Elementos de lógica formal 9788434487482, 8434487489

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Calixto Badesa Ignacio Jané Ramón Jansana

Elementos de lógica formal

1 / edición: septiem bre 1998

© 1998: Calixto Badesa Cortés, Ignacio Jané Palau. Ramón Jansana Fcrrer Derechos exclusivos de edición en español reservados para lodo el mundo: © 1998: Editorial Ariel, S. A. Córcega, 270 - 08008 Barcelona ISBN: 84-344-8748-9 Depósito legal: B. 34.452 -1998 Impreso en España

ÍNDICE

P ró lo g o

............................................................................................... ................................

In tro d u c c ió n

...................................................................................................................

I 1

P rim e ra p a r te

NO CION ES DE TE O R ÍA DE C O N JU N TO S

C a p í t u l o 1.

..........................................................

13

1.

El principio de extensionalidad ...........................................................

13

2.

La relación de inclusión ..........................................................................

16

3.

El principio de separación

.....................................................................

19

4.

Ejercicios ....................................................................................................

21

C a p í t u l o 2.

E lc o n c e p to d e c o n ju n to

...............................................

24

1.

Las operaciones básicas ..........................................................................

24

2.

Com plernentación ....................................................................................

29

- 3.

El conjunto potencia ..............................................................................

32

4.

Uniones c intersecciones generalizadas .............................................

33

5.

Sobre la existencia de conjuntos .........................................................

36

6.

Ejercicios ....................................................................................................

37

O p e ra c io n e s c o n c o n ju n to s

C a p ít u l o 3.

........................................................................................

41

1. Introducción ...............................................................................................

41

2. Pares ordenados ..........................................................................................

42

3. Relaciones

...................................................................................................

45

4. Clases de relaciones ..................................................................................

50

5. Relaciones de equivalencia y particiones .............................................

54

6. Relaciones de orden

..................................................................................

58

7. Relaciones en tre varios objetos ..............................................................

70

8. Ejercicios .....................................................................................................

72

C a p í t u l o 4.

R e la c io n e s

F u n c io n e s

..........................................................................................

1. E l concepto de función

81

............................................................................

81

2. B iyectabilidad ..............................................................................................

89

3. Isom orfism o .................................................................................................

91

4. O peraciones en un conjunto

..................................................................

94

5. Ejercicios .....................................................................................................

96

C a p í t u l o 5.

C o n ju n to s fin ito s e in fin ito s

..................................................

100

1. Los núm eros n atu rales ..............................................................................

100

2. El orden de los núm eros naturales .......................................................

103

3. C onjuntos finitos ........................................................................................

106

4. C onjuntos infinitos ....................................................................................

109

5. Ejercicios .....................................................................................................

118

S eg u n d a p a rte

L Ó G ICA PR O PO SIC IO N A L

C a p ít u l o 6.

S in ta x is d e la ló g ic a p r o p o s ic io n a l

...............................

121

................................................................................................

121

2. E l lenguaje de la lógica proposicional .................................................

122

1. Introducción

3. Subfórm ulas .................................................................................................

129

4. Ejercicios .....................................................................................................

131

CAPÍTULO 7. S e m á n tic a d e la ló g ic a p r o p o s ic io n a l

........................

133

....................................................................

13 3

2. Tautologías y contradicciones ................................................................

138

3. Tablas de verdad ........................................................................................

140

4. Ejercicios .....................................................................................................

144

1. Verdad con u n a asignación

CAPÍTULO 8 . E q u i v a l e n c i a l ó g i c a

.....................................................................

146

1. El concepto de equivalencia lógica .......................................................

146

2. Elim inación de conectivas

......................................................................

150

3. Ejercicios .....................................................................................................

153

C a p ít u l o 9. C o n s e c u e n c i a ló g ic a

...................................................................

156

1. Satisfacibilidad ............................................................................................

156

2. Consecuencia lógica ..................................................................................

158

3. Ejercicios .....................................................................................................

164

C a p ít u l o 10. F o r m a s n o r m a l e s

........................................................................

168

1. De tablas de verdad a fórmulas ............................................................

168

2. Formas norm ales ........................................................................................

170

3. Sistem as com pletos de conectivas .........................................................

174

4. Ejercicios .....................................................................................................

179

C a p ít u l o 11. L ó g ic a p r o p o s i c i o n a l y l e n g u a j e n a t u r a l

...............

181

1. Sim bolización ..............................................................................................

181

2. Consecuencia y argum entación ..............................................................

188

3. Ejercicios .....................................................................................................

191

T e rc e ra p a rte

LÓ G ICA DE P R IM E R ORDEN

CAPÍTULO 12. S in ta x is d e los le n g u a je s d e p r im e r o r d e n

.........

195

..............................................................................................

195

2. Los lenguajes de prim er orden .............................................................

197

3. Ejercicios ....................................................................................................

204

1. Introducción

C a p ít u l o 13. S e m á n tic a d e los le n g u a je s d e p r im e r o r d e n

...

207

................................................................................................

207

2. Verdad en u n a e stru c tu ra .......................................................................

209

3. Simbolización ............................................................................................

216

4. Ejercicios ....................................................................................................

222

C a p ít u l o 14. V e r d a d , e q u iv a le n c ia y c o n s e c u e n c ia ló g ic a .......

230

1. Verdad lógica ............................................................................................

230

2.

Equivalencia lógica ...................................................................................

233

3.

Consecuencia lógica .................................................................................

239

4.

Ejercicios ....................................................................................................

242

1. E stru ctu ras

C a p ít u l o 15. L ó g ic a d e p r im e r o r d e n c o n s ím b o lo s f u n c io n a le s

247

1.

Introducción ..............................................................................................

247

2.

Sintaxis .......................................................................................................

248

3.

Sem ántica ....................................................................................................

250

4.

Ejercicios ....................................................................................................

256

C a p ít u l o 16. C á lc u lo d e d u c tiv o .............................................................

259

1.

Introducción ..............................................................................................

