Euclides reformatus. La teoria delle proporzioni nella scuola galileiana [1st ed.] 8833907260

Table of contents :
Euclides reformatus......Page 1
Colophon......Page 6
Indice......Page 7
Euclide, “Elementi”, Libro V, Definizioni 1-7......Page 10
Introduzione......Page 15
1. L’acquisizione del testo euclideo: interpolazioni e interpretazioni......Page 19
2. Due percorsi di lettura......Page 23
3. I commenti di Guidobaldo dal Monte......Page 27
4. La riforma di Giovan Battista Benedetti......Page 36
1. Il linguaggio della natura......Page 49
2. La geometrizzazione delle grandezze fisiche......Page 51
3. Il moto accelerato......Page 55
4. La proporzione composta e l’assioma della quarta proporzionale......Page 58
1. La quinta giornata e la storiografia galileiana......Page 71
2. La pubblicazione della “Giornata aggiunta”: reazioni e commenti......Page 73
3. La critica galileiana: la questione della semplicità......Page 79
4. La definizione di grandezze proporzionali......Page 82
5. La similitudine degli eccessi......Page 85
6. La definizione generale......Page 90
7. La dimostrazione della definizione euclidea......Page 92
1. Genesi del “De Proportionibus Liber”......Page 97
2. La teoria torricelliana: le definizioni......Page 100
3. La teoria torricelliana: gli assiomi......Page 104
4. La teoria torricelliana: i teoremi......Page 110
5. La teoria galileiana delle proporzioni e la tradizione archimedea......Page 120
1. Né Euclide né Galileo......Page 129
2. La sistemazione borelliana......Page 136
3. Borelli e Valerio......Page 144
6. Verso la conclusione : Viviani, Marchetti, Noferi......Page 148
1. La Scienza Universale delle Proporzioni di Viviani......Page 149
2. Critiche alla teoria di Borelli: Vitale Giordano......Page 157
3. Proporzioni senza definizioni: Angelo Marchetti......Page 159
4. La polemica antiborelliana di Cosimo Noferi......Page 166
7. Epilogo......Page 172
Appendice. Schizzo di una teoria «galileiana» delle proporzioni......Page 177
1. Grandezze......Page 178
3. Proporzioni......Page 180
4. L’assioma del quarto proporzionale......Page 181
5. Diseguaglianze......Page 184
6. La dimostrazione della definizione euclidea......Page 185
Testi......Page 189
Premessa......Page 191
I commenti euclidei di Guidobaldo dal Monte......Page 193
Guidi Ubaldi e Marchionibus Montis : “In Quintum Euclidis Elementorum librum. Commentarius. Opusculum”......Page 195
G.(uidi) U.(baldi) “De proportione composita. Opusculum”......Page 257
La Quinta Giornata dei «Discorsi»......Page 291
Trattato del Galileo. “Sopra la definitione delle Proportioni d’Euclide. Giornata Quinta da aggiungersi nel libro delle Nuove Scienze”......Page 293
Il «De Proportionibus Liber» di E. Torricelli......Page 313
De Proportionibus liber......Page 315
Bibliografia......Page 355
Indice dei nomi......Page 361

Citation preview

Unione Matematica Italiana Studi e testi di storia della matematica I.

Enrico Giusti

Euclides reformatus La teoria delle proporzioni nella scuola galileiana

Bollati Boringhieri

Prima edizione giugno

l 99 3

© 1 993 Bollati Boringhieri editore s . r . l., Torino, corso Vittorio Emanuele 86 I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati Stampato in Italia dalla Stampatre di Torino CL 6 1 -9685-3 ISBN 8 8 - 3 3 9-0 7 26-0 Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito dei programmi di ricerca del M.U.R.S.T. (40%) e stampato con il contributo del C.N.R.

Euclides reformatus : la teoria delle proporzioni nella scuola galileiana / Enrico Giusti. - Torino Boringhicri, 1993 XII, 348 p. ; 24 cm. - (Unione matematica italiana) I. GIUSTI, Enrico I. PROPORZIONI. Teoria. Scc. XVI-XVII

CDD 513.24

(a cura

di S. &

T. - Torino)

Bollati

Indice

1

5

35

57

83

115

Introduzione r.

2.

3.

4.

5.

La teoria delle proporzioni nel Cinquecento 1. 2. 3. 4.

L'acquisizione del testo euclideo: interpolazioni e interpretazioni, 5 Due percorsi di lettura, 9 I commenti di Guidobaldo dal Monte, 13 La riforma di Giovan Battista Benedetti, 22

La teoria delle proporzioni e il linguaggio della natura 1. 2. 3. 4.

