Handbuch der Laplace-Transformation: Band II. Anwendungen der Laplace-Transformation [1. Aufl.] 978-3-0348-4073-6;978-3-0348-4147-4

Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-11
Front Matter ....Pages 13-13
Die Abbildung der fundamentalen Operationen an Funktionen durch die Laplace-Transformation und ihre Umkehrung (Gustav Doetsch)....Pages 15-26
Front Matter ....Pages 27-27
Allgemeine Betrachtungen über Asymptotik (Gustav Doetsch)....Pages 29-44
Abelsche Asymptotik der einseitigen Laplace-Transformation: Verhalten von f(s) im Unendlichen (Gustav Doetsch)....Pages 45-96
Abelsche Asymptotik der einseitigen Laplace-Transformation: Verhalten von f(s) an Stellen im Endlichen (Gustav Doetsch)....Pages 97-100
Abelsche Asymptotik der zweiseitigen Laplace-Transformation und der Mellin-Transformation (Gustav Doetsch)....Pages 101-108
Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral dargestellten B-Transformation für Funktionen mit Singularitäten eindeutigen Charakters (Gustav Doetsch)....Pages 109-140
Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral dargestellten B-Transformation für Funktionen mit algebraischen und logarithmischen Singularitäten (Gustav Doetsch)....Pages 141-173
Abelsche Asymptotik der B-Transformation für t → 0 (Gustav Doetsch)....Pages 174-180
Taubersche Asymptotik der Laplace-Transformation (Gustav Doetsch)....Pages 181-192
Asymptotische Aussagen verschiedener Art über die Original- und die Bildfunktion der Laplace-Transformation (Gustav Doetsch)....Pages 193-197
Front Matter ....Pages 199-202
Fakultätenreihen (Gustav Doetsch)....Pages 203-235
Spezielle Reihen (Gustav Doetsch)....Pages 236-251
Front Matter ....Pages 253-253
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im einseitig unendlichen Intervall unter Anfangsbedingungen (Gustav Doetsch)....Pages 255-344
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im zweiseitig unendlichen Intervall unter Anfangs- und Randbedingungen (Gustav Doetsch)....Pages 345-362
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum der Laplace-Transformation (Gustav Doetsch)....Pages 363-385
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Bildraum der Laplace-Transformation (Gustav Doetsch)....Pages 386-404
Back Matter ....Pages 405-436

Citation preview

GUSTAV DOETSCH

HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION BAND li

LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

MATHEMATISCHE REIHE· BAND 15

HANDBUCH DER LAPLACE~ TRANSFORMATION

BAND II

ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 1. ABTEILUNG

VON

GUSTAV DOETSCH ORD. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FREIBURG I.BR.

Springer Basel AG 1955

ISBN 978-3-0348-4073-6 ISBN 978-3-0348-4I47-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-4147-4 Nachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm Springer Basel AG 1955

© Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1955. Softcoverreprint ofthe bardeover Istedition 1955

5

Vorwort

Während der I. Band die theoretischen Grundlagen der Laplace-Transformation zum Gegenstand hat, behandelt der vorliegende II. und der nachfolgende III. Band die Anwendungen, wobei es sich natürlich nicht nur um sogenannte «angewandte Mathematik", sondern um die verschiedensten Gebiete der reinen u"ud augewandten Mathematik handelt, in welche die Laplace-Transformation als Hilfsmittel eingreift. Nachdem die Lösung von Funktionalgleichungen vermittels Laplace-Transformation heutzutage Allgemeingut geworden ist, scheint mir dasjenige Anwendungsgebiet, dessen Kenntnis vor allem verbreitet werden sollte, die Theorie der asymptotischen Entwicklungen zu sein. Aus diesem Grund sind diese als I. Teil an die Spitze des II. Bandes gestellt worden. Sowohl in der Theorie als in der Praxis spielen eigentlich die asymptotischen Entwicklungen eine grössere Rolle als die konvergenten Reihen, die de.n meisten Mathematikern und Ingenieuren aber viel geläufiger sind, weil sie im Unterricht der Hochschulen und in den Lehrbüchern einen erheblich breiteren Raum einnehmen als die asymptotischen Entwicklungen. Um die letzteren mehr in den Vordergrund zu schieben und um die erstaunlichen Möglichkeiten hervorzuheben, die die Laplace-Transformation gerade auf diesem Gebiet eröffnet, habe ich die aus der ein- und zweiseitigen Laplace-Transformation (oder in anderem Gewand: der Mellin-Transformation) sowie aus dem komplexen Umkehrintegral fliessenden asymptotischen Methoden besonders weitgehend ausgearbeitet und durch viele Beispiele illustriert. Aus den wenigen Bausteinen zu dieser Theorie, die in meiner Monographie «Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation" vom Jahre 1937 zu finden sind, ist so ein recht umfangreiches Gebäude geworden, dessen hauptsächlichste Teile ich in Vorlesungen in Madrid (März/April 1952) und Rom (März 1953) zum ersten Mal im Zusammenhang vorgetragen habe. Damit der Leser die Fähigkeiten der verschiedenen Methoden selbst beurteilen kann, wurde oft dieselbe spezielle Funktion nach zwei oder sogar drei Methoden behandelt. Insbesondere die auf dem komplexen Umkehrintegral beruhenden Methoden seien der besonderen Beachtung der theoretischen Physiker und Ingenieure empfohlen, weil sie bei der Behandlung von komplizierteren Randwertproblemen vermittels Laplace-Transformation oft die einzige Möglichkeit darstellen, an Hand der gefundenen Laplace-Transformierten der Lösung Aussagen über die Lösung selbst zu machen. An die asymptotischen Entwicklungen schliessen sich sachgemäss als II. Teil die Korrespondenzen zwischen konvergenten Entwicklungen an. Für gewisse allgemeine Reihenklassen enthält schon der I. Band einiges Material. Diesem wird nun im II. Band als wohl schönstes Beispiel dieses Typus die Korrespondenz zwischen Fakultätenreihen und Reihen nach Potenzen von 1- exp( -t) hinzugefügt. Die Fakultätenreihen bilden nicht nur ein besonders schmiegsames Hilfsmittel zur Lösung von Differenzengleichungen, sondern sie gestatten auch eine für numerische Rechnungen und asymptotische Abschätzungen vorzüglich geeignete Darstellung einer grossen Klasse von Laplace-Transformierten und sollten darum mehr als bisher beachtet werden. -Dieser allgemeinen Reihenklasse folgen

6

Vorwort

zahlreiche spezielle Reihenentwicklungen von Funktionen, die vermittels LaplaceTransformation wohl auf die durchsichtigste Art gewonnen werden können. Der III. Teil behandelt die gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten und variablen Koeffizienten und Systeme von solchen. Die letzteren sind, zwecks übersichtlicherer Darstellung und Wünschen aus Ingenieurkreisen folgend, in Matrizensprache dargestellt. Die Behandlung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen vermittels Laplace-Transformation hat in den letzten Jahren in der Technik eine überaus grosse Verbreitung gefunden. Deshalb habe ich zwei Gebiete der Ingenieurpraxis, die dabei heute im Vordergrund stehen, nämlich die Regelungstechnik und die Theorie der Kettenleiter und Wellenfilter, mit besonderer Ausführlichkeit behandelt. Hier liegen auch für den Mathematiker noch wichtige und dankbare Aufgaben vor. - Als Eingangs(Störungs-)funktion ist ·auch die für den theoretischen Physiker und Ingenieur unentbehrliche Dirac- oder Impulsfunktion berücksichtigt. Diese hätte sich unter Verwendung der Schwartzschen Distributionstheorie in einer für den Math~­ matiker befriedigenderen Weise behandeln lassen, was aber eine vollständig neue Begründung der Laplace-Transformation im Bereich der Distributionen und damit umfangreiche, den Rahmen des Buches sprengende Erörterungen notwendig gemacht hätte. Daher wurde die Distributionstheorie nur kurz gestreift, während eine ausführliche Entwicklung der Laplace-Transformation auf dem Boden dieser Theorie einer späteren gesonderten Darstellung vorbehalten bleiben muss. Der III. Band, der bereits im Druck ist und in Kürze erscheinen wird, behandelt die partiellen Differentialgle.ichungen, die Differenzengleichungen, die Integralgleichungen und Integralrelationen sowie die ganzen Funktionen vom Exponentialtypus. Eine weitere Anwendung der Laplace-Transformation, nämlich in der Theorie der Halbgruppen, die eine Erweiterung auf vektorwertige Funktionen erfordert hätte, konnte hier unberücksichtigt bleiben, weil sie in dem Buch von HILLE: ((Functional Analysis and Semi-Groups" ausführlich dargestellt ist.- Der III. Band wird auch das Verzeichnis derjenigen Literatur bringen, die im I. Band noch nicht aufgeführt ist und zu dem Material des II. und III. Bandes gehört. Das Manuskript des II. und III. Bandes wurde im Sommer 1953 abgeschlossen, jedoch konnten an einigen Stellen auch noch inzwischen erschienene Ergebnisse berücksichtigt werden. Dem Verlag Birkhäuser AG. bin ich für die sorgfältige Drucklegung und die vorzügliche Ausstattung des Werkes zu besonderem Dank verpflichtet. Freiburg i. B., Riedbergstrasse 8, im Juli 1955

GusTAV DoETSCH

Bezeichnungen und Verweise Die im I. Band, S.l3, 14 angeführten Bezeichnungen werden auch im II. Band benutzt. Verweise auf Stellen des vorliegenden II. Bandes geschehen nach der im I. Band, S. 15 angegebenen Methode und ohne Erwähnung der Bandzahl, also: 3. 4 bedeutet: 3. Kap., § 4 des II. Bandes, Satz 3 [6. 2] bedeutet: Satz 3 in 6. 2 des II. Bandes. Dagegen wird auf den I. Band durch eine römische I verwiesen, also: I, S. 57 bedeutet: I. Band, S. 57, Satz 2 [I 6. 3] bedeutet: Satz 2 ir: I. Band, 6. 3, Anhang I, Nr. 3 bedeutet: Anhang des I. Bandes, Nr. 3.

7

Inhaltsverzeichnis

EINLEITUNG 1. Kapitel. Die Abbildun!l der fundamentalen Operationen an Funktionen

durch die Laplace-Transformation und ihre Umkehrun!l . . . .

§ 1. Lineare Substitution in der Originalfunktion und Multiplikation der Bildfunktion mit einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . § 2. Lineare Substitution in der Bildfunktion und Multiplikation der Originalfunktion mit einer Exponentialfunktion § 3. Integration der Originalfunktion. . § 4. Integration der Bildfunktion . . . § 5. Differentiation der Originalfunktion § 6. Differentiation der Bildfunktion · § 7. Reelle Faltung der Originalfunktionen und Produkt der Bildfunktionen § 8. Komplexe Faltung der Bildfunktionen und Produkt der Originalfunktionen

15 15 17 18 20 21 23 23 25

I. TEIL

Asymptotische Entwicklungen 2. Kapitel. All!lemeine Betrachtungen über Asymptotik

29

§ 1. Asymptotische Darstellung von Funktionen § 2. Asymptotische Entwicklung von Funktionen . . . . Allgemeine Eigenschaften einer asymptotischen Entwicklung Spezialfall: Asymptotische Potenzentwicklungen . . . . . § 3. Ein allgemeines Prinzip zur Aufstellung von asymptotischen Methoden und die verschiedenen Arten von Asymptotik . . . . . . . § 4. Kritische Bewertung der drei asymptotischen Methoden § 5. Allgemeines über Abcische Asymptotik. . . .

39 41 42

3. Kapitel. Abelsche Asymptotik der einseitigen Laplace-Transformation: Verhalten vonf(s) im Unendlichen. . . . . . . . .

45

§ 1. Asymptotische Entwicklung der il- Transformierten für s-* oo § 2. Beispiele . . . . . . . . . . 1. Das Gaußsehe Fehlerintegral . . . 2. Das Exponentialintegral . . . . . 3. Die Stirlingsche Reihe für log T(s) . 4. Die Besselschen Funktionen für nichtreelle Werte der Variablen 5. Die unvollständige Gammafunktion. Asymptotische Halbierung des Gammaintegrals und der Exponentialreihe . . . . 6. Entwicklungen mit logarithmischem Faktor. . . . . . . . . . . . . .

29 31 32 35

45 50 50 51 52 56 58 61

8

Inhaltsverzeichnis § 3. Asymptotische Entwicklung eines E-Integrals mit komplexem Weg. Defor-

mation eines ursprünglich reellen Integrationsweges zwecks Erweiterung des Bereichs der asymptotischen Entwicklung. . . . . . . § 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die Besselschen Funktionen für reelle Werte der Variablen

=

2. Das Integral tp(z)

64 76 76

a

Jeizxq g(x) dx für reelle z

0

. . . . .

§ 5. Asymptotische Entwicklung eines Integrals der Form

78

b

J

e5

h(x) g(x) dx

(Laplace-

a

sches Problem der Funktionen grosser Zahlen). Die Methode der Sattelpunkte § 6. Beispiele . . . . . . . . . . . 1. Die Stirlingsche Reihe für T(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Die Fresnelschen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Asymptotische Entwicklungen nach anderen Funktionen als Potenzen § 8. Asymptotische Entwicklung von komplexen Faltungsintegralen . . .

83 88 88 90 92 95

4. Kapitel. Abelsche Asymptotik der einseitigen Laplace- Transformation:

Verhalten vonf(s) an Stellen im Endlichen. . . . . . . . . . .

97

§ 1. Grössenordnung des Unendlichwerdens von f(s) bei Annäherung an eine sin-

guläre Stelle in einem Winkelraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Erschliessung der algebraischen und logarithmischen Singularitäten von f(s)

97 98

5. Kapitel. Abelsche Asymptotik der zweiseitigen Laplace-Transformation

und der Mellin-Transformation . . . . . . . .

101

§ 1. Erschliessung der Singularitäten derEn-Transformierten . § 2. Erschliessung der Singularitäten der IDl-Transformierten § 3. Beispiele (Gamma- und Zetafunktion) . . . . . . . . .

101 105 107

6. Kapitel. Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral

dargestellten !8-Transformation für Funktionen mit Singularitäten eindeutigen Charakters . . . . . . . . . . . . .

§ 1. § 2. § 3. § 4.

Allgemeines über die Asymptotik des komplexen Integrals . . . Asymptotische Entwicklung von F(t) nach Exponentialfunktionen Asymptotische Entwicklung von IP(z) nach Potenzen. . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Grenzwert der Thetafunktion # 3 {0, zjn) bei Annäherung an z = i

. . . .

00

2.Verhaltenvon_Ee-n"•fürz70 . .

109 109 110 115 118 118 122

n~l

00.

3. Verhalten von

E

T(n) e-n> (Z:) 1

!J>2 (z/Z:) dZ:/z: auf

0

Grund der Entwicklungen von 1]>1 und 1]>2 . Asymptotik der Stieltjes-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Bestimmung der Singularitäten von 9R{IP1 ·11> 2 } = 1/(2 n i)

131

.x+ioo

J

q:>1 (a) q:> 2 (s- a) da x-too 136 auf Grund derjenigen von IDl{IPd = q:>1 (s) und 9R{IP 2 } = q:>2 (s)

9

Inhaltsverzeichnis 7. Kapitel. Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral

dargestellten !8-Transformation für Funktionen mit algebraischen und logarithmischen Singularitäten . . . . . . . .

§ 1. § 2. § 3. § 4.

Allgemeine Betrachtungen zu dem Fall nichteindeutiger Singularitäten Eine endliche asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+ oo . . . . Asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+ oo . . . . . . . . . . Ersatz des geradlinigen Integrationsweges in durch einen winkeiförmigen und Asymptotik der so entstehenden ill.l- Transformation für t-+ oo § 5. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 1. Das Exponentialintegral . . . . . . . . . . . . . . . 2. Der Strom im induktionsfreien Kabel . . . . . . . . . . 3. Die Besselschen Funktionen für reelle Werte der Variablen 4. Die Fourier-Bessel-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . 5. Die Wellenfunktion für das kontinuierlicheSpektrumdes Wasserstoffatoms

141 142 144

t-+ 0 . . . . .

174

m

8. Kapitel. Abe1sche Asymptotik der !8-Transformation für

§ 1. Asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+ 0 auf Grund des Verhaltens von f(s) für s-+ oo in einer Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Die Heavisideschen Entwicklungstheoreme der Operatorenrechnung im Lichte der Abelschen Asymptotik des komplexen Integrals für t-+ 0 und

t-+

00

•

•

.

•

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

•

.

.

•

.

.

.

•

•

.

•

.

.

.

.

9. Kapitel. Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation § 1. Taubersehe vorgängen . § 2. Taubersehe zahlsatz . .

10.

141

Asymptotik reeller Art. Beispiel: Stabilität bei Erneuerungs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotik funktionentheoretischer Art. Beispiel: Der Prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . . .

156 165 166 166 168 170 172

174

177 181 181 186

Kapitel. Asymptotische Aussagen verschiedener Art über die Original-

und die Bildfunktion der Laplace-Transformation. . . .

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

Asymptotische Aussagen über die Bildfunktion . . . . . . . . . . . Asymptotische Aussagen über F(t) auf Grund der Existenz von il{ F} . Asymptotische Aussagen bei der zweiseitigen Laplace-Transformation . Das asymptotische Verhalten einer ganzen Funktion von Exponentialtypus Das asymptotische Verhalten der Grössen M(x) und m(x) für f(s) . . . . .

193 193 195 195 196 197

li. TEIL

Konvergente Entwicklungen Einleitung . . . . . . . 11. Kapitel. Fakultätenreihen . § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

Allgemeine Eigenschaften der Fakultätenreihen Funktionentheoretische Hilfssätze . . . . . . Darstellung einer Fakultätenreihe als Laplace-Transformierte Darstellung einer Laplace-Transformierten durch eine Fakultätenreihe Darstellung einer Laplace-Transformierten durch eine asymptotische Fakultätenreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201 203 203 205 211 219 222

10

Inhaltsverzeichnis § 6. Darstellung einer Laplace-Transformierten durch eine verallgemeinerte Fakultätenreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . § 7. Das Konvergenzproblem der verallgemeinerten Fakultätenreihe . . . . . § 8. Fakultätenreihen als konvergente Darstellungen asymptotischer Potenzreihen

226 229 232

12. Kapitel. Spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

§ 1. Die lineare Transformationsformel der Thetafunktion . . . . . . . . . . § 2. Entwicklungen nach Besselschen Funktionen, die mit der linearen Transformationsformel für die Funktion 0 3 (v, t) äquivalent sind . . . . . . . . . § 3. Entwicklung der Laguerreschen Polynome und der ~onfluenten hypergeometrischen Funktion nach Besselschen Funktionen § 4. Entwicklungen nach Laguerreschen Polynomen . . . . . . . . § 5. Entwicklungen nach Hermiteschen Polynomen. . . . . . . . . § 6. Entwicklungen nach konfluenten hypergeometrischen Funktionen § 7. Eine Korrespondenz zwischen Fourier-Reihen und Partialbruchreihen .

236 238 241 243 247 248 250

III. TEIL

Gewöhnliche

Differential~leichun~en

13. Kapitel. Gewöhnliche Differential~leichun~en mit konstanten Koeffizienten im einseiti~ unendlichen Intervall unter Anfan~sbedin~un~en

255

§ 1. Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und beliebiger Störungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 1. Die inhomogene Differentialgleichung unter verschwindenden Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 2. Die homogene Differentialgleichung unter beliebigen Anfangsbedingungen 266 § 2. Beispiele, insbesondere der elektrische Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . 269 § 3. Rückkoppelungssysteme und Regelungstechnik 278 Regelungstechnik. . . . . . . 282 Stabilität der Regelung . . . . . . . . . . 286 Regelungsvorgänge mit Totzeit . . . . . . 289 Exakte mathematische Diskussion der Stabilität 294 § 4. Erregung durch die Impulsfunktion . . . . . . . . 298 § 5. Ein System von Differentialgleichungen (Normalfall) 310 1. Das inhomogene System unter verschwindenden Anfangsbedingungen . 311 2. Das homogene System unter beliebigen Anfangsbedingungen. . . . . 314 § 6. Ein System von Differentialgleichungen, bei dem nicht der Normalfall vorliegt. Nichterfüllbare Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 318 § 7. Kettenleiter und Wellenfilter. Synthese eines Filters mit vorgegebenen Sperr- und Durchlassbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

14. Kapitel. Gewöhnliche Differential~1eichun~en mit konstanten Koeffizienten im zweiseiti~ unendlichen Intervall unter Anfan~s- und Randbedin~un~en . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . . . .

345

§ 1. Anwendung der Eu-Transformation und Aufstellung desjenigen Lösungsaus-

drucks, der einem bestimmten Holamorphiestreifen der Bildfunktion zugeordnet ist . . . . . . . . . . . . . § 2. Die Greensehe Funktion des Problems . . . . . . . . . . . . . . . .

345 348

11

Inhaltsverzeichnis § 3. Lösung unter Voraussetzung der Existenz von F( -oo) und F( +oo). +OO

§ 4. Lösung unter Voraussetzung der Existenz von

J IF(t) I dt

350 356

-00

§ 5. Weitere Lösungen

360

. . . . . . . . . . . . . . . . .

15. Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum der Laplace- Transformation . . . . . . . . § 1. Anwendung der E-Transformation auf Differentialgleichungen mit Polynom-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Beispiel: Die Differentialgleichung der Laguerreschen Funktionen. Das Spektrum des Wasserstoffatoms in der Wellenmechanik 1. Das diskrete Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Das kontinuierliche Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Ansatz der Lösung als Integral mit komplexem Weg. Asymptotische Entwicklungen der Lösung (Thomesche Normalreihen) . . . . . . . . . . . . . Koeffizienten

§ 2. Beispiel: Die Differentialgleichung der Hesseischen Funktionen

16. Kapitel. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Bildraum der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . § 1. Lösung der Differentialgleichung mit im Unendlichen holamorphen Koeffi-

363 363 366 368 371 37 5 377

386

zienten durch i\('Pl-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·.

336 396

E-Integrale mit monotoner Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . .

399

§ 2. Beispiel: Die Mathieusche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . § 3. Lösung von Differentialgleichungen mit vollmonotonen Koeffizienten durch

Anhang Der Satz von Lagrange-Bürmann . .

405

Literarische und.historische Nachweise

409

Sachregister

429

Literaturverzeichnis Berichtigungen zu Band I

siehe I. und III. Band 435

Einleitung

15

· 1. KAPITEL

Die Abbildung der fundamentalen Operationen an Funktionen durch die Laplace-Transformation und ihre Umkehrung In diesem Einleitungskapitel werden die fundamentalen Abbildungsgesetze der i!-Transformation, die in den Anwendungen fortgesetzt gebraucht werden, in übersichtlicher Weise zusammengestellt, ·weil sie im I. Band aus systematischen Gründen an ganz verschiedenen Stellen bewiesen werden mussten und daher nicht immer leicht zu finden sind. Sie sind für den praktischen Gebrauch teilweise in eine handlichere Form als im I. Band gebracht. Damit später im Text kurz auf sie verwiesen werden kann, sind sie als cc Regeln » bezeichnet und mit lateinischen Zahlen numeriert, gelegentlich auch schlagwortartig mit Namen versehen, wie sie sich in der Praxis eingebürgert haben, wie z. B. Faltungssatz, Dämpfungssatz usw.

§ 1. Lineare Substitution in der Originalfunktion und Multiplikation der Bildfunktion mit einer Exponentialfunktion

.Br Transformation Im folgenden wird vorausgesetzt, dass ~r{ F} = f(s) irgendwo und damit in einer Halbebene konvergiert. Regel I. Der Originalfunktion

I 0, b > 0)

b ~ 0)

entspricht die Bildfunktion und umgekehrt. Regel II. Der Originalfunktion I 0)

oder e--o

(c

> 0).

17

§ 2. Lineare Substitution in der Bildfunktion

Dieser Satz lässt sich auf komplexe a in folgender Form erweitern:

Regel IV'. F(t) sei im Innern des Winkelraums zwischen der positiv reellen Achse und dem Strahl von 0 nach t = a =1= 0 analytisch und im abgeschlossenen Winkelraum stetig mit eventueller Ausnahme von t = 0 und t = oo. In dem Winkelraum sei B < ltfb JF(t)J < C ecltl

mit b < 1 für 0 < JtJ

JF(t)J

mit

c> 0

für

Dann lässt sich f(s) = E{F} in das Gebiet 9\(eicp s) lytisch fortsetzen (Figur 2), und es gilt:

F(a t)

> c,

0 ~ rp ~ arca ana-

f(:).

~

o--e

< R0 ,

Die Beweise der Regeln finden sich in Satz 1 [I 2. 11] und Satz 3 [I 10. 2].

Eu- Transformation Regel Ia. WennEu{F} = f(s) für s0 konvergiert,sokonvergiertEn{F(at- b)} mit reellem a =1= 0 und reellem b fürs= a s0 , und es gilt F(a t- b)

o--e _1_

Iai

e- (bfa) s

f(_!_). a

Siehe Satz 3 [I 2. 11].

§ 2. Lineare Substitution in der Bildfunktion und Multiplikation der Originalfunktion mit einer Exponentialfunktion E1- Transformation

Regel V. Es gilt f(c

s

+ d) e--o. ~

e-(dfc)t

F(:)

(c

> 0,

d beli.ebig komplex).

Der Spezialfall d = 0 stimmt mit· Regel IV überein. Der Spezialfall c = 1 ergibt:

Regel VI (Dämpfungssatz). Es gilt f(s

+ d) e--o e-dt F(t)

(d beliebig komplex).

Siehe Satz 2 [I 2. 11].

E1r Transformation Regel Va. Wenn Eu{F}= f(s) füp=s 0 konvergiert, so istfür s= (s 0 - d)fc: f(c s + d)

·

e--o - 1c

Siehe Satz 4 [I 2. 11]. Doetsch II/2

I I

e- (dfc)t

F(_!_) c

(c reell

=1= 0,

d beliebig komplex).

18

1. Kapitel: Die Abbildung der fundamentalen Operationen

§ 3. Integration der OriginaHunktion

i!r Transformation Es werde gesetzt I

00

jF(T) dT

=

rJ>(t),

0

jF(T) dT

=

'

q}(t).

Regel VII. Wenn i!{F} für s 0 mit 9ls0 > 0 konvergiert, so konvergiert i!{ 9ls0 , und es ist

0 konvergiert, so ist

+

für t

±oo.

Beweis: Da 00

je-•• 1 F(t) dt

(x 0

> 0)

0

konvergiert, ist nach Satz 1 [I 2. 12] (wegen der Ausdehnung auf komplexe s 0 siehe I, S. 88, Fussnote) I

jF(T) dT

=

für t

o(e ...• 1)

+ + oo,

0

also auch I

IP(t)

jF(T) dT=o(e ...• 1) für t++oo.

=

-00

Ferner konvergiert 0

00

je~s,t F(t) dt = Je-(~s,)t F(-t) dt

mit 9t(-s 0) < 0,

0

~oo

also ist nach Satz 9 [I 2.12] 00

jF(-T) dT

=

o(e~"• 1)

für t

+ + oo,

t

d. h. -I

jF(T) dT = IP(-t) = o(e~x,t) für t

+ + oo

~00

oder IP(t)

o(e "• 1)

=

Satz-2. Wenn -2n{F} für s0 = x 0 0 konvergiert, so konvergiert auch -2n{ f/>} für s0 , und es ist für s = s0 f/>(t) "___. _!_ /( s) . s

20

1. Kapitel: Die Abbildung der fundamentalen Operationen

Beweis: Durch partielle Integration folgt:

]~-s,t F(t) dt.= e-s,t lP(t) Iw,+ s 0 ]~-s,t lP(t) dt. W1

C:Ut

W1

Da nach Satz 1

ist, ergibt sich die Behauptung.

Regel Vllb. Wenn ~n{F} für s 0 = x 0 + i y0 mit x 0 < 0 konvergiert, so konvergiert auch ~n{ fP} für s0 , und es ist für s = s0 : -

lP(t)

1

o-e - -

s

f(s).

Beweis: Aus

w Je-s,t F(t) 1

dt

=

-e-s,t qJ(t) lw 2

~

~

w s 0 Je-s,t qJ(t) dt 2

~

und Satz 2 folgt die Behauptung.

§ 4. Integration der Bildfunktion Regel X. Wenn ~ 1 {F(t)/t} für s0 konvergiert, so konvergiert ~{F} für 9\s > 9\s0 , und es gilt:

J 00

f(a) da

e-o

für s = s0 und 9\s

Ft(t)

=

f(s)

> 9ts0 ,

wobei als Integrationsweg jeder Strahl, der mit der positiv reellen Achse einen Winkel rx mit Irx I< n/2 einschliesst, genommen werden kann. Regel XI. Wenn

J

fI 00

00

und

F(t) dt

0

konvergieren, so existieren

ll,{ F)

~M

fün

und es gilt:

~ 0 und !lh > 0 s

~

jt(a) da 0

Ft(t)

I dt

0

JF;•)

und

00

e-o

dr

ll,l!F;T) dT) für 9\s > 0,

t

wobei das Integral über f(a) geradlinig erstreckt werden kann. Siehe Satz 3, 5 [I 3. 6].

füdl> > 0,

21

§ 5. Differentiation der Originalfunktion

§ 5. Differentiation der Originalfunktion

SJrTransformation Regel XII. F(t) sei für t > 0 differenzierbar. Wenn SJ{F'} für s0 mit 9ls0 > 0 konvergiert, so existiert limF(t) = Fo und SJ{F} = f(s) für s = s0 und 1~ 0 9is > 9is0 , und es gilt: F'(t)

~

für s = s0 und 9is > 9is0 •

Fo

s f(s) -

Überdies ist

F(t)

=

für t

o(e'• 1)

+

oo,

so dass SJ{F} für 9is > 9is0 absolut konvergiert. - Der Satz gilt auch, wenn F(t) nicht durchweg differenzierbar, aber für t ~ 0 totalstetig, also ein Integral

F(t)

=

Fo

+I t

p(1l(-r) d-r

0

ist, so dass F(t) fast überall die Ableitung F'(t) = F< 1 l(t) hat. Regel XIII. F(t) sei für t > 0 n-mal differenzierbar. Wenn SJ{F 0 konvergiert und*) F'(-) = F"(-) = ·. · = p(n-l)(-) = 0 ist, so konvergiert auch ~n{F(t)- F(-)} für s0 , und fürs= s0 gilt:

Überdies ist

F(t) - F( -) = o(ex• 1), F'(t)

=

o(ex• 1),

••• ,

p(n-l)(t)

=

o(ex• 1)

für t -+±.

*)Wenn die Grenzwerte F'(-oo), ... ,Fin-ll(-oo) existieren, so kÖnnen sie überhaupt keine anderen Werte als 0 haben. Denn wegen der Existenz von pln- 2 1(- oo) konvergiert o· jpln-ll(t) dt = -00

!im [Fin-21(0) _ pln-21(-w)J = pln-21(0) _ pln-21(-oo), W----+-00

also muss !im pln-ll(t), wenn er existiert, gleich 0 sein. Analog für die anderen Werte. t-+

--00

23

§ 7. Reelle Faltung der Originalfunktionen

Regel Xlllb. Wenn .i.!u{F(nl} für s0 = x 0 + i y 0 mit x 0 < 0 konvergiert und

F'(+CXl) = F"(+CXl) = · · • = p(n-l)(+CXl) = 0 ist, so konvergiert auch .i.!u{ F(t) - F(+CXJ)} für s0 , und fürs= s0 gilt:

p(n)(t)

o--e Sn

.i.!u{F(t) -F(+CXl)}.

Überdies ist

F(t)- F(+CXl) = o(ex• 1), F'(t) = o(ex• 1),

••• ,

p(n-l)(t) = o(ex• 1)

für t

+ ±CXJ.

Regel XIVa. F(t) sei n-mal differenzierbar und p(n)(t) in jedem endlichen Intervall absolut integrabel. Wenn .i.!u{F} für s 0 =1= 0 konvergiert, so konvergieren die .i.!{F(•l} (v = 1, ... , n) dann und nur dann für s0 , wenn

(v

=

0, ... , n- 1)

ist. (Bei 9\s0 > 0 ist also F(•l(-CXJ) = 0, bei 9\s0 < 0 ist F(•l(+CXJ) = 0 für v = 0, ... , n- 1). Es gilt fürs= s0 :

p(•l(t)

o--e

s• f(s)

(v

=

1, ... , n).

§ 6. Differentiation der Bildfunktion l.!r Transformation Regel XV. Im Innern der Konvergenzhalbebene von .i.!{F} = f(s) gilt: f(nl(s)

.--o

(-tt F(t) •

.i.!u- Transformation Regel XVa. Im Innern des Konvergenzstreifens von .i.!u{F} = f(s) gilt: lnl(s)

.--o

(-W F(t).

Siehe Satz 1 [I 3. 2].

§ 7. Reelle Faltung der Originalfunktionen und Produkt der Bildfunktionen

l.!r Transformation Regel XVI (Faltungssatz). Wenn .i.!{.F;.} für s 0 absolut und .i.!{F;} für s0 einfach konvergiert und wenn entweder eine der beiden Funktionen .F;.(t) und F;(t) in jedem endlichen Intervall 0 ~ t ~ T beschränkt ist

24

l. Kapitel: Die Abbildung der fundamentalen Operationen

oder

A2 (t) und R}(t) ]-Funktionen oder

F;_(t) und F;(t) fo-Funktionen sind, so existiert die Faltung

j F (t- r) F (-r) dr t

F1 * F2 =

1

2

0

für alle t

~

0, und es ist

Ohne die Zusatzvoraussetzungen über F;_ und all zu existieren. Regel XVII. Wenn (x0 reell) 00

Fz braucht F;_ * Fz nur fast über-

00

{e- 2 x,t JF1 (t)J 2 dt

.fe-2x,t JF2(t) [2 dt

und

0

0

konvergieren, so ist für t ~ 0:

F1 * F2 =

2

~i

x+ioo

j

e15 / 1 (s) / 2 (s) ds

(x

~

x0 ).

x-zoo

Dabei sind unter ft(x 0 + i y) und Mx 0 Ms) für ~s + x 0 zu verstehen.

+ i y)

die Randfunktionen von /1 (s) und

Siehe Satz 6, 5 [I 2. 15], Satz 2 [6. 3], Satz 2 [12. 5] ..

E1r Transformation

Regel XVIa (Faltungssatz). Wenn En{F1 } und En{F2}für s0 absolut konvergieren und wenn entweder eine der beiden Funktionen e-s,t F;_(t) und e-s,t:t;(t) beschränkt ist oder

J! F (t) [ dt +OO

1

2

+oo

und

-00

j

J

F 2(t) [2 dt konvergieren

-00

oder +CO

+oo

je- 'VIs,t;JF1 (t)J dt 2

-00

2

und

je- 2 'VIs,t JF2 (t) [2 dt konvergieren, -00

25

§ 8. Komplexe Faltung der Bildfunktionen

so existiert die Faltung

-00

.

+oo

für alle t, ß 11 {F1 _~ .Fs} konvergiert für s = s0 absolut, und es ist

+oo

Ohne die Zusatzvoraussetzungen über .fJ. und Fs braucht Fl. * Fs nur fast überall - oo zu konvergieren. Regel XVIIa. Wenn (x 0 reell)

I e-x,t JF

+OO

+OO

1

(t) I dt

le-x,t IF2 (t) I dt,

und

-00

-00

+oo

+oo

le-2x,t jFl(t) J2 dt

1e-2x,t JF2(t) j2 dt

und

-00

-00

konvergieren, so ist für alle t:

Siehe Satz 3, 1 [I 2.15], Satz 1 [I 6. 3].

§ 8. Komplexe Faltung der Bildfunktionen und.Produkt der Originalfunktionen ßr-Transformation

Regel XVIII. Wenn (x1 , x2 reell) 00

00

1e-2x,t J.Fl(t) 12 dt 0

konvergieren, so gilt für 9ls ~

Fl.(t) .F;(t)

o-e 2

1e-2x,t JF2 (t) J2 dt

und

0

x+ x 1

~i

2 :

I/ I/

z+ioo

1 (a)

/ 2 (s - a) da

*-ioo

=

2~i

:r+ioo

:r-ioo

1 (s-

a) / 2 (a) da

26

1. Kapitel: Die Abbildung der fundamentalen Operationen

wobei unter II(x 1 + i y) und Mx 2 + i y) die Randfunktionen von / 1 (s) und / 2 (s) für 9ts + x1 bzw. 9ts + x2 zu verstehen sind. Regel XVIII'. Wenn (x 0 reell)

j e-z...,t F(t)

+oo

00

I

12

dt

oder

2

/I f(x + i y) 1 dy

1n

0

für x

2

> x0

-00

konvergiert, so ist oo

+oo

je-zx IF(t)l 2 dt=

/lf(x+iy)l 2 dy

1 2n

1

0

für

x~x0 •

-00

Siehe Satz 2 [I 6. 4], Satz 4 [I 12. 5], Satz 1 [I 6. 2], Satz 1 [I 12. 5]. ~Ir-Transformation

Regel XVIIIa. Wenn (x1 , x2 reell)

Je-x,t I +oo

Ie-x,t +oo

F;_(t) I dt

und

-00

I F2(t) I

dt,

-00

I e-2;,t I.F;(t) 12 dt

+oo

I e-zx,

+oo

F (t) 12dt

und

1I 1

-00

-00

konvergieren, so gilt für 9ts = x1 + x2 :

I/ ~i I / x1 +ioo

F;_(t) .F;(t)

o--e 2

~i

1

(a) / 2 (s- a) da

x.- i 00

x 1 +ioo

=

1

(s- a) / 2 (a) da.

x1 -ioo

Regel XVIII'a. Wenn (x reell) +oo

Ie-'"

Ie- 2'" IF(t)l2dt +OO

1

IF(t)l dt 2

und

-00

1

-00

konvergieren, so ist +oo

Ie-

+oo

2 x1

JF(t)l 2 dt=

-00

Siehe Satz 1 [I 6. 4], Satz 1 [I 6. 2].

/n j-Jf(x+iy)l 2dy. -00

I. TEIL

Asymptotische Entwicklungen

29

2. KAPITEL

Allgemeine Betrachtungen über Asymptotik § 1. Asymptotische Darstellung von Funktionen Eine Funktion ist nur dann als definiert anzusehen, wenn es möglich ist, ihre Werte zu berechnen. Die ursprüngliche Definition, sei sie nun ein analytischer Ausdruck oder eine Beschreibung in Worten wie z. B. bei den zahlentheoretischen Funktionen*), ist häufig für die praktische Berechnung wenig geeignet und auch nicht in der Lage, Aufschluss über das allgemeine Verhalten der Funktion zu geben. Hier setzt die asymptotische Untersuchung ein, deren Bestreben dahin geht, elementarere und gut bekannte Funktionen ausfindig zu machen, mit denen sich die gegebene Funktion in einem bestimmten Sinn vergleichen lässt. Diese Vergleichsfunktionen geben einerseits ein anschauliches Bild von dem allgemeinen V erhalten der Funktion, andererseits gestatten sie, wenn für ihre Abweichung eine Abschätzung bekannt ist, den Wert der Funktion bis auf einen bestimmten Fehler zu berechnen. Dies ist bei analytischen Funktionen vor allem da wertvoll, wo die üblichen Darstellungen, z. B. durch konvergente Potenzreihen, versagen, nämlich in der Umgebung singulärer Stellen. Das Charakteristische einer Funktion spricht sich gerade in ihrem Verhalten an solchen Stellen aus, so dass man dieses in erster Linie beherrschen muss. Was unter einer Vergleichsfunktion verstanden werden soll, ist natürlich nicht selbstverständlich, sondern muss erst definiert werden. Jedenfalls wollen wir nicht darauf ausgehen, sogenannte Näherungsfunktionen zu finden, die die gegebene Funktion in einem Intervall oder Bereich mit einem vorgegebenen Fehler approximieren. Solche Näherungen geben im allgemeinen über den Charakter der Funktion gar keinen Aufschluss. Ein wesentlicher Gesichtspunkt der asymptotischen Betrachtung ist vielmehr, dass für die gegebene Funktion tp(z) ein fester Punkt z0 (im Falle einer analytischen Funktion meist ein singulärer Punkt) zugrunde gelegt und nun eine Vergleichsfunktion 1p(z) gesucht wird, die die gegebene Funktion in einer gewissen Umgebung mit Ausschluss von Zo um so genauer darstellt, je kleiner die Umgebung ist, oder anders ausgedrückt: wenn z innerhalb einer Umgebung U gegen z0 strebt, so soll die Darstellung immer genauer werden. Eine solche Umgebung U kann dabei sein: eine volle Umgebung (z. B. ein Kreis um z0 ) oder ein Sektor cx < arc (z- z0 ) < ß, 0 R, oder eine z0 im Innern oder auf dem Rand enthaltende Strecke, oder für z0 = oo ein Strahl. *) Beispiel: n(x) sei die Anzahl der Primzahlen;;;; x.

30

2. Kapitel: Allgemeine Betrachtungen über Asymptotik

Was die Genauigkeit der Darstellung, d. h. die Differenz zwischen ffJ und 1p angeht, so wird zum Prinzip erhoben, dass sie jedenfalls von geringerer Grössenordnung sein soll als die Vergleichsfunktion "P· Nach diesen Vorbereitungen wird die folgende Definition einleuchtend sein. Definition I. Gegeben sei die Funktion ffJ(z), ein fester Punkt z0 im Innern oder auf dem Rand ihres Definitionsbereiches (der auch der Punkt oo sein kann) und eine Umgebung U von z0 , zu der z0 selbst nicht zählt. 1p(z) sei eine in U definierte Funktion, die dort =1= 0 ist, und A eine beliebige Konstante. Dann sagen wir, qJ(z) werde für z + z0 in U durch A 1p(z) asymptotisch dargestellt, oder A 1p(z) sei eine Vergleichsfunktion für ffJ(Z), oder ffJ(Z) verhalte sich wie A VJ(z), in Zeichen ffJ(z)

~A

für z +z0 in U,

1p(z)

wenn (1)

qJ{z)

=

A 1p(z)

+ o( 1p{z))

für z

+ z0 in U,

d.h. cp(z) 'I'(Z)

(2)

+ A

für z

Beispiele: sinz ~ z

coshz~ ~ e•

für z

+ z0 in U.

