Geometrie analitică, proiectivă și diferențială
Geometry - analytic, projective, and differential; In Romanian
148 68 15MB
Romanian Pages 411 [408] Year 1971
Polecaj historie
Citation preview
MINISTERUL ttVAT_4MINTULUI
No MIHAILEANU
]IIIII‖ Illll
Iヽ
.1.:
‐
千
ご
1,二
EDITURA DIDACTICA sI PEDAGOGICA BUCUREsTI-1971
:¨
:￨
∞ｌｌい〇〇
ガ PTe∫α ′
Cursurile mele de geometrie analiticS, geometrie proiectivd gi geometrie di{erenfialE au fost litografiate la Timigoara, 1r, 7952 gi 1955. Aceastb noud ed.ilie diferd prin inlbturarea problemelor pfopuse d.in cursul d.e geometrie analiticb - al c6rotlocestemaipottivitintr-oculegeteaparte - gi aalnumeroaselorcompletiri din cursul rle geometrie di{erenfialS, care vor fi cuprinse in volumul cloilea.
Restul materialului a rdmas acelagi cu aproape aceeasi redactare. $i"acum, rlupd 20 de ani de pteclare, col.sicler cE metotla cea mai inclicat5 d.e tratate a cunogtinlelor este ale a lncepe cu lucrurile cele mai elementare ;i cle a cEuta totdeauna, forma cea mai simp16 de expunere. Pentru menlinerea li:riei cutsului, am rtrliza| constant, d.emonstrafifle pti:l calcul. N-am pierdut ias6 din vetlere cE noliunile gi proprietd!ile geomettice ale spatiului obignuit au uu conlinut con-cret, cleci cE algebra Si, arl.aliza sint simple metode pe cate le ttiltzeazi. geometria. fn partea intiia, de geometrie analiticd, tratez pertrtt unitatea expuo.erii gi materia predati in liceu pe care am continuat-o in acelagi mod., prezentincl direct 9i legat de culogtinfele uuui absolvent cle liceu, materialul [ecesar exercitiilor de seminar. Trebuie sd recunoagtem cb penfru dreapt6, pIaE, cerc, sfer6 9i conice putem sE ddm gi clemonstralii sintetice, deseori mai simple decit cele a.nalitice; numai pentru curbe cle gracl superior 9i pentru cuadrice siutem mai pulin obignuifi sh le cercetEm sintetic. Deci din pu-:rct de veclere a1 conlinutului, aceastE parte a cursului este axat6 mai mult pe metocla cle calcul, cu care ne obiqnuim clin cazurile intuitive, cunoscute, sE o aplicEm apoi qi figurilor noi. Pentru expunerea pdrfii a doua, d.e geometrie proiectivd, am preferat aici, clin nou, metoda analiticd. Aceastd parte nou tleoarece se refer6 la aceleagi figuri ca gi
geometria sintetic6 sau cleci unele proprietdfi pi ecuafii, clar priutr-o metocld mai aclecvatd, car re preg6tire prealabild. DupE ce' ne-am familiaizat cts. nofiunile noi, teugim sE sesizbm coorrlondri mai naturale gi tlintt-un punct de veclere mai inalt, ale proprietSlilor clasice, pe cale proiectiv5,. Geometria diferenliald cotrtillud geometria aaaliticE lnsensul cE stucliazd proprietEfile curbelor gi ale suprafelelor oarecare, tn jutul unui puact. Degi metocla d.e cercetare este acum exclusiv cle clomeniul,an'alizei, proprietS!ile studiate r6min intuitive 9i stdrui sE introd.uc notiu:rile concrete prin definilii geometrice, nu prifl formule.
Ilucrarea se terminS cu r:-:r formular pentru o mai rapiclE mlnuire a formulelot uzuale.
Martie
1970
Autorul.
Partea 全 ntttia -
Geometric analiticこ
DRBAPTA
1. Geometrie anaiitiefr pe o dreaptil. a) Pe o dreaptl dati (fig. l), alegen un punct O, originea gi distingem, plecind. din acest punct, doul sensuri pe dreapt6. Numim pozitia, sensul spre dreapta gi negatia, spre stinga. Ntrmim ard., dreapta astfel orientatS. Fie M un punct oarecare pe axi; distanla OM : x, satt abscisa, luati cu semnul ei, determin[ complet poziliapunctului pe dreapti (V i e t e, 1593). Conform definiliei, MO - - x. Mu1limea numerelor reale d.e 1a cc la } oo este pus[ in coresponCen]i biunivoci cu mullimea punctelor-de la capbtul x' 7a capLtul * (D e s c a r t e s, 1637). Originii ii corespunde abscisa 0 (zero), iar punctului unitate pe axi ii corespunde I (unitatea). b) Fie Mr(xr) gi Mr(xr) doui puncte pe axa x'x (fig.2), de abscise r. si r, scrise in paranteze. Distanla lor MrM, este evident yly2=θ (1)
ν2
θν ■ ν■ ν 2=χ 2 χ ,
l・
c) Formula (l) a distanlei nu se schimbi, oricare ar fi aSezarea punctelor IVIr, M, 4 _ intre ele gi fa!1 de O; avem cu totul 6 pozilii; prima este dat[ de figura 2. A doua (fig. 3) ne
dE
Fig' r
0t - --+--' lr. Fig.
2
〃 ly2=
ν 2ν l= y.― θy2)= =― (θ
一 一
(χ
l―
″2)=χ
2 χ
l・
Fig.3
M"
tl, t Fig.
in figura 4
"$
#
MtMt0 Fig.
4
5
avem
MrMr: MrQ I OMr: -OMt * OMr: -n1* xr: nz - xr In cazul 5 de figurl avem MrMr: MLO - MrO : -OMt * OM, - -xr * xr: xz - frr. in cazti 6, MrMr: -MzMr: -(MzO * OMr) : -(-OMz ! OMr) : : -(-x, * xr) : xz - xt. iu fine, in ca:.;':J 7, MrM, - -MrMr: -(MrO - MrO) : -(-OMz + OML) : : %z %t. I xr)
- -(-x,
-
(t
″′
4
′
“
Fig
Fig.
6
7 ︶ α ︶α
″ψ
in toate cazuriTe, l,wngimea unui, segment este egald cw absc,isa fwlin abscisa originii, numindu-l pe Mr, originea gi pe Mr, tul segllr.elntrTtti MrMr. Odati ce ne-am incredinlat de acest rezrTtat, studiat in toate cazrrile, vom admite de acuma, fl"rb. ana7iz6. suplimentari, c5, intrucit in exprimarea analitici a unei situalii de figur5, semnul segmentelor este cuprins in aceasti exprimare, o formuli oblinuti int-un caz este valabi1[ in toate ce1elalte cazuri. Cu aceastS. observa]ie, geometria analitici cigtigi in unitate 9i elegan!6, fatl. de geometria sintetic5. d,) Fie Mr(x,,) 9i Mr(x,) (fig. B) ; mijlocul M al segmentului MtM, este determinat prin relalia Deci,
twlwi, uoai
deci
MJI - l[Iv[,;
X-frr:Xz-%, sau (2)
fr'l
^'
'tz 2
″′
772
Fig. 6
8
Deci aDscisa rnijlocwl,ui este rned,ia aritmeticd. a abscisel,or. e) Fie Mr(xr) gi Mr(xr) doui puncte care determini axa %'x.- pwnctete fwnd,antentale. Determinim un punct arbitrar pe dreapt6, prin raportu1 in care divid.e segmentul punctelor fund.amentale: k: !M'' MMr' in acest mod, punctelor interioare segmentului MrMr le corespund valori negative pentru A, d.e la 0 1a - cc, extremele corespunzind. capeteTor Mp mijlocului; pentru punctele exterioare, corespund. valori X[, iar k: pozitive.
-1,
Si exprimim
r a punctultti ,r- r h; frz- fi -
analitic, abscisa
cieci (J o a c hi ms
M
;
avem, din def inilie
th a1, 1846)
(3)
x
: L-_o:'-
Cu formula (3) verific[m lesne, rezultatele amintite mai sus. Pentru h : 1 (x, + xr) corespunde fi : @, ceea ce contrazice intuilia noastrS, conform cireia se pare ci pe o d.reapt[ sint doub puncte 1a infinit. Rezolvbm aceasti contrad.icfie, recunoscind intuiliei ro1u1 d.e provizorat in aproximarea realit[fii gi ridicind calitativ in]elegerea noastr5., pinE 1a a admite ca plauzibiT,'rez:oltatuJ impus d.e calcul, a- corespondenlei biunJ-
voce dintre puncte gi rapoartele fr, c[ pe o drealtd aaem un singur punct l,a infinit. f) Fie dat segmentti AB (fig. 9) ; existS dou[ puncte care si-1 divid[ in acelagi raport aritmetic , unul interior, C, gi a1tu1 exterior, D ; punctele C gi D pentru care rapoartele sint opuse D∠
CB
sint conjugate arvnotoic cu ,4
;i B. Putem
49__
AD
ａ Ｓ “ ” ︶
CA
(4)
scriem relalia (4) gi sub forma
BD Ｄ θ
deci gi punctele A, B sirt conjugate armonic atC, D. Punctele A, B, C, cu aceasti proprietate simetric5 formeazl" o ditiziwne arrnonicd.. Cind este mijlocul segmentrlai AB, D este la infinit. Si aflim relaJia analitici dintre abscisele a, b, c, d. a7e 'p:ulolctelor 24, B, C, D dintr-o d.iviziune armonici.
A
Relalia (4) devine a.-c b-c
a-d b-d
C Fig.
I 9
-O
deci
(5)
(a
I
b)(c
*
d)
:2(ab t
cd),
relalie care permite si observ[m rolul simetric al grupelor (A, B) 9i (C, D) g) l.
Dacd
A, B, C, D stttl patru
?uilcte pe o d,reapld auem (relalie E u I e r,
t7471
(6)
AB.CD+ BC.AD +CA. BD:0.
[xpdmlncl analitic, trebule verificatd ideutitatea algebrlc6 (b
-
a)(d
-
c)
+
(c
-
b)(d
- a\ +
(a
-
c)(d
-
b)
:
0,
ceea ce este evident.
2, Mt, Mz, Mo, ...,Mrfiinil n puncte Pe o dreaptd, putem sd gd'sim wn puncl M astfel oa (7\ MM, -l MM, i MM, t .. . I MMn: 0? S[ not6m crt tz,, *2, fr5, . . ., z, abscisele cunoscute ale punctelor tlate gi cu r, abscisa punctului cdutat; tretruie sE avem frt-n*xz-l*ra-x*.,,**r-x:0 _qr deci o ecuaf,ie de gtatlul lutli, care are o siugutb solutie gi tlspunsul problemei este afitmativ. Avem
+″ 2+″ 8+… ・ +″ " ,l adlc6 merlia aritmeticd a absciselor. Spunem cE M este punatul tted,iu al puuctelot My M2, Mr, ..., Mn. 3. Fie Mr, M2, Ms, ..., Mn, n punale pe o ilreaptd; M p*nctul lor meilitt gi N arbikar ?e illea|td. Auem relalia MrN + MrN -l MrlV * .., * M"N : n . MN. (9) ln aclevlr, s[ alegem originea in M; ded, di" (8), *t* xz* xt* ,.. * rn:O. Partea intiia a telafiei (9) devine , - xr*, - rr*, - xrl ... + tt - xn:*x :tt' MN, ln particular, daad Mr, M, stnt doud puncte Pe o ilredPld gi M miilocul, lor, aaetn pentlu u.n punct N, arbitrar, pe aceeagi dreaptd, rclalia NM, I NlvIl:2NM. (10)
2. Bcua{ia drcptci in plan. a) Pvs5. reperem pozilia ur.ui punct in p1an, fa![ d.e doul axe concurente Ox, Oy, (fig. I0), ca sistem de referinld, cu ajutorul lungimilor paralelelor la
tem
Fig。
axe MP - x, MN : y, considerate algebric, sau ceea ce este acelagi iucru, prin schema ONM. Spunem ci r este a.bscisa iar y, ordonata pu:o:ctttlti M, Si pe amindoul le numim coordonate. (Leibniz, 1676). 8
si reprezent[m punctul de coordonate !- 2, I'l , zl' t lulm doui unitili negative, de la O spre fr', ptnd in z4 gi de acolo, pe paralela la Oy Si in sens poziliv (in sus), lulm segmentui eA : I ; 2' B este punctul cdutat. In aceastd reprezentare, originea O are coordonatele (0, 0); punctul unitate pe Ox, U(1, 0), gi punctul unitate pe Ay, tr/(0, 1). Luim ca unitate d.e misurd, segmente egaleOU : OV : I, pe amindou[ axele. De asemenea, pentru ca relatiile metrice pe care le vom stabili si aibi o exprimare mai simpl[ - fdrd, si intervini unghiul u. al axeTor - lu[m axe de coordonate figur[, reprezentim de operpendiculare. Calculul analitic nefiind legat de bicei, numai cadranul I(xOy), inlelegind c[ rezultatul este aplicabil pentru De exemplu, dac6 vrem
tot planul. b) Toate punctele
punct de pe Oy; de
(1)
de pe axa Oy
ar
abscisa
nu1[; deci
x:0
pentruorice
aceea
x:0
este ecualia axei Oy. Analog, ecualia axei
Or
este
! :0.
(2)
Fie d o dreapti para1el5 la Oy la distanla OA: a (fig. 11) ; punctele ei au aceear.i abscis6, a, De exemplu, dacd Mr, M, sint doud puncte ale dreptei r/, ele au coordonatele de forma (a, yr) gi (a, yr). Atunci
(3)
x:a
este ecnalia dreptei d,. AnaTog, o para1el6
(4)
la Ox are ecualia
!:b,
care exprim[ ci toate punctele ei au aceeagi d.istan]i b, la Ox. Bisectoarea intiia, b, (fig. 12) este caracteizat[ prin proprietatea clistanlelor egale la axe, a punctelor ei: MN: MP, deci 層０
χ =夕
Fig. 12
Fig. 11
9
Fig. 13
Fig.
11
este ecualia ei, adicE relalia verificatl de toate punctele ei 9i numai de punctele ei. Ea este bisectoare gi in cad.ranul III gi reprezefitate de aceeagi ecuafie, deoarece coord-onatele unui punct al bisectoarei, amind.ouS. uegative, deci egale 9i aritmetic ;i algebric, inci o verifici. Ecualia celei de a doua bisectoare br, va fi, in mod analog, .: -11 sau ^:
(6)
x-ty:o.
O dreapti d ce trece prin origine (fig. 13), are o ecualie de forma (7) ! :'r/t%, x, y fiir.d, coordonatele unui punct curent, iar rn o constanti (aceeagi pentru toate punctele dreptei). Notind. cu ez unghiti (tl,Ox), avem evident NII : L : ts t{ : In, : const. ONx"
Spunem c6. rn este panta dreptei, sau coeficientui ei uughiuiar. c,) Considerim o d.reapt5 d,, intr-o pozilie oarecare fa!6 de axe (fig. 14). Fie l'1 un punct arbitrar pe d.reapta d; vorrr g[si ecuafia dreptei d, dacd vom reugi s[ exprimim o relalie intre O-l/ : ,c ]i NM : y, verificati de toate punctele dreptei d. Ducem paralela d' din O la dreapta d ;i fie L{' interseclia ei cu MN. Avem urmS.toarele cantitili constante (aceleasi, oricare ar fi punctu,l M, pe d); ru: tgu gi n: MM'; cum
avem ecualia c\ttatd,
NM:NM'+M'M,
(8)
y:tmx+n adicl o ecwat,ie d,e gradul, i,nti,i in n;i y.(Ferm at, 1637). fnrrers, o ecualie de gradul
intii in
doud variabile
ax!byfc:0 り repr,ezintS. o d.reapt6, d.eoarece putem si o puuem sub forma (B), rezol)
vind-o in raport cu y. Avem
一
α 一ら
〓
％
(10)
care d.6 panta unei drepte scrise sub forma generald (9). 10
ca apucaぃ esこ reprezenth dreapta 2″
+oタ ー 5=0.
Rezolvinl L raport cuノ
ノ= τ ″+τ constn」 m
;
dreapta′ ′ (fig・ 15) ２ 一３
″
ノ =―
ig. 15 「
Cu荀
武 。m10dgin五
メ
a pundJui″
気 -3,o,apOi
Constmim punct」
B(0,:￨
de pe axa O夕 ,i paralela din 3 1a′ ′este dreapta cさ utattt α Putem sa silllplificる m constructia,Cttuthd%夕 %′ J′ dreptei(intersectme И,3 cu axele).Pentru И de exemplu, avemノ =0,1″ SCOS din ecu4ia ramasこ .
.
in cazul nOstru OИ ==:, OB==: ,i dreapta este Punctulハ「
ИB.
,i el pe dreapta ′, deoarece coordOllatele lui
一
:l se aflこ 15, satisfac ecua,ei dreptei, adictt allllleaztt expresia α =2″
cind“ c‖ im
pe″ cu 5,i peノ
Cu―
″=0,ノ =O nu verificl ecuatia.
+3ノ
5
丁
ー
5,
.° Jginea nu se afltt pe dreapta,deoarece
α ノFie И,B urmele dreptei α (fig.16); cunOSdnd θИ =α ,θ B =ろ putem sa sc五 em ecu∼ ia dreptei α sub forma(CreHe,1821).
チ十子=1.
(11)
ln adevir, (11) este o ecualie d.e grad.r:l lntii, verificati de coord.onatele punctelor A(a,0) gi B(0,6), deci reprezinti chiar dreapta AB. Fie inci ? qi u lungimea norrnalei OP drn origine gi unghiul ei cu axa Oxi? - OP giw: (OP,Ox) determind complet dreapta d;prften s6 scrierr deci ecualia dreptei, in funclie de aceste elemente normale. In ad.evir i:acosN:bsinu ;i eliminind pe 6t, b din (11) scriem
ecualia dreptei sub Jorma
(Cauchy, 1826) (12) xcos,u,fysinw:p.
norrnald
e) E,cloafia unei curbe ノ(χ ,ノ )=0
Fig 16. ■■
este satisflcuti de coord.onatele (x, y) ale punctelor ei. Reciproc, de cite ori coord.onatele punctelor sint legate printr-o relafie, punctele respective siut situate pe curbl avlnd ca ecua]ie, tocmai aceastl legSturd (D e s-
cartes,1637)
Expresia lineard.
d(*,y)-atc+by+t este nul[ pentru coordonatele tuturot punctelor dreptei d gi diferiti de zero pentru. celelalte puncte din p1an, pe care il imparte astfel in dou6 regiuni. In fiecare din aceste regiuni, d, plstteazd. acelagi semn, pe care-1 determinlm cu ajutorul originii. ln care y -f t) < 0.
Ca aplicafie, sE determinEm regiunlle planului
f(r, y) :
(r
|
2y)(t
-
Fie
y): r t2y, dr(r, !): t -y *1. Replezentim tlreptele dt - 0, d. : 0 (fig. l7), Prima trece prin origioe; ne ruai folosim de punctul C(-2, 1). Pertru a cloua, li cEut6m urmele pe Oz, Oy; avem A(-1, O), B(0, 1). Dreptele d,, d" impatt planul in Patru regluni I, II, III, Iヽア. in punctul l(-1, 0) avem d.(- 1, 0) : -l < O deci′ 1(″ , ノ)< O in III, IV ,1 ,ir(x,
′1(″ ,ノ )>OLI,H
in Origine, aveln′ 2(0,0)=1>0; deci ″2(″ ,ノ )>O in regillnile I,IV ゞ ′2(″ ,ノ )sei sint proieclii,le a doi d'iarnetri perpend,iculari cercul principal. Atunci, intre coorclonatele capetelor a doi cliametri conjugafi avem relatiile
din
(Chasles):
-
ノ
fiz: -asirtu:
α 一ｂ
(3)
b
-o )tt
lz:bcosLa:
Avem relafiile イ +″ 3=α a,
firlz - )tlrt, :
ズ +ノ :=ら 2,
ob I
rezult羞 )
“ ● )
Vfi+0″ :=α 2+ら
0・
2,
1
ada O″ .M2=丁 α
b・
Deci sutna fdtratelor a doi diamelri conjugali este conslantd, ; aria faralelogramuconstruit pe doi, diametri oonjugali este constantd, (Apoloniu). Avem teoreme asemdn6toare pefltiu iperbold. b) Mulliunea punctelor din care putem sd ducern tangente perpend,iaul,are l,a o elipsd este un celc. (Irahite, 1685) In aclev5r, sE ducem la elipsd o tangenti de partd, m
lui
! :
mx
+ 1/ a'm+
b'.
″ノ十″=7あ 2+b2%2. 57
-
１ 一％
Obfinem taugenta perpenalicularS,, schimbincl pe nt priu
Avem
Scriem cele douユ ecuatii Sub forma (タ
ー 物″)2=α 2物 2+ら 2,
レッ
+″ )2=α 2+b2″ 2;
le adunttm,i simpltticttm cu l+″ 2;。 btinem ″2+ノ2=α 2+b2;
(6)
aven deci un cerc concentric,pe care ll■ umim cercul ο′′ グ ο (d∝ Щ7nire dat五 ψι
de Monge). b。 lPSte
2 avem un rezultat analog pentru iper‐ in ―ら
evidentc6schitubindpeレ
in cazul parab。 lei, tatlgentele mobie perpendiculare
=%″ 十 , ノ ノ Σ 蕩 =チ se illtersecteazこ
lF
pcntru ″=:
O
Dcci」 j%夕 π%ι ′ ′ ′ ι′づ ″ ′ ′ ο″″ ο ′ づυ ι ιι 夕 ″ ,pα γ αboJα ο , 1. COnsiderinl iperb01a echilater首 χ サ
(8)
sγ ら%% tr″ g力 づ′ γ θ ・ 夕′
=カ
,i fie
^(", :),
"(, ;)
"(" :)
trei puncte situate pe ea (fig. 53). Perpeudiculara din I pe latura BC
'-:: *-:Tu-^ cl
'b
taie a doua oar[ iperbola (8) in punctul Il, pentru care
tlbc * o: iudepdrtlncl solulia
-
- a);
@
r : a rimine
(e)
*1 n(L, \abc h
t
Qoordonatele punctului -EI fiincl simetrice in a, b, c tezultE cd slnt aceleagi, daci am pleca de la celelalte in[l!im. Deci iperbolele echilalere circumscrise wnui triunghi trec Prin orlocentlul biunghiului (Brian chon- Poncelet, 1820).
2. Vom mai ardta cl cenlvul iperbolei echilolere circutn' unui triunghi esle siluat pe cercul celor noud punete ol lriunghiului (B ri au ch o n-P o n c e I et, 1820). Cercul celor doui puncte trece prin mijloacele laturilor triunghiului ABC, de coorctonate
sorise
(10) Fig.53
(И l)
etc.