259

2.

El cálculo deductivo ................................................................................

259

3. Reglas derivadas

.......................................................................................

276

4. Algunos principios sobre deducibilidad ...............................................

281

5. Ejercicios .....................................................................................................

285

C a p í t u l o 17. T e o ría s y m o d e lo s

............................................................

288

1. Introducción y prelim inares ....................................................................

288

2. El teorem a de corrección

........................................................................

290

3. C onjuntos consistentes m axim ales .......................................................

293

4. Teorías de Henkin y modelos canónicos .............................................

295

5. El teorem a de com pletud ........................................................................

302

6. Aplicaciones .................................................................................................

306

7. Teorías y axiom as ......................................................................................

309

8. Definición de símbolos ..............................................................................

315

9. Ejercicios .....................................................................................................

321

APÉNDICE A. S e m á n tic a c o n a s ig n a c io n e s ...........................................

323

APÉNDICE B. A lf a b e to g rie g o ....................................................................

327

PRÓLOGO E ste libro es un m anual de introducción a la lógica, escrito especialm ente p a ra estudiantes de filosofía, pero tam bién p ara aquellas personas con form a­ ción hum anística interesadas en m aterias que requieran conocim ientos lógicos, como la lingüística o la ciencia cognitiva. En él hemos pretendido p resentar de form a d etallad a los conocim ientos m ínim os de lógica que, a nuestro entender, todo licenciado en filosofía debiera poseer. El tratam ien to de los distintos te­ m as es pausado, con m últiples ejemplos y aclaraciones, y sin presuposiciones técnicas por p a rte del lector. El libro se divide en tres partes: nociones de teoría de conjuntos, lógica proposicional y lógica de prim er orden. P uesto que su títu lo es Elem entos de lógica form al, cabe decir algo acerca de las razones p ara incluir los cincos capítulos que constituyen la prim era parte. Son, fundam entalm ente, tres: en prim er lugar, el tratam ien to riguroso de los tem as propiam ente lógicos, so­ bre todo de la lógica de prim er orden, requiere instrum entos técnicos que se elaboran en la prim era parte. E n segundo lugar, el desarrollo inform al, pero riguroso, de los tem as de la prim era parte, en particu lar las justificaciones y dem ostraciones, es un buen m aterial p a ra la aplicación de los m étodos de análisis desarrollados en los capítulos de lógica, al tiem po que la variedad de construcciones conjuntistas estudiadas (como los diversos órdenes lineales en el conjunto de los núm eros naturales) ofrece al lector 1111 indicio de la a b u n ­ dancia y diversidad de estru ctu ras a que se aplica la lógica de prim er orden, que, de otro m odo, no p o d ría sospechar. E n tercer y últim o lugar, los m étodos conjuntistas son necesarios p ara un tratam iento cabal de conceptos como el de núm ero n a tu ra l o el de infinito, que tradicionalm ente han sido o b jeto de reflexión filosófica y que la persona interesada buscará seguram ente en un libro de lógica. El estudio del m aterial incluido puede hacerse en orden d istinto al de su aparición. De hecho, un curso introductorio de lógica puede em pezar por la p a rte dedicada a la lógica proposicional, ya que (con excepción de algu­ nas consideraciones sobre inducción, que pueden dejarse p ara un curso más avanzado), los conocim ientos conjuntistas que estos capítulos presuponen son prácticam ente nulos; el curso puede continuar con algunas secciones de la par­ te de teoría de conjuntos, en p a rticu la r con las dos prim eras secciones del

capítulo prim ero, las dos prim eras secciones del capítulo segundo y las seccio­ nes 1, 2, 3 y 7 del capítulo tercero, y puede concluir con los capítulos 12, 13, 14 y 16 de la p a rte de lógica de prim er orden. Antes de ab o rd a r el cap ítu lo 15 es conveniente leer las secciones 1 y 4 del capítulo cuarto. En cuanto al últim o capítulo, Teorías y modelos, de dificultad superior a los anteriores, requiere u n a m adurez y unos conocim ientos que pueden adquirirse con el estudio de la to talid ad de la prim era parte, en especial del capítulo 5. Los ejercicios que aparecen al final de cad a capítulo, dispuestos en el mismo orden que los tem as en que se basan, son p a rte integral del libro; es im posible a d q u irir un dom inio razonable de la m ateria estu d iad a sin hacer un buen núm ero de ellos. E l m aterial incluido se basa en notas de clase de distintos cursas que los tres autores han im partido d u ran te varios años en el D epartam ento de Lógica, H istoria y Filosofía de la Ciencia de la U niversidad de Barcelona. C ad a a u to r se lia encargado de la redacción de distintos capítulos, que han ido adquiriendo su form a definitiva en versiones sucesivas. La redacción final es el resu ltad o de extensas discusiones referentes al m aterial que cabía incluir, ai m odo de introducir y desarrollar los conceptos fundam entales, y a la notación y term inología que era conveniente utilizar. Hemos optad o por incluir en el apéndice A la definición del concepto de verdad en térm inos de asignaciones, m ás h ab itu al que la que, por razones pedagógicas, hemos decidido a d o p ta r en el texto. C alixto B adesa ha sido el a u to r principal de los capítulos 6-11, Ignacio Ja n é de los capítulos 1-5 y 17, y Ram ón J a n sa n a de los capítulos 12-16. Q uerem os d ar las gracias a algunos profesores de nuestro d epartam ento, en p a rticu la r a Jo an Bagaría, Ram ón C irera y Josep M aciá, por usar versiones previas de partes del libro en sus clases y llam arnos la atención sobre algunos errores y sugerirnos algunas mejoras. U na mención especial de agradecim iento la m erece Alex Espinos, que d u ran te algunos años se h a encargado de las clases prácticas de los cursos de Introducción a la Lógica de la licenciatura en filosofía de n u e stra universidad y que ha propuesto un buen núm ero de ejercicios y h a sugerido m ejoras en la exposición de algunos puntos. Adem ás, su lectura a te n ta de distin tas versiones de este libro ha contribuido sustancialm ente a la reducción del núm ero de errores que contiene.