+ 0 in Iz I< 1,

für z+oo in larczl

~"P } ; c.

"P.(z)

für z -+ z0 in U,

v~o

wenn für jedes n

=

0, 1, ... gilt:

"

cp(z) - }; c. 1p.(z)

(1)

=

für z -+ z0 in U.

o( 1p,. (z))

v~O

Dies setzt voraus, dass 1p,.(z) =1= 0 in U ist. Allgemeine Eigenschaften einer asymptotischen Entwicklung

1. Für die Glieder einer asymptotischen

Entwicklun~

gilt: (n = 0, 1, ... ) ,

(2)

d. h. sie sind von abnehmender Grössenordnung. Beweis: Die Gleichung (1) kann in der Form geschrieben werden:

cp(z)

n

=}; c."P.(z) + 8 0 (z)

1p,.(z)

mit

80

(z).-+ 0 für z -+ z0 •

v~O

Ebenso gilt :

cp(z)

n+1

= } ; c. "P.(z) V=Ü

+ 8 1 (z) "Pn + 1 (z)

mit

8 1 (z)

-+ 0 für z -+ z0 .

33

§ 2. Asymptotische Entwicklung von Funktionen

Also ist oder e0 (z) Cn+l+el(z).

Es kann nicht für sämtliche Entwicklungen nach den Funktionen 1Jin(z) der Koeffizient Cn+ 1 = 0 sein. Also ist 1Jin+ 1 (z) ftpn(z) -+ 0 für z-+ z0 • 2. Mit der Definition (1) ist folgende vollständig äquivalent: n-1

cp(z) -}; c. tp.{z) ~ cn 1Jin(z)

(3)

für z -+ z0 in U

(n

=

0, 1, ... ) ,

v~o

wobei

n-1

I:= 0 für n =

0 zu setzen ist.

•-0

Beweis: a) Aus (1) folgt zunächst für n = 0: cp(z)- c0 tp0 {z) = o(tp0 {z)), also nach Definition I (§ 1): cp(z) ~ c0 tp0 (z); ferner für n = 1, 2, ... : n-1

cp(z) -}; c. tp.(z)

=

cn 1Jin(z)

+ o( 1Jin(z)),

•~0

woraus sich (3) ergibt. b) Aus (3) folgt zunächst für n o(tp0 (z)); ferner für n = 1, 2, ... :

0: cp(z)

=

n-1

cp(z) - }; c. tp.(z)

=

~ c0

cn 1Jin(z)

tp 0 {z), also cp(z)- c0 tp0 {z)

=

+ o( 1Jin(z)),

v~O

was mit (1) gleichbedeutend ist. (3) kann man so interpretieren: Bei einer asymptotischen Entwicklung ist der Fehler, den man bei Benutzung einer bestimmten Partialsumme begeht, von der Grössenordnung des nächsten Gliedes. Damit ist natürlich nichts ausgesagt über den Betrag des Fehlers an einer bestimmten Stelle, sondern nur über den 0

f

tp(z)

=

l:

fürz=O.

Es existieren sämtliche Ableitungen für z ~ 0. Im Punkte 0 sind sie alle gleich 0. Die Taylorreihe konvergiert daher für z ~ 0, stellt aber nicht die Funktion dar. Dagegen liefert sie eine asymptotische Entwicklung von tp(z) für z ~ + 0. Besitzt tp(z) nur n + 1 Ableitungen (n ~ 0) und ist tp(n+ 1l in z0 stetig, so erhält man eine asymptotische Entwicklung mit endlich vielen Gliedern (13)

37

§ 2. Asymptotische Entwicklung von Funktionen

3. Manchmal kommt es vor, dass ein Entwicklungsverfahren statt der Relation (10) bzw. (11) zunächst nur ein schwächeres Resultat liefert, nämlich im Falle z + 00 (der Fall z + Zo erledigt sich in analoger Weise) statt

q;(z)

=

.

.E c. z-lv + o(z-A") v~o

nur die Relation

q;(z)

(14)

=

. + o(z-""') .E" c. z-Av

mit

m,. < A.,..

v~O

Wenn die Entwicklung beliebig weit fortgesetzt werden kann und dabei m,. mit A.,. gegen oo wächst, so ist (14) trotzdem ausreichend für die asymptotische Entwickelbarkeit von q;(z):Denn es ist

q;(z)

=

.E c. z-Av + .E Äv~mn

Das grösste .?..

q;(z) =

~ m,.

c. z-lv + o(z-m").

m,., und es handelt sich darum, die Stärke des Unendlichwerdens abzuschätzen. Bei einer asymptotischen Entwicklung kann daher nur eine solche mit endlicher Gliederzahl in Frage kommen. 3. Durch schärfere Voraussetzungen kann man jedoch die Sätze dieser Kategorie ergiebiger gestalten. Wenn nicht nur F(t) = A e5 • 1 t" + o(e 5 • 1 t") bekannt ist, sondern wenn man weiss, dass das «Restgliedn so klein ist, dass seine ~-Transformation über s0 hinaus konvergiert, so kann man nicht nur das asymptotische Verhalten von f(s) fürs-+ s0 in einem Winkelraum bestimmen, sondern aussagen, dass f(s) in s0 eine isolierte Singularität von bestimmtem Charakter hat (Satz 1 [I 13. 3]). Hier kann IJ( beliebig komplex sein, und infolgedessen kommt sowohl Konvergenz gegen einen endlichen Wert wie gegen cx:> vor. 4. Schliesslich verfügen wir auch über eine Kategorie von Sätzen, die au~ dem Verhalten von F(t) für t-+ 0 das von f(s) für s-+ cx:> ableiten, wie z. B.: Aus F(t) ~ B tß (9tß >- 1) folgt f(s) ~ B F(ß + 1) s-ß- 1 (Satz 1 [I 14.1]).

43

§ 5. Allgemeines über Abelsche Asymptotik

Hier ist zu bemerken, dass f(s) stets gegen 0 strebt und dass man daher unendliche asymptotische Potenzentwicklungen aufstellen kann. Da diese in den Anwendungen am wichtigsten sind, behandeln wir sie im folgenden an erster Stelle. Unsere Erörterungen über die Asymptotik der zweiseitigen Laplace- und der Mellin-Transformation werden von ähnlichen Einteilungsprinzipien. beherrscht sein. Die Abelsche Asymptotik kann, wie wir sehen werden, in den einzelnen Fällen noch auf sehr verschiedene Arten verwirklicht werden. Eine Art, die besonders übersichtlich ist und häufig vorkommt, bezeichnen wir als den

Idealfall der Abelschen Asymptotik 4• Er tritt unter folgenden Bedingungen auf. Die zugrunde liegende Transformation laute X{ -1/2 für alle komplexen z durch ein endliches Fourier-Integral darstellen (siehe I, S. 203):

Jl;; r( oc + ~) (1Y" J"(z)

(8)

+1

feizx (1 - x2)"'- (1/2) dx.

=

-1

Setzt man z = i s, x = t - 1, so erhält man:

v;; r(oc + ~)

(9)

2

(i2srrx

e-s lrx(i ;)

=

je-st[t(2-

ew-(1/2)

dt,

0

also ein endliches E-Integral. Die Originalfunktion lässt sich in der Umgebung des Nullpunktes in eine konvergente Potenzreihe entwickeln:

[t (2

t)Jrx-(1/2) =

-

=

(2

t)rx- (1/2) ( 1-

2rx-(1/2)

{t-

(1/2) =

(2

l; (--;!)"_ (tX- ;1/2))

t)(X- (1/2) .~t~

-

;1/2)) (- ;

r

t•+rx-(1/2).

v~O

Also gilt nach Satz 1 [3. 1] wegen

V2 :n: r(oc +

9toc > -1/2:

Iß s)

21) (i s)-(1. e-s

R:>

f; (-2!r ((X -v(1/2l)

v~O

r(v +(X+ (1/2)) sv+rx+(1/2)

für s + oo gleichmässig in Iarc s I :;:;; (:n:/2) - b. Unter Verwendung von Anhang I, Nr. 3 und 4 können wir hierfür schreiben: (10)

l(is)

R:>

rx

cos~irxes ~-1- T(v+tX+(1/2))T(v.:__tX+(1/2))

Vznst2

62•v!

s•+(1/2)

•

Setzen wir wieder i s = z, so ergibt sich (i = e; "'2 ):

(11)

1

rx(z) R:>

COStX n -1/2 -iz ~ e[v+rx+(1/2))i"/2 v2- 3/2 z e L.t--2. n

v~O

v!--

T(v + tX + (1/2)) T(v- tX + (1/2))

z•

57

§ 2. Beispiele: 4. Besselsche Funktionen für nichtreelle Werte

wenn z in der oberen Halbebene 0 < arcz < n gegen oo strebt, gleichmässig in 15 ~ arcz ~ n -- 15. Dabei ist in dem Fall, dass v - IX + (1/2) negativ ganzzahlig oder 0 wird, d. h. bei IX= p + (1/2) (p = 0, 1, ... ) für v = 0, 1, ... , p, zu setzen: cos IX n .

r(

V -

IX

) + 21) = E~ocos (2P+1 --z~ n + h

r (- (p -

v)

+ h)

=

(-1)v+l

(p -

01 .

Da aus (8) ersichtlich ist, dass z-"" Jr~.(z) eine gerade Funktion darstellt, beherrscht man mit (11) das asymptotische Verhalten von fr~.(z) in der ganzen Ebene mit Ausnahme der reellen Achse 12 • Die asymptotische Entwicklung für reelle Werte der Variablen ist komplizierter und muss auf anderem Wege gewonnen werden, siehe 3. 4.1; 7. 5. 3. Zur Ergänzung wollen wir noch die asymptotische Entwicklung der mit den Besselschen Funktionen erster und dritter Art eng zusammenhängenden Funktion K""(s) ableiten, die für 9tiX > -1/2 und 9ts > 0 durch das Integral 00

K (s) =

(12)

""

T( 1/ 2) _ s""je-sx(x 2 -1)""-( 1/ 2) dx 2""T(ar:+(1/2)) 1

dargestellt wird. Durch die Substitution x = t + 1 ergibt sich: 00

K (s)- _V~ s""e-sje-s 1 [t(1+ 2t)]rJ.-(l/2Jdt. "" - r(ar: + (1/2)) 0

In der Umgebung von t = 0 ist

ferner ist diese Funktion in dem Winkelraum Iarct I < n analytisch und gleich > 0. Also ist nach Satz 6 [3.1]

O(e•ltl) für jedes s

K""(s) ~

Vn/2

r(ar:+(1/2))

e-s ~(ar:- (1/2)) r(v + ar: + (1/2))

f:'o

v

2•s•+( 1/ 2l

für s-+ oo in Iarcs I< (3/2) n. Diese Entwicklung 13 kann man mit Hilfe von Anhang I, Nr. 3 und 4 noch auf verschiedene andere Formen bringen, z. B. (13)

K s ~lfne-s~ rJ.( )

V2

1:-'o

r(ar:+v+(1/2)) _1_ 2• v! r(ar:- V+ (1/2)) sv+(l/2) .

Die Entwicklungsfunktionen sind hier nicht Potenzen, sondern die Funktionen

e-s 5 -v-(1/2).

Bemerkung: Man sieht an (13), warum der ursprüngliche Ausdruck (12) für die Herleitung einer asymptotischen Potenzentwicklung ungeeignet ist. Dort ist die Originalfunktion in der Umgebung von t = 0 identisch 0, so dass (12)

58

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der ,!:l 1 -Transformation: /(s) im Unendlichen

eine identisch verschwindende Potenzentwicklung liefert. In der Tat strebt K"'(s) nach (13) fürs (reell) -+ oo wie e-s gegen 0 (dies folgt auch aus Satz 1 [I 14. 3]), so dass alle Potenzkoeffizienten verschwinden müssen, siehe 2. 2 (5), (6).

5. Die unvollständige Gammafunktion. Asymptotische Halbierung des Gammaintegrals und der Exponentialreihe

Die unvollständige Gammafunktion F((J., s), auch als Prymsche Funktion Q(s, (J.) bezeichnet, ist definiert durch

=Je-T r"'00

F((J., s)

1

dr,

s

wobei der Integrationsweg jeder Strahl sein kann, auf dem 9\r-+ oo gilt. Das asymptotische Verhalten von F((J., s) für (J.-+ oo ergibt sich aus der konvergenten Entwicklung [siehe I 13. 3 (1)]

(14)

F((J., s)

V

00

=

F((J.)- s"'}; (-1)"-1- (5-- ) v~O

V.

v+oc

((J.

=l= 0, -1, -2, ... ) .

Es bleibt also noch die Frage nach dem Verhalten von F((J., s), wenn einerseits s (bei festem (J.) gegen oo wächst und andererseits (J. und s gleichzeitig gegen oo wandern. Wir betrachten der einfacheren Schreibweise halber

=Je-T 1:"' d1:. 00

F((J.

+ 1, s)

s

Um auf ein

(15)

~-Integral

zu kommen, setzen wirr= s (1

F((J.

J 00

+ 1, s) =

e-s

s"'+ 1

e-st

(1

+ t) und erhalten:

+ t)" dt.

0

Der Weg des Integrals kann jeder Strahl von 0 aus sein mit Ausnahme der negativ reellen Achse, die wir von t = -1 an aus der /-Ebene entfernen, damit (1 + t)"' für jedes komplexe (J. eindeutig und integrabel bleibt. Bei einem festen Integrationsweg arct = rp kann s jeden Punkt der Halbebene - rp -

;

< arc s < - rp + ;

bedeuten. Wenn rp von - n bis + n (ausschliesslich der Grenzen) variiert, so erhält man F((J. + 1, s) für die Punkte der Riemannschen Fläche 3

- 2 n

< arcs < + 23

n.

59

§ 2. Beispiele: 5. Unvollständige Gammafunktion

Da in der Nähe von t = 0 die nicht bloss asymptotische, sondern konvergente Entwicklung (1 + t)" = f(~) t• V=O

gilt, so ergibt sich nach Satz 6 [3.1]

T( oc

(16)

+ 1, s ) ~ e -s s rx+1 LJ ~ 0 bringen: da. /(s)

(2)

=

eiwa.-sta. {e-••iwa.T F(ta. + -r ei'Pa.) d-r. 0

Wenn F(t) für t + ta. (auf der Strecke ta. tp) eine asymptotische (eventuell konvergente) Entwicklung der Gestalt 00

F(t) ~}; cv (t - ta.)J."

(3)

•-0 Doetsch II/5

(-1

< W.o< ···)

66

3. Kapitel: Abeische Asymptotik der .{!,-Transformation: f(s) im Unendlichen

besitzt, so dass

F(ta. + -r ei'l'a.)

00

1'::::1}; cv eiAv'l'a. -rAv •-0

ist, so ergibt sich nach Satz 1 [3.1] für f(s) die Entwicklung

(4)

fürs +oo in der Halbebene ~a.ß: 9t (s ei'l'a.) > 0. Diese hat den Strahl, der den Winkel -VJa. mit der reellen Achse bildet, also spiegelbildlich zu dem Vektor ta. tp liegt, zur inneren Normalen. Die Entwicklung (4) entsteht, indem man f(s) in der Form

f(s)

=

e-ta.s

J

tp-ta. e-•t F(ta. + t) dt 0

schreibt und auf

F(ta. + t)

00

1'::::1

L: c. tA•

·-0

die ß- Transformation formal gliedweise anwendet. Ausschlaggebend für das infinitäre Verhalten von f(s) ist der Exponentialfaktor e-ta.s, der sich in den einzelnen Richtungen ganz verschieden verhält. Ist in Polarkoordinaten so ergibt sich :

Das Verhalten von e-ta.s hängt also ab von der Grösse

w = -ea. cos(-D + q;a.). Tragen wir diese, absolut genommen, vom Nullpunkt 0 der s-Ebene aus auf jeder Richtung 0. ab, so bilden die Endpunkte insgesamt zwei Kreise durch 0 vom Durchmesser (!a., deren Mittelpunkte auf den Richtungen 0. = -(/Ja. (hier ist w = - ea.) und 0. = - q;a. + n (w = ea.) liegen. In dem ersteren sind die Sehnen w negativ, im letzteren positiv zu rechnen. Um das Vorzeichen von w in der Figur zum Ausdruck zu bringen, zeichnen wir den Kreis, in dem w positiv ist, doppelt (Figur 4). Die Länge w der Sehne mit Vorzeichen iri Richtung 0. heisse die Wertigkeit von f(s) in Richtung D, und die ganze Figur das Wertigkeitsdiagramm von f(s). Ist speziell ta. = 0, so schrumpft dieses auf den Nullpunkt zusammen. - In

§ 3 . .\!-Integral mit komplexem Weg

67

Frage kommen natürlich nur die Teile des Wertigkeitsdiagramms, die innerhalb der Halbebene SJo:ß liegen*). Wir fassen diese Ergebnisse so zusammen: Satz 1. Hat die Funktion F(t) in dem 5!,-Integral (1) für t + t"' die asymptotische Entwicklung (3), so gilt für f(s) die asymptotische Entwicklung (4) für s + oo. Für letztere sind zwei Figuren charakteristisch: 1. Die Halbebene SJo:ß, in der die Entwicklung gilt (in fedem kleineren Winkelraum gleichmässig); sie ist bestimmt durch den Vektor t"' tß der t-Ebene: sein Spiegelbild an der reellen Achse, d. h. der Vektor 'T"' tß ist die innere Normale von SJo:ß in der s-Ebene. 2. Das

Figur 4

W ertigkeitsdiagramm, das die Stärke des exponentiellen Wachstums der Entwicklungsglieder in feder Richtung angibt; es ist bestimmt durch den Ortsvektor 0 t"' der t-Ebene: sein Spiegelbild an der reellen Achse, d. h. der Vektor Ot"' ist in der s-Ebene der Durchmesser des Kreises, der die negativen Wertigkeiten misst. Man erhält die charakteristischen Figuren, indem man in der s-Ebene die Punktet"', tß markiert, den Kreis über Ot"' und über dem entgegengesetzten Durchmesser zeichnet und die Halbebene mit der inneren Normalen tatß konstruiert (Figuren 3 und 4). Das Wertigkeitsdiagramm ist vor allem wichtig, wenn, wie in den folgenden Abschnitten, mehrere Entwicklungen addiert werden. Wir haben für di~ ganze Funktion (1) eine asymptotische Entwicklung nur in der Halbebene SJo:ß bekommen. Schreiben wir nun aber f(s) in der Form

J Ia:

f(s) = -

e-st

F(t) dt

tß *) Man könnte statt der beiden Kreise nur den oben doppelt ausgezogenen zeichnen und festsetzen, dass die von einem Richtungsstrahl ausgeschnittene Sehne positiv oder negativ zu rechnen ist, je nachdem der Strahl den Kreis wirklich oder erst in seiner Rückwärtsverlängerung schneidet.

68

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der 1!1 -Transformation: f(s) im Unendlichen

und hat F(t) für t-+ tp eine asymptotische Entwicklung der Form (3), so erhalten wir entsprechend zu (4) eine asymptotische Entwicklung für f(s) mit dem Exponentialfaktor e- 1fJ 5 , die nun in der komplementären Halbebene $)p"' gültig ist, weil der Vektor tpt"' zu t"'tp entgegengesetzt ist, und deren Wertigkeitsdiagramm durch den Ortsvektor Otp bestimmt wird. Satz 2. Die durch das SJ-Integral (1) definierte ganze Funktion hat in den beiden H albebenen, die durch das Lot von s = 0 auf die Gerade t"' tp begrenzt werden, verschiedene asymptotische Entwicklungen, die sich aus den Entwicklungen der Form (3) vonF(t) bei t"' und tp nach Formel (4) ergeben. Die von tp herrührende Entwicklung ist mit dem negativen Vorzeichen zu versehen. Auf der Begrenzungsgeraden selbst ergibt sich keine asymptotische Entwicklung.

2. Der Integrationsweg setzt sich aus zwei Strecken zusammen

Wir betrachten nunmehr den Fall, dass der Integrationsweg G: aus zwei aneinanderstossenden Strecken t0 t1 und t1 t2 besteht 22 , die nicht in einer Geraden liegen*). Dann kann man das SJ-Integral f(s)

=Je-ts F(t) dt (!;

auf vier verschiedene Weisen schreiben:

J+ J=f t0

f(s)

=

-

tl

t2

11 (s),

tl

Wenn F in den Eckpunkten t0 , t1 , t2 asymptotische Potenzentwicklungen besitzt, so haben die hier vorkommenden vier Integrale asymptotische Entwicklungen der Form (4) (mit Gültigkeitshalbebenen und Wertigkeitsdiagrammen), für die wir zur Abkürzung schreiben:

Durch Addition bzw. Subtraktion kommen verschiedene asymptotische Entwicklungen von f(s) in verschiedenen Gebieten zustande (vgl. Definition IV, S. 34), und zwar auf folgende Weise: Zunächst einmal gelten die beiden asymptotischen Reihen E"'•' Ea.,, die in einer Darstellung f"'•"'• auftreten, zugleich nur *) Man überzeugt sich an Hand des Folgenden leicht, dass zwei in einer Geraden liegende Strecken kein anderes Resultat liefern als die Gesamtstrecke.

§ 3. 1!-Integral mit komplexem Weg

69

in dem gemeinsamen Sektor 6"•"• der beiden zugehörigen Gültigkeitshalbebenen. Weiterhin aber spielen nunmehr die Wertigkeitsdiagramme eine wichtige Rolle. Betrachtet man nämlich die beiden Entwicklungen

so streben die Summen (von denen immer nur eine endliche Partialsumme benutzt wird) auf jeden Fall für s + oo gegen 0; die Exponentialfaktoren e- 1« 8 aber streben je nach der ins Auge· gefassten Richtung {} entweder gegen oo (Wertigkeit positiv) oder 0 (Wertigkeit negativ) oder sind absolut genommen

Figur5

gleich 1 (Wertigkeit 0), und zwar sind diese Funktionen gegenüber den Potenzen ausschlaggebend, da sie viel stärker wachsen oder abnehmen, als diese abnehmen. Haben E", und E", in einer bestimmten Richtung{} die Wertigkeit w1 bzw. w2 , so ist bei Verwendung einer bestimmten Partialsumme einerseits der durch Eoc, hereinkommende Fehler von der Grössenordnung ew•r, andererseits der von E", gelieferte Beitrag von der Grössenordnung ew,r. Ist w2 < w1 , so hat es also keinen Sinn, diesen Beitrag mitzuführen, da er in dem Fehler von E"• untergeht. Hieraus ergibt sich die Schlussfolgerung: Nachdem der Sektor 6"'"' gefunden ist, muss an H~nd der Wertigkeitsdiagramme festgestellt werden, welche Entwicklung in den einzelnen Richtungen die grössere Wertigkeit besitzt. Diese allein ist beizubehalten. Nur wenn in 6"'"' der Schnittpunkt der zwei einfach oder der zwei doppelt ausgezogenen Kreise liegt, haben in der betreffenden Richtung die Entwicklungen gleiche Wertigkeit und sind beiae beizubehalten. Da höchstens einer jener Schnittpunkte in 6"•"•liegen kann, gibt es höchstens eine solche «singuläre Richtung». Sie steht offenbar senkrecht auf der Geraden T", t",. Ist speziell einer der Punkte t",, t", der Nullpunkt, so ist das entsprechende Wertigkeitsdiagramm der Punkt s = 0. Die singuläre Richtung ist dann die Tangente in s = 0 an das andere Wertigkeitsdiagramm. In dieser Richtung haben beide Entwicklungen die Wertigkeit o.

.

70

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der E,-Transformation: f(s) im Unendlichen

Die Feststellung der Sektoren samt ihren zuständigen Entwicklungen können wir uns durch die Substitution t = t0 + 7: erleichtern: f(s)

=

e-•t·IJ>•T F(t + 7:) d"C + ~~-sT F(t + 7:) d"C). 0

0

0

~-~

Sie läuft darauf hinaus, dass wir die Funktion e1• 5 f(s) betrachten. Dadurch wird das Wertigkeitsdiagramm für die Entwicklung E 0 auf den Nullpunkt

Figur 6

reduziert, so dass sich die Figur stark vereinfacht. Diese ist folgendermassen herzustellen 23 : In der s-Ebene werden markiert: die Punkte t 0 = 0, ~. ~; die durch den Nullpunkt gehenden Geraden g01 senkrecht zu t0 t1 und g21 senkrecht zu~~; die durch sie bestimmten Halbebenen ~ 01 , ~10 bzw. ~21 , ~12 ; die gemeinsamen Sektoren je zweier Halbebenen 6 01 , 6 02 , 6 12 , 6 11 (benannt nach den ersten Indizes der beteiligten Halbebenen und mithin nach den unteren Indizes der in ihnen gültigen Entwicklungen). Ferner werden gezeichnet: Die Wertigkeitsdiagramme, d. h. ausser dem Nullpunkt die Kreise über Ot1 , 0~ und den entgegengesetzten Strecken als Durchmessern; die «singulären Richtungen», d. h. die Lote in 0 auf t;,~, ~ ~. t;,~. Die beiden ersten fallen nicht in die ent-

71

§ 3. il·Integral mit komplexem Weg

sprechenden Sektoren 6 01 und 6 12 , sondern liegen auf deren Rand, die letzte liegt in ihrem zugehörigen Sektor 6 02 • Sie ist die einzige zu berücksichtigende singuläre Richtung und heisse s02 • Man liest nun folgendes an den Wertigkeitsdiagrammen ab: · m 6

ist

f(s)

R::::

~o,

in 6 02 zwischen g21 und s02 ist f(s)

R::::

E0

01

auf

s~ 2

,

ist

zwischen s02 und g01 ist f(s)

R:::: -

E2 ,

in 6 12 ist in 6 11 ist auf g01 und g21 ergeben sich keine Entwicklungen. Ein Sonderfall liegt in dem Sektor 6 11 vor. Hat F(t) für t + t1 auf den beiden Strecken t1 t0 , t1 t2 verschiedene asymptotische Entwicklungen, so erhält man auch zwei verschiedene Entwicklungen E~, E'f, die in jeder Richtung gleiche Wertigkeit haben und infolgedessen im ganzen Sektor 6 11 die Entwicklung f(s) R:::: - E~ + E'f ergeben. Hat aber F(t) für t + t1 auf den beiden Strecken dieselbe asymptotische Entwicklung (was z. B. in dem in der Praxis häufigsten Fall eintritt, dass F(t) in der Umgebung von t1 durch eine konvergente Reihe nach beliebigen Potenzen von t - t1 darstellbar ist), so ist E~ =.= E'f, und die Entwicklungen in 6 11 heben sich auf. Man erhält also für die ganze Funktion f(s) in 6 11 eine identisch verschwindende Entwicklung. Dieses zunächst paradox erscheinende Ergebnis findet seine Erklärung darin, dass die Wahl von t1 als Anfangspunkt der Wege in den beiden Teilintegralen bedeutet, dass man f(s) nach Potenzen mit dem Faktor e -t,s entwickeln will. Wenn die Entwicklung nach diesen Funktionen verschwindet, so bedeutet dies, dass f(s) in dem Sektor von geringerer Wertigkeit als e -t,s ist.- Die Ergebnisse fassen wir so zusammen : Satz 3. Das SJ-Integral f(s) = je-st F(t) dt sei über das zweiseitige Polygon t0 t1 t2 der komplexen t-Ebene erstreckt. F(t) habe für t + t 0 auf t 0 t1 die asymptotische Entwicklung F(t)

E c~0l t'• 00

R::::

(0)

v=O

für t

+

t2 auf t2 t1 die Entwicklung F(t)

R::::

f; c~2 l t'~21

(0

< 9tJ.~2) < .. ·).

v=O

Die zu

t0 f;_

senkrechte Gerade durch 0 inders-Ebene heisse g01 , die zu ~t1 senk-

72

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der

2 1-Transformation: f(s) im Unendlichen

rechte Gerade g21 , das Lot*) von 0 auf l0 ~ heisse s02 • Setzen wir

so gelten für die ganze Funktion f(s) folgende asymptotische Entwicklungen für

s+oo: f(s)

~

E 0 zwischen g01 und s 02 mit Ausnahme von g21 ,

f(s)

~

- E 2 zwischen g21 und s 02 mit Ausnahme von g01 ,

In dem Restsektor zwischen g01 und g21 , der so:! nicht enthält, ergibt sich eine asymptotische Entwicklung nur dann, wenn F(t) für t + t1 auf den beiden Strecken t1 t2 und t1 t2 verschiedene asymptotische Entwicklungen besitzt: F(t)

~ f; cPl t;,tt'

auf t1 t0 ,

v=O

Setzt man

so ist in dem Restsektor: f(s) ~ -Ef + Ef. Bemerkung: Wie man sieht, beeinflusst die asymptotische Entwicklung von F(t) in einem bestimmten Eckpunkt die Entwicklung von f(s) immer nur in einem gewissen Sektor. Dieser Sektor der Entwickelbarkeit bleibt auch erhalten, wenn F(t) etwa nur in jenem Eckpunkt eine asymptotische Entwicklung besitzt, in den anderen nicht. Denn ein E-Integral (1) lässt sich, wie man durch Anwendung von Satz 1 [I 3. 6] auf die Form (2) erkennt, immer durch e-ta.s • o(1) abschätzen, so dass die Betrachtungen über die Wertigkeit von der asymptotischen Entwickelbarkeit von f(s) unabhängig sind.

3. Der Integrationsweg ist ein Polygon

Besteht der Weg des E-Integrals aus einem Polygon mit n Seiten, so gibt es 2n Möglichkeiten, f(s) als Summe von n Integralen darzustellen, weil man jede Polygonseite in zwei Richtungen durchlaufen kann. Jedes einzelne Integral hat als Gültigkeitsbereich seiner asymptotischen Entwicklung eine Halbebene, und bei einer Summe von solchen Integralen müssen zunächst einmal sämtliche n Halbebenen einen Sektor gemein haben. Die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür lautet: Ihre inneren Normalen (oder, was auf dasselbe hinaus*) s 02 muss in den oben konstruierten Halbebenen f> 01 und f> 21 1iegen; seine Richtung von 0 aus ist also so zu wählen, dass es mit 10 1;_ und ~t;_ je einen Winkel< n/2 bildet.

73

§ 3. E-Integral nnt komplexem Weg

läuft, die gerichteten Polygonseiten) müssen einem Winkelraum < n angehören. Hierdurch fallen gewisse Möglichkeiten von vornherein aus. Bei den übriggebliebenen muss man dann an Hand der Wertigkeitsdiagramme feststellen, welche Teilentwicklungen auf einer bestimmten Richtung zum Zuge kommen. Offenbar ist im allgemeinen auf jeder Richtung nur eine Entwicklung zu verwenden. Nur in den Richtungen, auf denen Schnittpunkte von Kreisen gleichen Vorzeichens liegen, kommen mehrere Entwicklungen zugleich in Betracht, falls nicht eine andere Entwicklung eine noch höhere Wertigkeit in dieser Richtung besitzt. Die Tatsache, dass eine Funktion f(s) fürs-+= in verschiedenen Sektoren durch ganz verschiedene asymptotische Entwicklungen dargestellt werden kann, wird als Stokessches Phänomen 24 bezeichnet. Es erklärt sich daraus, dass eine Funktion in der Umgebung einer singulären Stelle sich sektoriell sehr verschieden verhalten kann. 4. Der Integrationsweg ist eine Kurve endlicher Länge

Das ~-Integral habe eine rektifizierbare Kurve O.

Unter Anwendung der Ergebnisse in Abschnitt 1 erhalten wir nunmehr auch eine Entwicklung in der linken Halbebene: Satz 4. Wenn F(t) für t-+ TaufOT die asymptotische Entwicklung 00

F(t) ~}; k. (t - T)"•

(8)

v~O

besitzt, so gilt für (5) die asymptotische Entwicklung (9)

f(s)

~

-e-Ts Ek F(p._j-_2_)_ v~O

v

sllv+l

für s+oo

in 9ls

< 0,

gldchmässig in jedem Winkelraum tp < arcs < 2 n- tp mit n/2 < tp < n. Auf der imaginären Achse ergibt sich, solange F(t) nur im Reellen definiert ist, keine asymptotische Entwicklung. Existiert aber F(t) in einem an die Strecke OT ansebliessenden Bereich als analytische Funktion, so lässt sich auf Grund von Satz 3 und des Ergebnisses in Abschnitt 4 folgendes aussagen 25 : Satz 5. Ist F(t) in einem beliebig schmalen Dreieck Ot1 T unterhalb (oberhalb) der Strecke OT analytisch mit eventueller Ausnahme der Punkte 0 und T und besitzt F(t) in dem Dreieck für t-+ 0 die Entwicklung (6), für t + T die Entwicklung (8), so gilt für die Funktion (5) auf der positiv (negativ) imaginären Achse die durch Addition von (7) und (9) entstehende Entwicklung.

§ 3 . .2-Integral mit komplexem Weg

75

Beweis: Es liege z. B. t1 unterhalb OT. Dann können wir zunächst unter Benutzung des in Abschnitt 4 entwickelten Gedankenganges den Integrationsweg auf den gebrochenen Linienzug Ot 1 T verlegen, obwohlF(t) in 0 und T nicht analytisch zu sein braucht. Hierauf haben wir gernäss Satz 3 in der s-Ebene die Strecken Ot1 und Tt1 (in der oberen Halbebene) sowie die darauf senkrechten Geraden g01 , g21 zu zeichnen. Die «singuläre Richtungn s02 senkrecht zu OT ist die positiv imaginäre Achse. Zwischen g21 und s02 gilt die Entwicklung (7), zwischen g01 und s02 die Entwicklung (9), was beides nichts Neues ist, falls die Entwicklungen von F(t) auf OT und Ot 1 bzw. TO und Tt 1 übereinstimmen, da dann (7) sogar in der ganzen rechten, (9) in der ganzen linken Halbebene gilt. Auf der singulären Richtung selbst gilt die Summe beider Entwicklungen.

Figur 8

Bemerkung: Da F(t) in t1 analytisch ist, also in allen Richtungen dieselbe Entwicklung hat, ergibt sich gernäss dem in Abschnitt 2 Gesagten in dem dort mit 6 11 bezeichneten Sektor eine identisch verschwindende Entwicklung. In der Tat überzeugt man sich an den Wertigkeitsdiagrammen sofort davon, dass die «wahren Wertigkeit von f(s), die in der rechten Halbebene gleich der von (7), also gleich 0, in der linken Halbebene gleich der von (9) ist (also durch den Kreis über 0, - T repräsentiert wird), kleiner ist als die durch den Kreis über 0,- t1 repräsentierte Wertigkeit von e-t,s. Auf eine bei der Anwendung von Satz 5 auftrete11de Schwierigkeit sei besonders hingewiesen. Die Entwicklungen für F(t) in den Richtungen Ot1 und Tt 1 sind in der Praxis natürlich nicht von vornherein gegeben, sondern müssen erst berechnet werden. Ist F(t) in dem Dreieck 0Tt1 0 einschliesslich Rand analytisch, so existieren in 0 und T sogar konvergente Potenzentwicklungen mit ganzen Exponenten, die für alle Richtungen dieselben sind. In den in der Praxis auftretenden Fällen aber ist F(t) in 0 und T algebraisch oder logarithmisch verzweigt. Da wir auf das Dreieck 0 Tt 1 0 den Cauchyschen Satz angewendet haben, muss man sorgfältig darauf achten, dass die Entwicklungen in 0 und T zu demselben Blatt der R1emannschen Fläche, also zu demselben Zweig von F(t) gehören. Vgl. hierzu als Musterbeispiel die Entwicklung der Besselschen Funktionen im nächsten Paragraphen.

76

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der .21-Transformation: f(s) im Unendlichen

Liegt auf der Strecke OT ein Punkt T 0 , wo F(t) nicht holomorph ist, so wird man zwei Hilfspunkte t1 , t2 einschalten und den geradlinigen Integrationsweg OT durch das Polygon Ot1 T 0 t2 T ersetzen. Um eine möglichst einfache Figur zu erhalten, kann man die Seiten paarweise parallel nehmen. Wählt man die Integrationsrichtungen so, wie in Figur 9 angegeben, und konstruiert in der s-Ebene die Gültigkeitshalbebenen, so sieht man, dass die (positiv) imaginäre

T

Figur9

Achse ihnen allen angehört. Offenbar haben die den einzelnen gerichteten Strecken entsprechenden asymptotischen Entwicklungen sämtlich in Richtung der imaginären Achse die Wertigkeit 0, sie sind also sämtlich zu berücksichtigen. Hat jedoch F(t) in den beiden Richtungen T0 t1 und T0 t2 dieselbe Entwicklung, so heben sich die beiden entsprechenden asymptotischen Entwicklungen in f(s) auf, und es bleiben nur noch die von 0 und T herrührenden übrig.

§ 4. Beispiele 1. Die Besselschen Funktionen für reelle Werte der Variablen

In 3. 2. 4 haben wir aus dem E-Integral

v; r(oc + ~) ( i2srot e-• la(i s) =.!e-•t [t 2

0

(2- t)]ot-(l/2) dt

( 9toc

> - ~ )~

§ 4. Beispiele: 1. Besselsche Funktionen für reelle Werte

77

nach Satz 1 [3.1] die asymptotische Entwicklung von Ja. (i s) für - n/2 < arcs < + n/2 und .damit von la.(z) für 0 < arcz < n abgeleitet. Da es sich um ein E-Integral mit endlicher oberer Grenze handelt, können wir zunächst nach Satz 4 [3. 3] die asymptotische Entwicklung von la.(i s) für n/2 < arcs < 3 n/2 finden, indem wir die asymptotische Entwicklung von [t (2- t)]a.-( 1/2l für t -+2 auf der Strecke 02 aufstellen. Dazu schreiben wir [t (2- t)]a.-(1/2)

=

(-1)a.-(1/2) (t- 2)a.-(1/2) ta.-(1/2)

= (-1)a.-(1/2) (t- 2)a.-(1/2) [2 ( 1 + t ~ 2 )r-(1/2) und entwickeln den letzten Faktor in eine Potenzreihe. Zuvor muss jedoch festgestellt werden, welche Bedeutung die im allgemeinen unendlich vieldeutigen Ausdrücke haben. Auf der linken Seite sollen für ta.-( 1f2l und (2- t)a.-( 1/2l die Hauptzweige genommen werden, d. h. der Arcus der positiv reellen Zahlen t und 2- t soll gleich 0 sein (vgl. Anhang I, Nr. 55). Setzen wir fest, dass bei Bestimmung der rechtsstehenden Funktion (t- 2)a.- (1f2l der Arcus der negativen Zahlt- 2 gleich n sein soll, so muss der Arcus von -1 gleich -n genommen werden, damit (-1) (t- 2) = 2- t den Arcus 0 hat. Es ist also -1 = e-"" zu setzen. Benutzt man ferner für (t/2)a.-( 1/2l die Binomialentwicklung ur-(1/2) = (1

+ t ~2r-(l/2) = ~((/.- ~1/2)) ( t ~ 2r'

so liefert diese bekanntlich gerade den Hauptzweig. Wir können also für [t (2- tW-( 1f2l auf der Strecke 02 für t-+ 2 die Entwicklung anschreiben:

[t (2- t)y-(1/2) = e-[oc-(1/2)]:rd 2oc-(1/2)

.f:((/.- ~1/2)) ;. (t- 2)"+oc-(1/2). V=Ü

Somit gilt nach Satz 4 [3. 3]:

v; r((J. + ~) c2st~ e-s foc(i s) ~ -e-2s e-[oc-(1/2)]"i 2oc-(1/2)

.f:((/.- (1/2)) _1:__2•

v~O

V

r(v + (/. + (1/2)) s•+oc+(1/2)

für s-+ cx:> in n/2 < arcs < 3 n/2, wofür wir unter Verwendung von Anhang I, Nr. 3 und 4 schreiben können:

(1)

foc(i s) ~

00 cosrt.n (-1)• - - - z·oc e-[oc-(1/2)]"i e_ 5 } ; - F(v+rt.+(1/2))F(v-rt.+(l/2)) VZ n3'2 .~o 2• v_t s•+(l/2)

--'------'-'------'--'---,-,-~-------'--'--'-"--

78

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der EcTransformation: f(s) im Unendlichen

Hieraus ergibt sich [i s = z, i

=

ei"/ 2 , ~ ( -1)v

=

e- (v+ l)ni]:

fa.(z)

(2)

für z-+ oo in :n < arcz < 2 :n. Nunmehr können wir die Entwicklung von fa.(z) für (positiv) reelle z rasch erledigen. Die vorliegende Funktion F(t) ist in einem Dreieck 02t1 0 oberhalb der Strecke 02 analytisch mit Ausnahme der ·Punkte 0 und 2. Die in 3. 2. 4 benutzte Entwicklung von F(t) in der Umgebung von t = 0 gilt auch auf der Strecke Ot1 , die oben benutzte Entwicklung in der Umgebung von t = 2 gilt auch auf 2t1 und ist die unmittelbare analytische Fortsetzung der Entwicklung bei t = 0 innerhalb des Dreiecks, weil wir art (t ~ 2) = :n setzten, was der Fortsetzung durch die obere Halbebene entspricht. Also gilt nach Satz 5 [3. 3] für fa.(i s) auf der negativ imaginären Achse die durch Addition von 3. 2 (10) und 3. 4 (1) entstehende Entwicklung. Das ist aber damit gleichbedeutend, dass die Entwicklung von fa.(z) für pos_itiv reelle z durch Addition von 3. 2 (11) und 3. 4 (2) gegeben ist: (3)

1 () "z

COSC!:~ ~ T(v+C!:+(1/2))T(v-C!:+(1/2)) 2 V v.'

=

L.l n v~-2nz v~o

X { e[v(n/2)+a.(n/2)+(nH)-z]i

·=

Vz 1l

cos C!:__Jl_

Vnz

f; !J v +

+ (1/2)) r( v2v v!

