Elementi finiti [Parte 4]

Table of contents :
Indice
8. analisi dinamica
8.1 Introduzione
8.2 Formule fondamentali - Sistema ad un grado di libertà
8.2.1 Vibrazioni libere
8.2.2 Vibrazioni smorzate
8.2.3 Vibrazioni forzate
8.3 Sistema a più gradi di libertà: equazioni della dinamica
8.4 Matrice delle masse congruente e concentrata
8.4.1 Matrice delle masse per elemento asta
8.4.2 Matrice delle masse per elemento trave
8.5 Matrice di smorzamento
8.6 Frequenze naturali e modi di vibrare
8.7 Guyan reduction
8.8 Analisi transitoria dinamica: Sovrapposizione modale
8.8.1 Scelta del numero di modi da considerare
8.9 Metodi di integrazione diretta
8.9.1 Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali
8.9.2 Metodi impliciti - Metodo di Houbolt
8.9.3 Metodi impliciti - Metodo di Wilson-q
8.9.4 Metodi impliciti - Metodo di Newmark
8.10 Stabilità e precisione dei metodi di integrazione diretta
8.10.1 Operatori di approssimazione e di carico
8.10.2 Metodo delle differenze centrali
8.10.3 Metodo di Houbolt
8.10.4 Metodo di Wilson - q
8.10.5 Metodo di Newmark
8.10.6 Analisi di stabilità
8.10.7 Analisi di precisione
9. appendici
9.1 Richiami di calcolo matriciale
9.1.1 Definizione di matrice
9.1.2 Addizione e sottrazione di matrici
9.1.3 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare
9.1.4 Moltiplicazione di matrici
9.1.5 Differenziazione di una matrice
9.1.6 Differenziazione di una espressione matriciale
9.1.7 Integrazione di matrici
9.1.8 Inversione di matrici
9.2 Integrazione numerica
9.2.1 Metodo di Newton-Cotes
9.2.2 Metodo di Gauss-Legendre
9.2.3 Integrazione per triangoli
9.3 Programma di calcolo
10. bibliografia

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Elementi finiti Parte IV

A. Gugliotta

Politecnico di Torino, maggio 2002 Dipartimento di Meccanica

otto editore

ELEMENTI FINITI Parte IV

A. GUGLIOTTA

P OLITECNICO DI TORINO WWW. POLITO . IT

INDICE – IV

8.

ANALISI DINAMICA ..........................................................235 8.1 INTRODUZIONE ..................................................................... 235 8.2 FORMULE FONDAMENTALI SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ ....................................... 236 Vibrazioni libere .............................................................................237 Vibrazioni smorzate ........................................................................238 Vibrazioni forzate ............................................................................241

8.3 SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ EQUAZIONI DELLA DINAMICA ................................................ 246 8.4 MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA ....... 247 Matrice delle masse per elemento asta ............................................. 248 Matrice delle masse per elemento trave............................................ 248

8.5 MATRICE DI SMORZAMENTO ................................................. 249 8.6 FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE ........................... 251 8.7 GUYAN REDUCTION ............................................................... 253 8.8 ANALISI TRANSITORIA DINAMICA SOVRAPPOSIZIONE MODALE ................................................... 254 Scelta del numero di modi da considerare ....................................... 256

8.9 METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA ..................................... 257 Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali........................... 258 Metodi impliciti - Metodo di Houbolt ............................................261 Metodi impliciti - Metodo di Wilson - q .........................................263 Metodi impliciti - Metodo di Newmark.......................................... 265 i

8.10 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA .. 273 Operatori di approssimazione e di carico .........................................273 Metodo delle differenze centrali ......................................................274 Metodo di Houbolt .........................................................................275 Metodo di Wilson - q .....................................................................276 Metodo di Newmark .......................................................................277 Analisi di stabilità ............................................................................278 Analisi di precisione ........................................................................ 280

9.

APPENDICI .........................................................................283 9.1 RICHIAMI DI CALCOLO MATRICIALE ....................................... 283 Definizione di matrice......................................................................283 Addizione e sottrazione di matrici ...................................................286 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare................................ 286 Moltiplicazione di matrici ...............................................................287 Differenziazione di una matrice .......................................................288 Differenziazione di una espressione matriciale .................................288 Integrazione di matrici ....................................................................288 Inversione di matrici .......................................................................289

9.2 INTEGRAZIONE NUMERICA ..................................................... 289 Metodo di Newton-Cotes ...............................................................290 Metodo di Gauss-Legendre ............................................................. 292 Integrazione per triangoli ................................................................294

9.3 PROGRAMMA DI CALCOLO ..................................................... 296

10.

ii

BIBLIOGRAFIA ...................................................................303

8. ANALISI DINAMICA

8.1 INTRODUZIONE Il problema dinamico strutturale differisce dal problema statico per due importanti aspetti: il primo è la dipendenza dal tempo del problema, il secondo è dato dalla presenza delle forze d’inerzia e di smorzamento del sistema; se la frequenza di eccitazione del carico applicato alla struttura è inferiore di circa un terzo della più piccola frequenza naturale del sistema, allora gli effetti di inerzia possono essere trascurati ed il problema è quasi-statico. Le forze d’inerzia diventano importanti e rappresentano una parte significativa del carico complessivo agente sulla struttura se le frequenze di eccitazione del carico applicato sono maggiori di circa un terzo della più piccola frequenza naturale o se la struttura vibra liberamente. Le proprietà fisiche essenziali di un sistema strutturale comprendono quindi le sue proprietà elastiche (rigidezza) descritte dalla matrice di rigidezza [K ], la sua massa e/o inerzia, descritta dalla matrice delle masse [M ], lo smorzamento (meccanismo di perdita di energia), descritto dalla matrice di smorzamento [ C ], ed il carico esterno o sorgente esterna di eccitazione. Le vibrazioni possono essere classificate in diversi modi, ad esempio: – Vibrazioni libere e forzate. Nel primo caso il sistema, dopo un disturbo iniziale, vibra liberamente in assenza di forze esterne. Nel secondo caso il sistema è soggetto ad una forza esterna variabile nel tempo (spesso una forza periodica) e la vibrazione del sistema è una vibrazione forzata. Se la frequenza della eccitazione coincide con una delle frequenze naturali del sistema si ha il fenomeno della risonanza e la risposta del sistema cresce indefinitamente in modo catastrofico. – Vibrazioni smorzate e non smorzate. Nel primo caso si ha perdita di energia dovuta all’attrito (viscoso, coulombiano, isteresi), nel secondo caso non si ha perdita di energia durante la vibrazione del sistema. In alcuni sistemi il valore dello smorzamento è così piccolo che può essere trascurato ai fini di una valutazione ingegneristica.

235

ANALISI DINAMICA

– Vibrazioni lineari e non lineari. I sistemi oscillatori possono avere un comportamento lineare o non lineare, in funzione delle caratteristiche del sistema, nel dominio del tempo o della frequenza. Per sistemi lineari si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le relative tecniche matematiche. I sistemi non lineari sono più complessi da analizzare, ma tutti i sistemi tendono a diventare non lineari quando l’ampiezza di risposta cresce. I sistemi lineari sono perciò solo una speciale approssimazione del caso generale non lineare. – Vibrazioni deterministiche e vibrazioni random. Se il valore dell’eccitazione è noto in ogni istante di tempo, il carico è detto deterministico. In caso contrario l’eccitazione è di tipo random; in molti casi il carico può essere descritto statisticamente. La risposta del sistema è di tipo random e può essere descritta solo in termini statistici. I problemi di dinamica strutturale possono essere classificati in due categorie: 1. calcolo delle frequenze naturali di vibrazione e dei corrispondenti modi di vibrare; normalmente si chiede di confrontare le frequenze proprie del sistema con quelle del carico eccitante 2. analisi della risposta temporale (time history) di una struttura soggetta a carichi variabili nel tempo. Poiché il carico e quindi la risposta, in termini di spostamenti e tensioni, variano con il tempo, il problema non ha una singola soluzione, come il problema statico, ma una successione di soluzioni in corrispondenza agli istanti di tempo di interesse. Due tra i metodi più diffusi di soluzione sono i metodi modali (sovrapposizione modale) ed i metodi di integrazione diretta

8.2 FORMULE FONDAMENTALI - SISTEMA AD UN GRADO DI LIBERTÀ Se una forza eccitante è applicata ad un sistema massa-molla-smorzatore (fig. 8.1), il moto risultante dipende dalle condizioni iniziali, dalla forza eccitatrice e dal sistema stesso.

Fig. 8.1 – Sistema massa-molla-smorzatore. 236

ANALISI DINAMICA

Se l’eccitazione è sinusoidale il sistema tenderà a vibrare alla sua frequenza naturale, così come quello della funzione forzante. Se il sistema possiede un certo smorzamento la parte del moto non sostenuta dall’eccitazione alla fine svanirà: il sistema vibrerà alla frequenza della funzione eccitatrice senza riguardo alla frequenza naturale del sistema o alle condizioni iniziali (se la frequenza dell’eccitazione è nulla si ha carico statico con periodo infinito, ovvero uno stato di quiete). Il moto che rimane è chiamato risposta stazionaria (steady state) del sistema; il moto che svanisce è detto transitorio. Quando la frequenza del carico è prossima alla frequenza naturale del sistema, l’ampiezza della risposta si amplifica. 8.2.1 Vibrazioni libere Dal principio di conservazione dell’energia:

T + U = cost

8.1

∂ (T + U) = 0 ∂t

8.2

ovvero:

con:

1 U = --- kx 2 2

1 T = --- m x˙ 2 2

8.3

e sostituendo la 8.3 nella 8.2:

m x˙˙ + kx = 0

8.4

oppure:

x˙˙ + w n2 x = 0

8.5

k w n2 = ---m

8.6

dove

e w n è la pulsazione naturale e f n = w n § 2p la frequenza naturale del sistema. Il moto così espresso non cambia col tempo (non c’è modo di dissipare energia e ridurre le oscillazioni). Questo non avviene in natura dove tutte le vibrazioni gradualmente diminuiscono e si fermano, a meno che non siano mantenute da una sorgente esterna. La soluzione della 8.4 può essere trovata assumendo: 237

ANALISI DINAMICA

x ( t ) = Ce

st

8.7

e:

C ( ms 2 + k ) = 0

8.8

s = ± iw n

8.9

x ( t ) = C1 e

iw n t

+ C2 e

iw n t

8.10

ovvero:

x ( t ) = A 1 cos wn t + A 2 sin wn t

8.11

e, in termini di condizioni iniziali:

x˙ x ( t ) = x 0 cos wn t + -----0- sin wn t wn

8.12

L’eq. 8.11 può essere espressa come:

x ( t ) = A cos ( w n t – f )

8.13

con:

A=

A 12 + A 22 =

Ê x˙ ˆ x 02 + Á -----0-˜ Ë w n¯

A2 Ê x˙ 0 ˆ f = atan Ê ------ˆ = atan Á -----------˜ Ë A 1¯ Ë x 0 w n¯

2

ampiezza 8.14

angolo di fase

l’angolo di fase f può essere interpretato come l’angolo tra l’origine ed il primo picco. 8.2.2 Vibrazioni smorzate Lo smorzamento è il meccanismo che rimuove energia dal sistema. Lo smorzamento può essere classificato in tre tipi fondamentali: 1. Viscoso, (ad esempio un corpo che si muove n un fluido a bassa velocità). La forza resistente proporzionale alla velocità:

F = – c x˙

238

8.15

ANALISI DINAMICA

2. Coulomb, (ad esempio corpi che slittano su superficie asciutte). La forza è quasi costante e dipende dalla natura delle superficie a contatto e dalla forza normale; indicando con m il coefficiente di attrito:

F = mF n

8.16

3. Isteresi, dovuto all’attrito interno del materiale. La resistenza è circa proporzionale all’ampiezza della deformazione e indipendente dalla velocità. Questo tipo di smorzamento è dissipato sotto forma di calore. Supponendo uno smorzamento viscoso e applicando la legge di Newton per l’equilibrio delle forze si avrà:

m x˙˙ + c x˙ + kx = 0

8.17

La soluzione generale della 8.17 è:

x = C1 e

c ˆ2 k Ê ------ – ---- t Ë 2m¯ m

c – ------- + 2m

+ C2 e

c – ------- – 2m

c ˆ2 k Ê ------ – ---- t Ë 2m¯ m

8.18

Il valore di c che fa svanire la parte sotto radice è detto costante di smorzamento critico ccr , e cioè:

c cr ------ = 2m

k ---- = w n m

8.19

c cr = 2 mk = 2mw n Di solito si rappresenta lo smorzamento in rapporto allo smorzamento critico con un parametro adimensionale x, x = c § c cr , detto fattore di smorzamento. Perciò:

x = C1 e ( – x +

x 2 – 1 )w n t

+ C2 e ( – x –

x 2 – 1 )w n t

8.20

Sistema sottosmorzato (x < 1)

Se x < 1 il sistema è detto sottosmorzato e il moto è armonico con ampiezza di decadimento tanto maggiore quanto più grande è x. La 8.20 diventa:

x = e –x wn t ( C ' 1 cos 1 – x 2 w n t + C ' 2 sin 1 – x 2 w n t )

8.21

x = e –x wn t ( C ' 1 cos wd t + C ' 2 sin wd t )

8.22

con w d frequenza della vibrazione smorzata:

239

ANALISI DINAMICA

wd =

1 – x 2 wn

8.23

In termini di condizioni iniziali:

x = e

–x wn t

x˙0 + xw n x 0 Ê ˆ Á x 0 cos w d t + -------------------------- sin wd t˜ wd Ë ¯

8.24

La 8.22 può essere espressa come:

x = e –x wn t X 0 cos ( wd t – f 0 )

8.25

con:

X0 =

( C '1 ) 2 + ( C '2 ) 2 =

Ê x˙0 + xw n x 0ˆ x 02 + Á ---------------------------˜ wd Ë ¯

2

C2 Ê x˙0 + xw n x 0ˆ f 0 = atan Ê ------ˆ = atan Á ---------------------------˜ Ë C 1¯ Ë x0 wd ¯

ampiezza 8.26

angolo di fase

Sistema smorzato criticamente (x = 1)

Se x = 1 il sistema è detto smorzato criticamente ed il moto decade esponenzialmente in modo non periodico. La 8.20 diventa:

x = e –wn t ( C 1 + C 2 t )

8.27

In termini di condizioni iniziali:

x = e –wn t [ x 0 + ( x˙0 + w n x 0 )t ]

8.28

Sistema sovrasmorzato (x > 1)

Se x > 1 il sistema è detto sovrasmorzato ed il moto decade esponenzialmente in modo non periodico. La 8.20 diventa:

x = C1 e ( – x + con:

240

x 2 – 1 ) wn t

+ C2 e ( – x –

x 2 – 1 ) wn t

8.29

ANALISI DINAMICA

x 0 w n ( x + x 2 – 1 ) + x˙ 0 C 1 = ------------------------------------------------------2w n x 2 – 1

8.30

x2

–x0 wn ( x – – 1 ) – x˙0 C 2 = ---------------------------------------------------------2w n x 2 – 1 8.2.3 Vibrazioni forzate L’eccitazione può essere di tipo armonico, non armonico, ma periodica, o random. La risposta del sistema ad una eccitazione armonica è detta risposta armonica. La risposta ad un carico non periodico e applicato rapidamente è detta risposta al transitorio. Nel caso di carico armonico si ha:

F ( t ) = F0 e i ( wt + f ) = F0 cos ( wt + f )

8.31

dove F0 è l’ampiezza dell’eccitazione, w è la frequenza e f l’angolo di fase, che dipende dal valore di F per t = 0 ed è normalmente assunto uguale a zero. Sistema non smorzato

L’equazione di equilibrio è:

m x˙˙ + kx = F 0 cos wt

8.32

La soluzione completa è data dalla soluzione dell’omogenea associata 8.11 e dalla soluzione particolare:

F0 x p ( t ) = X cos wt = -------------------2- cos wt k – mw

8.33

dove X è la massima ampiezza di xp(t) e:

F0 x ( t ) = A 1 cos w n t + A 2 sin w n t + -------------------2- cos wt k – mw

8.34

ed in termini di condizioni iniziali:

F0 F0 ˆ x˙ -2 cos w n t + -----0- sin w n t + -------------------2- cos wt x ( t ) = Ê x 0 – ------------------Ë wn k – mw k – mw ¯

8.35

Definito il rapporto di frequenza r tra la forzante e la frequenza naturale del sistema:

241

ANALISI DINAMICA

w r = -----wn

8.36

e definita la deflessione statica:

F x st = ----0k

8.37

X 1 ------ = ------------2x st 1–r

8.38

si avrà:

con X § x st fattore di amplificazione. La risposta totale del sistema può essere anche scritta come:

x st x ( t ) = A cos ( w n t – f ) + -----------------------2- cos wt w 1 – Ê ------ ˆ Ë wn ¯

w ------ < 1 wn

x st x ( t ) = A cos ( w n t – f ) – -----------------------2- cos wt w 1 – Ê ------ ˆ Ë wn ¯

w ------ > 1 wn

8.39

con A e f dalla 8.14. Sistema smorzato - Carico armonico

Se il sistema smorzato è eccitato da una forza armonica F 0 cos wt si ha:

m x˙˙ + c x˙ + kx = F 0 cos wt

8.40

La soluzione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione particolare:

x p ( t ) = X cos ( wt – f )

8.41

con:

F0 X = ----------------------------------------------------( k – mw 2 ) 2 + ( c w ) 2

cw tan f = -------------------2k – mw

8.42

In funzione del rapporto di frequenza r e della deflessione statica si avrà:

1 X ------ = ----------------------------------------------x st ( 1 – r 2 ) 2 + ( 2xr ) 2 242

2xr tan f = ------------21–r

8.43

ANALISI DINAMICA

Questo rapporto, se r = 1 e x = 0 diventa infinito (fig. 8.2). Il fattore di smorzamento ha molta influenza sull’ampiezza nella regione di risonanza. Se c’è smorzamento la frequenza di risonanza è un po’ minore della frequenza naturale senza smorzamento. Il massimo fattore di amplificazione si ha quando:

r =

1 + 2x 2

ovvero

w = w n 1 + 2x 2 = w d

8.44

Fig. 8.2 – Fattore di amplificazione.

Sistema smorzato - Carico generico

Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza F 0 e

m x˙˙ + c x˙ + kx = F 0 e

iwt

iwt

si ha: 8.45

La soluzione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione particolare:

x p ( t ) = Xe

i ( wt – f )

8.46

con:

243

ANALISI DINAMICA

F0 X = --------------------------------------------------( k – mw 2 ) 2 + ( cw ) 2

cw tan f = -------------------2k – mw

8.47

Sistema smorzato - Carico generico non periodico

Se il sistema oscillatore smorzato è eccitato da una forza generica F (t) si ha:

m x˙˙ + c x˙ + kx = F ( t )

8.48

La risposta dinamica può essere ottenuta con l’integrale di Duhamel. La soluzione è data dalla soluzione dell’omogenea associata e dalla soluzione particolare:

1 x (t) = ----------mw d

t

Ú0F (t)e

– xw n(t – t)

sin [wd (t – t) ] dt

8.49

+ e –xwn t ( C 1 cos w d t + C 2 sin wd t) con:

wd = wn 1 – x 2 C1 = x0

x˙0 + xw n x 0 C 2 = ------------------------wd

8.50

con C1 e C2 funzione solo delle condizioni iniziali. La prima parte rappresenta l’oscillazione forzata, la seconda parte della soluzione rappresenta l’oscillazione libera del sistema. La soluzione particolare può essere trovata considerando in una prima fase l’effetto di un impulso elementare: nel tempo Dt l’incremento di velocità dovuto all’impulso F ( t )Dt vale:

F ( t )Dt D x˙ = ------------------m

8.51

Assumendo x = 0 sino al tempo di applicazione dell’impulso, lo spostamento x per t > t è (8.24):

e –xwn ( t – t ) x ( t ) = (F ( t )Dt ) ----------------------- sin w d ( t – t ) mw d

8.52

Si consideri ora la risposta del sistema ad un carico esterno arbitrario F ( t ) (fig. 8.3); questo può essere pensato come una serie di impulsi elementari di ampiezza variabile:

244

ANALISI DINAMICA

e –xwn ( t – t ) Dx ( t ) = ( F ( t )Dt ) ----------------------- sin w d ( t – t ) mw d

8.53

Essendo il sistema lineare, lo spostamento totale al tempo t è la somma degli impulsi elementari agenti in tutti gli istanti t tra 0 e t:

1 x ( t ) = ----------mw d

t

Ú0F ( t )e

– xw n ( t – t )

sin wd ( t – t ) dt

8.54

Fig. 8.3 – Impulso elementare.

Nei seguenti casi, in cui lo smorzamento è nullo ( x = 0 ) l’integrale è risolto esattamente:

F0 x ( t ) = ----- ( 1 – cos w n t ) k

a x ( t ) = --------- ( w n t – sin w n t ) wn k

245

ANALISI DINAMICA

L’integrale 8.49 è valutato numericamente. La funzione integranda varia al variare di t, limite di integrazione; è opportuno però riscrivere l’integrale ricorrendo alle formule trigonometriche: – xw n t

t

t

0

0

xw n t xw n t e x ( t ) = -------------- sin wd t Ú F ( t )e cos w d t dt – cos w d t Ú F ( t )e sin w d t dt ] wd

+e

– xw n t

8.55

( C 1 cos wd t + C 2 sin wd t)

8.3 SISTEMA A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ: EQUAZIONI DELLA DINAMICA Le equazioni che governano la risposta dinamica di una struttura possono essere derivate applicando l’equazione dei lavori virtuali 4.37: { du } T { f } + Ú { du } T { t 0 } dA + Ú { du } T { f } dV = A

V

ÚV { de } T { s } dV

8.56

e aggiungendo le forze d’inerzia e di smorzamento, non considerate per il caso statico: { du } T { f } + Ú { du } T { t 0 } dA + Ú { du } T { f } dV A

=

V

ÚV { de } T { s } dV + ÚV { du } T r { u˙˙} dV + ÚV { du } T cs { u˙} dV

8.57

con { du } e { de } rispettivamente spostamenti virtuali e corrispondenti deformazioni virtuali, { t 0 } carichi superficiali, { f } carichi di volume, { f } carichi nodali, r densità del materiale, c s parametro di smorzamento del materiale. Sostituendo le espressioni per il campo di spostamenti { u } , funzione ora anche del tempo oltre che dello spazio, e per le sue derivate:

{u} = [n]{s}

{ u˙ } = [ n ] { s˙}

{ u˙˙} = [ n ] {˙s˙}

8.58

con [n] funzioni dello spazio e {s } funzioni del tempo. Sostituendo nella 8.57 e introducendo la legge costitutiva del materiale, nel caso di deformazione iniziale e di tensione iniziale nulle, si ottiene:

ÚA [ n ]T { t0 } dA + { ds }T ÚV [ n ]T { f } dV = { ds } T [ b ] T [ E ] [ b ] dV { s } + { ds } T r [ n ] T [ n ] dV { ˙˙ s} ÚV ÚV + { ds } T cs [ n ] T [ n ] dV{ s˙} ÚV

{ ds } T { f } + { ds } T

8.59

Siccome l'uguaglianza deve valere per qualsiasi configurazione di spostamenti virtuali {ds}, deve anche valere la seguente uguaglianza: 246

ANALISI DINAMICA

[ k ] { s } + [ m ] {˙s˙} + [ c ] { s˙} = { f } + { f e } t + { f e } f

8.60

o

con [m] matrice delle masse, e [c] matrice dello smorzamento:

[m] =

ÚV r [ n ]T [ n ] dV

ÚV cs

[c] =

8.61

[ n ] T [ n ] dV

La matrice delle masse [m] può essere ricavata in altro modo, sempre partendo da considerazioni energetiche, scrivendo l’energia cinetica dell’elemento: E =

1

1

ÚV --2- rv 2 d V = ÚV --2- { u˙ }

T

{ u˙ }r dV =

1

ÚV --2- { s˙}

T

[ n ] T [ n ] { s˙}r d V

8.62

ovvero:

1 T E = --- { s˙} Ê Ë 2

ÚV [ n ]T [ n ]r dVˆ¯ { s˙}

8.63

e:

[m] =

ÚV r [ n ]T [ n ] dV

8.64

8.4 MATRICE DELLE MASSE CONGRUENTE E CONCENTRATA La matrice delle masse ricavata è detta matrice congruente delle masse (consistent mass matrix). La matrice di massa congruente è così chiamata poiché si utilizza lo stesso modello di spostamento (stesse funzioni di forma per gli spostamenti) usato per derivare la matrice di rigidezza. La matrice a masse concentrate è di formulazione più semplice avendo elementi non nulli solo in corrispondenza dei gradi di libertà traslazionali; essa è ottenuta concentrando una massa mi in corrispondenza del grado di libertà i-esimo, in modo che la sommatoria delle singole masse rappresenti la massa totale dell’elemento. Valori non nulli possono essere assegnati arbitrariamente anche in corrispondenza di gradi di libertà rotazionali, come ad esempio nel caso delle travi. La formulazione a masse concentrate, essendo diagonale, non considera gli effetti dinamici di mutua influenza tra i vari gradi di libertà dell’elemento. D’altro canto anche le matrici di massa congruenti sono approssimate poiché esse sono derivate utilizzando le funzioni di forma per gli spostamenti derivate nel caso statico ed utilizzate poi per risolvere il problema dinamico.

247

ANALISI DINAMICA

Qualsiasi sia la formulazione utilizzata, il prodotto [ m ] {˙s˙} deve fornire la corretta forza quando {˙s˙} rappresenta l’accelerazione di un corpo rigido; questo è infatti il comportamento di un elemento infinitesimo quando la suddivisione in elementi è piccola. Le frequenze proprie calcolate utilizzando matrici di massa congruenti, qualora si abbiano elementi compatibili e si utilizzi uno schema di integrazione esatto, costituiscono un limite superiore alle frequenze naturali esatte, mentre quelle calcolate utilizzando matrici a masse concentrate forniscono valori inferiori a quelli corretti. 8.4.1 Matrice delle masse per elemento asta Nel caso di un elemento asta si ha:

x l

x [n] = 1 – l

8.65

e:

[ m ] = rA

l

Ú0

2 Ê 1 – x- ˆ Ë l¯

xÊ x - 1 – -ˆ lË l¯

xÊ x - 1 – -ˆ lË l¯ Ê x- ˆ Ë l¯

2

rAl 2 1 dx = --------6 1 2

8.66

matrice di massa congruente, mentre quella a masse concentrate (lumped mass) ha diverso da zero i soli termini sulla diagonale principale:

rAl 1 0 [ m ] = --------2 0 1

8.67

8.4.2 Matrice delle masse per elemento trave Nel caso di un elemento trave le funzioni di forma sono date dalla 4.86:

x 2 x 3 n1 = 1 – 3 Ê - ˆ + 2 Ê - ˆ Ël¯ Ël¯ 2

x x n3 = 3 Ê - ˆ – 2 Ê - ˆ Ël¯ Ë l¯

3

e la matrice delle masse congruente è:

248

x2 x3 n 2 = x – 2 ----- + ----2l l x2 x3 n 4 = – ----- + ----2l l

8.68

ANALISI DINAMICA

156

6l

54

– 13l

rAl [ m ] = --------- 22l 420 54

4l 2

13l

– 3l 2

13l

156

– 22l

– 13l

–3

– 22l

4l 2

8.69

la matrice a masse concentrate è:

1 rAl [ m ] = --------- 0 2 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

