Hauptsätze der Differential- und Integral-Rechnung: Als Leitfaden zum Gebrauch bei Vorlesungen [9. Aufl.] 978-3-663-19837-6;978-3-663-20172-4

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XII
Einleitung (Robert Fricke)....Pages 1-16
Grundlagen der Differentialrechnung (Robert Fricke)....Pages 17-36
Anwendungen der Differentialrechnung (Robert Fricke)....Pages 37-79
Grundlagen und Anwendungen der Integralrechnung (Robert Fricke)....Pages 80-117
Funktionen mehrerer unabhängiger Variabelen (Robert Fricke)....Pages 118-157
Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen (Robert Fricke)....Pages 158-194
Back Matter ....Pages 195-219

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HAUPTSXTZE DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL-RECHNUNG

HAUPTSATZE DER

liND INTEGRJALRECHNTJNG

DIF~lERENTIAL-

Als Leitfaden znm Gehrauch bei Vorlesungen zusammengestellt von

DR. ROBERT FRICKE

II. Erklärung: Die zur Exponentialfunktion inverse Funktion ist y azogx und heißt "Logarithmus" mit der Basis a. Die aus Fig. 6 nach der Regel von S. 4 hergestellte Logarithmuskurve für die Basis 2 ist in Fig. 7 stärker ausgezogen.

=

Lehrsatz: Die Funktion y = azogx ist für alle positiven deutig, für alle negativen x nulldeutig.

X

ein-

1) Imaginäre und komplexe Werte derVariabelen und Funktionen werden erst unten (im Anhange) zugelassen und näher untersucht.

Exponentialfunktion und Logarithmus. Winkelmaß.

7

Dies tritt in Fig. 7 direkt hervor: Die Logarithmuskurve verläuft durchaus rechts von der y Achse und liefert hierselbst für jedes x ein und nur ein y. Es gilt: (1)

o,

azog 1 =

>

sowie, falls a trifft: ( 2 ) {alog 0

= -

1 zu-

(J),

+ (/)) -= + (/). Ist a > 1, so hat die Funktion "log x für 0 < x < 1 negative Werte, für x > 1 daazog (

gegen positive.

7. Gradmaß und Bogenmaß der Winkel. Statt des in der Elementarmathematik geb1·äuchlichen Gradmaßes der Winkel benutzt man in der höheren Mathematik gewöhnlich das sogenannte "Bogenmaß" derselben. Erklärung: Ein Winkel wird gemessen durch die Länge desjenigen l{reisbogens vom Radius 1, zu welchem der Winkel als Zentriwinkel gehiJrt. Hat ein Winkel von OG Grad in Bogenmaß die Größe s (vgl. Fig. 8), so gilt die Gleichung: F'1g. 8,

(1) . • • . s

=

'ltOG

180.

Hieraus ergibt sich folgende Tabelle: 1.

n 180

1

oo"

1

180"

1

270"

1

360 11

2n

Neben der Kreisperipherie legen wir jetzt auch noch die "Zahlenlinie" (siehe S. 1) zur Deutung der hier als unbeschränkt geltenden Variabaien s vor. Man denke sich zu diesem Zwecke die Kreisperipherie von s = 0 beginnend sowohl na!Jh der positiven als der negativen Seite der Zahlenlinie unendlich oft abgewickelt. Lehrsatz: Bei der letzteren Auffassung gewinnt ein und derselbe Winkel unendlich viele Maßzahlen s, welche alle aus einer unter ihnen durch Zufügen von beliebigen ganzzahligen Vielfachen der Zahl2n entstehen.

Einleitung.

8

So bekommt z. B. ein rechter Winkel die Maßzahlen: "/ 2 , "/2 2 n, "/2 -±:- 4 n ...

±

8. Die trigonometrischen Funktionen. Er k I är u n g: .Als .Argument der trigonometrischen E'unlclionen sin, cos, tg, clg soll nicht das Gradmaß, sondern das Bogenmaß s des Winkels angesehen werden. Der Gleichmäßigkeit wegen schreiben wir wieder x statt s

I

Fig.9.

"~H· X=a.

~

r

SinuRkurve

---:x==-!!

l

~

' '

Tangenskurve

Cotangenskurve

für das .Argument der einzelnen trigonometrischen Funktion und legen zur Deutung der Werte s = x sogleich die Zahlenlinie (x-Achse) zugrunde. Den vier trigonometrischen Funktionen:

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x entsprechen alsdann ebensoviele "trigonometrische Kurven", deren Verlauf durch die vier in Fig. 9 zusammengestellten Zeichnungen ver· anschaulicht wird.

