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German Pages 176 Year 2023
Table of contents :
Formelsammlung | Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik
Impressum
Inhaltsverzeichnis
Mathematik
Physik
Astronomie
Chemie
Biologie
Informatik
Mathematik
Zahlen; Zeichen; Größen
Primzahlen
Stellenwertsysteme
Einheiten ausgewählter Größen
Näherungswerte
S. 5 unten neben der Tabelle neben dem Abschnitt "Primfaktorzerlegung"
S. 6 erste Tabelle neben der Zeile "Dualsystem"
S. 7 Tabelle neben der Zeile "Flächeneinheiten"
S. 7 Tabelle neben der Zeile "Rauminhalt"
Mengenlehre und Logik
Rechenregeln und Rechenverfahren
Rechnen mit Brüchen (Bruchrechnung)
Rechnen mit positiven und negativen (reellen) Zahlen
Termumformungen
Potenzen und Wurzeln
Proportionen und Anwendungen
Prozentrechnung
Zinsrechnung
S. 11 neben der Zeile "Erweitern und Kürzen"
S. 11 neben der Zeile "Addition und Subtraktion "
S. 11 neben der Zeile "Multiplikation und Division"
S. 11 neben der Zeile "Rechenregeln"
S. 11 neben der Zeile "binomische Formeln"
S. 11 neben der Zeile "Definitionen"
S. 11 neben der Zeile "Sätze (Potenz- und Wurzel-gesetze)"
S. 12 neben der Zeile "Logarithmengesetze"
S. 12 neben der Zeile "Basiswechsel"
S. 12 neben der Zeile "Normalform"
S. 12 neben der Zeile "Polarform (trigonometrische Form)"
S. 12 neben der Zeile "Rechenregeln"
S. 13 neben der Zeile "Sachverhalt"
S. 13 neben der Zeile "Währungsrechnen"
S. 13 neben der Zeile "Dreisatz"
S. 13 neben der Zeile "Mischungsrechnen"
S. 13 neben der Zeile "arithmetisches Mittel"
S. 13 neben der Zeile "geometrisches Mittel"
S. 13 neben der Zeile "harmonisches Mittel"
S. 14 neben der Zeile "Grundgleichung"
S. 14 neben der Zeile "vermehrter (verminderter) Grundwert"
S. 14 neben der Zeile "Jahreszinsen"
S. 14 neben der Zeile "Rendite"
S. 14 neben der Zeile "Zahlungsendwert (nachschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Zahlungsendwert (vorschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (nachschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (vorschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Tilgungsrate einer Schuld"
Gleichungen
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen
Quadratische Gleichungen
S. 15 neben der Tabelle oben rechts
"S. 15 neben der Zeile ""Lösungsformeln (cramersche Regel) """
S. 15 neben der Zeile "Einsetzungsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Gleichsetzungsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Additionsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Grafisches Lösen"
S. 16 neben der Zeile "Gleichung"
S. 16 neben der Zeile "Spezialfälle"
Planimetrie
Strahlensätze
Ähnlichkeits- und Kongruenzsätze für Dreiecke
Winkel
Dreiecke
Vierecke
Kreis
S. 17 neben der Tabelle
S. 18 neben der Zeile "Winkel am Dreieck"
S. 19 neben der Zeile "Höhen"
S. 19 neben der Zeile "Seitenhalbierende"
S. 19 neben der Zeile "Winkelhalbierende"
S. 19 neben der Zeile "allgemeines (beliebiges) Dreieck"
"S. 19 neben der Zeile ""rechtwinkliges Dreieck"""
"S. 19 neben der Zeile ""gleichseitiges Dreieck"""
S. 20 neben der Zeile "Rechteck"
S. 20 neben der Zeile "Quadrat"
"S. 20 neben der Zeile ""Rhombus (Raute)"""
S. 20 neben der Zeile "Trapez"
"S. 20 neben der Zeile ""Parallelogramm (Rhomboid)"""
S. 20 neben der Zeile "Drachenviereck"
S. 20 neben der Zeile "Sehnenviereck"
S. 21 neben der Tabelle
S. 21 neben der Zeile "Geraden und Winkel am Kreis" neben der letzten Zeile "Satz des Thales"
S. 21 neben der Zeile "Kreis" und "Kreisring"
S. 21 neben der Zeile "Kreisausschnitt (Kreissektor)" und "Kreisabschnitt (Kreissegment)"
Stereometrie
Körper mit ebenen Begrenzungsflächen
Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
S. 22 neben der Zeile "Quader" und "Würfel"
S. 22 neben der Zeile "regelmäßiges dreiseitiges Prisma" und "regelmäßiges sechsseitiges Prisma"
S. 22 neben der Zeile "quadratische Pyramide" und "Tetraeder"
S. 22 neben der Zeile "quadratischer Pyramidenstumpf" und "regelmäßiger dreiseiter Pyramidenstumpf"
S. 23 neben der Zeile "gerader Zylinder" und "gerader Hohlzylinder"
S. 23 neben der Zeile "gerader Kegel" und "gerader Kegelstumpf"
S. 23 neben der Zeile "Kugel" und "Kugelschicht (Kugelzone)"
S. 23 neben der Zeile "Kugelausschnitt (Kugelsektor)" und "Kugelabschnitt (Kugelsegment)"
S. 24 neben der Tabelle neben "Tetraeder", "Würfel" und "Oktaeder"
S. 24 neben der Tabelle neben "Dodekaeder" und "Ikosaeder"
Ebene Trigonometrie
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels
S. 26 neben der Zeile "Definition am rechtwinkligen Dreieck"
S. 27 neben der Zeile "Sinussatz"
S. 27 neben der Zeile "Kosinussatz"
S. 27 neben der Zeile "Flächeninhalt"
S. 27 neben der Zeile "Höhen"
S. 27 neben der Zeile "Seitenhalbierende"
S. 27 neben der Zeile "Winkelhalbierende"
S. 27 neben der Zeile "Inkreisradius"
S. 27 neben der Zeile "Umkreisradius"
S. 27 neben der Zeile "Projektionssatz"
Funktionen
Begriffe und Eigenschaften
Rationale Funktionen
Lineare Funktionen
Quadratische Funktionen
Potenzfunktionen
Exponential- und Logarithmusfunktionen
S. 28 neben der Zeile "Umkehrfunktion g von f"
S. 28 neben der Zeile "Nullstelle von f"
S. 28 neben der Zeile "Spiegelung des Graphen von f"
S. 28 neben der Zeile "gerade Funktion"
S. 28 neben der Zeile "ungerade Funktion"
S. 28 neben der Zeile "periodische Funktion"
S. 28 neben der Zeile "monotone Funktion"
S. 29 neben der Zeile "hornersches Schema zur Berechnung von Werten ganzrationaler Funktionen"
S. 29 neben der Zeile "Nullstelle"
S. 29 neben der Zeile "Polstelle"
S. 29 neben der Tabelle
S. 30 neben der Zeile "Sinusfunktion"
S. 30 neben der Zeile "Kosinusfunktion"
S. 31 neben der Zeile "Tangensfunktion"
S. 31 neben der Zeile "Exponentialfunktionen"
S. 31 neben der Zeile "Logarithmusfunktionen"
Folgen und Reihen; Grenzwerte
S. 32 neben der Zeile "Zahlenfolge"
"S. 32 neben der Zeile ""Grenzwert; konvergente Zahlenfolge"""
S. 32 neben der Zeile "n-te Partialsumme"
S. 32 neben der Zeile "arithmetische Zahlenfolge"
S. 32 neben der Zeile "geometrische Zahlenfolge"
S. 32 neben der Zeile "geometrische Reihe"
S. 32 neben der Zeile "Spezielle Partialsummen"
"S. 33 neben der Zeile ""Grenzwert für x ™ x0"""
"S. 33 neben der Zeile ""Grenzwert für x ™ ˚"""
Differenzialrechnung
Grundbegriffe
Differenziationsregeln
S. 34 neben der Zeile "Differenzenquotient von f mit y = f (x)"
"S. 34 neben der Zeile ""Differenzialquotient (1. Ableitung) von f an der Stelle x0"""
"S. 34 neben der Zeile ""1. Ableitung von f (Ableitungsfunktion) """
"S. 34 neben der Zeile ""höhere Ableitungen"""
S. 34 neben der Zeile "Faktorregel " und "Produktregel"
S. 34 neben der Zeile "Summenregel" und "Quotientenregel"
S. 34 neben der Zeile "Kettenregel"
S. 34 neben der Zeile "Differenziation der Umkehrfunktion"
Anwendungen der Differenzialrechnung
Kurvenuntersuchungen
S. 35 neben der Zeile "Monotonieverhalten"
S. 35 neben der Zeile "Konvex- bzw. Konkavbögen"
S. 35 neben der Zeile "Verhalten der Funktion an speziellen Stellen (bzw. ihres Graphen in speziellen Punkten)"
S. 35 neben der Zeile "f (xH) ist ein lokales Maximum; xH ist eine lokale Maximumstelle von f"
S. 35 neben der Zeile "xW ist eine Wendestelle von f"
S. 35 neben der Zeile "ist ein Sattelpunkt von f"
"S. 36 neben der Zeile ""Sekanten- näherungsverfahren (regula falsi)"""
"S. 36 neben der Zeile ""Tangenten- näherungsverfahren (newtonsches Näherungsverfahren)"""
S. 36 neben der Zeile "Formel von Maclaurin"
Integralrechnung
Grundbegriffe
Integrationsregeln
S. 37 neben der Zeile "Stammfunktion"
S. 37 neben der Zeile "bestimmtes Integral"
S. 37 neben der Zeile "Faktorregel"
S. 37 neben der Zeile "Summenregel (Linearität) "
S. 37 neben der Zeile "Substitutionsregel"
S. 37 neben der Zeile "Regel für partielle Integration"
Anwendungen der Integralrechnung
Flächenberechnung
Näherungsweises Berechnen bestimmter Integrale
S. 38 neben der Zeile "Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse"
S. 38 neben der Zeile "Flächeninhalt zwischen zwei Graphen"
S. 38 neben der Zeile "Rechteckformel"
S. 39 neben der Zeile "Trapezformel"
S. 39 neben der Zeile "keplersche Fassregel"
S. 39 neben der Überschrift
S. 39 neben der Tabelle
Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)
Koordinatensysteme
S. 40 neben der Zeile "kartesisches Koordinatensystem"
S. 40 neben der Zeile "Transformation von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten"
"S. 40 neben der Zeile ""Parallelverschiebung (Translation) eines kartesischen Koordinatensystems"""
S. 40 neben der Zeile "Drehung (Rotation) eines kartesischen Koordinatensystems um den Winkel Æ"
S. 40 neben der Zeile "Länge s einer Strecke"
"S. 40 neben der Zeile ""Teilung (Teilpunkt T ) einer Strecke"""
"S. 40 neben der Zeile ""Flächeninhalt A eines Dreiecks"""
S. 41 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 41 neben der Zeile "Zweipunktegleichung"
S. 41 neben der Zeile "kartesische Normalform"
S. 41 neben der Zeile "Achsenabschnittsgleichung"
S. 41 neben der Zeile "hessesche Normal(en)form"
S. 41 neben der Zeile "Abstand des Punktes P1 von der Geraden g"
S. 41 neben der Zeile "Lagebeziehung zweier Geraden"
S. 41 neben der Zeile "Kreisgleichung"
S. 41 neben der Zeile "Tangente im Punkt P1"
S. 41 neben der Zeile "Normale im Punkt P1"
S. 42 neben der Zeile "Ellipse"
S. 42 neben der Zeile "Hyperbel"
S. 42 neben der Zeile "Parabel"
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
Linearkombination; Basis
Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
Operationen mit Vektoren
Geraden
Ebenen
Lagebeziehungen
S. 43 neben der Überschrift
"S. 43 neben der Zeile ""lineare Unabhängigkeit"""
S. 44 neben der Zeile "Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung eines Vektors"
"S. 44 neben der Zeile ""Ortsvektor p 1 eines Punktes P1(x1; y1; z1)"""
"S. 44 neben der Zeile ""Vektor durch zwei Punkte P1 und P2"""
S. 44 neben der Zeile "Betrag eines Vektors a"
S. 44 neben der Zeile "Addition"
S. 44 neben der Zeile "Subtraktion"
S. 44 neben der Zeile "Vielfachbildung"
S. 44 neben der Zeile "Skalarprodukt"
"S. 44 neben der Zeile ""Winkel zwischen Vektoren"""
S. 45 neben der Zeile "Vektorprodukt"
S. 45 neben der Zeile "Spatprodukt"
S. 45 neben der Zeile "Volumen eines Spates"
S. 46 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 46 neben der Zeile "Zweipunktegleichung"
S. 46 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 46 neben der Zeile "allgemeine Form"
S. 47 neben der Zeile "Schnittpunkt zweier Geraden"
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" erster Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" zweiter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" dritter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Abstände" erster Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Abstände" zweiter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Gleichung"
"S. 47 neben der Zeile ""Tangentialebene in P1"""
Kombinatorik
Anordnungen und ihrer Interpretation mithilfe des Urnenmodells
S. 48 neben der Zeile "Fakultät"
S. 48 neben der Zeile "Binomialkoeffizienten"
"S. 48 neben der Zeile ""Potenzen von Binomen"""
S. 48 neben der Zeile "Permutationen"
S. 48 neben der Zeile "Variationen"
Beschreibende Statistik
Lagemaße statistischer Untersuchungen
Streumaße statistischer Untersuchungen
S. 49 neben der Zeile "Kombinationen"
S. 49 neben der Zeile "Mittelwert"
S. 49 neben der Zeile "geometrisches Mittel g"
S. 49 neben der Zeile "harmonisches Mittel h"
"S. 49 neben der Zeile ""mittlere (lineare) Abweichung d vom Mittelwert"""
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlegende Begriffe
Wahrscheinlichkeit und ihre grundlegenden Eigenschaften
Mehrstufige Zufallsversuche; bedingte Wahrscheinlichkeit
Zufallsgrößen und ihre Verteilung
bedingte Wahr- scheinlichkeit PB(A)
unabhängige Ereignisse
Spezielle Verteilungen
S. 50 neben der Zeile "(empirische) Varianz"
S. 50 neben der Zeile "Standardabweichung s"
S. 50 neben der Überschrift
S. 50 neben der Zeile "relative Häufigkeit"
S. 51 neben der Zeile "Gleichverteilung"
S. 51 neben der Zeile "n-stufiger Zufallsversuch"
S. 52 neben der Zeile "Erwartungswert E(X )"
S. 53 neben der Zeile "Gleichverteilung"
S. 53 neben der Zeile "hypergeometrische Verteilung"
S. 53 neben der Zeile "Binomialverteilung"
S. 53 neben der Zeile "Normalverteilung"
Beurteilende Statistik
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten
Matrizen und Determinanten
"S. 67 neben der Zeile ""transponierte Matrix"""
S. 67 neben der Zeile "inverse Matrix"
S. 67 neben der Zeile "Vielfachbildung"
S. 67 neben der Zeile "Multiplikation"
Lineare Gleichungssysteme
S. 68 neben der Zeile "zweireihige Determinanten"
S. 68 neben der Zeile "dreireihige Determinanten"
S. 69 neben der Zeile "Matrixschreibweise"
Ausgewählte Computeralgebra-Befehle
Physik
Konstanten, Größen und Einheiten
Wertetabellen
Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt)
Mechanik
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Gewichtskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Reibungskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Radialkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Federspannkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Auftriebskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Druckkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationskraft"
S. 86 neben der Tabelle
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Drehmoment"
S. 87 neben der Überschrift
S. 87 neben der Tabelle
"Kraftumformende Einrichtungen"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "beliebige Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige geradlinige Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige Kreisbewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichmäßig beschleunigte Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Freier Fall"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "senkrechter Wurf nach unten"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "senkrechter Wurf nach oben"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "waagerechter Wurf"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "schräger Wurf"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige Rotation"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "gleichmäßig beschleunigte Rotation"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Weg"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Geschwindigkeit"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Beschleunigung"
S. 89 neben der Tabelle
S. 89 neben der Tabelle neben die Zeile "Impulserhaltungssatz"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "unelastischer gerader zentraler Stoß"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "elastischer gerader zentraler Stoß"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Trägheitsmoment"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundgesetz für die Dynamik der Rotation"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Rotationsenergie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Drehimpuls"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Mechanische Arbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Hubarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Beschleunigungsarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Reibungsarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Federspannarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "potenzielle Energie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "kinetische Energie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Energieerhaltungssatz"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Mechanische Leistung"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gesamtwirkungsgrad"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationsgesetz"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationsfeldstärke"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Arbeit im Gravitationsfeld"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Dichte"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Druck"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Schweredruck"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "barometrische Höhenformel"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Auftriebskraft"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "hydraulische und pneumatische Anlagen"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Kontinuitätsgleichung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "bernoullische Gleichung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Luftwiderstandskraft"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung"
"S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile ""Beschleunigung-Zeit- Gesetz einer harmonischen Schwingung"""
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Fadenpendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Federschwingers"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Torsionspendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines physischen Pendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraftgesetze für harmonische Schwingungen"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie eines harmonischen Oszillators"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "gedämpfte Schwingungen"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Wellengleichung"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiedichte w einer Welle"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie, die durch eine Welle transportiert wird"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer schwingenden Saite"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer offenen Pfeife"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer einer geschlossenen Pfeife"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schallgeschwindigkeit"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schallintensität"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Lautstärkepegel"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schalldruckpegel"
Wärmelehre
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundgleichung der Wärmelehre"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmekapazität"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Verbrennungswärme"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmeleitung"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmeleitwiderstand"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmestrom"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmedurchgang"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Richmannsche Mischungsregel"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Längenänderung fester Körper"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenänderung fester und flüssiger Körper"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Druckänderung realer Gase"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Schmelzwärme"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Verdampfungswärme"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "1. Hauptsatz der Wärmelehre"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenarbeit"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Enthalpie"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Entropie"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "thermische Zustandsgleichung des idealen Gases"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Gaskonstanten"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "isotherme Zustandsänderung"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Isobare Zustandsänderung"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "isochore Zustandsänderung"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Anzahl der Gasteilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "molares Volumen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Molare Masse"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse eines Teilchens"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "mittlere kinetische Energie der Teilchen"
"S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile ""Grundgleichung der kinetischen Gastheorie"""
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "innere Energie"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistung von Wärmequellen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad · von Wärmequellen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "thermischer Wirkungsgrad"
Elektrizitätslehre
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "Elektrische Spannung"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Stromstärke"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrischer Widerstand"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Leistung"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Arbeit"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "Widerstandsgesetz"
S. 100 neben der Tabelle neben "Reihenschaltung von Widerständen"
S. 100 neben der Tabelle neben "Spannungsteilerregel"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannungsteilerschaltung"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Zusammenhänge im vollständigen Stromkreis"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Brückenschaltung"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Ladung"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "coulombsches Gesetz"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Feldstärke"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Flussdichte"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "Dielektrizitätskonstante"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrischer Fluss"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrisches Potenzial"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Spannung"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Kapazität C eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Durchschlagsfestigkeit"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Feldstärke E in einem Plattenkondensator"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Kapazität C eines Plattenkondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie E des elektrischen Feldes eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Aufladen eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Entladen eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Reihenschaltung von Kondensatoren"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "magnetische Feldstärke"
"S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile ""magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion)"""
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "magnetischer Fluss ¦"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraft FL auf einen bewegten Ladungsträger (LorEntz-Kraft)"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraft F auf einen stromdurchflossenen Leiter"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie E des magnetischen Feldes einer stromdurchflossenen Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Induktionsgesetz"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Selbstinduktionsspannung Ui in einer Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Induktivität L einer Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Stromstärke im Wechselstromkreis"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannung im Wechselstromkreis"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Scheinleistung S"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkleistung P"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Blindleistung Q"
S. 105 neben der Tabelle
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Blindwiderstand"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Scheinwiderstand"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Phasenverschiebung"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannungsübersetzung für einen idealen Transformator"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Stromstärkeübersetzung für einen idealen Transformator"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistungsübersetzung"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad · eines Transformators"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "thomsonsche Schwingungsgleichung"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (ungedämpft)"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (gedämpft)"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Abklingkoeffizient"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines Dipols"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Länge l eines Dipols"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Hall-Spannung UH für feste Körper"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Hall-Konstante RH"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "1. faradaysches Gesetz der Elektrolyse"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "2. faradaysches Gesetz der Elektrolyse"
Schwingungen und Wellen
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer T (Periodendauer)"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Frequenz f"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Kreisfrequenz É"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Auslenkung y bei einer harmonischen Schwingung"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen (Phasengeschwindigkeit)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Schwingungsgleichung (ungedämpfte harmonische Schwingung)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Schwingungsgleichung (gedämpfte harmonische Schwingung)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Wellengleichungen"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Brechungsgesetz"
Optik
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "akustischer DoPPlEr-Effekt"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Brechungsgesetz"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Abbildungsgleichung für dünne Linsen und für Spiegel"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Abbildungsmaßstab A für dünne Linsen und für Spiegel"
Quantenphysik
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Lichtgeschwindigkeit c"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Interferenz am Doppelspalt und am Gitter"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Interferenz an dünnen Schichten (reflektiertes Licht und senkrechter Einfall)"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Austrittsarbeit WA von Elektronen aus Oberflächen"
"S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile ""Energie E eines Lichtquants (Photons)"""
"S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile ""einsteinsche Gleichung für den Fotoeffekt"""
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "dE-BrogliE-Wellenlänge"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "coMPton-Effekt"
Spezielle Relativitätstheorie
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "LorEntz-Transformation und LorEntz-Faktor"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Zeitdilatation"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Längenkontraktion"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Addition von Geschwindigkeiten (Additionstheorem)"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse m eines bewegten Körpers (relativistische Masse)"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse-Energie-Beziehung"
Atom- und Kernphysik
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiebilanz für emittiertes oder absorbiertes Licht"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Spektralserien des Wasserstoffatoms"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "relative Atommasse Ar"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Massendefekt flmt"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Kernbindungsenergie EB"3
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Aktivität A einer radioaktiven Substanz"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiedosis D"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Äquivalentdosis H"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Zerfallsgesetz"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Halbwertszeit T1/2"
Astronomie
Astronomische Konstanten und Größen
Astrophysikalische Gesetze und Zusammenhänge
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "3. keplersches Gesetz"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "1. kosmische Geschwindigkeit vK (minimale Kreisbahngeschwindigkeit)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "2. kosmische Geschwindigkeit vF (Fluchtgeschwindigkeit)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Leuchtkraft L eines Sterns"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "scheinbare Helligkeit m1 eines Sterns"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Entfernungsmodul"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Entfernung r eines Sterns (in Parsec)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Gesetz von huBBlE"
Chemie
Eigenschaften von Stoffen
Atombau
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
Stöchiometrie
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "relative Atommasse Ar"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "Stoffmenge"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Masse M"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "molares Volumen Vm"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse/Masse"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse/Volumen"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumen/Volumen"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbeute ·"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Massenanteil Éi"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenanteil Æi"
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""Massenkonzentration ²i"""
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""Stoffmengenkonzentration ci"""
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Molalität br"
S. 137 Mischungsrechnen mit dem Mischungskreuz (Konzentrationsangabe in Masseprozent) (b Mischungsrechnen S. 13)
Elektrochemie
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""nernstsche Gleichung"""
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Berechnung nach den faradayschen Gesetzen"
Gasgesetze
Chemisches Gleichgewicht
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Massenwirkungsgesetz"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Löslichkeitsprodukt"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Löslichkeit"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Ionenprodukt des Wassers KW"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Löslichkeitsprodukt"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Säurekonstante KS"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Basekonstante KB"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Henderson-Hasselbalch-Puffergleichung"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Protolysegrad"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Ostwald-Verdünnungsgesetz"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "pH-Wertberechnungen bei wässrigen Lösungen"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Titration"
Energetik
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "Reaktionsgeschwindigkeit"
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "ArrhEnius-Gleichung"
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Reaktionsenthalpie flRH"
Gefahrenstoffhinweise
Biologie
Physiologie und Biochemie
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "Biomasseproduktion"
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "respiratorischer Quotient RQ"
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "osmotischer Druck"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "1. ficksches Diffusionsgesetz"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "2. ficksches Diffusionsgesetz"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Diffusion durch eine Membran"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Diffusionspotenzial ED (nernstsche Gleichung) (b S. 137)"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Trockenmasse TM"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Wassergehalt WG"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Aschemasse AM"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Wasserdefizit Wd (Wasserverlust)"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Bilanzquotient des Wassers BQ"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Geburtenrate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Sterberate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Zuwachsrate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "exponentielles Wachstum"
Ökologie
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Bakterienvermehrung in statischer Kultur in der log-Phase"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Bestimmung des Plankton- und Schwebstoffgehaltes GPS"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "quantitative Sauerstoffbestimmung ² (O2) (nach WinklEr)"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Sauerstoffsättigung S"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Sauerstoffdefizit ² (O2)Def"
S. 146 neben der Tabelle
Humanbiologie
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "voraussichtliche Körpergröße KgrE als Erwachsener"
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "Normalgewicht NG und Idealgewicht IG (nach Broca)"
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "Body-Mass-Index (BMI )"
S. 147 neben der Tabelle
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundumsatz GU"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistungsumsatz LU"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Nährstoffbedarf Nb"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiebedarf Eb"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Blutalkoholgehalt (nach Widmark) BAG"
S. 150 neben der Tabelle neben die Zeile "PEarl-Index PI (Versagerquote)"
S. 150 neben der Tabelle neben die Zeile "Berechnung des Entbindungstermins Et (naegelesche Regel)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Berechnung des Austauschwertes AW in Koppelungsgruppen (relative Genabstände)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Mutationsrate Mr (nach NachtshEim)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Hardy-WEinbErg- Gesetz (Berechnung der Allelenfrequenz in idealen Populationen)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Individualfitness W (Adaptationswert; relative Überlebensrate)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Selektionskoeffizient S"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "mittlere Populationsfitness} W"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "genetische Last L (genetische Bürde)"
Informatik
Technische Realisierung logischer Verknüpfungen
Datendarstellung
S. 152 neben der Überschrift
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Addition"
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Subtraktion"
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Multiplikation"
Algorithmik
Angewandte Informatik
Register
itur b A m bis zu
Formel sammlung Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik
Die Erde – politische Übersicht
westl. 0° ös
Grönland
(dänisch, Selbstverwaltung)
ISLAND
N
Reykjavík
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VEREINIGTES KÖNIGREICH IRLAND London Dublin DEU LAN
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VEREINIG TE S TA AT E N
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FRANKREICH SPANIEN PORTUGAL Madrid Lissabon Algier
Washington
(USA)
T
K
Rabat
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K
O A T L A N T I S C H E R R M A ALGERIEN Nassau a Havanna BAHAMAS KUBA DOMINIKAN. Mexiko K JAM. HAITI REP. Belmopan 1 MAURETANIEN Santo O 2 MALI BE. Kingston Port-au- Domingo Nuakschott 3 NIGE Prince GUATEMALA Guatemala HO. KAP VERDE Dakar SEN. 4 Tegucigalpa Niamey 5 EL SALVADOR San Salvador Praia Bamako Port of B.F. 6 NICARAGUA Banjul GA. WagaManagua 7 Spain G.B. Bissau GUI. dugu Panama NIGER COSTA RICA San José N Caracas TRINIDAD U. TOBAGO Conakry S.L. JamusEZ Georgetown GUYANA Porto Ab sukro Freetown PANAMA UE KA Novo Paramaribo SURINAME GH. LA Bogotá Monrovia R Lomé LIBERIA CÔTE Akkra Malabo Frz.-Guayana KOLUMBIEN D’IVOIRE ÄQ São Tomé Quito S.T. L ECUADOR GABUN Brazz
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Nördlicher Wend
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Sucre
Asunción
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BELARUS Berlin POLEN Warschau DEUTSCHKiew LAND TSCHECH. BELGIEN Luxemburg Prag REPUBLIK UKRAINE LUXEMBURG SLOWAKEI Paris Wien Bratislava MOLDAU Bern LIE. ÖSTERREICH Budapest SLO. UNGARN RUMÄNIEN Chisinau SCHWEIZ Vaduz Ljubljana Bukarest FRANKZagreb Belgrad KRO. BOS. REICH SERBIEN SAN Sarajevo MO.Priština Sofia MONACO MARINO BULGARIEN Podgorica KO. Skopje Andorra la Vella ITALIEN Rom N.M. ANDORRA Tirana ALBANIEN Athen 0
300
km
Valletta MALTA
GRIECHENLAND
URUGUAY
Buenos Aires
Montevideo
IEN
NIEDERLANDE Amsterdam Brüssel
Santiago
L
DÄNEMARK Kopenhagen
Tallinn ESTLAND LETTLAND Riga LITAUEN Vilnius Minsk
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Stockholm SCHWEDEN
ARGENTIN
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Oslo NORWEGEN
N
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PARAGUAY
C
Südlicher Wendekreis
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Abkürzungen Staatsgrenze umstrittene Staatsgrenze Hauptstadt eines Staates
0
1000
2000
km
ÄQU. ARM. AS. B.D. B.F. BA. BE. BH. BOS. BU. GA.
ÄQUATORIALGUINEA G.B ARMENIEN Südlicher Polarkreis GE. ASERBAIDSCHAN GH. BANGLADESCH GUI. BURKINA FASO HO. BAHRAIN IS. BELIZE JAM. BHUTAN JOR. BOSNIENKA. HERZEGOWINA KAM. BURUNDI KIRG. GAMBIA KO.
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Tasch- Bischkek USB EK kent Tiflis IST GE. KIRG. Baku A Ankara ARM. ITURKMEN Duschanbe Eriwan AS. STAN TAD. TÜRKEI Aschgabad SYR. Kabul Nikosia Bagdad Islamabad LIB. Teheran ZYP. AFGHABeirut Damaskus N A R I Jerusalem NISTAN IRAK Amman Kairo IS.JOR. S KU. Kuwait NeuKI SAUDI- BA. Manama Delhi PA KA. ÄGYPTEN Dhabi Abu Riad Doha V.A.E. Maskat
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SALOHoniara MONEN
Port Moresby
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BI
B
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MIKRONESIEN
PALAU
Jakarta
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S
kreis
Nördlicher Wende
PH
AM
SUDAN Asmara JEMEN Khartum ERITREA Sanaa Addis Dschibuti DSCHIBUTI RIA Abeba buja Z.R. SÜDÄTHIOPIEN AMESUDAN RUN Bangui Juba Jaunde O UGANDA S Mogadischu QU. DEM. Kampala KENIA LibreKigali RU. Nairobi N ville K I N D I REP. zaville Kinshasa Gitega BU. Victoria Dodoma SEYCHELLEN KONGO TANSANIA Luanda KOMOREN ANGOLA MA. Moroni S A MLilongwe Lusaka M Harare Antananarivo SIMBABMAURITIUS NAMIBIA WE Port Louis Windhuk BOTSUANA Maputo Gaborone Pretoria Mbabane O ESWATINI SÜD- Maseru AFRIKA LESOTHO
TSCHAD
Ndschemena
UINEA-BISSAU EORGIEN HANA UINEA ONDURAS RAEL MAIKA ORDANIEN ATAR AMBODSCHA RGISISTAN OSOVO
JAPAN
KathN Emandu BH. Taipeh P A L Thimphu Dhaka TAIWAN Hanoi B.D. MYANMAR L INDIEN w Naypyida Vientiane THAILAND Manila Bangkok KAM. Phnom Penh SRI LANKA SIA Kuala Colombo A L AY BRUNEI Lumpur M Malé Bandar Seri Begawan MALEDIVEN SINGAPUR N ET VI S O A
ARABIEN
N
LIBYEN
MA
Tripolis
NORD PjöngKOREA jang DSeoul SÜ
Peking
N
Tunis TUNESIEN
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Südl. Wendekreis
AUSTRALIEN
N
D
Canberra
U NE
KRO. KU. LIB. LIE. MA. MO. N.M. RU. SEN. S.L. SLO.
KROATIEN KUWAIT LIBANON LIECHTENSTEIN MALAWI MONTENEGRO NORDMAZEDONIEN RUANDA SENEGAL SIERRA LEONE SLOWENIEN
S.T.
SÃO TOMÉ UND PRÍNCIPE SYR. SYRIEN TAD. TADSCHIKISTAN V.A.E. VEREINIGTE ARABISCHE EMIRATE Z.R. ZENTRALAFRIKANISCHE REPUBLIK ZYP. ZYPERN
Kleine Antillen 1 ANTIGUA UND BARBUDA, St. John’s 2 SAINT KITTS UND NEVIS, Basse-Terre 3 DOMINICA, Roseau 4 SAINT LUCIA, Castries 5 BARBADOS, Bridgetown 6 SAINZ VINCENT UND DIE GRENADINEN, Kingstown 7 GRENADA, St. George’s
SE
EL
A
Wellington
Weitere Staaten außerhalb des Kartenausschnitts: FIDSCHI, Suva KIRIBATI, South Tarawa MARSHALLINSELN, Majuro NAURU, Yaren SAMOA, Apia TONGA, Nuku’alofa TUVALU, Funafuti VANUATU, Port Vila
Verwendete Zeichen, Abkürzungen und Symbole Zeichen
Sprechweise/Bedeutung
Zeichen
Sprechweise/Bedeutung
…
und so weiter bis
≅
zueinander kongruent, deckungsgleich
=; ≠
gleich; ungleich
||
parallel zu, Beispiel: g || h
; ≥
größer als; größer oder gleich
Δ ABC
Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C
sehr klein gegen; sehr groß gegen
\;
Winkel; rechter Winkel
≈; c
rund, angenähert; entspricht
AB
≡
identisch
a, F, AB
Vektoren
%; ‰
Prozent; Promille
A × B, a × b
Vektorprodukt, Kreuzprodukt
]a; b[
offenes Intervall von a bis b
a · b
Skalarprodukt
[a; b]
abgeschlossenes Intervall von a bis b
ab
a hoch b (Potenz)
[a; b[
halboffenes Intervall von a bis b
(a; b)
geordnetes Paar
i
imaginäre Einheit (√} –1 )
lim
Limes, Grenzwert
|x|
Betrag von x
→
gegen, konvergiert nach, nähert sich
n!
n Fakultät
∞
unendlich
f (x)
f von x (Wert der Funktion f an der Stelle x)
()
n über p (Binomialkoeffizient)
Δ x, (Δy )
Delta x (Delta y), Differenz zweier Argumente (Werte) der Funktion f
f '(x), f "(x)
1. bzw. 2. Ableitung der Funktion f
dy
dx } d2y } dx2 b
E
f (x) dx a
}
}›
} √ } √
n
np n
a k k = 1
S n
Strecke AB
Quadratwurzel aus; n-te Wurzel aus
Summe aller ak für k = 1 bis n
a k k = 1
P
Produkt aller ak für k = 1 bis n
dy nach dx, 1. Differenzialquotient der Funktion y = f (x)
A, B, M1
Mengen
d2y nach dx 2, 2. Differenzialquotient der Funktion y = f(x)
{a; b; c }
Menge mit den Elementen a, b und c
0, { }
leere Menge
{x|…}
Menge aller x, für die gilt: …
(bestimmtes) Integral f(x)dx von a bis b ∈; ∉ ⊆; ⊂
Element von; nicht Element von Teilmenge von; echte Teilmenge von
A∩B
Schnittmenge von A und B
A∪B
Vereinigungsmenge von A und B
A \ B
Differenzmenge A ohne B
A×B
Produktmenge von A und B (A Kreuz B)
(an)
Folge an
logax
Logarithmus x zur Basis a
lg x
Logarithmus x zur Basis 10
ln x
Logarithmus x zur Basis e
lb x
Logarithmus x zur Basis 2
A
Komplementärmenge zu A
sin
Sinus
N
Menge der natürlichen Zahlen
cos
Kosinus
N*
Menge der natürlichen Zahlen ohne 0
Tangens
Z
Menge der ganzen Zahlen
Kotangens
Q+
Menge der gebrochenen Zahlen
Arkussinus
Q
Menge der rationalen Zahlen
Arkuskosinus
R
Menge der reellen Zahlen
arctan
Arkustangens
C
Menge der komplexen Zahlen
a | b
a teilt b; a ist Teiler von b
⇒
wenn …, dann … (Implikation)
a | b
a teilt nicht b; a ist kein Teiler von b
⇔
genau dann, wenn (Äquivalenz)
A, B
Matrizen
∧
und (Konjunktion)
det A =|A|
Determinante von A
∨
oder (Disjunktion)
~
proportional, zueinander ähnlich
¬
nicht (Negation)
tan cot arcsin arccos
}
Formel sammlung Formeln · Tabellen · Daten
Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik
Duden Schulbuchverlag Berlin
Autoren Frank-Michael Becker (Biologie) Dr. Hubert Bossek † (Mathematik) Dr. Lutz Engelmann (Mathematik, Informatik) Dr. Christine Ernst (Chemie) Dr. habil. Günter Fanghänel (Mathematik) Heinz Höhne (Chemie) Dr. Astrid Kalenberg (Informatik) Rudi Lenertat † (Mathematik) Dr. Günter Liesenberg (Mathematik) Manuela Liesenberg (Geographie) Rainer Löffler (Mathematik) Prof. Dr. habil. Lothar Meyer (Physik, Astronomie) Doz. Dr. habil. Christa Pews-Hocke (Biologie) Dr. habil. Bernd Raum (Geographie) Dr. Gerd-Dietrich Schmidt (Physik) Dr. Peter Seidel † (Biologie) Helga Simon (Chemie) Dr. habil. Reinhard Stamm (Mathematik) Prof. Dr. habil. Karlheinz Weber (Mathematik) Dr. Adria Wehser (Chemie) Redaktion Dr. Lutz Engelmann Gesamtgestaltung Britta Scharffenberg Layout und Grafik Claudia Kilian, Birgit Kintzel, Manuela Liesenberg, Erika Netzmann †, Angela Richter, Britta Scharffenberg, cs print consulting GmbH, Berlin, zweiband.media, Berlin
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Mathematik
Zahlen; Zeichen; Größen 5 Mengenlehre und Logik 8 Rechenregeln und Rechenverfahren 10 Gleichungen 15 Planimetrie 17 Stereometrie 22 Ebene Trigonometrie 25 Funktionen 28 Folgen und Reihen; Grenzwerte 32 Differenzialrechnung 34 Anwendungen der Differenzialrechnung 35 Integralrechnung 37 Anwendungen der Integralrechnung 38 Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene) 40 Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 43 Kombinatorik 48 Beschreibende Statistik 49 Wahrscheinlichkeitsrechnung 50 Beurteilende Statistik 64 Matrizen und Determinanten 66 Lineare Gleichungssysteme 68 Ausgewählte Computeralgebra-Befehle 70
Physik
Konstanten, Größen und Einheiten 71 Wertetabellen 76 Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt) 84 Mechanik 86 Wärmelehre 95 Elektrizitätslehre 99 Schwingungen und Wellen 108 Optik 109 Quantenphysik 111 Spezielle Relativitätstheorie 111 Atom- und Kernphysik 112
3
4
Inhaltsverzeichnis
Astronomie
Astronomische Konstanten und Größen 113 Astrophysikalische Gesetze und Zusammenhänge 115
Chemie
Eigenschaften von Stoffen 116 Atombau 126 Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten 129 Stöchiometrie 136 Elektrochemie 137 Gasgesetze 137 Chemisches Gleichgewicht 138 Energetik 139 Gefahrenstoffhinweise 140
Biologie
Physiologie und Biochemie 142 Ökologie 144 Humanbiologie 147
Informatik
Technische Realisierung logischer Verknüpfungen 151 Datendarstellung 152 Algorithmik 155 Angewandte Informatik 156 Register 161
Mathematik Zahlen; Zeichen; Größen Griechisches Alphabet Buchstabe
Name
Buchstabe
Name
Buchstabe
Name
Buchstabe
Name
Α, α Β, β Γ, γ Δ, δ Ε, ε Ζ, ζ
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta
Η, η Θ, θ, θ Ι, ι Κ, κ Λ, λ Μ, μ
Eta Theta Jota Kappa Lambda My
Ν, ν Ξ, ξ Ο, ο Π, π Ρ, ρ Σ, σ, ς
Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma
Τ, τ Υ, υ Φ, φ Χ, χ Ψ, ψ Ω, ω
Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega
Primzahlen Eine natürliche Zahl p ≠ 1 heißt Primzahl, wenn sie außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101
103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239
241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313
317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467
479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569
571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643
647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823
827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 …
Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, d. h. in folgender Form darstellen: n = p1α 1 · p2α 2 · p3α 3 · … mit p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; … und α1, α2, α3, … ∈N
Mathematische Konstanten Konstante
Bezeichnung
Kreiszahl (ludolfsche Zahl)
π
eulersche Zahl
e
5
Ma
Zahlen; Zeichen; Größen
Zahlenwert
Bedeutung
3,141 592 653 589…
Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 1; Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 1
(
)
22 Näherungswert: } 7
2,718 281 828 459…
Basis der Exponentialfunktion (des stetigen Wachstums) und des natürlichen Logarithmus
6
Mathematik
Römische Zahlzeichen
Ma
Grundzeichen
Hilfszeichen
Symbole
I
X
C
M
V
L
D
Zahl
1
10
100
1 000
5
50
500
Schreibweisen (Regeln für die Anordnung): 1. Die Zeichen werden hintereinander geschrieben (wobei im Allgemeinen links mit dem Symbol der größten Zahl begonnen wird) und ihre Werte werden addiert (Additionssystem). 2. Die Grundzeichen werden höchstens dreimal, die Hilfszeichen nur einmal hintereinander geschrieben. 3. Steht das Symbol einer kleineren Zahl vor dem einer größeren, so wird der kleinere Wert vom größe ren subtrahiert (wobei höchstens ein Symbol der nächstkleineren Zahl vorangestellt werden darf). XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17
MMXIII = 1 000 + 1 000 + 10 + 1 + 1 + 1 = 2 013
IX = 10 – 1 = 9
Stellenwertsysteme (Positionssysteme) Begriff
In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) der Basis b lässt sich jede natür liche Zahl folgendermaßen darstellen: (anan – 1 … a2a1a0)b = an · bn + an – 1 · bn – 1 + … + a2 · b2 + a1 · b1 + a0 · b0 Für die Ziffern a0, a1, a2, …, an gilt a0, a1, a2, …, an ∈{0; 1; 2; …; b – 1}.
Dezimalsystem
Wird als Basis eines Stellenwertsystems die Zahl 10 gewählt, so spricht man von einem dekadischen Positionssystem bzw. vom Dezimalsystem, und es gilt: anan – 1 … a2a1a0 = an · 10n + an – 1 · 10n – 1 + … + a2 · 102 + a1 · 10 + a0
Dualsystem
Wählt man die Zahl 2 als Basis, so erhält man das Dualsystem mit den beiden Ziffern 0 und I (b S. 152).
Darstellung von Dezimalzahlen mithilfe abgetrennter Zehnerpotenzen a>1
a ∈Q+
a 0 (a ∈R, a ≥ 0, n ∈N*\{1}) √ } a = √ } a 2
a–n = } 1n a
Für alle m, n ∈Z und a, b ∈R \ {0} gilt: am · an = am + n
Für alle m, n ∈N*\ {1} und a, b ∈R, a, b ≥ 0 gilt: m } n } mn } n} n} n} √ a · √ b = √ a · b √ a · √ a = √ am + n
an · bn = (a · b)n
}
}
}
a a n = am – n } = } ba } a bn
} √ √ a n } a = √ an – m = } ba } } n }
(am)n = amn = (an)m
√ √ } a = √ } a = √ √ } a
m
n
m
n
()
–n
()
()
n
mn
√ a n m
}
mn
}
√
n
√ b
m n
}
} √ } √ am = (√ } a ) m am = √ amk (k ∈N*) n
n
1–n = an } ba = } ba } a
n
nk
n
Für alle m, n ∈N, n ≥ 2 und a ∈R, a > 0 gilt: 1 }
1 – }
m }
}
m – }
1 an= √ } a a n= } n1} an = √ am a n = } n } n
√ a
n
√ am
12
Mathematik
Logarithmen
a, b ∈R; a, b > 0; a ≠ 1 logab = c ⇔ ac = b
Definition
a heißt Basis, b Numerus und c Logarithmus.