INTRODUCCIÓN El objeto central de la lógica es el concepto de argum ento correcto. A n­ tes de precisar qué entendem os por un argum ento debernos decir algo sobre enunciados y proposiciones. Un enunciado es u n a oración declarativa, una ora­ ción de la que, proferida en un cierto contexto, tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. Así, la oración «A ristóteles es un filósofo griego» es un enunciado, pero no lo son, por ejem plo, las oraciones interrogativas o las ex­ clam ativas, como «¿En qué año nació P latón?» o «¡Qué ironía tan sutil!». U na proposición es lo que expresa un enunciado en un contexto determ inado. U na m ism a proposición puede ser expresada por distin tas oraciones de un m ism o lenguaje, p o r ejem plo «B ruto asesinó a César» y «César fue asesinado por B ruto», y, n aturalm ente, de distintos lenguajes («llueve», «plou», «chove», «piove», «il pleu t» , «it is raining», «es regnet»). P or o tra parte, una m ism a oración declarativa puede expresar distintas proposiciones según el contexto en que sea proferida; por ejem plo, «el año pasado estuve en Rom a» dicha por diferentes personas o en años distintos. El hecho de que oraciones declarativas distin tas expresen lo mismo y que u n a m ism a oración pueda expresar cosas distin tas es u n a de las razones de que nos interesem os por las proposiciones. Al proferir una oración declarativa podem os no expresar ninguna pro­ posición p o r varias razones, u n a de ellas es que el contexto no determ ine la referencia de alguno de sus térm inos; por ejem plo, si decim os «él vendrá» sin referirnos a nadie en p articular, no expresam os ninguna proposición. T am ­ bién es posible que no expresem os ninguna proposición porque alguno de los térm inos de la oración proferida carezca de referencia, así con la oración «el mayor núm ero entero es prim o» no podem os expresar ninguna proposición puesto que «el mayor núm ero entero» no tiene referencia, ya que no hay ningún núm ero entero mayor que todos los demás. L a proposiciones son verdaderas o falsas. No direm os qué significa que una proposición sea verdadera o falsa; se supone que es algo que todos sa­ bem os, aunque posiblem ente tendríam os m uchas dificultades p a ra articularlo coherentem ente. Hay proposiciones verdaderas cuya verdad ignoram os, o que incluso creemos que son falsas, y hay proposiciones falsas que no sabem os que lo son, o que creemos que son verdaderas. U na cosa es, pues, el valor de verdad de una proposición (el que sea verdadera o falsa) y o tra nuestro conocim iento de este valor de verdad.

Supongam os que estarnos interesados en conocer el valor de verdad de una proposición determ inada, P. Podem os hacerlo de distintos m odos, según el ti­ po de proposición de que se trate; por ejemplo, la proposición que expresam os con «ahora llueve» podríam os decidirla m irando por la ventana. E n ciertas circunstancias tratam os de hallar el valor de verdad de una proposición no directam ente, sino m ediante una argum entación. Si procedem os de este m odo, em pezam os haciendo u n a conjetura sobre el valor de verdad de P. Si conjetu­ ram os que P es verdadera, procuram os deducirla de o tras proposiciones que ya sabem os que son verdaderas y, si lo logramos, decimos que hemos demostrado P. Si conjeturam os que es P falsa, procuram os deducir de ella y, posiblem ente, de o tra s proposiciones que ya sabem os que son verdaderas, u n a proposición que ya sabem os que es falsa. Si lo logramos, decimos que hemos refutado P. P ara fijar las ideas darem os un ejem plo de dem ostración y otro de refu­ tación. E l prim er ejem plo lo utiliza K ant en su Crítica de la razón pura como apoyo a su tesis de que la m atem ática en general y la geom etría en p a rticu la r no se lim ita a la consideración de conceptos, sino que razona con ay u d a de lo que llam a «construcciones en la intuición». El segundo ejem plo lo utiliza A ristóteles en los Prim eros analíticos como ilustración del tip o de argum en­ tación que procede por reducción al absurdo.

E je m p l o 1

D em ostrarem os que la sum a de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Considerem os un triángulo cualquiera ABC con ángulos internos a , p y y. Prolonguem os ahora el lado BC h a sta el punto D y tracem os la línea CE paralela al lado AB. Sean a ' y P' los ángulos que form a la recta CE con las rectas CA y BD, respectivam ente. A

E

Sabem os que los ángulos alternos que form a u n a recta al cortar dos rectas paralelas son iguales; así, puesto que la recta AC co rta las rectas paralelas AB y E C , a = a '. Sabem os tam bién que los ángulos correspondientes que form an dos rectas paralelas al incidir sobre una recta cualquiera .son iguales; así, puesto que AB y EC son paralelas y am bas inciden sobre BD, p = P'. A hora bien, u n a recta que incide sobre o tra form a dos ángulos que sum an dos rectos; así,

puesto que AC incide sobre BD , los ángulos y y ( a ' + p') y, p o r tan to , los ángulos ex', p' y y sum an dos rectos. Pero entonces, puesto que a + p - f - Y = a '- f p' + y, concluim os que los ángulos a , p y y sum an dos rectos.