Trigonometrische und zyklometrische Funktionen.

9

Die Funktion tg x wird bei x = n / 2 unendlich und zwar wird sie gleich oo oder gleich - oo 1 je nachdem man von links oder von rechts an den Punkt x = n/ 2 der Zahlenlinie herangeht. Gelten diese Funktionswerte oo und - oo als nicht verschieden, so besteht der

+ +

Lehrsatz: Die trigonometrischen Funktionen sind fur jeden Wert des Argumentes x eindeutig. Die einzelne der in Fig. 9 angedeuteten Kurven liefert entsprechend für jeden Wert x einen und nur einen Funktionswert y. Zwei Werte x, welche um ein Multiplum von 2 TC verschieden sind, liefern denselben Winkel und also gleiche Werte der Funktionen. Lehrsatz: Die trigonometrischen Funktionen heißen periodische Funl,'tionen, weil sie ihren Wert nicht ändern, falls man das Argument x um ,2 TC vermehrt oder vermindert. Die Funktionen tg x und ctg x bleiben auch bereits bei Vermehrung oder Verminderung des Argumentes x um :n; unverändert, während die Hmlctionen sin x tmd cos x hierbei das Zeichen wechseln: • • sin (x

(2)

. .

TC

+

TC) = sinx, cos (x -±: TC) = - cos x, tg (x ± n) = tg x, ctg (x ± n) = ctgx. Man benennt dieserhalb 2 TC als die "Periode" von sin x und cos x, als diejenige von tg x und ctg x.

(1)

9. Die zyklometrischen Funktionen. Erklärung: Die ßU den vier trigonometrischen Funletionen sin, cos, tg, ctg inversen Funktionen heißen die "zyklometrischen" l





Lehrsatz: Sind f(x), f' (x), f" (x) in der Umgebung von x = a stetig und verschwindet f' (x) für x = a, während f" (a) 0 (bzw.> 0) ist, so wircl f(x) fiir x = a zu einem Maximum (JYlinimum).


I'2 , ••• von K die Normalen errichtet und je zwei aufeinander folgende unter ihnen in Q, Q11 Q2 , ••• zum Durchschnitt gebracht. Diese Punktreihe zeigt uns ungefähr den Verlauf der Evolute an.

49

Evoluten und Evolventen.

Speziell veranschaulicht Fig. 37 folgenden Lehrsatz: Die Normale t:on K im Punkte P ist Tangente der

Evolute in dem P entsprechenden Punkte Q.

Zum genauen Beweise dieses Lehrsatzes haben wir die Formeln (1 ), Nr. 8, heranzuziehen, in denen die Koordinaten ~, 1] von Q als Funktionen der Koordinate x des Punktes P darJ!'ig. 37. gestellt sind. Aus dies~n Formeln ergibt sich:

(1) . • •

{

~! = - f'. 3 { 1 f" 2 -~~~- 1':_{:!_1 , clYJ

3 fl ("2- !'"- fl2f"l

dx

[' 12

wo der Kürze halber die Argumente x bei ( 1, fortgelassen sind. Aus (1) folgt weiter: (2)

{", / 111

d~ I clYJ d X = - { (x) . lf X'

Q' 7 Braucht man nun den Winkel a im Sinne von Fig. 14, S. 18, und nennt den entsprechenden \Vinkel bei der Evolute a', so folgt aus (2): d 1) 1 } 1 1 _L '](, (3) cl g = tg IX = - /1 (X) = - tg und also a c-. T 2 ,

u

=

womit der aufgestellte Lehrsatz bewiesen ist. Des weiteren veranschauliche man sich an Fig. 37 den Lehrsatz: Das Bogendifferential da der Evolute ist, absolut genommen, gleich dem entsprechenden (d. i. zu demselben dx gehörenden) Differential d Q des Krümmungsradius. Aus (1) ergibt sich nämlich:

u)' 2=

( cldx

(d ~)2 + (d YJ\ 2= (1 +(' clx

dxl

2)

(

3 f'f"2-

t"'- ('2 ("1)2 t" 2 '

und zu dem gleichen Ausdrucke gelangt mrm von (2), S. 48, aus für

(:~y,

so daß in der Tat cl a =

± d Q gilt.

