Funcții reale și elemente de topologie [2 ed.]

Table of contents :
1-16functii
17-68
69-170
171-end

Citation preview

MINISTERUL INVAJAMINTULUI

UNIVERSITATEA BUCUREŞTI

Acad. MIRON NICOLESCU

F U N C T I I R E A L E SI ELEMENTE DE TOPOLOCIE EDIŢIA A DOUA

EDITURA DIDACTICA ŞI PEDAGOGICA - BUCUREŞTI, 1968

PREFAŢA

Formal, aceastl carte apare ca „ediţia a doua" a clrţii Fimcţii rea/,e şi elemente de aplrutl în 1962. În fapt, este vorba de o ediţie nouă, atît prin titlul său, uşor modificat, cit mai ales prin conţinut. Dacl osatura generali a cursului a rămas neschimbatl, pentm a se conforma actualei programe, conţinutul a fost sensibil remaniat şi llrgit. Rolul unui astfel de curs în programul facultăţilor de matematică şi mecanici este, în primul rînd, acela de a reordona şi de a sintetiza materialul învlţat la cursul de analiză matematică, prin aprofundarea unor noţiuni de capitală importanţă, ca acelea de funcţiune, de continuitate, de integralli, şi situarea lor în cadrul cel mai larg posibil, compatibil cu nivelul de cunoştinţe atins în al treilea an de studiu. Dar, pe de altă parte, acelaşi curs trebuie sîl deschidă ferestrele spre cursurile speciale ale ultimilor ani, s!\ constituie o bună şi succintl introducere în aprofundarea cu folos a acestora. Remanierea şi llrgirea conţinutului a aproape tuturor capitolelor cursului sînt tocma.i rezultatul discuţiilor informative pe care le-am purtat cu colegii mei care predau cursuri speciale. Ca um1are, capitolul I apare complet refăcut, punîndu-se la bază noţiunea de relaţie (binari) din care noţiunea de funcţie derivă imediat. analiză funcţională,

Capitolul II, consacrat unei expuneri sintetice de topologie generali, a fost considerabil spaţiilor normale, cu teoremele corespunzitoare ale lui Urison. Teorema de prelungire a lui Tietze, expusă anterior pentru spaţiile metrice, îşi giseşte locul siu firesc în cadrul spaţiilor normale. tn consecinţA, capitolul III, consacrat spaţiilor metrice, apare mai comprimat. tn schimb, capitolele IV şi V capită o extensiune apreciabiUl.

lmbogăţit, prin adiugarea studiului consacrat spaţiilor topologice regulate şi

Astfel, în studiul spaţiilor vectoriale normate s-au inclus teorema lui Steinhaus, studiul închise şi al proiecţiilor, studiul mulţimii rezolvante şi al spectrului unui operator. . Capitolul consacrat spaţiilor hilbertiene, capitol nou (în vechea versiune figura ca un mic paragraf), conţine teorema de existenţă a proiecţiilor, teorema de reprezentare a lui Riesz-Frechet, un studiu destul de aminunţit al mulţimilor ortonormate, precum şi un paragraf consacrat operatorilor adjuncţi şi autoadjuncţi. aplicaţiilor

Am scris această nouă versiune din necesitatea stringentA. a organizării în cele mai bune a unui material cit mai adecvat studiului, la nivelul corespunzător, dar în ·acelaşi timp cu sentimentul adînc al zădărniciei oriclrui efort de fixare pentru un timp mai îndelungat a peisajului actual în învlţămîntul unh•ersitar. Sîntem prinşi într-un puternic dinamism al dezvoltlrli, în care definitiv este numai progresul. Desigur că într-o viitoare versiune a acestui curs, unele dintre capitole ((le exemplu, capitolele I, III şi pA.rţi din celelalte capitole) îşi vor condiţii

4

Funcţii

reale ,i elemente de topologie

gAsi locul lor firesc în cursul de analiză al primilor doi ani, iar locul acestora v~ fi luat de capitole transferate din actualele cursuri speciale. La redactarea acestui curs am primit numeroase sugestii şi un substanţial ajutor prin revederea manuscrisului, din partea foştilor mei elevi şi tineri colegi, astbi cercetători cu nume bine cunoscut în mişcarea matematică, ca S. Marcus şi Ciprian Foia.ş. De asemenea, observaţiile făcute pe marginea primei versiuni de către un alt fost elev, A. Hristev, mi-au fost utile în înlăturarea unor lipsuri. Tuturor le exprim aici mulţumirile mele recunoscătoare. 1\1. N.

CAPITOLUL

MULŢIMI § 1. APARTENENŢA, INCLUZIUNE, EGALITATE 1.1.1. Vom considera ca dată noţiunea de mulţime. Pentru a preciza că un obiect a face parte sau aparţine unei mul­ ţimi A, vom scrie a EA. Pentru orice element (obiect) c care nu aparţine mulţimii A vom scrie c � A. Vom spune că o mulţime A este o parte (sau: o submulţime) a mulţi­ mii B, dacă a Ei A=> a E B. Vom scrie, în acest caz, A CB sau B::JA. Vom citi deseori această scriere astfel: ,,Mulţimea A este inclusă în mulţimea B" sau: ,,Mulţi­ mea B include mulţimea A." Vom spune că două mulţimi A şi B sînt egale dacă avem simultan implica­ +:.;:t )U-Ue a E A => a Ei B,

b Ei B => b E A,

adică dacă A şi B au aceleaşi elemente. Vom scrie, în acest caz, A = B sau B = A. Dacă A şi B nu sînt egale, vom scrie A =I= B, sau B =!= A. Vom spune că mulţimea A este o parte strictă1 a mulţimii B sau este inclusă strict în B şi vom scrie A C B (sau B :::, A) dacă

AC B şi A =I= B. 1 Mulţi autori scriu „A c B" în loc de „A C B". Acest mod de a scrie prezintă incon­ venientul el inclusiunea strictă este scrisl de aceşti autori sub formă mai lungă : A c B, A F B.

6

Funcţii reale şi elemente de topologie

1.1.2. În studiul introductiv pe care-l vom face vom pleca de la o anumită mulţime T, pe care nu este necesar să o precizăm. Pentru simplicitatea limbajului vom numi de cele mai multe ori o astfel de mul­ ţime un spaţiu amorf sau, simplu, un spaţiu. Elementele lobiectele) acestei mulţimi vor fi frecvent numite puncte. Acest limbaj geometric uşurează de multe ori expunerea, în afară de faptul foarte important că poate sugera studiul anumitor probleme. Vom nota cu litere mari ale alfabetului latin

A,B,C, .. ,L,M, .. ,X, ... Vom nota de asemenea cu �(T) mulţimea (familia) părţilor lui-T · şi cu litere majuscule ale alfabetului latin

a:, 86, e, .... , .f, n, ... părţi ale mulţimii �(T). Evident

A k T A e �(T). Scrierile d C & sau d C &, nu au nevoie de explicaţie suplimentară. Să punem, pentru simplicitate, �(T) = 6'. În unele probleme speciale vom fi conduşi să luăm în considerare mulţimea părţilor lui 6', pe care o vom scrie $(6). Vom nota cu majuscule ale alfabetului gotic 5lr, iB, •.. părţi ale mulţimii $(6) = X. Procesul indicat poate fi continuat. Pentru cursul nostru vor fi sufi­ ciente mulţimile 6', X, ataşate spaţiului T. Consideraţiile ce urmează privesc spaţiul T, mulţimi şi -puncte din T. Dar ele se aplică, fără nici o schimbare, la mulţimea S-, la părţi şi elemente ale acesteia etc. 1.1.3. O submulţime A a lui T poate fi dată fie dînd elementele sale, fie formulînd o proprietate pe care elementele acestei mulţimi, şi numai aceste elemente, o posedă. Dacă, de exemplu, P(x) este o propo­ ziţie exprimînd o proprietate a punctului x Ei T, care este adevărată sau falsă, după alegerea lui x, vom putea defini mulţimea punctelor x pentru care P(x) este adevărată. Vom scrie această mulţime astfel: {x: P(x)}. Dacă, de exemplu, T este planul complex, atunci mulţimea {x: !xi< l} reprezintă discul de rază 1 cu centrul în origine.

Mulţimi

7

Dacă o mulţime este definită prin enumerarea elementelor sale : a, b, c, ... , vom scrie această mulţime astfel:

{a, b, c, ... }.

Cu această convenţie grafică, reprezintă mulţimea care conţine pe

simbolul {a} are un sens precis: el a ca singur element. Evident a e {a}.

1. 1.4. Să presupunem că P(x) este afirmaţia "x =:;= x". Această aserţiune nu este adevărată pentru nici un punct din T. Cu toate acestea, consideraţii de generalitate a formulării proprietăţilor din teoria mulţimilor ne conduc să acceptăm că { x: P(x)} este4 şi în acest caz o multime, anume 1f11C Jt; cc a I 7 w TT 1 ' "" _ • • • ~ ,. ,.., C: , ~ "H""J'"''"~u viau. vom norn aceasca mtup.me ast1e1 : ,o. La o consecinţă a -convenţiei făcute, avem 0 E ~(T).

Te ore mă. Pentr'lt orice

mulţime

A avem, 0

~

A.

În adevăr, înseamnă că

x e0=> x eA, · sau: Orice element din 0

aparţine

lui A.

Să negăm această propoziţie. Obţinem:

Există

un element x e 0 astfel încît x

~

A.

această afirmaţie contrazice definiţia mulţimii ziţia enunţată este adevărată.

Dar

0.

Aşadar,

propo-

§ 2. OPERAŢII CU MULŢIMI

1.2.1.

Dacă

A

~

T, vom defini

CA = {t: t ~ şi

mulţimea

CA prin egalitatea

A}

o vom numi complementara lui A.

Evident: 1° CCA= A; 2° CT Teoremă. Dacă

= 0; C0 = T ..

A~ B, atunci CB

~

CA.

În adevăr, prin ipoteză a

EA=> a

Fie b 6 CB. Aceasta înseamnă de unde b e B. Deci b E CA.

Ei B.

că b ~

B.

Dacă b ~

CA, atunci b EA,

/ 8

Funcţii reale şi elemente de topologie

1.2.2. Dacă A şi B sînt mulţimi, mulţimea elementelor care aparţin cel puţin uneia din mulţimile A sau B se numeşte reuniunea mulţimilor date şi se notează A U B. Proprietăţile următoare AU B= B U A, l [(AU B) U C = A_U (BUC) se verifică imediat. A doua proprietate permite să scriem, suprimînd parantezele, I I

1 •

T°"",

t '

n

\li O DJ:O t,

= n U Du \.Jo ···-------�-A

I 'I

D-l-l-,e,__-=.:c--

Operaţia de reuniune se poate extinde la mulţimile unei familii el: de mulţimi. Mulţimea elementelor care aparţin cel puţin uneia din mulţimile familiei d se numeşte reuniunea mulţimilor familiei şi se notează astfel :

UA

.,jEc't

Exerciţii: 1 ° Să se arate că A C B şi B � C, implică A � C (inclu­ ziunea este tranzitivă). 2 ° Să se arate că A � B A U B = B. 3 ° Cît face

U A?

AE!î(T)

1.2.3. Dacă A şi B sînt mulţimi, mulţimea elementelor care aparţin simultan lui A şi lui B se numeşte intersecţia mulţimilor A şi B şi se notează A B. Egalitatea

n

AnB=0

exprimă faptul că mulţimile A şi B nu au nici un element comun. Vom spune, în acest caz, că mulţimile A şi B sînt dis1uncte sau că nu se intersectează. Proprietăţile tA B=B A,

n n (A n B) n C = A n (B n:C)

se verifică cu uşurinţă. Şi aici putem suprima parantezele,� scriind

n

n

n n

(A B) C= A B C. Ca şi operaţia de reuniune, operaţia de intersecţie poate fi definită pentru mulţimile aparţinînd unei familii a..

9

Mulţimi

n

"Prin definiţie

A= {x: XE A pentru orice A Ed.} .

.dEl!t

n .dEct u A = AEl!tu (B n A).

Te ore mii.

B

(Altfel exprimat: Intersecţia este distrib1,tivă faţă de reuniune.) �""

, ""'

.•

�

•

r·-- • ., . . ..

�

ea oo,;;:;;,-�espectiV', Ctt'E1 Şi -bz-�ere-=:(lomr-nmiţlmt. Dacă X Ei E i , atunci x E B şi xE A, deci există cel puţin o- mulţime A astfel încît AEl!t x Ei A. Dar atunci x E B A (pentru acest A particular!), de unde XEi

LJ

n

LJ (B n A) .

.dEct

LJ n

a:,

(B A), atunci există cel puţin un A Ei • .dEct pentru care x E B A, de unde x E B şi x E A (pentru acest A particular). Dar ultima apartenenţă implică x Ei A, de unde x Ei E1 • .dEl!t Reciproc, dacă x E

n

LJ

Exerciţii:

n

1 ° Cit face

A?

AE!!t(T) 2 ° Să se arate că

B .

u AEct n A = AEtln (B u A).

(Reuniunea este distributivă faţă de intersecţie.) 3 ° Să se arate că

A

(sau : A

n B = 0 (c) A C C B,

n B = 0 B C CA ) .

1.2.�. Fie el o familie de mulţimi (din T). Dacă un punct x E T aparţine tittiiror mulţimilor familiei, atunci

xenA .dEct

Funcţii reale şi elemente de topologie

10

În caz contrar, există cel puţin o mulţime A E .adică x E CA, de unde XE

u

AEl;t

a: pentru

care x $ A,

CA.

În definitiv,

Din însuşi raţionamentul . , . ..., .... ·făcut rezultă că cele două mulţimi din .membrul II sînt dtSJUUCte. .LJ..:'--• ·(I) Putem, de asemenea, scrie

c l- u cA) =

{1')

AE&'.

,

n

AE'&'.

A.

·Să considerăm, acum. familia .$ a complementarelor mulţimilor din d şi :să aplicăm formula (1') acestei familii. Avem

(

C LJ CB) = Dar B ·{2)

= CA, A E a.

BEJll

n B.

BE'Jll

În asemenea condiţii, formula precedentă devine

c(U A)= ncA. . A Eet

A Eet

Formulele (1) şi (2) sînt foarte utile în topologie. Ele sînt cunoscute ·sub numele de formulele lui De Morgan. 1.2.5. Dacă A şi B sînt mulţimi, mulţimea {x: x Ei A, x $ B}

·se notează1 A - B. 'frecerea de la perechea (A,B) la mulţimea A-B se numeşte scăderea mulţimii B din mulţimea A. Evident, A-B =-!= B - A. Operaţia CB este un caz particular al scăderii, deoarece, conform , 'Y două mulţimi. Vom numi relaţie (subînţeles: între '1> şi 'lf) orice mulţime de perechi ordonate în care

>

UE ,

i.

V E 'F.

Un exemplu imediat de relaţie se obţine considerînd mulţimea tuturor perechilor ordonate 0 C '1> defini tă astfel : -0 {U: există v 6 'Y astfel încît , cu x E X, z e Z, astfel încît există y E3 Y, cu propriemulţimile

tăţile

Ei a.

s p,

Voiµ _numi această relaţie compunere a relaţiilor p şi a (în ordinea o vom nota a o p. Ca exemplu simplu de compunere a două relaţii avem relaţiile a O 8 şi 3' o p, unde 3 este relaţia identitate în X iar 8' relaţia identitate în Y. Avem, evident, 3·, o p = p. a o 3 = a,

indicată!) şi

:pacă p

este o

relaţie

în X, atunci avem p

o

8

=

8

o

p.

Funcţii reale şi elemente de topologie

14 Oricărei relaţii p între X definită în modul următor:

1.3.4. şi

între Y

X,

e Relaţia

p- 1

se

şi

Y îi corespunde o

p- 1 dacă şi numai dacă

numeşte

e relaţiei

reciproca sau inversa

relaţie p- 1

p.

p~

Te ore ma de e om punere a re I a ţii I or. Fie p o relaţie î1itre X, Y şi a o relaţie între Y, Z. Dacă mulţimea valorilor lui p coincide cu mulţimea de definiţie a lu,i a, atunci avem (a O p)- 1 = p-1 0 a- 1. Pentru stabilirea acestei egalităţi, să observăm că e (a o p)- 1 dacă şi numai dacă 6 a o p, ceea ce înseamnă, potrivit definiţiei compunerii a două relaţii, că există y Ei Y, astfel încît

E

E a,

p şi

de unde

< Z, y > E deci, potrivit

cr-

1 şi

< y,

X>

p-

1,

aceleiaşi definiţii,

6 p- 1 Deci 6 (a de unde egalitatea din

o

o

a- 1•

p)-· 1 dacă şi numai dacă

e p- 1 o a- 1,

enunţ.

1.3.5. O clasă specială de relaţii într-o mulţime X prezintă în diverse ramuri ale matematicii o importanţă deosebită : este vorba de aşa­ numitele relatii de echivalentă. O relaţie· p în X este, prin definiţie, reflexivă dacă pentru orice x Ei X avem xpx (adică E p). O relaţie p în X este, prin definiţie, simetrică dacă xpy

O

relaţie

=> ypx.

p în X este, prin definiţie, tranzitivă dacă

xpy şi ypz

=> xpz.

O relaţie în X, care este în acelaşi timp reflexivă, simetrică şi tranzitivă se numeşte o relaţie de echivalenţă. Se notează deseori o relaţie de echivale11ţă cu semnul ,, - ". Cu această notaţie, o relaţie de echivalenţă este

caracterizată

prin

proprietăţile

:

O

I x - x, pentru orice x E X ; 2° X - y =) y - X; 3 ° X - y Şi y - Z =) X - Z. Exemple: I O Relaţia diagonală 8, care se notează obişnuit,,=", con:.. stituie un exemplu evident de relaţie de echivalenţă.

Mulţimi

15

2° Dacă X este mulţimea tuturor triunghiurilor asemenea cu un triunghiu dat x, mulţimea perechilor de elemente din X constituie o relaţiede echivalenţă. , 3° În mulţimea numerelor naturale, mulţimea perechilor < x,.y >,. astfel încît Ix - yl este divizibil printr-un număr prim dat p, formează o relaţie de echivalenţă. O astfel de relaţie se numeşte, în teoria numerelor„ o relaţie de congruenţă. Faptul că x este echivalent cu y, în sensul precizat aici, se exprimă în teoria numerelor astfel:

=y(p)

X

şi

se

x este congruent cu y, ,,modulo" p.

citeşte:

Te ore mă.

Dacă p este· o relaţie de echivalenţă în mulţimea X, atunci o descompunere a lui X în mu.lţimi disjuncte, astfel încît pentru opereche (x, y) de elemente arbitrare ale oricăreia din aceste mu,lţimi să avenr. există

xpy.

Fie x Ei X, altfel arbitrar. Vom pune I'\

X -:--

< x,

Deoarece

x> Ei p,

Vom numi

{y :

< X, y > Ei I\

rezultă că

mulţimea

p }.

x Ei x.

I'\

x clasa de

echivalenţă generată

A

Deoarece x Ex, pentru orice x EX,

de elementul x.

rezultă că

X=LJ~xEx

Fie x, y /\

atunci

X

două elemente din I'\

= y. tu

A

X. Va fi suficient să arătăm că dacă x /\

adevăr, fie z E X

n y.

I'\

n y =# 0 „

I'\

/\

Pentru orice element x Ex avem xpz. De asemenea, pentru orice I'\

.

element y Ey avem zpy. Deducem, în baza 1'\

I'\

/\

tranzitivităţii, I'\

tan x Ei y, oricare ar fi x EX; de unde x C y /\

şi

A

xpy,

adică

simulI'\

y Ex, oricare ar fi y Ei y„

I'\

de unde y C x.

O b s e r v a ţ i e. O descompunere a unei mulţimi X în mulţimi disjuncte se numeşte o partiţie a ltti X. Cu această convenţie de limbaj,._ teorema demonstrată se poate enunţa, mai condensat, astfel:• Orice relaţie de echivalenţă într-o miilţime X determină o partiţie a acestei mulţimi în clase de ~cliivalenţă în raport cit această relaţie. Mulţimea claselor de echivalenţă determinate · de p se numeşte mulţimea-cit a lui X prin p şi se notează XI p.

Funclii reale Ji elemente de topologie

16 Exerciţii: mină o relaţie

2° numai

1° de

Să se arate că echivalenţă în

Să se arate că dacă 8 ~ p.

o

orice partiţie a unei mulţimi X deterX. (Reciproca teoremei precedente.)

relaţie p

mulţimea

în

X este

reflexivă dacă şi

3° Să se arate că o relaţie p în mulţimea X este tranzitivă dacă şi numai dacă ? o p C p. R: Fie Eip, ep. Atunci Epop. Deci dacă p o p ~ p, relaţia p este tranzitivă. Reciproc, fie p tranzitivă şi Ei p o p. Aceasta înseamnă, potrivit definiţiei compunerii a două relaţii ,că există y Ei X, astfel încît Ei p, < y, z > E3 p, de unde, în baza tranzitivităţii, E3 p. Aşadar p o p C p. 4°

Să

se arate

că dacă

(p

o

p, a, & sînt relaţii în mulţimea X, atunci

a)

o

&

=

p

o

(a

o

&).

§ 4. FUNCŢII (APLICAŢII)

1.~. t. Relaţiile pe care le vom studia în acest paragraf vor fi speciale, pe care le vom nota, indiferent, cu litere mici ale alfabetului latin relaţii

f,

g, h

sau cu litere elene: cp,

41, •.. , X.,

Vom spune că o relaţie/ între mulţimile X, Y este o aplicaţie a mulX în mulţimea Y dacă: I O Mulţimea de definiţie a lui/ este X; l 2° < x, y> s.f şi < x, Yt >e.f implică y = Y1• Ultima condiţie exprimă faptul că un element x Ei X se află în relaţia/ cu un element y e Y şi cu imul singur. · ·. Tradiţional, acest lucru se exprimă astfel: lui x îi corespunde, prin/, un y şi unul singur. Acest element y se notează /(x) sau J~ şi se numeşte valoarea aplicaţiei / pentru elementul x (sau : în punctul x). · Mulţimea valorilor aplicaţiei / se notează /(X). Evident, /(X) C Y . . . . . Dacă /(X} --:- Y, atunci/ este, prin definiţie, un epimorfism (sau încă: o aplicaţie a lui X pe mulţimea Y). :Mai general, dacă A ~ X, se pune_ ţimii

/(A)

f(A) se

numeşţe

=

{y: /(x)

imaginea prin/ a

= y,

x Ei A};

mulţimii

A.

Mulţimi

17

În loc de aplicaţie se utilizează, fără preferinţe speciale, termenii: transformare, operaţie, .operator1 •· Vom scrie că / este o aplicaţie a mulţimii X în mulţimea Y astfel :

funcţie,

f:X ➔ Y.

Dacă nu este poate nota ·astfel :

necesară

specificarea X ➔

mulţimilor

X, Y, o

aplicaţie

se

f(x}.

Ultima notaţie este indispensabilă atunci cînd în definiţia funcţiei nu se poate evita simbolul x, ca în exemplul următor, în care X este mulţimea numerelor reale : X

X ➔ --•

1

x

+1

În afară de asemenea cazuri concrete, este util să se distingă între simbolul/(= funcţie) şi /(x) (= valoarea funcţiei/ în punctul x). Este vizibil de altfel că

/e

~

(X X Y), /(x) Ei Y.

Atunci cînd în definirea noţiunii de funcţie se utilizează noţiunea de ,,lege de corespondenţă", se defineşte graficul r I al unei funcţii /, prin egalitatea: _

r,={< x,y>:y

=/(x)}.

În definiţia dată de noi mai sus, o funcţi~ şi graficul său sînt identificate. Această identificare, departe de a constitui un inconvenient, permite o definiţie precisă a. unei noţiuni atît de importante ca noţiunea de funcţie. De altfel, scrierea obişnuită a unui şir de numere reale, adică,

în fapt,

< 1, a1 >, , ... , , ... , care constituie o aplicaţie a mulţimii numerelor naturale în mulţimea numerelor reale, nu este altceva decît graficul, potrivit definiţiei de mai sus, .al acestei aplicaţii. Dacă/ şi g sînt egale, în sensul definit mai sus ( 1.1.1), aceasta înseamnă că -:=::. x, y > ef implică < x, y > E g şi reciproc. Cum x se află în relaţiaf, C8: şi. în relaţia g cu un singur y, rezultă

f(x) 1

2 -

Ultimul termen pare

Funcţii

= g(x)

totuşi să

reale -;i elemente de topologie

pentru orice x EX.

fie preferat în cazul in care X

= Y.

Funcţii reale şi elemente de topologie

18

/

Reciproc, dacă această egalitate are loc şi g reprezintă aceeaşi funcţie, adică/= g.

pentru orice x EX, atunci

Să observăm că relaţia diagonală într-o mulţime X· reprezintă, în fapt, o funcţie: vom numi această funcţie funcţia identică definită pe X. Dacă /(X) = y 0 , vom spune că f este o funcţie constantă pe X.

este o

1.1-.2. Fie /: X astfel încît

funcţie

~

Y o funcţie şi X 0 C X. Dacă / 0 : X 0 ~ Y

x E Xo funcţia

=) /(x)

=

fo(x),

/ 0 se numeşte restricţia lui / la X O şi se notează fx

0

sau /IX 0 •

Dacă, acum, presupunem funcţia/0 : X 0 ~ Y dată, orice. funcţie/ :X~Y pentru care implicaţia precedentă este adevărată se numeşte o extensiune sau o prelungire a lui / 0 la mulţimea X. Din implicaţia de mai sus rezultă că o funcţie dată pe X are o singură r.estricţie la o submulţime X 0 C X dată. Dimpotrivă, nu există o singură prelungire a unei funcţii / 0 definite pe X O la o funcţie / definită pe X. (Cititorul va putea verifica singur, prin exemplu, această ultimă afirmaţie.) Această constatare a fost punctul de plecare al unui şir întreg de probleme care pot fi grupate -într-o aceeaşi formulare generală: Fiind dată o funcţie / 0 definită pe o parte X a unei mulţimi X, cu anumite proprietăţi, se poate prelungi această funcţie la mulţimea X, cu păstrarea acestor proprietăţi ? Vom întîlni, în cursul nostru, astfel de probleme. O funcţie/: X-+ Y, considerată ca o ţelaţie între X şi Y, are o inversă J- 1 , care este o relaţie între Y şi X sau, mai exact, între /(Y) şi X, definită astfel :

eJ- 1

< x, y>Ef.