0(

v~O X

+ e-[v(n/2)+a.(n/2)+(n/4)-z]i} :V 0(

+ (1/2))

cos [v (n/2) + C!: (n/2) + (n/4)- z]

zv

für z-+ +oo.

Unter Benutzung eines unterhalb der Strecke 02liegenden Dreiecks erhält man die Entwicklung für z -+ ~ oo, die man aber auch aus (3) vermittels der Relation fa.(~z) = (-1)" fa.(z) ableiten kann. (Vgl. die Ableitung nach anderer. Methode in 7. 5. 3.) a

2. Das Integral gJ(z)

= j eizxq g(x) dx für reelle z (}

Ein in der Literatur mehrfach behandeltes Problem ist die asymptotische Entwicklung des viele wichtige spezielle Funktionen umfassenden Integrals

=.!

a

cp(z)

eiz xq

g(x) dx

(a und q reell> 0)

0

für z -+ + oo beziehungsweise - oo. Wir machen die Voraussetzung, dass g(x) in einem beliebig schmalen, die Strecke Oa als Sehne enthaltenden konvexen

a

Jexp (i z xq) g(x) dx für reelle z

§ 4. Beispiele: 2.

0

79

Bereich 5!3 analytisch ist mit eventueller Ausnahme der Stelle 0, wo aber (zweidimensional inn~rhalb 5!3) die asymptotische Entwicklung existiert: 00

für x -+ 0

g(x) ~ }; c. x"'• v~O

Setzen wir z = i s Ünd xq = t, so erhalten wir das ~-Integral

je-• g(t aq

cp(i s)

=

~

1

1fq) t(l/q)- 1

dt.

o·

Die Funktion F(t) = (lfq) g(t1fq) t( 1fq)- 1 ist in einem Dreieck Ot1 aq oberhalb der

Figur 10

Strecke Oaq analytisch ausser im Punktet= 0, wo aber (zweidimensional) die Entwicklung existiert:

F(t)

=

_.!._ g(t 1 fq) q

t(l/ql- 1

~

f

_.!._ c. q .~o

t[(Av+ 1lfqJ- 1

(__&_q+ 1

-1 > -1).

In t =· aq ist F(t) holomorph, besitzt also eine konvergente Potenzentwicklung 00

F(t)

=}; k. (t-

aq)"

v~O

oder 00

F(aq

+ t) =}; k. t". •-0

80

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der .2,-Transformation: f(s) im Unendlichen

Die Koeffizienten k. der Entwicklung von

F(aq + t)

=

~ g( (aq + t) lfq) (aq + dx

= g(x) 1ft

t)(l/q)-1 =

g ( (aq + t)lfq) d(aqd~ t)llq

mit t = xq -aq = t(x)

erhalten wir nach der in Anhang II angegebenen Form des Lagrange-Bürmannschen Satzes, der anwendbar ist, weil t(x) und g(x) in der Umgebung von x = a holomorph sind und t(a) = 0, t'(a) = q aq-l =1= 0 ist. Es ergibt sich 1 {

d• [

( x-a

k. = VT dx• g(x) xq- aq

)•+I]}x~a'

also

Nach Satz 5 [3. 3] gilt auf der negativ imaginären s-Achse

(4) Setzen wir jetzt wieder i s = z, s = e-"i/2 z, so erhalten wir 26 :

(5)

T(z)

1 00 1'::::1 - } ; c. q v~o

r((Ä.

+ 1)/q} e[(Ä.+l)/q],.i/2 (.1

z v+

I)/

q

-

e

v! Li k. .

aqiz ~ v~o

e(v+l)1li/2 z•+l

für z (reell) -+ + oo. Benützt man statt des oberhalb der Strecke Oaq liegenden Dreiecks ein unterhalb liegendes, so erhält man für T(i s) dieselbe Entwicklung (4) auf der positiv imaginären Achse, also für T(z) die Entwicklung (5) auf der negativ reellen Achse. Statt dessen kann man auch schreiben:

für z (reell)-++ oo. Denn um aus der für positiv imaginäres gültigen Entwicklung (4) eine Entwicklung für T(- z) mit z > 0 abzuleiten, hat man s = e"i/2 z (i s = - z) zu setzen. Wir wollen nun einige Spezialfälle betrachten. a) Die Funktion g(x) sei an der Stelle x = 0 holamorph oder besitze wenigstens alle oder einige Ableitungen in einem die positiv reelle Achse einschliessenden Sektor, so dass (eventuell nur bis zu einem gewissen Index) c. = g(•)(O}jv! und J.. = v ist (siehe S. 36). Gernäss Definition IV, S. 34, sind die beiden Summen in (5) zu vereinigen und nach der Grössenordnung der Glieder anzu-

a

§ 4. Beispiele: 2.

Jexp (i z xq) g(x) dx für reelle z

81

0

ordnen. Die vorkommenden Potenzen sind:

Man sieht, dass je nach der Grösse von q die Anordnung ganz verschieden ausfällt. Um sinnfällig zu machen, zu welchen Konsequenzen das führt, wollen wir einmal festsetzen, dass von der ersten Reihe nur das erste Glied benutzt werden soll*). Die erste Reihe ist dann in der Gestalt

_!_ g(O) q

r(_l:_) e(lfq)ni/2 z-1/q + O(z-2/q) q .

anzuschreiben. Ist nun q ~ 2, also 2/q ~ 1, so sind die von der zweiten Reihe herrührenden Glieder von geringerer oder gleicher Grössenordnung wie der Fehler bei der ersten Reihe, brauchen also nicht berücksichtigt zu werden. Ist 1 ~ q < 2, also 1 < 2/q ~ 2, so ist von der zweiten Reihe das erste Glied mitzunehmen, während das zweite bereits durch den Fehler O(z- 21q) absorbiert wird. Ist 0 < q < 1, also 2/q > 2, so sind aus der zweiten Reihe die Glieder mit z-1, z- 2 , ••• , z-P mitzunehmen, wo p die grösste ganze Zahl < 2/q ist. Wir erhalten also für z --.;.. + = 27: (7)

für q ~ 2:

(8)

für 1

~

q < 2:

rp(z) = g(O)

r( 1 + ~) e"'if2q z- /q + O(z- 21q),

rp(z) = g(O)

r(1 + ~) e"'iJ2q z- /q

1

1

1 - g(a) - z. ea q·"z- 1 q aq-1

(9)

für 0

< q< 1:

rp(z)

=

g(O)

+ O(z- 2/q) '

r(1 + ~) e"'iJ q z- 1/q 2

- eaqiz

p-1 E k. 'V! e(v+

1) ni/2

z- (v+l)

+ O(z-2fq).

v~o

b) Für q = 1 ergibt sich aus (5) und (6) die asymptotische Entwicklung des « Fourierkoeffizienten )) (endliche Fourier-Transformierte) a

rp(z) =

j eizx g(x) dx. 0

In dem Spezialfall, dass g(x) in x (10)

rp(±z)

R:;j

=

0 holamorph ist, lautet sie:

f;(g(•l(O)- e±aiz g(•l(a)) v~O

(~.ir1+1

für z--.;..

+=.

*) Dann braucht g(x) nur eine stetige erste Ableitung in der Umgebung von x = 0 zu haben.

Doetsch II/6

82

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der

.21-Transformation:

f(s) im Unendlichen

Übrigens kann man sie auch durch sukzessive partielle Integration bekommen, aber nur unter der Voraussetzung, dass in 0 ~ x ~ a alle Ableitungen von g( x) existieren 28. c) Unser obiges Resultat umfasst als ein besonders einfaches Beispiel die Fresnelschen Integrale. Darunter versteht man z

•

zusammengefasst: k(z) =

lcosx dx und lsinx dx, 2

2

0

0

I

z

eix'

dx.

0

Schreiben wir k(z) in der Form

I I

k(z)

z

=

eiz'x'

dx,

0

so ist

=

gleich der oben behandelten Funktion cp(z) in dem Spezialfall g(z) 1, q = 2, u = 1. Hier ist g(x) in den Punkten x = 0 und x = a = 1 holomorph und c0 = 1, A.0 = 0, cv

=

kv = _1:__1 av(x ~ ltl•+ll I V.

X

0 für v

~

1;

= (-1)" ((21v))2~ 2-2•-I. V.

,x~I

Also ergibt sich nach (5):

oder

(11)

für z-+ +oo.

Durch Trennung in Real- und Imaginärteil erhält man die Entwicklungen der eigentlichen Fresnelschen Integrale. (Vgl. die andere Herleitung in 3. 6. 2.) Wegen

k(+=l = Vn 2

e"i/4 =

~v-': (1 + i) 2 2

ergibt sich insbesondere:

I

00

(12)

0

cos x 2 dx

I

00

=

0

sin x 2 dx

=

+V; .

83

§ 5. Laplacesches Problem der Funktionen grosser Zahlen b

§ 5. Asymptotische Entwicklun~ eines Inte~rals der Form j esh(.r) g(x) dx a

(Laplacesches Problem der Funktionen ~rosser Zahlen). Die Methode der Sattelpunkte LAPLACE hat sich mit der asymptotischen Darstellung von Integralen der Gestalt b

J

f(s) =

mit H(x)

g(x) [H(x)]' dx

~

0

a

oder, w. d. i. (H(x) =

eh(xl) b

f(s)

(1)

jesh(x)

=

g(x) dx

a

(b kann auch oo sein) für s __,.. oo beschäftigt, was er im Stile seiner Zeit als Untersuchung von ((Funktionen grosser Zahlen» bezeichnete. Deshalb führt diese Aufgabe auch heute noch in der Literatur den Namen ((Laplacesches Problem der Funktionen grosser Zahlen». Den Spezialfall, dass h(x) eine Potenz - xiX ist, haben wir bereits in Satz 5 [3.1] und in dem 2. Beispiel von 3. 4 erledigt; wir betrachten nun allgemeinere Fälle 29 • Wir schreiben (1) in der Form b

(2)

f(s)

=

eh(a)s fe-s(h(a)-h(x)J

g(x) dx.

a

Ist die Variable x sowie die Funktion h(x) reell und gilt ausserdem h(x)

~

h(a)

für a

~

x

~

b

(wie es bei der Potenz- xiXder Fall war), so können wir h(a) - h(x)

=

t

~

0

setzen*). Die hierzu inverse Funktion laute x = k(t). Wir setzen nun voraus, dass sich die Substitution x = k(t) in dem Integral (2) ausführen lässt: T

(3)

f(s) =

eh(a)sje- 51

g(k(t)) k'(t) dt

[T = h(a) - h(b)].

0

Dies kann auch dann zutreffen, wenn k'(t) = -1/h'(x) an gewissen Stellen nicht existiert, weil h'(x) = 0 ist, ein Fall,· der in den Anwendungen häufig vorkommt und auf den wegen des Folgenden ausdrücklich aufmerksam gemacht sei. *) Offenbar braucht nicht h(x) reell zu sein; es genügt, dass h(a)- h(x) reell ist.

84

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der

2 1 -Transformation:

f(s) im Unendlichen

Das E-Integral (3} lässt sich nach den Methoden von § 1 und 3 in der rechten und linken Halbebene und im Fall eines analytischen Integranden auch auf der imaginären Achse asymptotisch entwickeln. Es genügt, wenn wir die Entwicklung in der rechten Halbebene betrachten, weil die anderen Fälle sich auf diesen zurückführen lassen. Wie wir aus Satz 1 [3.1] wissen, ist für die Entwicklung in 9\s > 0 ausschliesslich das Verhalten des Integranden g(k(t)) k'(t) für t + 0, also von g(x) und k(x) für x + a massgebend. Wir werden sehen, dass in dem Fall der Holamorphie beider Funktionen in x = a sich die asymptotische Entwicklung explizit angeben lässt. Nach der obigen Bemerkung wird es dabei eine Rolle spielen, ob und von welcher Ordnung h' in a verschwindet. Wir setzen also jetzt g(x) und h(x) als holamorph in x = a voraus. Es sei h'(a)

=

h"(a)

= ··· =

h(m- 1l(a)

=

0,

h(m)(a} =!= 0.

(Für m = 1 haben wir es mit dem besonders harmlosen Fall h'(a) =!= 0 zu tun.) Dann ist in einer Umgebung von a

(4) Die inverse Funktion x = k(t) hat in t = 0 einen Verzweigungspunkt m- 1-ter Ordnung und somit die Gestalt X

= k(t) = a +

E dn tnfm' 00

n~1

woraus sich ergibt: (5)

g(x)

~~ =

g (k(t)) k'(t) = g( a

+ ~ d,. tnfm) ~ dn ~

t(njm)- 1 -

Die vorliegende Originalfunktion hat demnach in der Umgebung von t = 0 eine Entwicklung nach Potenzen mit gebrochenen Exponenten, im allgemeinen anfangend mit t-(m- 1 )/m, so dass Satz 4 [3.1] angewandt werden kann. Die Berechnung der Koeffizienten dieser Entwicklung ist aber ausserordentlich kompliziert. Wir werden daher statt der Substitution (4) eine andere verwenden, aus der x als eindeutige Funktion der neuen Variablen hervorgeht, worauf wir die Koeffizienten der entsprechenden Entwicklung mit Hilfe des LagrangeBürmannschen Satzes werden angeben können*). Wir setzen (6)

7: =

[h(a)- h(x)] 1fm

=

(x- a) [cm

+ cm+ 1 (x-

a)

+ · · -Jlfm

(7: =

t 1fm).

Wegen cm =1= 0 lässt sich 7: in der Umgebung von x = aalseindeutige Funktion von x mit 1:(a) = 0 bestimmen, und zwar ist der Zweig auszuwählen, der 7: auf einer Strecke a ~ x ~ b' ~ b positiv macht. Da

= (~) dx x~a

c;/m =!= 0

*) Der Lagrange-Bürmannsche Satz ist im allgemeinen nicht direkt anwendbar, weil dtjdx für x = a verschwindet.

85

§ 5. Laplacesches Problem der Funktionen grosser Zahlen

ist, wird die inverse Funktion x = l('r) in der Umgebung von -r: = 0 eine eindeutige Funktion von -r: mit l(O) = a. Ist die Substitution (6) in dem Integral (2) ausführbar, so ergibt sich das Integral mit reellem Weg

I

T'

(7)

f(s) = eh(a)s

e-am g (l(-r:)) d~~) d-r:

0

T'

= eh(a)sje-nm(_[_~) drjdx

0

x~l(r)

[T' = (h(a) - h(b)) l/m].

d-r:

Nun existiert eine Entwicklung mit ganzzahligen Exponenten der Form

- ~a -r:• (-~) drjdx x-l(r)- L.. • ' v-0

weil g(x) und d-r:fdx als Funktionen von -r: in -r: = 0 holamorph sind und d-r:fdx für x = a, d. h. für < = 0 von 0 verschieden ist. Die Koeffizienten a. kann man wegen 0 ist, das heisst der erste und dritte Quadrant. Der Sattelpunkt a = 0

Figur 12

liegt bereits auf dem gegebenen Integrationsweg. Um von 0 nach 1 auf einem neuen Weg zu gelangen, auf dem h(a)- h(x) = -h(x) dauernd reell und positiv ist, gehen wir auf der Fallinie 'YJ =!; im ersten Quadranten von 0 nach oo und von dort auf der Fallinie /; 2 - 'YJ 2 = 1 zum Punkt 1. Dass das Integral über diesen Weg gleich dem über die Strecke von 0 nach 1 ist, folgt daraus, dass das Integral über ein zwischen die Winkelhalbierende und die Hyperbel einge-

91

§ 6. Beispiele: 2. Fresnelsche Integrale

schaltetes Verbindungsstück gegen 0 konvergiert, wenn dessen Endpunkte gegen oo streben. (x liegt dabei nämlich in der Nähe der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten, s i x 2 also für s > 0 in der Nähe der negativ reellen Achse, so dass esix'-+ 0.) Das Integral über den ersten Wegteillässt sich explizit ausrechnen: Auf ihm ist s 1i 2 x = (1 + i) u (0 ~ u < oo) fürs> 0, also

Der Endpunkt x = 1 des zweiten Wegteils ist zwar kein Sattelpunkt, aber X steigt (aus der Tiefe von - oo her kommend) gegen den Wert 0 in x = 1, was nach der Bemerkung am Schluss von 3. 5 für die Anwendung der Methode genügt. Wir schreiben daher für den Beitrag des zweiten vVegteils (1 + i) 00

(l+i) 00

_ jesix'

dx =

-eisje-si(1-x')

1

dx.

1

Hierin ist, weil x auf der H yperbel.; 2 - rJ 2 = 1läuft:

i (1 - x 2) = i (1 - .; 2 - 2 i.; 'YJ

+ fJ 2) =

2.; fJ,

also positiv reell. Gernäss 3. 5 (6) haben wir

zu setzen (-r positiv). Da sich in diesem Fall die inverse Funktion leicht ausrechnen lässt : dx = i 0 ( 1 + i 02) -1/2 dr

'

machen wir nicht von 3. 5 (9) Gebrauch, sondern führen die Substitution unmittelbar aus:

J

P+Doo - eis

1

e-si(1-x')

dx

=

-i eis

J oo

e-sr•.

(1

+ i -r2) -1/2 d-r.

0

Entwickelt man (1 + i -r 2) - 112 in die Binomialreihe und wendet Satz 5 [3. 1] an, so erhält man dasselbe Resultat wie in 3. 4 (11). Wie man sieht, erfordert die Methode mehr Aufwand als die von 3. 3, da man erst die Fallinien bestimmen und dann noch überlegen muss, wie sich der Integrationsweg auf solche Fallinien verlegen lässt. Enthielte das Integral noch eine allgemeine Funktion g(x) wie in 3. 4. 2, so müsste deren Holamorphie und eine gewisse Beschränkung in einem sich ins Unendliche erstreckenden Gebiet vorausgesetzt werden, während wir in 3. 4. 2 nur die Holamorphie in einem beliebig schmalen, an (0, 1) anstossenden Dreieck brauchten.

92

3. Kapitel: Abelsche Asymptotik der .2,-Transformation: f(s) im Unendlichen

§ 7. Asymptotische Entwicklungen nach anderen Funktionen als Potenzen Bisher haben wir im wesentlichen für die Originalfunktion F(t) eine Entwicklung nach Potenzen zugrunde gelegt und hieraus eine Entwicklung ebenfalls nach Potenzen für die Bildfunktion f(s) abgeleitet. Eine Ausnahme bildete nur Satz 7 [3.1], wo bei beiden Funktionen ein logarithmischer Faktor hinzutrat, und weiterhin der Fall, dass das ~-Integral nicht bei 0, sondern an einer Stelle a begann, wodurch bei der Bildfunktion der Faktor e-as entstand. Es wäre nun für die Erfassung weiterer Singularitätentypen wünschenswert, sowohl bei der Original- als der Bildfunktion auch Entwicklungen nach ganz anderen Funktionen zugrunde legen zu können. Hier ist für die Forschung noch ein weites Feld. Wir wollen als ein Beispiel, nach dessen Muster man weitere bilden könnte, eine Asymptotik anführen, bei der die Originalfunktion im Nullpunkt eine Singularität vom Typus e- 111 haben kann. Dazu gehen wir von der Korrespondenz

(1)

(%

> 0)

aus, durch welche die Besselsche Funktion Kr~. für alle (komplexen) r:1.. definiert werden kann und aus der man leicht ersieht, dass K_r~. =Kr~. ist*). Nun hatten wir in 3. 2 (13) für Kr~.(s) die asymptotische Entwicklung K (SR::! )

(2)

rJ.

Vn

-e

_1: 5

2

00

r(or:

+V+ (1/2))

v~o 2Vv!r(or:-v+(1/2))

s -v-(1/2)

fürs +oo in Iarcs < 3/2 n abgeleitet, allerdings nur für 9tr:J.. > -1/2. Da aber Kr~.(s) und, wie man aus Anhang I, Nr. 3 entnehmen kann**), bei ganzzahligem v auch J

r(or:

+ v + (1/2))

F(or:- v + (1/2)) ------····--

*) Durch die Substitution t = 1/{s v) erhält man zunächst für positiv reelles und damit nach-

träglich im ganzen Konvergenzbereich: 2 K (2 a

Vs) =

00

d

00

5-rJ.t2je-st-l1ttJ 1-r~.-1 dt = 5 -ctt2je-l11vl--sv (s v)rJ.+1_v 0

sv2

0 00

= s"'2 je-sv-11/vJ vrJ.-1 dv = 2 K_r~.{2Jis). 0

**) Es ist F((1/2) +

z) F({I/2)- z) = :rrfcos:rr z, also

r(-z+or:+v. r(-z-or:-v

:7l

:7l

=

cos(or: + v) :rr

cosor: :rr cosv :rr

r(~+or:-v)r(~-or:+v)

=

cos(or:- v)

1

und folglich F({I/2) + or:

)

'1

. )

:7l

+ v) F({I/2)- or: -v)

(v ganzzahlig) ,

:7l :7l

cosor: :rr cosv :rr

= F({I/2) + or:- v) F({I/2)- or: + v).

93

§ 7. Entwicklungen nach anderen Funktionen als Potenzen

eine gerade Funktion von oc ist, gilt die Entwicklung für alle oc. Setzen wir noch - oc - 1 = ;., so ergibt sich aus (1) und (2) für alle ;. :

v; e-2Vs•-0f;

E{ e-1/t t"} ~

(3)

r(-i.. +V- (1/2)) 4•v! r(-i..-v-(1/2))

s-(A/2)-(•/2)-(S/4)

für s -+ oo in Iarc s I < 3 n. Das erste Glied liefert:

v; e-

E{e- 111 t"} ~

(4)

2

Vs s-W2l-(3/ 4l

für s-+ oo in Iarcs I< 3 n.

Wir beweisen nun folgenden Satz von Abelscher Art: Satz 1. Wenn E{F} = f(s) eine Konvergenzhalbebene besitzt und wenn

F(t)

~ c e- 1/t

(i. beliebig)

t"

für t-+ 0,

so gilt:

Beweis: Mit F(t)

=

J

J

0

0

T

·oo

f(s)

=

+ e(t)], wo e(t) -+ 0 für t -+ 0, ergibt sich

c e- 111 t" [1

oo

c e-st- (1/t) t" dt + c e-•t-(1/t) t" e(t) dt + c / e-st- (1/t) t" e(t) dt,

also nach (4): f(s) = c

v; e- Vs 2

T T

s-W2l- (3/ 4l ( 1 + o(1))

+ c /e-•t-( 1/tl t" e(t) dt 0

+ c e-•T j e-•u-[1/(T+U)] (T + u)-' e (T + u) du. 00

0

Wählt man T so klein, dass Ie(t) I < e für 0 ~ t ~ T ist, so erhält man unter Verwendung von Satz 1 [I 3. 6] für das letzte Integral bei reellem s:

If(s)

- c

v;

e-2

VS s-(- 9ioc1 > ·· · > 9iocN > -1)

für t + oo.

Dann existiert f(s) = .2{F} für 9is > 9is0 , hat in s0 eine singuläre Stelle und ist dort asymptotisch so darstellbar: f(s)

~ cv (sr(rxv+ 1) _ so)o:v+l

R:l v~

(

für s + s0 in im s 0,

1p

< 2:n:)- .

Beweis: Wir wenden das Schema des «Idealfalls>> an. Nach Voraussetzung ist n-1

F(t) - e••t}; cv to:v"""' c,. e••t to:n

für 0 :::;; n ;;:;; N

v-0

(für n

=

0 soll die Summe 0 bedeuten), also nach Satz 6 [I 13.1]

f(s) - E"-lc

v-o v

r(rxv + 1) (s- so)a."+l

Das ist die Behauptung. Doetsch II/7

"""'c n

r(rx.. +_l.L (s- So)o:n+l

f"ur s + s 0

. m

an(s

:u"

0 , 1p

< -:n;) 2 •

98

4. Kapitel: Abelsche Asymptotik der .2,-Transformation: f(s) im Endlichen

§ 2. Erschliessung der algebraischen und logarithmischen Singularitäten von /(s) In § 1 wurde das asymptotische Verhalten von f(s) = E{F} in einer winkelförmigen Umgebung eines Punktes s0 der Konvergenzgeraden betrachtet, wobei. nur solche Fälle in Frage kamen, in denen f(s) fürs~ s0 gegen= strebt. Wir werden jetzt durch Verschärfung der Voraussetzung dahin gelangen, das Verhaltender Funktion f(s) in dervollen Umgebungihrersingulären Punkte (d. h. den vollständigen Charakter sämtlicher Singularitäten) zu erschliessen. Dabei wird es sich um Singularitäten von algebraischem und logarithmischem Charakter handeln, worunter als Spezialfall die Pole eingeschlossen sind, und die Funktion kann gegen= oder gegen einen endlichen Wert streben 35 • Satz 1. Die ]-Funktion F(t) habe die asymptotische Entwicklung (1)

F(t)

~

t [a~o) tcx~o> + ··· + a~kv)

t"ik,.)J e'•t

für t

~ =,

v~o

wobei die Koeffizienten a sowie die Exponenten a. und s. beliebig komplex sind mit g{s 0 > g{s1 > · · · ~ - ex>, so dass

(2) F(t) =

j;[a~o) t"~0 l + ·· ·] e

5•

1

mit en > 0

+ 0 (e(ffisn-•n)t)

für t

~=

v~o

ist*). (Es kann zugelassen werden, dass jeweils endlich viele s. gleichen Realteil haben, wobei die ihnen entsprechenden Glieder immer gleichzeitig in die Summe

n

I; v~o

aufzunehmen sind.) Dann existiert die Funktion f(s) = E{F} zunächst in der Halbebene g{s > g{s 0 , lässt sich aber in die ganze Ebene analytisch fortsetzen mit Ausnahme der Punkte Sv, wo sie Singularitäten besitzt mit dem Hauptteil

(3)

a(O) v

T(oc~ 0 l + 1) (s-s.)"~o>u

~--·-+···+a

falls die a.S~') =!= -1, -2, ... sind. Ist ein a.J~'l sprechende Term durch

(4)

(kv)

v

=

-T(oc~kv) --+ -1)-

(s-s.)"'ik•)+l'

-P

(p

1, 2, ... ),so ist der ent-

=

a(l')_(-~)!__(s-s)P-llog(s-s) V

(p-1)!

V

V

zu ersetzen. Zusatz: Die g{sv können statt gegen - = auch gegen eine endliche Grenze ; streben. Dann ist f(s) in der Halbebene g{s >;analytisch bis auf die Punktes•. Analoges gilt, wenn die Entwicklung (1) nur endlich viele Glieder hat. *) Nach der Definition der asymptotischen Entwicklung ist das Restglied von der Grössenordnung des nächsten Gliedes. Je nachdem die OCn+l positiv oder negativ sind, hat es eine etwas grössere oder geringere Grössenordnung als effi5n+1 1, aber wegen \Rsn+l -1 ist, eine Unendlichkeitsstelle. Für~,_.> < -1 ist s. eine Nullstelle des betreffenden Terms im Hauptteil, so dass f(s) je nach dem Verhalten der anderen Terme fürs-+- s. gegen einen endlichen Wert oder gegen oo strebt. Für negativ ganzzahliges rx~PJ trägt der betreffende Term eine logarithmische Singularität bei. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die ~,_.> sämtlich ganzzahlig :;:;;; 0 sind: ~,_.> = f.t· Hier sind die s. Pole, und der Satz nimmt die Gestalt an: Satz 2. Die ]-Funktion F(t) habe die asymptotische Entwicklung 00

F(t)

R::l}; (a~0) +

a~ 1 J t + · · · + a~k·) tkv) e•• 1

v-o

für t-+- oo

mit 9ls0 > 9ls1 > ···-+- -oo (endlich viele 9ls. können jeweils gleich sein). Dann ist die Funktion f(s) = ß{F} in der ganzen Ebene meromorph; ihre Pole sind die Punktes., und die entsprechenden Hauptteile lauten: a (0) -1•

s-s.

+a

(1)

•

1! + · · · +(k) a . • -k,!- - - . (s-s.) 2 (s-s.)kv+1

Bemerkung: Aus Satz 1 und 2 darf nicht geschlossen werden, dass man f(s) in die aus den Termen (3) bzw. (4) aufgebaute «Partialbruchreihen entwickeln könne. Selbst wenn diese konvergiert, kann sie sich von f(s) noch um eine ganze Funktion unterscheiden (vgl. I, S. 273).

100

4. Kapitel: Abelsche Asymptotik der 1!,-Transformation: f(s) im Endlichen

Ein Sonderfall ist der, dass alle·aJ~'I mit Ausnahme der aJ 01 verschwinden. Dann ist F(t) durch eine Dirichletsche Reihe

.E av es,t 00

F(t) ~

(9\s 0

> % 1 > · ··)

v~o

asymptotisch darstellbar, wobei der Begriff der Dirichletschen Reihe etwas weiter gefasst ist als üblich, insofern die Exponenten sv komplex und endlich viele 9\sv positiv sein können. Sind speziell die sv reell und ist die Reihe in einer Halbebene 9\s > a konvergent, so stellt sie F(t) in jedem Winkelraum W-1(0, '1fl < :rr/2) asymptotisch dar, denn es ist

F(t)-

.E av es,t n

=

esn+lt

V=O

.E a, oo

e(sv-Sn+lll

V=n+ 1

und eine Dirichletsche Reihe, die in 9\s > a konvergiert und deren Exponenten ~ 0 sind, strebt immer, auch wenn sie nicht absolut konvergiert, gegen ihr Absolutglied, wenn t in WJ (0, '1fl < :rr/2) gegen oo strebt*), so dass gilt:

F(t) -

n

~a eSvt ~ an+l e5n+lt L.,; v

fu··r t---'-00 ---r

l•n

an(o V.J

111

'r

v~o

Wir erhalten daher als Spezialfall von Satz 2: Satz 3 36 • Eine irgendwo konvergente Dirichletsche Reihe F(t)

< z:rr;) ·

=

I

oo

av e5 • 1 mit

v~o

reellen Exponenten s 0 > s1 > ··· -+- oo (endlich viele können positiv sein) besitzt stets eine S!_-Transformierte f(s), die in der ganzen Ebene bis auf die einfachen Pole Sv mit dem Residuum av analytisch ist. 00 Natürlich bedeutet das nicht, dass f(s) durch die Reihe .I;a.f(s- sv) darstellbar ist. v~o

---·

-----------··

---·-- ----·---------

*} Dies ergibt sich folgendermassen: Nach Satz l [I 2. 6] ist

wo A (I) die summatorisehe Funktion der Koeffizienten ist. Es ist A (I) -+ a0 für t-+ 0, also nach

Je-st A (I) dt ~ a js 00

Satz 3 [I 14. 1]

0

0

für s-+ oo in

W

(0, !p < n/2), woraus die Behauptung folgt.

101

5. KAPITEL

Abelsche Asymptotik der zweiseitigen Laplace-Transformation und der Mellin-Transformation § 1.

Erschliessun~

der

Sin~ularitäten

der ßu- Transformierten

Die folgenden Sätze 1 und 3 über die Eu-Transformation (mit ihren Spezialfällen Satz 2 und 4) ergeben sich leicht aus den entsprechenden Sätzen über die ErTransformation im vorigen Kapitel. Dagegen erfordern die auf die Klasse bezüglichen Sätze 5 und 6 mit weitergehenden Aussagen eine ausführlichere Behandlung 37 • Nach Übertragung der Sätze in die Sprache der 9J1-Transformation beweisen wir im nächsten Kapitel die Umkehrungen der Sätze 2, 4, 5, 6 des gegenwärtigen Kapitels*). Ausser den jeweils angeführten unmittelbaren Anwendungen beachte man insbesondere in 6. 5 und 6. 6 das gleichzeitige Eingreifen der Sätze des vorliegenden Kapitels und ihrer Umkehrungen aus dem nächsten Kapitel. Satz 1. Die für alle reellen t definierte Funktion F(t) habe für t-+ +oo die

m:u

asymptotische Entwicklung 00

[

F(t) ~I a;o) V=O

t"L01 + · ·· + a;kv) t"~kvl] e5• 1 (9is 0 > 9is1 > · · · -+ - oo),

so dass (1)

F(t)

=I [a;o) t"~ n

01

+ · · ·] e5• 1 + O(e(illsn-en) 1)

für t-+ + oo

v~o

ist. Ferner sei

(2)

F(t)

=

O(e" 1)

mit a

>%0

für t-+ - oo.

<
'R.s1 > .. · -+ - oo. Der Hauptteil der LaurentEntwicklung bei s. sei

f(x

b) In jedem Streifen endlicher Breite a 0 ~ x + i y) gleichmässig in x gegen 0 für y -+ oo.

I I

~

a (a 0 beliebig< a) strebe

§ 2. Asymptotische Entwicklung von F(t) nach Exponentialfunktionen

111

c) Zwischen J"e zwei singulären Stellen s. und s.+l gebe es einen Punkt ß. (reell) mit 9lsP+ 1 < ßv < 9ls. (v = 0, 1, ... )derart, dass das Integral

I

+oo

eity f(ß. + i y) dy

-00

für t

~

T. > 0 gleichmässig konvergiert. Dann ist

(1)

m{f}

=-2 ~-z

f e s f(s) ds

a+ioo

1

=

F(t)

a-ioo

für t

~

für t +

T0 konvergent, und es ist

+oo, d. h. F(t)

hat für t +

+oo die asymptotische Entwicklung

(3) Dieser Satz ist eine Umkehrung von Satz 2 [5.1]. Vgl. auch die Sätze in I 7. 3, wo unter anderen Voraussetzungen von den Polen von f(s) auf eine konvergente Entwicklung von F(t) der Form (3) geschlossen wird. Bemerkungen: 1. Die Voraussetzungen b) und c) sind zum Beispiel erfüllt, wenn in jedem Streifen a0 ~ x ~ a gilt:

2. Von den Grössen 9ls 0 , 9ls1 , .•• können jeweils endlich viele gleich sein. Die entsprechenden Glieder in der Entwicklung von F(t) sind dann immer gleichzeitig in die Summe (2) aufzunehmen. 3. Ein entsprechender Satz gilt auch, "wenn f(s) statt in einer Halbebene in einem Streifen analytisch ist und die s. sich gegen den linken Rand häufen; ebenso, wenn f(s) nur endlich viele singuläre Stellen hat. Beweis: Wir wenden Satz 1 [I 15. 2] zunächst auf den Streifen ßo ~ x ~ a an und erhalten, wenn wir statt der dortigen o-Abschätzung den vorher im Beweis vorkommenden expliziten Ausdruck einsetzen: Das Integral (1) konver. giert, und es ist

F(t)

=(bio)+~~~~ t + · · ·) e5' 1 + 2 ~{

I

flu+HXJ

e15 f(s) ds.

ß,-ioo

Wenden wir denselben Satz auf den Streifen 2

~i

I

ß0 +ioo

ß,-ioo

ets f(s] ds

ß1 ~ x ~ ßo

= (bP) + ~~~ t + .. ·) es,t + Z~i

an, so ergibt sich:

I

ß1 +ioo

ß1 -ioo

ets f(s) ds.

112

6. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Eindeutige Singularitäten

Fahren wir so bis ßn fort und setzen jeweils das letzte Resultat in die vorhergehende Gleichung ein, so folgt die Behauptung, wenn man für das zuletzt aufgetretene Integral die aus Satz 1 [I 15.1] sich ergebende Abschätzung benutzt. Wie schon in § 1 betont wurde, braucht die in dem Vertikalstreifen 9ts0 < x ~ a analytische Funktion f(s) nicht die ~rr Transformierte der durch das Integral (1) dargestellten Funktion F(t) zu sein. Wir können aber solche Bedingungen hinzufügen, dass dies der Fall ist. So genügt es zum Beispiel nach Satz 1 [I 7. 2], dass

+OO

JIf(x + i y) I dy < oo für 9ts < x ~ a. Einen besonI

0

-oo

ders gut abgerundeten Satz erhält man, wenn man /(s) als au-Funktion voraussetzt, so dass F(t) eine mrrFunktion ist (siehe I, S. 407). Satz l. Ist die Voraussetzung a) von Satz 1 erfüllt und gilt nach Ausschluss der singulären Stellen durch kleine Kreise in jedem Streifen a0 ~ x ~ a die Abschätzung lf(x+iy)l ~K(a0)e-'1•1YI

(4)

so ist f(s) eine au-Funktion, und das für 9ts0

('Y/ 0 einefesteZahl>O),

< x ~ a existierende Integral

z+ioo

- 1 -o2 :n:

z

j

e15 f(s) ds

X-HX>

stellt eine mu-Funktion F(t) dar, die die Eigenschaft ~n{F} = f(s) (9ts 0 < 9ts ~ a) besitzt. F(~ + i y) ist in dem Horizontalstreifen I'YJI < 'Y/o analytisch und genügt in jedem schmaleren Streifen I'Y/ I ~ 'Y/o- ~ einer Abschätzung der Form

(5) Für ~ > 0 gilt in I'Y/ I < 'Y/o (in I'Y/ I ~ 'Y/o- ~ gleichmässig)

(6)

F(t) =

j; [bJ•l + ~~; t + ···] e'•

1

+ O(efln~),

v~o

wo ß., eine beliebige reelle Zahl mit 9tsn+ 1 < ßn < 9tsn bedeutet, so dass für~-+ +oo in I'YJ I < 'Y/o die asymptotische Entwicklung (3) gilt. Dieser Satz ist die genaue Umkehrung von Satz 5 [5.1], so dass seine Voraussetzung die notwendige und hinreichende Bedingung dafür angibt, dass eine in einem Streifen analytische Funktion für ~ -+ + oo eine asymptotische Entwicklung der Form (3) und für ~-+- oo eine Abschätzung der Form (5) besitzt. Beweis: Die Behauptungen bis Ungleichung (5) ergeben sich unmittelbar aus Satz 2 [I 11.1], da f(s) in dem Streifen 9ts0 < x :S a eine au-Funktion ist. Die Behauptung (6) können wir nicht wie bei Satz 1 aus Satz 1 [I 15. 2] folgern, da t jetzt komplex ist. Es sei ßo eine reelle Zahl mit 9ts1 < ßo < 9ts0 • Der Cauchysche Residuensatz, angewendet auf ein Rechteck aus den Vertikalen

113

§ 2. Asymptotische Entwicklung vonF(t} nach Exponentialfunktionen

9ts = ß0 , 9ts = a und den Horizontalen .js = -2

~{

± w, liefert

j e15 f(s) ds =Residuum von e15 f(s) in s 0 =

(bi

0)

+ ~~; 1 t + · · ·) e 5' 1

(dies gilt auch für komplexe t). Ist nun t = ~ + i 'YJ ein fester Punkt mit I'YJ I< 'YJo, so gilt für die Integrale über die Horizontalseiten:

1/

a

A

ets f(s) dsl ~ J

Ie(e+irJ) (x± iw) f(x ± i w)

~

J

dx ~ K(ßo) feh'f rJW-rJ,w dx ~

a

~ K(ß 0 )

e-ro(rJo-:'11)/e""

d:+.

ßo Wegen 'YJo- I'YJ I> 0 streben die Integrale für w-+- oo gegen 0. Also bleiben nur die Integrale über die Vertikalen übrig: a+ioo

__1__ { 2:ro

ets f(s) ds

=

(b(O) 1

a-·ioo

+ !!rJ_ t + .. ·) es,t + __1----o1! 2nz

ß0 +ioo

J ets f(s) ds.

ß0 -ioo

'

Das rechts stehende Integrallässt sich so abschätzen:

ß +ioo

+oo

0

I J e f(s) ds ~ jle(HirJ)(ß,+iy)l K(ßo) -00 ! ß,-ioo 15

+oo

e-rJ,[Y[

dy

=

K(ßo) Je;ß,-rJY-rJo[YI dy -oo

+oo

~ K(ß 0 ) e"ß•je-IYI (rJ,-IrJI) dy = O(eß• 0) , so ist f(s) eine au-Funktion, und das für a

I

~

x

< ~s 0 existierende Integral

.x+ioo

2

~i

ets f(s) ds

x-~oo

stellt eine lllu-Funktion F(t) dar, die die Eigenschaft En{F} = f(s) (a ~% < ~s 0 } besitzt. F(~ + i 17) ist in dem Horizontalstreifen 1111 1/o analytisch und genügt in jedem schmaleren Streifen I'YJ I ~ 'YJo- - 91.10 > - 9tA1 · · · -+ - oo. Der Hauptteil der Laurent-Entwicklung bei -A. habe die Gestalt

b) In jedem Streifen endlicher Breite a 0 ~ x ~ a strebe cp(x + i y) gleichmässig in x gegen 0 für Iy I -+ oo. c) Zwischen fe zwei singulären Stellen -A. und - Av+I gebe es einen Punkt -ß. (reell) mit -9Uv+I < -ß.< -91.1.. (v= 0, 1, ... )derart, dass das Integral

I

+OO

z-iy cp(-ß. + i y) dy

-00

für 0 < z

~

z. gleichmässig konvergiert. Dann ist

I

a+ioo

2~i

a-ioo

z-s cp(s) ds = lf>(z)

116

6. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Eindeutige Singularitäten

für 0 < z;;::;; Z 0 konvergent, und es ist (1)

tl>(z) =

fd bi•l + 11 (-logz) + ... + -u.~· 1 ) 1- (-logz) n

+

b&•J

[

b{v)

I -

1•- 1

+ ...

]

z

J."

-ßn+ioo

1 T 2 :n

z

s

für z+O,

tp(s) ds

-ßn-ioo

wobei das Restglied*) von der Form Entwicklung gilt: (2)

tl>(z)

~ f; [bi•l + b~:J v~o

o(zß~)

ist, so dass für tl>(z) die asymptotische

(-log z)

1·

für z + 0.

+ · · ·] z"•

Satz 2 41 • Ist die Voraussetzung a) von Satz 1 erfüllt und gilt nach Ausschluss der singulären Stellen durch kleine Kreise in jedem Streifen a0 ;;::;; x ~ a die Abschätzung · J tp(x + i y) j ~ K(a 0 ) e-*· IY I ({) 0 fest > 0),

so ist tp(s) eine b-Funktion**), und das für- 9tA. 0 < x

I

~

a existierende Integral

x+ioo

2~{

z-s tp(s) ds

x-ioo

stellt eine'l3-Funktion tl>(z) dar, die die Eigenschaft Wl{t!>} = tp(s) (- 9tA. 0 < 9ts ~ a) besitzt. tl>(e ei*) ist in dem Winkelraum I{) I < {) 0 analytisch und genügt in jedem kleineren Winkelraum I{)I ~ {) 0 - (>einer Abschätzung der Form ltP(z)l ~ C(b) lzl-a Für 0 < Iz I < 1 gilt in tl>(z)

I{) I < {)0 (in \{)I

b{•J =};n [ bi•l + -ft

•-0

~

für lzl

{) 0 -

(-logz)

> 1.