Ma
logab
a
= b logaa = 1
loga1 = 0
Logarithmen spezieller Basen
log10x = lg x (dekadischer Logarithmus) logex = ln x (natürlicher Logarithmus; e eulersche Zahl, b S. 5)
Logarithmengesetze
Für alle u, v ∈R; u, v > 0 gilt: u loga(u · v) = logau + logav loga } = logau – logav v
logaur = r logau (r ∈R) loga √ } u = } n1 logau (n ∈N*\ {1) n
Basiswechsel
log b
logcb = } loga c = } ln b = } lg b ln c lg c
logab · logba = 1
ac = ec · ln a (c ∈R)
a
(
)
1 1 ln x = } M lg x M = ln10 = 2,302 58… }
lg x = M ln x (M = lg e = 0,434 29…)
Komplexe Zahlen
a, b, r ∈R; r ≥ 0; 0 ≤ φ < 2π
Es sei C = {z | z = a + b i; a, b ∈R ∧ i2 = –1} die Menge der komplexen Zahlen (b S. 9). z = a + b i (i2 = –1) (a Realteil; b Imaginärteil von z) } z = a + b i z = a – b i (zueinander) konjugiert komplexe Zahlen
Normalform
Im (z) z
bi i
r
2
Polarform (trigonometrische Form)
z = r (cos φ + i sin φ) (i = –1) (r Betrag von z; φ Argument bzw. Phase von z)
Exponentialform
z = r · eiφ mit eiφ = cos φ + i sin φ (eulersche Formel, φ im Bogenmaß)
Zusammenhänge
r=√ a2 + b2 ; cos φ = } ar ; sin φ=} br ; tan φ=} ba
φ O
1
a
Re (z)
z
}
Rechenregeln Für die Potenzen der imaginären Einheit i gilt: i4n = 1; i4n + 1 = i; i4n + 2 = –1; i4n + 3= –i (n ∈Z) Für z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i gilt:
Für z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) und z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2) gilt:
z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2)i
z1 ± z2 = (r1cos φ1 ± r2cos φ2) + (r1sin φ1 ± r2sin φ2)i
z1 · z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
z1 · z2 = r1 · r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]
}
z · z
z
a a + b b + (a b – a b )i
z
r
1 2 2 1 1 2 1 } = } 1 } 2 = }}} 1 2 1 (z2 ≠ 0 + 0 · i) } = } r1 [cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1 – φ2)] (z2 ≠ 0 + 0 · i) 2 2 z z z · z 2
2
z2
a2
a2 + b2
2
2
b2
zn
= + 2ab i – = a3 + 3a2b i – 3ab2 – b3i z4 = a4 + 4a3b i – 6a2b2 – 4ab3i + b4 usw. z3
2
= r n (cos nφ + i sin nφ) (n ∈Z, Satz von Moivre)
φ + 2kπ φ + 2kπ √ } z = √ } r cos } + i sin } n n n
n
(
)
(n ∈N*; k ∈{0; 1; 2; …; (n – 1)})
Für z1 = r1 · eiφ1 und z2 = r2 · eiφ 2 gilt: z
r
1 z1 · z2 = r1 · r2 · ei(φ1 + φ2) } = } r1 · ei(φ 1 – φ2) (z2 ≠ 0 + 0 · i) z2 2
}
}
}
}
} }
z + w = z + w z · w = z · w
}
z + z = 2a
zn = r neinφ (n ∈Z) }
z – z = 2b i
}
z · z = a2 + b2 = |z|2 = r 2
Rechenregeln und Rechenverfahren
Proportionen und Anwendungen
13
a, b, c, d, k, ai ∈R; k ≠ 0; Nenner ≠ 0 indirekte (umgekehrte) Proportionalität
Sachverhalt Größe x
a
c
Größe y
b
d
je mehr, desto mehr ( y ~ x )
Größe x
a
c
Größe y
b
d
je mehr, desto weniger y ~ } 1x
(
Verhältnisgleichung
b }ac = } ⇒ a · d = b · c d
ac = } db ⇒ a · b = c · d }
Proportionalitätsfaktor k
b = k · a ⇒ k = } ba = } dc d = k · c (quotientengleich)
b = k · }1a ⇒ k = a · b = c · d d = k · }1c (produktgleich)
)
Ma
direkte Proportionalität
Währungsrechnen AW } = } Kurs bzw. EUR 100
AW Auslandswährung; EUR Euro-Betrag; Kurs Umrechnungsverhältnis zwischen Devisen, bezogen auf 100 €; Ausnahmen: Dollar ($) und Pfund Sterling (£)
£) AW($, = Kurs } EUR
Dreisatz Verfahren, durch das mit drei gegebenen Größen eine vierte errechnet wird In allen Dreisatzaufgaben sind die auftretenden Größen direkt oder indirekt proportional. Schritte: (1) Schluss vom Wert der bekannten Mehrheit (2) auf den Wert für eine Mengeneinheit und (3) von dieser Einheit auf die gesuchte Mehrheit Mischungsrechnen
P Preis; M Menge, Anteil
Berechnen des Mischungsverhältnisses von zwei Sorten bei vorgegebenen Preisen
Preis/Mengeneinheit Unterschied zu PG gekürzt Anteil Sorte 1: P1 |PG – P1| x y = M1 PG – P2 M Mischung: PG } = } M1 = } yx PG – P1 2 Sorte 2: P2 |PG – P2| y x = M2
|
|
Mischungskreuz-Regel: Die zu mischenden Sorten sind im umgekehrten Verhältnis ihrer Preisdifferenzen zur Mischungssorte zu mischen (b auch Mischungskreuz in der Chemie, S. 137). Mittelwerte }
}
}
arithmetisches Mittel x
x 1 a – = } 1 ⇒ x = } a + b } } – b 2 x
geometrisches Mittel g (mittlere Proportionale)
ga = } gb }
⇒
harmonisches Mittel h
a – h h – b = } ba }
2ab ⇒ h = } a + b
goldener Schnitt (stetige Teilung einer Strecke)
x }ax = } a – x ⇒ x = } 5 – 1 · a ≈ 0,618 · a 2
g=√ } ab (a, b > 0)
Für zwei Werte a und b gilt: }
h ≤ g ≤ x
} } g=√ h · x (Verallgemeinerung für mehr als zwei Werte b S. 49)
√}
M r
Konstruktion des Teilpunktes T der }
Strecke a = P 1P2 mit r = } 2a (s. Abb.)
x P1
a
a–x T
P2
14
Mathematik
Ma
Prozentrechnung Grundgleichung
W W } = } G bzw. } = p % G p 100
vermehrter (verminderter) Grundwert
G = G · } 100 + p G = G · } 100 – p 100 100
}
(
G Grundwert p p % = } 100 Prozentsatz }
)
nach prozentualem Zuschlag (Aufschlag)
W Prozentwert p p ‰ = } 1 000 Promillesatz
(
)
nach prozentualem Abschlag (Abzug)
„Bequeme“ Prozentsätze Prozentsatz
1 %
Anteil am Grundwert
1 } 100
2 %
2 }21 %
4 %
5 %
1 50 }
1 } 40
1 } 25
1 } 20
6 }14 % 6 }23 % 12 }12 % 20 % 25 % 33 }13 % 50 % 66 }23 % 75 % 1 } 16
1 } 15
18 }
}15
}14
}13
K Kapital Z Zinsen p % Zinssatz des Kapitals p. a. per annum (pro Jahr) +p p # Zinszahl (# = 1 % · K · t )) q Zinsfaktor q = } 100 = 1 + } 100 100 t Anzahl der Tage m Anzahl der Monate 1 Jahr c 360 Tage; 1 Monat c 30 Tage (im deutschen Bankwesen)
R S D n
}12
}23
}43
Zinsrechnung
(
Jahreszinsen Z=} K · p 100
Zn = } K · p · n 100
)
Rate, Rente Schuld, Darlehen Zinsdivisor D = } 360 p Anzahl der Jahre
(
Monatszinsen
Tageszinsen (Diskont)
K · p · m Zm = } 100 · 12
K · p · t # Zt = } 100 · 360 =} D
)
Rendite (effektive Jahresverzinsung)
Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)
p=} Z · 100 K
+p Kn = K0 · qn = K0 · } 100 100
lg K – lg K
n
(
)
0 n=} nlg q
Einige Zinsdivisoren (sinnvoll zur Berechnung von Tageszinsen und des Diskonts beim Diskontieren) Zinssatz
2 % 2 }12 % 2 }23 % 3 % 3 }31 % 3 }43 % 4 % 4 }21 % 5 %
6 % 6 }23 % 7 }12 % 8 %
9 % 10 %
Zinsdivisor
180
60
40
144
135
120
108
96
90
80
72
54
48
45
36
Rentenformeln; Schuldentilgungsformeln Zahlungsendwert (nachschüssig)
Wird am Jahresende regelmäßig ein Betrag R eingezahlt und mit p % p. a. verzinst, so beträgt das Kapital nach n Jahren:
– 1) Kn = } R(q q–1
Zahlungsendwert (vorschüssig)
Wird am Jahresanfang regelmäßig ein Betrag R einge zahlt und mit p % p.a. verzinst, so beträgt das Kapital nach n Jahren:
– 1) Kn = } Rq(q q – 1
Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (nachschüssig)
Wird ein vorhandener Betrag K0 durch die Zahlung eines festen Betrages R jeweils am Jahresende vermehrt (durch Abhebung von R vermindert), so beträgt bei p % p. a. Zinsen das Kapital nach n Jahren:
– 1) Kn = K0 · qn + } R(q q–1
Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (vorschüssig)
Wird ein vorhandener Betrag K0 durch die Zahlung eines festen Betrages R jeweils am Jahresanfang vermehrt (durch Abhebung von R vermindert), so beträgt bei p % p. a. Zinsen das Kapital nach n Jahren:
– 1) Kn = K0 · qn + } Rq(q q – 1
Tilgungsrate einer Schuld
Soll eine Schuld S in n Jahren bei einem Zinssatz p % p. a. durch regelmäßige Ratenzahlungen jeweils am Jahres ende getilgt werden, so beträgt die Rate R:
n
n
n
n
– 1) Kn = K0 · qn – } R(q q–1 n
n
– 1) Kn = K0 · qn – } Rq(q q – 1
n
R=} Sq n(q – 1) q – 1
Gleichungen
15
Gleichungen Lineare Gleichungen
a, b, c ∈R lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Normalform
ax + b = 0 (a, b = const.; a ≠ 0)
ax + by = c (a, b, c = const.; a, b ≠ 0)
Lösungsmenge
b L = – } a
{ }
a L = {(x; y)} mit y = – } x + } bc b
Lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen Normalform
Ma
lineare Gleichungen mit einer Variablen
ai , bi , ci ∈R; i ∈N*
(I) a1x + b1 y = c1 (ai , bi , ci = const.) (II) a2x + b2 y = c2
Lösungsformeln (cramersche Regel)
c b – c b
a c – a c
x=} a1b2 – a2 b1 1 2
y=} a 1b2 – a2b1
2 1
1 2
2 1
(a1b2 – a2b1 ≠ 0)
Rechnerisches Lösen (Lösungsverfahren) Einsetzungsverfahren
Eine der Gleichungen wird nach einer der Variablen aufgelöst und der erhaltene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen werden nach ein und derselben Variablen aufgelöst und die erhaltenen Terme werden gleichgesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.
Additionsverfahren
Durch äquivalentes Umformen wird erreicht, dass die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen übereinstimmen bzw. sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Subtraktion bzw. Addition der so umgeformten Gleichungen führt auf eine lineare Gleichung mit einer Variablen.
Grafisches Lösen Jede der beiden Gleichungen wird als analytischer Ausdruck einer linearen Funktion aufgefasst und es werden die Graphen der entsprechenden Funktionen (die Geraden g und h) in ein Koordinatensystem gezeichnet. Dabei können die im Folgenden dargestellten Fälle auftreten. 1. Fall: g und h schneiden einander im Punkt S(xS ; yS) g
y h
yS
S
O
xS
L = {(xS ; yS)} (genau eine Lösung; cramersche Regel)
2. Fall: g und h sind zueinander parallel
g
y
3. Fall: g und h sind identisch
y
g=h
h
x
O
L={}=0 (keine Lösung)
x
O
L = {(x ; y )} mit y = mx + n (unendlich viele Lösungen)
x
16
Mathematik
Ma
Quadratische Gleichungen
a, b, c, p, q ∈R
allgemeine Form
Normalform
Gleichung
ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c = const.; a ≠ 0)
x 2 + px + q = 0 (p, q = const.)
Lösungen
b – 4ac x1; 2 = }} – b ± 2a
p p x1; 2 = – } ± } p2 2 – q = – } ± } p4 – q 2 2
Diskriminante
D = b2 – 4ac
D = } p2 2 – q = } p4 – q
2 √}
} 2
√
}
√( )
()
2
D > 0 ⇒ L = {x1; x2} D = 0 ⇒ L = {x1} = {x2} D < 0 ⇒ L = { } = 0
Lösungsfälle in R
Zerlegung in Linearfaktoren
ax 2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) = 0
x 2 + px + q = (x – x1)(x – x2) = 0
vietascher Wurzelsatz
b x1 + x2 = – } a
x1 + x2 = –p
Spezialfälle
b ax 2 + bx = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = – } a
ax 2 + c = 0 biquadratische Gleichungen
x1 · x2 = } ac
}
√
⇒ x1; 2 = ± – }ac (ac < 0)
x1 · x2 = q
x 2 + px = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = –p x 2 + q = 0 ⇒ x1; 2 = ± √} – q (q < 0)
Gleichungen vierten Grades der Form ax 4 + bx 2 + c = 0 bzw. x 4 + px 2 + q = 0 können mittels der Substitution x 2 = z auf eine quadratische Gleichung in z zurückgeführt werden. Sind z1 und z2 nichtnegative Lösungen dieser Gleichung, so sind x1; 2 = ± √} z1 und x3; 4 = ± √} z2 die Lösungen der biquadratischen Gleichung.
Algebraische Gleichungen n-ten Grades
ai ∈R; xi ∈C; n ∈N
Begriff (normierte Form)
Pn(x) = x n + an – 1 x n – 1 + an – 2 x n – 2 + … + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = 0
Lösungen (Nullstellen)
x1; x2; x3; …; xn
Fundamentalsatz der Algebra
Jede algebraische Gleichung n-ten Grades hat in der Menge der komplexen Zahlen genau n Lösungen (wobei diese in ihrer Vielfachheit zu zählen sind).
Lösungsverfahren
Ist x1 eine durch Probieren gefundene Nullstelle, so kann Pn(x) mittels Polynomdivision ohne Rest durch (x – x1) dividiert werden. Man erhält dadurch eine Gleichung (ein Polynom) (n – 1)-ten Grades und es gilt Pn(x) = (x – x1)Pn – 1(x).
Zerlegung in Linearfaktoren
Pn(x) = x n + an – 1 x n – 1 + … + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = (x – x1)(x – x2) · … · (x – xn ) = 0
Pn(x) Polynom
Exponential- und Logarithmusgleichungen
a, b ∈R; a, b > 0; a ≠ 1
Exponentialgleichungen
Logarithmusgleichungen
Gleichung
a x = b
loga x = b
Lösung
x=} logc a = } lg b = } ln b (c > 0; c ≠ 1) lg a ln a
log b c
x = a b
Planimetrie
17
Planimetrie
Wird ein Strahlenbüschel (s1; s2; s3) von Parallelen (zueinander parallelen Geraden) g1 und g2 geschnitten, so entstehen Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte. Z
1. Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich zueinander wie die gleichliegenden Abschnitte auf einem anderen Strahl: }
}
g1 || g2
}
ZA ZB ZC } } = } } = } } ZA' ZB' ZC '
A
2. Gleichliegende Parallelenabschnitte verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf einem gemeinsamen Strahl: }
}
AB ZA } } = } } A'B' ZA'
}
BC
B'C '
g1
B' C'
s1 s2
AB A'B' } } } = }
Ähnlichkeits- und Kongruenzsätze für Dreiecke A'
C γ
b
A
C
A'
3. Abschnitte auf einer Parallelen verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf der anderen Parallelen: }
B
α
s3
k Ähnlichkeitsfaktor, k ∈R, k > 0 b'
α'
γ'
a β
c
g2
C'
a'
c' β'
B
B' Die Dreiecke ABC und A'B'C ' sind zueinander ähnlich bzw. zueinander kongruent (deckungsgleich), wenn eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt ist: Ähnlichkeit
Kongruenz
Die Dreiecke ABC und A'B'C ' sind zueinander ähnlich bei Übereinstimmung
Die Dreiecke ABC und A'B 'C ' sind zueinander kongruent (deckungsgleich) bei Übereinstimmung
• im Längenverhältnis aller einander entspre chenden Seiten: a' : a = k; b' : b = k; c' : c = k
• in den drei Seiten: a' : a = 1; b' : b = 1; c' : c = 1 (Kongruenzsatz sss)
• in den Längenverhältnissen zweier Seiten und im • in zwei Seiten und im von diesen eingeschlos von diesen jeweils eingeschlossenen Winkel, z. B.: senen Winkel, z. B.: a' : a = 1; b' : b = 1; γ ' = γ a' : a = k; b' : b = k; γ ' = γ (Kongruenzsatz sws) • in zwei Winkeln, z. B.: β ' = β; γ ' = γ (Hauptähnlichkeitssatz)
• in einer Seite und den anliegenden Winkeln, z. B.: a' : a = 1; β ' = β ; γ ' = γ (Kongruenzsatz wsw)
• in den Längenverhältnissen zweier Seiten und im der jeweils größeren Seite gegenüberliegenden Winkel, z. B.: a' : a = k; b' : b = k; β ' = β (b > a )
• in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel, z. B.: a' : a = 1; b' : b = 1; β ' = β (b > a ) (Kongruenzsatz SsW)
Für die Flächeninhalte zueinander ähnlicher
Die Flächeninhalte zueinander kongruenter
2
A
2
2
b' c' A'B 'C ' Dreiecke gilt: } = } a'2 = } = } = k 2 2 2 A ABC
a
b
c
Dreiecke sind gleich.
Die Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit (k = 1).
Ma
Strahlensätze
18
Mathematik
Winkel q
Ma
Zwei Strahlen p und q mit gemeinsamem Anfangspunkt S bilden Winkel (der Größe α bzw. β ; Winkelmaße b S. 25).
β
Den Punkt S nennt man Scheitelpunkt, die Strahlen p, q Schenkel des Winkels.
α
S
p
Spezielle Winkel Nullwinkel
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
α
α
α = 0°
gestreckter Winkel
0° < α < 90°
α = 90°
überstumpfer Winkel
α
90° < α < 180° α = 180°
Vollwinkel
α
α
180°< α < 360° α = 360°
Zwei Winkel, die zusammen einen rechten Winkel ergeben (d. h., deren Summe 90° beträgt), heißen Komplementwinkel. Zwei Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben (d. h., deren Summe 180° beträgt), heißen Supplementwinkel. Winkel an Geraden Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
α
Scheitelwinkel sind gleich groß. h
h
α'
β
g β = β '
g
Wechselwinkel an geschnittenen Paral lelen sind gleich groß. h
β
h
β'
g α + α ' = 180°
Stufenwinkel an geschnittenen Paral lelen sind gleich groß.
α
g || h
δ
α=β
g || h
γ
g γ=δ
Winkel am Dreieck Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°. (Innenwinkelsatz)
α + β + γ = 180°
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innen winkel. (Außenwinkelsatz)
α' = β + γ β ' = α + γ γ ' = α + β
Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360°.
α' + β ' + γ ' = 360°
γ α'
γ' β
α
β'
Winkel am Viereck (bzw. Vieleck) Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. (Innenwinkelsatz)
α + β + γ + δ = 360°
δ
γ
Verallgemeinerung: Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n – 2) · 180°.
α β
Planimetrie
Dreiecke
Höhen (ha ; hb ; hc )
u Umfang; A Flächeninhalt Veranschaulichung C B
h
a } = } ba h b
hc
ha
Die Höhen schneiden einander im Höhenschnittpunkt H.
a
hb
H b
Seitenhalbierende (sa ; sb ; sc )
Zusammenhänge
C
c
a sb
sc A
b
B
}}
S
sa
Der Schwerpunkt S teilt jede Seiten halbierende im Verhältnis 2 : 1. sa = } 12 √ 2(b 2 + c 2) – a2
c
A Winkelhalbierende (wα ; wβ ; wγ )
C
Die Winkelhalbierenden schneiden einander im Inkreismittelpunkt W.
a wγ
b
wβ
2 wα = } b + c √} bcs(s – a)
B
W wα
mit s=} a + b + c = } u2 2
c C
A
Mittelsenkrechte (ma ; mb ; mc )
b
a
mc mb
ma
B
Die Mittelsenkrechten schneiden einander im Umkreismittelpunkt M.
M c
A allgemeines (beliebiges) Dreieck
C
Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber.
γ b
(b S. 27)
a
h
α
A=} 12 gh = } abc 4r
β
rechtwinkliges Dreieck
B
b q
α
p
β
c
A gleichseitiges Dreieck a
B
mit s = } u2
Satz des Pythagoras: c 2 = a2 + b 2 Höhensatz:
h2 = pq
Kathetensatz (Satz des Euklid): a2 = cp b 2 = cq u = a + b + c
A=} 12 ab = } 21 ch
C
α = 60°
h=} a2 √} 3
α
u = 3a
A=} a4 √} 3
h
α A
a, b Katheten c Hypotenuse p, q Hypotenusenabschnitte
a
h
r Umkreisradius
(heronsche Formel)
C
(b S. 26)
u=a+b+c A=√ }} s(s – a)(s – b)(s – c)
g =c
A
a + b > c; b + c > a; a + c > b (Dreiecksungleichungen)
a α
a
B
2
Alle Höhen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden schneiden einander im gleichen Punkt und sind gleich lang.
Ma
Begriff
19
20
Mathematik
Vierecke
Ma
Begriff
u Umfang; A Flächeninhalt; e, f Diagonalen Veranschaulichung
Rechteck
D
}
a
D
a
B
a
f
α
A
e
a
C a
B
Trapez
D
C
c
d
a || c
m
b
a
Parallelogramm (Rhomboid) b
a
β
Drachenviereck c e A α
B
c α C
B Sehnenviereck
D d A
c e
δ
α
γ
C b
f a
A = a 2 = } 12 e 2
Alle Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel. e 2 = 4a 2 – f 2
u = 4a
A=} 12 ef = a 2sin α
Mindestens zwei Seiten sind zueinander parallel. m=} 12 (a + c)
u=a+b+c+d A = mh = } 21 (a + c) h
Die Diagonalen halbieren einander. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang. 2(a 2 + b 2) = e 2 + f 2
u = 2(a + b)
α + β = 180°
A = aha = ab sin α
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht.
D
f a
a
C
b ha
a
A
α
f
e
α
u = 4a
m Mittelparallele (Mittellinie)
B
D β
e = f = a √} 2
h A
A = ab
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht und halbie ren einander.
D a
u = 2(a + b)
Alle Innenwinkel sind gleich groß (90°). Alle Seiten sind gleich lang.
a
f
e = f = √ a2 + b 2
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht, gleich lang und halbieren einander.
C
e
A Rhombus (Raute)
B
a
a
Alle Innenwinkel sind gleich groß (90°). Gegenüberlie gende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang.
b
f
e
A
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
C
a
b
Quadrat
Zusammenhänge
β B
Mindestens zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
u = 2(a + c)
A=} 12 e f
Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis. Die Summe gegenüberliegender Winkel ist 180°. α + γ = β + δ = 180°
u=a+b+c+d
ac + bd = ef
A=√ }}} (s – a)(s – b)(s – c)(s – d)
(
)
(Satz des Ptolemäus) mit s = } u2
Planimetrie
Regelmäßige Vielecke
u Umfang; A Flächeninhalt
a
r2
Umkreis und Inkreis eines regelmäßigen Vielecks haben den gleichen Mittelpunkt. Es gilt: α = } 360° n
β = 180° – α
A=
n2 a r1 }
=
α
a
n 2 } r sin α 2 2
β
n Anzahl der Ecken r2 Umkreisradius r1 Inkreisradius
a
r1
Ma
Ein Vieleck (n-Eck), dessen Seiten gleich lang und des sen Innenwinkel gleich groß sind, heißt regelmäßig.
u = na
a
a
Kreis
u Umfang; A Flächeninhalt
Geraden und Winkel am Kreis p
t d
r
g
M s
γ
γ'
M β α
p t g
Passante Tangente Sekante
r d s
Radius Durchmesser Sehne
Tangente und Berührungsradius sind zueinander senkrecht.
b Kreisbogen α Sehnentangentenwinkel β Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) γ, γ ' Peripheriewinkel (Umfangswinkel)
β = 2α
β = 2γ
α=γ
d Durchmesser
Peripheriewinkel über einem Halbkreis (bzw. über dem Durch messer eines Kreises) sind rechte Winkel. (Satz des Thales)
γ = γ ' (Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich groß.)
b
M
d
Kreis
Kreisring
d
a
d = 2r
r
u = 2πr = πd
M
A=
πr 2
=
π4 d 2 }
Kreisausschnitt (Kreissektor) b M
α
πα b = r arc α = r } 180°
(Kreisbogen, b S. 25) r
21
u = b + 2r α Aα = } br = πr 2 · } 2 360°
a = r2 – r1 (Ringbreite)
r1
u = 2π(r1 + r2)
M
A = π(r22 – r12)
r2
Kreisabschnitt (Kreissegment)
r s
α M
h
b r
h = 2r sin2 }4α
(h < r )
s=
(Sehne)
2r sin }2α
u=b+s 2
(
)
πα A=} 21 [r (b – s) + sh] = } r 2 } 180° – sin α
22
Mathematik
Stereometrie
Ma
Körper mit ebenen Begrenzungsflächen
AM Mantelfläche; AO Oberfläche; V Volumen
Prismen
AGGrundfläche; A D Deckfläche
Allgemein gilt: V = AGh AO = 2AG + AM AG = AD Quader
Würfel c
a
c
e
a
b
a
}}
2 + b2 + c 2 e = √ a
AM = 2(ac + bc)
e = a √} 3
AO = 2(ab + ac + bc) V = abc
regelmäßiges dreiseitiges Prisma
h
AG =
}
a 2 } √ 3 4
a AO = } a2 (a √} 3 + 6h)
AM = 3ah
AO = 6 a 2
AM = 4 a
V = a 3
h
h
h
a
a
AG = a 2
2
regelmäßiges sechsseitiges Prisma
a
a
a a
a
a
b
AG = ab
a
e
a
a
a V = } h √} 3 4 2
AG =
a a
a
a
3 √} 3 2 } a 2
a
AO = 3a (a √} 3 + 2h)
AM = 6ah
a a
V=} 3a h √} 3 2 2
Pyramiden AGGrundfläche; h sHöhe der Seitenfläche Allgemein gilt: V = }31 AGh AO = AG + AM quadratische Pyramide
Tetraeder a
h
hs
a
a a
a
a
a AG =
a 2
AG =
AM = 2ahs
a
a
AO = a(a + 2hs )
V=
13 a 2h }
AM =
a a
a
a
}
a 2 } √ 3 4 3a 2 4 √ 3 }
}
AO = a 2 √} 3
a } V=} 12 √ 2 3
Pyramidenstümpfe AGGrundfläche; A DDeckfläche; h sHöhe der Seitenfläche Allgemein gilt: V = } h3 (AG + √ } AGAD + AD) AO = AG + AD + AM quadratischer Pyramidenstumpf a2 a2 h
hs
a2
2
AG = a1
a1
a1
a1 AD =
a22
AM = 2(a1 + a2)hs
a1
a2 a1
a1
a2 a2
2
AO = a1 + 2(a1 + a2)hs + V = }31 h (a12 + a1a2 + a22)
regelmäßiger dreiseitiger Pyramidenstumpf a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a1 hs h a1 a1 a1 a1
a22
AG = AM =
}
a12 } √ 3 4 3 2 (a1 + }
√}
AO = } 4 3 (a12 + a22) + } 32 (a1 + a2) hs √}
a2)hs V = } 12 3 h (a12 + a1a2 + a22)
Stereometrie
Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
23
AM Mantelfläche; AO Oberfläche; V Volumen
Kreiszylinder AG Grundfläche; A D Deckfläche
gerader Zylinder
Ma
Allgemein gilt: V = AG h AO = 2AG + AM AG = AD gerader Hohlzylinder r2 r1
AD
AD
r h
r2 > r1
a
AM2
h
h
AM
h AM1
AG
r
h
AG
AG = πr 2
a = r2 – r1 (Wanddicke)
AM = 2π rh
V = πr 2h
AO = 2π r (r + h)
AG = π (r22 – r12) AM1= 2π r1h AM2= 2π r2h V = π h (r22 – r12)
AO = 2AG + A M1+ A M2 Kreiskegel
s Mantellinie; A G Grundfläche; A D Deckfläche
gerader Kegel
gerader Kegelstumpf s s
s
s
r1
2πr
h
s
s
h
r
r2
r2
r s 2 = r 2 + h2
AG = π r 2
AM = π r s
AO = π r (r + s)
V=
s
r1
s 2 = (r2 – r1)2 + h2
AG = π r22
AM = π s (r2 + r1)
AO = AG + AD + AM
π3 r 2h }
AD = π r12
π V = } h (r22 + r2r1 + r12) 3
Kugel und Kugelteile
d Durchmesser; r, R 1, R 2 Radien
Kugel
Kugelschicht (Kugelzone) R1
d
M
r
d = 2r AO = V =
4π r 2 }34 π r 3
=
π d 2
=
16 π d 3 }
Kugelausschnitt (Kugelsektor)
h
R R
= √} h (2r – h)
AM = π R r
r
h M R2
AM = 2π r h AO = π (R12 + R22 + 2r h)
V = } π6 h (3R12 + 3R22 + h 2)
Kugelabschnitt (Kugelsegment)
h
R = √} h (2r – h) R
AM = 2π r h = π (R 2 + h 2)
(Kegelmantel) (Kugelkappe) r r M M AO = π r (2h + √} h (2r – h) ) AO = π R 2 + 2π r h = π h (4r – h )
V=} 23 π r 2h
= π (2R 2 + h 2)
π 2 V = } h (3r – h ) = } π6 h (3R 2 + h 2) 3
24
Mathematik
Reguläre Polyeder (platonische Körper)
a Kantenlänge; AO Oberfläche; V Volumen
Ma
Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird. Sind alle Begrenzungen eines Polyeders zueinander kongruente regelmäßige Vielecke (n -Ecke), so wird es regulär bzw. platonischer Körper genannt. Es gibt genau fünf reguläre Polyeder. Tetraeder
a } V=} 12 √ 2
AO = a 2 √} 3
3
Würfel (Hexaeder)
Oktaeder
V = a 3
a } V = } √ 2 3
Dodekaeder
AO = 2 a 2 √} 3
3
AO = 6 a 2 Ikosaeder
}
V=} a 4 (15 + 7 √} 5 )
AO = 3 a 2 √ 5(5 + 2√} 5 )
3
V=} 5a (3 + √ } 5 ) 12
AO = 5 a 2 √} 3
3
Ist e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten eines (beliebigen) konvexen Polyeders, so gilt: e + f – k = 2 (eulerscher Polyedersatz)
Körperdarstellung (Darstellende Geometrie) Schrägbild (Kavalierperspektive)
senkrechte Zweitafelprojektion S ''
S
A'', D'' D A
F
C'
D'
C
E
F '', E '' B'', C ''
S', E '
B
A' } }
}
Breiten- und Höhenlinien (AB , CD und ES ) werden in wahrer Größe dargestellt. } } } Tiefenlinien (AD , BC und EF ) werden unter einem Winkel α mit α = 45° zu den Breitenlinien angetragen und um die Hälfte (q = } 21 ) verkürzt.
F'
S0 B' }
Konstruktion der wahren Länge von FS : } 1. Zeichnen der Senkrechten zu F 'S ' im Punkt S' } 2. Abtragen der Höhe E"S" auf der Senkrechten in E' } 3. Die Strecke F 'S 0 entspricht der wahren Länge } von FS .
Ebene Trigonometrie
25
Ebene Trigonometrie
Gradmaß
Größe des Winkels α (β, γ, …) bezogen auf den Vollwinkel Ein Winkel mit der Größe von einem Grad (bzw. Altgrad) ist der 360ste Teil des ebenen Vollwinkels (Schreibweise: 1°). (Ein Winkel dieser Größe ergibt sich, indem ein Kreis durch Radien in 360 deckungs gleiche Teile zerlegt wird.) Weitere Einheiten: 1 1 1 Minute (1' = } 60 ° bzw. 60' = 1°) 1 Sekunde (1'' = } 60 ' bzw. 60'' = 1')
Ein Winkel mit der Größe von einem Neugrad (bzw. Gon) ist der 400ste Teil des ebenen Vollwinkels (Schreibweise: 1g). Bogenmaß
Größe des (Zentri-)Winkels α (β, γ, …) als Verhältnis von Bogenlänge b zu Radius r (bzw. als Maßzahl der Länge des zugehörigen Bogens am Einheitskreis):
r
arc α = C α = } br Ein Winkel hat die Größe von einem Radiant (Schreib weise: 1 rad), wenn b = r gilt (bzw. wenn die Länge des zugehörigen Bogens am Einheitskreis den Wert 1 hat). Umrechnungen
b
M α r
Zwischen dem Grad- und dem Bogenmaß eines Winkels α besteht folgender Zusam menhang: α α 360° = } arc α bzw. } = } 180° } 2π arc α π α · π Umrechnung von Grad- in Bogenmaß: arc α=} 180°
Umrechnung von Bogen- in Gradmaß:
1° ≈ 0,017 45 rad
180° · arc α } π
α=
1 rad ≈ 57,296°
Bogenmaß spezieller (im Gradmaß gegebener) Winkel 0°
10°
15°
20°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
0
π 18 }
π } 12
π } 9
π } 6
π } 4
π } 3
5π } 12
π } 2
2π } 3
0,0000
0,1745
0,2618
0,3491
0,5236
0,7854
1,0472
1,3090
1,5708
2,0944
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
315°
330°
360°
3π } 4
5π } 6
7π } 6
5π } 4
4π } 3
3π } 2
7π } 4
2,3562
2,6180
π 3,1416
3,6652
3,9270
4,1888
11π } 6
2π
4,7124
5,4978
5,7596
6,2832
Gradmaß einiger (im Bogenmaß gegebener) Winkel 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0°
5,7°
11,5°
17,2°
22,9°
28,6°
34,4°
40,1°
45,8°
51,6°
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
57,3°
85,9°
114,6°
143,2°
171,9°
200,5°
229,2°
257,8°
286,5°
343,8°
Ma
Winkelmaße
26
Mathematik
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels (Winkelfunktionen)
Ma
Definition am rechtwinkligen Dreieck
Definition am Kreis mit dem Radius r
B
0° < α < 90°
Der freie Schenkel des Winkels der Größe x schnei det den Kreis im Punkt P(u; v). v P(u; v)
β
r
sin α =
}ac = Gegenkathete }} Hypotenuse
x
c
a
sin x =
b Ankathete cos α = } = } Hypotenuse c
u cos x = } r
α
a tan α = } = Gegenkathete }} b Ankathete
C
A
b
b Ankathete cot α = } = }} a Gegenkathete
tan x = } uv
π (für alle x ≠ } + zπ ∧ z ∈Z) 2
u cot x = } v
(für alle x ≠ zπ ∧ z ∈Z)
Werte für spezielle Winkel
Vorzeichen in den vier Quadranten
0°
30°
45°
60°
90°
0
}12
}12 √} 2
}12 √} 3
1
cos α
1
12 √ 3 }
12 √ 2 }
12 }
tan α
0
}31 √} 3
1
cot α
–
√} 3
1
sin α
}
u
O
}vr
I
II
III
IV
sin x
+
+
–
–
0
cos x
+
–
–
+
√} 3
–
tan x
+
–
+
–
}13 √} 3
0
cot x
+
–
+
–
}
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens Grundbeziehungen
sin2α + cos2α = 1 („trigonometrischer Pythagoras“) sin α tan α = } cos α cot α=} cos α tan α cot α = 1 sin α
1 + tan2α = } 12 cos α
Reduktionsformeln (Quadrantenbeziehungen)
1 + cot2α = } 12 sin α
90° ± α
180° ± α
270° ± α
360° ± α
– α
sin
+ cos α
7 sin α
– cos α
± sin α
– sin α
cos
7 sin α
– cos α
± sin α
+ cos α
+ cos α
tan
7 cot α
± tan α
7 cot α
± tan α
– tan α
cot
7 tan α
± cot α
7 tan α
± cot α
– cot α
Additionstheoreme Summen und Differenzen
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sinβ tan (α ± β ) =
cos (α ± β ) = cos α cos β 7 sin α sin β
tan α ± tan β }} 1 7 tan α tan β
sin α + sin β = 2sin } α + β cos } α – β 2 2
sin α – sin β = 2cos } α + β sin } α – β 2 2
cos α + cos β = 2cos } α + β cos } α – β 2 2
cos α – cos β = –2sin } α + β sin } α – β 2 2
sin (α ± β ) tan α ± tan β = } cos α cos β
Ebene Trigonometrie
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos2 α – sin2 α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2sin2 α
sin 3α = 3sin α – 4sin3 α
cos 3α = 4cos3 α – 3cos α
}
}
√
√
sin }2α = } 1 – cos α 2
cos }2α = } 1 + cos α 2
2 tan 2α = } 2 tan α2 =} cot α – tan α
α – 1 cot 2α = } cot =} cot α – tan α 2 cot α 2
1 – tan α
Ma
Vielfache und Teile
2
}
√
sin α 1 – cos α tan }2α = } 1 + cos α =} 1 – cos α = } 1 + cos α sin α
Produkte
sin α sin β = }21 [cos (α – β) – cos (α + β)] cos α cos β = } 12 [cos (α – β) + cos (α + β)] cot α + cot β tan α tan β = } tan α + tan β cot α cot β = } tan α + tan β cot α + cot β
Trigonometrische Berechnungen am allgemeinen (beliebigen) Dreieck Sinussatz Kosinussatz
Flächeninhalt
a b c sin α = } sin β = } } sin γ 2
2
2
a 2
b 2
c 2
C
+
b 2
– 2bc cos α
=
a 2
+
c 2
– 2ac cos β
ha = b sin γ = c sin β
c
A
C
hb = a sin γ = c sin α
hb
hc = b sin α = a sin β
B
β
b α
A = }21 ab sin γ = } 12 ac sin β = } 21 bc sin α A = 2r 2sin α sin β sin γ (r Radius des Umkreises)
Höhen
a
γ
c = a + b – 2ab cos γ =
b
ha
a B
hc c
A Seiten halbierende
}}
C
sa = } 12 √ b 2 + c 2 + 2 bc cos α
a sb
sc
}}
2 sb = } 12 √ a + c 2 + 2 ac cos β
b
}}
sa
2 + b 2 + 2 ab cos γ sc = } 21 √ a
B
c
A α 2bc cos }
27
β 2ac cos }
Winkel halbierende
2 wα = } b + c
Inkreisradius
ρ = (s – a) tan }2α = (s – b) tan }2β = (s – c) tan }2γ
2 wβ = } a + c
mit s = } u2 = } a + b + c 2
Umkreisradius
a b c r=} 2 sin α = } 2 sin β = } 2 sin γ
Projektionssatz
a = b cos γ + c cos β
γ 2ab cos }
2 wγ = } a + b
C γ
a wβ
wγ ρ
b
wα
B
β
c
α A C γ
b = a cos γ + c cos α
b
c = a cos β + b cos α
α A
a M β
r
c
B
28
Mathematik
Funktionen
Ma
Begriff und Eigenschaften Funktion f
Abbildung f, die jedem Element x aus einer Menge Df (dem Definitionsbereich von f ) eindeutig ein Element y aus einer Menge Wf (dem Wertebereich von f ) zuordnet Schreibweisen: y = f (x) bzw. f : x ° f (x) Sprechweisen: „Funktion f mit der Gleichung y = f (x)“ bzw. (kurz) „Funktion y = f (x)“
Umkehrfunktion g von f
Abbildung g, die bei umkehrbar eindeutiger Zuordnung jedem Element f (x) ∈Wf wiederum eindeutig das Ausgangselement x ∈Df zuordnet Bezeichnung: g (x) = f – 1 (x) Die Graphen von f und g liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.
Nullstelle von f
xi ∈Df mit f (xi ) = 0
Graph (Bild) von f
Menge aller Punkte P(x; f (x)) mit x ∈Df
Spiegelung des Graphen von f
Gleichung des an der x-Achse gespiegelten Graphen von f mit y = f (x): y = g(x) = –f (x) Gleichung des an der y-Achse gespiegelten Graphen von f mit y = f (x): y = h(x) = f (– x)
gerade Funktion
f (– x) = f (x) für jedes x ∈Df (falls auch – x ∈Df ) Der Graph liegt symmetrisch zur y-Achse.
ungerade Funktion
f (– x) = –f (x) für jedes x ∈Df Der Graph liegt punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
periodische Funktion
Es gibt eine Zahl h > 0, sodass f (x) = f (x + h) für jedes x, x + h ∈Df gilt. Die kleinste Zahl h > 0, für die f (x) = f (x + h) zutrifft, heißt Periode von f.
monotone Funktion
f ist in ]a, b[ streng monoton wachsend, wenn für x1, x2 ∈]a, b[ und x1 1) bzw. gestauchter (0 < |b| < 1) Graph von f y = fc (x) = f (x + c) um c in x -Richtung nach links (c > 0) bzw. nach rechts (c 0 ⇒ wachsende (steigende) Gerade m < 0 ⇒ fallende Gerade
α x2 – x1
y1 S
Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse: S(0; n)
x0
α x1
O
Quadratische Funktionen
3
x
x2
a, b, c, p, q ∈R; a ≠ 0
Allgemeine Form: y = f (x) = ax 2 + bx + c
3
y2 – y1 y = mx
n
n Nullstelle: x0 = – } m
4ac – b2
Ma
i = 0
·x 1
4
4ac – b2
Df = R
4
Wf = } ; + ∞ für a > 0; Wf = – ∞; } 4a für a < 0 4a 2
(
y D>0
D=0
D 0, – genau eine (Doppel-)Nullstelle, falls D = 0, – keine (reelle) Nullstelle, falls D 0 in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Kosinusfunktion y = f (x) = cos x (b S. 26) Df = R
y
Wf = [–1; +1]
π Nullstellen: xk = (2k + 1) } , k ∈Z 2
cos (x + 2k π) = cos x
Periode: 2π
y = cosx
1 –π
O
1
π
2π
x
Funktionen
y
Tangensfunktion y = f (x) = tan x (b S. 26)
y = tanx
k ∈Z Wf = R
Nullstellen: xk = k π, k ∈Z tan(x + k π) = tan x
1 O1
Periode: π
π
x
Ma
Df = R und x ≠ (2k +
π 1) } , 2
Werte trigonometrischer Funktionen für spezielle Argumente f (x)
x
0
π } 6
π } 4
π } 3
π } 2
2π } 3
3π } 4
5π } 6
π
3π } 2
0
12 }
}12 √} 2
}12 √} 3
1
}12 √} 3
}12 √} 2
}12
0
–1
0
cos x
1
21 √ 3 }
}12 √ 2
}12
0
– }12
– }12 √ 2
– }12 √ 3
}
–1
0
1
tan x
0
31 √} 3 }
1
√} 3
–
– √} 3
–1
– }13 √} 3
0
–
0
sin x
}
}
}
2π
Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Arkussinusfunktion y = f (x) = arcsin x π π Df = [– 1; 1] Wf = 3 – } ; } Nullstelle: x0 = 0 2 24
y
y
π
π 2
π 2
y = arccosx
Arkuskosinusfunktion y = f (x) = arccos x Df = [– 1; 1] Wf = [0; π] Nullstelle: x0 = 1
1
1
Arkustangensfunktion y = f (x) = arctan x π π Df = R Wf = 4 – } ; } Nullstelle: x0 = 0 2 23
O1
y = arcsinx
y = arctanx O1
x
x
Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen y = f (x) = ax (a ∈R, a > 0, a ≠ 1) Df = R
y
Wf = ]0; + ∞[
y = ax (a > 1)
ax
y= (0 < a < 1)
Nullstellen: keine
Gemeinsamer Punkt aller Funktionsgraphen: (0; 1)
1
Spezialfall: y = f (x) = ex (e eulersche Zahl; b S. 5)
a O
Logarithmusfunktionen y = f (x) = loga x (a ∈R, a > 0, a ≠ 1) Df = ]0; + ∞[
Wf = R
1
x
y Nullstelle: x0 = 1
1
y = loga x (a > 1)
Gemeinsamer Punkt aller Funktionsgraphen: (1; 0) Spezialfälle:
O a
y = f (x) = log10 x = lg x y = f (x) = loge x = ln x y = f (x) = log2 x = lb x
1
y = loga x (0 < a < 1)
x
Werte spezieller Logarithmusfunktionen f (x)
x
0,5
1
2
3
4
6
8
lg x
– 0,3010
0
0,3010
0,4771
0,6021
0,7782
0,9031
1
2
ln x
– 0,6931
0
0,6931
1,0986
1,3863
1,7918
2,0794
2,3026
4,6052
lb x
–1
0
1
1,5850
2
2,5850
3
3,3220
6,6439
1
0
–1
–1,5850
–2
–2,5850
–3
–3,3220
– 6,6439
log0,5 x
31
10
100
32
Mathematik
Folgen und Reihen; Grenzwerte
Ma
Grundbegriffe Zahlenfolge (an)
Funktion f mit Df = N* und Wf ⊆ R
an n-tes Glied der Zahlenfolge (an)
Das Glied an gibt zugleich eine Bildungsvorschrift der Folge (an) an. Grenzwert; Eine Zahlenfolge (an) konvergiert zum Grenzwert g (ist konvergent), wenn es konvergente Zahlenfolge zu jeder vorgegebenen positiven Zahl ε ein n0 ∈N* gibt, sodass |an – g| 0 wachsende Folge
n
sn = S a i= a1 + a2 + … + an i = 1
= a1 + (a1 + d ) + … + [a1 + (n – 1)d ] = } n2 (a1 + an) = na1 + } (n – 1)n d 2 a1; a1q; a1q 2; …; a1q n – 1; … (a1 ≠ 0, q ≠ 0)
geometrische Zahlenfolge
a1 Anfangsglied
Rekursive Bildungsvorschrift: an + 1 = an q ; a1 Explizite Bildungsvorschrift: Für a1 > 0: 0 < q < 1 q > 1
an = a1 · q n – 1
fallende Folge wachsende Folge
q = 1 q < 0
konstante Folge alternierende Folge
n
sn = S a i= a1 + a2 + … + an i = 1
n
n
q – 1 1 – q = a1 + a1q + … + a1q n – 1 = a1 } = a1 } (falls q ≠ 1) q – 1 1 – q ∞
a
1 s=S a 1qn – 1 = } 1 – q (a1 ≠ 0; q ≠ 1; |q| < 1)
geometrische Reihe
n = 1
Spezielle Partialsummen
i, n ∈N*
n
n
1+2+3+…+n=S i = } n(n + 1) 2
1 + 4 + 9 + … + n 2 = S i 2 = }} n(n + 1)(2n + 1) 6
i = 1
n
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = S (2i – 1) = i = 1
n 2
1 + 8 + 27 + … +
n 3
i = 1 n
2
=S i 3 = 3 } n(n + 1) 4 2 i = 1
Folgen und Reihen; Grenzwerte
Grenzwerte für konvergente Folgen Grenzwertsätze
33
ai, bi ∈R; n ∈N*
Falls lim an = a und lim bn = b, so gilt: n → ∞
n → ∞
n → ∞
spezielle Grenzwerte
n → ∞
n → ∞ n
1 lim } = 0 lim √ } n = 1 lim 1 + } n1 = e (e eulersche Zahl) n n
n → ∞
n → ∞
n → ∞
0 für |k| < 1 an lim } = 0 lim k n = n! n → ∞ n → ∞ 1 für k = 1
(
)
n
(Für |k| > 1 divergiert die Folge.)
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grenzwert für x → x0
Eine Zahl g heißt Grenzwert der Funktion f für x gegen x0, wenn es zu jeder vor gegebenen positiven Zahl ε eine Zahl δ > 0 gibt, sodass |f (x) – g| < ε für alle x mit |x – x0| < δ und x ≠ x0. (Das heißt: Die Funktionswerte aller x, deren Abstand von x0 kleiner als δ ist, unterscheiden sich von g um weniger als ε.) Schreibweise: lim f (x) = g x → x0
Grenzwert für x → ∞
Eine Zahl g heißt Grenzwert von f für x → + ∞ (oder – ∞), wenn es zu jeder vorgege benen positiven Zahl ε eine Stelle x1 gibt, sodass |f (x) – g| < ε für alle x > x1 (x 0) x x x → 0
x → 1
x → 0
n
log x
lim } tan x = 1 lim } x x = 0 lim } na = 0 (a > 0; n > 0) x e x x → 0
Stetigkeit
x → ∞
x → ∞
Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 ∈Df stetig, wenn der Grenzwert von f an der Stelle x0 existiert und mit dem Funktionswert f (x0) übereinstimmt. Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.
Zwischenwertsatz
Ist f eine in [a; b] stetige Funktion mit f (a) ≠ f (b), dann nimmt f in diesem Intervall jeden Wert zwischen f (a) und f (b) mindestens einmal an.
Ma
a
n lim (an ± bn) = a ± b lim (an bn) = ab lim } = } ba (bn ≠ 0; b ≠ 0) b
34
Mathematik
Differenzialrechnung
Ma
Grundbegriffe Differenzenquotient von f mit y = f (x)
f Funktion; x0, x0 + h ∈Df y
f (x + h) – f (x )
0 0 d(h) = }} bzw. h
f(x 0 + h)
f (x + Δx) – f (x )
Δy 0 } = }} 0 Δx Δx
Differenzialquotient (1. Ableitung) von f an der Stelle x0
f(x 0)
f (x + h) – f (x )
0 0 lim }} = f '(x0) h
P ∆y
P0
f
h = ∆x
O
x0
y
P0
x0 + h
x
f
h → 0
α
f '(x0) = tan α
x0
O
Existiert f '(x0), so heißt f differenzierbar an der Stelle x0. 1. Ableitung von f (Ableitungsfunktion)
dy y ' = f '(x) = lim }} f (x + h) – f (x) bzw. = lim } Δy } h dx Δx
höhere Ableitungen
y '' = [f '(x)]' = f ''(x) = } d y2
x
Δx → 0
h → 0
2
(2. Ableitung); …
dx
n
y (n) = [f(n – 1)(x)]' = f (n)(x) = } d yn (n-te Ableitung) dx
Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen f (x)
f '(x)
f "(x)
f (x)
f '(x)
f "(x)
a = const.