Denkt man die Tangente QP der Evolute als gespannten Faden, so zeigt der letzte Lehrsatz, daß bei Auf- oder Abwickelung des Fadens auf der Evolute der Endpunkt P des Fadens die ursprüngliche Kurve K beschreibt. Erklärung: Die Kurve, welche durch irgend einen Punkt eines längs einer gegebenen Kurve aufgewickelten und gespannten Fadens bei weiterer Auf~ oder Abwiclcelung beschrieben wird, heißt eine Evolvente der gegebenen J(urvc.

50

II, 2., Verlauf der ebenen Kurven.

Da hierbei die Auswahl des beschreibenden Punktes auf dem Faden willkürlich ist, so hat jede Hun•e unendlich viele Evolventen. Lehrsatz: Das Verhältnis zwischen der ursprünglichen Kurve K und ihrer Evolute kann man hiernach auch so aussprechen, daß K eine unter den Evolventen jener Evolute ist.

10. Gleichung der Evolute und Beispiele. Durch die Gleichungen:

(1)

~=x-

f' + f'S f"

1 + f'2 n=r+r-,

und

sind die Koordinaten ;, r; des einzelnen Punktes der Evolute in X aargestellt. Die Elimination von x liefert eine Gleichung li' (~, 1)) = 0 zwischen ~ und 1], welche somit die Gleichung der Erolule von K ist. Sind ; und 1) in x und y ausgedrückt, so muß man zur Elimination von x und y noch die zwischen x und y bestehende Gleichung der ursprünglichen Kurve K heranziehen. So gelten z. B. im Falle der Ellipse die Gleichungen (3), S. 48. Berechnet man aus ihnen x und y und Fig. 38. trägt die berechneten Werte in die Gleichung:

der Ellipse ein, so ergibt sich: 2

(2) . •

(a ~)

3

2

+ (b l'))3 =

4

."

r/

als Gleichung der Evolute der Ellipse. Die Gestalt dieser Evolute sieht man in Fig. 38. Die Scheitelpunkte der Ellipse sind Punkte größter bzw. kleinster Krümmung; dem entspricht es, daß die ihnen zugehörigen Punkte der Evolute Rückkehrpunkte oder Spitzen ( cf. Abschn. IV, Kap. 3, Nr. 2) sind. Die Evolute der Zykloide ist in Fig. 39 dargestellt; es gilt der Satz, daß die Evolute det· Zykloide selbst wieder eine mit der urspriinglichen kongruente Zykloide ist. Führt man nämlich das in Fig. 39 angedeutete Koordinatensystem X, Y vermöge:

X = ;

+

+ an,

Y = 11

+2 a

ein und setzt T = t 71' 1 so nehmen dio Gleichungen (5), S. 48, der Evolute der Zykloide die Gesblt an: X= a (T- sin T),

Y = a (1- cos T).

51

Die Evoluten der Ellipse und Zykloide.

Hierdurch ist in der Tat eine mit der ursprünglichen kongruente Zykloide dargestellt [vgl. (4), S. 44]. Wickelt man in Pig. 39 den Faden Q111 P"' = 4 a nach links auf der Evolute auf, so beschreibt der Endpunkt des Fadens nach Nr. 9 die ursprüngliche Zykloide. Hieraus folgert man den Fig. 39. y-Achse

Y-Achse

!" P'"

~ p

••..

\

:

0 ~~~!·· x~Achse ~... :

.

Q' \ ~-------------

!

Q":

__,______________

Q~

X-Achse

Lehrsatz: Die Bogenlänge eines einzelnen (zwischen zwei aur~ einander folgenden Spitzen gelegenen) Zweiges cler Zykloide ist achtmal so grofJ, wie der Radius a cles die Zykloide erzeugenden J{reises.

11. Gebrauch der Polarkoordinaten. In Fig. 40 sei 0 der "Pol" uud OA die "Achse" eines Polarkoordiwttensystems. Die Polarkoordinaten r, ir eines Punktes P sind dann der "Radius t•ector" r = OP und die Fig. 40. "Amplitude" ir = 4 A 0 P. Es sei eine beliebige Kurve K vorgelegt, Q deren Gleichung die Gestalt_ r = ('(ir) habe. ~ ' Auf K sind zwei I'unkte P und P 1 der r Koordinaten r, {t und r L1 r, ir Li ir fixiert tlltQ r (s. Fig. 40) l\'Ian mache 0 Q = 0 P, so daß " A 0 man hat:

-!

