Kinematik und Kinetik [13., vollständig überarb. Aufl. Reprint 2014] 9783486813029, 9783486272949

Table of contents :
Vorwort
Verwendete Bezeichnungen
1 Einführung
1.1 Begriffsbestimmung
1.2 Abriß der Geschichte der Mechanik
1.3 Einiges zur Lösung von Aufgaben
Teil A. KINEMATIK
2 Die geradlinige Bewegung des Punktes
2.1 Einführung
2.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung
2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung
2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung
2.6 Zusammenfassung
3 Die krummlinige Bewegung des Punktes
3.1 Einführung
3.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kartesischen Koordinatensystem
3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten
3.4 Die tangentiale und die normale Beschleunigung; natürliches Koordinatensystem
3.5 Zusammenfassung
4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene
4.1 Einführung
4.2 Die Schiebung (Translation)
4.3 Die Drehung (Rotation)
4.4 Der allgemeine Bewegungszustand
4.5 Die Relativbewegung
4.6 Zusammenfassung
Teil B. KINETIK
5 Das Dynamische Grundgesetz
5.1 Die NEWTONschen Gesetze
5.2 Das d’ALEMBERTsche Prinzip
5.3 Der Energiesatz
6 Impuls und Drall
6.1 Einführung
6.2 Der Impuls des Massenpunktes
6.3 Der Impuls des kontinuierlichen Massenstromes
6.4 Der Impuls des starren Körpers
6.5 Zusammenfassung
7 Das Prinzip von d’ALEMBERT
7.1 Einführung
7.2 Der Massenpunkt
7.3 Der starre Körper
7.4 Zusammenfassung
8 Die Energie
8.1 Einführung
8.2 Die Definition von Arbeit und Leistung
8.3 Der Energiesatz
8.4 Der Massenpunkt
8.5 Der kontinuierliche Massenstrom
8.6 Der starre Körper
8.7 Zusammenfassung
9 Mechanische Schwingungen
9.1 Einführung
9.2 Grundlagen der technischen Schwingungslehre
9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen
9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung
9.5 Die erzwungene Schwingung
9.6 Erfassung von Schwingungsparametern
9.7 Die biegekritische Drehzahl
9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte
9.9 Schwingungsisolierung
9.10 Zusammenfassung
Anhang
Literatur
Sachwortverzeichnis

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Oldenbourg Lehrbücher für Ingenieure Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Helmut Geupel

Das Gesamtwerk

Assmann, Technische Mechanik umfaßt folgende Bände: Band 1: Statik (ind. Aufgaben) Band 2: Festigkeitslehre Band 3: Kinematik und Kinetik Aufgaben zur Festigkeitslehre Aufgaben zur Kinematik und Kinetik

Technische Mechanik Band 3: Kinematik und Kinetik von Bruno Assmann Fachhochschule Frankfurt/Main und Peter Selke Technische Fachhochschule Wildau 13., vollständig überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2004 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Dr. Silke Bromm Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27294-2

Inhalt Vorwort

9

Verwendete Bezeichnungen

11

1

Einführung

15

1.1 1.2 1.3

Begriffsbestimmung Abriß der Geschichte der Mechanik Einiges zur Lösung von Aufgaben

15 16 21

Teil A. KINEMATIK 2

Die geradlinige Bewegung des Punktes

25

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6

Einführung Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung Analytische Verfahren Graphische Verfahren Zusammenfassung

25 25 30 36 50 50 64 69

3

Die krummlinige Bewegung des Punktes

71

3.1 3.2

71

3.5

Einführung Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kartesischen Koordinatensystem Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten Die tangentiale und die normale Beschleunigung; natürliches Koordinatensystem Zusammenfassung

79 92

4

Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

95

4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2

Einführung Die Schiebung (Translation) Die Drehung (Rotation) Der allgemeine Bewegungszustand Die Bestimmung der Geschwindigkeiten Der momentane Drehpol

3.3 3.4

71 74

95 96 96 108 108 115

6 4.4.3 4.5 4.6

Inhalt Die Bestimmung der Beschleunigungen Die Relativbewegung Zusammenfassung

120 127 142

Teil B. KINETIK 5

Das Dynamische Grundgesetz

145

5.1 5.2 5.3

Die NEWTONschen Gesetze Das d'ALEMBERTsche Prinzip Der Energiesatz

145 150 151

6

Impuls und Drall

153

6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1

153 154 154 165 173 184 193

6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.5

Einführung Der Impuls des Massenpunktes Der Impulssatz Der Satz von der Erhaltung des Impulses Der zentrische Stoß Der Impuls des kontinuierlichen Massenstromes Der Impuls des starren Körpers Das Massenträgheitsmoment; das Zentrifugalmoment; der STEINERsche Satz Der Schwerpunktsatz; die Schiebung Die Drehung um die Hauptachsen; der Drallsatz Die Drehung um Achsen, die parallel zu den Hauptachsen liegen Der Satz von der Erhaltung des Dralls Die allgemeine ebene Bewegung Der exzentrische Stoß (Drehstoß) Der Kreisel Zusammenfassung

220 225 228 235 246 254

7

Das Prinzip von d'ALEMBERT

259

7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3

Einführung Der Massenpunkt Die geradlinige Bewegung Die krummlinige Bewegung Die CORIOLISkraft Der starre Körper Die Schiebung...' Die Drehung um Hauptachsen Die Drehung um Achsen, die parallel zu den Hauptachsen liegen Die allgemeine ebene Bewegung Die Drehung um eine beliebige Achse

259 260 260 264 272 274 274 278

6.4.2 6.4.3 6.4.4

7.3.4 7.3.5

193 209 210

284 296 306

Inhalt

7

7.4

Zusammenfassung

316

8

Die Energie

319

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.6.1 8.6.2 8.6.3 8.7

Einführung Die Definition von Arbeit und Leistung Der Energiesatz Der Massenpunkt Der kontinuierliche Massenstrom Der starre Körper Die Schiebung Die Drehung um ortsfeste Achsen Die allgemeine ebene Bewegung Zusammenfassung

319 319 326 329 337 340 340 340 344 353

9

Mechanische Schwingungen

357

9.1 9.2 9.3 9.3.1

Einführung Grundlagen der technischen Schwingungslehre Freie ungedämpfte Schwingungen Die Grundgleichung der harmonischen Schwingung des Massenpunktes Die Bestimmung der Federkonstante; Ersatzfeder Pendelschwingungen Die Drehschwingung des starren Körpers Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung Die erzwungene Schwingung Problembeschreibung Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung Übertragung der Lösung auf wichtige Anwendungsfälle .. Erfassung von Schwingungsparametern Die biegekritische Drehzahl Das Einmassensystem Das Mehrmassensystem Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte Allgemeine Problemstellung Das Auswuchten Massenkräfte am Kurbeltrieb Schwingungsisolierung Zusammenfassung

357 358 359

9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.4 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.6 9.7 9.7.1 9.7.2 9.8 9.8.1 9.8.2 9.8.3 9.9 9.10

359 369 377 384 399 410 410 411 419 435 439 439 446 450 450 450 453 457 466

Anhang

471

Literatur

475

Sachwortverzeichnis

479

Vorwort In diesem dritten Band der Technischen Mechanik werden die Gebiete Kinematik und Kinetik dargestellt. Die Kinematik ist die Lehre von der Bewegung, die Kinetik die Lehre von den bei der Bewegung wirkenden Kräften. Der Umfang dieses Gebiets bringt es mit sich, daß man es in vielfältiger Weise gliedern kann. Eine zu starke Aufsplitterung des Stoffs erschwert die Übersicht und das Erkennen von Zusammenhängen. Deshalb ist es sinnvoll, die Kinematik und die Kinetik jeweils geschlossen darzustellen (Teil Α und Β des Buches). In der Kinematik werden, ohne nach den verursachenden Kräften zu fragen, die geradlinige und krummlinige Bewegung des Punktes sowie die Schiebung (Translation), Drehung (Rotation) und allgemeine Bewegung des starren Körpers in der Ebene behandelt. Das Ziel dabei ist, Bewegungszustände (Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in Gleichungen zu erfassen und, wo es sinnvoll ist, graphisch darzustellen. Besonders wichtig für das Verständnis der später behandelten Kraftwirkung ist die Erkenntnis, daß die allgemeine Bewegung aus den Elementen „Schiebung" und „Drehung" zusammengesetzt werden kann. Die Berechnung der an einer bewegten Masse wirkenden Kräfte erfordert die Kenntnis einer Gleichung, die die physikalische Größe „Kraft" mit einer physikalischen Größe der Kinematik verbindet. Diese Verbindung ist das Dynamische Grundgesetz von NEWTON, das vereinfacht „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung" lautet. Deshalb ist es an den Anfang des Teils Β gestellt. Die drei Umwandlungen des Dynamischen Grundgesetzes sind der Impulssatz, das d'ALEMBERTsche Prinzip und der Energiesatz, die hier jeweils auf Massenpunkt, kontinuierlichen Massenstrom und den starren Körper angewendet werden. In der Mechanik gibt es drei Erhaltungssätze, den Impulserhaltungssatz, den Drallerhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz. Die beiden ersten folgen aus dem Impulssatz, der deshalb ein besonderes Gewicht hat. Einige Probleme (z.B. der Stoß) sind nur mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes lösbar. Eine besondere Rolle spielt der Impulssatz in der Mechanik des kontinuierlichen Massenstromes (Strömungslehre). Aus den genannten Gründen wurde er an die erste Stelle gesetzt. Die oben diskutierte Gliederung des umfangreichen und durchaus unübersichtlichen Stoffes soll verdeutlichen, daß es für die Lösung einer Aufgabe aus der Kinetik nicht „die richtige Formel" gibt, sondern daß grundsätzlich die Lösung mit dem Impulssatz, dem d'ALEMBERTschen Prinzip und dem Energiesatz möglich ist. Das wird an Beispielen demonstriert, die nach den drei Verfahren durchgearbeitet werden.

10

Vorwort

Das letzte Kapitel des Buches befaßt sich mit den mechanischen Schwingungen. Der Co-Autor hat es neu konzipiert und deutlich erweitert. Hinzugekommen sind u.a. die Themen Erfassung von Schwingungsparametern und aktive und passive Schwingungsisolierung. Um dieses wichtige Gebiet ausführlich darstellen zu können, ist eine Beschränkung auf das Einmassensystem notwendig. Im Zusammenhang mit der kritischen Drehzahl wird darüber hinaus die Grundschwingung einer mit mehreren Massen bestückten Welle behandelt. So ist es möglich, die Wellenmasse bei der Berechnung der kritischen Drehzahl zu berücksichtigen. Das Buch ist als Lehrbuch vornehmlich für die Fachhochschulen konzipiert. Die ausführlich vorgerechneten Beispiele sollen an Modellen Prinzipien und Zusammenhänge erklären, Fragen aufwerfen und sie beantworten. Die Beispielauswahl soll aber auch schon den Praxisbezug herstellen und Anwendungen vor allem im Maschinenwesen zeigen. Insofern soll sich diese Darstellung von einer in einem Physikbuch unterscheiden. Erst das selbständige Lösen von Aufgaben ermöglicht eine Kontrolle, inwieweit der Stoff verstanden wurde. Deshalb haben wir eine auf dieses Buch zugeschnittene Aufgabensammlung zusammengestellt. Die vorliegende 13. Auflage ist insgesamt überarbeitet worden. Die Kapitel sind nunmehr durch eine Einführung in die nachfolgend behandelte Thematik erweitert. Beispiele wurden ausgetauscht und Texte z.T. neu verfaßt. Solche Arbeiten geschehen immer in der Hoffnung, die Qualität des Buches zu verbessern. Dem Verlag danken wir für das verständnisvolle Eingehen auf alle unsere Wünsche. Deren Zahl steigt mit dem Umfang der Bearbeitung, für den die Zunahme der Seitenzahl um fast 50 steht. Frankfurt am Main / Berlin

Bruno Assmann Peter Selke

Verwendete Bezeichnungen (Auswahl)

A A a b c D d Ε Ε e F f G g H, h I i i J k L, l Μ m η Ρ Ρ R,r S s Τ t u V υ W Ζ a α, β, γ... δ η

Amplitude Fläche Beschleunigung Dämpfungskoeffizient Federkonstante Drall Durchmesser Elastizitätsmodul Energie Exzentrizität Kraft Frequenz Gleitmodul Fallbeschleunigung Höhen, allgemein Flächenträgheitsmoment Trägheitsradius Übersetzungsverhältnis Massenträgheitsmoment Stoßzahl Längen, allgemein Moment Masse Drehzahl Leistung Druck Radien, allgemein Seilkraft, Stabkraft Ortskoordinate Schwingungsdauer Zeit Unwucht Vergrößerungsfunktion Geschwindigkeit Arbeit Zentrifugalkraft Winkelbeschleunigung Winkel, allgemein Abklingkonstante Abstimmungsverhältnis

12

η ϋ Λ

λ

μ

ρ φ φ ω

Verwendete Bezeichnungen Wirkungsgrad Dämpfungsgrad Logarithmisches Dekrement Schubstangenverhältnis Reibungszahl Dichte Phasenverschiebungswinkel Winkel bei Verdrehung Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz

Indizes Ο Α Α, Β, D Cor D d e ers ext F F f G Κ k m max min η pot R R red rel S S St stat Τ Τ t

Ruhezustand Ausgleichsmasse verschiedene Massen, Punkte usw. CORIOLIS Dämpfer gedämpft erregt Ersatz extrem Feder Krafteinleitungsstelle Führung Gewicht kritisch kinetisch Mittelwert maximal minimal Normalrichtung potentiell Reibung Resonanz radial Rückstellkraft/moment reduziert relativ Schwerpunkt Seil Stoß statisch Torsion Trägheit Tangentialrichtung

Verwendete Bezeichnungen ν x, y, ζ Ζ ξ, η φ

vertikal bezogen auf die so bezeichneten Achsen zentrifugal bezogen auf die so bezeichneten Achsen Umfangsrichtung

13

1 Einführung 1.1 Begriffsbestimmung Im ersten Band der vorliegenden Technischen Mechanik wird die Statik behandelt. Das ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewicht. Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen der Statik werden z.B. Auflager- und Gelenkkräfte statisch bestimmt gelagerter Systeme ermittelt. In der Festigkeitslehre (Band 2) ist es notwendig, den idealisierten Begriff „starrer Körper" zu verlassen. Die Festigkeitslehre befaßt sich mit den auftretenden Deformationen an Bauteilen und den so verursachten Spannungen. Diese beiden Gebiete behandeln im wesentlichen Systeme, die in Ruhe sind. Die Zeit, als eine der Grundgrößen der Mechanik, kommt deshalb in der Statik und Festigkeitslehre nicht vor. Jedoch wird bereits im Band 1 darauf hingewiesen, daß alle für die Statik abgeleiteten Beziehungen auch für geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gelten. Der Ruhezustand ist der Sonderfall der Bewegung mit υ = 0. Im vorliegenen Band 3 werden bewegte Massen untersucht. Aussagen über die die Bewegung verursachenden Kräfte sind erst möglich, wenn die Geometrie der Bewegung selbst erfaßt ist. Deshalb ist es notwendig, zunächst ohne nach den Ursachen zu fragen, sich mit den verschiedenen Bewegungsarten eines Punktes bzw. eines starren Körpers zu befassen. Dieses Teilgebiet nennt man Kinematik (Kapitel 2 bis 4 dieses Bandes). Nach diesen Ausführungen arbeitet die Kinematik als Lehre von den Bewegungen mit den Grundgrößen Länge und Zeit. Erst die Vereinigung von Statik und Kinematik gestattet es, Beziehungen zwischen der Bewegung eines Systems mit den die Bewegung verursachenden Kräften aufzustellen. Die Lehre von den Kräften und Bewegungen nennt man Kinetik (Kapitel 5 bis 9 dieses Bandes). Sie arbeitet mit allen Grundgrößen der Mechanik, mit der Länge, der Kraft und der Zeit. Die Vereinigung von Statik und Kinematik ist nur möglich, wenn eine Beziehung bekannt ist, die eine Größe der Statik in Abhängigkeit zu einer Größe der Kinematik bringt. Diese Beziehung ist das von NEWTON aufgestellte Dynamische Grundgesetz. Für den starren Körper heißt es in der einfachsten Form „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung". Dieses Gesetz stellt demnach eine Verknüpfung der Größe Kraft (Statik) mit der Größe Beschleunigung (Kinematik) dar. Der Begriff Dynamik wird in der Fachliteratur verschieden definiert. Es sollen ohne Stellungnahme die verschiedenen Auffassungen dargestellt werden.

16

1 Einführung

Zunächst wird die Dynamik in dem Sinne festgelegt, wie es hier mit dem Begriff Kinetik geschehen ist. Eine zweite Auffassung bezieht in die Dynamik auch die Lehre von der Bewegung ein. Das entspricht einem Oberbegriff für Kinetik und Kinematik. Wenn man nur vom Wortstamm ausgeht (griechisch = Kraft), dann ist die Dynamik die Lehre von den Kräften. So gesehen ist sie ein Oberbegriff für Statik und Kinetik. Die Kinematik steht dann als selbständiger Zweig der Mechanik daneben.

1.2 Abriß der Geschichte der Mechanik In diesem Abschnitt soll versucht werden, die Gedankengänge nachzuzeichnen, die zu unserem heutigen Bild der Mechanik geführt haben. Natürlich kann das nur soweit geschehen, wie es dem Umfang dieser Technischen Mechanik entspricht. Die Frage nach dem Grund für einen solchen Rückblick liegt nahe. Entscheidende Durchbrüche zu neuen allgemeingültigen Erkenntnissen sind durch exakte Beobachtungen einfacher Naturvorgänge und die daraus gezogenen Schlußfolgerungen gelungen. In diesem Zusammenhang müssen der frei fallende Körper, das mathematische Pendel und die schiefe Ebene genannt werden. Das kann geradezu als ein Beweis dafür gelten, daß man als Lernender neue Erkenntnisse nur gewinnen kann, wenn man sich physikalische Prinzipien an einfachen Modellen klar macht. Für die Technische Mechanik sind das z.B. die bewegte Punktmasse, der Balken, die Rolle, das Seil usw. Aus diesen Überlegungen und nicht nur aus Interesse für die Geschichte wurde dieser Abschnitt geschrieben. Schon sehr frühzeitig hat man versucht, Naturvorgänge, die nach der heutigen Gliederung in das Gebiet der Mechanik fallen, zu erklären und in Gesetze zu fassen. Mechanische Vorgänge boten sich besonders an, da sie einen großen Teil der unmittelbaren Erfahrung des Menschen ausmachen. Jedes Werkzeug war zunächst ein mechanisches Werkzeug, das in irgendeiner Form Gesetze der Mechanik anwendet. Das gilt z.B. für den Hebel, den Keil, die Rolle und das Seil. Die unmittelbare Berührung mit elementaren mechanischen Vorgängen hat im Laufe der Zeit das gesamte Denken so durchdrungen, daß man noch verhältnismäßig spät alle Vorgänge in der Natur an mechanischen Prinzipien zu erklären versucht hat. Als Beispiel sei hier die von NEWTON vertretene Korpuskulartheorie des Lichts genannt. Die Ägypter müssen schon in der Zeit 3000 bis 2000 vor unserer Zeitrechnung viele Einzelkenntnisse der Mechanik gehabt haben. Das beweisen zahlreiche Darstellungen mechanischer Geräte und Bauwerke wie die Pyramiden. Die Griechen der Antike versuchten neben exakten Einzeluntersuchungen zu einer Erklärung der Weltentstehung und einem einheitlichen Denksystem zu gelangen (Naturphilosophie). Es konnten

1.2 Abriß der Geschichte der Mechanik

17

jedoch nur Einzelprobleme gelöst werden, da die allgemeine Entwicklung noch nicht genügend weit fortgeschritten war. ARISTOTELES (384 bis 322 v.Chr.) prägte den Namen Physik. Er erkannte unter anderem, daß alle Körper beschleunigt fallen, war jedoch der Meinung, daß ein schwerer Körper schneller falle als ein leichter. Da die Schriften des ARISTOTELES bis in das 15. Jahrhundert als unumstößliches Gesetz galten, war dieser Fehler für die Weiterentwicklung der Mechanik sehr folgenschwer. ARCHIMEDES von Syrakus (287 bis 212 v.Chr.) entwickelte nicht nur viele mathematische Gesetze, sondern konstruierte unter anderem den Flaschenzug, die Schraube zur Wasserförderung und formulierte das nach ihm benannte Prinzip des hydrostatischen Auftriebs. Er kannte das Hebelgesetz und berechnete Flächenschwerpunkte. Auch befaßte er sich mit der schiefen Ebene. HERON von Alexandria (1. Jahrhundert v.Chr.?) verfaßte einige physikalische Werke. Er baute unter Verwendung von Mikrometerschraube, Zahnrad und Zahnstange Meßgeräte. Die ersten eineinhalb Jahrtausende unserer Zeitrechnung waren für die Entwicklung der Wissenschaften sehr steril. Man ist ganz allgemein über den Stand dessen, was die Griechen und Römer geschaffen haben, nicht hinausgekommen. LEONARDO da VINCI (1452-1519) hat eine Vielzahl von mechanischen Einzelproblemen gelöst, die sich vor allem aus technischen Anwendungen ergaben. Dabei waren seine Arbeitsgebiete hauptsächlich das Bauwesen einschließlich des Wasserbaus und der Kriegsmaschinen. Er hat viele Aufzeichnungen hinterlassen, aus denen u.a. hervorgeht, daß er sich über die Reaktionswirkung einer Kraft im klaren war. Er schreibt darüber im Zusammenhang mit der Rückstoßkraft an einer Kanone. Auch spricht er bereits von der Kraft als der Ursache der Bewegung. Der Kraftbegriff, so geläufig er jetzt ist, hat erst einen sehr langwierigen Entwicklungsprozeß durchmachen müssen. Zunächst wurden ohne scharfe Trennung Begriffe wie Kraft, Stoß, Schlag, Druck, Zug verwendet. LEONARDO da VINCI nennt die Kraft ein „geistiges, unkörperliches und unsichtbares Wirkungsvermögen". Da der Begriff „Masse" noch nicht definiert war, fehlte auch die Klarheit über einen für uns so alltäglichen Begriff wie „Gewicht", bzw. Gewichtskraft. LEONARDO da VINCI war der Meinung, diese würde kleiner wenn der betreffende Gegenstand horizontal bewegt wird. Er führte als Beweis an, daß ein galoppierendes Pferd sich mit dem Reiter kurzfristig auf einem Bein nur halten könne, weil Pferd und Reiter leichter geworden seien. Das wirft ein Schlaglicht auf die Art der damaligen Argumentation. Vor allem war es damals nicht möglich, den Einfluß der Reibung zu eliminieren. Das gilt sowohl für das Experiment als auch für die Überlegungen. Aus diesem Grunde herrschte damals ganz allgemein die Vor-

18

1 Einführung

Stellung, die Bewegung wäre ein Vorgang, der sich selbst aufzehre. Eine Weiterentwicklung war in diesem Stadium nicht möglich, da man von der falschen Aussage über den freien Fall ausging (ARISTOTELES) und noch keine Klarheit über die Rolle der Reibung für die Bewegung und über den Begriff „Kraft" hatte. Es bedurfte der Genialität eines GALILEO GALILEI (1564-1642), um diesen Kreis zu sprengen. Er verlangte das Experiment als Beweisgrundlage und kann wohl deshalb als der Schöpfer der modernen Physik gelten. Zunächst entwickelte er die kinematischen Grundlagen. Für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fand er den Zusammenhang s-v-t und deutete den Weg s graphisch als die Fläche im tH-Diagramm. Er spricht von der Summe der Höhen. Die Zunahme der Geschwindigkeit beim freien Fall versuchte er zunächst durch den Ansatz υ ~ 5, υ=k ·s

(Geschwindigkeit proportional zum zurückgelegten Weg)

zu lösen. Da diese Beziehung experimentell nicht bestätigt wurde, versuchte er den uns bekannten Ansatz ν ~ t,

v = g-t.

Die Geschwindigkeit nimmt proportional mit der Zeit zu. In der Schlußfolgerung aus der vorher gewonnenen Erkenntnis, daß die Fläche im v-tDiagramm (Dreieck) dem zurückgelegten Weg entspricht, erhält er das Gesetz

GALILEI war hier schon auf dem Wege zur Differential- und Integralrechnung. Mit der Erkenntnis, daß alle Körper gleich schnell fallen, war es GALILEI endlich gelungen, die Physik von den falschen Vorstellungen des Altertums zu lösen. Für die Weiterentwicklung war die Definition des Beschleunigungsbegriffes besonders wichtig. Die Experimente GALILEIs an schiefer Ebene und am Pendel zum Beweis der Fallgesetze können hier nicht ausführlich behandelt werden. Nur auf einen kleinen Versuch sei kurz eingegangen. Um die quadratische Abhängigkeit des Weges von der Zeit zu demonstrieren, schnitzte er in eine schiefe Ebene Kerben in Abständen ein, die sich im Verhältnis 1; 4; 9; 16; 25 verhalten. Läßt man eine Kugel herunterrollen, dann hört man die Kugeln in gleichen Zeitabständen die Kerben passieren. Man vergleiche diese Arbeitsmethode mit der „Beweis"-führung des LEONARDO da VINCI zur horizontal bewegten Masse. Das kann ohne Schmälerung der Verdienste dieses genialen Mannes gesagt werden. Die von GALI-

1.2 Abriß der Geschichte der Mechanik

19

LEI stammende Arbeitsmethode der Wechselwirkung von Idee und Experiment wirkte bahnbrechend für die Weiterentwicklung der Physik. Die Frage nach der Ursache der Bewegung der Himmelskörper war damals absolut zentral. GALILEI war der Meinung, daß es eine natürliche Bewegung gibt, die ein Körper beschreibt, wenn keine Kräfte angreifen. Damit ist grundsätzlich der Begriff „Trägheit" in die Physik eingeführt. GALILEI war jedoch der Auffassung, die natürliche Bewegung eines Körpers - er meinte damit einen Himmelskörper - sei die Kreisbahn. CHRISTIAN HUYGENS (1629-1695) hat schon auf die Bestimmbarkeit der Kraft durch die Beschleunigung hingewiesen, jedoch blieb es ihm versagt, den Begriff Masse zu definieren. Er hat u.a. die Kinematik der Kreisbewegung und in diesem Zusammenhang den Begriff der Normalbeschleunigung abgeleitet. Das war eine besonders wichtige Voraussetzung für die Arbeiten NEWTONS. In diesem Zusammenhang muß auch der Astronom JOHANNES KEPLER (1571-1630) genannt werden, der auf Grund langjähriger Beobachtungen, die größtenteils auf TYCHO DE BRAHE (1546-1601) zurückgehen, die nach ihm benannten Planetengesetze aufgestellt hat. ISAAC NEWTON (1642-1727) hat als erster versucht, die Physik systematisch aufzubauen. Er geht in seinem Hauptwerk von vier Definitionen aus. In der ersten legt er den Begriff Masse fest. Dabei nennt er die Masse die „multiplikative Vereinigung von Volumen und Dichte", stellt also die uns geläufige Beziehung m - ρ • V auf. Nach der Definition der Begriffe stellt NEWTON drei Gesetze auf (ausführlicher im Kapitel 5). An erster Stelle steht das Trägheitsprinzip, nach dem ein Körper in Ruhe oder geradliniger Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit verharrt, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken. Das zweite Gesetz wird Dynamisches Grundgesetz genannt. In der einfachsten Form lautet es: Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Da eine Definition der Masse vorliegt, kann man mit seiner Hilfe die Kraft definieren. Das führt zu der Krafteinheit NEWTON. Das dritte Gesetz sagt aus, daß Kräfte paarweise auftreten (actio = reactio). Aus diesen drei Gesetzen läßt sich die gesamte Mechanik entwickeln*). NEWTON selbst stellt im gleichen Werk, von den Planetengesetzen KEPLERS ausgehend, das Gravitationsgesetz auf und begründet damit die Himmelsmechanik. An dieser Stelle lohnt es sich, einige Gedanken NEWTONS nachzuzeichnen. Die grundlegenden Überlegungen wurden dem einfachen Vorgang der Wurfbewegung entnommen. NEWTON schreibt: „Daß durch die Zentralkräfte die Planeten in ihren Bahnen gehalten werden können, ersieht man aus der Bewegung der Wurfgeschosse." Er vergleicht dann die durch die Gewichtskraft er-

*) Die klassische oder NEWTONsche Mechanik gilt nicht mehr für Massen, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen (Relativitätstheorie EINSTEIN 1879-1955).

20

1 Einführung

zwungene Wurfparabel mit der gekrümmten Bahn eines Planeten und fährt fort: „So würden die von einer Bergspitze mit steigender (horizontaler) Geschwindigkeit fortgeworfenen Steine immer weitere Parabelbögen beschreiben und zum Schluß - bei einer bestimmten Geschwindigkeit - zur Bergspitze zurückkehren und auf diese Weise sich um die Erde bewegen." Diese Geschwindigkeit gibt NEWTON selbst aus der Bedingung Fliehkraft = Gewichtskraft mit υ = -jR g an. Das ist die Geschwindigkeit eines erdnahen Satelliten von ca. 7900 m/s. NEWTON hat mit seinen Definitionen und Gesetzen der Mechanik ein einheitliches System gegeben. Damit ist die Mechanik nicht mehr eine Sammlung von Einzelgesetzen und -erfahrungen, sondern eine exakte Wissenschaft. Eine Weiterentwicklung der Mechanik und mit den neuen Erkenntnissen möglich gewordene Behandlung vieler Einzelprobleme bedingte einen weiteren Ausbau der Mathematik. Auch auf diesem Gebiet hat NEWTON entscheidende Impulse gegeben. Auf ihn und GOTTFRIED von LEIBNITZ (1646-1716) geht die Infinitisimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) zurück. Im Rahmen der Stoffauswahl der Technischen Mechanik müssen noch folgende Gelehrte genannt werden. ROBERT HOOKE (1635-1703) entwickelte die Elastizitätstheorie auf der im wesentlichen die Festigkeitslehre basiert. Von JAKOB BERNOULLI (1654-1705) stammt u.a. die Biegetheorie des Balkens (Grundgleichung der Biegung). DANIEL BERNOULLI (1700-1782) begründete die. Hydromechanik. LEONH A R D EULER (1707-1783) nimmt hier einen besonders breiten Raum ein. Er untersuchte erschöpfend die allgemeine Bewegung des starren Körpers und leitete die nach ihm benannten Gleichungen für den Kreisel ab. Aus der Anwendung des Dynamischen Grundgesetzes auf einen Massenstrom entwickelte er die nach ihm benannte Turbinengleichung. EULER löste das Problem der Knickung eines elastischen Stabes und damit als erster ein Eigenwertproblem aus der Elastizitätstheorie. Die Arbeiten auf dem Gebiet der Differentialgleichung und komplexen Zahlen ermöglichen die Lösung von Schwingungsproblemen. Mit Hilfe des von d'ALEMBERT (1717-1783) formulierten Prinzips (Kapitel 7 dieses Bandes) werden Probleme der Kinetik auf die Statik zurückgeführt. Das geschieht durch Einführung von Trägheitskräften und Trägheitskräftepaaren. Ab etwa 1800 entwickelt sich als eigener Zweig eine auf die Bedürfnisse der Technik zugeschnittene Mechanik, die Gegenstand dieser Bücher ist. Die hier zu nennenden Namen werden bzw. wurden bei der Behandlung der einzelnen Stoffgebiete angeführt.

21

1.3 Einiges zur Lösung von Aufgaben

1.3 Einiges zur Lösung von Aufgaben Der angehende Ingenieur sollte sich möglichst früh das exakte und systematische Arbeiten beim Lösen einer technischen Aufgabe aneignen. Dadurch werden Fehler vermieden und Kontrollen werden viel leichter, auch von anderen Personen durchführbar. Nachfolgend sollen dafür einige Hinweise gegeben werden, die, sinngemäß angewendet, für alle technischen Aufgaben gelten. Es ist zunächst zweckmäßig, die gegebenen und gesuchten Werte zusammenzustellen. Danach richtet sich die Wahl des günstigsten Lösungsweges (z.B. Impulssatz oder Energiesatz usw.). Nach diesen Überlegungen soll eine dem Lösungsverfahren angepaßte Skizze angefertigt werden. Diese sollte in den Proportionen möglichst genau und genügend groß sein. Kräfte, Momente, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden möglichst im richtigen Wirkungssinn eingetragen. Die Verwendung mehrerer Farben wird empfohlen. Auf die Bedeutung einer guten Skizze für die Lösung einer Aufgabe wird besonders dringend hingewiesen. Die verwendeten Gleichungen sollen auf jeden Fall zunächst in allgemeiner Form hingeschrieben werden. Zur besseren Kontrolle wird, ohne Zusammenfassung, jeder einzelne Wert eingesetzt, z.B. v = j2g-H

+ v%

= J2- 9 , 8 1 ^ - 2m+5, ( F ^ s s υ = 8,01—. s Es sollte, so weit wie möglich, mit allgemeinen Größen gearbeitet werden. Zahlenwerte sollen erst eingesetzt werden, wenn die Ausgangsgleichung nach der gesuchten Größe aufgelöst ist. Beispiel

anstatt

besser

v = j2g-H 20,0 = ^ 1 9 , 6 2 / / 400 = 19,62 Η

v=

H= — 2 6g' „

H=

H =

19,62

Η = 20,4 m

j2g-H,

202 m 2 s 2 2-9,81 s^-m'

Η = 20,4 m.

22

1 Einführung

Bei dem links gezeigten Weg ist bereits in der zweiten Zeile eine Dimensionskontrolle nicht mehr möglich. Diese soll unbedingt vor Einsetzen der Zahlenwerte durchgeführt werden. Es sollte bei der Ausarbeitung der Lösung kein Schritt übersprungen werden, einzelne Schritte sind u.U. durch kurze Bemerkungen zu erläutern. Werden z.B. komplizierte Bewegungsabläufe durch Gleichungen dargestellt, dann ist es weder zweckmäßig noch üblich, alle Einheiten mitzuschreiben. Die Einheiten müssen aber am besten in Form einer Tabelle sowohl im Ansatz als auch bei Ergebnissen in allgemeiner Form aufgeführt sein. Man nennt solche Gleichungen Zahlenwertgleichungen. Sie entsprechen der Norm DIN 1313. Gerade im Zusammenhang mit der EDV kann man auf ihre Anwendung nicht verzichten, da der Computer nicht mit Einheiten arbeitet, sondern die Gleichungen für verschiedene Variablen zahlenmäßig auswertet. Beispiel s = 2,5 fi -11,01 2 + 5 t,

m

-—s

daraus z.B. υ = — = 7,5 · i2 - 22,01 + 5 df

υ ml s

t s

Zur eindeutigen Angabe von Ergebnissen, sollte bei Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräften neben dem Betrag auch die Richtung angegeben werden, υχ = - 1 2 , 5 ^

( 1

O-Punkt 1 1 1 1

—s

Abb. 2-1: Definition der Ortskoordinate

nannt. Der Beginn der Zeitmessung ist frei wählbar, z.B. t = 0 für einsetzende Bewegung. Den Bewegungsvorgang kann man jetzt mit Hilfe einer Tabelle beschreiben, in der zugeordnete Werte von s und t aufgeführt sind. Diese Tabelle ist die Grundlage für eine graphische Darstellung in einem Koordinatensystem mit t als Abszisse und s als Ordinate. Ein solcher Graph wie ihn z.B. die Abb. 2-2 zeigt stellt sehr anschaulich einen Bewegungsvorgang dar. Hier können in der Tabelle nicht enthaltene Zwischenwerte abgelesen werden. Bewegungsabläufe werden auch durch Gleichungen s = f(t) wiedergegeben. Solche Gleichungen können das Ergebnis theoretischer Betrachtungen sein. Liegen Tabellen s = f(f) vor, die Versuchsergebnisse enthalten, kann man vom Graph ausgehend zu einer Gleichung kommen. Zu diesem Problemkomplex gibt es vielfältige Computerprogramme. Für das Verständnis ist es wichtig, sich hier klar zu machen, daß s eine Lagebezeichnung (Ortskoordinate) ist und nicht ein zurückgelegter Weg. Nur wenn im Zeitintervall At keine Richtungsumkehr erfolgt, ist bei geradliniger Bewegung die Differenz der Ortskoordinate As der während At zurückgelegte Weg. Die Definition des Begriffs Geschwindigkeit soll von der Abb. 2-2a ausgehen. Im Zeitabschnitt t2~h = At hat der Punkt seine Lage von sx nach s2 verändert und dabei einen Weg As = s2-s1 zurückgelegt. Dabei war seine mittlere Geschwindigkeit

Die Dimension der Geschwindigkeit ist Länge/Zeit, die Einheiten z.B. m/s, m/min, km/h. Geometrisch kann die mittlere Geschwindigkeit als der Tangens des Steigungswinkels der Sekante gedeutet werden, die die Kurve in den Punkten 1 und 2 schneidet.