0
0
sin x
cos x
– sin x
xn
nx n – 1
n (n – 1)x n – 2
cos x
– sin x
– cos x
√} x
1 } }
1 – } }
tan x
a x
a x ln a
a x (ln a)2
loga x
1 } x · ln a
e x
e x
e x
ln x
1x }
2√ x
4x √ x
Differenziationsregeln
1 } = 1 + tan2x 2tan x (1 + tan2x) 2 cos x
–1 } 2 x · ln a 1 – } 2 x
f, g, u = u(x), v = v(x) differenzierbar; c ∈R
Faktorregel
y = c · u
⇒ y ' = c · u '
Produktregel
y = u · v ⇒ y ' = u ' · v + u · v '
Summenregel
y = u ± v
⇒ y ' = u ' ± v '
Quotientenregel
v ' y=} uv (mit v ≠ 0) ⇒ y '= } u 'v – u 2
Kettenregel
dy du y = f [g (x)] bzw. y = f (u) mit u = g(x) ⇒ y '= f '(u) · g'(x) bzw. y ' = } dy = } du · } dx dx
Differenziation der Umkehrfunktion
1 x = g(y) Umkehrfunktion von y = f (x) ⇒ g '(y) = } f '(x)
v
Anwendungen der Differenzialrechnung
35
Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvenuntersuchungen y = t(x) = f '(x0) (x – x0) + f(x0)
Ma
Tangentengleichung
f mindestens zweimal differenzierbar y t
P0
f
x
x0
O
f '(x) > 0 für alle x ∈[a; b] ⇒ f ist in [a; b] streng monoton wachsend.
Monotonieverhalten
f '(x) < 0 für alle x ∈[a; b] ⇒ f ist in [a; b] streng monoton fallend. Konvex- bzw. Konkavbögen
f ''(x) > 0 für alle x ∈[a; b], also f ' in [a; b] monoton wachsend. ⇒ Graph von f ist linksgekrümmt bzw. (von unten gesehen) konvex. (1) f ''(x) < 0 für alle x ∈[a; b], also f ' in [a; b] monoton fallend. ⇒ Graph von f ist rechtsgekrümmt bzw. (von unten gesehen) konkav. (2)
y (2)
f (1)
O
x
Verhalten der Funktion an speziellen Stellen (bzw. ihres Graphen in speziellen Punkten) y
H (xH ; f (xH )) Hochpunkt (lokaler Maximumpunkt)
H
T (xT ; f (xT)) Tiefpunkt (lokaler Minimumpunkt)
f f (xH )
f (xW ) O
xH
xW
W (xW ; f (xW )) Wendepunkt
S
W xT
f (xS) xS
S (xS ; f (xS)) Sattelpunkt (Horizontalwendepunkt) x
f (xT)
T notwendige Bedingung hinreichende Bedingung f (xH) ist ein lokales Maximum; xH ist eine lokale Maximumstelle von f
f '(xH ) = 0
f '(xH) = 0 und f ''(xH) < 0 bzw. f '(xH) = 0 und f '(x) wechselt beim Durchgang durch xH mit wachsendem x das Vorzeichen von plus zu minus.
f (xT) ist ein lokales Minimum; xT ist eine lokale Minimumstelle von f
f '(xT) = 0
f '(xT) = 0 und f ''(xT) > 0 bzw. f '(xT) = 0 und f '(x) wechselt beim Durchgang durch xT mit wachsendem x das Vorzeichen von minus zu plus.
x W ist eine Wende stelle von f
f ''(x W ) = 0
f ''(xW ) = 0 und f '''(xW ) ≠ 0
S ist ein Sattelpunkt von f
f '(xS ) = 0 f ''(xS) = 0
f '(xS) = 0 und f ''(xS) = 0 und f '''(xS) ≠ 0
36
Mathematik
Ma
Näherungsweises Bestimmen von Nullstellen stetiger Funktionen Sekanten näherungsverfahren (regula falsi)
Aus zwei Näherungswerten x1 und x2 für die gesuchte Nullstelle x0 von f mit f (x1) < 0 und f (x2) > 0 (oder umgekehrt) bestimmt man einen genaueren Näherungswert x3 mit
y
f f (x 2)
x –x
2 1 x3 = x1 – } · f (x1). f (x ) –f (x ) 2
1
Das Verfahren wird mit x1 und x3 (bzw. x2 und x3) fortgesetzt.
Tangenten näherungsverfahren (newtonsches Näherungsverfahren)
Aus einem (hinreichend guten) Näherungswert x1 für die gesuchte Nullstelle x0 bestimmt man einen (i. Allg. genaueren) Näherungswert x2
x1
x3
x2
x4 x0
O
x
f(x 1)
y
f
f (x )
1 mit x2 = x1 – } . f '(x ) 1
Das Verfahren wird unter Verwendung von x2 fortgesetzt.
x1 x0 O f (x ) 1
x2
x
Bedingung: f '(xi) ≠ 0 und f '(x0) ≠ 0 sowie } f (x) · f ''(x) 0) } 2dx 2 =} 1a arctan }ax + C (a ≠ 0)
E E
cot x dx = ln |sin x| + C mit x ≠ k π, k ∈Z
Integrationsregeln
E
E
Faktorregel
a · u(x) dx = a u(x) dx (a = const.)
Summenregel (Linearität)
[u(x) ± v (x)] dx = u(x) dx ± v (x) dx
Substitutionsregel
f [g(x)] · g'(x) dx = f (u) du (mit u = g(x) und du = g'(x) dx)
E
E
E
E
E
Spezialfall: } f '(x) dx = ln |f (x)| + C (für f (x) ≠ 0 für alle x) f (x) Regel für partielle Integration
E
E
u'(x) · v (x) dx = u (x) · v (x) – u (x) · v '(x) dx
E
E
kurz: u 'v dx = uv – uv ' dx
Ma
Grundbegriffe
38
Mathematik
Anwendungen der Integralrechnung
Ma
Flächenberechnung Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse
f in [a; b] stetig
f (x) ≥ 0 für alle x ∈[a; b]
f (x) ≤ 0 für alle x ∈[a; b]
y
f
E
A = f (x) dx a
A O
a
y
b
b
a
E
A = | f (x) dx |
b
a
O
x b A = – f (x) dx
E
b x
a
f
f (x) besitzt in [a; b] Nullstellen y
f
x1 x2 O a
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
xn – 2
xn – 1 b x
x1
x2
E
b
E
E
x1
xn – 1
A = | f (x) dx | + | f (x) dx | + … + | f (x) dx | a
f (x) ≥ g(x) für alle x ∈[a; b] y
b
E
A = [f (x) – g(x)] dx
a A g (unabhängig davon, ob f oder g in [a; b] b a O x eine Nullstelle besitzt) f
Graphen von f und g schneiden einander in [a; b] x1 b y A = [f (x) – g(x)] dx + [g(x) – f (x)] dx
E
E
a
x1
Allgemein: x1 b f A = | [ f (x) – g(x)] dx| + | [f (x) – g(x)] dx | g a x1 O a x1 b x
E
E
Näherungsweises Berechnen bestimmter Integrale b
E
Für die näherungsweise Berechnung des bestimmten Integrals f (x) dx (und der entsprechenden Flächena
inhalte) wird das Intervall [a; b] in n Teile der Länge d = } b – a zerlegt. n Die Teilpunkte sind dann x0 = a, x1 = a + d, x2 = a + 2d, …, xn – 1 = a + (n – 1)d, xn = a + nd = b. Rechteck formel
Die Fläche A wird durch Rechtecke mit der Fläche Ai = d · f (xi) = d · yi (i = 0, 1, …, (n – 1)) angenähert.
y f
b
E
A = f (x) dx ≈ d · (y0 + y1 + … + yn – 1)
y0
a
O
d a
y1 d
yn – 3 d
yn – 2 d
yn – 1
yn
d b x
Anwendungen der Integralrechnung
Die Fläche A wird durch Trapeze mit der Fläche
y
y + y
i + 1 Ai = } i 2 d (i = 0, 1, …, (n – 1))
f
angenähert. b
y0
E
A = f (x) dx ≈ } d2 (y0 + 2y1 + 2y2 + … + 2yn – 1 + yn) a
Parabelformel (simpsonsche Regel)
y2
y1 d
O
d
y3
yn – 2
d
yn – 1
d
yn
d
a
b
x
Die zu berechnende Fläche wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert. Man teilt [a; b] in n Intervalle und legt durch jeweils drei aufeinander folgende Punkte (xi – 1; yi – 1), (xi ; yi ) und (xi + 1; yi + 1) mit i = 1, …, (n – 1) einen Parabelbogen. b
E
A = f (x) dx ≈ } d3 [(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + … + (yn – 2 + 4yn – 1 + yn )] bzw. a
b
E
d A = f (x) dx ≈ } (y + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + … + 2yn – 2 + 4yn – 1 + yn) (n gerade) 3 0 a
keplersche Fassregel
Man verwendet für die Bestimmung der Näherungsparabel nur die Punkte (a; f (a)),
y
f
(xm; f (xm)) und (b; f (b)) mit xm = } 12 (a + b). b
f(a)
E
b – a A = f (x) dx ≈ } (f (a) + 4f (xm) + f (b)) 6 a
O
f(b) xm b
a
x
Bogenlänge ebener Kurven b
E}
Für a ≤ x ≤ b hat der entsprechende Abschnitt des Graphen von f die Bogenlänge s = √ 1 + [f '(x)]2 dx. a
Berechnung von Rotationskörpern
f in [a; b] stetig und streng monoton
Rotiert das Flächenstück, das zwischen dem Graphen der Funktion y = f (x) für a ≤ x ≤ b, den Parallelen zur y-Achse durch x1 = a und x2 = b und der x-Achse liegt, um die x-Achse, so gilt für Volumen Vx bzw. Mantel fläche Mx des entstehenden Rotationskörpers: b
b
E
d
E
E }
c
b
}
E
Mx = 2π y √ 1 + y '2 dx = 2π f (x) √ 1 + [f '(x)]2 dx a
b
E
E
Vy = π x 2 dy = π [g(y )]2 dy = |π x 2 f '(x) dx|
a
b
d
E
Vx = π y 2 dx = π [f (x)]2 dx a
x = g (y ) für c ≤ y ≤ d (mit c = f (a) und d = f (b)), den Parallelen zur x-Achse durch y1 = c und y2 = d und der y-Achse liegt, um die y-Achse, so gilt für Volumen Vy bzw. Mantelfläche My des entstehenden Rotationskörpers:
a
y
c
a
d
d
E }
E
}}
My = 2π x √ 1 + x '2 dy = 2π g (y) √ 1 + [g '(y )]2 dy c
c
y
f
g
d O
a
b
x
c O
a
b
x
Ma
Trapezformel (Sekanten formel)
39
40
Mathematik
Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)
Ma
Koordinatensysteme kartesisches Koordinatensystem
Polarkoordinaten system
y
x1, y1 Koordinaten von P1 x1 Abszisse y1 Ordinate O Koordinatenursprung
O
P1(x1; y 1)
x1
1
y1
1
r1, φ1 Polarkoordinaten von P1 r1 Radius φ1 Polarwinkel (Phase, Anomalie)
x P1(r1; φ 1)
r1 φ1 O
Koordinatentransformationen
}
r=√ x 2 + y 2
Transformation von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (und umgekehrt)
x = r · cos φ
sin φ = } }
O
Parallelverschiebung (Translation) eines kartesischen Koordinatensystems
x, y Koordinaten von P im ursprünglichen System x ', y ' Koordinaten von P im neuen System
y
Drehung (Rotation) eines kartesischen Koordinatensystems um den Winkel φ
y
y = r · sin φ cos φ = } } √ x 2 + y 2 y √ x 2 + y 2
x = x ' + c y = y ' + d
φ
x
y x
y' P x' O' d
x ' = x – c y ' = y – d
O
x, y Koordinaten von P im ursprünglichen System x', y ' Koordinaten von P im neuen System O = O ' x = x ' · cos φ – y ' · sin φ y = x ' · sin φ + y ' · cos φ
P
r
x
y'
x
c y
P x'
φ
x ' = x · cos φ + y · sin φ y ' = –x · sin φ + y · cos φ
x
O
Strecken; Dreiecke Länge s einer Strecke
}
Anstieg m einer Strecke m = tan α = Mittelpunkt M einer Strecke
}}
y
2 2 s=P 1P2 =√ (x 2 – x1) + (y2 – y1)
x + x
x M = } 1 2 2
y1 y + y
2 yM = } 1 2
}›
y2 – y1
α x2 – x1
x1
O
x2
x
}›
Für einen Teilpunkt T mit P 1T = λ TP 2 gilt:
Flächeninhalt A eines Dreiecks (b S. 27)
Für ein Dreieck mit den Eckpunkten P1, P2 und P3
Schwerpunkt S eines Dreiecks
P1
Teilung (Teilpunkt T ) einer Strecke
x + λx
P2
y2
y – y x2 – x1 } 2 1
y + λy
2 xT = } 11 + λ ; yT = } 11 + λ 2 (λ Teilverhältnis mit λ ∈R und λ ≠ –1)
y
P3
gilt: A = } 12 |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|
A xS =
x + x + x3 1 32 ; }
yS =
y + y + y3 1 32 }
P1 O
P2 x
Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)
Geraden
m, n ∈R; A, B, C ∈R y – y0 = m (x – x0)
m = tan α (α ≠ 90°)
y
g
P0
Gerade durch P0 (x0; y0) mit dem Anstieg m
α
O Zweipunktegleichung
y – y1 =
y – y x2 – x1 (x } 2 1
y y2
– x1)
y – y
m = tan α = } x2 – x1 2
x
(x2 ≠ x1)
1
P1
y1
x2 – x1
y = mx + n m = tan α (α ≠ 90°) Gerade mit dem Anstieg m, die die y-Achse in Sy(0; n) schneidet
Achsenabschnitts gleichung
y2 – y1
α
Gerade durch P1(x1; y1) und P2(x2; y2)
kartesische Normalform (der Geradengleichung)
g
P2
}ax + } by = 1
O
x1
y Sy
g
x2
x
n
α O
x
y
g
b
Gerade, die die Achsen in Sx(a; 0) bzw. Sy(0; b) schneidet
O
x
a
allgemeine Form (der Geradengleichung)
Ax + By + C = 0 (A2 + B 2 > 0) A = 0 ⇒ g parallel zur x-Achse B = 0 ⇒ g parallel zur y-Achse
hessesche Normal(en)form (der Geradengleichung)
x · cos φ + y · sin φ – p = 0 p Abstand der Geraden vom Ursprung O φ Winkel zwischen positiver x -Achse und Lot p
y g
P1
A B – C cos φ = } 2 ; sin φ = } } 2 ; p=} } 2 } 2 2 2 √ A + B
Abstand des Punktes P1 von der Geraden g Lagebeziehung zweier Geraden
√ A + B
p φ
√ A + B
|Ax + By + C|
1 d = |x1 · cos φ + y1 · sin φ – p | = }} 1} 2 2
O
g1: y = m1x + n1
g2: y = m2x + n2
y
Schnittwinkel ψ : tan ψ =
m2 – m1 1 + m } 1m2
√ A + B
m1 = m2
(ψ ≠ 90°)
x g2
O
x
Kreis
r > 0; c, d, r ∈R
Kreisgleichung (allgemeine Lage)
Kreis mit Mittelpunkt M (c; d ) und Radius r : (x – c )2 + (y – d )2 = r 2
Mittelpunktsgleichung
Kreis mit Mittelpunkt M (0; 0) und Radius r: x 2 + y 2 = r 2
Tangente im Punkt P1
(x – c )(x1 – c) + (y – d )(y1 – d ) = r 2 x x1 + y y1 = r 2
Normale im Punkt P1
g1
ψ
S
⇒ g1 || g2
1 m1 = – } ⇒ g1 ⊥ g2 (m2 ≠ 0) m2
d
y – y1 =
y – d x1 – c · (x } 1
y – y1 =
y x1 · (x } 1
– x1)
– x1)
M (c; d ) M (0; 0) M (c; d ) M (0; 0)
y
t M
O
n P1
x
Ma
Punktrichtungsgleichung
41
42
Mathematik
Ma
Kegelschnitte
a, b, c, d, p ∈R; a, b > 0
Wird ein doppelter Kreiskegel mit einer Ebene zum Schnitt gebracht, so werden die Schnittflächen von Kurven berandet, die man als Kegelschnitte bezeichnet.
α α
Abhängig vom Verhältnis des Schnittwinkels α, den die Schnittebene mit der Kegelachse einschließt, zum (halben) Öffnungswinkel φ des Kegels ist die entstehende Kurve eine Ellipse (α > φ), eine Parabel (α = φ) oder eine Hyperbel (α < φ). Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse (α = 90°). Beim Schnitt durch S entstehen entartete Kegelschnitte (Geradenpaar bzw. Punkt)
(E)
φ (P)
S (H) α
Kegelschnitte im Koordinatensystem (Mittelpunkts- bzw. Scheitelpunktslage) Ellipse
Hyperbel
Parabel
y P
a
M
b
P
e
b
e F1
y
y L
P
p
e e a
F2
x
F1
M a
b a F2
S
x
F
p 2
x
l }
}
}
Es gilt: PF 1 + PF 2 = 2a
}
}
Es gilt: |PF 1 – PF 2 | = 2a
}
Es gilt: PF = PL
Begriff
Ellipse Hyperbel (a große Halbachse; b kleine Halbachse)
Mittelpunktsgleichung bzw. Scheitelgleichung
x } + } y 2 = 1 M(0; 0) 2
lineare Exzentrizität
e = √ a2 – b2
e=√ a2 + b2
–
Brennpunkt(e)
F1; 2 (± e; 0)
F1; 2 (± e; 0)
p F } ; 0 2
Tangente in P1
1 1 } + } = 1 2 2
x x
y y
a
b
y y1 = p (x + x1)
Normale durch P1
y – y1 = } 2 1 (x – x1)
1 y – y1 = – } (x – x1) 2
1 y – y1 = – } (x – x1) p
Asymptoten
–
}ax ± } by = 0
–
achsenparallele Lage M(c; d ) bzw. S(c; d )
(x – c) } + } (y – d ) = 1 2 2
2
a
2
b
}
x x
y y
a
b
a2y
2
2
b
a
2
b
}
a2y
b x1
2
2
(x – c) – } (y – d ) = 1 } 2 2 a
b
y 2 = 2px S(0; 0)
(
1 21 – } = 1 } 2
b x1
a
2
x } – } y 2 = 1 M(0; 0) 2
Parabel (p Halbparameter)
)
p Leitlinie l: x = – } 2
y
(y – d )2 = 2p(x – c)
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
43
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
Eine nichtleere Menge V heißt (reeller) Vektorraum, wenn für ihre Elemente (die Vektoren) eine Addition sowie eine Vielfachbildung (Multiplikation mit reellen Zahlen, sog. skalare Multiplikation) so definiert sind, dass für alle a, b, c ∈V und alle r, s ∈R die folgenden Gesetze gelten: (1) a + b = b + a (2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (3) Es gibt ein Element o ∈V, sodass für alle a ∈V gilt: a+o=a (4) Zu jedem a ∈V gibt es in V ein Element – a mit a + (– a ) = o. (5) r (s a ) = (r s ) a (7) (r + s ) a = r a + s a (6) r (a + b ) = r a + r b (8) 1 a = a
(Kommutativgesetz der Addition) (Assoziativgesetz der Addition) (Existenz eines Nullelements) (Existenz eines entgegengesetzten Elements) (Rechengesetze der Vielfachbildung)
Die Menge der Verschiebungen einer Ebene bzw. des Raumes bildet einen Vektorraum. Die zu einer Verschiebung gehörende Menge (Äquivalenzklasse) gleich a langer, zueinander paralleler und gleich orientierter Pfeile wird als Schubvektor bzw. geometrischer Vektor bezeichnet. Jeder Pfeil der Menge ist A ein Repräsentant des Vektors. Ein (Schub-)Vektor ist eine durch Betrag (Länge), Richtung und Orientie rung (Durchlaufsinn) gekennzeichnete Größe (vereinfachter Vektorbegriff).
}
›
B
D Q
a C
a P
}›
}›
}›
a = AB = CD = PQ
Nullvektor o
Vektor mit dem Betrag 0 und unbestimmter Richtung (identische Abbildung in der Menge der Verschiebungen)
Einheitsvektor
Vektor mit dem Betrag 1
entgegengesetzter › } Vektor von a
Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung, aber entgegengesetzter Orientierung wie a
Linearkombination; Basis Linearkombination
Ein Vektor b heißt Linearkombination der Vektoren a1, a2, …, an , wenn es reelle Zahlen r1, r2, …, rn gibt, sodass gilt: b = r1a1 + r2a2 + … + rnan
lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren a1, a2, …, an heißen linear unabhängig genau dann, wenn die Gleichung r1a1 + r2a2 + … + rnan = o (ri ∈R) nur für r1 = r2 = … = rn = 0 lösbar ist (d. h., wenn sich keiner der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstel len lässt). Anderenfalls heißen die Vektoren a1, a2, …, an linear abhängig.
lineare Abhängigkeit
} }› ›
}
›
Basis {a 1 , a 2 , … , a n }
Dimension
Koordinatensystem › › } } › , … , a } ) (O; a 1 , a 2 n
Die Vektoren a1, a2, …, an heißen Basis des Vektorraumes V genau dann, wenn sie linear unabhängig sind und jeder Vektor x ∈V als Linearkombination dieser Vektoren darstellbar ist, d. h., wenn gilt: x = r1a1 + r2a2 + … + rnan (ri ∈R) Die reellen Zahlen r1, r2, …, rn werden die Koordinaten und die Vektoren r1a1, r2a2 , …, rnan die Komponenten von x bezüglich der Basis {a1, a2, …, an} genannt. Die Anzahl der Vektoren einer Basis (d. h. die maximale Anzahl linear unabhän giger Vektoren) des Vektorraumes V nennt man dessen Dimension. Der euklidische Anschauungsraum ist dreidimensional; jedes Tripel linear unabhängiger Vektoren bildet eine Basis. Ein Punkt O sowie eine Basis {a1, a2, …, an} legen ein Koordinatensystem fest.
Ma
Begriff des Vektors
44
Mathematik
Ma
Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Begriff des kartesischen Koordinatensystems
Ein Koordinatensystem (O; i ; j ; k ) heißt kartesisches (orthonormiertes) Koordinaten system genau dann, wenn gilt:
z P1(x1; y1; z1)
|i | = | j | = |k | = 1 \ (i , j ) = \ ( j , k ) = \ (k , i ) = 90°
k
i , j und k bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel). Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung › } eines Vektors a
}
()
j
x
Koordinaten von a
ax, ay, az
az
}›
p1 = OP 1 = x1i + y1j + z1k
( )
x2 – x1 }› y2 – y1 P 1P2 = p2 – p1 = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j + (z2 – z1) k =
Vektor durch zwei Punkte P1 und P2
z2 – z1
} Betrag eines Vektors a
}} 2 |a| = a = a + a 2 + a 2
Länge einer Strecke s
}› }}} s=P 1P2 = | P 1P2 | = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
›
√
}
x
y
z
Operationen mit Vektoren Addition
ai, bk ∈R
( )
ax + bx a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k = ay + by az + bz
Subtraktion
y
O
ax i , ay j , az k Komponenten von a
ax a = ax i + ay j + az k = ay = (ax; ay; az)
›
Ortsvektor p 1 eines Punktes P1(x1; y1; z1)
i
b b–a a+b
a – b = a + (– b ) a
b – a = b + (– a )
( ) ()
Vielfachbildung (Multiplikation mit einem Skalar)
r ax ax r ay r a = r ax i + r ay j + r az k = = r ay
Skalarprodukt (Punktprodukt; inneres Produkt)
Unter dem Skalarprodukt a · b zweier Vektoren a und b versteht man eine reelle Zahl c, für die gilt:
r az
(r ∈R)
az
a · b = |a | |b | cos \ (a, b ) bzw. c = ab cos γ mit γ = \ (a, b ) Für die Einheitsvektoren i , j und k gilt: i · i = j · j = k · k = 1 i · j = i · k = j · k = 0 Eigenschaften des Skalarprodukts: a · b = b · a a · (b + c ) = a · b + a · c r (a · b) = (r a ) · b = a · (r b ) a ⊥ b ⇒ a · b = 0
(Kommutativgesetz) (Distributivgesetz) (Multiplikation mit einer reellen Zahl r)
Berechnung des Skalarprodukts mithilfe der Koordinaten der Vektoren a und b: a · b = axbx + ayby + az bz Winkel zwischen Vektoren
axbx + ay by + az bz
cos \(a, b ) = } a · b = }}} }} }} |a | |b |
2 2 2 √ a bx2 + by2 + bz2 x + ay + az √
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
Vektorprodukt (Kreuzprodukt; äußeres Produkt)
Unter dem Vektorprodukt a × b zweier Vektoren a und b versteht man einen Vektor c mit folgenden Eigenschaften: (1) |c | = |a || b| sin \ (a, b ) bzw. c = a b sin γ mit γ = \ (a, b ) (3) a, b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (falls a und b linear unabhängig).
a×b
Das Vektorprodukt ist dem Betrage nach gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
b γ
Ma
(2) c ⊥ a und c ⊥ b
a
Für die Einheitsvektoren i, j und k gilt: i×i=j×j=k×k=o i × j = k; i × k = – j; j × k = i
b×a
Eigenschaften des Vektorprodukts: a × b = – (b × a ) (Alternativgesetz) a × (b + c ) = a × b + a × c (Distributivgesetz) r (a × b ) = (r a) × b = a × (r b ) (Multiplikation mit einer reellen Zahl r) a, b kollinear ⇒ a × b = o Berechnung des Vektorprodukts mithilfe der Koordinaten von a und b (Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung von a × b):
|
(
|
)
i j k aybz – azby ax ay az = (aybz – azby) i + (azbx – axbz) j + (axby – aybx) k = a × b = azbx – axbz
Flächeninhalte
bx by bz
axby – aybx
Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms ABCD: A = |a × b | = ab sin γ D C Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecks ABD: b A=} 21 |a × b | = } 12 ab sin γ γ a
A
B
Weitere Produkte von Vektoren Spatprodukt
|
|
ax ay az bx by bz = (ay bz – az by) cx + (az bx – ax bz) cy + (ax by – ay bx) cz (a × b ) · c = a · (b × c ) = cx
cy cz
Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl. Sind die Vektoren a, b und c komplanar, so ist es gleich null. Volumen eines Spates
Das Spatprodukt ist dem Betrage nach gleich dem Volumen des von a, b und c aufgespannten Spates (Parallelepipeds). Für dessen Volumen gilt: V = |(a × b ) · c|
doppeltes Vektorprodukt
45
c
b a
a × (b × c) = (a · c ) b – (a · b ) c Das doppelte Vektorprodukt ergibt einen Vektor, der in der Ebene der Vektoren b und c liegt.
46
Mathematik
Geraden Punktrichtungsgleichung
ai, bk, t ∈R z
Gerade durch den Punkt P0 mit dem Richtungs vektor a:
Ma
a
g p0
Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten (im Raum bzw. in der xy-Ebene):
() ( ) ( )
x0 ax x x x a y = y0 + t ay bzw. y = y0 + t ax z
Zweipunkte gleichung
z0
() ( ) ( ) 0
az
y
x z
Gerade durch die Punkte P1 und P2:
}› }› x = OP 1 + t P 1P2 = p1 + t (p2 – p1) (t Parameter)
g
X
() ( ) ( ) z
() ( ) ( 1
z2 – z1
z1
2
1
P1
x
x1 x2 – x1 x x x1 x2 – x1 y = y1 + t y2 – y1 bzw. y = + t y y – y
p1
)
p2 – p1 P2 p2 y
O
x
In der xy-Ebene gilt: (x – p0) · n 0 = 0 mit n 0 = } n |n |
(P0 ∈g; n ⊥ g)
n Normalenvektor der Geraden g
n 0 Normaleneinheitsvektor
Ebenen Punktrichtungsgleichung
x
O
y
Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten (im Raum bzw. in der xy-Ebene):
hessesche Normal(en)form (der Geraden gleichung)
X
P0
}›
x = OP 0 + t a = p0 + t a (t Parameter)
ai , bk, r, s, A, B, C, D ∈R Ebene durch den Punkt P0 und mit den Richtungs vektoren a und b:
}›
P0
x = OP 0 + r a + s b = p0 + r a + s b (r, s Parameter)
a
Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten:
() ( ) ( ) ( ) z0
az
bz
O
Dreipunktegleichung
Ebene durch die Punkte P1, P2 und P3:
allgemeine Form (der Ebenengleichung)
Parameterfreie Darstellung (Koordinatendarstellung):
hessesche Normal(en)form (der Ebenen gleichung)
(x – p0) · n 0 = 0 mit n 0 = } n ; P0 ∈ε |n |
}›
x
p0
x0 ax bx x y = y0 + r ay + s by z
}›
ε
X
b
}›
x = OP 1 + r P 1P2 + s P 1P3 = p1 + r (p2 – p1) + s (p3 – p1) (r, s Parameter)
Ax + By + Cz + D = 0
(A, B, C, D ∈R; A2 + B 2 + C 2 > 0) z n
n Normalenvektor der Ebene ε n 0 Normaleneinheitsvektor
P0
Koordinatendarstellung: Ax + By + Cz + D }} }} = 0
p0
√ A 2 + B 2 + C 2
n=
()
A B C
x
O
x–
ε
p0 X
x y
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
Lagebeziehungen
ai , bk , r, t ∈R
Für Geraden g und h mit g: x = p0 + t a und h: x = p1 + r b gibt es folgende Lagebeziehungen:
z
b
0
g P1 h
p1 x
y
O
Die Koordinaten des Schnittpunktes S lassen sich folgendermaßen berechnen:
() () () () ()
xS x0 ax x1 bx yS = y0 + tS ay = y1 + rS by zS
Schnittwinkel φ (0 ≤ φ ≤ 90°)
p1 – p
p0
2. g und h sind zueinander windschief genau dann, wenn die Vektoren a, b und p1 – p0 linear unabhängig sind. Schnittpunkt zweier Geraden
a
P0
1. g und h liegen in einer Ebene genau dann, wenn die Vektoren a, b und p1 – p0 linear abhängig sind a) g und h sind zueinander parallel (a und b linear abhängig) b) g und h schneiden einander in genau einem Punkt S (a und b linear unabhängig)
z0
az
z1
bz
Winkel zwischen (einander schneidenden) Geraden g und h: cos φ = } |a · b | |a ||b |
(a , b Richtungsvektoren von g, h)
Winkel zwischen Gerade g und Ebene ε: sin φ = } |a · n | |a ||n |
(a Richtungsvektor von g; n Normalenvektor von ε)
Winkel zwischen Ebenen ε1 und ε2: cos φ = } |m · n | |m ||n |
Abstände
(m, n Normalenvektoren von ε1, ε2)
Abstand eines Punktes P1 von einer Geraden g (in der Ebene) bzw. Ebene ε: d = |(p1 – p0) · n 0|
(mit (x – p0) · n 0 = 0 hessesche Normalenform von g bzw. ε)
Abstand windschiefer Geraden g, h: d = |(p0 – q0) · n 0| (P0 ∈g, Q0 ∈h; n 0 Normaleneinheitsvektor von g und h)
Kugel (und Kreis) Gleichung (allgemeine Lage)
c, d, e, r ∈R; r > 0
Kugel mit Mittelpunkt M(c; d; e) und Radius r :
z ε
(x – m )2 = r 2 bzw. (x – c )2 + (y – d )2 + (z – e)2 = r 2 In der xy -Ebene beschreibt die vektorielle Gleichung (x – m )2 = r 2 einen Kreis mit dem Mittelpunkt M (c; d ) und dem Radius r. (Koordinatendarstellung des Kreises b S. 41)
Mittelpunktsgleichung
Kugel k mit Mittelpunkt M (0; 0; 0) und Radius r :
Tangential ebene in P1
Tangentialebene ε im Berührungspunkt P1 an die Kugel k mit Mittelpunkt M (c; d; e) und Radius r:
P1 X M x
p1 m
x 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2
(x – m) · (p1 – m ) = r 2 bzw. (x – c)(x1 – c) + (y – d)(y1 – d ) + (z – e)(z1 – e) = r 2 Darstellung in hessescher Normalform (mit dem Radiusvektor p1 – m als Normalenvektor): (x – p1) · (p1 – m ) = 0
O x
y
Ma
Lagebeziehung zweier Geraden
47
48
Mathematik
Kombinatorik
Ma
Grundbegriffe
n, k ∈N; a, b ∈R n
Fakultät
n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = P k (n > 1) k = 1 0! = 1 1! = 1 Es gilt: (n + 1)! = (n + 1) · n!
(Sprechweise: „n Fakultät“)
Binomial koeffizienten
– 2) · … · [n – (k – 1)] n! k = n · (n – 1) · (n =} k!(n – k)! (0 < k ≤ n) (Sprechweise: „n über k“) }}} 1 · 2 · 3 · … · k
() ( )= 1 n
n 0
Rechenregeln:
() ( ) () ( ) ( ) (a + b) = ( ) a + ( ) a b + ( ) a b n
n
n
n
n + 1
k = n – k k + k + 1 = k + 1 Potenzen von Binomen (binomischer Satz)
n
n
0
n
n
1
n–1
n 2
n–2 2
( ) n
() n
() n
(a ± b)0 = 1 1 (a ± b)1 = a ± b 1 1 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 1 2 1 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 1 3 3 1 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 1 4 6 4 1 (a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5 … … pascalsches Zahlendreieck
Anordnungen und ihre Interpretation mithilfe des Urnenmodells Permutationen
n
+ … + n – 1 abn – 1 + n bn = S an – kbk k = 0 k
n, k, nk ∈N*
Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation dieser Elemente. Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung: Pn = n! Pn gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang n aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Permutationen von n Elementen mit Wiederholung: WP n
n! = }} (mit n1 + n2 + … + nk = n) n ! · n ! · … · n !
WP n
1
2
k
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang n aus einer Urne mit k unterscheidbaren Kugeln so zu entnehmen, dass diese Kugeln jeweils mit einer Häufigkeit von n1, n2, … bzw. nk gezogen werden. Variationen
Jede mögliche Anordnung (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Ele menten heißt Variation dieser Elemente (Variation von n Elementen zur k-ten Klasse). Anzahl der Variationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung:
() n
n! Vnk = } (n – k)! = k · k! (k ≤ n)
Vnk gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Variationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen mit Wiederholung: W
Vnk = nk
WV k n
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen.
Beschreibende Statistik
Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Elemen ten heißt Kombination dieser Elemente (Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse). Anzahl der Kombinationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung:
() n
Cnk = k
(k ≤ n)
Cnk gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Kombinationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen mit Wiederholung: WC k n
(
n + k – 1
)
= k
WC k n
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen.
Beschreibende Statistik Lagemaße statistischer Untersuchungen Modalwert (Modus) m
n, k ∈N*; n ≥ 2
häufigster Wert unter den Ergebnissen einer Stichprobe
Mittelwert Für eine Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit gilt: } (arithmetisches Mittel) x } x1 + x2 + … + xn 1 n x = }} =} n S x i (b S. 13) n i = 1
gewogenes arithmetisches Mittel
Für die bei einer Stichprobe vom Umfang n mit den absoluten Häufigkeiten H1, H2, …, bzw. Hk auftretenden Werte (Ergebnisse) x1, x2, …, xk gilt: }
H · x + H · x + … + H · x
2 2 k k x = }} 1 1 (k ≤ n) n
bzw. (unter Verwendung der relativen Häufigkeiten h1, h2, … bzw. hk) }
x = h1 · x1 + h2 · x2 + … + hk · xk (k ≤ n) geometrisches Mittel g harmonisches Mittel h
g = √ }} x 1 · x2 · … · xn (xi > 0 für i = 1, 2, …, n) (b S. 13) n
n h = }} 1 = } n n (xi > 0 für i = 1, 2, …, n) (b S. 13) 1 1 x1 + } + … + } S } } x2 xn 1 x i = 1
Zentralwert (Median) z
i
in der Mitte stehender Wert der nach der Größe geordneten Ergebnisse einer Stichprobe (gegebenenfalls Mittelwert der zwei in der Mitte stehenden Ergebnisse)
Streumaße statistischer Untersuchungen
n ∈N*
Spannweite (Streu- oder Variationsbreite) w
Differenz zwischen größtem und kleinstem Ergebnis einer Stichprobe: w = xmax – xmin
Halbweite H
Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Viertelwert (Quartil): H = x3/4 – x1/4 (x3/4 und x1/4 sind die in der Mitte der oberen bzw. unteren Hälfte der Daten reihe stehenden Werte)
mittlere (lineare) Abweichung d vom Mittelwert
} | + |x – x } | + … + |x – x } | |x – x
n
} | 2 n d = }}} 1 =} n1 S |x i – x n i = 1
Ma
Kombi nationen
49
50
Mathematik
Ma
(empirische) Varianz (Streuung) s 2
Für Stichproben vom Umfang n gilt:
n
} } ) 2 + … + (x – x } ) 2 (x – x ) 2 + (x – x
1 } ) 2 2 n s 2 = }}} 1 =} n – 1 S (x i – x n – 1 i = 1
}
Standardabweichung s
s=√ s 2
Varianz (Streuung) σ 2
Für Grundgesamtheiten vom Umfang N gilt:
(s ≥ 0)
(x – μ)2 + (x – μ)2 + … + (x – μ)2
N
1 2 N σ 2 = }}} 1 =} N S (xi – μ)2 N i = 1
N
1 mit μ = } N S x i i = 1
Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade Der Grad des Zusammenhangs der Merkmale X und Y, für die n Paare von Einzelwerten (xi ; yi ) vorliegen, wird durch den Korrelationskoeffizienten rxy beschrieben: n
n
n
n
1 S x i yi – } S x i S y i n
} } S (x i – x ) (yi – y )
} , y } Mittelwerte von x bzw. y rxy = }} = }}} x i i }}} }} n n n n n 2 }} 2 } 2 n } 2 1 2 – 1 S y S (x i – x ) · S (y i – y ) S x i2 – } S x · S y } i i i n n i = 1
√
i = 1
i = 1
i = 1
√
i = 1
( ) √
i = 1
i = 1
i = 1
i = 1
( ) i = 1
Gleichung der zur Vorhersage von y -Werten dienenden Regressionsgeraden:
rxy sy
} = } ) } , y } Mittelwerte von x bzw. y y – y (x – x x } i i sx sx , sy Standardabweichungen von xi bzw. yi
Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlegende Begriffe Zufallsversuch (Zufallsexperiment)
Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen x1, x2, …, xn
Ergebnismenge (Stichprobenraum) Ω
Menge aller möglichen Ergebnisse Ω = {x1, x2, …, xn}
Ereignis E
Teilmenge der Ergebnismenge Ω (E ⊆ Ω)
Ereignismenge
Menge aller Teilmengen von Ω (Potenzmenge 2Ω)
spezielle Ereignisse
Sicheres Ereignis: Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt (E = Ω) Unmögliches Ereignis: Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt (E = 0) Elementarereignis (atomares Ereignis): Ereignis mit genau einem Ergebnis x (E = {x})
}
Gegenereignis E
Komplementärmenge von E (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt)
absolute Häufigkeit Hn(xi ) bzw. Hn(E )
Anzahl des Eintretens des Ergebnisses xi bzw. des Ereignisses E bei n Versuchs durchführungen
relative Häufigkeit hn(xi ) bzw. hn(E )
i hn(xi ) = } nn bzw. hn(E) = } nn
Bernoulli -Versuch (Bernoulli -Experiment)
Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, d. h. Vorgang mit zufäl ligem Ergebnis, bei dem nur zwischen Erfolg und Misserfolg unterschieden wird
H (x )
H (E )
Wahrscheinlichkeitsrechnung A, E, E1, E2 ⊆ Ω
Bei einer hinreichend großen Anzahl von Versuchen kann die relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses E als Maß für dessen Wahrscheinlichkeit gewählt werden. Der Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E wird mit P(E ) bezeichnet. Gleichverteilung (klassische Wahrscheinlichkeit) Ein Zufallsversuch (Zufallsexperiment), bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, heißt Laplace-Experiment. Für jedes E ⊆ Ω gilt: der für E günstigen Ergebnisse P(E ) = }}} Anzahl Anzahl der möglichen Ergebnisse
Regeln und Sätze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1 (2) A = {x1, x2, …, xk} ⊆ Ω ⇒ P(A) = P({x1}) + P({x2}) + … + P({xk}) (3) P(Ω) = 1 (4) P(0) = 0 } (5) P(E ) = 1 – P(E) (6) E1 ⊆ E2 ⇒ P(E1) ≤ P(E2) (7) P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
Summenregel für Elementarereignisse Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Additionssatz für zwei Ereignisse
Mehrstufige Zufallsversuche; bedingte Wahrscheinlichkeit
A, B, Ei, Fi ⊆ Ω
n-stufiger Zufallsversuch
Zusammenfassung von n (Teil-)Zufallsversuchen zu einem Zufallsversuch
Pfadregeln
1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Elementarereignisses) in einem mehrstufigen Zufallsversuch ist gleich dem Produkt der Wahrschein lichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. q1 p1
b1
a1 q2
b2 P({a1; b2; …}) = p1 · q2 · … p2
a2
q3 q4
b3
b4
2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses in einem Zufallsversuch ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der für dieses Ereignis güns tigen Pfade (d. h. der Pfade, bei denen das Ereignis eintritt). Bernoulli-Kette
Wird ein Bernoulli-Versuch insgesamt n-mal unabhängig voneinander (nach einander) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.
bernoullische Formel
Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau k Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette der Länge n gilt:
() n
P(genau k Erfolge) = k · pk · (1 – p)n – k (b Binomialverteilung, S. 53)
Ma
Wahrscheinlichkeit und ihre grundlegenden Eigenschaften
51
52
Mathematik
bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bereits eingetreten ist:
Ma
∩ B ) PB(A) = } P (A (für P (B) > 0) P(B )
unabhängige Ereignisse
Das Eintreten des einen Ereignisses hat keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen. A und B sind genau dann voneinander unabhängig, wenn gilt: PB(A) = P(A) bzw. PA(B) = P(B)
Multiplikationssatz (Verallgemeinerung der 1. Pfadregel)
Für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt, gilt: P(A ∩ B) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A) (für P(A), P(B) > 0) Spezialfall für unabhängige Ereignisse A und B: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Verallgemeinerung der 2. Pfadregel)
Bilden B1, B2, …, Bn eine Zerlegung von Ω, d. h., ist B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn = Ω und Bi ∩ Bj = 0 (für i ≠ j ), so gilt für jedes Ereignis A ∈2Ω:
bayessche Formel
Bilden B1, B2, …, Bn eine Zerlegung von Ω und ist A ein beliebiges Ereignis aus 2Ω, so gilt für jedes i (mit i = 1, 2, …, n):
P(A) = P(B1) · PB1(A) + P(B2) · PB2(A) + … + P(Bn) · PBn(A)
P(Bi ) · PB (A)
P(Bi) · PB (A)
i i PA(Bi) = } P(A) = }}}} P(B ) · P (A) + P(B ) · P (A) + … + P(B ) · P (A)
1
B1
2
n
B2
Bn
Zufallsgrößen und ihre Verteilung Zufallsgröße (Zufallsvariable) X
Größe, die bei verschiedenen, unter gleichen Bedingungen durchgeführten Zu fallsversuchen verschiedene Werte x1, x2, … annehmen kann Eine diskrete Zufallsgröße kann in einem Intervall nur endliche viele, eine stetige Zufallsgröße dagegen beliebig viele Werte annehmen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Funktion, die jedem Wert x einer Zufallsgröße X seine Wahrscheinlichkeit P(X = x) = p zuordnet Diskrete Zufallsgrößen werden durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f mit n
f (xi ) = P(X = xi ) = pi und S f (x i )= 1, i = 1
∞
E
stetige Zufallsgrößen durch die Dichtefunktion φ mit φ(x ) dx = 1 charakterisiert. – ∞
Die Verteilungsfunktion Φ mit Φ (x) = P(X ≤ x) = S f (x i ) bzw. xi 9 (als Faustregel) gelten die folgenden Näherungsformeln von Laplace:
φ(z)
(1) lokale Näherung
(
)
Bn; p({k }) ≈ } 1σ · φ } k – μ σ
1 mit φ(z) = } } e √ 2π
(2) globale Näherung
(
)
x
E
1 2 – } z 2
Bn; p({0; 1; …; k }) ≈ Φ } k + 0,5 – μ mit Φ(x) = φ(z) dz σ – ∞
Φ(x) 0,1 O
1x
z
54
Mathematik – } 1 x 2 φ(x) = } 1} · e 2 √ 2π
Dichtefunktionswerte φ (x) der Standardnormalverteilung
Ma
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683
3989 3965 3902 3802 3668
3989 3961 3894 3790 3653
3988 3956 3885 3778 3637
3986 3951 3876 3765 3621
3984 3945 3867 3752 3605
3982 3939 3857 3739 3589
3980 3932 3847 3725 3572
3977 3925 3836 3712 3555
3973 3918 3825 3697 3538
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661
3503 3312 3101 2874 2637
3485 3292 3079 2850 2613
3467 3271 3056 2827 2589
3448 3251 3034 2803 2565
3429 3230 3011 2780 2541
3410 3209 2989 2756 2516
3391 3187 2966 2732 2492
3372 3166 2943 2709 2468
3352 3144 2920 2685 2444
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497
2396 2155 1919 1691 1476
2371 2131 1895 1669 1456
2347 2107 1872 1647 1435
2323 2083 1849 1626 1415
2299 2059 1826 1604 1394
2275 2036 1804 1582 1374
2251 2012 1781 1561 1354
2227 1989 1758 1539 1334
2203 1965 1736 1518 1315
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656
1276 1092 0925 0775 0644
1257 1074 0909 0761 0632
1238 1057 0893 0748 0620
1219 1040 0878 0734 0608
1200 1023 0863 0721 0596
1182 1006 0848 0707 0584
1163 0989 0833 0694 0573
1145 0973 0818 0681 0562
1127 0957 0804 0669 0551
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224
0529 0431 0347 0277 0219
0519 0422 0339 0270 0213
0508 0413 0332 0264 0208
0498 0404 0325 0258 0203
0488 0396 0317 0252 0198
0478 0387 0310 0246 0194
0468 0379 0303 0241 0189
0459 0371 0297 0235 0184
0449 0363 0290 0229 0180
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060
0171 0132 0101 0077 0058
0167 0129 0099 0075 0056
0163 0126 0096 0073 0055
0158 0122 0093 0071 0053
0154 0119 0091 0069 0051
0151 0116 0088 0067 0050
0147 0113 0086 0065 0048
0143 0110 0084 0063 0047
0139 0107 0081 0061 0046
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012
0043 0032 0023 0017 0012
0042 0031 0022 0016 0012
0040 0030 0022 0016 0011
0039 0029 0021 0015 0011
0038 0028 0020 0015 0010
0037 0027 0020 0014 0010
0036 0026 0019 0014 0010
0035 0025 0018 0013 0009
0034 0025 0018 0013 0009
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002
0008 0006 0004 0003 0002
0008 0006 0004 0003 0002
0008 0005 0004 0003 0002
0008 0005 0004 0002 0002
0007 0005 0004 0002 0002
0007 0005 0003 0002 0002
0007 0005 0003 0002 0002
0007 0005 0003 0002 0001
0006 0004 0003 0002 0001
4,0 4,1 4,2
0,0001 0,0001 0,0001
0001 0001 0001
0001 0001 0001
0001 0001 0001
0001 0001
0001 0001
0001 0001
0001 0001
0001 0001
0001 0001
Es gilt: φ (–x) = φ (x) Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (auf vier Dezimalstellen gerundet) 0,0000.
