapporto fra principiati e principio e che rap­ presenta il punto d' arrivo di una tendenza sorta nell'Accademia platonica. Come subito vedremo, il platonismo contemporaneo a Mo­ derato, a Nicomaco ed a Numenio non si rivela per parte sua immune da un' analoga tendenza alla matematizzazione della teologia. A differenza dei Neopitagorici; i Medioplatonici non chia­ mano il Primo Dio Uno o Numero, né propongono gerarchie di Monadi, mediatrici fra l'Uno Primo ed il sensibile: i Medio­ platonici assomigliano però ai Neopitagorici quantomeno nella teorizzazione di un Principio Primo divino, trascendente, spesso perciò ineffabile e conoscibile solo intuitivamente, che è attività noetica e Causa, attraverso questa, della sistemazione cosmogo­ nica della Materia informeHo• La teologia medioplatonica con­ verge dunque con quella neopitagorica a confermare il recupero del trascendente dei primi secoli dell'era cristiana ed a spianare la strada alla grande teologia neoplatonica: simile nelle due tra­ dizioni è in particolare un sostanziale monismo (o monoteismo) ; Dio certamente non è per i Medioplatonici l'unico principio (lo sono anche le idee, suoi pensieri, e lo è, seppur con forti caratterizzazioni assiologiche negative, la materia) , né è l'unico ente divino (anche i dèmoni sono dei, seppur di rango inferiore) : come in Plutarco, Dio è però appunto " unico " nella sua prima­ rietà (le idee gli sono subordinate) e nella sua positività (Esso solo, e non certo la materia, è Causa formante d'ordine e perciò di bene) . Il medioplatonismo si mostra ovviamente, meno del neopi­ tagorismo, erede di una generale utilizzazione metafisica del nu­ mero; eppure anch' esso ribadisce un'esemplarità aritmetica nella teologia dell'età imperiale, perché neppure il Dio medioplatoni-

ALCUNE CONNESSIONI

459

co sembra liberarsi del tutto dalla caratterizzazione che lo parifi­ ca all'unit�-principio-dei-numeri, e che è lontana eredità del ma­ tematismo protoaccademico: ciò emerge non tanto nei concetti teologici generali appena richiamati, quanto piuttosto nella dot­ trina della trascendenza e dell'ineffabilità divina ed in particola­ re in una delle viae a Dio, nella cosiddetta via &ç cXcpotLpt(Jf.W� o negationis. Essa è presente certamente nelle plutarchee Platoni­ cae Quaestiones, ma, con un riferimento più esplicito a Dio e quindi con un valore più centratamente teologico, nel Didaskali­ kòs ed in Celso ed ancora, seppure in forma meno esplicita, in Massimo di Tiro, in Numenio e negli Oracoli Caldaici. Per questi ultimi in particolare, l' atteggiamento fondamen­ tale per giungere a concepire un Dio assolutamente primo e trascendente è una sorta di deviazione dai sensibili e di " svuo­ tamento " dalle impressioni dei sensi (la figura, il colore, la gran­ dezza) : già abbiamo visto come Numenio raccomandasse appunto di allontanarsi dalle cose sensibili e dalla corporeità, con uno specifico allenamento nelle scienze esatte, per Of.LLÀTjaotL "tci> cX'Yot9ci> 1L0llctl f.LOIIOIIH1 ; gli Oracoli Caldaici prescrivono a loro volta, poi­ ché Dio resta al di fuori della portata dell'intelletto (IIOOU tçw U7tcXPXEL) , di tendere verso di Lui un intelletto vuoto di sensazio­ ni (XEIIEÒIl 110011)342 e Massimo di Tiro raccomanda di non pensa­ re, in riferimento a Dio, 1L7)"tE f.Lt'YE90�, f.L7)"tE XpwlLot, f.L7)"tE axTjf.Lot, f.L7)"tE ciÀÀo "tL ilÀT)ç 7tcX90çH 3 . Questa modalità di approccio al divino, se qui tiene generi­ camente conto soltanto dell'incorporeità di Dio e del suo porsi al di fuori e al di sopra delle relazioni razionali che ordinano i sensibili, si tecnicizza però in alcuni contesti con un esplicito riferimento a schemi concettuali ed a termini desunti dalla mate­ matica: Celso pensa per esempio che Dio sia " conoscibile " o 0"U1I9taEL "t'fi &7tL "tÒt ciÀÀot, o cXllotÀUaEL cX7t' otÙ"tWII, o cXllotÀO'YLqt, ed Origene, suo avversario e diffusore, si crede autorizzato a speci­ ficare poco oltre che l' analisi e la sintesi qui richiamate sono proprio quelle che i geometri chiamano analisi e sintesi344• Se­ condo l'interpretazione di Origene, che è stata ora rifiutata, ora accolta, Celso avrebbe sostenuto dunque che Dio è raggiun-

460

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

gibile attraverso il medesimo processo di elementarizzazione usato dai geometri per risalire agli stoichèia delle loro figure e, pari­ menti, con un procedimento analogo all'inverso (synthesis) di questoH' . Questa lettura dell' analisi di Celso mi convince innan­ zitutto perché qui si ritiene Dio raggiungibile per analisi rispetto alle " altre cose " , il che richiama la generalizzazione metafisica del processo scompositivo già indicata da Plutarco nelle Platoni­ cae Quaestiones: ogni sensibile può essere " ridotto " , attraverso la scomposizione geometrica, ai propri principi metafisici ed ul­ timi; in secondo luogo perché un uso dell' analisi di questo tipo ci è, in effetti, in un contesto teologico, effettivamente e parti­ colareggiatamente descritto più tardi da Clemente di Alessan­ dria346• Questi afferma dunque che 'si procede l7tL "t"Ìjv 7tpw"tT)V v67)oW [. . ] 8L'&VotÀUO"twç e descrive il medesimo processo, già vi­ sto in Plutarco, nel quale sottraiamo progressivamente ai sensi­ bili (&cptÀ6vnç) le qualità fisiche, " poi " la profondità, " poi " l'estensione superficiale, " poi " la linearità, fino a giungere al punto e, per eliminazione della posizione di questo, alla monade. In almeno tre diversi contesti dunque - in Plutarco, in Celso ed in Clemente di Alessandria - gli antichi procedimenti pitagorici di costruzione della serie dimensionale sono usati, nel­ la formula invertita della riduzione scompositiva o della progres­ siva elementarizzazione, per guadagnare il principio metafisico: nelle due ultime sedi tali procedimenti sono assunti in un ambi­ to esplicitamente teologico e nella seconda sede si allude altret­ tanto esplicitamente ad un formulario delle viae conoscitive a Dio organizzato su tre possibili alternative. Tutto ciò rimanda dunque al contesto teologico di questo periodo di gran lunga più studiato, a quel x capitolo del Dida­ skalikòs, in cui, tra le possibili noèseis al Dio trascendente, è elencata non, come in Clemente, la via 8L'&VotÀUO"twç, ma appun­ to la via le &cpotLptO"twç. Riassumendo brevemente, " Albino " ri­ corda dunque come già Platone avrebbe detto Dio quasi àrrhetosH7; egli propone tuttavia per parte sua due prove, che deducono l'esistenza di Dio, l'una a partire dall'esistenza di noe­ tà puri - esistenza che esige un Intelletto diversamente da .

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ALCUNE CONNESSIONI

quello umano adeguato a coglierli -, l' altra a partire da una gerarchia di valore fra le realtà pensanti: si ammette dunque che Dio sia l' Intelletto eternamente attivo che è motore della seconda divinità, l'intelletto del cielo, e dunque Causa Prima dell'attività cosmogonica e demiurgica di quest'ultimoH8. Il Som­ mo Dio è descritto poi come Intelletto che pensa se stesso e le proprie idee e come soggetto di una serie di attributi (" perfe­ zione " , " verità " , " proporzione " , " bene " e " padre ") che gli spettano non nella comune forma predicativa e definitoria, ma che si rivelano piuttosto connaturati alla sua natura di Ente Primo e di Causa (è " Bene " , perché è C ausa del bene del mondo, non " buono " , perché partecipe della bontà) . Proprio questo ulteriore riferimento alla causalità divina, porta " Albi­ no " , prima, a specificare meglio il rapporto fra Prima e Seconda divinità, e, poi, per il fatto appunto che Dio è predicabile soltan­ to nella sua funzione di causa, ad approfondire la non applicabili­ tà a Dio di predicati che siano genere, specie e differenza. Dio dunque non è conoscibile con la ragione discorsiva, con quella diànoia che verosimilmente instaura relazioni e distinzioni signi­ ficanti fra le cose ordinate in generi ed in specie: Dio non rien­ tra nella trama di quest'ordine, è perciò ineffabile (&pPTj"t"oç) e soltanto intuibile con quel nous, che, nel Didaskalikòs, come in Platone, è distinto e sovraordinato alla conoscenza discor­ sivaH9 • È a questo punto che, almeno nell'ordine i n cui c i sono pervenuti i materiali concettuali del capitolo, sono inserite le tre viae: Dio dunque è conoscibile o xcx"t"dt ÒtcpcxLpeCJLII - come il punto è conoscibile per astrazione progressiva dei sensibili, della solidità, dell'estensione ed infine della linearità -, o xcx"t"dt ÒtIlCXÀOrLCXII - come il Sole agisce sui visibili e sulla vista, cosÌ Dio agisce sugli intelligibili e sulla nòesis - , o, ancora, XCX"t"dt u7tepo)(.1)11 "t"éi> "t"LILLctl - per quell'eccellenza nel valore, per il quale Dio è intuito come culmine dei gradi del positivo m. I n chiusura del capitolo sono ribadite infine argomentativamen­ te l'indivisibilità di Dio, la sua immutabilità e la sua incor­ poreità H 1 . _

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All'aphàiresis " Albino " dedica dunque, nell' economia della sua trattazione teologica, uno spazio assai esiguo e ridotto al seguente testo: « Si avrà dunque una prima intellezione di Dio per astrazione

da queste cose, nello stesso modo in cui concepiamo il punto per astrazione dal sensibile, pensando prima la superficie, poi la linea ed infine il punto (eG'totL 8Tj 1tpW'tTj ILtll otù'tou 116TiO'Lç il Xot'tò: &cpotLptO'LIi 'tOU'tWII, 01tWç XotL O'T\ILtLOIi lllo7JaotILtll Xot'tò: &cpotLptaLli &1tÒ 'tOU otla9T)'tou, l1tLcpcXlltLotIl lIo7JO'otll'ttç, t!'tot lPotlLlL7JlI, XotL 'ttÀtU'totLOIi 'tÒ O'T\ILtLOII) »H2 . S U queste sole tre righe s i è però riflettuto abbastanza a lungo e sull' aphàiresis albiniana si è perciò costituito uno status quaestionis, del quale va tenuto conto, 'come anche dei pregiudizi metodologici che hanno caratterizzato -' e talora forse compro­ messo - la riflessione sull' aphàiresis stessa: essa, ed in generale le viae " albiniane " , sono state lette infatti in rapporto agli svi­ luppi successivi della teologia neoplatonica, soprattutto alla co­ siddetta teologia negativa, più che in relazione ai contesti teorici, anteriori e contemporanei ad " Albino " , capaci di giustificare storicamente le sue tre viae, spesso con il risultato di vere e proprie fughe esegetiche in avantiH}. Una prima difficoltà dell' aphàiresis " albiniana " riguarda dun­ que l'individuazione dell'esatto termine di riferimento del 'tOU'tWII (la pròte nòesis a Dio è quella « per astrazione da queste cose », il Xot'tò: &cpotLptaLli 'tOU'tWII) , e, poiché questa è la battuta iniziale della trattazione di tutte e tre le viae, questa difficoltà riguarda anche l'eventuale spostamento di tutte e tre le viae in un altro luogo del capitolo, il quale risulterebbe più originario e corretto di quello in cui attualmente esse si trovanoH4 • Nell'ordine attua­ le, il termine più vicino cui il 'tOU'tWII può riferirsi è un 'tò: cXÀÀot, che lo precede di due righe: a Dio « niente [ . . . ] si addice in forza di cui possa essere separato dalle altre cose (où8tll rò:p otù'tct> auIL�t�TiXt, XotO'O 8Ullot'totL 'tWII cXÀÀWII xwpLaOTjllotL) »; e si prosegue: « né muove, né è mosso. Si avrà dunque una prima intellezione di Dio a partire da queste cose ne altre cose], nello stesso modo in cui concepiamo il punto per astrazione dal sensibile [ . . . ] », ecc.

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In tale versione, Dio sarebbe conoscibile per astrazione " dalle altre cose " (sensibili ed intelligibili) , cosl come il punto geome­ trico è conoscibile per astrazione " dal sensibile " ; ciò tenendo conto del fatto - già esplicitato - che Dio non ha con le altre cose un rapporto di separazione, non è cioè un'unità deter­ minata, distinta " da " quelle cose e " come " quelle cose, che sia riferibile ad esse in termini di genere a specie (o viceversa) , oppure di differenza. Se il "tou"tw" è riferito a questo "tÒt cXÀÀcx, l'aphàiresis " albiniana " a Dio ha inoltre il medesimo punto di partenza dell'anàlysis di Celso ( a sua volta, si specifica, quella t7tL "tÒt cXÀÀcx) e partirebbe dai sensibili, come la nòesis delle plu­ tarchee Platonicae Quaestiones. Varie considerazioni portarono però a ritenere scorretto l'or­ dine del x capitolo del Didaskalikòsm , a cercare un' altra sede per le tre viae e dunque un altro termine di riferimento per il "tou"tw,,: oggi per esempio si pensa che esso si riferisca a « tutti gli altri attributi che possediamo in noi », i quali dunque costi­ tuirebbero il punto di partenza dell'aphàiresis a DioH6• Ciò sem­ brerebbe in effetti giustificato, in rapporto ai testi già citati, che raccomandano di svuotare l'intelletto dalle impressioni dei sensi e da ogni considerazion� di grandezza, di colore, di figura, per giungere a Dio, e si è attuato un tentativo di parificare l'aphàiresis " albiniana " all' apòphasis aristotelica3H • Per parlare di Dio, dunque, bisognerebbe " togliere " tutti gli attributi che normalmente riferiamo agli oggetti di conoscenza, o volgerli nel­ la forma " negativa " . La possibilità di ascrivere a Dio predicati negativi (termino­ logicamente o semanticamente), oltre che predicati connessi all' a­ zione causale di Dio stesso nel mondo, è esaminata in particolare nel saggio già richiamato di Wolfson: " Albino " anticiperebbe dunque la teologia negativa neoplatonica; egli e Plotino intende­ rebbero infatti la propria aphàiresis nel medesimo senso, quello della negazione senza privazione, cioè appunto dell' apòphasis ari­ stotelica, ed avrebbero d'altronde il medesimo mQdello concettua­ le: la definizione per negationem che Euclide, negli Elementi, dava del punt03n. Questo modello concettuale è effettivamente

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proponibile per Plotino: Wolfson ritrova infatti la definizione eu­ clidea di punto (ciò che è &fLtptC;) e soprattutto la riflessione critica di Simplicio che la considera un esempio di definizione " negati­ va " , nel Commento agli Elementi euclidei dovuto all' arabo AI­ Nairizi; scrive dunque il commentatore arabo: « Dixit propterea Sam­

belichius. Punctum ideo negando Euclides diHinivit, diminutione su­ perficiei a corpore, et diminutione linee a superficie, et diminutione puncti a linea. Cum ergo corpus sit tres habens dimensiones, punctum necessarium nullum earum habet, nec hahet partem »3'9. Per Wolfson anche la descrizione " albiniana " dell' aphàire­ sis può essere il frammento di un commento alla definizione eu­ clidea di punto, di un commento che, come quello di Simplicio, tentasse di chiarire quella definizione ·come esempio di definizio­ ne " negativa " : anche qui Wolfson ammette dunque valga per " Albino " ciò che gli sembra valido, e già solo ipoteticamente, per Plotin036o• Sia l'indicazione di Invernizzi agli « attributi che noi posse­ diamo » quale punto di partenza dell' aphàiresis " albiniana " , sia la lettura di tale aphàiresis come apòphasis fatta da Wolfson, sia, infi­ ne, la pur interessantissima indicazione della definizione euclidea di punto (per negationem) quale modello concettuale delle afferma­ zioni negative fatte da " Albino " e Plotino su Dio, tutte queste interpretazioni, oltre ad appiattire ingiustificatamente il filosofo medioplatonico sul caposcuola del neoplatonismo, mancano di co­ gliere la specificità dell'esempio geometrico ricorrente nell' aphàire­ sis; tutte cercano infatti delle legittimazioni teoriche e storiche all'uso (" albiniano " e plotiniano) di descrizioni negative di Dio, ma non si accorgono che l'esempio usato da " Albino " tiene assai poco ed ha un valore molto blando, se si limita a dire che fra gli attributi che noi possediamo e Dio intercorre lo stesso rapporto che c'è fra i sensibili ed il punto e dunque che gli attributi vanno negati a Dio, come i caratteri sensibili (profondità, estensione, linearità) van­ no negati al punto. L'esempio geometrico contiene certamente una negazione, che però non è generica, ma specificata come progressi­ va e scandita in gradi gerarchici ben precisi: tale specificità innanzi­ tutto non può andare perduta.

