Électronique - fondements et applications 978-2-10-058115-3

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Électronique Fondements et applications Avec 250 exercices et problèmes résolus

Électronique Fondements et applications Avec 250 exercices et problèmes résolus 2e édition

José-Philippe PÉREZ Professeur émérite à l’université Paul-Sabatier de Toulouse

Christophe LAGOUTE Professeur au lycée Bellevue de Toulouse

Jean-Yves FOURNIOLS Professeur à l’INSA de Toulouse

Stéphane BOUHOURS Professeur au lycée Pierre de Fermat de Toulouse

© Dunod, Paris, 2006, 2012 pour la nouvelle édition ISBN 978-2-10-058115-3

Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

Les grands noms de l’électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

Constantes physiques, notations et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xviii

Description de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxii

L’électronique en vingt questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xxv

Introduction expérimentale : Oscilloscopes et multimètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii I . — Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii II . — L’oscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix III . — Les multimètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire I . — Dipôles en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . — Différents types de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

III . — Lois de Kirchhoff en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

IV . — Associations de dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . — Aspects énergétiques en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 29 33

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire I . — Lois de Kirchhoff en régime quasi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

II . — Signal sinusoïdal en notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III . — Lois de base en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 51

IV . — Puissance en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . — Circuits électriques en triphasé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 64

VI . — Distribution d’électricité et problèmes de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 76

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance I . — Oscillateur harmonique en électricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . — Oscillateurs amortis par un élément résistif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 87

III . — Oscillations électriques forcées. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

IV . — Amplitude de l’entrée indépendante de la pulsation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . — Circuit résonnant parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 104 108

vi

Table des matières

4. Régimes transitoires I . — Étude expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

II . — Établissement d’un régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

III . — Établissement d’un régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

IV . — Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

V . — Utilisation de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 143

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires I . — Théorèmes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

II . — Cas des sources commandées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

III . — Analyse des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

IV . — Utilisation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170 175

6. Fonctions de transfert. Quadripôles I . — Systèmes électroniques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

II . — Quadripôles et filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

III . — Association en cascade de filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

IV . — Caractéristiques des quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198 203

7. Composants électroniques I . — Résistors, condensateurs et quartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

II . — Bobines et transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

III . — Diodes semiconductrices et thyristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222

IV . — Piles et accumulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

V . — Transistors bipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

VI . — Transistors à effet de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 252

8. Amplificateur opérationnel : montages de base I . — Description et représentation de l’AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

II . — Électronique non linéaire avec AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

III . — Électronique linéaire à base d’AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270

IV . — Réalisation d’impédances à l’aide d’AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

V . — Imperfections de l’AO en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288 295

9. Amplificateur opérationnel : compléments I . — Amplificateur à très fort gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

II . — Amplificateur d’instrumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305

III . — Montages à rétroaction négative avec diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

IV . — Influence des imperfections de l’AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314 319

vii

Table des matières 10. Filtres actifs I . — Propriétés des filtres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

II . — Filtres actifs d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332

III . — Synthèse de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

346

11. Oscillations couplées en électricité I . — Circuits couplés en régime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

353

II . — Modes propres ou normaux de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

360

III . — Modes de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

IV . — Système de deux circuits couplés en régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

V . — Couplage entre plusieurs oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371 376

12. Effets non linéaires en électronique I . — Systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

380

II . — Transfert non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389

III . — Génération d’harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

398

IV . — Effets non linéaires sur un oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

405

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421

13. Rétroaction. Application aux asservissements I . — Rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

428

II . — Rétroaction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

432

III . — Analyse en électronique et en automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

436

IV . — Stabilité des systèmes à rétroaction négative

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438

V . — Réalisation de la rétroaction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

444

VI . — Applications physiques des asservissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

447

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

453

14. Oscillateurs électriques I . — Différents types d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459

II . — Oscillateurs quasi sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

463

III . — Oscillateurs de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

475

IV . — Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

481

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

15. Signaux déterministes I . — Rappels sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II . — Systèmes causaux

491

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

496

III . — Propriétés énergétiques des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

500

IV . — Numérisation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

503

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

508

viii

Table des matières

16. Modulation et démodulation I . — Chaîne de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

513

II . — Modulation et démodulation d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

514

III . — Modulation d’argument ou angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

526

IV . — Modulation et démodulation spatiales en optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

532 538

17. Signaux aléatoires et bruits I . — Statistique des signaux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

542

II . — Différents types de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

545

III . — Bruit dans les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

551

IV . — Bruit dans les composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

557 563

18. Notions d’électronique numérique I . — Numération et algèbre binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

569

II . — Opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

575

III . — Technologie des portes logiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

589

IV . — Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

594 599

19. Conversions analogique-numérique I . — Conversion analogique numérique ou CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

604

II . — Conversion numérique analogique ou CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

619

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

625

20. Théorie de la communication de Shannon I . — Information manquante associée à une source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

629

II . — Information mutuelle de deux sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

636

III . — Canaux de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

645

Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

654

Annexe 1. Outils mathématiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

660

I . — Rappels de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

660

II . — Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

661

III . — Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

663

IV . — Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

665

V . — Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

667

VI . — Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

672

Annexe 2. Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676

I . — Séries de Fourier de fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676

II . — Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

680

III . — Transformée de Fourier numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

691

Table des matières

ix

Annexe 3. Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

697

I . — Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

697

II . — Signaux électroniques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

704

Annexe 4. Fonction Gamma et fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

708

I . — Fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

708

II . — Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

710

Annexe 5. Lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

713

I . — Langage des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

713

II . — Théorie des probabilités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

714

III . — Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

715

IV . — Différentes lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

718

Annexe 6. Simulation des circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

I . — Simulations SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

724

II . — Conception d’un conformateur sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

727

III . — Oscillateur à comportement chaotique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

734

Réponses aux vingt questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

746

Solutions des exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

749

Glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

852

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

854

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

857

La culture doit rester au-dessus de toute technique, mais elle doit incorporer à son contenu la connaissance et l’intuition des schèmes véritables des techniques. Gilbert Simondon, Du mode d’existence des objets techniques, Paris, Aubier, 1958, page 227.

Avant-propos Ce cours, intitulé Électronique, fondements et applications, correspond globalement à l’enseignement des circuits électriques et de l’électronique donné en licence et master de physique (L1, L2, L3, M1) de l’Université Paul Sabatier, et en Classes Préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques (CPGE) pour les parties élémentaires. Comme pour les autres ouvrages de la même collection de physique « Fondements et applications », il nous a paru intéressant de le découper en leçons progressives et quasi autonomes. On peut y distinguer trois groupes de leçons. Dans le premier, on trouve les thèmes classiquement étudiés en première année L1, ou première année des CPGE, c’est-à-dire les lois de base appliquées aux circuits, en relation avec l’électromagnétisme ; il s’agit précisément des lois de Kirchhoff en régime stationnaire, en régime quasi stationnaire, des oscillations électriques forcées, de la résonance, des régimes transitoires, des théorèmes fondamentaux des circuits linéaires (de Thévenin, de Norton, etc.) et des fonctions de transfert des circuits passifs. Dans le deuxième, les thèmes sont ceux couramment enseignés en deuxième année L2 de la licence de physique et en deuxième année des CPGE. On y développe les composants, les amplificateurs opérationnels, les filtres actifs, les oscillateurs couplés et la rétroaction. Enfin, dans le troisième groupe, on a rassemblé tous les thèmes généralement étudiés en troisième et dernière année L3 de la licence, voire en master, c’est-à-dire les effets non linéaires dans les circuits, les oscillateurs électriques sinusoïdaux et de relaxation, les signaux déterministes, la modulation et la démodulation. En outre, on y trouve des thèmes exigés dans des formations spécialisées ou approfondies, notamment à la préparation à l’agrégation de physique, précisément l’électronique logique et numérique, la conversion analogique-numérique, le bruit et la théorie de la communication de Shannon. Cette troisième partie rend incontestablement les objectifs de l’ouvrage ambitieux. Cependant, elle nous a semblé indispensable pour éviter qu’un ouvrage publié aujourd’hui sous le nom Électronique n’apparaisse pas trop éloigné des préoccupations actuelles dans ce domaine. Nous avons tenté de rendre compatible le respect des programmes d’enseignement de la nouvelle licence de physique en trois ans et la nécessaire actualisation de l’électronique. Mises à part l’organisation

Avant-propos

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en leçons quasi autonomes (le renvoi à des formules éloignées est pratiquement inexistant), l’illustration par de nombreux exemples numériques et la volonté de ne proposer qu’un seul ouvrage, cet effort a notamment porté sur les points suivants : i) L’analyse physique des lois des circuits et la démonstration de tous les théorèmes dérivés (Millman, Thévenin, Boucherot), le plus souvent à partir des publications originales ; on a ainsi volontairement rompu avec le point de vue des adeptes de la pédagogie du seul savoir-faire. ii) La volonté de considérer l’électronique comme un excellent et efficace développement de la physique, et non comme une spécialité autonome, peu rigoureuse, n’exigeant qu’un enseignement pratique. L’ouvrage s’adresse principalement aux étudiants : il doit donc être clair, efficace, peu coûteux, et ne pas être un formulaire « sans physique » ou un recueil d’exercices calculatoires « sans intérêt ». Les exercices proposés à la fin des chapitres décrivent des situations physiques concrètes. Leurs solutions suffisamment détaillées, données à la fin de l’ouvrage, ou sur le site web : http ://www.ast.obs-mip.fr/perez permettront à l’étudiant, et plus largement à l’autodidacte, de tester sa propre compréhension du cours, de prolonger sa réflexion et de développer son autonomie. Nous pensons ainsi avoir rassemblé, dans un seul livre, les éléments indispensables à l’acquisition d’un savoir et d’un savoir-faire en électronique. Ce livre doit beaucoup aux étudiants de la licence de physique, des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles, de l’INSA de Toulouse, aux agrégatifs de physique, ainsi qu’à tous nos collègues enseignants. Nous les remercions pour leurs remarques et commentaires constructifs. Les auteurs, Mai 2006

Les grands noms de l’électronique André Marie Ampère Physicien français, né à Lyon en 1775 et mort à Marseille en 1836. À la fois mathématicien, mécanicien, chimiste, il enseigne également la philosophie à la faculté des lettres de Paris. Ses principales découvertes concernent l’électricité : loi des actions électrodynamiques, hypothèse des courants dans la matière ; on lui doit les termes de courant et tension pour désigner ces grandeurs électriques. Il devient membre de l’Académie des Sciences en 1814, puis professeur au Collège de France en 1824. John Bardeen Physicien américain, né à Madison en 1908 et mort à Boston en 1991. Il contribue de façon décisive à l’essor de deux grands domaines au milieu du XX e siècle : les semiconducteurs et la supraconductivité, ce qui lui valut deux prix Nobel de physique, le premier en 1956 pour la mise au point du transistor à germanium avec W. Brattain et W. Shockley, et le second en 1972 qu’il partage avec L. Cooper et J. Schrieffer pour la théorie de la supraconductivité dite désormais BCS en hommage à ses auteurs. Heinrich Georg Barkhausen Ingénieur allemand, né à Brême en 1881 et mort à Dresde en 1956. Après des études d’ingénieur, il est nommé en 1911 professeur de physique à l’université de Dresde. Il est connu en électronique pour avoir produit, avec son collègue K. Kurz, des micro-ondes en faisant osciller le courant dans une triode à vide. En physique, il a étudié et mis en évidence, par voie acoustique, le processus d’aimantation des corps ferromagnétiques (cf. Électromagnétisme). Alexander Graham Bell Physicien et inventeur américain, d’origine écossaise, né à Edimbourg en 1847 et mort au Canada, près de Baddeck, en 1922. Après un travail sur la phonétique et sur le langage des signes pour les sourdsmuets, il devient professeur de physiologie vocale à Boston et met au point une oreille artificielle, ce qui le conduit naturellement à l’invention du téléphone en 1876. Cette invention lui rapporte une fortune qu’il consacre à des actions humanitaires et à des projets scientifiques dans lesquels il fait preuve de capacités inventives exceptionnelles. Hendrik W. Bode Électronicien américain, né à Madison dans le Wisconsin en 1905 et mort à Madison en 1982. Dès 1926, il entre au laboratoire de la compagnie Bell Telephon ; il passe sa thèse en 1935 à l’Université de Colombia. Il est notamment l’auteur d’un ouvrage sur les circuits linéaires électriques qu’il décrit à l’aide de deux graphes donnant le module et la phase du facteur d’amplification des circuits en fonction de la fréquence.

Les grands noms de l’électronique

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Paul Boucherot Ingénieur français, né en 1869 et mort en 1943. Il est connu pour ses travaux sur la distribution de puissance électrique dans les circuits et réseaux électriques, notamment pour le théorème qu’il énonce pour la première fois au Congrès International de l’Électricité en 1900 : dans un circuit, la somme des puissances actives et la somme des puissances réactives sont nulles (cf. chapitre 2). Édouard Branly Physicien français, né à Amiens en 1844 et mort à Paris en 1940. À la sortie de l’École Normale Supérieure, il exerce des fonctions de professeur de lycée. Après sa thèse en 1873, où il fait preuve de grandes qualités expérimentales, il est nommé Directeur adjoint du laboratoire de Physique de la Sorbonne. Catholique convaincu, il devient professeur de l’Institut Catholique de Paris en 1875. Il est surtout connu pour le détecteur d’ondes électromagnétiques, le radioconducteur ou cohéreur à limaille, qu’il invente en 1890 ; ce dispositif est un tube isolant en verre, rempli de limaille de nickel et d’argent, dont la résistance entre ses extrémités en laiton varie sous l’action des ondes électromagnétiques. Ce système fut utilisé par Marconi pour réaliser des liaisons par ondes électromagnétiques sur de grandes distances. Walter Brattain Physicien américain, né à Amoy, en Chine, en 1902 et mort à Seattle en 1985. Après ses études universitaires, il est recruté par la compagnie Bell Telephon, principalement pour effectuer un travail expérimental. C’est là qu’il rejoint l’équipe de W. Shockley, où se trouve le physicien théoricien J. Bardeen, et qu’il montre des qualités exceptionnelles d’expérimentateur. Cette collaboration à trois aboutit, en 1948, à l’invention du transistor, ce qui leur valut le prix Nobel en 1956. Thomas Edison Expérimentateur américain de génie, né à Milan (dans l’Ohio) en 1847 et mort à West Orange (New Jersey) en 1931. Très jeune (à 17 ans), il réalise un télégraphe bidirectionnel alors qu’il n’est qu’un simple opérateur télégraphiste. Il invente ensuite le phonographe, perfectionne la lampe à incandescence et développe la production et le transport de puissance électrique. En industriel habile, il met en œuvre l’électrification de New-York. Cependant, il se fâche avec son ingénieur Nicolas Tesla, lequel tente en vain de le convaincre des avantages techniques du courant alternatif. On retient principalement d’Édison qu’il est le premier des scientifiques à avoir su développer une exploitation industrielle de ses propres découvertes scientifiques. Michael Faraday Physicien et chimiste anglais, né à Southwark en 1791 et mort à Hampton Court en 1876. Garçon de courses chez un bibliothécaire, il devient autodidacte en lisant de nombreux ouvrages scientifiques, notamment de chimie. Employé dans un laboratoire de chimie comme apprenti, il se révèle rapidement expérimentateur de génie. Il devient alors directeur du laboratoire et professeur de chimie. Ses contributions remarquables furent d’abord l’énoncé des lois de l’électrochimie et la découverte du benzène en 1824. En 1854, il énonce la célèbre loi de l’induction puis la nature discontinue de la charge électrique et la propriété de cette dernière d’être conservative, c’est-à-dire de ne pouvoir être ni créée ni détruite. John Fleming Ingénieur électricien anglais, né à Lancaster (au nord-ouest de Leeds) en 1849 et mort à Sidmouth (dans le sud-ouest de l’Angleterre) en 1945. Après ses études d’ingénieur, J. Fleming entre au laboratoire Cavendish dirigé par Maxwell et devient professeur. Il est connu pour avoir inventé la diode à vide,

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constituée d’une cathode, qui émet des électrons lorsqu’elle est chauffée (effet thermoélectronique découvert par Edison), et d’une anode qui les recueille. Son but était de mettre au point un dispositif de détection des ondes radioélectriques. Il déposa un brevet sur la diode en 1904. Sur un plan pédagogique, c’est lui qui propose la règle des trois doigts de la main droite, équivalente à celle du bonhomme d’Ampère. Lee de Forest Ingénieur américain, né à Council Bluffs dans l’Iowa en 1873 et mort à Hollywood en Californie en 1961. Il invente la triode à vide en ajoutant, entre les deux électrodes de la diode de Fleming, une troisième électrode, appelée grille. Cette dernière permet de commander le courant du circuit anode, ce qui est à la base des tubes à vide amplificateurs de tension. Joseph Fourier Mathématicien et physicien français, né à Auxerre en 1768 et mort à Paris en 1830. Alors qu’il est préfet de l’Isère, il remporte le prix de l’Académie des Sciences pour son traitement mathématique de la diffusion thermique, à l’aide des séries trigonométriques. Il est le premier à avoir souligné le caractère fondamentalement irréversible de la diffusion thermique. La décomposition d’un signal variable en ses composantes sinusoïdales est devenue essentielle dans toutes les branches de la physique ; elle est aujourd’hui connue sous le nom d’analyse de Fourier. Joseph Henry Physicien américain, né à Albany en 1797 et mort à Washington en 1878. Spécialiste d’électromagnétisme, il découvre en 1832 l’auto-induction. On a donné son nom à l’unité internationale d’inductance. Oliver Heaviside Physicien britannique, né à Londres en 1850 et mort à Torquay (station balnéaire anglaise) en 1925. Il dut quitter l’école en raison d’une surdité précoce ; aussi est-ce en autodidacte qu’il publie quelques contributions en électricité, dont la plus importante, la formulation vectorielle des équations de Maxwell. En 1902, il prédit l’existence de couches conductrices, dans l’ionosphère, lesquelles permettent d’expliquer la propagation des ondes radioélectriques entre des point distants sur la Terre, grâce à la réflexion sur ces couches. C’est lui qui a introduit, en électricité, la « fonction échelon » ; aussi cette dernière est-elle, à juste titre, appelée souvent fonction d’Heaviside. Heinrich Hertz Physicien allemand, né à Hamburg en 1857 et mort à Bonn en 1894. Il démontre en 1877 l’existence des ondes électromagnétiques, prévues par Maxwell, et fonde le domaine des télécommunications. John Bertrand Johnson Ingénieur américain d’origine suédoise, né en 1887 et mort en 1970. Employé des laboratoires de la compagnie Bell Telephon, il découvre en 1927 le bruit de la tension aux bornes d’un conducteur ohmique, lequel fut interprété par H. Nyquist. C’est à lui aussi que l’on doit la découverte en 1925 du bruit en 1/f . James Joule Physicien anglais, né à Salford (près de Manchester) en 1818 et mort à Manchester en 1889. Expérimentateur de génie, il fait connaître les idées de von Mayer en étudiant les conversions énergétiques thermoélectriques (effet Joule) et thermomécanique (équivalent mécanique de la calorie).

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Arthur Edwin Kennely Électronicien américain, né en 1861 à Coloba, près de Bombay, et mort à Boston en 1939. Entré comme simple opérateur télégraphiste à l’Eastern Telegraph, il devient le principal assistant de Thomas Edison. En 1902, il est nommé professeur d’électrotechnique à Harvard. Ses travaux concernent surtout l’électrotechnique théorique. Il a donné son nom à un théorème sur l’équivalence des systèmes de conducteurs disposés en étoile et en triangle, équivalence précieuse dans la distribution de puissance électrique. Gustav Robert Kirchhoff Physicien allemand, né à Kœnisberg en 1824 et mort à Berlin en 1887. Il est surtout connu pour ses travaux en électricité, précisément pour les lois des courants dérivés, qu’il établit en 1845 (à 21 ans !) et qui depuis portent son nom. On lui attribue aussi l’établissement de l’équation des télégraphistes. Après sa thèse en 1847, il devient professeur à l’Université de Brestlau. C’est là qu’il collabore avec Robert Bunsen sur la théorie du corps noir. La construction d’un spectroscope lui permet de découvrir le césium et le rubidium en 1860. Pierre-Simon de Laplace Astronome, mathématicien et physicien français, né à Beaumont-en-Auge en 1749 et mort à Paris en 1827. Bien que professeur de mathématiques et homme politique, ses travaux en physique sont nombreux. Il signe diverses contributions sur la capillarité, la propagation du son dans l’air, l’évolution adiabatique des gaz et le travail des forces électromagnétiques. Cependant, c’est sa publication sur la mécanique céleste, Exposition du système du monde, qui est la plus remarquée. On y trouve développée notamment les fondements d’une physique totalement déterminisme. Guglielmo Marconi Physicien italien, né à Bologne en 1874 et mort à Rome en 1937. Passionné très tôt par l’expérimentation en physique, mais peu intéressé par des études universitaires, Marconi tente de réaliser, dans la propriété familiale, un oscillateur capable de transmettre des informations à distance par voie hertzienne. Il y parvient en 1895, en s’appuyant sur les travaux de Hertz et de Branly notamment. N’étant pas soutenu par les autorités de son pays, il poursuit avec succès ses travaux en Angleterre ; en 1901, il parvient à réaliser une transmission radio entre Cornouailles en Angleterre et Terre-Neuve. Il reçoit le prix Nobel en 1909. Tout en améliorant la transmission hertzienne sur le plan technique, il oriente son activité vers la réalisation industrielle et vers la création d’émissions radiophoniques. C’est ainsi qu’il participe à la fondation de la BBC en Angleterre. James Clerk Maxwell Physicien britannique, né en 1831 en Écosse à Dumfrieshire et mort à Cambridge en 1879. En 1857 il publie un article sur la constitution probable des anneaux de Saturne, ce qui le fait connaître de la communauté scientifique et l’incite à s’intéresser au système constitué d’un grand nombre de particules. Il établit alors les principaux résultats de la théorie cinétique des gaz. C’est ensuite comme professeur d’université au King’s College de Londres qu’il travaille sur l’électromagnétisme, chez lui, assisté par son épouse. Il est ensuite nommé à Cambridge pour diriger la construction du célèbre Cavendish Laboratory. Jacob Millman Électronicien américain d’origine russe, né en 1911 et mort à Boston en 1988. Diplômé du MIT (Massachussets Institute of Technology), il devint professeur d’ingéniérie électrique à l’Université Colombia. Tout au long de sa carrière, entre 1941 et 1987, il écrivit plusieurs livres d’électronique. Il est surtout connu pour avoir établi le théorème qui porte son nom, dans lequel la loi des nœuds est exprimée en fonction des tensions.

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Les grands noms de l’électronique Edward Lawry Norton

Ingénieur électronicien américain, né à Rockland (Maine, USA) en 1898 et mort à Chatham (New Jersey, USA) en 1983. Il travailla durant toute sa carrière, pendant quarante et un ans, jusqu’en 1963, aux laboratoires de la compagnie Bell Telephon. C’est en 1945 qu’il établit un théorème, analogue au théorème de Thévenin, dans lequel les sources de tension sont remplacées par des sources de courant. Curieusement, il ne publia que trois articles dont aucun ne mentionne ce théorème. Ce dernier ne figure que dans un rapport technique de 1926. Harry Nyquist Ingénieur américain des laboratoires Bell Telephon, né en Suède en 1889 et mort à Harlingen aux Pays-Bas en 1976. C’est lui qui, dès 1930, introduit le concept de rétroaction négative sur les amplificateurs. Il participe activement au développement des asservissements pendant la seconde guerre mondiale. Il est surtout connu pour ses travaux sur les critères de stabilité des systèmes à rétroaction. En outre, il interprète le bruit de tension aux bornes d’un conducteur ohmique, découvert par Johnson. Georg Simon Ohm Physicien allemand, né à Erlangen en 1789 et mort à Munich en 1854. Alors qu’il est professeur au collège de guerre de Berlin, il découvre la loi sur les circuits linéaires entre tension et courant, qu’il publie en 1827 dans son ouvrage Die galvanische Kette, mathematish bearbeitet. En 1849, il devient professeur de physique à l’Université de Munich. On a donné son nom à l’unité internationale de résistance. Claude Shannon Ingénieur américain, né à Gaylord (Michigan) en 1916 et mort des suites de la maladie d’Alzheimer à Medford (Massachusetts) en février 2001. Durant ses études au MIT (Massachusetts Institute of Technology), il prouve que les règles de l’algèbre de Boole peuvent être appliquées à de simples circuits électriques, un relais ouvert étant associé au chiffre 1 et un relais fermé au chiffre 0. En 1938, sa thèse, intitulée « Analyse symbolique des relais et commutateurs », connaît un fort retentissement. Il s’inspire alors de la théorie de Boltzmann en physique statistique. Il s’intéresse ensuite à la mise au point des systèmes téléphoniques et des ordinateurs. Dans ce contexte, il a fortement contribué à la première victoire au jeu d’échecs de l’ordinateur Deep Blue d’IBM sur le grand maître russe G. Kasparov. Walter Schottky Physicien allemand, né à Zurich en 1886 et mort à Pretzfeld en Allemagne en 1976. Professeur de physique théorique à Rostock, il est connu pour ses recherches sur le mouvement des électrons dans les conducteurs et dans les tubes à gaz. En 1920, il découvre l’effet de granulation des électrons qui porte désormais son nom. Il inventa, indépendamment d’Edwin Amstrong, le récepteur superhétérodyne. William Shockley Physicien britannique né à Londres en 1910 et mort à Palo Alto en Californie en 1989. Après sa thèse au Caltech (California Institute of Technology), Shockley est employé à la compagnie Bell Telephon dans le but de remplacer les tubes à vide encombrants, notamment la triode, par des composants solides plus petits et plus fiables. Il y parvient en 1948, avec l’aide d’un théoricien J. Bardeen et d’un expérimentateur W. Brattain ; il invente ainsi le transistor, ce qui lui vaut le prix Nobel en 1956. Il termine sa carrière sur un poste de professeur d’ingéniérie à Stanford qu’il occupe à partir de 1963. Ses prises de position sur l’amélioration de la race humaine, notamment par la stérilisation des « faibles » et le don du sperme des savants, surprennent et déçoivent une grande partie de la communauté scientifique internationale.

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Nicolas Tesla Ingénieur croate, né à Smiljan en 1856 et mort à New-York en 1943. Employé d’abord par les compagnies d’équipements électriques de Budapest, puis par Edison aux USA, il invente plusieurs dispositifs, dont le moteur polyphasé et le moteur à courant alternatif. Il fonde aux USA une société de construction de moteurs en courant alternatif ; ses résultats font de lui le fondateur de l’électrotechnique moderne. Il est le premier à montrer l’intérêt du transport de la puissance électrique sous une tension variable, en augmentant la tension avant le transport et en la diminuant après, à l’aide de transformateurs. Cette invention fut largement utilisée par l’inventeur et industriel américain G. Westinghouse. Piètre gérant de ses inventions, Tesla finit sa vie misérablement à New-York. Léon Charles Thévenin Ingénieur français de l’École Polytechnique, né à Meaux en 1857 et mort à Paris en 1926. Il est surtout connu pour avoir établi un théorème très utile qui permet de considérer un réseau linéaire entre deux points comme une source de tension entre ces points. Alessandro Volta Physicien italien, né à Côme en 1745 et mort aussi à Côme en 1827. Il est connu pour avoir introduit la pomme de terre en Italie et pour ses recherches en électricité qui le conduisent à inventer la pile électrique. Il fut fait comte par Bonaparte en 1801. L’unité SI de tension électrique dérive de son nom. Balthasar van der Pol Physicien hollandais, né à Utrecht en 1889 et mort en 1959. Il obtint son doctorat de physique en 1920, sous la direction de J. Fleming et J. Thompson. Intéressé par les aspects modernes de la physique expérimentale, il s’engage dans l’analyse de la stabilité des oscillations électriques, obtenues avec des circuits comportant des tubes à vide. Il découvre alors les mouvements chaotiques de nature déterministe, ce qu’il publie, dans le journal britannique Nature, en 1927, avec van der Mark. Il proposa aussi différents modèles pour représenter le mouvement périodique du cœur, dans le but de soigner les patients atteints d’arythmie. Charles Wheatstone Physicien britannique, né à Gloucester en 1802 et mort à Paris en 1875. Autodidacte passionné par la technique, il s’intéresse d’abord à la propagation des sons produits par des instruments musicaux. Il est surtout connu pour avoir perfectionné un dispositif, imaginé plus tôt par Samuel Christie, qui lui permet de mesurer avec précision une résistance par la méthode du pont, laquelle porte désormais son nom. C’est lui qui inventa le relais électrique ou interrupteur électrique commandé à distance. Max Wien Physicien allemand, né en 1866 à Könisberg et mort à Iena en 1938. Nommé professeur à l’École Technique de Dantzig en 1904, puis à l’Université d’Iena en 1911, il travaille sur les oscillateurs électriques et sur la télégraphie sans fil ; son nom est associé à l’oscillateur bien connu et au filtre de particules utilisé en optique corpusculaire. Il ne faut pas le confondre avec son cousin Wilhem Wien, connu lui pour avoir donné son nom à une loi sur le rayonnement du corps noir (cf. Thermodynamique). Clarence Zener Physicien américain, né à Indianapolis (Indiana) en 1905 et mort en 1993. Après sa thèse en physique quantique sur les molécules diatomiques, qu’il obtient à Harvard en 1930, il travaille dans les laboratoires Bell ; là, il interprète la forte conduction qui apparaît lorsqu’une diode est connectée en inverse et soumise à un champ électrique intense : par effet tunnel, les électrons de la bande de valence peuvent passer dans la bande de conduction. Cette diode, appelée depuis diode Zener, est utilisée pour réaliser des tensions stationnaires stabilisées.

Constantes physiques, notations et symboles Les symboles utilisés sont généralement ceux recommandés par l’AFNOR et par l’UTE (Union Technique de l’Électricité) e = 1, 602 176 462 (63) × 10 −19 C

charge élémentaire (charge du proton)

eV = 1, 602 176 462 (63) × 10 −19 J

électron-volt

−e

charge de l’électron

ε 0 = 8, 854 187 817 × 10−12 F · m −1

permittivité du vide (valeur exacte)

q2e = e 2 /(4pε0)

m0 = 4p × 10 −7 H · m−1

c = 2, 997 924 58 × 108 ≈ 3 × 10 8 m · s −1 me = 0, 910 938 188(72) × 10−30 kg , ( me c 2 = 0, 510 998 MeV ≈ 0, 511 MeV )

q2e = 230, 707 705 6 × 10−30 SI

perméabilité du vide (valeur exacte) vitesse de la lumière dans le vide (valeur exacte) masse de l’électron

mp = 1, 672 621 58(13) × 10 −27 kg , ( mp c2 = 938, 272 MeV )

masse du proton

h = 6, 626 068 76(52) × 10−34 J · s

constante de Planck

 = h/(2p) = 1, 054 571 596(82) × 10 −34 J · s

constante de Planck divisée par 2p (h bar)

re = q 2e /(me c 2) = 2, 817 934 23 × 10−15 m

rayon classique de l’électron ( r e ≈ 2, 8 fm )

R = 8, 314 472(15) J · mol −1 · K−1

constante molaire des gaz parfaits

kB = R/N A = 1, 380 650 3(24) × 10 −23 J · K −1

constante de Boltzmann

G = 6, 673(10) × 10 −11 m3 · kg−1 · s −2

constante de gravitation

NA = 6, 022 141 99(47) × 10 23 mol−1

nombre d’Avogadro

F = NA e = 96 485, 341 5(39) C · mol−1

constante de Faraday

mB = e/(2m e) = 927, 400 899(37) × 10 −26 J · T −1 magnéton de Bohr

mN = e/(2mp ) = 5, 050 783 17(20) × 10−27 J · T −1 magnéton nucléaire F 0 = h/(2e) = 2, 067 833 636(81) × 10−15 Wb

quantum de flux magnétique

RK = h/e 2 = 25 812, 807 572(95) V

constante de von Klitzing.

a = q 2e /(c)7, 297 352 533(27) ≈ 1/137, 036

constante de structure fine.

Constantes physiques, notations et symboles ln lg lb exp ≈ ∼

,

s(t) s a(t) s sgn(s) s |s| s∗ Re{s}, Im{s} I , I ef I AB U , U ef U AB = VA − VB i(t) u(t) E, e I, i P (t ), P , Q, S , P R et G = 1/R C L et M ETh et RTh e Th et Z Th I N et G N i N et YN

xix logarithme népérien logarithme décimal logarithme binaire exponentielle sensiblement égal à de l’ordre de Symbole de la masse en électricité, origine des tensions dans un montage, et symbole de la terre valeur moyenne du signal s(t) au cours du temps signal analytique associé au signal réel s(t) valeur moyenne du signal s sur un ensemble statistique signe de s valeur complexe associée à s module de s complexe conjugué de s parties réelle et imaginaire du signal s intensité d’un courant stationnaire et intensité efficace d’un courant sinusoïdal intensité d’un courant dans un conducteur dans le sens A vers B tension stationnaire et tension efficace d’une tension sinusoïdale tension entre les points A et B, aux potentiels respectifs VA et VB intensité d’un courant variable tension variable forces électromotrices stationnaire et variable (f.e.m) courants électromoteurs stationnaire et variable (c.e.m) ; prononcer iota puissances électriques instantanée, moyenne ou active, réactive, apparente, complexe résistance et conductance d’un résistor capacité d’un condensateur inductance propre et inductance mutuelle f.e.m et résistance interne d’un générateur de Thévenin en régime stationnaire f.e.m et impédance interne d’un générateur de Thévenin en régime sinusoïdal c.e.m et conductance d’un générateur de Norton en régime stationnaire c.e.m et admittance d’un générateur de Norton en régime sinusoïdal

xx

Constantes physiques, notations et symboles T, f , v √ i(t) = i m cos(vt + fi ) = I 2 cos(vt + f i ) i(t) = i m exp[j(vt + fi )]

période, fréquence, pulsation d’un signal sinusoïdal intensité d’un courant sinusoïdal expression complexe de l’intensité d’un courant sinusoïdal ou intensité analytique √ u(t) = um cos(vt + fu ) = U 2 cos(vt + f u) tension sinusoïdale expression complexe d’une tension sinusoïdale ou u(t) = um exp[j(vt + fu )] tension analytique w = fu − f i déphasage de la tension sinusoïdale par rapport à l’intensité du courant sinusoïdal q charge électrique Z = R + jX impédance Z , résistance R et réactance X d’un dipôle Y = 1/Z = G + jB admittance Y , conductance G et susceptance B d’un dipôle g conductivité d’un matériau, inverse de la résistivité r intensités et tensions à l’entrée d’un système I e , i e , ie, Ue , ue , u e I s, i s , is , U s, us, u s intensités et tensions à la sortie d’un système impédance d’entrée et de sortie, résistance d’entrée Z e, Zs , Re , Rs et de sortie Xe , Xs matrices colonnes tension-courant à l’entrée et à la sortie d’un quadripôle tension Zener et tension de seuil d’une diode UZ , U d AO amplificateur opérationnel tension entre les bornes non inverseuse et inverseuse e = u+ − u − d’un AO U a, U sat tensions d’alimentation et de saturation d’un AO fonction de transfert en électronique, x étant la pulH (jv) = T (f ) = H(x) sation réduite ou la fréquence réduite H (0) = T (0) = H(0) facteur d’amplification stationnaire en tension gain en tension exprimé en décibel G u = 20 lg |T (f )| TF{s(t)} ou s(f ) transformée de Fourier de la fonction s(t) TL{s(t)} ou S(p) transformée de Laplace de la fonction s(t)  u(f ) spectres de Fourier de i(t) et de u(t ) i(f ),  rect(t) fonction créneau, de valeur 1 pour |t|  0, 5 sinc(t) = sin(pt )/(pt) fonction sinus cardinal Y(t) fonction d’Heaviside ou échelon ∞ d(t) et n=−∞ d(t − nT ) distribution de Dirac et peigne de Dirac Au facteur d’amplification en tension m coefficient d’atténuation linéique en intensité. sa(t) signal analytique associé au signal réel s(t ) fonction d’intercorrélation entre deux signaux s 1(t) C12 (t) et s2(t)

xxi

Constantes physiques, notations et symboles s(t) = a p,m[1 + mg i (t)] cos (v pt)

expression canonique d’une porteuse, de fréquence fp = v p/(2p), modulée en amplitude coefficient de modulation de fréquence coefficient de modulation de phase expression d’un signal aléatoire, L étant la variable aléatoire variance d’un signal aléatoire rapport signal sur bruit information associé au message s de probabilité P s entropie de Shannon associée à un ensemble de messages s de probabilité Ps.

kf kp s(t; L) s2 RSB I s = − lb Ps  H = − s Ps lb P s

Alphabet grec alpha

A

a

éta

H

h

nu

N

n

tau

T

t

bêta

B

b

théta

Q

u

xi

J

j

upsilon

Y

y

gamma

G

g

iota

i

omicron

O

o

phi

F

f

delta

D

d

kappa

I

K

k

pi

P

p

chi

X

x

epsilon

E

e

lambda

L

l

rho

P

r

psi

C

c

zéta

Z

z

mu

M

m

sigma

S

s

oméga

V

v

Description de l’ouvrage Cet ouvrage « Électronique, fondements et applications » comporte trois grandes parties qui correspondent aux différentes étapes de l’enseignement de cette discipline dans les Universités ou dans les Classes Préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. L’organisation du cours est la suivante : i) Première année de la licence : fondements Leçons 1 à 8 : lois de Kirchhoff en régimes stationnaire et variable sinusoïdal, oscillations forcées, résonance, régimes transitoires, théorèmes de base sur les circuits linéaires, composants électroniques, amplificateurs opérationnels. ii) Deuxième année de la licence : développements Leçons 9, 10, 11, 13, 14, 15 : compléments sur les amplificateurs opérationnels, filtres actifs, oscillations couplées, rétroaction et asservissements, oscillateurs électriques, signaux déterministes. iii) Troisième année de la licence et master : compléments Leçons 12, 16, 17, 18, 19, 20 : effets non linéaires, modulation et démodulation, bruits, électronique logique et numérique, conversion analogique-numérique, théorie de la communication de Shannon. Les leçons 1, 2, 5, 6, 8, 13, 15, 17, ont un rôle central, car elles contiennent les éléments indispensables (définitions, lois et principes) à l’étude des leçons qui suivent. Il faut donc les étudier avant d’aborder les suivantes. Par exemple, si l’on souhaite étudier la leçon 14 sur les oscillateurs électriques, il est recommandé de lire auparavant les leçons 1, 2, 5, 6, 8 et 13. Même si les autres leçons sont présentées dans un certain ordre, il est possible de les lire dans un ordre différent qui tienne compte des préoccupations particulières du lecteur ; en effet, les leçons sont quasi autonomes et le renvoi à des formules éloignées pratiquement inexistant.

Méthode de travail Lecture des leçons Dans une phase d’initiation, une leçon doit être lue une première fois, en insistant sur l’introduction, laquelle situe cette leçon dans l’ensemble du cours, et sur la conclusion qui répertorie l’ensemble des résultats essentiels. Dans une deuxième phase, l’étudiant doit refaire avec soin tous les calculs intermédiaires. Enfin, une dernière lecture devrait lui permettre d’appréhender complètement la leçon, notamment les résultats essentiels, les exemples significatifs et les ordres de grandeur. Exercices et problèmes L’étudiant doit ensuite passer à la phase d’application en faisant des exercices simples et courts, directement liés au contenu de la leçon ; il doit tenter de résoudre ces exercices avec le seul support que constitue le cours. En cas de difficultés, un coup d’œil rapide sur la solution, proposée en fin d’ouvrage ou sur le site web correspondant, devrait l’aider. Il lui faut éviter une simple lecture rapide de la solution

Description de l’ouvrage

xxiii

proposée et la mémorisation de la démonstration : mieux vaut revenir sur les fondements de la leçon pour résoudre l’exercice ; en cas de difficulté majeure, consulter la solution et tenter de la refaire, sans aucune aide, un ou deux jours plus tard. Une fois ces exercices de base rédigés, l’étudiant pourra affronter des épreuves plus longues inspirées d’examens et concours. Révision Pour réviser, une ultime lecture devrait conforter l’apprentissage. Ne pas hésiter à souligner au crayon les parties essentielles et à porter en marge des remarques personnelles, suggérées par la lecture d’autres livres ou de documents annexes, tels que des revues scientifiques à grand public (La Recherche, Pour la Science, Science et Vie, Électronique pratique, etc.).

Comment résoudre un problème sur les circuits On résout correctement un problème sur les circuits, si l’on s’astreint à répondre successivement à plusieurs questions, même lorsque le texte n’invite pas explicitement à y répondre. Le régime du circuit est-il stationnaire quasi stationnaire ou transitoire ? En régime stationnaire, on ne prend en compte que les générateurs et les résistors du circuit, les condensateurs éventuels se comportant comme des interrupteurs ouverts, les diodes pratiquement comme des interrupteurs fermés dans le sens passant et comme des interrupteurs ouverts dans le sens inverse (cf. chapitre 1). En régime quasi stationnaire sinusoïdal, l’analyse est analogue à la précédente, pourvu que l’on utilise la notation complexe pour exprimer les impédances associées à une inductance et à une capacité, respectivement jLv et 1/(jCv) (cf. chapitre 2). Soulignons que ce concept d’impédance n’a de sens qu’en régime sinusoïdal ; en régime quelconque pour les circuits linéaires une analyse de Fourier est indispensable. En régime transitoire, la relation vérifiée par les grandeurs du circuit se présente sous la forme d’une équation différentielle ; la résolution de cette dernière nécessite la connaissance des conditions initiales du circuit. Peut-on ramener le circuit à un diviseur de tension ou à un diviseur de courant ? Très souvent, les circuits simples se présentent comme des diviseurs de tension ou de courant, auxquels cas les expressions à retenir, duales l’une de l’autre, sont (cf. chapitre 1) : R1 G1 U et I1 = U1 = I R1 + R2 G1 + G 2 Dans tous les cas, on doit tenter de simplifier le circuit (associations de dipôles, théorème de Thévenin, etc.) autour du dipôle étudié. N’est-il pas préférable d’appliquer la loi des nœuds sous la forme du théorème de Millman ? Lorsque les grandeurs intéressantes sont des tensions ou leur rapport, il est préférable d’éliminer directement les intensités et d’écrire la loi des nœuds en fonction des tensions. C’est précisément ce que permet le théorème de Millman (cf. chapitre 1). Le circuit présente-t-il des éléments de symétrie ? L’analyse des symétries d’un circuit permet de vérifier la cohérence physique des résultats obtenus et d’éviter des calculs fastidieux.

xxiv

Description de l’ouvrage

Le système étudié est-il linéaire ou non ? Cette question est essentielle, car une faute fréquente consiste à appliquer, à des circuits comportant des éléments non linéaires, des théorèmes fondés précisément sur la linéarité (cf. chapitre 5). Doit-on effectuer un calcul en notation réelle ou en notation complexe ? Rappelons que la notation complexe n’est qu’un intermédiaire technique commode, voire indispensable, que l’on doit utiliser uniquement en régime sinusoïdal. En régime quelconque, une analyse de Fourier s’impose. Concernant la puissance en régime sinusoïdal, comme il s’agit d’une grandeur quadratique, le retour à la notation réelle est recommandé, à moins d’introduire le concept commode de puissance complexe (cf. chapitre 2). La caractéristique I(U ) des dipôles est-elle tracée en convention récepteur ou non ? Dans tout l’ouvrage, nous avons privilégié la convention récepteur (de puissance) des dipôles, à la fois pour des raisons d’efficacité pédagogique et de conformité aux conventions adoptées en physique, précisément en thermodynamique : certains dipôles, tels que la photodiode, se comportent soit en récepteur (photodétecteur) soit en générateur (photopile). En outre, les caractéristiques de tous les dipôles ont été mises sous la forme standard I (U ) , car très souvent l’entrée du dipôle, considéré comme un système, est la tension d’entrée alors que la sortie est l’intensité du courant qui le parcourt. La loi d’Ohm s’applique-t-elle ? Comment ? S’il s’agit d’un conducteur ohmique, la loi d’Ohm s’applique sous les formes simples U = RI ou I = GU , encore faut-il préciser que, si A et B sont les bornes du dipôle, cela suppose précisément que : U = UAB = U A − U B et I = IAB Une façon mnémotechnique de retenir ce résultat est de noter que ces formules sont valables si les flèches de courant et de tension sont de sens opposés. Quel est le nombre de variables indépendantes dont dépend l’état électrique du système ? Une fois écrites les équations exprimant les lois physiques (de Kirchhoff, d’Ohm, de Faraday, etc.), effectuer le décompte du nombre de variables indépendantes, dont dépend l’état électrique du système, est essentiel avant de tenter de résoudre le système d’équations obtenues. Comment résoudre le système d’équations des circuits ? Tout dépend du nombre de variables. S’il est faible, inférieur ou égal à deux, la méthode de substitution est la plus rapide. S’il est de trois ou quatre, la méthode matricielle est intéressante. Au-delà, il vaut mieux prévoir l’utilisation d’un logiciel, par exemple MATLAB. Interpréter les résultats obtenus, notamment leur signe, et discuter la réalité des ordres de grandeur ? Cette phase finale est essentielle, car elle permet de déceler des erreurs de maladresse. Les résultats obtenus sont algébriques : il convient donc d’estimer la crédibilité d’une intensité parcourant un conducteur dans le sens opposé à celui adopté a priori ou d’une intensité trop grande pour être réaliste.

L’électronique en vingt questions

1 . Si on utilisait l’expression P = RI 2 de la puissance reçue par un résistor, aux bornes duquel une pile impose une tension U , on serait conduit à conclure que la puissance est proportionnelle à R , ce qui est incorrect. Pourquoi ? 2 . La mesure, à l’aide d’un ohmmètre, de la résistance du filament d’une lampe à incandescence, sur laquelle on lit les indications 100 W pour la puissance et 230 V pour la tension efficace, donne 40 V . Pourquoi la puissance inscrite n’est-elle pas 2302 /40 = 1 322, 5 W ? 3 . Les distributeurs de puissance électrique utilisent préférentiellement des tensions sinusoïdales triphasées et de forte amplitude, qu’ils transforment en tensions monophasées, de faible amplitude, près de l’utilisateur. Pourquoi ? 4 . On mesure les différentes tensions efficaces aux bornes du générateur, du résistor, de la bobine et du condensateur, dans un circuit résonnant série. On constate que la première tension n’est pas la somme des trois autres. Pourquoi ? 5 . Une pile électrique, de f.e.m 1, 5 V , connectée aux bornes d’une diode, de tension de seuil 2, 5 V , ne rend pas cette dernière passante, contrairement à deux de ces mêmes piles placées en série. Pourquoi le théorème de superposition ne s’applique-t-il pas dans ce cas ? 6 . Pourquoi polarise-t-on une diode Zener en inverse ? 7 . Un amplificateur peut fournir à sa sortie un signal variable d’une puissance supérieure à la puissance du signal d’entrée. Pourquoi ce résultat n’est-il pas en contradiction avec le premier principe de la thermodynamique, selon lequel on ne peut pas créer de l’énergie (cf. Thermodynamique) ? 8 . La résistance ohmique d’un conducteur est toujours positive. Or, on entretient les oscillations électriques produites dans un circuit oscillant en compensant la résistance ohmique de la bobine et du condensateur par un système de résistance négative. Pourquoi cette dernière affirmation est-elle néanmoins fondée ? 9 . Pourquoi exprime-t-on généralement le facteur d’amplification en tension d’un amplificateur ou d’un filtre par son gain en décibel et définit-on la bande passante de cet amplificateur à −3 dB ? 10 . Pourquoi, dans les montages de base d’un amplificateur opérationnel, les résistances ne doiventelles être ni trop faibles, ni trop fortes ? 11 . Les bobines ne sont pratiquement plus utilisées en électronique, les diodes Esaki (à effet tunnel) non plus. Pourquoi ? 12 . Les filtres passifs sont le plus souvent délaissés au profit des filtres actifs. Pourquoi ? 13 . L’espace des phases en théorie des circuits peut être de dimension impaire, alors qu’en mécanique il est nécessairement de dimension paire. Pourquoi ? 14 . Sur un oscilloscope convenablement synchronisé, on peut observer la trace parfaitement stable des signaux délivrés par un oscillateur auto-entretenu, alors que ces derniers sont présentés comme des systèmes instables. Pourquoi ?

xxvi

L’électronique en vingt questions

15 . La fréquence d’un signal sinusoïdal est une grandeur physique définie positive, homogène à l’inverse d’une durée. Pourquoi le spectre de Fourier de ce signal fait-il apparaître des fréquences négatives ? 16 . Il est possible d’échantillonner des signaux analogiques, c’est-à-dire de ne considérer que certaines valeurs, prises périodiquement, sans aucune perte d’information. Cette affirmation apparemment paradoxale est cependant vérifiée. Pourquoi ? 17 . Dans l’enregistrement numérique des sons sur CD, les principaux constructeurs se sont entendus pour utiliser la fréquence d’échantillonnage de 44, 1 kHz . Pourquoi ? 18 . Pourquoi la transmission des ondes électromagnétiques à grande distance exige-t-elle la modulation en amplitude ou en fréquence d’une onde porteuse de haute fréquence ? 19 . Pourquoi un bruit blanc présentant une fréquence maximale de coupure est-il qualifié de bruit rose ? 20 . On dit qu’informer c’est surprendre. Pourquoi ?

Introduction expérimentale : oscilloscopes et multimètres La réalisation expérimentale des montages présentés dans cet ouvrage nécessite l’usage d’instruments de contrôle des signaux, tels que les oscilloscopes et les multimètres. Aussi, dans une introduction expérimentale préalable, proposons-nous de décrire sommairement le fonctionnement de ces appareils de mesure. Il convient avant tout de préciser le concept de signal.