(> gleichmässig)

+ · · ·] z"• + O(lzlßn),

wo ßn eine beliebige reelle Zahl mit - 9tA.n+l < - ßn < - 9tA.n bedeutet, so dass für Iz I+ 0 in I{) I < {) 0 die asymptotische Entwicklung (2) gilt.

Die folgenden Sätze haben Entwicklungen für z + oo zum Gegenstand. Satz 3. a) Die Funktion tp(s) sei in einer rechten Halbebene 9ts ~ a analytisch bis auf singuläre Stellen eindeutigen Charakters A. 0 , A.1 , ••• mit a < 9tA. 0 < 9tA.1 < ··· + + oo. Der Hauptteil der Laurent-Entwicklung bei A.. sei bl•l

b{v)

--+···+-'-"-+···. s- Av (s- A..jlv *) Das Restglied ist in expliziter Form angeschrieben, weil es in den Anwendungen oft so gebraucht wird. **) Siehe I, S. 409.

117

§ 3. Asymptotische Entwicklung von$(z) nach Potenzen

b) In jedem Streifen endlicher Breite a ~ !Jts ~ a0 strebe cp(x + i y) gleichmässig in x gegen 0 für Iy I -+- oo. c) Zwischen je zwei singulären Stellen s. und Sv+l gebe es einen Punkt ßv (reell) mit mt.. < ßv < 9U.+l (v = 0, 1, ... ) derart, dass das Integral

I

+oo

z-iy cp(ß. + i y) dy

-00

für z

~

z. > 0 gleichmässig konvergiert. Dann ist

I-

a+ioo

1i 2n

. z s cp(s) ds =

für z

~

Z 0 konvergent, und es ist biv) . =-I; bi•l- -l! logz + · · · + (-1) 1•- 1 n [

(3} l(z)

=

2

~i

z-ioo

n-• F(s) (2 1 -

2"-

1) C(2 s) ds,

§ 4. Beispiele: 1. {}3 (0, z/n) für

119

z-+ i

und zwar kann dabei sicher jedes x > 1/2 benutzt werden, denn aus der linearen Transformationsformel der &3-Funktion (siehe I, S. 297) folgt IP(z)......, 1/(2 Vz) für z ~ 0 in Iarcz I ~ (n/2) - 15, so dass für IP1 , dessen Reihe durch die von (/) majorisiert wird, gilt: I1P1 (z) I~ ClzJ- 112 für lzl ~ 1; daher ist in dem Umkehrintegral x > 1/2 brauchbar (vgl. I, S. 409). Die Funktion rPI(s) ist in der ganzen Ebene analytisch bis auf den einen Pols= 0 mit dem Residuum -1/2, denn die Pole -1, -2, ... von F(s) werden durch die Nullstellen -1, -2, ... von C(2 s) und der Pols= 1/2 von C(2 s) durch die Nullstelle s = 1/2 von 2 1- 2 s- 1 neutralisiert, so dass nur der Pol s = 0 von F(s) übrigbleibt, der das Residuum 1 hat, während dort :rr;-s = 1, 2 1- 2 s- 1 = 1, C(s) = -1/2 ist. Zur Abschätzung in Vertikalstreifen verwenden wir das Ergebnis von 5. 3, dass IF(s) C(s) I ~ C e-[(n/2) -•ll Y I ist. Mit Rücksicht darauf, dass aus der Stirlingschen Formel folgt: ergibt sich (s1

> 0),

also auch

in jedem Vertikalstreifen nach Ausschluss des Pols*). Da

F(s) = O{e-{n/2)1y]IYix-(I/2)) und :rr;-s

= 0(1).

21-2s- 1 = 0(1)

ist, erhält man 9?I(s) = O(e-l 0. Wenden wir jetzt Satz2 [6. 3] auf rp1{s) an, so ist a beliebig gross, &0 = (n/2)- s3 und nur ein einfacher Pol -.?.0 = 0 mit dem Residuum -1/2 vorhanden. Es ergibt sich also für 0 < I z I < 1 gleichmässig in I & I ~ (n/2) - 15: (3) wo

ßo beliebig gross sein kann. Das bedeutet: ---

-

--~--

--

- - - - - - -

*) Diese Abschätzung genügt für unsere Zwecke. Genauer lässt sich \;(s) durch Potenzen ab-

schätzen 43 •

120

6. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Eindeutige Singularitäten

oder

also (5)

+ 0( Iz - ijß•)

t:P(z) = - ~

(4)

&3

(0, ~) = O(lz- iJß•)

für z-+ i

für z

-+ i,

in Jarc(z- i) I~

~ - 0), so entsteht: oo

}; T(n)

e-""• =

n=l

2 -~ i

Jz-•

.x+ioo

.x-ioo

oo

F(s)};

~Ln; ds.

n=l

Nun ist

also

J; T(n) e-n"• = 00

(11)

T~-z-

x+ioo

j

X-J.OO

z-• F(s)

C2 (x s) ds,

123

§ 4. Beispiele: 4. Ganze transzendente Funktionen für z-+ oo

und dies gilt aus denselben Gründen wie im vorigen Beispiel für x > 1/x. Es ist 1

C(s) = -s=.T + a + b(s- 1) + ·. ·, also

C2(s) = __(s-1) _1:_.2 + -~~ + s-1

(a2

+

b)

+ ...

und 2

1/u 2 [s- (1/u)J2

_

C (x s) -

+

2 afu s- (l)u)

.

+ · ·· '

ferner

F(s)=F(~)+rC)(s- ~)+···, mithin (12) Die Funktion F(s) C2 (x s) hat daher in s = 1/x einen zweifachen Pol mit dem aus (12) ersichtlichen Hauptteil, ferner in s = -v (v = 0, 1, ... ) einfache Pole mit den Residuen [(-l)•fv!] C2 (-x v). Folglich ist nach Satz 2 [6. 3] 46

für z-+0 mit n 0. Dann erhält man:

q=

(22)

00

log P(z) = log [J (1 -

V=O

I

+

e(Zv+ 1)" iT

z)

-ß+ioo

1

= TnT

z

-ß-ioo

-s

1

2T

1 --/!~ ds. sin :rr; T s s sm :rr; s

129

§ 4. Beispiele: 4. Ganze transzendente Funktionen für z-+ oo

Es tritt hier die Besonderheit auf (die in Satz 4 [6. 3] nicht vorgesehen ist), dass der Integrand in der Halbebene 9ts > - ß nicht nur die unendlich vielen Pole s = y (Y = 0, 1, ... ) auf der reellen Achse, sondern auch die unendlich vielen Pole s = pfr (tJ = 0, ± 1, ... ) auf der imaginären Achse hat. Um den Integrationsweg über diese letzteren etwa bis zu der Abszisse ß (0 < ß< 1) zu verschieben, legen wir zwischen den Vertikalen bei ±ß horizontale Strecken in der Höhe der Punkte [!J + (1/2)]/r ein. Auf diesen ist sinn 't' s =sinn 't'

(x +

f.l

+ (1/2)) T

= ~ (e-nyx+[,u+(l/2)]ni- e"yx-[,u+(l/2)]ni) 2

Z

= ~ (-1)1' (e-nyx + e"YX)' also 1/sinnrs beschränkt. Wegen n/(ssinns) = O(e-"IYI) konvergieren die Integrale über die horizontalen Strecken für tJ-7>-oo gegen 0, so dass

I

-ß+ioo

_1_ 2ni

z-s _1_ _ _1_ _ n _ ds 2 i sinn r s s sinn s

I - '\'

ß+ioo

_1_ 2ni

=

-ß-ioo

ß-ioo

+oo

~

.u~

R

-oo

.u

ist, wo R.u das Residuum des Integranden in s.u = tJfr bezeichnet. s 0 = 0 ist ein dreifacher Pol mit dem Hauptteil 1 __!!__ ( n 2 T 2i s3

s.u (tJ

=

±

1 6 T

+

+

T)

6

s

'

1, ... ) ein einfacher Pol mit dem Residuum 1

(f.l/T) sinn(f.l/T)

(-1)~'nr

·

Unter Benutzung der aus Satz 3 bzw. 4 [6. 3] bekannten Formeln erhält man also:

1og P() z --

n . [(-16 + -6•)+ - 2 1z-2 T

Z

I

71:

T

1og 2 z +};±co - - .(-1)1'( I ) z-.ul•] ,u ~

±l

71:

f.l Sill f.l

71:

T

ß+ioo

+

1 2ni

ß-iro

(23)

= _ _!()_g_~Z'__ 4nzr

z-

5

1

TI

sin

1 nrs

+ ~ t'r + _1:_)

r

1 s sinn s ds

_ ~

12 \

r,

s1

1 sinn r s

J; (-1)~'

2z,u~l

f.l

zW

+ z-.utr

sinf.l(n/r)

ß+ioo

+

1 2ni

ß-iro

z-

TI

1 s sinn s ds

(0 < ß< 1). Ersetzt man in dem Restintegral, das übrigens gleich 0( [ z\ -ß) ist, die Integrationsvariables durch - s, so nimmt es die Gestalt -log P(1fz) an. Doetsch II/9

130

6. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Eindeutige Singularitäten

Es ergibt sich daher: 1)

log2z

logP(z)

=

-logP ( -z - -4~--.;---r -. •

(24)

=

-logP(~) + z

n i (• + _1_) + -12T

log2z- __!!___ 4ny

12

_ ~ ~ (-1)" z~IT +.z--"'· ~

2

~ p~ 1

fi=_W (r- _1_)p. y ;..~ 1

p.

(I)

S1llp. :n; T

co~[(p./y) l~gz] smhp.(n/y)

für Iarczl < :n. Vermittels dieser Darstellung beherrscht man das Verhalten von log P(z) für z-+ oo vollständig, denn die rechts stehende Summe ist für Iarc z I ~ :n - e beschränkt:

E

Ip~ 1

f f

~

_1_ Ie (log Iz I +iarcz) (p/y) i p.

p- 1

~

_1_

p~ 1

...-

2=

(-1)" cos[(_f/y)_logz] sinhp. (n/y) p.

I

+ e-(log 1•1 +iarc•) (p/y) i I

eP"'IY- e-p:rcJy e- (p/y) arcz

p.

+ e (piY) arcz
- 0 ist, ist ifJ(z) in Iarcz I < 2 :n; (exklusive 0 und oo) analytisch und asymptotisch so entwickelbar: I

oo

-ezEi(-z) ~ .E(-1}"-z:~ 1

für z--j>-oo.

v~o

(Vgl. die anderen Ableitungen dieser Formel S. 38, 51, 166.) Schöpft man die Allgemeinheit von Satz 2 voll aus, so ergibt sich für die Stieltjes-Transformation: Satz 4. ifJ1 ( ?;) sei in I& I ~ &0 analytisch und für ?; --j>- oo so entwickelbar:

ifJl(?;) ~

.E av ?;-Äv 00

v~o

wobei keine der Zahlen Av positiv ganz ist. Ferner sei für ?; --j>- 0

Dann hat die Funktion (4) die asymptotische Entwicklung ifJ(z)

~ .::.,. ~[av -.-nz-Äv+ sm n A V=Ü

V

(-l)vm

v

z-(v+l)]

für z --j>- oo in dem Winkelraum Iarcz I ~ :n; + &0 - e. Noch allgemeinere Sätze, die die Beschränkung, dass Av nicht positiv ganz sein soll, aufheben, lassen sich auf Grund der Zusätze zu Satz 2 aufstellen. Analog kann man aus Satz 1 eine Asymptotik der Stieltjes-Transformation für z --j>- 0 ableiten.

136

6. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Eindeutige Singularitäten

§ 6*). Bestimmung der Singularitäten von l

IDl{«P1·«P2}= l:rri

x+ioo

j

x-ioo

.

fJJ1(o)cp2(s-o)do

auf Grund derjenigen von !lll{«P 1} = cp1(s) und !lll{«P 2} = fJJ2(s) Mit der Annahme, dass 1 (z) cf>2 (z) dz

0

in der Halbebene 9is > a' + a" (höchstens) die Poles;+ s~. - Hat eine der Funktionen cp1, cp2 in ihrer Halbebene keine Singularitäten, so gilt für cp(s) dasselbe.

141

7. KAPITEL

Abelsche Asymptotik der durch das komplexe Umkehrintegral dargestellten 513-Transformation für Funktionen mit algebraischen und logarithmischen Singularitäten §1.

Allgemeine Betrachtungen zu dem Fall nichteindeutiger Singularitäten Im vorigen Kapitellegten wir den Fall zugrunde, dass in

J

a+ioo

5B{f} = 2 ~ i

e15 f(s) ds = F(t)

a-too

die Funktion f(s) nur Singularitäten eindeutigen Charakters in der durch die Integrationsgerade begrenzten linken bzw. rechten Halbebene besitzt. Deshalb konnten wir den Integrationsweg über die singulären Stellen hinweg verschieben und Residuenrechnung anwenden. Ist nun aber die dem Integrationsweg nächstgelegene Singularität nicht von eindeutigem, sondern von algebraischem Charakter*) wie etwa (s - s0 ) -l/ 2 oder von logarithmischem Charakter wie (s- s0)- V2 oder log (s- s0) oder (s- s0) -l/ 2 log (s- s 0 ), so ist eine Verschiebung des Weges über die singuläre Stelle hinweg nicht möglich. Wir werden in diesem Fall drei Methoden anwenden: 1. Der Integrationsweg wird bis auf die Vertikale durch die singuläre Stelle verschoben, umgeht diese selbst aber durch einen beliebig kleinen Kreisbogen (Hakenintegral). 2. Von f(s) wird eine Funktion mit derselben Singularität subtrahiert derart, dass die Differenz auf der ganzen Vertikalen durch die singuläre Stelle integrabel wird und der Weg dorthin verschoben werden kann. 3. Der Weg wird um die singuläre Stelle winkeiförmig herumgebogen (soweit die übrigen Singularitäten das zulassen), wodurch Konvergenzverhältnisse geschaffen werden, die eine asymptotische Aussage ermöglichen. In der Folge werden wir die Sätze immer nur für Singularitäten linhs vom Integrationsweg und t -+ + oo aussprechen und die sich hieraus wegen -a+ioo

F(-t) = 2

~i

j

e15 f(-s) ds

-a-ioo

ergebenden Sätze für Singularitäten rechts vom Weg und t -+ - oo nicht eigens *) Zu den Singularitäten dieser Art rechnen wir im folgenden auch die Verzweigungen, die

durch Uniformisierung holamorph ~erden, wie (s- s0 ) 1 12 oder (s- s0 )V2.

142

7. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Mehrdeutige Singularitäten

formulieren - im Gegensatz zu 6. 2, wo diese Sätze explizit aufgeführt sind, weil sie für die Übertragung in die Sprache der Mellin-Transformation gebraucht wurden. Diese Übertragung werden wir nämlich im gegenwärtigen Kapitel nicht vornehmen, und zwar aus folgendem Grund: In 6. 2 wurden unendlich viele Singularitäten s. von f(s) herangezogen, die Veranlassung gaben zu einer asymptotischen Entwicklung nach Exponentialfunktionen e'• 1, die, wenn die s. nicht einfache Pole waren, noch mit Polynomen oder ganzen Funktionen von t multipliziert erschienen. Bei der Substitution e-t = z wurde hieraus eine Entwicklung nach Potenzen von z, die gegebenenfalls noch mit einer Summe von Potenzen des Logarithmus multipliziert waren. Von nun an haben wir es aber nur mit einer (am weitesten rechts gelegenen) Singularität s 0 zu tun (höchstens mit endlich vielen von gleichem Realteil), so dass auch nur eine Funktion e'• 1 auftritt, während die eigentliche asymptotische Entwicklung durch deren Faktor, der eine Reihe von !-Potenzen (mit im allgemeinen nichtganzen Exponenten) ist, repräsentiert wird. Bei der Substitution e-t = z wird hieraus eine Entwicklung nach Potenzen von logz (mit nichtganzen Exponenten), was ein in den Anwendungen äusserst seltener Fall sein dürfte. Daher verzichten wir auf die Formulierung entsprechender Sätze.

§ 2. Eine endliche asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+= Wir nehmen an, dass die singuläre Stelle von f(s) eine Unendlichkeitsstelle von höherer Ordnung als 1 ist und dass Entwicklungsglieder von einer Ordnung ~ 1 nicht berücksichtigt werden, und schliessen daraus, dass F(t) für t -+= in eine endliche Summe von Potenzen mit positiven Exponenten, multipliziert mit einer Exponentialfunktion, entwickelt werden kann 55 • Satz 1. f(s) sei analytisch in dem halboffenen Streifen x0 < 9ls ~ a und stetig in x0 ~ 9ls ~ a mit Ausnahme des Punktes s0 = x0 + i y 0 auf dem Rand 9ls = x0 , wo die asymptotische Entwicklung mit endlich vielen Gliedern N

f(s) ~ I;--a•_

•-0

(s- so)~'•

> f.l1 > ··· > f.lN > 1)

(f.lo

gleichmässig in Iarc (s- s0)1 ~ n/2 gilt. Für jedes feste Y

I

I

Yo- Y

00

Yo

gleichmässig für t f(x

~

und

+Y

eity f(x 0

für s + s0

> 0 seien die Integrale

+ i y) dy

-oo

T konvergent. Ferner sei

+ i y) -+ 0

für y-+

±.=

Dann ist F(t)

=

m{t}

=

2

gleichmässig in x0 ~ x ~ a.

~i

I

a+ioo

a-ioo

e1' f(s) ds

143

§ 2. Endliche Entwicklung von F(t) für t-+ oo

für t

~

T konvergent, und es gilt die asymptotische Entwicklung N

F(t) ~ e5 ' 1 } ; ~'"--- t~"•- 1

für t-+- +oo.

v~o T(f.Lv)

Beweis: Der Satz lässt sich nach dem Schema des «Idealfalls» (siehe 2. 5) ableiten. Nach Voraussetzung ist

= /(s)

/ 1 (s)

-.ii

(s _a;o)'"• = oCs _

~o)~"n)

gleichmässig in Iarc (s- s0 ) I ~ n/2 (n ~ N). Wegen

r

eity

und

Yo+ Y

> 1 sind

flv

die Integrale

y,- y

00

I

für s-+- s0

•

dy

(x 0

-00

+i y -

s 0 )~"•

für alle reellen t gleichmässig konvergent. Ausserdem ist 1f(x + i y)~"•-+- 0 für y-+- ±oo gleichmässig in x 0 ~ x ~ a. Also liefert Satz 1 [I 15.3], auf /1 {s) angewendet: a+ico

_1___

2n ~

Jets f (s) ds = o(es,t__!l_,.__ t~"n-1')

für t -+-oo.

T(f.Ln)

1

.

a-~oo

Nach Formel I 4. 4 (5) ist wegen 9ts0 < a:

I

a+ioo

2

1

ni

a-ico

also 1

--.

a/+ioo

2n ~

.

ds

s t tllv-1

et s -(s---s-0 )_~"_• = e ' -T-(f.L_v_)

1

e15 f1 (s) ds = - - .

a-100

2 n ~

a/+ioo .

a-too

für t

e15 f(s) ds - e5' 1 ·

> 0,

n

"\"' ~

.~ T(f.Lv)

t'"•- 1 •

Damit ist die Behauptung bewiesen. -Der Beweis von Satz 1 [I 15. 3], der.den

J durch

a+ioo

Spezialfall N

=

0 von Satz 1 darstellt, beruht auf dem Ersatz von

a-t.oo

ein Hakenintegral mit dem Zentrum s0 • Daher erwähnten wir in § 1 als erste Methode die Verschiebung des Integrationsweges auf einen hakenförmigen Weg mit der singulären Stelle als Zentrum. Bemerkung: Die Endlichkeit der Entwicklung rührt daher, dass einerseits eine asymptotische Entwicklung nach Potenzen von s- s 0 nur einen Sinn hat, wenn die Exponenten- flv zunehmen, andererseits aber in Satz 1 [I 15.3] fl > 1 sein muss.- Die Exponenten flv> 1 führen zu t-Potenzen t~"•-1, die für t-+-oo gegen oo streben. In den folgenden Paragraphen treten auch die anderen Exponenten auf, wobei die Exponenten > 1 noch einmal unter veränderten Bedingungen behandelt werden.

144

7. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Mehrdeutige Singularitäten

§ 3. Asymptotische Entwicklung von F(t) für

t~oo

In diesem Paragraphen verwenden wir ein ganz anderes Hilfsmittel als bisher, nämlich das auf das Fourier-Integral bezügliche Riemann-Lebesguesche Lemma (I, S.l71) bzw. seine auf das 5n-Integral bezügliche Verallgemeinerung Satz 2 [I 15.1]. Eine der singulären Stellen links vom Integrationsweg mit grösstem Realteil (es kann mehrere auf derselben Vertikalen geben) heisse s0 = x 0 + i y 0 • Die Singularität sei vom Charakter (s- s0)ß (ß beliebig komplex, aber =1= 0, 1, ... , denn diese Werte entsprächen holamorphem Charakter) oder (s- s0 )ß log (s- s0 ) (ß beliebig komplex) oder vom Charakter einer Summe solcher Terme. So hat zum Beispiel die algebraische Funktion /(s) =

_1_

~

= __1 _ 1 Vs-i Vs+i

an der Stelle s = i eine Singularität vom Charakter (s- i) - 112. Das bedeutet aber keineswegs, dass f(s) = c (s- i) - 112 + g(s) ist, wo g(s) eine in s = i holamorphe Funktion darstellt. Denn es ist /(s) = (s - i) -1/2 (2 i + s - i) -1/2 = (2 i) -1/2 (s - i) -1/2

i' (-~/2)( s2---/r

v~o

=

(2i)-1/2(s-i)-1/2+

(2i)-1/2;f(-~/2) (2~)•

(s-q-(1/2).

Die Funktion g(s) ist bei s = i immer noch algebraisch verzweigt, aber sie hat keine Unendlichkeitsstelle mehr. Wir werden daher die obige Aussage in dem Sinn verstehen, dass /(s) = c (s - s 0)ß + g(s)

bzw.

/(s) = (s - s 0 )ß log (s - s0 ) + g(s)

ist, wo g(s) in dem halboffenen Streifen x 0 < 9ts ~ a holamorph und in dem abgeschlossenen Streifen x 0 ~ 9ts ~ a stetig (und eventuell eine gewisse Anzahl von' Malen differenzierbar) ist. Der Grundgedanke der Methode 56 ist nun der folgende: Man subtrahiert von /(s) eine Funktion cp(s), die in s0 eine Singularität vom gleichen Charakter wie /(s) hat, aber sonst in dem Streifen zwischen s0 und a analytisch ist. Ist, was wir vorläufig annehmen, s0 die einzige singuläre Stelle auf 9ts = x 0 , so verschieben wir, falls sich /(s)- cp(s) im Unendlichen geeignet verhält, den Weg des Integrals 2

~i

Jets [t(s) -

cp(s)] ds

von der Abszisse a an die Abszisse x 0 , was jetzt (nach dem verallgemeinerten Cauchyschen Satz, Anhang I, Nr. 54) möglich ist, weil/(s)- cp(s) in s0 stetig ist. Wenn die Funktion f(s) - cp(s) auf der Geraden 9ts = x 0 mitsamt ihren n ersten Ableitungen Bedingungen erfüllt, wie sie in Satz 2 [I 15.1] verlangt werden,

145

§ 3. Asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+ oo

nämlich Verschwinden von [/(x0 + i y) - cp(x0 y -+ ± und gleichmässige Konvergenz von

=

J

+CO

eity [f(x 0

+i

+i

y)](r) (r

=

1, ... , n- 1) für

y) - cp(x 0 + i y)](n) dy,

-00

so erhält man eine Aussage der Form

J

2n~

J=

x0 +ioo

a+ioo

- 1 -.

1 -.

e s[f(s)- m(s)] ds = -2nt '~' 1

o(ex,t rn)

für t-+

+=.

x 0 ~ioo

Ist nun der Wert des Integrals

J

a+ioo

2

~i

e1s cp(s) ds

f!J(t)

=

a-z.oo

bekannt, so bedeutet dies die asymptotische Relation F(t)

=

fP(t)

+ o(ex,t rn)

für t-+

+ =,

vorausgesetzt, dass das o-Glied von geringerer Grössenordnung als f!J(t) ist. Wir gliedern die Singularitäten in folgende Typen auf: 1. Fall:

mit 9iiX > 0

1

(s- s 0 )"

mit 9tß

~

0, ß =I= 0, 1, 2, ...

mit k

0, 1, 2, ...

2. Fall:

(s- so)ß

3. Fall:

(S -

4.Fall:

- - · l o g ( s - s)

mit 9iiX > 0

5. Fall:

(s - s0 )ß log (s - s 0)

mit 9tß

s0)k log (s .:_ s 0) 1

(s- so)"

o

=

~

0, ß =I= 0, 1, ...

Wir benötigen nun vor allem geeignete Funktionen cp, die gerade diese Singularitäten haben und für die man die zugehörige Funktion fP angeben kann. Dazu ist es am einfachsten, die cp durch absolut konvergente Er-Transformationen aus gewissen Funktionen f!J(t) von beschränkter Variation zu erzeugen, weil dann die komplexe Umkehrformel gerade die gewünschte Relation liefert. Im 1. Fallliegt die Wahl von flJ auf der Hand: Mit flJ

1

(t) =

_1_

T(rx)

es,t t"-1

erhält man Cf!I(s) = Doetsch II/10

1

.2{ fP1} = -(s--)" , s0

146

7. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Mehrdeutige Singularitäten

also eine Funktion, die mit dem gewünschten Typus überhaupt identisch ist. Im 2. Fall können wir nicht einfach analog if>

2

(t) =

_1_

F(-ß)

esot rß-1

setzen, weil .i!{if>2} bei t = 0 nicht konvergieren würde. Wir ersetzen daher if>2 im Intervall 0 ~ t < 1 durch 0 oder, was dasselbe ist, wir multiplizieren die Funktion mit U(t- 1) (siehe S. 264) und erhalten dann ein .i!-Integral, dessen Verhalten uns bereits durch I, S. 467, 468 bekannt ist, nämlich

rp 2 {s) = (s - s0)ß + ganze Funktion. An derselben Stelle finden wir auch die passende Funktion für den 3. Fall:

mit

rp 3 (s)

=

(s- s0)k log(s- s 0) +ganze Funktion,

und in I, S. 471 die Funktion für den 5. Fall:

""(t)Y-'5

--

1 F(-ß)

(1

U(t 1) esott-ß-1 og t - F'(-ß)) F(-ß) -

mit rrs(s)

=

(s- So)ß log (s - So) + ganze Funktion'

während wir im 4. Fall sogar vollständige Übereinstimmung von rp4 mit dem gewünschten Typus erreichen können, indem wir

"" (t) = -

1

F(~:t.)

Y-'4

setzen, denn es ist für %x. > 0:

I

00

I

(1

es o t t 0

2

(s- s0 )ß + ganze Funktion

iltß~

3

(s- s0 )k log (s- s0 ) + ganze Funktion

k

4

1 -(--)-log (s- s0 ) s -s0 cx.

iltrx. > 0

5

(s- s0 )ß log (s- s 0 ) +ganze Funktion

iltß ~ 0, ß

=

0, ß=F 0,1,000

0,1, 000

* 0, 1,

00

0

Damit haben wir Funktionen q; gewonnen, bei denen der Rest g(s) nicht nur in dem Streifen x 0 ;? 9ts ;? a, sondern sogar in der ganzen Ebene analytisch ist. Dass die Funktionen l/> teilweise für t < 1 anders definiert sind als für t ~ 1, spielt keine Rolle, weil bei der asymptotischen Aussage für t + oo nur die Werte von l/> für grosse t in Betracht kommen. Um den Integrationsweg von a nach x 0 verschieben und nachher Satz 2 [I 15.1] anwenden zu können, wird man selbstverständlich von der Funktion f(s) voraussetzen, dass sie in dem Streifen x 0 ;? 9ts;? a für y + ±oo gleichmässig gegen 0 strebt und dass auf der Geraden 9ts = x 0 auch ihre Ableitungen gegen 0 konvergieren. Es fragt sich nun, ob die Funktionen q;1, die ja bei diesen Operationen auch beteiligt sind, ebenfalls diese Eigenschaften haben. In jedem Streifen x 0 + 15 ;? 9ts;? a Ua sogar in jeder Halbebene 9ts ~ x 0 + 15) besteht darüber nach Satz 7 [I 3. 6] kein Zweifel, da sie 2-Transformierte sind, die für 9ts ~ x 0 + 15 absolut konvergieren. (Die Ableitungen q;/'l sind die 2-Transformierten von (-t)'l/>1(t), die ebenfalls für 9ts ~ x 0 + 15 absolut konvergieren.) Dass ihnen auch in dem vollen Streifen x 0 ;? 9ts ;? a jene Eigenschaften zukommen, zeigen die folgenden Hilfssätze.

148

7. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Mehrdeutige Singularitäten

HUfssatz 1. In dem Streifen x 0 () cp/ (s)

e-(s-s,) Cz, s- So

=

(

~

1

+ 0 Is -so 12

9ls

)

~

a ist für l = 2, 3, 5; r = 0, 1, 2, ...

für y -+ ± oo gleichmässig in 9ls.

Beweis: Es genügt, den Satz für s0 = 0 zu beweisen. Für l = 2, 3 hat cp1 bis auf konstante Faktoren die Gestalt*)

J

J 00

00

e-st t-ß- 1 dt

=

e-s

e-st (1

+ t)-ß- 1 dt.

0

1

Da (1 + t) -ß- 1 in der Umgebung von t = 0 die konvergente Entwicklung

hat und in dem Winkelraum larctl < :n; für ltl ~ 2 absolut kleiner als A e~ftf ist, so lässt sich das Integral nach Satz6 [3.1] in Iarcs I~ (3/2) :n;- e gleichmässig für s-+oo asymptotisch durch 00 ~(-ß-1) ~ .LJ •-0

s•+ 1

v

darstellen. Von dieser Entwicklung brauchen wir nur das erste Glied mit Restglied, und zwar in der schlichten Ebene:

In dem Streifen 0 ~ 9ls ~ a, wo e-s beschränkt ist, kann man dafür schreiben: cpz(s)

e-s Cz-s-

=

1 ) + 0 (JSl2

für y -+ ± oo gleichmässig in 9ls.

Die Ableitungen cp/•>(s) sind bis auf konstante Faktoren gleich 00

je-st rß+r-1 dt, 1

also von derselben Gestalt wie cp 1(s). Daß im vorigen beliebig sein konnte, gilt für sie dieselbe Abschätzung. cp5 (s) setzt sich aus einem Glied der eben behandelten Art und einem Glied

J

e-st t-

1

J 00

00

ß- 1

logt dt

=

e-•

e-st (1

+ ttß- 1 log (1 + t) dt

0

zusammen. In der Umgebung von t = 0 hat (1 + t)-ß- 1 eine mit t 0 , log (1 + t) eine mit t 1 beginnende Entwicklung, so dass das Produkt mit P und infolge----------------.

*)

cp1(s) lässt sich auf die unvollständige F-Funktion sß F(-ß, s) zurückführen.

149

§ 3. Asymptotische Entwicklung von F(t) für t-+ oo

dessen die asymptotische Entwicklung des Integrals mit 1/s 2 beginnt. Für die Ableitungen gilt wie im vorigen dasselbe. Damit sind alle Behauptungen bewiesen. HUfssatz 2. a) Ist ql(x0 + i y)*) bei y = +oo absolut integrabel und lim q; (x0 +_i y)

0,

=

so konvergiert 00

+ i y) dy

leity q;(x0

für t 2 T> 0

y

gleichmässig. b) Für die Funktion 1p(y)

e-iYf(y- y0) ist

=

I

00

eity "P(Y) dy

y

-Y

J.

für t;;::;; 2 gleichmässig konvergent (Y> y0). - Analoge Sätze gelten für - 00 Beweis: a) Durch partielle Integration ergibt sich:

I

w, "t

e' Y q;(x0 + i y) dy

=

1

"I

TI e' Y q;(x0

1 ;~' "t w, TI e' Y q;'(x0 + i y) dy, + i y) I"'•-

also für t;;::;; T> 0:

1

+T

"'• •

j Iq;'(x

0

+ i y) I dy.

"'• Auf Grund der Voraussetzungen ist die Majorante für alle hinreichend grossen Wt, w 2 beliebig klein, unabhängig von t. b) Partielle Integration liefert für w 2 > w 1 > Y > y0 :

I

"'•

.

•

Ws

- - dy e'"t Y -e-•Y

Y- Yo

=

e•lt-llY

""77:,....---:;-;--;-----.-

i (t- 1) (y- Yo)

I"''+

i (t- 1)

"'•

I

w,

1

w,

eilt-1 Y

(y- y 0)2

dy'

also für t;;::;; 2:

l

w:ity e-i:Y

Y - Yo

dy

~

-

1 W1 -

Yo

+

1 Wz -

Yo

+

Iw•(y -dyYo)

2 •

Die Majorante ist für alle hinreichend grossen w1 , w 2 beliebig klein, unabhängig von t. •) Unter rp' ist die Ableitung nach y verstanden, analog in allen ähnlichen Fällen in diesem Paragraphen.

150

7. Kapitel: Abelsche Asymptotik des Umkehrintegrals: Mehrdeutige Singularitäten

HUfssatz 3. Für die Funktionen q;1(s) (l = 1, ... , 5) gilt: a) In dem Streifen 9ts;;;; a strebt q;1(x + i y) gegen 0 für y-+ ± oo gleichmässig in x. b) Es ist g;i'l(x 0 + i y)-+ 0 für y-+ ±oo (r = 0, 1, 2, ... ). c) Die Integrale x0

;;;;

Y,

00

jeity q;}'l(xo + i y) dy

feity q;}'l(xo

und

yl

+ i y) dy

-00

(1'; < y 0 < Y1 ) konvergieren für t

~ T gleichmässig, wo T eine gewisse Zahl ist. Beweis: Die Behauptungen a) und b) folgen für l = 1 und 4 aus dem expliziten Ausdruck für q;1, für l = 2, 3, 5 aus Hilfssatz 1. c) Für l = 1 und 4 folgt die Behauptung für r = 0 aus Hilfssatz 2a), für r = 1, 2, ... ist sie. trivial, weil 00

J\g;}'l(x 0 +iy)\ dy konvergiert. Fürl = 2, 3,5 ist nach Hilfssatz1 (s 0 = x0 +iy 0 ):

yl

00 /

.

( }

e•ty q;/ (xo

+ i y) dy =

e i Yo Cl,-i-

~

1 00

.1 e- i Y e' y y- Yo dy

~

1

+

00

·

(

1

)

e'ty 0 (Y- Yo)2 dy.

~

Das erste Integral konvergiert nach Hilfssatz 2b) für t ~ 2, das zweite für alle t gleichmässig. Nach diesen Vorbereitungen können wir folgenden Satz beweisen: Satz 1. F(t) sei gegeben durch

fe

a+ioo

F(t)

=

m{f} =

2

~{

15

f(s) ds.

a-too '

Die Funktion f(s) habe folgende Eigenschaften: a) f(s) sei in dem halboffenen Streifen x 0 < 9ts ;;;; a analytisch. In einem Punkt s0 = x 0 + i y0 der linken Begrenzung verhalte sie sich singulär, und zwar lasse sie sich in dem abgeschlossenen Streifen x 0 ;;;; 9ts ;;;; a in einer der folgenden Farmen darstellen:

(A)

f(s)

n

=}; cv (s- s0)'v + g(s)

(IJU 0 < IJU1 < · · · < 9tA.n, A.v =l= 0, 1, 2, ... )*),

v~o

n

(B)

f(s) = log (s - s0) } ; cv (s - s0 )" + g(s), v~o

(C)

n

f(s) = log (s - s0) } ; cv (s - s 0 )"v + g(s) v~o

(9tA.o < IJU1 < .. ·
R erfüllt, weil

1 analytisch und durch die nirgends konvergente Reihe asymptotisch darstellbar. Die entsprechende Reihe 00

1.:' (-1)• t• konvergiert aber nur für [t[ < 1 und stellt die zugehörige Funktion 1/(1 + t) (vgl. S. 52) dar. Es wäre erwünscht, ein Beispiel zu haben, wo die Reihe

v ~"o

für F(t) diese Funktion tatsächlich nur asymptotisch für t-+ 0 darstellt, oder aber zu beweisen, dass die Reihe für F(t) immer in einer Umgebung von t = 0 konvergiert. Ferner entsteht hinsichtlich Satz 2 die Frage, was sich aussagen 00

lässt, wenn

1.:' a.js;_•

v=O

zwar ausserhalb eines Kreises konvergiert, aber nirgends

absolut konvergiert.

§ 2. Die Heavisideschen Entwicklungstheoreme der Operatorenrechnung im Lichte der Abelschen Asymptotik des komplexen Integrals für t~ 0 und t~ oo Die Operatorenrechnung, auch Heavisidekalkül*) genannt, läuft in moderner Betrachtungsweise darauf hinaus, zu der unbekannten Lösung einer Differentialgleichung zunächst die .5!-Transformierte f(s) zu berechnen und zu dieser dann auf irgendeinem Wege die Originalfunktion F(t) zu bestimmen. Da dies nicht immer explizit möglich ist, bedient sie sich gewisser teils konvergenter, teils asymptotischer Reihenentwicklungen, die nach drei Regeln gewonnen werden, die von Heaviside an bekannten speziellen Lösungen abgelesen und ohne Beweis dann allgemein formuliert wurden. Dass sie häufig falsche Resultate liefern, war schon Heaviside und den in seinen Bahnen wandelnden Praktikern bekannt. Die auf die .5!-Transformation gegründete Theorie der konvergenten und asymptotischen Entwicklungen, die im 7. Kapitel, § 3 des I. Bandes und im 6. bis 8. Kapitel des vorliegenden Bandes aufgestellt wurde, liefert die Aufklärung darüber, was an diesen Regeln richtig oder falsch ist. Da sie noch heute manchmal von Ingenieuren und Physikern angewandt werden, erscheint es angebracht, hierauf etwas näher einzugehen. I. Regel (sogenannte Potenzreihenlösung) 71 : Wenn f(s) sich in eine konvergente Reihe nach absteigenden Potenzen entwickeln lässt: 00

(1)

f(s)

=}; 5 :~ 1 v=O

*) Näheres über diesen Kalkül siehe in «Literarische und historische Nachweise», Nr. 128. Doetsch Il/12

178

8. Kapitel: Abelsche Asymptotik der 5!3-Transformation für t-+ 0

beziehungsweise

(2)

f(s) =

ta~

v~o

s

so erhält man F(t) durch gliedweise Anwendung der Korrespondenz 1 sv+l e--o

t•

VT

bzw.

1

t-lv- 1

~ e-o F().v) .

Diese Regel ist im Falle (1) immer, im Falle (2) bei absoluter Konvergenz der Reihe für f(s) richtig. Die erhaltene Reihe für F(t) konvergiert für alle komplexen t mit eventueller Ausnahme von t = 0 im Falle (2) und stellt im Falle (1) eine ganze Funktion vom Exponentialtypus dar. Siehe 8.1. I I. Regel (sogenannter Entwicklungssatz oder expansion theorem) 72 : f(s) sei in der ganzen Ebene analytisch bis auf Pole Sv erster Ordnung, die in einer linken Halbebene liegen, so dass f(s) = p(s)fq(s) ist, wo p(s) und q(s) ganze Funktionen sind und q(s) die einfachen Nullstellen Sv hat [p(sv) ot 0]. Dann ist F(t)

=}; _pj_sv)_ esvl. v

q'(sv)

Ist Sv ein Pol m-ter Ordnung, so gibt er Veranlassung zu einem Term der Form '

( a1

t tm-1 ) + a21! -+ ... + am(m-1)! -----

esvf

.

Diese Regel ist nur in sehr beschränktem Umfang richtig. Allgemeingültig ist sie nur in dem einfachsten Fall (der bei gewöhnlichen Differentialgleichungen*) auftritt), dass f(s) eine gebrochen rationale Funktion [Grad von p(s) kleiner als Grad von q(s)] ist, so dass die Anzahl der Pole endlich ist (siehe I, S. 270). Für meromorphe Funktionen, auch solche mit endlich vielen Polen, ist sie im allgemeinen falsch. Fälle, in denen die Entwicklung für F(t) konvergiert, werden durch die Sätze 1 bis 3 [I 7. 3], Fälle, in denen sie wenigstens eine asymptotische Entwicklung für t-+ oo liefert, durch die Sätze in 6. 2 abgegrenzt. Dabei wird vorausgesetzt, dass F (t) sich durch das komplexeUmkehrintegral darstellen lässt. III. Regel (sogenannter asymptotischer Entwicklungssatz) 73 : f(s) lasse sich in eine konvergente Reihe nach aufsteigenden ganzen und gebrochenen Potenzen entwickeln:

t( s)

=

1 a_ s

12 3 2 + ~s 1/2 + a0 + b1 s 1 + a1 s + b2 s i + · · ·

Dann streiche man die Reihe mit den Koeffizienten a vollständig bis auf das *) Vgl. hierzu 13.1, insbesondere Formel (22).