E je m p l o 2

Refutarem os que \J l es un núm ero racional y, así, dem ostrarem os que \/2 es un núm ero irracional. Recordem os que un núm ero racional es un núm ero que puede expresarse como u n a fracción de dos núm eros enteros y que un núm ero irracional es un núm ero que no puede expresarse de este m odo. Re­ cordem os tam bién que \ f l es, por definición, el núm ero positivo cuyo cuadrado es igual a 2. Deducirem os una contradicción (por ta n to una proposición falsa) de la suposición de que \ J l es racional y de algunas proposiciones aritm éticas verdaderas. Supongam os que y/2 es racional. Así, hay núm eros enteros n y m, sin ningún factor com ún, tales que y/2 = n fm \ en particu lar, n y m no son am bos pares. Elevando al cuadrado obtenem os 2 = (y/2)2 = (n /m )2 = n2fm 2, de m an era que 2m2 = n2. E sto significa que n2 es par. Pero entonces, n tam bién es p ar (ya que el cuadrado de un núm ero im par es siem pre im par) y, así, m es im par. A hora bien, puesto que n es par, hay un núm ero k tal que n = 2k, y, por tanto, n2 = 4k2. Tenemos pues que 2m 2 = 4k2 y, así, m2 = 2k 2. Pero entonces m es par. Hemos obtenido pues que m es p ar y ni es im par. E sto es u n a co n tra­ dicción que m u estra que n u estra suposición inicial (V 2 es racional) es falsa. De acuerdo con C orcoran,1 en una argumentación distinguim os tres com­ ponentes: las prem isas, la conclusión y la cadena argumentativa. Las prem isas y la conclusión son proposiciones que constituyen el argumento de la argu­ m entación. El argum ento es correcto si la conclusión es consecuencia, si se sigue, de las prem isas; en otro caso el argum ento es incorrecto. L a cadena argum entativa conecta las prem isas con la conclusión. U na argum entación es concluyente si la cadena argum entativa pone en evidencia que la conclusión es consecuencia de las prem isas, es decir que el argum ento es correcto; en otro caso la argum entación es inconcluyente. En la prim era de las argum entaciones que nos han servido de ejemplo, la conclusión del argum ento es que la sum a de los ángulos internos de todo triángulo es igual a dos rectos. Las prem isas son las proposiciones geom étricas generales en que se basa el razonam iento que hemos llevado a cabo, en p ar­ ticu lar las tre s proposiciones siguientes: 1. 2.

1.

los ángulos alternos que form a una re c ta al c o rtar dos rectas paralelas son iguales, los ángulos correspondientes que form an dos rectas paralelas al incidir sobre u n a rec ta son iguales,

Jo h n C o rco ran , « A rg u m e n ta ro n a n d Logic», A rgum entaron, 3 (1989), pp. 17-43

3.

una rec ta que incide sobre o tra form a ángulos que sum an dos rectos.

La cadena arg u m en tativ a m u estra con detalle cómo obtener la conclusión deseada a p a rtir de las prem isas. A ella pertenece la construcción de la figura y los d istintos razonam ientos interm edios con cuya ay u d a obtenem os resultados parciales antes de alcanzar el resultado final. Con uno de estos razonam ientos concluim os, por ejem plo, que los ángulos a y a ' son iguales; con otro que los ángulos a ', p' y y sum an dos rectos. De hecho, muchos de estos razonam ientos subsidiarios pueden ser considerados a su vez como nuevas argum entaciones m ás sim ples que podem os tam bién analizar en com ponentes. De m odo análogo, la conclusión de nuestro segundo ejem plo de argum en­ tación es clara: v/2 no es un núm ero racional; pero no es obvio de a n te m a ­ n o cuáles son las prem isas del argum ento subyacente. E stas son, nuevam ente, proposiciones generales sobre núm eros, como que todo núm ero racional es un cociente de dos núm eros enteros sin ningún factor com ún, o que el producto de dos núm eros im pares es im par. La cadena argum entativa es la sucesión a rticu la d a de razonam ientos que m uestran cómo, a p a rtir de estas prem isas, se obtiene la conclusión. La circunstancia de que en am bas argum entaciones no era obvio, al p rin ­ cipio, cuáles son las prem isas, pero sí cuál es la conclusión no es accidental. E sto es lo que ocurre habitualm ente. Norm alm ente, cuando argum entam os sa­ bem os qué querem os d em ostrar o qué querem os refutar, pero no sabem os de an tem ano en qué nos basarem os exactam ente, no sabem os qué inform ación precisa usarem os p a ra ello; la inform ación necesaria la vamos recogiendo poco a poco, a m edida que la necesitam os. Sólo cuando la argum entación h a con­ cluido podem os analizarla con detalle y aislar sus prem isas y su conclusión. U na argum entación concluyente es una deducción y una deducción con prem isas verdaderas es u n a demostración. Así, el argum ento de u n a deducción es siem pre correcto y la conclusión de una dem ostración es siem pre verdadera. A hora bien, es posible que el argum ento de una argum entación sea correcto y, no obstante, la argum entación sea inconcluyente, de m odo que no haya deducción. Por ejem plo, el argum ento «Todos los filósofos son griegos, Sócrates es filósofo, p o r tanto, Sócrates es griego» es trivialm ente correcto; pero la siguiente argum entación es claram ente inconcluyente: «Todos los filósofos son griegos y Sócrates es filósofo. Así, puesto que Sócrates fue m aestro de P lató n y todos los m aestros de P lató n son griegos, Sócrates es griego.» El concepto general de deducción (y, por tanto, el de dem ostración) es difícil de precisar debido a la exigencia de que la argum entación sea conclu­ yente. Com o hemos dicho, que la argum entación sea concluyente significa que la cadena argum entativa pone en evidencia que la conclusión se sigue de las prem isas. La dificultad de la em presa radica en el poner en evidencia. Poner en evidencia es hacer evidente; pero ¿a quién? Debe haber un sujeto a quien la cadena arg u m en tativ a haga evidente la corrección del argum ento en cuestión. Q ue una argum entación sea o no una deducción puede depender del sujeto a quien vaya dirigida; una cadena argum entativa puede ser concluyente p a ra A y puede 110 serlo p a ra B (por ejem plo, porque algunos pasos de la argum enta­ ción sean claros p a ra A pero sean oscuros p ara B). E n definitiva, el concepto

de deducción que hem os introducido no es absoluto, sino relativo a uno o más sujetos. La lógica form al no se ocupa de este com ponente relativo de las deduccio­ nes. E n lógica nos lim itam os al estudio de los argum entos desde la perspectiva de su corrección. Desde un punto de vista lógico, un argum ento no es m ás que una serie de prem isas y una conclusión. La relación de consecuencia, es decir, la relación que se d a en tre las prem isas y la conclusión de un argum ento co­ rrecto, no es relativa, no varía de un sujeto a otro: un argum ento es correcto o no lo es; o tra cosa es que sepam os si lo es.