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L' apparato storico-interpretativo di Wolfson è stato comun­ que dalla critica accolto solo in parte: sarebbe giusto dunque guar­ dare ad Aristotele per intendere l'aphàiresis " albiniana " , ma non in riferimento all 'apòphasis (che sarebbe poi in Aristotele altra co­ sa da ciò che Wolfson pretende che sia) , quanto piuttosto in rap­ porto a ciò che già lo Stagirita intendeva per aphàiresis, come procedimento di costituzione (mentale) degli enti matematici; sa­ rebbe d' altronde altrettanto corretto guardare alla storia ed alla filosofia della matematica, ma non in riferimento ad Euclide ed ai suoi commentatori, quanto piuttosto alla tradizione, protrattasi fino all' età imperiale, della costruzione aritmogeometrica della se­ rie dimensionale36 1 • Abbiamo i n parte già visto come questo procedimento, d i ma­ trice protopitagorica, resti largamente diffuso nella cultura di tra­ dizione pitagorica immediatamente precedente, contemporanea e successiva ad " Albino " : ad esso accennano infatti concordemen­ te, oltre a Plutarco, Sesto Empirico, Alessandro Poliistore e Fozio nei loro rendiconti sui " Pitagorici " , Nicomaco di Gerasa e Teone di Smirne, nei loro manuali di matematica, e, ancora, Filone, Ip­ polito e Giamblic0362 • I n origine il procedimento rigorizza semplicemente l a teoria aritmogeometrica o " granulare " dei primi Pitagorici, a mostrare come, per giustapposizione, le unità-stigmài costituiscono le linee, queste le superfici e le superfici stesse i solidi; nel pitagorismo tar­ do, le tappe della costruzione dimensionale restano immutate, ina l'originaria assimilazione aritmogeometrica fra punto ed unità è rotta e dunque il punto geometrico " presuppone " la monade aritmeti­ ca; fra gli elementi della serie dimensionale poi è accentuato il rap­ porto gerarchico, per cui pròteron è ciò che dev'essere concepito .. prima " del resto e che è da questo " presupposto " (1tPO&1tL­ VO&L"t!L«

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�Ol: nel saggio Les oeuvres d 'Albinus le platonicien, « AC », XVI ( 1 947) pp. 1 1 3-4, egli approfondisce l'ipotesi già avanzata (J. WESTENBERGER, Caleni qui fertur de qualitatibus incorporeis libellus, Marburg 1906) che lo scritto non fosse opera di Ga­ leno, ed in Curae criticae, « Emerita », XXVI ( 1 958) pp. 20 1 - 1 3 , spiega, anche stori· camente, il passaggio sotto il nome di Galeno dell'opuscolo scritto però da Albino, che fu appunto maestro di Galeno. L'Orth è tuttavia piuttosto isolato in tale attri· buzione (solo MERLAN, Later Acad. , nota 3, p. 70, l'accetta), che è stata esplicita· mente esclusa, anche attraverso uno studio del tema delle qualità incorporee (che peraltro figura nel cap. XI del Didaskalikòs) , da GIUSTA, ne I dossografi di etica, 2 voli . , Torino 1964-'67, n, p. 5 3 7 , e soprattutto ne L 'opuscolo pseudofIJlenico uOrt ol 1roI6"r7j�� &uc:,fUl/WI , Torino 1976. Sul problema, cfr. MAZZARELI.I, Bibl. mpl. Parte I, pp. 1 16, 122, 128, 1 32-33 e 1 3 7 , e INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, p. 7, e note 22·23, pp. 156-7. 2 7 Cfr. lo status questionis di INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', l, nota 21, pp. 154-6, e le schede bibliografiche relative già in MAZZARELLI, Bibl. mpl. Parte I, p. 1 14 sgg. 2 . FREUDENTHAL, Der plat. Albinos, pp. 25 7-302 . Per gli studiosi con lui con­ cordi, dall'inizio del nostro secolo fino agli anni '30, cfr. MAZZARELLI, Bibl. mpl. Parte I, pp. 1 1 5-9. 2. Cfr. WITT, Albinus2 , pp. 1 04- 1 3 . ) 0 Fra gli altri, LOUlS, autore della già citata traduzione francese del Didaska­ likòs, si schiera decisamente per la paternità albiniana dell'opera, pur preferendo il titolo 'E1rI�Of.l-lj, che figura nei codici più antichi . ) I Cfr. GIUSTA , 'Al.{3{\IOU 'E1rI�OI-'I\ o 'Al.x{\IOOU .f.L&'tp(� MI 'tWv ÀOI7l:6)1I f.L1X8'ljf.Lci'tWII f.L1X9Tjf.LIX'tLX611; did. III 4, 1 54, 3-4 Hermann). Cfr. ARISTOT. metaph. E

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1. 1026 a 18 sgg . , e K 7. 1 064 b 1 sgg. Sulla genericità della definizione " albinia­ na " della matematica rispetto a quella di Aristotele e sulle analogie e differenze fra Aristotele ed " Albino " per l'ordine in cui sono proposte le tre scienze rien­ tranti nella theoria, cfr. INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', Il, nota 25, p. 85 . H Cfr. did. I 2, 152, 7-9 Hermann, trad. INvERNlzzl; già in tale sede, nono­ stante la genericità del termine màthema, « Albino mostra di pensare proprio alle matematiche » ed è appunto « elemento strutturale della filosofia di Platone che la funzione propedeutica alla dialettica sia svolta dalle matematiche » (INVERNIZZI, ' Di­ daskalikos ', Il, nota 5, p. 75). 44 did. XXVID 4, 182, 7-9 Hermann, trad. INvERNlzzl (cfr. il commento dello stesso INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', Il, nota 16, p. 189). Cfr. prol. 149, 34 Hermann, dove ugualmente l'essere X(l"tÒt -ri)v l;LV "ltpo"t&"t&À&uCJf.Livoç "totç f.L(l�h;f.L(lCJL è cond izione per la lettura dei dialoghi. Cfr . , in proposito, INVERNIZZI, Il ' Prologo ' di Albino, cit . , nota 3 1 , p. 360 . ., did. VII 2, 1 6 1 , 9- 1 1 Hermann, in connessione con resp. VII 525 D. Cfr. in proposito INvERNlzzl, ' Didaskalikos ', Il, nota 8, p. 1 12 . 4 6 did. VII 2, 1 6 1 , 1 1 - 1 5 Hermann. L e matematiche hanno dunque tale fun­ zione di « preludio alla contemplazione dell'essere » ( resp. VII 5 3 1 D) , in quanto consentono di « passare rapidamente da ciò che si vede e si sente a ciò che soltanto con la riflessione dell' anima si può cogliere » (VII 4, 1 6 1 , 36-162, 1 Hermann) . 47 did. VII 2, 1 6 1 , 1 8-20 Hermann; cfr. resp. VII 526 E sgg. 4 8 Sono rinvenibili nel Didaskalikòs oscillazioni circa la collocazione dell' astro­ nomia: mentre nel capitolo ID, nella tripartizione generale delle scienze, l'astrono­ mia esplicitamente rientra nella fisica (la quale - ID 4, 154, 1-2 - « riguarda il movimento degli astri, le loro rivoluzioni ed il loro periodico ritornare ») , nel capi­ tolo VII O , 1 6 1 , 7-8, e 3, 1 6 1 , 24-3 1), l'astronomia è viceversa parte propria della matematica. La collocazione dell'astronomia nella fisica è evidentemente più ari­ stotelica che platonica (cfr. ARISTOT. de cael. B 2 . 284 b 6 sgg . ) . Su tutto ciò, cfr. INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', Il nota 23, p. 85 . L'elenco platonizzante musica, arit­ metica, astronomia, geometria, come parti proprie della matematica, ricorre anche in did. XXVID 4, 182, 7-9 Hermann (cfr. supra, nota 44). 4. did. VII 5 , 162, 10-15 Hermann; cfr. resp. VII 5 3 3 D ed in generale la temati­ ca della linea divisa e dell'ordinamento dei gradi del conoscere in eikasia-pìstis-diànoia­ nòesis della fine del libro VI. 10 scandirsi delle facoltà conoscitive in rapporto ai rispettivi oggetti (gli aisthetà per la dòxa e gli intelligibili primi per l'epistème) ri­ vendicherebbe uno specifico oggetto anche per la diànoia platonica, in coerenza con quanto tentavo di mostrare in Matem. dial. in PI. , pp. 297-303, ed anche in questa sede, supra, al capitolo Il B . , . diti . VII 4, 162, 3-6 Hermann ; cfr. resp . VII 533 c . Nella Repubblica, com'è no­ to, le matematiche sono dette incapaci di rendere ragione delle proprie ipotesi, poiché le lasciano immobili: perciò, aggiunge Platone, « chi accetta come principio una cosa che ignora e se ne vale per intessere conclusione e passaggi intermedi, cosa potrà mai fare per trasformare una simile convenzione in scienza? » (trad. SARTORI) . =

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" diJ. VB 5, 162, 8-10 Hermann, corsivo mio; cfr. resp. VB 533 D: « TI metodo dialettico è il solo a procedere per questa via, eliminando le ipotesi, verso il principio stesso, per confermare le proprie conclusioni ('tÒcç U7to8Éot.u; ÒMxLpOiiact , l'lt'CXÙ'ti)II 'tijII ÒCflJCIIII LVOt !x!3atlwar)rtQtI ... INVERNIZZI , ' Didaskalikos ', n, nota 20, p. 1 12, ritiene che .. Albi­ no " riprenda qui quello che, in diJ. v 6, 157, 32 sgg. Hermann, aveva indicato come terzo tipo di analisi. Tale circostanza è assai importante e ci ritorneremo. >2 did. vn 5, 162, 1 7-20 Hermann; cfr. resp. vn 534 E sgg. n Middle Platonists, p. 280. >4 did. v 1, 156, 20-28 Hermann, trad. INvERNIZzI. Il cap. v dell'opera è dun­ que dedicato a divisione, definizione, analisi ed induzione, ed il VI alla sillogistica. » Cfr. INvERNIZzI, ' Didaskalikos ', n, nota 2, p. 99. Non chiarita resta la con­ ciliabilità tra le due definizioni di dialettica figuranti nel Didaskalikòs, come 'toii ).OYOII OtwPICt (m 1, 1 5 3 , 22 Hermann) .. ed " indagine delle sostanze e dei loro acci­ denti (v 1, 156, 2 1-22): l'autore, pur mantendo la caratterizzazione aristotelica della sua dialettica come logica generale, intende platonicamente la dialettica stessa co­ me dotata anche di connotazioni ontologiche, ma restano appunto poco chiari il modo ed il grado di questa sua ri-composizione, dopo Aristotele, tra logica ed on­ tologia. 56 Cfr. INvERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, p. 1 4 . Sulla divisione, cfr . , in particola­ re, did. v 2, 156, 28- 1 5 7 , 3 Hermann, con il commento di INvERNIZzI, ' Didaskali­ kos ', n, note 6-12, pp. 100- 1 , in riferimento soprattutto alla definizione di diàiresis data nei dialoghi ed alla teorizzazione di essa nella prima Accademia. Che sia pla­ tonica la divisione Y'VOllç tlç tta'/j (did. v 2, 156, 28-29 Hermann) è evidente, men­ tre non platonica appare la divisione �ÀOII ttç ""'P'Il (did. v 2, 156, 29 Hermann) ; cfr. in proposito INvERNIZzI, ' Didaskalikos ', n, nota 7, pp. 100- 1 . Platonica è an­ che la matrice della definizione, mediata tuttavia dal filtro tecnico di Aristotele (cfr. in proposito did. v 3 , 1 5 7 , 3-8 Hermann, e INvERNIZzI, ' Didaskalikos ', II, no­ te 1 3 - 1 4 , p. 102) . Dell'analisi e dell'origine « certamente platoniCa » di essa indica­ ta da Invernizzi dirò in seguito. Per l'induzione, in connessione in particolare ai Topici (A 12. 105 a 13 sgg . ) , cfr. did. v 7 , 1 5 7 , 3 7 - 1 5 8 , 3 Hermann, ed il commen­ to di INvERNIZzI, ' Didaskalikos ', II , note 24-25 , p. 103. Alla sillogistica, come già ricordavo, è dedicato il cap. VI dell'operetta ( 1 5 8 , 3 - 1 60, 34 Hermann), cui riman­ do, ancora insieme con il commento di INvERNIZZI, ' Didaskalikos ', II , pp. 105-10. 57 Middle Platonists, p. 277; . . Albino " non è dunque per Dillon originale nean­ che in questa parte: egli si limiterebbe a formalizzare procedimenti discussi e prati­ cati già da Platone. 5 8 did. v 4, 1 5 7 , 10- 1 3 Hermann, trad. INvERNIZzI, corsivi miei. 5. DILLON, Middle Platonists, p. 278. 60 HINTIKKA-REMES, Analysis, p. 90 (il corsivo della prima citazione è mio) . 61 • Didaskalikos II, nota 1 5 , p. 102, corsivo mio: nonostante l'estraneità del termine stesso .. analisi " ai dialoghi, Invernizzi ritiene che, per ciò che i tre tipi dell'analisi " albiniana " hanno « come denominatore comune [ . . . ] il passaggio dalla realtà sensibile alla realtà intelligibile .. , la trattazione in proposito sia « pienamente "