Dacă B Cf(X), mulţimea {x :f(x) 6 B} se numeşte imaginea reci-· 1 ( B). procă (prin /) a mulţimii B şi ·se notează 1 nu este, în general, o funcţie. Pentru ca 1 să fie o funcţie, Relaţia trebuie, potrivit definiţiei date, să avem implicaţia

J-

J-

< y, Este

acelaşi

X1

/- 1 şi

< y,

X2

lucru a cere verificarea

J(x1) funcţie biunivocă

>E

= Y1,

= Y2 şi relaţia J- 1 este /(x2)

>E

J-

/-

1

=) X 1

=

X2.

implicaţiei

X1

=I= X2

=> Y1 ~ Y2•

f pentru care tot o funcţie se numeşte o funcţie sau o injecţie. o· funcţie care este în acelaşi timp o injecţie şi un epimorfism se numeşte o bijecţie. Este evident că dacă /: X ~ Y este o bijecţie, J- 1 : Y ~ X este o bijecţie. Teoremei de compunere a relaţiilor, valabilă şi în cazul funcţiilor, îi putem da o formă locală foarte utilă în cazul bijecţiilor: O

Mulţimi

şi

19

Te ore ma de co n1 punere a bi j e c ţi ii or. ➔ Z sînt bijecţii, at·unci (g of) este o bijecţie şi

Dacă

g: Y

(g o 1)-l

l: X ·"1' Y '·,

= 1-1 o g-1.

Egalitatea din enunţ este un caz particular al egalităţii demonstrate în 1.3.4. Rămîne să arătăm că gol este o bijecţie. În adevăr, dacă x1 e X„ x2 EX, x1 -=I= x2, atunci l(x1} =f.= l(x2), de unde (g o f)(x1} -=I=- (g o f)(x 2).

O b s e r v a ţ i e i m p o r t a n t ă. Este bine să observăm că dacă l este o funcţie, atunci l o 1- 1 este ·o aplicaţie, şi anume aplicaţia identică a spaţiului Y în. el însuşi, în timp ce 1- 1 ol este o relaţie în X. În adevăr, în primul rînd este evident că f o J- 1 cY X Y. Fie atunci,

El, de unde (!fiind o funcţie!) y' = y''. Deci f o J- 1 = 8'. În aldoilearînd,vomobserva căJ- 1 0/r;;;_XxX. Fie deci< x',x''> e 6

1--1 o 1.

Aceasta înseamnă că există y e Y astfel încît < x', y > E / şi < y, x" >E < x", y > ej. Din compararea ambelor relaţii de apartenenţă deducem: _

e.1- 1 -sau

1-1 ol= { < x', x" > : l(x') = l(x")}. Se verifică uşor că această relaţie este reflexivă, simetrică ea este deci o relaţie de echivalenţă în X. Exerciţii: 1° Să se arate că dacă A CX, Br;;;_X, atunci

A r;;;_ B 2°

Să

se arate

că dacă

Y1

r;;;_

=> f(A)

şi tranzitivă:

C l(B).

Y1 C Y, Y2 C Y, atunci Y2 => 1- 1(Y1) C 1- 1(Y2),

1.4.3. Noţiunea de bijecţie ne permite să punem în evidenţă o importantă relaţie de echivalenţă în mulţimea ~(X) a părţilor unei mul+; ,-...ml• .

x1

Vom spune că două părţi A, B ale lui X sînt ecliipotente (saµ: au putere) dacă există o bijecţie: l: A -+ B. Vom scrie acest lucru astfel: A - B. Propoziţia

aceeaşi

p (A,

B)

=

A este

1 X poate fi mulţimea fundamentală T, parte a uneia din aceste mulţimi.

echipotentă mulţimea ~

cu B,

(T),

mulţimea

~~

(T), ... sau o

Funcţii

20

reale şi elemente de topologie

determină în ~(X) o relaţie, care se numeşte relaţia de eckipotenţă a mulţi­ milor. Această relaţie este, în fapt, o relaţie de echivalenţă. În adevăr, în primul rînd, relaţia diagonală în A este o bijecţie a lui A în A, de unde A - A. În al doilea rînd, în baza unei observaţii făcute mai sus

A - B=> B -A. În al treilea rînd, din demonstraţia teoremei de compunere a bijecţiilor rezultă că

A - B şi B - C

=> A

- C.

Să notăm, pentru moment, .cu p această relaţie. Prin definiţie, orice element al mulţimii cît X/p se numeşte un număr cardinal. Un număr cardinal este aşadar o clasă de echivalenţă determinată de relaţia p. Să presupunem, de exemplu, că X-;::)N, unde N este mulţimea numerelor naturale şi să notăm cu N" mulţimea numerelor naturale care nu sînt mai mari decît n. Elementul din mulţimea X/ p care conţine mulţimea N n se notează cu 11, : el este, prin definiţie, un număr cardinal finit. Orice număr cardinal care nu este finit este, prin definiţie, un număr cardinal transfinit. De exemplu, clasa de echivalenţă care conţine mulţimea N este un număr cardinal transfinit. Această clasă se notează astfel : N0 ( citit : alef . zero). Orice mulţime echivalentă cu N" se numeşte o mulţime finită. Orice mulţime care nu este finită este. prin definiţie, o mulţime infinită. Orice mulţime din clasa N0 se numeşte o mulţime numerabilă. O mulţime care este finită sau numerabilă se numeşte o mulţime cel mult numerabilă.

T e o r e m a I. Orice mulţime infinită A conţine o parte numerabilă. În adevăr, mulţimea A conţine un element; fie tzi acest element. Mulţimea

A1 conţine

un element a 2 ;

=A

-

{a1 }

ş.a.m.d.

Mulţimea

este

numerabilă. 1

bilă,

T e o r e m a II. atunci

Dacă

A este o

mulţime infinită şi

D o mulţime numera-

AUD - A. 1

în § 6 (în special în 1.6.4.) vom avea justificarea acestui raţionament.

Mulţimi

21

În adevăr, în baza teoremei 1, A conţine o parte numerabilă D1 • Fie A1 = A -· D1 • Rezultă că A= A1 U D1 şi

AUD= (A1UD1)UD Dar DUD1 este o

= A1U(DUD1).

mulţime numerabilă.

Deci

A1UD1 - A1U(DUD1),

adi~ AUD - A. Exerciţii: I Să se arate că toate intervalele deschise sînt echipotente între ele. R: Dacă (a, b) şi (c, d) sînt două astfel de intervale, aplicaţia x ➔ ➔ ax+ ~' cu aşi~ convenabili aleşi, constituie o bijecţie a primului inteţval în al doilea. 2° Să se arate că un interval (a, b) este echipotent cu mulţimea R a. numerelor reale. R: Bijecţia x ➔ ~arată că (a, b) este echipotent cu (O, oo), iar bijecţia O

x-b

x ➔ logx arată că (O, oo) este echipotent cu (- oo,

3° Fie Q

mulţimea

· numerelor

raţionale.

Să

+ oo). se arate

că

Q Ei N0 •

1.4.4. Există mulţimi infinite care să nu fie numerabile? Un exemplu simplu de o astfel de mulţime (istoriceşte primul exemplu, dat de G. Cantor) este constituit de mulţimea R a numerelor reale. În baza exerciţiului 2° de mai sus este suficient să arătăm că mulţimea numerelor· intervalului (0,1) nu este numerabilă. Să presupunem că această mulţime ar fi numerabilă şi fie, în acest: caz, an numărul real din (O, 1) care corespunde lui n. Utilizînd reprezentarea zecimală (de exemplu; în fapt, orice reprezentare este bună), putem scrie numerele ai, a 2, ••• sub forma de fracţii zecimale cu o infinitate de cifre~

Vom defini acum un

ai

= o,

auai2

a2

= o,

a21a22 • • • a2n

număr

b

unde bn poate fi orice

ain

real b din (0,1}, în

= O,

b1 b2

cifră afară

• • •

feluLurmător:

b,. ••. ,

de zero,

nouă

b11 =t=- O, b„=t=- 9, bn=I= a,in-

sau a,m.·

Adică:

Funcţii

22 Prin ipoteză, b trebuie să

facă

şirul

parte din

reale şi elemente de topologie

precedent. Fie, de exemplu,

b.---:- a,..

Dar atunci, în virtutea unicităţii de cifre, ar trebui să avem

Contradicţia obţinută arată că rabilă este absurdă.

reprezentării

ipoteza

că'

zecimale cu o infinitate

(0,1) este o

mulţime

nume-

Se obişnuieşte să se noteze cu C (a treia liter~ a alfabetului minuscul gotic) clasa de echivalenţă din care face parte mulţimea (0,1), ·deci şi mulţimea

R.

1.4.5. Imaginile directe, · ca şi imaginile·· reciproce prin o funcţie dată /, vor juca mai tîrziu un rol important. De aceea considerăm necesar să stabilim de pe acum cîteva relaţii în care intervin aceste imagini : T e ore mă. Dacă f: A -+ B respectiv din A şi din B, atunci

şi dacă

uy) = u r-1 (n Y) = n /lu X)= u J-1 (

(I)

mulţimi,

J-I(Y),

YE1J

(II)

'!t, i sînt familii de

YE'al

J-I(Y),

YE1J

(iII)

.

YE1J

XE'l:

(IV)_

f

f(X),

XE'!

(D/) C xr:l f(X)·

În adevăr, fie xeJ- 1 (UY). Aceasta înseamnă că /(x)EUY, deci există YE1J

cel că

YE~

puţin

o mulţime Y a familiei-~ pentru care /(x)eY. Aceasta x6j- 1 (Y), de unde xeuf- 1 (Y).

înseamnă

YE1J

Reciproc, dacă x aparţine ultimei reuniuni, atunci există cel puţin o mulţime J- 1 {Y) pentru care. xeJ- 1 (Y), adică /(x)eY, de unde /(x)eUY, YE1J

Dar aceasta

înseamnă că

XE/.

şi

egalitatea (I) este

stabilită.:

1

(

LJ Y)

l'E1J

-

23

Multimi

După o schemă analogă de raţionament se poate stabili egalitatea (II). Pentru stabilirea egalităţii (III) vom observa că dacă y 0Ef( U X), atunci ·

există

XECf

/(x0) = Io6f(X0)

~

.

= Yo•

x0eUX, astfel încîtf(x0 )

XECf

Fie X 0e 1t astfel incit x0EX0 • Atunci

U J(X). Deci

XE1:

f (

LJ X) ~ XEC! LJJ(X).

XE'X

Fie, acum, y 1 6 U /(X).

Există

X 1 astfel incit

XE':l

de unde

LJ /(X) C

/ (

XE'?t

şi

egalitatea (III) este

LJ X) ·

XE~

stabilită.

Pentru stabilirea incluziunii (IV) vom considera· un punct yef( .

Există

xenx,

astfel încît J(x)

XE'?t

nX).

XE~

= y.

Din apartenenţa precedentă rezultă că .

xeX- pentru orice Xe ~,

deci y

= f(x)e.f(X)

pentru orice Xe~,

,•.

adică

yE

n /(X), XE'i:

de uud~ incluziunea (IV). Obs e r· va ţie import a· n tă. Se poate da uşor un exemplu în care incluziunea din relaţia (IV) este o incluziune strictă. Să luăm X' şi/: x -+

x

2

•

=

(-1,0],

X"

=

[O, 1)

Aici avem /(X'

n X") =

{O},

f(X')

= /(X") = [O, 1),

deci

f(X'

n X") C f(X') nJ(X").

Funcţii reale şi elemente de topologie

24

§ 5. FUNqlA CARACTERISTICA A UNEI MULŢIMI.

LIMITELE EXTREME ALE UNEI FAMILII DE 1.5.1. Fie A o parte a

spaţiului

T.

MULŢIMI

Aplicaţia

XA: T ➔ R definită

pentru fiecare element t Ei T astfel

= { 1, dacă t E~A,

xÂ(t)

O, se

numeşte funcţia caracteristică 1

a

dacă

te A,

mulţimii

A.

Evident: 1 ° ~=O, 2° XT

=

l,

3° VA : XA rată

adică

x0 (t)

= O pentru orice· t Ei T;

adică

Xr(t)

=

+ XcA =

1 pentru orice t E T;

1.

Orice aplicaţie/: T ➔ R care ia numai valorile O şi I poate fi consideca funcţie caracteristică a mulţimii

=

A definită

{t :/(t)

=

1}.

1.5.2. Fie {An}nEN un şir de părţi ale lui T. pentru orice t E T de egalitatea

=

f(t)

a evident numai valorile O şi 1.

lim sup

x..f (t)

Există

deci o

ff➔ CIO

I=

Funcţia/:

T

➔

R

n

mulţime

E astfel încît

XE•

Această mulţime se cheamă limita superioară a şirului {A,.}. În scris

E

=

lim sup An. n➔GO

Funcţia Există

g: t

deci o

➔

Iim inf XÂ (t), ia, de asemenea numai valorile O fl➔ CIO

mulţime

fi

F astfel încît

c=xF• 1

După de· La Vallee Poussin, care a introdus această noţiune în ştiinţă.

şi

1.

Mulţimi

25

:Mulţimea F se numeşte limita inferioară a şirului de mulţimi {A,.}. În

scris

F

=

liminf An. n➔ 00

~

Deoarece g

f,

rezultă că dacă

g(t)

=

1, atunci /(t)

=

1, deci

lim inf A„ C lim sup An. Dacă

= F,

E

şirul

definiţie,

{A,.} este, prin

convergent.

Să observăm că din definiţia lui/ rezultă că /(t) = 1 în punctele t pentru care X..t (t) = 1 pentru o infinitate de indici n şi numai în aceste puncte. n De asemenea, g(t) = 1 în punctele în care XA (t) = O pentru un numiir n finit de indici n şi riumai în aceste puncte.

o nouă definiţie a limitelor extreme ale unui şir de mulde noţiunea de funcţie caracteristică : · I. Limita superioară a unui şir {An} de mulţimi este mulţim~a punctelor din T care aparţin unei infinităţi de mulţimi din şirul considerat. II. Limita inferioară a unui şir {An} de mulţimi este mulţimea punctelor din T care aparţin aproape tuturor mulţimilor din şir (adică: tuturor mulţimilor şirului, cu excepţia unui număr finit din ele). Această definiţie a fost dată de E. Borel. De aici

rezultă

ţimi, independentă

Exerciţii:

1° Să se arate că orice şir ascendent 1 de mulţimi {A,.} este convergent. Care este limita acestui şir ? 2° Să se arate că orice şir descendent {A,.} de mulţimi este convergent şi să se determine limita sa. 3° Care sînt limitele extreme ale

4°

Să

se

stabilească relaţiile

şirului

A, B, A, B, ..• ?

:

n LJA,., 00

lim sup An=

00

m=l n=tn

LJ n A,.. 00

lim inf An

=

00

m=l n=m

1

pentru

Un

şir

şirurile

{An} de mulţimi este ascendent dac~ n descendente.

< m =) An~ A 111 •

Definiţie

simetlic§:.

Funcţii reale ti elemente de topologie

"26

§ 6. RELAŢII. DE ORDINE

1.6.1. O

relaţie tranzitivă

.o relaţie de ordine.

într-o

mulţime

X este, prin

definiţie

·

Exemple: 1° Relaţia

mulţimea R a numerelor reale este

,;Ep,

sau

< x", x' >Ep.

Ori de cite ori o relaţie de ordine este totală, vom specifica în mod ex-pres' ·acest lucru~ .. · Relaţiile de ordine din exemplele 1°, 2°, 5° sînt totale; celelalte, nu. Fie X o mulţime în care este definită o relaţie de ordine ,, 5}

•.,·: · majorantă

are_: o

Ad

vidă. Mulţimea minorantă

As

: o ·mulţime O

mulţime

As nu este

vidă;

= {1, 2, 3, 4, 5}.

A este majorată (în X) A este minora tă (în X)

dacă dacă

Ad =I= 0, As 7 0.

1° Să se dea un exemplu în care Ad =As= 0. 2° Fiind dată o familie tl de părţi ale mulţimii T, cu relaţia de ordine ,,C'', să se determine familia majorantă şi familia minorantă a lui et 3° Dacă în mulţimea Ad există dA care să fie un minorant al lui Ad, · acest element se cheamă un suprem al mulţimii A. Definiţie analogă pentru ,,infimul" qnei mulţimi A. Să se arate că dacă relaţia de ordine din X este reflexivă, atunci orice mulţime A are cel mult un suprem şi cel mult un infim. · Exerciţii:

..

Fie X o mulţime în care este definită o· relaţie de or:dine Vo~ spune că .o.parte A a lui X admite un element maximal (subînţ~~e$r: în '1:8:P,Ort cu_ relaţi~ ,, A2 , iar, pe de

altă

parte, A2

= (go/) (A).

Cum g of este o bijecţie, rezultă că A -A 2 • 1 G. Cantor, fondatorul teoriei mulţimilor, a considerat .această proprietate ca evidentă. Acesta este, poate, motivul pentru care unii autori _numesc aceasti teoremă „teorema lui Cantor-Bernstein".

3 -

Funcţii

reale

şi

elemente de topologie

Funcţii

34

reale fi elemente de topologie

Să presupunem că am reuşit să arătăm că A-A1 • Atunci, din A 1 -B deducem A-B, adică a= b. Deci totul revine la a demonstra următoarea propoziţie : Dacă

şi

A-A 2 , atunci A-A 1•

Prin ipoteză, există o bijecţie/: A ➔ A 2 • Pentru a nu încărca scrierea, vom nota tot cu / restricţia lui / la diversele părţi ale lui A. În asemenea condiţii, vom defini recurent şirul {A,.},.eN de mulţimi astfel .·,, I

Î;

t

/(A,.) = A„+2, n = 1, 2, ... Vom arăta că acest şir este descendent. În adevăr, A ::JA 1 :::>A 2• Să

presupunem deci

că

A :::l A1 :::l A2 :::l ••• :::l A,.. Vom arăta că A„ :::l A,.+ 1• În adevăr, din A,._2 ::J A,.'.'""1

deducem adică

A,.=> A„+t• În asemenea

condiţii,

punînd

'E=nA,., nEN

avem descompunerile 011

A

= EU LJ (A,.

(A 0 = A),

- A„+i),

n=-0 011

A1

= EU LJ

(A,,+ 1

A„+2).

-

n=O

Din A,. - A,.+2 , n

= O, I, 2, ... , deducem :

A,, - A„+i -A~+ 2 -A,.+ 8 , n

Vom putea deci defini o

x, g(x)

bijecţie

dacă

g: A

A 1 în modul

următor:

xe E,

= { /(x), dac~ xe A2,, X,

➔

= O, 1, 2, ...

daca XE Â2n-1

A_2n+t -

Â2n,

n n

=

O, 1, 2;

= O,

1, 2, ~-...

. ~:

35

~ulţimi

Evident

x, g- 1 (x)

dacă

xe E.

·

= J- 1 (x), dacă

1X,

.

XEÂ2,. - A2n+1, dacă XEÂ2n-l - A2n

Deci A - A1 şi teorema este

n= =

N

1, 2, I, 2,

demonstrată.

1.8.2. Vom spune că între numerele cardinale a, b, avem relaţia mai mic decît b) dacă pentru Aea, Beb, există B 1CB cu proprietatea A - B1 , dar nu există nici o parte A1 a lui A astfel încît A1 - B. .. . Din teorema lui Felix l:\ţrnstein rezultă că a < b este echivalentă cu ansamblul relaţiilor a< b şi a =I= b, : ·

a.< b (citit: a strict

Exerciţiu. Să se arate că mulţimile (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] sînt echipotente~ R: Se va aplica teorema lui Felix Bernstein, tradusă în limbajul teoriei mulţimilor.

1.8.3. Este natural să ne întrebăm dacă relaţia de ordine definită pentru numerele cardinale este o relaţie de ordine totală sau ţială. Răspunsul la această ~într~bare ne este dat de următ~area. Te o.rem ă. Dacă a şi b sînt mtmere cardinale, atunc~ Fie, în adevăr, A ea, Be b, altfel_ arbitrare şi

,,

=

2x 0c

=

că

cc> c.

Dar

2c.

C.

Din demonstraţie rezultă că mulţimea considerată este echipotentă mulţimea tuturor funcţiilor reale de o variabilă reală.

CAPITOLUL li

ELEMENTE DE TOPOLOGIE GENERALA

§ 1.

niţie, tăţi:

NOŢIUNEA

DE

SPAŢIU

TOPOLOGIC

2.l.1. O topologie asupra unei mulţimi nevide X este, prin defio familie 6 de mulţimi care se bucură de următoarele trei proprie-

D 1 • Intersecţia a două elemente din 8f este un element din Sf. D 2 • Oricare reuniune de elemente din 8r este un element din sr.

D8 • Xear Mulţimea

X se

şi0esr.

·

numeşte spaţiul topologiei fi.

Perechea (X, 6) este, prin definiţie, un spaţiu topologic. Atunci cînd nici o confuzie nu este posibilă, nu vom mai menţiona şi topologia, ci numai spaţiul, spunînd : ,,X este un spaţiu topologic." Mulţimile topologiei 6 se numesc mulţimi deschise ale spaţiului (X, ST). X este o mulţime deschisă şi tot astfel mulţimea vidă este o mulţime deschisă 1.

Într-o mulţime se pot introduce diverse topologii. Cea mai simplă este topologia formată din mulţimea X însăşi şi din mulţimea vidă. Această topologie se numeşte uneori topologia indiscretă sau grosieră. Un alt exemplu de topologie îl constituie familia tuturor părţilor lui X. 4ceastă topologie se numeşte topologia discretă. Un al treilea exemplu de topologie, mai puţin simplu, se obţine luînd drept elemente ale lui ar complementarele de mulţimi finite din X, mulţimea X şi mulţimea vidă. Să verificăm că familia astfel construită 1 Din ce în ce mai mult se utilizează expresia „deschisă", omiţîndu-se cuvîntul „mulţime" Tot astfel, în evoluţia vocabularului matematic, ,,linia dreap1:ă" şi „linia curbii." au devenit pur şi simplu „dreaptă" şi „curbă".

Funcţii reale şi elemente de topologie

-42 -lndeplineşte condiţiile D 1 , D 2 , D3 • Condiţi_a ·făcută. Fie, acum G1 , E fi,_ G2 E Deci

sr.

CG1 -unde F 1

şi

mulţimi

F 2 sînt

=

F1,

CG2

D3 este =

verificată

prin alegerea ·

F2,

finite.

Dar

C(G1 -este

nG

2)

CG1 U CG2

=

F1 U F2

=

= F =

mulţime

finită,

deci D 1

verificată.

Să considerăm,

în

sfîrşit,

o familie {G,hEr de elemente din X. Avem,

-pentru orice i Ei I '.Unde Fi este o

mulţime finită,

De Morgan,

C

u = nC = n Gi

iEI

-deci

de unde, aplicînd una din formulele lui Gi

iEI

Fi,

iEI

LJ Gi Ei m- şi 8r este o topologie asupra lui X. iEI

Vom utiliza mai tîrziu aceste trei exemple de topologii. 2.1.2. Fie xsX. O mulţime V este, prin definiţie, o vecinadacă V conţine o mulţime deschisă căreia îi aparţine x. · , · Din definiţia dată rezultă imediat următoarele proprietăţi : V1 • Orice punct xeX are o vecinătate. Într-adevăr, X este o vecinătate ·pentru oricare din punctele sale. V2 • Dacă V este o vecinătate a punctului x şi U:::, V, atunci U este o "1Jecinătate a lui x. · · (Mai concis: ·Orice „supramulţime" a· unei vecinătăţi este o vecină­ -tate.) . V 3 • Dacă V' şi V" sînt două ·vecinătăţi ale liei x, atunci V' V" este .o· vecinătate a lui x. În adevăr, fie respectiv G' k V' şi G" C V" mulţimile deschise astfel nicît xeG', xeG". ,• . ' Rezultă că xeG' G". Dar G' .U G" este o mulţime deschisă şi G' G" C V' n V". V,. Dacă V este o vecinătate a lui x, există o parte G C V, astfel încît ·y .este o vecinătate a oricărui punct din G. .: ·.· -Mulţimea G din enunţ nu este altceva decît mulţimea deschisă din cdefiniţia lui V.

;tate a punctului x,

n

n·

n

·n

Elemente de topologie generală

43

2.1.3. Este important de ştiut că proprietăţile V1 , V2 , Va, ,V4 sînt suficiente pentru a defini o topologie· ar în felul următor : 1 · · T e o r e m ă. Să presupunem că ataşăm fiecărui punct x al multimii X o familie ~ X de mulţimi, numite vecinătăţi ale punctului X, care conţin punctitl x, avînd proprietăţile V1 , V 2 , V3 , V 4 • Subfamilia 8r a acelor: mulţimi din familia {,\lxEx care sînt vecinătăţi pentru orice punct al lor constituie · o topologie pentru X, în care familia vecinătăţilor unui punct x, în sensul definiţiei iniţiale, este familia ~ x· În adevăr, fie {Vi}iEJ o familie de mulţimi din ar. Dacă x Ei Vt,

LJ

alţfel arbitrar, există un indice jel pentru care xeV;. Dar Vj definiţie, vecinătate pentru orice punct al său şi în particular

;·Cu atît mai mult, în baza condiţiei V2,

presupunem acum

•

este, prin pentru x. V, va fi o vecinătate· a

ier

lui x, de unde

Să

LJ

iEI

că

V' E 8r, V" Ei m-.