I . — SIGNAUX En électronique, un signal est une tension ou un courant qui peuvent soit transporter une information, par exemple audio, d’horloge ou de commande d’un système, soit ne pas en véhiculer, comme c’est le cas pour les tensions d’alimentation ou de polarisation. On distingue deux types de signaux issus de deux technologies distinctes : le premier type est analogique et le second numérique ou digital. Un signal est analogique si sa variation temporelle est continue ; c’est le cas de signaux provenant de capteurs physiques. Il est numérique s’il varie entre plusieurs niveaux discrets. On classe habituellement les signaux, selon leur « forme » au cours du temps. Ainsi, les signaux stationnaires ont une valeur qui n’évolue pas au cours du temps, par exemple la tension d’alimentation fournie par une pile de 4, 5 V , alors que les signaux variables varient au cours du temps, comme la tension électrique efficace de 230 V fournie par le réseau électrique français ; ces derniers se classent en deux catégories : les signaux périodiques et les signaux apériodiques. I . 1 . — Signaux périodiques Un signal périodique e(t) est caractérisé par sa période T et sa fréquence f définies selon : e(t) = e(t + T )

et

f =

1 T

Le domaine de fréquence de l’électronique est très étendu, de quelques mHz ( 10 −3 Hz ) à plusieurs centaines de GHz ( 100 × 109 Hz ). Le domaine des basses fréquences est défini par la validité de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (cf. Électromagnétisme) ; il s’étend jusqu’à la centaine de MHz ( 100 × 106 Hz ). Au-delà, la propagation des ondes électromagnétiques doit être prise en compte : c’est le domaine des hyperfréquences.

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Oscilloscopes et multimètres

On reconnaît la caractéristique fondamentale des signaux périodiques par la forme de leur spectre de Fourier qui est constitué de pics régulièrement distribués (cf. annexe 2). a) Signaux harmoniques ou sinusoïdaux Un signal harmonique ou sinusoïdal a pour expression : e(t) = em cos(vt + f) = em cos(2pft + f) dans laquelle em est l’amplitude, f la phase à l’origine des temps, v la pulsation et f la fréquence. Ces signaux sont fondamentaux en électronique, et plus généralement en physique, car ils permettent d’exprimer un signal réel , périodique ou non, sous la forme d’une somme discrète ou continue de signaux harmoniques (cf. annexe 2). b) Signaux symétriques Un signal est symétrique si :

  T e(t) = −e t − 2

c’est-à-dire que l’alternance positive a la même forme que l’alternance négative (Fig. 1). e (t ) T t

0

F IG . 1.

La valeur moyenne dans le temps d’un signal symétrique sur une période est nulle. En effet, on a, en surlignant la grandeur considérée pour désigner sa moyenne temporelle :        1 T 1 T/2 1 T 1 T/2 T e(t) d t = e(t) d t + e(t) d t = dt = 0 e(t) = e(t) + e t + 2 T 0 T 0 T T/2 T 0 puisque e(t + T /2) = e(t − T /2) = −e(t ) . Un signal symétrique n’admet pas d’harmonique pair. Montons-le en calculant les coefficients de Fourier c 2n (cf. annexe 2) :    T 1 2nt c 2n = e(t) exp −j2p dt T 0 T      T/2  1 2nt 1 T 2nt e(t) exp −j2p dt + e(t) exp −j2p dt = T 0 T T T/2 T En posant t  = t − T /2 , cette dernière intégrale devient :         T 1 T/2 2nt  1 T/2  2nt   e t + e(t ) exp −j2p exp −j2p − j2np d t = − d t T 0 T T 0 T 2 puisque e(t  + T/2) = −e(t  ) . On en déduit c 2n = 0 .

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Oscilloscopes et multimètres c) Signaux de formes canoniques

Les générateurs de signaux, dont font partie les Générateurs Basse Fréquence (GBF en abrégé), permettent de produire des signaux sinusoïdaux, mais aussi des signaux symétriques de forme canonique, carrée e✷(t) et triangulaire e (t) , dont la décomposition en série de Fourier donne respectivement (cf. annexe 2), en désignant par ecc la valeur crête à crête des signaux : e✷ (t) = e cc

∞  sin(pn/2)

pn/2

n=1

 nt  cos 2p T

et

e (t) = 2ecc

∞  1 − cos(pn) n=1

(pn) 2

 nt  cos 2p T

d) Rapport cyclique Si t p et tn sont respectivement la durée de l’alternance positive et celle de l’alternance négative d’un signal périodique, de période T , les rapports cycliques à « l’état haut » a h et à « l’état bas » a b , sont respectivement les facteurs suivants : ah =

tp T

et

ab =

tn T

avec tp + tn = T

et donc

ap + a n = 1

On les exprime souvent en pourcentage. Exemple : un signal créneau, délivré par un GBF, de fréquence 50 Hz , est positif pendant 5 ms au cours d’une période ; le rapport cyclique du signal relativement à l’état haut vaut donc : ah =

tp = tp f = 5 × 10−3 × 50 = 0, 25 T

ou

25%

I . 2 . — Signaux apériodiques Un signal est apériodique, c’est-à-dire non périodique, si son spectre de Fourier est continu (cf. annexe 2). Les signaux aléatoires et le bruit (cf. chapitre 17), ainsi que les signaux chaotiques (cf. annexe 6), sont des exemples de signaux apériodiques. Notons que tout signal réel est apériodique, puisque limité dans le temps. Néanmoins, un signal limité dans le temps, mais constitué d’une succession périodique de motifs identiques en assez grand nombre, peut être considéré comme périodique avec une excellente approximation (cf. annexe 2).

II . — L’OSCILLOSCOPE L’oscilloscope est un instrument qui fut inventé en 1897 par le physicien allemand K. Braun, ce qui lui valut le prix Nobel en 1909. On le considère comme l’ancêtre des téléviseurs construits dans les années 1920 et 1930. II . 1 . — Oscilloscopes analogiques et oscilloscopes numériques Avec cet instrument, on visualise l’évolution temporelle d’une ou plusieurs tensions dans un circuit, la forme de ces signaux. Aussi est-il souvent appelé « l’œil » de l’électronicien. Les oscilloscopes couramment utilisés sont principalement de deux types. i) Les oscilloscopes analogiques Les oscilloscopes analogiques possèdent une source, la cathode, qui émet des électrons, soit par effet thermo-électronique en raison de sa température, soit par effet de champ (cf. Quantique). Les électrons sont accélérés dans un tube à vide vers une anode trouée portée à une haute tension de l’ordre de 30 kV . L’impact sur un écran photo-luminescent forme un point lumineux ou spot (point en anglais).

xxx

Oscilloscopes et multimètres

Deux séries de deux plaques parallèles, l’une portée à une tension proportionnelle à la tension à visualiser, l’autre orthogonale à la première série, soumise à une tension en dents de scie et proportionnelle au temps, provoquent la déviation du faisceau électronique et donc l’apparition d’une trace sur l’écran d’observation. La durée mise par les électrons pour atteindre le détecteur étant négligeable (de l’ordre de 10 ns ), le signal est visualisé pratiquement en temps réel sur l’écran. Les oscilloscopes analogiques sont encombrants et lourds, en raison du tube à vide et de l’alimentation du canon à électrons. ii) les oscilloscopes numériques. Dans les oscilloscopes numériques, on échantillonne la tension à visualiser, c’est-à-dire qu’on ne considère qu’un ensemble de valeurs discrètes régulièrement réparties au cours du temps. Ce n’est qu’après cette opération que le signal est affiché sur un écran, ou moniteur, dont la technologie s’apparente à celle des ordinateurs portables actuels ; le signal est donc visualisé en temps différé. Les oscilloscopes numériques se distinguent des analogiques par un encombrement et un poids moindre, car ils utilisent largement les possibilités de miniaturisation des composants ; avec ce type d’oscilloscope, on a aisément accès aux caractéristiques principales du signal : fréquence, période, valeur efficace, valeur moyenne ou valeur de crête, etc. Malgré des différences technologiques importantes, les fonctions les plus courantes sont communes aux deux types d’oscilloscope. Dans la suite, on approfondit l’analyse sur un exemple de façade d’oscilloscope « standard », (Fig. 2), ce qui facilite leur utilisation dans les divers montages. 14

13 8

9

8 > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > :

11

EXT.

˜

12 15 5

NORMAL /AUTO. Y. pos. I

Y. pos.YII

XY GND AC-DC 8 > > > > > > < > > > > > > :

Test composant

GND AC-DC CH.I/II DUAL CHOP

YI

20

21

4 3 1 5 7 6 10 17 18 19 F IG . 2.

4

YII

3 2

II . 2 . — Branchement de l’oscilloscope a) Masse de l’oscilloscope La plupart des oscilloscopes possèdent deux entrées ou voies que l’on désigne par les lettres Y 1 et Y2 (points 1 et 2 de la figure 2). Ces voies ont une borne commune, la masse (point 3), ou tension de référence, généralement reliée à la prise de terre de l’instrument. Le branchement de la masse de l’oscilloscope dans le circuit doit obéir à quelques règles essentielles.

xxxi

Oscilloscopes et multimètres

i) Si la masse d’un autre appareil utilisé dans le montage, par exemple un GBF, est par construction reliée à la terre, le choix du point de masse est contraint. Il est alors nécessaire de relier la masse de l’oscilloscope à la masse de l’autre appareil. Si cette précaution n’est pas prise, la liaison commune par la prise de terre provoquerait un court-circuit, c’est-à-dire la mise au même potentiel de deux points différents du circuit. ii) Si au contraire, la masse est flottante, c’est-à-dire non reliée à la prise de terre, la masse de l’oscilloscope peut être choisie librement en n’importe quel point du circuit. b) L’entrée du signal Sauf réglage spécifique, les impédances d’entrée de l’oscilloscope sont élevées ; aussi, l’application d’une tension sur les voies Y1 et Y 2 perturbe-t-elle peu le système. Un oscilloscope se branche donc en parallèle dans un circuit. Chaque entrée est couplée (point 4 sur la figure 2) à la chaîne de traitement interne de l’oscilloscope, selon le schéma de la figure 3. On distingue trois possibilités. i) Le couplage DC , de l’anglais Direct Current (courant direct), est le couplage « standard » à utiliser par défaut. La tension du circuit est directement transmise, sans traitement. ii) La position GND , de l’anglais Ground (terre), permet d’appliquer une tension nulle sur la voie sans débrancher aucun fil, afin par exemple de centrer verticalement l’origine des tensions en agissant sur le curseur (5). iii) Le couplage AC , de l’anglais Alternative Current (courant alternatif), supprime toute composante stationnaire du signal d’entrée, par un filtre passe-haut du premier ordre, dont la fréquence de coupure est de quelques hertz (cf. chapitre 6). Ce couplage est à utiliser lorsque la composante stationnaire d’un signal gêne sa visualisation. Citons par exemple la mesure du déphasage temporel entre deux signaux synchrones dont l’un est décalé en tension, ou encore la visualisation de parasites sur un signal stationnaire d’alimentation. Le couplage AC permet alors de mieux repérer le passage par l’origine de la tension décalée. Attention néanmoins à ne pas l’utiliser à trop basse fréquence, car le filtre peut modifier la forme des signaux. DC

Signal d'entrée Y appliqué à l'oscilloscope

0,1 mF

AC

GND ∼ 10 pF

∼ 1 MV

F IG . 3.

II . 3 . — Mode balayage temporel Un oscilloscope est capable d’afficher des signaux variables jusqu’à des fréquences de plusieurs dizaines de MHz. Le coût de l’instrument est d’ailleurs directement lié à l’étendue de sa bande passante. En mode balayage, l’axe horizontal est celui du temps et l’axe vertical celui des tensions à étudier. a) Sensibilité verticale Avec le sélecteur de calibre (6), on règle l’échelle verticale des tensions. Sur certains oscilloscopes munis d’un réglage fin (7), on peut supprimer manuellement le « calibrage » de cette échelle et donc ajuster l’amplitude d’une courbe sur l’écran. Il est alors possible de mesurer : i) une durée de montée, c’est-à-dire la durée nécessaire pour atteindre, en régime transitoire, une fraction déterminée de la tension établie,

xxxii

Oscilloscopes et multimètres

ii) une fréquence de coupure en recherchant la fréquence pour laquelle l’amplitude de la courbe est √ réduite dans le rapport 7/5 = 1, 4 ≈ 2 , dans la pratique de sept carreaux dans la bande passante à cinq carreaux à la coupure. b) Base de temps Le sélecteur de calibre (8) permet de régler l’échelle horizontale temporelle, ou base de temps. Comme précédemment, sur certains oscilloscopes dotés d’un réglage fin (9), on supprime le calibrage de cette échelle, ce qui permet par exemple de mesurer, en mode bicourbe, le déphasage entre deux signaux synchrones : on ajuste la période à l’écran du signal de référence sur neuf carreaux ; chaque carreau de retard ou d’avance du signal déphasé correspond alors à 360/9 = 40◦ soit 0, 7 rad . c) Synchronisation Le but de la synchronisation est d’afficher un signal stable sur l’écran de l’oscilloscope. Elle est essentielle pour observer confortablement un signal, car une mauvaise synchronisation provoque un déplacement plus ou moins lent du signal sur l’écran, appelé dérive. En effet, si les tensions en début et en fin de balayage diffèrent, deux traces consécutives ne se superposeront pas ; le signal dérive. Il existe plusieurs modes de synchronisation. i) Mode normal (15) : la représentation temporelle d’une tension sur l’écran d’un oscilloscope est celle donnée sur la figure 4. Une fois fixé un critère de déclenchement du balayage du spot, par exemple le dépassement d’un niveau de tension réglable (16), une première trace se forme à laquelle succède une durée d’attente, jusqu’à un autre déclenchement ; une nouvelle trace apparaît, et ainsi de suite. ii) Mode automatique (15) : dans ce mode, un déclenchement forcé permet de visualiser le signal, même si le critère de déclenchement n’est pas réalisé. iii) Mode monocoup : sur les oscilloscopes numériques, le mode de balayage monocoup produit, après son déclenchement et une fois l’instrument armé, une trace unique ; on l’utilise notamment pour observer un régime transitoire (cf. chapitre 4). u(t)

1 ère trace

2 ème trace

Niveau de déclenchement t

0 Écran

Écran F IG . 4.

d) Signal de déclenchement Dans l’exemple précédent, le signal de déclenchement choisi était le signal affiché lui-même, c’està-dire l’une ou l’autre des voies internes Y1 ou Y 2 (choisie à l’aide du bouton 10). Il est possible d’utiliser un signal externe pour déclencher le balayage du spot de l’oscilloscope (point 11) sur l’entrée spécifique (12) ; on peut même choisir la tension délivrée par le « secteur 50 Hz » (13) pour des signaux synchronisés sur le réseau électrique.

xxxiii

Oscilloscopes et multimètres

Sur certains oscilloscopes, il existe un mode de déclenchement alterné, pour lequel les signaux des voies Y1 et Y2 sont alternativement affichés. Ce mode est particulièrement adapté à la visualisation de deux signaux de fréquences différentes. En revanche, si les signaux à visualiser sont synchrones, leur déphasage temporel n’est plus apparent, les signaux semblent être en phase. Le signal choisi est alors couplé à l’étage de déclenchement, appelé déclencheur ou trigger (gâchette en anglais), selon les modes (14) : i) DC pour Direct Couplage, c’est-à-dire sans traitement, ii) AC pour Alternative Current grâce à la suppression de la composante stationnaire du signal, iii) LF pour Couplage après Filtrage des « basses » fréquences (low frequencies), inférieures à 50 kHz , iv) HF couplage après filtrage des « hautes » fréquences (high frequencies), supérieures à 50 kHz . e) Mode bicourbe En mode bicourbe (17), on affiche simultanément les deux tensions sur les voies Y 1 et Y2 à l’écran. Sur les oscilloscopes analogiques, on distingue deux modes d’affichage : i) Le mode alterné, Alternate, ou mode par défaut, exhibe, à tour de rôle, l’une puis l’autre voie. En raison de la persistance des impressions lumineuses sur la rétine, ce mode est adapté aux fréquences élevées. En effet, aux vitesses de balayage importantes, l’alternance rapide des deux courbes produit une impression de simultanéité. ii) En mode découpé, Chop (hache en anglais), on divise la durée de balayage en petits intervalles temporels que l’on utilise pour afficher, à tour de rôle, l’une puis l’autre voie (18). On visualise ainsi simultanément les deux signaux basse fréquence. II . 4 . — Mode XY ou mode Lissajous En mode XY (point 19 de la figure 2), ou mode Lissajous, du nom du physicien français J. Lissajous, la voie Y1 est envoyée sur l’axe des x et la voie Y2 sur l’axe des y . Ce mode est parfois utilisé pour déterminer le déphasage entre deux tensions synchrones sinusoïdales, par exemple : u1(t) = u1,m cos(vt)

et

u2 (t) = u2,m cos(vt + w)

Éliminons le temps entre ces deux signaux : u2 u = cos (vt + w) = cos(vt ) cos w − sin(vt) sin w = 1 cos w − u2,m u 1,m



u2 1 − 21 u1,m

1/2

sin w

 2  u2 u1 u 21 − cos w = 1 − 2 sin 2 w u 2,m u1,m u1,m



d’où :

Il vient en effectuant : 

u1 u1,m

2

+



u2 u2,m

2

−2

u1 u2 cos w = sin 2 w u1,m u2,m

Plusieurs cas se présentent. i) Lorsque w = 0 ou p rad , la courbe décrite par le spot en mode XY est une droite passant par l’origine du repère. En effet :   u2 u1 2 u2 u1 = 0 soit ± =± u2,m u1,m u 2,m u 1,m

xxxiv

Oscilloscopes et multimètres

ii) Lorsque w = p/2 rad ou −p/2 rad , la courbe est une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées puisque :  2  2 u1 u2 + =1 u1,m u2,m iii) Pour toute autre valeur de w , c’est une ellipse dont les axes sont inclinés par rapport aux axes ( u1, u 2 ) du repère. On obtient le déphasage w dans l’intervalle ] − p rad, p rad[ en mesurant sur le graphe le rapport NN /MM (Fig. 5). En effet, MM  = 2u2,m et NN  = 2u2,m | sin w| , ce que l’on obtient en faisant u 1 = 0 dans l’équation de l’ellipse : | sin w| =

NN  Du 2,M =  MM Du 2,0

Si le grand axe de l’ellipse se trouve dans le premier quadrant du système de coordonnées, alors 0 < |w| < p/2 rad ; sinon, p/2 rad < |w| < p rad . Le signe de w dépend du sens de parcours du spot sur l’ellipse. On le détermine en introduisant l’angle polaire u défini par : u 2(t) u 2,m cos(vt + w) = tan u = u 1(t) u 1,m cos(vt) et en calculant sa dérivée temporelle u˙ : ˙ 1 + tan 2 u) = u 2,m u( u 1,m

v[− sin(vt + w) cos(vt) + cos(vt + w) sin (vt)] u 2,m sin w = −v 2 cos (vt) u 1,m cos2 (vt)

Si u˙ > 0 , l’ellipse est parcourue dans le sens direct, ce qui correspond à sin w < 0 . Si w > 0 , elle est parcourue dans le sens indirect ou rétrograde. u2

M

N Du2,0

Du2,M u1

0 N M F IG . 5.

II . 5 . — Mode Test Composant Si l’action des curseurs de centrage verticaux ne produit aucun effet, c’est probablement en raison de l’activation du mode Test Composant (point 20 de la figure 2). Ce mode permet de visualiser la caractéristique d’un dipôle, par exemple une diode, une résistance ou un condensateur, afin de vérifier son bon fonctionnement. Le dipôle se branche directement sur l’entrée spécifique (21), laquelle se comporte comme un générateur de courant alternatif, de fréquence 50 Hz . La tension aux bornes du dipôle à tester est mesurée et portée en abscisse, alors qu’une tension proportionnelle à l’intensité du courant délivré est représentée en ordonnée, afin d’afficher la caractéristique du dipôle.

xxxv

Oscilloscopes et multimètres

Un condensateur donne une courbe elliptique d’axes horizontaux et verticaux, un résistor, une droite passant par l’origine, etc. Remarque : L’absence de dipôle produit à l’écran une trace horizontale caractéristique d’un conducteur ohmique de résistance infinie.

III . — LES MULTIMÈTRES Les multimètres sont des appareils de mesure regroupant plusieurs instruments au sein d’un seul boîtier. Ils assurent de nombreuses fonctions dont la mesure de tensions, d’intensités de courant et d’impédances ; les plus perfectionnés permettent aussi de mesurer des températures, des fréquences et de contrôler le bon fonctionnement de composants électroniques tels que les diodes ou les transistors. Si la technologie analogique subsiste encore dans certaines applications, par exemple pour réaliser des vue-mètres ou petits cadrans à aiguille, la technologie numérique s’est imposée au cours de la dernière décennie. Moins fragiles et peu coûteux, les multimètres numériques peuvent aujourd’hui être connectés à un ordinateur en vue d’un traitement informatisé des résultats de mesure. Dans la suite, nous utiliserons le multimètre numérique Metrix MX54 (Fig. 6).

MX54 BAT AUTO REL MIN MAX AVG MEM AC+DC

dB% nFs um VA Mk V Hz LINE RS232

ZOOM

TRMS

7

SEL/ON ZOOM

PRINT RANGE

Hz

SURV

REL

PK +/-

HOLD

IP677

°F °C AC

10 A DC

5

AC + mA DC mA DC

4 V

V DC

mV DC

OFF V AC dB

AC+DC ® ADVANCED SAFETY CONCEPT

6

VV

COM

mA mAFUSED

F IG . 6.

A

3 2 1

xxxvi

Oscilloscopes et multimètres

III . 1 . — Sélecteur de fonctions et calibres a) Sélecteur de fonctions En façade de l’instrument, un sélecteur permet de choisir la fonction désirée (Fig. 6) : i) voltmètre stationnaire (point 1), entrées COM et V ii) millivoltmètre stationnaire (2), entrées COM et V iii) voltmètre alternatif (3), entrées COM et V iv) milliampèremètre stationnaire (4), entrées COM et mA v) ampèremètre stationnaire (5), entrées COM et 10 A vi) ohmmètre (6), entrées COM et V . b) Calibres Un calibre est une échelle qui fixe un intervalle de mesure. De plus en plus d’instruments sélectionnent automatiquement le calibre le plus approprié à la mesure, même s’il reste toujours la possibilité de choisir manuellement un calibre spécifique. Selon le modèle de multimètre, le choix manuel se fait en agissant sur un sélecteur ou par un bouton-poussoir qui provoque le défilement des différents calibres. III . 2 . — Mise en oeuvre Un ampèremètre, d’impédance faible, s’insère en série dans un circuit dont on veut mesurer l’intensité du courant qui le parcourt. En revanche, un voltmètre, qui présente une grande impédance, se branche en dérivation, entre deux points du circuit. L’impédance d’entrée d’un multimètre numérique dépend du calibre de mesure. Par exemple, sur le calibre « 5 V continu », la notice de l’instrument indique une résistance interne de 11 MV . On mesure une résistance à l’ohmmètre en connectant directement les bornes du résistor à celles de l’instrument. Remarque : Si le résistor est connecté dans un circuit, il faut au préalable l’en extraire, sinon la résistance mesurée serait celle de l’ensemble du circuit aux bornes du résistor. III . 3 . — Affichage et précision a) Affichage Le cadran d’un multimètre numérique comporte des chiffres appelés digits. Chaque digit prend une valeur entière comprise entre 0 et 9 . Ainsi, un affichage sur 3 digits donne un nombre compris entre 0 et 999 . Actuellement, la plupart des multimètres disposent d’un digit supplémentaire capable de prendre les valeurs 0 ou 1 . Aussi, le digit supplémentaire est-il compté pour « 1/2 » dans le nombre total de digits. Par exemple, un afficheur 3 digits et 1/2 peut donner tous les nombres entiers compris entre 0 et 1999 . Notons que le signe des grandeurs affichées ainsi que la virgule flottante, dont la position varie en fonction du calibre sélectionné, font l’objet d’un affichage séparé.

xxxvii

Oscilloscopes et multimètres b) Précision

Dans les notices techniques, la précision, c’est-à-dire l’incertitude e commise sur la lecture de l’intensité d’un courant par exemple, est mise sous la forme : e = x L + nD = xU l + nU d où L désigne la valeur pleine échelle, c’est-à-dire la tension maximale Ul susceptible d’être affichée par l’appareil, et D la valeur U d de la plus petite unité affichable, ou digit de poids faible ; x s’exprime en pourcentage et n est un entier. Exemple : l’incertitude 0, 6% L + 30 D que l’on commet sur la lecture de l’intensité d’un courant alternatif, de valeur 2 mA , sur le calibre 50 mA , où 1 digit représente 1 mA , se calcule selon : e=

0, 6 × 50 + 30 × 10 −3 = 0, 33 mA 100

La même mesure, sur le calibre 2 mA , serait affectée d’une incertitude de : e=

0, 6 × 2 + 30 × 10 −3 = 0, 04 mA 100

Il est ainsi préférable de sélectionner le calibre le plus petit compatible avec la grandeur à mesurer. III . 4 . — Bande passante La bande passante d’un multimètre numérique dépend de la fonction choisie et du calibre. Par exemple, sur le calibre 5 V alternatif, la notice de l’instrument indique une précision sur la bande passante qui est comprise entre 10 et 30 kHz : 1%, L + 30 D . III . 5 . — Mesure de tensions efficaces On définit la valeur moyenne U m et la valeur efficace U ou U ef d’une tension variable périodique, de période T , par : 1 U m = u(t) = T



T

u(t) d t

et

U ef =

0



u2(t)

1/2

  T 1/2 1 2 u (t) d t = T 0

En séparant la tension u(t) en deux composantes, l’une stationnaire U m , et l’autre alternative de valeur moyenne nulle ua(t) , on obtient les relations suivantes : u(t) = Um + ua(t)

avec

u a(t) = 0

et :  1/2  1/2  1/2  1/2 2 2 = U 2m + 2Um ua(t) + u2a(t) = U2m + u 2a(t) = U 2m + U a,ef Uef = [U m + ua (t)]

U a,ef désignant la valeur efficace de la tension u a(t) . a) Voltmètre TRMS

Un voltmètre TRMS , de l’anglais True Root Mean Square pour vraie racine de la moyenne du carré, est un voltmètre capable de fournir la valeur efficace Uef de n’importe quel signal périodique u(t) . Le sélecteur doit être placé sur VAC+DC (points 1 ou 2 de la figure 6) et la fonction TRMS activée par pression (7).

xxxviii

Oscilloscopes et multimètres

b) Voltmètre RMS Un voltmètre RMS , de l’anglais Root Mean Square pour racine de la moyenne du carré, est un voltmètre qui fournit la tension efficace du signal, une fois ôtée la composante stationnaire. Un voltmètre RMS fournit donc la valeur efficace U a,ef de la composante alternative u a(t) . c) Voltmètre non RMS En mode alternatif, un voltmètre bas de gamme ne peut pas fournir la valeur √ efficace d’une tension non sinusoïdale. Il donne la tension de crête Uc et affiche la valeur U c/ 2 . Cette dernière valeur correspondrait à un signal sinusoïdal, puisque, si u(t) = u m cos(vt) , alors : 1/2   1/2  1  T um 2 2 2 Uef = u (t) um cos (vt) d t = =√ T 0 2

car

cos2 (vt) =

1 2

III . 6 . — Mesure d’intensités de courants efficaces La technique de mesure des tensions efficaces se transpose à celle des intensités des courants efficaces. Ainsi, un ampèremètre TRMS fournit directement I ef , tandis qu’un ampèremètre RMS donne Ia,ef .

1 Lois de base des circuits en régime stationnaire La science des circuits électriques est une science jeune qui s’appuie fondamentalement sur les lois de l’électromagnétisme de Maxwell. La résolution d’un circuit quelconque, c’est-à-dire la détermination des courants qui parcourent les fils de connexion et celle des tensions entre deux points quelconques du circuit, date de 1845, avec la contribution majeure du physicien allemand G. Kirchhoff, alors âgé de seulement 20 ans. Les lois qu’il a énoncées sont à la base de deux domaines importants, proches de l’électromagnétisme, sinon inclus : i) l’électrocinétique, ou science des réseaux électriques, dans laquelle on s’intéresse particulièrement au transport de la puissance électrique dans les fils conducteurs, entre les sources et la zone d’utilisation (Fig. 1.1a) ;

Source de puissance électrique

+

R

Charge

Rc

ue

us

Rc −

Entrée a)

Sortie b)

F IG . 1.1.

ii) l’électronique, ou science des systèmes, laquelle traite des signaux qui contiennent une information (Fig. 1.1b). On exclut ici l’analyse des lois constitutives, telles que la loi d’Ohm dans les matériaux conducteurs (cf. Électromagnétisme), ainsi que la physique des composants, essentiellement celle des semi-conducteurs, laquelle exige le cadre de la théorie quantique (cf. Quantique). Dans ce chapitre, nous présentons les lois de Kirchhoff en nous limitant au régime stationnaire, dit aussi continu, pour lequel les tensions et les intensités des courants sont indépendantes du temps. L’étude des circuits en régime stationnaire est essentielle pour plusieurs raisons : d’abord, elle est plus simple qu’en régime variable ; ensuite elle se généralise facilement aux régimes sinusoïdaux, et surtout elle constitue une étape incontournable car tous les circuits, y compris ceux destinés aux signaux variables, comportent des piles et alimentations stationnaires dont la fonction est notamment

2

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

l’apport de puissance aux composants actifs tels que les amplificateurs opérationnels ou les transistors. Enfin, les lois de Kirchhoff sont encore valables en régime variable, pourvu que cette variation ne soit pas trop rapide et satisfasse à l’approximation des régimes quasi stationnaires (cf. chapitre 2).

I . — DIPÔLES EN RÉGIME STATIONNAIRE I . 1 . — Définition On appelle dipôle électrocinétique, un système accessible par deux bornes A et B , d’où son nom, et caractérisé par deux seules grandeurs : l’intensité I = IAB du courant qui le traverse, et la tension U = UAB ou différence de potentiel, entre ses bornes. Rappelons que I s’exprime en ampère et se mesure à l’aide d’un ampèremètre ; U s’exprime en volt et se mesure grâce à un voltmètre (Fig. 1.2). La nature de la correspondance entre l’intensité du courant qui traverse un dipôle et la tension à ses bornes caractérise ce dipôle. Plusieurs dipôles dont les bornes sont connectées, de telle sorte que l’ensemble forme une ou plusieurs boucles ou mailles, constitue un circuit électrique et plus largement un réseau électrique (Fig. 1.3). Dipôle 1 A

Dipôle

B Dipôle 2

I = IAB

Dipôle 3

Dipôle 5 Dipôle 4

U = UAB F IG . 1.2.

F IG . 1.3.

I . 2 . — Le dipôle considéré comme un système En physique, un système est un dispositif capable de faire correspondre, à une grandeur physique, dite d’entrée, une autre grandeur physique, dite de sortie. On le caractérise par un opérateur S transformant la grandeur d’entrée e en la grandeur de sortie s : s = S{e} Dans ce contexte, un dipôle est le système qui fait correspondre I à U et vice-versa. L’intérêt essentiel de ce point de vue est qu’il n’est pas nécessaire de connaître la constitution interne du composant ; la simple connaissance de la règle de correspondance entre l’entrée et la sortie suffit. En outre, une telle analyse est indépendante de l’évolution des technologies, puisqu’elle s’appuie sur la seule relation fonctionnelle. I . 3 . — Puissance électrique reçue par un dipôle en régime stationnaire La puissance électrique que peut dissiper un dipôle est un paramètre important de son fonctionnement, puisque sa prise en compte permet d’éviter sa détérioration, voire sa destruction. En outre, la plupart des appareils domestiques sont choisis en fonction de la puissance qu’ils consomment ; rappelons les ordres de grandeur des puissances consommées par quelques dipôles connus, respectivement une lampe de poche à incandescence, un téléviseur, une batterie de véhicule au démarrage et une

3

Lois de base des circuits en régime stationnaire bouilloire électrique : Plampe ∼ 0, 9 W

P tv ∼ 100 W

Pbatterie ∼ 1 kW

et

Pbouilloire ∼ 2 kW

La puissance électrique reçue par un dipôle électrocinétique AB , parcouru par un courant d’intensité I = IAB , mesurée dans le sens A vers B , aux bornes duquel la tension est U AB = VA − VB , V A et V B étant les potentiels pris à partir d’une référence commune, a pour expression (cf. Électromagnétisme) : P = UAB IAB = UI En effet, le courant I , algébrique, correspond à un déplacement de charges. Pendant la durée élémentaire d t , la charge d q = I d t , pénètre en A dans le dipôle. Elle reçoit, lors de sa traversée de A vers B , le travail dW = (VA − V B) d q , soit la puissance P = dW / d t = UI .

Le choix adopté ci-dessus, qui consiste à travailler avec la tension U AB et l’intensité I AB , est appelé convention récepteur, puisque U AB et I AB sont de même signe pour un dipôle recevant de la puissance. D’après ce qui précède, la puissance fournie par le dipôle est l’opposée de celle qu’il reçoit : P u = −P = −UAB I AB soit aussi

P u = UAB IBA

Lorsqu’on écrit la puissance sous cette dernière forme, on dit que l’on s’est placé en convention générateur. Effectivement, la puissance reçue par un générateur électrique est négative puisque la vocation de ce dernier est de fournir de la puissance électrique au circuit. Par exemple, pour une lampe de poche, alimentée par une pile de force électromotrice E = 4, 5 V et traversée par un courant d’intensité I = 0, 20 A , la puissance que fournit la pile au circuit extérieur est (Fig. 1.4) : P u = EI = 4, 5 × 0, 2 = 0, 90 W I Lampe de poche

E

F IG . 1.4.

I . 4 . — Caractéristique d’un dipôle a) Définition Expérimentalement, on constate généralement que l’on ne peut imposer qu’une seule des deux grandeurs, U ou I . La relation entre elles, généralement écrite sous la forme I (U ) , définit sa caractéristique. Pour être précise, cette caractéristique doit être accompagnée de la convention choisie. Cette précision sera ici superflue, car, sauf indication contraire, nous adopterons systématiquement, comme en thermodynamique par exemple, la convention récepteur, c’est-à-dire que U désignera la tension U AB et I l’intensité du courant I AB .

4

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

b) Point de fonctionnement La caractéristique d’un dipôle représente l’ensemble des états électriques possibles du dipôle. Cependant, l’une des deux grandeurs, I ou U , est imposée par les conditions d’utilisation, ce qui fixe l’autre. Le point correspondant sur la caractéristique est appelé point de fonctionnement. Il arrive souvent que l’on fasse varier la tension ou l’intensité du courant autour d’une certaine valeur ; le point de fonctionnement varie alors sur la caractéristique, dans le voisinage d’un point de fonctionnement moyen. c) Obtention des caractéristiques Il existe deux montages simples qui permettent de déterminer expérimentalement la caractéristique d’un dipôle, à l’aide d’un ampèremètre et d’un voltmètre. Dans le premier, dit de courte dérivation, on mesure la tension aux bornes du dipôle, à l’aide d’un voltmètre, et l’intensité du courant qui traverse l’ensemble dipôle et voltmètre, grâce à un ampèremètre (Fig. 1.5a). Dans le second, dit de longue dérivation, le voltmètre donne la tension aux bornes du dipôle et de l’ampèremètre, alors que l’ampèremètre fournit l’intensité du courant qui traverse le seul dipôle (Fig. 1.5b). Dipôle

Dipôle A

A

I

V

I

V E

U

E

U

R

R a)

b) F IG . 1.5.

Les deux schémas permettent de comprendre ces deux dénominations : dans le premier cas la dérivation comportant le voltmètre est plus courte que dans le second. On trace point par point la caractéristique I (U ) en faisant varier la tension délivrée par le générateur. Comme les instruments de mesure ne sont pas parfaits, les deux montages ne sont pas équivalents : l’ampèremètre introduit une résistance RA , qui est faible devant toutes les autres, le voltmètre une résistance R V au contraire grande comparée à toutes les autres. Cette imperfection fausse évidemment le relevé de la caractéristique, mais un choix judicieux du type de montage permet de minimiser cette erreur expérimentale systématique. Ainsi, le montage courte dérivation sera choisi lors du relevé de la caractéristique d’un composant de faible résistance interne, afin que le courant traversant le voltmètre soit négligeable devant celui traversant le dipôle étudié. De même, pour un dipôle de forte résistance interne, le montage longue dérivation conduit à une chute de tension aux bornes de l’ampèremètre négligeable devant la tension aux bornes du dipôle étudié (cf. Exercices). Remarque : Évidemment, si les deux appareils de mesure sont parfaits, c’est-à-dire si la résistance interne de l’ampèremètre est nulle et la résistance interne du voltmètre infinie, la tension aux bornes de l’ampèremètre est nulle, ainsi que l’intensité du courant qui traverse le voltmètre ; les deux montages sont alors équivalents.

5

Lois de base des circuits en régime stationnaire

On rend automatique le relevé expérimental de la caractéristique à l’aide d’une interface d’acquisition reliée à un ordinateur, l’ensemble permettant d’assumer, à la fois le rôle du générateur et celui d’un multimètre (Fig. 1.6). Un logiciel de pilotage permet de paramétrer l’interface afin de déterminer la forme du signal à envoyer sur le circuit électrique, ici une rampe de tension, et d’enregistrer la tension aux bornes du dipôle, ainsi qu’une tension proportionnelle au courant qui le traverse. Avec ce même logiciel, on traite quelques centaines de points de mesure, ce qui permet de tracer la courbe I (U ) et de déterminer ses paramètres ; par exemple, la pente de la tangente à une courbe. La figure 1.7 représente la caractéristique d’une diode obtenue avec un montage muni d’un ordinateur, de son interface et d’un logiciel de pilotage.

I

Sortie Entrée 1 Entrée 2 Ordinateur

RI

Dipôle U

Interface F IG . 1.6.

I(mA) 30 20 10

0

0,5

0,7

U(V)

F IG . 1.7.

I . 5 . — Propriétés d’un dipôle a) Dipôle passif Un dipôle, et plus généralement un composant de circuit électrique, est dit passif s’il n’échange de l’énergie qu’avec le circuit auquel il est connecté (Fig. 1.8a). C’est le cas, par exemple, des résistors et des diodes à jonction. Par extension, on appelle circuit passif, un circuit uniquement constitué de dipôles passifs. b) Dipôle actif Un dipôle, et plus généralement un composant de circuit électronique, est actif s’il échange de l’énergie avec le circuit et avec une source auxiliaire (Fig. 1.8b). C’est le cas des piles, alternateurs, photodiodes, amplificateurs opérationnels et transistors par exemple. L’énergie de la source auxiliaire peut donc être de nature diverse : chimique, mécanique, lumineuse, électrique, nucléaire, etc.

6

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire Dipôle passif

Dipôle actif

Reste du circuit

Reste du circuit

Source auxiliaire

a)

b) F IG . 1.8.

La source auxiliaire d’un amplificateur opérationnel est son alimentation, laquelle n’est généralement pas représentée sur les schémas électriques. Pour un transistor, la source auxiliaire est la source de polarisation, le plus souvent représentée sur les schémas électriques (cf. chapitre 7). Par extension, on appelle circuit actif, un circuit comportant au moins un dipôle actif. c) Dipôle récepteur Un dipôle se comporte en récepteur lorsqu’il reçoit de la puissance du circuit. Le produit P = UI est positif et il fonctionne donc dans les quadrants 1 ou 3 de sa caractéristique (Fig. 1.9). Par exemple, un résistor, dont la caractéristique est entièrement contenue dans les quadrants 1 et 3 (Fig. 1.11a), fonctionne toujours en récepteur. I I Zone générateur

Zone récepteur

2

1

0

U

3

4

Zone récepteur

Zone générateur

F IG . 1.9.

2

0

I

É

U Zone récepteur 1

3

4

U

Zone récepteur Zone générateur F IG . 1.10.

d) Dipôle générateur Un dipôle se comporte en générateur lorsqu’il fournit de la puissance au circuit. Le produit P = UI étant négatif, son point de fonctionnement est situé dans les quadrants 2 ou 4 de sa caractéristique (Fig. 1.9). Certains dipôles peuvent se comporter en récepteur ou en générateur, pouvant ainsi recevoir ou fournir de la puissance électrique, d’où l’intérêt d’adopter une seule convention avec des valeurs algébriques. Sur la figure 1.10, on a représenté la caractéristique d’une photodiode en indiquant ses différents fonctionnements possibles. Dans les quadrants 1 et 3 , c’est un photorécepteur ; dans le quadrant 4, la photodiode se comporte comme un générateur électrique : c’est une photopile. Dans ce même contexte, un dipôle actif peut dans certaines conditions se comporter en récepteur. Ainsi, la batterie d’un véhicule est un générateur électrique au démarrage, mais se comporte en récepteur

7

Lois de base des circuits en régime stationnaire

lorsqu’on la recharge, par l’intermédiaire de l’alternateur au cours du déplacement, ou d’un chargeur de batterie, si le véhicule est au repos. e) Dipôle linéaire en régime stationnaire En régime stationnaire, un dipôle est linéaire si l’intensité du courant qui le traverse est proportionnelle à la tension à ses bornes ; sa caractéristique est donc une droite passant par l’origine. C’est le cas d’un résistor (Fig. 1.11a). Précisons que les dipôles dont la caractéristique est rectiligne par morceaux, c’est-à-dire constituée d’un ensemble de segments, ne possèdent pas cette propriété ; il en est ainsi pour un modèle simplifié de diode (Fig. 1.11b). De même, les dipôles, tels que ceux dotés d’une force électromotrice, par exemple les accumulateurs, ne sont pas linéaires, même si la relation I (U ) est affine, c’est-à-dire même si la caractéristique est une droite qui ne passe pas par l’origine (Fig. 1.11c). I

I

I

U

0

0

0 Ud a)

b)

U

−E

U c)

F IG . 1.11.

Remarque : Nous verrons ultérieurement pourquoi un circuit composé de dipôles linéaires et de générateurs à caractéristique affine peut se comporter comme un système linéaire (cf. chapitre 5). f) Dipôle symétrique Un dipôle est symétrique lorsque sa caractéristique I (U ) est une fonction impaire de U . Un tel dipôle n’a pas de sens de branchement, puisque son retournement ne modifie pas son comportement : changer U en −U conduit à changer I en −I . Il en est ainsi pour un résistor (Fig. 1.11a).

II . — DIFFÉRENTS TYPES DE DIPÔLES Nous présentons ici les principaux types de dipôles, sans toutefois donner les caractéristiques techniques précises de chacun d’entre eux, lesquels feront l’objet d’une étude détaillée ultérieure (cf. chapitres 7 et 11). II . 1 . — Dipôles linéaires résistifs a) Résistors Un résistor est un dipôle récepteur qui satisfait à la loi d’Ohm, selon laquelle l’intensité du courant qui le traverse est proportionnelle à la tension à ses bornes (cf. Électromagnétisme) ; on l’appelle aussi conducteur ohmique. C’est le dipôle le plus utilisé.

8

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

La seule caractéristique d’un résistor est son coefficient de proportionnalité entre I et U , appelé conductance G ou son inverse la résistance R . Ainsi, pour un résistor de bornes A et B , on a : I = GU

ou

avec

U = RI

I = I AB

et

U = UAB

G=

1 R

Soulignons que ces relations sont valables, en valeurs algébriques, selon la convention récepteur que nous avons adoptée, et rappelons la règle mnémotechnique simple qui permet d’écrire la loi d’Ohm de façon automatique sans risque d’erreur de signe : U = RI lorsque les flèches du courant et de la tension sont de sens opposés. Le graphe de la caractéristique I (U ) est une droite passant par l’origine dont la pente est G et son inverse R . Le résistor est donc un dipôle passif, linéaire et symétrique. Plus la résistance est élevée, plus la conductance est faible et plus la caractéristique s’approche de l’axe des tensions. Inversement, plus la résistance est faible, plus la conductance est grande et plus sa caractéristique s’approche de l’axe des courants (Fig. 1.12). I

I

U

0

U

0

R = 100 Ω

R = 50 kΩ

a)

b) F IG . 1.12.

Remarques : 1) On confond souvent, par abus de langage, le composant résistor avec la résistance qui exprime sa propriété ohmique. 2) En convention générateur, où U = UAB mais I = I BA , on aurait évidemment : I=−

U R

ou

U = −RI

Les flèches courant et tension sont alors de même sens. Ordres de grandeur : en unités SI, la résistance électrique s’exprime en ohm, de symbole V , et la conductance en siemens, de symbole S ; les valeurs des résistances utilisées varient entre quelques ohms et plusieurs mégohms ( 1 MV = 106 V ). La résistance minimale du corps humain, mesurée entre les deux mains, vaut environ 5 kV . Sachant qu’un courant stationnaire, d’intensité inférieure à 20 mA n’est pas mortel, déterminons la tension stationnaire maximale que l’on peut subir sans risque. D’après la loi d’Ohm, on a : U = RI = 5 × 103 × 0, 02 = 100 V Ainsi, une tension stationnaire inférieure à 100 V est sans danger ; par précaution, cette valeur est souvent abaissée à 50 V .

9

Lois de base des circuits en régime stationnaire b) Fils conducteurs et interrupteurs parfaits

Les fils de connexion entre dipôles sont des conducteurs ohmiques de résistance négligeable devant les autres résistances du circuit. On peut les assimiler à des conducteurs cylindriques de longueur l et de section s ; leur résistance est donnée par l’expression (cf. Électromagnétisme) : R=

l gs

g étant la conductivité du matériau. Par exemple, la résistance d’un fil de cuivre, de longueur l = 30 cm et de section s = 1 mm 2 , vaut, puisque la conductivité g du cuivre est environ 5, 8 × 107 S · m −1 : R=

0, 3 = 0, 005 V 5, 8 × 107 × 10−6

On peut donc les considérer comme des conducteurs parfaits qui n’opposent aucune résistance au passage du courant : la tension entre leurs bornes est nulle, quelle que soit l’intensité du courant qui les traverse. La caractéristique des fils conducteurs parfaits est très simple puisqu’elle est donnée par l’équation U = 0 ; le graphe correspondant coïncide évidemment avec l’axe des ordonnées. Lorsqu’ils sont fermés, les interrupteurs se comportent comme de simples fils de connexion. On peut alors les assimiler à des fils parfaits (Fig. 1.13a). Ouverts, ils ne laissent passer aucun courant (Fig. 1.13b) et l’équation de leur caractéristique est alors I = 0 et le graphe correspondant est une droite confondue avec l’axe des tensions. I

I

I U

0

U U

a)

0

U

b) F IG . 1.13.

c) Thermistance Alors que la résistance d’un conducteur ohmique métallique augmente faiblement avec la température (cf. Électromagnétisme), les thermistances sont des dipôles passifs et symétriques, dont la résistance diminue fortement avec la température absolue T , selon :   B R = A exp T A et B étant deux constantes. Ordre de grandeur : A = 1, 2 × 10 −5 V , B = 5 500 K . Ainsi, à T = 300 K , R = 1 100 V et à T = 350 K , R = 80 V .

10

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Pour une valeur déterminée de T , la caractéristique d’une thermistance est une droite passant par l’origine tant que les tensions ou les courants restent faibles. L’ensemble de ces droites, à diverses températures, forment le réseau de caractéristiques de la thermistance (Fig 1.14a). Le plus souvent, on utilise les thermistances pour mesurer et réguler des températures, car elles permettent de compenser les dérives thermiques et ainsi d’éviter la surchauffe de composants fragiles.

I

I T = 400 K

T = 350 K

T U

É

Fort éclairement

U Éclairement ambiant

T = 300 K

0

I

I

0

Obscurité

U

U

a)

b) F IG . 1.14.

d) Photorésistance Les photorésistances sont des dipôles passifs, linéaires et symétriques, dont la conductance augmente avec l’éclairement lumineux ´ E (cf. Optique), auquel elles sont exposées, presque proportionnellement : ´ G∼KE où K est un coefficient qui dépend de la photorésistance. Pour une valeur déterminée de l’éclairement, les caractéristiques sont des droites passant par l’origine (Fig 1.14b). Ordre de grandeur : dans l’obscurité, la conductance G d’une photorésistance au sulfure de cadmium vaut 1 mS , d’où R = 1 MV ; lorsqu’on la soumet à un faible éclairement, par exemple celui d’une lampe de poche placée à une vingtaine de centimètres ( ´ E ≈ 1 W · m−2 ), G augmente jusqu’à 40 mS , soit R = 25 kV . On utilise les photorésistances pour détecter et mesurer de faibles éclairements. II . 2 . — Dipôles passifs non linéaires a) Résistance dynamique Les composants non linéaires sont souvent utilisés de telle sorte que le point représentatif sur leur caractéristique varie dans le voisinage d’un point de fonctionnement. Une légère variation de tension produit une faible variation d’intensité qui lui est proportionnelle ; on définit alors la conductance et la résistance dynamiques selon : Gd =

DI 1 dI = ≈ Rd DU dU

11

Lois de base des circuits en régime stationnaire b) Varistances

Ce sont des dipôles symétriques mais non linéaires, dont la résistance diminue en général avec l’intensité du courant qui les traverse. Brièvement, on les appelle RNL, pour Résistance Non Linéaire, (ou VDR, de l’anglais Voltage Dependance Resistor). Leur caractéristique se met sous la forme : I = k |U |a où a est un facteur réel compris entre 2 et 10. On les utilise le plus souvent comme limiteur de tension. Sur la figure 1.15, donnant le graphe de la caractéristique d’une varistance, on a fait apparaître la résistance en régime stationnaire R = U /I et la résistance dynamique Rd autour du point ( U , I ). I

I

U U

Pente 1/R

Pente 1/R d 0

U

F IG . 1.15.

Exemple : établissons la relation entre la résistance en régime stationnaire et la résistance dynamique d’une varistance. Pour cela, écrivons l’expression d’une variation d’intensité d I consécutive à une variation élémentaire de tension d U : d I = akU a−1 d U

d’où

I a 1 dI = akU a−1 = a = = Rd U R dU

Ainsi, la résistance dynamique d’une varistance est a fois plus faible que sa résistance R : R d = R/a . Pour une varistance de coefficient k = 15, 6 × 10 −6 SI et a = 5 , on trouve, autour des deux points de fonctionnement I = 0, 50 mA et I = 100 mA , respectivement : I = 0, 50 mA I = 100 mA

U = 2, 0 V U = 5, 8 V

R = 4000 V R = 58 V

et

Rd = 800 V

et Rd = 11, 6 V

On voit que R et Rd de la varistance diminuent fortement lorsque U augmente. Une surtension accidentelle provoque donc une surintensité dans la varistance, ce qui permet de protéger tout dipôle en dérivation d’une surintensité capable de le détériorer. c) Diode à jonction Une diode idéale est un dipôle qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens, sans lui opposer aucune résistance. C’est donc un composant non symétrique qui se comporte comme un interrupteur, ouvert dans un sens et fermé dans l’autre (Fig. 1.16). Lorsqu’elle est traversée par un courant, la diode est passante ou « branchée en sens direct ». Elle est dite bloquée ou « branchée en sens inverse », dans l’autre cas, et oppose alors une résistance infinie au passage du courant. Le symbole de la diode (Fig. 1.16), formé d’une flèche indiquant le sens passant et d’une barre représentant le sens bloqué, traduit précisément la propriété de passage monodirectionnel du courant.

