Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten: Ausgabe A. [31 Aufl. Reprint 2020] 9783112384121, 9783112384114

Table of contents :
Vorwort
Inhalt
Erster Teil: Planimetrie
Zweiter Teil: Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis
Dritter Teil: Ebene Trigonometrie
Vierter Teil: Stereometrie
Fünfter Teil: Sphärische Trigonometrie nebst Anwendung auf die mathematische Erd» und Hinmellkunde
Sechster Teil: Über bm Koordinatenbegriff «nb einige Gmndlehren von bm Kegelschnitten
Anhang

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Dr. L. G. Niehler

Hauptsätze der Elementar-Machematik neolxMbdttt von A. Schulte Hgge». Dirtttor des XtalfymNofhiwS $* Masri.

Ausgabe A.

Hauptsätze der

Elementar-M^atl-ematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten von

Dr. 8. G5. Mchlcr. neubearbeitet von A. Schulte-Tigges, Direktor de- Realgymnasiums zu Rassel.

Ausgabe A. ELnunddreißigste Auslage des Stammbuches» Mit IS7 Figuren im Text und auf J Tafel.

Berlin und Leipzig J92I

Vereinigung wissensct>afrlic1)er Verleger Walter de Gruyter & Co. vormals G. I Göschen'sche Verlagshandlung — 3- Guttenkag, Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — Rarl I. Erüdner — Veit 6c Comp.

Vorwort. Herr F. G. Mehler, welcher als Mitglied unseres mathematischen Seminars Gelegenheit hatte, die Verteilung -es Lehrstoffs zwischen meinem Herm Kollegen Dr. Luchterhand und mir auf unserem Gymnasium kennen zu lernen, hat sich bereitwillig der Mühe unter» zogen, die Hauptsätze der Mathematik, welcher wir bet unserem Unterricht bedürfen, in einer unseren Zwecken entsprechenden Weise zusammenzustellen. Wt» wünschen ihm hiermit unseren Dank für seine Mühe auszusprechen, von der wir den erheblichsten Nutzen für unser Gymnasium zu hoffen berechtigt sind.

Berlin, den 16. April 1859.

Schellbach.

Aus der Vorrede zur achtzehnten Auflage. Wie aus dem Vorworte ersichtlich ist, verdankt das vorliegende Buch seine Entstehung einer von Profeffor Schellbach gegebenen Anregung. Nachdem es mir im Sommerhalbjahre 1858 vergönnt gewesen war, allen Unterrichtsstunden, welche der Meister seineFaches in den oberen Klassen des Königlichen Friedrich-WilhelmS» Gymnasiums erteilte, beizuwohnen und so nicht nur die Endziele, bis zu welchen er seine Schüler führte, kennen zu lernen, sondem auch die Art und Weise, wie er sie mit den Elementen der von ihm gelehrten Disziplinen bekannt machte, folgte ich gern seiner Aufsorderung, die Elemente der Mathematik nach dem von ihm fest­ gestellten Plane und unter seiner Mitwirkung zu bearbeiten. Bei der ersten Auflage konnte es durch den Zweck, dem das Buch nach dem Vorworte zunächst dienen sollte, gerechtfertigt erscheinen, wenn es in einzelnen Abschnitten nur eine Zusammenstellung der Haupt-

Vorwort.

VI

sächlichsten Sätze ohne deren Begründung gab.

816 e- allmählich

in immer todteren Kreisen Beifall fand, erhielten auch seine dnzelnen

Teile »ach und nach dne annähernd gleichmäßige Ausführung.

Der

Beteiligung Schellbach- an der Herstellung der dnzelnm Auflagen ist in den Vorreden zu denselben Erwähnung geschehen.

Da- dort

Gesagte darf ich diesmal wohl kurz dahin zusammenfaffm, daß er

durch vielfältige Anregungm und zahlrdche Berbefferung-vorschläge unablässig bemüht gewesen ist, da- von ihm in- Leben gerufene Buch

zu vervollkommnen, und e- durch wertvolle eigene Beiträge (tote den »Anhang zur Trigonometrie*, die »Elementare Entwicklung der da»

sachsten transzendenten Funktionen* und den »Anhang* am Schluffe de- Buche-) berdchert hat.