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fedele allo spirito del platonismo ,. (ibid. ) . Tale considerazione può tuttavia regger­ si solo su una caratterizzazione assai generica di ciò che Platone intende - nei dia­ loghi - per « passaggio dal sensibile all'inteIligibile ,. e sulla messa tra parentesi dei metodi specificamente teorizzati da Platone stesso per l'attuazione di tale pas­ saggio. 6 2 Cfr. supra, cap. n, B, e PROCL. in primo Eue/. Elem. 2 1 1 , 2 1 -22 Friedlein; cfr. d'altronde D. L. m 24. 6) did. v 5 , 1 5 7 , 13-18 Hermann, trad. INVERNIZZI. 64 BERTI, Analisi ed analitica, p. 5 1 e 44, rispettivamente, con corsivo mio. I! passo del Simposio cui qui ci si riferisce è 2 1 0 A sgg . , come indicano d'altronde concordemente DILLo N, Middle Platonists, p. 277, e INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 19, p. 102 . .. Secondo INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 1 9 , p. 102, « procedere per analisi significa, in tale esempio, ' risolvere ' la bellezza delle singole realtà nella bellezza dell'intelligibile, ossia nell'Idea del Bello ,.: tale " risolvimento " presup­ pone però appunto una riunificazione poiché, enucleati i caratteri presenti costan­ temente e dunque simili nel molteplice, bisogna ricondurli, farli riconfluire, appunto " riunificarli " in un unico intelligibile, riconosciuto come " fondamento " di tutti i sensibili cosi caratterizzati. L'assimilazione fra l'analisi e l' anagogpè platonica, non nel senso generico del termine " analisi " sopra indicato, ma in un'accezione più specifica ed onnicomprensiva, è stato tentato da CORNFORD, Matbematics Dialectic, p. 47: dei limiti e dello scarso successo di questo tentativo ho reso in parte conto io stessa in Matem. dial. in Pl. , pp. 307-8; cfr. d'altronde in proposito BERTI, Anali­ si ed analitica, p. 48, con le relative note. 66 Cfr. diti. x 6, 165, 24-30 Hermann : Dio si colloca alla sommità della gerarchia, come ciò « che eccelle per il suo valore (SIÒt 'rijY Lv 'Uj> � ÙKEpOJCijv) ,. (ivi, 165 , 30). 6 7 Cfr. INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, pp. 52-3 , con le note: il procedimento illustrato nel cap. x del Didaskalikòs col riferimento al Simposio è privo cii denomi­ nazione tecnica e chiamarlo via eminentiae sarebbe scorretto, vista l'esemplificabi­ Iità di esso mediante il passo che altrove illustra il primo tipo di analisi; Invernizzi non ha però dubbi sul fatto che esso sia un processo per eminentiam, caratterizzabi­ le com'è, sulla base del postulato aristotelico: « dove c'è un meglio, c'è anche un ottimo ,. (ivi, p. 53). Ad una grad � zione dell'essere (e della conoscenza) alluderebbe il passaggio, nel cap. vn, dalle nozioni fornite dalle matematiche (li; wv) alla ricerca dell' artefice del tutto, dove ci si muove « come per una strada familiare [ . . . ] parten­ do da queste conoscenze, come servendoci di gradini e di primi elementi ,. (did. vn 3, 1 6 1 , 25-28 Hermann, corsivo mo; cfr. INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 1 3 , p. 1 12 , con riferimento a symp. 2 1 1 c). 6 8 did. x 4, 165, 4-5 Hermann. Sul cap. x del Didaskalikòs tornerò comunque più avanti. 69 did. v 5 , 1 5 7 , 1 8-23 Hermann, trad. INVERNIZZI, corsivo mio. Per la defini­ zione generale del secondo tipo di analisi, qui ripetuta nella formulazione greca, cfr. did. v 4, 1 5 7 , 1 1 - 1 2 Hermann.

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7 0 Cfr. Phaedr. 245 c-246 A, e did. v 5 , 1 5 7 , 23-32 Hermann; cfr. anche did. 4, 178, 12 sgg. Hermann. Per il commento, INVERNIZZI, • DiJaska/ikos I l , no· ta 22, p. 103, e DILLO N, Middle Platonists, p. 2 7 7 . 7 1 INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 2 1 , p . 103, afferma che i l secondo tipo di analisi, vera l'indicazione " a1biniana " che esso approda t1tì 1:Ò 1tPW1:0V xcxì 01'0),01'0Ul'tvov, « si rifà a quanto detto in Resp. , 5 10 b ss. », con verosimile riferimento all ' analogo procedere dialettico dell'anima t1t'&pxÌlv &w1t69t1:ov. L'aggancio alla Re­ pubblica sembra però debole e generico: mentre l' &pxÌl &YII1t69t"toç di cui si fa que­ stione nel dialogo platonico è detta (5 1 1 B) � 1:06 1tCtll'tÒç &pxiJ e dunque il discorso platonico ha una forte ed esplicita connotazione ontologica, il nostro autore fa vi­ ceversa qui questione del rapporto non fra enti, ma appunto fra proposizioni, per cui 1:Ò 1tPW1:0V xcxì Ol'oÀoyOUl'tYOv è solo una fra le tante espressioni autoevidenti; lo stesso Invernizzi traduce quest'espressione « un qualche cosa di primo e ricono­ sciuto da tutti », dimostrando dunque di non intenderlo egli stesso come " il pri­ mo " (ontologico) assoluto. Nella Repubblica d'altronde Platone non tearizza una via all' anipotetico che specificamente somigli a questo secondo tipo di analisi: egli parla certo di un' ascesa - i cui gradini sono bypothèseis - in cui si tratta di salire fino all'anipotetico, al principio del tutto (fUxpt 1:oG &wrc09f1:ou t1tì "tÌlv 1:oG 1tCtY1:Òç & PXÌJv ì!dv) e da questo discendere poi verso la fine (t1tì 1:ù" u"tÌlv XCt1:Ct�CttVQ), ma non dice mai che, per fare questo, nell'ascesa si debba " dedurre " (&1tolìttxvUttv) il pro­ Icron dall'bysteron e poi ripercorrere l'ordine proteron-bysteron con la sintesi. La Re­ pubblica è, per l'ascesa al principio, assai più generica e meno chiara di quanto la critica abbia spesso pensato fosse. L'esemplificazione del secondo tipo di analisi con il ricorso al Fedro dice anche qualcosa sul presunto carattere di dossografia del Didaskalikòs: l'uso dei dialoghi a sostegno dei concetti esposti non è sempre felice, come vedremo, ma è troppo intenzionale, consapevole e smaliziatò, per essere ope­ ra di un dossografo ignaro di filosofia. 7 2 Cfr. INVERNIZZI, DiJaskalikos ', n, note 1 6- 1 7 , p. 102, con riferimento, rispettivamente, ad ano posto B 7. 92 b 3 7 , ed A 2 . 72 a 7 sgg. Sui significati di ckvciÀu,nç ed &vCtÀutW in Aristotele, cfr. BERTI, Analisi ed analitica, p. 44, con le note 56-60, che segnalano i passi aristotelici significativi per tale tematica. 7) Come ricorda BERTI, Analisi ed analitica, p. 45, « c'è accordo fra gli inter­ preti » nell'ammettere che « due proposizioni sono convertibili, quando si implica­ no reciprocamente, cioè non solo dalla prima si ricava necessariamente la seconda, ma anche dalla seconda si ricava necessariamente la prima ». 74 Cfr. ROBINSON, Analysis, pp. 468-9: il saggio rivendicava, contro Cornford (dr. supra, nota 65), il carattere di " via all'in giù " (appunto di " deduzione ") del­ l ' a nalisi praticata nella geometria greca; cfr. quanto io stessa ricordavo in Matem. dia/o in P/. , p. 307 sgg . , e BERTI, Analisi ed analitica, pp. 45-6. " ano posto A 12. 78 a 9- 1 2 . Il !J4ÀÀov qui figurante mostra che Aristotele non . . l·deva ad una convertibilità " assoluta " neppure delle proposizioni matematiche (dr. soph. e/o 16. 75 a 24-26) . Sul valore di questo passo ha insistito soprattutto BERTI , Ana/isi ed analitica, p. 44: Aristotele distinguerebbe l'applicabilità dell'ana"

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lisi in situazione di convertibilità delle proposizioni (come - appunto .. per lo più " - nelle matematiche), dall'applicabilità di essa in situazioni di non conver­ tibilità (come accade nella natura o nell' arte, dove la relazione antecedente­ conseguente, per esempio " mezzo-fine " , non è certo sempre valida bilateralmen­ te) . In particolare, per Berti, ciò che osta ad un' applicazione perfetta dell' analisi (e della sintesi) ai nessi determinantisi nella natura o nell'arte (e che vieta perciò qualunque matematismo) è che, in tali ambiti, il vero può derivare tanto dal vero, quanto dal falso; perciò « dalla verità della conclusione non si può arguire quella delle premesse » (ivi, p. 47) ed esse non sono raggiungibili attraverso un processo di analisi. Con tutto ciò Aristotele, pur riconoscendo valore scientifico ai processi di analisi e sintesi, non li assume certo a modello " esclusivo " di scientificità ed anzi chiarisce quale sia la connessione che lega i metodi di analisi e di sintesi alla matematica. 7 6 did. v 6, 1 5 7 , 32-3 7 Hermann, trad. e corsivi miei. Non ho seguito in questo caso la traduzione, pure ottima, di Invernizzi, perché essa, pur rispettando le norme linguistiche e semantiche, pare ignorare le polemiche intercorse su alcu­ ni dei termini qui figuranti e che suggeriscono cautela nell'uso di essi. Maggiore aderenza al testo rispetto ad Invernizzi dovrebbe esservi innanzi tutto per o �1jTWV Tt woori9tTatt atÙTÒ lxt!vo ( 1 5 7 , 32-33), per il quale pare un po' generico il suo: « Colui che ricerca qualcosa suppone la questione come risolta [0 0 .] » (lNVERNIZZI, ' DidtJskalikos ', II, p. 1 3 ) ; d'altronde, date appunto le polemiche intercorse sul termine ,xx6Àou90v (di cui rende conto BERTI, Analisi ed analitica, pp. 40-3) , è forse fuorviante tradurre l',xxoÀou9t! delle righe 32-33 con « derivi » e 1'&x6Àou90v della riga 36 con «è in accordo »: per parte mia ho preferito tradurli uniforme­ mente con « essere conseguente » o « conseguire ». La traduzione inglese del passo in HINTIKKA-REMEs, Analysis, p. 90, dà invece l'IÌxoÀou9d delle righe 32-33 con «goes together with » e l'IÌx6Àou9ov della riga 36 con « is [0 0 .] connected », uniformando dun­ que le due espressioni nell'« essere concomitante », o « connesso ». Inoltre questa tra­ duzione inglese (che segue l'edizione francese dell' operetta, di Lours, Epitomé, p. 27) inserisce un punto fermo alla fine della riga 34, dopo tl À6yov Boot cm03W6vatt 'tij; Ò1to9�: risultano quindi legate l'operazione di indagine sulle conseguenze derivanti dall'ipotesi fatta e quella che esamina la necessità di rendere ragione di essa, ed appa­ re svincolata dal resto la posizione della ID1j WOOtatç. A mio avviso, come tenterò di mostrare, è la riferibilità al Fedone (per quanto controversa e problematica), che rende necessario il collegamento immediato fra l' .moo W6vatt À6yov dell' ipotesi fatta e la posizione della ID1j Ò1t66tOtt; : il punto fermo suddetto sarebbe perciò superfIuo. Sembra del resto stridente l'espressione CIl«Jmi' [00 .] t1 À6yov Béot .mootUvext 'tij; �, derivante dall'inserimento del punto fermo stesso: HnmKKA- REMEs, Analysis, ibid. , traducono con «he tries to find [0 0 .] whether he con gjve on account 01 the thing assumed». 77 Cfr. did. v 5, 1 5 7 , 1 9-20 Hermann, e v 6 , 1 5 7 , 32-33 Hermann rispetti­ vamente. 7 8 Cfr. did. v 5 , 1 5 7 , 20 Hermann, e v 6, 1 5 7 , 33-34 Hermann. La differen­ za fra il secondo ed il terzo tipo di analisi è segnalata da HINTIKKA-REMES, Analy-

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sis, p. 90, i quali quantomeno definiscono esplicitamente il secondo « an upward ' search of prior conditions », e da INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', II, nota 23, p. 103 , il quale, i n forma forse non del tutto trasparente, scrive: « Mentre nel secondo tipo l' ascesa avviene attraverso dimostrazioni, quindi secondo il modello della scienza aristotelica, in questo terzo tipo l'ascesa a principi incondizionati avviene attraver­ so la verifica delle conseguenze derivanti dai principi via via postulati » (corsivo mio) . Che nel secondo tipo di analisi si proceda .. per dimostrazione " è discorso convin­ cente (l'ho fatto a mia volta sopra) ed è d' altronde materia della mia stessa tratta­ zione che il terzo tipo di analisi verifichi, al contrario del secondo, le .. conseguenze " dell' ipotesi fatta: non comprendo viceversa cosa legittimi a dire che tali ipotesi so­ no biblioth., Cod. 1 8 7, 143 A 23-38. 226 Ivi, 143 A 39-143 B 18. 22 7 143 B 19-144 A 3. 228 144 A 4-19. 22 9 145 A 5-23. Sulla mistica neopitagorica dei numeri, cfr. ZELLER, in ZM, m/4, pp. 76-80, e REALE, St. d. fil. ant. , IV, pp. 397-9. 230 Cfr. 142 B 4 1 - 143 A 1 ed in generale le critiche della sezione siglata 142 B 35- 143 A 2. 23 1 Cfr. 143 A 3 - 1 9 . Fozio sottolinea ironicamente come la prescrizione di Nicomaco circa una preparazione scientifica alla sua teologia indichi come si deb­ ba « ragionare accuratamente nel campo delle scienze esatte, per poter poi giunge­ re a sragionare completamente (xcxì 'II LÀOOOrp1j\ICXL 'I1:Epì wiç ILcx9fjf.I.CXO\ O'I1:oullatiç, i\l'l� xcxì ILCX'tCXLOÀO"(iiOCXL 'teÀEiç) ,. (trad. mia) . La stessa considerazione dei mathèmata propedeutici all'epoptica si ha, come vedremo, in Numenio. " 232 Cfr. 142 B 29-30, e 143 A 9- 1 1 , rispettivamente; trad. e corsivi miei. 2H 142 B 23-24. Su quest'opera, ampiamente diffusa e commentata nella cultura tardopagana e cristiana, cfr. in particolare la BERTIER, Introd. Arithm. , pp. 8-15. 23 4 Cfr. introd. arithm. A I l e 2; p. 1 , 7-8, e p. 2, 8-9 Hoche, rispettivamen­ te (A è il i libro dell' opera, B il n ; sono poi indicati con numero romano il capitolo