179

§2. Die Heavisideschen Entwicklungstheoreme

Glied a-' 1 /s, für das in F(t) der Term a~ 1 zu setzen ist. In der Reihe mit den Koeffizienten b ersetze man 1fs 1i 2 durch 1/Vnt und sn durch dnfdtn, also

s

n

1 Sii2

durch

v- v-

_d_n_ _ 1_ = _1_ (-1)n 1· 3 ... (2 n- 1)_ 2n dtn n nt

e-ln+(l/2)) 0

(DasistderWert,dersichausderfüroc>OgültigenKorresponden zs-"'e-ot"'- 1 /F(oc) formal für oc = - n + (1/2) ergibt.) Die entstehende Reihe stellt F(t) für t +oo asymptotisch dar. Diese Regel ist nur in seltenen Fällen richtig. Sie ist im Lichte der Sätze in 7. 3 und 7. 4 zu betrachten, deren Spezialfall .A.. = (v/2) - 1 sie sich unterordnet. Zunächst einmal muss also f(s) gewisse Bedingungen im Unendlichen erfüllen, wie sie in jenen Sätzen gefordert werden. Der wesentliche Grund aber des Versagensder Regel ist der, dass eine Entwicklung nach Potenzen von s ja nur eine Singularität im Punktes= 0 berücksichtigt, während in Wahrheit alle Singularitäten, die am weitesten rechts liegen, für das asymptotische Verhalten von F(t) für t + oo massgebend sind. s = 0 braucht nicht die einzige derartige Singularität zu sein, ja es braucht überhaupt nicht zu diesen massgebenden Singularitäten zu gehören, wie z. B. bei der in 7. 5. 2 (Eingangsstrom eines Kabels) +B, wenn B negativ ist. diskutierten Funktion (1/s) Ein lehrreiches Beispiel, das in der technischen Literatur öfters ungenügend diskutiert worden ist74, ist das folgende: Wir betrachten das induktionsfreie Kabel von 7. 5. 2, bei dem wir der Einfachheit halber auch noch die Ableitung G = 0 setzen. Nach 7. 5 (1) wird der Eingangsstrom (x = 0) gegeben durch

Vs

i(O, s)

vs.

v-~-

e(O, s)

=

Wird an die Klemmen die Spannung E(O, t) = sinw t

angelegt, so ist e(O, s)

und man erhält: t'(0 ' s) =

vc =

s2

w

+ w2

R w

s2

,

vsw2 +

•

Von dem konstanten Faktor sehen wir ab und betrachten f(s) = Vsf(s 2 + w 2). Entwickelt man f(s) nach der Heavisideschen Regel nach steigenden Potenzen:

f(s)

1

=

oo

s2•+!t/2l

~ ,E(-l}"~z-.~, •-0

so ergibt sich für F(t) nur der von der singulären Stelle s = 0 herrührende Bestandteil t-2v-(3/2) 1 oo ( -1)• für t +oo. - --:=c;----:S(t) R:::~ ~ ' " " ' 2 w\~

w

•

F(-2 v- (1/2))

180

8. Kapitel: Abelsche Asymptotik der 5!3-Transformation für t-+ U

Dass eine solche wie t- 3/ 2 abklingende Funktion den Strom für t -+oo nicht wiedergeben kann, ist physikalisch klar und geht aus der expliziten Gestalt der Lösung hervor. Aus 1

s

f(s) =V~ s 2 + w 2 folgt nämlich nach dem Faltungssatz:

F(t)

=-

1

Vnt

* cosw t

=/__;= t

VnT

0

fV

cosw (t- -r) d-r

t

cos w t

=

nT

•

0

f-v t

1

cos w -r a-r + sin w t

.

0

1 _

nT

sin w -r d-r.

Die beiden Integrale sind Fresnelsche Integrale (vgl. S. 82 und 90), und zwar

-V~~

v;;;-e

J

Vwt

cos x dx 2

und

2

;· .

smx

Vnw

0

2

d

x.

0

Für t-+ oo streben sie gegen 1JV2~ Also muss F(t) für t-+ oo einen Oszillatorischen Bestandteil haben, der natürlich von den beiden singulären Stellen s = ± w i herrührt, die mit s = 0 auf derselben Vertikalen liegen. Die exakte asymptotische Darstellung hat daher auf dem Weg über die komplexe Umkehrformel nach Satz 3 [7.4] zu geschehen, dessen Voraussetzungen offenkundig erfüllt sind. Die Punkte ± w i sind Pole 1. Ordnung; wir brauchen also die expliziten Entwicklungen in ihrer Umgebung gar nicht anzuschreiben, weil sämtliche Glieder mit ganzzahligen Exponenten ::=:: 0 wegfallen und nur die Potenz mit dem Exponenten -1 berücksichtigt wird. Das Residuum von f(s) ist . . . .. V-wi m s = w z: Vwi_ l l l S = - W t . -_ 2 -;;;::;, 2 w i'

so dass die vollständige Entwicklung von F(t), die durch Superposition der von den drei Singularitäten herrührenden Bestandteile entsteht, so lautet:

F(t)

1 iwt 1 iwt R:i2(wi)ll2e +2(-wi)ll2e_

- 9{ =

eiwt

_

(Wi)i72 + S(t) - 9{

vz~--w

ei[wt-(rr/4)]

w 112

-

(coswt+sinwt) + S(t)

+ S()t _

+ S(t) - w

_ 112

(

n)

cos w t- 4

+ S(t)

für t-+oo.

Die Schwingung w - 1/ 2 cos[w t- (n/4)], die durch die Eingangsspannung aufgezwungen wird und die nach der Heavisideschen Regel ganz verlorenging, macht den wichtigsten Teil des Stromes aus, während S(t) von dem rasch gegen 0 abklingenden Ausgleichsvorgang herrührt 75 •

] 81

9. KAPITEL

Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation § 1. Taubersehe Asymptotik reeller Art. Beispiel: Stabilität bei Erneuerungsvorgängen Die Taubersehe Asymptotik schliesst von dem Verhalten der Bildfunktion

f(s) auf das der Originalfunktion F(t) bzw. ihres Integrals

t

f F(r:)

0

dr: unter einer

zusätzlichen Voraussetzung über F(t), die von vornherein bekannt sein muss und in einer ein- oder zweiseitigen Beschränktheitsforderung besteht, z. B. dass F(t) positiv sei, was ja von manchen Funktionen a priori feststeht. Will man nun diese Schlussweise nicht auf eine einzelne Vergleichsfunktion, sondern auf die sukzessiven Abschnitte einer Entwicklung anwenden, so erhebt sich eine Schwierigkeit, die wir am besten an einem Beispiel erläutern. Es sei E{F} = f(s) und 00 /(s) R:> I; av s-?.v (0 < A0 < A1 • ") für s-+ oo, V=Ü

also

ln(s)

f(s)

=

n.

--I: av s--'v ~ an+l

s--'n+l.

V=O

Um nun z. B. Satz 3 [I 16.1] anwenden und auf

J t

0

J t

F (r:) dr: = n

0

[F(r:)-

t

V

~o

_(J,v___

T(.A.v)

r:-'v-!] dr:

~ _(l_n__±_l_ t T().n+l + 1)

1n+1

für t-+ 0

schliessen zu können, müsste man a priori für alle n über die Abschätzung Fn(t) ~ 0 verfügen. Um für F(t) selbst nach Satz 6 [I 16.1] die entsprechende Relation

zu erhalten, müsste man sogar noch obendrein wissen, dass alle Fn(t) monoton sind. Es ist klar, dass man derartige a-priori-Aussagen in der Praxis nicht machen kann, so dass die Taubersehe Asymptotik auf solche Fälle beschränkt bleiben muss, in denen es sich nur um eine einzige Vergleichsfunktion handelt und die Positivität von F(t) oder eine andere OcAbschätzung von vornherein bekannt ist. In solchen Fällen lässt sich dann allerdings die asymptotische

182

9. Kapitel: Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation

Aussage über F(t) viel einfacher als etwa mit der Abelschen Asymptotik des komplexen Umkehrintegrals erschliessen. Um die, wenn auch hinsichtlich ihres Anwendungsbereichs begrenzte, so doch in einzelnen Fällen sehr durchschlagende Kraft der Taubersehen Asymptotik durch ein Beispiel zu erweisen, betrachten wir nicht eine spezielle Funktion, sondern die allgemeine Lösung F(t) der Integralgleichung

+I

t

(1)

F(t)

G(t)

=

K (t - r) F(r) dr,

0

wenn die gegebenen Funktionen G(t) und K(t) Bedingungen erfüllen, wie sie ihnen beim Erneuerungsproblem (siehe 25. 2.1) auferlegt werden. Bei letzterem hat F(t) die Bedeutung der Erneuerungsintensität, und man sagt, der Erneuerungsvorgangsei cc stabil im eigentlichen Sinn», wenn F(t) für t +=einen Grenzwert hat, dagegen ((stabil im Mittel», wenn (1ft)

t

f F(r) dr

0

einen Grenzwert

hat. Bezüglich des letzteren Begriffs beweisen wir das folgende Stabilitätskriterium 76 : Satz 1. Die Funktionen K(t) und G(t) seien in t ~ 0 integrabel und beschränkt in jedem endlichen Intervall, und es sei K(t)

(2)

~

0,

G(t)~O.

Die Integrale

I

00

(3)

I

00

K(t) dt = a,

0

G(t) dt = b

0

seien konvergent. Damit die Lösung F(t) der Integralgleichung (1) die Bedingung der Stabilität im Mittel

+I

t

(4)

F(r) dr

+ C

für t + oo

0

erfüllt, ist notwendig und hinreichend, dass a K(t) endlich ist*): oo

j t K(t) dt I'

(5)

=

=

1 und das erste Moment von

m.

0

Der Grenzwert C hängt von b und m in folgender Weise ab: b C= --. m

(6)

m die mittlere VerweilIn der Bevölkerungstheorie entspricht a = 1 einer Bevölkerung von stationärem Umfang.

*) Wenn K(t) die Bedeutung einer Ausscheideintensität hat, so heisst

zeit. -

§ 1. Asymptotik reeller Art: Stabilität bei Erneuerungsvorgängen

183

Beweis: a) Notwendigkeit. Es gelte (4), d.h.

I

t

F(-r:)

d-r:~ C t

für t +oo.

0

Nach dem Abelschen Satz 5 [I 13.1] ist dann E{ F} = f(s)

(7)

~ ;

für s + 0.

Da F die Lösung von (1) ist, hat f(s) folgenden Wert (siehe 25. 2.1):

(8)

f(s) = 1 ~(~(s)

mit g(s) = E{ G}, k(s) = E{ K};

daher ist (7) gleichbedeutend mit lim - -5

-

1 - k(s)

5 _,. 0

g(s) = C.

Nach (3) konvergiert E{ G} ins= 0, also ist nach Satz 1 [I 3. 5] limg(s) = b,

S-+0

folglich . k(s)-1 1lm----'---'---

(9)

S

S-+0

Demnach muss limk(s) = 1 sein. Da E{ K} nach (3) ins= 0 konvergiert und den S-+0

Wert a hat, so muss nach Satz 1 [I 3. S] lim k(s) = a, also a = 1 sein. Ausserdem ._,. o folgt aus (9) : (10)

k'(O)

Nun ist für s > 0

=

-I

-~-.

00

k'(s)

=

e-st t K(t) dt,

0

weil E{ K} für 9ls > 0 existiert. Wegen K ~ 0 gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist 00 lim le-st t K(t) dt S-+0

0

endlich oder gleich + oo. In beiden Fällen können wir schreiben: 00

limk'(s) = - l t K(t) dt = -m,

S--+0

0

184

9. Kapitel: Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation

wo m auch+= sein kann. Nach dem Satz in Anhang I, Nr.19, der auch gilt, wenn dort l' = ± = ist, ergibt sich hieraus: k' (0) existiert und ist gleich - m. Zusammen mit (10) liefert das: m ist endlich, und zwar gleich bJC. (Also ist C = bfm.) b) Hinlänglichkeit. Es sei nun a = 1 und m endlich. Dann ist k(O) = 1, also (11)

lim 1 -k(s)

-lim k(s)~k(O)

=

S

S->0

=

-k'(O),

S

S->0

wenn dieser Wert existiert, was wir sogleich zeigen werden. Fürs> 0 ist

j e-•t t K(t) dt. 00

k'(s)

=

-

0

Da das Integral wegen (5) fürs= 0 konvergiert und gleich m ist, so gilt nach Satz 1 [I 3. 5] : limk'(s) = -m. s->0

Nach Anhang I, Nr.19 existiert dann auch k'(O) und ist gleich- m. Wir können also für (11) schreiben: lim 1 -k(s) ~ m. s s->0 Damit ergibt sich auf Grund von (8) : (12)

lims f(s) = limg(s) ~5- = g(O)

s->0

1- k(s)

s->0

2. = _lJ__. m

m

Nun ist aber F(t) ~ 0 wegen (2) (siehe 25. 2.1). Nach dem Taubersehen Satz 3 (I 16. 1] folgt daher 1 lim -11 jF('r) dr = _lJ__.

t---+oo

m

0

Damit ist Satz 1 vollständig bewiesen. Wenn nicht bloss 1 dem Fall, dass die Fruchtbarkeit grösser als die Sterblichkeit ist. Der Satz besagt, dass dann F(t) exponentiell wächst. Beweis: Für a < 1 folgt aus (8) :

limf(s) = -1 b . - a

s ..... o

186

9. Kapitel: Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation

Wegen F(t)

~

0 ergibt sich hieraus nach dem Taubersehen Satz 3 [I 16. 1]: t

lim IF(r) dr

t--> oo

=

0

·--b-. 1 - a

(Es ist das der triviale Fall des Taubersehen Satzes, vgl. I, S. 505, 506.) Für a > 1 gibt es zunächst, weil k(O) = a > 1 ist und k(s) für reelles s monoton gegen 0 fällt, genau eine positive Wurzel p der Gleichung k(s) = 1. Ferner ist

I

00

e-Pt

t K(t) dt

=

k'(p)

-

0

konvergent. Führen wir die Funktionen

ein, so ist mit (1) offenbar auch die Gleichung F1 (t)

=

G1 (t)

+

I

t

K 1 (t - r) F1 ("r) dr

0

erfüllt. Ferner ist K 1 ~ 0, G1 ~ 0, K 1 und G1 in jedem endlichen Intervall beschränkt und integrabel und

I

00

0

wo b1 ein gewisser Wert

I

00

Kl(t) dt

=

k(p)

=

1'

Gl(t) dt

=

bl,

0

~0

ist. Also ist nach Satz 1:

Das ist die Behauptung.

§ 2. Taubersehe Asymptotik funktionentheoretischer Art. Beispiel: Der Primzahlsatz Zu der Taubersehen Asymptotik funktionentheoretischer Art ist dieselbe Vorbemerkung zu machen wie zu der reeller Art: Es kommen hier keine asymptotischen Entwicklungen, sondern nur Darstellungen durch eine einzelne VerglEichsfunktion in Frage. Das schönste Beispiel für diese Art von Asymptotik ist die Ableitung des Primzahlsatzes, der das Kernstück der analytischen Zahlentheorie bildet und 1896 zum erstenmal durch HADAMARD und DE LA VALLEE PoussrN gleichzeitig

§ 2. Asymptotik funktionentheoretischer Art: Primzahlsatz

187

auf sehr kompliziertem Weg bewiesen wurde 82 • Seitdem sind eine Reihe von wesentlich einfacheren Beweisen bekannt geworden. Obwohl in neuester Zeit ein Beweis gefunden wurde, der insofern sogar als elementar bezeichnet werden kann, als er nur rationale Funktionen, die Exponentialfunktion und den Logarithmus benutzt 83 , behält der Beweis vermittels Tauberscher Asymptotik 84 wegen seiner Übersichtlichkeit und Kürze seine besondere Bedeutung. Er benö· tigt einige Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion, die sich aber nur auf die Halbebene 9\s ~ 1 beziehen und kein Eindringen in den kritischen Streifen 0 < 9\s < 1 notwendig machen. In der Hauptsache wird nur die Eigenschaft C(1 + i y) =1= 0 benutzt 85 , nicht aber das Verhalten für Iy I + oo. Die zahlentheoretische Funktion A(n) ist folgendermassendefiniert: für n = pm, wo p eine Primzahl und m > 0 ganz ist, für alle andern ganzen n > 0.

Hilfssatz 1. Für 9\s > 1 ist (1)

-C'(s)

=

C(s)

I

A~:1.

n~I

00

Beweis: C(s) = I;1jn 5 konvergiert gleichmässig für 9\s~1+e (t::>O), also n~I

kann C'(s) nach dem Weierstraßschen Doppelreihensatz durch gliedweises Differenzieren gewonnen werden: C'(s) =

-I 1~sn

für 9\s > 1.

n~I

Da für 9\s > 1 die Reihen I; 1/n s und I; A(n) fn' absolut konvergieren, können sie gliedweise nach der Dirichletschen Regel multipliziert werden: A(n)

C(s) L; -;; 800

n~I

L; -n15 L; A(k), 00

=

k/n

n~I

wo das Symbol kfn bedeutet, dass über alle k summiert werden soll, die Teiler von n sind. Lautet nun die Primfaktorenzerlegung von n folgendermassen:

so kommen als Teiler k von n, für die A(k)

=1=

0 ist, nur in Frage:

Für die erste Gruppe ist A(k) = logp 1 , für die zweite A(k) = logp 2 usw., also ergibt sich:

L; A(k) k/n

= oc1 logp 1

+ ... + oc, logp, =

log (pf• ...

P:') = logn.

188

9. Kapitel: Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation

Demnach ist das obige Produkt gleich

f

l:~n

-C'(s).

=

n~1

HUfssatz 2. Für 9ls > 1 ist C(s) =F 0. 00

Beweis: I; A(n)fn• ist bei jedem

>0

8

n-1

für 9ls ~ 1 + 8 gleichmässig kon-

vergent, also für 9ls > 1 analytisch. Hätte C(s) in s0 (9ls 0 > 1) eine Nullstelle m-ter Ordnung (m ~ 1), so hätte C'(s) in s 0 eine Nullstelle m -1-ter Ordnung (das bedeutet im Falle m = 1: keine Nullstelle). Nach der Formel von Hilfssatz 1 ist aber s0 eine Nullstelle von mindestens m-ter Ordnung für C'(s). HUfssatz 3. Für 9ls > 1 ist

f

A(n) = _

n•

n~ 1

C'(s) C(s) ·

Beweis: Dies folgt aus Hilfssatz 1 und 2. HUfssatz 4. Für 9ls > 1 ist 00

_ _f]& C(s)

=

s ;··e-st m(e 1) dt •

T

'

0

wo

"P(x)

=}; A(v)

für x ~ 0

V~.%

gesetzt ist. Beweis: Nach Satz 1 [I 2. 6] kann man die Dirichletsche Reihe

f

A~:)

=

n~l

i

A(n) e-slogn

n~1

als l!-Integral schreiben, indem man definiert: n

A(t)

=}; A(v)

für logn ~ t

< Iog(n + 1),

d.h. für n

s

e1 < n

+ 1.

v~o

Dann ist für 9ls > 1 : 00

};

A~:)

00

=

s je-st A(t) dt.

n-1

0

Wegen A(t) = "P(e 1) folgt hieraus die Behauptung. HUfssatz 5. Für 9ls = 1 ist C(s) =F 0. Beweis: s = 1 ist für C(s) ein Pol erster Ordnung mit dem Residuum 1 (siehe I, S. 412 und 5. 3 dieses Bandes), also kann man schreiben:

C(s)

=

sh~~

'

189

§ 2. Asymptotik funktionentheoretischer Art: Primzahlsatz

wo h(s) in der Umgebung von s = 1 holamorph und h(1) =F 0 ist. Es ergibt sich:

l:.'(s)

=

-

_ _

h~

(s-1) 2

+

h'(s)

s-1

und

(1) so dass

~'(s)

___ 1_

C(s)

-

s -1

.

+

h'(s) h(s) '

~'(s)

bm (s -1) - - = -1 C(s)

s--+1

ist. Setzen wir ~'(s)

05) = q;(s). so haben wir gefunden: (2)

lime q; (1 + e) = -1.

e--+0

Hat ntin weiterhin C(s) in s 0 einem-fache Nullstelle (m;;:;; 0), was für m = 0 bedeuten soll, dass keine Nullstelle vorliegt, so ist C(s) = (s - s0 )m k(s), wo k(s) in der Umgebung von s0 holamorph und k(s 0 ) =F 0 ist; also gilt C'(s) = m (s- s0)m-l k(s) + (s- s0)m k'(s) und

m

k'(s)

q;(s) = s- so + 7i(S), so dass lim (s - s 0) q;(s) = m

(3)

S~So

ist. Angenommen, C(s) hätte in s0 = 1 + i y eine wirkliche Nullstelle mcter Ordnung, also m1 ;;:;; 1. Dann kann es in 1 + 2 i y eine Nullstelle haben oder nicht. Wir tragen dem Rechnung, indem wir sagen, es hätte eine Nullstelle m2-ter Ordnung mit m2 ;;:;; 0. Dann ist nach (3): (4)

limeq;(l+iy+e)=m ·-o

1

;;:;;1,

limeq;(1+2iy+e)=m ·-o

2 ;;:;;0.

Es sei nun spezielle reell. Dann gilt (4), da m1 , m2 reell sind, auch für 9lq; an Stelle von q;, und es folgt aus (2) und (4): (5)

·-o

lime [3 q; (1 + e) + 4 9l q; (1 + i y + e) + 9l q; (1 + 2 i y + e)]

190

9. Kapitel: Taubersehe Asymptotik der Laplace-Transformation

Nun schätzen wir die eckige Klammer vermittels der sich aus Hilfssatz 3 für cp ergebenden Reihe ab. Es ist für c > 0: 3 cp (1

+ c) + 4 9\ cp (1 + i y + c) + 9\ cp (1 + 2 i y + t:) =-

f; :}:~

(3

+ 4 9\n-iy + 9\n_ 2 ;Y).

n~l

Es ist 3 + 4 9\

n-iy

+ 9\ n-~iy =

2 + 4 cos (y logn)

+ 1 -+· cos (2 y logn)

=

2 [1

+ 2 cos (y logn) + cos 2(y logn)]

=

2 [1

+ cos (y logn)J2,

also 3 cp (1

+ t:) + 4 9\ cp (1 + i y + t:) + 9\ cp (1 + 2 i y + t:)

~

0.

Hiermit steht aber (5) in Widerspruch. Also kann C(s) in 1 + i y keine Nullstelle haben. Hilfssatz 6. DieFunktion cp( s) = (' ( s) / C(s) ist für % ;;::: 1 analytisch mit Ausnahme der Stelle s = 1, wo sie einen einfachen Pol mit dem Residuum -1 hat. Analytisch für 9\s ;;::: 1 bedeutet: analytisch für 9\s > 1 und in einer Umgebung jedes Punktes mit 9\s = 1. Beweis: Die Funktion C(s) ist in der ganzen Ebene analytisch ausser ins= 1. Da C(s) nach Hilfssatz 2 für 9\s > 1 und nach Hilfssatz 5 für 9\s = 1 nicht verschwindet, ist die Funktion cp(s) für 9\s ;;::: 1 analytisch mit Ausnahme der Stelle s = 1, wo sie nach (1) einen einfachen Pol mit dem Residuum -1 hat. Nun sind wir bereits in der Lage, einen Satz zu beweisen, der mit dem Primzahlsatz äquivalent ist. Satz 1. Für die summatorisehe Funktion VJ(x) = } ; A(v) gilt: Y~X

VJ(X)

~

X

für X-+ 00.

Beweis: Wegen A(v);;::: 0 ist VJ(x) für x;;::: 1 positiv und monoton wachsend, also auch VJ(e 1) für t;;::: 0 . .2{ VJ(e 1)} ist nach Hilfssatz 4 für 9\s > 1 konvergent und gleich -(1/s) [C'(s)/((s)]. Diese Funktion ist nach Hilfssatz 6 über 9\s = 1 hinaus analytisch fortsetzbar mit Ausnahme der Stelle s = 1, wo sie einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum 1 hat. Also ist nach dem funktionentheoretischen Taubersehen Satz 1 [I 16. 2]:

Dies ist mit der Behauptung gleichbedeutend. Aus diesem Satz folgt in der Tat auf völlig elementarem Wege 86 :

191

§ 2. Asymptotik funktionentheoretischer Art: Primzahlsatz

Satz 2 (Primzahlsatz). Für die Anzahl n(x) der Primzahlen ;;::;; x gilt: n(x) ~

X

-~

logx

für x -+oo.

Beweis: In 1p(x) = }; A(v) sind nur diejenigen Summanden von 0 verschiev~x

den, bei denen v die Gestalt pm (p =Primzahl) hat. Für ein festes p kommen die Potenzen

p, p2, ... , P'

in Frage, wo r die grösste ganze Zahl mit der Eigenschaft

P';;::;;

x

oder

r logp;;::;; logx

ist, d. h. r = [log xflogp]. Jede Potenz trägt zu 1p(x) den Wert logp, alle zusammen also [log xflogp] logp bei. Folglich ist ~ [logx] 1p(x) = ~ 1og-p logp. p~x

Hieraus ergibt sich die Abschätzung:

:~gpx logp = log x}; 1 = n(x) log x

1p(x) ;;::;; };

oder (für x

~

p~x

g

p~x

2) 1 ;;::;; :n(x) logx !p(X)

(6) Andererseits ist für 1 < w < x: n(x) = n(w)

+ }; 1 = W x 0 analytisch und erfülle in jeder Halbebene ~s ~ x 0 + x 0 die Bedingung f(s) = 0( Iy Ik,)

für

I y 1-+ oo

gleichmässig in x (k 0 2 0).

Dann gilt bei jedem k > k 0 für das (C, k)-Mittel des Partialintegrals von E{F} die endliche asymptotische Entwicklung

_(e-st Fj.!_!"_ tk

R::i

.f(k) L•l(s)_

V~ 0

V

tV

für t-+ oo

(Satz 2 [I 9. 5]). 5. Wenn F(t) in einem an t = 0 anstossenden endlichen Intervall 0 ~ t ~ T von endlicher Variation ist und E{F} = f(s) irgendwo konvergiert, so ist

wennszweidimensional in einem Winkelraum ID3(s 0 , Beweis: Nach Satz3 [I 14.2] ist T

je-st F(t) dt =

1p

< n/2) gegen oo strebt.

o( l~f),

0

wenn s in der Halbebene ~s ~ 0 (übrigens auch in jeder beliebigen Halbebene x0 ) zweidimensional gegen oo strebt. Ferner ist nach Satz 1 [I 14. 3]

~s ~

00

je-st F(t) dt = n(e-Tcosq>lsi) =

o(fsr)'

T

wenn s in IDJ(O, ({I) mit({!= 1p + [(n/2) - 1fJ]/2 zweidimensional gegen oo strebt. Da dieser Winkelraum von einer Stelle an den Winkelraum ID3(s 0 , 1p) umfasst, ist die Behauptung bewiesen. Wenn F(t) rechts von 0 nicht von beschränkter Variation ist, braucht f(s) nicht gleich 0(1/l s I) zu sein, wie das Beispiel F(t) = 1/Vn t, f(s) = 1/Vs zeigt. Andererseits ist die Bedingung der beschränkten Variation fürdie Gültigkeit von /(s) = 0(1/l s I) nicht notwendig; so ist F(t) = (1/Vn t) sin (1/2 t) rechts von 0 nicht von beschränkter Variation und trotzdem f(s) = (e-Ys)Vs) sinVs = 0(1/l s I). Ferner sei noch auf Satz 4 [I 14. 2] und die Sätze 1 und 2 [I 14. 3] verwiesen.

195

§ 3. Asymptotische Aussagen bei der il 11 -Transformation

§2. AsymptotischeAussagen über F(t) auf Grund derExistenzvonß{F} Bei Gelegenheit der Integrations- und Differentiationsgesetze der E-Transformation haben wir als Nebenergebnisse gewisse Abschätzungen gefunden, die wir hier zusammenstellen. Wir beschränken uns dabei auf die Ergebnisse für die Integration, weil in ihnen diejenigen für die Differentiation (sogar im verallgemeinerten Sinn, vgl. I, S.103) enthalten sind. 1. Wenn E{F} für ein reelles s 0 > 0 konvergiert, so gilt für t-+ oo

I I

F(r) dr = o(e 5' 1)

0

(Satz 1 [I 2. 12]), und allgemeiner

I

t

in F(r)

dr

=

o(e 5' 1),

n

=

0, 1, ...

0

(Bemerkung zu Satz 1 [I 3. 2], I, S. 148). 2. Wenn F(t)

~ 0 und E {jF(r) dr}

für s0 > 0 konvergent ist, so gilt

I

t

F(r) dr = o(e 5 ' 1)

für t-+ oo

0

(Satz 4 [I 2.12] in Verbindung mit Satz 1 [I 2.12]). 00 Bemerkung: Der Satz ist keineswegs trivial. Wenn f e-s,t f!J(t) dt konvergiert, 0

so braucht nicht e-s,t f!J(t)-+ 0 für t -+oo zu gelten, auch nicht, wenn f!J(t) ~ 0 ist. Der Satz besagt aber, dass e-s,t f!J(t)-+ 0 gilt, wenn f!J(t) monoton wächst. 3. Wenn E{F} für s0 < 0 konvergiert, so ist

I

00

F(r) dr

=

o(e 5 ' 1)

für t-+ oo

(Satz 9 [I 2.12]).

bei 1. Ist F(t) =

d~r

F(~

§ 3. Asymptotische Aussagen zweiseitigen Laplace-Transformation

+ i 'YJ)

in 'f/ 1

~ 'YJ ~ 'f/ 2

IF(t)i ~CeS.; für ~ ~ 0,

analytisch und

iF(t)i ~ C ex,< für ~ < 0

so genügt die in x 1 < x< x 2 analytische Funktion

Eu{F} =

(x 1 < x 2),

f(s) = f(x

+ i y)

196

10. Kapitel: Asymptotische Aussagen verschiedener Art

in x1 + o ~ x

~

x2

-

o (o> 0) den Abschätzungen

\f(s)J ~ C(o) e~'Y für y:;:::; 0, (Satz 1 [I 11.1]). 2. Ist /(s) = f(x \f(s)\

~

+ i y)

in x1

~

\f(s) ~ C(o) e~·Y für y < 0

x ~ x 2 analytisch und

C e~'Y für y:;:::; 0,

1/(s)l 0 die durch gliedweise Transformation entstandenen, punktweise konvergierenden Reihen für /(s), deren Glieder zu .f, 2 gehören, und umgekehrt: Zu einer auf der imaginären Achse im Mittel gegen f(i y) konvergierenden Reihe von Funktionen aus .f, 2 gehört eine in 9ts > 0 punktweise konvergierende Reihe, deren gliedweise Transformierte im Mittel gegen F(t) konvergiert (Satz 2 [I 12. 3]). In diesem der Übertragung von konvergenten Entwicklungen gewidmeten II. Teil betrachten wir zunächst einen weiteren allgemeinen Reihentyp, bei dem die gliedweise Übersetzung wieder eine konvergente Reihe liefert, nämlich die Entwicklung der Funktion F(t) in eine Reihe nach Potenzen von 1- e- 1 ; ihr entspricht im Bereich der Funktionen /(s) ein für die Analysis sehr wichtiger Reihentyp, nämlich die Fakultätenreihe. In allen bisher erwähnten Fällen ist mindestens eine der beiden Entwicklungen eine Reihe nach Potenzen einer gewissen Funktion. Solche Reihen bieten den Vorteil, dass sich ihr Konvergenzbereich unmittelbar feststellen lässt: er ist das durch die betreffende Funktion vermittelte konforme Abbild eines Kreises. Es wäre eine dankbare Aufgabe, weitere Korrespondenzen von konvergenten Reihen zu untersuchen, bei denen die eine Entwicklung nach Potenzen einer bestimmten Funktion fortschreitet und diesen Potenzen hinreichend einfache Funktionen im anderen Bereich entsprechen. Ein Beispiel liefern die Korrespondenzen

Ansebliessend an die Fakultätenreihen, also einen allgemeinen Reihentyp, behandeln wir eine grössere Anzahl von speziellen Reihen und ihre durch gliedweise i!-Transformation entstehenden Bildreihen.

203

11. KAPITEL

Fakultätenreihen § 1.

All~emeine Ei~enschaften

der Fakultätenreihen

Die Fakultätenreihen stellen ein wichtiges· Hilfsmittel beim Studium der Differential- und Differenzengleichungen dar. Sie lassen sich ähnlich wie die Dirichletschen Reihen stets durch Laplace-Integrale darstellen, wobei viele ihrer Eigenschaften eine besonders durchsichtige und einleuchtende Erklärung finden 90 • Unter einer Fakultätenreihe versteht man eine Reihe der Form

.f'l,+l~~~',,+nf ~.!;, (+)

(1)

Dass im Zähler des n-ten Gliedes der Faktor n! hinzugefügt wird, hat, abgesehen davon, dass auf diese Weise der Nenner als Binomialkoeffizient geschrieben werden kann, folgenden Grund: Man stellt der Reihe (1) an die Seite ihre « assoziierte)) N ewtonsche Reihe

~ (-1)n a _i.>-=-_1:~- n.)

(2)

L..J

n=O

n!

n

'

auch Interpolationsreihe oder Binomialkoeffizientenreihe - wegen

(s-1)- .. (s-n) -(s-1)-- (-1) n(n-s)

--~-----

n!

n

n

-oder Fakultätenreihe 2. Art genannt. Liessemanbei der Fakultätenreihe den Faktor n! weg, so müsste man bei der Newtonsehen Reihe im Nenner (n!) 2 schreiben, wodurch die Symmetrie der beiden Reihen verlorenginge. Wenn man die Punkte ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... ausnimmt, hat die Reihe (1) dasselbe Konvergenzgebiet wie die Reihe (2) und auch wie die Dirichletsche Reihe (3)

was wegen (vgl. Anhang I, Nr. 5) 1

T(s+l)

(s: n)- ~ -;zs-

und

(n- s) \ n

~

1

r(!=Sf

1

ns

einleuchtend ist. - Aus der allgemeinen Theorie der Fakultätenreihen setzen wir folgendes als bekannt voraus 91 :

204

9is

11. Kapitel: Fakultätenreihen

Hilfssatz 1. Das Gebiet einfacher Konvergenz von (1) ist eine Halbebene > Ä mit Ausschluss der eventuell in ihr liegenden Punkte der Folge

0, -1, -2, ....

Hilfssatz 2. Das Gebiet absoluter Konvergenz ist eine Halbebene 9is > Ä' mit derselben Ausnahme, wobei Ä ~ Ä' ~ Ä + 1 ist [wie bei den Dirichletschen Reihen der Form (3)]. Hilfssatz 3. In jeder Halbebene 9is ~ Ä + c (c >O) konvergiert (1) gleichmässig nach Ausschluss der darin liegenden Punkte 0, -1,- 2, ... durch kleine Kreise. Diese Eigenschaft ist für die praktische Verwendung von Fakultätenreihen besonders wichtig, weil sie zeigt, dass an der Reihe unmittelbar das Verhalten fürs-+ oo abgelesen werden kann (vgl. 11. 5). Hilfssatz 4. Es ist I n I log j 1: av! (4) Ä = limsup---1 v~O I für Ä ~ 0, ogn

n-+oo

Eavl

log I Ä = limsup--'-"':n_' n-+oo logn

(5)

für Ä < 0.

Hilfssatz 5. Die Fakultätenreihe stellt eine Funktion f(s) dar, die in 9is > Ä analytisch ist, ausser eventuell in den darin liegenden Punkten der Folge 0, -1, -2, ... ; in diesen besitzt f(s) entweder Pole erster Ordnung oder ist holomorph. Es ist nämlich, wenn die Punkte 0, -1, ... , - p in 9is > Ä liegen:

wobei die Reihe rechts, die dasselbe Konvergenzgebiet wie (1) hat und eine Fakultätenreihe mit der Variablen s + p + 1 darstellt, in der Umgebung der Punkte 0, -1, ... , - p gleichmässig konvergiert, so dass lim s (s

S-+-V 00 };

=

+ 1)

· · · (s

+ P)

p { f(s)-};

an n! (-v+P+l)···(-v+n)

--------~----~---- =

n~P+l

(

n~OSS+

a

nl

l)~·· ·(

s+n

00 }; (p- v)! an'---n · (n-v)! n~p+l

)

}

(v = 0, 1, ... , p)

ist. Für die linke Seite kann man schreiben: lim s (s

s---+-"v

=

+ 1) · · · (s + p) f(s)

p

- lim }; an n! (s S---+-vn=O

+ n + 1) · · · (s + P)

(-v) (-v + 1) · · · (-1) ·1· 2 · · · (-v +P) lim (s S-+ -V

p

+ v)

- };ann! (-v+n+1) ··· (-v+P) n=v

=

( -1)"

v! (p - v)! lim (s S-+-v

+ v) f(s)

P

-};an n! n=v

(p- v)

I

-(----=--); , n ~ .

f(s)

205

§ 2. Funktionentheoretische HUfssätze

so dass sich für das Residuum in s = - v ergibt*) :

(6)

(v

=

0, 1, ... , p).

Ist A. = 0, so ist f(s) in s = - v holomorph.

Einfaches Beispiel einer Fakultätenreihe:

(-1)"(~cc)n!

oo

1

s-~- = n~ s (s + 1) ... (s + n) 1

=

cc

oo =

(cc+;- 1)n!

n~ s (s + 1) ... (s + n)

cc(cc+1)

s + s (s + 1) + s (s + 1) (s + 2) + · · · ·

Hier ist A = .A' = 9t IX. Die Funktion hat nur einen Pol in s = IX und keineswegs ins= 0, -1, .... Für IX< 0 ist f(s) in 0, -1, . .. , -p >IX holomorph.

§ 2. Funktionentheoretische HUfssätze Um die Beweise der nächsten Paragraphen möglichst übersichtlich zu gestalten, schicken wir einige allgemeine funktionentheoretische Sätze voraus. Ist eine Potenzreihe q;(z) =

00

1.: d.. z"

für

n~o

Iz I
0, so dass

(3)

für alle z =1= 1 in dem Bereich Iz - 11 ~ 15, Iz I ~ 1 ist. Wir betrachten von vornherein nur die n mit 1/n < 15 und schlagen um z = 1 den im Einheitskreis

Figur21

liegenden Kreisbogen G:1 mit dem Radius 1/n; den an ihn anschliessenden Teil *) Es würde auch die allgemeinere Voraussetzung genügen, dass tp{z) in lzJ ~ 1 stetig mit Ausnahme von z = 1 ist. **) Dieser Satz ist das Analogon zu Satz 1 [I 15. 3].

208

11. Kapitel: F akul tätenreihen

der Peripherie I z I = 1 bezeichnen wir mit ([ 2 (siehe Figur 21). Dann ist

dn

2

=

~i

.! + ~T.!a:, z~(~)l dz · 2

ll:,

Auf ([1 gilt die Abschätzung (3). Weil dort 11- z I= 1jn und I z I ~ 1---:- (1/n) ist, ergibt sich: g:>(z) I e 1

!

I. I

a:,

n:)"+1 n -;;,-.

dz ;;;; -(1-)'"-(~ 1

zn+l

I

-:n-

1-

Da [1- (1/n)]"+ 1 -+ e- 1 für n-+ oo, gibt es eine von n und e unabhängige absolute Konstante C, so dass

l!

1 _TJ!)_dzl :::::Cen'"zn+l -

1

I

ist. Auf ([2 ist z = ei .~. Zu dem Schnittpunkt von ([ 2 mit dem Kreis vom Radius bzw. 1jn um z = 1 gehöre der Winkel{}= {}c bzw. {} = {}n· Dann ist

1 wichtig.

§ 2. Funktionentheoretische Hilfssätze

209

Damit ergibt sich: i

I

:S - 1" - 2n

d

C s n~'- 1

1+ -2n

K(s)

+ _1n

,u-1

___l!'_ s n 1' .. 1 == C1 s n~'- 1

+ --~·-· K(s) 2n '

wo C1 eine nur von fl, aber nicht von s abhängende Konstante ist. Dies gilt für alle n > 1jb. Wir wählen nun N so, dass K(s)/2 n < s N~'- 1 ist. Dann ist für n > Max (ljb, N): Hieraus folgt die Behauptung. Satz 4. Wird in Satz 3 die Voraussetzung (2) ersetzt durch

so gilt: für n -+ =.

d ~ _1:.__ n ~' + 1 F(,u)

n

Beweis: Wir betrachten cpl(z)

=

cp(z)-

--~= E[d -A(-lt(-,u)] zn. (1-z)~' n~o " n

Nach Voraussetzung ist

also nach Satz 3

oder

__nP-1 !:n__ +A Wegen (siehe Anhang I, Nr. 5)

(-1)"(-:) n~'

1

+

1 F(,u)

folgt hieraus die Behauptung. ro Satz 5. Wenn dn = o(n"'), ot > -1, ist, so konvergiert}; dn(1- zt zoc+ 1 zn 0 ~ z ~ 1 gleichmässig. n~o Beweis: Zu s > 0 gibt es ein n 0 , so dass Id" I < s n"' für n :S n 0 ist. Mithin ist für N :S n 0 und 0 < z ~ 1:

Doetsch II/14

210

11. Kapitel: Fakultätenreihen

Nach Anhang I, Nr.5 ist (man beachte cx

> -1)

n"'~(-1tF(cx+1)

(- fJ = Max (0, A.) als SJ- Transformierte der für 11 - e- 1 1< 1 (also u. a. für t ~ 0) konvergenten Reihe 00

F(t) =};an (1- e--tt

(3)

n~o

darstellen, wobei

(4) (e > 0 beliebig klein) ist, wenn t in 1.3 t I :;;; 1p < nj2 gegen Beweis 94 : Wir beweisen vorab Formel (1): oo

je

+=

strebt.

I

st

(1- e

1)"

dt

0

=

jz'(1-

zt~~z-

B(s, n

=

+ 1)

0

n!