φ(1,24) = 0,1849 φ(– 0,96) = φ(0,96) = 0,2516
Wahrscheinlichkeitsrechnung
55
x
E
Φ(x) = φ(z) dz
Funktionswerte Φ(x) der Standardnormalverteilung x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6555
5040 5438 5832 6217 6591
5080 5478 5871 6255 6628
5120 5517 5910 6293 6664
5160 5557 5948 6331 6700
5200 5596 5987 6368 6736
5239 5636 6026 6406 6772
5279 5675 6064 6443 6808
5319 5714 6103 6480 6844
5359 5754 6141 6517 6879
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159
6950 7291 7612 7910 8186
6985 7324 7642 7939 8212
7019 7357 7673 7967 8238
7054 7389 7704 7996 8264
7088 7422 7734 8023 8289
7123 7454 7764 8051 8315
7157 7486 7794 8079 8340
7190 7518 7823 8106 8365
7224 7549 7852 8133 8389
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192
8438 8665 8869 9049 9207
8461 8686 8888 9066 9222
8485 8708 8907 9082 9236
8508 8729 8925 9099 9251
8531 8749 8944 9115 9265
8554 8770 8962 9131 9279
8577 8790 8980 9147 9292
8599 8810 8997 9162 9306
8621 8830 9015 9177 9319
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713
9345 9463 9564 9649 9719
9357 9474 9573 9656 9726
9370 9485 9582 9664 9732
9382 9495 9591 9671 9738
9394 9505 9599 9678 9744
9406 9515 9608 9686 9750
9418 9525 9616 9693 9756
9430 9535 9625 9700 9762
9441 9545 9633 9706 9767
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,9773 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918
9778 9826 9865 9896 9920
9783 9830 9868 9898 9922
9788 9834 9871 9901 9925
9793 9838 9875 9904 9927
9798 9842 9878 9906 9929
9803 9846 9881 9909 9931
9808 9850 9884 9911 9932
9812 9854 9887 9913 9934
9817 9857 9890 9916 9936
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981
9940 9955 9966 9975 9982
9941 9956 9967 9976 9983
9943 9957 9968 9977 9983
9945 9959 9969 9977 9984
9946 9960 9970 9978 9984
9948 9961 9971 9979 9985
9949 9962 9972 9980 9985
9951 9963 9973 9980 9986
9952 9964 9974 9981 9986
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4
0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997
9987 9991 9993 9995 9997
9987 9991 9994 9995 9997
9988 9991 9994 9996 9997
9988 9992 9994 9996 9997
9989 9992 9994 9996 9997
9989 9992 9994 9996 9997
9989 9992 9995 9996 9997
9990 9993 9995 9996 9997
9990 9993 9995 9997 9998
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000
9998 9998 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
9998 9999 9999 9999
Es gilt: Φ(–x) = 1 – Φ(x) Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (auf vier Dezimalstellen gerundet) 1,0000.
Φ(1,24) = 0,8925 Φ(–0,96) = 1 – Φ(0,96) = 1 – 0,8315 = 0,1685
Ma
– ∞
56
Mathematik
() n
b(n; p; k) = P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k
Binomiale Wahrscheinlichkeiten
Ma
n
k
k
p
k
0,05
0,10
61 }
0,20
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
n
5
0 1 2 3 4 5
0,7738 0,2036 0,0214 0,0011
5905 3281 0729 0081 0005
4019 4019 1608 0322 0032 0001
3277 4096 2048 0512 0064 0003
2373 3955 2637 0879 0146 0010
1681 3602 3087 1323 0284 0024
1317 3292 3292 1646 0412 0041
0778 2592 3456 2304 0768 0102
0503 2059 3369 2757 1128 0185
0313 1563 3125 3125 1563 0313
5 4 3 2 1 0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,0010 0,0001
3487 3874 1937 0574 0112 0015 0001
1615 3230 2907 1550 0543 0130 0022 0002
1074 2684 3020 2013 0881 0264 0055 0008 0001
0563 1877 2816 2503 1460 0584 0162 0031 0004
0282 1211 2335 2668 2001 1029 0368 0090 0014 0001
0173 0867 1951 2601 2276 1366 0569 0163 0030 0003
0060 0403 1209 2150 2508 2007 1115 0425 0106 0016 0001
0025 0207 0763 1665 2384 2340 1596 0746 0229 0042 0003
0010 0098 0439 1172 2051 2461 2051 1172 0439 0098 0010
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0,4633 0,3658 0,1348 0,0307 0,0049 0,0006
2059 3432 2669 1285 0428 0105 0019 0003
0649 1947 2726 2363 1418 0624 0208 0053 0011 0002
0352 1319 2309 2501 1876 1032 0430 0138 0035 0007 0001
0134 0668 1559 2252 2252 1651 0917 0393 0131 0034 0007 0001
0047 0305 0916 1700 2186 2061 1472 0811 0348 0116 0030 0006 0001
0023 0171 0599 1299 1948 2143 1786 1148 0574 0223 0067 0015 0003
0005 0047 0219 0634 1268 1859 2066 1771 1181 0612 0245 0074 0016 0003
0001 0016 0090 0318 0780 1404 1914 2013 1647 1048 0515 0191 0052 0010 0001
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20
n
k
0,95
0,90
65 }
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p
Wahrscheinlichkeitsrechnung
() n
b(n; p; k) = P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k
Binomiale Wahrscheinlichkeiten
k
k
p 0,05
0,10
}16
0,20
k
n
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
0002
0010 0002
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20
20
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50
n
k
0,95
0,90
}56
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 0,0000. b(50; 0,3; 13) = 0,1050 b(50; 0,7; 37) = 0,1050
Ma
n
57
58
Mathematik k
Ma
n
k
() n
B(n; p; k) = P(X ≤ k) = S · p i · (1 – p)n – i
Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten
i = 0
i
p
k
0,05
0,10
61 }
0,20
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
n
5
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5
10
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10
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15
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20
n
k
0,95
0,90
65 }
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
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k
n
p
Wahrscheinlichkeitsrechnung k
n
i = 0
p 0,05
0,10
}16
0,20
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}13
0,40
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0,50
k
n
25
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25
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50
n
k
0,95
0,90
}56
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p Rekursionsformel: B(n; p; k ) = B(n; p; k – 1) + b(n; p; k) Anmerkungen: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 1,0000. Für schwächer unterlegte Tabelleneingänge (p ≥ 0,5) gilt: B(n; p; k) = 1 – (angegebener Wert)
B(25; 0,25; 7) = 0,7265 B(20; 0,70; 11) = 1 – 0,8867 = 0,1133
Ma
k
()
B(n; p; k) = P(X ≤ k) = S i ·p i · (1 – p)n – i
Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten n
59
60
Mathematik k
Ma
n
k
() n
B(n; p; k) = P(X ≤ k) = S i · p i · (1 – p)n – i
Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten
i = 0
p 0,05
0,10
k
n
61 }
0,20
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
9999
9991 9997 9999
9861 9937 9974 9990 9996 9999
9152 9522 9749 9877 9944 9976 9991 9997 9999
8036 8741 9244 9576 9778 9892 9951 9979 9992 9997 9999
4465 5610 6701 7660 8438 9022 9427 9686 9840 9924 9966 9986 9995 9998 9999
1974 2862 3900 5019 6134 7160 8034 8721 9220 9556 9765 9884 9947 9978 9991 9997 9999
0595 1013 1611 2399 3359 4439 5561 6641 7601 8389 8987 9405 9675 9836 9923 9967 9987 9995 9998
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
50
50
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
0,0059 0,0371 0,1183 0,2578 0,4360 0,6160 0,7660 0,8720 0,9369 0,9718 0,9885 0,9957 0,9985 0,9995 0,9999
0000 0003 0019 0078 0237 0576 1172 2061 3209 4513 5832 7030 8018 8761 9274 9601 9794 9900 9954 9980 9992 9997 9999
0000 0000 0000 0000 0001 0004 0013 0038 0095 0231 0427 0777 1297 2000 2874 3877 4942 5994 6965 7803 8481 8998 9370 9621 9783 9881 9938 9969 9985
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0009 0023 0057 0126 0253 0469 0804 1285 1923 2712 3621 4602 5595 6540 7389 8109 8686 9125 9442 9658 9800
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0004 0010 0025 0054 0111 0211 0376 0630 0995 1488 2114 2864 3711 4617 5535 6417 7224 7925
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004 0010 0022 0045 0089 0165 0288 0479 0755 1136 1631 2244 2964 3768
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0005 0011 0024 0048 0091 0164 0281 0458 0715 1066 1524
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0006 0012 0024 0046 0084
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71
100
n
k
0,95
0,90
65 }
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p
Wahrscheinlichkeitsrechnung k
p 0,05
100
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
n
k
n
i = 0
0,95
0,10
0,90
k
n
}16
0,20
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
9993 9997 9999
9888 9939 9969 9985 9993 9997 9999 9999
8505 8962 9307 9554 9724 9836 9906 9948 9973 9986 9993 9997 9999 9999
4623 5491 6331 7107 7793 8371 8839 9201 9470 9660 9790 9875 9928 9960 9979 9989 9995 9997 9999 9999
2093 2766 3525 4344 5188 6019 6803 7511 8123 8630 9034 9341 9566 9724 9831 9900 9943 9969 9983 9991 9996 9998 9999
0148 0248 0398 0615 0913 1303 1795 2386 3068 3822 4621 5433 6225 6967 7635 8211 8689 9070 9362 9577 9729 9832 9900 9942 9968 9983 9991 9996 9998 9999
0008 0015 0030 0055 0098 0166 0272 0429 0651 0951 1343 1831 2415 3087 3828 4613 5413 6196 6931 7596 8173 8654 9040 9338 9559 9716 9824 9894 9939 9966 9982 9991 9995 9998 9999
0000 0000 0001 0002 0004 0009 0018 0033 0060 0105 0176 0284 0443 0666 0967 1356 1841 2421 3087 3822 4602 5398 6178 6914 7579 8159 8644 9033 9334 9557 9716 9824 9895 9940 9967 9982 9991 9996 9998 9999
70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31
100
}56
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p Rekursionsformel: B(n; p; k) = B(n; p; k – 1) + b(n; p; k) Anmerkungen: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 1,0000. Für schwächer unterlegte Tabelleneingänge (p ≥ 0,5) gilt: B(n; p; k ) = 1 – (angegebener Wert)
B(50; 0,40; 21) = 0,6701 B(100; } 32 ; 66) = 1 – 0,5188 = 0,4812
Ma
k
()
B(n; p; k) = P(X ≤ k) = S i · p i · (1 – p)n – i
Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten n
61
62
Mathematik k
Ma
n
k
() n
B(n; p; k) = P(X ≤ k) = S i · p i · (1 – p)n – i
Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten
i = 0
p 0,05
0,10
61 }
0,20
0,25
0,30
}13
0,40
0,45
0,50
k
n
200
5 9 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 74 75 79 80 84 85 89 90 94 95 99 100 104 105 109 110 114 115 120 124
0,0623 0,4547 0,5831 0,9219 0,9556 0,9973 0,9988
0000 0035 0081 0929 1431 4655 5591 8551 8995 9837 9905 9992 9996
0000 0000 0000 0000 0001 0027 0052 0426 0468 2366 3007 5943 6658 8777 9106 9801 9872 9983 9990 9999
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0020 0036 0283 0430 1656 2151 4718 5422 7887 8349 9506 9655 9934 9959 9995 9997
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0004 0044 0073 0405 0578 1852 2331 4729 5379 7707 8162 9375 9546 9897 9932 9990 9994 9999
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0005 0009 0072 0111 0506 0695 1988 2455 4733 5348 7579 8028 9272 9458 9862 9906 9984 9990 9999 9999
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0003 0005 0042 0067 0323 0453 1409 1778 3755 4338 6670 7192 8794 9065 9716 9799 9958 9973 9996 9998
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0013 0021 0119 0173 0639 0844 2142 2590 4732 5307 7428 7868 9143 9345 9812 9869 9974 9983 9998 9999
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0016 0026 0133 0191 0673 0881 2175 2617 4726 5293 7392 7831 9113 9319 9801 9860 9971 9982 9997 9998
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0018 0028 0141 0200 0687 0894 2184 2623 4718 5282 7377 7816 9105 9313 9800 9859 9982 9998
194 190 189 185 184 180 179 175 174 170 169 165 164 160 159 155 154 150 149 145 144 140 139 135 134 130 129 125 124 120 119 115 114 110 109 105 104 100 99 95 94 90 89 85 84 79 75
200
n
k
0,95
0,90
65 }
0,80
0,75
0,70
}23
0,60
0,55
0,50
k
n
p Anmerkung: Die Tabelle für n = 200 umfasst nur Werte für ausgewählte k.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
63
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5
15417 83541 83363 31376 65922
74829 78590 57671 08426 79156
98508 79977 82647 01496 22950
69237 76459 01759 05707 71072
70467 34698 08377 94894 80501
34085 24757 43949 51621 93759
49284 68161 09336 17306 85577
97138 59220 91279 72636 84671
93989 38860 73510 71629 99144
14949 27550 94567 65120 71309
6 7 8 9 10
44623 65805 93688 36787 15064
21571 75499 06385 35165 84305
22510 92585 99106 41625 26024
26078 36047 44950 81646 71232
22919 08728 47682 10310 77282
38014 64845 71020 18362 57088
74812 56179 63928 67818 66469
75848 30677 07473 15497 20092
14865 13952 53143 41543 17124
50707 17741 55538 68104 70810
11 12 13 14 15
73781 26695 92757 92185 74354
85945 95847 35124 74853 56786
09081 07129 39446 27243 84156
98055 28755 30201 31847 93849
11526 21654 90983 74204 83624
90691 98159 42613 32685 23295
15615 84790 50124 96841 97223
44830 02153 74041 84106 26876
97017 33476 92437 47671 02040
51826 10877 45890 14727 63305
16 17 18 19 20
59197 00301 79322 46896 94311
20737 81564 69113 84356 89493
18935 88863 50376 67893 04724
21679 39162 37006 61217 34761
94861 51300 39588 22292 58674
04571 15466 17941 19955 03370
56572 18098 64241 36594 17343
75516 65846 03042 99542 26488
57795 32016 54301 15739 94584
48323 03620 76495 82020 46804
21 22 23 24 25
50139 45743 64269 14329 49164
41011 91990 55393 42915 91933
19852 91000 37855 01173 42306
14712 17480 01869 78025 12947
60801 50573 02917 73717 01680
27399 15265 41863 67185 45921
53433 91344 10742 18782 88522
69217 09868 37109 76148 76925
37252 74933 41323 61642 16524
89608 62735 47310 54586 13480
26 27 28 29 30
63507 31103 87752 34521 60134
03320 31984 40845 61518 98695
12293 50959 96402 86842 05002
81871 85256 26261 34276 46655
22119 56765 18016 64020 66145
18613 26668 31328 93595 24412
96294 31216 95484 76699 88072
01829 90250 70209 52993 66297
03841 52790 78843 42374 79074
12788 14013 49634 80862 68815
31 32 33 34 35
06229 97059 46371 36473 30237
07384 41147 28520 18603 29527
52698 74463 24589 18977 99532
19903 97601 60795 92183 55131
35072 67734 36960 12326 81820
80833 87007 23796 22106 29715
77731 24499 31257 98444 39847
32709 60309 24457 22002 04796
10017 99660 83745 84542 12701
57464 83221 44343 16639 42349
36 37 38 39 40
85103 25504 96337 56182 90510
14708 74076 29252 11865 47483
27584 31828 08527 71079 96598
63442 91636 81256 42516 80450
78297 76100 02940 97923 30750
59167 09238 50825 78872 23532
66366 08552 10377 42229 55980
27044 22605 25971 85906 07279
64303 50630 61687 56823 83210
36958 87013 84186 18838 37192
41 42 43 44 45
26941 13867 15506 08853 73816
53548 18774 06973 11983 06882
17715 01197 81097 82717 91562
25011 56723 06518 43617 90555
21995 35424 25041 57257 49994
34264 34840 90625 51678 59448
07656 15440 58504 90141 03989
16232 36266 94562 15501 57337
34813 25140 29230 90364 17294
85433 63227 80827 28763 04923
46 47 48 49 50
70690 68116 90170 80718 57437
10003 60841 43107 79591 92583
56510 10401 71912 75982 48514
65010 84722 82744 59376 37163
16265 60367 94495 63561 60580
67211 02492 03554 29768 79939
03482 20459 53599 26545 22006
32463 45129 39307 58682 43375
07107 23698 68249 97275 64739
73883 28483 61059 83963 23795
Ma
Zufallszahlen (Zufallsziffern)
64
Mathematik
Beurteilende Statistik
Ma
Testen von Hypothesen Testverfahren
Verfahren zur Überprüfung von Hypothesen über einen unbekannten Parameter einer Grundgesamtheit mithilfe von Stichproben
Nullhypothese H0
Die zu überprüfende Annahme, die mit möglichst kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt werden soll, heißt Nullhypothese H0. Die Alternative zur Nullhypothese H0 wird als Gegenhypothese H1 bezeichnet.
Ablehnungs } bereich A
Menge der Werte der Zufallsgröße X, bei deren Eintreten H0 abgelehnt wird
Entscheidungsregel
Liegt der für eine Stichprobe ermittelte Wert der zu prüfenden Zufallsgröße (Testgröße) im Ablehnungsbereich, so wird H0 abgelehnt und H1 angenommen, anderenfalls wird H0 beibehalten und H1 abgelehnt.
Fehler
H0 wird abgelehnt, obwohl H0 wahr ist (Fehler 1. Art) H0 wird beibehalten, obwohl H0 falsch ist (Fehler 2. Art) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art heißt Irrtumswahrscheinlichkeit α '.
Signifikanztest
Ein Test heißt signifikant zum Signifikanzniveau α, wenn die tatsächliche Irrtums wahrscheinlichkeit α' das vorgegebene Signifikanzniveau α nicht übersteigt.
allgemeine Schrittfolge
(1) Aufstellen der Nullhypothese H0 und der Gegenhypothese H1 (2) Wahl einer geeigneten Testgröße X mit bekannter Wahrscheinlichkeitsvertei lung (3) Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus } (4) Festlegen des Ablehnungsbereichs A (5) Anwenden der Entscheidungsregel
Alternativtest für eine Wahrscheinlichkeit p Fehlerwahr scheinlichkeiten Ablehnungs } bereich A im Fall p0 > p1 Ablehnungs } bereich A im Fall p0 < p1
(X binomialverteilt mit den Parametern p ∈{ p0; p1}) }
Fehler 1. Art: α ' = Bn; p0( A )
Linksseitiger Ablehnungsbereich für H0: A = {0; 1; …; k} k: größte natürliche Zahl, sodass B n; p0({0; 1; …; k}) ≤ α }
Rechtsseitiger Ablehnungsbereich für H0: A = {k; k + 1; …; n} k: kleinste natürliche Zahl, sodass B n; p0({k; k + 1; …; n}) ≤ α }
Signifikanztest für eine Wahrscheinlichkeit p zweiseitiger Signifikanztest
Fehler 2. Art: β ' = Bn; p1(A)
(X binomialverteilt mit den Parametern n und p0)
H0: p = p0 H1: p ≠ p0
Bn; p({k })
Zweiseitiger Ablehnungsbereich für H0: } A = {0; 1; …; k1} ∪ {k2; k2 + 1; …; n} k1: größte natürliche Zahl, sodass B n; p0({0; 1; …; k1}) ≤ } α2 k2: kleinste natürliche Zahl, sodass B n; p0({k2; k2 + 1; …; n}) ≤ } 2α Irrtumswahrscheinlichkeit: } α ' = B n; p0( A ) ≤ } 2α + } 2α = α
O
}
A
}
A
k
Ablehnung von H0 für sehr kleine und sehr große Werte von X
Beurteilende Statistik
linksseitiger Signifikanztest
H0: p = p0 bzw. p ≥ p0 H1: p < p0
65
Bn; p({k })
Linksseitiger Ablehnungsbereich für H0: } A = {0; 1; …; k} mit Bn; p0( A ) ≤ α k: größte natürliche Zahl, sodass B n; p0({0; 1; …; k}) ≤ α
O
k
Ablehnung für sehr kleine Werte von X
Irrtumswahrscheinlichkeit: }
α ' = Bn; p0( A ) ≤ α bzw. }
}
A
}
) ≤ α α ' = Bn; p( A ) ≤ Bn; p0( A rechtsseitiger Signifikanztest
H0: p = p0 bzw. p ≤ p0 H1: p > p0
Bn; p({k })
Rechtsseitiger Ablehnungsbereich für H0: } } A = {k; k + 1; …; n} mit Bn; p0 ( A ) ≤ α; k: kleinste natürliche Zahl, sodass B n; p0({k; k + 1; …; n}) ≤ α
O
k
Ablehnung für sehr große Werte von X
Irrtumswahrscheinlichkeit: }
α ' = Bn; p0( A ) ≤ α bzw. }
}
A
}
α ' = Bn; p( A ) ≤ Bn; p0( A ) ≤ α
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten Konfidenzintervall (Vertrauensintervall, Vertrauensbereich)
Intervall [p1; p2], welches eine (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p auf dem Konfidenzniveau (Vertrauensniveau) 1 – α überdeckt
Laplace-Bedingung für Konfidenzintervalle
hn – relative Häufigkeit des beobachteten Merkmals in einer Stichprobe vom Um fang n mit Zurücklegen
Konfidenzintervall zum Schätzen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit p
Wenn die Stichprobe die Laplace-Bedingung für Konfidenzintervalle erfüllt, gelten die folgenden Aussagen für Konfidenzintervalle, wobei der Zusammenhang zwi schen dem Faktor z und dem Konfidenzniveau aus der Tabelle unten ersichtlich ist:
Es gilt: P (p1 ≤ p ≤ p2) = 1 – α
Die Laplace-Bedingung ist erfüllt, wenn √ }} n · hn · (1 – hn ) > 3 ist.
Näherungsformel für Intervallgrenzen
} hn · (1 – h n)
√ } h ) p2= h n + z · √ } h · (1n–
{ p ∈ [0; 1] | n · (ℎn− p)2≤ z2 · p · (1 − p)}
p1= h n – z · } , n n
Mindestgröße des Stichprobenumfangs
Exaktes Konfidenzintervall
n
Faktor z
1
2
3
1,64
1,96
2,58
Konfidenzniveau
68,3 %
95,4 %
99,7 %
90%
95 %
99 %
Für die Mindestgröße des Stichprobenumfangs n bei gegebener Länge d 2
des Konfidenzintervalls gilt näherungsweise n ≥ } z 2 . d
Ma
}
66
Mathematik
Matrizen und Determinanten
Ma
Begriffe Matrix
aik, r ∈R; i, k, m, n ∈N* Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen (z. B. der Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems) in m Zeilen und n Spalten der folgenden Form wird Matrix vom Typ (m; n) bzw. (m ; n)-Matrix genannt:
(
a
…
a
a
)
a11 a12 … a1n 21 22 2n A = A(m; n) = (aik )(m; n) = … … … a a … a m1
m2
mn
Die Zahlen ai k heißen Elemente (Komponenten) von A. Eine Matrix vom Typ (m; n) kann als Zusammenstellung von m Zeilenvektoren bzw. n Spaltenvektoren aufgefasst werden. Elementare Matrizenumformungen: (1) Vertauschen zweier Zeilen (2) Multiplizieren (Vervielfachen) der Elemente einer Zeile mit einer von null ver schiedenen reellen Zahl r (3) Addieren einer Zeile zu einer anderen Zeilen- und Spaltenvektoren
Die (1; n)-Matrizen stellen Zeilenvektoren, die (m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren dar. Speziell entsprechen die (3; 1)-Matrizen den Vektoren des (dreidimensionalen) Raumes und die (2; 1)-Matrizen den Vektoren der Ebene.
Rang einer Matrix
Unter dem Rang r einer Matrix A(m; n ) versteht man die Maximalzahl linear unab hängiger Zeilenvektoren (bzw. Spaltenvektoren). Bei elementaren Matrizenumformungen bleibt der Rang einer Matrix unverändert.
erweiterte Matrix
Aus A = A(m; n ) = (aik )(m; n) und B = B(m; p) = (bik )(m; p) ergibt sich die erweiterte Matrix A|B folgendermaßen:
(
a
a
…
a
|
b
b
…
b
)
a11 a12 … a1n b11 b12 … b1p 21 22 2n 21 22 2p A|B = … … … … … … a m1 am2 … amn bm1 bm2 … bmp
Die Matrizen A, B und A|B haben die gleiche Zeilenzahl m.
Quadratische Matrizen
aik ∈R; i, k, m, n ∈N*
Stimmen Zeilen- und Spaltenzahl einer Matrix A = A(m; n ) = (aik )(m; n) überein (d. h., gilt m = n), so spricht man von einer quadratischen Matrix vom Typ (n; n) oder der Ordnung n. Die Elemente a11, a22, …, ann bilden die Hauptdiagonale der Matrix. obere Dreiecksmatrix
aik = 0 für alle i > k (Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)
untere Dreiecksmatrix
aik = 0 für alle i < k (Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)
Diagonalmatrix
aik = 0 für alle i ≠ k (Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)
Einheitsmatrix E
aik =
1 für i = k 0 für i ≠ k
(Diagonalmatrix, deren Elemente in der Hauptdiagonalen 1 sind)
Matrizen und Determinanten
transponierte Matrix
67
Werden in einer quadratischen Matrix A die Zeilen mit den entsprechenden Spalten vertauscht, so erhält man die (zu A) transponierte Matrix AT. T
Nullmatrix O
aik = 0 für alle i, k (Matrix beliebigen Typs, bei der alle Elemente gleich null sind)
inverse Matrix A–1
Die zu A = A(n; n ) inverse Matrix A–1 existiert genau dann, wenn der Rang von A gleich n ist, und für die Matrizenmultiplikation gilt: –1
T
A · A–1 = A–1 · A = E (A–1) = A
Rechnen mit Matrizen Addition/ Subtraktion
–1
(A–1) = (AT)
aik, bik, cik, r, s ∈R; i, k, m, n, p ∈N*
Für A = A(m; n) = (aik )(m; n) und B = B(m; n) = (bik )(m; n) gilt: A ± B = C mit C = C(m; n) = (cik )(m; n) und cik = aik ± bik Eine Addition (Subtraktion) ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt, sie erfolgt elementweise. Rechenregeln (Eigenschaften): A + B = B + A (A + B)T = AT + BT (A + B) + C = A + (B + C)
Vielfachbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl)
A+O=A A–A=O
Für eine Matrix A = A(m; n ) = (aik )(m; n) und eine reelle Zahl r gilt: r A = C mit C = C(m; n ) = (cik )(m; n) und cik = r aik Die Vielfachbildung ist unabhängig vom Typ der Matrix, sie erfolgt elementweise. Rechenregeln (Eigenschaften): (r + s) A = r A + s A r(s A) = (r s)A 1A = A r (A + B) = r A + r B 0A = O
Multiplikation
Für A = A(m; p ) = (aik )(m; p) und B = B(p; n ) = (bik )(p; n) gilt: p
A · B = C mit C = C(m; n ) = (cik )(m; n) und cik = S a i j bj k j = 1
Das Produkt A · B ist nur für verkettete Matrizen definiert, d. h. nur für den Fall, dass die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. falksches Schema
Als Hilfsmittel zur Berechnung von A · B kann das folgende Schema dienen: b11 A · B
…
…
b1k
…
…
b1n …
bp1
…
bpk
…
bpn
a1p
c11
…
c1k
…
c1n
…
…
aip
ci1
…
…
amp
cm1
mit cik = ai1b1k + … + aip bpk a11
…
… ai1
…
… am1
…
… …
cik
… …
… …
cmk
cin …
…
cmn
Anmerkung: Jede Zeile von A wird mit jeder Spalte von B so multipliziert wie das beim Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren der Fall wäre. Rechenregeln (Eigenschaften): (A · B) · C = A · (B · C) (A + B) · C = A · C + B · C (r A) · (s B ) = r s (A · B) (A · B)T = BT · AT (A · B)–1 = B–1 · A–1 Im Allgemeinen ist A · B ≠ B · A, d. h., die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
Ma
Es gilt: (AT) = A
68
Mathematik
Determinanten Begriff
aik ∈R; i, k, n ∈N* Eine (n-reihige) Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix A = A(n; n) = (ai k ) eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.
Ma
|
a
…
a
a
|
a11 a12 … a1n 21 22 2n det A = |A| = … … … a a … a
Unterdeterminante zweireihige Determinanten dreireihige Determinanten
n1
n2
nn
Die Unterdeterminante det Aik (des Elements aik ) von det A ergibt sich durch Strei chen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte der zu det A gehörenden Matrix A = (aik). a |
a
|
12 |A| = a11 = a11 a22 – a12 a21 a 21
|
22
|
a11 a12 a13 a a23 a a23 a a22 a22 a23 |A| = a21 = a11 a22 – a12 a21 + a13 a21 a33 a33 a32 32 31 31 a31
a32
a33
|
|
|
|
|
|
Berechnung mithilfe der Regel von Sarrus: n-reihige Determinanten
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a12a21a33 – a11a23a32 – a13a22a31
Eine n-reihige Determinante kann nach jeder Zeile oder Spalte mithilfe von Unterdeterminanten entwickelt werden. Beispiel: Entwicklung nach den Elementen der ersten Zeile n
|A| = S (–1) i + 1a1i |A1i | i = 1
Lineare Gleichungssysteme Grundbegriffe und Schreibweisen Begriff des linearen Gleichungssystems
aik , bi , x i ∈R; i, k, m, n ∈N*
Ein System aus m linearen Gleichungen mit n Variablen x1, x2, …, xn wird lineares Gleichungssystem genannt. Jedes derartige Gleichungssystem lässt sich in folgender Form darstellen: a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … … am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
homogenes System
Ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Variablen (kurz: lineares (m; n)-Gleichungssystem), bei dem alle Konstanten bi (Absolutglieder) den Wert 0 haben, heißt homogen.
inhomogenes System Sind nicht alle Absolutglieder gleich null, so wird das System inhomogen genannt. Äquivalenz umformungen
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt bei folgenden Umfor mungen unverändert: (1) Vertauschen von Gleichungen (2) Multiplizieren einer Gleichung mit einer von null verschiedenen (reellen) Zahl (3) Addieren (des Vielfachen) einer Gleichung zu (dem Vielfachen) einer anderen
Lineare Gleichungssysteme
Unter Verwendung von Matrizen ergibt sich als weitere Schreibweise die folgende:
(
a
…
a
a
)( ) ( ) x
b
a11 a12 … a1n x1 b1 21 22 2n A · x = b bzw. … · …2 = …2 … … a a … a x b m1
m2
mn
n
m
Die Matrix A = A(m; n) = (aik ) heißt Koeffizientenmatrix des linearen (m; n)-Glei chungssystems, die Matrix S = S(m; n + 1) = A | b wird erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. Systemmatrix genannt. Vektorschreibweise
Ein lineares (m; n)-Gleichungssystem kann mithilfe von (Spalten-)Vektoren folgen dermaßen dargestellt werden: a1x1 + a2x2 + … + an xn = b
ai i-ter Spaltenvektor b Konstantenvektor
Lösungsverfahren Determinanten verfahren
aik , bi , ci ∈R; i, k, m, n ∈N* Lineare (n; n) - Gleichungssysteme können mithilfe des Determinantenverfahrens gelöst werden. Dabei werden folgende Determinanten betrachtet:
|
a
a
…
a
…
a
|
a11 a12 … a1i … a1n 21 22 2i 2n |A| = … … … … a a … … a a n1
n2
ni
nn
|
a
a
…
b
…
a
|
a11 a12 … b1 … a1n 21 22 2 2n |Ai| = … … … … a … b … a a n1
n2
n
nn
|A| ist die Koeffizientendeterminante; |Ai| ergibt sich, wenn in |A| die i-te Spalte durch den Konstantenvektor b ersetzt wird. Ist die Koeffizientendeterminante nicht null, erhält man als Lösung: i| (cramersche Regel) xi = } |A |A|
Lösbarkeitskriterien
Homogenes Gleichungssystem: |A| ≠ 0 ⇒ eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung) |A| = 0 ⇒ unendlich viele Lösungen Inhomogenes Gleichungssystem: |A| ≠ 0 |A| = 0 und |Ai| = 0 für alle i |A| = 0 und nicht alle |Ai| gleich 0
gaußsches Eliminierungsverfahren
⇒ eindeutig lösbar (cramersche Regel) ⇒ unendlich viele Lösungen ⇒ keine Lösung
Das gegebene lineare Gleichungssystem wird durch äquivalente Umformungen (bzw. Umformen der Koeffizientenmatrix A in eine obere Dreiecksmatrix) in Staffel- bzw. Dreiecksform gebracht. Im Fall m = n hat diese die folgende Gestalt: a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a'22x2 + … + a'2n xn = b'2
…
a'nn xn = b'n b'
Hieraus ergibt sich als erste Lösung xn = } a' n , und durch rückwärtiges Einsetzen nn
können sukzessive die Werte der Variablen xn – 1 bis x1 berechnet werden. Lösbarkeitskriterien
Homogenes Gleichungssystem: Rang A = n ⇒ eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung) Rang A < n ⇒ unendlich viele Lösungen Inhomogenes Gleichungssystem: Rang A = Rang S = n ⇒ eindeutig lösbar Rang A = Rang S < n ⇒ unendlich viele Lösungen Rang A < Rang S ⇒ keine Lösung
Ma
Matrixschreibweise
69
70
Mathematik
Ma
Ausgewählte Computeralgebra-Befehle TI-89Plus/TI-92Plus
DERIVE
MATHCAD 8
Ausmultiplizieren
expand(Term)
EXPAND(Term)
Term entwickeln→
Polynomdivision
expand(Term)
EXPAND(Term)
M Term konvert,teilbruch,Var→
Faktorisieren
factor(Term)
FACTOR(Term)
Term faktor→
M
Lösen einer Gleichung
solve(Gl,Var)
SOLVE(Gl,Var)
Term auflösen,Var→
M
Lösen eines Gleichungssystems
solve(Gl1andGl2and… andGl n,{Var1,…Var n})
SOLVE([Gl1,…,Gl n], [Var1,…,Var n])
Lösungsblock suchen(Var1,…,Var n)
Ersetzen einer Variablen
Term
SUBST(Term,Var,Wert)
M Term ersetzen,Var=Wert→
größte ganze Zahl ≤ Term
floor(Term)
FLOOR(Term)
floor(Term)
kleinste ganze Zahl ≥ Term ceil(Term)
CEILING(Term)
ceil(Term)
Wertetabelle
Table(Term)
TABLE(Term, Var,min,max)
Var : Term=
Nullstellen einer Funktion
zeros(Term,Var)
SOLVE(Gl,Var) oder Term* CHI (a, Var, b)
Schätzwert wurzel (Term,Var)
abschnittsweise defi nierte Funktion
when(Bed,wahr,falsch)
IF(Bed,wahr,falsch)
wenn(Bed,wahr,falsch)
|
Var=Wert
;
M
min max
M
Ableitung einer Funktion
d
(Term,Var)
DIF(Term,Var)
d } Term d Var
höhere Ableitungen
d
(Term,Var,Grd)
DIF(Term,Var,Grd)
d } Term d Var
M
unbestimmtes Integral
(Term,Var)
INT(Term,Var)
(Term,Var)
E
M
b
M
bestimmtes Integral
(Term,Var,a,b)
INT(Term,Var,a,b)
(T erm,Var,a,b)
n
E a
Betrag eines Vektors
norm(Vek)
ABS(Vekt)
|Vekt|
Skalarprodukt
dotP(Vekt1,Vekt2)
(Zeilen-) Vekt*(Zeilen-) Vekt
Vekt*Vekt
Vektorprodukt
crossP(Vekt1, Vekt2)
CROSS(Vekt1, Vekt2)
Vekt × Vekt
Determinante einer Matrix
det(Matr)
DET(Matr)
|Matr|
transponierte Matrix
MatrT
inverse Matrix
Matr–1
Matr–1
Matr–1
Matrix in Diagonalform
rref(Matr)
ROW_REDUCE(Matr)
zref(Matr)
Zufallszahl Z mit 0 < Z ≤ n
rand(n)
RANDOM(n)+1
floor(rnd(n)+1)
arithmetisches Mittel
mean({Z1,…,Zn })
AVERAGE(Z1,…,Zn)
mittelwert(Matr)
Standardabweichung
stdDev({Z1,…,Zn })
STDEV(Z1,…,Zn)
stdev(Matr)
nCr(n,k)
COMB(n,k)
combin(n,k)
()
Binomialkoeffizient nk
M Matr `
MatrT
M
M
In Abhängigkeit vom CAS (Computeralgebrasystem) können die Befehle eingegeben oder über ein Menü ak tiviert werden. Sie sind mit einem M gekennzeichnet, wenn sie ausschließlich über Menüs verwendet werden können. Die Syntax enthält den Namen des Befehls und in Kursivschrift die mit einzugebenden Parameter.
Physik Konstanten, Größen und Einheiten Physikalische Konstanten
(nach CODATA)
Fundamentale Naturkonstanten Größe
Formelzeichen
Wert
absoluter Nullpunkt atomare Masseeinheit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Ta u c
0 K = –273,15 °C 1,660 540 · 10 –27 kg 2,997 924 58 · 108 m · s–1
avogadro-Konstante (avogadro-Zahl) BoltzMann-Konstante coMPton-Wellenlänge des Elektrons
NA k λ C
6,022 140 76 · 1023 · mol–1 1,380 649 · 10–23 J · K–1 2,426 310 · 10–12 m
Faraday-Konstante
F
9,648 534 · 104 A · s · mol–1
LoschMidt-Konstante plancksches Wirkungsquantum (Planck-Konstante)
NL h
2,686 778 · 1025 m–3 6,626 070 15 · 10–34 J · s
RydbErg-Konstante
RH
1,097 373 · 107 m–1
RydbErg-Frequenz StEfan-BoltzMann-Konstante Solarkonstante für die Erde
Ry σ S
3,289 841 · 1015 Hz 5,670 400 · 10 – 8 W · m–2 · K– 4 1,367 · 103 W · m–2
Tripelpunkt von Wasser universelle Gaskonstante wiensche Konstante
Ttr R k
273,16 K = 0,01 °C 8,314 472 J · K–1 · mol–1 2,897 769 · 10–3 m · K
G, γ ε0 μ0
6,673 · 10–11 m3 · kg–1 · s–2 8,854 188 · 10–12 A · s · V –1 · m–1 4π · 10–7 V · s · A–1 · m–1 = 1,256 637 · 10– 6 V · s · A–1 · m–1
V0 p0 g0 T0, θ0
22,414 l · mol–1 101 325 Pa = 1,013 25 bar 9,806 65 m · s–2 ≈ 9,81 m · s–2 T0 = 273,15 K θ0 = 0 °C
e me
1,602 176 634 · 10–19 C 9,109 381 88 · 10–31 kg
Feldkonstanten Gravitationskonstante elektrische Feldkonstante magnetische Feldkonstante Normgrößen molares Normvolumen Normdruck Normfallbeschleunigung (Ortsfaktor) Normtemperatur Elementarteilchen Elektron Ladung (Elementarladung) Ruhemasse
spezifische Ladung
Neutron Ruhemasse Proton Ruhemasse
71
Ph
Konstanten, Größen und Einheiten
e } m
1,758 820 · 1011 C · kg–1
mn mp
1,674 927 16 · 10–27 kg 1,672 621 58 · 10–27 kg
e
72
Physik
Ph
Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems (SI) Name
Zeichen
Definition
Meter
m
Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.
Kilogramm
kg
Das Kilogramm wird durch die Planck-Konstante h definiert: h 1 kg = }} m–2 s –34
Sekunde
s
Die Sekunde ist das 9 192 631 770-Fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids Cs-133 (Caesium) entsprechenden Strahlung.
Ampere
A
Das Ampere entspricht dem Stromfluss von 1/(1,602 176 634 · 10–19) Elementarladungen (Elektronen) pro Sekunde. –1 e 1 A = }} s –19
( 6,626 070 15 · 10 )
(6,602 176 634 · 10 )
Kelvin
K
Das Kelvin entspricht einer Änderung der thermodynamischen Temperatur, welche eine Änderung der thermischen Energie um 1,380 649 · 10–23 J bewirkt.
Mol
mol
Das Mol enthält exakt 6,022 140 76 · 1023 Einzelteilchen. Diese Zahl wird Avogadro-Zahl genannt und entspricht der Avogadro-Konstante NA, wenn diese in der Einheit mol–1 angegeben wird.
Candela
cd
Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt durch ein Steradiant beträgt.
Ausgewählte Größen und Einheiten im Überblick Größe
Formelzeichen
Einheiten und Einheitenzeichen
Beziehungen zwischen den Einheiten
Aktivität (b S. 112)
A
Becquerel Bq
1 Bq
= 1 s–1
Äquivalentdosis (b S. 112)
H
Sievert Sv rem
1 Sv 1 rem
= 1 J · kg–1 = 10–2 Sv
Arbeit (b S. 91, 92)
W
Joule J Newtonmeter N · m Wattsekunde W · s Kilowattstunde kW · h
1 J 1 kW · h
= 1 kg · m2 · s–2 = 1 N · m = 1 W · s = 3,6 · 106 W · s
Beleuchtungsstärke (b S. 110)
E
Lux lx
1 lx
= 1 lm · m–2
Beschleunigung (b S. 87 f.)
a, g
Meter durch Quadratsekunde
1 m · s–2 = 1 N · kg–1
Brennweite (b S. 109)
f
Meter m
Brechwert (Brechkraft) (b S. 109)
D
Dioptrie dpt
elektrische (b S. 100)
m · s–2
1 dpt
= 1 m–1
Konstanten, Größen und Einheiten
Formelzeichen
Einheiten und Einheitenzeichen
Beziehungen zwischen den Einheiten
Dichte (Massendichte) (b S. 76, 92)
ρ
Kilogramm durch Kubikmeter kg · m–3 1 kg · m–3 = 10–3 g · cm–3 Gramm durch Kubikzentimeter g · cm–3 1 g · cm–3 = 103 kg · m–3
Drehimpuls (b S. 91)
L
Newtonmetersekunde
Drehmoment (Kraft moment) (b S. 86)
M
Newtonmeter
Drehzahl (b S. 89)
n
durch Sekunde
Druck (b S. 92)
p
Energie (b S. 91, 94, 104, 112) innere (b S. 97) elektrische (b S. 103)
N · m · s
1 N · m · s = 1 kg · m2 · s–1 1 N · m
= 1 kg · m2 · s–2
1 s–1
= 60 min–1
Pascal Pa Bar bar Atmosphäre at Torr (Millimeter Quecksilbersäule) mmHg Meter Wassersäule mWs
1 Pa 1 bar 1 at 1 Torr 1 mWs
= 1 N · m–2 = 105 Pa = 9,81 · 104 Pa = 0,981 bar = 133,32 Pa = 9,81 · 103 Pa
E, U
Joule J Newtonmeter N · m Wattsekunde W · s Elektronenvolt eV Steinkohleneinheit SKE
1 J 1 eV 1 kg SKE
= 1 kg · m2 · s–2 = 1 N · m = 1 W · s = 1,602 177 · 10–19 J = 29,3 MJ
Energiedosis (b S. 112)
D
Gray Gy
1 Gy
= 1 J · kg–1 = 1 m2 · s–2
Enthalpie (b S. 97)
H
Joule J
1 J
= 1 kg · m2 · s–2
Entropie (b S. 97)
S
Joule durch Kelvin
1 J · K–1
= 1 kg · m2 · s–2 · K–1
Feldstärke, elektrische (b S. 102)
E
Volt durch Meter
V · m–1
1 V · m–1 = 1 kg · m · s–3 · A–1 = 1 N · C–1
Feldstärke, magnetische (b S. 104)
H
Ampere durch Meter
A · m–1
1 A · m–1 = 1 kg · m · s–3 · V–1 = 1 N · Wb–1
Fläche, Flächeninhalt
A
Quadratmeter m2
N · m s–1
J · K–1
Hektar ha Ar a
1 m2 1 ha 1 a
= 102 dm2 = 104 cm2 = 104 m2 = 102 m2
Fluss, elektrischer (b S. 102)
Ψ
Coulomb C
1 C
= 1 A · s
Fluss, magnetischer (b S. 104)
Φ
Weber Wb
1 Wb
= 1 V · s = 1 m2 · kg · s–2 · A–1
Flussdichte, elektrische (b S. 102)
D
Coulomb durch Quadratmeter
Flussdichte, magnetische (b S. 104)
B
Tesla T
1 T
= 1 Wb · m–2 = 1 V · s · m–2 = 1 N · m–1 · A–1
Frequenz (b S. 94, 108)
f
Hertz Hz
1 Hz
= 1 s–1
Geschwindigkeit (b S. 87 ff.), Ausbreitungsgeschwindigkeit (b S. 94, 107 f.)
v, u, c
Meter durch Sekunde m · s–1 Kilometer durch Stunde km · h–1 Knoten kn
1 m · s–1 1 km · h–1 1 kn
= 3,6 km · h–1 = 0,28 m · s–1 = 1 sm · h–1 = 1 852 m · h–1
C · m–2
1 C · m–2 = 1 A · s · m–2
Ph
Größe
73
Ph
74
Physik
Größe
Formelzeichen
Einheiten und Einheitenzeichen
Beziehungen zwischen den Einheiten
Impuls (Bewegungs größe) (b S. 89)
p
Kilogramm mal Meter durch Sekunde
Induktivität (b S. 105)
L
Henry H
1 H
= 1 Wb · A–1 = 1 m2 · kg · s–2 · A–2
Kapazität, elektrische (b S. 103)
C
Farad F
1 F
= 1 A · s · V –1
Kraft (b S. 86 f.)
F
Newton N Kilopond kp
1 N 1 kp
= 1 kg · m · s–2 = 1 J · m–1 = 9,81 N
N · s
1 N · s
= 1 kg · m · s–1
s–1
1 s–1
= 60 min–1 = 1 A · s
kg · m · s–1 1 kg · m · s–1 = 1 N · s
Kraftstoß (b S. 89)
I
Newton mal Sekunde
Kreisfrequenz (b S. 108)
ω
durch Sekunde
Ladung, elektrische (b S. 102)
Q
Coulomb C
1 C
Länge
l
Meter m
Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 m = 103 mm
Lautstärkepegel (Lautstärke) (b S. 94)
LN
Phon phon
Leistung (b S. 92, 98, 100, 105)
P
Watt W
Leitfähigkeit, elektrische (b S. 100)
γ, κ
Siemens durch Meter
Leuchtdichte (b S. 110)
LV
Candela durch Quadratmeter cd · m–2
Leuchtkraft (b S. 115)
L
Joule durch Sekunde
Lichtstärke (b S. 110)
l V
Candela cd
Basiseinheit des SI (b S. 72)
Lichtstrom (b S. 110)
Φ V
Lumen lm
1 lm
Masse (b S. 72)
m
Kilogramm kg Tonne t
Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 t = 103 kg
Schwingungsdauer (Periodendauer) (b S. 107, 108)
T
Sekunde s
b Zeit
Potenzial, elektrisches (b S. 100, 103)
φ
Volt V
1 V
Schalldruckpegel (b S. 94)
LA
Dezibel dB
Schallintensität (b S. 94)
I
Watt durch Quadratmeter
Spannung, elektrische (b S. 100)
U, u
Volt V
1 V
Stoffmenge (b S. 72)
n
Mol mol
Basiseinheit des SI (b S. 72)
Stromstärke, elektrische (b S. 72, 100)
I, i
Ampere A
Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 A = 1 kg · m2 · s–3 · V–1
S · m–1
J · s–1
W · m–2
1 W
= 1 J · s–1 = 1 V · A = 1 kg · m2 · s–3 = 1 N · m · s–1
1 S · m–1 = 1 Ω –1 · m–1 = 10–6 m · Ω–1 · mm–2
1 J · s–1 = 1 W
= 1 cd · sr
= 1 kg · m2 · s–3 · A–1
1 W · m–2 = 1 kg · s–3 = 1 kg · m2 · s–3 · A–1
Größe
Formelzeichen
Einheiten und Einheitenzeichen
Beziehungen zwischen den Einheiten
Temperatur (b S. 72, 95)
T
Kelvin K Grad Celsius °C Grad Fahrenheit °F Grad Réaumur °R
Basiseinheit des SI (b S. 72) 0 °C = 273,15 K 32 °F = 0 °C 212 °F = 100 °C 0 °R = 0 °C 80 °R = 100 °C
Trägheitsmoment (b S. 90)
J
Kilogramm mal Quadratmeter
1 kg · m2 = 1 N · m · s2
kg · m2
Vergrößerung eines opti V schen Gerätes (b S. 109)
1
Volumen
V
Kubikmeter m3 Liter l Registertonne RT
1 m3 1 l 1 RT
= 103 dm3 = 106 cm3 = 1 dm3 = 2,832 m3
Wärme, Wärmemenge (b S. 95 ff.)