12

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire I

I

I

Pente 1/R i

U Diode passante 0

Diode passante

0 U

Diode bloquée

Ud

Diode bloquée

U

Diode idéale F IG . 1.16.

F IG . 1.17.

Les diodes à jonction de semiconducteurs, dont la caractéristique s’écarte de celle d’une diode idéale, seront étudiées en détail ultérieurement (cf. chapitre 7). Citons cependant dès maintenant deux inconvénients des diodes réelles : i) branchées en sens direct, elles ne laissent passer un courant que si la tension à leurs bornes atteint une tension de seuil U d , laquelle est de l’ordre de 0, 6 V pour les diodes au silicium ; ii) branchées en sens direct et fonctionnant en mode passant, la tension à leurs bornes ne reste pas constante mais augmente avec le courant qui les traverse ; elles présentent donc une résistance interne Ri . On tient compte de ces deux défauts en représentant la caractéristique d’une diode réelle par deux portions de droite (Fig. 1.17), l’une relative au régime bloqué et l’autre au régime passant, ce que l’on traduit ainsi : U − Ud I = 0 pour U < U d et I= pour U > Ud Ri d) Diode Zener Les diodes Zener, du nom de leur inventeur, le physicien allemand C. Zener, sont des diodes qui deviennent passantes en sens inverse lorsque la tension à leurs bornes atteint une valeur seuil U Z , appelée tension Zener, fixée qui est de l’ordre de quelques volts. Leur caractéristique (Fig. 1.18) est constituée de trois segments de droite, modélisant respectivement le régime bloqué, le régime passant en sens direct et le régime passant en sens inverse ; ce dernier est représenté par une portion de droite pratiquement parallèle à l’axe des ordonnées. Ainsi, on a analytiquement I = 0 pour −UZ < U < Ud , puis aux extrémités : I=

U + UZ Ri

pour

U < −U Z

et

I=

U − Ud Ri

pour

U > Ud

R i étant la résistance dynamique très faible de la diode en fonctionnement Zener. I

I

U −UZ Diode passante en sens inverse

0

Diode bloquée

F IG . 1.18.

Diode passante sens direct Ud

U

13

Lois de base des circuits en régime stationnaire II . 3 . — Source de tension et source de courant

La fonction essentielle des sources électriques est de fournir, à des composants regroupés en circuits, la puissance électrique nécessaire à leur fonctionnement. Nous ne considérons dans cette introduction que les sources indépendantes du reste du circuit. Les sources commandées ou liées, très utiles dans l’étude d’éléments actifs tels que les transistors, seront analysées ultérieurement (cf. chapitre 5). a) Source de tension Une source de tension idéale est un dipôle qui maintient, à ses bornes, la tension délivrée, quelle que soit l’intensité du courant débité. Cette tension constante est la force électromotrice E , du générateur, f.e.m. en abrégé (cf. Électromagnétisme). La caractéristique d’une telle source est une droite, parallèle à l’axe des intensités d’équation U = −E (Fig. 1.19a) ; dans le coin supérieur droit de la figure, on a représenté le symbole d’une source idéale de tension. I

I

E

I Pente 1/Ri

U 2 -E

2

1

0

-E

4 U

3 a)

0

3

1 4

U

b) F IG . 1.19.

Les points de la caractéristique, situés dans le troisième quadrant où l’intensité est négative, correspondent au fonctionnement du générateur en mode récepteur : dans ces conditions, la pile se recharge. Notons que si le générateur n’a pas été conçu pour être rechargé, ces conditions d’utilisation lui sont nuisibles au point de le détériorer. La plupart des sources électriques stationnaires disponibles sont des sources de tension. En effet, les appareils électroniques les plus répandus fonctionnent sous tension constante, par exemple avec des piles « bâtons », de f.e.m 1, 5 V , ou une batterie d’accumulateurs au plomb, de f.e.m 12 V . En réalité, lorsque la source de tension débite un courant, on constate que la tension à ses bornes varie de façon affine selon : U = Ri I − E R i étant la résistance interne du générateur. La caractéristique réelle d’un générateur est donc la droite, de pente 1/Ri , qui passe par le point I = 0 , U = −E (Fig. 1.19b) : I=

U+E Ri

Un générateur de tension réel se rapproche d’autant plus d’une source de tension idéale que sa résistance interne est faible comparée aux résistances des autres dipôles intervenant dans le circuit. Ainsi, une pile de 1, 5 V , de type R14 , possède une résistance interne de l’ordre de 1 V , alors qu’une batterie de voiture possède une résistance interne beaucoup plus faible, de l’ordre de quelques centièmes d’ohm. Exemple : une lampe de poche fonctionne avec une pile plate de 4, 5 V . À vide, on mesure la f.e.m E = 4, 82 V . En fonctionnement, lorsque l’intensité du courant qui traverse la lampe est I = 0, 30 A , la tension mesurée aux bornes de la pile est, en convention récepteur, U = −4, 46 V (Fig. 1.20). On en

14

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

déduit la résistance interne Ri de la pile, ainsi que la résistance R de la lampe, selon : −4, 46 + 4, 82 U+E = 1, 2 V = 0, 30 I U l = −U étant la tension aux bornes de la lampe. R i=

+ Pile plate

et

R=

4, 46 Ul U = 14, 9 V =− = 0, 30 I I

I

U

Lampe Ul

− F IG . 1.20.

b) Source de courant

Moins utilisés que les générateurs de tension, les générateurs de courant sont pourtant très intéressants, à la fois sur les plans pratique et théorique. Un générateur de courant idéal débite un courant I (grand iota), appelé courant électromoteur c.e.m ou courant de court-circuit, quelle que soit la tension à ses bornes. Sa caractéristique est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation I = I (Fig. 1.21a) ; dans le coin supérieur droit de la figure, on a dessiné le symbole d’une source idéale de courant. En réalité, lorsque la source débite, on constate que la tension à ses bornes varie. Si R i est la résistance interne du générateur, la caractéristique est une droite, de pente 1/Ri , qui passe par le point U = 0 , I = I (Fig. 1.21b) : I=

U +I Ri

Comme pour les générateurs de tension, les points de la caractéristique situés dans la zone où U > 0 correspondent au fonctionnement du générateur de courant en mode récepteur et lui sont dommageables s’il n’a pas été conçu pour être rechargé. I

I

I Pente 1/R i I 2 0

U 2 3

I

1

0 a)

4

U

3

1 b)

4

U

F IG . 1.21.

Un générateur de courant réel se rapproche d’autant plus d’une source de courant idéale que sa résistance interne est élevée, comparée aux résistances des autres dipôles intervenant dans le circuit. Les cellules photoélectriques, les ohmmètres et les antennes sont des exemples de sources de courant. Remarque : Les générateurs réels de tension et de courant seront généralement modélisés par un générateur idéal associé à une résistance. c) Équivalence entre source de tension et source de courant Les deux types de générateurs tension et courant sont équivalents, puisque leurs caractéristiques s’écrivent : U+E U E ou I= +I en posant I= I= Ri Ri Ri

15

Lois de base des circuits en régime stationnaire

Ainsi, un générateur de tension, de f.e.m E et de résistance interne Ri , est équivalent à un générateur de courant de même résistance interne et de c.e.m I = E /Ri . Cette équivalence, bien que très commode pour faciliter l’analyse théorique des circuits, n’a aucune signification pratique puisque les résistances internes des générateurs de courant et de tension sont très différentes. Exemple : le générateur de courant équivalent à une pile de 9 V , dont la résistance interne est Ri = 2 V possède un c.e.m I = 9/2 = 4, 5 A . Évidemment, une telle pile doit, en pratique, être utilisée en générateur de tension et débiter des courants d’intensité très faible devant I , sous peine de détérioration. Cependant, conceptuellement, pour le calcul des courants et des tensions dans un circuit électrique, cette pile peut être remplacée par le générateur de courant équivalent. En pratique, il est très facile de différencier une source de tension réelle, pour laquelle la résistance interne est faible devant la résistance de charge, ce qui implique U = Ri I − E ≈ −E , d’une source de courant réelle caractérisée par une résistance interne élevée devant la résistance de charge, ce qui entraîne I = U /Ri + I ≈ I . Remarque : Les sources idéales de tension (R i = 0) et de courant (Ri = ∞) ne sont pas réalisables car la puissance qu’elles fournissent pourrait être infinie.

III . — LOIS DE KIRCHHOFF EN RÉGIME STATIONNAIRE En associant plusieurs dipôles entre eux, on réalise un circuit ou réseau dont l’état électrique est caractérisé par l’ensemble des tensions aux bornes des différents dipôles et par l’ensemble des courants qui les traversent. III . 1 . — Nœud, branche, maille et potentiel de référence d’un réseau Les différents dipôles constituant un réseau sont reliés par des fils de connexion, de résistance négligeable devant toutes les autres résistances du circuit. Un point de connection, relié à trois dipôles au moins, est appelé nœud du réseau. Toute portion du réseau entre deux nœuds est une branche. Une boucle fermée, ne passant qu’une seule fois par un nœud donné, forme une maille. Ainsi sur le circuit de la figure 1.22, A , B , C et D sont des nœuds, AB , AC , BD , AD sont des branches et ABDA , ABCA et ABCDA sont des mailles. A

V

I1 U1

I2 U3

D1 M U'1

U6 ' D1

D3 I3 B

U4

I4

I6 D6

I5

U2

D2

D5

D U5

C F IG . 1.22.

Une fois chaque composant d’un circuit identifié et son emplacement connu dans un réseau, on désigne arbitrairement les intensités des courants dans chaque branche, ainsi que les tensions aux bornes de chaque dipôle, en choisissant une orientation pour toute l’étude (Fig. 1.22). Les intensités des courants et les tensions sont alors des grandeurs algébriques : si, après analyse, la valeur de l’intensité dans

16

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

une branche est positive, le courant circule bien dans le sens initialement choisi ; si cette valeur est négative, le courant circule dans le sens opposé. Le potentiel de référence ou masse d’un circuit est un point arbitraire du réseau, par rapport auquel toutes les tensions sont exprimées. Concrètement, on adopte le plus souvent pour masse d’un circuit la borne négative du générateur d’alimentation. Le potentiel de la masse M étant pris égal à zéro, on écrira, entre les points A et B , puisque VM = 0 (Fig. 1.22) : U AB = VA − V B = UAM − U BM avec U AM = VA − V M = VA

et

U BM = VB − V M = V B

III . 2 . — Lois de Kirchhoff Les deux lois de Kirchhoff sont à la base de l’analyse et de la détermination de l’état électrique des circuits, lequel est déterminé par la connaissance de tous les courants dans les branches et de toutes les tensions entre deux nœuds. a) Loi des nœuds Cette loi exprime la conservation de la charge, ainsi que son caractère conservatif (cf. Électromagnétisme). En effet, entre deux dates infiniment voisines, la charge contenue dans un volume n’entourant que le nœud A , se présente sous la forme de la charge qui pénètre dans ce volume en traversant la surface, augmentée de la charge éventuellement créée à l’intérieur de ce volume (Fig. 1.22) : d Q = dQ(r) + dQ (c) Or, la charge est une grandeur qui ne peut être créée ; on dit qu’elle est conservative : dQ(c) = 0 . Comme, en outre, en régime stationnaire, Q ne varie pas au cours du temps, d Q = 0 , il en résulte : dQ(r) = 0 ce qui signifie que toutes les charges, qui pénètrent dans le volume , en ressortent ; il n’y a pas d’accumulation de charges en tout nœud du circuit et par conséquent la somme algébrique des intensités Ik des courants arrivant sur un nœud est nulle : n 

ε kI k = 0

k=1

Dans cette dernière expression, on compte positivement les courants orientés vers le nœud A ( ε k = 1 ) et négativement les courants orientés vers tout autre nœud ( εk = −1 ) ; soulignons que la somme porte sur les n branches qui concourent en A . Ainsi, en ce nœud sur la figure 1.22, on a : I1 − I2 − I3 = 0

ce qui donne

I1 = I2 + I3

et que l’on traduit par : la somme des intensités des courants entrant dans le nœud A est égale à la somme des intensités des courants qui sortent de ce nœud. b) Loi des mailles La loi des mailles traduit, elle, l’additivité des tensions et la propriété du potentiel électrostatique de ne dépendre que du point considéré (cf. Électromagnétisme).

17

Lois de base des circuits en régime stationnaire

Ainsi, la somme des tensions aux bornes des branches d’une maille, décrite dans un sens quelconque, est nulle, soit : n 

ε k Uk = 0

k=1

où ε = 1 si la tension algébrique est orientée selon le sens choisi pour la maille, et ε = −1 sinon.

Par exemple, dans le réseau de la figure 1.22, cette loi, appliquée à la maille ABCA orientée dans le sens des aiguilles d’une montre, donne : −U3 + U 6 − U 1 − U 1 = 0 c) Application au pont de Wheatstone On appelle pont de Wheatstone, du nom du physicien britannique C. Wheatstone, le circuit électrique qui permet de déterminer avec précision la valeur d’une résistance. Ce circuit, représenté sur la figure 1.23a, comporte quatre résistors de résistance R1 , R 2 , R3 et R 4 , formant un carré alimenté selon une diagonale par un générateur de tension ; un ampèremètre, équivalent à une résistance R a , est connecté entre les bornes de l’autre diagonale. Afin de déterminer la résistance inconnue R 4 , l’opérateur modifie la valeur de la résistance réglable R 1 , jusqu’à ce que le courant dans la branche centrale soit nul ; le pont de Wheatstone est alors équilibré. La relation simple entre les résistances R i avec i = 1 , 2 , 3 ou 4 , que nous allons établir permet alors de déterminer la valeur de la résistance inconnue. A

I

I4 U1

R4 ?

R1 A

E R2

R1

I1 B

E R3

U2

R4

Ua

Ia

C

Ra R2

I2 D a)

U4

R3

U3

I3

b) F IG . 1.23.

Introduisons les grandeurs électriques caractérisant l’état électrique du circuit : courants dans les différentes branches et tensions aux bornes des différents dipôles (Fig. 1.23b). Pour établir les relations entre ces grandeurs, utilisons la loi des nœuds et celle des mailles. La première appliquée aux nœuds A , B et C donne les trois équations suivantes : I = I 1 + I4

I1 = I 2 + Ia

I3 = I a + I4

La seconde, appliquée aux trois mailles ACDA , ABDA et ACBA , fournit les trois équations suivantes : E − U4 − U 3 = 0

E − U 1 − U2 = 0

U1 − U4 + U a = 0

18

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Remarques : 1) La loi des nœuds appliquée au nœud D donne une quatrième équation qui n’est qu’une combinaison linéaire des trois autres. Le nombre d’équations indépendantes données par la loi des nœuds est donc inférieur d’une unité au nombre de nœuds du circuit (cf. chapitre 5). 2) De la même manière, la loi des mailles appliquée à tout autre maille conduit à une équation que l’on peut obtenir par combinaison linéaire des trois équations précédentes puisque les trois mailles choisies englobent l’ensemble des branches du circuit (cf. chapitre 5). Il ne reste alors qu’à écrire les relations entre les tensions et les courants imposés par les dipôles : Ui = RiI i où i = 1 , 2 , 3 ou 4 , et Ua = RaI a . Le système d’équations se résout progressivement et donne finalement : E = R4I 4 + R 3 (Ia + I4 )

E = R1 I1 + R 2(−I a + I 1 )

Ra I a = −R1 I1 + R4 I 4

On en déduit I4 et I1 en fonction de l’inconnue I a : I4 = d’où : Ia et : Ia =



E − R3 Ia R3 + R4

R1R 2 R3 R4 + Ra + R 1 + R2 R3 + R4

E R 2R4 − R 1R3 a (R 1 + R2 )(R3 + R4 )

I1 = 

E + R 2I a R1 + R 2

= −E

R1 R4 +E R1 + R2 R3 + R 4

avec a = Ra +

R1R2 R3 R4 + R 1 + R2 R 3+ R 4

Le coefficient a étant strictement positif, I a ne peut s’annuler qu’à la condition suivante : R1 R3 = R2 R4 Exemple : avec R 2 = 1, 0 kV , R 3 = 10, 0 kV et une valeur de R1 ajustée à 165 V , qui permet de réaliser l’équilibre du pont, on trouve R4 = 165 × 10/1 = 1, 65 kV . III . 3 . — Lois dérivées pour les circuits linéaires Dans le cas très fréquent, où le circuit peut se ramener à un ensemble de dipôles linéaires et de générateurs de courant ou de tension, les lois de Kirchhoff prennent une forme simple. a) Loi de Pouillet La loi de Pouillet, établie par le physicien français C. Pouillet en 1884, est relative à des circuits ne comportant qu’une seule maille et dont les générateurs réels de courant ont été remplacés par les générateurs de tension équivalents. On détermine alors simplement la valeur de l’intensité du courant dans la maille. En effet, sur l’exemple de la figure 1.24, la loi des mailles s’écrit : UAB + UBC + U CA = 0 soit E 1 + R1 I − E2 + R2I + R 3I = 0

d’où

I=

E2 − E1 R1 + R 2 + R 3

d’où l’énoncé suivant : l’intensité du courant, dans un circuit ne comportant qu’une seule maille, est égale au rapport de la somme algébrique des f.e.m des générateurs de tension sur la somme des résistances de la maille.

19

Lois de base des circuits en régime stationnaire

Remarque : Notons que l’application de la loi de Pouillet ne présente aucun intérêt si la maille comporte un générateur de courant parfait, ce dernier imposant par définition un courant dont l’intensité est égale à son c.e.m. R2

B E2

R1

A

C G1

G3

G2

UA

R3 E1 I

A

A1

A2

A3

U1

U2

U3

F IG . 1.24.

F IG . 1.25.

b) Théorème de Millman C’est en 1941 que le physicien américain J. Millman proposa une réécriture de la loi des nœuds en fonction des seules tensions, ce qui s’avère très commode et très efficace, notamment dans les montages comportant des amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8). Il est instructif d’établir ce théorème à l’aide de l’exemple choisi par Millman lui-même, dans sa publication originale. Les nœuds Ai , avec i = 1 , 2 ou 3 de la figure 1.25 sont portés à des potentiels connus par les tensions Ui entre ces points et la masse. Comme l’intensité du courant dans la branche i , de conductance G i , arrivant au nœud A a pour expression Ii = Gi (Ui − UA ) , la loi des nœuds donne : 3  i=1

d’où la tension UA :

I i = G 1(U 1 − UA ) + G 2(U2 − UA) + G 3(U 3 − UA ) = 0

UA =

G1U 1 + G 2U 2 + G3U 3 G1 + G 2 + G 3

Cette expression de la tension au nœud A constitue le théorème de Millman. On généralise aisément ce théorème à des circuits quelconques comportant en outre des générateurs de tension ou de courant. Il vient, dans le cas de la figure 1.26 : I 1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 0 avec I1 = G 1(U 1 − U A) I2 = G2 (U2 + E2 − UA )

On trouve, en substituant : UA =

I3 = G 3(U3 − E3 − U A)

I 4 = I4

et I 5 = −I 5 + G5(U 5 − U A)

G 1U 1 + G 2U 2 + G 3U3 + G5U 5 + G 2E 2 − G3 E3 + I 4 − I 5 G 1 + G2 + G3 + G5

Retenons, l’expression suivante du théorème de Millman généralisé, donnant la tension au nœud A , en fonction des conductances :  Gk(U k + εk Ek ) + ε kIk  UA = k k Gk

20

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire 2 I 2 E2 G2 G1

1

1

E3 G3

A

3

E

I3

I1

5

2 I R

R

I4

G5

R

R

4

I5 I5

M 3

F IG . 1.26.

F IG . 1.27.

les sommations portant sur toutes les branches arrivant au nœud A ; dans cette expression, les facteurs εk et εk valent 1 si les flèches des f.e.m et des c.e.m sont orientées vers le nœud A , et −1 dans le cas contraire. On l’écrit souvent en fonction des résistances : UA =



k(Uk

+ ε kEk )/Rk + ε k Ik  k (1/Rk )

Remarques : 1) Le théorème de Millman s’applique également au point de masse M du circuit ; il convient, dans ce cas, de prendre en compte toutes les connexions du circuit à la masse (cf. Exercices). 2) Ce théorème ne présente aucun intérêt lorsque l’une des branches connectées au nœud A ne comporte qu’un générateur de tension parfait, puisque la tension est fixée par le générateur, quels que soient les dipôles dans les autres branches. Exemple : déterminons les tensions aux nœuds 1 et 2 dans le circuit simple, représenté sur la figure 1.27, pour lequel E = 10 V , R = 1 kV et I = 10 mA , sachant que le nœud 3 sert de masse. Appliquons le théorème de Millman en 1 puis en 2 . Il vient : U1 =

U2 /R + E /R 1/R + 1/R + 1/R

et

U2 =

U1/R + I 1/R + 1/R

La résolution de ce système linéaire à deux inconnues est simple. Elle donne : U2 =

3RI + E 30 + 10 =8V = 5 5

et

U1 =

RI + 2E 10 + 20 =6V = 5 5

III . 4 . — Utilisation des symétries du réseau Lorsque le circuit présente des symétries, l’analyse se simplifie puisque la distribution des tensions et des courants présente également des symétries. Nous rappelons ici les résultats utiles que l’on établit généralement dans le cadre de l’électromagnétisme (cf. Électromagnétisme).

21

Lois de base des circuits en régime stationnaire a) Symétrie du réseau par rapport à un plan

Un réseau présente un plan de symétrie électrocinétique P si, à chaque branche du circuit, on peut associer, par symétrie par rapport à ce plan, une branche identique. Notons que cela implique, pour des dipôles non symétriques, une correspondance borne à borne, entrée ou sortie, avec leurs symétriques par rapport au plan P (Fig. 1.28a). En outre, si la symétrie ne concerne qu’une portion du circuit, il faut que les points d’alimentation de cette portion soient contenus dans P (Fig. 1.28b). Plan de symétrie P

Plan de symétrie P 2R

R

2R

2R

2R R'

R' R

E

E

R

E

R

a)

R

E

E

b) F IG . 1.28.

Pour un réseau ou une portion du réseau qui présente un plan de symétrie P :

i) les points symétriques par rapport à P sont au même potentiel, ii) la distribution des courants est symétrique par rapport à P ; aucun courant ne traverse alors P .

Exemple : cherchons à déterminer, à l’aide des symétries, la résistance du réseau de la figure 1.29a, entre les points A et B d’alimentation, sachant que chaque segment du réseau représente un conducteur ohmique, de résistance R = 100 V . En raison des symétries, le plan perpendiculaire au plan du réseau, qui contient l’axe AJB , est un plan de symétrie. Comme aucun courant ne traverse ce plan, on a les relations suivantes : I CJ = I JE et I FJ = I JH Le nœud J peut alors être dissocié en deux nœuds indépendants (Fig. 1.29b), ce qui simplifie l’analyse car les différents résistors peuvent être associés de manière simple (cf. paragraphe IV). D C A

Plan d’antisymétrie Q E C B

J

D

C

E J

A

B

D, J, G

E

A

B

J H

F G a)

F Plan de symétrie P

H G b)

F

H c)

F IG . 1.29.

b) Antisymétrie du réseau par rapport à un plan Un réseau présente un plan d’antisymétrie électrocinétique Q si, à chaque branche du circuit, correspond, par symétrie par rapport à Q , une branche identique dans laquelle les dipôles non symétriques sont inversés : à chaque borne d’entrée ou de sortie, est associée la borne de type opposé dans le dipôle image (Fig. 1.30a).

22

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Si l’antisymétrie ne concerne qu’une portion du circuit, les points d’alimentation de cette portion doivent être symétriques par rapport à Q (Fig. 1.30b). Plan d'antisymétrie Q Plan d'antisymétrie Q 2R

2R 4R

2R 4R

R/2

R/2

E 2R

E

2R

E

E 2R

R/2

E a)

R/2

R b)

F IG . 1.30.

Pour un réseau ou une portion de réseau présentant un plan d’antisymétrie électrocinétique Q : i) les points de Q sont au même potentiel ; ii) la répartition des courants est antisymétrique par rapport à Q . Exemple : reprenons le réseau de la figure 1.29a et déterminons, à l’aide des antisymétries, la résistance équivalente entre les points A et B d’alimentation. Le plan perpendiculaire au plan du réseau, qui contient l’axe DJG , est un plan d’antisymétrie ; on en déduit que les nœuds D , J et G sont au même potentiel. Il est alors possible de les relier entre eux par un fil de connexion sans modifier la distribution des courants (Fig. 1.29c). Le circuit obtenu est plus simple à analyser car les différents résistors peuvent être associés de manière simple (cf. paragraphe IV).

IV . — ASSOCIATIONS DE DIPÔLES On associe très souvent les dipôles entre eux, soit pour simplifier l’analyse d’un réseau, soit pour réaliser un circuit, lorsqu’on connecte les bornes d’un dipôle générateur à celles d’un dipôle récepteur. La simplification d’un circuit s’appuie essentiellement sur deux types d’association : série et parallèle. IV . 1 . — Association en série La manière la plus simple d’associer deux dipôles est de les brancher en série, c’est-à-dire d’imposer qu’ils soient parcourus par le même courant, ce qu’on réalise en mettant en commun une borne de chacun d’entre eux, et en considérant le dipôle résultant entre les deux autres bornes laissées libres. Notons que deux dipôles sont encore en série si, malgré une connexion de la borne commune avec une autre branche, aucun courant ne circule dans cette branche (Fig. 1.31) ; ceci est réalisé avec un oscilloscope, un voltmètre ou un amplificateur opérationnel, tous trois ne prélevant qu’un très faible courant. a) Association en série de deux résistors Les relations caractéristiques de l’association en série, c’est-à-dire l’addition des tensions et l’égalité des intensités se déduisent directement de la définition : U = U1 + U2

et

I1 = I2 = I

23

Lois de base des circuits en régime stationnaire I1

U1

D1

U

D1

I2 D2

D1

I=0

U2

V

I¹0

D2

D2

a) D 1 et D 2 sont en série

b ) D 1 et D 2 ne sont pas en série

F IG . 1.31.

Appliquée à deux résistors, avec U 1 = R 1I 1 et U2 = R2I 2 , l’association en série donne une résistance équivalente Re égale à l’addition des résistances R 1 et R2 : U = R e I = R1I1 + R2 I2 = (R 1 + R2)I

soit finalement

R e = R1 + R2

b) Association en série de deux générateurs parfaits Pour deux sources de tension parfaites, de f.e.m E 1 et E 2 respectivement, l’association en série donne une source de tension parfaite de f.e.m équivalente : Ee = E 1 + E 2 Exemple : les piles plates de 4, 5 V sont réalisées en associant en série de trois piles bâtons de f.e.m 1, 5 V chacune. Remarques : 1) Il est évidemment impossible de connecter en série deux générateurs de courant parfaits, qui n’ont pas le même courant électromoteur, puisque, par définition, chacun doit imposer la valeur de son c.e.m. On lève ce type de contradiction théorique en tenant compte des imperfections de ces deux générateurs, c’est-à-dire de leurs résistances internes. 2) Un dipôle, constitué de l’association en série d’une source de courant parfaite avec n’importe quel autre dipôle, est équivalent au générateur de courant parfait seul, puisqu’alors I = I , quel que soit U , et donc quel que soit l’autre dipôle placé en série. c) Association en série de générateurs réels L’association en série d’une source de tension parfaite, de f.e.m E et d’un résistor de résistance R i , permet de représenter un générateur de tension réel (Fig. 1.32). En effet, l’équation de la caractéristique de ce dipôle est : U = Ri I − E . I

Ri

E

U F IG . 1.32.

Pour deux générateurs de tension réels, de caractéristiques {E 1, R 1} et {E2, R 2} , que l’on associe en série, on a : et R i = R1 + R 2 Ee = E1 + E2

24

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Lorsque deux générateurs de courant réels I 1 , R1 et I2, R2 sont en série, il faut préalablement les transformer en générateurs de tension équivalents avant de les remplacer par le générateur équivalent : et

E e = R1 I1 + R2 I2

Ri = R 1 + R 2

IV . 2 . — Association en parallèle ou dérivation Une seconde façon d’associer deux dipôles est de les brancher en parallèle, également appelé branchement en dérivation, c’est-à-dire de les connecter bornes à bornes (Fig. 1.33) : les bornes A 1 et A2 des dipôles D 1 et D2 sont reliées entre elles, ainsi que les bornes B1 et B2 . Il en résulte que la tension à leurs bornes est la même et que l’intensité du courant dans le dipôle résultant est la somme des intensités : U1 = U 2

et

I = I 1 + I2

I A1 A2 I1

I2

U 1 D1

D 2 U2 B1 B 2 F IG . 1.33.

a) Association en parallèle de deux résistors R2 :

Établissons la règle d’association de deux résistors en parallèle, de résistances respectives R 1 et

U1 U2 I = I1 + I 2 = =U + R1 R2



1 1 + R1 R2



puisque

U = U1 = U 2

d’où

1 1 1 I = = + U Re R1 R2

où Re représente la résistance équivalente à l’association. Il en résulte : 1 1 1 = + Re R1 R 2

ou

Re =

R1R2 R1 + R2

On note que l’association en parallèle de deux résistors donne une résistance équivalente Re , plus petite que la plus petite des deux résistances initiales. Ainsi lorsqu’on veut court-circuiter un résistor, il suffit de connecter en parallèle avec lui un fil conducteur de très faible résistance. Remarque : On note souvent la résistance équivalente à une association en parallèle sous la forme symbolique R e = R 1//R2 .

25

Lois de base des circuits en régime stationnaire

Exemples : 1) Déterminons la résistance Re du résistor équivalent à l’association en parallèle de n résistors, de même résistance R : n n   n R 1 1 1 = = = d’où R e = Re Rk R R n k=1

k=1

2) Revenons sur le réseau de résistors de la figure 1.29a qui, après analyse des symétries, est équivalent à celui de la figure 1.29b. On peut facilement déterminer la résistance entre les nœuds A et B ; en effet, le résistor équivalent se réduit alors à l’association en parallèle de deux branches composées de résistors en parallèle ou en série. Il en résulte que : 3 R = 150 V car R CE = 2R//2R = R 2 Il est possible de retrouver ce résultat à partir de la figure 1.29c obtenue après analyse de l’antisymétrie. On a alors :   3 3 3 RAB = R AD +RDB avec RAD = R DB = [R +(R//R)]//[R +(R//R)] soit RAB = 2× R// R = R 2 2 2 RAB = 3R//3R =

b) Association en parallèle de deux générateurs parfaits Pour deux générateurs de courant parfaits, connectés en parallèle et débitant des courants d’intensités respectives I 1 et I2 , l’intensité du courant fourni par le générateur équivalent I e est : I e = I 1 + I2 Remarques : 1) Le montage en parallèle de deux générateurs de tension parfaits n’est possible que s’ils ont les mêmes f.e.m. 2) Un dipôle constitué par l’association en parallèle d’une source de tension parfaite, avec n’importe quel autre dipôle, est équivalent au générateur de tension parfait seul, puisque U = −E , quel que soit I et donc quel que soit l’autre dipôle. c) Association en parallèle de générateurs réels Un générateur de courant réel peut être représenté par l’association en parallèle d’une source de courant idéale, de c.e.m I et d’un résistor de résistance R i (Fig. 1.34), puisque l’équation de la caractéristique du dipôle ainsi obtenu est : I = U /R i + I . I

I Ri U F IG . 1.34.

Pour deux générateurs de courant réels, de caractéristiques respectives {I 1 , R1 } et {I2, R2 } , que l’on associe en parallèle, on a : I e = I1 + I2

et

Ri =

R 1R2 R 1 + R2

26

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Lorsque deux générateurs de tension réels, caractérisés respectivement par {E1, R 1 } et {E2, R2 } , sont en parallèle, il convient d’abord de les transformer en générateurs de courant équivalents de c.e.m I1 = E 1/R1 et I2 = E2 /R2 , avant de les remplacer par le générateur de courant suivant : Ie =

E1 E2 + R1 R2

et

Ri =

R1R 2 R 1 + R2

IV . 3 . — Application aux diviseurs de tension et de courant a) Diviseur de tension La connexion des bornes d’une source de tension à celles de deux résistors connectés en série forme un montage simple et très utile, appelé diviseur de tension (Fig. 1.35). Il permet, en faisant varier l’une, R1 , des résistances par rapport à l’autre R2 , de modifier la tension d’utilisation U 1 aux bornes du premier résistor. En effet, l’application des lois de Kirchhoff donne aisément : U 1 = R1 I =

R1 U R1 + R2

puisque I =

U R1 + R 2

Ainsi, la tension aux bornes du résistor 1 est une fraction de la tension totale. Lorsque R1 varie entre 0 et ∞ , la tension U1 passe de 0 à U . Le diviseur de tension est souvent appelé potentiomètre. Remarque : Notons que cette relation ne vaut que si le diviseur de tension ne débite lui-même aucun courant, c’est-à-dire si aucun courant n’arrive ni ne part de la borne commune aux deux résistors. Le cas où R 1 est négligeable devant R2 est celui où l’on introduit un ampèremètre dans un circuit : la très faible résistance interne de l’ampèremètre ne modifie pratiquement pas la tension aux bornes du dipôle avec lequel il est en série. I R1

I U1

U

I1

I2 R1 R 2

U1 R2

U2

U2

F IG . 1.35.

F IG . 1.36.

b) Diviseur de courant Il existe une version analogue au diviseur de tension, appelée diviseur de courant. La connexion des bornes d’une source de courant à celles de deux résistors connectés en parallèle forme aussi un montage simple (Fig. 1.36) qui permet, en faisant varier l’une, R 1 , des résistances par rapport à l’autre R2 , de modifier le courant d’utilisation I 1 dans le premier résistor. En effet, il vient en appliquant les lois de Kirchhoff : I1 = G 1U 1 =

G1 I G1 + G 2

puisque

U1 = U 2 =

I1 I2 I1 + I 2 I = = = G1 G2 G1 + G 2 G 1 + G2

27

Lois de base des circuits en régime stationnaire

Ainsi, le courant qui parcourt le résistor 1 est une fraction du courant total. Lorsque G1 varie entre 0 et ∞ , l’intensité I1 passe de 0 à I .

Le cas où G 1 est négligeable devant G2 est celui où l’on introduit un voltmètre dans un circuit : la très faible conductance interne du voltmètre ne modifie pratiquement pas l’intensité du courant qui parcourt le dipôle avec lequel il est en parallèle. Remarque : La correspondance entre les expressions du diviseur de tension et du diviseur de courant est directe ; il suffit de permuter tension et courant d’une part, résistance et conductance d’autre part. Aussi la qualifie-t-on de duale. c) Exemple Dans le circuit de la figure 1.37, où E = 5, 0 V et R = 100 V , déterminons la tension U AB et l’intensité I en considérant une succession de diviseurs de tension ou de courant. On trouve : R UCB UCB = 2 R+R

UAB =

Or UCB est la tension aux bornes d’une résistance équivalente R e = 2R //(R + R) = 2R//2R = R . En utilisant un deuxième diviseur de tension, on obtient : U CB =

Re E E= 3 Re + 2R

d’où UAB =

E = 833 mV 6

et

I=

U AB = 8, 33 mA R

On retrouve la valeur de I à l’aide d’un diviseur de courant : I=

Ig 2R Ig = 2R + R + R 2 Ig

C

avec I g =

R

E E E = d’où I = = 8, 33 mA 3R 6R R e + 2R

A

E I

E 2R

UAB

R

2R

Ri

I Ug U

B F IG . 1.37.

I

R F IG . 1.38.

IV . 4 . — Point de fonctionnement d’un circuit Associons deux dipôles afin de former un circuit, l’un des dipôles étant nécessairement actif. Proposons-nous de déterminer l’intensité du courant dans le circuit, ainsi que la tension aux bornes des dipôles. a) Cas simple Le circuit de la figure 1.38 représente un circuit simple obtenu en associant un dipôle générateur réel et un résistor, dont les caractéristiques, toutes deux en convention récepteur, sont les suivantes : i) celle du résistor est I = U /R et se trouve dans le premier quadrant (Fig. 1.39a),

28

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire ii) celle du dipôle générateur satisfait à l’équation : E + Ug Ri

I=

en convention récepteur E étant la f.e.m du générateur, R i sa résistance interne et Ug la tension aux bornes du générateur (Fig. 1.39b). I

I

I

IF 0

F

0 −E

U

Ug

a)

UF

b)

U

c)

F IG . 1.39.

Comme U g = −U , on détermine graphiquement le point de fonctionnement en portant les deux caractéristiques sur un même graphique, celle du résistor et celle du générateur après changement de Ug en −U (Fig. 1.39c) : U E−U I= et I = R Ri Le point de fonctionnement est évidemment donné par l’intersection de ces deux droites, puisque les tensions aux bornes des deux dipôles doivent être égales. Exemple : avec un générateur de f.e.m E = 1, 5 V et de résistance interne R i = 10 V , débitant dans une charge de résistance R = 20 V , on trouve : U E−U = R Ri

soit

U=

R E = 1, 0 V R + Ri

et I =

1, 0 U = = 50 mA 20 R

b) Cas d’une caractéristique rectiligne par morceaux Lorsque la caractéristique d’un dipôle est rectiligne par morceaux, ou lorsque l’équation de sa caractéristique n’est donnée que par morceaux, la détermination du point de fonctionnement exige que l’on connaisse la zone concernée de la caractéristique. On résout le système d’équations obtenues, en faisant une hypothèse a priori, et l’on vérifie que la valeur trouvée est compatible avec cette hypothèse ; si ce n’est pas le cas, on se place dans l’autre hypothèse. Exemple : un générateur de courant, de c.e.m I = 20 mA et de résistance interne R i = 1 kV , débite dans une diode, de tension de seuil Ud = 0, 6 V et de résistance interne r i = 20 V (Fig. 1.40a). L’équation caractéristique du générateur de courant est donc : I=

Ug +I Ri

ce qui donne

I=I−

U Ri

car

U = −Ug

alors que la caractéristique de la diode est définie par morceaux (Fig 1.40b).

29

Lois de base des circuits en régime stationnaire Ri I

I

Pente 1/ri

I Ug U

0 Ud

I

a)

U

b) F IG . 1.40.

i) Hypothèse 1 : la diode est bloquée L’équation de sa caractéristique est donc I = 0 , avec U < U d . On en déduit : U = R i I = 20 V > Ud ce qui absurde, puisque la diode est supposée bloquée ; cette hypothèse est donc incorrecte. ii) Hypothèse 2 : la diode est passante L’équation de la caractéristique est la suivante : I=

U − Ud ri

Vérifions, par la résolution algébrique, que I > 0 ou que U > U d :   U − Ud U R ir i Ud U − Ud R iI − Ud =I− I+ d’où U = et I = I= = ri Ri Ri + r i ri ri Ri + ri On trouve U = 0, 98 V > Ud et I = 19 mA > 0 ; c’est la bonne hypothèse.

V . — ASPECTS ÉNERGÉTIQUES EN RÉGIME STATIONNAIRE V . 1 . — Bilan d’énergie Considérons un dipôle AB convertissant en travail électrique de l’énergie qu’il reçoit d’une source d’énergie, d’origine électromagnétique, chimique ou autre. Soumis à une tension U AB entre ses bornes, il est parcouru par un courant d’intensité IAB . Appliquons, aux porteurs de charge électrique du dipôle, le théorème de l’énergie cinétique (cf. Mécanique). Il vient : d Ek = UAB IAB − RI 2AB + EIAB dt où UAB IAB est la puissance électrique reçue par le dipôle, due à la présence d’un champ électrique dans le conducteur, PJ = −RI2AB la puissance perdue par effet Joule et EI AB la puissance reçue par le dipôle en raison de la conversion (cf. Électromagnétisme). Comme la variation élémentaire d’énergie cinétique d Ek est nulle en régime stationnaire, il vient : UAB I AB − RI 2AB + EIAB = 0 d’où U ABI AB = RI 2AB − EI AB

30

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Pour effectuer le bilan énergétique sur un circuit ne comportant qu’une seule maille formée de plusieurs dipôles, il suffit d’écrire de telles relations pour tous les dipôles et de sommer. Il vient, en utilisant l’indice k pour étiqueter les différents dipôles, I étant l’intensité commune dans le circuit :     Uk I = Rk I2 − EkI = I Uk = 0 puisque Uk = 0 k

k

k

k

d’après la loi des mailles. Retenons donc que, dans un circuit, la somme des puissances reçues par l’ensemble des dipôles est nulle, ce qui donne : 

EkI =

k



Rk I 2

k

Exemple : effectuons le bilan énergétique dans le circuit simple de la figure 1.41 dans lequel une pile, de f.e.m E = 1, 5 V et de résistance interne r = 2, 0 V , alimente une lampe électrique, de résistance R = 20 V . En appliquant la loi des mailles, on obtient l’intensité du courant dans le circuit, et les différentes puissances mises en jeu : I=

1, 5 = 68, 2 mA d’où EI = 1, 5 ×68, 2 = 102, 3 mW 20 + 2

RI 2 = 93 mW

rI 2 = 9, 3 mW

On voit que la puissance de conversion est dissipée par effet Joule, d’une part dans la résistance de la lampe, d’autre part dans la résistance interne de la pile. I

E Pile

U

Lampe électrique

r F IG . 1.41.

V . 2 . — Puissance électrique maximale fournie par un générateur Pour un générateur réel, de f.e.m E et de résistance interne R i , débitant dans une charge résistive, de résistance R , cherchons à connaître la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée est maximale (Fig. 1.42a). Cette question est essentielle lorsque le générateur est de faible puissance. La puissance dissipée par la charge a pour expression : P = RI 2 =

RE 2 (R + Ri ) 2

puisque

I=

E R + Ri

Elle passe par un maximum pour : dP (R + Ri )2 − 2R(R + R i ) R + Ri − 2R Ri − R = 0 soit R = R i = E2 = E2 = E2 4 3 dR (R + R i ) (R + R i ) (R + R i) 3 car P est une quantité positive qui s’annule pour R nul et pour R tendant vers l’infini. Sur la figure 1.42b, on a représenté le graphe P(R) ; on voit que la puissance dissipée maximale et la tension aux bornes de la charge valent respectivement : PM =

E2 4Ri

et

U=

E 2

31

Lois de base des circuits en régime stationnaire I

E2 4Ri

P(R)

E

R Ri 0

a)

Ri

b)

R

F IG . 1.42.

Lorsqu’une telle condition de transfert maximal de puissance est réalisée, on dit qu’il y a adaptation de résistance. Notons que cette adaptation peut être un inconvénient, car la résistance interne du générateur, une pile par exemple, dissipe alors la même puissance, ce qui peut conduire à un échauffement interne pouvant limiter sa durée de vie. Remarque : Comme nous le verrons, ce résultat s’étend aux régimes quasi stationnaires sinusoïdaux (cf. chapitre 2). Il est souvent important de récupérer une puissance maximale lorsque les générateurs sont de faible puissance comme dans un microphone ou une antenne de télévision, car toute atténuation supplémentaire d’un signal déjà faible, dégrade considérablement la qualité du signal de sortie. Dans ce contexte, les générateurs basse fréquence utilisés en travaux pratiques possèdent en général une résistance interne de l’ordre de 50 V , bien plus faible que celle de la charge dans laquelle on les fait débiter ; on évite ainsi une trop grande dissipation d’énergie dans le générateur. V . 3 . — Transport de la puissance électrique Analysons le transport de la puissance électrique fournie par un générateur, de f.e.m E et de résistance interne r , vers une charge de résistance Rc , via une ligne ohmique de résistance R l (Fig. 1.43). Rl

I

r Rc

U

Uc

E F IG . 1.43.

La puissance fournie par le générateur et celle reçue par la charge ont pour expressions respectives : Pg = UI

et

Pc = U cI

avec Uc = U − RlI

U étant la tension à la sortie du générateur, U c la tension aux bornes de la charge et I l’intensité du courant dans la ligne. Exprimons le rendement de l’installation en fonction de Rl , P g et U : r=

(U − Rl I )I Rl I 2 Rl P g Pc Pg − R l I 2 = = =1− =1− 2 Pg Pg Pg Pg U

32

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

Ainsi, pour une résistance de ligne fixée et une puissance électrique déterminée à transmettre, le rendement du transfert est d’autant plus proche de l’unité que la tension de distribution est plus grande. Remarque : On retrouvera ce résultat en régime quasi stationnaire sinusoïdal (cf. chapitre 2). C’est la raison pour laquelle la puissance électrique est transportée par des lignes à très haute tension (225 et 400 kV).

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Dans les circuits électriques, les dipôles électrocinétiques sont qualifiés de récepteur ou de générateur électrique, suivant que la puissance électrique reçue est positive ou négative. En régime stationnaire, cette puissance s’écrit, pour un dipôle AB : P = UI

avec U = UAB

et

I = IAB

Cette algébrisation n’est pas superflue, car certains dipôles peuvent se comporter en récepteur ou en générateur, suivant les conditions de fonctionnement. 2) La caractéristique d’un dipôle exprime la relation entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse. Elle met en évidence les propriétés du dipôle, notamment sa linéarité ou sa non-linéarité. Nous l’avons écrite systématiquement sous la forme I (U ) , avec la convention récepteur, dans laquelle on compte positivement la puissance électrique reçue. Il est utile de reconnaître les graphes des caractéristiques idéalisées des principaux dipôles : résistors, diodes, générateurs électriques, etc. 3) L’état électrique des circuits est déterminé par les deux lois de Kirchhoff, la première relative aux nœuds, la seconde aux mailles d’un circuit : n 

k=1

εk Ik = 0

et

n 

ε kUk = 0

k=1

La première sommation porte sur toutes les branches qui concourent au nœud considéré, avec εk = 1 si le courant est orienté vers le nœud et ε k = −1 sinon. La seconde concerne tous les dipôles d’une même maille, avec εk = 1 si le sens de Uk est le même que le sens d’orientation de la maille et ε k = −1 sinon. 4) Le théorème de Millman, qui est une simple réécriture de la loi des nœuds en termes de tension, est très commode et très efficace, dès que l’on cherche un rapport de tensions. De même, les diviseurs de tension ou de courant, qui se déduisent aisément des lois de Kirchhoff, sont très utiles pour une gestion technique rapide de l’état électrique des circuits. 5) Sur le plan énergétique, la somme des puissances électriques algébriques reçues par les dipôles d’un circuit est nulle. En outre, la puissance fournie par un générateur à un résistor est maximale lorsque la résistance du second est égale à la résistance interne du premier.

33

Lois de base des circuits en régime stationnaire

EXERCICES ET PROBLÈMES P1– 1. Caractéristiques d’une association de dipôles (Solution : http ://www.ast.obs-mip.fr/perez)

web

Tracer la caractéristique des dipôles équivalents aux groupements de la figure 1.44, sachant que les diodes sont idéales. E0

E0

R

E1

R

a)

b)

R

R

c)

d)

E0 R E0

E0 I

E1

R

R

I

R e)

f)

g)

h)

I E0

E0

i)

j) F IG . 1.44.

P1– 2. Mesure de la résistance interne d’un générateur Afin de déterminer la résistance interne d’un générateur, on réalise une première mesure à l’aide d’un voltmètre, de très grande résistance interne. On relève une tension U 1 = 22, 0 V . On ajoute alors un résistor, de résistance de R = 47 V , en parallèle, et on relève une tension U 2 = 19, 5 V . Déterminer la f.e.m du générateur, ainsi que sa résistance interne en fonction de R , U 1 et U2 . Application numérique. P1– 3. Modélisation de diodes Les dipôles, dont la caractéristique est rectiligne par morceaux, peuvent être remplacés, sur chaque partie de leur caractéristique, par une association en série ou en parallèle de dipôles idéaux simples. 1. Pour une diode réelle, de tension de seuil U d et de résistance interne Ri , déterminer l’association en série équivalente à cette diode en mode passant. Quelle est l’association en parallèle équivalente ? 2. Reprendre la question précédente pour une diode Zener, caractérisée en mode passant direct par une tension de seuil U d et une résistance interne R i , et en mode passant inverse par une tension Zener UZ et une résistance interne Ri .

34

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

P1– 4. Batterie tampon

web

Dans le schéma de la figure 1.45, E 1 > E2 et le dipôle étudié D a une résistance R. 1. Déterminer le type de fonctionnement des deux générateurs, en fonction de R .

2. On suppose que la f.e.m E 2 du générateur 2 est constante, et que la f.e.m du générateur 1 varie entre E1,m et E1,M . La résistance R étant fixée, trouver la valeur de R 1 telle que le courant débité par le générateur 2 soit nul, lorsque E 1 est maximal. 3. En calculant l’intensité I du courant dans le dipôle D , montrer que la présence du générateur 2 permet de diminuer l’influence des variations de E1 sur I . Application numérique pour E1 variant entre 6, 0 et 7, 0 V , R = 100 V , E2 = 1, 5 V et R 2 = 1, 0 V . I1 I2 I

E1 R1

E

R2

R mA

D

E2

Ohmmètre

X

F IG . 1.45.

F IG . 1.46.

P1– 5. Ohmmètre analogique Un ohmmètre est constitué par l’association en série d’un résistor de résistance R , d’un générateur de f.e.m E = 9, 00 V et d’un milliampèremètre de résistance interne RA = 100 V . Ce dernier est connecté sur le calibre IM = 10, 0 mA (Fig. 1.46) et son écran comporte 100 divisions. On le branche sur un résistor de résistance X. 1. Trouver R afin que la déviation soit maximale lorsque X est nul. 2. a) Pour X = 0 , la déviation de l’aiguille du milliampèremètre est de n graduations. Donner X en fonction de E , I M et n . b) Quelles sont les valeurs de X correspondant aux différentes valeurs de n (de 10 en 10 ) ? 3. Pour quelle valeur de X l’incertitude sur n est-elle minimale ? P1– 6. Application simple du théorème de Millman À l’aide du théorème de Millman, calculer, en volt, la tension entre le nœud N et la masse M dans le montage de la figure 1.47. Retrouver ce résultat en appliquant ce même théorème à la masse du montage. E1 = 12 V R 1 = 1 kV R 3 = 3 kV

E3 = 18 V

N

R2 = 2 kV

R 4 = 4 kV M F IG . 1.47.

