GEOMETRÍA [cuarta reinpresión ed.]

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Geometría Trigonometría Luis Royes Peroz William Royes Pérez Javier Rcvatta Romoro

Aldo* Casto Romero

Lumbreras Editores

■■■■■■

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Geometría T rigonometría

Indice GEOMETRÍA Pág. Presentación...................................................................................................................................................

7

Capítulo I: Segmentos y ángulos...................................................................................................

11

Capítulo II: Triángulos................................ .....................................................................................

23

Capítulo III: Polígonos.....................................................................................................................

38

Capítulo IV: Cuadriláteros ...............................................................................................................

49

Capítulo V: Circunferencia..............................................................................................................

59

Capítulo VI: Cuadrilátero inscrito en la circunferencia...........................................................

69

Capítulo Vil: Puntos notables asociados a un triángulo .............................................................

79

Capítulo VIII: Proporcionalidad de segmentos............................................................................

90

Capítulo IX: Semejanza de triángulos...........................................................................................

101

Capítulo X: Relaciones métricas....................................................................................................

112

Capítulo XI: Área de regiones planas ...........................................................................................

125

Capítulo XII: Geometría del espacio..............................................................................................

140

Capítulo XIII: Poliedro y poliedros regulares.................................................................................

155

Capítulo XIV: Prisma y cilindro ................................... ;..................................................................

166

Capítulo XV: Pirámide y cono.........................................................................................................

178

Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin......................................................................

192

Capítulo XVII: Geometría analítica escalar ...................................................................................

204

Capítulo XVIII: Circunferencia y parábola.....................................................................................

218

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 228

TRIGONOMETRÍA Capítulo I: Sistemas de medición angular, longitud de un arco de circunferencia

y área de la región de un sector circular ......................................................................... 231 Capítulo II: Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................. 248 Capítulo III: Ángulos verticales.............................................................................................................

261

Capítulo IV: Razones trigonométricas de un ángulo agudo en posición normal.......................

270

Capítulo V: Circunferencia trigonométrica .......................................................................................... 281 Capítulo VI: Identidades trigonométricas............................................................................................ 295 Capítulo Vil: Identidades trigonométricas de arcos compuestos ................................................. 302 Capítulo VIII: Reducción al primer cuadrante....................................................................................

311

Capítulo IX: Identidades de arcos múltiples (arco doble y arco triple)..........................................

319

Capítulo X: Transformaciones trigonométricas.................................................................................. 332 Capítulo XI: Resolución de triángulos oblicuángulos.......................................................................

340

Capítulo XII: Funciones trigonométricas......................

350

Capítulo XIII: Funciones trigonométricas inversas............................................................................ 362 Capítulo XIV: Ecuaciones trigonométricas ........................................................................................

371

Bibliografía .............................................................................................................................................................. 380 Claves.......................................................................................................................................................................... 381

Presentación

La realidad de la educación en el Perú es hoy algo preocupante. Los distintos esfuerzos provenientes del Gobierno no se ven reflejados en avances significa­ tivos en este aspecto. Las políticas educativas nos muestran resultados negativos desde hace ya muchos años, y es poco lo que los estudios y las propuestas han logrado mejorar en las condiciones del sistema educativo; peor aún, permiten las desigualdades a nivel socioeconómico en las zonas rurales más alejadas del país; es decir, los estudiantes reciben una educación de baja calidad y en condiciones precarias. En este contexto, los esfuerzos por aportar al desarrollo de la cultura y la educación en el país serán siempre valorados. Es así que, conscientes de esta realidad, la Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Afined). a través de su sello Lumbreras Editores, tiene como uno de sus objetivos contribuir al desarrollo de la educación; ello se cristaliza a través del aporte de los profe­ sores del Instituto de Ciencias y Humanidades, quienes han sistematizado los materiales de manera didáctica gracias a su amplia experiencia docente que garantizan un contenido de calidad y. sobre todo, siempre accesible a los sectores populares, sumado a la presencia de nuestro sello editorial en distintos puntos del territorio nacional. En esta ocasión presentamos el libro Geometría y Trigonometría, perteneciente a la Colección Compendios Académicos, publicación dirigida al estudiante preuniver­ sitario, que constituye una herramienta útil para reforzar sus conocimientos gracias al trabajo teórico-práctico así como los problemas resueltos y propuestos mostrados por niveles, que permiten una mejor comprensión del tema. Este libro se constituye en material de consulta no solo para alumnos sino también para docentes, tanto de los últimos años del nivel escolar como preuniversitario.

Finalmente, nuestra institución reafirma su compromiso con la educación y la cultura del país, contribuyendo en la elaboración de libros de calidad, además de promover el trabajo de investigación, que nos permite acceder a una educación científica y humanista; todo ello siempre al servicio de los sectores más amplios de nuestra sociedad.

GEOMETRÍA Luis Reyes Perez / William Reyes Perez

Segmentos y ángulos ------------------------------------ -------------------------------------------------------- Capítulo I

Objetivos •

Conocer la definición y los elementos de los segmentos y ángulos.

•

Utilizar las características de los diferentes tipos de ángulos en el cálculo de las medi­ das angulares.

•

Aplicar las teorías de proporciones de magnitudes en el cálculo de las longitudes de los segmentos, así como también en el cálculo de las medidas angulares.

• Geometría

Es una rama de la matemática cuyo objetivo es el estudio de las figuras geométricas. La geometría ha sido utilizada empíricamente en todas las culturas antiguas, pero fueron los griegos los que la siste­ matizaron. Actualmente se sabe que en nuestro país, en la ciudad sagrada de Caral, se tenían ciertos conocimientos de la geometría.

Etimología La palabra geometría, que tiene origen en dos vocablos griegos (geo, que significa ‘tierra’, y melron, que significa ‘medida’), se entiende como "medida de la tierra”. Figura geométrica Es un conjunto de puntos que adoptan una característica (forma determinada).

Partes de la geometría La geometría para un mejor estudio se divide en tres partes: las dos primeras están relacionadas con la geometría clásica y la tercera tiene su origen en la matemática moderna.

I unibmiíju I dltomr.

GooniotHn plano (planimetría) I •'•ludia las ligara'. geométrica *. tiyo.'» punió?. que l,r. roiiiormaii pcHciieren ,¡ un rni'.iiio plano. *. Alguno *. ejemplo de figura *. planas son: í'/rp;*'-

ELEMEfrrOS FUNDAN EfíTALES DE \_A. GEOMETRÍA Para poder construir y estudiar las figuras georrZ-

Geometría del espacio (estereométria) Estudia Iíií. figuras geométricas cuyos punios que

las conforman pertenecen a planos distintos.

Algunos ejemplos de figuras espaciales son:

tricas debernos conocer las características /pro­ piedades de los elementos que las constituyen. Estos elementos no tienen definición. soiarner.le tenernos una idea. Dichos elementos son e. punto, la reda y el plano. Recta

Punto .4

Notación:. A Se lee “punto 4”.

Notación: # Se lee “recta

Goomotría analítica .Se le llama así porque relaciona el álgebra con la

geometría de lal manera que las figuras geomé­

tricas se représenlan a través de ecuaciones li­ neales o cuadráticas.

Notación: OH

Algunas represenlacioncs analíticas de figuras

Se lee “plano Hn.

notables son: Rayo

Es aquella parte de uria recta determinada al ubicar un punto en ella y que es el origen. origen l(rpr

AAflC = APQ/?

Nota Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa de igual longitud, y un cateto de uno de los triángulos con un cateto del otro triángulo tienen igual longitud.

Si 7’es mediatriz deAB,

se cumple SA=SB

Teorema de la base media En lodo triángulo, la base media respecto a un lado es paralela a dicho lado, y su longitud es igual a la mitad de la longitud de dicho lado. &ABC = &PQR

Sib=m a a-( —>

—

'

—------- , -

■

■

X________________

Base media. Es el segmento de recta cuyos ex­ tremos son los puntos medios de dos lados de un triángulo.

Si MN es base media respecto a AC,

Aplicaciones de la congruencia de TRIÁNGULOS

se cumple MN//AC

Teorema de la bisectriz de un ángulo Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidis­ ta de los lados de este.

y

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa En todo triángulo rectángulo se cumple que la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipo­ tenusa.

Si OM es bisectriz del V2

Q I8J2

D) 3>/2

E) 1575

10. En el tetraedro regular P-ABC mostrado

es altura, ME es mediatriz de AP y ME -

Calcule PH.

8.

En el tetraedro regular mostrado, M y N son puntos medios de las aristas indicadas y el área de la región sombreada es VH. Calcule

el área de la superficie total del sólido.

B) 2 D) 2>/2

A) 9>/3 D) 25^

9.

B) 8^3

Q 1673

E) 12^3

En el tetraedro regular mostrado, MP=2(MÁ),

E) 472

11. En el hexaedro regular ABCD ’EFGH mostra­ do, MR es mediatriz de AFt MR=3 y BRS^Calcule el volumen del hexaedro.

las regiones sombreadas son paralelas y sus áreas se diferencian en 575. Calcule el volumen de dicho tetraedro.