Q
Joule J
1 J 1 cal
= 1 N · m = 1 kg · m2 · s–2 = 1 W · s = 4,19 J
Kalorie cal Wärmekapazität (b S. 95) Cth
Joule durch Kelvin
J · K–1
1 J · K–1 = 1 W · s · K–1
Wärmeleitwiderstand (b S. 95)
Rλ
Kelvin durch Watt
K · W –1
Wärmestrom (b S. 95)
Φth
Watt W
1 W
Weg (b S. 87 ff.)
s
Meter m
b Länge
Wellenlänge (b S. 94, 107 f., 110 f.)
λ
Meter m
b Länge
Widerstand, ohmscher (b S. 105)
R
Ohm Ω
1 Ω
= 1 V · A–1 = 1 S–1 = 1 m2 · kg · s–3 · A–2
Widerstand, induktiver (b S. 105)
XL
Ohm Ω
1 Ω
= 1 V · A–1
Widerstand, kapazitiver (b S. 105)
XC
Ohm Ω
1 Ω
= 1 V · A–1
Winkel (b S. 89)
α, β γ, φ
Radiant rad
1 rad
=} 180° = 57,296° π
Grad °
1°
π =} 180° rad
1 K · W –1 = 1 K · s3 · kg–1 · m–2
Winkelbeschleunigung (b S. 89)
α
durch Quadratsekunde
s–2
Winkelgeschwindigkeit (b S. 89)
ω
durch Sekunde
s–1
Wirkungsgrad (b S. 92, 98, 106)
η
Zeit, Zeitspanne, Dauer (b S. 72)
t
Sekunde s Minute min Stunde h Tag d
= 1 J · s–1
= 0,017 45 rad s–2
1
1 s–1
= 3 600 min–2 = 1 rad · s–2 = 60 min–1 = 1 rad · s–1
1 oder in %
Jahr a
Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 1 440 min = 86 400 s 1 a = 365 d oder 366 d
75
Ph
Konstanten, Größen und Einheiten
76
Physik
Wertetabellen
Ph
Dichte ρ von festen Stoffen und Flüssigkeiten (b Ch, S. 116 – 125) feste Stoffe
Flüssigkeiten
ρ in g · cm–3 Stoff
Stoff Aluminium Beton Blei
2,70 1,8 … 2,4
bei 20 °C und 101,3 kPa
ρ in g · cm–3 Stoff
ρ in g · cm–3
Kupfer
8,96
Aceton (Propanon)
Messing (30 % Zn)
8,5
Benzin
0,79 0,70 … 0,78
11,35
Papier
0,7 … 1,2
Benzol (Benzen)
0,87
Diamant
3,51
Platin
21,45
Dieselkraftstoff
0,84 … 0,88
Eis (bei 0 °C)
0,92
Polypropylenfolie
Erdöl
0,73 … 0,94
7,86
Porzellan
Eisen Glas (Fensterglas) Gold
2,4 … 2,7 19,32
Gummi
Schnee (pulvrig) Silber
0,9 … 1,2
Holz (lufttrocken)
0,91 2,2 … 2,5 0,1
Methanol
0,79
Quecksilber
10,50
13,53
Salpetersäure 50 %
1,31
Silicium
2,33
65 %
1,40
Stahl
7,85
Salzsäure 37%
1,18
Buche
0,73
Styropor
0,03
schweres Wasser
1,10
Eiche
0,86
Zement
3,1 … 3,2
Spiritus (Ethanol 96 %)
0,83
Fichte
0,47
Ziegel
1,2 … 1,9
Transformatorenöl
0,87
8,8
Zink
7,13
Wasser destilliert
1,00
0,2 … 0,3
Zinn
7,29
Meerwasser
1,02
Konstantan Kork
Dichte ρ von Gasen (b Ch, S. 116 – 125) Stoff
bei 0 °C und 101,3 kPa
ρ in kg · m–3 Stoff
ρ in kg · m–3 Stoff
ρ in kg · m–3
Ammoniak
0,77
Kohlenstoffmonooxid
1,25
Sauerstoff
1,43
Chlor
3,21
Luft (trocken)
1,29
Stickstoff
1,25
Methan
0,72
Wasserdampf (100 %)
0,61
Erdgas (trocken)
≈ 0,7
Helium
0,18
Ozon
2,14
Wasserstoff
0,09
Kohlenstoffdioxid
1,98
Propan
2,02
Xenon
5,85
Reibungszahlen Stoff Beton auf Kies
Es sind Durchschnittswerte angegeben. Haftreibungszahl μ0
Rollreibungszahl μF (Fahrwiderstandszahl)
–
–
–
0,6
–
Holz auf Holz
0,6
0,5
–
Reifen auf Asphalt trocken nass
0,8 0,5
0,5 0,3
0,02 –
Stahl auf Eis
0,03
0,01
–
Stahl auf Stahl trocken geschmiert
0,15 0,10
0,10 0,05
0,002 0,001
Bremsbelag auf Stahl
0,8 … 0,9
Gleitreibungszahl μ
Wertetabellen
Luftwiderstandszahlen c w (Luftwiderstandsbeiwerte) cw
Körper
Durchschnittswerte cw
Scheibe
→
1,1
Pkw
Kugel
→
0,45
Omnibus
0,6 … 0,7
Halbkugel
→
0,3 … 0,4
Lkw
0,6 … 1,0
Schale
→
1,3 … 1,5
Motorrad
0,6 … 0,7
Rennwagen
0,15 … 0,2
Stromlinienkörper →
0,06
0,25 … 0,45
Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe
Ph
Körper
bei Normalatmosphäre
Höhe in m
Druck in hPa
Höhe in m
Druck in hPa
Höhe in m
Druck in hPa
0 100 200 300 400 500 1 000
1 013,25 1 001,3 989,5 977,7 966,1 954,6 898,8
2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000
795,0 701,1 616,4 540,2 471,8 410,6 356,0
9 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000
307,4 264,4 193,3 141,0 102,9 75,1 54,8
Lautstärke LN, Schalldruck p und Schallintensität I
bei 1 000 Hz und Normbedingungen in Luft
Lautstärke in phon
Schalldruck in N · m–2
Schallinten Beispiel sität in W · m–2
0
2 · 10–5
10–12
Hörschwelle
20
2 · 10– 4
10–10
übliche Wohngeräusche, Flüstern, ruhiger Garten
40
–3
–8
leise Rundfunkmusik, normales Sprechen
– 6
Unterhaltungslautstärke, Staubsauger
2 · 10
10
–2
60
2 · 10
10
80
2 · 10–1
10– 4
üblicher Lärm im Straßenverkehr, laute Rundfunkmusik im Zimmer
100
2
10–2
Presslufthammer, laute Autohupe
120
2 · 10
1
Donner, Flugzeugpropeller in geringer Entfernung
140
2 · 102
102
Schmerzschwelle, Gehörschädigung schon bei kurz zeitiger Einwirkung
Häufig wird die physiologische Größe Lautstärke durch die physikalische Größe Schallpegel (gemessen in dB) ersetzt.
Frequenzen der Töne der eingestrichenen Oktave
} Oktave: 12 Schritte mit einer Länge von je √ 2 = 1,059 46
gleichmäßig temperierte Stimmung Ton relative Frequenzen absolute Frequenzen in Hz
c'
d'
e'
f'
12
g'
a'
b'
h'
c''
1,000 00 1,122 46 1,259 92 1,334 84 1,498 31 1,681 79 1,781 80 1,887 75 2,000 00 261,63
293,67
329,63
349,23
77
392,00
440,00
466,16
493,88
523,25
78
Physik
Schallgeschwindigkeit c feste Stoffe (bei 20 °C) Stoff
Ph
Flüssigkeiten (bei 20 °C) –1
c in m · s
Gase (bei 0 °C und 101,3 kPa) –1
Stoff
c in m · s
c in m · s–1
Stoff
Aluminium
5 100
Benzol (Benzen)
1 330
Ammoniak
415
Beton
3 800
Ethanol
1 190
Helium
981
Holz (Eiche)
3 380
Propantriol (Glyzerin)
1 920
Kohlenstoffdioxid
258
Eis bei – 4 °C
3 250
Quecksilber
1 430
Luft bei –20°C bei 0°C bei + 20°C
320 332 344
Stahl
4 900
Toluol (Toluen)
1 350
Sauerstoff
316
Ziegelstein
3 500
Wasser bei 0°C bei 20°C
1 407 1 484
Wasserstoff
Längenausdehnungskoeffizient α fester Stoffe α in 10–5 K–1 Stoff
Stoff
1 280
zwischen 0 °C und 100 °C
α in 10–5 K–1 Stoff
α in 10–5 K–1
Aluminium
2,4
Glas (Fensterglas)
1,0
Silber
2,0
Beton
1,2
Gold
1,4
Silicium
0,2
Blei
2,9
Konstantan
1,5
Stahl
1,2
Cadmium
3,1
Kupfer
1,6
Wolfram
0,4
Eis (bei 0 °C)
5,1
Messing
1,8
Ziegelstein
0,5
Eisen
1,2
Porzellan
0,4
Zinn
2,7
Volumenausdehnungskoeffizient γ von Flüssigkeiten γ in 10–3 K–1 Stoff
Stoff
bei 20 °C
γ in 10–3 K–1 Stoff
γ in 10–3 K–1
Aceton (Propanon)
1,4
Methanol
1,1
Schwefelsäure
0,6
Benzin
1,0
Petroleum
0,9
Toluol (Toluen)
1,1
Ethanol
1,1
Quecksilber
0,18
Wasser
0,21
Spezifische Wärmekapazität c von festen Stoffen und Flüssigkeiten feste Stoffe zwischen 0 °C und 100 °C Stoff
c in
kJ · kg–1 · K–1
Stoff
Flüssigkeiten bei 20 °C c in
kJ · kg–1 · K–1
Stoff
c in kJ · kg–1 · K–1
Aluminium
0,90
Messing
0,38
Aceton
2,10
Beton
0,90
Porzellan
0,73
Benzol (Benzen)
1,70
Blei
0,13
Stahl
0,47
Ethanol
2,43
Eis (bei 0 °C)
2,09
Wolfram
0,13
Methanol
2,40
Glas
0,86
Ziegelstein
0,86
Petroleum
2,0
Konstantan
0,42
Zink
0,39
Quecksilber
0,14
Kupfer
0,39
Zinn
0,23
Wasser
4,19
Wertetabellen
Spezifische Wärmekapazität von Gasen bei konstantem Druck cp und bei konstantem Volumen c V, spezifische Gaskonstante Rs
bei 0 °C
c V in kJ · kg–1 · K–1
Rs in J · kg–1 · K–1
Ammoniak
2,05
1,56
488
Helium
5,24
3,22
2 077
Kohlenstoffdioxid
0,85
0,65
189
Luft
1,01
0,72
287
Sauerstoff
0,92
0,65
260
Stickstoff
1,04
0,75
297
Wasserdampf Wasserstoff
1,86
1,40
462
14,28
10,13
4 124
Ph
cp in kJ · kg–1 · K–1
Stoff
Der Quotient cp : c V ergibt den Adiabatenkoeffizienten κ.
Wärmeleitfähigkeit λ
bei 20 °C und 101,3 kPa
feste Stoffe Stoff
λ in Stoff W · m–1 · K–1
Aluminium Beton Blei
234 1,1 35
Flüssigkeiten λ in Stoff W · m–1 · K–1
Kupfer Stahl
2,2
Ziegelstein
Holz (Eiche)
0,2
Zinn
Gase
λ in Stoff W · m–1 · K–1
λ in W · m–1 · K–1
398
Benzol (Benzen)
0,14
Helium
0,143
41 … 58
Ethanol
0,2
Luft
0,025
Quecksilber
8,7
Sauerstoff
0,024
Terpentin
0,14
Stickstoff
0,024
Wasser
0,6
Wasserstoff
0,17
Wolfram
Eis (bei 0°C)
169 0,4 … 0,8 63
Wärmeübergangskoeffizient α Körper
Richtwerte α in W · m–2 · K–1
Außenfenster
12
Außenseite geschlossener Räume
23
Innenflächen geschlossener Räume Innenfenster, Wandflächen Fußboden, Decken
8 7
ruhendes Wasser um Rohre
350 … 600
siedendes Wasser an Metallflächen
3 500 … 6 000
siedendes Wasser in Rohren
4 700 … 7 000
Wärmedurchgangskoeffizient U Körper
Richtwerte U in W · m–2 · K–1
Außenwand (Hohlziegel) ungedämmt mit Dämmschicht (8 cm)
1,3 0,4
Glasscheiben einfach doppelt (6 mm Abstand)
5,8 3,5
Ziegeldach ungedämmt mit Dämmschicht (10 cm)
6,0 0,4
79
80
Physik
Schmelztemperatur θs (b Ch, S. 116 – 125) und spezifische Schmelzwärme qs
Ph
Stoff
θs in °C
Aluminum
660
Blei
327
qs in kJ · kg–1 396
θs in °C
Aceton
–94,7
82
Ethanol
–114,1
105
0
334
Methanol
–97,7
69
Eisen
1 540
275
Quecksilber
–38,9
Kupfer
1 083
205
Ammoniak
–78
339
Silber
961
104
Helium
–270
–
Stahl
≈ 1 500
270
Sauerstoff
–218,4
14
192,6
Stickstoff
–210
26
Wasserstoff
–259,1
59
Eis
Wolfram Zinn
3 410
24,8
qs in kJ · kg–1
Stoff
232
59
12
Siedetemperatur θv (b Ch, S. 116 – 125) und spezifische Verdampfungswärme qv qv in kJ · kg–1
θv in °C
qv in kJ · kg–1
Aceton
56
525
Benzol (Benzen)
80
394
6 322
Ethanol
78
845
2 970
1 578
Quecksilber
356,6
4 830
–
Wasser
100
2 256
Kupfer
2 600
4 650
Ammoniak
–33
1 370
Silber
2 210
2 357
Kohlenstoffdioxid
–78
574
Wolfram
5 500
4 190
Stickstoff
–195,8
198
Zinn
2 270
2 386
Wasserstoff
–252,5
455
Stoff
θv in °C
Aluminium
2 450
10 500
Blei
1 740
871
Eisen
3 000
Gold Graphit
Stoff
285
Maximale absolute Feuchte ρ w,max bei verschiedener Temperatur ρ w, max in g · m–3
θ in °C
ρ w, max in g · m–3
θ in °C
–10
2,14
2
5,6
14
12,1
– 8
2,54
4
6,4
16
13,6
– 6
2,99
6
7,3
18
15,4
– 4
3,51
8
8,3
20
17,3
–2
4,13
10
9,4
22
19,4
0
4,84
12
10,7
24
21,8
θ in °C
ρ w, max in g · m–3
Heizwert H (unterer Heizwert) von Stoffen (spezifischer Heizwert) Feste Stoffe
H in MJ · kg–1
Braunkohle
8 … 15
Benzin
40 … 42 Erdgas (30 … 32 MJ · l–1)
42 (31 MJ · m–3)
Braunkohlenbriketts
20
Diesel
43 (36 MJ · l–1)
Propan
47 (94 MJ · m–3)
Holz (trocken)
8 … 16
Heizöl
42,6 (37 MJ · l–1)
Stadtgas
28 (17 MJ · m–3)
Steinkohle
27 … 33
Petroleum
51 (41 MJ · l–1)
Wasserstoff
120 (11 MJ · m–3)
Flüssigkeiten
H in MJ · kg–1
Gase
H in MJ · kg–1
Wertetabellen
81
Druckabhängigkeit der Siedetemperatur von Wasser Siedetemperatur in °C
Druck in kPa
Siedetemperatur in °C
50 60 70 80 90 100 101,325
81,34 85,95 89,96 93,51 96,71 99,63 100,00
105 200 300 400 500 800 1 000
101,0 120,2 133,5 143,6 151,8 170,4 180,0
Spezifischer elektrischer Widerstand ρ und elektrische Leitfähigkeit γ Leiter
ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1
Isolatoren
Alumi nium
0,028
3,6 · 107
Bernstein
Eisen
0,10
1,0 · 107
Glas
Gold
0,022
4,5 · 107
Kons tantan
0,50
2 · 106
Kupfer
0,017
5,9 · 107
ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1 > 1022
< 10–16
andere Stoffe
Ph
Druck in kPa
bei 20 °C
ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1
Blut
1,6 · 106
0,63
1013 … 1017 10–11 … 10–7
Fett gewebe
3,3 · 107
0,03
Glimmer
1015 … 1017 10–11 … 10 –9
Kochsalzlösung (10 %)
7,9 · 104
Holz (trocken)
1010 … 1015
Kupfersulfatlösung (10 %)
3,0 · 105
3,3
Papier
1015 … 1016 10 –10 … 10–9
Meer wasser
5,0 · 105
2,0 0,50
10 –9 … 10 – 4
13
Silber
0,016
6,3 · 107
Polypropylenfolie
1011
10–5
Muskel gewebe
2,0 · 106
Stahl
0,10…0,20
5 · 106 … 10 · 106
Porzellan
1018
10–12
Salzsäure (10 %)
1,5 · 104
67
0,053
1,9 · 107
Wasser (destilliert)
1010
10–4
Schwefelsäure (10 %)
2,5 · 104
40
Wolfram
Hall-Konstante RH RH in 10–11 m3 · C –1
Stoff
RH in 10–11 m3 · C –1
Stoff
Aluminium
–3,5
Palladium
–8,6
Cadmium
+5,9
Platin
–2,0
Gold
–7,2
Silber
– 8,9
Kupfer
–5,2
Zink
+6,4
Austrittsarbeit WA von Elektronen aus Metallen Stoff
WA in eV
Stoff
WA in eV
Aluminium
WA in eV 4,20
Stoff Cadmium
4,04
Platin
5,36
Barium
2,52
Caesium
1,94
Wolfram
4,54
Barium auf Wolframoxid
1,3
Caesium auf Wolfram
1,4
Zink
4,27
82
Physik
Permittivitätszahl (relative Permittivität) εr Stoff
Ph
Bernstein Glas
bei 20 °C
εr
Stoff
εr
2,8
Luft
1,000 6
εr
Porzellan
5 … 6,5
5 … 16
Methanol
Glimmer
5…9
Papier
1,2 … 3,0
Vakuum
1
Holz
3 … 10
Paraffin
2,0
Wasser
81
Polypropylenfolie
2,2
Wasserstoff
keramische Werkstoffe
10 … 50 000
34
Stoff
Transformatorenöl
2,2 … 2,5
1,000 3
Permeabilitätszahl (relative Permeabilität) μr diamagnetische Stoffe Stoff
bei 20 °C
paramagnetische Stoffe μr
Stoff
ferromagnetische Stoffe μr
Stoff
μr
Antimon
0,999 884
Aluminium
1,000 02
Cobalt
Gold
0,999 971
Chromium
1,000 28
Dynamoblech
Quecksilber
0,999 966
Eisen(III)-chlorid
1,003 756
Eisen
250 … 680
Wasser
0,999 991
Luft
1,000 000 37
Nickel
280 … 2 500
Zink
0,999 986
Platin
1,000 2
Sonderlegierungen
Brechzahl n und Lichtgeschwindigkeit c Stoff
n
c in km · s–1
Benzol (Benzen)
1,50
200 000
Diamant
2,42
124 000
Eis
1,31
229 000
Flintglas leicht schwer
1,61 1,75
186 000 171 000
Flussspat
1,43
210 000
Glimmer
1,58
190 000
Kalkspat ordentlich außerordentlich
1,66 1,49
181 000 201 000
Kanadabalsam
1,54
195 000
Kronglas leicht schwer
1,51 1,61
199 000 186 000
Luft
1,000 292
299 711
Plexiglas
1,49
201 000
Polystyrol
1,59
189 000
Quarzglas
1,46
205 000
Schwefelkohlenstoff
1,63
184 000
Wasser
1,33
225 000
80 … 200 200 … 3 000
bis 900 000
Spektrallinien einiger Elemente Element
λ in nm
Argon
404,44 420,01 425,94 434,81
Barium
455,40 493,41 553,55
Helium
471,32 501,57
Natrium
588,995 (D2) 589,592 (D1)
Neon
540,06 588,19 638,30
Quecksilber
435,83 578,97 579,01
Wasserstoff (BalMer-Serie)
410,17 (Hδ ) 434,05 (Hγ ) 486,13 (Hβ ) 656,28 (Hα )
Zink
468,01 472,22 481,05
Wertetabellen
83
Spektrum elektromagnetischer Wellen Frequenz in Hz
Wellenlänge in m
4
Wechselstrom
bis 104
bis 3 · 10
Ph
Bezeichnung
hertzsche Wellen Langwellen (LW) Mittelwellen (MW) Kurzwellen (KW) Ultrakurzwellen (UKW, VHF, UHF)
3 · 104 … 3 · 105 3 · 105 … 3 · 106 3 · 106 … 3 · 107 3 · 107 … 3 · 109
104 … 103 103 … 102 102 … 10 10 … 0,1
Mikrowellen
3 · 109 … 1012
0,1 … 3 · 10– 4
Lichtwellen infrarotes Licht sichtbares Licht rotes Licht oranges Licht gelbes Licht grünes Licht blaues Licht violettes Licht ultraviolettes Licht
1012 … 3,8 · 1014 3,8 · 1014 … 7,7 · 1014 3,8 · 1014 … 4,8 · 1014 4,8 · 1014 … 5,0 · 1014 5,0 · 1014 … 5,3 · 1014 5,3 · 1014 … 6,1 · 1014 6,1 · 1014 … 7,0 · 1014 7,0 · 1014 … 7,7 · 1014 7,7 · 1014 … 3 · 1016
3 · 10– 4 … 7,8 · 10–7 780 · 10–9 … 390 · 10–9 (780 nm … 390 nm) 780 · 10–9 … 620 · 10–9 (780 nm … 620 nm) 620 · 10–9 … 600 · 10–9 (620 nm … 600 nm) 600 · 10–9 … 570 · 10–9 (600 nm … 570 nm) 570 · 10–9 … 490 · 10–9 (570 nm … 490 nm) 490 · 10–9 … 430 · 10–9 (490 nm … 430 nm) 430 · 10–9 … 390 · 10–9 (430 nm … 390 nm) 3,9 · 10–7 … 10–8
Röntgenstrahlung
3 · 1016 … 5 · 1021
10–8 … 6 · 10–14
Gammastrahlung, kosmische Strahlung
größer als 3 · 1018
kleiner als 10–10
Halbwertszeit T1/2 und Art der Strahlung einiger Nuklide Nuklid
Halbwertszeit T1/2
Americium-241
Art der Strahlung
433 a
α, γ
30,17 a
β–
Cobalt-60
5,27 a
β–, γ
Iod-131
8,04 d
β–
Caesium-137
Kohlenstoff-14
β–
5 730 a
Krypton-85
10,76 a
β–, γ
Plutonium-238
87,74 a
α, γ
Radium-226
1 600 a
Radon-220
α, γ
55,6 s
α
7,1 · 108 a 4,5 · 109 a
Uran -235 -238
α α
Mittlerer Qualitätsfaktor q Strahlungsart
Qualitätsfaktor q
β -Strahlung γ -Strahlung Röntgenstrahlung
thermische Neutronen
schnelle Neutronen
α -Strahlung
schwere Ionen
1
2,3
10
20
20
84
Physik
Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt) U
Ph
92
U 222 U 223
238,029
1 µs
α 5,3 ms
231,036
α : 8,24
Th
90
α: 8,78
U 224 U 225 U 226 0,7 ms
α: 8,47
95 ms
α: 7,88
0,2 s
α : 7,57
Pa 213 Pa 214 Pa 215 Pa 216 Pa 217 Pa 218 Pa 219 Pa 220 Pa 221 Pa 222 Pa 223 Pa 224 Pa 225
Pa
91
18 µs
17 ms
α : 8,12
14 s
α : 8,09
0,2 s
α : 7,87
4,9 ms
α : 8,33
0,12 ms
α : 9,61
53 ns
0,78 µs
α : 9,90
α : 9,65
5,9 µs
α : 9,08
4,3 ms
α : 8,21
6,5 ms
0,95 s
α : 8,01
1,8 s
α : 7,555 α : 7,25
Th 212 Th 213 Th 214 Th 215 Th 216 Th 217 Th 218 Th 219 Th 220 Th 221 Th 222 Th 223 Th 224
232,038
30 ms
0,14 s
0,10 s
1,2 s
28 ms
α : 7,80
α : 7,69
α : 7,68
α : 7,39
α : 7,92
252 µs
α : 9,25
0,1 µs
1,05 µs
α : 9,67
α : 9,34
9,7 µs
α : 8,79
1,68 ms
α : 8,15
2,2 ms
0,66 s 1,04 s γ : 0,140 γ : 0,177 α : 7,324 α : 7,17
α : 7,98
Ac 209 Ac 210 Ac 211 Ac 212 Ac 213 Ac 214 Ac 215 Ac 216 Ac 217 Ac 218 Ac 219 Ac 220 Ac 221 Ac 222 Ac 223 89
90 ms
0,35 s
α : 7,59
α : 7,46
0,25 s
α : 7,481
0,93 s
0,80 s
α : 7,38
α : 7,36
8,2 s
0,17 s
α : 7,214
α : 7,604
0,33 ms
0,069 µs
α : 9,028 α : 9,65
1,1 µs
11,8 µs
α : 9,205
α : 8,664
Ra 208 Ra 209 Ra 210 Ra 211 Ra 212 Ra 213 Ra 214 Ra 215 Ra 216 Ra 217 Ra 218 88
1,3 s
4,6 s
α : 7,133 α : 7,010
3,7 s
α : 7,019
13 s
13 s
2,74 min 2,46 s ε , γ : 0,110 ε α : 6,911 α : 6,9006 α : 6,624 α : 7,136
1,6 ms
0,18 µs
1,6 µs
α : 8,699 α : 9,349
α : 8,99
25,6 µs
α : 8,39
26 ms γ : 0,134 α : 7,85
Anzahl der Protonen (Ordnungszahl, Kernladungszahl) Z
87
14,8 s 58,6 s 50,0 s 3,18 min 3,10 min 20,0 min 34,6 s ε γ : 0,636 ε ε , γ : 0,644 ε , γ : 0,540 ε , γ : 1,274 ε α : 6,767 α : 6,636 α : 6,648 α : 6,543 α : 6,535 α : 6,262 α : 6,775
5,0 ms
0,09 µs
0,70 µs
α : 8,426 α : 9,36
α : 9,01
5,0 s
2,10 min
α : 7,009
α : 6,647
219 Ra 220
221 Ra 222
218 Fr 219
220 Fr 221
10 ms γ : 0,316 α : 7,679
Fr 207 Fr 208 Fr 209 Fr 210 Fr 211 Fr 212 Fr 213 Fr 214 Fr 215 Fr 216 Fr 217
52 ms
α : 7,65
16 µs
22 ms
α : 8,315
α : 7,615
23 ms 28 s 38 s γ : 0,465 γ : 0,149 γ : 0,324 α : 7,46 α : 6,613 α : 6,559 21 ms
27,4 s γ : 0,045 α : 7,312 α : 6,68
4,9 min γ : 0,218 α : 6,341
Rn 206 Rn 207 Rn 208 Rn 209 Rn 210 Rn 211 Rn 212 Rn 213 Rn 214 Rn 215 Rn 216 Rn 217 Rn 218 Rn 219 Rn 220 5,67 min 9,3 min
24,4 min 28,5 min
α : 6,260
α : 6,138
2,4 h
14,6 h
24 min
α : 6,040
α : 5,783
α : 6,264
86 ε , γ : 0,498 ε , γ : 0,345 ε , γ : 0,427 ε , γ : 0,408 ε , γ : 0,458 ε , γ : 0,674 γ α : 6,133
α : 6,039
25 ms γ α : 8,09
2,3 µs
45 µs
α : 9,037 α : 8,67
0,27 µs
α : 8,05
0,54 ms 35 ms 3,96 s γ γ : 0,271 α : 7,740 α : 7,133 α : 6,819
55,6 s γ α : 6,288
At 205 At 206 At 207 At 208 At 209 At 210 At 211 At 212 At 213 At 214 At 215 At 216 At 217 At 218 At 219
85
26,2 min 29,4 min 1,8 h 1,63 h 5,4 h 8,3 h 7,22 h 314 µs ε , γ : 0,719 ε , γ : 0,701 ε , γ : 0,815 ε , γ : 0,686 ε , γ : 0,545 ε , γ : 1,181 ε γ : 0,063 α : 5,092 β+ : 3,1 α : 5,640 α : 5,647 α : 5,524 α : 5,867 α : 7,68 β+
0,11 µs
0,76 ms 0,1 ms γ γ α : 8,782 α : 8,026
α : 9,08
0,3 ms 32,3 ms 2s 0,9 min γ , β– β– γ γ , β– α : 7,804 α : 7,069 α : 6,694 α : 6,27
Po 204 Po 205 Po 206 Po 207 Po 208 Po 209 Po 210 Po 211 Po 212 Po 213 Po 214 Po 215 Po 216 Po 217 Po 218
84
3,53 h 1,66 h 8,8 d 5,84 h 2,898 a 102 a 138,38 d 25,2 s 45,1 s γ : 0,570 γ : 2,615 γ ε , γ : 0,884 ε , γ : 0,872 ε , γ : 1,032 ε , γ : 0,992 ε ε α : 5,377 α : 5,22 α : 5,2233 α : 5,116 α : 5,1152 α : 4,881 α : 5,3044 α : 7,275 α : 11,65
4,2 µs
α : 8,376
164 µs 1,78 ms 0,15 s 0
V
p W
Q
V V1 V2 p Druck V Volumen Qrev reversibel aufgenommene Wärme k BoltzMann-Konstante (b S. 71) W thermodynamische Wahr scheinlichkeit
Thermisches Verhalten des idealen Gases Normzustand des idealen Gases
thermische Zustands gleichung des idealen Gases
θ0 = 0 °C
T0 = 273,15 K
θ0,T0 Normtemperatur
p0 = 1,013 25 · 105 Pa = 101,325 kPa
p0 Normdruck
V0 = 2,241 4 · 10–2 m3 · mol–1
V0
Unter der Bedingung m = konstant gilt:
V Volumen p Druck T Temperatur n Stoffmenge Rs spezifische Gaskonstante (b S. 79) R universelle Gaskonstante (b S. 71) m Masse cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (b S. 79) cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (b S. 79) k BoltzMann-Konstante (b S. 71) M molare Masse NA Avogadro-Konstante (b S. 71)
p · V
p · V
p · V
T = konstant }
1 1 } = } 2T 2 T
p · V = n · R · T
p · V = m · Rs · T
Gaskonstanten
R Rs = } Rs = cp – cV M
R = k · NA
isotherme Zustands änderung (Gesetz von BoylE und MariottE)
Unter der Bedingung T = konstant gilt:
isobare Zustands änderung (Gesetz von Gay-Lussac)
Unter der Bedingung p = konstant gilt:
isochore Zustands änderung (Gesetz von aMontons)
Unter der Bedingung V = konstant gilt:
adiabatische Zustandsänderung (Gesetze von Poisson)
Unter der Bedingung Q = 0 gilt:
p · V = konstant
1
2
p1 · V1 = p2 · V2
V
V
V } = konstant }1 = }2 T T T 1
p
2
p
p } = konstant }1 = }2 T T T 1
p · V κ = konstant
( )
V κ – 1
T
1 } = } V2 T 2
1
2
p1 · V1κ = p2 · V2κ T
κ –1 } κ
( ) p
1 } 1 T = } p 2
molares Normvolumen
2
κ Adiabatenkoeffizient (Poisson-Konstante) (b S. 79) 5 κ = } 3 ≈ 1,67 (einatomiges Gas) 7 κ = } 5 ≈ 1,40 (zweiatomiges Gas)
98
Physik
Reale Gase 2
(
)
a, b van der waalssche Konstanten V Volumen R univers. Gaskonstante (b S. 71) T Temperatur n Stoffmenge
a · n p + } · (V – b · n) = n · R · T 2 V
Ph
van der waalssche Zustandsgleichung
Kinetische Theorie der Wärme Die folgenden Gleichungen gelten für das ideale Gas unter Normbedingungen. Anzahl der Gasteilchen N
N = NA · n
n Stoffmenge NA Avogadro-Konstante (b S. 71)
molares Volumen Vm
Vm = } V n
V Volumen
molare Masse M
M=} m n
m Masse
Masse eines Teilchens m T
m m T = } N
Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeits } quadrat der Teilchen v
} v =
wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen vW
m T = } NM A
} 3R · T
√ M }
R universelle Gaskonstante (b S. 71) Rs spezifische Gaskonstante (b S. 79) T Temperatur v Geschwindigkeit M molare Masse k BoltzMann-Konstante (b S. 71)
} √ ρ
} = √ 3Rs · T v ≈ } 3p }
} 2R · T vW = √ } 2Rs · T = } M
√
vW =
} 0,886 v
} mittlere kinetische E = } 3 k · T k = } NR } Energie E kin der Teilchen kin 2 A
Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
}
p · V = } 13 · N · mT · v 2 p · V = N · k · T
p · V = m · Rs · T
p · V = n · R · T
p · V = } 23 · N · E kin
}
}
p=} 13 ρ · v 2 innere Energie U
U=
} N · E kin
p Druck ρ Dichte (b S. 76)
U=} 12 f · n · R · T
f Anzahl der Freiheitsgrade (f = 3 für einatomiges Gas, f = 5 für zweiatomiges Gas)
Leistung und Wirkungsgrad Leistung von Wärmequellen Pth (thermische Leistung)
Pth = } tab
Qab abgegebene (nutzbare) Wärme t Zeit
Wirkungsgrad η von Wärmequellen
ab η = } Q
Qzu zugeführte (aufgewandte) Wärme
thermischer Wirkungsgrad η
Unter der Bedingung eines Carnotoder Stirling-Prozesses gilt:
Tzu Temperatur, bei der Wärme zugeführt wurde Tab Temperatur, bei der Wärme abgegeben wurde
Q
Q
zu
Q – Q
η=} zuQ ab zu
T
η=1–} Tab zu
Elektrizitätslehre
99
Elektrizitätslehre
L1 L2 L3 PEN
Leiter, Kabel, Stromweg
Buchse und Stecker
θ
NTC-Widerstand (Heißleiter)
Dreiphasen-Vierleitersystem
Spannungsquelle (allgemein)
θ
PTC-Widerstand (Kaltleiter)
Kreuzung von Leitern ohne Verbindung
galvanische Spannungsquelle (Batterie)
G
Leitungsverzweigung: fest, lösbar
Widerstand (allgemein)
M
Erde (allgemein)
stellbarer Widerstand
–
+
Generator
Motor
Kondensator stellbar
Schutzerde
Schalter als Schließer Öffner
Masse
Taster als Schließer Öffner
Fotowiderstand
Gehäuse
handbetätigter Schalter (allgemein)
Diode
Schutzisolierung
Glühlampe
Lichtemitterdiode (LED)
Sicherung
Glimmlampe
Fotoelement
Antenne
Spule, Drossel
npn-Transistor
Hörer
Spule mit Eisenkern
Lautsprecher
Transformator
Klingel
Dauermagnet
–
Elektrolyt kondensator
+
D G S
Feldeffekt transistor
V
Spannungs messgerät
A
Stromstärke messgerät
Ph
Schaltzeichen und Symbole
100
Physik
Einfacher Gleichstromkreis elektrische Spannung U
U = φ2 – φ1
Ph
U= elektrische Stromstärke I
W } Q
U = U0 – I · Ri U=
I=} dQ dt
PI }
U = I · R I=} ΔQ Δt
Unter der Bedingung eines stationären Stromes (I = konstant) gilt:
φ1 elektrisches Potential im Punkt 1 φ2 elektrisches Potential im Punkt 2 U0 Urspannung der Spannungsquelle Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle Q elektrische Ladung t Zeit
Q I = } t
U0
elektrischer Widerstand R
R=} UI
elektrischer Leitwert G
G=} R1
elektrische Leistung P
P = U · I
W P = } t
elektrische Arbeit W
W = P · t
W = U · I · t
ohmsches Gesetz
Unter der Bedingung θ = konstant gilt: ρ spezifischer elektrischer WiderU U stand (b S. 81) U ~ I } = konstant } = R I I l Länge des Leiters Unter der Bedingung θ = konstant gilt: A Querschnittsfläche
Widerstandsgesetz
A
I
R V
U
l R = ρ · } A
elektrische Leitfähigkeit γ
γ=} 1ρ
Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes
Unter der Bedingung kleiner Temperaturdifferenzen gilt: ΔR = α · R20 · Δθ mit Δθ = θ – 20 °C Rθ = R20 (1 + α · Δθ ) Unter der Bedingung größerer Temperaturdifferenzen gilt: R = R20 [1 + α · Δθ + β(Δθ)2]
Rθ Widerstand bei der Temperatur θ R20 Widerstand bei 20 °C θ Temperatur α, β Temperaturkoeffizienten (Temperaturbeiwerte)
Unverzweigter und verzweigter Gleichstromkreis Reihenschaltung von Widerständen
Parallelschaltung von Widerständen U
U I1
I
I R1, U1
R1, U1
R2, U2
R2, U2 I2
I = I1 = I2 = … = In
I = I1 + I2 + … + In
U = U1 + U2 + … + Un
U = U1 = U2 = … = Un
R = R1 + R2 + … + Rn
1 } = } R1 + } R1 + … + } R1 R
U1 R Spannungsteilerregel: } = } R1 U2 2
1 Stromteilerregel: } = } R2 I
1
2
n
I
R
2
1
Elektrizitätslehre
Reihenschaltung von Spannungsquellen
Parallelschaltung von Spannungsquellen U V
V
U1
U1
Ph
U
V
U2 V
U2
U = U1 + U2 + … + Un
Unter der Bedingung gleicher Spannungsquellen gilt: U = U1 = U2 = … = Un
1. kirchhoffsches Gesetz (Knotenpunktsatz)
2. kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz) R2
I4
I2
R1
I5
I1
U2
U1
R4
U3
U4
I3
n
S I zu= S I ab S I k= 0
n
n
m
i = 1
i = 1
k = 1
R3 U0,2
U0,1
S U i= S R i · Ii = S U 0, k
k = 1
Internationaler Farbcode für Widerstände der Reihen E6, E12, E24 Farbe
1. Ziffer
2. Ziffer
Multiplikator
Toleranz
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – –
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – –
×1Ω × 10 Ω × 100 Ω × 1 000 Ω × 10 000 Ω × 100 000 Ω × 1 000 000 Ω – – – × 0,1 Ω × 0,01 Ω
– ± 1 % ± 2 % – – – – – – – ± 5 % ± 10 %
Schwarz Braun Rot Orange Gelb Grün Blau Violett Grau Weiß Gold Silber
– 1. Ziffer – 2. Ziffer – Multiplikator – Toleranz
Ausgewählte Grundschaltungen Spannungsteilerschaltung (Potenziometerschaltung)
V U
R1 R2
101
Ra
V
U2
U Gesamtspannung U2 Teilspannung R1, R2 Teilwiderstände Ra Lastwiderstand
R
2 U2 = }} · U R · R 1 2 R1 + R2 + } R a
102
Physik
Zusammenhänge im vollständigen Stromkreis A
Ph
Ri
V
U0
I Ra
UK
Für die Klemmenspannung gilt: UK = U0 – (I · Ri) U
0 I=} R + R
Für die Stromstärke gilt:
i
Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle U0 Urspannung der Spannungsquelle (Leerlaufspannung) I Stromstärke Ra Außenwiderstand UK Klemmenspannung Ra → ∞
I=0
UK = U0
Kurzschluss: Ra → 0
U R0 } i
UK → 0
Leerlauf:
I=
Anpassung (maximale Leistung): Ra = Ri
a
Brückenschaltung (wheatstonesche Brücke)
U
R1
R3
U Gesamtspannung I Stromstärke in der Brücke R1, R2, R3, R4 Teilwiderstände
R4
1 Abgleichbedingung: I = 0 } = }3 R R
A I
R2
R
R
2
4
Elektrisches Feld elektrische Ladung Q
Q = N · e
N Anzahl der Elektronen e Elementarladung (b S. 71) I Stromstärke t Zeit
t2
E
Q = I (t) dt t1
Unter der Bedingung I = konstant gilt: Q = I · t coulombsches Gesetz
Unter der Bedingung, dass Punkt ladungen vorliegen, gilt: Q · Q
1 1 F = } · } 2 2 4 π · ε · ε 0
elektrische Feldstärke E
r
r
F E = } Q
Unter der Bedingung eines homogenen elektrisches Feldes gilt: U E = } s
elektrische Flussdichte D D = ε0 · εr · E (dielektrische Verschiebung) Dielektrizitätskonstante ε
ε = ε0 · εr
elektrischer Fluss ψ
ψ = D dA
F Kraft ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) r Abstand der Punktladungen voneinander
Q1
F
Q2
r s Abstand der Punkte, zwischen denen die Spannung U besteht A α
Für das Vakuum gilt: εr = 1
E
Unter der Bedingung D = konstant und D || A gilt: ψ = D · A
–F
A Fläche
D
Elektrizitätslehre
allgemein:
im Radialfeld:
s1
E
Q φ=} 4π · ε1 · ε · } r
φ = E (s) ds
0
s0
r
—
P0
s2
elektrische Spannung U
E
U = E (s) ds
U = Δφ = φ2 – φ1
In einem homogenen Feld gilt: W U = } Q
P2
P1
s1
φ1 elektrisches Potential im Punkt P1 φ2 elektrisches Potential im Punkt P2 s Weg W Arbeit im elektrischen Feld Q Ladung
U = E · s
Kondensatoren Kapazität C eines Kondensators
C=} Q U
Durchschlagsfestigkeit Ed
Ed = } U d
elektrische Feldstärke E in einem Platten kondensator
E=} U d
Q Ladung U Spannung d Abstand der Platten
Dielektrikum d
Kapazität C eines Plattenkondensators
C=
Energie E des elektrischen Feldes eines Kondensators
E=} 12 C · U 2
Aufladen eines Kondensators
UC = U · 1 – e (R · C )
I = I0 · e (R · C )
Entladen eines Kondensators
UC = U · e (R · C )
I = –I0 · e (R · C )
Zeitkonstante τ
τ = R · C
A ε0 · εr · } d
(
)
– } t
– } t
Reihenschaltung von Kondensatoren
ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) A Fläche d Abstand der Platten – } t
– } t
UC Spannung am Kondensator R ohmscher Widerstand C Kapazität t Zeit I Stromstärke I0 Anfangsstromstärke
Parallelschaltung von Kondensatoren
U C1 U1
U C2 U2
1 } = } C1 + } C1 + … + } C1 C
C = C1 + C2 + … + Cn
U = U1 + U2 + … + Un
U = U1 = U2 = … = Un
1
2
n
+
–
C1
U1
C2
U2
Ph
elektrisches Potenzial φ
103
104
Physik
Magnetisches Feld magnetische Feldstärke H
Für das Feld außerhalb eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt:
I Stromstärke r Abstand vom Leiter
Ph
I H=} 2π · r
+
I
Für das Feld im Inneren einer langen stromdurchflossenen Spule gilt: H=} N · I l Für das Feld im Inneren einer kurzen stromdurchflossenen Zylinderspule gilt: N · I H=} } 2 2 √ 4r + l
magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion)
r
–
N l r
Windungszahl der Spule Länge der Spule Radius der Windungen
B = μ0 · μr · H
l
Für das Feld außerhalb eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt: I B = μ0 · μr · } 2π · r
Für das Feld im Inneren einer langen stromdurchflossenen Spule gilt: N · I B = μ0 · μr · } l
–
+
magnetischer Fluss Φ
E
μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) Unter der Bedingung B = konstant und μr Permeabilitätszahl (b S. 82) B || A bzw. B senkrecht zur Fläche gilt: A Fläche Φ = B dA
Φ = B · A B
P2
magnetische Spannung V
E
Leiterschleife
P1
In einem homogenen Feld gilt: V = H · s magnetischer Widerstand Rm
Rm =
V Φ }
Kraft FL auf einen bewegten Ladungsträger (LorEntz-Kraft)
FL = Q · (v × B )
Kraft F auf einen stromdurchflossenen Leiter
F = l · (I × B )
Rm =
μ · μl · A } 0 r
Unter der Bedingung v ⊥ B gilt: FL = Q · v · B
H magnetische Feldstärke s Weg l Länge Φ magnetischer Fluss Q Ladung v Geschwindigkeit B magnetische Flussdichte I Stromstärke F
Unter der Bedingung I ⊥ B gilt: F = l · I · B
Energie E des magnetischen Feldes einer stromdurchflossenen Spule
E = }21 L · I 2
Energiedichte ω des magnetischen Feldes
VE }
+
I
l B
L ω=
A
α
V = H (s) ds
ω=
12 B · H }
Induktivität der Spule
V Volumen
–
Elektrizitätslehre
105
Elektromagnetisches Feld dΦ Ui = – } dt
Ui induzierte Spannung t Zeit N Windungszahl s Weg B magnetische Flussdichte A Fläche
Unter den Bedingungen einer gleichmäßigen Änderung des magnetischen Feldes und B ⊥ A gilt für eine Spule: Δ(B · A) Ui = – N · } Δt
Für einen bewegten Leiter mit v ⊥ B gilt:
B
Ui = – B · l · v Selbstinduktions spannung Ui in einer Spule
Ui =
A
dI – L · } dt
Unter der Bedingung einer gleichmäßi gen Änderung der Stromstärke gilt:
v l
Geschwindigkeit des Leiters Länge des Leiters bzw. der Spule B
ΔI Ui = – L · } Δt
Induktivität L einer Spule
l v
Für eine lange Spule gilt: L=
Ph
Induktionsgesetz
μ · μ · N 2 · A 0 r l }
t Zeit I Stromstärke μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) μr Permeabilitätszahl (b S. 82)
Wechselstromkreis Stromstärke im Wechselstromkreis
Momentanwert: i = imax · sin (ω · t + φ0)
Spannung im Wechselstromkreis
Momentanwert: u = umax · sin (ω · t + φ0)
Effektivwert:
I
1 = } i √} 2 max
≈ 0,7 imax
Effektivwert:
U=} 1} umax ≈ 0,7 umax
Scheinleistung S
S = U · I
S = √ P 2 + Q 2
Wirkleistung P
P = U · I · cos φ
Blindleistung Q
Q = U · I · sin φ
√ 2
}
ω Kreisfrequenz i Momentanwert t Zeit imax Scheitelwert I Effektivwert φ0 Phasenwinkel u Momentanwert umax Scheitelwert U Effektivwert cos φ Leistungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel
Widerstände im Wechselstromkreis ohmscher Widerstand R
induktiver Widerstand XL
kapazitiver Widerstand XC
R=} UI
XL = } UI
XC = } UI
Für einen metallischen Leiter gilt unter der Bedingung θ = konstant
Für eine Spule gilt:
Für einen Kondensator gilt:
l R = ρ · } A
XL = ω · L
1 XC = } ω · C
u, i
u, i
u i ω·t
φ=0
u
φ π φ = + } 2
u, i
u
i
i ω·t
φ π φ = – } 2
ω·t
106
Physik
Reihenschaltung von R, XL und XC
Parallelschaltung von R, XL und XC
Schaltplan V
Ph
A
I
R
V
U XL
XC
L
C
I
Z
X
φ
Scheinwiderstand Z
Z = √ R 2 + X 2
Phasenverschiebung φ
C
1 X
φ 1 R
1 XL 1 1 } = ω · C – } ω · L X
} X – X
1 Z
1 1 XC XL
R
XC 1 X = ω · L – } ω · C
L
1 XC
XL
Blindwiderstand X
XL XC
Zeigerdiagramm
XL – XC
U
R
A
Z=} UI 1 ω L – } ωC
√ R
} 1 1 }1Z = } + }2 2 X
(
)
(
)
1 1 tan φ = R } X1 – } = R ωC – } X ωL
tan φ = } L R C = } R
C
L
Transformator Spannungsübersetzung für einen idealen Transformator
Unter der Bedingung I2 → 0 (Leerlauf) gilt: U
N
1 U1 = } } N 2
Stromstärkeübersetzung für einen idealen Transformator
I1
2
U1
N1 N2
I N2 I1 = } } N1 2
ü=} N1
Leistungsübersetzung
P1 = P2 + Pv
I2 A
N
2
U1 · I1 · cos φ1 = U2 · I2 · cos φ2 + Pv Unter der Bedingung der Vernachlässigung aller Verluste, einer starken Belastung und φ1 = φ2 gilt: U
I
1 U1 · I1 = U2 · I2 } = }2 = ü U I 2
Nennscheinleistung SN
V
Unter der Bedingung I2 → ∞ (Kurzschluss) gilt:
Übersetzungsverhältnis ü
Wirkungsgrad η eines Transformators
A
V
U2
U Spannung I Stromstärke N Windungszahl P Leistung Pv Verlustleistung φ Phasenverschiebungswinkel
1
ab η = } P
Pab abgegebene Leistung Pzu zugeführte Leistung
bei Einphasenwechselstrom: SN = U2 · I2
U2 Nennspannung (Ausgangsseite) I2 Nennstromstärke (Ausgangsseite)
P
zu
bei Drehstrom: SN = √ } 3 · U2 · I2
Elektrizitätslehre
107
Elektromagnetische Schwingungen T = 2π · √} L · C
Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (ungedämpft)
Unter der Bedingung einer freien und ungedämpften Schwingung (R = 0) gilt: f=} 1} 2π · √ L · C
Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (gedämpft) Abklingkoeffizient δ
} 1 1 R 2 f=} 2π } – }2 L · C δ=
C L
Unter der Bedingung einer freien Schwingung gilt:
√
T Schwingungsdauer L Induktivität C Kapazität R ohmscher Widerstand
L Induktivität C Kapazität R ohmscher Widerstand
4L
R 2L }
C L
Resonanzbedingung
Ph
thomsonsche Schwingungsgleichung
f0 = fE
R
f0 Eigenfrequenz fE Erregerfrequenz
Elektromagnetische Wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit c elektro magnetischer Wellen
} √
1 c = } εr · ε0 · μr · μ0 Für das Vakuum gilt:
c = λ · f
1 c=} } √ ε0 · μ0
Eigenfrequenz f eines Dipols
Für die Grundschwingung eines Dipols gilt: c f=} 2l
Länge l eines Dipols
λ Wellenlänge (b S. 83) f Frequenz (b S. 83) ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) μr Permeabilitätszahl (b S. 82)
Für den optimalen Empfang eines Senders gilt: l = k · }2λ
(k = 1, 2, 3, …)
Leitungsvorgänge in festen und flüssigen Körpern Hall-Spannung UH für feste Körper
I · B UH = RH · } s
Hall-Konstante RH
Für Stoffe mit Elektronenleitung gilt: V RH = } N · e
1. faradaysches Gesetz der Elektrolyse
Für elektrisch leitende Flüssigkeiten (Elektrolyte) gilt: m = c · Q
2. faradaysches Gesetz der Elektrolyse
Für elektrisch leitende Flüssigkeiten (Elektrolyte) gilt: Q = n · z · F
I Stromstärke B magnetische Flussdichte s Dicke des Leiters V Volumen N Anzahl der Ladungsträger e Elementarladung (b S. 71) m Masse des abgeschiedenen Stoffes c elektrochemisches Äquivalent Q Ladung n Stoffmenge z Wertigkeit des Stoffes F Faraday-Konstante (b S. 71)
108
Physik
Schwingungen und Wellen
Ph
Grundbegriffe und Grundgesetze Schwingungsdauer T (Periodendauer)
T = }1f
T=} nt
Frequenz f
f=} 1T
f=} nt
Kreisfrequenz ω
ω = 2π · f
Auslenkung y bei einer harmonischen Schwingung
y = ymax · sin (ω · t + φ0) Unter der Bedingung φ0 = 0 gilt: y = ymax · sin (ω · t)
Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen (Phasengeschwindigkeit)
c = λ · f
t Zeit n Anzahl der Schwingungen
y ymax T
t
y Auslenkung ymax Amplitude φ0 Phasenwinkel λ Wellenlänge
Schwingungen d 2y dt
Schwingungsgleichung (ungedämpfte harmonische Schwingung)
2 + ω 2 · y = 0 }
Schwingungsgleichung (gedämpfte harmonische Schwingung)
2 + 2δ · } + ω02 · y = 0 } dt
y Auslenkung t Zeit ω Kreisfrequenz ymax Amplitude φ0 Phasenwinkel δ Abklingkoeffizient ω0 Kreisfrequenz der anfänglichen Schwingung
Lösung der Differenzialgleichung: y = ymax · sin(ω · t + φ0) d 2y dt
dy
Lösung der Differenzialgleichung: y = ymax · e – δ · t · sin(ω · t + φ0)
Wellen Wellengleichungen
(
)
y = ymax · sin 32π } Tt – }xλ 4
(
y Auslenkung ymax Amplitude t Zeit T Schwingungsdauer x Ort λ Wellenlänge c Ausbreitungsgeschwindigkeit
)
y = ymax · sin 3ω t – } xc 4
y
y
λ Reflexionsgesetz
α = α '
Brechungsgesetz
sin α } = } c1 sin β
x
T α Einfallswinkel α ' Reflexionswinkel
c
2
α Einfallswinkel β Brechungswinkel c1 Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 1 c2 Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 2
t
akustischer DoPPlErEffekt
Ruhender Empfänger und bewegter Sender: f
fE = } S vS 1 7 } c
Bewegte Empfänger und ruhender Sender: v
(
)
fE = fS 1 ± } cE
fE vom Empfänger gemessene Frequenz fS vom Sender abgestrahlte Frequenz vE Geschwindigkeit des Empfängers vS Geschwindigkeit des Senders c Schallgeschwindigkeit (b S. 78) Oberes Vorzeichen gilt beim Annähern, unteres Vorzeichen beim Entfernen von Empfänger und Sender voneinander.