E 2 = 24 V

35

Lois de base des circuits en régime stationnaire P1– 7. Circuit comportant une diode

Dans le circuit de la figure 1.48, le générateur de tension a une f.e.m E et le générateur de courant a un c.e.m constant I . La diode présente une tension de seuil U d et une résistance interne R . 1. Déterminer U et I en fonction de E , I , Ri , R , U d et R .

2. Calculer U et I pour E = 1, 5 V , I = 100 mA , Ri = 10 V , R = 10 V , U d = 0, 8 V et R = 15 V . 3. La puissance maximale que peut dissiper la diode est de 0, 1 W . Convient-elle pour le montage précédent ? C E

E

I

I R

U

B D

F G

Ri A F IG . 1.48.

H F IG . 1.49.

P1– 8. Résistance équivalente à un cube de résistors La résistance de chaque segment du cube de la figure 1.49 est égale à R . 1. Déterminer en fonction de R , la résistance du dipôle équivalent, lorsque le cube est alimenté entre les points A et F . Application numérique pour R = 220 V . 2. Même question lorsque le cube est alimenté entre les points A et H . Application numérique. P1– 9. Résistance par carré d’une interconnexion En électronique hyperfréquence, il est nécessaire de prendre en compte très précisément l’emplacement de chaque composant ; en outre, on ne peut négliger la résistance du matériau sur lequel sont gravés les composants. L’évolution des technologies conduit à des épaisseurs de conducteur de plus en plus petites, de l’ordre de 0, 25 mm . Afin d’obtenir des résultats indépendants de la technologie, il est commode de découper le support en portions dont la longueur est égale à la largeur ; la résistance R p d’une portion est appelée résistance par carré du matériau considéré. 1. Rappeler l’expression de la résistance d’un conducteur parallélépipédique, en fonction de la conductivité g d’un matériau, sa longueur l et sa section rectangulaire, de côtés a et e (Fig. 1.50a). En déduire Rp pour trois matériaux différents, d’épaisseur e = 0, 25 mm , aluminium, cuivre et tungstène, de conductivités respectives : g Al = 3, 65 × 10 7 S · m−1

g Cu = 5, 8 × 10 7 S · m −1

gW = 1, 88 × 107 S · m−1

2. L’introduction des résistances par carré permet de déterminer la résistance d’une portion de substrat en se ramenant à un réseau discret et symétrique de résistances identiques. Ainsi, une portion de substrat peut se ramener au réseau de résistances de la figure 1.50 b, où chaque résistance vaut R p . a) Sachant que l’alimentation électrique s’effectue entre les points A et B , déterminer la résistance du substrat. b) Exprimer la résistance d’une bande de substrat, de longueur très grande devant sa largeur (Fig. 1.50c).

36

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

A

A

l

e

B

a a)

B b)

c)

F IG . 1.50.

P1– 10. Étude d’un circuit symétrique et d’un circuit antisymétrique

web

Dans le circuit représenté sur figure 1.51a, les diodes sont idéales. 1. Trouver l’intensité du courant qui parcourt chaque diode. 2. Cette portion de circuit est maintenant alimentée comme le montre la figure 1.51b. Calculer la nouvelle intensité dans chaque diode. 3. Reprendre la question précédente avec le circuit des figures 1.51c et 1.51d.

2R

R

2R

2R

R' R

E

2R R'

R

E

E1

R

E

a)

b)

2R 2R

2R 4R

2R 4R

R/2

R

E

E

R/2

E

E

E 2R

R/2

E1

2R

R

c)

d) F IG . 1.51.

R/2

37

Lois de base des circuits en régime stationnaire P1– 11. Montages courte et longue dérivations

Le montage, représenté sur la figure 1.52, permet de tracer la caractéristique d’un dipôle ; selon la position de l’interrupteur K , le montage est courte dérivation (position C ) ou longue dérivation (position L ). En général, l’ampèremètre possède une résistance R a très faible et le voltmètre une résistance Rv très grande. 1. Le dipôle est un conducteur ohmique, de résistance R . a) Déterminer pour chaque position de l’interrupteur K , la résistance mesurée R m = U /I en fonction de R , Ra et R v où U est la tension lue sur le voltmètre et I l’intensité lue sur l’ampèremètre. b) En déduire l’erreur systématique relative DR/R = (R m − R)/R pour les deux montages. c) Préciser, selon la valeur de R , le meilleur choix pour l’interrupteur K . A

Dipôle V

I

C K

L

U F IG . 1.52.

2. On utilise ce montage pour déterminer la caractéristique d’une diode. Pour la diode branchée dans le sens direct, on a rassemblé les valeurs mesurées dans le tableau 1.1.

K en C

I (mA) U (V)

0 < 0,5

0,2 0,54

1,0 0,57

4,0 0,67

10,0 0,87

13,0 0,97

K en L

U (V)

< 0,5

0,55

0,65

0,97

1,62

1,95

TAB . 1.1.

a) Tracer les deux caractéristiques sur un même graphe. Quel est le montage le plus adapté à l’étude de la diode passante ? b) En assimilant la caractéristique à deux portions de droite, déduire la tension de seuil et la résistance interne de la diode. Déterminer la résistance interne de l’ampèremètre. 3. Pour la diode branchée en inverse, on a relevé les valeurs rassemblées dans le tableau 1.2 : U (V) K en C K en L

108 × I (A) 108 × I (A)

−5

−5 −0, 01

−10

−10 −0, 01

−20

−20 −0, 01

TAB . 1.2.

Quel est le montage le plus adapté à l’étude de la diode connectée en inverse ? Trouver la résistance interne du voltmètre.

38

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire

P1– 12. Alimentation d’un train

web

Les moteurs électriques de locomotrices fonctionnent en régime stationnaire, sous une tension de 1 500 V pour le TGV-sud et 750 V pour les réseaux urbains. L’alimentation s’effectue grâce à des sousstations qui abaissent la tension fournie par une ligne haute tension ( 3 000 V ) à la tension d’utilisation 1 500 V ou 750 V . Ces sous-stations sont réparties régulièrement le long de la voie et leur espacement dépend du trafic de la ligne considérée, de 8 à 15 km . Il existe deux alimentations possibles, l’une dite bilatérale et l’autre en parallèle (Fig. 1.53). A

B Fil de court-circuit

C

Caténaire x

x M

E

Um

E

E

E

M

Im

Im D

Rail

a)

D F IG . 1.53.

Rail

b)

Nous nous proposons de comparer ces deux modes d’alimentation sur un modèle simple. Le moteur de la locomotrice est branché entre les rails et la caténaire, qui est le fil aérien surplombant les rails. L’intensité du courant stationnaire qui parcourt le moteur est I m et est indépendante de la tension à laquelle il est soumis ; aussi peut-on représenter le moteur par un générateur de courant idéal de c.e.m Im . La résistance linéique de la caténaire est R l (une longueur x de caténaire a donc une résistance xRl ) ; les rails ont, eux, une résistance négligeable en raison de leur grande section. 1. En alimentation bilatérale, les sous-stations sont assimilées à des générateurs de tension parfaits, de f.e.m E , répartis régulièrement et distants de D (Fig. 1.53a). On ne s’intéresse qu’à la portion entre deux générateurs successifs. On désigne par x la distance entre la locomotrice et le premier générateur. a) Déterminer, en fonction de x , la tension aux bornes du moteur U m . b) En déduire la chute de tension aux bornes du moteur, DU = E − U m , en fonction de x .

c) Trouver la valeur maximale D M de D , sachant que la chute de tension maximale acceptable est DUM . Application numérique pour DU M = 150 V et Im = 1 400 A ; la caténaire est constituée d’un fil de cuivre, de 300 mm2 de section, dont la résistance linéique vaut Rl = 4, 2 × 10 −5 V · m−1 . d) Effectuer un bilan de puissance.

2. En alimentation parallèle, on utilise deux lignes court-circuitées au milieu du tronçon (Fig 1.53b). a) Déterminer la tension fournie au moteur en fonction de x . On notera que les points A et B sont au même potentiel ; il est donc possible de les relier par un fil de résistance négligeable, sans modifier le circuit. b) En déduire la nouvelle valeur D M . Application numérique. P1– 13. Mesure de température Le pont de Wheatstone, représenté sur la figure 1.54, est alimenté par un générateur de tension parfait de f.e.m E . L’ampèremètre a une résistance interne R a .

39

Lois de base des circuits en régime stationnaire I4 I1 R1 E

A

R4 I

R2

B

A

R3

F IG . 1.54.

1. Déterminer l’intensité I du courant qui traverse l’ampèremètre. 2. Établir la condition d’équilibre du pont. 3. Sachant le dipôle 1 est une thermistance dont la résistance varie avec la température selon :  3 T0 R1 = R0 T et que R4 est une résistance réglable que l’on peut modifier jusqu’à l’équilibre du pont, exprimer la température T de R1 , en fonction de R 0 , R 2 , R 3 , R 4 et T0 . 4. Initialement, le pont est équilibré pour T = T 0 . On porte R1 à la température T0 + DT . La valeur de R1 devient alors R0 (1 + ε) avec ε  1 . L’intensité minimale détectable étant Im = 0, 1 mA , déterminer le plus petit écart de température décelable autour de T = 300 K . On donne R2 = R3 = R4 = 1 000 V , E = 10 V et R a est négligeable. P1– 14. Modulateur en anneau

web

La figure 1.55a représente un modulateur dit en anneau ; sur la figure 1.55b, qui en donne une vue en perspective, on peut apprécier les symétries du circuit. Les quatre résistances R sont identiques ainsi que les quatre éléments D1 , D 2 , D 3 et D4 ; ces derniers sont des dipôles passifs non symétriques et non linéaires, par exemple des diodes. L’orientation de la pointe du triangle qui représente l’un de ces dipôles, permet de préciser le sens de branchement des bornes. Un générateur, connecté entre A 1 et B1 , impose une tension U 1 . Un autre générateur, branché entre A 2 et B2 , impose une tension U 2 . Les branchements extérieurs au modulateur sont représentés sur la figure 1.55c. On désigne par U la tension qui apparaît entre a et b . On réalise avec ce circuit les quatre opérations indépendantes A , B , C et D suivantes : i) opération A : on court-circuite les points A 2 et B2 : U2 = 0 et U 1 = 0 ,

ii) opération B : on court-circuite les points A 1 et B1 : U 1 = 0 et U2 = 0 , iii) opération C : le modulateur étant invariant par rotation d’un demi-tour autour de l’axe A 1 −B1 , on fait subir aux intensités une rotation d’un demi-tour autour de l’axe de symétrie, iv) opération D : le modulateur étant invariant par retournement de chaque dipôle et de chaque résistance, suivi de la symétrie par rapport au plan A 1B1A2B 2 , on transforme les intensités comme précédemment. 1. Dessiner le circuit après la transformation A . Que vaut alors U ? 2. Quel est le circuit après la transformation B ? En déduire U . 3. Déterminer, après la transformation C , les valeurs des nouvelles tensions U 1 , U 2 et U , en fonction des anciennes U1 , U 2 et U .

40

1. Lois de base des circuits en régime stationnaire A2 A2 R

D1

B2

A1

b

B1

D4 a)

b

a

R

R

I1

A1 D3

R

R

D3

D1

R

D2

R

D2

B1 R

a

D4

A1 A2

I2

U1

U2 I1

B1 B2

I2

B2 b)

c)

F IG . 1.55.

4. Exprimer, après la transformation D , les valeurs des nouvelles tensions U 1 , U2 et U en fonction des anciennes U1 , U 2 et U . 5. Pour de petites valeurs de U1 et U 2 , on suppose que U est bien représenté par le développement : U = a 1U 1 + a 2U2 + b1 U 21 + b2U 1U 2 + b3U 22 + c 1U31 + c2 U 21U2 + c 3 U1 U 22 + c4 U23 En utilisant les opérations A , B , C et D , montrer que certains coefficients sont nuls. Quelle est la fonction d’un tel dispositif ?

2 Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire Nous nous proposons dans ce chapitre de généraliser l’étude faite sur les signaux stationnaires aux signaux lentement variables au cours du temps. Ces derniers sont essentiels, car, pour la plupart des signaux considérés dans les circuits électroniques, seule la partie variable au cours du temps contient l’information intéressante ; la composante stationnaire, définie par les alimentations, fixe seulement le point de fonctionnement des composants.

I . — LOIS DE KIRCHHOFF EN RÉGIME QUASI STATIONNAIRE I . 1 . — Approximation des régimes quasi stationnaires La vitesse de variation des signaux sépare l’étude des circuits électroniques en deux domaines distincts : i) Si les signaux sont de variation lente, c’est-à-dire si la dimension l du circuit est très faible devant la longueur d’onde l du rayonnement électromagnétique associé à leur fréquence (cf. Électromagnétisme), il est possible de représenter les composants du circuit par une association de dipôles séparés par des fils de connexion. C’est l’approximation des régimes quasi stationnaires, brièvement l’ARQS, que l’on traduit aussi par une durée caractéristique de la variation d’une tension ou d’un courant, très grande devant la durée de propagation du signal d’un point à l’autre du circuit. Exemples : pour la fréquence 50 Hz de la tension sinusoïdale d’alimentation du réseau de distribution électrique qui alimente un montage, on a l = c/f ≈ 6 000 km et l ∼ 1 m . Pour une fréquence de 100 MHz , typique d’un signal radioélectrique en modulation de fréquence, on trouve : l = c/f ≈ 3 m , alors que la longueur des circuits des postes récepteurs n’excède pas quelques centimètres. ii) Si les signaux varient trop rapidement (domaine des micro-ondes ou des hyperfréquences), l’analyse est totalement différente, car elle exige la connaissance exacte de la position de chacun des éléments du circuit, la longueur des conducteurs entre les éléments du circuit jouant un rôle décisif en raison de l’influence non négligeable de la propagation des ondes électromagnétiques d’un point à l’autre du circuit. C’est ce que l’on observe dans les antennes qui se présentent comme des circuits ouverts parcourus par des courants ! (cf. Électromagnétisme). Exemple : pour les signaux reçus par les récepteurs paraboliques, dont le diamètre est de quelques dizaines de centimètres, l’ARQS n’est plus valable, car les fréquences sont de l’ordre de plusieurs GHz : l = c/f ∼ 3 cm . Dans la suite, nous limitons l’étude à celle des signaux lentement variables.

42

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Remarque : Notons que certains signaux, qui ne semblent pas vérifier l’ARQS, comme les échelons de tension délivrés par un générateur de signaux carré, sont cependant traités dans cette approximation. En effet, le saut de tension n’est pas instantané, puisque le passage de 0 à E 0 s’effectue en une durée très courte. L’ARQS décrit bien la réalité si cette durée de montée est longue devant la durée de propagation du signal. Dans la suite, nous nous placerons dans l’ARQS, tout en négligeant la durée de montée, ce qui revient à assimiler le signal carré réel au signal théorique. I . 2 . — Lois de Kirchhoff Comme tous les effets dus à la propagation d’un signal sont négligés dans l’ARQS, il est légitime de conserver le concept de courant dans une branche ou dans un dipôle : l’intensité dans une branche est la même en tout point de cette branche, à tout instant. De même, la notion de différence de potentiel et de tension aux bornes d’un dipôle est conservée (cf. Électromagnétisme). Pour les notations en régime variable nous nous conformons à l’usage international : les lettres minuscules i ou i(t ) et u ou u(t ) désignent l’intensité du courant et la tension à l’instant t . Retenons donc que les lois des nœuds et des mailles en régime stationnaire, se transposent directement en régime variable dans l’ARQS. a) Loi des nœuds La somme algébrique des courants concourants en un nœud est nulle : 

ε kik = 0

k

où l’on compte positivement les courants orientés vers le nœud ( ε k = 1 ) et négativement les courants orientés vers tout autre nœud ( εk = −1 ). La sommation sur k porte sur toutes les branches arrivant au nœud considéré. b) Loi des mailles La somme algébrique des tensions aux bornes des branches d’une maille décrite dans un sens arbitraire est nulle :  εk uk = 0 k

Ici, εk = 1 si les tensions ont le même sens que celui choisi sur la maille et ε k = −1 , dans le cas contraire. I . 3 . — De nouveaux dipôles en régime variable En régime variable, de nouveaux dipôles apparaissent (cf. Électromagnétisme) : les circuits comportent toujours des résistors, des diodes, mais aussi des générateurs variables (de tension ou de courant), des bobines et des condensateurs. a) Générateurs variables En régime variable, les générateurs sont représentés comme en régime stationnaire, mais il faut préciser la nature du signal délivré, par exemple un signal sinusoïdal, un signal de forme carrée, ou un signal en forme de marche appelé échelon (Fig. 2.1).

43

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

u(t)

u(t) t

0

u(t) t

0

0

t

F IG . 2.1.

Les générateurs utilisés dans l’ARQS sont les GBF (Générateurs Basse Fréquence) dont la plupart sont capables de délivrer des signaux de formes variées et de fréquence et d’amplitude réglables par l’utilisateur. b) Condensateurs Un condensateur idéal est caractérisé par sa capacité C , qui est le coefficient de proportionnalité entre la charge q de l’une de ses armatures, par exemple A , et la tension à ses bornes (cf. Électromagnétisme) : q A = Cu AB

ou

q = Cu

Notons sur la figure 2.2 les conventions adoptées : l’extrémité de la flèche de tension pointe l’armature A dont la charge est q . Dans ces conditions, on a, pour l’intensité du courant qui est orienté vers cette armature : dq du d’où i= i=C dt dt Remarques : 1) En régime stationnaire, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, c’est-à-dire un coupe-circuit. 2) La charge de l’armature du condensateur est une grandeur continue, tout comme la tension à ses bornes, ce qui se justifie par la continuité de l’énergie électromagnétique du condensateur (cf. chapitre 4). i( t ) q ( t ) A

−q ( t )

i (t)

B

u(t)

u(t)

F IG . 2.2.

F IG . 2.3.

c) Bobines Une bobine idéale est caractérisée par son inductance L , qui est le coefficient de proportionnalité entre la tension à ses bornes et les variations temporelles du courant qui la traverse (cf. Électromagnétisme) : u=L

di dt

La convention adoptée pour la tension et le courant est explicitée sur la figure 2.3.

44

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Une bobine réelle est généralement bien représentée, jusqu’à des fréquences de quelques kHz , par l’association d’une bobine idéale en série avec un résistor représentant la résistance du bobinage (cf. chapitre 7). Remarques : 1) En régime stationnaire, une bobine idéale est équivalente à un court-circuit et une bobine réelle à la seule résistance de son bobinage. 2) Tout comme la charge de l’armature d’un condensateur, l’intensité du courant dans une bobine est une grandeur continue (cf. chapitre 4).

II . — SIGNAL SINUSOÏDAL EN NOTATION COMPLEXE II . 1 . — Importance du régime sinusoïdal Les signaux sinusoïdaux basse fréquence ont une importance considérable dans la pratique, cela pour plusieurs raisons : i) ils sont faciles à réaliser (alternateurs, générateurs basse fréquence, etc.), transportables sur de longues distances, sans grandes pertes, pourvu que l’amplitude de la tension soit suffisamment élevée, ce que l’on réalise aisément à l’aide de transformateurs ; ainsi, le distributeur français EDF (Électricité De France) fournit un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz , alors qu’en Grande Bretagne et aux USA, la fréquence du réseau de distribution électrique est 60 Hz ; ii) en outre, l’étude des circuits est particulièrement simple avec des signaux sinusoïdaux, puisque ces signaux conservent leur forme, lorsqu’on les dérive par rapport au temps ou lorsqu’on les intègre ; iii) enfin, un signal électrique quelconque est équivalent à une somme de signaux sinusoïdaux. Par exemple, l’étude d’un circuit linéaire, siège d’un signal périodique carré, peut se ramener à celle de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers d’une fréquence fondamentale (cf. annexe 2). La réponse obtenue est la somme des réponses relatives à chaque signal sinusoïdal. Pour cette dernière raison, nous limitons notre analyse aux circuits constitués de résistors, de bobines, de condensateurs et de générateurs sinusoïdaux (de courant ou de tension). II . 2 . — Du régime transitoire au régime établi Observons, sur l’exemple concret simple d’un circuit associant en série, un générateur de signaux sinusoïdaux, un résistor et un condensateur, l’évolution de la tension uC (t) aux bornes du condensateur (Fig. 2.4a). e(t),uC (t) uC (t)

R

uC (t)

e(t)

t

e (t ) Régime transitoire

a)

Régime établi b)

F IG . 2.4.

45

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

La figure 2.4b représente l’enregistrement de la tension u C (t) obtenue sur un oscilloscope à mémoire ; ce dernier a permis d’enregistrer uC (t) , à partir de l’instant pris comme origine ( t = 0 ) où l’on ferme le circuit. On constate que le signal devient sinusoïdal, avec la même fréquence que l’excitation, après une durée relativement courte : la première phase durant laquelle le signal n’est pas sinusoïdal forme le régime transitoire ; dans la seconde, le signal est sinusoïdal de fréquence identique à celle du générateur. On dit que le circuit a atteint le régime établi (cf. chapitre 3). Retenons le résultat expérimental suivant, que l’on justifiera ultérieurement (cf. chapitres 3 et 4) : quel que soit le signal sinusoïdal fourni par le générateur, après la fermeture de l’interrupteur, les tensions et courants, en tout point d’un circuit linéaire, sont aussi sinusoïdaux, avec la fréquence du signal du générateur. II . 3 . — Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales a) Signal analytique associé à un signal réel Pour étudier les circuits en régime variable, nous venons de voir que nous pouvons nous limiter à l’étude des signaux sinusoïdaux. Pour ces signaux sinusoïdaux, il est très commode d’associer, à chaque variable sinusoïdale s(t) = sm cos(vt + fx ) , la variable complexe s(t ) appelée signal analytique correspondant (cf. chapitre 15) : s(t) = Re{s (t)}

avec

s(t) = sm exp(jf) exp(jvt) = s m exp(jvt)

s m = s m exp(jf) étant l’amplitude complexe et j le nombre imaginaire tel que j 2 = −1 . Évidemment, toutes les informations sur s(t) sont contenues dans s (t) : l’amplitude sm de s(t ) est le module de s(t) , sa phase vt + f est l’argument de s(t ) . Remarque : Pour éviter toute confusion avec l’intensité i d’un courant, en électronique on désigne par j le nombre complexe tel que j 2 = −1 . b) Intérêt de la notation complexe Un premier intérêt de la notation complexe est la simplification des équations à résoudre pour déterminer l’état d’un circuit en régime sinusoïdal. En notation complexe, une dérivation par rapport au temps se traduit par une simple multiplication de la grandeur complexe par jv : ds d [sm exp(jvt)] d2 s = jvsm exp(jvt) = jvs et = = −v2 s dt dt d t2 De même, une intégration setraduit par une simple multiplication par 1/(jv) :  1 1 s dt = sm exp(jvt) d t = s m exp(jvt) + Cte = s + Cte jv jv Les équations différentielles linéaires se ramènent ainsi à des équations algébriques simples. Par exemple : d2 s 1 ds + + v 20 s = e m cos(vt) 2 te d t dt

donne

d2 s 1 ds + + v20 s = em exp(jvt) 2 te d t dt

avec s = sm exp(jvt) . Il vient, après simplification par exp(jvt) :   em v 2 2 sm −v + j + v 0 = em soit sm = 2 te −v + jv/t e + v20

On en déduit facilement la solution s(t) du régime établi en prenant la partie réelle de s(t ) : s(t) = Re{s } = Re{s m exp(jf) exp(jvt)} = s m cos(vt + f) avec sm = |s m | et f = arg(sm)

46

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Un second avantage de la notation complexe est qu’elle permet de comparer très facilement deux grandeurs dans un circuit. En effet, soit x(t) et y(t) deux grandeurs réelles, de même pulsation, que l’on souhaite comparer en amplitude et en phase. Le rapport des amplitudes réelles est tout simplement égal au rapport des modules et le déphasage f de y par rapport à x est l’argument de y/x :    y ym =   et f = f y − f x xm x

On note que si f est positif, alors la grandeur y est en avance sur la grandeur x . Le nombre complexe y/x fournit donc tous les renseignements nécessaires pour comparer y(t) à x(t ) . Deux grandeurs particulièrement intéressantes à comparer sont précisément l’intensité i(t) du courant sinusoïdal, qui traverse un dipôle, et la tension u(t ) à ses bornes. c) Représentation de Fresnel La représentation de Fresnel d’un nombre complexe z = a + jb , attribuée au physicien français A . Fresnel, est la représentation géométrique de ce nombre dans un plan cartésien Oxy , Ox étant l’axe des réels et Oy l’axe des imaginaires. Le point A , qui représente le nombre complexe z , est tel que la norme du vecteur OA est égale au module de z et l’angle ( Ox, OA ) à l’argument de z (cf. annexe 1). Si le nombre complexe décrit une tension sinusoïdale, d’amplitude u m , de pulsation v et de déphasage à l’origine f , u = um cos(vt + f) , alors le vecteur de Fresnel, de longueur u m , tourne autour de l’origine O à la vitesse angulaire v ; à t = 0 , ce vecteur fait l’angle f avec l’axe Ox (Fig. 2.5). y = Im {um} um

b um vt + f

0

a

x = Re {um }

F IG . 2.5.

II . 4 . — Impédance d’un dipôle passif linéaire Le concept d’impédance permet de comparer, en régime sinusoïdal, l’intensité du courant qui traverse un dipôle à la tension à ses bornes. a) Définition En régime sinusoïdal, l’impédance d’un dipôle linéaire passif est le rapport entre les nombres complexes représentant la tension à ses bornes et l’intensité du courant qui le traverse : Z = u/i . Remarques : 1) Conformément à l’usage international recommandé, l’impédance est un nombre complexe que l’on ne souligne pas. 2) L’impédance n’a de sens qu’en régime sinusoïdal ; ainsi, l’impédance offerte par un dipôle, lorsque la tension à ses bornes est un signal carré périodique, n’a pas de sens. Dans ce cas, on doit décomposer le signal en série de Fourier (cf. annexe 2) et définir une impédance pour chacune de ses composantes (stationnaire ou sinusoïdale).

47

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

En régime sinusoïdal établi, u et i ont même pulsation, mais des phases respectives généralement différentes fu et f i . Par conséquent : Z=

u u = m = |Z | exp jw i im

avec

|Z | =

um im

et

w = f u − fi

Notons que l’impédance d’un dipôle est indépendante du temps et qu’elle est homogène à une résistance ; elle s’exprime donc en ohm et w , qui est le déphasage de la tension u par rapport à l’intensité i du courant, s’exprime en radian dans le système international d’unités. La partie réelle de l’impédance du dipôle est sa résistance R , la partie imaginaire est sa réactance X : Z = R + jX On définit également l’admittance Y d’un dipôle, inverse de l’impédance : Y=

1 i = u Z

d’où Y =

1 = |Y | exp(−jw) |Z | exp(jw)

avec |Y | =

1 |Z |

Le module de Y est l’inverse de celui de Z et sa phase est opposée à celle de Z . Sa partie réelle est la conductance G et sa partie imaginaire la susceptance B : Y = G + jB Remarques : 1) Puisque Y = 1/Z , les relations suivantes s’imposent : G = R/(R 2 + X 2) et B = −X /(R2 + X 2 ) . 2) Comme nous le verrons, la résistance R d’un dipôle passif est toujours positive, alors que la réactance est de signe quelconque. Ce résultat est relié à l’interprétation physique de X (cf. Électromagnétisme). De même, la conductance G est toujours positive, alors que la susceptance est de signe quelconque. b) Impédances des composants usuels En régime établi sinusoïdal de pulsation v , on associe à la tension u(t) aux bornes du dipôle et à l’intensité i(t) du courant qui le traverse, respectivement : u = u m exp(jfu ) exp(jvt)

et

i = im exp(jf i ) exp(jvt)

i) Résistor Pour un résistor, la relation entre u(t ) et i(t ) s’écrit simplement : u = Ri

soit

u = ZRi avec

ZR = R

L’impédance complexe d’un résistor est réelle, car le courant et la tension sont en phase ( w = 0 ) ; cette impédance est indépendante de la pulsation v . Remarque : Comme l’oscilloscope ne permet de visualiser que des tensions, on étudie l’évolution d’un courant variable dans un circuit à partir de la tension aux bornes d’un résistor parcouru par ce courant ; la courbe obtenue est en phase et proportionnelle au courant.

48

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire ii) Condensateur idéal Pour un condensateur idéal, de capacité C , la relation entre u(t) et i(t) est : i=

dq du =C dt dt

car

q = Cu

Il vient, en régime sinusoïdal et en notation complexe : i = jCv u

d’où

u = ZC i avec

ZC =

1 jCv

Ainsi, l’impédance complexe d’un condensateur idéal est un nombre imaginaire : le courant et la tension sont en quadrature, précisément w = −p/2 rad ; u est en retard de p/2 rad sur i .

Le module de l’impédance d’un condensateur idéal diminue quand la pulsation augmente. À très basse fréquence, il devient très élevé : le composant se comporte comme un coupe-circuit. À très haute fréquence, c’est l’inverse puisque le module de l’impédance est très faible : le composant est équivalent à un court-circuit. iii) Bobine idéale Pour une bobine idéale d’inductance L , la relation entre u(t) et i(t) est : u=L

di dt

d’où u = L

di = jLv i dt

soit

u = ZL i avec

ZL = jLv

L’impédance d’une bobine idéale est donc un nombre imaginaire ; le courant et la tension sont en quadrature : w = p/2 rad ; u est en avance de p/2 rad sur i . Le module de l’impédance d’une bobine idéale augmente avec la pulsation ; à très basse fréquence, la bobine se comporte alors comme un court-circuit. En revanche, à très haute fréquence, c’est l’inverse : le composant devient un coupe-circuit. Sur la figure 2.6, on a dessiné les représentations de Fresnel des impédances des trois dipôles passifs principaux : résistor, condensateur idéal et bobine idéale. Im{R}

Im{ZL}

Im{Z C} Re{ZC }

0

0

0

Re{ZL }

Re{R} F IG . 2.6.

c) Caractéristique d’un condensateur ou d’une bobine idéale En régime sinusoïdal, la caractéristique i(u) d’un condensateur ou d’une bobine idéale ne présente que peu d’intérêt, puisque la courbe obtenue dépend de la fréquence d’étude. En effet, pour un condensateur : i = im cos(vt)

et

u = u m cos(vt + w)

avec

um = |ZC |i m =

im Cv

et

w = arg(Z C ) = −p/2 rad

49

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

On reconnaît l’équation paramétrée d’une ellipse dont le rapport des axes vaut 1/Cv . La figure 2.7 représente cette ellipse pour un condensateur de capacité C = 1 mF soumis à une tension sinusoïdale d’amplitude constante et de fréquences successives 50 , 200 et 500 Hz . À la fréquence la plus basse, la caractéristique se rapproche de celle d’un coupe-circuit, qui est précisément celle obtenue en régime stationnaire. i( t)

I : 50 Hz II : 200 Hz III : 500 Hz

III II I

u(t)

F IG . 2.7.

Il est possible d’observer de telles courbes en utilisant la fonction « test de composants » de certains oscilloscopes, lesquels fournissent une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz . Au cours d’une période, on constate que le condensateur se comporte tour à tour en générateur et en récepteur, puisque sa caractéristique explore les quatre quadrants. Le condensateur est néanmoins un dipôle passif, puisqu’il n’échange de l’énergie qu’avec le circuit ; aussi l’énergie qu’il fournit n’excèdet-elle jamais celle qu’il a reçue du circuit lors de la phase précédente où il s’est comporté en récepteur. Il en est de même pour les bobines idéales qui ne peuvent que stocker de l’énergie sous forme magnétique. II . 5 . — Association d’impédances Les lois d’association des impédances complexes sont identiques à celles relatives aux résistors en régime stationnaire (cf. Électromagnétisme). a) Association en série Comme les différents dipôles associés en série sont parcourus par le même courant et que la tension aux bornes du dipôle équivalent est la somme des tensions aux bornes des dipôles qui le composent, on trouve, en notation complexe : i = i 1 = i 2 = ... = ik = ... = i n et

u = u 1 + u 2 + ... + u k + ... + u n

Il en résulte : Ze =

u u u u u u u = 1 + 2 + ... + n = 1 + 2 + ... n = Z1 + Z2 + ... + Zn i i i i i1 i2 in

soit

Ze =

n 

Zk

k=1

Exemple : déterminons l’impédance complexe équivalente à l’association en série d’un résistor, de résistance R , d’une bobine idéale, d’inductance L , et d’un condensateur idéal, de capacité C . D’après

50

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

ce qui précède, on trouve :   1 Z = R + j Lv − Cv



  21/2 1 d’où |Z | = R + Lv − Cv 2

On voit que |Z | passe par une valeur minimale qui vaut R , pour v = 1/(LC ) 1/2 (cf. chapitre 3). b) Association en parallèle Comme les différents dipôles associés en parallèle sont soumis à la même tension et que l’intensité du courant qui traverse le dipôle équivalent est la somme des intensités dans chaque dipôle qui le compose, il vient, en notation complexe : i = i 1 + i2 + ... + i k + ... + in

et

u = u1 = u 2 = ... = u k = ... = un

Par conséquent : Ye =

i i i i i i i = 1 + 2 + ... + n = 1 + 2 + ... + n = Y 1 + Y2 + ... + Yn u u u u u1 u2 un

soit

Ye =

n 

Yk

k=1

Exemple : calculons l’admittance complexe équivalente à l’association en parallèle d’un conducteur de résistance R , d’une bobine idéale d’inductance L et d’un condensateur idéal de capacité C . D’après ce qui précède :       1/2 1 1 1 1 1 2 1 2 d’où |Y | = Y = + jCv + = + j Cv − + Cv − R jLv R Lv R Lv Ce circuit oppose donc une admittance minimale qui vaut 1/R à un courant de pulsation v = v 0 avec v0 = 1/(LC)1/2 . Comme cette admittance est nulle lorsque R est infini, le courant entrant dans le circuit dans ce cas est nul ; le circuit semble s’opposer à un tel courant, d’où son nom de circuit bouchon (cf. chapitre 3). II . 6 . — Générateurs en régime sinusoïdal établi En régime sinusoïdal établi, les générateurs délivrent un signal, tension ou courant, caractérisé par l’amplitude, la fréquence f = v/(2p) et le déphasage éventuel f par rapport à une référence. On écrira, respectivement pour un générateur de tension et un générateur de courant, qui fournissent respectivement la f.e.m e(t) et le c.e.m i(t) (prononcer iota) : e(t) = em exp(jvt + fe ) = em exp(jvt)

et

i(t) = im exp(jvt + fi ) = im exp(jvt)

Le plus souvent, le circuit ne comporte qu’un seul générateur, lequel sert alors de référence pour les déphasages ; f e ou fi sont alors nuls. Les générateurs réels présentent en outre une impédance interne Z i qui prend en compte l’écart de leur comportement par rapport aux modèles de générateurs idéaux. Pour un générateur de tension, l’impédance interne Z i est en série avec la source de tension ; pour un générateur de courant, l’admittance interne Y i = 1/Zi est en parallèle avec la source de courant (Fig. 2.8). Les relations entre le courant i et la tension u sont donc les suivantes : u = Zi i − e m

et

i = Yi u + im

pour un générateur de tension et de courant, respectivement.

51

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire Yi = 1/Zi

e∼ i Zi

i

u

i∼ u

F IG . 2.8.

Tout comme en régime stationnaire, on passe d’une représentation à l’autre, en remplaçant la source de tension par une source de courant selon la correspondance i m = em /Zi = e m Yi et en associant l’admittance interne Yi = 1/Z i en parallèle. Les GBF les plus couramment utilisés présentent une résistance interne de 50 V et imposent que l’une de leurs bornes soit la masse du circuit, car elle est reliée par une connexion interne à la prise de terre. Il existe également des GBF, dits à masse flottante, pour lesquels aucune des bornes n’est reliée à la terre et qui n’imposent pas de masse au circuit.

III . — LOIS DE BASE EN RÉGIME SINUSOÏDAL III . 1 . — Écriture des lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal Nous avons déjà vu que les lois de Kirchhoff restaient valables dans l’ARQS. Réécrivons-les en régime établi sinusoïdal, de préférence à l’aide de la notation complexe, cette dernière permettant l’utilisation habituelle des règles simples du calcul algébrique sur les nombres complexes. a) Loi des nœuds Comme les tensions et les intensités des courants sont de même pulsation v , tous les termes en exp(jvt) se simplifient ; aussi la loi des nœuds porte-t-elle uniquement sur les amplitudes complexes :         ε k ik(t) = Re ε k i k = Re exp(jvt) εk im,k = 0 donne εk im,k = 0 k

k

k

k

avec ε k = 1 pour les courants orientés vers le nœud considéré A et ε k = −1 pour les courants orientés vers un autre nœud. Évidemment, la somme porte sur toutes les branches arrivant en A . b) Loi des mailles La loi des mailles, elle aussi, s’écrit uniquement en fonction des amplitudes complexes :         εk u k(t) = Re εk uk = Re exp(jvt) εk um,k = 0 soit εk um,k = 0 k

k

k

k

avec εk = 1 si les flèches qui représentent les tensions sont orientées dans le sens de parcours de la maille. La sommation porte sur toutes les branches formant la maille considérée. c) Application à la détermination d’impédances On a vu, en régime stationnaire, que le pont de Wheatstone permettait de déterminer la résistance d’un résistor inconnu. De façon analogue, un tel pont peut être utilisé en régime sinusoïdal établi pour

52

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

déterminer l’impédance d’un dipôle linéaire inconnu. Le montage est alors appelé pont de Maxwell ; on l’utilise pour déterminer les caractéristiques d’une bobine réelle que l’on modélise à basse fréquence en associant en série une bobine idéale d’inductance L1 et un résistor de résistance R 1 . Les résistances R2 et R4 sont connues, R3 et C3 sont réglables. Lorsque le générateur délivre une tension e m cos(vt) entre les points P et Q , l’ampèremètre de résistance Ra indique l’intensité i du courant dans la branche AB (Fig. 2.9). A

R1 P

i2

R2

i

L1

i1

Q

A R3 B

R4

C3

∼e

F IG . 2.9.

L’expression de l’intensité est obtenue en utilisant les lois de Kirchhoff en notation complexe. La loi des mailles appliquée dans les trois mailles donne les trois équations suivantes : Z1i1 + R ai − Z 4i2 = 0

On en déduit :

− e + Z 1 i1 + Z 2 (i1 − i) = 0 i1 =

e + Z2 i Z1 + Z 2

et

i2 =

− e + Z 4i2 + Z3 (i2 + i) = 0

e − Z3 i Z4 + Z 3

D’où :

Z2Z 4 − Z1 Z 3 Ra (Z1 + Z2 )(Z 3 + Z4 ) + Z1 Z2(Z 3 + Z 4 ) + Z2Z 3 (Z1 + Z 2) Le pont est équilibré si l’ampèremètre n’est traversé par aucun courant, ce qui implique une relation entre les quatre impédances analogue à celle qui a été établie en régime stationnaire : i=e

Z1Z 3 = Z2 Z 4

soit

(R1 + jL 1v)

R3 = R 2R 4 1 + jR 3C 3v

Il en résulte que R1 R3 + jL1R3 v = R2 R4 + jR2 R4 R3C3v , ce qui donne, en identifiant partie réelle et partie imaginaire : R1 = R2R 4/R3 et L1 = R 2R4C 3 . Exemple : afin de déterminer les caractéristiques d’une bobine à air de 1 000 spires, on réalise le montage en prenant R2 = R4 = 1 kV et un générateur de tension stationnaire. L’équilibre est obtenu pour R3 = 72 kV . Le générateur stationnaire est alors remplacé par un GBF et l’équilibre est de nouveau atteint pour C3 = 42 nF . On en déduit la résistance interne de la bobine, R1 = R2R4 /R 3 = 13, 9 V , ainsi que son inductance L1 = R2 R4 C 3 = 42 mH . III . 2 . — Théorème de Millman Le théorème de Millman reste également valable en régime sinusoïdal dans l’ARQS, pourvu que l’on utilise les amplitudes complexes des tensions. Au nœud A d’un circuit, la tension a donc pour expression :   k Yk (um,k + ε k em,k ) + ε k im,k  um,A = k Yk

53

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

la sommation portant sur toutes les branches qui aboutissent en A ; rappelons que l’on compte positivement les f.e.m orientées vers le nœud A ( εk = 1 ) et les c.e.m dirigés vers le nœud A ( εk = 1 ). Exemple : déterminons la tension u(t ) aux bornes du résistor dans le circuit de la figure 2.10 où les générateurs de tension et de courant fournissent des signaux de même fréquence f , déphasé de p/2 rad :  p e(t) = em cos(vt) et i(t) = im cos vt + d’où e(t) = em exp(jvt) et i(t) = ji m exp(jvt) 2 Si on choisit une valeur nulle pour la tension au point M où les deux générateurs sont connectés, la tension u(t ) recherchée est égale à celle du nœud A reliant le résistor et le condensateur. En appliquant le théorème de Millman en ce point, on obtient : u=

jeCv + i emCv + i m exp(jvt) = Cv − j/R jCv + 1/R

On en déduit l’expression de u(t ) = u m cos(vt + f) avec : um =

e m Cv + im

et

(C2 v2 + 1/R2) 1/2

f = arctan



1 RCv



A C

i

e

R

u

M F IG . 2.10.

III . 3 . — Symétries d’un circuit Il est judicieux d’utiliser les propriétés de symétrie et d’antisymétrie des tensions et des courants (cf. chapitre 1 et Électromagnétisme). Rappelons les résultats essentiels : i) si le réseau (ou une portion du réseau) présente un plan de symétrie P , aucun courant ne traverse P et les points symétriques par rapport à P sont à la même tension ; ii) si le réseau présente un plan d’antisymétrie Q , la répartition des courants est aussi antisymétrique et les points de Q sont au même potentiel. Remarque : Il existe d’autres théorèmes importants relatifs aux circuits linéaires (théorèmes de superposition, de Thévenin et de Norton), que nous verrons ultérieurement (cf. chapitre 5). III . 4 . — Diviseurs de tension et de courant Les expressions établies en régime stationnaire pour les diviseurs de tension ou de courant se transposent aisément (Fig. 2.11) : u1 =

Z1 u Z 1 + Z2

et

i1 =

Y1 i Y1 + Y2

54

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

i Z1

u1

Z2

u2

u

i1

i2

Z1

Z2

R e(t)

a)

C

uC (t)

b) F IG . 2.11.

F IG . 2.12.

Exemple : un générateur de tension impose une tension sinusoïdale aux bornes d’un circuit RC série, avec C = 2, 2 mF et R = 500 V (Fig. 2.12). Calculons l’amplitude et le déphasage de la tension aux bornes du condensateur. En notation complexe, il vient, puisqu’il s’agit d’un diviseur de tension : 1 1 ZC uC,m = em d’où u C,m = em = e 1 + R/ZC 1 + jRCv m ZC + R L’amplitudede la tension uC est alors égale à :   1  1  em = u m =  em avec t = RC = 500 × 2, 2 × 10 −6 = 1, 1 ms  2 1 / 2 1 + jvt [1 + (vt) ] Cette amplitude se réduit quasiment à e m pour v  t−1 et devient très faible pour v  t −1 . On déduit aisément de l’expression de uC,m le déphasage de uC par rapport à la tension du générateur prise comme référence de phase :   1 f = arg = −arg(1 + jvt) = −arctan(vt) 1 + jvt Notons que ce déphasage varie entre 0 en régime stationnaire et p/2 rad à haute fréquence. III . 5 . — Application à la mesure de l’impédance interne d’un GBF Il est possible d’utiliser un diviseur de tension pour déterminer l’impédance interne d’un GBF. Il s’agit de la méthode dite de la tension moitié. Après avoir relevé la f.e.m em du GBF, on branche sur celui-ci une résistance variable que l’on ajuste jusqu’à ce que la tension u à ses bornes soit égale à em/2 (Fig. 2.13). GBF Ri R

u

e

F IG . 2.13.

La résistance variable est alors égale à la résistance interne du GBF. En effet : u = em

R e = m 2 R + Ri

d’où

1 R = 2 R + Ri

Exemple concret : e m = 10 V , R = 50 V d’où R i = 50 V.

et

R = Ri

55

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

IV . — PUISSANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL IV . 1 . — Puissance active ou puissance moyenne En régime variable, la puissance instantanée Pi reçue par un dipôle s’obtient à partir de l’expression stationnaire, valable à tout instant (cf. Électromagnétisme) : P i(t) = u(t )i(t)

soit

P i (t) = um im cos(vt + fu ) cos(vt + fi )

puisque, en régime sinusoïdal, u(t ) et i(t ) s’écrivent respectivement : u(t) = um cos(vt + fu ) et

i(t) = im cos(vt + fi )

En raison des fréquences habituellement utilisées dans l’ARQS, le plus souvent supérieures à 50 Hz , et de la durée Td d’une expérience généralement très supérieure à la période T = 1/f , la grandeur intéressante est la puissance moyenne reçue :  Td 1 (t) = P = Pi Pi (t) d t Td 0

1 avec : Pi(t) = u mi m cos(vt + f u) cos(vt + f i ) = umi m[cos(2vt + f u + f i) + cos(fu − fi )] 2 Ainsi, la puissance instantanée P i (t) varie sinusoïdalement avec la pulsation 2v autour de la valeur moyenne P :  1 1 Td 1 P = um im × [cos(2vt + f u + fi ) + cos(fu − fi )] d t = umi m cos(f u − f i ) × Td 2 2Td Td 0 puisque le premier terme sinusoïdal donne, par intégration, une valeur pratiquement nulle, ce qui justifie la définition précédemment donnée (cf. Oscilloscopes et multimètres) dans laquelle on a remplacé T d par T . La puissance moyenne ou puissance active P s’écrit donc simplement en fonction du déphasage w = fu − fi de la tension par rapport à l’intensité : P = (um im/2) cos w. On l’exprime souvent en fonction des grandeurs, U et I , appelées respectivement tension et intensité efficaces : 1 P = umim cos w = UI cos w 2

avec

um U= √ 2

et

im I= √ 2

avec

w = fu − f i

Par définition, la valeur efficace d’une tension ou d’un courant variables est la valeur qu’il faudrait donner à cette grandeur, en régime stationnaire, pour dissiper la même puissance que dans un résistor. La puissance P dissipée dans un résistor soumis à une tension sinusoïdale est P = u m im /2 = UI soit P = u2m/(2R) . En régime stationnaire, la puissance dissipée dans un résistor, soumis à une tension √ U, est Ps = U 2 /R ; en identifiant, on conclut que ces puissances sont égales si on a bien U = u 2 . Le / m √ même raisonnement peut être conduit avec l’intensité et donne I = im / 2 . Exemple : la tension efficace du réseau d’alimentation électrique √ sinusoïdale des particuliers est de 230 V , ce qui correspond à une tension d’amplitude um = 230 × 2 = 325 V .

La définition de la valeur efficace X d’une grandeur x(t) périodique, de période T , est donc telle que (cf. Introduction expérimentale, oscilloscopes et multimètres) :  1 T 2 2 X = x (t) d t T 0 expression valable aussi pour des grandeurs périodiques non sinusoïdales.

56

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Le facteur cos w , qui apparaît dans l’expression de P , est le facteur de puissance ; il s’exprime simplement à l’aide de l’impédance du dipôle : cos w =

Re{Z } |Z |

Ainsi, pour U et I fixés, la puissance moyenne reçue par le dipôle peut varier de 0 lorsque w = ±p/2 rad , à UI pour w = 0 . Pour un résistor, dont l’impédance est réelle, le facteur de puissance est maximal ( cos w = 1 ), et la puissance active reçue vaut alors UI . Pour un condensateur idéal ou une bobine parfaite, le facteur de puissance et la puissance reçue sont nuls puisque w = ±p/2 rad ; pour de tels composants la puissance active P est nulle, alors que la puissance instantanée ne l’est pas : elle est tantôt positive, tantôt négative, car le dipôle stocke de l’énergie puis la restitue au cours d’une période (cf. Électromagnétisme). Précisément, la puissance instantanée reçue par un condensateur s’écrit :   du d 1 2 P i (t) = u(t )i(t) = u C Cu = dt dt 2 soit le taux de variation de l’énergie stockée par le condensateur. De même, la puissance instantanée reçue par une bobine idéale a pour expression :   di d 1 2 Li = P i(t) = u(t )i(t) = i L dt dt 2

soit le taux de variation de l’énergie stockée par la bobine. Seule la partie résistive d’un dipôle absorbe de la puissance active. En effet, pour un dipôle quelconque, d’impédance Z = R + jX , la puissance reçue a pour expression : 1 1 1 R P = umim cos w = Ri2m = u2 2 2 2 2 R + X2 m

car

um = |Z | im

et

cos w =

R R = 2 |Z | (R + X 2)1/2

Cette puissance s’annule, quelle que soit la valeur de X , pour R = 0 . Notons que la réactance X influe en général sur la valeur de um ou im et donc sur la puissance dissipée, bien que la dissipation ne se produise qu’au niveau des parties résistives. IV . 2 . — Puissance apparente et puissance réactive a) Puissance apparente La puissance moyenne reçue par un dipôle, P = UI cos w , ne peut dépasser la valeur S = UI , laquelle fournit une estimation rapide de l’équipement indispensable en tension et en courant. Pour distinguer cette quantité S de la puissance active P exprimée en watt, on l’appelle puissance apparente et on l’exprime en volt-ampère (VA). Exemple : un transformateur est un appareil permettant, grâce au phénomène d’induction entre un circuit primaire et un circuit secondaire, une modification de la tension sinusoïdale sans variation de puissance (cf. chapitre 7 et Électromagnétisme). Sur sa plaque signalétique sont inscrites les caractéristiques suivantes : 230 V au primaire, 12 V au secondaire et 60 VA , ce qui correspond dans le secondaire à U s = 12 V et Is = S/U = 5 A . Ce transformateur pourra donc débiter dans le circuit secondaire un courant maximal de 5 A . Dans ce cas, la puissance disponible dépendra de l’impédance de la charge connectée aux bornes du circuit secondaire ; elle est généralement inférieure à 60 W et égale à cette valeur lorsque la charge est purement résistive.