A) 27 D) 3j3

12 En un hexaedro regular ABCD-PQRS, O es el centro de la cara ABCD. Además se ubi­ ca el punto M en OS, tal que A/S=2(/V/O) y = >/6. Calcule PC.

A) 1273

B) 1075

c) 2073 E) 2473

D) 1276

15. Se tiene el octaedro regular P-ABCD-Q,

A) 272

B) 375

D) 673

C) 472

de centro O. En PO y en CD se ubican sus

E) 672

puntos medios M y /?, respectivamente. Si MR = 75, calcule su volumen.

13. En el hexaedro regular ABCDEFGH mostra­

A) 675

B) 12

C) 975

do, calcule x. D)

E) — 3

2

16. En un octaedro regular se ubican los puntos medios M, N y S de las aristas BR, AD y BC, respectivamente. Calcule n\/2

B) 76-272

C) x/5

D) >/7

E) 18

D) 36

22. En un tetraedro regular VABC se traza la me­

20. Del gráfico, los vértices del octaedro son los

diana AL de la cara AVB, luego se ubica el

centros de las caras del hexaedro regular. Si O es el centro del octaedro y AP = 2x/2,

punto medio S de AL. Si el área de la super­ ficie total es 36á/3, calcule la distancia de S

calcule el volumen del hexaedro.

a la cara ABC.

23. En un tetraedro regular DABC, se ubican I

puntos L y K en AC y DB, respectiva^’ tal que AL =LC, BK=5(pK), además se uN * A) 216

B) 125

D) 48^6

C) 64

el punto medio 5 de LO (O es el cent * 0 cara ABC). Si KS = 1075, calcule el vd

E) 6473 del tetraedro.

«o..r«F.DC0ry,aar,sladc,oc|a(¡¿

regular mide 2. Calcule OP.

A) 1512^2 D) 121572 ’

B) 1125V2

r-'l 1152'^ ü E) *

24.

En el gráfico se muestra un tetraedro regular, ^~KD=2 y la línea KSC es la del menor recorrido. Calcule la longitud de dicha línea.

7. En un hexaedro regular ABCD-ffCH, se ubi­

ca el punto medio K de HG. Si el área de la superficie total es 120 cm2, calcule la distancía de G a la región triangular FCK.

A) 'T’crn B) ^cm

C) ^cm E) 2^2 cm

D) V7cm

28. Del gráfico se muestran dos cubos, tal que EH=3(PH)=G cm. Calcule la distancia entre

A) 3x/6

B) 3>/5

C) 6

E) 2>/6

D) 2^7

25. En un tetraedro regular ABCD, donde una arista mide 16 cm, se ubica el punto medio

K de AD; luego se trazan KS1DC, SLS.DB (SeDC y Le DB). Calcule el área de la re­

gión triangular KDL.

A) 4>/2 B) 4^3

A) 4x/3cm2

B) 4>/2 cm2

D) 4>/5 cm2

C) 6>/2 cm2

C) 2>/3 cm

E) 6x/3 cm2

D) 2>/6 cm

E) 9cm 26. En un hexaedro regular ABCD-EFGH se ubi­

ca el punto medio L de BC y ÁC n LD={K}.

Calcule la medida del ángulo entre EK y el Plano EFGH.

A) arelan^)

29. En un hexaedro regular ABCD-EFGH se ubican los puntos S y K en AB, y en la cara ABCD (AS=SB y K es el centro áe^ABCD). Calcule la medida del ángulo entre ES y GK.

B) are sen [ y-) A) árceos

0 arelan^ j

C) 53°

D) 750

E) are sen

D) 60°

(1)

i:- Prisma y cilindro Objetivos • Identificar las características fundamentales del prisma y del cilindro. •

Reconocer los elementos básicos para calcular la superficie lateral, la superficie totalI. el volumen del prisma y del cilindró.

•
/2ñ

13. Se tienen dos cilindros circulares rectos, en que el radio de uno es igual a la generatriz del otro y la altura del primero es el radio del otro. Si el volumen del primero es el doble . del volumen del segundo y los sólidos son equivalentes, calcule la razón entre el radio y la generatriz del primero. A) 1 D) 3

B) 1/2

16. Se muestra un cilindro circular recto, en el

que m/V¿ = 120°, mKS = 60° y la generatriz mide 2(1 + \/3). Calcule el área de la región cuadrilátera NLKS.

L

C) 2

E) 3/2

14. Se muestra un cilindro equilátero, en el que AC=4. Calcule la longitud del mínimo reco­ rrido de KSA.

S

A) 2x/2(l + V3)

B) C) D) E)

4(1 + 75) 272(1 + 275) 275(2 + 75) 4(3 + 75)

Se muestra un cilindro de revolución y un cilindro oblicuo. Calcule la razón de volómenes de los dos cilindros.

■»? D) |

19. En el prisma cuadrangular recto

ABCD-PQRM, T es punto de tangencia. Si

AL=6, calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma.

c)? E) 6

NIVEL INTERMEDIO

__ __ 18. Del gráfico, MC es mediatriz de O/? y O es el centro de la región cuadrada PABQ. Calcule el área de la superficie total del prisma recto

A) 36

B) 29

C) 50

E) 40

D) 60

20. Las regiones cuadradas ABCD y MNST son perpendiculares y de área igual a 36. Calcule el volumen del prisma recto BHLC-APRD si PT=TR.

A) 4l2+2j2+3)

D

B) 8(uJ2 + J5) Q 4^6 + 72+8)

D) 8(2+j2 + >/6)

A) 72

E) 64

D) 216

B) 36

C) 125

E) 108

Lumbreras Editores

21. En el prisma recto DEF-ABC mostrado M, N, TyP son puntos medios de DF, AC, BN y EB, respectivamente. Si MP=MT=5, calcule el volumen del prisma.

A) 8

B) 12

C) 10 E) 24

D) 473

24. Sea el paralelepípedo rectangular ABCD-EFGH cuyo volumen es 320 y TR=RD. Calcule el volumen del poliedro MTRSB - QLHGF mostrado.

22. En el paralelepípedo ABCD-PQRS mostra­ do, AH = \Í39, HS = yf57. Calcule su volu­ men (H pertenece a la base).

A) 240

B) 280

O) 160

. A) 21675 D) 220,5713

B) 14475

C) 120,5713 E) 34373

g) 2(M

paralelepípedo rectangular ^'MNLRt la distancia entre AC yMtS doble de la distancia entre ABy^Ji

rnedida angular determinada por BD}'

es 45° y Se muestra el paralelepípedo TBRM-PADC. Si el volumen del tetraedro regular B-ACD es 4, calcule el volumen del paralelepípedo.

C) W

A) 125

D) 676

= 276. Calcule su volumen-

B) 64

C) 16

« 6v5

En un prisma regular ABC-PQRt AP^J} En el desarrollo de su superficie lateral mos(«da «?=6>/Í9. Calcule el área de dicha

superficie.

A) 7n D) 12n

B) 8n

30. En el cilindro equilátero mostrado, PM=MQ,

A

BAf2-OAf2=18 y mAQ = 60°. Calcule el área de la superficie total.

125>/3

C) 6n E) lOn

B) 100V3

12173

•

C) 8173

E) 216>/3

27. En un prisma regular ABCD-EFGH, la distan­

cia de F hacia BH es 2,4 y AG=5. Calcule el volumen del prisma.

A) 18 D) 24

B) 27

C) 32 E) 28

28. En un prisma regular ABCD-EFGH, la distan­ cia de E hacia los puntos medios de AG y CG son 2\/10 y 2V13, respectivamente. Calcule su volumen.

A) 144 D) 216

B) 96

C) 125 E) 104

29. En el cilindro circular mostrado, DC 3 y BC-FC=7. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro.

Q

A) 54n D) 48n

B) 36n

C) 16n E) 25n

31. Sean PQ=5 y RT=5. Calcule la razón de

volúmenes de los cilindros de revolución mostrados.

h- Pirámide y cono

Objetivos • Estudiar la construcción y forma de las pirámides y los conos. •

Reconocer los elementos y la relación entre ellos, así como también su clasificación según las características de estos elementos.

•

Identificar la similitud entre estos dos sólidos geométricos, tanto para calcular su volumen como para calcular el área de la superficie que los limita.

® Ángulo poliedro Es aquella figura geométrica formada por tres o más regiones angulares (si tomamos dos regiones adyacentes no deben ser coplanares), que tienen el vértice en común y comparte un lado de dos en dos.

Los nombres de los ángulos poliedros se debe a las cantidades de regiones angulares, las cuales se denominan caras del ángulo poliedro. Gráficamente

Notación: Ángulo triedro O-ABC Notación: Ángulo tetraedro O-ABCD

a> P y 0: medidas de las caras

a. P, 6 y y: medidas de las caras

Pirámide cuadranglar

Elementos

Pirámide pentagonal

de una pirámide

base

Nota ---------------------------------- Una de las características de las pirá­ mides es que no tienen diagonales.

0 Pirámide Es aquel poliedro que se determina cuando un ángulo poliedro es intersecado por un plano se­ cante a sus aristas.