Il linguaggio della natura, 35 La geometrizzazione delle grandezze fisiche, 37 Il moto accelerato, 41 La proporzione composta e l'assioma della quarta proporzionale, 44

La teoria galileiana delle proporzioni La La La La La 6. La 7. La 1. 2. 3. 4. 5.

quinta giornata e la storiografia galileiana, 57 pubblicazione della Giornata aggiunta: reazioni e commenti, 59 critica galileiana: la questione della semplicità, 65 definizione di grandezze proporzionali, 68 similitudine degli eccessi, 71 definizione generale, 7 6 dimostrazione della definizione euclidea, 78

Variazioni sul tema galileiano : Torricelli 1. Genesi del De Proportionibus Liber, 83 2. La teoria torricelliana: le definizioni, 86 3. La teoria torricelliana: gli assiomi, 90 4. La teoria torricelliana: i teoremi, 96 5. La teoria galileiana delle proporzioni e la tradizione archimedea, rn6

L"'Euclides Restitutus" di Giovanni Alfonso Barelli 1. Né Euclide né Galileo, 1 15 2. La sistemazione borelliana, 122 3. Borelli e Valerio, 13 o

VI

134

Indice

6. Verso la conclusione : Viviani, Marchetti, Noferi r. La Scienza Universale delle Proporzioni di Viviani, l 35 2. Critiche alla teoria di Borelli: Vitale Giordano, 143 3. Proporzioni senza definizioni: Angelo Marchetti, 145 4. La polemica antiborelliana di Cosimo Noferi, 152

7.

Epilogo Appendice. Schizzo di una teoria «galileiana » delle proporzioni r. Grandezze, 164

2. 3. 4. 5. 6.

Rapporti, 166 Proporzioni, l 66 L'assioma del quarto proporzionale, 167 Diseguaglianze, 170 La dimostrazione della definizione euclidea, 171

175

Testi

177

Premessa

179

I commenti euclidei di Guidobaldo dal Monte

181

Guidi Ubaldi e Marchionibus Montis : In Quintum Euclidis Elementorum librum. Commentarius. Opusculum

243

G . ( uidi) U . (baldi) De proportione composita. Opusculum La Quinta Giornata dei « Discorsi »

279

Trattato del Galileo . Sopra la definitione delle Proportioni d'Euclide. Giornata Quinta da aggiungersi nel libro delle Nuove Scienze

299

Il « De Proportionibus Liber » di E . Torricelli

301

De Proportionibus liber

341

Bibliografia

347

Indice dei nomi

Euclide,

Elementi

Libro V, Definizioni 1-7

a: MÉpoç Ècnì µÉyet?oç µeyÉt?ouç tò ÈÀ.acmou 'TOÙ µEiçovoç, otav KataµEtpij t6 µeiçov. !}'. IloÀ.À.anM.cnov oè tò µeiçov tou ÈÀ.cittovoç, otav Kataµetpfjtm unò t0ù ÈÀ.cittovoç. y'. A6yoç Ècrtì Mo µeyet?&v òµoyev&v ii Katà 7t'f1À.lKO't'f1'TU 7t0la axÉcnç. o: A6yov ÈXEtV npòç èiÀ.À.'f1À.a µeyÉ� À.ÉyEtm, éì cSUvatm noÀ.À.anÀ.acnaç6µeva tepov Kaì tpiwv 7tpÒç 'TÉtaptOV, O'TUV tà 'TOÙ 7tpcO'TOV KUÌ tpitOV ÌOUKl (k - r ) Q + Q kQ. =

=

=

D ' altra parte le quantità P', Q, R ed S sono proporzionali, ed essendo mP ' < kQ dovrà anche essere mR < kS . Abbiamo allora trovato due interi m e k tali che mP > kQ, ma mR < kS, cosicché le quattro grandezze date non sono proporzionali in senso euclideo . Si noterà che le diseguaglianze mP > kQ e mR < kS sono strette, cosicché Galileo dimostra qualcosa di più di quanto enunciato nella Definizione 7 del quinto libro degli Elementi; una circostanza che egli stesso mette in evidenza: Pongansi le quattro grandezze date AB, C, D, E, e sia la prima AB alquanto mag­ giore di quello che ella dovrebbe essere per avere alla seconda C quella medesima proporzione che ha la terza D all a quarta E: mostrerò, che presi in certa particolar maniera gli ugualmente multiplici della seconda e della quarta, quello della prima si troverà maggiore di quello della seconda, ma quello della terza non sarà altri­ menti maggiore di quello della quarta, anzi lo dimostrerò minore .62

Ciò premesso, Galileo prosegue secondo lo schema dimostrativo che abbiamo schematizzato, e cioè : 6 1 I vi,

pag. 3 5 6 .

62 Ibidem.

La teoria galileiana delle proporzioni

a) Assunzione della prima propo'!'Zionale: Intendasi dunque esser levato dalla prima grandezza AB quell'eccesso il quale la faceva maggiore di quanto ella dovrebbe essere acciò fosse precisamente proporzionale, e sia tale l' eccesso FB : resteranno ora dunque le quattro grandezze proporzionali, cioè la rimanente AF alla C avrà la medesima proporzione che ha la D alla E.

b) Determinazione del primo intero (m) e manipolazioni algebriche: Multiplichisi FB tante volte, ch'ella sia maggior della C, e sia questo multiplo il segnato Hl; prendasi poi HL altrettante volte multiplice della AF, e la M della D, quante volte per appunto l' Hl sarà stata presa multiplice della FB . Stante que­ sto, non è dubbio alcuno che tante volte sarà multiplice la composta LI della com­ posta AB , quante volte l' Hl della FB , ovvero la M della D, è multiplice.