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e con cifre arabe i paragrafi (cosi, nella traduzione francese, la Bertier); infine, figurano la pagina e la riga dell'edizione greca di R. HOCHE Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis arithmeticae libri duo, Lipsiae 1 866. 2 1> Secondo la BERTIER, Introd. Arithm. , pp. 7-8, ci troviamo appunto din­ nanzi ad un'opera « située aux confins de la philosophie de tradition platonicien­ ne et pythagoricienne et des sciences cultivées par les philosophes de cette école et vulgarisées par eux dans la perspective d'une propédeutique et d'une initiation de la philosophie lO. La definizione di filosofia sarebbe poi, a dire della commenta­ trice francese, risultato di un'interpretazione della concezione pitagorica di filoso­ fia - puramente speculativa -, verosimilmente elaborata nella cerchia dell'Accademia antica (cfr. nota 2, p. 1 4 1 ) . 2) 6 introd. arithm. A I 2 : XIX�À'Ij",1V 'toii u",OXELfJ.fYOII cli�IXLa'tOY XIX ! cifJ.E'tIXXIY'Ij'toy (p. 2, 9- 10 Hoche, trad. mia) . 2J 7 introd. arithm. A I 4; p. 3, 6-8 Hoche. Per le due descrizioni degli esseri xllpiwç e degli esseri per omonimia, cfr. ivi, A n 1 ; p. 3, 9-20 Hoche. La platonici­ tà della distinzione è suffragata da Nicomaco con l'esplicita citazione del Timeo (27 D) . La BERTIER, Introd. Arithm. , nota 2, p. 1 4 3 , ricorda ancora come in questo dialogo (52 B) sia proprio Platone a collegare il rapporto di mimesi fra intelligibili e sensibili al rapporto di omonimia preferito qui da Nicomaco. Vi sono prove ulteriori dell'impianto platonico dei Neopitagorici: anche per Numenio le cose generate, mutevoli ed alterabili e la materia stessa, per la sua « incapacità a dimo­ rare nel medesimo stato (cippwa't11X 'toii fJ.'yeLY) lO non sono il vero essere (Eus. praep. evo xv 1 7 , 1-2 fr. 3 Des Places) ; a sua volta egli precisa che ciò che è ordinato è facile a conoscersi, mentre invece ciò che è privo di stabilità (come le cose sensi­ bili e la materia) è privo anche di ordine (praep. evo xv 1 7 , 3 = fr. 4a Des Places): anche per Numenio, come per Nicomaco, la vera conoscenza non ha dunque per oggetto il divenire sensibile, ma l'essere (permanente) intelligibile. 2) 8 introd. arithm. A n 4-5; p. 2, 1 3 -2 1 Hoche, trad. e corsivi miei. 2)9 Che la distinzione continuo/discontinuo sia comprensiva di quella noe­ tà/aisthetà (e perciò prima) si evince dal testo greco ed è d'altronde ammesso dalla BERTIER, Introd. Arithm. , nota 6, p. 144: « la division première des etres en conti­ nu et ;uxtapposé vaut pour l'intelligible comme pour le sensible [ . . . 1 lO. La stessa BERTIER nota come non vi sia in Nicomaco una svalutazione del discontinuo: l'ac­ cumulo di unità può essere infatti per lui, contro Aristotele (metaph. H 3. 1 044 a 3 sgg.), criterio di costituzione dei numeri (ciò sarebbe garantito dal fatto che, nella definizione nicomachea di numero, come in Teone ed in Moderato e come più avanti vedremo, è compresa anche la caratterizzazione del numero stesso co­ me .. flusso " di quantità composto di unità) . 24. Cfr. introd. arithm. A n 5; pp. 4, 2 1-5, 12 Hoche. Per il commento, cfr. le note 8-10 della traduzione francese della Bertier, in particolare (nota 8, p. 144) per l'origine filolaica della teoria che nega una scienza degli oggetti infiniti: l'imperfe­ zione (e l'irrazionalità e conseguente inconoscibilità) dell'infinito è tuttavia tesi comu­ ne non solo nel primo pitagorismo - che coordina nella systoichìa del negativo l'àpeiron =

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ALCUNE CONNESSIONI

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ed il kakòn , ma nell'Accademia ed in Aristotele (dr. phys. r 6. 207 a), quantome­ no per l'infinito attuale; l'equazione infinito irrazionale inconoscibile vale anche per la materia numeniana (eh. supm, alla nota 237, quanto detto sul h. 4a Des PIaces) 2 4 1 Cfr. introd. arithm. A, li 1 e 2 ; pp. 5 , 1 3-6, 7 Hoche. Per la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 2, p. 146, questa sistemazione dei quattro mathèmata coor­ dinati rispettivamente due al numero e due all' estensione, sarebbe tipicamente pitagorica e diversa dall'altra, di Gemino, che oppone le scienze esatte dell'intelli­ gibile (aritmetica e geometria) a quelle del sensibile (astronomia, ottica ed armonia). 2 4 2 La sistemazione è ripresa in effetti da Prodo (in primo Eucl. Elem. 3 5 , 2 1 -36, 5 Friedlein) e d a Boezio, nella traduzione latina dell'opera d i Nicomaco: questi sarebbero tramiti specifici della successiva diffusione, nella pedagogia tra­ dizionale, del cosiddetto quadrivium delle arti liberali: dr. in proposito già MER­ LAN, Plat. Neoplat. 2 , pp. 88-95 , e la BERTIER, Introd. Arithm. , pp. 9-10. 2 43 Cfr. introd. arithm. A li 3 ; p. 6, 8- 1 1 Hoche. 2 44 Cfr. introd. arithm. A li 3-7, con le relative note di commento figuranti nella traduzione della Bertier: non posso qui citare i testi indicati da Nicomaco, né tantomeno segnalare le manipolazioni, talora significative, da lui operate su questi (cfr . , per il testo greco, pp. 6, 12-9, 4 Hoche) . 24' Cfr., a quest'ultimo proposito, la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 13, p. 146. 2 4 6 introd. arithm. A IV 1 ; p. 9, 5-9 Hoche. Cfr. la teoria analoga della priorità dell'aritmetica di THEO SMYRN. expositio I 2, pp. 24, 20-26, 24 Dupuis. 2 47 introd. arithm. A IV 4; p. lO, 9 22 Hoche. 2 4' Ivi, A v 1 ; pp. l O , 22- 1 1 , 6 Hoche. 2 4. Ivi, A v 2; p. 1 1 , 10- 1 8 Hoche . ., 0 Nel capitolo VI del secondo libro dell'opera, Nicomaco considera quella che egli chiama « la rappresentazione naturale, senza artificio e più semplice » dei numeri, cioè l'antica rappresentazione aritmogeometrica, in cui si prevede l'assi­ milazione dell'unità al punto e delle unità costitutive di un numero ad altrettanti punti (capaci di descrivere delle figure geometriche) . In questo quadro non var­ rebbe l'ordinamento dei mathèmata che colloca la geometria soltanto al terzo po­ sto ed andrebbe ripresa l'antica connessione protopitagorica immediata fra aritmetica e geometria: secondo la BERTIER, Introd. Arithm. , pp. 25-7, anche in questo caso però N icomaco sarebbe originale, poiché tenterebbe di liberare il pensiero dei numeri da quello della misura delle forme spaziali, per assegnargli un ordine pro­ prio. Veri infatti la definizione di numero come flusso di unità (A VD 1; p. 1 3 , 7-8 Hoche) e d i l meccanismo che riferisce alla diade l'unità, quando l'unità stabi­ lisca una differenza rispetto a se stessa (1 + 1 2), è attraverso la ripetizione di questo meccanismo e dunque per somme successive ( . . . + 1 . . . ) che si genera la serie numerica ed anche i cosiddetti numeri poligonali: Nicomaco, per entrambe le definizioni, l'antica, " geometrica " , e la nuova, " aritmetica " , affermerebbe du�que la priorità dell' aritmetica rispetto alla geometria. L'appena richiamato sche­ ma generativo dei numeri è d'altronde importante a suffragare un accentuato ruo­ lo della monade nella produzione di essi, rispetto alla parificazione dualistica =

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originaria della funzione dell'uno e della diade: la circostanza documenta una sor­ ta di .. monismo aritmetico " , che (e lo vedremo) si riflette verosimilmente su un pari monismo metafisico e teologico dei Neopitagorici. m introd. arithm. A IV 2; p. 9, 1 8-24 Hoche, trad. mia. 10 stesso rapporto fra gbènos ed èidos è posto esplicitamente dai .. Pitagorici " di cui parla SEXT. adv. math. x 269: il ytYO� 7tpoii7tciPXtlY "tii,y "4 Anche secondo la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 4, p. 148, per Nicoma­ co « l'antériorité logique des concepts dans l'ordre de leur implication a valeur d'antériorité ontologique »; con tale tesi, ella precisa, il nostro neopitagorico è in radicale contrasto con quanto viceversa sosteneva Aristotele, circa la distinzio­ ne e l'opposizione fra ordine logico ed ordine ontologico (cfr. protr. fr. 5 Ross; top. Z 4 . 141 b 2 7 ; metaph . .:1 8 . 1017 b 17; .:1 1 1 . 1018 b 3 7 - 1 0 1 9 a 4 ; K 1. 1059 b 4, e quanto a mia volta in proposito notavo supra, alla nota 190) . m introd. arithm. A v 3 ; p. 1 1 , 19-23 Hoche, trad. e corsivi miei. 2 5. Nota ancora giustamente la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 3, p. 150, come Nicomaco cerchi qui delle evidenze prime. 2> 7 Cfr. introd. arithm. A IV 2; p. 9, 10- 1 5 Hoche, trad. e corsivi miei. 2 5 8 Cfr. introd. arithm. A vI I ; p. 12, 3- 1 1 Hoche, trad. e corsivi miei. Una dottrina simile a questa di Nicomaco si rinviene in uno pseudepìgraphon, dov'è detto che, già secondo il protopitagorico Ippaso di Metaponto e gli acusmatici, il numero è 7tcxpci3uyfJ.cx 7tpw"tOY ed ancora Xpt"ttXÒY xoafJ.oupyoil 9toil opyCXYOY (IAMBL. in Nic. arithm. lO Pistelli = p. 93 Thesleff) . L'espressione 7tcxpci3ttyIJ.CX 7tpw"tOY, in particolare, è analoga al nicomacheo &:PXtW7tOY 7tcxpci3ttyIJ.CX. Ad una matematiz­ zazione sostanzialmente simile degli èide alluderebbe poi l'altro pseudepìgraphon, che riferisce una presunta dottrina di Clinia di Taranto: costui riteneva l' hèn co­ me mètron non solo dei corpi e delle cose generate, &:).).&: xcxt cxù"tWY "tWY YOTl"tWY (SYRIAN. in Metaph. p. 168 Kroll p. 1 08 Thesleff) . Considerato qui come mè­ tron, l' hèn ha dunque la sua specifica funzione aritmetica di . . misura " . Materiale simile a quello della dottrina di Nicomaco, non solo per la matematizzazione delle idee, ma anche per altri concetti sopra visti, si rinviene in uno 'hpò� À6yo�, attri­ buito a Pitagora e sui frammenti del quale tornerò in seguito. 2 5' Il risultato matematistico della teoria nicomachea può apparire incerto per la distinzione, nel seguito del capitolo VI, fra numero « intelligibile » e numero =

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ALCUNE CONNESSIONI

« epistemonico », il quale, si dice, è quello che domina i fenomeni naturali e che definisce i rapporti fra enti diversi (cfr. A VI 2-4; pp. 12, 12 sgg. Hoche) . La caratterizzazione precisa dei due tipi di numero non è semplice e comunque con­ traddirebbero all'eventuale matematizzazione nicomachea delle idee sia una di­ stinzione di .. sostanza " fra i due tipi di numero, sia soprattutto la considerazione del solo numero epistemonico come oggetto dell' aritmetica. In tal caso, il numero intelligibile - preesistente nel pensiero divino e dunque idea - non avrebbe i tratti compositivo-quantitativi propri dei numeri oggetto dell' aritmetica ed asso­ miglierebbe al numero ideale platonico, il quale, come già detto, anche se identifi­ cato con l'idea non la matematizza, poiché solo qualitativamente determinato. Così parrebbe intendere la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 4, p. 1 5 1 , quando pre­ cisa che il numero intelligibile appartiene al dio creatore e l'epistemonico al mate­ matico (col che escluderebbe che il primo sia oggetto dell' aritmetica) . E tuttavia resta la già citata affermazione nicomachea, in cui è detto che l ' ' ' aritmetica " precede le altre scienze nel pensiero del dio creatore, che fa considerare oggetto dell' aritmetica e dunque .. quantitativamente " determinato lo stesso numero in­ telligibile. Meglio perciò l'altra considerazione della BERTIER, Introd. Arithm. , p. 22: « Aussi, mieux que comme une différence de nature, la différence du nombre inte/ligib/e et du nombre épistémonique corrispondrait-elle à une différence de ni­ veau ou à des moments du deploiement d'un processus général dont le nombre intelligib/e serait la source et la racine, et le nombre épistémonique l'épanouisse­ ment et la manifestation ». Meglio intendere forse il ruolo dei nicomachei numero intelligibile e numero epistemonico come vicino a quello delle " albiniane " .. idea trascendente " e .. forma immanente " , assimilando anche il rapporto fra i primi a quelle che intercorre fra queste. Che il neopitagorismo ammetta - platonica­ mente - una collocazione separata del numero che è norma ontologica, rispetto al numero immanente protopitagorico, è provato anche dI! uno pseudept'graphon, attribuito a Teano, dove si precisa che, già secondo Pitagora, le cose vengono all'essere non lI; cXpL8fLOii, ma Xot1:cX cXpL8fLOii (STOB. antho/. I l O . 1 3 , 125-126 Wach­ smuth = p. 195 Thesleff; cfr. THESLEFF, Introduction, p. 22). Anche Nicomaco puntualizza che il numero intelligibile è ciò « in relazione a cui (1tPÒç ot,h6v) >> av­ vengono i fenomeni naturali (e che dunque ne sarebbe la norma trascendente), mentre il numero epistemonico è ciò che « Ii domina (l1tì 1:WV 1:0LOIl1:WV U1tcXPXOV1:ot» > (ciò che potrebbe essere loro .. immanente " regola di costituzione) . (Cfr. A VI 4; pp. 12, 9 - 1 0 e 1 3 - 1 5 Hoche) . • 60 Cfr. FESTUGIÈRE, Révé/ation, passim; cfr. i contributi di varia epoca e provenienza, prodotti comunque nel nostro secolo, citati sotto. Per il neopitagori­ smo, le sedi documentarie sono le stesse cui si riferisce (con un'impostazione pe­ raltro diversa dalla presente) DODDS, Parm. ' P/o Origins neop/at. One, pp. 1 35-9, come ad altrettante anticipazioni dell'interpretazione in senso teologico del Par­ menide. ' 6 ' Secondo FESTUGIÈRE, Révé/ation, IV, pp. 6- 18, la distinzione fra !i1totpl;LI; ed oÙaLot divina, tra possibilità di affermare la prima ed indicibilità della seconda .