57

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire b) Puissance réactive

Il est utile d’introduire, en dehors de la puissance active et de la puissance apparente, une autre puissance qui exprime les rôles des composants, tels qu’un condensateur ou une bobine. Ainsi, définiton la puissance réactive Q selon : 1 Q = umim sin w = UI sin w 2 Pour la distinguer de la puissance active et de la puissance apparente, on l’exprime en volt-ampèreréactif (VAR). La puissance réactive d’un résistor est nulle, car ce dipôle n’introduit aucune différence de phase entre la tension et le courant. En revanche, celles d’une bobine d’inductance L et d’un condensateur de capacité C valent respectivement : Q = UI sin w = UI = LvI 2

et

Q = UI sin w = −UI = −

I2 Cv

Ce concept de puissance réactive permet de caractériser le type d’installation : i) si Q > 0 , le système reçoit de la puissance réactive, puisque sin w > 0 ; l’installation est de type inductif, ii) si Q < 0 , le système fournit de la puissance réactive, puisque sin w < 0 ; l’installation est de type capacitif. Notons que les puissances active, apparente et réactive, sont reliées par la relation simple suivante : S2 = P 2 + Q2 ce que l’on retient sous la forme d’un triangle de puissances où les trois puissances sont les trois côtés d’un triangle rectangle d’angle w (Fig. 2.14).

S

Q

w P

F IG . 2.14.

Exemple : sur le transformateur d’une guirlande de sapin de Noël, qui comporte 180 petites lampes connectées en série, on peut lire les informations suivantes : PR/Entrée :

230 V − 50 Hz

SEC/Sortie

24 V − 850 mA − 20, 4 VA

En outre, il est indiqué que chaque lampe consomme une puissance de 0, 112 W. Ainsi, le transformateur est constitué d’un circuit PRimaire aux bornes duquel la tension sinusoïdale du secteur de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz est appliquée. Aux bornes du SECondaire, la tension efficace est de 24 V, l’intensité de 0, 85 A, d’où la puissance apparente de 20, 4 VA.

58

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire On peut en déduire le cos w de l’installation selon : cos w =

180 × 0, 112 P = 0, 988 = 20, 4 S

d’où

tan w =

1 − 1 = 0, 155 cos2 w

Comme la résistance de l’ensemble des lampes est telle que P = U2s /R , il vient : R=

24 2 U s2 = 28, 6 V = P 20, 15

IV . 3 . — Puissance complexe La notation complexe, qui est un intermédiaire de calcul très commode, n’a pas été utilisée dans l’analyse énergétique précédente, car cette dernière fait apparaître des grandeurs quadratiques. Cependant, on peut l’introduire en remarquant les égalités suivantes : 1 1 1 Re{um i∗m} = Re{um exp(jf u) i m exp(−jfi )} = um im cos w 2 2 2 et :

1 1 1 Im{um i∗m} = Im{um exp(jfu) i m exp(−jf i )} = um im sin w 2 2 2 ∗ im désignant le complexe conjugué de i m . Il vient donc : P = Re{P }

Q = Im{P }

S = |P |

où

P = P + jQ =

1 ∗ u i 2 mm

désigne la puissance complexe reçue par le dipôle considéré. Pour un dipôle d’impédance Z = R + jX , ou d’admittance Y = G + jB , on a : P= ou bien P=

1 ∗ 1 um im = Z |i m| 2 = ZI 2 = R I 2 + j X I 2 2 2

1 ∗ 1 1 umim = u mY ∗u∗m = Y ∗ |um | 2 = Y ∗ U 2 = GU 2 − j BU2 2 2 2

Remarque : La partie réelle de la puissance complexe est la puissance moyenne réelle (puissance active) et non la puissance instantanée réelle. IV . 4 . — Grandeurs efficaces complexes Ce qui précède suggère de définir des grandeurs complexes efficaces, associées aux tensions et aux intensités sinusoïdales : u U = √m = U exp(jfu ) et 2

i I = √m = I exp(jfi ) 2

On écrira alors : √ u(t) = U 2 exp(jvt )

√ i(t) = I 2 exp(jvt)

et

P = Re{UI ∗ }

59

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire IV . 5 . — Théorème de Boucherot

Dans un circuit électrique, certains dipôles générateurs fournissent de la puissance électrique que des éléments résistifs dissipent par effet Joule et que d’autres, tels les condensateurs et les bobines, stockent sous des formes différentes. Le théorème que le physicien français P. Boucherot a établi en 1900, s’exprime comme suit. Dans un réseau électrique, parcouru par des courants sinusoïdaux, la somme des puissances actives est nulle, ainsi que la somme des puissances réactives. Pour l’établir, commençons par l’exemple simple d’un réseau constitué de quatre nœuds, numérotés 1 , 2 , 3 , 4 , et disposés comme le montre la figure 2.15. 3

1 2

4 F IG . 2.15.

En régime quasi stationnaire sinusoïdal, la puissance complexe du réseau est la somme des puissances complexes sur toutes les branches : P=

 b

Pb =

 1 um,b i∗m,b = U bI ∗b 2 b

b

ce qui s’explicite dans le cas considéré selon : P = [U12 I ∗12 + U 13I ∗13 + U 14I ∗14 + U 23I ∗23 + U 24 I ∗24 + U 34I ∗34 ] Si l’on introduit les potentiels électriques efficaces complexes aux nœuds, V 1 , · · · V 4 , les différents termes de puissance entre crochets s’écrivent respectivement, en introduisant les potentiels efficaces complexes : (V1 −V 2) I∗12

(V1 −V 3) I ∗13

(V1 −V 4) I ∗14

(V 2−V 3 ) I ∗23

(V 2 −V 4) I ∗24

(V 3−V 4 ) I∗34

En sommant ces quantités et en les regroupant par potentiel, on obtient : P = V1 (I ∗12 + I ∗13 + I ∗14) + V 2(−I ∗12 + I ∗23 + I ∗24 ) + V 3 (−I∗13 − I ∗23 + I ∗34) + V 4 (−I∗24 − I∗14 − I ∗34 ) D’après la loi des nœuds, les sommes sur les intensités sont nulles, d’où :  b

Pb =0

ce qui donne

 b

Pb =

 b

en séparant partie réelle et partie imaginaire.

U bI b cos wb = 0 et

 b

Qb =

 b

Ub Ib sin w b = 0

60

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

On peut établir ce résultat de façon générale en considérant un circuit contenant un nombre quelconque de branches, k et l étant les nœuds aux extrémités de la branche kl . On a :   1 1 U kl I ∗kl = (V k − V l ) I ∗kl Pb= P kl = 2 kl 2 k,l b kl

V k et V l étant les potentiels efficaces complexes aux nœuds k et l ; le facteur 1/2 provient de la sommation sur les branches, car ces dernières ne doivent pas être comptées deux fois. Les deux sommations précédentes s’écrivent aussi, respectivement :    ∗    ∗   ∗ V k I ∗kl = Vk Ikl  et − V k I∗lk = − Vk Il  k = Vk I kl k,l

k

k,l

l

k

k

l

l

puisque Il k = −I kl ; dans le premier terme, on a commencé par fixer une valeur de k puis on a fait varier l’entier l sur toutes les branches issues du nœud k ; dans le second, on a permuté d’abord les indices muets k et l . Il en résulte que ces deux sommations ont finalement la même expression, d’où :    ∗ Pb = Vk Ikl b

k

l

On reconnaît, dans la sommation sur l , la loi des nœuds selon laquelle quent :  Pb = 0



l

εkl I ∗kl = 0 . Par consé-

b

ce qui établit le résultat recherché.  b

Pb =



U bI b cos w b = 0

b

et

 b

Qb =



U bIb sin w b = 0

b

Exemple : dans un local industriel, alimenté sous une tension efficace de 230 V , sont branchées en parallèle cinq lampes, consommant une puissance de 100 W chacune, et deux moteurs de puissances actives P1 = 5 kW et P 2 = 6 kW ; les facteurs de puissance de ces moteurs valent respectivement cos w1 = 0, 84 et cos w 2 = 0, 75 . Dans le but de déterminer le facteur de puissance de l’ensemble, calculons les puissances active P g et réactive Q g du générateur d’alimentation à l’entrée du réseau. D’après le théorème de Boucherot, on a: Pg + 5 × 100 + 5 000 + 6 000 = 0 d’où P g = −11, 5 kW et :

Qg + 5 × 0 + 5 000 × tan(arccos 0, 84) + 6 000 × tan (arccos 0, 75) = 0 d’où Q g = −8, 5 kVAR On en déduit, à l’aide du triangle des puissances (Fig. 2.14), tanwg = Q g/Pg = 0, 74 et cos wg = 0, 80 . IV . 6 . — Distribution de puissance électrique Tout distributeur de puissance électrique, par exemple EDF en France, cherche à diminuer les pertes de puissance le long des lignes conductrices en raison de l’effet Joule. Sur la figure 2.16, on a schématisé cette distribution : on désigne par r la résistance des lignes, Z la charge, I l’intensité efficace du courant dans la ligne et U la tension efficace aux bornes de la charge.

61

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire Ligne Utilisateur

i

Distributeur de puissance électrique

u

∼

Z

Ligne F IG . 2.16.

Les installations électriques industrielles ne sont pas purement résistives mais possèdent un effet inductif non négligeable dû aux enroulements des moteurs ( Im{Z } > 0 ). Aussi est-il judicieux d’étudier, pour une puissance utile Pu fixée consommée par l’utilisateur, l’influence du facteur de puissance sur la perte de puissance Pl occasionnée par les lignes de transport. On a : Pl = rI 2

et Pu = UI cos w d’où

Pl = r

Pu2 U 2 cos2 w

Ainsi, la puissance Pl perdue dans la ligne est inversement proportionnelle au carré de la tension fournie à l’utilisateur et au carré du facteur de puissance de son installation. Afin de minimiser les pertes en lignes, sans modifier la puissance reçue par l’utilisateur, le distributeur impose à ses clients un facteur de puissance minimal de 0, 90 . En cas de non respect de ce minimum, il applique une tarification pénalisante. Si une installation électrique possède un facteur de puissance trop faible, on connecte, en parallèle ou en série avec l’installation, un condensateur qui compense l’effet inductif et amène le facteur de puissance à une valeur proche de 1 . Donnons les facteurs de puissance de quelques appareils usuels : i) lampe à incandescence : cos w = 1 , ii) four à induction compensé par condensateurs (prévus par le constructeur) : cos w = 0, 85 , iii) lampes à fluorescence avec compensation : cos w = 0, 93 , iv) poste de soudure à l’arc, sans compensation : cos w = 0, 5 . Afin de diminuer les pertes en ligne, le distributeur augmente, à l’aide de transformateurs, la tension efficace sur les lignes de transport entre la source de production et l’agglomération à desservir ; cette tension peut atteindre 400 kV . À proximité du consommateur, la tension est abaissée, en plusieurs étapes, jusqu’à environ 230 V , grâce à des transformateurs abaisseurs de tension. Ce procédé fut proposé pour la première fois en 1887 par l’ingénieur électronicien croate N. Tesla. À l’entrée des installations industrielles, le distributeur utilise des wattmètres pour mesurer la puissance électrique active consommée ainsi que des VARmètres, précisément dans le but de contrôler le facteur de puissance de l’installation. Exemple : une installation électrique est équivalente à un dipôle d’impédance Z = R + jX avec X > 0 , en raison de son caractère inductif. Elle est alimentée par le réseau de distribution U = 230 V et f = 50 Hz . Le courant efficace consommé est de 16 A pour une puissance disponible de 3 kW . Déterminons le facteur de puissance cos w ainsi que R et la capacité du condensateur qu’il faut placer en parallèle sur l’installation pour obtenir un facteur de puissance de 1. Nous avons : P = UI cos w

d’où

cos w =

En outre, puisque P = RI2 et U = |Z |I , on trouve : R=

P = 11, 7 V I2

et

|Z | =

U = 14, 4 V I

P 3 000 = = 0, 82 230 × 16 UI d’où

X = (|Z | 2 − R 2 )1/2 = 8, 4 V

62

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Pour que le facteur de puissance ait sa valeur maximale, il faut que la capacité C du condensateur, connecté en parallèle, réalise une susceptance (partie imaginaire de l’admittance) de l’ensemble nulle :   1 R X = 2 Im{Ye } = 0 avec Ye = jCv + + j Cv − 2 R + jX R +X2 R + X2 ce qui donne C = X /[v(R2 + X 2 )] = 129 mF .

IV . 7 . — Adaptation d’impédance en puissance Comme en régime stationnaire, il y a adaptation d’impédance entre un dipôle générateur et un dipôle récepteur, lorsque le transfert de puissance du générateur vers le récepteur est maximal. Cherchons donc à établir les conditions dans lesquelles la puissance, dont un utilisateur peut disposer sur une impédance de charge Z = R + jX , est maximale lorsqu’elle est connectée à un générateur de tension sinusoïdale, d’amplitude em et d’impédance interne Z i = R i + jXi . Exprimons pour cela la puissance active disponible dans le récepteur : P = Re{Z }I 2 = Re{Z }

U2 e2m R = 2 (R + Ri )2 + (X + Xi ) 2 |Z + Z i |2

En annulant les dérivées partielles par rapport à R et par rapport à X , on trouve : 

∂P ∂R



e2 (R + Ri )(Ri − R) + (X + Xi )2 =0 = m 2 [(R + Ri ) 2 + (X + X i ) 2]2 X

et



∂P ∂X



= −e2m

R

R(X + Xi ) =0 [(R + Ri )2 + (X + Xi )2 ]2

d’où : X = −Xi et R = Ri . Finalement, l’impédance de charge qui permet de récupérer le maximum de la puissance active fournie par le générateur et l’impédance interne de ce dernier doivent être conjuguées : Z = Zi∗

d’où PM =

e 2m E2 = 8R i 4Ri

Cette adaptation d’impédance est souhaitable lorsque les générateurs délivrent des signaux de faible puissance comme un microphone ou une antenne de télévision, car toute atténuation supplémentaire d’un signal déjà faible dégrade notablement la qualité du signal de sortie. Notons que l’impédance interne du générateur dissipe la même puissance que la charge, ce que l’on évite de réaliser lorsque le signal fourni par le générateur est suffisamment puissant, puisqu’une trop forte dissipation d’énergie dans le générateur peut affecter son fonctionnement. C’est ainsi qu’à la sortie d’un amplificateur audio, on évite souvent d’adapter son impédance interne sur celle du haut-parleur à la sortie. Exemple : un générateur sinusoïdal, de résistance interne R i , délivrant une tension d’amplitude em et de pulsation v , doit fournir le maximum de puissance à un résistor de charge R = Ri . On se propose de réaliser l’adaptation d’impédance à l’aide du montage représenté sur la figure 2.17a pour lequel un condensateur de capacité C est branché en série avec le générateur et avec l’association en parallèle de la charge et d’une bobine idéale d’inductance L .

63

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

C

C Ri

Ri L

L

R

e

R

e

a)

b)

F IG . 2.17.

En associant en série la résistance interne du générateur et le condensateur, on obtient un générateur d’impédance interne Zi = R i + 1/jCv . Ce générateur débite dans la charge constituée par le résistor de charge associé avec la bobine en parallèle ; l’impédance de la charge est alors : Z = R//Z L =

jRLv RL 2v + jR2 Lv = R + jLv R2 + L2 v 2

et la puissance qu’elle dissipe est maximale si : Z = Z ∗i

soit

Ri =

RL 2v 2 R2 + L 2 v2

et

R 2Lv 1 = 2 Cv R + L 2 v2

Il en résulte : L2v 2 = Ri R2/(R − R i) et C = L/(RRi ) . Cette solution n’a évidemment de sens, que si R > Ri . Sinon, il faut envisager le montage de la figure 2.17b, pour lequel on a permuté la bobine et le condensateur, ce qui conduit à : L2 v2 = R 2i R/(Ri − R) et C = L/(RR i) . Dans chaque cas, la puissance transmise, qui vaut e2m /(8Ri) , représente la puissance maximale que peut délivrer ce générateur. Cette puissance est entièrement dissipée par effet Joule dans le résistor de charge, le condensateur et la bobine ne dissipant pas d’énergie. IV . 8 . — Mesure de la puissance à l’aide d’un wattmètre a) Fonctionnement d’un wattmètre Un wattmètre présente quatre bornes d’entrée, deux pour la mesure de l’intensité du courant qui traverse le dipôle considéré et deux pour celle de la tension à ses bornes (Fig. 2.18). Il indique la puissance active UI cos w dissipée dans le dipôle, et non la puissance apparente UI . Dans les wattmètres électromécaniques, le courant pénètre dans une bobine et, en créant un champ magnétique proportionnel à l’intensité, exerce un couple sur une seconde bobine, placée en parallèle sur le dipôle. Cette dernière est donc parcourue par un courant proportionnel à la tension aux bornes du dipôle ; un ressort en spirale la ramène vers sa position d’équilibre. En raison de l’inertie, la déviation du cadre, et donc celle de l’aiguille d’affichage qui en est solidaire, est proportionnelle à la puissance active. i

W

u Symbole d'un wattmètre F IG . 2.18.

Dans les wattmètres analogiques, on multiplie deux tensions dont l’une est celle aux bornes du dipôle et l’autre est proportionnelle à l’intensité du courant qui le traverse. Le résultat de la multiplication

64

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

est ensuite envoyé sur un filtre passe-bas qui ne restitue que la valeur moyenne, laquelle est proportionnelle à la puissance active. b) Branchement d’un wattmètre La résistance interne du circuit entre les deux bornes permettant la mesure de l’intensité est faible, alors que celle entre les bornes du circuit servant à mesurer la tension est très grande. Lors du branchement, deux bornes sont mises en commun ; le wattmètre est alors équivalent à un montage courte ou longue dérivation (Fig. 2.19a et b respectivement). Le critère pour le choix du montage est la résistance du dipôle étudié : si elle est faible devant la résistance du circuit de mesure de tension, c’est le montage courte dérivation qui est adopté (cf. chapitre 1). Remarque : Les wattmètres électromécaniques ne sont sensibles qu’à des puissances élevées, c’est-àdire à celles qui sont supérieures à une dizaine de watts ; ils ne conviennent donc pas pour les mesures de faible puissance qui sont les plus fréquentes. i

i

W

W

iD u

D

iD uD

a)

u

D

uD

b) F IG . 2.19.

V . — CIRCUITS ÉLECTRIQUES EN TRIPHASÉ Dans le domaine de la distribution de la puissance électrique, le système triphasé est universellement utilisé ; c’est un ensemble de trois tensions sinusoïdales de même fréquence, de même amplitude et déphasées l’une par rapport à l’autre de 2p/3 rad , soit 120 ◦ . Dès que la puissance à fournir est supérieure à 1 kW , la distribution en triphasé présente par rapport à celle en monophasé plusieurs avantages : i) à la production, un alternateur triphasé fournit une puissance supérieure de 50 % environ à celle d’un alternateur monophasé de même volume et de même prix, ii) dans le transport, la même puissance est transportée avec trois fils, alors qu’il en faut six en monophasé, iii) à √ l’utilisation, d’une part deux tensions sont disponibles avec la distribution en triphasé, 230 V et 230 × 3 ≈ 400 V , d’autre part le moteur asynchrone qui est le moteur électrique le plus répandu fonctionne en triphasé. V . 1 . — Description du système triphasé Dans un système triphasé, les sources de tension fournissent, entre un fil conducteur commun, le neutre, et trois autres fils conducteurs, les phases, trois tensions sinusoïdales dites tensions simples ou tensions de phase :     2p 4p v 1 = v m cos(vt) v 2 = v m cos vt − et v3 = vm cos vt − 3 3

65

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire auxquelles on associe respectivement les tensions complexes suivantes :   2p v 2 = vm exp −j exp (jvt) 3

v1 = v m exp(jvt)

  4p exp (jvt) v 3 = vm exp −j 3

et

Ces trois tensions sont déphasées entre elles de 2p/3 rad . Dans le plan complexe, on les représente par trois vecteurs, en prenant v1 comme référence (Fig. 2.20). La somme de ces trois vecteurs est nulle, ce qui signifie que la somme des valeurs instantanées des trois tensions v1 , v2 et v 3 est nulle à tout instant : v1 + v2 + v 3 = 0

v3

u 31 2p/3

u 23 2p/3

v1 p/6

2p/3

u 12 v2 F IG . 2.20.

Remarque : Généralement le neutre est dans une gaine plastique bleue alors que les phases sont dans des gaines noire, rouge et marron. On appelle tensions composées, ou tensions de ligne, les tensions entre les différentes phases. Ainsi, entre les phases 1 et 2, la tension de ligne s’écrit, en notation complexe : u12



  2p = v1 − v2 = v m exp(jvt) 1 − exp −j 3

soit

u12 = vm

 p √ 3 exp j exp(jvt) 6

puisque : 

j2p 1 − exp − 3



= 1 − cos



2p 3



+ j sin



2p 3



√ = 3

√    √ 3 j jp + = 3 exp 2 2 6

De même, on trouverait :  p √ u 23 = v m 3 exp −j exp(jvt) 2

et

u31

  √ 7p = vm 3 exp −j exp(jvt) 6

L’amplitude des tensions de ligne est donc : um =

√ 3 v m soit

√ U=V 3

66

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Comme V = 230 V dans la plupart des pays européens, on dispose de tensions de ligne sinusoïdales, de valeur efficace : √ U = 3 × 230 = 398 V ≈ 400 V Notons que les tensions de ligne forment aussi un système triphasé, puisqu’elles sont déphasées les unes par rapport aux autres de 2p/3 rad (Fig. 2.20). En outre, elles sont déphasées de p/6 rad par rapport aux tensions simples. On retrouve donc une relation analogue à celle qui relie les tensions simples (Fig. 2.20) : u12 + u23 + u 31 = 0 V . 2 . — Courant dans une charge équilibrée Il existe deux configurations symétriques pour connecter trois charges sur un réseau triphasé : celle en étoile et celle en triangle. a) Montage en étoile Dans le montage en étoile, chaque charge est branchée entre un fil de phase et le fil neutre (Fig. 2.21). i1 Z1 Z2

i2

N

v1 Z3

v2

i3

in

v3 F IG . 2.21.

Le courant circulant dans le conducteur neutre est la somme des courants de ligne, i1 , i 2 et i3 , qui circulent dans les dipôles d’impédances Z1 , Z2 et Z3 : in = i 1 + i2 + i3 On dit que le système est équilibré, si les trois charges sont identiques ; l’intensité du courant circulant dans le conducteur neutre est alors nulle. En effet, si Z1 = Z2 = Z 3 = Z e , alors : i1 =

v1 Ze

i2 =

v2 Ze

et

i3 =

v3 Ze

d’où i n =

v1 + v2 + v3 =0 Ze

L’équilibrage des trois phases présente de l’intérêt, d’une part parce qu’il est adapté au fonctionnement normal d’un moteur dont les trois enroulements sont équivalents, d’autre part en raison de l’économie qu’il permet, le fil neutre n’étant alors plus nécessaire. Ce quatrième fil est parfois conservé sur des distances courtes afin d’assurer l’écoulement d’un éventuel courant de neutre pouvant résulter de dissymétries accidentelles du système, la présence de ce fil neutre ayant justement pour effet d’atténuer ces déséquilibres. Toutefois, sa section est plus faible que celle des fils de phase. Le système à quatre fils est utilisé aussi dans le transport entre le transformateur moyenne-basse tensions et les usagers d’un même quartier.

67

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire b) Montage en triangle

Dans le montage en triangle, chaque charge est connectée entre deux fils de phase ; elle est donc soumise à une tension composée (Fig. 2.22). Ce montage ne comporte pas de fil neutre et le courant circulant dans chaque impédance est différent du courant circulant sur chaque ligne. Lorsque le circuit est équilibré ( Z 12 = Z 23 = Z31 = Z t ), les courants circulant dans les trois impédances sont : u u u j = 12 j = 23 et j = 31 12 23 31 Zt Zt Zt

i1

j 12 u12

i2

v1

j 23 u23

v2 v3

j 31

Z12 Z31

i3

j31 u31

p/6

Z23

i2

i3

F IG . 2.22.

j23

i1

j12 −j31

F IG . 2.23.

Il est alors possible d’en déduire les courants circulant dans chaque ligne : √     p 7p u12 − u 31 vm 3 = exp (jvt) exp j − exp −j i 1 = j 12 − j31 = 6 6 Zt Zt ce qui s’écrit aussi :

√  p  p √ vm 3 3vm i1 = = exp j exp(jvt) 3 exp −j exp(jvt) 6 6 Zt Zt

De la même façon, on obtiendrait :   3v m 2p exp −j exp(jvt) i 2 = j23 − j 12 = 3 Zt

et

i3 = j 31 − j23

  3vm 4p = exp −j exp(jvt) 3 Zt

L’amplitude des courants de ligne est donc liée à celle des courants parcourant les impédances : √ √ √ um 3vm 3u m jm = im = = d’où im = j m 3 et I=J 3 |Z t | |Zt | |Zt | La figure 2.23 est la représentation de Fresnel des courants de ligne et des courants parcourant les dipôles. Exemple : sur la plaque signalétique d’un moteur triphasé équilibré, on peut lire les indications suivantes : 230 V/400 V , 6, 0 A/3, 5 A . Ces chiffres indiquent les conditions normales de fonctionnement du moteur pour lesquelles le rendement du moteur est le plus élevé. Connecté en triangle sur un réseau, dont la tension de ligne vaut 230 V , le moteur impose un courant de ligne de 6, 0 A , alors que branché en étoile sur un réseau, dont la tension de ligne vaut 400 V , le courant de ligne est de 3, 5 A . Quel que soit le réseau dont on dispose, il est possible d’alimenter ce moteur de façon optimale en choisissant le montage adapté, triangle pour un réseau 230 V ou étoile pour un réseau 400 V . Le courant dans chaque enroulement sera de 3, 5 A et la tension aux bornes de chaque enroulement de 400 V .

68

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

V . 3 . — Puissance en triphasé reçue par une charge Dans l’exemple précédent du moteur triphasé, une question se pose naturellement : quelle est la puissance reçue par le moteur, en fonctionnement normal ? a) Expression générale de la puissance La puissance complexe reçue par les charges dans un circuit est la somme des puissances complexes : P = P 1 + P 2 + P 3 = P 1 + P 2 + P 3 + j(Q1 + Q 2 + Q3)

Dans un montage étoile équilibré, les trois tensions v1 , v2 et v 3 ont même valeur efficace V ; en outre, le montage étant équilibré, les trois courants ont même valeur efficace I et le facteur de puissance est le même pour les trois phases. Il en résulte : P = 3VI (cos w + j sin w)

L’expression que l’on utilise généralement contient √ U et non V , car V n’est pas accessible dans un montage sans fil neutre. Il vient donc, puisque U = 3 V : √ √ √ √ P = 3UI(cos w + j sin w) d’où P = 3UI cos w Q = 3UI sin w et S = 3UI pour les puissances active, réactive et apparente respectivement. Cette expression de√P est encore valable dans le montage triangle. En effet, on obtient de façon analogue, puisque J = 3 I : √ P = 3UJ (cos w + j sin w) soit P = 3UI(cos w + j sin w)

d’où les mêmes expressions pour P et Q . Cependant, soulignons que w ne représente pas le déphasage entre u et i , mais celui entre v et i , précisément l’argument de Z e , et qu’en outre cette expression suppose que le montage est équilibré. Notons que le montage triangle et le montage étoile ne donnent pas les mêmes puissances actives dans trois charges identiques. Exemple : considérons le cas simple de trois lampes, de résistance R = 500 V , branchées sur le secteur triphasé pour lequel V = 230 V . Dans une association en étoile, chaque lampe est soumise à une tension de phase V = 230 V . On en déduit l’intensité du courant qui la parcourt et la puissance active qu’elle reçoit : 230 V = = 0, 46 A d’où Pt = 3 × 230 × 0, 46 = 320 W 500 R Dans une association en triangle, chaque lampe est soumise à une tension de ligne U = 400 V ; l’intensité et la puissance valent donc, respectivement : I=

U 400 = 0, 80 A et P t = 3 × 400 × 0, 80 = 960 W = R 500 On voit que la puissance reçue par chaque lampe est le triple de celle reçue dans un montage étoile. I=

Remarque : Pour le relèvement du facteur de puissance d’une installation triphasée équilibrée, il suffit de brancher en triangle trois condensateurs identiques avant le récepteur, indépendamment de son type de branchement. D’après le théorème de Boucherot, la capacité des condensateurs doit être telle que la puissance réactive soit nulle : −3CvU2 + UI sin w = −3C vU 2 + P tan w = 0 d’où C =

P tan w 3vU 2

69

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire b) Puissance fluctuante

On sait que, pour un récepteur alimenté par une tension sinusoïdale, la puissance instantanée P i a pour expression : √ √ P i = v (t )i(t) = V 2 cos(vt + fu) × I 2 cos(vt + fi ) = VI cos(f u − fi ) + VI cos(2vt + f u + f i ) Elle présente ainsi deux contributions : l’une est la puissance active et l’autre une puissance fluctuante qui varie sinusoïdalement avec une fréquence double de celle du générateur ; elle se retranche ou s’ajoute à la puissance moyenne selon l’instant. Bien que de valeur moyenne nulle, elle est gênante dans certaines applications telles que l’alimentation des moteurs où elle crée un couple fluctuant (freinage ou non), qui se superpose au couple utile. Dans ce contexte, le système triphasé présente un avantage, car la puissance fluctuante, qui est la somme des trois puissances fluctuantes déphasées de 2p/3 rad , est nulle. Il s’agit là d’une propriété importante des systèmes triphasés équilibrés : leur puissance instantanée est égale à la puissance moyenne.

Soulignons que les relations précédentes ne sont valables qu’avec une charge équilibrée constituée de trois impédances identiques. Un déséquilibre de la charge se traduit, selon le montage utilisé, par une surtension sur une phase ou une surintensité dans un fil de connexion. Dans tous les cas, le déséquilibre est indésirable, voire dangereux. Son origine peut être accidentel (mise en court-circuit de deux fils, rupture d’un fil, etc.) ou résulter d’un mauvais équilibrage des charges. En outre, le réseau triphasé doit le plus souvent alimenter des charges de natures différentes (résistives dans le cas de l’éclairage et du chauffage, inductives pour les moteurs électriques, etc.) qu’il n’est pas toujours possible d’équilibrer. Retenons que, dans toute installation, on doit s’efforcer d’équilibrer au mieux les différentes charges. c) Mesure de puissance En pratique, la mesure de la puissance active s’effectue à l’aide d’un ou de plusieurs wattmètres. Si le circuit est équilibré, il suffit d’un wattmètre qui donne la puissance sur une phase et de la multiplier par trois. La mesure nécessite la présence du fil neutre (Fig. 2.24). La nature du branchement du dipôle, triangle ou étoile, n’a pas d’influence sur le résultat. i1 i1

W

v1

Z N

Z

v1 v1

Z

v2

W1

in = 0

i2

Z1 Z2

W2 v2

i3

v3 F IG . 2.24.

N Z3

W3

i n = 0

v3 F IG . 2.25.

Lorsque le circuit est déséquilibré mais comporte un fil neutre, la mesure exige l’utilisation de trois wattmètres branchés entre chaque fil de phase et le fil neutre (Fig. 2.25). Si le circuit n’a pas de fil neutre, deux wattmètres A et B suffisent (Fig. 2.26). Ici aussi, la nature du montage est sans importance. Cette méthode convient évidemment si le circuit est équilibré. Les wattmètres A et B donnent les puissances respectives :   1  1  P A = U 13 I1 cos(f13 − f1) = Re u13 i ∗1 et PB = U 23 I 2 cos(f23 − f 2) = Re u 23 i∗2 2 2

70

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Or, pour un montage en étoile, on a : i3 = −i 1 − i2 , v 1 = v 3 − u 31 et u2 = v3 + u23 , d’où : P=

 1   1  ∗ Re v1 i1 + v 2 i ∗2 + v 3 i∗3 = Re u13 i∗1 + u23 i ∗2 2 2

De même, pour un montage en triangle, on a : u12 = u13 − u 23 , j23 = i 2 + j12 et j31 = i 3 + j 23 , d’où : P=

 1   1  Re u12 j∗12 + u 23 j∗23 + u31 j∗31 = Re u13 i∗1 + u23 i∗2 2 2

Ainsi, quel que soit le montage, triangle ou étoile, la puissance s’écrit : P = P A + P B . i1

i1

W Z

u23 Z

WA u 13

i2 i3

v1

Montage triangle ou étoile sans neutre

WB u23

N Z

v2

in = 0 v3

F IG . 2.26.

F IG . 2.27.

Pour un circuit équilibré, la mesure de la puissance réactive est réalisée directement avec un seul wattmètre branché afin de connaître l’intensité du courant sur un fil et la tension entre les deux autres (Fig. 2.27). En effet, la lecture fournit le produit U23 I1 cos(f23 − f i,1 ) . Cette mesure donne UI sin w , puisque (Fig. 2.20) : p f23 − fi,1 = (f 23 − fv,1) + (f v,1 − f i,1 ) = − + w 2 Pour obtenir la puissance réactive Q , il suffit de multiplier la lecture du wattmètre par puissance peut aussi être déterminée à l’aide du montage à deux wattmètres (Fig. 2.26) :

√

3 . Cette

PA = UI cos(f13 − fi,1 ) = UI cos(f 13 − f v,1 + fv,1 − fi,1 ) soit (Fig. 2.20) :

On a de même :

 p  PA = UI cos − + w 6 p

 +w

car

f13 − f v,1 = −

p rad 6

p rad 6 6 √ √ On en déduit que : PA − P B = −2UI sin w sin(−p/6) = UI sin w = Q/ 3 , d’où Q = 3(PA − P B) . PB = UI cos

car

f23 − f v,2 =

Si le circuit est déséquilibré, la mesure de Q doit être effectuée à l’aide de varmètres dont la construction est identique à celle des wattmètres avec un déphasage supplémentaire de p/2 rad pour la tension. Il est aussi possible de mesurer la puissance apparente S à l’aide d’un voltmètre et d’un ampèremètre et d’en déduire Q par l’expression Q = (S 2 − P 2)1/2 .

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

71

VI . — DISTRIBUTION D’ÉLECTRICITÉ ET PROBLÈMES DE SÉCURITÉ VI . 1 . — Production de puissance électrique La consommation quotidienne moyenne d’énergie électrique de la toute la France est de l’ordre de 1,33 térawattheure ( 1 TWh = 10 12 Wh ), c’est-à-dire environ 3, 6× 1015 J . Comme le travail électrique est difficilement stockable (les meilleurs accumulateurs ne pouvant stocker plus de 600 kJ · kg −1 ), le travail électrique doit être disponible au moment de sa consommation. La puissance totale dont dispose le distributeur français EDF (Électricité De France) dépasse les 100 GW , alors que le record de consommation s’établit légèrement en dessous de 102 GW (pic atteint le 8 février 2012). Tout distributeur électrique prévoit la puissance à fournir en fonction des données statistiques qui indiquent la consommation probable en fonction de l’heure, de la saison et des températures observées. Si la consommation dépasse la production prévue, la tension et la fréquence du réseau baissent légèrement et la réaction du distributeur est immédiate : ce dernier augmente la puissance électrique des centrales ou importe de la puissance électrique des pays voisins. En cas de sous-consommation, c’est l’inverse, on exporte de la puissance et on diminue la production. Comme les sources de production de puissance électrique, que sont les centrales hydrauliques, thermiques et nucléaires, sont généralement éloignées des lieux de consommation, le transport de cette puissance joue un rôle essentiel dans la limitation des pertes occasionnées. VI . 2 . — Distribution de puissance électrique a) Différents types de lignes de transport Afin de limiter les pertes énergétiques, lors du transport de la puissance électrique, l’utilisation de tensions sinusoïdales de basse fréquence s’impose. En effet, à haute fréquence, lorsque que l’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) n’est plus satisfaite, l’effet de peau provoque l’échauffement des câbles, par réduction de la section effective, et la nature inductive des lignes induit une augmentation des pertes (cf. Électromagnétisme). Historiquement, c’est le développement du chemin de fer en Europe qui a joué un rôle décisif dans le choix de la fréquence de 50 Hz . En effet, cette fréquence correspond à celle utilisée par les constructeurs de locomotrices allemands AEG et Siemens, au début du XX e siècle ; les performances des moteurs synchrones triphasés, inventés par AEG, étaient optimales à 50 Hz . Aux USA et dans le Royaume Uni, cette fréquence est de 60 Hz . En France, les pertes énergétiques sur les lignes de transport, qui sont inversement proportionnelles à la tension de distribution ( 230 V ), s’élèvent à plus de 12 TWh par an, soit 3 % de la consommation, ce qui correspond à un coût de plus de 300 millions d’euros. On distingue plusieurs réseaux de distribution. i) Le réseau Très Haute Tension (THT), à 400 kV et 225 kV , et celui Haute Tension (HT), à 90 kV et 63 kV , assurent le transport de la puissance, sur des distances de plusieurs milliers de kilomètres, entre les centrales de production et les postes de transformation principaux. Il alimente aussi les transformateurs implantés dans les quartiers des grandes villes, ainsi que dans les très grosses entreprises. Il est composé de lignes aériennes constituées de fils conducteurs nus, en cuivre ou en aluminium, entourant un câble intérieur, l’âme, en acier qui permet d’augmenter sa résistance mécanique ; ces câbles tressés, d’un diamètre total d’environ 30 mm, ont une masse linéique de 2 kg par mètre. ii) Le réseau Moyenne Tension (MT), à 20 kV et 5, 5 kV , relie les postes de transformation principaux à ceux qui alimentent les villes, ainsi que les petites et moyennes entreprises.

72

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

iii) Enfin, le réseau Basse Tension (BT), à 230 V ou 400 V , est destiné aux particuliers, le plus souvent en monophasé, et aux entreprises qui consomment peu de puissance, en général en triphasé. Notons que l’alimentation d’un quartier s’effectue en triphasé ; le neutre et l’une des phases sont distribués à chaque habitation ; si le réseau est bien équilibré, les charges sur chaque phase sont équivalentes et le courant dans le fil neutre quasiment nul (Fig. 2.28). Réseau 230/400 V

3 2 1 N

Atelier

Usine F IG . 2.28.

Remarques : 1) La lampe à incandescence, inventée par T. Edison, qui permit l’illumination des premières villes, fonctionnait bien à 110 V stationnaire qui est le standard américain actuel de la valeur efficace de la tension sinusoïdale utilisée. Un peu plus tard, Edison déposa un brevet de distribution de l’électricité à faibles pertes sous des tensions stationnaires de 220 V , valeur un temps adoptée en France pour le réseau basse tension sinusoïdale EDF, actuellement augmentée à 230 V . 2) Bien que quatre conducteurs (le neutre et les trois phases) assurent le transport de la puissance électrique dans les villes, la plupart des poteaux électriques en ville portent un cinquième fil ; ce dernier, relié à l’une des phases, assure l’éclairage municipal (Fig. 2.29a). b) Protection des lignes On protège les installations électriques de la foudre, capable de provoquer de très fortes surtensions, en surmontant les lignes THT d’une ligne de garde qui sert à intercepter la foudre avant que celle-ci n’atteigne les conducteurs sous tension. Ces fils anti-foudre, qui ne sont parcourus par aucun courant, en situation normale, sont évidemment reliés à la terre, à chaque pylône, afin d’évacuer sans dommage les courants parasites de forte intensité. Malgré les fils anti-foudre, les lignes conductrices sous tension sont parfois touchées directement ou souvent chargées par influence, lorsque la foudre frappe le fil de garde ou un objet situé dans le voisinage de la ligne. La charge électrique reçue produit une onde de tension, de forte amplitude (plusieurs centaines de kV ), qui se propage le long de la ligne, à la vitesse de la lumière (cf. Électromagnétisme). Cette onde peut détériorer les isolateurs en porcelaine qui fixent les lignes aux pylônes, ainsi que les transformateurs situés en bout de ligne. Les isolateurs, dont le nombre permet de connaître la tension de la ligne (9 pour 63 kV , 14 pour 225 kV et 18 pour 400 kV) sont protégés par des éclateurs qui canalisent la décharge électrique, lors d’un coup de foudre (Fig. 2.29b). Les lignes sont équipées de disjoncteurs et de parafoudres. i) Les premiers ouvrent le circuit, en cas de surintensité, en jouant le rôle de fusible mais n’ont pas besoin d’être remplacés après utilisation. L’arc électrique qui se produit est éteint par de l’huile ou

73

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

par un gaz, en général de l’hexafluorure de soufre SF6 . Ils ouvrent la ligne en quelques centaines de millisecondes, puis la referment dès que la charge électrique du coup de foudre a été évacuée vers la terre. ii) Quant aux seconds, ils sont constitués d’une série de disques qui se comportent comme des varistances dont la résistance diminue lorsque la tension s’élève. Ils assurent la liaison entre la ligne à protéger et la terre. En fonctionnement normal, la résistance totale est très importante et la ligne est isolée de la terre. Lorsque la tension augmente et dépasse la valeur maximale autorisée, les disques ne présentent qu’une faible résistance et la décharge vers la terre peut se produire. Une fois la décharge terminée, quelques dizaines de millisecondes après, les disques présentent à nouveau une résistance très élevée et la ligne est de nouveau isolée de la terre. Une manière de protéger les lignes et les personnes consiste à enterrer les fils de transport. Même si ce procédé est très coûteux et si la chaleur dégagée ainsi que la nécessité d’accéder aux câbles conduisent à aménager une large zone dépouillée de toute végétation, les distributeurs augmentent progressivement la proportion de lignes enterrées. Actuellement, en France, un quart des lignes 63 kV sont enterrées ; leur coût est alors multiplié par 3 ou 4. Pour les lignes en 225 kV , seules les portions en agglomérations sont enterrées, car le coût est, dans ce cas, multiplié par 10. Fil de garde Fils de phase

Isolateurs Éclateurs

a)

b) F IG . 2.29.

VI . 3 . — Sécurité d’une installation électrique domestique a) Effets physiologiques en électricité L’effet d’un choc électrique sur le corps humain dépend de plusieurs facteurs : la durée du passage du courant dans le corps, son intensité, sa nature stationnaire ou alternatif, ainsi que des organes traversés. Lorsque l’intensité du courant est inférieure à 10 mA , les effets du courant ne sont pas dangereux, quelques picotements seulement. Au-delà de 10 mA , l’intensité et la durée doivent être pris en compte : 20 mA pendant 10 s a le même effet que 100 mA pendant 1 s ou encore que 500 mA pendant 50 ms . De telles intensités provoquent la tétanisation des muscles traversés : les doigts se crispent et n’arrivent pas à lâcher le conducteur électrique touché. En outre, le diaphragme, qui permet de comprimer ou de dilater les poumons, au cours de la respiration, risque de se bloquer et ainsi provoquer l’asphyxie ; le cœur lui ne subit pas de tétanisation mais, lorsque l’intensité dépasse 50 mA , son rythme est troublé (c’est la fibrillation).

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2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Le courant alternatif de basse fréquence est plus dangereux que le courant stationnaire, précisément en raison de ses variations au cours du temps, lesquelles favorisent les contractions répétées des muscles et la tétanisation ; aussi les normes imposent-elles des tensions maximales utilisables moins élevées en régime alternatif qu’en régime stationnaire. Pour une tension déterminée, l’intensité du courant qui traverse le corps humain dépend évidemment de sa résistance. Cette dernière n’est pas constante et dépend de l’humidité de la peau : elle varie de 1 kV pour une peau humide à 50 kV entre deux mains sèches. En outre, il faut tenir compte de la résistance de contact entre la peau et les conducteurs, laquelle varie de quelques kV au niveau des mains à plusieurs centaines de kV entre le sol et les pieds dans des chaussures isolantes. Pour ces raisons, dans les conditions habituelles, la valeur limite de la tension éliminant tout risque d’électrocution est de 50 V en régime stationnaire et de 25 V efficace en régime sinusoïdal. Cette dernière valeur est obtenue à partir de la résistance électrique du corps humain évaluée en moyenne à 2 500 V et du seuil d’intensité du courant admissible qui est de 10 mA : U = RI = 2 500 × 0, 01 = 25 V b) Sécurité domestique Les normes de sécurité française imposent le schéma de liaison à la terre nommé TT (terre-terre) : le fil neutre de l’installation doit être relié à la terre, ainsi que la carcasse métallique des appareils domestiques. La reconnaissance du fil de terre est aisée puisque son enveloppe plastique est de couleur jaune et vert. En général, les installations domestiques sont munies d’un disjoncteur différentiel dont la fonction est d’ouvrir tout circuit dans lequel l’intensité du courant dans le fil neutre est différente de celle dans le fil de phase ; en effet, cette différence de valeur traduit généralement un défaut d’isolement (Fig. 2.30a). Certains disjoncteurs différentiels sont très sensibles : ils provoquent l’ouverture des circuits dès l’apparition d’une différence d’intensité de 30 mA . Ils sont techniquement constitués d’un circuit magnétique en forme d’anneau (cf. Électromagnétisme), autour duquel on a enroulé trois fils conducteurs (Fig. 2.30b) ; l’un relié est au neutre, le deuxième à la phase et le troisième commande un interrupteur. Si une différence d’intensité apparaît brutalement, un courant induit dans le fil de commande actionne l’interrupteur. Disjoncteur différentiel I1 Neutre

Phase

Commande de l'interrupteur Neutre

I2 Rupture d'isolant

Terre a)

Phase b)

F IG . 2.30.

Dans une installation domestique, les causes d’accidents électriques sont multiples. i) Le corps humain, qui est en contact avec la terre, peut toucher un fil électrique soit directement soit par l’intermédiaire de la carcasse métallique d’un appareil électroménager défaillant. Si le fil touché est le neutre, il n’y aura aucun dégât. En revanche, s’il s’agit du fil de phase, le courant traversant le corps n’est limité que par sa résistance : l’intensité peut alors être mortelle.

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Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

Le disjoncteur différentiel se déclenche lorsque l’intensité dans le fil neutre n’est plus égale à celle dans le fil de phase ; c’est précisément le cas lorsqu’une partie du courant de phase traverse la personne électrocutée. Le disjoncteur peut être différemment réglé : 30 mA pour les prises de courant et pour l’éclairage des salles d’eau, 100 mA ou 300 mA pour les chauffages ou les gros appareils électroménagers. ii) Une autre cause est le contact direct avec les deux conducteurs neutre et phase. Aucun système de sécurité n’est ici possible, car le corps humain se comporte comme un dipôle électrique quelconque. Aussi est-il indispensable de couper systématiquement l’alimentation d’une partie du réseau électrique avant toute intervention, même pour le simple changement d’une lampe sur une douille ; cette dernière peut en effet présenter un défaut d’isolation.

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, les lois de base des circuits ont, à chaque instant, la même expression qu’en régime stationnaire. 2) En régime sinusoïdal, les lois de Kirchhoff relatives aux nœuds et aux mailles se transposent directement à l’aide de la notation complexe :   ε k ik = 0 et εk uk = 0 k

k

La première sommation porte sur toutes les branches qui concourent au nœud considéré, avec ε k = 1 si le courant est orienté vers le nœud, et εk = −1 sinon. La seconde concerne tous les dipôles d’une même maille, avec εk = 1 si le sens de uk est le même que le sens choisi pour parcourir la maille et εk = −1 sinon. 3) En régime sinusoïdal, les composants passifs sont caractérisés par leur impédance Z , qui est le rapport tension sur courant en notation complexe. Ainsi, l’impédance complexe d’un condensateur de capacité C est 1/jCv alors que celle d’une bobine d’inductance L est jLv ; le facteur j dans ces expressions traduit un déphasage de ±p/2 rad de la tension par rapport au courant. 4) En régime sinusoïdal, la puissance moyenne reçue par un dipôle, ou puissance active, a pour expression : P = UI cos w

U et I étant les grandeurs efficaces, w le déphasage de la tension par rapport au courant. On introduit la puissance complexe P = u i ∗/2 dont la partie réelle est précisément la puissance active P et la partie imaginaire la puissance réactive Q = UI sin w 5) Selon le théorème de Boucherot, la somme des puissances actives et la somme des puissances réactives sont nulles dans tout circuit.

6) La puissance électrique est distribuée en régime sinusoïdal triphasé, en raison de plusieurs avantages techniques, notamment la facilité de production dans les alternateurs et le moindre coût du transport.

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2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

EXERCICES ET PROBLÈMES P2– 1. Circuit RL Un circuit associant un résistor, de résistance R = 50 V , en série avec une bobine idéale, d’inductance L = 100 mH , est alimenté par un générateur qui délivre la tension sinusoïdale √ e(t) = E 2 cos(vt) avec E = 10 V . 1. a) Trouver l’expression de l’intensité du courant dans le circuit. Quelle est sa valeur efficace et son déphasage, d’abord pour la fréquence f = 50 Hz , puis pour f = 100 Hz ? Pour quelle valeur de f le courant est-il en retard de phase de p/4 rad sur la tension ? b) Tracer les graphes donnant l’amplitude et le déphasage de i(t ) par rapport à e(t ) en fonction de la fréquence f . 2. Déterminer la tension aux bornes de la bobine. Tracer le graphe représentant son amplitude en fonction de f . P2– 2. Mesures de tension à l’aide d’un voltmètre Dans le circuit représenté sur la figure 2.31, un voltmètre fonctionnant en régime sinusoïdal est connecté successivement aux bornes du résistor, de la bobine et du condensateur : il indique respectivement 15 V , 10 V et 30 V . 1. Quelle est l’indication du voltmètre aux bornes de la source de courant ? 2. Calculer la puissance fournie par cette source pour R = 100 V .

i(t)

L

R

C

F IG . 2.31.

P2– 3. Nature de dipôles inconnus On désire identifier trois associations (en série ou en parallèle) de deux dipôles choisis parmi les trois suivants : une bobine idéale, un condensateur et un résistor. Les dipôles obtenus sont notés D 1 , D2 et D 3 . En régime stationnaire, la mesure des résistances donne respectivement : R1 = R 2 = 50 V et R3 = ∞ . En régime sinusoïdal, on observe que : i) quelle que soit la fréquence f , la tension u 1 aux bornes de D 1 est en avance sur l’intensité i1 du courant qui le parcourt ; en revanche, pour D2 , u 2 est en retard sur i2 .

ii) aux basses fréquences, la tension u 3 aux bornes de D 3 est en retard sur i 3 ; aux hautes fréquences, c’est l’inverse. 1. Déterminer la nature de chaque association et les dipôles qui la constituent. 2. Quels résultats obtiendrait-on avec les autres associations possibles ?