8.70

Gli effetti dell’inerzia associata con i gradi di libertà rotazionali sono stati considerati nulli; volendo tener in conto questi effetti, si può calcolare il momento d’inerzia di massa di ciascuna metà trave rispetto all’estremità. Nel caso di trave uniforme:

1 rAl l 2 J = --- --------- Ê ---ˆ 3 2 Ë 2¯

8.71

e la matrice delle masse diviene:

1

0 0 0

l2 0 ------ 0 0 rAl 12 [ m ] = --------2 0 0 1 0 0

8.72

l2 0 0 -----12

8.5 MATRICE DI SMORZAMENTO Lo smorzamento nelle strutture è dovuto principalmente a fenomeni di isteresi e/o di attrito negli elementi di collegamento. Questi fenomeni sono però difficili da modellare e da inserire nelle equazioni di dinamica strutturale, per cui il fenomeno dello smorzamento è generalmente approssimato dallo smorzamento viscoso, attraverso il rapporto di smorzamento x. Il valore di x dipende dal materiale e dal livello di tensione, e per gli acciai può variare da circa lo 0.5% per bassi

249

ANALISI DINAMICA

livelli di tensione a circa il 5% per alti valori di tensione. Per strutture imbullonate o rivettate x può variare dal 2% al 15%. Uno dei modelli di smorzamento viscoso più utilizzati è lo smorzamento proporzionale, o di Rayleigh, secondo il quale la matrice di smorzamento [ C ] è una combinazione lineare della matrice di rigidezza e della matrice di massa, cioè:

[C ] = a[M] + b[K]

8.73

con a e b costanti di smorzamento di Rayleigh. La matrice di smorzamento [ C] così ottenuta è ortogonale e permette così di semplificare notevolmente l’analisi. In termini modali, indicando con [F] la matrice degli autovettori, si ha:

Ï0 { fi } T [ M ] { fj } = Ì Ó1

iπj i = j

Ï0 { fi } T [ K ] { fj } = Ì 2 Ó wi

iπj i = j

T

T

8.74

T

[F] [C][F] = a[F] [M][F] + b[F] [K][F] [c] = a[I] + b[L]

8.75

La relazione tra a, b ed il fattore di smorzamento x è:

1 a x i = --- Ê ----- + bw iˆ ¯ 2 Ë wi

8.76

La figura 8.4 illustra un andamento tipico dello smorzamento proporzionale x in funzione della frequenza. In pratica è stato riscontrato che lo smorzamento M-proporzionale può rappresentare uno smorzamento dovuto ad attrito, mentre lo smorzamento K-proporzionale può rappresentare lo smorzamento interno del materiale1. Le costanti a e b possono essere ricavate a partire dalla conoscenza sperimentale di due coppie di valori wi, xi (w1, x1, w2, x2):

w1 w2 ( w2 x1 – w1 x2 ) a = 2 -----------------------------------------------w 22 – w 12

w2 x2 – w1 x1 b = 2 ----------------------------w 22 – w 12

8.77

1. M. Petyt, Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, 1990 250

ANALISI DINAMICA

Fig. 8.4 – Smorzamento proporzionale.

8.6 FREQUENZE NATURALI E MODI DI VIBRARE Nell’ipotesi di struttura lineare ([ K ] ed [M ] costanti), nessun smorzamento ([C ] = 0) e vibrazioni libere ({F } = 0), e ponendo:

{ u } = { f } sin wt

8.78

la 8.60 diventa:

( [ K ] – w2[ M ] ){ f } = { 0 }

8.79

ad eccezione della soluzione banale { f } = {0} (sistema in quiete), occorre che il determinante della 8.79 sia nullo per avere soluzioni non nulle di { f }:

[ K ] – w2[ M ] = 0

8.80

Il problema si dice agli autovalori ed ammette n soluzioni (con n gradi di libertà) per w2 e n autovettori { f } definiti a meno di una costante. Poiché le matrici in gioco sono reali e simmetriche gli autovalori sono tutti numeri reali.

251

ANALISI DINAMICA

ESEMPIO 8.1

Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento asta non vincolato. Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha: EA 1 – 1 rAL 2 ------+ w 2 ---------L –1 1 6 1

1 2

8.81

= 0

e le frequenze proprie di vibrazione sono: { w2 } =

12E --------rl 2

0

8.82

mentre nel caso di matrice delle masse concentrate si ha: { w2 } =

4E --------rl 2

0

8.83

e la soluzione esatta è invece: { w2 } =

p2E --------rl 2

0

8.84

Da notare che la soluzione con matrice congruente è maggiore di quella esatta, mentre quella ottenuta con la matrice a masse concentrate è più piccola. ESEMPIO 8.2

Calcolare le frequenze proprie di vibrazione per un elemento trave non vincolato. Utilizzando la matrice delle masse congruente si ha: 12 EJ z 6l ------l 3 – 12

6l 4l – 6l

6l

2l 2

2

156 rAl – 6l 2l + w 2 --------- 22l 420 54 12 – 6l – 6l 4l 2 – 13l

– 12

6l

2

6l

54

– 13l

2

13l

– 3l 2

13l

156

– 22l

– 3l 2 – 22l

4l 2

4l

= 0

e le frequenze proprie di vibrazione sono: { w2 } =

0

720EJ 8400EJ - -----------------0 -------------rAl 4 rAl 4

8.86

mentre nel caso di matrice delle masse concentrate, considerando i termini aggiuntivi di inerzia, si ha: { w2 } =

252

0

48EJ 192EJ 0 ------------4- -------------rAl rAl 4

8.87

8.85

ANALISI DINAMICA

EJ e la soluzione esatta è invece w 2 = b i4 ------------4rAl

con b 1 = 4.730041 e

b 2 = 7.853205 per i primi due valori di frequenze proprie non nulli:

{ w2 } =

0

500EJ 3803EJ - -----------------0 -------------rAl 4 rAl 4

8.88

Da notare, anche questa volta, che la soluzione con matrice congruente è maggiore di quella esatta, mentre quella ottenuta con la matrice a masse concentrate è più piccola.

8.7 GUYAN REDUCTION La procedura di risoluzione dell’intera matrice diventa molto onerosa per tanti gradi di libertà. D’altra parte il numero di gradi di libertà necessari a caratterizzare il comportamento dinamico di una struttura è in genere molto minore di quello richiesto per ricavare tensioni e deformazioni in statica. Si può quindi ridurre il numero dei gradi di libertà, utilizzando la tecnica della condensazione. Una dei metodi più utilizzati è la cosiddetta Guyan reduction2: si scelgono gradi di libertà fondamentali detti master rispetto ai quali sono condensate le matrici degli altri gradi, detti slave, con la stessa legge usata per la condensazione statica sia per le masse che per le rigidezze (esatta per queste, approssimata per le masse). L’ipotesi fondamentale nella Guyan reduction è che per le frequenze più basse (in genere le più importanti), le forze d’inerzia agenti sui gradi di libertà slave sono meno importanti delle forze elastiche trasmesse dai gradi di libertà master. I gradi di libertà master sono quindi quelli caratterizzati dai valori più bassi di k/ m, oltre quelli in corrispondenza dei nodi ai quali è applicato un carico o uno spostamento prescritto variabile. Nota la soluzione in termini di autovettori per i gradi di libertà master, questa si può poi espandere a tutti i gradi di libertà. Data l’equazione 8.79:

( [ K ] – w2[ M ] ){ f } = { 0 }

8.89

detti { fm } i gradi di libertà master e { fs } i gradi di libertà slave, si ha:

Ê [ K mm ] [ K ms ] [ M mm ] [ M ms ] – w2 Á [ M sm ] [ M ss ] Ë [ K sm ] [ K ss ]

ˆ Ï { fm } ¸ Ï {0}¸ ˜Ì ý = Ì ý ¯ Ó { fs } þ Ó {0}þ

8.90

Dalla seconda serie di equazioni: 2. Guyan R.J., Reduction of Stiffness and Mass Matrices, AIAA Journal, 1965, v. 3, n. 2, p. 380 253

ANALISI DINAMICA

( [ K sm ] – w 2 [M sm ] ) { f m } + ( [ K ss ] – w 2 [ M ss ] ) { f s } = { 0 } 8.91 ovvero:

{ f s } = – ( [ K ss ] – w 2 [ M ss ] ) –1 ( [ K sm ] – w 2 [ M sm ] ) { f m }

8.92

e, espandendo in serie il termine inverso:

( [ K ss ] – w 2 [ M ss ] ) –1 = [ K ss ] –1 + w 2 [ K ss ] –1 [ M ss ] [ K ss ] –1 + º

8.93

Sostituendo nella prima serie di equazioni in 8.90 e trascurando i termini più grandi di w2 si ha:

( [ KR ] – w 2 [ MR ] ) { fm } = { 0 }

8.94

con:

[ K R ] = [ K mm ] – [ K ms ] [ K ss ] –1 [ K sm ] [ M R ] = [ M mm ] – [ K ms ] [ K ss ] –1 [ M sm ] – [ M ms ] [ K ss ] –1 [ K sm ] +

8.95

+ [ K ms ] [ K ss ] –1 [ M ss ] [ K ss ] –1 [ K sm ] La selezione dei gradi di libertà master può essere automatizzata nel seguente modo: date le matrici [K ] e [M ], il primo grado di libertà slave è quello per il quale si ha il più grande rapporto Kii /Mii. Si esegue una prima condensazione e si seleziona il grado di libertà slave successivo in corrispondenza del nuovo rapporto più grande (Kii /Mii )1. Si ripete l’operazione di condensazione ed il procedimento è ripetuto sino a quando sono raggiunti i gradi di libertà master desiderati. Un altro procedimento consiste invece nel terminare l’operazione di condensazione quando il rapporto ( Kii /Mii )j è inferiore ad una frequenza di taglio wt , solitamente assunta pari a circa tre volte la frequenza più alta di eccitazione.

8.8 ANALISI TRANSITORIA DINAMICA: SOVRAPPOSIZIONE MODALE Il procedimento di calcolo prevede: – il calcolo dei modi di vibrare del sistema – la separazione della funzione forzante nelle sue componenti di ogni modo – la soluzione delle singole equazioni disaccoppiate corrispondenti ai singoli gradi di libertà – il calcolo della risposta globale come somma delle singole risposte dei singoli modi agli istanti desiderati 254

ANALISI DINAMICA

Tra i vantaggi della sovrapposizione modale c’è la soluzione veloce (basta esaminare i primi modi e/o quelli più vicini alle frequenza del carico). Tra gli svantaggi c’è quello di poter considerare solo sistemi lineari. Richiede inoltre a monte la soluzione modale, trova difficoltà ad includere smorzamenti diversi da quelli percentuali o comunque correlati alle frequenze proprie. Sia:

[ M ] { u˙˙} + [ C ] { u˙ } + [ K ] { u } = {F ( t ) }

8.96

siano inoltre:

[ L ] = diagw i

gli autovalori

[ F ] = [ { f 1 }º { f i }º { f n } ]

gli autovettori

8.97

Dalle condizioni di [M ] orto-normalità si ha:

[ F ]T[ M ][ F ] = [ I ]

8.98

[ F ]T[ K ][ F ] = [ L2 ] e, considerando la trasformazione:

{u} = [F]{X }

8.99

con { X } spostamenti generalizzati modali, si ottiene:

{ X˙˙ } + [ F ] T [ C ] [ F ] { X˙ } + [ L 2 ] { X } = [ F ] T { F }

8.100

Le equazioni risultano disaccoppiate se è possibile supporre lo smorzamento proporzionale o di Rayleigh:

[C ] = a[M] + b[K ]

8.101

o se è possibile scrivere che:

{ f i } T [ C ] { f j } = 2w i x i d ij

8.102

con xi rapporto di smorzamento modale. In tal caso si hanno n equazioni disaccoppiate del tipo:

x˙˙i + 2w i x i x˙i + w i2 x i = f i fi = { fi } T { F }

( i = 1, 2, º, n )

8.103

che possono essere risolte con l’integrale di Duhamel:

255

ANALISI DINAMICA

1 x i = ------wdi

t

Ú0fi (t)e

– x i w i(t – t)

sin [ wdi (t – t) ] dt

8.104

+ e –xi wi t ( C 1i cos w di t + C 2i sin w di t ) con:

w di = w i 1 – x i2

8.105

e C1i , C2i costanti di integrazione determinate imponendo le condizioni iniziali:

( x i ) t = 0 = { f i }T [ M ] { s 0 } ( x˙i ) t = 0 = { f i } T [ M ] { s˙0 }

8.106

8.8.1 Scelta del numero di modi da considerare Esaminando il fattore di partecipazione nell’analisi modale si ha una misura della risposta di una struttura ad una data frequenza naturale, cioè come ogni modo contribuirà agli spostamenti (e attraverso questi, alle tensioni) in una particolare direzione.

Fig. 8.5 – Primi 3 modi di vibrare di una trave.

Ad esempio nella trave in figura 8.5 i primi due modi sono di flessione, il terzo di trazione-compressione. Se agisce una forza eccitatrice in direzione Y, il modo 1 (a frequenza naturale più bassa) avrà più alto fattore di partecipazione, il modo 2 avrà un fattore di partecipazione più basso ed il modo tre un fattore di partecipazione nullo. Se la forza agisce in direzione X il fattore di partecipazione avrà valore diverso da zero solo per il modo 3.

256

ANALISI DINAMICA

Il quadrato di ciascun fattore di partecipazione è uguale alla massa che è entrata in gioco in quella direzione. In questo contesto ci si può fermare al numero di modi che rappresentano una percentuale adeguata della massa della struttura.

8.9 METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Il sistema di equazioni è integrato utilizzando una procedura numerica passo passo (step by step) (metodi alle differenze finite) ed il termine diretta significa che nessuna trasformazione di coordinate e delle equazioni viene fatta prima dell’integrazione numerica.