58
為=写 ,九 =力 守
Conditia ca punctele O, Иl, 3., Cl sこ fie situate pe un cerc este ￨″
NL
i十 ズ
trl :
O;
celelalte linii ale cleterminantului rezult5 prin permut6rile coord.otatele punctelor ; avem
l(b*c),
b+,
h|l
t
l';l'n*,,)
h(b+c\l
(l 2 3). lnlocuim
cu
,,
,* l:"r lbtc*hz(b]-c)bzczhl.l'
,
︱︱ Ｉ Ｌ Ｐ
.tr( fiincl o expresie obfinutb prin simplificarea coloanelor. Desfacem ultimul determinant lutr-o sum6 de determinanli
lu*, , "l**,r*l,,tu*o
,,1,
amindoi nuli, ceea ce demonstreazd. propozilia. d) 1. Dacd o parabold este inscrisd intr-un lriunghi, ilirecloarea ei lrece prin
ortocentrttl lriunghiului. (S t
ei
n e t, 1828).
In adev,r' fie yz
: zpx
parabola gi
^{#'")' 'ffr'')' 'l;'")
trei puncte pe curbl (fig. 5a). Tangenta in I
I
a2 l
4':p1.1- a) gi
analoagele determin6
dreptelor
triunghiul A'B'C'. Virful l'
de exemplu este intersecfia
*:o(,.fr), ,,:o(.*;)'
deci
=影 =∵ 問″ ,ノ
(11)
Parabola este ilsctis5 in tri-
unghiul A'B'C'.
Perpend.iculara
b+a
a {″
ｎ
taie d.irectoatea r :
一 一
'2p
望 ン タ了
din A' pe B'C'
punctul
(,4rr(-
*,*+".#,),
de coortlonate simetrice ; deci toate
lnl$imils se intllnesc cu directoarea ln acelagi punct .EI.
59
Fig 54
2. Avia triunghiului inscvis unei parabole esle dublul ariei triunghiului formal d,e
tn acesle puncte. ln ad.evEr, aria triunghiului IBC tangentele
(13)
(ABC)
lla'
- - l-
.,
este
I b-b)(b-c)(c-a) 1l: +
gi a triunghiului A'B'C' 1 lbc b I c I 2 lzp
k-b)(b-c)(e-
3. Focatul parabolei inscrise unui triu.nghi esle sitwat tuiunghiwlui (I, a m b e tt, 1761) ln aclevdr, d,ac6" a, b, c sktt rdrlEcinile ecuafiei x3
x2-rlz_
le
cercul circuntscris
luxz+ur+@:0,
ecuafia cercului circumscris triunghiului
(1s)
a)
8p
A'B'C'
este
il,o ;).*i,,*-#,r*;-o
gi verilicdm c[ este satisfEcuti d.e x
-,1'2', y: '
O,
c)
1- Dacd patru puncte ale parabole'i sinl conci,cl,ice, oantrul meiliilor d.islanlc siluat pe a*d. In aclevEt sh intersectbm parabola cu un cerc; avem sistemul
esle
!2:2?x, elimininclu-l pe
x2
-f !2 + er + by I
c:0;
z oblinem ecualia 1)1
iV+t'+";e*bYtc:o; ^r2
coelicientul lui ya 1;o6 nul, avem
(16)
lt i lz * y" -l !r:
0.
Centrul mediilor distanfe ale pr::rctelor de intersecfie are coordouate
,4,1 'lnls
i +-l i
LY*
Rezultd cE acest punct este situat pe ax6. Teorema reciproci este imerliatE.
2. Daod nonnalele tn trei functe A, B, C la o larabotd stnt concurente, c*raul trece prin ulrful. O al parabolei. (Jo.chiusthal, 1843)
ABC
60
yte A.laz , a ) elc., trci puncte pe u pa-
l-
)
rabold (fig. 55). Normala it
A are
a( y_a:_il-_ cele
trei notmale in A, B,
a2\
rpl, C
sint
concurente,
0) axa Or. Originea este un nte confundate, deci wn d,e Antoarcere.
b) Considerdm wn cerc d.e diarnetru OA. O secantd. mobild d.usd prin O rctaie cercul, in N Si ng. 64
tangenta dusd.
in A, in functul, P. :
Purtd.m
le
Not[m OA : &, (OM, OA) : g, OM :
r.
aceastd secantd segmentul, OM NP. Punctul M descrie o cubicd., pe care o numim cisoidd (D i oc I e s, sec. -2)
Atunci avem (fig. r
65)
:OIlt :OP _ ON -
a cos g
:":-.;:"';, rzx:
a!2,
sau
(3)
x(x,
Rezolvind Fig.65
I !,) :
in raport ノ =土 χ
幹
)
84
ay,.
cu y,
Vア
弓
-acos? :
Curba este reali, pentru
0_{r(a. I,uim ramura pentru care radicalul
este pozitiv, Aplic6m logaritmii
2logY:3logx-log(a-r) gi
derivind, obtinem
3a-2r
' Y:Y rr@-r)' x
Curba nu are extreme in intervalul de varialie 9i y' este pozitiv, pentru > 0, deci ordonata cregte. Din (a) rezrfltl" ci pentru N : ct, y devine
infinit, deci curba admite tangenta in A, ca asimptoti. Completim figura, prin simetrie, in raport cu diametrd OA. Originea este gi aici un punct
de intoarcere. Numim curbd, circulard., o curbi care are aceleagi puncte imaginare la infinit, ca 9i cercul, deci in grupul d.e termeni de gradul cel mai mare in ecualie, intervine combinalia xz + y2. RezultS din (3) ch. cisoid,a este o cwbicd eirculatd.
Avem
AP
: ?: ct tgp: n1.
a:
a-,
l,
AP
(s)
:
α
sau, pentru
〓
oQ-q:
M(r, y) taie axa Oy in punctul プ 一ノ
Dreapta AM care unegte punctele A(a, 0), Q pentru care, conform cu (4)
yo,.
Cu ajutorul cisoid.ei, reprezentim grafic, rdd[cinile cubice. c) Fi,e O 9i A doud. puncte fixe. O secantd. mobil,d. d.usd. frin O taie i,n P, perpendicwl,ara in A pe OA. Pwrtdm pe secanta consid,eratd,,l,wngimile
PM:PM,:PA. Punctele M Si M' descriu o curbd, pe care o uumim strofoidd (T orri c elii, 1645).
Notim OA:a, n, a-+q, l:1, n+p elc., adic' 0 n-n' q-q' lmP =0 lm'P' 4.
(d) (d')
０ １
グ グ ０ １
‘
121
夕
ググー０
％ ％ １ ０
(8)
=0
m+m,
,;」 L∫ 瞥 :魔 t盤 'c‰ 棚 。 ら 爵i脳 穏色 溜鳳よ relalia dintre cositlusurile directoarc ale ullei drepte, 1
:」
w鍔
祖
fuム
エ κ 螂
att Oれ
面
五eⅣ に 州
,Ozメ
の
un pu∝ th
OM=″ r+ノ J+zx Fudicam relatia sCalar, la pitrat, ,i avem
(9)
0]ィ
2=″ 2+ノ 2+′ 2+2っ 03+2ノ ′ol=2■ 202.
Luttnl vectorul unitatc
υ
pe dreapta Oノ
=λ I十
び
.=鷲 a離 指 ≒指 ぶ
::甘 :1措
Fie
lイ
+ν K.
げ
∝2=λ 00+μ
1 =
λ町 十
11α
,04 hmd
+,01,
喝 _λ 02+μ 01+
Elininhd Pe λ,「 ,
Cu a｀ de。 名 り
l鰐 号 lTr」「1霜fび 町 =λ tt μ03+ ν02,
2+
ν′ ツα3
,Ob'inell・ relatia Cこ uta饉
1
03
03
1
02
α■
0■
∝2
02
01
1
●3
∝■
α2
α0
1
=0.
p', v') gi g unghiuil lot; ′ ′ びび 2=0び 2+Oυ 2_20υ ・ θび′cos 9,
Fie acum vectotii U(^, V, v), U'(1,',
deoarece
′ ′ Σ(λ ― λ′ )2+2Σ (λ ― λ)(「 ― μ)COS 03= =Σ ソ +2 Σλμ03+Σ λ′2+2Σ λ′μ′03 20び ・ 0び ′cos?, rczulti
COS 9=
(11)
′ ′ ′ λλ′ +μ μ 十 νν十 (λ μ 十 λ′ μ)03+(μ
V′
′ ′ +μ ν)01+(λ V′ 十 λ ν)02
′ ′ ′ 2+μ 2+v'+2λ 03+2μ ν 2+μ ′ att ν 2+2λ ′′ O.+2ν λ 02γ χ ν 0.+2v′ λ 02 γλ μ03+2μ ′ 「 in cazu1 01=02=03=0,fOrmulele(9),(10),(11)dC宙
n forlllulele uzuale.
グリCOnsiderttm punctde Иづ(4,ノ =1,2,3,4) `)(づ `,′ ア .Dα σ 夕′/′ ク′ θ ル И.И 2'`И 8И 4S`π じ ″′を %ル 7′ ,α ι ″″ι づαυ ′ ,%7″ ′ ο ￠ 夕θ ィ ク′ ″づ (12)
И.И :十 И2И f=‐ 41И :十 И2И :.
in adev翫 ,rela● a(12),adiCう Σ(″ 8-″ 1)2+Σ
(″
4 ″ 2).=Σ
devine (13)
(″
`一
″.)a+Σ
(″
3 ″ 2)2
2(xr- rr)(xr- no):0,
care este condilia de perpendicularitate a dreptelor ArA, Si ArAo. 1.r.>
LL4
2.FieMa;mijtocultaturii,A6Ai'DacddreptelaArAr;iArAastntperpendicw' 'aaern relalia
lare, atunci
(14) ln adev[r,
Mr"Mzt: Mtllfw' cooralonatele punctului M;i sil.:t lxi + xi yi + Yi ,i'l ,i\ E
se retluce
la
(r, *
ns
: - io)'
xz
-
2
2'
\-z
gi relafia (14), aiticb
X
)
(r. + r, - x, - tr\'
(13).
3. Daed dreptele ArA, 9i A"An sAil perpendi'culare, atunai perpendicularele di,n Ar, A, pe planele ArArAn, ALAyAL sint aonaurente. In adev6r, ecuafia planului ArArAn esle
lrxrlmryr*nrzrt?t:0, untle ノ2 ′ ュ=
ノ3 ノ4
夕■=
Deci pcrpelldiculara din Иl pc planul И2И 3И 4 are ecuatiile ″ -4
ノ ー タ■
Z Z■
J.
ln nrod
analog obliuem perpendiculara tlin
l, pe planul ArAzA*
Aceste drepte sint concurerte, dupd (l 1), cind ″.― ― ″2
夕1-ノ
22■
― Z2 ％ π
″ π
′ .
=0.
J2
Consirlerdm determinanlii reciproci
ln, s:1", "-lr" l-: Dup[
o
lr lz 9t lt
lnL nL zL l',, nz :,1 mz 22 ]l ,1.u,:l', P,l.
zs rl'" -ll, ms ns Prl zt ll lr, m, nt P,l
teorem6 din algebrd
l*, l*,
',1:rl"' nrl l*n
1l 1l
gi atunci conclifia de concureufd a d.reptelor meniionate, revtne la (13). 4. Evicleut c6 clac6 ) Decr,: dacd, un tet peyeche este
formatd lot muchil.or opuse este a [L h u i I i e r , 1782). Spuoem cE tetraedrul este ortocantria.
123
SFERA 35。
Determinarea sfcreio Ca mul,ime a punctelor ν (χ ,y,Z)egal depttrtate
de un punct fix ε(χ O,夕 0, 2o), eCualia Sferei este
(1)
(″
一 衡)2+(y_y。 )2+(Z― zO)2=/2;
θ este centrul ,i γ ,raza sfereio Dezvol償 nd,Ob,inem 2+夕 2+z2_2χ χ Oχ -2ノ 0メ ー 220z+χ :十 ぅ 1+″ :一 /2=0,
adiCIO ecualie de fOrma(Parent,1705) χ2+ノ 21+Z2+α χ
+″
(2)]
Z+″ 十θ
=0;
centrul ,i raza sfnt date de χ。=_α百
(3)
'ノ 0= 百
う
′
= :
2°
2=″ 十 う2+ο 2_4″ γ
(4)
4
Sfera este realこ , dacユ
α2+ろ 2+θ 2≫
0)
4″
.
Senlnul = cOrespunde unui punct, sfertt de raz益 36.Puterea unui punct iIL rapOrt cu o sferう
. αノ Fie
punct ,■ spa,iu ,i Sfera s,
(1)
2+Z2+α %+り
%2+夕
nul五
.
]ど (χ O, 夕。,
Zo)un
+θ Z十 ″=0.
r, pe o dreaptこ
』 ィ lare arbitrar Fヽ ∝, β γ ,11∫ 糧11:[brlttle:1::Ct slnt
δ , care trece p■
1■
,
y=yO+/β
Z=″ 。+γ γ fV==″ . ヽralo五 le γl, 72 ale lui 7, care corespund punctelor iイ χ
=為
十 γα
,
;
u■ lde』 イ
ale intersec,iei dreptei (χ
δcu sfera(1)sint rこ dttcinile ecua,iei
1, if2
O+γ α)2+(ノ 。+7β )2+(z。 十 γ γ)2+α (χ O+γ α )+ 十 ろ(夕 。+″ β )+ε (20+η )十 ″=0. 2+β 2+γ 2=1,iar termenul liber nu depinde α
Coeficiellltul lui γ2 eSte
de α , β , γ ;
(2)
夕 =γ 172=χ :十 ズ 十 Z:+α χ。+り 。+θZO+α Deci,α α θ ″″%θ ι %θ sι θ α %ノ タ %θ ら ι ″δψγ グ グ π 夕%%θ ″ %ι y,θ α ιノ γ α グ ιθs/3/グ じ %]√ 1, ιsι ι θθ%s″ α%″ Numi αpunctului ν fa,五 de sfer五 .θ のり γ ι %ι り ι γ α “ θS/8γ ″`%Jο θ %グ %″ θ θ θ γ αο ι ιψ%%θ ″ %ι %づ %α ″ ″ ψ%ι θ θ %φ α γ ″ ι S/3/ι グ .
.
.
124
Dacd d este distanla punctului M o 7a centrul sferei, puterea
! :
(3)
d2
lui
este
- r',
cum rezaltb" simplu, utilizind. forma (* a ecualiei
b/
-
xo)'
+
(y
- !o)' I
(,
- ri'-
rz
:0
sferei.
ConsiderSru. sferele sr,
s, de ecualii
: x' + Y' + sr()(, !, z) : x' * Y' *
sr(x, Y, z)
Punctele M(*,
y, z) carc au aceeagi
arx
putere fa!5 de cele douE. sfere verific5.
rc7aJia
st
(4)
* bJ * ctz * dr: 0, arx * br! 1- crz * dr:Q.
| zz {
z2
:
sz,
sau (5)
(a,
- ar)x *
(b,
-
brb,
I
(c,
-
cr)z
* d, -
dz
:
0.
Deci mwl,lirnea punctelor M care ou puteri egale fald. d,e doud. sfere este il numim fl,an rad,ical al celor doui sfere. Acest plan este perpendicular pe linia centrelor sferelor d.ate. Fiind date trei sfere sr : 0, sz :0, sa :0, planul radical al sferelor s2, sB se intersecteazl cu planul radical al sferelor sl, sB dup6 o dreapti a. Punctele acestei d.repte au puteri egale fa![ d.e cele trei sfere; spunem ci a este axa radicald. a sf.ereTor sl, s2, sr. Ecuatiile acestei axe sint
un Plan, pe care
∞)
51
S. :0,
-
51-Sr:0.
Pentru patru sfere date sr, 52, Sg, s4, axa radicali a sferelor 51, s2, ss taie planul radical al sferelor sr, so intr-un punct O, care are puteri egale fa!5" de toate sferele. Spunem c[ O este centrwl rad,ical, al celor patru sfere. Noliunea de putere a unui punct in raport cu un cerc sau cu o sferb este conlinuti in unele teoreme a1e lui Euclid flAp oloniu, dar este formulati explicit de Oughtred (1631). Denumirea este datoriti lui S t ei n er (1826). Expresia analiticl aputerii este dati de R eye (1879). Planul polar, axa radicali gi centrul radical au fost introduse de G a u i -
tier
(1813).
37. Fascicole de sfere.
a) l.Numim fascicol, de sJere, mullimea sferelor
care au acelagi plan radical. le radicale
Fie date sferele sr : 0,
51-sr:$,
Ss-52:Q
coincid, daci
Ss-Sz:I(sr-sz),
I fiind un parametru,
deci
sa:
trsr
t ptr, I + tr: 125
1,
sz
:
0,
ss
:
O;plane-
2. Deci o sfer[ s, ln fascicolul determinat de
: x' I sr(x, Y, z) : xz I sr(x, Y, z)
* Y' *
| zz ! z2
Y'
I arx * arx
sferele
* ci * d, : bzl * czz * dz: br!
0, 0,
are o ecuatie de forma
(2) D
s,
f
fts,
:
Q,
fiintl un parametru; detaliat
(3)
(l {h)(x'z*y'lz') *(a,!ha,)x * *(c,*kc,)zlil+kd,:0.
Centrul sferei
*
hb,)y
*
(3)
-(
'[ft
(D,
ar!ha,
br+hbz
z1r
,(r + h)'
1ry ' -
crlhcr\
- 4t + h)J'
o dreapti, care trece prin centrele Cr, Cz ale implr]iud segmentul CrCrin, raportul -A (F. 112). - Reciproc, pentru ca sferele cu centrele colineare s5. formeze un fascicol este suficient si existe un punct, cu puteri egale fafl de toate sferele. Planul radical face gi el parte din fascicol, pentru k : -1. Razele sferelor din fascicolul (3) sint date de cind
variazd, d.escrie
sferelor S1,
(4)
s2,
4(l +
:
*
ka,), -i4(d,t + kdr)(l + h). Rezultl c[ diu fascicol fac parte 9i dou[ sfere d.e raz\, rruld,, pe care le numim sfere limitd,. Avem trei genuri de fascicole, dupi cum aceste puncte sint reale diferite, imaginare sau confundate. 3. Si luim linia centrelor ca axi Ox Si plarul radical comun, ca plan )c : 0. Ecualia unei sfere din fascicol are forma
(5)
hz)rz
2(o,
x2*!2*z'*),xlp:0,
y' fiind. o coustantS., puterea originii O, iar ). un parametru. Punctele limit5. corespund. pentru tr : t 2r/ P. Cind. p < 0, O este punct interior tuturor sferelor; toate sferele trec atunci prin cercul
!'*z'l?:0, din planul radical x :0. Cind p : 0 avem un fascicol de sfere tangente in O. Cind ? > O, sferele sint situate d.e o parte gi d.e alta a planului rafical, centrele 1or fiind exterioare segmentului (-21F, Ztl p) atpunctelor
limiti.
126
mullime de sfere care au aceeagi ax[ radicall formeazd o re,tea -b) OFiin6 date sferele
de
stere.
s;(x, Y, z)
: x' I
Y'
I (i
zz
:
I
anx
* bJ *
c&
I
dr
:
0,
7, 2, 3, 4),
axa radical6
sl-s3:0, este
situati in
s2-Sa:0
planu1
Sa-53:Q,
daci existi doi parametri nenuli, astfel Sa
- ss:
tr(sr
-
ca
sr)
-|
F(s,
-
sr),
deci
(6)
sr:trsr*lrrrfvss,
r+plv:1'
Anulind gi irnpirlind cu unul din factori, rez:ultl, ci sferele unei refele
au ecualia
(7)
s:Sr*/zsr*frsr:9,
adici
(l + l, +
h)(x'
* ),' *
z'?)
!
2(a,
*
ha,
I
ka")x
+
d,
c,
!hcsthc"l
+
hd,
* hdr:9.
Centrele acestor sfere
. I
arlhar!has
4+hbr+hbx
" [- 2(t+r+ft)' - r(t+h+h)' - r(r+h+il)
siut situate (F. 126) intr-un plau, anume planul centrelor sferelor s1, s2, s3. Si luim axa radicalS ca axi Oe gi planu1 centrelor ca plan xoy. Oblinem ecualia canonicd a unei relele
(B)
x'* !'I
z'*l,x *
1 fiind puterea originii, comuni tuturor Centrele sferelor eu coordonatele
Uy
sferelor
cl-^. 2' \ z' -s. iar raza r este dati
(9)
* ?:0, iar ),,
pr.
parametri.
ol I
de
,,
:^'!4 n' -
lr.
Deci, pentru ? < 0, adicd O interior tuturor[sfer,,or, toate sferele re]elei sint reale;sint sferele care trec prin punctele A, B de coordonate (0, 0, + I -|1situate pe axa radical5 comun5. Dac6. p: 0, releaua este
fOrmattt din toate sferele care au celltrele intr― un plan ,i trec printr― punct al planultu.Cilld φ>"0, avell■ un cerc γin planul χOy,
χ2+ノ 2_ψ
(lo)
un
=o;
sferele reale au centrele illterioare acestui cerc.
γ″ι。 ″ θ θ %ι α ι , mul,imea sferelor care au acela,i zρ Jι χπ ルγ ノNumim θ
celltru radical. Luind acest centru ca origille,i notind cu φ,puterea lui, la oricare dintre sfere, ecua,ia complexului este
χ2+ノ 2+z2+λ χ十 四 +νZ+φ
(11) o sferユ
a complexului are raza
γ, dattt de
′ =Ψ
岡
=0;
―ク
Pentru ψ 0, Sferele reale ale complex■ lui au cellltrele
inte五 oare sferei
χ2+ノ 2+22_ψ
(13)
=o.
Sistemele lineare de sfere au fost cOnsiderate prilna oarこ
de Gaultier
(1813), tratate complet de P o n c elet(1822),i siStematic de R e y e (1872)。
の 1.COnsiderこ m doutt sfere S,(χ
′y,Z)=″ 2+ノ 2+z2+α jχ +ろ
十ι `夕
=1,2), ttntr― un pu■ LCt COmun
`Z+4=0,(け
de centre εl, C2 'i de raze/1, /2' Pttn unghi■ 1 lor unghiul plallelo■ 10r tangelllte l■ И,sau,ceea ce este acela,i
И,1■ ,elegem
lucru,unghiul%=θ
.И
θ2,dat
de
COS%一
生
イ 2ClC: 2グ 17a
ullde
ι :十 ι 3+θ 3-4α 2, :-4α ., 4γ :=α ;十 ら 461σ ;=(α l― α 2)2+(bl_ろ 2)2+(θ l_θ 2)2,
ク:=α i
tt
ο ιαιルγ %%ι α deci%%gλ り %ι αα %as」aγ ιι ιαα sι
COS% =
(1旬
・
:9O"), cind, eflz * brb, * c{z : z(dl + dz). (15) 2. SA clutdm sferele ortogonale sferelor din fas,:icolul (5); 7n
caz
particular,
formula (15) cu
doud. sfere si,nt ortogonale (w
&t: \, br: h:0, dr:1.
λα2=2砂 +α 2), 128
Oblinem
utilizdm
)cz
+ yz * z, * brt
*
unui
c2z
fascicol,
- il :
0
deci forrneazd. o relea de gen complementar. Sferele ortogonale unui complex (11) satisfac condiliei
: 2(p + d,) oricare ar fi )., pr,, v, deci a :0, b : :0, c :0, d: -l); oblinem sfera (13). Deci in cazul, ci,nd, centrul, a\ {
lui,
bp.