77

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire P2– 4. Lecture à l’oscilloscope

web

Un circuit comportant une bobine réelle (inductance L en série avec un résistor r ) et un résistor, de résistance R = 20 V , est alimenté par un générateur de tension : e(t ) = em cos(vt) . Un oscilloscope, connecté comme l’indique la figure 2.32a, fournit les courbes de la figure 2.32b. Les calibres sélectionnés sont de 1 V · carreau−1 pour l’échelle verticale et de 2, 5 ms · carreau −1 pour le balayage horizontal. 1. a) Déterminer la fréquence et la valeur efficace de la tension appliquée. Même question pour le courant. b) Calculer la valeur du déphasage observé entre les deux tensions. En déduire les valeurs de r et L . 2. a) On intercale, entre les points A et C , un condensateur de grande capacité C = 112 mF ; on obtient les courbes de la figure 2.32c, sans modifier les réglages de l’oscilloscope. Calculer l’intensité efficace dans le circuit. b) Retrouver les valeurs de r et L . Voie B L

B

B

Voie A r

B

R = 20V

C A

2,8 carreaux

A

A

∼e a)

b)

c)

F IG . 2.32.

P2– 5. Réseau en régime sinusoïdal

web

Dans le circuit de la figure 2.33, la tension e = e m cos(vt) est imposée par un générateur de tension parfait. Avec un voltmètre, on mesure la tension u s aux bornes du résistor R . 1. a) Trouver la relation entre u s et e , en fonction de R , Z et Z  . b) Établir la relation entre les intensités i e et is , en fonction de R , Z et Z  . 2. a) Que deviennent les relations précédentes si Z est une résistance R  et Z  l’impédance d’une capacité C ? b) Déterminer le rapport des amplitudes u s,m /e m et i s,m /ie,m pour R = 1, 5 kV , C = 1, 0 mF , R = 2, 2 kV et f = 1, 0 kHz . A

ie e

Z

A Z

Z uA

R

S is R

B

e

M

us R

F IG . 2.33.

F IG . 2.34.

R

78

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

P2– 6. Circuit déphaseur Le circuit de la figure 2.34, dans lequel e = e m cos(vt) , représente un circuit déphaseur. Le GBF étant à masse flottante, on adopte comme masse du circuit le point M . 1. Comparer, en amplitude et en phase, les tensions u A et uB . À quoi peut servir un tel circuit ? 2. Représenter graphiquement l’avance de phase de u B sur u A. Pour quelle valeur de R les tensions uB et u A sont-elles en quadrature, lorsque C = 0, 22 mF et f = 1, 2 kHz ? P2– 7. Impédances équivalentes

web

On alimente un moteur, composant inductif représenté par une bobine, d’inductance L et de résistance R , par un générateur sinusoïdal qui maintient la tension e(t) = em cos(vt) à ses bornes. On connecte, en parallèle, un condensateur de capacité C en série avec un résistor de même résistance R (Fig. 2.35a). 1. Exprimer l’impédance Z AB en fonction de v . 2. Pour quelle capacité C ce montage est-il équivalent à celui de la figure 2.35b ? Calculer sa valeur pour R = 220 V et L = 330 mH . Déterminer alors la valeur numérique de l’impédance entre A et B . Quel est l’intérêt de ce choix de capacité, relativement à l’ouverture de l’interrupteur K ? A K

A

C

L

C

e ∼

e ∼

R

R

B

R

L R

B a)

b)

F IG . 2.35.

P2– 8. Absence de variation de courant à la fermeture d’un interrupteur Dans le circuit de la figure 2.36, on souhaite que l’indication donnée par l’ampèremètre ne varie pas lorsqu’on ouvre ou lorsqu’on ferme l’interrupteur. Quelle valeur de la capacité C faut-il choisir ? Calculer C sachant que L = 22 mH , R = 330 V , r = 10 V et que la fréquence du GBF est de 50 Hz . A

i

L

A0

L

A1

L

A2

L

A3

L e

R r

F IG . 2.36.

C C

u0

C

u1

C

F IG . 2.37.

u2

C

u3

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Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire P2– 9. Cellules à retard de phase

web

La figure 2.37 représente une ligne infinie, constituée de cellules identiques LC . On impose, avec un générateur parfait, la tension u0(t) = em cos(vt) . 1. Établir la relation de récurrence existant entre u n+1 , u n et u n−1 ; on introduira v0 = 1/(LC )1/2 . 2. On cherche une solution de cette équation sous la forme u n = u 0 an avec u 0 = e m exp(jvt) . a) Déterminer a pour v > 2v 0 . b) Pour v < 2v0 , montrer que a est de la forme a = exp[jf(v)] et déterminer la phase f(v) . c) On suppose que v  v0 et on pose t = −f/v , sachant que f est négatif. Établir l’expression de t en fonction de L et C . Application numérique pour L = 0, 68 mH et C = 22 pF . Donner une interprétation physique de l’expression obtenue pour un . P2– 10. Impédance itérative Le circuit représenté sur la figure 2.38 est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale : e = em cos(vt) . 1. Exprimer l’impédance Z AB , en fonction des impédances Z1 , Z 2 et Z c . 2. Déterminer la valeur de Z c pour laquelle Zc = ZAB . Pourquoi cette valeur de Z c est-elle qualifiée d’impédance itérative ? 3. On conserve la valeur précédente pour Z c . Établir la relation que doivent vérifer Z1 , Z2 et Zc afin que im = im . 4. a) Si Z 1 est un condensateur, de capacité C = 68 nF et Z2 une bobine, d’inductance L = 1, 5 mH , quelle impédance Zc faut-il prendre ? b) Même question avec Z1 , bobine d’inductance L = 1, 5 mH et Z2 , condensateur de capacité C = 68 nF ? A i e

Z1

Z1 Z2

R

i

C

A

Zc

B C

B

R

F IG . 2.38.

P2– 11. Puissance dans deux branches en parallèle

L F IG . 2.39.

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Dans le circuit de la figure 2.39, on désire que les deux branches absorbent la même puissance moyenne lorsqu’on connecte un générateur de tension sinusoïdale entre A et B : e = e m cos(vt) . Déterminer l’inductance L en fonction de la résistance R et des capacités C et C  . Calculer L pour R = 22 kV , C = 15 mF , C = 22 mF , à la fréquence f = 1 kHz .

80

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

P2– 12. Mesure de puissance à l’aide d’un voltmètre On dispose d’un voltmètre et d’un résistor, de résistance R connue, pour mesurer la puissance dissipée dans une impédance Z inconnue. On effectue les mesures indiquées sur la figure 2.40. 1. Déterminer la puissance dissipée dans l’impédance Z , en fonction des tensions U 1 , U2 et U3 lues sur les trois voltmètres. 2. Calculer cette puissance pour U 1 = 20 V , U 2 = 147 V , U3 = 162 V et R = 10 V . 3. En déduire la résistance et la réactance de l’impédance Z . R

Z

U1

U2 U3 F IG . 2.40.

P2– 13. Puissance consommée dans un circuit industriel

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Le circuit de la figure 2.41 est alimenté par le réseau basse tension d’EDF : fréquence f = 50 Hz , tension efficace U = 230 V . 1. Exprimer, en fonction des données sur la figure, la puissance dissipée par ce circuit. 2. On constate que la puissance fournie par le générateur atteint une valeur maximale P M pour R = 20 V . En déduire la valeur de L et celle de PM . 3. Pour une valeur de R supérieure à 20 V , le facteur de puissance devient égal à 1 et la puissance consommée est de 500 W . En déduire les valeurs de R et C , sachant que L = 100 mH . i

L 230 V 50 Hz

L C

R

230 V 50 Hz

F IG . 2.41.

iR

iM M

R

C

F IG . 2.42.

P2– 14. Facteur de puissance d’une installation et relèvement Dans une installation alimentée par un réseau basse tension ( f = 50 Hz et tension efficace U = 230 V ), on fait fonctionner simultanément un moteur de puissance P M , dont le facteur de puissance vaut 0, 65 , et une rampe d’éclairage de résistance R , de puissance PR , branchée en parallèle et de facteur de puissance égal à 1 (Fig. 2.42). 1. Calculer les valeurs efficaces complexes des intensités des courants dans les différentes parties du circuit, en fonction de U , P M , PR et du déphasage w de la tension par rapport au courant qui parcourt le moteur. 2. En déduire le facteur de puissance de l’ensemble. Application numérique pour P M = 5 kW et PR = 3 kW . Retrouver ce résultat à l’aide du théorème de Boucherot.

81

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

3. Quelle est la valeur de la capacité du condensateur qu’il faut placer en parallèle sur l’installation pour relever le facteur de puissance jusqu’à 1 ? Rappeler l’intérêt d’avoir un facteur de puissance proche de l’unité. P2– 15. Exemple tiré de la publication originale de Boucherot Dans sa publication originale, Boucherot illustre le théorème qui porte son nom, avec l’exemple suivant. On alimente, à l’aide d’une tension sinusoïdale, de valeur efficace Ue , une ligne d’impédance Zl = 20 + j 30 en ohm, au bout de laquelle se trouve l’enroulement primaire d’un transformateur. La tension efficace aux bornes de cet enroulement étant U1 = 4 kV , sont branchés en série, aux bornes de l’enroulement secondaire du transformateur (Fig. 2.43) : i) un moteur synchrone A de puissance apparente 10 kVA et de cos w = 0, 8 , dans lequel le courant est en avance sur la tension, ii) deux moteurs asynchrones, B de 20 kVA et de cos w = 0, 9 , C de 5 kVA et de cos w = 0, 8 , dans lesquels la tension est en avance sur le courant, iii) une série de lampes D , de puissance 10 kW , iv) un condensateur E de puissance réactive 2 kVAR . 1. Effectuer les bilans de puissances active et réactive dans le circuit comportant l’enroulement secondaire du transformateur et déterminer les puissances active et réactive fournies par le secondaire. 2. Sachant que les pertes du transformateur sont de 2,5 % pour la puissance active et de 5 % pour la puissance réactive, calculer l’intensité efficace dans le primaire. 3. Trouver la valeur de la tension efficace U e . Moteur synchrone 20+j30 U

√

2 cos(vt )

Moteurs asynchrones

M

M

M

A

B

C D

4 kV E

lampes

Condensateur

Primaire Secondaire F IG . 2.43.

P2– 16. Importance du fil neutre en triphasé

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On alimente, en triphasé ( f = 50 Hz et tension efficace de phase 230 V ) les trois enroulements d’un moteur que l’on assimile à trois bobines idéales, d’inductance L . Initialement, le branchement présente la configuration en étoile (Fig. 2.44a). 1. Déterminer l’intensité i0 du courant dans le fil neutre ; en déduire l’intérêt de l’alimentation en triphasé. 2. Suite à une erreur de branchement, l’enroulement 1 se retrouve en parallèle avec un résistor, de résistance R . Le montage en étoile n’est plus équilibré. Déterminer l’intensité i0 du courant dans le fil neutre ainsi que les tensions vk aux bornes de chaque enroulement. Calculer la valeur efficace de i0 pour R = 100 V et L = 0, 22 H .

82

2. Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire

3. Suite à un incident, le fil de neutre est coupé (interrupteur K ouvert). L’enroulement 1 étant toujours en parallèle avec le résistor R , déterminer les tensions aux bornes de chaque enroulement. Quel est l’intérêt de la présence du fil neutre sur un montage en étoile équilibré ? 4. La connection est maintenant en triangle et le résistor R n’est pas branché (Fig. 2.44b). a) Trouver la tension u kl aux bornes de chaque enroulement, l’intensité jkl du courant dans chaque enroulement ainsi que dans les fils de phase i k . b) Calculer les valeurs efficaces des grandeurs déterminées précédemment. 5. L’enroulement 1 est de nouveau en parallèle avec le résistor R . Quel est alors le courant dans chaque fil d’alimentation ? Application numérique. j 12

i1

i1 Z1

u12

Z2

i2

N

v1 i3 v3

Z3

u31

Z23

u 23

v2

j 31

j 23 Z31

i2

v1 v2

Z12

i3 v3

K i0

a)

b) F IG . 2.44.

P2– 17. Mesure de puissance en triphasé Le réseau triphasé de la figure 2.45a alimente, sans fil neutre, sous 230 V de tension efficace de phase, trois récepteurs inductifs identiques montés en étoile. i1

i1

WA Z

u13 i2

WA

WB u23

Z

u13

Z

i2 Z

i3 a)

Z

WB R

u23 i3

Z

b) F IG . 2.45.

1. Exprimer la puissance active totale P et la puissance réactive totale Q , en fonction du facteur de puissance et du module |Z | de l’impédance de chaque dipôle. Application numérique pour |Z | = 80 V et cos w = 0, 5 . Quelle est l’indication de chaque wattmètre ?

2. On ajoute alors un résistor, de résistance R = 100 V entre la phase 2 et la phase 3 (Fig. 2.45b). Déterminer la nouvelle expression de la puissance active totale P  et la puissance réactive totale Q  . Quelles sont alors les indications des deux wattmètres ?

83

Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire P2– 18. Séquence des phases en triphasé

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Sur un réseau triphasé, il est parfois nécessaire de connaître l’ordre successif des phases, lorsque l’on veut fixer le sens de rotation d’un moteur ou que l’on souhaite brancher en parallèle des lignes triphasées. Avec les notations habituelles, on a :       2p 4p 2p et U 3 = U 1 exp −j U1 = U 1 U 2 = U 1 exp −j = U1 exp j 3 3 3 les trois phases passent par leurs valeurs maximales, dans l’ordre chronologique 1, 2, 3 . Les numéros affectés sont arbitraires, car les phases se succèdent indéfiniment avec un déphasage de 2p/3 . Afin de déterminer l’ordre des phases, on branche en étoile, sans neutre, les trois dipôles suivants : un condensateur, de capacité C , et deux lampes, de même résistance R , comme sur la figure 2.46. On observe que l’une des lampes brille plus que l’autre. Déduire du calcul de la puissance dissipée dans chacune des lampes l’ordre des phases, condensateur-lampe brillante-lampe faible ou condensateur-lampe faible-lampe brillante. a

ia R

b

C

ib R

c

ic F IG . 2.46.

3 Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Les oscillations harmoniques, amorties, forcées ont déjà été vues en mécanique à partir de l’exemple concret d’un pendule élastique (cf. Mécanique). Nous nous proposons ici de considérer des oscillations analogues, dans le cadre purement électrique où elles jouent un rôle au moins aussi important. Pour cela, nous commençons par l’oscillateur électrique harmonique, lequel est constitué d’une bobine d’induction et d’un condensateur. Nous étudions ensuite l’influence des phénomènes dissipatifs associés au caractère partiellement résistif des composants. Enfin, nous analysons les oscillations électriques forcées dans un dipôle RLC , excité par une tension sinusoïdale, et donc le phénomène de résonance.

I . — OSCILLATEUR HARMONIQUE EN ÉLECTRICITÉ I . 1 . — Définition Un oscillateur électrique harmonique, ou sinusoïdal, est un système dont l’un des paramètres x(t) , qui est soit l’intensité du courant i(t) dans le circuit soit la tension u(t ) aux bornes de l’un des composants, varie au cours du temps suivant une loi sinusoïdale : x(t) = x m cos(v0t + f) = x m cos(2pf 0t + f) Dans ces expressions, xm , v0 , f0 , f et T 0 = 1/f0 sont des constantes appelées respectivement l’amplitude, la pulsation, la fréquence, la phase à l’origine des temps et la période (Fig. 3.1). x (t)

0

T0

F IG . 3.1.

t

85

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Comme en mécanique, toute l’importance des oscillations harmoniques repose sur la possibilité de représenter une oscillation quelconque par une somme d’oscillations harmoniques de pulsations différentes (cf. annexe 2). I . 2 . — Mise en évidence expérimentale Le circuit électrique fermé de la figure 3.2a est constitué d’un condensateur de capacité C , d’une bobine d’inductance L et d’un conducteur ohmique de résistance R , placés en série. Si le condensateur est initialement chargé, c’est-à-dire si son armature A a une charge q et son armature B une charge opposée −q , on constate qu’il se décharge dans le reste du circuit, de façon oscillante : q varie au cours du temps suivant une loi sinusoïdale amortie. On met en évidence une telle variation en visualisant sur un oscilloscope la tension uC = q/C aux bornes du condensateur. On rend possible cette visualisation en utilisant un générateur de signaux carrés qui reproduit périodiquement l’excitation initiale du condensateur. R

R

i q A −q

Résistance négative

i q A −q

uC L

C

uC C

L

a)

b) F IG . 3.2.

On supprime l’amortissement observé en ajoutant au circuit série RLC une « résistance négative », ce qui permet de compenser le terme résistif (cf. chapitre 8 et 14). Une telle résistance peut être obtenue, par exemple à l’aide d’un composant à résistance dynamique négative comme une diode à effet tunnel ou un tube à décharge. On préfère utiliser aujourd’hui un système actif tel un amplificateur opérationnel comme le montre la figure 3.2b ; conformément à l’usage, la source auxiliaire d’énergie n’a pas été représentée sur le schéma équivalent. On obtient approximativement un oscillateur harmonique électrique dont on peut vérifier l’expression de la période T0 = 2p/v 0 = 2p(LC )1/2 . Ordre de grandeur : dans un circuit électrique typique, où L = 0, 1 H , C = 10 mF , R = 100 V , muni de la résistance négative d’environ −100 V , on trouve : v 0 = 103 rad · s−1

d’où f 0 = 159, 15 Hz

et

T 0 = 6, 28 ms

I . 3 . — Équations différentielles caractéristiques a) Loi des mailles : équation différentielle du second ordre La loi des mailles, appliquée à un tel circuit en régime quasi stationnaire, donne (cf. chapitre 2) : di q = −L − Ri C dt

soit

L

di q + Ri + = 0 C dt

puisque

i=

dq dt

86

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

q étant est la charge de l’armature A du condensateur vers laquelle est orienté le courant d’intensité i . Il en résulte l’équation différentielle canonique, en utilisant la notation habituelle pour toute dérivée par rapport au temps (cf. Mécanique) : q˙ q + + v 20 q = 0 ¨ te

avec

v0 =



1 LC

1/2

et

te =

L R

Ce système électrique est dynamiquement équivalent à l’oscillateur mécanique amorti : la correspondance entre les différentes grandeurs est donnée dans le tableau 3.1. Le rôle de la charge q est tenu par celui de la position x , celui de i par la vitesse v ; dans ce contexte l’inductance L remplace la masse m , la capacité C apparaît à la place de l’inverse 1/K de la raideur, enfin la résistance R se substitue au coefficient d’amortissement a . Électricité Mécanique

q x

i v

L m

C K −1

R a

TAB . 3.1.

L’oscillateur est harmonique, lorsque le terme dissipatif, qui est proportionnel à l’intensité du courant, est nul ou négligeable. L’équation différentielle se réduit alors à :   1/2 d2 q 1 q 2 L 2 + = 0 soit ¨ q + v0 q = 0 où v 0 = dt C LC

est la pulsation propre. La solution d’une telle équation est bien connue (cf. annexe 1). Elle peut prendre les différentes formes suivantes : q(t) = A cos(v0t) + B sin(v 0t) = qm cos(v0 t + f) avec : q m = (A2 + B 2 )1/2

et

tan f = −

B A

Remarque : Il convient de souligner que, pour un tel oscillateur, les conditions initiales n’ont d’influence que sur l’amplitude et la phase et non sur la fréquence. b) Conservation de l’énergie : équation différentielle du premier ordre On passe de l’équation différentielle du second ordre à l’équation du premier ordre correspondante, en multipliant la première par q˙ et en intégrant : ¨ q q˙ + v 20 q q˙ = 0

donne

q˙ 2 q2 + v20 = Cte 2 2

Pour interpréter cette dernière équation, il suffit d’expliciter v20 et ainsi faire apparaître l’énergie électromagnétique du condensateur et de l’inductance, respectivement q2 /(2C) et Lq˙2/2 = Li 2/2 (cf. Électromagnétisme) : Li2 q2 + = Eem 2 2C Ainsi, dans l’oscillateur harmonique électrique, l’énergie électromagnétique se conserve en changeant périodiquement de nature, électrique dans le condensateur puis magnétique dans la bobine, comme l’énergie mécanique d’un pendule simple change périodiquement de nature, potentielle puis cinétique.

87

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Explicitant q(t) , l’énergie électromagnétique de l’oscillateur s’écrit : Eem =

L q˙ 2 q2 Lv20 q2m 2 Cq 2 Lv20q2m sin (v0t + f) + m cos 2(v 0t + f) = + = 2 2C 2 2 2

Ainsi l’énergie Eem de l’oscillateur harmonique est une constante qui est proportionnelle au carré q 2m de l’amplitude. Le graphe de la figure 3.3 montre bien qu’au cours du temps, il y a transformation d’énergie magnétique en énergie électrique et vice-versa. Notons que l’écriture directe de la conservation de l’énergie électromagnétique dans un tel système conservatif permettrait de restituer l’équation différentielle du second ordre en dérivant par rapport au temps et en simplifiant par q˙ , la solution q˙ = 0 ne présentant aucun intérêt. E em q2 2C L2 i2 2 t F IG . 3.3.

II . — OSCILLATEURS AMORTIS PAR UN ÉLÉMENT RÉSISTIF Au cours de la décharge d’un condensateur dans une bobine, on constate généralement que l’amplitude des oscillations de la charge q du condensateur, que l’on visualise par la tension u C = q/C aux bornes du condensateur, n’est pas constante, mais décroît constamment, ce que l’on attribue au caractère partiellement résistif des composants ; s’introduit alors naturellement la tension Ri = R q˙ aux bornes d’un élément résistif équivalent. II . 1 . — Équation différentielle de la décharge du condensateur Rappelons l’équation différentielle canonique de la décharge du condensateur que fournit la loi des mailles : 1 q˙ L ¨+ et te = q + v20 q = 0 avec v 20 = LC R te Le terme d’amortissement étant proportionnel à ˙q , cette équation différentielle est, elle-aussi, linéaire : toute combinaison linéaire de solutions est aussi une solution. II . 2 . — Nature de la décharge En cherchant des solutions de l’équation différentielle en exp(rt) , on trouve l’équation caractéristique du deuxième degré suivante : r + v 20 = 0 r2 + te dont les solutions sont : 1 + v0 r1 = − 2te



1 −1 4v 20t2e

1/2

 1/2 1 1 −v0 et r2 = − −1 2t e 4v20t 2e

88

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

La solution q(t) la plus générale se met donc sous la forme d’une combinaison linéaire des deux solutions exp(r1t) et exp(r2 t) (cf. Mécanique) : q(t) = D1 exp(r1t) + D2 exp(r 2t) Suivant les valeurs du produit sans dimension : Q = v 0t e appelé facteur de qualité, on distingue trois types d’évolution. a) Oscillateur faiblement amorti ( Q > 1/2 ) Lorsque Q > 1/2 , ce qui est le cas le plus fréquent, on a, en introduisant j 2 = −1 : 1 r=− ± jva 2te

où

 1/2 1 v a = v0 1 − 4Q 2

est la pulsation en présence d’amortissement ou pseudo-pulsation. On en déduit : 

 t q(t) = D exp − cos(vat + fa ) 2te On détermine les constantes D et fa à l’aide des conditions initiales sur la charge et sur l’intensité du courant. Supposons qu’à l’instant t = 0 on ait q = 0 et q˙ = i0 ; il vient alors :   1 q(0) = 0 = D cos fa et q˙ (0) = i0 = D −v a sin f a − cos fa 2te car q˙ = D exp [−t/(2t e)] [−va sin(vat + f a) − 1/(2te ) cos(va t + fa)] . Il en résulte :   p i0 i0 t f a = rad D=− et q(t) = exp − sin(vat) 2 2t e va va Remarque : Contrairement à l’exemple mécanique du pendule élastique (cf. Mécanique), ces conditions initiales, q = 0 et q˙ = i0 , sont plus difficiles à réaliser que q = q 0 et q˙ = 0 , mais la solution mathématique est un peu plus simple, d’où notre choix. Sur la figure 3.4a, on a représenté le schéma du dispositif électrique : aux bornes du condensateur, on connecte un générateur d’impulsions ; entre deux impulsions, la tension aux bornes du condensateur et donc sa charge varient bien comme le prévoit la théorie précédente (Fig. 3.4b). L’allure de la courbe q(t) est caractéristique d’un mouvement oscillatoire amorti, de pseudo-période T a :  −1/2 2p 1 Ta = = T0 1 − va 4Q 2 On voit que te est la durée au bout de laquelle l’amplitude de la charge est divisée par e 1/2 ≈ 1, 5 . Comme cette amplitude est pratiquement nulle après quelques valeurs de t e , on dit que te caractérise la durée de vie de ces oscillations amorties et on l’appelle la durée de relaxation en énergie (Fig. 3.4b).

89

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance q(t) i0 exp va

R

C

μ

t − 2te

Q>

1 2

Oscillateur peu amorti

O

L

¶

t μ ¶ i0 t exp − − 2te va

a)

b) F IG . 3.4.

On note aussi que la durée de relaxation de la charge q(t) vaut le double de celle définie ici : t a = 2te . La pseudo-sinusoïde est en contact avec les courbes d’équations :     i0 t i0 t g1(t) = exp − et g 2(t) = − exp − va va 2te 2te qui délimitent la zone au sein de laquelle q(t ) évolue. Déterminons les instants tc pour lesquels q˙ = 0 :    sin(vatc ) i0 tc ˙q(tc ) = + v ) − − exp =0 a cos(v at c va 2t e 2te d’où : tan(v at c) = 2v at e et donc

tc =

1 nTa arctan(2va te ) + 2 va

avec n

entier

Le rapport va/v0 , qui est toujours inférieur à l’unité, est supérieur à 0, 97 pour Q > 2 . Pour Q = 10 , ce qui est une valeur typique d’un oscillateur électrique suffisamment amorti, v a/v0 ≈ 0, 999 . Lorsque Q est très grand, précisément Q  1/2 , on peut utiliser les expressions approchées suivantes :     1 1 va ≈ v 0 1 − et donc T a ≈ T 0 1 + 8Q2 8Q2 L’expression précédente de tc calculée dans les conditions initiales précédentes se réduit alors à : tc ≈

1 p nTa T a nTa + = + 2 4 2 va 2

Remarques : 1) Le choix de te , plutôt que ta = 2t e , revient à privilégier le concept d’énergie d’un oscillateur par rapport à celui d’amplitude ; il est fortement suggéré par la définition de la durée de relaxation introduite dans les oscillateurs en physique moderne. 2) Le facteur de qualité d’un oscillateur harmonique est infini. 3) La lecture du nombre n max de maxima d’oscillation, au-dessus d’un certain seuil, permet d’estimer le facteur Q . En effet, considérant un seuil de 5% de l’amplitude maximale, on a, d’après l’expression de q(t) :   ts Ta 1 exp − = 0, 05 = avec t s = n max Ta + 2te 20 4

90

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Il en résulte :

  1 2te ln 20 1 1/2 ln 20 = va te = 0, 95Q 1 − n max + = 4 4Q2 Ta p

d’où n max ≈ 0, 95 Q − 0, 25 , si Q > 10 , ce qui est souvent le cas.

i) Décrément logarithmique On caractérise aussi la décroissance de l’amplitude d’un oscillateur électrique amorti par son décrément logarithmique L défini comme suit :   q(t) 1 L = ln n q(t + nTa)

q(t) et q(t + nT a) étant les charges du condensateur à des instants séparés par un nombre entier de périodes. On a ainsi :   1 D exp(−t/2te ) cos(v at + f) L = ln n D exp[−(t + nTa )/2te ] cos(va t + fa ) d’où :

L=

Ta 2te

Retenons que L est le rapport de la durée de la pseudo-période du mouvement sur la durée de relaxation en amplitude ta = 2t e . Exemple : la durée de relaxation t e d’un oscillateur électrique, de pseudo-période T a = 1 ms , dont la charge q a une amplitude qui est divisée par quatre au bout de cinq oscillations, est obtenue selon : Ta 1 te = avec L = ln 4 ≈ 0, 28 d’où t e ≈ 1, 8 ms 2L 5 ii) Facteur de qualité et perte d’énergie relative On caractérise souvent l’amortissement de l’oscillateur par le facteur de qualité Q . Montrons que Q est relié à la perte d’énergie relative d’un oscillateur très peu amorti. Il vient, pour Q  1 et donc va ≈ v 0 :   2    2 sin(va t) L ˙q2 q2 L i0 t + = + v 20 sin2 (va t) va cos(va t) − Eem = exp − te 2 2C 2v2a 2te Or, le terme entre accolades vaut pratiquement v2a . Par conséquent :  2     L i0 t t 2 va = Eem(0) exp − Eem ≈ exp − 2v2a te te On en déduit la perte d’énergie relative par unité de temps :

1 d Eem 1 ≈ te E em d t ce qui donne, pendant une durée égale à la pseudo-période T a : −

2p −DE em T a ≈ = Q te E em

et

Q = 2p



Eem −DEem



Ainsi, le facteur de qualité de l’oscillateur fournit une mesure de l’inverse de sa perte d’énergie relative pendant une durée égale à une pseudo-période.

91

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Ordre de grandeur : le facteur de qualité d’un oscillateur électrique, dont le décrément logarithmique est L = 0, 28 , vaut Q = p/L = 11, 2 . b) Oscillateur très amorti ( Q < 1/2 ) Pour Q < 1/2 , la solution de l’équation caractéristique du deuxième degré est :  1/2 1 1 r=− ± b avec b = v 0 −1 2te 4Q 2

La charge se met donc sous la forme :

    t q(t) = exp − D 1 exp(bt) + D 2 exp(−bt) 2te

Avec les mêmes conditions initiales que précédemment, on trouve (Fig. 3.5) :   i0 t sinh(bt) q(t) = exp − b 2te

Notons que la décroissance des courbes sans oscillation est d’autant plus lente que b est grand et donc Q plus petit. q(t)

q(t) 1 Q>

1 2 Cas critique

2 Oscillateur très amorti

O

t F IG . 3.5.

Q=

O

t F IG . 3.6.

c) Amortissement critique ( Q = 1/2 ) Lorsque Q = v 0 te = 1/2 , l’équation caractéristique du deuxième degré admet une racine double r = −1/(2te ) ; D 1 exp[−t/(2te )] est une première solution de l’équation différentielle. Cependant q(t) = D2t exp[−t /(2t e )] est aussi une solution, puisqu’en injectant cette expression dans le premier ˙ e + v 20q = 0 , on trouve bien : membre de l’équation différentielle canonique ¨ q + q/t         1 1 1 t t t 2 1− D 2 exp − + 1− + + v0 = 0 − − 2te 2te 2t e 2te 2te te Il en résulte que q(t ) , qui est une combinaison linéaire des deux solutions, se met sous la forme suivante, pour Q = 1/2 :   t (D1 + D 2t) q(t) = exp − 2te Dans les mêmes conditions initiales que précédemment, on trouve (Fig. 3.6) :   t q(t) = i 0 t exp − 2te

92

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

L’amortissement est qualifié de critique, car il définit la frontière des deux cas précédents. Dans la pratique, on règle souvent l’amortissement près de sa valeur critique afin que la décharge soit la plus rapide possible. II . 3 . — Diagramme de phase Par analogie avec l’espace des phases en mécanique, l’espace des phases ou l’espace des états d’un oscillateur électrique est le plan cartésien ( q, q˙ ) dans lequel q désigne la charge du condensateur (cf. Mécanique). a) Oscillateur harmonique dans l’espace des phases D’après l’équation de conservation de l’énergie électromagnétique, on a (Fig. 3.7) :  1/2 2 E em q2 Li2 q 2 q˙ 2 1/2 = Eem = Cte soit = 1 avec a = (2C E em) et b = + + 2C 2 a2 b2 L

Dans l’espace des phases bidimensionnel, le point représentatif de l’oscillateur harmonique décrit donc une trajectoire elliptique. v 20 Amortissement faible

q˙

Amortissement critique (parabole)

b O

a

q 0

F IG . 3.7.

Amortissement fort 1/t e F IG . 3.8.

b) Oscillateur amorti dans l’espace des phases On a vu que, lorsque l’oscillateur était amorti par un résistor, la résolution de l’équation caractéristique du deuxième degré donnait les solutions suivantes :  1/2 1 1 2 ± − v0 r=− 2te 4t2e On répertorie parfois les différents cas dans le plan cartésien ( 1/te , v 20 ) (Fig. 3.8) ; comme 1/t e et v20 sont positifs, seul le premier quadrant convient ; dans ce plan, la courbe donnant v20 en fonction de 1/te , à l’amortissement critique, est une parabole puisque :   1 1 2 2 v0 = 2 = 4te 2te Sur l’axe des ordonnées, pour lequel l’amortissement est nul, on retrouve le cas harmonique : r = ±jv 0 . Les points situés entre l’axe des ordonnées et la parabole correspondent à des oscillateurs faiblement amortis. Ceux qui sont situés au-dessous de la parabole représentent les oscillateurs fortement amortis. ˙ . C’est Il est instructif de représenter la courbe des points figuratifs dans l’espace des phases (q, q) une spirale convergente, lorsque l’amortissement est faible (Fig. 3.9a) ; si l’amortissement est fort, la spirale se réduit à un nœud (Fig. 3.9b), lequel est qualifié de critique pour Q = v0 t e = 1/2 .

93

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance q˙

Q>

O

q˙

1 2

Q
0 et w < 0 : R est sa partie réelle et Lv − 1/(C v) sa partie imaginaire.

jLv

1 jCv

jLv R w |Z |

|Z | w R a)

b) F IG . 3.12.

1 jCv

97

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance b) Admittance électrique du circuit RLC L’admittance est l’inverse de l’impédance : Y=

1 1 = Z R[1 + jQ(x − 1/x)]

On en déduit le module et sa phase, respectivement l’inverse et l’opposée de ceux de l’impédance :   1 1 Y = |Y | exp(−jw) avec |Y | =  1/2 et − w = arctan Q x − x 2 2 R 1 + Q (x − 1/x) c) Résonance

Sur la figure 3.13, on a représenté |Y | et −w en fonction de x pour une valeur déterminée de Q . On voit que, pour x = 1 , c’est-à-dire pour une pulsation de l’excitation égale à la pulsation propre du système, le module de l’admittance passe par un maximum |Y |max , qui vaut 1/R ; l’intensité du courant est alors en phase avec l’excitation. |Y (x)|

|Y|max

p/2

|Y| max√2 0

0

x1 1 x2 a)

x=

v v0

−w(x) 1

x=

v v0

− p/2 b)

F IG . 3.13.

On appelle résonance le phénomène physique d’amplification que l’on constate lorsqu’il y a égalité de la fréquence de la tension excitatrice et de la fréquence propre du circuit oscillant : v = v0

ou f = f 0

On estime l’importance de la résonance par la finesse du pic représentant le graphe |Y (x)| . Pour cela, on calcule les valeurs de x pour lesquelles, conventionnellement : |Y | =

|Y |max √ 2

ce qui correspond à un rapport des puissances associées égal à 1/2 , comme nous le justifierons plus loin. Il en résulte :   1 2 1 ε 2 = 1 soit x − = avec ε = ±1 Q x− x x Q On doit alors résoudre l’équation du deuxième degré x 2 − εx/Q − 1 = 0 , dont les racines positives sont : 1/2 1/2 1 1  1 1  x1 = − + + 1 + 4Q 2 et x2 = 1 + 4Q 2 2Q 2Q 2Q 2Q

98

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Par conséquent, x2 − x 1 = 1/Q . En posant Dv1/2 = v2 − v1 = (x 2 − x 1) v 0 , on trouve : Q=

v0 Dv1/2

ou Q =

f0 Df1/2

en fonction de la fréquence. Ainsi, le facteur de qualité Q s’identifie au rapport de la pulsation propre v0 sur la largeur spectrale Dv1/2 du pic de l’admittance généralisée à la résonance. Lorsque Q est grand, c’est-à-dire Dv 1/2 faible devant v0 , la résonance est qualifiée d’aiguë. Dans des systèmes oscillants électromagnétiques comportant un quartz piézoélectrique, Q peut atteindre des valeurs de l’ordre de 10 6 (cf. chapitre 14). Au contraire, si Q est faible, la résonance est dite floue. Notons que le module de l’impédance |Z | passe, lui, par un minimum pour v = v 0 , quelle que soit la résistance R (Fig. 3.14a). À la résonance, l’impédance que présente l’oscillateur au milieu excitateur est minimale et vaut R . Évidemment, la finesse de l’effondrement de l’impédance est la même que celle de l’exaltation de l’admittance. Sur la figure 3.14b, on a représenté la phase w de l’impédance Z . w

|Z |

0 R 0

x=

1 a)

1

x=

v v0

v v0 b)

F IG . 3.14.

Remarques : 1) On aura probablement compris que la notation Dv 1/2 a été choisie pour rappeler que √ le rapport des puissances, qui correspond au rapport 1/ 2 des admittances, est 1/2 . 2) Le choix de privilégier l’admittance et non l’impédance a été motivé par le souci d’une définition de la résonance qui implique l’exaltation d’une grandeur plutôt que son effondrement, conformément à l’idée intuitive que l’on se fait de ce phénomène.

IV . — AMPLITUDE DE L’ENTRÉE INDÉPENDANTE DE LA PULSATION Supposons que l’amplitude de l’excitation, en entrée, soit indépendante de la pulsation v , ce qui est fréquemment réalisé ; c’est le cas d’un dipôle électrique aux bornes duquel un générateur maintient une tension sinusoïdale e(t) dont l’amplitude em est indépendante de v . IV . 1 . — Intensité du courant au voisinage de la résonance a) Amplitude de l’intensité. Résonance d’intensité L’amplitude de l’intensité du courant s’écrit, en fonction de x et Q : im = 

Qam /v0 1 + Q2 (x − 1/x) 2

avec am = e m /L , t e = L /R et Q = v0 te .

1/2 =

em  1/2 R 1 + Q 2 (x − 1/x)2

99

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Ainsi pour x = 1 , i m est maximal et vaut i m,max = em /R (Fig. 3.15a). Comme l’admittance, l’amplitude de l’intensité du courant passe par un maximum im,max , pour v = v 0 , quelle que soit la résistance R et donc Q . Il en résulte qu’un moyen d’analyser le phénomène de résonance est d’étudier la variation de l’intensité du circuit considéré en fonction de la pulsation excitatrice v : on dit qu’il y a résonance d’intensité. Cette variation de l’intensité du courant en fonction de la fréquence peut être mise en évidence à l’aide de l’expérience initiale. Il suffit de considérer la tension Ri(t ) aux bornes du résistor. On constate bien que l’amplitude de l’intensité du courant est maximale pour v = v 0, quelle que soit la résistance. em /R 1

im

fi − fe = −w p/2 0

e m /R 2 1

x=

v v0

x=

1

v v0

− p/2 b)

a) F IG . 3.15.

La finesse du pic d’intensité est la même que celle de l’admittance : Q=

v0 Dv1/2

ce qui s’écrit

Dv1/2 t e = 1

puisque

Q = v 0 te

b) Phase de l’intensité On obtient directement la différence de phase entre l’intensité du courant et la tension excitatrice à partir de w , puisque : fi − fe = −w Ainsi, l’intensité du courant et la tension excitatrice sont en phase à la résonance. Lorsque x varie de 0 jusqu’à l’infini, la différence de phase passe de p/2 à −p/2 (Fig. 3.15b). Si la résistance est nulle, l’amplitude de l’intensité du courant devient infinie ; la phase, elle, vaut alors p/2 pour v < v0 et −p/2 pour v > v 0 .

Remarques : 1) Du point de vue de la théorie du filtrage spectral d’une excitation par un système, on peut dire que le circuit se comporte comme un filtre passe-bande, puisqu’il transmet l’excitation avec une efficacité maximale, lorsque celle-ci a une pulsation égale à sa pulsation propre (cf. chapitre 6). 2) La condition w = 0 permet de déterminer expérimentalement la fréquence de résonance, avec une meilleure précision qu’en recherchant le maximum de l’admittance. En effet, en mode Lissajous sur un oscilloscope, la tension aux bornes de la résistance, qui est proportionnelle à l’intensité du courant, et la tension aux bornes du GBF donnent une ellipse qui se réduit à un segment de droite à la résonance. Sur le plan pratique, il faut noter la contrainte sur la masse, car cette dernière doit être évidemment commune afin d’éviter de court-circuiter le GBF (Fig. 3.16a).

100

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Voie X

Voie X L

L

C

e(t) ∼

e (t ) ∼

R

R C Voie Y

Voie Y uC

a)

F IG . 3.16.

b)

IV . 2 . — Tension aux bornes du condensateur et charge au voisinage de la résonance a) Amplitude de la tension et charge La charge du condensateur étant directement reliée à la tension à ses bornes par q(t) = Cu C (t) , il suffit d’étudier l’évolution de l’une des deux grandeurs, par exemple la tension lorsqu’on veut visualiser le phénomène sur l’écran d’un oscilloscope (Fig. 3.16b). L’amplitude réelle q m de la charge du condensateur, s’écrit, en fonction de x et Q : qm =

Qam/v 20 x [1 + Q2(x −

1/2 1/x)2 ]

soit

qm =

CQem [x 2 + Q2 (x2 − 1) 2]

1/2

puisque am = em /L et LCv 20 = 1 . Pour analyser la variation de qm , étudions la fonction suivante qui a la signification d’un facteur de transmission : 1 f (x) = 2 2 [x + Q (x2 − 1)2] 1/2 Il vient, en dérivant :  1/2 df 1 + 2Q2 (x2 − 1) 1 ce qui s’annule pour x = 0 et x = xm = 1 − = −x 2 dx 2Q2 [x + Q2 (x2 − 1)2] 3/2

Ainsi, l’amplitude réelle de la tension u C,m = q C,m/C vaut em lorsque x = 0 , Qe m si x = 1 et s’annule pour x infini. Deux cas se présentent : √ i) Si Q < 1/ 2 ≈ 0, 7 , ce qui arrive rarement, l’amplitude de u C,m est maximale pour x = 0 , puis décroît lorsque x augmente. Pour x = 1 , uC,m = Q em < e m . √ ii) Si Q > 1/ 2 , ce qui est souvent le cas, uC,m passe par un maximum pour x = xm < 1 , c’est-à-dire pour une pulsation vm inférieure à la pulsation amortie va et donc à la pulsation propre v0 , puisque :     1 1/2 1 1/2 et v a = v0 1 − vm < va < v0 avec vm = v 0 1 − 2 2Q 4Q2 Notons que xm ≈ 1 lorsque Q  1 (Fig. 3.17a). Précisément, pour Q = 5 on a vm /v0 = 0, 99 . On met en évidence expérimentalement ce maximum à l’aide du montage de la figure 3.16b : en faisant varier la pulsation du générateur électrique, on observe aisément, pour une résistance faible, une forte augmentation de la valeur maximale uC,m de la tension aux bornes du condensateur. À la résonance ( v = v 0 ), la tension précédente vaut Q e m , précisément Q fois la valeur de em , d’où le nom de facteur de surtension souvent donné à Q .

101

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

Soulignons que, contrairement à l’admittance et à l’amplitude de l’intensité du courant, l’amplitude √ de la charge qm ne passe par un maximum que si Q > 1/ 2 , et qu’en outre ce maximum, lorsqu’il existe, ne se produit pas rigoureusement pour v = v0 . C’est pour cette raison que nous avons évité de parler de résonance à propos de la charge ou de la tension aux bornes du condensateur. Remarques : 1) Évidemment, dans le cas limite où il n’y a pas de résistance, l’amplitude u C,m de la tension devient infinie pour v = v0 . 2) La forte surtension précédente n’est pas incompatible avec la nature passive du dipôle RLC , car cette amplification, supérieure à l’unité, concerne la tension et non la puissance. uC,m

fu − fe = w − p/2

Qe m 0

Q

em 0

1

x=

v v0

− p/2 Q' < Q

x=

1

v v0

a)

−p b)

F IG . 3.17.

b) Phase de la charge ou de la tension Concernant la différence de phase f u − fe , entre la tension aux bornes du condensateur et l’intensité du courant dans le circuit, on l’obtient immédiatement en retranchant p/2 rad à la différence de phase fi − fe : p fu − f e = −w − 2 Cette différence de phase varie donc entre 0 et −p rad , lorsque x passe de 0 à l’infini. Ainsi la tension et la charge du condensateur sont toujours en retard sur l’excitateur, et ce retard vaut p/2 rad à la résonance (Fig. 3.17b). Lorsque la résistance est nulle, le maximum est infini et se produit pour v = v 0 ; la phase vaut alors 0 si v < v0 et −p rad si v > v 0 . Remarques : 1) Ici aussi, du point de vue de la théorie du filtrage spectral d’une excitation par un système, le circuit RLC se présente comme un filtre passe-bande (cf. chapitre 6). Cependant, pour la tension, le filtrage peut être moins efficace si la résistance est trop grande. √ Par exemple, si Q < 1/ 2 , il n’y a pas de maximum dans le voisinage de la pulsation propre ; c’est alors un filtre passe-bas. 2) On pourrait s’intéresser aussi à la tension aux bornes de la bobine, mais l’analyse reste formelle, car la résistance de la bobine n’est pas négligeable. Théoriquement, cette tension s’écrit : x uL,m = jLv im = jQem 1 + jQ (x − 1/x) On voit qu’elle est en avance de phase de p/2 rad par rapport à l’intensité ; en outre, l’allure du graphe de son module, en fonction de x , ressemble à celle de la tension u C,m , mais les comportements aux faibles et aux fortes pulsations sont permutés.

102

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

IV . 3 . — Analyse énergétique a) Puissance électrique reçue par le circuit À chaque instant, la puissance électrique P(t ) reçue par le circuit oscillant, de la part du générateur, par l’intermédiaire du terme e m cos(vt + fe) , a pour expression (cf. chapitre 2) : P(t) = e(t)i(t) = e m cos(vt + f e) i m cos(vt + f i ) =

 e 2m  cos(2vt + fe + f i ) + cos w 2|Z |

puisque im = e m /|Z | . La puissance varie donc sinusoïdalement avec le temps autour de la valeur moyenne P suivante : u2 u2 i2 P = m cos w = R m 2 = R m 2|Z | 2|Z | 2 d’après la relation cos w = R/|Z |, ce que l’on établit aisément à l’aide de la représentation de Fresnel de l’impédance (Fig. 3.12). En remplaçant i m par son expression, on trouve : P=

1 e2m 2 2R 1 + Q (x − 1/x) 2

Cette puissance moyenne reçue par l’oscillateur sert à compenser la variation de la puissance du circuit, en raison de l’effet Joule ; en effet, en moyenne, cette variation a pour expression : Ri 2m 2

PJ = −Ri 2(t) = −Ri 2m cos2(vt + fi ) √ Elle s’écrit aussi, en introduisant l’intensité efficace Ief = im / 2 (cf. chapitre 2) : PJ = −

puisque

P J = −R

i2m = −RI ef2 2

b) Variation de la puissance électrique reçue par l’oscillateur en fonction de la pulsation Étudions, en fonction de x = v/v 0 = f /f0, pulsation ou fréquence réduites, l’expression de la puissance moyenne P transférée au circuit oscillant par la tension excitatrice. Cette puissance s’annule pour les valeurs extrêmes de x et passe par un maximum lorsque x = 1 (Fig. 3.18a) : P=

Pmax

2

1 + Q 2 (x − 1/x)

avec P max =

e2m 2R

Si l’on représente cette puissance moyenne en fonction, non de x , mais de X = lg x , on obtient une courbe symétrique (Fig. 3.18b) d’équation : P=



P max

1 + Q2 10X − 10 (−X )

2

On voit que le transfert de la puissance moyenne de l’excitateur vers l’oscillateur est maximal à la résonance. Du point de vue énergétique, la résonance est définie, dans ce cas, par le transfert maximal d’énergie moyenne entre l’excitateur et l’oscillateur. La largeur spectrale du pic de résonance en énergie s’obtient directement à partir de celle de l’intensité ; rappelons que cette largeur, définie par les pulsations pour lesquelles cette puissance est égale à la moitié, est telle que : Dv1/2 1 = v0 Q

ce qui s’écrit aussi

Dv1/2 t e = 1

103

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance P /Pm

P /P

1

0

x=

1

v v0

x = lg x

0

a)

m

b) F IG . 3.18.

Remarque : Pour observer, avec le montage initial de la figure 3.16a, le pic de puissance transférée en moyenne à l’oscillateur, une méthode consiste à multiplier le signal d’excitation par le signal aux bornes de la résistance, à l’aide d’un multiplieur, et à filtrer le produit en ne laissant passer que le terme stationnaire, lequel est proportionnel à P . IV . 4 . — Applications a) Réception d’un signal radio La surtension observée aux bornes d’un condensateur est utilisée dans la réception des signaux électromagnétiques des postes radio, afin de sélectionner la fréquence d’une onde porteuse déterminée (cf. chapitre 16). Le circuit se présente comme sur la figure 3.19a : la tension excitatrice est celle induite par une antenne, laquelle est représentée par e(t) dans le circuit équivalent de la figure 3.19b. Antenne

R L L

C

Radio récepteur

C

Radio récepteur HP

a)

HP

e (t ) b)

F IG . 3.19.

À la résonance, lorsqu’il y a égalité des fréquences ou syntonie, la tension aux bornes du condensateur, qui est connecté à l’entrée du radio-récepteur, a une amplitude sensiblement égale à Q fois la tension induite par l’antenne. En modifiant l’un des paramètres du circuit oscillant, par exemple l’inductance, à l’aide d’un noyau de fer doux que l’on introduit dans l’enroulement cylindrique (cf. Électromagnétisme), ou la capacité, en faisant varier la surface de ses armatures, on sélectionne la fréquence de la porteuse choisie. b) Circuit bouchon résonnant Un simple diviseur de tension constitué d’un résistor, de résistance R 1 , et d’un ensemble RLC placé en série, permet de réaliser le blocage de l’une des fréquences que contient le signal d’entrée non sinusoïdal (Fig. 3.20). Pour l’une des composantes sinusoïdales e(t) du signal d’entrée, la tension

104

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

sinusoïdale de sortie us(t) , aux bornes du circuit résonnant RLC , a pour expression :   Z 1 us (t) = e(t) avec Z = R + j Lv − Z + R1 Cv En choisissant les valeurs L et C telles que la pulsation v1 soit pulsation propre du circuit, on obtient, puisqu’alors LCv21 = 1 : R us(t) = e(t) R + R1 Ainsi, pour R1 = 990 V et R = 10 V , la tension u s(t) ne représente que 1% du signal d’entrée. En revanche, les autres fréquences seront transmises, pratiquement sans altération, pourvu que le facteur de qualité Q soit suffisamment élevé. R1 L

us (t)

e (t ) R C F IG . 3.20.

