Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauche an höheren Lehranstalten [23., Aufl. Reprint 2021] 9783112395486, 9783112395479

Table of contents :
Vorwort
Inhalt
Geometrie oder Raumlehre
Pla nimetrie
Algebra
Trigonometrie
Anhang zur Trigonometrie
Reihen und binomischer Satz
Stereometrie
Uber den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten
Anhang
Natürliche Logarithmen und astronomisch-geographische Konstanten
Quadrat- und Kubikzahlen und -wurzeln
Vierstellige Briggische Logarithmen der Zahlen
Vierstellige Logarithmen der Sinus und Tangenten
Tafeln der natürlichen Sinus, Sekanten und Tangenten
Die metrischen Maße und Gewichte
Die griechischen Buchstaben

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r Mathematischer Verlag von Georg Reimer in Berlin. Baer, 0., Elements d’algebre ä l’usage des classes moyennes du College royal fran^ais. 8. 1885 geb. — — Elements de geometrie plane a l’usage des eleves du College royal fran^ais. 8. 1887 geb. Ball, Bob« S«, theoretische Mechanik starrer Systeme. Auf Grund der Methoden und Arbeiten Ball's herausgegeben von H. Gravelius. Mit 2 Abbildungen. 8. 1889 Borchardt, Ce W«, gesammelte Werke. Auf Veranlassung der König!. Preußischen Akademie der Wissenschaften herausgegeben von G. Lettner. Mit Borchardts Bildnis. 4. 1888 Budde, E«, allgemeine Mechanik der Punkte und starren Systeme. Ein Lehrbuch für Hochschulen. I. Band: Mechanik der Punkte und Punktsysteme. 8. 1890 ------- II. Band. Mechanische Summen und starre Gebilde. 8. 1891 . Grelle, A. L«, Rechentafeln, welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen; mit Tafeln der Quadrat- u. Kubikzahlen von 1 bis 1000. Mit einem Vorwort von C. Bremiker. 8te Stereotyp-Ausgabe. 4. 1899 geb. . . . Dirichlet, GL Lejeune, Werke. Herausgegeben auf Veranlassung der Konigl. Preußischen Akademie der Wissenschaften. 4. I. Band. Herausg. von L. Kronecker. Mit Dirichlets Bildnis. 1889 II. Band. Herausg. von L. Kronecker, fortgesetzt v. L.Fuchs. 1897 Eisenstein, GL, mathematische Abhandlungen, besonders aus dem Ge­ biete der höheren Arithmetik und der elliptischen Funktionen. Mit einer Vorrede von Gauß. 4. 1847 — Tabelle der reduzierten positiven ternären quadratischen Formen nebst den Resultaten neuer Forschungen über diese Formen in besond. Rücksicht auf ihre tabellarische Rechnung. 4. 1851 . . . Emmerich, Dr« A«, Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Drei­ ecks. Mit 50 Figuren im Text und einer lithogr. Tafel. 8. 1891. Gravelius, H«, fünfstellige logarithmisch - trigonometrische Tafeln für die Dezimalteilung des Quadranten, mit ausführlichen Tafeln zum Übergang von der neuen Teilung des Quadranten in die alte und umgekehrt. Nebst vierstelligen Tafeln der Zahlenwerte der trigonometrischen Funktionen, sowie gewöhnlichen Logarithmen­ tafeln und Quadrattafeln. Mit einem Vorworte von Professor Dr. W.Förster, Direktor der Königlichen Sternwarte zu Berlin. 8. 1886. geb . Haentzschel, £., Studien über die Reduktion der Potentialgleichung auf gewöhnliche Differentialgleichungen. Ein Anhang zu Heines Handbuch der Kugelfunktionen. 8. 1893 Jacobi, C« GL J«, gesammelte Werke. Auf Veranlassung der Konigl. Preußischen Akademie der Wissenschaften. 4. I. Band herausgegeben von C. W. Borchardt. Mit dem Bildnis Jacobis. 1881 . II. —VII. Band herausgeg. von K. Weierstraß, 1882—1891. . Supplementband. Vorlesungen über Dynamik. Herausgeg. von

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17 — 7. — 8. —

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21.— 18.— 4. —

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6.—

18.— 99.— 10.—

Verlag von Georg Reimer in Berlin.

Methodisch geordnete

A ufgaben zu

Mehler’s Hauptsätzen der Elementar-Mathematik von

Prof. Dr. H. Funcke. Preis brosch. 60 Pf., gebd. 90 Pf.

Zu beziehen durch jede Buclihandlung.

Hauptsätze der

Elementar-Mathematik zum

Gebrauche an höheren Lehranstalten.

Bearbeitet von

Dr. F G. Mehler. Mit einem Vorworte von

Dr. ScheUbach. Dreiundzwanzigste Auflage, besorgt von

AB. 2) Es sei z. B. AC^>BC, und es sei zu zeigen, daß die Differenz von AC und BC kleiner ist als AB. Die Seite AC ist kleiner als die Summe der beiden anderen, d. h. AC BC-t-AB. Nimmt man jetzt von beiden Seiten BC fort, so erhält man: AC—BCCAB.

§ 16. Lehrsatz, beträgt zwei Rechte.

Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks

Beweis. Man ziehe durch C die Par­ allele zu AB; alsdann macht Z_c mit den neu entstandenen Winkeln m und n einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte aus, d. h. es ist: m+«H-c = 2R. Nun ist aber nach § 11, Zus.: m = a und n = b, und durch Einsetzung dieser Werte ergibt sich: G™V*b-^-c — 2 R.

§ 16. Folgerungen. 1) Sind zwei Winkel eines Dreiecks gegeben, so findet man den dritten, indem man ihre Summe von zwei Rechten abzieht. Zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln mit ein­ ander übereinstimmen, haben daher auch die dritten Winkel gleich.