+

+

PQ = 2rsin

(1)

. . . •

4

OPQ =

(Li{)-) -2 ,

4

Die Erklärung der Winkel c, es gilt: n Lift

(2)

c = -

2

+ ---, 2

P1 Q

OQP

6 und

=

Llr,

n Li& = ----· 2 2 1)

n

entnehme man aus Fig. 40;

6 = -2. + --2-

Li&

-- 1).

Durch Betrachtung des Dreieckes PQP1 ergibt sich vermöge (1) und (2):

52

l

II, 2.

p p 1 2 = L1 r 2

(3) . .

cos

Verlauf der ebenen Kurven.

+ 4 r2 sin2 ( ~ 11) + 4 r L1 r si (r; -

!J) = cos (:!2{}). 1'-!_rpl •

L1

.

11 2 (

~{}),

2

Die Division der ersten Gleichung durch ,d{}2 liefert:

(4)

Wird jetzt L1 fr unendlich klein, so schreiben wn· d {} statt L1 -B' und gewinnen aus der Sehne P P 1 nach S. 42 das zu d {} gehörende Bogendifferential ds. Aus (4) folgt:

(5)

.. (ds)2=(dr) +r cl!Jd!J2

oder

2

Mit Benutzung dieses Resultates folgt aus der zweiten Gleichung (3):

(6)

cosfJ =

~:.

ig 2 1) =

co:

2 ,

1- l =

G:Y-1

=

(~cf,~Y.

Lehrsatz: In Polarkoordinaten drücken sich das Bogendifferential und die Funktion ig des Winkels 1J zwisclwn Radius vector ttnd Tangenie der Kurve J( im Punkte P, wie folgt, aus: rd!Jtg 1J = ---~. (7) dr Bei der Bestimmung des Vorzeichens der reehten Seite 'der letzten Formel war maßgeblich, daß rJ spitz oder stumpf ist, je nachdem r mit {} gleichändrig bzw. ungleichändrig ist. Fig. 41,

12. Erklärung von Polartangente, Polarnormale usw. In Fig. 41 ist auf dem Radius vectorOP des Kurvenpunktes P in 0 die GeradeQ R senkrecht enichtet.; und es sind die Tangente und die Normale der Kurve ]( im Punkte P bis zu ihren Schnittpunkten Q und R mit jener Senkrechten gezogen. Erklärung: Die Strecken PQ und PR heißen die zum Punkte P der J(urve gehörende "Polartangente" T und "Polarnormale" N; entsprechend heißen die Strecken 0 Q- 1md 0 R "Polarsubtangente" Bt und "Polarsubnormale" Sn.

Gebrauch der Polarkoordinaten.

53

Durch Betrachtung der Dreiecke in Fig. 41 folgt der Lehrsatz: Fiir die Pulartangente 'I usw. gelten die Formeln: T {

(1)

= r~!,

V_ ds

dr

····...

cllJ'

-

.l

dr Sn= dii'

St= ~j!ft, dr

Besonders geeignet sind die Polat·koordinaten zur Untersuchung der Spi-

ralen. Ein Beispiel liefere die durch:

(2) . . . • • r

=

c" ·"

gegebene logarithmische Spirale, deren Verlauf Fig. 42 andeutet. Die logarithmische Spirale bat sowohl nach außen wie auch in der Richtung auf den Pol 0 unendlich viele Windungen. Aus (2) ergibt sich für die fragliche Spirale:

r tg 1J

'l'-=rv'I+_~-~. N=rV1+~.

= 1 •

(3) . . . ,

a

a

r

Si = -- , (I

Sn = a r.

Leb rs atz: Für alle Punkte der logarithmiscl1en Spirale hat der Winkel 1J den gleichen ·wert; die Längen 1' mul ebenso N, St uncl Sn sincl fiir die vcrscllicdenen Punkte der logarithmischen Spirale mit r proportional.

Drittes KapiteL

Theorie der unendlichen Reihen. 1. Begriffe der Konvergenz und Divergenz einer Reihe. Es seien u0 , u 1 , u 2 , licher Anzahl.

• , •

positive oder negative ~ahlen in unend-

Erklärung: Die aus den "Gliedern" u 0 , u 11 u2 ,

tmcnclliche Reihe: ( 1) . • • • • .

. • uo

•••

+ + u + u3 + ·.. 11 1

2

heißt nlionvergenl", wenn die Summe Sn der n ersten Glieder: (2) , , . . . . , S" =

Uo

+ + "• + 1/1

U"-1

(mfgcbaule

II, 3.