Si noterà che in questo passaggio , come nel seguente, Galileo assume, senza postularla esplicitamente, la validità dell' assioma di Archimede . c) Determinazione del secondo intero (k): Prendasi ora la N multiplice della C con tal legge, che la stessa N sia prossima­ mente maggiore della LH; ed in ultimo, quanto sarà multiplice la N della C, altret­ tanto pongasi la O multiplice della E.

d) Prima disuguaglianza: Ora, essendo la multiplice N prossimamente maggiore della LH, se noi dalla N inten­ deremo esser levata una delle grandezze sue componenti (che sarà eguale alla C) , resterà il residuo non maggiore della LH. S e dunque alla stessa N renderemo la grandezza eguale alla C (che intendemmo esser levata) , ed alla LH, che non è minore di detto residuo, aggiungeremo la Hl, che pure è maggiore dell' aggiunta all a N, sarà tutta la LI maggiore della N. Ecco dunque un caso nel quale il multiplice della prima supera il multiplice della seconda .

e) Seconda disuguaglianza: Ma essendo le quattro grandezze AF, C, D, E fatte proporzionali da noi, ed essendosi presi gli ugualmente multiplici LH ed M della prima e della terza ed N ed O della seconda e della quarta, saranno essi (per le cose già stabilite di sopra) sempre concordi nell'esser maggiori o minori o uguali; però, essendo il multiplice LH della prima grandezza, minore del multiplice N della seconda per nostra costruzione, sarà anco il multiplice M della terza, minore necessariamente del multiplice O della quarta.

f) Conclusione Si è pertanto provato, che mentre la prima grandezza sarà alquanto maggiore di quello che ella dovrebbe essere per avere alla seconda la stessa proporzione che ha la terza alla quarta, allora sarà possibile di prendere in qualche modo gli ugual­ mente multiplici della prima e della terza ed altri ugualmente multiplici della seconda e della quarta, e dimostrare che il multiplice della prima eccede il multiplice della seconda, ma il multiplice della terza non eccede quel della quarta.63

L'equivalenza tra le definizioni euclidee e quelle galileiane è dunque completamente dimostrata. 6 3 Ivi,

pag. 356-3 5 7 .

4.

Variazioni sul tema galileiano: Torricelli

l.

Genesi del De Proportionibus Liber

Se lo scopo dichiarato di Galileo era non di ricostruire ex novo una teo­ ria delle proporzioni da sostituire al quinto libro degli Elementi di Euclide, ma piuttosto di ridurre alle proprie le definizioni euclidee dimostrandone l'equivalenza, Torricelli, al contrario, seguirà la seconda delle possibili alter­ native indicate da S agredo, e cioè « di dimostrare con questi suoi principi tutto il quinto d'Euclide », 1 o quanto meno di costruire una teoria com­ piuta delle proporzioni, alternativa a quella euclidea, e di esporla organi­ camente in un trattato. Lo scritto che prenderà il titolo di De proportionibus liber viene steso nella primavera del 1 64 7 , pochi mesi prima della morte di Torricelli. Per la prima volta lo troviamo menzionato in una lettera indirizzata a Torri­ celli da Michelangelo Ricci, e datata 1 8 maggio . Scrive Ricci : Mi fu inviata . . . una lettera di V . S . con la nuova della sua ricuperata sanità, della quale io mi son rallegrato sommamente . Gli studiosi d ' Euclide dovranno restare obbligati molto all' infermità di V. S . , che avendole tolta la lena di correre verso i più rilevati posti di geometria, l abbia costretta a contentarsi di scherzar intorno agli elementi e proporzioni , con ridurre il tutto a quella facilità che può promet­ tersi ciascheduno dall'ingegno di V . S . Ho dato speranza di quest' opera a certi gentiluomini miei amici, dai quali è adesso desiderata con qualche ansietà. 2 .

La circostanza della malattia di Totricelli ci permette di datare con più precisione la composizione del trattato, o meglio delle sue parti fondamen­ tali, dato che, come vedremo , questo non fu terminato che alla fine dell' e­ state. In effetti, Torricelli era stato malato intorno all'inizio di aprile; nella sua corrispondenza abbiamo un vuoto tra il I 4 marzo e il l 3 aprile, date Opere di Galilei, VIII, pag. 3 5 3 . Opere di Torricelli, Voi . III, pag . 445 . Si veda anche il primo volume de Le Opere dei discepoli di Galileo Galilei, Carteggio 1 64 2 - 1 64 8 , a cura di P. G alluzzi e M. Torrini, Firenze 1 9 7 5 , pag. 363 . Nel seguito, questo volume sarà indicato con Carteggio. 1