Dacă

xaV'n V", atunci simultan xeV', xaV". Dar, prin ipoteza făcută asupra lui sr, V' şi V" sînt vecinătăţi ale punctului x. Deci V' n V" este o vecinătate a acestui punct (condiţia Va), Cum x este arbitrar în V' n V", rezultă V' n V" E ar. că

Cum X

'.X este o

conţine orice vecinătate a vecinătate pentru orice·

unui punct oarecare x al său, punct al său, deci X E $f.

rezultă Aşadar

81 1 ~~te o _topologie asupra lui X. Să considerăm, în această topologie, familia vecinătăţilor unuî punct x~ Am arătat, în 2.1.2. că această familie verifică proprietăţile V 1 , V2 , fa, ..V,: deci este o familie "f x· Cu aceasta, teorema este complet demonstrată. · i'

2.1.4. Observăm că din definiţia unei vecinătăţi mulţime deschisă este o vecinătate pentru orice punct al ei.

,: o

că această

proprietate

caracterizează mulţimile

·. ·· ·T e o r e m ă. O mulţime A este pentrit orice punct al ei.

rezultă

că

Vom vedea

deschise.

deschisă dacă şi

numai dacc1 A este o

vecinătate 1

.:·.

1

Cel care a introdus spaţiile topologice în ştiinţă cu ajutorul

vecinăUl.ţilor

Proprietăţile enumerate de Frechet nu coincid cu proprieUţile cauză că vecinătăţile erau pentru Frechet mulţimi deschise.

a fost M. Frecl,et. l'1 , V 2 , Y:1, V, din text, din

Funcţii reale

44

fi elemente de topologie

· Să presupunem că A este vecinătate a oricărui punct al ei. Atunci, pentru orice punct xeA există o mulţime de~chisă G%' astfel încît xeG% CA.

Evident

şi

mulţime deschisă.

A este o

~.1.5. Orice mulţime F de forma CG, unde G este deschisă, este, prin definiţie, o mulţime închisă. Din formulele lui De Morgan rezultă că reuniunea a două mulţimi închise este o mulţime închisă şi că orice intersecţie de mulţimi 1 îitchise este o mulţime închisă. Spaţiul X şi mulţimea vidă 0 sînt mulţimi închise, ca complemen-. tare ale mulţimilor deschise 0 şi X. Într-un spaţiu înzestrat cu topologia discretă, orice mulţime este în acelaşi timp deschisă şi închisă. Un punct xeX este prin definiţie pimct aderent al unei mulţimi A, dacă orice ~ecinătate a lui x conţine un punct din A. Evident, orice punct xeA este un punct aderent al acestei mulţimi. De aici rezultă că dacă notăm cu A mulţimea punctelor aderente ale lui A, aveni A ~ A. · Mulţimea A se numeşte aderenţa, sau închiderea, mulţimii A. I

-

T e o r e m a I. O mulţime F este închisă dacă şi numai dacă F = F .. În ade+ăr, dacă F = F, atunci orice punct x~F, deci orice punct xe CF este · caracterizat prin proprietatea că există cel puţin o vecină­ tate V x a acestui punct care conţine numai puncte din CF. Prin urmare CF este o ~lecinătate pentru orice punct al ei, de unde rezultă (2.1.4.) că CF este o m·ulţime deschisă. Reciproc, dacă F este o mulţime închisă, fie yeF. Dacă y~F, atunci yeCF, deci\ există o vecinătate V 1 a lui y care ~onţine numai puncte din CF (adică: nici un punct din F). Dar, prin definiţie, ort'.ce vecinătate a lui y (deci şi V,,) conţine un punct din F. Contradicţia obţinută arată că yeF, adică F C F, de unde F = F.·

~

mulţime

T e o r m a Il. Pentru orice A avem A = A (adi~\·: 1nchi~ derea oricărei mulţimi este o mulţime închisă). . În ade~ăr, fie a" EA. Fie, de asemenea, V o vecinătate arbitrară a lui a•. Pin definiţie, există o mulţime deschisă G, astfel încît a''eG CV.

Elemente de topologie generală

45

Mulţimea G este o vecinătate vecinătatea oricărui

a lui a", deci conţine un punct a'eA. punct al ei, în particular a lui a', rezultă că .G conţine un punct aeA. În rezumat: Orice vecinătate a unui punct a"eA conţine un punct aeA, deci AcA, de unde .if = A.

Cum G este

Exerciţii:

1°

Dacă

G este

deschisă şi

F

închisă,

atunci G - F este

deschisă.

2° A C B implică A C B.

3°

4°

A U ·if =

A

U B.

LJAn ~ LJA,.·; nE;.N

nEN

5° Fie c: ~ (X) ~ ~(X) o aplicaţie verificînd următoarele condiţii (axiomele lui C. Kuratowski): · K 1 : c(0) = 0; K 2 :A C c(A), pentru orice A; K 3 : (co c)(A) = c(A), pentru orice A; K 4 : c(A U B) = c(A) U c(B), pentru orice A şi o~~ B. Să se arate că familia g- a complementarelor mulţimilor pentru care A = c(A) 'formează o topologie pentru X. ·în această topologie c_{{l~ A-•.

2.1.6. Un punct xeX este, prin definiţie, un punct de acumulare 1 pentru o parte A C X dacă pentru orice vecinătate Vx a lui x, 1iiulţimea Vs - {x} c_onţine un punct din A .. Cum Vs - {x} C Vs, rezultă că orice punct de ~cumulare al mulţimii A este un punct aderent al acestei mulţimi. Afirmaţia reciprocă nu este adevărată. Este suficient să considerăm .. cazul X = R cu topologia obişnuită, şi A = N. Orice număr natural este un punct aderent al mulţimii N, dar nu este punct de acumulare al acestei mulţimi.

Acest exemplu ne conduce la noţiunea de punct izolat al unei mulţimi A. n punct xeA este un punct izolat al acestei mulţimi dacă există o ecinătate V a acestui· punct, astfel încît, V n A = {x}. Exemplul precedent ne arată că există mulţimi formate numai din puncte izolate. ·· . .- ~ulţimea .- punctelor de. acumulare ale µnei mulţimi A se . numeşte -J. m'l~lţimţa derivată . a . acesteia şi . se notează A' sau A 1 • Din observaţia făcută maLsus ·rezultă că pentru orice ·mulţime_ :A avem A' C X. . ,.

l

l Altă

denumire,

încă Îll · UZ : punct-limită.

?,.

Funcţii reale şi elemente de topologie

46

„

.Deducem

A IncluziuneJ

opusă

este

u A' CA.

evidentă,

•li

de unde descompunerea.

A= AU

importan·ţ~:

A'.

I

Te o r!e mă. O mulţimea F este închisă dacă şi numai dacă F' C 'F. În adevăr, fie F închisă şi xeF'. Dacă x~F, atunci xeCF = G, deci existăl1 o vecinătate a lui x, anume chiar G, care nu conţine nici un punct din F, ceea ce contrazice definiţia lui F'. Aşadar xeF. • ~ecip~oc, dacă F' C F, atunci FU F' C F, adică F ~ F, de unde F = F şi F este o mulţime închisă (2.1.5.).

Exercitu: I O Aderenţa unei lJ!Ulţimi este intersecţia tuturor mulţimilor închise care conţin această mulţime. · 2° În topologia discretă, nici un punct al spaţiului nu poate fi punct de acumulare pentru vreo mulţime spaţiului. 3° În !,topologia grosieră, orice punct x al spaţiului este punct de acumulare peritm orice mulţime a spaţiului (afară de mulţimea vidă şi de mulţimea {x}). I

•

a

I

I

2.1.7. Un punct xeX este, prin definiţie, punct interior pentru A dacă A este o vecinătate a lui x. Mulţin;iea punctelor interioare ale unei mulţimi A se notează Int A, sau Â. . Din dţfiniţie rezultă că o mulţime deschisă G este caracterizată de proprietate~ de a fi formată numai din puncte interioare. Deci, dacă G CA, atunci G C Int A. ·· Cum orice punct x E Int A este astfel încît există o mulţime deschisă Gs cu proprietatea · .

mulţimea

1

xeGz ~ A,

1

'

r~ultă,

în definitiv,

că

1

I

Int A Deci Int A este o

=

LJ {G: G C

mulţime deschisă

A, G E 6}.

(eventual

vidă).

Dacă A 'este o parte a lui X, mulţimea Int CA se numeşte exterţorul lui A şi se notează Ext A_. Din raţionamentul de mai sus rezultă·· că Ext A este o mulţime deschisă (eventual vidă). · Mulţimea punctelor spaţiului X care nu sînt nici interioare nici exterioare unei părţi date A constituie, prin definiţie, frontiera lui A şi se notează FrA. Orice punct al acestei mulţimi se numeşte punct-frontieră al

OPERATORI LINIARI

ŞI

SPAŢII

EUCLIDIENE

Matricea unui operator simetric, intr-o bază ortonormală oareoar.e, este o matrice simetrică, adică elementele «.;; ale matricii satisfac condiţia

=

(i, j

1, 2, ... , n).

Reciproc, dacă într-o anumită hază ortonormală matricea A a unui opera tor liniar U este simetrică (deci A = A*), atunci U este simetric. 2.5. Operatorii simetrici ca operatori diagonali

Lema 2.5.1. Dacă U este un operator simetric pe spaţiul euclidian n-dimensional (;l;, atunci unul dintre numerele ± li U li este un număr propriu pentru U. Demonstraţie. Fie x 0 E (1J cu li x 0 li = 1 şi astfel ca

li UII = li U(xo)II. Atunci x 0 este un element propriu pentru U2, propriu li U 112• Intr-adevăr, punînd U(xo)

=

corespunzător numărului

Yo

avem li U 11 2 = ( U(x 0 ), U(xo)) = {Yo, U(xo)) = ( U(yo), Xo) şi

folosind inegalitatea lui Cauchy-Buniacovschi, precum din 2.2 li u11 2 = (U(yo), Xo) li U(yo) 1111 Xo li = li U(yo)


, adică ·există o bază în care matricea operatorului este o matrice diagonală.

2.6. Expresia canonică a tmei funqionale pitratice ortonormall

i~tr-o

bazi

Fie ,Z un spaţiu euclidian n-dimensional. Dacă V este o funcţională pătratică pe spaţiul q;, atunci există o bază ortonormală în (1J faţă de care V se reduce la expresia canonică. '. • . Într-adevăr, fie U funcţionala biliniară simetrică pe (X; x (;l;, aşa ca V(x) şi

=

TJ(x, x),

fie W operatorul definit prin formula (x~ W(y))

=

U(x, y).

Operatorul W este evident· simetric. ln baza celor. arătate în; se~ţi~nea care matricea lui W este diamatricea funcţionalei U, de

există o bază ortonormală E în raport cu gonală. Această matrice este în acelaşi timp unde rezultă că E este baza căutată.

2.5,

135

•

SPAŢII

EUCLIDIENE

Să considerăm acum spaţiul euclidian Rn. ortonormală formată din elementele

Vom considera în acest

spaţiu

baza

e1 ~2

=

(1, O, O, ... , O) = (O, 1, O, ... , O)

en =

(O, O, O, ... , 1). ţn), atunci

Dacă ~

= (ţ 1 , ţ 2 , ••• ,

Fie V o

formă pătratică

pe R". Atunci V(x)

n

E oe;;~;~;,

=

(1)

i,j=i

unde oe;;

= oe;;,

j = 1, 2, ... , n).

(i,

ln haza celor arătate la începutul seqţiunii, există o bază ortonormală care forma pătratică V se reduce la expresia canonică. Există deci i..1 , )..2 , ••• , Ân, aş~ ca pentru

F

să

= {(1 , ( 2 , ••• , f n} în

avem· n

V(x)

= B i..;-ri.

(2)

i=i

Dacă

cap. I) .. '

C este matricea de trecere de la baza E la baza F, atunci (5.10,

·

n

~: =

E Y;;-r;,

(3)

(i=i, 2, ... , n),

j=i

unde Y;; sînt elementele matricii C. Deci (2) se

§

3.

Suprafeţe

obţine

înlocuind (3) în (1).

de ordinul al doilea

3.1. Suprafete de ordinul al doilea irÎ spatiul Rn

de ordinul al doilea în spaţiul Rn, dacă n > 2, de ordinul al doilea, dacă n = 2, mulţimea tuturor punctelor x = = (~1, ~ 2, ••• , ~n) E R" satisfăcînd o condiţie de forma V(x) + 2 f(x) + y = O, (1) unde V este o funcţională pătratică, f o funcţională liniară, iar y o constantă. Se

şi curbă

136

numeşte suprafaţă

SUPRAFEŢE

Deoarece V

şi

•

DE ORDINUL AL DOILEA

f sînt de forma V(x)

1,

E ix;;ţ;ţ; ,, i=

=

1

n

f(x)

= B ~;ţ;, i=i

ecuaţia

(1) se poate scrie n

B

IX;;ţ;ţ;

~j=i

Conform celor

arătate

în

n

+ 2 E ~;ţ; + y = o. ,-1

secţiunea

(2)

2.6, printr-o transformare de coordo-

nate n

~i

= E Y;i'r;,

(i

= 1, 2, .. :, n),

J=i

obţinem n

V(x)

= E Â;-r?.

(3)

1=1

Dacă

în noile coordonate avem f(x)

,. =E

µ;-r;,

, ... 1

atunci

ecuaţia

(2) devine n

"

E A;-r? + 2 ~ µ;-r; + y = o. i=t

(4)

1=1

Să considerăm unul din coeficienţii nenuli din expresia (3) a lui V(x). Fie, de exemplu, Â 1 -::/= O. Punînd

e1 =

't"1

av·em *

Pacă

(J.1 . -,

+ Â1

Âs =I= O, facem mai departe o tran~formare

asemănătoare

de co-

9rdonate. * Transformarea de coordonate

efectuată

tangent T(a; Rn), unde-a= ( - ~: , O, ... ,

revine la a considera

ecuaţia

o)• (A se vedea secţiunea 1.6)

în

spaţiul

137

•

SPATII EUCLIDIENE

Presupunînd i..; =I= O pentru 1 ~ i ~ r se poate transforma în următoarea ,

n

i=1

i=r+i

. E A;0f + 2 E Dacă

IJ.;

=

O, (j = r

+ 1, ... , n),

şi

µ;0;

atunci

Ai= O pentru i

> r,

ecuaţia

+ v = o.

ecuaţia (5)

(4) (5)

devine

,

E i..;0f + v = o.

(6)

i=i

Să presupunem însă că cel puţin unul dintre numereleµ;, (j = r este nenul. 1n acest caz vom face transformarea ·de coordonate

0;, G;

=

{

+ 1, ... , n)

(i=1, 2, ... ,. r) 1

n

- -cp ; ...E,+f µ;0;,

(i=r

+ 1)

unde

iar c;,+ 2, ••• , an vor fi luate astfel ca matricea transformării Ecuaţia (5) capătă forma

să

fie

ortogonală*.

,

E AjGf = 2cp;

=

.

= 1, 2, ... , r) V

•

{ a,+1--, (i=r} 2cp

ecuaţia

(7) devine

(8) Pentru simplificare vom vorbi în continuare de suprafeţe, ştiind însă că în cazul n = 2 cuvîntul > trebuie înlocuit cu >. 1n cazul cînd ecuaţia unei suprafeţe S s-a putut reduce Ia forma (6) se zice că S este o suprafaţă cu centru. ln caz contrar se zice că S este o suprafaţă făcă centru, ecuaţia ei putînd fi redusă Ia forma (8). Ecuaţiile (6) şi (8) se numesc ecuaţiile canonice ale suprafeţei, şi anume ecuaţia (6) este ecuaţia canonică a suprafeţei cu centru, iar ecuaţia (7) este ecuaţia canonică a suprafeţei fără centru. * Pentru ca matricea transformării coordonatelor să fie ortogonală, ţinem seama suma pătratelor elementelor unei linii din matrice trebuie să fie egală cu unu.

138

că

SUPRAFEŢE

•

DE ORDINUL AL DOILEA

Prin centrul unei suprafeţe S de ordinul d~i se înţelege un punct x 0 E Rn cu proprietatea că dacă x 0 + x E S, atunci şi x 0 - x E S. 0 suprafaţă cu centru admite un centru în sensul definiţiei date, deoarece, dacă ecuaţia lui S se reduce la forma (6), atunci I punctul x 0 corespunzător· lui 81 = 82 = ... = 8, = O este centru. O suprafaţă a cărei ecuaţie se redqce la forma (8) nu are centru. Să observăm de asemenea că, pentru o suprafaţă cu centru, centrul este unic. Intr-adevăr, dacă x 0 este un punct avînd proprietatea unui centru şi dacă x 0 corespunde lui 8~, 8~, ... , e:, atunci din

,

E A;(6t + 8;) + 2

V

=o

i-=1

rezultă

(9),

!

1

,

E M0: -

0;) 2

+ v = o~

(10}

i=i

Prin

scădere,

din (9)

şi

(10)

obţinem

,

E A;8i8; = o. i= t

Luînd 81 =I= O şi 82 = 83 = ... = 8, = O, găsim )~18~81 = O şi deci 8f = O~ Analog găsim 8~ = 8~ = ... = = O. O suprafaţă cu centru se zice nedegenerată dacă r = n şi v =I= O. O suprafaţă fără centru este nedegenerată dacă r = n - 1 şi cp =I= O. Dacă S este o suprafaţă cu centru, nedegenerată, atunci ecuaţia (6) se poate scrie sub forma

a:

n

a,

i=t

± «!

E-=1, unde

(11}

""•=VI ;.i, (i=1, 2, ...•

n).

Numerele a.; se numesc semiaxele suprafeţei: Pentru simplificare vom presupune că ecuaţia (11) se scrie sub forma

E .1=1

2

6;

·

n

6k2

'!

-2 - "-=1 L.J ·2 ' a.i

(12}

k=P+i rtk

ceea ce revine la o renumerotare a coordo~atelor. Aici p ! poate lua una din valorile 1, 2, ... , n şi corespunzător obţinem: n tipuri de suprafeţe. In cazul spaţiului R 2 avem 2 tipuri de curbe (cu centru, nedegenerate): pentru p = 1 obţinem hiperbola, iar pe~tru p = 2 obţinem elipsa. Cazul spaţiului R 3 va fi prezentat în secţiunea următoare. · 139

•

SPAŢII

EUCLIDIENE

=

Dacă în ecuaţia (6) avem v O, atunci o dată .cu un sistem (61 , 62 , ••• , 6n) ecuaţia este satisfăcută şi de sistemul (j„6 1 , )..62 , ••• , A8n), oricare ar fi A real. Rezultă că su praf aţa este constituită dintr-o familie de drepte care trec printr-un punct (cu excepţia cazului cînd toţi A; au acelaşi semn şi atunci suprafaţa se reduce la un punct). Su prafaţa S se zice în acest caz suprafaţă conică.

ln cazul unei suprafeţe fără centru, nedegenerată, ecuaţia ei se poate pune sub forma f,

n-t

Ca>~

f

E ~~ - k=P+t ~ ~ = 2wn. i=l l"'k 2

l"'j

Singura curbă de acest tip în R 2 este parabola. Dacă în ecuaţia canonică a unei suprafeţe S numărul coordonatelor w; cu coeficienţi nenuli este mai mic decît n, atunci S se numeşte suprafaţă cilindrică. 3.2. Suprafete de ordinul al doilea în spaJiul R 3

ln această secţiune vom nota prin p = (~' "/l, ~) un punct oarecare al R 3• Vom considera, de asemenea, imaginea geometrică obişnuită 3 a lui R • ln spaţiul R3 avem 3 tipuri de suprafeţe cu centru, nedegenerate. Ecuaţiile lor canonice sînt spaţiului

1;2

'1)2

~2

-+-+-=1 r,.2 (32 y2

(1)

~+±_i._~= 1

(2)

y2

r,.1

(32

1;2

'1)9

~2

a,2

(32

y2

-----=1

(3)

'

unde ex, ~' y sînt mai mari ca zero.

t

~

140

Fig. 2

SUPRAFEŢE DE

....

ORDINUL. AL DOILEA

r

Fig. 3

Suprafaţa avind ecuaţia (1) se numeşte elipsoid (fig. 11.·2). Secţiunile ou planele -~ = O, "t) = O, ~ = O sint elipse. S~oţiunea cu un plan t = Â este de asemenea o elipsă, dacă I Â I < y. Dacă I Â I.> y, planul nu inte~sectează · elipsoidul, iar dacă I Â I = y, intersecţia este UD; punct.. Suprafaţa avînd ecuaţia (2) se numeşte hiperboloid cu o pînză (fig. 11.3), iar supraf aţa avînd ecuaţia (3) se numeşte hiperboloid cu două pînze. Evident, ecuaţia · .

· ;2

+ 7)2 -

(1.2

defineşte tot un hiperboloid conjugaţi.

cu

~2

două

l;2

=-

-y2· .

1·

(4_ )

pînze (fig.11.4). Hiperboloizii (2)

şi

(4)

se zic

Fig. 4

141

•

SPAŢII

EUCLIDIENE

Intersecţia hiperboloidului cu o pînză (2) cu planul ~ = O este o ~lipsă, numită elipsa colier a hiperboloidului. Intersecţiile ou planele 1l = O şi ~ = O

ou un plan ~ =  este o elipsă. hiperboloidului ou două pînze (4) ou planele 1l = O şi ~ = O -sînt hiperbole. Planul ~ =  nu intersectează hiperboloidul dacă I A I y; -dacă I).. I = y, atunci intersecţia este un punct {punctul (O, O, y) sau (O, 0,-y), -după cum  = y sau A = -y); dacă I AI > y,· atunci intersecţia este o elipsă. In spaţiul R 3 avem două tipuri de suprafeţe fără centru, nedegenerate. Ecuaţiile lor canonice sînt

:sînt hiperbole.

Intersecţia

Intersecţia


O, este o elipsă; pentru

:seoţia

=

< O, planul nu intersectează suprafaţa. = O sînt parabole. Intersecţia cu planele

A O se obţine un punct; dacă A Intersecţiile ou planele 1l ----: O şi ~ ~ µ, 1l v sînt parabole.

=

=

Suprafaţa avînd ecuaţia (6) se numeşte paraboloid hiperbolic (fig. II.6). ·Planul ~ O intersectează această suprafaţă după două drepte. Intersecţia -ou un plan ~ = A, A -=I= O este o hiperbolă. Intersecţiile ou planele ~ µ, 1l v sînt parabole„

=

=

=

t

Fig. 5

'142

Fig· 6

SUPRAFEŢE

•

DE ORDINUL AL DOILEA

& 4. Proprietăţi diferenţiale ale curbelor şi suprafeţelor 4.1. Curbe în spatiul Rn

Prin funcţie vectorială se înţelege, în general, o funcţie ale cărei valori sînt elemente ale unui spaţiu liniar *. Vom considera funcţii ou valori în spaţiul euclidian Rn. Fief o funcţie definită pe o inulţime TcR, cu valori în Rn. Dacă t 0 este un punct interior lui T, funcţia f se zice continuă în punctul t0 , dacă lim li f(t) - f(to) li t ➔ to

Continuitatea pe intervale se Dacă punem f(t)

defineşte

= (f1(t),

= O.

ca

şi

în cazul

funcţiilor

reale.

({>2(t), ••• , n(t),

atunci condiţia ca f să fie continuă într-un punct t 0 este echivalentă cu condiţia ca funcţiile q>;, (i = 1, 2, ... , n) _să fie continue în t 0 • Noţiunea de derivabilitate, precum şi derivata unei funcţii cu valori în R" se defineşte ca şi tn R 3• Funcţia feste derivabilă într-un punct t 0 dacă şi numai dacă funcţiile cp;, (i = 1, 2, ... , n) sint derivabile în t 0 şi avem f'(to)

este

= (cpHto), q>~(to), •··, q>~ (to).

Dacă fşigsînt derivabile derivabilă în t 0 şi

h'(t 0 )

=

într-un punct t 0 , atunci

(f'(t 0 ), g(t 0 ))

+ (f(t

0 ),

funcţia h(t)

= (f(t),g(t)}

g'(t 0 )).

Verificarea este imediată. Derivatele laterale ale unei funcţii cu valori în Rn, precum şi noţiunea de funcţie derivabilă într-un interval oarecare se definesc în mod obişnuit. Cazul vectorilor legaţi (1.8) se tratează într-un mod evident. · O mulţime L de puncte ale spaţiului Rn, de forma f(T) = {f(t) I te T}, unde T· este un anumit interval al dreptei reale **, iar f o funcţie continuă pe T cu valori în Rn, se numeşte curbă. . . Curba L este deci mulţimea punctelor ( ; 1 , ; 2 , ••• , ~n) E Rn date de egalităţile

~1 = ({>1(t), ~2 = ({>2(t), •••, ;n = fn(t) (1) cu te T. Se spune că egalităţile (1) reprezintă ecuaţiile parametrice ale curbei. Se mai spune că curba L este dată parametric (prin ecuaţiile (1)), iar variabila t se numeşte parametru.

