Le idee, i numeri, l'ordine. La dottrina della mathesis universalis dall'Accademia antica al Neoplatonismo 887088189X

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LINDA M. NAPOLITANO VALDITARA

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE La dottrina della matlmis univmalis dall'Accademia antica al neoplatonismo

ELENCHOS Collana di testi

e

studi sul pensiero antico

diretta da

GABRIELE GIANNANTONI

�

l�-

LINDA M. NAPOLITANO VALDITARA

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE La dottrina della mathesis universalis dall'Accademia antica al neoplatonismo

BIBLIOPOLIS

Questo volume è stato pubblicato con il contributo dell'Universi­

tà di Padova - Istituto di Filosofia.

Proprietà letteraria riservata

ISBN 88-7088-189-X

Copyright © 1988 by «C.N.R., Centro di studi del pensiero antico» diretto da GABRIELE GtANNANTONI

INDICE CAPITOLO PRIMO: PER UNA DEFINIZIONE DI UNlVERSALIS:

NOTAZIONI STORICHE

ED

MATHESIS

INDICAZIONI SE·

pag. 11

MANTICHE

La definizione cartesiana di mathesis universalis, p. 1 1 . Il concetto di mathesis universalis nei secoli XVI e XVII, p. 26. Note, p. 4 1 . CAPITOLO SECONDO: Le PRINCIPAU FONTI (STORICHE E TEORICHE) DELLA

MATHESIS UNIVERSAUS:

PLATONE,

ARISTOTELE, EUCUDE, PROCLO

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283

L'uso delle fonti, p. 45. Le fonti storiche: dai " problemi " ai " teoremi "; dal numero figurato alla quantitas, p. 50. Le fonti teoretiche: Euclide, p. 74. Le fonti teoretiche: Proclo, p. 96. Note, p. 1 16. CAPITOLO

TERZO: IL

VERSALIS

PROGETTO DELLA

MATHESIS UNI·

NELL'ACCADEMIA ANTICA

Riflessioni introduttive, p. 149. Speusippo, p. 156. Senocrate, p. 185. Eudosso di Cnido e la teoria delle proporzioni. Teorie e problemi dell'Epinomide, p. 209. Conclusioni sull'Accademia antica, p. 229. Note, p. 232. CAPITOLO QUARTO: LA FLESSIONE DELLA MATHESIS UNI· VERSALIS FRA tL III ED tL I SECOLO A . C . L'Accademia scettica e l"' irrazionalità " dell'epoca ellenistica, p. 283. La prima Accademia scettica: ArcesUao di Pitane, p. 286. La nuova Accademia scettica: Carneade di Cirene, p. 293. FUone di Larissa, Antioco di Ascalona e la ripresa del realismo, p. 306. La scuola scientifica di Alessandria fra teoria e tecnica. Rigore ed invenzione in Archimede, p: 3 10. Note, p. 329.

8

INDICE GENERALE

CAPITOLO QUINTO: ALcUNE CONNESSIONI TRA MAniE· SIS UNIVERSAUS, FILOSOFIA MEDIOPLATONICA E NEO· pag. 343 PITAGORISMO n medioplatonismo, p. 343. La sistemazione delle scienze nel Didaskalikòs: il ruolo ddl' analisi ed il significato della dialettica, p. 348. La caduta ddla matematizzazione ndla Ideenlehre medioplatonica. Plutarco, la �0.'11 &pt911'1jt1X'fj ed il pitagorismo, p. 378. n neopitagorismo, l'aritmologia ed il matematismo di Nicomaco di Gerasa, p. 4 1 3 . L'esemplarità matematica ndla nuova teologia neopitagorica e me­ dioplatonica, p. 434. La matematica dell'età imperiale: storia e storiografia, p. 469. Note, p. 481. CAPITOLO SESTo: .APPUNTI PER UNA CONNESSIONE FRA MATiffiSIS VNIVERSAUS E NEOPLATONISMO Mathesis universalis e neoplatonismo, p. 537. Giamblico di Calcide: Iltpl nj� xotvij� !LC'B71!1«'Wcii� llttat"ljy.�, p. 539. Note, p. 564.

»

537

CoNCLUSIONI Concezione arcaico-tradizionale dd numero e mathesis universalis, p. 573. Le definizioni dd numero e la dottrina dei principi dualistica e monistica, p. 575. Forme ddla mathesis universalis nella tradizione platonica e pitagorica, p. 577. Le relazioni d'ordine, p. 580. Orda geometricus e gnoseologia, p. 583. I correttivi al matematismo, p. 586.

»

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BmuOGRAFIA

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INDICE

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617

DEI

LUOGHI

A Marco

« ...

L'uomo che noi intmdiamo e vogliamo, eh� aspiriamo a diventart!,

potrt!bhe ogni giomo scambiart! la sua scienza o la sua arte con qua/untjue

11/tra, /llrt!bhe ri/ulg= nel Giuoco delle perle la logica più cristallin11 e nella f!t1mmatica la fantasia più Crt!ativa. .. . In alcuni secoli abbiamo inventato e sviluppato il Giuoco delle perle come linguaggio e metodo univmali per esprim= tutti i valori e conc�tti spirituali e 11rtistici e ridur/i ad Unll misura comun�. .. ».

(H. HESSE, Il giuoco delle perle di vetro).

CAPITOLO PRIMO

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESIS UNIVERSALIS: NOTAZIONI STORICHE ED INDICAZIONI SEMANTICHE «Geometriam aliqui pro arte magica habuerunt ». (T. HoBBES, Leviathan, Opera latina, III, pp. 37 -8). A) LA DEFINIZIONE CARTESIANA DI

MATHESIS UNIVERSAUS

Scrivendo nel marzo del1636 all'amico Padre Mersenne, Re­ né Descartes gli sottoponeva il progetto di una nuova opera, un

lavoro diviso in quattro saggi, il primo dei quali propositivo ed introduttivo e gli altri tre esemplificativi: all 'inizio dell'estate del­ l'anno successivo il lavoro ormai completato usciva con il titolo ben noto di Discorso sul metodo. Della lettera a Mersenne ci inte­ ressa proprio il titolo che Descartes proponeva per l'opera che sarebbe divenuta il suo scritto fondamentale e che in quella sede è presentata dunque come: «Progetto di una Scienza Universale che possa elevare la nostra natura al più alto grado di perfezione. Più la Diottrica, le Meteo· re e la Geometria: in cui le più curiose materie, scelte per prova della Scienza universale proposta dall'Autore, sono spiegate in modo che possano essere intese anche da coloro che non le hanno mai studiate »1 • Con il Discorso sul metodo, Descartes tematizzava rigorosa­ mente ed in un'opera organica l'intuizione dei mirabilis scientiae

12

LE IDEE, I NUMERI, L'ORDINE

fundamenta,

che già l'aveva entusiasmato alla fine del 1619, come

ricorda negli

O/impica2•

La " Scienza universale", cui egli accen­

na due volte nel titolo provvisorio del futuro Discorso sul metodo, deve dunque avere nella sua formazione un peso notevole, se egli dedicò all'elaborazione di quella scienza ben diciotto anni, ed al "metodo" esposto nell'opera va attribuito, nell'economia del pen­ siero cartesiano, un valore forse non minore di quello che ha il

Cogito. Non stupisca questo esordio nell'ambito della filosofia

mo­

derna per una ricerca tesa a ricostruire il significato e la storia del concetto di mathesis universa/is in alcune fasi del pensiero gre­ co classico, ellenistico ed imperiale; l'esordio ha una duplice giu­ stificazione: da un lato, pare potersi trovare in Descartes, nelle

Regu/ae ad directionem ingenii,

la definizione più chiara

camente più pregnante del concetto di

e

filosofi­

mathesis universa/is;

dal­

l'altro, questo concetto giunge a formarsi in Descartes procedendo su linee storiche assai datate e sulle quali si collocano esattamen­ te gli autori ed i filoni per noi più direttamente interessanti. Quan­ do dunque la si comprenda sufficientemente, la definizione cartesiana della "Scienza universale", proprio per la sua chiarez­ za e per la sua rilevanza filosofica, può costituire, sul piano teore­ tico, un'ottima pietra di paragone per valutare le definizioni precedenti e, sul piano storico, una sorta di meta, di cui più facil­ mente si individuano le tappe per quanto lontane di approssima­ zione.

È

evidente tuttavia il carattere occasionale e se si vuole

strumentale di questo riferimento alla filosofia moderna: non pre­ tendo perciò di conferire a questo primo nucleo di considerazioni l'approfondimento ed il rigore doverosi, qualora il tema di speci­ fica discussione fosse stato la

mathesis universalis

nello stesso De­

scartes e nel pensiero moderno. Come già detto, Descartes dedicò all'elaborazione del suo "metodo" o "Scienza universale" almeno diciotto anni, appli­ candovisi nel periodo che va dal 1619, anno in cui, per la prima volta, gli balenò alla mente l'idea di un'unica scienza, al 1637, anno nel quale pubblicò appunto il

Discorso sul metodo: entro tali

termini e, come pare assodato, precisamente nel 1628, si colloca

PER UNA DEFINIZIONE DI MATHESLS UNIVERJAUS

13

quel breve saggio, incompiuto, ma densissimo, noto come Regu­ lae ad directionem ingenii. Nelle ventuno regole )asciateci, Descar­ tes costruisce pezzo per pezzo la " Scienza universale " , che si configura, fin dall 'inizio, esattamente come metodo atto a cono­ scere le cose «con chiarezza ed evidenza,.; già nella Regola IV - il cui enunciato suona appunto c Per l'investigazione della ve­ rità delle cose, è necessario un metodo,.J - Dcscartcs chiarisce significato c funzione del metodo stesso: «Per metodo [ . . . ] inten­ do delle regole certe e facili, osservando le quali nessuno darà mai per vero ciò che sia falso c senza consumare inutilmente al­ cuno sforzo della mente, ma gradatamente aumentando sempre il sapere, perverrà alla cognizione di tutte quelle cose di cui sarà capacc,.4• Non è necessario essere filosofi, scienziati o comunque uomini di cultura, per entusiasmarsi dinnanzi a simili promesse: Descartes pretende di avere trovato il filtro atto ad esorcizzare la stessa possibilità dell'errore, a cancellare cioè quel carattere che appartiene specificamente all 'uomo, fin da quando gli fu proi­ bito di mangiare dci frutti dell'albero della scienza del bene c del male. ll metodo di Dcscartes infatti eleva cla nostra natura al più alto grado di perfezione,., perché con esso c nessuno pren­ derà mai per vero ciò che sia falso,.: la proposta cartesiana mo­ stra dunque una traccia significativa dell'ideale di fondazione del �um hominis, già annunciato dal pragmatismo baconiano, sot­ tcso, nonostante il finale richiamo all 'amor Dei inte/lectualis come negazione di sé, all'ambiziosa descrizione dell'intera realtà del­ l' Etica spinoziana c che passerà poi, proprio attraverso il raziona­ fumo cartesiano, nella filosofia c nella cultura, non a caso con· notata come cnciclopedistica, dell'Illuminismo. I caratteri del metodo vanno però chiariti, come le ragioni specifiche che consentono a Descartes di definirlo " Scienza uni­ versale ". Nel seguito della Regola IV, egli, ripercorrendo il cammino intellettuale che lo portò alla formulazione del metodo stesso, ri· corda di essersi applicato per molto tempo alle discipline mate­ matiche, in particolare all'aritmetica ed .aJla geometria, «perché si diceva fossero semplicissime e quasi via alle altre»'; questo stu·

14

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

dio però non lo soddisfece, perché, sebbene egli potesse verifica­ re, tramite le operazioni di calcolo con le quali si esercitava, la "verità " delle proposizioni matematiche, non comprendeva tut­ tavia «perché le cose vadano cosl e in qual modo venissero ritro­ vate»6: nessun manuale di matematica esplicitava cioè il "criterio di verità " delle sue proposizioni e le modalità di rinvenimento

di quelle proposizioni vere. Descartes giunse perciò a ritenere inu­ tile un esercizio mentale tutto sommato tanto meccanico e super­ ficiale. «Ma»- prosegue- «pensando in seguito donde pertanto venisse che un tempo i primi autori della filosofia non volessero ammettere allo studio della sapienza alcuno che non avesse cono­ scenza di matematica [. . . . ] ben mi accorsi che essi conoscevano una specie di matematica molto divma da quella comune ai nostri tempi

[. . . ] »7; egli si riferisce qui a quei filosofi i quali sostenevano, tra l'altro, che «la virtù è preferibile al piacere e l 'onesto all'utile», e cita esplicitamente, come ultimi rappresentanti di quella "vera matematica " , Pappa e Diofanto. Conclude infine con una serie

di notazioni semantiche e concettuali particolarmente illuminanti: «E avendomi questi pensieri richiamato dai particolari studi di aritmetica e di geometria ad una generale investigazione della mate­ matica, mi domandai innanzitutto che cosa di preciso tutti inten­ diamo con quel nome, e perché non soltanto quelle che già abbiamo indicato, ma anche l'astronomia, la musica, l'ottica, la meccani­ ca, e altre parecchie, si dicano parti della matematica. Qui infatti non basta considerare l'origine della parola; poiché significando il nome di matematica soltanto il medesimo che disciplina, esse non sarebbero dette matematica a minor diritto della stessa geo­ metria [ . . . ] E a chi ciò consideri più attentamente, si rende noto infine che si riferiscono alla matematica soltanto tutte quelle cose nelle quali si esamina l'ordine e la misura, e che non ha interesse se tale misura si debba cercare nei numeri, o nelle figure, o negli astri, o nei suoni, o in qualunque altro oggetto: e perciò ci dev 'esse­

re una scienza generale, che spieghi tutto ciò che si può chiedere circa l'ordine e la misura non riferita ad alcuna speciale materia, ed essa, non già con un vocabolo straniero, ma con uno già antico e accet­ tato dall 'uso, ha da essere chiamata matematica univmale, poiché in questa si contiene tutto ciò per cui altre scienze sono dette parti della matematica >>8 •

15

PER UNA DEFINIZIONE DI MATIIESIS UN/VERSALIS

Descartes dichiara infine di essersi attenuto a tale metodo, coltivando appunto la " matematica universale", nel condurre le proprie ricerche.

n riferimento di Descartes all'aritmetica dei cosiddetti nume­ ri reali ed all a geometria delle figure tridimensionali, cioè all'arit­ metica elementare ed alla geometria euclidea, non ha qui valore esemplificativo od occasionale, ma ha un peso determinante nell'e­ laborazione della scienza universale cartesiana: in questa infatti,

la forma assiomatico-deduttiva, nella quale quelle discipline siste­ mano le proprie proposizioni, viene sottratta all 'ambito di applica­ zione specificamente matematico e considerata metodo valido per "ogni" conoscenza che abbia pretese di scientificità e dunque di coglimento della verità; solo la forma assiomatico-deduttiva porta a conoscere (e a descrivere adeguatamente) «l'ordine e la misura» ritenuti presenti negli oggetti delle matematiche stesse ed «in qua­ lunque altro oggetto». I passaggi teorici di questo privilegiamento della forma assiomatico-deduttiva sono poi coglibili a partire dalle prime due Regole, dove Descartes, posto che «il fine degli studi

è quello di

guidare la mente a giudizi

certi e sicuri»,

e,

nel comples­

so, ad una conoscenza altrettanto «certa e sicura»9, lamenta il fat­ to che molte delle scienze non assolvano in realtà al loro ruolo di «cognizione certa ed evidente »10, poiché si muovono fra dati soltanto probabili e talora falsi, e puntualizza che quelle effettiva­ mente capaci di far conoscere con certezza ed evidenza il loro og­ getto sono solo l'aritmetica e la geometria. Le ragioni di questa loro superiorità sono esplicitate poi nella Regola III, in cui Descar­ tes esamina gli atti dell'intelletto approdanti all'auspicato grado di certezza ed evidenza, vale a dire l"' intuito" e la "deduzione".

n primo è inteso come «un concetto della mente pura ed attenta tanto ovvio e distinto, che intorno a ciò pensiamo non rimanga assolutamente alcun dubbio; ossia [ . . . ] un concetto non dubbio della mente pura ed attenta, il quale nasce dalla sola luce della ragione

[ ]»11• ... Con l'intuito dunque la verità dell'oggetto è colta " imme­ diatamente", poiché " immediatamente" evidente.

La deduzione indica a sua volta «tutto ciò che viene conclu­ so necessariamente da certe altre cose conosciute con certezza

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LE

IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

[ . . . ] ciò si è dovuto fare, perché moltissime cose si sanno con cer­

tezza, nonostante non siano di per sé evidenti, solo che vengano dedotte da veri e noti principi mediante un moto continuo e mai interrotto del pensiero intuente chiaramente le singole cose [...] »12• La deduzione è dunq1.1e strettamente legata all'intuito, poiché con­ siste nel guadagnare "mediatamente" un'evidenza e certezza pa­ ri a quelle di una verità " intuita", progressivamente esplicitando ciò che di necessità consegue ad essa. La differenza e la relazione tra le due forme di conoscenza sono infatti indicate da Descartes altrettanto chiaramente: «l Per le con�iderazioni svolte a proposito della definizione cartesiana di ma· thesis llflivmlllis, rimando al saggio di BERTI, Origini matnn4tismo motkmo, pp. 162-70 in particolare. » Rqpk, p. 18 . u Per un primo approccio aitico con l'impianto fonnale degli Bkmmti eu· elidei , 10110 fondamentali: l'ampia sezione dedicata a Euclide da HEArn, G"'k �.l, pp. 354-446 (in particolare pp. 371·2 sull' analisi e la sintesi); quanto

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LE ID EE, l NUMERI, L'OR D INE

figura nell'introduzione all'edizione italiana de Gli Ekmenti di Euclide, curata da FRAJESE e MACCtONt; le rinessioni di ENRIQUES, Euc/. critica ani. mod. , e quelle di C AMBIA NO , Sistemazione euc/. geom., nonché il recente lavoro di MuEU.ER, Euc/. E/nn. L'ordine seriale nella matematica greca si afferma, come vedremo, in senso polivalente ed onnicomprensivo: esso scandisce infatti non solo la successione del­ le proposizioni della geometria (secondo ciò che viene conosciuto " prima " e ciò che viene conosciuto " dopo "), ma la stessa serie dimensionale (punto·linea· superficie-solido) e la serie dei numeri reali (i quali si costituiscono " progressiva­ mente " a partire dall'unità); le due serie poi già per i Pitagorici sono rapportabili sulla base di tale analogia di scansione (!-punto, 2·linea, }-superficie, 4-solido) e lo stesso complesso deUe discipline matematiche è organizzabile in una sorta di " sistema ", suUa base della norma che pone appunto .. prima " il semplice e " dopo " il complesso (ciò è pienamente esplicitato quantomeno all'altezza storica di Aristotele: dr. , per esempio, meiDph. M 3. 1078 a 9- 14). La relazione :tp6ttp«· Ganpa, che, come vedremo, assume nella tradizione platonico-accademica una ri· lev11nza antologica e gnoseologica pBrticolare, in quanto rapporto generale di di­ pendenza non bilaterale, è descritta, nel quadro della tc:cnicizzazione terminologica operata daDo Stagirita, nei termini seguenti: sono pròtera oocx lvlìtxncx• dYv, mentre sono hysterrz wtYCI ISllivw lxt!""'v [se. :tponpc.>v)l'l\ (dr. meiDph. !J. 1 1 . 1 0 1 9 a 2-3). 24 Regok, p. 20. " Ibid. Abbastanza curioso è il fatto che, nella descrizione cartesiana deU"' as· saluto " e, rispettivamente, del " relativo ' ' , compaiano almeno due dei termini che già i Pitagorici elencavano, nella lista dei contrari loro auribuita da Aristotele (meiDph. A 5. 986 a 23 sgg.), rispettivamente nella oucno•xicx positiva del :ti� ed in quella negativa dell'&nupov: l'assoluto è infaui per Descartes ciò che è « uno• e « retto .. (lv ed tUSU nella lista pitagorica) e relativo è ciò che è a sua volta «mol· ti• ed cobliquo• (:tÀijBo, e xcxl'mjÀov per i Pitagorid); la tradizione platonico· accademica, come vedremo in seguito, accoglieva a sua volta esplicitamente nel proprio schema di bipartizione degli esseri non solo in primi> la coppia xaB'c:tUro·r:pOç n, ma altre coppie figuranti poi nella descrizione cartesiana, per esempio taov-&vtO'O\I. '6 lvi, pp. 20· 1 . " Cfr. B ERTI, Origini malematismo moderno, p . 167. n B. SrtNOZA, Ethica mo" geometrico demomlra/11 , Parte n, Prop. vn: sulle modalità del matematismo spinoziano' , dr. , fra l'altro, F. BtASUTil, Lz dottrina della scitnla in Spinola, Bologna 1979. n Regok, p. 18 , corsivi miei. 10 Cfr. DESCARTES, Medita/ione> de prima philosophia, in Oeuvres, vn, pp. 155-6, in cui vengono esplicitamente citate e definite l'analisi e la sintesi; cfr. BERTI , Origini mal�malismo mod�mo, p. 166. " Cfr. citazione alla nota 30. " PROCLO, Comm. Ekm. Euc/., pp. 38·9 (18, 24·28 Friedlein). " HEATH, Euc/. Ele m., t, p. 138; Eucums Ekmen/Q, ad libr. XIII propp.

PER UNA DEFINIZIONE DI

MAT//ES/5 UN/VER5AL/5

43

1-J UV. 364, 17-366, 2 Heibcrg); sul significato ed il valore dell'analisi in parti­ colare, cfr., fra gli altri, RootNSON, AMiy1i1, p. 466, e BERTI, Analili ed analitica. Su questi saggi tornerò meglio più avanti. " Cfr. in proposito B ERTI, Origini matemati1mo mcxkmo, p. 1 72 sgg.; ENRJ­ QUES, Euc/. critica ani. mod.; C. VA soU , U. diakllica e la retorica dell'umane>imo, Milano 1 958; J. H. RANDAU., The School of Padua and the Emergence o/ modnn Sàence, Padova 1961; N.W. Gn.oERT, Rt114inance Conceptl of Method, New York 1963'; E. DE A NGELIS, Il metodo g.amelrico della filo!ofia del Seicento, Pisa 1 964; A. CRESCtm, ll metodo analitico nella filosofia del Cinquecento, Udine 1965; CRA· PULU, Mathe1iJ XVI sec. " Fra il 1482 ed il 1 533, uscirono altre due versioni latine degli Elementi, quella dd 1 505 di Bartolomeo Zambcrti e quella del 1 509 di Luca Pacioli, que­ st'ultima emendata dalla versione dd 1482, a sua volta forse attribuibile a Cam­ pano da Novara. Cfr. CRAPULU, Mathe1i1 XVI J>46• Rilevante, nella descrizione aristotelica dell'apodittica, non è però tanto la convergenza puntuale con la trattazione euclidea47, quanto piuttosto la fondamentale analogia fra i caratteri che Ari­ ..

stotele conferisce alla sua scienza ed i tratti propri quantomeno

LE P RI N C I PAU FONTI DELLA MA THESIS VNIVERSALIS

65

della nuova geometria, emergenti dalla Repubblica, configurati ri­ spettivamente come " generalizzazione " e come " sistemazione " delle acquisizioni teoriche precedenti. Anche l' apodittica aristo­ telica generalizza infatti gli assunti teorici, poiché pone a proprie premesse le definizioni o principi propri, che, nel caso per esem­

pio dell a geometria, rendono le proprietà ed i teoremi del trian­ golo applicabili a tutti gli oggetti definiti come " triangolo " e fondano dunque la possibilità di una dimostrazione universale (ka ­

thòlou), eliminando la necessità di dover ridimostrare ogni volta, cioè per ogni singolo triangolo, la proprietà o il teorema in que­ stione. La " sistemazione " degli assunti teorici è d'altronde ga­ rantita da Aristotele, assai più esplicitamente e rigorosamente di Platone, nel momento in cui egli rivendica la necessità di un or­ dine dimostrativo per le proposizioni, fondato sulla considerazio­ ne stessa dell'anteriorità dei principi-posteriorità delle conclusioni: l'ordine di antecedente-conseguente è tematizzato in effetti, quan­ do si afferma che « sarà necessario non soltanto che gli elementi

primi vengano conosciuti anteriormente, [ ] ma altresl che siano ...

conosciuti in misura maggiore, rispetto all ' oggetto della prova »48, poiché « è impossibile che degli stessi oggetti siano simultanea­ mente anteriori e posteriori ad altri medesimi oggetti »49• La matematica greca mostra dunque, a partire dalla prima

metà del IV secolo a. C., una conversione metodica, come pro­ gressiva messa a punto della struttura assiomatico-dedut tiva, la quale, stando per ora alle riflessioni di Aristotele ed all ' impianto degli Elementi euclidei, resterà poi un tratto costante e caratteri­ stico del suo statuto epistemologico: le notizie platoniche ed ari­ stoteliche, nel testimoniare sul piano storico tale conversione, verificano anche la capacità di tematizzare quella struttura in for­ ma astratta e di riflettere su di essa, con un orientamento che, per il contenuto (non per l'utilizzazione filosofica), è analogo a quello dell'affermazione cartesiana, secondo cui >) (27, 2) e la " delimitazione " ( (metaph. M 9. 1085 a 5-10), non è chiarissimo, ma sembrerebbe alludere proprio ad una necessaria identità formale dei numeri rispetto all'azione generatrice dei prin­ cipi stessi, che esclude appunto la distinzione di due tipi di nu­ mero. D'altronde la " derivazione " dei numeri ideali dai principi non doveva essere meno problematica della loro fondazione teo­ rica: se la compiutezza ed autosufficienza eidetica di ciascun nu­ mero ideale poteva infatti rimontare al primo principio, fonte di determinatezza logica e di irriducibilità antologica, il secondo prin­ cipio, tradizionalmente indefinito, moltiplicatore o più specifica­ mente duplicatore, sarebbe viceversa inapplicabile con continuità a fondare numeri, la cui successione seriale si esclude sia giustifi­ cata da un'interna dipendenza compositiva delle unità costituenti i numeri successivi da quelle dei numeri precedenti. Posti dun­ que due principi la cui azione formante è specificata nel modo che fra poco vedremo, da essi non potrebbero derivare che nu­ meri matematici, i soli passibili, per l'assoluta symblesis delle loro unità costitutive, di un'azione genetica di quel tipo 10 6 • Queste difficoltà teoretiche, evidentemente non marginali, della dottrina platonico-accademica dei numeri ideali non vanno dimenticate, quando si cerchino appunto le ragioni dell'identifi­ cazione senocratea di questi numeri con quelli matematici: Seno­ crate, coinvolto, come mostrano le sue numerose opere di argomento matematico, nella riflessione (filosofica) sulla matema­ tica caratteristica dell'Accademia, potrebbe, di fronte all a " cri­ si " dei numeri ideali, aver elaborato una sua teoria del numero, nella quale, in grazia del suo consueto eclettismo, mescolava nu­ meri ideali e matematici, e di questa teoria del numero si avvalse

196

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

per correggere nel senso detto la dottrina ddle idee. Oppure, al contrario, la riflessione sulle idee, rifiutate da Speusippo e sosti­ tuite con i numeri, potrebbe averlo portato ad ammettere l'iden­ tificazione fra idee e numeri, previo approfondimento ddla natura stess a del numero, rispetto ad una " crisi " ddle teorie dd nume­ ro circolanti nell'Accademia 107, Pare comunque corretto ammet­ tere in Senocrate una scansione teorica (se non cronologica) sia pur minima fra dottrina delle idee e teoria dd numero, senza in­ correre fra l'altro in particolari difficoltà storiche, in rdazione alla ormai comprovata capacità accademica di elaborare accanto ad una matematica anche una filosofia della matematica; pare emergere a questo punto un dato interessante e forse determi­ nante per il coglimento ndla sua specificità ddla mathesis univu­ salis senocratea: i/ matematismo di Senocrate non pare decideni ed esprimmi tanto nell'identificazione fra idee e numeri, quanto, già prima, nella perdita della distinzione fra numeri ideali e numeri ma­ tematici, a sua volta conseguente comunque, come già corretta­ mente notava Aristotele, all'uso di « ipotesi s peciali e non matematiche ». A questo proposito, è

curi

oso e significativo notare come si

possano indicare in modo (apparentemente) diverso le conseguenze dell'identificazione senocratea dei due tipi di numeri: Aristotele, per primo, considerava infatti si trattasse di un'identificazione solo verbale, la quale di fatto comportava l'appiattirsi dei carat­ teri del numero matematico su quelli del numero ideale e dunque l'abolizione del numero matematico stesso108• Le conseguenze ma­ tematistiche di tale abolizione sono poi evidenti, dato che a Se­ nocrate « [ . . ] l a posizione dei numeri ideali [ . . ] dovette dare l'impressione di rendere del tutto superflua l'ammissione dei nu­ .