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(fra l't! EcnL della divinità cd il 'ti ÈcnL), sarebbe tema comune nella letteratura filosofica greca, risalente addirittura ad Aristotele ed a problemi sollevati dalla sofistica. È d'altra parte tòpos comune quello che individua addirittura in Tim. 28 c, la prima affermazione dell'ineffabilità divina. Senz'altro, tuttavia, tale te­ matica si accentua nel periodo in questione, rispetto al pensiero ebraico-cristiano da un lato ed alla generale sensibilità religiosa dell'epoca dall' altro: non posso qui trattare i caratteri generali di questa tematica, ma, dando in qualche modo quelli per scontati, posso soltanto analizzarne, ancora, gli eventuali risvolti mate­ matistici. 262 Cfr. ZELLER, in ZM, m/4, p. 3 5 . 2 6> STOB. antbol. 1 4 1 . 2 , 278-2 8 1 Wachsmuth p p . 19-20 Thesleff (alludo alla già citata edizione degli pseudepìgrapba: Tbe Pytbagorean Texts 01 tbe bellenistic Period, Abo 1 966) ; lo stesso THESLEFF, Introduction, p. 9, commenta: « Academic and/or Peripatetic conceptions ». 264 Cfr. IAMBL. protr. pp. 18 e 21 Pistelli rispettivamente = p. 44 Thesleff; in un ulteriore passo (IAMBL. protr. p. 22 Pistelli ibid. Thesleff) è detto che sembra dunque il più saggio l'uomo capace di a.VCXÀiiCJCXL [ ] 1tcX\l"tCX -tÒt r!vÉcx Ù1tÒ ILicxv "tE XCXL cxù-tÒtV a.PXÒtV XCXL 1tciÀLV CJUV9ELvcxi "tE XCXL CJUvcxpL9WiICJCX.,oCXL: è significativo che l'ascesa ed il ritorno alla prote arcbè siano descritti qui (come più tardi in .. Albino " ed in Celso) in termini di .. analisi " e di .. sintesi " , il che suppone · un rapporto ontologico fra Principio e principiati adeguato a questa specifica de­ scrizione (i secondi .. dipenderebbero " dal Primo, come le conseguenze dai pre­ supposti logici e come i numeri dai loro principi) . 2U .sYRlAN. in Metapb. p. 166 Kroll = p. 48 Thesleff. 266 STOB. antbol. I 20. 6, 1 7 6- 1 77 Wachsmuth p. 52 Thesleff. 267 STOB. antbol. I 1 . 39, 48-50 Wachsmuth p. 1 3 9 Thesleff. L'afferma­ zione di una tbeoria di Dio solo mediante il lògos ed il nous non approda ancora alla tematica dell'inconoscibilità, ma forse rivendica semplicemente l'" intelligibi­ lità " di Dio rispetto ad un orizzonte ancora materialistico (stoico?) . 268 Mentre per esempio ZELLER, in ZM, mf4, p. 69, giudica relativo il mo­ noteismo dei Neopitagorici, ed il curatore dell'aggiornamento DEL RE, ivi, nota 1 1 1 , p. 69-70, nota come « il pensiero greco-romano non riuscl mai ad arrivare al monoteismo in senso stretto », al contrario DODDs, Paflln and Cbristian in an Age 01 Anxiety, Cambridge 1965, trad. ital. Firenze 1970, p. 1 15 sgg . , crede com­ plessivamente non vi sia differenza tra filosofia pagana e teologia cristiana dei primi secoli quanto al monoteismo: Celso infatti sarebbe stato « un monoteista più rigoroso di Origene » ed avrebbe giudicato « i cristiani blasfemi quando pone­ vano un altro essere allo stesso livello del Dio supremo ». 269 STOB. antbol. 1 39 . 48-50 Wachsmuth p. 1 3 9 Thesleff, trad. e corsivi miei. 270 Il problema sembrerebbe non quello di un confronto diretto fra l'unicità (relativa) del dio pagano e l'unicità (assoluta) del dio cristiano, quanto piuttosto quello di verificare se, nelle proposizioni usate dai pensa tori pagani e da quelli =

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cristiani, nell'affermazione dell'unicità, valga il medesimo concetto di " essere " : se i concetti impiegati sono fra loro differenti, l'uno indicante l'" essere determi­ nato " , l'altro l'" essere esistenziale " , è probabile che le proposizioni in questio­ ne non siano affatto commensurabili. 27 1 Cfr. ATH ENA G . 6, p. 6, 15 Schwarz pp. 1 14 e 140- 1 Thesleff. Liside affermava dunque che Dio è « numero ineffabile » ed intendeva con ciò dire che Dio è la monade, il " numero uno " , in se stesso del pari indefinibile. Opsimo sostanzialmente confermava tale versione; egli definiva a sua volta Dio « l'eccesso del più grande dei numeri rispetto a quello che gli è prossimo (-> e, di converso, co­ me « sottrazione progressiva terminante nell'unità (civcxnoolaf.LÒç dç � XlX'tlXÀfrrWI/) >> (STOB. anthol. I prooem. 8, 2 1 Wachsmuth n, p. 48 Mullach, trad. e corsivi miei); questa seconda parte della definizione consente dunque di dire l'unità ter­ mine ultimo oltre il quale la quantità non può risalire, perché, se è privata per sottrazione progressiva di tutti i numeri (determinati), essa termina nella monade che è f.LOvi) e malç. Il processo che " genera " la pura posòtes sarebbe il contrario di quello appena descritto: se dalla serie dei numeri naturali, determinati a partire =

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dall'uno, si tolgono le forme ed i lògoi che determinano ogni numero, ciò che resta è appunto la pura quantità. Essa ricopre dunque, in entrambi i casi, il ruolo tradizionale di principio dell' accrescimento illimitato ed indefinito, e perciò del disordine e del male, benché sia ora ontologicamente subordinata all'Uno che la " genera " e non più, come quello, originaria. m Su di lui, si veda ZELLER, in ZM, w/4, p. 243 sgg . ; MARTANO, Precursore neopl. , pp. 9-20; FESTUGIÈRE, Révélation, IV, pp. 123-32; MERLAN, Pyth. , p. 96 sgg . ; DES PLACES, Numénius, pp. 7-10; DILLON, Middle Platonists, pp. 36 1-6; REALE, St. d. fil. ant. , IV, p. 4 1 0 sgg . , e IMPARA, ' Sul Bene ' di Numenio, pp. 9-14 e 14-2 3 . D a una difficoltà a collocarlo nel platonismo " o " nel pitagorismo, l a critica pare passata ad una considerazione di Numenio quale mediatore sincretistico tra i due filoni: di lui ci è d'altronde documentata una " dipendenza " pressoché pari da Pitagora e da Platone, oltre che la conoscenza e l'attenzione per l'ebraismo e la tradizione persiana e caldaica, che hanno posto la questione del suo " orientali­ smo " (cfr. in proposito, in particolare i frr. 8, 9 e lO Des Places, col commento dello stesso DES PLACES, Numénius, pp. 2 1 -3, e l'equilibrato giudizio espresso sul punto da MERLAN, Pyth. , p. 99 e 103). Per questa e per molte altre questioni storiografiche e dottrinali, cfr. INVERNIZZI, Lo stato degli studi su Numenio d'Apa­ mea, « RFN .. , LXX ( 1978) pp. 35-78, e MAZZARELLI, Bibliografia medioplatonica. Parte III: Numenio d 'Apamea, « RFN .. , LXXIV ( 1 982) pp. 126-59. > I l Cfr. CALCo in Tim. p. 297, 7-30 1 , 20 Waszink fr. 52 Des Places: ci sono qui attestate la tesi secondo cui Numenio deum quidem singularitatis nomi­ ne nominasse, silvam vero duitatis, e l'altra, conseguente, secondo cui egli conside­ rava la dualità ingenerata nella sua indeterminatezza (e perciò pari a Dio) , ma generata nel suo essere dotata di forma e di ordine (295, 5-6, e 6-7 Waszink). Il dualismo numeniano si fonda, come quello di Plutarco, sulla necessità di giusti­ ficare il male (297, 55-60 Waszink) e comporta un giudizio critico su quei Pitago­ rici, che, non compresa l'originaria dottrina pitagorico-platonica, putasse dici etiam illam indeterminatam et immensam duitatem ab unica singularitate institutam rece­ dente a natura sua singularitate et in duitatis habitum migrante (295 , 16-19 Wa­ szink): se però cosi fosse, la Singolarità Assoluta non sarebbe più tale, Dio si trasformerebbe nella materia e la Monade stessa nella Diade illimitata ed indeter­ minata; quae opinio ne mediocriter quidem institutis hominibus competit (295 , 23-24 Waszink). Commercia dunque con la Diade-materia non il Primo, ma il Secondo Uno, il Demiurgo. Sul dualismo di Numenio, cfr. ZELLER, in ZM, w/4, pp. 248-9; MARTANO, Precursore neopl. , p . 47 sgg . ; il saggio di C . PuECH, Numénius d'Apa­ mée et les théologiens orientales au second siècle, « Mélanges Bidez .. , Bruxelles 1934, pp. 745-78; MERLAN, Pyth. , p . 102; DES PLACES, Numénius, pp. 1 1-4; DILWN, Middle Platonists, p. 3 7 3 ; REALE, St. d. fil. ant. , IV, p. 420 sgg . , e IMPARA, ' Sul Bene ' di Numenio, pp. 23-54. ) 14 Sui fondamenti platonici del pensiero numeniano, cfr. soprattutto i frr. 3, 5, 6 e 8 Des Places. I caratteri dell'essere vero sono descritti nel n libro del numeniano Sul Bene (cfr. Eus. praep. evo XI 9, 8-10, 5 fr. 5 Des Places) . =

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m CEr. Eus. praep. evo XI 2 1 , 7-22, 2 Er. 2 Des Places. Il Erammento term ina con un'espressione controversa: mentre infatti Des Places (Numénius, p. 44) accredita la versione dei codici che suona « [ . . . ] per apprendere l'oggetto della Scienza Suprema: che cosa è l'Essere [ . . . ] (oil't(o)� lxllotÀtnjOClL �OTjIloCX, 'ti lcnL 'tÒ Dv) >>, altri (come FESTUGIÈRE, Révélation, IV, p. 1 30) avevano ammesso e tradotto una versione che dà 'tò EY, al posto di >tò OY (e dunque « che cosa è l'Uno ») , versio­ ne che Eorse include un'ipoteca di matematismo. CEr. in proposito DODDS, ' Parm. ' PI. Origins neoplat. One, nota 3 , p. 1 3 2 . Le ragioni addotte da DES PLACES, Nu­ ménius, nota 8, p. 1 05 , a sostegno della sua versione ( 20 Si leggano in tale prospettiva i frr. 16, 19 e 20 Des Places. Il Er. 1 7 collega altrettanto esplicitamente l a primarietà alla divinità, ricordando come già Platone, secondo Numenio, avesse anteposto al deIniurgo un Intelletto 1Cp�unpoç XCIi OtLOnpoç (Eus. praep. evo XI 1 8 , 22-23); il Eatto che inoltre il cosmo stesso sia da Numenio divinizzato (PROCL. in Tim. I 303, 27-304, 7 Diehl Er. 2 1 Des Places), col nome di " terzo dio " , ripropone l a tematica caratteristica di que­ sto monismo della gerarchizzazione delle divinità. m Per esso rimando ai frr. relativi ed alle sezioni esplicative di ZELLER, in ZM, m/4, p. 248 sgg . ; MARTANO, Precursore neopl. , pp. 33-49; FESTUGIÈRE, Révélation, IV, pp. 123-32; MERLAN, Pyth. , pp. 98-104; DES PLACES, Numénius, p. 10 sgg . ; DILLON, Middle Platonists, pp. 366-72; REALE, St. d. fil. ant. , IV, pp. 4 13-22 . m CEr. Eus. praep. evo XI 22, 3-5 Er. 16 Des Places; ivi, XI 22, 9- 1 0 E r . 20 Des Places; ivi, X I 22, 6 - 8 f r . 1 9 Des Places. m Questo aspetto del dio numeniano è importante non per il matematismo, ma perché in esso è raccolta l'eredità del pensiero classico, il quale, da Anassi­ mandro ad Aristotele, aveva assimilato il ruolo de1l'archè prima ad un'attività di pensiero. Il diverso modo ed i diversi effetti dell'attività noetica del Primo e del secondo Dio si chiariscono quando si ricordi che l'uno ha a che Eare con i noetà, l'altro con i noetà e gli aisthetà (Eus. praep. evo XI 1 8 , 20-2 1 Er. 15 Des Places), ed ancora quando si consideri che il primo è detto principio dell' ousla ed il secon­ do principio della g/Jènesis (Eus. praep. evo XI 22, 3-5 Er. 16 Des Places) . Una certa importanza dà DILLON, Middle Pia/onists, pp. 3 7 1-2, al Er. 22 Des Places (PROCL. in Tim. m 103, 28-32 Diehl) , in cui è detto che il Primo Dio « pensa =

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utilizzando in aggiunta il Secondo Dio (lv 'ltpoaxp7ja!1 -;OU S!U-;tpou VOtIV) >> e che il Secondo è xet-;CÌ! -;òv vouv: l'affermazione, che sembra attribuire il pensiero pro­ priamente alla seconda ipostasi (e che contrasterebbe dunque con le affermazioni sopra riportate del fr. 16: -;ò cppoV!IV [ . . . ] aI.IVUWX71Xt !J-6VC!l -; 'ltpro-;C!l), porta Dil­ lon a tematizzare assai cautamente l'intelligenza del primo Dio numeniano. Forse però è opportuno distinguere la causa (o essenza) prima del pensare dagli effetti demiurgici di quel pensiero, che sono apprezzabili al contrario solo all' altezza on­ tologica del Secondo Dio. 12 4 Eus. praep. evo XI 1 8 , 22-23 fr. 17 Des Places; Numenio pretende con ciò di ricollegarsi ancora a Platone, ma in realtà proporrebbe una sua teoria, analoga a quella in progressiva diffusione nel suo tempo. m Cfr. , per le determinazioni riportate, ancora Eus. praep. evo XI 18, 22-23 = fr. 1 7 Des Places; ivi, XI 22, 9-10 fr. 19 Des Places. Sulla semplicità ed indivisibilità tornerò comunque più avanti. } 26 Eus. praep. evo XI 17, 1 1 - 1 8 , 5 = fr. 11 Des Places. 1 2 7 Le elenca con particolare cura DILLON, Midd/e Platonists, pp. 367-72. > 28 PROCL. in Tym. I 303, 27-304, 7 Diehl = fr. 21 Des Places. 3Z9 Per il tema della 'ltpOaxp7jalç, cfr. ancora il fr. 22 Des Places. Il tema del 'ltp6-;tpoç U7tcXpeOlç è ricorrente in Eus. praep. evo XI 1 8 , 6- 10 = fr. 12 Des Places e ne ho parlato supra a proposito dell'unitaria gerarchia ontologica di Nu­ menio (cfr. nota 3 18). Il tema dell'unità fra le ipotesi divine è descritto da MAR­ TANO nei termini seguenti: « [ . . ] il vero è che c'è un'unità, che rimanendo tale da un lato, si manifesta come molteplicità dall'altro: [ . . ] l'unità [ . . ] considerata nella sua essenza di puro pensiero, di realtà intelligibile, pura stasi [ . . . ] diventa Il 'ltpW-;Oç 9t6ç, considerata sotto l'aspetto dell'attività, ossia dell'unità explicans, diventa Il Stunpoç » (Precursore neopl. , pp. 38-9) . A questo tema si connette anche il tratto, tipico della teologia numeniana ed anticipatore di quella neoplatonica (cfr. Eus. praep. evo XI 1 8 , 1 5 - 1 9 fr. 14 Des Places), per cui i doni divini sono trasmessi da lassù a qui (lvOtvS'lxti9l) senza che il Donatore ne sia impoveri­ to, come la luce si trasmette da una lampada all'altra, senza che la prima in nulla si oscuri. L' ousìa del Primo Dio resterebbe dunque in sé intoccata e forse è questo il tratto proprio della trascendenza neopitagorica: ciò che procede nelle ipostasi, e che le determina come tali, sono soltanto " effetti " embrionalmente presenti nel Primo Dio. Il sistema ha però un certo carattere di " continuità " e di " indi­ stinzione " (o di insufficiente distinzione) delle ousìai dei tre Dei, per cui non si può dire radicalmente trascendente l'Ente divino che determina i causati come esplicitazione degli effetti della sua propria ousìa: perciò si può parlare di presen­ za immanente dell'Incorporeo Primo nei sensibili. )) O Cfr. , rispettivamente, CALCo in Tym. p. 297, 7-30 1 , 20 Waszink fr. 52 Des Places, ed Eus. praep. evo XI 22, 6-8 fr. 19 Des Places. A questi andreb­ be aggiunto il già richiamato fr. 2 Des Places (Eus. praep. evo XI 2 1 , 7-22 , 2), nella versione, contestata dallo stesso Des Places, che chiama il Primo Principio tò hèn. Cfr. però quanto già detto supra, alla nota 3 1 5 . Qualche perplessità susci=