Área de la superficie lateral (2ASL) _ suma de las áreas de ]as caras laterales Área de la superficie total (AST) 2AsT--^SL+^basc

ZAbase: área de la base

Volumen (V) (^base)

una pirámide se le nombra de acuerdo a la Recién plana determinada, a la cual se le llama

ase de la pirámide.

3

h\ longitud de la altura

ap: longitud del apotema de la (M/V=ap)

Pirámide regular Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero, cua­ drado, pentágono regular, etc.), además, todas

ON: longitud del apotema del guiar ABCDEF.

sus aristas laterales son de igual longitud.

O: centro de la base de la pirámide.

Ejemplos

MO: altura de la pirámide, 0 es el p¡e dicha altura.

Pirámide triangular regular •

a: medida del diedro formado por una cara lateral con la base.

•

0: medida del ángulo formado por una aris­ ta lateral con la base.

LMO/V: aplicando el teorema de Pitágoras (ap)2=(PN)2+h2 ____________________ I

Pirámide cuadrangular regular h:

longitud de la altura de la pirámide

Nota ---------------------------------------- . Apotema de la pirámide regular (ap) Es la perpendicular trazada desde el vérti­ ce de la pirámide hacía una arista básica. V... ________ :_______________

Área de la superficie lateral (2ASL) En la siguiente figura se muestra una pirámide

hexagonal regular M-ABCDEF.

Por medio de ella reconoceremos los elementos de las pirámides regulares.

p: semiperímetro de la base . Tetraedro regular Es aquella pirámide regular cuyas cuatro cara^

son regiones triangulares equiláteras.

Notación: Tetraedro regular P-ABC

® Cono El estudio sistemático de las pirámides, el cono­ cimiento de la circunferencia y algunas otras lí­

Area de la superficie total (AST)

2AST = aV3

neas curvas han conllevado a obtener y estudiar otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una región poligonal.

Volumen (V) a3V2-

12

a: longitud de la arista base

Pirámide irregular Es aquella pirámide que no tiene todas las ca­ racterísticas de una pirámide regular.

Cono

de revolución o cono circular recto

Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular ai girar 360° en torno a uno de sus catetos.

En el gráfico se muestran las siguientes pirár

des irregulares:

Elementos • O: centro de la base del cono

*

Pirámide pentagonal M-ABCDE

*

Pirámide cuadrangular M-ABCF

•

r: radio de la base

*

Pirámide pentagonal M-AFCDE

•

OV: eje

Sección axial Es la región triangular que tiene como lados a dos generatrices diametralmente opuestas.

La superficie lateral es equivalente con su pectivo desarrollo, el cual es un sector cir 7

cuyo centro es el vértice del cono y tiene 1 radio a la generatriz. ^SL “ ^sector

.

Qrcg2 360°

Ángulo de desarrollo de la superficie lateral

&.AVB: sección axial del cono de revolución

Área de la superficie lateral (ASL) Cono equilátero

ASL=nrg

Es aquel cono de revolución cuyas generatrices

tienen longitudes ¡guales a las del diámetro de

g: longitud de la generatriz

la base (g=2r).

Área de la superficie total (2AST) ■ "1 1 ■ ■ AST=ASL+Abase

^ase: área de la base

Volumen (V) g: longitud de la generatriz s

h: longitud de la altura de la pirámide

Desarrollo de la superficie de un cono de

revolución

En la figura se muestra un cono equilátero >

respectivo desarrollo de la superficie.

•plONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN

Eslaporciónde un cono de revolución determnada^d05 P,anos Píelos y perpendicufa-

Área de la superficie total 2AST=ASI +Abasc I + Abasc 2

Volumen

Todo tronco de cono de revolución tiene dn Da■ ses circulares. deldepende área de ladel superficie lateral ' io,al , . yElelcálculo volumen tipo de inf que se tenga. P° de'"formación

V = ijtfi2H+|nr2t

3

3

Por semejanza de triángulos (~A)

r R

n n+g

t H .

.

— =------- = — y h = H-n

Área de la superficie lateral

En resumen:

Área de la superficie lateral (ASL)

ASL=n/?(5+n)-nrn ASL=n/?g+n(/?-r)/7

Por semejanza de triángulos (~A)

n r n+8~ R n(N-r)=gr En (I)

&st=nRg+nrg

(I)

ASL=n(/?+r)g

Área de la superficie total (AST) 2Asl+71/'?+7t/?2

Volumen (V) V = -n(r2 + /?2 + /?r) 3

Problemas Resueltos Pero del dato, ZA.sl =96n Problema N.° 1

Calcule el volumen de un cono circular recto cuya área lateral es 96n cm2, sabiendo que el án­ gulo que forma la generatriz con su base es 60°. UNMSM 2003

—>

2nr2=96n

r = 4j3

(¡i)

Reemplazamos (II) en (I)

Resolución

■

Vcono=192ncm3

Problema N.° 2

Si se duplica, simultáneamente, la medida del radio de la base y la altura de un cono de revolución de volumen V, entonces el nuew volumen es UNMSM 2007-1

Resolución

Nos piden Vcono,

Donde: Vcono es el volumen del cono

Datos: mtr2/l

Nos piden Donde:

Del dato Vcono=^r2(r^) = í^r3

(I)

es el es el volumen del cono 2.

Dato: V es el volumen del cono 1. El cono 2 tiene el doble de radio y altura resp^10

al cono 1.

De la fórmula del área de la superficie latera| '

ASL=nrg ASL=^r(2r) AsL=2nr2

En el cono 2

Vx=\(2r)22h

0)

3

En el cono 1

^ = 1^

00

(1) en 00

Nos piden r.

Dato: flO=OC ^cono=81n cm3

De la fórmula del volumen del cono

O’+r)

^cono ~

(I)

problema N.° 3 gráfico se tiene una esfera inscrita en el cono de revolución cuyo volumen es 81n cm3 y

En el LfiMC

0O=OC. Halle el radio r de la esfera.

a+a+p=90°

Por teorema, en la circunferencia a=P

3a=90° ->

ct=30°

En el LOAfC: notable de 30° y 60° UNMSM 2010 *1

AfC = OAf73 Resolución

-»

R=

->

í=2r

y OC=2(OAf)

00

Reemplazamos (II) en (I) y con el dato del

volumen 81 n =7 n (r>/3) (2r+r) 3

81 = -(3)(r)2(3r)

3 •

r=3 cm

Problemas Propuestos A) 6V6

NIVEL BÁSICO

1.

B) 2>/7

C) 7

En la pirámide mostrada, DI = 3>/2 y

E)

PV=V7=5. Calcule su volumen.

2

Del gráfico, la pirámide regular P-Abcd MFST es un cuadrado, FS=8 y LT=4. Calcu'

le el área de la superficie lateral de dicha pirámide. (O es centro de la base).

A) 6 D) 10

2.

E) 15

Del gráfico, en la pirámide A-DRI mostrada,

AN es la altura, Nl=4, ND=NA=3, NR=5 y N es baricentro de la base. Calcule el volumen de la pirámide.

A) !32>/5

25675

D) 21675

12875

Del gráfico, P-ABC es una pirámide regular.

Si la región triangular MBC es equivalente a la base, Atf=2 y MP=4, calcule el apotema de dicha pirámide.

A) 15

D) 20 3.

C) 18

E) 24

En una pirámide A-NCR, la arista A/?

pendicular a la base, m< A/V/?=37o,

m/2

B) 125

C) 140

Las aristas de una pirámide regular cuadrangular toman valores enteros y la suma

120

de las longitudes de todas sus aristas es

E)

16 cm. Si la altura de la pirámide es mayor

Se tiene una pirámide hexagonal regular p.ABCDEF, a la que se le traza la altura PH. frPHse ubica el punto /?, tal que la distan­ cia de R hacia el centro de la base y hacia el vértice de la base son 15 y 25, respectiva­ mente. Calcule el área de la base. A) 600J3

B) 600

D) 600^2

C) 200 E) 36 73

8. En una pirámide regular P-ABC se traza la altura PH, con diámetro HC, luego se cons­ truye una semicircunferencia que interseca a PC en el punto T. Si PT=5 y BC = &j3, calcule el volumen de dicha pirámide.

A) 3>/ÍÓ

B) 4>/Í0

que 2 cm, calcule el área de la base de di­ cha pirámide.

A) 4 cm2

B) 5 cm2

D) 3cm2

C) I cm2

E) 2cm2

12. Se tienen dos pirámides regulares cuadran­ glares donde la arista básica de una y la arista lateral de la otra miden 4 u; además, la arista lateral de la primera y la arista bási­ ca de la segunda miden 3 u. Calcule la razón de sus volúmenes.

«i® ». f 9^46

C) 27

32

D) 27VÍ5

E) 27x/5

9. En una pirámide regular P-ABC, el área de

la superficie lateral es §, la distancia del centro de la base hacia una cara lateral es d. Calcule el volumen de la pirámide.