2

Variazioni sul tema galileiano: Torricelli

di due lettere a Vincenzo Renieri. Il

10

aprile questi scrive a Viviani:

il Sig.r Evangelista Torricelli, che m'haveva promesso di assistere all a stampa, sta poco bene 3

ma già il r 3 Torricelli riprendeva la fitta corrispondenza con Renieri, e lo stesso giorno Viviani poteva rispondere il Sig.re Torricelli (essendo tornato al pristino stato di sanità) va continuando l' as­ sistenza alla stampa.4

Peraltro, nel momento in cui il faentino comunica a Ricci, insieme alla notizia della recuperata salute, anche quella della composizione del trat­ tato, questo non era ancora terminato. Né lo era due mesi più tardi, quando a seguito di una nuova richiesta del Ricci : Certi amici miei vivono desiderosi di leggere le invenzioni di V . S . dirette ad age­ volare il Secondo ( ! ) d'Euclide, avendo avuto notizia da me fin d' allo ra che ella si compiacque onorarmi con tale avviso.5

Torricelli rispondeva descrivendo in maggior dettaglio la struttura e la fina­ lità dell'opera: Farò che V . S . habbia quelle mie bagattelle sopra le proposizioni del V libro d 'Eu­ clide . Vi manca un po' di proemio, et in ultimo un' appendice che mostra il modo di propagare anco agli altri generi di quantità, quello che io dimostro nel genere delle linee. L' operetta è piccolina pare a me di 1 7 proposizioni per lo più brevis­ sime, et il proemio e l' appendice s aranno molto brevi. Il male è che qua non hab­ biamo copisti mercenarij , che io l'havrei fatta sbrigare subito . Ho poi pensiero (se così parrà a V . S . dopo haverla veduta) di lasciarla stampare ma sotto il nome di alcuno di questi miei giovani, e con la medesima occasione si potrà pubblicare ancora il dialogo dettato dal Galileo negli ultimi giorni della sua vita sopra la defi­ nizione delle proporzioni d'Euclide, et il frammento dettatomi dal medesimo sopra la proporzione composta. Se io stamperò ora queste pochissime baie mie, non lo farò se non con rossore e per necessità. La necessità consiste qui, che io sicura­ mente non voglio più leggere il V libro di Euclide, se non nella mia maniera qua­ lunque ella si sia; però è necessario che il libretto sia stampato, acciò gli uditori possano haverlo appresso di sé, altrimenti o subito usciti di squola la dottrina sarà dimenticata, overo, dovendo copiarla, lasceranno più tosto la patria, nonché la squola, per non haver questo tedio .6

È solo alla fine di agosto che il trattatello è terminato . Il ricelli scrive ancora a Ricci:

24

agosto Tor-

L' appendice al mio libretto delle proporzioni è già messa al netto. Il Proemio mi riesce lunghissimo, particolarmente in riguardo dell'opera. Ma è pur necessario diffondersi per mostrar l'insufficienza, e difetto del V libro d'Euclide.7 3 Carteggio, pag . 357. Il libro a cui Renieri si riferisce è il suo Tabulae motuum coelestium universales, Firenze, Massa, 1 64 8 , la cui stampa, essendo il Renieri a Pisa, veniva curata da Torricelli. 4 lvi, pag. 3 5 9 . 5 Roma, inizio d i luglio 1 6 4 7 . Carteggio , pag . 3 8 1 . 6 Firenze, 20 luglio 1 647 . Carteggio, pag . 386. 7 Firenze, 2 4 agosto 1 64 7 . Carteggio, pag. 3 86 .

l

. Genesi del De Proportionibus Liber

e una settimana più tardi comunica a Cavalieri il completamento dell'opera: Non sarebbe gran fatto, ch' io stampassi adesso un libretto, che ho già messo in polito sopra le proporzioni del Quinto Libro d' Euclide, cioè la mole del medesimo Quinto Libro construita di nuovo da me, e nel proemio, con qualche occasione, dessi notizie delle mie bagattelle.8

Meno di due mesi dopo, Torricelli moriva senza poter dare alle stampe questa né altre opere, in particolare quel trattato de novis lineis che nella stessa lettera descriveva a C avalieri: Io ho in pensiero (se Dio vorrà) di stampare un libro con titolo de novis lineis. Nuove linee chiamo le parabole, Iperbole, le spirali di molte sorti, le Cicloidi, le logaritmiche , e qualche altra simile, con i Teoremi delle quadrature, solidi intorno diversi assi, tangenti, e centri di gravità, e cose simili.9