'!heorie der unendlichen Reihen.

für n = 1, 2, 3, ... eine Zahlenreihe S1 , S2 , S3 , ••• liefert, die fi1r lhn. n = oo einer "eindeutig bestimmten tmcl endlichen" Grenze S zustrebt; ist dies nicht der I!'all, so heit3t die Reihe "divergent". Im ersten Palle heißt S der "Surmnenwc1·t" ocler l m die Bedingung besteht:

>

(1)

Es sollen also die fraglichen Quotienten aufeinander folgender 1 sein, sondern es soll sich ein echter Bruch r Glieder nicht nur angeben lassen, unterhalb dessen sie alle bleiben. Zum Beweise des Lehrsatzes entnehmen wir aus (1):




1

= .

In diesem Falle ist nämJich bereits die zur Konvergenz notwendige Bedingung lim. Un = 0 nicht erfüllt. n= oo

Reihen, bei denen lim. u__,._+_~ n

= oo

Un

=

1 ist, können auf ihre Konvergenz

oder Divergenz auf Grund der bisherigen Sütze noch nicht unter-

Konvergenzkriterium. Potenzreihen.

Hierher gehört z. B. die Reihe (4), S. 54, bei welcher

sucht werden. man hat:

1

•1

fln

t

I

-

57

n+2

1tn

1

=

1-\-n

n-\-1

n+ 1, 1

11

+2

---2,

1-\-n

so daß der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder für lim. n = oo in der Tat die Grenze 1 hat. Yon der Aufstellung genauerar Konvergenzkriterien sehen wir hier ab. 4. Begriff der Potenzreihen. Erklärung: Ist Un = a,.x", unter an einen konstanten Koeffizienten und unter x eine Variabele verstanden, so ergibt sieh: (1)

• • • • • . • a 0 -\-a 1 x-\-a 2 x 2 -\-a 3 x 3

-\- . . .

als Gestalt der unendlichen Reihe. Eine solehe Reihe bezeichnet man als eine "Potenzreihe". Nach Lehrsatz V, S 55, ist die Reihe (1) konvergent, falls die zugehörige Reihe der absoluten Beträge: (2) • . • . • • •

j

a0 I+ Ia 1 x I+ I a2 x 2 1+ ...

konvergiert. Man nehme erstlieh an, es gäbe eine größte positive und endliche Zahl X = g, für welche Ian J· g» bei dem Grenzübergang Iim. n = oo nicht unendlich wird. Dann kann man eine bestimmte endliche Zahl h angeben, so daß die Ungleichung:

Iau /g"


>

+ {}




'

,

wobei OG eine ganze Zahl 1 ist und die Koeffizienten durchgehends endliche reelle Werte haben. Für die beiden ersten Integrale finden wir sofort:

(I)

. . . . . J _!!:.!L = X-- Ct

ln (x- a),

J(x~xa)"

(II)

1

Zur Berechnung des dritten Integrals setze man xIn der neuen VariaLeien z schreibt sich das Integral so:

_:"!

f ~l!_ + A a' ±B J_!!__!~ •

2 1 Man findet hierfür: 1

2 A ln (1

I

a' = a" z.

+z

a''

2

1

+z

2

Aa'+B + z·) + --·-a,;;arctgz \- A o

/n a".

Das dritte Glied ist als Integrationskonstante hinzugesetzt, um den Ausdrnck des fraglichen Integrals in x:

(III)

J __ :!_x,+~B+ ___ d x = (x -

a )2

__!__

2

a" 2

A ln '[(x- a') 2 + a" 2]

+ Aa'+B arc tg (x-a') -a" a" ---~-

einfacher zu gestalten. Beim Integral IV führe man die eben schon benutzte Variabele z ein und findet ein Integral der Gestalt:

f g~J;~, az

=

J

c Cl ~; 25 ä + n

J0 -~:

2)".

Für das erste der beiden rechts stehenden Integrale folgt sofort:

(1) • • . .

f +z zdz

(1

2)"

1

= - 2 OG- 2. (l

1

+ z2)a-l •

Für das zweite Integral können wir eine Rekursionsformel zur Erniedrigung des Exponenten OG aufstellen. Es gilt nämlich: (2) • • •

J(l +

de z2)'-'_:l =

z dz +zz2)«~1 + (2 OG- 2) J(i--+z2)"' 2

(1

III, 2. ·welterführung der Integralrechnung.