Don bat geradlinigen Figuren.

2) Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten oder stumpfen Vinkel enthalten. 3) Von einem Punkte läßt sich auf eine Gerade nur ein Lot Men. (Denn gäbe es zwei, so entstände ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln, was nach 2) unmöglich ist.) § 17. Erklärung. Ein Dreieck wird spitzwinklig, recht­ winklig oder stumpfwinklig genannt, je nachdem eS drei spitze, oder einen rechten und zwei spitze, oder einen stumpfen und zwei spitze Winkel hat. — Im rechtwinkligen Dreiecke heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die ihn einschließenden Seiten heißen Katheten. § 18. Lehrsatz. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden inneren ihm gegenüberliegenden Winkel. Beweis. d-H> = 2R (§4.) a-t-cH-b = 2sl (§15.) folglich: d-f-b — a+c+b oder, wenn man auf beiden Seiten 6 subtrahiert: d = a-Pc. Folgerung. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer alein innerer ihm gegenüberliegender Winkel. § 19. 1) Erklärung. Zwei Figuren heißen kongruent (BC voraus­ gesetzt wird, so soll bewiesen werden, daß Z.CBA>CAB. Man schneide von der grö­ ßeren Seite CA ein Stück CD ab, welches der kleineren Seite CB gleich ist, und ver­ binde D mit B, so ist Z CBD—CDB nach A b §23, 1); aber Z.CDB>CAB nach § 18, folglich audj Z. CBDZ>CAB. Aber Z CBD ist nur ein Teil von Z CBA; demnach ist um so mehr Z CBA*>»CAB. 2) Ist Z B>»A, so läßt sich indirekt zeigen, daß AC^>BC ist. Wäre nämlich AC« CD, also Z AME > CMD, so ist nach § 29 auch Sehne AE>»CD. 2) Umgekehrt: Zu gleichen Sehnen gehören gleiche Bogen; zur größeren Sehne gehört der größere (den halben Kreisumfang nicht übersteigende) Bogen. 3) Gleiche Sehnen haben gleichen Abstand vom Mittelpunkt; von zwei ungleichen Sehnen hat die größere den kleineren Abstand. Beweis. Ist Sehne AB = CD und MF ± AB, MC ± CD, so ist zufolge § 49, 2) auch AF=CG. Nach § 27 ist nun A AFM SLCGM, also MF = MG. — Wenn ferner Sehne AE > CD, so ist nach 2) auch Bogen AEZ>CD, also ein Teil des Bogens AE, nämlich AB, gleich CD, und die Sehne AB und der Punkt M liegen an entgegengesetzten Seiten der Geraden AE. Verbindet man nun die Fußpunkte F und ff der auf AB und AE gefällten Lote MF uni) MH, so ist Z MHF größer als ein Rechter, folglich MF> MH (§25, 2), also auch MG > MH, oder MH < MG. 4) Umgekehrt: Gleich weit vom Mittelpunkt entfernte Sehnen

find gleich lang; von zwei ungleich vom Mittelpunkt entfernten Sehnen ist die dem Mittelpunkt nähere die größere. § 52. Lehrsatz. Eine Gerade, welche ans einem Radius in seinem Endpuntte senkrecht steht, ist eine Tangente. Beweis. Verbindet man irgend einen Punkt S des in auf MA errichteten Lotes CD mit M, so ist MB als Hypotenuse des rechtwinkligen Drei­ ecks AMB größer als der Radius MA. Daher liegt B und ebenso jeder andere Punkt des Lotes, mit Ausnahme des einen Punktes A, außerhalb des Kreises, d. h. das Lot ist eine Tangente. Anmerkung. Jede durch A gehende Gerade, welche auf MA nicht senkrecht steht, schneidet den Kreis. Denn das von M auf eine solche Gerade gefällte Lot ist kleiner als der Radius MA, sein Endpunkt also innerhalb des Kreises gelegen. Folgerungen. 1) Der Radius nach dem Berührungspunkte einer Tangente steht aus der Tangente senkrecht. 2) Das auf einer Tangente im Berühmngspunkte errichtete Lot geht durch den Mittelpunkt des Kreises. 3) Das vom Mittelpuntte ans eine Tangente gefällte Lot trifft dieselbe in ihrem Berührungspuntte. § 53. Lehrsatz. Jeder Peripheriewinkel ist gleich der Hälfte des Zentriwinkels, der mit ihm auf demselben Bogen steht. Beweis. 1) Geht ein Schenkel des Peripheriewinkels ACB, z. B. AC, durch den Mittelpunkt M, so ist nach § 18 x = y+»; aber s = y nach § 23, 1); folglich x = 2y oder y = ix.

2) Liegt M zwischen den Schenkeln deS Peripheriewinkels, so ziehe man dm Durchmesser CD; dann ist nach dem vorhergehenden Falle y = }x, u = l»; daher auch y-F« = i(®4-»), d. h. Z. ACB = AMB.

D

24

Planimetrie.