0)

13. En el cono de revolución mostrado, el triánguio MR1 es equilátero. Si AR=7 y MIS, calcule su volumen. A) 12573n

C)

B) 27T3n

§d « T

C) 5673n

Las aristas de una pirámide triangular lar miden 6 y 4. Calcule el menor vo u de dicha pirámide.

D) 4073n

500^3 r

E)

3

/?/

\

/Va aT'

/i (----------v» K r M

yD

Lumbreras Editores

14. En el cono de revolución mostrado, AN=5 y 71=16. Calcule el área de la superficie

lateral.

A) A 27

A) l¿ov* -it 2

B) 54-/¡0n

C) 60>/Í0n

B) A 27

D) A

C) A 54 E) A 20

20

E)

D) 100>/5it

17. En un cono de revolución, la distancia del

15. El sector circular sombreado es el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revo­ lución. Si O/?=6y RA=3, calcule el volumen del cono correspondiente.

centro de la base a una generatriz es la mi­

tad de la distancia a un punto de la circun­ ferencia que limita su base. Calcule la razón

entre las áreas de las sección axial y la su­ perficie total.

A) 43

B) 2-43 E) 3-J3

D) 2

NIVEL INTERMEDIO

A)

B) !8>/2n

C) 9j2n

18. El área de la sección axial es numéricantfn te igual al volumen de un cono de revolé ción. Calcule el radio de su base.

D)

E) 10>/3n

16. Del gráfico, A/=2(/S). Calcule la razón de vo­

lúmenes entre el cono de revolución parcial determinado y el cilindro de revolución.

«l D) í 5

B) n

En el hexaedro regular ABCD-EFGH mos.

21. En un tetraedro regular P-ABC, M es punto

19. irado, las circunferencias mostradas están

medio de AP. Si Afl=2, calcule el volumen de un cono de base circular, cuya base está

inscritas. Calcule la razón de volúmenes de

inscrita en la región triangular MBC y su vértice es P.

los conos.

C)

8)

A)

3

2

2

D) |(2_J3)

E)

.>

ó

22. En una pirámide regular cuadrangular

V-ABCD, AB=S y AV=8. Calcule la distan­ cia del baricentro de la caraXVfí a la base.

A) 7 B) 6-4-72

C)

B)

3

C) 2--J2

2

E) T

20. Del gráfico, el volumen del cilindro de revo lución es 16n. Calcule la suma de volóme nes de los conos mostrados si CM=MD.

D) Éü 3

23. Del gráfico se muestra una pirámide regu­ lar V-ABCDEF, en la que CL=LD, FS=SE=2, O es centro de la base y VO=3. Calcule la distancia de V a LS.

Lumbreras Editores

24. Del gráfico se muestra una pirámide regu­ lar P-ABCDEF, en la que O es centro de la

base, EF=3 y la suma de las longitudes de las aristas laterales es 30. Calcule la longitud de la proyección ortogonal de PO sobre una

arista lateral.

27. En una pirámide V-ABCD, en la que W es perpendicular a la base, ABCD es un rectán­

gulo, AD=2, DC=4 y AV=6. Calcule el área de la superficie lateral.

25. En una pirámide V-ABC, VA es perpendicular

a la cara ABC, AB=BC=AC=2 y el área de la cara VCB es 2. Calcule el volumen de la pirámide.

A) 16 + 4710 + 3713

B) 16+4710+713

C) 2(10 + 2710 + 713) D) 2(8 + 2710 + 713)

E) 2(9+2710 + 713)

D) T

E) — 4

26. Se muestran dos pirámides V-ABCD y L-ABD

donde ABCD es un trapecio isósceles y

28. En un cono circular recto, el área superficie lateral es el triple del área

la base, y el área de la sección a. 872 cm2. Calcule el área de la «'í * lateral del cono.

BC 2 =“2~ = DC. Calcule la razón de volúme­ nes de las pirámides mencionadas.

A) 4n

D) lOn

B) 6n

0 3* E) I2’

En un cono de revolución, la medida del án­ gulo de desarrollo de la superficie lateral es

120“ y el área de la superficie lateral es 27n

B) 8j3n

D) 9^

Se muestra un cono de revolución, en

el que G es baricentro de la región AVB. . Calcule la razón de volúmenes del cono y del cilindro circular.

Calcule el volumen del cono.

A) 9^3n

32.

g ifin

E) 9R

X. Se muestra un cono de revolución Si ^^y'a distancia del punto medio

de OS haca EB en 2 cm, calcule la longitud de la generatriz del cono.

33. Se muestra un cono equilátero, en el que AS=SL=4. Calcule la longitud del mínimo recorrido de SEK.

31. En un paralelepípedo rectangular

ABCD-EFGH se encuentra un cono de revo­ lución, cuya base está inscrita en la región .

triangular EFH y su vértice está en la base ASCO, EF=6, EH=8 y AE=EG. Calcule el volumen del cono.

A) 2/5 + 72

B) 2^4 + 272 A) lOn

C) 273 + 272 B)

C) 3

3

0) 12n

E)

13n

D) 3^5+2^ E) 2^5 + 272

.. Esfera y teorema de ” Pappus-Guldin Capítulo XVI

Objetivos • Reconocer la esfera y su superficie esférica para determinar el volumen y el área de dicha superficie.

•

Calcular el área de una superficie de revolución y el volumen de un sólido de revolución. -;.

® Superficie esférica Es la que se genera cuando una semicircunfe­ rencia gira alrededor de la recta que contiene al diámetro.

Ahe: área del huso esférico

Esfera Es la que se genera cuando un semicírculo g|ra

alrededor de la recta que contiene al diámdro O: centro de la superficie esférica

Ase: área de la superficie esférica

O: centro de la esfera

VE: volumen de la esfera

Capítulo XVI: Esfera v

y teorema de Pappus-Guldin

círculo menor

De una región plana

círculo máximo

A=nr2]

Cuña esférica

Región hexagonal regular C: centroide

® Superficie de revolución Es aquella superficie que se genera por la ro­ tación de una línea abierta o cerrada que gira alrededor de una recta coplanar.

Sea a < 360°

VCE: volumen de la cuña esférica

—Centroide o centro geométrico

De una línea

línea abierta

plana

parle de una superficie de revolución

Segmento

linca cerrada

Triángulo equilátero

parte de una superficie de revolución

Lumbreras Editores

TEOREMA DE PAPPUS-GULDtN RESPECTO A LA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Dadas una recta y una línea plana no secantes, contenidas en un plano, al hacer gtrar la línea plana a dicha recta (denominada eje de gtro), genera una superficie de revolución, cuya área región plana

se calcula multiplicando la longitud de la linea y la longitud de la circunferencia descrita por el

centroide de dicha línea.

Teorema

de

Pappus-Guldin respecto al

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Dadas una recta, y una región plana no secantes, contenidas en un plano, al hacer girar la región plana a dicha recta (denominada eje de giro), se genera un sólido de revolución, cuyo volumen se calcula multiplicando el área de la región y la longitud de la circunferencia descrita por el porción de la superficie de revolución

centroide de dicha región.

r

l-jcentroide

porción del sólido de revolución

Es aquel sólido que se genera por la rotación de

una región plana que gira alrededor de una rec­ ta coplanar.

VSÓJ

q:

volumen del sólido generado

^mas Resueltos Problema N.° 1 & d gráfico, todos los triángulos son eouiH, r0, Los pequeños tienen lados de lonsih á Si lomamos como eje de revolución H entonces el volumen del sólido genera/^’3 triángulo sombreado

0 por el

es

4

Problema N.° 2 En una esfera de radio R se inscribe un cono de altura h* y base de radio r. La relación entre r, yR es UNMSM 1994

UNMSM 1995 Resolución

a

____

\

/

\ i

Nos piden el volumen del sólido generado ¡ región AfNP:Vx Aplicamos el teorema de Pappus-Guldin

Vx=2nxA

G)

Nos piden la relación entre r, /? y R. ^.OSB:

2 (distancia del centroide G de la región triang

por teorema de Pitágoras

R2=(h-R)2+r

a la recta Z) /?2=/r+/?2-2///?+r A_

o2V3

4

h

(área de la región triangular AfNR)

r2+!r=2Rh

Lumbreras Editores

Problema N.° 3

En un estuche cilindrico se guardan tres pelotas de radior=l que encajan exactamente. ¿Cuál es el volumen del aire dentro del estuche y circun­ dante a las pelotas? UNMSM 2004-1

Resolución

Nos piden el volumen del aire circundante a las pelotas (esferas) dentro del cilindro:

Nos piden el volumen de agua que aún queda

Se puede plantear

Se puede notar del gráfico que

en el recipiente cónico: Vx.

= ^cono ~ Í^semiesíera + ^esfera j

Vx=Vcl|-3Vcsf.