106

wie man z. B. mittels der partiellen Integration (vgl. S. 84) zeigen kann. Fü1· das in (2) rechts bleibende Integral schreibe man:

Jc/:a:2)" = J(1 +d;)a-1 J(1::2)" J + z 2)" = a-1 + z2)"- 1 + 2a-3J a (lf.z2)"_ 1•

und findet nach einer einfachen Zwischenrechnung:

( 3)

(1

dz

2

2 (1

z

2

dz

-2

Die wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel führt schließlich auf

J~ 1

z 2 = arctg z.

Somit wird sich das Integral IV, abgesehen von einem Aggregat rationaler Funktionen von x, durch die Funktion arc tg ( ~ a" a) darstellen lassen. Lehrsatz: Das Integral jedes rationalen Differentials berechnet sich als ein Aggregat von elementaren E~tnktionen, und zwar kornmen hierbei _neben rationalen Funktionen von x nur noch transzendente Funktionen der folgenden drei Gestalten zur Benutz·ung:

ln (x- a),

ln [(x- a') 2

+ a"

2],

arc fg ( i!}_ a''!!!..) ·

6. Integration von Differentialen mit der einer linearen Funktion.

nten

Wurzel aus

Es seien a, b, c, d Konstante, für welche nicht gerade a d = b c ist, mid es sei n eine positive ganze Zahl.

Unter R

Erklärung:

(x,

y::: :)

verstehe man eine Funktion,

welche durch A usiibung irgend welcher "rationalen" Rechnungen auf x und die n 1• Wurzel aus der linearen Funletion a x cx

++ (bl

zu ge-

winnen ist'~). Die Integration des zugehörigen Differentials R · d x gelingt durch Einführung einer neuen V ariabelen y, welche mit x verknüpft ist durch: dy"- b x=-· . (1) • . • y = -cy" a

v~-:!;.

1)

+

= b c, so hätte man: ax+b a(ax+b) cx d = acx

Wäre a d

+

a(ax+b)

+-ad = c(ax+~b)

=

a

c'

und also würde die lineare I

Vg

V

> >

>


Jsinm+ 2

sin"'xdx

u

n

1

3

5

>

2n-1

~ · 2 • 4 · 6 · ·· - 2 n .

xdx,

0

wie aus der Bedeutung des bestimmten Integrals vorgeht. Setzt man in der letzten Ungleichung erst sodann m = 2 n, so ergeben sich aus (1) und (2) ~ 4 6 2n-2 n 1 ::l 5

3'5'7'"2n-l

1

(vgl. S. 85 ff.) her-

m = 2n -

1 und die Ungleichungen: 2n-l

~·2'4'6"'-2n--'

>

2

4

2n

G

3 · -5 · i · ·· 2 n f-1

()der nach leichter Umrechnung:

1'4

> ·..,

+

4n 2 -4n 1 4n 2 - 4n

=g•

folgt; andererseits hat man~ • 1 < QI

(5) • . • . da offenbar:

>

-------~-




0:

Ji ~2J 2, l'o

Po

o

0 und lJ

p

p

00

ifi •

e-Po"'- e-P"' x

· sinx dx = arctg p- arct_qp 0 ,

0

wo rechts der "Haupt wert" der Funktion arc tg gemeint ist. Man kann zeigen, daß diese Gleichung richtig bleibt, wenn man Po bis 0 abnehmen und p bis oo wachsen läßt; dabei ergibt sich:

(7) • . . . . • • • •

f"' 0

sinx d"."" X

= =:. 2

Taylors Lehrsatz für l!'unktionen f (x, y).

131

Zweites Kapitel.

Der Ta y I o r sehe Lehrsatz und die Theorie der Maxima und Minima. 1. Der Taylorsche Lehrsatz für Funktionen mehrerer Varia belen. Die Funktion f(u, v) der beiden Variabelen u, v sei für alle weiterhin zur Benutzung kommenden Wertsysteme der Argumente u, v eindeutig und stetig. Dasselbe gelte von den Ableitungen dieser Funktion, soweit dieselben hier gebraucht werden. Das totale Differential nter Ordnung von f (u, v) hat nach Formel (2) S. 126 die Gestalt:

d"f

(n)

an f

o" f

d" f

'ou"du"+ 1 ou»-ldvdu»-ldv+· .. + ov"dvn.