A rgum entos correctos

Hemos dicho que un argum ento es correcto si su conclusión se sigue, o es consecuencia, de sus prem isas. Si bien 110 hay d u d a de que sabem os reconocer ciertos argum entos correctos como tales, tam bién es cierto que nos veríamos en serias dificultades p a ra explicar qué querem os decir, en general, cuando decim os que la conclusión de un argum ento correcto se sigue de sus prem isas. De esto nos ocuparem os largam ente en las p artes segunda y tercera este libro, pero ahora harem os algunas observaciones generales al respecto que nos ayuden a ver por qué el cam ino que seguirem os es adecuado. Em pezam os señalando u n a característica esencial de los argum entos co­ rrectos: 1) si todas las prem isas de un argum ento correcto son verdaderas, tam bién lo será su conclusión; por consiguiente, 2) si la conclusión de un argu­ m ento correcto es falsa, p o r lo menos u n a de sus prem isas será tam bién falsa. Podem os referirnos de m odo sugerente a la prim era observación, diciendo que los argum entos correctos tran sm iten la verdad de las prem isas a la conclusión. E n razón de e s ta característica de los argum entos correctos, u n a dem ostración nos convence de la verdad de su conclusión, y en razón de la segunda declara­ rnos falsa una proposición cuando de ella y de o tras proposiciones verdaderas deducirnos una falsedad. Considerem os los siete argum entos siguientes, cada uno de los cuales cons­ ta de dos prem isas (las dos prim eras líneas) y conclusión (la tercera línea). Los tres puntos en disposición trian g u lar que preceden a la conclusión se leen «por tan to » o «por consiguiente». Al

Las ballenas son mamíferos, ningún m am ífero es un ave; ninguna ballena es un ave;

A2 Las ballenas son m am íferos, ninguna ballena es un ave; ningún m am ífero es un ave. B2 Las ballenas son m am íferos, ninguna ballena es alada; ningún m am ífero es alado.

Las ballenas son mamíferos, ningún m am ífero es alado; ninguna ballena es alada.

C2 Las ballenas son peces, ninguna ballena es un reptil; ningún pez es un reptil.

DI Las ballenas son peces, ningún pez es vivíparo; ninguna ballena es vivípara.

D2 Las ballenas son peces, ninguna ballena es ovípara; ningún pez es ovíparo.

A ntes de seguir adelante, el lector debería convencerse de que, de estos siete argum entos, A l, C1 y D I son correctos, m ientras que los cuatro restantes (A2, B2, C2 y D2) son incorrectos. P a ra iniciar la discusión, observem os en prim er lugar que Al B2 Cl DI

y A2 tiene y C2 y D2

tienen am bas tienen tienen

am bas prem isas verdaderas y conclusión verdadera, prem isas verdaderas y conclusión falsa, por lo m enos una prem isa falsa y conclusión verdadera, por lo m enos una prem isa falsa y conclusión falsa.

De e sta inform ación podem os concluir que B2 es incorrecto, ya que todo argum ento correcto tran sm ite la verdad de las prem isas a la conclusión. A ho­ r a bien, sabiendo que B2 es incorrecto podem os justificar que A2, B2 y D2 tam bién lo son, ya que la fo rm a de estos tres argum entos es la m ism a que la de B2. No sabríam os decir en general qué es la form a de un argum ento, pero sí podem os precisar cuál es la form a de estos argum entos particulares. P uesto que decir que las ballenas son m am íferos equivale a decir que to d a ballena es u n m am ífero, los cu atro argum entos de la derecha (A2, B2, C2 y D2) son de la forma: Todo X es Y, ningún X es Z; ningún Y es Z. Lo im p o rtan te p a ra la corrección de un argum ento es su form a. E n p ar­ ticu lar, un argum ento cuya form a es la de un argum ento incorrecto es tam ­ bién incorrecto. Por la m ism a razón, p ara m ostrar que los argum entos de la izquierda (A l, C l y D I) son correctos, b a sta observar que los tres son de la forma: Todo X es K, ningún Y es Z; ningún X es Z. y que todos los argum entos de e sta form a son correctos. En efecto, sean quienes fueren X , Y y Z, si todo X es y y a es un X cualquiera, entonces o es un Y. P or tan to , si ningún Y es Z, a 110 es u n Z. Así, puesto que a es un X cualquiera, podem os concluir que ningún X es Z.

Las consideraciones sobre la form a que hemos hecho son h a rto im preci­ sas. Con el fin de alcanzar cierta precisión, nos preguntam os en prim er lugar cómo hemos obtenido, o cómo podríam os obtener, la form a lógica de los siete argum entos (la form a lógica, porque es la responsable de su corrección o su incorrección). No la hemos obtenido m ediante un análisis gram atical de las prem isas y de la conclusión, sino m ediante un análisis conceptual. Así, hemos dividido los objetos de que hablan estos argum entos (anim ales, o, ta l vez, se­ res vivos; en realidad no im porta) en tres clases, X, Y y Z, sin excluir que un mismo objeto pueda estar en dos o, incluso, en las tres clases. Las prem isas y la conclusión expresan relaciones en tre estas tres clases. En la form a del argu­ m ento, estas relaciones quedan plasm adas, pero sin hacer m ención alguna del contenido de las clases (en la form a no se habla de anim ales, de ballenas, no se h ab la de nada en concreto). De m anera mucho m ás explícita, la form a de los argum entos A l, C1 y D I sería ésta: Todo o b jeto de la clase X es un objeto de la clase K, no hay objetos que sean a la vez de la clase Y y de la clase Z; no hay objetos que sean a la vez de la clase X y de la clase Z, m ientras que la form a de los argum entos A2, B2, C2 y D2 sería: Todo objeto de la clase X es un objeto de la clase Y, no hay objetos que sean a la vez de la clase X y de la clase Z; no hay objetos que sean a la vez de la clase Y y de la clase Z, Insistim os una vez más: la form a pertin en te no depende tan to de las ex­ presiones lingüísticas em pleadas como de las porposiciones que estas oraciones expresen. Así, el argum ento Todos los discípulos de Sócrates buscan la sabiduría, la búsqueda de la sab id u ría es incom patible con la estupidez; por tan to , Sócrates no tiene discípulos estúpidos, es realm ente de la m ism a form a que A l, C l y DI y, por tan to , es correcto; p a ra verlo, tomamos: X Y Z

= la clase de los discípulos de Sócrates, = la clase de las personas que buscan la sabiduría, = la clase de las personas estúpidas.