3) Liegt M außerhalb des Peripherie­ winkels, so erhält man, wenn wiederum CD gezogen wird, durch zweimalige Anwendung des ersten Falles y+u = oder y-i-u = und u = |z; daher durch Sub­ traktion y — § 54. Zusätze. 1) Alle Peripherie­ winkel auf demselben Bogen find gleich und zählen halb so viele Grade als der Bogen. 2) Der Peripheriewinkel im Halbkreise ist ein Rechter. (Denn Z ACB ist die Hälfte des gestreckten Winkels AMB.) 3) Alle Peripheriewinkel in demselben Kreisabschnitte sind einander gleich. (Z ACB — ADB — AEB als Peripheriewinkel über dem Bogen AGB.) Von zwei Kreisabschnitten über derselben Sehne saßt der kleinere den größeren Peri­ pheriewinkel. (Verlängere AE bis F und ziehe FB; dann ist zCAEB>AFB nach § 18, Folg.) Alle Dreiecke über derselben Grundlinie und mit gleichem Winkel an der Spitze sind also einem bestimmten Kreisabschnitte, der die Grundlinie zur Sehne hat, eingeschrieben. — Alle rechtwinkligen Dreiecke über derselben Hypotenuse sind dem Halb­ kreis über der Hypotenuse eingeschrieben. 4) Zu gleichen Bogen desselben Kreises oder gleicher Kreise ge­ hören gleiche Peripheriewinkel. Und umgekehrt: Zu gleichen Peripherie­ winkeln gehören gleiche Bogen. § 55. Lehrsätze. 1) In jedem einem Kreise eingeschriebe­ nen Vierecke (Kreisvierecke) beträgt die Summe zweier gegenüberliegenden Winkel zwei Rechte. Beweis. Zieht man die Radien MB und MD, so ist Z_A = ^x, C=iy, also A-t-C — |(®4-y). Aber ar-l-y = 4B, folglich A-t-C = 2 Ä. 2) Beträgt in einem Vierecke die Summe zweier gegenüberliegen­ den Winkel zwei Rechte, so läßt sich um dasselbe ein Kreis beschreiben.

Vom Kreise.

§ 56.

Lehrsatz.

25

Der Tangentenwinkel ist gleich dem Peri­

pheriewinkel im entgegengesetzten Kreisabschnitte. Beweis. Um zu zeigen, daß der den klei­

neren Kreisabschnitt einschließende Tangenten­ winkel CAB(x) gleich ist irgend einem der Pe­ ripheriewinkel in dem entgegengesetzten Kreis­

abschnitte, zeichne man denjenigen derselben, s, dessen einer Schenkel, AF, durch den Mittel­ punkt geht. Dann ist Z ABF= R (§ 54, 2), also auch y4-z = Ä. Aber y+®=ß (§ 52,1);

mithin y-+-a? = y4-s, oder x = z. Ferner ist auch der Tangenten­ winkel DAR gleich dem Peripheriewinkel AGB, weil Z DAB ---- 2 R—x (§4) und Z_AGB = 2R—• (§55, 1). § 57. Lehrsätze. Wenn zwei Kreise sich schneiden, so liegen

die beiden Durchschnittspunkte symmetrisch zu beiden Seiten der Ver­ bindungslinie ihrer Mittelpunkte (der Zentrale), d. h. der zweite Durchschnittspunkt kann erhalten werden, wenn man aus dem ersten

auf die Zentrale ein Lot fallt und dieses um fich selbst verlängert. Haben daher zwei Kreise einen Punkt auf der Zentrale oder deren Verlängerung gemein, so haben sie nur diesen einen gemein, sie be­ rühren fich.

Und umgekehrt: Berühren fich zwei Kreise, so geht die

Zentrale durch den Berührungspunkt. — Hieraus und durch un­ mittelbare Anschauung ergeben fich folgende Sätze: 1) Liegen zwei Kreise außerhalb einander, so ist die Zentrale

größer als die Summe der Radien. 2) Berühren fich zwei Kreise von außen,

so ist die Zentrale

gleich der Summe der Radien. 3) Schneiden fich zwei Kreise, so ist die Zentrale kleiner als die

Summe und größer als die Differenz der Radien (§ 14). 4) Berühren fich zwei Kreise von innen, so ist die Zentrale gleich der Differenz der Radien. 5) Liegt ein Kreis ganz innerhalb eines anderen, so ist die

Zentrale kleiner als die Differenz der Radien. Diese Sätze gelten auch umgekehrt und werden dann im all­

gemeinen indirekt bewiesen. § 58. Aufgabe. Um ein Dreieck einen Kreis zu beschreiben. Die Auflösung ist enthalten in § 50.

Planimetrie.

26

Anmerkungen. 1) Die drei Mittelsenkrechten (der Seiten) eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte. 2) Auch die drei Höhen eines Dreiecks (d. h. die Lote aus den Ecken auf die gegenüberliegenden Seiten) schneiden sich in einem Punkte. — Denn zieht man durch die Ecken Parallele zu den gegen­ überliegenden Seiten, so find die Höhen des gegebenen die Mittel­ senkrechten des umgeschriebenen Dreiecks. § 59. Aufgabe. An einen Kreis von einem außerhalb gelegenen Punkte Tangenten zu ziehen. Auflösung. Man verbinde den ge­ gebenen Punkt A mit M, halbiere AM in B, beschreibe aus B mit BM einen Kreis und verbinde die Punkte C und D, in denen dieser den gegebenen schneidet, mit A, so find AC und AD die ver­ langten Tangenten. Beweis. AC steht senkrecht auf MC nach § 54, 2) und be­ rührt daher den Kreis nach § 52.

Anmerkung. Die beiden von einem Punkte an einen Kreis gezogenen Tangenten find gleich, und ihr Winkel wird durch die Ver­ bindungslinie ihres Durchschnittspunktes mit dem Mittelpunkt hal­ biert. (Beweis: kAMC^LAMD nach §27, also AC = AD und Z CAM = DAM.) In ein Dreieck einen Kreis zu beschreiben. Auflösung. Man halbiere zwei Winkel des Dreiecks, z. B. B und C. Der Punkt M, in welchem die Halbierungslinien fich schnei­ den, ist der Mittelpunkt und das von M auf eine Seite (z. B. BC) gefällte Lot (MD) der Radius des zu konstruierenden Kreises. Beweis. Fällt man noch die Lote ME und MF, so ist (weil nach § 30a, 3) jeder Punkt der Halbierungslinie eines Winkels von den Schenkeln desselben gleiche Entfernungen hat) MD = ME und MD — MF. Der aus M mit MD beschriebene Kreis geht somit auch durch E und F, und dieser Kreis berührt die Seiten des Dreiecks in D, E und F nach § 52. § 60.