*
ユード ーーＩＬ
au astfel, ecualia
１ １１ １ ノ ヽ、﹁ ／
Sferel,e ortogonal,e sferelor
ヱ
gi pentru ca aceast[ condi]ie s[ aibi loc pentru orice sfer6, adici pentru orice )., trebuie ca az : 0, dt : -P,
cv
Fig. 102
rad,ical,, O, este exterior twturor sJerel,or cornpl,exw-
existd. o sferd, cu centrul
38. Dualitate. Fie Mo@',
(l)
x'l!'*
in O, ortogonald. tuturor sJerel,or.
!0, zo) un punct arbitrar gi sfera z'*ax lby * cz * d,:0.
O secant[ mobilE d.us[ prin Mo, taie sfera in Mr, M, (fig. 102). Ne propunem si determinim mullimea punctelor M, conjtgate lui Mo in raport crlMr, Mr. Not6m cu x, y, z coordonatele punctului M. Un punct oarecare, N, pe secanta MoM are coordonatele
,響 ,営 ,ん =器
響
(2)
pellltru ca acest pullct sユ fie situat pe sfer五 ,trebuie ca parametrulん stt fie rttdユ cina
ecua,iei
_秒
_ん (χ
十
獅
b(1-ん )(ノ
カ
0)2+(Z一
)2+(ノ
ZO)2+α
(1_ん
)(χ
一
ん
χ
O)十
ー 秒 0)+θ (1-ん )(Z一 んZ。 )+″ (1-力 )2=o.
Dilll condi,ia de coniugare, Ittdttcillile yl, ]ビ 2 Sint Opuse: ん1-十 ん2==0, deci
O)χ χ。+ダ ‰ +ZZ。 +:レ +χ ∂ +:レ
ん1, ん2 ce corespund punctelor 十 yOl+:レ +Z∂ 十α=0;
coordonatele punctului y sint astfel,legate pintr― o re14ielde gradulttnt螢
.
Deci%%″ グ %ι αθ ο ι ι γ%%%グ タπ%θ ι′ Sι ι%%φ Jα ο ビ。 ″ ο ιθ γ %ο S」aグ ″ι η″gα ″ " π′pe care ll numim夕 ι α%夕 θ α γal lui」70.`%γ ″ I■ vers, unui plan πtt coresp■ nde un夕 ο J y。 , lll raport cu o sferこ Putelll ctt co■ siderユ Il deci,i fa,こ de O sfer嵐 ,O transformare p■ ■dualitate. .
ill C::』 :tpl『 f::l,』
il諄::fituatpe
9-Geometie allalitici:proiecuvき
sfer益
,i diferen,alさ
,plallul polar devlne plallul tangent
129
39. Aplieatll. a) Sd scriem ecualia sfelei care lrece prin oercurile
y:2, z:3i Solufie.
sz)-22-42:8; n2+y2-2y:2.
In ecualia generald a sferei frz
pertru y:2
qi e:3
+ !2 !
{ ax -f
z2
by
:
0,
+d+ I :
0,
-l
cz
{
d,
obfinem
x,*z'+m+czt2b+d+4:0, n2
+
y2
+ ax +
by
|
3c
pe care le identificdm cu ecualiile din enun!, Obfinem
a:0,
b--2,
d:-4,
c:-4,
deci sfera
,r2+y2*zr_2y_42_4:O. Dste evitleut cE fiind date in general, dou6 cercuri, uu existd o sferl care sI 1e confin6; trebuie ca perpendicularele ln cefltru, pe planele cercurilot s[ fie concuteate 9i puactul comun s6 fie egal clepfutat de punctele ambelor cercuri. b) Considerdm tuiedrul tri,dreptunghio OABC. Din uirful lui coborCm perpendierlara pe planul ABC cale taie plonul tn P gi sfera circttmscrisd ln I. Aaetn relalia OI :3 OP. (Pautazi,
examen, Bucuregti, 1945). Solulie. Dcualia planului ABC este
xyz -r:r-t0, o-
b-
r-'-
notind cu a, b, c \:rr:g1rrrile muchilor OA, OB, OC. Distarta de la orig-iue la acest plan este abc
"' Ecuatia sferei circumscrise
tr 6z5z a lto-z6z este
+ !2 |
,rz
6,zaz
z2
- ax -
bY
cz
-
:
0.
Dreapta OP, de ecuatie
ax:by:cz taie sfera ln punctul 1 cle coordonate t, y, z, pentru care
az:btt= -
cz:
Sazbzoz bna2
|
czaz
!
azlz
Din ecualia sferei rezulti
+ y, + zzi: \at : g . OP|. rnu\inxea centlelar sferelor care traa prin OIz
o) Sd
datermindrn
:
gi slnt conjugale ln raport
ttz
ow punctele
C, D.
Solulia. Fie *2
+
y2
t
za
I ax + bl -l
130
oz
I d:
0,
d'oud puncte
A, B
enun‐
douこ ノs,4) para‐
metH.Avem deci relatiile ″:十 ノ1+′ l+α ″1+妙 .+ι Z.+α ″:+ノ :+′:+α ″2+妙 2+ι ′ 2+′ ″3れ adicユ
+夕 3夕 4+′
α 3′
`十 τ
(″
3+″ 4)十
ら 万
=0, =0, σ
(夕
3+夕 4)十 ,(Z3+′ `)十
trei rdat五 lheare pentru patru paramet五 .li exPrimこ m
α=0,
lhear,pe trei
din ei in functie de al Patn■ lea.Obtinem un fascicol de sfere,deci multimea centrelor lor este o dreaptこ . Aceastユ dreapth este cuprlllsる evident in platlul mediator al seFentului И B.Fie′ ,dreapta CDo Sferele fascicolului taie dreapta
attittlelL甜 盤艦 旨 亀 ∬壇l霊蹴守」 配肌 if認籠:愚 ま Ъ 計 』 care trec prill И, B ,i sint tallgente L C respecttv D, dreptei′ . Deterlltlinim simplu,centrele lor,,l unia centrdor este rお
punsul prOblemei.
CUADRICELE STUDIATE PE ECUATIILE REDUSE 40。
Elipsoidulo
α りCOnsiderttm elipsa
χ =0,デ +チ =1,
(r)
in
p1anu1
(2)
yOz gi cercul mobil
(r)
x'
* y' : 9',
z
:
^(,
〓 ´ ｒ一 十 Ｐ一´
cu centrul pe axa Oz, ctt planul perpendicular pe Oz. Si determinS.m suprafala general[ d.e cercul 1 care se sprijini pe elipsa (l). Exprimhm condilia de sprijin, scriind ci punctul (0, P, y) al cercului 1, din planul yoz este situat pe elipsa (l)
Eliminim pe 9, T, finind
felei
(3)
seama d.e ecualiile (2), oblinem ecualia supra-
t+bt
+1:1. c,
Cuadricele de rotalie erau cunoscute de A r h i m e d. e. lMai general, numim elipsoid,, suprafala generat[ de elipsele mobile 1, omotetice, cu centrul pe o dreapt6, d., crt planul perpendicular pe d, care se sprijini pe o e1ips6 situat[ intr-un plan care trece prin dreapta il, ctt o axd situat[ pe dreapta d,.
b)
131
z:T
^,)
d,2
ａ叫 ｃ 皿珠 ａ ︲ ｐ■
-z '*'-:1, |
(4)
０ ． 昇１
Ludm dreapta d ca axd" Oz trece prin d, ca plan yOz (fig. elipsei date este atunci (1). Elipsa mobili y are ecualiile B'?
gi, din calrza omotetiei elipselor mobile,
(s)
d"
Elipsa 1
se
:
h9.
sprijinb pe elipsa (l), adici pur.c-
tul (0, 9, y) .1 curbei y din planu7 x :0 situat pe elipsa fix6 9' -l- T' br'c'
Fig. 103
Eliminim parametrii a, 9, ^(, linind Oblinem ecwalia el.ifsoid,ulwi
:
este
1.
seama de (a)-gi (5), Si
notlm a :
hb.
チ+撃 +チ ー
(6)
1・
Ecualia (3) reprezintS. un elipsoid. de rotalie, de axd Oz. Ln caztT a : b : c obrinem o sfer6. c, Se tiiem elipsoidul (6) cu plane paralele cu xOy deci z : zo; obtinem 一
壻 一メ
〓 ノ 一メ 十
ノ 一♂
Z=ZO,
deci o elipsb in acest plan, de semiaxe
α V=7,bVE耳
,
reale pentru
-c -{ z, -{ c. Analog, secliunile paralele cu oricare din planele coordonate sint elipse.
Suprafala este inchis[ in paralelepiped.ul de dimensirri 2a,2b, 2c, care sint mirimile axelor. Este o suprafafd simetrici ln raport cu planele, axele 9i centrul de coordonate. 41. Iperboloin. a) Nrmim iper bile 1, omotetice, cu centrul pe o
lipsele mocuTar pe d, dreapta d,
care se sprijinl pe o iperbolE situa cu o axi situati pe dreapta d. 132
′ Fig. 104
Fig. 105
α グ ↓ 協 ζ :, α θ 猛1lal″ り θ 。げ鍬 tt Ecua,a ,caメ .メ and dus pin α Dactt dreapta este axa netrallsvers五 ob,ine)s:l」 [11:聟 (fig. 104); dactt dreapta α este axa transvers五 , ￨ ca axこ
an ttθ
iperb01ei date este
ど _三
(1)
`′
=1.
ら2 。2 in prilnul caz, avem pelltru elipsa mObiltt
O
f+群
deoarece se sprilinュ
face cOndi,iei
(3)
γ eCuaメ ile ,
=LZ=Ъ α =叩
pe iperb01五 , punctul ei(0,
b2
壁 _」 2 ε
;
β γ)dill plallulノ θ2Satis―
=1.
Notind α=ん ιOblinem ι ι %グ グ αψι γ ι ο ι θ ′ れι %づ θ %θ 夕
(4)
:%)::爵
後+子 _チ =1・
∫
`%Z″
Suprafa,a eSte evident,deschis益 ,elipsa γputttndu‐ se depttrta oricit. Dacユ fl1 locul iperbolei(1),am CO・ Sidera perechea ei de asimptote
チ
acelagi calcul (5)
f一 =0, ne conduce evident la conul
チ+子 ―デ=0・
Interseclia acestui con cu planul z : T este o elipsi concentricl T', care pentru T + 6 tinde si se confunde cu .y. Numim con asimptol al iperboloidului, congl generat de elipsele y'. Ecuafia conului asimptof este (5). Suprafala este inscris6 conului asimptot. 133
DacI a : b, ecuatia (4) reprezinti un iperboloid de rotalie iu jurul axei
^ oz.
Secliunile suprafelei (a) prin plane paralele cu xoy sint deci elipse; secliunile prin plane f, : !co, paralele clr. yoz, slnt iperbole.
+-+:r-4, )c:xo a'
bz
a2
ノ 一ら
一
け ︻ Ｈ ′ ヽ ︲
ノ 一ｂ
＋
〓
″ 一 α
ο ″ 一
α ″ 一
＋
ο ′一 一
gi analog, secliunile paralele cu planul xoz sirt iperbole c,) Scriem ecualia (4) a iperboloidului cu o pinzi, sub forma Nazorlz L--' = bz cz a'
１ 一λ
1-封
,
ｌ 一 μ
Ｚ 一 ο
一 一 〓
11
:+:=μ
′ 一 ο
(7)
一 一
sau
″ 一α ″ 一α
十 一
一 ο
〓
′
″ 一 α
＋
(6)
封 罰
Descompunem astfel ecualia iperboloidului in
1+例
'
I ;i p fiind doi parametri. Ecualiile (6) reprezint6 o dreaptS. situat6 pe suprafall., oricare ar fi )., deoarece coo: donalele unui punct mobil al dreptei verificind sistemul (6), verifici gi ecualia (4). Analog pentru ecualiile (7). Iperboloidul cu o pinzl este deci acoperit de dou[ sisteme de generatoare vectilinii. Spunem c5" este o suprafald d.wblw rigl,atd.. Doui generatoare din sisteme diferite se intilnesc intr-un punct al suprafefei, deoarece ecualiile (6), (7) sint compatibile: a patra ecualie reatTtd din,primele trei. Prin orice punct al suprafelei trece deci cite o generatoare din fiecare sistem. acelagi sistem nu se intilnesc, deoarece dou6 sisteme
incompatibile. e axa tran.sverse a iperbolei (l), luind pe d, ca axd. ecualiile
(8)
=1, ノ =た γ =β , α 釜十≠ ,
c_u condilia (3) ca punctul (0, p, y) din pianul yOz sd aparlinl iperbolei (1). Oplinem simplu, ecualia iperbolaid.ul,ui-cw doid. pi,nze
(9)
-tat'-":1. a, bz
cz
＋
iar secliunile paralele ct yOz sint
４ 一´
〓
ノ 一′ 一
ノ 一メ
.Sectiunile suprafelei prin plane paralele ct xoz sint deci elipse; aceste elipse sint reaIe, cind p < b sau p I D. Secliunile paralele cu planul *Oy, z : zo, sint iperbole -
analog, 134
Z=ZO,
tot
iperbole.
Avern gi
in cazul iperboloidului cu dou[
pinze, En co'n asimptot, de ecualie
係一撃+チ =0,
(10)
circumscris suprafelei. Pentru (t. : c avem un iperboloid de rotalie in jurul axei Oy. 42. Paralroloizi. a) Numim paraboloid. elipde o familie de elipse mobile i, omotetice, cu centrul pe o dreaptl d, cu planul perpendicular pe d,, care se sprijini pe o parabo15. situat[ intr-un plan care trece prin dreapta d, ctt axa d. I,uim dreapta d ca axi Oz ;i planul dus prin EcuaJia parabolei directoare este
tic, srptafala generat[
Fig. 106
″ ca plall yθ z(fig, 106).
y' - 2?2, x :0,
(1)
Deoarece se
ノ 一Ｐ 十
1
(2)
ノ 一〆
iar a elipseior
=1,z=γ ,
sprijini pe curba
α=ん β .
(1),aVelll
2=ン
ヽ β 、 Elinrinind parametrii ry., 9, 'f Ob,inem
(3)
h2
十 ノ2L=均 蛯 '
sau, schimbind notaliile, oblinem ecwalia paraboloidului el,iptic
t1\:zz.
(4)
P2 q2 Suprafala este deschisb. Spunem ci Oz este axa paraboloidului. Deci secliunile suprafelei prin plane paralele cu xOy sirft elipse. Secfiunile prin plane paralele cu xOz, y : yo sint parabole t2 _ 9. _!i _:zz_i;,
y:ro;
analog, secliunile paralele cu planul yOz sint parabole. Dacd p - g avem un paraboloid de rotalie, in jurul axei Oz. Ecualia lui
este deci
(I,ahire,
1679)
!2 :2?2. D) Numim faraboloid, iperbol,ic, suprafala generati de o familie de parabole mobile y, egale, in plane perpendiculare pe o dreapti d, care se sprixz -r
ビυ
う０
χ2_α
(5)
al cttrei vfrf
Fig.
Fabda餓
107
lY_z), y=
」 &iι
β ,
J este situat pe
g' :2?Y. Prin eliminarea parametrilor p, y obfinern ecualia
Y'
- 2* *' :
zpr, sau' cu o notalie mai potrivitd., oblinem ecwafia faraboroi,durut) iperbotic (6)
Suprafala este Secliunile suor un ite f
-t-rY'-'' p2 ' q'_- o"'
deschisd.
iin'ir;ii'ififii#l,o#;
3,x?ix:,i:
-*+ti:"0' ;":
T::llir;,3*:In
o rx
z
sint d eci
p ara b
ore
;
secf
':zo';
doui drepte. secliunile prin prane pararere
c,/ Scriind ecualia (6) sub forma
ca yoz,
:T"r*ruifl':,.",ffi:*[Ji{:il,?,:-','*",oo,,.,recdourdrep,e (7) ;*t:2)., -;+t:i, a
' c -z -i' ? -;Y
rll";T',"
punctelor paraboroidu-
(r*p),
z_2^p. prima oar5 de Tinse au
136
i-
(1780).
43. Apliealit. a) Printu-un punct putem sd ducem gase notmalc l,a Solulie. Dvittent cE putem sE transpunem pentru un elipsoicl xz
(I)
12
,^+
u*
elipsoid.
z2
br+
u:''
teoria plauului polar, oblinut prin dedublarea ecualiei gi implicit, ecuatia planulul tangent ln punctul (xo, yo, zo) la elipsoid, este
(2)
T*t#*1:t
Normala, perpencliculard lt (xo, yo, zr) pe planul tangent are tleci ecuatiile az(x
\"' Puuctele
- xo) b,(y - !o) No lo
az(z
-
zo)
zo
(t, y, ,) ale cdror normale trec prin punctul (o,
condiliilor (1)
qi
P, y) satisfac deci
- x) _ b'(9 - y) _cz(.r - z) . ,rtr' egallnd aceste rapoarte cu l, exprimdm parametric o'o b'P ."'^( . -^,a2(u
t+or't-t+ba"-ta"r'
lnlocuincl
tn (1) oblinem valorile paramsfflllui l, date cle ecualia
満
(4)
cle gratlul al
+満 +嵩 執
gaselea
b) Fie A, A' capelel,e axei tnail ale cliPsei minime a unui iferboloid, cu o ptnzd; o generaloare oalecare taie ge*eratoarele ile sistem diferit care trea pri,rt
A Si A' 1n M
gi,
M',
Auem rclalia
AM . A'M':
corst.
Fie
-:1 "r+ b,-
ecualia iperboloiclului gi A(a, 0, 0),
tiile
a+L:t[r++),
a c
t
A'(-a, 0, 0). Genetatoarele rectilinil
1t
x
. b) o_z,:;l'-il'
au ecua-
?r
b) b) a a rrtPentrugeneratoarele ).catetrecprinl gi A' ayern. ),: 1, respectiv I: Pe tle alt6 parte din sistemul precedent, compatibil, obfinem fp-l lrr*l _l-p' (5i y:-b-,,3: x:a-:--, ' a
c
}+p
).+p:l
).: l, respectiv I: -I, p-Ir I *rla' b w-l
I+F
Avem pentru
(
*+
b
p*l
l*pl
r'';* rl'*'l- '' t,-t''1j*)' 137
-1.
Atunci
AMr
:
t
(b,
c,)
/u-
(il1
l\r
iu* ll' , A,M'z: (b'+ ,') tr, _ r,
.
Rezultb
AM,A'M':bz+c'. c) Sd determinllm seafiuni.le cilaulare ale elipsoidului
(6)
t-t.!:r,
a>blc.
orT 6tT ,,
Trebuie s[ determinlm planele, duse prin origine, care taie elipsoidul dupl cercuri. Toate planele paralele cu ele se bucurS de aceeagi proprietate. Puuctele de contact ale planelor patalele tangente sitl:t pwnctele oirculare. Ducem o sferi cu centtul ln origine
(7) Din (6) 9i (7) oblinem
(B)
x'*!^*z'-r':0.
*t:-*)*,.(;-;) *.()-i) :,,
ecuafia unui con cu virful ln origine, care trece prin intersecfia elipsoidului (6) gi a sferei (7). Conul (8) se reduce la un plan, daci ecuafia lui confine numai doi termeni, deci
v:a
sau v--b
sau r:c,
Planele sint teale numai pentru r : b. Auem deci doud. direclii de secliuni circularc (tl'A te mb e rt, 1768)
l/b, - c, ;-:tx-' ca
(t,
1/
az
-
6t
c6rora le corespuntl patru puncte circulare, cliametrale cite doui.
CUADRICELE STUDIATE PE BCUATIA GENERALA /r4. Dualitate. a,) Numim cuadricd. o suprafa![ de gradul ai doilea, adicl
o suprafara pe care o dreapt[ arbitrarL
z:Px*Q,
!:mx*n, o taie iu doui puncte. Rezultd
cb, ecu,atia general,d
e ulxei cltadrice
este de
forma
(1) -f(r,
!, z):atc, +2bxy I
t2eyz*fz, *2nzlP:0, cyz
{2d,xz
cu 9 coeficienli esenliali, sub forml linearS. Interseclia unei cuad,r'ice cu ,t4,n plan este o conicd. 138
*21,x
*2*y
+
In adevdr, luind p1anul dat ca plan xOy, d.eci z : 0, (1) devine ecualia unei conice in planul z :0. Elipsoidul, iperboloizii gi paraboloizii slnt cuadrice. Conurile gi cilindrii de gradul al doilea sint cuadrice degenerate, ca gi o pereche de plane. DacE supunem un elipsoid.
,)
: ,,
_,i +:
cu trei parametri, unei deplasdri (F. 133) cu 6 parametri, oblinem o ecuafie de gradul al doilea in x, y, z cu 9 parametri, deci o ecualie (l).
Reciproc, fiind dati ecualia generali (l) trebuie sE determinirn deplasarea, adic[ trarslaJia gi rota]ia, in baza cdreia putem sE simplificS.m ecua]ia, adici si anul[m 6 coeficien]i, d.ispunlnd de cei 6 parametri. Prin consideratii geometrice, ugurim tatarea algebrici a problemei. b) L O secanti mobili 8, dusi printr-un punct dat Mo(xr, yo, zo) taie o cuadricl (1) in punctele Mr, Mr. Fie M conjugatul armonic a7|uj Mo, in raport at )llr, Mr. Spunem ci M este conjugatwl, punctului M o it raport cu cuadrica, pe secanta 8. MwQirnea conjugatelor unwi punct Motn ralort ctc o ai,ad,ricd,, este wn flan,, pe care il numim plan polar al punctului Mo. In adev[r, fie (r, y, z) coordonatele punctului M.IJt punct oarecare N, 1.re secanta M M o, are coorclonatele de forma x-hto ター 秒 F= η
1-み
=
0
1-た
'
=智 ,ん =畿・ ζ
Acest punct este situat pe cuadrici, dacl
f(E, n, () :0, ceea ce determinl valorile kr, k, ale parametrului A. Condilia de conjugare k, * hr: 0 revine 7a analarea coeficientului 1ui fr, in ecualia precedent[, 〓
０
Ｚ
タ
χ
ん
狐
＋
銑 ″一
＋
″一 れ
＋
夕
″一 軌
十
χ
一
,
o scriem ん
(2) ノ(χ ,夕
si
″一 れ
pe care putem
unde I este o variabil5 de omogenizare,pe care o facem apoit: 1. Coordonatele (*, ),, z) ale punctultti M verifici deci ecwalia pl,anulwi polar (3)
sau, dezvoltat,
%貌 +ノ
轟+Z戯 +ι 轟=0,
(4\ atxo! b(*yo* xol * c!!o* d.(xzo! noz) + e(yzo* zol) * * lzzo -f t(x * xo) * m(y +-yo) * n(z + zo) * p : 0; oblinem deci ecualia planului po1ar, lrin d.edubl,are, din ecualia cuaclricei. Din cauza simetriei, putem si scriem ecualia planului polar (3) gi sub
forma
*o!-tn!O* 01
roa!
dz
139
+t,!:0. dt
truvers, unui plan
ux!ay*uz*s:0, ii
corespunde
un pol (xo,!0,
zo), deoarece sistemul
!0t _!ot _!af _L 0f u t s |xo
este'linear nenul.
dyo
w dzo
dlo
in xs, !s, zs, sub rezerva ca determinantul
sistemului
s[
fie
Putem d.eci si instituim fali d.e o cuadrici, o transformare prin dualitate, care s[ asocieze unui punct, un plan polar gi unui plan, polul lui. 2. Dacd. punctul M, descrie o d,reapti d,, atwci !o, zo depind linear de ro; planele (5) confin parametrul r, sub form[ lineari, deci trec printr-o dreaptd d,'. La pttncte f e o d,reat'td. d, corespund plane care trec printr-o dreaptd d'. Spunem ci dreptele d, gi d,' sint conjwgate f.afl" de cuadricl. Daci punctrl M o descrie un plan,
2o:x{,(oluyo*w, ecuatia (5) a planului polar d.epinde linear de doi parametri xo, yo, este deci de forma
U*o+Vyo+W:0, und,e
U, V, W sint polinoame de gradul intii in x, !, z;
toate prin punctul
aceste plane trec
U:V:W:0. Deci la puncte i,ntr-um plan r, corespwnd, jurul unui pwnct, care este pol,otl plar,:r;Jri tt.
pl,ane pol,are ce se rotesc i,n
Reciproc, l,a pl,ane care trec printr-un punct P coresfwnd, Poli sitttali intr-un l>lan, planul pol,ar al, lui P. Daci punctaT Mo(ro,!o,zo) este situat pe cuad.ricl, planul poiar devine tangent. Deci (3) este ecualia planului tangent lntr-un punct la o cuadrici. cr) Considerlm cuadrica d.e ecualie (1)
l(*, y, z) :
axz
|
2bxy
*
* 2dxz | l2nz*f:0. cy'
2eyz
Daci originea este un centru de simetrie
(6) ln (7)
l.fz' *
Zlx
a1 cuad.ricei avem
l:vtu--n:O. cazul general al ecualiei (1), si efectulm translafia x: x' * xo, y: y' i yo, z: z' * 140
| 2*y +
zo.