2.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung

27

Abb. 2-2: s ( f ) ; υ(ί) ;β(ί) -Diagramme einer ungleichförmigen Bewegung

Je ungleichmäßiger die Bewegung des Punktes war, um so weniger wird die über ein Zeitintervall At gemessene mittlere Geschwindigkeit mit der momentanen, tatsächlichen Geschwindigkeit übereinstimmen. Diese momentane Geschwindigkeit, deren Größe sich von Punkt zu Punkt ändern kann, beschreibt demnach einen Bewegungszustand während eines beliebig kleinen Zeitintervalls At, für den naturgemäß As auch beliebig klein wird. Das betrachtete Zeitintervall At wird deshalb stetig kleiner, bis beim Grenzübergang Ar -> 0 geht. Geometrisch kann man diesen Vorgang als Annäherung des Punktes 2 an den Punkt 1 deuten. Im Grenzübergang wird aus der Sekante die Tangente im Punkt 1. Es gilt

28

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes Δϊ u=lim—, Δί->ο Δί

ds υ = — = s. dt

Gl. 2-1

Die Geschwindigkeit ist die Änderung der Ortskoordinate bezogen auf die Zeit. Geometrisch wird sie durch die Steigung der Tangente im s-f-Diagramm dargestellt. Die Geschwindigkeit-Zeit (u-i)-Funktion ist demnach gleich der ersten Ableitung der s-i-Funktion (Abb. 2-2). Für die Definition der Beschleunigung wird von der Abb. 2-2b ausgegangen. Im Zeitintervall Δί hat sich die Geschwindigkeit üj nach t>> um Δυ = ι>2 - i>! geändert. Die mittlere Beschleunigung war dabei Δυ

Die Dimension ist die Länge/Zeit 2 , die Einheit z.B. m/s2; m/min2. Die Momentanbeschleunigung, die für die Beschreibung des augenblicklichen Bewegungszustandes notwendig ist, erhält man bei der Betrachtung eines beliebig kleinen Zeitintervalls At -» 0, d.h. .· Δυ a = lim—, Δί

du . .. a - — -v = s. dt

„ „ „ Gl. 2-2

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit bezogen auf die Zeit. Geometrisch wird sie durch die Steigung der Tangente im υ-ί-Diagramm dargestellt. Die Beschleunigungs-Zeit (a-i)-Funktion stellt demnach die erste Ableitung der υ-ί-Funktion und die zweite Ableitung der s-i-Funktion dar. Die Umkehrung der Gleichungen 2-1/2 ergibt 5 = | υ · dt,

Gl. 2-3

u = Jfl-d/.

Gl. 2-4

Die Gleichungen 2-1 bis 4 sollen zusammenfassend gedeutet werden. Zur Veranschaulichung wird die Abb. 2-2c herangezogen. 1. Die Steigung der Tangente an der s-i-Kurve ergibt die Geschwindigkeit. Als Beispiel ist für t = 7,0 s eine Tangente an den Graph s(t) gezeichnet. Das Steigungsdreieck kann beliebig groß ausgeführt werden, hier wurde Δί = 1,0 s gewählt. Die Abmessung As = 2,8 m kann man durch Abgreifen der Strecke As und Ansetzen an der Ordinate bei 5 = 0 ermitteln. Zur Zeit t = 7,0 s bewegt sich der Punkt mit υ = 2,8 m /1,0 s = 2,8 m/s.

2.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung

29

2. Die Steigung der Tangente an der υ-ί-Kurve ergibt die Beschleunigung. Als Beispiel ist die Beschleunigung zur Zeit t = 1,0 s ermittelt (a = 2,6 m/s2). 3. Ein „Flächen"-element im υ-ί-Diagramm von der „Breite" Δί entspricht der Änderung der Ortskoordinate As während des Zeitintervalls Δί. Das folgt aus dem Begriff des Integrals als auch aus der Definition der mittleren Geschwindigkeit um=—

At

=>

As =

vmAt

Als Beispiel dafür ist die Lageänderung zwischen der 5. und 6. Sekunde eingetragen. 4. Ein „Flächen"-element im ß-i-Diagramm von der „Breite" At entspricht der Geschwindigkeitsänderung während des Zeitintervalls At. Das folgt analog zu Punkt 3 aus am=—

Δυ At

=>

Av-am-

At

In der Abb. 2-2 ist als Beispiel die Änderung der Geschwindigkeit zwischen der 8. und 9. Sekunde eingetragen. Die „Fläche" ist negativ, die Geschwindigkeit verringert sich um 1,5 m/s. Für die Punkte 3 und 4 ist besonders zu beachten, daß es sich um Änderungen der Lage und Geschwindigkeit handelt und nicht um die Werte s und u Die Vorzeichen der einzelnen Größen sagen etwas über den Bewegungszustand aus: s : Das Vorzeichen gibt die Lage in bezug auf den Nullpunkt an. υ : Das Vorzeichen gibt die Bewegungsrichtung an. a : Das Vorzeichen gibt die Art der Änderung der Geschwindigkeit an. Wenn für s ; υ; α die gleiche Richtung als positiv festgelegt wird, kann man folgende Schlußfolgerung ziehen: 1. Haben s und υ gleiches Vorzeichen, bewegt sich der Punkt vom Nullpunkt weg. Als Beispiel sei in der Abb. 2-2 der Zustand für t = 1,0 s (s und υ negativ) und für t = 5,0 s (s und ν positiv) betrachtet. 2. Haben s und υ verschiedene Vorzeichen, bewegt sich der Punkt auf den Nullpunkt zu. Beispiel: t = 2,0 s und t = 10,0 s. 3. Haben υ und α gleiches Vorzeichen, erfolgt die Bewegung beschleunigt in die Richtung, die das Vorzeichen von υ angibt. Das ist einleuchtend für positive Vorzeichen, z.B. t - 3,0 s, gilt aber auch für negative Vorzeichen. Im Bereich t = 10,0 s wird die Geschwindigkeit größer. Es han-

30

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

delt sich um eine beschleunigte Bewegung nach unten. Deshalb ist auch die Beschleunigung negativ. 4. Haben υ und α verschiedene Vorzeichen, erfolgt die Bewegung verzögert in die Richtung, die das Vorzeichen von υ angibt. Als Beispiel sei der Bereich um t = 7,0 s genannt. Die Bewegung nach oben wird langsamer: υ positiv, α negativ. Für t - 0 bewegt sich der Punkt nach unten (υ negativ) und wird langsamer (α positiv). Besonders wichtig ist die Erkenntnis, daß das Vorzeichen von α alleine keine Aussage über den Zustand „beschleunigt" oder „verzögert" ermöglicht. Die Vorzeichen von α und υ müssen gemeinsam betrachtet werden. Eine Tabelle zu der Vorzeichendeutung ist im Abschnitt „Zusammenfassung" dieses Kapitels gegeben. Ergänzend soll hier kurz auf die dritte Ableitung der s(f)-Funktion eingegangen werden. Diese wird Ruck r genannt. r = ä = ü = 's Der Ruck sagt etwas über die Änderung der Beschleunigung aus. Die Beschleunigung ist über F = m · α unmittelbar mit der Kraft gekoppelt. Damit ist der Ruck ein Maß für die Änderung der Beschleunigungskräfte. Diese empfindet z.B. ein Fahrgast in der Straßenbahn als Ruck. Mit diesem Begriff arbeitet man vorwiegend in der Fahrdynamik und der Getriebelehre.

2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit In die Gleichungen des vorigen Abschnittes wird die Bedingung υ = konst.

du = 0

eingesetzt. Man erhält aus Gl. 2-2 aus Gl. 2-3

a = 0; s = υ • t + s0.

Gl. 2-5

Wie vorausgesetzt, erfolgt die Bewegung ohne Beschleunigung und Verzögerung. In gleichen Zeitabschnitten werden gleiche Strecken zurückgelegt. Wie in Abb. 2-3 dargestellt, erhält man im υ-f-Diagramm eine Parallele zur Abszisse, im s-i-Diagramm eine Gerade. An diesen Diagrammen kann man sich die Zusammenhänge nach den Gleichungen 2-1 bis 4 klarmachen. Die Steigung der s-i-Geraden ist υ = As / At = konst. Die Zunahme des Abstandes s des bewegten Objektes während der Zeit t ist gleich der „Fläche" υ · t im υ-ί-Diagramm. Hinzu kommt der Anfangsabstand s0.

2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

Beispiel

31

1 (Abb. 2-4a)

Ein Zug Α fährt mit konstanter Geschwindigkeit v A durch die Position I in Richtung II. Mit einer Zeitdifferenz Δί ist vorher durch die Position II ein Zug Β mit konstanter Geschwindigkeit Uß in richtung I durchgefahren. Allgemein und für die unten gegebenen Daten sind zu bestimmen: a) die Größe der Geschwindigkeit t»ß so, daß beide Züge sich an der Stelle III begegnen, b) der Zeitpunkt it der Begegnung, c) die Zahlenwertgleichung s A = f(t) und s B = f(f), d) die Position beider Züge und deren Entfernung voneinander z.Z. t = 2000 s. e) Der Vorgang ist im s-i-Diagramm darzustellen. /m = 50,0 km ; /Π.ΠΙ = 30,0 km ; Δί = 200 s ; υ Α = 25,0 m/s. Lösung Zunächst ist es notwendig, die Null-Punkte des Koordinatensystems und die positiven Richtungen festzulegen. Folgendes soll gelten: s = 0 an der Stelle III, t = 0 wenn Α den Punkt I passiert, s und υ in Richtung I-II positiv. Dem Leser sei empfohlen mit einer anderen Festlegung die Aufgabe zu lösen. Das Aufstellen der Gleichung ist einfacher, wenn man vorher qualitativ ein s-i-Diagramm skizziert (s. Abb. 2-4b). Α β

Β

η—-

«s

•

πι Im

··:

II

Abb. 2-4a: Zwei in entgegengesetzte Richtung fahrende Züge (Beispiel 1)

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

32 S

A = υΑ ' t ~ ^i-iii

(1) Kontrolle: für ί = 0 ist sA = - /i_in.

sB = Vb (t + At) + /„ -πι

(2) Kontrolle: für t --At

ist s B - /π_πι·

Die Geschwindigkeit ist in Gleichung (2) positiv eingeführt. Nach der Aufgabenstellung ist ein negatives Ergebnis für t ^ zu erwarten. Man könnte bereits im Ansatz Ug negativ einführen. In diesem Falle ergibt sich als Bestätigung ein positives Ergebnis. Für den Treffpunkt in III gilt die Bedingung S

A = SB

= 0 und t = it.

Die Gleichung (1) führt auf k = h-IIl/ttA

(3)

und die Gleichung (2) auf 0 = üb (ft + At) + /„.ΙΠ Die Einführung von Gl. (3) ergibt nach einfachen Umwandlungen υΒ - -

/

"-1"·υΑ . /ι_ Ι Π +Δ?·υ Α

(4)

Die Gl. (3) und (4) sind die allgemeinen Lösungen. Die Auswertung führt auf tt = 800 s

und

üb = - 30,0 m/s

v = jadt = l,54t + v0 Mit Ufo = 0 ist

υ = 1,54 ·

t

s = J u · df = —^—t + äq Mit ί 0 = 0 ist

s = 0,77 ·

t2

Zusammenfassend wird geschrieben α = 1,54

(1) 0 < / < 13,0s

υ = 1,54·ί

s = 0,77 · t2

(2) (3)

2. Abschnitt (Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit) Dieser Abschnitt beginnt bei s = 130 m; t - 13,0 s, wobei eine Geschwindigkeit von 20 m/s erreicht ist. Er endet nach t2 = 13,0 s + 20,0 s = 33,0 s. a=0

υ = 20

13,0s < i < 33,0s

(5)

s = 20(f - 1 3 , 0 ) +130 Kontrolle:

t = 13 s

;

(4)

s = 130 m.

41

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung Am Ende des zweiten Abschnitts befindet sich der Wagen bei s 2 = 20 (33 - 1 3 ) + 130 = 530 m 3. Abschnitt (Bremsen)

Dieser Abschnitt beginnt bei s = 530 m; t = 33,0 s, wobei die Geschwindigkeit 20 m/s beträgt. Zunächst werden Verzögerung und Dauer analog zu Punkt 1 berechnet vL

mit

= 2a-s+v%

u = 0 ; u o = 20m/s

a = -— = - M E ^ Z 2s 2-70m v-at A. Δί

+ v0

mit

=

_2,86m/s 2

u = 0 ; u 0 = 20m/s

-20m/s _n -- 7,0s 2 -2,86 m/s

Der Abschnitt endet bei f3 = 33,0 s + 7,0 s = 40,0 s. Insgesamt erhält man a --2,86

(6)

υ = - 2,86 (f - 33,0) + 20

33s = 0 gesetzt werden. Die Gleichungen (9), (10), (11) werden für t = 35,0 s ausgewertet. a 35 = 35° · 1,54 - (35 - 13)° · 1,54 - (35 - 32)° · 2,86, fl35 = 1 · 1,54 - 1 · 1,54 - 1 · 2,86 = - 2,86 m/s2, υ35 = 35 · 1,54 - 22 · 1,54 - 2 · 2,86 = + 14,3 m/s, j 3 5 = 352 · 0,77 - 222 · 0,77 - 22 · 1,43 = + 564 m. Die Beschreibung des Bewegungszustandes ist oben gegeben.

43

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung Beispiel

2 ( A b b . 2-8)

Zwei PKW fahren in entgegengesetzte Richtung in ein einspuriges Teilstück einer Straße ein. Wenn die Wagen einen Abstand / AB haben, bremsen beide gleichzeitig. Dieser Vorgang ist unter Annahme gleichmäßiger Verzögerung analytisch und graphisch darzustellen und zu diskutieren. Die Bewegungsgleichungen sind für folgende Daten auszuwerten. Anfangsgeschwindigkeit Verzögerung Abstand

υ Α0 = 20,0 m/s laAl = 5,0 m/s2 /AB = 60 m.

; ;

i>b0 = 18,0 m/s laBl = 6,0 m/s2

+υ u

BO ———

sc Cr

w

!

"*v

Abb. 2-8: Zwei PKW auf Kollisionskurs

Lösung (Abb. 2-9) Zunächst müssen die Nullpunkte für die Koordinaten festgelegt werden. Die Zeitzählung soll bei einsetzender Bremsung beginnen, die Ortskoordinate wird von A z.Z. t - 0 (Ausgangslage von PKW A) gemessen. Dieses Beispiel soll vornehmlich die Vorzeichenfragen in Zusammenhang mit Geschwindigkeiten und Beschleunigungen klären helfen. Da s von Α nach rechts gemessen wird, ist es sinnvoll, auch υ und α in diese Richtung positiv festzulegen. Damit ergeben sich folgende Vorzeichen: PKW Α fährt verzögert nach rechts: PKW Β fährt verzögert nach links:

υ positiv, α negativ. υ negativ, α entgegengesetzt gerichtet, demnach positiv!

Hier zeigt sich, daß das Vorzeichen von α alleine keine Aussage über den Zustand „verzögert" oder „beschleunigt" ermöglicht. Darauf wurde ausführlich bereits im Abschnitt 2.1 eingegangen. Aus diesen Überlegungen folgt υΑ = - α Α · ί + υΑ0

(1)

SA = - 5A, -ft

(2)

2

2

+ vA0-t

υΒ = + 0 Β · ί - υ Β Ο s

flg % 2 B = ~ T t _ υ Β0 2

ί+

(3)

/ 'ΑΒ

(4)

44

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

In diesem Ansatz sind die Vorzeichenüberlegungen bereits eingearbeitet. Bei der Zahlenauswertung werden alle Größen positiv eingesetzt, z.B. Dbq = 18 m/s. Grundsätzlich kann man die Gleichungen als Formeln (Gl. 2-6/7/9) schreiben. In diesem Falle müssen die Vorzeichen beim Einsetzen der Zahlenwerte festgelegt werden: i>b0 = - 18 m/s; a B = + 6,0 m/s2. Der erste Weg soll hier weiter verfolgt werden, denn man würde z.B. sagen, der Wagen Β fährt mit 18 m/s und nicht, er fährt mit minus 18 m/s. Die Gleichungen (1) bis (4) gelten bis zum Stillstand der Wagen. Die Zeit ts bis dahin berechnet sich aus (1) und (3) A:

aus

υΑ = 0

B:

aus

Uß = 0

=>

tAs = ^ aA

(5)

'bs^^

(6)

OB

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

45

Setzt man diese Zeiten in (2) und (4) ein, erhält man die Positionen der Wagen nach der Bremsung, vorausgesetzt, es ist kein Zusammenstoß erfolgt. Nach einer einfachen Umwandlung ergibt sich *AS = Τ;

;

2aA

S

BS

=

+

2aR

Das sind Positionen und nicht Bremswege. Wenn beide Wagen unmittelbar - aber nicht gleichzeitig! - voreinander zum Stehen kommen, gilt S S A S = BS· Aus dieser Bedingung kann man den mindestens erforderlichen Abstand /AB min berechnen /

'ABmin

_ UA0 . VB0 ~Za la A B

Im vorliegenden Fall ABm,n

2-5,0m/s2

2-6,0m/s

Insgesamt fehlen 7,0 m, es erfolgt ein Zusammenstoß. Am einfachsten ist es anzunehmen, daß dabei beide Wagen fahren und die Gleichungen (1) bis (4) gelten. Der Zusammenstoß ist dann gekennzeichnet durch sA = s B für t = tz y tl + υΑ0 tz = ^ t i ~ v bo tz + hAB Das führt auf die quadratische Gleichung für tz 2(υΑο + υ Β ο), . 2/ AB - = 0 ιz + a A +a B aA +aB

4

mit der Lösung _

T

Z

Υ

Α0

+ Υ

Β0

aA+aB

(υ +

Α0 + υ Β0 αΑ + αΒ j

\2

21AB

aA+aB

Dieser Wert muß kleiner sein, als die unter (5) und (6) berechneten Zeiten. Trifft das nicht zu, fährt ein Fahrzeug auf ein bereits stehendes auf. In allgemeiner Form ist die Untersuchung sehr aufwendig, deshalb sollen Zahlenwerte berechnet werden

46

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes «Ao = _20mÄ_ = aA

4jOB

5,0m/s2

aB 6,0m/s2 _ (20 + 18) m/s + tz ~ (5 + 6)m/s f z l = 4,47s

f

38 m/s 11m/s2

Λ2 y

2-60m 11m/s2

i z 2 = 2,44s

Die erste Lösung hat keine physikalische Bedeutung, die zweite zeigt, daß beide Wagen unmittelbar vor dem Zustammenstoß in Bewegung sind. Dieser erfolgt an der Stelle (Gl. (2)) 5 0m/s2 SAZ = ~ ' · 2,44 2 s 2 +20(m/s) · 2,44 s = 33,9 m Kontrolle (Gl. (4)) 6 0m/s2 sBZ = + ' · 2,44 2 s 2 - 18(m/s) · 2,44 s + 60 m = 33,9 m Dabei betragen die Geschwindigkeiten ((1) und (3)) υ ΑΖ = -5,0(m/s 2 ) · 2,44s+ 20m/s = + 7,8 m/s (-») υ ΒΖ = 6,0(m/s2) · 2,44s- 18m/s = -3,36 m/s ( 67 m) schneiden sich die Linien s(t) nicht, es erfolgt kein Unfall. Es wird dringend empfohlen, schon vor der bzw. parallel zur Lösung, qualitative Diagramme nach Abb. 2-9 anzufertigen. Die Zusammenhänge kann man in den Diagrammen besonders gut erkennen. Beispiel

3 ( A b b . 2-10)

Zwei PKW fahren auf der Autobahn mit i>0 = konst. = 144 km/h im Abstand ca. „halber Tacho" As = 70 m in eine Nebelbank mit einer Sichtweite von l = 120 m. Der Fahrer Α erkennt ein Stauende C und bremst nach

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

47

einer Reaktionszeit Δί = 1,0 s mit einer mittleren Verzögerung von \a\ = 6,0 m/s2. Der nachfolgende Fahrer Β bremst seinerseits mit gleicher Reaktionszeit und Verzögerung. Für diesen Vorgang sind die Bewegungsgleichungen im einheitlichem Zeitmaßstab aufzustellen und graphisch darzustellen.

As +s

• +1) +a Abb. 2-10: Nebelbank auf Autobahn (Beispiel 3)

Lösung (Abb. 2-11) Die Nullpunkte werden definiert. Die Zeitmessung beginnt (t = 0), wenn der Fahrer Α das Stauende erblickt. Die Ortskoordinate wird vom Wagen Β z.Z. t = 0 gemessen. Der Vorgang besteht für jedes Fahrzeug aus zwei Abschnitten, zunächst erfolgt die Bewegung während der Reaktionszeit mit υ = konst., anschließend mit a = konst. Das Verfahren nach FÖPPL eignet sich besonders gut und soll deshalb angewendet werden. Dem Leser sei die konventionelle Methode als Übung empfohlen (s. Beispiel 1). Für die Zahlenwertgleichungen werden folgende Einheiten festgelegt. t

s

υ

a

s

m

m/s

m/s2

Ausgegangen wird vom α-ί-Diagramm nach Abb. 2-11 (1)

aA=-(t-1)0.6,0

"A = j a a • di = -(/ - 1 ) · 6,0 + t>A0 v A = - < f - l ) · 6,0 + 40,0 SA = J ^ a · dt = -{t

sA

= -(t

-1)2 · 3,0 + 40r + i A0

-1)2 · 3,0 + 40i + 70

α Β =- 2 -3,0 + 40r

(5) (6)

Diese Gleichungen stellen die Bewegungszustände der beiden Wagen dar. Bis zu welcher Zeit sie gelten, ist zunächst unbekannt. Entweder bis zum Zeitpunkt des freien Ausbremsens oder des Aufpralls. Für die weitere Berechnung wird ein Aufprall angenommen. Der Wagen Α ist an der Stelle C z.Z. tAC. Dabei hat er bei Vernachlässigung der Wagenlänge die Position sAC = As +1= 190 m. Den Zeitpunkt des Aufpralls erhält man aus der Gleichung (3) mit (tAC - 1> = (tAC - 1 ) wegen tAC >1 190 = - (tAC - 1 ) 2 · 3 + 40 · rAC + 70

49

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Das ist eine quadratische Gleichung für tAC. Einfache Umwandlungen führen auf ,

46

< i c -

T

123

< A C + —

. - 0

mit der Lösung tAC = 3,45 s. Die Annahme eines Aufpralls ist richtig. Käme der Wagen vor dem Stauende zum Stillstand ergäbe sich für tAC kein reeller Wert. Unter der Wurzel der Lösung stände ein negativer Wert. Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt nach Gleichung (2) v A C = -(3,45 - 1 ) · 6,0 + 40 = 25,3m/s = 91 km/h! Analog berechnet man für Β mit (6) und (5) 190 = - (f BC - 2)2 · 3 + 40 · i BC i

9

52

Bc-yfBc+

202

—=

.

0

=>

tBC = 5,88 s

v BC = - (5,88 - 2) · 6 + 40 -16,7 m/s= 60 km/h Die Rechnung zeigt, daß der als sicher geltende Abstand „halber Tacho" eine genügend lange freie Bahn des Vordermannes voraussetzt. Zum Schluß soll berechnet werden, an welcher Stelle die Wagen auf freier Strecke zum Stillstand gekommen wären. Dieser Zeitpunkt % wird aus der Bedingung υ = 0 ermittelt. Dabei gilt = () wegen des positiven Klammerinhalts A: Gl. ( 2 ) B:

Gl. ( 5 )

0 = - (iAs - 1 ) · 6

+ 40

=>

tAS =

7,67

s

0 = - (fBS - 2) · 6 + 4 0

=>

fBS = 8,67

s

Diese Werte werden in die Gleichungen (3) und (6) eingesetzt ^A max = ~ 6 , 6 7 2 · 3 + 4 0 · 7 , 6 7 + 7 0 = 2 4 3

SB max = - 6 , 6 7 2 · 3 + 4 0 · 8 , 6 7 = 2 1 3

m

m

Dem Fahrer Α fehlen 243 m - 190 m = 53 m Bremsweg, dem Fahrer Β 23 m. Der Vorgang ist graphisch in der Abb. 2-11 dargestellt. Zwischenwerte der Parabeläste s(t) können mit (3) und (6) berechnet werden. Die Lösung wird erleichtert, wenn man parallel zur Rechnung qualitativ die Diagramme v(t) und s(t) zeichnet.

50

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung 2.5.1 Analytische Verfahren Die Anwendung des analytischen Verfahrens bedingt, daß die Abhängigkeiten von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ortskoordinate und Zeit sich durch differenzierbare bzw. integrierbare Funktionen darstellen lassen. Es werden für die wichtigsten Fälle die Lösungswege bzw. Ansätze angegeben. 1. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben.

Die Geschwindigkeiten erhält man aus Gleichung 2-4, v = ja-dt

=

jf(t)-dt,

die Ortskoordinate aus Gleichung 2-3, s = J υ · dt.

2. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, v = f(t).

Die Lage des Punktes kann man aus Gleichung 2-3 berechnen, s = jD-df = J/(0-df. Die Beschleunigung ergibt sich aus Gleichung 2-2, du a = — = υ. dt

3. Die Ortskoordinate ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben,

Mit den Gleichungen 2-1/2 erhält man ds

υ = — = s, dt

du df

·

α = — = υ = s.

4. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, v = f(s).

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung w, Mit

51

ds υ= — dt

erhält man υ

J /(s)'

Nach Durchführung der Integration und Umstellung erhält man eine Ort-Zeit-Gleichung (Fall 3). 5. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Lage des Punktes gegeben: a=f(s). Nach Gleichung 2-8 ist υ · du = a · ds = f(s) · ds. Es wird beidseitig integriert, \{V2~ü§) = J/(i)-di. Nach Durchführung der Integration erhält man υ = f(s) und damit den Fall 4. 6. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben: a=f(v). Für die Lösung bieten sich zwei Wege an. Mit a=

du — df

du du erhält man df = — = α /(υ)

_

r du t=\ J /(υ)

Das entspricht grundsätzlich dem Fall 2. Der auf Gleichung 2-8 basierende Ansatz

52

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

führtauf

υ

f(ιΛ

=ds

bzw. s - f υ

J f 1Λ

und damit auf den Fall 4. Nachfolgend werden verschiedene Fälle in vier Beispielen behandelt. Weitere Anwendungen der oben abgeleiteten Ansätze sind in folgenden Abschnitten eingebaut: 4.3 (Abschaltung eines Gebläses), 7.3.3 (Schlagpendel). Beispiel

1

Der υ-ί-Zusammenhang einer harmonischen Schwingung (s. Kapitel 9) sei durch folgende Gleichung gegeben υ = A • ω • cos (ωί). Man kann sich den Vorgang dabei folgendermaßen vorstellen: ein Zeiger der Länge Α rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Die Spitze des Zeigers beschreibt in der Projektion den Bewegungsablauf. Für A = 0,12 m und ω = 9,0 s_1 sind Lage und Bewegungszustand für t = 0,15 s; 0,30 s; 0,45 s; 0,60 s zu bestimmen, wobei s = 0 für t = 0 gelten soll. Lösung Die Ableitung der υ-ί-Funktion liefert die Beschleunigung di = - A • ωί1 • sin (ωί). a- — Aus der Integration erhält man

Mit den vorgegebenen Zahlenwerten gibt das s = 0,12 m • sin (ωί)

υ = 1,08 m/s · cos (ωί) a = - 9 , 7 2 m/s2 • sin (ωί). Diese Gleichungen werden tabellarisch ausgewertet.

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

t

0,15

0,30

0,45

0,60

1,35

2,70

4,05

5,40

+0,117

+ 0,051

-0,095

-0,093

+0,237

-0,976

-0,664

+0,685

-9,48

-4,15

+ 7,66

+7,51

s

fe'

2 υ = la • dt = Randbedingung

(1)

2

' h · sin(2;r —) + 2-2π t,, 2 flmax

t = 0: υ = 0 t = te:v=ve

_ _ «max • U 2·2π

55

sin/2^)

+ Q.

(2)

C1 = 0

+an» ' 2

=

' 2

«max = 2 Vjtt.

(3)

Einsetzen von (3) in Gl. (1) a = — - • cos(2TT —) + —. t t t

(4)

Die Beziehung i>(t) erhält man durch Integrieren von Gl. (4) oder durch Einsetzen von (3) in die Gl. (2). υ = - — · sin(2;r —) + u. e—, K 2π t' -' 5=

=

Randbedingung

^ cos(2ττ—) + υ£ — + C 2 . Απ2 2L· t = 0: s = 0

0 - ^ ^2 1 + 0 + C, Απ s--

(5)

=> c , =— υ °' 2ί β Απ

v e -t e cos(2n—) — 1 Απ2

«e-'e ( , Ϋ

(6)

Die Gleichungen (4), (5), (6) stellen in allgemeiner Form die Abhängigkeiten a(t), v(t),s(t) dar. Die Zahlenwertgleichungen werden mit v/te = 3,0 m/s2 und ve • te - 300 m für folgende Einheiten aufgestellt:

56

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes s

υ

a

m

m/s

m/s2

a = -3,0 cos(2π —) + 3,0, tρ· υ = -4,775 sin(2Tr —) + 30,0—, U h -

s = 7,599

f tι λ2 1 + 150 te _ \ e /

Die dazugehörigen Diagramme zeigt die Abb. 2-13b.

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

57

Beispiel 3

Dieses Beispiel soll dazu dienen, die bei einem Stoß auftretende Verzögerung zu ermitteln und die Stoßzeit abzuschätzen. Dazu soll von folgendem Fall ausgegangen werden. Ein Gegenstand fällt aus der Höhe h auf eine Unterlage. Das Ausmessen der Deformationen, z.B. der Abplattung des fallenden Körpers und der „Delle" an der Aufprallstelle lassen unter Beachtung eines elastischen Anteils auf dem Bremsweg e schließen. Die Kraft und damit die Verzögerung muß mit der Eindringtiefe größer werden. Es soll eine proportionale Zunahme der Verzögerung mit dem Weg angenommen werden. Für die Zeit des Eindringens sind für diese Voraussetzung die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Für h = 2,0 m und e = 2,0 mm sollen die Gleichungen ausgewertet und graphisch dargestellt werden. Die maximale Verzögerung und die Dauer des Vorgangs sind zu berechnen. Lösung (Abb. 2-14) Die Zeitmessung soll bei der ersten Berührung beginnen (i = 0). Von diesem Punkt aus wird die Ortskoordinate s positiv nach unten festgelegt. In gleicher Richtung werden υ und α positiv definiert. Der Ansatz ist nach Aufgabenstellung

58

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes -a~

s

=>

a = -k • s

Das ist der Fall 5. Den Lösungsansatz liefert die Gleichung 2-8 i) di) = fl ds jvdv

=

=> vdv

=

-ksds

-kjsds

v2 s2 -=-k—+Cl

2

(1)

2

Die Randbedingungen sind s = 0 für υ = Bedingung liefert Q = v02/2, die zweite e2 υ20 = -&— + —

2

und s = e für υ = 0. Die erste

k= ^2

2

e

Damit erhält man aus (1) D2 = Dn

- ö l

e ds ν

1-

Die Integration führt auf € S t =—arcsin- + C2 υ0 e Die Integrationskonstante C2 ist wegen s = 0 für t = 0 null. s = e • sin ν

(2) e

/

ds υη υ - — = e • — • cos df e ve

/

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

59

(3)

υ = υ0 · cos άυ υ0 . a = — = -t>o · — · sini H dt e l>0 a = —-sin

(4)

e

Der Gleichung (4) entnimmt man die maximale Verzögerung "max

(5)

^

Die Zeit für das Eindringen t e erhält man aus (3) für υ = 0 c o s | ^ d = 0 => e

π-e

(6)

2 v ,Ό

Die Gleichungen (2) bis (6) beschreiben in allgemeiner Form den Vorgang. Für υ 0 = y j 2 g H = 6,26 m/s und e = 2 mm beträgt die maximale Verzögerung

2 10"3m

Dieser sehr hohe Wert ergibt sich für die relativ große Eindringtiefe von 2 mm. Bei einer Werkstoffkombination „Stahl auf Stahl" wäre diese ganz wesentlich kleiner, was zu viel höheren Werten amax führen würde. Uber das NEWTONsche Gesetz F = m - α hängen Beschleunigungen und Kräfte unmittelbar zusammen. Bei Stößen treten deshalb sehr große Kräfte auf. Darauf wird im Abschnitt 6.1.3 näher eingegangen. Die Stoßdauer beträgt nach (6) 7r 210

-

=

' "3m 2-6,26m/s

=

5 02 · 10 -4 s = 0,5 ms

Hohe Verzögerungen sind naturgemäß mit sehr kurzen Stoßzeiten gekoppelt.

60

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Abb. 2-15: Aufprall einer Masse auf einen Stoßdämpfer

Für die zahlenmäßige Auswertung der Gleichungen (2) bis (4) muß der Rechner auf den rad-Modus eingestellt werden. Das Ergebnis zeigt die Abb. 2-14. Der Ansatz -a~t führt zu ähnlichen Werten. Das ist ein Hinweis darauf, daß die Ergebnisse realistisch sind. Beide Ansätze bringen auf unterschiedliche Weise zum Ausdruck: mit zunehmender Eindringtiefe steigt der Widerstand. Der zweite Ansatz sei dem Leser als Übung empfohlen. Beispiel 4 (Abb. 2-15) Eine auf reibungslos angenommenen Rollen bewegte Masse wird von einem Ölstoßdämpfer aufgefangen und bis zum Stillstand abgebremst. Für einen solchen Stoßdämpfer ist die Kraft etwa proportional zur Geschwindigkeit. Daraus folgt eine gleiche Abhängigkeit zwischen Beschleunigung (Verzögerung) und Geschwindigkeit. Für diesen Vorgang sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Diese sollen für eine Aufprallgeschwindigkeit von 0,50 m/s und einen Bremsweg von 400 mm ausgewertet und in Diagrammen dargestellt werden. Lösung Definition der Koordinaten: einsetzende Bremsung t = 0; s = 0, positive Richtung von α, υ, und s nach links. Nach Aufgabenstellung ist der Ansatz -α ~ υ

=>

a = -k - υ

(1)

Es handelt sich um den Fall 6, der mit a=

du —

dt

, = -k-υ

gelöst wird. Das führt zu df

= - l.dw k υ

^

,= _irdH kJ υ

=

_i.lnu k

Die Anfangsbedingungen sind υ = t^ für t = 0

+ c

.

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

0=

61

1 1 lnt>0 + C => C = — lnt>0. k k

Damit ist t=

1 In . υ η 1 1ηυ . 0 k k

was auf^

t=

1 ,In— ^o k υ

führt. Aus dieser Gleichung erkennt man, daß υ = 0 auf t = °° führt. Nach diesem Gesetz kann ein Abbremsen bis zum Stillstand nicht erfolgen. Die überlagerte COULOMBsche Reibung überwiegt bei kleinen Geschwindigkeiten und setzt das System zur Ruhe. Die obige Gleichung wird nach υ aufgelöst. v=Vo-e~ k t .