Aufgabe.

Bemerkungen. 1) Die Halbierungslinien der drei Winkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte, dem Mittelpunkte des eingeschriebenen Kreises (§ 59, Anm.). 2) Die Halbierungslinien eines Winkels und der beiden Außenwinkel an der gegenüberliegenden Seite schnei­ den sich ebenfalls in einem Punkte, dem Mittelpunkte eines äußeren DerührungskreiseS, d. h. eines Kreises, welcher eine Seite des Dreiecks von außen, die beiden anderen in ihren Ver­ längerungen berührt. § 61. Aufgabe. Ueber einer Strecke als Sehne einen Kreisbogen zu zeichnen, welcher einen gegebenen Winkel als Peri­ pheriewinkel saßt. Auflösung. Man lege an AB einen dem gegebenen gleichen Winkel BAC, errichte in A ein Lot auf AC, und in D, der Mitte von AB, ein Lot auf AB, und beschreibe aus dem Durch­ schnittspunkte beider, M, mit MA einen Kreis­ bogen, so ist jeder auf AB ruhende Peripherie­ winkel, z. B. AFB und AGB, dem gegebenen Winkel gleich nach § 56.

Vierter Abschnitt.

Von der Gleichheit und Ausmessung der gerad­ linigen Figuren. A.

Flächengleichheit.

§ 62. Bemerkung. In jedem Parallelogramm (oder Dreieck) kann man irgend eine Seite als Grundlinie bezeichnen, und man nennt dann Höhe den Abstand der Grundlinie von der gegen­ überliegenden Seite (oder Ecke). Parallelogramme» sowie Dreiecke, von gleicher Höhe lasten sich zwischen dieselben Parallelen stellen. § 63. Lehrsatz. Parallelogramme (und ebenso Dreiecke) von gleicher Grundlinie und Höhe haben gleichen Flächeninhalt.

Planimetrie.

28 Beweis.

Man denke sich die Parallelogramme auf einer und

derselben Grundlinie ruhend und zwischen dieselben Parallelen gestellt;

fie seien ABDC und ABFE. Da AC = BD, Z ACE --- BDF, Z AEC

= BFD,

so ist A AEC

BFD,

folglich ABFC— AEC = A BFC- BFD,

das heißt: ABFE — ABDC.

Der Beweis bleibt derselbe, wenn E auf D oder zwischen D und C fällt. — Werden die Diagonalen CB und EB gezogen, so find die Dreiecke ABC und ABE gleich, weil fie die Hälften der beiden glei­

chen Parallelogramme ABDC und ABFE find. Zusätze. 1) Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms von gleicher Grundlinie und Höhe.

(A ABC= $ABFE.) 2) Flächengleiche Dreiecke von gleicher Grundlinie haben gleiche Höhe.

Der geometrische Ort für die Spitzen aller flächengleichen

Dreiecke über derselben Grundlinie ist also eine der Grundlinie parallele Gerade. § 64. Lehrsatz. Zieht man durch einen Punkt einer Dia­ gonale eines Parallelogramms Parallele zu den Seiten, so haben die von der Diagonale nicht durchschnittenen Parallelogramme gleichen

Flächeninhalt.

(Ergänzungsparallelogramme.)

Beweis.

A ADC^LADB,

A AME^AMG, A DMH^DMF. folglich: ADC—AME—DMB = ADB—ANG—DBF,

das heißt: EMHC = GBFM.

§ 65. Lehrsatz. Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. (Pythagoreischer Lehrsatz.)

Beweis.

Man verbinde die Ecken I und F der über den Ka­

theten AC und BC gezeichneten Quadrate und lege an die Seite ED

des dritten Quadrats ein ABC kongruentes Dreieck EDL (in welchem EL = AC), so entstehen zwei Sechs­ ecke, CADLEB und HABGEL Diese werden durch die Diagonalen CL und HG in zwei Paare von Vierecken ge­ teilt, welche nach § 47a, 1) alle ein­ ander kongruent find, weil fie in drei Seiten und den beiden eingeschloffenen Winkeln übereinstimmen. Daher ha­ ben die Sechsecke gleichen Flächen­ inhalt. Nimmt man nun vom ersten die Dreiecke ABC und EDL und vom zweiten die ebenso großen Dreiecke ABC und IFC fort, so bleibt: ABED == ACIH+BCFG, oder wenn das Quadrat über irgend einer Strecke AB durch AB1 bezeichnet wird: AB’z-AC’+BC*. § 66. Erklärung. Projektion einer Strecke auf eine Gerade nennt man den Ab­ stand der Fußpunkte der von den Endpunkten der Strecke auf die Gerade gefällten Lote. (A'B', CD', E'F' find die Pro­ jektionen von AB, CD, EFauf LH, wenn AA', BB’, DD', EE', FF auf LM senkrecht stehen.) § 67. Lehrsatz. Im recht­ winkligen Dreiecke ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Rechteck aus ihrer Projektion auf die Hypo­ tenuse und der ganzen Hypotenuse. Beweis. @8 iei CH± AB, also AH die Projektion von AC auf AB, so soll bewiesen werden, daß das Quadrat über AC gleich dem Rechteck aus AH und AB, das heißt, wenn CH bis zur gegenüberliegenden Seite des Hypote-

30

Planimetrie.