Lo que nos im p o rta de esta discusión es la observación hecha sobre la form a. La lógica se ocu p a de la form a de los argum entos o, como tam bién direm os, de esquemas de argum entos, más que de argum entos en sí. En algunos casos (como en los ejem plos anteriores) nos es relativam ente fácil descubrir la form a del argum ento en cuestión; pero o tras veces es mucho m ás difícil. A m enudo, la form a ap aren te de un argum ento (es decir, la form a gram atical en la que expresam os las prem isas y la conclusión) puede ser un mal guía hacia

la form a lógica. Considerem os los dos argum entos siguientes: Quevedo es coetáneo de Góngora, G óngora es el a u to r de las Soledades; Quevedo es coetáneo del au to r de las Soledades. Quevedo es coetáneo de alguien, alguien es el a u to r de La divina comedia; Quevedo es coetáneo del au to r de La divina comedia. Es claro que el prim ero es correcto, pero no el segundo; sin em bargo, un análisis superficial p o d ría llevarnos a pensar que am bos tienen la m ism a forma, que corresponden al mismo esquema: a es coetáneo de /?, b es el a u to r de c; a es coetáneo del a u to r de c. E n consecuencia, si es cierto, como afirmamos, que la corrección de un argu­ m ento depende de su forma, nos vemos obligados a negar que am bos argu­ m entos sean de e sta forma. De hecho, este últim o esquem a c a p tu ra b astan te bien la form a del prim er argum ento, pero no del segundo. ¿Qué relación hay entre la form a de un argum ento y su corrección? P a ra tr a ta r de responder a esta pregunta nos preguntam os una vez m ás qué sig­ nifica que un argum ento sea correcto. Tenemos la convicción de que (+) un argum ento es correcto si es im posible que sus prem isas sean to d as verdaderas y su conclusión sea falsa. Pero ¿qué significa esto? m ás específicam ente, ¿qué querem os decir con «es im posible»? Considerem os el siguiente argum ento: Todo m últiplo de cuatro es par, todo m últiplo de ocho es par; todo m últiplo de ocho es m últiplo de cuatro. T anto las prem isas como la conclusión de este argum ento son verdaderas. A dem ás, es im posible que la conclusión sea falsa, es decir, es im posible que un m últiplo de ocho no lo sea de cuatro. Es im posible, pues, que las prem isas de este argum ento sean verdaderas y la conclusión sea falsa. ¿Nos vemos, por ello, obligados a concluir, de acuerdo con (*), que este argum ento es correcto? Desde luego que no, porque este argum ento es incorrecto. ¿Debem os ab a n ­ donar, entonces, n u estra convicción (*)? Tam poco; no debem os abandonarla, sino m ás bien entenderla adecuadam ente. Y es aquí donde interviene la form a. Si nos preguntasen por qué este argum ento es incorrecto podríam os responder diciendo que si fuera correcto tam bién lo sería este otro argum ento: Todo m últiplo de cu atro es p ar, todo m últiplo de seis es par; todo m últiplo de seis es m últiplo de cuatro,

que se obtiene del anterior sustituyendo «m últiplo de ocho» por «m últiplo de seis». Pero este últim o argum ento es claram ente incorrecto, ya que sus prem i­ sas son verdaderas y su conclusión es falsa. Estos dos argum entos com parten la form a, corresponden a un m ism o esquema: Todo X es y, todo Z es Y ; todo Z es X. Apelando a form as y a esquem as podem os m antener el principio (*), in­ terpretándolo de m odo razonable. La im posibilidad de que habla (*) debem os enten d erla aplicada no al argum ento mism o, sino al esquem a subyacente, al esquem a del cual el argum ento es u n a cjemplificación. U n esquem a tiene lu­ gares vacíos, contiene térm inos variables (en este últim o caso X, Y y Z) que, según cómo se interpreten, dan lugar a distintos argum entos. Algunas de estas interpretaciones d arán lugar a argum entos con todas las prem isas verdaderas o con alguna prem isa falsa, con conclusión verdadera o con conclusión falsa. A hora bien, dado u n esquem a particu lar, puede ocurrir que siem pre que inter­ pretem os las variables de modo que las prem isas del argum ento obtenido sean verdaderas, su conclusión tam bién sea verdadera; si éste es el caso, decimos que el esquem a en cuestión d a lugar a argum entos correctos, que es un esque­ m a de argumentos correctos. Así, un esquem a es un esquem a de argum entos correctos si es im posible in te rp re ta r sus variables de tal m odo que se obtenga un argum ento con prem isas verdaderas y conclusión falsa. É ste es el contenido de (*). A lo largo de esta discusión nos hemos encontrado con tres ejem plos de esquemas: Todo X es Y , ningún Y es Z; ningún X es Z.

Todo X es Y , ningún X es Z; ningún Y es Z.

Todo X es K, todo Z es Y\ todo Z es X.