\

vx=Ml)2(6)-3[y(D3) Vx=6n-4n

radio 12

®

radio 3/

L. OPO) es notable de 37° y 53°

Vx=2n

->

OjP=12

L OTS es notable de 37° y 53°

Problema N.° 4

En un recipiente cónico (circular recto) lleno de agua, se introducen una esfera de radio 3 m y otra de diámetro 24 m quedando exactamente la mitad de esta fuera del cono. Las esferas son tangentes entre sí y quedan ajustadas a la su­ perficie lateral del cono. Calcule el volumen de

->

05=5x3=15

Ahora en (I)

Vx=1t(15)2x^-(fn(12)J4 * (3)S)

agua que aún queda en el recipiente. UNMSM 2002

••

Vt=3l2n

Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin ?-3’-J.. • 7^ 'r r

Nos piden Vesfera: (V).

problema N.° 5

P, el gráfico, halle el volumen de la esfera si el ....men del cubo es 216(75 + 1) cm3.

4 3 V = 3’r

L PQL\ notable de 53°/2 y 127°/2 PQ=2(QL)

UNMSM 2004 *11

Del dato

Vcub0 = 216(75+ 1)3 = P

.

Resolución

-> f= 6(75 + 1)

Luego igualando C:r(75 + 1) = 6(75 + 1)

Ahora reemplazando en (1) V = |n63

3 V=288n cm3

-» r=6

Problemas Propuestos A) 18n NIVEL BÁSICO

B) 12n

C) 24n

E) 36ti

D) 27ti

Del gráfico. A.W=,WO, el área del semicírculo 1.

de radio r es 6n. Calcule el área de la super­

4.

ficie total de la semiesfera.

Del gráfico, las superficies esféricas son tangentes entre sí y tangentes al cilindro de revolución. Si 5(473=4(77?), calcule la razón de áreas de las superficies esféricas.

A) 32n

B) 18n

E) 36rt

D) 48n

2.

C) 24n

Una superficie esférica está inscrita en un cono equilátero. Calcule la razón entre el área de la superficie lateral de dicho cono y el área de la superficie esférica.

A) 1/2

D) 1/2

3.

B) 3/2

C) 2

E) 2/3

C) 1/8

E) 2/9

D) 1/4 5.

A) 1

B) 1/16

Del gráfico, la esfera está inscrita_en el cono de revolución y es tangente a VS. Si ZS=1. calcule el área de la superficie esférica.

Del gráfico, la mAB = 90°, AB 1MÑ, el volu­ men del cono circular, cuyo vértice es A, es igual a I8n. Calcule el área de la superficie esférica correspondiente a la semiesfera.

A) 25n

D) 24rt

B) 9n

C) 12” E) 36n

ut.www.'K,’-QFWBaíto *v • -¿r?..

Una esfera es tangente a una región cua­ drada ABCD en su centro_O. En Ja esfera se traza el diámetro OP, y PD interseca a la superficie esférica en el punto E. Si AD=6 PE=3, calcule el volumen de dicha esfera. ?

A) 6>/2>r

B) 9V3n

D)9^«

9.

Del gráfico, la región determinada por la in­

tersección entre las dos esferas tiene como área igual a 3n. Calcule el volumen de una

de las esferas.

c) 3^

E) 2VÍ5„

Las esferas mostradas son tangentes, tal como se ven en el gráfico, y el cono es equi­

látero. Entonces la relación entre sus volú­ menes son como

A) B) C) D) E)

3:8:18 2:8:25 8:27:125 4:108:243 2:50:150

*>?

B) 27n

D) 25n

E) 64n

10. En una pirámide regular triangular A-BCD se inscribe una esfera. Si AC=CD=3V3, calcule el volumen de dicha esfera. A) 9J3

B) 2773

miesfera. Indique la razón que hay entre sus

volúmenes.

C) 975/8

E) 972/4

D) 3710

El cilindro equilátero está inscrito en la se-

C) 6n

11. El área de la superficie generada por el cuadrado ABCD, al girar en torno a JZ', es 6n veces el área de la región cuadrada que limita ABCD. Calcule x.

A) 30° D) 31°

B) 45°

C) 37° E) 53°

Lumbreras Editores

12. Del gráfico, 4fí=2(7M)=4. Calcule el área de la superficie generada por el arco BFA

14. Se tiene el triángulo equilátero ABC. Por e¡ vértice C se traza la recta í' la cual es co-

planar al plano que «rntiene al triángulo y

al girar en torno a TM. (T es punto de tan­

es perpendicular a AC. Calcule la razón de

gencia).

las áreas de las superficies generadas por

el triángulo ABC al girar en torno a 2 y AC.

A) 76

B) 2s/3

C) 3

E) 73

D)

15. Del gráfico, AB=3t BC=4, además los sóli­ dos de revolución generados por las regio­ nes triangulares, al girar en tomo a tie­ A) 16t?

D) 18t?

B) 24r?

C) 127?

nen igual volumen. Calcule CH.

E) 33t?

13. Del gráfico, ATLN es un cuadrado, SAf=/Z=/E=l,2(MÑ)=5(J/?)=10.

Calcule la razón entre las áreas de las superficies generadas por el triángulo MRI al girar en torno a AN y AJ.

*’ 8/3

b> isís

m

S IM

D) 9/2 1R

o

r- n

Una re8¡ón trapecial isósceles AM=A/?=4 y Se traza 7, la cuate * Perpendicular a AR y contiene a /. Calcule

el volumen del sólido generado por la re 8ton trapecial al girar en torno a 7.

A) 96s/3n D) I25n

B) 25n

C) 36"

E) «•>’

Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin

17. De^gráfico, 4 es punto de tangencia

NIVEL INTERMEDIO

01^=45° y r=v3. Calcule el volumen del

sólido de revolución generado por la región

19. Se tiene un cilindro equilátero y una su­ perficie esférica. La superficie lateral del cilindro y la superficie esférica son equi­ valentes, y el volumen del cilindro es 54tl Calcule el área de la superficie esférica.

sombreada al girar en torno a

A) 30n D) 40n

B) 32n

C) 36tt F1

20. Del gráfico mostrado, T es punto de tan­ gencia, TM=2(MS)=4, S es punto de la su­ perficie esférica. Calcule el área de dicha superficie.

A) 271? D) l^it2

E) 9j3n2

18. Del gráfico, K4=AT y L es punto de tangen­ cia. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos generados por las regiones som­ breadas al girar en torno a NT.

A) 30rc D) 36n

B) 32n

C) 34ti E) 39ti

21. Se muestra un prisma regular, en el que L pertenece a la base, y la superficie esféri­ ca es tangente a las caras laterales y a una base, además 2(¿K)=3(OK). Si el volumen del prisma es 84J3, calcule el área de la su­ perficie esférica.

A) B) C) D) E)

lOn 12n 14ti 16n I8n

Lumbreras Editores

22. Se tiene un cono equilátero y una esfera que son equivalentes. Calcule ( —) si /? es

25. Se muestra un cono equilátero cuyo v men es 9x/3rc. Calcule el volumen dp i °U . e c seiniesfera.

radio de la esfera y r es radio de la base A) 144n

del cono.

A) 1/2

B) 121n

/5, calcule el volumen de la semiesfera.

A) 5n

B) 8n C) 12n D) 9n

E) 16n/3

A) 48n D) 32n

B) 28n

C) a0" E) 36»

Capítulo XVI: Esfera y teorema de Pappus-Guldin 4

28-

I gráfico se muestra que e) ■//, es tante en L y 5 a dos esferas tangentes enR 9 lre sí Si - = 4 yla Proyección ortogonal de

sobre el aH mide 12 cm, calcule el

¿rca de la superficie esférica menor.

A) 24 D) 24n

B) 12n

C) 16n

E) 30n

31. Del gráfico, PQLH y MNLS son cuadrados.

¿C=9. Calcule el área de la superfi­ cie generada por el cuadrado menor cuan­ do gira una revolución alrededor de 2T si LS=2(CK).

A) 108n D) 16n

B) 144n

C) lOOn E) 64n

29. la superficie generada por AB, cuando gira

alrededor de X, con la longitud de AB son numéricamente iguales. Calcule el área de A) 239,2n D) 249,4n

la superficie generada.

B) 256,2n

C) 259,2n E) 229,2n

32. Del gráfico, AB=2(A¿) y la semicircunferen­ cia mide 6n. Calcule el área de la superficie que genera la semicircunferencia^cuando gira una revolución alrededor de S’.

A) 96n2 A) 1 °) 5/n

B) 5

C) 5n E) 1/n

B) 84n2 C) 72n2 D) 144n2

Sráfico mostrado, el área del sector eircular LOB es n y MNL = 90°. Calcule el 8rea de la superficie generada por la linca MNLs cuando gira alrededor de AB ■

E) 180rt2

i-- Geometría analítica escalar

■

Capítulo XV||

Objetivos

Definir el plano cartesiano, y en él ubicar y representar un punto a través de 1 coordenadas cartesianas. ’ s Estudiar los métodos básicos para hallar las coordenadas de un punto seoún características. 8 n sus Encontrar la representación de la recta a través de una ecuación lineal utilizando ello los elementos que la definen.

® Definición

Es la combinación de la geometría con el álgebra

Gráficamente

que se encarga de estudiar las figuras en un sistema por ejemplo en un plano cartesiano. ® Recta numérica real

Es aquella recta en que a cada punto se le asigna un número del conjunto de los números reales.