(2)

Die Integration führt auf s

= jv dt = v0 je-kl

dt

s = -"o .e-k< + c. k

Aus den Anfangsbedingungen wird C bestimmt s = 0 für f = 0: 0 = - — - 1 + C => C = Damit ist S

=

(3)

Für t = oo ist s = s max = Volk. Aus der Ableitung der Gleichung (2) erhält man a=^

= -k-u 0 -e- k ·'.

(4)

Zur Bestimmung der Funktionen a = f(s) und υ = f(s) muß aus den obigen Gleichungen die Zeit t eliminiert werden. Am einfachsten ist es, von (2) auszugehen und

62

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes υ

in (3) einzusetzen r \ ss=Ά. = i_JL . k V voJ

Die Auflösung nach υ liefert v=v0-k-s.

(5)

Die Geschwindigkeit ändert sich linear mit der Eindringtiefe. Der Ansatz (1) ergibt mit dieser Gleichung a = -k-i)0

+ k2-s = k-(k-s-

dö).

(6)

Auch diese Beziehung stellt einen linearen Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Weg dar. Für s = 0 ist a = amax = a0 = - k • % was auch aus (4) folgt. Grundsätzlich könnte man diese Aufgabe mit dem Ansatz a · ds = υ · du lösen, der unmittelbar auf die Gleichung (5) führt. Von

ausgehend erhält man dann die anderen Beziehungen. Dieser Lösungsweg sei dem Leser als Übungsaufgabe empfohlen. Für die Auswertung der Gleichungen mit den angegebenen Werten muß zunächst die Konstante k bestimmt werden. Das kann mit der Gleichung (5) geschehen. Für υ = 0 ist s = smax - 0,40 m k=

υ 0 - v _ 0,50m/s-0 s " 0,40m

k = 1,25 s- 1 .

63

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

\s

0,5 m/s

0,4

400

\

0,3

\

300

\

0,2

200

\

0.1

0

ι

100

100

\

300

200

0.7

m/s2

\s

0

\

400

1

Verzögerung 0,6

0,5

Ν s

0,4

\\

0,3 0.2

\

\\

\

0,1

0

V

100

200

300

\

m/s2

400

Ver üögerung

\

\

V

"1

\

V

Abb. 2-16: Bewegungsdiagramme für das Abbremsen einer Masse durch einen Stoßdämpfer

Die einzelnen Abhängigkeiten lauten jetzt aus (3)

s = 0,40m· (1 - e" 1 · 25 ^ 1 ')

aus (2)

υ = 0,50m/s· e"1·258"1'

aus (4)

a - -0,625m/s 2 · e-1·258"1'

aus (5)

υ = 0,50 m/s -1,25 s"1 · s

aus (6)

a = 1,252 s"2· ί - 0,625m/s2

ι

—L·

64

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Der Vorgang setzt mit der maximalen Verzögerung von 0,625 m/s2 ein (s = 0 bzw. t = 0). Die zu Beginn wirkende Kraft kann man aus dem NEWTONschen Gesetz berechnen. Die einzelnen Funktionen sind in der Abb. 2-16 dargestellt. Man erkennt, daß der Vorgang ca. 3 bis 4 Sekunden dauert. 2.5.2 Graphische Verfahren Für die Auswertung von Messungen, oder wenn analytische Methoden nicht durchführbar sind, ist es notwendig, auf graphische Verfahren überzugehen, für deren Durchführung Rechenprogramme verfügbar sind. Es werden für die wichtigsten Fälle die Lösungswege bzw. Ansätze gegeben. Sie entsprechen den analytischen Methoden (voriger Abschnitt). 1. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, a=f(t).

Die Kurve a(t) wird graphisch integriert. Das Ergebnis ist die Abhängigkeit v(t). Eine nochmalige Integration liefert s(t). 2. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, υ=

Μ·

Die graphische Integration der Kurve υ(ί) führt auf das s(/)-Diagramm. Die graphische Ableitung von v(t) ergibt a(t). 3. Die Lage des Punktes ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, s=f(t).

Die Kurve v(t) erhält man durch die graphische Differentiation von s(t). Eine weitere Differentiation liefert a(t). 4. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, v = f(s).

Das υ-s-Diagramm wird in Streifen As eingeteilt. Für kleine Teilstrecken As kann eine mittlere Geschwindigkeit vm eingeführt werden. Aus vm = — ,

erhält man

At = — ,

65

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

die Zeit für jeweils einen Abschnitt As. Die Addition der einzelnen Zeitdifferenzen ergibt die Gesamtzeit und damit die s-i-Kurve (Fall 3). 5. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, a=f(s).

Hier geht man von der Gleichung 2-8 aus, υ 1 J V d u = Jfl ds, — ( υ 2 - υ § ) = j V d s , «ο

υ2 =

2jads+v%.

Das Integral kann als Fläche unter dem α-s-Diagramm gedeutet werden. Dieses wird deshalb in Streifen As eingeteilt, für die mit genügend großer Genauigkeit eine mittlere Beschleunigung am eingeführt werden kann. Es gilt dann

Wertet man diese Gleichung für die verschiedenen Streckenabschnitte aus, dann erhält man die υ-ί-Kurve. Das entspricht dann dem Fall 4. 6. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben a=f(v).

Genau wie bei den analytischen Verfahren bieten sich zwei Lösungswege an. α Aus

du a- — dt

· , wird

Δυ cu, = — At

und damit

, J η Für die Auswertung ist es zweckmäßig, das Ausgangsdiagramm α - f ( v ) ν

in ein Diagramm — = f(v) umzuzeichnen. Dazu werden zugeordnete a

Werte υ und α dividiert und über υ aufgetragen. Es werden Streifen Δ υ eingezeichnet und die Flächen ermittelt. Man erhält aus ί = Τ-·Δυ, a

die Ort-Geschwindigkeitskurve und damit den Fall 4. Als Beispiel für die ersten drei Fälle kann die Abb. 2-2 gelten. Nachfolgend werden der Fall 5 und 4 angewendet. Der Fall 6 ist im Abschnitt 7.3.2 (Beispiel „Anfahren einer Kreiselpumpe") eingearbeitet. Beispiel

Es wird an das Beispiel 4 Abb. 2-15 des vorigen Abschnitts angeknüpft. Der Stoßdämpfer ist dort unter der idealisierten Annahme einer laminaren Ölströmung, ohne Turbulenzen und ohne COULOMBsche Reibung behandelt worden. Nur unter diesen Voraussetzungen gilt -a~v. Hier soll von einer experimentellen Untersuchung ausgegangen werden. Der Einbau einer Kraftmeßdose an der Aufprallstelle und eines Weggebers liefert bei bekannter Masse eine Abhängigkeit a(s) nach Abb. 2-17. Dabei beträgt die Aufprallgeschwindigkeit v0 = 0,56 m/s. Die Masse wird auf ei-

\ 0,63%

—a m/s2

0,34

\

Ν

0,13

0

0,1

Nr. 0

1

\\ Abb. 2-17: Experimentell ermitteltes a(s)Diagramm für einen Stoßdämpfer

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

67

nem Weg von 390 mm bis zum Stillstand abgebremst. Zu zeichnen sind die s(r); v(t) und a(i)-Diagramme. Lösung Es handelt sich um den Fall 5. Die Gleichung v = y/2-Z(am-As)

+ v$

muß ausgewertet werden. Dazu wird der Bewegungsablauf in Teilstrecken As eingeteilt. Für diese wird jeweils mit einer mittleren Beschleunigung am gerechnet. Festgelegt wird As - 0,10 m, für den letzten Abschnitt 0,09 m. Das ist eine sehr grobe Einteilung, sie soll jedoch für ein solches Beispiel genügen. Es empfiehlt sich, am Diagramm eine Numerierung anzubringen, die in der Tabelle wiederholt wird. In diese werden zunächst die zugeordneten Diagrammwerte s und α eingetragen. Für jeden Abschnitt As wird jeweils in der Mitte der Wert am abgelesen. Die nächste Spalte enthält die Multiplikation am • As. Dieser Wert wird aufaddiert. Jetzt kann man mit der obigen Beziehung i» ausrechnen. Die Spalten s und υ sind Grundlage des Diagramms υ(ί) nach Abb. 2-18. Dieses entspricht dem Fall 4. Analog zu oben wird in Teilabschnitte As eingeteilt, für die eine mittlere Geschwindigkeit um in die Tabelle eingetragen wird. Zum Durchlaufen des Abschnitts As benötigt das Objekt die Zeit

Die Aufaddierung liefert die Zeitkoordinate t. Die Spalten s; υ; α jeweils mit t gekoppelt ergeben die gesuchten Diagramme Abb. 2-19. Der Vorgang dauert 3,4 s. Hier bietet sich eine einfache Kontrolle mit der Stoppuhr an.

68

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes Σ^ΔΪ

υ

m2/s2

m/s

0

0,56

-0,082

-0,082

0,39

0,47

0,21

0,21

-0,48

-0,048

-0,130

0,24

0,31

0,32

0,53

-0,13

-0,22

-0,022

-0,152

0,11

0,17

0,59

1,12

0

-0,06

-0,005

-0,157

0

0,04

2,25

3,37

s

a

m

m/s2

0

0

-1,00

1

0,10

-0,63

-0,82

2

0,20

-0,34

3

0,30

4

0,39

Nr.

m/s2 -

m2/s2 -

Jim. m/s -

Δ/

t

s

s

-

0

A b b . 2-19: Bewegungsdiagramme für das Experiment nach A b b . 2-17

69

2.6 Zusammenfassung

2.6 Zusammenfassung Zwischen der Ortskoordinate s, der Geschwindigkeit υ und der Beschleunigung α bestehen die Beziehungen ds υ =— =s dt

du .. a = — = v-s dt

Gl. 2-1/2

s = JVdf

υ = ja- dt

Gl. 2-3/4

Für eine Darstellung dieser Größen in s(t), v(t), a(t)-Diagrammen kann man aus diesen Gleichungen folgende Schlußfolgerungen ziehen: 1. Die Tangentensteigung an der s(f)-Kurve entspricht der Geschwindigkeit. 2. Die Tangentensteigung an der t>(i)-Kurve entspricht der Beschleunigung. 3. Ein „Flächen"-element der „Breite" At im u(i)-Diagramm entspricht der Änderung der Lage in diesem Zeitabschnitt. 4. Ein „Flächen"-element der „Breite" At im a(f)-Diagramm entspricht der Änderung der Geschwindigkeit in diesem Zeitabschnitt. Unter der Voraussetzung, daß für s, υ, α die gleiche Richtung positiv definiert wird, gilt für die Deutung der Vorzeichen: Bedeutung des Vorzeichens ί

Lage

υ

Bewegungsrichtung

1 gleichgerichtet -» Bewegung r vom Nullpunkt J entgegengesetzt —» Bewegung zum Nullpunkt

a

Beschleunigung oder Verzögerung

1 gleichgerichtet —> beschleunigt r entgegengesetzt —> verzögert

Die Gleichungen 2-1 bis 4 führen für eine konstante Geschwindigkeit auf s = v-t +s0

Gl. 2-5

und für gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf v = at + v0

Gl. 2-6

s = -t2 +v0-t + s0

Gl. 2-7

70

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Die Gleichungen 2-6/7 sind für die Beschreibung einer solchen Bewegung ausreichend. In der zusätzlichen Beziehung wz = 2 f l ( s - s 0 ) + i^

Gl· 2-9

ist die Zeit eliminiert. Im Abschnitt 2.5.1 werden für ungleichförmig beschleunigte Bewegungen Lösungsansätze gegeben. Jedoch sind analytische Lösungen nur möglich, wenn die Abhängigkeiten durch integrierbare bzw. differenzierbare Gleichungen dargestellt werden können. In der Technik ist das oft nicht der Fall. Hier führen die im Abschnitt 2.5.2 behandelten graphischen Verfahren, die mit Computerprogrammen ausführbar sind, immer zum Ziel.

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes 3.1 Einführung Die Ergebnisse des vorigen Kapitels werden auf eine krummlinige, in der Ebene liegende Bahn übertragen. Dazu ist es notwendig, den Beschleunigungsbegriff zu erweitern. Für eine geradlinige Bewegung ist die Beschleunigung die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Bei einer Krümmung der Bahn muß zusätzlich die Richtungsänderung der Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Anders ausgedrückt, Geschwindigkeit und Beschleunigung haben Vektoreigenschaften. Das führt auf die Normalbeschleunigung, die im allgemeinen Fall eine Komponente des Beschleunigungsvektors ist. Diese ist von besonderer Wichtigkeit für das Verständnis aller nachfolgenden Ausführungen. Eine Bahn in der Ebene kann in verschiedenen Koordinaten dargestellt werden. Zunächst bietet sich das Kartesische System an. Die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren werden in x- und y-Richtung zerlegt. Hier stellt sich die Frage, ob das den physikalischen Vorgang richtig wiedergibt. Daß es richtig ist, ist nicht beweisbar. Die Zerlegung und Zusammensetzung nach der Parallelogrammkonstruktion gehört in der Mechanik zu den Axiomen, die per definitionem nicht beweisbar sind. In Band 1 (Statistik, Kap. 2, Lehrsatz 5) wurde sie für die Kräftezerlegung angewendet. Über das NEWTONsche Gesetz (Kap. 5), das die Kraft F mit der Beschleunigung α verbindet, erfolgt die Übertragung des Axioms auf die Kinematik. Für rotierende Systeme eignet sich das Polarkoordinatensystem r; φ besonders gut. Die Zerlegung von α und ϋ erfolgt in diese Richtungen. Als natürliches Koordinatensystem bezeichnet man eines, das sich mit dem betrachteten Punkt mitbewegt und aus zwei senkrecht zueinander stehenden Achsen besteht. Eine tangiert die Bahn und ist damit kollinear mit ϋ, die andere gibt die Lage des Vektors der Normalbeschleunigung an wider. Die nachfolgenden Abschnitte behandeln die krummlinige Bewegung eines Punktes in diesen drei Systemen.

72

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

3.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kartesischen Koordinatensystem Da nachfolgend mit Vektoren gearbeitet wird, soll hier etwas zu ihrer Schreibweise angegeben werden. Ein Vektor wird durch einen über dem kursiven Buchstaben gesetzten Pfeil gekennzeichnet (z.B. Beschleunigung a). Ist die Wirkungsrichtung durch einen Index angegeben, kann auf eine zusätzliche Kennzeichnung als Vektor verzichtet werden (z.B. Beschleunigung Ax). So wird hier verfahren. Für Abbildungen gilt Analoges. Die Vektoreigenschaft wird durch den Pfeil angezeigt, die Bezeichnung (z.B. a) gibt die skalare Größe der Beschleunigung in Richtung des Pfeils an. Wird der Pfeil mit α bezeichnet, geben sowohl Pfeil als auch diese Bezeichnung die Vektoreigenschaft an. Ein Punkt bewegt sich nach Abb. 3-1 auf einer gekrümmten Bahn, die in einem Kartesischen Koordinatensystem liegt. Während des Zeitintervalls At verlagert er sich von Ρ nach Pj. Diese Position kann von Ρ aus mit dem Vektor Δ? angegeben werden. Die mittlere Geschwindigkeit während At ist Δ? At

Der Vektor ö m hat die Richtung von Δ?, ist demnach eine Sekante der Bahn. Die momentane Geschwindigkeit z.Z. t erhält man durch den Grenzübergang von At —> 0. Anders ausgedrückt, der Punkt Pj nähert sich Ρ so, daß Δ? -» d? übergeht und aus der Sekante eine Tangente wird ΜΔ/

di

Der Vektor ϋ tangiert die Bahn. Seine Komponenten im Kartesischen Koordinatensystem sind yk

lohn Bahn P, (Zeit ί + Δ ί )

ο-

χ

Abb. 3-1: Krummlinige Bahn im Kartesischen Koordinatensystem

-31 ν

χ

73

3.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung dx vr =

—

. χ

=

dt

Gl. 3-1 dy

.

Zur Definition der Beschleunigung wird nach Abb. 3-2 der Punkt z.Z. t und At später mit den jeweiligen Geschwindigkeitsvektoren gezeichnet. Im vorliegenden Fall wird der Punkt schneller: löjl > ΙΰΙ. Die Vektoren unterscheiden sich um Au Die mittlere Beschleunigung während des Zeitintervalls At ist a„m

Δΰ = — Δί

(Zeit ί + Δv a y =

~ d T

= V y = y

74

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

y Bahn

a

a.

x

Abb. 3-3: Beschleunigungsvektor an krummliniger Bahn

Im Gegensatz zum Vektor ΰ tangiert der Beschleunigungsvektor α niemals die Bahnkurve. Das kann man sich für den Fall υ = konst. besonders gut klarmachen. In der Abb. 3-2 entspricht das lüjl = ΙύΙ. Der Vektor ϋ bleibt in seiner Länge erhalten, schwenkt aber. Damit liegt Δΰ senkrecht auf Δ5. Der Beschleunigungsvektor steht in diesem Fall senkrecht auf der Bahntangente und ist nach innen gerichtet. Aus diesen Überlegungen kann man folgende Schlußfolgerungen ziehen: 1. Auf einer gekrümmten Bahn unterliegt ein bewegter Punkt immer einer Beschleunigung, auch dann wenn die Geschwindigkeit konstant ist. 2. Der Beschleunigungsvektor ist bei Bewegung auf gekrümmter Bahn immer nach innen (Seite des Krümmungsmittelpunktes) gerichtet.

3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten Für viele Aufgaben ist es zweckmäßig, in Polarkoordinaten zu rechnen. Aus diesem Grund sollen die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in die radiale und in die Umfangskomponente zerlegt werden. Betrachtet wird die Bahn von Abb. 3-1. Ihre Geometrie wird von Polarkoordinaten nach Abb. 3-4 beschrieben. Von einem frei wählbaren Nullpunkt wird ein Ortsvektor r eingeführt. Seine Richtung ist φ von einer definierten Linie aus gemessen. Im Zeitintervall At verlagert sich der Punkt in radiale Richtung um Ar und in Umfangsrichtung um r • Αφ. Die zugehörigen Geschwindigkeitskomponenten sind Ar

υτ = rhm — 4h0 At — =r

Gl. 3-3

75

3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die zeitliche Änderung des Winkels φ ist άφ/dt = φ. Diese Größe wird analog zur Geschwindigkeit als Winkelgeschwindigkeit definiert und mit ω bezeichnet. Die Dimension von ω ist Zeit -1 , die Einheit meistens s_1. Damit erhält man die Umfangsgeschwindigkeit υφ=Γ·φ

= Γ·ω

Gl. 3-4

Die Zerlegung der Beschleunigung in radiale und Umfangsrichtung bedarf einer genaueren Untersuchung. Ausgegangen wird von der Abb. 3-5. Während des Zeitintervalls At hat sich der Punkt von Ρ nach Pi bewegt. Der Winkel φ, die Länge des Polstrahls r und die Geschwindigkeit t» haben sich dabei um Αφ, Αr und Δυ geändert. Die Vektoren ϋ und öj werden in die Komponenten t3r und ϋφ zerlegt und aneinander gelegt gezeichnet. Die Änderung der Radialgeschwindigkeit setzt sich aus der Längenänderung des Vektors ϋΓ und der Richtungsänderung des Vektors ϋ φ zusammen. Diese Anteile sind in der Abb. 3-5b durch eine rechteckige Umrahmung gekennzeichnet. Die Änderung beträgt demnach ΔυΓ - υφ · Αφ. Daraus folgt für die Radialbeschleunigung .. ΔυΓ .. Δφ di>, α, = l i m — L - lim υφ •—z- => a, =—--vm Δ/—>O Δ Ί At—*o At dt

dφ —-. dt

Mit den Gleichungen 3/4 ist ar =r-r-(p2

=r-rco2.

Gl. 3-5

Die Änderung der Umfangsgeschwindigkeit setzt sich aus der Längenänderung des Vektors ϋφ und der Richtungsänderung des Vektors ϋτ zusammen. Die Größen sind in der Abb. 3-5 mit einem ovalen Rahmen gekennzeichnet. Sie beträgt Αυφ + υτ • Αφ. Die Umfangsbeschleunigung ist deshalb ,. Αυφ Αφ άυφ άφ α0 = lim — - + lim υ, · —1- => αω = — - + υ, · — . Ψ

Δ/—»Ο Δ ί

Δ/-*Ο

Δί

dt

dt

76

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Nach der Gleichung 3-4 ist (Produktenregel)

Analog zur Beziehung s = α wird als

Winkelbeschleunigung

φ= ώ= α definiert. Die Dimension ist Zeit -2 , die Einheit meistens s~2. Unter Beachtung der Gleichungen 3-3/4 ist αψ =υτ ·φ + Γ·φ + υτ φ αφ= 2 vr ω + r a.

Gl. 3-6

Es sei besonders betont, daß die resultierenden Vektoren ϋ = ΰΓ + ϋφ und a = ät + αφ denen von Abschnitt 3.1 entsprechen. Dort wurden sie in xund y-Richtung zerlegt. Alle Schlußfolgerungen, die im Abschnitt 3.1 gezogen wurden, gelten unabhängig vom Koordinatensystem. Die Größen φ, ω, α können entsprechend dem Momentvektor (Band 1, Kapitel 11) als Vektoren φ, ώ, α, dargestellt werden, die senkrecht auf der Bewegungsebene stehen. Die Vektorenspitzen weisen, wie in Abb. 3-6 dargestellt, in Richtung einer in diesem Drehsinn gedrehten Rechtsschraube. Die Umfangsgeschwindigkeit kann als vektorielles Produkt ϋφ=ώχΡ, gedeutet werden (Abb. 3-7).

3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung

77

Abb. 3-6: Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung in Vektordarstellung

Rechtsgewinde

Ii

u„ = a)Xr

Abb. 3-7: Vektorielle Darstellung der Umfangsgeschwindigkeit

Nach dieser mehr auf Anschaulichkeit und geometrische Deutung angelegten Ableitung, sollen die Gleichungen durch Differentiation des Ortsvektors bestätigt werden. Dazu soll zunächst die Ableitung der Einheitsvektoren nach der Zeit gebildet werden. In Abb. 3-8 sind die beiden Einheitsvektoren zum Zeitpunkt t und di später skizziert. Dabei erfolgt eine Drehung mit ω - φ. Der Vektor eT(t) ändert sich um der. Diese Änderung liegt jedoch in Richtung φ. Deshalb gilt deT = der • ef

(Betrag χ Einheitsvektor).

Der Betrag (Länge) von der ist gleich eT • άφ = er · φ · di, wobei er = 1 ist. Das folgt aus dem von den Einheitsfaktoren eT gebildeten Dreieck. Zusammenfassend kann man schreiben der =

\·φ·άί·εφ

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

78

Auf gleichem Weg erhält man d e 9 = - d e f • eT άβφ =-e

v2

0,849 2 m2/s2

an

0,377 m/s2

r = — = -

sin δ = 0 , 1 3 3 m/s2.

= 1,911m

84

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Im Punkt y = 4,40 m bewegt sich das Objekt mit 0,849 m/s verzögert mit 0,133 m/s2 auf einer gekrümmten Bahn mit dem Krümmungsradius r = 1,911 m. Beispiel 2

An einer koordinatengesteuerten Werkzeugmaschine soll der Werkzeugträger über eine x-Spindel und y-Spindel einen vorgegebenen Punkt anfahren. Für beide Spindeln (Richtungen) sind die konstant angenommenen Beschleunigungen und Verzögerungen sowie die maximalen Verschiebegeschwindigkeiten bekannt. Die Kinematik eines solchen Vorgangs ist zu erfassen. Beispielhaft soll das für folgende Daten geschehen: Beschleunigung x-Richtung y-Richtung Ausgangslage x/y: Endpunkt x/y:

Verzögerung

1,20 m/s2 0,60 m/s2 2 0,80 m/s 0,40 m/s2 0/0 840 mm / 720 mm

max. Geschwindigkeit 0,60 m/s 0,40 m/s

Lösung x-Richtung

Auch für die Lösung dieses Beispiels bietet sich das Kartesische Koordinatensystem an. Das υ-ί-Diagramm zeigt die Abb. 3-13. Die Beschleunigungszeit beträgt 0,60 m/s „ c n t\=— r = 0,50s, 1 1,2 m/s2 die Bremszeit u-u=

ο

f,

-0,6 m/s . = 1,00s. -0,6 m/s2

Abb. 3-13: V(r)-Diagramm für Werkzeugschlitten

85

3.4 Die tangentiale und die normale Beschleunigung

Die eingeschlossene Fläche des υ-t-Diagramms entspricht dem zurückgelegten Weg. Das führt zu 1 1 χ = — ·ίι· Dxmax + (t2 ~ ί]) · f x m a x + — · (h ~ h)' Uxmax h~ti =

=

^xmax

^

——\ih+(h-ti)]

_g284m__l[050 + 0,60m/s

100] 1

2

t2-tx = 0,65s.

Damit erhält man tr = 0,50 s;

t2 = 1,15 s;

t3 = 2,15 s.

Auch hier bietet sich die FÖPPL-Schreibweise für die Erfassung des Vorgangs an. Ausgegangen wird von Abb. 3-13, wobei zu bedenken ist, daß die Beschleunigung a der Steigung im υ-f-Diagramm entspricht. υχ = (t) · ax0 + (t - 1 , ) • (0 - ax0) + • (ax2 - 0 ) . Für die weitere Bearbeitung werden folgende Einheiten festgelegt. t

s

υ

s

m

m/s

υ χ = t • 1,20-({-0,50) · 1,20 -(t-1,15)

· 0,60

λ: - f 2 0,60 - (f - 0,50)2 · 0,60 - (t -1,15) 2 · 0,30. y-Richtung

Analog erhält man h

h~h=

h-h=—

0,40 m/s _ c n r = 0,50s 0,80 m/s2 -0,40 m/s : τ = 1,00 s -0,40 m/s2

^ymax

Damit ist tx = 0,50 s;

~[ti+(h-t2)]

^

t2 = 1,55 s;

= 1,05s.

t3 = 2,55 s.

(1) (2)

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

86 Für die gleichen Einheiten ist

Vy = (t) · 0,8 + (t- 0,5) · (0 - 0,80) + max; Bahn geradlinig Einsetzende Verzögerung in x-Richtung; Bahn gekrümmt Einsetzende Verzögerung in _y-Richtung In x-Richtung Position erreicht. In y-Richtung Position erreicht. Vorgang beendet.

Beispiel 3 (Abb. 3-16)

Der skizzierte Arm wird entgegengesetzt Uhrzeigersinn von φ = 0 ausgehend in Drehung versetzt. Er erreicht bei φ = 20° eine konstante Winkelgeschwindigkeit von 3,0 s_1. In dieser Position wird die Masse m von r = 200 mm beginnend, mit 0,50 m/s2 gleichförmig nach außen beschleunigt. Dieses System könnte das Modell eines werkzeugbestückten Roboterarms sein. Zu bestimmen sind für = 230°, a) die resultierende Geschwindigkeit, b) die Beschleunigung in den polar- und natürlichen Koordinaten, c) die Krümmung der Bahn für die Masse m.

88

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Abb. 3-15: Zur Berechnung des Bewegungszustandes und der Bahnkrümmung des Werkzeugschlittens z.Z. t = 1,40 s

Abb. 3-16: Modell für einen Roboterarm mit einer verschieblichen Masse

An der Masse m werden durch die Beschleunigungen Kräfte wirksam, die auf den rotierenden Arm übertragen werden. Ihre Größe wird in Beispiel 2 des Abschnitts 7.2.2 ermittelt. Lösung Hier bieten sich für die Lösung die Polarkoordinaten an. Die Zeitzählung beginnt bei der Position % = 20°. Radiale Richtung

Umfangsrichtung

r=a

ip = 0

r = vr = a · t + 0 (1)

φ - ω0;

r = ~t2

(2)

+ r0

υφ-Γ·ω0

φ = ω0·ί + φ0.

Lage Gleichung (4) für φ, und i, _ a--k·

ω2.

Aus Versuchen kann für ein bekanntes Trägheitsmoment des Rotors der Faktor k bestimmt werden. Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen und für die unten gegebenen Daten auszuwerten und in Diagrammen darzustellen. Ausgangsdrehzahl

n0 = 1000 min"1 - 16,67 s"1 ; k = 2,20 · 10"4.

Lösung Es handelt sich um den in Abschnitt 2.5.1 behandelten Fall 6, der mit dem Ansatz α · άφ = ω • dco gelöst wird. -k-ω2

·άφ-ω·άω

-k-φ-

^Ιηω + Q. w

103

4.3 Die Drehung (Rotation) Mit den Anfangsbedingungen φ = 0 für ω = o\) erhält man O^lniüo+Q -k-φ-

=>

^=-1ηω0

1ηω-1ηω 0 = I n — ω0

ω = ω0·

e-^

(1) (2)

η = «ο ·

Das ist die Abhängigkeit der Drehzahl η von der Anzahl der Umdrehungen z- Die Gleichung (1) entspricht dem im Abschnitt 2.4.1 diskutierten Fall 4. dö) = a = -ka)2 ~d7 lfdö) 1 „ t = — J —2 = + C2. k ω kco Für t = 0 ist ω - Cüb - + C, k(OQ

0 = -

=>

C,=kco0

1_J_ ω ω0

t=-

Die Umstellung nach ω führt auf ω=

ω0 1 + k(ont

(3)

und n=1+

nο k-2n-n0-t

(4)

104

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Die Integration von (3) liefert 0 => 28 m · 5,555 s_1 = 1,555 m/s (i) Dieser muß der Anteil der Schiebung ΰΒ überlagert werden. Die vektorielle Addition ϋΕ = ϋβ +

ÜEB

zeigt die Abb. 4-15. Das Dreieck kann für die Berechnung genutzt werden Dex = üb · cos 45° = 0,889 m/s (-») VEy = Vß • sin 45° - i>eb = (0,889 -1,555) m/s = - 0,666 m/s ( i ) Ue =1,111 m/s ^ 36,8° In der betrachteten Position dreht die Schwinge DC mit vc 0,889 m/s = = 2,963 s 1 /DC 0,30 m

n

Abb. 4-16: Geschwindigkeitsvektoren an der Schwinge

115

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

im Uhrzeigersinn (Abb. 4-16). Die Geschwindigkeit des Punktes Η errechnet sich aus UH_= / d h • iüfcD = 0,268 m · 2,963 s"1 = 0,794 m/s t 26,6° Die zugehörigen Beschleunigungen werden im nächsten Abschnitt berechnet. 4.4.2 Der momentane Drehpol Wie bisher mehrfach ausgeführt, ist die Winkelgeschwindigkeit eines in der Ebene gedrehten Körpers unabhängig vom Pol. Anders ausgedrückt, der Vektor ώ ist parallel verschieblich (freier Vektor). Eine spezielle Verschiebung von ώ zeigt die Abb. 4-17. Eine allgemeine Bewegung nach dieser Abbildung kann man als eine Drehung um einen Pol Μ deuten. Dieser liegt auf der Senkrechten von ΰ Α im Abstand r = υΑ/ω so, daß ϋΑ den Drehsinn von ω ergibt. Alle anderen Teile der starren Scheibe müssen sich im betrachteten Zeitpunkt mit Geschwindigkeiten bewegen, die einer Drehung um eine Achse Μ entsprechen. Bei einer allgemeinen Bewegung wandert der Pol M. Er wird deshalb momentaner Pol genannt.

Abb. 4-17: Zur Definition des momentanen Drehpols

Die Abb. 4-18 zeigt die Bestimmung der Lage des momentanen Pols Μ für verschiedene Fälle. Sind zwei Geschwindigkeitsrichtungen bekannt, ergibt sich Μ als Schnittpunkt der beiden Senkrechten. Bei zwei parallelen Geschwindigkeiten müssen zusätzlich ihre Größen bekannt sein, um nach den Gesetzen der Drehung den Pol Μ zu finden. Mit Hilfe des momentanen Pols kann man schnell Geschwindigkeiten von Punkten allgemein bewegter Körper bestimmen. Diese Methode darf für die Ermittlung von Beschleunigungen nicht angewendet werden. Das wird im nachfolgenden Abschnitt begründet.

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

116

Beispiel 1 (Abb. 4-19) In diesem Beispiel sollen Rad und Walze beim Abrollen auf einer ruhenden Unterlage verglichen werden. Für beide Fälle sind der momentane Drehpol und die Geschwindigkeit in den Punkten B, D, Ε nach Größe und Richtung zu bestimmen. Lösung Rad: Der Mittelpunkt 0 bewegt sich mit v A nach rechts, wobei das Rad mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Nach der Konstruktion Abb. 417 folgt, daß der Abstand des Momentanen Drehpols vom Mittelpunkt r = υΑ/ω gerade der Berührungspunkt des Rades auf der Unterlage ist. Das ist einleuchtend, denn im Moment der Berührung ist dieser in Ruhe. Eine Bestätigung dafür liefert die Zusammensetzung von Schiebung und Drehung nach Abb. 4-20. Die Geschwindigkeit der einzelnen Punkte kann aus der Drehung um den Auflagepunkt bestimmt werden (Abb. 4-21)

=

;

vD = 2vA->

45° ; t>B-V2uAt:

45° ; Ue = V2UA2C·

Walze: Auch hier ist, wie aus den Ausführungen oben folgt, der Momentane Drehpol der Auflagepunkt der Walze. Die Abb. 4-21 gilt, wobei jedoch der obere Punkt D mit v A bewegt wird. t>D = uA

1 ; υ0=-·υΑ

45 V2 ° ; υΒ= — ·υΑ ^

V2 ; υΕ= —

450

·υΑ

117

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

Zusammenfassend soll festgehalten werden, daß bei Abrollvorgängen beliebig geformter Körper der Abrollpunkt der momentane Drehpol ist. Aus den einfachen Gesetzen der Drehung kann die Geschwindigkeit beliebiger Punkte des Rollkörpers bestimmt werden.

A Schiebung

Drehung

Abb. 4-20: Schiebung und Drehung einer rollenden Scheibe

Beispiel

2

Für den Kurbeltrieb Abb. 4-11 sind die Geschwindigkeit des Kolbens und die Winkelgeschwindigkeit des Pleuels mit Hilfe des momentanen Drehpols zu bestimmen. Lösung (Abb. 4-22) Der momentane Drehpol ist der Schnittpunkt der Senkrechten auf den Geschwindigkeitsvektoren t?B und v D . Die Scheibe BDM dreht sich im Moment der Betrachtung wie ein starrer Körper um den Punkt M. Aus dem Dreieck ADM erhält man die Abstände von Β und D von diesem Drehpol

118

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

'MA — 'ab + 'BD " c o s 10,2°

cos45°

cos 10,2° lMA — = 262,7 mm MA = 40 mm + 160 mm cos45° /MD = /MA · sin 45° = 185,8 mm 'mb = W - 'ab = 222,7 mm Bekannt ist die Geschwindigkeit t>ß - 20,94 m/s, damit ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe BDM ω = ωΜΒ = ωΒΜ = ω ΒΟ = ωΟΒ =

vB 20,94 m/s . . , ^ = ^ ^ = 94,03 s- 1 Ο /ΜΒ 0,2227 m

und OD = lMD · ω - 0,1858 m · 94,03 s"1 = 17,47 m/s (->) Die Ergebnisse sind bestätigt. Hier sollte sich der Leser nochmal darüber klar werden, daß die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers nicht nur auf die tatsächliche, u.U. materiell ausgeführte Drehachse bezogen ist, sondern für alle Bezugspunkte der Scheibe gleich ist. Wenn sich an der Scheibe BDM z.B. die Kante MD um den Winkel φ dreht, dann tut es auch die Kante BD, die der Achse des Pleuels entspricht. Damit drehen sich MD, BD und alle beliebigen Linien auf der Scheibe mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

Abb. 4-22: Momentaner Drehpol des Pleuels vom Kurbeltrieb Abb. 4-11

119

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand Beispiel

3 ( A b b . 4-23)

In dem im Schema skizzierten Umlauf-(Planeten)-Getriebe wird das Rad Α angetrieben. Dieses ist im Eingriff mit dem Rad B, das mit Rad D fest verbunden ist. Rad D rollt auf der feststehenden Innenverzahnung ab und dreht dabei über den Steg die Welle II. Es ist in Abhängigkeit von den Radien rA, rB, rD das Übersetzungsverhältnis ni/nu zu berechnen.