E n los tres casos, las variables X, }' y Z deben in terp retarse como clases determ inadas de objetos. Así, como ya dijim os en su m om ento, en vez de, p o r ejem plo, «todo X es Y», sería m ás apropiado decir «todo objeto de la clase X es un objeto de la clase Y». El prim er esquem a es un esquem a de argum entos correctos, lo cual significa que es im posible hallar clases X, Y y Z p a ra las cuales las prem isas resulten verdaderas y la conclusión falsa. Los otros dos esquem as lo son de argum entos incorrectos. Obsérvese la asim etría que hay entre m o strar que un esquem a lo es de argum entos incorrectos o que lo es de argum entos correctos. P a ra ver que un esquem a lo es de argum entos incorrectos, b a sta encontrar un solo argum ento que lo ejem plifique que tenga prem isas verdaderas y conclusión falsa; sin em bargo, p ara m ostrar que un esquem a lo es de argum entos correctos hace falta una justificación general; así lo hicimos cuando nos ocupam os de los argum entos A l, C1 y DI. No todas las formas de argum entos son sem ejantes a las que hemos vis­

to en los ejem plos anteriores. En los esquem as que hemos considerado hasta ahora, los térm inos variables debían interpretarse como clases de objetos. Pero en o tro tipo de esquem as, los térm inos variables pueden interp retarse de otros m odos. Por ejem plo, de la argum entación que hemos presentado p a ra justificar que y/2 es un núm ero racional podem os extraer el siguiente argum ento correcto de cu atro prem isas, cuya form a es de naturaleza d istin ta a las consideradas anteriorm ente. y/2 = n /m y los núm eros n y m no tienen factores en com ún, si \ f l = n/m , 2m2 = n2, si 2w2 = /i2, n y m son pares, si n y m no tienen factores en com ún y n es par, m es im par; m es p ar e im par. L a form a de este argum ento es la siguiente: FyQ, si P entonces /?, si R entonces S y 7, si Q y S entonces no T ; T y no 7\ E n este esquem a, las letras «P», « 0 » , «R», «S» y «T » están, res­ pectivam ente, en lugar de «>/2 = «//«», «« y m no tienen factores en com ún», «2m 2 = /i2», «n es par»y «m es par». El lector puede convencerse de que todos los argum entos de e sta form a son correctos. En la segunda p a rte del libro se desarrolla la lógica proposicional, que perm ite estudiar sistem áticam ente la corrección de los argum entos con form as de este tipo. Los térm inos variables que pueden aparecer en los esquem as son m uy variadas, las form as de los argum entos muy diversas, los esquem as m uy he­ terogéneos. E n lógica form al nos ocupam os de form as oc argum entos, pero no p artim os de argum entos concretos tra ta n to de descubrir su form a lógica, sino que estudiam os las form as directam ente. Cream os lenguajes artificiales, form ales, adecuados p a ra expresar formas. Estos lenguajes son puram ente es­ quem áticos, sus oraciones son m eras fórmulas; pero, naturalm ente, no los cons­ truim os arb itrariam en te, sino con el objetivo de que las form as que obtengam os sean form as de argum entos reales. Así, si a un argum ento real, expresado en español o en cualquier o tra lengua natural, le conviene u n a de estas form as de argum entos correctos, el argum ento en cuestión será correcto. E n este libro estudiarem os dos clases de lenguajes formales: los lenguajes proposicionales y los lenguajes cuantificacionales de prim er orden, lo cual nos p e rm itirá d a r cuenta de la corrección de u n a gran variedad de argum entos, en tre ellos, naturalm ente, los que nos han servido de ejem plo y otros muchos m ás complejos. Pero nuestro objetivo no es realm ente obtener una gran va­ riedad de form as de argum entos correctos, sino sobre todo entender por qué los argum entos correctos lo son; en otras palabras, obtener u n a teoría de la consecuencia lógica.

P

r im e r a p a r t e

NOCIONES DE TEORÍA DE CONJUNTOS

C a p ítu lo

1

EL CONCEPTO DE CONJUNTO 1.

E l p r in c ip io d e e x te n s io n a lid a d

Como prim era aproxim ación, suficiente p ara nuestros propósitos en es­ te libro, podem os concebir un c o n ju n to como u n a colección de objetos, los e le m e n to s del conjunto. Todo tip o de objeto es un posible elem ento de un conjunto. Lo es, por ejem plo, un objeto físico, un núm ero, u n a p a la b ra y tam ­ bién un conjunto. Así, hay conjuntos de objetos físicos, conjuntos de núm eros, conjuntos de palab ras y (como veremos más adelante) hay tam bién conjuntos de conjuntos, es decir, conjuntos cuyos elem entos son a su vez conjuntos. Si A es un conjunto y a: es u n objeto, las expresiones x€ A

y

x$A

significan, respectivam ente, que x es un elem ento de A y que x no es u n elem ento de A. En vez de «jc e s u n e le m e n to d e A», tam bién decim os «x p e r t e n e c e a A ». E stas dos expresiones son sinónim as. Análogam ente, en vez de decir que x n o e s u n e le m e n to d e A direm os tam bién que x n o p e r t e n e c e a A. Si * e y son objetos cualesquiera, x —y

y

x¿y

significan, respectivam ente, que x e y son el mismo objeto y que x e y son objetos distintos. Clasificamos los objetos que consideram os en dos categorías: los conjuntos y todos los dem ás. Nos referimos a los objetos que no son conjuntos como objetos prim itivos. Los objetos prim itivos no tienen elem entos. Usarem os las letras m ayúsculas latinas (A, B , . . . , Z) p ara referirnos a conjuntos. H ablando técnicam ente, las letras m ayúsculas latinas varían sobre conjuntos, son variables de conjunto. P ara referirnos a objetos cualesquiera, sean o no conjuntos, usarem os las letras m inúsculas latin a s.(a, b, . . . , z). E stas letras, pues, varían sobre objetos cualesquiera, son variables de objeto. Así, si decimos: «# tiene tal propiedad» presuponem os que B es un conjunto, m ientras que si decim os: tiene tal propiedad» no lo presuponem os; b puede ser un conjunto o un o b jeto prim itivo. U n conjunto esta determ inado por sus elem entos. Dicho de o tro modo, 110 hay dos conjuntos distintos que tengan los mismos elem entos. O aún, si A

y B tienen los mismos elem entos, entonces A = B. E ste hecho básico sobre los conjuntos es el principio de extensionalidad, que podem os reform ular así:

r in c ip io d e e x t e n s io n a l id a d . S i todo elem ento de A pertenece a B y todo elem ento de B pertenece a A, entonces A = B.