[ M ] { S˙˙} + [ C ] { S˙} + [ K ] { S } = { F ( t ) }

8.107

S dal tempo t = 0 La soluzione del problema consiste nel calcolare i valori S, S˙, ˙˙ ˙ ˙˙ al tempo t = T, noti i valori iniziali S 0, S 0, S 0 al tempo t = 0. A tal fine, l’intervallo di tempo T è suddiviso in n intervalli di tempo Dt, (Dt = T/n), e la soluzione del sistema 8.106 è calcolata, mediante opportuni schemi di integrazione, solo agli istanti 0, Dt, 2Dt, 3Dt, ..., t, t + Dt, ..., T, cioè per valori discreti di t, distanti Dt, assumendo a priori una legge di variazione degli spostamenti, velocità ed accelerazioni all’interno dell’intervallo Dt. Il metodo è comunque approssimato con un errore che dipende dalla scelta del passo temporale Dt. Un passo Dt troppo piccolo, soprattutto in non linearità pregiudica i tempi ed i costi del calcolo. I vantaggi dei metodi di integrazione diretta sono: – possono essere analizzate strutture lineari e non lineari – possono essere incluse forme generali di smorzamento, mentre con la sovrapposizione modale è necessario ricorre ad uno smorzamento proporzionale – non è richiesta espressamente la soluzione preventiva agli autovalori Gli svantaggi dei metodi di integrazione diretta sono: – si possono accumulare errori ed instabilità numeriche – soprattutto per le non linearità, possono essere richiesti tempi di calcolo eccessivi al fine di ottenere soddisfacenti gradi di precisione I metodi di integrazione diretta si dividono in: 1. Metodi espliciti (differenze centrali). Il vettore spostamento è funzione delle soluzioni calcolate agli istanti precedenti: { S } t + Dt = f ( { S }t , { S˙ }t , { S˙˙}t , { S } t – Dt , ,º )

8.108

L’equazione di equilibrio è scritta all’istante t:

257

ANALISI DINAMICA

[ M ] { S˙˙} t + [ C ] { S˙} t + [ K ] { S } t = { F ( t )} t

8.109

I metodi espliciti sono condizionatamente stabili. 2. Metodi impliciti (Houbolt, Wilson-q, Newmark) In questi metodi il vettore spostamento è funzione degli spostamenti precedenti (noti) e delle velocità ed accelerazioni attuali (ignote):

{ S } t + Dt = f ( { S˙ } t + Dt, { S˙˙} t + Dt, { S }t , ,º )

8.110

Le equazioni di equilibrio sono scritte all’istante t + Dt:

[ M ] { S˙˙} t + Dt + [ C ] { S˙} t + Dt + [ K ] { S } t + Dt = {F ( t ) } t + Dt 8.111 I metodi impliciti sono generalmente incondizionatamente stabili.

8.9.1 Metodi espliciti - Metodo delle differenze centrali

Fig. 8.6 – Metodo delle differenze centrali: legge degli spostamenti.

Si assume:

1 { S˙˙} t = -------2- ( { S } t – Dt – 2 { S } t + { S } t + Dt ) Dt 1 { S˙} t = --------- ( – { S } t – Dt + { S } t + Dt ) 2Dt

8.112

Gli spostamenti incogniti { S }t+Dt al tempo t + Dt si ottengono dall’equazione di equilibrio scritta al tempo t.

[ M ] { S˙˙} t + [ C ] { S˙} t + [ K ] { S } t = { F } t Sostituendo:

258

8.113

ANALISI DINAMICA

1 1 Ê -------- [ M ] + --------- [ C ] { S } t + Dtˆ Á Dt 2 ˜ = 2Dt Ë ¯

8.114

1 2 Ê ˆ Ê 1 - [ C ]ˆ˜ { S } { F } t – Á [ K ] – --------2- [ M ]˜ { S } t – Á --------2- [ M ] – -------t – Dt 2Dt Dt Dt Ë ¯ Ë ¯

Posto: 1 1 [ M ] = --------2- [ M ] + --------- [ C ] 2Dt Dt 1 2 Ê ˆ Ê 1 - [ C ]ˆ˜ { S } {F } t = { F } t – Á [ K ] – --------2- [ M ]˜ { S } t – Á --------2- [ M ] – -------t – Dt 2Dt Dt Dt Ë ¯ Ë ¯

8.115

si ha:

[M ] { S } t + Dt = {F } t

8.116

da cui si ricava { S }t+Dt. Il metodo delle differenze centrali richiede la fattorizzazione di [ M ] e non di [K ]; se la matrice delle masse è diagonale (lumped mass), non è richiesta neanche la fattorizzazione. Il metodo richiede comunque un procedimento di partenza, poiché per t = 0 è necessario conoscere { S } – Dt .

Dt 2 { S } –Dt = { S } 0 – Dt { S˙} 0 + -------- { S˙˙} 0 2

8.117

Il passo di integrazione Dt deve essere scelto opportunamente; una scelta generalmente valida è:

T Dt £ Dt crit = -----np

8.118

dove Tn è il periodo più piccolo del sistema.

259

ANALISI DINAMICA

Tab. 8.1 – Metodo delle differenze centrali - Algoritmo di calcolo 1. CALCOLARE [K ], [ M ], [C ] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { S˙} 0, { S˙˙} 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE DT (< DTCRIT) 4. CALCOLARE 1 c 0 = -------Dt 2

1 c 1 = --------2Dt

2 c 2 = --------Dt 2

Dt 2 c 3 = --------2

{ S } –Dt = { S } 0 – Dt { S˙} 0 + c 3 { S˙˙} 0 [ M ] = c0 [ M ] + c1 [ C ]

5. FATTORIZZARE [ M ] = [ L ][ D ][ L ]T

per t = Dt, 2Dt, º, T : 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE { F } t = { F } t – ( [ K ] – c 2 [ M ] ) { S } t – ( c 0 [ M ] + ( – c 1 [ C ] ) ) { S } t – Dt

7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t + D t [ L ] [ D ] [ L ] T { S } t + Dt = {F } t

8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE { S˙˙} t = c 0 ( { S } t – Dt – 2 { S } t + { S } t + Dt ) { S˙} t = c 1 ( – { S } t – Dt + { S } t + Dt )

260

ANALISI DINAMICA

8.9.2 Metodi impliciti - Metodo di Houbolt

Fig. 8.7 – Metodo di Houbolt: legge degli spostamenti.

Si assume:

1 { S˙˙} t + Dt = -------2- ( 2 { S } t + Dt – 5 { S } t + 4 { S } t –D t – { S } t –2D t ) Dt 8.119 1 ˙ { S } t + Dt = --------- ( 11 { S } t + Dt – 18 { S } t + 9 { S } t – Dt – 2 { S } t –2D t ) 6Dt Gli spostamenti incogniti { S } t + Dt al tempo t + Dt si ottengono dall’equazione di equilibrio scritta al tempo t + Dt. Si ottiene: 5 11 3 2 Ê -------Ê ---------------- [ C ] + [ K ]ˆ˜ { S } - [ M ] + ----- [ C ]ˆ˜ { S } + Á Dt 2- [ M ] + 6Dt t + Dt = { F } t + Dt + Á Dt 2 t Dt Ë ¯ Ë ¯

8.120

1 3 1 Ê 4 Ê -------- [ C ]ˆ˜ { S } - [ M ] + --------- [ C ]ˆ˜ { S } – Á --------2- [ M ] + -------t – Dt + Á Dt 2 t – 2Dt 2Dt 3Dt Dt Ë ¯ Ë ¯

Posto: 11 2 [K ] = --------2- [ M ] + --------- [ C ] + [ K ] 6Dt Dt 3 Ê 5 - [ C ]ˆ˜ { S } + {F } t + Dt = { F } t + Dt + Á --------2- [ M ] + ---t Dt Dt Ë ¯

8.121

1 3 1 Ê 4 Ê -------- [ C ]ˆ˜ { S } - [ M ] + --------- [ C ]ˆ˜ { S } – Á --------2- [ M ] + -------t – Dt + Á Dt 2 t – 2Dt 2Dt 3Dt Dt Ë ¯ Ë ¯

si ha:

[K ] { S } t + Dt = {F } t + Dt

8.122

da cui si ricava { S }t+Dt. Il metodo di Houbolt richiede la fattorizzazione di [ K ] . 261

ANALISI DINAMICA

Inoltre il metodo richiede un procedimento speciale di partenza per calcolare { S } Dt e { S } 2Dt ; normalmente si utilizza il metodo delle differenza centrali, con un passo di integrazione pari ad una frazione di Dt. Tab. 8.2 – Metodo di Houbolt - Algoritmo di calcolo 1. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { S˙} 0, { S˙˙} 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE D t 4. CALCOLARE 2 11 5 3 c 0 = --------- c 1 = --------- c 2 = -------- c 3 = ----6Dt Dt Dt 2 Dt 2 4 3 1 1 c 4 = – --------- c 5 = – --------- c 6 = --------- c 7 = --------2Dt 3Dt Dt 2 Dt 2 { S } Dt, { S } 2Dt (con il metodo delle differenze centrali) [K ] = [ K ] + c 0 [ M ] + c 1 [ C ]

5. FATTORIZZARE [K ] = [ L ] [ D ] [ L ] T

per t = Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE {F } t + Dt = { F } t + Dt + [ M ] ( c 2 { S } t + c 4 { S } t – Dt + c 6 { S } t – 2Dt ) + [C ] ( c 3 { S } t + c 5 { S } t – Dt + c 7 { S } t – 2Dt )

7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t + D t [ L ] [ D ] [ L ] T { S } t + Dt = {F } t + Dt

8. CALCOLARE, SE RICHIESTO, I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE { S˙˙} t + Dt = c 0 { S } t + Dt – c 2 { S } t – c 4 { S } t –D t – c 6 { S } t –2D t { S˙} t + Dt = c 1 ( { S } t + Dt – c 3 { S } t – c 5 S t – Dt ) – c 7 { S } t –2D t

262

ANALISI DINAMICA

8.9.3 Metodi impliciti - Metodo di Wilson-q Il metodo di Wilson-q è un’estensione del metodo dell’accelerazione lineare. L’accelerazione è assunta lineare tra t e t + qDt, con q ≥ 1 (con q = 1 si ha il caso dell’accelerazione lineare classica). Affinché il metodo sia incondizionatamente stabile si può dimostrare che deve essere q ≥ 1.37 , di solito si usa q = 1.40. Detta t la variabile tempo ( 0 £ t £ qDt ) , per l’inter vallo di tempo ( t ∏ t + qDt ) si ha:

t { S˙˙} t + t = { S˙˙} t + --------- ( { S˙˙} t + qDt – { S˙˙} t ) qDt

8.123

Fig. 8.8 – Metodo di Wilson-q: ipotesi di accelerazione lineare.

e integrando:

t2 { S˙} t + t = { S˙} t + { S˙˙} t t + ------------ ( { S˙˙} t + qDt – { S˙˙} t ) 2qDt { S }t + t

t3 1 = { S } t + { S˙} t t + --- { S˙˙} t t 2 + ------------ ( { S˙˙} t + qDt – { S˙˙} t ) 2 6qDt

8.124

e, al tempo t + qDt:

qDt { S˙} t + qDt = { S˙} t + --------- ( { S˙˙} t + qDt + { S˙˙} t ) 2 q 2 Dt 2 { S } t + qDt = { S } t + qDt { S˙} t + --------------- ( { S˙˙} t + qDt + 2 { S˙˙} t ) 6 e, risolvendo rispetto { S˙˙} t + qDt e { S˙} t + qDt in funzione di { S } :

8.125

t + qDt

6 6 - ( { S } t + qDt – { S } t ) – --------- { S˙} t – 2 { S˙˙} t { S˙˙} t + qDt = -------------2 2 qDt q Dt 8.126 3 qDt ˙˙ ˙ ˙ { S } t + qDt = --------- ( { S } t + qDt – { S } t ) – 2 { S } t – --------- { S } t qDt 2 263

ANALISI DINAMICA

Tab. 8.3 – Metodo di Wilson-q - Algoritmo di calcolo 1. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { S˙} 0, { S˙˙} 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE D t 4. CALCOLARE 6 c 0 = ---------------- c 1 = ( qDt ) 2 c c 5 = – ---2c6 = q

c 3 qDt --------- c 2 = 2c 1 c 3 = --------- c 4 = ---0q qDt 2 Dt Dt 2 3 1 – --- c 7 = ----- c 8 = --------6 2 q

( q = 1.4 )

[K ] = [ K ] + c 0 [ M ] + c 1 [ C ]

5. FATTORIZZARE [K ] = [ L ] [ D ] [ L ] T

per t = Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE {F } t + qDt = { F } t + q ( { F } t + Dt – { F } t ) + [ M ] ( c 0 { S } t + c 2 { S˙} t + 2 { S˙˙} t ) + [ C ] ( c 1 { S } t + 2 { S˙} t + c 3 { S˙˙} t )

7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t + D t [ L ] [ D ] [ L ] T { S } t + qDt = { F } t + qDt

8. CALCOLARE I VALORI DI SPOSTAMENTO, VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO t + Dt : { S˙˙} t + Dt = C 4 ( { S } t + qDt – { S } t ) + C 5 { S˙} t + C 6 { S˙˙} t { S˙} t + Dt = { S˙} t + C 7 ( { S˙˙} t + Dt + { S˙˙} t ) { S } t + Dt = { S } t + Dt { S˙} t + C 8 ( { S˙˙} t + Dt + 2 { S˙˙} t )

264

ANALISI DINAMICA

L’equazione di equilibrio al tempo t + qDt è:

[ M ] { S˙˙} t + qDt + [ C ] { S˙} t + qDt + [ K ] { S } t + qDt = { F } t + qDt { F } t + qDt = { F } t + q ( { F } t + Dt – { F } t )

8.127

Dalla 8.126 si ricava { S } t + qDt , dalla 8.125 si calcola { S˙˙} t + qDt ; quindi, posto

t = Dt , dalle 8.122 e 8.123 si ricavano { S } t + Dt, { S˙} t + Dt, { S˙˙} t + Dt .