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tano comunque anche le due qui citate descrizioni del Dio numeniano come Uno, quella della lezione platonica sul Bene, appunto perché platonica e non propria­ mente numeniana, e quella di Calcidio, perché l'identificazione Dio/singularitas sarebbe da riferirsi, secondo alcuni (REALE, St. d. fil. ant. , IV, pp. 42 1 -2), più al Demiurgo, l'unico che ha rapporto con la materia, che al Dio supremo. Hl Eus. praep. evo XI 1 7 , H - 1 8 , 5 fr. 1 1 Des Places, trad. MARTANO, in Precursore neopl. , p. 36, corsivo mio. ))2 Cfr. supra, la nota 2 7 l . ) ) ) Per Moderato, cfr. STOB. anthol. I prooem. 8, 2 1 Wachsmuth = Il , p . 4 8 Mullach, trad. e corsivi miei; per Teone, cfr. expos. I 3 , p. 2 8 , 29-30 Dupuis, trad. e corsivo mio. La concezione del Dio ebraico e cristiano come fondamento " stabile " , " permanente " , estraneo alla costruzione dell'uomo, da lui non collau­ dabile, ma perciò stesso asse portante del suo atto di fede, è sottolineata da J . RATZINGER, Einfiihrung i n das Christentum, Miinchen 1968, trad. ital. Brescia 1979, pp. 42 sgg . , in relazione alla parola ebraica amen ed alla radicale mn " da cui questa deriva. C'è addirittura da chiedersi se non vi sia un'osmosi terminologica e concettuale fra l'ebraico ' mn ' ed il greco IL'VEIV (lLovciç), nei primi secoli dell'età imperiale e nella fase di scambio fra le due culture, l'ebraica e la greca, anche per la fondazione della teologia. " 4 Cfr. rispettivamente i frr. 3 , 5 , 6 e 8 Des Places (quest'ultimo con tradu­ zione e corsivo miei); si vedano ancora il fr. 15 e si osservino ancora le coinciden­ ze espressive fra Moderato, Teone e Numenio. m FESTUGIÈRE, Révélation, IV, p. 19 sgg . ; per la citazione testuale, cfr. ivi, p. 2 l . " 6 Per i due testi, cfr. le citazioni già fatte _supra, alla nota 3 3 3 ; cfr. quanto · scrive FESTUGIÈRE, Révélation, IV, p. 22. La somiglianza fra Dio e l'unità aritme­ tica in virtù della fWvwcnç è posta esplicitamente da Filone in spec. Il 1 76, dov'è detto che la monade è &awlLlX'toç SEoil &!xwv, , quindi .. non discorsi­ vamente " (did. IV 7, 156, 5-6), perché crede che oggetto di questa nòesis siano i pròta noetà (dunque, a maggior ragione Dio, del quale questi sono i pensieri) ed infine perché egli, come forse già Platone, associa il linguaggio esattamente e soltanto alla diànoia (did. IV 5, 1 5 5 , 1 5 - 1 7 ) . ApP"l'toç significa dunque per .. Albino " , esattamente come per Platone e per gli interpreti moderni, precisa­ mente cX81C11v6'l'tOç (non conoscibile " con la ragione discorsiva ") e, data la distin­ zione diànoia-nòesis, non è affatto contraddittorio rispetto a 'tijl vijl ll-6v,!> À'lmç. Il filoniano cXxcx'tciÀ'ln'toç, che è associato ad clpP"l'toç (pp. 1 87-8), non pare poi utilizzabile per la tesi di Giusta: Filone puntualizza infatti che Dio è XCII'tcX n«crcxç 18tcxç ciXCII't«À�'tOç, col che esclude solo, come nel Didaskalikòs, l'attribu­ zione a Dio di predicati. 35. Sulle tre viae, cfr. il commento di INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I , pp. 43-5 3 , e n, note 52-6 1 , pp. 1 3 1-3. m Cfr. did. x 7 , 165, 3 1-8, 1 66 , 1 3 Hermann. m did. x 5, 165 , 1 4 - 1 8 Hermann, trad. INVERNIZZI, corsivo mio. m Emblematiche di tale " schiacciamento " di .. Albino " su Plotino, a proposito dell'aphàiresis, mi paiono le affermazioni di WOLFSON, Divine Attribu­ tes: l'A. ritiene che tanto l'aphàiresis del Didaskalikòs, quanto quella delle Ennea­ di siano equivalenti all 'ci�ofcxcrtç aristotelica (intesa nel senso della negazione senza privazione) e che dunque entrambe avallino l' attribuibilità a Dio di predi­ cati terminologicamente e semanticamente negativi. Come giunge però Wolfson a tale risultato? Egli intende la plotiniana aphàiresis in termini di apòphasis, perché Platino in un luogo afferma che di Dio noi diciamo solo ciò che non è (enn. v 3 , 14) ed in un altro (enn. VI 8, 1 1) sostiene che tutto ciò che diciamo di Dio è detto solo per astrazione. Da questo soltanto e dalla presenza nel Didaskalikòs di predicati negativi riferiti a Dio, Wolfson si sente autorizzato ad affermare che il termine aphàiresis è usato da Platino « and also by Albinus before him l>, come equivalente dell apòphasis (Divine Attributes, p. 120) . ]H Il problema del 'tOU'tColV è trattato da INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 52, pp. 13 1-2; quello di una collocazione più corretta ed originaria delle tre vÌile era d'altronde sollevato già da FREUDENTHAL, Der plat. Albinos, w

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p. 3 1 8, poi da GIUSTA, I dossografi di etica, l , p. 1 16, e dallo stesso INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', nella nota appena citata . l" Come quelle relative alla comparabilità con il Parmenide platonico a pro­ posito dell'immobilità e della semplicità dell'uno (cfr. FREuDENTHAL, Der piat. Albinos, p. 3 18). m Cfr. INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, p. 45: egli (II, nota 52, p. 132) collo­ cherebbe le tre viae all'inizio del capitolo x , prima delle due prove dell'esistenza di Dio. m Cfr. supra, nota 3 5 3 . m S u tutto ciò, cfr. i l saggio d i WOLFSON, Divine Attributes . "9 ANARAm in decem libros priores Elementorum Euclidis commentarii ex in­ terpretatione Gherami Cremonemis, ed. M. CURTZE, 1899, p. 2, 19-23 . Cfr. WOLF­ SON, Divine Attributes, pp. 1 18-9, con la nota 3 1 . l 60 Cfr. comunque ancora le considerazioni di WOLFSON, Divine Attributes, p. 1 1 9 . Già non possiamo provare che Plotino conoscesse il commento di Simpli­ cio alla definizione euclidea di punto, né che ne avesse tenuto conto nella propria teologia negativa: supporre una situazione analoga per .. Albino " è dunque del tutto e solo ipotetico. l61 Questi i nodi fondamentali del già citato saggio di WHITTAKER, Neopy­ thagoreanism, passim, che riprende e critica quello di WoIfson. Sull'aphàiresis ari­ stotelica, rimando a quanto già scrivevo a proposito del procedimento delle plutarchee Piatonicae Quaestiones, in cap. v , C, nota 190, ed alle indicazioni bi­ bliografiche di INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I nota 1 3 , p. 1 8 1 . Alla presenza di procedimenti elementarizzanti già nella prima Accademia, approdanti talora ad una Stoicheion-Metapbysik, ed alla necessità di guardare a tali ambiti per la com­ prensione dell' aphàiresis .. albiniana " dedica d'altronde la sua trattazione KRA ­ MER, Urpsrung, p. 106, la cui posizione è però criticata da Invernizzi. Sulle oscillazioni della critica a chiamare la aphàiresis . albiniana " a Dio via negationis o via abstractionis, cfr. il rendiconto di INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, pp. 45-6, e nota 12, p. 1 8 1 . l .2 Cfr. PLUT. piat. quaest. 1 0 0 1 E- 1002 A; SEXT. adv. math. x 2 5 9 sgg . ; D . L . v rn 24 sgg . ; PHOT. biblioth., Cod. 249, 439 A 19; NICOM. introd. arithm. B VI 4; p. 85, 3 sgg. Hoche; THEO SMYRN . expos. Il 5 3 , p. 182, 2 1 sgg. Dupuis; PH ILO, de opif. 49; HIPPOL. refut. 4 , 5 1 , PG 16, col. 3 1 19 ; 6, 23, PG 16, col. 3227; [lAMBL.] theol. arithm. 84, 7 sgg. De Falco. Questa cosi diffusa teoria proto­ e neo-pitagorica, e non un presunto commento a Euclide, sarebbe dunque secon­ do WHITTAKER, Neopythagoreanism, p. 1 10 sgg . , l'origine dell'esempio " albinia­ no " , ipotesi che è favorevolmente accolta e documentata da INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', l, nota 22, p. 1 8 5 . l 6 ) Significativamente, l o stesso . . Albino " mostra d i conoscere l'aspetto che accentua la gerarchizzazione pTÒteron-bysteron degli elementi della serie dimensio­ nale costruita per giustapposizione; egli scrive, infatti: « Dio non ha parti perché non esiste qualcosa prima di lui; infatti ia parte e ciò di cui qualcosa è fatto esistono .

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prima di ciò di cui sono parte;- infatti la superficie esiste prima del solido e la linea prima della superficie [ . . . ] » (did. x 7, 165, 3 1 -34 Hermann, trad. INVERNIZZI, corsi­ vo mio) . Il rapporto parte-tutto è visto qui, in specifica relazione alla serie dimen­ sionale, esattamente come rapporto di proteron-hysteron. ' 0 4 Attraverso questi meccanismi specifici, come spero di aver chiarito, la monade aritmetica assume valore metafisico: essa è di per sé un ente intelligibile, ma non metafisicamente rilevante. Di ciò pare non tenere conto INVERNIZZI, ' Di­ daskalikos I, p. 49, quando, presupponendo appunto che all' altezza storica di " Albino " , la monade sia immediatamente « entità non più di valore geometrico, ma metafisico », si trova a dover difendere una presunta, ma, come vedremo, a mio avviso inesistente, originalità di " Albino " nel fermare la propria aphàiresis al punto. 'o, Questa è, come vedremo, l'opinione di INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', I, p . 4 8 sgg . , con l e relative note: cfr . , i n particolare, l a nota 27 a p. 1 8 6 , dove Inver­ nizzi critica coloro che identificano « troppo semplicisticamente il procedimento katti aphairesin con la sua applicazione alla geometria, che è esempio si molto dif­ fuso, ma non esaurisce in sé tutte le potenzialità del procedimento ». ' 00 Cosl la pensa piuttosto KRAMER, Ursprung, p. 106 sgg . , per il quale " Al­ bino " , tematizzando un procedimento di aphàiresis al protos theòs, si pone nella tradizione della dottrina protoaccademica dei principi, in particolare linea con l'identificazione senocratea di Dio con la Monade leggibile a suo avviso nel cru­ ciale frammento di Aezio (plac. I 7, 30, p. 304 b Diels = fr. 15 Heinze, fr. 2 1 3 Isnardi) . ' 0 7 Cfr. R. KLEVE, Albinus on God and the One, « Symbolae Osloenses », XLvn ( 1972) pp. 66-9 . 'o, È INVERNIZZI, ' Didaska/ikos ', I, pp. 49-50, con le relative note, a preten­ dere sia appunto significativo nel senso della non matematizzazione dell' aphàiresis il fatto che " Albino " limiti l'esempio al raggiungimento del punto geometrico. Invernizzi ( ' Didaska/ikos ', I, nota 29, p. 187) rifiuta il suggerimento già di KRA­ MER, Ursprung, p. 108, che l'autore del Didaska/ikòs usi il procedimento elemen­ tarizzante in forma abbreviata, con l'argomentazione che gli pare « strano che l'abbreviazione colpisca non un elemento intermediario del procedimento, ma pro­ prio uno degli estremi, cioè la Monade ». La cosa non è affatto strana: la monade (entità aritmetica e non immediatamente metafisica) è, da chi conosca il procedi­ mento, " comunque " presupposta al punto ed il procedimento stesso non può d'altronde essere abbreviato nelle sue tappe intermedie, ancora da chi effettiva­ mente lo conosca, pena la perdita del suo tipico carattere seriale e gerarchico. L'unica dottrina, grossomodo coeva ad " Albino " , nella quale ci è attestata una primarietà del punto, è quella riferita da SEXT. adII. math. x 282, in riferimento a Pitagorici monisti, che generano tutto dal punto, ·per " scorrimento " di questo (cfr. in proposito anche THEO SMYRN. expos. n 3 1 , p. 136, 5 Dupuis) . Su tale dottrina rimando alle considerazioni già fatte supra, alla nota 294: questa pare comunque una dottrina troppo particolare per esser posta a base di un procedi"