P

La afirm ación inversa de este principio es obviam ente verdadera: si A y B son el m ism o conjunto, A y B tienen los mismos elem entos. P or consiguiente, A —B

s ii1 A y B tienen los mismos elementos.

El principio de extensionalidad expresa que lo que im p o rta de un con­ ju n to no es cómo lo definimos, sino cuáles son sus elem entos. Es é sta una característica de los conjuntos que los distingue de las propiedades. E n ciertos contextos, podem os em plear tan to el lenguaje de los conjuntos como el de las propiedades. Así, si decim os que 2 es un núm ero par, podem os entender nues­ t r a aseveración en térm inos de conjuntos (2 es un elem ento del conjunto de los núm eros pares) o en térm inos de propiedades (2 tiene la propiedad de ser un núm ero par). Si bien a m enudo la diferencia no tiene ningún efecto apreciable, hay que ten er en cuenta que el análogo del principio de extensionalidad no es válido p ara las propiedades, ya que dos propiedades distin tas pueden ser poseídas por exactam ente los mismos objetos. Considerem os, por ejem plo, las propiedades y O: ser un núm ero

natural par m enor que 3,

*P: ser un núm ero

cuyo cuadrado es igual a su doble.

Si bien y 4 ' son propiedades diferentes, una breve reflexión pone de m anifiesto que las poseen los mismos objetos: los núm eros O y 2, ya que son los únicos núm eros n atu rales pares menores que 3 y son tam bién los únicos núm eros que satisfacen la ecuación x 2 = 2x (los núm eros n atu rales son los enteros no negativos: O, 1, 2, 3, ...). E n contraste con e sta situación, el conjunto de los núm eros naturales pares m enores que 3 y el conjunto de los núm eros cuyo cuadrado es igual a su doble son el m ism o conjunto, ya que poseen los mismos elem entos: los núm eros O y 2. Suele decirse que este conjunto es la extensión de las propiedades y y . En general, si O es u n a propiedad y A es un conjunto, decim os que A es la e x te n s ió n de si los elem entos de A son precisam ente los objetos que tienen la propiedad O. P uesto que propiedades d istin tas pueden ten er la m ism a extensión, se dice a veces que las propiedades, a diferencia de los conjuntos, no son extensionales, no están determ inadas p o r su extensión. Observem os que, de acuerdo con el principio de extensionalidad, dos con­ ju n to s distintos difieren por lo menos en u n elem ento, de m anera que si A y B son conjuntos cualesquiera, A ^ B si y sólo si hay algún objeto x tal que o bien x G A y x £ fí o bien x € B y x £ A. 1.

N o rm alm en te usarem os las tre s le tra s «sii» com o un a abreviación de la expresión «si y sólo si».

Como objetos ab stracto s que son, los conjuntos 110 están localizados en el espacio ni en el tiem po, por lo que 110 podem os referirnos a ellos señalándolos. A hora bien, si querem os hablar de conjuntos determ inados debem os disponer de algún m odo de nom brarlos. Hay dos m aneras de nombrai' o de denotar conjuntos; podem os hacerlo por comprensión o por enumeración. D enotam os un conjunto por c o m p r e n s i ó n dando una propiedad que po­ seen todos los elem entos del conjunto y sólo ellos (es decir, dando u n a propie­ dad cuya extensión es el conjunto en cuestión). Así, hablam os del conjunto de los núm eros prim os menores que 10, del conjunto de los núm eros enteros im­ pares o del conjunto de los p lanetas exteriores del Sistem a solar. La notación liabitual p a ra referirse a estos tres conjuntos es: {.r : x es un núm ero nrim o m enor que 10}, {jc : . r e s u n núm ero entero im par}, { x : x es un p lan e ta exterior del Sistem a solar}. En general, si O es una propiedad que poseen todos los elem entos de un conjunto A y sólo ellos, denotam os A por { x : x posee la propiedad }. P a ra expresar esquem áticam ente que el objeto a posee la propiedad O, escribim os (a). Así, si hay un conjunto cuyos elem entos son los objetos que tienen la propiedad O, este conjunto (único, por el principio de extensionalidad) es { * :* (* )} . P uesto que pertenecer al conjunto de los objetos que poseen la propiedad

A = { * : * € A), pues si a es un o b jeto cualquiera, a G A sii a € {*: x € A}. Adem ás, si A = tensionalidad,

{ jc

: (*)} y B = { x : H'fx)}, entonces, por el principio de ex­

A = B sii p ara todo objeto x, O(x) sii ¥ (* ).

D enotam os un conjunto por e n u m e ra c ió n ;n o m b ra n d o todos sus elem en­ tos.. (Esto, naturalm ente, es im practicable si el conjunto tiene m uchos elem en­ tos y es im posible si el conjunto es infinito.) Así, hablam os del conjunto cuyos elem entos son los núm eros 2, 3, 5 y 7, del conjunto cuyos elem entos son M ar­ te, J ú p ite r, S aturno, U rano, N eptuno y P intón, o del conjunto cuyo único elem ento es Platón. El m odo h ab itual de d en o tar conjuntos por enum eración es escribir entre llaves los nom bres de sus elem entos separados por comas. Conform e a ello, denotam os los conjuntos anteriores así: {2,3,5,7}, {M arte, J ú p ite r, S aturno, U rano, N eptuno y P lutón}, {Platón}. En general, si los elem entos de un conjunto son a \ , a 2y ••• i este conjunto por enum eración así:

denotam os

{tfb a2,•••» o,,}. P or tan to , para todo objeto x € {ai, a 2}. . . 1