8.9.4 Metodi impliciti - Metodo di Newmark Il metodo di Newmark è un’estensione del metodo dell’accelerazione lineare. Si assume:

{ S˙} t + Dt = { S˙} t + ( ( 1 – d ) { S˙˙} t + d { S˙˙} t + Dt )Dt 1 { S } t + Dt = { S } t + { S˙} t Dt + Ê Ê --- – aˆ { S˙˙} t + a { S˙˙} t + Dtˆ Dt 2 ¯ ËË2 ¯

8.128

con i parametri a e d da determinare in modo da ottenere precisione e stabilità nell’integrazione (con a = 1/6 e d = 1/2 si ha il metodo dell’accelerazione lineare; Newmark propose a = 1/4 e d = 1/2, cioè una accelerazione media costante).

Fig. 8.9 – Metodo di Newmark.

Le 8.128 sono utilizzate per descrivere { S˙˙} t + Dt e { S˙} t + Dt in funzione di { S } t + Dt , che è calcolato scrivendo l’equazione di equilibrio al tempo t + Dt:

[ M ] { S˙˙} t + Dt + [ C ] { S˙} t + Dt + [ K ] { S } t + Dt = { F } t + Dt

8.129

265

ANALISI DINAMICA

Tab. 8.4 – Metodo di Newmark - Algoritmo di calcolo 1. CALCOLARE [K], [M], [C] 2. INIZIALIZZARE { S } 0, { S˙} 0, { S˙˙} 0 3. SCEGLIERE IL PASSO DI INTEGRAZIONE D t ,a ,d d ≥ 0.50

a ≥ 0.25 ( 0.5 + d ) 2

4. CALCOLARE 1 d c 0 = ------------ c 1 = --------aDt aDt 2

1 c 2 = --------aDt

1 c 3 = ------- – 1 2a

Dt d d c 4 = --- – 1 c 5 = ----- Ê --- – 2ˆ c 6 = Dt ( 1 – d ) c 7 = dDt 2 Ëa ¯ a [K ] = [ K ] + c 0 [ M ] + c 1 [ C ]

5. FATTORIZZARE [K ] = [ L ] [ D ] [ L ] T

per t = Dt, 2Dt, º, T 6. CALCOLARE IL CARICO EFFICACE {F } t + Dt = { F } t + Dt + [ M ] ( c 0 { S } t + c 2 { S˙} t + c 3 { S˙˙} t ) + [ C ] ( c 1 { S } t + c 4 { S˙} t + c 5 { S˙˙} t )

7. RISOLVERE RISPETTO A { S } t + D t [ L ] [ D ] [ L ] T { S } t + Dt = {F } t + Dt

8. CALCOLARE I VALORI DI VELOCITÀ E ACCELERAZIONE AL TEMPO t + Dt { S˙˙} t + Dt = c 0 ( { S } t + Dt – { S } t ) – c 2 { S˙} t – c 3 { S˙˙} t { S˙} t + Dt = { S˙} t + c 6 { S˙˙} t + c 7 { S˙˙} t + Dt

266

ANALISI DINAMICA

ESEMPIO 8.3

Calcolare la risposta del sistema: ˙s˙+ s = 0

8.130

con s 0 = 1 e s˙0 = 0 , utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt, Wilson e Newmark. Confrontare i risultati numerici con la soluzione analitica. Le tabelle 8.5, 8.6, 8.7 illustrano i risultati ottenuti con i diversi metodi di integrazione, utilizzando rispettivamente un passo di integrazione Dt pari a 0.5, 1, 2.5.

Tab. 8.5 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1, Dt = 0.5

t 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 7.5 8.0 9.0 10.0

SOLUZIONE ANALITICA

1.000 0.878 0.540 0.071 0.416 –0.801 –0.990 –0.654 0.284 0.960 0.754 0.347 –0.146 –0.911 –0.839

NEWMARK

1.000 0.882 0.557 0.101 –0.379 –0.770 –0.980 –0.712 0.186 0.920 0.839 0.484 0.015 –0.822 –0.931

WILSON

1.000 0.882 0.561 0.114 –0.355 -0.741 –0.956 –0.738 0.103 0.844 0.858 0.563 0.144 –0.680 –0.916

HOUBOLT

1.000 0.875 0.531 0.069 –0.401 –0.779 –0.987 –0.784 0.006 0.743 0.865 0.655 0.317 –0.440 –0.814

DIFFERENZE CENTRALI

1.000 0.875 0.531 0.055 –0.436 –0.817 –0.994 –0.621 0.335 0.976 0.703 0.270 –0.230 –0.947 –0.776

267

ANALISI DINAMICA

Tab. 8.6 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1, Dt = 1.0

t

SOLUZIONE ANALITICA

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

1.000 0.540 –0.416 –0.990 –0.654 0.284 0.960 0.754 –0.146 –0.911 –0.839

NEWMARK

1.000 0.600 –0.280 –0.936 –0.843 –0.076 0.752 0.979 0.422 –0.472 –0.989

WILSON

1.000 0.588 –0.261 –0.883 –0.846 –0.215 0.526 0.849 0.553 –0.114 –0.658

HOUBOLT

1.000 0.500 –0.500 –1.167 –1.111 –0.463 0.321 0.782 0.721 0.266 –0.257

DIFFERENZE CENTRALI

1.000 0.500 –0.500 –1.000 –0.500 0.500 1.000 0.500 –0.500 –1.000 –0.500

Tab. 8.7 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.1, Dt = 2.5

t

SOLUZIONE ANALITICA

0 2.5 5.0 7.5 10.0

1.000 –0.801 0.284 0.347 –0.839

NEWMARK

1.000 –0.220 –0.904 0.616 0.633

WILSON

1.000 –0.627 –1.022 0.450 0.602

HOUBOLT

1.000 –0.904 0.636 0.945 0.155

DIFFERENZE CENTRALI

1.00 –2.13 8.03 –32.0 128

Le figure 8.10 e 8.11 illustrano la risposta del sistema ottenuta analiticamente e con i diversi metodi di integrazione, utilizzando rispettivamente un passo di integrazione Dt pari a 0.5 e 2.5.

268

ANALISI DINAMICA

Fig. 8.10 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione Dt = 0.5 .

Fig. 8.11 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione Dt = 2.5 .

269

ANALISI DINAMICA

La figura 8.12 illustra invece la risposta del sistema ottenuta utilizzando rapporto passo-periodo Dt § T = 0.01 . In quest’ultimo caso, con un passo di integrazione relativamente piccolo, i diversi metodi forniscono risultati che si confondono con quelli analitici. Utilizzando un passo più elevato, pari a Dt = 0.5 , ( Dt § T = 0.08 ), (fig. 8.10) il metodo delle differenze centrali e quello di Newmark forniscono ancora buoni risultati, mentre si ha un incremento del periodo ed una diminuzione dell’ampiezza per la riposte ottenute con i metodi di Wilson e di Houbolt: i due metodi introducono uno smorzamento artificiale (numerico) e questo fenomeno aumenta con l’aumentare del passo di integrazione; rispetto al metodo di Houbolt, il metodo di Wilson provoca un minor allungamento del periodo ed una minore diminuzione dell’ampiezza. L’uso di un passo di integrazione ancora più grande ( Dt = 2.5 , pari a Dt § T = 0.4 ), (fig. 8.11), rende il metodo delle differenze centrali instabile, fornendo risultati del tutto errati, con valori crescenti nel tempo.

Fig. 8.12 – Risposta del sistema dell’esempio 8.1, passo di integrazione Dt = 0.01 .

ESEMPIO 8.4

Calcolare la risposta del sistema: ˙s˙+ ks = f

270

8.131

ANALISI DINAMICA

con s 0 = 0 e s˙0 = 0 , utilizzando i metodi delle differenze centrali, Houbolt, Wilson e Newmark. Confrontare i risultati ottenuti con passi di integrazione Dt pari a 0.05, e 0.1 con la soluzione analitica: f s = -- ( 1 – cos ( kt ) ) k

8.132

Le tabelle 8.8 e 8.9, illustrano la risposta del sistema ottenuta con i diversi metodi di integrazione, rispettivamente per un passo di integrazione Dt pari a 0.05 e 0.1.

Tab. 8.8 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.2, Dt = 0.05

t 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

SOLUZIONE ANALITICA

0 0.124 0.480 1.023 1.688 2.391 3.046 3.572 3.903 3.998 3.847 3.467 2.905

NEWMARK

0 0.121 0.470 1.005 1.660 2.356 3.009 3.540 3.884 4.000 3.873 3.520 2.982

WILSON

0 0.122 0.468 0.996 1.643 2.330 2.976 3.506 3.856 3.985 3.879 3.550 3.039

HOUBOLT

0 0.125 0.484 1.022 1.670 2.350 2.986 3.504 3.849 3.984 3.894 3.593 3.116

DIFFERENZE CENTRALI

0 0.125 0.484 1.033 1.703 2.410 3.065 3.588 3.912 3.997 3.832 3.439 2.865

Tab. 8.9 – Soluzione del sistema dell’esempio 8.2, Dt = 0.05

t 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

SOLUZIONE ANALITICA

0 0.480 1.688 3.046 3.903 3.847 2.905

NEWMARK

0 0.444 1.580 2.903 3.824 3.934 3.185

WILSON

0 0.450 1.561 2.835 3.737 3.902 3.280

HOUBOLT

0 0.500 1.750 3.100 4.000 4.140 3.520

DIFFERENZE CENTRALI

0 0.500 1.750 3.125 3.938 3.781 2.734

271

ANALISI DINAMICA

Fig. 8.13 – Risposta del sistema dell’esempio 8.2, passo di integrazione Dt = 0.05 . Le figure 8.13, 8.14, illustrano l’andamento della risposta del sistema con i diversi metodi di integrazione.

Fig. 8.14 – Risposta del sistema dell’esempio 8.2, passo di integrazione Dt = 0.1 . 272

ANALISI DINAMICA

8.10 STABILITÀ E PRECISIONE DEI METODI DI INTEGRAZIONE DIRETTA Per stabilità si intende la condizione per cui un piccolo errore ad un passo temporale determina errori cumulativi più piccoli ai passi successivi. Precisione è la condizione per cui la soluzione, per metodi incondizionatamente stabili o, rispettando il limite di stabilità, anche per metodi condizionatamente stabili, pur essendo stabile, converge alla soluzione esatta. Le considerazioni che si possono fare sull’integrazione diretta sono più evidenti se trasferite alla soluzione delle equazioni disaccoppiate (un solo grado di libertà per equazione), che è come dire fare la sovrapposizione modale non utilizzando l’integrale di Duhamel, ma gli algoritmi classici dell’integrazione diretta. Ci si riferisce quindi all’equazione:

x˙˙ + 2xwx˙ + w 2 x = f

8.133

Stabilità e precisione sono caratteristiche dell’analisi dipendenti da Dt, x, w. Detto T il periodo della vibrazione libera non smorzata, il problema è quindi quello di valutare anche gli errori di integrazione in funzione di Dt/T, del rapporto di smorzamento critico x e del carico applicato f, in termini di distribuzione spaziale e temporale. Integrare con precisione tutte le n equazioni (disaccoppiate) richiede l’adozione di un passo di integrazione Dt minore del più piccolo periodo Ti del sistema (Tn ), si può stimare che Dt @ Tn § 10 . In molte analisi la risposta è data principalmente solo da alcuni modi di vibrare, è inoltre scarsamente giustificato includere i modi più alti, perché poco approssimati. Generalmente sono sufficienti i primi p modi di vibrare, dove p è generalmente determinato dalla distribuzione spaziale e dal contenuto in frequenza del carico f. Si può adottare allora Dt @ Tp § 10 . 8.10.1 Operatori di approssimazione e di carico Data l’equazione 8.133, si suppone di conoscere la soluzione ai tempi 0, Dt, 2Dt, 3Dt,..., t – Dt, t e di voler calcolare la soluzione a t+Dt. In questo caso si può stabilire una relazione del tipo:

{ x } t + Dt = [ A ] { x } t + { L }f t + v

8.134

con [ A ] operatore di approssimazione e { L } operatore di carico, dipendenti dallo schema di integrazione prescelto, e ft+v è il carico al tempo t+v, con v, a seconda del metodo di integrazione scelto, pari a 0, Dt o qDt. In generale, al tempo t+nDt, applicando ricursivamente la 8.134, si ha:

{ x } t + nDt = [ A ] n { x } t + [ A ] n – 1 { L }f t + v + [ A ] n – 2 { L }f t + Dt + v + + [ A ] { L }f t + ( n – 1 )Dt + v º

8.135

273

ANALISI DINAMICA

Come varia la risposta al variare del passo di integrazione, o meglio del suo rapporto rispetto al periodo di vibrazione Dt /T ? La stabilità è determinata attraverso l’esame del comportamento della soluzione numerica 8.135 per condizioni iniziali arbitrarie. Con carico nullo si ha:

{ x } t + nDt = [ A ] n { x } t

8.136

Occorre quindi fare una analisi di stabilità della 8.136 per i diversi metodi di integrazione. Decomposizione spettrale di [A]n

La decomposizione spettrale della matrice [ A ] è:

[ A ] n = [ P ] [ J ] n [ P ] –1

8.137

con [ P ] matrice degli autovettori di [ A ] e [ J ] forma Jordan di [ A ], con gli autovalori li di [A] sulla diagonale principale. Sia r([ A ]) il raggio spettrale di [ A]:

r([ A ]) = max( l i )

i = 1, 2, º, n

8.138

Si può dimostrare che:

[ J ]n è limitata per se e solo se r([ A ]) £ 1

nƕ

8.139

La 8.139 definisce il criterio di stabilità. Inoltre più piccolo è il raggio spettrale r([ A ]), più rapida è la convergenza. La stabilità del metodo dipende quindi dall’operatore di approssimazione. 8.10.2 Metodo delle differenze centrali Il metodo delle differenze centrali è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

x˙˙t + 2xwx˙t + w 2 x t = f t 1 x˙˙t = -------2- ( x t – Dt – 2x t + x t + Dt ) Dt 1 x˙t = --------- ( – x t – Dt + x t + Dt ) 2Dt Sostituendo nella prima e risolvendo per x t + Dt si ottiene:

274

8.140

ANALISI DINAMICA

2 – w 2 Dt 2 1 – xwDt Dt 2 x t + Dt = ------------------------ x t – ---------------------- x t – Dt + ---------------------- f t 1 + xwDt 1 + xwDt 1 + xwDt

8.141

che si può riscrivere in forma matriciale come:

2 – w 2 Dt 2 1 – xwDt Ï x t + Dt ¸ ------------------------ ---------------------Ì ý = 1 + xwDt 1 + xwDt Ó xt þ 1 0

Ï ¸ Ï Dt 2 ¸ Ô x t Ô Ô ---------------------- Ô Ì ý + Ì 1 + xwDt ý f t Ô Ô x t – Dt Ô Ô 0 þ Ó þ Ó

8.142

e:

2 – w 2 Dt 2 1 – xwDt – ---------------------[ A ] = -----------------------1 + xwDt 1 + xwDt 1 0 Ï Dt 2 ¸ Ô ---------------------- Ô { L } = Ì 1 + xwDt ý Ô Ô 0 Ó þ

8.143

8.10.3 Metodo di Houbolt Il metodo di Houbolt è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

x˙˙t + Dt + 2xwx˙t + Dt + w 2 x t + Dt = f t + Dt 1 x˙˙t + Dt = -------2- ( 2x t + Dt – 5x t + 4x t – Dt – x t – 2Dt ) Dt 1 x˙t + Dt = --------- ( 11x t + Dt – 18x t + 9x t – Dt – 2x t – 2Dt ) 6Dt

8.144

Sostituendo nella prima e risolvendo per x t + Dt si ottiene:

Ï x t + Dt ¸ Ï xt ¸ Ô Ô Ô Ô Ì x t ý = [ A ] Ì x t – Dt ý + { L } f t + Dt Ô Ô Ô Ô Ó x t – Dt þ Ó x t – 2Dt þ

8.145

con:

275

ANALISI DINAMICA

b 2c b 5b c – Ê 4 --------------cˆ ----------------------------+ 6 + 3 + -----2 Dt 2 Ë w 2 Dt 2 ¯ w 2 Dt 2 3 w [A] = 1 0 0 0 1 0 Ï b¸ Ô -----2- Ô Ôw Ô {L} = Ì ý Ô 0Ô Ô 0Ô Ó þ

8.146

2 11x b = Ê --------------+ ------------- + 1ˆ Ë w 2 Dt 2 3wDt ¯

–1

xb c = --------wDt

8.10.4 Metodo di Wilson - q Il metodo di Wilson - q è caratterizzato dalle seguenti equazioni:

t x˙˙t + t = x˙˙t + ( x˙˙t + Dt – x˙˙t ) ----Dt t2 x˙t + t = x˙t + x˙˙t t + ( x˙˙t + Dt – x˙˙t ) --------2Dt

8.147

1 t3 x t + t = x t + x˙t t + --- x˙˙t t 2 + ( x˙˙t + Dt – x˙˙t ) --------2 6Dt al tempo t + Dt, ponendo t = Dt si ha:

Dt x˙t + Dt = x˙t + ( x˙˙t + Dt + x˙˙t ) ----2 x t + Dt

Dt 2 = x t + ( 2x˙˙t + x˙˙t + Dt ) -------6

8.148

Ricordando che nel metodo di Wilson - q l’equazione di equilibrio è valutata al tempo t + qDt:

x˙˙t + qDt + 2xwx˙t + qDt + w 2 x t + qDt = f t + qDt

8.149

Sostituendo le 8.146 scritta al tempo t = qDt nella 8.148, risolvendo per la sola incognita x˙˙t + Dt e sostituendo successivamente nelle 8.147, si ottiene la relazione:

276

ANALISI DINAMICA

Ï x˙˙t + Dt ¸ Ï x˙˙t ¸ Ô Ô Ô Ô Ì x˙t + Dt ý = [ A ] Ì x˙t ý + { L } f t + qDt Ô Ô Ô Ô Ó x t + Dt þ Ó xt þ

8.150

con:

[A] =

bq 2 1 1 – --------- – --- – c q 3 q

1 ----- ( – bq – 2 c ) Dt

1 bq 2 c q Dt Ê 1 – ------ – --------- – ------ˆ Ë 6 2¯ 2q

1 -------- ( – b ) Dt 2

bq 1 – ------ – c 2

1 b ----- Ê – ---ˆ Dt Ë 2¯

1 1 bq 2 c q Dt 2 Ê --- – ------ – --------- – ------ˆ Ë 2 6q 18 6¯

bq c Dt Ê 1 – ------ – ---ˆ Ë 6 3¯

b 1 – --6

b ¸ Ï--------------Ôw 2 Dt 2Ô Ô Ô b Ô Ô--------------{L} = Ì 2 ý Ô2w DtÔ Ô b Ô Ô ---------- Ô Ó 6w 2 þ

8.151

xq 2 q 3 –1 q b = Ê ---------------- + ---------- + ----- ˆ Ë w 2 Dt 2 wDt 6 ¯ xb c = ---------wDt

8.10.5 Metodo di Newmark L’equazione di equilibrio è valutata al tempo t + Dt:

x˙˙t + Dt + 2xwx˙t + Dt + w 2 x t + Dt = f t + Dt

8.152

con velocità e spostamenti valutati a t + Dt come:

x˙t + Dt = x˙t + [ ( 1 – d )x˙˙t + dx˙˙t + Dt ]Dt 1 x t + Dt = x t + x˙t Dt + Ê --- – aˆ x˙˙t + ax˙˙t + Dt Dt 2 Ë2 ¯

8.153

Sostituendo le 8.153 nella 8.152, si ottiene la relazione:

Ï x˙˙t + Dt ¸ Ï x˙˙t ¸ Ô Ô Ô Ô Ì x˙t + Dt ý = [ A ] Ì x˙t ý + { L } f t + qDt Ô Ô Ô Ô Ó x t + Dt þ Ó xt þ

8.154

con:

277

ANALISI DINAMICA

[A] =

1 – Ê --- – aˆ b – 2 ( 1 – d ) c Ë2 ¯

1 ----- ( – b – 2 c ) Dt

1 --------- ( – b ) Dt 2

1 Dt 1 – d – Ê --- – aˆ db – 2 ( 1 – d )d c Ë2 ¯

1 – bd – 2d c

1 ----- ( – bd ) Dt

1 1 Dt 2 --- – a – Ê --- – aˆ ab – 2 ( 1 – d )a c Ë2 ¯ 2

Dt ( 1 – ab – 2a c )

1 – ab

b ¸ Ï--------------Ôw 2 Dt 2Ô Ô Ô bd Ô Ô -----------{L} = Ì 2 ý Ô w Dt Ô Ô ab Ô Ô ------- Ô Ó w2 þ

8.155

–1 2x 1 b = Ê ---------------- + ---------- + a ˆ Ë w 2 Dt 2 wDt ¯

xb c = ---------wDt

8.10.6 Analisi di stabilità Con il metodo delle differenze centrali, ad esempio, assumendo nullo lo smorzamento, si ha: 2 2 [ A ] = 2 – w Dt 1

–1 0

8.156

il polinomio caratteristico è

l 2 – ( 2 – w 2 Dt 2 )l + 1 = 0

8.157

e gli autovalori sono:

l 1, 2

Dt 2 Dt 2 2 2 – 4p 2 Ê -----ˆ ± 2 – 4p 2 Ê -----ˆ –4 Ë T¯ Ë T¯ = -------------------------------------------------------------------------------------------2

8.158

e il raggio spettrale di [ A]:

r([ A ]) = max ( l i ) ≥ 1

per

Dt 1 ----- ≥ --T p

8.159

Allo stesso modo per gli altri metodi si può ricavare un grafico di r([A]) in funzione di Dt /T (fig. 8.15). Per il metodo di Wilson - q si può valutare r([A]) in funzione di q e ottenere il risultato illustrato in fig. 8.16, per il metodo di Newmark si possono variare a e d e scoprire che il metodo è incondizionatamente stabile se:

d ≥ 0.5 278

a ≥ 0.25 ( d + 0.5 ) 2

8.160

ANALISI DINAMICA

per motivi di precisione si preferisce però usare valori di a e d di poco maggiore a a = 0.25 e d = 0.5.

Fig. 8.15 – Raggio spettrale dell’operatore di approssimazione x = 0 .

Fig. 8.16 – Raggio spettrale in funzione di q per il metodo di Wilson- q.

279

ANALISI DINAMICA

8.10.7 Analisi di precisione In un metodo incondizionatamente stabile (ma, rispettando il limite di stabilità, anche in uno condizionatamente stabile) il passo (time step) Dt deve essere dunque scelto sulla base della precisione ottenibile.

Fig. 8.17 – Errori di precisione.

Generalmente gli errori nel processo di integrazione nel tempo si riscontrano in termini di allungamento del periodo e di decadimento dell’ampiezza in una tipica risposta sinusoidale non smorzata (fig. 8.17). Integrando ad esempio ˙x˙ + w 2 x = 0 (risposta x = cos wt ) si ottengono le curve illustrate in figura 8.18. Le curve mostrano che, in generale, le integrazioni sono accurate quando tutto avviene Dt /T < 0.01. Il metodo di Wilson - q introduce meno decadimento di ampiezza ed allungamento del periodo (con q = 1.4) di quanto non faccia Houbolt. Il metodo di Newmark con d = 1/2 e a = 1/4 non introduce alcun decadimento di ampiezza. I metodi che provocano il decadimento dell’ampiezza di fatto filtrano le alte frequenze, come si fa con la sovrapposizione modale. Poiché a regime la struttura vibra con la frequenza della funzione forzante, nella scelta di Dt bisogna tener conto anche di questa. Fattore importante nella scelta di un appropriato modello agli elementi finiti è il fatto che solo i modi a frequenza più bassa (o solo pochi modi intermedi) di un sistema fisico saranno eccitati dai carichi applicati: il modello deve ben rappresentare questi modi e il Dt deve essere appropriato. 280

ANALISI DINAMICA

19.0

19.0 Houbolt

15.0

11.0

Wilson-q q = 1.4

D.A. x 100%

D.A. x 100%

11.0

Houbolt

15.0

7.0 5.0

7.0 Wilson-q q = 1.4

5.0 3.0

3.0 Newmark 1 1 d = ---, a = --2 4

1.0 0.02

0.06 0.10 0.14 0.18 Dt/T

1.0 0.02

0.06 0.10 0.14 0.18 Dt/T

Fig. 8.18 – Errore di precisione per i vari metodi di integrazione.

L’operatore di Newmark e gli altri metodi impliciti in genere deprimono le frequenze e quindi si adattano bene a matrici a massa distribuita (frequenze esaltate). Il metodo delle differenze centrali esalta le frequenze e può compensare gli errori dei modelli a masse concentrate (frequenze depresse). Quando si integra con non linearità occorre ricordare che siccome cambiano le matrici Dt può e deve cambiare.

281

9. APPENDICI

9.1 RICHIAMI DI CALCOLO MATRICIALE 9.1.1 Definizione di matrice Una matrice è una tabella ordinata di elementi, disposti secondo righe e colonne, che obbedisce a ben determinate regole algebriche. In generale una matrice consiste di n x m numeri disposti in n righe e m colonne, e viene indicata da una lettera maiuscola racchiusa tra parentesi quadre:

a 11 a 12 º a 1j º a 1m a 21 a 22 º a 2j º a 2m [A] =

º º º º º º a i1 a i2 º a ij º a im

9.1

º º º º º º a n1 a n2 º a nj º a nm dove [A] è una matrice avente n righe e m colonne o, più semplicemente, una matrice n x m, e aij (i = 1, n; j = 1, m) sono gli elementi della matrice. Gli elementi di una matrice possono essere quantità scalari, numeri complessi, simboli, o altre matrici, nel qual caso queste ultime sono chiamate sottomatrici.Le posizioni degli elementi di una matrice sono individuate da due pedici indicanti la riga e la colonna di appartenenza; ad esempio l’elemento aij si troverà nella posizione individuata dall’intersezione della riga i e della colonna j. Quando la matrice è formata da una sola riga di elementi ( n = 1) verrà detta matrice riga, mentre se è formata da una sola colonna di elementi (m = 1) verrà detta matrice colonna o più semplicemente vettore. Due matrici sono uguali se gli elementi corrispondenti sono uguali, se: 283

APPENDICI

[A] = [B]

9.2

allora:

( i = 1, n ;

a ij = b ij

j = 1, m )

9.3

Da notare che condizione necessaria affinché due matrici siano uguali è che abbiano lo stesso numero di righe e colonne. Quando in una matrice il numero di righe è uguale al numero delle colonne (n = m) essa è chiamata matrice quadrata. In una matrice quadrata la linea diagonale individuata dagli elementi con pedici uguali ( a11, a12 , ..., aii , ..., ann ) è chiamata diagonale principale. Una matrice quadrata in cui solo gli elementi sulla diagonale principale sono diversi da zero è chiamata matrice diagonale:

a 11 0 º 0 º 0 0 a 22 º 0 º 0 [A] =

º º ººº º 0 0 º a ij º 0

9.4

º º ººº º 0 0 º 0 º a nm Una matrice diagonale in cui tutti gli elementi sono uguali all’unità è chiamata matrice unitaria o matrice identità, ed è rappresentata dalla lettera I :

1 0 [I] = º 0 º 0

0 1 º 0 º 0

º º º º º º

0 0 º 1 º 0

º º º º º º

0 0 º 0 º 1

9.5

Una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono uguali a zero è chiamata matrice triangolare superiore, ed è rappresentata dalla lettera U:

284

APPENDICI

u 11 u 12 º u 1j º u 1m 0 u 22 º u 2j º u 2m º º º º º º 0 0 º u ij º u im

[U ] =

9.6

º º º º º º 0 0 º 0 º u nm Analogamente una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono uguali a zero è chiamata matrice triangolare inferiore, ed è rappresentata dalla lettera L:

l 11 0 º 0 º 0 l 21 l 22 º 0 º 0 [L] = º º º º º º l i1 l i2 º l ij º 0

9.7

º º ººº º l n1 l n2 º l nj º l nm T

Si definisce trasposta della matrice [ A ] la matrice [ A ] ottenuta scambiando le

righe e le colonne della matrice [ A ] :

a 11 a 21 º a i1 º a n1 a 12 a 22 º a i2 º a n2 º º º º º º a 1j a 2j º a ij º a nj

[A] =

9.8

º º º º º º a 1m a 2m º a im º a nm Se, data una matrice quadrata [ A ]:

[ A ] = [ A ]T

9.9

allora:

a ij = a ji

9.10

285

APPENDICI

e la matrice [ A ] è chiamata matrice simmetrica. Nel calcolo strutturale con l’applicazione dell’analisi matriciale assumono una grande importanza le matrici simmetriche a banda. Matrice banda significa che tutti gli elementi al di fuori dell’ampiezza di banda sono uguali a zero. Indicando con [ K ] una matrice banda simmetrica, è:

( j > i + mk )

k ij = 0

9.11

dove 2m k + 1 è l’ampiezza di banda della matrice [ K ] e mk è la semiampiezza di banda:

k 11 k 12 k 13 0 [K] =

0

0

k 21 k 22 k 23 k 24 0

0

k 31 k 32 k 33 k 34 k 35 0

9.12

0 k 42 k 43 k 44 k 45 k 46 0

0 k 53 k 54 k 55 k 56

0

0

diagonale principale

0 k 64 k 65 k 66 semiampiezza di banda

9.1.2 Addizione e sottrazione di matrici Due matrici [ A ] e [ B ] possono essere sommate se e solo se hanno lo stesso numero di righe e di colonne; la matrice [C ] risultante dall’operazione sulle precedenti, avrà lo stesso numero di righe e di colonne di [ A] e [ B ].

[C ] = [A] + [B]

9.13

La somma delle matrici è eseguita sommando gli elementi corrispondenti:

c ij = a ij + b ij

( i = 1, n ;

j = 1, m )

9.14

La somma di matrici gode della proprietà commutativa ed associativa:

[A] + [B] = [B] + [A] [A] + [B] + [C ] = ([A] + [B]) + [C ] = [A] + ([B] + [C ])

9.15 9.16

9.1.3 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare Una matrice [ A ] è moltiplicata per uno scalare k moltiplicando ciascun elemento della matrice per lo scalare k:

[C ] = k ◊ [A] 286

9.17

APPENDICI

dove:

c ij = k ◊ a ij

( i = 1, n ;

j = 1, m )

9.18

9.1.4 Moltiplicazione di matrici Il prodotto di due matrici [ A ] e [ B ]:

[C ] = [A] ◊ [B]

9.19

è definito se e solo se il numero di colonne della matrice [ A] che premoltiplica è uguale al numero di righe della matrice [ B ] che postmoltiplica; la matrice [C ] risultante avrà il numero di righe uguale a quello della matrice [ A] e il numero di colonne uguale a quello della matrice [ B ]. Se la matrice [ A] ha ordine p x n e la matrice [ A ] n x q, la matrice [ A] avrà ordine p x q e i suoi elementi sono ricavati come: n

c ij =

 aik bkj

( i = 1, p ;

j = 1, q )

9.20

k=1

cioè il generico elemento cij della matrice [C ] è dato dalla somma di prodotti degli elementi della riga i della matrice [A] e dei corrispondenti elementi della colonna j della matrice [B ]. Una forma mnemonica per eseguire il prodotto tra due matrici può essere la seguente: si dispone il alto a sinistra il primo fattore del prodotto, la matrice [ A], e in basso a destra il secondo fattore, la matrice [ B ], in modo da lasciare angolarmente fra le due lo spazio per la matrice risultante [C ].

a 11 a 12 º a 1n a 21 a 22 º a 1n º º º º a i1 a i2 º a in

c ij

º º º º a p1 a p2 º a pn b 11 b 12 º b 1j º b 1q b 21 b 22 º b 2j º b 2q º º º º º º b n1 b n2 º b nj º b nq 287

APPENDICI

L’elemento cij è quindi ottenuto individuando la riga i e la colonna j che si incrociano in corrispondenza di esso, e calcolando la somma dei prodotti degli elementi. Un caso particolare del prodotto di matrici è il prodotto tra una matrice [ A] e un vettore { x }: applicando la regola del prodotto si troverà che il risultato è un vettore dello stesso ordine di { x }.

[A] ◊ {x} = {B}

9.21

Il prodotto tra matrici non è commutativo:

[A] ◊ [B] π [B] ◊ [A]

9.22

Esso gode invece della proprietà associativa:

[A] ◊ [B] ◊ [C ] = ([A] ◊ [B]) ◊ [C ] = [A] ◊ ([B] ◊ [C ])

9.23

e distributiva:

([A] + [B]) ◊ [C ] = [A] ◊ [C ] + [B] ◊ [C ]

9.24

9.1.5 Differenziazione di una matrice Indicando con [ A] una matrice n x m, tale che ogni suo elemento è una funzione di variabili indipendenti x e y, la derivata parziale di [ A] rispetto a x è una matrice [ B ] n x m:

∂ [A] = [B] ∂x

9.25

i cui elementi sono calcolati come:

b ij =

∂a ij ∂x

( i = 1, n ;

j = 1, m )

9.26

9.1.6 Differenziazione di una espressione matriciale Valgono tutte le regole per la differenziazione delle ordinarie espressioni algebriche; in particolare per il prodotto, bisogna mantenere l’ordine del prodotto:

∂ ∂ ∂ ( [ A ] [ B ] ) = Ê [ A ]ˆ [ B ] + [ A ] Ê [ B ]ˆ Ë ∂x ¯ Ë ∂x ¯ ∂x

9.27

9.1.7 Integrazione di matrici Indicando con [ A] una matrice n x m, tale che ogni suo elemento è una funzione continua di x, l’integrale di [ A] rispetto in dx è una matrice [ B ] n x m: 288

APPENDICI

[B ] =

Ú [ A ] dx

9.28

i cui elementi sono calcolati come:

b ij =

Ú aij dx

( i = 1, n ;

j = 1, m )

9.29

9.1.8 Inversione di matrici L’operazione di inversione è definita solo per matrici quadrate non singolari, cioè per matrici quadrate in cui una delle righe (colonne) non sia combinazione lineare delle altre righe (colonne). Quest’ultima ipotesi viene tradotta nel fatto che il determinante della matrice non sia nullo. Assumendo che l’inversa della matrice [ A] esista, essa viene indicata con [ A]-1 ed è tale che:

[ A ] [ A ] –1 = [ I ]

oppure

[ A ] –1 [ A ] = [ I ]

9.30

Non rientra nei compiti di questa breve riepilogo descrivere come eseguire l’inversione di una matrice, esistono a tale scopo diversi algoritmi che permettono di risolvere questo problema. L’operazione di inversione permette formalmente di risolvere il sistema di equazioni:

[A] ◊ {x} = {B}

9.31

premoltiplicando entrambi i membri per [ A]-1:

[ A ] –1 [ A ] ◊ { x } = [ A ] –1 { B }

9.32

e notando che:

[ A ] [ A ] –1 = [ I ]

9.33

si ha che:

{ x } = [ A ] –1 { B }

9.34

Si tenga però ben presente che, nel calcolo numerico, gli algoritmi per la soluzione di sistemi lineari non utilizzano l’inversione della matrice dei coefficienti, né calcolano comunque la matrice inversa, ma seguono procedimenti più efficienti e rapidi.

9.2 INTEGRAZIONE NUMERICA Si è visto che nel calcolo della matrice di rigidezza di un elemento, ed in special modo nella formulazione isoparametrica, si deve ricorrere ad una valutazione

289

APPENDICI

numerica degli integrali in oggetto; nei casi mono-, bi- e tri-dimensionale si ha rispettivamente: mi

Úl f (x) dx = iÂ= 1wi f (xi ) + e mi

9.35

mj

ÚAf (x ,y) dx dy = iÂ= 1 jÂ= 1wi wj f ( xi ,yj ) + e mi

mj

9.36

mk

ÚVf (x ,y ,z) dx dy dz = iÂ= 1 jÂ= 1 kÂ= 1wi wj wk f ( xi ,yj ,zk ) + e

9.37

dove wi , wj , wk sono i coefficienti ponderali, f (xi ), f (xi , yj ), f (xi , yj , zk ) sono i valori delle funzioni integrande negli specifici punti xi, xi , yj, xi, yj , zk ed e rappresenta l'errore che si commette valutando numericamente l'integrale. Soffermandosi per semplicità di rappresentazione al caso monodimensionale, l'integrazione di f (x) in dx è basata essenzialmente sul determinare un polinomio g (x) passante per dati valori di f (x) e quindi calcolare l'integrale di g (x) in dx come valore approssimato di

Ú f ( x ) dx .

La determinazione di g(x) viene convenientemente effettuata mediante interpolazione lagrangiana: m

g (x) =

 f ( xi ) li (x)

9.38

i=1

ove xi è il generico punto di campionamento della funzione f (x), li (x) è il generico polinomio di Lagrange, g (x) è il polinomio interpolatore, ovviamente di grado m – 1. Sostanzialmente i metodi di integrazione numerica utilizzati sono due: il metodo di Newton-Cotes ed il metodo di Gauss, altrimenti detto anche metodo di Gauss-Legendre. 9.2.1 Metodo di Newton-Cotes Si assume che la posizione dei punti campione sia nota a priori e che siano equidistanti; ponendo:

a = x1

290

b = xm

b–a h = -----------n–1

9.39

APPENDICI

l'i-esimo punto avrà coordinata:

x i = x 1 + ( i – 1 )h

9.40

Si ricorda che: m

Ú f ( x ) dx = iÂ= 1wi f ( xi ) + e

9.41

Le uniche incognite da determinare per la soluzione dell'integrale sono i coefficienti ponderali wi. Questi vengono calcolati da: b

b

Úa

f (x) dx =

Úag (x) dx + e

9.42

ed esplicitando la g(x): m

b

Úaf (x) dx = iÂ= 1li (x) dx f ( xi ) + e

9.43

con:

’

"( k π i )

( x – xk )

l i (x) = ----------------------------------’ ( xi – xk )

9.44

"( k π i )

ovvero: m

b

Úaf (x) dx = ( b – a ) iÂ= 1wi f (xi ) + e

9.45

e: b

wi =

Úali (x) dx

9.46

dove wi sono le costanti di Newton-Cotes per l'integrazione numerica con m punti di campionamento ed e è l'errore commesso nel valutare l'integrale, errore dell'ordine di h m. Le costanti di Newton-Cotes per m da 1 a 7 sono riportate dalla tabella 9.1.

291

APPENDICI

È da notare che se m sono i punti di campionamento il polinomio interpolatore g(x), con cui si approssima l'integrale, sarà di grado m – 1. Ne consegue che con m punti di campionamento si integra esattamente una funzione di grado m – 1. Tab. 9.1 – Ascisse e pesi ponderali secondo il metodo di Newton-Cotes m

wi

2

1 --2

1 --2

3

1 --6

4 --6

1 --6

4

1 --8

3 --8

3 --8

1 --8

5

7 -----90

32 -----90

12 -----90

32 -----90

7 -----90

6

19 --------288

75 --------288

50 --------288

50 --------288

75 --------288

19 --------288

7

41 --------840

216 --------840

27 --------840

272 --------840

27 --------840

216 --------840

41 --------840

Si nota che m = 2 rappresenta la regola del trapezio, mentre il caso m = 3 è la regola di Simpson. 9.2.2 Metodo di Gauss-Legendre A differenza del metodo di Newton, nel metodo di Gauss sono incogniti sia i coefficienti ponderali wi che i punti di campionamento xi. Si hanno cioè 2m variabili, per cui la funzione f (x) potrà essere approssimata da un polinomio g (x) di grado 2m – 1. Ne segue che con m punti di campionamento si integra esattamente una funzione di grado 2m – 1. È quindi evidente il vantaggio dell'integrazione con il metodo di Gauss rispetto al metodo di Newton in quanto, a parità di approssimazione dell'integrale, è sufficiente un numero inferiore di punti di campionamento e di conseguenza un numero inferiore di valutazioni della funzione f (x), con evidente diminuzione dei tempi di calcolo. Per sintetizzare il procedimento seguito dal metodo di Gauss per la determinazione dei punti di campionamento e dei corrispondenti pesi ponderali, si può partire dall'interpolazione di Lagrange, nella quale però le ascisse xi sono incognite. Si definisce poi un polinomio:

292

APPENDICI

P (x) = ( x – x 1 ) ( x – x 2 )º ( x – x m )

9.47

dove x1, x2, ..., xm sono gli stessi punti dell'interpolazione Lagrangiana. Si costruisce allora la seguente funzione: m

 f ( xi ) li (x) + P (x) ◊ ( ao + a1 x + a2 x 2 + º + an – 1 x n – 1 )

F (x) =

9.48

i=1

di grado 2m – 1, e nella quale i termini a partire dal grado m compreso contengano i parametri incogniti ai. Eseguendo l'integrale di ambo i membri si ha: b

Úa

F (x) dx =

m

Â

i=1

f ( xi )

m–1

b

Úa

l i (x) dx +

Â

i=1

b

Úa

a i x i P (x) dx

9.49

Si impone ora che gli m integrali contenenti P(x) siano nulli: b

Úax i P (x) dx = 0

9.50

Occorre perciò trovare un insieme di valori di xi e cioè x 1* , x 2* , ..., x m* che rendono ciò possibile; la soluzione, che qui si tralascia di analizzare, si ottiene con l'aiuto dei polinomi di Legendre (motivo per il quale il metodo prende il nome di Gauss-Legendre). Nelle ascisse x i* così determinate, l'integrale della funzione interpolatrice F(x) vale: b

Úa

F (x) dx =

m

Â

b

Úa

f ( x i* ) l i (x) dx

i=1

9.51

e l'integrale a destra fornisce i valori dei pesi ponderali. La tabella 9.2 riassume i valori delle ascisse xi e dei pesi ponderali wi per un intervallo normalizzato di integrazione –1 £ x £ 1 e sino a quattro punti di campionamento. Le ascisse ed i pesi ponderali per un intervallo generico a – b sono:

a+b b–a x i* = ----------- + ----------- x i 2 2 b–a w i* = ----------- wi 2

9.52

293

APPENDICI

Tab. 9.2 – Ascisse e pesi ponderali secondo il metodo di Gauss m

1

2

3

xi

0

1 ± ------3

0

± 0.6

2

1

8/9

5/9

wi

4 3 + 4.8 ± --------------------7

3 – 4.8 ± -------------------7

1 30 --- – ---------2 36

1 30 --- + ---------2 36

9.2.3 Integrazione per triangoli Nel caso di elementi triangolari l'integrale della matrice di rigidezza, o delle altre grandezze caratteristiche, se espresso in termini di coordinate d'area, è della forma: 1

1

Ú–1 Ú–1 f (x, h) d x d h

9.53

Se la funzione integranda è del tipo:

f (x, h) = x a h b

9.54

l'integrale può essere calcolato abbastanza semplicemente: 1

1

Ú–1 Ú–1 ( xa hb ) d x d h

a!b! = ---------------------------( 2 + a + b )!