* ln voi. I am considerat funcţii vectoriale cu valori în R3 • •• Intervalul T poate fi şi o semidreaptă sau toată dreapta. 143

.•_ _ _ _ _ _ _ _ _s_P_A_T_II_E_u_c_~_ID_I_EN_E_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

O pe L.

curbă

L se

numeşte curbă simplă dacă funcţia

f

aplică

biunivoc T

fo geometria diferenţială se consideră însă cazul cînd o curbă este definită de o

= o

funcţie derivabilă.

ln ceea ce urmează, cind ·vom spune curbă, vom înţelege o curbă L f( T) dată de o funcţie f, care admite o derivată continuă pe T. Obserpaţie. ln cazul spaţiului JfJ, încă o cale de a defini o

ecuaţie

N0). O parte infinită oarecare A a lui X intersectează toate mulţimile deschise din X. Deci orice punct xEX este punct aderent pentru A, de unde A = X. În particular, pentru o parte numerabilă DC X vom avea D = X, deci X este de tip numerabil. Vom arăta că X nu are o bază numerabilă. Să presupunem contrariul : fie, în această ipoteză, ~ = {B,,}neN baza spaţiului. Fie, de asemenea, x Ei X, altfel arbitrar. Să notăm cu {Bk,)neN subfamilia acelor mulţimi din ~ care conţin punctul x. · Mulţimea

Ho=

n {Bkn: xe Bkn}

nEN

conţine evident punctul x. Se poate arăta că H 0 = {x}. În adevăr, dacă x' =I= x şi x' Ei H 0 , mulţimea X - {x'} este deschisă, deci o reuniune de mulţimi

din ~:

X - {x'}

=

LJ Bhn· nEN

Dar cum mulţimea X - {x'} conţine punctul x, există cel puţin o B,,,. care conţine acest punct. Cu alte cuvinte, există un indice n 0 pentru care Jz„ = k,,_. Cum, pe de altă parte, x' ~ Bh,,,· înseamnă mulţime

LJ

0

că

x'

nici una din mulţimile B,,n, deci nici B "'Io .. , nu H 0•

~

conţine

nEN

punctul x'. Deci

Funcţii

52

reale şi elemente de topologie

Dar din

n {Bk,,:

xe Bkn}

=

{x}

nEN

d~d_ucem, aplicînd una din formulele lui de Morgan,

LJ CB,,,, = X

- {x},

nEN

egalitate din care ar rezulta că X este o mulţime cel mult numerabilă, ceea ce este contrar ipotezelor făcute. Aşadar (X, 6') nu are o bază numerabilă, deşi este de tip numerabil. 2.2.3. Fie A o parte a spaţiului {X, 6'). punct a e A facem să-i corespundă o

Dacă fiecărui

vecinătate

Va,

familia ~A

= {Va}aeA

co1.1stituie o acoperire a mulţimii A. Dacă vecinătăţile Va sînt, toate, mulţimi deschise, atunci familia C\c:, A constituie, prin definiţie, o acoperire deschisă a mulţimii A. · Orice familie ~~ C ~ A de mulţimi deschise care constituie o acoperire deschisă a lui A, este, prin definiţie, o subacoperire a lui ~ A· Cu aceste definiţii putem da următoarea importantă teoremă de acoperire:

T e o r e m a d e a c o p e r i r e a I u i L i n d e I o f. Orice acoperire

deschisă

a unei părţi A a uniti spaţiu X cu bază numerabilă conţine o subacoperire deschisă numerabilă. În adevăr, fie a: acoperirea deschisă dată. Fiecare element al lui a:, ca mulţime deschisă, este o reuniune numerabilă de elemente ale bazei (numerabile) ~ a spaţiului. Prin urmare, putem acoperi mulţimea A cu o subfamilie 8PJ' a lui di\. Dar fiecare element Bkn din di\' face parte din o reuniune care constituie un anumit element din a:. Să notăm cu Akn acest element. Familia d'

constituie o acoperire

=

{Ak }neN ' n

deschisă numerabilă

Exerciţii: 1 ° Să se arate că spaţiu cu bază numerabilă

a

mulţimii

A.

orice familie de deschise disjuncte ale este cel mult numerabilă. R : Fie (j o astfel de familie şi 8PJ = {B,.} baza numerabilă a spaţiului. Fiecare G 6 p, oricare ar fi x EX. 4° Un homeomorfism/: (X, ff) -+ (Y, 6lf} duce un pact într-un spaţiu local compact.

spaţiu

local com-

71

Elemente de topologie generală

§ 8. SPAŢII HAUSDORFF

2.8.1. Să considerăm un şir {x,J„EN de puncte din spaţiul topologic (X, U). Vom spune că acest şir tinde (sau converge) către punctul a EX dacă orice vecinătate V a lui a conţine toate punctele şirului, afară de un număr finit. · ·,. Este ~Iar că dacă şirul {x,,} converge către a, orice subşir al său {xk,) converge către acelaşi punct. Dar limita unui şir nu este în general unică. Să considerăm exemplul următor : X este o mulţime infinită, fi este formată din mulţimea X, mulţimea _vidă şi complementarele de mulţimi finite. Într-un astfel de spaţiu topologic, orice şir {x,,} avînd termenii diferiţi doi cite doi, este convergent, şi anume către orice punct a al spaţiului. În adevăr, orice vecinătate V a lui a lasă în afară un număr finit de puncte din X şi cu atît mai mult un număr finit de termeni ai şirului considerat . . Aşadar, o teorie a convergenţei într-un astfel de spaţiu este imposibilă. D'e aici necesitatea de a restrînge generalitatea spaţiilor topologice considerate, prin introducerea unei noi axiome :

Axioma I u i Ha u s dor f f. Pentru orice pereche de puncte (x, y) există două vecinătăţi

Vx, V 1 ale acestor pu,ncte, disjuncte între ele. se numeşte o denumire

spaţiu topologic în care este verificată această axiomă un spaţiu al lui Hausdorff sau un spaţiu T2 , sau, în sfîrşit, cu mai nouă,· un spaţiu separat.

Un

2.8.2. Justificarea axiomei introduse este proprietate :

dată

de

următoarea

Te ore ma I. lntr-un spaţiu al lui Hausdorff, un şir {x,,} convergent are o singură limită. · Să presupunem că şirul considerat tinde către a şi către b, cu a =t= b. Prin ipoteză, există o vecinătate Va a lui a şi o vecinătate Vb a lui b, astfel încît V~ ·Bb = 0. . Pe de altă parte, din definiţia limitei există un număr natural na astfel încît n > n 11 implică x„ E Va şi un număr natural nb astfel încît n > nb

n

implică x„ E

vb.

Atunci, pentru n > max {na, nb} vom avea simultan x„E Va ceea ce este absurd.

Te ore ma II. Orice parte este că

compactă

a 1mu1:

spaţiu

şi x„E

V,,,

al lui Hausdorff

înclzfaă.

Fie (X, ST) un spaţiu separat CK este deschisă.

şi

K o parte

compactă

a sa. Vom

arăta

72

Funcţii

reale şi elemente de topologie

Fie x E CK, altfel arbitrar. Dacă y E K, există două vecinătăţi deschise Gx, Gy, respectiv ale punctelor X, y, astfel încît GX Gy = 0.

n

Familia {Gy:ye K}

este o acoperire

deschisă

a lui K.

Există

deci o subfamilie

finită.

{G„P :ypE K, p < n} care

acoperă mulţimea

K. Vom face

să corespundă mulţimii

GYp

mulţimea

Gts x. Mulţimea

este

deschisă şi

avem

xe G c

n CG„p= C

LJG,p

J>~n

Aşadar, deschisă.

CK

este

c CK.

p~n

vecinătate

a

oricărui

punct x al

său,

deci K este

2° Dacă numim vecinătate a unei mulţimi A orice mulţime B cu proprietatea Int B ::J A, să se arate că un spaţiu al lui Hausdorff se bucură de proprietatea următoare : Pentru orice compact K C X şi pentru orice x ~ K există o vecinătate Vx a lui x şi o vecinătate V K a lui K, astfel încît

v.~nvK=0.

R: Pentru orice yE K există o vecinătate Uy a sa, astfel încît x e U 1 • Familia {Int Uy}yEK acoperă compactul K, deci există o subfamilie finită U 1 , U2 ,

•• • ,

Un,

a căror reuniune acoperă mulţimea K şi astfel încît x de unde X e u ui = V.

V este, vizibil, o

vecinătate

pentru K

şi

e Ui, i =

X - V o

1, 2, ... , n,

vecinătate

pentru x.

2.8.3. O condiţie mai slabă decît condiţia de separare a lui Hausdorff a fost dată anterior de M. Frechet. Clasa de spaţii introduse de Frechet se numeşte clasa spaţiilor T1 • Un spaţiu topologic (X, m-) este, prin definiţie, un spaţiu T 1 dacă pentru orice pereche de puncte distincte x, y ale acestuia există o vecină­ tate Vx a lui x care nu conţine punctul y şi o vecinătate Vy a lui y care nu conţine punctul x. Eviienţ, orice spaţiu T 2 este un spaţiu T 1 • Dar i1u orice spaţiu T 1 este un spaţiu T 2 (v. exerciţiul I O de mai jos}. J,.=i'.

Elemente de topologie generală

73

Te ore mă: Un

spaţiu topologic este un spaţiu T 1 dacă şi numai orice mulţime formată din -un singur punct este înc/it'.să. În adevăr, dacă punctele (presupuse distincte) dar altfel arbitrare x şi y ale spaţiului topologic (X, 6) sînt astfel încît {x}, {y} sînt mulţimi închise, atunci C{x} este o mulţime deschisă conţinînd punctul y, deci o vecinătate a lui y care nu conţine punctul x, în timp ce C{y} este o vecinătate a lui x care nu conţine punctul y. . Reciproc, să presupunem că (X, Br) este un spaţiu T1 şi să considerăm un punct x E X. Dacă y =t= x, există o vecinătate deschisă G1 a lui y, care nu conţine punctul x. Putem srrie, pe de altă parte, dacă

G„ C C{.x} = U {y: y =t= x} C U {G_v: y =t= x} C C{x}, de unde

C{ x} şi

C{ x} este o mulţime Exerciţii:

nenumerabilă, de submulţimi

deschisă,

=

{G,,: y =t= x} -:~-- -

de unde

rezultă că {x} este o mulţime închisă.

I° Fie (X, 6) spaţiul topologic în care X este o· mulţime iar 6 este familia părţilor lui X care sînt complementare numerabile ale lui X. Să se arate :

IO

că

(X, §") este un

spaţiu

2°

că

(X, 6) nu este un

T1 ;

sp~ţiu

T 2•

R. Se va verifica, în primul rînd, că (X, 8T) este un spaţiu topologic. Fie xeX, yeX, x=t:=y şi fie F = {xn}nEN un şir de puncte din X, conţinînd punctul x, dar nu punctul y. Mulţimea CF E 6 şi conţine punctul Y> deci este o vecinătate a lui y, care nu conţine punctul x. Deci (X, 8T) este un spaţiu T1 • Să presupunem că (X, 8T) ar fi un spaţiu T 2 • Atunci ar exista o vecinătate deschisă Gx a lui x şi o vecinătate deschisă G„ a lui y, astfel încît GX G,, = 0. Gx C CG„ ar fi o mulţime numerabilă şi tot aşa G„ ar fi o mulţime numerabilă. Ar rezulta că X este o mulţime numerabilă.

n

2° Într-un spaţiu T 1 un punct x este punct de acumulare al mulE dacă şi numai dacă pentru orice mulţime deschisă G s x, mulţi­ mea G - {x} conţine o infinitate de puncte din E. R: Fie G s x, astfel încît G - {x} conţine un număr finit de puncte din E. Fie Gn(E - {x}) = {x;}, ţimii

LJ

i~n

Funcţii

74

reale şi elemente de topologh

Membrul al doilea este o mulţime închisă, deci C(U{xi})nG este o a lui x. Dar această vecinătate· nu ar conţine decît punctul x din E. În adevăr,

vecinătate deschisă

F2 , G1nG2 = 0. derfpiţi F 11 G2 ::J F 2 , deci

X este normal. Reciproc, dacă X este normal, F 1 şi F 2 două mulţimi închise disjuncte ale acestui spaţiu şi [a, b] un interval, h: x-+ (b - a)x + a. este un homeomorfism al intervalului [O, I] pe [a, b]. Dacă deci reuşim să construim o aplicaţie continuă g: X-+ [O, 1] astfel încît g(F1 ) = {O},. g(F2) = {1}, aplicaţia f = h o g va fi aplicaţia căutată. Să definim, în acest scop, o familie {G,},EQ de mulţimi deschise, cu proprietatea următoare:şi

r

< s => G, C Gs.

Vom proceda în felul următor: Pentru r < O vom pune G, = 0, iar pentru r > 1 vom pune G, = X. De asemenea, vom defini pe G1 prin egalitatea G1 = X - F 2 • Să observăm că G1 : ) F 1 . În baza teoremei din 2.10.1., există o mulţime deschisă care conţinepe F 1 şi a cărei aderenţă este conţinută în G1 • Aceasta va fi„ prin definiţie, mulţimea G0 • Pentru rE (O, I) vom proceda astfel: fie {rnl nE= N mulţimea raţionalelor pozitive subunitare, cu r 1 = O, r 2 = I. Pentru n > 3 vom defini şirul {G,n} notînd cu r 1 pe cel mai mic şi cu ri pe cel mai ,mare raţional, astfel încît i < n, j < n, r, < r n < r1. Mulţimea G,,, va fi definită astfel încît G,icG,,., G,"~G,p n = 1, 2, .·.. Vom pune g(x) = inf {r: x E G,}. Avem, în primul rînd, g(X) C [O, l]~ În al doilea rînd vom observa că dacă g(x) < ~. există G, (cu r < ~) astfel încît x E G,. Reciproc, dacă există G,, cur< ~. astfel încît x E G,, atunci g(x) < (i •. În al treilea rînd, dacă există r > ot astfel încît x ~ G,, atunci g(.x) > ~Reciproc, dacă g(x) > a, atunci există r > a astfel încît x ~ G,. De aici. rezultă că · {x: g(x) < ~} =U{G,: r < ~}, {x: g(.x) >a}= U{CG,: r > «}, deci { X : ot < g(x) < ~} este o mulţime deschisă şi g este o funcţie continuă. Este vizibil· că g(F1) = {O} şi g(F2) = {I}.

Funcţii

80

reale şi elemente de topologie

2.10.5. T e o r e m a d e p r e l u n g i r e a I u i T i e t z e. Fie (X, S} un spaţiu topologic normal, F o parte închisă a sa şi f: F -f> R o aplicaţie continuă. Există o aplicaţie continuă f*: X -f> R, astfel încît f* IF = f şi din li (x) I:S: µ 0 rezultă li• (x) I < µ 0 • sEF

sEX

Să

presupunem, în primul rînd, funcţia / mărginită Vom pune 0 F~ = {x : /(x) ~ - ~}, F; = {x: /(x) > 1~ }

şi

fie I/ I ~ µ. 0 •

•

Mulţimile F~, F~ sînt închise şi disjuncte. Potrivit lemei lui U rîson, există

o funcţie g0 : X

-f>

R continuă, egală cu -

astfel încît Ig0 (x) I< ~ µ.0 • Vom pune

continuă pe F şi avem

1111~ :

pe F~, cu

µo

3

Io= I, 11 = Io -

µ.0 =µ. 1 . Fie

+

!Li

3

pe F~ şi

g0 • Funţia 11 este

F{ ={x; fi (x) < - µ1/3}, F~=

{x; 11 (x)

~ p.1/3}. Mulţimile F~, F~ sînt închise şi disjuncte. Există deci o funcţie g1 : X~ R, continuă pe X, egală cu - µ.1/3 pe F{, cu µ. 1/3 pe F;, şi astfel încît jg1 (x)I µ.1/3 pentru orice xeX.


O, altfel arbitrar. Prin încît n > n, să implice

ipoteză există

8(F11 }


n,),

demonstraţiei nu

este nevoie ca diametrele

mulţimilor

Fn s

ă

Spaţii

101

m.etrice

deci şinil { Xn}nEN este fundamental. Spaţiul (X, d) fiind co~plet, acest şir converge către un punct: XoEX. Vom arăta că XoenFn. În adev·ăr, funcnEN

:

.

ţia

d(xn, x,n) fiind continuă în raport cu fiecare din argumentele sale, din (1) deducem, pentru m -+ oo, d(x,P Xo) f: o(Fn),

deci XoEF,.

= Fn,

Cum n este arbitrar, vom avea XoE

nFn

şi teorema

nEN

este

demonstrată.

nF

Cititorul va verifica singur că .

n

conţine ·un singur punct.

nEN

Te ore ma III. (R. Baire). Orice spaţiu metric co1nplet este o mulţime de categoria a I l-a. Fie (X, d) spaţiul metric considerat, pe care îl vom presupune slab (de categoria I). Aceasta înseamnă că

X=LJEn, nE.V

unde En, n

=

1, 2, . . . sînt

mulţimi

rare.

Fie B 0 = B(x 0 ; r 0} o bulă a spaţiului (X, d). Există o bulă B 1 = = B(x1 ; r1)CB 0 , disjunctă de E 1 • Vom alege această bulă, micşorînd convenabil pe r 1 , astfel incit să avem simultan· r 1 < "0 , B 1 C B 0 • 2

Cu B 1 vom proceda la fel: există o bulă B 2 = B(x1 ; r 2)CB1 , disjunctă de E 2 ( deci de E 1 U E 2). Vom alege pe r2 astfel încît să avem simultan r2 < "1 < Yo1 ' B2CB1, 2

2

Prin recurenţă, proprietatea

obţinem şirul

descendent de

mulţimi

închise { Bn} cu

8(Bn)

deci

lim o{B,,)

= O.

în baza teoremei precedente, există un punct x 0eX comun tuturor acestor deci neaparţinînd nici uneia din mulţimile E,,. Rezultă că x 0 ~ X. Contradicţia obţinută demonstrează teorema.

mulţimi,

Funcţii

102

reale şi elemente de topologie

3.4.3. Am văzut mai sus că orice spaţiu compact este precompact. Este reciproca acestei propoziţii adevărată? Răspunsul este afirmativ, cu o condiţie suplimentară : T l' ore mă. (F. Hausdorff). Orice compact.

spaţiu

precompact

şi

complet este

Fie, în adevăr, (X, d) un spaţiu metric, precompact, şi complet. Numărul e > O fiind dat, există o mulţime finită F&fs, astfel încît pentru orice punct x EX, să avem d(x, F„1J

< ; ·

În particular, dacă { x,.},,EN este un şir arbitrar al spaţiului, vom avea

= I, 2, ...

n

Cum Fs/, este finită, există cel puţin tin punct aEF, 12 care corespunde, în inegalitatea precedentă, la o infinitate de valori ale indicelui n. Altfel spus, există un punct aeF,., şi un subşir {xk,,}nEN al şirului considerat, astfel încît să avem 2

d(xk,,, a) O, altfel arbitrar. Fie, de asemenea, n 0 cel mai mic

natural astfel încît n. 0

> -1 . Pentru m > n 0 , n > n 0 vom avea 3

1

- < "" x")" < "o

d(x"'

e:

,

deci ~irul {x:}nEN este fundamental. Cum (X, d) este complet, acest este convergent, deci (X, d) este compact.

şir

3.4.4. Fie (X, d) un spaţiu metric complet. Vom spune că o : /: X -+ X este o contracţie dacă există un număr pozitiv a. < I astfel încît d(f(x'), J(x")) ~ ad(x', x"), aplicaţie

pentru orice pereche (x', x") de puncte din X. Este vizibil că orice contracţie este o funcţie continuă, şi chiar uniform în spaţiul X-. În adevăr, e > O fiind dat, este suficient să luăm

continuă

d(x', x")

E

< -

a;

pentru ca

să

aven1 d(f(x'), J(x"))


ne să implice d(xn, xm) < e. Să notăm cu Xe clasa de echivalenţă Fie Y

.

căreia

îi

aparţine şirul staţionar {X11e+l, A

X„e+l• .. }, A

Vom avea, pe de o parte XeSX, iar pe de

altă

parte

de unde lim d (xn, x„e+•) se, 11-+CIO

adică

Cum

~ Xe

pentru

= /(x„0 +1}, rezultă că " Y, adică -Y = X.

Rămîne

să

A

Fie { xP}peN un

arătăm

şir

"

orice punct din X este punct de acumulare A

că

este complet.

X

A

fundamental de puncte din X

Fie, de asemenea,

"' {x!}exP.

Vom suprima din

şi

z

{x!}

> O, un

altfel arbitrarnumăr

finit de

termeni, astfel încît să avem d (xP,., xP) . m Să

alegem

numărul

< .!..p , oricare ar fi m şi n. natural ne astfel încît p > ne, q > ne să implice =

Hm d(x!, x~)

AA

·A

d(xP, - x'l)

n-+oo

Vom putea presupune ne

>

3

destul de mare, vom avea d(x!:, x!)

> ne,

q

> ne,

~ 3

•

Atunci, pentru p

C

Deducem, pentru p


ne

şi

11,.

Spaţii

metrice

109

Aşadar, şirul lenţă, adică

{xp}1>EN este fundamental: el va determina o /\

de echiva-

un element xeX. Vom avea, atunci,

=

lim d(~, x:) n-00

ceea ce

clasă

/\

echivalează

I\

I\

d(xP, x)

.;

LJ D,. = LJ Y,. =

nEN

D este

11EN

densă

X,

11EN

în

,x şi

X este de tip numerabil.

CA P I TO LU L IV SPAŢII

§ 1.

VECTORIALE NORMATE

DEFINIŢII.

EXEMPLE

4.1.l. Se numeşte spaţiu vectorial (sau linear), pe un corp co-· mutativ I( cu element unitate e, un grup abelian X, în care vom nota, ca de obicei, cu (plus) legea de compunere a elementelor, şi în care este definită o aplicaţie a produsului cartezian I( X X în X, notată pe scurt ocx, cu aE K, XE X, cu următoarele proprietăţi: I) pentru orice pereche a E J(, ~ E J( şi pentru orice element x E X avem 1

,,+"

r1.(~x) ( oc

= oc~x.

+ ~)x = ex

2) pentru orice element aeK a(x

şi

+ y)

=

ocx

+ ~x.

x.

pentru orice pereche xEX, yEX avem.

= ax

+ ay.

Vom numi, în general, punct orice element al unui spaţiu vectorial. avînd în vedere că vectorii (liberi) din R 3 verifică toate condiţiile de mai sus, va fi uneori avantajos să interpretăm elementele spaţiului x· ca vectori (în loc de puncte). De obicei, I( este corpul R al numerelor reale sau corpul C al numerelor· complexe. În primul caz, spaţiul X este, prin definiţie, 1m spaţiu vectorial real,. în al doilea caz, un spaţiu vectort'al complex. Totuşi,

1

Scriem, pentru simplitate, «[3,1: în ,loc de («[3).r.

Funcţii

112

reale şi elemente de topologie

4.1.2. Un spaţiu vectorial X este, prin definiţie, normat dacă există o aplicaţie X -+ R, notată 11*111 şi numită norma elementului x, cu proprietăţile următoare:

llxll = O dacă

1)

şi

numai

dacă

al grupului abelian X {,,Originea"

x

=

Ox, unde Ox este elementul neutru

spaţiului

X).

llcx:xll = lcx:1 · 11x11. 3) l!x + yll < llxll + IIYII pentru orice pereche de puncte x, 2)

ţiului

y ale spa-

X.

Un spaţiu vectorial normat poate fi metrizat, punînd, pentru orice pereche x, y de puncte din X, d(x, y)

= llx - y;I.

Un spaţiu vectorial normat care, ca spaţiu metric, cu metrica de mai sus, este complet, se numeşte pe scurt un spaţiu al lui Banach. 4.1.3. Fie YCX, cu

proprietăţile următoare:

1° xeY, yeY=>x+yEY; 2°

XE

Y,

K

=> ClXE Y.

submulţime

O astfel de Dacă

ClE

Y

se

este, în plus, o

cheamă

o varietate

mulţime închisă,

linerară

în X.

atunci Y este un

sitbspaţiu

al lui X. care

Te ore mă. Dacă X 0CX, intersecţia y„ a titturor varietăţilor lineare conţin pe X 0 este mulţimea tuturor vectorilor de forma ·(1)

unde n este un

iar

Cl1 ,

Cl 2 ,

••• ,

număr natural oarecare, Xi, Cla aparţin corpuliti K. 2

x2,

••• ,

x„ vectori arbitrari în X 0 ,

În adevăr, fie X' o varietate lineară care conţine pe X 0 • Vectorii x 1 , aparţin lui X 0 , deci lui X'. Deci şi vectorul (1) aparţine lui X'. Cum X' este arbitrar, rezultă că vectorii de forma (1) aparţin tutitror varietăţilor lineare care conţin pe X 0 , deci şi intersecţia lor Y. x2,

•• • , Xn

Observ aţi i : Y se cheamă varietatea lineară generată de mulţi­ mea X 0 • . Închiderea lui Y se cheamă s1tbspaţiul lui X generat de mulţimea X 0 • 1

1

sau chiar 1*1În viitor vom numi scalar orice element al corpului K.

Spaţii

vectoriale normate

Să

Exereitii: 1-0

113 că

se arate

Ox

R: Se vor aplica axiomele 1) Spaţiul

2°

Rq devine un

şi

spaţiu

llxll

=

Ox.

2). al lui Banach dacă se pune

t xf

="'V1

k=l

3° Spaţiul e(K; R) devine un pentru orice XE O, altfel arbitrar. Există n 0 astfel incit n > n 0 să implice Aşadar aplicaţia spaţiu vectorial

11/,,+P - /,,li < Irx Ie, de unde, cu atît mai mult, deoarece XE B 0 •

11/,.+p(x)-/,,(x)H < lrxle:, Ultima inegalitate se mai poate scrie

lrxl 11/,,+P(xo) - /n(Xo)II < la:IE, deci şirul {/,.(x0)},.EN este fundamental. Cum spaţiul Y este complet, acest şir are o limită /(x 0)eY. Să arătăm că / E. f. Fie rx un scalar. Din deducem sau

Spaţii

vectoriale normate

117

Fie, în al doilea rînd, x 0 EX, x1 EX. Din deducem sau· sau

încă

Deci f este

lineară, adică

/E f

: cu aceasta, teorema este

demonstrată.

Observ aţi e: Spaţiul definit de teorema precedentă şi pe care noi l-am notat pentru nevoile demonstraţiei f, se obişnuieşte a se nota f (X, Y) sau cm(X, Y) dacă Y este un spaţiu al lui Banach. Dacă Y = X, acest spaţiu se notează, simplu, f (X), respectiv ~(X). Dacă Y = R, spaţiul considerat este spaţiul funcţionalelor lineare mărginite, definite pe X. Acest spaţiu se numeşte conjugatul sau dualul lui X şi se notează X*. Aşadar, cu notaţia de mai sus X* = ~(X, R), deoarece R este un spaţiu al lui Banach. Exerciţii: 1 ° Să se arate că orice spaţiu vectorial normat X poate fi prelungit (în afară de o izometrie) pînă la un spaţiu X al lui Banach, în care X este dens.