Le vicende dei manoscritti torricelliani sono ben note, e non varrà la pena di richiamarle in questa sede; basti dire che nonostante i molti pro­ getti editoriali, il trattato delle proporzioni, come la maggior parte degli scritti torricelliani, vedrà la luce solo nell'edizione faentina delle Opere . 1 0 Cionondimeno, l'operetta non rimase sconosciuta, almeno nella cerchia degli amici di Torricelli, e anche al di là di questa, se, come dice il Caverni, 11 servì talora come libro di testo nelle scuole in luogo dei libri V e VI di Euclide . Di certo essa non fu ignota al Viviani, che più volte nel suo testo fa riferimento al « Trattato delle Proporzioni del Torricelli », né al Barelli che in alcuni passi allude chiaramente, anche se non esplicitamente, alla teoria di Torricelli. Un'ulteriore conferma della familiarità di Viviani col trattato torricelliano, e allo stesso tempo della diffusione del mede­ simo, la troviamo tra i manoscritti di Viviani che, tra i primi abbozzi delle definizioni e degli assiomi del quinto libro scrive dopo la Defini­ zione V : L e rimanenti definizioni date d a Euclide nel quinto libro s i spiegheranno in questo a' luoghi loro, in quella guisa che fece il celebratissimo Torricelli nel suo libro delle proportioni , come si vede dalle copie che egli medesimo ne diede fuori. 1 2 8 Firenze, 3 1 agosto 1 647. Carteggio, pag. 402 . 9 Ibidem. 10 Ampi stralci ne aveva peraltro pubblicato Raffaello Caverni nella sua Storia del metodo spe­ rimentale in Italia, Voi. V, pag. 1 0 2 - 1 06. Un' analisi del trattato di Torricelli si può trovare nell'arti­ colo di F. Podetti: La teoria delle proporzioni in un manoscritto inedito di Evangelista Torricelli, Boli. di Bibl. e Storia delle Scienze Matematiche (Loria) XVI ( 1 9 1 4) , pag. 67-76. 11 I vi, pag. 1 0 2 . Si confronti con la lettera di Torricelli a Ricci sopra riportata. 12 BNF, Ms. Gal. 77, c. 4.

86

Variazioni sul tema galileiano: Torricelli

2.

La teoria torricelliana: le definizioni

Come quella di Viviani di cui parleremo più avanti, anche la dottrina delle proporzioni elaborata da Totricelli trae le proprie origini dalla gior­ nata aggiunta galileiana. E però mentre Viviani scrive il suo Quinto libro inserendo in un impianto strettamente euclideo le idee del grande mae­ stro, che si sforza di riportare il più fedelmente possibile, per Torricelli il dialogo galileiano è soprattutto una base di partenza sulla quale costruire una propria dottrina delle proporzioni, modellata, ma non ricalcata, su quella di Galileo . Naturalmente, le idee fondamentali, in particolare la defini­ zione di proporzionalità e l'uso sistematico del quarto proporzionale, pas­ sano inalterate dal dialogo del maestro al trattato dell' allievo; d'altra parte è proprio la forma classica di quest'ultimo che consente di valutare appieno i pregi e i limiti della proposta galileiana. Comune a tutte le teorie che si basino su una definizione non operativa di proporzionalità è la necessità di sopperire a questa mancanza con un elevato numero di assiomi, che ne descrivano le principali proprietà. Da tale limitazione non è esente la costruzione torricelliana, anche se la defi­ nizione galileiana di grandezze proporzionali consente se non altro di limi­ tare la lista degli assiomi a proposizioni in qualche modo semplici ed evi­ denti. Di questo aspetto della teoria è ben cosciente Torricelli : Primum mea methodus neque ipsa caret difficultatibus suis : nam praeter definitio­ nes habet etiam suppositiones non paucas , quibus veluti fundamentis molem suam superaedificat. Adde etiam quod inter suppositiones accenseo non nulla , quae Eucli­ des demonstratione indigere iudicavit . Ab his breviter me expedio . Euclides sup­ positis difficillimis principijs faciliora quaeque demonstravit . Ego contra praemis­ sis facilioribus, notioribusque principijs difficillima quaeque demonstrare conatus sum. Nemo certe negabit apud Euclidem difficiliora esse principia, quam Theore­ mata, cui methodo contrariam penitus me secutus esse non despero. 1 3

Ancora una volta, quello che gioca è la facilità dei principi, e non il loro numero . E infatti Torricelli, seguendo in ciò l'esempio di Benedetti, non esita a proporre come assiomi un notevole numero di proposizioni eucli­ dee, di quelle appunto che Euclide aveva giudicato abbisognare di dimo­ strazioni . 13 De proportionibus, pag . 307 : « In primo luogo neanche il mio metodo è privo di difficoltà; infatti oltre alle definizioni ha anche non poche supposizioni, sulle quali come su fondamenti edifica la sua costruzione. Si aggiunga inoltre che tra le supposizioni ne metto alcune, che Euclide giudicò aver bisogno di dimostrazione . A questo rispondo brevemente. Euclide, assunti principii difficilissimi, dimostrò tutte le cose più facili. lo al contrario , premessi principii più facili e più noti, ho cercato di dimostrare tutte le cose più difficili. Nessuno infatti negherà che in Euclide i principii siano più diffi­ cili dei teoremi, un metodo al quale non dispero di averne sostituito uno profondamente contrario » .

2 . La teoria torricelliana: le definizioni

Il De proportionibus liber di Torricelli si fonda su nove definizioni e sei assiomi. Il nostro esame prenderà le mosse dalle prime . Definitiones 1.