.

meri matematici, ragione per cui egli identificò senz'altro i nu­ meri matematici con i numeri ideali [ . . . ] », m a cosl egli « [ . ] .

.

matematizzava la realtà, abolendo di fatto la matematica »109• Vi sono poi i vari commenti dello pseudo-Alessandro e di Siriano, i quali, benché non altrettanto attendibili, cercano tutta­ via di avvicinare Speusippo e Senocrate, o addirittura i Pitagorici e Senocrate, per ciò che concerne viceversa l'ammissione del solo

IL

PROGEITO DELLA

MATHESIS UN/VERSAUS

197

numero 111/Jtematico: questi filosofi, si dice, pur riconoscendo tan­ to i numeri ideali, quanto quelli matematici, li riducevano in real­ tà ad uno solo, appunto quello matematico, continuando tuttavia da un lato a parlare dei numeri ideali in termini matematici e dall'altro ad attribuire ancora un habitus aritmetico al numero ma­ tematico, considerato nondimeno " principio di tutte le cose " 110 • Tanto la lettura che sottolinea l'abolizione dd numero ma­ tematico nella sua specificità e dunque la conseguente matema­ rizzazione dell'intera realtà, quanto quella che richiama viceversa il mantenimento dd solo numero matematico, pur gravato con­ traddittoriamente di tutta una serie di oneri metafisici, hanno una parte di ragione: è corretto infatti per un lato dire che, con � suddetta identificazione, si dimina il numero matematico e si mantiene il numero ideale, come pure, per l'altro, affermare che è il numero ideale a cadere e che rimane il solo numero matema­ tico, sottolineando in entrambi i casi gli esiti matematistici del­ l'operazione, che si esplicitano pienamente quando il risultato di quell'identificazione sia posto come 7tpw'tOV -rwv W!:oov, ma che sono già impliciti nell'identificazione stessa. Corret tezza e com­ pletezza interpretative esigono si colga il carattere di monstrum teorico dell'identificazione senocratea di numeri ideali e matema­ tici, a partire dagli specifici tratti attribuiti " dallo stesso Aristo­ tde " a ciascun tipo di numero111 : o si mette perciò in discussione l"' intero complesso " delle testimonianze di Aristotele sui nume­ ri ideali e su quelli matematici e sull'uso dei due concetti fatto da Platone e dagli allievi, oppure si devono trarre le conseguenze dell'identificazione dei due tipi di numero da Aristotele stesso esplicitamente attribuita a Senocrate. In realtà, allora, i numeri ideali - distinti, lo ripeto, in base ad una differenza eidetica, riflettentesi addirittura sulle eventuali unità costitutive, al punto di non consentire il loro computo in una serie successiva di som­ me e di fissare anzi rigidamente la loro appartenenza ad un solo numero e la loro componibilità solo in esso - non sono identifi­ cabili con i numeri matematici - che sono al contrario infinita­ mente producibili e riproducibili in base al comporsi di unità IISSOiutamente omogenee -: l'identificazione è possibile solo quan-

198

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

do si sia vanificata proprio la distinzione fra ciò che uno è deter­ minato " eideticamente , ed in tanto diverso da tutta la restante "

parte dell'essere per differenza determinata ed antologicamente irriducibile ad altro, e ciò che è uno e determinato in base al fissarsi in una certa quantità compositiva di elementi modulari infinitamente reiterabili, che sono d'altronde criterio della paragonabilità-riduzione di qud composto a tutti gli altri compo­ sti simili possibili. Qui si radica perciò il matematismo senocra­ teo e l'identificazione fra numeri ideali e matematici presuppone proprio e nuovamente quella confusione fra una concezione eidetico-qualitativa ed una concezione viceversa compositivo­ quantitativa di ciò che è uno, indivisibile e perciò antologicamente primo, confusione già lamentata da Aristotele come errore fonda­ mentale di coloro che « sono partiti, ad un tempo, da considera­

zioni �tematiche e da considerazioni sull'universale» e d'altronde già ascrivibile a Speusippo 1 1 2 • n valore antologico della finitezza (-indefinitezza), identità

(-differenza), unità (-molteplicità), intese però in tal modo equi­ voco, si definisce tanto nella dottrina categoriale senocratea del kath 'autò e del pròs ti, quanto soprattutto nella teoria dei principi Uno e Diade Indefinita, di cui i numeri senocratei sono i primi prodotti. Il senso della testimonianza di Simplicio, secondo cui per Senocrate l'intera realtà si dividerebbe in enti kath'autò ed enti pròs ti, pare colto dalla Isnardi Parentem : in specifica oppo­ sizione alla dottrina aristotelica articolata delle categorie, Seno­ crate avrebbe dunque ridotto a due soli i modi dell'essere; questa distinzione sarebbe poi fondamentale nel suo pensiero, in quanto ne individuerebbe uno dei due tratti tipici, e cioè (accanto alla divisione platonica tradizionale dell'essere in ideale e sensibile) « una certa posizione di principi ultimi contrapposti, che si pro­ lunga in una forma di divisione categoriale dell'essere in forma dicotomica, secondo la prevalente dipendenza delle varie entità dall 'uno o dall'altro dei due principi » 1 1 4 • Il senso della dottrina senocratea delle categorie emerge comunque coordinando la te­ stimonianza di Simplicio ad altre notizie: una testimonianza sem­ pre di Simplicio tramite Dercillide consente di confrontare

U.

PROGETIO DELLA

MATHESIS VNIVERSAUS

199

innanzitutto la dottrina delle categorie di Senocrate con quella più complessa, ma sostanzialmente simile per la biP.artizione del­ l'essere, dell 'altro accademico Ermodoro; dal confronto con altro materiale la cui origine accademica è stata ormai riconosciuta co­ me le Divisiones Aristoteleae, risalta poi il progressivo convergere in ambito accademico delle nozioni di pròs ti ed àpeiron sotto l'u­ nico connotato di ciò che manca di definitività logica (m 1tplla!ì !'i"ta( -nvoç lpi'TIVda�). mentre il kath'autò è inteso viceversa come ciò che, proprio perché determinato e compiuto logicamen­ te, può esser pensato per sé; la distinzione dei due schemi catego­ riali in base ai due modi in cui le cose sono pensate è richiamata infine anche da Sesto Empirico - in materiale documentario con­ tenente probabilmente teorie accademiche in ridaborazione neo­ pitagorica -, il quale ricollega esplicitamente le due forme d'essere kath 'autò e pròs ti all'azione dei due principi Uno e Diade Inde­ finitam.

Una sistemabilità generale degli enti, in base al modo stesso in cui sono pensati, comporta dunque il progressivo passaggio in ambito accademico dalla prassi descrittivo-classificatoria e diaire­ tica degli Hòmoia speusippei all'elaborazione, da parte di Seno­ crate e di Ermodoro in particolare, di una vera e propria dottrina delle categorie: essa si specifica come bipartizione degli enti in " pensabili per sé " (in quanto unitari, determinati e compiuti) e " pensabili in relazione ad altro " (per opposizione o semplice relazione, in quanto duplici, indeterminati, imperfetti). La bipar­ tizione trova poi una giustificazione ed un'ipostatizzazione anto­ logica nella dottrina dei due principi, Uno e Diade, la cui azione riproduce appunto a livello ontologico la contrapposizione logica di òn-kath'autò-pèras e mè òn-pròs ti-àpeiron. . D convergere di nozioni accomunate dall'indefinitività logi­ ca nella categoria dd pròs ti e più ancora nel principio ·della Diade Indefinita pare procedere parallelamente all'analogo fondersi (e con-fondersi) nella categoria dd kath'autò e nel principio dell'U­ no di nozioni a loro volta accomunate dal carattere della " defini­ tività" logica, in primis forse di quei due diversi concetti di hèn, la cui confusione è sembrata appunto porsi alla base dell'identifi-

200

LE

IDEE,

l

NUMERI, L'ORDINE

cazione senocratea di numeri ideali e matematici: in effetti, come si è visto, quando l'idea sia identificata con il numero matemati­ co e quando questo, ancor prima, sia assimilato al numero ideale, si mostra di essere approdati appunto alla più volte richiamata sovrapposizione fra la nozione eidetico-qualitativa di hèn e quella compositivo-quantitativa; in conseguenza di ciò, nulla però pare più in grado di fondare nel pensiero di Senocrate, come già in quello di Speusippo, quella compiutezza, unità e determinazione antologica che rendono veramente gli enti pensabili kath'autà. La dottrina dei due principi e delle due systoichìai contrap­ poste, che la loro azione delinea nella realtà, collega poi palese­ mente Senocrate alla tradizione pitagorica, in particolare alla funzione logico-antologica attribuita alle coppie della famosa li­ sta dei contrari 1 1 6• La descrizione più interessante della dottrina dei principi è forse quella di Teofrasto, che ricorda esplicitamen­ te per Senocrate (e per Speusippo) la posizione di hèn e duàs aòri­ stos, come principi generanti " in successione progressiva e continuata " i numeri, le superfici e le cose sensibili, e come po­ nentisi inoltre rispettivamente alla testa la Diade Indefinita di una systoichìa dell'" indeterminato " (ù (Ùv cbtò -ri'jç &op(awu aua&.;, otov 'tmtat; xotì xr.vÒ\1 xotì &n:upov) e l'Uno, con i numeri, di una serie ontogonica del " determinato " , in cui rientra anche l'anima (1:cì S'cìn:ò 1:wv òcptO(J.wv xotì -roii lv6ç, otov �uxil mt òcll'&'t'ta). Teo­ frasto richiama infine anche lo specifico valore cosmogonico dd­ l' antologia di Senocrate, il quale &n:twtti mo>ç n:tpt'tiOtjcnv mpt 'tÒ\1 xOO(J.ov : che la dipendenza antologica dai principi di numeri, gran­ dezze, cieli e cose sensibili sia leggibile in Senocrate non sempli­ cemente come un'ontogonia, ma specificamente ed anche come una " cosmogonia " , è d'altro canto confermato da Sesto Empiri­ co, il quale propone uno stretto parallelismo fra le tre facoltà co­ noscitive ammesse da Senocrate (l'ln:tG't7j(J.OVuroç À6"(at;, la " sensazione " e !"' opinione " , capace ad un tempo di vero e di falso) e le tre ousìai da lui riconosciute, l'" intelligibile ", la " sen­ sibile " e la " composta " (cruv0t'toç) ed " opinabile " , ordinate in relazione al loro porsi rispettivamente lx1:òç oùpa:voii o lmç oÙpot· voii, mentre la terza è detta 'tT}v aù1:oii 1:oii oÙ potYOii 117 •

n. PROGETTO DEU.A NAmESIS UNIVERSALIS

201

Queste testimonianze chiariscono dunque i caratteri e le fun. zioni dei due principi rispetto all'ipostatizzazione antologica dd determinato e dell'indeterminato; il consolidarsi di questa dottri­ na in Senocrate pare d'altronde funzionale alla formazione di una base teoretica più salda per la dottrina delle idee ed al supera· mento delle difficoltà che la rendevano particolarmente attacca­ bile111. l principi senocratei sono comunque apparsi alla critica degni di analisi, oltre che per la prosecuzione di temi platonici, anche per le specifiche caratteristiche di ciascuno. Per l'Uno in­ fatti (per il quale si poteva forse approfondire la duplicità-ambiguità ndla concezione stessa dd determinato ad essa sottesa), il pro­ blema più corposo � stato posto dalla notizia che attribuisce a Senocrate l'identificazione ddla prima monade col principio ma­ schile governante il cido, che � Zèus, dispari e nous119: si � di conseguenza riflettuto sulla rinvenibilità già in Senocrate ed in questa identificazione fra nous (dottrina dell 'intelletto divino) e. mo1W (dottrina delle idee) ddla teoria, poi consolidatasi soprat­ tutto ndla tradizione neopitagorica e neoplatonica, che trasfor­ ma le idee in pensieri di Diouo. Più problematica ancora � una caratterizzazione chiara e cor­ retta della Diade Indefinita senocratea: finora infatti la critica ha soprattutto tentato di cogliere le analogie-differenze rispetto al secondo principio pitagorico da un lato ed all'àpeiron platonico dall'altro. n convergere dell'indeterminato con la diadicità pare risalire al pitagorismo, che coordina appunto, nella stessa systoi­ chìa, " infinito " e " pari ", identificando con ogni numero pari una coppia (diade) indefinita ed illimit ata121; l'accentuarsi dell ' e· lemento disdico pare nondimeno legato all'emergere della bipola­ rità " più-meno " (j.lii).Ào\l·frml\1), "grande-piccolo ", come carattere proprio di tutto quanto � pròs ti o L�, messo in rilievo ndla tematica accademica delle categorie. n rapporto fra la Dia­ de Indefinita senocratea ed il nucleo concettuale hèteron-àpeiron­ mè òn, emergente in particolare dai dialoghi dialettici, è stato poi tematizzato in modo differente, ancora in base al grado di atten­ dibilità attribuito ad una dottrina propriamente platonica del se­ condo principio122•

202

LE IDEE, l NUMERI , L'ORDINE

I problemi più rilevanti della dottrina dei principi sono però per noi quelli più immediatamente afferenti alla questione del ma­

tematismo senocrateo, e dunque, come già si è visto per Speusip­

po, quelli connessi all'eventuale valore assiologico dei principi stessi ed al movimento di costituzione della realtà a partire da essi. . Un aggancio fra l a coppia Uno-Diade Indefinita e l'opposi­ zione assiologica Bene-Male è in effetti ammissibile nel pensiero di Senocrate, sia per la già rilevata generale analogia fra i due principi e la lista dei contrari pitagorica, che coordina, com'è no­ to, nella serie del pèras-hèn il bene ed in quella dell' àpeiron-p/èthos il male, sia soprattutto in base alla testimonianza aristotelica, la quale ricorda come soltanto Speusippo scindesse Uno e Bene, per­ ché non voleva, in conseguenza di una loro eventuale identifica­ zione, dover identificare anche il secondo principio con il malem: Senocrate romperebbe dunque il legame che Speusippo ave­ va instaurato con l'elementarismo pitagorico, quando poneva la perfezione dell'essere non nel principio, ma, come abbiamo vi­ sto, 7tp07jÀ0ouCTIJ; 'tij; 'twv oll'twv cpuatw;, e recupererebbe viceversa la connessione platonica fra principio anipotetico e Bene: facen­ do tuttavia confluire con ciò nel secondo principio l'indetermina­ to ed il male, egli parrebbe d'altra parte collegarsi all'iposta­ tizzazione bipolare di valori anche assiologici, palesemente legata all a lista pitagorica dei contrari. Seppure in modi diversi e più complessi di quanto talora si creda, Speusippo e Senocrate a� paiono quindi entrambi debitori al pitagorismo, per la dottrina dei principi. I principi senocratei dunque paiono effettivamente essere l' as­ soluto hèn-agathòn e l'assoluto aòriston-kakòn che cooperano a de­ terminare innanzitutto i numeri, presumibilmente quei numeri, ideali e matematici ad un tempo, con i quali si identificano le idee: che i numeri (-idee) siano il primo prodotto dell'interazione Uno-Diade Indefinita, secondo la problematica procedura di de­ rivazione sopra ricordata, è confermato da varie testimonianze, nelle quali i numeri stessi sono considerati archài ontologiche, da cui « derivano le altre cose, quali linee e superfici, fino ad arriva­ re all a sostanza dell'universo fisico e degli oggetti sensibili » 12 4 ;

IL PROGEITO DELLA MATHE5/S UN/VERSALIS

203

anche Proclo, nel commento al Parmenide platonico, si richiama al primato antologico delle idee (-numeri), dai cui principi Seno­ crate avrebbe fatto dipendere l'« intera generazione delle cose »m. Lo specifico movimento di generazione (eterna e non tem­ porale) dei piani del reale dai numeri è suggerito poi ancora da Aristotele, quando questi ricorda come o! 'tòt t\'&tj 'tt9ftuvot derivi­ no «le grandezze dalla materia e dal numero ('tòt (l-t"(t&1) lx 'rij; UÀTJ; xat ètptO(.Loil) »126 : i numeri derivano dunque da Uno e Diade Inde­ finita e, combinandosi poi a loro volta nuovamente con la Diade Indefinita (la « materia » nella terminologia aristotelica), darebbe­ ro luogo alle grandezze; è presumibile perciò che lo stesso schema

generativo si ripeta ad ogni livello e che le grandezze cosl formate, combinandosi nuovamente con la Diade, originino i cieli e que­ sti, infine, per ulteriore combinazione con il secondo principio, le cose sensibili. L'Uno, che si pretende sia assoluta e perfetta determinazio­ ne, agirebbe direttamente dunque in tale schema generativo una volta sola, mentre, ai livelli successivi, sono i prodotti del livello superiore a fungere propriamente da principi di determinazione ed a comporsi di volta in volta con la Diade 12 7: lo schema pare dunque comportare, se l'Uno rappresenta il Bene e la Diade il Male, un progressivo allontanamento dal Bene assoluto, uno sbia­ dirsi della sua azione, che andrebbe di conserva al costituirsi del­ la realtà stessa; e ciò non tanto perché emerge un principio negativo (che è presente fin dall'inizio del processo ed altrettanto necessa­ rio ad esso), ma perché, al ripetersi dell'azione del secondo prin­ cipio in tutta la sua purezza ed efficacia, si accompagna viceversa il graduale offuscarsi di un'azione pura del primo principio, il quale infatti interverrebbe solo mediatamente, attraverso quelli che so­ no già (e sempre più) prodotti di una mistione. Per tale aspetto, abbastanza particolare, l'ontogonia senocratea si stacca dall'oriz­ zonte pitagorico cui aveva attinto, sia per il primato dei numeri, sia per il contrapporsi assiologico dei principi, e si configura par­ zialmente come caduta verticale e progressiva dall'assolutamente per­ fetto, poi tipica di sistemi antologici posteriori ed assente al contrario in Speusippo: elemento frenante in questa direzione è

204

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

forse proprio la parità antologica dei due principi, per cui il se­ condo, quello dell'imperfezione e del male, appare - con l'ecce­ zione della testimonianza di Aezio - primario quanto l'altro ed appunto altrettanto necessario. n tratto costruttivistico, derivan­ te dall 'elementarismo pitagorico, che faceva dell'ontogonia speu­ sippea

una

pròsthesis (passaggio dal meno perfetto al più perfetto),

in Senocrate pare comunque ampiamente ridimensionato o addi­ rittura assente, benché egli pretenda di conservare una lçtç arit­ metica ai suoi numeri, di costruire le sue entità geometriche riproponendo la connessione 2-linea, 3-superficie, 4-solido, e ben­ ché aggiunga una dimensione cosmica e dunque materiale al suo processo di generazione dell'essere: Senocrate pare essere in real­ tà il primo filosofo (con l'esclusione " forse " di Platone) per il quale il tratto fondamentale di un'ontologia, o più propriamente di un'ontogonia, sia specificamente una " caduta di perfezione " , cioè un allontanamento dal Bene. L'essere di Senocrate appare comunque assai più unitario e concatenato di quello speusippeo, per il valore assolutamente pri­ mario ed onnicomprensivo che assumono i principi; mentre infat­ ti i vari piani dell'essere speusippeo sono legati soltanto dalla

homoiòtes di funzione attribuibile alle coppie di principi specifi­ camente operanti in ogni piano, l'essere in Senocrate è " comple­ tamente e continuativamente " pervaso dall'azione dell'Uno e della Diade Indefinita. Esso è leggibile come « un vero e proprio siste­ ma deduzionistico o derivazionistico », proprio perché i principi sono « le condizioni basilari di tutto l'essere nel quale emergeran­ no di volta in volta in articolate varietà di forme, che sono per altro in chiara derivazione da quelle che sono le forme primarie »1 2a . Né meno importante appare infine, come criterio di distin­ zione dall 'ontologia speusippea e di anticipazione di modelli on­ togonici posteriori, il valore " cosmogonico " del processo seno­ crateo di costituzione della realtà, il quale fonda non solo un es­ sere, ma esplicitamente appunto una physis, nonostante la pun­ tualizzazione dello pseudo-Alessandro che la ghènesis senocratea varrebbe soltanto lhoaaxaÀ{a� xapLv xal 1:oii "'(VwvaL1 2 9: la notizia dello pseudo-Alessandro potrebbe riferirsi infatti solo al valore

IL

PROGEITO DELLA

NATHESIS UNIVER.SALIS

205

non temporale della generazione senocratea, ed il carattere co­ smologico di essa è d'altronde confermato in sede teologica, dato che Senocrate divinizza i cieli, l'aria, l'acqua, la terra, il sole e la luna, ponendo fra dei e mondo una com,plessa gerarchia di dè­ moni, e soprattutto dalla posizione dd cielo stesso come livello intermedio fra sostanza intelligibile e sostanza sensibile. Signifi­ cative d'altra parte in questa direzione teorica sono le testimo­ nianze rispettivamente di Proclo e di Alessandro di Mrodisia in una traduzione araba: Proclo cita infatti la definizione senocra­ tea dell'idea come et!�Cc& 1tapCI8!l"'f!U'"NÙJ �caiv XC&�dt !pUmv h! CJII · wcm:nCJW, che esclude vi siano idee di ciò che è n:etpdt cpoow e di ciò che è XCI"tÒt Ul(VIIY ; Alessandro invece, all'interno di una me­ desima valorizzazione dd mondo fisico, attribuisce per parte sua a Senocrate una priorità della specie rispetto al genereno. In generale non vanno sottovalutate le differenze teoriche, tutt'altro che marginali, che sono rilevabili ad una lettura attenta delle ontologie dei primi due successori di Platone e che sono state sopra richiamate: Speusippo e Senocrate guardano entrambi alla matematica per elaborare i loro sistemi, ma secondo valenze per larghi versi differenti e che, nel momento in cui ribadiscono la complessità e la ricchezza di pensiero nonostante tutto espres­ se dalla prima Accademia, ripropongono in termini altrettanto ar­ ticolati la tematica storica dd rapporto generale filosofia-mate­ matica e rendono forse obblig a toria un'ulteriore riflessione su un matematismo propriamente platonico, cui si dà probabilmente trop­ po credito, soprattutto qualora lo si ritenga l'unica e fondamen­ tale molla ispiratrice di sistemi che, pur matematistici, appaiono tuttavia fra loro tanto diversi. Nonostante il confluire nel pensiero di Senocrate di istanze teoriche differenti e spesso difficilmente conciliabili in un qua­ dro armonico, si può ugualmente tentare di riassumerne i tratti più significativi, soprattutto per l'impostazione matematistica rav­ visabile in questa filosofia: rilevante in tale direzione interpreta­ riva è dunque innan zitutto quella che si può chiamare teoria senocratea dd numero tout-court, la quale, identificando i con­ cetti in Platone ancora distinti di " numero ideale " e " numero

208

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

de del neopitagorismo e dd neoplatonismo. Rilevante in tal sen­ so è apparsa innanzitutto la tematica dell"' unicità " dei principi

hèn e duas aòristos, la cui azione pervade l'" intero essere­ universo " , attraverso le idee-numeri, le grandezze ed i cidi, fino alle cose sensibili, dando luogo cosl ad una vera onto-cosmogonia, potentemente orientata nel senso dell'" unitarietà " e ddla " con­ tinuità " : il fatto che l'essere ed il cosmo procedano in Senocrate senza soluzione di continuità dagli stessi principi, finisce anzi per creare, come si è visto, il problema della stessa distinguibilità. dd­ le ghenèseis degli enti eterni e di quelli sensibili. A tali dati se ne aggiungono altri: la graduale e continua costi­ tuzione dell'essere e dd cosmo dai principi è infatti struttura gene­ rativa eterna, in cui progressivamente si attenua l'agathòn insito nd principio di determinazione assolutamente perfetto, a mano a mano che la Diade Indefinita viene reiterando la

sua

azione, fino alla mol­

teplicità sparsa e disorganica delle cose sensibili; l'ontogonia seno­ cratea è dunque, diversamente da quella di Speusippo, anche " perdi ta " del Bene, " allontanamento " da esso e " caduta ". La te­ stimonianza di Aezio infine, relativa al ruolo dell' hèn, principio di­ vino maschile, «che regna nel cielo», ed alla caratterizzazione della diade, divinità femminile che viceversa « regge la sorte delle cose che sono al di sotto del cielo», quando ripropone problematicamc:n­ te per Senocrate l'aggancio ellenistizzante di antologia e teologia e sempre che " questa " diade sia identificabile con la Diade Indefi. nita, pare alludere ad una subordinazione di essa al primo principio e dunque ad una radicale primarietà dell ' hèn, che rompe il bipolari­ smo pitagorizzante e suggerisce un potenziale monismo (a sua volta, come vedremo, pienamente rinvenibile in sedi teoriche tarde, in par­ ticolare nel neopitagorismo). L'impostazione derivazionistica dell ' antologia senocratea, il suo orientarsi per cosl dire da ciò che è più perfetto in poi, la sua stessa forte connotazione cosmologica e teologica allontanano co­ munque il sistema di Senocrate dal matematismo costruttivistico dei Pitagorici e di Speusippo e preludono invece ad altri modelli antologici sempre di tipo matematistico, in cui tuttavia la con­ nessione fra principio e principiato si pretenderà sia in qu al -

209

IL PROGETIO DEllA NATHESIS UNIVERSALIS

che modo necessaria quanto quella che lega antecedente e conse­ guente in una serie numerica, o premesse e conseguenze in un teorema, ed altrettanto univocamente determinata.

D) Euoosso DI CNIDO E LA TEORIA DELL'EPlNO.MlDB

DELLE

PROPORZIONI. TEORIE

E PROBLEMI

L'indagine su un eventuale matematismo accademico limita­ ta ai soli Speusippo e Senocrate rischia di essere riduttiva e so­ prattutto di non tenere conto di quegli elementi di interdisci­ plinarità, caratteristici delle attività dell'Accademia, che più giu­ stificano uno studio di essa secondo il rapporto filosofia-mate­ matica. Primo degli oggetti di un esame ulteriore e più ampliato è certamente Eudosso di Cnido, non propriamente filosofo, ma scienziato e matematico di vaglia, cui Proclo attribuisce l'incre­

mento «dei teoremi detti generali ("((;)V X«&6ÀOU X«ÀouJLLvwv �"tWv) ,. e della trattazione sulle proporzioni e sulla sezio­ ne, nonché l'uso di un metodo analitico (uiç «vocÀUatotv l�t'm(;)v

�IIO()m. In realtà la stessa pertinenza (o il livello di perti­

nenza) di una trattazione dedicata a Eudosso nel presente ambito di ricerca va giustificata: se la sua fama di matematico e le noti­ zie su una sua vicinanza a Platone e all'Accademia legittimano tale trattazione, d'altro canto, per dare corpo a questa, esigono di essere affrontate almeno tre questioni. Anche per Eudosso man­ chiamo delle opere originali e disponiamo di fonti scarse e non tutte attendibili, ma sono innanzitutto il grado ed il significato della sua vicinanza storica a Platone e all'Accademia ad apparire poco chiari: tutte le fonti concordano su tale vicinanza, oscillan­ do però nel dichiarare Eudosso TjÀIXLW'"l� o L-rot� di Platone, o, alternativamente, suo maestro, e graduandone differentemen­

te l'importanza nella scuola stessa, fino a suggerire che Platone gliene affidasse la direzione durante il secondo viaggio in Siciliam. D problema è complicato, infine, da una cronologia incerta.