Die willkürlich wählbaren du, d v sollen jetzt die zu d t gehörenden Differentiale der Funktionen u = x h t, v = y k t sein 1 welche letztere man bei konstanten x, y, h, k in Abhängigkeit von t betrachte. Da sich hier du = h dt, d v k dt berechnet, so gilt:

+

+

=

o"

f h" (1) •• -d" f = . -

ou"

dt"

a" r, Jtn-llc + ••· +o" t lc", + (n) 1 c:ltt"- 1ov ov"

wobei links f als Funktion von t allein gilt, während bei der Berechnung des rechts stehenden Ausdrucks f als Funktion von u und v partiell zu differenzieren ist. Um die rechte Seite von (1) weiter umzugestalten, betrachte man jetzt allein x als variabel und differenziere { partiell in bezug auf x nach der Hege I für die zusammengesetzten Funktionen; es folgt:

ot

of ou

of

0 X = 0 tt. 0 X = 0 U 1

weil

ou

-=1

OX

ist und v von x unabhängig ist. Durch wiederholte Differentiation nach x und entsprechend nach y folgt allgemein: o" f (u, v) o" f(u, v)

ox"-"oi?' =

oun-k~J'·

Die Gleichung (1) nimmt daraufhin folgende Gestalt an:

~l':_f (u, v) dt"

= o" {(u, v) h" + (n) ~_[(u, v) ox"

1

ox•-loy

]tn-1

k

+ ... + c" f(u, v) k". oy"

132

IV, 2.

Taylors

und 'rheorie der Maxima und Minima.

r~ehrsatz

Nach Berechnung dieser Gleichung bei variabelem t trage man in dieselbe jetzt t 0 ein. Dementsprechend ist u x und v = y zu setzen, und man findet:

=

(2) (d"

f) =

dtn

t=O

=

?" f(x, y) hn + (n)·

+... + on f(_x, y) /cn

an f(x, y) hn-1Jc 1 OXn-l()y

OX"

Oyn

1

wobei durch die Bebreibweise der linken Seite angedeutet sein soll, daß erst nach Ausführung der n-maligen Differentiation von f(u, v) in bezug auf t für t der Wert 0 ein zutragen ist. Nun gilt andererseits für f(u, v) als Funktion von t nach dem Mac Laurinschen Lehrsatze (vgl. S. 62):

f(u, v) = f(x, y)

+ (df(u,v))

+(

dt

dn-1 f(u,

d tn- 1

• _t_ t=o1

v))

+ (d

2

tn-1 t::o (;i .:..:_ 1)!

f(u,v)) • dt 2

_!:, + ...

t=ol·2

+ Rn.

Für das Restglied Rn findet man nach der Formel I, S. 63:

t" (dn f

Rn= In.

dtn) u=a:+hltt

<


+

(2) • • • . • • L1 =

+

+

+

f(x + h, y + 7c) - f(x, y) + h, y + k) und f(x, y): L1 = f~ h + t; 7c + R

der .l!'unktionswerte f(x Ul) .

. • • . • • •

2,

wo die Argumente von r~ und (~ die der betrachteten Stelle zugPhörigen x und y sind. Irgend ein von x, y verschiedenes Wertepaar der Argumente können wir durch x u, y v bezeichnen, wo u und v zwei endliche,

+

+

134

IV, 2.

Taylors Lehrsatz und Theorie der 1\faxima und Minima.

nicht zugleich verschwindende Zahlen sind.

In der Zahlenebene wolle man jetzt vom Punkte (x u, y v) nach dem Punkte (x, y) eine Gerade ziehen; die Koordinaten der Punkte dieser Geraden kann man durch x zd, y vt darstellen, wobei man die Variabele t von 1 bis 0 abnehmen lassen muß. Für ausreichend kleine Werte t gewinnt man

+

+

+

+

dabei in: (4) • • . • .

X+ h = X+ ut,

Punkte in der Umgebung der Stelle (x, y). J'Yian trage nun die in (4) gegebenen Koordinaten der Punkte dieser Geraden in die obige Differenz L1 ein und untersuche die Vorzeichen der hierbei eintretenden Werte Ll. Die Gleichung (3) kann man so schreiben: (5) . . . . . • . L1 =

I (f~

U+(~V+ 1/2 I 1'2),

wo P 2 abkürzend gesetzt ist für:

( 6) fP2

l

=

f~'x (x

+ 4Jut, ?I+ frvt) tt + 2{;~v (x + 4Jut, ?J + fr vt) uv 2

+f~'y(x+4Jut,y+{tvt)v2. Für lim. t = 0 nähert sich P 2 stetig der bestimmten endlichen Grenze: lim. P2 = {;'x (x, y) tt 2 2 f~'y (X, y) U V (~'y (X, y) V 2•