2° Dacă E C X, mulţimea E' a elementelor x*eX* pentru care x*(x) =0 oricare ar fi xeE, se numeşte ortogonala mulţimii E şi se notează E 1 • Să se arate că dacă E este o varietate lineară, atunci E 1 este o varietate lineară închisă a lui X*. 3° În spaţiul E\o,1J să punem 1

J(x)

= ~ x(t)dt. o

Să

se arate

că

/ este o

funcţională lineară continuă şi să

R: Linearitatea este

vizibilă.

Mai departe avem

1

1/(x) I~ ( lx(t) ldt < sup lx(t) I = Ilxl 1-

J o

tE(0,1)

se calculeze

11/1 I-

Funcţii reale şi elemente de topologie

118

Deci/ este mărginită şi

11/11 ~ I.

În fapt,

li/li= sup I/(x)I = 1. ll%!1:5il

Notă. Istoriceşte, integrala a constituit primul exemplu de aplicaţie lineară şi continuă. După constituirea analizei funcţionale, atenţia multor matematicieni a fost îndreptată spre problema inversă: reprezentarea unei aplicaţii lineare şi continue ca o integrală, cu preţul unei extensiuni corespunzătoare a noţiunii de integrală. Acest lucru a reuşit în numeroase

cazuri concrete.

4.2.3. Fie /:X-:)> X o aplicaţie continuă a spaţiului vectorial nor~at X în el însuşi. Sîntem obligaţi, în numeroase probleme importante, să considerăm compuneri repetate ale unei astfel de aplicaţii cu ea însăşi /Of, fo(fof), fo(fo(fof)), ... Ce sens trebuie să dăm unor astfel de expresii ? Vom căuta să dăm un răspuns acestei întrebări.

Să

punem

f(X) = X 0 • uşor de verificat (exerciţiu!) că X 0 este o închisă) a spaţiului X. Deci, în primul rînd,

Este

varietate lineară (nu

neapărat

OxEX0 •

În al doilea rînd, dacă x -=I= Ox şi xeX 0 , atunci 1XXEX0 oricare ar fi scalarul IX, deci X 0 conţine elemente de orice normă. În particular, B(Ox; 1)

n Xo-=t= 0.

Să considerăm aplicaţia g :X0 -:,, X, lineară şi continuă. că dacă xn -:,, x, atunci g(x") -:,, g(x).

Aceasta

înseamnă

Raţionamentul făcut pentru demonstrarea teoremei I din 4.2.2. se aplică fără modificare şi în cazul nostru (deoarece 0xEX0 ) pentru a deduce că există un număr pozitiv M astfel încît să avem pentru orice aplicaţie g :X0 -:,, X lineară şi continuă

llg(x) li L, avem

În adevăr, din L C L 1 deducem B(Ox; 1)

nL C

B(Ox; 1)

nL

1,

deci

Lema 2. Fie X -un spaţiu, vectorial normat şi L o varietate lineară a sa. Ft'.e, de asemenea, fL :L ➔ Ro funcţională Uneară şi continuă şi y E C L„ altfel arbitrar. Dacă punem, L1

=

{x

+ ty: x EL,

t E R},

atunci: 1° L 1 este o varietate

lineară

( care

conţine

pe L) ;

2 ° existtl o functională Uneară si continuă JL 1 : L 1 -t- R, care prelungeşte pe J la L 1 şi dstjel încît II/L1 '1 I = 11/L 11Pentru demonstrarea primei părţi a lemei, să considerăm un punct z Ei L 1 • Vom arăta, în primul rînd, că există un singur punct x EL şi un singur număr real t astfel încît să avem

Z =X+ ty.

(1)

(Aceasta înseamnă că există o bijecţie z egalitatea precedentă.)

(x, t) între L 1 şi L X R, care

realizează

Spaţii

121

·vectoriale normate

În adevăr, dacă am avea, de asemenea,

+ t'y

z = x' cu x' =I= x, t' =!= t, am deduce imediat 1

"' = - -t' - - t (x'

- x) EL ,

J

ceea ce contrazice una din datele lemei. Pe baza unicităţii reprezentării (I), prima ·parte a lemei se imediat. În adevăr, din (I) deducem, dacă B' (y 0 ; r~).

Deducem de aici Dar

că mulţimea

{/(x - x 0 ) :x E B1 } este

densă

în bula

B;.

de unde

Deci f(B 2) este

densă

în B;, de unde

rezultă că

/(B1 ) este

densă

în B;,,.

Lema 3. În condit-i-ile teoremei precedente există o sferă B; C Y, astfel încît f(B 1 ) ~ B;. . În adevăr, din corolarul precedent ştim că /{B1) :::> B;, unde r este un anumit număr pozitiv. Fie y 0 E B~, altfel arbitrar, şi 0E (0,1). Vom arăta că putem construi două şiruri {x 11 } şi {y,,} cu proprietăţile următoare: I lim Xn = x 0 ; 2° y,, = J(x,.); 3° lim/(x") = Yo; 4°1 lxol I< ~ = 1 8 = 1 + 0', 0' E (0,1). De aici va rezulta,/ fiind continuă, că y 0 = f(x 0 ). Cum Yo este arbitrar în B:, va rezulta că /(B 1 +o·) :J B:, de unde /{B1) :::> B;, O

,,

ms=--· 1+0

\

Funcţii

128

B;,

Şirurile {.xn}, {Yn} există un element

reale Ji elemente de topologie

se vor construi astfel: întrucît /(B1) este densă în .x1 Ei Bi, astfel încît /(x1) = y 1 este suficient de

aproape de y 0 : IIY1 -

Yoll < r6.

Cum /(Bi) este densă în B;, /(Ba) va fi densă în Ba,. De aici rezultă /(B(.x1 ; 8)) este densă în B*(y1 ; r6). Deci există un element .x2 s B(x1 ; 8), . astfel încît

că

IIY2 -

Yoll < r82 ,

= /(x2), deoarece

cu y 2

Mulţimea

6

2),

/(B(.x2 ; 82)) este densă în B*(y2 ; r8 2), deci există x8 E3 B(x2 ; astfel încît, punînd y 3 = /{x3), să avem

IIYs - Yol I < r8 3 şi aşa

•

recurenţă obţinem

mai departe. Prin

IIx" - x,. -111
2. există

1

Obţinem astfel şirul descendent {Kn}neN de bule închise, C? un punct comun y, precum şi şirul crescător {nk heN de numere naturale. In punctul y vom avea I IJ,,l,v) 11 > nk, deci şirul {/,,(x)} nu este mărginit în punctul y, ceea ce contrazice ipoteza.

§ 6. PROIECŢII

4.6.1. Fie X un spaţiu vectorial spaţii (adică: două varietăţi lineare închise)

normat şi X', X" două subale lui X, avînd ca unic ele-

ment comun originea Ox· Fie, de asemenea, xEX, altfel arbitrar. Dacă astfel încît x = x' + x", vom spune că X este sitma X=X'Et>X".

directă

a

există

spaţiilor

x'EX'

şi

x"eX", (1)

X', X"

şi

vom scrie

Funcţii reale·· şi elemente de topologie

132

Să observăm că descompunerea (1) este unică. În adevăr, să presu-

punem

că

ar exista X~

xr EX",

EX',

X~

x~'-:- x",

=t= x',

astfel încît X= X~+ X~'.

Am deduce x' - x~

=

x;' - x",

cu x' - x; EX', x~' - x" EX", de unde x' Spaţiile

=

X', X" sînt, prin

x'i, x"

definiţie,

=

(spaţiile

X', X" fiind disjuncte)

x'\.

complementare unul altuia, în ra-

port cu X.

4.6.2. Din cele de mai sus rezultă că fiecărei perecµi {X', X"} de subspaţii complementare ale lui X îi corespunde, pentru orice element x 6 X, descompunerea itnică x

=

x'

+ x",

x' EX', x" 6 X".

Să considerăm aplicaţia p :x ➔ x' a spaţiului X în el însuşi. Ne propunem să studiem mai ·îndeaproape proprietăţile acestei aplicaţii. În primul rînd, dacă x E X, y Ei X, avem, respectiv,

x = x'

+ x",

y = y'

+ y",

de unde x

cu x'

+ y' EX',

Deci

x"

+ y = (x' + y') + (x" + y"),

+ y" EX".

+ y) = p(x) + p(y). rînd, dacă x = x' + x", atunci cxx = cxx' + cxx", cxx' Ei X', cxx" e p(x

În al doilea

X'',

deci p(rxx) Aşadar

p este o

=

cxp(x).

aplicaţie lineară.

Să considerăm, în al doilea rînd, un Atunci, pentru orice n,

x = x:. + X:,

şir

{ x"}neN convergent

X:e X', X:E

X".

către

x.

Spaţii vectoriale normate

133

Să presupunem şirul {x:.} convergent. Atunci convergent. Fie, respectiv,

x' =

lim

x,:,

şirul

{x;} este

şi

el

x" = lim x:.

Evident,

=

x'

+ x".

x:. converge către x'

=

p(x) şi aplicaţia p este închisă.

.x

Deci p(x,.)

=

Cum p este lineară şi definită pe tot (4.6.2., teorema II). Să observăm, mai departe, că

spaţiul

X,

rezultă că

p este

măr­

ginită

p(p(x))

p(x')

=

x'

= P(x),

= p . .Aplicaţia p face parte deci din clasa aplicaţiilor f pentru = f. Astfel de aplicaţii se cheamă aplicaţii idempotente. ·

adică

p2

care ]

2

Să

=

mai

observăm,

în

sfîrşit, că

X' = {x: p(x)

=

x},

X"= {x: p(x) = Ox}. Aplicaţia

p: x

~

complementare. Dhi (X', X").

x' depinde, evident, de perechea (X', X") de spaţii ca uză se spune că p este as oe-iată perechii

această

4.6.3. Să considerăm, mărginită şi idempotentă.

acum, o

aplicaţie

p: X~ X,

lineară„

Există o descompunere X = X' (f) X", astfel încît p să fie asociată perechii (X', X") în semnul specificat mai sus? Răspunsul este afirmativ. El este conţinut în urnJ.ătoarea:

Te ore mă. Fie

p: X~ X

o

aplicaţie lineară, mlirginită şi

idempo-

tentă.

Să

punem

X'

=

{x :p(x)

=

x}, X"= {x :p(x)

Atunci X = X' EB X" şi aplicaţia lineară perechii (X', X"), este tocmai p.

=

Ox}.

mărginită şi

idempotentif„

asociată

Să observăm că din modul în care a fost definit X', această mulţime constituie mulţimea valorilor lui p. De asemenea, X" este mulţimea valorilor aplicaţiei J - p, unde I este aplicaţia identică.

Funcţii

134

reale şi elemente

de

. Este vizibil că X', X" sînt subspaţii ale lui X. Fie x E X' Atunci avem simultan p(x) = x şi p(x) = Ox, de unde x = Ox. Fie, în al doilea rînd, x E X, altfel arbitrar. Putem scrie identitatea x

= J(x)

+ (x -

topologie

n X".

J(x)).

Cum f(x) E X' şi x - f(x) E X", rezultă că X = X' EB X". Este evident, acum, că aplicaţia idempotentă asociată perechii (X', X") este tocmai p. Teorema precedentă justifică următoarea definiţie: O aplicaţie p: X~ X, lineară, mărginită şi idempotentă se numeşte o prolecţie. Perechea de

mulţimi (subspaţii

X'= {x :p(x) este perechea Prin

asociată

definiţie,

~le lui X)

= x}, X" =

{x :p(x)

= Ox}

lui p.

p este o proiecţie a

spaţiului

X pc

subspaţiul

X'.

Exerciţii: 1° Fie {X', X"} o pereche de subspaţii complementare ale şi/: X~ X o aplicaţie lineară şi continuă. Fie, de asemenea, p pro-

lui X

iecţia asociată

perechii precedente. Vom avea

dacă şi

dacă

numai

/(X') C X'

şi

/(X") (: X".

(1)

R: Să presupunem incluziunile precedente verificate ş1 să consideun element x' E X'. Atunci p(x') = x'. Pe de altă parte, /(x') Ei X' decijpo/) (x') = /(x'). Cum (f op)(x') = f(x'), rezultă că în X' avem / op = pof. lu acelaşi mod se arată că egalitatea are loc şi în X", deci, în baza faptului că orice element x E X se scrie sub forma x = x' + x", rezultă, în baza linearităţii, că egalitatea are loc în X. Reciproc, dacă f op = p o J, atunci pentru x' Ei X' găsim că /(x') = = (!op) (x') = (paf) (x'), de unde rezultă că f(x') Ei X', deci f(X') C X'. La fel se arată că f(X") C X". răm

Obs e r va ţie. Prin definiţie, o pereche (X', X") de subspaţii complementare ale· 1ui ·X reduce o aplicaţie f :X ~ X lineară şi mărginită, dacă incluziunile (1) sînt verificate. · · · --

Spaţii vectoriale normate

-

135

.

2°

Să se arate că dacă p 1 , p 2 sînt este o proiecţie. 3° Să se arate că dacă p1 , p 2 sînt P1 + P2 - 2p1 °p2 este o proiecţie.

p1 °p2

proiecţii şi

p1 °p2 = p 2 opi, atunci

proiecţii şi

p1 °p2 = p 2 opi, atunci

§ 7. MULŢIMEA REZOLVANTA A UNUI OPERATOR.

SPECTRUL UNUI OPERATOR

4.7.1. Fie f :X ~ X un operator continuu, definit pe spaţiul X al lui Banach. Vom nota cu p(f) mulţimea tuturor numerelor complexe pentru care operatorul (~ I - J)- 1 , unde I este operatorul identic, este definit pe o varietate lineară X 0 densă în X şi este continuu pe X 0 • · Complementara mulţimii p(f) se notează cu a(!) şi se numeşte spectrul operatorului J. Mulţimea a(f) se descompune în mod natural în trei mulţimi : 1) Mulţimea ap(f) a numerelor ~ pentru care ~I - f nu se poate inversa. Orice număr al acestei mulţimi se numeşte valoare proprie a operatorului f. Mulţimea a,,(f) însăşi se numeşte spectrul punctual al operatorului f. · 2) Mulţimea a,(f) a numerelor complexe pentru care ( ~I - Jy- 1 există -pe o varietate X 0 densă în X, dar nu este mărginită. Această mulţime se numeşte spectrul continuit al operatorului f. 3) Mulţimea ar(f) a numerelor complexe pentru care ( ~I - J)- 1 există, -este continuă, dar mulţimea sa de definiţie (care este ( ~I - f) (X)) nu -este densă în X. Această mulţime se numeşte spectrul rezidual al operatorului f. 4.7.2. Te ore ma L

Mulţimea rezolvantă

tinuu nu este vidă. În adevăr, dacă ~ Ei p(f), atunci putem scrie

Acest lucru ne

sugerează

studiul seriei

~-l(J+~-11+~-2!2+ ... ) în

spaţiul

f(X). Punînd

s,.

=I+ ~-1J + ~-2p. + . . . ,

a unui operator f con-

Funcţii reale şi• elemente de topologie

136 avem

Dacă

ilsn+p - s„11 ~ I~-n-l I . IIJn+t li+ ... + I~-n-p I . llf"+PII ~ ~ ,~-ljn+I • l]Jlln+t + . , .. + J~-1111+p • 1]/l]"+P. deci I~- 1 I · 11/11 < I, adică l~I >11/1],

atunci seria precedentă este convergentă. Fie g( ~) suma acesteia. Ştim (4.2.2., teorema III} că g( ~) este un operator mărginit. Să calculăm g( ~) o o(~/ -

J).

Găsim

g(t)

0

(~J - f)

=

+ ~-212 + ....

=I+ ~-1/ + _ ~-11- ~-212 _ .... = J, ~g(~) - g(~) 0f

deci g( ~)

= Rr.(f).

'Aşadar, orice punct al planului complex, exterior discului închis face parte din p(f) .

1~1 2 ~ I,

.Consecinţă : a(/) ~ { ~ : I~ 12 s I}. Observaţie. Nu rezultă din incluziunea precedentă că spectrul mărginit nu este vid. Totuşi este adevărat că a(f) =I= 0.

. T «:' o r e m a II. Dacă peste ·tot în X, atunci

~

e p(f), ~' E p(/)

şi dacă

unui operator

Rr., Rr.· sînt definiţi

Rr.(f) - Rr,,(f) = (~' - ~)(Ri:oRr_,) (f). În plus f

o

g

=

g of implică Rr.. o g= g o Rr: pentrit orice operator g: X_. X

mărginit.

În adevăr avem

= Rr..(f) o (~'I - f) o Rr_,(J) = (r- ~)(Rr.. o Rr.,+ f) o Rr_,(f) = (~' - ~)(Rr. o Rr.·) (f) + Rr_,(f). observăm, în al doilea rînd, că J og = gof implică (~I-/) og = Rr.(/)

+ Rr..(f) o (~I Să

= go(~I -f), cu Rr.,

spaţiul deschisă.

pe

de unde, compunînd mai întîi la dreapta

şi

apoi la stînga

Rr,og = g o Rr_. 4. 7.3. T e o r e m a III. X al lui Banach, mulţitiiea

În adevăr, prin ipoteză X 0

=

Dacă f este un rezolvantă p(/)

X, unde X 0

~E

p(/).

=

operator închis, definit a acestiti operator este

(~I - f) (X), iar

·

Spaţii vectoriale normate

137

· Fie y EX, altfel arbitrar. Prin ipoteză există un şir {y,.tEN~ X 0 , astfel încît lim y,. = y. Din y" E X 0 deducem existenţa unui element. Xn e X 0 (şi a unuia singur!) astfel incit (~I-f)(x 11 )

=

n

y,.,

= 1, 2, .

de unde

n = 1, 2, . . . Deoarece y 11 -> y, şirul { x,,} 11 E=N este fundamentul, deci are o feste un operator închis, ~/ - f este închis, deci

(~I - /) (x) Aşadar

X0

=

x. Cu1n

= y.

X, adică R~ este definit pe întregul spaţiu x.

Să considerăm,

Dacă

limită

acum, în

I~-~• I · IIR~II < 1,

spaţiul

f{X) al lui Banach, sena

această

serie• este convergentă. Suma g a acestei serii este un operator mărginit. Să compune~ la dreapta (de exemplu) cu operatorul ~'1-f= (~' - ~)I+ (~I-/).

Obţinem

g o(~'/ - /)

= (~' -

2

3

~)R~ - (~' - ~) R~ - (~' - ~) R~- .. .

. .. +I+(~_,_~') · R~ + (~' - ~} 2 R~ + (~' - ~) 3 R~ + .. ., adică

go(~'l-f)=l, de unde g

deci ~• E p(f).

Aşadar, mulţimea

=

R~,.

p(f) este

deschisă.

Te ore ma IV. Dacii operatorul continuu f :X-> X nit este idenUc nul, atunci spectrul său a(f) nu este ·vid. Să considerăm, în adevăr, spaţiul lui Banacl1 L = f(X) ş1 sa presupunem că a(f) = 0. Din teorema III rezultă atunci că pentru orice element l* E L *, funcţia numerică

U(~)

=

l*(Rd

Funcţii reale ·şi elemente de topolo~!e

138

-este holomorfă în vecinătatea oricărui punct ~ al planului complex. Deci .-U este holomorfă în tot planul_. Pe de altă parte, din teorema I rezultă -că pentru l~I > 1 avem u(~) = ~- 1 + ~- 2 . l*of + ~- 3/* 0 /2 +

I~I > K > max (1, 11111), lu(~)! O fiind

dat, există m natural astfel

Un număr natural oarecare cu O~ q < m. Avem

1

p

1

11!"11" =

~cum

ipoteză, e:

1t

,up

q

IIJmPofqll" ::=; lltnll" · li/lin ::S (r

ti

I

lim sup '1 ➔ 00

'Cum e: este arbitrar,

existenţa

1!/"11;;- < r +

limitei este

1

+ e:fn · 11111"'

mp ~ 1 şi !!.. ~ O pentru n ~ oo: rezultă că n

poate fi scris sub

e:.

stabilită.

Spaţii vectoriale normate

139

I

Din finită.

Rr,

IIJ"li; < 11/11 oricare ar fi n, deducem ra(f) s; IIJI\, deci limita este

2° Să se există şi

arate· (cu avem

notaţiile

din ex. precedent)

pentru I~I

că

> ra(/),

E ~-nf'•-1, 00

Rr,(f) =

H=l

R: Seria din membrul al doilea converge pentru I(\ > ra(/). În + + e:)-". că există na:

adevăr, dacă I~I> ra(f) e:, -e: > O, atunci I~-"I< (r~(f) Pe de altă parte, din exerciţiul precedent deducem 1

astfel încît n

> n, să implice 111"11-; < ra(f)

+ e:)-"(ra(/) +ir< 1,

ceea ce asigură convergenţa seriei.

Compunînd la dreapta cu ~I -f, 3°. Cu

notaţiile

+ f, de unde 11~-"f"II ~ (ra(f) +

obţinem

I, de unde egalitatea

cerută.

din ex. precedente avem

= supl ~1-

ra(/)

'r.Eaf/J

I~I > sup\ ~I. atunci

R: Din ex. precedent rezultă că ra(f) ~ supl ~I- Dacă

i,E=a(/)

'(,Ea(/)

~E

p(f), deci desfăşurarea din ex. precedent este valabilă, de unde

1im 11 ~-"J"II = O. Aceasta înseamnă că există n astfel încît n 'llt'II < (sup\ ~I + e:)". Deducem (ex. 1°)

> ne să implice

'(,Ea{/)

I

ra(/)

=

limllf"lfn ~ supl ~I,

n➔ co

'(,E=a(f)

deci ra(f) O b serva ţie. Formula -care s-a dat numărului r0 (J).

=r.Ea{/) sup I~I-

obţinută justifică

4° Cu notaţiile precedente, dacă

denumirea de raz,r 00

l~I < ra(/), seria E C"

spectrală

.r-• este

di-

1

vergentă.

R: Fie r marginea inferioară a numerelor pozitive astfel incit seria 00

I: t-".r-t converge I

pentru

I ~I

> r. Deducem lim li~-,, f'•- 1 11 = O, de H ➔ C0

I

unde, cu un .raţionament analog celui din ex. precedent, lim lif"l!" s; r, adică r aU) < r.

CAPITOLUL V

SPATII HILBERTIENE

§ 1. DEFINIŢII. TEOREMA DE EXISTENŢA A PROIECŢIILOR

Să

5.1.t. Fie H un spaţiu vectorial complex. presupunem că este definită o aplicaţie (x, y) : H X H

numită produs proprietăţii:

a) (x, y) b) (x1

c) (),.x, y)

2,

y)

=

următoarele

x) ;

=

(x1 , y)

+ (x

2,

y) ;

11.(x, y), pentru orice A 6 C;

d) (x, x) ~O; (x, x) Condiţia

C,,

interior (sau „scalar") al elementelor x, y, cu

= (y,

+x

~

=

O,

dacă şi

d) are sens, deoarece din a)

numai

dacă

rezultă că

x

= 08 •

(x, x) este real.

T e o r e m ă. 1ntr-un spaţiu vectorial H în care sînt îndeplinite cona), b) c), d), funcţia

diţiile

este o

nor-mă.

Să observăm,

în primul rînd,

din

condiţiile

a), b), c)

+ Y2) =

(x, Y1)

+ (x, Y2),

(x, 11.y}

= i(x,

y).

cititorului stabilirea acestor

relaţii,

cu

(x, Y1

Lăsăm

că

exerciţiu.

rezultă

imediat

Spaţii

hilbertiene Să

141

punem, anticipativ

v(x, x) = 11x11.

llxll = O

Avem dacă x

=

dacă şi

numai

dacă

= O,

(x, x)

deci

dacă şi

numai

OH.

Apoi 111,xll

=

V(i,x,

Pentru stabilirea ar fi. ,, E C,

i.x)

=

V

 •

inegalităţii

i.(x, x)

= li.I · V(x,

x)

=

triunghiului vom observa

li.I · că

llxll.

avem oricare

!Ix + 10111 > O, adică

+ AY, x +

(x

Â_'V) ~

O,

ceea ce se mai poate scrie

1lxl1 2

+ i.(y,

X)

+ i(x,

y)

+ p„1

2

•

IIYll 2 ~ O.

Să luăm

Deducem l(x, y) I< llxll

· IIYII-

Această inegalitate extinde cunoscuta inegalitate a lui Schwarz. În baza acesteia putem scrie acum

llx + Yll 2 = (x + y, x + y) = llxll 2 + (x, y) + (y, x) 2llxll · IIYII + IIYll 2 = (llxll + llyll)2 şi

teorema este

+ IIYll

2

~

llxll 2

+

demonstrată.

Un spaţiu vectorial H în care s-a introdus un produs interior (x, y) cu proprietăţile a), b), c), d), normat prin relaţia llxll = V(x, x), se numeşte un spaţiu preliilbertian. Dacă acest spaţiu este complet (adică un spaţiu al lui Banach), el se numeşte un spaţiu al lui Hilbert, sau un spaţiu hilbertzan. Exerciţii: 1° Să se arate că (x, y) este o H X H, cu norma ll{x, y}II = llxll + IIYII-

funcţie continuă

R : În adevăr, (x

+ h, y + k) =

(x, y)

+ (li,

y)

+ (x,

k)

+ (li,

k).

Se va aplica inegalitatea lui Schwarz în membrul al doilea.

pe

spaţiul

Funcţii

142

reale fi elemente de topologie

2° Să se arate că pentru orice pereche x, y de puncte ale unui prehilbertian avem (legea paralelogramului)

!!x + y1l 2

+ llx -

Yli 2 = 2!lxll 2

+ 21!yll

2

spaţiu

•

ă.1.2. Să presupunem că în produsul interior (x, y) fixăm unul din puncte, de pildă pe y, şi să punem f(x) = (x, y). Aplicaţia f :H ~ C definită de egalitatea precedentă este lineară şi continuă.