210

L E I DEE , I Nt:MERl, L'ORDI!'E

La seconda questione riguarda la teoria secondo Aristotele eudossiana deUa " mescolanza " : da un lato pare infatti difficile coglierne l'eventuale significato matematistico, poiché non sono chiaramente ravvisabili le saldature fra la posizione di Eudosso in merito alle idee ed i suoi orientamenti specificamente matema­ tici; dall'altro, la teoria della mìxis pare porre Eudosso " al di qua " deUa revisione delle idee operata da Speusippo e da Senocrate - con la posizione di idee XO:'tà: aUÀÀTJci>LY e con l'assimilazione di esse ai numeri

-

ed escludere dunque un rapporto fra la teo­

ria eudossiana deUe idee e la dottrina accademica deUa mathesis

universalis, almeno nei termini in cui si è venuta sinora deli­ neando• n . Terzo, ma n o n minor problema è costituito dalla tradizione che vede in Eudosso l'iniziatore deUa nuova matematica quale sapere speciale, separato dall a filosofia e dunque non più identifi­ cabile con essa: tale dato portebbe Eudosso decisamente al di fuori di un orientamento filosofico matematistico13 4 • Per le notizie storiche ed il problema deUa cronologia innan­ zitutto, le fonti ci consentono quantomeno di suffragare l'ipotesi di incontri e di scambi fra Eudosso e Platone, ciascuno a quanto sembra parimenti interessato, nella propria specializzazione, all a disciplina coltivata dall'altro: meno determinante, almeno nella nostra ricerca, è stabilire se Eudosso fosse membro regolare del­ l' Accademia, quale dei due studiosi abbia maggiormente influito sull'altro, o se le relazioni culturali fra i due fossero sempre sere­ ne m . Più interessante è forse la questione di uno scolarcato tem­ poraneo di Eudosso, durante il secondo viaggio di Platone in Sicilia, poiché la circostanza gli farebbe credito non solo di un'ap­ partenenza giuridica all'Accademia, ma di una evidente posizio­ ne di preminenza all'interno di essall6• A questa si collega d' altronde la questione d eU a cronologia: mentre infatti Apollodo­ ro e Diogene Laerzio pongono l'acme di Eudosso nella CIII Olim­ piade (appunto fra il 368 ed il 367) e consentono perciò di collocare la sua vita fra il 408 ed il 355 circa, incrementando la possibilità del suddetto scolarcato ad interim, una testimonianza di Plinio posticipa la vita di Eudosso al periodo compreso fra il 3 9 1 ed

IL PROGETIO DELLA MATHESIS UNIVERSALIS

211

il 338m. Le ragioni a suo tempo addotte a sostegno della notizia apollodorea restano comunque convincenti e fanno perciò sup­ porre attendibile la cronologia riferentesi al 408-355m: l'impor­ tanza che alla dottrina eudossiana Aristotele conferisce nel suo giovanile De ideis fa d'altronde pensare effettivamente ad una pre­ senza (non secondaria) di Eudosso nella scuola di Platone e preci­ samente in un periodo che precede di molto la morte di quest'ultimo. Per risolvere i problemi del rapporto di Eudosso con Platone e l'Accademia, è però necessario guardare anche alle testimonianze relative alla sua dottrina. Anche in questo caso la fonte primaria è Aristotele, ma non si può neppure ora discutere la sua attendibilità ed accuratezza di cronista: meglio piuttosto tentare di esplicitare l'ambito teori­ co in cui egli ci fornisce certe informazioni, allo scopo di com­ prendere il senso di queste. L'impatto di Eudosso con la dottrina platonica delle idee ed un suo contributo originale ad essa (e l'in­ ferenza da tali circostanze di dati storici e cronologici più precisi) sono ipotizzabili, com'è noto, dall'esame comparato di un passo della Metafisica aristotelica e del relativo commento di Alessan­ dro di Afrodisia, riconosciuto quest'ultimo come frammento del già citato De ideis aristotelico. Discutendo nella Metafisica della causalità delle idee, Aristo­ tele finisce per escluderla, poiché le idee non sono immanenti all e cose, ma pur sempre :uxwp1afLtva1; e continua: Se fossero immanenti, potrebbe forse sembrare che esse fossero causa delle cose sensibili nella stessa maniera in cui il bianco per mescolanza è causa del bianco di un oggetto (&v i'awç ai'"tta 86çmv tival Wç "ti! Àwxilv fLtfLilfLtvov "te\) Àtuxc(l). Ma questo ragionamento - che per primo Anassagora e, successivamente, Eudosso e altri ancora hanno fatto valere - è insostenibile: infatti contro tale opinione è assai facile adunare molte e insuperabili difficoltà»139•

c

Un recupero della causalità delle idee - compromessa evi­ dentemente dalla teoria del chorismòs - attraverso la raffigura­ zione di idee immanenti ai causati era stato dunque ipotizzato: ma non è sostenibile l'immanenza che sia basata su una sorta di

212

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

" mescolanza " del causante al causato, analoga al mescolarsi ad un oggetto di una tinta pura che ne determini la colorazione; essa sarebbe stata sostenuta cfa Anassagora (evidentemente secondo un'interpretazione aristotelica della dottrina delle omeomerie) e da Eudosso (probabilmente anche in questo caso secondo un'in­ terpretazione di Aristotele). Lo Stagirita allude infine alle molte difficoltà che rendono insostenibile quella posizione, ma non le elenca in modo articolato, forse perché tanto la teoria della mixis, quanto le ragioni della sua inconsistenza nell'applicazione alla dot­ trina delle idee erano già note ai destinatari dei concetti esposti nel 1 libro della Metafisica. Quest'ultima circostanza legittima il collegamento del passo appunto con il commento di Alessandro di Afrodisia, il quale doveva disporre di quel De ideis di origine accademica, in cui Aristotele aveva affrontato in modo più parti­ colareggiato questi temi. « Anche Eudosso », esordisce dunque per parte sua Alessan­ dro, « fra gli amici di Platone (-riilv llÀci-rwYOt; "((IW p((.Liolv), riteneva che ciascuna cosa fosse, in virtù della mescolanza delle idee nelle cose che hanno l'essere in relazione ad esse [ . . . ] (!L�L -riilv Uìtiilv lv -ro� 1tpòç cxù-ràç -rò tivcxL txouow Tjyti-ro lxcxcnov tivaL) » 140• E continua: « [Aristotele] afferma che questo discorso è assai facilmente con­ futabile da parte di colui che ritiene invece che ciascuna delle cose che sono riceva il proprio essere determinato (lxcxcnov -rcilv Oll'tlolll -rò lLvcxL -r68t 'tL tXtLv) dalla partecipazione (�Lt0fçtL) a qualco­ sa [ . . . ]. Poiché costui non pensava, come Eudosso, che le altre cose [ricevano il proprio essere determinato] dalla mescolanza delle idee (!L(�& L -riilv !lìtiilv -rÒt ciÀÀcx), Aristotele ·afferma che è facile rac­ cogliere molte difficoltà avanzate contro questa tesi »14 1 • Prima di entrare nel merito specifico di queste difficoltà, v a riba­ dita l'effettiva alta probabilità che Alessandro scrivesse avendo sotto

gli occhi il De ideis aristotelico; egli infatti conclude: « Esaminando n libro del De ideis, di quante altre difficoltà

questa opinione nel

. [Aristotele] la mostrava gravata! Per questo motivo egli afferma che ' è facile raccogliere contro questa opinione molte e insupera­ bili difficoltà ' , perché le ha in effetti raccolte in questa sede » 1 42•

213

IL PROGEITO DEllA MATHESIS UNIVERSALIS

a

Aristotde pare dunque riferirsi, n d passo della Metafisica, dottrine note ai suoi uditori e, allo stesso modo, Alessandro,

scrivendo in un momento in cui il De ideis era verosimilmente ancora in circolazione, riferiva tesi controllabili dai suoi lettori, né poteva perciò falsificare di proposito i concetti esposti nello stesso De ideis o ndla Md4/isica: anche per lui Eudosso è un " ami­

co" di Platone ed autore di una tesi che è leggibile, almeno nella formulazione aristotdica, come: « ogni cosa è in virtù della mesco­ lanza delle idee nelle cose che hanno l'ess� in relazione ad esse (!'� 'tiiiv !Builv lv 'tlliç n:pòç CIÙ'tàç w �tw1 lxoucnv rrr�i:'tll lxacmw dvcu) » (linee 8-9), oppure ancora «ciascuna delle cose che sono ri­ ceve

il proprio essere determinato dalla mescolanza delle idee ([lxaatov

'tiiiv Wr!olV w �TVtamenl� tkr f}"i�hischm Phi­ wrophen, c Zeitschr. f. Savigny-Stiftung •, 1 ( 1 880) pp. 1-52; Wn.AMOWITZ· MoEU.ENDORFF, Ani. Kar. , pp. 263-9 1 ; C. WACHSMI.ITil·P. NATORP, Akademia (l � 2), in RE, 1 ( 1 893), coli . 1 1 32-4 e 1 1 34-7; F. PoLAND, G�schichk tkr gri�h. Ver.imwesem, Leipzig 1909, p. 4 5 3 sgg . , p. 464 sgg.; B. LAuM, Sti/tungen in tkr gri.ch. riimischen Antik�. Berlin 1 9 1 4 , pp. 1 5 7 sgg.; WILAMOWJTZ·MOEU.ENDORFF P/4ton, t, pp. 270-5; P. BoYANCÉ, Le eu� dt> Mum chn ks phiwsopht> �s. Paris 1936, pp. 2 6 1 - 7 ; H ERTER, P/. Akad., p. 7 sgg.: H. l. MARROU, Histoi� k Nducalion dam /'antiquité, Paris 1948 (trad. ital. Ramo 1950), pp. 9 7 - 1 02 ; O. SEEL, Di� p/4tonisch� Akakmi�. Stuttgort 195 3, p. 14 sgg. ' Si vedo il rapido rtatus quat>lionis condotto suprrz oll e note l , 2 e 3 del cap. D e quanto detto nel testo cui si riferiscono le note stesse. Utili sono inoltre le considerazioni fatte dalla lsNARDI, Speus. , pp. 5 3 -63 a proposito del mutamento della storiografia filosofica sull'Accademia dal secolo scorso al nostro, in relazione al mutare della stessa interpretazione di Plotone. • ZM, li 3/2 , p. 892 . ' Per tale filone interpretativo si vedono dunque: Z M , li 3/2, p. 862 sgg. ; BF.RTI, Primo Arislol. , pp. 143-5 1 . I maggiori sostenitori d i tale tesi sono stati: H. UsENER, Die Organisation d� wissenscha/tlichen Arheit. Bi/d� aus tkr G�schich­ � tkr Wissenscha/1, c PJ •, uo ( 1 884) (ristampato in Vortriig� und Au/siitu, Leipzig· Berlin 1907): K. RnTER, P/4ton, sein Leben, seine Schri/ten, r�in� Leh�. Miinchen

IL PROGETTO DELLA MATHES/5 VN/VERSAUS

233

1910, 1, pp . 187 sgg. ; O. IMM!scH , Alt4dmtùl , Frciburg 1924; M . i'IEPER , Was hrisst �? ockr der FunJetioniir und der Saphat, Miinchm 1952; SEEL, Ik plill. AW , cit., pp . 41-2; RomN, PIIZion, Paris 1935, p . 12. ' Questa tesi è dovuta in particolare a WIUl\!OWll"Z-MOElllNDORFF, Platan; meno rigido nel sottolineare l'impegno politico è }AEGER, Amlot., pp. 21-3; proseguo­ no su tale filone aitico: STENZEL, Platan dm Erprung und lVm/auf der philasophischen �. cSPAW•, 1928, pp. 390-421 (in appendice alla trae!. ital. di Amtot., G=i � ricono ckU'ickale filo!ofi­ co

ckiJtZ ••

lliltZ, pp.

571-617).

C&. BERTI, Primo Amtot., p. 1 5 1 , sulla scia di WtuMOwrrz-MoEU.ENDORFF,

Platan, 1, p. 494; FR!EDWmEJt, Plaron', p. 107; A. DIÈS, Platan, Paris 1930, p. 144; fiEU), PL conlmtp., p. 41; SHOREY, WhaJ P/alo said, Chicago 1933, p. 30; HERTER, PL A.lt4d., p. 12; }AEGEJt, PtUtkia, o, p. 472. " }AEGEJt, PIZickUJ, m, nota 125, p. 255; BEJtn, Primo Amlol. , nota 1 16, p. 146. u L 'migma, p. 82 sgg . ; Chemiss propone tale tesi per mostrare che Aristotele e gli altri Aa:ademici non conoscevano poi molto della dottrina delle idee: egli, in porticolare, ricorda come Aristotele avesse solo trentasette antri alla morte di Platone, facendo di ciò IIIl!DmeDtazione probante. " VON Fl!li'Z, ld«n� Eud. Knid., pp. 1 1-4; I'H!uPPsoN , U. l. Amtol., p. 1 14; CHERNlSS , ACPA, p. 536. Su tale tema si veda più avanti il parngrafo dedicato al matematico di Cnido (m, 0).

234

LE I D E E , l N l: M E RJ , L'ORDI:- a !9-2 1 chUri= la que­ soone ed c a>e� .:le-::.0 �"""' ce matemati&o (� tott< lx Cfr. ancora D

111 Per le differenze fra Eudosso c le posizioni di Speusippo c di Scnocrate,

cfr. lsNARD!, Studi, p. I J 6. ' " Tole è lo lettura dci contributi cudossiani allo sviluppo della matematica di GEYMONAT, Storia matmz. , p . H3 sgg. La tesi di Geymonar, poiché ritiene matematica c filosofia ambiti dd tutto distinti già nd V secolo, pare contrastare con l' impostazione storica e teorica del presente lavoro: la ricerca delle modalità

di utilizzazione di concetti e metodi desunti dalla matematica, sempre più svilup­ pata come ambito disciplinare autonomo, non significa però. come già visto, ne­ gare tale sviluppo. La matematica è assunto a proprio modello dalla filosofia (c consente dunque una filosofia marcmarisrica) proprio quando c proprio perché il suo progressivo approfondimento e la sua sistemazione paiono accentuarne il grado di ccrrczzo conoscitiva e di opplicabilità pratica c perché la filosofia ospira 1 quella stessa certezza conoscitiva. Rimando alle precisazioni fatte alla fine del 1 capitolo, quando si è circoscri!!o il periodo di possibile espressione di una math À6yc,>) [quattro) grandezze, la prima alla seconda e la terza alla quarta, quando equimultipli qualunque della prima e della terza o insieme superano equimultipli qualunque della seconda e della quarta presi nello stesso ordine, o insieme sono uguali ad essi o insieme sono minori • (trad. FRAJESE·MAcaoNJ). Il che significa appunto, per le sole gran­ dezze incommensurabili, che: a:b

=

c:d

ma > nb ma < nb

mc > nd; mc < nd

dove m e n sono numeri (interi) qualunque e tenendo presente che nel caso delle grandezze commensurabili, e solo in questo, si avrà che: ma = nb • mc z:: nd

Per il significato matematico della definizione, cfr. ancora FRAJESE, StoriiJ d./la matmzatica, pp. 1 5 8-60. "' Analogo " imbrigliamento " della divisibilità all'infinito si ha nel metodo d'esaustione, che ammette a sua volta una sorta di infinito potenziale neUa divisi· bilità dello spazio in parti sempre più piccole, ma che consente tuttavia di dimo­ strare per assurdo l'uguaglianza fra aree e fra solidi, anche in casi molto complessi (come in quello relativo all ' uguaglianza dei rapporti fra due cerchi ed i quadrati costruiti sui loro diametri, cfr. Elementi, xo prop. 2). Per il metodo eudossiano di esaustione, cfr. FRAJESE, StoriiJ della matematica, pp. 266- 7 3 ; su di esso tornerò comunque trattando di Archimede. La teoria eudossiana delle proporzioni ed il metodo di esaustione comporterebbero il ricorso ad una concezione inruitiva di continuità che è contenuta in effetti nella definizione quarta del v libro degli

IL P R O G E TTO DE LLA .1ft! TI IUH l iN I \'I'R.\ALI.\

279

Elrml."utl ( • Si dice c h e hanno rapporto tra loro grandezze t a l i c h e ciascuna d i FRAJESE-MAC.CJONJ, d r . D 37 Lasserre)

ess,c,, moltiplicata, superi l'altra •; trad.

e che limita la considerazione della proporzionalità stessa alle grandezze che sod­ disfino al cosiddetto postulato di Archimede (a quelle grandezze delle quali la minore moltiplicata consema di trovare una grandezza che sia maggiore della mag­ giore e questa, a sua volta, divisa, consenta di trovare una grandezza che sia mi­ nore della minore) . Cfr. in proposito F RAJES E , Storia della matematica, pp. 1 56-7 e 272-3. Utile può essere i noltre il già citato lavoro di H.]. WAsCHKJES, Von

Eudoxos lU A ristoteks: der Fortwirken der eudoxische Proportionentheorie in der aristotelilche Leh"' von Kontinuum. "' ALEx. in Metaph. 98, 1 0- 1 1 Hayduck � D 2 Lasserre, trad. e corsivo miei. , . Epinom. 973 A L Di questo accordo tuttavia non vi sarebbe traccia nelle

Ley;j.

1 60 Per I'Epinomick è usata talora l'espressione N6;uùv •r' ; il collegamento

con le LeriJ è posto anche dall' altro titolo talora ricorrente Nuxnp1YÒç :EuÀÀoyoç. Sulla questione si veda TARAN, ' Epinomis ', nota 88, p. 2 3 . Sul rapporto LeriJ·

Epinomide, per cui quest'ultimo, pur dipendendo dalle prime, è comunque opera " diversa " da esse, cfr. iui, p. 12. 1 61 S i vedano la ricostruzione dello status quaestionil d e ll a lsNARDI, in ZM, n

3/2, pp. 1 0 32-43; l'ampia, costante discussione delle varie posizioni da parte

di TARAN, ' Epinomis ', con l'indicazione dei contributi più rilevanti e dei metodi di ricerca seguiti, soprattutto all e pp. 14-9, e KRAMER, A lt= Akad. , pp. 1 03-20.

161 Cfr. Tt.IIAN, ' Epinomis ', p. 7 , con le relative note. 1 6' Tt.RAN, ibid. La notizia laerziana (m 37), nel suo complesso suona: lvJO( n f"'lv � O.urnoç o 'O>toUytJOç toi>ç N6flOUç alhoii [!C. �oii m.atwvoçl i"•Lrpa�·· 6vmç lv XTIP'!>' �olhou ò& xal 'EniYOfl(òa Òtu!JLVIJ), cioè da quella che più appare vera, perché, in quanto tale, essa si approssima più di altre al vero, mi pare si affermi un concetto che è in con­ traddizione con l'assunt� a, poiché si ammette di poter dire qual­ cosa, pur in via ipotetica, sul versante oggettivo delle rappresentazioni, in termini di maggiore o minore vicinanza di esse agli oggetti reali, e che ugualmente è in contraddizione con l'assunto b, poiché reintroduce una distinguibilità secondo vero/fal­ so, ammettendo che le rappresentazioni che più " appaiono " ve· re " siano " di fatto più vicine al vero di altre. Una lettura di questo genere fa rientrare dall a finestra ciò che Carneade aveva messo all a porta, reintroducendo dunque nel suo scetticismo gno­ seologico un tratto realistico, che, nel momento in cui consente di pronunciarsi (seppur solo per approssimazione) sullo statuto reale delle cose in termini di vero/falso, fa tuttavia perdere di tenuta i presupposti di quella posizione scettica: infatti, se siamo

in grado di stabilire una corrispondenza fra rappresentazioni ed oggetti rapresentati, in termini di maggiore o minore adeguazio­ ne di quelle a questi, perché non dovremmo essere in grado di dire quando l' adeguazione è piena e perfetta (vero) o quando lo è troppo poco o non lo è affatto (falso)'8? Pare dunque nel giusto Dal Pra, quando scrive: « [Carneade] chiama persuasiva la rappresentazione che appare vera, ossia che

LA FLESSIONE DEUA MATHESLS UNIVERSALIS

305

è verosimile, ma non bisOflUJ certo �dere che la verosimiglianza im­ plichi una magyjore o minore vicinanza al vero, col quale peruznto dovrebbe � paragonata .Y9; a rigore forse il pithanòn carneadiano non andrebbe neppure detto criterio di " verità ", se per verità si continua ad intendere lo statuto reale delle cose coglibile attraver­ so la conoscenza: il probabile dovrebbe essere solo il criterio dell'" assenso " , dd meccanis mo puramente soggettivo cioè che, no­ nostante lo scollamento radicale fra soggetto ed oggetti, muove le scelte, indirizza le azioni dell'uomo comune, come, probabilmen­ te, dello stoico che si pretende " sapiente ", senza però fornir loro garanzie, né su un carattere illusorio, né su una configurazione rea­ listica, di quanto essi vedono, sentono, scdgono, fanno . Persuasiva sarebbe dunque semplicemente «la rappresenta­ zione che ci persuade e che ci spinge all'assenso »60: essa è crite­ rio delle scdte gnoseologiche e pratiche perché possiede più vividezza, più apparenza veritativa, più coerenza e più fondatez­ za " di altre rappresentazioni " o perché comunque le possiede in misura sufficiente da determinare il nostro assenso. Il criterio carneadiano s'inscrive tutto, profondamente e coerentemente, in un orizzon te soggettivo61, e solo in tale ori2zonte avrebbe valore la gradualità, l'approssimazione, il riferimento al più ed al meno, che consente di confrontare il grado di persuasività delle rappre­ sentazioni stesse: il termine di approssimazione non è comunque posto al di fuori del soggetto, nell'oggetto realmente esistente, ma " nd soggetto stesso ", rispetto ad un quoziente medio di per­ suasività (risultante di vari fattori) che una rappresentazione de­ ve possedere per far scattare il meccanismo dell'assenso. Altro sarebbe perciò dire che la rappresentazione pithanè è quella che più appare vera perché, in quanto tale, si approssima maggior­ mente al vero reale (come sosterrà Filone di Larissa), altro è vice­ versa .affermare che la rappresentazione pithanè è quella che più appare vera, perché, in quanto tale, ha una capacità persuasiva maggiore di altre: il probabile carneadiano non pare poter signifi­ care di più, a meno di grosse incoerenze62• L'interpretazione radicalmente soggettivistica del probabile carneadiano non esclude d'altronde una leggibilità di esso come

306

L E I D E E , l N U M E RI , L'ORDINE

dottrina " positiva " : anche volendo infatti attribuire a Carneade una "teoria" del probabile, gli si riferirebbe semplicemente il ri­ conoscimento dell'esistere e dell'operare di una ratio minor, quo­ tidiana, comune e riconosciuta per tale, e l'indicazione dei mezzi di funzionamento del nostro apparato sensoriale e razionale, " a partire ed i n coerenza " con i tratti ed i limiti specificamente ri­ conosciutigli. Non sembra invece possibile trovare traccia di matematismo nella " teoria " che riconosce al senso ed alla ragione uno schema di funzionamento in cui si confrontano semplicemente i livelli di persuasività, coerenza e fondatezza delle rappresentazioni e si ammette di poter assentire a quella dotata di tali tratti in misura maggiore, o comunque sufficiente a muovere l'assenso stesso; le interpretazioni " oggettivistiche " o " realistiche " del probabile, che riferiscono agli oggetti reali la sua approssimabilità, o che ad­ dirittura ampliano la sua applicabilità al di fuori dell'ambito gno­ seologico ed etico, fondando come carneadiano un matematismo " fisico " od " antologico " dell'approssimazione, dell'oscillazione dal meno al più, dallo zero all'unità, pare d'altronde si pongano al di fuori dei limiti del pensiero del Cireneo, se non addirittura in contraddizione con esso.

D) FILONE DI LARJSSA, ANnoco DI AscALONA E LA RIPRESA DEL REALISMO Lo scetticismo di Carneade resterebbe sostanzialmente inva­ riato nella sua radicalità con gli immediati successori nello scolar­ cato, Carneade, figlio di Polemarco, e Cratete di Tarso, e

soprattutto con Clitomaco di Cartagine, scolarca dal 129 al 1 10 a. C. e fonte maggiore per una ricostruzione del pensiero dd Ci­ reneo stesso6,. Sarebbero invece sorte delle divergenze già con la seconda generazione degli allievi di Carneade, cioè con Carmide e Metro­ doro di Stratonica64 ed infine la tradizione accademica avrebbe guadagnato posizioni fondamentalmente diverse dallo scetticismo

LA FLESSIONE DELLA MATHES/S VNIVERSALIS

307

assoluto di Arcesilao e di Carneade, con Filone di Larissa: costui divenne scolarca nel 1 10 a. C. e, trasferitosi da Atene a Roma

nell' 88, conservò quel titolo fino alla morte, avvenuta nel 79, quan­ do ormai però la scuola di Platone, coinvolta nella distruzione sii­ lana di Atene (86 a. C.), come sede fisica in quella città non esisteva

già più6'. Secondo le fonti, Filone avrebbe dunque introdotto grosse no­ vità nella tradizione dello scetticismo accademico, per la tematica stessa della verità66• La notizia più rilevante in proposito, ancora di Sesto Empirico, suona: « Filone sosteneva che, per quanto con­ cerne il criterio professato dagli Stoici - vale a dire la rappresen­ tazione apprensiva -, le cose sono incomprensibili; ma per quanto concerne la natum stessa delle cose, queste si possono comprentiere .,.61: ribadendo la critica arcesilaica e cameadiana al criterio stoico di verità, Filone rielaborava dunque in modo radicalmente nuovo i presupposti della critica stessa, pronunciandosi in termini general­ mente " positivi " sulla verità e, più specificamente, " sull'esisten­ za

di una struttura ontologica " che determini razionalmente le

cose

stesse. Esisterebbe quindi una possibilità oggettiva di comprensio­ ne della realtà e si tratterebbe semplicemente di proseguire nella ricerca, per tentare di compensare lo scarto fra tale possibilità og­ gettiva e le concrete capacità soggettive, migliorando e raffinando i nostri strumenti di conoscenza: a differenza di Carneade, Filone ricollega qui il soggetto conoscente alla realtà oggettiva come suo termine di riferimento, quantomeno su un piano di diritto, per quanto l'effettuazione di tale collegamento preveda un'oscillazione che va, in questo caso sl, da zero ad infinito, con tutte le gradazio­

ni del più e del meno. L'approssimazione al vero esistente in ter­ mini di conoscenza " probabile " riguarderebbe per Filone non solo

le rappresentazioni del singolo soggetto conoscente, ma anche le teorie gnoseologiche storicamente avanzate dai filosofi, '!lcéomuna­ te nell'avvicinamento a quel vero che appunto esiste ed è conosci­

bile. La posizione filoniana è chiarita da Cicerone, quando egli scrive che le discussioni accademiche, tramite il confronto di tesi con­ trapposte, a null'altro mirano nisi ut [ . . . ] exprimant aliquid quod

aut verum sit aut ad id quam proxime accedatu.