Drehpol)

Abrollpunkt

'//ΔίΖώ

Eingriffspunkt—__ Zahnräder (A) ( B )

Innenverzahnung

7777777/ 777777/,

Innenverzahnung

Abb. 4-23: Planetengetriebe

Lösung Die Umfangsgeschwindigkeit des Rades Α ist =rA

• Ü>I •

Das ist gleichzeitg die Geschwindigkeit der im Eingriff befindlichen Zähne des Rades B. Der Abrollpunkt des Radblockes Β D ist der momentane Drehpol der Rollbewegung. Damit liegt die Geschwindigkeit i>n fest (Strahlensatz) +

%

fb^fß

rAto

Es gilt für den Steg von der Länge ls vn=lswn=(rA

+ rB)^u

=>

%

= — rA + rB

υ„

120

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Aus den beiden Beziehungen erhält man ö>i _ «i _ rK+rB

rO + rB

®II

"II >b r \ ί nj_ 1 + ^ 1+ ^ "II Aus dem Ergebnis folgt, daß für diese Räderanordnung immer n t > « n sein muß. Die Untersetzung ist um so größer, je größer Rad Β ist und je kleiner die Räder Α und D sind. 4.4.3 Die Bestimmung der Beschleunigungen Auch für die Bestimmung der Beschleunigungen wird die allgemeine Bewegung in einer Ebene wie im Abschnitt 4.4.1 in eine Schiebung und Drehung zerlegt. Die resultierende Beschleunigung setzt sich vektoriell aus folgenden Einzelbeschleunigungen zusammen: 1. Schiebung a) Tangentialbeschleunigung; b) Normalbeschleunigung. Diese ist null bei geradliniger Schiebung. 2. Drehung a) Tangentialbeschleunigung; b) Normalbeschleunigung. Über die Richtung der einzelnen Vektoren gilt das in den einschlägigen Abschnitten Ausgeführte. Es ist falsch, mit Hilfe des momentanen Drehpols die resultierende Beschleunigung zu ermitteln, weil die Normalbeschleunigung zum Pol der Drehung und nicht zum momentanen Drehpol gerichtet ist. Zur näheren Erläuterung soll wieder die im Abschnitt 4.4.1 behandelte Bewegung eines an den Enden geführten Stabes der Länge l nach Abb. 4-24 behandelt werden. Dieser wird mit einer Beschleunigung a A im Punkt Α gezogen. Zu bestimmen sind die Beschleunigung des Punktes Β und die Winkelbeschleunigung des Stabes Α Β. Da sich der Punkt Β geradlinig bewegt, liegt die Richtung von a B fest. Bei der Schiebung mit äA wird auch der Punkt Β nach rechts mit der Beschleunigung äA bewegt. Er würde sich dabei von der Wand lösen. Das kann nur durch eine Drehung um den Pol Α wieder rückgängig gemacht werden. Diese Drehung erfolgt hier beschleunigt. Es entstehen dabei die Normalbeschleunigung a BAn = / · ω2 und die Tangentialbeschleunigung ß BAt = l · et- Die resultierende Beschleunigung ist demnach das Ergebnis der vektoriellen Addition fl

B - aA + öBAn +flBAt·

Gl. 4-9

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

121

Abb. 4-24: Beschleunigungsvektoren bei Schiebung und Drehung eines an den Enden geführten Stabes

Es gilt wie bei der Geschwindigkeitsbestimmung: 1. Index Ort, 2. Index Drehpol. Das der Gl. 4-9 entsprechende Beschleunigungsviereck ist in der Abb. 4-24 gegeben. Aus der Tatsache, daß die Winkelgeschwindigkeit vom Drehpol unabhängig ist (s. Abschnitt 4.4.1), folgt unmittelbar: Die Winkelbeschleunigung eines starren Körpers ist bei allgemeiner ebener Bewegung unabhängig vom Bezugspunkt. Für die Lösung von Aufgaben ist es notwendig, folgendes zu beachten: 1. Von vier Vektoren müssen neben allen Richtungen zwei in ihrer Größe bekannt sein. Außer einem vorgegebenen Vektor (z.B. aA in Abb. 4-24) ist das der Vektor der Normalbeschleunigung, die aus der Winkelgeschwindigkeit berechnet wird (äBAn). Deshalb müssen vor der Bestimmung der Beschleunigungen die Geschwindigkeiten nach Abschnitt 4.4.1 ermittelt werden. 2. Die Schiebung muß mit der Beschleunigung erfolgen, die unmittelbar gegeben oder aus anderen Angaben berechenbar ist (z.B. aB in Abb. 424, Beispiel 1). 3. Die Drehung erfolgt um den Punkt, dessen Beschleunigung für die Schiebung verwendet wurde (Schiebung mit aA erfordert Drehung umA). Die Begründung der Punkte 2 und 3 entsprechen denen für die Geschwindigkeitsbestimmung im Abschnitt 4.4.1. Für eine verzögerte Bewegung von Α nach rechts sind die in der Abb. 4-25 gezeichneten Beschleunigungsvierecke möglich. Dabei ist vorausgesetzt, daß bei gleicher Geschwindigkeit von Α die Verzögerung verschieden groß ist. Im Fall a) ist diese sehr groß. Der Vektor ä ß weist nach oben. Da a B und ύΒ entgegengesetzt gerichtet sind, gleitet der Punkt Β verzögert nach unten, ä und ώ sind auch entgegengesetzt gerichtet. Die Drehung von AB entgegen dem Uhrzeiger erfolgt verzögert. Eine mittle-

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

122

Δ Θ

©

Θ

Abb. 4-25: Mögliche Beschleunigungsvierecke für den Stab Abb. 4-24

re Verzögerung von Α stellt das Viereck b) dar. Der Vektor a B hat sich umgekehrt. In diesem Fall bewegt sich Β beschleunigt, obwohl Α verzögert ist. Für die Drehung gilt die Aussage von Fall a). Bei einer geringen Verzögerung (Fall c) sind ä und ώ gleichsinnig. Damit erfolgt die Drehung von AB beschleunigt. Die obigen Ausführungen sollen die Erkenntnis vermitteln, daß durch vorherige Überlegungen und Schlußfolgerungen nicht ermittelt werden kann, ob die Bewegung eines Punktes, bzw. die Drehung eines Bauteils bei allgemeiner Bewegung beschleunigt oder verzögert erfolgt. Eine Aussage darüber ist erst nach der Konstruktion des Beschleunigungsvierecks möglich. Beispiel 1 (Abb. 4-11) Das im Abschnitt 4.4.1 begonnene Beispiel „Kurbelwelle" wird fortgesetzt. Für die dort gegebenen Daten und die gezeichnete Position sollen die Beschleunigung des Kolbens und die Winkelbeschleunigung des Pleuels berechnet werden. Die Drehzahl der Kurbelwelle ist konstant. Lösung (Abb. 4-26) Die Lösung wird mit einer Skizze nach Abb. 4-26 vorbereitet. Das Pleuel soll dabei im Zustand der allgemeinen Bewegung, der Schiebung und der Drehung dargestellt werden. Die Vektoren werden zunächst nicht eingezeichnet. Anschließend ist zu überlegen, welche Beschleunigungen bekannt oder berechenbar sind. Im vorliegenden Fall ist es zunächst a B . Die Kurbel läuft mit konstanter Drehzahl. Es gilt aB = aBn = /AB · (02ab = 0,04 m· 523,62 s"2 = 1,097 · 104 m/s2 Da auch die Richtung von ä B bekannt ist, muß mit dieser Größe geschoben und um Β gedreht werden. Die Winkelgeschwindigkeit des Pleuels ®bd = «DB ist bereits ermittelt. Damit ist a DBn berechenbar ÖDBn -IDB • ®DB = 0,16m-94,052 s"2 = 1415m/s2

123

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

/•w! = aD Abb. 4-26: Beschleunigungsplan für den Kurbeltrieb Abb. 4-11

In den Skizzen des Pleuels können folgende Vektoren eingezeichnet werden. Allgemeine Bewegung: aB und die horizontale Wirkungslinie von äD (ohne Pfeilspitze!). Schiebung: a B für alle Punkte des Pleuels. Drehung ö DBn in Richtung B, senkrecht dazu Wirkungslinie von a D B t ohne Richtungsangabe. Das ist die Vorbereitung für die Auswertung der Gleichung 4-9, die hier die Form ÖD -

a

B + a DBn + flDBt

hat. Das dazugehörige Beschleunigungsviereck wird gezeichnet. Entsprechend der Skizze wird vom Vektor a B ausgegangen, an den a D B n angesetzt wird. Anschließend wird eine dazu senkrechte Linie gezeichnet. In dieser liegt « DBt . Vom Ausgangspunkt zeichnet man eine Linie in Richtung a D . Damit ist das Viereck geschlossen. Die Richtungen der Vektoren entsprechen der oben gegebenen Gleichung. Erst jetzt können die Pfeilspitzen in die Skizze des Pleuels eingetragen werden. Das Beschleunigungsviereck dient zur Berechnung der gesuchten Größen - % · sin 45°+OoBn · sin 10,2°+a DBt - cos 10,2°=0 ^DBt ~ ^DBt -

1

- (% · sin 45°- «oßn · sin 10,2°)

COS 10,2

1 - (1,097 · 104 · sin 45°-1415 · sin 10,2°) m/s2 cos 10,2'

acut = 7629 m/s2

124

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene αΌ = -aB cos 45° -ö DB n · cos 10,2° +a DBt sin 10,2° α Ό = (-1,097 · 104 · cos45° -1415 · cos 10,2°+ 7629· sin 10,2°) m/s2 flD = -7799m/s 2 ( k = — b

ίπ \ cos ^•b - 1

Ü ! = -

"1>f Mit cos π = - 1 ist πι>! t>f 2b

^mflY

Die Terme amax und k werden in (2) und (3) eingesetzt. Nach teilweisem Kürzen und Umrechnen auf Gradmaß (π= 180°) ist a=

π-Vi-Vf L . — sin - 1 8 0 ° 2b b

v=-

πυχ-Vfb 2 bnv{

v =-

1-cos

(4)

cos| -j-• 180° I — 1

-180°

(5)

b

Es gilt, den Zusammenhang zwischen der Lage des Stößels y und der Schubkurve χ zu finden. Die Gleichung (1) liefert dy-——dx Vf

=>

y-—^-ίυ-dx. Vf J

Diese Beziehung erhält man auch aus der Integration der Gleichung (5)

i v dt mit v = v und — = -u D JC

y

y

y= }f — - — d x = ——J ίυ-dx . dx/dt uf

f

134

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Mit Gleichung (5) ist y = -~Μ 1-cosi—·180°1 dx 2uff J . 2v U J

2 υ.

χ-— sini— 180c π

(6)

\b

Die Bedingung y = 0 für χ = 0 ist erfüllt, d.h. die Integrationskonstante ist gleich Null. Somit stellt die Gleichung (6) die gesuchte Schubkurve dar. Die Gleichungen (4) (5) und (6) lauten für den vorgegebenen Fall mit b

v{ = - — •• At

0,40 m = -0,50 m/s 0,80 s

y = 0,200 χ

400 mm π

υ = 0,10 m/s· 1 - c o s

a = 0,393 m/s2· sin

. sin

400 mm

•180°

-180°

400 mm

•180°

400 mm

Die Schubkurve ist nach dem Beschleunigungsteil linear mit der Steigung 2/5 = v^vf auszuführen. Die Form der Schubkurve und das υ-χ- und a-xDiagramm zeigt die Abb. 4-35. Beispiel 2

Die Kurbelschleife nach Abb. 4-7 soll hier weiter kinematisch untersucht werden. Für die dort gegebenen Daten sind zu bestimmen a) die CORIOLIS-Beschleunigung des Bolzens Β b) die Beschleunigung mit der der Bolzen Β im Schlitz gleitet, c) die Winkelbeschleunigung der Schleife AB. Lösung Die Gleichung 4-11 muß für das vorliegende System ausgewertet werden. Das Führungssystem f ist die um Α oszillierende Schleife AB. Die Führungsbeschleunigung kann man sich folgendermaßen anschaulich machen. Wie in der Abb. 4-36 gezeigt, denkt man sich neben dem Punkt, für den die Beschleunigungen zu bestimmen sind (hier Bolzen B), auf dem Führungssystem (hier Schleife AB) einen Punkt f markiert. Dieser

135

4.5 Die Relativbewegung

50

100

150

200

250

300

350

400

Abb. 4-35: Geometrie der Schubkurve und υ(χ); e(x)-Diagramme für den Stößel

Abb. 4-36: Detail der Kurbelschleife Abb. 4-7

unterliegt der Führungsbeschleunigung a f . Im vorliegenden Fall beschreibt der Punkt f eine Kreisbahn mit dem Radius / AB . Er ist mit a tn (Richtung zum Pol A) und äft (senkrecht zum Radius) beschleunigt. Mit Hilfe der Ergebnisse von Beispiel 3; Abschnitt 4.2 kann man ain berechnen flfn = ' a b · o L · = 0 , 5 0 9 m · 3,22 2 s" 2 = 5,28 m / s 2 ^

Die CORIOLIS-Beschleunigung für Β (Gl. 4-12) fl

Cor Β = 2 t>B rel ' ω ΑΒ

6,32°

136

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

kann auch aus den bereits ermittelten Ergebnissen berechnet werden flcorB = 2 · 1,31 m/s · 3,22 s"1 = 8,44 m/s2 4 6,32° Der Vektor äCoT ist um 90° im Drehsinn von ω gegenüber örel gedreht (Abb. 4-31/32). Die Festlegung der Richtung zeigt die Abb. 4-37. Von den Größen der Gleichung 4-11 ist außerdem die resultierende Beschleunigung des Punktes Β bekannt. Da die Drehzahl der Kurbel konstant ist, gilt «Bres - flßn = 'CB · ^CB = 0,15 m · 14,02 s"2 = 29,4 m/s2 ^ 45° Der Vektor a Bres ist zum Pol C gerichtet. Bei einer ungleichförmigen Drehung müßte die Tangentialbeschleunigung geometrisch überlagert werden. Die Gleichung 4-11 wird in ein Polygon umgesetzt. Die Konstruktion (Abb. 4-38) erfolgt folgendermaßen. Vom Ausgangspunkt werden der Vektor a Bres und einer der bekannten Vektoren gezeichnet. Hier wurde äCoT gewählt, an den aln angetragen wird. Es folgt die Wirkungslinie von a ft . Die vom Endpunkt des Vektors a Bres gezeichnete Wirkungslinie von

ß Abb. 4-37: Richtung der CORIOLIS-Beschleunigung für den Punkt Β der Kurbelschleife

Abb. 4-38: Beschleunigungsplan für die Kurbelschleife

137

4.5 Die Relativbewegung

flrei (Schlitz) schließt das Polygon. Die vektorielle Addition nach Gleichung 4-11 «res = «Cor + « f n + « f t + «Γβ1

liefert den Richtungssinn der Vektoren a ft und a fn . Aus der Geometrie erhält man die Berechnungsgleichungen flft = ö ß r e s · c o s 5 1 , 3 ° - a C o r = ( 2 9 , 4 · c o s 5 1 , 3 ° - 8 , 4 4 ) m / s 2 = 9 , 9 4

m/s2

a re 1= a Bres sin 51,3° - a fn = (29,4 · sin 51,3° - 5,28) m/s2 = 17,67 m/s2 Die Schleife dreht mit einer Winkelbeschleunigung von aAß =

9,94 m/s2 = 19,53 s- 2 Ο 0,509 m

öft /AB

Die Deutung der Richtungen führt auf folgende Aussagen: Punkt Β ürel ( ~ > )

i

flrel

der Bolzen gleitet in der Schleife verzögert nach rechts.

( _ dm F=m +υ . dr dr Für den starren Körper ist m = konst., F

d in

dr

=0

und damit F = m a. Das ist die Gleichung 5-1. Für den kontinuierlichen Massenstrom, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (z.B.Wasserstrahl), gilt dm , .. f Masse = konst . = m = Massenstrom dr Zeiteinheit y V ϋ = konst.,

— = 0. di

Man erhält F = m· ϋ.

Gl. 5-3

Nach dieser Gleichung berechnet man z.B. die Antriebskraft einer Rakete, die durch den Austoß eines Gases m mit der Geschwindigkeit υ entsteht. Das Dynamische Grundgesetz kann ohne Verwendung besonderer Transformationsgleichungen nur in einem Koordinatensystem angewendet werden, das in Ruhe ist oder geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wird (Inertialsystem). Ein mit der Erdoberfläche verbundenes System erfüllt diese Bedingung nicht. Auf Grund der Erdrotation, der Drehung der Erde um die Sonne usw. treten Normalbeschleunigungen auf. Für die überwiegende Anzahl aller Ingenieuraufgaben ist es jedoch bei weitem ausreichend, die Erdoberfläche als Bezugssystem zu wählen.

5.1 Die Newtonschen Gesetze

149

Das Grundgesetz soll auf ein Massenelement m angewendet werden, das sich nach Abb. 5-1 auf einer Kreisbahn bewegt. Da hier Vorgänge in der Ebene behandelt werden, wird auf die Vektorschreibweise verzichtet. Das auf den Mittelpunkt des Kreises bezogene Moment ist unter Verwendung der Gleichung 5-2 M = Fr = — {ιη·υφ)·τ

Für den Kreisbogen gilt r = konst. Die Ableitung erfolgt nach der Produktenregel ΆΛ

M = mr

d V

9

di

dW , - + v -r *m

di

/">(2) \ K

'

Mit υφ = r · ω erhält man .. , dco dm Μ = mrz f-t)φa-r . di dt Das Produkt m • r2 ist das Massenträgheitsmoment J des Massenelementes bezogen auf den Mittelpunkt der Kreisbahn (siehe Band 2 und Kapitel 6 dieses Buches). Für den starren Körper ist m = konst.,

di

= 0,

M = J — = Ja. di oder in Vektorschreibweise M=J- ä

Gl. 5-4

150

5 Das Dynamische Grundgesetz

Die in Kapitel 4 aufgestellte Analogie zwischen Schiebung und Drehung kann erweitert werden. Schiebung Kraft Masse Beschleunigung

Drehung F m a

Moment Μ Massenträgheitsmoment J Winkelbeschleunigung a

Für einen kontinuierlichen Massenstrom mit υφ = konst. gilt nach Gleichung (2) — = o, -^p- = rh = konst. (Massenstrom), Gl. 5-5

Μ = mr ·υφ.

Diese Gleichung formuliert das Wirkungsprinzip der Strömungsmaschinen (Turbinen, Turboverdichter u.ä.). In vorliegender Form kann man mit ihrer Hilfe z.B. das in einer Turbine vom Fluid erzeugte Moment berechnen. Eine einfache Umwandlung führt auf die EULERsche*) Turbinengleichung

5.2 Das d'ALEMBERTsche Prinzip**) An einer starren Scheibe greifen die in Abb. 5-2 gezeichneten Kräfte an. Wie im Band 1, Kapitel 2 dargelegt, kann man ein ebenes Kräftesystem im beliebigen Punkt durch die Resultierende Fres = ΣΡ und ein Moment (Kräftepaare) ersetzen. Das geschieht hier für den Schwerpunkt. Die angreifende Resultierende verursacht eine Beschleunigung in gleicher Richtung, das Moment eine Winkelbeschleunigung. Es gelten die Gleichungen 5-1/4 X F = m ·α

;

Y,M=J-ä.

Diese Gleichungen kann man folgendermaßen umstellen ΣΡ-ιη·α

=0

; ΐ Μ - / · « = 0.

*) Leonhard EULER (1707-1783) Schweizer Mathematiker. **) Jean le Rond d'ALEMBERT (1717-1783), französischer Gelehrter.

5.3 Der Energiesatz

151

Für den Fall α = 0 und ä = 0 erhält man

Σ^ = 0 ; ΣΜ= 0. Das sind die Gleichgewichtsbedingungen der Statik. Es bietet sich deshalb an, die Kraft m · α und das Moment J · ä in das Kräftesystem mit negativen Vorzeichen, d.h. entgegengesetzt der Beschleunigungsrichtungen, einzuführen und wie äußere Kräfte und Momente zu behandeln. Das so ergänzte System kann nach den Gesetzen der statischen Gleichgewichtsbedingungen behandelt werden. Nach diesem von d'ALEMBERT formulierten Arbeitsprinzip ist es möglich, eine Aufgabe der Kinetik auf eine Aufgabe der Statik zu reduzieren. Das Arbeitsprinzip von d'ALEMB E R T ist ausführlich im Kapitel 7 behandelt.

Fi

Abb. 5-2: Kräfte an einer starren Scheibe

5.3 Der Energiesatz Der Energiesatz stellt auch eine Umwandlungsform des Dynamischen Grundgesetzes dar. Integriert man die Kraft über den Weg, dann ergibt sich (Gl. 5-1 und Gl. 2-8)

Die Arbeit der Kraft F ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. Der Energiesatz ist ausführlich im Kapitel 8 behandelt. Die Vektorschreibweise bringt zum Ausdruck, daß eine Kraft nur dann eine Arbeit entlang einer Bahn verrichtet, wenn sie in Richtung dieser Bahn liegt. Die Begriffe Arbeit, Leistung, Energie werden ausführlich in Kap. 8 erläutert.

6 Impuls und Drall 6.1 Einführung Das Dynamische Grundgesetz ist unmittelbar im Impulssatz umgesetzt. Die Aussage „Kraft = Masse χ Beschleunigung" ist eine Schlußfolgerung aus diesem. Insofern steht der Impulssatz im Zentrum der Kinetik. Bei seiner Anwendung werden zwei Zustände eines mechanischen Systems verglichen. Der Zustand „vorher" plus der Einwirkung der Kräfte ergibt den Zustand „nachher". Wegen des Zeitunterschiedes „vorher" - „nachher" ist es möglich, auch zeitlich variable Kräfte in ihrer Wirkung zu erfassen. Das ist einer der Vorteile des Impulssatzes. DieAnwendung erfolgt zunächst auf den Massenpunkt. Dieser stellt eine mathematische Abstraktion dar, die auf die reale Masse übertragen werden kann, wenn alle Teile die gleiche Bahn beschreiben. Aus der Vorgabe F = 0 (freies System) folgt unmittelbar der Impulserhaltungssatz· Erst mit seiner Hilfe ist u.a. der Stoß zweier Massen rechnerisch erfaßbar. Anschließend werden Kräfte berechnet, die ein kontinuierlicher Massenstrom auf Bauteile ausübt. Ein solcher kann durch ein strömendes Fluid oder Schüttgut realisiert sein. Beim starren Körper müssen die Fälle Schiebung, Drehung und allgemeine Bewegung unterschieden werden. Die beiden letzten erfordern die Definition und Berechnung von Massenträgheitsmomenten und Zentrifugalmomenten für beliebige Achsen eines Körpers (Hauptachsenproblem). Die Anwendung des Impulssatzes auf ein rotierendes System liefert den Drallsatz• Im Rechenansatz können zeitlich variable Momente erfaßt werden. Aus der Bedingung Μ = 0 (freies System) ergibt sich der Drallerhaltungssatz. Dieser ermöglicht u.a. die Berechnung exzentrischer Stöße. Im letzten Abschnitt gilt die zunächst eingeführte Voraussetzung, daß Momentenvektor und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit kollinear sind, nicht mehr. Der Drallsatz wird auf den schnellen rotationssymmetrischen Kreisel bei Rotation um die Hauptachse des maximalen Trägheitsmomentes angewendet. Trotz der Einschränkungen decken die Ergebnisse einen überraschend großen Teil der ingenieurmäßigen Anwendung ab und erklären Phänomene, die zunächst unverständlich sind. In der Mechanik gibt es drei Erhaltungssätze. Einige Probleme sind nur mit diesen lösbar. Zwei resultieren aus dem Impulssatz. Das und die Tatsache, daß er auf Fluide anwendbar ist, begründet die besondere Wichtig-

154

6 Impuls und Drall

keit und den ersten Platz in diesem Buch im Teil Kinetik. Der dritte Erhaltungssatz gilt für die Energie.

6.2 Der Impuls des Massenpunktes 6.2.1 Der Impulssatz Der Begriff Massenpunkt ist eine Abstraktion. Da ein Punkt im mathematischen Sinne keine Ausdehung hat, kann er auch keine Masse haben. Gemeint ist zunächst ein Körper sehr geringer Erstreckung, der eine endliche Masse hat. Es kommt jedoch in einem System nicht auf die absoluten Abmessungen an, sondern auf die Proportionen zueinander. Demnach kann man durchaus sinnvoll z.B. eine Sonne trotz unvorstellbar großer Abmessungen für viele Berechnungen als Massenpunkt innerhalb des Kosmos annehmen. Es kommt offensichtlich nur darauf an, daß man sich für die Lösung einer bestimmten Aufgabe die gesamte Masse und alle Kräfte im Schwerpunkt des Körpers vereinigt denken kann. Dies kann man tun, wenn alle Massenteilchen die gleiche Bahn beschreiben wie das Massenteilchen, das gerade im Schwerpunkt liegt. Das ist die Bedingung für die Schiebung eines starren Körpers. Der Begriff Massenpunkt soll hier nicht im Sinne einer kleinen Masse, sondern wie oben erläutert benutzt werden. Dieses Kapitel befaßt sich ausführlich mit dem Grundgesetz der Dynamik, wie es im Abschnitt 5.1 formuliert wurde. Die Gleichung 5-2 F = — (m-ϋ) d r wird in die Form F· dt = d (m · ϋ) gebracht und integriert. Bei der Einwirkung von mehreren Kräften ist F die Resultierende. Diese muß nicht konstant sein, sondern kann sich mit der Zeit ändern. JS-di = - j M M o t r ο ο

M o t

dt.

Damit erhält man aus (1) die allgemeine Lösung für υ, /

υ, =

IA^Mot dt-m-g(sinβ m r

+

μ-cosβ).

{

Für t = 3,0 s und t = 5,0 s wird das Integral ausgewertet („Flächen"-bestimmung). r=3,0s I M

1 M o t

· dt

= 250 N m

·2,0 s + -

1=0

(130 + 300) N m

· 1,0 s = 715 N m s .

2

M=5,0s j M

M o t

• dt

= 715 N m s + 1 3 0 N m

· 2,0 s = 975 N m s .

r=0

Mit diesen Werten können die Geschwindigkeiten berechnet werden. t>3 = -Μ* 715N ms - 9,81 m/s2 (sin 10° + 0,05cosl0°) · 3,0 s = 5,36 m/s. — 3 103 kg 0,20m Auf gleichem Wege erhält man υ5 = 5,32 m/s. Die Motordrehzahl z.Z. t = 3,0 s wird aus der Seilgeschwindigkeit i>3 berechnet. _ · ^Mot

—

1

' ^Trommel

—

1

1

r

~

2π

·

162

6 Impuls und Drall

Für t = 3,0 s mit i>seiI = t>3 10,0-5,36m/s „„ „ . „ r . . 2 «Mot3 = —2 = 42,7 s- 1 = 2560 min- 1 . 0,20m ·2π Das maximale Motormoment verursacht die maximale Seilkraft. max

5 max = —

r

=

1 0 - 3 0 0 N m _ -3 ,kN 10 0,20m Ν

15,0 kN. —

Die beschleunigende Kraft ist die Seilkraft minus Hangabtrieb und Reibungskraft. m · «max = Smax

sn *max

m

+ ß ' COS/3),

- - g(sin ß + ß-cosß)

= 2,81 m/s 2 .

Das ist die Beschleunigung z.Z. t = 2,0 s. Beispiel 3 (Abb. 6-8) Die Abbildung zeigt ein Hubwerk, das mit Hilfe eines Flaschenzuges die Masse Α hebt und dabei durch Β entlastet wird. Die Masse Α soll auf einem Hubweg von As a von Ruhe aus auf eine Geschwindigkeit υΑ1 gleichmäßig beschleunigt werden. Dafür sind allgemein und für die gegebenen Daten zu bestimmen a) das konstant angenommene Beschleunigungsmoment am Antriebsmotor, b) die maximale Beschleunigungsleistung, c) die beim Heben von Α mit konstanter Geschwindigkeit υΑ1 notwendige stationäre Leistung, d) die Seilkräfte während der Beschleunigungsphase und stationär. Das Trägheitsmoment der rotierenden Massen wird im Beispiel 2 des Abschnitts 6.4.3 berücksichtigt. Die Annahme von Wirkungsgraden übersteigt den Rahmen dieses Fachs. mA = 12000 kg i = 10

;

;

m B = 1000 kg

υΑ1 = 0,50 m/s

;

;

r = 0,30 m

sA = 0,10 m.

;

163

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

3 Rollen

3 Rollen

Abb. 6-8: Hubwerk mit Flaschenzug und Ausgleichsmasse

Lösung Zunächst muß aus Beziehungen der Kinematik die Zeitdauer des Beschleunigungsvorgangs berechnet werden. Aus den Gl. 2-6/9 folgt 2 aA = = 1,25m/s2 ; A/ = ^ = 0,40s. 2-As

aK

Der Ansatz des Impulssatzes wird mit der Abb. 6-9 vorbereitet 6· SA- At-mA SB-At-mB-g-At

• g · At = mA · υΑ1, = -mB·

VBP

(1) (2)

0

0 Abb. 6-9: Impulssatz für vom Hubwerk Abb. 6-8 bewegte Massen

164

6 Impuls und Drall

Der Flaschenzug vermindert die Seilkraft auf 1/6 und erhöht damit die Seilgeschwindigkeit auf den 6-fachen Wert VBl = 6 ' «Al-

(3)

Die Gleichgewichtsbeziehung an der Seiltrommel (Abb. 6-10) lautet SB-r + i- MMot beschl - SA · r = 0.

(4)

Beachten: Diese Beziehung ist eine Momentengleichung aus der Statik und gilt nur; wenn die Trägheitsmomente nicht berücksichtigt sind. Den Gleichungen (1) bis (4) stehen die Unbekannten SA, SB, AiMot bescW gegenüber. Aus (1) und (2) folgt mit (3) 6

(5)

At

(6)

At Diese Beziehungen werden in (4) eingeführt und ergeben Μ Mot beschl — . I Μ Mot beschl

mA

mB

»Al m A + 6m r At

(7)

0,3 m [9,81 m/s2 (2 - 1 ) · 103 kg +1,25 m/s2 (2 + 6) · 103 kg], 10

A^Mot beschl = 594 Nm. Die Beschleunigungsleistung steigt beim Anfahren mit der Motordrehzahl und ist deshalb im letzten Zeitpunkt der Beschleunigungsphase am größten. Dabei beträgt die Winkelgeschwindigkeit ι'·υΒ1 /·6·υ Α 1 10-6 0,50m/s , Λ Λ .1 Μοΐ =i- dsx = konst,

analog für die y-Achse, t>sy = konst und allgemein üs = konst. Der Schwerpunkt eines freien Systems bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Der Ruhezustand ist der Sonderfall v s = 0. Als Beispiel für diese Aussage sollen zwei Wagen betrachtet werden, die über gespannte Federn innere Kräfte aufeinander ausüben und sich mit

167

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

der gemeinsamen Geschwindigkeit υ Α1 = t ^ nach rechts bewegen (Abb. 6-11). Während dieser Bewegung wird der Faden, der die Wagen zusammenhält, durchgebrannt. Die Federkräfte wirken so, daß der Wagen Β beschleunigt, der Wagen Α verzögert wird. Nach Ablauf dieses Vorganges bewegen sich Wagen Β mit Vß2 und Wagen Α mit υ Α2 . Dabei kann υ Α2 nach rechts, nach links gerichtet oder null sein. Der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Massen bewegt sich aber mit der vorher vorhandenen gemeinsamen Geschwindigkeit υ Α1 = υ ^ = v s = konst. Das könnte man durch Ausmessen der Lagen von Α und Β für verschiedene Zeitpunkte verifizieren. Zu beachten ist, daß die Gewichtskräfte, da sie durch entsprechende Bodenkräfte aufgenommen werden, in die Betrachtungen nicht eingehen. Faden

"A 1 =»il

"Λ2

V

S

= V

A ]

=

VB]

Abb. 6-11: Versuch zum Impulserhaltungssatz

Beispiel 1 (Abb. 6-12) Zwei PKW Α und Β stoßen nach Skizze unter dem Winkel δ zusammen, verkeilen sich dabei und schleudern auf glatter Unterlage unter dem Winkel / weiter. Die Kinetik dieses Vorgangs soll untersucht werden. Es interessiert dabei besonders der Zusammenhang zwischen den Anfangsgeschwindigkeiten und der gemeinsamen Geschwindigkeit nach dem Stoß. Weiterhin sollen Kräfte auf Wagen und Fahrer abgeschätzt werden, wobei angenommen wird, daß die Fahrer eng angegurtet sind und eindringende Teile auf sie nicht einwirken. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Stoßzeit geschätzt. Diese kann grundsätzlich näherungsweise bestimmt werden (s. Beispiel „Fallhammer" Abb. 6-21). Massen: Wagen einschließlich Fahrer mA = 800 kg; m B = 1000 kg Beide Fahrer m F = 70 kg. Winkel: δ = 30° y=20°. Gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß: υχ = 15 m/s. Stoßzeit: At = 0,1 s. Lösung Während des Stoßes wirken zwischen den beiden Wagen so hohe innere Kräfte, daß man die äußeren Reibungskräfte an den Reifen vernachlässi-

6 Impuls und Drall

168

gen kann. Mit dieser zulässigen Einschränkung handelt es sich hier um ein freies System, für das die Bewegungsgröße beim Stoß erhalten bleibt. Die Bewegungsrichtung /nach dem Stoß müßte aus Spuren ausgemessen werden, wobei eine Verfälschung durch z.B. Seitenführungskräfte der Reifen ausgeschlossen werden muß. Auf glatter Unterlage und/oder bei blockierten Rädern ist diese Bedingung weitgehend erfüllt. Es soll deshalb hier angenommen werden, daß man aus dem Bremsweg nach dem Stoß auf die Geschwindigkeit x^ schließen kann. Da sich der Vorgang in der Ebene abspielt, ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem einzuführen und Σ m · υ = konst. für die beiden Achsen anzusetzen (Abb. 6-13). x-Richtung

mA · υ Α0 · sin δ = mges · υ, · sin γ

mA y-Richtung Ubo =

(1)

sin ο m A · υ Α0 · cos δ + m B · Ugo = mges · t>! · cos γ " υι · c o s / -

me

· υ Α0 · cos j, Vi — u — ure| — u — (Uj — u)

=i> Vi = 2 u -

.

6.3 Der Impuls des kontinuierlichen Massenstromes

189

Abb. 6-31: Wassergeschwindigkeit an der Schaufel einer PELTON-Itabine

Damit ist Fu = ρ · A • Uj · (ι>! - 2 u + Dj) Fu = 2 ρ · A • ι>! · (uj - u) .

Die Umfangskraft ist am größten, wenn die Turbine blockiert ist (u = 0), und sie wird null, wenn sich die Schaufeln im Strahl mit der Wassergeschwindigkeit bewegen (v1 = u bzw. ΐή = l·^). zu b) Die Leistung der Turbine beträgt Ρ = Fu • u = 2 ρ • A • u • Vi • (i>! - u) .

zu c) Die Umfangsgeschwindigkeit uopt für die maximale Leistung erhält man aus der Ableitung von Ρ nach u, 2pA(uvj-u2v1)

P=

dΡ — = 2ρ· A-(v? du Für

~r~=

0

lst

-2u-v1).