F(s) F(n+l)

-r(S+n+l)-

s ··· (s

+ n)

·

Für x 0 > 0 ist zunächst formal

~ Je-x,t Ia" (1 -

e- 1)" \ dt

=~I a" 1Je-x,t (1- e-

0

1)"

dt

0

=n~ ~(Xo +~i~-~(~+n) · Ist nicht nur x 0 > 0, sondern auch x 0 > A. + 1, so ist die entstandene Reihe nach Hilfssatz 2 [11.1] konvergent. Nach Satz 2 [I 8. 3] konvergiert also 00

.I; an(1- e- 1)" für fast alle

t ~ 0 gegen eine Funktion F(t), und es ist

n~o

SJ{F} = f(s) für 9ts ~ x 0 • Da es sich um eine Potenzreihe in 1 - e- 1 handelt, so konvergiert die Reihe für alle t ~ 0 und infolgedessen auch für [1 - e- 1 I < 1, und zwar absolut. Damit ist die Darstellbarkeit von f(s) durch SJ{F} zunächst für 9ts > Max (0, A. + 1) bewiesen. Wir setzen nun 00

(5)

(")(1), und es ist

v\ if>("l(1) = (~1)" Av

(v

=

0, 1, ... , p).

if>(P" 1)(1) braucht nicht zu existieren. Um eine Abschätzung von if>(P+Il(z) für z-+ 1 zu bekommen, gehen wir aus von der Gleichung 11. 2 (6): 00

if>(z) - f/>(1)

=

(z - 1)}; cn Z" n~o

00

mit c,. = };av. v=n+l

§ 3. Darstellung einer Fakultätenreihe als Laplace-Transformierte

215

Für 0 ~ z < 1 ist 00

0 genau so weit, wie die ursprüngliche Reihe (C, e)-summabel ist, wenn die Summabilitätsabzisse positiv ist 97 •

§ 4. Darstellung einer Laplace-Transformierten durch eine Fakultätenreihe Wenn eine ~-Transformierte f(s) = ~{F} durch eine Fakultätenreihe darstellbar sein soll, so muss nach Satz 1 [11. 3] notwendig F(t) eine analytische Funktion sein, die sich durch eine für 11- e -t I< r (r ~ 1) konvergente Reihe F(t) =}.;an (1- e- 1)"

(1)

n

o=

0

darstellen lässt. Das Konvergenzgebiet ist das Abbild der Kreisscheibe Iz I < r 7j

'

Figur 23

vermittels der Transformation z = 1- e- 1 und wird begrenzt von der Kurve J1-e- 1 l=r oder, t=~+i'f} gesetzt: 2 COS'YJ = e-;- (r 2 -1) e~. = 1 hat sie die Gleichung 2 cos'YJ = e-". Da wegen e -~ > 0 nur möglich ist und e-~ ;o;; 2 sein muss, erstreckt sich die Kurve von dem Punkt ~ = -log 2, 'YJ = 0 in zwei Ästen nach rechts und nähert sich asymptotisch den Horizontalen 'YJ = ±n/2 (Figur 23). (Die durch Verschieben um

Im Falle r

I'YJ I < n/2

220

II. Kapitel: Fakultätenreihen

Multipla von 2 n nach oben und unten entstehenden Kurven haben dieselbe Gleichung, kommen aber nicht in Frage, weil das durch die Kurve begrenzte Gebiet die positiv reelle t-Achse, d. h. die $-Achse enthalten muss.) Im Falle r > 1 nimmt e-;- (r 2 - 1) er; alle positiven und negativen Werte an, aber nur diejenigen $ liefern reeller;, für die I e-;- (r 2 -1) er; I~ 2 ist. Den beiden Extremwerten ± 2 entsprechen die $-Werte -log(r+1) und -log(r-1), zu ihnen gehören die r;- Werte 0 und ± n sowie die um Multipla von 2 n von ihnen verschiedenen Werte. Der im Streifen Ir; I ~ n verlaufende Kurventeil wiederholt sich periodisch nach oben und unten und begrenzt ein einfach zusammenhängendes Gebiet (Figur 24). In ihm muss F(t) analytisch und durch (1) darstellbar, also periodisch mit der Periode 2 n i -t.og-"'"--(r_.!L)Q---------'"-'---+---.g sein. In diesem Fall gilt der einfache Satz 1. WennF(t) in demGebiet 11- e- 1 I< r mit r > 1 analytisch und periodisch mit der Periode 2 n i ist und sich daher durch eine Reihe der Form (1) darstellen lässt, so ist f(s) = E{F} fiir % > 0 durch die Fakultätenreihe /(s)

~ n~ s (s

darstellbar. Beweis: Es ist (e

Figur 24

1

n~o

rxs-l.f;

I

an_~--+ 1) · · · (s + n)

1=

x)

1

00

/e-' .f; an (1- e-tt dt

0

oo

=

=

Ö

an (1- x)" dx.

n~o

Die Reihe konvergiert für 11 - x I < r mit r > 1, also für 0 ~ 1 - x ~ 1, d. h. 0 ~ x ~ 1 gleichmässig, so dass für 9ts > 0 das Integral mit der Summe vertauscht werden kann:

Im Falle r = 1 kommt nur das die reelle t-Achse enthaltende Gebiet 11- e- 1 I < 1, das wir mit .R bezeichnen wollen, in Betracht (Figur 23), so dass die Periodizität fortfällt. Es muss aber nun eine Bedingung über F(t) oder an hinzugefügt werden, da F(t) nach Satz 1 [11. 3] notwendig eine Wachstumsbeschränkung zu erfüllen hat. Wir formulieren zunächst einen Satz, der eine Voraussetzung über an macht und den wir bei dem folgenden Satz brauchen werden.

221

~ 4. Darstellung einer Laplace-Transformiertcn als Fakultätenreihe

Satz 2. Wenn F(t) in 5l analytisch ist und sich daher durch eine Reihe der Form (1) darstellen lässt, und wenn an= O(n q) für irgendein reelles q ist, so ist f(s) = .2{F} für % > Max (q + 2, 1) als Fakultätenreihe darstellbar. Beweis: Wir setzen Max(q, -1) = p. Dann ist an= o(nP+'), e > 0, und 00

P+e>-1, also .Ean(1..:...x)nxP+e+l nach Satz5 [11.2] in o;;;:x;;;:1 n~o

gleichmässig konvergent. Daher können wie beim Beweis von Satz 1 Summe und Integral vertauscht werden, wenn 9\(s -1) ~ p + e + 1, d. h. 9\s > p + 2 ist. · Der folgende Satz macht eine Wachstumsvoraussetzung über F(t) und stellt daher eine Umkehrung von Satz 1 [11. 3] dar. Es ist aber zu beachten, dass die Bedingung für F(t) jetzt einen schärferen Charakter hat, insofern sie nicht nur in 1 ~ t I ;;;: VJ· < n/2, sondern in dem ganzen Bereich 5l erfüllt sein muss. Satz 3. Wenn F(t) im Innern und auf dem Rand von 5l mit Ausnahme von t = oo analytisch ist und die Bedingung erfüllt (2)

(fl,

~

0),

wenntindem abgeschlossenen Bereich 5l gegen oo strebt*), so ist f(s) = .2{F} für 9\s > fl durch eine F akuttätenreihe darstellbar. Beweis: Wenn F(t) in 5l analytisch ist, lässt es sich dort in die Reihe (1) entwickeln. Für die zugeordnete Funktion (]J(z) folgt aus (2) wegen z = 1- e-t:

(3) wenn z in dem abgeschlossenen Kreis Iz I ;;;: 1 zweidimensional gegen 1 strebt. Ausserdem ist (]J(z) in Iz I ;;;: 1 analytisch ausser im Punkt 1. Verwenden wir statt (3) die schlechtere Abschätzung (]J(z) = o

(r

1_

z~p+H•)

(e

> 0),

so ist fl + 1 + e > 1, und Satz 3 [11. 2] liefert: an= o (n~'+&). Dann ist aber f(s) nach Satz 2 als Fakultätenreihe darstellbar, und zwar für 9\s

> Max (fl, + e + 2, 1) =

fl

+ 2 + e,

also für 9\s

> ft + 2.

Dieses Ergebnis können wir verbessern. Es ist nämlich nach (3) 1

~ z (]J(z) =n~(~ av) Zn= 0 ( j l - z~l'+l+e)

und (]J(z)/(1- z) in Iz I ;;;: 1 ausser z wegen ft + 1 + e > 1 : n

=

1 analytisch, also nach Satz 3 [11. 2]

}; av = o (n~'+e).

v~o

*) Diese Bedingung ist damit gleichbedeutend, dass F(t) = O(e1'1 1 1) ist, wenn t in~ zweidimensional gegen oo strebt, weil in~ das Verhältnis \ntjjtj gegen 1 für t-7-oo strebt.

222

11. Kapitel: Fakultiitcnreihen

Daher ist c])(z)/(1- z) höchstens von der Ordnung f1 + 1 + s [siehe die Definition 11.2 (1)]. Die Konvergenzabszisse A der Fakultätenreihe für f(s) kann negativ sein. Ist sie aber ~ 0, so ist nach Satz 6 [11. 2] die Ordnung von c])(z)/(1- z) gleich A + 1, also .A. + 1 ~ f1 + 1 + e oder, da e beliebig klein ist, .A. ~ fl·

§ 5. Darstellung einer Laplace- Transformierten durch eine asymptotische Fakultätenreihe Wenn eine Fakultätenreihe eine Konvergenzhalbebene ms > .A. besitzt, so stellt sie für die Funktion auch eine asymptotische Entwicklung für s -+oo dar (siehe 2. 2), und zwar wenn s zweidimensional in ms ~ .A. + s (s >. 0) gegen oo strebt. Denn in der Gleichung

s (s + 1) .. · (s + n) {f(s) - "." ----- av_!'! --- --} v~ s (s + 1) · · · (s

=

an:i-1 (n+ 1)_!_ s +n +1

+ v)

+ __ ~n_+ 2 (n_±_~-- + ... (s + n + 1) (s -t- n -t- 2)

ist die rechte Seite eine für ms > .A. konvergente Fakultätenreihe (in der Variablen s + n + 1), die für ~ .A. + s nach Hilfssatz 3 [11. 1] gleichmässig konvergiert, so dass sie fürs-+ oo in ms ~ .A. + s gegen 0 strebt, weil die einzelnen Reihenglieder gegen 0 streben (Anhang I, Nr.17):

ms

(1)

s(s+1) ..

s

·(s+n){f(s)-~ -}-+0 6 s (s + 1)avv! .. · (s -t- v)

ms

für -+ oo in ~ .A. + s. Das ist die Bedingung für asymptotische Entwicklung. Hieraus erhält man nebenbei eine rekursive Darstellung der Koeffizienten, n

indem man in L; das letzte Glied abspaltet: v=O

(2)

a

n

=

1

{

n-1

lim ·· - s (s + 1) ·. · (s + n) f(s)- "

s__,. 00

n!

I

av v.

v~s(s-t-l) .. ·(s+v)

I

)'

Aus ihr geht hervor, dass die Funktion die Koeffizienten eindeutig bestimmt. (Im Gegensatz dazu ist die Entwicklung einer Funktion in eine Interpolationsreihe (siehe 11. 1) nicht eindeutig 98 .) Wir betrachten nun allgemein Fakultätenreihen, die nicht zu konvergieren brauchen, aber asymptotische Entwicklungen für ·s-+ oo darstellen, d. h. die Bedingung (1) erfüllen 99 • Es wird sich zwar herausstellen, dass unter den Bedingungen, unter denen wir die asymptotische Entwickelbarkeit einer Funktion in eine Fakultätenreihe beweisen werden, auch eine asymptotische Entwicklung in eine Potenzreihe möglich ist, doch sind bei gewissen Problemen in der Theorie der Differential- und Differenzengleichungen die Fakultätenreihen schmiegsamer als die Potenzreihen.

223

§ 5. Laplace-Transformierte als asymptotische Fakultätenreihe

Wir werden Funktionen f(s), die durch ~-Integrale dargestellt sind, in asymptotische Fakultätenreihen entwickeln. Hierzu können wir die bei der Entwicklung in asymptotische Potenzreihen benutzten Gedankengänge sinngernäss übertragen. Zunächst betrachten wir das Analogon zu der in 10.1, Nr.1 angegebenen Methode. Satz 1. Es sei f(s) = ~{F}. F(t) sei für t ~ 0 beliebig oft differenzierbar, die Transformierten ~{F(•l}, v = 0, 1, ... , mögen sämtlich existieren*). Bildet man eine Funktionenfolge Fn(t) vermittels der Rekursionsformeln

... , so lässt sich f(s) in .die im allgemeinen divergente Fakultätenreihe (3)

Fn(O)

oo

~n~-s(s+~~Ts-+n)"

f(s)

asymptotisch entwickeln, wenn s in einem Winkelraum W (s 0 , dimensional gegen CXJ strebt. Beweis: F,.(t) hat die Form Fn(t)

=

besitzt also eine

ent (cx1 F' +

· · · + cxnF(n))

·~-Transformierte.

die ~-Transformation an [~{ F"} S

oder

fn(s

+ n)

=

< n/2)

zwez-

für n ~ 1, F~(t) =F(t),

Wenden wir auf die Gleichung

fn(s)], so ergibt sich:

fn(s) - Fn(O) =

'1fJ

Fn(O)

fn+l(s

=

+ 1)

s +n- + s-=~1z fn+l(s + n + 1), 1

also der Reihe nach

Setzt man jede Gleichung in die vorhergehende ein, so erhält man

f(s) für n

=

=

F(O)

s

+

F 1 (0)

s (s + 1)

+ ... +

0, 1, .... Da bei festem n die

*) Die Konvergenzabszissen der konvergieren wie z. B. bei F(t)

+ oo

Fn(O)

s (s + 1) · · · (s + n)

=.2{FI•I}

sinet.

+ _ln+ 1_(~+12__-:J:-_!)_

~-Transformierte

s (s + 1) · · · (s + n)

fn+ 1 (s

+ n + 1)

dürfen verschieden sein und sogar für

V-+

gegen

oo gegen

224

11. Kapitel: Fakultätenreihen

0 konvergiert, wenn s in IID(s0 , ergibt sich: f(s)

=

~_(~ + s

_!'i(O)_ s (s + 1)

1p

< :rr/2)

zweidimensional gegen

=

strebt,

+ ... + --Fn(O) - + ~(------_!_·----)' ,· s (s , 1) ... (s + n) s (s-+- 1) ... (s + n)

was mit (3) gleichbedeutend ist. Während für die Konvergenz der Fakultätenreihe die Holamorphie von F(t) in dem Gebiet .R notwendig ist (Satz 1 [11. 3]), kann die Reihe die Funktion asymptotisch für s-+- = darstellen, wenn F(t) nur auf der reellen Achse definiert und mit allen Ableitungen versehen ist. In diesem Fall hat man für die Koeffizienten die einfache Darstellung

(4)

Da bei einer konvergenten Fakultätenreihe die Voraussetzungen von Satz 1 nach Satz 1 [11. 3] immer erfüllt sind, gilt diese Koeffizientenformel auch bei der konvergenten Reihe. Um das Analogon zu dem allgemeinsten Satz über asymptotische Potenzentwicklungen (Satz 1 [3.1]) zu gewinnen, beweisen wir zunächst folgenden Satz von Abelschem Charakter:

Satz 2. Wenn .B{F} = f(s) eine Konvergenzhalbebene besitzt und F(t) ~A (1- e- 1)"'

(A beliebig, 9\(x

> -1)

für t -+-0

ist, so gilt:

/(s)

~A

F(rx

T(s) + 1) -------F(s+oc+1)'

< :rr/2) zweidimensional gegen= strebt. Beweis: Es ist 1- e- 1 = t - (t 2 f2) + .. · ~ t für t-+- 0, also F(t) t-+ 0. Aus Satz 1 [I 14.1] folgt (vgl. Anhang I, Nr. 5):

wenn s in IID(s 0 , 1p

/(s) ~ A F(rx

+ 1) ·so:+l _1:__ ~ A F(rx + 1) _ _!'__(!)__ F(s+oc+1)

~A

t"' für

für s-+- = in liD.

Hieraus ergibt sich nun der sehr allgemeine Satz:

Satz 3. Wenn f(s) als .B-Transformierte E{F} darstellbar ist und F(t) für t (reell) -+-0 eine asymptotische En.twicklung der Form 00

(5)

F(t) ~};an (1-

e 1)"'»

(-1

< 9t rx0 < 9t rx1 < ·· ·)

n=-0

besitzt, so lässt sich f(s) in eine asymptotische > *) entwickeln:

(6)

~ a _r!ocn + lL_ f(s) .~ _ F(s) L.. r( n~o

n

s+ocn+l)

f..ur s-+ =

. zn

an(. .:w s

0,

< :n) .

1p . -2

*) Derartige Reihen treten in der Theorie der Differentialgleichnngen auflOO,

§ 5. Laplace-Transformierte als asymptotische Fakultätenreihe

225

Beweis : Es ist n

F(t) -_L'a.(1-e- 1)"•=o((1-e- 1)"n)

für t-+0,

v~o

also nach Satz 2 (mit A

f(s) -

=

j; a .ß { (1 -

v~o

v

0): e- 1)"•}

Wegen

o (--Tjs] __)

=

r ro

.ß{ (1- e- 1)"} =

B(s,

r 1

(1- e- 1)" dt =

e-st

X5

(1- x)"-

0

ö =

für s-+ oo in W.

T(s+txn+l)

ct.

+ 1) =

a;

T(s) T(tx+l) T(s + tx + 1)

ergibt sich die Behauptung. Sind die ct.n speziell ganzzahlig, so ist die Reihe (6) eine gewöhnliche Fakultätenreihe. Da der in den Anwendungen am häufigsten auftretende Fall der ist, dass F(t) in der Umgebung von t = 0 holamorph und infolgedessen in eine (in einem gewissen Bereich

11- e- I < e) konvergente 1

ro

Reihe

.1.: an (1-.e-t)n

ent-

n~O

wickelbar ist, formulieren wir diesen Spezialfall von Satz 3: Satz 4. Wenn f(s) = .ß{F} ist und F in einer Umgebung von t = 0 holamorph und infolgedessen in eine konvergente Reihe der Form 00

F(t) =};an (1- e- 1t

(7)

n~o

entwickelbar ist, so gilt für f(s) die asymptotische Fakultätenreihe

(8)

fürs -+oo

in

w(so, "P < ;) .

Selbstverständlich ist in diesem Fall F(t) auch in eine konvergente Potenzreihe und f(s) nach Satz 3 [3.1] in eine asymptotische Reihe nach absteigenden Potenzen von s entwickelbar, aber manchen Problemen ist die Fakultätenreihe besser angepasst als die Potenzreihe. Während für die Konvergenz der Reihe (8) die Holamorphie und eine exponentielle Beschränkung von F(t) in dem Gebiet .R notwendig ist, genügt für die asymptotische Entwicklung (8) die Holamorphie von F(t) in einer beliebig kleinen Umgebung von t = 0, ja sogar die asymptotische Entwickelbarkeit von F(t) in eine Reihe der Form (7) für reelle t-+ 0. · Bemerkung: Eine .ß-Transformierte lässt sich unter gewissen Voraussetzungen auch in eine Interpolationsreihe bzw. eine Verallgemeinerung hiervon Doetsch IIJ15

226

ll. Kapitel: Fakultätenreihen

entwickeln 101 • Es ist 1

00

f(s) =fe-st F(t) dt =I X 0

[G(x)

=

1 5-

G(x) dx =I xs-- 1 x" G(x) dx

1

0

0

F( -log x), oc ein Parameter, der grössere Freiheit ermöglicht]. Wegen

xs-"- 1 =(1-(1-x))S-C>-l=f(-1te-:- 1)(1-xt

für [1-x[ 0 ist (siehe 11. 3) und umgekehrt jede analytische Funktion mit dieser Eigenschaft eine E-Transformierte ist, so kann man in Satz 3 die Bedingung, dass f(s) eine E-Transformierte ist, durch die Forderung (3) ersetzen.

§ 7. Das

Konver~enzproblem

der

verall~emeinerten

Fakultätenreihe

Wenn man von einer Fakultätenreihe weiss, dass sie für 9ts > a konvergiert, so braucht a nicht die Konvergenzabszisse der Reihe zu sein. Die Frage, wie man aus den analytischen Eigenschaften der durch die Reihe dargestellten

230

11. Kapitel: Fakultätenreihen

Funktion darauf schliessen kann, bis zu welcher Geraden die Reihe wirklich konvergiert, heisst das Konvergenzproblem der Fakultätenreihen. (Vgl. das entsprechende Problem für das .2-Integral in I 5. 2 und für Dirichletsche Reihen in I 5. 3.) Für gewöhnliche Fakultätenreihen können wir es nicht in befriedigender Weise lösen, wohl aber kann man für verallgemeinerte Fakultätenreihen Sätze aufstellen, die unter Ausnutzung der Variabilität von w die Konvergenz in einfache Beziehung zu funktionentheoretischen Eigenschaften der dargestellten Funktion, wie z. B. zu der am weitesten rechts liegenden Singularität bringen. Ein Beispiel ist der folgende 104 Satz 1. Eine gewöhnliche F akuttätenreihe konvergiere für 9ts > a > 0. Die dadurch definierte Funktion f(s) sei, analytisch fortgesetzt, noch in 9ts ;;:;; x1 ;;:;; 0 (x1 < a) holamorph mit Ausnahme der Stelle s0 (x1 < 9ts0 = x 0 < a), wo sie eine Singularität eindeutigen Charakters (Pol oder isolierte wesentlich singuläre Stelle) besitzt. In dem Streifen x1 ;:::; 9ts;:::; a + 0 gleichmässig konvergent. Dann konvergiert die zu f(s) gehörige verallgemeinerte F akuttätenreihe mit dem Parameter w > 1 mindestens für a-x

%>xo+--~. w

f(s) lässt sich also in jedem Punkt der Halbebene 9ts > x 0 durch eine verallge-

w

meinerte F akuttätenreihe mit einem gewissen darstellen. Beweis: Nach Satz 1 [11. 3] ist f(s) eine .2-Transformierte .2{F}. Es ist

J

a+btioo

(1)

F(t)

=

V. P.

2 ~T

e1s f(s) ds

a -1-6- i oo

(2) wenn t in I rJ I ;:::; "P < n/2 gegen oo strebt. Da f(s) in a ;:::; 9ts ;:::; a + 1 vorgegeben,

denken wir von vornherein tp so nahe an n/2 gewählt, dass Setzen wir oc. = tpfw 112 , so ist für 0 ~ rJ ~ oc.: k(n) ~ x 0 + 8

also nach (3) :

F(t)

(5)

= O(e"~)

li2 = + -a-x w 0

tp w 1/ 2 ~

t-t

für ~-+ oo

so n/2 ist.

(t-t

(0

~

> 0)'

rJ ~ oc.).

Dasselbe lässt sich für -oc. ~ rJ ~ 0 beweisen, also gilt es für \ rJ \ ~ oc.. Da w oc. = tp w 112 ~ n/2 ist, lässt sich f(s) nach Satz 1 [11. 6] in eine verallgemeinerte Fakultätenreihe mit dem Parameter w entwickeln*), die man auch als gewöhnliche Fakultätenreihe in der Variablen sfw schreiben kann:

(6)

f(s) =

1

~

n!

wn~ sfw [(s/w) + if-.. [(sfw) + n] ' Cn

zu der die zugeordnete Funktion (7)

P(z)=F(-~

log(1-z))=fcnzn n~o

gehört. Die Konvergenzabszisse der Fakultätenreihe kann man nun aber, wenn ist, nach Satz6 [11.2] aus der Ordnung der Funktion P 1 (z) = P(z)/(1-z) bestimmen, und letztere lässt sich folgendermassen abschätzen: F(t) war holomorph für alle t in 5\ mit Ausnahme von t = oo, also ist P(z) holomorph für alle z, für die -log (1 - z) in w .Rliegt, mit Ausnahme von z = 1. Diese Punktmenge reicht aber ausser in z = 1 über den Einheitskreis hinaus, denn letzterem entspricht der Bereich .R; dem Bereich w 5\ (w > 1) entspricht also ein über den Einheitskreis hinausgreifendes Gebiet. Demnach ist P(z) in und auf dem Einheitskreis analytisch mit Ausnahme von z = 1, und ferner ist nach (5): sie~ 0

(8) *) Was die Bedingung ew m > 2 angeht, so ist F(t) in dem Gebiet .R, also bis -m = -log 2 analytisch, so dass ewm = 2 w > 2 ist. Allerdings füllt .R den Halbstreifen ~ > -m, I'fJ I :!}; ~~-

für s-+ oo.

n=ooQ

An Satz 3 knüpfen wir nun mit der Theorie der Fakultätenreihen an. Hat der Winkelraum, in den F(t) fortsetzbar ist, speziell die Gestalt Iarct I< ß, so ist F(t) in einem die positiv reelle Achse im Innern enthaltenden Streifen analytisch und vom Exponentialtyp, also~{ F} = f(s) nach Satz 1 [11. 6] in eine verallgemeinerte Fakultätenreihe entwickelbar. Dies können wir so ausdrücken 105 : Satz 4. Lässt sich eine divergente Potenzreihe

CO

.E a"fs"+ 1 unter

den Voraus-

n~o

setzungen von Satz 3 (mit IX= -ß) durch das Boretsche Integral (5) zu einer Funktion f(s) summieren, deren asymptotische Entwicklung für s-+ oo in Iarc s I < ß sie ist, so lässt sich f(s) auch durch eine in einer Halbebene konvergente verallgemeinerte F akuttätenreihe

mit hinreichend grossem w darstellen, wo die Koeffizienten cn sich durch die Entwicklung F (-

~

log (1 - z))

=

f

n~O

bestimmen.

cn z"

236

12. KAPITEL

Spezielle Reihen

In diesem Kapitel ·betrachten wir konvergente Reihenentwicklungen für spezielle Funktionen, die sich durch gliedweise Anwendung der E-Transformation in konvergente Reihen für die entsprechenden Bildfunktionen übersetzen lassen. Dieser Zusammenhang zwischen zwei Reihen ist insofern an sich interessant, als er zeigt, dass scheinbar sehr weit auseinanderliegende Reihenentwicklungen in Wahrheit ((äquivalent» sind, d. h. sich durch eine Funktionaltransformation ineinander überführen lassen. Darüber hinaus ist er oft überhaupt das bequemste (und manchmal einzige) Mittel, um eine von den beiden Entwicklungen zu gewinnen. Dabei ist generell zu bemerken, dass die gliedweise Anwendbarkeit der E-Transformation stets eigens bewiesen werden muss, weil es keinen allgemeinen Satz gibt, der alle vorkommenden Fälle umfasst. Immerhin sei hier besonders auf Satz 2 [I 8. 3] verwiesen, der bei sehr zahlreichen Reihen den Übergang von der Entwicklung der Bildfunktion zu der der Originalfunktion zu legitimieren gestattet. Der Vorteil der hier aufgezeigten Herleitungsmethode für Reihenentwicklungen liegt darin, dass sie die ganze Schwierigkeit in eine scharf umrissene Aufgabe verschiebt, nämlich die Rechtfertigung der gliedweisen Transformation. Diese führen wir im folgenden bei den einzelnen Reihen nicht durch, weil sie einen unverhältnismässig grossen Raum beanspruchen würde und es hier nur darauf ankommt, an einigen besonders eindrucksvollen Beispielen die Schlagkraft der Methode zu zeigen. Eine oft benutzte Wendung des Verfahrens ist die folgende: F(t) ist durch eine Reihe definiert; gliedweise Transformation führt auf eine Reihe für f(s), die sich in geschlossener Form summieren lässt; die so gewonnene Funktion lässt sich auch auf andere Weise in eine Reihe entwickeln; deren Rücktransformation ergibt für F(t) eine zweite Reihendarstellung, so dass man die Gleichheitzweierganz verschiedener Reihen bewiesen hat. Entsprechend, wenn man von einer Funktion f(s) ausgeht.

§ 1. Die lineare Transformationsformel der Thetafunktion Ein besonders schönes Beispiel für die in den vorigen Zeilen geschilderte Methode haben wir bereits im I. Band vorgeführt. Die Thetafunktion # 3 (v, t)

237

§ 1. Lineare Transformationsformel der Thetafunktion

ist ursprünglich definiert durch die Reihe 00

(1)

{}3 (v,

t)

1 + 2}; e-•'n't cos2 v :rc v

=

•-1

(0 ~ v ~ 1, 9lt > 0).

Gliedweise Transformation liefert: (2)

(9ls

> 0).

Die rechte Seite ist die Partialbruchentwicklung der Funktion cosh{2v-1) Vs I3 (V S) -_ -----:::!:--------="-'

VSsinhVS

(Beweis dieser Behauptungen siehe I, S. 52 und 279:...281). Stellt man die hyperbolischen Funktionen durch Exponentialfunktionen dar und entwickelt den Quotienten in eine geometrische Reihe, so erhält man für / 3 (v, s) eine Reihe nach Exponentialfunktionen (siehe I, S. 296): (3)

j 3 (v, s) =

~ (e-2vVs + f; e-2(n+vlV7 + f; e-2(n-vlV7). Vs n-1 n-1

Deren gliedweise Rücktransformation ergibt: {} 3 (v,

(4)

+CO

1

t)

(v+n) 1

= •'-' } ; e --~-.

yntn--oo

Gleichsetzen von (1) und (4) liefert die wichtige lineare TransformatiOnsformel der Thetafunktion {} 3 (v, t) 106 : (5)

oo

1

1

ffa(v,t) =1+2};e-•" 1 cos2v:rcv=

•-1

v1

+oo _ (v+n)'

};e

ntn--oo

t

Für den Spezialfall v = 0 fügen wir einen noch einfacheren Beweis an, bei dem die Thetafunktion nicht wie oben als Originalfunktion, sondern als Bildfunktion erscheint 107 • Nach I, S.151 ist (in etwas veränderter Normierung) (6)

Nun lässt sich bekanntlich die mit 2 :rc periodische Funktion X ] [ S(x)=2n

in die Fourier-Reihe

S(x)

=

2_

X -+ -21 2n

J; sinnx n

nn-1

238

12. Kapitel: Spezielle Reihen

entwickeln, so dass die Originalfunktion durch folgende Reihe dargestellt wird: (7) Gliedweise Transformation liefert nach I, S. SO:

-2{[fT]} = :n

(8)

2

4

1

V:n

5 a12

__ 1 2

s

+ ~1_ ~ e-n'/4s

2Vn

5 a12

n~

•

Setzt man die Entwicklungen (6) und (8) gleich, so ergibt sich ßa(O, 4 s)

=

1+

2f

e-4n'v's

v-1

=

1

2V:ns

+ _1_ f; e-n'f4s. VnSn-1

Die Transformationsformel für ß 3 (0, t) erweist sich also als «äquivalent n mit der ganz elementaren Fourier-Entwicklung (7). Ferner geht aus I, S. 412 hervor, dass sie auch mit der Riemannschen Funktionalgleichung der C-Funktion äquivalent ist (vermittels der Mellin-Transformation) 108 •

§ 2. Entwicklungen nach Besselschen Funktionen, die mit der linearen Transformationsformel für die Funktion ff3 (v, t) äquivalent sind 1o9 Aus

-2{10 ((n

+ v)

VT)} = ~

e-(n+v)'f 4 s

(9\s > 0, n + v reell)

folgt durch Summation:

Nach 12.1 (5) ist die rechte Seite gleich (2)

2 vq(1+:fe- 4 m'n'scos2mnv).

Wendet man auf die Korrespondenz

die Regel III an, so ergibt sich: Zu Vnfs e- 4 m'n's gehört als Originalfunktion

239

§ 2. Entwicklungen nach Besselschen Funktionen

Also folgt aus (1) und (2):

EL%Jo((n +

v)

Vt)} =

2

Er

q)o(t)

+ :f(/)m(t) cos2 mn v}.

Daher ist bis eventuell auf eine Nullfunktion: 1

E lo((n+ v) vn =

00

+OO

2

n""'-oo

q)o(t)

+ 2};(/)m(t) cos2 mn V. m=l

.

Auf der rechten Seite verschwinden bei festem t alle Glieder bis auf endlich viele, so dass die Formel so geschrieben werden kann: (3)

mit t > 0 und =1=4 m 2 n 2 , p = [Vtf2n], 0 ~ v < 1. Beide Seiten haben in v die Periode 1. Mit t = x 2 , v x in die Gestalt gesetzt werden :

(4)

f

l

=

w kann die Formel

P=[tn]·

O~w -1/2) ableiten. Wegen

' > -z-1) (9{v

ist

E f2 • t•'2 ~ J. ((n + v) j(t) }

l

n~~oo

(n

+ v)•

~ e.-(n+vl'/4s

= _1_

s•+l n~oo 1

=SV E

{

.. J;Jo((n + v) Vt) +oo

}

,

wobei wir wegen des links auftretenden Nenners (n + v)", der für n = 0, v = 0 gleich 0 würde, v auf 0 < v < 1 beschränken. Setzt man für die Summe auf der rechten Seite den Wert aus (3) ein, so liefert der Faltungssatz für 9{v > 0: 2.-1 t•/2

"E

n- -oo

J.((n+v) j(t) (n + v)•

=

t•-l T(v)

*

(-1- + J; Vtj(t

2

m~l

cos2mnv )· 4m2 n2

240

12. Kapitel: Spezielle Reihen

Die Faltung auf der rechten Seite lässt sich ausrechnen. Es ist

Durch die Substitution

erhält man für das Integral: 1

(t _4m2 :n2r-(1/2l/(1- u)"-1 u-1/2 du= (t _ 4 m2 :n2r-(1/2) T(v) T(l/2) r(v + (1/2)) ' 0

so dass sich ergibt:

2v-1 .

(5)

1:

_ __.Vn_n_-c- (tv-(1/2) + T(v

vn

tvf2 lv ((n + v) n~-oo (n+v)v

+ (1/2))

2m};~Pl (t- 4m2 :n2r-(I/2) cos2 m:n v)

Hierin kann wieder, wie ursprünglich, 9\v > -1/2 sein, ferner ist t positiv q, 4m 2 :n 2 , p = [Vf/2 :n], 0 < v < 1. Für v = 0 ergibt sich durch eine analoge Rechnung oder auch durch Grenzübergang in (5): tv 2T(v+1)

(6)

= __Vn r(v

+ (1/2))

+ 2 v t•/2 f;

(t•-(1/2)

n~l

+

2t m~l

fv (n j(t) n•

(t- 4m2 :n2r-(1/2))

Im Spezialfall v = 1/2 ist fv die elementare Funktion ] 112

(x) =

~ sin x,

und (5) liefert wegen ~

1 + 2 L.i cos 2 m :n; v = m~l

sin(2P+l)nv

-~5-c-in_n_v~-

mit t = x 2 die bekannte Formel _1:_ ~ sin (n + v) x n n=L.i n+v -oo

sin(2P+l) nv sinn v

241

§ 3. Entwicklung der Laguerreschen Polynome

mit x positiv =1= 2 m n, p = [ xj2 n], 0 < v < 1. Die rechte Seite ist als Funktion von x stückweise konstant, also eine Treppenfunktion, z. B. für v = 1/2 gleich (-l)P. § 3. Entwicklung der Laguerreschen Polynome und der konfluenten hypergeometrischen Funktion nach Hesseischen Funktionen Die verallgemeinerten Laguerreschen Polynome L~"l (t) sind definiert durch

oder durch die erzeugende Gleichung

~ L("l(t)

(0)

n~

,.

X

n _ -

1

(1 -x)rx+l

e-tx/(1-xl

(oc>-1).

Die ~-Transformierte von t" L':l(t) ist die sehr einfache Funktion ~{t"' L("l(t)}

(1)

n

=

T(a.

+n!n + 1)

_1_

srx+l

(~2),.. s

Nach Regel VI ergibt sich hieraus für beliebiges komplexes h: (2)

0

..-;

{e-ht t" L..("l(t)} =

T(a.+ ~ + 1) n.

(s + h -1)" (s + h)rx+n+l =

q;

() s •

Es ist

s

r>.+1

e

nfs

( ) -

q; s -

r(a. + n + 1) nfs [1 + (h -1)/s]n e [1 + (h/s)]"+n+l · n!

Setzt man auf der rechten Seite s = z-1, so entsteht die Funktion T(a. + n + 1) n!

nz [1 + lh -1) z]n

e

(1+hz)rx+n+l'

die in der Umgebung von z = 0 holomorph, also in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Wir setzen ~A (h) 7 nz [1 + (h -1) z]n (3)

e

(1 +hz)rx+n+l =

6

y

z .

Dann wird

Nun ist aber (4)

Also folgt aus (2) und (3): e-ht t"

L~"l(t)

=

r(a.

~~ + 1) .f;A (h) n-(rz+Y)/2 t(rx+>)/ 2 k+> (2 vnt') 7

•-0

Doetsch II/16

242

12. Kapitel: Spezielle Reihen

oder 110 (5)

Hierin sind die Koeffizienten A.(h) durch die erzeugende Funktion (3) definiert. Man kann zeigen, dass die rechts stehende Reihe mindestens für 0 ~ t ~ T < nfh 2 absolut und gleichmässig konvergiert, wenn h > 0 ist. Man kann also h immer so klein wählen, dass man für L~l(t) eine in einem beliebig grossen Intervall konvergente Reihe erhält (für h = 0 konvergiert die Reihe für alle t;;::; 0). Da die Hermiteschen Polynome H n sich durch die L~") so ausdrücken lassen:

erhält man für sie die speziellen Entwicklungen: (6) H 2 n(x) = (-1f 1· 3 · · · (2 n -1)

ehx'/ 2

(7) H 2 n+l(x) =

(-1f 1· 3 ... {2

n

+ 1) ehx'/ 2 X

Vn/ .~ A~-l/2l(h) (/nY ]._( 1;2){~),

v;r~ A~ )(h) ! (/nr 1.+(1/2)(~)' 112

y.z-;

wo zur Abkürzung ~ = x gesetzt ist und die Koeffizienten A. zwecks grösserer Deutlichkeit mit oberen Indizes versehen sind. Auf die gleiche Weise erhält man eine Reihenentwicklung nach Besselschen Funktionen für die konfluente hypergeometrische Funktion 1 E;.(a, c; t) (vgl. 27.5). Aus (9\c > 0) ergibt sich: o { e - 1/2 t c -1 rv {a, ~ 1 1

(8)

c,. t) J)

=

T{ c) ( s

+ 21 ')a- c ( s -

21 ) - a .

Setzt man e2kz

(9)

(1

+ z) -k-(c/2) (1- z)k- (c/2) =}; A. z", 00

V=O

so ist mit k = (cj2)- a:

also zufolge (4):

e-tf2tc-1 R(a c·t)=T(c) ~~k-(c+v-1)/2t(c+v-1)/2], 11

'

'

.L..J

v=O

2V

C-l+v

(2lfkt) vn.-"

243

§ 4. Entwicklungen nach Laguerreschen Polynomen

oder 111

(10)

1

F1 (a, c; t)

=

l; Av(

T(c) (kt)( 1 -c)f 2 e112 •

Hierin ist 9\ c > 0, 1
1/2:

.ß{-1 j;H2n(Vt)}

=Vns-1/2e(l/s)-1

.ß{ J; H2n+l(~)}

= -vns-3f2e(I/sl-1.

VT n~o

n~o

(2 n) l

(2n+1).

'

Nun ist andererseits

.ß{ V~t

coshzVf}

0{ 1 . h v-} ""'vn-smzt Also ergibt sich, wenn man ~ H 2n(x)

(3)

~-(Z-)-I n~o n .

1

e

---zs z -3/2 e. z'f4s

Vt = x setzt

= - COS

h2

X,

= s-1/2ez'f4s,

119 :

f; H

2

n+I(il = -

n~o (2n+1)!

__1:_

e

sinh2 x

Multipliziert man die Formeln (1), (2) vor der Summation mit (-1)", so erhält man analog: (4)

f; (-1t H(2 n(x) n) l 2

n~o

= e cos2 x

f; (-1)" (2n+1Jl H n+I(x) 2

'

n~o

= -

e sin2 x .

Die Kreis- und Hyperbelfunktionen lassen sich also in Reihen nach Hermiteschen Polynomen mit denselben Koeffizienten entwickeln, die ihre Entwick-

248

12. Kapitel: Spezielle Reihen

lungen nach Potenzen aufweisen. Das liegt daran, dass es eine Funktionaltransformation gibt, die die cos- und sin-Funktion in sich, die Hermiteschen Polynome aber in die Potenzen überführt. Aus der erzeugenden Gleichung für die Hermiteschen Polynome folgt nämlich für festes fl ~ 0: +oo

+oo

.fe-x'~H.(x) H'"(x) ~; dx = -00

./ e-(xry)'H'"(x) dx. -00

Nun erfüllen die H. die Orthogonalitätsrelationen für fl

=1=

v,

für fl

=

v.

Also ergibt sich: +oo

- 1-

.fe-(x+y)' H (x) dx

vn

oder

-00

'"

(2 y)'"

=

+oo

~ .fe-(x-y)'H'"(x)dx=

(5)

(-2y)'".

-00

Die Integraltransformation +oo

~ .fe- (x-y)' IP(x) dx

Vn

=

lf!(Y)

-00

heisst Gauss-Transformation 120 • Die Formel (5) zeigt, dass diese Transformation die Hermiteschen Polynome in die Potenzen überführt. Ferner sind für sie die Funktionen cos2 x, sin2 x Invarianten, d. h. sie sind Eigenfunktionen des Kernes (1/Vn) e-(x-y)': +oo

~- .fe-(x-y)' cos2 x dx

Vn

-00

=

2_ cos2 y

e

'

+oo

--~ .fe-(x-y)' sin2 x dx = 2_ sin2 y.

Vn

-00

e

Also gehen die Entwicklungen (4) durch die Gauss-Transformation m die Potenzreihen für cos2 x, sin2 x über.