308

LE IDEE,

l NUMERI, L'ORDINE

La teoria filoniana giustificherebbe dunque la lettura del " probabile " in termini di " verosimile ": se l'interpretazione del probabile come ciò che più si approssima al vero appare contrad­ dittoria per Carneade, non lo è più per lo scetticismo moderato di Filone, per la premessa della riferibilit� al vero ascrittagli da Sesto. Sarebbe dunque confermato, per contrasto, il taglio asso­ luto dello scetticismo di Arcesilao e di Carneade, ma il recupero di un approccio realistico con le cose, che pare acquisizione ap­ punto fondamentale di Filone, pur considerando caratteristiche di tale realismo l'approssimazione, l'oscillazione dal meno al più, non consentirebbe tuttavia con ciò un'interpretazione matemati­ stica neppure del probabile filoniano; lo scetticismo del filosofo di Larissa, se si ammorbidisce proprio nel reintrodurre la possibi­ li t� (limite) dell'elaborazione di un'antologia, nulla con ciò dice sullo statuto antologico delle cose stesse e men che meno attri­ buisce ad esse delle valenze quantitativistiche, per il solo fatto di ammettere l' approssimabilit� (all'infinito) a quello statuto an­ tologico. Il progressivo recupero del realismo si completa infine con l'ultimo degli scolarchi eminenti della scuola platonica, quell'An­ tioco di Ascalona, cui Sesto ascrive la fondazione della " quinta " Accademia e che, com'è noto, è autore del grande tentativo di sintesi eclettica fra platonismo, pensiero aristotelico e stoicismo, tutti chiamati in causa in vista dell 'acquisizione di una vera scienza filosofica69• La polemica antiscettica di Antioco non risparmia nep­ pure il suo antico maestro, Filone, che pure aveva mitigato l'ori­ ginario nucleo dello scetticismo accademico: contro di lui, Antioco rivendica, fra l'altro, una lettura della storia stessa dell 'Accade­ mia in termini di discontinuit� fra l'insegnamento di Platone (cui rimonterebbe anche la filosofia del Peripato) e le successive posi­ zioni di Arcesilao e Carneade, che andrebbero negate per un ri­ torno all a tradizione dell'Accademia antica70• Il ritorno antiocheo al razionalismo realistico si fonda pro­ prio sull ' esplicito e completo ricollegamento fra soggetto cono­ scente ed oggetto di conoscenza, con la conseguente piena riammissione di una discriminabilit� tra vero e falso: qui enim

LA FLESSIONE DEllA MAnlESIS UNIVERSAUS

309

potest quicquam comprehendi, ut piane confidas perceptum id cogni­ tumque esse, quod est tale quale ve/ falsum esse possit?; ecco che perciò, per Antioco, « verità e persuasione di verità non possono che coincidere»71• I sensi, in condizioni di normale efficienza,

non ci ingannano ed è anzi insensato pretendere di comprendere le cose meglio di quanto essi ci consentano di fare: essi sono ade­ guati infatti al pieno coglimento delle cose, nella loro reale strut­ tura sensibile. Cicerone dedica gran parte del suo Lucullo al rendiconto delle difficoltà e contraddizioni secondo il pensatore di Ascalona tipi­ che dello scetticismo dei suoi predecessori: in particolare sareb­ bero fra loro contraddittorie l'ammissione scettica dell'esistenza di rappresentazioni false e la pretesa che tuttavia le rappresenta­ zioni false non si distinguano da quelle vere, proposizioni che lo scetticismo assume contemporaneamente come propri presuppo­ sti72. Una posizione radicalmente scettica sarebbe in realtà con­ dannata al silenzio, poich�. secondo Antioco, essa finisce per svuotare di senso e quindi per distruggere la stessa ricerca filoso­ fica ed in ogni caso essa, veri i suoi presupposti, non è neppure in grado di difendere le proprie posizioni: lo scetticismo si pre­ cluderebbe infatti la possibilità stessa di qualificarsi come filoso­ fia " vera "n. Esso toglierebbe alla vita umana, all'agire morale, all'operare tecnico e pratico, il loro fondamento, consistente nel legame che stringe il momento dell'azione vera e propria a quello precedente dell'assenso e questo, a sua volta, all'atto fondamen­ tale del percepire74; eliminato quest'ultimo, non è più possibile la morale, n� hanno valore le singole arti e discipline: quomodo aut geometres cernere ea potest quae aut nulla sunt aut intemosci a falsis non possunt?". Lo scettico priva l'uomo ed ancora perciò

l'artista, l'operaio, lo scienziato, di un mondo entro il quale agi­ re: Antioco coglie in modo cursorio, ma preciso, la necessità ·per l'uomo dell'esistenza di un mondo " verso " il quale aprire con garanzie di successo la propria conoscenza e, con l'aiuto della ra­ gione, della memoria, dell 'esperienza, imbrigliare nella rete delle determinazioni razionali le molte, infinite cose che lo compongo­ no; l'esempio tolto dall'ambito geometrico chiarisce il senso del-

310

L E IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

l'argomentazione antiochea e ripropone la necessità del tradizio­ nale approccio realistico con le cose, quale presupposto " per l'e­ sistenza stessa delle scienze " . La storia dell'Accademia scettica

è dunque leggibile come flessione nella fiducia che l'uomo possa comprendere il mondo ed operare in esso, flessione che tocca il punto critico con Carneade e che progressivamente si attenua

so­

lo con i suoi successori. Lo scetticismo arcesilaico e carneadiano avrebbe dunque dav­ vero cancellato il mondo come termine di riferimento proprio del sapere e dell'agire umano, distruggendo con ciò tutte quelle for­ me di comprensione e di progettazione del mondo stesso che chia­ miamo arti e scienze: le critiche antiochee confermerebbero perciò come l"' irrazionalità " dei capiscuola dello scetticismo accademi­ co sia costituzionalmente incapace di quella progettazione forte del reale in cui viceversa consiste la mathesis universalis di uno Speusippo e di un Senocrate e come anzi si specifichi forse quale opposto contraddittorio di questa. Se, assistendo al dispiegarsi di posizioni tanto diverse nella tradizione della medesima scuola, volessimo cercarne le ragioni, ai limiti certamente di quanto la legittimità storica consente di fare, « si potrebbe anche rimontare alle due anime della stessa filosofia platonica, che vede contrap­ poste in sé e forse mai conciliate l'eredità di Pitagora e quella di Socrate >>76•

E) LA SCUOLA SCIENTIFICA DI ALEsSANDRIA

FRA

TEORIA E

TECNICA. RIGORE ED INVENZIONE IN ARCHIMEDE

Mentre ad Atene il realismo logico viveva una crisi tanto acuta nell'Accademia scettica, sull'altra sponda del Mediterraneo , alla corte alessandrina dei Tolomei, si sviluppavano attività cul­ turali, scientifiche e tecniche, che parevano presupporre vicever­ sa, a loro fondamento, il realismo più spinto. La nascita del Museo e della Biblioteca di Alessandria, per iniziativa dell'ateniese De­ metrio Falereo, ministro cui Tolomeo I affidò l'organizzazione della cultura, è, com'è noto, evento di fondamentale importanza

LA FLESSIONE DELLA

MA THESIS UNIVERSAUS

311

per l'incremento ellenistico delle scienze, dalla medicina all 'astrono­

mia, dalla matematica alla meccanica; essa rientra infatti nella crea­ zione di istituti e di strumen ti tesi a sistemare organicamente i risultati tradizionali ed a raggiungeme di nuovi, in una sintesi che valorizza il razionalismo ellenico e che nondimeno apprezza l'empi­ rismo orientale, nella subordinazione realistica della scienza alla tec­ nica ed all 'economia, per un consolidamento dello stesso potere politico77• n realismo soggiacente a queste operazioni culturali non si specifica certamente nd suo solo aspetto politico, ma va compre­ so nd suo presupposto teorico fondamentale: l'efficace applicabilità dei risultati delle scienze alle più diverse attività (!'agricoltura, l ur­ '

banistica, l'edilizia, l'arte della navigazione e cosl via) presuppone evidentemente, seppur per lo più solo implicitamente, che siano co­ noscibili le condizioni che regolano i fenomeni e che il sistema degli accadimenti possa

essere

dall'uomo non solo compreso, ma control­

lato, manipolato e dunque interamente dominato. Un excursus, di necessità rapidissimo, sui caratteri che la ma­ tematica assume su questo sfondo e nello scorcio di tempo com­ preso appunto fra il III ed il Il secolo fuga l'equivoco che il disinteresse (o il minor interesse) dei filosofi ellenistici per la ma­ tematica ne indichi il decadimento e consente anzi di cogliere l'ulteriore e fondamentale tratto caratterizzante in quest'epoca lo sviluppo delle scienze stesse, nella perdita di una loro dimen­ sione interdisciplinare e nel determinarsi viceversa di un sempre maggiore specialismo. Nella politica culturale dei primi Lagidi, acquista significato particolare l'attività presupposta alla stesura stessa degli Elementi euclidei (la fioritura di Euclide, come già ricordato, si colloca pre­ sumibilmente sotto il regno di Tolomeo I, intorno al 300 a. C.): le istituzioni del Museo e della Biblioteca permettevano ora il crearsi di una vera " scuola " di matematica, preposta alla forma­ zione di specialisti, ed era perciò utile raccogliere e sistemare in un'opera, la cui intenzione didattica è d'altronde chiara, le acqui­ sizioni teoriche precedenti. Dalla scuola di Euclide usciranno matematici come Archi­ mede, Apollonia di Perga (famoso per Io studio delle coniche),

314

L E IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

ma pressoché divina. Persuaso che l'attività di uno che costruisce delle macchine, come di qualsiasi altra arte che si rivolge ad un'u­ tilità immediata, è ignobile, grossolana, rivolse le sue cure più ambiziose soltanto a studi la cui bellezza ed astrazione non sono contaminate da esigenze di ordine materiale »82 •

È vero in effetti che nelle opere rimasteci del Siracusano, se abbondano le considerazioni sui principi meccanici che verosi­ milmente consentirono le suddette realizzazioni pratiche, non si fa mai cenno a queste ultime. L'atteggiamento apparentemente contraddittorio dei matematici, che, da un lato, guardano plato­ nicamente addirittura con disprezzo ad ogni ricerca finalizzata ad un utile pratico e dall'altro nondimeno producono un gran nu­ mero ed un'ampia varietà di strumenti e di costruzioni meccani­ che, si spiega ancora per il tramite di Plutarco: inn a nzitutto le realizzazioni pratiche, per Archimede, « in maggioranza erano di­ vertimenti di geometria che aveva fatto a tempo perso ("(UolfU.'tpCat; !lt 7tOttCoucn'jç lyq6vEt 7tapEp"(Ot -rà 7tÀEÌCTtOt) >>8). Se dunque esse ri­ spondono al principio del divertissement scientifico, significativa è anche la figura sociale dello scienziato ellenistico, il quale è evi­ dentemente legato al sovrano, che, col suo mecenatismo, ne con­ sente gli studi e cui pare sia perciò doveroso corrispondere, quando chieda di migliorare l'irrigazione dei campi o di smascherare i disonesti che tentino di truffarlo84 • È ancora Plutarco infatti a riferire: « B, in modo appunto che A D. Si suppone di poter costruire una successione di grandezze T1, T2 , TJ, . . . , omogenee tanto ad A quanto a B; =

=

-

=

D - -- · - · - · -- · -- · -----

o

B

A

La costruzione viene fatta sulla scorta di alcune condizioni:

1) la successione sia prolungabile indefinitamente; ii) le grandezze

320

LE IDEE,

l NUMERI, L'ORDINE

che costituiscono la successione siano tutte minori (approssimate per difetto) tanto di A, quanto di B; iii) sia possibile approssi­ marsi quanto si vuole alla grandezza supposta maggiore A. Per questa terza condizione, si troverà ad un certo punto una gran­ dezza Tn' che si approssima ad A più di B (e dunque per meno di D); ma, in tal caso, Tn � maggiore di B stessa, contro la se­ conda condizione, che voleva " rutte " le grandezze della succes­ sione minori tanto di A quanto di B. La grandezza Tn " s'infiltrerebbe " dunque fra A e B: esse, perciò, non possono essere tali che A > B. Con lo stesso procedim�nto si riduce al­ l'assurdo l'ipo tes i B > A, e dunque, effettivamente, A B96• n metodo d'esaustione ha valore in quanto applica rigorosa­ mente la nozione di approssimabilità all'infinito a grandezze da­ te: esso presuppone infatti di potersi avvicinare indefinitamente ad una grandezza data (qualunque), attraverso il rinvenimento di valori di approssimazione sempre minori, e fonda tale presuppo­ sizione sull'assunzione di uno spazio geometrico scomponibile al­ l'infinito in elementi sempre più piccoli di qualunque grandezza prefissata97• Tali presupposti generali intervengono specificamen­ te nel metodo in questione a mostrare come non sia possibile scin­ dere la serie (indefinita) dei valori approssimati per difetto alla grandezza A dalla serie (indefinita) dei valori approssimati per difetto alla grandezza B: o la successione delle approssimazioni è la stessa (ma allora le due grandezze tendono a mostrarsi ugua­ li), oppure le approssimazioni divergono, nel senso che la succes­ sione dei valori approssimati per difetto alla grandezza maggiore contiene grandezze di necessità maggiori della grandezza minore; in tal caso le due grandezze A e B risultano sl disuguali, ma allora non è possibile porre come condizione della costruzione della suc­ cessione delle grandezze ad esse approssimate che queste siano c

tutte minori di " entrambe " le grandezze considerate. U metodo d'esaustione si mostra comunque procedura non euristica, quando si evidenzi la sua capacità di " confermare " sem­ plicemente una relazione di uguaglianza fra grandezze, mentre esso non .può, di per sé, indicare la ragione per la quale l'ugua­ glianza stessa emerga (e vada perciò provata) proprio per quella

LA FLESSIONE DEllA MATHESIS UNIVERSALIS

32 1

specifica coppia di grandezze: o si ripete il procedimento per tut­ te le coppie possibili di grandezze omogenee, o si decide di appli­ carlo a coppie scelte a caso, sperando nella fortuna, oppure bisogna ammettere che il metodo d'esaustione valga appunto " in sede di prova e non di ricerca " e che certe coppie di grandezze si mostri­ no per altra via dotate di relazioni interessanti. È appunto il metodo meccanico che, viceversa, opera nella fase euristica e che consente di cogliere tali relazioni fra determi­ nate coppie di grandezze. I suoi presupposti fondamentali sem­ brano essere due. Anche in questo caso, innanzitutto, le grandezze si presumono scomponibili in un numero infinito di elementi in­ finitamente piccoli: le supedici si suppongono " costituite " da tutte le sezioni lineari parallele ad una certa direzione ed i solidi a loro volta da tutte le sezioni bidimensionali parallele ad una cetta giacitura; ricompare qui perciò ancora la nozione di scom­ ponibilità all'infinito dello spazio geometrico, con la quale dun­ que Archimede introdurrebbe nella sua geometria un " principio di natura infinitesimale ", quello stesso che i matematici del seco­ lo XVII, da Cavalieri fino a Newton ed a Leibniz, avrebbero do­ vuto rielaborare praticamente da zero, non conoscendo l'opera archimedea dedicata appunto al Mewdo. La scomponibilità all'in­ finito delle figure geometriche ammessa dal Siracusano è però evi­ dentemente un concetto «[ . . ] di tipo empirico-materiale: si comprende facilmente come un metodo su di esso fondato non potesse avere agli occhi dei rigorosi matematici dell'epoca nessun valore dimostrativo •9a. n secondo presupposto del metodo meccanico è che le gran­ dezze possano essere confrontate, stabilendone il " peso " sui piatti di un'ideale bilancia - fermi restando i principi della meccanica relativi al concetto di leva avente un certo fulcro, di equilibrio, di baricentro, e cosl via - e che il peso degli elementi geometrici cosl confrontati sia proporzionale alla loro lunghezza o alla loro superficie. n confronto secondo il peso viene stabilito in primis per una delle infinite sezioni (lineari o bidimensionali) delle figu­ re considerate e poiché, vero il presupposto precedente, le figure stesse si risolvono nella " somma " delle loro infinite sezioni, il .

322

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

confronto ponderale - e la relazione da questo risultante - vale per le figure nel loro complesso. La denominazione stessa di " me­ todo meccanico " chiarisce che e si tratta di un procedimento che utilizza concetti della meccanica (leva in equilibrio, posizione dd baricentro), ma non già di un procedimento che meccanicamente conduca al risultato »99• I presupposti della geometria archimedea nella sua fase euri­ stica si clùariscono qualora si legga la proposizione I dd Metodo, con la relativa dimostrazione, con la quale il Siracusano esplicita la relazione (4/3) intercorrente fra l'area di un segmento parabo­ lico ( o sezione del cono rettangolo) e l'area del triangolo inscrit­ to; questa proposizione segna probabilmente )'" invenzione " del metodo stesso da parte di Arclùmede100•

Metodo sui teoremi meccanici ad Eratostene, Prop. I: «Sia il segmento ABC compreso dalla retta AC e dalla sezione di cono rettangolo ABC, e si divida per metà la AC nel [punto} D, si tracci la DBE parallela al diametro e si traccino le congiungenti AB, BC. Dico che il segmento ABC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo ABC.

LA FLESSIONE DELLA MATHESIS

323

UNIVERSALIS

Si conducano dai punti A, C la AF patallela alla DE, la CF tangente al segmento, e si prolunghi la CB fino a K, e si ponga la KH uguale alla CK. Si immagini la leva CH col punto medio K e sia la MO patallela alla ED. Poiché dunque la CBA è una parabola (n:otpaPoÀTj, interpola­ :done) e la CF è tangente, la EB è uguale alla BD: ciò infatti viene dimostrato negli Elementi (Quadr. parabola, 2). Per il fatto, poi, che le FA, MO sono patallele alla ED, la MN è uguale alla NO, e la FK alla KA. E poiché CA : AO MO : OP (Quadr. CK : KN e CK è uguale a KH, parabola, 5) e inoltre CA : AO dunque: HK : KN MO : OP. E poiché il punto N è centro di gravità della retta MO (lemma IV) e poiché MN è uguale a NO, se dunque poniamo TG OP ed è il [punto] H il suo centro HG, la THG farà equilibrio di gravità, in modo che sia TH alla MO che resti [dov'è] per il fatto che la HN è stata divisa in patti inversamente proporzionali ai pesi TG, MO, e: HK : KN MO : GT (Equi/. piani, 1 , 6-7) cosicché K è il centro di gravità deiOa grandezza composta da] ambedue i pesi (lemma III). Inol­ tre, similmente, quante si traccino patallele all a ED nel triangolo FAC, fatanno equilibrio, restando dove sono, alle loro patti stac­ cate dalla patabola trasportate in H, cosicché il centro di gravità della grandezza composta da ambedue è K. E poiché il triangolo CF A consta delle [rette] tracciate nel triangolo CFA, mentre il segmento [patabolico] ABC consta delle [rette] tracciate similmente alla OP, il triangolo FAC, restando [dov'è], farà equilibrio nel punto K [assunto come fulcro], al segmento della sezione [conica] posto intorno al centro di gravità H, cosicché il centro di gravità della grandezza composta da ambedue [triangolo e segmento] è il [punto] K. Si divida dunque la CK nel [punto] W in modo che la C K sia tripla della KW: satà il punto W il centro di gravità del triangolo AFC : ciò infatti è stato dimostrato nei Oibri sugli] Equilibri (òll3ttx"totl -yàp "tOU"tO lv "toii; 'laopon:n:txoiç) . Poiché dun­ que il triangolo FAC rimanendo dov'è fa equilibrio nel punto K [come fulcro] al segmento BAC posto intorno al centro di gravità H, ed il centro di gravità del triangolo FAC è il [punto] W, dunque come il triangolo AFC sta al segmento ABC posto intorno al centro H, cosi [sta] la HK alla KW: dunque il trian­ golo AFC è triplo del segmento ABC. Ma inoltre il triangolo FAC è quadruplo del triangolo ABC per il fatto che la FK è uguale alla KA, e la AD [è uguale] alla DC: dunque il segmen­ to patabolico ABC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo ABC •101• =

=

=

=

=

=

324

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

La dimostrazione procède dunque scegliendo una qualunque delle infinite sezioni lineari del triangolo (in questo caso il seg­ mento MO) e del segmento parabolico (il segmento PO, traspor­ tato in H) e supponendole applicate agli estremi della leva di fulcro K: ciò consente poi appunto di mostrare che " tutto " il triangolo FAC, lasciato dov'è, fa da equilibrio a " tutto " il segmento para­ bolico ABC trasportato in H. Si confrontano a questo punto le due aree, ognuna delle quali è proporzionale alla lunghezza del braccio di leva cui è applicata; esse sono legate da un rapporto inversamente proporzionale a quello intercorrente fra le lunghez­ ze dei bracci medesimi: perciò Triangolo : Segmento parabolico HK: KW e poiché, evidentemente, HK 3 KW, anche il triangolo FAC sarà triplo del segmento parabolico. Poiché inol­ tre il triangolo ABC, inscritto nel segmento parabolico, è 1/4 di FAC, il segmento parabolico stesso avrà un'area uguale ai 4/3 del­ l' area del triangolo ABC in esso inscritto. L'uguaglianza fra il rapporto segmento parabolico/triangolo ed il rapporto 4/3 si acquisisce presupponendo effettivamente in primis la scomponibilità delle figure nei loro elementi infinitesimi e la raffrontabilità ponderale tra le figure stesse, fondata sull a validità del rapporto peso-lunghezza e successiva al confronto pon­ derale di due delle infinite sezioni delle figure stesse. Ma le " con­ dizioni " dell'instaurarsi stesso del confronto verrebbero create giocando in parte sulla " costruzione " (grafica), in parte sull'" in­ tuizione : n bisogna innanzi tutto . . trovare . . la figura che possa efficacemente fungere da termine di paragone ed il triangolo FAC viene " costruito e composto " con elementi che sono ciascuno per sé dotati di una certa relazione con il segmento parabolico: il triangolo ha infatti la stessa base del segmento parabolico, ha un lato che è sulla retta " condotta " da un estremo del segmento parabolico parallelamente al suo asse e l'altro sulla tangente al segmento parabolico stesso, " condotta " dall'altro estremo fino ad intersecare la parallela suindicata; m in un secondo tempo, viene " tracciata " la retta CK, bisettrice di ACF e la si prolunga KC. Gli elementi che, dalle costruzioni ef­ in modo che HK fettuate, compaiono nella situazione geometrica cosl creatasi, con=

=

..

=

L\

FLESSIONE DELLA MATHESIS UNIVERSAL/S

325

sentirebbero già a questo punto l"' intuizione " del rapporto fra il triangolo FAC cd il triangolo ABC, inscritto nel segmento pa­ rabolico, per cui il primo è il quadruplo del secondo; un la retta HC cosl costruita è considerata come so=a dci bracci HK c KC di una leva di fulcro K; le precedenti costruzioni hanno con­ sentito dunque di evidenziare degli elementi geometrici - due segmenti individuati consecutivamente e secondo certe regole sulla medesima retta - i quali, pur conservando tale connotazione, possono " intuitivamente " essere " trasformati " in elementi mec­ canici cd essere " visti " appunto come somma dei bracci di una leva: è questo il tratto genialmente intuitivo del procedimento archimedeo, che violerebbe veramente le pretese eidetico­ contemplativc della tradizione platonico-euclidea, poiché a=et­ te addirittura un'oscillabilità delle determinazioni essenziali degli enti geometrici, che possono, pur mantenendo la propria deter­ minazione originale (segmenti di retta), assumerne nel contempo altre (bracci di una leva). IV) L'applicazione agli estremi della leva di due delle infinite sezioni delle figure in gioco presume infine un'altra " costruzione " , il " trasporto " del segmento PO sezione del segmento parabolico - nell'estremo H. La fase III indicherebbe dunque la fondamentale incidenza dell'intuizione nel metodo archimedeo, mentre la I, la II e la IV espliciterebbero l'importanza che in esso assumono la costruzio­ ne (grafica) cd in generale lo studio e la manipolazione delle figu­ re, con l'effettuazione di prolungamenti, trasporti, dimezzamenti, rotazioni e di tutte quelle operazioni che, delimitando ulteriori porzioni di spazio, " generino " nuove figure. Archimede con ciò riprenderebbe, contro la diversa impostazione " teorematica " di Euclide, quel procedimento " problematico " ed intuitivo, carat­ teristico d'altronde della prima fase euristica della geometria gre­ ca: non a caso essa aveva adottato a suo metodo l'analisi, intesa appunto come studio e manipolazione scompositiva effettuata di­ rettamente sulle figure, secondo l'esempio sopra richiamato del Menone102• ll rapporto Euclide/Archimede presenta perciò tratti com­ plessivamente disomogei: da un lato il Siracusano segue il mae-

326

LE IDEE,

l NUMERI, L'ORDINE

stro nella svalutazione dell'aspetto applicativo della sua produ­ zione, cui non concede spazio nelle opere, e nel considerare l'ap­ plicazione pratica stessa - dettata dalla necessità - fase distinta e non immediatamente conseguente all'elaborazione teorica, la qua­ le dunque, per parte sua, non è subordinata a quella. Rimonta ugualmente ad una matrice euclidea la propensione di Archimede ad " ordinare " i risultati teorici raggiunti in un piano di conse­ quenzialità logica, che sistema organicamente le proposizioni dal­ le premesse (Àa!L!3av6J.Uva: o Ì..i}ILILCl'tCl) alle conseguenze. Archimede si mostra influenzato dall a tradizione platonico-euclidea anche ed in particolare quando considera le proprietà che instaurano rela­ zioni di commensurabilità tra le figure «da sempre inerenti alla natura delle figure stesse>>103, mostrando con ciò di credere che a mutare ed a procedere sia la conoscenza di tale natura, la quale però di per sé comporta delle proprietà immutabili. Infine Archi­ mede accoglierebbe entrambi i significati dello stoichèion eucli­ deo, come parte più semplice di un composto (con il concetto, seppur limite, di infinitesimo) e come principio di deduzione o antecedente logico1o4. Ma ugualmente evidenti sono le differenze fra i due grandi matematici: Archimede infatti non disdegnò, quantomeno per ra­ gioni storiche connesse alla sua figura pubblica, di tradurre " an­ che " in applicazioni pratiche i risultati delle sue scoperte; adottò consapevolmente un metodo che impiega procedure diverse da quelle operanti in sede rigorosamente dimostrativa e che per giunta si colloca a monte della dimostrazione stessa, approntando i ma­ teriali cui possa applicarsi la cogenza logica della pura deduzione e senza i quali la perfezione di questa apparirebbe vuota ed impo­ tente. Le stesse grandezze geometriche vengono dal Siracusano confrontate, misurate, pesate, generate, attraverso la scomposi­ zione e la ricomposizione dello spazio geometrico, in aperta vio­ lazione dell'approccio puramente contemplativo con esso instaurato dalla tradizione euclidea. Infine la concezione di quantità che so­ stiene le ricerche archimedee ed in particolare l'ammissione di un infinito potenziale ed inesauribile, cioè infinitamente scompo­ nibile in parti sempre più approssimate ai limiti minimi, sarebbe-

LA FLESSIONE DELLA MATHES/5 UN/VER5AL/5

ro

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totalmente diverse dall ' idea platonica di quantità, ingabbiata

ab aeterno in quei numeri ideali, scomponibili in parti prefissate e la cui differenza eidetica escludeva la riducibilità stessa ad una misura comune. Con le ricerche della scuola di Alessandria la matematica im­ bocca dunque la via dello specialismo e si mostra con Archimede dotata di un apparato teorico assai complesso per gli oggetti trat­ tati e capace comunque di articolare consapevolmente, in fasi di­ stinte ed equilibrate, il momento della ricerca, quello della sistemazione dei risultati raggiunti e quello della loro applicazio­ ne pratica. Gli Elementi euclidei sarebbero viceversa espressione di un momento eminentemente " sistematico " della storia della matematica greca, poiché raccolgono e coordinano organicamen­ te gli oggetti teorici pervenuti attraverso vie non sempre lineari, eliminando comunque ciò che su tali vie pure era stato compiuto in sede di sondaggio euristico e di applicazione tecnica. Archime­ de procede " oltre " tale momento di centralità della sistemazio­ ne, riprendendo lo stile spregiudicato della ricerca e trasferendo le proprie acquisizioni in campo tecnico-pratico. Sarebbe perciò ancora la sistemazione euclidea a rivelarsi singolare, come mo­ mento d'oro della razionalità matematica: la sua perfezione che non esaurisce né gli oggetti definibili, né i processi logici ope­ ranti in sede matematica - si era imposta (e s'imporrà) alla filo­ sofia come modello preferenziale di razionalità, proprio perché è accentuazione del solo momento sistematico, in tanto teso a definire come perfettamente compiuti i propri oggetti ed a pro­ pome una conoscenza per vie altrettanto necessarie e perfette. Quando la matematica non privilegia più tale momento sistema­ tico e lo ricolloca comunque in una prospettiva che lascia spazio anche ai metodi meno cogenti della ricerca, essa non si propor­ rebbe più come modello perfetto e sicuro (e perciò preferenziale) di conoscenza. La flessione della dottrina filosofica della mathesis universa/is in epoca ellenistica si radica perciò certamente nella generale mu­ tazione del clima spirituale vista all'inizio del capitolo ed è inter­ pretabile come conseguenza della crisi del razionalismo gnoseo-

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LE IDEE,

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logico in particolare per l'Accademia scettica; ma l'esame pur cur­ sorio della storia della matematica di questo periodo rivda anche in questa ragioni complementari a qudle suindicate, a spiegare la divergenza dlenistica fra le due discipline, cosl saldamente unite ndi'Accademia speusippea e senocratea: se la filosofia dd!' epoca cerca dunque sicurezze che valgano immediatamente in sede an­ tropologica ed etica, se talora mette in dubbio la capacità stessa ddla ragione umana di " conoscere " alcunché, la matematica ap­ pare di per sé impegnata con materiali forse troppo specialistici e d'altronde ora priva di un tratto accentuatamente o addirittura esclusivamente sistematico, per potersi proporre alla filosofia, co­ m'era accaduto poco tempo prima, a moddlo di razionalità per· fettamente conseguente e sicuro. Saranno il consolidamento ddla forma euclidea assiomatico-deduttiva, la nuova definizione di nu­ mero come " serie " o " flusso " e (in filosofia) il recupero neopi· tagorico di tematiche protopitagoriche e protoaccademiche a riconsentire, in età imperiale, proposte filosofiche leggibili come espressioni di una mathesis universa/is.