nusenquadrats verlängert wird, daß ACDE = AHGF. Man ziehe BE und CF, so ist A EAB CAF (weil EA = CA, AB = AF, Z_ EAB — CAF). Aber weil jedes Dreieck die Hälfte eines Parallelo­ gramms ist, mit dem es auf derselben Grundlinie und zwischen bett« selben Parallelen liegt, so ist &EAB=$ACDE und A CAF=±AHGF. Mithin ist ACDE = ABGF. Zusatz. Euklidischer Beweis des Pythagoreischen Lehr­ satzes. Es ist AB* = AHGF-t-BHGJ. Aber, wie eben bewiesen, ist AHGF= ÄC1, und ebenso BHGJ = BC*. folglich: AB1 = AC’+BC1. §68. Lehrsätze. 1) Projiziert man zwei Dreiecksseiten auf einander, so sind die Rechtecke aus je einer Seite und der Pro­ jektion der anderen auf dieselbe einander gleich. 2) Das Quadrat über einer Seite, die einem spitzen (bezw. stumpfen) Winkel eines Dreiecks gegenüberliegt, ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten vermindert (bezw. vermehrt) um das doppelte Rechteck aus der einen der letzteren und der Projektion der anderen aus dieselbe. (Allgemeiner Pythagoreischer Lehrsatz.)

Beweis. 1) Es sei CL.LAB und ANJ-BC, also BL die Projektion von BC aus BA und BN die Projektion von BA auf BC; dann soll bewiesen werden, daß das Rechteck aus BA und BL gleich dem aus BC und BN ist. Verlängert man CL und AN, bis sie die gegenüberliegenden Seiten der an BA und BC gezeichneten Quadrate schneiden, so soll man also beweisen, daß Rechteck BLME gleich BNOG. Zieht man nun CE und AG, so ist AEBC^, ABG (§ 20); aber A EBC= %BLME und A ABG = i BNOG, also BLME = BNOG. — Ebenso folgt, daß CNOF=CPQJ und APQH=ALMD ist.

2) Wendet man für die sechs Rechtecke die Bezeichnungen an: X --- BLUE, y = CNOF, Z = APQB, X'=BNOG, Y= CPQJ, Z'=ALMD, so ist x=x\ y= y, z=z', und es ergibt sich: a) für die Seite AB des spitzwinkligen Dreiecks ABC: ÄB, = X+Z' = X’+Z = (BC*—Y)+(ÄC,—Y), d. h.: AB* = BC’-+-ÄC’—2 y = BC’H-lC’— 2 F.

b) Im stumpfwinkligen Dreiecke ABC ist: a) für die dem stumpfen Winkel AGB gegenüberliegende Seite: AB* = X4-Z' = X'-t-Z = (BC’-b y)+(ÄC,4- Y), d. h.: AB* --- BC,+iC,4-2y= 6C,+^C,4-2F; /)) für die dem spitzen Winkel ABC gegenüberliegende Seite: ÄC* = Z—Y = Z'—Y = (AB'—X)—(X'—BCt), d. h.:

ÄC’ --- ÄB’+BC’-2X =

ZB’-fBC’—2X'.

Zusatz. Ist das Quadrat einer Dreiecksseite ebenso groß (größer oder kleiner) als die Summe der Quadrate der beiden anderen, so ist der gegenüberliegende Winkel ein rechter (stumpfer oder spitzer). § 69. Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Summe zweier gegebenen Quadrate gleich ist. Auflösung. Man konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, welches die Seiten der gegebenen Quadrate zu Katheten hat. Die Hypo­ tenuse ist die Seite des gesuchten Quadrats (§ 65). § 70. Aufgabe. Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Differenz zweier gegebenen Quadrate gleich ist. Auflösung. Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, dessen Hypotenuse der Seite des größeren und dessen eine Kathete der Seite des kleineren Quadrats gleich ist. Die andere Kathete ist die Seite des gesuchten Quadrats. § 71. 1) Erklärung. Eine Figur in eine andere ver­ wandeln heißt eine andere ihr an Flächeninhalt gleiche konstruieren. 2) Aufgabe. Ein Polygon in ein anderes zu verwandeln, welches eine Seite weniger hat. Auflösung. Soll zum Beispiel das Fünfeck ABCDE in ein

Planimetrie.

32

Viereck verwandelt werden, so verlängere man eine Seite AB, ziehe die Diagonale DB, dann CF^DB und verbinde F mit D, so leistet das Viereck AFDE der Auf­ gabe Genüge. Beweis. Es ist &DBF=DBC nach § 63. Legt man nun diese Dreiecke einzeln zu dem Vierecke ABDE hinzu, so folgt: AFDE = ABCDE.

Anmerkung. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens kann man jedes Polygon in ein Dreieck verwandeln. — Die Verwandlung eines Polygons in ein Quadrat erfordert noch die Lösung der folgenden beiden Aufgaben: 1) Ein Dreieck in ein Rechteck zu verwandeln. Auslösung: Man zeichne über der Hälfte der Grundlinie des Dreiecks ein Rechteck, das mit dem Dreieck gleiche Höhe hat. 2) Ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln. Auflösung: Man verlängere die kleinere Seite AB des Recht­ ecks ABDC bis E, so daß AE — AC, beschreibe über AE einen Halbkreis, der BD in F schneidet, so ist AF die Seite des gesuchten Quadrats. Beweis. Es ist Z_ AFE — Ä nach § 54,2), also ÄF1 gleich dem Rechteck aus AB und AE oder aus AB und AC nach § 67.

B.

Flächenmessung.

§ 72. 1) Bemerkung. Als Flächeneinheit dient ein Quadrat, dessen Seite der Längeneinheit gleich ist. Die Zahl, welche angibt, wie ost die Flächeneinheit in der Fläche einer Figur enthalten ist, wird die Inhaltszahl oder, in abgekürzter Ausdrucks­ weise, der Inhalt der Figur genannt. 2) Lehrsatz. Die Jnhaltszahl eines Rechtecks ist gleich dem Produkte der Maßzahlen von Grundlinie und Höhe. (Oder kürzer: Der Inhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkte aus Grundlinie und Höhe.)