V . — CIRCUIT RÉSONNANT PARALLÈLE Le circuit résonnant parallèle RLC est formé d’un ensemble bobine-résistor (inductance L et résistance totale R ), en parallèle avec un condensateur de capacité C . Le générateur impose à ses bornes la tension d’excitation, comme le montre la figure 3.21a : le résistor auxiliaire, de résistance R a , permet de maîtriser l’intensité i du courant que débite le générateur. i i1

e

|Z |

L M

Ra

Q2 R

C

q1

R 1 b)

a)

x

F IG . 3.21.

V . 1 . — Équation différentielle du circuit Désignons par i 1 l’intensité du courant dans la branche comportant le condensateur et par i celle où est connecté le générateur ; l’intensité du courant qui traverse la bobine est donc i − i1 . Il vient, en

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

105

appliquant la loi des mailles au circuit RLC (cf. chapitre 2) : q1 d(i − i1) = R(i − i 1) + L dt C

soit

L

q d i1 di + Ri1 + 1 = Ri + L dt dt C

Comme i1 = d q1 / d t , on trouve, en introduisant te = L /R et v20 = 1/(LC ) : q1 + ¨

di i ˙q1 + v20 q1 = + te d t te

avec i(t ) = i m cos(vt + fi )

L’équation différentielle à laquelle satisfait la charge q1 du condensateur est donc de la même forme que dans un circuit résonnant série ; seule l’excitation fait apparaître une somme de deux termes directement reliés à i . La solution établie qui s’impose, du fait du terme d’amortissement, s’obtient alors en injectant une solution de la forme : ˙q di i q (t) = q 1,m exp j(vt + fq) dans l’équation ¨ q + 1 + v20 q = + 1 1 1 d t te te V . 2 . — Impédance du circuit résonnant parallèle Calculons l’impédance qu’offre le circuit résonnant parallèle RLC au générateur. Elle s’obtient aisément selon : 1 Z 1Z2 avec Z1 = et Z2 = R + jLv Z= Z 1 + Z2 jCv d’où : Z=

1 + jQx R + jLv = R 1 − LCv 2 + jRCv 1 − x2 + jx/Q

en fonction de R , x = v/v0 et Q = Lv0/R = 1/(RCv 0 ) . On en déduit le carré du module de Z : |Z |2 = R 2

1 + Q 2 x2 (1 − x 2)2 + x 2/Q 2

Cherchons les maxima ou minima de |Z |2 , lorsque la fréquence réduite x varie. Il vient : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d |Z | 2 2 [(1 − x ) + x /Q ]Q − (1 + Q x )(1/Q − 2(1 − x ) = 2xR =0 dx [(1 − x 2 )2 + x 2/Q2 ]2 d’où, en effectuant : 1 1 Q2(1 − 2x 2 + x 4) + x2 − 2 − x 2 + 2 + 2Q2x 2 − 2x 2 − 2Q2 x4 = −Q 2x 4 − 2x 2 + 2 + Q2 − 2 = 0 Q Q

On doit donc résoudre l’équation du deuxième degré suivante en x2 : x4 + dont les solutions sont : 1 x =− 2 ± Q 2



2 2 2 1 x −1− 2 + 4 =0 2 Q Q Q

1 2 1 +1+ 2 − 4 Q4 Q Q

1/2

 1/2 1 2 =− 2 ± 1+ 2 Q Q

Comme x2  1 , ces dernières n’existent que si :  1/2 2 1  2 1+ 2 Q Q

soit Q 4 + 2Q 2 − 1  0

106

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

ce qui implique Q2  Q 21 ou Q2  Q 22 Q 21 et Q22 étant les deux racines en Q2 de l’équation du deuxième degré précédente. La seule solution √ acceptable étant Q 22 = −1 + 2, la condition pour laquelle l’impédance passe par un minimum ou un maximum est : √ Q 2  2 − 1 soit Q 2  0, 64 En général Q2  1 ; aussi développe-t-on (1 + 2/Q 2) n = 1 + nx + n(n − 1)x 2 /2 avec n = 1/2 . Il vient :  1/2   1 2 1 1 1 1 2 =1− x =− 2 + 1+ 2 ≈− 2 + 1+ 2 − 4 2Q 2Q4 Q Q Q Q Comme le module |Z | de l’impédance varie entre R et 0 , lorsque la fréquence passe progressivement de 0 à ∞ , l’extrémum est un maximum, qui se produit pour : v x= ≈ v0



1 1− 2Q4

1/2

≈1

Pour x ≈ 1, l’expression de l’impédance se réduit à : Z≈R

1 + jQ jQ ≈R = Q2R d’où j/Q j/Q

|Zmax | ≈ Q2R

Sur la figure 3.21b, on a représenté la variation du module de l’impédance, en fonction de x , pour Q = 20 :  1/2 1 + Q 2x 2 |Z | = R (1 − x2 )2 + x2/Q2 Notons que, pour x = 1 et Q 2  1 : Z1 =

1 1 = −jLv0 = jCv jCv0

et

Z2 = R + jLv = R + jLv 0 ≈ jLv0

Les deux impédances Z1 et Z 2 sont donc en opposition de phase. Il en résulte que les intensités i 1 et i2 des courants dans les branches le sont aussi ; |Z | devient alors très grand. Ordre de grandeur : pour R = 10 V , C = 1 mF et L = 40 mH , on trouve : v0 =



1 LC

 1/2

= 5 000 rad · s−1

f0 = 796 Hz

Q=

Lv0 = 20 R

et

|Z max | = 4 kV

V . 3 . — Circuit bouchon. Antirésonance Lorsque l’excitation est constituée d’un générateur de tension, qui maintient à ses bornes une f.e.m sinusoïdale, de la forme e(t ) = em cos(vt + f e ) , l’intensité i(t) du courant débité par le générateur, que l’on mesure à l’aide de la tension aux bornes de Ra , passe par un minimum pour v ≈ v 0 .

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

107

Aussi un tel circuit est-il appelé circuit bouchon ou circuit antirésonnant . L’amplitude i m de l’intensité de ce courant minimal vaut alors : em im,min = 2 Q R + Ra Ordre de grandeur : pour em = 5 V , |Zmax | = Q 2R = 8 kV et Ra = 100 V , im,min vaut 0, 62 mA . V . 4 . — Excitation par une source de courant On peut exciter le circuit par une source de courant, laquelle fournit un courant d’intensité déterminée i(t) = im cos(vt + fi ) . On réalise aisément une telle source de courant à l’aide d’un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8). L’amplitude um de la tension aux bornes du condensateur du circuit parallèle, qui vaut Z im , passe alors par un maximum u m,max , lorsque l’impédance offerte par le circuit est maximale, c’est-à-dire pour v ≈ v0 . Ordre de grandeur : pour im = 1, 5 mA et |Zmax | = 8 kV , u m,max = Zim = 12 V .

CONCLUSION Énumérons les points essentiels. 1) Lors de la décharge d’un condensateur dans une bobine, l’intensité du courant, la tension aux bornes du condensateur et sa charge oscillent avec une pulsation v 0 qui ne dépend que des caractéristiques de l’oscillateur, la capacité du condensateur et l’inductance de la bobine : v0 = (LC)−1/2

f0 =

1 2p(LC)1/2

et

T0 = 2p(LC ) 1/2

2) Le caractère partiellement ohmique des composants est à l’origine de l’amortissement de l’amplitude des oscillations, selon une décroissance exponentielle, et modifie la valeur de la pulsation : on peut caractériser cet amortissement soit par la durée de relaxation en énergie t e , soit par le décrément logarithmique L , soit par le facteur de qualité Q :  1/2 L Ta Lv0 p 1 = te = avec v a = v0 1 − et Q = v0 te = L= 2 2 v ate 2te 4v0t e R R 3) L’équation linéaire : q˙ ¨ + v20 q = 0 q+ te caractérise la variation de la charge d’un condensateur dans un circuit électrique RLC série, en régime quasi stationnaire ; elle détermine l’évolution temporelle de la tension u C(t) aux bornes du condensateur, puisque q = CuC . En raison de la linéarité, ces oscillateurs satisfont à des équations simples et leur évolution est prévisible. 4) Lorsqu’une tension sinusoïdale est appliquée aux bornes du circuit RLC , la charge satisfait à l’équation d’évolution suivante : q˙ ¨ q+ + v20 q = a m cos(vt + fe) te L’excitation impose sa fréquence en raison de la dissipation par effet Joule dans les conducteurs ohmiques. Pour déterminer l’amplitude et la phase de l’oscillateur, il suffit de chercher une solution particulière de cette équation, sinusoïdale et de même pulsation que celle de l’excitation. 5) Lorsque la pulsation de l’excitateur est égale à celle de l’oscillateur, on constate que le module de l’admittance est maximal, ou que le module de l’impédance complexe est minimal. C’est la résonance.

108

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance Pour une amplitude de l’excitation indépendante de la pulsation, on observe, à la résonance : i) un maximum de l’amplitude de l’intensité du courant, ii) une puissance moyenne transférée de l’excitateur vers le circuit qui, elle aussi, est maximale,

iii) une amplitude de la charge du condensateur proche de sa valeur maximale, laquelle n’existe √ que pour des systèmes peu amortis ( Q > 1/ 2) . 6) Avec un circuit résonnant parallèle, les résultats sont inversés. Enfin, la résonance en électricité peut être un avantage, lorsqu’on veut augmenter la sensibilité d’un circuit, comme lors de la réception de signaux hertziens ; le circuit se comporte alors comme un filtre passe-bande (cf. chapitre 6).

EXERCICES ET PROBLÈMES P3– 1. Diagrammes de l’impédance et de l’admittance d’un circuit RLC Un générateur maintient, aux bornes d’un circuit série RLC , une tension sinusoïdale, de pulsation v . Ses caractéristiques sont les suivantes : R = 100 V , L = 25 mH et C = 33 nF . 1. Déterminer la fréquence propre de ce circuit, la durée de relaxation en énergie t e , le facteur de qualité et la fréquence des oscillations amorties. 2. a) Rappeler l’expression de l’impédance Z du circuit. Calculer le module de Z ainsi que son argument w pour une fréquence de 5 kHz . b) Représenter géométriquement Z , dans le plan complexe. Quelle est la courbe décrite par l’extrémité I du vecteur OI , associé à l’impédance complexe Z , lorsque v varie de 0 à l’infini ? 3. a) Rappeler l’expression de l’admittance Y du circuit. Calculer son module, ainsi que son argument, pour une fréquence de 5 kHz . b) Représenter géométriquement Y dans le plan complexe. Quelle est la courbe décrite par l’extrémité A du vecteur OA , associé à l’admittance complexe Y , lorsque v varie de 0 à l’infini ? P3– 2. Modèles série et parallèle d’une bobine

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On schématise une bobine d’induction par les deux modèles représentés sur la figure 3.22. 1. Donner les expressions de l’admittance de la bobine dans les deux modèles. En déduire, en régime sinusoïdal, de pulsation v , la relation donnant R et L  en fonction de R , L et v . 2. Que deviennent ces expressions si Lv/R  1 ? Sachant que R = 5 V , L = 25 mH , calculer R et L  pour les deux valeurs suivantes de la fréquence : f = 100 Hz et f = 10 kHz . Commenter. 

L

L R

R F IG . 3.22.

109

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance P3– 3. Facteur de qualité d’une bobine en forme de solénoïde

Une bobine est constituée de 500 spires, en fil de cuivre enroulé autour d’un mandrin cylindrique, de rayon r = 3 cm et de longueur l = 10 cm . Le champ magnétique qu’elle produit, en son intérieur, est celui d’un solénoïde infini. On donne le diamètre du fil et on rappelle la conductivité du cuivre, respectivement : D = 1 mm et g = 5, 8 × 10 7 S · m−1 . 1. Calculer l’inductance L et la résistance R de la bobine. 2. La bobine forme avec un condensateur, de capacité C = 0, 5 mF , un circuit oscillant. Quel est le facteur de qualité du circuit ? P3– 4. Décharge d’un condensateur à travers une bobine Sur la figure 3.23, le condensateur, de capacité C = 0, 3 mF , est d’abord chargé à travers un résistor (résistance R = 8 V ) par une source de tension stationnaire. Il se décharge ensuite dans une bobine, d’inductance L = 50 mH et de résistance r = 5 V . 1. L’interrupteur est en position 1 a) Établir l’équation différentielle à laquelle satisfait la tension u(t) aux bornes du condensateur. En déduire la loi d’évolution u(t) et calculer la constante de temps t du circuit. b) Représenter graphiquement u(t ) avec soin. Au bout de quelle durée la charge du condensateur diffère-t-elle de sa charge limite de 0, 01% ? 2. L’interrupteur est en position 2 a) La charge du condensateur étant considérée comme achevée, on bascule l’interrupteur dans la position 2. Établir l’équation différentielle à laquelle satisfait la tension u(t ) . En déduire les caractéristiques de cet oscillateur, c’est-à-dire la fréquence propre f0 et la durée de relaxation en énergie t e . b) Quel est le régime de la décharge du condensateur dans la bobine ? Exprimer u(t ) , sachant qu’en début de décharge la tension vaut U 0 . Calculer la valeur de la pseudo-fréquence fa du phénomène. c) Au bout de quelle durée l’amplitude des oscillations est-elle divisée par 10 ? Comparer cette durée à la pseudo-période Ta . 1

R

2 K L

E

C

u(t) r

F IG . 3.23.

P3– 5. Résonance d’intensité Un condensateur (capacité C = 0, 22 mF ) et une bobine (inductance L = 150 mH et résistance √r = 15 V ) sont connectés en série aux bornes d’un générateur, de force électromotrice e(t) = E 2 cos(vt) avec E = 2 V et d’impédance interne négligeable.

110

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance

1. Donner, en la justifiant, l’expression de l’intensité du courant, en régime sinusoïdal établi. En déduire l’intensité efficace I , en fonction de E , L , r C et v . Tracer l’allure du graphe I(v) et déterminer la valeur maximale Imax de I lorsque la fréquence varie, ainsi que la fréquence correspondante. 2. Exprimer la tangente de l’angle du retard de la phase w de i(t) par rapport à e(t) , en fonction de L , r , C et v . Calculer w pour les valeurs suivantes de la pulsation :     1 1 v = v0 v 1 = v0 1 − et v2 = v 0 1 + 2Q 2Q P3– 6. Q-mètre

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Le Q -mètre est un appareil qui permet de mesurer le facteur de qualité Q d’une bobine, d’inductance L et de résistance R . Il est constitué d’un générateur sinusoïdal, dont la haute fréquence f est connue, d’un condensateur dont la capacité C est variable et d’un voltmètre d’impédance infinie connecté aux bornes du condensateur (Fig. 3.24). Les pertes du condensateur sont négligeables. 1. On place la bobine entre les bornes A et B , et on ajuste la capacité pour obtenir la valeur maximale de la tension efficace U , aux bornes du condensateur, lue sur le voltmètre. On constate que ce maximum varie beaucoup, lorsque l’on fait varier légèrement C . Calculer l’inductance, sachant que f = 20 MHz et C = 76 pF . 2. En modifiant la valeur de la capacité C de 2 pF , on constate que la tension U est réduite au cinquième de sa valeur maximale ; en déduire la valeur de R ainsi que celle de Q . A L e (t ) ∼ C

R B

u V F IG . 3.24.

P3– 7. Condensateur de syntonisation

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Dans un récepteur audio, la sélection de l’onde porteuse sinusoïdale (cf. chapitre 16) est réalisée à l’aide d’un circuit résonnant série, dans lequel la capacité C du condensateur peut varier entre les valeurs extrêmes suivantes : Cm = 25 pF et CM = 400 pF . L’inductance de la bobine vaut L = 20 mH et sa résistance est r = 20 V . 1. Calculer la bande spectrale sur laquelle le circuit peut être accordé. 2. Quelles sont les valeurs extrêmes du facteur de qualité du circuit ? Sachant que l’amplitude de la tension induite par l’antenne dans le circuit est de 0 , 2 mV , trouver les valeurs extrêmes des tensions aux bornes du condensateur, lorsque le circuit est accordé.

Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance P3– 8. Premier étage d’un récepteur audio

111

web

Le premier étage d’un récepteur audio peut être schématisé par la figure 3.25. La f.e.m e(t ) de la source de tension variable est produite par l’antenne du récepteur qui reçoit les signaux hertziens. La bobine a une inductance L = 3 mH , la résistance vaut R = 50 V et la capacité du condensateur C = 330 pF . 1. Déterminer la fréquence f m pour laquelle le module du facteur d’amplification en tension A u(f ) du circuit, rapport de la tension aux bornes du condensateur sur la f.e.m, est maximal. √ 2. Dans quel intervalle spectral A u est-il supérieur à A u,max / 2 , A u,max étant la valeur maximale de Au ? 3. Aux bornes du condensateur, on mesure une tension efficace de 4, 2 mV pour le signal sinusoïdal capté, de fréquence fm . Quelle est la valeur efficace de la tension de ce dernier ? Antenne

R

L

C

F IG . 3.25.

P3– 9. Numérisation de signaux hertziens

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Un système reçoit un signal d’entrée e(t) et fournit à sa sortie un signal s(t ) satisfaisant à l’équation différentielle suivante : s˙(t) ¨s(t) + + v20 s(t) = v20 e(t) te Un convertisseur analogique-numérique (CAN) effectue ensuite le codage suivant (cf. chapitre 19) : si e(t) < E , avec E = 2 V , pendant la durée T , le caractère 0 est transmis, alors que si e(t) > E , pendant la même durée, c’est le caractère 1 qui l’est. 1. Après une longue suite de caractères 0 , apparaît le caractère 1 . Sachant que le régime est apériodique critique, quelle est la valeur de te , sachant que f 0 = v0/(2p) = 5 kHz ? Calculer l’écart relatif [E − s(t)]/E au bout d’une durée de 150 ms . 2. Comment s’effectuerait le passage d’une longue suite de caractères 1 au caractère 0 ? Calculer le rapport s(t)/E au bout d’une durée de 150 ms . P3– 10. Mesure de l’inductance d’un circuit RLC parallèle On se propose de mesurer l’inductance L d’une bobine, de résistance négligeable, en réalisant un circuit RLC parallèle (Fig. 3.26) avec un condensateur de capacité C variable et un résistor de résistance R = 1 kV . Le générateur impose aux bornes du circuit une tension sinusoïdale e(t) = e m cos(vt) , de fréquence f = 1, 2 kHz et d’amplitude e m = 5 V . On constate que l’intensité du courant débité par le générateur est la même pour les deux valeurs suivantes de la capacité : C1 = 0, 28 mF et C 2 = 0, 72 mF .

112

3. Oscillations électriques harmoniques, amorties, forcées. Résonance 1. Calculer l’inductance de la bobine.

2. Quelles sont les intensités efficaces I 1 et I2 ainsi que les phases associées aux intensités des courants i1(t) et i2(t) correspondant aux deux valeurs de C ? 3. Pour quelle valeur C m de C l’intensité du courant est-elle minimale ? En déduire la valeur de cette dernière.

e (t ) ∼

L

C

R

F IG . 3.26.

P3– 11. Circuit bouchon dans un récepteur audio L’inductance d’une bobine, dans un circuit résonnant parallèle accordé d’un récepteur audio, vaut L = 45 mH , alors que sa résistance est R = 250 V . Le condensateur en parallèle avec la bobine a une capacité C = 220 pF . 1. Pour quelle valeur f r en MHz de la fréquence de l’onde reçue, l’impédance du circuit est-elle uniquement résistive ? Comparer cette valeur à la fréquence propre f 0 du circuit et à la fréquence f m pour laquelle l’impédance est maximale. 2. Calculer l’impédance Z à cette fréquence f r . Comparer |Z | à |Zmax | et à |Z (f0)| . P3– 12. Comportement électrique d’un quartz piézoélectrique

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Du point de vue électrique, on peut représenter un cristal de quartz par un circuit électrique parallèle, dont l’une des deux branches contient un condensateur de capacité C1 = 0, 5 pF et l’autre un second condensateur, de capacité C2 = 10 pF en série avec une bobine non résistive de forte inductance L = 50 H (Fig. 3.27). Le système est excité par une tension sinusoïdale, de fréquence f , aux bornes des deux branches. 1. En étudiant la variation du module de l’impédance qu’offre le circuit à l’excitation sinusoïdale, montrer que le circuit se comporte comme un circuit résonnant pour une certaine fréquence f1 et comme un circuit antirésonnant pour une seconde fréquence f 2 . Calculer f1 et f2 . 2. On désigne par Y et Z l’admittance et l’impédance du quartz. Calculer d |Y |/ d f autour de f = 0 et de f = f2 . De la même façon, calculer d |Z |/ d f dans le voisinage de f = f 1 . Commenter. i

L

C1 C2

F IG . 3.27.

4 Régimes transitoires La mise sous tension d’un circuit alimenté par des sources électriques stationnaires provoque l’apparition de courants et de tensions aux bornes des différents dipôles. Évidemment, l’établissement du régime stationnaire n’est pas instantané, mais précédé d’un régime transitoire que nous nous proposons d’analyser en appliquant les lois de base des régimes quasi stationnaires (cf. chapitre 2). De même, lorsqu’on alimente un circuit en régime sinusoïdal, un régime transitoire précède le régime établi. Nous nous proposons dans ce chapitre d’analyser en détail ces régimes transitoires.

I . — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE I . 1 . — Réponse d’un circuit RC à une excitation sinusoïdale Considérons un circuit constitué d’un résistor et d’un condensateur en série, alimenté par une source de tension sinusoïdale, de force électromotrice ue (t) = ue,m cos(vt) (Fig. 4.1). Initialement, l’interrupteur K1 est ouvert et le condensateur déchargé. En pratique, on utilise le bouton poussoir K 2 , qui permet de court-circuiter les armatures du condensateur, pour le décharger. K1

uR i

R ue ∼

C

q

uC

K2

F IG . 4.1.

La figure 4.2a montre l’évolution de la tension u C aux bornes du condensateur, après la fermeture de K1 . On observe que le régime sinusoïdal s’établit, après une certaine durée de transition tob . Expérimentalement, on constate que la durée du régime transitoire est indépendante de l’amplitude ue,m et de la fréquence f = v/(2p) de la source (Fig. 4.2b). En revanche, elle dépend des valeurs R et C des composants. Analysons les dimensions de ces grandeurs afin d’en extraire une durée caractéristique t . Puisque u est une tension, Cu2 possède la dimension d’une énergie (cf. Électromagnétisme) et u2 /R celle d’une puissance, le rapport de ces deux quantités est homogène à une durée : Cu 2 = RC = t u 2/R

114

4. Régimes transitoires

Dans le cas concret considéré, où R = 5 kV et C = 0, 2 mF , on obtient par le calcul t = 1 ms . Cette durée est du même ordre de grandeur que la valeur tob ≈ 3 ms observée expérimentalement pour le régime transitoire, même si elle en est sensiblement différente. u C(t) u C (t )

Régime transitoire

t

0

Régime établi

u C(t) t

0 0

3 ms

t

u C(t)

0 a)

t 3 ms b)

F IG . 4.2.

I . 2 . — Régime forcé et régime libre Lorsqu’un système évolue en présence de sources extérieures d’énergie électrique, il est dit forcé alors qu’en l’absence de ces sources, on le qualifie de libre. Selon que les sources délivrent des tensions ou des courants respectivement stationnaires ou variables dans le temps, le régime forcé est stationnaire ou variable. Ainsi, le circuit de la figure 4.1 fonctionne en régime sinusoïdal forcé dès la fermeture de l’interrupteur K1 . En revanche, à l’ouverture de K1 , son régime est libre. Les phénomènes dissipatifs dus à l’effet Joule provoquent une diminution de l’énergie du circuit. Il en résulte que, en l’absence de source interne d’énergie, c’est-à-dire de composants actifs, tels qu’un transistor polarisé (cf. chapitre 7), un amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8) ou un dipôle à résistance négative par exemple, les tensions et courants s’amortissent au cours du temps. I . 3 . — Régime établi et régime transitoire a) Régime établi En régime forcé stationnaire, le régime est qualifié d’établi si l’on n’observe aucune évolution des grandeurs électriques. En régime forcé variable et périodique, le régime est établi lorsque que l’évolution des grandeurs électriques est devenue périodique. Ainsi, le circuit de la figure 4.1 atteint le régime établi au bout de la durée tob ≈ 3 ms . Remarque : Le régime établi est parfois appelé régime permanent, expression ambiguë, notamment en régime forcé variable, puisqu’elle suggère que les grandeurs n’évoluent pas au cours du temps.

Régimes transitoires

115

b) Régime transitoire Le régime transitoire est le régime qui précède le régime établi. Notons que le régime transitoire correspond à l’effacement progressif des conditions initiales, c’est-à-dire à la disparition de l’influence du passé du système sur son évolution. Signalons que sa durée est déterminée par la précision recherchée. Sur l’exemple précédent, le régime établi est atteint à environ 5% près au bout de 3 ms ; la précision est de 1% après une durée d’environ 5 ms . I . 4 . — Circuits linéaires dans l’ARQS Considérons le cas fréquent où le circuit est constitué d’éléments linéaires. En outre, plaçons-nous dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, ce qui permet de négliger les phénomènes de propagation (cf. Électromagnétisme) et donc d’admettre que l’intensité du courant électrique dans le circuit est, à tout instant, identique en tout point d’une même branche du circuit (cf. chapitre 2). a) Dipôles linéaires Rappelons qu’un dipôle est linéaire si la tension à ses bornes et l’intensité du courant électrique qui le traverse sont liés par une relation linéaire (cf. chapitre 1). Exemples : i) dipôle purement résistif, u AB = R i ii) dipôle purement capacitif, uAB = q A/C ou i = C d u AB/ d t iii) dipôle purement inductif, uAB = L d i/ d t La courbe caractéristique d’un dipôle purement résistif est une droite qui passe par l’origine du repère. Pour les dipôles purement capacitifs ou inductifs, la caractéristique dépend des variations temporelles de la source, c’est-à-dire du régime. Lorsque ce dernier est sinusoïdal, la caractéristique d’un condensateur est une ellipse dont les axes coïncident avec ceux du repère, puisque :  p avec i m = Cumv u(t) = u m cos(vt) et i(t ) = −Cu mv sin(vt) = i m cos vt + 2 donnent, en éliminant la variable t :  2   2 u i + =1 um im

La fonction test composant d’un oscilloscope donne en effet une ellipse de demi-axes i m et u m , à la fréquence de 50 Hz . b) Équation d’un système linéaire Dans un système linéaire, c’est-à-dire constitué de dipôles linéaires, l’application des lois de base des circuits conduit à combiner, entre elles, des relations linéaires. Ainsi, l’évolution d’une grandeur électrique de sortie s(t) prélevée dans le circuit, en régime forcé, sous l’action d’une source e(t) , obéit à une équation différentielle linéaire de la forme : ak

dk s dk−1 s dl e dl−1 e + a + ... + a s ( t ) = b + b + ... + b 0 e(t) l k−1 0 l−1 d tk d t k−1 d tl d t l−1

où les coefficients ak et bl sont indépendants de s(t ) et e(t) . Les termes contenant la grandeur de sortie à gauche et ceux contenant la grandeur d’entrée à droite sont bien séparés. Le membre de droite est à l’origine du régime forcé.

116

4. Régimes transitoires

La solution générale s(t ) de cette équation différentielle linéaire, se présente sous la forme d’une somme de deux fonctions : s(t) = s l (t) + s e(t) s l (t) étant la solution générale de l’équation homogène, c’est-à-dire sans second membre : ak

dk s dk−1 s + a + ... + a0 s(t) = 0 k−1 d tk d tk−1

et se (t) une solution particulière de l’équation avec son second membre (cf. annexe 1). Physiquement, la solution s l (t) , obtenue en l’absence de source extérieure, correspond au régime libre. Si une partie de l’énergie est dissipée, ce qui est toujours le cas pour un circuit réel, le régime libre tend vers zéro ; la réponse se (t) , caractéristique du régime établi, demeure alors la seule. Le régime transitoire est donc la somme des deux réponses sl (t) et se (t) . Remarque : En pratique, on obtient directement la solution particulière qui correspond au régime établi en recherchant une solution de forme sinusoïdale, de même pulsation que le signal d’excitation en régime harmonique (cf. chapitre 3), et en recherchant une solution stationnaire si l’excitation est elle-même stationnaire. c) Amortissement du régime libre Pour un système linéaire, l’établissement du régime forcé suppose l’amortissement de la réponse libre. Certains systèmes, instables, ont un régime libre qui se développe au lieu de s’amortir. Cela se traduit par l’existence de solutions exponentiellement croissantes. Dans ce cas, une racine au moins du polynôme, caractéristique de l’équation différentielle, est réelle positive, ou imaginaire à partie réelle positive. Comme nous le verrons ultérieurement, certains critères fixent les conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients de l’équation différentielle, qui permettent de conclure sur la stabilité du système (cf. chapitre 13).

II . — ÉTABLISSEMENT D’UN RÉGIME STATIONNAIRE II . 1 . — Réponse indicielle La réponse indicielle d’un circuit est la réponse qu’il donne lorsque la source électrique extérieure qui l’alimente passe d’une valeur nulle à une valeur finie stationnaire. Aussi les anglo-saxons la désignent-ils par "unit step response". Le qualificatif indicielle vient probablement de l’indication que donne cette réponse sur le comportement du système lorsqu’on le soumet soudain à une excitation. Dans la suite, nous supposons cette source parfaite, c’est-à-dire capable de délivrer instantanément le courant ou la tension demandée sans présenter de régime transitoire. La commande de l’établissement du régime forcé stationnaire, ne nécessite que l’utilisation d’un interrupteur. On choisit fréquemment un interrupteur électromécanique dont le rôle est de mettre en contact des lames conductrices. Les contacts mécaniques peuvent entraîner de petits rebonds à la fermeture du circuit sur une durée pouvant atteindre 1 ms . Par ailleurs, ils introduisent des résistances supplémentaires dans le circuit, de l’ordre de quelques milliohms, ainsi que des petites capacités ; dans la suite, nous négligerons ces imperfections. Dans ces conditions, on peut représenter la source de tension commandée par un interrupteur à l’aide de la fonction d’Heaviside ou échelon , du nom du physicien britannique O. Heaviside (Fig. 4.3). Cette fonction est généralement notée Y(t ) (lettre grecque upsilon majuscule) définie par : Y(t) = 0 si t < 0

Y(t) = 1 si t > 0

117

Régimes transitoires

Si E désigne la f.e.m de la source, la tension qu’elle délivre se met sous la forme : ue (t) = E Y(t ) . La réponse du système à ce signal échelon est appelée réponse indicielle. Dans la suite nous préciserons ce concept sur l’exemple simple et concret du circuit RC . Y (t ) 1 0

t

F IG . 4.3.

Remarques : 1) La fonction d’Heaviside est discontinue en t = 0 . Cette singularité n’a aucune réalité physique, puisqu’un signal réel est toujours continu. La valeur de Y(0) n’a en fait aucune influence sur l’évolution du système, en raison de sa durée nulle ; la valeur en zéro de la fonction d’Heaviside est donc arbitraire. Notons que certains auteurs la fixent à 1/2 . 2) La fonction d’Heaviside est reliée à la fonction signe sgn(t) , laquelle vaut 1 pour t > 0 et −1 pour t < 0 (cf. chapitre 15) : Y(t) =

1 [1 + sgn(t)] 2

3) En informatique, on choisit la valeur à l’origine sgn(0) = 0 pour des raisons pratiques d’algorithmique. On a alors Y(0) = 1/2 . II . 2 . — Circuit RC a) Équations du circuit Injectons, dans l’analyse du circuit de la figure 4.1 l’expression de la nouvelle source de tension : RC

d uC + uC = E Y(t ) ou dt

uC E d uC + = Y(t) t t dt

en faisant apparaître la constante de temps t = RC du circuit. Avec les valeurs standard R = 1 kV et C = 1 mF , cette constante vaut t = 1 ms . b) Régime libre Le régime libre u C,l permet de caractériser le système, car il est indépendant de la source. L’équation différentielle à laquelle il satisfait s’en déduit simplement en annulant le second membre :  t d u C,l u + C,l = 0 de solution u C,l(t) = Cte × exp − t t dt

puisque, cherchant une solution de la forme uC,l (t) = exp(rt ) , on trouve l’équation caractéristique r + 1/t = 0 , soit r = −1/t (cf. annexe 1). c) Régime établi On obtient le régime établi en recherchant une solution particulière stationnaire de l’équation différentielle d’évolution avec la source externe, après fermeture du circuit : d uC,e u C,e E + = dt t t

de solution immédiate

u C,e (t) = Cte = E

118

4. Régimes transitoires

d) Régime transitoire Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie. Par conséquent :  t uC (t) = uC,l (t) + uC,e (t) = Cte × exp − +E t L’existence du courant électrique provoque l’accumulation des charges sur les armatures du condensateur. La charge totale du condensateur varie donc sans subir de discontinuité :  t q(t) − q(0) = q(t) = i(t) d t 0

Il en résulte que la tension uC(t) = q(t )/C est, elle aussi, continue. Comme, initialement u C(0) = 0 , alors : uC(0) = Cte + E = 0 d’où Cte = −E Ainsi, la réponse indicielle du circuit RC a pour expression :   t  u C (t) = E 1 − exp − t

L’exponentielle décroissante, qui apparaît dans cette expression, ne devient négligeable au bout d’une durée égale à plusieurs fois la constante de temps t , ce qui est bien conforme à ce que l’on observe expérimentalement. Pour t = 3t , l’exponentielle est inférieure à 5% de sa valeur initiale : si la précision recherchée est de 1% , alors il faut t > 5t . Précisons que la tangente à la courbe en t = 0 , coupe l’asymptote en t = t . Les autres grandeurs électriques du circuit se déduisent de uC selon :  t  t d uC E et uR (t) = Ri = E exp − i(t) = C = exp − dt R t t Sur la figure 4.4, on a récapitulé ces résultats. Remarquons que la tension aux bornes du condensateur est continue (Fig. 4.4a), alors que l’intensité i(t) = uR(t)/R du courant est discontinue (Fig. 4.4b). u C ( t)

u R ( t)

E

E

0

t

t

0

t

t

a)

b) F IG . 4.4.

e) Bilan d’énergie Calculons le travail électrique total W e,s fourni par la source au circuit, au cours du seul régime transitoire puisque la source ne débite pas en régime établi. Il vient : ∞  ∞  CE E Y(t) i d t = E idt = E d q = CE 2 W e,s = −∞

0

0

119

Régimes transitoires Ce travail est en partie dissipé dans le résistor par effet Joule :    ∞  ∞ 2t E2 E2 t CE2 2 exp − dt = − WJ = −Ri d t = − =− R R2 t 2 0 0

Une autre partie de ce travail fourni par la source, est stockée sous forme d’énergie électromagnétique dans le condensateur. Elle a pour expression (cf. Électromagnétisme) : Ee =

1 2 1 1 CuC (∞) − Cu 2C (0) = CE 2 2 2 2

Le bilan énergétique s’écrit donc : Ee = W e,s + WJ

avec Ee = −WJ

Ainsi, par effet Joule, le circuit dissipe la moitié de l’énergie fournie par la source, quelle que soit la valeur de la résistance. Le condensateur, lui, emmagasine l’autre moitié, sous forme électrostatique, qu’il est susceptible de restituer. Exemple : pour un condensateur, de capacité C = 2 mF , soumis à une tension de 10 V , l’énergie emmagasinée par le condensateur, qui est aussi celle dissipée par effet Joule, vaut 0, 1 mJ . f) Décharge libre du circuit Lorsqu’on ouvre l’interrupteur K1 , l’état électrique du circuit n’est pas modifié. L’intensité i du courant et la tension uR aux bornes du résistor restent nulles. Le condensateur chargé impose, à ses bornes, la tension uC = E . Si la source de tension est remplacée par un fil de connexion et si K1 ferme à nouveau le circuit, le système évolue en régime libre en satisfaisant à l’équation différentielle : d uC u + C =0 t dt Seule change la condition initiale u C(0) = E . En adoptant comme nouvelle origine des temps l’instant de fermeture du circuit, on obtient l’évolution suivante des grandeurs électriques (Fig. 4.5) :  t uC (t) = E exp − t

i(t) = C

 t d uC E exp =− − dt R t

uC(t)

uR (t)

 t uR(t) = Ri = −E exp − t t

0

E

0

−E

t

t

t

a)

b) F IG . 4.5.

120

4. Régimes transitoires

Le travail dissipé par effet Joule dans le résistor, lors de la décharge libre du circuit, a pour expression : 

WJ=



∞ 0

2

−Ri d t =



∞ 0



−R −

 t E exp − t R

2

E2 t CE2 = − = −Ee dt = − 2 R 2

Ainsi, lors de la décharge libre du circuit, l’énergie emmagasinée dans le condensateur est entièrement dissipée par effet Joule. Lorsque la décharge libre est pratiquement achevée, uc (∞) = 0 ; le condensateur ne stocke plus d’énergie. g) Continuité de la tension aux bornes d’un condensateur Nous avons vu que, lors d’une charge ou d’une décharge, la tension aux bornes d’un condensateur évoluait continûment (Fig. 4.4a et 4.5a). Ce résultat très général doit être attribué à l’énergie électromagnétique d’un système physique macroscopique qui ne peut subir de discontinuité (cf. Électromagnétisme). Ainsi, comme l’énergie électrostatique d’un condensateur, Cu2C /2 , la tension uC à ses bornes évolue sans discontinuité. h) Perte de mémoire du circuit Le condensateur étant initialement chargé sous différentes tensions, il est intéressant de noter la rapidité de la progression exponentielle vers la tension E d’alimentation. Au bout d’une durée égale à quelques t seulement, la tension uC aux bornes du condensateur devient pratiquement E . Il est alors impossible de retrouver l’état électrique du circuit avant la fermeture de l’interrupteur ; on dit que le système perd rapidement la mémoire de son état initial. Autant pour la réponse indicielle que pour le régime libre, on constate que la tension E n’apparaît pas dans la durée du régime transitoire ( ≈ 3t ). En effet, cette dernière est indépendante de la différence de tension entre l’état final et l’état initial. Ceci est dû à la nature exponentielle de l’évolution : quelle que soit la tension à atteindre, la durée de charge est une grandeur intrinsèque du circuit. Notons la différence avec les évolutions proportionnelles au temps que nous rencontrons souvent dans la vie courante. Remarque : La disparition exponentielle du régime transitoire est une caractéristique des systèmes linéaires (cf. annexe 1). II . 3 . — Circuit RL Analysons le circuit représenté sur la figure 4.6, constitué d’un résistor (résistance R ) et d’une bobine idéale (inductance L ) en série. K

uR

i

R E

L

F IG . 4.6.

uL

121

Régimes transitoires a) Equations du circuit

Écrivons la loi des mailles, sachant que l’interrupteur K est fermé à l’instant pris comme origine : Ri + L

di = EY(t ) dt

soit

i E di + = Y(t) dt t L

en faisant apparaître la constante de temps du circuit t = L/R . Exemple : Avec R = 100 V et L = 0, 1 H , on obtient t = 1 ms . b) Régime libre Le régime libre i l est caractérisé par l’équation différentielle homogène : d il i + l =0 t dt

de solution

comme pour le circuit RC .

 t il (t) = Cte × exp − t

c) Régime établi Le régime établi est donné par la solution particulière, stationnaire, de l’équation complète, laquelle admet comme solution évidente : E i e (t) = I = R d) Régime transitoire On obtient le régime transitoire en superposant la réponse libre et la réponse établie :  t E i(t) = il + ie = Cte × exp − + R t L’auto-induction dans la bobine s’oppose à toute variation brutale de l’intensité du courant ; ce dernier évolue donc sans subir de discontinuité :  t u L(t)  i(t) − i(0) = i(t ) = dt L 0 Initialement, i(0) = 0 . La constante est donc déterminée selon : 0 = Cte +

E R

soit

Cte = −

E R

d’où l’expression suivante de l’intensité dans le circuit RL :  t  E 1 − exp − i(t) = t R ainsi que celle des autres grandeurs électriques :

  t  u R(t) = Ri = E 1 − exp − t

et

uL (t) = L

 t di = E exp − dt t

Sur la figure 4.7, on a rassemblé les résultats obtenus pour i(t ) et u L(t) .

122

4. Régimes transitoires i(t)

uL(t)

E/R

E

0

t

t a)

0 F IG . 4.7.

t

t b)

e) Bilan d’énergie Contrairement au circuit RC , la source de tension dans le circuit RL fournit constamment de l’énergie. En régime établi, la source débite le courant d’intensité I = E/R sous la tension E , d’où la puissance électrique P e,s délivrée par la source et la puissance P J dissipée par effet Joule : P e,s = EI

P J = −RI 2 = −EI

On voit qu’en régime établi la somme des ces puissances est nulle. En régime transitoire, P e,s et PJ ont pour expressions respectives :  t   t  2 E2  E2  Pe,s = 1 − exp − et PJ = − 1 − exp − R R t t Calculons la somme des travaux correspondants :  2    t   t  1 1 E2 ∞ E2 ∞ tE 2 E exp − 1 − exp − dt = W= = L = LI 2 [Pe,s + PJ ] d t = R 0 R 0 R t t 2R 2 2

Ce travail est précisément la variation d’énergie magnétique de la bobine entre l’instant initial où i = 0 et l’instant final où i = E/R . Le bilan d’énergie du circuit s’écrit donc : DE m = W e,s + W J Ainsi, en régime établi, toute l’énergie fournie par la source est dissipée par effet Joule dans le résistor ; en revanche, durant le régime transitoire, la bobine emmagasine, sous forme d’énergie magnétique, une partie de l’énergie électrique fournie par la source. f) Ouverture du circuit À l’ouverture du circuit, le courant dans la bobine diminue et provoque l’apparition d’une force électromotrice qui s’oppose à l’extinction brutale du courant. Une étincelle de rupture peut se former au niveau de l’interrupteur. Si le courant est important, il est nécessaire de lui permettre de s’écouler dans une autre branche du circuit. On peut alors utiliser une diode, montée en parallèle sur le circuit RL (Fig. 4.8). Dans ce cas, à la fermeture du circuit, le courant évolue en régime libre. Si l’on suppose la diode idéale, le circuit obéit à l’équation différentielle : di i + =0 dt t

123

Régimes transitoires Initialement i(0) = E/R = I . uR

K

i

R E

L

uL

F IG . 4.8.

En adoptant comme nouvelle origine des temps l’instant d’ouverture du circuit, les grandeurs électriques évoluent selon (Fig. 4.9) :  t  t  t di u L(t) = L uR (t) = Ri = E exp − i(t) = I exp − = −E exp − t t t dt On en déduit le travail dissipé par effet Joule dans le résistor, lors du passage du courant :    ∞ ∞ 2R 1 L  2 2 = − LI2 = −E m WJ = −Ri d t = −RI exp − t d t = −RI 2 2R 2 L 0 0

Ainsi, l’énergie emmagasinée dans la bobine est entièrement dissipée par effet Joule lors du passage du courant dans le circuit. i(t)

uL (t)

t

0

E/R

0

−E

t

t

t

a)

b) F IG . 4.9.

g) Continuité du courant dans une bobine Lorsqu’on met sous ou hors tension une bobine, le courant qui la parcourt évolue continûment (Fig. 4.7 a et 4.9 a). Ici aussi, on attribue ce résultat très général à l’énergie totale d’un système physique qui ne peut subir de discontinuité. Il en résulte que, comme l’énergie magnétique Li 2/2 emmagasinée dans la bobine, l’intensité du courant i qui la traverse évolue sans discontinuité. II . 4 . — Circuit RLC série Sur la figure 4.10, on a représenté le circuit RLC constitué d’un résistor, d’une bobine et d’un condensateur en série (cf. chapitre 3). a) Équations du circuit On ferme l’interrupteur K à l’instant origine. Écrivons la loi des mailles pour ce circuit en série en veillant à l’orientation du courant afin que les charges s’accumulent sur l’armature de charge q du

124

4. Régimes transitoires uR

K

i

R E

L

uL

q uC F IG . 4.10.

condensateur. Il vient : dq q et i = dt C Cette équation linéaire du deuxième ordre se met sous la forme canonique suivante : Ri + L

¨ uC +

di + u C = E Y(t ) avec dt

1 u˙ + v 20 uC = v20 E Y(t) te C

uC =

en posant

v 20 =

1 LC

et

te =

L R

b) Régime libre Le régime libre u C,l est solution de l’équation différentielle homogène : d2 uC,l 1 d u C,l + + v20 uC,l = 0 te d t d t2 La solution dépend des racines de l’équation caractéristique que l’on obtient en cherchant des solutions en exp(rt) : r r2 + + v 20 = 0 te dont le discriminant a pour expression :     1 1 1 2 2 2 − 1 = 4v 0 −1 où Q = v 0t e D = 2 − 4v0 = 4v 0 4v20t2e 4Q2 te

est le facteur de qualité du circuit (cf. chapitre 3). On est conduit à envisager trois cas suivant la valeur du discriminant (cf. annexe 1). 1) Q > 1/2 ( D < 0 ) : régime libre pseudo-périodique L’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : 1 r1 = − + jv a 2te

et

1 r2 = − − jva 2te

 1/2 1 avec va = v 0 1 − 2 4Q

La solution de l’équation différentielle homogène peut se mettre sous les formes suivantes :       t t cos(vat + fa) ou u C,l (t) = exp − uC,l(t) = D exp − D 1 cos(v at) + D2 sin(va t) 2te 2te

en désignant par D , fa , D 1 et D2 les constantes d’intégration. L’évolution est dite pseudo-périodique, car l’amplitude des oscillations n’est pas constante au cours du temps mais décroît proportionnellement au facteur exp(−t/2te ) . Sur la figure 4.11a, on a représenté le cas correspondant à la condition initiale uC,l(0) = u 0 et i(0) = 0 , c’est-à-dire [d u C,l / d t](0) = 0 .

125

Régimes transitoires uC (t)

uC (t)

Q > 1/2

uC (0)

uC (0)

Q < 1/2 Q = 1/2

t

0

t

0 a)

b)

F IG . 4.11.

2) Q < 1/2 ( D > 0 ) : régime libre sous-critique ou apériodique Les racines r1 et r2 sont réelles et négatives : 1 r1 = − +b 2te

et

1 r2 = − −b 2te

avec

b = v0



1 −1 4Q 2

1/2

La solution de l’équation différentielle homogène se met alors sous la forme (cf. annexe 1) :   t uC,l(t) = D 1 exp(r1 t) + D 2exp(r2 t) ou u C,l(t) = exp − [D 1 cosh(bt) + D2 sinh(bt)] 2te En pratique, on obtient ce régime en augmentant la valeur de R pour des caractéristiques données de la bobine et du condensateur. 3) Q = 1/2 ( D = 0 ) : régime libre critique L’équation caractéristique admet une racine double r 0 = −v0 . La solution de l’équation différentielle homogène se met sous la forme (cf. annexe 1) : u C,l = (D1t + D 2 ) exp(−v0t) Le régime critique impose une relation précise entre R , L et C . Puisque Q = 1/2 , alors v0 = 1/(2te) = R/2L . Les régimes critique et sous-critique sont apériodiques, comme le montre la figure 4.11b, dans les mêmes conditions initiales que 4.11a. En électronique, on introduit souvent, au lieu du facteur de qualité Q , le facteur m appelé paramètre critique ou facteur d’amortissement, relié à Q par l’équation : m=

1 1 = 2Q 2v 0te

Notons que la valeur singulière Q = 1/2 correspond alors à m = 1 . Exemple : pour un circuit RLC avec C = 2 mF , L = 0, 5 H et R = 50 V , on trouve t e = 10 ms , v0 = 1 000 rad.s−1 soit f0 ≈ 160 Hz , Q = 10 ou m = 0, 05 . Le régime libre est pseudo-périodique. On obtiendrait le régime critique avec R = Rc = 1 kV .