Note

1 C&. E.R. Dooos, The G�la and the bratiorud, Berkeley-Las Angeles 195 1 , trad. iul . , Faenze 19S9, pp. 244-S. 2 The G� and the bmtiottal, cit., p. 24S. • Vastissima è la lctterarura storica, oociologica , economica e religiosa sull'elleni­ smo: fondamentale resta l'opca di J. G. DRoYSEN, G&bichre tks H�llmistmu. Ham­ bq 1836-'43 (&sei 19S22). Rilevanti appaiono inoltre: J. BmF2-F. CUMom-, L5 mqp helllrtUs, Paris 1938; M. l'oHLENZ, lXr he!Jmische Mmsch, Giittingen 1947 (trad. ital. Faenze 1961); R. CoHEN, LA Gria d l'hellbmalion tlJ4 llf01Itk �. Paris 1948; W. TAIIH-G .I. GRIFFmi, Htllmistic Civililatian, London 1952'; M. Ro­ srovmz, Sociizl and tcOfi011tic Hiltory of the hellmilnc World, London 19532 (trad. ital. Faenze 1966) ; M. P. Nn.ssoN , G�hichte tkr giechischm &/irjon, 1, Miinchen 19612; H. SHAP111o- E.M. CURJEY, Htllmistic Philmophy. Sekcted Rtadingl in � Nlli>m, Stoicism, Sltepticism and Ntop/iJionism, New York 1965; C. So!NEmER, KJ.J. llltfp&hi&re h des H�lknirmw. Miinchen 1967; A.A. l...oNG , HtiJmistic Philosophy: Stma, Epialm:m, Sceplics, London 1974; AA. W., Doubt and Doy;natism, Studin in H�!Jmi. stic Epirtemo/ogy, ed. by M. SoroFJEll), M. BURNYEAT, J. BAIINI!S , Oxford 1980. 4 Cic. de fin. IV 6. Polernone fu scolarca verosimilmente dal 31S/14 al 270/69. ' D.L IV 18. • Per Polemone ed i suoi rapporti co n la StoG, cfr. VON FRITZ, s.u. Po/emon, in RE, lOO 2 (1952) coD. 2524-9; ZM, D 3/2, pp. 1043-5; GIGAN'rn, Po/emonil Acmk­ ttdd frq;mm/11, AD:. di An:heologia, Lettere e Belle Arti, Napoli 1977 (già in c Ren· dioorui dd!'&x. di Archeologia, Lettere e Belle Arti di NopoU., u (1976) pp. 91-144). Ptt Cratere, successore di Polemone nello scola.rcato, si vedano: WIIAMOWITZ· MoauNnoRFP, Ani. 11. Kt:r. , p. 66 sgg.; H. VON AlooM , s.u. Krt:les, in RE, Xl 2 (1922) ccii. 163 1-3. Per Crantore, infine, che non fu scola.rca, ma membro importan­ te ddla scuola, legato di amicizi.o ad Arcesilao ed autore di un commento al Tinlm, si vedano F. K!.YSa, lk � � Dirsertatio, Heiddberg 1841; WJU.MOVrrZ­ MoEl.LENDoRPP, Ani. 11. Kt:r. , p. 68 sgg. , e voN AlooM, s.u. Kmntor, in RE, Xl 2 (1922) coD. 1S8S-8. 7 Per la vita di Arcesilao, cfr. D.L. IV 28-45; una raccolta di testimonianze si ttoYil in WJJ.AMOWnZ-MOEUDtionis in proposito di Russo, Sctttici, nota 16, pp. 167·8, e le notazioni già di DAL PRA, Scttticismo grtco, 1, p. 148: questi rileva, in particolare, con CREDARO, Scetticismo Accad. , D, pp. 45-58, e con la SrouGH, G,.../e Sctpticism, nota 32, pp. 50· 1 , come, mentre il pithanòn cameadiano avnob­ be un valore anche teoretico ( • ciò che fa su di noi l'impressione del vero), il criterio arcesilaico avrebbe funzione eminentemente pratica. Per la seconda que· stione, il valore puramente dialettico dell'�logon è sostenuto, eon argomentazio­ ni convincenti, da DAL PRA, Settticirmo r;r.co, 1, pp. 148-56, sulla scia di RoBIN, Pyrrhon, pp. 6 1 ·4: secondo Dal Pra, Arcesilao si limiterebbe a ritorcere l'�logon contro la dottrina stoica di una doppia morale, una razionalistica, fondata sulla conoscenza deUa verità ed in tanto fallimentare, l'altra realistica e pragmatistica,

fondata sul semplice X&.>) la figura stessa . Su tale tematica, dr. già Hum, Arr:himedes, T� M•thod o/ Arr:himedes, p. 8. Sulla presenza di nozioni infinitesimali nel metodo archimedeo, anticipatrici d.Ue concezioni moderne, cfr. ancora Hum, Arr:himedes, T� M•thod of Arr:himedes, p. 280, e FRAJESE, Arr:him.de, lntroduzion• Q/ 'Metodo ', p. 568 sgg. , nonché GEYMD­ NAT, Stori4 1111ltn.n , p. 364; il primo in Italia a tradurre e srucliare l'opera dd Siracu­ sano ed a coglierne i fondamenti teorici fu E. RUFFINI , Il 'Metodo ' di Arr:him•de • le origfrri de/I'QIIQ/iri infini�imtlk nd/'antichitJ, Roma 1926 (1961 ' ). Sui coUegamenti fra ArclWnede e gli analisti del '600, c&. ancora DE SA>rrn.L\NA, OTigini tkl pmrimJ scimtifico, p. 247, e DAUMAS , Hirtoiro science, 1, pp. 58-6 1 . " FRAJESE, Arr:him.de, lntroduzion•, p. 2 1 ; ha ragione Frajese circa il valore intensivo dd termine " meccanico " riferito al metodo archimedeo: non credo però che il procedimento " escluda " fasi e tratti in cui si giunge a risultati opmzndo din!t· � su/k fiy}J� • mt�nipolando/e.

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L E IDE E , l N U M E RI , L'ORDINE

trina delle idee pensieri di Dio - appare a sua volta influenzata della dogmatica stoica, per la verosimile identificazione antiochea del Pnèuma-Lògos stoico con il Demiurgo - o con l'Anima del mon· do - del Timeo platonico: le idee pensieri di Dio non sarebbero perciò che il complesso degli stoici lògoi spermatikòi, coincidenti con lo stesso Lògos immanente alla physis12• Questo tratto soprat­ tutto attenuerebbe il legame tra il pensiero dell'Ascalonita ed il medioplatonismo e la tesi di una paternità propriamente antiochea di questo risulta infine scorretta o quantomeno insufficiente per la totale divergenza riscontrabile in sede etica fra Antioco (che ri­ produce la dottrina stoica della oikèiosis e del vivere secondo na­ tura) ed i Medioplatonici (sostenitori appunto per lo più della teoria già platonica dell'assimilazione a Dio)u . Per tali ragioni, l a tesi d i u n Antioco antesignano o addirittu· m esponente del medioplatonismo, negli studi più recenti, pare aver perso di vigore e si è di conseguenza spostata in avanti (nella se­ conda metà del I secolo a. C.) l'epoca di costituzione di un movi­ mento filosofico medioplatonico1•. Gli esponenti di esso operarono dunque per Io più nell'era cri­ stiana, nel I ed in particolare nel II secolo d.C., nell'ambiente cui­ rurale platonico ricostituitosi ad Atene, dopo l'esaurimento dell'originario platonismo accademico": considerazione merita tut· tavia ancor prima Eudoro, il quale, vissuto nel I secolo a.C. e for­ se primo esponente in senso stretto del medioplatonismo, riprese una speculazione di matrice platonica nell'ambiente culturale del tutto particolare di Alessandria. Abbiamo infatti notizie, pur scarse, su un medioplatonismo alessandrino precristiano, circostanza co­ me vedremo di non poco peso per gli sviluppi successivi del movi­ mento: è a Eudoro infatti che sono ascrivibili in primis la riutilizzazione tanto dei dialoghi platonici, soprattutto del Timeo, per la stesura di opere cui ben si adattava, nell'ambito della didat· tica delle scuole alessandrine, la forma del commento e quella del­ l'epitome, quanto del Platone esoterico e della prima Accademia, per noi di fondamentale, per quanto problematica, importanza. Eu­ doro sarebbe inoltre il primo tramite fra il pensiero di tradizione platonica ed il pitagorismo, nella nuova versione datagli dal neopi·

ALCUNE CONNESSIONI

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tagorismo; a lui infine sono attribuibili tanto una conoscenza del­ l'ambiente culturale in cui si affermò poco dopo la filosofia di Fi­ lone alessandrino e dunque una verosimile attenzione per i problemi teologici, metafisici e cosmologici da questi trattati (la stessa che traspare anche nei Medioplatonici successivi), quanto una consue­ tudine con gli ambienti scientifici della città egiziana, in ordine alle acquisizioni propriamente tecniche dell'epoca1 6 • Le ricerche sui Medioplatonici pre- e post-cristiani sembrano nd complesso caratterizzate da vari tratti comuni, ma, almeno per noi, problematici: innanzitutto, mentre di alcuni di questi pensa­ tori (Albino, Apuleio, Teone di Smirne, Plutarco) ci restano opere complete - per quanto sia talora impossibile decidere se ci sono state trasmesse ndla redazione originaria o come epitomi -, di altri (Eudoro, Calvisio Tauro, Gaio, Anonimo Commentatore del Teeteto, Nigrino, Nicostrato, Attico, Arpocrazione, Celso, Massi­ mo di Tiro, Severo) non abbiamo che poche notizie e scarsi fram­ menti; tale circostanza, in mancanza fra l'altro di un'edizione critica complessiva, rende assai difficile un esame organico delle teorie medioplatoniche ed ha favorito d'altronde il fiorire di edizioni cri­ tiche parziali (per gli autori dei quali disponiamo appunto di opere complete), come di studi assai particolari, i quali denunciano tut· tavia ancora difficoltà di interpretazione e addirittura talora di at­ tribuzione del materiale dossografico17• Gli studi più generali preferiscono perciò ancora esaminare i singoli autori e raccogliere le notizie e le testimonianze più importanti su di essi, con un com­ mento tendente per lo più alla comprensione minima ed alla chia­ rificazione delle singole matrici teoriche18: il grosso dello status quaestionis sul medioplatonismo è tuttora indirizzato, oltre che a definire appunto la paternità e " le " paternità teoriche del movi­ mento, ad accertare circostanze storiche e datazioni, sia sui perso­ naggi che sul materiale dossografico trasmessoci. Emblematico della forse unica direzione di ricerca " a tesi " seguita finora può essere il lavoro di Merlan, teso a stabilire in quale misura e per quali specifici tratti il medioplatonismo " anticipi " il neoplatonismo19: sul medioplatonismo visto prevalentemente in funzione ddle acquisizioni successive si è consolidata una tradizione

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interpretativa e metodologica, la quale finisce per sottolineare an­ cor più che per l'Accademia antica - il carattere di " transizione " della filosofia medioplatonica, non rendendo forse ad essa piena giu­ stizia, quando assuma senza discuterlo il proprio obiettivo teorico ed approfondisca altrettanto acriticamente solo gli aspetti di essa che me­ glio illustrano questo suo (per altro indiscutibile) ruolo preparatorio. Per lo più in tale prospettiva è stata analizzata la stessa metafisica me­ dioplatonica ed è all'interno di essa che si giustificano perciò gli studi sulla teologia medioplatonica; sulla concezione gerarchica dell'essere, sull'identificazione fra Dio ed Uno ed ancora sull'identificazione/distin­ zione fra Dio e Lògos, sul significato allegorico o letterale della co­ smogonia, o sui tratti di una teologia negativa medioplatonica20• Poco studiato pare sia stato comunque il rapporto tra filoso­ fia medioplatonica e matematica, e divergenti, o addirittura talora contrapposti, sarebbero d'altronde i risultati dei cospicui studi sulla dottrina medioplatonica dei principi21 : in tale quadro, non sem­ brano perciò inutili da un lato un'analisi delle modalità di ricezio­ ne da parte di Medioplatonici di una cultura matematica certamente giunta a loro, seppur attraverso filtri diversi (la tradizione platonico­ accademica, il neopitagorismo, la tradizione scientifica di Alessan­ dria, il simbolismo aritmologico orientale), dall ' altro una ripresa della dottrina medioplatonica delle idee e dei principi. È possibile che pesino, sull ' uno o sull'altro tema di ricerca o su entrambi, la mancanza di una tradizione critica ad essi specificamente diretta o la scarsità delle stesse fonti necessarie e che l'analisi giunga per­ ciò a risultati poco significativi: essa tende nondimeno a mostrare la continuità della vocazione matematistica nella tradizione plato­ nica e ad evidenziare la vivezza di un movimento di pensiero fino­ ra forse studiato poco e non sempre correttamente. -

B) LA SISTEMAZIONE DELLE SCIENZE NEL DIDASKALIKÒS : DELL ' ANAUSI ED

IL

n.

RUOLO

SIGNIFICATO DELLA DIALETI1CA

Considereremo dunque, da un lato, le affermazioni esplicite che alcuni dei Medioplatonici fanno sulla matematica, dall'altro, ancora, gli elementi fondamentali della storia della matematica del-

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l'epoca. Albino e Teone in particolare ci conducono a sedi geogra­ fiche diverse da Roma e da Atene, ma, com'è appunto la loro co­ mune città d'origine, Smime, in questo periodo non meno importanti per la diffusione della cultura22• La dossografia sulla vita di Albino è assai scarsa e ciò che se ne ricava è perciò per lo più congetturale: la cronologia innanzi­ tutto si deduce da Galeno, il quale si sarebbe recato a Smime, in­ tomo al 150 d.C., a sentire «il platonico Albino »; la nascita del nostro filosofo, già famoso all 'epoca indicata da Galeno, datereb­ be quindi agli inizi del II secolo d.C.2'. Un altro riferimento bio­ grafico sarebbe desumibile dal codice Parisinus Graecus 1 962, che, elencando le opere di Albino, gli attribuisce, fra l'altro, la pubbli­ cazione delle lezioni di Gaio, del quale dunque egli sarebbe stato allievo24• n rapporto con Gaio, ma soprattutto la fama di Albino e la diffusione del suo pensiero sono comunque deducibili da varie citazioni del suo nome in autori tardoantichi: quelle di Proclo e di Giamblico in particolare indicano una conoscenza della filoso­ fia albiniana negli ambienti neoplatonici in particolare2'. Albino sarebbe dunque figura non secondaria della storia del pensiero antico: al medesimo giudizio spinge ciò che è ancora rico­ struibile del corpus delle opere, che rivela un impegno considere­ vole, quantomeno per la ripresa e per il commento della filosofia platonica. n Parisinus Graecus 1 962 elenca infatti: l'opera conte­ nente appunto le lezioni di Gaio ed uno scritto dal titolo lltp! -tcilv lll.ci-twvt �wv; oltre a ciò sono attribuibili ad Albino un'o­ peretta intitolata E!ocrywrfl (o llp6Àoyoç) ed ancora, dai già richia­ mati riferimenti di Tertulliano, uno o più scritti di psicologia e forse, stando a Proclo, un commento al Timeo platonico. Resta infine il libretto At&&axa).r.xòç -tcilv llÀii,;wvoç 8owci'l:wv, registrato da que­ sto e dagli altri codici sotto il nome MKINOOY, ma che gran parte della letteratura critica ascrive al nostro pensatore. Di tutte que­ ste opere ci restano soltanto il Pròlogos ed appunto il Didaskalikòs26• Questione evidentemente importante è quella della paternità del Didaskalikòs, che, nonostante sia da tutti i codici presentato sotto il nome di Alcinoo27, già alla fine del secolo scorso il Freu­ denthal, con varie argomentazioni, ascrisse ad Albino: Alcinoo è

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infatti uno stoico di secondo piano (ricordato solo da Filostrato, vit. soph. I 24), mentre Albino è assai noto negli ambienti filosofici contemporanei e successivi; la corruzione di un originale AABINOY in AAKINOOY sarebbe facilmente documentabile in sede paleo­ grafica ed infine vi sarebbero varie analogie fra il Didaska/ikòs ed il Prò/ogos, trasmesso viceversa sotto il nome AABINOY28• In se­ guito il Witt trovava nel Didaska/ikòs, oltre ad dementi aristotdi­ ci e stoici, quelle forti influenze di platonismo che gli consentivano di indicare in Ario Didimo e soprattutto in Antioco le fonti dell'o­ pera, non ascrivibile dunque ad uno stoico minore e collegabile piut­ tosto ad opere di altri autori platonici del II secolo d.C.29• Dagli anni '30 in poi la letteratura critica ha indicato perciò comune­ mente Albino come autore del Didaska/ikòs10• Negli anni '60, pro­ prio in Italia, il Giusta però ha messo in discussione la solidità delle argomentazioni paleografiche del Freudenthal e le tangenze fra il Didaskalikòs ed il Prò/ogos, rilevando inoltre come Giamblico, Ter­ tull iano e Proclo sembrino ascrivere ad Albino dottrine diverse o addirittura opposte rispetto a quelle figuranti nel Didaska/ikòs: ar­ gomentazione più generale però, contro la paternità albiniana del­ l'opera, sarebbe l'" inconsistenza filosofica " di essa, la quale non consentirebbe di considerarla più di una mediocre dossografia, pro­ babile epitome di un originale maggiore, e che escluderebbe, a pa­ rere del Giusta, l'ascrivibilità ad un filosofo valido come Albino, riproponendo di conseguenza il nome di Alcinoo quale probabile autorell , La questione si è perciò in parte spostata sulla verifica del valore filosofico del Didaska/ikòs e non sono stati pochi, dopo il Giusta, gli autori i quali, partendo appunto dall a paternità albi­ niana dello scritto, ne hanno sottolineato la profondità ed origina­ lità teoretica, precisando che solo il sincretismo di fondo giustifica la mancanza, talora, di organicitàl2• Che l'opera (la quale certamente esibisce influenze stoiche) intenda muoversi nell' alveo della tradizione platonica sembra pa­ lese e ciò in effetti rende improbabile l'attribuibilità ad uno stoico minore; vi sono invece nel Didaskalikòs elementi, finora poco o nulla studiati, che consentono di ribadire il carattere " platonico " dell'operetta. Sia poi il Didaskalikòs pura dossografia o epitome

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quanto s i voglia modesta d i u n originale perduto, l'originale stes­ so, per ciò che in filigrana se ne intravvede, non sembrerebbe nel complesso filosoficamente inconsistente o modesto o poco origi­ nale: anche ammettendo il carattere di epitome dell'opera, essa con­ serva in alcune parti, certamente in quelle che qui vedremo, le tracce di un'elaborazione teorica e di una profondità notevoli, che pos­ sono essere ignorate o smentite solo a prezzo di pesanti semplifi­ cazioni interpretative. Non è perciò improbabile né che quanto ci resta sia soltanto rendiconto dossografico o epitome di un origina­ le perduto, né d'altra parte che l'originale stesso possa ascriversi all'AABINO:E platonico famoso del Il secolo d.C., oggi non più individuabile nei codici per la corruzione paleografica - a sua volta non improbabile - segnalata dal Freudenthal. L'autore del Dida­ skalikòs - o dell'originale di esso -, sia Albino o un altro pensa­ tore, non sarebbe comunque filosofo di secondo piano, benché talora in effetti limitato da un forte sincretismo teorico, e sarebbe certamente platonico, per giunta di quel platonismo che già con Speusippo e con Senocrate aveva mutuato in sede filosofica con­ cetti e metodi desunti dalla matematica: Proclo d'altronde, cono­ scitore ed estimatore di Albino, riconoscerà proprio " questo " platonismo come nucleo più profondo del platonismo tout-court. Guardiamo dunque innanzirutto quale sia l'organizzazione del­ le scienze proposta nel Didaskalikòs, quale sia poi, in questa, la collocazione della matematica e quale rapporto sopratrutto sia con­ siderato intercorrente tra filosofia e matematica, ricordando co­ munque che l'autore dell'opera propone quanto dice in proposito non come dottrina " propria ", ma come elemento già "twv llÀ&"twvoç ÒO"yf.L&"twv. Diversamente che con le fonti protoaccademiche, con il Didaskalikòs non bisogna più tanto cercare gli estremi di un'e­ semplarità della matematica alla filosofia in " sede ontologica ", per l'evenruale funzione onnicomprensiva della quantità o dell'unità aritmetica, quanto piuttosto finalmente sondare se matematica e filosofia non si sovrappongano in " sede gnoseologica " , fondendo o confondendo le rispettive metodologie: è l'autore stesso del Di­ daskalikòs a consentire tale approccio, che ci avvicina all a nozione moderna della mathesis universalis, proprio perché egli, memore delle

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tripartizioni aristotelica e stoica delle scienze e d'altronde delle gros­ se ipoteche negative poste dalla tradizione scettica al tema stesso della conoscenza certa e vera, si mostra innanzitutto sensibile ed attento ad una sistemazione delle scienze stesse e ad un'analisi dei loro campi d'applicazione e dei loro procedimenti. Egli esordisce proprio con l'esame delle direzioni nelle quali, secondo Platone, si esplicherebbe la ricerca filosofica": questa si applica dunque, con la « ricerca teoretica», alla conoscenza delle cose divine e dell'essere, con la «ricerca pratica», alla prassi delle azioni positive, ed infine, con la «ricerca dialettica., allo studio dd discorso.14 . n duplice rapporto di continuità e di rottura di questa tripartizione delle scienze (« teoretiche», «pratiche» e «dialettiche») rispetto alle tradizioni platonica, aristotelica e stoica, è chiaramente coglibile richiamando le ulteriori suddivisioni di ciascuna delle tre branche del sapere; il piano del Didaskalikòs può essere sintetizza­ to nel seguente schema: teologia

(« [ • • • ] si occupa delle cause immobili e pri­ me e di tutte le cose divine »);

8u.>p1Ttudj (� 'tWV livtwv

fisica (« [ . . . ] riguarda il movimento degli astri, le

l"�)

Tipax'tudj (� lttpl 'tÒt ltpax'tlcx)

�>, forse derivata dalla bipartizione accademica degli en­ ti in « per sé >> e « relativi >>". Di quelle indicate poi come parti

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ALC U N E CONNESSIONI

proprie della dialettica, si rifarebbero, secondo Invernizzi, « cer­ tamente a Platone la divisione, la definizione e l'analisi », mentre ugualmente chiara pare l'origine, come già detto aristotelica, del­ l'induzione e della sillogistica' 6 • Dillon considera a sua volta i ca­ pitoli v e VI del Didaska/ikòs «a most useful exposition of later Peripatetic Logic, but presented in such way as to make it seems essential Platonism », ma meno articolata è la sua ricostruzione delle matrici teoriche di questa teorizzazione: le definizioni ed i principi generali esposti all'inizio del capitolo v sarebbero infat­ ti tutti (« ali of which ») « reasonably Platonic »H. Essenziale per noi è lo specifico inserimento nella dialettica, come sua parte propria, dell"' analisi " e non solo perché su tale tema sembra insufficiente il livello di problematizzazione storica e teorica finora raggiunto dalla critica: è precisamente con l'ana­ lisi, per " Albino " dunque procedimento con il quale si indaga «Cos 'è ciascuna cosa partendo dal basso », che la dialettica dovreb­ be infatti « salire [ . . ] a ciò che è primo, originario e libero da ogni ipotesi »; è per l'uso di ciò che " Albino " chiama analisi dun­ que che la sua dialettica (ma già quella platonica) dovrebbe diffe­ renziarsi dalla matematica e collocarsi « al di sopra (&vw-rfpw) » di questa, poiché capace di conoscere e giustificare quei principi che viceversa la matematica ignora. Che per l'autore del Didaskalikòs sia proprio l'analisi il tratto metodico che dovrebbe " distingue­ re " la dialettica dalla matematica è facilmente dimostrabile, vere le definizioni che egli dà delle altre parti della dialettica, dove l'induzione e la sillogistica indagano non le essenze, ma gli acci· denti, e dove la divisione e la definizione partono " dall'alto " e dunque dalle essenze stesse. Se elemento caratteristico della dia­ lettica e discriminante di essa rispetto alla matematica è perciò il risalire (&vt!vcn) ai principi, è verosimile che essa possa fare que­ sto, fra i procedimenti indicati nel Didaska/ikòs come dialettici, specificamente e soltanto con l'analisi: si può però mostrare non solo (e non tanto) che, con l'inserimento dell'analisi nella dialet­ tica, " Albino " è infedele a Platone, ma soprattutto che il modo nel quale egli specificamente caratterizza l'analisi stessa rende del tutto improbabile che la sua dialettica possa differenziarsi dalla .

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LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

matematica e sovraordinarsi a questa; ciò appunto perché, come già dicevo, egli, da un lato, considera dialettico un modo di pro­ cedere che trae in realtà da contesti matematici, e, dall'altro, per­ ché, di conserva, egli perde alcuni tratti caratterizzanti origina­ riamente la dialettica platonica, come metodologia " autonoma " ed " assolutamente specifica " . I n generale dunque «tre sono le specie di analisi: la prima consiste nel salire dai sensibili ai primi intelligibili (ij JÙ.v yap lanv W 'tWY cx!a&rrrWv lm -tàt 1tpci)'tcx vcrrrrà &vo&ç); la seconda consiste nel salire attraverso cose dimostra­ bili e provabi/i fino a proposizioni indimostrabili e immediate (ij CA 8LÒ: 'tWv 8tucwj.tlll(a)v xaì u7to8tucwj.tlll(a)v &voOoç lm 'tàt; àvcx1to8tCxtouç xcxì � 7tpatlicn.tç); la terza procede da un'ipotesi ai principi non ipotetici (ij 8l LI; U1to6tau.>ç civtoiiacx tm 'tàt; ciw1to6L'touç &pxciç) »'a.

In Platone - nei dialoghi - manca questa sistemazione m­ partita dell'analisi: Dillo n, segnalando tale circostanza, nota co­ me la sistemazione ascritta qui a Platone possa essere più verosimilmente opera della scuola, forse di Senocrate'9; Hintikka e Remes, per questo luogo del Didaska/ikòs (che conterrebbe «a description of analysis as a generai phi/osophical metbod.,.) ed in particolare per il terzo tipo di analisi, pur riconoscendo la riferi­ bilità ai dialoghi, credono tuttavia che la descrizione " albinia­ na " sia c not very platonic »60; valga comunque a chiarire la posizione di " Albino " rispetto a Platone per questo tema dell'a­ nalisi la puntualizzazione di Invernizzi: «ll termine c!cvlilwtç non appare mai in Platone »61 • Già si sono ricordate la probabilità che Platone conoscesse l' analisi, quantomeno nella forma della �duc­ tio ad absurdum e della ricerca dei diorismi, poiché essa era prati­ cata dai Pitagorici a lui contemporanei, e l'informazione positiva di tale sua conoscenza nel Commento procliano a Euclide62; resta tuttavia la sostanziale novità della sistemazione dei tre civcx).Uau.>ç tlOTj appena indicati, sistemazione che appunto certamente non figura nei dialoghi: l'attribuzione dell'autore del Didaskalikòs ri­ monterebbe perciò alla forma ed al grado consueti della sua fe­ deltà a Platone - anche in questo caso, " Albino " trarrà dai

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ALCUNE CONNESSIONI

dialoghi fin dove gli è possibile esempi di ciò che ascrive a Plato­ ne -, a meno che non si ricorra, ancora, agli àgapha dòrJnata co­ me sede nella quale Platone avrebbe " detto " dell'analisi ciò che il suo prosecutore medioplatonico gli ascrive. Ma " Albino ", già lo si è notato, sembra ignorare, in questo caso come negli altri, qualsiasi tradizione platonica diversa dai dialoghi e d'altronde, per ciò che è egli stesso a conferire a questi centralità, si può esigere da lui che le attribuzioni fatte a Platone, anche se casomai risalen­ ti agli àfl'riPha dòr/nata, non siano in opposizione con le dottrine leggibili nei dialoghi, o quantomeno non le trascurino radicalmen­ te - ed è questo che, in qualche misura, fa " Albino ", come ve­ dremo più sotto -, oppure si ridiscuta, con buona pace di Kriimer, la conciliabilità fra tradizione platonica scritta ed orale. Caratterizzando comunque meglio i tre tipi di analisi sopra definiti, il nostro autore scrive: cl.a prima specie di analisi è di tal fatta: per esempio, passiamo dal bello dei corpi al bello che è nelle anime, da questo a quello

delle attività, successivamente da questo a quello delle leggi e poi al vasto mare della bellezza, per trovare da ultimo, cosl proceden­ do, il bello in sé »6'.