+

+

+

Somit wird lim. (t P 2) = 0 sein. Hat demnach f~ u f~ v einen von 0 verschiedenen Wert, so wird, wenn man t ausreichend klein wählt, die Ungleichung:


0) ist. Dieser :Forderung kann nicht genügt werden, wenn sich ein Zahlenpaar u, v finden läßt, für welches (~ u + f~ v von 0 verschieden ist, Ist nämlich etwa f~ u + f ~ v > 0 so liefert das neue Paar ~~~ = = sofort (; + ~~ < Ü. LI

t (x

=

1

U, V 1

U1

V

V1

Nach dem ersten Lehrsatze in i'>'r. 2 weist demnach LI in jeder Umgebung von (x, y) sowohl positive als negative Zahlenwerte auf. Im Falle eines Maximums oder Minimums bei (x, y) muß demnach 1; u v für jedes Zahlenpaar tt, v verschwinden, was als notwendige Bedingungen ergibt:

+ t;;

(1) . • • • . .

f; (X,

y)

=

0,

f~(x, y)

= 0.

Nun wird nach dem zweiten Lehrsatz in Nr. 2 der Ausdruck: (2) • . . . • . . • f~'xu 2

+ 2f~'yuv + f~'yv 2 ,

sofern er nicht verschwindet, das Vorzeichen von LI liefern. Indem wir die Annahme machen, daß f~'x, f~'y, f~:v nicht zugleich verschwinden, fassen wir den Ausdruck (2) bei festgehaltener Stelle (x, y) als Funktion von tt und v und schreiben: (3) . .

j;'x u 2

+ 2 r;'y u + f~'y v V

2

= F (u, v).

Es ist zu untersuchen, unter welcher Bedingung die Funktion

P (tt, v) für alle Paare endlicher und nicht zugleich verschwindender Zahlen tt, v entweder nur 0 oder nur 0 ist.


>




Da

0

zutrifft, so gilt jetzt f~'a: ~ 0, so daß auch für v

=

0

(5) . . , . . . . . . . F=f~'x·tt 2 wegen u

•.• , Am, durch deren Auflösung man die richtigen Wertsysteme der l 1 , ••. , Am gewinnt.

Drittes Kapitol.

Geometrische Anwendungen der Funktionen mehrerer Yariabelen. 1.

Die Tangenten und Normalen einer ebenen Kurve.

Der Taylorsche Lehrsatz (S. 132) liefert ein neues Mittel zur Aufstellung der Gleichungen der Tangente und Normale einer ebenen Kurve K in einem ihrer Punkte P (vgl. S. 41 ff.). Die Kurve K sei gegeben durch f(x, y) = 0, und es handle sich um Darstellung der Tangente und Normale im Punkte P der Koordinaten x, y auf K. Ein nahe bei (x, y) gelegener Punkt habe die Koordinaten Nach dem Taylorschen Lehrsatze (3), k. h, rJ = y ~ = x 2 gebilrlet, findet man, da f(x, y) verschwindet: S. 132, für n

+

+

=

{(~,

rJ) =

of~x~ Y]_ h + o f~x; _Y] k + R 2•

Man nehme an, daß die beiden rechts stehenden Ableitungen er.>ter Ordnttng t·on f(x, y) für die Stelle (x, y) nicht zugleich verschwinden. Soll unter dieser Voraussetzung der Punkt (~, ?]) an (x, y) unendlich nahe herankommen, so werden wir h und 7c als unendlich klein von 1tor Ordnung ansehen und haben R 2 als unendlich klein von 21•r Ordnung neben den beiden ersten Gliedern zu vernachlässigen:

(I) . . . . . .

rc~.

rJ)

=

of~x~J.2 h + of~~:fl k.

Doppelpunkte ebener Kurven.

143

Führen wir jetzt im speziellen (~, n) auf der Tangente und also auf der Kurve unendlich nahe an den Punkt P heran, so ist auch f(~, n) = o, d. h. man hat:

oder, falls man h

=

Öf(x, y) h ox

6-

(2) . . . . . 0 f~x, y) ox

+ o{(x, y) k = oy

x und lc =

t] -

0

y einsetzt:

a- x) + 0 f(x,oy y) (n- y) =

0.

Lehrsatz: Durch Gleichung (2) ist in variabelen Koordinaten tJ die 1'angente der Kurve K im Punkte (x, y) dargestellt; für die zugcMrige Normale ergibt sich daraufhin leicht die Gleichung:

~.

(3) . . • . . 0 r,