Beweis. Die Maßzahlen der Grundlinie und Höhe seien a und b. Sind nun a und b ganze Zahlen, so läßt sich die Längeneinheit auf der Grundlinie a mal, aus der Höhe b mal abtragen, und durch Parallele, die man durch die Teilpunkte zu den Seiten zieht, wird das Rechteck in a.6 Quadrate, deren Seiten der Längeneinheit gleich find, geteilt. Die Jnhaltszahl des Rechtecks ist also gleich a.6. Sind aber a und 6 gebrochene Zahlen, so kann man fie aus den­ selben Nenner bringen und daher a = ^, 6=-^ setzen, wo a, £ n ganze Zahlen find. Es läßt fich dann der nte Teil der Längeneinheit (oder, kürzer ausgedrückt, die Strecke auf zwei anstoßenden Seiten des Rechtecks und des Quadrates über der Längeneinheit bezw. «mal, /»mal, »mal abtragen, und durch Parallele wird das Rechteck in «.£ das Quadrat über der Längeneinheit in n.» Quadrate von der Seite — geteilt. Die Flächeneinheit ist also in der Fläche des Rechtecks n so oft enthalten, wie die Zahl n.n in der Zahl a.ß. Die Jnhalts­

zahl des Rechtecks ist also =

das heißt —a.b.

3) Folgerungen. Der Inhalt eines Quadrates von der Seite a ist gleich a*; der Inhalt eines Parallelogramms von der Grundlinie g und Höhe h gleich g.h (§ 63 und § 72, 2); der Inhalt eines Dreiecks — \g.h — der Hälfte des Produktes aus Grundlinie und Höhe (§ 63, Zus. 1), der In­ halt eines Paralleltrapezes =|(a+6).A --- dem Produkte aus der halben Summe der Grundlinien und der Höhe. (Denn ABCD = A ABC-V-CDA = ia.A+^6.A.) 4) Zusatz. Parallelogramme, sowie Dreiecke, von gleicher Grund­ linie (oder Höhe) verhalten fich wie die Höhen (oder Grundlinien). 5) Lehrsatz. Der Inhalt eines einem Kreise umgeschriebenen Polygons ist gleich dem Produkte aus seinem halben Umfange und dem Radius des Kreises. (Z. B. Viereck ABCD = A ABM-V-BCM-V-CDM+DAM = $AB.q -*-tBC.Q-V-^CD.Q-HtDA.Q = MAB-V-BC -t-CD-V-DÄ). £.) Mehler, Elementar-Mathematik. 83 Aust.

34

Planimetrie.

Muster AbschM.

Von der Ähnlichkeit der Figuren. § 73. 1) Erklärung. Gerade Limen, welche sich in dem­ selben Punkte schneiden, heißen Strahlen (bilden ein Strahlen­ büschel). Ihr Schnittpunkt heißt der Scheitel oder Mittelpunkt -er Strahlen oder des Büschels. 2) Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten und find zwei Abschnitte des einen gleich, so find auch die entspre­ chenden des anderen gleich. Beweis. Es sei AA'^BB'^CC'IDD' und AB = CD; be­ hauptet wird, daß dann auch A'B'= CD'. Zieht man ATunb C'G\\AD, so ist nach § 39, 2) AB = A'F und CD = CG, also A'F= CG. Ferner ist Z B'A'F = D'CG und Z A'B'F = C'D'G, also A A'B'F^C'D'G, mithin A'B' = C'D'. (Setzt man überdies voraus, es sei MA = AB, so beweist man leicht, daß & MA'A£ A'B'F, also MA' = A'B' ist.)

3) Ausgabe. Eine gegebene Strecke in eine gegebene Anzahl gleicher Teile zu teilen. Auslösung. Soll z. B. die Strecke AB in fünf gleiche Teile geteilt werden, so trage man auf einem von A aus gezogenen Strahle eine beliebig lange Strecke e fünfmal hinter einander ab, verbinde den Endpunkt mit B und ziehe durch die Teilpuntte Parallele zu der Verbindungslinie, so treffen diese die Strecke AB in den gesuchten Teilpunkten C, D, E, F. (§ 73, 2.) § 74. Lehrsatz. Werden zwei Strahlen von Parallelen ge­ schnitten, so verhalten sich a) die Abschnitte des einen wie die entsprechenden des anderen (oder je zwei entsprechende Abschnitte haben dasselbe Verhältnis);

Don der Ähnlichkeit der Figuren.

b) die Abschnitte der Parallelen wie die durch den Scheitel be­ grenzten Abschnitte eines Strahles. Beweis, a) Die sich in M schneidenden Strahlen werden von den Parallelen AA*, BB', CC, . . geschnitten; bewiesen soll z. B. «erden, daß AB:BM = A'B':B'M. Es mögen sich die Abschnitte AB und BM wie zwei ganze Zahlen p und q ver­ halten (z. B. wie die Zahlen 3 und 2); dann läßt sich ein und dasselbe Maß auf AB pmal (z. B. 3mal) und auf BM -mal (z. B. 2 mal) abtragen, und es entstehen dann auf dem Strahle AM p+q ein­ ander gleiche Abschnitte. Zieht man nun durch die Teilpunkte Parallele zu AA', so entstehen nach § 73, 2) aus A'M ebenso viele gleiche Abschnitte, und zwar kommen von diesen p auf A'B' und q auf B'M. Daher ist: ~C-TT = ", '

W ist-d-r auch

MM:

und demnach auch (§ 132 a, 3) .

--- yy.