� &vcaumç, dai sensibili agli intelligibili primi, è dunque, come mostra il riferimento letterale all 'ascesa lm 'tÒ n:oÀÙ 1ttÀCl"'(Oç -toU xaÀoil del discorso di Diotima nel Simposio, ciò che Platone avrebbe chiamato propriamente anagop}è (via all 'in su); la ricondu­ zione dei sensibili alle idee certamente può esser detta " analisi ", in un senso assai generale, se non generico, del termine, poiché appunto c'è cuna definizione generale di analisi [. ] ed è quella di analisi come ricerca dei principi », indubbiamente valida, « se convenzionalmente i principi stanno a l di sopra di ciò che d a essi dipende» e tenendo conto che cii prefisso M indica proprio la direzione verso l'alto »64• Le idee platoniche (ed i n:p­ lo antologico dei numeri. Neanche lui perciò è matematista per questo specifico aspetto; resta però da considerare un ultimo te­ ma, nel quale il nostro autore riproduce schemi pitagorici: la CD­ struzione della serie dimensionale e degli stessi corpi tramite procedimenti compositivi di tipo aritmogeometrico. Già si è documentata, in sede di aritmologia, la conoscenza plutarchea del procedimento con il quale i Pitagorici assimilava· no la costruzione per somme successive dei primi 4 numeri alla costruzione dei corpi, per successiva giustapposizione delle stig­ mài a costituire le linee, di queste a costituire le superfici e delle superfici a costituire i solidi"'. In una sede però questo procedi· mento è usato da Plutarco non solo per una sistemazione gerar­ chica delle scienze esatte - da quella dell'oggetto più semplice (aritmetica) a quella dell'oggetto più complesso (musica) -, ma in rapporto addirittura alla conoscenza dell'intelligibile: il passo in questione sembra perciò di diritto poter dire qualcosa circa una mathesis univmalis, intesa sia nel senso debole di una scienza delle pure quantità preposta alle scienze esatte, sia nd senso for­ te di un vero matematismo� Particolare è anzitutto appunto la sede in cui Plutarco tratta questo tema: esso è infatti affrontato nel terzo dei cosiddetti llÀ>; ed il secondo, a sua volta: «è detta monade [...] per il suo stare separata ed isolata dalla restante molteplicità dei numeri (chò ,;ou lìtaX&Xpiallcxt xat fl.tf.I.O...wa{)CXI CÌ7tÒ toii Àomoii 7tlij9ou.; 'tWV ÒtpL9!J.Wv)>>H6•

457

ALCUNE CONNESSIONI

Le considerazioni tuttora valide di Festugière possono co­ munque essere ulteriormente integrate, sempre a partire dalla duplice caratteristica assunta a quest'altezza storica dalla mena­ de aritmetica: come primo elemento della serie numerica, la mo­ nade è dunque " immanente " a questa, è omogenea e parificata agli altri numeri e perfettamente confrontabile con essi; nella funzione già vista in Nicomaco ed assai accentuata in tutta la matematica dell'epoca, per cui la monade è radice e " principio " di tutti i numeri, essa è invece " trascendente " ai numeri stessi, fa parte a sé rispetto ad essi e non può essere con essi confronta­ ta. n Dio numeniano, lo si è visto, è difficilmente inquadrabile in una prospettiva di radicale opzione fra trascendenza ed imma­ nenza e si può dire forse trascendente quanto all'essenza ed imma­ nente quanto agli effetti di questa: questo duplice carattere di Dio consegue forse anch'esso all'assunzione, quale modello con­ cettuale, dell'unità aritmetica, a sua volta per un verso trascen­ dente e per l'altro immanente, di quella unità aritmetica che - come puntualizzerà Giamblico nei Theologoùmena Arithmeti­ kà - trasmette agli altri numeri appunto gli " effetti " della sua essenza (semplice, immutabile, perfettamente identica a sé), quando, per esempio, moltiplicandoli per se stessa, non fa che riprodurli nella loro identitàm. La monade aritmetica, nella sua funzione di principio dei numeri, entra come modello concettuale nella nozione numenia­ na e neopitagorica di Dio Primo in modo atematico ed inconsa­ pevole: sono anzi talora rinvenibili circostanze che vanno in senso esattamente contrario all'assimilazione fra theòs ed arith­ mòs e fra theòs e monàs (o hèn), come la tendenza, altrettanto concordemente rilevabile nel neopitagorismo, a distinguere tipi e funzioni differenti dell'unità stessa unità "intelligibile" ed unità " aritmetica " ed a parli in un rapporto gerarchico di subordinazionens. Complessivamente e a dispetto di simili distinzioni, si ha però l'impressione che il neopitagorismo non riesca a tenere distinto il complesso di caratterizzazioni proprie della monade aritmetica nel suo essere principio dei numeri (''primo", "sem-

-

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LE IDEE, l NUMERI, L'ORDIN E

plice ", " stabile " , " trascendente ") dal complesso d i caratteriz­ zazioni che spettano a Dio in quanto pròte archè: l'affermazione di Nicomaco, per cui Dio «contiene in embrione tutte le cose, come l'unità contiene in embrione tutti i numeri»H9, non sem­ bra perciò soltanto un'immagine allegorica, ma una formula che " matematizza " il rapporto fra principiati e principio e che rap­ presenta il punto d'arrivo di una tendenza sorta nell'Accademia platonica. Come subito vedremo, il platonismo contemporaneo a Mo­ derato, a Nicomaco ed a Numenio non si rivela per parte sua immune da un'analoga tendenza alla matematizzazione della teologia. A differenza dei Neopitagorici, i Medioplatonici non chia­ mano il Primo Dio Uno o Numero, né propongono gerarchie di Monadi, mediatrici fra l'Uno Primo ed il sensibile: i Medio­ platonici assomigliano però ai Neopitagorici quantomeno nella teorizzazione di un Principio Primo divino, trascendente, spesso perciò ineffabile e conoscibile solo intuitivamente, che è attività noetica e Causa, attraverso questa, della sistemazione cosmogo­ nica della Materia informeHo. La teologia medioplatonica con­ verge dunque con quella neopitagorica a confermare il recupero del trascendente dei primi secoli dell'era cristiana ed a spianare la strada alla grande teologia neoplatonica: simile nelle due tra­ dizioni è in particolare un sostanziale monismo (o monoteismo); Dio certamente non è per i Medioplatonici l'unico principio (lo sono anche le idee, suoi pensieri, e lo è, seppur con forti caratterizzazioni assiologiche negative, la materia), né è l'unico ente divino (anche i dèmoni sono dei, seppur di rango inferiore): come in Plutarco, Dio è però appunto " unico " nella sua prima­ rietà (le idee gli sono subordinate) e nella sua positività (Esso solo, e non certo la materia, è Causa formante d'ordine e perciò di bene). Il medioplatonismo si mostra ovviamente, meno del neopi­ tagorismo, erede di una generale utilizzazione metafisica del nu­ mero; eppure anch'esso ribadisce un'esemplarità aritmetica nella teologia dell'età imperiale, perché neppure il Dio medioplatoni-

ALCUNE CONNESSIONI

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sembra liberarsi del tutto dalla caratterizzazione che lo parifi­ ca all'unit�-principio-dei-numeri, e che è lontana eredità del ma­ tematismo protoaccademico: ciò emerge non tanto nei concetti teologici generali appena richiamati, quanto piuttosto nella dot­ trina della trascendenza e dell' ineffabilità divina ed in particola­ re in una delle viae a Dio, nella cosiddetta via lç CÌcp«1ptcnwç o negationis. Essa è presente certamente nelle plutarchee Platoni­ cae Quaestiones, ma, con un riferimento più esplicito a Dio e quindi con un valore più centratamente teologico, nel Didaskali­ kòs ed in Celso ed ancora, seppure in forma meno esplicita, in Massimo di Tiro, in Numenio e negli Oracoli Caldaici. Per questi ultimi in particolare, l'atteggiamento fondamen­ tale per giungere a concepire un Dio assolutamente primo e trascendente è una sorta di deviazione dai sensibili e di " svuo­ tamento " dalle impressioni dei sensi (la figura, il colore, la gran­ dezza): già abbiamo visto come Numenio raccomandasse appunto di allontanarsi dalle cose sensibili e dall a corporeità, con uno specifico allenamento nelle scienze esatte, per 0!-LIÀTiaiXI 'ti\i à:y1X9i\i � !J-6vov34 1 ; gli Oracoli Caldaici prescrivono a loro volta, poi­ ché Dio resta al di fuori della portata dell'intelletto (v6ou lçw �ti), di tendere verso di Lui un intelletto vuoto di sensazio­ ni (xtvtÒv v6ov)342 e Massimo di Tiro raccomanda di non pensa­ re, in riferimento a Dio, lliJ"t lltrt9o�, lliJ-rt JUlWiliX, !liJ-rt "X.ii!-LIX. 1-Lfru. IDo 'ti UÀ1J� 11:&8o�m. Questa modalità di approccio al divino, se qui tiene generi­ camente conto soltanto dell'incorporeità di Dio e del suo porsi al di fuori e al di sopra delle relazioni razionali che ordinano i sensibili, si tecnicizza però in alcuni contesti con un esplicito riferimento a schemi concettuali ed a termini desunti dalla mate­ matica: Celso pensa per esempio che Dio sia " conoscibile " o cnno(lfcm "tlj l11:t 'tCÌ ffiiX, O CÌVIXÀUI7EL CÌ1t01XÙ'tWY, O CÌVIXÀO"'(�, ed Origene, suo avversario e diffusore, si crede autorizzato a speci­ ficare poco oltre che l'analisi e la sintesi qui richiamate sono proprio quelle che i geometri chiamano analisi e sintesi344• Se­ condo l'interpretazione di Origene, che è stata ora rifiutata, ora accolta, Celso avrebbe sostenuto dunque che Dio è raggiun-

co

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LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

gibile attraverso il medesimo processo di elementarizzazione usato dai geometri per risalire agli stoichèia delle loro figure e, pari­ menti, con un procedimento analogo all'inverso (synthesis) di questo,.'. Questa lettura dell'analisi di Celso mi convince innan­ zitutto perché qui si ritiene Dio raggiungibile per analisi rispetto alle " altre cose", il che richiama la generalizzazione metafisica del processo scompositivo già indicata da Plutarco nelle Platoni­

Quaestiones: ogni sensibile può essere " ridotto", attraverso la scomposizione geometrica, ai propri principi metafisici ed ul­ timi; in secondo luogo perché un uso dell' analisi di questo tipo

cae

ci è, in effetti, in un contesto teologico, effettivamente e parti­ colareggiatamente descritto più tardi da Clemente di Alessan­ drial46. Questi afferma dunque che si procede lm 'tTrJ ltp6mjv v6Tjcnv [ . . ] 8L'«wù.uau.x; e descrive il medesimo processo, già vi­ .

sto in Plutarco, nel quale sottraiamo progressivamente ai sensi­ bili (àq�tÀ6vuç) le qualità fisiche, " poi" la profondità, " poi"

l'estensione supediciale, " poi" la linearità, fino

a

giungere al

punto e, per eliminazione della posizione di questo, alla monade. In almeno tre diversi contesti dunque - in Plutarco, in Celso ed in Clemente di Alessandria - gli antichi procedimenti

pitagorici di costruzione della serie dimensionale sono usati, nel­ la formula invertita della riduzione scompositiva o della progres­ siva elementarizzazione, per guadagnare il principio metafisico:

nelle due ultime sedi tali procedimenti sono assunti in un ambi­ to esplicitamente teologico e nella seconda sede si allude altret­ tanto esplicitamente ad un formulario delle ville conoscitive a Dio organizzato su tre possibili alternative. Tutto ciò rimanda dunque al contesto teologico di questo periodo di gran lunga più studiato, a quel x capitolo del Dida­ skalikòs, in cui, tra le possibili noèseis al Dio trascendente, è elencata non, come in Clemente, la via 8L'MÀUç, ma appun­ to la via lç àcpcupiatwç. Riassumendo breveme nte, " Albino" ri­ corda dunque come già Platone avrebbe detto Dio quasi à"hetos,.1; egli propone tuttavia per parte sua due prove, che deducono l'esistenza di Dio, l'una a partire dall 'esistenza di noe­ tà puri - esistenza che esige un Intelletto diversamente da

461

ALCUNE CONNESSIONI

quello

WlllUlO

adeguato a coglierli -, l'altra a partire da una

gerarchia di valore fra le realtà pensanti: si ammette dunque che Dio sia l'Intelletto eternamente attivo che è motore della seconda divinità, l'intelletto del cielo, e dunque Causa Prima dell'attività cosmogonica e demiurgica di quest'ultimo141• Il Som­ mo

Dio è descritto poi come Intelletto che pensa se stesso e

le proprie idee e come soggetto di una serie di attributi (''perfe­ zione", "verità", "proporzione", "bene" e "padre") che gli spettano non nella comune forma predicativa e definitoria, ma che si rivelano piuttosto connaturati alla sua natura di Ente Primo e di Causa (è "Bene", perché è Causa del bene dd mondo, non "buono", perché partecipe della bontà). Proprio questo ulteriore riferimento alla causalità divina, porta "Albi­ no

"

,

prima,

a

specificare meglio il rapporto fra Prima e Seconda

divinità, e, poi, per il fatto appunto che Dio è predicabile

to nella sua funzione di causa,

soltan­

ad approfondire la non applicabili­

tà a Dio di predicati che siano genere, specie e differenza. Dio dunque non è conoscibile con la ragione discorsiva, con quella

diànoill che verosimilmente instaura relazioni e distinzioni signi­ ficanti fra le cose ordinate in generi ed in specie: Dio non rien­

tra nella trama di quest'ordine, è perciò ineffabile (&pp7jwç) e soltanto intuibile con quel

nous, che, nel Didaska/ikòs, come

in Platone, è distinto e sovraordinato alla conoscenza discor­

siva149.

È a

questo punto che, almeno nell'ordine in cui ci sono

pervenuti i materiali concettuali del capitolo, sono inserite le

vw: Dio dunque è conoscibile o xcn:èt cX(j)et(ptcnv - come il punto è conoscibile per astrazione progressiva dei sensibili, della solidità, dell'estensione ed infine della linearità -, o XOt-rèt tre

àva).oy(txv - come il Sole agisce sui visibili e sulla vista, cosl Dio agisce sugli intelligibili e sulla nòesis -, o, ancora, xet-rèt � -rijl "tl.j.L('Ou 'E�rttoi'Jj o 'A.\xl...,.,u , pp . H-'; Arista� �t ltJ mithatk dialectiqu� du Parmt!nitk � Platon, « Revue lntemationale de Ph iloso phie » , XXXIV ( 1980) pp. 34 1-8. 16 Forse fino a mostrare la possibilità della proposta costruita con la prima ipotesi e con la più generale ed anteriore che la fonda: l'interpretazione accentua due elementi del passo, e cioè l'�wç (per cui anche la seconda ipotesi, una vol­ ta scelta secondo i criteri indicati, sarebbe trattata come la prima) e l'lxav6v (con cui Platone appunto si comprometterebbe assai meno di quanto farebbe usando � o àvlm69uov). 17 La genericità del primo riferimento di " Albino " alla &ll'l) u.roe.w;, la pre­ tesa che l'ipotesi originaria sia à:x6Àou9oç ad essa e la perdita di qualsiasi rilevanza del criterio della confutazione nel metodo lç � renderebbero a mio avviso del rutto immotivata la segnalazione di Parm. 13' E sgg. , come termine di riferi· mento per il terzo tipo di analisi (cfr. in proposito INvERNIZZI , ' Didasluzlileos ', nora 23, p. 103). In Platone infatti, mentre la confutazione applicata ad una sola ipotesi fonda la pura possibilità di essa in ragione della sua incontraddittorietà, la corre­ zione apportata nel Parmmitk al metodo di Zenone (con l'indicazione che si deb­ ba, rispetto a questo, « fare un'altra cosa in più » e cioè «vedere quali sono le conseguenze di un'ipotesi la quale neghi l'esistenza dell'oggetto della prima » cfr. Parm. 13' E- 136 A, trad. ZADRO -), approda all 'incontrovertibilitl di un'ipo­ tesi, in � incontraddittoria, quando sia appunto contraddittoria la sua opposta. Cfr. in proposito BERn, Dialettica �a libmà di pmsiero, pp. 349-,0. Di tutto ciò però non vi è traccia nel terzo tipo di analisi ed ancora in nessun altro luogo del Didaskalikòs. n Cfr. Guu.EY, Gruk geom. Analysis, nota l, p. 6; HINI'IKJCA- REMES, Ana/y· sis, p. 90; DIU.ON, Middle Platorrists, pp. 277·8; INVERNIZZI , 'Didasluz/ikos ', u, !l()o ra 20, p. 1 12, pensa che il passaggio dialettico inl 'tà: ltpWm xat àpxucd. xat &w.t69&"' descritto in did. VII ' · 162, 8 sgg. Hermann e tale da parafrasare mp. VII '33 D sgg. , sia « una ripresa del terzo tipo di analisi » (cfr. supnt, la nora , l), 1 9 mp . VI ' I l D. Che la dialettica tratti le ipotesi oolx àpxliç, àUa «i> 11m U..o 9lcmç, olov ln�cnu; u xal òpy.liç, certamente richiama la prima mossa dell'ana­ lisi del Didaskalikòs - in cui il ricercatore assume per ipotesi ciò che cerca -, ma intende qui sostanzialmente ri badire il diverso approccio della dialettica alle ipotesi che la matematica lascia immobili. Anche per BERn, Dialettiu � libmd di pensiero, p. 348, « [ . . . ) nella Repubblica Platone non precisa come avvenga l'a­ scesa dalle ipotesi al principio e soprattutto come la dialettica riesca ad ass icurarsi di avere attinto un effettivo principio, ossia alcunché di non ipotetico: probabil­ mente perché il tema del dialogo non è la dialettica, ma lo Stato »; l'approdo all'a· nipotetico sarebbe perciò garantito solo dal metodo dialettico applicato ad ipotesi opposte teorizzato nel Parmmitk (cfr. supra, nota 87). Nella Repubbliu, inoltre, il movimento della dialettica non si compie, come nel terzo tipo dell'analisi " albi-

ALCUNE CONNESSIONI

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niana ", prima verso il basso (dall'ipotesi alle conseguenze:) c poi verso l'alto (dall'i· potesi originaria alla &ÀÀT) ÙTt60&al(, di cui la prima sia &x6Àou0oç), ma, al contrario, prima verso l'alto (dalle ipotesi al principio) c poi verso il basso (verosimilmente ron la diaircsi): la definizione del Did4slealileòs è dunque paragonabilc solo ron la prima paste di questo procedimento (quello appunto verso l'alto), della quale paste però nella Rq>ubblica ci viene detto assai poco. 90 Per il vt libro della Rq,ubblica, dr . il singolare costante: i�c ara per evitare posizioni =sivc:». In due dM:rsi contesti, chnjue, ma sempre in rdazionc all 'aritrnologia cd alla dottrina dei princip( pitagoriche, Plutar­ co richiama le cautele dello sa:tticismo accademico : ciò consente di ritenere progressi­ vamente temperato l'iniziale matematismo plutarchco; tale attenuazione è lllTUTK5Sa da Da. RE, in ZM, m/4, nota 29,, p. 162, e nota 341, p. 176. I rapporti fm Plutarco e la tradizione aa:ademiro-=ttica, in tettnini di continuità e di una considerazione " morbida " dell'�, sono ril:hiamati anche da Matu.N, I..akr Acad., pp. 61-2. U4 E IZ{JIId Delph. 391 E.

m Le influenze pitagoriche sul pensiero plutarchco erano sottolineate nella storia zdle:riana dd pensi= antico, tanto che vi si legge, in rapporto alla ripresa di !ematiche pitagoriche nel llt'O-pitagorismo: c Soltanto in Plutarco di Cheronea troviamo che la fu. sione dd platonismo con le teorie sorte per la prima volta nella scuola neopitagorica èfiJmla a/punto di dominare - luoncezioni del filosofo » (ZM, m/4, pp. 148-9, corsi­

mio). Zdler d'altronde elenca Plutan:o fm i cplatorùci pitagorizzant i». L'apparato axxettuale cd ermeneutico fornito più di =ente per il medioplatonismo dalla scuola milanese viceversa lascia in ombra quanto di pitagorico sopravvive nel pensiero plutar· chco (e toedioplatonico in genemle) e sottolinea solo o principalmente i tratti - già richiamati - che ridabor:i.no il platonismo e che attengono al cosiddetto " recupero dd aascendentc ". L'analisi qui condotta non vuole ripropom: uno schema di lettura apparso inv=hiato, ma è innanzi rutto raccol to di dati obiettivamente e comunque of. fìoranti nella filosofia plutarcheo, quali che siano il carattere fondamentale di questa cd il ruolo in essa giocato da quei dati. 124 b. d Or. 381 P. vo

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12 7 Per la precisazione plutarchea, cfr. Is. el Os. 382 B. Per Nicomaco, c&. PHOT. biblioth., Cod. 187, 142, e le considerazioni in proposito di RE.u..E , St. d.

/il. ani., IV, pp. 397-9, e di DEL RE, in ZM, m/4, p. 77, con le relative note. È complesso distinguere la rilevanza storica di queste affermazioni plutarchee e la loro rilevanza teoretica: il nostro autore riferisce qui consapevolmente una prass i deUa tradizione pitagorica (verosimilmente accol ta dal neopitagorismo), ma non sem· bra conferire pari rilevanza storica al significato, solo simbolico, ddl'aritmologia. Questo significato sarebbe perciò propriamente dottrina di Plutarco. 12 1 tkj. orac. 429 n; E apud Delph. 388 n· E, 389 C·n. Per questo suo carattere, il 5 è connesso aUa duplice personalità dd dio delfico, che, da un lato, è Febo, fuo­ co purissimo, eterno ed immu tabile, e, dall ' altro, è Dioniso, dalle mille forme e dai mill e volti (E apud De/ph. 388 E·389 c) . '" tkf. orac. 429 n; E apud Delph. 390 P-3 9 1 A. uo tk/. orac. 429 E. Che il triangolo rettangolo avente l'ipotenusa uguale a 5 ed i cateti uguali rispettivamente a 4 ed a 3 sia il più perfetto è forse comprerui· bile nell' elementarismo giil del Timeo platonico, che rimonta alle figure geometri· che (appunto triangoli) costitutivi primi dei corpi sensibili, attraverso i poliedri regolari. Questo triangolo è perfetto forse perché costituito in riferimento a nume­ ri figuranti ai primi posti della serie numerica (" ragione " perciò dei successivi), e che, per giunta, sono in successione: esso è dunque, nell ' ambito tradizionalmente preferenziale dei primi 10 numeri (interi), il triangolo rettangolo e/4chiston e pro. ton. In Is. el Os. 373 F·374 B (cfr. in/rtz, nota 146), il triangolo rettangolo dotato di queste misure significa Dio (l'altezza, 3), il sostrato materiale (la base, 4) ed il • cosmo (l'ipotenusa, appunto 5). "' tkf. orac. 429 E: il 3 è uguale a una volta e mezza il 2, ed appunto il 5 ( � 3 + 2) contiene la proporzione suddetta. "' tk/. orac. 429 E, trad. DEL CORNO. Cfr. 430 A: eia natura sembra preferire come modello il 5 •· "' tkf. orac. 430 A; E apud Delph. 389 1>-P. ' " tk/. orac. 429 E· F ; per i sensi, cfr. anche E apud Delph. 390 B, e, per l'ani· ma, E apud Delph. 390 P. "' E apud Delph. 390 E. "' tkf. orac. 429 F-430 E. m Cfr. opi/. 89- 128. "' tkf. orac. 427 A·E. ,.. tk/. orac. 428 C·E; i cinque generi del So/isl4 compaiono anche in E apud Delph. 391 B sgg., secondo schemi di classificazione di dottrine platoniche per pen· todi, tendenti comunque ad avall are la tesi che lo ierogramm a ddfico è c il segno ed il simbolo del numero universale (ÒJ\Àw!J4 Xlll cruft{k>Àov "tOii &p xax6v,

Ù> bupov , Ù> lfll'6!aV011 , -m �. -m &pnav, Ù> �tpeaç. Ù> 11-Mov, Ù> dptaup6., Ù> axat&I..S...) e molti di questi richiamano lo lista pitagorica dei contrari riferita da Aristotele (m�taph. A 5. 986 o 22) e le systoichìai contrapposte attribuite ugual­ mente ai Pitagorici da Eudoro di Alessandria (SIMPL. m Pbys. 181, 7-30, con il mio commento in Il platonismo di Eudoro, p. 40 sgg . ). m La caratterizzazione più chiara ed efficace del secondo principio platonico sarebbe tuttavia, secondo Plutarco, c l'anima malefico del mondo• delle Leggi. ls. �t 0.. 370 P; cfr. anche an. procr. 1 0 1 4 o-1 0 1 5 A. Per la legittimità di tali ricostru· zioni plutarchee, cfr. DEL RE, ZM, m/4, nota 335, p. 173. "' ls. �t Os. 369 E·P. 1 " ls. �t 0.. 3 70 C·D. 160 E apud D�lph. 389 A·B. 161 E apud Delph. 394 A·B. 1 62 ls. �� Os. 3 7 1 o, trad. Cn.ENTO. Cfr. 372 A: a Tifone c non s'addicono n� splendore, né salute, né ordine, � generazione, né movimento dotato di misura e di ragione, ma tutto ciò che è contrario •. "' Plutarco resta comunque dualista perché, nonostante tali caratterizzazio­ ni del principio pOsitivo, non sono presenti nel suo pensiero le mediazioni teori· che, che, come più avanti vedsemo, consentono, ai Medioplatonici come ai Neopitagorici, di trasformare pressoché completamente l'originario dualismo in mo­ nismo: Plutarco non duplica le monadi, come già aveva fatto Eudoro (cfr. il mio saggio Eudoro: monismo, dualismo, p. 290 sgg., 298 in particolare), né subordina la Diade/Male all'Uno/Bene, come fanno Eudoro stesso ed i Pitagorici cui si riferi­ sce Alessandro Poliistore (cfr. Eudoro: monismo, dualismo, pp. 296-7), né adotta la soluzione, poi classica nel neoplatonismo, di considerare il male e la materia resi­ duo ultimo della pròodos ontogonica dell'Uno. Il dualismo o monismo dei principi è tema connesso al nostro della mathesis unillmalis non solo in sede di continuità della tradizione platonica, ma, come si vedrà nelle Conclusioni, per un verosimile legame con le definizioni del numero storicamente prodotte nel mo ndo greco . 1 64 tk/. orac. 425 F-426 A, trad. DEL CoRNo. 1 6' E apud Delph. 393 A·B, trad. DEL CORNO, corsivi miei.