În adevăr, J(i!.X)

f(x 1

+x = 2)

(x1

· ((XX, y)

+x

2,

y)

=

= oc(x,

y)

= t:t.f(x),

(xv y)

+ (x

2,

y)

= /(x1 )

+ f(x

2 ).

În sfîrşit, aplicînd inegalitatea lui Schwarz, avem

lf(x) I = l(x, y) I ~ IIYII · llxll, deci f este

mărginită.

M. Frechet şi oricărei funcţionale rior (x, y 1) şi unul

F. Riesz au arătat, independent unul de altul, că lineare şi mărginite f(x) îi corespunde un produs intesingur, astfel încît f(x) = (x, y 1). Vom demonstra mai jos această importantă teoremă de reprezentare. Formularea anticipată a acestei teoreme va constitui pentru noi numai justificarea noţiunii de ortogonalitate, în acord cu noţiunea dată anterior în cazul general (4.2.2., ex. 2°). Vom spune că două elemente (pe care le putem gîndi, în tot cursul acestui alineat şi al celui următor, ca vectori), x, y ale spaţiului prehilbertian H sînt ortogonale şi vom scrie x _Ly dacă (x, y) = O. Dacă (x, a) = O pentru orice a E E C H, vom spune că x este ortogonal mulţimii E. În scris : x J_ E. . Proprietatea următoare ne va fi foarte utilă, în afară de interesul ei intrinsec. T e o r e m ă : O nmlţime convexă şi închisă F a unui spaţiu ltilbertt:an 1 H conţine un element cu cea mai mfră normă. Să punem 8 = inf { llxll :x E F} şi să considerăm un şir de puncte {x,.}nENCF, pentru care lim llxnll = 8. Putem, evident, să alegem şirul n➔ 00

{ llxnll}nE=N descrescător. Din x,. E F, xm E F, deducem_!_ (xn + xm)EF, deci 2

1

Condiţia

de completitudiue a

spaţiului

H este aici

esenţială.

Spaţii

·143 ·

hilbertiene

- În baza legii paralelogramului putem scrie

llx,. -

Xmll 2 = 2llx„ll 2 + 2llxmll 2 - !Ix,. + xmll 2 < 21ix !l 2 + 2llxmll 2 - 28, 11

deci. şirul {x11 },,EN este fundamental. Spaţiul H fiind complet, acest şir este convergent. Fie x _= lim xn- Din egalitatea lim llx„11 = 8 deducem 11-ta,

llxoll = 8; teorema este

11-tC,,

demonstrată.

5.1.3. Am văzut mai .sus ( § 7) că Banach se poate descompune în suma directă a

X= X'

= x'

spaţiu

un

două

subspaţii

X al lui X', X"·

X",

să poată

astfel încît orice element· x E X x

EF>

dacă

(1)-

fi descompus sub forma

+ x",

cu x' E X', x" E X" atunci :

1° descompunerea 2°

există

o

precedentă

proiecţie

x

~

x', a

este

unică

spaţiului

; X pe

subspaţiul

X'.

Pentru un spaţiu hilbertian, o descompunere de forma (1) este totdeauna posibilă, prin urmare într-un spaţiu hilbertian există totdeauna proiecţii. Aceasta rezultă din următoarea

Te ore mă. X

Dacă

G este un

.subspaţiit

al-

spaţiului

hilbert-ian H

şi.

Ei H, atunci

x = x' cit x' Ei G

şi

x" l_ G. Descompunerea

+ x", precedentă

este

unică.

Într-adevăr, dacă x E G, este suficient să luăm x' ·Dacă

x

~

G,

= x

şi x''

=

Ow

să considerăm mulţimea

F

=

{z: z

= x-

y, y Ei G}.

Este vizibil că F este convexă, deoarece G, ca subspaţiu al lui H„ este o mulţime convexă. De asemenea, F este închisă, deoarece G este o mulţime închisă.

Teorema din 5.2.1. este deci aplicabilă : există un element x" = x -:-- x' EF, cu x' E G, avînd cea mai mică normă. Altfel vorbind, oricare: ar fi  E C_ şi y Ei G, sau - A(y, x") - °i(x", y)

+ IAl

2

IIYll 2 ~ O..

Funcţii reale şi elemente de topologie

·144 Dacă luăm

în particular, (x", y)

A=--

111ll1 '

:găsim

l(y, x") I< O, deci (y, x")

Să arătăm că

x

= O,

adică

descompunerea este

=

x~

+ x~',

cu x~

x" l_ G.

unică.

Fie

* x', x~' =p x", x~

Ei

G,

.x~' J_ G. Deducem· x' - x~

= x~' - x".

Dar x' - x~ Ei G, x~' - x" l_ G, deci (x' -

x~, x~' - x")

= O,

adică

=

(x' - x~, x' - x~)

de unde x;

p: H

=

x'

Corolarii : 1°

şi

xt

=

llx' - x1 ll 2

=

O,

x", ceea ce contrazice ipotezele

Oricărui subspaţiit

făcute.

G al lui H îi corespunde o

proiecţie

__.. G.

2° Dacă G C H este un subspaţiu al lui H, x" EH, astfel încît: x" =I= Oa, x" l_ G.

există

cel

puţin

un vector

3° Dacă G este un su.bspaţiu propriu al lui H (G C H), există un aU K C H, astfel încît

subspaţiu

H=G(±)K.

În adevăr, fie K mulţimea elementelor x" l_ G. K nu este mulţi­ mea vidă. În al doilea rînd, K este o varietate lineară a lui H. în al treilea rînd, să considerăm un element y Ei K' (punct de acumulare al mulţimii K). În bula B ( y ; : ) se găseşte un element E K, adică un element

x:

pentru care (x', x:)

oricare ar fi x' Ei G.

Să fixăm

= O,

pe x'. Pentru n __.. oo avem (5.1.1., ex. 1°)

lim (x', x~')

=

(x', y)

=

O,

deci y j_ x'. Cum x' este arbitrar în G, avem y j_ G, deci y Ei K este un subspaţiu. În sfîrşit G şi K au un singur element în comun: punctul OH.

şi

K

SpaJii hilbertiene

145

§ 2. REPREZENTAREA FUNCŢIONALELOR LINEARE CONTINUE

5.2.1. Sîntem, acum, în

măsură să

stabilim

Te o r e ma de reprez e n tare a funcţiona le lo r Ii ne are şi mărginite (M. Frechet, F. Riesz). Oricărei funcţionale lineare .Şi mărginite definite în spaţiul hilbertian H îi corespunde u11, element y 1 s H, astfel încît să avem f(x) = (x, y 1) pentru orice x s H.

Să punem K = {x :f(x) = O}. Este vizibil că mulţimea astfel definită este un subspaţiu al lui H. Dacă K = H, atunci f(x) = (x, y 1), cu y 1 = - OH. Să presupunem deci KcH. Atunci (5.1.3.) există cel puţin un element z =I= 0 8 , astfel încît z J_ K. Vom arăta că vom putea determina un număr real ex astfel încît să avem :)'J = cxz. Vom observa, în. primul rînd, că dacă x Ei K, atunci f(x) =O= == (x, exz), oricare ar fi ex. În al doilea rînd, în identitatea

=

x

vom determina pe

~

(x - ~z) să

astfel încît

şi

Pentru aceasta este necesar

avem x - ~z Ei K. suficient

f(x - ~z)

de unde,

ţinînd

seama

că

+ ~z să

avem

= O,

z ~ K, ~ =/(x). /(z)

Cu

această

valoare a lui f(x)

Dacă

vom

= f(x

~

vom avea

- ~z)

+f

reuşi să arătăm că

(~z) = (x - ~z, y 1)

f(~z)

=

(~z, y 1), teorema este

Dar (~z, y1) Obţinem

astfel

ecuaţia

=

de unde

Funcţii

reale

şi

~

în ex /{~z)

10· -

cxz) =

(~z,

elemente de topologie

=

~

+ f(~z).

· ~ li z 11 2,

· «l!zll 2 •

demonstrată.

Funcţii

146 Aşadar

Ca o toarea

reale Ji elemente .de topolo~ie

şi

a este determinat

consecinţă imediată

teorema de reprezentare este demonstrată. a teoremei de reprezentare obţinem urmă­

T e o r e m ă: Dacă H este im spaţiit hilbertian, atunci avem, în afară de un homeomorfism izometric, H = H*. În adevăr, în baza teoremei precedente, fiecărei funcţionale continue f pe H îi corespunde un element y e H astfel încît f(x) = (x, y). Reciproc, fiecărei element y EH îi corespunde funcţionala lineară /(x) = (x,y), care este continuă, deoarece

1/(x) I = l{x, y) I < IIYII · llxll, de unde 11/11.C.IIYII• Cum J(y) = llyll 2, rezultă că 11/11 = IIYII- Deci bijecţia ~ f(x) este o izometrie între H şi H*, deci un homeomorfism.

y

§ 3.

5.3.1. O

de elemente ale

MULŢIMI

ORTONORMATE

mulţime finită

spaţiului

H este, prin

definiţie, ortonormală dacă

i, k = 1, 2, ... , n unde a., k = 1 dacă i = k, şi 8;,; = I. Altfel spus, mulţimea considerată este ortonormală dacă toate elementele au norma egală cu I şi sînt ortogonale două cite două. Fie x EH, altfel arbitrar. Numerele

i = I, 2, ... , n se numesc

coeficienţii

lui Fourier ai elementului x în raport cu

mulţimea

ortonormală considerată.

X

Te ore mă. Dacă {c;};:Sn sînt coeficienţii lui Fourier ai elementului în raport cu mulţimea ortonormată { x. },:lin' atunci

,.

E

, ... 1

2

IC; 1

< li

2

X 11 •

~P~tii_ -~Hbertiene

147

În adevăr, avem O

< l1.il x -

n 112 Ec;x;

=

llxll 2

= (x

I ~0

.

= llxll

J=(

" C;X; ) - (" EI c;X;, x )+ (nE C;X;, E"I C;X;) = (x, E I

-

-

E lc;l i=l

I=

J=

11

2

IJ n ) - Ec;X;, x - Ec;x; = J=(

J~c(

1

2

-

E lcil + E lc;l 2

i=l

Observ aţi e: Inegalitatea inegalitatea lui Bessel.

1

I=

n

11

n

2

i=l

precedentă

= llxll se

2

-

E lcd

2

•

i=l

numeşte,

convenţional,

5.3.2. Consideraţiile precedente se extind la o mulţime oarecare de elemente din H. O m~lţime {x;hEI unde X; 6 H este, prin definiţie, ortonormată dacă elementele acestei mulţimi au norma egală cu I şi sînt două cite două ortogonale O mulţime ortonormată E de elemente din H este completă sau maximală (sau încă: formează o bază pentru H 1) dacă nu există nici o mulţime ortonormată F, astfel incit E C F. T e o r e m ă. Fiind dată o mulţime ortonormată E, există o 111,ulţime ortonormată completă F care conţine mielţimea E. Enunţul implică faptul că E nu este maximală. Există deci cel puţin o mulţime ortonormată E 1 ::> E. Să notăm cu SF famila mulţimilor ortonormate care conţin pe E. În fi vom introduce relaţia de ordine „k"· Să considerăm o subfamilie fi' C fi, total ordonată de această relaţie de ordine:

Mulţimea

este ortonormată şi avem· evident G ~ E;, oricare r r fi i E J. Prin urmare, în baza axiomei lui Zorn, Sf are un element maximal F, care (:--te mulţimea căutată.

5.3.3. Fie {x;}iE=I = E o din H şi x E H, altfel arbitrar. Vom pune, ca mai sus,

mulţime

ortonormată

de elemente

iEl 1

P. Ha Imos. ltilroduclion to Hilberl Spaces. New York, 1951, p. 27.

Funcţii

148

reale Ji elemente de topologie

·şi vom numi elementele mulţimii numerice {ci },er coeficienţii lui Fourier :ai elementului x în raport cu mulţimea ortonomată E.

Te ore ma I. Oricare ar fi mulţimea ortonormată E = {x,},er' coefilui Fourier ai unui element x 6 H în raport cu E sînt, în afară de o mulţime cel mult numerabilă, nitli. cienţii

Să

punem, ca mai sus,

c,

=

i 6 I.

(x, x,),

Putem scrie

{i,:c,=l=O}

=

LJ{i: lcil

PEN

Fie

2

>.!..}. p

{c,1' C;v ... , c,n} o submulţime finită a

submulţime

este

ortonormată.

lui E, altfel arbitrară. Această Inegalitatea lui Bessel este deci aplicabilă

fJ

E lc,kl

~ llxll 2 •

2

k=l

Dacă I c,k

2 1

> .!.. , k = p

în caz contrar inegalitatea

1, 2, ... , n, atunci neapărat n ~p precedentă

llxll 2, deoarece

nu ar mai avea loc.

Aşadar, mulţimea

{i:

I

ci

2

1

> ;}

este finită (numărul elementelor acestei mulţimi este mai mic decît De aici rezultă că mulţimea {i: c, =I= O} este cel mult numerabilă.

Pllxll 2).

O b s e r v a ţ i e. Teorema precedentă ne permite să dăm un sens1 expresiei ~ Ic, 12 , Într-adevăr, fie {cip}pEN partea numerabilă a coeficienţilor diferiţi

de zero ai lui Fourier. Prin

definiţie,

(1)

=

Dacă {x, },ei E mulţimea numerică corespunzătoare

T e o r e m a II.

{c, },er

element x e H în raport cu E, atunci

1

Independent de teoria

mulţimilor

·

sumabile.

este o mulţime ortonormată şi a coefic-ienţilor lui F ourier ai unui

Spaţii

hilbertiene

149

În adevăr, în baza observaţiei precedente,

Să considerăm

partea

finită

ortonormată)

(care este

a lui E, unde n este arbitrar. În baza inegalităţii lui Bessel avem n

E I cip 1 ~ llxl1 P=l 2

Pentru n

~

•

oo obţinem inegalitatea cerută.

T e o rem a III. Fie {xi }iei altfel arbitrar şi ci = (x, xi). Seria

2

E c,x,

=

E o

mulţime

ortonormată,

x Ei H -·

converge către un element x' astfel încît x - x' ..l E.

iEI

Potrivit unei

Să

observaţii

anterioare

punem

Pentru m

>n

vom avea ,n

2

llxm-x"ll =

E

,t,=n+1

lc,pl 2-

(li)

Cum seria

E lcipl

2

este convergentă (teorema II), rezultă că putem

1

1!-la n 0 , astfel încît pentru n

> ne,

> nit să llxm - x"ll < e:. m

avem

2

şir

Deci { xn}nEN este un va fi convergent. "Fie

şir

fundamental.

Spaţiul

H fiind complet, acest

Funcţii

150

reale şi elemente de topologie

Avem

de unde, pentru n

~

oo (x', xip)

=

c.-P

=

(x, X;p).

(x - x', X;p) = O, p E N. Deci x - x' este ortogonală pe submulţimea cel mult numerabilă a mulţimii E pentru care coeficienţii lui Fourier corespunzători sînt diferiţi de zero. Fie, acum, xi E E, astfel încît C; = O. Vom avea (x', X;) = O, iar, pe de altă parte, (x, X;) = O, de unde (x - x', x;) = O, deci x - x' _LE. Rezultă

Exerciţii: I Se consideră spaţiul /2 spaţiu x se poate introduce un produs O

din 3.1.2. Să se arate di în acest interior prin egalitatea

00

(x, y)

=

E

X 11 )~w

11=1

R: Să observăm că x„y,. 2° Este

spaţiul

l 2 un

=

i [(x

spaţiu

11

+ y,.)

2

-

x; - y;].

hilbertian?

3° În spaţiul l 2 se consideră şirul (x11 } 11 el\'' unde

= (1, O, O, ... ), x 2 = (O, 1, O, ... ).

x1

Să se verifice că acest şir formează o mulţime ortonormată această mulţime ortonormată maximală în l2 ?

în /2• Este

4° Fie {x;}iEI = E o mulţime ortonormată a spaţiului hilbertian H varietatea lineară închisă generată de E (intersecţia tuturor subspalui H care conţin pe E). Dacă H 0 C H, atunci există un element y Ei H, de normă egală cu I, astfel încît y l_ E. R: În baza ex. 3° din 4.3.2. există o funcţională lineară şi continuă/, nu identic nulă, care să fie nulă în orice punct din H 0 • ~ După teorema lui Frechet-Riesz, /(x) = (x, y), unde y depinde de /. Putem lua l!JII = I, de unde IIYll = 1. Aşadar x E H 0 implică (x, y) = O, de unde y l_H 0 • şi H 0 ţiilor

că

şi

o

5.3.4. Vom da acum cîteva proprietăţi echivalente cu faptul este completă.

mulţime ortonormată

Te ore ma I. O mulţime {xd,e1 numai dq,că x l E implică x = OH·

= E

ortonormată

este completă dacă

Spaţii

hilbertiene

151

Dacă E este completă, să presupunem I.

llxll =

cxx,

ortonormată şi

ar fi

x ...L E şi x =:= OH, putem, înlocuind pe x prin Atunci mulţimea

F = {x} UE E nu ar fi maximală.

=

Dacă x l_ E implică x există o mulţime ortonormată

OH, presupunînd că E nu este completă, F::, E, deci un element x =f:: OH (în fapt x E F - E), astfel încît x l_ E, ceea ce contrazice ipoteza.

Te ore ma Il. O

mulţime

{x,},er

=

E

ortonormată

este

completă

dacă şi numai dacă subspaţiul H O generat de E coincide cu H. Dacă E este completă, atunci H 0 H, în baza ex. 4° din 5.3.3. · Dacă H 0 H şi E nu este completă, există o mulţime F::, E, ortonormată maximală. Fie y Ei F - E. Evident, 1. Pe de altă parte, y Ei H H 0, de'ci y este punct de acumulare de combinaţii finite de elemente din E. Fie {zn}nEN un şir de astfel de combinaţii care tinde către y. Avem, evident~

=

=

=

llyll =

(zn, y) = O, de unde, pentru n

~

oo,

(y, y) adică pletă.

IIYII = O, ceea ce contrazice o

= O,

ipoteză anterioară. Aşadar

Te ore ma m. O mulţime ortonormată {x,l,er numai dacă pentru orice element x Ei H avem

=

E este com-

E este

:completă

dacă şi

(1)

În adevăr, dacă E este completă, atunci, în baza teoremei II, H 0 = H. - Pe de altă parte (5.3.3, teorema III), seria c,x,, unde c, = (x, x,),

E

este x -

iEI

convergentă către

un element x', astfel încît x - x' l_ E, de unde H. În particular, (x - x', x - x') = O, deci x' = x. Reciproc, să presupunem că pentru orice x 6 H avem x' l_ H 0

=

În baza teoremei citate mai sus, x _LE. · E nu ar fi completă, atunci H 0 C H (H 0 fiind subspaţiut generat de E). Deci (5.3.3., ex. 40) ar exista un element x e H, de normă egală cu 1, astfel încît (x, x,) = O, i 6 J. Dar atunci, din Dacă

x = iEI I:;c,x, am deduce x

= OH.

Deci E este

completă.

Funcţii reale şi elemente de_ iopolog~e

1.52 O b s e r v a ţi e♦- Formula x

= E cixi

constituie, prin definiţie, des-

iEI

ăşurarea în serie Fourier a elementului x, după elementele mulţimii ortonormate E . .Teorema precedentă afirmă că o astfel de desfăşurare· e~ posibilă dacă şi numai dacă E este maximală.

Exerciţii: şi

dacă

numai

1 ° Mulţimea ortonormată E = {xdier este completă pentru orice pereche x e H, y e H avem

dacă

(Identitatea lui Parseval.) R:

Ştim că

Să notăm cu I' mulţimea indicilor i pentru care (x, x,) =t= O, cu J" mulţi­ mea indicilor i pentru care (y, x,) O. Aceste mulţimi sînt cel mai numerabile, deci I' U J" este cel mult numerabilă.

*

Fie I' U I"= {ip}pEN· Vom avea CIi

Y Să

= P=l E(Y,

xip) xip•

punem Xn

=

n

n

1>=1

J,=1

E (x, x,p) x,p, Yn = E (y, x,p) x,p•

Avem

Pentru n

~

co

obţinem

identitatea lui Parseval.

Reciproc, să presupunem că această identitate are loc pentru orice pereche x, y de puncte din H .. Deducem, pentru un element x e H altfel arbitrar,

· llxll 2 = ~ l(x, x,) 12• iEI

Dacă E nu ar fi completă, ar exista un vector x, de normă 1, ortogonal lui E. Pentru un astfel de vector, identitatea precedentă nu ar mai avea loc.

S1>,aţii _~ilbertie~e

.

15~

2° O mulţime ortonormată E = {x,her este pentru orice element x E H avem

completă. dacă-şi

numaF

dacă

l1xll 2 =

E l(x, x,) 1 2

•

iEI

R: Dacă E este completă, atunci are loc identitatea lui Parseval, de unde se deduce, ca în ex. precedent, identitatea cerută. Reciproc, dacă.. egalitatea precedentă are loc, E este completă, aşa cum s-a arătat în ex. precedent. 3° Toate mulţimile ortonormate complete ale unui spaţiu hilbertian. cardinal. R: Fie E = {x;her, F = {y,JkEK ortonormate maximale. Pentru un indice i E I fix, mulţimea indicilor k E K, pentru care (x,, y,,) =;= O este cel mult numerabilă. Fie K. această mulţime. Un element y„ nu poate fr ortogonal lui E, deoarece E este maximală. Deci K C Ki, de unde, punînd a = card E, b = card F, au

acelaşi

LJ

iEI

b ~ Noa. Prin simetrie, a~ N b, de unde a = b. 0

O b s e r v a ţi e : Cardinalul tuturor mulţimilor ortonormate com-plete ale unui spaţiu hilbertian se numeşte dimensiitnea acestui spaţiu. 4° unei

Să se aplicaţii

arate că, în cazul unui spaţiu hilbertian H, adjuncta lineare şi mărginite x-,. f(x) este definită de ecuaţia

f*

a.

(/(x), y) = (x, f*(y)). R: În cazul unei aplicaţii /: X -,. Y adjuncta f* : Y* -,. (4.4.2, ex. 5°) după cum se ştie, de ecuaţia

definită

(f* o y*)(x) = y*(J(x)), În cazul de faţă, X'= Y =X*= Y*

x•

este·

(y* E Y*).

= H,

iar y* este o funcţională:

lineară şi continuă pe H. Suprimînd asteriscul şi utilizînd homeomorfismul! izometric y ~ (*, y), membrul al doilea al relaţiei precedente se scrie(/(x}, y). Să observăm că f* o y f*(y) este o funcţională lineară şi conti-nuă.· Putem şi aici utiliza izometria o y ~ (., J*(y)), deci membrul întru se scrie (x, J*(x}), de unde relaţia cerută.

=

Observ aţi e: Toate

J*

proprietăţile aplicaţiilor

ciţiile 5° şi 6°) sînt valabile în acest caz.

11!*11 = 11/11, 5°

Să

f: H

se arate

~

că

H lineare

(g O /)*

adjuncta unei şi

= f*

aplicaţii

continue este

adjuncte (4.4.2, exer-

în particular,

închisă.

0

g•.

Funcţii reale

·154

R: Fie Y1iEi H, lim y,.

.Avem, pentru orice x E H

-+

elemente

de topologie

= y, limf*(Yn) =Io• şi

pentru orice n na tu ral

(f(x), y,,)

·de unde, pentru n

,i

=

(x, f*(y,,)),

co

(f(x), Yo) = (x, Io), •-deci Io

= f*(Yo).

§ 4. OPERATORI ADJUNCŢI. OPERATORI AUTOADJUNCŢI

5.4.1. Noţiunea de aplicaţie adjunctă, dată în 4.3.2 şi aplicată :-în exerciţiile precedente la spaţiile hilbertiene, poate fi prezentată, în cazul acestor spaţii, sub o formă mai generală. Pentru simplificarea expunerii, vom adopta aici termenul de operator ·pentru orice aplicaţie lineară (nu neapărat şi mărginită l) a unui spaţiu ·hilbertian H în el însuşi. Vom păstra denumirea de operator chiar pentru -o aplicaţie lineară I: D-+ H, unde D este o varietate lineară a lui H. În •cele ce urmează vom presupune totdeauna că D = H. Să considerăm un operator f: D -+ H. Mulţimea elementelor y Ei H ~ărora le corespunde un element g(y) EH, astfel încît să avem (l(x), y)

= (x,

g(y)),

(1)

·va fi notată D*. Această mulţime nu este vidă, deoarece On ED*. În cele •ce urmează ne vom ocupa exclusiv de operatori I pentru care D* -=I= {On}. Vom arăta, în primul rînd, că pentru orice y ED* corespunde un :singur g(y). Să presupunem, în adevăr, că ·alături de (1), am avea (f(x), y)

= (x,

g'(y)) .

(1 ')

. Am deduce g'(y) - g(y) j_x, oricare ar fi x ED, deci g'(y) - g(y) ..t_D. ,•Cum D = H, deducem, din continuitatea produsului interior, g'(y)-g(y) ..t_H. 'în particular g'(y) - g(y) J.g'(y) - g(y), de unde g'(y) = g(y). · Aplicaţia g: D* -+ H, unic determinată de relaţia (1), se numeşte ·()peratorul adjunct l-u.i I şi se notează f*. Egalitatea prin care se defineşte .adjunctul unui operator I este, aşadar, (f(x), y) Mulţimea D* meapărat densă în

este o varietate H.

=

(x, f*(y)).

lineară (demonstraţie!),

(2) dar nu este

Spaţii

hilbertiene

Dacă

/**.

nota

155

D* este densă în H, atunci J* are un adjunct, pe care îl vom. Fie J** : D** -+ H. Din relaţia (2) deducem

=

(J*(y), x) De aici

rezultă că

Dacă/ este mărginit şi

,este

D**

~

D

şi că

(y, /(x)).