Optik Reflexionsgesetz
α = α '
Brechzahl n
Vakuum n = } c
Brechungsgesetz
sin α sin α = } c1 } = } n2 } sin β sin β
α Einfallswinkel α ' Reflexionswinkel
c
c Lichtgeschwindigkeit
Stoff
c
n
2
sin α = } sin β
1
Medium 1
α
n (für n1 = 1) c
β
n
Grenzwinkel der Totalreflexion αG
sin αG = } c1 = } n2 = } n1
Abbildungsgleichung für dünne Linsen und für Spiegel
1 }1f = } g1 + } b
f Brennweite g Gegenstandsweite b Bildweite
Abbildungsmaßstab A für dünne Linsen und für Spiegel
B A = } = } bg G
G Gegenstandsgröße B Bildgröße
Brechwert D von Linsen (Brechkraft)
D = }1f (f in m)
Vergrößerung V optischer Geräte
V=} tan α2
Vergrößerung V einer Lupe
V=} f0
Vergrößerung V eines Mikroskops
V = V1 · V2
Vergrößerung V eines Fernrohres
V=} f1
Öffnungsverhältnis ω einer Linse
ω=} df
numerische Apertur A
A = n · sin α
2
Medium 2
1
α Einfallswinkel β Brechungswinkel c1, c2 Lichtgeschwindigkeiten (b S. 82) n1, n2 Brechzahlen (b S. 82) n Brechzahl (b S. 82)
tan α
α2
1
s
f
2
s
b 0 V = } · } g f 2
α1
α1 α2 s0 V1 V2 f1 f2
Sehwinkel ohne optisches Gerät Sehwinkel mit optischem Gerät deutliche Sehweite (25 cm) Vergrößerung des Objektivs Vergrößerung des Okulars Brennweite des Objektivs Brennweite des Okulars
d f n α
Durchmesser der Linse Brennweite der Linse Brechzahl im Objektraum halber Öffnungswinkel
109
Ph
Optik
110
Physik
Auflösungsvermögen A optischer Geräte
1 d A=} r 1 = } 1,22 · } f · λ
g≈f
min
Ph
rmin
Schirm, Auge
x
d
x
rmin Mindestabstand zweier Gegenstandspunkte d Durchmesser der Linse g Gegenstandsweite f Brennweite der Linse λ Wellenlänge (b S. 82) Lichtgeschwindigkeit c
c = λ · f
Interferenz am Spalt
Unter der Bedingung sk 850 631 –189 817 p 302 714
3 200 2 447 2 600 1 380 –186 613 subl. 335 1640
1,85 9,8 11,35
1 280 271 327
2 480 1 560 1 740
9 57 65
+3 +5; +3; +1; –1 +2 +1 +2 +3 +3; +4 +7; +5; +3; +1; –1 +6; +3 +3; +2 +3
2,34 3,12 8,65 1,87 1,55
(2 030) –7 321 29 838
3 900 58 765 690 1 490
6 152 52 83 41
6,78 3,21 g · l–1 7,19 8,90 7,0
795 –101 1 900 1 490
3 470 –35 2 642 2 900
58 223 24 30
+3 +3 +3; +2 +3 +3; +2 +3 –1 +1 +3 +3 +4; +2; –4 +3 +4
8,54
1 410
2 600
7,86 9,05 5,26
1 540 1 500 826
3 000 2 900 1 440
27
1,695 g · l–1
–188 (680) 3 000 2 400 2 830 2 970 5 400
203
7,89 5,91 5,32 19,32 13,1
–220 (27) 1 310 30 937 1 063 2 000
±0 +3 +3 +7; +5; +3; +1; –1 +4; +3 +1
0,18 g · l–1 8,80 7,31 4,94 22,5 0,86
–270 1 460 156 114 2 450 64
–269 2 600 2 000 183 4 500 760
2,70 11,7 6,68 1,784 g · l–1 5,72 3,50
28 46 35 63
41 31
58 116 64
Eigenschaften von Stoffen
Name Symbol Kohlenstoff C (Grafit) (Diamant) Krypton ♦ Kr Kupfer Cu Lanthan La Lawrencium Lr Lithium Li Lutetium Lu Magnesium Mg Mangan Mn Meitnerium Mt Mendelevium Md Molybdän Mo Natrium Na Neodym Nd Neon ♦ Ne Neptunium Np Nickel Ni Niob Nb Nobelium No Osmium Os Palladium Pd Phosphor (weiß) P Platin Pt Plutonium Pu Polonium Po Praseodym Pr Promethium Pm Protactinium Pa Quecksilber Hg Radium Ra Radon ♦ Rn Rhenium Re Rhodium Rh Rubidium Rb Ruthenium Ru Rutherfordium Rf Samarium Sm Sauerstoff ♦ O Scandium Sc Schwefel S rhombisch monoklin Seaborgium Sg Selen (grau) Se Silber Ag Silicium Si Stickstoff ♦ N Strontium Sr Tantal Ta Technetium Tc Tellur Te Terbium Tb Thallium Tl Thorium Th Thulium Tm Titan Ti Uran U Vanadium V Wasserstoff ♦ H Wolfram W
Ord nungs zahl 6
36 29 57 103 3 71 12 25 109 101 42 11 60 10 93 28 41 102 76 46 15 78 94 84 59 61 91 80 88 86 75 45 37 44 104 62 8 21 16
Atom masse in u 12,01
83,80 63,55 138,91 [260] 6,94 174,97 24,31 54,94 [266] [258] 95,94 22,99 144,24 20,18 237,05 58,70 92,91 [259] 190,2 106,4 30,97 195,09 [244] [209] 140,91 [145] 231,04 200,59 [226] [222] 186,21 102,91 85,47 101,07 [261] 150,35 15,999 44,96 32,06
häufigste Oxida tionszahlen
Dichte ♦ ρ in g · cm–3 bei 25 °C
[262] 78,96 107,87 28,09 14,007 87,62 180,95 [97] 127,60 158,92 204,37 232,04 168,93 47,90 238,03 50,94 1,008 183,85
Siedetem peratur ● θv in °C
Standard entropie S 0 in J · mol–1 · K–1
+4; –4
+2 +2; +1 +3 +3 +1 +3 +2 +7; +6; +4; +2 +3 +6; +4 +1 +3 ±0 +5 +2 +5 +3 +4 +4; +2 +5; +3; –3 +4; +2 +4 +4; +2; –2 +3 +3 +5 +2; +1 +2 (+2); ±0 +4 +3 +1 +4; +3 +3 –2 +3 +6; +4; +2; –2
2,26 3,51 3,74 g · l–1 8,96 6,17
3 730 > 3 550 –157 1 083 920
4 830
180 1 650 650 1 250
1 330 3 330 1 110 2 100
138
2 610 98 1 020 –249 640 1 450 2 420
5 560 892 3 030 –246
29 51
2 730 4 900
30
5 500 3 125 280 3 825 3 230 962 3 130 (2 730)
15,4 13,53 5,0 9,37 g · l–1 21,0 12,4 1,53 12,2
3 000 1 550 44 1 770 640 254 935 (1 030) (1230) –38,9 700 –71 3 180 1 970 39 2 300
7,54 1,43 g · l–1 3,0
1 070 –218,4 1 540
1 900 –183 2 730
205 35
113 119
445
22 33
217 961 1 410 –210 770 3 000 2 140 450 1 360 303 1 700 1 550 1 670 1 130 1 900 –259,1 3 410
685 2 210 2 680 –195,8 1 380 5 430 (4 600) 1 390 2 800 1 460 4 200 1 730 3 260 3 820 3 450 –252,5 5 500
0,53 9,84 1,74 7,43
10,2 0,97 7,00 0,899 g · l–1 20,4 8,90 8,55 22,4 12,0 1,82 21,45 19,8 9,4 6,77
2,07 1,96 106 34 47 14 7 38 73 43 52 65 81 90 69 22 92 23 1 74
Schmelz temperatur ● θs in °C
+6; +4; +2; –2 +1 +4; – 4 +5; +3; –3 +2 +5 +7; +4 +6; +4; +2; –2 +3 +3; +1 +4 +3 +4 +6 +5 +1; –1 +6; +4
4,80 10,5 2,33 1,251 g · l–1 2,6 16,6 11,5 6,24 8,27 11,85 11,7 9,33 4,5 18,90 5,8 0,089 g · l–1 19,3
–152 2 600 3 470
356,6 1 530 – 62 5 630 3 730 688 3 900
6 2 164 33
33 32
41
76
77
42 43 19 192 52
50 64 54 31 50 29 131 33
Ch
117
118
Chemie
Atom masse in u
häufigste Oxida tionszahlen
Name Symbol
Ord nungs zahl
Dichte ♦ ρ in g · cm–3 bei 25 °C
Schmelz temperatur ● θs in °C
Xenon ♦ Xe Ytterbium Yb Yttrium Y Zink Zn Zinn Sn Zirconium Zr
54 70 39 30 50 40
131,30 173,04 88,91 65,38 118,69 91,22
+2; +4; +6 +3 +3 +2 +4; +2; –2 +4
5,8 g · l–1 6,98 4,5 7,13 7,29 6,49
–112 824 1 500 419 232 1 850
Ch
Siedetem peratur ● θv in °C –108 1 430 2 930 906 2 270 3 580
Standard entropie S 0 in J · mol–1 · K–1 170
42 52 39
[ ] Die umklammerten Werte für die Atommasse geben die Massenzahl des Isotops mit der höchsten Halbwertszeit an. ♦ Dichte gasförmiger Stoffe bei 0 °C ● Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa
Anorganische Verbindungen Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siedetem
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
peratur ●
bildungs
entropie
Standardbil
bei 25 °C
in
tur ● θs
θv in °C
enthalpie
S 0 in
dungsenthal
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
pie Δf G 0 in
Formel
g · mol–1
Aggregatzustand Name
in °C
kJ · mol–1
bei 25 °C
Aluminiumbromid s
AlBr3
2,6
266,7
Aluminiumcarbid s
Al4C3
2,4
144
2 100
Aluminiumchlorid s
AlCl3
2,4
133,3
192,5 p
Aluminiumhydroxid s
Al(OH)3
2,4
78
> 170
Aluminiumoxid s
Al2O3
4,0
101,9
2 045
Aluminiumsulfat s
Al2(SO4)3
2,7
342,1
605 z
Ammoniak ♦ g
NH3
0,77 g · l–1
Ammoniumcarbonat s
(NH4)2CO3
Ammoniumchlorid s
NH4Cl
1,5
53,5
Ammoniumhydrogencarbonat s
NH4HCO3
1,6
79,1
Ammoniumnitrat s
NH4NO3
1,7
80,0
Ammoniumsulfat s
(NH4)2SO4
1,8
132,1
Arsentrioxid s
As2O3
3,7
197,8
309
Bariumcarbonat s
BaCO3
4,4
197,4
1 350
Bariumchlorid s
BaCl2
3,9
208,2
963
1 562
Bariumhydroxid s
Ba(OH)2
4,5
171,4
408
> 600
Bariumoxid s
BaO
5,7
153,3
1 920
Bariumsulfat s
BaSO4
4,5
233,4
1 350
Blei(II)-chlorid s
PbCl2
5,8
278,1
Blei(II)-nitrat s
Pb(NO3)2
4,5
331,2
Blei(II)-oxid s
PbO
9,5
223,2
Blei(II, IV)-oxid (Mennige) s
Pb3O4
9,1
685,6
500 z
Blei(IV)-oxid s
PbO2
9,4
239,2
290 z
–
Blei(II)-sulfat s
PbSO4
6,2
303,3
1 170
Blei(II)-sulfid s
PbS
7,5
239,3
Borsäure s
H3BO3
1,4
61,8
Bromwasserstoff ♦ g
HBr
3,644 g · l–1
Calciumbromid s
CaBr2
3,3
Calciumcarbid s
CaC2
2,2
64,1
Calciumcarbonat s
CaCO3
2,7
100,1
17,0 96,1
97,4 z
–78 z – 36 z 169 280 z
498 470 z 890
257
–516
163
–
–209
89
–196
180 subl.
–704
111
– 629
– 488
–1 277 ≈ 3 000
–1 676
–
–3 442
–33,5
– 46,1
–
– 942
335 subl. – 200 z – 459
(2 000)
–314,6
192,2 170 94,6
– 849
121
–1 582 –3 100 –16 – 687 –203 – 666
–366
151
–184
–1 180
220
– 902
– 657
107
– 578
–1 216
112
–1 138
124
– 811
– 859,8 z
50,9 239
– 945 – 554
70
– 525
–1 473
132
–1 362
954
–359
136
–314
–
– 456
1 470
–217
69
–188
–
–718
211
– 601
1 114 185 z
kJ · mol–1
–
–277
69
–217
– 920
149
– 813
–100
91
–1 094
88,7
– 99 –969
80,9
– 87
– 67
–36
199
–53
199,9
730
810
– 683
130
– 664
– 60
70
– 65
–
–1 207
93
–1 129
2 300 900 z
Eigenschaften von Stoffen
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siedetem
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
peratur ●
bildungs
entropie
Standardbil
bei 25 °C
in
tur ● θs
θv in °C
enthalpie
S 0 in
dungsenthal
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
pie Δf G 0 in
Formel
g · mol–1
Aggregatzustand Name
in °C
kJ · mol–1
bei 25 °C
kJ · mol–1
Calciumchlorid s
CaCl2
2,1
111,0
772
> 1 600
–796
105
–748
Calciumfluorid s
CaF2
3,2
78,1
1 392
(2 500)
–1 220
69
–1 167
Calciumhydroxid s
Ca(OH)2
2,3
74,1
580,0 z
–
– 986
83
– 899
Calciumiodid s
CaI2
4,0
293,9
740,0 z
1 100
–533
142
–529
Calciumnitrat s
Ca(NO3)2
2,5
164,1
561
– 938
193
–743
Calciumoxid s
CaO
3,3
56,1
2 570
– 635
40
– 604
Calciumphosphat s
Ca3(PO4)2
3,1
310,2
1 670
– 4 120
236
–3 885
Calciumsulfat s
CaSO4
3,0
136,1
1 450
–1 434
107
–1322
Chlorwasserstoff ♦ g
HCl
1,639 g · l–1
36,5
–114
–92
187
–95
Chrom(II)-chlorid s
CrCl2
2,9
122,9
815
–395
115
–356
Chrom(III)-oxid s
Cr2O3
5,2
152,0
2 437
(3 000)
–1 140
81
–1 058
Cobaltchlorid s
CoCl2
3,4
129,8
727
1 050
–313
109
–270
Cyanwasserstoff l
HCN
0,7
27
–14
26
109
113
125
Eisen(III)-chlorid s
FeCl3
2,8
162,2
306
315
–399
142
–334
Eisendisulfid (Pyrit) s
FeS2
5,0
120,0
1 171
z
–178
53
–167
Eisen(III)-hydroxid s
Fe(OH)3
3,9
106,9
500,0 z
–
– 823
107
–697
Eisen(II)-oxid s
FeO
5,7
71,8
–272
61
–251
Eisen(II, III)-oxid
s
Fe3O4
5,2
231,5
1 538,0 z
–
–1 118
146
–1 015
Eisen(III)-oxid s
Fe2O3
5,2
159,7
1 560
z
–
– 824
87
–742
Eisen(II)-sulfat s
FeSO4
2,84
151,9
z
–
– 928
108
–821
Eisen(II)-sulfid s
FeS
4,8
87,9
z
–100
60
–100
Fluorwasserstoff ♦ g
HF
0,987 (l)
20
– 83
19
–271
174,7
–243
Iodwasserstoff ♦ g
HI
5,79 g · l–1
127,9
–51
–35
Kaliumaluminium sulfat s
KAl(SO4)2
Kaliumbromid s
KBr
2,7
119
734
1 380
Kaliumcarbonat s
K2CO3
2,3
138,2
897
z
Kaliumchlorat s
KClO3
2,3
122,6
368
Kaliumchlorid s
KCl
2,0
74,6
770
Kaliumchromat s
K2CrO4
2,7
194,2
975
Kaliumcyanid s
KCN
1,5
65,1
623
Kaliumdichromat s
K2Cr2O7
2,7
294,2
Kaliumfluorid l
KF
2,5
Kaliumhydroxid s
KOH
2,0
Kaliumiodat s
KIO3
Kaliumiodid s
2 850
–85
1 380
1 195
258,2
25,9 –2 465
206,3 205
62 –2 236
–392
97
–379
–1 146
156
–1 061
400 z
–391
143
–290
1 407
– 436
83
–408
z
–1 383 128
–102
398
500 z
–2 033
58,1
857
1 500 z
–563
67
–533
56,1
360
1 327
– 425
79
–379
3,9
214,0
560
z
–508
152
–426
Kl
3,1
166,0
681
1 324
–328
104
–322
Kaliumnitrat s
KNO3
2,1
101,1
338
400 z
– 493
133
–393
Kaliumpermanganat s
KMnO4
2,7
158,0
240 z
–
– 813
172
–714
Kaliumphosphat s
K3PO4
2,6
212,3
1 340
Kaliumsulfat s
K2SO4
2,7
174,3
1 074
1 689
–1 434
176
–1 316
Kaliumoxid s
K2O
2,3
94,2
350 z
–
–361
98
–322
Kohlenstoffdioxid ♦ g
CO2
1,98 g · l–1
44
–56,6 p
–78,4 subl.
–393
214
–394
Kohlenstoffdisulfid l
CS2
1,3
76,1
–111
46
90
151
65
Kohlenstoffmonooxid ♦ g
CO
1,25 g · l–1
28
–205
–190
–110,5
198
–137
–113
Ch
119
120
Chemie
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siedetem
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
peratur ●
bildungs
entropie
Standardbil
bei 25 °C
in
tur ● θs
θv in °C
enthalpie
S 0 in
dungsenthal
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
pie Δf G 0 in
Formel
g · mol–1
Aggregatzustand
Ch
Name
in °C
kJ · mol–1
bei 25 °C
kJ · mol–1
Kupfer(I)-chlorid s
CuCl
3,5
99,0
430
1 490
–137
86
–120
Kupfer(II)-chlorid s
CuCl2
3,4
134,4
498
993 z
–220
108
–176
Kupfer(II)-nitrat s
Cu(NO3)2
187,6
256
subl.
–303
Kupfer(I)-oxid s
Cu2O
6,0
143,1
1 230
93
–146
Kupfer(II)-oxid s
CuO
6,4
79,5
1 026
Kupfer(II)-sulfat s
CuSO4
3,6
159,6
Lithiumchlorid s
LiCl
2,1
42,4
610
Magnesiumbromid s
MgBr2
3,7
184,1
700
Magnesiumcarbonat s
MgCO3
3,1
84,3
Magnesiumchlorid s
MgCl2
2,3
95,2
Magnesiumhydroxid s
Mg(OH)2
2,4
58,3
350 z
Magnesiumnitrat s
Mg(NO3)2
148,3
z
Magnesiumoxid s
MgO
3,6
40,3
2 800
Magnesiumsulfat s
MgSO4
2,7
120,4
1 124
Manganchlorid s
MnCl2
3,0
125,9
Mangan(IV)-oxid s (Braunstein)
MnO2
5,0
86,9
Mangansulfat s
MnSO4
3,2
151,0
700
850 z
Natriumbromid s
NaBr
3,2
102,9
747
1 390
Natriumcarbonat s
Na2CO3
2,5
106,0
854
z
Natriumchlorid s
NaCl
2,2
58,5
801
1 465
– 411
72
–384
Natriumhydrogencarbonat s
NaHCO3
2,2
84,0
270 z
–
– 948
102
– 852
Natriumhydroxid s
NaOH
2,1
40
322 p
1 378
– 427
64
–381
Natriumnitrat s
NaNO3
2,3
85
310
z
– 467
116
–366
Natriumnitrit s
NaNO2
2,2
69,0
271
320 z
–359
Natriumphosphat s
Na3PO4
2,5
163,9
1 340
Natriumsulfat s
Na2SO4
2,7
142,0
884
149
–1267
Natriumthiosulfat s
Na2S2O3
1,7
158,1
239
163
1 800
z
–169
z
–
–157
43
–130
650 z
–
–771
109
– 662
1 350
– 402
59
–377
–524
117
–504
–
–1 096
66
–1 012
1 418
– 642
90
–592
–
– 924
63
–834
–
–791
164
–590
350 z 712
3 600 z
650 535 z
z
– 601,2
27
–570
–
–1 288
92
–1 171
1190
– 481
118
– 441
–
–520
53
– 465
–1 065
112
–957
–360
84
–347
–1 131
136
–1 048
–1 925 –1 384 –
–1 117
Ozon ♦ g O3
2,14 g · l–1
48
–193
phosphorige Säure
H3PO3
1,6
82
74
200 z
– 964
Diphosphorpentaoxid s P4O10
2,4
284
580
300 subl.
–3 008
228
–2 724
PhosphorpentaPCl5 chlorid g
1,6
208,2
164 subl.
–375
113
–305
Phosphorsäure s
213 z
s
148 p
H3PO4
1,8
98,0
42
Quecksilber(II)-chlorid s HgCl2
5,4
271,5
277
Quecksilber(II)-oxid s
HgO
11,1
216,6
Salpetersäure l
HNO3
1,5
63
– 47
1,43 g · l–1
31,998
–218,4
Schwefeldioxid g SO2
2,926 g · l–1
64,1
–73
Schwefelsäure l
H2SO4
1,8
98,1
10
Schwefeltrioxid (β)
SO3
1,97
80,1
32,5
SchwefelwasserH2S stoff ♦ g
1,529 g · l–1
34,1
– 86
Silberbromid s
6,5
187,8
430
Sauerstoff ♦ g O2 ♦
AgBr
500 z
–111
143
–1 286
110
–1126
304
–224
146
–179
–
–91
70
–59
86
–174
156
– 81
–183
0
205
0
–10
–297
248
–300
– 814
157
– 690
–396
257
–371
338 z 45 – 62 700 z
–20,7 –100
205,5
–34
107
–97
Eigenschaften von Stoffen
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siedetem
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
peratur ●
bildungs
entropie
Standardbil
bei 25 °C
in
tur ● θs
θv in °C
enthalpie
S 0 in
dungsenthal
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
pie Δf G 0 in
Formel
g · mol–1
Aggregatzustand Name
in °C
kJ · mol–1
bei 25 °C
kJ · mol–1
Silberchlorid s
AgCl
5,6
143,3
455
1 564
–127
96
–110
Silberiodid s
AgI
5,7
234,8
557
1 506
– 62
115
– 66
Silbernitrat s
AgNO3
4,4
169,9
209
444 z
–124
141
–33
Siliciumdioxid s
SiO2
2,6
60,1
1 700
2 230
–911
42
– 858
Distickstoffpentoxid s
N2O5
1,6
108,0
41 p
32 subl.
11
356
115
Distickstofftrioxid g
N2O3
1,4 (l)
76,0
–102
84
312
139
Stickstoffdioxid ♦ g
NO2
1,49 (l)
46,0
–11
21
33
240
51
–164
–152
90
211
87
0
100
–285
70
–237
–
–
–242
189
–229
0
131
0
158
–188
109
–120
732
– 415
111
–369
subl.
–348
44
–318
–1
Stickstoffmonooxid ♦ g
NO
1,340 g · l
30
Wasser l
H2O
0,997 ■
18,0
Wasser g
H2O
–
Wasserstoff ♦ g
H2
0,089 g · l–1
Wasserstoffperoxid l
H2O2
1,4
34,0
Zinkchlorid s
ZnCl2
2,9
136,3
Zinkoxid s
ZnO
5,5
81,4
– 2,016
–259,1
–252,5
– 0,4 283 1 970
s – (solid) – fest p – unter Druck l (liquid) – flüssig subl. – sublimiert g (gaseous) – gasförmig z – zersetzlich ♦ Dichte gasförmiger Stoffe bei 0 °C ■ Dichte von Wasser: bei 0 °C 0,999 84 g · cm–3; ● Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa bei 4 °C 0,999 97 g · cm–3; bei 100 °C 0,958 35 g · cm–3
Organische Verbindungen
Formel
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siede
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
tempera
bildungs
entropie
Standard
bei 25 °C
in
tur ● θs
tur ● θv
enthalpie
S 0 in
bildungs
in °C
in °C
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
enthalpie
g · mol–1
kJ · mol–1
Aggregatzustand Name
Δf G 0 in
kJ · mol–1
bei 25 °C
Acrylnitril l
C2H3CN
0,806
53,1
2-Amino-Ethansäure (Glycin) s
NH2CH2COOH
0,828 (17°C)
75,1
262 z
–
Aminobenzol (Anilin) l
C6H5NH2
1,02
93,1
– 6,3
184,1
Anthracen s
C14H10
1,28
178,2
216
340
231
207,15
Benzaldehyd l
C6H5CHO
1,042 (15°C)
106,1
–26
178,1
– 82,0
221,2
Benzoesäure s
C6H5COOH
1,266 (15°C)
122,1
122,4
249
–380,74
170,7
Benzol (Benzen) l
C6H6
0,87
78,1
Blei(II)-acetat s
(CH3COO)2Pb
3,2
325,3
280
Bromethan l
C2H5Br
1,451
109
–118,6
38,4
Brommethan g
CH3Br
1,662 (l)
–93,6
3,6
2-Brompropan l
C3H7Br
1,306
123,0
– 89
Buta-1,3-dien g
C4H6
0,650 (– 6°C)
54,1
–108,9
Butan ♦ g
C4H10
2,703 g · l–1
58,1
–138,4
– 0,5
Butandisäure s (Bernsteinsäure)
C2H4(COOH)2
1,572
118,1
188
235 z
94,9
– 82
5,5
77
80,1
140
178,91
–528,8
108,78
35,14
167 (g)
–210 (g)
269 (g)
130 (g)
– 92
288 (g)
–27 (g)
–38
246
–28
59,4
– 97
316
–27 (g)
– 4,4
110
279
151
z
83 (g)
191,62
–369
– 964
–124,51
310,45
– 941
176
–17 –747
Ch
121
122
Chemie
Formel
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siede
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
tempera
bildungs
entropie
Standard
bei 25 °C
in
tur ● θs
tur ● θv
enthalpie
S 0 in
bildungs
in °C
in °C
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
enthalpie
g · mol–1
kJ · mol–1
Ch
Aggregatzustand Name
Δf G 0 in
kJ · mol–1
bei 25 °C
Butan-1-ol l
C4H9OH
0,806
74,1
– 89,3
117,7
–274
363
–151
Butan-2-ol l
C4H9OH
0,802
74,1
–114,7
99,5
–292
359
–167
Butansäure l (Buttersäure)
C3H7COOH
0,952
88,1
–5,2
163,3
– 533,8
225,9
–378
Butansäureethylester l
C3H7COOC2H5
0,879 (20 °C)
116,15
– 93,3
120
–528,4
But-1-en g
C4H8
0,589 (l)
56,1
–185,4
But-1-in l
C4H6
0,65
54,1
–125,7
8,1
But-2-in l
C4H6
0,686
54,1
–32,0
27,0
Chlorbenzol l
C6H5Cl
1,106
112,6
– 45
196,22
99 (g)
1-Chlorbutan l
C4H9Cl
0,881
92,6
–123,1
78,4
–147 (g)
358 (g)
–39 (g)
Chlorethan g
C2H5Cl
0,917 (6 °C)
64,5
–136,4
12,3
–112
276
–73
Chlorethansäure s
ClCH2COOH
1,404 (40 °C)
94,5
63
187,9
–513
Chlorethen g (Vinylchlorid)
C2H3Cl
0,901 (l)
62,5
–153,8
–13,4
35
264
52
Chlormethan ♦ g
CH3Cl
2,307 g · l–1
50,5
– 97,7
–24,2
– 86
235
– 63
1-Chlorpentan l
C5H11Cl
0,877
106,6
– 99,0
107,8
–175 (g)
397 (g)
–37 (g)
Chlorpropan l
C3H7Cl
0,885
78,5
–122,8
46,6
–130 (g)
319 (g)
–51 (g)
Citronensäure s
C6H8O7
1,542
192,12
–1 543,8
252,1
Cyclobutan g
C4H8
0,689 (l)
Cyclohexan l
C6H12
0,774
84,2
6,6
Cyclohexanol s
C6H11OH
0,962
100,2
25,2
Cyclohexen l
C6H10
0,806
82,1
–103,5
83,0
–5 (g)
311 (g)
107 (g)
Cyclopentan l
C5H10
0,74
70,1
– 93,9
49,3
–77 (g)
293 (g)
39 (g)
Decan l
C10H22
0,726
142,3
–29,7
174,1
–250 (g)
545 (g)
–33 (g)
1,2-Dibromethan l
C2H4Br2
2,169
187,9
9,8
131,4
330 (g)
–11 (g)
Dibrommethan l
CH2Br2
2,484
173,9
–52,6
97,0
293 (g)
–6 (g)
1,2-Dichlorbenzol l
C6H4Cl2
1,305
147,0
–17
179
–18
342 (g)
83 (g)
1,3-Dichlorbenzol l
C6H4Cl2
1,288
147,0
–25
172
–22
343 (g)
79 (g)
1,4-Dichlorbenzol s
C6H4Cl2
1,533
147,0
53
174
– 42
337 (g)
77 (g)
1,2-Dichlorethan l
C2H4Cl2
1,246
99,0
–35,7
–165
308 (g)
–74 (g)
Dichlorethansäure l
Cl2CHCOOH
1,563 (20 °C)
128,9
13,5
Dichlormethan l
CH2Cl2
1,316
84,9
– 95,1
2 707 (g)
– 69 (g)
Diethylether l
C2H5OC2H5
0,714
74,1
–116,2
1,2-Dihydroxybenzol (Brenzcatechin) s
C6H4(OH)2
1,344
110,1
104,5
245
1,3-Dihydroxybenzol (Resorcin) s
C6H4(OH)2
1,271 (15 °C)
110,1
109,8
276,5
56,1
– 6,3
132
153 – 90,7
12,5 80,7 161
83,5 194
–0,1
306
71
165
191
202
146 (g)
283 (g)
185 (g)
11
27 (g)
265 (g)
–157
205
–295
328
– 81 –4 (g)
110 (g) 32 (g) –118
–501
39,8
–124
34,51
–279
343
–122 (g)
146,44
–172 (g)
353 –357,73
Eigenschaften von Stoffen
Formel
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siede
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
tempera
bildungs
entropie
Standard
bei 25 °C
in
tur ● θs
tur ● θv
enthalpie
S 0 in
bildungs
in °C
in °C
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
enthalpie
g · mol–1
kJ · mol–1
Aggregatzustand Name
Δf G 0 in
kJ · mol–1
bei 25 °C
1,4-Dihydroxybenzol (Hydrochinon) s
C6H4(OH)2
1,33
110,1
171,5
285
366
294
–175 (g)
1,2-Dimethylbenzol (o-Xylol) l
C6H4(CH3)2
0,876
106,2
–25,2
144,4
–24
353
122 (g)
1,3-Dimethylbenzol (m-Xylol) l
C6H4(CH3)2
0,860
106,2
– 47,9
139,1
–26
358
119 (g)
1,4-Dimethylbenzol (p-Xylol) l
C6H4(CH3)2
0,875
106,2
13,3
138,4
–24
352
121 (g)
Dimethylether g
CH3OCH3
1,62
46,1
–138,5
Dodecan l
C12H26
0,745
170,3
–9,6
Eicosan s
C20H42
0,785
282,5
Ethan ♦ g
C2H6
1,356 g · l–1
30,1
Ethanal g
CH3CHO
0,788 (13 °C)
44,1
–123
Ethan-1,2-diol l (Ethylenglycol)
C2H4(OH)2
1,109
62,1
Ethandisäure (Oxalsäure) s
(COOH)2
1,90 (17 °C)
90,0
Ethanol l
C2H5OH
0,785
46,1
Ethansäure l
CH3COOH
1,044
Ethansäureethylester l
CH3COOC2H5
0,9
Ethansäure methylester l
CH3COOCH3
Ethen ♦ g ♦ g
–23
–184
267
216,3
–291 (g)
623 (g)
50 (g)
36,4
343,8
– 456 (g)
934 (g)
117 (g)
–183,3
– 88,6
– 84,47
228,45
–33
–166
264,0
–133
– 451,87
166,94
–305 (g)
– 830
120
–701
–15,6
20,1 197,8 157 subl.
–113
–114,1
78,3
–278,31
158,99
–168 (g)
60,1
16,7
117,9
– 486,18
158,99
–377 (g)
88,1
– 83,6
77,1
– 443 (g)
363 (g)
–327 (g)
0,933
74,1
–98,1
57,0
– 442
C2H4
1,260 g · l–1
28,1
–169,2
C2H2
1,170 g · l–1
26,0
– 80,8
Ethylbenzol l
C6H5C2H5
0,863
106,2
–95
136,2
Glucose (α-D-Glucose) s
C6H12O6
1,54
180,0
146
200 z
Harnstoff s
CO(NH2)2
1,33
132,7
z
Heptan l
C7H16
0,68
100
Heptan-1-ol l
C7H15OH
0,819
116,2
Hept-1-en l
C7H14
0,693
98,2
Hexadecan l
C16H34
0,770
226,4
Hexadecansäure (Palmitinsäure) s
C15H31COOH
0,85 (62 °C)
256,4
Hexan l
C6H14
0,655
86,2
Hexan-1-ol l
C6H13OH
0,816
102,2
Hexansäure l
C5H11COOH
0,923
Hex-1-en l
C6H12
0,668
Hex-1-in l
C6H10
Hydrazin l
N2H4
Ethin
60,1
–103,7 – 84,0 subl.