ALCUNE CONNESSIONI

505

, .. E apuà Dis all 'llfJhàirnis, Plutareo ribadisce che il nous � l'unico criterio del no xai xp.arov nXVU orac. p. 1 1 Kroll. ,., Cfr. MAX. TYR. diss. XVD 1 1 , p. 69 Diib ner. La frequenza e la costanza della sequenza 1-'iY'Soç (o C!Wp.a), �. CIJCÌ'III'l, nel pensiero teologico dell ' etl imperiale, sono analizzate da J. WHITIAKER, N�pythDg01Nilism and � Theo­ di Mullach

bile,

per

loy;y, c Symbolae Osloenseu, xuv ( 1 969) pp. 109-25, 1 15-7 in particolare: tale sequenza si rinviene, oltre che in Massimo di Tiro, nel Corpsu Hmrreticum , in Lido, in " Albino " (did. x l, 164, 14 Hermann), e, più tardi, in Giamblico (IMo/. •rithm. 5 5 , 9 De Falco), in Giustino ed in Origene. ••• Ap. 0RIGEN. contnJ Ce/s. vu 42. Cfr. vu 44. "' FESTUGIÈRE, Révilation, IV, pp. 1 19-20, ritiene falsa la lettura di Orige­ ne, poiché, quando si s.ppia bene cosa intendevano i geometri greci per analisi e per sintesi (ma, tutto sommato, come si è visto, forse molto bene non lo si s.), sembra impossibile, anraverso questi metodi, giungere al Dio trascendente: per loro tramite si potrebbe risalire al massimo alla nozione di Demiusgo (p. 12 1). Festugière ammene comunque che l'anàlysis di cui parla Celso sia l'aplxlnnis di " Albino " , che vedremo fra poco. Diversa è la lenura che del brano di Celso e dell'interpretazione di Origene fa KRXMEK, Unprung, nota 279, p. 105, il quale avalla, come Festugière, l'assimilazione terminologie• anàlysis di Celso-aplxlnnis " albiniana ", ma ritiene correna la connessione fra quest'analisi teologica e l'ana· lisi praticata dai geometri. '" strom. 5, 1 1 , PG 9, coll. 108 sgg . ; cfr. WHITIAKER, N�pytbagoretD�ism, p. 1 18 sgg. "' did. x l, 164, 7 Hermann: f.ILXpOU 8i[v XCII � "rrai= 6 IIMu..v. L'af. formazione sembra effenivamente ricalcare Tim. 28 c, dove si dichiara difficile trovare il Fanore e Padre dell'Universo e, anche trovatolo, si afferma impossibile parlarne ai più. Non vedo fraintendimento aleuno di Platone nel fatto che " Albi­ no " renda quest'espressione col " quasi ineffabile " e eredo perciò preconcetto il giudizio negativo in proposito di GIUSTA, l dossOf!tJfi di fisica, cit., p. 184. '" Su queste prove dell'esistenza di Dio, cfr. INVERNIZZI , ' DidMJe4lil ..;; f.l6v À�, che ho più volte riportata (did. x 4, 165, 4-5 Hermann), rifiuta l'esegesi di INvElooz. ZI, ' Didaskalikos ', 1, p. 80 (il quale lego l'indicibilità di Dio alla sua inconoscibili­ tà " con la ragione discorsiva ") e crede questa .. contraddizio ne " ulteriore segno

ALCUNE CONNESSIONI

529

della pochezza filosofica dell'autore del DidaJkalikòr e dell'origine dossografica dell'opera. Argomenta Giusta, fra l'altro, che prima dell'autore del Didaskalikòr (che per Giusta, lo ricordo, è l' Alcinoo citato dai codici), • Platone in un passo dd So/isili (258, c) a � aveva associato iU�. Ed � comprmribik

pc-chi t- i G=i �ino � paro/4 sono aspttti di 1m unico À6-yoc • (l dossogrtJ/i di fisica, p. 188). Dimentica però Giusta la notissima distinzione della Rtpubbli· u platonica fra la diànoiJz, che è la facolt� della conoscenza discorsiva e delle scienze esatte, e la nMis, che è la facolt� d.U'tpistèm� filosofica e del principio anipotetico: d'altronde Platone stesso associa &pprrtoç appunto ad iU�, non ad �- L'autore del DidaJkalikòr è, per parte sua, in linea con Platone, perché distingue esattamente la diànoiJz dalla nMis (cfr. diJ. IV), perché ritiene nMis soltanto conosca 1t&prung, p. 1 06, la cui posizione è però criticata da Invernizzi. Sull e

oscillazioni della critica a chiamare la aphàimis " albiniana " a Dio via negationis o via abstractionis, cfr. il rendiconto di lNVERNIZZI, ' Didarkaliko> ', 1, pp. 45-6, e nota 12, p . 1 8 1 . ' "' Cfr. PLUT . p/at. quaer/. 1001 E- 1002 A; SEXT. adv. math. x 2 5 9 sgg. ; D . L . v m 24 sgg . ; PH OT . biblioth., Cod. 249, 4 3 9 A 19; N1c0M. introd. arithm. 8 VI 4; p. 85, 3 sgg. Hoche; THEO SMYRN. e:cpos. D 5 3 , p. 182, 21 sgg . Dupuis; PHn.o , de opi/. 49; HIPPOL. f#ut. 4 , 5 1 , PG 16, col. 3 1 1 9 ; 6 , 23, PG 16, eol. 3227; [lAMBL.] theol. arithm. 84, 7 sgg. De Falco. Questa cosl diffusa teoria proto­ e neo·pitagorica, e non un presunto commento a Euclide, sarebbe dunque sccon· do W HITTA KER , Neopythagoreanism, p. 1 10 sgg . , l'origine dell'esempio " albini•· no " , ipotesi che è favorevolmente accolta e documentata da lNVERNIZZI ,

' Dida•kalikos ', t, nota 22, p. 1 8 5 . ,., Significativamente, l o stesso " Albino " mostra di conoscere l'aspetto che accentua la gerarchizzazione prÒII!TOn-hysti!TOn degli elementi della serie dimensio­ nale costruita per giustapposizione; egli scrive, infatti: « Dio non ha parti perch� non esiste qualcosa prima di lui; infatti la parte e ciò di cui qualcosa � /allo esistono

531

ALCUNE CONNESSIONI

prim4 d i ciò d i cui rono parte; infatti fa ruperficie .rirt. prima tk l rolido e fa linea prima tklfa ruperficie [ . . . ) » (did. x 7, 165, 3 1 -34 Hermann, trad . lNVERNIZZI , corsi­ vo mio). Il rapporto pane-tutto è visto qui, in s�ifica relazione alla serie dimen­ sionale, esallamente come rapporto di pròtnon-hyrtnon. '64 Attraverso questi meccanismi specifici, come spero di aver chiarito, la

monade aritmetica assume valore metafisico: essa è di per sé un ente intelligibile, ma non metafisicamente rilevante. Di ciò pare non tenere conto lNVERNIZZI , ' Di·

diukalikor ', 1, p. 49, quando, presupponendo appunto che all'altezza storico di 11 Albino .. , la monade sia immediatamente « entità non più di valore geometrico, ma metafisica :., si trova a dover difendere una presunta, ma, come vedremo, a mio avviso inesistente, originalitl di " Albino " nel fermare la propria aphàimir al punto. "' Questo è, come vedremo, l'opinione di lNVERNIZZI , ' Didlnkalikor ', t, p. 48 ssg. , con le relotive note: cfr . , in ponicolore, la nota 27 o p. 186, dove lnver· nizzi critica coloro che identificano « troppo semplicisticomente il procedimento

kata aphaimin con lo sua applicazione alla geometrio, che è esempio sl molto dif­ fuso, ma non esaurisce in sé tu Ile le potenziali t l del procedimento ». , .. Cosl la pensa piullosto KIIAMER, Unprung, p. 106 ssg. , per il quale " Al­

bino " , temarizzando un procedimento di aphàimir al pròtor theòr, si pone nella trodizione della do11rina protoaccademica dei principi, in particolare lineo con l'identificazione senocratea di Dio con la Monade lesgibile a suo avviso nel cru· ciale frammento di Aezio (pfac. 1 7 , 30, p. 304 b Diels

=

fr. 1 5 Heinze, fr.

2 1 3 lsnordi). '" Cfr. R. Kt.EvE, Albinur on God and the One, « Symbolae Osloenseu, XLVU ( 1 972) pp. 66-9.

,., È lNVERNIZZI , ' Didarkalikor ',

1, pp. 49-50, con le relative note, a preten·

dere sia appunto significativo nel senso della non matematizzazione dell'aphàimir il fallo che " Albino " limiti l'esempio al rasgiungimento del punto geometrico. lnvernizzi ( ' Didiukalikor ', 1, nota 29, p. 187) rifiuta il suggerimento già di KRA· MER.,

Unprung, p. 1 08, che l'autore del Didiukalikòr usi il procedimento elemen·

tarizz.ant e in forma abbreviata, con l'argomentazione che gli pare e strane che l'abbreviazione colpisca non un elemento intermediario del procedimento, ma pro­ prio uno degli estremi, cioè la Monade». La cosa non è affollo strana: la monade (entità aritmetica e non immediatamente metafisica) è, da chi conosca il procedi­ mento, " comunque " presupposta al punto ed il procedimento stesso non può d'altronde essere abbreviato nelle sue tappe intermedie, ancora da chi effelliva· mente lo conosca, pena la perdita del suo tipico carallere seriale e gerarclùco. L'unica dottrinlill , grossomodo roevlill lill d " Albino " , nelllill quale d è a.ttestata una prirnarietà del punto, è quella riferita da SEXT. adv. math. x 282, in riferimento lill Pitagorici monisti, che generano tutto dal punto, per " scorrimento " di questo

(cfr. in proposito anche THEO SMYRN . .,q>or. n 3 1 , p. 1 3 6 , 5 Dupuis). Su tale do11rina rimando alle considerazioni già falle rupra, all a nota 294: questa pare comunque una do11rina troppo particolare per esser posta a base di un procedi-

532

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

mento teologico tanto diffwo e caratterizzat a dd resto da un materialismo ecces­

per " Albino " . ,.. Anche WHnTAXER, Neopytlxrgmeaisnr, p. 1 14, ri tiene che " Albino " pre­ senti il procedimento di risoluzione dei solidi nei loro stcxLpLXijç "tijç 7tcxpcì IIuOcxyopdoLç) e da quanto lo stesso Giamblico afferma in varie sedi del Commento a Nicoma­ co e, prima ancora, del De communi mathematica scientia'0: la tà­ xis in questione è ulteriormente suffragata - e dunque lo stesso

piano dell'opera appena proposto avrebbe ragion d'essere - dal fatto che proprio questa è la successione naturale (q.uau) dei ma­

thèmata

e

dei loro oggetti avanzata tanto da Nicomaco, quanto

544

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

da Teone, sulla scia delle successioni numeri-punti-linee-superfici­ solidi che abbiamo ritrovato, oltre che nei primi Accademici, in Plutarco, nel Poliistore ed in Sesto Empiricon. D progetto (e l'indice) completo della Sy1111goghè delle dottri­ ne pitagoriche sarebbe dunque, secondo Dalsgaard Larsen, il se­ guente: libro: libro: m libro: IV libro: v libro: VI libro: vu libro: vm libro: IX libro: x libro: l

u

lltpÌ 'tOil 7tU9CI"l'OPIXOii �(oli ; llpo-rpt1mXÒC lm q�IÀ�!«v; lltp! 'tijç xo Lvijç 11c&ru.Lcx'tLXijç l7M't'{u!.'l)ç; lltp! 'tijç N txa!.!.&XOII àpL9 1L'II'tLXiCi &!CJCl"((l)"(ijç; lltpì 'tijç lv q�LXJLXOL'ç àpL91L'I)'nX'iic l11:LaT{u.L'I)ç; lltpì 'tijç Lv Tj9txa'Lç àpL91L'I)'tLXiiç i'II:L�IL'I)ç; lltp! 'tijç lv 9toì.ortxa'Lç àc pL91L'I)'turi]ç lm�'I)C; lltpì �IL'"tp!cxç 'tijç 11:otpÒt ll118cxropdor.ç; lltpì 11ollaLXiic 'riic 'II:Cipòt ll118aropdor.ç; lltpì aq�e�LpLX7jC 'tijç 'II:CI(lÒt ll119e�ropdor.çJ2.

Un'opera cosl pianifica ta sembra difficilmente riducibile ad una semplice compilazione, anche per la già citata impronta mar­ catamente filosofica dei primi due libri e per la tecnica di fruizio­ ne delle fonti in essi adottata. È però la pianificazione nel suo complesso ad apparire filo­ soficamente motivata anche perché, dopo i due libri introduttivi, segue questa trattazione di una matematica detta XOLv/j o 3À'I) o, ancora, studiata xoLViii ç e che dovrebbe per ciò stesso implicare una precisa elaborazione filosofica. Ugualmente motivato teoreti­ camente sembra sia lo studio introduttivo all'aritmetica « nella fi. sica, ne li' etica e nella teologia»: che la pianificazione suddetta dell'opera e la successione degli argomenti non siano casuali o dettate da semplici motivazioni di ordine dossografico lo mostra­ no però la palese connessione con la tradizionale tàxis delle mate­ matiche e soprattutto la dichiarata intenzione dell'autore, all'inizio del libro m, di cominciare da ciò che è primo e che sta più in alto (àp�WJ.Lt9CI o! ÒC'II:Ò 'tOii 1tpW'tOII avw9tv àcvcxÀCI�6vrtç)H, La precisazio­ ne non vale forse soltanto per la sovraordinazione della hòle o

545

APPUNTI

koinè mathematikè agli idìa mathèmata, sulla quale Giamblico, an· ticipando Proclo, insisterà in seguitoH: il nostro sembra richia­ mare con ciò un'impostazione generalmente presupposta al suo lavoro, che Io spingerebbe a giustificare teoreticamente lo stesso ordine degli argomenti e dunque a non proporli in modo casuale, disor· dinato, o partendo dall'inessenziale: sarebbe quindi giusto, " per ragioni teoretiche ", anteporre la trattazione della koinè mathe­ matikè a quella dell'aritmetica (IV libro) e, trattata questa, è del pari " teoreticamente corretto " affrontare Io studio dell'aritmeti­ ca « nella fisica, nell'etica e nella teologia»; lo studio ordinato di tali argomenti, è Giamblico stesso a dirlo, rende infine a sua vol­ ta più chiara e più facile (cilt'ooit!iiv "Ì!LCipt�npcc [ ] xct! McmV la trattazione dell'introduzione alle altre scienze speciali,,. Dalsgaard Larsen, nella proposta ricostruttiva dell"' indice " dell a Synagoghè delle dottrine pitagoriche, non si spinge però a que­ sto tipo di riflessioni sul valore filosofico dell'indice stesso, ma sembra anzi esitare già nel proporlo: ciò perché Giamblico, pro· prio nel passo appena citato, il quale giustifica dunque la succes· sione fra gli argomenti dei libri vn ed vm e la trattazione precisa prima della geometria, poi della musica ed infine della sferica ne­ gli ultimi tre libri, cita una tàxis diversa dei mathèmata che seguo­ no l'aritmetica, non più dunque geometria, musica e sferica, ma musica, geometria e sferica (!LIJucnxijç ).t-yc.> xott -yu.JJUtpucijç xot! crq>aL· pucijçP6• A tale successione (che è poi quella dell'Introduzione Arit­ metica di Nicomaco) si dovrebbe perciò adeguare l'ordine degli argomenti degli ultimi tre libri, in contrasto con quanto lo stesso Giamblico afferma poco prima circa una trattazione dei numeri precisamente katà physikòn, ethikòn e theo/oghikòn, in contrasto inoltre con la proposta di titolazione degli ultimi tre libri avanza­ ta nel Codice N e con la generale adesione del nostro filosofo alla tàxis tradizionale dei mathèmata, che subordinava immediata­ mente la geometria all'aritmetica. Apparentemente per questo Dal­ sgaard Larsen propone con cautela l'indice sopra detto dell'opera e tenta di spiegare le affermazioni contraddittorie di Giamblico, notando come l'ordine delle matematiche non fosse affatto con· solidato nella tradizione pitagorica17• ..•

546

LE IDEE, l NUMERI, L'ORDINE

Si suffraga però l'alto grado di probabilità dell'indice della Synagoghè nella ricostruzione di Dalsgaard Larsen, approfonden­ do proprio il tema della tàxis giamblichea dei mathèmata: con ciò si prosegue d'altronde nella ricostruzione della storia (o della prei­ storia) del futuro quadrivium, iniziata con i riferimenti sopra fatti alle tàxeis di Plutarco, di Nicomaco e di Teone. Oltre a ciò si può forse approfondire un tratto teorico che, da un lato, come vedremo, sembra stare a cuore allo stesso Giamblico e rispetto al quale pare quindi sconcertante (con buona pace di Zeller) una sua patente contraddizione, e che, dall ' altro, è un tratto altret­ tanto importante per la nostra storia della mathesis univena/is e soprattutto per la mutuazione, in sede gnoseologica, dell'esem­ plarità formale e metodica della matematica. Il nostro neoplatonico accoglie dunque la tàxis " naturale " dei mathèmata, quella che, per tradizione ed in parallelo alla scan­ sione seriale dei mathematikà in numeri-punti-linee-superfici-solidi­ solidi in movimento, all'aritmetica subordina immediatamente la geometria e non la musicaJs. La contraddizione rilevabile nel pas­ so del Commento a Nicomaco, dove Giamblico prima propone appunto l'ordinamento tradizionale di geometria, musica ed astro­ nomia e poi, dopo due righe, al contrario, una successione di mu­ sica, geometria ed astronomia, questa contraddizione, è apprezzabile però anche nel De communi mathematica scientia la sede forse più correttamente e più efficacemente esplorabile per questi temi -, dove ricorrono del pari, accanto alla tàxis tra· dizionale, proposte dell'ordinamento differente (musica, geome­ tria, astronomia) . Nel capitolo vn del De communi mathematica scientia, per esempio, Giamblico, alla ricerca dello specifico ele­ mento scientifico (olxtrov lm>'6• La sostanza matematica, oggetto della scientia mathematica communis, oltre ai caratteri suddetti ha anche dei " principi ", che Giamblico descrive al capitolo m": «è del rutto chiaro, come so­ stengono i Pitagorici, che il Limite e l'Illimitato sono principi di rutte le scienze esatte e dell'intera sostanza matematica ('tÒ �- xcxì &mlpOY àpxcx! t!a� n:&vtwv 'twv J.UX!hJ�'twv) >>'8• Que..

554

LE IDE E , I NU ME RI , L'ORDINE

sti principi, che sono " comuni " all'intera sostanza matematica e ad essa, per le ragioni che tra poco vedremo, specificamente propri, si estendono a " tutti " i livelli del reale (alle diverse o u­ sìaz}, ma vanno soggetti ad una sostanziale differenziazione ai di­ versi piani (illà 'tWtc.lv bax'tipc.lv oùx l\101 ì.6yov où&'lm � oùaUxt; m ouh6v, [ . ]): al livello della sostanza intelligibile, spiega Giam­ blico, i principi sono infatti intelligibili, immateriali, xat9'lcwt« ed indivisi (e verosimilmente fonte di analoghi caratteri per le sostanze cui ineriscono), mentre al livello della sostanza matema­ tica sono causa di plèthos, di mèghethos, di diàiresis e di diàstasis ed all ' altezza della sostanza sensibile danno luogo addirittura alla materia ed al movimento. Qualcosa di fondamentalmente comu­ ne si estende però dalla sostanza intermedia, quella matematica, alla sostanza sensibile ed è appunto l'àoptcma lm mivteimtia come fonte per le dottrine protoaccademi­ che è ovviamente m primis quella già richiamata di MERUN, P/41. Neop/41. 2, pp. 96-140. 19 È da t al e problematica che il lavoro dello studioso dane.e trova il suo !SCOpo, cioè la ricostruzione delle intenzioni filosofiche sotto5tanti all e opere di Giamblico, e •pecificamente del modo nel quale La sua vocazione esegetica, t ip ica ­ mente neopl.atonica, •i traduce in una filosofia originale (cfr. DALSGAARD l.ARSEN, ]amb/ique, pp. 26-32). Siamo dunque con ciò agli antipodi della lettura zelleriana. 20 Per il De uita pythagori&a, •i vedano le edizioni di A. NAUCK, ùzmblichi

V. uita pylhagori&a liber, Petersburg 1884 (rist . anast. Amsterdam 1965), e di l. DEUBNER, lamblichi De uita pythagorica /ibt!T, Lipsiae 1937 (rist. anast. a c. di U. Kurn, Stuttgart 1975); esso è •tato tradotto inoltre in tedesco (M. VON Au!llECHT, ]amblichos. De uita pythagorica, Ziirich 1963) ed in italiano (L. MoN-

LE IDEE. I �l.:MERI . L'ORDINE

568

:z.c, per cui e anteriore quda i cui concetti sooo " presupposti " ai concetti di un'al­

tl'2 e

che, pur

implicando nell'eventuale disttuZlone del proprio apparato concet­

tuale la distruzione

dci coocct ti della scienza seconda, non e a sua volta implicata nella distruzione dci concett i di questa !dr. in proposito introd. tZnthm. A rv e v; W · 9, 5 - I I, 23 Hochcl: GWnblico ammet te, come vedremo, un criterio ordinato­ n: sostanzialmente onalogo . I n N icomaco infine la ��:�mlùz cormmma (� 11111r.>mCIYcpWY (tà CltOIXtia à..b tWY OUY· 9lt.,Y)

aritmetica musica lv "ttiç &pc9f.10iç o à..l.{j] geometria astronomia e musica

Pitagorici, di Speusippo, di Plutarc:o, di Giambli-

co in comm. math. se. tv)

IÒç rljV p4&tp.y (tpélroç � percorribile con la " sin­ tesi .. , ammesso da Nico­ maco e da Giamblico,

1ç &. 8wpct xcd -miiv di Aristotele, « RFIC », XI V ( 1 936) pp. 1 1 3-26 = PHILIPPSON, fl. I. Aristot. PlEPER M . , Was heisst akademisch? oder der Funktioniir und der Sophist, Miinchen 1952. PINES S., A new Fragment o/ Xenocrates and its Implications, « TAPS ,., LI ( 1 9 6 1 ) pp. 1 - 3 4 .

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WOI.FSON

•

•

•

•

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INDICE DEI LUOGHI

Acatkmicorum philosophorum Irule:t H1!1CUI4nmsis m 36-4 1 VI 28-vn 17 XXIV 2-6 XXIV 5 XXIV 28 xxv l xxv 4 sqq. xxv 36 xxvn l sqq. XXIX 39 xxx 5

p. 280 n. 169 p. 234 n. 1 8 p. 3 3 7 n. 63 p. 3 3 8 n. 69 p. 337 n. 63 p. 337 n. 63 p. 3 3 3 n . 22 p. 3 3 7 n. 63 p. 333 n. 23 p. 337 n. 63 p. 3 3 7 n. 63

AEnus P/4cita (ed. 1

Diels)

3, 23, p. 288 a 7, 30, p. 304 b

p.

201, 270

n.

1 19, 274

n.

p. 2 7 1 n. 12 1 130, 5 3 1 n. 366

WINUS SMYRNAEUS

Didasktzlilr:òs (ed. Hermann) l 2, 152, 7-9 m l, 153, 2 1 -22 1 5 3 , 22 153, 22-25 1 5 3 , 23 1 5 3 , 24 153, 24-m 4, 154, 4 153, 25 4, 154, 1-2 154, 3-4 5 , 154, 4-7 IV 5, 155, 1 5- 1 7 6

p.

p. 3 5 5 n. 3 3 n. 55 n. 34 n. 34 n. 34 p. 352 p. 488 n. 34 p. 490 n. 48 p. 489 n . 42 35, 489 n. 38 p. 529 n. 349 p. 497 n. 91

p. 358, 4 8 8 n . 34, p. p. p.

p.

489

n.

488 491 488 488 488

618

I N DICE D E I LUOGHI

6, 1 5 5 , 1 9-29 7, 1 5 5 , 35-37 1 56, 5-6

v l , 1 56, 20-28

2,

3, 4,

5,

6,

7, VI l, vu l , 2,

3, 4, 5,

1 56, 1 56, 156, 1 56, 1 56, 1 56, 1 56, 1 56, 1 56 , 1 56, 157, 157, 1 57 , 157. 157, 157. 157, 157, 157. 157, 157. 157, 157, 1 57, 157, 157, 157. 158, 161, 161, 161, 161, 161, 161, 161, 162, 162, 162, 1 62,

2 1 -22 22 23 24 25 25-26 26 28- 1 5 7 , 3 28-29 29 3-8 1 0- 1 3 1 1-12 13 13-18 1 8-23 1 9-20 20 23-32 32 sqq. 32-33 32-37 33-34 34 36 37 37-158, 3 3- 1 1 , 160, 34 7-8 9- 1 1 1 1- 1 5 1 8-20 24-3 1 25-28 36-162, l 3-6 8 sqq. 8-10 9- 1 0

p. 498

n.

p . 498

n.

p. 529

n.

97 97

349

pp. 3 5 7-8 p. 4 9 1

n.

55

p. 358 p . 358 p . 358 p. 358 p. 3 5 8 p. 358 p. 4 9 1

n.

p. 4 9 1

n.

p. p. p. 363; p. p. 374; p.

56 56 491 n . 5 6 49 1 n . 5 6 p . 360 492 n . 69 497 n . 90 p. 3 6 1 p. 363 p . 367 p. 367

p. 493

n.

p. 4 9 1

n.

70 51 p . 367; p . 494 n . 76 p. 367 p. 367 p. 494

n.

p. 494

n.

p. 374; p. p. p. p.

p. p. p. p. p. 374 ; p.

76 76 497 n . 90 4 9 1 n. 56 4 9 1 n . 56 490 n . 48 p. 3 5 5 p. 3 5 5 p p . 3 5 5 -6 490 n. 48 492 n. 67 490 n. 46 p. 356 496 n . 88 p. 356 497 n . 90

I N D I C E DEl

619

LUOGHI

1 62 , 10- 1 5 162, 1 7-20 IX

x

xu xxv xxvm

p . 356 p. 3 5 6

97 97 p. 382 p. 499 n . 99

l , 163, 1 1- 1 5 2 , 1 6 3 , 20-2 1 1 6 3 , 20-27 3, 163, 28-30 163, l, 164, 1 64, 3, 164, 4, 165, 5 , 165, 6, 1 6 5 , 165, 7, 165, 7, 165, 2, 167, 4, 178, 1-4, 182,

30-33 7 14 3 1 -32 4-5 14-18 24-30 30 3 1 -34 3 1 -8, 166, 13 12- 1 5 12 sqq. 7-9

p. 3 8 1 ; p. 499

n.

p. 499

n.

p. 3 8 1 p. 5 2 8 p. 528 p. 362 ; p. 4 1 3 ; p. 528

347 343 p. 468 n.

n.

n.

349

p. 462

p. 481

n.

p. 492

n.

p. 492

n.

pp. 5 30- l

n.

p. 529

n.

66 66

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p. 2 6 7

n. 1 1 5 ;

p. 266

n.

p. 266

n.

p. 266

n.

p. 266

n.

p. p. p. p. p. p.

1 17 106 1 14 1 14 1 14 1 14 2 12 213 212 213 213 214

620

INDICE DEI LUOGHI

97, 2 1-22 97, 23-26 98, 6-7 98, 10- 1 1 98, 14-16 98, 15-19 250, 1 7-20 736, 6-9

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D� P/atoni! et eius dogmt1.te (ed. Beaujeu) l

11

1-4, 180- 189 1-2, 183-184 2, 185 3 , 186 3 , 187 3 , 188 5, 190 5-6, 1 92- 1 9 3 7, 194 25 sqq.

p. 498 n. 96 p. 498 n. 96 p. 498 n. 96 p. 498 n . 96 p. 3 8 3 ; p. 498 n . 96 p. 498 n . 96 p. 499 n. 106 p. 3 8 3 p. 3 8 3 p. 4 8 1 n. 4

ARCHIMEDES

De mechanictl. theoria ad Eratosthenmt methodus (ed. Heiberg) vol. D 428, 23-4 30, l (p. 576 Frajese) 434, 14-438, 1 5 (pp. 576-9 Frajese)

p. 3 1 8 pp. 322-3

62 1

INDICE DEI LUOGHI

� rphana � cy/indro (ed. Heiberg)

vol.

1

2, 19-4, 2 (p. 70 Frajese)

p. 3 1 8 ;

p. 326

ARcHITAS TARENTINus (ed. Diels-Kranz) test. 14 fr. 4 fr. 16 fr. 19a

1 19 p. 127 p. 127 p. 127 p.

n.

n. n. n.

15 54 54 54

AluSTOTELES

Analytit:11 PostmorrJ A 2. 7 1 b 15-19 7 1 b 20-2 1 71 b 20 sqq. 7 1 b 26-28 72 a 7 sqq. 72 a 15 sqq. 72 a 16- 1 7 72 a 22 72 a 26-27 3. 72 b 26-27 5. 74 a 4 - 1 3 74 a 1 7-25 10. 76 a 3 1-77 a 4 76 a 38 sqq. 76 a 39-40 76 a 4 1 7 6 b 2-5 76 b 23-24 76 b 27-29 76 b 30-34 76 b 33-34 12. 78 a 9- 12 1 3 . 79 a 6 18. 8 1 b 4 B l. 92 b 37 1 3 . 97 a 6- 1 1

Analytit:11 PriorrJ B 12. 62 a 12- 1 3 16. 6 5

a

4-7

p. 125

38 p. 63 p. 4 1 n . 19 p. 125 n. 40 p. 493 n. 72 p. 64 p. 64 p. 126 n . 47 p. 65 p. 65 p. 1 1 6 n . 6 p. 66; p. 1 16 n . 6 p. 1 36 n. 90 p. 64 p. 125 n. 42 p. 64 p. 64 p. 1 36 n. 9 1 p. 1 36 n . 92 p. 1 3 6 n . 9 3 p. 64 p. 365 p. 1 3 1 n . 64 p. 1 3 1 n. 64 p. 493 n . 72 p. 1 68-9; p. 242 n . 4 3

p. p.

125 1 32

n.

n.

44

n.

70

622

INDICE DEI LUOGHI

Categoriae 4 a 20-22 4 b 22-25 6 a 27-36 14 a 35- 14 b 2

p. 73

p. 32 p. 1 3 1

n.

p. 133

n.

66 77

De bono (ed. Ross) p. 261

fr. 2 fr. 5

n.

106; p. 270 p . 267

n. n.