M= M

du

oPt>

v? -2u o p t ·υ, = 0

Die Turbine gibt die höchste Leistung ab, wenn die Schaufeln mit halber Wassergeschwindigkeit umlaufen. zu d) Die maximale Leistung errechnet man aus der Gleichung für Ρ für "opt = W2

190

6 Impuls und Drall

Ρηα=2ρ·Α·-±-

2

2

Das entspricht der gesamten kinetischen Energie des Strahls. Deshalb muß die Geschwindigkeit t^ null sein, was sich für wopt = -y- aus der Gleichung für i>2 auch ergibt (vergleiche Punkt a). Das Wasser fällt nach der Energieabgabe an die Schaufeln frei herunter. Beispiel 2 (Abb. 6-32)

Auf das skizzierte Förderband, das mit der Geschwindigkeit Vg umläuft, fällt Sand frei aus der Höhe h herunter. Die wirksame Bandlänge ist /, der Steigungswinkel ß. Für die unten gegebenen Daten sind zu bestimmen a) die für diesen Transport notwendige Zugkraft im Band, b) die erforderliche Leistung. Vß = 1,20 m/s

; m = 300 kg/s

; / = 10m

; h = 1,0 m

;

ß=20°.

Lösung (Abb. 6-33) Das System wird freigemacht. Überall, wo der kontinuierliche Massenstrom geschnitten wird, muß die Kraft m · ϋ eingeführt werden. Sie wirkt - das folgt aus den Ausführungen oben - immer in die Kontrollfläche hinein. Aus Gründen des Antriebs muß das Band vorgespannt sein. Die notwendige Zugkraft ist demnach die Differenz aus der oben und unten wirkenden Kraft ^BΒ = ^B0 - ^Bu · Man erhält aus ZFX = 0

- F Bu - m · vs • sin β - m • g • sin β - m • % + Fm = 0 FB = Fm - FBu = m • g • sin ß + m (vs

Abb. 6-32: Förderband

-sinß+

Abb. 6-33: Freigemachtes Förderband

6.3 Der Impuls des kontinuierlichen Massenstromes

191

Die Fallgeschwindigkeit des Sandes ist v s = ^2g h = 4,43 m/s. Aus den gegebenen Werten kann man die Gesamtmasse des Sandes auf dem Band berechnen. Es gilt

m

m-—

mit

l

υΒ = — .

fB

'B

Dabei ist tB die Laufzeit des Bandes für die beaufschlagte Länge /. 10m =2500kg. 1,2 m/s Damit erhält man F b = 2500 · 9,81 Ν · sin 20° + 300 kg/s · (4,43 · sin 20° + 1,20) m/s FB = 8388 Ν + 815 Ν = 9203 Ν. Der erste Anteil der Kraft ist notwendig, um das Schüttgut mit konstanter Geschwindigkeit zu heben, der zweite, um es über Reibungswirkung mit dem Band mitzunehmen. Die Leistung beträgt P = FBvβ

= (8388 Ν + 815 Ν) · 1,2 m/s

Ρ = 10,1 kW + 1,0 kW β 11 kW. Der erste Anteil ist die nutzbare Hubleistung, der zweite wird durch Reibungswirkung zwischen Schüttgut und Band in Wärme umgesetzt. Die Verlustleistung in den Rollen und dem Antrieb müßte getrennt berechnet werden. Das sprengt jedoch den Rahmen dieses Beispiels. Die Lagerbelastung der Rollen kann man aus der Normalkraft FN berechnen. An der Auftreffstelle des Sandes kommt der Anteil m • vs · cos β = 300 kg/s · 4,43 m/s · cos 20° = 1,25 kN hinzu.

Beispiel 3 (Abb. 6-34) Abgebildet ist in vereinfachter Form ein Durchflußmesser für Rohrleitungen, der Massenströme mißt. Das Gerät besteht aus den Trommeln A und B, die mit radial nach außen gerichteten Schaufeln bestückt sind. Die Trommel Α wird von einem Motor mit bekannter Drehzahl η angetrieben. Die Schaufeln verleihen dem zunächst rein axial zuströmenden

192

6 Impuls und Drall

Fluid eine Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung. In der nicht drehbaren Trommel Β wird in den Schaufelkanälen die Strömung wieder axial ausgerichtet. Das dabei entstehende Moment wird im Torsionsstab mit Hilfe von Dehnungsmeßstreifen gemessen. In allgemeiner Form ist eine Auswertungsgleichung für den Massenstrom aufzustellen.

Lösung Das Meßprinzip basiert auf der Gleichung 6-8 Μ = m- A(r·

υφ)

Der Leser sollte sich darüber klar werden, daß eine Gleichung, die physikalische Größe zueinander in Verbindung bringt, Grundlage eines Meßverfahrens sein kann. In der Trommel Α wird eine Geschwindigkeitskomponente υφ=Γ· 0)Μ0, im Fluid überlagert. Dabei ist r der mittlere Radius der Beschaufelung. Der Umkehrprozeß in der Trommel Β lenkt den Strom wieder axial aus (r • υφ - 0). Das dazu notwendige Moment belastet den Torsionsstab. Μ =m r r• Μ m = -2 r -2dn

= rh • r2 • 2π • η -KM

In der Konstanten Κ sind die gerätespezifischen Werte zusammengefaßt. Der Massenstrom ist proportional zum gemessenen Moment. Dabei gehen Dichte, Zähigkeit und damit die Temperatur des Fluids nicht ein. Das ist ein besonderer Vorteil des Verfahrens.

193

6.4 Der Impuls des starren Körpers

6.4 Der Impuls des starren Körpers 6.4.1 Das Massenträgheitsmoment; das Zentrifugalmoment; der STEINERsche Satz Die Anwendung des Dynamischen Grundgesetzes auf einen rotierenden starren Körper führt auf den Begriff des Massenträgheitsmomentes. Das wurde in dem Abschnitt 5.1 gezeigt. Dieses ist folgendermaßen definiert / = J r2 • dm r ist der Abstand von der Achse (Pol), auf den das Trägheitsmoment bezogen ist. Seine Dimension ist Masse χ Länge2, die im Maschinenbau übliche Einheit ist kg · m2. Das in der Festigkeitslehre definierte Flächenträgheitsmoment 1=

jr2-dA

ist analog aufgebaut. Wo eine Verwechslung nicht möglich ist, spricht man einfach von Trägheitsmoment. Nach DIN 5497 wird das Massenträgheitsmoment mit J, das Flächenträgheitsmoment mit I bezeichnet. Eine Tabelle im Anhang enthält die Massenträgheitsmomente der wichtigsten homogenen Körper. Die Bestimmung der Flächenträgheitsmomente ist im Band 2 ausführlich behandelt worden. Die notwendigen Gleichungen, die wegen der Analogie den gleichen Aufbau haben, sollen hier nicht noch einmal abgeleitet, sondern nur mit kurzer Erläuterung aufgeführt werden. Um dem Leser die Mitarbeit zu erleichtern, wird dabei auf die entsprechende Gleichungsnummer des 2. Bandes verwiesen. Der STEINERsche*) Satz wurde in der Festigkeitslehre für das aequatoriale Trägheitsmoment abgeleitet. Es soll bewiesen werden, daß er auch für das polare Trägheitsmoment gilt, also auf eine senkrecht zur Zeichenebene bezogene Achse. Die Abb. 6-35 zeigt eine starre Scheibe in einem Schwerpunktsystem je, y, ζ und einem parallel verschobenen System x, y, z. Es gilt Jz - jr2

dm-

j(x2 + y2)dm

= J^ +Jy

; Jz=Jx

+ Jy

Mit dem STEINERschen Satz (Band 2, Gl. 4-11) wird umgerechnet J* = h + yim

; Jy = Jv +

xim

*) STEINER, Jakob (1796-1863), Schweizer Geometer.

194

6 Impuls und Drall

Wegen rs2 = xs2 + yi ist Jz = Jx + Jy = Jx + Jy + (x£ + yl)m = ]τΛ-τ}·τη Allgemein geschrieben J = Js + r2s-m

Gl. 6-9

Das ist der STEINERsche Satz für Massenträgheitsmomente in allgemeiner Form. Da der zweite Summand immer positiv ist, gilt: Für alle parallelen Achsen ist das Trägheitsmoment für die Schwerpunktachse am kleinsten. Aus der Ableitung des Satzes folgt: Das polare Trägheitsmoment einer flachen Scheibe ist die Summe von zwei aequatorialen Trägheitsmomenten, deren Bezugsachsen senkrecht aufeinander stehen und sich im Pol schneiden. Der Trägheitsradius i ist der Abstand von der Achse, in dem man sich die Masse bei gleichem Trägheitsmoment punktförmig vereinigt denken kann J = mi2 Gl. 6-10 Diese Beziehung entspricht der für Flächenträgheitsmomente (Band 2, Gleichung 7-1).

195

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Die auf einen bestimmten Achsabstand r reduzierte Masse ist so groß, daß sie, in diesem Abstand von der Drehachse angeordnet, das gleiche Trägheitsmoment hat: J W r e d = " 1Γ

Gl.

r

6-11

Die Abb. 6-36 versucht, diese Begriffe zu veranschaulichen.

Im Abstand Γ eine reduzierte Masse konzentriert

Masse m im Abstand i konzentriert

Trägheitsmoment auf Pol bezogen J

Abb. 6-36: Zu den Begriffen „Trägheitsradius" und „reduzierte Masse"

Für ebene, dünne Scheiben kann man das aequatoriale Massenträgheitsmoment aus dem Flächenträgheitsmoment bestimmen. Man denkt sich die Fläche Α in einer Dicke s mit einer Masse, d.h. einem Stoff der Dichte p, belegt. Um vom Flächen- auf das Massenträgheitsmoment zu kommen, muß man deshalb die Fläche mit dem Produkt s · ρ multiplizieren. Als Beispiel sollen hier die Rechteckfläche und eine rechteckige Platte betrachtet werden. Für die Fläche gilt für die Symmetrieachsen bh3 h2 h2 Ix =—— = bh-— = A·—. 12 12 12 Das Massenträgheitsmoment erhält man nach Multiplikation mit s · ρ Λ JΤx = Asp

h2 H

τ/ • ρ h2 =V K 12 12

2 m h . 12

In der Formel für das Flächenträgheitsmoment I wird zunächst die Fläche Α abgespalten. An ihre Stelle wird die Masse m eingeführt. So erhält man das Massenträgheitsmoment einer dünnen Scheibe gleicher Form.

196

6 Impuls und Drall

Das Hauptachsenproblem einer starren Scheibe soll analog zum Flächenträgheitsmoment behandelt werden (Band 2, Abschnitt 4.6.3). Änderungen der Normen im Bereich Statik/Festigkeitslehre haben dazu geführt, daß eine durchgehende Gleichheit der Achsenbezeichnungen nicht mehr gegeben ist. Die Analogie bleibt davon unberührt. Folgende Bezeichnungen entsprechen einander Kinetik

X

y

ξ

η

δ

Festigkeitslehre (Bd. 2 Abschn. 4.6.3)

y

ζ

η

ζ

α

Zunächst muß das Zentrifugalmoment definiert werden. /xy =

J * - y d m ,

Jxz = J

χ · ζ • dm ,

Jyz =

Gl. 6-12

jyz-dm

D e r Begriff Zentrifugalmoment wird ausführlich im Abschnitt 7.3.5 erläutert. Die Umrechnung von der Schwerpunktachse auf eine andere Achse erfolgt mit dem S T E I N E R s c h e n Satz (Abb. 6-35) JXy = J^y +xs-ys

Gl.6-13

m

Im Schwerpunkt einer starren Scheibe werden nach Abb. 6-37 zwei zueinander um α gedrehte Koordinatensysteme eingeführt. E s gilt, wie oben abgeleitet,

Jz = Jx + Jy =

+ 7η

Gl. 6-14

Die Trägheitsmomente für das um δ gedrehte ξ-77-Koordinatensystem haben die Größen

Jξ

2

+

2

J1 + JJL_J]L-JJL n

2

}ξη = J* ~Jy

-COS2S-/xvsin25, cos28

2

+

j

[η2δ

GL 6-15 Gl.6-16

y

• sin 2 8 + Jxy • cos 2 5

G1

·6"17

6.4 Der Impuls des starren Körpers

197

y

X Abb. 6-37: Gedrehtes Koordinatensystem für starre Scheibe

ζ

Für den Winkel δ = ή, Gl. 6-18 werden ίξ bzw. J^ ein Maximum bzw. Minimum und das Zentrifugalmoment ]ξη verschwindet. Diese Achsen nennt man Hauptachsen. Die Größe dieser Trägheitsmomente ist Gl. 6-19 (vergleiche Band 2, Gleichung 4-24/25). Nach der Gleichung 6-14 muß für die auf der Scheibe im Schwerpunkt senkrecht stehende Achse gelten Gl. 6-20 Das ist die Achse des absolut höchsten Trägheitsmomentes und damit die dritte

Hauptachse.

Die Gleichungen 6-15 bis 19 lassen sich am MOHRschen Trägheitskreis nach Abb. 6-38 darstellen (s. Band 2, Abschnitt 4.6.3). Es werden die Zentrifugalmomente in Abhängigkeit von den Trägheitsmomenten aufgetragen. In der Praxis ergeben sich in der Mehrzahl zwei grundsätzliche Aufgabenstellungen. Fall 1 (Abb. 6-38a) Es sind die Hauptachsen zu bestimmen. Dazu werden für das gewählte Koordinatensystem xy, dessen Ursprung jedoch im Schwerpunkt liegen muß, die Trägheitsmomente / x , Jy und das Zentrifugalmoment Jxy berechnet. Die Trägheitsmomente Jx, Jy werden auf der Abszisse gekennzeichnet. Das Zentrifugalmoment Jxy muß vorzeichenrichtig an Jy angetragen werden. Das resultiert aus dem für die Ableitung der Gleichungen gewählten Koordinatensystem. Diese Auftragung ergibt den Punkt A. Das

198

6 Impuls und Drall

Anbringen von / x y an Jx mit umgekehrten Vorzeichen liefert den Punkt Β und den Mittelpunkt Μ des Kreises. Die für die Hauptachsen gültigen Trägheitsmomente / m a x und / m i n entsprechen den Schnittpunkten des Kreises mit der Abszisse, für die Jxy = 0 gilt. CA und A D sind Richtungen der Hauptachsen (Kreis des T H A L E S ) . Dabei ist die von C ( / i n ) ausgehende Linie die Achse für J m i n , die von D (/ m a x ) ausgehende Linie die Achse von / m a x . Die Richtigkeit dieser Konstruktion kann man sich an den Gleichungen klar machen, wobei hier noch einmal auf den Abschnitt 4.6.3 im zweiten Band hingewiesen werden soll. m

Fall 2 (Abb. 6-38b) Für einen Körper sind die Hauptachsen bekannt (z.B. Symmetrieachsen). Zu bestimmen sind die Trägheitsmomente und das Zentrifugalmoment für ein um den Winkel δ gedrehtes Koordinatensystem ξ und η. Die bekannten Werte / m a x und / m i n ergeben die Schnittpunkte des Kreises mit der Abszisse und damit den Kreis. Die Punkte C und D entsprechen dem Hauptachsenzustand, die Punkte Α und Β den Zustand für um δ gedrehte Achsen. Für das hier gewählte Koordinatensystem sind /ξ und Ιξ η einan-

199

6.4 D e r Impuls des starren Körpers

der zugeordnet. A n d e r s ausgedrückt, das Vorzeichen von ]ξ η ergibt sich bei der Ablesung dieser G r ö ß e an der Stelle 1ξ. Zusammenfassend soll darauf hingewiesen werden, daß jeweils zwei gegenüberliegende Punkte auf dem MOHRschen Kreis die Trägheitsmomente und das Zentrifugalmoment für ein Koordinatensystem mit senkrecht zueinanderstehenden Achsen angeben. Einer Drehung des Koordinatensystems um den Winkel δ entspricht eine Drehung im MOHRschen Kreis um den Winkel 2 δ D a Symmetrieachsen gleichzeitig Hauptachsen sind, folgt für: a) eine Symmetrieachse: das Kartesische Koordinatensystem, das die Symmetrieachse einschließt, ist Hauptachsensystem, b) zwei senkrecht zueinander stehende Symmetrieachsen: wie a), c) drei und mehr Symmetrieachsen: da für mehr als zwei Achsen Jxy = 0 gilt, schrumpft der MOHRsche Kreis zu einem Punkt JM. Für alle Achsen ist J = JM und Jxy - 0. Zusammenfassend sind diese Aussagen in der Abb. 6-39 dargestellt. y

Eine Symmetrieachse χ χ, y Hauptachsen

i.v

Zwei Symmetrieachsen jtundy x, y Hauptachsen

drei (mehr) Symmetrieachsen Alle S-Achsen in der x-y Ebene sind Hauptachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment

Jx

— Jy — ΐξ

— Τη ...

Abb. 6-39: Zusammenhang von Symmetrieachsen und Hauptachsen für starre Scheiben

Ein starrer Körper hat drei senkrecht zueinander stehende Hauptachsen, deren Schnittpunkt im Schwerpunkt liegt. Für alle diese Achsen verschwindet das Zentrifugalmoment. Für eine Hauptachse ist das Trägheitsmoment ein Maximum, für eine zweite ein Minimum. Für flache, ebene Scheiben, wie sie z.B. in der Abb. 6-39 gezeigt sind, steht die dritte Hauptachse im Schwerpunkt S senkrecht auf der Zeichenebene. Die Bestimmung der Hauptachsen für den allgemeinen räumlichen Fall übersteigt d e n R a h m e n dieses Buches. Bestehen K ö r p e r aus h o m o g e n e n Grundfiguren, k ö n n e n Trägheitsmom e n t e mit Hilfe der im A n h a n g gegebenen Tabelle bestimmt werden. Für h o m o g e n e K ö r p e r mit Begrenzungen, die durch integrierbare Funktio-

200

6 Impuls und Drall

nen erfaßt werden können, führt eine Integration zum Ziel. Hier sei nochmals auf die ausführliche Behandlung dieser Frage in Band 2 verwiesen. Für beliebige Drehkörper, wie sie oft in der Technik vorkommen, hat sich das nachfolgend abgeleitete Verfahren bewährt. Nach Abb. 6-40 wird ein Körper aus Kreisringen zusammengesetzt J = jr2 • dm

mit

dm =

p-dV-p-b-2n-r-dr

/ = ρ · 2 π j V r 3 · dr. Die Funktion b · r3 wird über r aufgetragen. Unter Beachtung der Maßstäbe wird die von der Kurve eingeschlossene Fläche J b · τ3 · dr durch Auszählen, Planimetrieren oder mit einem Rechenprogramm bestimmt. Hier sieht man besonders deutlich, daß die außen liegenden Massenteile (r5!) den größten Anteil am Gesamtträgheitsmoment haben. Für bereits gefertigte Bauteile, vor allem wenn sie nicht homogen und kompliziert sind, kann man das Trägheitsmoment experimentell bestimmen (siehe auch Bsp. 2 Abschnitt 9.3.3). Weitere Aufgaben zu diesem Thema bringt auch die Aufgabensammlung.

Abb. 6-40: Graphische Ermittlung des Massenträgheitsmomentes eines Rotationskörpers

Beispiel 1 (Abb. 6-41) Für den abgebildeten Deckel, der aus Leichtmetall (p = 2,70 g/cm3) gefertigt ist, sind zu bestimmen: a) das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Symmetrieachse, b) der Trägheitsradius, c) die auf den Durchmesser d = 220 mm bezogene reduzierte Masse. Lösung Zunächst ist es notwendig, das Bauteil aus geometrischen Grundformen aufzubauen. Das geschieht nach Abb. 6-42. Im konischen Teil 2 werden dabei die schwarz angelegten Teile ausgetauscht, bzw. vernachlässigt. Zieht man unvermeidliche Fertigungstoleranzen in Betracht, erkennt

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Θ 50—1

201

202

6 Impuls und Drall

man die Zulässigkeit dieser Vereinfachung. Da das Trägheitsmoment nur vom Abstand zur Bezugsachse abhängt, kann man parallel zu dieser verschieben (vgl. auch Band 2, Abschnitt 4.4.3). Das führt zum Ersatz des Teiles 2 durch einen gelochten Zylinder, der gestrichelt dargestellt ist. Die Höhe dieses Zylinders errechnet sich nach Abb. 6-42 aus tan(5

=57mm

g

=

40 mm 8,0mm

h=—:

cos 54,94°

= 13,9 mm.

Die Einzelmassen betragen mx= ρ Vx= 2,70g/cm 3 · j · 5,0 2 cm 2 ·0,80cm = 42,4g m2 = 2 , 7 0 g / c m 3 · ( 1 4 , 0 2 - 5 , 0 2 ) c m 2 · 1,39cm = 504,0g m3 = 2,70 g/cm3· j ( 2 2 , 0 2 - 13,0 2 )cm 2 · 1,50cm = 1002,0g m4 = 2,70 g/cm 3 —1,50 2 cm 2 · l,50cm= 7,16g 4 m = m l +rri2 + m 3 - 8 m4 = 1491g. Die einzelnen Trägheitsmomente ergeben sich zu r2 2 5 2 cm 2 j x = m i . ! — = 0,0424 kg · ' ^ = 0,13 kg cm 2

h = m2 · •^3 = m 3 -

R2+r2 ^

R2+r2 ζ

7 02+252

= 0,504 kg · ' = 1,002 kg ·

*

11 0 2 + 6 5 2

Für die Einzelmasse der Teile 4 gilt

r2 (r2 Λ J = m l·m•e2 = m\ —ve2 \. 2 l2

'

2

cm 2 = 13,92 kg cm 2 cm 2 - 81,79 kg cm 2 .

203

6.4 Der Impuls des starren Körpers Für alle Teile 4 ist / 4 = 8 · m4 — + e2 2

8· 0,00716kg

0,752

+ 9,52 cm z

J4= 5,19kg cm 2 . Das führt zu /ges = J, + J 2 + J 3 - J 4 = 90,66 kg cm 2 . Der Radius, auf dem man sich bei gleichem Trägheitsmoment die Gesamtmasse in Form eines dünnwandigen Zylinders vereinigt denken kann, ist der Trägheitsradius (Gl. 6-10) i=

JJ^ m

=

j90,66kgcm 2 1,491kg

=7;8Q(m

Das gleiche Trägheitsmoment für eine am Außendurchmesser vereinigt gedachte Masse ergibt sich aus der Gleichung 6-11 ./ges r2

90,66 kg cm2 — ; =0,749 kg. 11,02 cm2

Beispiel 2 (Abb. 6-43) Für den abgebildeten Doppelhaken, der aus homogenem Stangenmaterial gefertigt ist, sind die Lage der Hauptachsen und die Extremwerte der Trägheitsmomente zu bestimmen. Die Masse beträgt 2,0 kg, die Abmessung ist e = 200 mm.

2e

Abb. 6-43: Aus homogenen Stangen gefertiger Körper

Lösung (Abb. 6-44/45) In den Schwerpunkt wird das Koordinatensystem x-y gelegt, die einzelnen Abschnitte werden numeriert. Der Abschnitt der Länge e hat die

204

6 Impuls und Drall

Masse m = mges/4. Für die Trägheitsmomente erhält man mit Hilfe der Tabelle im Anhang e2 = Λ ι + Λ 2 + Λ 3 = m— + 0 +

Jy = Jy\

+ Jy2

+ Jy3

e2 2 m — - — m e

+ 2m ^ ^

= m • β2

+m

2

• β2 =

^m ·

e2

Für die Aufstellung der Beziehung für das Zentrifugalmoment ist es notwendig, in die Einzelschwerpunkte parallele Koordinatensysteme 3c; y zu legen. Das ist beispielhaft für Teil 1 in Abb. 6-44 gezeigt. Die Achsen x; y sind Symmetrieachsen, deshalb gilt J ^ = 0. Wäre der Haken nicht rechtwinklig, müßte J ^ getrennt berechnet werden. Hier verbleibt vom STEINERschen Satz nur der zweite Term. Insgesamt kann man schreiben Jxy = Jxyi + Jxy2 + Jxy3 = ( - e ) - m + 0 + e\ - - \ m =

- m e

2

Damit können die Gleichungen 6-18/19 ausgewertet werden. Dabei wird J

y

- J

x

= 2 m e

J

y

2

- J

;

J

y

2m

x

+ J

x

= — m e

2

gesetzt.

e2

\ = h • a>2

J\ 2 = J~Γω\

ω

2

§

Τ

Abb. 6-64: Rotierendes Gestell mit verschieblichen Massen

226

6 Impuls und Drall

Die Winkelgeschwindigkeit hat sich in dem Maße verringert, in dem sich das Trägheitsmoment durch Verlagerung der Massen vergrößert hat. Gilt für diesen Vorgang auch der Energiesatz in der Aussage „kinetische Energie ist konstant"

Aus dieser Beziehung berechnet man eine abweichende Winkelgeschwindigkeit (Οχ. Die Aussage £ kin = konst. ist falsch, weil bei der Verschiebung der Fliehkräfte eine Arbeit verrichtet wird. Diese geht in die Energiebilanz ein. Die Berechnung der Arbeit, und damit die Auswertung des Energiesatzes, ist sehr kompliziert, da die Fliehkraft sich während der Verschiebung ändert. Umgekehrt kann man die Arbeit aus der Differenz der kinetischen Energien bestimmen, nachdem ω2 aus D = konst. berechnet wurde. Es gibt sehr viele anschauliche Beispiele für den Drallerhaltungssatz. Ein Hubschrauber braucht einen Gegenpropeller, um Drehzahländerungen des Rotors zu kompensieren. Ein Eiskunstläufer steigert durch Anziehen der Arme die Drehgeschwindigkeit bei einer Pirouette. Katzen fallen immer auf die Pfoten, weil sie durch Gegendrehung des Schwanzes den Körper in die richtige Lage bringen können.

Beispiel (Abb. 6-65) Das skizzierte System besteht aus vier frei rotierenden Massen, von denen jeweils zwei über Zahnräder miteinander verbunden sind. Zwischen den Massen Β und C ist eine Rutschkupplung eingebaut. Diese wird langsam geschlossen. Zu bestimmen sind für gleichen Drehsinn von Β und C im Ausgangszustand a) die Drehzahl nach dem Kuppeln, b) die in der Kupplung bei diesem Vorgang entstehende Wärme. JA = 270 kgm2 ; JB = 10,0 kgm2 ; Jc = 15,0 kgm2 ; / D = 1,0 kgm2 ; nm = 12,0 s"1 ; na = 15,0 s"1 ; /AB = 3,0 ; /CD = 4,0. Lösung Wenn sich die Drehzahlen beim Kuppeln angleichen, wird ein Teil beschleunigt, der andere verzögert. Dabei entstehen Umfangkräfte an den Eingriffsstellen der Zahnräder, die wiederum Reaktionskräfte in den Lagern verursachen. Diese stehen senkrecht auf der Zeichenebene. So entsteht ein resultierendes Moment, dessen Vektor axial liegt. Der Drallerhaltungssysatz gilt jedoch für die Bedingung Μ = 0. Er kann deshalb zur

6.4 Der Impuls des starren Körpers

227

Abb. 6-65: FVei rotierende Massen (Beispiel).

Lösung dieses Problems nur dann angewendet werden, wenn das System auf zwei fluchtende Wellen reduziert wird (Abb. 6-66). Nach Gl.6-24 ist JRED Β =JB +4~JA 'ab

/red c = Jc +

= (10,0 + —J— 270) kgm2 =40,0kgm 2 , 3>° 2

JD = (15,0 + 4,02 · 1,0) kgm2 = 31,0 kgm2.

Für das reduzierte System gilt der Drallerhaltungssatz Jred Β ' ^Bl + ^red C ' ®C1 =

red Β + Jred c) ' ®BC2

W + ' nCl _ η ι „-1 «BC2 _ JredB ' B1 JredC . "'redB + ^redC

Die Drehzahlen der einzelnen Rotoren betragen nach dem Kuppeln "A2 = 4,44 s-1

; nm = nC2 = 13,3 s-1

;

nm = 53,2 s- 1 .

Die beim Kuppeln entstehende Wärme wird aus der Differenz der kinetischen Energien berechnet. w = £kin 1 - £kin 2·

228

Mit

6 Impuls und Drall

Eüa = —J a>2 und ω-2π·η 2

erhält man

W = 2 π2 (/ red Β · «Al + Jrcd C-nhl- Λεd ges. ' «Bq)· Die zahlenmäßige Auswertung ergibt W = 3,1 kJ. Das Ergebnis kann über das nicht reduzierte System Abb. 6-65 kontrolliert werden. 6.4.6 Die allgemeine ebene Bewegung Wie im Abschnitt 4.4 erläutert, kann man eine allgemeine ebene Bewegung aus einer Schiebung (Translation) und einer Drehung (Rotation) um eine beliebige Achse zusammensetzen. Im Abschnitt 6.4.4 wurde dargelegt, daß für die Untersuchung kinetischer Vorgänge, von den Schwerachsen ausgegangen werden muß. Für den flachen Körper, der in der Ebene bewegt wird, ist das die senkrecht zur Bewegungsebene stehende Schwerpunktachse, die gleichzeitig eine Hauptachse des Systems ist. Zusammenfassend soll festgehalten werden: Für die Berechnung einer allgemeinen ebenen Bewegung eines starren Körpers muß von der Schiebung mit der Schwerpunktgeschwindigkeit und der Drehung um die Schwerpunktachse - für die ebene Scheibe bei ebener Bewegung ist das die senkrecht zur Ebene stehende Hauptachse - ausgegangen werden. Entsprechend sind Kräfte und Momente bzw. Bewegungsgröße und Drall einzuführen. Die sinngemäße Anwendung der Gleichungen 6-2 (Schiebung) und 6-23 (Drehung) liefert folgende Beziehungen h m-v0x + J f x -dt = mt>lx 'o

h ; m-v0y +jFy 'o

dt = m-vly

h h Beispiel 1 (Abb. 6-67a) Eine homogene Walze rollt mit der Geschwindigkeit υ0 nach rechts. Nach einem zentralen Schlag entgegen der Bewegungsrichtung verändert sich die Geschwindigkeit auf V\. Zu bestimmen sind allgemein und für die gegebenen Daten

229

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Abb. 6-67a: Rollende Walze mit zentrischem Stoß

a) der Impuls des Schlages j F - dt, b) die mittlere Schlagkraft für eine Einwirkungsdauer Δί, c) die mindestens erforderliche Haftreibung Walze/Unterlage für gleitfreies Abrollen während des Vorgangs. m = 400 kg

;

υ0 = 0,60 m/s

;

ΐή = 0,55 m/s

;

At = 6 ms.

Lösung Der Ansatz wird mit der Abb. 6-67b vorbereitet At

Impulssatz

m ·υ0 + FU • At - jV · dt =

Drehimpulssatz für den Pol 0

(1)

mv}.

Js • (Oq - Fu • At - r =

•

(2)

Das sind zwei Gleichungen für die Unbekannten Fu und J F • dt. Aus Gl. (2)

Λ

(3)

r Diese Gleichung wird in (1) mit ω = vir eingesetzt \F • dt = m(v0 -υ1) +

Mit

Je = —m • r2

^-(υ0-υι).

erhält man

Abb. 6-67b: Impuls- und Drehimpulssatz für rollende Walze Abb. 6-67a

230

6 Impuls und Drall

jF-dt = -m(v0

—

At

- 1 0 = 30,ONs.

3 0 ^ 610" 3 s

=

Ν

Die notwendige Umfangskraft im Auflagepunkt wird aus der Gl. (3) berechnet F

_Js(Vo-Vi)_m(Vo-Vi) Air2 2 At

Diese Kraft ist gleich der mindestens notwendigen Reibungskraft m g 'μomin =^

=

2- At

^ = 0,43. 2 g-Al

Bei einem geringeren Reibungsbeiwert ist dem Rollen ein Gleiten überlagert. Die kinematischen Bedingungen während der Schlagdauer sind nicht eindeutig. Beispiel 2 (Abb. 6-68) In diesem Beispiel soll ein von einem Motor über ein Getriebe angetriebener Wagen (Pkw, Werkzeugschlitten o.ä.) modellhaft behandelt werden. Dabei werden alle rotierenden Massen in ihrer Wirkung berücksichtigt. Summarisch ist ein Widerstand anzunehmen, der durch Luftwiderstand, Steigungswiderstand (Hangabtrieb), Rollwiderstand usw. verursacht sein kann. Für das vorgegebene System, dessen linke Achse angetrieben wird, sind in allgemeiner Form zu bestimmen: a) das konstant angenommene Antriebsmoment des Motors, das das System von Ruhe in der Zeit At auf die Geschwindigkeit bringt,

Abb. 6-68: Modell für angetriebenen Wagen

6.4 Der Impuls des starren Körpers

231

b) die erforderliche Haftreibungszahl an den angetriebenen Rädern für den Fall, daß 70% der Gewichtskraft auf diesen lastet, c) die am Umfang der rechten Räder tangential angreifende Kraft, d) die maximale Beschleunigungsleistung. Die Gleichungen sollen für folgende Größen ausgewertet werden: Wagen: Achse mit 2 Rädern: (beide Achsen gleich) Motor, Scheibe usw.: Übersetzung: Zeitintervall: Endgeschwindigkeit: Widerstandskraft:

mw mA JA r mM /M i At t>! Fw

= 100 kg = 10 kg = 0,050 kg m 2 (Schwerpunktachse) = 0,10 m

= 20 kg = 0,0040 kg m 2 (Schwerpunktachse) =6 = 1,00 s = 1,60 m/s =300 Ν

Lösung Es ist zweckmäßig, die rotierenden Massen des Motors auf die angetriebene Achse zu reduzieren. f \2 ωΜ Jred — Ja +JM / r e d = (0,050 + 0,0040 · 6 2 ) kg m 2 = 0,194 kg m 2 . Damit erhält man das System I nach Abb. 6-69. Dabei ist der Wagen an seinen Auflageflächen freigemacht, wobei es für die vorliegende Aufgabenstellung genügt, die horizontalen Kräfte einzuführen. Die Begründung dafür ist, daß die Bewegung in dieser Richtung erfolgt. An den linken Rädern wirkt die Antriebskraft, die den Wagen nach rechts bewegt, an den rechten eine Umfangskraft, die die rechten Räder in Drehung versetzt. Der Impulssatz für das System I lautet (^Antr -Fu-

Fy/)• Δί = m ges · υ,.

(1)

Es ist notwendig, für die beiden Achsen den Impuls- und den Drehimpulssatz aufzustellen. Dabei dürfen in den Systemen II und III die Lagerkräfte nicht vergessen werden. System II (^Antr - ^Bx) ' Δί = (mA + mM) • Uj.

(2)

232

6 Impuls und Drall

F„ • At

©

>·Μμ·Μ

J„

A + '»Μ )

Ja '

ω

ι

Abb. 6-69: Drehimpulssatz und Impulssatz für Wagen und rotierende Teile nach Abb. 6-68

Drehimpulssatz für die Drehachse ^MM·Δί-.FAntr·Δί·r = /red·ω1.

(3)

System III (FCx-Fu)-At

= mAv1.

(4)

Drehimpulssatz für die Drehachse Fu-At-r

= JA-tol.