A) punto que se le asigna el número cero se le conoce como origen, y los números asignados a dichos puntos en la recta se llaman coordenadas.

La recta horizontal es llamada eje de las X o ejes de las abscisas y la recta vertical es llama­ da eje de las Y o ejes de las ordenadas.

Gráficamente ación del punto en el plano cartesiano { origen de coordenadas

-4 -3 -2

-1

hacia la izquierda están los números negativos

^ordenadas de un punto

-i----- 1------- 1-

0

1

2

3

hacia la derecha están los números positivos

Plano cartesiano Es el plano determinado por dos rectas numéri­

cas secantes y perpendiculares entre sí. Por convención, una de ellas es horizontal y, por

ende, la otra será vertical.

204

P nto en el plano cartesiano se representa «ante dos números reales: el primero es el d *d rePresente Ia proyección ortogonal gu JCÍ1° PUnt° en eíe de ,as abscisas y el o es el número que representa la pro)#' ortogonal de dicho punto en el eje de ordenadas.

Par ordenado son las coordenadas del Punto.

Capítulo XVII: Geometna analítica escalar

r

LL

b/ 3........ :p l-jciseI e*e

|___ proyección ortogonal hacia el eje X

Entonces

P=(o;W

AP

a =

donde o es la abscisa de P y

AP = at>PB = bt

Se cumple que P(xp',y¿

b es la ordenada de P.

Donde

Coordenadas de puntos especiales

a.

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento se calculan promediando, res­ pectivamente, las coordenadas de sus ex­

tremos. En el gráfico mostrado, M es el punto medio

del segmento PQ.

c.

Baricentro de la región triangular

La abscisa y la ordenada del baricentro de una región triangular se calculan prome­ diando, respectivamente, las abscisas y las ordenadas de los vórtices de dicha región triangular.

Sea G el baricentro de la región triangular

b-

Un punto ubicado en un segmento, dada la razón en que lo divide

Se cumple que G=(x;y).

Cuando se pide las coordenadas de un punió f’que pertenece al segmento AB debemos

Donde

conocer las coordenadas de A, B y la razón AP a BP^b'

Inclinación

de una recta en el plano

cartesiano

• Las coordenadas del origen es (0; 0). • Los puntos del eje de las abscisas tienen coordenadas (x; 0). • Los puntos del eje de las ordenadas lie- ’

I

La inclinación de una recta es el ángulo que fOr. ma con el eje de las abscisas y se mide a partir del eje X en sentido antihorario.

nen coordenadas (0; y).

® Cálculo de la distancia entre dos

puntos Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadra­ dos de las diferencias, tanto de las abscisas como de las ordenadas de dos puntos. la a: medida del ángulo de inclinación de laS2

Pendiente

de una recta

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación. Del gráfico anterior:

Del triángulo rectángulo PSQ

Pendiente de ^r. 1 m— m^r=tanp j

90° ->

• La recta

Pendiente de

En la geometría analítica, la recta se representa a través de una ecuación lineal de dos variables, r Ax+By+C=Q Donde x e y representan la abscisa y la ordena­ da, respectivamente, de cada punto de la recta. Una recta queda definida en el plano cartesia­

no si se conoce un punto de ella y su ángulo de inclinación.

2

m—

-^2

m$r=tana j

Como a < 90° ->

>0 -* 2

, SS Nota

------------------------ -------------- -

• Las rectas horizontales tienen un» inclinación de 0o y su pendiente es cero. • Las rectas verticales tienen Una indi nación de 90° y no poseen pendie^J

C«"'"«"tQeom.MamteaeKaKr

s paralelas y perpendiculares

ReCta rectas tienen el mismo ángulo de incliS' d°.S .. no son verticales, se puede decir que nación y,,v * en la misma pendiente.

Si

S™1DE “ PENDIENTE DE UNA CUANDO SE CONOCEN LAS COORDENADAS DE DOS PUNTOS

continuación indicaremos cómo se calcula la P^'^te de la recta que contiene a los puntos ^i.yi)yQ(x2;y2),

entonces

En el caso de que dos rectas sean perpendicula­ res (ninguna de ellas es vertical), se cumple que

Del triángulo rectángulo PSQ

el producto de sus pendientes es -1.

x2-xj

Ecuación de la recta A la ecuación lineal de dos variables, que se in­ dicó al inicio de este tema, se le conoce como

ecuación general de la recta. >lA+¿3y+C=oj

-L #2« entonces

Dependiendo de los valores que toman A y H, Ja recta adopta cierta posición en el plano car­

rn

*77? y? I 2 s,. ......______

? .i Nota____ ____________ _

tesiano. _

■» ■ ' anterior se cumple si my o my son frente., de cero.

Nota

-

Si el ángulo de inclinación es diferente de 0“ y 90” se tendrá que (A)(tt) * 0-

\

Como sabemos, la recta queda definida en el plano cartesiano con su ángulo de inclinación y un punto de ella. Pero por las características que tiene la pendiente, esta última es la que permitirá hallar la ecuación general de la recta.

Ecuación pendiente-ordenada desde el orlgen

c¡ se conoce la pendiente de una recta y su denada desde el origen, se podrá hallar su ecua. ción.

En los siguientes tres casos se muestran ecua­ ciones que darán la forma adecuada para con­

seguir la ecuación general. Ecuación punto-pendiente

Si se conocen las coordenadas de un punto de una recta y su pendiente, se puede hallar su ecuación. m=tanp: pendiente de & Hallemos la ecuación punto-pendiente de la recta «5?. y-yo="’(x-xo) Comoy0=b y xo=O -> y-b=m(x-0)

Operando tenemos

Se sabe que m = y x-x0 ->

y=mx+b

I

y-y0=m(x-x0)

Esta es la ecuación de la recta

Esta es la ecuación de la recta en la forma pen­ diente-ordenada desde el origen.

en la forma

punto-pendiente, en que al punto P=(x; y) se le

conoce como punto genérico de la recta.

:L

Nota---------------------------------------- x

Si la recta pasa por el al origen de coorde­ nadas, entonces la ordenada (ó) es cero. Por lo tanto, la ecuación quedaría así:

Capítulo XVII: Geometría analítica escalar

ue el origen

i-pación con coordenadas desde

oí

Nota -- --------------------------------------------------------- x

,

I Si se conoce la el abscisa desde el 0 ’ ordenada desde origen de una rect

Y ,a ,Se Podrá

hallarsu ecuación.

De la ecuación de la recta, en su forma general Ax+By+C=0.

I

Si despejamos la variable y, tendríamos la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen.

9

y=(4H4) De donde se deduce que la pendiente de la A K recta es —z Y b

Rectas

paralelas a los ejes de coordenadas

Recta paralela al eje de las abscisas

Ecuación de

Observamos

P(0;b)eS y Q(q;0)g5

r

Seam la pendiente de .2?. Se sabe que

n (0;b)

b-0= b • • 0-a a

n X

Hallemos la ecuación pendiente-ordenada desde Recta paralela al eje de las ordenadas

el origen de la recta

Ecuación de .JZ7:

y-y^m^x-x^

b

Comoy0=b,x0=0 y m = -~ [

^reemplazar y-b= --(x-0). o

Operando tenemos ■■

-

*+£=l

a

b

___________

es la ecuación de la recta %• en la forma °°rdenadas desde el origen.

¿ NoTA

Ecuaciones de los ejes de coordenadas: EjcX:y=0 Eje l':x=0

V___________________________ _>

Problemas Resueltos

¿r -■ ** •

Trazamos BH1AO

Problema N.° 1 Según el gráfico, calcule la suma de las coorde­

Como/IO=HO

nadas del vértice B si el triángulo ABO es equi-

->

látero.

En el ^.BHO: notable de 30° y 60°

BO=4

HO = ^- -> WO = 1 = 2 -> HO=-=2 2 2 BH = ^U3) -4 BH = Í^ = 2V3

Como B está en el segundo cuadrante

B = (-2; 2j3) a=-2 b = 2\Í3

a + ó = 2(73-1) Resolución

Problema N.° 2 Los puntos 4 (-3; 2) y B (1; 6) son los extremos

del segmento AB. Halle la ecuación de la media­ triz de AB. UNMSM 2007-1

Resolución

Nos piden a+b. Donde fi=(O; ¿j) Dato: AAfiO es equilátero

A=(-4; 0) Nos piden la ecuación de

Capítulo XVII: Geometría analítica escalar

t Dato: y es mediatriz de AB

Nos piden 2Aa.

[

a*(-3:2)

Donde 1Aa es el área de la región triangular de­

f

MI; 6)

terminada por

$2 Y e' e¡e

í Sea Pe#

#f. 3x-4y+6=0

I por teorema de la mediatriz en Afi

S2: 3x+y-9=0

ap=pb Graficamos

y%

por teorema de la distancia

f^3))2+(y-2)2=J(x-D2+(y-6)2

Para

x

y

0

3/2

-2

(x+3)2+(y-2)2=(x-i)2+(y-6)2

—> C==(-2; 0)

/+6x+9+/z-4y+4=x2--2x+l+/y2-12y+36 Para

6x-4y+13=-2x-12y+37

0

8x-8y-24=0

x

y

0

9

3

0

-> B=(3;0)

?:x-y-3=0

Ubicación de A

(Igualamos las ecuaciones de las rectas)

Problema N.° 3 Calcule el área de la región triangular de­ terminada por las rectas 3x-4y+6=0, 3x+y-9=0 y el eje X.