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LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

mento teologico tanto diffuso e caratterizzata del �sto da un materialismo ecces­ sivo per .. Albino " . 16. Anche WHITI"AKER, Neopythagoreanism, p. 1 14, ritiene che " Albino " pre­ senti il procedimento di risoluzione dei solidi nei loro stoichèia « in abbreviated form .. e ricorda appunto (pp. 1 1 4-5) la quantità di sedi (lezione platonica sul Be­ ne, Aristotele, Nicomaco, Pitagorici di Fozio e di Sesto, Giamblico, Proclo) in cui compare ancora la definizione classica del punto come unità avente posizione: e significativamente, inoltre, questa ci è documentata, nei contemporanei e negli immediati successori di . . Albino " nella forma più nuova, che gerarchizza unità e punto, subordinando il secondo alla prima. )70 Cfr. in particolare le considerazioni di KRAMER, Ursprung, pp. 105-6. 17 1 Critica mossa appunto da INvERNIZZI, ' Didaskalikos ', l, nota 27, p. 186. m Cfr. il già citato K!.EVE, Albinus on Goti and the One, p. 69 . m did. X 3 , 164, 3 1 - 32 Hermann: lo Hermann, però, seguendo il Cod. Coi­ silianus 324, dà non cNx L . . ] xopiçwv, ma OÒX [ . . . ] òpiçwv. Poiché sto qui riferendo l'interpretazione di Kleve, seguo la versione da lui giudicata attendibile. 174 KLEVE, Albinus on Goti and the One, p. 67: l'A. ritiene comunque di poter difendere la propria proposta anche qualora si dimostri attendibile la versio­ ne wç oòX òplçwv, perché, egli dice (ivi, nota 8, p. 67), in tal caso « in His trascen­ dental One-ness God could not even be defined ... m Cosl FESTUG IÈRE , Révélation, IV, p. 98. 37 6 INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, p. 26; per i problemi di testo e di tradu­ zione, cfr. quanto scrive lo stesso INvERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, note 28-29, pp. 127-8. 177 Concordano su ciò LoUIS, Epitomé, pp. 56-8; DORRIE, Die Frage nach dem Traszendenten in Mittelplatonismus, cit . , p. 2 12, e LoENEN, Albinus Metaphy­ sics, cit . , « Mnem . .. , s. IV, IX ( 1 956) p. 3 14 . 3 78 Cosl, contro Kleve, INvERNlZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 2 9 , p. 1 2 8 ; qui ·' egli nota come in nessun altro passo del Didaskalikòs compaia per Dio l'attributo hèn, sulla scia di analoghe considerazioni già di Wrrr , Albinus2 , p. 126, 128 e 143 sgg . ; di KRAMER, Ursprung, p. 3 74, e di WHITrAKER, Neopythagoreanism, p . 1 12 . All'ulteriore obiezione mossagli d a INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 2 9 , p. 127, che l a sua traduzione non sembra giustificata per l a mancanza dell' articolo davanti all'hèn, KLEVE, Albinus on God and the One, p. 68, ribatteva citando i passi delle Enneadi in cui Plotino usa indifferentemente, per Dio, tò hèn ed hèn, con o senza articolo. 37. Cfr., rispettivamente, INVERNIZZI, ' Didaskalikos ', n, nota 29, p. 127, e K!.EVE, Albinus on Goti and the One, p. 69. )80 Cfr. GEYMONAT, St. d. matem. , p. 3 7 1 ; sulla vita e sulle opere di Apollo­ nio di Perga e sulla trattazione delle sezioni coniche, anche prima di lui, rimando all'ampia sezione figurante in HEATH, Greek Mathematics, n, pp. 1 10-74 in parti­ colare. Sui caratteri generali delle Sezioni coniche, cfr. ivi, pp. 1 32-3 . Cfr. quanto rapidamente già detto supra, cap. IV, E, con la nota 78.

ALCUNE" CONNESSIONI

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m Cfr. HEATIf, Greek Mathematics, Il , pp. 2 1 3-80, e GEYMONAT, St. d. ma­ tem. , p. 374. )82 Sono questi temi piuttosto complessi, cui non si può qui accennare che cursoriamente, rimandando ancora ad HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 199-2 1 3 , ed a GEYMONAT, St. d . matem. , p p . 375-6; per Ipparco, i n particolare, cfr. HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 260-70. Cfr. il breve cenno già fatto a costoro, cap. IV, E, nota 78. 3 1 } Sulla complessa questione " eroniana " , cfr. HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 298-306, e GEYMONAT, St. d. matem. , p. 3 7 7 . 3 84 Cfr. l'ampia trattazione d i HEATIf, Greek Mathematics, Il, p p . 307-54, e GEYMONAT, St. d. matem. , pp. 377-8. Per l'interessantissima formula tl

=

Vs (s-a) (s-b) (s-c)

che ricava l'area di un triangolo tl, a partire dalla conoscenza dei suoi lati a, b, e c e del semiperimetro s, cfr. in particolare HEATIf, Greek Mtzthematics, Il, pp. 320-3 . m Sull'opera e sul suo autore, cfr. HEATIf, Greek Mtzthematics, Il, pp. 355-439, e GEYMONAT, St. d. matem. , pp. 380-3 . 3 86 HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 355 e 356-7; GEYMONAT, St. d. ma­ tem. , p. 380. Entrambi segnalano l'inaridirsi della geometria nell'età imperiale e nei periodi successivi: secondo GEYMONAT, St. d. matem. , pp. 3 79-80 e 3 87-90, tale inaridimento sarebbe connesso con una perdita di originalità, con il diffon­ dersi dei commentari e con l'erompere di interessi mistico-religiosi che condizio­ nano le scienze esatte, " filosofizzandole " . 3 87 Sulla distinzione fra " teoremi " e " problemi " , fatta da Pappo, cfr. la ricostruzione di HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 36 1-2. Sulle definizioni dell'a­ nalisi e della sintesi, cfr. quanto già detto in proposito nel cap. I ed ancora supra, al cap. V, B, e quanto scrive lo stesso HEATIf, Greek Mathematics, Il, pp. 399-403 . 3 88 Per l'aritmologia plutarchea, rimando a quanto già documentato supra, al capitolo v, C. Ampie sezioni dei Theologoùmena Arithmetikà di Nicomaco sono utilizzate nell' opera omonima ascrivibile appunto a Giamblico e riassunte nel già citato Codice 1 8 7 della Biblioteca di Fozio. Ad una trattazione aritmologica, so­ stanzialmente simile, sono dedicati inoltre i paragrafi 40-49 del Il libro dell' Expo­ sitio di Teone. 3 89 La cronologia ed i presupposti filosofici dell' opera di Nicomaco sono sta­ ti già indicati al cap. v , D . Per la cronologia del più volte citato Teone di Smirne, vissuto verosimilmente nel II secolo d.C . , fra l'epoca di Tiberio e quella di Anto­ nino il Pio, si vedano le considerazioni di J. DUPUJs, nella prefazione a THEON DE SMYRNE, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, Paris 1 892, p. v, e di HEATH, Greek Mathematics, Il, pp. 238-9; a tali sedi rimando anche per i caratteri dell'opera, il cui titolo, proprio secondo Heath (ibid. ) , non andrebbe preso troppo sul serio: Teone ricorda nell'introduzione le considerazioni relative all'utilità delle matematiche fatte nei dialoghi platonici e

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si professa nÀex't(O)Ylx6� nel titolo stesso del suo lavoro. Questo è comunque piut­ tosto una summa delle dottrine e delle opinioni correnti nel n secolo d.C. a pro­ posito dell'aritmetica, della musica, della geometria e dell'astronomia, con varie notazioni di ordine storico. Sulla tàxis teoniana delle scienze esatte tornerò in seguito. 390 Cfr. NICOM. introd. arithm. A VW-XVI; pp. 1 4 , 1 3-44, 7 Hoche in parti­ colare, più o meno corrispondenti ai temi svolti da THEO SMYRN. expos. , ai para· grafi 5-8 e 32 del I libro. )9 1 Per esempio: 8 (6 + lO) (5 + 1 1) (7 + 9) [. . .1 . =

=

2

2

2

Cfr. introd. arithm. A vw 1 e 2; pp. 1 4 , 1 3 - 1 9 Hoche. L'unico numero che fa eccezione a questa regola, avendo solo numeri successivi e non precedenti, è evi­ dentemente l'unità, che dunque, si dice, è « origine naturale di tutti i numeri » (vw 2; pp. 14, 18-19 Hoche) . 1 92 introd. arithm. B VI-XX; pp. 82, 10·1.19, 19 Hoche. Teone invece mescola i due tipi di trattazione: i paragrafi 9-3 1 del libro I, che considerano geometrica­ mente i numeri, sono inseriti fra quelli, già citati alla nota 390, relativi alla tratta­ zione non geometrica, dei numeri stessi. La differenza fra i due tipi di approccio è comunque sottolineato da HEATH, Greek Mathematics, Il , pp. 239-40: la sezione dell' Expositio che tratta i numeri figurati - che è dunque parte del libro intitola· to nepì &pI9fL"I)'tlxij� svolge i temi essenziali della geometria piana e solida pro· messi da Teone all'inizio dell'opera, poiché non compare un libro specificamente intitolato nepì "ywfLe'tptxij�. J 9) Cfr. introd. arithm. B vI I ; p. 83, 3 sgg. Hoche, per queste ultime consi­ derazioni; i passi qui citati compaiono in B VI 2; p. 83, 16-19 Hoche, e sono da me tradotti. L'affermazione di Nicomaco può costituire dunque una giustifica­ zione di diritto anche per l'assenza di una trattazione geometrica nell'opera di Teone. '94 Considerazione della BERTIER, Introd. Arithm. , p. 2 5 . > 95 Sul . . pitmene " (che è l a cifra significativa ex d i u n numero N del tipo ex x 10r), cfr. GEYMoNAT, St. d. matem. , p. 370; il crivello o staccio di Eratoste­ ne è un metodo per l'indicazione, nella serie dei naturali, dei numeri primi, che viene efficacemente descritto da NICOM. introd. arithm. A XW; p. 29, 17 sgg. Hoche (cfr. supra, cap. IV, E, nota 79) ; per Eratostene, cfr. GEYMONAT, St. d. matem. , p. 3 7 4 . '96 Sulla cronologia e sulle opere d i Diofanto, collocabile fra Pappo e Teone e comunque fra il n ed il In secolo d. c . , cfr. ancora HEATH, Greek Mathematics, Il, pp. 448-50, e GEYMONAT, St. d. matem. , p. 384. Delle Cose aritmetiche abbia­ mo soltanto sei libri e parte di un settimo, mentre perduta completamente è l'al­ tra opera diofantea sui Porismi. > 9 7 Cfr. in proposito, HEATH, Greek Mathematics, Il, pp. 440-8 . '98 Su ciò concordano tanto HEATH, Greek Mathematics, Il, p. 448, quanto GEYMONAT, St. d. matem. , pp. 384-5. Le fasi dello sviluppo della stessa scrittura algebrica sono indicate da HEATH, Greek Mathematics, Il , pp. 455-6, sulla scia -

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ALCUNE CONNESSIONI

di precedenti studi tedeschi: Diofanto apparterrebbe alla seconda fase, dell'alge­ bra cosiddetta " sincopata " (la prima fase era detta dell' algebra " retorica "), la quale è caratterizzata « by the use of certain abbreviational symbols for constan­ t1y recurring quantities and operations .. (HEATH, ivi, p. 456) e che sarebbe co­ munque arretrata rispetto all ' algebra " simbolica " vera e propria. Anche GEYMONAT, St. d. matem. , p. 386, tende, pur sottolineando i meriti di Diofanto, a considerar­ lo un « precursore dell' algebra anziché come il fondatore di essa ». ,.. Il problema è posto - e rimane sostanzialmente irrisolto - da GEYMO­ NAT, St. d. matem. , pp. 386- 7 . Pare comunque si possa confermare una sostanziale vocazione geometrica della storia della matematica greca, laddove però la " storia della filosofia " di quella matematica rivela un privilegiamento spesso implicito, ma pressoché costante (da Archita a Giamblico) dell'aritmetica e l'ammissione di una sua primarietà rispetto agli altri mathèmata. 4 00 La troviamo in Moderato, in Nicomaco ed in Teone. Cfr., per il primo, STOB. anthol. I prooem. 8, 2 1 , Wachsmuth II, p. 48 Mullach, e quanto sopra richiamato, al cap. v, E, nota 3 1 1 ; per Nicomaco, cfr. introd. arithm. A VIU 1 ; p . 1 3 , 7-8 Hoche. 4 01 Cfr. THEO SMYRN . expos. I 3, p. 28, 1 -2 Dupuis (cito in riferimento a questa edizione, indicando con il numero romano il libro e con la cifra araba il paragrafo, indi la pagina e la riga; cfr. le citazioni fatte supra, alle note 246, 294, 333 e 362; la numerazione dei paragrafi corrisponde a quella della più vec­ chia e normalmente più citata edizione dell'opera Theonis Smyrnaei, Philosophi Platonici, Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, Recen­ suit E. HILLER, Lipsiae 1878); la traduzione dal greco ed i corsivi sono miei . La definizione di Moderato, leggibile nel sopra citato passo dell' Anthologium di Stobeo, è, in gran parte, esattamente corrispondente a quella di Teone. Ho rite­ nuto di tradurre il termine CXYClt7tOIìLa....6ç con " sottrazione progressiva " , sia qui, che traducendo Moderato, supra, al cap. v, E, nota 3 1 1 , perché tanto Moderato, quanto Teone alludono al " ritorno " all'unità come ad un processo di " toglimen­ to " dei numeri determinati, usando entrambi la parola significativa u!pCltiptaLç. 4 02 Cfr. NICOM . introd. arithm. rispettivamente: A IX 5; p. 20, 2 1 -22 Hoche; A XIX 1 3 ; pp. 52, 2 1 -53, 9 Hoche; ancora A xv 1; p. 38, 5-20 Hoche; A XXIU 6; p. 65, 17-2 1 Hoche; B IU 2; p. 76, 4-20 Hoche; B v 4; pp . 80, 23-8 1 , 1 4 Hoche; A XIX 4 ; p p . 49, 19-50, 5 Hoche. Cfr. quanto scrive in proposito l a BER­ TIER, Introd. Arithm. , pp. 22-3 . 4 0' Cfr. introd. arithm. A VIU 2; p. 1 4 , 1 8 - 1 9 Hoche, trad. mia. 4 04 Cfr. introd. arithm. A vm 9; p. 16, 6-10 Hoche, e A X 6; p. 23, 7-14 Hoche. 4 0 ' La spiegazione in francese è della BERTIER, Introd. Arithm. , p. 25 . 4 06 THEO SMYRN . expos. 1 4, p. 30, 15 Dupuis, trad. mia (cfr . , per Moderato, STOB. anthol. I prooem. 9, 21 Wachsmuth II, p. 48 Mullach, e quanto detto supra, cap . v, E, nota 338). Le 7t&aCltL XClt'tcX 'tò te>iç CIti 'tWY OPWY lxOtatLç, attraverso cui i numeri sono pensati come pari e come dispari, cui alludono sia Moderato che Teone, sono forse i termini della lista protopitagorica dei contrari. =

=

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4 0 7 La genesi della serie del dispari si ha, sempre a partire dall'unità, per aumento progressivo di 2 unità (1 + 2 = 3 + 2 5 + 2 7 + 2 [ . . . ]) (cfr. introd. arithm. A IX 4; p. 20, 9-19 Hoche) . Dalla serie dei dispari e dei pari è poi possibile gene­ rare: i pari-dispari - numeri le cui metà non sono divisibili per 2 -, dai dispari moltiplicati per 2 (3 x 2 6; 5 x 2 lO; [ . . . ]) (cfr. ivi, A IX 4; p. 20, 9-19 Hoche, e A X 6; p. 2 3 , 7 - 1 4 Hoche) , e, con un meccanismo più complesso, i dispari-pari - numeri i cui quarti non sono divisibili per 2 - (cfr. ivi, A X 7-10; pp. 2 3 , 14-25, 18 Hoche) . 4 08 Cfr. quanto già detto supra, alla nota 40 l . 4 0. introd. arithm. B VI 3 ; pp. 84, 25-85 , 3 Hoche, trad. mia. 4 10 introd. arithm. B I 1 ; p. 74, 5-8 Hoche, trad. mia; cfr. A XI 3; p. 27, 9- 1 1 Hoche, e quanto scrive la BERTIER, Introd. Arithm. , nota 2, p. 190. 4 1 1 Per la definizione di monade di Moderato, cfr. STOB. anthol. I prooem. 8, 21 Wachsmuth = n , p. 48 Mullach; per quella di Teone, cfr. expos. I 3, p. 28, 1-2 Dupuis; sull'immutabilità ed indivisibilità della monade in Nicomaco, cfr. rispettivamente introd. arithm. B VI 3; pp. 84, 25-85 , 3 Hoche, ed A vm 4; p . 15, 9 Hoche. 4 12 Cfr. introd. arithm. A m-v, e quanto già detto supra, al cap. v , D. 4 1 ) Cfr. resp. vn 530 D . 4 1 4 Anche i n Nicomaco, nonostante egli non l o dica esplicitamente, s i può collocare la musica al secondo posto, proprio in rapporto al criterio generale presupposto-conseguenza, che regola la tàxis delle scienze. 10 specifico ordina­ mento aritmetica-musica-geometria-sferica si ritrova anche in uno pseudepìgraphon preparatorio al neopitagorismo (cfr. supra, cap. v, E, nota 274). m Cfr. introd. arithm. A v 3 ; p . 1 1 , 22 Hoche. 4 16 Questo divaricarsi fra orda rerum (l'ordine naturale) e orda idearum ( " il nostro piano ") delle scienze esatte, che certamente indebolisce il potenziale ma­ tematistico dell'ordinamento teoniano delle scienze, può forse essere ricondotto ad un residuo della distinzione aristotelica, più volte riportata, fra ordine di suc­ cessione "tÌÌl À6y>,8. Que••.