52,55
219,53
68
225,51
200,95
209
–12
361
131 (g)
–1 268
209,19
–911 –154 (g)
–330,95
104,6
98
–188
428
8
–34,0
176,2
–335
480
–124
–119,0
93,6
– 62 (g)
424 (g)
–96 (g)
18,2
286,8
–373 (g)
778 (g)
84 (g)
62,2
219 p
–917,3
475,72
– 95,3
68,7
–211,29
297,9
– 44,6
157,1
–320
442
116,2
–3
205,7
–586 (l)
84,2
–139,8
63,5
–73
385
0,71
82,1
–131,9
71,3
124
369
219
1,0
32
95
238
159
– 90
1
114
–0,3(g) –138
87 (g)
Ch
123
124
Chemie
Formel
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siede
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
tempera
bildungs
entropie
Standard
bei 25 °C
in
tur ● θs
tur ● θv
enthalpie
S 0 in
bildungs
in °C
in °C
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
enthalpie
g · mol–1
kJ · mol–1
Ch
Aggregatzustand Name
Δf G 0 in
kJ · mol–1
bei 25 °C
2-Hydroxybenzoe säure (Salicylsäure) s
C6H4OHCOOH
1,443 (20°C)
2-Hydroxypropansäure (Milchsäure) s
C2H4OHCOOH
1,206
Methan ♦ g
CH4
Methanal g
138,1
159
z
90,08
17
122 z
0,72 g · l–1
16,0
–182,5
HCHO
0,82 (–20 °C)
30,0
–117
Methanol l
CH3OH
0,79
32,0
–97,7
Methansäure l
HCOOH
1,214
46,0
8,4
Methansäure methylester l
HCOOCH3
0,974 (20 °C)
60,1
–99,0
Methylbenzol (Toluol) l
C6H5CH3
0,862
92,1
–95
2-Methylbutan g
C5H12
0,615
72,1
2-Methylpropan g
C4H10
0,551 (l)
58,1
Naphthalin s
C10H8
1,18
128,2
Natriumacetat s
CH3COONa
1,5
Nitrobenzol l
C6H5NO2
1,198
123,1
5,7
210,8
Nonan l
C9H20
0,714
128,3
–53,5
150,8
Octadecansäure (Stearinsäure) s
C17H35COOH
0,84 (80°C)
284,5
69,4
Octadec-9-ensäure (Ölsäure) l
C17H33COOH
0,89
282,5
14
Octan l
C8H18
0,698
114,2
Pentan l
C5H12
0,621
72,1
Pentan-1-ol l
C5H11OH
0,811
88,2
–78,2
Pentansäure l
C4H9COOH
0,935
102,1
Pent-1-en l
C5H10
0,635
70,1
Pent-1-in l
C5H8
0,689
68,1
–105,7
Pent-2-in l
C5H8
0,706
68,1
–109,3
Phenol s
C6H5OH
1,132
94,1
41,0
Phosgen g
COCl2
1,4
Phthalsäure s
C6H4(COOH)2
1,593
Propan ♦ g
C3H8
2,02 g · l–1
44,1
–187,7
Propan-1-ol l
C3H7OH
0,799
60,1
Propan-2-ol l
C3H7OH
0,781
60,1
Propanon (Aceton) l
CH3COCH3
0,79
58,1
Propansäure l
C2H5COOH
0,988
74,1
Propan-1,2,3-triol (Glycerin) l
C3H5(OH)3
1,26
92,1
17,9
Propen g
C3H6
0,505 (l)
42,1
–185,3
82,0
98,9 166,1
–585 (s)
178 (s)
– 418 (s)
143
–161,5
–74,67
186,02
–51
–19,2
–118,40
217,56
–110
–238,48
126,77
–163 (g)
– 416,43
138,07
–351 (g)
31,5
–350 (g)
301 (g)
–297 (g)
110,6
15,1
217,71
122 (g)
–159,9
27,9
–155 (g)
344 (g)
–15 (g)
–159,6
–11,7
–135 (g)
295 (g)
–21 (g)
80,3
218,0
151 (g)
336 (g)
224 (g)
17,99
221,75
146
–229 (g)
506 (g)
324
64,5 101
z
291 p
–710
– 954,37
25 (g)
435,6 (1 bar)
205
–764,8
–56,8
125,7
–250
467
16 (g)
–129,7
36,1
–168,19
259,40
– 8 (g)
138
–302
403
–150
–34
185,5
– 490 (g)
440 (g)
–357 (g)
–165,2
30,0
–21
346
40,2
144 (g)
330 (g)
210 (g)
56,1
129 (g)
332 (g)
194 (g)
181,8
–155,22
142,25
33 (g)
79
–104
8
–219
283
–205
210 – 211
7
–782
208
–592
–42,1
–103,63
270,70
–126,2
97,2
–302,5
192,46
–163 (g)
– 88,5
82,3
–272
310
–173 (g)
–94,7
56,1
–235,14
199,99
–153 (g)
–20,7
140,8
–511
191,0
290
–659,8
204,59
–47,7
20
267
–24
62
Eigenschaften von Stoffen
Formel
Dichte ♦ ρ
molare
Schmelz
Siede
Standard
Standard
freie
in g · cm–3
Masse
tempera
tempera
bildungs
entropie
Standard
bei 25 °C
in
tur ● θs
tur ● θv
enthalpie
S 0 in
bildungs
in °C
in °C
Δf H 0 in
J · mol–1 · K–1
enthalpie
g · mol–1
kJ · mol–1
Aggregatzustand Name
kJ · mol–1
Propin g
C3H4
0,6711 (l)
Saccharose s
C12H22O11
1,588
342,3
Silberacetat s
CH3COOAg
3,3
166,9
Tetrachlormethan l
CCl4
1,584
153,8
40,1
Tribrommethan l
CHBr3
2,876
Trichlormethan (Chloroform) l
CHCl3
1,480
Trichlorethansäure s
Cl3CCOOH
Triiodmethan (Iodoform) s
–102,7
–23,2
185 z z
185
248
194
–
–2 221
360
–1 544
–
–399
150
–308
–141,4
217,56
–23,0
76,5
252,8
8,1
149,6
119,4
– 63,5
61,7
1,62
163,4
58
197,6
CHI3
4,178
393,8
119
Triethylamin l
(C2H5)3N
0,737 (20°C)
101,19
–114,8
89,4
Undecan l
C11H24
0,737
156,3
–25,6
195,9
Vinylbenzol (Styrol) l
C6H5C2H3
0,91
104,14
–31
145
♦ Dichte
Δf G 0 in
bei 25 °C
gasförmiger Stoffe bei 0 °C
●
218
25 (g)
–58 (g)
331 (g)
16 (g)
296 (g)
– 69 (g)
211
356
178
–100
405
110
–270 (g)
584 (g)
–132 –501 (l)
103,4
42 (g)
237,6
Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa
Molare Standardgrößen ausgewählter hydratisierter Ionen in wässriger Lösung Formel
Acetat-Ionen
CH3COO–
– 486
86
–368
Aluminium-Ionen
Al3+
–531
–322
–485
Ammonium-Ionen
NH4+
–132
113
–79
Barium-Ionen
Ba
2+
–538
10
–561
Blei-Ionen
Pb2+
–2
10
–24
Bromid-Ionen
Br–
–121
83
–104
Calcium-Ionen
Ca2+
–543
–53
–554
2–
Standardbildungs enthalpie ΔfH 0 in kJ · mol–1
Standardentropie S 0 in J · mol–1 · K–1
Ionen
freie Standard bildungsenthalpie ΔfG 0 in kJ · mol–1
Carbonat-Ionen
CO3
–677
–57
–582
Chlorid-Ionen
Cl–
–167
57
–131
Chromat-Ionen
CrO42–
–881
50
–728
Cobalt(II)-Ionen
Co2+
–58
–113
–54 –134
3+
Cobalt(III)-Ionen
Co
92
–305
Cyanid-Ionen
CN–
151
94
172
Dichromat-Ionen
Cr2O72–
–1 490
262
–1 301
Eisen(II)-Ionen
Fe2+
– 89
–138
–79
Eisen(III)-Ionen
Fe3+
– 49
–316
–5
–
Fluorid-Ionen
F
–333
–14
–279
Formiat-Ionen
HCOO–
–426
92
–351
Hydrogencarbonat-Ionen
HCO3–
– 692
91
–587
Ch
125
Ch
126
Chemie
Standardbildungs enthalpie ΔfH 0 in kJ · mol–1
Standardentropie S 0 in J · mol–1 · K–1
Ionen
Formel
Hydronium-Ionen
H3O+
–286
70
–237
Hydroxid-Ionen
OH–
–230
–11
–157
Iodid-Ionen
I–
–57
107
–52
Kalium-Ionen
K+
–251
103
–282
Kupfer(I)-Ionen
Cu+
72
41
50
Kupfer(II)-Ionen
Cu2+
65
–100
66
Magnesium-Ionen
Mg2+
– 467
–138
– 455
Mangan-Ionen
Mn2+
–221
–74
–228
Natrium-Ionen
Na+
–240
59
–262
Nitrat-Ionen
NO3–
–207
146
–111
Perchlorat-Ionen
ClO4–
–129
182
–9
Permanganat-Ionen
MnO4–
–541
191
–447
Phosphat-Ionen
PO43–
–1 290
–222
–1 032
Silber-Ionen
Ag+
106
73
77
Sulfat-Ionen
SO42–
–909
20
–745
Sulfid-Ionen
S2–
33
–15
86
– 635
–29
– 487
– 652
121
2–
Sulfit-Ionen
SO3
Thiosulfat-Ionen
S2O32–
Wasserstoff-Ionen
H+
Zink-Ionen
Zn2+
freie Standard bildungsenthalpie ΔfG 0 in kJ · mol–1
0
0
0
–154
–112
–147
Atombau Atom- und Ionenradien ausgewählter Elemente Element
Atomradius in 10 –10 m
Ionenradius in 10 –10 m
Ionen ladung
Element
Atomradius in 10 –10 m
Ionenradius in 10 –10 m
Ionen ladung
Aluminium Al
1,43
0,50
+3
Kupfer Cu
1,28
0,72
+2
Beryllium Be
1,12
0,31
+2
Lithium Li
1,52
0,60
+1
Bor B
0,88
0,20
+3
Magnesium Mg
1,60
0,65
+2
Brom Br
1,14
1,95
–1
Mangan Mn
1,24
0,91
+2
Caesium Cs
2,62
1,69
+1
Mangan Mn
1,24
0,70
+3
Calcium Ca
1,97
0,97
+2
Natrium Na
1,86
0,95
+1
Chlor Cl
0,99
1,81
–1
Phosphor P
1,10
2,12
–3
Cobalt Co
1,25
0,82
+2
Rubidium Rb
2,44
1,48
+1
Eisen Fe
1,24
0,83
+2
Sauerstoff O
0,66
1,45
–2
Eisen Fe
1,24
0,647
+3
Schwefel S
1,04
1,84
–2
Fluor F
0,64
1,36
–1
Selen Se
1,17
1,98
–2
Gallium Ga
1,22
0,62
+3
Silicium Si
1,17
0,39
+4
Germanium Ge
1,22
0,53
+4
Stickstoff N
0,70
1,71
–3
Iod I
1,33
2,16
–1
Silber Ag
1,44
1,26
+1
Kalium K
2,02
1,33
+1
Wasserstoff H
0,373
Kohlenstoff C
0,77
0,16
+ 4
Zink Zn
1,33
0,74
+2
Atombau
127
Verteilung der Elektronen in der Atomhülle (Grundzustand)
Periode 6
Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db
Anzahl der Elektronen in den Hauptenergieniveaustufen 1 2 3 4 5 6 2 8 18 18 8 1 2 8 18 18 8 2 2 8 18 18 8+1 2 2 8 18 18+1 8+1 2 2 8 18 18+3 8 2 2 8 18 18+4 8 2 2 8 18 18+5 8 2 2 8 18 18+6 8 2 2 8 18 18+7 8 2 2 8 18 18+7 8+1 2 2 8 18 18+9 8 2 2 8 18 18+10 8 2 2 8 18 18+11 8 2 2 8 18 18+12 8 2 2 8 18 18+13 8 2 2 8 18 18+14 8 2 2 8 18 18+14 8+1 2 2 8 18 32 8+2 2 2 8 18 32 8+3 2 2 8 18 32 8+4 2 2 8 18 32 8+5 2 2 8 18 32 8+6 2 2 8 18 32 8+7 2 2 8 18 32 8+9 1 2 8 18 32 8+10 1 2 8 18 32 8+10 2 2 8 18 32 18 3 2 8 18 32 18 4 2 8 18 32 18 5 2 8 18 32 18 6 2 8 18 32 18 7 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8+1 2 8 18 32 18 8+2 2 8 18 32 18+2 8+1 2 8 18 32 18+3 8+1 2 8 18 32 18+4 8+1 2 8 18 32 18+6 8 2 8 18 32 18+7 8 2 8 18 32 18+7 8+1 2 8 18 32 18+9 8 2 8 18 32 18+10 8 2 8 18 32 18+11 8 2 8 18 32 18+12 8 2 8 18 32 18+13 8 2 8 18 32 18+14 8 2 8 18 32 18+14 8+1 2 8 18 32 32 8+2 2 8 18 32 32 8+3
7
Ch
Anzahl der Elektronen in den Ord Elemente Hauptenergieniveaustufen nungs 1 2 3 4 5 6 7 zahl 1 55 Caesium 2 56 Barium 57 Lanthan 58 Cer 3 Lithium Li 2 1 59 Praseodym 4 Beryllium Be 2 2 60 Neodym 5 Bor B 2 3 61 Promethium 6 Kohlenstoff C 2 4 62 Samarium 7 Stickstoff N 2 5 63 Europium 8 Sauerstoff O 2 6 64 Gadolinium 9 Fluor F 2 7 65 Terbium 10 Neon Ne 2 8 66 Dysprosium 11 Natrium Na 2 8 1 67 Holmium 12 Magnesium Mg 2 8 2 68 Erbium 13 Aluminium Al 2 8 3 69 Thulium 14 Silicium Si 2 8 4 70 Ytterbium 15 Phosphor P 2 8 5 71 Lutetium 16 Schwefel S 2 8 6 72 Hafnium 17 Chlor Cl 2 8 7 73 Tantal 18 Argon Ar 2 8 8 74 Wolfram 19 Kalium K 2 8 8 1 75 Rhenium 20 Calcium Ca 2 8 8 2 76 Osmium 21 Scandium Sc 2 8 8+1 2 77 Iridium 22 Titan Ti 2 8 8+2 2 78 Platin 23 Vanadium V 2 8 8+3 2 79 Gold 24 Chrom Cr 2 8 8+5 1 80 Quecksilber 25 Mangan Mn 2 8 8+5 2 81 Thallium 26 Eisen Fe 2 8 8+6 2 82 Blei 27 Cobalt Co 2 8 8+7 2 83 Bismut 28 Nickel Ni 2 8 8+8 2 84 Polonium 29 Kupfer Cu 2 8 8+10 1 85 Astat 30 Zink Zn 2 8 8+10 2 86 Radon 31 Gallium Ga 2 8 18 3 87 Francium 32 Germanium Ge 2 8 18 4 88 Radium 33 Arsen As 2 8 18 5 89 Actinium 34 Selen Se 2 8 18 6 90 Thorium 35 Brom Br 2 8 18 7 91 Protactinium 36 Krypton Kr 2 8 18 8 92 Uran 37 Rubidium Rb 2 8 18 8 1 93 Neptunium 38 Strontium Sr 2 8 18 8 2 94 Plutonium 39 Yttrium Y 2 8 18 8+1 2 95 Americium 40 Zirconium Zr 2 8 18 8+2 2 96 Curium 41 Niob Nb 2 8 18 8+4 1 97 Berkelium 42 Molybdän Mo 2 8 18 8+5 1 98 Californium 43 Technetium Tc 2 8 18 8+5 2 99 Einsteinium 44 Ruthenium Ru 2 8 18 8+7 1 100 Fermium 45 Rhodium Rh 2 8 18 8+8 1 101 Mendelevium 46 Palladium Pd 2 8 18 8+10 0 102 Nobelium 47 Silber Ag 2 8 18 8+10 1 103 Lawrencium 48 Cadmium Cd 2 8 18 8+10 2 104 Rutherfordium 49 Indium In 2 8 18 18 3 105 Dubnium 50 Zinn Sn 2 8 18 18 4 51 Antimon Sb 2 8 18 18 5 52 Tellur Te 2 8 18 18 6 53 Iod I 2 8 18 18 7 54 Xenon Xe 2 8 18 18 8 Periode 7
Periode 5
Periode 4
Periode 3
Periode 2
Periode 1
Ord Elemente nungs zahl 1 Wasserstoff H 2 Helium He
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
128
Chemie
Energieniveauschema der Atomorbitale 7d 6f 7p
Ch
n=7
6d 5f 7s 6p 5d 4f 6s 5p
n=6
n=5
4d 5s
n=4
4p 3d 4s
n=3
3p 3s 2p
n=2
2s
n=1
1s
Hauptquanten zahl n
Nebenquanten zahl l
Orbital bezeichnung
Magnetquanten zahl m
Spinquanten zahl s
Elektronen zahl
1
0
s
0
± }12
2
2
3
0
s
0
± }12
1
p
1
± }12
0
± }12
–1
± }12
0
s
0
± }12
1
p
1
± }12
0
± }12
–1
± }12
2
± }12
1
± }12 ± }12 ± }12 ± }12
2
d
0 –1 –2 4
8
18
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
129
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
Eigenschaft der Lösung
stark sauer
schwach sauer
neutral
Konzentration der Hydronium-Ionen H3O+
Ursache
schwach alkalisch
stark alkalisch
Konzentration der Hydroxid-Ionen OH–
Universalindi katorpapier pH-Wert
0
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11 12
13 14
Säure-Base-Indikatoren Name
angezeigte Farben pH1 < pH2
pH-Umschlagsbereich
Brillantgrün
gelb
grün
0,0 … 2,6
Kresolrot
rot
gelb
0,2 … 1,8
Thymolblau
rot
gelb
1,2 … 2,8
Methylgelb
rot
gelb
2,4 … 4,0
Methylorange
rot
gelb
3,1 … 4,4
Methylrot
rosa
gelb
4,4 … 6,2
Lackmus
rot
blau
5,0 … 8,0
Bromthymolblau
gelb
blau
6,0 … 7,6
Kresolrot
gelb violett-rot
7,0 … 8,8
Thymolblau
gelb
blau
8,0 … 9,6
Phenolphthalein
farblos
rot
Alizaringelb R
gelb orangebraun
10,1 … 12,0
Indigocarmin
blau
11,5 … 13,0
8,3 … 10,0
gelb
Dichten und Stoffmengenkonzentrationen handelsüblicher Lösungen in Wasser gelöster Stoff
konzentriert Massenanteile ωi in %
Dichte ρ bei 20 °C in g · ml–1
verdünnt Stoffmengen konzentration in mol · l–1
Massenanteile ωi in %
Dichte ρ bei 20 °C in g · ml–1
Stoffmengen konzentration in mol · l–1
HCl (g)
36
1,179
12
7
1,033
2
HNO3 (l)
65
1,391
14,53
12
1,066
2
H2SO4 (l)
96
1,836
17,97
9
1,059
1
H3PO4 (s)
85
1,71
14,65
10
1,05
1,1
CH3COOH (l)
99
1,052
17,35
12
1,015
2
NaOH (s)
32
1,35
10,79
8
1,087
2,2
KOH (s)
27
1,256
6,12
11
1,100
2,2
NH3 (g)
25
0,907
13,35
3
0,981
1,7
C2H5OH (l)
96
0,8
16,7
6
0,988
1
Ch
pH-Wert-Skala
130
Chemie
Ch
Säure-Base-Konstanten und pKS- bzw. pKB-Werte für ausgewählte Säure-Base-Paare (pKS = – lg {KS}) bei 25 °C Säure
KS in mol · l–1
HClO4
≈ 109
pKS
korrespondierende Base
KB in mol · l–1
pKB
≈ –9
ClO4–
≈ 10–23
≈ 23
≈ –7
Cl–
≈
10–21
≈ 21
≈
10–17
≈ 17
≈
107
H2SO4
≈
103
H3O+
5,49 · 101
–1,74
H2O
1,82 · 10 –16
15,74
HNO3
2,09 · 101
–1,32
NO3–
4,79 · 10 –16
15,32
–13
12,75
HCl
≈ –3
HSO4
–
HOOC– COOH
–2
5,6 · 10
1,25
HOOC– COO
1,77 · 10
CHCl2– COOH
5,0 · 10–2
1,30
CHCl2– COO–
1,99 · 10–13
12,7
H2SO3
1,26 · 10–2
1,90
HSO3–
7,94 · 10–13
12,10
8,32 · 10
–13
12,08
1,92
SO42–
H3PO4
7,41 · 10–3
2,13
H2PO 4–
1,35 · 10–12
11,87
CH3– CHCl– COOH
1,48 · 10–3
2,83
CH3– CHCl– COO–
6,76 · 10–12
11,17
CH2Cl– COOH
1,3 · 10–3
2,86
CH2Cl– COO–
7,24 · 10–12
11,14
HNO2
7,2 · 10–4
1,38 · 10–11
10,86
–11
10,83
HSO4
–
–2
–
1,2 · 10
–4
3,14
NO2
–
–
HF
6,8 · 10
3,17
F
1,48 · 10
HCOOH
1,78 · 10–4
3,75
HCOO –
5,62 · 10–11
10,25
9,54 · 10
–11
10,02
–10
9,25
CH2Cl– CH2– COOH
–4
1,14 · 10
–5
–
3,98
CH2Cl– CH2– COO
4,75
–
CH3COO
5,62 · 10
CH3COOH
1,78 · 10
CH3CH2COOH
1,3 · 10–5
4,87
CH3CH2COO–
7,41 · 10–10
9,13
H2CO3
3,02 · 10–7
6,52
HCO3–
3,31 · 10– 8
7,48
H2S
1,20 · 10–7
6,92
HS–
8,32 · 10 –8
7,08
H2PO4–
7,58 · 10 –8
7,12
HPO42–
1,31 · 10–7
6,88
HSO3–
6,4 · 10– 8
7,20
SO32–
1,58 · 10–7
6,80
NH4+
5,62 · 10–10
9,25
NH3
1,78 · 10–5
4,75
HCN
3,98 · 10–10
9,40
CN–
2,51 · 10–5
4,60
OH
1,04 · 10–10
9,98
O–
9,54 · 10–5
4,02
HCO3–
3,98 · 10–11
10,40
CO32–
2,51 · 10– 4
3,60
2,08 · 10
–2
1,68
HPO42–
–13
4,78 · 10
12,32
PO43–
H2O
1,82 · 10–16
15,74
OH–
5,49 · 101
–1,74
[Zn(H2O)6]2+
2,45 · 10–10
9,61
[Zn(OH)(H2O)5]+
4,07 · 10–5
4,39
[Al(H2O)6]3+
1,41 · 10–5
4,85
[Al(OH)(H2O)5]2+
7,08 · 10–10
9,15
3+
–3
2,22
2+
–12
11,78
[Fe(H2O)6]
6,03 · 10
[Fe(OH)(H2O)5]
1,66 · 10
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
Löslichkeit ausgewählter Gase
131
bei 101,3 kPa
In 1 Liter Wasser werden n Gramm Gas (Angabe im jeweiligen Feld) aufgenommen. 0 °C
10 °C
20 °C
30 °C
40 °C
50°C
60 °C
80 °C
O2
0,0694
0,0537
0,0434
0,0359
0,0308
0,0266
0,0227
0,013
N2
0,0294
0,023
0,0190
0,0162
0,0139
0,0122
0,0105
0,0066
H2
0,0019
0,0017
0,0016
0,0015
0,0014
0,0013
0,0012
0,0008
9,972
7,293
5,723
4,59
3,925
3,295
2,227
2,318
1,688
1,257
0,973
0,761
0,576
0,022
0,020
0,019
Cl2
14,6
CO2
3,346
CO
0,044
0,029
HCl
842
772
721
673
SO2
228
153,9
106,6
NH3
899
684
518
633 55,84
408
338
H2S
7,188
5,232
3,974
C2H6
0,1339
0,0890
0,0640
0,0491
C2H4
0,285
0,204
0,154
0,113
C2H2
2,03
1,53
1,21
0,98
596
0,018
561
41,90 284
238
154
2,555
2,143
1,832
1,411
0,0395
0,0333
0,0295
0,0247
Löslichkeit ausgewählter Ionensubstanzen
bei 20 °C und 101,3 kPa
In 100 g Wasser lösen sich n Gramm Salz (Angabe im jeweiligen Feld) bis zur Sättigung. Ionen
Cl–
Br–
I–
NO3–
SO42–
Na+
35,85
90,5
179,3
88,0
19,08
K+
34,35
65,6
144,5
31,5
11,15
37,4
73,9
172,0
187,7
75,4
NH4+ 2+
19,0
– 4
CO32–
PO43–
OH–
12,1
109
111,5
23,0
111,4
100,0
20,3
21,58
–3
Ba
35,7
104,0
170,0
Mg2+
54,25
102,0
148,1
70,5
35,6
0,18
Ca2+
74,5
142,0
204,0
127,0
0,2
1,5 · 10–3
Zn2+
367,0
447,0
432,0
117,5
53,8
Pb2+
0,97
Cu2+
77,0
Fe2+
62,2
Ag+
1,5 · 10– 4
Al3+
45,6
0,84
0,07
122
1,2 · 10–5
9,03
S2–
52,5 121,9
2,5 · 10–7
215,5 73,0
2,3 · 10
4,2 · 10–3
2 · 10
8,6 · 10–5 2,9 · 10–3
26,6
6 · 10– 4
36,3
3,48 0,12 · 10–2 1,9 · 10–2
0,118
2 · 10–2
21,1
0,74
–
1,4 · 10–5
1,7 · 10– 4
1,3 · 10–5 1,42 · 10– 4
3 · 10–3
6,5 · 10– 4
Ch
Gas
132
Chemie
Wasserhärte
Ch
Härtebereich
Härtegrad
Bezeichnung
in mmol · l–1
in °dH
1
0 … 1,5
0…7
weich
2
1,5 … 2,5
7 … 14
mittelhart
3
2,5 … 3,8
14 … 21
hart
4
> 3,8
> 21
sehr hart
(Wasserhärte = Maß für den Gehalt an Magnesium- und Calcium-Ionen des Wassers; der Härtegrad wird bezogen auf CaO bzw. MgO angegeben; 2007 wurden die Härtebereiche 3 und 4 zu „hart“ zusammengefasst)
Löslichkeitsprodukte einiger Salze und Hydroxide Name Aluminiumhydroxid
Formel Al(OH)3
KL
bei 25°C Einheit
–33
1 · 10
–9
4
– 4
2
–2
mol · l
pKL 33
Bariumcarbonat
BaCO3
5 · 10
mol · l
8,3
Bariumhydroxid
Ba(OH)2
5 · 10 –3
mol3 · l–3
2,3
Bariumphosphat
Ba3(PO4)2
6 · 10–38
mol5 · l–5
37,2
Bariumsulfat Blei(II)-chlorid
BaSO4
–10
1 · 10
–5
2
–2
3
–3
4,7
mol · l
10
PbCl2
2 · 10
mol · l
Pb(OH)2
6 · 10 –16
mol3 · l–3
15,2
Blei(II)-sulfat
PbSO4
2 · 10 –8
mol2 · l–2
7,7
Blei(II)-sulfid
PbS
1 · 10 –28
mol2 · l–2
Calciumcarbonat
CaCO3
5 · 10 –9
mol2 · l–2
8,3
Ca(OH)2
4 · 10 –6
mol3 · l–3
5,4
CaSO4
2 · 10 –5
mol2 · l–2
4,7
Fe(OH)3
4 · 10 –40
mol4 · l– 4
39,4
Eisen(II)-hydroxid
Fe(OH)2
8 · 10 –16
mol3 · l–3
15,1
Eisen(II)-sulfid
FeS
5 · 10 –18
mol2 · l–2
17,3
Kupfer(II)-sulfid
CuS
6 · 10 –36
mol2 · l–2
35,2
Mg(OH)2
1 · 10 –11
mol3 · l–3
11
Mn(OH)2
2 · 10 –13
mol3 · l–3
12,7
HgS (rot)
4 · 10 –53
mol2 · l–2
52,4
2
–2
12,3
Blei(II)-hydroxid
Calciumhydroxid Calciumsulfat Eisen(III)-hydroxid
Magnesiumhydroxid Mangan(II)-hydroxid Quecksilber(II)-sulfid
–13
28
Silberbromid
AgBr
5 · 10
mol · l
Silberchlorid
AgCl
2 · 10 –10
mol2 · l–2
9,7
Silberiodid
AgI
8 · 10 –17
mol2 · l–2
16,1
ZnCO3
6 · 10 –11
mol2
–2
10,2
–17
3
–3
16,5
Zinkcarbonat Zinkhydroxid
Zn(OH)2
3 · 10
· l
mol · l
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
133
Ebullioskopische (Ke ) und kryoskopische (Kk ) Konstanten Schmelztempe ratur ● in °C
Siedetemperatur ● in °C
Ke in K · kg · mol–1
Cyclohexan
6,5
80,8
20,2
Essigsäure
16,7
117,9
3,07
3,9
–114,1
78,3
1,04
–
–97,7
64,5
0,84
–
Ethanol Methanol Wasser
0,0
100
Kk in K · kg · mol–1 2,75
0,515
Stabilitätskonstanten von Komplex-Ionen
Ch
Lösungsmittel
1,853
bei 298 K = 25 °C
Z Li
lgK
Z Li
lgK
Ag+ + 2 CN– a [Ag(CN)2]–
20
Fe2+ + 6 CN– a [Fe(CN)6]4–
37
7
Fe3+ + 6 CN– a [Fe(CN)6]3–
44
Ag+ + 2 S2O32– a [Ag(S2O3)2]3–
13
Hg2+ + 4 CN– a [Hg(CN)4]2–
41
Al3+ + 6 F– a [AlF6]3–
20
Hg2+ + 4 Cl– a [HgCl4]2–
16
Ag+ + 2 NH3 a [Ag(NH3)2]+
Cd2+ + 4 NH3 a [Cd(NH3)4]2+
7
Ni2+ + 4 CN– a [Ni(CN)4]2–
31
Co2+ + 6 NH3 a [Co(NH3)6]2+
5
Ni2+ + 6 NH3 a [Ni(NH3)6]2+
8
Co3+ + 6 NH3 a [Co(NH3)6]3+
34
Zn2+ + 4 CN– a [Zn(CN)4]2–
Cu+ + 2 NH3 a [Cu(NH3)2]+
11
Zn2+ + 4 NH3 a [Zn(NH3)4]2+
Cu2+ + 4 NH3 a [Cu(NH3)4]2+
13
20 9
cZLi
n Reaktionsteilnehmer in wässriger Lösung; c in mol · l–1; Z + n Li a Z Lin K = } n
cZ · cLi
(Anmerkung: Die Komplex-Ionen werden immer in eckige Klammern gesetzt, z.B. [Zn(CN)4]2–.)
Gitterenthalpien für den Zerfall von einem Mol Kristall in seine Ionen (ΔH298 /kJ · mol–1) Li+
bei 298 K = 25 °C
F –
Cl –
Br –
I –
1 039
850
802
742
Na+
920
780
740
692
K+
816
710
680
639
+
Cs
749
651
630
599
Be2+
3 476
2 994
2 896
2 784
Mg2+
2 949
2 502
2 402
2 293
2+
Ca
2 617
2 231
2 134
2 043
Ba2+
2 330
2 024
1 942
1 838
Sr2+
2 482
2 129
2 040
1 940
134
Chemie
Durchschnittliche Bindungsenthalpien bei 298 K und Atom-Atom-Abstände
Ch
Bindung
ΔH in kJ · mol–1
Bindungs längen in pm
Bindung
ΔH in kJ · mol–1
Bindungs längen in pm
Bindung
ΔH in kJ · mol–1
Bindungs längen in pm
Br– Br
193
228
C– O
358
143
C=S
536
189
C– C
348
154
C– P
264
184
N=N
418
125
Cl– Cl
242
199
C–S
272
182
N≡N
945
110
F–F
159
142
H– Cl
431
128
N= O
607
H–H
436
74
H–Br
366
141
O = O
498
121
I – I
151
267
H–F
567
92
Br– Cl
219
214
N – N
163
146
H– I
298
160
Br–F
249
176
O – O
146
148
H– N
391
101
Br–I
178
P–P
172
221
H– O
463
97
Cl – F
253
163
S –S
255
205
H– P
322
142
Cl – I
211
232
C– Br
285
194
H–S
367
134
O – Br
234
C– Cl
339
177
C= C
614
134
O – Cl
208
170
C– I
218
214
C≡ C
839
120
O – F
193
142
C– H
413
108
C= N
615
130
O – I
234
C– F
489
138
C≡ N
891
116
O – N
201
136
C– N
305
147
C= O
745
122
O – P
335
154
Molare Hydratationsenthalpien ausgewählter Ionen Ion H3O+
ΔH H in kJ · mol–1
Ion
–1085
Ca2+
Li+
ΔH H in kJ · mol–1
bei 25°C Ion
ΔH H in kJ · mol–1
–1 580
Al3+
– 4 609
–508
Sr2+
–1 433
OH–
–365
Na+
–399
Ba2+
–1 291
F–
–511
K+
–314
Fe2+
–1 961
Cl–
–376
Rb+
–288
Co2+
–1 996
Br–
–342
Cs+
–256
Ni2+
–2 105
I–
–299
Ag+
– 468
Cu2+
–2 116
NO3–
–256
NH4+
–293
Zn2+
–2 057
CN–
–349
Be2+
–2 494
Hg2+
–1 820
Mg2+
–1 910
Fe3+
– 4 492
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
135
Elektrochemische Spannungsreihe der Metalle, Standardpotenziale E 0 bei 25°C, 101,3 kPa
+
Li
+
Ba2+ 2+
Ca +
Na 2+
Mg
+
Standardpotenzial E 0 in V
–
+
Li /Li
–3,04
e–
a K(s)
K+/K
–2,92
a Ba(s)
Ba2+/Ba
–2,90
+ e a Li(s)
K+
Redoxpaar OM/RM
2e– –
2+
Ca /Ca
–2,87
–
+
Na /Na
–2,71
–
Mg2+/Mg
–2,36
Al3+/Al
–1,66
+ 2e a Ca(s) + e a Na(s) + 2e a Mg(s)
Al3+
+
Mn2+
+ 2e– a Mn(s)
Mn2+/Mn
–1,18
Zn2+
+ 2e– a Zn(s)
Zn2+/Zn
– 0,76
Cr3+
+ 3e– a Cr(s)
Cr3+/Cr
– 0,74
Fe2+
+ 2e– a Fe(s)
Fe2+/Fe
– 0,41
Cd2+
+ 2e– a Cd(s)
Cd2+/Cd
– 0,40
Co2+
+ 2e– a Co(s)
Co2+/Co
– 0,28
Ni2+
+ 2e– a Ni(s)
Ni2+/Ni
– 0,23
+ 2e– a Sn(s)
Sn2+/Sn
– 0,14
+ 2e– a Pb(s)
2+
Pb /Pb
– 0,13
+ 3e– a Fe(s)
Fe3+/Fe
– 0,02
+ 2e– a H2(g)
+
2H /H2
0,00
Cu2+/Cu
0,35
+
Cu /Cu
0,52
Sn2+ Pb2+ Fe3+ 2H+ 2+
Cu Cu+ +
Ag Hg2+ Pt2+ Au3+ Au+
3e–
a Al(s)
–
+ 2e a Cu(s) +
e–
a Cu(s)
–
+
Ag /Ag
0,80
+
2e–
a Hg(l)
Hg2+/Hg
0,85
+
2e–
a Pt(s)
Pt2+/Pt
1,20
+
3e–
a Au(s)
Au3+/Au
1,50
a Au(s)
Au+/Au
1,68
+ e a Ag(s)
+
e–
Ch
Oxidationsmittel + z · e– a Reduktionsmittel
Elektrochemische Spannungsreihe der Nichtmetalle, Standardpotenziale E 0 bei 25°C und 101,3 kPa Oxidationsmittel + z · e– a Reduktionsmittel Se(s) S(s) I2(g) Br2(l) Cl2(g) F2(g)
2e–
a Se2–
Redoxpaar OM/RM 2–
Standardpotenzial E 0 in V
Se/Se
–0,92
–
2–
S/S2–
– 0,48
+
2e–
a
2 I–
I2 /2 I–
0,54
+
2e–
a
2 Br–
Br2 /2 Br–
1,07
+
2e–
a
2 Cl–
–
Cl2 /2 Cl
1,36
F2 /2 F–
2,87
+
+ 2e a S
–
+ 2e a 2F
–
136
Chemie
Elektrochemische Spannungsreihe ausgewählter Redoxreaktionen, Standardpotenziale E 0 + z · e–
Ch
Oxidationsmittel
–
Mg(OH)2
+ 2e
Ca(OH)2
+
2 H2O
2e–
+ 2e– –
Cd(OH)2
+ 2e
[Ag(CN)2]–
+
e– –
a
Reduktionsmittel –
a
Mg + 2 OH
a
2 OH–
Ca +
bei 25°C und 101,3 kPa
Standardpotenzial E 0 in V
–2,63 –3,03
2 OH–
– 0,83
–
– 0,82
a Ag(s) +
2 CN–
– 0,38
a Pb(s) +
SO42–
– 0,36
a H2(g) +
a Cd + 2 OH
PbSO4(s)
+ 2e
Cu(OH)2
+
2e–
CO2(g) + 2 H+
+ 2e–
a CO(g) + H2O
AgCl(s)
+ e–
a Ag(s) + Cl–
O2(g) + 2 H2O
+ 4e–
a
Cu2+
+ e–
a Cu+
0,17
O2(g) + 2 H+
+ 2e–
a H2O2
0,682
Fe3+
+ e–
a Fe2+
0,77
O2(g) + 4 H+
+ 4e–
a
2 H2O
1,23
MnO2(s) + 4 H+
+ 2e–
a Mn2+ + 2 H2O
1,23
Cr2O72– + 14 H+
+ 6e–
a
2 Cr3+ + 7 H2O
1,33
Au3+
+ 2e–
a Au+
1,41
+ 2e–
a Pb2+ + 2 H2O
1,46
PbO2(s) + 4 H+ –
+
–
MnO4 + 8 H PbO2(s) + –
MnO4 + H2O2 + O3 +
4 H+
+ 5e + SO4
2–
4 H+
2 H+
2 H+
a Cu +
2 OH–
–0,22 –0,12 0,22
4 OH–
2+
a Mn
0,40
+ 4 H2O
1,51
+
2e–
a PbSO4(s) + 2 H2O
1,69
+
3e–
a MnO2(s) + 2 H2O
1,70
+
2e–
a
+
2e–
a O2+ H2O
2 H2O
1,776 2,07
Stöchiometrie Stöchiometrisches Rechnen relative Atommasse Ar
A Ar = } u
Stoffmenge n
m n=} M = } VV = } NN
molare Masse M
m M = } n
molares Volumen Vm
V Vm = } n
u atomare Masseeinheit (b S. 71) 1 1 u = } der Masse eines Kohlenstoffatoms [12C] 12 A absolute Atommasse m
A
m Masse M molare Masse V Volumen Vm molares Volumen N Teilchenzahl einer abgeschlossenen Stoffmenge NA avogadro-Konstante (b S. 71)
M · n
m
Masse/Masse
1 1 1 } = } m M · n
Masse/Volumen
1 1 1 } = } V V · n
Volumen/Volumen
V n V1 = } n1 } 2 2
Ausbeute η
η=} n real
Massenanteil ωi
ωi = } mi
Volumenanteil φi
φi = } V i
2
2
2
M · n
m
2
m
2
n
max
m V
0
m Vi }
Massenkonzentration βi
βi =
Stoffmengenkonzentration ci
ni ci = } V
Molalität b
b=} m i
n
Lm
Mischungsrechnen mit dem Mischungskreuz (Konzentrationsanga be in Masseprozent) (b Mischungsrechnen S. 13)
m1, m2 Massen der Stoffe 1 und 2 n1, n2 Stoffmengen der Stoffe 1 und 2 M1, M2 molare Massen der Stoffe 1 und 2 V1, V2 Volumen der gasförmigen Stoffe 1 und 2 bei 0 °C und 101 325 Pa Vm molares Normvolumen des gasförmigen Stoffes 2 nreal nmax
real erhaltene Stoffmenge maximal erhaltene Stoffmenge
mi Masse der Komponente i m Gesamtmasse des Stoffgemisches Vi Volumen der Komponente i V0 Gesamtvolumen der Lösung vor dem Mischvorgang V Gesamtvolumen der Lösung nach dem Mischvorgang ni Stoffmenge der Komponente i n Gesamtstoffmenge des Stoffgemisches ni mLm
Konzentration der gegebenen Lösung A x% gewünschte Konzentration z% Konzentration der gegebenen Lösung B Summe: y%
Stoffmenge der Komponente i Masse des Lösungsmittels z–y (Masseteile von A)
Wird eine gegebene Lösung A mit Wasser verdünnt, gilt y = 0.
x–z (Masseteile von B) x–y (Masseteile des Gemisches
Elektrochemie nernstsche Gleichung
c (Ox) E = E 0 + } R · T · ln } z · F c (Red)
Für eine Temperatur von 25°C gilt: c (Ox) E = E 0 + } 0,059 V ·lg } z c (Red)
Berechnung nach den faradayschen Gesetzen
I · t = n · z · F bzw. η · I · t = n · z · F m I · t m } = } F · z bzw. = } I · t · η } M M F · z
E Redoxpotenzial E 0 Standardpotenzial des entsprechenden Redoxpaars in V R universelle Gaskonstante (b S. 71) T Temperatur z Anzahl der ausgetauschten Elektronen F faraday-Konstante (b S. 71) c Stoffmengenkonzentration des Oxidadions- bzw. Reduktionsmittels M molare Masse m Masse F faraday-Konstante (b S. 71) z pro Formelumsatz ausgetauschte Zahl von Elektronen I Stromstärke t Zeit n Stoffmenge η Stromausbeute (Wirkungsgrad)
Gasgesetze (unter „Thermisches Verhalten des idealen Gases“ b S. 97)
137
Ch
Elektrochemie
138
Chemie
Chemisches Gleichgewicht
Ch
Massenwirkungs gesetz
νC
νD
c (D) Kc = } ccν A((C ) · A) · cν B(B) νC
Reaktion νA A + νB B a νC C + νD D Kc, Kp Gleichgewichtskonstante c Stoffmengenkonzentration (b S. 137) ν stöchiometrischer Faktor p Partialdruck Einheit Kc : (mol · l–1)Δν Δν = (νC + νD) – (νA + νB)
νD
p (C ) · p (D) Kp = } pν A(A) · pν B(B)
Kp = Kc · (R · T )Δν Löslichkeitsprodukt KL
KL (AxBy) = c x(Am+) · c y(Bn–)
√
}
x Anzahl der Kationen in der Formeleinheit y Anzahl der Anionen in der Formeleinheit c(Am+) Konzentration der Kationen c(B n–) Konzentration der Anionen
x + y K (A B ) L x y } x y x · y
molare Löslichkeit
C AxBy=
Ionenprodukt des Wassers KW
KW = c(H3O+) · c(OH–)
pH-Wert
Für verdünnte wässrige Lösungen gilt:
AxBy a xAm+ + yB n–
Es gilt für das Gleichgewicht bei 22 °C: 2 H2O a H3O+ + OH–
= 10–14 mol2 · l–2
{c(H3O+)} Zahlenwert der Oxoniumionen konzentration (Hydroniumionen konzentration) in mol · l–1
pH = –lg {c(H3O+)}; c(H3O+) = 10–pH –
HA Säure 1 HB+ Säure 2
+
Säure-Base-Reaktion HA + B a A + HB nach BrönstEd Säurekonstante KS Basekonstante KB hEndErsonhassElbalch- Puffergleichung Protolysegrad
pK S = – lg {KS } c(H O+) · c(A–) KS = 3c(HA) }} pK S = 14 – pKB
pH-Wert berechnungen bei wässrigen Lösungen
Es gilt für das Gleichgewicht: HA + H2O a H3O+ + A– {KS} Zahlenwert der Säurekonstante
Es gilt für das Gleichgewicht: pK B = – lg {KB } B + H2O a HB+ + OH– c(HB+) · c(OH–) KB = }} c(B) Zahlenwert der Basekonstante pK B = 14 – pKS {KB} c(HA) Gleichgewichtskonzentration einer schwachen Säure c(A–) Gleichgewichtskonzentration des Anions einer schwachen Base
–
c(A ) pH = pKS + lg } c(HA)
c(H O+)
Kc Protolysekonstante α Protolysegrad (HA oder B) c (A–) Konzentration der Anionen c (K+) Konzentration der Kationen c0 Konzentration (HA oder B) c (KA) Konzentration von nicht protolysiertem Elektrolyt
–
c (OH ) 3 αS = } c (HA) αB = } c (B) 0
OstWald- Verdünnungsgesetz
A– Base 1 B Base 2
0
+
–
2
) · c(A ) α Kc = } c(Kc(KA) =} 1 – α · c0
sehr starke Säuren: Ks > 101,74 } mol ; pH = – lg {c0(HA)} l starke Säuren:
K
K
}} √ (K )2
s 10–2 } mol < } c s < 102 } mol ; c(H3O+) = – } + 2s + Ks · c0(HA) } l l 2 0 pH = – lg {c(H3O+)}
mol mittelstarke bis sehr schwache Säuren: Ks < 10– 4 } ; pH = } 12 (pKS – lg {c0(HA)}) l
Ampholyte: pH = } 12 (14 + pKS – pKB) c0(HA): Ausgangskonzentration der Säure HA
Titration
c1 · V1 · z1 = c2 · V2 · z2 c1=
c · V z2 2V 2 · } } z1 1
z
2 m1 = c2 · V2 · } · M1 z 1
c1 Stoffmengenkonzentration der Testlösung c2 Stoffmengenkonzentration der Maßlösung V1 Volumen der Testlösung V2 Volumen der Maßlösung z1 Äquivalenzzahl des Stoffes in der Testlösung z2 Äquivalenzzahl des Stoffes in der Maßlösung M1 molare Masse des zu bestimmenden Stoffes
Energetik
139
Kinetik
ArrhEnius-Gleichung
} } Δc v = } Δc v = lim } = } dc Δt dt Δt → 0 Δt
–E
A }
k = A · eR · T
EA = (ln{A } – ln{k }) · R · T
} v Durchschnittsgeschwindigkeit
v Momentangeschwindigkeit Δc Konzentrationsänderung Δt Zeitspanne {A } Zahlenwert der Aktivitätskonstanten {k } Zahlenwert der Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten EA Aktivierungsenergie T Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71)
Energetik
Grundbegriffe S. 95–97
molare Reaktions enthalpie ΔRH
ΔRH = ΔRU + p · ΔRV
molare freie Reaktions enthalpie ΔRG (gibbshElMholtz-Gleichung)
ΔRG = ΔRH – T · ΔRS
molare freie Stan dardenthalpie ΔRG 0 und Gleichgewichts konstante K
ΔRG 0 = –R · T · ln K
kalorimetrische Berechnungen
2 P 2 ΔRH = – }} n
ΔRU Änderung der inneren Energie (b S. 97) p · ΔRV Volumenarbeit (b S. 97) ΔRS Differenz der Entropien der Edukte und Produkte c molare Reaktionsentropie T Reaktionstemperatur in K T Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71) K Gleichgewichtskonstante F faraday-Konstante (b S. 71) z Anzahl der ausgetauschten Elektronen ΔE Potenzialdifferenz in V
ΔRG = –z · F · ΔE
m(H O) · c (H O) · ΔT F
m(H2O) · cP(H2O) · ΔT · MRp
ΔfHm = – }} m Rp
K
(
)
ΔRH 1 1 2 ln } = – } · } T – } K R T 1
2
1
K2, K1 Gleichgewichtskonstanten zu T2 und T1 ΔH Änderung der molaren Reaktions enthalpie T2, T1 Temperaturen grafische Enthalpieermittlung
van’t hoffsche Gleichung
m(H2O) Masse des Wassers in g cp(H2O) spezifische Wärmekapazität des Wassers (pkonst) in J · g–1 · K–1 (b S. 78) ΔT Temperaturänderung in K nF Stoffmenge der Formelumsätze MRp molare Masse des Reaktionsproduktes ΔfHm molare Bildungsenthalpie
Satz von hEss
ΔRH1 = ΔRH2 + ΔRH3
ln k ∆ ln k
∆RH1
A
ΔRH 0 = (Δf H 0AC + Δf H 0BD) – (Δf H 0AB + Δf H 0CD)
B
∆ }T
) 1 T
1
∆T
∆RH2 Berechnung der molaren Reaktions enthalpie ΔRH 0 nach dem Satz von hEss
(
∆ ln k ∆RH = R · – } 1
C ∆RH3
Es gilt für die Reaktion bei 25 °C und 101,3 kPa: AB + CD → AC + BD Δf H 0 molare Standardbildungsenthalpien der beteiligten Stoffe
Ch
Reaktions geschwindigkeit
140
Chemie
Gefahrenstoffhinweise
Ch
Gefahrstoffsymbole Mit dem neuen GHS (Globally Harmonised System of Classification and Labelling of Chemicals) werden die Kriterien für die Einstufung der Gefahrstoffe neu festgelegt und mit international einheitlichen Piktogrammen versehen. Neu ist auch die Verwendung der Signalworte „Gefahr“ und „Achtung“ für das Ausmaß der Gefahr: „Gefahr“ bei hoher Gefährdung oder „Achtung“ bei geringerer Gefährdung. Das GHS gilt seit 2009; für die bisherige Verordnung gelten Übergangsfristen. An die Stelle der R-Sätze sind H-Sätze (Hazard Statements) sowie zusätzliche EUH-Sätze (besondere Gefährdungen) getreten. Die S-Sätze wurden durch P-Sätze (Precautionary Statements) ersetzt. Gefahrenpikto gramm und -code
GHS01
GHS02
GHS02
GHS03
GHS04 GHS05 GHS05 GHS06 GHS07 GHS07
GHS08
GHS09
Mit dem Gefahrenpiktogramm gekennzeichnete Stoffe und Gemische
Signal wort
Gefahrensymbol nach bishe riger Gefahrstoffverordnung
explosive und sehr gefährliche selbst zersetzliche Stoffe und Gemische sowie sehr gefährliche organische Peroxide
Gefahr oder Achtung
entzündbare, selbsterhitzungsfähige und gefährliche selbstzersetzliche Stoffe und Gemische, pyrophore Stoffe sowie Stoffe und Gemische, die bei Berührung mit Wasser entzündbare Gase entwickeln
Gefahr oder Achtung
gefährliche organische Peroxide
Gefahr oder Achtung
Stoffe und Gemische mit oxidierender Wirkung
Gefahr oder Achtung
Gase unter Druck
Achtung
–
Stoffe und Gemische, die korrosiv auf Metalle wirken
Achtung
–
Stoffe und Gemische, die schwere Verätzungen der Haut und/oder schwere Augenschäden verursachen
Gefahr
lebensgefährliche und giftige Stoffe und Gemische
Gefahr
oder
oder
oder gesundheitsschädliche Stoffe und Gemische
Achtung
Stoffe und Gemische, die Haut- und/oder Augenreizungen verursachen und/oder allergische Hautreaktionen, Reizungen der Atemwege und/oder Schläfrigkeit und Benommenheit verursachen können
Achtung
Stoffe und Gemische, die bei Verschlucken und Eindringen in die Atemwege tödlich sein können und/ oder eine Gefahr für die Gesundheit darstellen. Diese Stoffe und Gemische schädigen bestimmte Organe und/oder können Krebs erzeugen, die Fruchtbarkeit beeinträchtigen, das Kind im Mutterleib schädigen und/oder genetische Defekte und/oder beim Einatmen Allergien, asthmaartige Symptome oder Atembeschwerden verursachen.
Gefahr oder Achtung
Stoffe und Gemische, die sehr giftig oder giftig für Wasserorganismen sind
Achtung oder –
oder
Gefahrenstoffhinweise
141
Nr.