3x-4y+6=3x+y-9=0 5y=15

-*

y=3

UNMSM 2007-11

Ahora se reemplaza en la ecuación de Resolución

-» x=2 Por lo cual A=(2; 3)

Aplicando la fórmula básica 2Aa_/5 O

A=(39; 27); /?=(5A; n) y /V=(8fe; «). Calcule

.c

X

el área de la región sombreada.

9.

Del gráfico, K=(5; 0), 0JV=8 y M=7. Halle las coordenadas del incentro del triángulo

NOK.

B) (2;^) C) (3;V3)

A) 375 D) 125

D) (5; 2)

B) 224

C) 450

E) 150

E) (5; 75)

10. Sean las coordenadas de 4=(1.„) y B=(3nJ). Luego se ubica el pun­ to medio M de AB y O es el origen de co­ ordenadas. Si la pendiente de O.W es 0,75, calcule la pendiente de AB.

11. Del

gráfico, el trapecio IRAS es isósceles,

A)i

C)

Ñ=(4; 6) y S=(14; 0). Si AM=MS, calcule la D)_|

pendiente de /3y+4 = 0

B) 2x-V3y+2 = 0 C) 2x-v3y + 8 = 0

D) x-3y+4=0 E) .v-s/3)+6 = 0

NIVEL INTERMEDIO

A)

21. Se tiene el paralelogramo ABCD, cuyos vertices son 4(3; 0), B(1; 4), C(-3; 2) y D(a, />). Calcule el área de la regiónjnangular ALD si

se sabe que L pertenece a BC. 26.

A) 8 D) 15

B) 10

C) 20 E) 12

22. Dadas las rectas x + 3y + 8 = 0 y 2x+(y-8 = 0, halle C para que perpendicular a

A) -2 D) -2/3

B) 2/3

Del gráfico, 40=8 y 4S=20. Calcule tana.

sea

C) -1 E) 1

23. Una recta es paralela a otra recta que tiene por ecuación 5x+8y=12 y dista V89 unida­ des del origen. Halle la ecuación de dicha recta. A) 5x+8y-98=0 B) 5x+8y-78=0 C) 5x-8y-89=0

A)Ú D) i 27. Dados los puntos £(2o; a) y S(-2a-l; 2a+2),

tal que la suma de la abscisa de L y de la

ordenada de S es 10. Halle la distancia entre

D) 8x+5y-89=0 E) 5x+8y-89=0

Ay B.

24. ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos vérti­

ces son 4(4; -3), B(3; 0) y C(0; 1)?

A) B) C) D) E)

triángulo equilátero triángulo escaleno triángulo rectángulo triángulo isósceles triángulo acutángulo

28

i

v®rt’ces de un triángulo son A=(I\

UNMSM 1996

•

' X.

\

• z \ \ ozl... \

Resolución

(2; 4): r=4;

5 )

X6;b)

H2;0) )

~x

(x-2)2+(y-4)2 =42

Nos piden la ecuación de «2?.

De la ecuación de la circunferencia

se tiene

que las coordenadas de O son (2; 4) y radio r=4. (2; a): este punto e ^y la distancia de L y Tal eje

Y es igual al doble de la distancia de O al eje K

Nos piden la ecuación de la parábola (x-/?)2=4p(y-Z?)

->

í/=0 a

—>

cr=8

o=8, pero por dato u > 0

(I)

Del gráfico 2 |p|=4 -> |p|=-2

(6; b): este punto e Z'y la abscisa S es 6, y como

r=4 -> OS//ejeX(m 1 Apunte te a) y (6; b), donde a >

e interseca

en q wMSM2005-«

Resolución

Nos piden la ecuación de la parábola ^2.

De la ecuación de

x2-16x-8y+32=0, le da­

mos la forma ordinaria (x-4)2=8(y-2) -> p=2 y el vértice V| es (4; 2).

Nos piden la ecuación de la parábola •f’.

Con estos elementos podemos decir que la pa­ rábola 1 se abre hacia arriba.

Como por dato L y S trisecan a BA

F|=(4; 4) es el vértice de ^2 • V2=F| y p=2 (dato)

-»

(y-4)2=4(2)(x-4) (y~4)2=8(x-4)

es decir, AL=LS=SB=2. Como O es el foco de la parábola ./ y sus coor

denadas son (3; 3) se sabe que 4p=2 —> p= por lo cual las coordenadas de V: V^3;

Problema N.° 4

(x-/i)2=4p(y-tí

Del gráfico, L y S trisecan a BA y el radio de

es 3. Halle la ecuación de la parábola J». (O es el foco de .> *).

(x-3)2=2(y-5)

ias

Propuestos

NIVEL BÁSICO Halle el área de la región triangular cuyos

vértices son el centro de «?, e| simétrico de dicho centro respecto al 2eje Y y ,_ e]4=0 orine de coordenadas («’: x2+y _2x+4> ^en

A) 0,5 D) 2

B) 1

C) 1,5 E) 2’5

A) x2+y2-12x-8y+48=0 Del gráfico, T es punto de tangencia, AB=6

B) x2+y2-8x-12y+48=0

OtL=2(AO) y OT=LO\. Halle la ecuación de

C) x2+y2-12x-6y+42=0

la circunferencia.

D) x2+y2-12x-8y+42=0

E) x2+y2-12x-8y+52=0

5.

Halle la ecuación de la circunferencia que

pasa por 4(0; -3), por el simétrico de A res­ pecto al eje X, y que su centro se encuentra a 4 unidades del origen de coordenadas.

A) x2+y2-6x-8=0 B) x2+y2-8x-9=0

A) x2+y2-10x-8y+16=0

C) x2+y2-8x-12=0

B) x2+y2-4x-5y+9=0

D) x2+y2-8x-10=0

C) x2+y2-8x-10y+18=0

E) x2+y2-6x-9=0

D) x2+y2-6x-5y+!5=0 E) x2+y2-8x-10y+16=0 3.

Halle la ecuación de la circunferencia que

pasa por los puntos A(2; 1), B(-2\ 3) y tiene su centro sobre el eje X.

A) x2+y2+2x-10=0

B) x2+y2+2x-9=0

C) x2+y2+4x-9=0 0) x2+y2+x-8=0

E) x2+y2+2x-8®0 Del gráfico, KS=8 y SO= 10. Halle la ecua­ ción de la circunferencia.

6. Del gráfico, mSK = 30°. Halle la ecuación de la circunferencia si L es punto de tangencia.

Del gráfico, N.P, L, S, K y D son pontos de

7.

tangencia, mPK = !20u y el radio mayor mide 6. Halle la ecuación de la circunferen­

C) (.v-3)2+(y-l) *=2 O) (.v-3)2+(y-D2»3

E) (x-3)2+O'-')2=>/5

cia menor. 10. Dada la ecuación de la parábola

.v2-8.v+8y=0, halle la suma de la abscisa;

la ordenada del vórtice de dicha parábola.

A) 5 D) 7

B) 6

C)4 E) 8

11. Halle la ecuación de la parábola de directriz x=-6 y de foco (2; 0).

A) x2+y2-6>/3x-4y+48 = 0 B) x2 + y2-8>/3x-4y+ 52 = 0 C) x2+y2-8>/3x-4y+ 48 = 0 D) x2 + y2-6>/3x-4y + 46 = 0 E) x2+y2-875x-4y+42 = 0

8.

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0; -3), cuyo radio es V5 y cuyo centro está en la bisectriz del tercer cuadrante.

A) B) C) D) E)

y2-24x+124=0 y2-12x+72=0 y2-24x+144=0 y2-16x-32=0 y2-12x+144=0

12. Del gráfico, V es el vértice de P y el centro de ALSO, además el área de la región cuadranguiar ALSO es 8 u2. Halle la ecuación de la parábola

si el eje X es la directriz.

A) (x+2)2+(y+2)2=5 B) (x-l)2+(y-l)2=S C) (x+3)2+(y+3)2=5

D) (x+4)2+(y+4)2=5 E) (x+2)2+(y-2)2=5 9. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto A(3; 1) y es tangente a la recta x-2y=0.

A) (x-3)2+(y-l)2=i/4 B) Cx-3)2+(y-l)2=l/5

A) B) C) D) E)

x2+4x-4y+8=0 x2+4x-4y-8=0 x2+4x-8y-12=0 x2+4x-2y-6=0 x2+4x-4y=0

Capítulo XVIII: Circunferencia y parábola

I gráfico, F y O son el foco y el vértice A’O = 4^6 y el área de la

13. de la parábola

•ón M’OF es 20^6. Halle la ecuación de

16. Del graneo, F y V son el foco y el vértice de la parábola .f’, 50=4 y ¿0=3. Halle la ecua­ ción de y.

la parábola #

Y

A) 4x+3y-5=0

A) /+12x=0

B) 4x+3y+5=0 C) 4x+3y-37=0

B) y *+l6x=0

C) /+24x=0

D) 4x+3y-7=0

D) y2+8x=0

E) 4x+3y-12=0

E) y *+32x=0

17. Se tiene una parábola y2-16x=0 y una recta 14. Halle la ecuación de la directriz de la pará­ bola y2 - 6y - &v +17 = 0.