No五 termeni de gradul lntti devin J′
=÷ ￡
i==α
χO‐+・γ。+″Z。 +J,
%′
=:ユ
=bχ O+り
グ
=:轟
=α χO+η O十 ル 。+π 。
。+θ Z。
+夕π ,
′ ど胤r請識:lJ懲 ゴ∂Va.un∝ntru,d臨 炉螂 =Q″ =Q i satisfac sistemului lCal
6)
=0・
==0,%=0,影
Determinantul sistemului (8), δ=
ρ)
trebuie sユ fie dife五 t de zero.
Dac益 δ =0 (10 cuadrica nu are centru. Ecualia I :0 caracterizeazd. ttn paraboloid. Presupuuem cl sintem in cazul 8 + O. d) -Mdli.mea mijloacelor coardelor de direclie dati lntr-o cuadrici este un^ plan diametral. _.In adevir, considerlm punctul-M(x,y,z) ,i fie oc, p, 1, cosinusurile directoare ale uneildrepte mobile 8, dus6 piin' ttt. un'funit oarecare N, pe dreapta 8, are coord.onatele d.e forma
x*pa.,
y*pg, z+pT. Punctul este situat pe cuadrica (l), dac[ f(*1p", y*pg, z*py):0
sau
(11)
ρ
29(α
,β ,γ )十
χ Z)=0, ρ影十β ′ ′ ノ %)十 ズ 影十γ (α
notind prit g(x, y, z) grrpol omogen de grad.ul al d.oilea in ecualia cuad.ricei 2+2ら +ッ 2+2″ χ (12) z+2ク z十 ル2. 9(χ ,y,Z)=α χ η Punctul M este mijlocul coard.ei d.eterminate de g, dacl ecua]ia precedenti are riddcini opuse in p, adici ∝ 十 β +γ ∬ %=0。 影 141
p, v avem ft7aJia
Pentru o dreapti de parametri tr,
+μ
λ ∬
(13)
=0・
%+V∬
０
〓 み ″一
０
〓
″一 ″
mttrT盤
０
〓 ″一 み
Acest plan trece prin centrul cuadricei, pentru care
cd′ dac益
メand Sユ u da_
χ+り
+/Z+%)]=0;
eSte o axtt a cuad五
嗅撲 肥
Scttem explicit ecualia(13)
λ(α χ+妙 +αZ+ι )+μ (ろ χ+ッ +αZ+%)十
V(″
colldi,ia de perpendicularitate este αλ+bμ +ο V
うλ+ο 控 「
λ
=′
λ+′ μ+ノ ν
=s;
= v condi,ia de COmpatibilitate■ a acestui sistem omogen in λ ,μ , v este(Cau‐ chy, 1829) μ
α一
s
b α
(10 Eθ %″ グ α geo■ netrlca `% a
ら
α
s ι ι ノー S
ε―
=0。
s (la) are totdeawna rd.ddcini reale, deoarece prin natura problemei, ea determin6 axele, totdeauna reale, ale unei
cuadrlce.
０
〓 り 一
０
χ
〓
一
(1助
“一 の １一 ２
Cu aceste notalli, ne intoarcem la sistemul anterior, compatibil, pe care scriem pentru fiecare riddcini sr, sr, s, a ecualiei (14) の一 ン ー一 ２
il
:%一
SZ=0,
unde rp este grupul orlogen de termeni de gradul a1 doilea, dat de (12). Sistemul (15) de direcliile a.xelor cu,adricei. Daci sistemul (15) are doui riddcini egale s, : ,s:, axele corespunzS.toare sint uedeterminate gi cuadrica este de rotafie, in jurul axei a treia. DacI sr : Sz : se c[adrica devine o sfer5. I Deoarece parametrii unei drepte sau-coord.onatele omoge[etale unui punct nu pot si fie toate nule, conclitia ca un sistem omogen sI aibb 9i o solulie in care variabilele nu slnt toate nule, este ln realitate, din punct d.e vedere geometric, coadifia de compatibilitate a sistemului. In toate cazurile similare, vom spuue pe scurt, ct puntntl asupta unui sistem omogen condilia d.e a ar-ea o solufie aebanald, purem o condifie de compatibilitate, solufia banalE fiinrl iucompatibili din punct de vedere geometric. 142
COllSider益 皿 Cuadrica de ecuaメ e
45.Redllcerea ecua,ci unei cuadricc.の
り4="2+%り す け″+2″ +2η + ° ・ 《 ″ 撃 l 等ゴ Dup[ transla]ia
(2)
lc:t/*)co,
z:z'*zo,
!:!'*!o,
termenul liber al ecuafiei
(l)
devine
?' :
(3)
fQco,
!o,
zo).
Omogeniz6m ecualia (1) sub forma
(4)
.f(*, y, z, t)
:
gi folosind formula
I cyz ! 2d,xz | 2eyz -+- Izz * { 2myt | 2nzt * ?t2 :0 Euler, avem
ax2
+
2bxy
.ff + t ui * ,ff + t!
2lxt
I
:2J(x, y, z, t).
. Aplic[m ace,ast6 for_m_uld pentru coord.ouatele centrului (*o, !o, zo, to) i tinem seama de (F. 166) 9i (3) il avem
p':;!:u+rny*nz*?.
(s)
ti (5). Sistemul este
α
ι
α
ι ノ
ろ
Ｆ 一¨
α
=0,
タ ル 多
ι
%
′ φ― φ
％
ｂ θ θ ％
Observim cb, xo, !0, zo verific[ ecua]iile (F. 166) compatibil, d.ac[
de unde, notind (6)
△
=
α b α ι
b g″ θ
ι
%
θ
ノ
%
ι
%
% φ
oblinem expresia termenului liber dupd. transl,alie グ =:。
(7)
b) Dacl. △
(B)
=0,
ecualia obfinuti
2+2ろ 十 2+2′ χ α χ z+2ク z十 ル2=o η ッ 143
uflconcu -(Pl^t"F de (3) 9i .
:0c eac adicl
cuad,ricele
egeuerate, s"ituat pe
c) Presupunem in studiul general, ci A + 0. Prin translalia care aduce originea ln ceutrul cuadricei, ecualia
devine
(9)
axz
+
2bry
a
cyz
|
2d.xz
\
2eyz
vo1 si''lplifica mai departe, grupul
fz,
* f, : 0,
b,
: !. I
omogen de gradul al doilea, ruintl-axele
ridicinii
Fie O*, axa ce corespunde
^ln s.
*
cuadricei
sr, Oy 1ui sr, Oz
ld
sr, in ecualia
Planul diametral direcfiei ox, de parametri (1, 0, 0) este dupl formura
(F.
162),
+!:ax!by*d:o; 2dr pentru ca el s[ se reduc6 la planul yoz Punlnd aceste condilii pentru toate ら=α
(10)
(x: axele
0), trebuie ca b : 're:.lrtltd.
d,
:0.
,
=ι =0.
Oblinem ecualia simplificat5
*
a'xz
Ecualia
ln
s, se reduce (a'
c'Y'
in
-
I f'z' * ?' :0,
acest caz,
s)(c'
-
s)(/'
7a
-
s)
:0.
Dar ecuafia in s, prin conlinutul ei intrinsec geometric, de a determina axele cuadricei, este invarianti in deplasarea ce am fScut-o sistemului de axe. Deci at : gr, ct : gr, -f' : t.. Ecualia redusd. a cuadricei are deci forma (Eu1e r, 1748),
ノ十げ+%′ 十ξ=0 、
(11)
Dupi
semnele coeficienlilor s1; sz, sB recunoagtem d,)
l.
9i genul cuadricei.
Ca exemplu, sd studiem cuadriaa
0+2ヾ 弓′+zヨ ー2″ =0. ″ FormEm rleterminanfii
△
=
_l
=￨￨
γ
l 1/i ￨￨=6,δ
Centrul cuadriceifare COOrdonatcle(1,0,0).
144
ヾl
ヾ
:￨= -6.
「 「≠lJ判
ECuatia in s este
(1-S)lS.― S-61=0,
cu rid■ inile
s3=1,sa=-2,s3=3. ECuatia redusi este
″8-ン 2+3メ ー Determinttm ecuatiile axelor,aupこ
1=0.
(F.163)
″ (1-S)=0, Ve― ッ=0,70+(1-s)z=0. Penm sュ =1 0blinetalノ =′ =0;avem o ax五 ,dustt prin cenm,paralel五 cu O″
.
Pentru s.=-2 oblinem
″=0, Pentru s3=3gこ
75z tt η =o.
axei a treia
sim directia
″=0,
γひ-2′ =0.
% ο%α ′グづ θ ″ Oα 2. sa s`%′づ 2γ 2″
8+4′ =0. ―ノ
Avem △
=8,
δ =0.
Cuadrica este un paraboloid.Ecuatia L s are rttdこ ヽ
S2=1,
-0,
cinile
SI=-2
ECuat五 le axdor de」 巨
γら一s″ =0,
1/2 z_(1+S)ノ =0,
Pentru sl=O obtinen dヒ ectia axei,paralelこ cu O″ Pentru Pentru
sz=0.
.
sB=1,avem axa′ =0,″ =ノ γ燿 S8= 2,obthetll Z=0,ノ +″ γ2 =0.
Dacう s∝ iem
ecuatia Sub fOrma (タ
recul■ oa,telll
ー ″1/2 12_2″ 2=4z
Ctt avem un paraboloid ip(鷺
bOlic.
46 Aplicalu αり 1.Utilizttm ecuatlile OmOgene.Planul (1)
%″
+
￨ノ
+ω ′+sι =o
este tangent cuattcei
ノ(″ ,ノ ,Z,ι )=0 10-GeoIDetie anali● cと ,proiectivこ ,i dferenlala 145
dactt e」 stう
ded
un punct(″ 。 ,ノ 0,′ o,JO,al Cこ nd plan polar stt fie lnstti planul dat,
l a/ 1 ∂″。
“ ,ノ 。 , ′ o, ,l m plus punctul(″ ●
'。
%″
EInll・
pe (CIebsch,'nd1857)
1り
″
1″
υ ″ 。 ftl ∂′。
∂′ .
S
), ca punct de contact,trebuie sこ
fie situat in plan
0+り .+υ 為 +S'。 =0.
″。 , ノo, ″ o, ′ .Obtinem
′ ι a′ ′ α Jα α′ α α π′ づ ι αJ7iσ ′ ″づ "g′ “ “ “
ln partlculat, cuadrica este un paraboloid, adici ln sr, tlin ecuatie. 2. ln cantT unei sfere
8
: 0, d.acf
[pse5te termeuul
- c)z : vt obfinem mai simplu ecuatia tangenfialI astfel; fie r raza (* -
de la centrul sferei dat5 de
a1z
+ (y - bl' I
(z
sferei 9i d distaula la ptanuf (1). Raza p a cercului secfionat de plao in sferl esie
ucf ?t:rr-itz:rr-9ol'o: u2+1)2+ut
(3)
s)r.
planul (1) este taugent sferei cintl p : 0, deci ecualia tangen[iald. a sferei
(4)
r,(u2
!
uz
i
w2)
:
(ua
Considerim gi sfeta de centru a', b', dupl cercuri egale, p : p', d.acb
*
ob
I uc !
aste
s)2.
c' gi razh. r'. Planul (1) taie cele
rlouE
sfere
(5)
(rz
-
r'z)(raz
* a' l
wz)
:
Qra
Deoarece nu averr tennen liber
dat sub form6 tangmtiald,
i
(s2 se
ub
*zoc l s)r - (uo' + ub' l ac' a
s1s.
retiuce) ecualia (5) reprezint6 un paraboloid,
Deci tnfd,gurdtoarca planelor care scclioneazll doud sfere dupd cercuri de vaze date este un faraboloid, (C o 9 n i I 6, 1949). b) O dreaptd, mobild care se sprijdnd, pe trei fuepte date genereazd. o cr,rad,ricd. LuIm ca axh. Oz dreapta dr', ca axd. Or pe4rendiculara comu[A a dreptelor dr, dri dreapla d, esle sltuatl intr-un plan paralel cv yoz; sistemul d.e axe atunci fixat, Deci dreptele date au ecuafiile
(d,\ x:0, Y:0; (dr\ x: lt, 1: hz', (d,r) x:rn:+n,y:Pz+q. O dreapt6
:uobil6 ″=α ′+β ,夕
146
=γ +δ
,
este
se spriiin6 pe dreapta
ilr,
decd α Ｏ︰
(6)
:￨=Q
gi se sprijind pe dg gr dr, tlacl
|lr-," ,-pl:r. l*-" "-pl:n, q-sl-"' r i-"'lp-t d, I, t, 8. Din ecuatiile d,9, .t, I fuacfii de gradul dealdoilea grad, in r, !,
c) Mullimea punctelol egal ilepdrlate de doud d,repte esle o cuadricd. Alegem axele ca ln aplicafia precedeutd, astfel ca ecuafiile dreptelor
t:0, t;:]t,
(∂ .) (ι 2)
z,
sI devinl
l:0: !:hz.
Distallta punCtului ν (″ ,ノ ,′ )la dreapta α l este datさ dc
α【=メ 十夕2, iar pentru distanta′ 2
11tiiZさ m
forlllula(F.134)
。 ク ルげi‖ 」 ルほ
2,
0ち
7.+″ 2+%2
と 服轟よ。 惚'P::嶋 inttrCt d dreptd′ 2に
(1
+
parametrii
(1+た 2)(″ _ヵ )2+(夕 _ヵ Z)2
′:=
Conform enunfului,
iCiみ ,0,0,iarば ,",O
1+力
3
dr: dz. Rezulth ecualia A,) ltz -y yz
cuadricei
- (x - h)2): (y -
hz)r,
svem o ecuafie d.e forma
X2_Y2:Z deci un paraboloicl iperbolic,
d) (")
f(r, y, ,) : 0, un putct X,Io(xo, j,o :J fi un plan axlby*czid:0.
Considerdm o cuadriod
Duccm prin Mo o seoantd, nobilil 8 oon taie cuadrico tn *Ir, Itlr 9i planwl r Conjugatul Q al l,ui, P ln raporl ou ML, M2 desayie o cuailricd, ce lrece prin
tn P.
Mo 9i prin conicele
lui M6
Solulie, Dacd
d,e secliune
tn
cuad,ricd,, ale
planulud zt 9i ale planului polar al
c, p, y sint cosinusurile directoare ale secantei 8, un punct
oarecare a1 dreptei are coorcloaatele ″=″ 。+α P,ノ =ノ o+β P,′ =′ 。+γ P,
147
pfiintlclistanfapuactuluiqrrgnt,.laMo.IalocuirrcllnecuatlaPlaflulul,aveln
tnld' , valoarea
pentru p, cu o no-tafie ugor tle axo
-f blo *
czo
rco * il :-""+b9+"t'
""+bP+rI I
Conjugatul (xo
al lui P
sltuat
este
fur
planul polar al lui
* ff * o" + P?) #* ep't
sau, substituin.t
(ao
*
\?')
P:
X*T,:',
P. P'9i nottntl
af al.af af tofi+'oir* ,oA* A: po!,e tDP
*
or)
Po'
-,,. (* #,. u# * , X)
t
eliminind Pe d, B, y din ecuafiile secentei avem >,lx
-
xo)
I
-
l?"o
af\ :
no-Ur)
u,
care reprezint[ o cuatlrici; deoarece
zar Zars putem
sl
! it : tr, "- X:, -
! il : *0,
>no4 :'P" ox
- +,' ot
aclucem ecuafia cuattricei loc geometric,
(71
2rof
:
yr'
la forma
Pott'
pe care verilicim simplu, propriettfile tlin eaunf'
CURBE 47. Reprczent5ri. de un parametru l,
a)
(1)
x:x(t),
$I
SUPRAFETE
Cind. coordonatele
unui punct rnobil ltrf, sint funcfii
Y:Y(t),
z:z(t),
purctul M(x,y,z) descrie ocurbd; (l) sint ecualiilecuybei (cr.arnc r,_ 1750). "-Ci"J ;;rf6""i"i" sint funciii'cie'doi parainetri u Si a, independenfi,
(2)
x:x(u,u),
Y:Y(w,u),
z:z(u,!)'
punctul M(x, ),, z) descrie o swpraJald.; (2) sint ecualiile supraJelei (G a u 1828).
148
s s,
parametrii u Siaintre ecuatiile _ Eliminind (2), oblinem ecualia suprafelei sub foima
(Fermat,
1679)
l(r, y, z) : o;
(3)
explicit, oblinem una sau mai multe pinze
(4)
z:
z(x,1t).
Ultima ecualie arat6, cd, oricirui punct M'(*, !) dintr-un domeniu d, al plar;:r:Jui xOy ii corespunde un punct M, de cotd. z Fig. 108 (fig. I08). Cind M' descrie tot domeniui 7ai, M descrie o piuzi a unei suprafele. Deoatece o curbi este intersecfia a dou[ suprafete, putem s5. scriem !ii1e unei curbe sub forma
(5)
.f(x,
y, z) :
0,
:
0
(Clai ratt, l73l)
sau ca interseclie a doi cilindri /1χ ,夕
g(x, y, z)
ecua-
)=0,
g(ノ ′Z)=0・
In cazul reprezentirii parametrice (2) a suprafelei, d.ind. 7:ui u o valoare constant[ uo, rdrllline doar t variabil gi obtinem o curb5. ?,/ : const., trasatl pe suprafafd. Analog, t) : t) o este o linie a suprafelei, pe care numai u vaiazd. Curbele ?: uo, u: uo determinl punctul M al saptafefei, de coord.ouate curbilinii Lro, uo.Avem o relea de linii coordonate, astfel ci prin fiecare punct a1 suprafelei trece cite o linie din fiecare familie. b)
Exetnple.
l.
Ecuatiile
y:t12,
x:t,
t:5t
determind, cind t vatiaz5,, o dreaptS. plimirinrt pe ,, avem
y=″ +2,
′=5″
.
2. Ecuafiile ″=′ ,ノ
(6)
=′ ,″
reprezmt五 o curbtt in sPatiu,pe care O nutllinl″
eCua,me eiメ sub forma ノ =″
IL■ l
dmph,putem sa p亘
=′ 9
α /α bο ′ グο %ι ′ ο ″.
Putenl stt scrietrl
2, ′ =″ S,
m curba ca hltersec,e a suprafetdor de Fadul 宙 ノ =″ ',
Z==″ γ .
五 ′ f色 よ L:よ 尋 最 股lttl犠 ∬ ζ 比￡ 品選 ∴f翼盟 置 :ei駆 糧』 :aT観 ]電
149
Fig.
Fig.
109
110
$licea este deci trasat6 pe ur cilindru de axi. Oz. Notind. cta a raz^ cilinclruhri, cu ft o constanti qi cu l, unghir:l de rotatie, ooordonatele puneteTot elicei sTdc
n:acost,
i7)
t:asia.t,
z:ht.
Elindnind pa.tametrul I regEsim ecuafia,cilindmlui
z2!yt:az gi o
suprafaf[ nou6, pe care numim alicodd,
de
ecuafie
:
z:h^rctg! (KAstn,er, l77l) 4. Putem
sd scriem ecualia unei sfere, cu
cefltrul ln origine, sub lorma cunoscutl
*2+y7lz2:12, sau, explicit, avem dou6 plnze:
:1/rz - t6a -yz, z: -1/t, - i, -lr\ Notiucl cu 0 gi cu g longitud.iaea 9i latitudinea unui punct pe sfer6, putem sd o reprezeut6m parametric (fig. 110) x:/coggcos0, (9) !:rcosgsino, z:/SrI1 9. z
l,iniilg palanstrice sint mericlianii (0: const), qi paralelii (9 : 5. In cazul paraboloidului iperbolic, (F. 153) x : ?("-
d, y : qlx* p), z :
const).
2),v,
liuiile paraanetrice sint generatoarele rectiliuii, care trec prin fiecare punct.
150
48. Curbe. a)
(l)
l. Fie M(*, y, z) un punct situat pe curba y:y(t), z:z(t), x:x(t),
(c)
obfinut pentru o anumitl valoare atribuitE parametrului, I gi M' tn punct apropiat, care corespuntle valorii t + Lt a parametrului, d.eci de coordonate
x
| \x,
f'* \y,
z
*
Ecualiile secantei MM' sint X-x ,Y-! :- Z-z L, -t Ly *
Lz.
'
X,Y,Z fiind
coordonatele unui punct P, mobil, pe secantl. Numim tangentd. in punctul M la crrba c, limila secantei MM' cind fuI' tinde c[tre M. Conform definitiei, impirfim numitorii cu Al, apoi facem pe Al s[ tind[ cbtre zero i x, !, a fiind presupuse funclii continui 9i derivabile, de l, ecuatiile precedente devin ecuafiiil,e tangentei,
x-r:Y--2-z-:, ,'y'/
(2)
notind prin accente, derivirile in raport cu parametrul l. Numim plan normal, planti perpendicular 7n M pe tangentE; ecualia
lui este
(3)
x'(X
-
x)
* y'(Y - y) + z'(Z -
z)
:0.