Ebenso läßt sich beweisen, daß AM A'M AM A'M AB A'B1 BM ~ B'M ' MC ~ MC ' MC ~ MC “* >' W’

b) Zieht man BE\\ B'A', so ergibt sich durch Anwendung von a) auf die Strahlen AA' und AM: eT-

W

EA’-BB' «".2). *

§ 75. Lehrsatz. Zwei Gerade find parallel, wenn fie die Schenkel eines Winkels so schneiden, daß die Abschnitte des einen Schenkels sich wie die entsprechenden des anderen verhalten. Beweis. Vorausgesetzt wird, daß AM:BM = A'M:B'M, be­ hauptet, daß AA’ und BB’ parallel find. Wäre nicht BB', sondern die davon verschiedene Gerade BF^ AA', so wäre nach § 74, a) AM.BM — A'M:FM, also auch A'M:B'M=A'M.FM, d. h. B'M=FM, waS unmöglich ist. Daher ist BB'\\AA*. § 76. Lehrsatz. Werden zwei Parallele von einem Strahlen» 3e

Planimetrie.

86

büschel geschnitten, so haben je zwei entsprechende Abschnitte der Parallelen dasselbe Verhältnis (oder es verhalten sich die Abschnitte der einen wie die entsprechenden der anderen). Beweis. Nach §74, l-) ist

AB A'B'

mithin

BM . BC B'M Unb B'C

BM B'M’

AB BC oder A'B'~~ B'C* A'B' B'C*

AB BC Ähnlich folgt, daß AB: A'B'

= CD:C'Df oder AB: CD = A'B': CD’ u. s. W. § 77. Aufgabe. Zu drei gegebenen Strecken a, b, c die vierte Proportionale (b. h. das vierte Glied ® der Proportion a: b

— c:x) zu konstruieren. Auflösung. Man trage auf dem einen Schenkel eines Winkels AB — a,

BC=b und auf dem anderen AD — c ab, ziehe BD und hierzu aus C die Parallele CE, so ist nach § 74, a) DE die verlangte Strecke. § 78. 1) Erklärung. Eine Strecke wird durch jeden auf ihr selbst liegenden Punkt innen, durch jeden Punkt ihrer Ver* längerungen außen geteilt; die Abstände des Teilpunktes von den Endpunkten heißen ihre Abschnitte. 2) Aufgabe. Die Abschnitte einer nach einem gegebenen Ver­ hältnis (p: q) geteilten Strecke AB (c) zu berechnen. Auflösung. Für den in*1

"ä

C

B

5

neren Teilpunkt Gift AC-bBC --- c und AC: BC = p : q.

Hieraus folgt:

AC=-^_. BC=-^— p+q ' p-t-q Der äußere Tcilpunkt D liegt, wenn p">q, auf der Verlängerung von AB über B hinaus, und aus AD—BD — c und AD:BD — p:q findet mau: AD = -*_, BD = -y_ p—q p—q

Bon der Ähnlichkeit der Figuren.

37

Ist aber p < q, so kann der äußere Teilpunkt E nur auf der Ver­ längerung über A hinaus liegen, und auS BE—AE — c und AE: BE = p:q ergibt sich:

3) Folgerung.

Eine Strecke kann nur in je einem Punkte

innen oder außen nach einem gegebenen Verhältnis geteilt werden.

4) Aufgabe. Eine Strecke (AB) innen (oder außen) nach dem Verhältnis zweier gegebenen Strecken (m und n) zu teilen.

Auflösung.

Trage

auf einem durch A ge­

legten Strahle AD=m und in derselben (oder entgegengesetzter) Rich-

-------- ™-------

tung DE = n ab, ver­ binde E mit B und ziehe DC\\EB; dann ist C der gesuchte Teilpunkt. Denn nach § 74, a) ist AC-. BC= AD: ED. § 79. Lehrsatz. Die Halbierungslinie eines Winkels (oder Außenwinkels) eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite innen

(oder außen) nach dem Verhältnis der anliegenden Seiten. Beweis.

Ist CD

dieHalbierungSlinie des Winkels ACB (bezw. des Außenwinkels A'CB), und zieht man durch B

/

a

/

/

V

zu DC eine Parallele, welche die verlängerte AG (bezw. AC selbst) in F schneidet, so ist nach

§ 11 x = i und y = u. Aber nach der Voraussetzung ist ® = y; also ist auch s = » und folglich FC—BC. Nun ist nach § 74, a): AD AC BD — FC '

,

...

,

Daher lst auch:

AD

AC

— ßc

Zusatz. Ist eine Seite eines Dreiecks innen oder außen nach dem Verhältnis der anliegenden Seiten geteilt, so halbiert die aus der gegenüberliegenden Ecke nach dem Teilpunkte gezogene Gerade den Winkel oder Außenwinkel (§ 78, 3). § 80. Lehrsatz. Die drei Mittellinien eines Dreiecks

38

Planimetrie.

(d. h. die aus den Ecken nach dm Mitten der gegenüberliegenden Seiten gezogenen geraden Linien) teilen einander nach dem Ver­ hältnis 2:1 und schneiden sich in einem Punkte. Beweis. 3ft AE = EC uni) BD = DC, so ist ED\AB nach § 75, folglich nach § 74, b) AB AS .AB AC 2 .... ._ DE ~ DS Utlfc ED EC 1 ’

^|-=Y unb ebenso ^ = -p-

Die Gerade,

welche man aus C nach der Mitte von AB zieht, teilt AD ebenfalls nach dem Verhältnis 2:1, geht also ebenfalls durch den Punkt S. Anmerkung. Jede Mittellinie halbiert nicht nur die zuge­ hörige Seite, sondern auch jede zu dieser zwischen den beiden anderen gezogene Parallele (§ 76). Der Punkt S heißt der Schwerpunkt des Dreiecks.