Die unveränderte gdsttge Frische, die

noch vor zwd Jahren in den Briefen mdnes hochverehrten, damals

bereit- im 88stm Lebensjahre stehenden Lehrer- sich kundgab, und die

er sich bi- zu fdnem Lebensende bewahrte, ließ mich hoffen, daß er mit seinem freundschaftlichen Rate mir noch länger zur Seite stehen werde; doch am 29. Mai 1892 entriß ein unerwarteter Tod dm

hochverdimten

Mann

sdnen

Angehörig«

und

fdtten

zahlreich«

Freunden und Verehrern. Die vorliegmde neue Auflage bin ich bestrebt gewesm in voller Übereinstimmung mit dm timen Lehrplänen zu gestalten, und doch,

wie e- wohl selbstverständlich ist, unter möglichst vollständiger Er­ haltung de- bisherigen Charakter-

und Inhalte- de- Buche-.

E-

zdgte sich, daß nur wenige Abschnitte einer teilweisen und vorwiegend

die Anordnung de- Stoffe- betteffenden Umarbeitung bedurft«, und

daß tat übrigen den neum Lehraufgaben durch Hinzufügung einiger Ergänzungm entsprochen werdm konnte. .... Elbing, dm 24. Januar 1894.

F. G. Mehler.

Vorwort zur fünfundzwanzigsten Auflage, Bei der Neubearbdtung von Mehler- »Hauptsätzm der Elemmtar» Mathematik* sah sich der Herausgeber dner doppelt schwierig« Auf­

gabe gegenüber:

Auf der dn« Sette galt e-, das Buch dm unab»

todSlichm Fordemngm nmzeitltcher Methodik und auch dm amllichm

Vorwort.

VII

Lehrplänen insbesondere der realistischen Anstalten anzupaffen, ohne seine anerkannten Vorzüge zu beeinträchtigen; andererseits aber mußte Rücksicht genommen werden auf die außerordentlich weite Verbreitung des Leitfadens, und es schien nicht mehr als recht und billig, die Gefühle derer zu schonen, denen das Buch in seiner bisherigen Gestalt durch langjährigen Gebrauch lieb und wert geworden war. Beiden Ansprüchen in einem Buche gerecht zu werden, erwies sich im Laufe der Bearbeitung immer mehr als unmöglich, und so blieb nur übrig, das Stammbuch in einer ergänzten, sonst aber wenig veränderten Form (Ausgabe A) beizubehalten, während daneben eine völlig neue Ausgabe als Ausgabe B erscheinen soll. Diese letztere wird den neueren Anschauungen über den Inhalt und die Methode deö mathematischen Unterrichts weitreichenden Spielraum gewähren und soll, mit hinreichendem Übungsstoff versehen, in Unter- und Oberstufe getrennt erscheinen, die letztere wiederum in drei Bändchen (I. Synthetische Geometrie der Kegelschnitte in engster Verbindung mit neuerer und darstellender Geometrie; II. Arithmetik, Trigonometrie, Stereometrie; III. Funktionale Geometrie (Graphische Darstellung von Funktionen, Analytische Geometrie der Ebene, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung). Von diesen Bändchen ist das erste, aus dessen Vorwort hiermit hingewiesen sei, bereits erschienen. Hinsichtlich des Umfangs wird die Ausgabe B sich nach den Bedürf­ nissen der realistischen Anstalten richten. Bei der vorliegenden Ausgabe A hingegen mußte die Forderung maßgebend sein, die neue Auflage so zu gestalten, daß sie neben den älteren gebraucht werden könne. Demzufolge ist der bisherige Wort­ laut, von einzelnen unten näher bezeichneten Abschnitten abgesehen, möglichst unverändert beibehalten worden. Eine — für den Gebrauch neben den früheren Auflagen belanglose — Änderung wurde durch

neuere sprachliche Anforderungen bedingt. So ist z. B. die Ver­ wendung der Wörter »welcher' und »derselbe' eingeschränkt, und es find manche Fremdwörter wie Polygon, homolog, Resultat, Parallel­ epipedon durch die entsprechenden deutschen Ausdrücke ersetzt worden. Dagegen ist — unter Zusammenfassung der beiden bisherigen arith­ metischen Abschnitte und Absonderung der sphärischen Trigonometrie von der Stereometrie — die Bezifferung der Paragraphen, die durch die Einschiebungen der früheren Auflagen allmählich unzweckmäßig geworden war, durchweg neu und einheitlich geregelt worden, wobei

8er»ort

VIII

aber die alten Poragrophenzahlm den neuen in Klammem hinzu­

gefügt find.

Luch die Figur« find gr-ßtmteil- erneuert und bet

dieser Gelegenheit die Hülfsltnien von dm ander« durch Strichelung

unterschtedm worden.

Von kleinerm Htnzufügungm sei« hervor»

gehobm: UmkehrungSfttze vom Parallelogramm (I § 41, 42), geome­ trische örter auS der KretSlehre (I §*62), Zusätze zu I § 74 und 75, andere Auflösung reziproker Gleichungm (U § 24, 26), andere Beweise für dm StnuS- und KofinuSsatz (111 § 7,8), andere Ableitung der Formel für dm Inhalt de- PyramidmstumpfS (IV § 27), Gleichungm der Ge-

raben durch ein« und zwei Punkte (VI § 10), andere Ableitung der Ellipsengleichung (VI § 25), Tangentengleichungen (VI § 13,18,29,38). An größeren Änderungen und Ergänzung« find zu vermerk«: Der Beweis zu I § 115 (111) ist nm, und zwar weniger künstlich gestaltet worden.

In der algebraisch« Geometrie ist für die Be­

rechnung einzelner Dreiecksstücke ein anderer Ausgangspunkt gewählt wordm, so daß man nicht unbedingt mehr nötig hat, auf die Be»

rührungSkreife Md die von ihnm gebildetm Abschnitte einzugehm Eine nähere AuSfühmng und Erweiterung ist der ZinfeSzinS- und

Rentenrechnung zuteil gewordm; an eine etwas vereinfachte Ableitung

deS binomisch« Satzes für positive ganze Exponent« schließt sich jetzt eine kurze Übersicht der Eigmschasten der Binomialkoeffizimten an. Auch die sphärische Trigonometrie hat in ihrem Aufbau eine Ver­

einfachung erfahr«, indem zunächst die Formeln deS rechtwinklig« Dreiecks und mit ihrer Hülfe der @inu6- und die beiden KofinuSsätze mtwickell find.

ES steht daher nmtmdjr frei — unb daS erscheint

besonder- wichtig für die Gymnafim —, mtt der Ableitung dieser Formeln dm theoretischen Teil der sphärisch« Trigonometrie abzu»

schließ« und sofort zn den Anwmdungm überzugehen.

Gänzlich nm

find alS dm amtlich« Lehraufgabm der Gymnafim entsprechend die folgend« Abschnitte hinzugefügt: Wahrscheinlichkeitsrechnung, wieder­

holender Aufbau de- arithmetischen Lehrgang-, Anleitung zum perspek­

tivisch« Zeichn« räumlicher Gebilde (mit Aufgaben und einer Figuren­ tafel), Anwmdung der sphärisch« Trigonometrie auf die mathemattsche

Er-, und Himmelskunde. Alle im letzt« Absatz erwähnt« Änderung« und Ergänzung« hob« außerdem Aufnahme gefunden in einem besonder«, für die

Benutzer der früherm Auflagen bestimmt« Ergänzung-Heft, daS

demnach

auf

etwa

45

Seit«

die

nachstehend«

Teile

umfaßt;

Lorwort

IX

1. Zur Lehre von den Kreispolaren; 2. Aus der algebraischen Geometrie: Berechnung einzelner Dreiecksstücke; 3. Zinseszins» und Rentenrechnung; 4. Wahrscheinlichkeitsrechnung; 5. Binomischer Sah für positive ganze Exponenten; 6. Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrgangs; 7. Anleitung zum perspektivischen Zeichnm räumlicher Gebilde; 8. Sphärische Trigonometrie; 9. Anwendung der sphärischen Trigono­ metrie auf die mathematische Erd- und Himmelskunde. Dieses Ergänzungsheft ist zum Preise von M. —.40 zu haben und soll dm Besitzern der vorangegangmm Auflagen deren Gebrauch neben der jetzigen ermöglichen. Es dürste sich aber auch jetzt schon als Ergänzung in den Klassen eignen, die noch durchweg im Besitz früherer Auflagm find. Wie die Übersicht zeigt, kommm für den Gebrauch deö Er» gänzungsheftes an den Gymnasien nur die oberm Klaffen in Betracht. Infolge der vorstehenden Erweitemngen deS Inhalts ließen sich Streichungen nicht vermeiden, wenn der Umfang deS Buches nicht wesenllich über dm biSherigm hinauSgehm sollte. Ausgeschieden ist besonder- wmiger Wichtiges auf arithmetischem Gebiet, ferner einzelne goniometrische Formeln, § 222 und 233a, dazu einige Kegelschnitts­ sätze, insbesondere solche über zwei Tangenten. Selbstverständlich handelt es sich hier nur um Sätze und Abschnitte, durch deren Aus­ scheidung der Zusammenhang des Ganzen nicht leidet und die sich im Unterricht gleichwohl, wo sich bas Bedürfnis zeigt, leicht wieder etnsügm lassen. Zu ganz besonderem Danke ist der Herausgeber Herm Professor Frenzel in Lauenburg t. P., der ihm die Ergebnisse langjähriger Erfahrung freundlichst zur Verfügung stellte, für seine wertvollm Ratschläge und Anregungen verpflichtet. Für die Mitteilung von Ersahrungm beim Gebrauch der neuen Auflage und Verbesserungs­ vorschläge würde der Unterzeichnete dm Fachgenoffm stets dankbar sein, da es sein Wunsch ist, daß die Jubiläumsausgabe des »Mehler* hm vielen alten Freunden gefallen und sich neue hinzu erwerben möge.

Cassel, im Dezember 1907.

Mehler-SchuttO-ri-ges,

A. Schulte-TiggeS.

31« ÄttfL

Vorwort zur sechsundzwanzigsten und siebenundzwanzigsten Auflage. Die 27. Auflage ist wie die 26. ein fast ganz unveränderter Abdruck der vorhergehenden. Gestrichen find nur in der Übersicht

auf 6.153 die beim gewöhnlichen Rechnen nicht vorkommenden und daher künstlich erscheinenden Formen; auch wurde auf S. 224 noch

eine zweite Definition des Stundenwinkels zugelaffen.

Im übrigen

find nur eine Anzahl Druckfehler berichtigt worden.

Gaffel, im September 1909 und 1911. A. Schulte-Tigge-.

Inhalt. Sitte I. Planimetrie.

Einleitung......................................................................................... 1. Don den WinkelnundParallelen...

1 2

2. Von den geradlinigenFiguren...........................................

7

3. Dom Kreise................................................................................. 4. Boa der Gleichheit und Ausmessung der geradlinig«

21

Figur«........................................................................................ 5. Von der Ähnlichkeit der Figuren......................................

28 35

6. Don dm regelmäßig« Vieleck« und der Ausmessung deS Kreise-................................................................................. 7. Erweiterung der Ähnlichkeit-lehre......................................

44 49

8. Aufgaben aus -er algebraisch« Geometrie...................

68

II. Arithmetik mit Einschluß der Algebra und niederen Analysis. 1. Die vier Grundrechnungsarten..........................................

