Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik [2 ed.] 9783835512658, 1100032715

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Formelsammlung | Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik
Impressum
Inhaltsverzeichnis
Mathematik
Physik
Astronomie
Chemie
Biologie
Informatik
Mathematik
Zahlen; Zeichen; Größen
Primzahlen
Stellenwertsysteme
Einheiten ausgewählter Größen
Näherungswerte
S. 5 unten neben der Tabelle neben dem Abschnitt "Primfaktorzerlegung"
S. 6 erste Tabelle neben der Zeile "Dualsystem"
S. 7 Tabelle neben der Zeile "Flächeneinheiten"
S. 7 Tabelle neben der Zeile "Rauminhalt"
Mengenlehre und Logik
Rechenregeln und Rechenverfahren
Rechnen mit Brüchen (Bruchrechnung)
Rechnen mit positiven und negativen (reellen) Zahlen
Termumformungen
Potenzen und Wurzeln
Proportionen und Anwendungen
Prozentrechnung
Zinsrechnung
S. 11 neben der Zeile "Erweitern und Kürzen"
S. 11 neben der Zeile "Addition und Subtraktion "
S. 11 neben der Zeile "Multiplikation und Division"
S. 11 neben der Zeile "Rechenregeln"
S. 11 neben der Zeile "binomische Formeln"
S. 11 neben der Zeile "Definitionen"
S. 11 neben der Zeile "Sätze (Potenz- und Wurzel-gesetze)"
S. 12 neben der Zeile "Logarithmengesetze"
S. 12 neben der Zeile "Basiswechsel"
S. 12 neben der Zeile "Normalform"
S. 12 neben der Zeile "Polarform (trigonometrische Form)"
S. 12 neben der Zeile "Rechenregeln"
S. 13 neben der Zeile "Sachverhalt"
S. 13 neben der Zeile "Währungsrechnen"
S. 13 neben der Zeile "Dreisatz"
S. 13 neben der Zeile "Mischungsrechnen"
S. 13 neben der Zeile "arithmetisches Mittel"
S. 13 neben der Zeile "geometrisches Mittel"
S. 13 neben der Zeile "harmonisches Mittel"
S. 14 neben der Zeile "Grundgleichung"
S. 14 neben der Zeile "vermehrter (verminderter) Grundwert"
S. 14 neben der Zeile "Jahreszinsen"
S. 14 neben der Zeile "Rendite"
S. 14 neben der Zeile "Zahlungsendwert (nachschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Zahlungsendwert (vorschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (nachschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (vorschüssig)"
S. 14 neben der Zeile "Tilgungsrate einer Schuld"
Gleichungen
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen
Quadratische Gleichungen
S. 15 neben der Tabelle oben rechts
"S. 15 neben der Zeile ""Lösungsformeln (cramersche Regel) """
S. 15 neben der Zeile "Einsetzungsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Gleichsetzungsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Additionsverfahren"
S. 15 neben der Zeile "Grafisches Lösen"
S. 16 neben der Zeile "Gleichung"
S. 16 neben der Zeile "Spezialfälle"
Planimetrie
Strahlensätze
Ähnlichkeits- und Kongruenzsätze für Dreiecke
Winkel
Dreiecke
Vierecke
Kreis
S. 17 neben der Tabelle
S. 18 neben der Zeile "Winkel am Dreieck"
S. 19 neben der Zeile "Höhen"
S. 19 neben der Zeile "Seitenhalbierende"
S. 19 neben der Zeile "Winkelhalbierende"
S. 19 neben der Zeile "allgemeines (beliebiges) Dreieck"
"S. 19 neben der Zeile ""rechtwinkliges Dreieck"""
"S. 19 neben der Zeile ""gleichseitiges Dreieck"""
S. 20 neben der Zeile "Rechteck"
S. 20 neben der Zeile "Quadrat"
"S. 20 neben der Zeile ""Rhombus (Raute)"""
S. 20 neben der Zeile "Trapez"
"S. 20 neben der Zeile ""Parallelogramm (Rhomboid)"""
S. 20 neben der Zeile "Drachenviereck"
S. 20 neben der Zeile "Sehnenviereck"
S. 21 neben der Tabelle
S. 21 neben der Zeile "Geraden und Winkel am Kreis" neben der letzten Zeile "Satz des Thales"
S. 21 neben der Zeile "Kreis" und "Kreisring"
S. 21 neben der Zeile "Kreisausschnitt (Kreissektor)" und "Kreisabschnitt (Kreissegment)"
Stereometrie
Körper mit ebenen Begrenzungsflächen
Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
S. 22 neben der Zeile "Quader" und "Würfel"
S. 22 neben der Zeile "regelmäßiges dreiseitiges Prisma" und "regelmäßiges sechsseitiges Prisma"
S. 22 neben der Zeile "quadratische Pyramide" und "Tetraeder"
S. 22 neben der Zeile "quadratischer Pyramidenstumpf" und "regelmäßiger dreiseiter Pyramidenstumpf"
S. 23 neben der Zeile "gerader Zylinder" und "gerader Hohlzylinder"
S. 23 neben der Zeile "gerader Kegel" und "gerader Kegelstumpf"
S. 23 neben der Zeile "Kugel" und "Kugelschicht (Kugelzone)"
S. 23 neben der Zeile "Kugelausschnitt (Kugelsektor)" und "Kugelabschnitt (Kugelsegment)"
S. 24 neben der Tabelle neben "Tetraeder", "Würfel" und "Oktaeder"
S. 24 neben der Tabelle neben "Dodekaeder" und "Ikosaeder"
Ebene Trigonometrie
Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels
S. 26 neben der Zeile "Definition am rechtwinkligen Dreieck"
S. 27 neben der Zeile "Sinussatz"
S. 27 neben der Zeile "Kosinussatz"
S. 27 neben der Zeile "Flächeninhalt"
S. 27 neben der Zeile "Höhen"
S. 27 neben der Zeile "Seitenhalbierende"
S. 27 neben der Zeile "Winkelhalbierende"
S. 27 neben der Zeile "Inkreisradius"
S. 27 neben der Zeile "Umkreisradius"
S. 27 neben der Zeile "Projektionssatz"
Funktionen
Begriffe und Eigenschaften
Rationale Funktionen
Lineare Funktionen
Quadratische Funktionen
Potenzfunktionen
Exponential- und Logarithmusfunktionen
S. 28 neben der Zeile "Umkehrfunktion g von f"
S. 28 neben der Zeile "Nullstelle von f"
S. 28 neben der Zeile "Spiegelung des Graphen von f"
S. 28 neben der Zeile "gerade Funktion"
S. 28 neben der Zeile "ungerade Funktion"
S. 28 neben der Zeile "periodische Funktion"
S. 28 neben der Zeile "monotone Funktion"
S. 29 neben der Zeile "hornersches Schema zur Berechnung von Werten ganzrationaler Funktionen"
S. 29 neben der Zeile "Nullstelle"
S. 29 neben der Zeile "Polstelle"
S. 29 neben der Tabelle
S. 30 neben der Zeile "Sinusfunktion"
S. 30 neben der Zeile "Kosinusfunktion"
S. 31 neben der Zeile "Tangensfunktion"
S. 31 neben der Zeile "Exponentialfunktionen"
S. 31 neben der Zeile "Logarithmusfunktionen"
Folgen und Reihen; Grenzwerte
S. 32 neben der Zeile "Zahlenfolge"
"S. 32 neben der Zeile ""Grenzwert; konvergente Zahlenfolge"""
S. 32 neben der Zeile "n-te Partialsumme"
S. 32 neben der Zeile "arithmetische Zahlenfolge"
S. 32 neben der Zeile "geometrische Zahlenfolge"
S. 32 neben der Zeile "geometrische Reihe"
S. 32 neben der Zeile "Spezielle Partialsummen"
"S. 33 neben der Zeile ""Grenzwert für x ™ x0"""
"S. 33 neben der Zeile ""Grenzwert für x ™ ˚"""
Differenzialrechnung
Grundbegriffe
Differenziationsregeln
S. 34 neben der Zeile "Differenzenquotient von f mit y = f (x)"
"S. 34 neben der Zeile ""Differenzialquotient (1. Ableitung) von f an der Stelle x0"""
"S. 34 neben der Zeile ""1. Ableitung von f (Ableitungsfunktion) """
"S. 34 neben der Zeile ""höhere Ableitungen"""
S. 34 neben der Zeile "Faktorregel " und "Produktregel"
S. 34 neben der Zeile "Summenregel" und "Quotientenregel"
S. 34 neben der Zeile "Kettenregel"
S. 34 neben der Zeile "Differenziation der Umkehrfunktion"
Anwendungen der Differenzialrechnung
Kurvenuntersuchungen
S. 35 neben der Zeile "Monotonieverhalten"
S. 35 neben der Zeile "Konvex- bzw. Konkavbögen"
S. 35 neben der Zeile "Verhalten der Funktion an speziellen Stellen (bzw. ihres Graphen in speziellen Punkten)"
S. 35 neben der Zeile "f (xH) ist ein lokales Maximum; xH ist eine lokale Maximumstelle von f"
S. 35 neben der Zeile "xW ist eine Wendestelle von f"
S. 35 neben der Zeile "ist ein Sattelpunkt von f"
"S. 36 neben der Zeile ""Sekanten- näherungsverfahren (regula falsi)"""
"S. 36 neben der Zeile ""Tangenten- näherungsverfahren (newtonsches Näherungsverfahren)"""
S. 36 neben der Zeile "Formel von Maclaurin"
Integralrechnung
Grundbegriffe
Integrationsregeln
S. 37 neben der Zeile "Stammfunktion"
S. 37 neben der Zeile "bestimmtes Integral"
S. 37 neben der Zeile "Faktorregel"
S. 37 neben der Zeile "Summenregel (Linearität) "
S. 37 neben der Zeile "Substitutionsregel"
S. 37 neben der Zeile "Regel für partielle Integration"
Anwendungen der Integralrechnung
Flächenberechnung
Näherungsweises Berechnen bestimmter Integrale
S. 38 neben der Zeile "Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse"
S. 38 neben der Zeile "Flächeninhalt zwischen zwei Graphen"
S. 38 neben der Zeile "Rechteckformel"
S. 39 neben der Zeile "Trapezformel"
S. 39 neben der Zeile "keplersche Fassregel"
S. 39 neben der Überschrift
S. 39 neben der Tabelle
Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)
Koordinatensysteme
S. 40 neben der Zeile "kartesisches Koordinatensystem"
S. 40 neben der Zeile "Transformation von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten"
"S. 40 neben der Zeile ""Parallelverschiebung (Translation) eines kartesischen Koordinatensystems"""
S. 40 neben der Zeile "Drehung (Rotation) eines kartesischen Koordinatensystems um den Winkel Æ"
S. 40 neben der Zeile "Länge s einer Strecke"
"S. 40 neben der Zeile ""Teilung (Teilpunkt T ) einer Strecke"""
"S. 40 neben der Zeile ""Flächeninhalt A eines Dreiecks"""
S. 41 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 41 neben der Zeile "Zweipunktegleichung"
S. 41 neben der Zeile "kartesische Normalform"
S. 41 neben der Zeile "Achsenabschnittsgleichung"
S. 41 neben der Zeile "hessesche Normal(en)form"
S. 41 neben der Zeile "Abstand des Punktes P1 von der Geraden g"
S. 41 neben der Zeile "Lagebeziehung zweier Geraden"
S. 41 neben der Zeile "Kreisgleichung"
S. 41 neben der Zeile "Tangente im Punkt P1"
S. 41 neben der Zeile "Normale im Punkt P1"
S. 42 neben der Zeile "Ellipse"
S. 42 neben der Zeile "Hyperbel"
S. 42 neben der Zeile "Parabel"
Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes
Linearkombination; Basis
Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
Operationen mit Vektoren
Geraden
Ebenen
Lagebeziehungen
S. 43 neben der Überschrift
"S. 43 neben der Zeile ""lineare Unabhängigkeit"""
S. 44 neben der Zeile "Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung eines Vektors"
"S. 44 neben der Zeile ""Ortsvektor p 1 eines Punktes P1(x1; y1; z1)"""
"S. 44 neben der Zeile ""Vektor durch zwei Punkte P1 und P2"""
S. 44 neben der Zeile "Betrag eines Vektors a"
S. 44 neben der Zeile "Addition"
S. 44 neben der Zeile "Subtraktion"
S. 44 neben der Zeile "Vielfachbildung"
S. 44 neben der Zeile "Skalarprodukt"
"S. 44 neben der Zeile ""Winkel zwischen Vektoren"""
S. 45 neben der Zeile "Vektorprodukt"
S. 45 neben der Zeile "Spatprodukt"
S. 45 neben der Zeile "Volumen eines Spates"
S. 46 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 46 neben der Zeile "Zweipunktegleichung"
S. 46 neben der Zeile "Punktrichtungsgleichung"
S. 46 neben der Zeile "allgemeine Form"
S. 47 neben der Zeile "Schnittpunkt zweier Geraden"
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" erster Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" zweiter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Schnittwinkel" dritter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Abstände" erster Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Abstände" zweiter Abschnitt
S. 47 neben der Zeile "Gleichung"
"S. 47 neben der Zeile ""Tangentialebene in P1"""
Kombinatorik
Anordnungen und ihrer Interpretation mithilfe des Urnenmodells
S. 48 neben der Zeile "Fakultät"
S. 48 neben der Zeile "Binomialkoeffizienten"
"S. 48 neben der Zeile ""Potenzen von Binomen"""
S. 48 neben der Zeile "Permutationen"
S. 48 neben der Zeile "Variationen"
Beschreibende Statistik
Lagemaße statistischer Untersuchungen
Streumaße statistischer Untersuchungen
S. 49 neben der Zeile "Kombinationen"
S. 49 neben der Zeile "Mittelwert"
S. 49 neben der Zeile "geometrisches Mittel g"
S. 49 neben der Zeile "harmonisches Mittel h"
"S. 49 neben der Zeile ""mittlere (lineare) Abweichung d vom Mittelwert"""
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlegende Begriffe
Wahrscheinlichkeit und ihre grundlegenden Eigenschaften
Mehrstufige Zufallsversuche; bedingte Wahrscheinlichkeit
Zufallsgrößen und ihre Verteilung
bedingte Wahr- scheinlichkeit PB(A)
unabhängige Ereignisse
Spezielle Verteilungen
S. 50 neben der Zeile "(empirische) Varianz"
S. 50 neben der Zeile "Standardabweichung s"
S. 50 neben der Überschrift
S. 50 neben der Zeile "relative Häufigkeit"
S. 51 neben der Zeile "Gleichverteilung"
S. 51 neben der Zeile "n-stufiger Zufallsversuch"
S. 52 neben der Zeile "Erwartungswert E(X )"
S. 53 neben der Zeile "Gleichverteilung"
S. 53 neben der Zeile "hypergeometrische Verteilung"
S. 53 neben der Zeile "Binomialverteilung"
S. 53 neben der Zeile "Normalverteilung"
Beurteilende Statistik
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten
Matrizen und Determinanten
"S. 67 neben der Zeile ""transponierte Matrix"""
S. 67 neben der Zeile "inverse Matrix"
S. 67 neben der Zeile "Vielfachbildung"
S. 67 neben der Zeile "Multiplikation"
Lineare Gleichungssysteme
S. 68 neben der Zeile "zweireihige Determinanten"
S. 68 neben der Zeile "dreireihige Determinanten"
S. 69 neben der Zeile "Matrixschreibweise"
Ausgewählte Computeralgebra-Befehle
Physik
Konstanten, Größen und Einheiten
Wertetabellen
Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt)
Mechanik
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Gewichtskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Reibungskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Radialkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Federspannkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Auftriebskraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Druckkraft"
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationskraft"
S. 86 neben der Tabelle
S. 86 neben der Tabelle neben der Zeile "Drehmoment"
S. 87 neben der Überschrift
S. 87 neben der Tabelle
"Kraftumformende Einrichtungen"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "beliebige Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige geradlinige Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige Kreisbewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichmäßig beschleunigte Bewegung"
S. 87 neben der Tabelle neben der Zeile "Freier Fall"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "senkrechter Wurf nach unten"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "senkrechter Wurf nach oben"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "waagerechter Wurf"
S. 88 neben der Tabelle neben der Zeile "schräger Wurf"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Gleichförmige Rotation"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "gleichmäßig beschleunigte Rotation"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Weg"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Geschwindigkeit"
S. 89 neben der Tabelle neben der Zeile "Beschleunigung"
S. 89 neben der Tabelle
S. 89 neben der Tabelle neben die Zeile "Impulserhaltungssatz"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "unelastischer gerader zentraler Stoß"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "elastischer gerader zentraler Stoß"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Trägheitsmoment"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundgesetz für die Dynamik der Rotation"
S. 90 neben der Tabelle neben der Zeile "Rotationsenergie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Drehimpuls"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Mechanische Arbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Hubarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Beschleunigungsarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Reibungsarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Federspannarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenarbeit"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "potenzielle Energie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "kinetische Energie"
S. 91 neben der Tabelle neben der Zeile "Energieerhaltungssatz"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Mechanische Leistung"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gesamtwirkungsgrad"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationsgesetz"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Gravitationsfeldstärke"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Arbeit im Gravitationsfeld"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Dichte"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Druck"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Schweredruck"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "barometrische Höhenformel"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "Auftriebskraft"
S. 92 neben der Tabelle neben der Zeile "hydraulische und pneumatische Anlagen"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Kontinuitätsgleichung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "bernoullische Gleichung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Luftwiderstandskraft"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung"
"S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile ""Beschleunigung-Zeit- Gesetz einer harmonischen Schwingung"""
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Fadenpendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Federschwingers"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines Torsionspendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer eines physischen Pendels"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraftgesetze für harmonische Schwingungen"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie eines harmonischen Oszillators"
S. 93 neben der Tabelle neben der Zeile "gedämpfte Schwingungen"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Wellengleichung"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiedichte w einer Welle"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie, die durch eine Welle transportiert wird"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer schwingenden Saite"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer offenen Pfeife"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundfrequenz einer einer geschlossenen Pfeife"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schallgeschwindigkeit"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schallintensität"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Lautstärkepegel"
S. 94 neben der Tabelle neben der Zeile "Schalldruckpegel"
Wärmelehre
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundgleichung der Wärmelehre"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmekapazität"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Verbrennungswärme"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmeleitung"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmeleitwiderstand"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmestrom"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Wärmedurchgang"
S. 95 neben der Tabelle neben der Zeile "Richmannsche Mischungsregel"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Längenänderung fester Körper"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenänderung fester und flüssiger Körper"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Druckänderung realer Gase"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Schmelzwärme"
S. 96 neben der Tabelle neben der Zeile "Verdampfungswärme"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "1. Hauptsatz der Wärmelehre"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenarbeit"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Enthalpie"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Entropie"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "thermische Zustandsgleichung des idealen Gases"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Gaskonstanten"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "isotherme Zustandsänderung"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "Isobare Zustandsänderung"
S. 97 neben der Tabelle neben der Zeile "isochore Zustandsänderung"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Anzahl der Gasteilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "molares Volumen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Molare Masse"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse eines Teilchens"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "mittlere kinetische Energie der Teilchen"
"S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile ""Grundgleichung der kinetischen Gastheorie"""
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "innere Energie"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistung von Wärmequellen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad · von Wärmequellen"
S. 98 neben der Tabelle neben der Zeile "thermischer Wirkungsgrad"
Elektrizitätslehre
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "Elektrische Spannung"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Stromstärke"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrischer Widerstand"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Leistung"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Arbeit"
S. 100 neben der Tabelle neben der Zeile "Widerstandsgesetz"
S. 100 neben der Tabelle neben "Reihenschaltung von Widerständen"
S. 100 neben der Tabelle neben "Spannungsteilerregel"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannungsteilerschaltung"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Zusammenhänge im vollständigen Stromkreis"
S. 101 neben der Tabelle neben der Zeile "Brückenschaltung"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Ladung"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "coulombsches Gesetz"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Feldstärke"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Flussdichte"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "Dielektrizitätskonstante"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrischer Fluss"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrisches Potenzial"
S. 102 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Spannung"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Kapazität C eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Durchschlagsfestigkeit"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "elektrische Feldstärke E in einem Plattenkondensator"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Kapazität C eines Plattenkondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie E des elektrischen Feldes eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Aufladen eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Entladen eines Kondensators"
S. 103 neben der Tabelle neben der Zeile "Reihenschaltung von Kondensatoren"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "magnetische Feldstärke"
"S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile ""magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion)"""
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "magnetischer Fluss ¦"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraft FL auf einen bewegten Ladungsträger (LorEntz-Kraft)"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Kraft F auf einen stromdurchflossenen Leiter"
S. 104 neben der Tabelle neben der Zeile "Energie E des magnetischen Feldes einer stromdurchflossenen Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Induktionsgesetz"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Selbstinduktionsspannung Ui in einer Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Induktivität L einer Spule"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Stromstärke im Wechselstromkreis"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannung im Wechselstromkreis"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Scheinleistung S"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkleistung P"
S. 105 neben der Tabelle neben der Zeile "Blindleistung Q"
S. 105 neben der Tabelle
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Blindwiderstand"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Scheinwiderstand"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Phasenverschiebung"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Spannungsübersetzung für einen idealen Transformator"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Stromstärkeübersetzung für einen idealen Transformator"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistungsübersetzung"
S. 106 neben der Tabelle neben der Zeile "Wirkungsgrad · eines Transformators"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "thomsonsche Schwingungsgleichung"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (ungedämpft)"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (gedämpft)"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Abklingkoeffizient"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Eigenfrequenz f eines Dipols"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Länge l eines Dipols"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Hall-Spannung UH für feste Körper"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "Hall-Konstante RH"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "1. faradaysches Gesetz der Elektrolyse"
S. 107 neben der Tabelle neben der Zeile "2. faradaysches Gesetz der Elektrolyse"
Schwingungen und Wellen
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Schwingungsdauer T (Periodendauer)"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Frequenz f"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Kreisfrequenz É"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Auslenkung y bei einer harmonischen Schwingung"
S. 108 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen (Phasengeschwindigkeit)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Schwingungsgleichung (ungedämpfte harmonische Schwingung)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Schwingungsgleichung (gedämpfte harmonische Schwingung)"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Wellengleichungen"
S. 108 neben der Tabelle neben die Zeile "Brechungsgesetz"
Optik
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "akustischer DoPPlEr-Effekt"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Brechungsgesetz"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Abbildungsgleichung für dünne Linsen und für Spiegel"
S. 109 neben der Tabelle neben der Zeile "Abbildungsmaßstab A für dünne Linsen und für Spiegel"
Quantenphysik
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Lichtgeschwindigkeit c"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Interferenz am Doppelspalt und am Gitter"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Interferenz an dünnen Schichten (reflektiertes Licht und senkrechter Einfall)"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "Austrittsarbeit WA von Elektronen aus Oberflächen"
"S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile ""Energie E eines Lichtquants (Photons)"""
"S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile ""einsteinsche Gleichung für den Fotoeffekt"""
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "dE-BrogliE-Wellenlänge"
S. 111 neben der Tabelle neben die Zeile "coMPton-Effekt"
Spezielle Relativitätstheorie
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "LorEntz-Transformation und LorEntz-Faktor"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Zeitdilatation"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Längenkontraktion"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Addition von Geschwindigkeiten (Additionstheorem)"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse m eines bewegten Körpers (relativistische Masse)"
S. 111 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse-Energie-Beziehung"
Atom- und Kernphysik
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiebilanz für emittiertes oder absorbiertes Licht"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Spektralserien des Wasserstoffatoms"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "relative Atommasse Ar"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Massendefekt flmt"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Kernbindungsenergie EB"3
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Aktivität A einer radioaktiven Substanz"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiedosis D"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Äquivalentdosis H"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Zerfallsgesetz"
S. 112 neben der Tabelle neben der Zeile "Halbwertszeit T1/2"
Astronomie
Astronomische Konstanten und Größen
Astrophysikalische Gesetze und Zusammenhänge
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "3. keplersches Gesetz"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "1. kosmische Geschwindigkeit vK (minimale Kreisbahngeschwindigkeit)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "2. kosmische Geschwindigkeit vF (Fluchtgeschwindigkeit)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Leuchtkraft L eines Sterns"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "scheinbare Helligkeit m1 eines Sterns"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Entfernungsmodul"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Entfernung r eines Sterns (in Parsec)"
S. 115 neben der Tabelle neben der Zeile "Gesetz von huBBlE"
Chemie
Eigenschaften von Stoffen
Atombau
Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten
Stöchiometrie
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "relative Atommasse Ar"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "Stoffmenge"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Masse M"
S. 136 neben der Tabelle neben der Zeile "molares Volumen Vm"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse/Masse"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Masse/Volumen"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumen/Volumen"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Ausbeute ·"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Massenanteil Éi"
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Volumenanteil Æi"
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""Massenkonzentration ²i"""
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""Stoffmengenkonzentration ci"""
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Molalität br"
S. 137 Mischungsrechnen mit dem Mischungskreuz (Konzentrationsangabe in Masseprozent) (b Mischungsrechnen S. 13)
Elektrochemie
"S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile ""nernstsche Gleichung"""
S. 137 neben der Tabelle neben der Zeile "Berechnung nach den faradayschen Gesetzen"
Gasgesetze
Chemisches Gleichgewicht
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Massenwirkungsgesetz"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Löslichkeitsprodukt"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Löslichkeit"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Ionenprodukt des Wassers KW"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Löslichkeitsprodukt"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Säurekonstante KS"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Basekonstante KB"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Henderson-Hasselbalch-Puffergleichung"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Protolysegrad"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Ostwald-Verdünnungsgesetz"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "pH-Wertberechnungen bei wässrigen Lösungen"
S. 138 neben der Tabelle neben der Zeile "Titration"
Energetik
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "Reaktionsgeschwindigkeit"
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "ArrhEnius-Gleichung"
S. 139 neben der Tabelle neben der Zeile "molare Reaktionsenthalpie flRH"
Gefahrenstoffhinweise
Biologie
Physiologie und Biochemie
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "Biomasseproduktion"
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "respiratorischer Quotient RQ"
S. 142 neben der Tabelle neben der Zeile "osmotischer Druck"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "1. ficksches Diffusionsgesetz"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "2. ficksches Diffusionsgesetz"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Diffusion durch eine Membran"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Diffusionspotenzial ED (nernstsche Gleichung) (b S. 137)"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Trockenmasse TM"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Wassergehalt WG"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Aschemasse AM"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Wasserdefizit Wd (Wasserverlust)"
S. 143 neben der Tabelle neben der Zeile "Bilanzquotient des Wassers BQ"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Geburtenrate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Sterberate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "Zuwachsrate"
S. 143 neben der Tabelle neben die Zeile "exponentielles Wachstum"
Ökologie
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Bakterienvermehrung in statischer Kultur in der log-Phase"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Bestimmung des Plankton- und Schwebstoffgehaltes GPS"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "quantitative Sauerstoffbestimmung ² (O2) (nach WinklEr)"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Sauerstoffsättigung S"
S. 144 neben der Tabelle neben die Zeile "Sauerstoffdefizit ² (O2)Def"
S. 146 neben der Tabelle
Humanbiologie
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "voraussichtliche Körpergröße KgrE als Erwachsener"
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "Normalgewicht NG und Idealgewicht IG (nach Broca)"
S. 147 neben der Tabelle neben der Zeile "Body-Mass-Index (BMI )"
S. 147 neben der Tabelle
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Grundumsatz GU"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Leistungsumsatz LU"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Nährstoffbedarf Nb"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Energiebedarf Eb"
S. 148 neben der Tabelle neben der Zeile "Blutalkoholgehalt (nach Widmark) BAG"
S. 150 neben der Tabelle neben die Zeile "PEarl-Index PI (Versagerquote)"
S. 150 neben der Tabelle neben die Zeile "Berechnung des Entbindungstermins Et (naegelesche Regel)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Berechnung des Austauschwertes AW in Koppelungsgruppen (relative Genabstände)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Mutationsrate Mr (nach NachtshEim)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Hardy-WEinbErg- Gesetz (Berechnung der Allelenfrequenz in idealen Populationen)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Individualfitness W (Adaptationswert; relative Überlebensrate)"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "Selektionskoeffizient S"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "mittlere Populationsfitness} W"
S. 150 neben der Tabelle neben der Zeile "genetische Last L (genetische Bürde)"
Informatik
Technische Realisierung logischer Verknüpfungen
Datendarstellung
S. 152 neben der Überschrift
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Addition"
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Subtraktion"
S. 152 neben der Tabelle neben der Zeile "Multiplikation"
Algorithmik
Angewandte Informatik
Register

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Formel sammlung Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik

Die Erde – politische Übersicht

westl. 0° ös

Grönland

(dänisch, Selbstverwaltung)

ISLAND

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Reykjavík

A

N

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D

VEREINIGTES KÖNIGREICH IRLAND London Dublin DEU LAN

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Ottawa

VEREINIG TE S TA AT E N

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FRANKREICH SPANIEN PORTUGAL Madrid Lissabon Algier

Washington

(USA)

T

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Rabat

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O A T L A N T I S C H E R R M A ALGERIEN Nassau a Havanna BAHAMAS KUBA DOMINIKAN. Mexiko K JAM. HAITI REP. Belmopan 1 MAURETANIEN Santo O 2 MALI BE. Kingston Port-au- Domingo Nuakschott 3 NIGE Prince GUATEMALA Guatemala HO. KAP VERDE Dakar SEN. 4 Tegucigalpa Niamey 5 EL SALVADOR San Salvador Praia Bamako Port of B.F. 6 NICARAGUA Banjul GA. WagaManagua 7 Spain G.B. Bissau GUI. dugu Panama NIGER COSTA RICA San José N Caracas TRINIDAD U. TOBAGO Conakry S.L. JamusEZ Georgetown GUYANA Porto Ab sukro Freetown PANAMA UE KA Novo Paramaribo SURINAME GH. LA Bogotá Monrovia R Lomé LIBERIA CÔTE Akkra Malabo Frz.-Guayana KOLUMBIEN D’IVOIRE ÄQ São Tomé Quito S.T. L ECUADOR GABUN Brazz

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Nördlicher Wend

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BELARUS Berlin POLEN Warschau DEUTSCHKiew LAND TSCHECH. BELGIEN Luxemburg Prag REPUBLIK UKRAINE LUXEMBURG SLOWAKEI Paris Wien Bratislava MOLDAU Bern LIE. ÖSTERREICH Budapest SLO. UNGARN RUMÄNIEN Chisinau SCHWEIZ Vaduz Ljubljana Bukarest FRANKZagreb Belgrad KRO. BOS. REICH SERBIEN SAN Sarajevo MO.Priština Sofia MONACO MARINO BULGARIEN Podgorica KO. Skopje Andorra la Vella ITALIEN Rom N.M. ANDORRA Tirana ALBANIEN Athen 0

300

km

Valletta MALTA

GRIECHENLAND

URUGUAY

Buenos Aires

Montevideo

IEN

NIEDERLANDE Amsterdam Brüssel

Santiago

L

DÄNEMARK Kopenhagen

Tallinn ESTLAND LETTLAND Riga LITAUEN Vilnius Minsk

I

Stockholm SCHWEDEN

ARGENTIN

H

Oslo NORWEGEN

N

W

PARAGUAY

C

Südlicher Wendekreis

Brasília

N

Abkürzungen Staatsgrenze umstrittene Staatsgrenze Hauptstadt eines Staates

0

1000

2000

km

ÄQU. ARM. AS. B.D. B.F. BA. BE. BH. BOS. BU. GA.

ÄQUATORIALGUINEA G.B ARMENIEN Südlicher Polarkreis GE. ASERBAIDSCHAN GH. BANGLADESCH GUI. BURKINA FASO HO. BAHRAIN IS. BELIZE JAM. BHUTAN JOR. BOSNIENKA. HERZEGOWINA KAM. BURUNDI KIRG. GAMBIA KO.

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Tasch- Bischkek USB EK kent Tiflis IST GE. KIRG. Baku A Ankara ARM. ITURKMEN Duschanbe Eriwan AS. STAN TAD. TÜRKEI Aschgabad SYR. Kabul Nikosia Bagdad Islamabad LIB. Teheran ZYP. AFGHABeirut Damaskus N A R I Jerusalem NISTAN IRAK Amman Kairo IS.JOR. S KU. Kuwait NeuKI SAUDI- BA. Manama Delhi PA KA. ÄGYPTEN Dhabi Abu Riad Doha V.A.E. Maskat

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Port Moresby

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MIKRONESIEN

PALAU

Jakarta

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kreis

Nördlicher Wende

PH

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SUDAN Asmara JEMEN Khartum ERITREA Sanaa Addis Dschibuti DSCHIBUTI RIA Abeba buja Z.R. SÜDÄTHIOPIEN AMESUDAN RUN Bangui Juba Jaunde O UGANDA S Mogadischu QU. DEM. Kampala KENIA LibreKigali RU. Nairobi N ville K I N D I REP. zaville Kinshasa Gitega BU. Victoria Dodoma SEYCHELLEN KONGO TANSANIA Luanda KOMOREN ANGOLA MA. Moroni S A MLilongwe Lusaka M Harare Antananarivo SIMBABMAURITIUS NAMIBIA WE Port Louis Windhuk BOTSUANA Maputo Gaborone Pretoria Mbabane O ESWATINI SÜD- Maseru AFRIKA LESOTHO

TSCHAD

Ndschemena

UINEA-BISSAU EORGIEN HANA UINEA ONDURAS RAEL MAIKA ORDANIEN ATAR AMBODSCHA RGISISTAN OSOVO

JAPAN

KathN Emandu BH. Taipeh P A L Thimphu Dhaka TAIWAN Hanoi B.D. MYANMAR L INDIEN w Naypyida Vientiane THAILAND Manila Bangkok KAM. Phnom Penh SRI LANKA SIA Kuala Colombo A L AY BRUNEI Lumpur M Malé Bandar Seri Begawan MALEDIVEN SINGAPUR N ET VI S O A

ARABIEN

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LIBYEN

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Tripolis

NORD PjöngKOREA jang DSeoul SÜ

Peking

N

Tunis TUNESIEN

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Südl. Wendekreis

AUSTRALIEN

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Canberra

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KRO. KU. LIB. LIE. MA. MO. N.M. RU. SEN. S.L. SLO.

KROATIEN KUWAIT LIBANON LIECHTENSTEIN MALAWI MONTENEGRO NORDMAZEDONIEN RUANDA SENEGAL SIERRA LEONE SLOWENIEN

S.T.

SÃO TOMÉ UND PRÍNCIPE SYR. SYRIEN TAD. TADSCHIKISTAN V.A.E. VEREINIGTE ARABISCHE EMIRATE Z.R. ZENTRALAFRIKANISCHE REPUBLIK ZYP. ZYPERN

Kleine Antillen 1 ANTIGUA UND BARBUDA, St. John’s 2 SAINT KITTS UND NEVIS, Basse-Terre 3 DOMINICA, Roseau 4 SAINT LUCIA, Castries 5 BARBADOS, Bridgetown 6 SAINZ VINCENT UND DIE GRENADINEN, Kingstown 7 GRENADA, St. George’s

SE

EL

A

Wellington

Weitere Staaten außerhalb des Kartenausschnitts: FIDSCHI, Suva KIRIBATI, South Tarawa MARSHALLINSELN, Majuro NAURU, Yaren SAMOA, Apia TONGA, Nuku’alofa TUVALU, Funafuti VANUATU, Port Vila

Verwendete Zeichen, Abkürzungen und Symbole Zeichen

Sprechweise/Bedeutung

Zeichen

Sprechweise/Bedeutung

…

und so weiter bis

≅

zueinander kongruent, deckungsgleich

=; ≠

gleich; ungleich

||

parallel zu, Beispiel: g || h

; ≥

größer als; größer oder gleich

Δ ABC

Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C

sehr klein gegen; sehr groß gegen

\;

Winkel; rechter Winkel

≈; c

rund, angenähert; entspricht

AB​ ​    

≡

identisch

a, F, AB ​ ​      

Vektoren

%; ‰

Prozent; Promille

A × B, a × b

Vektorprodukt, Kreuzprodukt

]a; b[

offenes Intervall von a bis b

a · b

Skalarprodukt

[a; b]

abgeschlossenes Intervall von a bis b

ab

a hoch b (Potenz)

[a; b[

halboffenes Intervall von a bis b

(a; b)

geordnetes Paar

i

imaginäre Einheit (​√}  –1 ​) 

lim

Limes, Grenzwert

|x|

Betrag von x

→

gegen, konvergiert nach, nähert sich

n!

n Fakultät

∞

unendlich

f (x)

f von x (Wert der Funktion f an der Stelle x)

()

n über p (Binomialkoeffizient)

Δ x, (Δy )

Delta x (Delta y), Differenz zweier ­Argumente (Werte) der Funktion f

f '(x), f "(x)

1. bzw. 2. Ableitung der Funktion f

dy

​  dx ​ } d2y ​ ​ }   dx2 b

E 

​  ​f​  (x)​  dx a

 } 

}›

 

}  √  }  ​  ​√      ​ ​  

n

​    ​ np ​  ​ n

​   ​a   k​ k = 1

S  n

Strecke AB

Quadratwurzel aus; n-te Wurzel aus

Summe aller ak für k = 1 bis n

​   ​a   k​ k = 1

P 

Produkt aller ak für k = 1 bis n

dy nach dx, 1. Differenzialquotient der Funktion y = f (x)

A, B, M1

Mengen

d2y nach dx 2, 2. Differenzialquotient der Funktion y = f(x)

{a; b; c }

Menge mit den Elementen a, b und c

0, { }

leere Menge

{x|…}

Menge aller x, für die gilt: …

(bestimmtes) Integral f(x)dx von a bis b ∈; ∉ ⊆; ⊂

Element von; nicht Element von Teilmenge von; echte Teilmenge von

A∩B

Schnittmenge von A und B

A∪B

Vereinigungsmenge von A und B

A \ B

Differenzmenge A ohne B

A×B

Produktmenge von A und B (A Kreuz B)

(an)

Folge an

logax

Logarithmus x zur Basis a

lg x

Logarithmus x zur Basis 10

ln x

Logarithmus x zur Basis e

lb x

Logarithmus x zur Basis 2

A​ ​    

Komplementärmenge zu A

sin

Sinus

N

Menge der natürlichen Zahlen

cos

Kosinus

N*

Menge der natürlichen Zahlen ohne 0

Tangens

Z

Menge der ganzen Zahlen

Kotangens

Q+

Menge der gebrochenen Zahlen

Arkussinus

Q

Menge der rationalen Zahlen

Arkuskosinus

R

Menge der reellen Zahlen

arctan

Arkustangens

C

Menge der komplexen Zahlen

a | b

a teilt b; a ist Teiler von b

⇒

wenn …, dann … (Implikation)

a | b

a teilt nicht b; a ist kein Teiler von b

⇔

genau dann, wenn (Äquivalenz)

A, B

Matrizen

∧

und (Konjunktion)

det A =|A|

Determinante von A

∨

oder (Disjunktion)

~

proportional, zueinander ähnlich

¬

nicht (Negation)

tan cot arcsin arccos

 } 

Formel  sammlung Formeln · Tabellen · Daten

Mathematik · Physik · Astronomie · Chemie · Biologie · Informatik

Duden Schulbuchverlag Berlin

Autoren Frank-Michael Becker (Biologie) Dr. Hubert Bossek † (Mathematik) Dr. Lutz Engelmann (Mathematik, Informatik) Dr. Christine Ernst (Chemie) Dr. habil. Günter Fanghänel (Mathematik) Heinz Höhne (Chemie) Dr. Astrid Kalenberg (Informatik) Rudi Lenertat † (Mathematik) Dr. Günter Liesenberg (Mathematik) Manuela Liesenberg (Geographie) Rainer Löffler (Mathematik) Prof. Dr. habil. Lothar Meyer (Physik, Astronomie) Doz. Dr. habil. Christa Pews-Hocke (Biologie) Dr. habil. Bernd Raum (Geographie) Dr. Gerd-Dietrich Schmidt (Physik) Dr. Peter Seidel † (Biologie) Helga Simon (Chemie) Dr. habil. Reinhard Stamm (Mathematik) Prof. Dr. habil. Karlheinz Weber (Mathematik) Dr. Adria Wehser (Chemie) Redaktion  Dr. Lutz Engelmann Gesamtgestaltung  Britta Scharffenberg Layout und Grafik  Claudia Kilian, Birgit Kintzel, Manuela Liesenberg, Erika Netzmann †, Angela Richter, Britta Scharffenberg, cs print consulting GmbH, Berlin, zweiband.media, Berlin

www.cornelsen.de 2. Auflage, 3. Druck 2024 Alle Drucke dieser Auflage können im Unterricht nebeneinander benutzt werden. © 2023 Cornelsen Verlag GmbH, Berlin Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu §§ 60 a, 60 b UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung an Schulen oder in Unterrichts- und Lehrmedien (§ 60 b Abs. 3 UrhG) vervielfältigt, insbesondere kopiert oder eingescannt, verbreitet oder in ein Netzwerk eingestellt oder sonst öffentlich zugänglich gemacht oder wiedergegeben werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und anderen Bildungseinrichtungen. Druck und Bindung: Livonia Print, Riga ISBN 978-3-8355-1265-8 (Schulbuch) Produktnummer 1100032715 (E-Book)

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis Mathematik

Zahlen; Zeichen; Größen  5 Mengenlehre und Logik  8 Rechenregeln und Rechenverfahren  10 Gleichungen 15 Planimetrie 17 Stereometrie 22 Ebene Trigonometrie  25 Funktionen 28 Folgen und Reihen; Grenzwerte  32 Differenzialrechnung 34 Anwendungen der Differenzialrechnung  35 Integralrechnung 37 Anwendungen der Integralrechnung  38 Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)  40 Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes  43 Kombinatorik 48 Beschreibende Statistik  49 Wahrscheinlichkeitsrechnung 50 Beurteilende Statistik  64 Matrizen und Determinanten  66 Lineare Gleichungssysteme  68 Ausgewählte Computeralgebra-Befehle  70

Physik

Konstanten, Größen und Einheiten  71 Wertetabellen 76 Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt)  84 Mechanik 86 Wärmelehre 95 Elektrizitätslehre 99 Schwingungen und Wellen  108 Optik 109 Quantenphysik 111 Spezielle Relativitätstheorie  111 Atom- und Kernphysik  112

3

4

Inhaltsverzeichnis

Astronomie

Astronomische Konstanten und Größen  113 Astrophysikalische Gesetze und Zusammenhänge  115

Chemie

Eigenschaften von Stoffen  116 Atombau 126 Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten  129 Stöchiometrie 136 Elektrochemie 137 Gasgesetze 137 Chemisches Gleichgewicht  138 Energetik 139 Gefahrenstoffhinweise 140

Biologie

Physiologie und Biochemie  142 Ökologie 144 Humanbiologie 147

Informatik

Technische Realisierung logischer Verknüpfungen  151 Datendarstellung 152 Algorithmik 155 Angewandte Informatik  156 Register 161

Mathematik Zahlen; Zeichen; Größen Griechisches Alphabet Buchstabe

Name

Buchstabe

Name

Buchstabe

Name

Buchstabe

Name

Α, α Β, β Γ, γ Δ, δ Ε, ε Ζ, ζ

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta

Η, η Θ, θ, θ Ι, ι Κ, κ Λ, λ Μ, μ

Eta Theta Jota Kappa Lambda My

Ν, ν Ξ, ξ Ο, ο Π, π Ρ, ρ Σ, σ, ς

Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma

Τ, τ Υ, υ Φ, φ Χ, χ Ψ, ψ Ω, ω

Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

Primzahlen Eine natürliche Zahl p ≠ 1 heißt Primzahl, wenn sie außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101

103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167

173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239

241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313

317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467

479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569

571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643

647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823

827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 …

Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, d. h. in folgender Form darstellen: n = ​p1α​ 1​ · ​p2α​ 2​ · ​p3α​ 3​  · …  mit  p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; …  und  α1, α2, α3, … ∈N

Mathematische Konstanten Konstante

Bezeichnung

Kreiszahl (ludolfsche Zahl)

π

eulersche Zahl

e

5

Ma

Zahlen; Zeichen; Größen

Zahlenwert

Bedeutung

3,141 592 653 589…

Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 1; Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 1

(

)

22 ​Näherungswert: ​ }  ​ ​ 7

2,718 281 828 459…

Basis der Exponentialfunktion (des stetigen Wachstums) und des natürlichen Logarithmus

6

Mathematik

Römische Zahlzeichen

Ma

Grundzeichen

Hilfszeichen

Symbole

I

X

C

M

V

L

D

Zahl

1

10

100

1 000

5

50

500

Schreibweisen (Regeln für die Anordnung): 1. Die Zeichen werden hintereinander geschrieben (wobei im Allgemeinen links mit dem Symbol der größten Zahl begonnen wird) und ihre Werte werden addiert (Additionssystem). 2. Die Grundzeichen werden höchstens dreimal, die Hilfszeichen nur einmal hintereinander geschrieben. 3. Steht das Symbol einer kleineren Zahl vor dem einer größeren, so wird der kleinere Wert vom größe­ ren subtrahiert (wobei höchstens ein Symbol der nächstkleineren Zahl vorangestellt werden darf). XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17

MMXIII = 1 000 + 1 000 + 10 + 1 + 1 + 1 = 2 013

IX = 10 – 1 = 9

Stellenwertsysteme (Positionssysteme) Begriff

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) der Basis b lässt sich jede natür­ liche Zahl folgendermaßen darstellen: (anan – 1 … a2a1a0)b = an · bn + an – 1 · bn – 1 + … + a2 · b2 + a1 · b1 + a0 · b0 Für die Ziffern a0, a1, a2, …, an gilt a0, a1, a2, …, an ∈{0; 1; 2; …; b – 1}.

Dezimalsystem

Wird als Basis eines Stellenwertsystems die Zahl 10 gewählt, so spricht man von einem dekadischen Positionssystem bzw. vom Dezimalsystem, und es gilt: anan – 1 … a2a1a0 = an · 10n + an – 1 · 10n – 1 + … + a2 · 102 + a1 · 10 + a0

Dualsystem

Wählt man die Zahl 2 als Basis, so erhält man das Dualsystem mit den beiden Ziffern 0 und I (b S. 152).

Darstellung von Dezimalzahlen mithilfe abgetrennter Zehnerpotenzen a>1

a ∈Q+

a 0 (a ∈R, a ≥ 0, n ∈N*\{1}) ​√ }  a ​ = √ ​}  a ​  2

a–n = } ​ 1n  ​  a

Für alle m, n ∈Z und a, b ∈R \ {0} gilt: am · an = am + n

Für alle m, n ∈N*\ {1} und a, b ∈R, a, b ≥ 0 gilt: m } n } mn } n} n} n} √   a ​  · ​ √   b ​ = ​√   a · b ​  ​ √   a ​  · ​ √   a ​ = ​ √   am + n ​ ​  

an · bn = (a · b)n

}

}

}

a ​  a n ​ = am – n ​ }   ​ = ​​} ​  ba  ​  ​​ ​ } a bn

}  √   ​√   a ​  ​  ​n  } a ​ ​  = ​ √   an – m ​ ​   ​ = ​    } ​ ba  ​ ​  } } n } 

(am)n = amn = (an)m

​√   ​ √ }  a ​ ​  = ​ √ }  a ​ = ​ √   ​√ }  a ​ ​  

m

n

m

n

()

–n

()

()

n

mn

​√   a ​  n m

}

mn

}

√

n

​√   b ​ 

m n

}

} √ } ​√   am ​ = (​√ }  a ​)  m ​  am ​ = ​ √   amk ​  (k ∈N*) n

n

​  1–n   ​ = an ​​ } ​  ba  ​  ​​ ​= ​​} ​  ba ​   ​​ ​ } a

n

nk

n

Für alle m, n ∈N, n ≥ 2 und a ∈R, a > 0 gilt: 1 ​ }    ​

1 – ​ }    ​

m ​ }   ​ 

}

m – ​ }   ​ 

1 ​a​n​= ​√ }  a ​ ​   a​ n​= } ​ n1}   ​ ​   a​n ​= ​√   am ​ ​   a​ n ​= } ​ n }    ​  n

​√   a ​ 

n

​√   am ​ 

12

Mathematik

Logarithmen

a, b ∈R; a, b > 0; a ≠ 1 logab = c  ⇔  ac = b

Definition

a heißt Basis, b Numerus und c Logarithmus.

Ma

logab

​a​

​= b logaa = 1

loga1 = 0

Logarithmen spezieller Basen

log10x = lg x (dekadischer Logarithmus) logex = ln x (natürlicher Logarithmus; e eulersche Zahl, b S. 5)

Logarithmengesetze

Für alle u, v ∈R; u, v > 0 gilt: u loga(u · v) = logau + logav loga ​ }  ​ = logau – logav v

logaur = r logau (r ∈R) loga ​ √ }  u ​ = } ​ n1  ​ logau (n ∈N*\ {1) n

Basiswechsel

log b

logcb = } ​ loga c ​ = } ​ ln b  ​ = } ​ lg b  ​  ln c lg c

logab · logba = 1

ac = ec · ln a (c ∈R)

a

(

)

1 1 ln x = } ​ M   ​  lg  x ​ ​  M   ​ = ln10 = 2,302 58… ​ }

lg x = M ln x  (M = lg e = 0,434 29…)

Komplexe Zahlen

a, b, r ∈R; r ≥ 0; 0 ≤ φ < 2π

Es sei C = {z | z = a + b i; a, b ∈R ∧ i2 = –1}  die Menge der komplexen Zahlen (b S. 9). z = a + b i (i2 = –1) (a Realteil;  b  Imaginärteil von z)  }  z = a + b i ​ z ​     = a – b i (zueinander) konjugiert komplexe Zahlen

Normalform

Im (z) z

bi i

r

2

Polarform (trigonometrische Form)

z = r (cos φ + i sin φ) (i = –1) (r Betrag von z; φ Argument bzw. Phase von z)

Exponentialform

z = r · eiφ mit eiφ = cos φ + i sin φ (eulersche Formel, φ im Bogenmaß)

Zusammenhänge

r=√ ​  a2 + b2 ​;    cos φ = } ​ ar ​ ; sin  φ=} ​ br ​ ; tan  φ=} ​ ba ​ 

φ O

1

a

Re (z)

z

}

Rechenregeln Für die Potenzen der imaginären Einheit i gilt: i4n = 1;  i4n + 1 = i;  i4n + 2 = –1;  i4n + 3= –i  (n ∈Z) Für z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i gilt:

Für z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) und z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2) gilt:

z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2)i

z1 ± z2 = (r1cos φ1 ± r2cos φ2) + (r1sin φ1 ± r2sin φ2)i

z1 · z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i

z1 · z2 = r1 · r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]

 } 

z  · ​z ​     

z

a a  + b b  + (a b  – a b )i

z

r

1 2 2 1 1 2 1 ​ }  ​ = } ​  1  } 2 ​  = }}}    ​  1 2 1    ​  (z2 ≠ 0 + 0 · i) ​ }  ​ = } ​ r1 ​  [cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1 – φ2)] (z2 ≠ 0 + 0 · i) 2 2 z z z  · ​z ​      2

2

z2

a2

a2 + b2

2

2

b2

zn

= + 2ab i – = a3 + 3a2b i – 3ab2 – b3i z4 = a4 + 4a3b i – 6a2b2 – 4ab3i + b4 usw. z3

2

= r n (cos nφ + i sin nφ) (n ∈Z, Satz von Moivre)

φ + 2kπ φ + 2kπ ​√ }  z ​ = ​√ } r ​ ​  cos ​ }  ​    + i sin ​ }  ​     ​ n n n

n

(

)

(n ∈N*; k ∈{0; 1; 2; …; (n – 1)})

Für  z1 = r1 · ​e​iφ1​  und  z2 = r2 · ​eiφ ​ 2​  gilt: z

r

1 z1 · z2 = r1 · r2 · ​ e​i(φ1 + φ2)​ ​ }  ​ = } ​ r1 ​  · ​ei(φ ​ 1 – φ2)​  (z2 ≠ 0 + 0 · i) z2 2

 } 

 } 

 } 

 } 

 }   } 

z + w ​ ​      = ​z ​     + w ​ ​    ​   z · w ​     = ​z ​      · ​w ​      

 } 

z + ​z ​     = 2a

zn = r neinφ (n ∈Z)  } 

z – ​z ​     = 2b i

 } 

z · ​z ​     = a2 + b2 = |z|2 = r 2

Rechenregeln und Rechenverfahren

Proportionen und Anwendungen

13

a, b, c, d, k, ai ∈R; k ≠ 0; Nenner ≠ 0 indirekte (umgekehrte) Proportionalität

Sachverhalt Größe x

a

c

Größe y

b

d

je mehr, desto mehr ( y ~ x )

Größe x

a

c

Größe y

b

d

je mehr, desto weniger ​ y ~ } ​ 1x ​    ​

(

Verhältnisgleichung

b ​ }ac ​ = ​ }  ​   ⇒  a · d = b · c d

​ ac ​  = } ​ db ​   ⇒  a · b = c · d }

Proportionalitätsfaktor k

b = k · a   ⇒ k = } ​ ba ​  = } ​ dc ​  d = k · c (quotientengleich)

b = k · ​ }1a ​    ⇒ k = a · b = c · d d = k · ​ }1c ​  (produktgleich)

)

Ma

direkte Proportionalität

Währungsrechnen AW ​ }    ​ = } ​ Kurs  ​     bzw. EUR 100

AW Auslandswährung; EUR Euro-Betrag; Kurs Umrechnungsverhältnis zwischen Devisen, bezogen auf 100 €; Ausnahmen:  Dollar ($) und Pfund Sterling (£)

£) ​ AW($,  ​     = Kurs } EUR

Dreisatz Verfahren, durch das mit drei gegebenen Größen eine vierte errechnet wird In allen Dreisatzaufgaben sind die auftretenden Größen direkt oder indirekt proportional. Schritte: (1) Schluss vom Wert der bekannten Mehrheit (2) auf den Wert für eine Mengeneinheit und (3) von dieser Einheit auf die gesuchte Mehrheit Mischungsrechnen

P Preis; M Menge, Anteil

Berechnen des Mischungsverhältnisses von zwei Sorten bei vorgegebenen Preisen

Preis/Mengeneinheit Unterschied zu PG gekürzt Anteil Sorte 1: P1 |PG – P1| x y = M1 PG – P2 M Mischung: PG ​  ​ }  ​     ​ = } ​ M1 ​ = }​ yx ​  PG – P1 2 Sorte 2: P2 |PG – P2| y x = M2

|

|

Mischungskreuz-Regel: Die zu mischenden Sorten sind im umgekehrten Verhältnis ihrer Preisdifferenzen zur Mischungssorte zu mischen (b auch Mischungskreuz in der Chemie, S. 137). Mittelwerte  } 

 } 

 } 

arithmetisches Mittel ​x ​     

x ​      1 ​  ​a – ​  ​ = } ​ 1 ​   ⇒ ​ x ​     = } ​ a + b  ​     } }    – b  2 x ​

geometrisches Mittel g (mittlere Proportionale)

​  ga  ​ = } ​ gb ​  }

⇒ 

harmonisches Mittel h

a – h ​ h – b    ​ = } ​ ba  ​ }

2ab ⇒  h = } ​ a + b   ​ 

goldener Schnitt (stetige Teilung einer Strecke)

x   ​ }ax ​  = } ​ a – x    ​   ⇒  x = } ​ ​  5 ​ – 1  ​    ·  a ≈ 0,618 · a 2

g=√ ​}  ab ​    (a, b > 0)

Für zwei Werte a und b gilt:  } 

h ≤ g ≤ ​x ​   

} }  g=√ ​  h · ​x ​ ​     (Verallgemeinerung für mehr als zwei Werte b S. 49)

√}

M r

Konstruktion des Teilpunktes T der  } 

Strecke a = P ​ 1P2  ​  mit r = } ​ 2a ​   (s. Abb.)

x P1

a

a–x T

P2

14

Mathematik

Ma

Prozentrechnung Grundgleichung

W W ​ }  ​ = } ​  G  ​   bzw. ​ }  ​ = p % G p 100

vermehrter (verminderter) Grundwert

G ​ ​    = G · ​ } ​ 100 + p  ​    ​ ​G ​     = G · ​ } ​ 100 – p  ​    ​ 100 100

 } 

(

G Grundwert p p % = } ​ 100    ​   Prozentsatz  } 

)

nach prozentualem Zuschlag (Aufschlag)

W Prozentwert p p ‰ = } ​ 1 000    ​ Promillesatz

(

)

nach prozentualem Abschlag (Abzug)

„Bequeme“ Prozentsätze Prozentsatz

1 %

Anteil am Grundwert

1 ​ }    ​  100

2 %

2 ​ }21 ​  %

4 %

5 %

1 ​ 50   ​  }

1 ​ }   ​  40

1 ​ }   ​  25

1 ​ }   ​  20

6 ​ }14 ​  % 6 ​ }23 ​  % 12 ​ }12 ​  % 20 % 25 % 33 ​ }13 ​  % 50 % 66 ​ }23 ​  % 75 % 1 ​ }   ​  16

1 ​ }   ​  15

​ 18 ​  }

​ }15 ​ 

​ }14 ​ 

​ }13 ​ 

K Kapital Z Zinsen p % Zinssatz des Kapitals p. a. per annum (pro Jahr) +p p # Zinszahl (# = 1 % · K · t )) q Zinsfaktor ​q = } ​ 100  ​   = 1 + } ​ 100    ​ ​ 100 t Anzahl der Tage m Anzahl der Monate 1 Jahr c 360 Tage; 1 Monat c 30 Tage (im deutschen Bankwesen)

R S D n

​ }12 ​ 

​ }23 ​ 

​ }43 ​ 

Zinsrechnung

(

Jahreszinsen Z=} ​ K · p  ​   100

Zn = } ​ K · p · n  ​     100

)

Rate, Rente Schuld, Darlehen Zinsdivisor ​D = } ​ 360  ​   ​ p Anzahl der Jahre

(

Monatszinsen

Tageszinsen (Diskont)

K · p · m Zm = } ​ 100 · 12    ​

K · p · t # Zt = } ​ 100 · 360    ​  =} ​ D   ​

)

Rendite (effektive Jahresverzinsung)

Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)

p=} ​ Z · 100  ​     K

+p Kn = K0 · qn = K0 · ​​ } ​  100  ​    ​​ ​ 100

lg K  – lg K

n

(

)

0 n=} ​  nlg q ​    

Einige Zinsdivisoren (sinnvoll zur Berechnung von Tageszinsen und des Diskonts beim Diskontieren) Zinssatz

2 % 2 ​ }12 ​  % 2 ​ }23 ​  % 3 % 3 ​ }31 ​  % 3 ​ }43 ​  % 4 % 4 ​ }21 ​  % 5 %

6 % 6 ​ }23 ​  % 7 ​ }12 ​  % 8 %

9 % 10 %

Zinsdivisor

180

60

40

144

135

120

108

96

90

80

72

54

48

45

36

Rentenformeln; Schuldentilgungsformeln Zahlungsendwert (nachschüssig)

Wird am Jahresende regelmäßig ein Betrag R eingezahlt und mit p % p. a. verzinst, so beträgt das Kapital nach n Jahren:

 – 1) Kn = } ​ R(q  ​     q–1

Zahlungsendwert (vorschüssig)

Wird am Jahresanfang regelmäßig ein Betrag R einge­ zahlt und mit p % p.a. verzinst, so beträgt das Kapital nach n Jahren:

 – 1) Kn = } ​ Rq(q  ​     q – 1

Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (nachschüssig)

Wird ein vorhandener Betrag K0 durch die Zahlung eines festen Betrages R jeweils am Jahresende vermehrt (durch Abhebung von R vermindert), so beträgt bei p % p. a. Zinsen das Kapital nach n Jahren:

 – 1) Kn = K0 · qn + } ​ R(q  ​     q–1

Vermehrung (Verminderung) eines Kapitals durch Raten (vorschüssig)

Wird ein vorhandener Betrag K0 durch die Zahlung eines festen Betrages R jeweils am Jahresanfang vermehrt (durch Abhebung von R vermindert), so beträgt bei p % p. a. Zinsen das Kapital nach n Jahren:

 – 1) Kn = K0 · qn + } ​ Rq(q  ​     q – 1

Tilgungsrate einer Schuld

Soll eine Schuld S in n Jahren bei einem Zinssatz p % p. a. durch regelmäßige Ratenzahlungen jeweils am Jahres­ ende getilgt werden, so beträgt die Rate R:

n

n

n

n

 – 1) Kn = K0 · qn – } ​ R(q  ​     q–1 n

n

 – 1) Kn = K0 · qn – } ​ Rq(q  ​     q – 1

n

R=} ​ Sq n(q – 1)  ​     q  – 1

Gleichungen

15

Gleichungen Lineare Gleichungen

a, b, c ∈R lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Normalform

ax + b = 0  (a, b = const.; a ≠ 0)

ax + by = c (a, b, c = const.; a, b ≠ 0)

Lösungsmenge

b L = ​  – ​ }  ​    ​ a

{ }

a L = {(x; y)}  mit  y = – ​ }   ​ x + } ​ bc  ​ b

Lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen Normalform

Ma

lineare Gleichungen mit einer Variablen

ai , bi , ci ∈R; i ∈N*

(I) a1x + b1 y = c1 (ai , bi , ci = const.) (II) a2x + b2 y = c2

Lösungsformeln (cramersche Regel)

c b  – c b

a c  – a c

x=} ​ a1b2 – a2 b1   ​   1 2

y=} ​ a 1b2 – a2b1   ​  

2 1

1 2

2 1

(a1b2 – a2b1 ≠ 0)

Rechnerisches Lösen (Lösungsverfahren) Einsetzungsverfahren

Eine der Gleichungen wird nach einer der Variablen aufgelöst und der erhaltene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.

Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen werden nach ein und derselben Variablen aufgelöst und die erhaltenen Terme werden gleichgesetzt, sodass eine lineare Gleichung mit einer Variablen entsteht.

Additionsverfahren

Durch äquivalentes Umformen wird erreicht, dass die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen übereinstimmen bzw. sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Subtraktion bzw. Addition der so umgeformten Gleichungen führt auf eine lineare Gleichung mit einer Variablen.

Grafisches Lösen Jede der beiden Gleichungen wird als analytischer Ausdruck einer linearen Funktion aufgefasst und es werden die Graphen der entsprechenden Funktionen (die Geraden g und h) in ein Koordinatensystem gezeichnet. Dabei können die im Folgenden dargestellten Fälle auftreten. 1. Fall: g und h schneiden einander im Punkt S(xS ; yS) g

y h

yS

S

O

xS

L = {(xS ; yS)} (genau eine Lösung; cramersche Regel)

2. Fall: g und h sind zueinander parallel

g

y

3. Fall: g und h sind identisch

y

g=h

h

x

O

L={}=0 (keine Lösung)

x

O

L = {(x ; y )} mit y = mx + n (unendlich viele Lösungen)

x

16

Mathematik

Ma

Quadratische Gleichungen

a, b, c, p, q ∈R

allgemeine Form

Normalform

Gleichung

ax 2 + bx + c = 0  (a, b, c = const.; a ≠ 0)

x 2 + px + q = 0  (p, q = const.)

Lösungen

 b  – 4ac ​  x1; 2 = }}    ​ – b ± ​ 2a  ​  

p p x1; 2 = – ​ }  ​  ± ​  ​​ } ​ p2 ​ 2​​ ​  –  q ​  = – ​ }  ​  ± ​  } ​ p4 ​  –  q ​  2 2

Diskriminante

D = b2 – 4ac

D = ​​} ​ p2 ​ 2​​ ​ – q = } ​ p4 ​ – q

2 √}

} 2

√

}

√( )

()

2

D > 0  ⇒  L = {x1; x2} D = 0  ⇒  L = {x1} = {x2} D < 0  ⇒  L = { } = 0

Lösungsfälle in R

Zerlegung in ­Linearfaktoren

ax 2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) = 0

x 2 + px + q = (x – x1)(x – x2) = 0

vietascher Wurzelsatz

b x1 + x2 = – ​ }  ​  a

x1 + x2 = –p

Spezialfälle

b ax 2 + bx = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = – ​ }  ​  a

ax 2 + c = 0 biquadratische Gleichungen

x1 · x2 = } ​ ac  ​

}

√

⇒ x1; 2 = ± ​  – ​ }ac  ​ ​   (ac < 0)

x1 · x2 = q

x 2 + px = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = –p x 2 + q = 0 ⇒ x1; 2 = ± ​√}  – q ​   (q < 0)

Gleichungen vierten Grades der Form  ax 4 + bx 2 + c = 0  bzw.  x 4 + px 2 + q = 0 können mittels der Substitution  x 2 = z  auf eine quadratische Gleichung in z zurückgeführt werden. Sind z1 und z2 nichtnegative Lösungen dieser Gleichung, so sind x1; 2 = ± ​√}  z1 ​ und x3; 4 = ± ​√}  z2 ​ die Lösungen der biquadratischen Gleichung.

Algebraische Gleichungen n-ten Grades

ai ∈R; xi ∈C; n ∈N

Begriff (normierte Form)

Pn(x) = x n + an – 1 x n – 1 + an – 2 x n – 2 + … + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = 0

Lösungen (Nullstellen)

x1; x2; x3; …; xn

Fundamentalsatz der Algebra

Jede algebraische Gleichung n-ten Grades hat in der Menge der komplexen ­Zahlen genau n Lösungen (wobei diese in ihrer Vielfachheit zu zählen sind).

Lösungsverfahren

Ist x1 eine durch Probieren gefundene Nullstelle, so kann Pn(x) mittels Polynomdivision ohne Rest durch (x – x1) dividiert werden. Man erhält dadurch eine Gleichung (ein Polynom) (n – 1)-ten Grades und es gilt Pn(x) = (x – x1)Pn – 1(x).

Zerlegung in Linearfaktoren

Pn(x) = x n + an – 1 x n – 1 + … + a2 x 2 + a1 x1 + a0 = (x – x1)(x – x2) · … · (x – xn ) = 0

Pn(x) Polynom

Exponential- und Logarithmusgleichungen

a, b ∈R; a, b > 0; a ≠ 1

Exponentialgleichungen

Logarithmusgleichungen

Gleichung

a x = b

loga x = b

Lösung

x=} ​ logc a ​ = } ​ lg b  ​ = } ​ ln b  ​  (c > 0; c ≠ 1) lg a ln a

log b c 

x = a b

Planimetrie

17

Planimetrie

Wird ein Strahlenbüschel (s1; s2; s3) von Parallelen (zueinander parallelen Geraden) g1 und g2 geschnitten, so entstehen Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte. Z

1. Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich zueinander wie die gleichliegenden Abschnitte auf einem anderen Strahl:  } 

 } 

g1 || g2

 } 

ZA ​ ​      ZB ​ ​       ZC ​ ​       }   ​ }  ​ = } ​  }   ​ = } ​  }   ​  ZA' ​ ​     ZB' ​ ​     ZC ' ​ ​    

A

2. Gleichliegende Parallelenabschnitte verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf einem gemeinsamen Strahl:  } 

 } 

AB ​ ​      ZA ​ ​       }   ​ }  ​ = } ​  }   ​  A'B' ​ ​     ZA' ​ ​    

 } 

BC  ​ ​    

B'C ' ​ ​    

g1

B' C'

s1 s2

AB ​ ​        A'B' ​       ​ } ​ ​}    ​ }  ​ = }

Ähnlichkeits- und Kongruenzsätze für Dreiecke A'

C γ

b

A

C

A'

3. Abschnitte auf einer Parallelen verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf der anderen Parallelen:  } 

B

α

s3

k Ähnlichkeitsfaktor, k ∈R, k > 0 b'

α'

γ'

a β

c

g2

C'

a'

c' β'

B

B' Die Dreiecke ABC und A'B'C ' sind zueinander ähnlich bzw. zueinander kongruent (deckungsgleich), wenn eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt ist: Ähnlichkeit

Kongruenz

Die Dreiecke ABC und A'B'C ' sind zueinander ­ähnlich bei Übereinstimmung

Die Dreiecke ABC und A'B 'C ' sind zueinander ­kongruent (deckungsgleich) bei Übereinstimmung

• im Längenverhältnis aller einander entspre­ chenden Seiten: a' : a = k;  b' : b = k;  c' : c = k

• in den drei Seiten: a' : a = 1;  b' : b = 1;  c' : c = 1 (Kongruenzsatz sss)

• in den Längenverhältnissen zweier Seiten und im • in zwei Seiten und im von diesen eingeschlos­ von diesen jeweils eingeschlossenen Winkel, z. B.: senen Winkel, z. B.: a' : a = 1;  b' :  b = 1;  γ ' = γ a' : a = k;  b' : b = k;  γ ' = γ (Kongruenzsatz sws) • in zwei Winkeln, z. B.: β ' = β;  γ ' = γ (Hauptähnlichkeitssatz)

• in einer Seite und den anliegenden Winkeln, z. B.: a' : a = 1;  β ' = β ;  γ ' = γ (Kongruenzsatz wsw)

• in den Längenverhältnissen zweier Seiten und im der jeweils größeren Seite gegenüberliegenden Winkel, z. B.: a' : a = k;  b' : b = k;  β ' = β (b > a )

• in zwei Seiten und dem der größeren Seite ­gegenüberliegenden Winkel, z. B.: a' : a = 1;  b' : b = 1;  β ' = β (b > a ) (Kongruenzsatz SsW)

Für die Flächeninhalte zueinander ähnlicher

Die Flächeninhalte zueinander kongruenter

2

A 

2

2

b' c' A'B 'C ' Dreiecke gilt: ​ }  ​   = } ​ a'2 ​ = ​ }  ​ = ​ }  ​ = k 2 2 2 A  ABC

a

b

c

Dreiecke sind gleich.

Die Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit (k = 1).

Ma

Strahlensätze

18

Mathematik

Winkel q

Ma

Zwei Strahlen p und q mit gemeinsamem Anfangspunkt S bilden Winkel (der Größe α bzw. β ; Winkelmaße b S. 25).

β

Den Punkt S nennt man Scheitelpunkt, die Strahlen p, q Schenkel des Winkels.

α

S

p

Spezielle Winkel Nullwinkel

spitzer Winkel

rechter Winkel

stumpfer Winkel

α

α

α = 0°

gestreckter Winkel

0° < α < 90°

α = 90°

überstumpfer Winkel

α

90° < α < 180° α = 180°

Vollwinkel

α

α

180°< α < 360° α = 360°

Zwei Winkel, die zusammen einen rechten Winkel ergeben (d. h., deren Summe 90° beträgt), heißen Komplementwinkel. Zwei Winkel, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben (d. h., deren Summe 180° beträgt), heißen Supplementwinkel. Winkel an Geraden Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

α

Scheitelwinkel sind gleich groß. h

h

α'

β

g β = β '

g

Wechselwinkel an geschnittenen Paral­ lelen sind gleich groß. h

β

h

β'

g α + α ' = 180°

Stufenwinkel an geschnittenen Paral­ lelen sind gleich groß.

α

g || h

δ

α=β

g || h

γ

g γ=δ

Winkel am Dreieck Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.  (Innenwinkelsatz)

α + β + γ = 180°

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innen­ winkel.  (Außenwinkelsatz)

α' = β + γ β ' = α + γ γ ' = α + β

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks ­beträgt 360°.

α' + β ' + γ ' = 360°

γ α'

γ' β

α

β'

Winkel am Viereck (bzw. Vieleck) Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. (Innenwinkelsatz)

α + β + γ + δ = 360°

δ

γ

Verallgemeinerung: Die Summe der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt (n – 2) · 180°.

α β

Planimetrie

Dreiecke

Höhen (ha ; hb ; hc )

u Umfang;  A Flächeninhalt Veranschaulichung C B

h

a ​ }   ​ = } ​ ba ​  h b

hc

ha

Die Höhen schneiden einander im Höhenschnittpunkt H.

a

hb

H b

Seitenhalbierende (sa ; sb ; sc )

Zusammenhänge

C

c

a sb

sc A

b

B

}}

S

sa

Der Schwerpunkt S teilt jede Seiten­ halbierende im Verhältnis 2 : 1. sa = } ​ 12 ​ ​ √    2(b 2 + c 2) – a2 ​

c

A Winkelhalbierende (wα ; wβ ; wγ )

C

Die Winkelhalbierenden schneiden einander im Inkreismittelpunkt W.

a wγ

b

wβ

2 wα = } ​ b + c    ​ ​ √}  bcs(s – a) ​ 

B

W wα

mit  s=} ​ a + b + c  ​   = } ​ u2 ​  2

c C

A

Mittelsenkrechte (ma ; mb ; mc )

b

a

mc mb

ma

B

Die Mittelsenkrechten schneiden ­einander im Umkreismittelpunkt M.

M c

A allgemeines (beliebiges) Dreieck

C

Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber.

γ b

(b S. 27)

a

h

α

A=} ​ 12 ​  gh = } ​ abc  ​    4r

β

rechtwinkliges Dreieck

B

b q

α

p

β

c

A gleichseitiges Dreieck a

B

mit  s = } ​ u2 ​ 

Satz des Pythagoras: c 2 = a2 + b 2 Höhensatz:

h2 = pq

Kathetensatz (Satz des Euklid): a2 = cp b 2 = cq u = a + b + c

A=} ​ 12 ​  ab = } ​ 21 ​  ch

C

α = 60°

h=} ​ a2 ​ ​ √}  3 ​ 

α

u = 3a

A=} ​ a4 ​ ​ √}  3 ​ 

h

α A

a, b Katheten c Hypotenuse p, q Hypotenusenabschnitte

a

h

r Umkreisradius

(heronsche Formel)

C

(b S. 26)

u=a+b+c A=√ ​ }}  s(s – a)(s – b)(s – c) ​   

g =c

A

a + b > c;  b + c > a;  a + c > b (Dreiecksungleichungen)

a α

a

B

2

Alle Höhen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden schneiden einander im gleichen Punkt und sind gleich lang.

Ma

Begriff

19

20

Mathematik

Vierecke

Ma

Begriff

u Umfang;  A Flächeninhalt;  e, f Diagonalen Veranschaulichung

Rechteck

D

}

a

D

a

B

a

f

α

A

e

a

C a

B

Trapez

D

C

c

d

a || c

m

b

a

Parallelogramm (Rhomboid) b

a

β

Drachenviereck c e A α

B

c α C

B Sehnenviereck

D d A

c e

δ

α

γ

C b

f a



A = a 2 = } ​ 12 ​  e 2

Alle Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel. e 2 = 4a 2 – f 2

u = 4a



A=} ​ 12 ​  ef = a 2sin α

Mindestens zwei Seiten sind zueinander parallel. m=} ​ 12 ​  (a + c)

u=a+b+c+d A = mh = } ​ 21 ​  (a + c) h

Die Diagonalen halbieren einander. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang. 2(a 2 + b 2) = e 2 + f 2

u = 2(a + b)

α + β = 180°

A = aha = ab sin α

Die Diagonalen sind zueinander senkrecht.

D

f a

a

C

b ha

a

A

α

f

e

α

u = 4a

m Mittelparallele (Mittellinie)

B

D β

e = f = a ​√}  2 ​  



h A

A = ab

Die Diagonalen sind zueinander senkrecht und halbie­ ren einander.

D a

u = 2(a + b)



Alle Innenwinkel sind gleich groß (90°). Alle Seiten sind gleich lang.

a

f

e = f = ​√ a2 + b 2 ​  

Die Diagonalen sind zueinander senkrecht, gleich lang und halbieren einander.

C

e

A Rhombus (Raute)

B

a

a

Alle Innenwinkel sind gleich groß (90°). Gegenüberlie­ gende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang.

b

f

e

A

Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.

C

a

b

Quadrat

Zusammenhänge

β B

Mindestens zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

u = 2(a + c)



A=} ​ 12 ​  e f

Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis. Die Summe gegenüberliegender Winkel ist 180°. α + γ = β + δ = 180°

u=a+b+c+d

ac + bd = ef

A=√ ​ }}}      (s – a)(s – b)(s – c)(s – d) ​

(

)

(Satz des Ptolemäus) ​ mit s = } ​ u2 ​    ​

Planimetrie

Regelmäßige Vielecke

u Umfang;  A Flächeninhalt

a

r2

Umkreis und Inkreis eines regelmäßigen Vielecks haben den gleichen Mittelpunkt. Es gilt: α = } ​ 360°  ​     n

β = 180° – α



A=

​ n2 ​  a r1 }

=

α

a

n 2  ​ }  ​  r sin α 2 2

β

n Anzahl der Ecken r2 Umkreisradius r1 Inkreisradius

a

r1

Ma

Ein Vieleck (n-Eck), dessen Seiten gleich lang und des­ sen Innenwinkel gleich groß sind, heißt regelmäßig.

u = na

a

a

Kreis

u Umfang;  A Flächeninhalt

Geraden und Winkel am Kreis p

t d

r

g

M s

γ

γ'

M β α

p t g

Passante Tangente Sekante

r d s

Radius Durchmesser Sehne

Tangente und Berührungsradius sind zueinander senkrecht.

b Kreisbogen α Sehnentangentenwinkel β Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) γ, γ ' Peripheriewinkel (Umfangswinkel)

β = 2α

β = 2γ

α=γ

d Durchmesser

Peripheriewinkel über einem Halbkreis (bzw. über dem Durch­ messer eines Kreises) sind rechte Winkel. (Satz des Thales)

γ = γ ' (Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich groß.)

b

M

d

Kreis

Kreisring

d

a

d = 2r

r

u = 2πr = πd

M

A=

πr 2

=

​ π4 ​  d 2 }

Kreisausschnitt (Kreissektor) b M

α

πα b = r arc α = r ​ }   ​  180°

(Kreisbogen, b S. 25) r

21

u = b + 2r α Aα = } ​ br  ​ = πr 2 · ​ }    ​  2 360°

a = r2 – r1 (Ringbreite)

r1

u = 2π(r1 + r2)

M

A = π(r22 – r12)

r2

Kreisabschnitt (Kreissegment)

r s

α M

h

b r

h = 2r sin2 ​ }4α  ​

(h < r )

s=

(Sehne)

2r sin ​ }2α  ​

u=b+s 2

(

)

πα A=} ​ 21 ​  [r (b – s) + sh] = } ​  r 2 ​ ​   } ​ 180°   ​ – sin α    ​

22

Mathematik

Stereometrie

Ma

Körper mit ebenen Begrenzungsflächen

AM Mantelfläche;  AO Oberfläche;  V Volumen

Prismen

​A​G​Grundfläche; A ​ ​D​ Deckfläche

Allgemein gilt:  V = AGh  AO = 2AG + AM  AG = AD Quader

Würfel c

a

c

e

a

b

a

}}

2 + b2 + c 2 ​ e = ​√ a   

AM = 2(ac + bc)

e = a ​√}  3 ​  

AO = 2(ab + ac + bc) V = abc

regelmäßiges dreiseitiges Prisma

h

AG =

}

a 2 ​ }  ​ ​ √ 3 ​  4

a AO = } ​ a2 ​  (a ​√}  3 ​ + 6h)

AM = 3ah

AO = 6 a 2

AM = 4 a

V = a 3

h

h

h

a

a

AG = a 2

 2

regelmäßiges sechsseitiges Prisma

a

a

a a

a

a

b

AG = ab

a

e

a

a

a  V = ​ }  ​  h ​√}  3 ​  4 2

AG =

a a

a

a

3 ​√}  3 ​  2 ​ }  ​     a 2

a

AO = 3a (a ​√}  3 ​ + 2h)

AM = 6ah

a a

V=} ​ 3a   ​   h ​√}  3 ​  2 2

Pyramiden ​ A​G​Grundfläche; h ​ ​s​Höhe der Seitenfläche Allgemein gilt:  V = ​ }31 ​  AGh  AO = AG + AM quadratische Pyramide

Tetraeder a

h

hs

a

a a

a

a

a AG =

a 2

AG =

AM = 2ahs

a

a

AO = a(a + 2hs )

V=

​ 13 ​  a 2h }

AM =

a a

a

a

}

a 2 ​ }  ​​ √ 3 ​  4  3a 2 ​  4 ​ ​  √ 3 ​   }

}

AO = a 2 ​√}  3 ​  

a } V=} ​ 12   ​ ​√ 2 ​   3

Pyramidenstümpfe ​ A​G​Grundfläche; A ​ ​D​Deckfläche; h ​ ​s​Höhe der Seitenfläche Allgemein gilt:  V = } ​ h3 ​  (AG + √ ​}  AGAD ​  + AD)  AO = AG + AD + AM quadratischer Pyramidenstumpf a2 a2 h

hs

a2

2

AG = a1

a1

a1

a1 AD =

a22

AM = 2(a1 + a2)hs

a1

a2 a1

a1

a2 a2

2

AO = a1 + 2(a1 + a2)hs + V = ​ }31 ​  h (a12 + a1a2 + a22)

regelmäßiger dreiseitiger Pyramidenstumpf a2 a2 a2 a2 a2 a2 a1 a1 hs h a1 a1 a1 a1

a22

AG = AM =

}

a12 ​ }  ​ ​  √ 3 ​   4 3 ​ 2 ​  (a1 + }

√}

AO = } ​ ​4 3 ​ ​   (a12 + a22) + } ​ 32 ​  (a1 + a2) hs √}

a2)hs V = } ​ ​12 3 ​ ​   h (a12 + a1a2 + a22)

Stereometrie

Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen

23

AM Mantelfläche;  AO Oberfläche;  V Volumen

Kreiszylinder ​ A​G ​Grundfläche; A ​ ​D​ Deckfläche

gerader Zylinder

Ma

Allgemein gilt:  V = AG h  AO = 2AG + AM  AG = AD gerader Hohlzylinder r2 r1

AD

AD

r h

r2 > r1

a

AM2

h

h

AM

h AM1

AG

r

h

AG

AG = πr 2

a = r2 – r1  (Wanddicke)

AM = 2π rh

V = πr 2h

AO = 2π r (r + h)

AG = π (r22 – r12) ​ A​M1​= 2π r1h ​ A​M2​= 2π r2h V = π h (r22 – r12)

AO = 2AG + A ​ ​M1​+ A ​ ​M2​ Kreiskegel

s Mantellinie; A ​ G ​ ​Grundfläche; A ​ D ​ ​ Deckfläche

gerader Kegel

gerader Kegelstumpf s s

s

s

r1

2πr

h

s

s

h

r

r2

r2

r s 2 = r 2 + h2

AG = π r 2

AM = π r s

AO = π r (r + s)

V=

s

r1

s 2 = (r2 – r1)2 + h2

AG = π r22

AM = π s (r2 + r1)

AO = AG + AD + AM

​ π3 ​  r 2h }

AD = π r12

π V = ​ }  ​  h (r22 + r2r1 + r12) 3

Kugel und Kugelteile

d Durchmesser; r, R ​ ​1​, R ​ 2​ ​ Radien

Kugel

Kugelschicht (Kugelzone) R1



d



M

r



d = 2r AO = V =

4π r 2 ​ }34 ​  π  r 3

=

π d 2

=

​ 16 ​  π  d 3 }

Kugelausschnitt (Kugelsektor)

h

R R

= ​√}  h (2r – h) ​ 

AM = π R r



r

h M R2



AM = 2π r h AO = π (R12 + R22 + 2r h)

V = } ​ π6 ​  h (3R12 + 3R22 + h 2)

Kugelabschnitt (Kugelsegment)

h

R = ​√}  h (2r – h) ​  R

AM = 2π r h = π (R 2 + h 2)

(Kegelmantel) (Kugelkappe) r r M M AO = π r (2h + ​√}  h (2r – h) ​   ) AO = π R 2 + 2π r h = π h (4r – h )

V=} ​ 23 ​  π  r 2h



= π (2R 2 + h 2)

π 2  V = ​ }  ​  h (3r – h ) = } ​ π6 ​  h (3R 2 + h 2) 3

24

Mathematik

Reguläre Polyeder (platonische Körper)

a Kantenlänge;  AO Oberfläche;  V Volumen

Ma

Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird. Sind alle Begrenzungen eines Polyeders zueinander kongruente regelmäßige Vielecke (n -Ecke), so wird es regulär bzw. platonischer Körper genannt. Es gibt genau fünf reguläre Polyeder. Tetraeder

a } V=} ​ 12   ​ ​√ 2 ​  

AO = a 2 ​√}  3 ​ 

3

Würfel (Hexaeder)

Oktaeder

V = a 3

a  } V = ​ }  ​ ​ √ 2 ​   3

Dodekaeder

AO = 2 a 2 ​√}  3 ​ 

3

AO = 6 a 2 Ikosaeder

}

V=} ​ a 4 ​ (15   + 7 ​√}  5 ​ )

AO = 3 a 2 ​√ 5(5 + 2​√}  5 ​)   ​ 

3

V=} ​ 5a   ​   (3 + √ ​}  5 ​)  12

AO = 5 a 2 ​√}  3 ​ 

3

Ist e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der Flächen und k die Anzahl der Kanten eines (beliebigen) ­konvexen Polyeders, so gilt:  e + f – k = 2 (eulerscher Polyedersatz)

Körperdarstellung (Darstellende Geometrie) Schrägbild (Kavalierperspektive)

senkrechte Zweitafelprojektion S ''

S

A'', D'' D A

F

C'

D'

C

E

F '', E '' B'', C ''

S', E '

B

A'  }   } 

 } 

Breiten- und Höhenlinien (​AB ​    , CD ​ ​    und ES ​ ​   )  ­werden in wahrer Größe dargestellt.  }   }   }  Tiefenlinien (​AD ​    , BC ​ ​    und EF  ​ ​   )  werden unter einem Winkel α mit α = 45° zu den Breitenlinien angetragen und um die Hälfte (q = } ​ 21 ​ ) verkürzt.

F'

S0 B'  } 

Konstruktion der wahren Länge von FS  ​ ​   :   }  1. Zeichnen der Senkrechten zu F 'S  ​   '   ​ im Punkt S'  }  2. Abtragen der Höhe E"S"​ ​     auf der Senkrechten in E'  }  3. Die Strecke F 'S ​  0  ​ entspricht der wahren Länge  }  von FS  ​ ​   . 

Ebene Trigonometrie

25

Ebene Trigonometrie

Gradmaß

Größe des Winkels α (β, γ, …) bezogen auf den Vollwinkel Ein Winkel mit der Größe von einem Grad (bzw. Altgrad) ist der 360ste Teil des ­ebenen Vollwinkels (Schreibweise: 1°). (Ein Winkel dieser Größe ergibt sich, indem ein Kreis durch Radien in 360 deckungs­ gleiche Teile zerlegt wird.) Weitere Einheiten: 1 1 1 Minute (1' = } ​ 60   ​°    bzw.  60' = 1°)   1 Sekunde (1'' = } ​ 60   ​ '  bzw.  60'' = 1')

Ein Winkel mit der Größe von einem Neugrad (bzw. Gon) ist der 400ste Teil des ebenen Vollwinkels (Schreibweise: 1g). Bogenmaß

Größe des (Zentri-)Winkels α (β, γ, …) als Verhältnis von Bogenlänge b zu Radius r (bzw. als Maßzahl der Länge des zugehörigen Bogens am Einheitskreis):

r

arc α = C α​ ​  = } ​ br ​  Ein Winkel hat die Größe von einem Radiant (Schreib­ weise: 1 rad), wenn b = r gilt (bzw. wenn die Länge des zugehörigen Bogens am Einheitskreis den Wert 1 hat). Umrechnungen

b

M α r

Zwischen dem Grad- und dem Bogenmaß eines Winkels α besteht folgender Zusam­ menhang: α α ​ 360°    ​ = } ​ arc α  ​     bzw. ​ }    ​ = } ​ 180°  ​     } 2π arc α π α · π Umrechnung von Grad- in Bogenmaß: arc  α=} ​ 180°   ​  

Umrechnung von Bogen- in Gradmaß:

1° ≈ 0,017 45 rad

​ 180° · arc α  ​     } π

α=

1 rad ≈ 57,296°

Bogenmaß spezieller (im Gradmaß gegebener) Winkel 0°

10°

15°

20°

30°

45°

60°

75°

90°

120°

0

π ​ 18   ​  }

π ​ }   ​  12

π ​ }  ​  9

π ​ }  ​  6

π ​ }  ​  4

π ​ }  ​  3

​  5π  ​  } 12

π ​ }  ​  2

2π ​ }  ​  3

0,0000

0,1745

0,2618

0,3491

0,5236

0,7854

1,0472

1,3090

1,5708

2,0944

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

315°

330°

360°

3π ​ }  ​  4

​ 5π  ​  } 6

7π ​ }  ​  6

​  5π  ​  } 4

4π ​ }  ​  3

3π ​ }  ​  2

​ 7π  ​  } 4

2,3562

2,6180

π 3,1416

3,6652

3,9270

4,1888

11π ​ }  ​     6

2π

4,7124

5,4978

5,7596

6,2832

Gradmaß einiger (im Bogenmaß gegebener) Winkel 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0°

5,7°

11,5°

17,2°

22,9°

28,6°

34,4°

40,1°

45,8°

51,6°

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

57,3°

85,9°

114,6°

143,2°

171,9°

200,5°

229,2°

257,8°

286,5°

343,8°

Ma

Winkelmaße

26

Mathematik

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels (Winkelfunktionen)

Ma

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Definition am Kreis mit dem Radius r

B

0° < α < 90°

Der freie Schenkel des Winkels der Größe x schnei­ det den Kreis im Punkt P(u; v). v P(u; v)

β

r

sin α =

​ }ac ​ =    ​ Gegenkathete  ​  }} Hypotenuse

x

c

a

sin x =

b Ankathete cos α = ​ }  ​ = } ​ Hypotenuse    ​  c

u cos x = ​ }  ​  r

α

a tan α = ​ }   ​ =    ​ Gegenkathete  ​   }} b Ankathete

C

A

b

b Ankathete cot α = ​ }  ​ = }} ​       ​ a Gegenkathete

tan x = } ​ uv  ​

π (für alle x ≠ ​ }  ​  + zπ ∧ z ∈Z) 2

u cot x = ​ }  ​  v

(für alle x ≠ zπ ∧ z ∈Z)

Werte für spezielle Winkel

Vorzeichen in den vier Quadranten

0°

30°

45°

60°

90°

0

​ }12 ​ 

​ }12 ​ ​ √}  2 ​ 

​ }12 ​ ​ √}  3 ​ 

1

cos α

1

​ 12 ​ ​ √ 3 ​  }

​ 12 ​ ​ √ 2 ​  }

​  12 ​  }

tan α

0

​ }31 ​ ​ √}  3 ​ 

1

cot α

–

​√}  3 ​ 

1

sin α

}

u

O

​ }vr ​ 

I

II

III

IV

sin x

+

+

–

–

0

cos x

+

–

–

+

​√}  3 ​ 

–

tan x

+

–

+

–

​ }13 ​ ​ √}  3 ​ 

0

cot x

+

–

+

–

}

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens Grundbeziehungen

sin2α + cos2α = 1  („trigonometrischer Pythagoras“) sin α tan α = } ​ cos α    ​ cot  α=} ​ cos α  ​  tan  α cot α = 1 sin α

1 + tan2α = } ​  12   ​   cos α

Reduktionsformeln (Quadrantenbeziehungen)

1 + cot2α = } ​  12   ​  sin α

90° ± α

180° ± α

270° ± α

360° ± α

– α

sin

+ cos α

7 sin α

– cos α

± sin α

– sin α

cos

7 sin α

– cos α

± sin α

+ cos α

+ cos α

tan

7 cot α

± tan α

7 cot α

± tan α

– tan α

cot

7 tan α

± cot α

7 tan α

± cot α

– cot α

Additionstheoreme Summen und Differenzen

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sinβ tan (α ± β ) =

cos (α ± β ) = cos α cos β 7 sin α sin β

tan α ± tan β ​       ​ }} 1 7 tan α tan β

sin α + sin β = 2sin } ​ α + β  ​   cos } ​ α – β  ​     2 2

sin  α – sin β = 2cos } ​ α + β  ​   sin } ​ α – β  ​     2 2

cos α + cos β = 2cos } ​ α + β  ​   cos } ​ α – β  ​     2 2

cos  α – cos β = –2sin } ​ α + β  ​   sin } ​ α – β  ​     2 2

sin (α ± β ) tan α ± tan β = } ​ cos α cos β    ​

Ebene Trigonometrie

sin 2α = 2sin α cos α

cos 2α = cos2 α – sin2 α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2sin2 α

sin 3α = 3sin α – 4sin3 α

cos 3α = 4cos3 α – 3cos α

}

}

√

√

sin ​ }2α  ​= ​  } ​ 1 – cos α  ​ ​     2

cos ​ }2α  ​= ​  } ​ 1 + cos α  ​ ​    2

2 tan 2α = } ​  2 tan α2   ​  =} ​ cot α – tan α    ​  

 α – 1 cot 2α = } ​ cot  ​     =} ​ cot α – tan α  ​     2 cot α 2

1 – tan  α

Ma

Vielfache und Teile

2

}

√

sin α 1 – cos α tan ​ }2α  ​ = } ​ 1 + cos α   ​  =} ​ 1 – cos α  ​    = ​  } ​ 1 + cos α    ​ ​ sin α

Produkte

sin α sin β = ​ }21 ​  [cos (α – β) – cos (α + β)] cos  α cos β = } ​ 12 ​  [cos (α – β) + cos (α + β)] cot α + cot β tan α tan β = } ​ tan α + tan β  ​    cot  α cot β = } ​ tan α + tan β    ​  cot α + cot β

Trigonometrische Berechnungen am allgemeinen (beliebigen) Dreieck Sinussatz Kosinussatz

Flächeninhalt

a b c ​ sin α    ​ = } ​ sin β    ​ = ​ }    ​  } sin γ 2

2

2

a 2

b 2

c 2

C

+

b 2

– 2bc cos α

=

a 2

+

c 2

– 2ac cos β

ha = b sin γ = c sin β

c

A

C

hb = a sin γ = c sin α

hb

hc = b sin α = a sin β

B

β

b α

A = ​ }21 ​  ab sin γ = } ​ 12 ​  ac sin β = } ​ 21 ​  bc sin α A = 2r 2sin α sin β sin γ (r Radius des Umkreises)

Höhen

a

γ

c  = a  + b  – 2ab cos γ =

b

ha

a B

hc c

A Seiten­ halbierende

}}

C

sa = } ​ 12 ​ ​ √    b 2 + c 2 + 2 bc cos α ​

a sb

sc

}}

2 sb = } ​ 12 ​ ​ √ a      + c 2 + 2 ac cos β ​

b

}}

sa

2 + b 2 + 2 ab cos γ ​ sc = } ​ 21 ​ ​ √ a    

B

c

A α 2bc cos ​ }    ​

27

β 2ac cos ​ }    ​

Winkel­ halbierende

2 wα = } ​  b + c ​    

Inkreisradius

ρ = (s – a) tan ​ }2α  ​= (s – b) tan ​ }2β  ​= (s – c) tan ​ }2γ  ​

2 wβ = } ​  a + c ​    

mit  s = } ​ u2 ​  = } ​ a + b + c  ​     2

Umkreisradius

a b c r=} ​ 2 sin α    ​ = } ​ 2 sin β    ​ = } ​ 2 sin γ    ​ 

Projektionssatz

a = b cos γ + c cos β

γ 2ab cos ​ }    ​

2 wγ = } ​  a + b ​    

C γ

a wβ

wγ ρ

b

wα

B

β

c

α A C γ

b = a cos γ + c cos α

b

c = a cos β + b cos α

α A

a M β

r

c

B

28

Mathematik

Funktionen

Ma

Begriff und Eigenschaften Funktion f

Abbildung f, die jedem Element x aus einer Menge Df (dem Definitionsbereich von f ) eindeutig ein Element y aus einer Menge Wf (dem Wertebereich von f ) zuordnet Schreibweisen: y = f (x) bzw. f :  x ° f (x) Sprechweisen: „Funktion f mit der Gleichung  y = f (x)“ bzw. (kurz) „Funktion y = f (x)“

Umkehrfunktion g von f

Abbildung g, die bei umkehrbar eindeutiger Zuordnung jedem Element f (x) ∈Wf  wiederum eindeutig das Ausgangselement x ∈Df zuordnet Bezeichnung: g (x) = f – 1 (x) Die Graphen von f und g liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

Nullstelle von f

xi ∈Df mit f (xi ) = 0

Graph (Bild) von f

Menge aller Punkte P(x; f (x)) mit x ∈Df

Spiegelung des Graphen von f

Gleichung des an der x-Achse gespiegelten Graphen von f mit y = f (x): y = g(x) = –f (x) Gleichung des an der y-Achse gespiegelten Graphen von f mit y = f (x): y = h(x) = f (– x)

gerade Funktion

f (– x) = f (x)  für jedes x ∈Df  (falls auch – x ∈Df ) Der Graph liegt symmetrisch zur y-Achse.

ungerade Funktion

f (– x) = –f (x)  für jedes x ∈Df Der Graph liegt punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

periodische Funktion

Es gibt eine Zahl h > 0, sodass f (x) = f (x + h) für jedes x, x + h ∈Df gilt. Die kleinste Zahl h > 0, für die f (x) = f (x + h) zutrifft, heißt Periode von f.

monotone Funktion

f ist in ]a, b[ streng monoton wachsend, wenn für x1, x2 ∈]a, b[ und x1  1) bzw. gestauchter (0 < |b| < 1) Graph von f y = fc (x) = f (x + c) um c in x -Richtung nach links (c > 0) bzw. nach rechts (c  0  ⇒  wachsende (steigende) Gerade m < 0  ⇒  fallende Gerade

α x2 – x1

y1 S

Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse:  S(0; n)

x0

α x1

O

Quadratische Funktionen

3

x

x2

a, b, c, p, q ∈R;  a ≠ 0

Allgemeine Form:  y = f (x) = ax 2 + bx + c

3

y2 – y1 y = mx

n

n Nullstelle:  x0 = – ​ }   ​  m

4ac – b2

Ma

i = 0

·x 1



4

4ac – b2

Df = R

4

Wf = ​  ​ }  ​ ;     + ∞  ​  für a > 0;  Wf = ​  –  ∞; } ​  4a ​    ​ für a < 0 4a 2

(

y D>0

D=0

D 0, – genau eine (Doppel-)Nullstelle, falls D = 0, – keine (reelle) Nullstelle, falls D 0 ​ in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Kosinusfunktion  y = f (x) = cos x (b S. 26) Df = R

y

Wf = [–1; +1]

π Nullstellen:  xk = (2k + 1) ​ }  ​ ,  k ∈Z 2

cos (x + 2k π) = cos x

Periode: 2π

y = cosx

1 –π

O

1

π

2π

x

Funktionen

y

Tangensfunktion  y = f (x) = tan x (b S. 26)

y = tanx

k ∈Z  Wf = R

Nullstellen:  xk = k π,  k ∈Z tan(x + k π) = tan x

1 O1

Periode: π

π

x

Ma

Df = R und x ≠ (2k +

π 1) ​ }  ​ ,  2

Werte trigonometrischer Funktionen für spezielle Argumente f (x)

x

0

π ​ }  ​  6

π ​ }  ​  4

π ​ }  ​  3

π ​ }  ​  2

2π ​ }  ​  3

​ 3π  ​  } 4

5π ​ }  ​  6

π

3π ​ }  ​  2

0

​ 12 ​  }

​ }12 ​ ​ √}  2 ​ 

​ }12 ​ ​ √}  3 ​ 

1

​ }12 ​ ​ √}  3 ​ 

​ }12 ​ ​ √}  2 ​ 

​ }12 ​ 

0

–1

0

cos x

1

​ 21 ​ ​ √ 3 ​  }

​ }12 ​ ​ √ 2 ​ 

​ }12 ​ 

0

– ​ }12 ​ 

– ​ }12 ​ ​ √ 2 ​ 

– ​ }12 ​ ​ √ 3 ​ 

}

–1

0

1

tan x

0

​ 31 ​ ​ √}  3 ​  }

1

​√}  3 ​ 

–

– ​√}  3 ​ 

–1

– ​ }13 ​ ​ √}  3 ​ 

0

–

0

sin x

}

}

}

2π

Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Arkussinusfunktion y = f (x) = arcsin x π π Df = [– 1; 1] Wf = 3​ – ​ }  ​ ; } ​   ​  ​ Nullstelle:  x0 = 0 2 24

y

y

π

π 2

π 2

y = arccosx

Arkuskosinusfunktion y = f (x) = arccos x Df = [– 1; 1] Wf = [0; π] Nullstelle:  x0 = 1

1

1

Arkustangensfunktion y = f (x) = arctan x π π Df = R Wf = 4​  – ​ }  ​ ; } ​   ​   ​ Nullstelle:  x0 = 0 2 23

O1

y = arcsinx

y = arctanx O1

x

x

Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen y = f (x) = ax (a ∈R, a > 0, a ≠ 1) Df = R

y

Wf = ]0; + ∞[

y = ax (a > 1)

ax

y= (0 < a < 1)

Nullstellen: keine

Gemeinsamer Punkt aller Funktionsgraphen:  (0; 1)

1

Spezialfall:  y = f (x) = ex  (e eulersche Zahl; b S. 5)

a O

Logarithmusfunktionen y = f (x) = loga x (a ∈R, a > 0, a ≠ 1) Df = ]0; + ∞[

Wf = R

1

x

y Nullstelle:  x0 = 1

1

y = loga x (a > 1)

Gemeinsamer Punkt aller Funktionsgraphen:  (1; 0) Spezialfälle:

O a

y = f (x) = log10 x = lg x y = f (x) = loge x = ln x y = f (x) = log2 x = lb x

1

y = loga x (0 < a < 1)

x

Werte spezieller Logarithmusfunktionen f (x)

x

0,5

1

2

3

4

6

8

lg x

– 0,3010

0

0,3010

0,4771

0,6021

0,7782

0,9031

1

2

ln x

– 0,6931

0

0,6931

1,0986

1,3863

1,7918

2,0794

2,3026

4,6052

lb x

–1

0

1

1,5850

2

2,5850

3

3,3220

6,6439

1

0

–1

–1,5850

–2

–2,5850

–3

–3,3220

– 6,6439

log0,5 x

31

10

100

32

Mathematik

Folgen und Reihen; Grenzwerte

Ma

Grundbegriffe Zahlenfolge (an)

Funktion f mit Df = N* und Wf ⊆ R

an n-tes Glied der Zahlenfolge (an)

Das Glied an gibt zugleich eine Bildungsvorschrift der Folge (an) an. Grenzwert; Eine Zahlenfolge (an) konvergiert zum Grenzwert g (ist konvergent), wenn es konvergente Zahlenfolge zu jeder vorgegebenen positiven Zahl ε ein n0 ∈N* gibt, sodass |an – g|  0 wachsende Folge

n

sn = S ​ ​   a ​  i​= a1 + a2 + … + an i = 1

= a1 + (a1 + d ) + … + [a1 + (n – 1)d ] = } ​ n2 ​  (a1 + an) = na1 + } ​ (n – 1)n  ​    d 2 a1; a1q; a1q 2; …; a1q n – 1; …  (a1 ≠ 0, q ≠ 0)

geometrische Zahlenfolge

a1 Anfangsglied

Rekursive Bildungsvorschrift: an + 1 = an q ;  a1 Explizite Bildungsvorschrift: Für a1 > 0: 0 < q < 1 q > 1

an = a1 · q n – 1

fallende Folge wachsende Folge

q = 1 q < 0

konstante Folge alternierende Folge

n

sn = S ​ ​   a ​  i​= a1 + a2 + … + an i = 1

n

n

q   – 1 1 – q = a1 + a1q + … + a1q n – 1 = a1 ​ }  ​   = a1 ​ }  ​    (falls q ≠ 1)   q – 1 1 – q ∞

a

1 s=S ​ ​   a ​  1qn – 1​ = } ​ 1 – q   ​    (a1 ≠ 0; q ≠ 1; |q| < 1)

geometrische Reihe

n = 1

Spezielle Partialsummen

i, n ∈N*

n

n

1+2+3+…+n=S ​ ​   i​ ​  = } ​ n(n + 1)  ​     2

1 + 4 + 9 + … + n 2 = S ​ ​   i  ​  2​ = }}    ​ n(n + 1)(2n + 1)  ​   6

i = 1

n

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = S ​ ​   (2i – 1)​ ​  = i = 1

n 2

1 + 8 + 27 + … +

n 3

i = 1 n

2

=S ​ ​   i  ​  3​ = 3​​ } ​ n(n + 1)  ​   4 ​​ ​ 2 i = 1

Folgen und Reihen; Grenzwerte

Grenzwerte für konvergente Folgen Grenzwertsätze

33

ai, bi ∈R; n ∈N*

Falls ​     lim ​  an = a und ​ lim      ​  bn = b,  so gilt: n → ∞

n → ∞

n → ∞

spezielle Grenzwerte

n → ∞

n → ∞ n

1 ​     lim ​ ​ }   ​ = 0 ​ lim      ​ ​ √ }  n ​ = 1 ​ lim      ​ ​​ 1 + } ​ n1  ​  ​​ ​= e  (e eulersche Zahl) n n

n → ∞

n → ∞

n → ∞

0 für |k| < 1 an ​     lim ​ ​ }  ​ = 0 ​     lim ​  k n = n! n → ∞ n → ∞ 1 für k = 1

(

)

n

(Für |k| > 1 divergiert die Folge.)

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grenzwert für x → x0

Eine Zahl g heißt Grenzwert der Funktion f für x gegen x0, wenn es zu jeder vor­ gegebenen positiven Zahl ε eine Zahl δ > 0 gibt, sodass |f (x) – g| < ε für alle x mit |x – x0| < δ und x ≠ x0. (Das heißt: Die Funktionswerte aller x, deren Abstand von x0 kleiner als δ ist, unterscheiden sich von g um weniger als ε.) Schreibweise: ​     lim ​  f (x) = g x → x0

Grenzwert für x → ∞

Eine Zahl g heißt Grenzwert von f für x → + ∞ (oder – ∞), wenn es zu jeder vorgege­ benen positiven Zahl ε eine Stelle x1 gibt, sodass |f (x) – g| < ε für alle x > x1 (x  0) x x x → 0

x → 1

x → 0

n

log x

​     lim ​ } ​  tan x  ​    = 1 ​ lim      ​} ​ x x ​ = 0 ​ lim      ​} ​  na  ​    = 0  (a > 0; n > 0) x e  x  x → 0

Stetigkeit

x → ∞

x → ∞

Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 ∈Df stetig, wenn der Grenzwert von f an der Stelle x0 existiert und mit dem Funktionswert f (x0) übereinstimmt. Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Zwischenwertsatz

Ist f eine in [a; b] stetige Funktion mit f (a) ≠ f (b), dann nimmt f in diesem Intervall jeden Wert zwischen f (a) und f (b) mindestens einmal an.

Ma

a

n ​  lim ​  (an ± bn) = a ± b ​         lim ​  (an bn) = ab ​     lim ​ ​ }   ​ = } ​ ba  ​ (bn ≠ 0; b ≠ 0) b

34

Mathematik

Differenzialrechnung

Ma

Grundbegriffe Differenzenquotient von f mit y = f (x)

f Funktion;  x0, x0 + h ∈Df y

f (x  + h) – f (x )

0 0 d(h) = }} ​     ​  bzw.   h

f(x 0 + h)

f (x  + Δx) – f (x )

Δy 0 ​ }  ​ = }}    ​  0 Δx ​   Δx

Differenzialquotient (1. Ableitung) von f an der Stelle x0

f(x 0)

f (x  + h) – f (x )

0 0 ​     lim ​ }} ​     ​   = f  '(x0) h

P ∆y

P0

f

h = ∆x

O

x0

y

P0

x0 + h

x

f

h → 0

α

f '(x0) = tan α

x0

O

Existiert f '(x0), so heißt f differenzierbar an der Stelle x0. 1. Ableitung von f (Ableitungsfunktion)

dy y ' = f '(x) =     ​ lim ​ }} ​ f (x + h) – f (x)  ​     bzw.  ​      ​ =     ​  lim ​ } ​  Δy  ​  } h dx Δx

höhere Ableitungen

y '' = [f '(x)]' = f ''(x) = } ​ d y2  ​

x

Δx → 0

h → 0

2

(2. Ableitung); …

dx 

n

y (n) = [f(n – 1)(x)]' = f (n)(x) = } ​ d yn ​  (n-te Ableitung) dx

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen f (x)

f '(x)

f "(x)

f (x)

f '(x)

f "(x)

a = const.

0

0

sin x

cos x

– sin x

xn

nx n – 1

n (n – 1)x n – 2

cos x

– sin x

– cos x

​√}  x ​ 

1 ​ } }   ​ 

1 – ​ }  } ​ 

tan x

a x

a x ln a

a x (ln a)2

loga x

1 ​ }    ​  x · ln a

e x

e x

e x

ln x

​ 1x ​  }

2​√ x ​ 

4x ​√ x ​ 

Differenziationsregeln

1 ​ }    ​ = 1 + tan2x 2tan x (1 + tan2x) 2 cos x

–1 ​ }    ​  2 x   · ln a 1 – ​ }   ​  2 x 

f, g, u = u(x), v = v(x) differenzierbar; c ∈R

Faktorregel

y = c · u

⇒  y ' = c · u '

Produktregel

y = u · v  ⇒  y ' = u ' · v + u · v '

Summenregel

y = u ± v

⇒  y ' = u ' ± v '

Quotientenregel

v ' y=} ​ uv ​  (mit v ≠ 0)  ⇒  y '= } ​  u 'v – u   ​     2

Kettenregel

dy du y = f [g (x)] bzw. y = f (u) mit u = g(x)  ⇒  y '= f '(u) · g'(x) bzw. y ' = } ​ dy  ​ = } ​ du   ​ · ​ }  ​  dx dx

Differenziation der Umkehrfunktion

1 x = g(y)  Umkehrfunktion von  y = f (x)  ⇒  g '(y) = } ​ f '(x)    ​ 

v 

Anwendungen der Differenzialrechnung

35

Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvenuntersuchungen y = t(x) = f '(x0) (x – x0) + f(x0)

Ma

Tangentengleichung

f  mindestens zweimal differenzierbar y t

P0

f

x

x0

O

f '(x) > 0 für alle x ∈[a; b]  ⇒  f ist in [a; b] streng monoton wachsend.

Monotonieverhalten

f '(x) < 0 für alle x ∈[a; b]  ⇒  f ist in [a; b] streng monoton fallend. Konvex- bzw. Konkavbögen

f ''(x) > 0 für alle x ∈[a; b], also f ' in [a; b] ­monoton wachsend. ⇒ Graph von f ist linksgekrümmt bzw. (von unten gesehen) konvex. (1) f ''(x) < 0 für alle x ∈[a; b], also f ' in [a; b] monoton fallend. ⇒ Graph von f ist rechtsgekrümmt bzw. (von unten gesehen) konkav. (2)

y (2)

f (1)

O

x

Verhalten der Funktion an speziellen Stellen (bzw. ihres Graphen in speziellen Punkten) y

H (xH ; f (xH )) Hochpunkt (lokaler Maximumpunkt)

H

T (xT ; f (xT)) Tiefpunkt (lokaler Minimumpunkt)

f f (xH )



f (xW ) O

xH

xW

W (xW ; f (xW )) Wendepunkt

S

W xT

f (xS) xS

S (xS ; f (xS))  Sattelpunkt (Horizontalwendepunkt) x

f (xT)

T notwendige Bedingung hinreichende Bedingung f (xH) ist ein lokales Maximum; xH ist eine lokale ­Maximumstelle von f

f '(xH ) = 0

f '(xH) = 0 und f ''(xH) < 0  bzw. f '(xH) = 0 und f '(x) wechselt beim Durchgang durch xH mit wachsendem x das Vorzeichen von plus zu minus.

f (xT) ist ein lokales Minimum; xT ist eine lokale ­Minimumstelle von f

f '(xT) = 0

f '(xT) = 0 und f ''(xT) > 0 bzw. f '(xT) = 0 und f '(x) wechselt beim Durchgang durch xT mit wachsendem x das Vorzeichen von minus zu plus.

x W ist eine Wende­ stelle von f

f ''(x W ) = 0

f ''(xW ) = 0 und f '''(xW ) ≠ 0

S ist ein Sattelpunkt von f

f '(xS ) = 0 f ''(xS) = 0

f '(xS) = 0 und f ''(xS) = 0 und f '''(xS) ≠ 0

36

Mathematik

Ma

Näherungsweises Bestimmen von Nullstellen stetiger Funktionen Sekanten­ näherungsverfahren (regula falsi)

Aus zwei Näherungswerten x1 und x2 für die gesuchte Nullstelle x0 von f mit f (x1) < 0 und f (x2) > 0 (oder umgekehrt) bestimmt man einen genaueren Näherungswert x3 mit

y

f f (x 2)

x –x

2 1 x3 = x1 – ​ }   ​   ·  f (x1). f (x ) –f (x ) 2

1

Das Verfahren wird mit x1 und x3 (bzw. x2 und x3) fortgesetzt.

Tangenten­ näherungsverfahren (newtonsches ­Näherungsverfahren)

Aus einem (hinreichend guten) Näherungswert x1 für die gesuchte Nullstelle x0 bestimmt man einen (i. Allg. genaueren) Näherungswert x2

x1

x3

x2

x4 x0

O

x

f(x 1)

y

f

f (x )

1 mit  x2 = x1 – ​ }    ​   . f '(x ) 1

Das Verfahren wird unter Verwendung von x2 fortgesetzt.

x1 x0 O f (x ) 1

x2

x

Bedingung: f '(xi) ≠ 0 und f '(x0) ≠ 0 sowie } ​ f (x) · f ''(x)  ​    0) ​ ​ ​ ​ }   2dx 2 ​​  =} ​ 1a ​  arctan ​ }ax  ​ + C (a ≠ 0)

E E

​ ​  cot    x​ dx = ln |sin x| + C mit x ≠ k π, k ∈Z

Integrationsregeln

E

E

Faktorregel

​ ​  a · u(x)​    dx = a ​ ​  u(x)​    dx (a = const.)

Summenregel (Linearität)

​ ​  [u(x)   ± v (x)]​  dx = ​ ​  u(x)​    dx ± ​ ​  v (x)​    dx

Substitutionsregel

​ ​  f [g(x)] · g'(x)​    dx = f (u) du (mit u = g(x) und du = g'(x) dx)

E

E

E

E

E

Spezialfall: ​​ ​ ​ }  f '(x)  ​​  dx = ln |f (x)| + C (für f (x) ≠ 0 für alle x) f (x) Regel für partielle Integration

E

E

​ ​  u'(x) · v (x) ​   dx = u (x) · v (x) – ​ ​  u​   (x) · v '(x) dx

E

E

kurz: ​​  u 'v​    dx = uv – ​ ​  uv '​    dx

Ma

Grundbegriffe

38

Mathematik

Anwendungen der Integralrechnung

Ma

Flächenberechnung Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse

f in [a; b] stetig

f (x) ≥ 0 für alle x ∈[a; b]

f (x) ≤ 0 für alle x ∈[a; b]

y

f

E

A = ​ ​  f   (x)​  dx a

A O

a

y

b



b

a

E

A = |​ ​  f   (x)​  dx |

b

a

O

x b A = – ​ ​  f   (x)​  dx

E

b x

a

f

f (x) besitzt in [a; b] Nullstellen y

f



x1 x2 O a

Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

xn – 2

xn – 1 b x

x1

x2

E

b

E

E

x1

xn – 1

A = |​ ​   ​f (x)​  dx | + |​  ​f​   (x)​  dx | + … + | ​ ​    f (x)​  ​  dx | a

f (x) ≥ g(x) für alle x ∈[a; b] y

b

E

A = ​ ​   [f (x) – g(x)]​  dx



a A g (unabhängig davon, ob f oder g in [a; b] b a O x eine Nullstelle besitzt) f

Graphen von f und g schneiden einander in [a; b] x1 b y A = ​ ​   ​[f (x) – g(x)]​  dx + ​ ​   ​ [g(x) – f (x)]​  dx

E

E

a

x1

Allgemein: x1 b f A = |​ ​    [ ​ f (x) – g(x)]​  dx| + |​ ​   ​ [f (x) – g(x)]​  dx | g a x1 O a x1 b x

E

E

Näherungsweises Berechnen bestimmter Integrale b

E

Für die näherungsweise Berechnung des bestimmten Integrals ​ ​  f   (x)​  dx  (und der entsprechenden Flächena

inhalte) wird das Intervall [a; b] in n Teile der Länge d = } ​ b – a  ​      zerlegt. n Die Teilpunkte sind dann x0 = a, x1 = a + d, x2 = a + 2d, …, xn – 1 = a + (n – 1)d, xn = a + nd = b. Rechteck­ formel

Die Fläche A wird durch Rechtecke mit der Fläche Ai = d · f (xi) = d · yi  (i = 0, 1, …, (n – 1)) angenähert.

y f

b

E

A = ​ ​  f   (x)​  dx ≈ d · (y0 + y1 + … + yn – 1)

y0

a

O

d a

y1 d

yn – 3 d

yn – 2 d

yn – 1

yn

d b x

Anwendungen der Integralrechnung

Die Fläche A wird durch Trapeze mit der Fläche

y

y  + y

i + 1 Ai = } ​  i 2 ​     d (i = 0, 1, …, (n – 1))

f

angenähert. b

y0

E

A = ​ ​  f   (x)​  dx ≈ } ​ d2 ​  (y0 + 2y1 + 2y2 + … + 2yn – 1 + yn) a

Parabelformel (simpsonsche Regel)

y2

y1 d

O

d

y3

yn – 2

d

yn – 1

d

yn

d

a

b

x

Die zu berechnende Fläche wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert. Man teilt [a; b] in n Intervalle und legt durch jeweils drei aufeinander folgende Punkte (xi – 1; yi – 1), (xi ; yi ) und (xi + 1; yi + 1) mit i = 1, …, (n – 1) einen Parabelbogen. b

E

A = ​ ​  f   (x)​  dx ≈ } ​ d3 ​  [(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + … + (yn – 2 + 4yn – 1 + yn )]  bzw. a

b

E

d A = ​ ​  f   (x)​  dx ≈ ​ }  ​  (y + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + … + 2yn – 2 + 4yn – 1 + yn) (n gerade) 3 0 a

keplersche Fassregel

Man verwendet für die Bestimmung der ­Näherungsparabel nur die Punkte (a; f (a)),

y

f

(xm; f (xm)) und (b; f (b)) mit xm = } ​ 12 ​  (a + b). b

f(a)

E

b – a A = ​ ​  f   (x)​  dx ≈ ​ }  ​    (f (a) + 4f (xm) + f (b)) 6 a

O

f(b) xm b

a

x

Bogenlänge ebener Kurven b

E}

Für a ≤ x ≤ b hat der entsprechende Abschnitt des Graphen von f die Bogenlänge  s = ​ ​ ​ ​√    1 + [f '(x)]2 ​​   dx. a

Berechnung von Rotationskörpern

f in [a; b] stetig und streng monoton

Rotiert das Flächenstück, das zwischen dem Graphen der Funktion y = f (x) für a ≤ x ≤ b, den Parallelen zur y-Achse durch x1 = a und x2 = b und der x-Achse liegt, um die x-Achse, so gilt für Volumen Vx bzw. Mantel­ fläche Mx des entstehenden Rotationskörpers: b

b

E

d

E

E }

c

b

}

E

Mx = 2π ​ ​  y   ​√ 1 + y '2 ​​   dx = 2π ​ ​  f   (x) ​√ 1 + [f '(x)]2 ​​   dx a

b

E

E

Vy = π ​ ​  x   2​  dy = π ​ ​   [g(y )]2​  dy = |π ​ ​  x   2 f '(x)​  dx|

a

b

d

E

Vx = π ​ ​  y   2​  dx = π ​ ​   [f (x)]2​  dx a

x = g (y ) für c ≤ y ≤ d (mit c = f (a) und d = f (b)), den Parallelen zur x-Achse durch y1 = c und y2 = d und der y-Achse liegt, um die y-Achse, so gilt für Volumen Vy bzw. Mantelfläche My des entstehenden Rotationskörpers:

a

y

c

a

d

d

E }

E

}}

My = 2π ​ ​  x   ​√ 1 + x '2 ​​   dy = 2π ​ ​  g   (y) ​√ 1 + [g '(y )]2 ​​   dy c

c

y

f

g

d O

a

b

x

c O

a

b

x

Ma

Trapezformel (Sekanten­ formel)

39

40

Mathematik

Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)

Ma

Koordinatensysteme kartesisches Koordinatensystem

Polarkoordinaten­ system

y

x1, y1 Koordinaten von P1 x1 Abszisse y1 Ordinate O Koordinatenursprung

O

P1(x1; y 1)

x1

1

y1

1

r1, φ1 Polarkoordinaten von P1 r1 Radius φ1 Polarwinkel (Phase, Anomalie)

x P1(r1; φ 1)

r1 φ1 O

Koordinatentransformationen

}

r=√ ​  x 2 + y 2 ​ 

Transformation von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (und umgekehrt)

x = r · cos φ

sin  φ = ​ }    ​  }

O

Parallelverschiebung (Translation) eines kartesischen Koordinatensystems

x, y Koordinaten von P im ursprünglichen System x ', y ' Koordinaten von P im neuen System

y

Drehung (Rotation) eines kartesischen Koordinatensystems um den Winkel φ

y

y = r · sin φ cos  φ = ​ }    ​  } ​√ x 2 + y 2 ​  y ​√ x 2 + y 2 ​ 

x = x ' + c y = y ' + d

φ

x

y x

y' P x' O' d

x ' = x – c y ' = y – d

O

x, y Koordinaten von P im ursprünglichen System x', y ' Koordinaten von P im neuen System O = O ' x = x ' · cos φ – y ' · sin φ y = x ' · sin φ + y ' · cos φ

P

r

x

y'

x

c y

P x'

φ

x ' = x · cos φ + y · sin φ y ' = –x · sin φ + y · cos φ

x

O

Strecken; Dreiecke Länge s einer Strecke

 } 

Anstieg m einer Strecke m = tan α = Mittelpunkt M einer Strecke

}}

y

2 2 s=P ​ 1P2  ​  =√ ​  (x    2 – x1)  + (y2 – y1)  ​

x  + x

x M = } ​  1 2 ​ 2   

y1 y  + y

2 yM = } ​  1 2 ​    

}›

 

y2 – y1

α x2 – x1

x1

O

x2

x

}›

Für einen Teilpunkt T mit P ​   1T ​  = λ ​ TP   2 ​  gilt:

Flächeninhalt A eines Dreiecks (b S. 27)

Für ein Dreieck mit den Eckpunkten P1, P2 und P3

Schwerpunkt S eines Dreiecks

P1

 

Teilung (Teilpunkt T ) einer Strecke

x  + λx

P2

y2

y  – y ​ x2 – x1 ​  } 2 1

y  + λy

2 xT = } ​  11 + λ ​   ;   yT = } ​  11 + λ ​ 2    (λ Teilverhältnis mit λ ∈R und λ ≠ –1)

y

P3

gilt:  A = } ​ 12 ​  |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|

A xS =

x  + x  + x3 ​  1 32 ​;     }

yS =

y  + y  + y3 ​  1 32 ​     }

P1 O

P2 x

Ebene Koordinatengeometrie (Analytische Geometrie der Ebene)

Geraden

m, n ∈R;  A, B, C ∈R y – y0 = m (x – x0)

m = tan α (α ≠ 90°)

y

g

P0

Gerade durch P0 (x0; y0) mit dem Anstieg m

α

O Zweipunktegleichung

y – y1 =

y  – y ​ x2 – x1 ​   (x } 2 1

y y2

– x1)

y  – y

m = tan α = } ​ x2 – x1 ​   2

x

(x2 ≠ x1)

1

P1

y1

x2 – x1

y = mx + n m = tan α (α ≠ 90°) Gerade mit dem Anstieg m, die die y-Achse in Sy(0; n) schneidet

Achsenabschnitts­ gleichung

y2 – y1

α

Gerade durch P1(x1; y1) und P2(x2; y2)

kartesische Normalform (der Geradengleichung)

g

P2

​ }ax  ​ + } ​ by  ​ = 1

O

x1

y Sy

g

x2

x

n

α O

x

y

g

b

Gerade, die die Achsen in Sx(a; 0) bzw. Sy(0; b) schneidet

O

x

a

allgemeine Form (der Geradengleichung)

Ax + By + C = 0 (A2 + B 2 > 0) A = 0  ⇒  g parallel zur x-Achse B = 0  ⇒  g parallel zur y-Achse

hessesche Normal(en)form (der Geradengleichung)

x · cos φ + y · sin φ – p = 0 p Abstand der Geraden vom Ursprung O φ Winkel zwischen positiver x -Achse und Lot p

y g

P1

A B – C cos φ = ​ }   2 ​;    sin  φ = } ​  }   2 ​;    p=} ​  }  2 ​  } 2 2 2 ​√ A  + B   ​ 

Abstand des Punktes P1 von der Geraden g Lagebeziehung zweier Geraden

​√ A  + B   ​ 

p φ

​√ A  + B   ​ 

|Ax  + By  + C|

1 d = |x1 · cos φ + y1 · sin φ – p | = }}    ​  1}  ​   2 2

O

g1:  y = m1x + n1

g2:  y = m2x + n2

y

Schnittwinkel ψ : tan ψ =

m2 – m1 ​ 1 + m    ​   } 1m2

​√ A  + B   ​ 

m1 = m2

(ψ ≠ 90°)

x g2

O

x

Kreis

r > 0;  c, d, r ∈R

Kreisgleichung (allgemeine Lage)

Kreis mit Mittelpunkt M (c; d ) und Radius r : (x – c )2 + (y – d )2 = r 2

Mittelpunktsgleichung

Kreis mit Mittelpunkt M (0; 0) und Radius r: x 2 + y 2 = r 2

Tangente im Punkt P1

(x – c )(x1 – c) + (y – d )(y1 – d ) = r 2 x x1 + y y1 = r 2

Normale im Punkt P1

g1

ψ

S

⇒  g1 || g2

1 m1 = – ​ }   ​   ⇒  g1 ⊥ g2 (m2 ≠ 0) m2

d

y – y1 =

y  – d ​ x1  – c ​     · (x } 1

y – y1 =

y ​ x1 ​  · (x } 1

– x1)

– x1)

M (c; d ) M (0; 0) M (c; d ) M (0; 0)

y

t M

O

n P1

x

Ma

Punktrichtungsgleichung

41

42

Mathematik

Ma

Kegelschnitte

a, b, c, d, p ∈R;  a, b > 0

Wird ein doppelter Kreiskegel mit einer Ebene zum Schnitt gebracht, so werden die Schnittflächen von Kurven berandet, die man als ­Kegelschnitte bezeichnet.

α α

Abhängig vom Verhältnis des Schnittwinkels α, den die Schnittebene mit der Kegelachse einschließt, zum (halben) Öffnungswinkel φ des Kegels ist die entstehende Kurve eine Ellipse (α > φ), eine Parabel (α = φ) oder eine Hyperbel (α < φ). Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse (α = 90°). Beim Schnitt durch S entstehen entartete Kegelschnitte (Geradenpaar bzw. Punkt)

(E)

φ (P)

S (H) α

Kegelschnitte im Koordinatensystem (Mittelpunkts- bzw. Scheitelpunktslage) Ellipse

Hyperbel

Parabel

y P

a

M

b

P

e

b

e F1

y

y L

P

p

e e a

F2

x

F1

M a

b a F2

S

x

F

p 2

x

l  } 

 } 

 } 

Es gilt: ​PF   1  ​ + PF ​  2  ​ = 2a

 } 

 } 

Es gilt:  |​PF   1  ​ – PF ​  2  ​  | = 2a

 } 

Es gilt: ​PF ​     = PL ​ ​    

Begriff

Ellipse Hyperbel (a große Halbachse; b kleine Halbachse)

Mittelpunktsgleichung bzw. Scheitelgleichung

x  ​ }  ​ + } ​ y 2 ​ = 1  M(0; 0) 2

lineare Exzentrizität

e = ​√ a2 – b2 ​ 

e=√ ​  a2 + b2 ​ 

–

Brennpunkt(e)

F1; 2 (± e; 0)

F1; 2 (± e; 0)

p F  ​  ​ }  ​ ; 0 ​  2

Tangente in P1

1 1 ​ }  ​ + ​ }  ​  = 1 2 2

x x

y y

a

b

y y1 = p (x + x1)

Normale durch P1

y – y1 = } ​  2 1   ​  (x – x1)

1 y – y1 = – ​ }    ​  (x – x1) 2

1 y – y1 = – ​ }  ​  (x – x1) p

Asymptoten

–

​ }ax  ​ ± } ​ by  ​ = 0

–

achsenparallele Lage M(c; d ) bzw. S(c; d )

(x – c) ​ }  ​   + } ​ (y – d )  ​   = 1 2 2

2

a

2

b

}

x x

y y

a

b

a2y

2

2

b

a

2

b

}

a2y

b x1

2

2

​  (x – c)  ​   – } ​ (y – d )  ​   = 1 } 2 2 a

b

y 2 = 2px  S(0; 0)

(

1 ​  21 ​ – ​ }  ​  = 1 } 2

b x1

a

2

x  ​ }  ​ – } ​ y 2 ​ = 1  M(0; 0) 2

Parabel (p Halbparameter)

)

p Leitlinie l:  x = – ​ }  ​  2

y

(y – d )2 = 2p(x – c)

Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes

43

Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes

Eine nichtleere Menge V heißt (reeller) Vektorraum, wenn für ihre Elemente (die Vektoren) eine Addition sowie eine Vielfachbildung (Multiplikation mit reellen Zahlen, sog. skalare Multiplikation) so definiert sind, dass für alle a, b, c ∈V und alle r, s ∈R die folgenden Gesetze gelten: (1) a + b = b + a (2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (3) Es gibt ein Element o ∈V, sodass für alle a ∈V gilt: a+o=a (4) Zu jedem a ∈V gibt es in V ein Element – a mit a + (– a ) = o. (5) r (s a ) = (r s ) a (7) (r + s ) a = r a + s a (6) r (a + b ) = r a + r b (8) 1 a = a

(Kommutativgesetz der Addition) (Assoziativgesetz der Addition) (Existenz eines Nullelements) (Existenz eines entgegengesetzten Elements) (Rechengesetze der Vielfachbildung)

Die Menge der Verschiebungen einer Ebene bzw. des Raumes bildet ­einen Vektorraum. Die zu einer Verschiebung gehörende Menge (Äquivalenzklasse) gleich a langer, zueinander paralleler und gleich orientierter Pfeile wird als Schubvektor bzw. geometrischer Vektor bezeichnet. Jeder Pfeil der Menge ist A ein Repräsentant des Vektors. Ein (Schub-)Vektor ist eine durch Betrag (Länge), Richtung und Orientie­ rung (Durchlaufsinn) gekennzeichnete Größe (vereinfachter Vektorbegriff).

}

  ›

B

D Q

a C

a P

}›

 

}›

 

}›

 

a = AB ​ ​     = CD ​ ​     = PQ ​ ​     

Nullvektor o ​ ​      

Vektor mit dem Betrag 0 und unbestimmter Richtung (identische Abbildung in der Menge der Verschiebungen)

Einheitsvektor

Vektor mit dem Betrag 1

entgegengesetzter   › } Vektor von a ​ ​     

Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung, aber entgegengesetzter ­Orientierung wie a

Linearkombination; Basis Linearkombination

Ein Vektor b heißt Linearkombination der Vektoren a1, a2, …, an , wenn es reelle Zahlen r1, r2, …, rn gibt, sodass gilt:  b = r1a1 + r2a2 + … + rnan

lineare ­Unabhängigkeit

Die Vektoren a1, a2, …, an heißen linear unabhängig genau dann, wenn die Gleichung r1a1 + r2a2 + … + rnan = o (ri ∈R) nur für r1 = r2 = … = rn = 0 lösbar ist (d. h., wenn sich keiner der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstel­ len lässt). Anderenfalls heißen die Vektoren a1, a2, …, an linear abhängig.

lineare Abhängigkeit

} ​}› ​›

}

​›

Basis {​​a ​ ​1  ​, a ​ ​​  ​2  ​, …  , a ​ ​​  ​n  ​}

Dimension

Koordinatensystem ​› ​› } ​}​​ › ​  ​, …  , a ​ }​​  ​  ​) (O; a ​ ​​  1​  ​, a ​ 2 n

Die Vektoren a1, a2, …, an heißen Basis des Vektorraumes V genau dann, wenn sie linear unabhängig sind und jeder Vektor x ∈V als Linearkombination dieser Vektoren darstellbar ist, d. h., wenn gilt: x = r1a1 + r2a2 + … + rnan (ri ∈R) Die reellen Zahlen r1, r2, …, rn werden die Koordinaten und die Vektoren r1a1, r2a2 , …, rnan die Komponenten von x bezüglich der Basis {a1, a2, …, an} genannt. Die Anzahl der Vektoren einer Basis (d. h. die maximale Anzahl linear unabhän­ giger Vektoren) des Vektorraumes V nennt man dessen Dimension. Der euklidische Anschauungsraum ist dreidimensional; jedes Tripel linear unabhängiger Vektoren bildet eine Basis. Ein Punkt O sowie eine Basis {a1, a2, …, an} legen ein Koordinatensystem fest.

Ma

Begriff des Vektors

44

Mathematik

Ma

Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Begriff des kartesischen Koordinatensystems

Ein Koordinatensystem (O; i ; j ; k ) heißt kartesisches (orthonormiertes) Koordinaten­ system genau dann, wenn gilt:

z P1(x1; y1; z1)

|i | = | j | = |k | = 1 \ (i , j ) = \ ( j , k ) = \ (k , i ) = 90°

k

i , j und k bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel). Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung   › } eines Vektors a ​ ​     

}

()

j

x

Koordinaten von a

ax, ay, az

az

}›

 

p1 = OP ​   1 ​  = x1i + y1j + z1k

( )

x2 – x1    }› y2 – y1  P ​   1P2 ​  = p2 – p1 = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j + (z2 – z1) k = ​​     ​   ​

Vektor durch zwei Punkte P1 und P2

 

z2 – z1

} Betrag eines Vektors a ​ ​     

}} 2 |a| = a = ​  a     + a 2 + a 2 ​

Länge einer Strecke s

}› ​ }}} s=P ​ 1P2  ​  = |​ P 1P2 ​ |  = √      (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 ​

  ›

√

 } 

x

y

z

 

Operationen mit Vektoren Addition

ai, bk ∈R

( )

ax + bx    a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k = ​   ​ ay + by ​   ​ az + bz

Subtraktion

y

O

ax i , ay j , az k Komponenten von a

ax   a = ax i + ay j + az k = ​  ​ ay ​   ​= (ax; ay; az)

​›

Ortsvektor p ​ ​​  ​ 1​ eines Punktes P1(x1; y1; z1)

i

b b–a a+b

a – b = a + (– b ) a

b – a = b + (– a )

( ) ()

Vielfachbildung (Multiplikation mit einem Skalar)

r ax ax     r ay ​  r a = r ax i + r ay j + r az k = ​​     ​= r ​   ​ ay ​   ​

Skalarprodukt (Punktprodukt; inneres Produkt)

Unter dem Skalarprodukt a · b zweier Vektoren a und b versteht man eine reelle Zahl c, für die gilt:

r az

(r ∈R)

az

a · b = |a | |b | cos \ (a, b )  bzw.  c = ab cos γ mit γ = \ (a, b ) Für die Einheitsvektoren i , j und k gilt: i · i = j · j = k · k = 1 i · j = i · k = j · k = 0 Eigenschaften des Skalarprodukts: a · b = b · a a · (b + c ) = a · b + a · c r (a · b) = (r a ) · b = a · (r b ) a ⊥ b  ⇒  a · b = 0

(Kommutativgesetz) (Distributivgesetz) (Multiplikation mit einer reellen Zahl r)

Berechnung des Skalarprodukts mithilfe der Koordinaten der Vektoren a und b: a · b = axbx + ayby + az bz Winkel zwischen Vektoren

axbx + ay by + az bz

cos \(a, b ) = } ​  a · b  ​  =    ​     }}} }} }} ​ |a | |b |

2 2 2 ​√ a    ​     bx2 + by2 + bz2 ​ x  + ay  + az  ​ √

Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes

Vektorprodukt (Kreuzprodukt; äußeres Produkt)

Unter dem Vektorprodukt a × b zweier Vektoren a und b versteht man einen Vektor c mit folgenden Eigenschaften: (1) |c | = |a || b| sin \ (a, b ) bzw. c = a b sin γ  mit  γ = \ (a, b ) (3)  a, b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (falls a und b linear unabhängig).

a×b

Das Vektorprodukt ist dem Betrage nach gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

b γ

Ma

(2) c ⊥ a und c ⊥ b

a

Für die Einheitsvektoren i, j und k gilt: i×i=j×j=k×k=o i × j = k;  i × k = – j;  j × k = i

b×a

Eigenschaften des Vektorprodukts: a × b = – (b × a ) (Alternativgesetz) a × (b + c ) = a × b + a × c (Distributivgesetz) r (a × b ) = (r a) × b = a × (r b ) (Multiplikation mit einer reellen Zahl r) a, b kollinear  ⇒  a × b = o Berechnung des Vektorprodukts mithilfe der Koordinaten von a und b (Komponenten- bzw. Koordinatendarstellung von a × b):

|

(

|

)

i   j   k aybz – azby       ax   ​ ​   ay   ​ ​   az   ​   ​= (aybz – azby) i + (azbx – axbz) j + (axby – aybx) k = ​    a × b = ​ ​   ​ azbx – axbz ​   ​

Flächeninhalte

bx by bz

axby – aybx

Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms ABCD: A = |a × b | = ab sin γ D C Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecks ABD: b A=} ​ 21 ​  |a × b | = } ​ 12 ​  ab sin γ γ a

A

B

Weitere Produkte von Vektoren Spatprodukt

|

|

ax   ay   az   bx ​  ​   by ​  ​   bz ​    ​= (ay bz – az by) cx + (az bx – ax bz) cy + (ax by – ay bx) cz (a × b ) · c = a · (b × c ) = ​ ​   cx

cy cz

Das Spatprodukt ist eine reelle Zahl. Sind die Vektoren a, b und c komplanar, so ist es gleich null. Volumen eines Spates

Das Spatprodukt ist dem Betrage nach gleich dem Volumen des von a, b und c aufgespannten Spates (Parallelepipeds). Für dessen Volumen gilt: V = |(a × b ) · c|

doppeltes ­Vektorprodukt

45

c

b a

a × (b × c) = (a · c ) b – (a · b ) c Das doppelte Vektorprodukt ergibt einen Vektor, der in der Ebene der Vektoren b und c liegt.

46

Mathematik

Geraden Punktrichtungsgleichung

ai, bk, t ∈R z

Gerade durch den Punkt P0 mit dem Richtungs­ vektor a:

Ma

a

g p0

Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten (im Raum bzw. in der xy-Ebene):

() ( ) ( )

x0 ax  x     x x a    ​ ​  y ​   ​= ​  ​  y0 ​   ​ + t ​   ​ ay ​   ​ bzw. ​ ​ y ​   ​= ​    ​  y0 ​   ​ + t ​     ​  ax ​   ​ z

Zweipunkte­ gleichung

z0

() ( ) ( ) 0

az

y

x z

Gerade durch die Punkte P1 und P2:

}›  }› x = OP ​   1 ​  + t ​ P  1P2 ​  = p1 + t (p2 – p1) (t Parameter)  

g

X

() ( ) ( ) z

() ( ) ( 1

z2 – z1

z1

2

1

P1

x

x1 x2 – x1  x      x x1 x2 – x1    ​ ​  y ​   ​= ​  ​  y1 ​   ​ + t ​    ​ y2 – y1 ​   ​ bzw. ​ ​  y ​   ​= ​​      ​   ​ + t ​ ​            ​   ​ y y  – y

p1

)

p2 – p1 P2 p2 y

O

x

In der xy-Ebene gilt: (x – p0) · n 0 = 0  mit  n 0 = } ​  n  ​   |n |

(P0 ∈g; n ⊥ g)

n Normalenvektor der Geraden g

n 0 Normaleneinheitsvektor

Ebenen Punktrichtungsgleichung

x

O

y

Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten (im Raum bzw. in der xy-Ebene):

hessesche Normal(en)form (der Geraden­ gleichung)

X

P0

}›

 

x = OP ​   0 ​  + t a = p0 + t a (t Parameter)

ai , bk, r, s, A, B, C, D ∈R Ebene durch den Punkt P0 und mit den Richtungs­ vektoren a und b:

}›

 

P0

x = OP ​   0 ​  + r a + s b = p0 + r a + s b (r, s Parameter)

a

Schreibweise unter Verwendung von Koordinaten:

() ( ) ( ) ( ) z0

az

bz

O

Dreipunktegleichung

Ebene durch die Punkte P1, P2 und P3:

allgemeine Form (der Ebenengleichung)

Parameterfreie Darstellung (Koordinatendarstellung):

hessesche Normal(en)form (der Ebenen­ gleichung)

(x – p0) · n 0 = 0  mit n 0 = } ​  n  ​;   P0 ∈ε |n |

}›

 

x

p0

x0 ax bx  x       ​ ​  y ​   ​= ​  ​  y0 ​   ​ + r ​   ​  ay ​   ​ + s ​   ​  by ​   ​ z

}›

 

ε

X

b

}›

 

x = OP ​   1 ​  + r  ​ P  1P2 ​  + s ​ P 1P3 ​  = p1 + r (p2 – p1) + s (p3 – p1) (r, s Parameter)

Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C, D ∈R;  A2 + B 2 + C 2 > 0) z n

n Normalenvektor der Ebene ε n 0 Normaleneinheitsvektor



P0

Koordinatendarstellung:    ​ Ax + By + Cz + D    }} }} ​= 0

p0

​√    A 2 + B 2 + C 2 ​

n=

()

A   ​  ​  B ​   ​ C

x

O

x–

ε

p0 X

x y

Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes

Lagebeziehungen

ai , bk , r, t ∈R

Für Geraden g und h mit g:  x = p0 + t a und h:  x = p1 + r b gibt es folgende Lagebeziehungen:

z

b

0

g P1 h

p1 x

y

O

Die Koordinaten des Schnittpunktes S lassen sich folgendermaßen berechnen:

() () () () ()

xS x0 ax x1 bx           yS ​   ​= ​​   y0 ​   ​ + tS ​ ​   ay ​   ​= ​​   y1 ​   ​ + rS ​ ​   by ​   ​ ​ ​   zS

Schnittwinkel φ (0 ≤ φ ≤ 90°)

p1 – p

p0

2. g und h sind zueinander windschief genau dann, wenn die Vektoren a, b und p1 – p0 linear unabhängig sind. Schnittpunkt zweier Geraden

a

P0

1. g und h liegen in einer Ebene genau dann, wenn die Vektoren a, b und p1 – p0 linear abhängig sind a)  g und h sind zueinander parallel (a und b linear abhängig) b)  g und h schneiden einander in genau einem Punkt S (a und b linear unabhängig)

z0

az

z1

bz

Winkel zwischen (einander schneidenden) Geraden g und h: cos φ = } ​ |a · b |   ​   |a ||b |

(a , b  Richtungsvektoren von g, h)

Winkel zwischen Gerade g und Ebene ε: sin φ = } ​ |a · n |   ​  |a ||n |

(a Richtungsvektor von g; n Normalenvektor von ε)

Winkel zwischen Ebenen ε1 und ε2: cos φ = } ​ |m · n |   ​   |m ||n |

Abstände

(m, n Normalenvektoren von ε1, ε2)

Abstand eines Punktes P1 von einer Geraden g (in der Ebene) bzw. Ebene ε: d = |(p1 – p0) · n 0|

(mit (x – p0) · n 0 = 0  hessesche Normalenform von g bzw. ε)

Abstand windschiefer Geraden g, h: d = |(p0 – q0) · n 0| (P0 ∈g, Q0 ∈h;  n 0 Normaleneinheitsvektor von g und h)

Kugel (und Kreis) Gleichung (allgemeine Lage)

c, d, e, r ∈R; r > 0

Kugel mit Mittelpunkt M(c; d; e) und Radius r :

z ε

(x – m )2 = r 2 bzw. (x – c )2 + (y – d )2 + (z – e)2 = r 2 In der xy -Ebene beschreibt die vektorielle ­Gleichung (x – m )2 = r 2 einen Kreis mit dem ­Mittelpunkt M (c; d ) und dem Radius r. (Koordinatendarstellung des Kreises b S. 41)

Mittelpunktsgleichung

Kugel k mit Mittelpunkt M (0; 0; 0) und Radius r :

Tangential­ ebene in P1

Tangentialebene ε im Berührungspunkt P1 an die Kugel k mit Mittelpunkt M (c; d; e) und Radius r:

P1 X M x

p1 m

x 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2

(x – m) · (p1 – m ) = r 2 bzw. (x – c)(x1 – c) + (y – d)(y1 – d ) + (z – e)(z1 – e) = r 2 Darstellung in hessescher Normalform (mit dem Radiusvektor p1 – m als Normalenvektor): (x – p1) · (p1 – m ) = 0

O x

y

Ma

Lagebeziehung zweier Geraden

47

48

Mathematik

Kombinatorik

Ma

Grundbegriffe

n, k ∈N;  a, b ∈R n

Fakultät

n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = P ​ ​   k​ ​   (n > 1) k = 1 0! = 1  1! = 1 Es gilt:  (n + 1)! = (n + 1) · n!

(Sprechweise: „n Fakultät“)

Binomial­ koeffizienten

–  2) · … · [n – (k – 1)] n! ​ ​   k ​   ​ =     ​ n · (n  –  1) · (n      ​ =} ​ k!(n – k)!    ​  (0 < k ≤ n) (Sprechweise: „n über k“) }}} 1 · 2 · 3 · … · k

() ​( ​   ​ )​= 1 n

n    0

Rechenregeln:

() ( ) () ( ) ( ) (a + b) = (​​   ​ )​  a + (​​   ​ )​  a b + (​​   ​ )​  a b n

n

n

n

n + 1

​ ​   k ​   ​= ​        ​ n – k    ​  ​ ​  ​   k ​   ​+ ​        ​ k + 1    ​ ​= ​        ​  k + 1 ​ ​ Potenzen von Binomen (binomischer Satz)

n   

n

0

n   

n

1

n–1

n    2

n–2 2

( ) n

() n

() n

(a ± b)0 = 1 1 (a ± b)1 = a ± b 1 1 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 1 2 1 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 1 3 3 1 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 1 4 6 4 1 (a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5 … … pascalsches Zahlendreieck

Anordnungen und ihre Interpretation mithilfe des Urnenmodells Permutationen

n

+ … + ​        ​ n – 1    ​ ​   abn – 1 + ​   ​ n ​   ​  bn = S ​ ​ ​ ​    ​   ​   ​​  an – kbk k = 0 k

n, k, nk ∈N*

Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation dieser Elemente. Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung: Pn = n! Pn gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang n aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Permutationen von n Elementen mit Wiederholung: WP n

n! = }} ​       ​  (mit n1 + n2 + … + nk = n) n ! · n ! · … · n !

WP n

1

2

k

gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang n aus einer Urne mit k unterscheidbaren Kugeln so zu entnehmen, dass diese Kugeln jeweils mit einer Häufigkeit von n1, n2, … bzw. nk gezogen werden. Variationen

Jede mögliche Anordnung (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Ele­ menten heißt Variation dieser Elemente (Variation von n Elementen zur k-ten Klasse). Anzahl der Variationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung:

() n

n! Vnk = } ​ (n – k)!    ​  = ​   ​  k ​   ​  ·  k! (k ≤ n)

Vnk gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Variationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen mit Wiederholung: W

Vnk = nk

WV k n

gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen.

Beschreibende Statistik

Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Elemen­ ten heißt Kombination dieser Elemente (Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse). Anzahl der Kombinationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen ohne Wiederholung:

() n

Cnk = ​   ​  k ​   ​ 

(k ≤ n)

Cnk gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen. Anzahl der Kombinationen k-ter Klasse von n verschiedenen Elementen mit Wiederholung: WC k n

(

n + k – 1

)

= ​             ​  k ​     ​

WC k n

gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln zu entnehmen.

Beschreibende Statistik Lagemaße statistischer Untersuchungen Modalwert (Modus) m

n, k ∈N*;  n ≥ 2

häufigster Wert unter den Ergebnissen einer Stichprobe

Mittelwert Für eine Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit gilt:  }  (arithmetisches Mittel) ​x ​       }  x1 + x2 + … + xn 1 n ​  x ​    = }}    ​   ​   =} ​ n  ​ S ​ ​   x​  i​ (b S. 13) n i = 1

gewogenes arithmetisches Mittel

Für die bei einer Stichprobe vom Umfang n mit den absoluten Häufigkeiten H1, H2, …, bzw. Hk auftretenden Werte (Ergebnisse) x1, x2, …, xk gilt:  } 

H  · x  + H  · x  + … + H  · x

2 2 k k ​  x ​    = }}    ​  1 1  ​   (k ≤ n) n

bzw. (unter Verwendung der relativen Häufigkeiten h1, h2, … bzw. hk)  } 

​  x ​    = h1 · x1 + h2 · x2 + … + hk · xk (k ≤ n) geometrisches Mittel g harmonisches Mittel h

g = ​√ }}  x   1 · x2 · … · xn ​ (xi > 0 für i = 1, 2, …, n) (b S. 13) n

n h = }} ​      1  ​ = } ​ n n   ​   (xi > 0 für i = 1, 2, …, n) (b S. 13) 1 1 ​  x1  ​  + ​ }    ​ + … + ​ }    ​ ​S​  ​​  }   ​ }    ​ x2 xn 1 x i = 1

Zentralwert (Median) z

i

in der Mitte stehender Wert der nach der Größe geordneten Ergebnisse einer Stichprobe (gegebenenfalls Mittelwert der zwei in der Mitte stehenden Ergebnisse)

Streumaße statistischer Untersuchungen

n ∈N*

Spannweite (Streu- oder Variationsbreite) w

Differenz zwischen größtem und kleinstem Ergebnis einer Stichprobe: w = xmax – xmin

Halbweite H

Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Viertelwert (Quartil): H = x3/4 – x1/4 (x3/4 und x1/4 sind die in der Mitte der oberen bzw. unteren Hälfte der Daten­ reihe stehenden Werte)

mittlere (lineare) Abweichung d vom Mittelwert

  

  

  

}   |   + |x  – ​x ​ }   |   + … + |x  – ​x ​ }   |  |x  – ​x ​

n

  

}   |  ​ 2 n d = }}}     ​  1     ​ =} ​ n1  ​  ​S​   |x ​  i – ​x ​ n i = 1

Ma

Kombi­ nationen

49

50

Mathematik

Ma

(empirische) Varianz (Streuung) s 2

Für Stichproben vom Umfang n gilt:   

  

  

n

} }   )  2 + … + (x  – ​x ​ }   )  2 (x  – ​x ​    )  2 + (x  – ​x ​

  

1 }   )  2​ 2 n s 2 = }}}     ​  1     ​ =} ​ n – 1    ​ S ​ ​   (x ​  i – ​x ​ n – 1 i = 1

}

Standardabweichung s

s=√ ​  s 2 ​  

Varianz (Streuung) σ 2

Für Grundgesamtheiten vom Umfang N gilt:

(s ≥ 0)

(x  – μ)2 + (x  – μ)2 + … + (x  – μ)2

N

1 2 N σ 2 = }}}     ​  1     ​ =} ​ N   ​ ​S​   ​ (xi – μ)2​ N i = 1

N

1 mit  μ = } ​ N   ​ ​S​   x​  i​ i = 1

Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade Der Grad des Zusammenhangs der Merkmale X und Y, für die n Paare von Einzelwerten (xi ; yi ) vorliegen, wird durch den Korrelationskoeffizienten rxy beschrieben: n

  

n

  

n

n

1 ​S​   x​  i yi​ – ​ }    ​ ​S​   x​  i​ ​S​   y​  i​ n

} } ​S​   (x ​  i – ​x ​    )  ​(yi – ​y ​    ) 

     

}   ,  ​y ​ }      Mittelwerte von x bzw. y rxy = }}    ​     ​ = }}}    ​      ​ ​ x ​ i i }}} }} n n n n n 2 }} 2  }  2 n  }  2 1 2​  – ​  1  ​ ​​   ​S​   y ​   ​    S​   (x ​  i – ​x ​    )  ​ · ​S​   (y ​  i – ​y ​    )  ​ ​ ​   ​    S​   x​  i2​  – ​ }     ​  ​​   ​ S ​    x   ​   ​ ​​ ​ ​  · ​    ​    S ​    y   ​   ​   ​ ​​ ​ ​ }  i i i n n i = 1

√

i = 1

i = 1

i = 1

√

i = 1

( ) √

i = 1

i = 1

i = 1

i = 1

( ) i = 1

Gleichung der zur Vorhersage von y -Werten dienenden Regressionsgeraden:   

rxy sy

  

     

}    = ​   ​ }  )  ​ }  ,  ​y ​ }     Mittelwerte von x bzw. y y – ​y ​     (x – ​x ​ x ​ } i i sx sx , sy Standardabweichungen von xi bzw. yi

Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlegende Begriffe Zufallsversuch (Zufallsexperiment)

Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen x1, x2, …, xn

Ergebnismenge (Stichprobenraum) Ω

Menge aller möglichen Ergebnisse Ω = {x1, x2, …, xn}

Ereignis E

Teilmenge der Ergebnismenge Ω  (E ⊆ Ω)

Ereignismenge

Menge aller Teilmengen von Ω  (Potenzmenge 2Ω)

spezielle Ereignisse

Sicheres Ereignis: Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt (E = Ω) Unmögliches Ereignis: Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt (E = 0) Elementarereignis (atomares Ereignis): Ereignis mit genau einem Ergebnis x (E = {x})

 } 

Gegenereignis ​E ​     

Komplementärmenge von E (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt)

absolute Häufigkeit Hn(xi ) bzw. Hn(E )

Anzahl des Eintretens des Ergebnisses xi bzw. des Ereignisses E bei n Versuchs­ durchführungen

relative Häufigkeit hn(xi ) bzw. hn(E )

i  hn(xi ) = } ​  nn ​     bzw. hn(E) = }   ​  nn ​    

Bernoulli -Versuch (Bernoulli -Experiment)

Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen, d. h. Vorgang mit zufäl­ ligem Ergebnis, bei dem nur zwischen Erfolg und Misserfolg unterschieden wird

H (x )

H (E )

Wahrscheinlichkeitsrechnung A, E, E1, E2 ⊆ Ω

Bei einer hinreichend großen Anzahl von Versuchen kann die relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses E als Maß für dessen Wahrscheinlichkeit gewählt werden. Der Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E wird mit P(E ) bezeichnet. Gleichverteilung (klassische Wahrscheinlichkeit) Ein Zufallsversuch (Zufallsexperiment), bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, heißt Laplace-Experiment. Für jedes E ⊆ Ω gilt: der für E günstigen Ergebnisse P(E ) = }}}     ​ Anzahl      ​ Anzahl der möglichen Ergebnisse

Regeln und Sätze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1 (2) A = {x1, x2, …, xk} ⊆ Ω ⇒  P(A) = P({x1}) + P({x2}) + … + P({xk}) (3) P(Ω) = 1 (4) P(0) = 0  }  (5) P(​E ​      ) = 1 – P(E) (6) E1 ⊆ E2  ⇒  P(E1) ≤ P(E2) (7) P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)

Summenregel für Elementarereignisse Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Additionssatz für zwei Ereignisse

Mehrstufige Zufallsversuche; bedingte Wahrscheinlichkeit

A, B, Ei, Fi ⊆ Ω

n-stufiger Zufallsversuch

Zusammenfassung von n (Teil-)Zufallsversuchen zu einem Zufallsversuch

Pfadregeln

1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Elementarereignisses) in einem mehrstufigen Zufallsversuch ist gleich dem Produkt der Wahrschein­ lichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. q1 p1

b1

a1 q2

b2 P({a1; b2; …}) = p1 · q2 · … p2

a2

q3 q4

b3

b4

2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses in einem Zufallsversuch ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der für dieses Ereignis güns­ tigen Pfade (d. h. der Pfade, bei denen das Ereignis eintritt). Bernoulli-Kette

Wird ein Bernoulli-Versuch insgesamt n-mal unabhängig voneinander (nach­ einander) durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

bernoullische Formel

Für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von genau k Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette der Länge n gilt:

() n

P(genau k Erfolge) = ​   ​  k ​   ​  ·  pk · (1 – p)n – k (b Binomialverteilung, S. 53)

Ma

Wahrscheinlichkeit und ihre grundlegenden Eigenschaften

51

52

Mathematik

bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bereits eingetreten ist:

Ma

∩ B ) PB(A) = } ​ P (A  ​     (für P (B) > 0) P(B )

unabhängige Ereignisse

Das Eintreten des einen Ereignisses hat keinen Einfluss auf das Eintreten des ­anderen. A und B sind genau dann voneinander unabhängig, wenn gilt: PB(A) = P(A) bzw. PA(B) = P(B)

Multiplikationssatz (Verallgemeinerung der 1. Pfadregel)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt, gilt: P(A ∩ B) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A) (für P(A), P(B) > 0) Spezialfall für unabhängige Ereignisse A und B: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Verallgemeinerung der 2. Pfadregel)

Bilden B1, B2, …, Bn eine Zerlegung von Ω, d. h., ist B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn = Ω und Bi ∩ Bj = 0 (für i ≠ j ), so gilt für jedes Ereignis A ∈2Ω:

bayessche Formel

Bilden B1, B2, …, Bn eine Zerlegung von Ω und ist A ein beliebiges Ereignis aus 2Ω, so gilt für jedes i (mit i = 1, 2, …, n):

P(A) = P(B1) · ​P​B1​(A) + P(B2) · ​P​B2​(A) + … + P(Bn) · ​P​Bn​(A)

P(Bi ) · ​P​B ​(A)

P(Bi) · ​P​B ​  (A)

i i PA(Bi) = } ​  P(A) ​     = ​ }}}}           ​ P(B ) · ​P​ ​(A) + P(B ) · ​P​ ​(A) + … + P(B ) · ​P​ ​(A)

1

B1

2

n

B2

Bn

Zufallsgrößen und ihre Verteilung Zufallsgröße (Zufallsvariable) X

Größe, die bei verschiedenen, unter gleichen Bedingungen durchgeführten Zu­ fallsversuchen verschiedene Werte x1, x2, … annehmen kann Eine diskrete Zufallsgröße kann in einem Intervall nur endliche viele, eine stetige Zufallsgröße dagegen beliebig viele Werte annehmen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Funktion, die jedem Wert x einer Zufallsgröße X seine Wahrscheinlichkeit P(X = x) = p zuordnet Diskrete Zufallsgrößen werden durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion f mit n

f (xi ) = P(X = xi ) = pi und ​ S​   f (x ​  i )​= 1, i = 1

∞

E

stetige Zufallsgrößen durch die Dichtefunktion φ mit ​  ​  φ(x )​  ​  dx = 1 charakterisiert. – ∞

 

Die Verteilungsfunktion Φ mit Φ (x) = P(X ≤ x) = S ​ ​   f (x ​  i )​  bzw. xi  9 (als Faustregel) gelten die folgenden Näherungsformeln von Laplace:

φ(z)

(1) lokale Näherung

(

)

Bn; p({k }) ≈ } ​ 1σ ​  · φ ​ } ​ k – μ  ​     ​ σ

1 mit φ(z) = } ​  }    ​ ​ e​ ​√ 2π ​ 

(2) globale Näherung

(

)

x

E

1 2 – ​ }   ​  z  2

Bn; p({0; 1; …; k }) ≈ Φ ​ } ​  k + 0,5 – μ  ​     ​ mit Φ(x) = ​ ​   φ(z)​  ​  dz σ – ∞

​

Φ(x) 0,1 O

1x

z

54

Mathematik – } ​ 1  ​ x 2 φ(x) = } ​  1}   ​  · ​e​ 2 ​ ​√ 2π ​ 

Dichtefunktionswerte φ (x) der Standardnormalverteilung

Ma

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683

3989 3965 3902 3802 3668

3989 3961 3894 3790 3653

3988 3956 3885 3778 3637

3986 3951 3876 3765 3621

3984 3945 3867 3752 3605

3982 3939 3857 3739 3589

3980 3932 3847 3725 3572

3977 3925 3836 3712 3555

3973 3918 3825 3697 3538

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661

3503 3312 3101 2874 2637

3485 3292 3079 2850 2613

3467 3271 3056 2827 2589

3448 3251 3034 2803 2565

3429 3230 3011 2780 2541

3410 3209 2989 2756 2516

3391 3187 2966 2732 2492

3372 3166 2943 2709 2468

3352 3144 2920 2685 2444

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497

2396 2155 1919 1691 1476

2371 2131 1895 1669 1456

2347 2107 1872 1647 1435

2323 2083 1849 1626 1415

2299 2059 1826 1604 1394

2275 2036 1804 1582 1374

2251 2012 1781 1561 1354

2227 1989 1758 1539 1334

2203 1965 1736 1518 1315

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656

1276 1092 0925 0775 0644

1257 1074 0909 0761 0632

1238 1057 0893 0748 0620

1219 1040 0878 0734 0608

1200 1023 0863 0721 0596

1182 1006 0848 0707 0584

1163 0989 0833 0694 0573

1145 0973 0818 0681 0562

1127 0957 0804 0669 0551

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224

0529 0431 0347 0277 0219

0519 0422 0339 0270 0213

0508 0413 0332 0264 0208

0498 0404 0325 0258 0203

0488 0396 0317 0252 0198

0478 0387 0310 0246 0194

0468 0379 0303 0241 0189

0459 0371 0297 0235 0184

0449 0363 0290 0229 0180

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060

0171 0132 0101 0077 0058

0167 0129 0099 0075 0056

0163 0126 0096 0073 0055

0158 0122 0093 0071 0053

0154 0119 0091 0069 0051

0151 0116 0088 0067 0050

0147 0113 0086 0065 0048

0143 0110 0084 0063 0047

0139 0107 0081 0061 0046

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012

0043 0032 0023 0017 0012

0042 0031 0022 0016 0012

0040 0030 0022 0016 0011

0039 0029 0021 0015 0011

0038 0028 0020 0015 0010

0037 0027 0020 0014 0010

0036 0026 0019 0014 0010

0035 0025 0018 0013 0009

0034 0025 0018 0013 0009

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

0008 0006 0004 0003 0002

0008 0006 0004 0003 0002

0008 0005 0004 0003 0002

0008 0005 0004 0002 0002

0007 0005 0004 0002 0002

0007 0005 0003 0002 0002

0007 0005 0003 0002 0002

0007 0005 0003 0002 0001

0006 0004 0003 0002 0001

4,0 4,1 4,2

0,0001 0,0001 0,0001

0001 0001 0001

0001 0001 0001

0001 0001 0001

0001 0001

0001 0001

0001 0001

0001 0001

0001 0001

0001 0001

Es gilt:  φ (–x) = φ (x) Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (auf vier Dezimalstellen gerundet) 0,0000.

φ(1,24) = 0,1849   φ(– 0,96) = φ(0,96) = 0,2516

Wahrscheinlichkeitsrechnung

55

x

E

Φ(x) = ​ ​   ​  φ(z)​ dz

Funktionswerte Φ(x) der Standardnormalverteilung x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6555

5040 5438 5832 6217 6591

5080 5478 5871 6255 6628

5120 5517 5910 6293 6664

5160 5557 5948 6331 6700

5200 5596 5987 6368 6736

5239 5636 6026 6406 6772

5279 5675 6064 6443 6808

5319 5714 6103 6480 6844

5359 5754 6141 6517 6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159

6950 7291 7612 7910 8186

6985 7324 7642 7939 8212

7019 7357 7673 7967 8238

7054 7389 7704 7996 8264

7088 7422 7734 8023 8289

7123 7454 7764 8051 8315

7157 7486 7794 8079 8340

7190 7518 7823 8106 8365

7224 7549 7852 8133 8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

8438 8665 8869 9049 9207

8461 8686 8888 9066 9222

8485 8708 8907 9082 9236

8508 8729 8925 9099 9251

8531 8749 8944 9115 9265

8554 8770 8962 9131 9279

8577 8790 8980 9147 9292

8599 8810 8997 9162 9306

8621 8830 9015 9177 9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

9345 9463 9564 9649 9719

9357 9474 9573 9656 9726

9370 9485 9582 9664 9732

9382 9495 9591 9671 9738

9394 9505 9599 9678 9744

9406 9515 9608 9686 9750

9418 9525 9616 9693 9756

9430 9535 9625 9700 9762

9441 9545 9633 9706 9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9773 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

9778 9826 9865 9896 9920

9783 9830 9868 9898 9922

9788 9834 9871 9901 9925

9793 9838 9875 9904 9927

9798 9842 9878 9906 9929

9803 9846 9881 9909 9931

9808 9850 9884 9911 9932

9812 9854 9887 9913 9934

9817 9857 9890 9916 9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

9940 9955 9966 9975 9982

9941 9956 9967 9976 9983

9943 9957 9968 9977 9983

9945 9959 9969 9977 9984

9946 9960 9970 9978 9984

9948 9961 9971 9979 9985

9949 9962 9972 9980 9985

9951 9963 9973 9980 9986

9952 9964 9974 9981 9986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997

9987 9991 9993 9995 9997

9987 9991 9994 9995 9997

9988 9991 9994 9996 9997

9988 9992 9994 9996 9997

9989 9992 9994 9996 9997

9989 9992 9994 9996 9997

9989 9992 9995 9996 9997

9990 9993 9995 9996 9997

9990 9993 9995 9997 9998

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

9998 9998 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

9998 9999 9999 9999

Es gilt:  Φ(–x) = 1 – Φ(x) Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (auf vier Dezimalstellen gerundet) 1,0000.

Φ(1,24) = 0,8925   Φ(–0,96) = 1 – Φ(0,96) = 1 – 0,8315 = 0,1685

Ma

– ∞

56

Mathematik

() n

b(n; p; k) = P(X = k) = ​    ​   ​   ​  · ​pk​ ​ · ​(1 – p)​n – k​

Binomiale Wahrscheinlichkeiten

Ma

n

k

k

p

k

0,05

0,10

​ 61 ​  }

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

n

5

0 1 2 3 4 5

0,7738 0,2036 0,0214 0,0011

5905 3281 0729 0081 0005

4019 4019 1608 0322 0032 0001

3277 4096 2048 0512 0064 0003

2373 3955 2637 0879 0146 0010

1681 3602 3087 1323 0284 0024

1317 3292 3292 1646 0412 0041

0778 2592 3456 2304 0768 0102

0503 2059 3369 2757 1128 0185

0313 1563 3125 3125 1563 0313

5 4 3 2 1 0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,0010 0,0001

3487 3874 1937 0574 0112 0015 0001

1615 3230 2907 1550 0543 0130 0022 0002

1074 2684 3020 2013 0881 0264 0055 0008 0001

0563 1877 2816 2503 1460 0584 0162 0031 0004

0282 1211 2335 2668 2001 1029 0368 0090 0014 0001

0173 0867 1951 2601 2276 1366 0569 0163 0030 0003

0060 0403 1209 2150 2508 2007 1115 0425 0106 0016 0001

0025 0207 0763 1665 2384 2340 1596 0746 0229 0042 0003

0010 0098 0439 1172 2051 2461 2051 1172 0439 0098 0010

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0,4633 0,3658 0,1348 0,0307 0,0049 0,0006

2059 3432 2669 1285 0428 0105 0019 0003

0649 1947 2726 2363 1418 0624 0208 0053 0011 0002

0352 1319 2309 2501 1876 1032 0430 0138 0035 0007 0001

0134 0668 1559 2252 2252 1651 0917 0393 0131 0034 0007 0001

0047 0305 0916 1700 2186 2061 1472 0811 0348 0116 0030 0006 0001

0023 0171 0599 1299 1948 2143 1786 1148 0574 0223 0067 0015 0003

0005 0047 0219 0634 1268 1859 2066 1771 1181 0612 0245 0074 0016 0003

0001 0016 0090 0318 0780 1404 1914 2013 1647 1048 0515 0191 0052 0010 0001

0000 0005 0032 0139 0417 0916 1527 1964 1964 1527 0916 0417 0139 0032 0005

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3585 3774 1887 0596 0133 0022 0003

1216 2702 2852 1901 0898 0319 0089 0020 0004 0001

0261 1043 1982 2379 2022 1294 0647 0259 0084 0022 0005 0001

0115 0576 1369 2054 2182 1746 1091 0545 0222 0074 0020 0005 0001

0032 0211 0669 1339 1897 2023 1686 1124 0609 0271 0099 0030 0008

0008 0068 0278 0716 1304 1789 1916 1643 1144 0654 0308 0120 0039

0003 0030 0143 0429 0911 1457 1821 1821 1480 0987 0543 0247 0092

0000 0005 0031 0123 0350 0746 1244 1659 1797 1597 1171 0710 0355

0000 0001 0008 0040 0139 0365 0746 1221 1623 1771 1593 1185 0727

0000 0000 0002 0011 0046 0148 0370 0739 1201 1602 1762 1602 1201

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8

20

n

k

0,95

0,90

​ 65 ​  }

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p

Wahrscheinlichkeitsrechnung

() n

b(n; p; k) = P(X = k) = ​    ​   ​   ​  · pk · (1 – p)n – k

Binomiale Wahrscheinlichkeiten

k

k

p 0,05

0,10

​ }16 ​ 

0,20

k

n

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

0002

0010 0002

0028 0007 0001

0146 0049 0013 0003

0366 0150 0049 0013 0002

0739 0370 0148 0046 0011 0002

7 6 5 4 3 2

20

20

13 14 15 16 17 18

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

0,0769 0,2025 0,2611 0,2199 0,1360 0,0658 0,0260 0,0086 0,0024 0,0006 0,0001

0052 0286 0779 1386 1809 1849 1541 1076 0643 0333 0152 0061 0022 0007 0002 0001

0001 0011 0054 0172 0405 0745 1118 1405 1510 1410 1156 0841 0546 0319 0169 0081 0035 0014 0005 0002 0001

0000 0002 0011 0044 0128 0295 0554 0870 1169 1364 1398 1271 1033 0755 0499 0299 0164 0082 0037 0016 0006 0002 0001

0000 0000 0001 0004 0016 0049 0123 0259 0463 0721 0985 1194 1294 1261 1110 0888 0648 0432 0264 0148 0077 0036 0016 0006 0002 0001

0000 0000 0000 0000 0001 0006 0018 0048 0110 0220 0386 0602 0838 1050 1189 1223 1147 0983 0772 0558 0370 0227 0128 0067 0032 0014 0006 0002 0001

0000 0000 0000 0000 0000 0001 0004 0012 0033 0077 0157 0286 0465 0679 0898 1077 1178 1178 1080 0910 0705 0503 0332 0202 0114 0059 0028 0013 0005 0002 0001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0005 0014 0035 0076 0147 0260 0415 0606 0808 0987 1109 1146 1091 0959 0778 0584 0405 0259 0154 0084 0043 0020 0009 0003 0001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0004 0011 0027 0059 0116 0207 0339 0508 0700 0888 1038 1119 1115 1026 0873 0687 0500 0336 0208 0119 0063 0031 0014 0006 0002 0001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0008 0020 0044 0087 0160 0270 0419 0598 0788 0960 1080 1123 1080 0960 0788 0598 0419 0270 0160 0087 0044 0020 0008 0003 0001

50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12

50

n

k

0,95

0,90

​ }56 ​ 

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p Anmerkung: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 0,0000. b(50; 0,3; 13) = 0,1050   b(50; 0,7; 37) = 0,1050

Ma

n

57

58

Mathematik k

Ma

n

k

()  n

B(n; p; k) = P(X ≤ k) = ​S​   ​  ​    ​    ​​​  · p i · (1 – p)n – i

Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten

i = 0

 i 

p

k

0,05

0,10

​ 61 ​  }

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

n

5

0 1 2 3 4

0,7738 0,9774 0,9988

5905 9185 9914 9995

4019 8038 9645 9967 9999

3277 7373 9421 9933 9997

2373 6328 8965 9844 9990

1681 5282 8369 9692 9976

1317 4609 7901 9547 9959

0778 3370 6826 9130 9898

0503 2562 5931 8688 9815

0313 1875 5000 8125 9688

4 3 2 1 0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999

3487 7361 9298 9872 9984 9999

1615 4845 7752 9303 9845 9976 9997

1074 3758 6778 8791 9672 9936 9991 9999

0563 2440 5256 7759 9219 9803 9965 9996

0282 1493 3828 6496 8497 9527 9894 9984 9999

0173 1040 2991 5593 7869 9234 9803 9966 9996

0060 0464 1673 3823 6331 8338 9452 9877 9983 9999

0025 0233 0996 2660 5044 7384 8980 9726 9955 9997

0010 0107 0547 1719 3770 6230 8281 9453 9893 9990

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0,4633 0,8290 0,9638 0,9945 0,9994 0,9999

2059 5490 8159 9444 9873 9978 9997

0649 2596 5322 7685 9102 9726 9934 9987 9998

0352 1671 3980 6482 8358 9389 9819 9958 9992 9999

0134 0802 2361 4613 6865 8516 9434 9827 9958 9992 9999

0047 0353 1268 2969 5155 7216 8689 9500 9848 9963 9993 9999

0023 0194 0794 2092 4041 6184 7970 9118 9692 9915 9982 9997

0005 0052 0271 0905 2173 4032 6098 7869 9050 9662 9907 9981 9997

0001 0017 0107 0424 1204 2608 4522 6535 8182 9231 9745 9937 9989 9999

0000 0005 0037 0176 0592 1509 3036 5000 6964 8491 9408 9824 9963 9995

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,3585 0,7358 0,9245 0,9841 0,9974 0,9997

1216 3917 6769 8670 9568 9887 9976 9996 9999

0261 1304 3287 5665 7687 8982 9629 9887 9972 9994 9999

0115 0692 2061 4114 6296 8042 9133 9679 9900 9974 9994 9999

0032 0243 0913 2252 4148 6172 7858 8982 9591 9861 9961 9991 9998

0008 0076 0355 1071 2375 4164 6080 7723 8867 9520 9829 9949 9987 9997

0003 0033 0176 0604 1515 2972 4793 6615 8095 9081 9624 9870 9963 9991 9998

0000 0005 0036 0160 0510 1256 2500 4159 5956 7553 8725 9435 9790 9935 9984 9997

0000 0001 0009 0049 0189 0553 1299 2520 4143 5914 7507 8692 9420 9786 9936 9985 9997

0000 0000 0002 0013 0059 0207 0577 1316 2517 4119 5881 7483 8684 9423 9793 9941 9987 9998

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

20

n

k

0,95

0,90

​ 65 ​  }

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p

Wahrscheinlichkeitsrechnung k

 n

i = 0

p 0,05

0,10

​ }16 ​ 

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

k

n

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0,2774 0,6424 0,8729 0,9659 0,9928 0,9988 0,9998

0718 2712 5371 7636 9020 9666 9905 9977 9995 9999

0105 0629 1887 3816 5937 7720 8908 9553 9843 9953 9988 9997 9999

0038 0274 0982 2340 4207 6167 7800 8909 9532 9827 9944 9985 9996 9999

0008 0070 0321 0962 2137 3783 5611 7265 8506 9287 9703 9893 9966 9991 9998

0001 0016 0090 0332 0905 1935 3407 5118 6769 8106 9022 9558 9825 9940 9982 9995 9999

0000 0005 0035 0149 0462 1120 2215 3703 5376 6956 8220 9082 9585 9836 9944 9984 9996 9999

0000 0001 0004 0024 0095 0294 0736 1536 2735 4246 5858 7323 8462 9222 9656 9868 9957 9988 9997 9999

0000 0000 0001 0005 0023 0086 0258 0639 1340 2424 3843 5426 6937 8173 9040 9560 9826 9942 9984 9996 9999

0000 0000 0000 0001 0005 0020 0073 0216 0539 1148 2122 3450 5000 6550 7878 8852 9461 9784 9927 9980 9995 9999

24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

25

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,0769 0,2794 0,5405 0,7604 0,8964 0,9622 0,9882 0,9968 0,9992 0,9998

0052 0338 1117 2503 4312 6161 7702 8779 9421 9755 9906 9968 9990 9997 9999

0001 0012 0066 0238 0643 1388 2506 3911 5421 6830 7986 8827 9373 9693 9862 9943 9978 9992 9997

0000 0002 0013 0057 0185 0480 1034 1904 3073 4437 5836 7107 8139 8894 9393 9692 9856 9937 9975

0000 0000 0001 0005 0021 0070 0194 0453 0916 1637 2622 3816 5110 6370 7481 8369 9017 9449 9713

0000 0000 0000 0000 0002 0007 0025 0073 0183 0402 0789 1390 2229 3279 4468 5692 6839 7822 8594

0000 0000 0000 0000 0000 0001 0005 0017 0050 0127 0284 0570 1035 1715 2612 3690 4868 6046 7126

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0008 0022 0057 0133 0280 0540 0955 1561 2369 3356

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0006 0018 0045 0104 0220 0427 0765 1273

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0005 0013 0033 0077 0164 0325

49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

50

n

k

0,95

0,90

​ }56 ​ 

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p Rekursionsformel:  B(n; p; k ) = B(n; p; k – 1) + b(n; p; k) Anmerkungen: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 1,0000. Für schwächer unterlegte Tabelleneingänge (p ≥ 0,5) gilt: B(n; p; k) = 1 – (angegebener Wert)

B(25; 0,25; 7) = 0,7265   B(20; 0,70; 11) = 1 – 0,8867 = 0,1133

Ma

k

()

B(n; p; k) = P(X ≤ k) = ​S​   ​  ​    ​   i   ​​​  ·p i · (1 – p)n – i

Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten n

59

60

Mathematik k

Ma

n

k

()  n

B(n; p; k) = P(X ≤ k) = ​S​   ​  ​    ​   i   ​​​  · p i · (1 – p)n – i

Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten

i = 0

p 0,05

0,10

k

n

​ 61 ​  }

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

9999

9991 9997 9999

9861 9937 9974 9990 9996 9999

9152 9522 9749 9877 9944 9976 9991 9997 9999

8036 8741 9244 9576 9778 9892 9951 9979 9992 9997 9999

4465 5610 6701 7660 8438 9022 9427 9686 9840 9924 9966 9986 9995 9998 9999

1974 2862 3900 5019 6134 7160 8034 8721 9220 9556 9765 9884 9947 9978 9991 9997 9999

0595 1013 1611 2399 3359 4439 5561 6641 7601 8389 8987 9405 9675 9836 9923 9967 9987 9995 9998

30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12

50

50

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

0,0059 0,0371 0,1183 0,2578 0,4360 0,6160 0,7660 0,8720 0,9369 0,9718 0,9885 0,9957 0,9985 0,9995 0,9999

0000 0003 0019 0078 0237 0576 1172 2061 3209 4513 5832 7030 8018 8761 9274 9601 9794 9900 9954 9980 9992 9997 9999

0000 0000 0000 0000 0001 0004 0013 0038 0095 0231 0427 0777 1297 2000 2874 3877 4942 5994 6965 7803 8481 8998 9370 9621 9783 9881 9938 9969 9985

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0009 0023 0057 0126 0253 0469 0804 1285 1923 2712 3621 4602 5595 6540 7389 8109 8686 9125 9442 9658 9800

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0004 0010 0025 0054 0111 0211 0376 0630 0995 1488 2114 2864 3711 4617 5535 6417 7224 7925

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004 0010 0022 0045 0089 0165 0288 0479 0755 1136 1631 2244 2964 3768

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0005 0011 0024 0048 0091 0164 0281 0458 0715 1066 1524

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0006 0012 0024 0046 0084

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71

100

n

k

0,95

0,90

​ 65 ​  }

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p

Wahrscheinlichkeitsrechnung k

p 0,05

100

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

n

k

 n

i = 0

0,95

0,10

0,90

k

n

​ }16 ​ 

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

9993 9997 9999

9888 9939 9969 9985 9993 9997 9999 9999

8505 8962 9307 9554 9724 9836 9906 9948 9973 9986 9993 9997 9999 9999

4623 5491 6331 7107 7793 8371 8839 9201 9470 9660 9790 9875 9928 9960 9979 9989 9995 9997 9999 9999

2093 2766 3525 4344 5188 6019 6803 7511 8123 8630 9034 9341 9566 9724 9831 9900 9943 9969 9983 9991 9996 9998 9999

0148 0248 0398 0615 0913 1303 1795 2386 3068 3822 4621 5433 6225 6967 7635 8211 8689 9070 9362 9577 9729 9832 9900 9942 9968 9983 9991 9996 9998 9999

0008 0015 0030 0055 0098 0166 0272 0429 0651 0951 1343 1831 2415 3087 3828 4613 5413 6196 6931 7596 8173 8654 9040 9338 9559 9716 9824 9894 9939 9966 9982 9991 9995 9998 9999

0000 0000 0001 0002 0004 0009 0018 0033 0060 0105 0176 0284 0443 0666 0967 1356 1841 2421 3087 3822 4602 5398 6178 6914 7579 8159 8644 9033 9334 9557 9716 9824 9895 9940 9967 9982 9991 9996 9998 9999

70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

100

​ }56 ​ 

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p Rekursionsformel:  B(n; p; k) = B(n; p; k – 1) + b(n; p; k) Anmerkungen: Alle nicht aufgeführten Werte sind (bei Rundung auf vier Dezimalstellen) 1,0000. Für schwächer unterlegte Tabelleneingänge (p ≥ 0,5) gilt: B(n; p; k ) = 1 – (angegebener Wert)

B(50; 0,40; 21) = 0,6701   B(100; } ​ 32 ​  ; 66) = 1 – 0,5188 = 0,4812

Ma

k

()

B(n; p; k) = P(X ≤ k) = ​S​   ​  ​    ​   i   ​​​  · p i · (1 – p)n – i

Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten n

61

62

Mathematik k

Ma

n

k

()  n

B(n; p; k) = P(X ≤ k) = ​S​   ​  ​    ​   i   ​​​  · p i · (1 – p)n – i

Summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten

i = 0

p 0,05

0,10

​ 61 ​  }

0,20

0,25

0,30

​ }13 ​ 

0,40

0,45

0,50

k

n

200

5 9 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 74 75 79 80 84 85 89 90 94 95 99 100 104 105 109 110 114 115 120 124

0,0623 0,4547 0,5831 0,9219 0,9556 0,9973 0,9988

0000 0035 0081 0929 1431 4655 5591 8551 8995 9837 9905 9992 9996

0000 0000 0000 0000 0001 0027 0052 0426 0468 2366 3007 5943 6658 8777 9106 9801 9872 9983 9990 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0020 0036 0283 0430 1656 2151 4718 5422 7887 8349 9506 9655 9934 9959 9995 9997

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0004 0044 0073 0405 0578 1852 2331 4729 5379 7707 8162 9375 9546 9897 9932 9990 9994 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0005 0009 0072 0111 0506 0695 1988 2455 4733 5348 7579 8028 9272 9458 9862 9906 9984 9990 9999 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0003 0005 0042 0067 0323 0453 1409 1778 3755 4338 6670 7192 8794 9065 9716 9799 9958 9973 9996 9998

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0013 0021 0119 0173 0639 0844 2142 2590 4732 5307 7428 7868 9143 9345 9812 9869 9974 9983 9998 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0016 0026 0133 0191 0673 0881 2175 2617 4726 5293 7392 7831 9113 9319 9801 9860 9971 9982 9997 9998

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0018 0028 0141 0200 0687 0894 2184 2623 4718 5282 7377 7816 9105 9313 9800 9859 9982 9998

194 190 189 185 184 180 179 175 174 170 169 165 164 160 159 155 154 150 149 145 144 140 139 135 134 130 129 125 124 120 119 115 114 110 109 105 104 100 99 95 94 90 89 85 84 79 75

200

n

k

0,95

0,90

​ 65 ​  }

0,80

0,75

0,70

​ }23 ​ 

0,60

0,55

0,50

k

n

p Anmerkung:  Die Tabelle für n = 200 umfasst nur Werte für ausgewählte k.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

63

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5

15417 83541 83363 31376 65922

74829 78590 57671 08426 79156

98508 79977 82647 01496 22950

69237 76459 01759 05707 71072

70467 34698 08377 94894 80501

34085 24757 43949 51621 93759

49284 68161 09336 17306 85577

97138 59220 91279 72636 84671

93989 38860 73510 71629 99144

14949 27550 94567 65120 71309

6 7 8 9 10

44623 65805 93688 36787 15064

21571 75499 06385 35165 84305

22510 92585 99106 41625 26024

26078 36047 44950 81646 71232

22919 08728 47682 10310 77282

38014 64845 71020 18362 57088

74812 56179 63928 67818 66469

75848 30677 07473 15497 20092

14865 13952 53143 41543 17124

50707 17741 55538 68104 70810

11 12 13 14 15

73781 26695 92757 92185 74354

85945 95847 35124 74853 56786

09081 07129 39446 27243 84156

98055 28755 30201 31847 93849

11526 21654 90983 74204 83624

90691 98159 42613 32685 23295

15615 84790 50124 96841 97223

44830 02153 74041 84106 26876

97017 33476 92437 47671 02040

51826 10877 45890 14727 63305

16 17 18 19 20

59197 00301 79322 46896 94311

20737 81564 69113 84356 89493

18935 88863 50376 67893 04724

21679 39162 37006 61217 34761

94861 51300 39588 22292 58674

04571 15466 17941 19955 03370

56572 18098 64241 36594 17343

75516 65846 03042 99542 26488

57795 32016 54301 15739 94584

48323 03620 76495 82020 46804

21 22 23 24 25

50139 45743 64269 14329 49164

41011 91990 55393 42915 91933

19852 91000 37855 01173 42306

14712 17480 01869 78025 12947

60801 50573 02917 73717 01680

27399 15265 41863 67185 45921

53433 91344 10742 18782 88522

69217 09868 37109 76148 76925

37252 74933 41323 61642 16524

89608 62735 47310 54586 13480

26 27 28 29 30

63507 31103 87752 34521 60134

03320 31984 40845 61518 98695

12293 50959 96402 86842 05002

81871 85256 26261 34276 46655

22119 56765 18016 64020 66145

18613 26668 31328 93595 24412

96294 31216 95484 76699 88072

01829 90250 70209 52993 66297

03841 52790 78843 42374 79074

12788 14013 49634 80862 68815

31 32 33 34 35

06229 97059 46371 36473 30237

07384 41147 28520 18603 29527

52698 74463 24589 18977 99532

19903 97601 60795 92183 55131

35072 67734 36960 12326 81820

80833 87007 23796 22106 29715

77731 24499 31257 98444 39847

32709 60309 24457 22002 04796

10017 99660 83745 84542 12701

57464 83221 44343 16639 42349

36 37 38 39 40

85103 25504 96337 56182 90510

14708 74076 29252 11865 47483

27584 31828 08527 71079 96598

63442 91636 81256 42516 80450

78297 76100 02940 97923 30750

59167 09238 50825 78872 23532

66366 08552 10377 42229 55980

27044 22605 25971 85906 07279

64303 50630 61687 56823 83210

36958 87013 84186 18838 37192

41 42 43 44 45

26941 13867 15506 08853 73816

53548 18774 06973 11983 06882

17715 01197 81097 82717 91562

25011 56723 06518 43617 90555

21995 35424 25041 57257 49994

34264 34840 90625 51678 59448

07656 15440 58504 90141 03989

16232 36266 94562 15501 57337

34813 25140 29230 90364 17294

85433 63227 80827 28763 04923

46 47 48 49 50

70690 68116 90170 80718 57437

10003 60841 43107 79591 92583

56510 10401 71912 75982 48514

65010 84722 82744 59376 37163

16265 60367 94495 63561 60580

67211 02492 03554 29768 79939

03482 20459 53599 26545 22006

32463 45129 39307 58682 43375

07107 23698 68249 97275 64739

73883 28483 61059 83963 23795

Ma

Zufallszahlen (Zufallsziffern)

64

Mathematik

Beurteilende Statistik

Ma

Testen von Hypothesen Testverfahren

Verfahren zur Überprüfung von Hypothesen über einen unbekannten Parameter einer Grundgesamtheit mithilfe von Stichproben

Nullhypothese H0

Die zu überprüfende Annahme, die mit möglichst kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt werden soll, heißt Nullhypothese H0. Die Alternative zur Nullhypothese H0 wird als Gegenhypothese H1 ­bezeichnet.

Ablehnungs­  }  bereich ​A ​     

Menge der Werte der Zufallsgröße X, bei deren Eintreten H0 abgelehnt wird

Entscheidungsregel

Liegt der für eine Stichprobe ermittelte Wert der zu prüfenden Zufallsgröße (Testgröße) im Ablehnungsbereich, so wird H0 abgelehnt und H1 angenommen, anderenfalls wird H0 beibehalten und H1 abgelehnt.

Fehler

H0 wird abgelehnt, obwohl H0 wahr ist (Fehler 1. Art) H0 wird beibehalten, obwohl H0 falsch ist (Fehler 2. Art) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art heißt Irrtumswahrscheinlichkeit α '.

Signifikanztest

Ein Test heißt signifikant zum Signifikanzniveau α, wenn die tatsäch­liche Irrtums­ wahrscheinlichkeit α' das vorgegebene Signifikanzniveau α nicht übersteigt.

allgemeine ­Schrittfolge

(1) Aufstellen der Nullhypothese H0 und der Gegenhypothese H1 (2) Wahl einer geeigneten Testgröße X mit bekannter Wahrscheinlichkeitsvertei­ lung (3) Festlegen des Stichprobenumfangs  n  und des Signifikanzniveaus } (4) Festlegen des Ablehnungsbereichs ​A ​­      (5) Anwenden der Entscheidungsregel

Alternativtest für eine Wahrscheinlichkeit p Fehlerwahr­ scheinlichkeiten Ablehnungs­  }  bereich ​A ​     im Fall p0 > p1 Ablehnungs­  }  bereich ​A ​     im Fall p0 < p1

(X binomialverteilt mit den Parametern p ∈{ p0; p1})  } 

Fehler 1. Art:   α ' = ​B​n; p0​(​ A ​    ) 

Linksseitiger Ablehnungsbereich für H0: ​A ​     = {0; 1; …; k} k:  größte natürliche Zahl, sodass B ​ n; ​ p0​({0; 1; …; k}) ≤ α  } 

Rechtsseitiger Ablehnungsbereich für H0: ​A ​      = {k; k + 1; …; n} k:  kleinste natürliche Zahl, sodass B ​ n; ​ p0​({k; k + 1; …; n}) ≤ α  } 

Signifikanztest für eine Wahrscheinlichkeit p zweiseitiger Signifikanztest

Fehler 2. Art:   β ' = ​B​n; p1​(A)

(X binomialverteilt mit den Parametern n und p0)

H0:  p = p0 H1:  p ≠ p0

Bn; p({k })

Zweiseitiger Ablehnungsbereich für H0:  }  ​A ​     = {0; 1; …; k1} ∪ {k2; k2 + 1; …; n} k1: größte natürliche Zahl, sodass B ​ ​n; p0​({0; 1; …; k1}) ≤ } ​ α2 ​  k2: kleinste natürliche Zahl, sodass B ​ ​n; p0​({k2; k2 + 1; …; n}) ≤ } ​ 2α  ​ Irrtumswahrscheinlichkeit:  }  α ' = B ​ n; ​ p0​(​ A ​    )  ≤ } ​ 2α  ​ + } ​ 2α  ​ = α

O

}

A

}

A

k

Ablehnung von H0 für sehr kleine und sehr große Werte von X

Beurteilende Statistik

linksseitiger Signifikanztest

H0:  p = p0  bzw.  p ≥ p0 H1:  p < p0

65

Bn; p({k })

Linksseitiger Ablehnungsbereich für H0:  }  ​A ​     = {0; 1; …; k}  mit  ​B​n; p0​(​ A ​    )  ≤ α k: größte natürliche Zahl, sodass B ​ ​n; p0​({0; 1; …; k}) ≤ α

O

k

Ablehnung für sehr kleine Werte von X

Irrtumswahrscheinlichkeit:  } 

α ' = ​B​n; p0​(​ A ​    )  ≤ α bzw.   } 

}

A

 } 

   )  ≤ α α ' = ​B​n; p​(​ A ​    )  ≤ ​B​n; p0​(​ A ​ rechtsseitiger Signifikanztest

H0:  p = p0  bzw.  p ≤ p0 H1:  p > p0

Bn; p({k })

Rechtsseitiger Ablehnungsbereich für H0:  }   }  ​A ​     = {k; k + 1; …; n}  mit ​B​n; p0​  (​ A ​    )  ≤ α; k: kleinste natürliche Zahl, sodass B ​ n; ​ p0​({k; k + 1; …; n}) ≤ α

O

k

Ablehnung für sehr große Werte von X

Irrtumswahrscheinlichkeit:  } 

α ' = ​B​n; p0​(​ A ​    )  ≤ α  bzw.  } 

}

A

 } 

α ' = ​B​n; p​(​ A ​    )  ≤ ​B​n; p0​(​ A ​    )  ≤ α

Schätzen von Wahrscheinlichkeiten Konfidenzintervall (Vertrauensintervall, Vertrauensbereich)

Intervall [p1; p2], welches eine (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p auf dem Konfidenzniveau (Vertrauensniveau) 1 – α überdeckt

Laplace-Bedingung für Konfidenzintervalle

hn – relative Häufigkeit des beobachteten Merkmals in einer Stichprobe vom Um­ fang n mit Zurücklegen

Konfidenzintervall zum Schätzen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit p

Wenn die Stichprobe die Laplace-Bedingung für Konfidenzintervalle erfüllt, gelten die folgenden Aussagen für Konfidenzintervalle, wobei der Zusammenhang zwi­ schen dem Faktor z und dem Konfidenzniveau aus der Tabelle unten ersichtlich ist:

Es gilt:  P (p1 ≤ p ≤ p2) = 1 – α

Die Laplace-Bedingung ist erfüllt, wenn √ ​ }}  n · ​    h​n​ · (1 – ​hn​ ​) ​> 3 ist.

Näherungsformel für Intervallgrenzen

} ​hn​ ​ · (1 – h ​ ​n​)

√ } h ​ ​ ​) ​p​2​= h ​ n​ ​+ z · ​√ } ​  ​h​ ​ · (1n– ​ ​    

{ p ∈ [0; 1] | n · ​(​ℎ​n​− p)​2​≤ ​z2​ ​  ·  p · (1 − p)}

​p​1​= h ​ n​ ​– z · ​  } ​   ​ ​,    n n

Mindestgröße des Stichprobenumfangs

Exaktes Konfidenzintervall

n

Faktor z

1

2

3

1,64

1,96

2,58

Konfidenzniveau

68,3 %

95,4 %

99,7 %

90%

95 %

99 %

Für die Mindestgröße des Stichprobenumfangs n bei gegebener Länge d 2

des Konfidenzintervalls gilt näherungsweise n ≥ } ​ z 2  ​. d 

Ma

 } 

66

Mathematik

Matrizen und Determinanten

Ma

Begriffe Matrix

aik, r ∈R; i, k, m, n ∈N* Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen (z. B. der Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems) in m Zeilen und n Spalten der folgenden Form wird Matrix vom Typ (m; n) bzw. (m ; n)-Matrix genannt:

(

a

…

a

a

)

      ​ a11  ​       ​ a12  ​      ​  … ​       ​ a1n  ​ 21 22 2n     ​ ​         A = A(m; n) = (aik )(m; n) = ​       ​  …  ​ ​               ​ ​     ​  ​ …   …        ​  a   ​         ​ a   ​       ​  …  ​        ​ a   ​  m1

m2

mn

Die Zahlen ai k heißen Elemente (Komponenten) von A. Eine Matrix vom Typ (m; n) kann als Zusammenstellung von m Zeilenvektoren bzw. n Spaltenvektoren aufgefasst werden. Elementare Matrizenumformungen: (1) Vertauschen zweier Zeilen (2) Multiplizieren (Vervielfachen) der Elemente einer Zeile mit einer von null ver­ schiedenen reellen Zahl r (3) Addieren einer Zeile zu einer anderen Zeilen- und Spaltenvektoren

Die (1; n)-Matrizen stellen Zeilenvektoren, die (m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren dar. Speziell entsprechen die (3; 1)-Matrizen den Vektoren des (dreidimensionalen) Raumes und die (2; 1)-Matrizen den Vektoren der Ebene.

Rang einer Matrix

Unter dem Rang r einer Matrix A(m; n ) versteht man die Maximalzahl linear unab­ hängiger Zeilenvektoren (bzw. Spaltenvektoren). Bei elementaren Matrizenumformungen bleibt der Rang einer Matrix unverändert.

erweiterte Matrix

Aus A = A(m; n ) = (aik )(m; n) und B = B(m; p) = (bik )(m; p)  ergibt sich die erweiterte Matrix A|B folgendermaßen:

(

a

a

…

a

|

b

b

…

b

)

      ​ a11  ​       ​  a12  ​      ​ … ​       ​ a1n  ​       ​  b11  ​       ​  b12  ​      ​ … ​       ​ b1p  ​ 21 22 2n        21 22 2p                        ​ ​         A|B = ​       ​ ​ …  ​ ​               ​ ​    ​ ​         ​ ​ ​      ​ ​      ​ ​       ​  ​ …   …        … …   …                         ​ a     ​ ​            ​ ​    ​        ​      ​ ​      ​ ​      ​ ​    ​        ​      ​ ​ m1 am2 … amn bm1 bm2 … bmp

Die Matrizen A, B und A|B haben die gleiche Zeilenzahl m.

Quadratische Matrizen

aik ∈R; i, k, m, n ∈N*

Stimmen Zeilen- und Spaltenzahl einer Matrix A = A(m; n ) = (aik )(m; n)  überein (d. h., gilt m = n), so spricht man von einer quadratischen Matrix vom Typ (n; n) oder der Ordnung n. Die Elemente a11, a22, …, ann bilden die Hauptdiagonale der Matrix. obere Dreiecksmatrix

aik = 0 für alle i > k (Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)

untere Dreiecksmatrix

aik = 0 für alle i < k (Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)

Diagonalmatrix

aik = 0 für alle i ≠ k (Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null.)

Einheitsmatrix E

aik =

1 für i = k 0 für i ≠ k

(Diagonalmatrix, deren Elemente in der Hauptdiagonalen 1 sind)

Matrizen und Determinanten

transponierte Matrix

67

Werden in einer quadratischen Matrix A die Zeilen mit den entsprechenden Spalten vertauscht, so erhält man die (zu A) transponierte Matrix AT. T

Nullmatrix O

aik = 0 für alle i, k (Matrix beliebigen Typs, bei der alle Elemente gleich null sind)

inverse Matrix A–1

Die zu A = A(n; n ) inverse Matrix A–1 existiert genau dann, wenn der Rang von A gleich n ist, und für die Matrizenmultiplikation gilt: –1

T

A · A–1 = A–1 · A = E (A–1​)​ ​ = A

Rechnen mit Matrizen Addition/­ Subtraktion

–1

(A–1​)​ ​= (AT​)​ ​

aik, bik, cik, r, s ∈R; i, k, m, n, p ∈N*

Für A = A(m; n) = (aik )(m; n) und B = B(m; n) = (bik )(m; n) gilt: A ± B = C mit C = C(m; n) = (cik )(m; n) und cik = aik ± bik Eine Addition (Subtraktion) ist nur für Matrizen gleichen Typs erklärt, sie erfolgt elementweise. Rechenregeln (Eigenschaften): A + B = B + A (A + B)T = AT + BT (A + B) + C = A + (B + C)

Vielfachbildung (Multiplikation mit einer reellen Zahl)

A+O=A A–A=O

Für eine Matrix A = A(m; n ) = (aik )(m; n)  und eine reelle Zahl r gilt: r A = C mit C = C(m; n ) = (cik )(m; n) und cik = r aik Die Vielfachbildung ist unabhängig vom Typ der Matrix, sie erfolgt elementweise. Rechenregeln (Eigenschaften): (r + s) A = r A + s A r(s A) = (r s)A 1A = A r (A + B) = r A + r B 0A = O

Multiplikation

Für A = A(m; p ) = (aik )(m; p) und B = B(p; n ) = (bik )(p; n) gilt: p

A · B = C mit C = C(m; n ) = (cik )(m; n) und cik = S ​ ​   a ​  i j  bj k​ j = 1

Das Produkt A · B ist nur für verkettete Matrizen definiert, d. h. nur für den Fall, dass die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. falksches Schema

Als Hilfsmittel zur Berechnung von A · B kann das folgende Schema dienen: b11 A · B

…

…

b1k

…

…

b1n …

bp1

…

bpk

…

bpn

a1p

c11

…

c1k

…

c1n

…

…

aip

ci1

…

…

amp

cm1

mit cik = ai1b1k + … + aip bpk a11

…

… ai1

…

… am1

…

… …

cik

… …

… …

cmk

cin …

…

cmn

Anmerkung: Jede Zeile von A wird mit jeder Spalte von B so multipliziert wie das beim Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren der Fall wäre. Rechenregeln (Eigenschaften): (A · B) · C = A · (B · C) (A + B) · C = A · C + B · C (r A) · (s B ) = r s (A · B) (A · B)T = BT · AT (A · B)–1 = B–1 · A–1 Im Allgemeinen ist A · B ≠ B · A, d. h., die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Ma

Es gilt:  (AT​)​ ​ = A

68

Mathematik

Determinanten Begriff

aik ∈R; i, k, n ∈N* Eine (n-reihige) Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix A = A(n; n) = (ai k ) eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.

Ma

| 

a

…

a

a

|

      ​ a11  ​       ​  a12  ​      ​ … ​       ​ a1n  ​ 21 22 2n det A = |A| = ​       ​  …  ​ ​        ​ ​              ​ ​   ​   ​ …   …       ​  a   ​        ​  a    ​      ​ …  ​ ​         ​  a

Unterdeterminante zweireihige Determinanten dreireihige Determinanten

n1

n2

nn

Die Unterdeterminante det Aik (des Elements aik ) von det A ergibt sich durch Strei­ chen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte der zu det A gehörenden Matrix A = (aik). a | 

a

|

12 |A| = ​       ​ a11  ​ ​          ​   ​ = a11 a22 – a12 a21 a 21

| 

22

|

a11   a12   a13   a a23 a a23 a a22 a22   a23   |A| = ​   ​ a21  ​ ​          ​ ​  ​    ​ = a11 ​       ​  a22  ​ ​          ​   ​ – a12 ​       ​ a21  ​ ​          ​  ​ + a13 ​       ​ a21  ​ ​          ​  ​ a33 a33 a32 32 31 31 a31

a32

a33

| 

|

| 

|

| 

|

Berechnung mithilfe der Regel von Sarrus: n-reihige Determinanten

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a12a21a33 – a11a23a32 – a13a22a31

Eine n-reihige Determinante kann nach jeder Zeile oder Spalte mithilfe von ­Unterdeterminanten entwickelt werden. Beispiel: Entwicklung nach den Elementen der ersten Zeile n

|A| = S ​ ​   (–1)​ ​  i + 1a1i |A1i | i = 1

Lineare Gleichungssysteme Grundbegriffe und Schreibweisen Begriff des linearen Gleichungssystems

aik , bi , x i ∈R; i, k, m, n ∈N*

Ein System aus m linearen Gleichungen mit n Variablen x1, x2, …, xn wird lineares Gleichungssystem genannt. Jedes derartige Gleichungssystem lässt sich in folgender Form darstellen: a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … … am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

homogenes System

Ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Variablen (kurz: lineares (m; n)-Gleichungssystem), bei dem alle Konstanten bi (Absolutglieder) den Wert 0 haben, heißt homogen.

inhomogenes System Sind nicht alle Absolutglieder gleich null, so wird das System inhomogen genannt. Äquivalenz­ umformungen

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt bei folgenden Umfor­ mungen unverändert: (1) Vertauschen von Gleichungen (2) Multiplizieren einer Gleichung mit einer von null verschiedenen (reellen) Zahl (3) Addieren (des Vielfachen) einer Gleichung zu (dem Vielfachen) einer anderen

Lineare Gleichungssysteme

Unter Verwendung von Matrizen ergibt sich als weitere Schreibweise die folgende:

(

a

…

a

a

)( ) ( ) x

b

           ​ a11  ​       ​  a12  ​      ​  … ​       ​ a1n  ​     ​ x1 ​ ​ b1  ​ 21 22 2n        A · x = b bzw. ​ ​  …  ​ ​            ​ ​                  ​ ​     ​  ​ · ​      ​  …2 ​  ​= ​      ​  …2  ​  ​ …   …        ​ a     ​        ​  a     ​      ​  …  ​        ​  a     ​      ​  x  ​       ​ b    ​ m1

m2

mn

n

m

Die Matrix A = A(m; n) = (aik ) heißt Koeffizientenmatrix des linearen (m; n)-Glei­ chungssystems, die Matrix S = S(m; n + 1) = A | b wird erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. Systemmatrix genannt. Vektorschreibweise

Ein lineares (m; n)-Gleichungssystem kann mithilfe von (Spalten-)Vektoren folgen­ dermaßen dargestellt werden: a1x1 + a2x2 + … + an xn = b

ai i-ter Spaltenvektor b Konstantenvektor

Lösungsverfahren Determinanten­ verfahren

aik , bi , ci ∈R; i, k, m, n ∈N* Lineare (n; n) - Gleichungssysteme können mithilfe des Determinantenverfahrens gelöst werden. Dabei werden folgende Determinanten betrachtet:

| 

a

a

…

a

…

a

|

      ​ a11  ​       ​ a12  ​      ​  … ​      ​ a1i  ​      ​  … ​       ​  a1n  ​ 21 22 2i 2n |A| = ​       ​  …  ​ ​        ​ ​             ​ ​   ​ ​              ​ ​   ​   ​ …   …   …       ​  a    ​       ​ a   ​       ​  …  ​ ​          ​      ​  …  ​       ​ a    ​ a n1

n2

ni

nn

| 

a

a

…

b

…

a

|

      ​ a11  ​       ​ a12  ​      ​ … ​      ​ b1  ​      ​ … ​       ​ a1n  ​ 21 22 2 2n |Ai| =​       ​  …  ​ ​        ​ ​             ​ ​   ​ ​              ​ ​   ​   ​ …   …   … ​           ​       ​ a    ​      ​ …  ​      ​ b   ​      ​ …  ​       ​ a    ​ a n1

n2

n

nn

|A| ist die Koeffizientendeterminante; |Ai| ergibt sich, wenn in |A| die i-te Spalte durch den Konstantenvektor b ersetzt wird. Ist die Koeffizientendeterminante nicht null, erhält man als Lösung: i| ​   (cramersche Regel) xi = } ​ |A |A|

Lösbarkeitskriterien

Homogenes Gleichungssystem: |A| ≠ 0  ⇒  eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung) |A| = 0  ⇒  unendlich viele Lösungen Inhomogenes Gleichungssystem: |A| ≠ 0 |A| = 0 und |Ai| = 0 für alle i |A| = 0 und nicht alle |Ai| gleich 0

gaußsches Eliminierungsverfahren

⇒  eindeutig lösbar (cramersche Regel) ⇒  unendlich viele Lösungen ⇒  keine Lösung

Das gegebene lineare Gleichungssystem wird durch äquivalente Umformungen (bzw. Umformen der Koeffizientenmatrix A in eine obere Dreiecksmatrix) in ­Staffel- bzw. Dreiecksform gebracht. Im Fall m = n hat diese die folgende Gestalt: a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1

a'22x2 + … + a'2n xn = b'2

…

a'nn xn = b'n b'

Hieraus ergibt sich als erste Lösung  xn = } ​ a' n  ​,  und durch rückwärtiges Einsetzen nn

können sukzessive die Werte der Variablen xn – 1 bis x1 berechnet werden. Lösbarkeitskriterien

Homogenes Gleichungssystem: Rang A = n ⇒  eindeutig lösbar (Nullvektor als triviale Lösung) Rang A < n ⇒  unendlich viele Lösungen Inhomogenes Gleichungssystem: Rang A = Rang S = n ⇒  eindeutig lösbar Rang A = Rang S < n ⇒  unendlich viele Lösungen Rang A < Rang S ⇒  keine Lösung

Ma

Matrixschreibweise

69

70

Mathematik

Ma

Ausgewählte Computeralgebra-Befehle TI-89Plus/TI-92Plus

DERIVE

MATHCAD 8

Ausmultiplizieren

expand(Term)

EXPAND(Term)

Term entwickeln→

Polynomdivision

expand(Term)

EXPAND(Term)

M Term konvert,teilbruch,Var→

Faktorisieren

factor(Term)

FACTOR(Term)

Term faktor→

M

Lösen einer Gleichung

solve(Gl,Var)

SOLVE(Gl,Var)

Term auflösen,Var→

M

Lösen eines Gleichungssystems

solve(Gl1andGl2and… andGl n,{Var1,…Var n})

SOLVE([Gl1,…,Gl n], [Var1,…,Var n])

Lösungsblock suchen(Var1,…,Var n)

Ersetzen einer Variablen

Term

SUBST(Term,Var,Wert)

M Term ersetzen,Var=Wert→

größte ganze Zahl ≤ Term

floor(Term)

FLOOR(Term)

floor(Term)

kleinste ganze Zahl ≥ Term ceil(Term)

CEILING(Term)

ceil(Term)

Wertetabelle

Table(Term)

TABLE(Term, Var,min,max)

Var : Term=

Nullstellen einer Funktion

zeros(Term,Var)

SOLVE(Gl,Var) oder Term* CHI (a, Var, b)

Schätzwert wurzel (Term,Var)

abschnittsweise defi­ nierte Funktion

when(Bed,wahr,falsch)

IF(Bed,wahr,falsch)

wenn(Bed,wahr,falsch)

|

Var=Wert

;

M

min max

M

Ableitung einer Funktion

d

(Term,Var)

DIF(Term,Var)

d ​ }    ​ Term d Var

höhere Ableitungen

d

(Term,Var,Grd)

DIF(Term,Var,Grd)

d ​ }   ​ Term d Var

M

unbestimmtes Integral

(Term,Var)

INT(Term,Var)

​ ​  ​(Term,Var) ​   

E

M

b

M

bestimmtes Integral

(Term,Var,a,b)

INT(Term,Var,a,b)

​ ​   (T ​ erm,Var,a,b)

n

   

E a

Betrag eines Vektors

norm(Vek)

ABS(Vekt)

|Vekt|

Skalarprodukt

dotP(Vekt1,Vekt2)

(Zeilen-) Vekt*(Zeilen-) Vekt

Vekt*Vekt

Vektorprodukt

crossP(Vekt1, Vekt2)

CROSS(Vekt1, Vekt2)

Vekt × Vekt

Determinante einer Matrix

det(Matr)

DET(Matr)

|Matr|

transponierte Matrix

MatrT

inverse Matrix

Matr–1

Matr–1

Matr–1

Matrix in Diagonalform

rref(Matr)

ROW_REDUCE(Matr)

zref(Matr)

Zufallszahl Z mit 0 < Z ≤ n

rand(n)

RANDOM(n)+1

floor(rnd(n)+1)

arithmetisches Mittel

mean({Z1,…,Zn })

AVERAGE(Z1,…,Zn)

mittelwert(Matr)

Standardabweichung

stdDev({Z1,…,Zn })

STDEV(Z1,…,Zn)

stdev(Matr)

nCr(n,k)

COMB(n,k)

combin(n,k)

()

Binomialkoeffizient ​   ​ nk ​   ​

M Matr `

MatrT

M

M

In Abhängigkeit vom CAS (Computeralgebrasystem) können die Befehle eingegeben oder über ein Menü ak­ tiviert werden. Sie sind mit einem M gekennzeichnet, wenn sie ausschließlich über Menüs verwendet werden können. Die Syntax enthält den Namen des Befehls und in Kursivschrift die mit einzugebenden Parameter.

Physik Konstanten, Größen und Einheiten Physikalische Konstanten

(nach CODATA)

Fundamentale Naturkonstanten Größe

Formelzeichen

Wert

absoluter Nullpunkt atomare Masseeinheit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Ta u c

0 K = –273,15 °C 1,660 540 · 10 –27 kg 2,997 924 58 · 108 m · s–1

avogadro-Konstante (avogadro-Zahl) BoltzMann-Konstante coMPton-Wellenlänge des Elektrons

NA k λ C

6,022 140 76 · 1023 · mol–1 1,380 649 · 10–23 J · K–1 2,426 310 · 10–12 m

Faraday-Konstante

F

9,648 534 · 104 A · s · mol–1

LoschMidt-Konstante plancksches Wirkungsquantum (Planck-Konstante)

NL h

2,686 778 · 1025 m–3 6,626 070 15 · 10–34 J · s

RydbErg-Konstante

RH

1,097 373 · 107 m–1

RydbErg-Frequenz StEfan-BoltzMann-Konstante Solarkonstante für die Erde

Ry σ S

3,289 841 · 1015 Hz 5,670 400 · 10 – 8 W · m–2 · K– 4 1,367 · 103 W · m–2

Tripelpunkt von Wasser universelle Gaskonstante wiensche Konstante

Ttr R k

273,16 K = 0,01 °C 8,314 472 J · K–1 · mol–1 2,897 769 · 10–3 m · K

G, γ ε0 μ0

6,673 · 10–11 m3 · kg–1 · s–2 8,854 188 · 10–12 A · s · V –1 · m–1 4π · 10–7 V · s · A–1 · m–1 = 1,256 637 · 10– 6 V · s · A–1 · m–1

V0 p0 g0 T0, θ0

22,414 l · mol–1 101 325 Pa = 1,013 25 bar 9,806 65 m · s–2 ≈ 9,81 m · s–2 T0 = 273,15 K θ0 = 0 °C

e me

1,602 176 634 · 10–19 C 9,109 381 88 · 10–31 kg

Feldkonstanten Gravitationskonstante elektrische Feldkonstante magnetische Feldkonstante Normgrößen molares Normvolumen Normdruck Normfallbeschleunigung (Ortsfaktor) Normtemperatur Elementarteilchen Elektron Ladung (Elementarladung) Ruhemasse

spezifische Ladung

Neutron Ruhemasse Proton Ruhemasse

71

Ph

Konstanten, Größen und Einheiten

e ​ }   ​  m

1,758 820 · 1011 C · kg–1

mn mp

1,674 927 16 · 10–27 kg 1,672 621 58 · 10–27 kg

e

72

Physik

Ph

Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems (SI) Name

Zeichen

Definition

Meter

m

Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.

Kilogramm

kg

Das Kilogramm wird durch die Planck-Konstante h definiert: h  1 kg = ​}} ​      ​ ​ ​m–2 ​ ​s –34

Sekunde

s

Die Sekunde ist das 9 192 631 770-Fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids Cs-133 (Caesium) entsprechenden Strahlung.

Ampere

A

Das Ampere entspricht dem Stromfluss von 1/(​1,602 176 634 · 10​–19​) Elementarladungen (Elektronen) pro Sekunde. –1 e  1 A = ​​ }}     ​​ ​s​ ​ –19

( ​6,626 070 15 · 10​ ​)

(​6,602 176 634 · 10​ ​)

Kelvin

K

Das Kelvin entspricht einer Änderung der thermodynamischen Temperatur, welche eine Änderung der thermischen Energie um 1,380 649 · 10–23 J bewirkt.

Mol

mol

Das Mol enthält exakt 6,022 140 76 · 1023 Einzelteilchen. Diese Zahl wird Avogadro-Zahl genannt und entspricht der Avogadro-Konstante NA, wenn diese in der Einheit mol–1 angegeben wird.

Candela

cd

Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt durch ein Steradiant beträgt.

Ausgewählte Größen und Einheiten im Überblick Größe

Formelzeichen

Einheiten und Einheitenzeichen

Beziehungen zwischen den Einheiten

Aktivität (b S. 112)

A

Becquerel Bq

1 Bq

= 1 s–1

Äquivalentdosis (b S. 112)

H

Sievert Sv rem

1 Sv 1 rem

= 1 J · kg–1 = 10–2 Sv

Arbeit (b S. 91, 92)

W

Joule J Newtonmeter N · m Wattsekunde W · s Kilowattstunde kW · h

1 J 1 kW · h

= 1 kg · m2 · s–2 = 1 N · m = 1 W · s = 3,6 · 106 W · s

Beleuchtungsstärke (b S. 110)

E

Lux lx

1 lx

= 1 lm · m–2

Beschleunigung (b S. 87 f.)

a, g

Meter durch Quadratsekunde

1 m · s–2 = 1 N · kg–1

Brennweite (b S. 109)

f

Meter m

Brechwert (Brechkraft) (b S. 109)

D

Dioptrie dpt

 elektrische (b S. 100)

m · s–2

1 dpt

= 1 m–1

Konstanten, Größen und Einheiten

Formelzeichen

Einheiten und Einheitenzeichen

Beziehungen zwischen den Einheiten

Dichte (Massendichte) (b S. 76, 92)

ρ

Kilogramm durch Kubikmeter kg · m–3 1 kg · m–3 = 10–3 g · cm–3 Gramm durch Kubikzentimeter g · cm–3 1 g · cm–3 = 103 kg · m–3

Drehimpuls (b S. 91)

L

Newtonmetersekunde

Drehmoment (Kraft­ moment) (b S. 86)

M

Newtonmeter

Drehzahl (b S. 89)

n

durch Sekunde

Druck (b S. 92)

p

Energie (b S. 91, 94, 104, 112) innere (b S. 97) elektrische (b S. 103)

N · m · s

1 N · m · s = 1 kg · m2 · s–1 1 N · m

= 1 kg · m2 · s–2

1 s–1

= 60 min–1

Pascal Pa Bar bar Atmosphäre at Torr (Millimeter Quecksilbersäule) mmHg Meter Wassersäule mWs

1 Pa 1 bar 1 at 1 Torr 1 mWs

= 1 N · m–2 = 105 Pa = 9,81 · 104 Pa = 0,981 bar = 133,32 Pa = 9,81 · 103 Pa

E, U

Joule J Newtonmeter N · m Wattsekunde W · s Elektronenvolt eV Steinkohleneinheit SKE

1 J 1 eV 1 kg SKE

= 1 kg · m2 · s–2 = 1 N · m = 1 W · s = 1,602 177 · 10–19 J = 29,3 MJ

Energiedosis (b S. 112)

D

Gray Gy

1 Gy

= 1 J · kg–1 = 1 m2 · s–2

Enthalpie (b S. 97)

H

Joule J

1 J

= 1 kg · m2 · s–2

Entropie (b S. 97)

S

Joule durch Kelvin

1 J · K–1

= 1 kg · m2 · s–2 · K–1

Feldstärke, elektrische (b S. 102)

E

Volt durch Meter

V · m–1

1 V · m–1 = 1 kg · m · s–3 · A–1 = 1 N · C–1

Feldstärke, magnetische (b S. 104)

H

Ampere durch Meter

A · m–1

1 A · m–1 = 1 kg · m · s–3 · V–1 = 1 N · Wb–1

Fläche, Flächeninhalt

A

Quadratmeter m2

N · m s–1

J · K–1

Hektar ha Ar a

1 m2 1 ha 1 a

= 102 dm2 = 104 cm2 = 104 m2 = 102 m2

Fluss, elektrischer (b S. 102)

Ψ

Coulomb C

1 C

= 1 A · s

Fluss, magnetischer (b S. 104)

Φ

Weber Wb

1 Wb

= 1 V · s = 1 m2 · kg · s–2 · A–1

Flussdichte, elektrische (b S. 102)

D

Coulomb durch Quadratmeter

Flussdichte, magnetische (b S. 104)

B

Tesla T

1 T

= 1 Wb · m–2 = 1 V · s · m–2 = 1 N · m–1 · A–1

Frequenz (b S. 94, 108)

f

Hertz Hz

1 Hz

= 1 s–1

Geschwindigkeit (b S. 87 ff.), Ausbreitungsgeschwindigkeit (b S. 94, 107 f.)

v, u, c

Meter durch Sekunde m · s–1 Kilometer durch Stunde km · h–1 Knoten kn

1 m · s–1 1 km · h–1 1 kn

= 3,6 km · h–1 = 0,28 m · s–1 = 1 sm · h–1 = 1 852 m · h–1

C · m–2

1 C · m–2 = 1 A · s · m–2

Ph

Größe

73

Ph

74

Physik

Größe

Formelzeichen

Einheiten und Einheitenzeichen

Beziehungen zwischen den Einheiten

Impuls (Bewegungs­ größe) (b S. 89)

p

Kilogramm mal Meter durch Sekunde

Induktivität (b S. 105)

L

Henry H

1 H

= 1 Wb · A–1 = 1 m2 · kg · s–2 · A–2

Kapazität, elektrische (b S. 103)

C

Farad F

1 F

= 1 A · s · V –1

Kraft (b S. 86 f.)

F

Newton N Kilopond kp

1 N 1 kp

= 1 kg · m · s–2 = 1 J · m–1 = 9,81 N

N · s

1 N · s

= 1 kg · m · s–1

s–1

1 s–1

= 60 min–1 = 1 A · s

kg · m · s–1 1 kg · m · s–1 = 1 N · s

Kraftstoß (b S. 89)

I

Newton mal Sekunde

Kreisfrequenz (b S. 108)

ω

durch Sekunde

Ladung, elektrische (b S. 102)

Q

Coulomb C

1 C

Länge

l

Meter m

Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 m = 103 mm

Lautstärkepegel (Lautstärke) (b S. 94)

LN

Phon phon

Leistung (b S. 92, 98, 100, 105)

P

Watt W

Leitfähigkeit, elektrische (b S. 100)

γ, κ

Siemens durch Meter

Leuchtdichte (b S. 110)

LV

Candela durch Quadratmeter cd · m–2

Leuchtkraft (b S. 115)

L

Joule durch Sekunde

Lichtstärke (b S. 110)

l V

Candela cd

Basiseinheit des SI (b S. 72)

Lichtstrom (b S. 110)

Φ V

Lumen lm

1 lm

Masse (b S. 72)

m

Kilogramm kg Tonne t

Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 t = 103 kg

Schwingungsdauer (Periodendauer) (b S. 107, 108)

T

Sekunde s

b Zeit

Potenzial, elektrisches (b S. 100, 103)

φ

Volt V

1 V

Schalldruckpegel (b S. 94)

LA

Dezibel dB

Schallintensität (b S. 94)

I

Watt durch Quadratmeter

Spannung, elektrische (b S. 100)

U, u

Volt V

1 V

Stoffmenge (b S. 72)

n

Mol mol

Basiseinheit des SI (b S. 72)

Stromstärke, elektrische (b S. 72, 100)

I, i

Ampere A

Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 A = 1 kg · m2 · s–3 · V–1

S · m–1

J · s–1

W · m–2

1 W

= 1 J · s–1 = 1 V · A = 1 kg · m2 · s–3 = 1 N · m · s–1

1 S · m–1 = 1 Ω –1 · m–1 = 10–6 m · Ω–1 · mm–2

1 J · s–1 = 1 W

= 1 cd · sr

= 1 kg · m2 · s–3 · A–1

1 W · m–2 = 1 kg · s–3 = 1 kg · m2 · s–3 · A–1

Größe

Formelzeichen

Einheiten und Einheitenzeichen

Beziehungen zwischen den Einheiten

Temperatur (b S. 72, 95)

T

Kelvin K Grad Celsius °C Grad Fahrenheit °F Grad Réaumur °R

Basiseinheit des SI (b S. 72) 0 °C = 273,15 K 32 °F = 0 °C 212 °F = 100 °C 0 °R = 0 °C 80 °R = 100 °C

Trägheitsmoment (b S. 90)

J

Kilogramm mal Quadratmeter

1 kg · m2 = 1 N · m · s2

kg · m2

Vergrößerung eines opti­ V schen Gerätes (b S. 109)

1

Volumen

V

Kubikmeter m3 Liter l Registertonne RT

1 m3 1 l 1 RT

= 103 dm3 = 106 cm3 = 1 dm3 = 2,832 m3

Wärme, Wärmemenge (b S. 95 ff.)

Q

Joule J

1 J 1 cal

= 1 N · m = 1 kg · m2 · s–2 = 1 W · s = 4,19 J

Kalorie cal Wärmekapazität (b S. 95) Cth

Joule durch Kelvin

J · K–1

1 J · K–1 = 1 W · s · K–1

Wärmeleitwiderstand (b S. 95)

Rλ

Kelvin durch Watt

K · W –1

Wärmestrom (b S. 95)

Φth

Watt W

1 W

Weg (b S. 87 ff.)

s

Meter m

b Länge

Wellenlänge (b S. 94, 107 f., 110 f.)

λ

Meter m

b Länge

Widerstand, ohmscher (b S. 105)

R

Ohm Ω

1 Ω

= 1 V · A–1 = 1 S–1 = 1 m2 · kg · s–3 · A–2

Widerstand, induktiver (b S. 105)

XL

Ohm Ω

1 Ω

= 1 V · A–1

Widerstand, kapazitiver (b S. 105)

XC

Ohm Ω

1 Ω

= 1 V · A–1

Winkel (b S. 89)

α, β γ, φ

Radiant rad

1 rad

=} ​ 180°    ​ = 57,296° π

Grad °

1°

π =} ​ 180°    ​ rad

1 K · W –1 = 1 K · s3 · kg–1 · m–2

Winkelbeschleunigung (b S. 89)

α

durch Quadratsekunde

s–2

Winkelgeschwindigkeit (b S. 89)

ω

durch Sekunde

s–1

Wirkungsgrad (b S. 92, 98, 106)

η



Zeit, Zeitspanne, Dauer (b S. 72)

t

Sekunde s Minute min Stunde h Tag d

= 1 J · s–1

= 0,017 45 rad s–2

1

1 s–1

= 3 600 min–2 = 1 rad · s–2 = 60 min–1 = 1 rad · s–1

1 oder in %

Jahr a

Basiseinheit des SI (b S. 72) 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 1 440 min = 86 400 s 1 a = 365 d oder 366 d

75

Ph

Konstanten, Größen und Einheiten

76

Physik

Wertetabellen

Ph

Dichte ρ von festen Stoffen und Flüssigkeiten (b Ch, S. 116 – 125) feste Stoffe

Flüssigkeiten

ρ in g · cm–3 Stoff

Stoff Aluminium Beton Blei

2,70 1,8 … 2,4

bei 20 °C und 101,3 kPa

ρ in g · cm–3 Stoff

ρ in g · cm–3

Kupfer

8,96

Aceton (Propanon)

Messing (30 % Zn)

8,5

Benzin

0,79 0,70 … 0,78

11,35

Papier

0,7 … 1,2

Benzol (Benzen)

0,87

Diamant

3,51

Platin

21,45

Dieselkraftstoff

0,84 … 0,88

Eis (bei 0 °C)

0,92

Polypropylenfolie

Erdöl

0,73 … 0,94

7,86

Porzellan

Eisen Glas (Fensterglas) Gold

2,4 … 2,7 19,32

Gummi

Schnee (pulvrig) Silber

0,9 … 1,2

Holz (lufttrocken)

0,91 2,2 … 2,5 0,1

Methanol

0,79

Quecksilber

10,50

13,53

Salpetersäure 50 %

1,31

Silicium

2,33



65 %

1,40

Stahl

7,85

Salzsäure 37%

1,18

Buche

0,73

Styropor

0,03

schweres Wasser

1,10

Eiche

0,86

Zement

3,1 … 3,2

Spiritus (Ethanol 96 %)

0,83

Fichte

0,47

Ziegel

1,2 … 1,9

Transformatorenöl

0,87

8,8

Zink

7,13

Wasser destilliert

1,00

0,2 … 0,3

Zinn

7,29

Meerwasser

1,02

Konstantan Kork

Dichte ρ von Gasen (b Ch, S. 116 – 125) Stoff

bei 0 °C und 101,3 kPa

ρ in kg · m–3 Stoff

ρ in kg · m–3 Stoff

ρ in kg · m–3

Ammoniak

0,77

Kohlenstoffmonooxid

1,25

Sauerstoff

1,43

Chlor

3,21

Luft (trocken)

1,29

Stickstoff

1,25

Methan

0,72

Wasserdampf (100 %)

0,61

Erdgas (trocken)

≈ 0,7

Helium

0,18

Ozon

2,14

Wasserstoff

0,09

Kohlenstoffdioxid

1,98

Propan

2,02

Xenon

5,85

Reibungszahlen Stoff Beton auf Kies

Es sind Durchschnittswerte angegeben. Haftreibungszahl μ0

Rollreibungszahl μF (Fahrwiderstandszahl)

–

–

–

0,6

–

Holz auf Holz

0,6

0,5

–

Reifen auf Asphalt trocken nass

0,8 0,5

0,5 0,3

0,02 –

Stahl auf Eis

0,03

0,01

–

Stahl auf Stahl trocken geschmiert

0,15 0,10

0,10 0,05

0,002 0,001

Bremsbelag auf Stahl

0,8 … 0,9

Gleitreibungszahl μ

Wertetabellen

Luftwiderstandszahlen c w (Luftwiderstandsbeiwerte) cw

Körper

Durchschnittswerte cw

Scheibe

→

1,1

Pkw

Kugel

→

0,45

Omnibus

0,6 … 0,7

Halbkugel

→

0,3 … 0,4

Lkw

0,6 … 1,0

Schale

→

1,3 … 1,5

Motorrad

0,6 … 0,7

Rennwagen

0,15 … 0,2

Stromlinienkörper → 

0,06

0,25 … 0,45

Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe

Ph

Körper

bei Normalatmosphäre

Höhe in m

Druck in hPa

Höhe in m

Druck in hPa

Höhe in m

Druck in hPa

0 100 200 300 400 500 1 000

1 013,25 1 001,3 989,5 977,7 966,1 954,6 898,8

2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000

795,0 701,1 616,4 540,2 471,8 410,6 356,0

9 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 20 000

307,4 264,4 193,3 141,0 102,9 75,1 54,8

Lautstärke LN, Schalldruck p und Schallintensität I

bei 1 000 Hz und Normbedingungen in Luft

Lautstärke in phon

Schalldruck in N · m–2

Schallinten­ Beispiel sität in W · m–2

0

2 · 10–5

10–12

Hörschwelle

20

2 · 10– 4

10–10

übliche Wohngeräusche, Flüstern, ruhiger Garten

40

–3

–8

leise Rundfunkmusik, normales Sprechen

– 6

Unterhaltungslautstärke, Staubsauger

2 · 10

10

–2

60

2 · 10

10

80

2 · 10–1

10– 4

üblicher Lärm im Straßenverkehr, laute Rundfunkmusik im Zimmer

100

2

10–2

Presslufthammer, laute Autohupe

120

2 · 10

1

Donner, Flugzeugpropeller in geringer Entfernung

140

2 · 102

102

Schmerzschwelle, Gehörschädigung schon bei kurz­ zeitiger Einwirkung

Häufig wird die physiologische Größe Lautstärke durch die physikalische Größe Schallpegel (gemessen in dB) ersetzt.

Frequenzen der Töne der eingestrichenen Oktave

} Oktave: 12 Schritte mit einer Länge von je ​ √    2 ​  = 1,059 46

gleichmäßig temperierte Stimmung Ton relative ­Frequenzen absolute Frequenzen in Hz

c'

d'

e'

f'

12

g'

a'

b'

h'

c''

1,000 00 1,122 46 1,259 92 1,334 84 1,498 31 1,681 79 1,781 80 1,887 75 2,000 00 261,63

293,67

329,63

349,23

77

392,00

440,00

466,16

493,88

523,25

78

Physik

Schallgeschwindigkeit c feste Stoffe (bei 20 °C) Stoff

Ph

Flüssigkeiten (bei 20 °C) –1

c in m · s

Gase (bei 0 °C und 101,3 kPa) –1

Stoff

c in m · s

c in m · s–1

Stoff

Aluminium

5 100

Benzol (Benzen)

1 330

Ammoniak

415

Beton

3 800

Ethanol

1 190

Helium

981

Holz (Eiche)

3 380

Propantriol (Glyzerin)

1 920

Kohlenstoffdioxid

258

Eis bei – 4 °C

3 250

Quecksilber

1 430

Luft bei –20°C bei 0°C bei + 20°C

320 332 344

Stahl

4 900

Toluol (Toluen)

1 350

Sauerstoff

316

Ziegelstein

3 500

Wasser bei   0°C bei 20°C

1 407 1 484

Wasserstoff

Längenausdehnungskoeffizient α fester Stoffe α in 10–5 K–1 Stoff

Stoff

1 280

zwischen 0 °C und 100 °C

α in 10–5 K–1 Stoff

α in 10–5 K–1

Aluminium

2,4

Glas (Fensterglas)

1,0

Silber

2,0

Beton

1,2

Gold

1,4

Silicium

0,2

Blei

2,9

Konstantan

1,5

Stahl

1,2

Cadmium

3,1

Kupfer

1,6

Wolfram

0,4

Eis (bei 0 °C)

5,1

Messing

1,8

Ziegelstein

0,5

Eisen

1,2

Porzellan

0,4

Zinn

2,7

Volumenausdehnungskoeffizient γ von Flüssigkeiten γ in 10–3 K–1 Stoff

Stoff

bei 20 °C

γ in 10–3 K–1 Stoff

γ in 10–3 K–1

Aceton (Propanon)

1,4

Methanol

1,1

Schwefelsäure

0,6

Benzin

1,0

Petroleum

0,9

Toluol (Toluen)

1,1

Ethanol

1,1

Quecksilber

0,18

Wasser

0,21

Spezifische Wärmekapazität c von festen Stoffen und Flüssigkeiten feste Stoffe zwischen 0 °C und 100 °C Stoff

c in

kJ · kg–1 · K–1

Stoff

Flüssigkeiten bei 20 °C c in

kJ · kg–1 · K–1

Stoff

c in kJ · kg–1 · K–1

Aluminium

0,90

Messing

0,38

Aceton

2,10

Beton

0,90

Porzellan

0,73

Benzol (Benzen)

1,70

Blei

0,13

Stahl

0,47

Ethanol

2,43

Eis (bei 0 °C)

2,09

Wolfram

0,13

Methanol

2,40

Glas

0,86

Ziegelstein

0,86

Petroleum

2,0

Konstantan

0,42

Zink

0,39

Quecksilber

0,14

Kupfer

0,39

Zinn

0,23

Wasser

4,19

Wertetabellen

Spezifische Wärmekapazität von Gasen bei konstantem Druck cp und bei konstantem Volumen c V, spezifische Gaskonstante Rs

bei 0 °C

c V in kJ · kg–1 · K–1

Rs in J · kg–1 · K–1

Ammoniak

2,05

1,56

488

Helium

5,24

3,22

2 077

Kohlenstoffdioxid

0,85

0,65

189

Luft

1,01

0,72

287

Sauerstoff

0,92

0,65

260

Stickstoff

1,04

0,75

297

Wasserdampf Wasserstoff

1,86

1,40

462

14,28

10,13

4 124

Ph

cp in kJ · kg–1 · K–1

Stoff

Der Quotient cp : c V ergibt den Adiabatenkoeffizienten κ.

Wärmeleitfähigkeit λ

bei 20 °C und 101,3 kPa

feste Stoffe Stoff

λ in Stoff W · m–1 · K–1

Aluminium Beton Blei

234 1,1 35

Flüssigkeiten λ in Stoff W · m–1 · K–1

Kupfer Stahl

2,2

Ziegelstein

Holz (Eiche)

0,2

Zinn

Gase

λ in Stoff W · m–1 · K–1

λ in W · m–1 · K–1

398

Benzol (Benzen)

0,14

Helium

0,143

41 … 58

Ethanol

0,2

Luft

0,025

Quecksilber

8,7

Sauerstoff

0,024

Terpentin

0,14

Stickstoff

0,024

Wasser

0,6

Wasserstoff

0,17

Wolfram

Eis (bei 0°C)

169 0,4 … 0,8 63

Wärmeübergangskoeffizient α Körper

Richtwerte α in W · m–2 · K–1

Außenfenster

12

Außenseite geschlossener Räume

23

Innenflächen geschlossener Räume Innenfenster, Wandflächen Fußboden, Decken

 8  7

ruhendes Wasser um Rohre

350 … 600

siedendes Wasser an Metallflächen

3 500 … 6 000

siedendes Wasser in Rohren

4 700 … 7 000

Wärmedurchgangskoeffizient U Körper

Richtwerte U in W · m–2 · K–1

Außenwand (Hohlziegel) ungedämmt mit Dämmschicht (8 cm)

1,3 0,4

Glasscheiben einfach doppelt (6 mm Abstand)

5,8 3,5

Ziegeldach ungedämmt mit Dämmschicht (10 cm)

6,0 0,4

79

80

Physik

Schmelztemperatur θs (b Ch, S. 116 – 125) und spezifische Schmelzwärme qs

Ph

Stoff

θs in °C

Aluminum

660

Blei

327

qs in kJ · kg–1 396

θs in °C

Aceton

–94,7

82

Ethanol

–114,1

105

0

334

Methanol

–97,7

69

Eisen

1 540

275

Quecksilber

–38,9

Kupfer

1 083

205

Ammoniak

–78

339

Silber

961

104

Helium

–270

–

Stahl

≈ 1 500

270

Sauerstoff

–218,4

14

192,6

Stickstoff

–210

26

Wasserstoff

–259,1

59

Eis

Wolfram Zinn

3 410

24,8

qs in kJ · kg–1

Stoff

232

59

12

Siedetemperatur θv (b Ch, S. 116 – 125) und spezifische Verdampfungswärme qv qv in kJ · kg–1

θv in °C

qv in kJ · kg–1

Aceton

56

525

Benzol (Benzen)

80

394

6 322

Ethanol

78

845

2 970

1 578

Quecksilber

356,6

4 830

–

Wasser

100

2 256

Kupfer

2 600

4 650

Ammoniak

–33

1 370

Silber

2 210

2 357

Kohlenstoffdioxid

–78

574

Wolfram

5 500

4 190

Stickstoff

–195,8

198

Zinn

2 270

2 386

Wasserstoff

–252,5

455

Stoff

θv in °C

Aluminium

2 450

10 500

Blei

1 740

871

Eisen

3 000

Gold Graphit

Stoff

285

Maximale absolute Feuchte ρ w,max bei verschiedener Temperatur ρ w, max in g · m–3

θ in °C

ρ w, max in g · m–3

θ in °C

–10

2,14

2

5,6

14

12,1

– 8

2,54

4

6,4

16

13,6

– 6

2,99

6

7,3

18

15,4

– 4

3,51

8

8,3

20

17,3

–2

4,13

10

9,4

22

19,4

0

4,84

12

10,7

24

21,8

θ in °C

ρ w, max in g · m–3

Heizwert H (unterer Heizwert) von Stoffen (spezifischer Heizwert) Feste Stoffe

H in MJ · kg–1

Braunkohle

  8 … 15

Benzin

40 … 42 Erdgas (30 … 32 MJ · l–1)

  42 (31 MJ · m–3)

Braunkohlenbriketts

20

Diesel

43 (36 MJ · l–1)

Propan

  47 (94 MJ · m–3)

Holz (trocken)

  8 … 16

Heizöl

42,6 (37 MJ · l–1)

Stadtgas

  28 (17 MJ · m–3)

Steinkohle

27 … 33

Petroleum

51 (41 MJ · l–1)

Wasserstoff

120 (11 MJ · m–3)

Flüssigkeiten

H in MJ · kg–1

Gase

H in MJ · kg–1

Wertetabellen

81

Druckabhängigkeit der Siedetemperatur von Wasser Siedetemperatur in °C

Druck in kPa

Siedetemperatur in °C

50 60 70 80 90 100 101,325

81,34 85,95 89,96 93,51 96,71 99,63 100,00

105 200 300 400 500 800 1 000

101,0 120,2 133,5 143,6 151,8 170,4 180,0

Spezifischer elektrischer Widerstand ρ und elektrische Leitfähigkeit γ Leiter

ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1

Isolatoren

Alumi­ nium

0,028

3,6 · 107

Bernstein

Eisen

0,10

1,0 · 107

Glas

Gold

0,022

4,5 · 107

Kons­ tantan

0,50

2 · 106

Kupfer

0,017

5,9 · 107

ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1 > 1022

< 10–16

andere Stoffe

Ph

Druck in kPa

bei 20 °C

ρ in γ in Ω · mm2 · m–1 Ω–1 · m–1

Blut

1,6 · 106

0,63

1013 … 1017 10–11 … 10–7

Fett­ gewebe

3,3 · 107

0,03

Glimmer

1015 … 1017 10–11 … 10 –9

Kochsalzlösung (10 %)

7,9 · 104

Holz (trocken)

1010 … 1015

Kupfersulfatlösung (10 %)

3,0 · 105

3,3

Papier

1015 … 1016 10 –10 … 10–9

Meer­ wasser

5,0 · 105

2,0 0,50

10 –9 … 10 – 4

 

13

Silber

0,016

6,3 · 107

Polypropylenfolie

1011

10–5

Muskel­ gewebe

2,0 · 106

Stahl

0,10…0,20

5 · 106 … 10 · 106

Porzellan

1018

10–12

Salzsäure (10 %)

1,5 · 104

67

0,053

1,9 · 107

Wasser (destilliert)

1010

10–4

Schwefelsäure (10 %)

2,5 · 104

40

Wolfram

Hall-Konstante RH RH in 10–11 m3 · C –1

Stoff

RH in 10–11 m3 · C –1

Stoff

Aluminium

–3,5

Palladium

–8,6

Cadmium

+5,9

Platin

–2,0

Gold

–7,2

Silber

– 8,9

Kupfer

–5,2

Zink

+6,4

Austrittsarbeit WA von Elektronen aus Metallen Stoff

WA in eV

Stoff

WA in eV

Aluminium

WA in eV 4,20

Stoff Cadmium

4,04

Platin

5,36

Barium

2,52

Caesium

1,94

Wolfram

4,54

Barium auf Wolframoxid

1,3

Caesium auf Wolfram

1,4

Zink

4,27

82

Physik

Permittivitätszahl (relative Permittivität) εr Stoff

Ph

Bernstein Glas

bei 20 °C

εr

Stoff

εr

2,8

Luft

1,000 6

εr

Porzellan

5 … 6,5

5 … 16

Methanol

Glimmer

5…9

Papier

1,2 … 3,0

Vakuum

1

Holz

3 … 10

Paraffin

2,0

Wasser

81

Polypropylenfolie

2,2

Wasserstoff

keramische ­Werkstoffe

10 … 50 000

34

Stoff

Transformatorenöl

2,2 … 2,5

1,000 3

Permeabilitätszahl (relative Permeabilität) μr diamagnetische Stoffe Stoff

bei 20 °C

paramagnetische Stoffe μr

Stoff

ferromagnetische Stoffe μr

Stoff

μr

Antimon

0,999 884

Aluminium

1,000 02

Cobalt

Gold

0,999 971

Chromium

1,000 28

Dynamoblech

Quecksilber

0,999 966

Eisen(III)-chlorid

1,003 756

Eisen

250 … 680

Wasser

0,999 991

Luft

1,000 000 37

Nickel

280 … 2 500

Zink

0,999 986

Platin

1,000 2

Sonderlegierungen

Brechzahl n und Lichtgeschwindigkeit c Stoff

n

c in km · s–1

Benzol (Benzen)

1,50

200 000

Diamant

2,42

124 000

Eis

1,31

229 000

Flintglas leicht schwer

1,61 1,75

186 000 171 000

Flussspat

1,43

210 000

Glimmer

1,58

190 000

Kalkspat ordentlich außerordentlich

1,66 1,49

181 000 201 000

Kanadabalsam

1,54

195 000

Kronglas leicht schwer

1,51 1,61

199 000 186 000

Luft

1,000 292

299 711

Plexiglas

1,49

201 000

Polystyrol

1,59

189 000

Quarzglas

1,46

205 000

Schwefelkohlenstoff

1,63

184 000

Wasser

1,33

225 000

80 … 200 200 … 3 000

bis 900 000

Spektrallinien einiger Elemente Element

λ in nm

Argon

404,44 420,01 425,94 434,81

Barium

455,40 493,41 553,55

Helium

471,32 501,57

Natrium

588,995 (D2) 589,592 (D1)

Neon

540,06 588,19 638,30

Quecksilber

435,83 578,97 579,01

Wasserstoff (BalMer-Serie)

410,17 (Hδ ) 434,05 (Hγ ) 486,13 (Hβ ) 656,28 (Hα )

Zink

468,01 472,22 481,05

Wertetabellen

83

Spektrum elektromagnetischer Wellen Frequenz in Hz

Wellenlänge in m

4

Wechselstrom

bis 104

bis 3 · 10

Ph

Bezeichnung

hertzsche Wellen Langwellen (LW) Mittelwellen (MW) Kurzwellen (KW) Ultrakurzwellen (UKW, VHF, UHF)

3 · 104 … 3 · 105 3 · 105 … 3 · 106 3 · 106 … 3 · 107 3 · 107 … 3 · 109

104 … 103 103 … 102 102 … 10 10 … 0,1

Mikrowellen

3 · 109 … 1012

0,1 … 3 · 10– 4

Lichtwellen infrarotes Licht sichtbares Licht rotes Licht oranges Licht gelbes Licht grünes Licht blaues Licht violettes Licht ultraviolettes Licht

1012 … 3,8 · 1014 3,8 · 1014 … 7,7 · 1014 3,8 · 1014 … 4,8 · 1014 4,8 · 1014 … 5,0 · 1014 5,0 · 1014 … 5,3 · 1014 5,3 · 1014 … 6,1 · 1014 6,1 · 1014 … 7,0 · 1014 7,0 · 1014 … 7,7 · 1014 7,7 · 1014 … 3 · 1016

   3 · 10– 4 … 7,8 · 10–7 780 · 10–9 … 390 · 10–9  (780 nm … 390 nm) 780 · 10–9 … 620 · 10–9  (780 nm … 620 nm) 620 · 10–9 … 600 · 10–9  (620 nm … 600 nm) 600 · 10–9 … 570 · 10–9  (600 nm … 570 nm) 570 · 10–9 … 490 · 10–9  (570 nm … 490 nm) 490 · 10–9 … 430 · 10–9  (490 nm … 430 nm) 430 · 10–9 … 390 · 10–9  (430 nm … 390 nm) 3,9 · 10–7 … 10–8

Röntgenstrahlung

3 · 1016 … 5 · 1021

10–8 … 6 · 10–14

Gammastrahlung, kosmische Strahlung

größer als 3 · 1018

kleiner als 10–10

Halbwertszeit T1/2 und Art der Strahlung einiger Nuklide Nuklid

Halbwertszeit T1/2

Americium-241

Art der Strahlung

433 a

α, γ

30,17 a

β–

Cobalt-60

5,27 a

β–, γ

Iod-131

8,04 d

β–

Caesium-137

Kohlenstoff-14

β–

5 730 a

Krypton-85

10,76 a

β–, γ

Plutonium-238

87,74 a

α, γ

Radium-226

1 600 a

Radon-220

α, γ

55,6 s

α

7,1 · 108 a 4,5 · 109 a

Uran -235 -238

α α

Mittlerer Qualitätsfaktor q Strahlungsart

Qualitätsfaktor q

β -Strahlung γ -Strahlung Röntgenstrahlung

thermische Neutronen

schnelle Neutronen

α -Strahlung

schwere Ionen

1

2,3

10

20

20

84

Physik

Nuklidkarte (vereinfachter Ausschnitt) U

Ph

92

U 222 U 223

238,029

1 µs

α 5,3 ms

231,036

α : 8,24

Th

90

α: 8,78

U 224 U 225 U 226 0,7 ms

α: 8,47

95 ms

α: 7,88

0,2 s

α : 7,57

Pa 213 Pa 214 Pa 215 Pa 216 Pa 217 Pa 218 Pa 219 Pa 220 Pa 221 Pa 222 Pa 223 Pa 224 Pa 225

Pa

91

18 µs

17 ms

α : 8,12

14 s

α : 8,09

0,2 s

α : 7,87

4,9 ms

α : 8,33

0,12 ms

α : 9,61

53 ns

0,78 µs

α : 9,90

α : 9,65

5,9 µs

α : 9,08

4,3 ms

α : 8,21

6,5 ms

0,95 s

α : 8,01

1,8 s

α : 7,555 α : 7,25

Th 212 Th 213 Th 214 Th 215 Th 216 Th 217 Th 218 Th 219 Th 220 Th 221 Th 222 Th 223 Th 224

232,038

30 ms

0,14 s

0,10 s

1,2 s

28 ms

α : 7,80

α : 7,69

α : 7,68

α : 7,39

α : 7,92

252 µs

α : 9,25

0,1 µs

1,05 µs

α : 9,67

α : 9,34

9,7 µs

α : 8,79

1,68 ms

α : 8,15

2,2 ms

0,66 s 1,04 s γ : 0,140 γ : 0,177 α : 7,324 α : 7,17

α : 7,98

Ac 209 Ac 210 Ac 211 Ac 212 Ac 213 Ac 214 Ac 215 Ac 216 Ac 217 Ac 218 Ac 219 Ac 220 Ac 221 Ac 222 Ac 223 89

90 ms

0,35 s

α : 7,59

α : 7,46

0,25 s

α : 7,481

0,93 s

0,80 s

α : 7,38

α : 7,36

8,2 s

0,17 s

α : 7,214

α : 7,604

0,33 ms

0,069 µs

α : 9,028 α : 9,65

1,1 µs

11,8 µs

α : 9,205

α : 8,664

Ra 208 Ra 209 Ra 210 Ra 211 Ra 212 Ra 213 Ra 214 Ra 215 Ra 216 Ra 217 Ra 218 88

1,3 s

4,6 s

α : 7,133 α : 7,010

3,7 s

α : 7,019

13 s

13 s

2,74 min 2,46 s ε , γ : 0,110 ε α : 6,911 α : 6,9006 α : 6,624 α : 7,136

1,6 ms

0,18 µs

1,6 µs

α : 8,699 α : 9,349

α : 8,99

25,6 µs

α : 8,39

26 ms γ : 0,134 α : 7,85

Anzahl der Protonen (Ordnungszahl, Kernladungszahl) Z

87

14,8 s 58,6 s 50,0 s 3,18 min 3,10 min 20,0 min 34,6 s ε γ : 0,636 ε ε , γ : 0,644 ε , γ : 0,540 ε , γ : 1,274 ε α : 6,767 α : 6,636 α : 6,648 α : 6,543 α : 6,535 α : 6,262 α : 6,775

5,0 ms

0,09 µs

0,70 µs

α : 8,426 α : 9,36

α : 9,01

5,0 s

2,10 min

α : 7,009

α : 6,647

219 Ra 220

221 Ra 222

218 Fr 219

220 Fr 221

10 ms γ : 0,316 α : 7,679

Fr 207 Fr 208 Fr 209 Fr 210 Fr 211 Fr 212 Fr 213 Fr 214 Fr 215 Fr 216 Fr 217

52 ms

α : 7,65

16 µs

22 ms

α : 8,315

α : 7,615

23 ms 28 s 38 s γ : 0,465 γ : 0,149 γ : 0,324 α : 7,46 α : 6,613 α : 6,559 21 ms

27,4 s γ : 0,045 α : 7,312 α : 6,68

4,9 min γ : 0,218 α : 6,341

Rn 206 Rn 207 Rn 208 Rn 209 Rn 210 Rn 211 Rn 212 Rn 213 Rn 214 Rn 215 Rn 216 Rn 217 Rn 218 Rn 219 Rn 220 5,67 min 9,3 min

24,4 min 28,5 min

α : 6,260

α : 6,138

2,4 h

14,6 h

24 min

α : 6,040

α : 5,783

α : 6,264

86 ε , γ : 0,498 ε , γ : 0,345 ε , γ : 0,427 ε , γ : 0,408 ε , γ : 0,458 ε , γ : 0,674 γ α : 6,133

α : 6,039

25 ms γ α : 8,09

2,3 µs

45 µs

α : 9,037 α : 8,67

0,27 µs

α : 8,05

0,54 ms 35 ms 3,96 s γ γ : 0,271 α : 7,740 α : 7,133 α : 6,819

55,6 s γ α : 6,288

At 205 At 206 At 207 At 208 At 209 At 210 At 211 At 212 At 213 At 214 At 215 At 216 At 217 At 218 At 219

85

26,2 min 29,4 min 1,8 h 1,63 h 5,4 h 8,3 h 7,22 h 314 µs ε , γ : 0,719 ε , γ : 0,701 ε , γ : 0,815 ε , γ : 0,686 ε , γ : 0,545 ε , γ : 1,181 ε γ : 0,063 α : 5,092 β+ : 3,1 α : 5,640 α : 5,647 α : 5,524 α : 5,867 α : 7,68 β+

0,11 µs

0,76 ms 0,1 ms γ γ α : 8,782 α : 8,026

α : 9,08

0,3 ms 32,3 ms 2s 0,9 min γ , β– β– γ γ , β– α : 7,804 α : 7,069 α : 6,694 α : 6,27

Po 204 Po 205 Po 206 Po 207 Po 208 Po 209 Po 210 Po 211 Po 212 Po 213 Po 214 Po 215 Po 216 Po 217 Po 218

84

3,53 h 1,66 h 8,8 d 5,84 h 2,898 a 102 a 138,38 d 25,2 s 45,1 s γ : 0,570 γ : 2,615 γ ε , γ : 0,884 ε , γ : 0,872 ε , γ : 1,032 ε , γ : 0,992 ε ε α : 5,377 α : 5,22 α : 5,2233 α : 5,116 α : 5,1152 α : 4,881 α : 5,3044 α : 7,275 α : 11,65

4,2 µs

α : 8,376

164 µs 1,78 ms 0,15 s 0

V

p W

Q

V V1 V2 p Druck V Volumen Qrev reversibel aufgenommene Wärme k BoltzMann-Konstante (b S. 71) W thermodynamische Wahr­ scheinlichkeit

Thermisches Verhalten des idealen Gases Normzustand des idealen Gases

thermische Zustands­ gleichung des idealen Gases

θ0 = 0 °C

T0 = 273,15 K

θ0,T0 Normtemperatur

p0 = 1,013 25 · 105 Pa = 101,325 kPa

p0 Normdruck

V0 = 2,241 4 · 10–2 m3 · mol–1

V0

Unter der Bedingung m = konstant gilt:

V Volumen p Druck T Temperatur n Stoffmenge Rs spezifische Gaskonstante (b S. 79) R universelle Gaskonstante (b S. 71) m Masse cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (b S. 79) cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (b S. 79) k BoltzMann-Konstante (b S. 71) M molare Masse NA Avogadro-Konstante (b S. 71)

p · V

p  · V

p  · V

​  T    ​ = konstant }

1 1 ​ }     ​  = } ​  2T   2  ​  T

p · V = n · R · T

p · V = m · Rs · T

Gaskonstanten

R Rs = ​ }   ​  Rs = cp – cV M

R = k · NA

isotherme Zustands­ änderung (Gesetz von BoylE und MariottE)

Unter der Bedingung T = konstant gilt:

isobare Zustands­ änderung (Gesetz von Gay-Lussac)

Unter der Bedingung p = konstant gilt:

isochore Zustands­ änderung (Gesetz von aMontons)

Unter der Bedingung V = konstant gilt:

adiabatische Zustandsänderung (Gesetze von Poisson)

Unter der Bedingung Q = 0 gilt:

p · V = konstant

1

2

p1 · V1 = p2 · V2

V

V

V ​ }  ​ = konstant ​ }1  ​  = ​ }2  ​ T T T 1

p

2

p

p ​ }  ​ = konstant ​ }1  ​  = ​ }2  ​ T T T 1

p · V κ = konstant

( )

V κ – 1

T

1 ​ }  ​= ​​ } ​  V2 ​​​ T 2

1

​

2

p1 · V1κ = p2 · V2κ T

​  κ –1    ​ }  κ

( ) p

1 ​ }  ​ ​​ ​  1 ​​​ T  =  } p 2

molares Normvolumen

2

​

κ Adiabatenkoeffizient (Poisson-Konstante) (b S. 79) 5 κ = } ​  3 ​≈ 1,67 (einatomiges Gas) 7 κ = } ​  5 ​≈ 1,40 (zweiatomiges Gas)

98

Physik

Reale Gase 2

(

)

a, b van der waalssche Konstanten V Volumen R univers. Gaskonstante (b S. 71) T Temperatur n Stoffmenge

a · n ​ p + ​ }    ​  ​ · (V – b · n) = n · R · T 2 V 

Ph

van der waalssche Zustandsgleichung

Kinetische Theorie der Wärme Die folgenden Gleichungen gelten für das ideale Gas unter Normbedingungen. Anzahl der Gasteilchen N

N = NA · n

n Stoffmenge NA Avogadro-Konstante (b S. 71)

molares Volumen Vm

Vm = } ​ V  ​ n

V Volumen

molare Masse M

M=} ​ m   ​ n

m Masse

Masse eines Teilchens m T

m m T = ​ }  ​   N

Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeits }  quadrat der Teilchen v ​ ​   

 }  ​v ​   =

wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen vW

m T = } ​ NM  ​  A

} 3R · T

√​   M   } 

R universelle Gaskonstante (b S. 71) Rs spezifische Gaskonstante (b S. 79) T Temperatur v Geschwindigkeit M molare Masse k BoltzMann-Konstante (b S. 71)

} √ ρ  

 }  ​      ​ ​ = √ ​  3Rs · T ​ ​ v ​   ≈ ​ } ​ 3p  ​ ​  }

} 2R · T vW = √ ​}  2Rs · T  ​  = ​ ​ }      ​​   M

√ 

vW =

 }  0,886 ​v ​   

 }  mittlere  kinetische E ​    ​ = } ​  3 ​  k · T k = } ​ NR  ​  }  ­Energie E ​  kin  ​ der Teilchen kin 2 A

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

 } 

p · V = } ​ 13 ​  ·  N · mT · ​v   2  ​  p · V = N · k · T

p · V = m · Rs · T

p · V = n · R · T

p · V = } ​ 23 ​  ·  N · ​E kin  ​ 

 } 

 } 

p=} ​ 13 ​  ρ · ​v   2  ​  innere Energie U

U=

 }  N · ​E kin  ​  

p Druck ρ Dichte (b S. 76)

U=} ​ 12 ​  f · n · R · T

f Anzahl der Freiheitsgrade (f = 3 für einatomiges Gas, f = 5 für zweiatomiges Gas)

Leistung und Wirkungsgrad Leistung von ­Wärmequellen Pth (thermische Leistung)

Pth = } ​  tab    ​ 

Qab abgegebene (nutzbare) Wärme t Zeit

Wirkungsgrad η von Wärmequellen

ab η = ​ }    ​ Q

Qzu zugeführte (aufgewandte) Wärme

thermischer Wirkungsgrad η

Unter der Bedingung eines Carnotoder Stirling-Prozesses gilt:

Tzu Temperatur, bei der Wärme zugeführt wurde Tab Temperatur, bei der Wärme abgegeben wurde

Q

Q

zu

Q  – Q

η=} ​  zuQ   ab  ​   zu

T

η=1–} ​ Tab  ​ zu

Elektrizitätslehre

99

Elektrizitätslehre

L1 L2 L3 PEN

Leiter, Kabel, Stromweg

Buchse und Stecker

θ

NTC-Widerstand (Heißleiter)

Dreiphasen-Vierleitersystem

Spannungsquelle (allgemein)

θ

PTC-Widerstand (Kaltleiter)

Kreuzung von Leitern ohne Verbindung

galvanische Spannungsquelle (Batterie)

G

Leitungsverzweigung: fest, lösbar

Widerstand (allgemein)

M

Erde (allgemein)

stellbarer Widerstand

–

+

Generator

Motor

Kondensator stellbar

Schutzerde

Schalter als ­Schließer Öffner

Masse

Taster als Schließer Öffner

Fotowiderstand

Gehäuse

handbetätigter Schalter (allgemein)

Diode

Schutzisolierung

Glühlampe

Lichtemitterdiode (LED)

Sicherung

Glimmlampe

Fotoelement

Antenne

Spule, Drossel

npn-Transistor

Hörer

Spule mit Eisenkern

Lautsprecher

Transformator

Klingel

Dauermagnet

–

Elektrolyt­ kondensator

+

D G S

Feldeffekt­ transistor

V

Spannungs­ messgerät

A

Stromstärke­ messgerät

Ph

Schaltzeichen und Symbole

100

Physik

Einfacher Gleichstromkreis elektrische Spannung U

U = φ2 – φ1

Ph

U= elektrische Stromstärke I

​ W   ​ } Q

U = U0 – I · Ri U=

I=} ​ dQ    ​   dt

​ PI  ​ }

U = I · R I=} ​ ΔQ    ​  Δt

Unter der Bedingung eines stationären Stromes (I = konstant) gilt:

φ1 elektrisches Potential im Punkt 1 φ2 elektrisches Potential im Punkt 2 U0 Urspannung der Spannungsquelle Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle Q elektrische Ladung t Zeit

Q I = ​ }   ​ t

U0

elektrischer Widerstand R

R=} ​ UI  ​

elektrischer Leitwert G

G=} ​ R1 ​

elektrische Leistung P

P = U · I

W P = ​ }   ​ t

elektrische Arbeit W

W = P · t

W = U · I · t

ohmsches Gesetz

Unter der Bedingung θ = konstant gilt: ρ spezifischer elektrischer WiderU U stand (b S. 81) U ~ I ​ }   ​= konstant ​ }  ​= R I I l Länge des Leiters Unter der Bedingung θ = konstant gilt: A Querschnittsfläche

Widerstandsgesetz

A

I

R V

U

l R = ρ · ​ }   ​ A

elektrische Leitfähigkeit γ

γ=} ​ 1ρ ​

Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes

Unter der Bedingung kleiner ­Temperaturdifferenzen gilt: ΔR = α · R20 · Δθ mit Δθ = θ – 20 °C Rθ = R20 (1 + α · Δθ ) Unter der Bedingung größerer ­Temperaturdifferenzen gilt: R = R20 [1 + α · Δθ + β(Δθ)2]

Rθ Widerstand bei der Temperatur θ R20 Widerstand bei 20 °C θ Temperatur α, β Temperaturkoeffizienten (Temperaturbeiwerte)

Unverzweigter und verzweigter Gleichstromkreis Reihenschaltung von Widerständen

Parallelschaltung von Widerständen U

U I1

I

I R1, U1

R1, U1

R2, U2

R2, U2 I2

I = I1 = I2 = … = In

I = I1 + I2 + … + In

U = U1 + U2 + … + Un

U = U1 = U2 = … = Un

R = R1 + R2 + … + Rn

1 ​ }  ​= } ​ R1  ​ + } ​ R1  ​+ … + } ​ R1  ​ R

U1 R Spannungsteilerregel: ​ }   ​ = } ​ R1 ​ U2 2

1 Stromteilerregel: ​ }  ​ = } ​ R2 ​ I

1

2

n

I

R

2

1

Elektrizitätslehre

Reihenschaltung von Spannungsquellen

Parallelschaltung von Spannungsquellen U V

V

U1

U1

Ph

U

V

U2 V

U2

U = U1 + U2 + … + Un

Unter der Bedingung gleicher Spannungsquellen gilt: U = U1 = U2 = … = Un

1. kirchhoffsches Gesetz (Knotenpunktsatz)

2. kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz) R2

I4

I2

R1

I5

I1

U2

U1

R4  

U3

U4

I3  

n

​S   ​I​  zu​= S ​    ​I​  ab​ ​S    ​I k​= 0

n

n

m

i = 1

i = 1

k = 1

R3 U0,2

U0,1

​S  ​U   i​= S ​   ​R   i​  ·  Ii = S ​   ​U   0, k​

k = 1

Internationaler Farbcode für Widerstände der Reihen E6, E12, E24 Farbe

1. Ziffer

2. Ziffer

Multiplikator

Toleranz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – –

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – –

×1Ω × 10 Ω × 100 Ω × 1 000 Ω × 10 000 Ω × 100 000 Ω × 1 000 000 Ω – – – × 0,1 Ω × 0,01 Ω

– ± 1 % ± 2 % – – – – – – – ± 5 % ± 10 %

Schwarz Braun Rot Orange Gelb Grün Blau Violett Grau Weiß Gold Silber

– 1. Ziffer – 2. Ziffer – Multiplikator – Toleranz

Ausgewählte Grundschaltungen Spannungsteilerschaltung (Potenziometerschaltung)

V U

R1 R2

101

Ra

V

U2

U Gesamtspannung U2 Teilspannung R1, R2 Teilwiderstände Ra Lastwiderstand

R

2 U2 = }} ​       ​  ·  U R  · R 1 2 R1 + R2 + ​ }      ​ R a

102

Physik

Zusammenhänge im vollständigen Stromkreis A

Ph

Ri

V

U0

I Ra

UK

Für die Klemmenspannung gilt: UK = U0 – (I · Ri) U

0 I=} ​ R  + R    ​ 

Für die Stromstärke gilt:

i

Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle U0 Urspannung der Spannungsquelle (Leerlaufspannung) I Stromstärke Ra Außenwiderstand UK Klemmenspannung Ra → ∞

I=0

UK = U0

Kurzschluss: Ra → 0

U ​ R0  ​ } i

UK → 0

Leerlauf:

I=

Anpassung (maximale Leistung):  Ra = Ri

a

Brückenschaltung (wheatstonesche Brücke)

U

R1

R3

U Gesamtspannung I Stromstärke in der Brücke R1, R2, R3, R4 Teilwiderstände

R4

1 Abgleichbedingung:  I = 0  ​ }  ​ = ​ }3 ​ R R

A I

R2

R

R

2

4

Elektrisches Feld elektrische Ladung Q

Q = N · e

N Anzahl der Elektronen e Elementarladung (b S. 71) I Stromstärke t Zeit

t2

E 

Q = ​ ​I​   (t)​  dt t1

Unter der Bedingung I = konstant gilt: Q = I · t coulombsches Gesetz

Unter der Bedingung, dass Punkt­ ladungen vorliegen, gilt: Q  · Q

1 1 F = ​ }    ​   · ​ }   2  ​  2 4 π · ε  · ε 0

elektrische Feldstärke E

r

r 

F E = ​ }   ​ Q

Unter der Bedingung eines homogenen elektrisches Feldes gilt: U E = ​ }   ​ s

elektrische Flussdichte D D = ε0 · εr · E (dielektrische Verschiebung) Dielektrizitäts­konstante ε

ε = ε0 · εr

elektrischer Fluss ψ

ψ = ​  ​D ​   ​dA

F Kraft ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) r Abstand der Punktladungen voneinander

Q1

F

Q2

r s Abstand der Punkte, zwischen denen die Spannung U besteht A α

Für das Vakuum gilt: εr = 1  

E   

Unter der Bedingung D = konstant und D || A gilt: ψ = D · A

–F

A Fläche

D

Elektrizitätslehre

allgemein:

im Radialfeld:

s1

E 

Q φ=} ​ 4π · ε1  · ε  ​   · ​ }   ​ r

φ = ​ ​E ​   (s)​  ds

0

s0

r

—

P0

s2

elektrische Spannung U

E 

U = ​ ​E ​   (s)​  ds

U = Δφ = φ2 – φ1

In einem homogenen Feld gilt: W U = ​ }   ​ Q

P2

P1

s1

φ1 elektrisches Potential im Punkt P1 φ2 elektrisches Potential im Punkt P2 s Weg W Arbeit im elektrischen Feld Q Ladung

U = E · s

Kondensatoren Kapazität C eines ­Kondensators

C=} ​ Q  ​ U

Durchschlagsfestigkeit Ed

Ed = } ​ U  ​ d

elektrische Feldstärke E in einem Platten­ kondensator

E=} ​ U  ​ d

Q Ladung U Spannung d Abstand der Platten

Dielektrikum d

Kapazität C eines ­Plattenkondensators

C=

Energie E des elektrischen Feldes eines Kondensators

E=} ​ 12 ​  C · U 2

Aufladen eines Kondensators

UC = U · ​ 1 – ​e​ (R · C )​​

I = I0 · ​e​ (R · C )​

Entladen eines Kondensators

UC = U · ​e​ (R · C )​

I = –I0 · ​e​ (R · C )​

Zeitkonstante τ

τ = R · C

A ε0 · εr · ​ }  ​ d

(

)

– ​ }  ​  t   ​  ​

– ​ }  ​  t   ​  ​

Reihenschaltung von Kondensatoren

ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) A Fläche d Abstand der Platten – ​ }  ​  t   ​  ​

– ​ }  ​  t   ​  ​

UC Spannung am Kondensator R ohmscher Widerstand C Kapazität t Zeit I Stromstärke I0 Anfangsstromstärke

Parallelschaltung von Kondensatoren

U C1 U1

U C2 U2

1 ​ }  ​= } ​ C1  ​ + } ​  C1  ​+ … + } ​ C1  ​ C

C = C1 + C2 + … + Cn

U = U1 + U2 + … + Un

U = U1 = U2 = … = Un

1

2

n

+

–

C1

U1

C2

U2

Ph

elektrisches Potenzial φ

103

104

Physik

Magnetisches Feld magnetische Feldstärke H

Für das Feld außerhalb eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt:

I Stromstärke r Abstand vom Leiter

Ph

I H=} ​ 2π · r    ​ 

+

I

Für das Feld im Inneren einer langen stromdurchflossenen Spule gilt: H=} ​ N · I    ​  l Für das Feld im Inneren einer kurzen stromdurchflossenen Zylinderspule gilt: N · I H=} ​  }    ​  2 2 ​√ 4r   + l   ​ 

magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion)

r

–

N l r

Windungszahl der Spule Länge der Spule Radius der Windungen

B = μ0 · μr · H

l

Für das Feld außerhalb eines geraden stromdurchflossenen Leiters gilt: I B = μ0 · μr · ​ }    ​  2π · r

Für das Feld im Inneren einer langen stromdurchflossenen Spule gilt: N · I B = μ0 · μr · ​ }    ​  l

–

+

 

magnetischer Fluss Φ

E 

μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) Unter der Bedingung B = konstant und μr Permeabilitätszahl (b S. 82) B || A bzw. B senkrecht zur Fläche gilt: A Fläche Φ = ​  ​B ​  ​ dA  

Φ = B · A B

P2

magnetische Spannung V

E 

Leiterschleife

P1

In einem homogenen Feld gilt: V = H · s magnetischer ­Widerstand Rm

Rm =

V ​ Φ  ​   }

Kraft FL auf einen bewegten Ladungsträger (LorEntz-Kraft)

FL = Q · (v × B )

Kraft F auf einen stromdurchflossenen Leiter

F = l · (I × B )

Rm =

​ μ  · μl  · A ​  } 0 r

Unter der Bedingung v ⊥ B gilt: FL = Q · v · B

H magnetische Feldstärke s Weg l Länge Φ magnetischer Fluss Q Ladung v Geschwindigkeit B magnetische Flussdichte I Stromstärke F

Unter der Bedingung I ⊥ B gilt: F = l · I · B

Energie E des magnetischen Feldes einer stromdurchflossenen Spule

E = ​ }21 ​  L · I 2

Energiedichte ω des magnetischen Feldes

​ VE ​ }

+

I

l B

L ω=

A

α

V = ​ ​H ​   (s)​  ds

ω=

​ 12 ​  B · H }

Induktivität der Spule

V Volumen

–

Elektrizitätslehre

105

Elektromagnetisches Feld dΦ Ui = – ​ }    ​  dt

Ui induzierte Spannung t Zeit N Windungszahl s Weg B magnetische Flussdichte A Fläche

Unter den Bedingungen einer gleichmäßigen Änderung des magnetischen Feldes und B ⊥ A gilt für eine Spule: Δ(B · A) Ui = – N · ​ }     ​  Δt

Für einen bewegten Leiter mit v ⊥ B gilt:

B

Ui = – B · l · v Selbstinduktions­ spannung Ui in einer Spule

Ui =

A

dI – L · ​ }  ​ dt

Unter der Bedingung einer gleichmäßi­ gen Änderung der Stromstärke gilt:

v l

Geschwindigkeit des Leiters Länge des Leiters bzw. der Spule B

ΔI Ui = – L · ​ }  ​ Δt

Induktivität L einer Spule

l v

Für eine lange Spule gilt: L=

Ph

Induktionsgesetz

μ  · μ  · N 2 · A ​  0 r l    ​  }

t Zeit I Stromstärke μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) μr Permeabilitätszahl (b S. 82)

Wechselstromkreis Stromstärke im ­Wechselstromkreis

Momentanwert: i = imax · sin (ω · t + φ0)

Spannung im ­Wechselstromkreis

Momentanwert: u = umax · sin (ω · t + φ0)

Effektivwert:

I

1 =​ }   ​  i ​√}  2 ​  max

≈ 0,7 imax

Effektivwert:

U=} ​ 1}  ​  umax ≈ 0,7 umax

Scheinleistung S

S = U · I

S = ​√ P 2 + Q 2 ​ 

Wirkleistung P

P = U · I · cos φ

Blindleistung Q

Q = U · I · sin φ

​√ 2 ​ 

}

ω Kreisfrequenz i Momentanwert t Zeit imax Scheitelwert I Effektivwert φ0 Phasenwinkel u Momentanwert umax Scheitelwert U Effektivwert cos φ Leistungsfaktor φ Phasenverschiebungswinkel

Widerstände im Wechselstromkreis ohmscher Widerstand R

induktiver Widerstand XL

kapazitiver Widerstand XC

R=} ​ UI  ​

XL = } ​ UI  ​

XC = } ​ UI  ​

Für einen metallischen Leiter gilt unter der Bedingung θ = konstant

Für eine Spule gilt:

Für einen Kondensator gilt:

l R = ρ · ​ }   ​ A

XL = ω · L

1 XC = } ​ ω · C    ​ 

u, i

u, i

u i ω·t

φ=0

u

φ π φ = + ​ }  ​ 2

u, i

u

i

i ω·t

φ π φ = – ​ }  ​ 2

ω·t

106

Physik

Reihenschaltung von R, XL und XC

Parallelschaltung von R, XL und XC

Schaltplan V

Ph

A

I

R

V

U XL

XC

L

C

I

Z

X

φ

Scheinwiderstand Z

Z = ​√ R 2 + X 2 ​  

Phasenverschiebung φ

C

1 X

φ 1 R

1 XL 1 1 ​ }  ​= ω · C – } ​ ω · L    ​  X

} X  – X

1 Z

1 1 XC XL

R

XC 1 X = ω · L – } ​ ω · C    ​ 

L

1 XC

XL

Blindwiderstand X

XL XC

Zeigerdiagramm

XL – XC

U

R

A

Z=} ​ UI  ​ 1 ω L – ​ }    ​ ωC

√ R 

} 1 1 ​ }1Z ​= ​ ​ }   ​  + ​ }2  ​ ​   2 X 

(

)

(

)

1 1 tan φ = R ​ } ​ X1  ​  – ​ }   ​  ​ = R ​ ωC – ​ }  ​  ​ X ωL

tan φ = } ​  L R  C  ​ = } ​  R    ​ 

C

L

Transformator Spannungsübersetzung für einen idealen Transformator

Unter der Bedingung I2 → 0 (Leerlauf) gilt: U

N

1 ​  U1  ​ = ​ }   ​ } N 2

Stromstärkeübersetzung für einen idealen Transformator

I1

2

U1

N1 N2

I N2 ​  I1 ​ = ​ }   ​ } N1 2

ü=} ​ N1  ​

Leistungsübersetzung

P1 = P2 + Pv

I2 A

N

2

U1 · I1 · cos φ1 = U2 · I2 · cos φ2 + Pv Unter der Bedingung der Vernachlässigung aller Verluste, einer starken Belastung und φ1 = φ2 gilt: U

I

1 U1 · I1 = U2 · I2 ​ }   ​ = ​ }2 ​ = ü U I 2

Nennscheinleistung SN

V

Unter der Bedingung I2 → ∞ (Kurzschluss) gilt:

Übersetzungs­verhältnis ü

Wirkungsgrad η eines Transformators

A

V

U2

U Spannung I Stromstärke N Windungszahl P Leistung Pv Verlustleistung φ Phasenverschiebungswinkel

1

ab η = ​ }    ​ P

Pab abgegebene Leistung Pzu zugeführte Leistung

bei Einphasenwechselstrom: SN = U2 · I2

U2 Nennspannung (Ausgangsseite) I2 Nennstromstärke (Ausgangsseite)

P

zu

bei Drehstrom: SN = √ ​}  3 ​  ·  U2 · I2

Elektrizitätslehre

107

Elektromagnetische Schwingungen T = 2π · ​√}  L · C ​ 

Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (ungedämpft)

Unter der Bedingung einer freien und ungedämpften Schwingung (R = 0) gilt: f=} ​  1}    ​  2π · ​√ L · C ​ 

Eigenfrequenz f eines elektrischen Schwingkreises (gedämpft) Abklingkoeffizient δ

} 1 1 R 2 f=} ​ 2π   ​ ​ ​ }    ​  – ​ }2  ​ ​   L · C δ=

C L

Unter der Bedingung einer freien Schwingung gilt:

√ 

T Schwingungsdauer L Induktivität C Kapazität R ohmscher Widerstand

L Induktivität C Kapazität R ohmscher Widerstand

4L

R ​ 2L   ​ }

C L

Resonanzbedingung

Ph

thomsonsche ­Schwingungsgleichung

f0 = fE

R

f0 Eigenfrequenz fE Erregerfrequenz

Elektromagnetische Wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit c elektro­ magnetischer Wellen

} √ 

1 c = ​ ​ }    ​ ​    εr · ε0 · μr · μ0 Für das Vakuum gilt:

c = λ · f

1 c=} ​  }    ​  ​√ ε0 · μ0 ​ 

Eigenfrequenz f eines Dipols

Für die Grundschwingung eines Dipols gilt: c f=} ​ 2l   ​

Länge l eines Dipols

λ Wellenlänge (b S. 83) f Frequenz (b S. 83) ε0 elektrische Feldkonstante (b S. 71) εr Permittivitätszahl (b S. 82) μ0 magnetische Feldkonstante (b S. 71) μr Permeabilitätszahl (b S. 82)

Für den optimalen Empfang eines Senders gilt: l = k · ​ }2λ ​

(k = 1, 2, 3, …)

Leitungsvorgänge in festen und flüssigen Körpern Hall-Spannung UH für feste Körper

I · B UH = RH · ​ }    ​  s

Hall-Konstante RH

Für Stoffe mit Elektronenleitung gilt: V RH = } ​ N · e    ​ 

1. faradaysches Gesetz der Elektrolyse

Für elektrisch leitende Flüssigkeiten (Elektrolyte) gilt: m = c · Q

2. faradaysches Gesetz der Elektrolyse

Für elektrisch leitende Flüssigkeiten (Elektrolyte) gilt: Q = n · z · F

I Stromstärke B magnetische Flussdichte s Dicke des Leiters V Volumen N Anzahl der Ladungsträger e Elementarladung (b S. 71) m Masse des abgeschiedenen Stoffes c elektrochemisches Äquivalent Q Ladung n Stoffmenge z Wertigkeit des Stoffes F Faraday-Konstante (b S. 71)

108

Physik

Schwingungen und Wellen

Ph

Grundbegriffe und Grundgesetze Schwingungsdauer T (Periodendauer)

T = ​ }1f ​  

T=} ​ nt  ​

Frequenz f

f=} ​ 1T ​

f=} ​ nt  ​

Kreisfrequenz ω

ω = 2π · f

Auslenkung y bei einer harmonischen Schwingung

y = ymax · sin (ω · t + φ0) Unter der Bedingung φ0 = 0 gilt: y = ymax · sin (ω · t)

Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Wellen (Phasengeschwindigkeit)

c = λ · f

t Zeit n Anzahl der Schwingungen

y ymax T

t

y Auslenkung ymax Amplitude φ0 Phasenwinkel λ Wellenlänge

Schwingungen d 2y dt 

Schwingungsgleichung (ungedämpfte harmonische Schwingung)

​  2  ​ + ω 2 · y = 0 }

Schwingungsgleichung (gedämpfte harmonische Schwingung)

​  2  ​+ 2δ · ​ }   ​+ ω02 · y = 0 } dt

y Auslenkung t Zeit ω Kreisfrequenz ymax Amplitude φ0 Phasenwinkel δ Abklingkoeffizient ω0 Kreisfrequenz der anfänglichen Schwingung

Lösung der Differenzialgleichung: y = ymax · sin(ω · t + φ0) d 2y dt 

dy

Lösung der Differenzialgleichung: y = ymax · e – δ · t · sin(ω · t + φ0)

Wellen Wellengleichungen

(

)

y = ymax · sin ​32π ​ } ​  Tt ​ – ​ }xλ ​  ​4​

(

y Auslenkung ymax Amplitude t Zeit T Schwingungsdauer x Ort λ Wellenlänge c Ausbreitungsgeschwindigkeit

)

y = ymax · sin ​3ω ​ t – }​ xc ​  ​4​

y

y

λ Reflexionsgesetz

α = α '

Brechungsgesetz

sin α ​ }    ​= } ​ c1 ​ sin β

x

T α Einfallswinkel α ' Reflexionswinkel

c

2

α Einfallswinkel β Brechungswinkel c1 Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 1 c2 Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 2

t

akustischer DoPPlErEffekt

Ruhender Empfänger und bewegter Sender: f

fE = } ​  S vS ​  1 7 ​ }    ​ c

Bewegte Empfänger und ruhender Sender: v

(

)

fE = fS ​ 1 ± } ​ cE  ​  ​

fE vom Empfänger gemessene ­Frequenz fS vom Sender abgestrahlte ­Frequenz vE Geschwindigkeit des Empfängers vS Geschwindigkeit des Senders c Schallgeschwindigkeit (b S. 78) Oberes Vorzeichen gilt beim Annähern, unteres Vorzeichen beim Entfernen von Empfänger und Sender voneinander.

Optik Reflexionsgesetz

α = α '

Brechzahl n

Vakuum n = ​ }    ​  c

Brechungsgesetz

sin α ​ sin α    ​= } ​ c1 ​ ​ }    ​= } ​ n2 ​ } sin β sin β

α Einfallswinkel α  ' Reflexionswinkel

c

c Lichtgeschwindigkeit

Stoff

c

n

2

​ sin α    ​= } sin β

1

Medium 1

α

n (für n1 = 1) c

β

n

Grenzwinkel der ­Totalreflexion αG

sin αG = } ​ c1 ​ = } ​ n2 ​ = } ​ n1 ​

Abbildungsgleichung für dünne Linsen und für Spiegel

1 ​ }1f ​ = } ​ g1 ​+ ​ }  ​ b

f Brennweite g Gegenstandsweite b Bildweite

Abbildungsmaßstab A für dünne Linsen und für Spiegel

B A = ​ }  ​= } ​ bg ​ G

G Gegenstandsgröße B Bildgröße

Brechwert D von Linsen (Brechkraft)

D = ​ }1f ​    (f in m)

Vergrößerung V ­optischer Geräte

V=} ​ tan α2   ​ 

Vergrößerung V einer Lupe

V=} ​ f0  ​

Vergrößerung V eines Mikroskops

V = V1 · V2

Vergrößerung V eines Fernrohres

V=} ​ f1 ​

Öffnungsverhältnis ω einer Linse

ω=} ​ df  ​

numerische Apertur A

A = n · sin α

2

Medium 2

1

α Einfallswinkel β Brechungswinkel c1, c2 Lichtgeschwindigkeiten (b S. 82) n1, n2 Brechzahlen (b S. 82) n Brechzahl (b S. 82)

tan α

α2

1

s

f

2

s

b 0 V = ​ }  ​ · ​ } ​ g f 2

α1

α1 α2 s0 V1 V2 f1 f2

Sehwinkel ohne optisches Gerät Sehwinkel mit optischem Gerät deutliche Sehweite (25 cm) Vergrößerung des Objektivs Vergrößerung des Okulars Brennweite des Objektivs Brennweite des Okulars

d f n α

Durchmesser der Linse Brennweite der Linse Brechzahl im Objektraum halber Öffnungswinkel

109

Ph

Optik

110

Physik

Auflösungsvermögen A optischer Geräte

1 d A=} ​ r 1   ​ = } ​ 1,22    ​   · ​ }   ​  f · λ

g≈f

min

Ph

rmin

Schirm, Auge

x

d

x

rmin Mindestabstand zweier Gegenstandspunkte d Durchmesser der Linse g Gegenstandsweite f Brennweite der Linse λ Wellenlänge (b S. 82) Lichtgeschwindigkeit c

c = λ · f

Interferenz am Spalt

Unter der Bedingung sk 850 631 –189 817 p 302 714

3 200 2 447 2 600 1 380 –186 613 subl. 335 1640

1,85 9,8 11,35

1 280 271 327

2 480 1 560 1 740

9 57 65

+3 +5; +3; +1; –1 +2 +1 +2 +3 +3; +4 +7; +5; +3; +1; –1 +6; +3 +3; +2 +3

2,34 3,12 8,65 1,87 1,55

(2 030) –7 321 29 838

3 900 58 765 690 1 490

6 152 52 83 41

6,78 3,21 g · l–1 7,19 8,90 7,0

795 –101 1 900 1 490

3 470 –35 2 642 2 900

58 223 24 30

+3 +3 +3; +2 +3 +3; +2 +3 –1 +1 +3 +3 +4; +2; –4 +3 +4

8,54

1 410

2 600

7,86 9,05 5,26

1 540 1 500 826

3 000 2 900 1 440

27

1,695 g · l–1

–188 (680) 3 000 2 400 2 830 2 970 5 400

203

7,89 5,91 5,32 19,32 13,1

–220 (27) 1 310 30 937 1 063 2 000

±0 +3 +3 +7; +5; +3; +1; –1 +4; +3 +1

0,18 g · l–1 8,80 7,31 4,94 22,5 0,86

–270 1 460 156 114 2 450 64

–269 2 600 2 000 183 4 500 760

2,70 11,7 6,68 1,784 g · l–1 5,72 3,50

28 46 35 63

41 31

58 116 64

Eigenschaften von Stoffen

Name Symbol Kohlenstoff C (Grafit) (Diamant) Krypton ♦ Kr Kupfer Cu Lanthan La Lawrencium Lr Lithium Li Lutetium Lu Magnesium Mg Mangan Mn Meitnerium Mt Mendelevium Md Molybdän Mo Natrium Na Neodym Nd Neon ♦ Ne Neptunium Np Nickel Ni Niob Nb Nobelium No Osmium Os Palladium Pd Phosphor (weiß) P Platin Pt Plutonium Pu Polonium Po Praseodym Pr Promethium Pm Protactinium Pa Quecksilber Hg Radium Ra Radon ♦ Rn Rhenium Re Rhodium Rh Rubidium Rb Ruthenium Ru Rutherfordium Rf Samarium Sm Sauerstoff ♦ O Scandium Sc Schwefel S rhombisch monoklin Seaborgium Sg Selen (grau) Se Silber Ag Silicium Si Stickstoff ♦ N Strontium Sr Tantal Ta Technetium Tc Tellur Te Terbium Tb Thallium Tl Thorium Th Thulium Tm Titan Ti Uran U Vanadium V Wasserstoff ♦ H Wolfram W

Ord­ nungs­ zahl 6

36 29 57 103 3 71 12 25 109 101 42 11 60 10 93 28 41 102 76 46 15 78 94 84 59 61 91 80 88 86 75 45 37 44 104 62 8 21 16

Atom­ masse in u 12,01

83,80 63,55 138,91 [260] 6,94 174,97 24,31 54,94 [266] [258] 95,94 22,99 144,24 20,18 237,05 58,70 92,91 [259] 190,2 106,4 30,97 195,09 [244] [209] 140,91 [145] 231,04 200,59 [226] [222] 186,21 102,91 85,47 101,07 [261] 150,35 15,999 44,96 32,06

häufigste Oxida­ tionszahlen

Dichte ♦ ρ in g · cm–3 bei 25 °C

[262] 78,96 107,87 28,09 14,007 87,62 180,95 [97] 127,60 158,92 204,37 232,04 168,93 47,90 238,03 50,94 1,008 183,85

Siedetem­ peratur ●  θv in °C

Standard­ entropie S 0 in J · mol–1 · K–1

+4; –4

+2 +2; +1 +3 +3 +1 +3 +2 +7; +6; +4; +2 +3 +6; +4 +1 +3 ±0 +5 +2 +5 +3 +4 +4; +2 +5; +3; –3 +4; +2 +4 +4; +2; –2 +3 +3 +5 +2; +1 +2 (+2); ±0 +4 +3 +1 +4; +3 +3 –2 +3 +6; +4; +2; –2

2,26 3,51 3,74 g · l–1 8,96 6,17

3 730 > 3 550 –157 1 083 920

4 830

180 1 650 650 1 250

1 330 3 330 1 110 2 100

138

2 610 98 1 020 –249 640 1 450 2 420

5 560 892 3 030 –246

29 51

2 730 4 900

30

5 500 3 125 280 3 825 3 230 962 3 130 (2 730)

15,4 13,53 5,0 9,37 g · l–1 21,0 12,4 1,53 12,2

3 000 1 550 44 1 770 640 254 935 (1 030) (1230) –38,9 700 –71 3 180 1 970 39 2 300

7,54 1,43 g · l–1 3,0

1 070 –218,4 1 540

1 900 –183 2 730

205 35

113 119

445

22 33

217 961 1 410 –210 770 3 000 2 140 450 1 360 303 1 700 1 550 1 670 1 130 1 900 –259,1 3 410

685 2 210 2 680 –195,8 1 380 5 430 (4 600) 1 390 2 800 1 460 4 200 1 730 3 260 3 820 3 450 –252,5 5 500

0,53 9,84 1,74 7,43

10,2 0,97 7,00 0,899 g · l–1 20,4 8,90 8,55 22,4 12,0 1,82 21,45 19,8 9,4 6,77

2,07 1,96 106 34 47 14 7 38 73 43 52 65 81 90 69 22 92 23 1 74

Schmelz­ temperatur ●  θs in °C

+6; +4; +2; –2 +1 +4; – 4 +5; +3; –3 +2 +5 +7; +4 +6; +4; +2; –2 +3 +3; +1 +4 +3 +4 +6 +5 +1; –1 +6; +4

4,80 10,5 2,33 1,251 g · l–1 2,6 16,6 11,5 6,24 8,27 11,85 11,7 9,33 4,5 18,90 5,8 0,089 g · l–1 19,3

–152 2 600 3 470

356,6 1 530 – 62 5 630 3 730 688 3 900

6 2 164 33

33 32

41

76

77

42 43 19 192 52

50 64 54  31 50 29 131 33

Ch



117

118

Chemie

Atom­ masse in u

häufigste Oxida­ tionszahlen

Name Symbol

Ord­ nungs­ zahl

Dichte ♦ ρ in g · cm–3 bei 25 °C

Schmelz­ temperatur ●  θs in °C

Xenon ♦ Xe Ytterbium Yb Yttrium Y Zink Zn Zinn Sn Zirconium Zr

54 70 39 30 50 40

131,30 173,04 88,91 65,38 118,69 91,22

+2; +4; +6 +3 +3 +2 +4; +2; –2 +4

5,8 g · l–1 6,98 4,5 7,13 7,29 6,49

–112 824 1 500 419 232 1 850

Ch



Siedetem­ peratur ●  θv in °C –108 1 430 2 930 906 2 270 3 580

Standard­ entropie S 0 in J · mol–1 · K–1 170

42 52 39

[ ] Die umklammerten Werte für die Atommasse geben die Massenzahl des Isotops mit der höchsten Halbwertszeit an. ♦ Dichte gasförmiger Stoffe bei 0 °C ● Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa

Anorganische Verbindungen Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siedetem­

Standard­

Standard­

freie



in g · cm–3

Masse

tempera­

peratur ●

bildungs­

entropie

Standardbil­



bei 25 °C

in

tur ● θs

θv in °C

enthalpie

S 0 in

dungsenthal­

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

pie Δf G 0 in



Formel

g · mol–1

Aggregatzustand Name

in °C

kJ · mol–1

bei 25 °C

Aluminiumbromid s

AlBr3

2,6

266,7

Aluminiumcarbid s

Al4C3

2,4

144

2 100

Aluminiumchlorid s

AlCl3

2,4

133,3

192,5 p

Aluminiumhydroxid s

Al(OH)3

2,4

78

> 170

Aluminiumoxid s

Al2O3

4,0

101,9

2 045

Aluminiumsulfat s

Al2(SO4)3

2,7

342,1

605 z

Ammoniak ♦ g

NH3

0,77 g · l–1

Ammoniumcarbonat s

(NH4)2CO3

Ammoniumchlorid s

NH4Cl

1,5

53,5

Ammoniumhydrogencarbonat s

NH4HCO3

1,6

79,1

Ammoniumnitrat s

NH4NO3

1,7

80,0

Ammoniumsulfat s

(NH4)2SO4

1,8

132,1

Arsentrioxid s

As2O3

3,7

197,8

309

Bariumcarbonat s

BaCO3

4,4

197,4

1 350

Bariumchlorid s

BaCl2

3,9

208,2

963

1 562

Bariumhydroxid s

Ba(OH)2

4,5

171,4

408

> 600

Bariumoxid s

BaO

5,7

153,3

1 920

Bariumsulfat s

BaSO4

4,5

233,4

1 350

Blei(II)-chlorid s

PbCl2

5,8

278,1

Blei(II)-nitrat s

Pb(NO3)2

4,5

331,2

Blei(II)-oxid s

PbO

9,5

223,2

Blei(II, IV)-oxid (Mennige) s

Pb3O4

9,1

685,6

500 z

Blei(IV)-oxid s

PbO2

9,4

239,2

290 z

–

Blei(II)-sulfat s

PbSO4

6,2

303,3

1 170

Blei(II)-sulfid s

PbS

7,5

239,3

Borsäure s

H3BO3

1,4

61,8

Bromwasserstoff ♦ g

HBr

3,644 g · l–1

Calciumbromid s

CaBr2

3,3

Calciumcarbid s

CaC2

2,2

64,1

Calciumcarbonat s

CaCO3

2,7

100,1

17,0 96,1

97,4 z

–78 z – 36 z 169 280 z

498 470 z 890

257

–516

163

–

–209

89

–196

180 subl.

–704

111

– 629

– 488

–1 277 ≈ 3 000

–1 676

–

–3 442

–33,5

– 46,1

–

– 942

335 subl. – 200 z – 459

(2 000)

–314,6

192,2 170 94,6

– 849

121

–1 582 –3 100 –16 – 687 –203 – 666

–366

151

–184

–1 180

220

– 902

– 657

107

– 578

–1 216

112

–1 138

124

– 811

– 859,8 z

50,9 239

– 945 – 554

70

– 525

–1 473

132

–1 362

954

–359

136

–314

–

– 456

1 470

–217

69

–188

–

–718

211

– 601

1 114 185 z

kJ · mol–1

–

–277

69

–217

– 920

149

– 813

–100

91

–1 094

88,7

– 99 –969

80,9

– 87

– 67

–36

199

–53

199,9

730

810

– 683

130

– 664

– 60

70

– 65

–

–1 207

93

–1 129

2 300 900 z

Eigenschaften von Stoffen

Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siedetem­

Standard­

Standard­

freie



in g · cm–3

Masse

tempera­

peratur ●

bildungs­

entropie

Standardbil­



bei 25 °C

in

tur ● θs

θv in °C

enthalpie

S 0 in

dungsenthal­

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

pie Δf G 0 in

Formel

g · mol–1

Aggregatzustand Name

in °C

kJ · mol–1

bei 25 °C

kJ · mol–1

Calciumchlorid s

CaCl2

2,1

111,0

772

> 1 600

–796

105

–748

Calciumfluorid s

CaF2

3,2

78,1

1 392

(2 500)

–1 220

69

–1 167

Calciumhydroxid s

Ca(OH)2

2,3

74,1

580,0 z

–

– 986

83

– 899

Calciumiodid s

CaI2

4,0

293,9

740,0 z

1 100

–533

142

–529

Calciumnitrat s

Ca(NO3)2

2,5

164,1

561

– 938

193

–743

Calciumoxid s

CaO

3,3

56,1

2 570

– 635

40

– 604

Calciumphosphat s

Ca3(PO4)2

3,1

310,2

1 670

– 4 120

236

–3 885

Calciumsulfat s

CaSO4

3,0

136,1

1 450

–1 434

107

–1322

Chlorwasserstoff ♦ g

HCl

1,639 g · l–1

36,5

–114

–92

187

–95

Chrom(II)-chlorid s

CrCl2

2,9

122,9

815

–395

115

–356

Chrom(III)-oxid s

Cr2O3

5,2

152,0

2 437

(3 000)

–1 140

81

–1 058

Cobaltchlorid s

CoCl2

3,4

129,8

727

1 050

–313

109

–270

Cyanwasserstoff l

HCN

0,7

27

–14

26

109

113

125

Eisen(III)-chlorid s

FeCl3

2,8

162,2

306

315

–399

142

–334

Eisendisulfid (Pyrit) s

FeS2

5,0

120,0

1 171

z

–178

53

–167

Eisen(III)-hydroxid s

Fe(OH)3

3,9

106,9

500,0 z

–

– 823

107

–697

Eisen(II)-oxid s

FeO

5,7

71,8

–272

61

–251

Eisen(II, III)-oxid

s

Fe3O4

5,2

231,5

1  538,0 z

–

–1 118

146

–1 015

Eisen(III)-oxid s

Fe2O3

5,2

159,7

1  560

z

–

– 824

87

–742

Eisen(II)-sulfat s

FeSO4

2,84

151,9

z

–

– 928

108

–821

Eisen(II)-sulfid s

FeS

4,8

87,9

z

–100

60

–100

Fluorwasserstoff ♦ g

HF

0,987 (l)

20

– 83

19

–271

174,7

–243

Iodwasserstoff ♦ g

HI

5,79 g · l–1

127,9

–51

–35

Kaliumaluminium­ sulfat s

KAl(SO4)2

Kaliumbromid s

KBr

2,7

119

734

1 380

Kaliumcarbonat s

K2CO3

2,3

138,2

897

z

Kaliumchlorat s

KClO3

2,3

122,6

368

Kaliumchlorid s

KCl

2,0

74,6

770

Kaliumchromat s

K2CrO4

2,7

194,2

975

Kaliumcyanid s

KCN

1,5

65,1

623

Kaliumdichromat s

K2Cr2O7

2,7

294,2

Kaliumfluorid l

KF

2,5

Kaliumhydroxid s

KOH

2,0

Kaliumiodat s

KIO3

Kaliumiodid s

2 850

–85

1 380

1 195

258,2

25,9 –2 465

206,3 205

62 –2 236

–392

97

–379

–1 146

156

–1 061

400 z

–391

143

–290

1 407

– 436

83

–408

z

–1 383 128

–102

398

500 z

–2 033

58,1

857

1 500 z

–563

67

–533

56,1

360

1 327

– 425

79

–379

3,9

214,0

560

z

–508

152

–426

Kl

3,1

166,0

681

1 324

–328

104

–322

Kaliumnitrat s

KNO3

2,1

101,1

338

400 z

– 493

133

–393

Kaliumpermanganat s

KMnO4

2,7

158,0

240 z

–

– 813

172

–714

Kaliumphosphat s

K3PO4

2,6

212,3

1 340

Kaliumsulfat s

K2SO4

2,7

174,3

1 074

1 689

–1 434

176

–1 316

Kaliumoxid s

K2O

2,3

94,2

350 z

–

–361

98

–322

Kohlenstoffdioxid ♦ g

CO2

1,98 g · l–1

44

–56,6 p

–78,4 subl.

–393

214

–394

Kohlenstoffdisulfid l

CS2

1,3

76,1

–111

46

90

151

65

Kohlenstoffmonooxid ♦ g

CO

1,25 g · l–1

28

–205

–190

–110,5

198

–137

–113

Ch



119

120

Chemie

Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siedetem­

Standard­

Standard­

freie



in g · cm–3

Masse

tempera­

peratur ●

bildungs­

entropie

Standardbil­



bei 25 °C

in

tur ● θs

θv in °C

enthalpie

S 0 in

dungsenthal­

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

pie Δf G 0 in



Formel

g · mol–1

Aggregatzustand

Ch

Name

in °C

kJ · mol–1

bei 25 °C

kJ · mol–1

Kupfer(I)-chlorid s

CuCl

3,5

99,0

430

1 490

–137

86

–120

Kupfer(II)-chlorid s

CuCl2

3,4

134,4

498

993 z

–220

108

–176

Kupfer(II)-nitrat s

Cu(NO3)2

187,6

256

subl.

–303

Kupfer(I)-oxid s

Cu2O

6,0

143,1

1 230

93

–146

Kupfer(II)-oxid s

CuO

6,4

79,5

1  026

Kupfer(II)-sulfat s

CuSO4

3,6

159,6

Lithiumchlorid s

LiCl

2,1

42,4

610

Magnesiumbromid s

MgBr2

3,7

184,1

700

Magnesiumcarbonat s

MgCO3

3,1

84,3

Magnesiumchlorid s

MgCl2

2,3

95,2

Magnesiumhydroxid s

Mg(OH)2

2,4

58,3

350 z

Magnesiumnitrat s

Mg(NO3)2

148,3

z

Magnesiumoxid s

MgO

3,6

40,3

2 800

Magnesiumsulfat s

MgSO4

2,7

120,4

1  124

Manganchlorid s

MnCl2

3,0

125,9

Mangan(IV)-oxid s (Braunstein)

MnO2

5,0

86,9

Mangansulfat s

MnSO4

3,2

151,0

700

850 z

Natriumbromid s

NaBr

3,2

102,9

747

1 390

Natriumcarbonat s

Na2CO3

2,5

106,0

854

z

Natriumchlorid s

NaCl

2,2

58,5

801

1 465

– 411

72

–384

Natriumhydrogencarbonat s

NaHCO3

2,2

84,0

270 z

–

– 948

102

– 852

Natriumhydroxid s

NaOH

2,1

40

322 p

1 378

– 427

64

–381

Natriumnitrat s

NaNO3

2,3

85

310

z

– 467

116

–366

Natriumnitrit s

NaNO2

2,2

69,0

271

320 z

–359

Natriumphosphat s

Na3PO4

2,5

163,9

1 340

Natriumsulfat s

Na2SO4

2,7

142,0

884

149

–1267

Natriumthiosulfat s

Na2S2O3

1,7

158,1

239

163

1  800

z

–169

z

–

–157

43

–130

650 z

–

–771

109

– 662

1 350

– 402

59

–377

–524

117

–504

–

–1 096

66

–1 012

1 418

– 642

90

–592

–

– 924

63

–834

–

–791

164

–590

350 z 712

3 600 z

650 535 z

z

– 601,2

27

–570

–

–1 288

92

–1 171

1190

– 481

118

– 441

–

–520

53

– 465

–1 065

112

–957

–360

84

–347

–1 131

136

–1 048

–1 925 –1 384 –

–1 117

Ozon ♦ g O3

2,14 g · l–1

48

–193

phosphorige Säure

H3PO3

1,6

82

74

200 z

– 964

Diphosphorpentaoxid s P4O10

2,4

284

580

300 subl.

–3 008

228

–2 724

PhosphorpentaPCl5 chlorid g

1,6

208,2

164 subl.

–375

113

–305

Phosphorsäure s

213 z

s

148 p

H3PO4

1,8

98,0

42

Quecksilber(II)-chlorid s HgCl2

5,4

271,5

277

Quecksilber(II)-oxid s

HgO

11,1

216,6

Salpetersäure l

HNO3

1,5

63

– 47

1,43 g · l–1

31,998

–218,4

Schwefeldioxid g SO2

2,926 g · l–1

64,1

–73

Schwefelsäure l

H2SO4

1,8

98,1

10

Schwefeltrioxid (β)

SO3

1,97

80,1

32,5

SchwefelwasserH2S stoff ♦ g

1,529 g · l–1

34,1

– 86

Silberbromid s

6,5

187,8

430

Sauerstoff ♦ g O2 ♦

AgBr

500 z

–111

143

–1 286

110

–1126

304

–224

146

–179

–

–91

70

–59

86

–174

156

– 81

–183

0

205

0

–10

–297

248

–300

– 814

157

– 690

–396

257

–371

338 z 45 – 62 700 z

–20,7 –100

205,5

–34

107

–97

Eigenschaften von Stoffen

Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siedetem­

Standard­

Standard­

freie



in g · cm–3

Masse

tempera­

peratur ●

bildungs­

entropie

Standardbil­



bei 25 °C

in

tur ● θs

θv in °C

enthalpie

S 0 in

dungsenthal­

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

pie Δf G 0 in

Formel

g · mol–1

Aggregatzustand Name

in °C

kJ · mol–1

bei 25 °C

kJ · mol–1

Silberchlorid s

AgCl

5,6

143,3

455

1 564

–127

96

–110

Silberiodid s

AgI

5,7

234,8

557

1 506

– 62

115

– 66

Silbernitrat s

AgNO3

4,4

169,9

209

444 z

–124

141

–33

Siliciumdioxid s

SiO2

2,6

60,1

1 700

2 230

–911

42

– 858

Distickstoffpentoxid s

N2O5

1,6

108,0

41 p

32 subl.

11

356

115

Distickstofftrioxid g

N2O3

1,4 (l)

76,0

–102

84

312

139

Stickstoffdioxid ♦ g

NO2

1,49 (l)

46,0

–11

21

33

240

51

–164

–152

90

211

87

0

100

–285

70

–237

–

–

–242

189

–229

0

131

0

158

–188

109

–120

732

– 415

111

–369

subl.

–348

44

–318

–1

Stickstoffmonooxid ♦ g

NO

1,340 g · l

30

Wasser l

H2O

0,997 ■

18,0

Wasser g

H2O

–

Wasserstoff ♦ g

H2

0,089 g · l–1

Wasserstoffperoxid l

H2O2

1,4

34,0

Zinkchlorid s

ZnCl2

2,9

136,3

Zinkoxid s

ZnO

5,5

81,4

– 2,016

–259,1

–252,5

– 0,4 283 1 970

s – (solid) – fest   p – unter Druck   l (liquid) – flüssig   subl. – sublimiert   g (gaseous) – gasförmig   z – zersetzlich ♦ Dichte gasförmiger Stoffe bei 0 °C ■ Dichte von Wasser: bei 0 °C 0,999 84 g · cm–3; ● Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa bei 4 °C 0,999 97 g · cm–3; bei 100 °C 0,958 35 g · cm–3

Organische Verbindungen

Formel



Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siede­

Standard­

Standard­

freie

in g · cm–3

Masse

tempera­

tempera­

bildungs­

entropie

Standard­

bei 25 °C

in

tur ● θs

tur ● θv

enthalpie

S 0 in

bildungs­

in °C

in °C

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

enthalpie

g · mol–1

kJ · mol–1

Aggregatzustand Name

Δf G 0 in

kJ · mol–1

bei 25 °C

Acrylnitril l

C2H3CN

0,806

53,1

2-Amino-Ethansäure (Glycin) s

NH2CH2COOH

0,828 (17°C)

75,1

262 z

–

Aminobenzol (Anilin) l

C6H5NH2

1,02

93,1

– 6,3

184,1

Anthracen s

C14H10

1,28

178,2

216

340

231

207,15

Benzaldehyd l

C6H5CHO

1,042 (15°C)

106,1

–26

178,1

– 82,0

221,2

Benzoesäure s

C6H5COOH

1,266 (15°C)

122,1

122,4

249

–380,74

170,7

Benzol (Benzen) l

C6H6

0,87

78,1

Blei(II)-acetat s

(CH3COO)2Pb

3,2

325,3

280

Bromethan l

C2H5Br

1,451

109

–118,6

38,4

Brommethan g

CH3Br

1,662 (l)

–93,6

3,6

2-Brompropan l

C3H7Br

1,306

123,0

– 89

Buta-1,3-dien g

C4H6

0,650 (– 6°C)

54,1

–108,9

Butan ♦ g

C4H10

2,703 g · l–1

58,1

–138,4

– 0,5

Butandisäure s (Bernsteinsäure)

C2H4(COOH)2

1,572

118,1

188

235 z

94,9

– 82

5,5

77

80,1

140

178,91

–528,8

108,78

35,14

167 (g)

–210 (g)

269 (g)

130 (g)

– 92

288 (g)

–27 (g)

–38

246

–28

59,4

– 97

316

–27 (g)

– 4,4

110

279

151

z

83 (g)

191,62

–369

– 964

–124,51

310,45

– 941

176

–17 –747

Ch



121

122

Chemie



Formel



Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siede­

Standard­

Standard­

freie

in g · cm–3

Masse

tempera­

tempera­

bildungs­

entropie

Standard­

bei 25 °C

in

tur ● θs

tur ● θv

enthalpie

S 0 in

bildungs­

in °C

in °C

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

enthalpie

g · mol–1

kJ · mol–1

Ch

Aggregatzustand Name

Δf G 0 in

kJ · mol–1

bei 25 °C

Butan-1-ol l

C4H9OH

0,806

74,1

– 89,3

117,7

–274

363

–151

Butan-2-ol l

C4H9OH

0,802

74,1

–114,7

99,5

–292

359

–167

Butansäure l (Buttersäure)

C3H7COOH

0,952

88,1

–5,2

163,3

– 533,8

225,9

–378

Butansäureethylester l

C3H7COOC2H5

0,879 (20 °C)

116,15

– 93,3

120

–528,4

But-1-en g

C4H8

0,589 (l)

56,1

–185,4

But-1-in l

C4H6

0,65

54,1

–125,7

8,1

But-2-in l

C4H6

0,686

54,1

–32,0

27,0

Chlorbenzol l

C6H5Cl

1,106

112,6

– 45

196,22

99 (g)

1-Chlorbutan l

C4H9Cl

0,881

92,6

–123,1

78,4

–147 (g)

358 (g)

–39 (g)

Chlorethan g

C2H5Cl

0,917 (6 °C)

64,5

–136,4

12,3

–112

276

–73

Chlorethansäure s

ClCH2COOH

1,404 (40 °C)

94,5

63

187,9

–513

Chlorethen g (Vinylchlorid)

C2H3Cl

0,901 (l)

62,5

–153,8

–13,4

35

264

52

Chlormethan ♦ g

CH3Cl

2,307 g · l–1

50,5

– 97,7

–24,2

– 86

235

– 63

1-Chlorpentan l

C5H11Cl

0,877

106,6

– 99,0

107,8

–175 (g)

397 (g)

–37 (g)

Chlorpropan l

C3H7Cl

0,885

78,5

–122,8

46,6

–130 (g)

319 (g)

–51 (g)

Citronensäure s

C6H8O7

1,542

192,12

–1 543,8

252,1

Cyclobutan g

C4H8

0,689 (l)

Cyclohexan l

C6H12

0,774

84,2

6,6

Cyclohexanol s

C6H11OH

0,962

100,2

25,2

Cyclohexen l

C6H10

0,806

82,1

–103,5

83,0

–5 (g)

311 (g)

107 (g)

Cyclopentan l

C5H10

0,74

70,1

– 93,9

49,3

–77 (g)

293 (g)

39 (g)

Decan l

C10H22

0,726

142,3

–29,7

174,1

–250 (g)

545 (g)

–33 (g)

1,2-Dibromethan l

C2H4Br2

2,169

187,9

9,8

131,4

330 (g)

–11 (g)

Dibrommethan l

CH2Br2

2,484

173,9

–52,6

97,0

293 (g)

–6 (g)

1,2-Dichlorbenzol l

C6H4Cl2

1,305

147,0

–17

179

–18

342 (g)

83 (g)

1,3-Dichlorbenzol l

C6H4Cl2

1,288

147,0

–25

172

–22

343 (g)

79 (g)

1,4-Dichlorbenzol s

C6H4Cl2

1,533

147,0

53

174

– 42

337 (g)

77 (g)

1,2-Dichlorethan l

C2H4Cl2

1,246

99,0

–35,7

–165

308 (g)

–74 (g)

Dichlorethansäure l

Cl2CHCOOH

1,563 (20 °C)

128,9

13,5

Dichlormethan l

CH2Cl2

1,316

84,9

– 95,1

2 707  (g)

– 69  (g)

Diethylether l

C2H5OC2H5

0,714

74,1

–116,2

1,2-Dihydroxybenzol (Brenzcatechin) s

C6H4(OH)2

1,344

110,1

104,5

245

1,3-Dihydroxybenzol (Resorcin) s

C6H4(OH)2

1,271 (15 °C)

110,1

109,8

276,5

56,1

– 6,3

132

153 – 90,7

12,5 80,7 161

83,5 194

–0,1

306

71

165

191

202

146 (g)

283 (g)

185 (g)

11

27 (g)

265 (g)

–157

205

–295

328

– 81 –4 (g)

110 (g) 32 (g) –118

–501

39,8

–124

34,51

–279

343

–122 (g)

146,44

–172 (g)

353 –357,73

Eigenschaften von Stoffen

Formel



Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siede­

Standard­

Standard­

freie

in g · cm–3

Masse

tempera­

tempera­

bildungs­

entropie

Standard­

bei 25 °C

in

tur ● θs

tur ● θv

enthalpie

S 0 in

bildungs­

in °C

in °C

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

enthalpie

g · mol–1

kJ · mol–1

Aggregatzustand Name

Δf G 0 in

kJ · mol–1

bei 25 °C

1,4-Dihydroxybenzol (Hydrochinon) s

C6H4(OH)2

1,33

110,1

171,5

285

366

294

–175 (g)

1,2-Dimethylbenzol (o-Xylol) l

C6H4(CH3)2

0,876

106,2

–25,2

144,4

–24

353

122 (g)

1,3-Dimethylbenzol (m-Xylol) l

C6H4(CH3)2

0,860

106,2

– 47,9

139,1

–26

358

119 (g)

1,4-Dimethylbenzol (p-Xylol) l

C6H4(CH3)2

0,875

106,2

13,3

138,4

–24

352

121 (g)

Dimethylether g

CH3OCH3

1,62

46,1

–138,5

Dodecan l

C12H26

0,745

170,3

–9,6

Eicosan s

C20H42

0,785

282,5

Ethan ♦ g

C2H6

1,356 g · l–1

30,1

Ethanal g

CH3CHO

0,788 (13 °C)

44,1

–123

Ethan-1,2-diol l (Ethylenglycol)

C2H4(OH)2

1,109

62,1

Ethandisäure (Oxalsäure) s

(COOH)2

1,90 (17 °C)

90,0

Ethanol l

C2H5OH

0,785

46,1

Ethansäure l

CH3COOH

1,044

Ethansäureethylester l

CH3COOC2H5

0,9

Ethansäure­ methylester l

CH3COOCH3

Ethen ♦ g ♦ g

–23

–184

267

216,3

–291 (g)

623 (g)

50 (g)

36,4

343,8

– 456  (g)

934 (g)

117 (g)

–183,3

– 88,6

– 84,47

228,45

–33

–166

264,0

–133

– 451,87

166,94

–305 (g)

– 830

120

–701

–15,6

20,1 197,8 157 subl.

–113

–114,1

78,3

–278,31

158,99

–168 (g)

60,1

16,7

117,9

– 486,18

158,99

–377 (g)

88,1

– 83,6

77,1

– 443  (g)

363 (g)

–327 (g)

0,933

74,1

–98,1

57,0

– 442

C2H4

1,260 g · l–1

28,1

–169,2

C2H2

1,170 g · l–1

26,0

– 80,8

Ethylbenzol l

C6H5C2H5

0,863

106,2

–95

136,2

Glucose (α-D-Glucose) s

C6H12O6

1,54

180,0

146

200 z

Harnstoff s

CO(NH2)2

1,33

132,7

z

Heptan l

C7H16

0,68

100

Heptan-1-ol l

C7H15OH

0,819

116,2

Hept-1-en l

C7H14

0,693

98,2

Hexadecan l

C16H34

0,770

226,4

Hexadecansäure (Palmitinsäure) s

C15H31COOH

0,85 (62 °C)

256,4

Hexan l

C6H14

0,655

86,2

Hexan-1-ol l

C6H13OH

0,816

102,2

Hexansäure l

C5H11COOH

0,923

Hex-1-en l

C6H12

0,668

Hex-1-in l

C6H10

Hydrazin l

N2H4

Ethin

60,1

–103,7 – 84,0 subl.

52,55

219,53

68

225,51

200,95

209

–12

361

131 (g)

–1 268

209,19

–911 –154 (g)

–330,95

104,6

98

–188

428

8

–34,0

176,2

–335

480

–124

–119,0

93,6

– 62  (g)

424 (g)

–96 (g)

18,2

286,8

–373 (g)

778 (g)

84 (g)

62,2

219 p

–917,3

475,72

– 95,3

68,7

–211,29

297,9

– 44,6

157,1

–320

442

116,2

–3

205,7

–586 (l)

84,2

–139,8

63,5

–73

385

0,71

82,1

–131,9

71,3

124

369

219

1,0

32

95

238

159

– 90

1

114

–0,3(g) –138

87 (g)

Ch



123

124

Chemie



Formel



Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siede­

Standard­

Standard­

freie

in g · cm–3

Masse

tempera­

tempera­

bildungs­

entropie

Standard­

bei 25 °C

in

tur ● θs

tur ● θv

enthalpie

S 0 in

bildungs­

in °C

in °C

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

enthalpie

g · mol–1

kJ · mol–1

Ch

Aggregatzustand Name

Δf G 0 in

kJ · mol–1

bei 25 °C

2-Hydroxybenzoe­ säure (Salicylsäure) s

C6H4OHCOOH

1,443 (20°C)

2-Hydroxypropansäure (Milchsäure) s

C2H4OHCOOH

1,206

Methan ♦ g

CH4

Methanal g

138,1

159

z

90,08

17

122 z

0,72 g · l–1

16,0

–182,5

HCHO

0,82 (–20 °C)

30,0

–117

Methanol l

CH3OH

0,79

32,0

–97,7

Methansäure l

HCOOH

1,214

46,0

8,4

Methansäure­ methylester l

HCOOCH3

0,974 (20 °C)

60,1

–99,0

Methylbenzol (Toluol) l

C6H5CH3

0,862

92,1

–95

2-Methylbutan g

C5H12

0,615

72,1

2-Methylpropan g

C4H10

0,551 (l)

58,1

Naphthalin s

C10H8

1,18

128,2

Natriumacetat s

CH3COONa

1,5

Nitrobenzol l

C6H5NO2

1,198

123,1

5,7

210,8

Nonan l

C9H20

0,714

128,3

–53,5

150,8

Octadecansäure (Stearinsäure) s

C17H35COOH

0,84 (80°C)

284,5

69,4

Octadec-9-ensäure (Ölsäure) l

C17H33COOH

0,89

282,5

14

Octan l

C8H18

0,698

114,2

Pentan l

C5H12

0,621

72,1

Pentan-1-ol l

C5H11OH

0,811

88,2

–78,2

Pentansäure l

C4H9COOH

0,935

102,1

Pent-1-en l

C5H10

0,635

70,1

Pent-1-in l

C5H8

0,689

68,1

–105,7

Pent-2-in l

C5H8

0,706

68,1

–109,3

Phenol s

C6H5OH

1,132

94,1

41,0

Phosgen g

COCl2

1,4

Phthalsäure s

C6H4(COOH)2

1,593

Propan ♦ g

C3H8

2,02 g · l–1

44,1

–187,7

Propan-1-ol l

C3H7OH

0,799

60,1

Propan-2-ol l

C3H7OH

0,781

60,1

Propanon (Aceton) l

CH3COCH3

0,79

58,1

Propansäure l

C2H5COOH

0,988

74,1

Propan-1,2,3-triol (Glycerin) l

C3H5(OH)3

1,26

92,1

17,9

Propen g

C3H6

0,505 (l)

42,1

–185,3

82,0

98,9 166,1

–585 (s)

178 (s)

– 418 (s)

143

–161,5

–74,67

186,02

–51

–19,2

–118,40

217,56

–110

–238,48

126,77

–163 (g)

– 416,43

138,07

–351 (g)

31,5

–350 (g)

301 (g)

–297 (g)

110,6

15,1

217,71

122 (g)

–159,9

27,9

–155 (g)

344 (g)

–15 (g)

–159,6

–11,7

–135 (g)

295 (g)

–21 (g)

80,3

218,0

151 (g)

336 (g)

224 (g)

17,99

221,75

146

–229 (g)

506 (g)

324

64,5 101

z

291 p

–710

– 954,37

25 (g)

435,6 (1 bar)

205

–764,8

–56,8

125,7

–250

467

16 (g)

–129,7

36,1

–168,19

259,40

– 8 (g)

138

–302

403

–150

–34

185,5

– 490 (g)

440 (g)

–357 (g)

–165,2

30,0

–21

346

40,2

144 (g)

330 (g)

210 (g)

56,1

129 (g)

332 (g)

194 (g)

181,8

–155,22

142,25

33 (g)

79

–104

8

–219

283

–205

210 – 211

7

–782

208

–592

–42,1

–103,63

270,70

–126,2

97,2

–302,5

192,46

–163 (g)

– 88,5

82,3

–272

310

–173 (g)

–94,7

56,1

–235,14

199,99

–153 (g)

–20,7

140,8

–511

191,0

290

–659,8

204,59

–47,7

20

267

–24

62

Eigenschaften von Stoffen

Formel



Dichte ♦ ρ

molare

Schmelz­

Siede­

Standard­

Standard­

freie

in g · cm–3

Masse

tempera­

tempera­

bildungs­

entropie

Standard­

bei 25 °C

in

tur ● θs

tur ● θv

enthalpie

S 0 in

bildungs­

in °C

in °C

Δf H 0 in

J · mol–1 · K–1

enthalpie

g · mol–1

kJ · mol–1

Aggregatzustand Name

kJ · mol–1

Propin g

C3H4

0,6711 (l)

Saccharose s

C12H22O11

1,588

342,3

Silberacetat s

CH3COOAg

3,3

166,9

Tetrachlormethan l

CCl4

1,584

153,8

40,1

Tribrommethan l

CHBr3

2,876

Trichlormethan (Chloroform) l

CHCl3

1,480

Trichlorethansäure s

Cl3CCOOH

Triiodmethan (Iodoform) s

–102,7

–23,2

185 z z

185

248

194

–

–2 221

360

–1 544

–

–399

150

–308

–141,4

217,56

–23,0

76,5

252,8

8,1

149,6

119,4

– 63,5

61,7

1,62

163,4

58

197,6

CHI3

4,178

393,8

119

Triethylamin l

(C2H5)3N

0,737 (20°C)

101,19

–114,8

89,4

Undecan l

C11H24

0,737

156,3

–25,6

195,9

Vinylbenzol (Styrol) l

C6H5C2H3

0,91

104,14

–31

145

♦  Dichte

Δf G 0 in

bei 25 °C

gasförmiger Stoffe bei 0 °C

● 

218

25 (g)

–58 (g)

331 (g)

16 (g)

296 (g)

– 69 (g)

211

356

178

–100

405

110

–270 (g)

584 (g)

–132 –501 (l)

103,4

42 (g)

237,6

Schmelz- und Siedetemperatur bei 101,3 kPa

Molare Standardgrößen ausgewählter hydratisierter Ionen in wässriger Lösung Formel

Acetat-Ionen

CH3COO–

– 486

86

–368

Aluminium-Ionen

Al3+

–531

–322

–485

Ammonium-Ionen

NH4+

–132

113

–79

Barium-Ionen

Ba

2+

–538

10

–561

Blei-Ionen

Pb2+

–2

10

–24

Bromid-Ionen

Br–

–121

83

–104

Calcium-Ionen

Ca2+

–543

–53

–554

2–

Standardbildungs­ enthalpie ΔfH 0 in kJ · mol–1

Standardentropie S 0 in J · mol–1 · K–1

Ionen

freie Standard­ bildungsenthalpie ΔfG 0 in kJ · mol–1

Carbonat-Ionen

CO3

–677

–57

–582

Chlorid-Ionen

Cl–

–167

57

–131

Chromat-Ionen

CrO42–

–881

50

–728

Cobalt(II)-Ionen

Co2+

–58

–113

–54 –134

3+

Cobalt(III)-Ionen

Co

92

–305

Cyanid-Ionen

CN–

151

94

172

Dichromat-Ionen

Cr2O72–

–1 490

262

–1 301

Eisen(II)-Ionen

Fe2+

– 89

–138

–79

Eisen(III)-Ionen

Fe3+

– 49

–316

–5

–

Fluorid-Ionen

F 

–333

–14

–279

Formiat-Ionen

HCOO–

–426

92

–351

Hydrogencarbonat-Ionen

HCO3–

– 692

91

–587

Ch



125

Ch

126

Chemie

Standardbildungs­ enthalpie ΔfH 0 in kJ · mol–1

Standardentropie S 0 in J · mol–1 · K–1

Ionen

Formel

Hydronium-Ionen

H3O+

–286

70

–237

Hydroxid-Ionen

OH–

–230

–11

–157

Iodid-Ionen

I–

–57

107

–52

Kalium-Ionen

K+

–251

103

–282

Kupfer(I)-Ionen

Cu+

72

41

50

Kupfer(II)-Ionen

Cu2+

65

–100

66

Magnesium-Ionen

Mg2+

– 467

–138

– 455

Mangan-Ionen

Mn2+

–221

–74

–228

Natrium-Ionen

Na+

–240

59

–262

Nitrat-Ionen

NO3–

–207

146

–111

Perchlorat-Ionen

ClO4–

–129

182

–9

Permanganat-Ionen

MnO4–

–541

191

–447

Phosphat-Ionen

PO43–

–1 290

–222

–1 032

Silber-Ionen

Ag+

106

73

77

Sulfat-Ionen

SO42–

–909

20

–745

Sulfid-Ionen

S2–

33

–15

86

– 635

–29

– 487

– 652

121

2–

Sulfit-Ionen

SO3

Thiosulfat-Ionen

S2O32–

Wasserstoff-Ionen

H+

Zink-Ionen

Zn2+

freie Standard­ bildungsenthalpie ΔfG 0 in kJ · mol–1

0

0

0

–154

–112

–147

Atombau Atom- und Ionenradien ausgewählter Elemente Element

Atomradius in 10 –10 m

Ionen­radius in 10 –10 m

Ionen­ ladung

Element

Atomradius in 10 –10 m

Ionen­radius in 10 –10 m

Ionen­ ladung

Aluminium Al

1,43

0,50

+3

Kupfer Cu

1,28

0,72

+2

Beryllium Be

1,12

0,31

+2

Lithium Li

1,52

0,60

+1

Bor B

0,88

0,20

+3

Magnesium Mg

1,60

0,65

+2

Brom Br

1,14

1,95

–1

Mangan Mn

1,24

0,91

+2

Caesium Cs

2,62

1,69

+1

Mangan Mn

1,24

0,70

+3

Calcium Ca

1,97

0,97

+2

Natrium Na

1,86

0,95

+1

Chlor Cl

0,99

1,81

–1

Phosphor P

1,10

2,12

–3

Cobalt Co

1,25

0,82

+2

Rubidium Rb

2,44

1,48

+1

Eisen Fe

1,24

0,83

+2

Sauerstoff O

0,66

1,45

–2

Eisen Fe

1,24

0,647

+3

Schwefel S

1,04

1,84

–2

Fluor F

0,64

1,36

–1

Selen Se

1,17

1,98

–2

Gallium Ga

1,22

0,62

+3

Silicium Si

1,17

0,39

+4

Germanium Ge

1,22

0,53

+4

Stickstoff N

0,70

1,71

–3

Iod I

1,33

2,16

–1

Silber Ag

1,44

1,26

+1

Kalium K

2,02

1,33

+1

Wasserstoff H

0,373

Kohlenstoff C

0,77

0,16

+ 4

Zink Zn

1,33

0,74

+2

Atombau

127

Verteilung der Elektronen in der Atomhülle (Grundzustand)

Periode 6

Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db

Anzahl der Elektronen in den Hauptenergieniveaustufen 1 2 3 4 5 6 2 8 18 18 8 1 2 8 18 18 8 2 2 8 18 18 8+1 2 2 8 18 18+1 8+1 2 2 8 18 18+3 8 2 2 8 18 18+4 8 2 2 8 18 18+5 8 2 2 8 18 18+6 8 2 2 8 18 18+7 8 2 2 8 18 18+7 8+1 2 2 8 18 18+9 8 2 2 8 18 18+10 8 2 2 8 18 18+11 8 2 2 8 18 18+12 8 2 2 8 18 18+13 8 2 2 8 18 18+14 8 2 2 8 18 18+14 8+1 2 2 8 18 32 8+2 2 2 8 18 32 8+3 2 2 8 18 32 8+4 2 2 8 18 32 8+5 2 2 8 18 32 8+6 2 2 8 18 32 8+7 2 2 8 18 32 8+9 1 2 8 18 32 8+10 1 2 8 18 32 8+10 2 2 8 18 32 18 3 2 8 18 32 18 4 2 8 18 32 18 5 2 8 18 32 18 6 2 8 18 32 18 7 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8 2 8 18 32 18 8+1 2 8 18 32 18 8+2 2 8 18 32 18+2 8+1 2 8 18 32 18+3 8+1 2 8 18 32 18+4 8+1 2 8 18 32 18+6 8 2 8 18 32 18+7 8 2 8 18 32 18+7 8+1 2 8 18 32 18+9 8 2 8 18 32 18+10 8 2 8 18 32 18+11 8 2 8 18 32 18+12 8 2 8 18 32 18+13 8 2 8 18 32 18+14 8 2 8 18 32 18+14 8+1 2 8 18 32 32 8+2 2 8 18 32 32 8+3

7

Ch

Anzahl der Elektronen in den Ord­ Elemente Hauptenergieniveaustufen nungs­ 1 2 3 4 5 6 7 zahl 1 55 Caesium 2 56 Barium 57 Lanthan 58 Cer 3 Lithium Li 2 1 59 Praseodym 4 Beryllium Be 2 2 60 Neodym 5 Bor B 2 3 61 Promethium 6 Kohlenstoff C 2 4 62 Samarium 7 Stickstoff N 2 5 63 Europium 8 Sauerstoff O 2 6 64 Gadolinium 9 Fluor F 2 7 65 Terbium 10 Neon Ne 2 8 66 Dysprosium 11 Natrium Na 2 8 1 67 Holmium 12 Magnesium Mg 2 8 2 68 Erbium 13 Aluminium Al 2 8 3 69 Thulium 14 Silicium Si 2 8 4 70 Ytterbium 15 Phosphor P 2 8 5 71 Lutetium 16 Schwefel S 2 8 6 72 Hafnium 17 Chlor Cl 2 8 7 73 Tantal 18 Argon Ar 2 8 8 74 Wolfram 19 Kalium K 2 8 8 1 75 Rhenium 20 Calcium Ca 2 8 8 2 76 Osmium 21 Scandium Sc 2 8 8+1 2 77 Iridium 22 Titan Ti 2 8 8+2 2 78 Platin 23 Vanadium V 2 8 8+3 2 79 Gold 24 Chrom Cr 2 8 8+5 1 80 Quecksilber 25 Mangan Mn 2 8 8+5 2 81 Thallium 26 Eisen Fe 2 8 8+6 2 82 Blei 27 Cobalt Co 2 8 8+7 2 83 Bismut 28 Nickel Ni 2 8 8+8 2 84 Polonium 29 Kupfer Cu 2 8 8+10 1 85 Astat 30 Zink Zn 2 8 8+10 2 86 Radon 31 Gallium Ga 2 8 18 3 87 Francium 32 Germanium Ge 2 8 18 4 88 Radium 33 Arsen As 2 8 18 5 89 Actinium 34 Selen Se 2 8 18 6 90 Thorium 35 Brom Br 2 8 18 7 91 Protactinium 36 Krypton Kr 2 8 18 8 92 Uran 37 Rubidium Rb 2 8 18 8 1 93 Neptunium 38 Strontium Sr 2 8 18 8 2 94 Plutonium 39 Yttrium Y 2 8 18 8+1 2 95 Americium 40 Zirconium Zr 2 8 18 8+2 2 96 Curium 41 Niob Nb 2 8 18 8+4 1 97 Berkelium 42 Molybdän Mo 2 8 18 8+5 1 98 Californium 43 Technetium Tc 2 8 18 8+5 2 99 Einsteinium 44 Ruthenium Ru 2 8 18 8+7 1 100 Fermium 45 Rhodium Rh 2 8 18 8+8 1 101 Mendelevium 46 Palladium Pd 2 8 18 8+10 0 102 Nobelium 47 Silber Ag 2 8 18 8+10 1 103 Lawrencium 48 Cadmium Cd 2 8 18 8+10 2 104 Rutherfordium 49 Indium In 2 8 18 18 3 105 Dubnium 50 Zinn Sn 2 8 18 18 4 51 Antimon Sb 2 8 18 18 5 52 Tellur Te 2 8 18 18 6 53 Iod I 2 8 18 18 7 54 Xenon Xe 2 8 18 18 8 Periode 7

Periode 5

Periode 4

Periode 3

Periode 2

Periode 1

Ord­ Elemente nungs­ zahl 1 Wasserstoff H 2 Helium He

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

128

Chemie

Energieniveauschema der Atomorbitale 7d 6f 7p

Ch

n=7

6d 5f 7s 6p 5d 4f 6s 5p

n=6

n=5

4d 5s

n=4

4p 3d 4s

n=3

3p 3s 2p

n=2

2s

n=1

1s

Hauptquanten­ zahl n

Nebenquanten­ zahl l

Orbital­ bezeichnung

Magnetquanten­ zahl m

Spinquanten­ zahl s

Elektronen­ zahl

1

0

s

0

± ​ }12 ​

2

2

3

0

s

0

± ​ }12 ​

1

p

1

± ​ }12 ​

0

± ​ }12 ​

–1

± ​ }12 ​

0

s

0

± ​ }12 ​

1

p

1

± ​ }12 ​

0

± ​ }12 ​

–1

± ​ }12 ​

2

± ​ }12 ​

1

± ​ }12 ​ ± ​ }12 ​ ± ​ }12 ​ ± ​ }12 ​

2

d

0 –1 –2 4

8

18

Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten

129

Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten

Eigenschaft der Lösung

stark sauer

schwach sauer

neutral

Konzentration der Hydronium-Ionen H3O+

Ursache

schwach alkalisch

stark alkalisch

Konzentration der Hydroxid-Ionen OH–

Universalindi­ katorpapier pH-Wert

0

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11 12

13 14

Säure-Base-Indikatoren Name

angezeigte Farben pH1 < pH2



pH-Umschlagsbereich

Brillantgrün

gelb

grün

0,0 … 2,6

Kresolrot

rot

gelb

0,2 … 1,8

Thymolblau

rot

gelb

1,2 … 2,8

Methylgelb

rot

gelb

2,4 … 4,0

Methylorange

rot

gelb

3,1 … 4,4

Methylrot

rosa

gelb

4,4 … 6,2

Lackmus

rot

blau

5,0 … 8,0

Bromthymolblau

gelb

blau

6,0 … 7,6

Kresolrot

gelb violett-rot

7,0 … 8,8

Thymolblau

gelb

blau

8,0 … 9,6

Phenolphthalein

farblos

rot

Alizaringelb R

gelb orangebraun

10,1 … 12,0

Indigocarmin

blau

11,5 … 13,0

8,3 … 10,0

gelb

Dichten und Stoffmengenkonzentrationen handelsüblicher Lösungen in Wasser ­gelöster Stoff

konzentriert Massenanteile ωi in %

Dichte ρ bei 20 °C in g · ml–1

verdünnt Stoffmengen­ konzentration in mol · l–1

Massenanteile ωi in %

Dichte ρ bei 20 °C in g · ml–1

Stoffmengen­ konzentration in mol · l–1

HCl (g)

36

1,179

12

7

1,033

2

HNO3 (l)

65

1,391

14,53

12

1,066

2

H2SO4 (l)

96

1,836

17,97

9

1,059

1

H3PO4 (s)

85

1,71

14,65

10

1,05

1,1

CH3COOH (l)

99

1,052

17,35

12

1,015

2

NaOH (s)

32

1,35

10,79

8

1,087

2,2

KOH (s)

27

1,256

6,12

11

1,100

2,2

NH3 (g)

25

0,907

13,35

3

0,981

1,7

C2H5OH (l)

96

0,8

16,7

6

0,988

1

Ch

pH-Wert-Skala

130

Chemie

Ch

Säure-Base-Konstanten und pKS- bzw. pKB-Werte für ausgewählte Säure-Base-Paare (pKS = – lg {KS}) bei 25 °C Säure

KS in mol · l–1

HClO4

≈ 109

pKS

korrespondierende Base

KB in mol · l–1

pKB

≈ –9

ClO4–

≈ 10–23

≈ 23

≈ –7

Cl–

≈

10–21

≈ 21

≈

10–17

≈ 17

≈

107

H2SO4

≈

103

H3O+

5,49 · 101

–1,74

H2O

1,82 · 10 –16

15,74

HNO3

2,09 · 101

–1,32

NO3–

4,79 · 10 –16

15,32

–13

12,75

HCl

≈ –3

HSO4

–

HOOC– COOH

–2

5,6 · 10

1,25

HOOC– COO

1,77 · 10

CHCl2– COOH

5,0 · 10–2

1,30

CHCl2– COO–

1,99 · 10–13

12,7

H2SO3

1,26 · 10–2

1,90

HSO3–

7,94 · 10–13

12,10

8,32 · 10

–13

12,08

1,92

SO42–

H3PO4

7,41 · 10–3

2,13

H2PO 4–

1,35 · 10–12

11,87

CH3– CHCl– COOH

1,48 · 10–3

2,83

CH3– CHCl– COO–

6,76 · 10–12

11,17

CH2Cl– COOH

1,3 · 10–3

2,86

CH2Cl– COO–

7,24 · 10–12

11,14

HNO2

7,2 · 10–4

1,38 · 10–11

10,86

–11

10,83

HSO4

–

–2

–

1,2 · 10

–4

3,14

NO2

–

–

HF

6,8 · 10

3,17

F

1,48 · 10

HCOOH

1,78 · 10–4

3,75

HCOO –

5,62 · 10–11

10,25

9,54 · 10

–11

10,02

–10

9,25

CH2Cl– CH2– COOH

–4

1,14 · 10

–5

–

3,98

CH2Cl– CH2– COO

4,75

–

CH3COO

5,62 · 10

CH3COOH

1,78  · 10

CH3CH2COOH

1,3 · 10–5

4,87

CH3CH2COO–

7,41 · 10–10

9,13

H2CO3

3,02 · 10–7

6,52

HCO3–

3,31 · 10– 8

7,48

H2S

1,20 · 10–7

6,92

HS–

8,32 · 10 –8

7,08

H2PO4–

7,58 · 10 –8

7,12

HPO42–

1,31 · 10–7

6,88

HSO3–

6,4 · 10– 8

7,20

SO32–

1,58 · 10–7

6,80

NH4+

5,62 · 10–10

9,25

NH3

1,78 · 10–5

4,75

HCN

3,98 · 10–10

9,40

CN–

2,51 · 10–5

4,60

OH

1,04 · 10–10

9,98

O–

9,54 · 10–5

4,02

HCO3–

3,98 · 10–11

10,40

CO32–

2,51 · 10– 4

3,60

2,08 · 10

–2

1,68

HPO42–

–13

4,78 · 10

12,32

PO43–

H2O

1,82 · 10–16

15,74

OH–

5,49 · 101

–1,74

[Zn(H2O)6]2+

2,45 · 10–10

9,61

[Zn(OH)(H2O)5]+

4,07 · 10–5

4,39

[Al(H2O)6]3+

1,41 · 10–5

4,85

[Al(OH)(H2O)5]2+

7,08 · 10–10

9,15

3+

–3

2,22

2+

–12

11,78

[Fe(H2O)6]

6,03 · 10

[Fe(OH)(H2O)5]

1,66 · 10

Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten

Löslichkeit ausgewählter Gase

131

bei 101,3 kPa

In 1 Liter Wasser werden n Gramm Gas (Angabe im jeweiligen Feld) aufgenommen. 0 °C

10 °C

20 °C

30 °C

40 °C

50°C

60 °C

80 °C

O2

0,0694

0,0537

0,0434

0,0359

0,0308

0,0266

0,0227

0,013

N2

0,0294

0,023

0,0190

0,0162

0,0139

0,0122

0,0105

0,0066

H2

0,0019

0,0017

0,0016

0,0015

0,0014

0,0013

0,0012

0,0008

9,972

7,293

5,723

4,59

3,925

3,295

2,227

2,318

1,688

1,257

0,973

0,761

0,576

0,022

0,020

0,019

Cl2

14,6

CO2

3,346

CO

0,044

0,029

HCl

842

772

721

673

SO2

228

153,9

106,6

NH3

899

684

518

633 55,84

408

338

H2S

7,188

5,232

3,974

C2H6

0,1339

0,0890

0,0640

0,0491

C2H4

0,285

0,204

0,154

0,113

C2H2

2,03

1,53

1,21

0,98

596

0,018

561

41,90 284

238

154

2,555

2,143

1,832

1,411

0,0395

0,0333

0,0295

0,0247

Löslichkeit ausgewählter Ionensubstanzen

bei 20 °C und 101,3 kPa

In 100 g Wasser lösen sich n Gramm Salz (Angabe im jeweiligen Feld) bis zur Sättigung. Ionen

Cl–

Br–

I–

NO3–

SO42–

Na+

35,85

90,5

179,3

88,0

19,08

K+

34,35

65,6

144,5

31,5

11,15

37,4

73,9

172,0

187,7

75,4

NH4+ 2+

19,0

– 4

CO32–

PO43–

OH–

12,1

109

111,5

23,0

111,4

100,0

20,3

21,58

–3

Ba

35,7

104,0

170,0

Mg2+

54,25

102,0

148,1

70,5

35,6

0,18

Ca2+

74,5

142,0

204,0

127,0

0,2

1,5 · 10–3

Zn2+

367,0

447,0

432,0

117,5

53,8

Pb2+

0,97

Cu2+

77,0

Fe2+

62,2

Ag+

1,5 · 10– 4

Al3+

45,6

0,84

0,07

122

1,2 · 10–5

9,03

S2–

52,5 121,9

2,5 · 10–7

215,5 73,0

2,3 · 10

4,2 · 10–3

2 · 10

8,6 · 10–5 2,9 · 10–3

26,6

6 · 10– 4

36,3

3,48 0,12 · 10–2 1,9 · 10–2

0,118

2 · 10–2

21,1

0,74

–

1,4 · 10–5

1,7 · 10– 4

1,3 · 10–5 1,42 · 10– 4

3 · 10–3

6,5 · 10– 4

Ch

Gas

132

Chemie

Wasserhärte

Ch

Härtebereich

Härtegrad

Bezeichnung

in mmol · l–1

in °dH

1

0 … 1,5

0…7

weich

2

1,5 … 2,5

7 … 14

mittelhart

3

2,5 … 3,8

14 … 21

hart

4

> 3,8

> 21

sehr hart

(Wasserhärte = Maß für den Gehalt an Magnesium- und Calcium-Ionen des Wassers; der Härtegrad wird bezogen auf CaO bzw. MgO angegeben; 2007 wurden die Härtebereiche 3 und 4 zu „hart“ zusammengefasst)

Löslichkeitsprodukte einiger Salze und Hydroxide Name Aluminiumhydroxid

Formel Al(OH)3

KL

bei 25°C Einheit

–33

1 · 10 

–9

4

– 4

2

–2

mol  · l

pKL 33

Bariumcarbonat

BaCO3

5 · 10 

mol  · l

8,3

Bariumhydroxid

Ba(OH)2

5 · 10 –3

mol3 · l–3

2,3

Bariumphosphat

Ba3(PO4)2

6 · 10–38

mol5 · l–5

37,2

Bariumsulfat Blei(II)-chlorid

BaSO4

–10

1 · 10 

–5

2

–2

3

–3

4,7

mol  · l

10

PbCl2

2 · 10 

mol  · l

Pb(OH)2

6 · 10 –16

mol3 · l–3

15,2

Blei(II)-sulfat

PbSO4

2 · 10 –8

mol2 · l–2

7,7

Blei(II)-sulfid

PbS

1 · 10 –28

mol2 · l–2

Calciumcarbonat

CaCO3

5 · 10 –9

mol2 · l–2

8,3

Ca(OH)2

4 · 10 –6

mol3 · l–3

5,4

CaSO4

2 · 10 –5

mol2 · l–2

4,7

Fe(OH)3

4 · 10 –40

mol4 · l– 4

39,4

Eisen(II)-hydroxid

Fe(OH)2

8 · 10 –16

mol3 · l–3

15,1

Eisen(II)-sulfid

FeS

5 · 10 –18

mol2 · l–2

17,3

Kupfer(II)-sulfid

CuS

6 · 10 –36

mol2 · l–2

35,2

Mg(OH)2

1 · 10 –11

mol3 · l–3

11

Mn(OH)2

2 · 10 –13

mol3 · l–3

12,7

HgS (rot)

4 · 10 –53

mol2 · l–2

52,4

2

–2

12,3

Blei(II)-hydroxid

Calciumhydroxid Calciumsulfat Eisen(III)-hydroxid

Magnesiumhydroxid Mangan(II)-hydroxid Quecksilber(II)-sulfid

–13

28

Silberbromid

AgBr

5 · 10 

mol  · l

Silberchlorid

AgCl

2 · 10 –10

mol2 · l–2

9,7

Silberiodid

AgI

8 · 10 –17

mol2 · l–2

16,1

ZnCO3

6 · 10 –11

mol2

–2

10,2

–17

3

–3

16,5

Zinkcarbonat Zinkhydroxid

Zn(OH)2

3 · 10 

 · l

mol  · l

Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten

133

Ebullioskopische (Ke ) und kryoskopische (Kk ) Konstanten Schmelztempe­ ratur ● in °C

Siedetemperatur ● in °C

Ke in K · kg · mol–1

Cyclohexan

6,5

80,8

20,2

Essigsäure

16,7

117,9

3,07

3,9

–114,1

78,3

1,04

–

–97,7

64,5

0,84

–

Ethanol Methanol Wasser

0,0

100

Kk in K · kg · mol–1 2,75

0,515

Stabilitätskonstanten von Komplex-Ionen

Ch

Lösungsmittel

1,853

bei 298 K = 25 °C

Z Li

lgK

Z Li

lgK

Ag+ + 2 CN– a [Ag(CN)2]–

20

Fe2+ + 6 CN– a [Fe(CN)6]4–

37

7

Fe3+ + 6 CN– a [Fe(CN)6]3–

44

Ag+ + 2 S2O32– a [Ag(S2O3)2]3–

13

Hg2+ + 4 CN– a [Hg(CN)4]2–

41

Al3+ + 6 F– a [AlF6]3–

20

Hg2+ + 4 Cl– a [HgCl4]2–

16

Ag+ + 2 NH3 a [Ag(NH3)2]+

Cd2+ + 4 NH3 a [Cd(NH3)4]2+

7

Ni2+ + 4 CN– a [Ni(CN)4]2–

31

Co2+ + 6 NH3 a [Co(NH3)6]2+

5

Ni2+ + 6 NH3 a [Ni(NH3)6]2+

8

Co3+ + 6 NH3 a [Co(NH3)6]3+

34

Zn2+ + 4 CN– a [Zn(CN)4]2–

Cu+ + 2 NH3 a [Cu(NH3)2]+

11

Zn2+ + 4 NH3 a [Zn(NH3)4]2+

Cu2+ + 4 NH3 a [Cu(NH3)4]2+

13

20 9

​cZLi ​ ​

n Reaktionsteilnehmer in wässriger Lösung; c in mol · l–1;  Z + n Li a Z Lin  K = ​ }  ​   n   

cZ · c​Li ​ 

(Anmerkung: Die Komplex-Ionen werden immer in eckige Klammern gesetzt, z.B. [Zn(CN)4]2–.)

Gitterenthalpien für den Zerfall von einem Mol Kristall in seine Ionen (ΔH298 /kJ · mol–1) Li+

bei 298 K = 25 °C

F –

Cl –

Br –

I –

1 039

850

802

742

Na+

920

780

740

692

K+

816

710

680

639

+

Cs

749

651

630

599

Be2+

3 476

2 994

2 896

2 784

Mg2+

2 949

2 502

2 402

2 293

2+

Ca

2 617

2 231

2 134

2 043

Ba2+

2 330

2 024

1 942

1 838

Sr2+

2 482

2 129

2 040

1 940

134

Chemie

Durchschnittliche Bindungsenthalpien bei 298 K und Atom-Atom-Abstände

Ch

Bindung

ΔH in kJ · mol–1

Bindungs­ längen in pm

Bindung

ΔH in kJ · mol–1

Bindungs­ längen in pm

Bindung

ΔH in kJ · mol–1

Bindungs­ längen in pm

Br– Br

193

228

C– O

358

143

C=S

536

189

C– C

348

154

C– P

264

184

N=N

418

125

Cl– Cl

242

199

C–S

272

182

N≡N

945

110

F–F

159

142

H– Cl

431

128

N= O

607

H–H

436

74

H–Br

366

141

O = O

498

121

I – I

151

267

H–F

567

92

Br– Cl

219

214

N – N

163

146

H– I

298

160

Br–F

249

176

O – O

146

148

H– N

391

101

Br–I

178

P–P

172

221

H– O

463

97

Cl – F

253

163

S –S

255

205

H– P

322

142

Cl – I

211

232

C– Br

285

194

H–S

367

134

O – Br

234

C– Cl

339

177

C= C

614

134

O – Cl

208

170

C– I

218

214

C≡ C

839

120

O – F

193

142

C– H

413

108

C= N

615

130

O – I

234

C– F

489

138

C≡ N

891

116

O – N

201

136

C– N

305

147

C= O

745

122

O – P

335

154

Molare Hydratationsenthalpien ausgewählter Ionen Ion H3O+

ΔH H in kJ · mol–1

Ion

–1085

Ca2+

Li+

ΔH H in kJ · mol–1

bei 25°C Ion

ΔH H in kJ · mol–1

–1 580

Al3+

– 4 609

–508

Sr2+

–1 433

OH–

–365

Na+

–399

Ba2+

–1 291

F–

–511

K+

–314

Fe2+

–1 961

Cl–

–376

Rb+

–288

Co2+

–1 996

Br–

–342

Cs+

–256

Ni2+

–2 105

I–

–299

Ag+

– 468

Cu2+

–2 116

NO3–

–256

NH4+

–293

Zn2+

–2 057

CN–

–349

Be2+

–2 494

Hg2+

–1 820

Mg2+

–1 910

Fe3+

– 4 492

Allgemeine Stoff- und Reaktionskonstanten

135

Elektrochemische Spannungsreihe der Metalle, Standardpotenziale E 0 bei 25°C, 101,3 kPa

+

Li

+ 

Ba2+ 2+

Ca +

Na 2+

Mg

+

Standardpotenzial E 0 in V    

–

+

Li /Li

–3,04

e–

a K(s)

K+/K

–2,92

a Ba(s)

Ba2+/Ba

–2,90

+   e a Li(s)

K+

Redoxpaar OM/RM

2e– –

2+

Ca /Ca

–2,87

–

+

Na /Na

–2,71

–

Mg2+/Mg

–2,36

Al3+/Al

–1,66

+ 2e a Ca(s) +   e a Na(s) + 2e a Mg(s)

Al3+

+

Mn2+

+ 2e– a Mn(s)

Mn2+/Mn

–1,18

Zn2+

+ 2e– a Zn(s)

Zn2+/Zn

– 0,76

Cr3+

+ 3e– a Cr(s)

Cr3+/Cr

– 0,74

Fe2+

+ 2e– a Fe(s)

Fe2+/Fe

– 0,41

Cd2+

+ 2e– a Cd(s)

Cd2+/Cd

– 0,40

Co2+

+ 2e– a Co(s)

Co2+/Co

– 0,28

Ni2+

+ 2e– a Ni(s)

Ni2+/Ni

– 0,23

+ 2e– a Sn(s)

Sn2+/Sn

– 0,14

+ 2e– a Pb(s)

2+

Pb /Pb

– 0,13

+ 3e– a Fe(s)

Fe3+/Fe

– 0,02

+ 2e– a H2(g)

+

2H /H2

0,00

Cu2+/Cu

0,35

+

Cu /Cu

0,52

Sn2+ Pb2+ Fe3+ 2H+ 2+

Cu Cu+ +

Ag Hg2+ Pt2+ Au3+ Au+

3e–

a Al(s)

–

+ 2e a Cu(s) + 

e–

a Cu(s)

–

+

Ag /Ag

0,80

+

2e–

a Hg(l)

Hg2+/Hg

0,85

+

2e–

a Pt(s)

Pt2+/Pt

1,20

+

3e–

a Au(s)

Au3+/Au

1,50

a Au(s)

Au+/Au

1,68

+   e a Ag(s)

+ 

e–

Ch

Oxidationsmittel + z · e– a Reduktionsmittel

Elektrochemische Spannungsreihe der Nichtmetalle, Standardpotenziale E 0 bei 25°C und 101,3 kPa Oxidationsmittel + z · e– a Reduktionsmittel Se(s) S(s) I2(g) Br2(l) Cl2(g) F2(g)

2e–

a Se2–

Redoxpaar OM/RM 2–

Standardpotenzial E 0 in V  

Se/Se

–0,92

–

2–

S/S2–

– 0,48

+

2e–

a

2 I–

I2 /2 I–

0,54

+

2e–

a

2 Br–

Br2 /2 Br–

1,07

+

2e–

a

2 Cl–

–

Cl2 /2 Cl

1,36

F2 /2 F–

2,87

+

+ 2e a S

–

+ 2e a 2F

–

136

Chemie

Elektrochemische Spannungsreihe ausgewählter Redoxreaktionen, Standardpotenziale E 0 + z · e–

Ch

Oxidationsmittel

–

Mg(OH)2

+ 2e

Ca(OH)2

+

2 H2O

2e–

+ 2e– –

Cd(OH)2

+ 2e

[Ag(CN)2]–

+ 

e– –

a

Reduktionsmittel –

a

Mg + 2 OH

a

2 OH–

Ca +

bei 25°C und 101,3 kPa

Standardpotenzial E 0 in V    

–2,63 –3,03

2 OH–

– 0,83

–

– 0,82

a Ag(s) +

2 CN–

– 0,38

a Pb(s) +

SO42–

– 0,36

a H2(g) +

a Cd + 2 OH

PbSO4(s)

+ 2e

Cu(OH)2

+

2e–

CO2(g) + 2 H+

+ 2e–

a CO(g) + H2O

AgCl(s)

+   e–

a Ag(s) + Cl–

O2(g) + 2 H2O

+ 4e–

a

Cu2+

+   e–

a Cu+

0,17

O2(g) + 2 H+

+ 2e–

a H2O2

0,682

Fe3+

+   e–

a Fe2+

0,77

O2(g) + 4 H+

+ 4e–

a

2 H2O

1,23

MnO2(s) + 4 H+

+ 2e–

a Mn2+ + 2 H2O

1,23

Cr2O72– + 14 H+

+ 6e–

a

2 Cr3+ + 7 H2O

1,33

Au3+

+ 2e–

a Au+

1,41

+ 2e–

a Pb2+ + 2 H2O

1,46

PbO2(s) + 4 H+ –

+

–

MnO4 + 8 H PbO2(s) + –

MnO4 + H2O2 + O3 +

4 H+

+ 5e + SO4

2–

4 H+

2 H+

2 H+

a Cu +

2 OH–

–0,22 –0,12 0,22

4 OH–

2+

a Mn

0,40

+ 4 H2O

1,51

+

2e–

a PbSO4(s) + 2 H2O

1,69

+

3e–

a MnO2(s) + 2 H2O

1,70

+

2e–

a

+

2e–

a O2+ H2O

2 H2O

1,776 2,07

Stöchiometrie Stöchiometrisches Rechnen relative Atommasse Ar

A Ar = ​ }  ​ u

Stoffmenge n

m n=} ​ M  ​= } ​ VV  ​ = } ​ NN  ​ 

molare Masse M

m M = ​ }   ​ n

molares Volumen Vm

V Vm = ​ }  ​ n

u atomare Masseeinheit (b S. 71) 1 1 u = ​ }   ​der Masse eines Kohlenstoffatoms [12C] 12 A absolute Atommasse m

A

m Masse M molare Masse V Volumen Vm molares Volumen N Teilchenzahl einer abgeschlossenen Stoffmenge NA avogadro-Konstante (b S. 71)

M  · n

m

Masse/Masse

1 1 1 ​ }   ​ = ​ }    ​  m M  · n

Masse/Volumen

1 1 1 ​ }   ​ = ​ }    ​  V V  · n

Volumen/Volumen

V n ​  V1 ​ = } ​  n1 ​ } 2 2

Ausbeute η

η=} ​ n real   ​ 

Massenanteil ωi

ωi = } ​ mi  ​

Volumenanteil φi

φi = } ​ V i  ​

2

2

2

M  · n

m

2

m

2

n

max

m V

0

m ​ Vi  ​ }

Massenkonzentration βi

βi =

Stoffmengenkonzentration ci

ni ci = ​ }  ​  V

Molalität b

b=} ​ m i  ​ 

n

Lm

Mischungsrechnen mit dem Mischungskreuz (Konzentrationsanga­ be in Masseprozent) (b Mischungsrechnen S. 13)

m1, m2 Massen der Stoffe 1 und 2 n1, n2 Stoffmengen der Stoffe 1 und 2 M1, M2 molare Massen der Stoffe 1 und 2 V1, V2 Volumen der gasförmigen Stoffe 1 und 2 bei 0 °C und 101 325 Pa Vm molares Normvolumen des gasförmigen Stoffes 2 nreal nmax

real erhaltene Stoffmenge maximal erhaltene Stoffmenge

mi Masse der Komponente i m Gesamtmasse des Stoffgemisches Vi Volumen der Komponente i V0 Gesamtvolumen der Lösung vor dem Mischvorgang V Gesamtvolumen der Lösung nach dem Mischvorgang ni Stoffmenge der Komponente i n Gesamtstoffmenge des Stoffgemisches ni mLm

Konzentration der gegebenen Lösung A x% gewünschte Konzentration z% Konzentration der gegebenen Lösung B Summe: y%

Stoffmenge der Komponente i Masse des Lösungsmittels z–y (Masseteile von A)

Wird eine gegebene Lösung A mit Wasser verdünnt, gilt y = 0.

x–z (Masseteile von B) x–y (Masseteile des Gemisches

Elektrochemie nernstsche ­Gleichung

c (Ox) E = E 0 + } ​ R · T    ​ · ln ​ }    ​  z · F c (Red)

Für eine Temperatur von 25°C gilt: c (Ox) E = E 0 + } ​ 0,059 V     ​ ·lg ​ }    ​  z c (Red)

Berechnung nach den faradayschen Gesetzen

I · t = n · z · F bzw. η · I · t = n · z · F m I · t m ​ }  ​= } ​ F · z   ​    bzw. ​   ​= } ​ I · t · η    ​  } M M F · z

E Redoxpotenzial E 0 Standardpotenzial des entsprechenden Redoxpaars in V R universelle Gaskonstante (b S. 71) T Temperatur z Anzahl der ausgetauschten Elektronen F faraday-Konstante (b S. 71) c Stoffmengenkonzentration des Oxidadions- bzw. ­Reduktionsmittels M molare Masse m Masse F faraday-Konstante (b S. 71) z pro Formelumsatz ausgetauschte Zahl von Elektronen I Stromstärke t Zeit n Stoffmenge η Stromausbeute (Wirkungsgrad)

Gasgesetze (unter „Thermisches Verhalten des idealen Gases“ b S. 97)

137

Ch

Elektrochemie

138

Chemie

Chemisches Gleichgewicht

Ch

Massenwirkungs­ gesetz

νC

νD

c​ ​(D) Kc = } ​ ​c​c​ν​ A​(​(C ) · ​    ​  A) · ​cν​ B​(B) νC

Reaktion  νA A + νB B a νC C + νD D Kc, Kp Gleichgewichtskonstante c Stoffmengenkonzentration (b S. 137) ν stöchiometrischer Faktor p Partialdruck Einheit Kc : (mol · l–1)Δν Δν = (νC + νD) – (νA + νB)

νD

​p​ ​(C ) · ​p​ ​(D) Kp = ​ }    ​  ​pν​ A​(A) · ​pν​ B​(B)

Kp = Kc · (R · T )Δν Löslichkeitsprodukt KL

KL (AxBy) = c x(Am+) · c y(Bn–)

√ 

}

x Anzahl der Kationen in der Formeleinheit y Anzahl der Anionen in der Formeleinheit c(Am+) Konzentration der Kationen c(B n–) Konzentration der Anionen

x + y K (A B ) L x y ​  } ​  x y    ​ ​  x   · y 

 

molare Löslichkeit

​C  ​AxBy​=

Ionenprodukt des Wassers KW

KW = c(H3O+) · c(OH–)

pH-Wert

Für verdünnte wässrige ­Lösungen gilt:



AxBy a xAm+ + yB n–

Es gilt für das Gleichgewicht bei 22 °C: 2 H2O a H3O+ + OH–

= 10–14 mol2 · l–2

{c(H3O+)} Zahlenwert der Oxoniumionen­ konzentration (Hydroniumionen­ konzentration) in mol · l–1

pH = –lg {c(H3O+)}; c(H3O+) = 10–pH –

HA Säure 1 HB+ Säure 2

+

Säure-Base-Reaktion HA + B a A + HB nach BrönstEd Säurekonstante KS Basekonstante KB hEndErsonhassElbalch-­ Puffergleichung Protolysegrad

pK S = – lg {KS } c(H O+) · c(A–) KS =    ​  3c(HA)  ​  }} pK S = 14 – pKB

pH-Wert­ berechnungen bei ­wässrigen Lösungen

Es gilt für das Gleichgewicht: HA + H2O a H3O+ + A– {KS} Zahlenwert der Säurekonstante

Es gilt für das Gleichgewicht: pK B = – lg {KB } B + H2O a HB+ + OH– c(HB+) · c(OH–) KB = }}    ​    ​  c(B) Zahlenwert der Basekonstante pK B = 14 – pKS {KB} c(HA) Gleichgewichtskonzentration einer schwachen Säure c(A–) Gleichgewichtskonzentration des Anions einer schwachen Base

–

c(A ) pH = pKS + lg ​ }    ​  c(HA)

c(H O+)

Kc Protolysekonstante α Protolysegrad (HA oder B) c (A–) Konzentration der Anionen c (K+) Konzentration der Kationen c0 Konzentration (HA oder B) c (KA) Konzentration von nicht protolysiertem Elektrolyt

–

c (OH ) 3 αS = } ​ c (HA)    ​   αB = ​ }    ​  c (B) 0

OstWald-­ Verdünnungsgesetz

A– Base 1 B Base 2

0

+

–

2

) · c(A ) α  Kc = } ​ c(Kc(KA)     ​  =} ​ 1 – α   ​   · c0

sehr starke Säuren: Ks > 101,74 } ​  mol     ​;   pH = – lg {c0(HA)} l starke Säuren:

K

K

}} √ (K )2

s 10–2 } ​ mol     ​ < } ​  c s ​< 102 } ​  mol     ​;   c(H3O+) = – ​ }   ​+ ​ ​​   ​  2s  ​​​ ​  +  Ks · c0(HA) ​ } l l 2 0 pH = – lg {c(H3O+)}

mol mittelstarke bis sehr schwache Säuren:  Ks < 10– 4 ​ }     ​;   pH = } ​ 12 ​  (pKS – lg {c0(HA)}) l

Ampholyte:  pH = } ​ 12 ​  (14 + pKS – pKB)  c0(HA):  Ausgangskonzentration der Säure HA

Titration

c1 · V1 · z1 = c2 · V2 · z2 c1=

c  · V z2 ​  2V  2  ​  · ​ }  ​ } z1 1

z

2 m1 = c2 · V2 · ​ }  ​  ·  M1 z 1

c1 Stoffmengenkonzentration der Testlösung c2 Stoffmengenkonzentration der Maßlösung V1 Volumen der Testlösung V2 Volumen der Maßlösung z1 Äquivalenzzahl des Stoffes in der Testlösung z2 Äquivalenzzahl des Stoffes in der Maßlösung M1 molare Masse des zu bestimmenden Stoffes

Energetik

139

Kinetik

ArrhEnius-Gleichung

 }   }  Δc ​v ​   = } ​ Δc   ​ ​ v ​   = ​     lim ​ ​ }   ​= } ​ dc   ​ Δt dt Δt → 0 Δt

–E

A ​ }     ​

k = A · ​e​R · T​

EA = (ln{A } – ln{k }) · R · T

 }  ​v ​     Durchschnittsgeschwindigkeit

v Momentangeschwindigkeit Δc Konzentrationsänderung Δt Zeitspanne {A } Zahlenwert der Aktivitätskonstanten {k } Zahlenwert der Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten EA Aktivierungsenergie T Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71)

Energetik

Grundbegriffe S. 95–97

molare Reaktions­ enthalpie ΔRH

ΔRH = ΔRU + p · ΔRV

molare freie Reaktions­ enthalpie ΔRG (gibbshElMholtz-Gleichung)

ΔRG = ΔRH – T · ΔRS

molare freie Stan­ dardenthalpie ΔRG 0 und Gleichgewichts­ konstante K

ΔRG 0 = –R · T · ln K

kalorimetrische Berechnungen

2 P 2 ΔRH = – ​      ​  }} n

ΔRU Änderung der inneren Energie (b S. 97) p · ΔRV Volumenarbeit (b S. 97) ΔRS Differenz der Entropien der Edukte und Produkte c molare Reaktions­entropie T Reaktionstemperatur in K T Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71) K Gleichgewichtskonstante F faraday-Konstante (b S. 71) z Anzahl der ausgetauschten Elektronen ΔE Potenzialdifferenz in V

ΔRG = –z · F · ΔE

m(H O) · c (H O) · ΔT F

m(H2O) · cP(H2O) · ΔT · MRp

ΔfHm = – }}    ​       ​ m Rp

K

(

)

ΔRH 1 1 2 ln ​ }  ​ = – ​ }    ​  · ​ } ​ T   ​  – ​ }   ​  ​ K R T 1

2

1

K2, K1 Gleichgewichtskonstanten zu T2 und T1 ΔH Änderung der molaren Reaktions­ enthalpie T2, T1 Temperaturen grafische Enthalpieermittlung

van’t hoffsche Gleichung

m(H2O) Masse des Wassers in g cp(H2O) spezifische Wärmekapazität des ­Wassers (pkonst) in J · g–1 · K–1 (b S. 78) ΔT Temperaturänderung in K nF Stoffmenge der Formelumsätze MRp molare Masse des Reaktionsproduktes ΔfHm molare Bildungsenthalpie

Satz von hEss

ΔRH1 = ΔRH2 + ΔRH3

ln k ∆ ln k

∆RH1

A

ΔRH 0 = (Δf H 0AC + Δf H 0BD) – (Δf H 0AB + Δf H 0CD)

B

∆ }T

) 1 T

1

∆T

∆RH2 Berechnung der molaren Reaktions­ enthalpie ΔRH 0 nach dem Satz von hEss

(

∆ ln k ∆RH = R · – } 1

C ∆RH3

Es gilt für die Reaktion bei 25 °C und 101,3 kPa: AB + CD → AC + BD Δf H 0  molare Standardbildungsenthalpien der beteiligten Stoffe

Ch

Reaktions­ geschwindigkeit

140

Chemie

Gefahrenstoffhinweise

Ch

Gefahrstoffsymbole Mit dem neuen GHS (Globally Harmonised System of Classification and Labelling of Chemicals) werden die Kriterien für die Einstufung der Gefahrstoffe neu festgelegt und mit international einheitlichen Piktogrammen versehen. Neu ist auch die Verwendung der Signalworte „Gefahr“ und „Achtung“ für das Ausmaß der Gefahr: „Gefahr“ bei hoher Gefährdung oder „Achtung“ bei geringerer Gefährdung. Das GHS gilt seit 2009; für die bisherige Verordnung gelten Übergangsfristen. An die Stelle der R-Sätze sind H-Sätze (Hazard Statements) sowie zusätzliche EUH-Sätze (besondere Gefährdungen) getreten. Die S-Sätze wurden durch P-Sätze (Precautionary Statements) ersetzt. Gefahrenpikto­ gramm und -code

GHS01

GHS02

GHS02

GHS03

GHS04 GHS05 GHS05 GHS06 GHS07 GHS07

GHS08

GHS09

Mit dem Gefahrenpiktogramm gekennzeichnete Stoffe und Gemische

Signal­ wort

Gefahrensymbol nach bishe­ riger Gefahrstoffverordnung

explosive und sehr gefährliche selbst zersetzliche Stoffe und Gemische sowie sehr gefährliche organische Peroxide

Gefahr oder Achtung

entzündbare, selbsterhitzungsfähige und gefährliche selbstzersetzliche Stoffe und Gemische, pyrophore Stoffe sowie Stoffe und Gemische, die bei Berührung mit Wasser entzündbare Gase entwickeln

Gefahr oder Achtung

gefährliche organische Peroxide

Gefahr oder Achtung

Stoffe und Gemische mit oxidierender Wirkung

Gefahr oder Achtung

Gase unter Druck

Achtung

–

Stoffe und Gemische, die korrosiv auf Metalle wirken

Achtung

–

Stoffe und Gemische, die schwere Verätzungen der Haut und/oder schwere Augenschäden verursachen

Gefahr

lebensgefährliche und giftige Stoffe und Gemische

Gefahr

oder

oder

oder gesundheitsschädliche Stoffe und Gemische

Achtung

Stoffe und Gemische, die Haut- und/oder Augenreizungen verursachen und/oder allergische Hautreaktionen, Reizungen der Atemwege und/oder Schläfrigkeit und Benommenheit verursachen können

Achtung

Stoffe und Gemische, die bei Verschlucken und Eindringen in die Atemwege tödlich sein können und/ oder eine Gefahr für die Gesundheit darstellen. Diese Stoffe und Gemische schädigen bestimmte Organe und/oder können Krebs erzeugen, die Fruchtbarkeit beeinträchtigen, das Kind im Mutterleib schädigen und/oder genetische Defekte und/oder beim Einatmen Allergien, asthmaartige Symptome oder Atembeschwerden verursachen.

Gefahr oder Achtung

Stoffe und Gemische, die sehr giftig oder giftig für Wasserorganismen sind

Achtung oder –

 

oder

Gefahrenstoffhinweise

141

Nr.

Entsorgungsratschläge (E-Sätze)

anzuwenden u. a. auf

E1

verdünnen, in den Ausguss geben (WGK 0 bzw. 1)

kleinste Portionen ungefährlicher, reizender oder gesundheitsschädlicher Stoffe oder Stoffe mit oxidierender Wirkung, soweit wasserlöslich, sowie deren wässrige Lösungen; z. B. Natriumchlorid, Kaliumnitrat, Natronlauge (w ≤ 5%)

E2

neutralisieren, in den Ausguss geben

saure und basische Stoffe und deren wässrige Lösungen; z. B. Calciumoxid, Kaliumhydroxid, Natriumhydroxid, Salzsäure, Salpetersäure, Schwefelsäure

E3

in den Hausmüll geben, gegebenenfalls in ­PE-Beutel (Stäube)

Feststoffe, falls keine anderen Ratschläge gegeben; z. B. Eisen (Späne), Aktivkohle

E4

als Sulfid fällen

Schwermetallsalze

E5

mit Calcium-Ionen fällen, dann E1 oder E3

lösliche Fluoride, Oxalate; z. B. Natriumfluorid, Oxalsäure

E6

nicht in den Hausmüll geben

Stoffe mit oxidierender Wirkung; explosive und selbstzersetzliche Stoffe; z. B. Kaliumpermanganat, Phosphor

E7

im Abzug entsorgen

gasförmige Stoffe, diese wenn möglich absorbieren oder verbrennen; z. B. Stickstoffoxide, Kohlenstoffmonooxid, Wasserstoff, Ozon, Ethen, Ethin, Propan

E8

der Sondermüllbeseitigung zuführen (Adresse zu erfragen bei der Kreis- oder Stadtverwaltung)

Laborabfälle im Sinne der TA Abfall; z. B. Blei und Bleiverbindungen (bei letzteren zuvor E4)

E9

unter größter Vorsicht in kleinsten Portionen reagieren lassen (z. B. offen im Freien verbrennen)

explosive selbstzersetzliche und entzündbare Stoffe und Gemische; z. B. Phosphor, Diethylether

E10

in gekennzeichneten Glasbehältern sammeln: 1. „Organische Abfälle – halogenhaltig“ 2. „Organische Abfälle – halogenfrei“ dann E8

organische Stoffe und Lösungen; z. B. Aceton, Methanol, Toluol, Bromethan, Trichlormethan

E11

als Hydroxid fällen (pH = 8), den Niederschlag zu E8

gelöste Schwermetallsalze; z. B. Kupfersulfatlösung

E12

nicht in die Kanalisation gelangen lassen

giftige Stoffe und Gemische sowie Stoffe und Gemische, die sehr giftig für Wasserorganismen sind; z. B. Benzin, Benzol, Kohlenstoffdisulfid, Quecksilber, Phenol, Toluol

E13

aus der Lösung mit unedlerem Metall (z. B. Eisen) als Metall abscheiden (E14, E3)

z. B. Chrom- oder Kupfersalzlösungen

E14

recycling-geeignet (Redestillation oder einem Recyclingunternehmen zuführen)

z. B. organische Lösemittel wie Aceton, Quecksilber- und Bleiverbindungen

E15

mit Wasser vorsichtig umsetzen, frei werdende Gase absorbieren oder ins Freie ableiten

Carbide, Phosphide, Hydride

E16

entsprechend den speziellen Ratschlägen für die Beseitigungsgruppen beseitigen

z. B. Brom, Bromwasser, Natrium, Kalium, Chromsalze und Chromate, Quecksilber

Ch

Entsorgungsratschläge (E-Sätze)

Biologie

Biologie Physiologie und Biochemie Fotosynthese und Atmung Biomasseproduktion

S = Pb – (R + mV) Pn = Pb – R

S langfristiger Stoffgewinn für den betrachteten Organismus Pb Brutto-Primärproduktion Pn Netto-Primärproduktion R Stoffverlust durch Atmung mV Verlustmasse (z. B. abgeworfene Blätter)

respiratorischer Quotient RQ

2 aus 2 ein RQ = ​        ​ }} n(O2)ein – n(O2)aus

n(CO )

n(CO2)aus/ein aus- bzw. eingeatmete Stoff­ menge an Kohlenstoffdioxid n(O2)ein/aus ein- bzw. ausgeatmete Stoff­ menge an Sauerstoff V (CO2) gebildetes Kohlenstoffdioxid­ volumen V (O2) verbrauchtes Sauerstoffvolumen



Lichtgenuss von Pflanzen LG

 – n(CO )

n(CO2)gebildet

V(CO2)gebildet

2 verbraucht

2 verbraucht

= }} ​        ​ = }} ​        ​ n(O ) V(O )

E

EOrt Beleuchtungsstärke am Wuchsort EFrei Beleuchtungsstärke im Freiland

LG = } ​ E Ort   ​   · 100 % Frei

Enzymreaktionen V

V

(

)

MichaElis-MEntEnKonstante KM

max KM = } ​  max       c (S)  bei  v0 = ​ } ​ ​     ​ ​ 2 2

LinEWEavEr-BurkGleichung

doppelt reziproke Darstellung: 1

0

Reaktionsgeschwindigkeit v0 einer Enzymreaktion

K

1

1

​  v   ​ = } ​ V M  ​  · ​ }    ​ + } ​ V    ​  } c (S) v0 =

max

V  · c (S) ​ Kmax    ​  } M + c(S)

max

Reaktionsgeschwindigkeit v0

Bio

142

Vmax Vmax 2

Substratkonzentration c(S) Vmax maximale Reaktionsgeschwindigkeit c (S) Substratkonzentration

Osmose Saugkraft der Zelle S

S=O–W

osmotischer Druck O

O = c · R · T

T absolute Temperatur R universelle Gaskonstante (b S. 71) c Konzentration W Turgordruck (Wanddruck)

Physiologie und Biochemie

143

1. ficksches ­Diffu­sionsgesetz 2. ficksches ­Diffu­sionsgesetz Diffusion durch eine Membran

dn

dc

​  dt  ​= – D · A · ​ }  ​ } dx x=√ ​}  D · t  ​  2

x  tmax = ​ }   ​  2 · D (c  – c )

dn i ​ }   ​= – D · A · ​ }  a  ​  dt z

Diffusionspoten­ c(Ion)I zial ED (nernstsche ED = } ​ R · T    ​ · ln ​ }    ​  z · F c(Ion)II ­Gleichung) (b S. 137)

n Stoffmenge (b S. 136) t Diffusionszeit A Durchtrittsfläche D Diffusionskonstante x Diffusionsweg c Konzentration der Stoffmenge tmax maximale Diffusionszeit ci; ca Konzentration der Stoffmenge beiderseits der Membran (innen und außen) z Dicke der Membran R universelle Gaskonstante (b S. 71) T absolute Temperatur z Ionenwertigkeit F faraday-Konstante (b S. 71) c(Ion)I Ionenkonzentration der Lösung I c(Ion)II Ionenkonzentration der Lösung II

Wasserhaushalt Trockenmasse TM

Unter der Bedingung nach 24 Stunden bei 110 °C gilt: TM = FM – WG

Wassergehalt WG

WG = FM – TM

Aschemasse AM

AM = TM – mV

Wasserdefizit Wd (Wasserverlust)

Wd = } ​  max   a  ​   · 100 % W

Bilanzquotient des Wassers BQ

ab BQ = ​ }    ​  c} ​  ab   ​  ​m​ ​ ​V​ ​

 – W

W

max

​m​W ​

​V​W ​

Wauf

Wauf

Ist BQ > 1, welkt der Organismus

FM Frischmasse mV Verlustmasse beim Glühen Wmax maximal möglicher Wassergehalt Wa zur Zeit vorhandener Wassergehalt (aktueller Wassergehalt) ​m​Wab​ Masse des abgegebenen Wassers je Zeiteinheit ​m​Wauf​ Masse des aufgenommenen Wassers je Zeiteinheit ​V​Wab​ Volumen des abgegebenen Wassers je Zeiteinheit ​V​Wauf​ Volumen des aufgenommenen Wassers je Zeiteinheit

Wachstum G GR = } ​ dt · N    ​ 

Sterberate SR

T SR = } ​ dt · N     ​

Zuwachsrate r (Vermehrungsrate)

r = GR + SR

exponentielles Wachstum

dN ​ }   ​= r · N dt

logistisches (reales) Wachstum

dN K – N ​ }   ​= r · N · ​ }      ​ dt K

–N

gültig für N < K

NG Anzahl der Geburten N Gesamtzahl der betrachteten Individuen NT Anzahl der Todesfälle t Zeit K Faktor, der die Lebensraumkapazität angibt (maximale Populationsgröße) Zahl der Individuen N

+N

Geburtenrate GR

a K

a – exponentielle Wachstumskurve b b – logistische Wachstumskurve Zeit t

Bio

Diffusion

Biologie

Bio

Bakterienvermehrung in statischer Kultur in der log-Phase

N = N0 · 2n

N Anzahl der Individuen nach n ­Teilungen N0 Ausgangszahl der Bakterien

N 20

exponentielle Phase (log-Phase)

Generationen 1 2 3 4

15 10

1 2 4 8 Individuenzahl

5

Logarithmus der Individuenanzahl

144

lb N  – lb N

R=} ​  t1 – t   0  ​ 

Generationszeit tgen

tgen = } ​ R1 ​

1

stationäre Phase

Absterbephase

N1 N0 t0

min 0 20 40 60 80 100 theoretische Vermehrung

Wachstumsrate R

Anlaufphase

t1

Zeit

lb log2 N0, N1 Anzahl der Bakterien zur Zeit t0, t1 t0, t1 Zeit

0

Ökologie Qualität des Wassers (m  – m ) · 1 000

Bestimmung des Plankton- und Schwebstoffgehaltes GPS

GPS = }}    ​  2 V1  ​ 

quantitative Sauerstoffbestimmung β (O2) (nach WinklEr)

β (O2) = } ​ a · 0,08 · 1 000     ​  V – b

Sauerstoffsättigung S

2 S=} ​  β (O     ​  )S

Sauerstoffdefizit β (O2)Def

β (O2)Def = β (O2)S – β (O2)

biochemischer Sauerstoffbedarf BSB

BSB2 = β (O2) – β (O2/II) BSB5 = β (O2) – β (O2/V)

m1 Masse des getrockneten Filterpapiers in g m2 Masse des getrockneten Filterpapiers mit Plankton- und Schwebstoffen in g V Volumen der Wasserprobe in ml a Verbrauch an Natriumthiosulfat­ lösung in ml (c = 0,01 mol · l–1) b zugesetzte Reagenzienmenge in ml 1 000 Umrechnungsfaktor für einen Liter

β (O ) · 100 %

β (O2) gemessener Sauerstoffgehalt der Frischprobe bei der gemessenen Temperatur β (O2)S theoretischer Sauerstoffsättigungswert bei der gemessenen Temperatur β (O2/II) Sauerstoffgehalt der 2 Tage (II) alten Wasserprobe β (O2/V) Sauerstoffgehalt der 5 Tage (V) alten Wasserprobe

2

Grenzwerte für chemische Stoffe im Trinkwasser

Trinkwasserverordnung 2011

Stoffe

Grenzwerte

Stoffe

Grenzwerte

Nitrat

50 mg je l (Für Säuglinge sollte die Konzentration von 10 mg je l nicht überschritten werden.) 0,5 mg je l

Blei Cadmium Kupfer Nickel Quecksilber

0,01 mg je l 0,003 mg je l 2,0 mg je l 0,02 mg je l 0,001 mg je l

Nitrit

Ökologie

145

VoltErra-Regeln (VoltErra-Gesetze)

dN

Wachstum der ­Beutepopulation

B ​ }    ​ = NB(rB – k · NR) dt

Wachstum der ­Räuberpopulation

​  dtR    ​ = NR(bR · NB – dR) }

neue Individuenzahl der Beute

NB = NBo + NBo · rB – k · NBo · NRo

neue Individuenzahl der Räuber

NR = NRo + bR · NRo · NBo – NRo · dR Individuen/Fläche

dN

Beute

Räuber

Mittelwerte

Räuber

e Mittelwert

Zeit

Eingriff

Beute

Individuen/Fläche

Zeit

Individuen/Fläche

3. VoltErra-Regel

NB Individuenzahl der Beute NR Individuenzahl der Räuber rB Wachstumsrate der Beute bR Wachstumsrate der Räuber je Beutetier dR Sterberate der Räuber k Fressrate der Räuber NBo Ausgangswert für Beute NRo Ausgangswert für Räuber

Beute erte

Mittelw

Räuber Zeit

Stufen

Ökologische Zeigerwerte Licht L

Temperatur T

Bodenfeuchtigkeit F

Bodenreaktion R

Stickstoff­ versorgung N

1

sehr schattig (weniger als 1 %)

sehr kalt

sehr trocken

stark sauer

sehr stickstoffarm

2

zwischen 1 und 3

zwischen 1 und 3

zwischen 1 und 3

zwischen 1 und 3

zwischen 1 und 3

3

schattig (weniger als 5 %)

kühl

trocken

sauer

stickstoffarm

4

zwischen 3 und 5

zwischen 3 und 5

zwischen 3 und 5

zwischen 3 und 5

zwischen 3 und 5

5

halbschattig (mehr als 10 %)

mäßig warm

frisch

mäßig sauer

mäßig stickstoffreich

6

zwischen 5 und 7

zwischen 5 und 7

zwischen 5 und 7

zwischen 5 und 7

zwischen 5 und 7

7

sonnig und schattig

warm

feucht

schwach sauer bis stickstoffreich schwach basisch

8

sonnig (mehr als 40 %)

zwischen 7 und 9

zwischen 7 und 9

zwischen 7 und 9

sehr stickstoffreich

9

sehr sonnig (mehr als 50 %)

sehr warm

nass

basisch

übermäßig stickstoffreich

Bio

1. und 2. VoltErraRegel

146

Biologie

Bio

Bestandsaufnahme von Pflanzen Stufen

Deckungsgrad (bedeckter Anteil Individuenzahl (Häufigkeit der der Untersuchungsfläche) in % Art auf der Untersuchungsfläche)

Entwicklungszustand

r („rar“)

sehr wenig Fläche abdeckend

etwa 1 bis 2 Individuen

+ („Kreuz“)

wenig Fläche abdeckend

etwa 2 bis 5 Individuen

1

weniger als 5 % abdeckend

sehr spärlich vorhanden

2

6 % bis 25 % abdeckend

spärlich vorhanden

3

26 % bis 50 % abdeckend

wenig zahlreich vorhanden

4

51 % bis 75 % abdeckend

zahlreich vorhanden

5

76 % bis 100 % abdeckend

sehr zahlreich vorhanden

K Keimpflanze J Jungpflanze st steril (ausgewachsene Pflanze ohne Blüten und Samen) ko knospend (Blütenoder Blattknospen) b blühend f fruchtend v vergilbend t tot (oberirdische Teile abgestorben) S nur als Samen zu finden g abgemäht

Biologische Gütebestimmung eines Gewässers Saprobienindex S für die untersuchte Biozönose

n

 ​S  ​h   i​  ·  si · gi S=} ​ i = 1n    ​  ​S  ​h   i​  ·  gi i = 1

oder (h  · s  · g ) + (h  · s  · g ) + … + (h  · s  · g )

1 1 1 2 2 2 n n n S = ​ }}}           ​ (h  · g ) + (h  · g ) + … + (h  · g ) 1

1

2

2

n

n

Saprobien- Gewässergütestufen klassen S = 1 bis < 1,75 I S = 1,75 bis 2,5 II S = 2,5 bis 3,25 III S = 3,25 bis 4,0 IV

n Anzahl der untersuchten Organismenarten h ausgezählte Häufigkeit der Organismen einer Art s Saprobienindex für die einzelne Art, gibt deren Optimum innerhalb der Saprobienstufen an g  Indikationsgewicht (1–5), gibt Eignung einer Art als Indikator für bestimmte Güteklassen an (Bindung an nur eine ­Güteklasse g = 5; Vorkommen in zwei oder mehr Güteklassen g = 4, 3, 2, 1)

Immissionsgrenzwerte (Auswahl) Stoffe

Grenzwerte für Massenkonzentrationen bzw. Volumenanteile

Kohlenstoff­ monooxid

Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 10 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 30 mg je m3

Kohlenstoff­ dioxid

Volumenanteil in der Atmosphäre: 0,036 % keine Begrenzung – Auswirkung auf Treibhauseffekt (Industrialisierungsbeginn 0,028 %)

Schwefeldioxid

Langzeit-Konzentration in der Luft: 0,14 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,40 mg je m3

Stickstoffdioxid

Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,08 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,20 mg je m3

Ozon

Konzentration in der Luft 0,18 mg je m3 (c Grenzwert für menschliche Belastung)

Staub

Langzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,15 mg je m3 Kurzzeit-Konzentration in der Luft: max. 0,30 mg je m3

Humanbiologie

147

Humanbiologie

voraussichtliche Körpergröße KgrE als Erwachsener

Kf = } ​ Kgr – Dgr     ​  Uw

Normalgewicht NG und Idealgewicht IG (nach Broca)

NG = (Kgr – 100) · kg IG = NG · 0,9 bei Jugendlichen:  IG = NG · 0,85

Kgr

Body-Mass-Index (BMI )

Körpermasse in kg BMI = }}    ​     ​ 2

BMI Körpermasse-Index

Kf Korrekturfaktor Kgr Körpergröße in cm Dgr Durchschnittskörpergröße (b Tab. unten) DgrE Durchschnittskörpergröße als ­Erwachsener (b Tab. unten) Uw Umrechnungswert (b Tab. unten) UwE Umrechnungswert als Erwachsener (b Tab. unten)

KgrE = DgrE + (Kf · UwE)

Körpergröße in cm

(Körpergröße in m)

Körpermasse-Index (BMI ) ohne Altersangaben

Körpermasse-Index (BMI ) mit Altersangaben

Einteilung in Klassen

Frauen

Männer

Alter in Jahren

Unter­ gewicht

Normal­ gewicht

Über­ gewicht

Untergewicht Normalgewicht Übergewicht Fettsucht (Grad I) Fettsucht (Grad II) Fettsucht (Grad III)

unter 19 19–24,9 25–29,9 30–34,9 35–39,9 über 40

unter 20 20–25,9 26–30,9 31–35,9 36–39,9 über 40

19–24 25–34 35–44 45–54 55–64 über 64

unter 19 unter 20 unter 21 unter 22 unter 23 unter 24

19–24 20–25 21–26 22–27 23–28 24–29

über 24 über 25 über 26 über 27 über 28 über 29

Durchschnittliche Körpergröße

Umrechnungswerte Uw

DurchUmrechschnittsnungsgrößen Dgr werte Uw

Durchschnittsgrößen Dgr

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

4,5 4,8 5,1 5,5 5,7 5,9 6,2 6,6 7,0 8,0 8,8 8,0 7,2 6,6 6,5 6,5

104 110 116 122 128 134 138 143 148 154 161 167 171 173 174 174

102 109 115 121 127 133 137 142 147 154 159 161 162 162 163 164

4,5 4,8 5,1 5,5 5,7 6,0 6,5 7,0 7,3 6,8 6,3 6,0 5,7 5,6 5,6 5,7

Für Kinder und Jugendliche unter 14 Jahren hat der BMI noch keine Gültigkeit. Man kann die Körpermasse nach dieser Grafik ermitteln. Körpergröße in cm

weiblich

Alter in Jahren

männlich

180 170 160 150 140 130 120 110

Beispiel: Bei einer Größe von 140 cm sollte die Körpermasse zwischen 28 kg und 40 kg liegen.

100 90 80 10 20 30 40 50 60 70 80 Körpermasse in kg

Bio

Körpergröße und Körpermasse

148

Biologie

Täglicher Stoffwechsel

Bio

Gesamtumsatz GesU GesU = GU + LU Grundumsatz GU

GU = 4,2 kJ · t · mK bei Jugendlichen: 6,2 kJ · t · mK

Leistungsumsatz LU

LU = (h1 · EV1) + (h2 · EV2) + … + (hn · EVn)

Nährstoffbedarf Nb

Nb = Bf · mK

Energiebedarf Eb

Eb = (NbKH · EGKH) + (NbFett · EGFett) + (NbEiw · EGEiw)

Energiegehalt einer Mahlzeit EGm

EGm = ​EG​n1​+ E ​ G​n2​+ … + E ​ G​nn​

Blutalkoholgehalt (nach Widmark) BAG

m

LU t mK

h Zeit in Stunden für die ausgeführte Tätigkeit EV Energieumsatz je Stunde der ­Tätigkeit Bf Bedarfsfaktor der Nährstoffe (b Tab. Mitte) EG Energiegehalt der Nährstoffe (b Tab. Mitte) EGn Energiegehalt der Nahrungsmittel (b Tab. S. 149) BAG Blutalkoholgehalt in ‰ r Reduktionsfaktor männlich 0,7, weiblich 0,6 D Dichte von Alkohol (0,79 g · ml–1) mAlkohol aufgenommene Alkoholmenge in g mK Körpermasse in kg VAlkohol Volumen des Alkohols in ml

 · D

V

Alkohol BAG = } ​  m    ​  =} ​  Alkohol     ​   · r m  · r K

Leistungsumsatz an Energie Zeit in Stunden Körpermasse in kg

K

Energiegehalt der Nährstoffe (zur Errechnung von Nb und Eb) Nährstoffe

Energiegehalt in kJ/g in kcal/g

1 kcal = 4,1868 kJ Bedarfsfaktor in g/(kg Körpermasse)

Fette

39

9,3

0,8

Eiweiße (Eiw)

17

4,1

0,9 –1,0

Kohlenhydrate (KH)

18

4,3

1,3–1,5

Richtwerte für die tägliche Aufnahme von Nitrat und Nitrit Richtwerte Nitrat Nitrit

3,65 mg/kg 0,13 mg/kg

Säuglinge (ca. 5 kg)

Kind (ca. 20 kg)

18,3 mg 0,65 mg

73,0 mg 2,6 mg

Energiebedarf je Stunde bei verschiedenen Tätigkeiten

Erwachsener (ca. 60 –70 kg) 219,0 mg 7,8 mg

bei Erwachsenen von 65 bis 70 kg

Tätigkeiten

kcal/h

kJ/h

Tätigkeiten

Badewanne scheuern Bergsteigen Betten machen Boden schrubben Brustschwimmen (50 m/min) Dauerlauf (10 km/h) Fenster putzen Fußball spielen Gehen (2 km/h) Gymnastik Kochen im Stehen

430 1 000 191 229 680 597 174 454 120 334 96

1 800 4 200 800 960 2 850 2 500 730 1 900 502 1 400 400

Radrennen (43 km/h) Schlafen Skilanglauf (8 km/h) Sitzen Spielen/Aufräumen Staub saugen Tanzen Teig kneten Tischtennis Treppen steigen (60 Stufen mit 10 kg) Wäsche bügeln

kcal/h 1 000 65 776 29 60 179 350 156 450 530 136

kJ/h 4 270 272 3 250 120 250 750 1 465 660 1 884 2 220 570

Humanbiologie

149

Nahrungsmittel in g (berechnet auf 100 g)

Energiegehalt Nährstoffe in g

Jogurt Camembert Kuhmilch Schlagsahne Butter Margarine Schmalz

297 1 200 268 1 205 2 996 2 960 3 771

71 287 64 288 716 720 901

4,8 20,1 3,2 2,2 0,6 0,5 0,0

3,8 24,2 3,7 30,4 81,0 80,0 99,0

4,5 2,0 4,6 2,9 0,7 0,4 0,0

86,1 52,1 88,5 64,1 17,4 19,7 1,0

678

162

12,8

11,5

0,7

Honig Traubenzucker Milchschokolade Nesquick

1 272 1 611 2 176 429

304 385 520 102

0,3 0,0 7,7 3,7

0,0 0,0 32,3 3,9

Roggenbrot Brötchen Spagetti Haferflocken

950 1 126 1 544 1 620

227 269 369 387

6,4 6,8 12,5 13,8

Brathuhn Schweinekotelett Entenfleisch Rindsfilet Cervelatwurst

578 1 427 1 365 511 1 072

138 341 326 122 256

423 607 356 243 167 318 2 624

Hühnerei

Forelle Karpfen Banane Apfel (süß) Karotten Kartoffeln Haselnüsse

in kJ

in kcal Eiweiß

Fett

Wasser- Vitamingehalt gehalt Kohlen- in g A B1 hydrate in I E in mg

C in mg

E in mg

1 010 140

0,05 0,04

– 1

– 0,06

3 300 3 000

Spuren –

Spuren 2,4 – 30,0

74,0

1 100

0,12

–

1,0

82,3 99,5 56,9 12,9

17,2 0,0 0,9 –

–

Spuren

1

–

270 –

0,01 0,2

– 10,0

1,0 0,5 1,2 6,6

52,7 58,0 75,2 67,6

38,5 34,0 10,4 10,3

–

0,55

–

0,25

20,6 15,2 16,0 19,2 12,5

5,6 30,6 28,6 4,4 27,6

0,0 0,0 0,0 0,0 1,8

72,7 53,9 54,0 75,1 55,6

–

0,8

–

0,6

– –

0,1 0,2

– –

0,5 0,1

101 145

19,2 18,9

2,1 7,1

0,0 0,0

77,6 72,4

150

0,09

–

–

85 58 40 76 627

1,1 0,3 1,1 2,1 12,7

0,2 0,6 0,2 0,1 60,9

22,2 15,0 9,1 17,7 18,0

75,7 84,0 88,6 79,8 6,0

190 90 11 000 5

0,05 0,04 0,06 0,11

10 5 2–10 20

1,1 –

0,2 0,3 0,45 0,06

(Nach flindt 1995 u. a., verändert; IE ist die Abkürzung für „internationale Einheiten“)

Luftbedarf und Atemfrequenz Luftbedarf je Minute bei verschiedenen Tätigkeiten

Atemzüge je Minute bei verschiedenen Tätigkeiten (Atemfrequenz)

Tätigkeiten

Tätigkeiten

Bergsteigen Liegen (ruhig) Rad fahren Rudern Schlafen Schwimmen Stehen (ruhig) Wandern/Gehen

Luftbedarf in l/min 52 7 24 60 5 44 8 17

Bergsteigen Liegen (ruhig) Rad fahren Rudern Schlafen Schwimmen Stehen (ruhig) Wandern/Gehen

Atemzüge/min 100 bis 130 13 bis 15 40 bis 50 150 bis 180 8 bis 9 85 bis 90 15 bis 16 30 bis 33

Bio

Energie-, Nährstoff-, Wasser- und Vitamingehalt ausgewählter Nahrungsmittel

150

Biologie

Bio

Fortpflanzung und Entwicklung PEarl-Index PI (Versagerquote)

PI = } ​ N N   · t ​ 

N Anzahl der ungewollten Schwangerschaften t Beobachtungszeitraum in Jahren NAnwender Anzahl der Anwender/innen

Berechnung des Entbindungstermins Et (naegelesche Regel)

Et = Tm + 7; Mm – 3; Jm + 1

(T, M, J)m Termin des ersten Tages der letzten Menstruation (T Tag; M Monat; J Jahr) T, M, J = 20.06.2012 20 + 7; 6 – 3; 2012 +1 Et = 27.03.2013

Anwender

(Nicht anwendbar, wenn Et im Oktober, November oder Dezember liegt.)

Genetik und Evolution N Berechnung des Aus- AW = } ​ N A  ​  · 100 % ges tauschwertes AW in Koppelungsgruppen (relative Gen­ abstände)

NA Anzahl der Nachkommen mit Gen­ austausch Nges Gesamtzahl der Nachkommen

Mutationsrate Mr (nach NachtshEim)

direkte Berechnung:

NN NI

Hardy-WEinbErgGesetz (Berechnung der Allelenfrequenz in idealen Popula­ tionen)

Für die Ausgangspopulation gilt: Q+q=1

Q, q Häufigkeit dominanter und rezessiver Allele

Für die Folgepopulation gilt: Q 2 + 2 Qq + q 2 = 1  und d+h+r=1 Q = d + 0,5 h q = 0,5 h + r

Genotyphäufigkeit: d homozygot dominant h heterozygot r homozygot rezessiv

Mr =

N ​ 2NN  ​  } l

Unter den Annahmen ... – keine Mutationen – unendlich große Population

Anzahl der Neumutanten Gesamtzahl der betrachteten Individuen

– keine Selektion – kein Genfluss

– vollständige Panmixie (beliebige Paarung)

gilt, dass die Allelenfrequenzen und die Genotyphäufigkeit gleich bleiben, d. h. ­Evolution nicht stattfindet; in der Realität wirken aber Einflüsse auf die Popula­ tionen. Individualfitness W (Adaptationswert; relative Überlebensrate)

N

für den besten Genotyp gilt: W=1

NI  Genotyphäufigkeit des betrachteten Genotyps Nmax Nachkommenschaft des besten Genotyps

Selektions­ koeffizient S

S=1–W

W Individualfitness

mittlere Populati }  onsfitness W​ ​    

2 2 n W​ ​    = }}}     ​  1 1 f    n ​  + f  + … + f

genetische Last L (genetische Bürde)

L=} ​  max     ​  W

W=} ​ N l  ​  max

 } 

f  · W  + f  · W  + … + f  · W 1

W

 } 

 – ​W​     

max

2

n

W1,W2 Individualfitness der Genotypen 1 und 2 f1, f2 Häufigkeit der Genotypen 1 und 2 Wmax Fitness des besten Genotyps In jeder Population ist die durchschnittliche Fitness geringer als die Fitness des besten Genotyps.

Informatik Technische Realisierung logischer Verknüpfungen Bestandteile und Bedeutung der Symbole (logische Operatoren b auch S. 10 – Aussagenlogik): E, E1, E2 Eingänge 0 keine Spannung vorhanden; Strom fließt nicht; low A c 0 Volt; falsch A Ausgang 1 Spannung vorhanden; Strom fließt; high A c 5 Volt; wahr Verknüpfung

elektrische Schaltungen

Buffer (Zwischenspeicher, Identität)

E

NOT (NICHT, Negator, ­Negation)

E

AND (UND, Konjunktion)

– +

– +

A

E

A

E

E1 E2

OR (ODER, Disjunktion)

Zusammenführung von AND und NOT Z

&

A

A

Zusammenführung von OR und NOT E1 E2

≥1

Z

1

A

E1 A E2

1

E1 E2

&

E1 E2

&

E1 E2

≥1

E1 E2

≥1

E1 E2

=1

A

E 0 1

A 0 1

A

E 0 1

A 1 0

E1

E2

A

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

E1

E2

A

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

E1

E2

A

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

E1

E2

A

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 0

E1

E2

A

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

A

A

A

– +

Parallelschaltung

EXOR (Exklusiv–ODER, ENTWEDER–ODER, ausschließendes ODER, Alternative)

1

E1 E2

NOR (ODER–NICHT)

1

– +

Reihenschaltung

E1 E2

Funktionstabelle

Symbol nach DIN 40900

A

NAND (UND–NICHT)

151

Inf

Technische Realisierung logischer Verknüpfungen

– +

A

A

Die Struktur ({0, 1}, AND, OR, NOT) ist eine boolesche Algebra. In ihr gelten u.a. die Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetze und morganschen Gesetze für das Rechnen mit Mengen (b S. 8).

152

Informatik

Datendarstellung Dualsystem (Zweiersystem, dyadisches System, binäres System)

Inf

Grundziffern:

0, I

Stellenwert:  Potenzen von 2 m

Kennzeichnung: b

i

Darstellungsform: bmbm–1 … b0, b–1 b–2 … b–n = S ​   ​b   i​ · 2

m, n ∈N  bi ∈{0; 1}

i = –n

Anwendung:

I0I0I,IIb = 1 · 2  + 0 · 2  + 1 · 2  + 0 · 2  + 1 · 2  + 1 · 2  + 1 · 2  = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 21,75 4

3

2

1

0

–1

–2

Addition

Grundaufgaben: 0 + 0 = 0 0+I=I+0=I I + I = I 0

I I I I b + I 0 0 I I b I 0 0 0 I 0 b

Komplementdarstellung (für negative ganze Zahlen)

–Z = ¬Z + 1 Z positive Dualzahl ¬ bitweise Negation (–Z wird als Differenz 2n – Z dargestellt)

Z = 55 = 0 0 I I 0 I I I b n=8 ¬Z = I I 0 0 I 0 0 0 b –Z = ¬Z+1 = I I 0 0 I 0 0 I b = 201 = 28 – 55

Subtraktion

– entspricht der Addition des Komplements – der Übertrag der ersten Ziffer wird gestrichen

85 0 I 0 I 0 I 0 I b I 0 I 0 I 0 I b – 55 – 0 0 I I 0 I I I b = + I I 0 0 I 0 0 I b 30 0 0 0 I I I I 0 b

Multiplikation

Grundaufgaben: 0 · 0 = 0 0 · I = I · 0 = 0 I · I = I

I 0 I I 0 · I I 22 · 3 I 0 I I 0 66 I 0 I I 0 I 0 0 0 0 I 0

15 + 19 34

Einheiten der Datendarstellung Bit kleinste Einheit der Datendarstellung; kann 2 mögliche Werte annehmen (0/I, O/L, falsch/wahr, nein/ ja, Schalter geöffnet/Schalter geschlossen, Strom fließt nicht/Strom fließt; in der Technik auch L/H) Byte Zusammenfassung von 8 Bit zu einem Zeichen; dadurch können 28 = 256 verschiedene Zeichen dargestellt werden. Jedes Byte kann in zwei Tetraden zerlegt werden, die jeweils durch eine Hexadezimalziffer codiert werden können.  Beispiel:  26 = 0 0 0 I|I 0 I 0 b = 1A Maßeinheit der Speicherkapazität: 1 KiB = 210 Byte = 1 024 Byte  1 MiB = 220 Byte = 1 048 576 Byte 1  GiB = 230 Byte = 1 073 741 824 Byte (Zeichen) Word Bitfolge der Länge 16; kann 16-stellige Dualzahlen codieren, nämlich die Zahlen von 0 = 0000000000000000b bis 65 535 = IIIIIIIIIIIIIIIIb oder die Zahlen von –215 bis 215 – 1

Hexadezimalsystem Grundziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Stellenwert:  Potenzen von 16 m

Darstellungsform: hmhm –1 … h0, h–1 h– 2 … h–n = ​S  ​h ​  i​ · 16i i = –n

Anwendung:

Kennzeichnung: h

h ∈{0; 1; … ; 9; A; B; …; F}

m, n ∈N

14E,2 h = 1 · 162 + 4 · 161 + 14 · 160 + 2 · 16–1 = 256 + 64 + 14 + 0,125 = 334,125

Vergleich: Dezimalzahlen (z), Dualzahlen (Bitmuster, b), Hexadezimalzahlen (h) z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b 00000000 0000000I 000000I0 000000II 00000I00 00000I0I 00000II0 00000III 0000I000 0000I00I

h

z

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

b 0000I0I0 0000I0II 0000II00 0000II0I 0000III0 0000IIII 000I0000 000I000I 000I00I0 000I00II

h

z

0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

b 000I0I00 000I0I0I 000I0II0 000I0III 000II000 000II00I 000II0I0 000II0II 000III00 000III0I

h

z

14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D

30 31 32 55 85 99 100 127 128 255

b 000IIII0 000IIIII 00I00000 00II0III 0I0I0I0I 0II000II 0II00I00 0IIIIIII I0000000 IIIIIIII

h 1E 1F 20 37 55 63 64 7F 80 FF

Datendarstellung

153

ASCII American Standard Code for Information Interchange Dargestellt ist für die Zeichen 128 bis 255 der Zeichensatz Windows-1252 für westeuropäische Sprachen. dez dezimaler Wert Win Die Zeichen erhält man unter Windows folgendermaßen: ALT-Taste gedrückt halten und auf dem ­Ziffernblock der Tastatur 0 und den Dezimalwert eingeben, der dem gewünschten Zeichen entspricht. dez

Win

32

dez

Win

dez

Win

dez

Win

dez

Win

dez

Win

dez

Win

dez

Win

60




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F

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d

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e

131

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f

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g

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88 89

X Y

118 119

v w

148 149

€

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” •

Die ersten 32 Zeichen (0 bis 31) sind im Allgemeinen für die Steuerung reserviert. Das Zeichen mit dem dezimalen Wert 32 ist das Leerzeichen. [Alt]+[0160] ist das geschützte Leerzeichen, ° erscheint in MS-Word bei Anzeige der Formatierungen.

Inf

ASCII-Zeichen (erweiterter Code)

154

Informatik

Inf

Datentypen und Datenstrukturen Datentyp

Bedeutung

einige konkrete Werte

mögliche Operationen, Relationen und Funktionen

integer

ganze Zahlen (im Allgemeinen aus [–215; 215 –1])

–101 0 –  66 3000

+, –, * (Mult.), div (ganzzahlige Divi­ sion), mod (Rest bei div), abs (Absolutbetrag), Vergleichsrelationen

real

rationale Näherungswerte für reelle Zahlen (Da der ­Computer nur endlich lange Zahlenwerte verarbeiten kann, sind die Zahlen ungleichmäßig verteilt.)

– 26,53 0,03 5 102,5 –  666,6 99 22,5E20 (22,5 · 1020) (Ein Computer rechne auf 6 Stellen genau. ⇒ In [0; 1[ liegen 1 Mio. Zahlen, in [999998; 999999[ liegt nur eine Zahl, nämlich 999998.)

+, –, *, / (Division), Vergleichsrelatio­ nen (, ≤, ≥, =, ≠), verschiedene mathematische Funktionen wie sqrt (Quadratwurzel), sin, ln, ... (Die üblichen Rechengesetze (Assoziativgesetze, Distributivgesetz) gelten in der Menge der Computerzahlen nicht, was in Einzelfällen zu großen Rechenungenauigkeiten führen kann.)

boolean (logical)

logische Werte

wahr falsch (true) (false)

NOT (nicht, ¬), AND (und, ∧), OR (oder, ∨), IMPL (folgt, ⇒)

char (character)

Zeichen (Ziffern, Buchstaben, Sonderzeichen, Grafiksymbole)

9 0 S c Y [ Ø " Æ

ord (ordnet dem Zeichenwert die entsprechende ASCII-Zahl zu), chr (ordnet der Codezahl das entsprechende Zeichen zu)

Datenstruktur

Konstruktion und Bedeutung

Feld (array)

Zusammenfassung von Daten gleichen Typs (Feldelemente) – Namensliste – in einer Reihe (eindimensionales Feld) – Parameter eines – in Reihen und Spalten (zweidimensionales Feld) Gleichungssystems (als Jedes Feldelement ist durch Ordnungszahlen (Indizes) einMatrix dargestellt) deutig festgelegt. Bei zweidimensionalen Feldern besitzt – Stichprobe jedes Element 2 Indizes, bei dreidimensionalen Feldern 3 …

Verbund (record)

Zusammenfassung von Daten unterschiedlichen Typs Bei der Datenstruktur Verbund spricht man auch von einem Datensatz (z. B. Angaben zu einer Person), der aus einzelnen Datenfeldern (z. B. Name, PLZ, Wohnort, Straße) besteht.

– Preisliste (Warenbezeichnungen und Zahlen) – Personalien

Datei (file)

sequenzielle (aufeinander folgende) Zusammenfassung von Daten gleichen Typs Ein File kann ständig erweitert werden (dynamische Datenstruktur) und wird unter einem Namen auf Datenträgern abgespeichert.

– Namensliste – Zahlenfolge – Messreihe

Baum

Die betrachteten Daten stehen nicht auf gleichem Niveau, es gibt über- und untergeordnete Daten. Jedes Datum auf einem gegebenen Niveau ist genau einem Datum von unmittelbar höherem Niveau unterstellt. Jedes Datum kann auf mehrere Daten des nächstniedrigeren Niveaus Bezug nehmen. Es gibt genau ein Datum, das keinen Vorgänger hat.

– Generationsfolge einer Familie oder baumartige Einteilung der Tierwelt – Notation von aufeinander folgenden möglichen Antworten zum Lösen eines Problems, die nur „ja“ oder „nein“ lauten können (binärer Baum) – Organisation von Ordnern in Betriebssystemen

5

Anwendungen

Wurzel (root) Knoten

A B

C

D E F Kante (Zweig)

G H

I

Endknoten (Blatt)

Algorithmik

155

Algorithmik

Name

Darstellungs- verbal formalisiert form

grafisch ­(Struktogramm)

Folge (Verbundanweisung)

Anweisung 1 Anweisung 2 ... Anweisung n

Anweisung 1 Anweisung 2 … Anweisung n

einseitige Auswahl

WENN Bedingung,   DANN Anweisung

ja

zweiseitige Auswahl WENN Bedingung, (Alternative)   DANN Anweisung 1   SONST Anweisung 2 mehrseitige ­Auswahl (Fallunterscheidung)

FALLS Selektor =   1: Anweisung 1  ...   n: Anweisung n ENDE

in einer Programmiersprache (PASCAL) BEGIN   Anweisung 1;  ... END;

b

nein

IF Bedingung   THEN Anweisung;

nein

IF Bedingung   THEN Anweisung 1   ELSE Anweisung 2;

a b

ja a1 1

2

a1

a2

a2

Falls s = n …

an

Wiederholung mit vorangestelltem Test (mit Eingangsbedingung)

SOLANGE Bedingung, FÜHRE  Anweisungen AUS

Wiederholung mit nachgestelltem Test (mit Abbruchbedingung)

WIEDERHOLE  Anweisungen BIS Bedingung

gezählte Wiederholung (Zählschleife)

FÜR i: = anfw BIS endw Für i = anfw bis endw (mit SCHRITTWEITE s) a tue   FÜHRE Anweisungen AUS

Solange b tue

a

Wiederhole

a

bis b

Effizienz von Sortieralgorithmen

CASE Selektor OF   1: Anweisung 1;  ...   n: Anweisung n; END; WHILE Bedingung DO   Anweisung oder Verbund;

REPEAT  Anweisungen UNTIL b; FOR i : = anfw TO endw DO   Anweisung oder Verbund; (für TO auch DOWNTO)

n Anzahl der zu sortierenden Elemente, n ∈N

Sortieren durch Auswahl (Minimumsort)

Sortieren durch Austausch (Bubblesort, Ripplesort)

Schnelles Sortieren (Quicksort)

Kurzbeschreibung

Aus einer Liste wird das kleinste Element herausgesucht und an die erste Stelle einer neuen Liste gesetzt. Die Restliste wird wieder nach dem kleinsten Element durchsucht, welches an die zweite Stelle der neuen Liste gesetzt wird usw.

Es werden fortlaufend 2 benachbarte Elemente (oder alle nachfolgenden Elemente mit dem ersten, zweiten, …) verglichen und gegebenenfalls vertauscht. Dies wird solange wiederholt, bis die Folge sortiert ist.

Irgendein Element wird als „Trennelement“ T genommen und alle anderen Elemente werden davor (wenn sie kleiner oder gleich T sind) bzw. dahinter angeordnet. Mit den jeweils entstehenden Teillisten wird ebenfalls so verfahren, bis alle Elemente an der richtigen Stelle stehen.

A(n) Anzahl der Vergleiche, Aufwand

A(n) ~ n2

A(n) ~ n2

A(n) ~ n · lg n (best case) A(n) ~ n · lg n (average case) A(n) ~ n2 (worst case)

Inf

Algorithmenstrukturen

156

Informatik

Angewandte Informatik

Inf

Universelle Datenaustauschformate Formate

Endung

Eigenschaften

Textformate

TXT

ASCII-Text; universelles Textformat; es gibt Modifikationen wie „Nur Text“, „Nur Text + Zeilenwechsel“, „MS-DOS-Text“ oder „MS-DOS-Text + Zeilenwechsel“

RTF

Rich Text Format („reiches Textformat“); bei diesem Textformat bleiben alle Informationen zu Formatierungen (z. B. Absatz- und Zeichenformate) erhalten

HTM, HTML

HyperText Markup Language; universelles Textformat im Internet; mittels Referenzen können JPEG-, PNG- und GIF-Grafiken eingefügt werden

JPG, JPEG

Joint Photographic Experts Group; verlustbehaftet komprimiert; für Fotos geeignet; Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; 24 Bit Farbtiefe (16 777 216 Farben)

GIF

Graphics Interchange Format; verlustfrei komprimiert; für großflächige Grafiken und Animationen geeignet; Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; maximal 256 Farben; eine Farbe kann transparent definiert werden

PNG

Portable Network Graphics, Datenaustauschformat im Internet; RGB-Format; 48 Bit Farbtiefe (281 474 976 710 656 Farben); Transparenz möglich

TIF, TIFF

Tagged Image File Format; Pixelgrafik; unkomprimiert; CMYK-Format

CGM

Computer Graphics Metafile; Vektorgrafik; international genormt

EPS

Encapsulated PostScript; PostScript-Datei mit „eingerolltem“ Pixelbild (z. B. TIFF); CMYK-Format

PDF

Portable Document Format; es können komplette Seiten mit Text und Bild gespeichert werden; ist ein Standard für Druckdateien; Datenaustauschformat im Internet

Grafikformate

Text + Grafik

Objekte und Attribute in Anwendungsprogrammen Programm

Objekt

Attribut

einige Attributwerte

Textverarbeitung

Zeichen

– Schriftart – Schriftgröße (-grad) – Schriftstil (-schnitt) – Schriftposition – Schriftfarbe – Zeichenname

Times; Helvetica; Courier 8 pt (Punkte); 9,5 pt; 12 pt; 26 pt normal; fett; kursiv; unterstrichen; Kapitälchen normal; hochgestellt; tiefgestellt Schwarz; Rot; Weiß; Blau Name des dem Zeichen zugewiesenen Druckformats

Absatz

– Ausrichtung – Einzüge – Erstzeileneinzug – Zeilenabstand – Absatzabstand – Tabstoppeinstellungen – Absatzstandardschrift – Umbruch – Absatzname

linksbündig; zentriert; rechtsbündig; Blocksatz von rechts 3 cm; von links 2,25 cm negativer Erstzeileneinzug 1 cm (hängender Einzug) einzeilig; zweizeilig; 12 pt; 0,5 cm vor dem Absatz 6 pt; nach dem Absatz 1 Zeile Position: 12 cm; Textausrichtung rechts Times New Roman 10 pt kursiv; Arial 12 pt fett Umbruch mit nächstem Absatz; am Seitenanfang Name des dem Absatz zugewiesenen Druckformats

Dokument (Seite)

– Papierformat – Seitenrand – Kopfzeile/Fußzeile – Spaltenanzahl – Fußnote

DIN A4 Querformat; DIN A5; benutzerdefiniert Rand innen 3 cm; Rand unten 2,5 cm Abstand vom Seitenrand 1,5 cm; mit Paginierung einspaltig; dreispaltig mit 1 cm Abstand ohne; Position Seitenende

Programm

Objekt

Attribut

einige Attributwerte

Tabellenkalkulation

Zeile

– Zeilenname – Zeilenhöhe

1; 2; 10; 16; 65536 20 pt; 0,5 cm; optimale Höhe; 0 cm (verborgene Zeile)

Spalte

– Spaltenname – Spaltenbreite

A; B; Z; AA; IU; IV 3 cm; optimale Breite; 0 cm (ausblenden)

Zelle

– Zellname – Formel als Zellinhalt – Zahlenformate für Zahlen als Zellinhalt – Zeichenformatierung – Ausrichtung des Zell­ inhalts in der Zelle – Rahmen und Hintergrundfarben – Zellschutz

A1; A3; IU16; IV65536; Umsatzsteuer; Zinssatz mit relativen/absoluten Bezügen zu anderen Zellen Zahlen mit Dezimalkomma und Währungseinheit;   negative Zahlen rot; Datumsformate Schriftart; -größe; -stil und -farbe horizontal: links, zentriert, rechts;   vertikal: oben, mittig, unten Rahmen links und unten, 1 pt stark, gestrichelt;   Linienfarbe Blau; Hintergrundfarbe Gelb gesperrt (nicht änderbar); nicht gesperrt (änderbar)

Tabelle, Rechenblatt

– Blattname – Ansicht – Schutz

Tabelle1; Tabelle3 ohne Gitternetzlinien; Formeln sichtbar geschützt (nicht änderbar)

Diagramm

– Diagrammtyp – Diagrammtitel – Legende – Datenquelle – Rubrikenachse – Größenachse

Kreisdiagramm; Liniendiagramm; Säulendiagramm Umsatzentwicklung keine; oben; unten; rechts; links = Tabelle1!$B$7:$C$10 Skalierung; Beschriftung; Anzahl der Datenreihen Skalierung; Beschriftung; Gitternetzlinien

Datenbanken (Aufgeführt sind Objekte der Datenbasis, nicht Objekte des Datenbank­ management­ systems.)

Datei – Name Artikel; Lager; Kunden (Tabelle) – Anzahl der Datensätze keine (leere Datei); 5; 100 000 – Ansicht Entwurfsansicht; Datenblattansicht; Liste; Formular

Zeichenprogramme (Vektorgrafik) (Bei der Pixelgrafik existieren diese Objekte nur beim erstmaligen Erstellen, effektive Methoden wie Ausrichten oder Gruppieren von Objekten können dort nicht durchgeführt werden.)

Datensatz

– Datenfelderanzahl – Nummer

3; 4; 7 Platz 3 (1000, 1005; ...) in der Datei

Datenfeld

– Feldname – Felddatentyp – Feldgröße – Sortierschlüssel (Index)

Artikel; Artikelnummer; im Lager; Preis Text; Zahl (Byte, Integer, Single, ...); Boolean in Abhängigkeit vom Felddatentyp ohne; steigend; fallend

Strecke (Linienzug)

– Linienstärke – Stil des Linienendes – Linienfarbe – Linienart

Haarlinie; 0,5 pt; 1 pt; 3 pt Pfeil; runder Abschluss Schwarz; Gelb; Rot durchgängig; gestrichelt; Strich-Punkt-Linie

Bézierkurve

– Linienstärke – Linienfarbe – Lage der Ankerpunkte – Lage der Endpunkte – Griffpunkte der Tangenten

Endpunkt Ankerpunkt

Griffpunkt

Polygon (Sonder­ form Rechteck)

– Randfarbe – Randstärke – Flächenfarbe – Farbverlauf – Füllmuster – Eckenzahl

Schwarz; Gelb; Rot Haarlinie; 0,5 pt; 1 pt; 3 pt Weiß; transparent (ohne Farbe); Schwarz; Grün ohne; linear; radial ohne; Karos regelmäßige n-Ecke sind möglich; Rechteck

Ellipse

– Randfarbe, Randstärke, Flächenfarbe, Farbverlauf und Füllmuster wie Polygon – Breite/Höhe (Kreis durch Festhalten von beim Aufziehen der Figur)

Schrift

– Schriftfarbe, -art, -größe, -stil wie Objekt Zeichen in der Textverarbeitung

157

Inf

Angewandte Informatik

158

Informatik

Grundlegende HTML-Befehle

Inf

Eigenschaft Anweisung (Tag = rot, Attribut = blau) Beschreibung Grundgerüst ­einer HTML-­ Datei (Seitengerüst)

MetaAngaben

Seitenformatierung

Text Inhalt der Webseite