2. De exerrrplu, ecuaJiile tangentei intr-un punct la o paraboll cutricl
x:1,
z:ta,
!:lz,
sint
X―
y_ι 2 z_′ =― ￨
ι=― ― ― 2ι
Y:ztx-t',
;
ョ
3′
z:Btzx-2t,.
Tangenta elicei -are parametrii cllrectori
-asinl, deci face
u.le
acost,
h,
unghi constant cu-axa cilindrului.
D/ I. Numim plan osu,ilator al unei curbe intr-un punct M, Timita planului care trece prin M gi prin doui puncte vecine M', llI" de pe curbi, cind toate punctele se confundS. 151
Scriem inifial,
cI planul
trece prin M(r,y,z),
- y) + c(Z - z) : 0. Lx, y * Ly, z { Lz), dac6 aA,x { bLy + cL,z :0. Impirfim cu Al gi calculdm limita pentru Al + 0. Obtinem a*' + by' + cz' :0. | Planul trece prin M'(* + a(X
-
x)
b(Y
Condilia pus5, dela M 7a M', trebuie si fie respectat[ gi cind. trecem de la deci inlocuim pe x' prin x' f Ar' etc. ;
M' la M",
a(,c'
sau
+
in baza relaJiei
*
Lx')
+
b(y'
Ly')
+
c(z'
*
Lz')
:
g,
preced.ente
:0. Dat L,x' : x" Lt f termeni de ordin superior in Al. lmpirlim cu Al gi aL,x'
trecem
la limit6;
{
bAy'
*
cL,z'
*
cz"
obliuem
ax"
+
by"
:0,
Din ecualiile e(X
-
| b(Y - y) + c(Z ax'+by'+6,2':Q, t:,x" ! by" + cz" :0,
x)
z)
:
0,
oblinem ecualia pl,anului oscul,ator
lx-x y-y y' *' |Ix"y"z"|
(5)
z-rl z'l:0.
2. De eremplu, in cazul parabolei cubice, ecuafia planului osculator
lx -t r
I I o (6) ln
Y -i2 2t
2
este
z -t8l 3t'
l-0, 6t l-
3tX-3rY+Z-Jr:0. cazul elicei, planul osculator are ecuafla
[(X sin i - Ycos t) ]
a(Z
-
ht\
:0.
EI confine intetsecfia dintre-plaaul Z : kt, perpendicular pe axa cilintlrului :'Xtg f, care treceprin ax5. Planul osculalor al elicei conline ileci normala cilindrului, (K a s t t e t. l77l) qi plaaul Y
152
o
49. Suprafele. a) Considerim
suprafaj[
f(*, y, z) :
(1)
O
Si fie M(x, y, z) rn punct curent. Tras6m o curbi c a suprafefei, ce trece prir- M. Tangenta in acest punct la curba c are ecualiile
4_" _Y_-J-r-,, dx
dy
dz
X,Y,Z fiind coordonatele unui punct
arbitrar d.e pe tangenti, iar d.x, dy, dz componentele unei d.eplasiri d.ealungul curbei c, situatl pe suprafa]a (1), deci verificind condilia
f*dx
{2)
Din ultimele doui ecualii (3)
(X―
χ腕
* hdy + fdz :0.
rcae.lt6.
+(y_夕
十
脇
(Z一 Z肌 =0・
Aceast[ relalie intre coord.onatele X, Y, Z ale prnctului mobrl a-I f,angentei este independ.enti d.e curba c. Deci tangentele i,ntr-un punct al, suprafelei la toate curbel,e situate pe swpraJa,td. Si trecAnd prin M, stnt situate i,ntr-un pl,an, (Clair a ut, 1731) pe care il numim pl,an tangent tn M, suprafelei; ecwalia pl,anotl,wi tangent este (3). Numim normald. intr-un punct 1a o suprafa!5, perpendiculara in M, pe planu1 tangent. Parametrii normalei 1a suprafala (l) sint
(4)
.f,,
f*
1,.
Daci suprafala este reprezentatE explicit z
:
z(x,
!),
notind
ecualia planwlui tangent este (M o n g
e,
ｇ
〓 み一 ″
″ ″一 ∂
:P,
1780)
φ(X― χ)+g(y― 夕)=Z一
(s)
iar parametrii normalei slnt f , q,
tn
reprezentarea parametrici
x
:
x(u,
a), y :
Z,
-1. y(u,
a),
z
:
z(w, a),
planul tangent este determinat de cele d.ou[ tangente rr : const., ?J : Const., care au respectiv, parametrii れ ,y″ ,為
χ″ ,y,,4.
j
153
ln M,
1a liniile
Ecualia planului tangent in M(u, z) este deci
Xlχ
y;ド
(6)
Z:iZI=0・ bノ
1・
De exemplu,s″
s″ ″ ′ 協
la suprafata η ン ・ =1・
♭ Jα %%′ %づ ′ ′ ι %″ ″ αコ a%gθ π
)“
`F%」
Avem
/=″ノン3_1,ん =ノ 物.→
1,力
′ ″ο つ み ′ ルr(1,
=2ィソzl→ 2,■ =3″ノ
￨′
2→
1, 1)
3.
ECuatia plamului tangent este
X+2y+3Z=6. 2. Sa sο ′ じ ″″′ %″ グ αク′ ″π%′%イ ο `α
‐π夕%%′ α′%%ι ο π′ ″ %´ ′ ι ′"ο ′ ″ イ ″g′ ′′′ "`′ “ “ `
f+ザ
=ザ
=1・
Avcm
に一ガチ+γ ― ⇒:=Q 勁子+に 一 等+等 +f=1 0blinuta prin dedublare.
50.Cilindrio Conuri.α り1・
dreaptこ mObilこ
Fie
δ , de
%, Numim ι 夕づ %′ γ
P=0, eCualiile unei drepte
suprafa,a generattt de o
direc,ie datこ , care se sp五 jintt pe o curbユ datこ
ε .
9=0,
α; dreptele δparalele cu ea, au ecua,iile
P=∝ ,
9=β
・
Condi,ia ca dreapta δstt se sprijine pe curba θ , ilnpulle o rela,ie lntre para― met五 iα ,iβ ,fie /1α ′ β )=0・
Eliminind paramet五 iα ,β Obメ nem ι θ %″ づ αθ グ ι ttα /%ι %グ
(1) ad響
(2)
/1P,2)=0,
∴紹 “
″ γ ια θ ル%ι ″α ″ らPダ σ ・ %″
`rイ
este ι ι %″ グ α %%π グθ タグ %″
%ι
/1%,ノ )=0 “
υ ι γ ″ づ θ α ′(Euler,17281. 154
(MOnge,1784)
2. De exemplu, sd scriem ecuafia cilindrului cu genetatoarele paralele cu bisectoarea unghiului solid Otyz, care se sprijin6 pe curba directoare (c)
Ecuatiile bisectoarei triedrului sint
(d)
x:v:2,
d.eci ale paralelei
(8)
,-z:ct,
Generatoarea
t-z:9. mobild I se sprijin6
pe curba
c,
ilacd exist6 un punct M, ale c6rui coord.onate s6 r'erifice simultan cele patru ecuatii (c) gi(8) Acest sistem trebuie sE fie compatibil
obfinem relaria dfutre parametrii
Din
z
:2
a,
a.io
III
in z, y, z; elimindrn aceste coortlonate
91
p.
deducem
*:u*2,y:g+Z gi
substituintl in
a doua
ecuafia (c)
(a
I
2)r
:2(0 + 2),
d2l4a-2P:O. Bcuafiile generatoarei sint date de sistemul (8), cu aceast6 relafie intre parame-
tri. Eliminim parametrii
(x - z)' + 4lx - z) :2$r - z),
z' - 2xz ! z2 ! 4x - 2y - 2z : O. b/ l. Numirn con, suprafala generatl de o dreapti 8, care trece printr-un punct fix O gi se sprijin[ pe o curbe c, datd". Fie
P:0,
R:0,
Q:0,
trei plane care trec prin virful Q. Ecualiile unei d.repte mobile 8, dusi prin O, sint d.e forma
P:o.R, Q:9R.
(E)
Condilia ca generatoarea 8 si
se
intilneasce cu curba directoare c, impune
o relalie intre parametri
/(",
P)
:
o'
Eliminind parametrii, avem (M o n I e,
(3)
sau, dace
(4)
1784)
r(i, *) :
/
este un polinom, sub
forml
omogen6,
l(P,Q, R) :0. 155
o
O rel,alie omogend tntre trei Jorme lineare este ecualia unui In particular, ecualia omogend
con.
:
(5)
o l@, v, z) reprezintd. un con cw ui,rful i,n origine (E u1e
r,
1728)
2. De exemplu, sd_scriem ecualia conului cu virful in origine, avlnd.aceeali
curb[ directoare, ca h exemplul precedent
(")
z:2,
x2:2y.
Ecuaflile unel drepte ce trece prin origine sint
x:)'2,
(8)
)):tr.z.
Ea se sprijin6 pe curba o, daci exist6 u:r punct, ale c6rui coordonate x, y, z verificd simultan cele patru ecuafii (c) 9i (8). Con0,
deci αll, α22 au aCela,i sem■ . Trednd la
coordollate neomogelle, printr― o normare convenabil嵐 , putem stt aducem
eCua,ia la forma
O
d:正
檻
第十撃=L v羞 ,ら p灘 11り
Punlndチ
=X,サ
(3)
eal鶏
喧号
鶴TF,° [tど珂
uga'iθ
=y ecualia eliPSei ia fOrma ca■
∠ θ B ttg・ ′
15助 .
onicユ afin嵐
x2+y2_1.
Pentru iperbolユ avem a■ a10g,forIIla ecua,iei raportatユ la doi diaΠ let五 COllliuga,i
O
第一争=t
sau desfユ cilld ttn factori, avem forIIla ca■ onicユ afinこ
(5) Xy=1, unde X=0,iy=O sl■ t ecua,ile aSimptotelor iperbolei(fig。 1521: り Reluttm ecua,ia general五 α llχ l+2α 12χ l″ 2+α 22χ 3+2α .8χ lχ 3+2α 20″ 2″ 3+α 334=0。 15-Geometrie analitcユ
i proiectivこ
siこ ferentiali 225
Fig 151
S[
Fig 152
alegem ca origine O(0, O, 1) un punct
Tangenta
in
acest punct
este
ass:
o'
anitr * errxr:
SI o
alegem ca axd Ox,
al curbei ; reztltd,
0.
(xr:0). Aceasta necesiti &zs:0, eB * O.
ca
Sd alegem ca_axi O*., conjugata axei Oxr. Aceast5 condilie atrage, ca
^ cazul in
preced.ent,
an:0' Am redus ecualia la α χ3=0・ llイ +α 22χ :+2α 13χ ■
Avem
A deci ar,
ecualia
t'
- -
a?sezz,
0. Trecem la coordonate neomogene gi impirlim cu ar, obfinem ;
(6)
y, :2?x * qxr, P Si q fiind notalii mai simple, ale coeficienfilor. (6) este ecualia unei conice raportatd ta o tangentd ;i d.iametrul conjugat ea. (fig. l5S).
fn
cazul parabolei g
deci
an:0;
ng. 153
arra2r,
ecuatia se reduce la
!' :2?x,
7) sau,
:
gi mai simplu, la forma canonicl afini
y2:x.
(8)
226
78. Apliea{ti.
lui
a)
Existd, o elipsd civcumscrisd unut trn4nghi, ou ccntrul
de greutate, tangentele i.n
atrfuri fiind paratele cu laturile opuse; aria
ei
lt
ceabul
esfe
411 I
din ayia tilunghiului. (Dlipsa Steiner citcumscrisd triunghiului, 1844). Existd o elipsd inscrisd. unui triunghi cu cenlrul 6n oentrul lui de greutate,
con-
; aria ei ,rt, l-{ d.i.n aria triwnghiului 9"
tactele cu laturile
fiind mijloacele latuvi.lor (Elipsa S t e i u e r inscris6). In aclev6r, consirletEm Jigura canonicd, lotmatd de un triunghi
echilateral, cercul circumscriq gi cercul inscris. Propriet5file afine ale acestei figuri sint invari-
ante in toate transfotm5tile afine ale figurii. Efectiv, propriet5file d.in enunt slnt valabile pe modelul canonic, cleci pentru toate figurile afin egale. De exemplu cincl proiectdm paralel figura canonicd pe alt plan, obfinem figura din enun!. b,) Ne ptopunem se calculem aria triunghiului polar unui triunghi dat. Fie f(x, y, r) : dl*2 + 2avtry *
azzg2
!
2ar"xz
|
2ar"yz
!
arrzr
:
0
ecuatia unei conice in coorclonate omogere Si Aa @6 y;, zi), U : 1,2,3), virfurile unui triunghi arbittat la plan. Polarele acestor puncte at
af af 2t- +y' ^ +z-^ :0, (i:1,2,3), 0x; dy; dz; triunghiul potat ei@i,yi, zlt), (;:1,2,3). De exemplu, rezolv[m
cletermind x'r, yi, z', rlin sistemul omogelr
af af af /:1+t^ dre dl, *zj-:O, dzt
0f x:-+!dx,
pe
df df d!, lz!:0dzs
deci z{, y'r, zi sint propo4iorlali cu minorii primei linii, ai detetmirantului
D=
″ ″ ″ Z. ∂夕. ∂ ノ. ∂ ″ ″ ″ ∂″3 ∂ ノa ∂′ 2 ″ ″ ″ ∂″9 ∂ ノ。∂ ろ
導 毎褒11」・
Notlnd cu r aria triunghil■ lui И .И 2И 3, aVem 〇〇﹁︱︱ 〇
D=16△
T.
Pentru a五 a trintlghiului ИfИ
`avem 7=裁 ・ ″劉 `И
￨″
Elementele detern■ inantt■lui gnt mi.l。 五i deternlinantului Iら adiCこ ultimul determinant este reciprOcul lui D,deci egal cu pitratul l道 ;rez口 饉 T′
1
― ― 2zi z`ィ
227
″一 れ 銭 γ一
″一 れ ″一 飢
ら一 九 γ一 銭
飢 ら一 γ一 錫
gi formula finalb
=―
D2
In
caz particular, aria
128△
れ ″一 銭 γ一
1
― 一B
ら一 妨 飢 γ一
げ一 れ れ ″一
T=―
:
triunghiului conjugat, T'
?,
este
Penttu cerc,
ノ(″ ,夕 )=″ 2+ノ 2_″ 2,
Obtinem (″ 1ノ
2-″
2夕 1)(″ 2夕
9-″
3夕 2)(″ 3ノ ■
″
■ ノ3)r′
=2/4T2
sau T′
= (OИ lИ 2)(OИ
2∠ 0)(ο И 3∠
T2 ■ )
c) l. In triunghiul IBC consirlerim o parabolE iuscrisd, tangentl laturllor in A', B', C' (fig. I54). Aplicind teorema Brianchor, exagonului format de tangentele AB, AB, BC, CA, Cl gi dreapta de la infinit, observdm cb dreapta B'C' ttece prin punctul fix lr, virf al patalelogramului ABAp. Spunem cE triunghiul I,B.C, format de paralelele prin virfuri, este triunghiul anticornplettentar al l'tri ABC, Deci parabolele inscrise |ntr-un lri,unghi sint tangentc latuyiloy dupd. r.r.n triunghi A'B'C' lnscris ln tri,ungkiul arlticom|lemenlar ArBrCr. 2. Fie A, mijlocul segmeatului B'C' ; dreapfa AA, ate direclia axei parabolei, fiind cliametru conjugat direcliei coardei B'C', deci triunghiurile ABC, AzBzCz au virfurile situate pe drepte paralele; atunci 9i centrele 1or de greutate siat pe o
dreapti de
aceeaEi direcfie ; ArBrC^ are insd acelagi centru de greutate cu anticomplementarul
fui, A'B'C'. Deci
ng. 154
Fig。
155
ale triunghiurilot A'B'C'
sd, fie egal lnclinale pe axa MrMrtaie tangenlo tnO tntr-un pttttcl
ca drehlele OMr, OM,
Oy.
θ
centrele de greulate
lnscrise tntr-o parabold, 9i ABC forma! d,e langenteletnalrfwrile preceilenlului, sint situale fe o dreaptd paraleld. cu ara parabolei (B ar b i li an, 1937). d,) Considerd,m o conicd. c tangenld, tn origine la ara Ox; fie Mr, Mo puncle mobile pe c, aslfel Dreptele
fir T. Mijlocul segmentului MrM, d,escrie o conicd. o', care trece prin T, prin centrul C al conicei. c, cu centrul C' 6n mijlocul segmenlului TC (A tr r a mescu, 1936). ln adevdr, dreptele OMa, OM2, simetrice fa[5 de Oy stnt raze omoloage a doui fascicole in involufie (fig. 155). Conform teoremei Fr6gier, dreapta MrM, ttece printr-un pulct fix ?; dacd clreptele OMb OMz se confunclb cu Or sau Oy, observtrm cE ? este polul axei O/. Razele TM', CM' r,se corespurtl omografic; ln atlev6r pentru o secafltd tlusb prin T corespuarle unic, diametrrl CM' ; reciproc, pentru o razd CM', ducem pdn ? o paralel6 la cliametrul conjugat. Deci M'clescrie o conicd ce trece prin ?, C, O, N, cu aceleagi direcfii asimptotice cu c. Tangentele ln T 9i f, fiin([ pslalsle, cerltml conicei este mijlocul lui TC.
228
PROPRIETATI METRICE ALE CONICELOR 79.Invaria]1li mё tricitの
(1) fntr―
Pentru fOrma ptttratic嵐
/(χ l,χ 2,χ 2)=Σ αJη η,
(づ ,ノ =1,2,3),
O trallsforillare proiectiv益
(2)
χ :=α 綺, ,ノ
α=￨%′ ￨≠ 0,(グ ,ノ =1,2,3),
discriminantul△ este invarianttprOiectiv relativ:
(3)
(4)
2△ ′ △=【 α 。 χ l=α ィ ノ均,χ :=χ 8, α=lα″￨≠ 0,(″ ,ブ =1,2)
discrilninantul formei ptttratice
(5)
9(χ l,χ 2)=Σ α″χづ竹,(グ ,ノ =1,2),
este un invariant afin relativ: δ=α 2δ
(6)
′ .
Dactt transformarea(4)este Ortog6nal五 ,deci α =1,avem
(7)
△
=△ ′,
δ=δ
j Dι θ グ△ ゞ
′
α γ グ α ″ リθ γ ι θ gθ π α ι ブα ろ sο ι δsttzι ルι υ ノ グリ り Amintin din tcoria fOrmelor pユ tratice,rezultatele: α οι γ α %s/o/%α /ι θ ″Ogθ %α ι ″ %ル ″協αφ″″ γ α ι づ θ 1.P″ れ″― %S″ α″%θ ι , φ%′ ι θ ″ タ ι ″ γ %α θ α %θ %り ,タ (5)Jα ル +S2χ (8) s.ィ 2.θ γ θ ια ″′ γ α π」θ γ %α /ι θ γ ι OgO%α Ja ι α sグ ルγ %α (8)り %υ α γ づ %″ ″ づ α 3. 6θ の グSl, s2 S∂ %ι γ ″ ′″θ %グ ′ θ %α ″ グ ι ″θ グ ι %′ グ グ ιι げぢ % s .
tグ
:・
Jι
O
.
I亀 ISだ lsl=0
4.ε θ θ づ %S/o/解 α γ グ グοttο %α ι ι(4)θ α ια ι %″ j″ α γ ″ %θ ι %α φ ttγ α ″θ ″(5) グリ ル″ ι αメ %α θ α %θ %′ θ ″(8),sα ″ %%ι %づ へ″θS'Sι ι /ι
)γ
(10) 物
∬ 電 cl給
:乱 =Sχ レ:畿 =Sχ ら (7S色
潔 留 〔 lt笙
ム 訛
多==Sl +― S2, adic益
(1)
″=α ..+α 22
ι sι ι%%づ %υ α γ θ gθ %α J. グ α%ι θγ ノ
229
rtti鶴
鳳
,γ
ttF響
喝 p a22・
ota,ii り Dac五 la mtll,imea transformう ri10■ Ortogonale plane 一 adicこ ■ in iurul originii一 adttugこ m,i trans14ii Sau simetrii l■ raport cu axa θχ expresiile△ ′δ ,グ rう nfn invariante. in adevttr, transla,iile ,
(12) ゞnt
χl=χi+α lχ 3,χ 2=χ
cuprinse in transformlrile(2)cu
,′
brma(5)neschimbath, adich αll=α
ll,
3=χ α =￨∝ `,χ `+α ` ￨=1,deci△ 2χ
12,
α12=α
deci δ =δ ′,i dupユ (11),eVident c嵐 ,iグ O simetrie 2■ raport cu axa Oχ
コ △′ ,lasユ
α13=α ■3,
′ =グ ・
,
χl=χ l,χ 2=一 χ 3=χ : (10 `,χ este tot o transformare de forma(2)sau(4),cu α =-1,deci∝ 2_1,i △, δrttmll■ invarian,i・ Deasemenea αll,α 22 rttmin aceia,i, deciグ =グ ′ rメ a simetriilor tt jurd und dreptヽ r競 .
缶メ 11:謎 理 型ζ 鳥為γづα湯 「 Deci△ ,Is`%ι グ α グ
,il°
,δ
%υ
%ι ι γ θ グ げ
グ
.
Cu alutOrul 10r,aducem ecua,ia cOniceiノ
(χ
■0■ lCa
(14)
slχ
.,χ 2,χ 3)=0
1a fOrma ca―
2+S2夕 2+ヵ =o,
unde s., s2 Sttnt rこ dttcinile ecua,iei(9)iar dupこ
(F。
74),
△
(15)
々=下
Ecua,ia redusこ este complet determinat嵐 ,cu coeficien,i calCula,i cu aju_ torul invarian,i10r△ ′δ , I.
″ グ θ ググ %α ″ι γ α γ り α″づ%ι ′ %″ ι Deci οθ θ %グ θ ″αγ ι づれヮ ι″ ″グ ク Deoarece j este un invariant metric,anularea lui exprimtt O prOprie― .
tattgittrilrec,i」
e asimptotice ale codcei fiind date de α22%2+2α 12%+α .1=0, rela,ia
i:ertazz:0 exprime ci asimptotele sint perpendiculare. (16)
Deci
a:0
ientrw o iperbold. echilaterd.
e) Prirtr-o rotalie (4), grupul
ma canonice (8), pe care
omogen de gradul al doilea q(x,
si o scriem s, x'2 |
sry'2.
Paralelele 1a axe duse prin centru, sint x'
dtx I drz! :0,
:
0,
y' : O
-&tzg * uti 230
0,
sau
y), ia for-
coeficienlii a,y fiind dali de sisternul (10) ; oblinem
(17)
(orr-s) xt an! :0
sau atzx* (orr-s)y:0,
sistemul fiind compatibil, di:r catza condiliei (9). Pentru axa y' : 0, coresptnzltoare rldiciuii sr, punem : 0, punem s : 52. analog, pentru axa ^i' axelor sint date de Rezulti ci direcliile
de
ar I an?n2:
at * arzffit: sr,
(lB)
in
(17) s
:
sr i
s2,
unde
(19) deoarece
(20)
arr(mt
I
*
mr)
arr
- &zz:
0
i
?rl{t,r: -1, ob}inem rela}ia dintre direc}iile arr(m'- t) + (orr - arr) m : 0.
axelor
Axele sint doi diametri conjugali gi perpendiculari. Diarnetrul conjugat unei axe de directie m, dat de (20)
!+*!:0,
dx este
dy
cealalti ax5. Elinrinind pe m, finind seama de (20), oblinem a a)xelor :
ecuagia
gl,obald
(2r) fl
(o,,
uu:
- ",,)
9!