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sti principi, che sono " comuni " all'intera sostanza matematica e ad essa, per le ragioni che tra poco vedremo, specificamente propri, si estendono a " tutti " i livelli del reale (alle diverse ou­ sz'ai), ma vanno soggetti ad una sostanziale differenziazione ai di­ versi piani (cXÀÀIÌ 'tou'twv aac'ttpwv OÙX EVac ÀOyov où8't1tì 1tcXGTjC; oùatacc; 'tòv acù'tov, [. . . ]) : al livello della sostanza intelligibile, spiega Giam­ blico, i principi sono infatti intelligibili, immateriali, xac9'lacu'tcX ed indivisi (e verosimilmente fonte di analoghi caratteri per le sostanze cui ineriscono) , mentre al livello della sostanza matema­ tica sono causa di plèthos, di mèghethos, di diàiresis e di diàstasis ed all' altezza della sostanza sensibile danno luogo addirittura alla materia ed al movimento. Qualcosa . di fondamentalmente comu­ ne si estende però dalla sostanza intermedia, quella matematica, alla sostanza sensibile ed è appunto l' cXOpLa'tLac t1tì 1tcXV'tac 8LcxnLvou­ acx, l'infinitezza (indefinitezza) insita ed operante in tutti gli enti, dai mathematikà in giù'9 : l' cXOpLa'tLCX, essendo 1toÀutL8i)c;, ha del re­ sto, dalla sostanza pròteros e presbyteros a quella hysteros e neòte­ ros, forme svariatissime di manifestazione, progressivamente meno astratte e concretizzantisi infine nella stessa materialità. Nel ca­ pitolo IV, Giamblico tematizza poi nello specifico le archài idìai per ciascun genere dei mathèmata, che gerarchizza dal genere prò­ ton (quello dei numeri e dei principi hèn e plèthos), a quello dèute­ ron (quello delle figure geometriche) , giù giù, secondo l'ordi­ namento tradizionale, fino ai solidi in movimento: questo mate­ riale teorico è, come già ricordavo, oggi per lo più considerato materiale documentario della pròsthesis ontogonica di Speusippo e della homoiòtes di funzione che, nella metafisica speusippea, lega i principi diversi per i diversi livelli della sostanza matemati­ ca60 • Se però si ammette - né credo si possa avere ragione di non ammettere - che questo materiale teorico sia elaborato sl dal Giamblico dossografo di Speusippo, ma che in qualche misu­ ra anche gli appartenga come filosofo originale, l'interessante ri­ sultato che ne deriva può chiarire il senso della scientia mathematica communis giamblichea rispetto a quella di Speusippo, da un lato, ed a quella di ProcIo, dall' altro . Abbiamo visto che, secondo la testimonianza aristotelica,

APPUNTI

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Speusippo rifiutava l e idee e dunque degli intelligibili puri " pri­ ma e al di sopra " dei numeri matematici, i quali sono invece per lui le sostanze prime ed i cui principi (hèn e plèthos) sono dunque i principi primi del reale: Giamblico ammette invece una sostan­ za intelligibile pura, al di sopra di quella matematica (tratto ipo­ teticamente " non " matematistico), e addirittura un'incidenza sulla sostanza intelligibile dei principi propri e comuni ai mathèmata; l' affermazione è però paradossale e relativa ad un'incidenza vuo­ ta, puramente negativa: il mondo degli intelligibili puri giambli­ chei è in realtà il mondo dell' assoluta immobilità, della mancanza di mediazione, il mondo dove i principi, se si danno, non ammet­ tono relazione reciproca (sono infatti XOtO'tOtu'ta.) , e dove gli intel­ ligibili stessi, di conseguenza, restano chiusi, immobili in se stessi e privi di relazionalità reciproca. La mediazione ed il movimento - e dunque 1'essere stesso e la conoscenza - cominciano per Giamblico con la sostanza matematica e con i suoi principi pro­ pri, i quali, causa di molteplicità e di grandezza, di divisione e di estensione, trovano forme di ulteriore e diversa esplicitazione ad ognuno dei successivi gradini del reale, pur restando legati dal­ l'analogia nella funzione61 : la teoria giamblichea dei principi coin­ cide perciò solo per un tratto con quella di Speusippo ed anticipa piuttosto perfettamente quella di Prodo . I principi pèras e pepera­ smènon, propri della sostanza matematica e comuni dunque a tut­ ti i mathèmata, sono il primo criterio della mediazione e del movimento capaci di fondare 1'essere e la scientia mathematica com­ munis giamblichea diviene mathesis universalis in senso forte, quan­ do quei principi e le loro ulteriori forme di manifestazione ai livelli inferiori del reale si mostrino anzi come 1' ' ' unico " mezzo di fon­ dazione di un essere vero, di un essere che ammetta appunto me­ diazioni razionali: questo è il senso esatto che Giamblico, anticipando appunto perfettamente Prodo, dà al suo matemati­ smo, in cui del resto accoglie tutte le trasformazioni teoriche che progressivamente aveva subito l'originario matematismo elemen­ taristico di Speusippo . La paràdosis della scientia mathematica communis, dopo la de­ scrizione degli assiomi o caratteri comuni alla sostanza matemati-

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LE I D E E , I NUMERI, L'ORDINE

ca e la teoria dei principi di questa, prosegue con una trattazione dei " fondamenti " o " teoremi comuni " alle scienze matemati­ che, nella quale Giamblico accoglie verosimilmente e media l' an­ tica teoria aristotelica degli axiòmata o koinà e la trattazione euclidea, negli Elementi, delle cosiddette koinài ènnoiai62 • Ta. "fE IL1!Y U7tOXELILEYCX 'ttj ILcx9T\ILcx'ttx'!i 9EWpLqt, scrive Giamblico, 'ta XOtY'!i t7tL 7tCiO"cxy 8tCXnLYOY'tcx �Y t7ttCTt1)ILT\Y 'tcxu'tT\Y : i teoremi comuni ai numeri, alle grandezze, ai suoni, agli oggetti dell' astronomia XCXL 7ta.y'tWY 'tWY ciÀÀwy ( ! ) sono i teoremi relativi alle proporzioni, alle sintesi ed alle diairesi fatte in comune (XCXL 'tali 7tEPL 'tali XOt\lWIi O"UY9ÉO"Etli XCXL 8tcxtpÉO"Etli) ed a tutto ciò che si teorizza sull'uguale e sul disuguale, sul multiplo e sulla parte, sull'eccesso e sul difet­ to, sul diviso e sull' indiviso, sul kath 'autò e sul pròs ti, ecc . , tutto ciò che si può teorizzare dunque sul puro quantum (7toO"ÒY > (60, 3-5, trad. mia) . 4 2 comm. math. sco 1 4 , 2 3 - 1 5 , 5 trad. e corsivi miei: nell'immediato prosieguo della trattazione si accetterà, come ho già ricordato, l'ordine tradizionale numeri (pròton ghènos) figure geometriche (dèuteron ghènos) ecc. Siamo all'inizio del capi­ tolo IV, quello in cui sono stati riconosciuti, appunto sulla scia di Merlan, due fram­ menti di Speusippo ( 1 5 , 5 - 1 6 , 14 e 18, 1 - 1 2 fr. 72 Isnardi, e 16, 1 5 - 1 7 , 29 fr. 88 Isnardi) . Non posso qui riprendere tutta la tematica relativa a questo punto: in ogni caso, il passo che ho citato resterebbe .. fuori " dalla parte propriamente documentaria sullo scolarca dell'Accademia e comunque, anche se Giamblico cita teorie di Speusippo, non è detto che egli non le condivida. Il brano introduttivo sulla tàxis dei mathèmata, che ho appena citato, deporrebbe comunque a favore di una qualche manipolazione dei concetti protopitagorici e protoaccademici, alla lu­ ce delle tematiche (quella dell'implicazione unilaterale e dei criteri ordinatori della presbèia e della aplòtes) , che sono accentuate propriamente in area neo-pitagorica. -

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APPUNTI

., Cfr . , proprio nel contesto dell'elementarismo protopitagorico e speusip­ peo, l'affermazione secondo la quale "tÒ yap ,x"/tÀOUCTtat"tov "/tatV"tatxoii CTto�xeiov erVat� (comm. math. sco 1 7 , 12- 1 3 ) . 44 I due passi riportati sono leggibili i n DAMASC. de princip. 43 ( I p. 86, 3-10 Ruelle), ed in PROCL. in Tym. n 240 sgg. (trad. e corsivi miei); cfr . , per un commento, DILLoN, Iamblichi in Plat. lragm. , p. 33 e p. 52 . • , comm. math. sco 58, 1 4-2 1 , trad. mia •• Ivi, 58, 22-25 . 47 Schematizzando, i tropoi di costituzione delle due tàxeis sarebbero i seguenti: .

criterio aritmetica geometria musica sferica o astronomia

X«'t1Ì fPucnv (tàxis classica dei primi Pitagorici, di Speusippo, di Plutarco, di Giambli­ co in comm. math. sco IV) "/tpòç rljv jJ49-tjo"�v hp67toç l"/t�, pp. 96-140. Non ri­ prenderò nello specifico la teoria giamblichea che identificava anima e numero, poiché essa non sembra rientrare (per lo meno nella sua forma più semplificata) nella nostra definizione di mathesis universalis: si tratterebbe, per poterla affrontare adeguatamente, di specificare in che senso ed in che modo la teoria è matematisticamente rilevante e forse d'altronde, a questo scopo, di ridefinire i criteri semantici e teorici della nozio­ ne stessa di matematismo. In ogni caso - anche ammessa una rilevanza matematistica della teoria in questione - è difficile ricostruirla in modo migliore di quanto ha fatto Merlan, nonostante la polemica suscitata dalla sua esegesi: interessante può essere, fra l'altro, ciò che, su un' oscillazione di Giamblico, rilevata da Merlan, nella definizione dell'anima come arithmòs, eccepisce DALSGAARD LARsEN, Jamblique, pp. 125-9. H Cfr. comm. math. sco lO, 6-19. " eomm. math. se. 3 5 , 7-26. ,. eomm. matb. se. lO, 19-24, trad. mia: ritorna qui dunque la tematica della propedeuticità tradizionale dei mathèmata alla filosofia, in particolare alla teolo­ gia, su cui cfr. ancora eomm. math. se. 5 5 , 8-22 . " XOLI/Wç Ili! 1tEpi 1tcX\l'tWI/ 'tWI/ fLcx9'1lfLcX'tWI/ &.cpopLawfLE9cx 'tll/Eç 'rijç fLcx9'1lfLCX'tLXijç oùa!cxç dail/ &.PXCXI (eomm. math. se. 12, 18- 1 9) . n eomm. math. se. 12, 22-25, trad. mia. " eomm. math. se. 1 3 , 1 - 1 4 , 17 . • 0 Cfr. eomm. mQth. se. 1 4 - 1 8 Festa. Cfr. quanto già richiamato supra, al capitolo w , B, ed anche qui, alla nota 42 . • , Anche per Giamblico, come per Speusippo, i numeri sono il pròton gbènos e la coppia hèn-plèthos è la prima manifestazione dei principi: per Giamblico però al di sopra di questi vanno posti i noetà (oggetto del puro nous) ed i dianoetà puri (oggetto della koinè mathematikè epistème) . • 2 Rimando a quanto detto supra, al capitolo II, B e II, C. L'entroterra teori­ co e storico di questo v capitolo del De eommuni mathematiea seientia è comunque più ricco, poiché fra i teoremi comuni rientrano anche criteri di razionalizzazione del reale che tradizionalmente facevano parte della dottrina delle categorie, come il criterio, fondamentale nella tradizione protoaccademica e neopitagorica, della bipartizione in kath'autò e pròs ti.

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APPUNTI

., comm. math. se. 19, 2 sgg. Alcuni dei criteri di mediazione della scientia mathematica communis erano già stati indicati nella sezione finale del capitolo D, quando si era detto in che modo essa sia capace di ordinare i pjJène su cui opera, distinguendoli in xatO'lXm e npò� e'"PII , ed ancora xat'tcX � 'tOil noaoii 8I1Xq1op&ç, XIX'tÒ< 'tò np6'ttpov XIX! ua'ttpov, ecc. (cfr. comm. math. se. 12, 1 sgg.). Ho evidenziato con il punto esclamativo fra parentesi l'espressione che ascrive i teoremi comuni non soltanto ai numeri, alle figure, ecc . , ma anche a tutte le altre cose, perché mi pare spia di una possibile ontologizzazione della scienza comune ( mathesis universalis in senso forte) , come sopra avevo mostrato per l'espressione « [' . . l alii­ sque » della Protheoria mathematica di Corrado Dasipodio (cfr. supra, cap. I, B, nota 50) . •• comm. math. se. 19, 1 9-20, 1 sgg . .. comm. math. se. 1 1 , 9-12: [ . . . l i} ILIXO'll!LIX'tUCT} ÈntCJ'ti}lL'Il yvwait; ÈCJ'tt lLeCJ'lj, n).tov&CoualX 'toii wii 'tli CJUvOtatt, 8tatvot'tuci} 'tt� oùaac, no).).cX Èv 'tIXU'tijl CJU).).IXIL�livoualX, 8tt1;68ou; 'tta! XPWlLtV'/j lLiiÀÀov XIX! IXvt).(l;tatv, [ . . . l . •• comm. math. se. 45, 26-46, 1 . .7 [ . . . l xat'tcX 'tòv IX1ÌtÒV ).6-yov njç oùaicx� lL''ttt>..1jlPlXat xat! CJUV/X'Ywy7jç XIX! 8tatp€atw�, «vcxn� 'tt XIX! CJU\I,t>..� , ÈntCJ'tpD(pfj� 'tt in! 'tÒ wptCJ!l.Évov XIX! CÌ1t'IXÙ'tOil CÌ1toCJ't� (comm. math. se. 46, 3-6) . Queste ultime espressioni sembrano accentuare anche un altro aspetto delle dynàmeis in questione e cioè la " perfetta simmetricità " (