Pars est magnitudo magnitudinis , minor maioris, cum minor metitur maiorem.

2.

Multiplex autem est maior minoris, cum minor metitur maiorem.

3.

Ratio est quaedam duarum magnitudinum eiusdem generis unius ad alteram secundum quantitatem habitudo. 1 4

4.

Eiusdem generis sunt magnitudines , guae possunt multiplicatae se se mutuo superare .

5.

Proportio est rationum similitudo, hoc est: In eadem ratione magnitudines dicun­ tur esse, prima ad secundam et tertia ad quartam, quando ratio primae ad secun­ dam similis fuerit rationi, quam habet tertia ad quartam. 1 5

6 . Eamdem autem habentes rationem magnitudines proportionales vocentur. 7.

Proportio in tribus paucissimis terminis consistit .

8. Cum autem tres magnitudines proportionales fuerint, prima ad tertiam dupli­ catam habere rationem dicitur eius, quam habet ad secundam. At cum quatuor magnitudines proportionales fuerint in proportione continua, prima ad quar­ tam triplicatam habere rationem dicitur eius quam habet ad secundam. 9.

Homologae, seu similes ratione magnitudines dicuntur antecedentes quidem ante­ cedentibus , consequentes vero consequentibus . 16

È qui d'obbligo un confronto con le analoghe definizioni del quinto libro

degli Elementi . Una prima differenza che salta subito agli occhi è che Torricelli è inte­ ressato solamente al problema centrale della teoria delle proporzioni : la 14 Nell'autografo (Ms. Gal. 1 36, c . 60 ') questa definizione è il risultato di correzioni su una versione precedente, più aderente al testo euclideo, che suonava: « Ratio est duarum magnitudinum eiusdem generis mutua quaedam secundum quantitatem habitudo ». 1 5 Nell' autografo la Definizione 5 era originariamente divisa in due parti, di cui la prima, recante il numero 5, diceva: « Proportio vero est rationum similitudo », e la seconda, col numero 6: « In eadem ratione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam, et tertia ad quartam, quando ratio primae ad secundam similis fuerit rationi guae est inter tertiam et quartam ». Di conseguenza, tutte le altre definizioni recavano un numero maggiore. 1 6 De proportionibus, pag . 3 1 0 : « ( r .) Una grandezza è parte di un'altra grandezza, la minore della maggiore, quando la minore misura la maggiore. ( 2 . ) La maggiore è multiplo della minore, quando la minore misura la magg iore. (3 .) Rapporto è una certa relazione di due grandezze dello stesso genere, l'una all' altra, per quanto attiene alla quantità. (4.) Dello stesso genere sono quelle grandezze, che moltiplicate possono mutuamente superarsi. (5 .) La proporzione è similitudine di rapporti, cioè: [quat­ tro] grandezze si dicono nello stesso rapporto, la prima alla seconda e la terza alla quarta, quando il rapporto della prima alla seconda è simile al rapporto che la terza ha all a quarta. (6.) Grandezze che hanno lo stesso rapporto si dicono proporzionali. ( 7 . ) Una proporzione consiste di almeno tre termini. (8.) Quando tre grandezze sono proporzionali, la prima si dice avere alla terza ragione duplicata di quella che ha all a seconda. E se quattro grandezze proporzionali sono in proporzione continua, si dice che la prima ha alla quarta una ragione triplicata di quella che ha alla seconda. (9.) Si dicono omologhe, o simili in rapporto, le grandezze antecedenti alle antecedenti, e le conseguenti alle con­ seguenti . »

88

Variazioni sul tema galileiano: Torricelli

definizione di proporzionalità. Pertanto egli elimina tutta la classificazione delle operazioni sulle proporzioni (permutando, convertendo, componendo, dividendo, ecc.) che nella trattazione euclidea occupano le Definizioni l 3-20 ( 1 2 - 1 8 nell'edizione di Heiberg 1 7 e poi in tutte le edizioni moderne) , e si limita alla parte che riguarda più precisamente i concetti di rapporto e di proporzionalità. Ma non è questo il punto di maggior interesse delle definizioni torricel­ liane . Ciò che colpisce maggiormente è infatti la loro quasi perfetta ade­ renza a quel tracciato di lettura che abbiamo discusso all'inizio di questo studio, associandolo convenzionalmente al nome di Clavio. E infatti le defi­ nizioni della teoria delle proporzioni elaborata da Torricelli seguono quelle di Euclide, con una sola decisiva eccezione : la scomparsa completa delle Definizioni Commandino 5 e 7 (Clavio 6 e 8) , e cioè delle definizioni di uguale e di maggiore proporzione . Se quest'ultima troverà posto tra gli assiomi, pur modificata secondo le idee galileiane, della prima non resterà traccia, la proporzionalità essendo definita, come vuole la lettura claviana, come similitudine di rapporti. A parte ciò, le altre definizioni sono molto simili a quelle di Euclide, alle quali però Torricelli apporta alcuni significativi cambiamenti. In primo luogo, la definizione di proporzionalità, che nella versione di Clavio come nella prima stesura di Torricelli suonava semplicemente Proportio vero est ratio­ num similitudo , si arricchisce di un commento che non aggiunge nulla di sostanziale, limitandosi a ripetere con maggior prolissità lo stesso concetto, ma che serve per dare corpo alla definizione, e a segnalarne la centralità. Inoltre, rispetto alla versione di Clavio (ma si ricordi che quello di Cla­ vio è solo un nome convenzionale, la disposizione delle definizioni essendo la stessa in tutte le edizioni degli Elementi derivate dalla traduzione di Cam­ pano) si deve notare lo scambio di posto tra essa e l'assioma di Archimede (definizione di grandezze che hanno rapporto) . Quest'ultima definizione, che in Clavio segue quella di proporzione, nella sistemazione torricelliana la precede; di più, essa viene trasformata in modo da definire cosa debba intendersi per grandezze dello stesso genere, cosicché essa va a precisare la definizione di rapporto, che in quest'ordine alterato la precede imme­ diatamente . In questo modo , Torricelli riesce a fornire una sistemazione coerente delle definizioni del quinto libro, secondo il percorso claviano. Essa si snoda secondo le tappe seguenti:

a. Definizioni

l

e 2.

1 7 Euclidis Elementa, cit . , Voi . II.

2 . La teoria torricelliana: le definizioni

Sono le prime due definizioni del V libro degli Elementi, riprese senza alcuna modifica dal Clavio .

b. Definizioni

3

e

4.

Viene introdotta la nozione di rapporto (ratio) usando la definizione eucli­ dea, ma con in più la precisazione del termine eiusdem generis, che negli Elementi veniva introdotto senza ulteriori delucidazioni, e che i commen­ tatori illustravano in genere con esempi. Così Clavio dice: Itaque si comparetur linea aliqua cum superficie quapiam, vel numerus cum linea, non dicetur ea comparatio proportio; quod neque linea & superficies , neque nume­ rus & linea sunt eiusdem generis quantitates . 18

Al contrario, Torricelli si serve della Definizione Clavio 5 per precisare il termine eiusdem generis, e dunque la altera sostanzialmente. Quella che nella versione originale era la definizione di grandezze che hanno rapporto tra loro: Rationem habere inter se magnitudines dicuntur, guae possunt multiplicatae se se mutuo superare, 19

diventa, mediante la semplice sostituzione della frase iniziale : « Rationem habere inter se magnitudines dicuntur », con l'altra: « Eiusdem generis sunt magnitudines », una precisazione della definizione di rapporto, in cui le grandezze dello stesso genere vengono identificate con quelle che verifi­ cano l' assioma di Archimede . 20 c.

Definizione

5.

Questa definizione, la cui importanza nel tracciato claviano avevamo già sottolineato, assume nella teoria torricelliana il ruolo centrale di defi­ nizione della proporzionalità tra quattro grandezze. Di conseguenza, la Defi­ nizione Clavio 4, da cui essa trae origine, viene accresciuta con una rifor­ mulazione che non aggiunge alcunché di sostanziale , ma che ha lo scopo da una parte di sottolinearne l'importanza, e dall' altra di cancellare la defi­ nizione euclidea tramite gli equimultipli, riprendendone la parte iniziale : in eadem ratione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam, et tertia ad quartam 1 8 C. Clavio, Euclidis Elementorum libri XV, cit . , c. 1 45 ' · « E così se si compara una linea con una superficie, o un numero con una linea, questa relazione non si chiama proporzione, perché né la linea e la superficie, né il numero e la linea sono quantità dello stesso genere ». 19 Ivi, c. 1 5 3 ' · « Si dicono aver tra loro rapporto quelle grandezze che moltiplicate possono mutuamente superarsi ». 20 Non si tratta, come si potrebbe ritenere, di un'identificazione pacifica. Basterà pensare all ' in­ terminabile controversia sull ' angolo di contatto (per la quale rimandiamo ai lavori citati nel primo capitolo) , che si gioca tutta sulla differenza tra grandezze dello stesso genere e grandezze che hanno rapporto tra loro .

Variazioni sul tema galileiano: Torricelli

ma proseguendo con una reiterazione della definizione di proporzione come similitudine di rapporti : quando ratio primae ad secundam similis fuerit rationi , quam habet tertia ad quartam.

d. Definizioni 6-9 . Qui Torticelli non fa altro che riprendere le definizioni euclidee ( Cla­ vio 7, 9, r o- I I e I 2 ) . Resta solo da notare la scomparsa della Definizione Clavio 8, che come abbiamo detto troverà posto tra gli assiomi.

3.