Entsorgungsratschläge (E-Sätze)
anzuwenden u. a. auf
E1
verdünnen, in den Ausguss geben (WGK 0 bzw. 1)
kleinste Portionen ungefährlicher, reizender oder gesundheitsschädlicher Stoffe oder Stoffe mit oxidierender Wirkung, soweit wasserlöslich, sowie deren wässrige Lösungen; z. B. Natriumchlorid, Kaliumnitrat, Natronlauge (w ≤ 5%)
E2
neutralisieren, in den Ausguss geben
saure und basische Stoffe und deren wässrige Lösungen; z. B. Calciumoxid, Kaliumhydroxid, Natriumhydroxid, Salzsäure, Salpetersäure, Schwefelsäure
E3
in den Hausmüll geben, gegebenenfalls in PE-Beutel (Stäube)
Feststoffe, falls keine anderen Ratschläge gegeben; z. B. Eisen (Späne), Aktivkohle
E4
als Sulfid fällen
Schwermetallsalze
E5
mit Calcium-Ionen fällen, dann E1 oder E3
lösliche Fluoride, Oxalate; z. B. Natriumfluorid, Oxalsäure
E6
nicht in den Hausmüll geben
Stoffe mit oxidierender Wirkung; explosive und selbstzersetzliche Stoffe; z. B. Kaliumpermanganat, Phosphor
E7
im Abzug entsorgen
gasförmige Stoffe, diese wenn möglich absorbieren oder verbrennen; z. B. Stickstoffoxide, Kohlenstoffmonooxid, Wasserstoff, Ozon, Ethen, Ethin, Propan
E8
der Sondermüllbeseitigung zuführen (Adresse zu erfragen bei der Kreis- oder Stadtverwaltung)
Laborabfälle im Sinne der TA Abfall; z. B. Blei und Bleiverbindungen (bei letzteren zuvor E4)
E9
unter größter Vorsicht in kleinsten Portionen reagieren lassen (z. B. offen im Freien verbrennen)
explosive selbstzersetzliche und entzündbare Stoffe und Gemische; z. B. Phosphor, Diethylether
E10
in gekennzeichneten Glasbehältern sammeln: 1. „Organische Abfälle – halogenhaltig“ 2. „Organische Abfälle – halogenfrei“ dann E8
organische Stoffe und Lösungen; z. B. Aceton, Methanol, Toluol, Bromethan, Trichlormethan
E11
als Hydroxid fällen (pH = 8), den Niederschlag zu E8
gelöste Schwermetallsalze; z. B. Kupfersulfatlösung
E12
nicht in die Kanalisation gelangen lassen
giftige Stoffe und Gemische sowie Stoffe und Gemische, die sehr giftig für Wasserorganismen sind; z. B. Benzin, Benzol, Kohlenstoffdisulfid, Quecksilber, Phenol, Toluol
E13
aus der Lösung mit unedlerem Metall (z. B. Eisen) als Metall abscheiden (E14, E3)
z. B. Chrom- oder Kupfersalzlösungen
E14
recycling-geeignet (Redestillation oder einem Recyclingunternehmen zuführen)
z. B. organische Lösemittel wie Aceton, Quecksilber- und Bleiverbindungen
E15
mit Wasser vorsichtig umsetzen, frei werdende Gase absorbieren oder ins Freie ableiten
Carbide, Phosphide, Hydride
E16
entsprechend den speziellen Ratschlägen für die Beseitigungsgruppen beseitigen
z. B. Brom, Bromwasser, Natrium, Kalium, Chromsalze und Chromate, Quecksilber
Ch
Entsorgungsratschläge (E-Sätze)
Biologie
Biologie Physiologie und Biochemie Fotosynthese und Atmung Biomasseproduktion
S = Pb – (R + mV) Pn = Pb – R
S langfristiger Stoffgewinn für den betrachteten Organismus Pb Brutto-Primärproduktion Pn Netto-Primärproduktion R Stoffverlust durch Atmung mV Verlustmasse (z. B. abgeworfene Blätter)
respiratorischer Quotient RQ
2 aus 2 ein RQ = }} n(O2)ein – n(O2)aus
n(CO )
n(CO2)aus/ein aus- bzw. eingeatmete Stoff menge an Kohlenstoffdioxid n(O2)ein/aus ein- bzw. ausgeatmete Stoff menge an Sauerstoff V (CO2) gebildetes Kohlenstoffdioxid volumen V (O2) verbrauchtes Sauerstoffvolumen
Lichtgenuss von Pflanzen LG
– n(CO )
n(CO2)gebildet
V(CO2)gebildet
2 verbraucht
2 verbraucht
= }} = }} n(O ) V(O )
E
EOrt Beleuchtungsstärke am Wuchsort EFrei Beleuchtungsstärke im Freiland
LG = } E Ort · 100 % Frei
Enzymreaktionen V
V
(
)
MichaElis-MEntEnKonstante KM
max KM = } max c (S) bei v0 = } 2 2
LinEWEavEr-BurkGleichung
doppelt reziproke Darstellung: 1
0
Reaktionsgeschwindigkeit v0 einer Enzymreaktion
K
1
1
v = } V M · } + } V } c (S) v0 =
max
V · c (S) Kmax } M + c(S)
max
Reaktionsgeschwindigkeit v0
Bio
142
Vmax Vmax 2
Substratkonzentration c(S) Vmax maximale Reaktionsgeschwindigkeit c (S) Substratkonzentration
Osmose Saugkraft der Zelle S
S=O–W
osmotischer Druck O
O = c · R · T
T absolute Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71) c Konzentration W Turgordruck (Wanddruck)
Physiologie und Biochemie
143
1. ficksches Diffusionsgesetz 2. ficksches Diffusionsgesetz Diffusion durch eine Membran
dn
dc
dt = – D · A · } } dx x=√ } D · t 2
x tmax = } 2 · D (c – c )
dn i } = – D · A · } a dt z
Diffusionspoten c(Ion)I zial ED (nernstsche ED = } R · T · ln } z · F c(Ion)II Gleichung) (b S. 137)
n Stoffmenge (b S. 136) t Diffusionszeit A Durchtrittsfläche D Diffusionskonstante x Diffusionsweg c Konzentration der Stoffmenge tmax maximale Diffusionszeit ci; ca Konzentration der Stoffmenge beiderseits der Membran (innen und außen) z Dicke der Membran R universelle Gaskonstante (b S. 71) T absolute Temperatur z Ionenwertigkeit F faraday-Konstante (b S. 71) c(Ion)I Ionenkonzentration der Lösung I c(Ion)II Ionenkonzentration der Lösung II
Wasserhaushalt Trockenmasse TM
Unter der Bedingung nach 24 Stunden bei 110 °C gilt: TM = FM – WG
Wassergehalt WG
WG = FM – TM
Aschemasse AM
AM = TM – mV
Wasserdefizit Wd (Wasserverlust)
Wd = } max a · 100 % W
Bilanzquotient des Wassers BQ
ab BQ = } c} ab m V
– W
W
max
mW
VW
Wauf
Wauf
Ist BQ > 1, welkt der Organismus
FM Frischmasse mV Verlustmasse beim Glühen Wmax maximal möglicher Wassergehalt Wa zur Zeit vorhandener Wassergehalt (aktueller Wassergehalt) mWab Masse des abgegebenen Wassers je Zeiteinheit mWauf Masse des aufgenommenen Wassers je Zeiteinheit VWab Volumen des abgegebenen Wassers je Zeiteinheit VWauf Volumen des aufgenommenen Wassers je Zeiteinheit
Wachstum G GR = } dt · N
Sterberate SR
T SR = } dt · N
Zuwachsrate r (Vermehrungsrate)
r = GR + SR
exponentielles Wachstum
dN } = r · N dt
logistisches (reales) Wachstum
dN K – N } = r · N · } dt K
–N
gültig für N < K
NG Anzahl der Geburten N Gesamtzahl der betrachteten Individuen NT Anzahl der Todesfälle t Zeit K Faktor, der die Lebensraumkapazität angibt (maximale Populationsgröße) Zahl der Individuen N
+N
Geburtenrate GR
a K
a – exponentielle Wachstumskurve b b – logistische Wachstumskurve Zeit t
Bio
Diffusion
Biologie
Bio
Bakterienvermehrung in statischer Kultur in der log-Phase
N = N0 · 2n
N Anzahl der Individuen nach n Teilungen N0 Ausgangszahl der Bakterien
N 20
exponentielle Phase (log-Phase)
Generationen 1 2 3 4
15 10
1 2 4 8 Individuenzahl
5
Logarithmus der Individuenanzahl
144
lb N – lb N
R=} t1 – t 0
Generationszeit tgen
tgen = } R1
1
stationäre Phase
Absterbephase
N1 N0 t0
min 0 20 40 60 80 100 theoretische Vermehrung
Wachstumsrate R
Anlaufphase
t1
Zeit
lb log2 N0, N1 Anzahl der Bakterien zur Zeit t0, t1 t0, t1 Zeit
0
Ökologie Qualität des Wassers (m – m ) · 1 000
Bestimmung des Plankton- und Schwebstoffgehaltes GPS
GPS = }} 2 V1
quantitative Sauerstoffbestimmung β (O2) (nach WinklEr)
β (O2) = } a · 0,08 · 1 000 V – b
Sauerstoffsättigung S
2 S=} β (O )S
Sauerstoffdefizit β (O2)Def
β (O2)Def = β (O2)S – β (O2)
biochemischer Sauerstoffbedarf BSB
BSB2 = β (O2) – β (O2/II) BSB5 = β (O2) – β (O2/V)
m1 Masse des getrockneten Filterpapiers in g m2 Masse des getrockneten Filterpapiers mit Plankton- und Schwebstoffen in g V Volumen der Wasserprobe in ml a Verbrauch an Natriumthiosulfat lösung in ml (c = 0,01 mol · l–1) b zugesetzte Reagenzienmenge in ml 1 000 Umrechnungsfaktor für einen Liter
β (O ) · 100 %
β (O2) gemessener Sauerstoffgehalt der Frischprobe bei der gemessenen Temperatur β (O2)S theoretischer Sauerstoffsättigungswert bei der gemessenen Temperatur β (O2/II) Sauerstoffgehalt der 2 Tage (II) alten Wasserprobe β (O2/V) Sauerstoffgehalt der 5 Tage (V) alten Wasserprobe
2
Grenzwerte für chemische Stoffe im Trinkwasser
Trinkwasserverordnung 2011
Stoffe
Grenzwerte
Stoffe
Grenzwerte
Nitrat
50 mg je l (Für Säuglinge sollte die Konzentration von 10 mg je l nicht überschritten werden.) 0,5 mg je l
Blei Cadmium Kupfer Nickel Quecksilber
0,01 mg je l 0,003 mg je l 2,0 mg je l 0,02 mg je l 0,001 mg je l
Nitrit
Ökologie
145
VoltErra-Regeln (VoltErra-Gesetze)
dN
Wachstum der Beutepopulation
B } = NB(rB – k · NR) dt
Wachstum der Räuberpopulation
dtR = NR(bR · NB – dR) }
neue Individuenzahl der Beute
NB = NBo + NBo · rB – k · NBo · NRo
neue Individuenzahl der Räuber
NR = NRo + bR · NRo · NBo – NRo · dR Individuen/Fläche
dN
Beute
Räuber
Mittelwerte
Räuber
e Mittelwert
Zeit
Eingriff
Beute
Individuen/Fläche
Zeit
Individuen/Fläche
3. VoltErra-Regel
NB Individuenzahl der Beute NR Individuenzahl der Räuber rB Wachstumsrate der Beute bR Wachstumsrate der Räuber je Beutetier dR Sterberate der Räuber k Fressrate der Räuber NBo Ausgangswert für Beute NRo Ausgangswert für Räuber
Beute erte
Mittelw
Räuber Zeit
Stufen
Ökologische Zeigerwerte Licht L
Temperatur T
Bodenfeuchtigkeit F
Bodenreaktion R
Stickstoff versorgung N
1
sehr schattig (weniger als 1 %)
sehr kalt
sehr trocken
stark sauer
sehr stickstoffarm
2
zwischen 1 und 3
zwischen 1 und 3
zwischen 1 und 3
zwischen 1 und 3
zwischen 1 und 3
3
schattig (weniger als 5 %)
kühl
trocken
sauer
stickstoffarm
4
zwischen 3 und 5
zwischen 3 und 5
zwischen 3 und 5
zwischen 3 und 5
zwischen 3 und 5
5
halbschattig (mehr als 10 %)
mäßig warm
frisch
mäßig sauer
mäßig stickstoffreich
6
zwischen 5 und 7
zwischen 5 und 7
zwischen 5 und 7
zwischen 5 und 7
zwischen 5 und 7
7
sonnig und schattig
warm
feucht
schwach sauer bis stickstoffreich schwach basisch
8
sonnig (mehr als 40 %)
zwischen 7 und 9
zwischen 7 und 9
zwischen 7 und 9
sehr stickstoffreich
9
sehr sonnig (mehr als 50 %)
sehr warm
nass
basisch
übermäßig stickstoffreich
Bio
1. und 2. VoltErraRegel
146
Biologie
Bio
Bestandsaufnahme von Pflanzen Stufen
Deckungsgrad (bedeckter Anteil Individuenzahl (Häufigkeit der der Untersuchungsfläche) in % Art auf der Untersuchungsfläche)
Entwicklungszustand
r („rar“)
sehr wenig Fläche abdeckend
etwa 1 bis 2 Individuen
+ („Kreuz“)
wenig Fläche abdeckend
etwa 2 bis 5 Individuen
1
weniger als 5 % abdeckend
sehr spärlich vorhanden
2
6 % bis 25 % abdeckend
spärlich vorhanden
3
26 % bis 50 % abdeckend
wenig zahlreich vorhanden
4
51 % bis 75 % abdeckend
zahlreich vorhanden
5
76 % bis 100 % abdeckend
sehr zahlreich vorhanden
K Keimpflanze J Jungpflanze st steril (ausgewachsene Pflanze ohne Blüten und Samen) ko knospend (Blütenoder Blattknospen) b blühend f fruchtend v vergilbend t tot (oberirdische Teile abgestorben) S nur als Samen zu finden g abgemäht
Biologische Gütebestimmung eines Gewässers Saprobienindex S für die untersuchte Biozönose
n
S h i · si · gi S=} i = 1n S h i · gi i = 1
oder (h · s · g ) + (h · s · g ) + … + (h · s · g )
1 1 1 2 2 2 n n n S = }}} (h · g ) + (h · g ) + … + (h · g ) 1
1
2
2
n
n
Saprobien- Gewässergütestufen klassen S = 1 bis < 1,75 I S = 1,75 bis 2,5 II S = 2,5 bis 3,25 III S = 3,25 bis 4,0 IV
n Anzahl der untersuchten Organismenarten h ausgezählte Häufigkeit der Organismen einer Art s Saprobienindex für die einzelne Art, gibt deren Optimum innerhalb der Saprobienstufen an g Indikationsgewicht (1–5), gibt Eignung einer Art als Indikator für bestimmte Güteklassen an (Bindung an nur eine Güteklasse g = 5; Vorkommen in zwei oder mehr Güteklassen g = 4, 3, 2, 1)
Immissionsgrenzwerte (Auswahl) Stoffe
Grenzwerte für Massenkonzentrationen bzw. Volumenanteile
Kohlenstoff monooxid
Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 10 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 30 mg je m3
Kohlenstoff dioxid
Volumenanteil in der Atmosphäre: 0,036 % keine Begrenzung – Auswirkung auf Treibhauseffekt (Industrialisierungsbeginn 0,028 %)
Schwefeldioxid
Langzeit-Konzentration in der Luft: 0,14 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,40 mg je m3
Stickstoffdioxid
Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,08 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,20 mg je m3
Ozon
Konzentration in der Luft 0,18 mg je m3 (c Grenzwert für menschliche Belastung)
Staub
Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,15 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,30 mg je m3
Humanbiologie
147
Humanbiologie
voraussichtliche Körpergröße KgrE als Erwachsener
Kf = } Kgr – Dgr Uw
Normalgewicht NG und Idealgewicht IG (nach Broca)
NG = (Kgr – 100) · kg IG = NG · 0,9 bei Jugendlichen: IG = NG · 0,85
Kgr
Body-Mass-Index (BMI )
Körpermasse in kg BMI = }} 2
BMI Körpermasse-Index
Kf Korrekturfaktor Kgr Körpergröße in cm Dgr Durchschnittskörpergröße (b Tab. unten) DgrE Durchschnittskörpergröße als Erwachsener (b Tab. unten) Uw Umrechnungswert (b Tab. unten) UwE Umrechnungswert als Erwachsener (b Tab. unten)
KgrE = DgrE + (Kf · UwE)
Körpergröße in cm
(Körpergröße in m)
Körpermasse-Index (BMI ) ohne Altersangaben
Körpermasse-Index (BMI ) mit Altersangaben
Einteilung in Klassen
Frauen
Männer
Alter in Jahren
Unter gewicht
Normal gewicht
Über gewicht
Untergewicht Normalgewicht Übergewicht Fettsucht (Grad I) Fettsucht (Grad II) Fettsucht (Grad III)
unter 19 19–24,9 25–29,9 30–34,9 35–39,9 über 40
unter 20 20–25,9 26–30,9 31–35,9 36–39,9 über 40
19–24 25–34 35–44 45–54 55–64 über 64
unter 19 unter 20 unter 21 unter 22 unter 23 unter 24
19–24 20–25 21–26 22–27 23–28 24–29
über 24 über 25 über 26 über 27 über 28 über 29
Durchschnittliche Körpergröße
Umrechnungswerte Uw
DurchUmrechschnittsnungsgrößen Dgr werte Uw
Durchschnittsgrößen Dgr
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
4,5 4,8 5,1 5,5 5,7 5,9 6,2 6,6 7,0 8,0 8,8 8,0 7,2 6,6 6,5 6,5
104 110 116 122 128 134 138 143 148 154 161 167 171 173 174 174
102 109 115 121 127 133 137 142 147 154 159 161 162 162 163 164
4,5 4,8 5,1 5,5 5,7 6,0 6,5 7,0 7,3 6,8 6,3 6,0 5,7 5,6 5,6 5,7
Für Kinder und Jugendliche unter 14 Jahren hat der BMI noch keine Gültigkeit. Man kann die Körpermasse nach dieser Grafik ermitteln. Körpergröße in cm
weiblich
Alter in Jahren
männlich
180 170 160 150 140 130 120 110
Beispiel: Bei einer Größe von 140 cm sollte die Körpermasse zwischen 28 kg und 40 kg liegen.
100 90 80 10 20 30 40 50 60 70 80 Körpermasse in kg
Bio
Körpergröße und Körpermasse
148
Biologie
Täglicher Stoffwechsel
Bio
Gesamtumsatz GesU GesU = GU + LU Grundumsatz GU
GU = 4,2 kJ · t · mK bei Jugendlichen: 6,2 kJ · t · mK
Leistungsumsatz LU
LU = (h1 · EV1) + (h2 · EV2) + … + (hn · EVn)
Nährstoffbedarf Nb
Nb = Bf · mK
Energiebedarf Eb
Eb = (NbKH · EGKH) + (NbFett · EGFett) + (NbEiw · EGEiw)
Energiegehalt einer Mahlzeit EGm
EGm = EGn1+ E Gn2+ … + E Gnn
Blutalkoholgehalt (nach Widmark) BAG
m
LU t mK
h Zeit in Stunden für die ausgeführte Tätigkeit EV Energieumsatz je Stunde der Tätigkeit Bf Bedarfsfaktor der Nährstoffe (b Tab. Mitte) EG Energiegehalt der Nährstoffe (b Tab. Mitte) EGn Energiegehalt der Nahrungsmittel (b Tab. S. 149) BAG Blutalkoholgehalt in ‰ r Reduktionsfaktor männlich 0,7, weiblich 0,6 D Dichte von Alkohol (0,79 g · ml–1) mAlkohol aufgenommene Alkoholmenge in g mK Körpermasse in kg VAlkohol Volumen des Alkohols in ml
· D
V
Alkohol BAG = } m =} Alkohol · r m · r K
Leistungsumsatz an Energie Zeit in Stunden Körpermasse in kg
K
Energiegehalt der Nährstoffe (zur Errechnung von Nb und Eb) Nährstoffe
Energiegehalt in kJ/g in kcal/g
1 kcal = 4,1868 kJ Bedarfsfaktor in g/(kg Körpermasse)
Fette
39
9,3
0,8
Eiweiße (Eiw)
17
4,1
0,9 –1,0
Kohlenhydrate (KH)
18
4,3
1,3–1,5
Richtwerte für die tägliche Aufnahme von Nitrat und Nitrit Richtwerte Nitrat Nitrit
3,65 mg/kg 0,13 mg/kg
Säuglinge (ca. 5 kg)
Kind (ca. 20 kg)
18,3 mg 0,65 mg
73,0 mg 2,6 mg
Energiebedarf je Stunde bei verschiedenen Tätigkeiten
Erwachsener (ca. 60 –70 kg) 219,0 mg 7,8 mg
bei Erwachsenen von 65 bis 70 kg
Tätigkeiten
kcal/h
kJ/h
Tätigkeiten
Badewanne scheuern Bergsteigen Betten machen Boden schrubben Brustschwimmen (50 m/min) Dauerlauf (10 km/h) Fenster putzen Fußball spielen Gehen (2 km/h) Gymnastik Kochen im Stehen
430 1 000 191 229 680 597 174 454 120 334 96
1 800 4 200 800 960 2 850 2 500 730 1 900 502 1 400 400
Radrennen (43 km/h) Schlafen Skilanglauf (8 km/h) Sitzen Spielen/Aufräumen Staub saugen Tanzen Teig kneten Tischtennis Treppen steigen (60 Stufen mit 10 kg) Wäsche bügeln
kcal/h 1 000 65 776 29 60 179 350 156 450 530 136
kJ/h 4 270 272 3 250 120 250 750 1 465 660 1 884 2 220 570
Humanbiologie
149
Nahrungsmittel in g (berechnet auf 100 g)
Energiegehalt Nährstoffe in g
Jogurt Camembert Kuhmilch Schlagsahne Butter Margarine Schmalz
297 1 200 268 1 205 2 996 2 960 3 771
71 287 64 288 716 720 901
4,8 20,1 3,2 2,2 0,6 0,5 0,0
3,8 24,2 3,7 30,4 81,0 80,0 99,0
4,5 2,0 4,6 2,9 0,7 0,4 0,0
86,1 52,1 88,5 64,1 17,4 19,7 1,0
678
162
12,8
11,5
0,7
Honig Traubenzucker Milchschokolade Nesquick
1 272 1 611 2 176 429
304 385 520 102
0,3 0,0 7,7 3,7
0,0 0,0 32,3 3,9
Roggenbrot Brötchen Spagetti Haferflocken
950 1 126 1 544 1 620
227 269 369 387
6,4 6,8 12,5 13,8
Brathuhn Schweinekotelett Entenfleisch Rindsfilet Cervelatwurst
578 1 427 1 365 511 1 072
138 341 326 122 256
423 607 356 243 167 318 2 624
Hühnerei
Forelle Karpfen Banane Apfel (süß) Karotten Kartoffeln Haselnüsse
in kJ
in kcal Eiweiß
Fett
Wasser- Vitamingehalt gehalt Kohlen- in g A B1 hydrate in I E in mg
C in mg
E in mg
1 010 140
0,05 0,04
– 1
– 0,06
3 300 3 000
Spuren –
Spuren 2,4 – 30,0
74,0
1 100
0,12
–
1,0
82,3 99,5 56,9 12,9
17,2 0,0 0,9 –
–
Spuren
1
–
270 –
0,01 0,2
– 10,0
1,0 0,5 1,2 6,6
52,7 58,0 75,2 67,6
38,5 34,0 10,4 10,3
–
0,55
–
0,25
20,6 15,2 16,0 19,2 12,5
5,6 30,6 28,6 4,4 27,6
0,0 0,0 0,0 0,0 1,8
72,7 53,9 54,0 75,1 55,6
–
0,8
–
0,6
– –
0,1 0,2
– –
0,5 0,1
101 145
19,2 18,9
2,1 7,1
0,0 0,0
77,6 72,4
150
0,09
–
–
85 58 40 76 627
1,1 0,3 1,1 2,1 12,7
0,2 0,6 0,2 0,1 60,9
22,2 15,0 9,1 17,7 18,0
75,7 84,0 88,6 79,8 6,0
190 90 11 000 5
0,05 0,04 0,06 0,11
10 5 2–10 20
1,1 –
0,2 0,3 0,45 0,06
(Nach flindt 1995 u. a., verändert; IE ist die Abkürzung für „internationale Einheiten“)
Luftbedarf und Atemfrequenz Luftbedarf je Minute bei verschiedenen Tätigkeiten
Atemzüge je Minute bei verschiedenen Tätigkeiten (Atemfrequenz)
Tätigkeiten
Tätigkeiten
Bergsteigen Liegen (ruhig) Rad fahren Rudern Schlafen Schwimmen Stehen (ruhig) Wandern/Gehen
Luftbedarf in l/min 52 7 24 60 5 44 8 17
Bergsteigen Liegen (ruhig) Rad fahren Rudern Schlafen Schwimmen Stehen (ruhig) Wandern/Gehen
Atemzüge/min 100 bis 130 13 bis 15 40 bis 50 150 bis 180 8 bis 9 85 bis 90 15 bis 16 30 bis 33
Bio
Energie-, Nährstoff-, Wasser- und Vitamingehalt ausgewählter Nahrungsmittel
150
Biologie
Bio
Fortpflanzung und Entwicklung PEarl-Index PI (Versagerquote)
PI = } N N · t
N Anzahl der ungewollten Schwangerschaften t Beobachtungszeitraum in Jahren NAnwender Anzahl der Anwender/innen
Berechnung des Entbindungstermins Et (naegelesche Regel)
Et = Tm + 7; Mm – 3; Jm + 1
(T, M, J)m Termin des ersten Tages der letzten Menstruation (T Tag; M Monat; J Jahr) T, M, J = 20.06.2012 20 + 7; 6 – 3; 2012 +1 Et = 27.03.2013
Anwender
(Nicht anwendbar, wenn Et im Oktober, November oder Dezember liegt.)
Genetik und Evolution N Berechnung des Aus- AW = } N A · 100 % ges tauschwertes AW in Koppelungsgruppen (relative Gen abstände)
NA Anzahl der Nachkommen mit Gen austausch Nges Gesamtzahl der Nachkommen
Mutationsrate Mr (nach NachtshEim)
direkte Berechnung:
NN NI
Hardy-WEinbErgGesetz (Berechnung der Allelenfrequenz in idealen Popula tionen)
Für die Ausgangspopulation gilt: Q+q=1
Q, q Häufigkeit dominanter und rezessiver Allele
Für die Folgepopulation gilt: Q 2 + 2 Qq + q 2 = 1 und d+h+r=1 Q = d + 0,5 h q = 0,5 h + r
Genotyphäufigkeit: d homozygot dominant h heterozygot r homozygot rezessiv
Mr =
N 2NN } l
Unter den Annahmen ... – keine Mutationen – unendlich große Population
Anzahl der Neumutanten Gesamtzahl der betrachteten Individuen
– keine Selektion – kein Genfluss
– vollständige Panmixie (beliebige Paarung)
gilt, dass die Allelenfrequenzen und die Genotyphäufigkeit gleich bleiben, d. h. Evolution nicht stattfindet; in der Realität wirken aber Einflüsse auf die Popula tionen. Individualfitness W (Adaptationswert; relative Überlebensrate)
N
für den besten Genotyp gilt: W=1
NI Genotyphäufigkeit des betrachteten Genotyps Nmax Nachkommenschaft des besten Genotyps
Selektions koeffizient S
S=1–W
W Individualfitness
mittlere Populati } onsfitness W
2 2 n W = }}} 1 1 f n + f + … + f
genetische Last L (genetische Bürde)
L=} max W
W=} N l max
}
f · W + f · W + … + f · W 1
W
}
– W
max
2
n
W1,W2 Individualfitness der Genotypen 1 und 2 f1, f2 Häufigkeit der Genotypen 1 und 2 Wmax Fitness des besten Genotyps In jeder Population ist die durchschnittliche Fitness geringer als die Fitness des besten Genotyps.
Informatik Technische Realisierung logischer Verknüpfungen Bestandteile und Bedeutung der Symbole (logische Operatoren b auch S. 10 – Aussagenlogik): E, E1, E2 Eingänge 0 keine Spannung vorhanden; Strom fließt nicht; low A c 0 Volt; falsch A Ausgang 1 Spannung vorhanden; Strom fließt; high A c 5 Volt; wahr Verknüpfung
elektrische Schaltungen
Buffer (Zwischenspeicher, Identität)
E
NOT (NICHT, Negator, Negation)
E
AND (UND, Konjunktion)
– +
– +
A
E
A
E
E1 E2
OR (ODER, Disjunktion)
Zusammenführung von AND und NOT Z
&
A
A
Zusammenführung von OR und NOT E1 E2
≥1
Z
1
A
E1 A E2
1
E1 E2
&
E1 E2
&
E1 E2
≥1
E1 E2
≥1
E1 E2
=1
A
E 0 1
A 0 1
A
E 0 1
A 1 0
E1
E2
A
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
E1
E2
A
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
E1
E2
A
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
E1
E2
A
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 0
E1
E2
A
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
A
A
A
– +
Parallelschaltung
EXOR (Exklusiv–ODER, ENTWEDER–ODER, ausschließendes ODER, Alternative)
1
E1 E2
NOR (ODER–NICHT)
1
– +
Reihenschaltung
E1 E2
Funktionstabelle
Symbol nach DIN 40900
A
NAND (UND–NICHT)
151
Inf
Technische Realisierung logischer Verknüpfungen
– +
A
A
Die Struktur ({0, 1}, AND, OR, NOT) ist eine boolesche Algebra. In ihr gelten u.a. die Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetze und morganschen Gesetze für das Rechnen mit Mengen (b S. 8).
152
Informatik
Datendarstellung Dualsystem (Zweiersystem, dyadisches System, binäres System)
Inf
Grundziffern:
0, I
Stellenwert: Potenzen von 2 m
Kennzeichnung: b
i
Darstellungsform: bmbm–1 … b0, b–1 b–2 … b–n = S b i · 2
m, n ∈N bi ∈{0; 1}
i = –n
Anwendung:
I0I0I,IIb = 1 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 21,75 4
3
2
1
0
–1
–2
Addition
Grundaufgaben: 0 + 0 = 0 0+I=I+0=I I + I = I 0
I I I I b + I 0 0 I I b I 0 0 0 I 0 b
Komplementdarstellung (für negative ganze Zahlen)
–Z = ¬Z + 1 Z positive Dualzahl ¬ bitweise Negation (–Z wird als Differenz 2n – Z dargestellt)
Z = 55 = 0 0 I I 0 I I I b n=8 ¬Z = I I 0 0 I 0 0 0 b –Z = ¬Z+1 = I I 0 0 I 0 0 I b = 201 = 28 – 55
Subtraktion
– entspricht der Addition des Komplements – der Übertrag der ersten Ziffer wird gestrichen
85 0 I 0 I 0 I 0 I b I 0 I 0 I 0 I b – 55 – 0 0 I I 0 I I I b = + I I 0 0 I 0 0 I b 30 0 0 0 I I I I 0 b
Multiplikation
Grundaufgaben: 0 · 0 = 0 0 · I = I · 0 = 0 I · I = I
I 0 I I 0 · I I 22 · 3 I 0 I I 0 66 I 0 I I 0 I 0 0 0 0 I 0
15 + 19 34
Einheiten der Datendarstellung Bit kleinste Einheit der Datendarstellung; kann 2 mögliche Werte annehmen (0/I, O/L, falsch/wahr, nein/ ja, Schalter geöffnet/Schalter geschlossen, Strom fließt nicht/Strom fließt; in der Technik auch L/H) Byte Zusammenfassung von 8 Bit zu einem Zeichen; dadurch können 28 = 256 verschiedene Zeichen dargestellt werden. Jedes Byte kann in zwei Tetraden zerlegt werden, die jeweils durch eine Hexadezimalziffer codiert werden können. Beispiel: 26 = 0 0 0 I|I 0 I 0 b = 1A Maßeinheit der Speicherkapazität: 1 KiB = 210 Byte = 1 024 Byte 1 MiB = 220 Byte = 1 048 576 Byte 1 GiB = 230 Byte = 1 073 741 824 Byte (Zeichen) Word Bitfolge der Länge 16; kann 16-stellige Dualzahlen codieren, nämlich die Zahlen von 0 = 0000000000000000b bis 65 535 = IIIIIIIIIIIIIIIIb oder die Zahlen von –215 bis 215 – 1
Hexadezimalsystem Grundziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Stellenwert: Potenzen von 16 m
Darstellungsform: hmhm –1 … h0, h–1 h– 2 … h–n = S h i · 16i i = –n
Anwendung:
Kennzeichnung: h
h ∈{0; 1; … ; 9; A; B; …; F}
m, n ∈N
14E,2 h = 1 · 162 + 4 · 161 + 14 · 160 + 2 · 16–1 = 256 + 64 + 14 + 0,125 = 334,125
Vergleich: Dezimalzahlen (z), Dualzahlen (Bitmuster, b), Hexadezimalzahlen (h) z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
b 00000000 0000000I 000000I0 000000II 00000I00 00000I0I 00000II0 00000III 0000I000 0000I00I
h
z
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
b 0000I0I0 0000I0II 0000II00 0000II0I 0000III0 0000IIII 000I0000 000I000I 000I00I0 000I00II
h
z
0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
b 000I0I00 000I0I0I 000I0II0 000I0III 000II000 000II00I 000II0I0 000II0II 000III00 000III0I
h
z
14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
30 31 32 55 85 99 100 127 128 255
b 000IIII0 000IIIII 00I00000 00II0III 0I0I0I0I 0II000II 0II00I00 0IIIIIII I0000000 IIIIIIII
h 1E 1F 20 37 55 63 64 7F 80 FF
Datendarstellung
153
ASCII American Standard Code for Information Interchange Dargestellt ist für die Zeichen 128 bis 255 der Zeichensatz Windows-1252 für westeuropäische Sprachen. dez dezimaler Wert Win Die Zeichen erhält man unter Windows folgendermaßen: ALT-Taste gedrückt halten und auf dem Ziffernblock der Tastatur 0 und den Dezimalwert eingeben, der dem gewünschten Zeichen entspricht. dez
Win
32
dez
Win
dez
Win
dez
Win
dez
Win
dez
Win
dez
Win
dez
Win
60
92
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b
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99
c
129
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F
100
d
130
41
)
71
G
101
e
131
42
*
72
H
102
f
132
43
+
73
I
103
g
44
,
74
J
104
45
-
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K
46
.
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47
/
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157 158
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58 59
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88 89
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118 119
v w
148 149
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” •
Die ersten 32 Zeichen (0 bis 31) sind im Allgemeinen für die Steuerung reserviert. Das Zeichen mit dem dezimalen Wert 32 ist das Leerzeichen. [Alt]+[0160] ist das geschützte Leerzeichen, ° erscheint in MS-Word bei Anzeige der Formatierungen.
Inf
ASCII-Zeichen (erweiterter Code)
154
Informatik
Inf
Datentypen und Datenstrukturen Datentyp
Bedeutung
einige konkrete Werte
mögliche Operationen, Relationen und Funktionen
integer
ganze Zahlen (im Allgemeinen aus [–215; 215 –1])
–101 0 – 66 3000
+, –, * (Mult.), div (ganzzahlige Divi sion), mod (Rest bei div), abs (Absolutbetrag), Vergleichsrelationen
real
rationale Näherungswerte für reelle Zahlen (Da der Computer nur endlich lange Zahlenwerte verarbeiten kann, sind die Zahlen ungleichmäßig verteilt.)
– 26,53 0,03 5 102,5 – 666,6 99 22,5E20 (22,5 · 1020) (Ein Computer rechne auf 6 Stellen genau. ⇒ In [0; 1[ liegen 1 Mio. Zahlen, in [999998; 999999[ liegt nur eine Zahl, nämlich 999998.)
+, –, *, / (Division), Vergleichsrelatio nen (, ≤, ≥, =, ≠), verschiedene mathematische Funktionen wie sqrt (Quadratwurzel), sin, ln, ... (Die üblichen Rechengesetze (Assoziativgesetze, Distributivgesetz) gelten in der Menge der Computerzahlen nicht, was in Einzelfällen zu großen Rechenungenauigkeiten führen kann.)
boolean (logical)
logische Werte
wahr falsch (true) (false)
NOT (nicht, ¬), AND (und, ∧), OR (oder, ∨), IMPL (folgt, ⇒)
char (character)
Zeichen (Ziffern, Buchstaben, Sonderzeichen, Grafiksymbole)
9 0 S c Y [ Ø " Æ
ord (ordnet dem Zeichenwert die entsprechende ASCII-Zahl zu), chr (ordnet der Codezahl das entsprechende Zeichen zu)
Datenstruktur
Konstruktion und Bedeutung
Feld (array)
Zusammenfassung von Daten gleichen Typs (Feldelemente) – Namensliste – in einer Reihe (eindimensionales Feld) – Parameter eines – in Reihen und Spalten (zweidimensionales Feld) Gleichungssystems (als Jedes Feldelement ist durch Ordnungszahlen (Indizes) einMatrix dargestellt) deutig festgelegt. Bei zweidimensionalen Feldern besitzt – Stichprobe jedes Element 2 Indizes, bei dreidimensionalen Feldern 3 …
Verbund (record)
Zusammenfassung von Daten unterschiedlichen Typs Bei der Datenstruktur Verbund spricht man auch von einem Datensatz (z. B. Angaben zu einer Person), der aus einzelnen Datenfeldern (z. B. Name, PLZ, Wohnort, Straße) besteht.
– Preisliste (Warenbezeichnungen und Zahlen) – Personalien
Datei (file)
sequenzielle (aufeinander folgende) Zusammenfassung von Daten gleichen Typs Ein File kann ständig erweitert werden (dynamische Datenstruktur) und wird unter einem Namen auf Datenträgern abgespeichert.
– Namensliste – Zahlenfolge – Messreihe
Baum
Die betrachteten Daten stehen nicht auf gleichem Niveau, es gibt über- und untergeordnete Daten. Jedes Datum auf einem gegebenen Niveau ist genau einem Datum von unmittelbar höherem Niveau unterstellt. Jedes Datum kann auf mehrere Daten des nächstniedrigeren Niveaus Bezug nehmen. Es gibt genau ein Datum, das keinen Vorgänger hat.
– Generationsfolge einer Familie oder baumartige Einteilung der Tierwelt – Notation von aufeinander folgenden möglichen Antworten zum Lösen eines Problems, die nur „ja“ oder „nein“ lauten können (binärer Baum) – Organisation von Ordnern in Betriebssystemen
5
Anwendungen
Wurzel (root) Knoten
A B
C
D E F Kante (Zweig)
G H
I
Endknoten (Blatt)
Algorithmik
155
Algorithmik
Name
Darstellungs- verbal formalisiert form
grafisch (Struktogramm)
Folge (Verbundanweisung)
Anweisung 1 Anweisung 2 ... Anweisung n
Anweisung 1 Anweisung 2 … Anweisung n
einseitige Auswahl
WENN Bedingung, DANN Anweisung
ja
zweiseitige Auswahl WENN Bedingung, (Alternative) DANN Anweisung 1 SONST Anweisung 2 mehrseitige Auswahl (Fallunterscheidung)
FALLS Selektor = 1: Anweisung 1 ... n: Anweisung n ENDE
in einer Programmiersprache (PASCAL) BEGIN Anweisung 1; ... END;
b
nein
IF Bedingung THEN Anweisung;
nein
IF Bedingung THEN Anweisung 1 ELSE Anweisung 2;
a b
ja a1 1
2
a1
a2
a2
Falls s = n …
an
Wiederholung mit vorangestelltem Test (mit Eingangsbedingung)
SOLANGE Bedingung, FÜHRE Anweisungen AUS
Wiederholung mit nachgestelltem Test (mit Abbruchbedingung)
WIEDERHOLE Anweisungen BIS Bedingung
gezählte Wiederholung (Zählschleife)
FÜR i: = anfw BIS endw Für i = anfw bis endw (mit SCHRITTWEITE s) a tue FÜHRE Anweisungen AUS
Solange b tue
a
Wiederhole
a
bis b
Effizienz von Sortieralgorithmen
CASE Selektor OF 1: Anweisung 1; ... n: Anweisung n; END; WHILE Bedingung DO Anweisung oder Verbund;
REPEAT Anweisungen UNTIL b; FOR i : = anfw TO endw DO Anweisung oder Verbund; (für TO auch DOWNTO)
n Anzahl der zu sortierenden Elemente, n ∈N
Sortieren durch Auswahl (Minimumsort)
Sortieren durch Austausch (Bubblesort, Ripplesort)
Schnelles Sortieren (Quicksort)
Kurzbeschreibung
Aus einer Liste wird das kleinste Element herausgesucht und an die erste Stelle einer neuen Liste gesetzt. Die Restliste wird wieder nach dem kleinsten Element durchsucht, welches an die zweite Stelle der neuen Liste gesetzt wird usw.
Es werden fortlaufend 2 benachbarte Elemente (oder alle nachfolgenden Elemente mit dem ersten, zweiten, …) verglichen und gegebenenfalls vertauscht. Dies wird solange wiederholt, bis die Folge sortiert ist.
Irgendein Element wird als „Trennelement“ T genommen und alle anderen Elemente werden davor (wenn sie kleiner oder gleich T sind) bzw. dahinter angeordnet. Mit den jeweils entstehenden Teillisten wird ebenfalls so verfahren, bis alle Elemente an der richtigen Stelle stehen.
A(n) Anzahl der Vergleiche, Aufwand
A(n) ~ n2
A(n) ~ n2
A(n) ~ n · lg n (best case) A(n) ~ n · lg n (average case) A(n) ~ n2 (worst case)
Inf
Algorithmenstrukturen
156
Informatik
Angewandte Informatik
Inf
Universelle Datenaustauschformate Formate
Endung
Eigenschaften
Textformate
TXT
ASCII-Text; universelles Textformat; es gibt Modifikationen wie „Nur Text“, „Nur Text + Zeilenwechsel“, „MS-DOS-Text“ oder „MS-DOS-Text + Zeilenwechsel“
RTF
Rich Text Format („reiches Textformat“); bei diesem Textformat bleiben alle Informationen zu Formatierungen (z. B. Absatz- und Zeichenformate) erhalten
HTM, HTML
HyperText Markup Language; universelles Textformat im Internet; mittels Referenzen können JPEG-, PNG- und GIF-Grafiken eingefügt werden
JPG, JPEG
Joint Photographic Experts Group; verlustbehaftet komprimiert; für Fotos geeignet; Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; 24 Bit Farbtiefe (16 777 216 Farben)
GIF
Graphics Interchange Format; verlustfrei komprimiert; für großflächige Grafiken und Animationen geeignet; Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; maximal 256 Farben; eine Farbe kann transparent definiert werden
PNG
Portable Network Graphics, Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; 48 Bit Farbtiefe (281 474 976 710 656 Farben); Transparenz möglich
TIF, TIFF
Tagged Image File Format; Pixelgrafik; unkomprimiert; CMYK-Format
CGM
Computer Graphics Metafile; Vektorgrafik; international genormt
EPS
Encapsulated PostScript; PostScript-Datei mit „eingerolltem“ Pixelbild (z. B. TIFF); CMYK-Format
PDF
Portable Document Format; es können komplette Seiten mit Text und Bild gespeichert werden; ist ein Standard für Druckdateien; Datenaustauschformat im Internet
Grafikformate
Text + Grafik
Objekte und Attribute in Anwendungsprogrammen Programm
Objekt
Attribut
einige Attributwerte
Textverarbeitung
Zeichen
– Schriftart – Schriftgröße (-grad) – Schriftstil (-schnitt) – Schriftposition – Schriftfarbe – Zeichenname
Times; Helvetica; Courier 8 pt (Punkte); 9,5 pt; 12 pt; 26 pt normal; fett; kursiv; unterstrichen; Kapitälchen normal; hochgestellt; tiefgestellt Schwarz; Rot; Weiß; Blau Name des dem Zeichen zugewiesenen Druckformats
Absatz
– Ausrichtung – Einzüge – Erstzeileneinzug – Zeilenabstand – Absatzabstand – Tabstoppeinstellungen – Absatzstandardschrift – Umbruch – Absatzname
linksbündig; zentriert; rechtsbündig; Blocksatz von rechts 3 cm; von links 2,25 cm negativer Erstzeileneinzug 1 cm (hängender Einzug) einzeilig; zweizeilig; 12 pt; 0,5 cm vor dem Absatz 6 pt; nach dem Absatz 1 Zeile Position: 12 cm; Textausrichtung rechts Times New Roman 10 pt kursiv; Arial 12 pt fett Umbruch mit nächstem Absatz; am Seitenanfang Name des dem Absatz zugewiesenen Druckformats
Dokument (Seite)
– Papierformat – Seitenrand – Kopfzeile/Fußzeile – Spaltenanzahl – Fußnote
DIN A4 Querformat; DIN A5; benutzerdefiniert Rand innen 3 cm; Rand unten 2,5 cm Abstand vom Seitenrand 1,5 cm; mit Paginierung einspaltig; dreispaltig mit 1 cm Abstand ohne; Position Seitenende
Programm
Objekt
Attribut
einige Attributwerte
Tabellenkalkulation
Zeile
– Zeilenname – Zeilenhöhe
1; 2; 10; 16; 65536 20 pt; 0,5 cm; optimale Höhe; 0 cm (verborgene Zeile)
Spalte
– Spaltenname – Spaltenbreite
A; B; Z; AA; IU; IV 3 cm; optimale Breite; 0 cm (ausblenden)
Zelle
– Zellname – Formel als Zellinhalt – Zahlenformate für Zahlen als Zellinhalt – Zeichenformatierung – Ausrichtung des Zell inhalts in der Zelle – Rahmen und Hintergrundfarben – Zellschutz
A1; A3; IU16; IV65536; Umsatzsteuer; Zinssatz mit relativen/absoluten Bezügen zu anderen Zellen Zahlen mit Dezimalkomma und Währungseinheit; negative Zahlen rot; Datumsformate Schriftart; -größe; -stil und -farbe horizontal: links, zentriert, rechts; vertikal: oben, mittig, unten Rahmen links und unten, 1 pt stark, gestrichelt; Linienfarbe Blau; Hintergrundfarbe Gelb gesperrt (nicht änderbar); nicht gesperrt (änderbar)
Tabelle, Rechenblatt
– Blattname – Ansicht – Schutz
Tabelle1; Tabelle3 ohne Gitternetzlinien; Formeln sichtbar geschützt (nicht änderbar)
Diagramm
– Diagrammtyp – Diagrammtitel – Legende – Datenquelle – Rubrikenachse – Größenachse
Kreisdiagramm; Liniendiagramm; Säulendiagramm Umsatzentwicklung keine; oben; unten; rechts; links = Tabelle1!$B$7:$C$10 Skalierung; Beschriftung; Anzahl der Datenreihen Skalierung; Beschriftung; Gitternetzlinien
Datenbanken (Aufgeführt sind Objekte der Datenbasis, nicht Objekte des Datenbank management systems.)
Datei – Name Artikel; Lager; Kunden (Tabelle) – Anzahl der Datensätze keine (leere Datei); 5; 100 000 – Ansicht Entwurfsansicht; Datenblattansicht; Liste; Formular
Zeichenprogramme (Vektorgrafik) (Bei der Pixelgrafik existieren diese Objekte nur beim erstmaligen Erstellen, effektive Methoden wie Ausrichten oder Gruppieren von Objekten können dort nicht durchgeführt werden.)
Datensatz
– Datenfelderanzahl – Nummer
3; 4; 7 Platz 3 (1000, 1005; ...) in der Datei
Datenfeld
– Feldname – Felddatentyp – Feldgröße – Sortierschlüssel (Index)
Artikel; Artikelnummer; im Lager; Preis Text; Zahl (Byte, Integer, Single, ...); Boolean in Abhängigkeit vom Felddatentyp ohne; steigend; fallend
Strecke (Linienzug)
– Linienstärke – Stil des Linienendes – Linienfarbe – Linienart
Haarlinie; 0,5 pt; 1 pt; 3 pt Pfeil; runder Abschluss Schwarz; Gelb; Rot durchgängig; gestrichelt; Strich-Punkt-Linie
Bézierkurve
– Linienstärke – Linienfarbe – Lage der Ankerpunkte – Lage der Endpunkte – Griffpunkte der Tangenten
Endpunkt Ankerpunkt
Griffpunkt
Polygon (Sonder form Rechteck)
– Randfarbe – Randstärke – Flächenfarbe – Farbverlauf – Füllmuster – Eckenzahl
Schwarz; Gelb; Rot Haarlinie; 0,5 pt; 1 pt; 3 pt Weiß; transparent (ohne Farbe); Schwarz; Grün ohne; linear; radial ohne; Karos regelmäßige n-Ecke sind möglich; Rechteck
Ellipse
– Randfarbe, Randstärke, Flächenfarbe, Farbverlauf und Füllmuster wie Polygon – Breite/Höhe (Kreis durch Festhalten von beim Aufziehen der Figur)
Schrift
– Schriftfarbe, -art, -größe, -stil wie Objekt Zeichen in der Textverarbeitung
157
Inf
Angewandte Informatik
158
Informatik
Grundlegende HTML-Befehle
Inf
Eigenschaft Anweisung (Tag = rot, Attribut = blau) Beschreibung Grundgerüst einer HTML- Datei (Seitengerüst)
MetaAngaben
Seitenformatierung
Text Inhalt der Webseite