A) x+2=0 D) x-l=0 ’

B) x+3=0

C) x+l=0

E) x-2=0

x+y-5=0. Calcule la cuerda determinada

por la recta en la parábola.

A) 24J2 D) 18>/2

B) 20x/2

C) 20 E) 16>/2

15. Halle la ecuación de la recta que pasa por

uno de los puntos comunes entre

y

y Que es perpendicular a la cuerda común; además es x2-2y=0 y esy2-2x=0.

A) B) C) b)

x-y-2=0

A+y-2=0 x+y+4=o A +y=o x+y-4=0

18. Halle la ecuación de la parábola, cuyo eje es paralelo al eje Y, de vértice en el eje X y que pasa por los puntos A(l¡ 25/8) y B(8; 1/2).

A) x2-12x-8y+30=0 B) x2-12x-8y+36=0 C) x2-12x-8y+32=0 D) .v2+12a-8y+36=0 E) x2-12x+8y+36=0

22. Del gráfico, N, A, T y L son puntos k-= 7

Por lo tanto, el ángulo mide — rad.

Problema N.° 2 El gráfico muestra una esferita de acero sus­ pendida por la cuerda flexible QH. Se impulsa la esferita en el sentido indicado de tal forma que manteniéndose siempre tensa la cuerda, la

esferita llega a MN. Calcule la longitud recorrida por la esferita si Af/V=/VP=PQ=9 cm.

7n+2n+n=10n.

■K g0-' ■

'

■

Capítulo I: Sistemas de — 6 medlció" angU|ar, ■

problema N.° 3

rea de un sector circular cuyo ángulo central U . 72° es de 45n cm2. Se sabe que si duplica­

dos el radio de dicho sector y disminuimos a adianes a su ángulo central, el área del nuevo

seclor disminuirá en 1/3. ¿Cuál es el valor de a?

Problema N.° 4 En el gráfico, el área del sector circular AOT es igual al área del -1 sector circular MOB.

SiOA = —, halle la medida del ángulo BOT. 2

UNFV 2011-1

Resolución

Sea el sector circular de ángulo central 72° y área 45rc cm2.

cm2 Se cumple

2

= 45n cm2

ri = 15cm Duplicando su radio 2r, y reduciendo el ángulo

central en u rad, su área disminuirá en

1/3.

Nos piden m-xfl07=a rad.

Dato 2A^ 407 = /A 04 = “

m 4

A) 81° D) 72°

b>4

A) 20 rad

C) *-Ü 9

22. Calcule el mayor valor que toma el ángulo9 en el siguiente gráfico.

C) 550 E) 400

19. Siendo S y C los números de grados sexa­ gesimales y centesimales de un mismo án­ gulo que cumplen C°+10S8=n rad+2°,

«5

B,s

C)

E)

5n rad 18

8n

15

rad

Del gráfico, determine la relación que existe entre a y b.

n

A> SO “d

.

. 1ln

.

B> 33 ”d

TAA 5071 1 D) racl 23

1111 u c) Ñrad

E) %d

24. Convierta p° ( 9' ' V9g ' 9m rad al sistema sexagesimal.

9002

AA 1600° A) -------n

7n

o« W 3ir 1600° ® 5T

D)^

Calcule la suma de los ángulos exp * 6

n n n n ~ + —t- — + — +.. 3 6 12 24 A) — rad 3

D) ~ rad

240

B) 2n rad

0 3" *

- .... "

-

~ '

•' '

• * •

Capitulo I: Sistemas de medición angular, longitud de

*4A»«

un arco de circunferencia... -•

s¡endo5yfl,0 convencional para un mismo ¿guio que cumple >/2,

A) 70,5

B) 71,5

D) 71

C) 72 E) 72,5

30. Los números que expresan las medidas de

un ángulo en los sistemas sexagesimal y

determine el valor de S.

centesimal cumplen S=3a-4b y C=2"2b+3°.

C) 40

B) 50

A) 60 D) 30

Determine la menor medida del ángulo en radianes.

E) 20

27. El número de grados sexagesimales que mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide otro ángulo es 194 Calcule la medida del menor ángulo en ra­ dianes si se sabe que son suplementarios. B) yj rad

A) | rad

3n D) — rad D

C) £ rad

£)

7n

rad

28. Siendo S el número de grados sexagesimales y C el número de grados centesimales de un mismo ángulo, calcule el menor valor que asume

B) ¿ rad

¿rad

I| +n rad.

B) 60°

C) 61° E) 63°

29. Siendo 5 y C los números de grados sexa Resimales y centesimales de un mismo án Rulo que cumple 2C, determine el número de minutos cent males de dicho ángulo.

C) ¿ rad

E)irad

31. Determine la longitud de arco de un sector circular si su ángulo central mide 22° 30’ y tiene un radio de 56 u. 22 Considere n = —. 7

A) 11 u D) 14 u

B) 20 u

32. Del gráfico, calcule

o

A) 59° D) 62°

A) T5 rad

C) 22 u E) 77 u

35. I >d gráfico, determine el valor que iOrna (J

33. I)cl gráfico, AOH y CHD son sectores drcuLiles. Indique la relación enhe las loiigllud< *s

de los arcos AH y C¿) cuando Oí’ •(’//.

36. El parabrisas de un automóvil tiene una longitud de 30 u y barre un ángulo de 120°. Calcule el área de la superficie limpiada por el parabrisas. A)

lOOnu2

D) 400nu2

B) 200nu2

C) 300n u2

E) SOOnu2

37. Calcule el área de la región sombreada.

Capítulo l: Sistemas de medición angular, longitud d^ 9 ud de un arco de circunferencia...

.

,

A/3

56. Determine la relación de las áreas represen­

tadas porSj y §2. 54. Si AOB es un cuadrante de radio 1 y MBO es un sector circular, calcule el perimetro de la región sombreada.

1

1

Caprtuto I: S'Sternas de medCiOn aiigulnr, long.tud

do un arco do circunferencia...

59. En un trapecio circular de perímetro 100 u. calcule la longitud del lado igual de dicho trapecio para que el área sea máxima.

A) 10 u

B) 20 u C) 15 u

D) 25 u

E) 14 u

60. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada si AOB es un sector circular.

OM=O\Q y e = 7o

58. Del gráfico, determine la relación de §x; §j y Sj- (§: representa el área de los sectores circulares indicados).

A> SZ+S)=S2

®*a2(S|+S2)

. Razones trigonométricas ” de un ángulo agutí® ___________________________________________________ Capítulo II

Objetivos * • Conocer los elementos del triángulo rectángulo para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

•

Determinar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos notables (30°; 45°; 60°; 37° y 53°) y aplicarlos a situaciones prácticas.

•

Resolver triángulos rectángulos relacionando las longitudes de dos lados de un triángulo mediante una razón trigonométrica y aplicarlos a situaciones cotidianas.

® Triángulo rectángulo lfn triángulo tal que uno de sus ángulos sea recto (90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipo­ tenusa y los lados restantes se llaman catetos.

•"¿Observación -------------

0o < 0 < 90° ; 0o < p < 90°

0

pQ=(nsen2«)sec0

(flC)2 = 2^(476)2

asen2a

fic=:10cm

COS0

Problema N.° 3

En el gráfico, se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si CQ=a cm, AB=b cm; a halle el valor de -. b

Problema N.° 4

En el gráfico, el triángulo ABC es recién recto en A, CP=2 cm, PB=3 cm. Halle lan«8Ul°

UNMSM 201b

Resolución

Resolución

Nos piden —.

Nos piden tana.

b

Datos

Del gráfico

De) gráfico

LC4B

MHP

*

tan 30o= 3^2

2 eos a

2^ = -tana

3

2

Problemas Propuestos NIVEL BÁSICO

Siendo x e y ángulos agudos, tales que

5.

peí gráfico mostrado, calcule x+y.

, senx=cosy y tanxcoty-1=0, calcule I sec(x + 15°) + tan2(15°+y).

•L • A) 1

B) 2

C) 5

D) 4

6.

E) -3

Si P es un ángulo agudo y tanp = .

B calcule tan-. 2

O 19 B) 22

*>i

2 Si 6 es un ángulo agudo y sen0 = - calcule

o5

/3

C) 2

E) V¡3

9.

B) 3

C) 2 E)z 4

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, calcule el valor de cscAcscC si tanA+tanC=2. A)' 2 D) 3

A) 4

12

B) 1

C) 1/2 E) 2/3

Del gráfico mostrado, calcule 7sen0 si AM=4.

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

*' s •

• *• *

• '•

•

‘

*.