/ este

restricţia

un operator mărginit şi D definit pe H, iar J** = f.

=

la D a lui J**.

H, atunci adjunctul

său

J*

5.4.2. Te ore ma I. Adjunctul unui operator linear f: D-+H operator linear închis. Linearitatea rezultă imediat din (2). Să arătăm că J*: D*-+ H este închis. Fie {y,.},,EN' cuy„E D* şilimy,, = y. Să presupunem că lim/(y,.) = f*. Din egalitatea .este

1m

f(x), Yn)

=

(x, J*(y,,)),

valabilă pentru orice n, deducem, ţinînd seama de continuitatea produsului interior, (f(x), y) = (x, f*),

deci y ED* dacă

şi

J* = J*(y).

Vom spune că un operator/: D-+ H, cu D = H, D* = D şi dacă /(x) = J*(x) pentru orice x E D. Cu această definiţie putem enunţa

este aittoadjunct

Te o r e m a II (Hellinger-Toeplitz). Un operator autoadjunct f defi·nz'.t pe tot spaţiul H este mărginit. / În adevăr, deoarece/= f*, feste închis (teorema I). Cum/ este definit pe tot spaţiul, rezultă că / este mărginit (4.5.2., teorema II). 5.4.3. În cazul unui operator f: D

.

-+

H vom păstra, pentru

mulţimea rezolvantă şi pentru spectrul lui/, pe care le vom nota respectiv tot cu p(f) şi G(f}, aceleaşi definiţii pe care le-am dat în capitolul IV, § 7 (4.7.1.) pentru un operator mărginit definit pe un spaţiu X al lui Banach . Demonstraţiile date pentru obţinerea unor proprietăţi ale mulţimilor p(f) şi G(j) în cazul unui spaţiu al lui Banach, care se bazau în mod esenţial pe faptul că/ era un operator mărginit, nu mai sînt valabile în cazul consi-

derat aici. În cazul unui operator autoad3unct se poate totuşi obţine un rezultat precis:

Te ore mă. Pentru orice

"l1 idă.

Mulţimea rezolvantă a ~ complex, operatorul

unui operator autoadjunct nu este

R" = (~I - F)- 1 e_ste definit pe tot

spaţiul

H

şi

este

mărginit.

Funcţii

156

Fie, în punem

Să

adevăr,/:

~

D

reale şi elemente de topologie

H autoadjunct.

(~I - f)(y)

=

X.

(yED)

Vom calcula produsul interior

l1xl1 2 = ((~I - /)(y), (~I - J)(y)). Avem

l1xl1 2

ll(ţ/ - f)(y)!l 2

=

+ iîjl)(y), (ţl - f+ i·'ll)(y)) = IIYll + ((ţl - f)(y), i'1Jy) + (i'1JY, (~I -

((~I - f

.

+ '1J

2

•

2

f)(y)).

Dar ((ţ/

- f)(y), iîjy) = (~y, iîjy) - (f(y), iîjy) =

= -

i~'1J(Y, y) - (y, J*(iTJy))

=-

i'1J(Y, ţy)

= (i't)y,

= + i't)(y, f(y)) = - (i1JY,

ţy)

+ (iTJY, f(y))

=

(ţl ~ J)(y)).

Deci, în definitiv,

llxl1 2 = li( ~I - J) (y) !1 2 + Din

această importantă

egalitate

'1J 2 1lyl1 2 •

(1)

rezultă că

= 08

dacă şi numai dacă y = OH. Deci ~I - feste o injecţie, de unde R = (~I - J)- 1 există. Să punem ( ~I - f) (D) = H 0 • Vom arăta că H O • H, de unde va rezulta Rt este definită pe tot spaţiul. Vom împărţi demonstraţia în două părţi :

x

rezultă că

că

a) H 0 Aceasta

=

H. Fie, în

înseamnă că

adevăr,

z .l_ H 0 •

pentru orice y E D avem

((~I - f)(y), z) = O sau (f(y), z)

deci z e D* şi f*(z) Deducem

= ~-

= (~y, z) = ~(y, z) = (y, ~), Dar / este autoadjunct. Deci /(z)

=

fz.

(f(z), z) = (z, f(z)) = ~(z, z) = qz, z). Cum ~ este complex, deci = OH. Aşadar H 0 = H.

%

'1)

* O,

rezultă că ~

*

~ deci

llzll 2 = O, de unde

Spaţii

hilbertiene

157

b) H 0 = H. Din a) rezultă că orice element x Ei H este limita unui şir {xn}nEN de elemente din H 0 • Fie Yn - Rr. (x,.), de unde (Al - f)(y,.) = x,,. Vom avea, repetînd un calcul

llx,. - Xmll = 2

făcut

mai sus,

li(~/ - f)(yn- Ym)ll 2 + "'l 2 11Yn - Ymli 2 2 "'l 2 IIY - Yll 2 •

Cum "I) =t= O, aceasta înseamnă vergent. Fie y = lim y,..

că {yfl}neN

este un

şir

fundamental, deci con.

n➔ oo

Cum feste un operator închis, y e D şi (~/ - f)(y) = x. Deci pentru orice x EH corespunde un y e H, astfel încît egalitatea precedentă să fie verificată, ceea ce revine la a spune că H 0 = H. Faptul că Rr. este măr­ ginită rezultă din (1). În adevăr, din egalitatea citată deducem

11x112 ~ '1)21lyll2, de unde

sau

deci 1

II Rll0.

1°

Dacă

f > O şi ex~ O, atunci r,.f ~ O.

f~ O şi g > O, atunci/+ g > O. f":2:.g şi g > h, atunci J> h.

şi

vom scrie

Funcţii

158

reale

şi

elemente de topologie-

5.4.5. T e o r e m a I. Dacă operatorul f, mărginit este pozitiv, al-unei spectrul său este pozitiv 1 . Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe următoarea

şi

autoad-

jiţnct

Lemă

: Fie g un operator mărginit, autoadjunct. Dacă există un scalar strict pozitiv a, astfel încît să avem g~ al, atunci g- 1 există şi avem llg- 1 11 ~ _!__ ex

În adevăr avem, pentru orice x EH, 0t!!xll 2

= (ax, x)

< (g(x),

x)

< llg(x) li · llxll,

deci

llg(x) 11 > cx!lxllDe aici rezultă că g(x) = OH dacă şi numai dacă x = OH. Prin urmareg-1 există pe varietatea lineară H 0 = g(H). În plus, avem llg- 1IIH, < _!_ __ ex

Vom arăta că H 0 în două etape :

=

H. Ca

şi

într-o

propoziţie anterioară,

vom proceda.

a) H O = H. În adevă·r, fie y ort_ogonal lui H 0 • Aceasta înseamnă că. (f(x), y) = O, pentru orice x E H sau {x, /{y)) = O, pentru orice x e H,. de unde, în particular, 11/(y)ll2 = O, deci/{y) =08 • Aşadar y=OH şi H 0 =H .. să

b) Deoarece H 0 = H, pentru orice y EH avem lim g{x,.) = y. Avem·

există

un

şir

{x,.} astfel încît

deci şirul { x,.} este fundamental. Spaţiul H limită x şi avem, din cauza continuităţii lui g,

fiind complet, acest şir are o g(x) = y, deci g(H) = H 0 =HSă trecem acum la demonstrarea teoremei. Vom pune l + f = g ,. unde a este un scalar strict pozitiv. Din /~ O deducem 0tl + f~ rJ-1,. deci - în baza lemei demonstrate (al + J)- 1 există şi este definită peîntregul spaţiu H. Deci {- a.I - f)- 1 există, de asemenea, şi este definită pe H. Rezultă de aici că orice număr strict negativ aparţine mulţimii rezolvante. Ştim deja (5.4.2.) că orice număr complex ~ = ~ + i"'fj cu "'l =t= O aparţine acestei mulţimi. Prin urmare a(f) C [O, oo). · Te ore ma Il. Dacă feste un operator un scalar strict pozitiv IX astfel încît să avem

-1XI i. Vom pune

a:($)

= n {a:;

a:

=> i, a: Ei ~}.

Este evident (exerciţiul 4 ° din paragraful precedent} că cl:(tS} este un clan borelian. De asemenea, este evident, din definiţia lui el:($), că

a: ::> & => d ::> d(i). Într-o formă mai puţin precisă, dar mai plastică, putem spune că d(i) este cel mai mic clan borelian care conţine familia ~Familia 6!($) se numeşte clanul borelian generat de familia de mulţimi .$.

. Exemplu. În un spaţiu metric, familia mulţimilor boreliene (6.1.1.} este clanul borelian generat de familia mulţimilor închise (deschise).

§ 3. FUNCŢII MĂSURABILE IN RAPORT CU UN CLAN

BORELIAN DAT 6.3.1. Fie T un spaţiu şi a: un clan borelian definit pe T. o aplicaţie x : T -+ R este etajată pe a: (sau, simplu„

definiţie, etajată) dacă :

Prin

1 ° x este o 2°

aplicaţie simplă, adică

are un

finit de valori

mulţimile

Ek = {t: x(t) = v1,} = x- 1 ({vk}), aparţin

număr

familiei

Orice

k = 1, 2, ...

a:.

funcţie finită, etajată

pe 61:, se poate scrie sub forma (1)

Formula rămîne valabilă şi pentru cazul unei funcţii etajate care nu este numerele vk pot fi + oo sau - oo) cu con:. care o vom întîlni în cursul acestui capitol:

finită (unul sau mai multe din venţia de calcul următoare,. pe

(± oo) · O = O · (± oo)

= O.

Familii de, mulţimi de tip borelian. această convenţie,

Cu

Funcţii

din (1)

asociate

163

rezultă că m

lxl =El vk k=l deci:

Dacă

x este

etajată

(pe d), atunci

(2)

IXEk,

lxl

este

etajată.

6.3.2. T e o r e m a I. Mulţimea aplicaţiilor etajate pe t1 forun spaţiu vectorial pe corpul mtmerelor reale. Fie, în adevăr, X această mulţime, x EX şi IX 6 R. Din (1) deducem

mează

111

ax

=

E avk XEk,

k=l

deci axe X. Fie, în al doilea rînd, x E X, y E Y. Dacă m

X=

~VkXEk'

k=l

cu Ek E a, Fi E d, k = 1, 2, ... , m, i = 1, 2, ... , n, atunci punînd Aki = Ek Fi şi făcînd convenţia de calcul 00 - CO = O, putem scrie

n

m

x

deci x

"

+y = E ~ (vk + w.)"XAk·„ k=l i=I

+ ye X.

T e o r e m a II. Prod·ttsul 1 a

două funcţii

etajate este o f1mcţie

etajată.

În adevăr, cu notaţiile din teorema precedentă, putem scrie

Exerciţii: 1° Dacă x sînt etajate (pe et).

2°

Dacă x

şi

y sînt etajate (pe et), atunci sup (x,y)

a X, y a X, atunci {t: x(t)

1

Cu

convenţia

de calcul

precizată

> y(t)} a a:.

în G.3.1.

şi

inf (x,y)

Funcţii

164

G.3.3. Vom x+

ataşa fiecărei funcţii

=

sup. {x, O}

pe care le vom numi, respectiv, partea Evident

x: T-+ R

= -

x-

reale fi elemente de topologie funcţiile următoare:

in f {x, O},

pozitivă şi

partea

negativă

a lui x.

şi X=

x+ - x-.

Vom spune că o funcţie x : T -+ ii este măsurabilă 1 în raport cu clanul borelian 61, pe scurt măsurabilă (el:), dacă există un şir {x"} de funcţii etajate (pe el:) astfel încît să avem

lim xn(t)

=

x(t)

în orice punct te T.

T e o r e m ă. şi

Funcţia x este măsurabilă măsurabile (el:).

(tt)

dacă şi

nmnai

dacă

x+

x- sînt simultan Să

funcţii

presupunem x măsurabilă (&) etajate care tind către x.

şi să considerăm şirul {x,,},,eN

de

Într-un punct t Ei T în care

O< x(t)
n 0 ,

> n 0}

finiţi.

veăea

ulterior.

de unde lim xt(t) = 2- (!x(t) I + x(t)) =x+(t),

11➔ =

2

Hm x;;-(t)

=

x-(t)

= O.

fl ➔ Oil

1

Denumirea de

„măsurabilă"

nu este

coavcnţională,

după

emu se va

familii de mulţimi de tip borelian, Funcţii asociate

165

Într-un punct t 6 T în care

oo vom avea,

raţionînd


a nEN

{t : x(t) > a} =

2-} , n

LJ {t : x(t) ~ a + 2-} , n

nEN

pe care cititorul le va verifica singur, ca

exerciţiu,

de unde

rezultă că

{t: x(t) >a} Ei d, dacă şi

numai

dacă

{t: x(t) ~ a} Ed.

Cum

c;- = C{t; observaţia noastră

este

justificată.

două observaţii următorul :

Cele prin

O

aplicaţie

x:T

-+

x(t) ~ b},

ne vor permite

să

înlocuim

măsurabilă

(d)

dacă ş·i

R este

enunţul

numai

precedent

dacă

(2)

oricare ar fi

numărul

a real.

Să arătăm echivalenţa celor două enunţuri. Dacă x este măsurabilă (d), atunci, după primul enunţ, (1) este verificată pentru orice mulţime deschisă G, deci în particular pentru mulţimea deschisă G;I". După al doilea enunţ este verificată apartenenţa (2), oricare ar fi a real. Dar am văzut că relaţia (2) este verificată dacă şi numai dacă

(3) de unde x- 1 (}) Ei d

pentru orice interval

J

al dreptei numerice.

Cum orice mulţime deschisă G a dreptei numerice este o reuniune cel mult numerabilă de intervale,

Funcţii reale fi elemente de topologie

168 rezultă că

LJ x-

x- 1 (G) =

1 (],.)

ea.

neN

Putem trece acum la demonstrarea teoremei în a doua variantă a sa. Pentru simplificarea limbajului, vom numi proprietate (f) proprietatea exprimat! de relaţia (2). în baza egalităţii, uşor de verificat,

{t: a< x(t) rezultă că dacă funcţia


O} U {t: O> x{t) >a}= > O} U {t: O~ - x(t) < - a}= > O} U {t: O~ x-(t) < - a} 6 d.

{t: x(t) >a}= {t: x(t) {t: x+(t) {t: x+(t)

Cu aceasta, lema este

demonstrată. Să

presupunem acum funcţia x de funcţii etajate care tind

miisurabilă (d) şi să considerăm şirul {xn}nEN către

x. Vom pune, pentru orice te T, Yn(t)

Din identitatea

=

sup { Xn+1(t), Xn+2(t), .•• }.

(exerciţiu!)

{t: Yn(t)

>

a}

= LJ {t: Xn+f>(t) > p~N

a}

Familii de mulţimi de tip borelian. Funcţii asociate

deducem că toate funcţiile descrescător şi

y„

posedă

lim y,.(t)

169-

proprietatea (f). Dar .

=

şirul

{y,.} este-

x(t),

n➔ CIO

decî { t : x(t) ~ a}

=

n {t : y,.(t) :::: a}

neN şi

posedă proprietatea (f). Reciproc, să presupunem că x posedă proprietatea (f}. Atunci, în·. baza lemei demonstrate, x+ şi x- posedă această proprietate. Să punem. x+ = y, x- = z. Avem x = y - z, O. Să considerăm şirul {y,.}neN de funcţii definite astfel:

x

y"

=

i-1 -1 i · - , d aca„ i--~y n.

Să definim, în acelaşi mod, în raport cu funcţia z, şirul {zn}Este vizibil că funcţiile celor două şiruri au fiecare cite un număr finit de valori (anume, Yn ca şi z„ iau n · 2" + 1 valori diferite). Mulţimile pe care y 15 (ca şi z,.) ia aceste valori aparţin lui a:, deoarecey (ca şi z) posedă proprietatea (f}. Deci funcţiile Yn şi z„ sînt etajate (pe et) •. Să considerăm acum un punct t 6 T. Dacă y(t) < + oo, atunci pentru n > y(t) vom avea

o~y(t) Dacă

y(t) =

+

- y,.(t)

1 a}. nEN

§ 5. MĂSURA

de

părţi

G.5.1. Fie T un ale lui T.

spaţiu

(netopologizat)

şi

a:

un clan borelian

O aplicaţie µ: d'. --J> ii+ este prin definiţie o măsură (pe tl) dacă: I O µ este numerabil aditivă. Aceasta înseamnă că pentru orice şir { E,.}, finit sau infinit de mulţimi disjuncte din a:, avem

µ(LJ E,,) 2°

există

prietăţi:

cel

puţin

6.5.2. Din

o

B µ(En) ;

=

mulţime

E 0 E a:, de

definiţia măsurii rezultă

I. µ(0) = O. În adevăr, avem pentru orice E µ(E

măsură finită.

imediat

următoarele

pro-

Ea:

U 0) = µ(E) = µ(E)

+ µ(0).

Ţinînd seama că există cel puţin o mulţime E de din egalitatea precedentă, µ(0) = O.

măsură finită,

deducem~

173

!Familii de mulţimi de tip borelian. Funcţii asociate

II.

Măsura

este o funcţie

monotonă

mulţime.

de

Înţelesul acestei propoziţii este următorul:

E C F, atunci µ(E)

~

dacă

E Ei 61:, F Ei 61:

şi

µ(F).

Demonstraţia propoziţiei este imediată. În adevăr,

µ(F)

deoarece III.

mulţimile Dacă

E

şi

= µ(E)

+ µ(F -

este o

Consecinţă

E C F, E Ei

a:,

F Ei 61:, atunci

_ măsurii şi

= µ(F) - µ(E).

funcţie substractivă

a

~ µ(E),

F - E sînt disjuncte. µ(F - E)

(Măsura

E)

de

mulţime.)

demonstraţiei propoziţiei

6.5.3. Proprietăţile ce a integralei.

urmează

precedente.

sînt frecvent utilizate în teoria

T e o r e m a I. Măsura este o Juncţie numerabil sitbaditivă de mulţime. Înţelesul acestui enunţ este următorul: Pentru orice şir {En} de mulţimi din ct disjuncte sau nu, avem

~E

µ{LJEn) µ{En). Pentru demonstrarea acestei propoziţii vom utiliza un artificiu util în alte probleme. Anume, vom înlocui şirul {En} printr-un şir {Gn} cu

şi următoarele proprietăţi:

1 ° Mulţimile G„ sînt disjuncte. 2° Gn C E,., n = 1, 2, ... 30 U G,. = U En. Este suficient

să

definim recurent

G1

=

E1, Gn

şirul {Gn}

în modul

următor:

u Ek, n = 1, 2, ...

n-1

= En -

k=l

Să arătăm că şirul {Gn} îndeplineşte condiţiile cerute. Condiţia 2° este vizibil îndeplinită. În ceea ce priveşte condiţia I O , este suficient să considerăm mulţimile n

Gn

=

E" -

LJ Ek k=l

ni-p-l

Gn+P

= E„+P -

LJ

Ek,

k=l

pentru a constata, pe aceste

egalităţi, că

Gn

n GnH =

0.

Funcţii reale şi elemente de

174 Rămîne să verificăm condiţia

topologie

3°. Evident,

u Gn Cu En. Vom stabili deci incluziunea

LJG,..

UEnc

Fie t un punct aparţinînd primului membru. Există deci En astfel încît t E E". Să notăm cu n 0 cel mai mic număr natural pentru care t E E 110 • Atunci, pentru n < n 0 , te En, deci t E Gn C U G11 şi condiţia 3° este verificată. O dată şirul {G,J construit, putem scrie, în baza aditivităţii numerabile şi a proprietăţii de monotonie, 0

T e o r e m a II. Pentru orice şfr ascendent {En} de avem lim µ(E11 ) = µ(lim En).

mulţimi

din d

În adevăr, şirul dat fiind ascendent, lim En

=

LJ En = LJ (En nEN

cu

convenţia

E0

En-1),

nEN

= 0.

Mulţimile tăţii

din ultimul membru fiind disjuncte, avem, în baza propriede substractivitate, µ(lim En)

= µ(LJ

(En - E 11

nEN

_1)) = t

µ (E,. - E,._1)

=

n=l

CD

=B

n=l

[µ(E,.) - µ(En_ 1 )]

Te ore ma III. Pentrn orice pentru care µ(E 1) < oo, avem lim µ(E,.)

şir

=

= lim µ(E,i). ~oo

descendent {E,.} de µ (lim E,.).

în adevăr, prin ipoteză lim En

=

n E„

ne

deci

C

E1,

mulţi'nii

din d

Fa~ilii de- mulţimi de tip borelian. Funcţii asociate Să

175

punem

E 1 - E = Gn, n = 1, 2, ... {Gn} este ascendent. Deci, în baza teoremei II, 11

Şirul

µ(lim G11)

=

µ(lim (E1 - E,.) = µ(E 1) - µ(lim En) = lim µ(Gn) = lim [µ(E 1) - µ(En)] = µ{E1) - lim µ(En),

de unde egalitatea

=

cerută.

Te ore ma IV:

Dacă

şir

{E,.} este im

de

mulţimi

din a, atunci.

< lim inf µ(En).

µ(lim inf Eu)

n Ek. 00

În adevăr, să punem A,.=

Şirul {An} este ascendent şi avefil

k=ti

An C En,· n = 1, 2, ... Deducem, aplicînd teorema II,

= µ (lim inf En) = lim µ(A,.) < lim inf µ(En). 1° Vom spune că o aplicaţie µ: a: ~ R+ este finit

µ(lim A,,) Exerciţii: dacă

pentru orice

şir

finit E 1 , E 2 ,

••• ,

E" de

mulţimi

disjuncte din

aditivă

a: avem

ii(Q.E,) = t. ii(E.). Să se arate et avem

atunci µ este o

că dacă

măsură

pentru orice

şir

ascendent {An} de

mulţimi

diru

lim µ(A") = µ(lim An), (A. Kolmogorov).

2° În ce condiţii avem, pentru un şir {En} de mulţimi din d,_ µ(lim sup E,.) > lim sttp µ(E,J? R:

Condiţia

este : µ( U En)




Atunci, pentru k

din

şirul

< E şi xn,.(t) I < e,

k 0 vom avea µ(Ek)

Ix(t) deci

179

-

pentru t ~ Ek vom avea

{ xnk} converge asimptotic.

Să presupunem acum şirul enunţ nu ar fi îndeplinită,

dat convergent în măsură. Dacă egalitatea ar exista un număr e > O astfel încît şirul

{µ[{t: jx(t) - x,,(t)I

~

e}]}

nu ar tinde către zero. Deci ar exista un număr pozitiv 8 tor {n~ heN de numere naturale, astfel încît µ[{t: [x(t) - Xnk(t)I ~ E}] ~ 8, Evident, aceste

inegalităţi

k

=

şi

un

şir crescă­

1, 2, ...

ar fi verificate pentru orice

subşir

al lui

{nk}. Prin ipoteză, şirul {x"k} conţine un subşir, pe care îl vom nota pentru

simplitate la fel, convergent către x, a.p. (µ). Numărului Ei-ar corespunde deci un număr natural k 0 , astfel încît pentru k > k 0 să avem a.p. (µ)

Ix(t} - x,,,.(t) I < Dar

această

E.

inegalitate nu poate avea loc în punctele

G,. pentru care µ(Gk) > 8. rema.

=

mulţimilor

{t: jx(t) - x,,,.(t) I ::2::: E},

Contradicţia obţinută demonstrează

complet teo-

Exerciţii: 1 ° Să se arate că clacă E = U En, cu µ(E,,) < + oo, 1i = 1, 2, ... şi dacă {x,,} este un şir de funcţii măsurabile (tl) a.p. (µ) finite pe E, convergent a.p. (µ.) către x, atunci

=

E

= H U LJE~ nEN

cu µ(H) = O, iar şirul { xn} converge uniform pe fiecare din mulţimile E; (N. Luzin). R: Se poate presuptme, fără micşorarea generalităţii, µ(E) < oo şi funcţiile x„ finite. În baza teoremei lui Egorov, există 1111 şir {Ek} de mulţimi din a:, conţinute în E, astfel încît 11-(E Ek) < ..!._, şirul {xn} con-

+

LJ

k;:&ii

vergînd uniform pe fiecare

mulţime

Este suficient. să se puuă H 2° O mulţime E E = E,,, cu µ(En)

LJ

nEN

Ea:
Zo(t) - e:}.

{An}nEN este vizibil as':endent

T =

LJ .A

11

şi

= lim

An,

n ➔ i:»

11E1V

de unde lim µ(An) Dacă

µ.(T)

=

+ oo,

= µ.(T).

atunci putem scrie

~ z„dµ ~ ~ z„dµ 2 ~ (z 0 A

-

e:)dµ 2 (a - e:) µ(A"),

A

"

li

deci lim \ z„dµ

fl➔ c» şi

lema este

n

> ne

J

= +

oo

verificată.

Dacă µ(T) < oo, atunci există un număr să implice µ(T - A,.) < e:, de unde

~ z„dµ > ~ z"dµ > ~ (z 0 An

An

-

c:)dµ

natural ne, astfel încît

= ~ z0dµ - e: µ(An)

2

An

> ~ z0dµ - ~ z0dµ - e:µ.(T) :2::: ~ z0 dµ - e:b -e:µ(T). T-A n

Funcţii reale şi elemente de topologie

"186

,Cum e: este arbitrar,

obţinem şi

de data aceasta

Dacă z0 nu este finită, să notăm cu B -care z0 (t) = + oo. Evident, B Ei a. Vom deosebi două cazuri: 1° µ(B) > O. În acest caz,~ z0dµ =

mulţimea

punctelor ta T, pentru

+ oo.