: anll#)' - fJ_f l
DacL ecuafia
l@, )') - &tx2 ! 2arrx1' * ctzzlz l2arrx * 2arr! * arr : 0 reprezintl o paraboli, atunci printr-o deplasare, eventual gi normare (inmullire cu factori convenabili), putem s[-i aducem ecua]ia la forrra y2
- 2fx :0.
Deci
f (*,
au
aceiagi invariarrli metrici
0
△
=
O
一ψλ
Elinrinind pe 侶η
:,) pi
I,
),(ttz
-
2lx)
:
0
-φ λ
λ
0
OI=一
0
2λ
夕
oblinem larametrul parabol,ei
・ グ=一 会 231
3,グ
=λ
.
五 antior△ ,δ putem sュ eゃ 五 mttm tOate dementde 量 灘 翫∬製導j鯖 量租珊 lf:翼 tn訛 塩 ma 『 盤』
mttc:ち が 1■
ul。
,づ
f∝
λレυ ― ″tg O)十 ん]=0
0f五 tld unghiul asinlptOtelor. Itlvariall,五 aCestei ecuat五 sint δ =_―
,i elimm五 d pe λ,
l
4
λ2tg
o,
グ=λ
πノαsグ タ avelll l`%g″ グ ″夕ι οノ ′ノ ο″
to=寧
冊
み り Putem si caracterizこ m cOnicele particulare prin relalme dintre invarianti
Astfel
△ =0,
δ =o,
づ=0
11群iC嵐=馴 l嶽肌 繁:剛 lξ 霊鯉驚:蠍 認 1鍔 雛 X認 d導 afe∬ 成 a∞ 」 d К prezintt un嗽 ,puttm壼 0 ad混 :∫ 〉。 1玉署 λ(″ 2+ノ 2_/2)=0
Avem △
=_ル
2,
δ =λ
2,
づ
=2λ
,
EEmin'nd Pe λ,Obt● em θι%″ ググ ル づ ″″ れS′ ο グα′ ′ο ′ π%″ グ 2=4δ づ (24) , 8△ 十 ぢ3/2=0,
,
/″ π ″ ″ ′ ″ %ル % 身鵠胤電 歩&ぷ r畿&ホ :″ let鑑 窃響 ヤ
鰐攪 嚇¥:鶴 釧妙解λ慨 赫与
Fie F(α ,
β )un fOCar.Ecua,iile tangentelor duse din acest punct la conica (1)ノ (χ ,勁 =α .lχ 2+2α 12つ +α 22夕 2+2α .3χ +2α 23y+α 33=0, sint[F. 221] lχ
β =1. 髪十ノ 発十畜)2=4ズ 為ノ ′ )/1α
Aceastユ ecua,ie se reduce la un cerc(de raztt nul五
(2) 131
),γ
),daC益
￨∬ )2_￨∬ 12=4(α .1_α2Jス α ′ β ),
三 二 =4α 12八 α′ β ).
∂α ∂β
232
cualii
in a,
e1e focarelor conicei.
I
a1 doilea fiec or, P) din aces
i
are Patru focare. u, P teTalia (F. 226)'
conice sint
b,) Ca aplicafie,
si determiudm Iocarele elipsei t(2 r)z
f@,t):
"r+ br-1:0.
Ecualiile (3) qi (2) tlevin
d9:
0,
d2 p,__ ,, (!, ry_ ' on
a-
e2bzlaz
r
bz '),
olinem astfel, rEspunsurile
F, F',(+l,
(4)
0),
o,
@',(0,
{oi).
c/ Numim clirectoare, polarele focarelor in raport cu conica insigi. Sd luim originea ln focarul F gi fie d : 0 ecualia directoarei corespunzStoare, scrisi sub formi normali. Conica c este bitangenti conicei degenerate formati din cele doui drepte izotrope (x rtncl du,blu in
P)
origine. 238
Tangentele
in punctul dublu, au direcliile qr(x, y)
-
0,
date de asimptotele conicei. Inversa unei conice care trece priu po1 (qo:0) este o cubici circulari, cu punct dublu in origine.
c) Considerim un fascicol de iperbole echilatere; luim cabaze, iperbolele care au axele, respectiv asimptotele, suprapuse pesteOx, Oy. Eatalia fascicolului
este
(7) h ;i k fiind
x'
- !' -
l't'
*
)..(2xy
-
k')
:
O,
constante.
Considerim transformarea cuadratic5, determinatS. de acest fascicol. Unui punct P(", il ii corespunde punctul P'(n', 9'), interseclia polarelor fati de cele doui conice de bazh.
: ht, ,"9' + o'9 : k'. Prnind. wt,: $: a, n'r,' : 9' : a' rezltltl. prin impirfire !-7.'
-
0P'
1-″
(8)
″
′
λ2
m*m'
hz
OP, OP'determind" o involufie, cu razele d.uble perpendiculare. este formatd atunci din drepte simetrice fafl de o dreapti fixl
d.eci razele
Involulia
3. Fie
P" sirnetricul 1ui P'fal6, d.e 8, deci situat peOP. (n,
*
P,)("',
+
g',)
:
(au'
ppJ,
-
* (*9' *
n'9),
Avem
:
ha
*
h,,
adicL
OP .OP'
:
Rezulti c[ trecem de la punctul P simetrie in raport cu o dreapt5".
constant. 7a
P'
prirrtr-o inversiune, urmatE
d.e o
Deci transJorntayea. prin inuersiotne este o transJormare cuad,raticd., abstraclie ficind de o simetrie. Asimptotele iperbolelor echilatere din fascicol determini o involulie pe dreapta de la infinit, ale cirei puncte duble sint punctele ciclice I, J, conjugate in raport cu toate conicele; I Fi ,[ sint doui puncte singulaie ale transformbrii; al treilea punct singular este polul dreptei de la infinit, deci centrul O, comun. lncadrind inversiunea ca o transformare cuadratic[, explicim rezultatele de la b). Apliealii. a) 7. Considerd,m. u,rt. triunghi ABC 9i un punat O. O secanld d,usri. prin O, taie lalwrile AB, AC tn N ,si P. Interseali.a M a dreptelor BP, CN de.scyie o conicd, c, circumscrisd triunghdului. Bur.
nobild
239
。 mt鑑 塩r翻:』 %聰 盤 ∫ T:肥
de■ ttTTli翼
割二 Tよ 虚留 ti〕
ceh pin B, c drepte BP,cN paralele;
侭 き孫
PN
W軍
」育
°bie銀
飩 F缶
Deci, doud, d,repte rnobile,. paralele,
Fig. 159 Dreapta
」呪
!:;:'::{#;;*
"n9' fiT*ll}i#,";
td,use
if f;.
y, tnscrisd triunghiului ^:i, ABC.' e ale conicei c sint rlate de dreptele Np, care, pe de o altd parte se bucur6 de proprietatea BPllCN, adici drep-
tnfd,goard o parabold
parabolei 1. Deci directiile asimptotice ale curtrei c corespund secantelor mobile duse prin ^ tangente parabolei y, Conica c este elipsd,, parabol,d. ori iperbold, itupd, iurn O,
,interior, .t!_.pect afin .infinit, -.Ul aclicd dreptele
puncl.ul O este
ierior-ei.
s6-l lntreprindem luincl punctul O la Aturci c6nica c este o ip'erbolE. Dect,-tn tviuughiul ABC, o drcaptd rnobild, de direclie dard, taie laturile AB, A9 t"- !_9i P; interseclia M a dreptelor BP, CN desciie o iperbold. ciraumscrisd, triunghiului, 3'_ Pind acum, problema are caracter aIin. Dar conicele o depind de cloi parametri, coordonatele punctului o. Putem si cercetdm relafia - 0. a/ 1. Consid.erdm fascicolul tangenlial d.e cuad.rice, care conline absolutul (cercul ile la in-finit) gi o cuadrici dat6., qo. Numim cuadrice omofocale, cuadricele acestui fascicol. (L a p 1 a c e, 1798). Intr-un fascicol de cuadrice omofocale sint patru cuadrice tangenlial d.egenerate, d.eci, in afari de absolut, printre cuadricele sistemului omofocal sint trei conice fixe, yr, Tz, Tt, pe care le numim conice focal,e, iar punctele acestor conice sint focarel,e, comune tuturor cuadricelor fascicolului. 2. Planele rc.- ttz, zr, ale acestor conice .f r, Tz, yr, impreunS. cu planul de la infinit, formeazi" un tetraed.ru conjugat tuturor cuadricelor fascicolului. fntersecfia 1or, O, este po1ul planului de la infinit, gi totodati centru pentru fiecare cuadricl q. Fie Ox, Oy, Oz muchile triedrului fornnat de planele Tt, rcz, nr. Absolutul fiind. mullimea punctelor ciclice din toate planele, planul (Oy, Oz) taie absolutul in dou[ puncte ciclice I, J. Dar orice plan taie cuadricele fascicolului dupi un fascicol tangenlial de conice. fn planul yoz, muchile Oy, Oz ale tetraedrului conjugat comun, sint conjugate fa![ de conicele fascicoh:lui, din care face parte gi perechea degenerati in punctele I, J; axele Oy, Oz fiind conjugate in raport cu dreptele izotrope OI, OJ sint perpendiculare. Muchile Ox, Oy, Oz ale triedrului conjugat sint perpendiculare, cite dou[. Ele sint deci axele oricirei cuadrice q din sistem. Deci cuadricele wnui sistern omofocal au acela;i centru O gi acelea;i axe.
(Jacobi,
1834).
in
fiecare plan principal yOz, avem un fascicol tangenlial de conice, in care punctele ciclice I Ai J sint o pereche de virfuri opuse ale patrulateru1ui circumscris. Avem deci in fiecare plan principal, un fascicol de conice omofocale. Rezulti c5" ecualia cwadyicel,or ontofocale, tn coordonate pwnctwale, este (1. a m 6, 1837) (15)
F壬可 十 万笹二 十 F壬預 =L
Fie P un punct din spaliu. Deoarece printr-un punct trec trei cuadrice dintr-uu fascicol tangenfial, rezaltd" ci prin puncful P trec trei cuadrice Ql, 82, q, ale sistemului omofocal. Din proprietSlile fascicolului tangenlial
de in P, un
eTor qr,_ qr, q,
uriloi de viif
rmeazi gi ele care conline conul izotrop deci triedrul conjugat comun tridreptunghic. este Deci, frintr-un punct P trec trei cuadlice d,intr-un sistem omofocal,. Aceste cu,adrice se taie ortogonal,. (D ,, p i n , 1Bl3). 260
3. Dacl i6iem cuadricele unui fascicol punctual printr-un plan tangent al unuia din conurile fascicolului, oblinem un fascicol de conice, din care face parte o dreapti dubl6 - interseclia planului tangent cu conul. Avem deci un fascicol de conice bitangente gi reciproc. Corelativ, fiind, dat un fascicol taugenlial d.e cuad.rice, sd considerS.n un punct P al uneia din conicele fascicolului. Conurile de virf P, circumscrise cuadricelor sint bitangente 9i reciproc. Daci ne intoarcem la cuadricele omofocale 9i P este un focar, printre conurile circutnscrise face parte gi conul izotrop. Deci conul izotrop ie;it d,intr-un focar este bitangent luturor cuad,ricelor. Aceasti proprietate apropie definiliile focarelor din cazul conicelor ti cuadricelor.
88, Apliorlit. a,/ Consid.erim un fascicol cle cuadrice 9i lie U, 7 dou[ puncte fixe; planele polare ale punctelor U, V in raport cu cuadricele din fl5sico1 se
rotesc in jurul dreptelor a, respectiv u. Dac6. g este o cuadric5 arbitrarE din fascicol, pianul polar al punctului U este ulric determinat gi invers, planului polar ii corespuude u:ric, o cuadricE q. Rezult6 cE planele polare duse pdn z, u, relativ la o aceeagi cuadricd mobil5 q, se corespulrl omografic. Interseclia acestor plane
descrie deci o cuadric6 r (85. e. 3). Fic acum W tn al treilea punct lix gi
dreapta asociatd. Planele polate ale
zo
punctelor U, V, W in raport cu o cuadrici mobilB 4 sint plaae care trec pri.n dreptele u, 1), o 9i se corespund omogtafic. Deci punctul lor comua, M, descrie o cubicd strimb6 1. Punctele U, V, W liind conjugatele lui M in raport cu cuadrica g, plauul lor r: UVW este plaoul polar allttj M, in raport cu q. 7)eci, trullirnea polilor nnui plan fix, n, tn raporl cu ouad,ricele unui fasc'iool
putclttal
esla o eubicd. styimbd y. Mullimea punclelor M, ale cdror ilrepte ah comfletului polar sint 6n planul n esle aceeasi cubicd 1. Iu adevtrr, oricr:ur ar fi situat purctul M pe cubica 7, existd o cuadricd 4 la fascicol, ia!5 de care plenul polar al lui Jl4 sE fie insugi plalul ::. Ciud. r este planul de la infinit, polii lui devin centrele cuadricelor.
Deci mu\imea ccnlrelor unu'i fascicol punctual de cuadyice cste o oubiad stfinbd. b,) Putem sd exprimlm toate propriet6$ile metrice ale cuadricelor, cu ajutorul
invarianlilor L, I, i, j.
l. De exemplu, si calculSm volumul unui elipsoid. este ecuafia cuadricei, ea reprezintl un elipsoid, dacE f(*,t,2):0 plintr-o deplasare, putem sd o aducem la forma Dacd
: ^li *';.; - ') fdentificarea iavarianfilor ue
o
dE
it-, t:,1i,, A:- a2b2c2' a2b2c2
￨
de unde
t-
on"
:11 - L: v8{
.
DacS efectudm transformarea afind
t : afi',
I : by', 4
z:
cz'
- n. Volumul fiiad un irvariant afin, volumul elipsoidului este egal cu volumul sferei, lnmu$it cu cleterminantul substitufiel, elipsoirlul devine o sfer6, de volum
261
Deci aolwmwl unui elipsoid, de semiaxe a, b, c
este
4
7:-nabc.
(16)
.1
7=:π ギ
岡
2. O cuadricユ reprezintう o sferる , daci ecua↓ ia caractedsticう
s3-グs2+ノ s― δ=0 are ridicini egale Dar ecu4ia ″3+″
2+f″ +″ =0
are o radicina triplる , cind
2=31,
夕
3=27″
ク
.
Deci o sferこ are ecuatiile intrinseci
2=り , グ
(18)
0=27δ グ
R″ α /s/2/θ j ο ′αα″ グαι %′ ο づα´ Sι
△3
(19)
/6=_y
ι り1・ COnsiderim o cuadricこ cu centru, sub forma canonicこ ノ=S.″ 2+S2ノ 2+S3Z2+力 =0. ● Cualia
conului circulllscris, cu virful in p■ mctul
(Sl″ ″。 +S2ノ タ0+S3ZZO+み
)2=(S.″ :+S2ズ
十
Cう utユ lll conditia Ca acest coll stt fie inscris intr―
″
(″
SOZ:+み
0,ノ 。,Z。 )este
)(S.″
2+S2ノ 2+s3Z2+力 )・
un triedru tridreptunghic, deci
′=み ■+α 22+α 33=0
Avem pentru con■ l considerat α.1=Sン :一 S1/0,
α.2=S.S2″ 0ノ 0
etc, unde /。
Avem
an=1斑
:
,i reprezintう
ち 九 斑 :￨=￨ま ;風 お だ
[3九
S2S3/0僣 2ノ る +S3′ 紛 =S2S3/0(S■ ″:+ル
=S2S3ル
Ded宙rful (20)
=S.イ +S2ノ :+S3′ :+力・
conului satisface ecu4ieiノ
￨= )・
=0, adiCう
δ(″ 2+ノ 2+′ 2)=ル
o sferi
‐ π′づ απθノ αηgι ″ 夕ι ,ゥ ′ Deci%%″ グ 物θ α夕%%ι ル グ′づ %ι α″ ´ ι ′ %Sα α%Oθ %″ ι グタ′ %α α % ε %, θ ιO “ ι%′ α′ θ οο ″ づ ο ασ ι %ι γ s/27″ (MOnge, 1804) , 7α r′
Jο
sι
262
2. ln cazul unui paraboloid α″2+砂 2+2″
=0
avem analog,pcntru ecuatia cOnului circumscris (α
2+β ノ +2″ ), ″″。+的 ″0+Z+″ 。 )2=(α ″:+β ズ +2′ 。 )(α ″
deci
α..=α 2ィ _c/。 ,
α.2=α β ″θ。 ,
α.3=げ 0,
α22=β り: 0/0,
α23=β ノo,
α33=1,
へ=1維 耀￨=晩 ,名 =― 軌 α L=1軋 斑 眠― 航眈+明 =れ β れ ￨=α ,
α =α n+α 四 」 un condd: 十 "=0北 讐 ・ “ lfeimettc d宙 謝 磁° Iagnu島 螂 η 罵,色 犠グ 筋場 郷 a′
.
0
:ク J″
メ+子 十後=1
五%%夕 %″ ε ι]f。 (″ 。 π′グ α″θ ′ 夕 %αυ ,ノ 。 づ %′ ο α´ ι πα ,オ 0)Fイ ′′π ゞ μづ
(d)
争=昔 =千 ′ ら ′ 脇 湯 脇筋協解ック ′ 脇チ 7笠 笹 霧 箭り筋瘍レ 島」 P簸 t携 ″ χ %Jttα
鼈 筋笏 鰯 響 確 颯 轡 鶴1咆 〃 in adevir, ecuatia planului π, collingat dreptei ′, este
(7rl iar perpendiculara din (d′
)
α チ
+β
券
十γ チ
=0,
χ o pe acest plan α2″
″。
=ら 2タ
α
ー タ0=。
aZ ′ 。 .
β
γ
Din ecualiile (d), deducem
*:crt, in
valori pe care le substituim
(r,)
y:gt,
z:Tt,
(d') 9i etnflirdm pe
y' {
1a,
-
cz)
xo
deci punctele Mo sir:lt situate intr-un plan p.
:
e,
,;
obfiflem
:
Ｏυ ａυ ２
Obfinem ecuafia formatb de diametrii d, eliminlnd Pe n, P, 1 dln ecuafiile (d) +i (r.). Obfinem conul
>at(b2-ca)xoyz:0. Dreptele (d) 9i (dl flind concurente, obfinem locul geomettic al punctului lor c\omu[; eliminhd parametrii u, 9, ,( din ecuatlile lor; obfinem
(r)
no :6'!--Jl: o'* xyz
atlicl intersecfia a doub
c'z=,
cuatlrice
- bg)xY : (az.- az)xz: (az
d,atacestecuachiceaucomun6,
- b'xYo, az*oz - czxzo; *2froY
dreaptaOMo,clecirestulintersecfieiloresteocubicd.
Planul polar al etipsoidului a
Xx
este
V*
Yy
b,+
Zz
u:''
X, Y, Z fiincl coordonate cutente. Normala in (x, y, * orx - : 6rY---Z --
ryz
e) are cleci ecualia
"rz--
=
care pentru l : xn, Y : !o, Z : zo esle chiar cubica 1'
Partea a
treia
Geometrie - Diferenfiall
CURBE PLANE
8$. Curhura. a) Presrpunem cunoscut[ noliunea de curbd. Amintim putem si o reprezent[m explicit, prin ecua]ia
v
(1)
:
c[
v(x),
sau sub forma
f(*, v) :
(2)
o,
care definirn implicit, pe y ca funclie d.e x. Cu ajutorul unui parametru l, scriem ecualiile curbei sub formi parametrici
pin
x
欅
)
:
夕 =ノ (′ )・
x(t),
(Cramer,1750). O reprezentare, in coordonate polare, z gi 0, este
(4)
y
:
r(0)
(Eu1er,1748). Presupunem cunoscute, din cursul de geometrie analiticS, anumite curbe particulare. b) Fie M(x, y) un punct al curbei c Ai M'(** Lr, ! +Ay) un punct vecin (fig. 161) ; atunci
MM'z:
L,xz
+
Ly,, 265
Presupu nem punctul M' vecin de M ; putem s5 aproximdm atunci coarda MM' pin inf initul mic echivalent, arcul MM' : As; oprind pirfile principale ale aces tor infinili mici, scriem Jormul,a elem,entwlwi d,e arc
(5)
ds2
:
dxz
!
dy2.
De exemplu, sb calculim atcul
cicloiclei
x : a(9 - sin 9),
! : a(l -
cos 9).
Avem d,x
:
611
-
cos
9)d9,
dy
:
a sin 9 dq,
deci dx2
t d!2 : a2l0 -
f sinrgldp, :2a2(1 -
cos 9)2
ｄ
ｎ
(6)
〇二 ２
Deci lungimea. arcului cicloiilei,
９ ｒｌｌＪ ｏ
〓
2=物 2dPId` “
cos q)dg!,
este
,:lo[t-"..:1. 2) \
Ca sE afl5m lungimea unei arcade lntregi, l:o6.m q : )n. Deci lungi,mea arcadei, cioloid,ei este l: 8a (W r e n, 1693).
〓
１ 一ρ
Ｓ “ 一△
c) Tangentele in punctele vecine M Si M' ale curbei c, fac intre e1e unghiul A e (fig. 162). El misoari d.evierea curbei in raport cu tangenta gi il numi m unghi de contingenld. Apreciem rnai bine aceast5 deviere, raportind-o la lungimea elementului de arc MM' : As. in caztl unui cerc, unde p este raza cercului. Pentru o curbe oarecare, observind cE AE este cregterea Aa a unghiului tangentei cu axa Ox, scriem
(7)
l':lim-:. . Acr P As+o As
Spunem ci p este raz& de curburd. .l : gi , curbur& curbei c, in punctul P
∝ △∝
M. Centrul cercul,ui de curbwrd., de raze p, tangent in M, sittat spre concavitatea curbei, este centru de cmr-
Fig 162
bwrd.. 266
(IIuy gens,
1673).
Presupunem coord.onatele punctului M, exprimate in funclie de un parametru I gi notim prin accente, derivirile in rap ort cu acest param.etru. Atunci
ts'r'"*' o.: t,
;i
a:
arc
ts !
∠:11+デ ￨=サ 生 y=生 ∠ 子 与
′ ′ ′ ″ 夕 ―
atunci(Newton, 1670)
ρ=π ds
(8)
′ 2+ノ ′ 2)。
ノ
/′ ノ
′ .
2+/2 '
・ =均 ″_″ ′ノ′ (″
3
り
in caztl reprezentirii y : y(r), alegind abscisa n, ca parametru l, for-
mula (B) devine
'^
(9)
I.