§ 6. Entwicklungen nach konfluenten hypergeometrischen Funktionen Bildet man aus der konfluenten hypergeometrischen Funktion 1 ]\(a, c; t) die Whittakersche Funktion Mk,m(t) [siehe 27.5 (4)] und aus dieser zur Erzielung

249

§ 6. Entwicklungen nach konfluenten hypergeometrischen Funktionen

einfacherer Schreibweise die Funktion tm-(112)

t2m e-t/2

~.m(t)= F( 2 m+ 1) Mk,m(t)=-r(2m+ 1)

so hat diese die sehr einfache

1 F1

(

1

)

m+ 2 -k,2m+1;t,

~-Transformierte

[s _ (1/2)Jk-m-(112) (1 / 2)Jk+m+(ll2)

(1)

~{Nk,m(t)} = [s +

Entwickelt man sie in folgender Weise unter Einführung eines Parameters cx: [s _ (1/2)Jk-m-(1/2) [s + (1/2)Jk+m+!1/2l =

=

[s _ (1/2)Jk-m-(1/2) ( [s + (1/2)Jk+m+2 0 und t < 0. Die Funktionen Q(t), Q'(t), ... , Q(n- 2 i(t) sind in t = 0 stetig, dagegen hat Qln- 1i(t) in t = 0 den Sprung 1. Eine andere Deutung der Funktion Q(t) siehe in Satz 1 [13. 4]. Die Übergangsfunktion und die Duhamelsche Formel

=

Wir heben den Spezialfall F(t) 1 besonders hervor. Da wir die Differentialgleichung im Grundintervall 0 ~ t < oo betrachten, ist es gleichgültig, wie F(t) für t < 0 definiert ist. In der Elektrotechnik, wo das Anfangswertproblem einem « Einschaltvorgang » entspricht, denkt man sich die Störungsfunktion F(t) auch in der Zeit t < 0 vor der Schaltung definiert, aber gleich 0, und nennt die spezielle Störungsfunktion

U(t) =

0 fürt0

die H eavisidesche Einheitsfunktion 127 oder den Einheitsstoss. Natürlich kann man für F(t) = 1 die in (10) bzw. (18) auftretenden Integrale explizit ausrechnen. Am einfachsten ist es aber, die in diesem Fall sich ergebende spezielle Bildfunktion Yu(s) in den Originalbereich zu übersetzen. Wegen f(s) 1/s erhält man

=

1

Yu(s) =

s p(s) .

Um auf eine in der Elektrotechnik oft benutzte Formel zu kommen, setzen wir voraus, dass die Nullstellen von p(s) alle einfach und von 0 verschieden sind (c0 oJ= 0). Dann hat s p(s) die einfachen Nullstellen 0, IX 1 , ••• , 1Xn· Wendet man die durch (8) gegebene Partialbruchentwicklung des Reziproken eines Polynoms mit einfachen Nullstellen aufs p(s) an, so hat man die Werte der Ableitung für die Nullstellen zu bilden. Es ist

[s p(s)]' = p(s)

+ s p'(s)

I

p(O)

=

lXI-'

Also ist

fürs= 0

P'(1X1_,} für s =IX~-'.

§ I. Die lineare Differentialgleichung

265

so dass man als Lösung für den Spezialfall (21)

F(t) =: U(t),

Y(+O) = ··· =

y(n- 1

l(+O) = 0

erhält: (22)

Diese Formel heisst in der Operatorenrechnung 128 (siehe 8. 2) der H eavisidesche Entwicklungssatz (expansion theorem). Sie zeigt, dass ein durch die Differentialgleichung beschriebenes physikalisches System auf den Einheitsstoss als Störungsfunktion mit der konstanten Erregung 1/P(O) = 1fc0 reagiert, der sich ein Aggregat von Eigenschwingungen e""P. 1 überlagert. Für 9t rxp. < 0 klingen letztere mit wachsender Zeit ab. Die Formel (22) gilt wohlgemerkt nur, wenn die Null·stellen von p(s) einfach und von 0 verschieden sind. Wenn in der Praxis Fälle auftreten, wo dies nicht erfüllt ist, muss man die Partialbruchzerlegung von 1/[sp(s)] aufstellen und sie in den Originalbereich übersetzen. In der Elektrotechnik (siehe 13. 2) heisst Yu(t) die Übergangsfunktion (time admittance) des Systems. Ihre Bedeutung liegt darin, dass man, wenn sie experimentell festgestellt ist, auch die Lösung für jede beliebige Störungsfunktion anschreiben kann. Nehmen wir wieder vorübergehend an, dass .s!{F} existiert, so ist /(s) 1 y(s) = p(S) = s 5 p(s) f(s) = s [Yu(s) f(s)]. Da .s!{Yu} absolut konvergiert, gehört zu Yu(s) f(s) die Originalfunktion Yu(t) * F(t). Diese ist nach Satz 9 [I 2.14] differenzierbar und hat wegen Yu(+O) = 0 die Ableitung ~ [Yu * F] = Y; * F, welche eine .5!-Transformierte besitzt, weil .s!{Y~} absolut konvergiert. Also gehört nach Regel XII zu y(s) die Originalfunktion {23)

Es ergibt sich wieder leicht, dass diese Formel auch ohne Existenz von .s!{F} die Lösung liefert. Der Vergleich von (18) und (23) zeigt, dass (24)

ist, was auch aus (18) folgt, weil diese Formel für F(t) (25)

Yu(t) = Q(t)

* 1,

und dies wegen Yu(O) = 0 mit (24) äquivalent ist.

= 1liefert:

266

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Satz 3. Wenn Yu(t) die Lösung der inhomogenen Differentiatgleichung für den Einheitsstoss U(t) als Störungsfunktion unter verschwindenden Anfangsbedingungen ist (Übergangs/unktion), so lässt sich die Lösung für eine beliebige stetige Störungsfunktion F(t) unter verschwindenden Anfangsbedingungen in der Form darstellen:

(Duhamelsche Formel). Die Ableitung der Übergangsfunktion ist die Greensehe Funktion des Problems: Y~(t) = Q(t). 2. Die homogene Differentialgleichung unter beliebigen Anfangsbedingungen

Für F(t)

=0 liefert (6): n-1

y(s) = };Yo(•l (sn-v-1 + cn-1 sn-v-2+ ... + cv+1) q(s)

(26)

(cn = 1).

V=O

Die oben durch (9) bzw. (17) definierte Funktion Q(t) hat die Anfangswerte

Q(+O) = 0, ... , Q(n- 2)(+0) = 0, Q(n- 1 )(+0) = 1,

(27)

was übrigens auch aus (26) hervorgeht, denn für Y0 = · · · = YJn- 2 l = 0, YJn- 1 ) = 1 ergibt sich y(s) = q(s), also Y(t) = Q(t). Folglich ist nach Regel XIII:

.B{ Q(Äl(t)} -1 = .B{ Q(n)(t) }.

sÄ q(s) = Sn

q(s)

für A. = 0, 1, ... ,n -1,

Zu (26) gehört daher die Originalfunktion (28)

Y(t)

n-1

=

};Y0(•l[Q(n-v-Il(t) + Cn_ 1 Q(n-v- 2)(t) + · ·· + Cv+! Q(t)]. v~o

Man verifiziert sofort, dass (28) die homogene Differentialgleichung erfüllt 129, denn Q(t) tut es, also auch alle Ableitungen und jede lineare Kombination von solchen. Zur Verifikation der Anfangsbedingungen setzen wir

Q(n-v- 1l(t) + Cn_ 1 Q(n-v- 2l(t) + · · · + Cv+ 1 Q(t)

=

S.(t)

(y = 0, ... , n -l; Cn= 1).

Dann ergibt sich zunächst aus (27) :

(29)

s.(o) = s;(o) = ... = s;•- 1l(o) = o,

s;•l(o) = 1.

Für die höheren Ableitungen benutzen wir die Differentialgleichung

267

§ 1. Die lineare Differentialgleichung

aus der durch Differenzieren folgt:

Q(n+ll(t) + cn-l Q(n)(t)

+

o

0

o

+ c1 Q"(t) + c0 Q'(t)

=

0,

Q(n+2l(t) + Cn-l Q(n+ll(t) + oo +Cl Q'"(t) +Co Q"(t) = 0, 0

uswo Für t

=

0 ergibt sich unter Beachtung von (27):

Q(n)(O) (30)

\

+cn-1=0,

Q(n+ll(O) + Cn-l Q(n)(O)

+ Cn_ 2 = 0,

Q(n+2)(0) + Cn-l Q(n+l)(O) + Cn-2 Q(n)(O) + cn-3 = 0' uswo Diese Gleichungen sind aber gleichbedeutend mit (31) Die Gleichungen (29) und (31) zeigen, dass alle Anfangswerte von S.(t) gleich 0 sind mit Ausnahme von Sl,"l (0) = 1. Infolgedessen hat die durch (28) definierte Funktion Y(t) die vorgeschriebenen Anfangswerte Y0 , ••• , YJ»-ll. Satz 4. Die Funktion (32)

n-l Y(t) =}; Yo{•l (Dn-v-l + cn-l Dn-v-2 + ...

+ c.+ 1) Q(t)

V=Ü

wo Q(t) durch (9) bzw. (17) definiert ist, genügt der homogenen Differentialgleichung (1) und hat die Anfangswerte Y(+O) = Y0 , ... , y(n-l)(+O) = Y0(n-ll. Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung unter beliebigen Allfangsbedingungen ergibt sich durch Superposition der in Satz 1 und 4 angegebenen Lösungen. Bei einem so einfachen und alten Problem wie der Integration der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann die Methode der .\!-Transformation naturgernäss nicht der Sache nach, sondern nur der Form nach etwas N eues ergeben. Der V orteil dieser Methode gegenüber der klassischen besteht darin, dass sie zu gegebenen Anfangswerten die Lösung unmittelbar liefert, während die klassische Methode zunächst eine von n Parametern abhängende «allgemeine» Lösung aufstellt, die dann erst den Anfangswerten angepasst werden muss, was die Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen mitnUnbekannten erfordert. Ausserdem ergibt die Methode der .\!-Transformation eine Lösung der inhomogenen Gleichung (was bei der klassischen Methode der schwierigere Teil ist) auf besonders einfache Weise, und zwar liefert sie nicht eine beliebige Lösung, sondern genau die mit den Anfangswerten 0, die in den Anwendungen am häufigsten gebraucht wird. Die durch Superposition von (18) und (32) entstehende Lösung des Anfangswertproblems hat offenkundig auch für t < 0 einen Sinn und schliesst auch für t -+ - 0 an die vorgeschriebenen Anfangswerte an. (Bei partiellen Differentialgleichungen ist das im allgemeinen nicht der Fall.)

268

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Ferner kann man die gefundene Lösung dazu benutzen, um Randwertprobleme zu lösen, d. h. Probleme, bei denen die Werte der Funktion Y(t) und gewisser Ableitungen an zwei Stellen t = a und t = b (in der Gesamtzahl n) gegeben sind. Setzt man nämlich in der obigen Lösung und ihren in Frage kommenden Ableitungen t = a bzw. t = b, so erhält man für die n unbekannten Anfangswerte Y0 , ••• , YJ»- 1) gerade n lineare Gleichungen. (Wenn im Falle a = 0 unter den gegebenen Werten einige der Anfangswerte Y0 , ••• , YJ»- 1 ) vorkommen, so reduziert sich die Anzahl der Unbekannten und der Gleichungen.) Bei der Auflösung tritt als Nenner die Determinante des Systems auf, die sich aus den Werten von Q(t) und seiner Ableitungen an den Stellen a und b zusammensetzt. Ihre Nullstellen (an denen diese Lösung nicht definiert ist) geben Veranlassung zu den Eigenwerten des Problems. Die ~-Transformation kann auch auf gewisse Typen von nichtlinearen Differentialgleichungen angewendet werden 130 • Es sei z. B. die Gleichung gegeben: y(n)

+ cn-1 y(n- 1) + ... +Cl Y' +Co y + P(Y)

=

F(t).

Setzt man

E{lf'(Y)} = 7p(s), so ergibt sich unter der Voraussetzung Y(+O) ~~ ... Bildgleichung p(s) y(s) + 7p(s) = f(s), aus der folgt: y(s)

=

1

Y(t)

=

Q(t)

* F(t)-

I

y(n- 1)(+0) =

0 die

1

p(S) f(s) -

Hierzu gehört im Originalraum:

=

p(s) 7p(s).

t

Q(t- T) P(Y(-r)) d-r.

0

Dies ist eine Integralgleichung für Y, die manchmal durch sukzessive Approximation gelöst werden kann.- Wenn in der ursprünglichen Differentialgleichung statt P( Y) ein Term P( Y') steht, so erhält man:

Y(t)

=

Q(t)

* F(t)

-I t

Q(t- T) p (Y'(-r)) d-r

0

und durch Differentiation:

Y'(t) = Q'(t) *F(t)

+ Q(t) P(O)

-1

t

0

also eine Integralgleichung für Y' (t).

Q'(t- -r) P(Y'(-r)) d-r,

§ 2. Elektrischer Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang

269

§ 2. Beispiele, insbesondere der elektrische Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang Bei der Integration von speziellen Differentialgleichungen ist es im allgemeinen viel praktischer, die in § 1 angegebene Methode der Übersetzung in den Bildbereich jedesmal für den vorliegenden Fall von neuem durchzuführen, als in die allgemeinen Lösungsformeln die speziellen Werte einzusetzen. Es ergeben sich nämlich häufig im Bildbereich Vereinfachungen, die man an den allgemeinen Formeln 1m Originalbereich nicht durchschaut. Liegt z. B. die Differentialgleichung Y' + _!_ y = t-1/2 + t+1/2 2

unter der Anfangsbedingung Y(+O) = 0 vor, so ergibt die allgemeine Lösung t 13.1 (10): Y(t) = e-t/2jeTf2(.,;-1/2 + .,;+1/2) d-r:. 0

Obersetzt man aber die Differentialgleichung in den Bildbereich, so erhält man die algebraische Gleichung sy +

_1:._ 2

_

Y-

F(l/2) 5 112

+

F(3j2)

=

.I_ll/2) = 2 .I_13/2)

5 s12

mit der Lösung

s) = Y(

s

1

+ (1/2)

.I_ll/2) ( 1 5 112

+

1/2) 5

5 s12

5 s12

•

Dieser entspricht als Lösung der Differentialgleichung: Y(t)

=

2 t 112 ,

also eine viel einfachere Funktion, als die allgemeine Lösung vermuten lässt. Die in der theoretischen Physik am häufigsten auftretende gewöhnliche Differentialgleichung ist die Gleichung zweiter Ordnung. Sie beherrscht in der Elektrizitätslehre den Stromkreis von geringer Ausdehnung, in der Mechanik den linearen Oszillator usw. Wir behandeln sie in der Sprache der Elektrotechnik, weil diese gewisse Begriffe und Lösungsformen ausgebildet hat, die ursprünglich aus der sogenannten komplexen Wechselstromrechnung stammen, sich aber zwanglos in die Methode der 2-Transformation einordnen. Diese Begriffe lassen sich auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung ausdehnen und haben nach und nach auch in andere Gebiete der theoretischen Physik Eingang gefunden. Sie sind auch für den Mathematiker nicht uninteressant, weil sie über das rein Formelmässige hinaus das Gefühl für den inneren Zusammenhang zwischen dem von den Koeffizienten abhängigen charakteristischen Polynom der Differentialgleichung und der Störungsfunktion einerseits und der Lösung andererseits wecken.

270

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

In einem elektrischen Schwingungskreis, der von so geringer räumlicher Ausdehnung ist, dass man sich seine Induktivität L, den Ohmsehen Widerstand R und die Kapazität C in drei hintereinandergeschalteten Elementen (Spule, Rheostat, Kondensator) konzentriert denken kann, fliesse zur Zeit t unabhängig vom Ort der Strom I(t), wenn an die Klemmen die Spannung E(t)

Figur26

angelegt wird. Der Spannungsabfall in der Spule ist L(difdt), im Rheostaten RI und im Kondensator (1/C) P, wo t

P(t) = ji(-r) d-r -00

die Ladung des Kondensators ist. Die Summe der Spannungsabfälle ist gleichE, folglich gilt die Integrodifferentialgleichung für I(t): t

(1)

• 1 dl Ldt+RI+y ji(-r)d-r=E(t), -oo

die man durch Differenzieren in eine Differentialgleichung für I: (2)

L

d 2I dt2

dl

1

+ R dt + c

1

I = E (t)

oder besser, damit E (t) nicht als differenzierbar vorausgesetzt zu werden braucht, in eine Differentialgleichung für P: (3)

LP"+RP'+

~ P=E(t)

umwandeln kann. Wird der Stromkreis vom Zeitpunkt t = 0 an betrachtet, so sind die Werte

I

0

P(O)

=

I(-r) d-r'

P'(O)

=

I(O)

-00

als durch die Vergangenheit des Systems bestimmt und daher als gegeben anzusehen.

271

§ 2. Elektrischer Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang

Bei einem linearen mechanischen Oszillator würde P(t) den Ausschlag aus der Ruhelage, L die träge Masse, R den Reibungswiderstand, 1/C die Konstante der elastischen Rückstellkraft und E(t) die äussere Kraft bedeuten. Nach Satz 1 und 2 [13.1] ist (4)

P(t)

=

I(t)

=

also (5)

~ Q(t) * E(t) + P(O) [Q'(t) + {- Q(t)] + P'(O) Q(t),

±

Q'(t)

-f Q'(t)] + 1(0) Q'(t),

* E(t) + P(O) [ Q "(t) +

wo Q(t) die Originalfunktion zu 1

1

(6)

q(s) = p(sf = s2 + (R(L) s + (1/C L)

ist. Die Wurzeln von p(s) sind

Cl)

Otl =

/.c (R - VR

-

Aus der im Falle oc1 =!=

~.

2 -

4

~

)'

~=

-;/L (R + VR

-

2 -

4

{~).

d. h. R 2 5 4LfC gültigen Zerlegung

( -1- - -1-) 1 . q(s)=-otl-ot2

ergibt sich

Q(t)

S-ot2

S-ot1

_ 1 _ (e"•t- e"•t)

=

otl- 01:2

e-(R/2L)t ( eV(R/2L)'-(1/LC) t _ e- V(R72iRlfLC)

1

(8)

2 V(R/2 L)2- (1/L C)

t).

Für R 2 > 4 LfC ist das eine reelle (also aperiodische) Exponentialfunktion, die für t-+ oo gegen 0 abklingt, weil in dem physikalischen Beispiel die Konstanten L, R, C nicht negativ sind. Für R 2 < 4 LfC erscheint Q(t) in komplexer Gestalt, lässt sich aber in eine reelle (also periodische) trigonometrische Funktion mit Exponentialfaktor umformen. Man kann dies an (8) durchführen oder unmittelbar an (6) anknüpfen. Es ist

q(s)

1 V(1(L C) _ (R/2 L) z

=

[s

V(1(L C)- (R/2 L)2 (R/2 L) 21 ·

+ (R/2 L)]Z +[(1/L C) -

Auf Grund der Korrespondenz ----,:-k__k 2 .-o sink

s

+

t

und des Dämpfungssatzes (Regel VI) ergibt sich die gedämpfte Schwingung (9)

Q(t)

(Nur für R

=

=

1

V(1(LC)-(R(2L)2

·o ist sie ungedämpft.)

e-(R/2L)t

sinV-1-LC

t (_!!_)2 . 2L

272

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Im Falle cx.1 =

~.

d. h. R 2 = 4 LfC, ist q(s)

also

1

=

Q(t)

(10)

[s =

+ (R/2 L)]2

'

t e- (R/2L)t •

Mit den Ausdrücken für Q(t) kann man P(t) und I(t) nach den Formeln (4) und (5) für jede Spannung E(t) ausrechnen. Der von den Anfangswerten P(O) und 1(0) herrührende Teil der Lösung klingt bei wachsendem t im Falle R 2 ~ 4 LfC stets, im Falle R 2 < 4 LfC für R > 0 gegen 0 ab, ist also nur für kleine t, d. h. für den 11Einschwingvorgangn wichtig. Der Elektrotechniker interessiert sich vor allem für die folgenden beiden Zustände. 1. Konstante

Spannun~

Wenn man an einen in Ruhe befindlichen Stromkreis, d. h. P(O) = 1(0) = 0, als Spannung den Einheitsstoss anlegt, d. h. E(t)

=

U(t)

setzt, so erhält man die spezielle Ladung Pu(t) und Stromstärke Iu(t). Im Falle, dass die Wurzeln cx.1 , ~ungleich und von 0 verschieden sind, kann man Pu(t) nach Formel13.1 (22) berechnen und Iu(t) durch Differenzieren gewinnen. Die Bedeutung von Pu und Iu liegt darin, dass man P und I für jede beliebige Klemmenspannung E(t) [unter der Voraussetzung P(O) = 1(0) = 0] nach der Duhamelschen Formel13.1 (23) berechnen kann, wenn Pu bzw. Iu durch Rechnung oder experimentell bestimmt ist: (11)

und nach Satz 9 [I 2.14] wegen Iu(O) (12)

I (t)

=

=

0

:e [Iu * E]

=

I~ * E.

Diese Formel, die den Strom in einem bis zur Zeit t = 0 stromlosen Schwingungskreis nach Einschalten der Spannung E(t) für t > 0 ausdrückt vermittels der Stromstärke Iu, die beim Einheitsstoss als Klemmenspannung entsteht, ist für die Elektrotechnik grundlegend. lu(t) heisst Übergangsfunktion oder Übergangsleitwert*) oder Übertragungsfunktion, in der anglo-amerikanischen Literatur: indicial admittance*) oder time admittance.

in der deutschen Literatur:

*) Die ursprüngliche Bedeutung dieser Ausdrücke ergibt sich durch Vergleich mit der 5.277 · angeführten Terminologie.

§ 2. Elektrischer Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang

273

Diese Bezeichnungen überträgt man auch auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung und nennt die Lösung Yu(t), die sich für den Einheitsstoss als Störungsfunktion bei verschwindenden Anfangswerten ergibt, die Obergangsfunktion des durch die Differentialgleichung beschriebenen Systems. Ihre ,2-Transformierte ist (13)

Yu(s) =

1

s1

q(s) = sp(s) '

wo p(s) das charakteristische Polynom der Differentialgleichung ist. Die Lösung der Differentialgleichung für eine beliebige Störungsfunktion F(t) bei verschwindenden Anfangswerten ist nach Formell3.1 (23) Y(t)

=

:e [Yu * FJ

=

Y~ * F.

Die Funktion Y{;, die in dem Faltungsintegral auftritt, hat die .2-Transformierte 1 s Yu(s) = p(s) = q(s). Sie ist natürlich mit der Funktion Q(t) identisch. Beim elektrischen Schwingungskreis ist zu beachten, dass die Lösung der zugrunde liegenden Ditferentialgleichung (3) nicht der Strom I, sondern die Ladung P ist, und dass I(t) = P'(t) gilt. Wenn q(s) die Bedeutung (6) hat, so ist die E-Transformierte der Übergangsfunktion für die Differentialgleichung, d. h. für die Ladung, gleich [siehe (4)] (14)

1

E{ Pu}= L q(s)

1

s

=

1

s

1

L s 2 + R s + (1/C) .

Dagegen ist die E-Transformierte der Übergangsfunktion für die Stromstärke

(15)

1

E{Iu}=s.i!{Pu}= Ls2+Rs+(1JC).

2. Sinusförmig schwankende Spannung

Wir wollen hier zunächst die allgemeine Differentialgleichung beliebiger Ordnung p(D) Y = F zugrunde legen und dann erst auf die Gleichung (3) spezialisieren. Wenn die Störungsfunktion eine Sinusschwingung ist, so setzen wir sie nach der in der Elektrotechnik üblichen Art als komplexe Schwingung F(t)

= eiwt

an. In der sogenannten komplexen Wechselstromrechnung beschäftigt man sich im Prinzip mit Dauervorgängen, also nicht mit Einschaltvorgängen, die unter Berücksichtigung von Anfangsbedingungen erst von t = 0 an laufen, sondern mit Vorgängen, die von t = - gegen 0 abklingen.) Es ist 00

Y'(t)

=

i w q(i w) eiwt- i w eiwt je-iwT Q(-r) d-r

+ Q(t).

t

Da die beiden letzten Terme für t + ex> gegen 0 streben, so ergibt sich für den eingeschwungenen Zustand von Y' (t) : Y'(t)

(20)

=

i w q(i w) eiwt.

Damit erhält man für die eingeschwungene Stromstärke:

(21)

l(t)

=

iweiwt L(i w)2 + R(i w)

eiwt

+ (1/C)

Li w

+ R + (1/C i w)

.

Da hier die Stromstärke in komplexer Gestalt als Quotient aus der Spannung eiwt und der im Nenner stehenden Grösse erscheint, heisst in Analogie zum Ohmsehen Gesetz Z(i w)

=

Li w

+ R + (1/C i w)

=

.

1(.

z w q zw

)

p(iw) iw

der Scheinwiderstand oder die symbolische Impedanz des elektrischen Schwin-

§ 2. Elektrischer Schwingungskreis. Übergangsfunktion und Frequenzgang

277

gungskreises mit den Konstanten L, R, C und die reziproke Grösse 1

Z(i w)

1 0 i w) 'L~tc-.w-+~R~+--c---;(-:-1f7C

.

("

)

iw

= 2 w q 2 w = p(i Wf

der Scheinleitwert oder die symbolische Admittanz. Andererseits hat nach der früher eingeführten Terminologie die Stromstärke I gernäss (21) den Frequenzgang i w q(i w). Dieser ist also identisch mit der symbolischen Admittanz*) und gleich der reziproken Impedanz. So wie man den Namen Frequenzgang auch in allgemeineren Fällen gebraucht (siehe S. 276), definiert man auch allgemein bei komplizierteren Schaltungen den Quotienten aus der sinusförmigen Störungsfunktion (Spannung) und dem eingeschwungenen Zustand Y(t) als Impedanz Z(i w). Frequenzgang und Impedanz sind reziproke Werte. Bei Netzen (siehe 13. 7) ist Z(i w) eine allgemeinere gebrochen rationale Funktion. Zerlegt man Z(i w) in seinen Real- und Imaginärteil: Z(i w) = Z1 (w) + i Z 2 (w), so heisst Z 1 die Resistenz, Z 2 die Reaktanz des Netzes. Bei einem einzelnen Schwingungskreis ist

zl =

R'

z2 =

Lw-

(-c1w) .

Die Resistenz ist also gleich dem Widerstand und von der Frequenz w unabhängig. Eine Impedanzfunktion, die rein imaginär ist, heisst eine Reaktanzfunktion und die zugehörige Schaltung eine Reaktanzschaltung. Eine solche liegt bei einem einzelnen Schwingungskreis dann vor, wenn er nur eine Induktivität und eine Kapazität, aber keinen Ohmsehen Widerstand enthält. Man kann zeigen, dass auch eine allgemeine Reaktanzfunktion sich stets durch Schaltung reiner Induktivitäten und Kapazitäten realisieren lässt 133 • Solche Reaktanzschaltungen ohne Ohmsehe Widerstände (also ohne Energieverzehr durch Joulesehe Wärme) spielen in der Theorie der linearen Wechselstromschaltungen eine bevorzugte Rolle, wenn sie sich auch praktisch nie ganz exakt realisieren lassen. Es sei zum Schluss nochmals ausdrücklich darauf hingewiesen, dass der Begriff des Frequenzgangs und der dadurch bestimmte eingeschwungene Zustand nur dann einen Sinn haben, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der zugrundeliegenden Differentialgleichung sämtlich negative Realteile haben, weil nur dann (vgl. S. 274) die Eigenschwingungen gegen 0 abklingen und q(s) auf der imaginären Achse definiert ist, so dass die Zerlegung (16) statthaft ist. Diese Bedingung ist z. B. bei einem einzelnen Schwingungskreis in Reaktanzschaltung nicht erfüllt, weil für R = 0 die Wurzeln (7) den Realteil 0 haben. · Wenn m = Max9t~X" ~ 0 ist, so konvergiert .s!{q} nur für 9ts > m, und es ist daher auch nicht möglich, bei der Darstellung von Y durch das komplexe *) Hieraus erklärt sich der englische Ausdruck «frequency admittance" für Frequenzgang.

278

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Umkehrintegral

J

x+ioo

Y(t) =

T~~

e 1s y(s) ds

x-too

den Integrationsweg auf die imaginäre Achse zu verlegen und Y als Fourier+oa Integral Y(t)

=

-./n I

eitw

y(i w) dw,

-00

d. h. als Superposition von sinusförmigen Schwingungen e it m ( - = < w < =) mit den durch y(i w) bestimmten Amplituden und Phasen darzustellen, wie das in der technischen Literatur auch im Falle m:;:;; 0 manchmal geschieht. Demgegenüber ist zu betonen, dass die Methode der .l.!-Transformation auch im allgemeinsten Fall beliebig verteilter Nullstellen IXv anwendbar ist und dass sich die auf dem Frequenzgang aufgebauten Gedankengänge in sie ohne weiteres einordnen lassen. Darüber hinaus gestattet sie mühelos die Berücksichtigung der Anfangswerte, also die Beherrschung des gesamten Verlaufs einschliesslich Einschwingvorgang, während dies bei der Darstellung durch ein Fourier-Integral manchmal zu Schwierigkeiten führt (vgl. I 4. 6).

§ 3. Rückkoppelungssysteme und Regelungstechnik Die Tatsache, dass die Lösungsformel einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung unter verschwindenden Anfangsbedingungen Y(t) = Q(t)

[siehe 13.1 (18)] durch die Gleichung

(1)

* F(t)

.~!-Transformation

auf die einfache algebraische

y(s) = q(s) f(s)

abgebildet wird, lässt viele für die Technik wichtige Anwendungen zu. Wir wollen im folgenden die Differentialgleichung in den Hintergrund treten lassen und dafür mehr von dem «System» sprechen, das durch sie beschrieben wird. Die Störungsfunktion (äussere oder aufgeprägte Kraft) F(t) wollen wir auffassen als eine «Eingangs/unktion» (Erregung, englisch 0 über alle Grenzen, und die Regelgrösse entfernt sich beliebig weit von ihrem stationären Wert; die Regelung ist dann instabil. Ist 9{s 0 = 0, so schwingt die Funktion es,t für s0 = i y 0 (y 0 =I= 0) in endlichen Grenzen, während sie für s 0 = 0 konstant ist. Ist s0 ein einfacher Pol, so dass kein Polynom als Faktor auftritt, so wollen wir die Regelung im Falle s 0 = i y0 als quasistabil, im Falle s0 = 0 als uneigentlich stabil bezeichnen; es ist dann der Endzustand stationär, aber von dem Ausgangszustand verschieden. Ist s0 dagegen ein mehrfacher Pol, so dass es,t mit einem Polynom multipliziert ist, so entfernt sich X beliebig weit vom stationären Zustand, und die Regelung ist instabil. Diese Aussagen gelten, wenn s0 der einzige Pol mit dem Realteil 0 ist; existieren noch weitere solche, so sind deren Beiträge entsprechend zu diskutieren. Insgesamt ergibt sich: Die Regelung ist nur dann (eigentlich oder uneigentlich) stabil bzw. quasistabil, wenn keine Pole in der rechten Halbebene vorkommen und die auf der imaginären Achse liegenden einfach sind. Es kommt also darauf an, die Lage der Singularitäten von x(s) festzustellen. Dabei ist natürlich von vornherein vorauszusetzen, dass die im Zähler von (15) vorkommenden Funktionen qz(s) und z(s) nicht bereits Pole, die Instabilität erzeugen, hereinbringen. Das ist erfüllt, wenn das durch qz charakterisierte System passiv ist (vgl. S. 274), und wenn die Störgrösse Z(t) beschränkt ist; denn dann ist E {Z} für 9{s > 0 konvergent, also z(s) für 9{s > 0 analytisch und 00

lz(s)l:;;;; je-f!lstMdt=

~'

0

so dass auf 9{s = 0 keine mehrfachen Pole von z(s) liegen können. Dann sind entscheidend für die Stabilität der Regelung die Pole von 1/[1 + q(s)], d. h. die Nullstellen von 1 + q(s): Sind deren Realteile negativ, so ist die Regelung stabil; kommen positive Realteile vor, so ist sie instabil; liegen Pole auf der imaginären Achse, so ist zu prüfen, ob sie mehrfach sind und ob sie sich vielleicht im Falle der Einfachheit mit ebensolchen Polen von qz(s) z(s) zu mehrfachen vereinigen. Ferner ist darauf zu achten, ob nicht eine Nullstelle von 1 + q(s) durch eine solche von qz(s) z(s) neutralisiert wird. Es sind also die Wurzeln der Gleichung (20)

q(s) = -1

festzustellen. Bei komplizierteren Regelungen ist dies eine algebraische Gleichung von höherem Grad (oft fünf und mehr) oder sogar eine transzendente Gleichung (vgl. S. 290), so dass die numerische Bestimmung der Wurzeln schwierig ist. Da es aber, solange man nicht aus den numerischen Werten Schlüsse auf die Geschwindigkeit des Abklingens ziehen will, nur auf ihre Lage

288

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

zur imaginären Achse ankommt, so genügt es, die folgende Betrachtung anzustellen. Man bildet die s-Ebene durch die analytische Funktion z = q(s) auf eine z-Ebene konform ab, zeichnet aber nur das Bild der imaginären Achses = i w, also die Kurve z = q(i w), -= < w < +=; an ihre Punkte schreibt man die w-Werte, die ihnen entsprechen, als Koten an, z.B. w = 0, 1, ... , -1, -2, .... Durchläuft man die Kurve im Sinne wachsender w, so liegt das Bild der linken s-Halbebene links von ihr und das der rechten s-Halbebene rechts, weil bei konformer Abbildung der Umlaufsinn erhalten bleibt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass im allgemeinen die s-Ebene d!irch z = q(s) nicht auf die schlichte

Figur34

z-Ebene, sondern auf eine Riemannsche Fläche abgebildet wird, auf der die Kurve verläuft. Da q(i w) der Frequenzgang*) (siehe S. 275) der aufgeschnittenen Regelung ist, heisst die Kurve z = q(i w) die Ortskurve des Frequenzgangs [oder auch des Übertragungsfaktors q(s)]**). Die Wurzeln der Gleichung (20) sind nun diejenigen Punkte s,, die auf den Punkt z = -1 abgebildet werden. Im allgemeinen sind es mehrere, so dass auch der Punkt z = -1 durch mehrere, in verschiedenen Blättern der Riemannschen Fläche liegende Punkte zu repräsentieren ist. Liegt in einem Blatt der Punkt z = -1 auf der linken Seite der Ortskurve, so liegt auch der entsprechende Punkt s, auf der linken Seite der imaginären Achse. Auf diese Weise kann man von jeder Wurzel der Gleichung (20) ihre Lage zur imaginären Achse feststellen. (Siehe in Figur 34 zwei verschiedene Typen von Ortskurven.) 138 Von der Entfernung des Punktes z = -1 von der Ortskurve kann man auch näherungsweise auf die Entfernung des entsprechenden Punktes s. von der imaginären Achse schliessen, d. h. auf die Grösse ~s., die für die Dämpfung (oder Anfachung) der Schwingung e5• 1 massgebend ist. Als Maßstab kann man sich dabei der auf der Ortskurve angebrachten w-Bezifferung bedienen, weil bei *) Der Frequenzgang ist eine Grösse, die der experimentellen Feststellung besonders zugänglich ist. **) Sie wird in der Technik auch als Nyquist-Diagramm bezeichnet 137 •

§ 3. Rückkoppelungssysteme und Regelungstechnik

289

einer konformen Abbildung die Deformation an einer Stelle für alle Richtungen dieselbe ist. Auf diese Weise kann man vor allem feststellen, welches die Nullstelle mit grösstem Realteil ist. Diese ist für das Verhalten von X(t) ausschlaggebend, weil die zu ihr gehörende Schwingung am langsamsten abklingt bzw. am stärksten anwächst. Das obige Verfahren lässt sich sinngernäss auch bei der Integration von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (siehe 13. 1) anwenden. Dort ist es notwendig, die Wurzeln der charakteristischen Gleichung p(s) = 0 festzustellen, was bei Gleichungen hohen Grades schwierig ist. Hier kann man, um einen Überblick über die Lage der Wurzeln zu bekommen, die Kurve p(i w) = z zeichnen und die Lage des Punktes z = 0 zu ihr untersuchen. Ehe wir die vorhergehende Stabilitätsbetrachtung auf eine solide mathematische Grundlage stellen, wollen wir zunächst eine Verallgemeinerung des Regelungsablaufs vornehmen. Regelungstechnik mit Totzeitl39

Es gibt Regelungen, die aus Systemen bestehen, bei denen die Ausgangsfunktion nicht unmittelbar auf die Eingangsfunktion reagiert, sondern erst nach Verstreichen einer gewissen Laufzeit, die Totzeit genannt wird. Beim Einsetzen des Regelungsvorgangs bleibt daher der Ausgang noch einige Zeit in Ruhe, d. h. die Ausgangsfunktion ist gleich 0, und dann erst nimmt sie die Werte an, die sie sonst gleich vom Zeitpunkt t = 0 an hat. Diese Verallgemeinerung lässt sich gerade mit der .2-Transformation besonders elegant behandeln, weil nach Regel III einer solchen ((Verschiebung» der Originalfunktion einfach die Multiplikation der Bildfunktion mit einer Exponentialfunktion entspricht. Wenn der aufgeschnittene Regelkreis die Totzeit T und die Regelstrecke bei abgeschaltetem Regler die Totzeit Tz hat, so lauten die Gleichungen (9) und (10) jetzt folgendermassen: x2 (s) = q(s) [w(s)- x1 (s)] e-Ts beziehungsweise so dass man erhält: Satz 4. Die Grundgleichung des aufgeschnittenen Regelkreises mit Totzeit lautet: (21) Satz 5. Die Grundgleichung des betriebsmässig geschlossenen Regelkreises mit Totzeit lautet: ,

x(s)

(22)

=

q(s) e- Ts l+q(s)e-Ts

-· ----

w(s)

qz(s) e- Tzs + ~-~-- z(s). l+q(s)e-Ts

Wir wollen wie oben die Stabilität des durch den zweiten Term beschriebenen Vorgangs untersuchen. Der Faktor e-Tzs im Zähler hat keine Nullstellen Doetsch

Ilfl9

290

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

und keine Pole, beeinflusst also die Stabilität nicht. Dagegen schafft der im Nenner auftretende Faktor e-Ts grundlegend neue Verhältnisse. Das wird sofort klar, wenn man bedenkt, dass q(s) eine gebrochen rationale Funktion ist, wenn der aufgeschnittene Regelkreis durch eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ein System von solchen beschrieben wird, so dass 1 + q(s) nur endlich viele Nullstellen hat. Dagegen ist 1 + q(s) e- Ts eine transzendente Funktion, die unendlich viele Nullstellen haben kann. '(t)--0 I I

(1)=- OoCJ

-1

ltJ=+C>O

I

: lLl=+O

a)

b) Figur 35

Die Diskussion der Stabilität soll an dem einfachen Beispiel eines I-Regelsystems (siehe S. 279) durchgeführt werden. Bei diesem ist q(s) = kfs, also hat die Ortskurve die Gestalt (23)

z

= q(i w)

e-Tiw =

_!!_!__ w

e-iTw.

Ohne den Totzeitfaktor (T = 0) bestände sie aus der imaginären Achse, die von 0 aus (w = -oo) über die positive Hälfte bis +i oo (w = -0) und von -i oo (w = + 0) über die negative Hälfte bis 0 (w = + oo) durchlaufen wird. Da der Punkt s = -1 links von ihr liegt, herrscht Stabilität (es existiert nur eine Nullstelle der Gleichung (20), nämlich s = -k). Durch den Faktor e-iTw wird der Punkt der imaginären Achse mit der Kote w, von 0 aus gesehen, um den

§ 3. Rückkoppelungssysteme und Regelungstechnik

291

Winkel - T w gedreht. Dieser Winkel ist für Punkte hoch oben und tief unten klein, da dort w in der Nähe von 0 sich bewegt, und wird immer grösser, je näher der Punkt an 0 heranrückt, da dort w = ±oo ist. Die Ortskurve schmiegt sich also oben und unten der imaginären Achse asymptotisch an und windet sich dann in unendlich vielen, immer enger werdenden Schleifen in Form einer Spirale um den Nullpunkt herum; ihre Polarkoordinatendarstellung lautet:

arcz

=

- -~-- Tw 1+!!__-Tw z

(O n/2 instabil. Es soll noch das Verhalten eines Regelsystems mit Totzeit festgestellt werden, wenn keine Störgrösse vorhanden ist, aber die Führungsgriisse sich sprung-

292

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

haft um den Einheitsstoss ändert. Dann ist w(s)

x(s) {24)

=

_!._

=

~

=

1/s und

_q_(s) e- Ts- .

1+q(s) e-Ts

s

f:(-1)"-!q(ste-nTs. n~1

(Die Reihe konvergiert für alle hinreichend weit rechts gelegenen s.) Zu (1/s) q(s)" gehört die Originalfunktion [q(s) e--o Q(t)] X,.{t)

=

1 * Q(t)*"

für t

~

0.

Definiert man fürt.

330

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welches die Besonderheit hat, dass es symmetrisch ist, d. h. dass in der Bezeichnung von § 5 gilt: Prt.ß(D) = Pßrt.(D) 151 • In der Praxis ist jede Masche nur mit wenigen anderen gekoppelt, so dass die meisten Koeffizienten des Systems verschwinden. Von besonderer Bedeutung ist der Fall, dass die Maschen in einer Reihe angeordnet sind derart, dass die erste mit der zweiten, die zweite ausserdem mit der dritten usw. gekoppelt ist und dass die Art der Kopplung stets die gleiche ist. Ein solches Netz heisst ein Kettenleiter. Fassen wir die in einem Zweig liegende Induktivität, Widerstand

Figur 38

Figur 39

und Kapazität in der Zeichnung zu einem Kästchen (Block) zusammen, so lassen sich die gebräuchlichen Kettenleiter durch die in Figur 38 und 39 schematisierten zwei Typen darstellen. Der Typus von Figur 38 heisst Kettenleiter in Sprossenschaltung, der von Figur 39 Kettenleiter in Kreuzschaltung. Nur die beiden äusseren Maschen haben Klemmen zur Aufnahme von Spannungen, die inneren sind kurzgeschlossen. Das Netz kann daher als ein sogenannter Vierpol*) angesehen werden. Wir setzen in der Folge immer voraus, dass das Netz zur Zeit t = 0 in Ruhe ist, d. h. dass alle Anfangswerte verschwinden. Die zu einem Zweig gehörigen Grössen L, R, C treten in den Differentialgleichungen für die Stromstärken I immer in der Verbindung auf [siehe 13. 2(2)]:

(L,te +R+ ~-Ld·) oder wegen I= 0 für t

~

I(t)

0:

(L ~ + R+ ~ /d}{t) ~-----~-------

*) Ein Vierpol ist eine beliebige Zusammenschaltung von elektrischen Elementen von der Art,

dass nur zwei freie Eingangsklemmen und zwei freie Endklemmen vorhanden sind 152,

~

331

7. Kettenleiter und Wellenfilter. Synthese eines Filters

In deh Bildgleichungen entspricht dem die Verbindung (wegen 1(0) = 0):

(Ls+R+

C15 )i(s).