9.55

In altri casi si deve ricorrere all'integrazione numerica. La tabella 9.3 fornisce le ascisse (fig. 9.1) ed i pesi ponderali secondo il metodo di Hammer.

Fig. 9.1 – Punti di integrazione per elemento triangolare.

294

APPENDICI

Tab. 9.3 – Ascisse e pesi ponderali per integrazione su triangoli ORDINE

m

PUNTI

xi

hi

wi

LINEARE

1

a

1 --3

1 --3

1 --2

PARABOLICO

3

b

1 --2

1 --2

1 --6

0

1 --2

1 --2

0

1 --3

1 --3

1 --5

1 --5

3 --5

1 --5

1 --5

3 --5

CUBICO

4

c

27 – -----96

25 -----96

295

APPENDICI

9.3 PROGRAMMA DI CALCOLO Qui di seguito è riportato, a titolo di esempio, un programma di calcolo in MATLAB, per il calcolo, con integrazione numerica, della matrice di rigidezza di un elemento quadrangolare. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

programma per calcolare la matrice di rigidezza per un elemento isoparametrico 4 nodi. stato di tensione piano o stato di deformazione piano, con integrazione numerica differenziata per la parte flessionale e quella di taglio (normale, sottointegrata, selettiva) Definizione delle variabili: Dati di input: xc(4,3): el: rnu: rjac(2,2): rb(3,8): re(3,3): rn(4): der(2,4): gaussf(2,2):

% % gausst(2,2): % % % % % %

c1(3): rk(8,8): ngausf ngaust

% detj: % rh: %% itip = % itip = %% Integr % Integr % nodi = 4; el = 1; rnu = .3;

1 2 = 1: = 2:

xc(1, 1) = -1; xc(2, 1) = 1; xc(3, 1) = 1;

296

Coordinate X e Y dei nodi e spessore dell'elemento Modulo elastico Coefficiente di Poisson Matrice Jacobiana Matrice B Matrice di rigidezza del materiale Vettore delle funzioni di forma Matrice delle derivate delle funzioni di forma Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss) per la parte di flessione Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss) per la parte di taglio Vettore temporaneo Matrice di rigidezza dell'elemento numero di punti di integrazione (per la parte di flessione numero di punti di integrazione (per la parte di taglio) Determinante dello Jacobiano Spessore nel punto di integrazione Stato di tensione piano Stato di deformazione piano Integrazione normale (2 x 2) Integrazione ridotta (1 punto) % n. di nodi dell’elemento

% coordinate nodali

APPENDICI

xc(4, xc(1, xc(2, xc(3, xc(4, xc(1, xc(2, xc(3, xc(4,

1) 2) 2) 2) 2) 3) 3) 3) 3)

= = = = = = = = =

-1; -1; -1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;

% spessore ai nodi

integr=input ('integr. normale (1), sottointegr. (2) o selettiva (3)'); itip=input ('plane strain (1) o plane stress (2)'); % Coordinate e pesi di integrazione (metodo di Gauss) [ngausf,ngaust, gaussf,gausst,integr_str]=gauss_p(integr); % Calcolo della matrice E del materiale [re,itip_str]=mater(itip, el, rnu); % Calcolo della matrice di rigidezza [rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngausf,ngaust, gaussf,gausst);

function [ngausf,ngaust,gaussf,gausst,integr_str]=gauss_p(integr); % % inizializza i punti di integrazione di Gauss, con 1 o 2 punti di GAUSS % % funzione: [ngauss,gauss]=gauss_p(integr) % % Parametri di input : - integr - n. punti di integrazione % % Parametri di output: - ngausf - n. punti di integrazione (per la % parte di flessione % - ngaust - n. punti di integrazione (per la % parte di taglio) % - gaussf - matrice dei punti e dei pesi di Gauss (flessione) % % - gausst - matrice dei punti e dei pesi di Gauss (taglio) % % if integr = = 2 ngausf = 1; ngaust = 1; gaussf(1, 1) = 0;

297

APPENDICI

gaussf(2, 1) = 2; gausst(1, 1) = 0; gausst(2, 1) = 2; integr_str='Sottointegrazione 1 x 1'; elseif integr = = 3 ngausf = 2; ngaust = 1; gaussf(1, 1) = -1 / sqrt(3); gaussf(1, 2) = -gaussf(1, 1); gaussf(2, 1) = 1; gaussf(2, 2) = 1; gausst(1, 1) = 0; gausst(2, 1) = 2; integr_str='Integrazione selettiva 2 x 2 + 1 x 1'; elseif integr = = 1 integr=1; ngausf = 2; ngaust = 2; gaussf(1, 1) = -1 / sqrt(3); gaussf(1, 2) = -gaussf(1, 1); gaussf(2, 1) = 1; gaussf(2, 2) = 1; gausst(1, 1) = -1 / sqrt(3); gausst(1, 2) = -gausst(1, 1); gausst(2, 1) = 1; gausst(2, 2) = 1; integr_str='Integrazione normale 2 x 2'; end

function [re,itip_str]=mater(itip, el, rnu); % % inizializza la matrice E delle caratteristiche del materiale % % % funzione: [re,itip_str]=mater(itip, el, rnu) % % Parametri di input : - itip - 1 = stato di tensione piano, % 2 = stato di deformazione piano % - el - Modulo elastico % - rnu - Modulo di Poisson % % Parametri di output: - re - matrice del materiale % if itip == 2 ae = el / (1 - rnu ^ 2); re(1, 1) = ae; re(1, 2) = rnu * ae; re(2, 1) = rnu * ae; re(2, 2) = ae;

298

APPENDICI

re(3, 3) = ae * (1 - rnu) / 2; itip_str='plane stress'; else itip=1; ae = el / ((1 + rnu) * (1 - 2 * rnu)); re(1, 1) = ae * (1 - rnu); re(1, 2) = rnu * ae; re(2, 1) = rnu * ae; re(2, 2) = ae * (1 - rnu); re(3, 3) = ae * (1 - 2 * rnu) / 2; itip_str='plane strain'; end

function [rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngausf,ngaust, gaussf,gausst); % % calcola la matrice di rigidezza di un elemento isoparametrico % a 4 nodi % (stato di tensione piano o stato di deformazione piano, con % integrazione numerica con 1 o 2 punti di Gauss) % % funzione: [rk,rkf,rkt]=stiff4(nodi, xc, re, ngauss, gaussf,gausst) % % Parametri di input : - nodi - n. dei nodi dell’elemento % - xc - coordinate nodali e spessori nodali % - re - matrice del materiale % - ngausf - n. di punti di integrazione % (flessione) % - ngaust - n. di punti di integrazione (taglio) % - gaussf - matrice dei punti e dei pesi di Gauss (flessione) % % - gausst - matrice dei punti e dei pesi di Gauss (taglio) % % % Parametri di output: - rk - matrice di rigidezza % - rkf - matrice di rigidezza (parte flessionale) % - rkt - matrice di rigidezza parte di taglio % rk=zeros(8,8); rkf=zeros(8,8); rkt=zeros(8,8); % % integrazione parte flessionale %

299

APPENDICI

for ig = 1 : ngausf; xg = gaussf(1, ig); for jg = 1 : ngausf; yg = gaussf(1, jg); [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg, yg, xc); w = gaussf(2, ig) * gaussf(2, jg) * rh*detj; for ia = 1 : 2 * nodi; for ib = 1 : 2; c1(ib) = 0; for ic = 1 : 2; c1(ib) = c1(ib) + re(ib, ic) * rb(ic, ia); end end for ie1 = ia : 2 * nodi; s = 0; for ic = 1 : 2; s = s + rb(ic, ie1) * c1(ic); end rkf(ie1, ia) = rkf(ie1, ia) + s * w; end end end end for i = 1 : 8; for j = i : 8; rkf(i, j) = rkf(j, i); end end % % integrazione parte di taglio % for ig = 1 : ngaust; xg = gausst(1, ig); for jg = 1 : ngaust; rb=zeros(3,8); rjac=zeros(2,2); yg = gausst(1, jg); [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg, yg, xc); w = gausst(2, ig) * gausst(2, jg) * rh *detj; for ia = 1 : 2 * nodi; for ib = 3 : 3; c1(ib) = 0; for ic = 3 : 3; c1(ib) = c1(ib) + re(ib, ic) * rb(ic, ia); end end for ie1 = ia : 2 * nodi; s = 0; for ic = 3 : 3; s = s + rb(ic, ie1) * c1(ic); end

300

APPENDICI

rkt(ie1, ia) = rkt(ie1, ia) + s * w; end end end end for i = 1 : 8; for j = i : 8; rkt(i, j) = rkt(j, i); end end for i = 1 : 8; for j = 1 : 8; rk(i, j) = rkf(i, j) + rkt(j, i); end end

function [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg,yg, xc); % % calcola le funzioni di forma, le derivate e lo jacobiano di un % elemento % isoparametrico a 4 nodi % % funzione: [rb,detj,rh]=funzione_4(nodi, xg,yg, xc) % % Parametri di input : - nodi - n. dei nodi dell’elemento % - xg - x-coord. del punto di integrazione % - yg - y-coord. del punto di integrazione % - xc - coordinate nodali e spessori nodali % % Parametri di output: - rb - matrice di deformazione % - detj - determinante dello jacobiano % - rh - spessore % rh = 0; rb=zeros(3,8); rjac=zeros(2,2); r1 = 1 + xg; r2 = 1 - xg; r3 = 1 + yg; r4 = 1 - yg; rn(1) = .25 * r2 * r4; rn(2) = .25 * r1 * r4; rn(3) = .25 * r1 * r3; rn(4) = .25 * r2 * r3; der(1, 1) = -.25 * r4; der(1, 2) = .25 * r4; der(1, 3) = .25 * r3; der(1, 4) = -.25 * r3; der(2, 1) = -.25 * r2;

301

APPENDICI

der(2, 2) = -.25 * r1; der(2, 3) = .25 * r1; der(2, 4) = .25 * r2; for iz = 1 : nodi; rjac(1, 1) = rjac(1, 1) + der(1, iz) * xc(iz, 1); rjac(1, 2) = rjac(1, 2) + der(1, iz) * xc(iz, 2); rjac(2, 1) = rjac(2, 1) + der(2, iz) * xc(iz, 1); rjac(2, 2) = rjac(2, 2) + der(2, iz) * xc(iz, 2); end detj = rjac(1, 1) * rjac(2, 2) - rjac(2, 1) * rjac(1, 2); dum = rjac(1, 1) / detj; rjac(1, 1) = rjac(2, 2) / detj; rjac(1, 2) = -rjac(1, 2) / detj; rjac(2, 1) = -rjac(2, 1) / detj; rjac(2, 2) = dum; for iz = 1 : nodi; ih = 2 * iz; for iu = 1 : 2; rb(1, ih - 1) = rb(1, ih - 1) + rjac(1, iu) * der(iu, iz); rb(2, ih) = rb(2, ih) + rjac(2, iu) * der(iu, iz); rb(3, ih) = rb(3, ih) + rjac(1, iu) * der(iu, iz); rb(3, ih - 1) = rb(3, ih - 1) + rjac(2, iu) * der(iu, iz); end rh = rh + rn(iz) * xc(iz, 3); end

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10. BIBLIOGRAFIA

Per ulteriori approfondimenti si riporta qui di seguito una bibliografia essenziale: 1. Irons B., Nigel S., Finite element primer, Horwood, Chichester, 1983 p. 157. 2. Gallagher R. H., Finite element analysis: fundamentals, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975, p. 420. 3. Cook R. D., Malkus D. S., Plesha M. E., Concepts and applications of finite element analysis - 3rd ed., Wiley, New York, 1989, p. 630. 4. Bathe K. J., Finite element procedures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 1037. 5. Zienkiewicz O. C., Taylor R.L., The finite element method - 5th ed., ButterworthHeinemann, Oxford, 2000, 3 v. 1, p. 689; 2, p. 459; 3, p. 334. 6. Ross C. T. F., Finite element methods in structural mechanics, Horwood, Chichester, 1985, p. 319. 7. Dhatt G., Touzot G., The finite element method displayed, Wiley, Chichester, 1984. 8. Hinton E., Owen D.R.J., An introduction to finite element computations, Pineridge, Swansea, 1979, p. 385. 9. Petyt M., Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1990, p. 558.

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