Ca aplicatie,
(l *
n'z)att
v"
sI afl5m raza de curburd,
a l,i:nligorului (fig. 163) 1(
!:ach-' curb5 cercetatl incepind cu Galilei Avem
a
(1638).
xlx !':slr-,y":-ch-, aao 2l
l+!'2:chz-'
a
,i formula(9)d首
ρ=α
(10)
Dac5, normala
in punctul
c.orerol
物αルグ
tIN
(11)
=∠
ch2二
.
M, taie axa Ox in N,
: t|n
+
ti:
ayelrr lungimea nor-
p.
Deci centuul de eurbutd al ldnligorul.ui esle simelilcul pici.orului
Jald de punctul cuyent, M.
2. Sd afl6m raza d,e curbuyd, a
cicloi.ilei (fig. 164):
x - a(p - sin 9),
Y
:
a(7
-
cos 9).
Fig. 164
Fig。
267
N al
nonnalei.
Avem /=α ″ ″
=
(1-COS?), α
/=α
Sin 9, ″ ノ
Sin 9,
=
/2+/≒ ‐ いゴ
α COS 9,
号 ″ ―/7=一 %筍 ピう‐ ,
7′
ObtinCnl dill(8), 7α
zα
%/b%,′ α α ε αι ι ゲ ε ″ οプ ′θ じ
(12)
ρ=4α sin■ 2
Fie r cetltrul cercului generator, corespullzitor punctului Lr,ir√ Punctul de ;プ ИIV este normala in』 ど la cicloidi Dh t五 unghiul
contact al cercului cu axa O″
isoscel ifIN, avem
″ N=2α sin■
(13)
=■
2
2
― Deci ι ′ ″′ /π J′ ιο グ b%″ α づ ″ι ″ π 夕7,,ε ι]J, 7α οιイ ο 7ο J′ グ 2ι ι γ ,ι %′ 沙″ ″ε′ κ′ γ′ ,′ s′ ′sグ ″ グ αど ク」 ιづ ο/“ “ ′%ο /″ αルヴ 21/1 メα ′ ,′
の PreSupunem c沈
luttm ca parametru,chiar arcul s.Atunci din fig■
162, rezultこ , la lilnitユ
00
,
ra
ま=∞ Sら 聖=gnに ds
Avem d8″
―
dsa
. dα =― ― Sl■
α―
12ノ =cos∝ 些 ds2 ds
,
ds
.
%夕 b%γ タ Ob,ne m o nou五 ル/%%Jα αε
に 励
l=儡
2
r)2+1器
Dα θ αγ α z α″ ιθ ttγ ら %γ αι sι ιθ π%ο sθ %ι ″,
(16)
御
ο αθル %9′ グ ι″ι α/ε %ι
s
ρ=p(s),
ε %γ う αι sι ια ι ι ι γ %げ %α ι ″,α ろ γ α θ θ %α ″ ιοαψ′ α sα γ ι ・ ″ メ″ sι
1■
`ι ad evttr, avem prin defini,ie
ds dα
一 o(S),
ceea ce lle perlnite stt calcullm unghiul
α ; fie tt O deterlninare a integralei
α =∫ 希 ゞ %O COnstant五 .Atunci ∝
=α
十
268
輸・
I)in formulele
(14) oblinem
xo: f cos (a f ao) ds f ro, y:-[sinacls lyo: {sin(E*oo) dsf ro. 'l ,:
a ds *
fcos
Notind
fr:(
t:[sindds, .r cosdds, -)
oblinem
x: fr cos fl - ! sin u I xo, !:nsinaf!cosa.lyo, adici toate curbele deduse din (i, y) printr-o translalie de parametri la gi o rotalie d.e unghi cc (F. 59), deci curbe egale intre ele. Caracterizim deci complet curba, prin ecualia (16). Spunem ce
no,
este ecualia intrinsecd.
a cwrbei.
Ca aplicafie, considerdm curbele plaue de curburI constantl,
P:
Avem
(16)
d.eci
a'
(s::, taa
,:
["or' 6 d. : r"io1,a"
-l
y
: \.i,,ad, - - a"orl' d a )
Eliminind. parametrul s, obfinem
xrl!':a2. Deci curbele plane de aurbutd constantd sfnt aetouri.
Numeroase exemple de determindri de curbe
adatCesaro
prin ecualia lor intrinsecl,
(1896).
90. Contactul curbelor plane. a/ Presupunem ce doui curbe se taie ln ra puncte Mo, Mr, Mr, ..., Mn-t. Cind toate punctele M1 se conJundi cu M o, cele doui curbe au a puucte confund.ate, in M o. Spunem c[ ele au in Mo rn contact n-punctual- Dacd
y:p@)
y:f(x),
sint ecua! iile celor dou[ curbe, pertru url contact z-punctual, trebuie ecuafia
(r)
:
ca
l@) p(r) o s[ aibi o ridicinl multipli de ord.in z, deci s5. existe o valoare 16, astfel ca ecualia precedentl 9i ecua]iile ob]inute priu anularea primelor n - | derivate, si fie toate verificate.
-
269
^
「
ng. 165 ng. 165
Fig.166
Fie ι,i θ′douh curbe, cu un colltact %― punctual l■ ν O(fig. 165). 0
n ]イ 。 secantこ arbitrartt lleparalel五 cu tangenta comu■ ユ 全 , taie cuFbele in ′ ′ θ α ι θγ αづ %%J%,1■ raport ι %グ sι ι %%″ %づ 啄ν ι 〃 ,″ .Vom arこ ta c嵐 」 グ ]イ , ]イ 。 批r′ , echivalellte flltre ele ,i eChiValente cu distallla cu arcele ]イ 。 ′ 乃 de la ■〃0 1a secanta ■〃]イ .(Cauchy, 1826) in adevttr, luう IIl axa Oy paralel五 ctl ν ttr′ ,i avem, desvoltttnd ttll serie
T aylo■
:
yν ′=νⅣ _y′ N=ノ O+λ )-9(χ 。+力 )= (χ
ル Ч 瑚 十競ノリレ∂十 … 一
+… +満
Φ︲
＋
χ
十
９ λ
９
χ
一
″ 一２
=ズ 瑚 +グ て萄 十 ザμ レ∂ +… +凸 η
d"⇒ レ∂+
十
χ
９
＋
川一 月
dar, in baza cor'difiei de contact n-pttncttal, f@i: q@r), ..., lrtt(x) : qu)(*o), (i:1, 2,
..., n - tl;
deci (2)
ceea ce
MM' :Y,lft"t{*r)
-
rtnt(xs)l
+ ...
justifici propozifia.
b) Pir. trei puncte vecine a1e unei curbe c, ducem un cerc; limita acestui cerc, cind punctele se confundi pe curbb, este cercul, osculator al curbei in punctul considerat (fig. 166). Presupunem curba reprezettati parametric
y:y(t),
x:x(t),
gi fie .I(a, p) centrul gi p raza cercului osculator. Cercul
(3)
(x
-
n),
+
(y
270
- 9)':
p'
c,
este oSculator curbei
lia
(3)
dacd. afe
in care x: x(t),
derivbri
y:
un contact 3-punctual cu curba, d.eci ecuaI' Ob]inem prin
y(t), are o rddiclnl trip16 in
- u)x' * (y - 9)y' :O, x" + (y - 9)y" * x'' I !'' ") (x
(* Rezulti
-
_ /({z + y,z)
ar _ n'rr" )
lnlocuind
:
0.
2+ノ ′2) ″′(″ ′ ′ ″ ″ ノ ― ″〃ノ′
a Y
in (3) avem
(4)
,z:.!xl2*Y'') (x'yt'- t"y'12
Deci raza cercwlui oscul,ator este egald. cu raza, d,e curburd,. Rezulti ci cercul osculator este cercul d.e curburS. Centrul cercului osculator este centrul d.e curbur[ al curbei in punctul consid.erat. Deci co ordonatele centrwl,ui d,e curbwrd sint α =χ 一
(5) care
′ ′ ′ ノ (″ 2+ノ 2)
′ ″フ″― ″′ υ '
=ノ +チ 響 β 影 プ)'
in cazul reprezentdrii explicite, y : y(x)
(6)
q.:n-Y'lr'lY"\, v"
91. Inii;uritoare. parametru
a)
ConsiderS.m
*.Y''y"
g:y*1 o familie
(r^) f(x, y, I) :
(1)
d.evin
d.e curbe d.epinzind d.e un 0.
∞︱︱ いＯＯ
Pentru diferite valori ale 1ui tr, oblinem diferite curbe in p1an. Vom c6. ele admit o infSguritoare, Pe lingi curba c1, cor€spllrrzLtoare valorii L, considerim gi curba vecin[
arlta
(r^+o^) l@, y, I + AI) :0. Aceste curbe au un num6r d.e puncte comune. Cind. AI -+ 0, ele deviu anumite puncte pe curba c1, pe care 1e numim puncte caracteristice. Ca si gdsim locul geometric a1 punctelor caracteristice, trebuie si eliminim pe tr intre ecualiile c^ gi c1111 cind A), -r 0. in acest scop, inlocuim ecualia a doua, prin ecualia echivalenti
l(x, y,
I + AI) -
impirlim cu Ah gi trecind
(2)
l@,
/,
tr)
limiti, oblinem f^(*, y, I) : 0.
1a
:
0.
ワー ●４
Fie M unul din punctele caracteristrce ale curbei c^. Vom arilta cL aceastl culbd gi locul geometric i sint tangente in M (fis.
' in 167). ad6vlr, ca punct a1 curbei c^, tangenta in M are direclia tn:!,:_l:. fy
Ca punct al curbei i, coordonatelepunstuJrli M sint funclii de )., oblinute din sistenrul (l) + (2). Direclia tangentei in ]I
la curba f
Fig. 167
esls
yn, _!l
x:
tnsi coordonatele (1), deci
x()r),
),: l(^)
.
,^
ale punctuhi
M verifici
ecualia
f,xt, t f, )'t * i^: O, gi conform cu (2), ft : 0, de unde, ttt : 4t'tt. Curba i, tangertd. tuturor curbelor c^ este infd.gurd.toarea famtliei de curbe. Oblinem ecwa.liil,e inJd.surd.toarei, el,iminind, parametrwl, ),, din ecual'iile
f(*, y, I) :0,
ft(x,
y, I) :0.
(I,eibniz,1692). b) Dacd Jamil,ia de curbe definde de doi parametri f(r, y, tr, p) :0, legali printr-o rel,alie Ψ(λ ,μ )=0, obtinem ecualia Anfd.;urd.toarei el,iminind parametrii dente gi D(■
6)
^,
l, din
ecwa{iile prece
9)=0.
D(λ ,「 )
In adevdr, presupunem ci pl este rezoTvat din ecualia g : 0, ca funclie in raport cu )., identitatea flx,y, I, p(r)]:0,
de l. Atunci, derivind oblinem
lt * lnue: iar din condilia 9 :0
0,
avem
9r * 9*Pr Elinrinind pe Fr obliuem relalia (3). 272
:0'
ο り
1・
Ca aplicatie,si aflる
mσ ″ぁ%π ι ο づJ´ ′″ ″′ ιル づ′ 夕θ Jづ
"降
ノ=″ ″+7α 2″ '十 が ,
cind夕 ″ variaza.
SCFiem eCuatia sub formこ (ノ
(″
rationalこ
ー ″″)2=α 2″ 2+ら 2,
2-α 2)物 2-2η %+プ
ー ら2=0・
Pentru un trhom, procedeul de a deriva,i a elirnina necunOscuta, tevine la a scrie conditia ca trinotllul stt aibこ
doutt zerouri cgale,ceea cc oblinem itnediat
anulind realizantul:
″り'=(″ 2-α 2)(ダ 2_ら 2), b2″
inf五 ,urと 。area este o elipsこ
B+α り2=α 2b2_ Dealtfel,cunoa゛ em rezultat■ ll,sub
fOrIIllる
reci‐
proca
θ JI夕 sθ Jο γ ′ %s′ α 2. Si aflう tn ε∫ し,“ γ οα′ α′ ′αγ グ ′ι ο ″ α′
タ
sイ ,``Jグ
∼
づ ′
づαク′ ″′ ′σ ′ α,j α″′グ′ ゞ 7θ
`′
Ecuatia Curbelor este
f+デ =1, α Si b fiitld variabilc,dar de produs constant αb
= 力 .
Determinantul functiollal al functii10r
ル μ郷の=デ +デ ーL acの =あ ― ne dう prin aコ ulare,tinhd Seama.9i de ecuttia elipsei, ″2
ノ
2
1
αa
b2
2
Tinem Seama de relatia de COnditie
blinem ゛。
2″ ノ ==
土ル .
infa,urこ tOarea este fortnati deci,din
doutt iperbole echilatere, colllcentrlce, a宙 nd ca asimptote, axele elipselor (fig. 168).
αunei curbe este lnfこ ,u― 〃 Dι 彎磁,%γ αι toarea normalelor ei.Ecua,ia nOrmalei fn″ (χ ,夕 )la Curbaノ =/1χ )este rこ
X―
χ+(y_ノ ly′
18-Geclmetrie andi● c当 ,proiectiv意
=0,
,i diferential首
Fig. 168
273
notind cu X, )z qoord.onatele curente. Parametrul variabil este abscisa r. Deriv1m in raport cu x, -1 - y'' + (Y - Y)Y" :0. Oblinem pentru X,Y va\orile a, B, date de (F. 253). neci, deslAsurata wnei cwrbe este locwl geornetric al' centrelor d.e cwrburd. Astfel, linind seama de construclia centrului d.e curburE al cicloitlei (S 89, c. 2) rezdtd" cd desfd.;urata unei cicl,oid.e este o cicl,oid,d. egal,d (H u y-
gens,
1658)
e) Ca apltcafie, sE afl6m
desfd.gurata parabolei
!2:2Pr'
avem
y'':--v,'
.ph' /:;'
Formulele (F. 253) dau
2(?' * y')
y2
3 y'
2p 2p :D+---' 2p g:y-Z@'t!\:-Y", p' p2
9i eliminind. parametrul y, obfinem ca 1oc geometric, parabola semicubicd F@
- f), :27bp,,
avlrrd punctul de lntoarcere, -I, in simetricul virfului parabolei, fa!6 de focar
(fig. l6s).
P este un punct mobil al parabolei, normala lui M, parabolei semicubice, a.
Dacd p:oll.ct
este tangent6 intr-un
// Invers, s6 presupunem dati curba c gi s[ gisim eaoluenta ei, adic6 locul geometric p al punctelor P, situate pe tangenta in M , a ciror tangentl 1a curba 1 sd. fie perpendicular[ pe n[P. (H u y g e n s, 1673). Alegem ca parametru arcul curbei c, deci tt',+y',:1,
x'x" *!'y":0, Coord.onatele unui punct P, la distanla l,IP : r, pe tangent[, sint (F. 25)
゛)
(5)
X:x*rx',
Y:ylvy'.
Conditia de perpendicularitate d[
Y'_Y'+rY"+/'Y':-L, X'
興゛ ．
y' ! rx" ! /'x' de unde, linind seama de relaliile (4), 1+γ ′=0′ x'
integrind S tt γ=ι
Fig. 169
274
.
Daci A este originea arcelor Pe curba c, atunci arcul s ! MP are o lungime constanti gi curba 1 este- geo"r"te de extremitatea unui fir d-e 1unsime constattl 1,, care se inf6goari pe furba datd, plecind. din A, iar restul firului este purtat Pe tangent5. Avem c infinitate de evolvente, dindd.iferite valori, 1ui l. Numim curbe paralele, cttbele care au aceeagi normalS ln punctele corespunS,[toare, M, M'Si MM':corst (Ireibni z, 1692).
Fig.
170
Etol,tentele acel,eiasi cwrbe si,nt curbe
paral,el,e.
dou[ puncte ale curbei f S1 lf r, Mrptttctele corespunzbtoare de pe-d.esflgurat5, conform relaliei (5), evem
Daci
Pr, Prsint
Pr
unde pr, p, sint
t
razeTe d'e
Pr
-
sr
:1,
Prlsr:l
curburi ale curbei p in Pr, P, (fig' 170). Rezulti Pz
- 52
St
: afc MrMr,'
Deci lungimea unui arc o al, d,esJd.gurate,i wnei cwrbe este egald. cw d,iferenla vazel,or de curbwvd ale curbei date, i.n pwnctel,e corespwnzd.toare. g) Ca oblinem ecuafia evolventei cercului (I, a h i r e, 1706)
si
X:
: -ag
ludm
in (6),1 :0,
liile
eaol,aentei cercul,ui
X:
(7)
(8)
〓
rezlu'ltd.
a(cosg “一 ¨
Deoarece
s
!:
A COS 9,
- I
Si a-verlr
r-
a.g.
esirl.P
Din ecualiile (5) rezultL
Y:a(srnq*qcosg).
sing),
r:Ag
arcul evolventei (fig. $:QL"
171)
0
92. Curbe in eoordonate polare. a) l. DeterminS.m tangenta intr-un punct la o curbi, prin unghiul u pe care ea i1 face cu 275
Fig.
171
ecwa-
razapolare $ig.l72). Considerim intii doua M, M', vecine pe curbl, corespunziud unghiurilor 0 gi 0 + A0. Purtlm pe raza OM', OP : r. Atunci puncte,
arcMP
- rA0, PM' :
Lr.
Considerind numai infinili mici de primul ordin, coarda PM este echivalenti cu arcul PM gi triunghiul MPM' cu un triunghi dreptuughic; deci, notind
\OM'M : Fig. 172
A,
tgu
: #:,#
I,a limiti cind. M'tinde c[tre M, dreapta MM' devine talrgerta in M gi z tinde ciltte u; deci
(1)
tgu-r- t'
De exemplu, pentru o spirale logaritmicl
r-
avem
aeho
I
tgu:
h
Deci sfiral.a logaritmicd. taie razele uectoare sub un ungh,i constant (D e s-
catt es, 1638)
2. Pe figura 172, ptttem
si
determinim, prin aceleati aproximiri,
elementul, de arc. Avem
2-Pノ ′2+Pν M″ ′
2+γ 2△ 02 △s2=△ γ
2,
． ヌ 儡
oP五 nd numai pこ r,1le p五 ncipale,
ds2=d72+γ 2do2. De exemplu, pentru cardioidこ ′ グ=α (1+COS
dグ
==― αsin
O)
O d′ ′
dsa=2● 2(1+cOS O)d OB, d∝i 0
s==2α
cOsldO=4α ∫
sin f・
0
Pent■
0=π ゛ 1面 dublul,obtinem″ 昭づ J,s=〔 レ 協θ ιι α だ づ α′ Oο
276
.
gi
bJ Oblinem expresia curburii
in
coordonate polare, d.in formula cls
P: :-' Dar
da:d.0*dz
a:0*u, gi
deoarece
u
:
arcts.
,
L
" r'
du
- n" Ur, :/"yz{1't
avem
dr,:ll ]inind
l
ur.
*r'2-YY" ldO:r'l2t"-n" y2L,y'z1 7t]-1't
seama de expresia elementului de arc
dsz:
(r2
fr,z)d0z
obliuern expresia razei de curburd. i,n coordonate pol,are (H o s p i t a l, 1696) (→
ln aplicafii, cind. numitorul din ecualia curbei este o expresie mai complicati decit numlritorul, este comod si utilizlm formula curburii sub alti formd. Not[m 1:o tl avem
de unde oz
+
6,2:a#4, o I o,,:'32f!,
CIECl
(5)
p:+(cr*c'r)rA. ' 68
olo"
De exexllplu, pentm parabolこ タ
1 +C。 9 0 avem o:-,
l*cos0
??P
d:
sinO ,
6
:
cos0
●４
cleci
P=は 十 ∞ S03=IyttI
(6)
2 Numir:e normald polard, lulgimea segmentului rle normald,
cuprins intre pu:rctuI catertt M gi perpencliculal6 din po1, pe raza vectoare. Avem evident, ffurind. seama de (1), ]ィ
(7)
gi
in
N=γ /2+γ ′ 2
cazul parabolei 〓
(1)
１ 一２
93.Ap五 calil・ ′s`′ ′α′ グ グ′
Ｎ
″
Fig. 173
Deci vaza de curburd, intr-un punct al parabolei este dublul mormalei polare, adicb, perpencliculara clin focar pe taza vectoare taie rormala i1 mijlocul razei de cutburS. (fig. 173) αノ 7. Raza de curburd lntr-wn punct la o curbd. pland, f(x, y) : O ん″
1
9=I(J%+4)0に
'△
=
物 ん
んク ルタ ル
ル ル
0
Din ecua,a curbd avem
′ ル +ル ノ =0, ′ ′ ′=0, ん″+2ル タノ +ら ,夕 2+カ ノ′ de u■ lde
ダ
=―
t,/=
folosim forlnula(F.252)
gi justi{icdm formula (1). 2. in oazwl unei conice
f(x,y) : erfrz I 2arrxy !
ezzlz
-l 2arrx |
2aasg
I an :
oaem faza, de curbuyd
(2)
P=
gα .]ζ
+α 12ノ +α .3)2+(α 12″ +α 22ノ +α 292]3“ 1髪
ノ(″ ,ノ )=
278
袈継 ￨
ノ 一メ ＋ ′ 一″
De exemplu, pentru elipsd
-1=0,
0
O
P=め 'I例 2+開
]ψ
.
in Particular,in virfuri,razele de curburi sint α2
(4)
ら2
.=7'ρ 2=7・ ρ
b, 7 Sグ ′ ′ ′ ´ /″ づ %グ π σ ο πグ αο sο π Jα ′ ο ο α /′
Jα
%″bα ノ=/(″ ´
)
Fie
α″2+2♭ ッ +り 2+2′ ″+2の 十/=0 eCu4ia codcei Primcle patru derivateノ
curbcl.
Avem α″ +妙
+′ 十
′ ′ ′ ′ ′ ′ ,ノ ,ノ ,ノ IV Sint cele deduse an ec■ 4ia
(レ 十 り +θ )ノ
′
=0,
′ ′ ′ α+2妙 ′十 り 2+(レ +り 十 θ =0, )ノ ′ ′ ′ ″ 〃 3妙 +3ッ フ +(ら ″十 り 十 ′ =0, )ノ ′ ″ 2+4υ り″ +(ら ″十 η 十 ′)ノ IV=0・ 4妙 ′ +3″ ′ Avem 5 ecuatiilineare,din care ehminam coeficient五
5亀 篇1銚 axi O″
,壺 hさ m“ gh“ pe cttb五
COnicei,dintre care numai
ngenta m acest pund∞
… =0,夕 ￨=0・ ECuatine se simplifica ;avem/=0,夕 … ′′ la′′′ ′ ′ /=0, α=0, α+η =0, 3妙 +η =0, ′ ′ ′ 2+η IV=0; 4妙 ′ +3η ′ i量
ι≠ 0,altfCl conica ar fi degenerat■
o--y;,b:-+Y:", ulo
luall.′
=1,i Obtinem in origine
21ノ 4イ 丁 :V ・ ι =了 牙 万
Ave:at eeualia conicei oseulatoare
2_れ プー 0 ,Iノ +:ザ イッー ン=0 司 η 惜イ ノ 2.
ln
particular, pentru lbnli9or
!:cl:.x-l avem
t;: o, y;: r,
y;'
- o, lrv : l
gi conica osculatoare in punctul (0,0) este (f.ig. fia)
a+τ1 ノ2_2″ =0. ″
Fig.174
279
c) 1. Daed 9r, 92, 9a, g1 sifll ce corespund :ocosg, ! - bsin 9, siluale ?ola?nelrii pe un cerc, atunci (6) 9r * 9r * pr + Pr:0. a
Punem I
@
: tg ;9i trecem la
reprezentarea parametricS.
l-tz =ar+tr't:br+trl fie
la patru luncte pe elipsa
2t
gi
,rr+yzlexl0y*y:0 ecuafia unui cerc arbitrar; substituim valorile preced.ente 9i obfinem ar(t _ t2), I 4bztz .t, aa$ _ r\Q + ,r) + 2pbt(t + t2) )_ ^/(t _'- t2l2 deci o ecuafie, in care coeficienfii in I gi ls sint opuqi; rezulti 2\ - Ztltzh: o.