La teoria tomcelliana: gli assiomi

Le definizioni non danno alcun criterio per operare con i rapporti né per riconoscere quando quattro grandezze siano proporzionali. D ' altra parte non è questo il loro compito, dovendo servire piuttosto per individuare con precisione gli enti matematici che saranno oggetto della successiva teoria (nel nostro caso i rapporti tra grandezze omogenee) , come pure a intro­ durre alcuni termini che verranno usati nel seguito . L'ufficio di stabilire quali siano le operazioni che si possono effettuare sui nuovi enti è invece proprio degli assiomi, che stabilendo criteri, modi e regole di manipolazione danno agli oggetti introdotti per mezzo delle definizioni uno spessore operativo . Nella sua teoria delle proporzioni, Torricelli introduce sei proposizioni sotto il nome generico di Suppositiones et Axiomata . Ci rivolgeremo ora ad essi per dedurne la struttura della proposta torricelliana. 1.

Quae eidem sunt eaedem rationes inter se sunt eaedem .

2.

Aequales magnitudines ad eandem eandem habent rationem; et magnitudines , guae a d eandem magnitudinem eandem habent rationem, sunt aequales .

3.

Eadem magnitudo ad aequales eandem habet rationem; et si eadem magnitudo ad duas magnitudines eandem habeat rationem, illae sunt aequales inter se.

4.

Inaequales magnitudines ad aliquam tertiam magnitudinem supponimus non habere eandem rationem, sed diversam. Ratio vero maioris magnitudinis ad illam tertiam magnitudinem, vocatur maior quam sit ratio minoris ad eandem; non quia sit maior, namque hoc nimis obscurum esset in proportionibus , sed quia a maiore magnitudine procedit . 2 1

21 Questo assioma mostra varie correzioni successive . In un primo tempo esso suonava sempli­ cemente: « lnaequales magnitudines ad eandem supponimus non habere eandem rationem; sed ratio maioris magnitudinis ad eandem vocatur maior quam sit ratio minoris ». Successivamente venne aggiunta la frase: « non quia sit maior, namque hoc et obscurum esser, et Proportionibus nimis diffi­ cile intellectu, sed quia a maiore magnitudine procedit », poi infine corretta fino ad assumere la forma definitiva.

3 . La teoria torricelliana: gli assiomi 5.

91

Si vero fuerint quatuor magnitudines, et prima ad secundam supponatur, sive dicatur habere maiorem rationem quam tertia ad quartam; hoc nihil aliud signi­ ficat , neque aliud unquam intelligendum est apud Auctores, nisi primam illam magnitudinem maiorem existere, quam esse deberet ad hoc, ut ipsa sit ad secun­ dam quemadmodum est tertia ad quartam; diciturque maior, non quia maior sit, nam hoc nimis obscurum esset, sed quia procedit a magnitudine quae maior est quam esse deberet. 22

6. Aequales magnitudines quotcumque sint eandem habent rationem, quam habent numeri a quibus numerantur. Exempli gratia: Septem lineae palmares ad qua­ tuor lineas palmares eandem habent rationem quam habet numerus 7 ad nume­ rum 4. Vel quinque quadrata palmaria ad novem quadrata palmaria eandem habent rationem, quam habet numerus quinque ad numerum novem. 2 3

I primi tre assiomi non sono altro che le Proposizioni 1 1 , 7 e 9 del quinto libro degli Elementi. Lì esse erano dimostrate a partire dalla definizione di grandezze proporzionali; qui la dimostrazione non è ovviamente possi­ bile, e devono essere assunte come assiomi . È da segnalare che gli Assiomi 2 e 3 , pur essendo complessivamente identici alle Proposizioni 7 e 9, non lo sono singolarmente. Infatti le proposizioni in questione recitano : 7.

Le grandezze uguali all a medesima hanno la medesima proporzione, e la mede­ sima alle uguali.

9.

Quelle grandezze che alla medesima hanno la medesima proporzione sono uguali fra loro; e quelle, alle quali la medesima ha la medesima proporzione sono ancora fra loro uguali.

Comunque sia, questi due assiomi hanno il compito di ricondurre in alcuni casi (e cioè quando gli antecedenti o i conseguenti siano uguali) l'ugua­ glianza di rapporti a quella di grandezze. 22 Corretto nell'autografo con l'aggiunta di B [A < B].

Assioma 9

[Ex aequali] 14 Se a : b = A : B e b : c = B : C, allora a : c = A : C.

[Rapporti razionali] 1 5 due interi positivi. Allora: Assioma I O

Siano c, e due grandezze, ed m, k

mc : kc = mC : kC. Abbiamo i seguenti semplici teoremi : Teorema 6

Si ha a : b = a : c se e solo se b = c. 1 6

Dimostrazione Teorema 7

Segue dagli assiomi 6 e

7. o

La grandezza a è un m-sottomultiplo di A se e solo se mA : A = A : a.

Dimostrazione Dall' assioma r o segue che mA : A = ma : a . D' altra parte per l assioma 7 si ha ma : a = A : a se e solo se ma = A e la tesi segue dalla proprietà transitiva dell'uguaglianza dei rapporti. o

4.

L 'assioma del quarto proporzionale

Veniamo ora a due definizioni che preludono all ' introduzione del quarto proporzionale . Definizione 3 [Rappresentazione di rapporti] Siano ff e