75

2. Potenzen und Wurzeln.........................................................

90

3. Proportion«................................................................................ 100 4. Gleichung«......................................................

103

5. Kettenbrüche................................................................................ 113

6. Logarithmen.................................................................................122

7. Arithmetische und geometrische Reih« nebst Anwendungen

125

8. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung............... 137 9. Binomischer Satz........................................................................ 142 10. Anwendungen des binomisch« Satze--.................................. 147 11. Wiederholender Aufbau de- arithmetisch« Lehrgang- .

152

£EL Ebene Trigonometrie.

Einleitung

............................................................................................165

XII

Inhalt. 1. Die trigonometrischen Funktionen spitzer und stumpfer Winkel und die Auflösung ebener Dreiecke..................... 165 2. Die Kreisfunktionen (Goniometrie)...................................176

IV. Stereometrie. 1. Von der Lage der Ebenen und Geradm im Raume . 186 2. Von den körperlichen Ecken................................................ 190 3. Von -en Polyedern............................................................. 193 4. Von dem Zylinder, dem Kegel und der Kugel ..... 200 5. Anleitung zum perspektivischen Zeichnen räumlicher Gebilde................................................................................. 207 V. Sphärische Trigonometrie nebst Anwendung auf die mathematische Erd- und Himmelskunde-. 1. Sphärische Trigonometrie................................................... 213 2. Anwendung aus die mathem. Erd- und Htmmelskunde 220 VI. Über den Koordinatenbegrisf und einige Grund-

lehren von den Kegelschnitten. 1. Bestimmung der Lage von Punkten in der Ebene . . 229 2. Darstellung von Linien durch Gleichungen. Gleichung-formen der Geraden und de- Kreises...............................233 3. Bon der Parabel................................................................ 237 4. Von der Ellipse................................................................ 243 5. Von der Hyperbel................................................................ 252 Anhang........................................................................................ 258

VII. Tafeln. Natürliche Logarithmen und astronomisch - geographische Konstanten.......................................................................... 266 Quadrat- und Kubikzahlen und -wurzeln...............................267 Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen..................... 268 Vierstellige Logarichmen der Sinus und Tangenten.... 270 Tafeln der natürlichen Sinus und Tangenten........................ 274 Die metrischen Maße und Gewichte......................................... 278 Die griechischen Buchstaben...................................................... 280

Erster Teil: Planimetrie. Einleitung. § 1.

Der Raum ist nach allen Setten ins Unendliche aus«

gedehnt. Der Raum ist teilbar. Die gemeinschaftliche Grenze zweier Raumteile heißt Fläche. Ein allseitig durch Flächen begrenzter Teil des Raumes heißt Körper. Die Flächen find teilbar durch Linien die Linien durch Punkte. Der Punkt hat keine Ausdehnung. Durch Bewegung eines Punktes entsteht eine Linie. Eine Linie hat eine Ausdehnung, Länge. — Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Die durch zwei Punkte begrenzte gerade Linie heißt der Abstand oder die Entfernung der beiden Punkte. Eine gerade Linie kann nach zwei ©eiten hin (nach zwei entgegengesetzten Richtungen) unendlich weit verlängert werden. Durch zwei Punkte läßt sich nur eine gerade Linie ziehen. Zwei verschiedene gerade Linien können daher nicht mehr als einen Punkt gemein haben. Eine unbegrenzt gedachte gerade Linie wird auch eine Gerade, eine an der einen Seite durch einen Punkt begrenzte gerade Linie ein Strahl, ein durch zwei Punkte begrenzter Teil einer Geraden eine Strecke genannt. Eine Linie heißt gebrochen, wenn fie aus geraden Teilen besteht, die zu verschiedenen Geraden gehören. Einie Linie heißt krumm, wenn kein Teil der»

selben gerade ist. Durch Bewegung einer Linie entsteht (im allgemeinen) eine Fläche. Die Flächen sind nach zwei Hauptrichtungen ausgedehnt, sie haben zwei Dimensionen, Länge und Breite. — Die ein­ fachste Fläche ist die Ebene. Die Ebene nimmt jede gerade Linie, die durch zwei ihrer Punkte geht, vollständig in sich auf. Mehler-Schulte-LtggeS, Elementar-Machemattk. 81. ÄufL

I. Planimetrie^

Durch Bewegung

Körper.

einer

Fläche

entsteht

(im

allgemeinen) ein

Die Körper hab« drei Dimensionen, Länge, Breite und

Dicke (oder Höhe).

In besonderen Fällen kann die Bahn einer bewegten Linie wieder eine Linie und die Bahn einer bewegt« Fläche wieder eine Fläche sein.

Die Lehre von solch« geradlinigen und krummlinig« Gebild«, die in einer und dasselbe« Ebme lieg«, heißt ebene Geometrie oder Planimetrie; die Lehre von dm Gebild« im Raume heißt

körperliche Geometrie oder Stereometrie.

§ 2.

DaS einfachste krummlinige Gebilde, das die Planimetrie

betrachtet, ist -er Kreis.

Ein Kreis entsteht, wenn eine Strecke sich

um einen ihrer Endpunkte herumdreht, bi- sie in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt. Die Strecke beschreibt alsdann die Kreisfläche, ihr sich

bewegender Endpunkt die Kreislinie oder Peripherie.

Der feste Punkt, um dm die Strecke sich dreht, heißt Mittelpunkt oder Zentrum, der unveränderliche Abstand der Punkte der Peripherie

vom Mittelpunkte heißt Radius oder Halbmesser deS Kreises.

Irgend ein Punkt' der Ebme liegt innerhalb deS Kreises,

auf

der Peripherie oder außerhalb deS Kreises, je nachdem sein Abstand vom Mittelpunkte kleiner, ebenso groß oder größer als der Radius ist.

Erster Abschnitt. Von den Winkeln und Parallelen. § S.

Erklärungen.

1) Ein Winkel«) wird gebildet durch

zwei Sttahlen, die von demfelbm Punkte aus»

gehm; die beiden Sttahlm heiß« die Schenkel, ihr Allsgangspunkt der Scheitel deS Winkels.

Der

Winkel,

deffm

Scheitel

Schenkel AB und AC find,

A

und

dessen

wird durch BAG

oder GAB oder auch nur durch A oder durch

einen

zwischm

die

Buchstaben (z. B. *)

Schmkel

gesetztm

bezeichnet.

Die

kleinen Größe

eines Winkel ist unabhängig von der Länge der Schenkel. 2) Zwei Winkel sind gleich, wenn sie sich so auseinanderlegm

lass«, daß ihre Schmkel sich deck«. 3) Ein Winkel entsteht, wenn ein in einem Puntte A begrenzter

Strahl sich um diesen Punkt von einer bestimmt« Lage AB aus-

Son den Winkeln und Parallelen.

gehend dreht.

3

Irgend ein Punkt des Strahles, B, beschreibt hierbei

einen Kreisbogen, und wenn der Strahl sich 4im zwei gleiche Winkel BAF und FAQ gedreht hat, so find auch die von B durchlausmm

Bogen BF und FG gleich, weil, wenn man die gleichen Winkel auf» etnanderlegt, auch die Bogen zur Deckung kommen.

Da der ganze

so entstandene Winkel BAG aus den gleichen Teil« BAF und FAQ

zusammengesetzt ist, so ist er doppelt so groß al- der Winkel BAF,

und

auch

Bogen BF.

der zugehörige Bogen BQ ist doppelt so groß al- der

Ebenso gehört auch zu einem dreimal so großen Winkel

ein dreimal so großer Bogm usw. Man teilt die ganze Kreislinie in 360 gleiche Teile, die man

Bogengrade nennt; die zugehörigen Winkel heißen Wtakelgrade. Jeden Grad (*), sowohl den Bogengrad alS auch den Aiukelgrad, teilt man in 60 Minuten (*), jede Minute io 60 Sekunden ("). Jeder Winkel enthält also ebenso viele Grade, Minuten und Sekunden als

-er zugehörige Kreisbogen. 4) Ein Winkel (BAC), der durch

«ine halbe Umdrehung entsteht, dessen Schenkel (AB und AG) also in die entgegengesetzten Richtungen einer Ge­

raden fallen, heißt ein gestreckter oder

flacher Winkel.