§ 81. 1) Erklärung. Zwei Gruppen von Größen sind ein­ ander proportioniert, wenn je zwei entsprechende Größen das­ selbe Verhältnis haben. (Z. B. Drei Strecken a, b, c sind drei anderen a', V, c* proportioniert, wenn a: a! = b: b' = c: c'.) 2) Erklärung. Zwei Polygone heißen ähnlich (), wenn sie gleiche Winkel zwischen proportionierten Seiten haben. 3) Lehrsatz. Eine Parallele zu einer Seite eines Dreiecks schneidet ein dem gegebenen ähnliches Dreieck ab. Beweis. Ist DF^AB, so sind die Sei­ ten der Dreiecke ABC und DFC proportioniert -md di.

Winkel find gleich (§ 11). 4) Ausgabe. Zu einem gegebenen Polygone (ABCDE) irgend ein ihm ähnliches zu zeichnen. Auflösung. Man ziehe die Dia­ gonalen AC und AD und in den ent­ standenen Dreiecken B* C || BC, C D* || CD, D'E'\\DE; dann \\\AB'CD*EV ABCDE. (Daß die Winkel gleich find, folgt aus § 11, bezw. aus §11, Folg. 4); daß die Seiten

proportioniert find, aus § 74, b).

So ist z. B.:

find.)

weil beide Verhältnisse

§ 82. Erster Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke find ähnlich, wen« zwei Seiten des einen zwei Seiten des anderen proportioniert und die eingeschloffeuen Winkel gleich find. Beweis. Die Voraus­ setzung ist, daß AC BC . . A* C — ff C,UX^ C—C' Macht man CD = C'A' und CF— C'B’, soistA--^,

folglich nach §75 DF^AB, also nach

§ 81, 3) A ABC DFC. Aber A DFC^A'B'C nach § 20, mithin A ABCfiA'B’C. § 83. Zweiter AhnlichkeitSsatz. Zwei Dreiecke find ähn­ lich, wenn zwei Winkel deS einen zwei Winkeln des ander« gleich find. Beweis. Es sei Z_C=C und A = A*. Man mache CD = CA' und ziehe DF\\AB, so ist A ABCDFC. Nun ist Z_D = A, also auch D — A'; folglich ist A DFC£. A'B'C (§21), und daher A ABC^A'B'C. § 84. Dritter Ähnlichkeit-satz. Zwei Dreiecke find ähn­ lich, wenn die drei Seiten des einen denen des anderen propor­ tioniert find. Beweis. ES sei ^ = ^=^§7- Man mache, wie in

§82, CD = C'A', CF = C'B'. Dann

=

und A ABC DFC. Nun ist aber ferner: AB AC . AB AC ... ... AB DF DC ’ °6er DF A'C’’ U”& DF

also DF\\ AB AB A'ff *

mithin DF=A'B'; also A DFC^A'B'C (§26), und demnach & ABC A’B'C. § 85. Vierter Ähnlichkeit-satz. Zwei Dreiecke find ähnlich, wenn zwei Seiten deS einen zwei Seiten des anderen pro­ portioniert und die der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel gleich find.

40

Planimetrie.

BC A — A*. Macht man B'C” wiederum CD — C'A* und CF=C'B', so ist wie vorhin DF^AB, also A ABCDFC, ferner Z.D = A und folglich D = A*. Hieraus folgt: DFC^A’B’C (§27), mithin A ABC^A'B'C’.

Beweis. »AC,-^r =

§ 86. Lehrsatz. Zwei Dreiecke, die einen Winkel gleich haben, verhalten sich wie die Produkte der diesen Winkel einschlietzenden Setten. Beweis. Es seien die Dreiecke ABC und ADE mit dem gemeinschaftlichen Winkel A gegeben, und es sei EC gezogen, so ist nach § 72, 4) ABC JLB AEC AC AEC AE ’ ADE ~ AD’ und hieraus folgt durch Multiplikation: ABC AB.AC ADE AD. AE § 87. Lehrsatz. Ähnliche Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Ist A ABC «-> AXBXCX, so ist Z_C=CX

und -r-=--. Somit erbx ax hält man nach dem vorher­ gehenden Satze: __ a a

sti "ö? Zusatz. Ist a »mal so groß als a„ also auch b = n.b1, c = n. cx, so ist A ABC = nt. AXBXCX. § 88. Lehrsatz. Ähn­ liche Polygone verhalten sich wie die Quadrate homologer Seite». Beweis. Es seien z. B. die ähnlichen Fünfecke ABCDE ' und A1B,CXD1EX gegeben. Durch die Diagonalen aus

den Ecken A und Ax werden sie, wie leicht zu zeigen, in ähnliche Dreiecke zerlegt. Ist nun aso ist nach §87, Zus.: ^ABC = n\AtBxCx, ACD = n*.AxCxDl, ADE = n*.AxDxEx. Hieraus folgt durch Addition: ABCDE == n\Ax Bx C, Dx Ex, oder ABCDE a' AXBXC1D,E, a? §89. Erklärung. Eine Strecke c heißt die mittlere (geometrische) Proportionale zu zwei anderen a und 6, wenn a:c = c:b oder o'----a.b (das Quadrat der Strecke c gleich dem Produkte der Strecken a und b) ist. (Vergl. § 132 c.) § 90. Lehrsatz. Im rechtwinkligen Dreieck ist 1) jede Kathete die mittlere Proportionale zu ihrer Projektion auf die Hypotenuse und der ganzen Hypotenuse, 2) die Höhe der Hypotenuse die mittlere Proportionale zu den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Beweis. Ist Z ACB = R und CDj_AB, so ist A ACD ABC nach §83 (Z 4 = 4, Z ADC — ACB = R), daher:

i)

> ober ^c = (s—a)(s—6).

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich durch Multiplikation (und Division) und Ausziehung der Quadratwurzel: