Felder und Wellen in Hohlleitern 9783486776966, 9783486776942

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
I. Elektrostatische Felder in Hohlrohren
II. Stationäre magnetische Felder in Hohlrohren
III. Die Wechselfelder im Hohlrohr
IV. E-Wellen bzw. TM-Wellen
V. H-Wellen bzw. TE-Wellen
VI. Die Ströme au! dem Hohlleiter und die Leitungsdämplung
VII. Wellenzustände im Hohlleiter
VIII. Einzellragen zur Schaltungstheorie

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FELDER UND IN

WELLEN

HOHLLEITERN VON

H.H.MEINKE

MIT

VERLAG

131

VON

ABBILDUNGEN

R.OLDENBOURG

MÜNCHEN

1949

Dr. H. H. Meinke, geb. am 25. 5.1911 in Hamburg, Professor an der Technischen Hodischule Mündien, Vorstand des Instituts für Hochfrequenztedinik

Copyright 1949 b y Verlag von R. Oldenbourg München. Satz u. Druck: G. Franz'sche Buchdruckerei (G. Emil Mayer), München. Buchbinder: R. Oldenbourg Graph. Betriebe G.m.b.H., München.

Vorwort Die Entwicklung von Elektronenröhren, die Frequenzen von 1010 Hz mit ausreichender Leistung und Frequenzkonstanz zu erzeugen gestatten, hat in den letzten Jahren den Zentimeterwellen ein großes Anwendungsgebiet erschlossen, so daß diese heute einen der Brennpunkte der hochfrequenztechnischen Forschung und Geräteentwicklung darstellen. Innerhalb dieses neuen Bereichs der Elektrotechnik stellen die Hohlleiter das wesentliche Schaltungselement dar. Es ist eine bekannte Tatsache, daß diese Hohlleiter dem nach bestimmten traditionellen Gedankengängen ausgebildeten Ingenieur begriffliche Schwierigkeiten, machen. Diese liegen offenbar in drei Punkten: In mathematischer Hinsicht stellen die dabei auftretenden Feldgleichungen ein relativ kompliziertes Gebilde dar, das nur in einfachsten Sonderfällen zu einer Lösung führt, die auch dann durchaus nicht einfach ist. Rein vorstellungsmäßig ist das gleichzeitige Auftreten dreidimensionaler elektrischer und magnetischer Felder in Wellenform sehr schwierig und vorzugsweise bei inhomogenen Hohlleitern auch dem Fachmann noch nicht völlig zugänglich. Vom physikalischen Standpunkt bedeutet der unanschauliche, aber hier entscheidend wichtige Verschiebungsstrom besonders für den Anfänger ein nennenswertes Hindernis. Die Hohlleiter werfen daher auch pädagogische Probleme für denjenigen auf, der sich die Aufgabe stellt, ihre Theorie einem größeren Leserkreis zugänglich zu machen. Diese pädagogische Seite betrachtet der Verfasser noch als durchaus ungelöst, schreckt jedoch nicht vor dem Wagnis zurück, zunächst in einem durch die Zeitumstände beschränkten Rahmen gewisse Ideen dieser Art hiermit mitzuteilen. Es darf dabei nicht erwartet werden, daß die Hohlleitertheorie sich dem Leser mühelos erschließt. Gerade in der modernen Hochfrequenztechnik wie in vielen anderen Gebieten der Physik und Technik wird der menschliche Geist vor immer wachsende Schwierigkeiten gestellt, die sich nur durch intensives Studium überwinden lassen. Die noch nicht zu übersehenden technischen Möglichkeiten dieses Gebiets lassen jedoch diese Mühe als lohnend erscheinen. München, im Oktober 1948.

H. Meinke

Inhaltsverzeichnis Seite

Einleitung

5

I. Elektrostatische Felder in Hohlrohren 1.Das E n - F e l d im rechteckigen Hohlrohr 2. Kompliziertere Felder im rechteckigen Hohlrohr 3. Das Eoi-Feld im kreisrunden Hohlrohr 4. Kompliziertere Felder im kreisrunden Hohlrohr II. Stationäre magnetische Felder in Hohlrohren 1.Das Hio-Feld im rechteckigen Hohlrohr 2. Kompliziertere Felder im rechteckigen Hohlrohr 3. Das Hoi-Feld im kreisrunden Hohlrohr 4. Kompliziertere Felder im kreisrunden Hohlrohr

7 7 12 16 21 27 27 33 36 39

III. Die Wechselfelder im Hohlrohr 1. Die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes 2. Elektrische Wechselfelder in Hohlrohren 3. Magnetische Wechselfelder in Hohlrohren 4. Elektromagnetische Wellen

42 42 47 53 58

IV. E-Wellen bzw. TM-Wellen 1.Die Eoi-Welle im kreisrunden Hohlrohr 2. Die E n - W e l l e im rechteckigen Hohlrohr 3. Kompliziertere E-Wellen

67 67 73 77

V.H-Wellen bzw. TE-Wellen 1.Die Hio-Welle im rechteckigen Hohlrohr 2. Die Hu*-Welle im kreisrunden Hohlrohr 3. Kompliziertere H-Wellen

81 81 85 87

VI. Die Ströme 1. H-Wellen 2. E-Wellen 3. H-Wellen 4. E-Wellen

auf dem Hohlleiter und die Leitungsdämpfung im Rechteckleiter im Rechteckleiter im kreisrunden Hohlleiter im kreisrunden Hohlleiter

VII. Wellenzustände im Hohlleiter 1.Der allgemeinste Feldzustand im Hohlleiter 2. Wellenverhältnis und Feldwellenwiderstand 3. Der Widerstandsbegriff bei Hohlleitern 4. Grundzüge einer Schaltungstheorie 5. Stehende Wellen und Hohlraumresonatoren VIII. Einzelfragen zur Schaltungstheorie 1. Widerstands- und Vierpolmessung 2. Beispiele verlustfreier Vierpole 3. Der Wellenwiderstand von Hohlleitern 4. Hohlleiter mit Dielektrikum

91 91 96 98 100 104 104 107 113 116 123 133 I33 138 141 145

Einleitung Em Hohlleiter im allgemeinsten Sinn ist ein Rohr mit leitenden Innenwänden und beliebigem, aber konstantem Querschnitt. Diese Hohlleiter dienen bei sehr hohen Frequenzen zur Fortleitung elektromagnetischer Energie als Ersatz für gewöhnliche Leitungen. Da man gewohnt ist, den Energietranspoit mit Hilfe stromdurchflossener Leiter vorzunehmen, erscheint diese neue Form der Energieübertragung ohne Innenleiter ungewöhnlich und unanschaulich. Sie ist dem Vorgang der Energieausstrahlung einer Sendeantenne in den fieien Raum verwandt, die ja ähnliche vorstellungsmäßige Schwierigkeiten macht. Hier wird lediglich die entstehende elektromagnetische Welle durch die leitenden Wände des Hohlleiters zusammengehalten und geführt. Als technisch interessierende Hohlleiterformen werden rechteckige und kreisrunde Rohrquerschnitte näher betrachtet. Dabei wird der Anfänger oft verwirrt durch die Vielzahl der möglichen Feldformen. Diese Schwierigkeiten werden durch folgendes Vorgehen vermindert. Wenn man hinreichend niedrige Frequenzen benutzt, treten keine Wellen auf, sondern nur die bekannten, leicht vorstellbaren statischen und stationären Felder. In diesem einfachen Fall kann man die komplizierten Feldformen ohne erschwerende Nebenbedingungen genauer untersuchen. Sehr wesentlich ist die Erkenntnis, daß die unangenehmen Feldfunktionen lediglich durch die F o r m d e s R o h r e s bedingt sind und nicht durch den Vorgang der Hohlrohrwelle. Glücklicherweise kommen bei der praktischen Anwendung nur die einfachsten Feldformen vor, so daß ein ausgedehntes Studium der möglichen Feldformen unterlassen werden sollte. So wird es nun möglich, das zweite schwierige Problem, nämlich den Vorgang der Welle im Rohr, nur noch für besonders einfache Feldformen untersuchen zu müssen, wo die Verhältnisse durchaus übersichtlich sind. Ein näheres Studium allgemeiner Wellenformen erscheint nicht sinnvoll, da die dreidimensionale Vermischung elektrischer und magnetischer Felder erhebliche vorstellungsmäßige Schwierigkeiten macht und ihre technische Anwendbarkeit aus später erörterten Gründen sehr fraglich ist. Aber auch unter diesen vereinfachten Bedingungen bieten die Vorgänge in Hohlleitern noch ausreichend viele Probleme. Sowohl die elektrische wie auch die magnetische Feldstärke hat meist drei räumliche Komponenten, die jede wieder Funktionen der drei Raumkoordinaten sind. Diese Funktionen müssen einer ganzen Reihe von Gesetzen genügen: 1. Die Grenzbedingungen beschreiben das Verhalten der Feldstärken an den Leiteroberflächen. 2. Die Kontinuitätsbedingungen sagen aus, daß keine Feldlinie im ladungsfreien Raum entstehen oder verschwinden kann. 3. Das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz geben dann die elektromagnetischen Zusammenhänge zwischen den gleichzeitig vorhandenen elektrischen und magnetischen Wechselfeldern. Diese Gesetze eignen sich in der üblicherweise bekannten Form, der sogenannten Integralform, nicht für die Anwendung auf Feldstärken, die von den Raumkoordinaten abhängig sind, die sich also von Ort zu Ort stetig ändern. Dann muß man zur Differentialform übergehen, den sogenannten Maxwellschen Gleichungen. Der Grundgedanke ist etwa folgender: Wenn man nur 5

ein sehr kleines Stück des Raumes betrachtet, dann sind innerhalb dieses Raumelements näherungsweise die Feldkomponenten als konstant anzusehen. Falls jedoch auch noch die Änderung innerhalb des Raumelements interessiert, so ist diese aber sicher sehr klein, so daß sie mit ausreichender Genauigkeit durch eine l i n e a r e Gleichung beschrieben werden kann. Wenn z. B. eine Komponente E von der Raumkoordinate x abhängt, so hat E in einem bestimmten Raumpunkt (x,y,z) den Wert E(x), in einem um das kleine Stück dx verschobenen Raumpunkt [(x 4- dx),y,z] den Wert E(x + dx). Diese beiden Werte sind um den kleinen Anteil dE verschieden, wobei dE proportional zur Verschiebung dx ist: E(x + dx) = E(x) + dE = E(x) + K • dx. (1) Nach der Reihenlehre ist dies dann eine nach dem linearen Glied abgebrochene Reihe und der Proportionalitätsfaktor K ist der Differentialquotient dE/dx. Man erhält so die bekannte Gleichung dE E(x + dx) — E(x) = dE = —-- dx (la) dx In solchen ortsabhängigen Feldern befaßt man sich also zunächst nur mit den einzelnen Raumteilen und den kleinen Differenzen dE, für die stets eine Gleichung nach obiger Form entwickelt Wird. Daraus entsteht sofort eine Gleichung für den Differentialquotienten dE/dx und durch Integration gewinnt man dann die Funktion E(x) für den ganzen Raum. Bei den umfangreichen Rechnungen ist dringend anzuraten, sich nicht im rein mathematischen Formalismus zu verlieren, sondern in jedem Moment den physikalischen Hintergrund der Gleichungen vor Augen zu haben, über die Bezeichnungen der Feldformen besteht noch keine Einigkeit. Während man in Deutschland vereinbarungsgemäß für die aus elektrostatischen Feldern abgeleiteten Wellentypen die Bezeichnung E-Wellen benutzte, besteht eine Vereinbarung in Amerika, sie vorzugsweise als TM-Wellen zu bezeichnen (transversal-magnetische Wellen). Ebenso nennen wir die aus stationären magnetischen Feldern hervorgegangenen Wellentypen H-Wellen, während sie in Amerika vorzugsweise als TE-Wellen bezeichnet werden (transversal-elektrische Wellen). Ferner werden die Wellen durch zwei Indizes bezeichnet, wobei im rechteckigen Rohrquerschnitt die Indizierung bei allen Autoren die gleiche ist, während im kreisrunden Rohr einzelne Autoren abweichende Bezeichnungen verwenden. Jedoch hat sich die im folgenden benutzte Bezeichnungsweise weitgehend durchgesetzt.

6

I. Elektrostatische Felder in Hohlrohren 1,1. Das En-Feld im rechteckigen Hohlrohr „Rechteckiges Hohlrohr" sei die abgekürzte Bezeichnung für ein leitendes Rohr mit konstantem, rechteckigem Querschnitt, das in Abb. 1 dargestellt ist. Die breite Rechteckseite wird einheitlich mit a, die schmale mit b bezeichnet. Die drei kartesischen Raumkoordinaten gehen von der Achse des Hohlrohres aus, weil die wesentlichsten Felder symmetrisch zur Achse

Abb. 1: Koordinaten und Feldstärkekomponenten Rechteckrohr

im

sind. Die x-Achse läuft parallel zur breiten Seite, die y-Achse parallel zur schmalen Seite und die z-Achse in Richtung der Hohlrohrachse. Elektrostatische Felder entstehen in diesem Rohr dadurch, daß man geladene Leiter beliebiger Oberfläche hineinbringt, wobei sich die Untersuchungen der Einfachheit halber auf einen einzelnen Leiter nach Abb. 2 beschränken, während der allgemeine Fall in I, 2 erörtert wird. Im Hinblick auf die beabsichtigten Anwendungen interessiert besonders das elektrische Feld, das sich rechts von dem geladenen Leiter der Abb. 2 in das Hohlrohr erstreckt. Der räumliche Vektor © der elektrischen Feldstärke besitzt drei Komponenten E x , E>- und Ez parallel zu den drei Koordinatenachsen der Abb. 1. Von Äquipotentialflächen

Abb. 2: Feldlinien und Äquipotentialflächen eines geladenen Leiters im Rohr

dem geladenen Leiter gehen Feldlinien aus, die im Bogen senkrecht auf dem äußeren Rohr landen. Senkrecht zu den Feldlinien verlaufen Aequipotentialflächen (Abb. 2). Eine dieser Aequipotentialflächen, der man das Potential Null zuschreibt, ist das äußere Rohr selbst. Die Flächen mit kleinen Potential lehnen sich an die Form des äußeren Rohres an, die Flächen mit großem Potential an die Oberfläche des geladenen Leiters. Nach rechts ins Rohr hinein, also mit wachsendem z, nimmt das Potential und auch die elektrische Feldstärke schnell ab. Die Dichte der Feldlinien und der Aequipotentiallinien ist ein anschauliches Maß für die Feldstärke an der betreffenden Stelle. Um eine Gleichung zur Berechnung der Felder nach den in der Einleitung erwähnten Prinzipien zu gewinnen, betrachtet man einen sehr kleinen 7

Quader innerhalb des Rohres mit den Seiten dx, dy und dz parallel zu den Koordinatenachsen (Abb. 3). Die elektrischen Feldlinien beginnen und enden dort, wo sich die Ladungen befinden, also auf den Oberflächen der Leiter. Im ladungsfreien Luftraum entstehen keine Feldlinien. Wenn sich der Quader der Abb. 3 also ganz im ladungsfreien Innenraum des Rohres befindet, muß die Zahl der in den Quader eintretenden Feldlinien gleich der Anzahl der aus dem Quader herauskommenden Feldlinien sein („Kontinuitätsgesetz"). Dieses Gesetz ergibt eine Gleichung, die sogenannte Kontinuitätsgleichung (2a), die die Grundlage zur Berechnung elektrischer Felder ist. Ist dF eine gegebene Fläche und E die Komponente der elektrischen Feldstärke senkrecht zu dieser Fläche, so ist E • dF die Zahl der durch die

Abb. 3: Quader innerhalb des Rohres

Fläche in Richtung der elektrischen Feldstärke hindurchtretenden Feldlinien. Es wird jetzt der Zufluß bzw. Abfluß an Feldlinien durch die sechs Seitenflächen des Quaders der Abb. 3 berechnet. Durch die linke Fläche mit den Kanten dy und dz (dF = dy • dz) tritt .bei gegebener Komponente E x die Feldlinienmenge E x • dy dz in den Quader ein. Durch die rechte Fläche mit den Kanten dy und dz, die an dem um dx verschobenen Ort (x + dx) liegt, und wo nach (1) die geänderte Feldstärke (E x + dE x ) besteht, tritt die Feldlinienmenge (E x + dE x ) dy dz wieder aus. Zwischen dem eintretenden Feld und dem austretenden Feld besteht also die Differenz d E x ' dy dz. Die gleiche Überlegung stellt man für die obere und untere Fläche des Quaders der Abb. 3 an, durch die nur die Komponente Ey tritt. Am Ort y besteht die Feldstärke E y und am höheren Ort (y + dy) die Feldstärke (Ey + dE y ). Durch die Flächen dx • dz tritt wie oben der Fluß E y • dx dz ein und der Fluß (E y + dE y ) dx dz aus, so daß die Differenz dE y • dx dz bleibt. Ebenso ergeben die linke und rechte Fläche dx • dy des Quaders mit den Komponenten E z am Ort z und (Ez + dEz) am Ort (z + dz) die Differenz dE z • dx dy. Für die Summe der Differenzen gilt dE x • dy dz + dEy • dx dz + dE z • dx dy = 0.

(2)

Nach (la) bringt man die Differenzen dE mit den Differentialquotienten zu8

sammen und erhält nach Division durch den gemeinsamen Faktor dx dy dz die Differentialgleichung = (2a) 8x ßy 8z Eine einwandfreie Lösung dieser und der späteren Gleichungen erhält man nur, wenn man alle Vorzeichen genau beachtet. Vereinbarungsgemäß hat der räumliche Vektor © der elektrischen Feldstärke stets die Richtung vom größeren zum kleineren Potential, wie es in Abb. 2 durch die'Pfeile an den Feldlinien angedeutet ist. Eine Feldstärkekomponente, z. B. E x , wird dann als p o s i t i v in die Gleichungen eingesetzt, wenn sie die gleiche Richtupg wie die Koordinatenachse hat (vgl. Abb. 3). Für ein statisches Feld löst man die Gl. (2a) in bekannter Weise dadurch, daß man die drei unbekannten Funktionen E x , Ey und Ez auf eine e i n z i g e unbekannte Funktion V zurückführt und dadurch die Gleichung wesentlich vereinfacht. Man setzt „ ÖV 8V 8V = (3) 8x ' 8y ' 8z ' wobei V, ebenso wie vorher die Komponenten, eine Funktion der drei Raumkoordinaten (x,y,z) ist. Dieses V ist physikalisch das Potential, das der geladene Leiter nach Abb. 2 in dem betreffenden Raumpunkt erzeugt. Das negative Vorzeichen stammt aus der vereinbarten Definition der Richtung des Vektors Für die Funktion V(x,y,z) erhält man aus (2a) und (3) die Bestimmungsgleichung 62V 62V 62V „ + 8iT+ teT-a

Die achsiale Abhängigkeit des V von der Koordinate z wird grundsätzlich anderer Natur sein als die Abhängigkeit von den Koordinaten x und y, die den Verlauf innerhalb einer Querschnittsebene beschreiben. Die Abhängigkeit von z muß nach Abb. 2 durch eine mit wachsendem z abnehmende Funktion gegeben sein, während innerhalb der Querschnittsebene nur zu fordern ist, daß V auf dem Leiter, also für x = ± a/2 (Abb. 1) und y = ± b/2 gleich Null ist. Zunächst besteht nur Interesse für eine beliebige, möglichst einfache Lösung als Beispiel. Am klarsten ist der Lösungsweg, wenn man ansetzt, daß V ein Produkt dreier Funktionen ist, deren jede nur von e i n e r e i n z i g e n Veränderlichen abhängt: V = f(x) • g(y) • h(z). Dann wird aus (3a)

Wenn diese Gleichung für alle beliebigen Werte von x, y und z erfüllt sein soll, kann dies nur der Fall sein, wenn die. zweiten Differentialquotienten den gleichen Funktionsaufbau haben, wie die Funktion selbst, wenn also d2f

A

,

d2g

,

d2h

.

ist. Dann wird aus (4) die einfache Gleichung (Ai + . A 2 + A s ) f(x) • g(y) • h(z) = 0,

(5a)

die für alle Werte der Veränderlichen erfüllt ist, wenn Ai + A 2 -1- A 3 = 0

(5b)

wird. Nach den vorhergehenden Bemerkungen über die Anforderungen an 9

die Funktion V bleibt dann nach (5) als mögliche jeweilige Lösungsfunktion f(x)=cos—, a

g(y) = c o s - ^ b

h(z) = e ~

B u

'

z

.

(6)

Nach (5) ist A ! = — (it/a)2, A 2 = — (n/b)2 und A 3 = B u ä . Aus (5b) folgt dann die wichtige Gleichung f ü r B n :

=ik-V^*2

Bn=,

w

und als endgültige Lösung für die Funktion V -ir ^ "x ty —Bn • z V = K • cos • cos •e , (8) a b wobei K eine durch die Differentialgleichung nicht näher festgelegte Konstante ist (die durch die Spannung bestimmt wird, die der geladene Leiter der Abb. 2 gegen das äußere Rohr hat). Die Feldstärkekomponenten lauten nach (3) _ „ IT . JIX ity — Bn 11 • z Ex = K — sin cos—~-e , 9) a a b _ it jtx Ey = K — c o s b a ^E = ,K, • „B n • cos 7

sin

a

ny —• Bii1 1 ' z •e , b cos jiy b

• e— B n ' z

.,„. (10) .

/,(11)

In achsialer Richtung sinken also Potential und Feldstärken mit der Funktion exp (—Bn ' z)* ab, wpbei die Geschwindigkeit des Absinkens von den Dimensionen des Rohres nach (7) abhängt. Die Flächen konstanten Potentials V nach (8) zeigt Abb. 4 in einem Beispiel in perspektivischer Ansicht. Die Form der Fläche wird erkennbar an den auf ihr gezeichneten Kurven, die

im.

Abb. 4:

Äquipotentialfläche des Eu-Feldes

^mal

statischen

den Schnitt der Fläche mit Ebenen z = const darstellen. Die Gleichung einer solchen Kurve lautet nach (8), wenn man y als Funktion von x für gegebenes z schreibt: y = — arc cos it

K • cos

jtx a

— Bn • z . •e

(12>

* exp (—B|j • z) = e " l i ' z . Die Bezeichnung exp wird im Text zur Kennzeichnung der Exponentialfunktion verwendet.

10

Wenn man das Rohr von einer Querschnittsfläche aus betrachtet, zeigt Abb. 5 diese Kurven für verschiedene z. Ferner zeigt die Fläche der Abb. 4

Abb. 5: Querschnittsbild des En-Feldes

projizierte elektrische Feldlinien (Richtung für negatives K) projizierte Schnitte (12) Z'const tier Äquipotentialflächen (magnetische Feldlinien)-, Kurven const

die Schnittlinie mit der senkrechten Längsebene x = 0, deren Gleichung nach (8) lautet V Jty • — Bti • z — = cos — • e oder =

1 , /K Jty \ «1 , Jiy 1 , In ( —- cos — = -5— In cos - - + — In Bn \ V b / Bn b Bn

(13)

Diese Schnittkurve ist in dem Längsschnitt der Abb. 6 für verschiedene W e r t e von V gezeichnet. Die Feldlinien laufen senkrecht zu diesen Flächen (Abb. 6) vom Außenleiter in die Rohrmitte. Abb. 5 zeigt außerdem den Verlauf der Feldlinien, von einer Querschnittsebene aus gesehen. Abb. 5 besagt nicht, daß die Feldlinien innerhalb der Querschnittsebene verlaufen, sondern gibt nur die Projektion der Feldlinien, die man sich nach Abb. 6 innerhalb des Rohres laufend denken muß, auf diese Querschnittsebene. Der Leser studiere im einzelnen den sin- und cos-Verlauf der Feldstärke-Kom-

ponenten innerhalb des Rohres nach (9) bis (11). Alle Äquipotentialflächen haben nach (8) und (13) die gleiche Form der Abb. 4 und sind nur durch die Konstante (1/Bn) • ln(K/V) je nach Wahl des V gegeneinander verschoben (Abb. 6), und zwar nähert sich V in Richtung zunehmender z dem W e r t Null. Der bei gegebenem V am weitesten in der z-Richtung liegende Punkt 11

der Fläche liegt auf der Achse (x = Oj y = 0) und hat nach (13) die Koordinate (Abb. 4) Zmax =

Bn

ln-^7-: V

(14)

Die hier berechnete Feldverteilung würde dann auftreten, wenn man einen Leiter nach Abb. 2 in das Hohlrohr bringt, dessen Oberfläche die Form der Äquipotentialfläche der Abb. 4 hat (Längsschnitt in Abb. 6). Wenn dieser Leiter die Spannung K gegen den Außenleiter hat, müßte die Spitze dieses Leiters nach (14) bei Zmax = 0 liegen. Dadurch ist dann auch die Konstante K bestimmt. Die Äquipotentialflächen und die Leiteroberflächen erstrecken sich bis z = — oo und nähern sich asymptotisch dem Außenlciter. Abb. 7 zeigt perspektivisch die Verteilung der Komponente Ez nach (11) in einer Querschnittsebene. In jedem Punkt des Querschnitts ist ein Pfeil errichtet worden, der die Länge Ez hat. Die Endpunkte dieser Vektoren geben

'Schnittkurm Z • const E^-Verteilung

Abb. 7: in der ebene

Querschnitts-

die gezeichnete Fläche, die von der Äquipotentialfläche der Abb. 4 eindeutig unterschieden werden muß. Jedoch sind die die Form der Fläche darstellenden Schnittkurven mit Ebenen z = const die gleichen wie in Abb. 5, weil sich V nach (8) und Ez nach (11) nur um den .Faktor B n unterscheiden. Die in Abb. 5 dargestellten Kurven nach (12) sind also in der Querschnittsebene Kurven mit konstantem Ez. Wenn man bedenkt, daß die Kurven (12) gleichzeitig in der späteren Hohlrohrwelle die magnetischen Feldlinien sind, so erkennt man, daß eine Darstellung wie in Abb. 5 eine zusammenfassende Beschreibung aller auftretenden Feldkomponenten ermöglicht, die man noch durch eine Darstellung nach Abb. 7 ergänzen kann. Ein solches Bild muß man für alle anderen Feldtypen erstreben. I, 2. Kompliziertere Felder im rechteckigen Hohlrohr Mit den Erfahrungen aus I, 1 ist es leicht, weitere Lösungen der Gl. (3a) zu finden. Wenn man bedenkt, daß lediglich gefordert wird, daß V für x = ± a/2 und y = ± b/2, also auf dem Außenleiter, gleich Null sein soll, erkennt man, daß auch noch weitere cos-Funktionen in (6a) denkbar sind, die diese Bedingungen erfüllen. Es müssen lediglich in der x-Richtung und der yRichtung volle Halbwellen der trigonometrischen Funktion liegen (Abb. 8) mit Nullpunkten auf dem begrenzenden Leiter. Die allgemeine Lösung schreibt man beispielsweise in folgender Form: 12

V = K • s i n ^ - ( x + -l ) • sin - f ( y +

•e ~

"* ,

(15,

wobei K eine beliebige Konstante wie in (8), m und n beliebige ganze Zahlen sind. Bmo ist eine Konstante wie B n nach (7), die sich jetzt jedoch nach (6) als Bm« = - V I / ' n 2 a 2 + m 2 b 2 a•b '

(16)

ergibt. Der in. 1,1 diskutierte Fall ist ein Sonderfall dieser allgemeinen Lösung mit m = 1 und n = 1. Um diese Feldformen voneinander zu unterscheiden, bezeichnet man sie mit Hilfe der Kennziffern m und n aus (15). Man spricht also von. einem Emn~ Feld und versteht darunter das Feld, das sich aus der Potentialfunktion (15) für die betreffenden Werte von m und n ergibt. In I, 1 wurde also das En-Feld näher betrachtet. Abb. 8 zeigt für m = 2 und n = 2 schematisch, wie sich das E22-Feld innerhalb der Querschnittsebene aus dem En-Feld der Abb. 5 aufbaut. Die Kante a ist in m i

Teile und die Kante b in n Teile geteilt; unten ist der Verlauf der Funktion sin ^ x -)links der Verlauf von sin ^y -)- ^ aus (15) gezeichnet, die in V enthalten sind. Man beachte die richtige Lage der Nullstellen auf den Leitern. Der Querschnitt ist dadurch in m • n Rechtecke geteilt und in jedem dieser Rechtecke besteht ein vollständiges En-Feld nach (8) mit Potentialflächen nach Abb. 4 bis 6 und einer Verteilung der Feldkomponenten nach Abb. 5 und 7. Da jedoch die trigonometrischen Funktionen in benachbarten Rechtecken verschiedenes Vorzeichen haben, wechselt bei gegebenem K das Vorzeichen des V, also des Parameters der Äquipotentialflächen, in benachbarten Rechtecken, wie dies in Abb. 8 angegeben ist. Daher ist in benachbarten Rechtecken die Richtung der nach (2) aus (15) berechneten Feldstärkekomponenten verschieden, was im Beispiel der E 2 2-Verteilung der Abb. 8 durch Pleilrichtuiigen an den Feldlinien angedeutet wurde. Die E 2 2-Verteilung entsteht nach Abb. 9 in einem Hohlrohr dann, wenn er vier geladene Leiter wechselnden Vorzeichens enthält, von denen jeder in seinem Rohrteil die Form der Abb. 4 hat. Die Kuppen jedes Leiters sind Ausgangspunkte von Bündeln von Feldlinien, die entweder auf dem Außenleiter oder auf benachbarten Kuppen landen. Man gewöhne sich daran, an einer Quer13

schnittsverteilung nach Abb. 5 oder 8 den räumlichen Verlauf der Feldlinien im Hohlrohr zu erkennen. Leiterformen nach Abb. 9 werden praktisch nur selten vorkommen. Häufiger sind Einzelleiter nach Abb. 4 oder 6, allerdings mit verschiedenen Oberflächenformen (vgl. Abb. 2). Die allgemeine Theorie sagt nun aus, daß jede in einem solchen Rohr mögliche Potentialfunktion eine Summe von Potentialfunktionen nach (15) mit verschiedenen Werten von m und n ist, wobei

Leiterformen eines

Abb. 9: zur Anregung En-Feldes

j e d e dieser Einzelfunktionen ihren eigenen Faktor K hat, insbesondere auch eine eigene Konstante B, die das Absinken des betreffenden Potentialanteils mit wachsendem z beschreibt. Mit wachsendem m und n, je kleiner also nach Abb. 8 die dem Teilfeld E n zur Verfügung stehende Querschnittstailfläche ist, wird Bmn größer und das Absinken des V schneller. Abb. 10

\\ 1

V

Abb. 10: Absinken der Feldstärken längs des Hohlrohres (Rechteckquerschnitt)

\

Hm

4*

\ \

t

\

£ 0,2

OS

HS

0,8

z/a

t,0

—

zeigt für ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis a : b = 2 : 1 das Absinken exp ( — B m n " z) mit wachsendem z. Daraus ergibt sich die wichtige Regel, daß 14

in größerem Abstand von dem geladenen Leiter der Abb. 2 nur noch ein reines En-Feld existiert, während alle anderen Anteile der Potentialfunktion mit größerem m und n nur in der N ä h e des anregenden Leiters in meßbarer Größe vorhanden sind. Das Fernfeld ist also praktisch unabhängig von der Form des anregenden geladenen Leiters und nur abhängig von der Form des Außenleiters. Man vergleiche Abb. 6 und 11. Die Feldstärkekomponenten einer Potentialfunktion V = VI + V2 + V3 + ...,

(17)

die die Summe einzelner Potentialfunktionen nach (15) ist, ergibt Feldstärkekomponenten nach (2) x

_

6V _ öx

f ftVj L öx

öx

SV 3 ÖX

+ ..

= Eix + E 2 X + E 3 X + . . . , (18)

die die Summe der Feldstärkekomponenten der Einzelfunktionen sind. J e d e dieser Komponenten sinkt nach ihrer eigenen Funktion exp ( — B m n ' z) mit wachsendem z ab (Abb. 10) und in größerem Abstand von dem anregenden Leiter findet man nur Komponenten des En-Feldes nach (9) bis (11). Jede Äquipotentialfläche einer Potentialfunktion V beliebiger Zusammensetzung nach (17) kann als Oberfläche eines geladenen Leiters gedacht werden, der die betreffende Potentialfunktion anregt. Abb. 11 zeigt als Beispiel Äquipotentialflächen im waagerechten Längsschnitt der Ebene y = 0 zur Kombinationsfunktion 3JIX - B n -z ny ny — Bsl-z V 0,25 cos (19) die aus einem En-Feld nach (8) mit einer Konstanten K und einem E 3 1 -Feld nach (15) mit einer Konstanten (—0,25 K) kombiniert ist. Man erhält dabei

Kombiniertes

Abb. 11: EN- und

Eai-Feld

beispielsweise in der Nähe von z = 0 ebener Front in der Schnittebene der Funktion |/ cos " X . V a

eine Äquipotentialfläche mit nahezu Abb. 11, weil die dort bestimmende _ „_

0,25 cos 3JIX \I a /

zwischen x = 0,4 a und x = — 0,4 a einen nahezu konstanten Wert h a t ; cos (ity/b) ist in dieser Ebene konstant und beide e-Funktionen haben bei 2 = 0 den Wert 1. Hier hat man also ein Beispiel eines Feldes, das durch eine ebene Platte näherungsweise angeregt werden könnte. Näheres in I, 4. 15

Eine weitere, technisch interessierende Potentialverteilung dieser Art trifft man in einem Rohr, das. nach Abb. 12 senkrecht aus der Platte eines Plattenkondensators herauswächst. Die Äquipotentialflächen dringen dann in dieses Rohr ein u n d erzeugen ein E-Feld nach (17), das in größeren Rohr-

tiefen in ein reines En-Feld übergeht, dessen Feldstärken nach Abb. 10 absinken. Näheres in III, 2. Dem interessierten Leser sei empfohlen, das Beispiel der Abb. 11 nach (19) in den einzelnen Teilen und als Gesamtfeld näher zu studieren. I, 3. Das Eoi-Feld im kreisrunden Hohlrohr „Kreisrundes Hohlrohr" sei die abgekürzte Bezeichnung für ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt nach Abb. 13. Berechnet werden soll wieder das Feld, das ein geladener Leiter nach Abb. 2 innerhalb dieses Rohres erzeugt. Die Rechnung verläuft im Prinzip wie in 1,1. Es ist eine Potentialfunklion zu suchen, die auf dem äußeren Rohr gleich Null ist. Die mathematische Darstellung wird man offenbar dadurch vereinfachen, daß man in der Quer-

Abb. 13: Hohlrohr mit Kreisquerschnitt

schnittsebene nicht die Koordinaten x und y nach Abb. 1, sondern die Koordinaten r und cp nach Abb. 13 benutzt, r ist innerhalb der Querschnittsebene der Abstand des betrachteten Punktes von der Rohrachse und cp der Winkel zwischen dieser Abstandslinie und einer waagerechten Bezugsgeraden qp = 0. Die Bedingung f ü r V lautet dann, daß V für r = d/2 (d = Rohrdurchmesser) gleich Null sein muß. Die Zerlegung des Vektors @ der elektrischen Feldstärke muß diesem Koordinatensystem angepaßt werden. Nach Abb. 13 gibt es wieder eine Komponente E z in Richtung der z-Achse, 16

dann, eine Komponente E r in Richtung des Radius innerhalb der Querschnittsebene und eine Komponente E,,, senkrecht zum Radius ebenfalls in der Querschnittsebene, die den Abfall des Potentials angibt, wenn man bei konstantem r und z mit wachsendem q> auf einem konzentrischen Kreis der Querschnittsebene mit dem Radius r wandert. Erhöht sich dabei das

Wegen der Bedingung H x = 0 an der Grenzfläche hat diese Funktion W an den Grenzflächen x = ± a/2 einen Extremwert: 8W/8x = 0. Die Lösung erfolgt wie in 1,1 so, daß W = f(x) • h(z) das Produkt zweier Funktionen ist, die jede nur von einer Koordinate abhängen. In Analogie zu (4) wird dann aus (50) Diese Gleichung ist für alle Werte von x und z dann erfüllt, wenn die zweiten Differentialquotienten bis auf einen konstanten Faktor gleich der Ausgangsfunktion sind. Auch hier eignet sich wieder der Ansatz h(z) = e - F " > ' z ,

(52)

wobei Fio eine noch näher zu bestimmende Konstante ist. Für f(x) kann man hier nicht eine cos-Funktion wie in (8) benutzen, weil sie die Grenzbedingung nicht erfüllt, daß bei x = ± a/2 Extremwerte der Funktion liegen sollen. Daher wird f(x) eine sin-Funktion: f(x) = s i n — . a

(53)

Setzt man diese beiden Funktionen in (50) ein, so wird daraus die Gleichung [ die erfüllt ist, wenn 30

(f f

+ Fio 2 ] f(x) • h(z) = 0,

(54)

Fio = ist. W lautet dann endgültig W = K • sin

e a mit den Komponenten der Feldstärke nach (49) Hx

= — K — cos • e -;iz/a) a a

Hz = K * sin " X • e a a

(55)

H y = 0,

(56) (57)

mit einer beliebigen Konstanten K, über die die Differentialgleichung nichts aussagt, und die durch die Größe des Gesamtstromes festgelegt wird. Abb. 28 zeigt perspektivisch den Verlauf dieser magnetischen Feldlinien in

Abb. 28:

Stationäres

Hio-Feld

Ebenen y = const. Eine solche Feldlinie ist eine Kurve z = z(x), wobei der Neigungswinkel dz/dx der Kurventangente durch den Vektor § bestimmt wird, also gleich dem Quotienten H7./Hx der Komponenten (56) und (57) ist: JtX dz (58) dx Durch einfache Integration erhält man daraus a . / xx \ z = KF + — — In ( cos I x \ a /

(59)

mit einer beliebigen Konstanten K f . Alle diese Feldlinien, haben die gleiche, durch In [cos(itx/a)] bedingte Form und sind lediglich durch K F parallel

Abb. 29: Querschnittsverteilung des H7 im Hio-Feld

gegeneinander verschoben. Alle Feldstärken sinken mit wachsendem z schnell ab, jedoch wesentlich langsamer als die E-Felder nach Abb. 10, weil das Fjo nach (54) kleiner als die entsprechenden Konstanten der EFelder ist. Bemerkenswert ist, daß alle Vorgänge in diesem Rechteckrohr 31

für das vorliegende Feld unabhängig von der Höhe b des Rohres sind. Die Komponente H x hat ihr Maximum in der Mitte x = 0 des Rohres, die Komponente Hz am Rande x = ± a/2, umgekehrt wie bei den E-Feldern nach 1,1. Ebenso wie in Abb. 7 die Verteilung der Komponente E z , kann man die Verteilung der Komponente H z über den Querschnitt durch Pfeile der Größe H z beschreiben, wobei die Verbindungsfläche aller Pfeilspitzen die in Abb. 29 gezeichnete charakteristische Form hat.

Abb. 30: Stromkreise des Hia-Feld.es

Berechnet werden muß noch die Stromverteilung auf den Leiteroberflächen. Auf den senkrechten Wänden x = ± a/2 fließen nach Abb. 30 und 27c nur senkrechte Ströme parallel zur y-Achse. Dort hat die Stromdichte also nur eine Komponente iy, die nach (47) gleich der auf ihr senkrecht stehenden Komponente H z nach (57) an der Oberfläche x = ± a/2 ist: iy = — K — e ~ a

n z / a

.

(60)

Alle Komponenten der Stromdichte nehmen mit wachsendem z ebenfalls mit dem Faktor exp (—nz/a) ab. Auf den waagerechten Wänden y = ± b/2 hat der Vektor i der Stromdichte nach Abb. 30 Komponenten ix in Richtung der x-Achse und i z in Richtung der z-Achse. i x ist gleich der auf ihr senkrecht siehenden Komponente H z und i z gleich der Komponente (—H x ) nach (56): T, n nx —nz/a ix = K — sin •e , a a

„ JI JIX i z = K — cos a a

e

—nz/a

.

(61) ,„_,, (62

Man beachte das Vorzeichen. Die in Abb. 30 gezeichneten Stromfäden, die den Weg der Ströme angeben und überall die Richtung des Vektors i der Stromdichte haben, sind Kurven z = z(x), deren Kurventangente auf den waagerechten Flächen gegeben ist durch dz iz JIX — = ~ = ctg 63) dx ix a Dies ergibt nach einfacher Integration die Kurven z = Ks + f 32

ln( sin

(64)

mit einer beliebigen Konstanten Kg. Alle diese Kurven haben die gleiche Form. Der Absolutwert der Flächenstromdichte i = | r üHTyT

= K— e a

"z/a

(65)

ist unabhängig von x, also auf einer Linie z = const quer über die waagerechte Abschlußfläche jeweils konstant. Die Stromdichte io = K • it/a in der I.inie z = 0 bestimmt die Konstante K der Formeln: K = a • i0/ji; = Jo/it, wobei J 0 der Gesamtstrom auf der oberen Fläche bei z = 0 ist. Die Stromfäden auf den Rohrwänden sind Linien W = const nach (55) und (64). Sie spielen also formell eine ähnliche Rolle wie die Aequipotentiallinien des elektrischen Feldes. Es soll nun noch kurz erörtert werden, wie sich solche Felder verwirklichen lassen. Man kann entlang irgendeiner magnetischen Feldlinie wie in Abb. 30 ganz links eine senkrechte, gebogene, leitende Fläche einbauen und diese von senkrechten Strömen durchfließen lassen, deren Dichte an jeder Stelle gleich der Dichte der Ströme nach (65) ist, in die sie nach dem Umbiegen auf die waagerechten Flächen übergehen. Wesentlich einfacher vorzustellen, aber nur näherungsweise richtig ist die Erzeugung solcher

Felder durch einen stromführenden senkrechten Draht nach Abb. 27c. In einiger Entfernung vom Draht nähert sich das Feld dem hier berechneten aber immer mehr. Praktisch verwirklichen läßt sich dieses Feld auch, wenn man ein Rechteckrohr in eine W a n d nach Abb. 31 einbaut, die von parallelen Strömen konstanter Stromdichte io in y-Richtung durchflössen wild, die dann an der oberen Ansatzlinie des Rohres auf die obere Rohrfläche und über die Wände des Rohres an der unteren Ansatzlinie wieder auf die senkrechte W a n d übergehen. II, 2. Kompliziertere Felder im rechtecktigen Hohlrohr W e i t e r e Lösungen der Gl. (50) findet man, wenn man nicht wie in (53) eine Halbwelle der sin-Funktion in der x-Richtung liegen hat, sondern mehrere. Es muß nur die Bedingung erfüllt sein, daß die Funktion f(x) bei M e i n k e , Hohlleiter 3

33

x = a/2 und x = — a/2 ein Maximum hat, damit dort H x — 0 wird. Die allgemeinste Lösung lautet jrm f(x) = — cos-

(67)

Man vergleiche (15). m ist eine beliebige ganze Zahl. Setzt man dieses in (51) ein, so erhält man statt Fio nach (54) eine andere Konstante Fmo = jtm/a und die Hilfsfunktion — i m • z/a

W = —K-cos-

(68)

mit den Komponenten nach (49): Hx =

K

um Jim sin a a

-rem• z/a

(69)

a -Jim • z/a t (70) \ ~2. Ein solches Feld bezeichnet man als ein Hmo-Feld. Das in II, 1 dargestellte Feld war also das Hio-Feld. Abb. 32 zeigt als Beispiel das H2o-Feld, das aus zwei Hjo-Feldern nebeneinander in der x-Richtung aufgebaut ist, deren jedes die Breite a/2 hat. Man beachte die wechselnde Richtung der FeldJim Hz = — K -

a

Jim /

a

Abb. 32:

Zur Entstehung eines Hio-Feldes

linien. Die senkrechten Flächen des Außenleiters werden wie in Abb. 30 v o n senkrechten Strömen durchflössen, deren Dichte mit wachsendem z exponentiell abnimmt. Auf den waagerechten Grenzflächen y = ± b/2 sind zwei Stromverteilungen der Abb. 30 nebeneinander zu finden. W e n n das Hio-Feld angenähert das Feld eines Drahtes nach Abb. 27c war, so ist das Hmo-Feld angenähert das Feld von m parallelen Drähten, die jeder in der Mitte eines der m Teile der Kante liegen, wobei benachbarte Drähte von Strömen entgegengesetzter Richtung durchflössen werden (Abb. 32). Das allgemeinste Feld dieses Typs, das von beliebig angeordneten, parallelen Drähten erzeugt wird, kann als Summe von Funktionen W nach (68) mit verschiedenem m, deren jede eine eigene Konstante K hat, dargestellt werden, wobei die resultierenden Feldstärkekomponenten wie in (18) gleich der Summe der Feldstärken der einzelnen Teilfunktionen sind. J e d e dieser Teilfeldstärken sinkt nach einer eigenen Funktion exp(—itm • z/a) mit dem jeweiligen m. J e höher m, desto schneller sinken die Komponenten mit wachsendem z (vgl. Abb. 10). In einiger Entfernung von den anregenden Drähten bleibt daher nur das am langsamsten absinkende Hio-Feld nach. 34

Dort wird die Feldform nur noch vom äußeren Rohr, aber nicht mehr von den anregenden Leitern bestimmt. Das allgemeine magnetische Feld zeigt also die gleichen Grundeigenschaften wie das elektrische Feld nach I, 2. Wenn ein solches Feld durch stromdurchflossene Leiter angeregt wird, die waagerecht parallel zur x-Achse (Abb. 1) verlaufen (vgl, Abb. 27c), entstehen analoge Felder, bei denen gegenüber den Hmo _ Feldern die Koordinaten x und y vertauscht sind und die Seite b die Rolle der Seite a übernimmt. Diese Felder bezeichnet man als Ho n -Felder. Wenn die Anregung nicht, wie in Abb. 27c, durch stromdurchflossene Leiter parallel zu den Koordinatenachsen, sondern durch Leiter beliebiger Form und Lage erfolgt, treten auch Feldstärkekomponenten H y auf und man muß die Gleichung (46) benutzen. Es gibt auch hier die Hilfsfunktion W, die nun jedoch von allen drei Koordinaten abhängig ist. Insbesondere ist (49) durch H y = — 6W/öy zu ergänzen. Anhaltspunkte für das Aussehen von W gibt das V nach (15) mit dem einzigen Unterschied, daß V auf dem Außenrohr den Wert Null, W dagegen einen Extremwert haben muß. Es ist also „ um ( , a \ jin / , b \ —Fmn • z W = — K • cos —— ^ x + — J • cos -g— \ y + y / " e

._,. (71)

wobei sich aus der Differentialgleichung für W (Gl. (50) durch 6 2 W/8y 2 erweitert) für Fmn der gleiche Wert wie für das B m n nach (16) ergibt: n 2 a2 + a •b ' Bei gegebenem m und n erhält man aus (71) das Hn-Feld betrachtet, aus dem sich die lassen. Für m = 1 und n = 1 ist jix ny _. _ W = — K • sin sin a b mit Fmn =

Fu =

Ya2 +

m2b2.

(72)

das Hmn-Feld. Zunächst wird höheren Feldtypen aufbauen •e b2

—Fii1 • z

-

__ 73) (74)

Abb. 33a zeigt das Querschnittsbild des Hi ¡-Feldes und seine Verwandtschaft mit dem Querschnittsbild des En-Feldes nach Abb. 5. Abb. 33a besteht aus vier Vierteln der Querschnittszeichnung der Abb. 5, wobei die projizierten elektrischen Feldlinien der Abb. 5 jetzt projizierte magnetische Feldlinien sind. Abb. 33b gibt die Verteilung der Komponente Hz in einer Querschnittsebene als Pfeile der betreffenden Länge H z in jedem Punkt des Querschnitts. Die Projektion der Abb. 33a gibt, zusammen mit Abb. 33b, die Möglichkeit, sich den komplizierten räumlichen Verlauf der Feldlinien vorzustellen. Es ist TT Hx Hy =

w vv 8W

E— = ox öx 8W = Sy 8W öz

=

JIX jt ir K — cos sin a a , , jt jix JIX K — sin • • cos IT a JIX —•K • F U • sin a

A F 11 ll- z - • ee , b Jiy Jty _ — FF n11 • zz •ee i, b jty -Fn • sin •e b

(75) ,_„, (76) (77)

Die Stromfäden auf dem Rohr laufen sepkrecht zu den Feldlinien. Sie haben einen Verlauf wie auf der Oberseite des Rohres in Abb. 30, hier jedoch 3*

35

sowohl auf den Seiten x = ± a/2 wie auch auf den Seiten y = ± b/2. Das praktische Interesse an diesem Feldtyp ist sehr gering. Das Hmn-Feld setzt sich aus m 1 n Hn-Feldern zusammen, die nebeneinander mit wechselnden

Hr

b)

Außenrohr

A b b . 33: Hn-Feld, kombiniert aus je vier Vierteln der Abb. 5 und 7

Vorzeichen in den m • n gleichen Teilrechtecken des Querschnitts liegen, so ähnlich, wie sich in Abb. 8 das Enin-Feld aus m * n En-Feldern aufbaut. Vgl. auch V, 3. II, 3. Das Hgi-Feld im kreisrunden Hohlrohr

Im kreisrunden Rohr (Abb. 13) gibt es, wie in I, 3, zylindersymmetrische Felder, die durch kreisförmige Leiter im Innern des Rohres nach Abb. 34 angeregt werden. Wird dieser innere Leiter von einem Strom in bestimmtem Umlaufsinn durchlaufen, so fließen auch auf dem Außenrohr Kreisströme im gegenläufigen Sinn, deren Stromdichte mit wachsendem Abstand von dem inneren Kreis abnimmt. Je größer der Durchmesser des äußeren Rohres im Verhältnis zum inneren Kreis ist, desto kleiner sind die magnetischen Feldstärken an der Oberfläche des äußeren Rohres, desto kleiner auch die Ströme im äußeren Rohr. Die magnetischen Feldlinien werden den inneren Kreis umschlingen, wie dies in Abb. 34 für eine waagerechte Längsschnittebene gezeichnet ist. Die Komponente H z hat innerhalb des 36

Rohres eine Nullstelle dort, wo die magnetische Feldlinie ihren Umkehrpunkt mit maximalem z hat. Auf beiden Seiten dieser Nullstelle hat sie verschiedenes Vorzeichen (Abb. 35). Im folgenden soll eine besonders einfache zylindersymmetrische Lösung dieses Feldtyps näher betrachtet werden. Wie

in II, 1 wird hier wieder eine Hilfsfunktion W eingeführt, die formal der Funktion V des elektrostatischen Feldes entspricht und aus der sich die Feldkomponenten wie in (20) berechnen, wobei wegen der Zylindersymmetrie die Komponente H , = 0 ist. Zur Festlegung der Feldkomponenten vergleiche man die gleichnamigen Komponenten des elektrischen Feldes in Abb. 13. Es ist 6W 6W Hr = , Hz = — (78) ör öz Die Ableitung der Gleichung für die Feldkomponenten entspricht der Ableitung der Gl. (21). Das Raumelement der Abb. 14 wird jetzt bezüglich der gleichnamigen Komponenten des magnetischen Feldes betrachtet. Aus der Forderung, daß für dieses Raumelement der Zufluß der magnetischen Feldlinien gleich dem Abfluß sein muß, folgt eine Gl. (21) für die magnetischen Komponenten. Mit Hilfe von (78) ergibt sich daraus eine der Gl. (22) entsprechende Differentialgleichung für die Hilfsfunktion W(r,z): 82W 8r 2

+

1

r

6 W ör

+ .Ö?W_ =

0

(?9)

öz«

Der Lösungsweg verläuft wie bei allen anderen Feldern. W =• 1(r) • h(z) ist das Produkt zweier Funktionen von nur je einer Veränderlichen, wobei wieder h(z) = e

- G o l

'

z

(80)

sein wird, mit einer noch näher zu bestimmenden Konstanten G 0 i- Dann wird aus (79) in Analogie zu (25) eine Bestimmungsgleichung für die Funktion f(r): f d2f 1 df 1 „ 2

(81)

Die Lösungsfunktion ist wieder die Funktion Jo(x) der Abb. 18. Wenn man hier die neutrale Koordinate x mit der Raumkoordinate r in Verbindung bringen will, muß man im Gegensatz zu (26) beachten, daß auf dem Außenrohr keine Nullstelle der Funktion W, sondern ein Extremwert liegt, weil 37

dort Hr =—ÖW/Ör = 0 sein muß. Der erste Extremwert der Funktion Jo außerhalb von x = 0 liegt nach Abb. 18 bei x = 3,83, ein Minimum. Der Wert x = 3,83 soll also dem Wert r = d/2 entsprechen, so daß x = 7,7 r/d zu setzen ist: f(r) = Jo(7,7 r/d). (82) Setzt man in die allgemeine Differentialgleichung (27) der Besseischen Funktion nullter Ordnung x = 7,7 r/d ein, so wird aus ihr -TV + dr 2

1

IT"

+

(nr)

r • dr

2 j

°

=

0

(82a)

V d t

und nach Einsetzen von (82) in (81) G„i = 7,7/d.

(83)

Die endgültige Hilfsfunktion lautet also W = K • J 0 (7,7^—) • e

(84)

7,7 z/d

mit den Feldkomponenten nach (78)

(85)

H , - i i £ j , ( 7 , 7 i ) - e - ' . ' z M .

(»6,

Die Funktion Jo' ist ebenfalls aus Abb. 18 zu entnehmen. Der Unterschied gegenüber dem elektrischen Feld nach (30) und (31) ist lediglich der neue Faktor 7,7. Den Verlauf der magnetischen Feldlinien zeigt der Längsschnitt der Abb. 36, der rotationssymmetrisch für alle Winkel cf gilt. Auf dem gestrichelten Zylinder mit dem Radius r = 0,31 d liegt die Nullstelle des J 0 , also des Hz und der Umkehrpunkt der Feldlinien. Die radiale Komponente

Außenrohr

.

Längsschnitt

des

Hot-Feldes

Verteilung des Hz im Querschnitt des Hoi-Feldes H r ist nach Abb. 18 nicht nur auf dem Außenrohr r = d/2, sondern auch in der Hohlrohrachse (r = 0) gleich Null. Man vergleiche Abb. 34. Man vergegenwärtig© sich im Hinblick auf spätere Anwendungen die Abhängigkeit 38

der beiden Komponenten (85) u n d (86) von r mit Hilfe der Funktionen Jo und Jo'. Abb. 35 zeigt die Verteilung der Komponente H z über den Rohrquerschnitt durch Pfeile der Länge H z , die in jedem Punkt des Querschnitts errichtet sind. Die Fläche, die die Endpunkte dieser Pfeile verbindet, ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation der Kurve J o ( 7 , 7 r/d) um die Rohrachse entsteht. Sie hat einen Nullkreis r = 0,31 d und liegt zwischen r = d/2 und r = 0,31 d im Negativen. Auf der Oberfläche des Außenleiters gibt es nur eine Komponente H z , also nur Kreisströme wie in Abb. 34. Die Stromdichte, deren einzige Komponente man mit i^ bezeichnet, ergibt sich nach (47) als i,, = H z für r = d/2, also als K e_7,7z/d (87) d t,, sinkt exponentiell mit wachsendem z wie die Feldstärken. Das magnetische Feld innerhalb des gestrichelten Zylinders (Hz = 0) entspricht dem elektrischen Feld vom E 0 i-Typ. Man vergleiche die Abb. 16 und 36 und die Abb. 17 und 35. s

T

II, 4. Kompliziertere Felder im kreisrunden Hohlrohr Das Vorgehen zur Entwicklung weiterer Feldtypen entspricht genau dem in 1,4 verwendeten Verfahren. Zunächst findet man weitere zylindersymmetrische Lösungen der Gl. (79), wenn auf dem Außenrohr nicht der erste Extremwert der Funktion Jo, sondern zu größeren x-Werten gehörende Extremwerte nach Abb. 18 liegen. Mit x = jon' bezeichnet man die Koordin a t e des n-ten Extremwerts, wobei der Extremwert an der Stelle x = 0 nicht mitgezählt wird. Soll der n-te Extremwert auf dem Außenrohr liegen, so muß x = jon'dem W e r t r = d/2 entsprechen und x = 2 jon'r/d sein. Die Hilfsfunktion W lautet dann W = K • J 0 (2 j 0 n ' r/d) • e — 2 Jon' z/d,

(88)

aus der man die Feldstärkekomponenten nach (78) berechnet. Diese zylindersymmetrischen Lösungen haben keine wesentliche technische Bedeutung. Die Bezeichnung H o n - F e l d für diese Lösung besagt, daß man den n-ten Extremwert der Besseischen Funktion nullter Ordnung benutzt. Das in II, 3 entwickelte Feld ist also das H o i - F e l d . Weitere Lösungen findet man, wenn man gestattet, daß auch eine Komponente H,p auftritt, daß also die Funktion W die drei Variablen r, cp und z enthält. Es ist dann *

=

r

öqp

(89) K '

w i e in (20). Die Ableitung der Gleichung für die Feldkomponenten geschieht wieder mit Hilfe des Raumelements der Abb. 14, dessen sechs Flächen von den sechs Feldstärken H r , (H r + dH r ), H,, , (H,, + d H , , ) , H z und (H z + dH z ) senkrecht durchstoßen werden. Die Zuflüsse an Feldlinien betragen H r ' r dq> dz, H ^ • dr dz und H z • rd

t>) + j sin(cot + i|>)] = E 0 • e ^ • e j u t . (104c)

A u s d e m z e i t l i c h e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n (104a) w i r d d a n n der k o m p l e x e Differential q u o t i e n t [B. • « i t « 4 +

= jo. • Eo • e j ( « t +

= ja. • E.

(104d)

Bei k o m p l e x e r S c h r e i b w e i s e b e d e u t e t also zeitliche Differentiation e i n e M u l t i p l i k a t i o n mit jco, w o b e i der F a k t o r j die in A b b . 46 d a r g e s t e l l t e Phasenverschiebung bedeutet. I n a l l e n k o m m e n d e n Gleichungen b e d e u t e n die F o r m e l z e i c h e n für F e l d s t ä r k e k o m p o n e n t e n n u r n o c h k o m p l e x e M o m e n t a n w e r t e d e r F o r m (104c). Sie e n t h a l t e n j e d e r drei Faktoren, die r e e l l e A m p l i t u d e Eo, die P h a s e i|> in d e r Form e x p (jip) u n d d e n Z e i t f a k t o r e A u s (101) u n d Schreibweise

(104d)

cos cot + j sin cot.

folgt f ü r d e n V e r s c h i e b u n g s s t r o n r in i v = jco£o • E

komplexer (105)

u n d d a s D u r c h f l u t u n g s g e s e t z (103) w i r d d a n n zu e i n e m k o m p l e x e n Zusamm e n h a n g z w i s c h e n der e l e k t r i s c h e n u n d der m a g n e t i s c h e n F e l d s t ä r k e jwE0 • E • dF = 2 H • ds

(105a)

u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g der R i c h t u n g s p f e i l e der A b b . 45. Die k o m p l e x e S c h r e i b w e i s e b i r g t stets die G e f a h r in sich, daß sie die eigentlichen p h y s i k a l i s c h e n V o r g ä n g e d u r c h ihren F o r m a l i s m u s ü b e r d e c k t , w a s g e r a d e bei d e n v o r l i e g e n d e n . P r o b l e m e n d a s V e r s t ä n d n i s e r s c h w e r t . I n s b e s o n d e r e die o b e n e r w ä h n t e z e i t l i c h e Differentiation v e r l i e r t in d e r k o m p l e x e n Schreibw e i s e ihr A u s s e h e n d u r c h den f o r m a l e n Ü b e r g a n g auf d e n F a k t o r jco völlig. 46

Es ist daher notwendig, immer wieder auf den reellen Kern der Gleichungen zurückzugehen und den Zusammenhang der Formeln mit den physikalischen Vorgängen genau zu betrachten. Das zweite Grundgesetz des elektromagnetischen Feldes ist das I n d u k t i o n s g e s e t z . W e n n durch die Fläche dF der Abb. 47 die magnetische Abb. 47: Zum

Induktionsgesetz

dF

ds

Feldstärke H, also der magnetische Fluß ^o ' H • dF mit der Naturkonstanten Ho = 4n • 10 ~ 9 Henry/cm

(106)

[Henry = Voltsec/Ampere] tritt, so ist die zeitliche Änderungsgeschwindigkeit des Flusses gleich der Liniensumme des elektrischen Feldes auf dem Rand der Fläche: Ho

dt

dF = 2 E • ds.

(107)

Um diese positiven Vorzeichen zu erhalten, wählt man zur Berechnung der Liniensumme die in Abb. 47 gezeichnete Umlaufrichtung, die der in Abb. 45 für das Gesetz (103) gewählten entgegengesetzt ist. Dabei soll in Abb. 47 die Richtung des H von vorn nach hinten durch die Zeichenebene gehen. Bezüglich der zweckmäßigen Lage der Kanten ds und der Berechnung der Liniensumme wird auf die Erläuterungen zur Gl. (103) verwiesen. Für Wechselfelder in komplexer Darstellung verwandelt sich dann der zeitliche Differentialquotient wie in (104d) in jco • H und das Induktionsgesetz in jcofio ' H " dF = 2 E " ds.

(108)

Man beachte die formale Gleichheit von (105a) und (108). Zu jeder Komponente des E gibt es ein Durchflutungsgesetz, zu jeder Komponente des H ein Induktionsgesetz, also insgesamt sechs Gleichungen, die von den Funktionen erfüllt werden müssen, die diese Komponenten bestimmen. Das Aufsuchen der Lösungen wird dadurch wesentlich erleichtert, daß jeweils die statischen Lösungen nach I und II mit nur geringen Abänderungen auch im allgemeinen Fall übernommen werden können. Dies war der tiefere Sinn, weshalb überhaupt die statischen Lösungen so ausführlich behandelt wurden.

III, 2. Elektrische WechseUelder in Hohlrohren Die

Verschiebungsstromdichte wächst proportional zur Frequenz nach Mit E 0 nach ( 1 0 0 ) und TO = 2nf ist i v = 5 , 5 • 1 0 ~ : 1 3 • f • E 0 Ampere/cm? die reelle Amplitude der Verschiebungsstromdichte. Selbst w e n n man nennenswerte Feldstärken, beispielsweise Eo = 1000 V/cm hat, sind sehr hohe Frequenzen erforderlich (mindestens 108 Hz), um nennenswerte Stromdichten zu erzielen. Um wirksame Ströme zu erhalten, dürfen außerdem die von Feldlinien durchsetzten Flächen nicht zu klein sein. Die in I berechneten elektrostatischen Felder werden daher auch als Wechselfelder unverändert bestehen bleiben, solange die Frequenzen hinreichend niedrig und die Abmessungen des Rohrquerschnitts, also auch die Verschiebungsströme, (105).

47

klein sind. Prinzipiell darf man jedoch nicht übersehen, daß die in dem Rohr angeregten Felder dann auch Träger von Verschiebungsströmen sind, die entlang dieser Feldlinien verlaufen und mit wachsender Frequenz wachsen. Am übersichtlichsten sind diese Vorgänge bei dem E 0 i-Feld nach 1,3, das rotationssymmetrisch in einem kreiszylindrischen Rohr liegt und in Abb. 48 nochmals dargestellt ist. Die elektrischen Feldlinien laufen nach

\

/

\

Itaidstrom)

" / /

\

mrnXPC/-' J

WED I

v/ZSHl^^^rBnschiebmgssfrm

Stromkreise wachsender

Abb. 48: des Eoi-Feldes bei Plattenspannung

Abb. 16 als Bündel entlang der Rohrachse und verzweigen sich auf die Rohrwand, mit wachsendem z schnell abnehmend. Längs dieser Linien laufen die Verschiebungsströme, deren Stromkreis sich auf der Rohrwand in Form von Leitungsströmen parallel zur z-Achse fortsetzt, die die Ladungen transportieren, die in jeder Halbperiode auf die Rohrwände gebracht werden müssen, um das elektrische Feld entstehen zu lassen. Diese Ströme sind gleichmäßig auf dem Rohrumfang verteilt. Der Verschiebungsstrom erzeugt magnetische Felder, deren Feldlinien in einem zylindersymmelTischen Feld Kreise senkrecht zur Rohrachse sein müssen. Die magnetische Feldstärke hat nur eine Komponente H,,, in Richtung der Kreistangente, die längs eines solchen Feldlinienkreises konstant ist. Hat der Kreis der Feldlinie den Radius r, so ist die Liniensumme der magnetischen Feldstärke längs des Kreises 2m • H,, nach (103) gleich dem gesamten, durch diese Kreisfläche fließenden Verschiebungsstrom. Bei gegebenem elektrischen Feld kann man daraus H^, berechnen. An der Rohrwand ist H^ nach (47) gleich der Oberflächendichle des Wandstromes. 2jtr • i W J W ist der gesamte rücklaufende Wandstrom des betreffenden Querschnitts, der gleich dem gesamten durch diesen Rohrquerschnitt tretenden Verschiebungsstrom ist. Dieses zeitlich veränderliche magnetische Feld erzeugt nun durch Induktion neue elektrische Felder, die sich den ursprünglichen überlagern. Wenn also diese sekundären Felder nennenswerte Größe haben, wird die in I entwickelte Lösung ungenau und bei sehr hohen Frequenzen sogar grundlegend verändert. Im vorliegenden Abschnitt werden zunächst nur Frequenzen betrachtet, bei denen das elektrische Feld durch die Verschiebungsstromeffekte nur wenig, aber doch nachweisbar verändert wird. Die grundsätzliche Wirkung der Verschiebungsströme kann man durch einfache Überlegungen finden. Zwischen dem elektrischen Wechselfeld nach I, 3 und den zugehörigen Verschiebungsströmen besteht nach Abb. 46 und (105) eine Phasenverschiebung von n/2. Diese Ströme und ihre magnetischen Feldstärken sind gleichphasig. Nach dem Induktionsgesetz erzeugt die zeitliche Änderung der magnetischen Feldstärken neue, sog. sekundäre elektrische Felder, die also nach (108) gegenüber den magnetischen Feldern wieder eine Phasenverschiebung n/2 haben. Daraus folgt, daß die sekundä48

ren Feldstärken E2 und die ursprünglichen, primären Feldstärken E t entweder genau gleiche oder entgegengesetzte Phase haben. Solange die sekundären Felder klein gegen die primären sind, ist also das Gesamtfeld (Ej + E2) und das primäre Feld Ei stets gleichphasig, während das magnetische Feld eine Phase von n/2 gegen das elektrische Feld hat. Genaueres erhält man, wenn man die Felder in der Umgebung des Zeitpunkts t = 0 in einem Längsschnitt betrachtet. Der das Feld nach Abb. 16 anregende Leiter habe in Abb. 49 zur Zeit t = 0 nach Abb. 46 maximale positive Spannung gegen die Wand und das elektrische Feld Ei maximale Feldstärken. Mit wachsendem t nimmt nach Abb. 46 die Spannung ab, die Ladungen auf den Leitern verkleinern sich und es fließt zum Ausgleich ein Verschiebungsstrom i v in der in Abb. 49 gezeichneten Richtung. Dieser Strom umgibt sich nach Abb. 45 mit magnetischen Feldlinien im gezeichneten Umlaufsinn. Der Strom wächst nach Abb. 46 bei t = 0 beginnend langsam an, ebenso das magnetische Feld. Durch Induktion entsteht dann ein sekundäres elek-

Abb. 49: Sekundäre elektrische Felder bei abnehmender Plattenspannung

trisches Feld (mit E2 bezeichnet), wobei sich jede der entstehenden magnetischen Feldlinien mit elektrischen Feldlinien nach Abb. 47 in dem in Abb. 49 gezeichneten Umlaufsinn umgibt. Nach der allgemeinen Induktionsregel wirkt das induzierte elektrische Feld E2 der Abnahme des bestehenden Feldes Ei entgegen. Die sekundäre E2-Komponente hat gleiche Richtung wie die primäre. Die Ausbreitung des Feldes in der z-Richtung wird dadurch verbessert, der exponentielle Abfall verringert und der Punkt verschoben, an dem eine gegebene elektrische Feldlinie auf dem Außenrohr auftrifft. Diese rein anschaulich entwickelten Erscheinungen sollen nun quantitativ berechnet werden. Dabei muß das elektrische Feld wieder die Kontinuitätsgleichung (21) und das magnetische Feld eine gleichartige Kontinuitätsgleichung erfüllen. Ferner sind die drei Durchflutungsgesetze und die drei Induktionsgesetze für die je drei Feldstärkekomponenten zu berechnen. Nach Abb. 48 gibt es keine Komponente E^ und die Komponenten E r und E z sind unabhängig von q>; ebenso gibt es nur eine Komponente unabhängig von qp. Die Kontinuitätsgleichung für die magnetische Feldstärke hat nur den Bestandteil öH^ /ötp, der stets identisch gleich Null ist. Es sind Funktionen Er(r, z), E z (r,z) und H T (r,z) zu suchen, die alle diese Gesetze gleichzeitig erfüllen. Da die Kontinuitätsgleichung (21) für das elektrische Feld die gleiche Form hat wie im statischen Feld, werden die Lösungen für Er und E z den statischen Lösungen (30) und (31) sehr ähnlich sein. Dies war der Grund, weshalb die statische Lösung so ausführlich behandelt wurde. Die Zurückführung auf ein Potential V ist hier nicht gestattet, so daß der allgemeinere Ansatz Meinke, Hohlleiter 4

49

Er = K i

d

Jo'(4,8 r / d ) • e ~

E z = K 2 • J 0 (4,8 r/d) • e ~

C

Cfll

«i '

z

• e J"4,

(109)

' z • e jcot

(110)

mit noch frei verfügbaren Konstanten Kj, K2 und C01 benutzt wird. Die Gl. (21) ist dann durch den Ansatz erfüllt, wenn unter Berücksichtigung von (27) zwischen diesen Konstanten folgende Gleichung besteht: Ki

+

K 2 • C01 = 0,

also

Im statischen Fall war K2 = —4,8 Ki/d und C01 durch (28) gegeben. Zunächst sollen nun die drei Durchflutungsgesetze aufgestellt werden. Die Komponente jcoEo • E r des Verschiebungsstroms durchsetzt die in Abb. 50 gezeichnete untere Fläche des Raumelements der Abb. 14 mit den Kanten r • dcp und dz. Durch diese Fläche fließt der Verschiebungsstrom jcoEo • Er" r d

Xg ist, und die magnetische Komponente hat eine Phasenverschiebung n/2 gegen die elektrischen Felder. Alle in I abgeleiteten statischen Felder zeigen ein gleiches Verhalten, wobei jeder Feldtyp sein eigenes Xg hat, das in IV berechnet wird.

III, 3. Magnetische Wechselfelder in Hohlrohren Magnetische Wechselfelder nach II erzeugen durch Induktion prinzipiell auch elektrische Felder, die wie in (108) mit dem magnetischen Feld stets über den Faktor jcü(io zusammenhängen. Zwischen dem magnetischen und dem elektrischen Feld besteht daher eine Phasenverschiebung von ni2. Die elektrischen Felder wachsen proportional zur Frequenz, sind aber nur bei sehr hohen Frequenzen von nennenswerter Größe, weil m nach (106) sehr klein ist. In Richtung dieser neuen elektrischen Feldlinien laufen Verschie53

bungsströme, die mit den elektrischen Feldstärken nach (105) über den Faktor j«Eo zusammenhängen, also w e g e n des kleinen eq ebenfalls wieder nur bei sehr hohen Frequenzen wirksam sein können. Da in (105) jedoch n u r die Stromdichte a n g e g e b e n ist, bedarf es zur Erzeugung nachweisbarer Ströme auch noch hinreichend großer, v o n dem Verschiebungsstrom durchsetzter Flächen, so daß die von dem Verschiebungsstrom erzeugten Effekte auch n u r in Hohlrohren mit ausreichend großem Querschnitt wirksam werden können. Der Verschiebungsstrom erzeugt zusätzliche, sogenannte sekund ä r e magnetische Felder, die mit dem Verschiebungsstrom phasengleich sind, also w e g e n des zweimaligen Faktors j gleiche oder entgegengesetzte Phase wie das ursprüngliche magnetische Feld haben. Zwischen der Größe der sekundären und der ursprünglichen Felder liegt nach obigem der Faktor co2 £Q HO> der schon in (117) erläutert wurde. Die einfachsten Verhältnisse zeigt das Hjo-Feld nach II, 1, das man sich nach Abb. 27c aus senkrechten Strömen entstanden denkt. Ein einfaches Beispiel zeigt Abb. 52. Die durch das zeitlich veränderliche magnetische Feld erzeugten elektrischen Feldstärken stehen nach dem Induktionsgesetz senkrecht auf den magnetischen

Abb. 52: Sekundäre Verschiebungsströme im Hio-Feld bei abnehmendem J

elektn Feldlinien Feldlinien. Da jedoch das Hio-Feld u n a b h ä n g i g v o n y ist und sich die Feldkonfiguration in einer Längsschnittebene y = const nicht ändert, w e n n m a n diese Ebene in der y-Richtung verschiebt, können die entstehenden elektrischen Feldstärken n u r senkrecht auf dieser Ebene stehen und die elektrischen Feldlinien nur senkrechte G e r a d e n in der y-Richtung sein (mathematischer Beweis später). Die Stromrichtung im anregenden senkrechten Draht der Abb. 52 ist positiv, w e n n sie in Richtung der y-Achse (Abb. 1), also v o n unten nach oben geht. Es fließe in diesem Draht ein W e c h s e l s t r o m J mit cos-Verlauf, der also bei t = 0 sein Maximum in der gezeichneten Stromrichtung h a t und dann mit wachsendem t abnimmt. Bei dieser Stromrichtung ist der Draht mit magnetischen Feldlinien H umgeben, die die in Abb. 52 gezeichnete Richtung haben. Die Feldstärke H nimmt dort proportional zum Strom J mit w a c h s e n d e m t ab. Die gezeichneten Feldlinien H erzeugen dabei elektrische Feldlinien parallel zur y-Achse in der gezeichneten Richtung, deren Feldstärke mit wachsendem t n a c h einer sin-Funktion wächst. Entlang diesen Feldlinien fließen dann Verschiebungsströme, die in der Umgebung der Zeit t = 0 ebenfalls die gezeichnete Richtung haben und mit w a c h s e n d e m t nach einer cos-Funktion abnehmen. Diese Verschiebungsströme sind durch Leitungsströme auf den Rohrwänden y = ± b/2 zu ergänzen, die die gleiche Richtung wie die ursprünglichen Leitungsströme n a c h Abb. 27c und den gleichen zeitlichen cos-Verlauf h a b e n . Die W i r k u n g des ursprünglichen Stromes J wird also durch gleichphasige und parallele 54

Verschiebungsströme im Rohrinnern verstärkt, so daß sich auch hier unter der Wirkung dieses neuen Effekts die Ausbreitung der Felder in der z-Richtung verbessert. Man vergleiche die Wirkungen des Verschiebungsstroms bei elektrischen Feldern nach III, 2. Die Berechnung des Feldverlaufs geht aus von der Gl. (48), die die Gleichheit des Zuflusses und Abflusses von Feldlinien im Raumelement der Abb. 3 für dieses Feld mit Hy = 0 fordert. Jetzt kann man das Feld jedoch nicht mehr naqh (49) auf eine Hilfsfunktion W zurückführen. Trotzdem wird für H x und Hz die in (56) und (57) berechnete Abhängigkeit von x und z bestehen, weil auch die Bedingung bestehen bleibt, daß die magnetischen Feldlinien an den Rohrwänden parallel zur Wand laufen, also für x = ± a/2 das H x = 0 bleiben muß. Man benutzt daher unter Zufügung des Zeitfaktors exp (jtot) in komplexer Schreibweise den Ansatz Hx = K t - c o s ~ ~ - e - F i o ' a a Hz

= K

2

-sin^-ea

F l 0

'

Z

z

-eJ101, .ejt0t

(121) (122)

mit noch näher zu bestimmenden Konstanten Ki, K 2 und Fio- Setzt man dies in (48) ein, so kann man die gemeinsamen Faktoren sin(nx/a), exp(—FJQ ' z) und exp (jtot) fortlassen und es bleibt als Beziehung zwischen den Konstanten - K i ( j - ) — K 2 - F 1 0 = 0,

Man vergleiche (111). Zunächst erfolgt der Nachweis, daß die elektrischen Feldlinien tatsächlich senkrecht von unten nach oben verlaufen (Abb. 52), daß also nur eine Komponente Ey besteht. Wenn es eine Komponente E x gäbe, dann würde durch die Fläche der Abb. 53 mit den Kanten dy und dz

Abb. 53:

Zum Durchfiutungsgesetz Ex-Komponente

der

ein Verschiebungsstrom jcueo' E x nach (105) fließen. Nach (103) müßte das magnetische Feld dieses Stromes eine entsprechende Liniensumme längs der Kanten dieser Fläche geben. Die Kanten dy geben keinen Beitrag, weil es keine Komponente H y gibt. Die Kanten dz geben aber entgegengesetzt gleiche Beiträge, weil die Feldkomponente Hz unabhängig von y, also oben und unten gleich groß ist. Da die Liniensumme verschwindet, kann also keine Komponente E x bestehen. Gleiches erhält man für die Komponente E z , die einen Verschiebungsstrom durch die vordere Fläche des Raumelements der Abb. 3 mit den Kanten dx und dy ergeben würde. Längs der Kanten dy gibt es keine magnetische Komponente, längs der Kanten dx oben und 55

unten die gleiche Komponente H x . Es gibt also keine Liniensumme der magnetischen Feldstärke und daher auch keine Komponente Ez. Zur Berechnung des Ey benutzt man das Durchflutungsgesetz des Verschiebungsstroms dieser Komponente nach (103) und (105) für die in Abb. 54 gezeichnete Fläche mit den Kanten dx u n d dz. Durch die Fläche tritt der Verschiebungsstrom jcoso • Ey ' dx dz. Längs der vorderen Kante dx liegt die Kompo-

Abb. 54: Zum Durchflutungsgesetz Ey- Komponente

der

nente Hx, längs der hinteren Kante dx die geänderte Komponente (H x + dHx), längs der linken Kante dz die Komponente H z und längs der rechten Kante dz die geänderte Komponente (H z + dH z ). Bei dem in Abb. 54 gezeichneten Umlaufsinn wird die Liniensumme (103) —(H x + dHx) dx + (H z + dHz) dz f H x dx — H z dz = jcoe0 ' E y • dx dz, j(DE0 • E y

=

öH z öx

8Hx 5z

(124)

Setzt man hier H x und H z nach (121) und (122) ein, so wird =

1 « ~ , \ Jix K t • Fio + K 2 I cos jws l(0600 a \ '

e

—Fto • z

e

j®t

.

(125)

Zur Berechnung der Konstanten dient das Induktionsgesetz der Komponente H x für die in Abb. 55 gezeichnete Fläche mit den Kanten dy und dz.

dl H, Sjtdfj

Abb. 55: Zum Induktionsgesetz H ^-Komponente

der

0 Die einzelnen Komponenten an den Kanten der Fläche zeigt Abb. 55. Das Induktionsgesetz (108) lautet für den gezeichneten Umlaufsinn, wobei Ez = 0 zu beachten ist: — (Ey + dE y ) dy + Ey dy = jcono • H x • dy dz, ÖEy

- -g^" =

• Hx.

(126)

Setzt man hier H x nach (121) und Ey nach (125) ein, so kann man die gemeinsamen Faktoren cos(jtx/a), exp(—Fio • z) und exp(jcot) fortlassen und erhält eine Gleichung zwischen den Konstanten: -^-(Ki-Fjo + Ka)^ =jco(i0-K1^. 56

(127)

Unter Berücksichtigung v o n (123) f o l g t daraus w i e in (115) K2 =

±

Kj

Jt

1 co2 e 0 " o

V V' 1

und

(129)

(jt/a)2

' » - ^ f F - w Für eine mit w a c h s e n d e m z abnehmende Felddichte w i e in A b b . 52 gilt in (130) das positive, in (129) das n e g a t i v e V o r z e i c h e n . Bemerkenswert ist, daß alle

magnetischen

Felder

gegen

Komponenten

phasengleich

sind

diese eine Phasenverschiebung

und die

elektrischen

v o n n/2 besitzen. Ein

Ver-

g l e i c h mit (54) zeigt, daß d i e exponentielle A b n a h m e mit w a c h s e n d e m z tatsächlich g e r i n g e r g e w o r d e n ist, w i e es anfangs v o r a u s g e s a g t wurde.

Die

mit wachsender Frequenz abnehmende W u r z e l gibt den Unterschied gegenüber d e m V e r h a l t e n bei niedrigen Frequenzen nach II, 1. M a n benutze (117). W i e in (118) ergibt sich hier eine G r e n z w e l l e = 2a, bei der die W u r z e l g l e i c h N u l l wird. X

(131) ist g l e i c h der doppelten

g

breiten

Hohlrohrseite und unabhängig v o n b, w e i l das ganze F e l d unabhängig v o n y ist. W i e in (119) ist der häufig v o r k o m m e n d e Faktor -

a

=

(132)

lg

Bei Benutzung v o n (132) erkennt man die f o r m a l e A n a l o g i e mit den elektrischen W e c h s e l f e l d e r n nach (120) und (120a). A u s (129) und (130) w i r d dann K

^

-

K

^

-

Ag

^

J

™

,

V i— (W*)

Fio= | - / l - ( V * )

2

2

.

(133)

Ein F e l d gilt also als stationär nach II, solange \ > 10 Xg (X > 20a) ist. Der stationäre Schwächungsfaktor

des Feldes in der z-Richtung nach (54) ist

2x/Ä.g. Das Feld, das bei A n n ä h e r u n g an die G r e n z w e l l e für X > X g besteht, sei w e g e n seiner Ä h n l i c h k e i t mit dem stationären F e l d im Gegensatz

zu

den W e l l e n f e l d e r n (X < X g ) als halbstationäres Feld bezeichnet. A u c h die w e i t e r e n in I I entwickelten F e l d f o r m e n unterliegen den gleichen Gesetzen, w i e in V , 3 noch näher ausgeführt wird. Jedes F e l d hat seine e i g e n e G r e n z w e l l e , w o b e i der Schwächungsfaktor F m n nach (72) b z w . 2jon'/d nach

(88) stets g l e i c h

2jt/Xg ist. Daraus kann

man umgekehrt

auch

die

G r e n z w e l l e j e d e s T y p s berechnen. Den kleinsten Schwächungsfaktor, also die g r ö ß t e G r e n z w e l l e hat im Rechteckrohr die H i o - W e l l e mit X g = 2a, im kreisrunden Rohr die H u - W e l l e

mit

= l,7d nach

(93).

Die

Abnahme

dieser beiden Felder mit w a c h s e n d e m z ist nach A b b . 10 auch wesentlich geringer

als bei allen

kenntnis

ist

sehr

frequenztechnischer

elektrischen Feldern im gleichen Rohr.

wichtig Geräte.

für

Lüftungsrohre v o n

Innerhalb

des

Abschirmkastens

ein Generator einer bestimmten Frequenz. Felder

Diese

Abschirmkästen befinde

dieser Frequenz

Er-

hochsich sollen

57

bei exakter Abschirmung außerhalb des Kastens nicht nachweisbar sein. Wenn diesem Kasten zu Kühlungszwecken von außen her Luft zugeführt werden soll, setzt man an den Kasten ein Rohr nach Abb. 31 oder 38 an. Die Felder im Innern des Kastens regen in diesem Rohr nach Abb. 12 oder 38 Felder an, die im Rohr exponentiell abklingen. Das Rohr muß dann so lang sein, daß die Feldstärken am Ende des Rohres mit Sicherheit kleiner als die zulässige Störgröße sind, wobei also die Hio-Felder nach Abb. 31 und die Hu-Felder nach Abb. 38, die durch Ströme in, den Wänden des Abschirmkastens hervorgerufen werden, wegen ihres langsamen Absinkens am gefährlichsten sind. J e kleiner der Rohrdurchmesser ist, desto kürzer kann das Rohr sein. Der maximal mögliche Rohrdurchmesser ist dabei dadurch gegeben, daß die Betriebswellenlänge groß gegen die Grenzwellenlänge des Rohres sein muß, um eine Verkleinerung des Schwächungsfaktors nach (133) zu verhindern.

111,4 Elektromagnetische Wellen Wenn die Betriebswellenlänge \ k l e i n e r als die Grenzwellenlänge des Rohres ist, wird der Exponent der e-Funktion, der die Veränderung aller Komponenten beim Fortschreiten in der z-Richtung beschreibt, imaginär. Als Muster soll der Exponent (133) dienen, dem die Exponenten aller anderen Wellentypen unter Benutzung der jeweiligen Grenzwellenlänge formelmäßig völlig gleichen. Man wandelt dann (133) zweckmäßig um in die imaginäre Form F 1 0 = ja = j

Vi - (*/Xg)«.

(134)

wobei diese Wurzel im betrachteten Bereich X < stets reell ist. Man faßt dann diesen imaginären Exponenten der Funktion exp (—Fio' z) mit dem ebenfalls imaginären Exponenten des allen Komponenten gemeinsamen Zeitfaktors exp(jcot) zusammen und erhält für alle Komponenten den komplexen Faktor e - j a z - e j ü ) t =ej(t0t

— aZ)

= cos (cot — az) + j sin (cot — az).

(135)

Hier erkennt man das grundsätzlich Neue. Bei der komplexen Darstellung ist der wirkliche zeitliche Ablauf durch den Realteil der komplexen Funktion gegeben. Im früher betrachteten Fall X > nach (133) hatte die komplexe Darstellung der Komponenten das Aussehen A • exp(—F 10 • z) • exp(jtot) mit dem Realteil A ' exp(—Fio 'z) • cos cot. Dies war eine Schwingung, die für alle Werte von z gleichphasig war und eine mit wachsendem z abnehmende Amplitude A • exp(—FJQ • z) hatte. Im jetzigen Fall X< Xg erhält man nach (135) den Realteil A • cos (tot — az), also Schwingungen, die für alle Werte von z die gleiche Amplitude A, aber mit wachsendem z eine wachsende nacheilende Phase az gegenüber der Schwingung bei z = 0 haben. Eine solche Schwingungskombination nennt man eine ungedämpfte fortschreitende Welle. Die Wellenfunktion cos (cot — az) besitzt zwei unabhängige Veränderliche t und z und gestattet daher zwei Darstellungen. Man kann nach Abb. 56 den zeitlichen Verlauf in einem festen Punkt z betrachten und erhält den zeitlichen cos-Verlauf. Der Abstand zweier gleicher Schwingungs58

zustände ist die Schwingungsdauer t - = 1/f. Die Schwingung in einem anderen Punkt (z + Az) gibt nach K u r v e II d e r Abb. 56 eine um die P h a s e

Abb. 56: Schwingungsverlauf an verschiedenen Orten v a • Az v e r s c h o b e n e Schwingung gleicher Amplitude A. Abb. 57 zeigt .den b e k a n n t e n räumlichen Verlauf in einem festen Zeitpunkt t (Kurve I), d e r ebenfalls eine cos-Kurve gibt. Der Abstand zweier gleicher Schwingungszustände ist hier die Wellenlänge A der Welle. Dieses A, das allgemein f ü r jede W e l l e gilt, ist zu unterscheiden v o n der W e l l e n l ä n g e \ einer

Abb. 57: Momentanbilder einer Welle

elektromagnetischen W e l l e im freien Raum. K u r v e II der Abb. 57 zeigt den Momentanzustand der W e l l e in der z-Richtung für einen späteren Zeitpunkt (t t At). Die äußerliche Ähnlichkeit der Abb. 56 und 57 darf nicht zu Verwechslungen über die in ihnen enthaltenen Aussagen führen. Die in Abb. 56 dargestellte Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen b e n a c h b a r t e r Elemente f ü h r t dazu, daß die nacheinander a u f g e n o m m e n e n Momentanbilder der Abb. 57 so aussehen, als ob sich die W e l l e n k u r v e in konstanter Form mit w a c h s e n d e m t in z-Richtung verschiebt. Verfolgt m a n Punkte gleichen Schwingungszustandes, z. B. die Maxima der Welle, so verschieben sich diese mit einer bestimmten Geschwindigkeit, die m a n a l s Phasengeschwindigkeit bezeichnet. Für das Verständnis der W e l l e n in Hohlleitern ist die Erkenntnis sehr wichtig, daß diese Phasengeschwindigkeit keine eigentliche physikalische Geschwindigkeit ist. Sie ist lediglich die Beschreibung einer rein äußerlich w a h r g e n o m m e n e n V e r s c h i e b u n g des Ortes, an dem eine bestimmte Erscheinung eintritt, längs des Rohres, h e r v o r g e r u f e n durch die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen an v e r s c h i e d e n e n O r t e n nach Abb. 56. Große Phasengeschwindigkeit b e d e u t e t also nur große Phasenunterschiede zwischen den nebeneinanderliegenden Bezirken der Leitung. Die eigentliche physikalische Geschwindigkeit ist die s o g e n a n n t e Gruppengeschwindigkeit, nämlich die Geschwindigkeit, mit der die in der W e l l e enthaltene Energie transportiert wird. Diese ist im Hohlleiter wesentlich klei59

ner als die Phasengeschwindigkeit und an einer bestehenden Welle konstanter Amplitude äußerlich nicht erkennbar. Aus dem a nach (134) soll nun die Phasengeschwindigkeit berechnet werden. In Abb. 57 haben die Punkte gleichen Schwingungszustandes in Kurve I und II den Abstand Az. Als Phasengeschwindigkeit bezeichnet man v = Az/At. Gleiche Schwingungszustände findet man dort, wo (tot — az) den gleichen Wert hat. Zu einem gegebenen Wert At gehört dann ein Wert Az = (OJ/O.) At. Die Phasengeschwindigkeit ist also v = tfl/a =,f • A (136) Die Phasengeschwindigkeit ist stets das Produkt der Frequenz und der Wellenlänge. Aus to = 2nf folgt also t 2ji • r

A A

A

Aus a nach (134) folgt A =

211

a

Vi ww

(137) (138)

-

Da die Wurzel stets kleiner als 1 ist, ist die Wellenlänge A im Hohlrohr größer als die Wellenlänge X bei Ausbreitung im freien Raum und zwar ist der Unterschied um so größer, je mehr man sich der Grenzwellenlänge nähert. Wenn X = ist, wird A unendlich groß. Diese physikalisch etwas merkwürdige Ubergangszone in der Umgebung der Grenzwellenlänge wird in VI, I noch näher betrachtet, f • \ ist die Phasengeschwindigkeit Vo einer Welle im freien Raum. Aus (136) und (138) folgt als Phasengeschwindigkeit „ _ v0 (139) • (*Ag)«

V

Um die mit der Welle in einem Hohlrohr verbundenen physikalischen Vorgänge zu erläutern, werden auch elektromagnetische Wellen im freien Raum und auf einer konzentrischen Leitung betrachtet. Die Welle im Hohlleiter ist ein Mittelding zwischen beiden und hat Eigenschaften aus beiden Wellenarten entnommen. Zunächst wird eine ebene Welle im freien Raum betrachtet. Die z-Richtung sei die Ausbreitungsrichtung der Welle, die ebene Wellenfront sei die xy-Ebene (Abb. 58). Da die Ausbreitungsbedingungen für alle Punkte dieser Wellenfront gleich sind, sind die Feldstärkevektoren in allen Punkten der Ebene nach Größe und Richtung gleich. Alle Feldstärkekomponenten sind daher unabhängig von x und y. Daraus folgt, daß dann keine Feldstärkekomponenten in der Ausbreitungsrichtung be-

¿ b b . 58: Feldkomponenten in der ebenen Wellenfront

stehen können. Zum Beweis benutzt man die vordere Fläche des Raumelements der Abb. 3 mit den Kanten dx und dy. Auf dem Rand dieser Fläche gibt es keine Liniensumme der magnetischen Feldstärke; denn die 60

Beiträge gegenüberliegender Kanten sind entgegengesetzt gleich, weil die zugehörigen Feldstärkekomponenten unabhängig von x und y, also auf beiden Kanten gleich sind. Dann muß nach (103) auch der durch die Fläche tretende Verschiebungsstrom, also auch E z = 0 sein. In gleicher W e i s e folgt f ü r diese Fläche H z = 0, weil das Linienintegral der magnetischen Feldstärke für die Kanten gleich Null ist. Die Feldstärkevektoren liegen also in der in Abb. 58 gezeichneten Ebene. Die y-Achse wird so gelegt, daß sie parallel zum elektrischen Vektor läuft, so daß nur eine Komponente E y besteht. Dann kann keine Komponente H y bestehen, weil die Liniensumme der elektrischen Feldstärke um die linke Fläche des Raumelements der Abb. 3 mit den Kanten dy und dz gleich Null ist; es ist E x = 0 und E z = 0, was nach dem Induktionsgesetz (108) fordert, daß der Kraftfluß (also Hy) durch diese Fläche verschwindet. In einer ebenen Wellenfront gibt es dann nur eine Komponente H x (Abb. 58). Die erste Differentialgleichung zwischen E y und H x gibt das Induktionsgesetz für die in Abb. 59 dargestellte linke Fläche des Raumelements der Abb. 3 mit den Kanten dy und dz. Der Kraftfluß durch diese Fläche lautet Ho • H x • dy dz mit der zeitlichen Änderung

A b b . 59:

Zum Induktionsgesetz ebenen Welle

der

jtüHo ' Hx " dy dz. Das Linienintegral des Flächenrandes gibt Beiträge an den Kanten dy, längs derer die Feldstärken Ey und (Ey + dEy) bestehen. Das Induktionsgesetz lautet jcoHo ' H x • dy dz = — (Ey + dE y ) dy + E y dy oder als Differentialgleichung nach (la): j lg = 1,31 d,

(152)

die Wellenlänge im Hohlrohr nach (138) (153)

A =: V i — (X/Xg)2

V i — 0,58 (X/d)2

Die Konstante Cot nach (120) verwandelt man wie in (134) in j a = j 2n/A. Ebenso wird aus (120a) für eine in Richtung wachsender z fortschreitende Welle (2jt/Xg) Ki A 2n K2 = - 7 . ^ = _ = jK (154) Kit Jy -- J - . B e 1 l — (V>-) 2 Die drei Komponenten lauten dann nach (109), (110) und (114) E r = Ki - f - J 0 ' ( 4 , 8 r / d ) - e j ( w t —«z), hg E, = j K t H, = -

f 1 J 0 (4,8 r/d) • eii® 4 ~ htr Arr

Ki ] / * r

140

V i — (X/XB)2

V

(155) az

\

(4,8 r/d) • e ^ -

(156) «).

(157)

Der physikalischen Bedeutung entsprechend werden zunächst die Querschnittskomponenten Er und H^ betrachtet. Sie sind im Wellenfeld gleichphasig und proportional. Ähnlich wie in (148) lautet ihr Quotient ZF =

I t l = 120k V 1 — ()J\g)2 fl . h„ '-

69

Ferner gibt es einen Gnergiestrom senkrecht zu den Komponenten E z und H ^ , zwischen denen eine Phasendifferenz n/2 besteht. Dieser Energiestrom quer zur Rohiachse hat pendelnden Charakter und nach (151a) den zeitlichen Mittelwert Null. (166) gibt also den eigentlichen Leistungstransport der Welle. Aus der Energiestromdichte Sm muß nun der Energiestrom durch

Abb. 65: ächenelement

Fl

den Leitungsquerschnitt, also die gesamte von der W e l l e im Hohlleiter transportierte Leistung N berechnet werden. Durch das in Abb. 65 gezeichnete Flächenelement r d(p • dr des Querschnitts tritt die Leistung dN = Sm • i d

(169)

J0(4,8r/d,.eJM-az, d

Y i _

(

x a

K

) 2

^ cm

A u s (165) und (167) soll nun die grundsätzliche Erkenntnis gewonnen werden, daß sich die Energie der Leitung nicht mit der Phasengeschwindigkeit v nach (139) ausbreitet. In III, 4 wurde bereits gezeigt, daß d i e Phasengeschwindigkeit rein formal definiert wurde und nicht notwendig eine physikalische Erscheinung ist. Die physikalische Geschwindigkeit der Welle ist die Gruppengeschwindigkeit v g . W e n n v g die Wanderungsgeschwindigkeit der Energie ist, l ä u f t j e sec der Energieinhalt einer Leitung der Länge vg durch einen bestimmten Querschnitt, also nach (165) die Energie der Strecke p • A = v g :

Dies ist gleich der transportierten Leistung nach (167). Daraus folgt f ü r die Gruppengeschwindigkeit

Vg = —-UV y

= V„ Vi - (Hlg)2,

1-

(172)

eo

wobei v 0 nach (144) die Wellengeschwindigkeit im freien Raum ist. v g ist also stets kleiner als v und wird bei der Grenzwelle gleich Null. Zwischen der Phasengeschwindigkeit v nach (139) und der Gruppengeschwindigkeit besteht die Beziehung v • v g = v 0 2.

(173)

Die Formeln (172) und (173) gelten allgemein für jede Hohlrohrwelle. Die A n a l o g i e zur k o n z e n t r i s c h e n L e i t u n g : Bereits in Abb. 63c und d w u r d e eine feldmäßige Analogie zwischen der konzentrischen Leitung und der Eoi-Welle im kreisrunden Rohr gezeigt. Diese Ähnlichkeit ist sehr wichtig, weil sie das Verständnis der Vorgänge im Hohlleiter erleichtert und auch eine Erklärung für die Existenz einer Grenzwelle gibt, die ja bei gewöhnlichen Leitungen nicht auftritt. Zunächst sollen die Vorgänge auf einer konzentrischen Leitung quantitativ erfaßt werden. Be-

Abb. 66: Konzentrische Leitung

fy

trachtet wird hier die sogenannte H a u p t w e l l e der konzentrischen Leitung, die den b e k a n n t e n Normalbetriebszustand darstellt. Die Ableitung erfolgt wie bei den Hohlleitern vom Felde her. Es gibt wegen der Zylindersymmetrie hier eine radiale elektrische Feldstärke E r und eine magnetische Komponente H^ (Abb. 66), aber keine z-Komponenten. E r ist eine Funktion von r und z und wird wieder als Produkt f(r) • h(z) dargestellt. Die r-Abhängigkeit gibt die Gl. (21) mit E z = 0: n

8r ' r dr r ' ' Die Lösung lautet in einfachster Weise f(r) = 1/r. Die weiteren Gleichungen (Durchflutungsgesetz und Induktionsgesetz) sind bereits in III, 2 beim EoiFeld entwickelt worden. Aus (112a) folgt für E z = 0 8H

* j. ör

_ „

r

(175)

Daraus ergibt sich wie oben, daß auch H,,, nach der Funktion 1/r von r abhängt. Ferner bestehen (112) und (113) für E z = 0: = j./>.k)2 = j f -

(193a)

mit h =

2 ab

V

(194)

a2 + b2

Man beachte auch hier, daß das statische B n nach (7) gleich 2n/Xg ist. Aus (186) und (193a) folgt wie in (154) K2 = _

j

K

l

^ A

(195)

Zwischen den Querkomponenten Ex und Ey des elektrischen Feldes nach (183) und (184) und der Längskomponente E z besteht also eine Phasenverschiebung jt/2 wie in IV, 1. Abb. 71 zeigt in völliger Analogie zu Abb. 64 das Momentanbild eines Wellenzustandes, wobei die elektrischen Feldstärken und die zugehörigen Verschiebungsströme nur in der senkrechten Mittelebene längs der Leitung gezeichnet sind. Die gleichen Linien muß man sich Abb. 71: En-Welle (elektr. Feldlinien gestrichelt, Verschiebungsstromlinien dünn u. magn. Feldlinien dick ausgezogen) in Abb. 71 auch noch in der waagerechten Mittelebene hinzugefügt denken, wo die Komponente Ex zusammen mit der Komponente E z Feldlinien bildet. Die Orte maximaler Querfeldstärken und maximaler Längsfeldstärken sind räumlich um A/4 verschoben. Die Linien des Verschiebungsstroms haben gleiche Form, jedoch als Ganzes wegen des phasenverschiebenden Faktors joiEo nach (105) eine räumliche Verschiebung von A/4. Dieses Feldbild wandert nun mit Phasengeschwindigkeit längs der Leitung. Der Verschiebungsstrom ist von magnetischen Feldlinien umschlossen, die jeweils in einer Querschnittsebene liegen. Zunächst sollen die Konstanten des H x und H y mit Hilfe von (192) und (193a) vereinfacht werden. Es wird dann nach (143a) 1 b ' a V

V 1 — (>./Xg)2 (i0

•sin

b

. e jfcot — a z ) ,

cos^--ej(wt-«z>. b

(196) (197)

Alle Querschnittskomponenten E und H sind phasengleich. Die aufeinander senkrecht stehenden Komponenten E x und Hy, bzw. E y und H x sind mit gleichen Funktionen aufgebaut und unterscheiden sich lediglich durch den Feldwellenwiderstand Zp als Faktor [vgl. (158)]: 76

Zp =

Ex Hy|

Hx

= 120jt } / l — (X.'Xg)2 Q.

(198)

Die gleiche Beziehung besteht auch zwischen den Absolutwerten J/^Ex2 + E y 2 der Projektion des elektrischen Vektors in die Querschnittsebene und |AHX2 + H y 2 des magnetischen Vektors. Die in die Querschnittsebene projizierten elektrischen Feldlinien, die die gleiche Form wie im statischen Feld nach Abb. 5 haben, und die magnetischen Feldlinien stehen senkrecht aufeinander. Daraus folgt, daß die in Abb. 5 gezeichneten Kurven V = const der Querschnittsebene gleichzeitig magnetische Feldlinien sind. Das in Abb. 71 gezeichnete Momentanbild dient lediglich zur physikalischen Erläuterung, interessiert in der Praxis jedoch recht wenig, da kein Meßinstrument in der Lage ist, diese schnell veränderlichen Erscheinungen wiederzugeben. Messen kann man nur zeitliche Mittelwerte, die daher für die Praxis besonders wichtig sind. Wissenswert ist also dann lediglich die Abhängigkeit der Komponenten E x , Ey, E z von den Raumkoordinaten x und y ohne den Zeitfaktor exp j(cot—az) und ohne das phasendrehende j. Die Raumkoordinate z steckt im Zeitfaktor. Mißt man bei einer solchen Einzelwelle die Scheitelwerte der Komponenten in Abhängigkeit von z, so sind diese konstant. Das bedeutet, daß für die Praxis der Wellentyp vollständig beschrieben ist durch das Verhalten seiner Komponenten in einer Querschnittsebene, also durch die Feldliniendarstellung in Abb. 5 und die Ez-Verteilung in Abb. 7 und die Formeln für die Amplituden ny b '

(199)

lt JIX jty cos • sin b ' b a

(200)

Jl JtX Exo = Ki — sin a a

E/o

= K,

Ez0 = K t HXQ

_

2.1 A

cos

JtX ity • cos a b '

(201)

jiy b

(202)

JtX K i Jl • sin — cos ZF b a

r

_ K i JI . jdc iiy Hyo = sin • cos - — . ¿.F a a D

(203)

Die zunächst noch unbestimmte Konstante Ki kann wieder mit der durch die W e l l e transportierten Leistung in Zusammenhang gebracht werden. Der physikalische Wellenvorgang ist dem in IV, 1 beschriebenen so ähnlich, daß die dortige Beschreibung unter Berücksichtigung der geänderten Form des Außenleiters voll übernommen werden kann.

IV, 3. Kompliziertere E-Wellen Zu jedem in I, 2 beschriebenen E m n-Feld im rechteckigen Rohr gibt es eine entsprechende Emn-Welle. Die Komponenten lassen sich dann nicht mehr wie in (3) auf eine Potentialfunktion V zurückführen. Es läßt sich aber ein Teil der Potentialfunktion aufrechterhalten, nämlich derjenige, der die Abhängigkeit der Komponenten von den Querschnittskoordinaten x und y beschreibt, also der Faktor f(x) • g(y), und dadurch eine übersichtliche Dar77

Stellung gewinnen. Man definiert eine „Amplitudenfunktion" T(x,y), die so beschaffen sein soll, daß E ^ K ^ e - B ^ - e i « * , ox

E y = Ki ~ e ~ oy

öy

e

® ' z • e jMt,

' 2 • e i»1,

® ' z • e -|C0* ,

Ez = K 2 • T • e H x = KJ3

B

Hy = - K

3

^ete

B

(208) -

z

-e5

f f l t

,

Hz = 0

die Komponenten des Feldes sind. Man vergleiche (3). Da stets die Gl. (2a) erfüllt sein muß, lautet die Bedingung für T(x,y) E L + EL 8x2 ^ §y2

_

ik Kj

B

. t ( X[ i Y ) = o.

(209)

Da ferner auf den Wänden des Hohlleiters E z = 0 sein muß, muß T(x,y) f ü r x = ± a/2 bei beliebigem y und f ü r y = ± b/2 bei beliebigem x verschwinden. Die Gl. (209) hat dann nur Lösungen für ganz bestimmte W e r t e der Konstanten K 2 'B/Ki. Diese Funktion T ist derjenige Teil von V nach (15), der die Abhängigkeit von x und y beschreibt. Es gibt daher verschiedene Lösungsfunktionen sin

um (x a

+

|)-siniHL(y

+

})

P10,

mit beliebigen ganzen Zahlen m und n. Zu jedem W e r t e p a a r (m, n) gehört die Konstante

Zu prüfen ist noch, ob der Ansatz (208) in dieser allgemeinen Form alle übrigen Gleichungen des Feldes erfüllt. Dann hat man dadurch einen Beweis f ü r alle E-Felder im Rechteckrohr, statische und Wellenfelder, gleichzeitig geführt. Erfüllt ist die allgemeine Gl. (46) für die magnetischen Komponenten. Aus (186a) folgt der Beweis f ü r H z = 0. (187) u n d (189) sind erfüllt, w e n n jtono • K 3 = B • Kj + K 2 . (212) Die drei Durchflutungsgesetze der Komponenten Ex, Ey und E z , von denen (191) ein Beispiel zeigt, sind erfüllt, w e n n jo)E 0 • K i = B • K 3

(213)

ist. Damit sind drei Gleichungen für die vier Konstanten in (208) gegeben. Daraus folgt wie in (193) allgemein in reeller Schreibweise für X > ?-g 2.1

B = 7 - Vi A-g

— (Xg/X)2

(214)

für das statische und halbstatische Absinken der Felder, in imaginärer Schreibweise für X < X g nach (193a) B = ja = j 78

Vi -

(X/Xgp = j - x

(215)

für die periodische Wellenausbreitung. Dabei ist 2 ab

2

/(-Mir

n2a2 + m2b2

V

(216)

Ebenso wie in I, 2 das statische Emn-Feld aus m • n nebeneinander liegenden Ei j-Feldern mit wechselndem Vorzeichen zwischen Nachbarfeldern aufgebaut wurde (Beispiel: E22-Feld in Abb. 8), entsteht die Emn-Welle aus m• n E n - W e l l e n nach IV, 2 nebeneinander, von denen jede die gleiche Leistung transportiert. Ist N die Gesamtleistung, so ist N / ( m - n ) die Leistung jeder Teilwelle. Wenn man die Seite a in m Teile und die Seite b in n Teile teilt (Abb. 72a), steht jeder Teilwelle ein Rechteck mit der Fläche ab/(mn) zur Verfügung. Für K2 gilt nach (211) und (214) im statischen und halbstatischen Fall (K 2 reell) wie in (120a) K2 =

Ki —j=.

2jt/X t —

az

az

K

H z = Ko • Ji (3,7 r/d) • cos

• e J ( u t ~ d

), az

l

Hier sind die Konstanten Ki, K2, Zf und a zu bestimmen. Für r = d/2, also am Außenrohr hat die Funktion Ji(3,7 r/d) nach Abb. 23 ein Maximum, J i ' also eine Nullstelle. Am Außenleiter ist dann H r = 0 und E^, = 0, wie es zu fordern ist. Setzt man obige Komponenten in (90) ein, so kann man die gemeinsamen Faktoren cos cp und expj(iot—az) fortlassen und es bleibt Ki

[j,"(3.7 r/d, +

Ji'(3,7 r/d) -

^ ^ > ( 3 , 7 r/d,] — j a - K 2 - J i ( 3 , 7 r/d) = 0.

Nach der Differentialgleichung für die Besseische Funktion erster Ordnung .gilt für ein neutrales x = 3,7 r/d J!"(X) + ^ J l ' ( x j —

J,(X) + Jj(x) = 0 .

Wenn diese Gleichung erfüllt sein soll, muß folgende Beziehung zwischen den Konstanten Ki und K2 bestehen Kl

oder Ja =

(^r)2 + )

. 2n A

' K2 =

0

K i ( 3,7 \ 2 K2(-c'I •

(239)

Ferner müssen die E-Komponenten die Gl. (40) erfüllen, was sich nach Einsetzen von (238) sofort ergibt. Ferner sind die drei Durchflutungsgesetze der elektrischen Komponenten (wobei sich E z = 0 ergibt) und die drei Induktionsgesetze der magnetischen Komponenten aufzustellen. Diese Aufgabe, die formal dem Vorgehen in IV, 1 und inhaltlich dem Vorgehen in V, 1 entspricht, soll hier nicht im einzelnen ausgeführt werden. Man erhält als Grenzwelle Xg = 1,7 d, (240) die die längste Grenzwelle ist, die überhaupt in einem kreisrunden Rohr existiert. Z F entnehme man aus (229) und A aus (222). Den Verlauf der projizierten magnetischen Feldlinien zeigt Abb. 39. Auch hier verlaufen die räumlichen magnetischen Feldlinien auf den gleichen gebogenen Flächen wie in Abb. 40, deren Schnitt mit der Querschnitlsebene die projizierte magnetische Feldlinie ist. Diese gebogenen Flächen sind das Analogon zu 86

den waagerechten Ebenen y = const, in denen bei der Hio-Welle im Rechteckrohr nach Abb. 74 die magnetischen Feldlinien laufen. Den Verlauf der H z -Komponente über den Leitungsquerschnitt zeigt Abb. 41, die der Abb. 29 entspricht. Man beachte die Vorzeichenumkehr des H z , die durch die Umkehr der Feldlinien an ihrem fernsten z-Punkt auf der Rohrachse entsteht. Abb. 39 ist durch die in einer Querschnittsebene verlaufenden elektrischen Feldlinien ergänzt. Die Feldlinien entsprechen in ihrer Dichte und Lage den Feldlinien der Abb. 75 und sind lediglich in ihrer Form dem gebogenen Außenleiter angepaßt. Den physikalischen Vorgang erklärt Abb. 77 in Anlehnung an Abb. 74. Hier sind lediglich die magnetischen Feldlinien in der waagerechten Längsebene

.

Hz = K 2 J „ ( 7 , 7 r / d ) - e j ( t o t - a z ) . 7,7 E„ = K, • ZF -f J 0 ' (7,7 r/d) • ei i " 1 ~ d H

,

Abb. 80 zeigt lediglich magnetische Feldlinien in einer achsialen Schnittebene und muß zylindersymmetrisch rund um die Achse ergänzt werden. Den Zusammenhang zwischen K t und K2 gibt die allgemeine Gl. (218). Wesentlich für spätere Betrachtungen ist die Berechnung der transportierten Leistung, die die gleichphasigen Querschnittskomponenten E^ und H r nach (151) bestimmen: Sm = 2 KjS-Zp

) 2 Jo'2(7,7 r/d).

(251)

Aus der Energiestromdichte erhält man den Energiestrom N durch Integration über den gesamten Querschnitt wie bei der Gl. (167): N = 3,83 Kj2 -Z F .

(25t a)

Mit ZF nach (229) wird bei gegebenem N in Watt Ki = 0,026 I' N 4 | ' 1 - - ( M g ) 2 1

K, = j 0,25 d

-,N , d

Ampere,

- i _ —

Ampere_

|'l-(*Ag)«

(252) (252a)

c m

VI. Die Ströme au! dem Hohlleiter und die Leitungsdämplung VI, 1. H-Wellen im Rechteckleiter In II, 1 wurde vorausgesetzt, daß die Rohrwände eine unendlich große Leitfähigkeit haben, um die Rechnung zu vereinfachen. Hier wird nun angenommen, daß die W ä n d e eine endliche, aber gute. Leitfähigkeit besitzen. Die betrachteten Frequenzen sind so groß, daß immer noch ein ausgeprägter Skineffekt besteht, und die Dicke der stromdurchflossenen Oberflächenschicht sehr klein gegen die Querschnittsdimensionen des Rohres ist. a sei

Abb. 81: Skineffekt

die Leitfähigkeit des Materials in Siemens/cm (Leitwert eines Würfels von 1 cm Kantenlänge). Die Stromdichte und alle Feldstärken sinken dann nach Abb. 81 beim Eindringen in den Leiter nach der Funktion A0 • e

— 34 5 l'^a/X

(253)

AQ = Wert der betreffenden Größe an der Oberfläche, 8 = Koordinate unterhalb der Leiteroberfläche in ein (Abb. 81), X = Wellenlänge im freien Raum, gemessen in cm. Als Oberflächenstromdichte i [Ampere/cm] bezeichnet man auch hier den Gesamtstrom durch ein Oberflächenstück der Breite 1 cm, wobei das Inte91

grationsrechteck der Abb. 26 mit seiner hinteren Kante so tief im Leiter liegen muß, daß es alle im Leiter fließenden Ströme umfaßt. In guten Leitern und bei hohen Frequenzen ist die Eindringtiefe so extrem klein, daß die magnetischen Feldlinien praktisch parallel zur Leiteroberfläche verlaufen und das für unendlich gute Leiter berechnete Feld auch hier unverändert bestehen bleibt. Es tritt lediglich ein kleiner Verbrauch auf an Wirkleistung durch die Ströme in den widerstandsbehafteten Wänden. Bei guten Leitern und in einigem Abstand von der Grenzwelle sind die Leistungsverluste klein gegen die von der Welle transportierte Wirkleistung N. N nimmt dann längs der Leitung langsam ab und alle Komponenten entsprechend mit V Njedoch so langsam, daß innerhalb eines Leitungsstücks der Länge A keine meßbare Abnahme erfolgt und auch die für verlustfreie Leiter berechneten Felder annähernd in ihrer z-Abhängigkeit hier bestehen bleiben. Die Leistungsverluste berechnet man mit Hilfe der äquivalenten Leitschichtdicke Sä. &ä ist die Wandstärke eines von einem gleichmäßig verteilten Gleichstrom durchflossenen ebenen Leiters, der den gleichen Widerstand hat wie der betrachtete Leiter aus gleichem Material bei Hochfrequenz. 6ä = 0,029 jA/a cm. (254) Das zur A-Kurve nach (253) gehörende öä zeigt Abb. 81. Als spezifischen Oberflächenwiderstand Ro bezeichnet man den Hochfrequenzwiderstand eines Oberflächenstücks der Länge 1 cm und der Breite 1 cm: R0 = l / ( o - 8 a ) = 3 4 / ] / X - a

Q.

(255)

Wichtig ist, daß die Leitfähigkeit nur a l s ] / o vorkommt, so daß sich die Leitfähigkeitsunterschiede der verschiedenen Materialien weit weniger bemerkbar machen als bei Gleichstrom. Der Zusammenhang zwischen der für verlustfreie Leiter nach IV und V berechneten magnetischen Feldstärke an der Leiteroberfläche und der Oberflächenstromdichte ist nach wie vor durch (47) gegeben, so daß zu gegebenem Feld die Komponenten der Oberflächenstromdichte i leicht berechnet werden können. Ein Oberflächenstück der Länge 1 cm und der Breite 1 cm hat nach (255) den Widerstand Ro und verbraucht die Leistung dN = '/s io2 ' Ro. wenn es von einem Strom mit dem Scheitelwert io durchflössen wird. Da die Ströme hier ortsabhängig sind, kann man nur den Leistungsverbrauch eines sehr kleinen Oberflächenstücks (Fläche dF) berechnen, wobei dF so klein gewählt werden muß, daß in dF die Stromdichte ausreichend genau als konstant angesehen werden kann. Wenn dF ein Rechteck ist, z. B. die untere Fläche des Raumelements der Abb. 3, die in x-Richtung von einem Strom mit der Stromdichte io (Scheitelwert), also vom Gesamtstrom dJo = io ' dz durchflössen wird, so hat diese den Widerstand Ro • dx/dz und verbraucht die Wirkleistung dN = y (dJ 0 ) 2 • R 0 • dx/dz = y i 0 2 • R 0 ' dx dz = y i„2 • R 0 • dF . Wenn diese Fläche dF von einem Strom beliebiger Richtung durchflössen wird, wobei die Stromdichte eine Komponente ixo in x-Richtung und eine Komponente Uo in z-Richtung hat, so lautet der Absolutwert der Stromdichte 32

(256)

io = i ^ i x c 2 + jzo 2 und der Leistungsverbrauch in dF dN = Y i 0 2 • R 0 ' dF =

* i x 0 2 • R 0 • dF + y i 2 0 2 • R 0 ' dF.

(256a)

Der Leistungsverbrauch kann also nach (256) für j e d e Komponente getrennt berechnet und dann addiert werden Zunächst wird die wichtige Hio-Welle im rechteckigen Rohr nach V,1 betrachtet. Abb. 76 zeigt den ungefähren Verlauf der Wandströme, der die Wellenabart des in Abb. 30 dargestellten stationären Feldes ist. Auf den senkrechten Wänden x = ± a/2 gibt es nur eine senkrechte Stromkomponente iv, die nach Abb. 26 gleich dem H z für x = ± a/2 ist. Der Scheitelwert lautet dann nach i{228) iyo = K t a

(257)

A.G

Der Leistungsverbrauch eines Stücks der Wand, das in der y-Richtung die Länge b und in der z-Richtung die Länge dz hat, beträgt nach (256) für i nach (257) d N

=

2 \

a

~ ) 2 XgJ

Ro-bdz.

(258)

Auf den waagerechten Wänden y = ± b/2 gibt es Komponenten ix und i z , die nach (47) und (228) als Scheitelwerte lauten ixo = H z 0 = K j - ~ sin , a a.Jr a

(259)

i z 0 = Hxo = K j — cos • (260) a a Es gibt demnach Längsströme i z nach Abb. 82a, die nur auf den waagerechten Flächen fließen und in der Mitte am größten sind. Die Querströme

Abb. 82: Stromverteilung

bei der Hm-Welle

in einem

Querschnitt

nach (257) und (259) zeigt Abb. 82b. Die Breite der Pfeile soll die Stromdichte anzeigen. Sie ist auf den senkrechten Flächen konstant, nimmt auf den waagerechten Flächen nach dem Rande hin zu. In der Mitte der waagerechten Flächen entsteht eine Linie ohne Querströme, wo man die Fläche unterbrechen könnte, ohne das Feld wesentlich zu stören. An allen anderen

93

Stellen würde

eine

Unterbrechung

der W ä n d e

die Stromverteilung

und

damit auch das ganze Feld stören. Man vergleiche das Momentanbild der Abb. 76. Diese Komponenten erzeugen nach (256a) in einem rechteckigen Oberllächenstück mit den Kanten dx und dz einen Leistungsverlust mit dem zeitlichen Mittelwert

t ( * T)'* [ ( £ ) ' - + Summiert man dies über die ganze Breite a der oberen Wand, so ist der Leistungsverlust in diesem Wandstück der Breite a in x-Richtung und der Breite dz in z-Richtung nach (222)

«-•:-(«•

*[(£)'•"] *

für jede Wand. Addiert man (258) und (261) für alle v i e r Wände, so ist der zeitliche Mittelwert des Leistungsverlusts in einem Rohrstück der Länge dz nach (227)

dN

= (f Kl )2r° " dZ [ 2 + b ( 2aT ]

^

wenn alle W ä n d e aus gleichem Material (gleiches Ro) bestehen. Setzt man hier (n/a) K j nach (232) ein, so hat man den Zusammenhang zwischen der transportierten

Leistung

N

und dem Leistungsverbrauch

eines

Leitungs-

stücks der Länge dz, also der Abnahme d N der Leistung N innerhalb dieses Leitungsstücks: dN N

2" + b ("2a"/ = 0,0106 R 0 - d z - — r ab ~\f\ — (>L/2a)2

(263)

Setzt man dN/N = — 2 ß • dz, so ist die Dämpfungskonstante a 2~ ' " V 2a 1 ß = 0,0053 Ro . ~ ab \ f l — 0J2a)t

Neper c m

•

(264)

Die von der W e l l e transportierte Leistung ist jetzt abhängig v o n z, also eine Funktion N(z), für die die Gleichung gilt: N

dz

d N hat dabei ein Minuszeichen erhalten, weil es eine Verkleinerung des N darstellt. Aus (265) f o l g t die exponentielle Abnahme des N

als Lösungs-

funktion; N(z) = N

0

-e~

2 ß z

,

(266)

wobei No der W e r t des N am Ort z = 0, also am Ausgangspunkt ist. Da K , nach (228) die Größe

enthält, nehmen alle

Feldstärkeamplituden

längs der Leitung nach (233) wie exp(—ßz) ab. Die Größe ß aus (264) nennt man daher die Leitungsdämpfung und gibt sie in N e p e r pro cm an. Für Kupier als Leiter mit einem a = 58 • 10* Siemens/cm ist RQ nach (255) gleich

94

O.CWö/J/^X. £2. Für das Beispiel a = 10 cm, b = 5 cm, X — 10 cm wäre dann ß ~ 10" 5 Neper/cm, also außerordentlich klein. Wenn man bei konstantem a und b das X ändert, heben sich die Einflüsse des X (in 264) annähernd auf und geben weitgehend konstantes ß, das sich jedoch bei Annäherung an die Grenzwelle erhöht und für X = Xg unendlich groß wird. Daraus geht hervor, daß es einen groben Fehler bedeutet, wenn man das Hohlrohr in der Nähe der Grenzwelle bei der Berechnung als verlustfrei annimmt. Das physikalisch merkwürdige Verhalten des Hohlrohrs bei der Grenzwelle ändert sich bei Berücksichtigung der Verluste ganz wesentlich und wird dann durchaus vernünftig. Die Erhöhung der Verluste in der Nähe der Grenzwelle liegt daran, daß dort die Gruppengeschwindigkeit sehr klein ist. Die im Feld gespeicherte Energie ist mit Strömen bestimmter Größe auf den Leitern notwendig verknüpft; verschiebt sich die Energie langsamer, ist der Leistungstransport kleiner, aber die mit der Energieansammlung verbundenen Verluste in den Leitern bleiben stets gleich groß. Schneller Transport ist stets wesentlich, wenn die Aufbewahrung der Energie mit Verlusten verbunden ist. Eine exakte Berechnung in der Nähe der Grenzwelle ist außerordentlich schwierig. Abb. 83 gibt Anhaltspunkte für das wirkliche Absinken der Feldstärken längs der Leitung. Im Bereich 2lt/Ag

Abb. 83: Leitungsdämpfung

niedriger Frequenzen sinken die Feldstärken nach (133). Bei sehr niedrigen Frequenzen nähert sich Fio dem Grenzwert 2jt/Xg, sinkt mit wachsender Frequenz und erreicht ohne Berücksichtigung der Verluste nach (133) den Wert Null bei der Grenzwelle. Da aber auch die halbstationäre Ausbreitung nach 111,3 mit Strömen auf den Wänden verknüpft ist, wird sich dem F i 0 nach (133) noch das Absinken durch die Verluste überlagern, so daß das wirkliche Fio etwas größer als nach (133) ist (gestrichelte Kurve in Abb. 83). Für X < Xg ist das Absinken durch das ß nach (264) gegeben. Unendlich großes ß bei X = Xg würde bedeuten, daß sich die Felder überhaupt nicht ausbreiten. In Wirklichkeit wird die Dämpfung bei Annäherung an die Grenzwelle sich zwar vervielfachen, aber endlich bleiben und nach der gestrichelten Kurve stetig in die durch (133) gegebene Kurve übergehen. Da also auch bei X > Xg bereits Wirkleistung durch das Rohr transportiert werden muß, um die durch die Wandströme verursachten Verluste zu decken, ist also auch dann bereits eine Wellenausbreitung erforderlich, wenn auch mit sehr kleiner Gruppengeschwindigkeit und extrem großem A. Bei der Grenzwelle findet also in Wirklichkeit ein außerordentlich schnelles Anwachsen des A statt, aber der Wert oo wird nicht erreicht. Abb. 84 zeigt den Verlauf der Gruppengeschwindigkeit nach (172) und gestrichelt unter Berücksichtigung der Verluste. Die Grenzwelle ist jetzt also nicht mehr ein 95

k r a s s e r Schnitt im Feldzustand des Rohres, sondern ein stetiger, w e n n auch sehr ausgeprägter U b e r g a n g .

Abb. 84: Gruppengeschwindigkeit % ^mrklicherrertauf —»_

Die a n d e r e n H - W e l l e n im Rechteckleiter haben kompliziertere Felder. Die W a n d s t r ö m e b e r e c h n e t m a n wie v o r h e r nach (47) a u s den magnetischen Komponenten an der W a n d . Abb. 85 zeigt für die H n - W e l l e die Verteilung

Stromverteilung

Abb. 85: der Hn-Welle im Querschnitt

der zeitlichen M i t t e l w e r t e der S t r o m k o m p o n e n t e n g e t r e n n t n a c h Längsströmen u n d Q u e r s t r ö m e n wie in Abb. 82. Durch Kombination solcher H n Rohre n e b e n e i n a n d e r u n d übereinander k a n n m a n dann n a c h Abb. 78 auch die Stromverteilung bei der Hmn-Welle leicht finden.

VI, 2. E-Wellen im Rechteckleiter Die Stromverteilung b e i den E-Wellen ist wesentlich e i n f a c h e r als bei den H-Wellen, weil es k e i n e Hz-Komponente und d a h e r auch k e i n e Q u e r s t r ö m e gibt. Es b e s t e h e n also n u r Längsströme (Stromdichte i 2 ). Auf den w a a g e r e c h t e n R o h r w ä n d e n (y = ± b/2) besteht die O b e r f l ä c h e n s t r o m d i c h t e n a c h (196) mit dem M o m e n t a n w e r t iz = + H x = —

¿f

b

cos

a

• cos(cot— az).

(267)

Auf den senkrechten W ä n d e n (x = ± a/2) besteht die Stromdichte n a c h (1971 als Momentan w e r t : iz = ± H y = - -1- - cos * Y • cos(cot ZF a b

az).

(268)

Das W i r k e n dieser W a n d s t r ö m e innerhalb der E n - W e l l e ergibt sich aus Abb. 71. Sie schließen die Stromkreise des V e r s c h i e b u n g s s t r o m s in der z96

Richtung. Die Verteilung der Scheitelwerte dieser Ströme auf den W ä n d e n zeigt Abb. 86. J e w e i l s in der Flächenmitte sind die Ströme am größten, auf den breiten Seiten nach (267) w e g e n des Faktors 1/b größer als auf den schmalen Seiten, wo in (268) der Faktor 1/a an der entsprechenden Stelle steht. Man beachte, daß in Abb. 85a die Längsströme sich genau entgegen-

Abb. 86: Stromverteilung der En-Welle (Scheitelwerte im Querschnitt)

gesetzt verteilen. In Abb. 85a ist der gesamte Längsstrom auf den verschiedenen W ä n d e n jeweils gleich, so daß die Stromdichten auf den schmalen W ä n d e n größer sind als auf den breiten. Für die E n - W e l l e soll die Dämpfung durch den W i d e r s t a n d der Rohrwände b e r e c h n e t werden. Auf den waagerechten W ä n d e n (y = ± b/2) entsteht in einem kleinen Rechteck der Breite dx in x-Richtung und der Breite dz in z-Richtung die Verlustleistung nach (256) und (267) R 0 ' C0S2

a

• dx dz.

(269)

Ein Streifen der w a a g e r e c h t e n W a n d mit der Breite dz in z-Richtung q u e r über die W a n d (Breite a) gibt die Summe aller Verluste nach (269) von x = — a/2 bis x = a/2. Nach (205a) ergibt sich für diesen Streifen dN =

a 4

Kj* ZF2

(f)'

RQ • dz

(270)

für jede W a n d . N a c h den gleichen Überlegungen ergibt sich für jede senkrechte W a n d unter V e r t a u s c h u n g v o n a und b aus (268) dN =

b Ki2 ( " ( - j ) V d ,

(271)

Ein Streifen der Breite dz rund um das das 1Rohr ergibt also den Leistungsverlust d N = - : - K!« [ a 2

ZF

b]

(272)

W e n n man dieses dN mit der übertragenen Leistung N in Zusammenhang bringen will, muß man das entsprechende Ki einsetzen u n d erhält aus d N / N daß ß w i e in (264): 1 a3 + b» 2 R„ 1 Neper ß = ab a2 + 2 ~Zf ' j""/ , _ ~ :m * (274) b Dieses ß hat bei g e g e b e n e m Umfang ein Dämpfungsminimum für quadratischen Querschnitt (a = b) und in einigem Abstand v o n der Grenzwelle Meinke, Hohlleiter 7

97

fast die gleichen Dämpfungswerte wie eine Hio-Welle nach VI, 1 im gleichen Rohr. VI, 3. H-Wellen im kreisrunden HohUeiter Die einfachsten Verhältnisse zeigt die H 0 i-Welle, deren Komponenten in (250) angegeben sind. Wegen H,,, = 0 gibt es am Außenrohr (r = d/2) nur eine Komponente H z und daher nach Abb. 26 nur Stromkomponenten i^, also Kreisströme rund um das Rohr, wie es auch schon das stationäre Feld der Abb. 34 zeigt. Hier ist der innere Stromkreis der Abb. 34 durch die Verschiebungsstromringe der Abb. 80 zu ersetzen. Im Außenleiter fließen an den zu den inneren Stromringen gehörenden Stellen gegenläufige Kreisströme. Die zirkulare Stromdichte lautet nach (250) als komplexer Momentanwert \V = - H

Z

= 0,4K2-ej(cot-az)'

(275)

Die Stromdichte ist also über den ganzen Umfang konstant (unabhängig von (p). Ihr reeller Momentanwert lautet = 0,4 K2 " cos (cot — az). Die Ströme sind in z-Richtung nach einer cos-Funktion verteilt und wechseln im Abstand A/2 jeweils ihre Richtung wie die inneren Verschiebungsströme. Abb. 87 zeigt die Verteilung in einem bestimmten Zeitpunkt. Diese

Abb. 87: Wandströme der H01-Welle (Momentanbild)

Verteilung wandert mit der Phasengeschwindigkeit entlang der Leitung. Der für die Praxis interessierende Scheitelwert i „ 0 = 0,4K 2

(276)

ergibt also einen für alle Punkte der Oberfläche konstanten Wert (Abb. 88).

Abb. 88: Stromverteilung der Hoi-Welle (Scheitelwerte)

Ein Rohrstück der Länge dz (Umfang n • d) ergibt nach (256) den Leistungsverlust dN = y i^o2 • t • d • R 0 • dz = 0,25 K22 • d • R 0 • dz. 98

(277)

Den Zusammenhang des Leistungsverlusts mit der übertragenen Leistung N erhält man durch K2 nach (252a). Setzt man K2 nach (252a) in (277) ein, so wird dN 0,016 - N^ = —d5 —Vd/ . ) Ro

. dz-7= 1 V i - (\/lg)2

278

Der Faktor X/d sagt, daß die Ströme auf dem Außenleiter mit abnehmender Wellenlänge bei gegebenem Rohr immer kleiner werden. Da Ro proportional zu nach (255) ist, werden also die. Leistungsverluste nach (277) mit abnehmender Wellenlänge kleiner, und zwar ganz erheblich. Für X = 0 erreichen sie sogar den Grenzwert Null. Dieses Verhalten steht ganz im Gegensatz zu dem Verhalten der anderen Hohlrohrwellen und auch der gewöhnlichen Leitungen. Aus (278) folgt wie in (263) bis (266) für die Dämpfung P

= 0,0078 R 0

Ä = d V 1 — (X/Xg)2

(279) c m

Näheres in Abb. 93. Die Hoj-Welle im kreisrunden Rohr wäre also eine ideale Welle für die Übertragung elektromagnetischer Energie auf größere Entfernungen. Der Vorteil der kleineren Dämpfung macht sich jedoch erst dann bemerkbar, wenn der Rohrdurchmesser größer als die doppelte Wellenlänge ist. Da die Dämpfungen in der Größenordnung von 10~5 Neper/cm liegen, werden sich Dämpfungsunterschiede zwischen den einzelnen Wellentypen auch nur bei Leitungslängen von mindestens 500 m entscheidend bemerkbar machen. Wesentliche Voraussetzung ist dabei, daß die Welle sich auf diesem langen Weg nicht deformiert und eine andere Form annimmt, die dann nicht mehr diese günstige Dämpfung hat. Das, was die Welle in der Leitung führt und ihre Form aufrechterhält, sind die Kreisströme auf dem Rohr nach Abb. 87. Je größer der Rohrdurchmesser ist, desto kleiner werden die führenden Wandströme nach (278), desto labiler wird also die Führung der Welle. Da man annehmen muß, daß Leitungen großer Länge Fehler des exakten Kreisquerschnitts aufweisen und nicht überall geradlinig verlaufen, wird es unvermeidlich sein, daß auf dem Außenrohr auch irgendwo Längsströme i z entstehen, die je nach ihrer Verteilung zu Änderungen der Feldform führen. Aus der Hoi-Welle können sich z. B. sehr leicht HuWellen oder Eoi-Wellen abspalten, oder auch noch kompliziertere Formen, je nachdem wie die Grenzwelle der verschiedenen Wellentypen bei dem gegebenen Rohrdurchmesser liegt. Die Hoi-Welle muß also als ein sehr labiler Wellentyp angesehen werden, der seine Dämpfungsvorteile kaum auszunutzen gestattet. Die Hjt-Welle im kreisrunden Rohr nach V, 2 hat zwei Stromkomponenten nach (238), die für r = d/2 als reelle Momentanwerte lauten iz = H(p = — Ki —4— sin

i) Al °

(292)

Absolutwert m* = A 2 O / A I O des Wellenverhältnisses ist der Quotient Scheitelwerte der beiden Schwingungen bei z = 0, seine Phase (t|>2— % ) Phasendifferenz der beiden Schwingungen. In einem beliebigen Punkt z die Welle nach (290) den reellen Schwingungsverlauf

Ai = Aio • cos (tot + % + az), die Welle nach (291) den Verlauf A 2 = A2Q • cos(cot + ip2 — az). 109

Das Wellenverhältnis t* in einem beliebigen Punkt z ist der Quotient der komplexen Momentanwerte (290) und (291) der beiden Wellen in diesem Punkt: _8r -ei(tot~az)_H2-eicot r* = a 1 J(cot- +• az) —< Hj-e- jcot M

e

- j 2 a z

= v

.

e

- j 2 a z .

(293)

r* hat also längs der verlustfreien Leitung einen konstanten Absolutwert m*, aber gegenüber r 0 * die Phase — 2az = — 4nz/A.

(294)

Man vergleiche (137). Die eine Welle hat nach (290) gegenüber z = 0 die wachsende Phase az, die andere nach (291) die stetig abnehmende Phase (— az), ihr Quotient also die doppelte Phase (—2az). Um den prinzipiellen Verlauf der Kombination (291a) zweier gegenläufiger Wellen längs der Leitung zu erhalten, die man als gemischte Welle be= zeichnet, betrachtet man zunächst den einfachsten Fall ipi = 0. Längs der Leitung besteht dann der reelle Gesamtwert A = Aio • cos (cot + az) + A20 ' cos (cot — az). Eine Reihe von Momentanbildern einer solchen Kombination zeigt Abb. 100. Verfolgt man die zeitliche Verschiebung der Wellenbilder, so sieht man, daß die Amplitude der Welle schwankt zwischen dem Maximalwert

Abb. 100: Gemischte

Welle

(Aio + A20) und dem Minimalwert (Ajo— A20). Wenn die Amplitude groß ist, ist die Phasengeschwindigkeit in Richtung zum Leitungsende klein (dichte Lage der zugehörigen Schwingungsnullpunkte) und umgekehrt. In der Praxis interessieren diese Momentanzustände nur wenig, da die Meßinstrumente sie nicht anzeigen. Meßbar ist lediglich der Effektivwert oder 110

der Scheitelwert der Schwingung in einem Punkt z. Den Verlauf des Scheitelwerts längs der Leitung zeigt Abb. 101. Er ist gleich der Umhüllenden der Wellenkurven der Abb. 100. Die beiden Einzelwellen, die eine längs der Leitung veränderliche Schwingungsphase besitzen, geben an solchen Orten maximale Gesamtamplitude ( A i 0 + A20), w o die beiden Wellen gleichphasig schwingen, und die minimale Gesamtanlplitude (Am — A20) dort, w o die beiden Wellen gegenphasig schwingen. Man muß sich diese Kombinationswelle anschaulich so vorstellen, daß sie sich mit großer Geschwindigkeit nach Abb. 100 durch den Engpaß (A10 — A20) hindurchpreßt und dann dort langsam wandert, wo die Wellenmaxima mehr Platz haben. Die Kurve der Abb. 101 ist einer Messung zugänglich. Das Meßverfahren entspricht genau der Abtastung des Spannungsverlaufs längs einer gewöhnlichen Leitung, wie man sie in bekannter Weise zur Messung des Abschlußwiderstandes der Leitung durchführt. Wichtig ist der leicht meßbare Quotient Amin _ A10 — A20 _ 1 — m* rn — - —r- A * , (-¿95) Amax Ajo + A20 1 + m* über dessen Benennung noch keine Einigkeit besteht. Er sei im folgenden als relative Schwankung bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen m und dem Wellenverhältnis m* lautet: *

a20

¡ 7 m (296) - 1 -r m A10 Die Phase des 1* nach (293) ist an den Punkten maximaler Amplitude nach Abb. 101 gleich Null, dio Phase des 1* in irgendeinem anderen Punkt der Leitung nach (293) gleich (—2a • Az), wobei Az der Abstand des betrachteten Punktes von dem Ort maximaler Amplitude ist. Aus der gemessenen Kurve der Abb. 101 erhält man also sofort den Wellenzustand in jedem Punkt der Leitung, dargestellt durch 1*. m*

Abb. 101: Amplitudenverlauf längs der

Leitung

Die W e l l e der Amplitude A10 transportiert die Leistung N i zum Leitungsende, die proportional zu A102 ist. Die reflektierte W e l l e transportiert die Leistung N2 zurück, die proportional zu A202 ist: N2 = m* 2 • N j . Dem Verbraucher am Leitungsende wird also die Leistung N = N i —• N2 = N i (1 — m*2) = N j

(297)

zugeführt. Je kleiner m, desto größer m*, desto kleiner die dem Verbraucher zugeführte Leistung bei gegebenem N i . Wenn man: dem Verbraucher die volle Leistung der ankommenden W e l l e zuführen könnte, würde man der W e l l e eine Amplitude Ao zuerteilen müssen, die wesentlich kleiner ist als 111

die Amplitude Aio, die man ihr geben muß, wenn ein Teil reflektiert wird und trotzdem die gleiche Leistung N übertragen werden soll. Dann wäre Aio/Ao = J / N J / N und nach (297) und (296) « . A 1 0 = Ao

1+ m

,

. . 1 —m A20 = A0

2y m

(298)

2y m

Der für die Spannungsfestigkeit maßgebende Maximalwert Amax = A 1 0 + A 2 0 = A 0 / / m (299) ist also um den Faktor l / | / " m größer als bei reflexionsfreier Übertragung. Auch die Leitungsdämpfung wird mit wachsender Reflexion immer wirksamer: Einmal verliert die zum Verbraucher hinlaufende Welle Leistung durch Dämpfung, zum anderen aber auch die reflektierte Welle. Der Leistungsverlust bei gegebenem N j ist also größer als bei reflexionsfreier Übertragung, die abgegebene Leistung N aber kleiner. Der Wirkungsgrad der Übertragung wird also mit wachsendem m* immer schlechter. Dies sind zwei der technischen Gründe für das Bemühen um eine möglichst reflexionsfreie Übertragung. Wenn man die bisherigen Betrachtungen auf die elektrische Querfeldstärke E bezieht, so soll jetzt noch die magnetische Querfeldstärke H hinzugezogen werden. Hier ist die bereits in (115) und (129) festgestellte Tatsache bemerkenswert, daß der Zusammenhang zwischen K j und K 2 beide Vorzeichen besitzen kann. Dieses Vorzeichen hängt ab vom Vorzeichen des a, also von der Fortpflanzungsrichtung der Welle. Die in Richtung wachsender z fortschreitende Welle gibt in (115) das negative, die in Richtung abnehmender z fortschreitende Welle das positive Vorzeichen. Physikalisch bedeutet dies, daß sich die Richtung der magnetischen Feldlinien, bezogen auf die x-Achse in Abb. 63a, umkehrt, wenn man das Koordinatensystem der Abb. 1 umdreht und die z-Achse in umgekehrter Richtung laufen läßt. Die räumliche Lage der drei Vektoren in Abb. 58 (Ey, H x und Fortpflanzungsrichtung) gegeneinander ist in jeder Wellenfront die gleiche. Wenn man den elektrischen Teilwellen Ej und E 2 gleiches Vorzeichen gibt, muß man den beiden zugehörigen magnetischen Teilwellen verschiedenes Vorzeichen geben. Bezeichnungen: © = komplexe Amplitude der Komponente E; $ = komplexe Amplitude der Komponente H, usw. Wenn man vom Vorzeichen absieht, gilt für den Zusammenhang zwischen der elektrischen und der magnetischen Feldstärke jeder Teilwelle im Leitungsquerschnitt die bekannte Gleichung [ ©/$ I = ZF mit dem Feldwellenwiderstand ZF nach (221) oder (245). Für die elektrischen Feldstärken der beiden Teilwellen gilt in einem Punkt z nach (293) ®2/®i = t*, für die magnetischen Feldstärken der gleichen Teilwellen i>2/§i = — t* wegen des Vorzeichenwechsels der Konstanten I hg) und Wellen verschiedenster Art, soweit diese in dem betreffenden Rohr existenzfähig sind (A. 1), dem ein Maximum der elektrischen Feldstärke und ein Minimum der magnetischen Feldstärke nach Abb. 101 entspricht. Der Winkel 4it • Az/A sagt aus, daß ein Halbkreis von m nach 1/m jeweils ein Leitungsstück der Länge A/4 bedeutet. Nach Durchlaufen eines Leitungsstücks der Länge A/2 kehrt man jeweils zum Ausgangspunkt r o zurück. Man vergleiche den Verlauf des t nach Abb. 104 und des Quotienten ©/€> nach Abb. 103 bezüglich Absolutwert und Phase. Auf der oberen Kreishälfte besteht ein Voreilen der elektrischen, auf der unteren Kreishälfte ein Voreilen der magnetischen Feldstärke. Bezüglich weiterer Einzelheiten kann man die bekannte Theorie der gewöhnlichen Leitungen benutzen. Verlustfreie

Vierpole:

In den weitaus meisten Fällen treten in dem Zwischenglied (Vierpol) keine Verluste auf und man hat das Analogon des verlustfreien Vierpols. Dies bedeutet, daß die Wirkleistung auf den Leitungen vor und hinter dem Vierpol gleich groß ist. Es bleibt also dann lediglich die Behandlung der Widerstandstransformation durch verlustfreie Vierpole, Ein solcher Vierpol ist durch drei Kenngrößen gegeben, deren experimentelle Bestimmung in VIII, 1 beschrieben wird. Es sind nun solche Arten von Kenngrößen zu suchen, bei denen die Widerstandstransformation unter den vorliegenden Verhältnissen besonders einfach wird. Bei Vierpolen, die eingangsseitig und ausgangsseitig an Leitungen anschließen, ist die Darstellungsform der Abb. 105 besonders zweckmäßig. Man ersetzt den Vierpol durch zwei Leitungsstücke gleichen Querschnitts wie die anschließenden Leitungen und einen neuen verlustfreien Vierpol mit sehr einfachen Eigenschaften. Diese beiden Ersatzleitungen sind bei der Widerstandstransformation sehr einfach zu hand119

haben. Der Vorgang wird stets so sein, daß das g e g e b e n e r 0 (Abb. 105) durch die hintere Leitung in Abb. 104 n a c h r 2 transformiert wird, dann die Vierpoltransformation nach i j einsetzt und anschließend auf der v o r d e ren Leitung nach t 3 transformiert .wird. Bei Benutzung der Vierpolzerlegung der Abb. 105 wird man d a n n r 0 gleich nach V tansformieren, also die hint e r e Leitung und die i n n e r e Ersatzleitung der Länge I2 zu einer einzigen Leitung zusammenfassen. Der Vierpol transformiert dann lediglich v o n V ursprünglicher Vierpol

Abb. 105: Reduktion eines Vierpols

nach r x ' und r i ' wird dann direkt nach 13 transformiert, wobei die v o r d e r e Leitung und die Ersatzleitung der Länge Ii als e i n e Leitung zusammenfassend behandelt werden. Bei dieser sehr vorteilhaften Vierpolzerlegung machen also die beiden Kenngrößen l j u n d I2 keine zusätzliche rechnerische Arbeit, weil die Leitungstransformationen sowieso stets ausgeführt w e r d e n müssen. Dieses Ersatzbild gibt aber außerdem in vielen Fällen sogar wertvolle Zusammenhänge mit dem physikalischen Geschehen in dem Zwischenglied (VIII, 2). Der v e r e i n f a c h t e innere Vierpol hat nur noch e i n e Kenngröße darzustellen und k a n n verschiedene Form haben. A m meisten benutzt man das Transformatorersatzbild u n d das Leitwertersatzbild. Das

Transformatorersatzbild:

W e n n man die Leitungslängen Ii und I2 richtig wählt (was in VIII, 1 gezeigt wird), wird der innere Vierpol der Abb. 105 ein sogenannter reeller Ubertrager (Schaltschema in Abb. 106a), dessen Transformationswirkung darin ursprünglicher Vierpol m

besteht, daß jeder Ausgangswiderstand V an seinem Eingang mit einem reellen Faktor K multipliziert erscheint: = K • r 2 '. Man k a n n sich auf den 120

Fall K > 1 beschränken. Der Beweis dieses Zerlegungssatzes kann ohne Änderung aus der Leitungstheorie entnommen werden. Die Transformation von fo nach 13 (Abb. 105) in der relativen Widerstandsebene zeigt Abb. 106b. Von *o nach r 2 ' kommt man auf einem Kreis nach Abb. 104, ohne den Zwischenpunkt r 2 der Schaltung zu beachten. Der Übergang von V nach r t ' mit reellem K ist ein Verschieben längs einer Geraden durch den Nullpunkt, wobei sich der Abstand vom Nullpunkt um den Faktor K vergrößert. Von nach F3 benutzt man wieder den Kreis der Abb. 104 für die Leitungslänge Az = Ii + Ii'. Das L e i t w e r t e r s a t z b i l d : In dem häufigen Fall, daß vor und hinter dem Zwischenglied gleicher Leitungsquerschnitt und gleicher Wellentyp bestehen, erhält man oft auch physikalisch sehr brauchbare Ersatzbilder, wenn man den inneren Vierpol der Abb. 105 durch einen Blindwiderstand j X parallel zur Leitung nach Abb. 107 ersetzt. Auch dieses Ersatzbild ist unter der genannten Einschränkung universell, d. h. für jeden verlustfreien Vierpol verwendbar. Die Längen Ii und I2 sind hier andere als beim Transformatorersatzbild (VIII, 2). Der

1 c

I *0 'i-

ursprünglicher Ifierpot

,

-1,

Abb. 107:

\jy -ir; -r i-

7-t-

>1

Leitwert-Ersatzbild

Blindwiderstand X ist dann die dritte Vierpolkenngröße. X kann positiv (induktiv) oder negativ (kapazitiv) sein. Der Vierpol besteht also aus einei Leitung der Länge (Ii + 12), der an einer geeigneten Stelle ein Blindwiderstand parallelgeschaltet ist. Im Hohlrohr bedeutet dies, daß das betreffende Zwischenglied wie ein durchgehendes Stück Hohlrohr der Länge (Ii + 12) wirkt, so daß also zwischen fo und T3 (Abb. 107) eine durchgehende Hohlrohrleitung liegt, in der lediglich an einer bestimmten Stelle ein zusätzlicher Verschiebungsstrom (kapazitiver Querwiderstand) oder ein zusätzlicher Leitungsstrom (induktiver Querwiderstand etwa in Form eines dünnen Drahtes nach Abb. 27c) fließt. Dieses läßt sich nach VIII, 2 auch praktisch in einfachster Weise verwirklichen. Das Sfti' vor dem inneren Vierpol entsteht also durch die Parallelschaltung des 9t 2 und des j X. W e n n man mit relativen Widerständen rechnet, schaltet man r 2 ' = 9t 2 '/Z u n t * j x = j X/Z parallel. Der Hohlleitervierpol ist also durch das r e l a t i v e j x festgelegt, das in VIII, 1 gemessen wird. W e n n man quantitativ arbeiten will, rechnet man bei Parallelschaltungen mit Leitwerten, den Reziprokwerten der Widerstände. Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte. Hier rechnet man dementsprechend mit relativen Leitwerten, den Reziprokwerten der relativen Widerstände. Der relative Leitwert ist also umgekehrt wie in (300) aus dem Quotienten €>/® hervorgegangen. Bei Parallelschaltung addiert man die relativen Leitwerte. Den relativen Leitwert bezeichnet man mit 9 = 1/r. Der relative Leitwert 0 wandert längs der Leitung nach dem gleichen Gesetz (309) 121

8 =

% + j tg(az) 1 + j • tg(az)

(312)

u n d auf den gleichen Kreisen wie das t in Abb. 104. Der zu einem relativen Widerstand r gehörende relative Leitwert B ist jeweils der zweite Schnittpunkt der beiden den W e r t * festlegenden Kreise der Abb. 104. Die formale Verwandtschaft zwischen r und 8 ist also sehr groß. Der relative Blindwiderstand j x besitzt den relativen Leitwert JY :

1 j*

(313)

der stets entgegengesetztes Vorzeichen wie das x hat. Abb. 108a zeigt das W a n d e r n d e s relativen Leitwerts in der Schaltung der Abb. 107 mit kapazitivem (positivem) Blindleitwert. Vom Abschluß 8 0 = l/ r o kommt man nach flfc' = l / t 2 ' i durch die Parallelschaltung entsteht fli' = 1/xy = fi2'+ j y . Bei

Abb. 108: Leitwert-Ef satzbild positivem y liegt also der Punkt ßj' senkrecht über 8 2 '. Bei induktivem (negativem) Leitwert j y liegt nach Abb. 108b um das Stück y senkrecht unter 82'. Von fli' wandert man dann auf der Leitung weiter nach Abb. 104 bis 83 = l/r 3 . Der Vierpol wirkt also wie eine kurze Unterbrechung des normalen Leitungsverhaltens. Anpassungsschaltungen: Anläßlich der Gl. (299) wurde bereits erörtert, daß sich die günstigen Leitungseigenschaften nur ausnutzen lassen, wenn keine reflektierte Welle vorhanden ist. Dann ist der relative Widerstand wegen t* = 0 überall gleich 1. Ferner gibt eine reflektierte Welle stets Veranlassung zu unangenehmen Eigenschaften des Eingangswiderstandes 13 der Schaltung nach Abb. 102. W e n n man die Länge der Eingangsleitung verändert, ändert sich 13 nach Abb. 104 und zwar um so mehr, je kleiner m, je größer die reflektierte Welle ist. Im Fall r = 1 wäre r 3 = 1 konstant. Solche Längenänderungen Az sind um so kritischer, je kleiner A ist, weil in (309) der Quotient Az/A wirksam ist. Ebenso ändert sich auch t 3 bei konstanter Leitungslänge und geringen Frequenzänderungen selbst bei konstantem 12 schon deshalb, weil sich dabei z/A ebenfalls ändert, und zwar ist diese Änderung um so ausgeprägter, je länger die Leitung ist. Auch dieses wäre vermieden, w e n n man ohne reflektierte Welle arbeiten könnte. Solche kritischen Eingangswiderstände er122

schweren den Umgang mit derartigen Schaltungen sehr. Da nun der Verbraucher to im allgemeinen nicht den Wert 1 haben wird, setzt man möglichst dicht an den Verbraucher ein verlustfreies Zwischenglied, das so gelegt und so aufgebaut wird, daß der Eingangswiderstand r^ des Zwischenglieds gleich 1 wird. Einen solchen Zusatz nennt man eine Anpassungsschaltung. Wenn man mit dem Transformatorersatzbild arbeitet, muß man nach Abb. 106b und 109 den Vierpol so legen, daß ig gerade in einen

Abb. 109: Anpassungstransformation

A

r

reellen Wert V = r 2 - kleiner als 1 transformiert wird, was man durch geeignete Wahl des Abstandes zwischen Vierpol und Verbraucher stets erreichen kann. Der Vierpol muß dann so dimensioniert werden, daß sein K = 1/rj' ist. Dann transformiert er das reelle 12 gerade nach 1. Wenn man mit dem Leitwertersatzbild (z. B. kapazitiv) arbeitet, muß man den Abstand zwischen Vierpol und Verbraucher so wählen, daß &2' nach Abb. 108a und 110 senkrecht unter 1 liegt. Dann muß weiter der Vierpol so dimensionier^ ffi ~Knt/j Abb. 110: Anpassungstransformation

y ö

sein, daß sein y das ßj genau nach 1 transformiert. Zur Anpassungsschaltung gehört richtiger Abstand des Vierpols und richtiger Leitwert, also stets die richtige Einstellung zweier Größen.

VII, 5. Stehende Wellen und Hohlraumresonatoren Stehende

Wellen:

Ein besonders einfacher und wichtiger Leitungsabschluß ist eine Kurzschlußebene. Bei z = 0 soll der Querschnitt durch eine leitende Wand mit unendlich großer Leitfähigkeit ausgefüllt sein. Auch der Hohlleiter selbst soll eine unendlich große Leitfähigkeit besitzen. Die Leistungsverluste durch den Widerstand der Leiter werden später wie in VI berücksichtigt. Vom Generator her kommt eine Welle bestimmten Typs, die vollständig reflektiert wird, weil der Leitungsabschluß keine Wirkleistung verbraucht. Die reflek123

tierte Welle hat stets den gleichen Typ wie die ankommende, eine Typenumwandlung findet an einer solchen Kurzschlußebene nicht statt. Wenn Wellen verschiedener Typen vom Generator kommen, wird jede für sich vollkommen reflektiert. Es ist also völlig ausreichend, einen einzigen Wellentyp zu betrachten. Der Absolutwert des Wellenverhältnisses ist stets m* = 1 und nach (295) m = 0. Die Phase des Wellenverhältnisses ** in einem Punkt der Leitung nach (293) hängt von dem Wellenverhältnis V an der Kurzschlußebene z = 0 ab. Die leitende Ebene bei z = 0 verlangt, daß dort in jedem Zeitpunkt alle elektrischen Querkomponenten verschwinden und die magnetischen Feldlinien parallel zur Wand verlaufen. Die elektrischen Querkomponenten der ankommenden und der reflektierten Welle müssen daher bei z = 0 e n t g e g e n g e s e t z t gleich sein; denn dann ist ihre Summe stets gleich Null. Das r* wurde aber definiert als das Wellenverhältnis der elektrischen Querkomponenten. Für eine leitende Querschnittsebene als Leitungsabschluß gilt daher r 0 * = — 1, r 0 = 0 (Kurzschluß).

(314)

In einem beliebigen Punnkt der Leitung ist dann nach (293) r* = — e

J2az = - e ~ j 4 j l z / A .

(315)

Das Analogon zum Hohlleiter mit leitender Querschnittsebene ist die am Ende kurzgeschlossene Leitung. Die Uberlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Amplitude ist ein stehende Welle, der Extremfall der gemischten Welle nach Abb. 100 mit m = 0, also A m i n = 0. Abb. 111 erläutert das Entstehen der stehenden Welle. Der reelle Momentanwert der Uberlagerung lautet M = A |cos|ojt

+

cos

(0)t +

Abb. l i l a zeigt ein Momentanbild der beiden Einzelwellen, die jede mit Phasengeschwindigkeit in ihrer Ausbreitungsrichtung entlang der Leitung laufen. Die Summe der Momentanwerte in dem gezeichneten Moment gibt die Kurve 3 der Abb. 11 lb. Wichtig sind die durch strichpunktierte Geraden gekennzeichneten Punkte z der Leitung, wo die Momentanwerte der Einzelwellen gleich oder entgegengesetzt gleich sind. Diese bestimmen die Lage der Extremwerte und der Nullpunkte der Summenschwingung (unten). Wenn man die Einzelwellen wandern läßt (Kurven 1 bis 7 in Abb. 111b), bleiben wegen der Symmetrie die strichpunktierten Geraden am gleichen Ort. Der Schwingungsnullpunkt und der Ort maximaler Amplitude sind also konstant. Die Nullpunkte bezeichnet man als „Knoten". Zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen alle Punkte der Leitung gleichphasig. Zwischen benachbarten Bezirken besteht eine Phasenverschiebung K (Vorzeichenwechsel). Abb. 112 zeigt den Verlauf der Schwingungsamplituden längs der Leitung, der einer Messung zugänglich ist. Man vergleiche Abb. 100 und 101. Wenn die elektrische Welle am Kurzschluß mit Phasenumkehr reflektiert wird, wird die magnetische Welle [Wellenverhältnis (— r o*)] ohne Vorzeichenwechsel reflektiert; denn magnetische Querkomponenten dürfen nach Abb. 26 an der leitenden Querebene existieren. Auch die magnetischen Querkomponenten bilden eine stehende Welle, deren Knoten gegenüber 124

denen der elektrischen Welle um A/4 verschoben sind (Abb. 112). Im Kurzschlußpunkt ist E = 0 und H hat ein Maximum.

S t e l l e n d e W e l l e n v o m H i o - T y p im R e c h t e c k r o h r . Die Komponenten der stehenden Welle ergeben sich aus der fortschreitenden Welle (228), wobei lediglich die Vorzeichen der beiden Wellen verschiedener Fortpflanzungsrichtung zu beachten sind. (228) gibt die in Richtung wachsender z laufende, d. h. die reflektierte Welle. Die in Richtung abnehmender z laufende Welle besitzt den Zeitfaktor exp j (cot + az), entgegengesetztes Vorzeichen bei E y und gleiches Vorzeichen bei H x . Die bisher noch nicht betrachtete Längskomponente H z erhält ebenfalls negatives Vor125

zeichen, da sie j a unmittelbar mit der Fortpflanzungsrichtung verknüpft ist. Die Summe der Wellen lautet daher Ey =

Kl

- B - Z p . C o s - 2 L [ e j ( w t - a z ) _ e j ( < o t + «*)], a a

Hx = Ki Hz

= j

Kl

a

cos

[e^4 -

a

* - A a i. g

sin

az>

+ ej

ej(»t

], + az) ]

Man zieht aus allen Komponenten den gemeinsamen Zeitfaktor heraus und benutzt die Formeln e - j a z + J a z = 2 c o s ( a z ) _ e

-jaz

— e ' a z = — 2 j sin(az),

und erhält die endgültigen Formeln mit 2 Ki jt/a = A : „ . . . » Jtx 2JIZ icot i Ey = — l A • Z F ' cos sin — . — • e a A -TX 2jtz ¡,.,j • cos . - • eJ , a A A

Hz = A - r — sin t: — • ltoen Ey — i T =

COSO

xx.

a

» -r •A •

sin ZF

2JIZ

.-- • A

¡IX • cos a

jmt eJ

.

(316)

,

2nz idjt • sin — R — • eJ A

.

Der bemerkenswerteste Unterschied gegenüber der fortschreitenden W e l l e ist die Phasengleichheit der beiden magnetischen Komponenten und die Phasenverschiebung der elektrischen Komponente ähnlich wie bei den halbstationären Feldern nach III, 3, wo auch keine Leistung transportiert wurde. Der Wellencharakter, der in der Funktion exp j(cot—o.z) enthalten war, ist in dieser Kombination restlos verschwunden. Das entstandene FeJd zeigt Abb. 113. In waagerechten Ebenen entstehen geschlossene magnetische Feld-

linien, die stets schwanken. Sie das sich in der fließen auch die tor j des E y in 126

am gleichen Ort bleiben und nur in der Feldstärke zeitlich umschließen ein Bündel senkrechter elektrischer Feldlinien, Mitte häuft. Da sich der Ort der Feldlinien nicht ändert, Verschiebungsströme an diesem g l e i c h e n Ort. Der Fak(316) sagt aus, daß das Maximum des E y und der H-Kom-

ponenten zeitlich nacheinander auftritt und zwar immer dann, wenn die jeweils andere Komponente durch Null geht. Die Querschnittsebenen, die den Abstand p • A/2 von der Kurzschlußebene haben, besitzen nach (316) stets E y = 0 und H z = 0. Durch eine solche Ebene findet also in diesem Fall (wo Verluste vernachlässigt werden) kein Energieaustausch statt. Jedes dieser Gebilde der Länge A/2 ist also ein in sich abgeschlossenes Feldsystem. Der geringe Leistungsverbrauch der Ströme in den leitenden Wänden fordert allerdings eine sehr kleine Energiezufuhr, die sich im betrachteten Fall dadurch bemerkbar macht, daß E y in den „Knotenebenen ' nicht ganz auf den Wert Null absinkt. H x hat in den Knotenebenen sein Maximum (Abb. 111). Der ganze Energieumsatz besteht in diesem Fall in einer dauernden Umlagerung der Feldenergie des Gebildes zwischen dem elektrischen und magnetischen Feld. Der r e c h t e c k i g e H o h l r a u m r e s o n a t o r : Wenn man im Abstand A/2 vom Kurzschluß .nochmals eine leitende Ebene anbringt, erhält man einen Quader, in dem ein Feldgebilde der Abb. 113 Platz hat (Abb. 114). In diesem Quader kann die Schwingung aufrechterhal-

Abb. 114: Hm-Resonanz und gewöhnlicher Topjkreis

(c)

ten werden, wenn es gelingt, die kleine Wirkleistung zuzuführen, die durch die mit der Schwingung verbundenen Wandströme verbraucht wird. In der Mitte des Hohlraums bestehen dann senkrechte elektrische Felder und Ver127

schiebungsströme, die von waagerechten magnetischen Feldlinien umschlossen sind. Die Verschiebungsströme schließen sich nach Abb. 114b durch Leitungsströme, die sich auf den waagerechten Flächen vom Zentrum zu den Kanten ausbreiten und an den senkrechten Flächen senkrecht nach unten laufen. Diese Ströme laufen über die Kurzschlußflächen genau so wie über die senkrechten W ä n d e des Hohlleiters nach dem Gesetz (47) und Abb. 26. Das Analogon zu diesem Gebilde ist bei gewöhnlichen Schaltungen der sogenannte Topfkreis (Abb. 114c), bestehend aus einem Außenleiter ähnlicher Form mit einem leitenden Innenstempel, der an seinem Ende eine größere Kapazität gegen den Deckel besitzt. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die Ströme durch den Stempel und seine Abschlußkapazität in Abb. 114a reine Verschiebungsströme zwischen den großen waagerechten Abschlußflächen sind. Ebenso wie der Topfkreis kann der Hohlraum kapazitiv oder induktiv nach Abb. 115 angeregt werden. Bei der Anregung kommt es lediglich darauf an, daß das anregende Gebilde elektrische oder magnetische Feldlinien besitzt, die vorzugsweise die Richtung der Feldlinien des

kapasitire Kopplung

Anregung

Abb. 115: eines Hohlraums

induktive Kopplung gewünschten Schwingungszustandes haben. So erzeugt die kleine Abschlußkapazität der oberen Zuleitung in Abb. 115 kleine Verschiebungsströme im Hohlraum mit der Vorzugsrichtung senkrecht nach unten, die stromdurchflossene Schleife magnetische Feldlinien vorzugsweise in waagerechter Richtung. Im Prinzip ist das Feld dieser anregenden Organe so kompliziert, daß die verschiedensten Schwingungszustände in dem Hohlraum angeregt werden. Eine nennenswerte Amplitude erreicht bei der Anregung jedoch nur die Schwingung, die in dem Hohlraum ein abgeschlossenes Feldgebilde ergibt und lediglich kleine Mengen an Wirkleistung benötigt. Der Hohlraum wirkt also als Resonanzgebilde, der nur dann einen Feldzustand ohne nennenswerte Zufuhr von Blindleistung in sich entstehen läßt, wenn seine Länge c in der z-Richtung gleich einem Vielfachen der halben Wellenlänge des betreffenden Wellentyps ist. W e n n man sich von der Resonanzfrequenz entfernt, entsteht im Hohlraum zwar eine Schwingung, deren elektrische und magnetische Feldenergie jedoch nicht mehr gleich sind, so daß zur Aufrechterhaltung der Schwingung der Uberschuß der einen Energiesorte in jeder Periode hinein- und herausgepumpt, also noch von außen Blindleistung aufgewendet werden muß. Bei gegebenem Strom im anregenden Organ ergeben die Amplituden der Feldkomponenten beim Durchwandern der Resonanzfrequenz eine Resonanzkurve wie bei einem gewöhnlichen Resonanzkreis. Ebenso erhält man diese Resonanzkurve, wenn man bei konstanter Frequenz die Länge c des Hohlraums stetig verändert. 128

Die B e z e i c h n u n g der

Hohlraumresonanzen:

Die Resonanz der Abb. 114 kann auch in einem Quader mehrfach nebeneinander bestehen, wenn die Seite c ein Vielfaches von A/2 ist. Benachbarte Schwingungsbereiche haben entgegengesetztes Vorzeichen und sind etwas miteinander verkoppelt, weil der Wert Ey = 0 in der Knotenebene nicht exakt erreicht wird. Der Schwingungszustand der betreffenden Resonanz wird durch den Wellentyp bezeichnet, der die Schwingung hervorruft, dem als dritter Index die Zahl der Halbwellen in z-Richtung zugefügt wird. Abb. 114a stellt also die Hioi-Resonanz dar. Wenn in dem Hohlrohr andere Wellentypen möglich sind, können auch diese Anlaß zu Resonanzen gleicher Art geben. Die stehenden Wellen entstehen in jedem Fall durch die Bedingung, daß an den Kurzschlußebenen alle elektrischen Querkomponenten dauernd gleich Null sein müssen. Die Resonanzbedingung lautet stets c = p • A/2,

(317)

wobei A die Hohlrohrwellenlänge des betreffenden Wellentyps ist. Man erhält also Hmnp- und Emnp-Resonanzen mit der Resonanzbedingung nach (138) und (216) p • k/2

I • i/o")*+(:)*]'

oder

lres =

-r

••••------

•

(318)

Wenn ein Quader gegeben ist, kann man im Prinzip die z-Achse auch in eine andere Richtung legen, also parallel zur Kante a oder zur Kante b und den betreffenden Schwingungszustand aus einer stehenden Welle in dieser neuen z-Richtung entstanden denken, wobei also die Flächen, die vorher als Wände des Hohlleiters angesehen wurden, jetzt als Kurzschlußflächen betrachtet werden und umgekehrt. Es ergeben sich dabei die gleichen Resonanzen (318), wobei m, n und p alle ganzen Zahlen sein können, aber höchstens eine von ihnen gleich Null sein darf. Durch die gedachte Verlegung der z-Achse entstehen keine neuen Resonanzformen, weil sich gewisse Verwandtschaften zwischen stehenden E-Wellen und stehenden H-Wellen,. deren Ausbreitungsrichtung senkrecht aufeinanderstellen, ergeben. Bemerkenswert sind die Resonanzen mit p = 0, z. B. die Ejio-Resonanz. Nach (199) bis (201) unterscheiden sich die Querkomponenten E x und Ey der En-Welle von der Längskomponente wesentlich durch den Faktor A des Ez. Wenn man einen solchen Rechteckleiter bei der Grenzwelle betreibt, wird A = oo und dementsprechend Kj = 0, da unendlich große Feldstärken nicht angeregt werden können. Die elektrischen Querfeldstärken verschwinden, während die magnetischen Querfeldstärken (202) und (203) nicht verschwinden, weil auch ZF gleichzeitig Null wird. Eine E-Welle kann man also bei der Grenzfrequenz in beliebigen Querschnittsebenen kurzschließen (Abb. 116), wobei die elektrischen Feldlinien unabhängig von c senkrecht auf den Meinke,

Hohlleiter 9

129

Kurzschlußebenen stehen. Die elektrischen Feldlinien laufen dann stets parallel zur z-Achse. Die magnetischen Feldstärken werden unabhängig von z. Die Feldlinien sind geschlossene Kurven wie sie in Abb. 5 gezeichnet sind (Abb. 116). Vergleicht man das Feldbild mit dem von Abb. 114a, so ist

Abb. 116: Eno-Resonanz

diese Eno-Resonanz identisch mit einer Hioi-Resonanz, deren z-Achse parallel zur Kante a gelegt ist. Die Vielzahl der möglichen Resonanzen gibt auch hier Veranlassung zur Verwendung von solchen Quaderabmessungen, die nur eine einzige Resonanz zulassen und daher definierte Schwingungsform besitzen. Im Prinzip läuft dies wieder auf die Verwendung der HioWelle hinaus (vgl. VI, 1 und Abb. 94). R e s o n a n z e n im k r e i s r u n d e n

Rohr:

Gleiche Resonanzen erhält man im kreisrunden Rohr für die entsprechenden Wellentypen, die in gleicher Weise durch drei Indizes bezeichnet werden. Wenn man einen eindeutigen Wellentyp haben will, verwendet man die Hn-Welle mit 0,59 X < d < 0,77 X nach Abb. 95 oder die im folgenden betrachtete Eoio-Resonanz. Die Grenzwelle der Eoi-Welle lautet nach (152) Xg = 1,31 d. Wählt man also d = 0,76 X, so betreibt man das Rohr auf der Grenzwelle. Wie bereits erwähnt, wird dann die Querkomponente Er nach (155) gleich Null, wenn Ei endlich bleiben soll. Setzt man nach (156) E2 = K - J 0 ( 4 , 8 r / d ) - e j c o t ,

(319)

wobei E z wegen A = oo (a = 0) unabhängig von z wird, so folgt aus (157) für A/X = 1 ¡ Y l ^ - l j j l ^ und X - Xg: H

v = JK

V(4,8 r/d) • ei«*.

(320)

Abb. 117a zeigt die Anhäufung der elektrischen Feldlinien und der Verschiebungsströme in der Nähe der Achse wie in Abb. 17 und die kreisförmigen magnetischen Feldlinien in einer Querschnittsebene, die in jeder Querschnittsebene gleich sind. Die Felder sind unabhängig von der Höhe h des Hohlraums. Man erkennt die Verwandtschaft mit der Eno-Resonanz in Abb. 116 und daher auch mit der Hjoi-Resonanz der Abb. 114. Die Felder sind hier wegen der Zylindersymmetrie etwas einfacher. Die Ströme auf den kreisförmigen Endflächen, die Abb. 117b zeigt, laufen radial, weil sie senkrecht zu den magnetischen Feldlinien verlaufen müssen. Nach (47) ist die radiale Oberflächenstromdichte i r = ± H,, nach (320). Auf den äußeren 130

Zylinderflächen laufen Ströme in Richtung der Rohrachse. Sie sind unabhängig von z und die Stromdichte auf dem Umfang konstant gleich dem Wert des H,, für r = d/2: i2 = _

j K

l/^0,52e ' M«

j ( o t

.

(321)

D i e V e r l u s t e d e r Eoio- R e s o n a n z : Der Leistungsverbrauch auf den äußeren Zylinderflächen der Länge h (Abb. 117b) mit dem spezifischen Oberflächenwiderstand R nach (255) und dem Umfang « • d beträgt nach (256) Ni = Y i z 0 2 • R 0 • h • itd,

(322)

wobei izo der Scheitelwert der Stromdichte (321) ist. Zur Berechnung des Leistungsverbrauchs der von den radialen Strömen durchflossenen Kreisscheiben zerlegt man diese Scheibe in Flächenelemente mit den Kanten r • dtp und dr nach Abb. 65. Der Leistungsverbauch in einem solchen Flächenelement beträgt: dN 2 = y iro2 • Ro - r d(p dr,

(323)

wobei iro = H,po der Scheitelwert des Hcp nach (320) ist. Man muß nun die Summe aller dN 2 nach (323) für die Kreisscheibe bilden. Das Integral über dtp von tp = 0 bis tp = 2it gibt den Faktor 2it, weil iro unabhängig von tp ist. Es bleibt also das Integral über dr von r = 0 bis r = d/2, wobei für iro der Scheitelwert nach (320) eingesetzt wird. d/2 N 2 = / ji • R0 • K2 -E® J 0 '2(4,8 r/d) • r dr. J Ho Nach (161) wird daraus für jede der beiden Kreisscheiben N 2 = jt • R 0 • K2-?!L 0,033 d«. (324) Ho Setzt man in (322) den Scheitelwert des iz nach (321) ein, so ergibt sich als Leistungsverlust der Zylinderwände und beider Kreisscheiben 9*

131

e0 N = Ni + 2 N 2 = n • R 0 • K2 — d (0,067 d + 0,134 h). Der E n e r g i e i n h a l t

(325)

d e r Eoio- R e s o n a n z :

Der reelle Momentanwert des E z nach (319) hat den Faktor cos cot, der reelle Momentanwert des H^ nach (320) wegen des j den Faktor sin tut. Im Zeitpunkt, wo E z sein Maximum hat, ist = 0. Dann ist alle Feldenergie im elektrischen Feld konzentriert. Mit fortschreitender Zeit beginnen die Ströme zu fließen, E z nimmt ab und H^ proportional zu den Strömen zu. Wenn E z = 0 wird, hat H^ sein Maximum und alle Feldenergie ist im magnetischen Feld konzentriert. Diese dauernde Umlagerung der Energie entspricht genau den Vorgängen in einem gewöhnlichen Parallelresonanzkreis. Es soll die elektrische Energie berechnet werden, die bei maximalem E z im elektrischen Feld gespeichert ist. Dann ist nach (319) Ez = K • J 0 (4,8 r/d). Der Energieinhalt des Volumelements der Abb. 14 ist dann nach (159) — s 0 • K 2 - J 0 2 (4,8 r/d) • r dtp dr dz. Der Energieinhalt des ganzen Hohlraums ist die Summe der Energien aller Volumenelemente. Die Integration über dz von z = 0 bis z = h (Abb. 117) gibt den Faktor h, weil der Integrand unabhängig von z ist. Die Integration über dtp von cp = 0 bis

macht also Schwankungen um einen mittleren W e r t , wenn man I2VA2 verändert, wobei die Summe die Periode 1/2 hat, wenn man sie über l 2 '/A 2 aufträgt. Abb. 121 zeigt den typischen Verlauf solcher Kurven. Für den speziellen Punkt (12 + 1 2 )/A 2 = 1/2 folgt aus (329) tg = 0 und (Ii + 1,')/Ai = 1/2. W e n n man statt der Summe (330) die Summe 12 + 1 2 ' J L

Ä 7

L +

Ii + I i ' -

1

Ä r

L

-

(331)

aufträgt, erhält man die gleichen Kurven, bezogen auf die in Abb. 121 gestrichelten Koordinatenachsen. Die senkrechte Achse ist dabei um I2/A2, die waagerechte Achse um (1 2 /A f + I1/A1) verschoben worden. Aus der gemessenen Kurve der Abb. 121 kann man die gestrichelten Achsen sofort gewinnen, da die waagerechte A c h s e vom Mittelwert der Kurve den Abstand 1 und die senkrechte Achse vom Mittelpunkt des steilen Kurventeils den Ab135

stand 1/2 hat. Aus dem Abstand der gestrichelten Achsen von den ausgezogenen Koordinatenachsen gewinnt man dann sofort die Kenngrößen

1

-

1

Abb. 121: Auswertung zum Transformator-Ersatzbild V M / —

i

+

neue Achse

4,

Ij+M.

li/Ai und I2/A2. Den Transformationsfaktor K entnimmt man am einfachsten aus der sehr genau meßbaren Differenz A der Extremwerte der Meßkurve der Abb. 121. Es ist nach der Leitungstheorie (332) Setzt man dieses K in (329) ein, so kann man die zugehörige Kurve der Abb. 121 berechnen und alle Einzelheiten näher beweisen.

Das Leitwertersatzbild für verlustfreie Vierpole; Benutzt man für den Vierpol das Leitwertersatzbild nach Abb. 107, so muß man aus der gleichen Meßkurve der Abb. 121 die neuen Vierpolkenngrößen gewinnen. Dieses Ersatzbild verwendet man im allgemeinen nur, wenn der Hohlleiter vor oder hinter dem Vierpol gleiche Form und gleichen Wellentyp hat. Dann ist Ai = A 2 = A und die Kenngrößen sind Ii, I2 und der relative Blindleitwert y. Aus % = 0 am Ort des Kurzschlußschiebers folgt hier für die Rechnung mit Leitwerten % = l/r 0 = 0 0 . Durch Vorschalten der Leitung der Länge (I2' + I2) wird daraus der Leitwert 83' der hinteren Leitung am Ort des Blindleitwerts nach Abb. 107 wie in (328) l / r 2 ' = g 2 ' = — j / t g [2JI(12' + 12)/A] = — j ctg[2ji(l 2 ' + 12)/A], Durch Parallelschalten des Blindleitwerts wird daraus 1/V =

fil'

= J [y -

c t g [2JI(12' + 1 2 )/A] ] .

(333)

Andererseits ergibt die Messung einen Knoten (8 = 0 0 ) im Abstand Ii' vom Eingang des Vierpols, d. h. im Abstand (U + Ii') vom Ort des t y . Nach (312) ist ffi' + j tg[2rt(li + li')/A] = 00. 6 = 83 = 1 + j%'-tg[2n(li +li')/A] 136

Der N e n n e r muß gleich Null sein. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen flj' u n d (Ii + Ii'). Zusammen mit (333) erhält man d a r a u s eine Bez i e h u n g zwischen den V i e r p o l k e n n g r ö ß e n und den gemessenen Strecken Ii u n d 1 2 ': y — ctg [2K (12' + 1 2 )/A] = ctg [2.t (l t +li')/A].

(334)

Man t r ä g t wie in (330) die Summe (I2' + Ii') als Funktion v o n 1 2 ' auf und erhält charakteristische K u r v e n w i e in Abb. 122. Die Division durch A, die in A b b . 121 d u r c h g e f ü h r t wurde, ist hier nicht erforderlich, w e n n Ai = A2 ist, also eine einheitliche W e l l e n l ä n g e besteht. Die Kurvenform bleibt wie

in Abb. 121. Für 1 2 ' + = A/2 wird der ctg = co u n d auch U + 1 / = A/2. Für diese Lage des Kurzschlußschiebers h a t die Summe (12' + Ii') in Abb. 122 ihren g r ö ß t e n W e r t . Man k a n n auch hier wie in Abb. 121 n e u e gestrichelte K o o r d i n a t e n a c h s e n f ü r (12' + 12) u n d [(Ii' + l i ) + (12 + 12)] zeichnen.. Die s e n k r e c h t e A c h s e ist dabei u m I2, die w a a g e r e c h t e u m (Ii + Ij) gegen die f r ü h e r e n verschoben. Die Lage der gestrichelten Achsen ergibt sich sehr leicht a u s der g e m e s s e n e n Kurve, da das Kurvenmaximum nach obigem v o n der senkrechten Achse den A b s t a n d A/2, v o n der w a a g e r e c h t e n Achse den A b s t a n d A hat. A u s dem A b s t a n d der gestrichelten und der ausgezogenen Achsen erhält man dann d i e Kenngrößen Ii und 12 des Vierpols. D e n Blindleitwert y findet man w i e d e r am besten aus der Differenz A der E x t r e m w e r t e der K u r v e als y = 2tg

(335)

Bei dieser A u s w e r t u n g ist stets y positiv. W e n n man ein negatives y w ü n s c h t (induktiver Querblindwiderstand), muß m a n nach Abb. 123 den n i e d r i g s t e n P u n k t der Kurve zur A u s w e r t u n g benutzen und erhält andere W e r t e des Ii und 12 mit einem n e g a t i v e n y n a c h (335). So k a n n m a n d i e g e m e s s e n e K u r v e in verschiedenster W e i s e auswerten und mit dem Vierpol in e n t s p r e c h e n d verschiedener W e i s e rechnen. Das Endresultat bezüglich des V e r h a l t e n s des Schaltelements ist natürlich in j e d e m Fall das gleiche 137

Abb. 123: Auswertung zum. Leitwert-Ersatzbild (y < 0)

o

frsatzbüd:

o

Jy o

4

o

neue Achse U2*h')

VIII, 2. Beispiele verlustireier Vierpole Es werden zunächst einige Beispiele betrachtet, bei denen das Leitwertersatzbild unmittelbar auch das physikalische Verhalten beschreibt. In Abb. 124 ist in einem Rechteckrohr mit einer HJO-Welle ein senkrechter Draht parallel zu zusätzliches magnet. Feld 7~ -

zusätzliche Wandströme

Abb. 124: Stromdurchflossener

Draht

Qrenzfiächen des Yierpois frsatzbi/d:

den elektrischen Feldlinien angebracht. Durch die Welle werden in dem Draht Ströme angeregt, die ein zusätzliches magnetisches Feld ergeben. Das Analogon bei der gewöhnlichen Leitung wird eine Querinduktivität an dieser Stelle sein. Man grenzt diesen Vierpol durch zwei Querschnittsebenen ab, die so weit vom Draht entfernt sind, daß dort die Feldstörung abgeklungen ist. Man mißt den Vierpol nach VIII, 1 und erhält eine Kurve wie in Abb. 123. Die physikalische Anschauung legt es nahe, diesen Vierpol nach dem Leitwertersatzbild mit negativem (induktivem) y auszuwerten. 138

Dabei ergibt sich, daß die Vierpolkenngrößen Ii und lo bei nicht extrem, großen D r a h t d u r c h m e s s e r n genau gleich den w i r k l i c h e n Längen Ii u n d I2 zwischen den Vierpolgrenzen und der Drahtachse sind. Das Hohlrohr wirkt also als Leitung in seiner natürlichen Länge. Dieses Ergebnis erhält man n i c h t , w e n n man das Ersatzbild mit positivem y nach Abb. 122 oder das Transformatorersatzbild nach Abb. 121 benutzt. Einen direkten Zusamm e n h a n g des Ii und I2 mit deVi wirklichen Hohlrohrlängen erhält man n u r bei der W a h l des jeweils geeigneten Ersatzbildes, das einen Z u s a m m e n h a n g mit dem elektromagnetischen V o r g a n g hat. Macht man die Messung an diesem O b j e k t bei v e r s c h i e d e n e n Frequenzen, so bleiben Ii und l j konstant, aber n u r bei der W a h l dieses einen Ersatzbildes. Es ergibt sich ferner, daß dieses y mit abnehmender W e l l e n l ä n g e einen a b n e h m e n d e n Absolutwert hat, w i e man es bei einem induktiven Leitwert erwartet, und daß bei w a c h s e n d e m Drahtdurchmesser der Absolutwert des Leitwerts wächst, w i e es den Ans c h a u u n g e n entspricht. So weisen die M e s s u n g e n jeweils auf ein ganz spezielles Ersatzbild hin, aus dem dann wieder auf die elektromagnetischen V o r g ä n g e in dem Vierpol geschlossen w e r d e n kann, und das A n h a l t s p u n k t e f ü r eine theoretische Untersuchung gibt. W e n n m a n statt des Drahtes ein Stück Dielektrikum n a c h Abb. 125, dessen A u s d e h n u n g in z-Richtung klein gegen die W e l l e n l ä n g e ist, ins Hohlrohr setzt, so erhöht dieses die senkrechten Verschiebungsströme an dieser Stelle u n d wirkt wie eine Querkapazität bei einer gewöhnlichen Leitung. Diesen V i e r p o l w ü r d e m a n also nach dem Leitwertersatzbild mit positivem y (Abb. 122) auswerten. Der Leitwert y w ä c h s t mit a b n e h m e n d e r Wellenlänge wie der Leitwert einer Kapazität und wird größer mit w a c h s e n d e r Menge des Dielektrikums und mit w a c h s e n d e r Dielektrizitätskonstante, wie man es

Abb. 125: Dielektrische Scheibe

Stift

Abb. 126: mit kapazitivem

Abschluß

erwartet. So kommt man also zu außerordentlich anschaulichen Vorstellungen u n d Analogien mit b e k a n n t e n Schaltelementen. W e n n m a n nach Abb. 126 einen Stift in das Hohlrohr tauchen läßt, so fließen in d e m - S t i f t Ströme u n d v o n seinem Ende gehen Verschiebungsströme aus. Ein solches Gebilde w i r k t dann wie ein Querblindwiderstand, der aus einer Serienschaltung einer Induktivität und einer Kapazität besteht. Auch hier ergeben sich im Ersatzbild die wirklichen Hohlrohrlängen und der e r w a r t e t e Frequenz139

gang des y, solange der Stift nicht zu dick ist. Es gibt eine Serienresonanz mit dem Leitwert oo; bei längeren Wellen ist dann y kapazitiv und bei kürzeren Wellen induktiv wie bei der üblichen Serienresonanz. Bringt man in das Hohlrohr eine leitende Blende nach Abb. 127 von geringer Dicke, die den Hohlrohrquerschnitt an dieser Stelle verkleinert, so fließen zwischen den waagerechten Blendenkanten zusätzliche Verschiebüngsströme und auf

ErsatebM:

Abb. 127:

Blende

den Flächen der Blende zusätzliche Leitungsströme, wie sie in-Abb. 127 angedeutet sind. Diese Anordnung wirkt dann wie ein Parallelresonanzkreis, der eine Resonanzfrequenz besitzt, bei der y = 0 ist, also die Blende wirkungslos ist. Für längere Wellen ist dann y induktiv, für kürzere Wellen kapazitiv wie bei dem gewöhnlichen Parallelresonanzkreis. Feinheiten des Frequenzgangs werden in VIII, 3 erörtert, die ebenfalls die Brauchbarkeit der Ersatzbilder beweisen. Wennidas Hohlrohr einen Winkel wie in Abb. 128a besitzt, muß das Feld der Welle in die neue Richtung umgelenkt werden, insbesondere müssen die

0)

-elektrische Feldlinien

Abb. 128: Winkelstück

b)

! ankommenden senkrechten elektrischen Feldlinien in dem neuen Rohr waagerechte elektrische Feldlinien anregen. Dies geschieht durch die gezeichneten 140

Streufeldlinien der entstandenen Ecke, die waagerechte Komponenten enthalten. Da die Menge der waagerechten Komponenten jedoch gering ist, ist der Energieinhalt der nach oben fortlaufenden Welle kleiner als der der ankommenden anregenden Welle. Dies bedeutet, daß ein solcher Winkel einen Teil der ankommenden Welle reflektiert und nur einen Teil in das neue Rohr hineinläßt. Will man aber einen Winkel haben, der die Welle voll durchläßt, der also wie ein homogenes Leitungsstück wirkt, muß man Maßnahmen treffen, die die Menge der waagerechten elektrischen Streufeldlinien erhöhen. Dies geschieht beispielsweise dadurch, daß man wie in Abb. 128b den Winkel abschrägt. Bei einer ganz bestimmten Abschrägung erhält man einen reflexionsfreien Winkel, der meßtechnisch daran zu erkennen ist, daß die Meßkurven der Abb. 121 bis 123 eine waagerechte Gerade weiden. (Ii' + lj') ist konstant. Der gemessene Knoten vor dem Vierpol wandert linear mit dem Kurzschlußschieber. Im Leitwertersatzbild bedeutet dies y = 0. Geringe Abweichungen der Meßkurve von der Geraden, die sich sehr genau feststellen lassen, deuten auf kleine Restreflexionen und veranlassen eine Abänderung der Winkelform. Man wird erkennen, daß alle diese definierten Bauformen nur dann richtig funktionieren, wenn der Hohlrohrquerschnitt so dimensioniert ist, daß nur ein einziger Wellentyp in ihm existieren kann, weil diese Bauelemente sonst auch andere Wellentypen anregen und dadurch wesentlich kompliziertere Verhältnisse schaffen würden. Wenn man einen nicht stabilen Wellentyp übertragen will, darf man keine Bauelemente wählen, die andere in diesem Hohlrohr existenzfähige Wellentypen anregen können. In dem Winkelstück der Abb. 128a würden z. B. durch die vorzugsweise senkrechten elektrischen Feldlinien des waagerechten Rohres in dem senkrechten Rohr auch E-Wellen angeregt. Dies wird auch technisch ausgenutzt, wenn man von einer HJOWelle im waagerechten Rechteckrohr auf eine Eoi-Welle in einem senkrechten kreisrunden Rohr übergehen will. Es ist sogar prinzipiell möglich, dann das Winkelstück so zu bauen, daß die im senkrechten Rohr ebenfalls angeregte Hn-Welle sehr klein wird, also eine nahezu reine Eoi-Welle entsteht.

VIII, 3. Der Wellenwiderstand von Hohlleitern Der Feldwellenwiderstand wurde als der Quotient der elektrischen und der magnetischen Querkomponenten in einem beliebigen Punkt einer Einzelwelle definiert. Er ist für E-Wellen durch (221) und für H-Wellen durch (245) gegeben. Auch bei gewöhnlichen Leitungen kennt man diesen Feldwellenwiderstand nach (177). Daneben gibt es bei gewöhnlichen Leitungen noch den Leitungswellenwiderstand Zi, der als Quotient der Spannung U zwischen den beiden Leitern der Leitung und des gesamten Längsstroms J in den Leitern für eine Querschnittsebene der Leitung definiert ist [für die konzentrische Leitung vgl. (286) und (306)]. Es gibt nun auch verschiedene Definitionen des Leitungswellenwiderstandes einer Hohlrohrleitung, die jedoch alle mehr oder weniger willkürlich sind, weil die Definitionen für U und J hier nicht ohne weiteres anwendbar sind. In Einzelfällen kann man jedoch auf Grund der in Abb. 63 aufgezeigten Verwandtschaften zwischen Hohlleitern und gewöhnlicher Leitung zu relativ sinnvollen Definitionen kommen. 141

Für die Eoi-Welle im k r e i s r u n d e n Rohr k a n n m a n sinnvoll e i n e n L ä n g s s t r o m J definieren, d e r auf d e m A u ß e n r o h r in a c h s i a l e r R i c h t u n g fließt u n d i m I n n e r n d e s R o h r e s e i n e n gleich g r o ß e n G e g e n s t r o m besitzt, d e r als V e r s c h i e b u n g s s t r o m ü b e r d i e g a n z e Q u e r s c h n i t t s f l ä c h e v e r t e i l t ist. Die Stromd i c h t e d e s A u ß e n l e i t e r s ist d u r c h (283) g e g e b e n . D e r G e s a m t s t r o m J l ä n g s des A u ß e n l e i t e r s ist also im S c h e i t e l w e r t J 0 = x • d • izo = 0,26

t

,- —f.

— Ampere.

y i—

(336)

Sehr s c h w i e r i g ist d a g e g e n die D e f i n i t i o n e i n e r S p a n n u n g U, d i e der Q u e r s p a n n u n g e i n e r k o n z e n t r i s c h e n L e i t u n g e n t s p r e c h e n m ü ß t e . M ö g l i c h ist folg e n d e r U m w e g . Für e i n e g e w ö h n l i c h e L e i t u n g gilt f ü r die v o n e i n e r W e l l e ü b e r t r a g e n e Leistung N N = H*-J 0 2-Zi. o d e r L

ZL =

J(T

W e n n m a n l e t z t e r e Definition f ü r ZL w ä h l t , k ä m e m a n z u e i n e m s i n n v o l l e n Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n dem L e i t u n g s w e l l e n w i d e r s t a n d ZL u n d d e r v o n e i n e r W e l l e t r a n s p o r t i e r t e n Leistung. A u s (336) u n d (337) w i r d d a n n f ü r d i e Eoi-Welle Z L = 30 ] / " 1 — (X/>.K)2

fl

(338)

mit A.g = 1,31 d. ZL ist also p r o p o r t i o n a l z u m F e l d w e l l e n w i d e r s t a n d ZF n a c h (158). Er h ä n g t v o m R o h r d u r c h m e s s e r n u r im l g ab u n d s i n k t bei A n n ä h e r u n g a n d i e G r e n z w e l l e bis z u m W e r t Null w i e ZF. Für d i e HIQ-Welle im R e c h t e c k r o h r k a n n m a n die A n a l o g i e zur B a n d l e i t u n g n a c h A b b . 63 b e n u t z e n . Als G e s a m t s t r o m J d e f i n i e r t m a n d e n g e s a m t e n L ä n g s s t r o m auf der o b e r e n w a a g e r e c h t e n O b e r f l ä c h e d e s Rohres, d e m e i n gleich g r o ß e r G e g e n s t r o m auf d e r u n t e r e n w a a g e r e c h t e n F l ä c h e e n t s p r i c h t . Der S c h e i t e l w e r t der L ä n g s s t r o m d i c h t e ist d u r c h (260) g e g e b e n . D u r c h e i n e n L ä n g s s t r e i f e n der Breite dx fließt d e r S t r o m izo ' dx. Der L ä n g s s t r o m Jo ist die S u m m e aller dieser T e i l s t r ö m e a/2 J0 = J

i z 0 dx = 1 Ki = 0,065 JÄN ] / a/b ' ] / 1 — (X/2a)2 A m p e r e ,

(339)

— a/2 w e n n m a n KI n a c h (232) einsetzt. ZL d e f i n i e r t m a n w i e d e r d u r c h (337) u n d erhält

Zl = 465

* TTT^

a

D i e s e s ZL ist also p r o p o r t i o n a l d e m F e l d w e l l e n w i d e r s t a n d n a c h (229). Er ist im w e s e n t l i c h e n eine F u n k t i o n des S e i t e n v e r h ä l t n i s s e s b / a u n d w i r d bei A n n ä h e r u n g a n die G r e n z w e l l e u n e n d l i c h groß. Die V e r w a n d t s c h a f t z w i s c h e n der H i o - W e l l e im R e c h t e c k r o h r u n d d e r H n - W e l l e im k r e i s r u n d e n Rohr g e s t a t t e t e i n e e n t s p r e c h e n d e Definition f ü r d i e H n - W e l l e . N a c h A b b . 90a gibt es auf der o b e r e n R o h r h ä l f t e e i n e n Längsstrom, dem e i n gleicher G e g e n s t r o m auf der u n t e r e n R o h r h ä l f t e e n t s p r i c h t . Der L ä n g s s t r o m d e r o b e r e n H ä l f t e mit der S t r o m d i c h t e n a c h (281) h a t den S c h e i t e l w e r t JQ = 142

1,16 K I . Setzt m a n K i n a c h (242) e i n u n d b e r e c h n e t ZL n a c h (337), so erhält m a n Z L = 345 — — 1 Q }' 1 - 0 A g ) l

(341)

m i t l g = 1,7 d ä h n l i c h w i e in (340). D a n e b e n gibt es eine g a n z e R e i h e v o n Definitionen d e s ZL, die t e i l w e i s e g r u n d s ä t z l i c h a n d e r e F u n k t i o n e n e r g e b e n . Die p r a k t i s c h e V e r w e n d b a r k e i t d e s W e l l e n w i d e r s t a n d s b e g r i f f s ist a u ß e r o r d e n t l i c h gering. Im f o l g e n d e n w i r d g e z e i g t , u n t e r w e l c h e n U m s t ä n d e n die K e n n t n i s d e s ZL nützlich s e i n k a n n , u n d d a ß die h i e r a n g e g e b e n e n F u n k t i o n e n b e m e r k e n s w e r t e Z u s a m m e n h ä n g e mit d e n e l e k t r o m a g n e t i s c h e n V o r g ä n g e n h a b e n . Dabei e r g i b t sich, daß der A b s o l u t w e r t , a l s o der Z a h l e n f a k t o r , ziemlich u n i n t e r e s s a n t ist, w o h l a b e r die Abhängigkeit v o n den Rohrdimensionen und von der Frequenz wissenswert ist. A l s Beispiel w i r d die Gl. (340) n ä h e r b e t r a c h t e t . U r s p r ü n g l i c h w a r Z l n a c h (303) als U / J definiert. D a s Uo w ä r e also Jo ' ZL u n d n a c h (339) u n d (340) h i e r U 0 = 31 Yhla.

/ n

1

Volt.

V 1 — (X/2a)2

N a c h (234) ist d i e s e s Uo e t w a g l e i c h d e r m i t t l e r e n S p a n n u n g E y • b l ä n g s der s e n k r e c h t e n e l e k t r i s c h e n F e l d l i n i e n z w i s c h e n den w a a g e r e c h t e n F l ä c h e n d e s H o h l l e i t e r s , also d u r c h a u s s i n n v o l l d e f i n i e r t u n d in g u t e r A n a l o g i e zu d e r S p a n n u n g z w i s c h e n d e n Leitern d e r B a n d l e i t u n g (Abb. 63). Ebenso w ä r e f ü r d i e E o i - W e l l e n a c h (336) u n d (338) d a s so b e r e c h n e t e U 0 a n n ä h e r n d gleich d e r v o n d e r K o m p o n e n t e E r n a c h (169) z w i s c h e n d e n S t r o m f ä d e n d e s inneren Verschiebungsstroms und dem Außenleiter erzeugten mittleren Q u e r s p a n n u n g . D e r bei A n n ä h e r u n g an die G r e n z w e l l e w a c h s e n d e W e l l e n w i d e r s t a n d ZL n a c h (340) e n t h ä l t die p h y s i k a l i s c h e A u s s a g e , daß b e i A n n ä h e r u n g a n die G r e n z w e l l e d e r T r a n s p o r t d e r Leistung N mit i m m e r klein e r e n L ä n g s s t r ö m e n u n d i m m e r g r ö ß e r e n e l e k t r i s c h e n F e l d s t ä r k e n erfolgt ( a b n e h m e n d e S p a n n u n g s f e s t i g k e i t ) . Bei der Eoi-Welle d a g e g e n s a g t d e r ab-

Abb. 129: Leitungsteilung

\

AN AN AN AN AN

a

—

b i 1 1' l '

n e h m e n d e W e l l e n w i d e r s t a n d n a c h (338), daß bei A n n ä h e r u n g a n d i e Grenzwelle der Leistungstransport mit immer größeren Strömen und abnehmenden Q u e r f e l d s t ä r k e n erfolgt. A u c h h i e r e r g i b t sich a b n e h m e n d e S p a n n u n g f e s t i g keit, d a die W e l l e m e i s t in d e r N ä h e i h r e r G r e n z w e l l e b e t r i e b e n w i r d u n d dort die Spannungsfestigkeit v o n der mit wachsenden Längsströmen wachs e n d e n L ä n g s k o m p o n e n t e E z a b h ä n g t . S e h r a n s c h a u l i c h ist a u c h zu erk l ä r e n , daß d a s Z L in (340) p r o p o r t i o n a l zur H ö h e b sein muß. M a n k a n n d a s R o h r m i t e i n e r H i o - W e l l e d u r c h l e i t e n d e Q u e r e b e n e n n a c h A b b . 129 o h n e S t ö r u n g d e s F e l d e s in g l e i c h e Teile teilen, d e r e n j e d e r die g l e i c h e L e i s t u n g AN t r a n s p o r t i e r t . Dies ist e i n e w i c h t i g e A n o r d n u n g , u m e i n e n ber e c h e n b a r e n V e r z w e i g u n g s p u n k t zu g e w i n n e n , d e r e i n e definierte Leistungs143

a u f t e i l u n g zuläßt. Ein Hohlleiter mit Hio-Welle k a n n also aus beliebig vielen ü b e r e i n a n d e r l i e g e n d e n Leitungen mit g l e i c h e n Längsströmen a u f g e b a u t w e r d e n . W e g e n d e s gleichen Stroms liegt dann eine Serienschalt u n g der Leitungen v o r u n d der W e l l e n w i d e r s t a n d der Gesamtleitung ist gleich der Summe der W e l l e n w i d e r s t ä n d e der Teilleitungen, also proportional zu b. A u c h die Frequenzabhängigkeit läßt sich leicht anschaulich erklären. Eine g e w ö h n l i c h e Leitung d e n k t m a n sich a u f g e b a u t a u s einer stetigen Reihe v o n Elementargliedern n a c h Abb. 130a. Die Längsinduktivität beschreibt d e n Energieinhalt des magnetischen Querfeldes, die Q u e r k a p a z i t ä t den Energieinhalt des elektrischen Querfelcjes. Bei der Eoi-Welle muß m a n nach Abb. 130b das Ersatzbild durch ein Serien-C' ergänzen, das die elek-

a)

£

O — I — O _L

I b)

gewöhnlichi Leitung

r ü

o

L

o

«

o

l

fQQd^—o C {-Helle

Abb. 130: Leitungs-Ersatzbilder

C'

trische Energie der Komponente E z enthält (Längsverschiebungsströme), bei d e r H i o - W e r t e tritt d a g e g e n nach Abb. 130c e i n e Q u e r i n d u k t i v i t ä t L' auf, die den Energieinhalt der K o m p o n e n t e Hz e n t h ä l t (seitliche Ströme auf d e n Rohrwänden). Der Leitungswellenwiderstand ist n a c h der gewöhnlichen Leitungstheorie Zi = ~\f Längswiderstand X Q u e r w i d e r s t a n d . Bei der g e w ö h n l i c h e n Leitung n a c h Abb. 130a ist

u n a b h ä n g i g v o n der Frequenz. Bei der Eoi-Welle n a c h Abb. 130b w i r d

w o b e i Xs die Resonanzwelle der Serienschaltung d e s L und C' ist. M a n erk e n n t den G r u n d f ü r die Frequenzabhängigkeit des ZL, das n u r f ü r X < XS e i n e n r e e l l e n W e r t hat. Schon durch diese e i n f a c h e n Überlegungen ergibt 144

sich d i e Existenz einer Grenzfrequenz und die gleiche Frequenzabhängigkeit w i e in (338). Bei der H i 0 - W e l l e nach Abb. 130c erhält man

z' • V wobei

-Vi

L C

entsprechend

- v,-« 1

die Resonanzwelle des Querkreises und die G r e n z w e l l e der Lei-

tung in v o l l e r A n a l o g i e zu (340) ist. Die A n a l o g i e n zwischen der gewöhnlichen Leitung und den Hohlleitern sind also außerordentlich umfassend. Für die H j o - W e l l e liegen außerdem umfangreiche Messungen vor, die die Frequenzabhängigkeit

des ZL

nach

(340) nahelegen. Der relative

Wider-

stand ist stets der Quotient des wahren Widerstandes und des W e l l e n widerstandes, der relative Leitwert dementsprechend das Produkt des wahren Leitwerts und des Wellenwiderstandes. Die nach V I I I , 1 gemessenen relativen

Blindleitwerte j y

der Bauelemente der Abb. 124 bis 127 wer-

den daher in ihrem Frequenzgang

nicht nur von dem Frequenzgang

des

wahren Leitwerts, sondern auch v o n dem Frequenzgang des W e l l e n w i d e r standes bestimmt. So würde der Leitwert des Stiftes als Serienresonanzkreis die Formel l/[coL—l/(coC)] haben, während der relative Leitwert noch den Faktor 1 /]/~T— (^/Ä-g)2 besitzen würde. Der so vorausgesagte Frequenzgang des y wurde eindeutig durch Messungen bestätigt, ebenso der entsprechende Frequenzgang des Blendenleitwerts

nach A b b . 127, der den Frequenzgang

des Parallelresonanzkreises und des Wellenwiderstandes enthält. W e n n man also überhaupt Wellenwiderstände definiert, dürfte die hier g e w ä h l t e Form v o m Standpunkt der Schaltungstheorie am günstigsten sein. Für die Berechnung v o n Schaltungen tritt der Wellenwiderstand dann auf, wenn man z w e i Hohlleiter verschiedenen Querschnitts mit ähnlichem W e l l e n t y p derschließt. Zwischen den relativen Widerständen 9l/Zi =

aneinan-

der einen Lei-

tung und 9t/Z2 = '"2 der anderen Leitung tritt dann das Verhältnis rj/t ä = Zo/Zi der beiden Wellenwiderstände auf und ist unter Umständen meßtechnisch leicht zu fassen. Dann kann man z w e i Wellenwiderstände vergleichen, ohne Aussagen

über

einen Absolutwert

zu erhalten. Soweit

eindeutige

Mes-

sungen vorliegen, weisen diese auch auf die hier vorgenommene Definition des Z t .

Zusammenfassung: Absolutwerte des ZL sind weitgehend willkür-

lich. Seine Abhängigkeit v o m Querschnitt und. der W e l l e n l ä n g e hängt ab v o n seiner Definition. V o m

Standpunkt einer Beherrschung

kombinierter

Hohlrohrschaltungen durch die anschauliche Leitungsanaloqie ist die hier g e w ä h l t e Form unumgänglich. VIII, 4. Hohlleiter mit Dielektrikum Der Hohlleiter sei vollständig mit einem Dielektrikum der Dielektrizitätskonstante e ausgefüllt. Formelmäßig bedeutet dies, daß überall dort jetzt der Faktor E • EO auftritt, w o v o r h e r EQ stand. Das Aussehen der statischen und der stationären Felder nach I und I I ändert sich daher nicht. Ebenso bleibt aber auch für den halbstatischen und den Wellenzustand die Verteilung aller Komponenten in einem Querschnitt gleich. Es wachsen lediglich die zu einer gegebenen elektrischen Feldstärke gehörenden Verschiebungsströme. A u s (105) wird iv =

Meinke. Hohlleiter 10

jWEE 0 •

(341)

145

Dadurch ändert sich die Ausbreitung der Felder in der z-Richtung. Wenn man mit Xg die Grenzwelle des Rohres ohne Dielektrikum bezeichnet, wie sie bisher angegeben wurde, sei X g £ die Grenzwelle des Rohres mit Dielektrikum. Die Grenzwelle wurde für E-Wellen aus (116) definiert. A n Stelle von (d/4,8) 2 tritt jetzt auf: E (d/4,8)2. Daraus folgt entsprechend (118) X8£=XK/r.

(342)

Die Grenzwelle wird den größeren Verschiebungsströmen entsprechend größer. Es kann sich bereits bei niedrigeren Frequenzen eine Welle ausbreiten. Der Schwächungsfaktor des halbstatischen Feldes lautet nach (120) 2n C»i = f ^ | A

-(X

g ;

/X)2.

O

4 3

)

Man beachte, daß vor der Wurzel das X g des Hohlleiters o h n e Dielektrikum steht, weil dort kein Faktor E erschienen ist. Für statische Felder bleibt also der Schwächungsfaktor 2it/Xg wie im Rohr ohne Dielektrikum. Die gleichen Formeln gelten auch für H-Wellen nach III, 3. Wenn man auf Wellen nach III, 4 übergeht, also beispielsweise von (133) auf (134) umrechnet, erhält das 2ji/X in (134) den Faktor ] / e , so daß statt (138) die Formel A

=

* ye.

1

y i —(¿/xgS)2

(344)

entsteht. Im Gegensatz zur Vergrößerung der Grenzwelle nach (342) steht also die grundsätzliche Verkleinerung des A durch den Faktor l/j/^e wie bei jeder Leitung. Da die Phasengeschwindigkeit nach (136) proportional zu A ist, wird also auch die Phasengeschwindigkeit um den Faktor l / | / " e kleiner. Der Feldwellenwiderstand, der ja den Faktor J/^m/eo enthält, wird jetzt 1 Z F £ = i ? ° ^ ( / 1 - (XA g £ )* £2, bzw. - 1 2 ° * ß (345) also im wesentlichen um den Faktor l / j / " e kleiner. Dies bedeutet, daß die magnetischen Feldstärken größer und die elektrischen Feldstärken bei gleicher übertragener Leistung kleiner sind. Die Strahlungsdichte S als Produkt der elektrischen und der magnetischen Querkomponenten ist daher bei gleichem N gleich geblieben. Also sind in allen Formeln, in denen die Komponenten mit der Leistung N in Zusammenhang gebracht werden, alle elektrischen Querfeldstärken durch 4 \ r e zu dividieren und alle magnetischen Querfeldstärken mit 4 ]/~e zu multiplizieren, wobei ihreAbhängigkeit von den Querschnittskoordinaten gleich geblieben ist. Statt X g tritt dann natürlich unter der Wurzel X g £ auf. Gleiches gilt auch für die Längskomponenten, die mit den Querkomponenten durch (2a) bzw. (46) zusammenhängen, was sich z. B. durch (129) ausdrückt. Die Gruppengeschwindigkeit ist ebenfalls nach (172) um den Faktor l/j/^£ kleiner geworden, ebenso die Phasengeschwindigkeit wegen der neuen Wellenlänge (344): vg = ^ £

V

Y

1

— (^ee)2 •

(346)

Wesentlich ist die Erhöhung der Leitungsdämpfung durch die Verluste des Dielektrikums, die so groß wird, daß eine Verwendung längerer dielektri146

s c h e r Leitungen n i c h t m ö g l i c h ist. Die V e r m i n d e r u n g messer

d u r c h E i n f ü g e n e i n e s Dielektrikums,

der

Leitungsdurch-

die bei g e g e b e n e r

Betriebs-

w e l l e X w e g e n (342) a n s i c h m ö g l i c h w ä r e , ist d a h e r p r a k t i s c h k a u m auszunutzen. Ist t g ö d e r V e r l u s t f a k t o r des Dielektrikums, s o ergibt s i c h e i n e Zusatzdämpfung

ߣ nach

einer

ähnlichen

Formel

wie

bei

gewöhnlichen

Leitungen ß = Bei den tg 6

üblichen

X

\il r

y

I _

Wellenlängen

(X/Xge)2

(z. B. X =

tg 8 i f e . cm 5 cm)

und Trolitul

(347) (e =

2,4;

10~ 3 ) wird b e r e i t s ß « s 1 0 " 3 N e p e r / c m , also e t w a u m den F a k t o r 10 g r ö -

ßer als die Dämpfung d u r c h die W a n d s t r ö m e n a c h V I und s c h o n in d i e s e m n o c h b e s o n d e r s g ü n s t i g e n F a l l b e r e i t s auf kurzen L e i t u n g e n m e ß b a r . G e w i s s e A n w e n d u n g findet d e r U b e r g a n g v o n einer Leitung o h n e Dielektrikum auf eine Leitung mit D i e l e k t r i k u m n a c h Abb. 131, i n s b e s o n d e r e als A n p a s s u n g s v i e r p o l in F o r m einer dielektrischen Scheibe n a c h Abb. 125. Die

Abb. 131:

Übergang ins Dielektrikum

Grenzfläche z w i s c h e n Luft und Dielektrikum z e r l e g t e i n e a n k o m m e n d e W e l l e in eine reflektierte W e l l e u n d eine weiterlaufende. Bei d e r d i e l e k t r i s c h e n S c h e i b e n a c h Abb. 125 g e s c h i e h t dies sowohl a m Ü b e r g a n g v o n Luft ins Dielektrikum w i e a u c h an der R ü c k s e i t e beim U b e r g a n g v o m D i e l e k t r i k u m in Luft. Ist eine s o l c h e Scheibe als S c h a l t e l e m e n t in einen Leitungszug eingebaut, so laufen a u c h W e l l e n v o n r ü c k w ä r t s durch die S c h e i b e und e s entsteht eine Vielzahl v o n Wellenteilen. A m einfachsten berechnet man diese V o r g ä n g e d u r c h die A n a l o g i e zu zwei g e w ö h n l i c h e n L e i t u n g e n mit v e r s c h i e d e n e m W e l l e n w i d e r s t a n d , die a n e i n a n d e r s t o ß e n . Der r e l a t i v e W i d e r s t a n d in der G r e n z e b e n e , b e z o g e n auf die d i e l e k t r i s c h e Leitung, l a u t e t Tg = 9t/Zfe, der g l e i c h e W i d e r s t a n d , b e z o g e n auf die Luftleitung, b e t r ä g t r = SR/Zp (Abb. 131). In der G r e n z e b e n e wird also der r e l a t i v e W i d e r s t a n d t d u r c h Multiplikation mit Zp/Zpe in d e n r e l a t i v e n W i d e r s t a n d fe v e r w a n d e l t und u m g e k e h r t . F ü r E - W e l l e n gilt z. B. n a c h (345) t e = « _ZJL = r Y e e V ZFe

1 V

/ 1-

H W (>./>,ss)2

A u f d e m in Abb. 131 g e z e i c h n e t e n L e i t u n g s s t ü c k w a n d e r t also der r e l a t i v e W i d e r s t a n d in den einzelnen L e i t u n g e n auf K r e i s e n n a c h Abb. 104. In der 147

Grenzfläche zum Dielektrikum macht dann r den Sprung nach i'e ähnlich wie beim Transformatorersatzbild nach Abb. 106b. Wenn man eine dielektrische Scheibe nach Abb. 125 hat, vollzieht sich dann nach dem Durchlaufen der Scheibe der umgekehrte Sprung wieder von le nach r. So kann man dann die Transformationswirkung einer Scheibe im Einzelfall berechnen.

*

Die hier durchgeführten Betrachtungen über Hohlleiter konnten nur einen Uberblick über die grundsätzlichen Probleme geben. Die qualitativen und quantitativen Erfahrungen der Praxis sind infolge der zahlreichen Anwendungen bereits so umfangreich, daß sie den Rahmen des Buches überschreiten.