(5)

Mit i>! = r • (Oy sind das 6 Gleichungen für Mu ; F Antr ; FBx; F Cx ; Fu und ÖV Aus (5) erhält man Fu =

Ja ' Α v, r2 - At

6.4 Der Impuls des starren Körpers

233

Dieser Ausdruck wird in (1) eingesetzt und ergibt nach einer einfachen Umwandlung ^Antr = [ ^ +

) ^ + ^W ·

Die Gleichung (3) ermöglicht jetzt die Berechnung von

ι At

Λ " Jred ι J\' , F w 1 r m„„ + 2 2 8 es

v

r

Diese Beziehung kann folgendermaßen gedeutet werden. Die Ausdrücke //r 2 sind die für die translatorische Bewegung reduzierten Trägheitsmomente nach Gleichung 6-11. Sie entsprechen einem Zuschlag auf die Gesamtmasse, der die rotierenden Massen in ihrer Wirkung berücksichtigt. Mit υγ/At = α erkennt man die Struktur der Gleichung: Moment gleich Masse mal Beschleunigung mal Radius. Das Übersetzungsverhältnis i berücksichtigt den Übergang auf die Motorwelle. Die gleiche Beziehung für M m erhält man unmittelbar aus dem System I wenn man den Drehimpulssatz für einen Auflagepunkt eines Rades ausstellt. Dazu ist es jedoch notwendig, die Widerstandskraft F w und die Bewegungsgröße m • υ auf die Höhe der Achse zu setzen. Diese Bedingung mag zunächst nicht ganz einsichtig sein. Deshalb und weil die notwendige Haftreibung zu bestimmen ist, wurde der exakte Lösungsweg vorgeführt. Aus dem Moment kann man die Leistung berechnen. Ohne Berücksichtigung eines Wirkungsgrades ist Pmax = M m · ! At

1,60 m/s = 1,60 m/s2 1,0 s

y r e d _ 0 ,,194k 194kgm2=194kg 0,102 m 2

. '

A=0,05kgm2=5;0kg r2 0,102 m2

(6)

234

6 Impuls und Drall = 5,0 kg· 1,60 m/s2 = M N ^Antr = (5,0 +140,0) kg· 1,60 m/s 2 + 300 Ν = 532 Ν 0,1 m· 1,60 m/s2 300N0,lm MM = (19,4 + 5,0 +140,0) kg+ —:— 6 6 MM = 9,384 Nm.

Mit

1,60m/s , ®i=— = 16s~1 0,10 m

ist

Pmax = 9,384 Nm · 16 s 1 · 6 = 901W.

In dieser Leistung ist sowohl die Überwindung des Widerstandes als auch der Beschleunigungsanteil unmittelbar vor Erreichen der Endgeschwindigkeit enthalten. Die Auswertung der Gl. (6) ergibt 532 N

Mo = r = 0,55. — 0,70 140 kg· 9,8 lm/s 2 Die Werkstoffpaarung Rad - Unterlage muß mindestens diese Haftreibungszahl ergeben, wenn die Motorleistung voll auf das System übertragen werden soll. Zur Kontrolle steht noch das System nach Abb. 6-70 zur Verfügung. Dazu müssen jedoch die Lagerkräte FEx und FCx berechnet werden. Das kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4) geschehen. Einfache Umwandlungen führen auf

=

Δί

+

~mA

+ ~

^

= 1,60 m/s2 (5,0 + 1 4 0 , 0 - 1 0 , 0 - 20,0) kg + 300 Ν = 484 Ν ρ _

A+m Δί ν r2

FCx = 1,60 m/s2 (5,0 +10,0) kg = 24 Ν. Der Impulssatz für den Wagen nach Abb. 6-70 ist (^Bx - Fex - Fw) • At = mw · Uj Die Zahlenwerte erfüllen diese Gleichung.

235

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Abb. 6-70: Kontrollsystem für Wagen Abb. 6-68

Alle Gleichungen und Werte dieses Beispiels gelten für die Beschleunigungsphase. Für eine anschließende Bewegung mit υ = konstant muß in allen Beziehungen vt/At = a = 0 gesetzt werden. 6.4.7 Der exzentrische Stoß (Drehstoß) Hier soll auf die Überlegung des Abschnittes 6.2.3 (zentraler Stoß) zurückgegriffen werden. Zwei Körper Α und Β rotieren um feste Drehachsen nach Abb. 6-71. Dabei stößt der Körper Α wegen der größeren Geschwindigkeit auf den Körper B. Die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß betragen υ Α1 bzw. DBJ. Senkrecht auf der Berührungsebene steht im Berührungspunkt die Stoßlinie, die die Wirkungslinie der beim Stoß auftretenden Kräfte ist. Während der Zeit der Berührung sind die Geschwindigkeiten im Berührungspunkt gleich. Wirken elastische Kräfte, dann lösen sich die Körper voneinander und bewegen sich nach dem Stoß wieder mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Der Stoßvorgang wird nach Abb. 6-72 wie im Abschnitt 6.2.3 in zwei Phasen zerlegt. Zunächst wird der Körper Α durch den Impuls J F · di auf die Geschwindigkeit abgebremst, die beide Körper während der Berührung haben (Kennzeichnung der Geschwindigkeiten durch einen Stern). Wenn die

Abb. 6-71: Stoß zweier rotierender Massen

236

6 Impuls und Drall

•dr 1. Phase: Deformation

2. Phase: Rückbildung Abb. 6-72: Exzentrischer Stoß: Drehimpulssatz für Deformation und Rückbildung

Werkstoffe elastisch sind, stoßen sich die Körper wieder ab (Impuls J Κ • dt), wodurch ein nochmaliges Abbremsen auf die mit dem Index 2 gekennzeichneten Geschwindigkeiten erfolgt. Das Gelenk wurde nicht freigemacht. Deshalb muß der Drehimpulssatz auf die Gelenkachse bezogen werden. Das Gelenk muß freigemacht werden, wenn die dort wirkenden Stoßkräfte berechnet werden sollen (siehe nachfolgende Beispiele). 1. Phase JAS^Ai

+ mAvASVrs-rKjFdt

Mit vAS/rs - ω und JA = JAS + mA • Drehachse) erhält man

= JAS^*A

+

mAv*ASrs.

(Trägheitsmoment bezogen auf die

/Aö)A1 + r A | F d i = /AiaA,

(1)

2. Phase JAS^\+mAvASrs-rAjKdt

=

JAS(ßA2+mAvAS2rs.

Auf gleichem Wege führt das auf •^a · ωΑ -/χ · J" Κ · d r = / A · ω α2 .

(2)

237

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Mit der Stoßzahl

k=

\F-dt

k=

(vergleiche Abschnitt 6.2.3) erhält man

Ein analoger Ansatz für den Körper Β liefert

— — .

ωΑ1

-ω*Α

k=

—^JL

Die beiden Beziehungen werden mit rA bzw. rB erweitert. Es gilt VB

V A = RA • ®A,

=

'"B ' ®B>

C = R · Ö)A = r B · Gemeinsame Geschwindigkeit während der Berührung. A

Man erhält

UAI-C

C - D

B 1

'

Nach Eliminierung von c ergibt sich die Gleichung 6-5 k -

Vb2

~ Va2 «ai-WBI '

Das ist die gleiche Beziehung wie für den zentrischen Stoß. Für viele Aufgaben ist es zweckmäßig, mit den Winkelgeschwindigkeiten zu arbeiten, k =

rB.a>m-rA.oA2

GL6.28

'A • « a i - ' B WBI Für die Masse Β wird ein zu Abb. 6-72 analoger Ansatz durchgeführt 4 ' % + ί F dt rB = JB • ωΒ

(3)

JBco*B + lKdtrB=JB(oB2

(4)

Die Gleichungen (1) und (3) werden nach \ F • dt aufgelöst und gleichgesetzt ^{ω* Β - ω Β1 ) = - ( - ω α + β>Αΐ) rB

rA

238

6 Impuls und Drall

Die Gleichungen (2) und (4) werden nach J Κ · άί aufgelöst und gleichgesetzt ~τ-(ωΒ2 ~ (!). Die Lagerkraft wirkt während des Stoßes nach rechts, das obere Stabende will beim Stoß nach links ausweichen. Der Stoßmittelpunkt, der bei freier Lagerung seine Lage nicht verändert und damit kräftefrei bleibt, liegt unterhalb des Drehpunktes. Das kann man mit Hilfe der Gleichung 6-30 bestätigen. Walze A Beim Ansatz des Drehimpulses ist zu berücksichtigen, daß in der Abbildung 6-76 die Drehungen so eingezeichnet sind, wie sie tatsächlich erfolgen. Deshalb müssen in die abgeleiteten Beziehungen alle Werte von ω positiv eingesetzt werden.

244

6 Impuls und Drall

x-Richtung ^B = ^Stoß Da die Walze in der Schwerpunktachse gelagert ist, wird der Stoß voll vom Lager übernommen. Drehimpuls für Drehachse •^B " ^Bl _ ^Stoß " Δί · r B = - / B · (0q2 · Das führt zu Γβ - rstoü

_/Β·(ωΒ1+ωΒ2)

mit J B = 60 kg·

: AtrB

0 22m2 — = 1,20 kgm2.

^ 1,20 kgm2 · (12,566 + 0,838) s~' B ~ 10" 3 s-0,20 m F B =80,4kN = FStoB. Das ist eine Bestätigung für die Richtigkeit der Rechnung. Die Stoßkräfte sind - wie mehrfach ausgeführt - wesentlich höher als die Gewichtskräfte.

Beispiel 2 ( A b b . 6-77)

Durch Zurückziehen der Sperrklinke wird das Umklappen der skizzierten Schranke ausgelöst. Sie schlägt gegen den Puffer R Dabei können im Gelenk sehr große Stoßkräfte auftreten (siehe voriges Beispiel). Der Abstand χ des Puffers soll so bestimmt werden, daß eine Stoßkraft auf das Lager nicht übertragen wird. Die Schranke kann als homogener Stab der Länge l aufgefaßt werden.

Lösung Nach Aufgabenstellung soll die Kraft im Lager Α verschwinden. Für den Ansatz des Impulssatzes ergibt sich damit ein System nach Abb. 6-78. Dabei wird die Gewichtskraft gegenüber der viel größeren Stoßkraft vernachlässigt. Um die unbekannte Größe j F · di zu eliminieren, wird der Drehimpulssatz für den Pol Ρ aufgestellt.

245

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Φ r

m v

Ο χ

ν Mit

Je = m — 12

—

Abb. 6-77: Umklappende Schranke

- / s · ω + 0 = 0.

2, I υ - —

und

2

ω

führt das zu l m —

2

ω\ χ [

l\ 2)

m

l2

12

ω = 0.

Nach Division durch m — ω erhält man 2 χ = — ·1.

3

Diese Lösung gilt auch dann, wenn die Schranke am Puffer zurückspringt. Das folgt aus der Ableitung der Gleichung 6-30 für die Bestimmung des Stoßmittelpunktes. Mit dieser könnte man die Aufgabe auch

m •ν

4

e

Ρ - -ο-}

P j

I

If · dr

-

F~=-

-η

Abb. 6-78: Impulssatz und Drehimpulssatz für die Schranke Abb. 6-77

246

6 Impuls und Drall

lösen. Das Lager Α soll beim Stoß kräftefrei bleiben, ist demnach der Stoßmittelpunkt. Nach Abbildung 6-74 und Gleichung 6-30 ist e=L =L 2 S

*2 = Α

s

l

m

12 l

6

=

ϋ

12

/

2

Damit erhält man das oben errechnete Ergebnis * = .$ + — = — /. 6.4.8 Der Kreisel In den bisherigen Ausführungen wurde der Drallsatz für Fälle angewendet, bei denen die Vektoren Moment Μ und Winkelgeschwindigkeit ώ kollinear liegen. Diese Einschränkung gilt für die nachfolgenden Ausführungen nicht. Die Rotation von Massen beliebiger Form und Lage der Achsen ist dadurch gekennzeichnet, daß die o.g. Vektoren im Winkel zueinander stehen. Solche Rotoren nennt man im weitesten Sinne Kreisel. Diese gehören zu den schwierigsten Problemen der Mechanik. Die grundlegenden Gleichungen hat bereits EULER abgeleitet. Es gibt eine Reihe von Büchern, die sich auf hohem mathematischem Niveau ausschließlich diesem Thema widmen. Die nachfolgenden Ausführungen beschränken sich auf einen Grundfall, der eine erstaunlich breite Anwendung in der Technik ermöglicht. Mit Hilfe der Ergebnisse kann man sonst unverständliche Effekte erklären. Beispiel: Warum fällt ein schnell rotierender Spielkreisel nicht um? Die meisten Rotoren in der Technik sind Räder und Scheiben, die um die Achse der Rotationssymmetrie rotieren. In die Begriffe der Mechanik umgesetzt: In diesem Abschnitt wird der flache, rotationssymmetrische Kreisel, der um die Achse des maximalen Trägheitsmomentes (Hauptachse) rotiert, behandelt. Dabei soll zusätzlich zunächst eine hohe Drehzahl vorausgesetzt werden. In einem Rahmen nach Abb. 6-79, der um eine horizontale Achse drehbar gelagert ist, rotiert um eine senkrechte Achse ein Kreisel. Der Drallvektor liegt in der Drehachse und ist nach oben gerichtet. An diesem Rahmen greift ein Kräftepaar d · F= Μ entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn während der Zeit At an. Der Momentenvektor steht auf der Rahmenebene senkrecht. Nach Gleichung 6-23 ist 'l

J ώ + jM

'ο

dt = J·ώχ.

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Αί·Δί

ωρ

Μ

Abb. 6-79: Kreisel im Drehgestell

Der resultierende Vektor / · ώλ ist gegenüber dem Vektor J · ώ um den Winkel φ aus der Rahmenebene herausgedreht. Es gilt nach Abb. 6-79 MAt = AO Αί

di

Der Rahmen dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ωρ um die horizontale Achse. Diese Bewegung wird Präzession genannt. M = J • ωρ· co.

Gl. 6-31

Diese Beziehung gilt für C0p ω. Die Achsen der Vektoren, oip, ω, Μ stehen aufeinander senkrecht und bilden ein Rechtssystem. In Vektorschreibweise lautet deshalb die Gleichung 6-31 Μ = J ώ ρ χώ.

248

6 Impuls und Drall

Ein Kreisel, an dem senkrecht zur Rotationsebene ein Kräftepaar angreift, beschreibt eine Präzession. Als Beispiel soll ein System nach Abb. 6-80 betrachtet werden. Zunächst ist der rotierende Kreisel durch ein Gegengewicht ausbalanciert. Die Drehachse ist in Ruhe. Am Gegengewicht wird eine Zusatzmasse befestigt. Bei Betrachtung des Gebildes als statisches System erwartet man, daß dadurch der Kreisel angehoben wird. Das erfolgt aber nicht, es setzt eine Drehung um die senkrechte Achse ein, nämlich die Präzession ωρ. Ein Kreisel weicht bei einer Kraft(Momenten) -einwirkung immer senkrecht zu der Richtung aus, die die Statik erwarten läßt. Die Richtung der Präzessionsdrehung ergibt sich aus dem Rechtssystem der Vektoren, das man auf die Formel bringen kann: „Kreiselachse jagt Momentenvektor". Das eigentlich unverständliche Verhalten des Kreisels wird durch CORIOLIS-Kräfte im räumlichen System verursacht. Dieser Fall wird hier nicht behandelt. Trotzdem soll aus der Anschauung heraus qualitativ erklärt werden, wieso der Waagebalken horizontal bleibt, obwohl das statische Gleichgewicht der Gewichtskräfte gestört ist. Im oberen Bereich des Kreisels addieren sich die Umfangsgeschwindigkeit verursacht durch die Eigenrotation ώ und durch die Präzession ώρ. Im unteren Bereich subtrahieren sie sich. Die Massenteile des Kreisels, die jeweils oben sind, umlaufen die y-Achse schneller als die, die unten sind. Deshalb sind die in xRichtung wirkenden Fliehkräfte oben größer als unten. So entsteht in bezug auf das Gelenk des Waagebalkens ein Moment um die z-Achse im Uhrzeigersinn. Dieses wird Kreiselmoment genannt. Es kompensiert gerade die Wirkung der Zusatzmasse 4 Zu beachten ist: Das Kreiselmoment ist die Reaktion auf das Moment Mund deshalb diesem entgegengesetzt gerichtet. Auf diese Thematik wird unten noch einmal eingegangen. Für den Fall, daß zwischen den Vektoren ώ und ώρ der Winkel β Φ 90° ist, gelten mit den Bezeichnungen der Abb. 6-81 folgende Beziehungen, Μ At = 7 ö) sinj3 A0 At M-J-ωω

p-sin/J.

Gl. 6-32

Das System Abb. 6-81 entspricht einem Spielkreisel. Das Moment ist dabei die Gewichtskraft multipliziert mit dem Abstand vom Unterstützungspunkt. Neben der Eigenrotation beschreibt die Achse des Kreisels die Präzessionsbewegung mit ωρ. Er weicht der natürlichen Fallbewegung horizontal aus. Wenn ein Spielkreisel langsamer wird, kann man eine taumelnde Bewegung beobachten. Der Präzession ist eine zweite Bewegung überlagert, die einen Kegel mit kleinerem Öffnungswinkel beschreibt. Diese wird Nutation genannt. Ihre Entstehung soll qualitativ erklärt werden. Sobald eine Präzession einsetzt, fallen Drallachse und Figurenachse nicht mehr exakt zusammen, denn die Drehung erfolgt nicht mit ώ, sondern mit ώ+ ώρ. Für ω > (Op kann der Anteil ω P vernachlässigt werden. Drall- und Figurenachse fallen weitgehend zusammen und der Kreisel beschreibt eine fast reine Präzession. Das entspricht den Darstellungen in Abb. 6-79/80. Wenn ω > (Op nicht mehr erfüllt ist, bilden Drallachse und Figurenachse einen merklichen Winkel, was zur Nutation führt. Damit ist nachträglich begründet, weshalb für die Gültigkeit der Gl. 6-31 die Bedingung der hohen Drehzahl notwendig ist. Ein Moment, das nach Abb. 6-79 an einem Kreisel wirkt, verursacht eine Präzession. Die Umkehrung dieses Vorgangs ist: Die Kreiselachse wird im Raum gedreht. Dieser Vorgang heißt „erzwungene Präzession". Grundsätzlich gelten die Zusammenhänge, wie sie die Abb. 6-79 darstellt. Auch in diesem Fall muß ein Moment wirken, jedoch als Reaktionsmoment in umgekehrter Richtung. Es wird Kreiselmoment MK genannt, dessen Größe nach Gl. 6-31 berechnet wird:

250

6 Impuls und Drall MK = J · cöp · co.

Dabei bilden die Vektoren Μ κ , ώ, ώρ ein Rechtssystem nach Abb. 6-82. In Vektorschreibweise ist MK = J · ώ χ (Sp.

Eine erzwungene Präzession erfolgt auf einer vorgegebenen Bahn oder um eine Achse. Eine Nutation kann man normalerweise ausschließen. Deshalb ist für die Gültigkeit der Gl.6-32 die Bedingung ω > (Dp nur sehr eingeschränkt notwendig. Das erweitert den Anwendungsbereich, was im Beispiel 2 vorgeführt wird. Die Kreiselmomente verursachen zusätzliche Belastungen von Lagern rotierender Massen, wenn die Wellenachsen im Raum gedreht werden. Als Beispiele seien Triebwerke von Flugzeugen bei Kurvenflug und ein im Wellengang stampfendes Schiff (Turbinenachse in Fahrtrichtung) genannt. Vor allem bei stoßartiger Verlagerung (Flugzeug in Turbulenzen) sind die Kreiselmomente groß, da cop hoch ist. Der Kreisel wird in vielfältiger Weise als stabilisierendes Element und in Navigationsgeräten verwendet. Als Beispiel seien die Stabilisierung von Meßplattformen auf Fahrzeugen und der Kreiselkompaß genannt. ω oder ζ. B.

Abb. 6-82: Rechtssystem der Vektoren M K ; ω; u = 4,0 m/s ; r = 0,60 m ; R0= 1,10 m ; R = 0,80 m. Lösung Der umlaufende Zylinder ist ein Kreisel, dessen Achse im Raum umläuft. Es handelt sich um eine erzwungene Präzession um die vertikale Achse. Da eine Nutation ausgeschlossen werden kann, muß die Bedingung ω > (Op nicht erfüllt sein. Deshalb kann das auftretende Moment aus der Gl. 6-31 berechnet werden. MK = J · (Op- ω Dabei gelten

253

6.4 Der Impuls des starren Körpers

Die Richtung des Momentenvektors ergibt sich aus dem Rechtssystem Mn, ώ, ώρ nach Abb.6-84. Für die freigemachte Zylinderachse wird die Momentengleichung aufgestellt (Abb. 6-86). Σ Μ = 0 FM R = Mt

Fm ~

My R

Man erkennt, daß das Kreiselmoment eine Kraft der Walze auf die Unterlage verursacht und damit die Mahlkraft über das Eigengewicht hinaus erhöht ^M

-

m-v^r 2R Rn '

Die gesamte Mahlkraft beträgt ^Mges =Fg

+

=m

- g

v.ir 1+2gRR0

Folgende Schlußfolgerung kann aus dem Ergebnis gezogen werden: Günstig ist ein großer Mahlzylinder (r), der am kurzen Arm (R, R0) schnell (Du) geführt wird. Die Zahlenauswertung führt auf F Mges =(500-9,81)N \

4,0 2 m 2 /s 2 · 0,60 m 1+2-9,81m/s 2 0,8m 1,1m

FMges = 4,91 kN (1 + 0,556) = 7,63 kN. Davon werden 2,73 kN durch das Kreiselmoment verursacht. Es ist durchaus schwierig vorstellbar, daß das Umkehrprinzip Zylinderachse in Ruhe, Mahlteller rotierend eine deutlich geringere Mahlkraft erzeugt. Eine qualitative Erklärung ermöglicht die Betrachtung der Fliehkräfte in

M„

4

¥ Abb. 6-86: Kreiselmoment an Walze

254

6 Impuls und Drall

Richtung des Führungsarms. Diese werden durch die Rotation um die senkrechte Achse verursacht. Im oberen Bereich der Walze sind die Umfangsgeschwindigkeiten größer als im unteren. Im Mahlpunkt ist die Geschwindigkeit null (momentaner Drehpol). Die Größe der Fliehkräfte entspricht der Geschwindigkeitsverteilung, wobei die quadratische Abhängigkeit verstärkend wirkt. Qualitativ dargestellt ist die Verteilung in Abb. 6-87. Insgesamt entsteht so eine zusätzliche Belastung des Mahlpunktes durch die Walze, die über das Kreiselmoment berechenbar ist. Grundsätzlich wurde in dem vorliegenden Beispiel das auf einer gekrümmten Bahn geführte Rad behandelt. Das könnte ein PKW-Rad bei Kurvenfahrt sein. Es gelten die Zusammenhänge, wie sie in der Abb. 6-86 dargestellt sind. Allgemeingültig kann man formulieren: An einem auf einer gekrümmten Bahn abrollenden Rad wirkt ein Kreiselmoment, dessen Vektor die Bahn tangiert und versucht, das Rad nach außen zu kippen. Dieses Moment belastet zusätzlich die Radaufhängung.

Fliehkräfte

Abb. 6-87: Qualitative Verteilung der Fliehkräfte an der Walze

6.5 Zusammenfassung Das Dynamische F -—{m dt

Grundgesetz v)

wird in die Form '1 _ ^F dt = m vl-m 'o

v0

Gl.6-1

umgewandelt. Das J F · dt nennt man Impuls, das Produkt m · υ Bewegungsgröße. Die Gleichung 6-1 formuliert den Impulssatz: Der Impuls der äußeren, resultierenden Kraft ist gleich der Änderung der Bewegungsgröße. Der Impulssatz vergleicht zwei Bewegungszustände,

255

6.5 Zusammenfassung die den zeitlichen Abstand der Impuls der Kraft.

- t0) haben. In diesem Zeitintervall wirkt

Wenn keine äußere Kraft einwirkt (F = 0), folgt aus der Gleichung 6-1 der Impulserhaltungssatz Gl. 6-3

Σ m • ϋ = konst

Die Bedingung F = 0 kennzeichnet ein freies System, dessen Bewegungsgröße erhalten bleibt. Sein Schwerpunkt bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, Ruhe ist der Sonderfall υ = 0. Der Impulserhaltungssatz gilt unabhängig vom Energiesatz. Er ist damit auf Vorgänge anwendbar, bei denen z.B. kinetische Energie in Deformationsarbeit und Wärme umgewandelt wird. Das gilt u.a. für den Stoß. Ist dieser zentrisch, ergibt die Gleichung 6-3 mK • υΑ1 + mB · Uß! = mA • vA2 + mB-vB2

Gl. 6-6

Die Stoßzahl k ist das Verhältnis der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoß zu der vor dem Stoß V u

B2

~

a i

-υΒι

k=1 0 < k

'

Bahn

nt In; f-Koordinaten

Polares Koordinatensystem ^Fr-ma

T

= 0,

Gl. 7-3

Σ ^φ - m · αφ = 0 ; Natürliches

Koordinatensystem

J^Fn-m-aa

= 0,

Gl. 7-4

Σ J7! - m · at = 0 . Wenn man die Trägheitskräfte wie äußere Kräfte behandelt, gilt allgemein

Jede Beschleunigung ist über das Grundgesetz F = m · α mit einer Kraft verbunden. Angewendet auf die Normalbeschleunigung bei Bewegung auf gekrümmter Bahn (Gl. 3-7)

266

7 Das Prinzip von d'Alembert

Abb. 7-6: Massenpunkt auf gekrümmter Bahn in x;y I r-,φΙ η ; t- Koordinaten mit aufgeprägten Kräften und Trägheitskräften

erhält man Z = m— = mr(02 r

Gl. 7-5

Die Kraft nennt man Zentrifugal- oder Fliehkraft. Als Trägheitskraft wirkt sie der nach innen zum Krümmungsmittelpunkt gerichteten Normalbeschleunigung entgegen. Der Vektor m · ä n weist nach außen (Abb. 7-6c). Die Zentrifugalkraft ist die Reaktionskraft der Zentripetalkraft, die die gekrümmte Bahn erzwingt. Ein PKW wird bei entsprechendem Radeinschlag durch Seitenführungskräfte am Reifen (Zentripetalkräfte) in eine gekrümmte Bahn gebracht. Die Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) versucht den Wagen auf geradliniger Bahn zu halten und ist als eine nach außen gerichtete Kraft spürbar. An einer Masse, die an einem Faden herumgeschleudert wird, ist die nach innen an der Masse angreifende Fadenkraft die Zentripetalkraft. Reißt der Faden, gilt F = 0 und an = 0 r -» Damit ist die Masse kräftefrei und bewegt sich tangential in der Bahnebene geradlinig weiter. Hier sieht man besonders gut den Unterschied zur aufgeprägten Kraft. Wäre die Fliehkraft eine unabhängig wirkende Kraft, müßte nach dem Reißen des Fadens die Masse eine Gegenkrümmung (S-Kurve) beschreiben. Das ist nochmal eine Begründung für die Bezeichnung Scheinkraft.

267

7.2 Der Massenpunkt Beispiel

1 ( A b b . 7-7)

Am Ende eines rotierenden Hebels ist auf einem Zapfen eine Masse m gesteckt. Der Hebel wird auf einem Weg Αφ bis zum Stillstand gleichmäßig verzögert und nimmt dann die skizzierte Position ein. Für die unten gegebenen Daten ist die von der Masse auf den Zapfen ausgeübte Kraft a) bei einsetzender Bremsung, b) auf halbem Bremsweg, c) am Ende der Bremsung zu bestimmen. m = 0,50 kg

r = 100 mm

Δφ = 45°

ß^löOs" 1 .

Abb. 7-7: Rotierender Arm mit Masse

Lösung Zuerst wird die Verzögerung nach Gleichung 4-7 bestimmt. ω2 = 2 • a • Αφ +

.

Mit ω = 0 ist

Die Bahnbeschleunigung ist at = r

cc = -

0,10 m · 1,63 · 104 s~2 = - 1630 m/s2.

268

7 Das Prinzip von d'Alembert

a) Einsetzende Bremsung (Abb. 7-8a) Die Normalbeschleunigung ist zum Zentrum, die Bahnbeschleunigung entgegengesetzt zur Bewegung gerichtet. Jeweils entgegengesetzt liegen die Trägheitskräfte, die den Zapfen belasten. Nach Aufgabenstellung ist fln0

= r · ω20 = 0,10 m · 1602 s"2 = 2560 m/s2

m · an0 = 0,50 kg · 2 560 m/s2 = 1280 Ν (Fliehkraft) m • \at0\ = 0,50 kg · 1630 m/s2 = 815 N. Die resultierende Kraft ist m • aTes = 1517 Ν

12,5°.

b) Die Winkelgeschwindigkeit nach dem halben Bremsweg ist nach Gleichung 4-7

FEn = FDn + mHgcosß

=0 Insgesamt gibt das

= ib.+ F E = 976 Ν £

= 396N

sin^ + ^ - j = 892N 53,9°.

Kontrollgleichungen: z.B. Σ FX = 0; Σ FY = 0; Σ Μ = 0 für beide Systeme. Die Berücksichtigung der Masse des linken Hebels würde einen analogen Ansatz erfordern. Die Kraft FA wirkt dann nicht mehr in Richtung der Hebelachse. Im Schwerpunkt werden die Trägheitsreaktionen eingeführt. Man erhält für diesen Fall 3 x 3 = 9 Gleichungen für 4 (Gelenke) χ 2 = 8 Kräfte und 1 Beschleunigung. Beispiel 3 ( A b b . 7-31)

Das Verhalten eines PKW während der Kurvenfahrt soll untersucht werden. Das soll sowohl für Bremsen als auch für Beschleunigen in einer nicht überhöhten Kurve geschehen. Dazu sind die bei einsetzender Bremsung bzw. Beschleunigung am Wagen wirkenden Trägheitsreaktionen für die nachfolgenden Daten zu bestimmen und in eine Skizze einzutragen. Aus den Ergebnissen ist das unterschiedliche Verhalten beim Bremsen und Beschleunigen in einer Kurve zu begründen.

7.3 Der starre Körper

293

Wagenmasse Trägheitsmoment bezogen auf die senkrecht zur Fahrebene stehende Schwerpunktachse Kurvenradius Geschwindigkeit Bremsverzögerung Fahrbeschleunigung

m = 1200 kg Js r υ0 a a

=2000 kg m2 = 10 m = 7,0 m/s (= 25 km/h) = 6,0 m/s2 = 2 , 0 m/s2

Lösung Verzögerung ^ O O n ^

Normalbeschleunigung

"

Bahnbeschleunigung resultierende Beschleunigung

r

10m

at - 6,0 m/s2 a res = 7,75 m/s2.

Die daraus resultierenden Trägheitskräfte betragen m · an = 1200 kg · 4,90 m/s2 = 5,88 kN m · at = 1200 kg · 6,0 m/s2 = 7,20 kN . Die Resultierende dieser beiden Kräfte beträgt F res = 9,30 kN unter einem Winkel von β = 39,2° zur Bahntangente (Abb. 7-32).

s2

294

7 Das Prinzip von d'Alembert F„

Abb. 7-32: TYägheitsreaktionen an einem in der Kurve bremsenden PKW

Während der Kurvenfahrt dreht sich der Wagen um seine eigene, senkrecht zur Fahrebene stehende Schwerpunktachse verzögert mit

r

10m

Das führt auf ein Trägheitskräftepaar Js - a = 1200 Nm. Das erkennt man z.B. an der Abb. 4-3, wo die markierte Scheibe während eines Umlaufs sich gleichzeitig einmal um ihre eigene Achse dreht. Diese Drehung will der Wagen infolge der Trägheit beibehalten, deshalb wirkt das Trägheitskräftepaar / s · α im gleichen Sinne. Diese auf Anschaulichkeit abgestellte Erklärung für den Wirkungssinn soll mehr abstrakt kontrolliert werden. Dazu ist die Richtung der Winkelgeschwindigkeit ω in die Abb. 7-32 eingetragen. Wegen der Verzögerung ist die Winkelbeschleunigung α entgegengesetzt gerichtet und die d'ALEMBERTsche Reaktion Js • α wieder entgegengesetzt zu dieser, was den diskutierten Wirkungssinn ergibt. Welche Auswirkungen haben die Trägheitsreaktionen auf das Fahrzeug? Die Vorderachse - besonders das rechte Rad - wird zusätzlich belastet, die Hinterachse entlastet. Die Haftreibung an den Hinterrädern wird dadurch deutlich vermindert. Besonders wenn die Hinterräder beim Bremsen blockieren sollten, verlieren die Reifen die Fähigkeit, größere Seitenführungskräfte zu übertragen. In diesem ungünstigen Zustand wird die Fliehkraftwirkung durch das Trägheitskräftepaar (in diesem Beispiel 1200 Nm!) verstärkt, was sehr leicht zum Ausbrechen des Fahrzeughecks führen kann. Beginnt der Wagen auch nur gering auszuweichen, entsteht - bezogen auf den Mittelpunkt der Vorderachse - ein nochmals verstärkendes Moment durch die nach vorne gerichtete Kraft m · at (Abb. 7-34).

7.3 Der starre Körper

295

Alle Trägheitsreaktionen verstärken sich demnach in ihrer Wirkung, den Wagen ins Schleudern zu bringen. Beschleunigung Wegen der gleichen Ausgangsdaten für Geschwindigkeit und Radius bleibt die Normalbeschleunigung gleich. Zusammen mit der Bahnbeschleunigung erhält man eine resultierende Beschleunigung von «res = 5 , 2 9

m/s2.

Die Trägheitskräfte betragen (Abb. 7-33) m · an = 5,88 kN F res = 6,35 kN

m · at = 2,40 kN

unter einem Winkel β = von 67,8° zur Längsachse.

Die Winkelbeschleunigung ist a =

£L=2!0mAl = t 10m

0

2

Q

Das ergibt ein Trägheitskräftepaar von Js a = 2000 kg m 2 · 0,20 s"2 = 400 Nm Q entgegengesetzt zu a. Diese Wirkung kann man sich folgendermaßen veranschaulichen. Der Wagen dreht sich während der Kurvenfahrt auch um seine Körperachse. Diese Drehung soll beschleunigt werden. Infolge der Trägheit versucht der Wagen zurückzubleiben.

Abb. 7-33: TVägheitsreaktionen an einem in der Kurve beschleunigenden PKW

296

7 Das Prinzip von d'Alembert

In diesem Beispiel wurde eine Fahrbeschleunigung angenommen, die deutlich kleiner ist als die Bremsverzögerung. Das entspricht normalem Fahrbetrieb. Die Veränderung der Achsbelastung ist deshalb nicht so groß wie bei der Bremsung. Jetzt wird - nur im verminderten Maß - die Vorderachse entlastet, was nicht so gefährlich ist, weil der Motorblock ohnehin eine gute Bodenhaftung der Vorderräder gewährleistet. Hinzu kommt, daß die Räder abrollen und die Reifen damit Seitenführungskräfte gut übertragen können. Die nach hinten gerichtete Trägheitskraft m · at wirkt, im Gegensatz zum vorher behandelten Fall, stabilisierend. Jetzt entsteht ein Moment, das bei Schiefstellung die Tendenz hat, den Wagen wieder in Fahrtrichtung zu drehen (Abb. 7-34). Insgesamt verhält sich deshalb der in der Kurve beschleunigte Wagen wesentlich günstiger als der verzögerte.

Fahrtrichtung

| Fahrtrichtung

Verzögerung

Beschleunigung

Abb. 7-34: Durch die Trägheitskraft bei Schiefstellung des PKW entstehendes Moment

7.3.4 Die allgemeine ebene Bewegung Die allgemeine ebene Bewegung kann als Überlagerung von Schiebung und Drehung aufgefaßt werden. Die Schiebung wird durch die im Schwerpunkt angreifende resultierende Kraft verursacht, die Drehung durch das resultierende Moment, bezogen auf die Schwerpunktachse. Nach Abb. 7-35 werden die am Körper angreifenden Kräfte im Schwerpunkt zur Resultierenden und zu einem Moment zusammengefaßt. Bei Umkehrung von m · α und / s · α erhält man nach dem d'ALEMBERTschen Prinzip ein System, für das die statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind. Es gelten die Gleichungen 7-9. Für das durch die d'ALEMBERTschen Reaktionen erweiterte System gelten die Gleichgewichtsbedingungen Σ Fx = 0

; lf

y

=0

; Σ Μ=0.

297

7.3 Der starre Körper

Abb. 7-35: Kräfte und Momente an einer starren Scheibe bei allgemeiner Bewegung

Js•

FBx-FCx-mv/-a-Fw

JA

- + 7MW + WA a + F,w

J Fr, Cx =

JA

=0 Λ

α - w w · α - F w = 0.

Diese Gleichung ist erfüllt. Beispiel 4

Für den Kurbelantrieb Abb. 4-11 sind die durch die Massenkräfte verursachten Gelenkkräfte in Β und D zu bestimmen, mpi = 0,600 kg

; m K = 0,250 kg

/pi = 2,60 · 10~3 kg m2 bezogen auf S-Achse Der Schwerpunkt des Pleuels ist 64,0 mm vom Punkt Β entfernt. Lösung (Abb. 7-41/42) Der Kurbeltrieb wurde kinematisch im Beispiel 1 des Abschnittes 4.4.3 untersucht. Danach bewegt sich der Kolben verzögert nach rechts mit ö d = 7799 m/s2 ( 0 : Beschleunigung

; a < 0 : Verzögerung.

Bei Drehung um eine zur Hauptachse parallele Achse und der allgemeinen Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Hauptachse müssen die Trägheitsreaktionen auf die Schwerpunktachse bezogen sein. Die Trägheitskraft wird aus der Schwerpunktbeschleunigung berechnet und im Schwerpunkt eingetragen (m • as). Das Trägheitskräftepaar bestimmt man aus dem auf die Schwerpunktachse bezogenen Trägheitsmoment (/ s · et). Drehung um eine beliebige Achse Die Vektoren Μ und ώ sind, im Gegensatz zu den oben beschriebenen Fällen, nicht kollinear. Für eine Drehung um die _y-Achse besteht der Momentenvektor aus folgenden Komponenten Mx = Jxy · a + Jyz • ω2 My = -Jy-a Mz = -Jxy·

Gl. 7-10/11/12 aP- + Jyz- a

Bei einer solchen Drehung wirken umlaufende Momente Mx; My, die die Lager zusätzlich belasten. Diese verschwinden, wenn die Zentrifugalmomente null werden. Das ist die Bedingung für die Hauptachse. Daraus folgt: bei Drehung um eine Hauptachse versucht ein Rotor nicht, die Lage der Drehachse zu ändern. Durch die Drehung werden keine zusätzlichen Lagerkräfte verursacht. Einen solchen Rotor nennt man dynamisch ausgewuchtet.

8 Die Energie 8.1 Einführung Nach der Definition der Begriffe Arbeit und Leistung kann man die Energieformen der Mechanik, das sind potentielle, kinetische und elastische Energie, ableiten. Der Energiesatz wird als Bilanz für ein betrachtetes mechanisches System aufgestellt. Dabei werden abgeführte Arbeit und/oder zugeführte Arbeit und durch Dissipation „vernichtete" Arbeit (Reibung) berücksichtigt. Der Abschnitt Punktmasse greift den zentralen Stoß wieder auf, um den beim realen Stoß auftretenden „Energieverlust" zu berechnen. Der Energiesatz für ein strömendes Fluid (kontinuierlicher Massenstrom) führt unmittelbar auf die in der Strömungslehre besonders wichtige BERNOULLI*)sche Gleichung Bei der Anwendung auf den starren Körper werden Schiebung, Drehung und allgemeine Bewegung betrachtet. Auch der Energiesatz folgt wie der Impulssatz und das d'ALEMBERTsche Prinzip aus dem Dynamischen Grundgesetz. Aus diesem Grund sind Aufgaben aus dem Bereich der Kinetik nach allen drei Verfahren lösbar (Ausnahme Stoß, s.o.). Um das zu zeigen, werden Beispiele aus den beiden vorhergehenden Kapiteln hier wieder aufgegriffen. Der „Satz von der Erhaltung der Energie" ist der dritte Erhaltungssatz der Mechanik.

8.2 Die Definition von Arbeit und Leistung Die Definition des Begriffes „Arbeit" ist vereinfacht formuliert: „Arbeit = Kraft χ Weg". Der „Weg" ist die Strecke, um die die Kraft verschoben wird. Die Wirkungslinie der Kraft liegt in Verschiebungsrichtung. Angewendet auf eine Punktmasse, die auf einer Bahn nach Abb. 8-1 von einer schrägen Kraft bewegt wird, erhält man für den Verschiebungsweg ds ein Arbeitsdifferential dW = F-cos8-ds.

*) BERNOULLI, Daniel *1700 tl782 schweizer Mathematiker

(1)

320

8 Die Energie

Auf dem Weg von s, nach s2 wird die Arbeit W=

jFcos^ds

Gl. 8-1

aufgewendet. Dabei ändert sich das Produkt F · cos δ mit dem Weg. Zugeordnete Werte werden in einem Kraft-Weg-Diagramm nach Abb. 8-1 aufgetragen. Man erkennt, daß die von einem solchen Diagramm eingeschlossene Fläche der Arbeit entspricht, die bei der Verschiebung aufzuwenden ist. Die Gleichung (1) kann als skalares Produkt der Vektoren „Kraft" und „Weg" aufgefaßt werden dW =

F-ds.

Die Arbeit ist ein Skalar, d.h. sie wird durch einen Zahlenwert als Maß ihrer Größe bestimmt.

F-cos δ-ds

J l_

ds

J

2

Abb. 8-1: Zur Definition des Begriffs „Arbeit"

Der Arbeitsbegriff soll auf eine Kreisbahn nach Abb. 8-2 angewendet werden. Mit ds = r • άφ erhält man φ2

W= |Fcos5rd(ji) ?. - 1 9

Das auf der linken Seite stehende Integral ist nach Gleichung 8-1 die bei Beschleunigung verrichtete Arbeit. Die bewegte Masse hat diese Arbeit aufgenommen und sie in der Form der kinetischen oder Bewegungsenergie gespeichert. Demnach ist

Für die Deformation eines elastischen Systems (z.B. Feder) ist eine Arbeit notwendig, die nach Gleichung 8-5 die Größe

328

8 Die Energie

hat. Im gespannten Zustand hat die ideale Feder ein gleich großes Arbeitsvermögen. Die elastische Energie der Feder ist deshalb Gl. 8-12 Außer diesen drei genannten, denen in der Technischen Mechanik eine besondere Rolle zukommt, gibt es noch eine ganz Reihe anderer Energieformen. Als Beispiel seien aufgeführt: Wärmeenergie, chemische Energie, elektrische Energie, magnetische Energie, Strahlungsenergie, Kernenergie. Der Energiesatz sagt aus, daß es zwar möglich ist, eine Energieform in eine andere überzuführen, jedoch die Gesamtenergie als Summe aller Energieformen innerhalb des Weltalls konstant ist. Mit der Definition des Energiebegriffes ist es gelungen, eine Größe zu finden, die bei dem steten Wechsel aller Naturvorgänge konstant ist. Die Kernphysik hat bewiesen, daß Masse und Energie gleichwertig sind. Für ein betrachtetes System lautet der Energiesatz: Die Summe der Energien im Endzustand ist gleich der Summe der Energien im Anfangs zustand, vermehrt um die zugeführte bzw. vermindert um die abgeführte Energie: Σ Ελ ± AE = Σ E 2 .

Gl. 8-13

In dem Term AE können zu- bzw. abgeführte Arbeiten enthalten sein. Im ersten Fall kann es sich z.B. um eine über ein Motormoment in einem Hubwerk eingebrachte Arbeit handeln, im zweiten um eine über einen Generator abgeführte. Die von Reibungskräften verrichtete Arbeit wird in Wärmeenergie umgesetzt, die jedoch technisch nicht mehr nutzbar ist. Deshalb ist es sinnvoll, sie als „Energieverlust" von der Ausgangsenergie abzuziehen. Nach diesen Ausführungen kann man schreiben Σ E 1 + WMot - WMasch - W r = 1 E 2 .

Gl. 8-14

Dabei ist WMot die über einen Motor dem Anfangszustand zugeführte Arbeit, WMasch die von einer Arbeitsmaschine dem System entzogene Arbeit, WR die Reibungsarbeit. Die ΣΕ enthalten dann die Anteile potentielle, kinetische und elastische Energien. Bei der Anwendung des Energiesatzes ist es gleichgültig, wie der Vorgang verläuft, es kommt nur auf die Zustände zu den Zeitpunkten 1 und 2 an. Ähnlich wie beim Impulssatz werden zwei aufeinanderfolgende Zustände verglichen. Da die inneren Kräfte keine Arbeit leisten, ist es auch möglich, den Energiesatz auf ein System mehrerer Massen anzuwenden, die über Seile, Stangen, Federn usw. miteinander verbunden sind.

8.4 Der Massenpunkt

329

8.4 Der Massenpunkt Mit Hilfe des Energiesatzes soll zunächst die Minderung der kinetischen Energien bei einem teilelastischen Stoß zweier Massen berechnet werden. Dieser Energieanteil wird bei der bleibenden Deformation der stoßenden Körper und der damit verbundenen Reibung umgesetzt. Die entstehende Wärme ist technisch nicht nutzbar (Dissipation). Man spricht in diesem Zusammenhang von Energieverlust, obwohl Energie nicht verloren gehen kann. Eine andere Bezeichnung ist Stoßverlust, der hier mit WR bezeichnet werden soll. WR =

E1-E2.

Dabei sind Ex und E2 die kinetischen Energien unmittelbar vor und nach dem Stoß.

Die Geschwindigkeiten im Zustand 2 liefern die Gl. 6-5/6 m A · υ Α1 + m B - v m = m A - υ Α2 + m B - v B 2 ,

(2)

Vß2 - v A 2 = k (1>ai - Vm)

(3)

Aus (2) folgt die Änderung der Bewegungsgröße AB beider Massen AB = mA

(T>A1

- υ Α2 ) = M B

(VM

- VBI) ·

(4)

Diese Gleichungen werden nach υ Α2 und Dß2 aufgelöst und in (3) eingesetzt. Man erhält AB =

mA m

' » ( υ Α 1 - υ Β 1 ) ( 1 + *)• m A +m B

(5)

In (1) eingesetzt erhält man WR =

«ΑΪ + υ Α2 ) -

( υ Βΐ +

vB2).

330

8 Die Energie

Ausklammern von AB und Einsetzen von (3) führt auf

Diese Beziehung ergibt mit (5) die gesuchte Gleichung für WR mA mB

»R =

(υΑ1 -υ Β 1 ) 2 (1-^ 2 ).

'

2(mA+mB)

Gl. 8-15

Die Richtigkeit dieser Beziehung soll durch Anwendung auf einige einfache Fälle kontrolliert werden. 1. Elastischer Stoß Mit k = 1 erhält man, wie zu erwarten war, WR = 0. 2. Unelastischer Stoß gegen eine feste Wand (Β = Index Wand). Es ist mA

=±

λ m

A

(t>Ai - vmy

(1 - V).

1

—— +1 mB , Mitk-0",

-^-—>0; mB

vB1=0

ist

W

R

= ^ - v % 2

t

.

Die kinetische Energie der bewegten Masse wird in Wärme und bleibende Formänderung umgesetzt. 3. Unelastischer Stoß von zwei gleich großen Massen, die mit gleicher Geschwindigkeit gegeneinander fliegen. Mit ist

mA = mB = m ;

2

2

ΙυΑ1Ι = ΙυΑ2Ι = υ ; =

υΑ1-υΑ2 = 2 υ ;

k=0

2

Da im vorliegenden Fall die Massen nach dem Stoß in Ruhe sind, werden beide kinetischen Energien in Wärme und Formänderungsarbeit umgesetzt.

331

8.4 Der Massenpunkt

Beispiel 1 (Abb. 8-7a) Eine Ramme Α fällt aus der Höhe Η auf einen Pfahl B. Dabei dringt dieser um den Betrag s in den Boden ein. Bei diesem Vorgang prallt die Ramme nicht ab. In allgemeiner Form und für die nachfolgend gegebenen Daten ist die mittlere Widerstandskraft im Boden zu bestimmen. mA = 1000 kg

;

m B = 300kg

;

s = 0,20 m

;

// = 2,0 m .

Η

Β

swW

Abb. 8-7a: Ramme und Pfahl

Lösung In der Abb. 8-7b ist der Vorgang in drei Phasen zerlegt. In der ersten fällt die Ramme bis unmittelbar über den Pfahl und erreicht dabei die Geschwindigkeit υ Α1 . Mit dieser erfolgt in der zweiten Phase der unelastische Stoß, nach dem sich Ramme und Pfahl gemeinsam mit v>2 bewegen. Das einsetzende Eindringen in den Boden ist nach Ablauf des dritten Abschnitts abgeschlossen. 1. Abschnitt: 0 bis 1. Energieerhaltungssatz. Unter Beachtung, daß bis auf E k ] n M alle kinetischen Energien null sind und sich die potentielle Energie nicht ändert, kann man schreiben •EkinAl = -^potAl - ^potAO = ^£potA ^v2A1=mAg-H

=>

vA1=fifH

2. Abschnitt: 1 bis 2. Impulserhaltungssatz· mA

vA1=(mA+mB)v2

υ2=— υ ^ges

Α

ι = — ^ges

(i)

332

8 Die Energie

f

Abb. 8-7b: Die verschiedenen Phasen beim Einschlagen des Pfahls

3. Abschnitt: 2 bis 3. Energieerhaltungssatz. ΣΕ1 - Fw • s = ΣΕ2 W g e s +

l>2 -

·5= 0

Nach Einführung von (1) erhält man nach einer einfachen Umwandlung die allgemeine Lösung / Εψ = mges • g 1 +

mA

\2

Η

Ί

ges ^ s

m

Im vorliegenden Fall ergibt sich 1000 F w =(1300-9,81) Ν 1 + V1300

0,2

kN = 88kN 103N

Wenn der Energiesatz „durchgehend" von 0 bis 3 aufgestellt wird, muß der Stoßverlust nach Gl. 8-14 eingeführt werden. Eine Kontrolle mit diesem Ansatz sei dem Leser empfohlen. Beispiel 2

Das Beispiel 1 im Abschnit 6.2 (Abb. 6-2 / Motorausfall, Wagenrücklauf) soll mit dem Energiesatz gelöst werden. Nach dem d'ALEMBERTschen Prinzip wurde diese Aufgabe im Abschnitt 7.2.1 (Beispiel 2) gelöst.

333

8.4 Der Massenpunkt

Motorausfall

Umkehrpunkt

Motorausfall" (Beispiel 2)

Lösung (Abb. 8-8) D e r Ansatz erolgt nach der Skizze Abb. 8-8. Es ist zweckmäßig, für den Ausgangszustand 0 (= Zeitpunkt des Motorausfalls) die Massen auf gleiche Höhe zu setzen. Für diese wird Ε ^ = 0 definiert. Das kann man tun, weil es bei den potentiellen Energien nur auf deren Änderungen ankommt. Als Zustand 1 bieten sich hier der Umkehrpunkt und der Zustand unmittelbar vor dem Aufprall an. Hier wird der Umkehrpunkt gewählt. Man erhält £kin 0 + ^pot 0 ~ ^kin 1 + £pot 1 - γ " υ Α 0 + - γ " υ Β 0 + 0 = 0 + m A · g · As Au sin β - mB • g • hBu. Die Stufenwelle bedingt folgende Beziehungen t > B = — UA

;

'a

Λ β = — -AS a >A

Damit ergibt sich mA

mB

>B r \ AA

V

vlo=mA-g-AsAu

y

sin/3-mB-g· —-AsAu. >a

Nach einfachen Umwandlungen erhält man das Ergebnis

υ AO mA + mB Λϊλ,, Au =

f r λ2 B

V AA / r

/ Λ 2g mA • sin β - mB — rA

334

8 Die Energie

3,0 2 m 2 /s 2 1000 + 600 'OJß* 0,60 ΔϊΑυ = 2-9,81m/s

2

1000 sin 30°-600

kg 0,20 0,60

• = 1,63 m kg

Die Lage ist vom Zustand 0 gemessen. Für die verzögerte Bewegung nach oben sind Ausgangsgeschwindigkeit und Lage bei υ = 0 bekannt. Der Vorgang kann mit Gleichungen der Kinematik für a = konst. erfaßt werden. Am einfachsten ist es, die Gl. 2-9 anzuwenden υ2 = 2 a (s - s0) + vtf va «A = 2·Δ$

0 = 2 aA • As +

3,0 2 m 2 /s 2 : -2,76 m/s2 2 1,63 m

Alle weiteren Größen können wie im Beispiel 1, Abschnitt 6.2 gezeigt berechnet werden. Als Übung sei empfohlen, die Aufprallgeschwindigkeit aus dem Energiesatz für den Zustand 0 und unmittelbar vor der Rampe zu berechnen. Beispiel 3 (Abb. 8-9) Auf einem Träger I 200 wird mittig mit einem Kran eine Last von m = 1000 kg aufgesetzt. Dabei fährt der Kranhaken mit konstanter Geschwindigkeit von υ = 0,3 m/s bis die Last voll vom Träger aufgenommen ist. Da die Masse des Trägers wesentlich kleiner ist als die der Last, kann man die Stoßverluste vernachlässigen. Unter dieser Voraussetzung sind zu bestimmen a) das Verhältnis von dynamischer und statischer Beanspruchung des Trägers b) die durch die dynamische Beanspruchung verursachte maximale Spannung im Träger. Lösung (Abb. 8-10) a) Für das System Last plus Träger wird der Energiesatz für den Zustand 1 (= erste Berührung) und 2 (= maximale Durchbiegung im durchgeschwungenen Zustand) angesetzt. Es muß gelten: (^kin + ^pot)Last — ^Kranhaken = -^el Träger ·

335

8.4 Der Massenpunkt

Ζ ST

FK=m

Abb. 8-9: Dynamisch belasteter Träger

1,50 m-

-1,50 m-

g

u= 0

y dyn

Abb. 8-10: Itäger am Beginn und am Ende des Absetzens der Last

Während des Absetzvorganges geht die Last vom Kranhaken auf den Träger über. Der Vorgang ist im Diagramm Abb. 8-11 dargestellt. Bei der ersten Berührung hängt die Last noch voll am Haken, wenn sich der Träger um yst durchgebogen hat, ist der Haken ganz entlastet. Wegen des elastischen Verhaltens ist der Verlauf dazwischen linear. Die eingeschlossene Fläche entspricht der Arbeit am Kranhaken. Deshalb gilt (Gl. 8-10/11/12) m . 2 , —υ2 + τη • g • ydyn

1 c - - m • g • >>stat = -

yiyTi.

Aus der Definition einer Federkonstanten folgt

336

8 Die Energie

Abb. 8-11: Kraft am Kranhaken während des Absetzens der Last

Erweitert man den ersten Term mit g und multipliziert insgesamt mit 2/c, dann erhält man nach einer einfachen Umstellung V •Vdyn — ^.Vst ' ^dyn — 3^st

- 0.

^st

v s

J

Die Lösung der quadratischen Gleichung für chungen

ydyn

lautet nach Vereinfa-

υζ

^dyn = Jst 1 +

>g-y st

Im elastischen Bereich hängen Deformationen, Kräfte und Spannungen linear zusammen. Diese Überlegung führt auf die allgemeine Lösung des Problems y&yn _ -^dyn _ ^dyn

= 1+

V

g-y s t

y st

Die Wurzel stellt die durch die dynamische Beanspruchung verursachte Zusatzbelastung dar. Im vorliegenden Fall ist (s. Band 2; Tabelle 11) m g Ρ _ (103 · 9,81) Ν · 3003 cm3 = 0,123cm 48 E I 48 • 2,1 107 N/cm2· 2140 cm 4

yst 91kN_ 30 m

=

s

c) Es wird zunächst die Zeitdauer des Vorganges berechnet. Aus Gleichung 2-9 erhält man für υ = 0 =

2s

=

s 2

2· 30m

und mit Gl. 2-6 f=

=

α

1,07 m/s

Die mittlere Leistung ist

—

t

7,50s

= 7,50s.

351

8.6 Der starre Körper

s•

Abb. 8-21: Anfangs- und Endzustand der herabgelassenen Wabe

Die Bremse setzt mit der Maximalleistung ein (t^ = t>max). ^max = S · »o = 7,91 kN · 8,0 m/s = 63,3 kW. Wegen der konstant angenommenen Verzögerung ist sie doppelt so groß wie die mittlere Leistung. Beispiel 3 (Abb. 8-22)

Ein homogener Zylinder rollt eine schiefe Ebene hinunter. Die beschleunigte Drehung der Scheibe ist nur möglich, wenn an der Auflage des Zylinders durch Haftung verursachte Umfangskräfte wirken. Auf einer ideal glatten Unterlage würde die Walze translatorisch, d.h. ohne Drehung, heruntergleiten. In diesem Beispiel soll untersucht werden, ob bzw. wie die an der Auflagestelle wirkende Umfangskraft in die Energiebilanz eingeht und ob die durch diese Kraft verrichtete Arbeit in Wärme umgesetzt wird. Lösung Die Abb. 8-23 zeigt die an der Walze wirkenden Kräfte. Auf dem Weg s wird von den Kräften folgende Arbeit verrichtet W = (m · g • sin ß-Fu)

• s + Fu • r • φ.

Der erste Summand entspricht dem Anteil der Arbeit, der für die Verschiebung, der zweite dem, der für die Drehung notwendig ist. Mit s-r-φ bzw. φ = sir und mit h-s · sin β erhält man W = m- g-h-Fu-s

+

Fu-s.

352

8 Die Energie

ß Abb. 8-22: Rollender Zylinder

Abb. 8-23: Freigemachter Zylinder

Dieser Wert entspricht der Änderung der potentiellen Energie, die nach dem Energiesatz in Bewegungsenergie umgesetzt wird. m e h = — m v1 +— J 5 2 2

ω2.

In der Arbeitsgleichung heben sich die Anteile der Kraft Fu insgesamt auf. In dem Maße, in dem die Kraft Fü durch Verlangsamung der Geschwindigkeit die Energie - · m • υ2 verringert, erzeugt sie die Rotations2 1 energie - • J · a?. Der Anteil Fu • s wird nicht als Reibungsarbeit in Wärme umgesetzt. Aus diesem Grunde darf er nicht als Verlustarbeit in den Energiesatz eingeführt werden. Das mag zunächst überraschend sein, denn die Umfangskraft wird durch Reibungswirkung erzeugt. Die Idealisierung liegt in der oben verwendeten Beziehung s = r· φ. Diese setzt Rollen ohne Gleiten voraus. Eine Umfangskraft kann aber nur durch einen Schlupf zwischen Rad und Unterlage erzeugt werden. Das abrollende Rad bleibt in der Drehung gegenüber dem idealen Rad zurück s = r • φ-As. Mit dieser genauen Fassung erhält man W = m • g · h-Fu·

s + Fu· (s- As)

W-m-g

As.

h-Fu

Der in Wärme umgesetzte Anteil beträgt danach Fu • As. Die Berechnung dieser Größe ist sehr schwierig. Vereinfachend arbeitet man mit der Roll-

353

8.7 Zusammenfassung

reibungszahl μ κ (Band 1; Abschnitt 10.9). Die Arbeit W = μΆ· Fn· s wird in Wärme umgesetzt. Es soll abschließend berechnet werden, wie groß mindestens die Haftreibungszahl für das Abrollen der homogenen Walze sein soll. Das beschleunigte Abrollen wird durch die Umfangskraft verursacht r2 Fur = Jsa

Js =m·—.

(1)

Die Normalkraft beträgt Fn = m • g - cos ß. Damit ist = ^ m i „ - ^ n

= Α ) min " m

£ · COS β .

Dieser Ausdruck wird in die Ausgangsgleichung (1) eingesetzt r-fowa-m-g-cosß rßomingcosß

= m~-a 2 = ~ r 2

2

a = r

- . r

Die Beschleunigung ist a = g · sin β Momin g cosß=~g

smß

; jU0min = ~ t a n j 8 .

In diesem Zusammenhang soll noch einmal darauf hingewiesen werden, daß aus der Haftreibungszahl die maximal mögliche Kraft errechnet wird und nicht die, die sich u.U. wirklich am System einstellt. Diese ermittelt man aus den Gleichgewichtsbedingungen am System.

8.7 Zusammenfassung Bei Verschiebung einer Kraft wird eine Arbeit verrichtet W = \ F • cos '3

Eine Biegefeder wird bei großer Länge (Ρ) sehr weich und ist um so steifer, je größer die Biegesteifigkeit Ε · I ist. 2. Welle mit veränderlichem Querschnitt. Für die Stelle, wo die schwingende Masse sitzt, muß die Durchbiegung y unter einer beliebig anzunehmenden Kraft F bestimmt werden. Das ist mit Hilfe von speziellen Rechenprogrammen oder auch mit dem im Band 2, Abschnitt 5.5.4 behandelten Verfahren nach MOHR/FÖPPL durchzuführen. 3. Parallelanordnung von Federn (Abb. 9-9). Mehrere parallele Federn sollen durch eine Feder mit gleichem elastischen Verhalten ersetzt werden. Diese Feder wird Ersatzfeder genannt. Im vorliegenden Falle addieren sich die einzelnen Kräfte, während die Deformation für alle Federn gleich ist, F=F1 Ccrs

+ F2 + ... = J I F ,

•y = c1-y + c2-y + ... =

y-JJc,

cers = £ c .

Gl. 9-10

Die Ersatzfederkonstante ist gleich der Summe der einzelnen Federkonstanten. Für die schrägen Federn nach Abb. 9-9e ist es notwendig, die Verlängerungen und Kraftkomponenten der Einzelfedern zu bestimmen. Unter der Voraussetzung kleiner Amplituden erhält man nach Abb. 9-10: Ersatzfederkonstante

F cers = —, y

Verlängerung einer Feder

Al = y • cos y,

Gesamtkraft

F =2 • FF • cos γ,

Federkraft

Ff = Al-c.

371

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

Die Vereinigung dieser Beziehungen ergibt für den vorliegenden Fall cers = 2 · c • cos2 y. Für die Systeme 9-9 b/c/d ist zu beachten, daß es nicht auf die Vorspannungen der Federn ankommt (siehe vorigen Abschnitt). Es muß lediglich gewährleistet sein, daß keine Feder bei der Schwingung ausknickt. Ist es von der Anschauung her nicht klar, ob die Federn parallel oder hintereinander angeordnet sind, dann denkt man sich eine Feder weggenommen. Wird dabei das System „weicher", dann handelt es sich um parallele Federn. 4. Hintereinander angeordnete Federn (Abb. 9-11). In diesem Falle addieren sich die Verlängerungen, während die Kraft gleich ist

c

ers

1

Τ C

1

^ 1

= Σ ^-ers C

' •·· - J c

2

JL,

, c

Gl. 9-11

372

9 Mechanische Schwingungen

© Abb. 9-10: Schräge Federn in Parallelanordnung

Abb. 9-11: Hintereinanderanordnung von Federn

Der Kehrwert der Ersatzfederkonstante ist gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten. Ersetzt man im vorliegenden Fall eine Feder durch ein starres Element, dann wird das System steifer. Es sind beliebige Variationen von 1,3 und 4 möglich. An dieser Stelle können nur Einzelfälle behandelt werden. Für hier nicht behandelte Kombinationen von Federn muß sinngemäß verfahren werden. Beispiel 1 (Abb. 9-12) Die skizzierte Bühne ist mit der Masse m belastet und besteht aus zwei ITrägern. Sie ist links gelenkig gelagert und rechts mit einem Stahlseil in der Mitte abgehängt. Zu bestimmen ist die Eigenfrequenz des Systems für folgende Werte: Träger Seil

Winkel Masse

Länge Länge metallischer Querschnitt E-Modul

1140

l L A Ε γ m

= 3,00 m = 2,00 m = 60 mm 2 = 6 · 104 N/mm 2 =30° = 400 kg

373

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

Lösung Zuerst soll die Ersatzfederkonstante des aus der elastischen Bühne und dem Seil gebildeten Systems ermittelt werden. Für einen Träger gilt (Band 2, Tabelle 11) 48

E

Ρ

C=

I

'

Dabei ist nach Tabelle 1 0 A Band 2 : 1 = I x = 573 cm4. Damit ist c=

48· 2,1 107N/cm2· 573cm 4

100cm

300 3 cm 3

Im

„ , . n .6XT# 2,14 · 10 N/m.

Die Bühne besteht aus zwei Trägern. Deshalb ist die Federkonstante der Bühne cB

= 2 c = 4,28 · 10 6 N/m .

Jetzt muß die elastische Wirkung der Seilaufhängung an der Stelle der Masse berechnet werden. Dazu ist es notwendig, die Federkonstante des Seils zu bestimmen. Die Definition für den Ε-Modul ist (s. Band 2 Abschnitt 2.2.1) Ezr = — = ε A A l σ

F l

Daraus folgt unmittelbar für das Seil F E A cs = — = Al l

=

6 · 104N/mm2· 60mm 2 2 • 10 3 mm

10 3 mm = l,8-10 6 N/m. m

374

9 Mechanische Schwingungen

Für die Berechnung der Federkonstanten der Aufhängung wird der Doppelträger als starr angenommen. An der Stelle der Masse m wird eine Kraft F eingeführt und die durch sie verursachte Verlagerung y der Masse berechnet (Abb. 9-13) cA=~.

y

(1)

Der Strahlensatz liefert die Verlagerung des Punktes, an dem das Seil angreift. Den Zusammenhang zwischen F und der Federkraft F f erhält man aus einer statischen Gleichgewichtsbedingung, am einfachsten aus der Momentengleichung für das Gelenk F —~FF c o s y / = 0 => F = 2 FF cosy

(2)

Das ist die Verknüpfung von Massen- und Seilkraft. Weiter gilt FF

= c s · Δ/ ; Μ = 2 y · cos γ

Die Beziehung (2) liefert F = 4 • cs • y • cos2 7 und mit (1) cA = 4 · c s · cos2 7= 5,40 · 106 N/m. Es ist die Frage zu klären, wie die elastischen Elemente „Bühne" und „Aufhängung" miteinander gekoppelt sind. Verglichen mit einem festen Auflager rechts, sind die Deformationen durch die Seilaufhängung größer geworden. Demnach ist es eine Hintereinanderanordnung nach Abschnitt 9.3.2. Nach Gleichung 9-11 ist die Ersatzfederkonstante

375

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen 1 _ 1 Cars " c A

1 _( +

1

c B ~ [ 5,40 ·

1

+

ληι

4,28 · 10* J N'

106 +

cers = 2,39 106 N/m. Der oben zitierten Stahltabelle entnimmt man für den Träger 1140 eine Masse von 14,4 kg/m. Für beide Träger ist m-ji ~ 2 · 3 m · 14,4 kg/m = 86 kg. Dieser Wert erscheint zu groß, um vernachlässigt zu werden. Nach Abschnitt 9.3.1 (Abb. 9-8b) werden für den Fall einer unelastischen Lagerung das 0,486fache der Trägermasse als voll mitschwingend angenommen. Da durch das Seil die Federkonstante der Bühne etwa halbiert wird (2,39 gegenüber 4,28) und damit die rechten Teile der Bühne verstärkt an der Schwingung teilnehmen, erscheint es sinnvoll, die volle Trägermasse als mitschwingend zu betrachten. Damit ist m = 486 kg. Nach den Gleichungen 9-2/7 erhält man für die Eigenfrequenz v m l

(2)

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kippt das System zur Seite, weil die Rückstellkräfte zu klein sind. Wird/0 vorgegeben, ist die Ungleichung (2) ohnehin erfüllt. Die Gleichung (1) führt auf die allgemeine Lösung •m c=

2 cos 7

Mit tan γ= 1/2 erhält man cos2 γ= 0,80 (2·π·2,0 5_1)2 + c=

9,81 m/s 0,50 m

2 0,80

lOOfcg :

1,11 · 10 iV/m = 11,lN/mm

Die Federn müssen so vorgespannt werden, daß bei der vorgesehenen Amplitude keine Feder vollständig entlastet ausknickt. Beispiel 2 (Abb. 9-18) Für das skizzierte Pleuel, Masse m = 0,80 kg, l = 255 mm, sollen durch einen Pendelversuch die Lage des Schwerpunktes, die Größe des Massenträgheitsmomentes, bezogen auf die Schwerpunktachse, und der Trägheitsradius für die Schwerpunktachse bestimmt werden. Dazu wird das

382

9 Mechanische Schwingungen

Pleuel einmal auf die Schneide im Punkt Α und einmal im Punkt Β gehängt, in Schwingungen kleiner Amplituden versetzt und die Schwingungszeiten gemessen. Dabei ergeben sich die folgenden Kreisfrequenzen: ωΑ = 7,58 s_1, cob = 8,05 s~ . u

Lösung Gemäß Gl. 9-15 wird m

Ή mit

l =

g

l

\

— l

A

+

l

B

ω

und

m

g

l

° Ί —

.

und dem STEINER-Satz JA

+ m

=

un

'

d

JB

= h

+

m

'

%

Das sind fünf Gleichungen für die fünf unbekannten Größen lA, lB, JA, JB und J • s

Rechnet man nach Gl. 6-10 mit dem Trägheitsradius i (1)

J s - m i i

erhält man ,

m

2

m

bzw. C O B =

g

l

.

(2)

' glβ 2

m ( i

s

2

+

l

B

(3) )

mit den unbekannten Größen lA, lB, und is. Die Gleichungen (2) und (3) nach dem Trägheitsradius umgestellt

l

S

2 ω

Λ

2

A ω

Β

l

B

(4) '

383

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen und mit: L = l - L "S

2

A

A

2

ωΑ

I

2

(Ο,

Α

ωΒ

-I2

Α

= — · /1 — — ·/ -I21 . 2 ..2 Α ω„ ω£

+ 2 11 1ι

Α

-I2 Α'

1

geordnet (

ωΛ V

2

ωΒ

- /

y

durch g dividiert und umgestellt: _1 2 coB

1

A —

+

ωΑ

g 1

2 1

(0B

g

—

(5)

l.

Zur Kontrolle der Lösung wird ωΑ - 0% = ω gesetzt. Damit wird: J__I -2 ~ ι -^r r Ia/ 2 - - 2 ω

/, _-

1 —2 ω w / 1

g

I

g °

ω

.n

1 1- 1

2

'»

g

was bei gleichen Kreisfrequenzen die logische Konsequenz ist. Mit den Zahlenwerten wird dann aus Gleichung (5): 1-s2 lΛ

—

8 05 =-2 ; 1-J 1·ί 7,58 2

+

8,05 2

0,255 m s2 9,81

m

„ 0,255m• s

- 2 ·

5- 0,255w = 0,1406 m = 140,6 mm,

9,81m

/B = 0,255 m - 0,1406 m = 0,1144 m = 114,4 mm .

384

9 Mechanische Schwingungen

Die Gleichung (4) ergibt

J

Q

O l

~

' m S, · 0,1406 m - 0,1406 2 m 2 = 0,065 m = 65,01mm. 7,58 2 s Mit (1) erhält man Js = m-i% = 0,80 kg · 0,065 2 · m 2 = 3,381 · 10"3 kg · m2.

9.3.4 Die Drehschwingung des starren Körpers Eine starre Scheibe ist drehbar auf der Achse Α gelagert und wird nach Abb. 9-19 von einer Torsionsfeder gehalten. Diese erzeugt bei Auslenkung ein Rückstellmoment, das proportional zum Verdrehwinkel φ ist Μ ~ φ. Nach Einführung der Proportionalitätskonstante ist Μ = cT φ, cT=—. Ψ

Gl. 9-17

cT ist die Federkonstante für die Verdrehung (Torsionsfederkonstante). Sie hat die Maßeinheit Nm/rad und entspricht somit dem zur Verdrehung des Drehschwingers um 1 rad erforderlichen Moment. Um die Schwingungsgleichung aufstellen zu können, ist es notwendig, das System im ausgelenkten Zustand freizumachen. Nach Abb. 9-20 werden

m· ls • φ 2

Abb. 9-19: Drehschwinger

Abb. 9-20: Freigemachter Drehschwinger

385

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

im Schwerpunkt die d'ALEMBERTschen Reaktionen eingeführt, wobei zu beachten ist, daß das Moment der Gewichtskraft in der statischen Ruhelage von der Federvorspannung aufgenommen wird. In der ausgelenkten Position verändert sich das Moment entsprechend Abb. 9-20; d.h. MG = FG-ls- sin(ß + φ) - FG • ls • sin/? bzw. MG = FG • /s · [sin(/3 + φ) - sin/3]. Mit dem Additionstheorem für sin (β+φ) wird MG = FG- /s · (sin/3 · cos

1 die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften m Systems. Damit erhält man als Lösung y = Ci ·βλ'1 +C2

-eXrt,

y = C1• e(-«W«2-®o2)t + C2 • Für die Lösung sind drei Fälle zu unterscheiden. Für das Verhältnis δ/α^ wird der Begriff Dämpfungsgrad eingeführt, # =—· ω0

Gl. 9-30

1. ϋ > 1; δ > £üb ; die Wurzeln sind reell. Die Dämpfung ist so stark, daß eine Schwingung nicht entsteht. Die ausgelenkte Masse kriecht nach der e-Funktion langsam zur statischen Gleichgewichtslage und nähert sich ihr asymptotisch (aperiodischer Fall). 2. i? = 1; δ - iUb ; für λ erhält man eine Doppelwurzel. Ein solches System nennt man kritisch gedämpft. Es erreicht die statische Ruhelage nach einem Null-Durchgang in der kürzesten Zeit, ohne jedoch eine Schwingung auszuführen. Diese Dämpfung ist z.B. für analoge Meßgeräte besonders günstig, da der Zeiger ohne zu schwingen in der kürzesten Zeit sich auf den Anzeigewert einstellt (aperiodischer Grenzfall). 3. ϋ < 1; δ< cue · Die Wurzeln sind konjugiert komplex, +C 2 • e M ~ ' ^ < 5 2 ) l .

y = Ci

Über die EULERschen*) Formeln eix = cos χ + i · sin χ

; e~'x = cos χ - i · sin χ

kann man diese Gleichung in die reelle Form y = e~5'[Ai • sin(7« 0 2 -δ2

• t)

+ An • cos(^-ö2

• *)]

Gl. 9-31

bringen. Die Amplitude nimmt, wie in der Abb. 9-32 dargestellt, mit der e-Funktion ab. Die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems ist d • t) + An · cos ( y

>ο = 1 · [ ^ ι · 0 + Α„·1]

=>

= 0) = ^b eingesetzt, ergeben

(1)

An = yo.

ν0 = -δ •1·[ΑΙ·0 + y^tf + l-iA^tOj-l-

yQ-(od-0]

=> Λ, =

^ . aid

+

(2)

Damit wird die Bewegungsgleichung

Λthe-**

+y0-s ω,

sinio^-O + J V 0 0 ^ ® * · ' )

(3)

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

409

Zur Berechnung der Amplitude werden die Zusammenhänge aus Abb. 9-5 herangezogen. Der Ausschlag y erreicht seinen Maximalwert, wenn die Geschwindigkeit Null wird. Damit läßt sich aus der Gleichung für die Zeit für den Maximalausschlag eliminieren, wenn man er&t ausklammert: y = «f5 ' [ s i n ^ · ή • (-A1 • δ - An • C0d) + cos(ö>d · t) • (~A„ • δ + Al • ωά)] = 0. Da e~&t für alle Werte t von Null verschieden ist, muß der Klammerausdruck Null werden. Damit wird dann: sin(6J,i) d

, „ A.CO.-Ajjö = tan(ct)a r) =—-—* '-i-—. cos (cod-t) Α,·δ + ΑΙΙ·ωά

(4)

Daraus läßt sich die Gleichung für die Zeit formulieren: c . ο Ara>d-An-S X 1 t(y = Jν max/ )= arctan max' (üd Arö + An(Od

\

(5)

Für die vorgegebenen Daten ausgewertet, erhält man: ,c 150N- lkg m , ®o = J— = J * 2 2= 10,00 s - 1 , ' m \ m • 1,5kg • IN • s S =

2 m

1,8 kg 2 1,5 kg s

=0)6Q^

(üd = Vö)o " δ 1 = V(10,00j -1 ) 2 - (0,60s -1 ) 2 = 9,98 s

.

Mit (2) A

Aj

1,0• 10" 2 m·s-i +1,5· 1 0 6 , 0 · 1 ( H j-i ι η ο ι η 3 i 1 nQ -1,09 10 m = 1,09 mm 9,98s-1

und (1) Au = 1,5 · 10~3 m = 1,5 mm

410

9 Mechanische Schwingungen

ist mit (5) die Zeit, bei der der Ausschlag maximal wird t

-1 -3 1,09 · 10"V 9,98 s"1 -1,5 · 10~Jm · 6,0 · -1 10~V π Ii arctan = 0,057s 3 1 1 9,98 1,09 · 10" m · 6,0 · 10" s" +1,5 10 " V 9,98 s"1180°

Mit (4) (Odt-

180°

π

= arctan

Ar(Od-Au8 Ai-8 +

An(od

= 32,6°

läßt sich die Amplitude nach Gl. 9-31 berechnen. y(t = 0,057s) = β~°'ω J_1 0,057i · (1,09 · 10~3 m · sin 32,6° +1,5 · 10"3 m • cos 32,6°) _ymax = A - 1,75 · 10-3 m = 1,75 mm.

9.5 Die erzwungene Schwingung 9.5.1 Problembeschreibung Eine freie gedämpfte Schwingung kommt zur Ruhe, wenn die am Anfang im System vorhandene Energie durch die Dämpfung aufgezehrt ist. Wird dem Schwingungssystem in geeigneter Weise Energie zugeführt, dann bleibt ein Schwingungsvorgang erhalten, der jedoch weitgehend von der Art der Energiezufuhr abhängt. Bei der Beschreibung dieser Schwingungen wird wieder vom Modell bestehend aus Masse, Feder und Dämpfer, dem diskreten Einmassenschwinger ausgegangen (siehe dazu Kapitel 9.2). Die Schwingungsanregung wird an diesen diskreten Punkten eingeleitet. Eine schematische Übersicht über die wichtigsten Fälle gibt die Abb. 9-37. Bei der Wegerregung wird der Punkt Α in dieser Abbildung nach einer Funktion y = f (t) verschoben. Die Krafterregung greift an der Masse an. In diesen Bereich fällt die in der Technik oft auftretende Massenkrafterregung, die durch eine rotierende Unwucht verursacht wird (Fall e). Analog gilt für Drehschwingungen eine Verdrehung an diskreten Punkten bzw. anstelle der Kraft- eine Momentenanregung. Im Rahmen dieses Lehrbuches erfolgt eine Beschränkung auf die harmonische Anregung, d.h. die Erregergröße ändert sich nach einem sin- bzw. cos-Zeitgesetz. Für nichtperiodische, transiente (instationäre) oder stoßartige Anregungen sei auf die weiterführende Literatur (z.B. /30/) verwiesen.

411

9.5 Die erzwungene Schwingung

Erregte Schwingung

Wegerregung

Krafterregung

Ft = F0- sin (ωε -t)

d) frequenzunabhängige Erregerkraftamplitude

Jψ

Fe= me • e • coe! • sin ( coe • t)

b) Dämpfererregung

jM c) Stützenerregung

e) frequenzabhängige Erregerkraftamplitude

Abb. 9-37: Schwingungsanregung

9.5.2 Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung Die mathematische Beschreibung des erzwungenen Schwingungsvorganges soll die Fragestellungen nach dem Eigenschwingverhalten und der Schwingungsamplitude bei harmonischer Anregung beantworten. Das Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung soll am Beispiel der Wegoder Federkrafterregung, Abb. 9-37a erfolgen.

412

9 Mechanische Schwingungen

Die Wegerregung kann mit einer Kreuzschleife nach Abb. 9-38 eingeleitet werden. Die Kurbel der Kreuzschleife dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ωε (Erregerkreisfrequenz). Die Nullinie der Schwingung entspricht der statischen Ruhelage der Masse für φ - 0. Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen wird die Masse nach unten durchschwingend betrachtet, wobei die Kreuzschleife um den Betrag φ = λ/2 / 2 ein Aufschaukeln der Schwingung nicht erfolgt. Für elastische Systeme ohne zusätzlich eingebaute Dämpfer ist

9.5 Die erzwungene Schwingung

419

die Verschiebung des Resonanzpunktes vernachlässigbar. Den maximalen Ausschlag für kleine Dämpfung im Resonanzfall erhält man aus Gleichung 9-38

A

R

= - ± —

2-tf

=

2-0

.

G l

9 - 4 4

Daraus läßt sich experimentell durch Erregung im Resonanzfall der Dämpfungsgrad bestimmen. Da in Resonanznähe die Amplituden sich sehr stark mit η ändern, ist die Durchführung schwierig. 9.5.3 Übertragung der Lösung auf wichtige Anwendungsfälle Die im vorhergehenden Abschnitt gefundene Lösung für die Weg- bzw. Krafterregung soll auf die Massenkrafterregung (Unwuchterregung), Abb. 9-37e und die Stützenerregung Abb. 9-37c übertragen werden. Das Grundmodell für die Massenkrafterregung zeigt die Abb. 9-41. Betrachtet wird nur die vertikale Verschiebung (die Horizontalkräfte werden von der Führung „reibungsfrei" aufgenommen); das System hat somit nur einen Freiheitsgrad. Die mit ωί umlaufende Fliehkraft Fz = me • e • ö)e2, die quadratisch mit der Erregerdrehzahl zunimmt, ist die Kraftamplitude der Erregerkraft Ft = mt· e • ω} • sin (

(1)

führt. Für die kleine Dämpfung i3 = 0,01 ist die größte Amplitude bei η= — = 1 =>

o) e =ö) 0 =-s-.

ω0

r

Damit ist für ϋ = 0,01 t^ = r • ω0 = 0,20 m · 22,36 s-1 = 4,47 m/s. Für größere Dämpfung muß die Gl. 9-43 ausgewertet werden ηεχ12 = 1 - 2 02. Als Beispiel soll das für ϋ = 0,50 erfolgen J7ext = Vi - 2 - 0,52 =0,707 ®ext = flexi ω ο = 15,81 s _I =>uk =r a)eM =3,16m/s. Zusammenfassung der Ergebnisse ΰ

0,01

0,10

0,50

V2/2

— m/s

4,47

4,23

3,16

0

1,0

Wie bereits diskutiert, werden bei einem Dämpfungsgrad i?> V2/2 die Schwingungen nicht aufgeschaukelt.

428

9 Mechanische Schwingungen

Zu b) Die Lösungsdiagramme zeigt die Abb. 9-45. Beispielhaft soll für jede Funktion ein Punkt gerechnet werden. Funktion für

υ = 2,0 m/s; ϋ = 0,50

Die Erregerkreisfrequenz ist nach der obigen Gleichung (1) υ 2,0m/s ι η Λ .-1 ω, = — = — = 10,0s . r 0,20 m Damit gilt ,

=

^ ω0

=

1

=

o,447 ;

η2 =0,200.

22,36 s"

Die Gl. 9-41 1 ^/(1-η 2 ) 2 +4·ι? 2 η2 führt mit den oben ausgewählten Werten auf 1 V\ = • = 1,091. 2 V(l-0,2) +4-0,50 2 -0,2

Mit der Erregeramplitude Ar erhält man mit Gl. 9-42 A = V1 · Ar = 1,091 • 1,0 mm = 1,09 mm. Funktion fiir υ = Α,Al m/s (η = 1; s. Teil a); ϋ = 0,10 Für η = 1 liefert die oben ausgewertete Gl. 9-41

2·ϋ was der Gl. 9-44 entspricht. r, = —^— = 5,0; 20,1

A = Vl-Ar = 5,0 mm.

Funktion für υ = 8,0 m/s; ϋ = λ/2 / 2

429

9.5 Die erzwungene Schwingung

A

mm

V \

,υ = 4,47 m/s(η =1 I

υ = 2,0 m/s ΔΓ = 1

υ = 8,0 m/s \ Ο

0,2

(η > 1) 0,4

(η < Ο

^

0,6

0,8

1,0 i

Abb. 9-45: Amplitude in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad

Auf gleichem Wege wie für υ = 2,0 m/s erhält man < ö e = - = 40,0s"1 r V, =

;

77 = 1,789 ;

•y/(l - 3,2)2 + 4 · 0,7072 · 3,2

η2 =3,20 ;

= 0,298; A = Vl-Ar = 0,30 mm.

Die Diagramme bestätigen die Schlußfolgerungen, die aus der Vergrößerungsfunktion nach Abb. 9-39 gezogen wurden. - Eine merkliche Reduzierung der Schwingungsamplitude durch Dämpfung ist nur im Bereich der Resonanz (η = 1) möglich. Dabei nehmen bei kleinen Dämpfungsgraden die Amplituden mit steigenden Werten ϋ besonders stark ab. Bei starker Dämpfung hat ihre weitere Zunahme nur noch eine geringe Wirkung. Der Grund dafür ist: Die großen Amplituden bei Resonanz ergeben lange Wege des Dämpfungskolbens und damit einen großen Energieentzug aus dem Schwinger. - Außerhalb des Resonanzbereichs sind die Schwingungsamplituden fast unabhängig vom Dämpfungsgrad. - Die Schienengeschwindigkeit υ = 2,0 m/s verursacht eine unterkritische Schwingung η < 1. Die Amplituden sind für ϋ< V2/2 größer als Ar, für ϋ > V212 kleiner als Ar. - Die Schienengeschwindigkeit υ = 8,0 m/s führt zu einer überkritischen Schwingung η > 1. Wie man der Abb. 9-39 oder der Gl. 9-41 entnehmen kann, sind für η > s selbst ohne Dämpfung die Schwingungsamplituden kleiner als die Erregeramplituden (Vx < 1). Das ist hier der Fall. Es zeigt sich, daß in bezug auf unerwünschte Schwingungen der überkritische Zustand η > Λ/2 , der auch als „weiche Lagerung" bezeichnet wird, günstig ist.

430

9 Mechanische Schwingungen

Zu c) Die Phasenverschiebung wird aus der Gl. 9-39 berechnet. tan 1. Damit nähert sich nach Gl. 9-55 die Amplitude y der Exzentrität - e. Das bedeutet, daß der Schwerpunkt praktisch in der Drehachse liegt. Diesen Vorgang nennt man Selbstzentrierung. Wegen der Selbstzentrierung der Massen laufen Wellen überkritisch immer ruhiger (weiche Welle). Die auf die Lager übertragenen Kräfte sind verglichen mit einer steifen Welle im Verhältnis η2 verkleinert. Das folgt aus der Gleichung 9-53 für Massenkrafterregung, wenn man für = α^/η2 einführt. Die Resonanzbereiche müssen möglichst schnell durchfahren werden, um ein Aufschaukeln auf große Amplituden zu verhindern. Große, unvermeidbare Unwuchten erfordern eine besonders „weiche" Lagerung. Das System hat dann eine sehr niedrige kritische Drehzahl und das Verhältnis η wird sehr groß (tiefe Abstimmung). Der Schwerpunkt liegt fast genau in der Drehachse. Obwohl das System dem Ansehen nach stark schlägt, läuft es, da die Erregerkräfte fast verschwinden, ruhig. Die Fliehkraftmomente drehen die Masse so, daß die Drehung um die Hauptachse erfolgt und damit auch keine umlaufenden Momente auftreten. Ein Beispiel für eine solche Lagerung ist eine Wäscheschleuder. Diese, für uns selbstverständlichen Erkenntnisse zum überkritischen Betrieb, wie auch die Frage, ob ein solcher Zustand überhaupt stabil sein kann (und wenn ja, warum), hat zur Wende ins 20. Jahrhundert die Ingenieure und Wissenschaftler ein halbes Jahrhundert lang beschäftigt. Das ist gut nachvollziehbar, wenn man sich die Aussage der Gl. 9-55 für toe > ω0 vor Augen führt: Für η > 1 wird y negativ, d.h. die Welle biegt sich elastisch entgegen der Richtung der Exentrität e nach „innen" aus (siehe Bild 9-54)! Gelöst wurde diese Frage zuerst experimentell 1883 von Gustav de LAVAL, der in einer Turbine bewußt eine sehr dünne Welle, die mit ca. 30000 U/min (rj = 7) extrem ruhig und stabil lief, einbaute. Der theoretische Nachweis dafür konnte erst viele Jahre später von FÖPPL (1895), STODOLA (1904) und anderen geführt werden.

9.7 Die biegekritische Drehzahl

445

Beispiel (Abb. 9-55) Für die abgebildete Welle ist die kritische Drehzahl zu bestimmen. Das Schwungrad hat eine Masse von m = 1000 kg. Lösung Gegenüber der Schwungradmasse kann die Wellenmasse vernachlässigt werden. Die Durchbiegung dieser Welle wurde im Band 2; Abschnitt 4.5.4 als Beispiel für das Verfahren nach MOHR/FÖPPL ermittelt. Für eine Kraft von 15,0 kN beträgt die Durchbiegung _yF = 0,61 mm. Die Federkonstante ist demnach

yp

15-ltfN = 24,6 106 N/m. 0,6110~3m

Die Eigenkreisfrequenz beträgt ω0 =

24,6 ·106 N/m = 157s-1. I 103kg

Φ 45

Φ 75

M a ß e in mm

Φ60

Φ45

Abb. 9-55: Schwungrad

446

9 Mechanische Schwingungen

Damit ist nK =

ω0 _ 157 s - 1 = 25,0 s"1 ; nK -1500 min"1. 2π ~ 2π

9.7.2 Das Mehrmassensystem Ein schwingender Balken ist ein Kontinuumsschwinger. Das bedeutet, daß seine Masse und Elastizität kontinuierlich über den Träger verteilt sind. Er schwingt in °° vielen Eigenformen und hat auch so viele Eigenfrequenzen. Für viele Anwendungen benötigt man jedoch nur eine begrenzte Zahl von Eigenfrequenzen. Dies führt auf die Überlegung, den Balken als diskreten Schwinger zu idealisieren. Das Modell besteht dann aus mehreren starren Körpern (Punktmassen), durch Federn verbunden, mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Ein mit η Punktmassen besetzter masseloser Balken kann in η Formen Biegeschwingungen ausführen. Nach der Anzahl der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen, die für die Lösung einer technischen Aufgabenstellung bekannt sein müssen, wird man ein diskretes Modell mit einer entsprechenden Anzahl von Punktmassen aufstellen. Für Mehrmassenschwinger, wie z.B. Turbinenläufer, sind die Eigenfrequenzen, die in der Nähe des Betriebsbereiches liegen, wichtig. Sie sind die kritischen Drehzahlen, in denen die Welle nicht betrieben werden darf, da sonst die Durchbiegungen unkontrollierbar groß werden. Als Beispiel ist in Abb. 9-56 ein Träger mit vier Massen gezeigt. Zunächst bewegen sich alle Massen jeweils in eine Richtung. Dieser Zustand ent-

Grundschwingung

Knoten 1. Oberschwingung

2. Oberschwingung

3. Oberschwingung

Abb. 9-56: Mehrmassenschwinger im Zustand der Eigenfrequenzen

447

9.7 Die biegekritische Drehzahl

spricht der tiefsten Frequenz (Grundschwingung). Die erste Oberschwingung tritt auf, wenn ein Punkt der Trägerachse in Ruhe bleibt (Knoten). Die Anzahl der Knoten entspricht der Anzahl der Oberschwingungen. Die jeweilige Form des Trägers im Zustand der Eigenfrequenzen zeichnet man als Eigenform. Am wichtigsten für die Beurteilung Schwingungsverhaltens einer Welle ist häufig die Grundschwingung, sich auch am einfachsten berechnen läßt. Dieser Abschnitt befaßt sich mit der Ermittlung der Frequenz Grundschwingung.

bedes die der

Es wird auf die Energiebetrachtung des Abschnittes 9.3.1 zurückgegriffen. Die elastische Energie der Welle im durchgeschwungenen Zustand muß gleich sein der kinetischen Energie beim Null-Durchgang. Diese Überlegung wird auf die Welle nach Abb. 9-57 angewendet. Σ Et 1 = X £kin·

Dabei sind nach Gleichung 8-12

und Gleichung8-11/9-8

C -

E e ] =—y ,

Ekin =

-(y-«o)2·

Da die Massen an verschiedenen Stellen sitzen, sind auch die Federkonstanten verschieden,

Die Federkonstanten werden mit der Gewichtskraft bestimmt mg c = —2., y

cy =

mg.

Damit ist CO m1-y1+m2y2+...=-Q-(m1-yl+m2-yl+...). g

Abb. 9-57: Deformation des Mehrmassensystems im Zustand der Grundschwingung

448

9 Mechanische Schwingungen

Für η Massen n

(On

n

ι

g

ι

η ω0 =

ι 1 " J l^i-yf

Gl. 9-56

Für eine Masse erhält man mit c = m- g/y die Gleichung 9-54 (Kontrolle). Die bei der Schwingung entstehende Biegelinie entspricht genügend genau der Biegelinie der Welle im Ruhezustand. D a die Federkonstanten durch die Gewichtskräfte ausgedrückt wurden, muß die elastische Linie bei Belastung durch Gewichtskräfte ermittelt werden. mi · y{ sind dann jeweils zugeordnete Werte. Für das Mehrmassensystem gilt grundsätzlich alles, was im vorigen Abschnitt über die kritische Drehzahl gesagt wurde. Die größere Zahl der Freiheitsgrade der Mehrmassenschwinger (Mehrscheibenrotoren) macht das Geschehen zwar komplex, aber neue Sachverhalte treten nicht auf. Die grundsätzliche Problematik ist durch die LAVAL-Welle hinreichend geklärt. Die Gleichung 9-56 ermöglicht die Berücksichtigung der Wellenmasse beim Einmassensystem. Das ist vor allem notwendig, wenn beide von gleicher Größenordnung sind. Dazu denkt man sich einzelne Wellenabschnitte als Massenpunkte zusammengefaßt. Ergibt die Berechnung eine kritische Drehzahl, die über der Betriebsdrehzahl liegt, dann interessieren die Oberschwingungen nicht. Diese liegen immer erheblich über der Grundschwingung. Selbst, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann man in vielen Fällen abschätzen, ob eine Oberschwingung gefährlich werden könnte. Bei Anwendung dieses Verfahrens für eine fliegende Lagerung nach Abb. 9-58 ist folgendes zu beachten. Bei Rotation eines solchen Systems wirken die Fliehkräfte Fz entgegengesetzt, verstärken sich demnach gegenseitig in ihrer Wirkung. Aus diesem Grunde ist es notwendig, die elastische Linie mit entgegengesetzt gerichteten Gewichtskräften zu ermitteln.

Beispiel (Abb. 9-59) Für die skizzierte Welle ist die niedrigste kritische Drehzahl zu bestimmen. Die angegebenen Gewichtskräfte enthalten die einzelnen Teilabschnitte der Welle. Mittlere Biegesteifigkeit Ε • I = 1012 Ncm 2 ; m, = 1000 kg; m2 = 2000 kg; l = 1000 mm.

449

9.7 Die biegekritische Drehzahl

Y-— A

y\

γ η

Fgi

Abb. 9-58: Fliegende Lagerung einer Welle

Abb. 9-59: Welle mit zwei Massen

Lösung Zunächst müssen die Durchbiegungen der Welle an den Stellen der Massebelegung bestimmt werden. Das kann nach einem der in Band 2, Abschnitt 4.5 erklärten Verfahren erfolgen. Hier bietet sich das Überlagerungsprinzip (Superpositionsverfahren) an. Dabei werden die Durchbiegungen an einer definierten Stelle durch die verschiedenen Lasten mit den Gleichungen der Tabelle 11 (Band 2) getrennt berechnet und anschließend zur Gesamtdurchbiegung addiert. Man erhält: y !

= 0,122 mm,

y

2

=

0,128 mm.

450

9 Mechanische Schwingungen

Damit ist _ g · Ujm\ · y,) = 9,81m/s2(103 · 0,122 + 2 · 103 · 0,128)kgmm 10 3 mm ω °~ l ( m r y f ) ~ (103 · 0,1222 + 2 · 103 · 0,1282 )kgmm 2 ' m 2

ω0 = 279s -1

=> nK = — = 44,4s-1 2?r

; nK= 2664 min" 1 .

Es empfiehlt sich, durch eine Überschlagsrechnung mit der Näherungsgleichung das Ergebnis zu kontrollieren. Für eine mittlere Durchbiegung von y = 0,125 mm erhält man 300 . , 300 nK ~ , min - 1 = . •yjy /cm V 0,0125 Die sehr gute Übereinstimmung im vorliegenden Fall darf jedoch nicht zu dem Schluß führen, daß diese Gleichung grundsätzlich für Mehrmassensysteme anwendbar ist.

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte 9.8.1 Allgemeine Problemstellung Bei Maschinen mit rotierenden oder oszillierenden Teilen treten (periodische) Massenkräfte auf. Das wurde in den Kapiteln 6 und 7 ausführlich begründet. Diese freien Massenkräfte werden auf die Umgebung, den Aufstellungsort, die Menschen in Verkehrsmitteln oder Geräte mit meist unerwünschten Folgen übertragen. Aufgabe des Ingenieurs ist es, durch geschickte Anordnung der Massen, Formenleichtbau oder Verwendung leichter Werkstoffe diese Massenkräfte klein zu halten. Im technischen Sprachgebrauch sind für den Ausgleich der Massenkräfte die Begriffe Auswuchten bei Rotoren und Massenausgleich bei Mechanismen (z.B. Kurbeltrieb) üblich. Zu beachten ist, daß Maßnahmen zum Ausgleich der Massenkräfte lediglich das Fundament entlasten. Die dynamischen Lagerbelastungen einzelner Gelenke oder die Kräfte auf die Antriebswelle können sich als Folge der Maßnahmen auch verschlechtern. Ebenso sind die Auswirkungen aller Maßnahmen auf die Eigenfrequenzen zu berücksichtigen. 9.8.2 Das Auswuchten Wenn bei Drehung eines starren Körpers Drehachse und Hauptachse nicht zusammenfallen, entstehen zusätzliche Belastungen der Lager durch umlaufende Kräfte und Kräftepaare, (siehe auch Abschnitt 7.3.5). Als

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

451

Beispiel sei hier der Läufer nach Abb. 9-60 betrachtet. Der Schwerpunkt 5 liegt zunächst um den Betrag e außerhalb der Drehachse. Bei Drehung entsteht eine umlaufende Kraft, die mit dem Quadrat der Drehzahl ansteigt und so bei hohen Drehzahlen große zusätzliche Belastungen verursachen kann. Diesen Fehler könnte man bei genügend hoher Empfindlichkeit der Lager durch Auspendeln und Anbringen von Gegengewichten beseitigen. Diesen Vorgang nennt man statisches Auswuchten. Selbst wenn es mit dieser Methode gelänge, den Schwerpunkt genau in die Drehachse zu verschieben, so sind damit noch nicht alle zusätzlichen Belastungen der Lager ausgeschlossen. Das folgt aus der einfachen Überlegung, daß nicht alle Schwerpunktachsen Hauptachsen sind. Man kann sich den Körper in zwei Teilkörper zerlegt denken, von denen die Teilschwerpunkte wie angedeutet liegen. Bei der Drehung entstehen zwei verschieden große Kräfte, die man im Schwerpunkt zu einer Kraft und einem Moment zusammenfassen kann. Den Kraftanteil nennt man statische, den Momentenanteil dynamische Unwucht. Der Ausgleich beider erfolgt in zwei konstruktiv vorgesehenen Ebenen, z.B. Stirnseiten. Dort müssen zwei Ausgleichsmassen so angebracht werden, daß für einen beliebigen

I

k

sj

1 0

ft F 72

• ungewuchtet

F ers

1

£

Μ

Ausgleichsmasse

l· ΣΡ =0 E2 y»=ο

F ers

Ausgleiichsmasse

k

i

> gewuchtet

0 s,

S

.

s2

η

Drehachse = Hauptachse

Abb. 9-60: Dynamisches Auswuchten eines Rotors

452

9 Mechanische Schwingungen

Punkt Kräfte und Momente verschwinden - d.h. eine indifferente Gleichgewichtslage erreicht ist. In diesem Zustand fallen Haupt- und Drehachse zusammen. Die beiden Teilschwerpunkte liegen jetzt auch in der Drehachse. Die Aufgabe der dynamischen Wuchtung ist es, Haupt- und Drehachse zur Deckung zu bringen. Die gebräuchlichen Auswuchtmaschinen arbeiten nach folgendem Prinzip. Der Rotor wird, wie es z.B. Abb. 9-61 zeigt, auf Rollen gelagert. Je nach Art der Maschine wird die im Rotor vorhandene Unwucht die Lager zum Schwingen bringen. Mit empfindlichen und sehr genau anzeigenden Schwingungsmeßgeräten wird die Schwingung der Auflager des Rotors außerhalb der Resonanz gemessen. Man umgeht damit die Schwierigkeit der sehr starken Änderung der Phasenverschiebung im Resonanzbereich. Ist man genügend weit unterhalb des Resonanzgebietes (harte Lagerung), dann liegen Ausschlag (Amplitude) und Unwucht (Erregerkraft) gleich, d.h. in Phase (Abb. 9-42). Es wird z.B. piezoelektrisch die Kraft Fz = m · e · to2 gemessen. Ein Phasengeber, der synchron mit dem Wuchtkörper umläuft, gibt die Lage der Unwucht an. Bei weicher Lagerung läuft der Rotor überkritisch. Es wird nicht die Kraft, sondern die Amplitude der schwingenden Lager gemessen. Diese nähert sich dem Wert der Exzentrizität des Schwerpunktes. Maximaler Ausschlag und Lage der Unwucht sind um 180° verschoben. Die Lage wird von einem Phasengeber angezeigt.

Abb. 9-61: Auswuchtmaschine für Rotoren bis 10000 kg Masse. Unterkritischer Lauf auf starren Lagerständem. Vor dem Antriebsmotor Meßgerät mit 2 Lichtpunkt-Vektormessem. Antrieb des Rotors über ausgewuchtete Gelenkwelle. Foto Fa. Schenck/Darmstadt

453

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

Beim Auswuchten wird kein „vollkommen ausgewuchteter Rotor" angestrebt. Entsprechend der technischen Aufgabenstellung und der Betriebsdrehzahl werden auf der Basis von Gütestufen zulässige Restunwuchten nach DIN ISO 1940-1 definiert, die aus wirtschaftlichen Gründen nicht unterschritten werden sollten. Eine ausführliche Darstellung der Problematik und die Zusammenstellung der Normen hierzu ist in /38/ zu finden. 9.8.3 Die Massenkräfte am Kurbeltrieb Zur Bestimmung der Massenkräfte am Kurbeltrieb ist es notwendig, die Beschleunigung des Kolbens zu berechnen. In Abb. 9-62 ist ein Kurbeltrieb skizziert. Der Kolbenweg χ wird vom linken Totpunkt aus gemessen,

x = l + r-r • cos φ - 1 · cos β. Nach dem sin-Satz ist das Schubstangenverhältnis λ

Mit

cos β = yjl - sin2 β

ergibt sich

Für den Wurzelwert wird näherungsweise geschrieben (Reihenentwicklung)

Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung erhält man

r+l

Abb. 9-62: Kurbeltrieb

454

9 Mechanische Schwingungen

Mit l • λ = r ist x = r\ l-cosA v = x = r — · sin

η·(1-0,76 2 ) = 10μ/η Das heißt, daß am Meßgerät die Erregeramplitude 2,4-fach verstärkt wirkt. Durch die Zwischenschaltung von Stahlfedern (Federkonstante cF) in Reihenschaltung zum elastischen Rahmen wird eine niedrigere Eigenfrequenz und damit eine tiefe Abstimmung η > λ/2 angestrebt (siehe hierzu Abb. 9-43). Zur Berechnung des dafür erforderlichen überkritischen Abstimmungsverhältnisses wird mit A2 = 0,5 μπι

nach η aufgelöst: η

A \A2

+

i = 1 * 7 1 = 721 = 4,58. ]0,S μτπ

Damit wird die zur Realisierung dieses Abstimmungsverhältnisses erforderliche Eigenkreisfrequenz (Oe _ 2-n-fe _ ö)n0 = —- = ^ = η η

-1 2-n-55s 4,58

= 75,4s

-1

Die erforderliche Federkonstante des Gesamtsystems ist c=

• m = 75,42 s"2 · 12,0 kg = 6,83 · 104 kg/s.

466

9 Mechanische Schwingungen

Die Gesamtfederkonstante der zwischengeschalteten Federn läßt sich aus der Gleichung für die Reihenschaltung von Federn berechnen

C

C

G

Cp

cG-c

—

2,4559·IQ6 k g / s • 6,83·IQ4 k g / s . 2 7nnM/ 4, 7 s 2 ö = 7,02 10 kg/s = 700N/cm. 2

c P = ——— =

2

2,4559-10 kg/s - 6 , 8 3 1 0 ' k g / s

cG-c

9.10 Zusammenfassung Die Differentialgleichung der heitsgrad

harmonischen

Schwingung

mit

einem

Frei-

ist

y + ω^γ-Ο

Translatorische Schwingung

; (ol -—

Gl. 9-3/2

m

Drehschwingung

φ + ω^φ^Ο

Eigenkreisfrequenz (üq ; Eigenfrequenz

Schwingungszeit

1

;

Gl. 9-12/20

/0 = — = Τ

2π

Τ =— =— /ο «ο

Ersatzfederkonstante

2·π

Gl. 9-7

Gl. 9-6

cers

Parallelschaltung (Addition von Kräften) c

ers = Σ

c

Gl. 9-10

Hintereinanderschaltung (Addition von Längen) — = Σ -c c

Gl. 9-11

Maximale Geschwindigkeit im Null-Durchgang v

max = A · cOq

a>max = φ Α · ω0

Gl. 9-8/24

9.10 Zusammenfassung

467

Maximale Beschleunigung im Umkehrpunkt amax = - A

· COo

α ™ , = - Φ α · ®o

Gl. 9-9/25

Für die Bestimmung der Eigenfrequenz eines Schwingers muß dieser im ausschwingenden Zustand mit den d'ALEMBERTschen Trägheitsreaktionen freigemacht werden. Die Gleichgewichtsbedingung ZF - 0; bzw. ΣΜ = 0 (Drehachse) wird in die Grundform Gl. 9-1/19 gebracht. Der Vergleich mit dieser liefert die Eigenkreisfrequenz c%. Die Differentialgleichung der geschwindigkeitsproportional freien Schwingung ist γ + 2·ϋ·ω0·γ

+ ω$ -y = 0

Drehschwingung:

φ anstatt y. g ϋ =— co0

Dämpfungsgrad ϋ 0

0 1 1 1

gedämpften, Gl. 9-35

Gl. 9-30

ungedämpfte Schwingung, gedämpfte Schwingung, kritische Dämpfung, ein Nulldurchgang, aperiodischer Fall, kein Nulldurchgang.

Dämpfungskonstante

b= — y

Abklingkonstante

δ = 2-m 2

Eigenkreisfrequenz

Gl.

9-29

Gl.9-32

Die Amplituden der geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung nehmen mit der Zeit nach einer e-Funktion ab. Dabei ist das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Amplituden für den gesamten Vorgang gleich. Das führt auf die Definition des logarithmischen Dekrements Α

ι _ α_ Α

2·π·ϋ Gl. 9-33/34

Die Bestimmung der Eigenfrequenz eines gedämpften Schwingers erfolgt grundsätzlich genau so wie für einen harmonischen Schwinger. Die aus der Gleichgewichtsbedingung gewonnene Gleichung wird mit der Gl. 9-35 verglichen. Über (OQ und ϋ erhält man ωά.

468

9 Mechanische Schwingungen

Eine erzwungene Schwingung erfolgt nach dem Abklingen der Eigenschwingung (eingeschwungener Zustand) bei harmonischer Anregung immer mit der Erregerkreisfrequenz toe. Wegerregung Amplitude

A = Vl-r = Vl· ^ c

Vergrößerungsfaktor

Vi =

Gl. 9-41 +4·ϋ2

Phasenwinkel

tan