117 1 15

De caelo p. 490 n. 4 8

B 2. 284 b 6 De ideis (ed. Ross)

p. 266

fr. 4

n.

1 14

De partibus animalium 1

2. 642 b 4-644 642 b 7-8

a

p. 242 n. 42

11

p. 242

n.

41

p . 194; p . 24 1

n.

37

De philosophia (ed. Ross)

fr. 1 1 Metaphysica 5. 986 a 2 1 -26 986 a 22 986 a 2 3 sqq. 986 a 23-28 6. 987 b 1 1 - 12 987 b 14- 1 8 987 b 33-34 9 . 990 b 1 0 sqq. 990 b 1 7-22 991 a 1 4 - 1 8 992 a 20-2 1 B 2. 997 b 1 2- 1 3 3 . 998 a 22-29 998 b 30 sqq. r 2. 1 004 a 6- 1 0 3 . 1 0 0 5 b l sqq . Il 3. 1 0 1 4 a 26-27 8. 1017 b 17 1 1 . 1 0 1 8 b 3 7- 1 0 1 9 1 0 1 9 a 2-3

p . 268

A

p. 68; p. 1 4 2 n .

n.

1 16

p. 504 n . 1 56 p. 42 n . 2 5 p. 1 2 2 n . 2 6 p. 1 2 2 n . 2 6 1 2 4 ; p. 2 5 7 n . 9 6 p. 2 6 1 n . 106 p. 266

n.

p. 266

n.

1 14 1 14 p. 2 1 1 p . 264 n . 1 12 p. 1 3 1 n . 6 1 p. 133 n. 77 p . 2 7 4 n. 1 3 0 p. 1 30 n . 6 1

p . 4 8 9 n. 37 p. 1 3 3 n . 79 p. 5 14 n. 254

pp. 78-9; a

4

p. 5 1 4 n . 252; p. 5 1 4

n.

p. 42

254 23

n.

INDICE DEI LUOG H I

E

2.

H

3. l. 7. l.

K

!t.

7.

10.

M

p. 7 3 pp. 489-90 n . 4 2 p. 4 1 n . 8 ; p. 4 5 ; p. 125 n . 5 4 ; p. 1 3 0 n . 6 1 1 026 a 25-27 p. 1 7 1 ; p . 2 4 5 n . 5 0 ; p . 2 5 2 n . 7 8 1028 b 1 8 sqq. 1 028 b 1 8-24 pp. 1 7 1-2; p . 24 1 n. 3 4 ; p . 245 n . 50; p. 249 n . 66 p. 246 n . 54; p. 247 n . 54 1 028 b 2 1 -24 p. 274 n. 1 3 0 1 028 b 24 sqq. p. 1 8 B ; p. 1 8 9 ; p. 202; p. 2 5 5 n. 9 2 ; p. 2 5 6 1 028 b 24-26 n . 92 ; p. 27 3 n . 1 2 5 p. 269 n . 1 1 7 1 028 b 24-27 p . 5 12 n . 239 1044 a 3 sqq. p. 5 1 4 n . 254 1059 b 4 pp. 490 n . 42 1064 b l sqq . p. 1 8 B ; p. 2 3 8 n . 2 5 ; p. 240 n . 32; pp. 255-6 1069 a 33-35 n . 92; p. 256 n . 92 1 069 a 35 p. 258 n. 100 1 072 a 32-34 p. 149 1 072 b 30- 1 0 7 3 a 2 pp. 1 7 3 -4 , p. 272 n . 123 1 072 b 34 p. 174 p. 245 n . 5 3 ; p. 24B n . 56; p. 248 n . 62 1075 a 3 1 -37 1075 b 37 p. 1 64 pp. 1 75-6; p. 240 n. 32; p. 2 4 1 n. 3 4 ; 1075 b 37- 1076 a 4 p. 2 4 9 n. 6 6 p. 1 B 8 ; p. 240 n . 32; p. 255 n . 92; p. 2 5 6 1 076 a 19-2 1 n . 92; p. 259 n. 1 00 p. 23B n. 25 1076 a 32-36 p. 1 3 1 n. 6 1 1077 a 1 - 1 0 p . 72 1077 b l p. 5 0 8 n . 190 1 0 7 7 b l sqq. p. 72 1077 b 2-3 p. 50B n. 190 1077 b 2 5 sqq. p. 42 n . 23; p. 129 n . 61 1078 a 9- 1 4 p. 143 n . 1 3 1 1 0 7 8 b 10- 1 2 p . 2 4 1 n . 37 1080 a 1 5- 3 7 p. 2 5 9 n . 102; p. 263 n. 1 1 0 1080 a 1 7 - 3 7 p. 68; p. 24 1 n. 37 1080 a 17-30 p. 128 n . 56 1080 a 1 7-20 p. 299 1080 a 19-20 p. 3 34 n . 45 1 0BO a 20 sqq. p. 128 n . 56 l OBO a 20-23 p. 128 n . 56 1 080 a 2 3 - 3 0 p. 1 2 B n . 5 7 ; p. 24 1 n . 3 7 lOBO a 30-37

13. 1 020 l . 1 026

Z

l.

2.

3. 4. 6.

623

a

a

7- 1 0 1 8 sqq.

624

INDICE DEI LUOGHI

7.

8.

9.

N

l.

2.

1080 b 8-9 1080 b 11 sqq. 1080 b 1 1- 1 7 1080 b 15 1080 b 21 sq. 1080 b 22-30 1080 b 23-29 1080 b 24-30 1080 b 27-28 1080 b 28 sqq. 1081 a 5-6 1081 a 35-36 1082 a 1 - 1 5 1082 a 1 5 1083 a 1 3 - 1 5 1 0 8 3 a 20-35 1083 a 20 1083 a 20 sqq. 1083 a 20-35 1083 a 2 1-22 1083 a 22 1083 a 23-37 1083 b l 1083 b 1-8 1083 b 3 1084 b 4 sqq. 1084 b 14- 1 5 sqq. 1084 b 1 8-20 1084 b 24-32 1084 b 24-25 1085 a 5-10 1085 a 23-3 1 1085 a 3 1 -34 1085 b 5 - 1 3 1086 a 2 sqq. 1086 a 2-5 1086 a 4 1086 a 5-10 1087 b 4-8 1087 b 25-32 1088 b 28 sqq. 1090 a 3 sqq. 1090 a 3 - 1 5

p. 128 n . 56 p. 262 n . 1 10 p. 238 o . 2 5 p. 164 p. 190 p. 261 n . 107 p. 237 n. 24; p. 240 o. 31 p. 263 n. 1 12 p. 237 o. 24 p. 259 n . 100 p. 128 n. 56 p. 128 n. 56 P - 261 D. 106 p. 2 6 1 n . 1 06 p. 2 6 1 n . 1 06 p. 237 n . 24; p. 240 n. 32; p. 245 n. 51 p. 241 n . 38 p. 252 n. 78 p. 240 D. 32 p. 237 n. 24 p. 164 p. 246 n. 54 p. 262 n. 1 10 pp. 190-1 p. 188 p. 93; p. 1 3 8 n . 1 1 1 ; p. 240 n. 30 p. 94; p. 138 n . 1 12 p. 94; p. 149 p. 94 p. 198 p. 195 p. 239 n. 29 p. 177 p. 2 4 5 n. 5 2 ; p. 2 4 6 n . 53 p. 238 n. 24 p. 238 n . 25; p. 240 n. 3 1 ; p. 240 o. 32 p. 238 n. 24 p. 1 9 1 ; p. 262 n. 108 p. 245 n . 5 1 ; p. 245 n. 52; p. 246 n . 53 p. 246 D. 53 p. 272 n. 122 p. 238 n. 24 p. 238 n. 25; p. 2 4 0 o. 3 2

625

INDICE DEI LUOGHI

1090 a 8 1090 a 15 3 . 1090 Il 25-30 1090 a 26-27 1090 Il 35-b 5 1090 a 36-37 1090 b 3-4 1090 b 13-20

p. 238 n. 24 p. 238 n. 25 p. 238 n. 25; p. 240 n. 32 p. 238 n. 25 p. 238 n . 25 p. 238 n. 25 p. 238 n. 25 pp. 1 75-6; p. 240 n. 32; p. 249 n . 66; p. 249 n . 67 1090 b 21 sqq. p. 203; p. 256 n. 92; p. 272 n. 124 1090 b 2 1-22 p. 273 n. 128 1090 b 2 1-30 p. 264 n. 1 12 1091 a 12-30 p. 246 n. 53 4. 1091 a 30- 1091 b 2 p. 174; p. 248 n. 56 1091 11 35 p. 250 n. 70 1091 a 35-36 p. 174 1091 b 16-26 p. 1 74; p. 175; p. 245 n. 5 1 ; p. 248 n. 56; p. 248 n. 60 1091 b 30-34 p. 245 n. 53; p. 248 n . 56; p. 248 n. 6 1 5. 1092 a 9 sqq. p. 2 4 7 n. 5 4 ; p . 2 5 2 n . 7 8 1092 a 9-17 p. 175; p . 2 4 8 n . 5 6 1092 a 13-14 p. 1 7 4 1092 a 35- 1092 b 2 p. 245 n . 52; pp. 245-6 n. 53 p. 122 n. 26 1092 b 8 sqq. 1092 b 13-14 p. 122 n . 26

Physica r 6. 207 a

ProtrqJticus (cd. Ross) fr. 5

p. 5 1 3

n.

240

p. 514

n.

254

Sophistici Elenchi 16, 75

a

p. 493

24-26

Topica A 12. 105 a 13 sqq. z

n.

75

p. 4 9 1 n . 56 p. 514 n . 254

4. 141 b 27

AscLEPIUS In Aristotem Metaphysica Commentarla (ed. Hayduck) 377, 32 sqq. 379, 17 sqq.

p. 2 5 5

n.

p. 269

n.

117

90; p. 259

n.

100

626

INDICE DEI LUOGH I

ATHENAEUS

Deipnosophistae 59

n

D-F

(fr. 1 1 ,

n, pp.

p. 2 4 2

287-288 Kock)

n.

40

ArnENAGORAS p. 4 3 7

6, p. 6, 15 Schwarz

AUGUSTINUS

Contra Academicos m

37-4 1

p. 3 3 1

n.

15

CALCIDIUS

In Timaeum (ed. Waszink-Jensen) 295, 295, 295, 295, 297, 297,

p . 523 p . 523

5-6 6-7 16-19 23-24 7-30 1 , 20 55-60

n. n.

p. 523

n.

p. 523

n.

p . 450; p . 523

n.

p. 523

n.

313 313 313 313 313 313

CICERO

Brutus LXXXIX 306

p. 3 3 7

n.

XCI 3 1 5

p. 3 3 8

n.

332

p. 484

n.

65 69 15

p. 483

n.

13

xcvn

De finibus bonorum et malorum 34 IV 6 v l , 1-2

n

p . 286 p. 337

3 , 38 24 sqq.

n.

65; p. 338

n.

69; p. 484

n.

p. 484

n.

p. 483

n.

p. 333

n.

15 15 13

De natura deorum

m

5, 1 2 13, 34 3 1 , 76-78

p. 2 7 4

32 130 p. 294 n.

Lucullus (c Academica posteriora) l

3 , 12

p. 484

n.

15

627

INDICE DEl LUOGHI

7-8 1 3- 1 5 VI 16 18 vn 22 IX 27-29

p. 307 p. 338 n . 70

m

v

x Xl xn xm

p. 337 n. 63; pp. 308-9; p. 330 n. 12;

30 sgg. 33-36 37-39 42

XIV 43-44 59 60 XIX 6 1 xxvm 9 1 XXIX 92 93-95 xxx 96-97 XXXI 99 XXXVI 1 1 6 xvm

LXXIX-cvm LXxxvn-cvm

p. 338

n.

70

p. 337 n . 66 p. 309 p. 338 n . 73 p. 345 p. 3 3 8 n . 73 p. 3 3 8 n . 74 p. 333 n . 32 p. 3 3 8 n . 72 p. 289 p. 3 3 1 n . 15 p. 338

n.

69

p . 296

p. 298 p. 334

n.

35

p. 296 p. 297;

p. p. p. p.

336 334 331 331

n. n. n. n.

58 41 13 13

Tusculanae disputationes v

8, 2 1 37, 107-108

p . 484 n . 1 5 p. 3 3 7

n. 65

Timaeus p. 5 0 9 n. 20 1

Va1TO (

=

Academica priora)

IV 1 3 15-18 V·XI 1 8-42 xn 46

p. 3 3 7

n.

p. 3 3 8

n.

p. 483

n.

p. 3 3 3

n.

66 70 10 25

CLEMENS Al.EXANDRINUS

Stromata (ed. Stahlin) 5 , 1 1 , PG 9 , ecU. 108 sqq.

p. 528

n. 346

DAMASCIUS

Dubitationes et solutiones de primis principiis 43 (I p. 86, 3 - 1 0 RueUe)

p. 549

628

INDICE DEI LUOGfll

DIODORUS SICULUS

Bibliotheca l v x xv

348 37 2, 2 76, 4

p. 338 p. 338

n. n.

80; p. 340 80; p. 340

p. 509 p. 509

90 90 199 199

n. n.

n. n.

0IOGENES UERTIUS

Villze philosophorum (ed. Long) 24 37 46 108 109 IV 1-5 2 6-15 10 12-14

m

p. 492 n. 62 p. 223; p. 279 n. 163; p. 280 n. 169 p. 280 n . 169 p. 268 n. 1 1 5 p. 2 68 n . 1 1 5 p . 2 3 4 n. 1 8 p . 157; p . 2 3 5 n . 2 0 p . 2 5 3 n . 82 p. 255 n . 87 p. 255 n. 86 p. 286 p. 329 n. 7 p. 330 n. 8 p. 330 n. 9 p. 333 n . 2 3 p. 333 n. 23 p . 294; p . 3 3 3 n . 26; p . 3 3 3 n. 2 8 p. 337 n . 63 p. 508 n . 192; p. 530 n . 362 p. 443 p. 509 n . 199 p. 275 n. 1 3 1 p. 2 7 5 n . 1 3 5

18 28-45 29 30 60 61 62

67 vm

24 sqq . 24-33

46 86 88

ENOPIDES Cmus (ed. Diels-Kranz)

test. 1 3 . 2 test. 14

p. 1 1 9 p. 1 19

n. n.

15 15

EucuoES Au:xt.NDRINUS E/emenllz geometriae (ed. Heiberg) 1

Definizioni,

1

(l 2, l)

p. 126 n: ·47

629

INDICE DEI LUOGHI

p. 137 n . 99 p. 137 n . 99 (I 4 , 1�·19) p. 137 n . 99 (I 8, 3-�l (i 10, 4-�) p. 125 n . 45 p. 1 1 9 n . 1 5 (i 34, l sqq.) p. 1 19 n . 15 ( i � 4 . 2 0 sqq.) (I 68, 13· 70, 18) p. 134 n. 82 p. 55; p. 134 n . 82 (I 76, 14 sqq.) pp. 278-9 n . 157 (u 2, 8-9) p. 278 n. 156 v (u 2, 10-16) p. 126 n . 5 1 prop. 16 (u 46, 2 sqq.) p. 137 n . 108 vu IX/inizioni, 1 (u 184, 2-3) u (u 184, 4-�l p. 165; pp. 137-8 n . 108 p. 278 n. 157 (IV 140, 21 sqq.) xu prop. 2 Ad libr. XIII propp. 1·5 (Iv 364, 17-366, 2) p. 25; p. 61; p. 497 n. 94 x (I 2, 16-4, 3)

xvn xxm Nozioni comuni, m prop. 12 prop. 2 3 prop. 28 prop. 32 IV v Definizioni,

EunEMus RHomus

Frrzgpzenta (cd. Wehrli) fr. 126 fr. 138 fr. 140

p. 1 2 1 p. 1 19 p. 1 19

n. n.

n.

22 15 15

Euooxus Cmmus

Frrzgpzenta (cd. Lasserre) T 1-30 T4 T 6a T7 T 32 T 33 F 127 F 342 D l p. 2 1 1 ; p. 2 1 2 ; p. 2 14; p. 2 1 5 ; p. 277 D2 D 3 D 4 D6 D8 D9 D 22 D 37 D 38

n.

p. 2 7 5 n . p . 276 n . p. 275 n . p. 275 n . p . 275 n . p. 275 n . p. 277 n . p. 276 n . 146; p. 277 n. p. p. 277 n . p. 277 n. p. 277 n . p. 2 7 5 n . p. 2 7 5 n . p. pp. 278-9 n. p. 278 n.

131 137 1 32 131 132 132 143 137 150 219 143 1 43 143 132 1 32 209 157 1 56

630

INDICE DEl LUOGHI

EusEBIUS

Praeparatio evangelica (ed . D indorO Xl

9, 17, 18, 18,

8·10, 5 1 1 - 1 8, 5 6-10 13-14

18, 15-19 1 8 , 20-2 1 1 8 , 22-23 2 1 , 7 sqq. 2 1 , 7-22, 2 22, 3 - 5 22, 6-8 22, 9 - 1 0 X I V 5 , 1 0 - 6 , 14 6, 4 sqq. 9,4 18,3 xv 1 7 , 1-2 17, 3 1 7 , 3-8

p. 523

n.

p . 4 5 1 ; pp. 454; p . 4 5 5 ; p . 525

n.

Fragmenta philosophorum graecorum (ed. l p.

464 48

n.

p. 524

n.

p. 525

n.

p. 524

n.

p . 5 12

n.

p . 5 12

n.

329 323 pp. 452-3 ; p. 524 n . 320; p . 525 n . 325 p. 459 p. 450; p. 524 n . 3 1 5 ; p . 525 n . 3 3 0 p. 452; p. 5 2 4 n . 3 2 3 p. 452; p. 4 5 4 p. 452; p . 525 n. 3 2 5 p. 33 1 n . 1 5 p. 3 3 1 n . 1 5 p. 3 3 8 n . 6 9 p. 3 3 1 n . 1 8

Fragmenta Academicorum (ed. Lasserre) p. 47-66 (Theaetetus) p. 8 2 (Leo D 1b) p. 1 1 7 (Meneachmus T l) pp. 1 1 7-24 (Menaechmus) pp. 15 1-2 (Amphinomus) pp. 1 5 9-88 (Philippus Opuntius) p. 163 (Philippus Opuntius F 14b)

n p.

p. 452; p . 525

314 326 329 319

36 18 p. 125 n . 3 5 p. 1 3 7 n. 100

p. 125

n.

p. 1 2 0

n.

p. 1 3 7

n.

p. 280

n.

p. 279

n.

100 1 69 163

Mullach)

p. 5 1 8 n . 2 7 5 3 1 1 ; p. 527 n . 3 3 8 ; p. 5 3 5 400; p. 5 3 5 n . 4 0 6 ; p . 5 3 6 n . 4 1 1

p. 5 2 2 n.

237 237 p. 45 1

n.

GALENUS

De libris propriis (ed. Miiller) n

97, 6 sqq.

p . 486 n . 2 3

HERMODORUS

Fragmenta (ed . Isnardi Parente) fr. 7

p . 2 6 7 n. 1 1 5

63 1

INDICE DEI LUOGHI

HIEROCLES

In Aureum Pythagoreum Carmen 47 (!, p. 464 Mullach)

p.

438

HIPPASUS METAPONTINUS (ed. Diels-Kranz) test. 2 test. 4

p.

123

n.

p. 123 n . 30 30; p. 124 n . 30

HIPPOCRATES CHIUS (ed. Dicls-Kranz) test. l

p. 1 1 9

n.

15

HIPPOLYTIJS

Reyutatio omnium haeresium (ed. Diels-Kranz) 4 , 51 PG 16, col. 3 1 19 6, 23 PG 16, col. 3227

p. 530 p. 530

n. n.

362 362

IAMBUCHUS CHALCIDIENSts

De communi mathematica scientia (ed. Festa) 9, 5-6 10, 5-6 10, 6-19 10, 1 3 1 0 , 19-24 1 1 , 8-9 1 1 , 9-12 11, 11 D 1 1 , 25-26 12, l sqq. m 12, 18-19 12, 22-25 1 3 , 1 - 1 4 , 17 14-18 IV 14, 23- 1 5 , 5 1 5 , 5-16, 1 4 15, 6 sqq. 15, 16 16, 11 16, 12 l

p.

p. p. 557; p.

p.

p.

p.

p. 2 3 7

p. n. 23; p. p. p.

p. 552 p. 544 p. 553 571 n . 73 p. 553 572 n . 79 571 n . 65 p. 559 p. 562 5 7 1 n . 63 570 n. 5 7 p. 553 p. 554 570 n . 60 p. 548 568 n . 42 248 n . 63 567 n. 30 p. 175 250 n . 70

632

-

INDICE DEI LUOGHI

16, 16, 17, 17, 18, 18, v 19, 19, 19, vn 28, 28, vm 3 5 , x 39, 45, xn 45, 46, 46, 46, 46, 46, 47, 47, xv 54, 55, xvn 58, 58, 58, 58, 59, 59, 60, xx 65, 65, xxv 77, 77,

D e vita

1 5 - 1 7 , 29 25-27 12- 1 3 23-24 1-12 3 sqq. 2 sqq. 18 sqq. 19-20, l sqq. 23-3 1 , 4 24-29, l 7-26 23-25 25-26 26-46, l 3-6 6- 13 13-14 17-18 24-25 1-3 22-27 25-55, 2 8-22 10-12 14-21 15-16 22-25 1-20 6-9 3-5 1 1 -20 1 6- 1 7 1 7-23 2 1 -23

p. 123

n.

27; p. 123

n.

568 n. 42 567 n. 30 569 n. 43 567 n. 30 568 n . 42 237 n . 23 p. 556 p. 567 n. 34 p. 556 p. 567 n. 39 p. 567 n. 39 p. 553 pp. 5 59-60 p. 5 7 1 n . 73 p. 557 p. 571 n. 67 p. 572 n. 76 p. 558 p. 5 7 1 n. 70 p. 5 7 1 n. 7 1 p. 5 7 1 n. 72 p. 571 n . 72 p. 562 p. 570 n. 56 p. 552 p. 549 p. 567 n. 30 p. 549 p. 570 n. 48 p. 5 5 1 p . 5 6 8 n . 41 p. 558 p. 561 27; p. 123 n . 30 p. 124 n. 30

pythagorica (ed. Deubner)

88 146 XXIV 246 247 xxv 25 1 xvm

p. p. p. p. p. p.

p.

123

n.

p.

30; p. 124 n . 30 437; p. 517 n . 272 p. 123 n. 30 p. 123 n . 30 p. 509 n. 199

633

INDICE DEl LUOGHI

In Nico1'1U1Chi Introduction= arithm�ticam (ed. Pistelli) 10 100, 19 sqq. � "� �n�

p. 438; p. 5 14 n. 258; p. 5 1 8 n. 274 p. 567 n. 30 � ro

� �

Pro�ticw (ed. Pistelli) 18 21 22

p. 436 p. 436 p. 516 n. 264

Th«Jlogoumma Arithmetic� (ed. De Falco) 1, 5-7 3 , 1 sqq. 21 55, 9 82, 10-85, 23 84, 7 sqq.

p. 526 n. 337 p. 458; p. 524 n. 3 1 9 p . 5 1 8 n. 274 p. 528 n. 343 p. 237 n. 23; p. 244 n. 49; p. 246 n. 54 p. 530 n. 362

LAUREmrus LYDus

De mensibus (ed. Wiinsch) IV 53; 109, 25- 1 10, 4

p. 526 n. 3 3 7

MAxlMus TYRJus

Dismtationes (ed. Diibner) XVD

1 1 , p. 69

p. 4 5 9

NICOMACHUS GERASENUS

Intro®ctio arithmetica (ed. Hoche) l, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6,

7-8 8-9 9-10 13-2 1 6-8 9-20 9-9, 4 2 1 -5, 12 13-6, 7 8- 1 1 12-9, 4

p. 422 p. 422 p. 422; p. 5 12 n. 236 p. 423 p. 5 1 2 n. 237 p. 5 12 n. 237 p. 56 7 n. 39; p. 568 n. 40 p. 5 1 2 n. 240 p. 5 1 3 n. 241 p. 426 p. 5 1 3 n. 244

634

INDICE DEI LUOGH I

9, 5-9 9, 5 - 1 1 , 23 9, 1 0- 1 5 9 , 1 8-24 9, 24- 10, 4 1 0 , 9-22 10, 1 1 sqq. 10, 22- 1 1 , 6 1 1 , 1 0- 1 8 1 1 , 19-23 1 1 , 22 12, 3 - 1 1 1 2 , 9- 10 1 2 , 1 2 sqq. 12, 1 3 - 1 5 1 3 , 7-8

p. 5 1 3

n.

250;

14, 1 3-44, 7 1 4 , 1 3- 1 9 14, 18-19

p. 4 7 7 ;

15, 9 16, 6- 1 0 2 0 , 9- 1 9 2 0 , 2 1 -22 23, 7- 1 4

p. 535 n . 404;

23, 14-25, 1 8 2 7 , 9- 1 1

p. 5 1 9 n . 278;

29, 1 7 sqq . 38, 5-20 49, 19-50, 5 52, 2 1 - 5 3 , 9

p. 5 3 5 n . 402

p. 5 3 5

65, 1 7-2 1 74, 5-8 76, 4-20 82, 1 0- 1 1 9 , 19 8 3 , 3 sqq. 83, 16- 1 9 8 5 , 3 sqq . 85, 2 1 -25

n.

402

p. 478

80, 23-8 1 , 14

84, 2 5 - 8 5 , 3

p. 4 2 7 p. 568 n . 3 9 p. 4 3 1 p. 429 p. 429 p. 5 1 3 n. 247 p. 5 19 n . 2 8 1 p. 5 1 3 n . 2 4 8 p. 5 1 3 n . 249 p. 430 p. 536 n. 4 1 5 p . 432 p. 515 n . 259 p. 515 n . 259 p. 515 n . 259 p. 535 n . 400 p. 5 3 4 n . 390 p. 534 n . 3 9 1 p. 5 3 4 n . 3 9 1 p. 536 n . 4 1 1 p . 5 3 5 n . 404 p. 536 n . 407 p. 5 3 5 n . 402 p. 536 n . 407 p. 5 3 6 n . 407 p. 536 n. 4 1 0 p . 5 3 4 n . 395 p. 5 3 5 n . 402 p. 5 3 5 n . 402

p.

p. 5 3 5 n . 402 p. 535 n . 402 p. 534 n . 392 p. 534 n . 393 p. 5 3 4 n . 393 478; p. 536 n. 4 1 1 p . 530 n . 362 p. 568 n. 40

635

INDICE DEI LUOGHI

NUMENIUS

Fragpmt/4 (ed. Des Places) fr. 2 fr. 3 fr. 4a fr. 5 fr. 6 fr. 8 fr. 9 fr. 1 0 fr. 1 1 fr. 12 fr. 13 fr. 1 4 fr. 1 5 fr. 1 6 fr. 1 7 fr. 1 9 fr. 2 0 fr. 2 1 fr. 22 fr. 2 4 · frr. 24-28 fr. 52 fr. 5 6

p. 4 5 0 ; p. 4 5 9 ; p. 523 n. 3 1 5 ; p. 525 n. 3 �O p. 4 5 6 ; p. 5 12 n. 2 3 7 ; p. 523 n. 3 1 4 p. 4 5 1 ; p. 5 1 2 n. 2 \ ì p. 4 5 6 ; p. 5 2 3 n. 3 1 4 p. 4 5 6 ; p. 523 n. 3 1 4 p. 4 5 6 ; p. 5 2 3 n. 3 1 2 ; p. 5 2 3 n. 3 1 4 p. 5 2 3 n. 3 1 2 p . 5 2 3 n. 3 1 2 p. 4 5 1 ; p . 4 5 3 ; p. 4 5 5 ; p. 5 2 5 n . 326 p. 4 5 2 ; p. 5 2 5 n . 329 p. 524 n .

319

p. 525 n. 3 2 9 p. 5 2 4 n . 3 2 3 ; p . 5 2 6 n . 3 H p . 4 5 2 ; p. 524 n . 3 2 0 ; p. 524 n . 3 2 3 ; p. 525 n .

32 3

p p . 452-3; p. 5 2 4 n . 320; p. n 5 n . 3 2 5 p . 4 5 2 ; p. 4 5 4 ; p. 5 2 4 n . 320; p. 5 2 5 n . 3 2 5 p. 4 5 2 ; p. 524 n .

320

p . 4 5 4 ; p . 524 n . 320 p. 4 5 4 ; pp. 524-5 n . 3 2 3 p. 508 n .

\ 04 l