Rămîne să arătăm că

Fie p un număr natural arbitrar. Vom nota cu B 11 -din B, definită astfel :

:Şirul {Bn} este ascendent şi avem B

=

LJ

Bn

mulţimea

punctelor

= lim Bn, deundelimµ(Bn)=

nEN

,s➔ co

n➔ m

= µ(B). Deci ~ z„dµ > ~ zndµ > p · µ(B,.), B,s

de unde

2° µ(B)

=

O. În acest caz, punînd T1

=

T - B, avem, respectiv,

~ z„dµ = ~ zndµ, ~ z0dµ = ~ z0dµ. T

T1

Putem deci înlocui, în raţionamentele noastre, spaţiul prin T1 • Dar z0 este finită pe T1 • Sîntem astfel reduşi la prima parte a raţionamentului: cu aceasta, lema este complet stabilită. · Să trecem acum la demonstrarea egalităţii (1). Fie {xn}, {y,.} două şiruri crescătoare de funcţii etajate pe d, pozitive, astfel încît lim x"

= limy" = x.

Integrala

.

187

Oricare ar fi

natural m, vom avea

numărul

Ym
O,

+ y = (x + + y +) - (x- + y-), iar, pe de altă parte, x+ + y+ > (x + y) +, rezultă, în baza observaţiei de la sfîrşitul numărului 7.2.3., că x + y este integrabilă (µ) şi că ~ (x + y)dµ = ~ (x+ + y+)dµ - ~ (x- + y-)dµ = ~ xdµ + ~ ydµ.. x

IV. O funcţie x,

!xi este

integrabilă

a, este

măsurabilă

integrabilă

(µ)

dacă şi

numai

dacă

(µ).

în adevăr, dacă x este integrabilă (µ}, atunci x+ şi x- sînt integrabile (µ.), deci lxl = x+ + x- este integrabilă (µ). Reciproc, dacă Jxl este integrabilă (µ), din inegalităţile evidente x+ < lxl, x- < lxl rezultă că funcţiile pozitive x+, x- au integrală finită> deci x este integrabilă (µ). V.

Dacă

x

şi

y sînt integrabile (µ), atunci x

~

xdµ

~~

:< y

ydµ.

Este suficient să punem z = y - x, de unde y = x este integrabilă şi z > O, avem

+ (- x)

~ VI.

1

Dacă x

este

ydµ

=~

xdµ

integrabilă

implică

+ z. Cum z = .î' +

+ ~ zdµ. ~ ~ xdµ..

(µ), atunci

În sensul dat anterior. Aceasta revine la a face convenţia oo - oo

=

O.

Integrala

191

În adevăr, din inegalităţile

x< lxl, - x< lxl, deducem

de unde inegalitatea din

enunţ.

Exerciţii: 1 ° Să se arate că dacă x este integrabilă (µ) şi T constituie o partiţie a spaţiului T în elemente din a:, atunci

~

xdµ

=~

xdµ

E UF

+ ) xd µ.

E

şi

=

F

R: Se va ţine seama de semnificaţia integralelor din membrul nr: se va aplica propoziţia II. 2° Să se arate că dacă E Ed şi µ(E) = O, atunci integrala ~ x dµ are-

sens pentru orice

funcţie măsurabilă

(µ)

şi

este

E

nulă.

Dacă {xn} este şirul de funcţii etajate pe (d), asociat lui x, atunci {x„XE,) este asociat funcţiei xXE. Se va aplica propoziţia I. 3° Să se arate că dacă x este integrabilă (µ), atunci mulţimea

R:

şirul

{t :x(t)

=±

este de măsură nulă. (Altfel spus: O functie R : Fie, de exemplu, E 1 = { t : x(t) =

ex,} integrabilă

+

(µ) este

a.p.

(µ)

finită.},

oo }.

Dacă { Xn} este şirul de funcţii etajate pe d, asociat lui x, atunci pentru orice puncte t E E 1 avem Xn(t) = n. Deducem

~ x dµ = I.

~;d~ CE1

Cum primul membru este finit

+ ~ xdµ~ ~ xdµ + n·µ(E E,

şi

1).

CE1

independent de n,

rezultă că

µ(E 1}

=

O..

§ 3. TEOREMA LUI LEBESGUE- BEPPO LEVI

7.3.1. Toate proprietăţile importante ale integralei pe care· am definit-o în paragraful precedent pot fi deduse din următoarea teoremă,. descoperită independent de H. Lebesgue şi Beppo Levi.

Funcţii

192

Te o rem ă: Dacă { x,,} este un şir de le (µ) ş1: dacă punem, pentru Fecare ta T,

reale Ji elemente de topologie

funcţii

pozitive,

măsurabi­

00

E x,,(t) =

x(t),

n=l

„\ xdµ =

f:,~ x„dµ.

fl=l

În adevăr, avem 00

Ex,,::;x, '1=1

p,

,oricare ar fi

de unde

~

lt. x.) = t,~ x. dµ

dµ
2. Ca mai sus, rezultă că pentru cel puţin ·una din mulţimile E 2 , A 1 - E 2 , fie A 2 acea mulţime, avem V+(v; A2)= = oo. Procedeul poate fi continuat, obţinînd şirurile

+

Â1, Â2,· . . , Ân-1 ...

~astfel încît .apoi v+( V; Ak)

Se pot întîmpla

două

=

+

00,

v(Ek) > k.

cazuri :

1° Există un număr natural n 0 , astfel încît pentru n > n 0 avem An = En. Cuin şirul {En} este descendent, dacă există un indice n > n 0 pentru care v(E,.) < oo, atunci (6.5.3., teorema III) v(lim En)

=

lim v(En)

> lim n =

+ oo .

1ntegrala

203

Dar limE,.

= nE„CE, nEN

+ oo.

=

deci cu atît mai mult v(E)

2° Dacă ipoteza precedentă nu este { n,, } de numere naturale pentru care Ank

Cum

Deci

E„

k+l

E,.

k

atunci

există

un

şir

Ank-1 - E„k.

este descendent, iar E„k+lc Ank

şirul {An}

rezultă că

=

verificată,

şi

E"knA„k = 0,

= 0.

mulţimile

{E,. } sînt disjuncte. Deducem k

(IJ

v ( LJ

kEN

E,.) = B k

k=l

(IJ

v(E,, ) > k

B nk = + oo, k=l

de unde, ţinînd seama că E:JLJ En, deducem, cuatît mai mult, v(E)=+ oo. kEN

k

Corolarii: 1) Dacă v(E) > - oo, at1,tnci V-( V; E) < 00. 2) Dacă v(E) este finită, atunci v+ (v ; E) şi V- ( ,, ; E) sînt finite. Te ore ma de dese om J• un ere a I u i C. Jordan. Pentru O. Putem construi o mulţime deschisă G ::j Ei, disjunctă de E 2 • Deexemplu, G poate fi bula generalizată, cu centrul pe E 1 şi cu raza r Mulţimea

G este, prin

= -1 d(E1 , 2

ipoteză,

E2)-

măsurabilă

(µ.*). Deci pentru orice·

H Ei% avem

= µ.*(HnG) + µ*(HnCG). prin E 1 U E 2 obţinem

µ*(H) Dacă

înlocuim pe H

µ.*(E 1 U E 2)

=

µ.*(E 1)

+ µ*(E2),

Cu alte cuvinte : Dacă orice mitltime deschisă a spaţiitlui (T, d) este măsurabilă (µ.*), atunci µ. * este aditivă pentru orice pereche de mulţimi la distanţă strict pozitivă una de alta.

8.3.2. Proprietatea de mai sus a fost luată de Caratheodory drept o nouă axiomă pe care trebuie să o verifice o măsură exterioară pe %. Această axiomă se numeşte astăzi axioma lui Caratheodory. Orice măsură exterioară µ* :% ~ R+ care verifică axioma lui Caratheodory se numeşte o măsură exterioară a lui Caratheodory. Importanţa deosebită a măsurii exterioare Caratheodory stă în faptul că proprietatea din 8.3.1. poate fi inversată:

T e o r e m a I u i C a r a t h e o d o r y : Oricare ar fi măsura exterioară a lui Caratheodory, familia a; a mulţimilor măsurabile (µ*) conţine totdeauna familia mulţimilor boreliene ale spaţiului (T, d). Pentru demonstrarea acestei teoreme vom stabili în prealabil două leme: Lema 1. Fie G o

mulţime deschisă. Dacă

An= {t :t E Ao, atunci lim µ*(An} = µ*(A 0). n ➔ oo

A C G

d(t, CG) ~ ;} ,

şi

Funclii .reale Ji elemente de topologie· ·

'218

Lema presupune că şirul {µ*(An)} are o limită. Acest lucru este însă -evident, deoarece şirul considerat este crescător, întrucît şirul {A,.}neN este vizibil ascendent. Cum A"C A 0 oricare ar fi n, deducem lim µ*(An)~ ·

~

n➔ m

µ*(Ao).' Pe de altă parte, din An ~ A 0 deducem

*

LJ An kAo~

Fie, acum, ta

nEN

CG) = k. Evident k O, deoarece CG este o mulţime şi t ~ CG. Pentru n > .!.. , vom avea te An, de unde A 0 C An.

,e A 0 şi d(t,

LJ

n

închisă

neN

Deci, în definitiv,

Să

punem

=

n

1, 2, ...

Putem scrie a,

Âo

=

Â2n

U

Q0

a,

P=n

P=n

LJ Dp = Â2n U LJ D2p U LJ D2P+t, P=2n

de unde µ*(Ao) ~ µ*(A2n)

ţia

Q0

Q0

P=n

P=-n

+ E µ*(D2p) + E µ*(D2t,+1)-

Vom avea de examinat două ipoteze: 1) Ambele seriiEµ*{D2p),Eµ*(D21>+i) sînt convergente. Atunci relaprecedentă ne dă, pentru ·n _,. oo,

de unde

=

lim µ*(An) n➔ m

2) Una din seriile precedente este

µ*(A 0). divergentă.

a,

Fie, pentru a face o alegere, Eµ*(D 2t,) /J=l

Fie te D2p C A2p+1 şi z Ei CG. Prin definiţi.a lui A2p+1 vom avea 1

d(t, z)~--·

2p + 1

= + oo.

Construcţia

unei

măsuri

Fie acum y e

219

C Â2,1,+s• Vom avea

D21>+2

1

'

1

-->d(y z)~--, 2p+2 ' -2p+3

de unde 1

1

d(t y) > d(t z) - d(y z) z - - - - - · '

-

'

'

- 2p

+1

2p

+2

Aşadar,

p = 1, 2, ... n-1

LJ D2p, deducem, în baza axiomei lui Caratheodory,

Cum A2n :::>

/>=1

de unde lim µ*(An) deci µ*(A 0)

= + oo

şi relaţia cerută

Lema 2. Orice

mulţime închisă

Va fi suficient

să arătăm că

Să punem G şir ascendent

µ*(A2n)

este

oo,

verificată şi

în acest caz.

F este măsurabilă (µ *). pentru orice He

,c

µ*(H

= CF

şi A 0 {AnlneN de mulţimi incluse în A 0 , astfel încît

d(An, F) >.!..şi lim µ*(A") n

Din incluziunea

=

n F) + µ*(H n CF). = H n CF c G .Lema 1 este aplicabilă : există

z

µ*(H)

un

= lim

=

µ*(H

n CF).

evidentă

deducem de unde, pentru n

~

µ*(H oo,

µ*(H

nF) + µ*(A~) :S: µ*(A),

n F) + µ*(H n CF) ~ µ*(H).

Teorema lui Caratheodory rezultă acum imediat. Fie W0 familia mulţi­ milor închise. Se ştie că familia Ş a mulţimilor boreliene este clanul borelian generat de 8F0 • Cum a: este un clan borelian care conţine familia

§ 0 , rezultă că

a: :::> IŞ.

Funcţii reale şi elemente

220

de topologie

§ 4. MĂSURA LUI LEBESGUE

8.4.1. Să considerăm cazul particular în care (T, d) este un euclidian cu q dimensiuni (q ~ 1). În acest paragraf vom studia măsura exterioară a lui Lebesgue definită în 8.1.2. Prin definiţie, orice mulţime măsurabilă în raport cu măsura exterioară a lui Lebesgue este o mulţime măsurabilă Lebesgue. spaţiu

Te or e m ă: Măsura exterioară a lui Lebesgue este o măsură exterioarlt a lui Caratheodory. În adevăr, fie E 1 , E 2 două mulţimi la distanţă k strict pozitivă una de alta şi 3 o familie numerabilă de intervale care acoperă mulţimea E 1 U E 2• Printr-o partiţie eventuală a intervalelor putem considera că diametrul acestor intervale este < k. Dacă

unde- A 1

A este reuniunea intervalelor din I, putem scrie

~

E 1 , A 2 ::J E 2, A 3 nE1

=

A3

n E = 0. 2

Evident de unde

Cum inegalitatea Consecinţă

opusă

: Orice

este

evidentă,

demonstrată.

teorema este

mulţime boreliană

este

măsurabilă

Lebesgue.

8.4.2. T e o r e m a I. Pentru orice multime E C Rq

mulţime A de tip G8 astfel încît

A ::J E

~

şi

µ(A)

există

o

= µ*(E).

În adevăr, potrivit definiţiei funcţiei µ*, există o reuniune numerabilă de intervale I n

=

LJ J! ::) E,

astfel încît

kEN 00

µ*(E) ::;

E µ (J!) < µ*(E) + _!_n < µ(Jn) + _!_n •

k=l

Construcţia unei măsuri

221

n I".

Să punem A=

A este o mulţime de tip G8 şi avem E c A, de

nEN

unde µ*(E) Q.'. Cum x este integrabilă Riemann, ea este a. p. (µ) continuă, deci măsu: :rabilă. Fiind pozitivă, integrala sa în sensul lui Lebesgue are un sens. Fie deci

.funcţie

. . În

+

O~x a}.

că

x, este

măsurabilă

(tt'). La fel

arată că

9.2.4. Fie (T, a, µ), (T', 8:', v) două torul măsurilor µ, v putem construi o măsură importantei propoziţii ce urmează: Teorem atunci

a-finită:

ă : Dacă funcţiile

T este de

x: t

➔

măsură

v(E,), y: t'

µ

➔

spaţii Â

pe

de

a:

a-finită şi

µ(E;),

măsuri.

X d'

Cu aju-

= cm,

T' de

graţie

'măsură

v

Funcţii

230

reale şi elemente de topologie

unde E Ei d X d', sînt măsurabile în raport cu clanurile boreliene respective şi avem

d, et'

Prin ipoteză, orice mulţime din &, poate fi acoperită de o reuniune pe care o putem presupune disjunctă (exerciţiu I) - de dreptunghiuri cu laturile de măsură finită. Este deci suficient să stabilim egalitatea de mai sus pentru părţile măsurabile E ale unui dreptunghi cu laturile de măsură finită. Aceasta revine la a presupune de la început µ(T) < oo, v(T) < oo. Dacă E = A X A', cu A Ed, A' Ei 61', atunci X=

deci x

şi

y sînt

v(A') · XA, Y = 11.(A) · XA•,

măsurabile şi

~ xdµ =

avem ~ydµ

=

µ(A) · v(A').

Să notăm cu @1t familia mulţimilor din~ pentru care teorema enunţată adevărată. După cum am văzut mai sus, @1L nu este vidă. Vom arăta că @1t este o familie monotonă.

este

Fie, în

Şirurile

E

adevăr

de

{En}nEN un

funcţii

şir

monoton de

mulţimi

din

{xn}, {yn} sînt monotone, deci convergente. Dacă

= lim En, atunci E, = lim Er, E,, = lim E;!, deci

deoarece x"(t) Rezultă


1 îi vom

Fiecărui număr

următor:

q

Numărul q se jugatul lui q. Relaţia dintre

=

şi

+ 1,

-

p-1

{

numeşte

p

1

-

+ oo,

dacă

scrisă şi

p

definiţii

putem

q

număr

q > 1 în

p = 1.

conjugatul lui p. Se vede

q poate fi

un

dacă p > 1,

2-+2-~ Cu aceste

ataşa

uşor că

p este con-

definită

pentru orice

astfel:

1.

enunţa următoarea

T e o re m ă: Dacă x s V', atunci Ix l"- 1 s L q. Teorema implică .p > 1. În această ipoteză

~

10.1.4. Să considerăm pozitiv prin egalitatea

funcţia "IJ

1)m

Funcţia inversă 1)-· 1

=~

este

=

:·R+

-f>

R+

(1)

~/J-·l.

definită

de

1

~(11)

=

J,-1

1)

=

Fie acum a şi b două numere pozitive. O simplă verificare pe graficul funcţiei (1) ne a

~

(2)

1)q-1_

arată că

b ~-"-

1

d~

o

+~

"1Jq- 1 d1)

~ ab,

o

de unde aP

ab

bq

1, spaţiul LP, cu norma dată de (1), este complet.

Te ore mă.

Spaţiul

LP, (P 2 1), este un

sp(l,ţiu

al lui Banach.

t·;

Să considerăm,

în primul rînd, un

şir

{xn}neN de elemente pozitive

~

din LP, astfel încît

EI 11.xnllp < + oo; să

O)

punem x

= E Xn. n=I

Vom arăta că

X-ED'. n

În adevăr, să punem Y1a =

avem

E xk.

În -baza inegalităţii lui Minkowski

k=I

" l!x.,,l!p, · IIYnllP < E k:="1

Pe de altă parte, y ţ x, de unde y p_ ţ xP, deci ,i

I

r y~dµ. = rJn➔~ lim y~dµ. = r xP dµ. n➔ t» J J lim

şi

x 6 LP.

Fie acum {xn}neN un şir fundamental în LP. Trecînd eventual la un putem presupune că avem, oricare ar fi n,

subşir,

240

Funcţii

Să

reale fi elemente de topologie

punem, respecti\/', m

Yn

=

Xn -

E lxk+l -

~

X1cl,

k=n

Zn

= x,,

+ E lxk+l -

X1cl-

k=n

Din cazul particular studiat la început rezultă că Yn e LI', znE LP oricare ar fi n. Mai mult: şirul {y"} este crescător, iar şirul {zn} descrescător şi avem

L2 ·

IIYn -znll11< 2

Să punem x = lim y,,. Atunci IYnl" tinde cem, în asemenea condiţii, x e Li'. Cum

către lxl"•

Din y,,~ L" dedu-

rezultă că şirul fundamental iniţial conţine un subşir deci este el însuşi convergent în LI', către funcţia x 1 •

convergent în V,

10.2.2.

Iată v

Te ore mă. dens în Li'.

Spaţiul

consecinţă importantă

JP al

funcţiilor

a teoremei precedente.

etajate pe d, p-integrabile este

În adevăr, fie x e Li'. Există un şir crescător {x;!°},,EN de funcţii etajate, pozitive, care tinde către x+. De asemenea, există un şir {x;; },,EN crescător de funcţii etajate pozitive, tinzînd către x-. Să punem xn

x

şi

= :t;!" -

x;;. Şirul de funcţii etajate { xn}nEN tinde către

avem

de unde

Deci x" e Lt, n = 1, 2, ... pe de altă parte,

Şirul

{ Ix - x„l"}nEN tinde

către

zero, iar,

1 Demonstraţia de faţl, diferită de demonstraţia din prima ediţie, este împrumutată din monografia An introduction to abstract /,armonic analysis, de L. H. L o omis (New York, 1953, p. 38-39).

Spaţiul Lr,

241 şi obţinem

deci criteriul lui Lebesgue este aplicabil lim

n➔oo

rJ Ix -

Xnl"dµ

= O,

de unde lim

!Ix -

Xnllp

=O

ff➔ OO

şi

teorema este

demonstrată.

Consecinţă importantă : Din teorema de completare a lui Hausd&rf.f din teorema precedentă rezultă că spaţiul metric LI' este completatul (unic., în afară de un homeomorfism izometric) al lui /I'. De aici rezultă că teoria spaţiilor LI', şi în particular teoria integralei, s-ar fi putut face pornind de la spaţiul metric JI' şi definind elementele din LP ca elementele spaţiului metric complet obţinut prin completarea lui JP potrivit teoremei lui Hausdorff. Unii autori prţzintă această teorie în modul arătat aici.

şi

1° Spaţiul. L 2 poate fi organizat ca spaţiu al lui Hilbert pentru x Ei L 2, y Ei L 2 se defineşte produsul interior (x, y) ·

Exerciţii:

(real) astfel

dacă

(x, y)

= ~ xydµ.

R: Dacă x eV·, y e L 2, atunci xy e L1, deci membrul II al egalitlţii precedente are sens. Norma în acest spaţiu al luţ Hilbert coincide cu norma din L'l.: 1

llxll = 2°

Să

se a.rate

că,

în

afară

(i lxl dµ.)'2. 9

de o izom.etrie, a.vem (L 2)*

= L1

(spaţiul

L este autoconjugat). R : În baza teoremei 1ui Frechet• Riesz, fiecărei' funcţionale lineare şi continue f definite pe L 2 , organizat ca spaţiu al lui Hilbert, îi corespunde un element y 1 Ei L 2 , astfel încît să avem 2

16 -

Puncţii

reale

şl

elemente de topologie

•

-

..

.

Funcţii reale

.

.

•

1

,i elemente de topologie

Reciproc, fiecărui element y 1 e L 2 îi corespunde, prin egalitatea pre-cedentă, o funcţională lineară şi continuă, cu proprietatea 11/11 = lly~J 2 • 3° Pentru o funcţie x: superioară esenţială (în scris

T ~ R, a.p. (µ.) finită se defineşte marginea : ,,ess sup", sau „ vrai max") prin egalitatea

ess sup x(t)

=

inf

sup x(t),

EaE$0IET-E0

unde E 0 parcurge familia $ 0 a tuturor mulţimilor de măsură µ. nulă ale spaţiului T. Să se arate că dacă µ.(T) < oo şi x este p-integrabilă, atunci I

~ (~

!xi" dµ.t =· ess sup lx(t) 1-

· ''{F: Rîesz): t,,

I

,••

R: Vom putea presupune µ.(T)

= 1.

Fie I

ess sup lx(t)j = M, 111 = (~ lxl"dµ.)". Evident, IJ> ~ M.

Dacă

M

< oo,

Ec

= {t : Ix(t) I > M

vom pune - e}.

Avem 111 ~

(

ţ lxl" dµ.

r .!.

1

>

(M --e) · [µ.(Es) ]P,

Ea

de unde, pentru p suficient de mare, 1;::2:.M - e:.

Deci, , pentru p suficient de m~re

M- e: O, altfel arbitrar, şi

Dacă M ginită superior

EA= {t: lx(t)l>A}. Există A 0 > O, astfel încît A > A 0 să implice µ(A) > O. În asemenea condiţţi,

avem

1

1

Ip>(~ !xi")" >A [µ(A)l, E

de unde, pentru

p suficient de mare, Ip 2 A.

Cum A este arbitrar,

rezultă că

lim Ip= ţ,-+cx:i

+ oo =

M.

CUPRINS

Prefa/4·. . • . .

3

CAP. I. llultfml . .

5

§ · 1. Apartenenţă, incluziune, egalitate § 2. Operaţii cu mulţimi § ·3, Relaţii . . . • . . . . . . . . § 4. Funcţii (aplicaţii) . . . . . . . . § Funcţia caracteristică a unei mulţimi. Limitele extreme ale unei familii de

5 7 11

16

·s.

mulţimi

§ 6. Relaţii de ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . · § 7. Produs cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Ordonarea numerelor cardinale. Operaţii cu numerele cardinale

CAI•. II. Elemente de to1mlogie § § § § § § §

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. § 8. § 9. . § 10.

CAP.

m. § § § §

generulă

Noţiunea

24 26 29 33 41

de spaţiu topologic . Bad.. Spaţii cu bază numerabilă Relativizare. Conexiune . . . . . .·. . Continuitate . . . . . Funcţii continue reale. Funcţii continue definite pe dreapta numerică Compacitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprietăţi ale funcţiilor continue, definite pe un compact . . . . . . Spaţii Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactificarea cu un punct a unui spaţiu topologic. Teorema lui P. S. Alexandrov . . .' -_- • . . . • . . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . • . . Spaţii topologice regulate. Spaţii normale. Teoremele lui Urîson. Teorema de prelungire a lui Tietze

41 49 53 59 61 65 68 71

Spatii metrlee

83

. . . . . .

1. Definiţii. Exemple . . . . . 2. Topologizarea unui spaţiu metric 3. Spaţii metrice compacte 4. Spaţii metrice complete . . , . .

74

77

83 88 93 99

246

Cuprins

CAP. IV. Spnlll vectoriale 11or11111tc § § § § § § §

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

111

Definiţii.

Exemple . . . Aplicaţii lineare . . . . Teorema de prelungire a lui Hahn-Banach . Inversiunea unei aplicaţii lineare şi continue. Teorema lui H. Steinhaus . Aplicaţii închise . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . Proiecţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mulţimea rezolvantă a unui operator. Spectml unui operator

CAP. V. Spatii hllbertlene

. . . . . . . . . . . . .

Definiţii.

CAP. VI. Fnmllll de mulJlml de tip l1orelia11.

Funcţii

140 145 146 154

nsocinte

§ 1. Mulţimi boreliene într-un spaţiu metric . . . . . § 2. Clan borelian de mulţimi . . . . . . . . . . . . § 3. Funcţii mlisurabile în raport cu un clan berelian dat . § 4. Operaţii cu funcţii miisurabile . . . . . . . . . . . § 5. Măsura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Convergenţa asimptotică. Teorema lui Egorov. Convergenţa în

113 119 125 129 131 135

140

Teorema ele existenţă a proiecţiilor . § 2. Reprezentarea funcţionalelor lineare continue § 3. Mulţimi ortonormate . . . . . . . . . . § 4. Operatori adjuncţi. Operatori autoadjuncţi .

§ 1.

111

160 160 161 162

măsură

170 172 175 181

CAI'. VII. Intogrnln § 1. Integrarea funcţiilor etajate . . § 2. J1uncţii integrabile . . . . . .

184

§ 3. 'reorema lui Lebesgue-Beppo Levi

_191

§ 4. Lema lui Fatou. Criteriul lui Lebesgue. Definiţia lui S. Saks § 5. l