Die für s = i w entstehende Grösse

Liw+R+-c~ 2W heisst die symbolische Impedanz des Zweiges (siehe S. 276). Wir bezeichnen daher, wie in der Elektrotechnik üblich, auch

Z(s)

=

L s+R

1

+ Cs

als Impedanz des betr. Zweiges. Dann lässt sich jedes Kästchen (Block) durch eine Impedanz charakterisieren (Figur 40). R

L

C

~r---o

fmpedan z

Z(s)=Ls+R+ C~

Figur 40

Figur 41

Die Bestimmung der Ströme in den einzelnen Maschen des Kettenleiters in Sprossenschaltung wird ziemlich einfach, wenn alle inneren Längsimpedanzen denselben Wert Z 1, alle Querimpedanzen denselben Wert Zq, und die beiden äusseren Längsimpedanzen den Wert Zt/2 haben (Figur 41). Ausserdem vereinfacht es die Formeln, wenn man die Maschen nicht von 1 bis N, sondern von 0 bis N numeriert. Die Bildgleichungen zu den Differentialgleichungen für die Stromstärken lauten dann 153 : ( 2Zz

z q tl.

+ z q') to.

-

- Zq i 0

+ (Z1 + 2 Zq) i 1

=Ü

=0

332

13. Kapitel: Differentialgleichungen im einseitig unendlichen Intervall

Dieses System kann als Differenzengleichung bezüglich des Index v geschrieben und nach der Methode in 22.2 gelöst werden. Es ergibt sich für die j!-Transformierte des Stromes in der Masche mit dem Index v:

{1)

iv(s)

=

+ eN cosh (2 v ar:) + (Z1/4) sinh (2 N ar:)

e0 cosh [2 (N- v) ar:] V~ Zq

mit (2)

cx

=

Ar sinh

V~~ 4

.

Dieser Ausdruck lässt sich auf eine durchsichtigere Form bringen, indem man den Strom in dem Endglied der Kette ausrechnet: . {)

(3)

ZN S

=

e0 + eN cosh 2 N ar:

~~:==~~::=;=---:-;~~­

V.Zz Zq

+ (Z/(4) sinh 2 N

ar:

und dann statt der SpannungeN die Impedanz Z einführt, die bei der Stromstärke iN die Spannung - eN ergeben würde (in der Vierpoltheorie ist Z(i w) der sogenannte Kenn widerstand): (4)

(Das letzte Glied ist dann geschlossen und mit der Impedanz Z belastet, und der Kettenleiter ist ein Zweipol.) Setzt man {3) in (4) ein, so ergibt sich eine Gleichung für eN(s). Führt man das hieraus folgende eN(s) in (1) ein, so erhält man e-2vcx

(5)

+ R e-2(2N-v)ex

1-Re-4Ncx

mit R(s)

(6)

=

+ (.Zz2 /4)- z . V~Zq + (Zl/4) + Z V.ZzZq

.

Zur Berechnung des Stromes Iv(t) in der Masche mit dem Index v bei Anbringung der Spannung E 0 (t) an den Eingangsklemmen hat man zu iv(s) die Originalfunktion aufzusuchen, was sehr schwierig ist, da Z 1, Zq, cx und R sämtlich Funktionen von s sind. Beim Kettenleiter interessiert aber vor allem die Frage, wie Erregungen der Form eiwt, also periodische Kreisschwingungen einer bestimmten Frequenz, übertragen werden. In diesem Fall kann man den eingeschwungenen Zustand der Originalfunktion Iv(t) unmittelbar aus der Bildfunktion iv(s) entnehmen, genauso wie das bei einem einfachen Stromkreis der Fall war. Dort etgab sich einerseits für die Bildfunktion des Stromes [mit P(O) = I(O) = 0]: i(s) = s L

s2

+ R 1s + (1/C)

e(s) = L s + R

~ (1/C s)

e(s)'

andererseits für den eingeschwungenen Zustand der Stromstärke bei der ange-

§ 7. Kettenleiter und Wellenfilter. Synthese eines Filter~

333

legten Spannung E(t) = eiwt: -

l(t)

1

=

eiwt

Liw+R+(1/Ciw)

[siehe 13.2 (21)]. Dies erklärte sichdaraus,dass mandurch denAnsatzJ(t) =K eiwt in der Differentialgleichung auf dieselbe Gleichung für K kommt, die durch die .5:!-Transformation für i(s) entsteht, nur mit dem Unterschied, dass s durch i w ersetzt ist. Genau ebenso führt offenbar für E 0 (t) = eiwt der Ansatz J,(t) = K, eiwt in dem System von Differentialgleichungen auf dasselbe System von Gleichungen für die K,, wie oben durch die .2-Transformation für die i,, nur dass s durch i w ersetzt ist*). Hieraus folgt, dass man den eingeschwungenen Zustand l,(t) der Stromstärken für die Eingangserregung E 0 (t) = eiwt unmittelbar aus (5) ablesen kann, indem man dort s durchiwund e0 durch eiwt ersetzt: (7)

eiwt

-

I,(t)

=

V~(iw) Zq(i w) + [2)2(i w)/4]

e-2va w 0 gilt :

jlv+ 1 (t)j 2 , wenn u(w) und v(w) zu V(-oo, + oo) gehören und konjugierte Funktionen in der Hilbert-Transformation*) sind, d. h.**) +CO

(25)

v(w)

=

V.P. _!_~~ dy, n

y-w

u(w)

=

-V.P.

_!_I+oo n

-CO

v(yL dy. y-w

-00

*) Nach Satz 5 [I 12. 5] gilt für q(s) die Cauchysche Integralformel +ioo

___ 1 __ I~ da= { q(s) 2n~. s-a 0

-•oo

für ins> 0 fürins

q(z w) [ - i w + (1/ 2)]"+ 1 dw

-00

ist. Wenn die Funktion q(s) nicht bloss auf der imaginären Achse, sondern auch im Reellen bekannt ist, so ist einfacher

Geben wir in den Kettenleitern mit 2, 3, ... Gliedern dem A. die Werte 1/(2 a 0), 1/(2 a 1 ), ••• , so ist q(i w) = l.i.m. n~oo

n

L

v=2

q.(i w).

Jedes Filter mit einem ~ 2-Frequenzgang lässt sich also durch Parallelschaltung von Kettenleitern der obigen Art mit 2, 3, ... Gliedern beliebig genau im quadratischen Mittel approximieren 161 • Durch Zusammenschalten von mehreren Filtern mit verschiedenen Durchlasshereichen entstehen «Frequenzweichen n, welche z. B. bei Mehrfachtelephonie (Führung mehrerer Gespräche über dieselbe Leitung unter Benutzung verschiedener Trägerfrequenzen) am Empfangsort die Frequenzbänder wieder trennen 162 • *) Bei Serienschaltung addieren sich zu dem Widerstand R die symbolischen Widerstände = L s + R + (1/C s). Bei Parallelschaltung addieren sich zu der Leitfähigkeit 1/R die symbolischen Leitfähigkeiten 1/(Ls) und C sundergeben die Gesamtleitfähigkeit 1/Z = 1/(L s) 1/R + C s. Im obigen Fall ist 1/Z = (1/A) + (4/A) s, also = A/(4 s + 1).

L s und 1/(C s) und ergeben den Gesamtwiderstand Z

z

+

345

14. KAPITEL

Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im zweiseitig unendlichen Intervall unter Anfangs- und Randbedingungen § 1. Anwendung der ßu- Transformation und Aufstellung desjenigen Lösungsausdrucks, der einem bestimmten Holomorphiestreifen der Bildfunktion zugeordnet ist

Wir betrachten jetzt die Differentialgleichung

(1)

y(n) + cn-1 y(n-1) + ... +Cl Y' +Co y = F(t)

im Intervall - oo lynoms

< t < + oo 163• Die Nullstellen rx'" des charakteristischen Po-

(2)

seien einfach : (3)

p(s) = (s -

1X1 ) · • •

(s - IX.n)

Zur Festlegung einer bestimmten Lösung wird man die Werte der Funktion Y(t) und gewisser Ableitungen für t = - oo oder für t = + oo (Anfangs- bzw. Endwertproblem) oder teils für t = -oo, teils für t = +oo (Randwertproblem) vorgeben. Wenn wir kurz von Y(-oo), Y'(-oo), ... , Y(+oo), ... reden, so sind natürlich die Grenzwerte lim Y(t) usw. gemeint. t-7-00

Es hat keinen Sinn, für die homogene Gleichung Rand- oder Anfangswerte vorzuschreiben. Denn jede Lösung der homogenen Gleichung ist eine lineare Kombination der Funktionen erx~" 1 , und jede solche Funktion hat z. B. für t +- oo den Grenzwert 0 oder oo oder 1 oder überhaupt keinen Grenzwert, je nachdem 9{1X.'" > 0 oder 9{rx'" < 0 oder rx'" = 0 oder rx'" = ß i (ß j: 0) ist. Analoges gilt für die Ableitungen. Wir betrachten daher nur die inhomogene Gleichung und schreiben zunächst gewisse Anfangsbedingungen für t ~ - oo vor. Da es uns hier naturgernäss um eine Anwendung der ilu-Transformation zu tun ist, wählen wir die Bedingungen so, dass wir eines der Differentiationsgesetze dieser Transformation, nämlich Regel XIIIa, anwenden können 164 • Diese setzt die Existenz von ilu{Y(nl(t)} für einen einzelnen Punkt s0 mit 9{s 0 > 0 voraus. Da wir aber die ilwTransformierten in einem ganzen Streifen brauchen, um die folgenden Schlüsse durch-

346

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

führen zu können, machen wir die Voraussetzung der Existenz von .ßu{Y(nJ} für zwei (reelle) Punkte x 1 , x 2 mit 0 < x 1 < x 2 • Dann existiert .ßu{Y(nJ} in dem Streifen x 1 < 9ts < x 2 , und das Differentiationsgesetz lässt sich so aussprechen: .ßu{Y(nJ} (n ~ 1) konvergiere fürs= x 1 und s =.x 2 mit 0 < x 1 < x 2 , also für x 1 < 9ts < x 2 • Wenn y(v)(-oo) = 0 für v = 1, ... , n -1 ist, so existiert Y(-oo), und es ist Ferner ist y(v)(t)

(v

=

1, ... , n -1) [ _

f o(e..-' 1)

für t

~+=.

1)

für t

~

/-l o(e..-'

Y(t) - Y(-oo)

-oo,

so dass die Integrale Lu{Y(vJ} (v = 1, ... , n -1) und Lu{Y(t)- Y(-oo)} für x 1 < 9ts < x 2 absolut konvergieren. In diesem Satz wird verlangt, dass Y'(-oo), ... , y(n-I)(-oo) gleich 0 sein sollen. Nach der Fussnote zu Regel XIIIa sind aber überhaupt keine anderen Werte möglich, wenn Y(-oo), Y'(-oo), ... , y(n-I)(-oo) existieren sollen. Wenn wir also ein Anfangswertproblem stellen wollen, so gibt es keine andere Möglichkeit, als zu fordern:

(4)

Y(-oo) =beliebiger fester Wert, Y'(-oo) = ... = y(n-l)(-oo) = 0.

Es ist klar, dass eine Lösung mit diesen Anfangswerten nicht eindeutig zu sein braucht. Denn die Differenz zweier Lösungen genügt der homogenen Gleichung und hat die Anfangswerte 0, stellt also eine lineare Kombination von Funktionen e"1• 1 mit 910(:" > 0 dar. Nur wenn keine Nullstellen mit positivem Realteil vorhanden sind, ist die Lösung eindeutig. Um den Streifen x 1 < 9ts < x 2 , in dem wir das Differentiationsgesetz zunächst anwenden wollen, bequem angeben zu können, numerierenwir die Nullstellen von p(s) so, dass (5)

ist, und wählen dann x1 und x 2 so, dass 0

< xl < x2 < mO(m+l

ist. Wenn keineN ullstellen mit positivem Realteil vorhanden sind, sei 0 < x 1 < x 2 • Um den obigen Satz anzuwenden, schreiben wir die Gleichung (1) in der Gestalt

(6)

y(n) + cn-l y(n-l) + · · · + c1 Y'

+ c0 [Y(t)- Y(-oo)J = F(t)- C0 Y(-oo)

und setzen voraus, dass .ßu{Y(nJ} und .ßu{F(t) - c0 Y(- oo)} für s = x 1 und s = x 2 konvergieren. Mit den Bezeichnungen

(7)

.ßu{Y(t)- Y(-oo)}

=

y(s),

.ßu{F(t)- c0 Y(-oo)}

=

/(s)

347

§ l. Anwendung der Eu-Transformation

entspricht dann der Gleichung (6) die Bildgleichung

p(s) y(s)

=

[(s)

mit der Lösung 1

>

(8)

A

y(s) = p(s) f(s). Da die Wurzeln von p(s) einfach sein sollten, ist [siehe 13.1 (8)]

(9) Bei der Bestimmung der Originalfunktion Q(t) zu 1fp(s) ist zu beachten, dass vermittels der 2u-Transformation einer Bildfunktion in verschiedenen Streifen verschiedene Originalfunktionen entsprechen*). Für jede einzelne der hier auftretenden Funktionen 1/(s- rx1J kommen die beiden Halbebenen 9ts < 9trxl' und 9ts > 9trxl' in Betracht, wo sie verschiedenen Originalfunktionen entsprechen. Es ist f e"-l't für t > 0 _1_ ._0 in der Halbebene 9ts > 9trxl' , s-rxl' 0 fürt 9trxl', für die rxl' {p = m + 1, ... , n), die einen Realteil ~ 9trxm+l haben, die linke Halbebene 9ts < 9trxl' in Frage, und es ergibt sich:

*) So wie einer analytischen Funktion in verschiedenen Ringgebieten, die durch Singularitäten getrennt sind, verschiedene Laureut-Reihen entsprechen.

348

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

(9ioc". 0,

für t

< 0.

f.'-1

Q(t) Sodann ergibt (2):

n

=

} ; a,.. .u=m-t-1

m

n

};a,.. f.l

~

}; a,..

1

f.'-1

m

'\"a

-

n }; a,..a.:,..

=0,

f.l-m+1

n

IXn-Z_ '\" ..::...,..,.. ..::... f.'-1 f.l-m+1

m

=0,

f.l-m+1

m

};a,..a.:,..

e"~' 1

n

a

IXn- 2 f.lf.l

=0

'

};a,..a.:;-1- }; a,..a.:;-1 = 1. f.l-1

f.l-m+1

350

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

Dies ist ein inhomogenes Gleichungssystem für die a~ 0 und

§ 3. Lösung unter Voraussetzung der Existenz von F( -oo) undF( +oo)

t < 0 [U(t -- -r) len der Form

=

(5)

je~"_rt-Tl[F(-r) -c0 Y(-oo)Jd-r mit 9\a"_;;;;o

0 für -r > t, U(- t + -r)

=

351

0 für -r < t] zusammen aus Integra-

t

-00

und -i-00

(6)

/ e""_(t-Tl[F(-r)- c0 Y(-oo)] d-r

mit 9\ a"_ > 0.

t

Wegen (1) konvergieren die Integrale (6), ebenso die Integrale (5) mit 9\ a"_ < 0. Dagegen braucht (5) für 9\ a"_ = 0 nicht zu konvergieren, obwohl nach (2) lim [F(-r)- c0 Y(-oo)]

T--+-00

=

0

ist. Wir müssen also zusätzlich annehmen: p(s) soll keine Nullstellen a"_ mit 9\ a"_ = 0 haben.

Es ist dann insbesondere s = 0 keine Nullstelle, also c0 =1= 0, so dass (3) gilt. Wir zeigen nun, dass unter den obigen Voraussetzungen die durch 14. 1 (11) gegebene Funktion +oo

Y(t)

=

+/

Y(-oo)

Q(t --r) [F(-r)- c0 Y(-oo)J d-r

-00

die Differentialgleichung 14.1 (1) befriedigt. Da Q'(t), ... , Q(n- 2l(t) für alle t existieren und stetig sind und die durch Differentiation unter dem Integral entstehenden Integrale in der Umgebung jeder Stellet gleichmässig konvergieren (Anhang I, Nr.18), so ist +OO

Y'(t)

= / Q'(t --r)

[F(-r)- c0 Y(-oo)] dr

-00

(7) +oo

y(n··l)(t)

Q(n-l)(t- -r) [F(-r) - c0 Y(- oo)] d-r.

= / -00

Da ferner Q(n-Il(t --r) an der Stelle-r = tunstetig ist, zerlegen wir zur Bildung von yrnJ (t) das Integral für Y (n -I) (t) folgendermasse 1: t

yrn-l)(t)

=

_/Q(n-l)(t- r) [F(r)- c0 Y(-oo)] dr -00

+oo

+/ t

Q(n-l)(t --r) [F(-r)- c0 Y(-oo)] d-r

352

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

und führen die Differentiation nach Anhang I, N r. 20 aus: t

y(nl(t) =

I Q(n)(t- -r) [F(-r)- c0 Y(-oo)J d-r + Q(n- 1 )(+0) [F(t)- c0 Y(-oo)J -00

+00

+IQ(nl(t- -r) [F(r) - c0 Y(- oo)] d-r- Q(n- 1 )(- 0) [F(t) - c0 Y(- oo)J t +oo

IQ(nl(t-r) [F(-r) -c0 Y(-=)]ar+[F(t) -c0 Y(-oo)],

(8)

-00

wobei Gleichung 14. 2 (2) berücksichtigt ist. Da Q(t) für t ~ 0 die homogene Differentialgleichung befriedigt, ergibt sich:

y(nl(t) + cn_ 1 yin- 1l(t) + · · · + c0 Y(t) = [F(t) - c0 Y(- oo)J + c0 Y(-oo) = F(t). Um weiterhin die Grenzwerte von Y(t), Y'(t) usw. für t -7-- oo festzustellen, schicken wir folgende Hilfssätze voraus: Hilfssatz 1. tP(t) sei stetig und habe für t -7- ±oo die Grenzwerte tP(+ oo) bzw. tP(-oo). Dann gilt für 9\ IX< 0:

l

te(]. (t-r) tP(r) d-r -7-

-00

I

T,

I

r:; /e"lllrx.(I-T)

dr

T

d. h. t

j e"lt-r)(r) dr -+(+oo) /e"lt-r) dr: I

-00

=

(/J~ocoo)

für t-+ +oo.

-00

Hilfssatz 2. (t) sei stetig und habe für t -+ bzw. (- oo). Dann gilt für~ IX > 0: /e"lt-r) (-r) dr-+ t

die Grenzwerte ( + oo)

(/J(-oo) oc

für t-+ -oo

(/J(+oo) oc

für t-+ +oo.

---·----

+00

± oo

Dieser Satz lässt sich durch die Substitution den vorigen zurückführen: co

T =

-

u, IX=

-ß, t =

-

r auf

r

/e"II-T)(-r) dT= feßlr-u)(-u) du. t

-00

Wir schreiben nun Y(t) unter Benutzung von (2) in expliziter Gestalt so:

(9)

Nach Hilfssatz 1 strebt die erste Summe und nach Hilfssatz 2 die zweite Summe gegen 0 für t -+ - oo. Also ergibt sich:

Y(t)-+ Y(-oo)

=

F(-ooj_

für t-+ -oo.

Co

I

Für die Ableitungen bis zur n -1-ten erhält man nach (7):

ylv)(t)

(10)

Doetsch llf2J

=

};

---f'"-/

1

~h I' 0: / e"'1•(t-r) F(r) dr

oo =

e"~'(t-r) / F(u) du~~- Cl.!'

-

t 00

= / F(r) dr-

00

1:1.1' /

t

e"~'(t-r) dr / F(u) du,

= gegen

+oo

J F(r) dr

/ F(r) dr- 1:1.~' _:-____ rx.,,

-00

Die Integrale mit

1:1.~' =

0:

dr.f F(u) du

00

t

dies strebt nach Hilfssatz 2 [14. 3] für t-+ +oo

oo

t

T

(5)

I e"~'(t-r) ro

=

0.

T

358

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

und mit rein imaginärem rx,., = i ß,..:

I

eiß,ß-r)

F(r) d-r

-00

streben trivialerweise gegen 0 für t-+ -oo. Also ist Y(-oo) = 0. Formt man die Ableitungen y(•l(t) [vgl. 14.3 (10)] analog zu (4), (5) um, so erhält man: y(•l(t) =

};

---;L ·I IF(r) d-r + rx t

'JL:t.p u zerfallen (eine der beiden Klassen kann leer sein). In dem Streifen zwischen den a."', der den Punkt u enthält, entspricht der Bildfunktion 1fp(s) die Originalfunktion (1)

Unter /(s) ist jetzt diejenige Bildfunktion zu verstehen, die der Originalfunktion F(t)- c0 Y (-oo) in dem Streifen mit dem inneren Punkt u entspricht. Dann gehört zu der Bildfunktion [1/P(s)] /(s) wieder eine Funktion der Gestalt 14.1 (11), wobei aber Q(t) jetzt die Form (1) hat, im übrigen jedoch analoge Eigenschaften wie die frühere Greensehe Funktion besitzt. *) Man kann das so ausdrücken: In dem Spektrum von F(t) soll die Eigenschwingung der Differentialgleichung nicht vorkommen.

eißpt

361

§ 5. Weitere Lösungen

Um Konvergenz des Faltungsintegrals zu erzielen, wird man jetzt zunächst (in Analogie zu § 3) voraussetzen, dass

(2) ist. Da hieraus F(t) -c0 Y(-oo) =o(1)

für t-+-oo

folgt, ergibt sich auch hier die Gleichung 14.3 (2), so dass im Falle c0 =f= 0 für Y(-oo) nur der Wert (1/c 0) F(-oo) in Frage kommt, während für c0 = 0 F(-oo) = 0 sein muss und Y(-oo) beliebig ist. Dass die Funktion 14.1 (11) die Differentialgleichung befriedigt, ergibt sich wie in § 3, während das Erfülltsein der Anfangsbedingungen jetzt durch einfache Abschätzung folgt, z. B. für die Integrale in Y(t): ~ oc,..

< a:

I

I

t

!

I

e"'l'(t-r)

I

[F(-r)-

Co

Y(-oo)] di II~ !

;-oo

-oo

=

~ oc"> a:

cJ t

•e)lloti'(I-T)tar di eat

..

C --·- - -+0 fur t-+ -oo, a- 9l IXp

j e"'"(t-T) [F(•)- c Y(-oo)] di I;;;;: C (e~la.p(t-T)+•JT di 00

0

t

i

t

Man kommt damit zu einem ähnlichen Resultat wie in Satz 1 [14. 3], nur wird jetzt die Voraussetzung (2) gemacht, und die Lösung behält die kompliziertere Gestalt 14.1 (11). Ein Analogon zu Satz 1 [14. 4] erhält man durch die Voraussetzung

I

+oo

(3)

e-at

JF(t)- c0 Y(-oo) J dt

< oo.

-00

Von besonderem Interesse ist der Fall, dass a grösser als hat Q(t) die Gestalt

alle~ oc"

ist. Dann

(4)

und es ist

J t

(5)

Y(t)- Y(-oo)

=

Q(t- 1:) [F(i)- c0 Y(-ooJl di,

-00

wobei vorauszusetzen ist: für t-+ ±oo mit a

>

Max

l;:Op;:On

(~

oc", 0).

362

14. Kapitel: Differentialgleichungen im zweiseitig unendlichen Intervall

Diese Lösung hängt nur von den Werten von F(r) für 1: ~ t ab, ist also den durch die Vergangenheit determinierten Systemen am besten angepasst, falls positive 91ot" vorkommen. Will man Lösungen konstruieren, die den Streifen in der linken Halbebene zugeordnet sind, so muss man dasjenige Differentiationsgesetz der Eu-Transformation verwenden, das für s-Werte mit 91 s < 0 gilt und in dem selbstverständlich die Endwerte Y (+ oo), Y' (+ oo) usw. an Stelle der Anfangswerte · vorkommen. Zum Schluss sei noch bemerkt, dass man die Theorie auf Systeme von Differentialgleichungen analog zu 13. 5 ausdehnen kann.

363

15. KA_PITEL

Gewöhnliche Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum der Laplace-Transformation § 1. Anwendung der ß- Transformation auf Differentialgleichungen mit Polynom-Koeffizienten Unter den linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit variablen Koeffizienten sind diejenigen der E-Transformation zugänglich, deren Koeffizienten Polynome P"(t) sind, während die Störungsfunktion beliebig ist:

Haben die Polynome höchstens den Grad m, so nimmt die Gleichung durch Ausmultiplizieren die Form an: m

(2)

n

J: J: a1-1• t~-' Y("l(t.) =

F(t).

1-1~ov~o

Setzen wir voraus, dass y(nl(t) und F(t) E-Transformierte besitzen, so entspricht der Differentialgleichung (2) auf Grund von Regel XV und XIII die Bildgleichung

oder n

(4)

m

J: J: b.~-' s• y(~-'l(s) =

/ 1 (s),

v~o ~-~~o

wo f1 (s) aus f(s) und den von y(s) freien Gliedern der linken Seite besteht. Dies ist wiederum eine Differentialgleichung mit Polynomen als Koeffizienten. Gegenüber der Gleichung (2) haben m und n ihre Rollen vertauscht: Während in der Originalgleichung die Ordnung n und der Höchstgrad der Koeffizienten m ist, hat die Bildgleichung die Ordnung m, und die Koeffizienteil haben den Höchstgrad n. Man wird daher die Methode vor allem dann anwenden, wenn die Bildgleichung geringere Ordnung als die Originalgleichung hat, d. h. wenn m < n ist. Gelegentlich kann im Fall m = n eine Differentialgleichung zwar von derselben Ordnung wie die ursprüngliche, aber von einfacherer Art entstehen.

364

15. Kapitel: Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum

Wenn die Gleichung (2) eine Lösung Y besitzt, deren n-te Ableitung eine .\!-Transformierte hat, so muss E{Y} = y der Gleichung (4) genügen. Man hat also unter den Lösungen von (4) diejenigen herauszusuchen, die E-Transformierte sind, und zu ihnen die zugehörigen Originalfunktionen zu bestimmen. Im Fall m < n ist klar, dass man auf diesem Wege nicht alle Lösungen von (2) bekommt. Denn die allgemeine Lösung von (2) ist die Summe aus einer p:utikulären Lösung der inhomogenen Gleichung und einer Linearkombination von n linear unabhängigen Lösungen der homogenen Gleichung, während in der allgemeinen Lösung von (4) nur m linear unabhängige Lösungen auftreten. Es ist also von vornherein sicher, dass (2) mindestens n - m linear unabhängige Lösungen besitzt, deren n-te Ableitung keine .\!-Transformierte hat, die also durch die Methode nicht gefunden werden können. Dass die n-te Ableitung einer Lösung keine E-Transformierte hat, kann übrigens daran liegen, dass sie in 0 ~ t ~ T (T beliebig> 0) nicht integrabel ist oder dass sie so stark wächst, dass E{Y(n)} für kein s konvergiert. Für beides werden wir Beispiele angeben. Ehe man die Differentialgleichung (1) der E-Transformation unterwirft, ist die Beachtung folgender Bemerkung wichtig. Aus der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleichungen ist bekannt, dass die Lösung einer solchen Gleichung höchstens dort Singularitäten haben kann, wo nach Division durch den Koeffizienten von y(nJ die Koeffizienten der Gleichung singuläre Punkte besitzen. Es kann vorkommen, dass Y(t) in diesen Punkten holamorph oder nur so schwach singulär ist, dass Y(t) integrabel bleibt. Um aber Singularitäten, wo Y(t) nicht integrabel ist, aus dem Weg zu gehen, kann es sich empfehlen, diese Punkte, d. h. in unserem Fall die Nullstellen von Pn(t), durch eine Substitution in das Intervall < t < 0 zu verlegen oder aber die E-Transformation in einem Punkt t0 > 0 beginnen zu lassen, d. h. die Transformation

=

fe-st Y(t) dt 00

t,

zu verwenden. Es kann vorkommen, dass die Methode Lösungen von (2) liefert, obwohl keine Lösung die Bedingung erfüllt, dass y(n) eine .\!-Transformierte hat. Ein einfaches Beispiel ist das folgende: Die Differentialgleichung

t Y' + Y =logt+ 1 hat die allgemeine Lösung Y(t) =logt+

-f-

(c beliebig).

Eine einzige partikuläre Lösung, nämlich Y(t) =logt, hat eine .\!-Transformierte, aber auch bei ihr existiert E{y'} = E{l/t} nicht. Daher ist Regel XIII nicht anwendbar (auch Y(+O) ist nicht vorhanden). Wendet man, ohne von der Lösung etwas zu wissen, die obige Methode an, so erhält man die Bild-

§ 1. Differentialgleichungen mit Polynom-Koeffizienteu

gleichung

d

- - [s y- Y(O)J ~

+y=

T'(l) s

---- -

l0gS

--

s

-

365

+ -s1

oder

(diese Gleichung ist zwar von derselben Ordnung wie die Originalgleichung, aber von einfacherer Art). Sie hat die allgemeine Lösung y(s)

=

Iogs s

--

r'(l) -+a +s

(a beliebig).

Die einzige Funktion, die eine .2-Transformierte ist, entspricht a = 0. Zu ihr gehört die Originalfunktion Y(t) = logt, die in der Tat die einzige Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt, die eine .2-Transformierte besitzt. Dass die Methode hier zum Ziel führt, obwohl .2{Y'} nicht existiert, liegt daran, dass .2{t Y'} existiert. Nur kann man ,i2{t Y'} nicht durch Anwendung von Regel XV und XIII bestimmen, sondern muss so vorgehen: Wenn B{Y} und B{t Y'} existieren, so existiert auch .2{ (t

Y)'} = i!{Y + t Y'}.

Nach Regel XIII ist dann i!{(tY)'} Wäre lim t Y t----7-+ 0

=

grabe!. Also ist l

l =!= 0, so wäre Y(t) =

s B{tY} -lim tY. I-+ +0

~ljt

für t-+-0 und daher Y(t) nicht inte-

0 und

B{Y} oder

=

+ .2{t Y'} == s B{t Y}

.2{t Y'} = - y- s y'.

Das ist derselbe Ausdruck, den wir oben in der Form- djds [s y- Y(O)J benutzt haben. Was die Anfangswerte Y(+ 0), Y'(+ 0), ... angeht, die in Gleichung (3) auftraten, so kann es sein, dass sie durch die Differentiation sämtlich wegfallen, nämlich wenn in jedem einzelnen Glied fl ~ v ist. Es kann aber auch vorkommen, dass einige von ihnen stehenbleiben und in die in (4) rechts stehende Funktion f1 (s) eingehen. Besonders günstig ist der Fall, dass die Koeffizientenpolynome nur vom ersten Grad sind, weil die Bildgleichung dann von erster Ordnung und daher stets durch Quadraturen lösbar ist. Manchmal gelingt es, höhere Potenzen durch geeignete Transformationen wegzuschaffen. Die verschiedenen Möglichkeiten, welche hei der Methode auftreten können, illustrieren wir durch einige Beispiele.

366

15. Kapitel: Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum

§ 2. Beispiel: Die Differentialgleichung der Hesseischen Funktionen In der Differentialgleichung der Besselschen Funktionen

(1)

t 2 Z"

+ t Z' + (t 2 -

cx 2) Z

=

0

ist m = 2, n = 2. Daher ergibt die Anwendung der E-Transformation keine Reduktion der Ordnung 167 • Durch die Substitution Y(t)

(2)

=

t"" Z(t)

erhält man die Gleichung

t Y"- (2 cx -1) Y'+ t Y = 0,

(3)

in der m = 1, n = 2 ist, so dass die E-Transformation eine Differentialgleichung erster Ordnung liefert 168 : d

-Ts [s 2 y- Y(+O) s -Y'(+O)]- (2 cx -1) [s y -Y(+O)]- y' = 0 oder (s2 + 1) y'+ (2 cx + 1) y

(4)

=

2 cx Y(+O).

(3) hat zwei linear unabhängige Lösungen, (4) aber nur eine. Daher muss (3) mindestens eine Fundamentallösung haben, deren zweite Ableitung keine E-Transformierte besitzt. Wir suchen nun diejenige Partikularlösung von (3), für die gilt: cx Y(+O)

(5)

=

0.

Das bedeutet, dass

Y(+O) =beliebiger Wert im Falle cx = 0, Y(+O)

=

im Falle cx 9= 0.

0

(4) reduziert sich dann auf y' y

(6)

-

2 IX +1 s 2 +1 ·

Die allgemeine Lösung lautet: (7)

y(s)

c

=

(s2 +1)"-+(1/2) •

Da eine E-Transformierte für s + oo gegen 0 streben muss, ist y(s) nur für 9lcx > -1/2 eine E-Transformierte. Also hat die Gleichung (3) für 9lcx:::;:;: -1/2 überhaupt keine Lösung, deren zweite Ableitung eine E-Transformierte besitzt.

367

§ 2. Die Differentialgleichung der Besselschen Funktionen

Die Originalfunktion zu y(s) kann man gewinnen, indem man y(s) in eine (absolut konvergente) Potenzreihe entwickelt: (8)

y(s) = c s-2-2

.

Diese E-Transformierte ist viel einfacher als die der Funktion frx(t), die durch E{J;(t)} "'

(11)

=

(Vs2_+_c~~_.s)~ Vs2+1

gegeben wird. Sie ist daher der naturgernässe Ansatzpunkt für die Ableitung vieler wichtiger Eigenschaften der Funktion frx(t) (siehe z. B. 27. 4).

§ 3. Beispiel: Die Differentialgleichung der Laguerreschen Funktionen. Das Spektrum des Wasserstoffatoms in der Wellenmechanik Die Differentialgleichung der Laguerreschen Funktionen lautet:

(1)

t

Z"+ (rl +1- t) Z'+ 2 Z

=

0,

wo Cl und A komplexe Parameter sind. Sie ist identisch mit der Kummersehen Differentialgleichung der konfluenten hypergeometrischen Funktion, in der man Cl+ 1 = c, A = - a zu setzen pflegt; daher ist die Gesamtheit der Laguerreschen Funktionen identisch mit der konfluenten hypergeometrischen Funktion (vgl. 27. 5). Hier ist m = 1, n = 2, so dass die Bildgleichung von erster Ordnung ist und von zwei linear unabhängigen Lösungen höchstens eine die Eigenschaft haben kann, dass ihre zweite Ableitung eine E-Transformierte besitzt. Wie man leicht nachrechnet, ergibt sich die Bildgleichung

z' s (s -1)- z[(oc -1) s

(2)

+ A + 1] =

-oc Z(O).

Die uns am meisten interessierenden speziellen Lösungen, die als Laguerresche Polynome bezeichnet werden, verschwinden für t = 0 nicht, so dass die Bildgleichung inhomogen und das allgemeine Integral ziemlich kompliziert ist. Wir machen darum die Substitution t"' Z(t) = Y(t); dann geht die Gleichung (1) über in die Differentialgleichung

t Y"- (t + oc - 1) Y' + (oc + 2) Y

(3)

=

0,

deren Bildgleichung lautet:

- fs d

[s 2 y-Y(+O)s-Y'(+O)]

+ ds [s y- Y(+ 0)]- (oc -1) [s y- Y(+ 0)] + (oc + 2) y

=

0

369

§ 3. Laguerresche Funktionen. Spektrum des Wasserstoffatoms

oder

y's(s -1) + y[(oc + 1) s- (oc +A. +1)]

(4)

oc Y(+O).

=

Betrachten wir nur solche Lösungen Z(t) der Gleichung (1), für die t"" Z(t) für = 0 endlichen Z(t) der Fall ist), so ist die Gleichung (4) homogen. Dasselbe gilt für oc = 0, wenn Y (+ 0) endlich ist. Die Lösung von (4) für oc Y (+ 0) = 0 lautet:

t-+ + 0 verschwindet (was bei 9loc > 0 für alle in t

y(s) = c Js::-:-___!_l}._.

(5)

srx+).+l

Diese Funktion kann nur dann eine ~-Transformierte sein, wenn 9loc > -1 ist. Ferner sollte die Funktion Y(t) für oc = 0 einen endlichen Grenzwert, für oc 9= 0 den Grenzwert 0 für t -+ + 0 haben. Wenn 1--++0 lim Y (t) = Y (+ 0) .ist, so ist nach Satz 3 [I 14. 1] lim s y(s) = Y(+ 0). S--->00

Damit die genannten Bedingungen erfüllt sind, muss in (5) also oc = 0 oder 9loc > 0 sein. Wir erhalten somit: Damit die Gleichung (3) eine Lösung besitzt, die eine ~-Transformierte hat und für die oc Y (+ 0) = 0 ist, muss oc = 0 oder 9loc > 0 sein. Dass die durch (5) gegebene Funktion für 9loc > -1 tatsächlich eine ~-Transformierte darstellt, folgt z. B. daraus, dass sie sich für Is I > 1 durch eme absolut konvergente Potenzreihe darstellen lässt: 1 (1-1 )"' =c.I; oo ( y(s)=c-scx+ 1

S

v=O

;. ) V

1 (-1)"-----

5 v+cx+l '

zu der man die Originalfunktion durch gliedweise Übersetzung erhält (siehe Satz 2 [8.1]): Y(t)

(6)

tv·'rx c ~ ( ) . ) (-1)"- - ---. 00

=

~

1•

F(v+tx+1)

Man kann verifizieren, dass diese die Gleichung (3) für alle oc erfüllt*). Die Reihe bricht nur dann ab, wenn A. eine nichtnegative ganze Zahl ist: A. = n = 0, 1, 2, .... In diesem Fall ist die entsprechende Lösung Z(t) = t-"" Y(t) der Gleichung (1) ein Polynom. Mit der Normierung c = T(oc + n + 1)/n! heisst dieses das n-te (verallgemeinerte) Laguerresche Polynom: (7)

L(rxl(t) = I'l_tx_±_JZ~~)-.~ n( n

n!

v~

n) (- 1)" F(1'-t-tx+1) tv

v

=

~(n + tx) ~ n-v.

j_-_t)v v!

(vgl. 27. 5). Im Falle oc = 0 heisst L~l(t) = Ln(t) das n-te Laguerresche Polynom (im engeren Sinn). Die Funktionen Z(t) = t-rx Y(t) bei beliebigem A. heissen *) I/ F(v + tx +I) = 0, wenn v + tx +I = 0, -I, -2, ... ist. Doetsch II/24

370

15. Kapitel: Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten im Originalraum

Laguerresche Funktionen:

(8)

Sie sind ganze Funktionen. Wir bemerken noch, dass aus (5) folgt: (9)

.s!{ta L(a)(t)} = T(rx +_A + 1) _(s-_!);._ T(Jc+1)

A

(9{et.

5 a+Atl

> -1).

Durch unsere Methode haben wir zunächst für et. = 0 und 9{et. > 0, dann durch analytische Fortsetzung für alle et. eine Fundamentallösung der Laguerreschen Differentialgleichung gefunden 169 • Die Laguerrescnen Funktionen treten in der Wellenmechanik beim Spektrum des Wasserstoffatoms

auf. Die allgemeine Schrödingersche Wellengleichung für die Wellenfunktion "P lautet:

{10)

LI"P + 2n~ (W- V) "P = 0.

Dabei ist m die Masse des Elektrons, Ti= h/(2 n) (h = Plancksches Wirkungsquantum), W die Gesamtenergie und V die potentielle Energie zwischen dem mit der Ladung e negativ geladenen Elektron und dem Z-fach positiv geladenen Kern, also 2 Z e

V=-r '

worden Abstand von Elektron und Kern bedeutet. (Beim Wasserstoffatom ist Z = 1.) Die Wellengleichung hat also die Form (11)

2m(

Ze2)

LI"P+ ~ W+ -r- 'lfJ= 0.

Unter Zugrundelegung räumlicher Polarkoordinaten r, {}, q; wird zwecks Separierung der Variablen in üblicher Weise der Ansatz gemacht:

"P(r, {}, r;)

=

R(r) P/(cos{})

eikrp.

Dabei ist P/ eine Kugelfunktion, die so definiert ist: Das l-te Legendresche Polynom (Kugelfunktion l-ten Grades im engeren Sinn) ist 1

d1

zZz!

dx 1

P.(x) = -- 1

Die

(x 2 -1)

l

P/ sind die ihm zugeordneten Kugelfunktionen l-ten

(l

=

0, 1, ... ).

Grades erster Art (k

~

-!).

§ 3. Laguerresche Funktionen. Spektrum des Wasserstoffatoms

Für den radialen Anteil R(r) von gleichung

1p

371

ergibt sich die gewöhnliche Differential-

(12) in welcherder neu hinzugekommene Parameterleine nichtnegative ganzeZahlist. Bei dem Bohrsehen Atommodell kann sich das Elektron im Falle negativer Energie W nur auf bestimmten gequantelten Kreisen bewegen. Dies ergibt sich auf Grund der quantentheoretischen Bedingung, dass das Impulsmoment des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des Elementarquantums h sein soll. In der Schrödingerschen Wellenmechanik wird diese Quantenbedingung durch eine Randbedingung für die Gleichung (12) im Intervall 0 ~ r < oo ersetzt: Die Lösung R(r) soll für r-+ 0 und r-+ += endlich bleiben 170 • Es zeigt sich, dass diese Forderung im Falle negativer Energie W nur für eine diskrete Folge von W-Werten erfüllt werden kann, während bei positivem W sie sich stets erfüllen lässt. Die Gleichung (12) hat also unter der erwähnten Randbedingung ein diskretes Spektrum von negativen und ein kontinuierliches Spektrum von positiven Eigenwerten W. Ihnen entsprechen als Lösungen von (12) die radialen Eigenfunktionen, die zusammen mit den Winkelfunktionen f1k (cos{}) und eik