0,
Dar
tg (r, f
Pentru e; :
'2
dz
*
ds
* aJ : -
1
xtg. a' - ltg e'tgcttga' Xtg artg u, * tg a, tg artg a*tg c, -
-.
9' , tg at: t-r obfinem relalia li
(6).
2. Cercul oscular elipsei *: acose, y:bslngrl,T punctul ee coresPunde?a/4mettului q, rctaie elipsa in pwnctwl ae coresfurrd f aratnelrului - 39. ln adev6r, peutru cetcul osculator, gL: t.,: gr; rlin formula (6) rezultd a-Y4 - -uvr' 3. Dacd patvu Puncte A1, Az, As, A1 ale unei elipse stnl conoiclioe, eetcurile osculatoare tn aceste functa rctaie eliPsa ln Pahu Puncle, Br, Br, Br, Bn de ase-
menea conciolice. ln adevit, dacE
gr, ga, ga, 9r sirrt paranetrii ce cotespund punctelot A;, aYerr. relafia (6); puflctele Bd au parametrii 9j - -3En' ti patametrii ej satistac cle asemenea telafiei (6).
adicd d,i.slanla d,intre d,oud tangenle paralele e co stant egal'd ou afra rl.are. Lungimea aceslei cutbe depinde numai de l,dfiimea ei, adicd este aaeeegi penlra toate ourbele parulele d.e aceea;i ldlime, formate ilupd proaedeu, ardlat (M y lle r, examen capacitate, 19I9).
Solulie, Normala ln punctul clTrer;.' M(fr,y) al unei cutbe are pznt^ -n'ty' 9i cosinusurile seminormalei, dirijate ln sensul curburii, slIrt
^ α = 7ラ 言 戸 =赫 ≒ 弓■β
′ ″
′ ノ
Coordonatele
\7)
pulctului N la distanla h
X:t-h-1:,
v' ! *'t t, ,tt 280
d.e
M, pe
1':y1'n:'
normald, sint
*'
I
x'z
a ,'z
In cazul semielipsei (fig. 175),fie x :lzcost,
y : b sin I (0a
e: g:0,
.
oblinem (10gノ )“ ,
(21)
∫
Proprittirli ligide. a) Patem s5 atag5m un reper mobil, punctului ca axe vectorii Mu, Mo, IZ. Triedrul (M"M"W) nu este in general tridreptunghic, nici vectorii Mu,M, nu sint unitari, d.ar numeroase formule sint mai simple, raportate la acest triedru. Ne propunem si studiem varialia axelor reperului mobil. Deoarece reperul dep.inde de doi parametri u, u, trebtrie si calculSm d.erivatel , vectorilor axelor, in raport ctt u gi crt u. incepem cu versorul W a7 ncrmalei; W, depinde de vectorii independenli Mo, Mo, I/; avem cleci X06.
M al srprafelei s, alegind
wu:
aLi-*
a
bll'[,
I
cw,
b, c fiind deocamd,atd", scalari nedeterminali ; dar din^ W2 : 1, rezulti W .W*:Q; inmullind relalia cu W, avem c:0. In relalia rlmasd inmullim scalar ctr Mu, M, gi tinem seama de (F. 282); aven
a.,
- -1, af * bg: -rn. Oblinem Jorruulele Wein gart en (1861) t1e J M,l lt (1) 1eg - Jz)W": lf s ur,l, Qe - 1z)W,:ll ae
A
(2)
{
bf
It ln ol
l*
.f s n
doua formuli este dedusi din prima, prin permutirile
(u,
&) CalculSm acum
,),
(r, g'),
(1, n).
variafille A[ou, I,Iuu, Mu,, a1e muctrrilor
Scriem vectorul Muu srb formir
Mur: alll, ]' 327
bA'L.,
*
cW
;
″ ′ν υ “ .
deterlllinユ In coeficiell,ii
Ob,1■ em
r, M、 α, ら , θ ,inmul,illd SCalar,succesiv,cu T″ , νレ .
.″ %“ =ι
ι=″ αι 十 げ
=:ι
″,
イ
,
=ん
十 姥
一
:ι
de ul■ de
し ,
α =T,に
Ob,inem astfel,ル 7%%ι ι ι ιG a u ss(1828) ″″ %=11)ν ″十
lilν υ十
′″
,
=IL)ν %十 十7, y“ っ (l)yな
欅 )
,π
=協 ly%十 )χ υ 十"Ty, 比ヮ %bο 夕 ι Christoffel 1ム
unde{負
)試
nt Sグ
0
ttγ
田= ,に ￨= じ￨=続 ' IJ=続 f l I-
-fg,+23.fu-ggu
lzzl- 4,s-n
,
(2 i
lfgu
lrrl:-eE"-21f, 4,c-n
'
Primii doi coeficienli sint calculali ; rdmine sE se determi"" gi . Restul [' ) se d.ed.uc prin proced.eul (2), unde, printre perechile permutate, ad.5ug[m gi ind.icii (1, 2).Astfel, prin procederi (2),
(:,)'(:,),
i,:,)
* i;l
,
(,1t
*
(i,J
c) Din (F. 282) rezultil l,
- ffiu: *rt*
. Mu")
- L*f*
.Mu,)
fininil seama de (4), oblinem forrrtwlele
t._ ffin: (5)
[,;),
:
wo .Mnu - wn . M*l
dazzi (,li] * _
Co
* [{;)_
ll,l",
n,- %.: - ;), *L(;) - lkl)* * (7)", i
(P
ete rs o r,
IB53), adouaformulSrezultind.dinprima, prinprocedeul (2).
d) Forneulele (F. 297) 9i C o d. a z z i, nu putem s11u5m; arbitrar cele doui forme fundamentale, pentru ca e1e sd determine o suprafali. Este necesar s5. fie satisficute teoremelerG a u s s- gi C oaratd, cd
dazzi(Bonnet,
1867).
107. Supratc(e riglate. a) Dreptele mobile din spafiu, care depind, de un parametru, genereazl o suprafa]i riglat5. Fie g, g' do OO'
perpendicuiara gi -L1 uir punc
撃l井 鷲砕内
--d---r-7
e d,
Fig'
dis-
190
1着 潔 :高 勝 、 書鑽rl,鵠 ′
iく′ ′
７
este perpendiculartt pe planul Ⅳθ』 イ deterl■ inat de direc,iile g,g′ deci ′ ギ 』」AI』 グ este drept:
Din triunghiul isoscel I\|O'IVI', mic, rezulth
一α
tgq : tinind
seama
cd a este un unghi foartr:
t-, r-ua,
sau
tgq
: #.
Cind generatoarele g ;i g' se confundl, p1anu1 O'OM, determinat de g tangenl a in O la linia descrisi de O, devine planul tangent inO la suprafafa rigJat2i ; p.ianul OfuIlll' devine planul tangent in. M gi notind.
;i
der
f:fim!, obfiuem reialia
Chasies
(1839)
(1)
tse:u, P
care exprimd c6, llanele tangente tr. l>wnctel,e ruobil,e de-a lungul, generatoarei g a une'i snprafele rigl,ate se yotesc wniform i,n, jwrul, generatoarei. Coeficientul y' este />ttramelrul d,e distribotlie, p:urrct:nl O, pwnctul, central iar linia descris[ de^puuctul O, linie de stricliune. In relalia (1), tangentele unghiurilor planelor fiind proporlionale cu abscisele punctelor de contact, rezaltd cd, raPortul anarrnonic a patru llane tangente este egal cu, raportul anaynconic al, potnctel,or d,e contact. Proprietatea este valabilS in particular, pentru cuadrice. b) Relud.m o congruenli de drepte sub forma P)
Z=φ χtt g,
y:YLx+n, 329
m, n, f, I depind de doi parametri a, p. Aceste drepte admit o infi$urAtoare, adici sint generatoarele unei suprafele desflgurabile, dac5. determin[m o rela]ie 0 : 9(") intre parametri, astfel ca sistemul precedent, completat cu :riode
χd夕
6)
si fie compatibil,
2多
― 十 d%==0,
xdp
+
dq
:0
ceea ce conduce la
聯
sau
:∫
￨=0,
πββ′%α 十 %β β′ (4) ′ ′ =0. 夕α十 夕ββ 2α tt gβ β Oblinem d.ou[ valori Pi,, P; gi prin integrare, dou5. familii de soiu]ii %α tt
●β2曇 β2(α ,C2)・ βl=β l(α ,Cl), Deci fiecare generatoare aparline la dou5. suprafele desfigurabiie. Pe fiecare generatoare g existi doui puncte Fr, Fz ciror - focarele - aie abscise sint date de ecualiile echivalente (3), pentru g, detervalorile 9r, miuate. F, gi F, sint punctele d.e contact a1e generatoarei g cu muchile de inapoiere cy c2 o.7e d.esffuurabilelor corespwzdtoare (fig. 191). Elirninind pe p' intre ecualiile (3), adic[ ′ χ(%∝ 十 %β β′ )十 劣α十 %β β =0, ′ χ(夕 α+夕 ββ′ )十 gα +gβ β =0.
Oblinem direct (s)
abscisele focarelor
1務
‡ 衡 務‡ 卯=0.
Punctele Fr, F, depind de doi pararietr-i e, p c1.eci e1e genereazb, do,al, pinze or, o, a1e suprafelei fo-
cale. Orice dreapti a congruenlei este tangentd pitzelor 6L, 62. Dac5. dreapta g se deplaseazi r5minind tangentl muchei cr, ya r[mtne tangenti ;i pinzei o, iar punctul F, d.e contact d.escrie o curbi .ir, diferiti de cr, situati pe 62. Desf[gurabila generat[ de g este tangentd, in Fr la or, deoarece planele tangente in F, au comure generatoarea g gi tangenta 1a yr. Dar p1anu1 tangent al desfigurabilei este acelagi de-a lungul generatoarei g gi anume p1anul osculator in F, la cr. De asemenea planul tangent in FrTa o, este planul osculator in-F, 1a muchea cr. Aceste plane slnt planele focale. Ca s[ ob]inem ecualia 1or, fie Fig 191
(6)
y-
mtc
330
-n *\(z -px - q):O
ecuaria unui plan focal, d.us prin
g; cind g se deplaseaz[,
generind,
o
des-
flgurabill, parametrii d, 9, \ depind. de un singur parametru, deci caracteristica planului (6) este chiar dreapta g. Oblinem caracteristica, asociind pe (6) cu -xdm - dn * dl(z - px - q) - ^(xdp * dq) : 0; acest plan trece prin g, dacd dm,
!
)'.dP
:0,
dn
{
}'dq
:
Q;
eliminim pe p' gi oblinem tt"o
(7)
*
券 :‡ l;:￨=0;
ms*￨%::
ridhcinile
71, ),2 ale acestei eCua,ii,intrOduse llL(6), dau eCua,iile planelor
focale.
108. Reprezentarea suprafe{clor.
a) Fie
M : M(w, a),
lVi'
: M'(u',a')
ecualiile a doui suprafele s, respectiv s'. Putem s[ reprezent[m suprafala unui punct arbitrar M a7 saprafelei s s5-i corespund6 in mod unic, un punct M' de pe s' gi reciproc; aceasta necesitl ca paranietrii 't!,', u' sd fie funclii bine determinate de u, a s pe suprafafa s', astfel ca
(1)
at'
:
w'(w,
a),
7.t'
:
tt'(ot,
o!4 a), ' D(u, u) + O.
Putem si reperEm atunci gi suprafala s', tot cu ajutorul parametrilot 'u,, u. Avem in (1) doud funclii arbitra-re, L!,', t'pe care putem s[ 1e determinhm prin specializarea reprezentdrii. in d.eosebi, prezinti interes, doui feluri de reprezentlri: 1. Spnnern c[ doui suprafe]e sirrt aplicabil,e, dacd elementele 1or de arc sint egale in puncte corespunzitoare gi in d.irecfii corespunzbtoare. 2. Spunem ci doui suprafele sint conforme, dacb unghiurile sub care se taie dou6 perechi de curbe corespunzitoare sint egale.
b) Fie
(2)
M:M(u,,u), M':M'(w,u)
doui suprafele care au elemente de arc corespunzitoare egale, oricare ar {i direc}ia de d.eplasare du, da :
: eduz | 2Jdttdu * gdu' : e'dltz t 2J'duda + g'da': ds'2. Puteru si ne punem problema in doui moduri: l) Daci supralala s este datd, si d.eterminim suprafala s'. Relaliile ′ ′ ι =ι , g′ =g (3) ノ =工 ds2
t atunci trei ecua,五 Cu derivate par,iale din care deterlninこ m trei fullc,ii ′ χ ,3'′ ,Z′ de%,υ sll■
.
331
2. Suprafelele s gi s'slnt d.ate;i trebuie s[ determinim
in
acest caz e'
:
MLz
:
I
(ML, uir
reprezentarea (1).
M'", a'")z
etc. 9i relaliile (3) sint trei ecualii pentru dou[ funcfii 't't', u'. Deci in genera7, doud. suprafe,te arbitrare nw sint aplicabil'e (E ul er, 7777) Daci d.oud suprafele sint aplicabile-, atunci ele au aceeagi priml formi fundamentali, deci au comune toate propriet[]ile care se exprim[ uumai in .coeficienJii e, f, g ai acestei forme. in particular, dowd, swprafe,te"afl,icabile au aceeayi cwrburd. total,d.. c) Am numit suprafele desf6gurab,le, suprafelele generate de tangentele unei curbe strimbe. Daci
M:
M(s)
este ecualia curbei c, ecualia suprafelei d.esfigurabile geuerate este
(4)
P:M*uT, ,:#, P,
parametrii ce determinl, pozilia punctului curent, arcul s a1 curbei ;i distanla MP : u.
a1 suprafelei, sint:
Arrem
d,P
:
f , I,1, { dP: T(du I dr) + lNds;
dM + ud.T ! Tdw :Tds
Tdu,
t,
P
deci, elementul de arc al desfigurabilei,
(5)
d.Pz
:
(dz f.ds),
*
"-]as'. ?'
Observbm c[ elerrentul de arc a1 suprafelei desfigurabiie intr-uu puirct P(w,a), d.epind.e de raza de curburl p a muchei de inapoiere c. DacL vcm substitui curba c prin a1ta, care si admiti aceeagi razd de c'.rrbtirli,
(6)
P
:
P(s)
in pructul curent M,
corespurzdtot rabile generate de tangentele 1or vor de (5). Aceste suprafele vor fi aplic expresia (5) nu depinde de torsiunea curbd, printr-o curb[ p1an5, cu ecu rabi16 asociat[ este atunci insugi pl rabild. este apl,icabil,d. pe uro plan. Rezultd ci pe o suprafat6 desfS;urabili, curbura totaTl. este
σ )
adic五
nuil:
γι_s2=o ∂レ
∂″∂ ノ
∂2z ∂2′
∂″2
0ノ 2
este'ecualia cu derivate parliale a ullei suprafe,e desf嵐 1775).
332
,urabile(N10nge,
d)
Dacd. unghiurile a doutt perechi de curbe corespullztttoare sillt egale,
expresla
υ ι d%δ %+ノ (d%δ υ+dυ δ %)+gdυ δ 2+2∫ 2 2 d%2+2/d%dυ %δ ′ θ δ δ υ+g δ υ +gdυ γ γ
cos0:
`ι
′ ′
g prin ι,ノ ′g′ ,oricare ar fi direc,ile nu se schimbtt cind inlocuil■ l pe ι ′ェ ′ de deplasare cOrespunztttoare グ, ″. Cum expresia cos O este omogellユ ι ,工 g,proprietatea cttutattt are loc,dac嵐
0
in
=チ =:・ 千
Avem douユ ecua,ii care determintt func,iile%′ ,υ ′din(1). Deci φ%ι ι %S″ ″ zι %ι ″ %θ θ タ %″ s″夕 γ ノ ι ,%%α φια α ,,i ィンι グ9γ %′ ″θ 咆へι″α Jι
aceasta ttntr― o infillitate de moduri, dill cauza func,五 lor arbitrare care
intewin p五 ■ integrarea sistemului(8). Dac沈 ■otこ m
cu
λ2(%,υ ),Valoarea rapoartelo■
(9)
(8),avem
=λ (%,υ )dS・
dS′
Deciル g%γ ″ ι %グ %γ %ι ψ%%θ ″ ZO/2И ,ν ′s∂ %′ α ιリ ι Zづ %α ι ι′ ι sθ %ι %ι α グ %づ ι .
Aplicabilitatea suprafe,elor este deci un caz particular al reprezentttrii
cOnfOrme.Reprezelltarea collformこ a fost collsideratこ
priIIla oartt de E u l e r,
ll1 1777.
Luind Ca supraf[導
益
Originarユ s ull plan, rezulttt din(9)c嵐
夕 %ι θ%S″
グ α ″ %θ ι %″ θ ι α ι α %%α タ グ %α ル/%″ ノ %%α α %ι π ι α ι ″ι αルγ α %θ %づ θ ″(Gauss, %α ´ 1827)
ds2
(10)
:
),(w, u)(du.'
*
du').
si reprezent5.m conform, sfera ,:cosgcos 0, -/ :cosgsin0, e:sing
a) Ne propunem
pe un plan. Elementul de arc al sferei este dat de (F,273)
ds2: dp'* cos29d02..:sin,e'(39' +d0r) ,
e':90o - 9i
luind
dx,
: lp :, dY:66. S1u 9'
deci
(ll)
X:1ogtg!z,Y:0,
obtinem dsz
:
).z(d.X'
+ dY'),
).
:
sin g'
deci o reprezentare conforml a sferei pe plan. Numim aceast6 reptezentare,
proieclia
Mercator
a sferei pe plan. Oblinem o kartd, in care meridia333
nele 0 : coflst devin paralele 7a axa x, iar paralelii, g axa y. Dreptele planului
la
:
const, paralele
y:rnX*n
devin pe sferi, loxodrome (F. 274)
tg !,
-
peto, rt, I constante.
Deoarece unghiurile se pistreazd, regS.sim insugirea cE loxodroma taie meridianele sub un unghi constant. Prin formulele (9) putem si reprezentim pe hart6, o regiune a globului, prin p[strarea unghiurilor, insi deformarea lungimilor 1or. Odqtn oblinuti o reprezentare (11), putem s[ trecem la o a7td. reprezertare, fn plan, o reprezentare corJormi este dati in complex, de
z:I@) unde
/
in
este o funcfie analitic[ de
l@): d avem' reprezentarea X' + iY' : sx*x: ,x (cos Y + i sin Y)
particular, pentru
ei din (11),
(12)
z.
X':
ex
cosY: tgd"o, 0, Y' :
ex sinY
:tgdsin
0.
Oblinem astfel, proieclia stereograJicd a sferei, a 1ui P t o 1 e m e u (fig. 192). In adevir, fie M(0, g') un punct a1 sferei. Pentru punctul M',in care dreapta ce une;te pe M cu polul sud S, taie planul ecuatorului, avem
4osM:{i''ol,t, -,eu, deci
X' :
OM'cos
0,
Y' : OM'sin
0,
adich (12) sint coordonatele punctului M'. Proieclia stereograficI pistrea-
zd Si ea unghiurile, (E u 1 e r, 1777). Dealtfel, proieclia stereografici este o transformare prin inversiune, deoarece SM . SM' : SO . SA-: const.
Fig.
In aceast6 proieclie meridianele 0 : corst, gi paralelii g : : corSt, devin drepte duse prin origine ;i cercuri concentrice. Deoarece loxodroma taie meridianele sub un unghi constant 9i unghiurile se p[streaz6 in
192
334
aceastA proieclie, rczu7te ci finia proiectatl taie cercurile concentrice sub un unghi constant. Dec{ proieclia stereograficd. a l,oxod'rornei este o spiral.d. l,ogaritrn;icd.. (II a 11
e
y,
1696) 109.Aplica,uo αり 1.COnsideraln suprafata(Clairaut,1731) ″γZ=″・
(1) Planul tangent m punctul(″
are ecuatia
十 (y=Ъ %十
(X― a:こ (X―
,ノ ,Zl
Z+(y_夕
初
deci
X
一 ″
(2)
)′
1Z」
″ +lZ―
弓 )%=0,
Z)″ 夕
=0,
y Z +一 +一 =3. ′
ノ
Planul tate axele Oぁ 0ノ ,OZ in pulctde∠ (3″ ,0,0),B(0,Oγ ,0),C(0,0,3う . ″ ′αJ′ ″%%g″ %″づИBC.7ο ″ %%%″ ι ′ ″α′ ′ ′ s′ ′ο π″%Z′ ′g/′ %ι αι " %づ OИ Bc′ s′ ′ ο ″ ο %s′ α %′
Ded夕 2π α%Z″
.
RecIProc,pentru ca um plan
%X+υ y sう
tt ωZ+′
=0
fie tangent suprafetei(1),trebie ca %″
,i dininha pe″ ,ノ ,z,抑
=η
=%=―
″
τ
d seama de(1),Ob仲 Lem ecuttia tangentialぅ
a supr"
fetei(1) (3)
,
r
., .,.,
o
2Taawuu
+
,e
:
0
Deci suprafala (1) este ila grad,ul, tred gd de olasa a treia. Suprafala este asimptotd planelot tle coordonate gi asimetricd in tapott cu bisectoarea unghiului triedru Oryz (fig. 193). 2. Pentru suprafala ″%夕 %´
(4)
=1
aven■ proprietる ,i asel■ lこ nこ toare. ゛∞︱︱゛︼
Planul tangent are ecuatia
(51
%こ +%二 十クニ=
:(m+n-l?), 9i
.7}f este
punctul cle aplicatie al mase-
lor m,n,p aplicate it A, B, C. D) Numim swprafald Catalan
o
suprafalE riglatE
(6)
P(w,u) : M(u) | aA(u),
generatoarele c6reia slnt paralele u:rui plan, numit plan director.
335
Fig 193
Condilia necesard Sd sufiaientd ca o supraJafd. rdglatd, sd fie Calalan, este ca
(A At A") :
(7\
0.
ln adevir, fie N vetsorul perpendicular pe plan, deci N . A :0. Rezult6 N.A':O, N.A":0 cleci (7). Reciproc, dacl A":0, A':corrct. Atuaci A . A' - 0, A . N: 0 cleci I este uu vector constant fiincl un versor 9i avlncl, c, coustanta ce corespuncle unei (6)
o:r[
anume geo