Der

zuge­

hörige Bogm ist ein Halbkreis und

mchält daher 180* oder 10800' oder 648000"; der ganze Kreis

mchält

1296000".

Fig. 2.

5) Die Hälfte eines gestrecktm

Winkels heißt ein Rechter (R). — Alle gestrecktm und folglich auch alle rechtm Winkel find einander

gleich. — Ist vou dm vier Winkeln, welche zwei gerade Linim (BC und DE) bilden,

einer ein Rechter, so find

es auch

die übrigen.

6) Wmn zwei gerade Linim sich unter rechtm Winkeln durchschneidm, so sagt man, fie stehen aufeinander smkrecht (J_), oder die

eine ist ein Lot (Perpendikel) auf der anderen. 7) Ein Winkel, der kleiner al- eia gestreckter oder zwei Rechte ist, heißt hohl (konkav),

und zwar spitz, wenn er kleiner als ein

Rechter, stumpf, wenn er größer ist.

«in gestreckter ist,

Ei» Winkel, der größer als

heißt überstumpf oder erhaben (konvex). — !•

L Planimetrie.

Die spitzen und stampfen Winkel werden, im Gegensatz zam Rechten, schiefe Winkel genannt.

8) Wenn zwei Winkel zusammen zwei Rechte betrage«, so heißt der

eine da- Supplement des anderen. Betragen zwei Winkel zusammen

einen Rechte», so heißt der eine das Komplement des anderen. 9) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel,

wenn sie den Scheitel­

punkt and ein« Schenkel gemein haben und die andern Schenkel in die entgegengesetzten Richtungen einer und derselben Geraden fallen. —

Scheitelwinkel heiße» zwei Winkel, wenn die Schenkel des einen

die Verlängerungen der Schenkel des anderen find. § 4.

Lehrsatz.

Nebenwinkel betragen zusammen zwei Rechte.

Z

DAC bilden zusammen den gestreckten

'

Winkel BAD, der sich ebensogut aus zwei

rechten

*

Die Makel BAC und

Beweis.

e/

zusemmeusetzen

Makeln

läßt.

Zusätze. ») Der Nebenwinkel eines § 5. Lehrsatz. Scheitelwinkel find einander Fig 8 8 Winkels - ist gleich gleich. 22? — ». Beweis. Die Scheitelwinkel « und c haben beide b) Zu gleiche» Winkeln gchdrcn gleiche Nebenwinkel. den Winkel 6 zum Nebenwinkel. Aso ist sowohl

«4-6=22? als auch 4-6=22?.

Zwei Größen aber,

die derselben dritten gleich find, find einander gleich. Daher ist «4-6=04-6, oder wenn von beiden Seiten

6 fortgenommen wird: « = e. Zusatz.

Zu

gleichen

Ebenso ist b=d. Winkeln

gehören

gleiche

Scheitelwinkel.

§ 6.

Erklärung.

Werden zwei gerade Liatea von einer dritten durchschnitten,

so

entstehen

acht

Winkel,

vier innere (e, d,f, g) und rter äußere («, 6,4, punkten

Dst an verschiedenen Schnitt­

liegenden

Winket

setzt mau

in

folgender Weise zueinander in Beziehung:

1) Gegenwinkel oder korrespon­ dierende Winkel aeuut man einen innern und einen äußern an derselbe» Sette derschneideudeu Ante (6 u. p, «i u.«,« u./, e n. L).

von bm Sbrfda Mld Paralltt»

5

2) Wechselwinkel fiat zwei innere ober zwei äußere an ver­ schiedenen Seite» der schneidenden Linie (« u. d n. /, « n. % 6 u. A). 3) Entgegengesetzte Winkel oder Ergänzungswinkel sind zwei innere oder zwei äußere an derselben Seite der schneidenden Linie («in-,«n./, 6 u.«, au. A). 4) Konjugierte Winkel find ein innerer und ein äußerer an verschiedenen Seit« der schneidenden Linie (z. B. d und A). Für die Anwendungen ist die vierte Gruppe entbehrlich. § 7. Lehrsatz. Ist ein Paar Gegenwinkel gleich, so find eS auch die übrigen, und die Wechselwinkel sind gleich, und je zwei entgegengesetzte Winkel betrage» zusammen zwei Rechte. Beweis. Wird z. B. b=g voraus­ gesetzt, so folgt, da (»ach § 5) b=c und y=A, daß 1) b = C= g = h. Da mm die vier anderen Winkel die Neben­ winkel der genannten find und zu gleiche» Winkeln gleiche Neben­ winkel gehöre», so ist auch: 2) a = d=/=i. Hieraus erkennt man die Gleichheit aller Paa« von Gegenwinkel» und Wechselwinkeln. Ferner ist z. B. f + c=2 R; denn e- ist: f *g = 1R und g=*c. Zusatz. Wenn ein Paar Wechselwinkel gleich ist, oder wem» em Paar entgegengesetzter Winkel zwei Rechte beträgt, so find ebenfalls alle Paare von Wechselwinkeln und Gegenwinkeln gleich, und je zwei entgegengesetzte Winkel betragen zwei Rechte. (Denn ist c=g1 so ist, weil e=b, auch b=g; nni ist d+y=2 Ä, so ist, »eil +6=2 Ä, auch d+6=d+y, also b=g. Beide Fälle find also auf den vor­ hergehenden Lehrsatz zurückgeführt.) § 8. Erklärung. Zwei gerade Linien heißen parallel (flX wenn fie, beliebig weit verlängert, fich nicht schneide». § 9 (früher Z 9 und Zusatz). Lehrsätze. •) Sind zwei Gegenwinkel gleich, b) Sind zwei Wechselwinkel gleich, I so find die geschnittenen Ge») Betragen zwei entgegengesetzte toben parallel. Winkel zusammen zwei Rechte,

I. Planimetrie.

6

Beweis, a) ES sei a=b so ist zu beweise«, daß AB\CD. Ma« nehme

W /

A.---------------------------------------L /

an, die Linien AB und CD seien nicht parallel, sondern. eS schnitten sich z. D.

/

die Richtungen GB und HD (gehörig

■£-------- bJa--------------------- S

verlängert). Da nun a—ö, so ist nach § 7 c=a und d=b, d. h. HC und

/

GA find unter derselben Neigung gegen

•/

jtg 7

EF gezogen, wie GB und HD gegen FE.

Dreht man daher die Gerade EF mit der rechts von ihr gelegenen Figur um die Mitte von GH so wett

hemm, bis EF selbst auf FE fällt, so fällt GB auf HC und HD Wenn also GB und HD sich schnitten, so müßtm sich auch

auf GA.

HC und GA schneiden, d. h. eS würden fich die Geraden AB und CD tu zwei Punkten schneiden, was unmöglich ist.

Daher ist AB^CD.

b) und c) Nach § 7, Zus. find in diesen Fällen auch die Gegen-

winkel gleich, also gW Satz a). § 10.

Grundsatz.

Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden

läßt fich nur eine Parallele zu derfelbm ziehen.

§ 11 (früher § 11 und Zusatz).

Lehrsätze,

a) Gegenwinkel an

Parallelen find gleich, b) Wechselwinkel an Parallelen find gleich, c) Ent­ gegengesetzte Winkel an Parallelm betragen zusammen zwei Rechte.

e/

I_

/ j------ — '

B

/

/

Beweis, a) Vorausgesetzt wird, daß AB\\CD, und behauptet, daß z. B.