126

4. Régimes transitoires

c) Régime établi Le système étant linéaire, lorsque l’interrupteur est fermé, le régime établi est la solution particulière stationnaire de l’équation avec son second membre : d2 uC,e 1 d u C,e + + v20 uC,e = v20 E 2 te d t dt

soit

u C,e = Cte = E

d) Régime transitoire Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie : uC (t) = u C,l(t) + u C,e (t) = D1 exp(r1 t) + D2 exp(r2 t) + E Initialement, le courant dans le circuit est nul et le condensateur déchargé. À la fermeture de l’interrupteur, le courant dans la bobine et donc dans le circuit ne subit pas de discontinuité. Il en est de même pour la tension aux bornes du condensateur. Les conditions initiales sont alors : uC (0) = 0

et

d uC (0) = 0 dt

i(0) = 0 soit

En explicitant ces conditions initiales, on trouve : 0 = D 1 + D 2 + E et d’où les expressions suivantes de D1 et D2 : r D 1 = −E 2 r2 − r 1

et

0 = r 1D 1 + r2D 2

D2 = E

r1 r 2 − r1

La nature du régime transitoire dépend de t e et donc de Q . Sur la figure 4.12, on a représenté la tension uC (t) et l’intensité i(t ) du courant au cours du temps pour différentes valeurs de Q . 1) Régime transitoire pseudo-périodique Pour Q > 1/2 , on a : 1 1 r1 = − + jva et r2 = − − jva 2t e 2te d’où :     E E 1 1 D1 = − 1−j et D 2 = − 1+j 2 2va te 2 2va te Il en résulte :





t uC = E 1 − exp − 2te uC (t)



sin(vat) cos(va t) + 2teva i(t)

Q > 1/2



Q > 1/2 Q = 1/2

E Q < 1/2

Q < 1/2 t

0

Q = 1/2 t

0

a)

F IG . 4.12.

b)

127

Régimes transitoires 2) Régime transitoire sous-critique ou apériodique Pour Q < 1/2 , il vient : 1 +b r1 = − 2te d’où :

Par conséquent :

 1/2 1 1 et r2 = − − b avec b = v 0 −1 2te 4Q 2     1 1 E E 1+ et D 2 = − 1− D1 = − 2 2bt e 2 2bt e     sinh(bt) t cosh(bt) + uC = E 1 − exp − 2te 2te b

3) Régime transitoire critique Pour Q = 1/2 , r 1 = r 2 = r 0 = −1/(2te ) = −v0 . Comme dans ce cas singulier : les conditions initiales donnent :

uC = (D1 t + D2) exp(−v0t) + E 0 = D2 + E

et

0 = −v 0D2 + D 1

les expressions de D1 et D2 sont les suivantes : On en déduit :

D1 = −v 0E

et

D 2 = −E

u C = E [1 − (v0 t + 1) exp (−v0t)] e) Bilan d’énergie Effectuons un bilan d’énergie en faisant apparaître les puissances instantanées consommées dans chaque dipôle. On peut obtenir directement ce bilan d’énergie en multipliant l’équation différentielle issue de la loi des mailles, par l’intensité i du courant : Ri 2 + L

di i + uC i = E i dt

En tenant compte des relations uC = q/C et i = d q/ d t , l’équation se met sous la forme explicite suivante :   d 1 q2 1 2 + Li = Ei − Ri2 dt 2C 2

Cette forme fait apparaître la puissance instantanée fournie par la source Pe,s = Ei , la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans le résistor PJ = −Ri2 , ainsi que les énergies électrique E e = q 2 /2C et magnétique Em = Li2/2 , stockées respectivement dans le condensateur et dans la bobine. On a alors : d (Ee + Em ) = Pe,s + PJ dt

soit

D (E e + E m) = W e,s + WJ

en intégrant. Lorsque le régime stationnaire est établi, le courant dans le circuit est nul. La source électrique ne fournit alors plus d’énergie. L’énergie magnétique de la bobine est nulle et le condensateur, chargé, emmagasine l’énergie électrostatique Ee = CE 2 /2 .

128

4. Régimes transitoires Évaluons le travail total fourni par la source :  ∞  ∞ E d uC Ei d t = EC d t = EC d uC = CE 2 We,s = d t 0 0 0

On en déduit le travail total dissipé dans le résistor : WJ = E e − We,s =

CE 2 CE 2 − CE 2 = − 2 2

Ainsi, la moitié de l’énergie apportée par la source est dissipée dans le conducteur ohmique, le reste est stocké dans le condensateur. L’énergie électromagnétique du circuit évolue au cours du temps selon : Eem = Ee + E m =

1 2 1 Cu C + Li2 2 2

avec i = C

d uC dt

En régime pseudo-périodique, l’énergie du circuit oscille entre la forme électrique et la forme magnétique. Les phénomènes dissipatifs amortissent cet échange au bénéfice de l’énergie électrostatique du condensateur, au fur et à mesure que le courant s’atténue dans le circuit. Lorsque le courant commence à circuler, le condensateur et la bobine emmagasinent de l’énergie ; quand l’intensité du courant diminue, l’énergie du condensateur continue d’augmenter, tandis que l’énergie magnétique de la bobine, elle, décroît. Dès que le courant s’inverse, l’énergie magnétique de la bobine augmente à nouveau. Le condensateur se décharge, mais pas totalement, car la dissipation d’énergie dans le résistor amortit le courant retour (Fig. 4.13). E em(t)

E em Ee

1 2 CE 2 0

Em

t

F IG . 4.13.

II . 5 . — Circuits linéaires quelconques a) Méthode d’analyse Pour un circuit linéaire quelconque, la recherche du régime transitoire s’effectue en plusieurs étapes : i) établissement des équations du circuit, à l’aide des lois de Kirchhoff, ii) recherche des conditions initiales en précisant les grandeurs électriques de chaque dipôle, immédiatement après la fermeture du circuit, iii) résolution des équations, iv) vérification des solutions obtenues par comparaison avec l’état du circuit pour t infini.

129

Régimes transitoires b) Exemple

Dans le circuit de la figure 4.14, aucun courant ne parcourt le circuit avant la fermeture de l’interrupteur, et le condensateur est initialement déchargé. Intéressons-nous à l’évolution de la tension u R(t) , lorsqu’on ferme l’interrupteur. uC iC q

iL C

K

iR

r uR

R

E L

uL

F IG . 4.14.

La loi des mailles donne : uR +

q = E Y(t ) et C

uR = L

d iL + riL dt

Avec la loi des nœuds : iC = i L + iR

qui s’écrit aussi

on obtient :

iL =

d q uR − dt R

d2 q L d u R dq r +r − − uR 2 dt dt R dt R d’où, en dérivant la première équation pour t > 0 et en la combinant avec la seconde : q = CE Y(t ) − CuR

dq d uR = −C dt dt

et

et

uR = L

uR = −LC

d 2 uR d uR r L d uR − rC − − uR 2 dt dt R dt R

Finalement, on obtient, en ordonnant les différents termes :   d2 uR 1 r d uR r + R uR =0 + + + 2 RC L d t R LC dt Recherchons les conditions initiales uR(0) et [d u R/ d t](0) . Immédiatement après la fermeture du circuit par l’interrupteur K , la tension aux bornes du condensateur reste nulle et aucun courant ne circule dans la bobine : uC (0) = 0 et iL (0) = 0 On a alors : d uC d(E − u R) d(uR ) (0) = C (0) = −C (0) = 0 uR(0) = −u C (0) + E = E et i R(0) = i C(0) = C dt dt dt Il en résulte : d uR (0) = 0 uR (0) = E et dt Compte tenu des conditions initiales, l’équation différentielle étant homogène et du deuxième ordre, en régime pseudo-périodique, la solution se met sous la forme (cf. annexe 1) :    t 1 uR (t) = E exp − cos(v at) + sin(vat) 2t e 2t e va

130

4. Régimes transitoires

avec : te =



r 1 + RC L

−1

et

1 va = 2



4(r + R) − RLC



r 1 + RC L

2 1/2

La solution précédente conduit à u R(∞) = 0 . On vérifie aisément que ce résultat est physiquement acceptable. En effet, en régime stationnaire, le condensateur se comporte comme un coupe-circuit ; on obtient alors un circuit RL qui s’amortit en régime libre, ce qui implique : iR (∞) = 0 =

uR(∞) R

soit

uR (∞) = 0

II . 6 . — Identification des systèmes linéaires a) Contenu de la réponse indicielle À première vue, la réponse indicielle renseigne sur la nature pseudo périodique ou apériodique du régime d’évolution libre. Comme nous le verrons ultérieurement (cf. chapitre 15), son contenu est plus riche encore, puisqu’il permet de reconstituer l’ensemble du comportement fréquentiel du système. Pour identifier un système linéaire, on peut chercher à déterminer les n + 1 coefficients de l’équation différentielle d’ordre n . Lorsque n = 1 ou n = 2 , il est possible de déterminer graphiquement les constantes de temps du système et de remonter ainsi aux coefficients de l’équation différentielle. Les ordres plus élevés, mettent en oeuvre des méthodes plus complexes ayant recours aux transformations de Fourier (cf. annexe 2) ou de Laplace (cf. annexe 3), mais aussi à la modélisation. b) Durée de réponse La durée de réponse à x% est la durée tx% nécessaire à un signal pour atteindre (100 − x) % de sa valeur finale d’équilibre à x% près. s (∞) − s (t x% ) =x s (∞) − s (0) Exemple : la durée de réponse à 5% d’un circuit RC , excité par une tension échelon, est la durée nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur initialement déchargé, atteigne 95% de la tension finale, c’est-à-dire t5% ≈ 3t = 3RC .

c) Durée du régime transitoire On appelle durée du régime transitoire à x% , t tr , la durée de réponse à x% de la réponse indicielle. C’est la durée au bout de laquelle la réponse libre du système est négligeable. Sans autre précision, nous désignerons ainsi la durée du régime transitoire à 5% . d) Durée de montée La durée de montée t m est la durée nécessaire à un signal pour passer de 10% à 90% de sa valeur finale d’équilibre. On la relie simplement aux durées de réponse : t m = t10% − t 90% De nombreux oscilloscopes analogiques présentent, sur leur cadran d’affichage, une échelle verticale marquée de repères gradués 0% , 10% , 90% et 100% . Ces repères permettent de mesurer la durée de montée. Pour cela, on décalibre la sensibilité verticale de manière à remplir l’échelle 0−100% . Avec les repères horizontaux 10% et 90% on mesure t m comme indiqué sur la figure 4.15. Les oscilloscopes numériques disposent généralement d’une fonction de mesure de la durée de montée d’un signal.

131

Régimes transitoires

100 90

10 0

tm F IG . 4.15.

e) Systèmes du premier ordre L’équation générale d’un système du premier ordre qui donne la réponse s(t) à une excitation e(t) , est la suivante : t

ds + s(t) = A 0 e(t) dt

t est la « constante de temps » ou durée caractéristique du circuit et A 0 le facteur d’amplification stationnaire. On comprend pourquoi : pour s et e stationnaires, A0 est le rapport s/e . Notons que les circuits RC et RL précédemment étudiés sont des circuits du premier ordre. D’après ce qui précède, sachant que s(0) = 0 , la réponse s(t ) à un échelon e(t) = e m Y(t) est donnée par :   t  s(t) = A 0 em 1 − exp − t La mesure de s(∞) permet d’accéder au facteur d’amplification stationnaire : A0 =

s(∞) em

Quant à la constante de temps t , elle est reliée à la durée de montée selon :  t  s (t10% ) 10% = 0, 9 = 1 − exp − s (∞) t

et

 t  s (t 90% ) 90% = 0, 1 = 1 − exp − s (∞) t

On a donc t10% = −t ln 0, 1 , t 90% = −t ln 0, 9 et finalement : tm = t10% − t 90% = t ln 9 ≈ 2, 2 t En pratique, il est préférable de mesurer la durée de montée à l’aide d’un oscilloscope et d’en déduire la constante de temps, en divisant par 2, 2 . La méthode qui consiste à tracer la tangente à l’origine de la courbe et d’en déduire t par intersection avec l’asymptote horizontale est déconseillée, car peu précise. Elle conduit généralement à une surévaluation de t . Enfin, remarquons que la constante de temps t s’identifie à la durée de réponse à 27% ≈ 1/e , le signal atteignant 63% de sa valeur finale.

132

4. Régimes transitoires

Exemple : si la durée de montée d’un circuit RL est de 2, 4 ms , la constante de temps correspondante est t ≈ 2, 4/2, 2 ≈ 1, 1 ms . La durée du régime transitoire (Fig. 4.16) est donnée par : t 5% = −t ln 0, 05 = t ln 20 ≈ 3 t C’est précisément ce que nous avons observé lors de l’étude expérimentale du circuit de la figure 4.1 : tob = 3 ms et t = 1 ms . Évidemment, si une précision de 1% est recherchée, la durée du régime transitoire devient : t 1% = t ln 100 ≈ 4, 6 t ≈ 5 t s(t)/s(∞) 1 0,90 0,63

0,1 0

t

3t

t

2, 2t F IG . 4.16.

f) Systèmes du deuxième ordre L’équation générale d’un système du deuxième ordre, qui fait correspondre la réponse s(t) à l’excitation d’entrée e(t) , est la suivante : d2 s 1 ds + + v20 s(t) = v20 A0 e(t) 2 dt te dt A 0 étant le facteur d’amplification stationnaire. Si la grandeur te , homogène à une durée, est positive, l’amortissement du régime libre est assuré : le système est stable. La réponse s(t) à l’échelon e(t) = emY(t) dépend de t e et donc de Q . 1) Si Q > 1/2 (réponse indicielle en régime pseudo-périodique), s(t) s’écrit, sachant que s(0) = 0 et ˙s(0) = 0 :     t sin(v at) s(t) = A0 e m 1 − exp − cos(va t) + 2te 2v at e avec :

  1 1/2 v a = v0 1 − 4Q2

et

Q = v0 te

L’oscilloscope permet de mesurer la pseudo-période Ta . Il est souvent commode d’introduire le décrément logarithmique L , défini expérimentalement comme suit :     s(t) − s(∞) Ta 1 1 exp [−t/(2t e)] = ln = L = ln n s(t + nT a) − s(∞) n exp [−(t + nT a)/(2te )] 2te

133

Régimes transitoires Les notations sont celles de la figure 4.17. On en déduit : va =

2p Ta

et

te =

s(t)

Q > 1/2 Ds1

s(∞)

0

Ta 2L

t1

Ds2

t1+ Tm

t

F IG . 4.17.

2) Si Q < 1/2 (réponse indicielle en régime sous-critique), alors :     sinh(bt) t cosh(bt) + s(t) = A 0 em 1 − exp − 2te 2teb 3) si Q = 1/2 (réponse indicielle en régime critique), on trouve : s(t) = A0 em [1 − (v 0 t + 1) exp (−v0t)] En régime critique, la concavité de la courbe s(t ) s’inverse au point d’inflexion tc = 1/v 0 qui définit la constante de temps, en régime critique. g) Systèmes d’ordre n supérieur à 2 La réponse indicielle d’un système d’ordre n > 2 est plus difficile à analyser. La solution se met sous la forme d’une combinaison linéaire de réponses d’ordre 1 et de réponses d’ordre 2 (cf. annexe 1). Deux observations peuvent être faites néanmoins : i) le système est pseudo-périodique ou apériodique, ii) le régime transitoire présente une durée caractéristique. Par exemple, la figure 4.18 représente la réponse indicielle d’un système d’ordre 5 , superposition de deux ordres 2 et d’un ordre 1 ; deux pulsations propres différentes sont présentes, ce qui se traduit par une modulation de l’amplitude du signal. s(t) s(∞)

t

0 F IG . 4.18.

134

4. Régimes transitoires

III . — ÉTABLISSEMENT D’UN RÉGIME VARIABLE III . 1 . — Circuit du premier ordre en régime harmonique Dans le circuit de la figure 4.1, supposons l’interrupteur K1 fermé, à un instant pris comme origine. La loi des mailles donne alors : q Ri + = ue (t) C ue désignant la tension sinusoïdale délivrée par la source : u e(t) = u m cos(vt) . Il vient, en exprimant l’intensité i = d q/ d t du courant dans le circuit en fonction de la tension uC = q/C aux bornes du condensateur, et en introduisant t = RC : d uC u u + C = m cos(vt) t t dt Le circuit est du premier ordre, puisque l’ordre de dérivation le plus élevé dans l’équation est un. La solution de l’équation homogène u C,l , c’est-à-dire le régime libre, s’écrit (cf. annexe 1) :  t uC,l (t) = Cte × exp − t où Cte est une constante fixée par les conditions initiales. Le régime libre s’amortit donc d’autant plus rapidement que la constante de temps t du circuit est faible, c’est-à-dire que R est faible. Quant au régime établi, on l’obtient en recherchant une solution particulière de forme sinusoïdale. En notation complexe (cf. annexe 1) : d uC u u + C = m t t dt

avec u m = u m

soit encore

uC=

um 1 + jvt

On obtient finalement le régime établi u C,e(t) :   uC,e (t) = Re uC exp (jvt) =

vt 1 u m cos(vt) + um sin(vt) 2 1 + (vt) 1 + (vt)2

On en déduit la solution générale de l’équation différentielle :  t vt 1 uC (t) = u C,l (t) + uC,e(t) = Cte × exp − u m cos(vt) + um sin(vt) + 2 1 + (vt) 1 + (vt)2 t

Notons que la charge du condensateur et la tension à ses bornes évoluent sans subir de discontinuité : t q(t) − q(0) = i(t ) d t  0

Le condensateur étant initialement déchargé, la condition initiale u C(0) = 0 conduit à : 0 = Cte +

1 1 + (vt)2

soit

Cte = −

1 1 + (vt) 2

Finalement, on obtient : uC (t) =

  t  vt 1 − cos( vt ) − exp u um sin(vt) + m 2 1 + (vt) 1 + (vt) 2 t

135

Régimes transitoires III . 2 . — Circuit du premier ordre alimenté par des signaux carrés

Reprenons le circuit RC de la figure 4.1 en l’alimentant par une source de tension qui délivre des signaux carrés symétriques (de rapport cyclique 1/2 ), c’est-à-dire dont la durée T/2 des alternances positives est la même que celle des alternances négatives, T étant la période. On suppose qu’initialement le condensateur est déchargé. La tension u C aux bornes du condensateur évolue au cours de chaque demi-période selon un arc d’exponentielle. L’intensité i du courant électrique, proportionnelle à la tension uR = t d uC / d t aux bornes du résistor est, elle, discontinue. En pratique, plusieurs cas se présentent, selon la fréquence f = 1/T des signaux carrés d’entrée, comme le montrent les figures 4.19 et 4.20. Ces dernières correspondent au cas concret où R = 2 kV et C = 100 nF , d’où la constante de temps t = 0, 2 ms qu’il convient de comparer à différentes périodes du signal délivré par la source d’alimentation : 6 ms , 0, 8 ms et 67 ms respectivement inverses des fréquences 167 Hz , 1, 25 kHz et 15 kHz . uC(t) um

f = 167 Hz

t

0

−um

15t

u C(t)

f = 1, 25 kHz

u C(t)

f = 15 kHz

0

t

0

t

3t a)

t

b)

c)

F IG . 4.19.

i(t)

f = 167 Hz

um R

i (t )

f = 1, 25 kHz

i (t)

f = 15 kHz

t

0

t

um R t

0

15t a)

0

2t b)

t c)

F IG . 4.20.

i) Basse fréquence ( f  (2t) −1 ou T/2  t )

Le régime établi est atteint au cours de chaque demi-période. La réponse du système est une succession de réponses à des signaux échelons. Le condensateur se charge et se décharge entièrement dans le résistor. La tension aux bornes du condensateur est proche de celle imposée par le générateur de signaux carrés à sa sortie. Le courant électrique circule par alternances impulsionnelles, pendant la durée d’une charge ou d’une décharge du condensateur, soit environ 3t .

136

4. Régimes transitoires

ii) Fréquence intermédiaire ( f ≈ (2t) −1 ou T/2 ≈ t ) Une demi-période est trop courte pour établir un régime forcé ; comme les arcs d’exponentielles ne sont pas achevés, le condensateur ne se charge que partiellement. Le signal est formé d’une succession de régimes transitoires et devient périodique après quelques t . iii) Haute fréquence ( f  (2t) −1 ou T/2  t ) Les arcs d’exponentielles n’ont pas le temps de se développer et sont proches de droites, dont les pentes sont alternativement positives et négatives. La tension u C ressemble à des signaux triangulaires et l’intensité du courant à des signaux carrés. Le condensateur se charge très peu, la tension à ses bornes uC = q/C est donc d’autant plus faible que la fréquence est grande. On retrouve le comportement en court-circuit du condensateur en haute fréquence. Le régime variable ne s’établit qu’après amortissement du régime libre, c’est-à-dire sur environ 3t , ce qui représente plusieurs périodes de la source. On observe un régime transitoire au cours duquel la composante stationnaire de la tension triangulaire uC s’amortit progressivement. Remarque : À basse fréquence, la tension aux bornes du résistor est proportionnelle à la dérivée de la tension d’alimentation du circuit. À haute fréquence, la tension aux bornes du condensateur est proportionnelle à l’intégrale de la tension d’alimentation du circuit. Nous préciserons ultérieurement ce comportement lors de l’étude des filtres du premier ordre (cf. chapitre 6). III . 3 . — Circuit du deuxième ordre alimenté par des signaux variables Dans un circuit du deuxième ordre, la forme des signaux dépend de la valeur du facteur de qualité Q . La figure 4.21 représente graphiquement l’évolution de la tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série, pour deux régimes : i) en signaux carrés, basse fréquence, pour un régime pseudo-périodique Q = 1, 92 . ii) en signaux sinusoïdaux pour un régime apériodique Q = 0, 45 . uC(t)

Q = 1, 92

u C(t)

Q = 0, 45

0

t

t

0

a)

b) F IG . 4.21.

IV . — APPLICATIONS IV . 1 . — Réalisation de tensions en dents de scie Il est possible de réaliser une tension en dents de scie, à partir d’un générateur délivrant des signaux carrés, à l’aide d’une cellule RC convenablement calculée, travaillant, sur chaque période, en régime transitoire (Fig. 4.22).

137

Régimes transitoires

Le condensateur subit une succession de charges et de décharges. Le circuit du premier ordre est caractérisé par la constante de temps t = RC . Si t est grand devant la période T des signaux carrés, les arcs d’exponentielles n’ont pas le temps de se déployer. On observe en sortie des signaux triangulaires. Le calcul des valeurs R et C dépend de la fréquence f = 1/T des signaux d’entrée u e . En pratique, t > 2T convient. Pour f = 10 kHz , C = 220 nF et t = 2T , on trouve la valeur suivante de la résistance : t 2T 2 2 ≈ 900 V R= = = = −9 220 × 10 × 10 × 103 C C Cf R C

ue

us

F IG . 4.22.

IV . 2 . — Circuit détecteur de crêtes On sait qu’un circuit électrique linéaire perd la propriété de linéarité s’il comporte une diode. La recherche de régime transitoire fait apparaître plusieurs cas qui correspondent aux états passant et bloqué de la diode. Considérons le circuit de la figure 4.23a dans lequel la diode est supposée idéale, c’est-à-dire sans tension de seuil ni résistance dynamique. La source électrique délivre une tension sinusoïdale, de fréquence f = v/(2p) = 1/T , à partir de l’instant t 0 = −T/4 , ce qui s’écrit à l’aide de la fonction d’Heaviside : ue = Y (t − t 0 ) um cos (vt ) i) Lorsque la diode est passante, la tension à ses bornes est nulle, et la tension aux bornes du circuit RC parallèle est identique à celle de la source : d ue u + e u C = ue et i = i C + iR = C dt R ue , uC

ue

uR

R C

uC

iC

iR

i

q

uC

a)

0 t1

ue

t2

t

b) F IG . 4.23.

ii) Lorsque la diode est bloquée, c’est-à-dire polarisée en inverse, la tension aux bornes du circuit RC parallèle est supérieure à la tension de la source. Aucun courant ne traverse la diode. Le circuit évolue en régime libre et la loi des mailles fournit l’équation : d uC uC > u e avec RC + u C = 0 et i = 0 dt

138

4. Régimes transitoires

Analysons le comportement du circuit au cours du temps. À l’instant t = t 0 , le condensateur est déchargé, uC = 0 . Lors du premier quart de période, la tension u e de la source est croissante. La diode est passante et l’intensité i du courant est positive ; une partie iC = C d uC / d t = C d ue / d t charge le condensateur et l’autre iR = ue /R s’écoule dans le résistor. À l’instant t = 0 , la tension u e décroît. Le condensateur commence à se décharger et iC < 0 . Lorsque iR + iC = i = 0 , à l’instant t1 , la diode se bloque et la tension de la source continue de décroître. La tension uC devient supérieure à ue . Le condensateur se décharge en régime libre, jusqu’à ce que la tension de la source, à l’instant t2 , soit suffisante pour qu’il se charge à nouveau. La diode se bloque à l’instant t1 tel que : i=C ce qui donne :

ue d ue + =0 R dt

tv sin (vt1 ) = cos (vt 1)

soit

tan (vt 1) =

1 tv

La tension aux bornes du condensateur évolue alors en régime libre :   d uC t − t1 t cos (vt1) + uC = 0 soit u C (t) = um exp − t dt

avec

t = RC

L’annulation du courant impose à l’instant t 1 des tangentes identiques pour les courbes u e(t) et uC (t) . Puisque v sin (vt1) = cos (vt 1) /t , il vient : d uC d ue um um cos (vt1) (t1 ) = − cos (vt1 ) et (t1 ) = −umv sin (vt1 ) = − t t dt dt Le condensateur recommence à se charger à partir de l’instant t2 , pour lequel les tensions sont à nouveau égales uC (t2) = u e (t2) . Une application intéressante de ce montage est souvent utilisée lorsque t  T , c’est-à-dire lorsque la pente de décharge du condensateur est faible (Fig. 4.23b). Le signal en sortie épouse alors l’enveloppe du signal d’entrée, d’où le nom de circuit détecteur d’enveloppe ou de crêtes (cf. chapitres 9 et 16). IV . 3 . — Lissage d’une tension redressée Les régimes transitoires sont utilisés dans le lissage d’une tension redressée afin d’obtenir une tension proche d’une tension stationnaire. Supposons la diode parfaite dans le montage de la figure 4.24a. La tension d’entrée du circuit est une tension redressée en double alternance de forme ue = um| sin(vt)| (Fig. 4.24b). ue, u s B C A

i iR ue

R

iC C

us

us D ue t

0 a)

b) F IG . 4.24.

Supposons que le condensateur soit en charge, i C > 0 , d’où la tension croissante u s à ses bornes : iC = C

d us >0 dt

139

Régimes transitoires

La diode débite le courant d’intensité i = iC +iR , et donc u s = ue (portion AB). Lorsque u s commence à décroître, le condensateur se décharge. On a alors i C < 0 (portion BC). La diode cesse de suivre et se bloque dès que le courant d’intensité −iC , fourni par le condensateur, est suffisant pour alimenter la résistance, c’est-à-dire lorsque i s’annule : d ue ue i = 0 soit i R = −iC et donc = −C dt R ce qui se produit, sur la première alternance, à l’instant tc tel que : 1 arctan (tv) avec t = RC v Une fois bloquée, la diode ouvre le circuit et le condensateur se décharge transitoirement dans la résistance R (portion CD). La diode redevient passante lorsque u s = u e et le condensateur se charge à nouveau. Un lissage s’opère donc grâce à une succession de régimes transitoires. um sin(vt c ) = RC um v cos(vtc ) soit

tc =

IV . 4 . — Allumage des moteurs à explosion Le fonctionnement du système d’allumage des moteurs à explosion est donné sur la figure 4.25. L’objectif est d’obtenir, à partir de la tension stationnaire de 12 V fournie par la batterie du véhicule, une tension suffisamment élevée, afin de produire une étincelle dans les bougies et ainsi de provoquer la combustion du mélange carburant-air. r

Batterie E

Bougie

+

1

2

− K

C F IG . 4.25.

Initialement, l’interrupteur K est fermé ; le courant dans le circuit 1 est stationnaire, i(0) = E/r . Lorsqu’on l’ouvre, le courant s’écoule dans le condensateur qui se charge, et son intensité dans le circuit du second ordre oscille. Pour obtenir une tension élevée dans le circuit 2 , aux bornes de la bougie, on utilise un transformateur élévateur de tension, en pratique un solénoïde plongeur (cf. Électromagnétisme).

V . — UTILISATION DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE V . 1 . — Méthode L’utilisation de la transformation de Laplace pour la résolution des équations d’un circuit linéaire se révèle d’une grande efficacité technique. Les opérateurs de différentiation se transforment en multiplication par la variable symbolique p . Pour les signaux fondamentaux, tels qu’un échelon, une sinusoïde, une impulsion, l’équation du circuit se ramène à une fraction rationnelle. La décomposition en éléments simples permet d’obtenir la transformation inverse, en utilisant la table de transformation des fonctions usuelles (cf. annexe 3). Pour un système initialement au repos, les conditions initiales d’une grandeur qui ne subit pas de discontinuité s’expriment simplement. En effet, si à l’instant initial t 0+ = 0+ qui succède immédiatement à l’établissement du régime, le signal s(0 +) reste nul, la transformée de Laplace de sa dérivée

140

4. Régimes transitoires

s’obtient par simple multiplication par p de sa transformée de Laplace S(p) :   ds TL (t) = p S(p) − s(0+ ) dt

soit

TL



ds (t) dt



= p S(p)

V . 2 . — Application à la réponse indicielle Considérons un système linéaire, d’ordre n , initialement au repos et supposons les dérivées successives du signal s(t ) continues jusqu’à l’ordre n −1 . Si le signal d’entrée est un échelon, e(t ) = em Y(t) , l’équation de ce système se réduit à : ak

dk s ds + · · · + a1 + a 0 s(t) = em Y(t) k dt dt

La transformation de Laplace de cette équation donne, avec des conditions initiales nulles : ak p k S(p) + · · · + a 1 p S(p) + a 0 S(p) =

em p

soit : S(p) =

p(pk ak

em + · · · a1 + a0 )

a) Systèmes d’ordre 1 L’équation d’un système du premier ordre, excité par un échelon, s’écrit : t

ds + s(t) = A0 em Y(t) dt

En prenant la transformation de Laplace de ses deux membres, on obtient :   1 1 1 A 0e m t t − soit S (p) = A0e m puisque S(p) = = − p (pt + 1) p(pt + 1) p pt + 1 p pt + 1 par décomposition en éléments simples. On retrouve alors, par transformation inverse, le résultat déjà établi :   t  S(t ) = A 0em 1 − exp − t b) Systèmes d’ordre 2

De même, l’équation d’un système, du deuxième ordre, excité par un échelon, s’écrit : d2 s 1 ds + + v20 s(t) = A 0 v 20 e m Y(t) 2 te d t dt ce qui donne, en prenant la transformée de Laplace : v20  S(p) = A 0e m  p p2 + p/te + v 20

141

Régimes transitoires

En décomposant en éléments simples le membre de droite, on obtient, selon la valeur du facteur de qualité Q = v0 te , avec les notations habituelles :   1 1 p + 1/(2te ) 1/(2te) − − pour Q > S(p) = A 0em 2 p [p + 1/(2t e )]2 + v 2a [p + 1/(2t e )]2 + v 2a   1 1 p + 1/te pour Q < S(p) = A 0em − 2 p [p + 1/(2t e )]2 − b 2   v0 1 1 1 S(p) = A 0em − − pour Q = p p + v0 2 (p + v0 )2 La transformation inverse permet de retrouver les relations déjà établies relatives au régime transitoire (Fig. 4.26) :     1 1 t pour Q > cos (v a t) + sin (va t) s(t) = A 0e m 1 − exp − 2 2te 2te va     1 1 t pour Q < cosh (bt) + sinh (bt) s(t) = A 0e m 1 − exp − 2 2te 2te b   1 pour Q = s(t) = A 0e m 1 − (1 + v 0t) exp (−v 0t) 2 s(t) Q=1 1 Q = 1/4 Q = 1/2 v0 t

0 F IG . 4.26.

V . 3 . — Réponse impulsionnelle a) Signal impulsion Physiquement, une impulsion est un signal dont la durée t est très courte devant les constantes de temps du système et dont l’amplitude est inversement proportionnelle à t . On la représente à l’aide d’un pic de Dirac noté d(t) (cf. annexe 2) et relié à la fonction d’Heaviside par l’équation : d(t) =

dY dt

Remarques : 1) Il est impossible de réaliser physiquement un pic de Dirac ; cependant, il est possible de s’en approcher, par passage à la limite de fonctions, par exemple la fonction rect(t) (cf. annexe 2) :  t 1 d(t) = lim rect t t→0 t 2) Le dirac d(t) a la dimension de l’inverse d’une durée.

142

4. Régimes transitoires

b) Application aux systèmes La transformation de Laplace permet de calculer simplement la réponse impulsionnelle, c’est-àdire le régime transitoire de ce circuit lorsqu’il est excité par une impulsion. En effet, on a, au sens des distributions :   dY 1 TL {d(t)} = TL = p TL {Y(t)} = p × = 1 dt p Un système linéaire soumis à l’impulsion e(t) = F d(t) , où F est une constante homogène à un flux électrique, produit d’une tension par une durée, a pour équation : dk s ds ak k + · · · + a 1 + a0 s(t) = F d(t ) dt dt En prenant la transformation de Laplace des deux membres de l’équation, le système devient : ak pkS(p) + · · · + a 1 pS(p) + a 0 S(p) = F

d’où

S(p) =

F pk a + · · · + pa1 + a 0

c) Circuit du premier ordre Pour un circuit du premier ordre, par exemple un circuit RC série, alimenté par une impulsion de tension F d(t ) , l’équation précédente donne, si le signal de sortie est la tension u C (t) aux bornes du condensateur : F U C (p) = 1 + pt Le régime transitoire, c’est-à-dire la réponse impulsionnelle du circuit, s’obtient par transformée de Laplace inverse :  t F uC (t) = exp − t t Remarques : 1) La discontinuité de uC (t) en t = 0 est due au modèle théorique de l’impulsion qui suppose l’apparition d’un courant infini, ce qui est physiquement exclu. 2) Dans le cas simple du système linéaire précédent, il est possible de calculer aisément le régime transitoire, sans recourir au formulaire de la transformation de Laplace (cf. annexe 3). En effet, on sait que, pour t > 0 , l’équation différentielle linéaire du premier ordre admet pour solution u s(t) = Cte × exp(−t/t) . Pour calculer la condition initiale, il suffit d’intégrer l’équation différentielle de ce système autour de l’instant origine : d us + u s = F d(t) t dt



donne

0+

0−

   0+ d us F d(t) d t + us d t = t dt 0−

soit, en effectuant : t



0+

d us = F 0−



0+

0−

dY dt = F dt

Comme us(0− ) = 0 , on en déduit us (0+ ) = F/t .



0+

dY = F 0−

143

Régimes transitoires

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Le régime transitoire est la superposition de la réponse libre et de la réponse établie. La réponse libre est solution de l’équation différentielle homogène et la réponse établie une solution particulière de l’équation différentielle avec son second membre. Les constantes qui interviennent dans l’expression de la réponse libre sont déterminées par les conditions initiales. 2) La tension aux bornes d’un condensateur évolue sans subir de discontinuité en raison de la continuité de l’énergie électromagnétique. De même, le courant électrique qui traverse une bobine évolue sans subir de discontinuité. 3) La réponse indicielle d’un système permet d’évaluer ses constantes de temps. Un signal carré de tension [0 − um ] peut être considéré comme une répétition de signaux échelons si sa période est grande devant les constantes de temps du système. 4) L’équation différentielle d’un système linéaire stable du premier ordre se met sous la forme : t

ds + s(t) = A0 e(t) dt

La constante de temps t du système est reliée à la durée de montée par t ≈ t m /2, 2 .

5) L’équation différentielle d’un système linéaire stable du deuxième ordre s’écrit : d2 s 1 ds + + v20 s(t) = v20 A0 e(t) 2 te dt dt

Le régime libre est pseudo-périodique si Q = v 0t e > 1/2 et apériodique si Q  1/2 , 6) La transformation de Laplace présente un intérêt technique dans la recherche du régime transitoire d’un circuit linéaire.

EXERCICES ET PROBLÈMES P4– 1. Durée de montée d’un circuit RC Un condensateur, de capacité 1 mF , monté en série avec un résistor, est alimenté par une source de tension stationnaire de 6 V . La figure 4.27 représente l’écran d’un oscilloscope à mémoire, obtenu après la mise sous tension du circuit, avec un balayage de 1 ms · div −1 . 1. Calculer la valeur de la résistance du circuit ? 2. Quelle est l’énergie emmagasinée dans le condensateur à l’issue du régime transitoire ? 3. Comment mesurer la durée de montée si l’on ne dispose pas d’un oscilloscope à mémoire ?

144

4. Régimes transitoires

100 90

10 0

F IG . 4.27.

P4– 2. Réponse indicielle d’un circuit RL Une bobine, d’inductance 50 mH , est alimentée par une source de tension stationnaire de f.e.m 12 V et de résistance interne 50 V . L’enroulement de la bobine présente une résistance de 5 V . On ferme le circuit à l’instant initial t = 0 . 1. Établir l’équation différentielle donnant l’intensité i du courant électrique. 2. Comment évolue la tension u e aux bornes du générateur ? 3. Effectuer un bilan d’énergie et calculer l’énergie dissipée, lors du régime transitoire, pendant une durée égale à trois fois la durée caractéristique du circuit. P4– 3. Décharge d’un condensateur dans un autre condensateur Un condensateur, de capacité C 1 = 20 nF , a été chargé sous une tension stationnaire de 3 V par le biais d’un interrupteur à deux positions (Fig. 4.28). 1. L’interrupteur est en position 1 . Calculer la charge Q 1 du condensateur et l’énergie électrique E1 qu’il emmagasine, lorsque le régime est établi. 2. On bascule l’interrupteur en position 2 . Le premier condensateur se décharge dans un second condensateur, de capacité C 2 . Comment évoluent les tensions u 1 et u 2 aux bornes des condensateurs ? 3. Quelle est l’énergie E2 du second condensateur, de capacité 0, 1 mF ? Calculer l’efficacité h = E2 /Es du transfert d’énergie de la source Es vers le second condensateur. 4. Quelle aurait été l’efficacité du transfert d’énergie dans ce condensateur, si les deux condensateurs avaient été de même capacité ? P4– 4. Oscillations de relaxation avec un tube au néon Un tube au néon s’allume lorsque la tension à ses bornes dépasse u h = 60 V ; sa résistance est alors r = 90 V . Le tube s’éteint si la tension descend en dessous de ub = 50 V , car sa résistance devient alors très importante. Le tube est incorporé dans le circuit de fonctionnement de la figure 4.29, dans lequel E = 100 V , R = 1 kV et C = 2 mF . 1. Établir les équations différentielles qui traduisent l’évolution de la tension aux bornes du tube. On considèrera successivement le tube au néon éteint puis allumé.

145

Régimes transitoires 1

Tube au néon

2

u1

C

C1 i

E uR

C2

u2

i

R

R

uR F IG . 4.28.

E

F IG . 4.29.

2. Montrer que la tension u C aux bornes du condensateur oscille avec la période :     E − ub Et/t R − u h T = tR ln + t ln E − uh Et/t R − u b t R et t étant deux durées que l’on déterminera. Calculer la valeur de la période de ces oscillations de relaxation. P4– 5. Décharge d’un condensateur dans un circuit RLC

web

Dans le circuit de la figure 4.30, le condensateur 1 , de capacité C 1 , porte initialement la charge Q1 = 10−5 C . Le condensateur 2 de capacité C 2 est déchargé ; en outre, C1 = 100 nF , C2 = 220 nF , L = 50 mH et R est réglable de 100 V à 1 kV . 1. Établir l’équation différentielle d’évolution de la charge q 1(t) du condensateur 1. 2. Résoudre l’équation précédente pour R = 400 V . Étudier l’évolution de l’intensité i du courant dans le circuit. 3. Comment éviter les oscillations ?

u1

R

C1 i

C2

uR

iR iC

u2 C E

iL L

ir r

ur

uL F IG . 4.30.

F IG . 4.31.

P4– 6. Circuit RLC parallèle Sur la figure 4.31, le condensateur est initialement déchargé et aucun courant ne circule dans les branches du circuit. À l’instant initial, on ferme l’interrupteur ; la source délivre une tension stationnaire E , C = 10 nF , L = 40 mH , R = 5 kV et r = 1 kV . 1. Quelles sont les valeurs de i R , iC , iL , ir et ur , immédiatement après la fermeture de l’interrupteur ? Que deviennent-elles en régime établi ? 2. Déterminer l’équation différentielle d’évolution de la tension u r . Calculer le facteur de qualité Q et la constante de temps du circuit. 3. Résoudre l’équation différentielle précédente. 4. En déduire l’évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques, intensités et tensions, du circuit.

146

4. Régimes transitoires

web

P4– 7. Trains d’impulsions rectangulaires dans un circuit RC

Un circuit RC série est alimenté par une source de tension qui délivre des signaux rectangulaires, de période T = 0, 1 ms . La tension délivrée est E = 10 V , en début de période sur la durée a h T , ah = 0, 3 étant le rapport cyclique, et 0 V le reste de la période. On suppose la durée caractéristique t = RC = 10 ms du circuit très grande devant la période T de la source de tension. Le condensateur est initialement déchargé. 1. Calculer les valeurs de la tension u C aux instants t1 = ahT et t2 = T . Le régime est-il établi à l’issue de la première période ? 2. Établir une relation entre les tensions minimale et maximale, aux bornes du condensateur, respectivement, n étant un entier, u min(n) = uC (nT ) et umax(n) = u C (nT + ah T) , 3. Exprimer u min (n) et u max(n) en fonction de n , T , t et E . On remarquera que le terme général de la suite uk+1 = auk + b s’écrit uk = ak u0 + b(1 − ak )/(1 − a) . 4. Quelle est la durée du régime transitoire ? Commenter. 5. Calculer le taux d’ondulation (u max − u min )/E . P4– 8. Inductance alimentée en simple alternance Une bobine, de résistance interne r , est alimentée, à travers une diode supposée parfaite, par une source de tension sinusoïdale d’amplitude um et de pulsation v : ue = um sin(vt) (Fig. 4.32). 1. Étudier l’évolution du courant dans le circuit. 2. Quelle est la durée du passage du courant par période ? La calculer à l’aide d’un microordinateur, pour L = 100 mH , r = 10 V et f = 50 Hz . ud1

ud i ue r

ud2

ue

L r

L

F IG . 4.32.

P4– 9. Diode de délestage ou diode de « roue libre »

F IG . 4.33. web

Dans le circuit de la figure 4.33, les diodes sont supposées idéales et la source délivre une tension sinusoïdale d’amplitude um et de pulsation v : u e = um sin(vt) . 1. On désigne par i0 l’intensité du courant dans la bobine, à l’instant initial. Quelle est l’intensité du courant à l’instant t = T = 2p/v ? 2. Calculer i 0 en régime établi pour L = 100 mH , r = 100 V , f = 1 kHz et um = 24 V . 3. En s’appuyant sur une analogie mécanique de roue de bicyclette entraînée par un pédalier, justifier l’appellation de diode de « roue libre ».

147

Régimes transitoires P4– 10. Circuit RC parallèle

web

Le circuit de la figure 4.34 est alimenté par une tension sinusoïdale u e = um cos(vt) . Initialement, le condensateur est déchargé et aucun courant ne circule dans le circuit. 1. Quelles sont les conditions initiales sur les grandeurs électriques du circuit immédiatement après la fermeture de l’interrupteur ? 2. Établir et résoudre l’équation différentielle d’évolution de la tension u C . 3. La fréquence de la tension d’alimentation est f = 2 kHz et son amplitude vaut 6 V . Sachant que R = 10 kV et C = 100 nF , sur combien de périodes s’étend le régime transitoire ? iR ue

R

iC uC

C

R i

F IG . 4.34.

P4– 11. Impulsions dans un circuit RLC Un circuit RLC série est alimenté par des impulsions de tension Fd(t ) et de fréquence f = 1 kHz ; en outre, C = 0, 2 mF , L = 2 mH et R = 5 kV . 1. Déterminer l’équation différentielle d’évolution de la tension u C aux bornes du condensateur. 2. Résoudre l’équation précédente. Le régime établi est-il atteint entre deux impulsions successives ? P4– 12. Sonde d’un l’oscilloscope

web

La voie d’entrée d’un oscilloscope peut être représentée par l’association en parallèle d’un condensateur Cos = 25 pF et un conducteur ohmique de résistance R os = 1 MV . Introduit dans un circuit, l’oscilloscope peut en modifier significativement les caractéristiques. On observe alors des signaux déformés. Pour pallier cet effet indésirable, on utilise une sonde de compensation qui prélève le signal du circuit, et dont les caractéristiques sont données sur la figure 4.35. Oscilloscope

Rso Cso ue

C os uso

R os

u os

Sonde i F IG . 4.35.

1. Établir l’équation différentielle d’évolution de la tension u o en fonction de u e .

148

4. Régimes transitoires

2. Quelle condition doit être réalisée pour avoir u os (t) = K ue(t) ? Préciser la valeur de K . On désigne alors par Cso la valeur de la capacité de la sonde. 3. On règle la sonde compensatrice, à l’aide d’une tension échelon. En pratique, on utilise un générateur de signaux carrés. Quelle gamme de fréquence doit-on choisir ? 4. Établir la relation entre les transformées de Laplace TL {u os} et TL {u e} .

5. On dit que la sonde est sur-compensée lorsque C os > C so . Quelle est alors la valeur de uo immédiatement après le début du régime transitoire. Même question pour une sonde sous-compensée Cos < C so . 6. Donner l’allure du signal u os (t) observé à l’oscilloscope, pour une sonde sur-compensée, une sonde compensée et une sonde sous-compensée.

5 Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires L’analyse des circuits par application directe des lois de Kirchhoff s’avère souvent très laborieuse, surtout lorsqu’on ne s’intéresse qu’à l’état électrique d’une seule branche, précisément à la tension entre ses deux nœuds et à l’intensité du courant qui y circule. Lorsque les circuits sont linéaires, il est possible et commode de remplacer le reste du réseau soit par un générateur de tension soit par un générateur de courant. Si l’on souhaite déterminer l’état électrique de l’ensemble du réseau, c’est-à-dire l’ensemble des courants et des tensions, la linéarité du système d’équations à résoudre suggère fortement d’utiliser le calcul matriciel, en s’aidant de méthodes numériques (cf. annexe 6).

I . — THÉORÈMES DE BASE Le premier des théorèmes de base des circuits linéaires est le théorème de superposition. Il permet d’établir tous les autres. I . 1 . — Théorème de superposition a) Relation linéaire La mise en équation d’un réseau, constitué de dipôles linéaires, par application des lois de Kirchhoff, conduit à un système d’équations linéaires dont les seconds membres sont des combinaisons linéaires des termes de source, forces électromotrices (f.e.m) ou courants électromoteurs (c.e.m) stationnaires Ek et Ik (iota majuscule) ou variables ek (t) et i(t) (iota).

Nous supposons ces sources indépendantes, c’est-à-dire que leurs caractéristiques ne dépendent d’aucune intensité ou tension du réseau. Ainsi, l’état électrique du circuit représenté sur la figure 5.1a, qui est alimenté par les sources stationnaires de tension E et de courant I , satisfait aux deux équations de mailles suivantes : E = R1 I1 + R(I1 + I2 ) et

0 = R(I1 + I2 ) + R 2I 2 − R3 (I − I2 )

ce qui donne, en regroupant les différents termes : E = (R 1 + R)I1 + RI 2

et

R3 I = RI1 + (R + R 2 + R3 )I 2

150

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

Ce système peut se mettre sous la forme matricielle suivante : [S] = [R][I ] où les matrices « source », « résistance » et « intensité » ont pour expressions respectives :       E R1 + R R I et [I] = 1 [S] = [R] = I R3 R R + R2 + R3 I2 R1

A

R2

R1

I2

I1

A

R2

I1 R

R R3

R3

B

B

E

E I

I

a)

b) F IG . 5.1.

L’état électrique de ce réseau peut être considéré comme la superposition de deux états : (a)

i) le premier a admet les courants I 1 soit [S (a) ] = [R][I(a) ] avec :

(a)

et I2

  E ( a ) [S ] = 0

, lorsque les générateurs se réduisent à la f.e.m E ,

et



 (a) I [I (a)] = 1(a) I2

ii) Le second b admet les courants I (1b) et I(2b) , lorsque les générateurs se réduisent au c.e.m I , soit [S (b) ] = [R][I(b) ] avec :     (b) 0 I et [I(b) ] = 1(b) [S(b) ] = R3I I2 En sommant les deux équations matricielles [S(a) ] = [R][I(a) ] et [S(b) ] = [R][I(b)] on restitue l’équation matricielle initiale : [S (a)] + [S (b) ] = [R]([I(a) ] + [I(b) ])

qui donne bien

[S] = [R][I ]

b) Énoncé du théorème de superposition En raison des équations linéaires qui relient les courants dans les différentes branches d’un réseau linéaire, comportant des sources de tension et de courant, le théorème de superposition s’énonce ainsi : le courant produit dans une branche par un ensemble de générateurs indépendants est la somme des courants produits par chacun d’eux, les autres étant éteints. Éteindre un générateur de tension signifie ramener sa f.e.m à zéro et donc à le remplacer par un court-circuit ; éteindre un générateur de courant signifie ramener son c.e.m à zéro et donc à le remplacer par un coupe-circuit.

151

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

Exemple : calculons l’intensité du courant qui parcourt la branche AB , avec la résistance R , dans l’exemple précédent, pour R1 = 3 V , R2 = 12 V , R3 = 6 V , R = 6 V , E = 12 V et I = 3 A . i) L’état a est celui dans lequel la source de courant est passivée, c’est-à-dire remplacée par un coupe-circuit (Fig. 5.2). On reconnaît ici un diviseur de tension avec deux résistances, l’une R1 et (a) l’autre la résistance équivalente à R en parallèle avec ( R 2 + R3 ). L’intensité IAB du courant dans la branche AB , avec la résistance R , vaut : a) I(AB =

U AB R

avec UAB =

R1

R//(R 2 + R3) 9/2 × 12 = 7, 2 V E= R 1 + R//(R2 + R 3 ) 3 + 9/2 R1

R2

A

A

d’où R2

(b)

I(1a)

I(2a)

R

I1

R3

a) I (AB = 1, 2 A

(b)

R

I2 R3

B

B E

I F IG . 5.2.

F IG . 5.3.

ii) L’état b est celui dans lequel la source de tension est passivée, c’est-à-dire remplacée par un court-circuit (Fig. 5.3). On reconnaît là un diviseur de courant avec deux conductances, l’une G 3 et l’autre la conductance G2 équivalente à G2 en série avec G et G 1 en parallèle. L’intensité du courant dans la branche où se trouve G2 vaut donc : I(2b) =

G 2 R3 1 1 6 I= I= I= ×3 = 0, 9 A   I =  1 + G 3/G2 1 + R2/R 3 6 + 12 + 2 G2 + G3 R3 + R 2 + R//R 1

b) L’intensité I(AB s’écrit alors : b) I (AB = (a)

3 G R1 I(2b) = I (2b) = × 0, 9 = 0, 3 A 9 G + G1 R + R1

(b)

On en déduit : IAB = IAB + I AB = 1, 5 A . I . 2 . — Théorème de Thévenin Dans le circuit linéaire de la figure 5.1a ouvrons la branche AB, et calculons alors la tension (UAB ) o entre les points A et B (Fig. 5.1b). Il vient : (UAB )o = E − R1 I 1

avec I1 satisfaisant à la loi des mailles E = (R 1 + R 2 )I1 + R 3(I1 + I ) . On en déduit : I1 =

12 − 18 2 E − R 3I = = − = −0, 286 A 3 + 12 + 6 7 R1 + R2 + R3

La tension (UAB )o vaut donc : 12 + 6/7 = 90/7 V . C’est bien ce que l’on mesure avec un voltmètre numérique, de très forte impédance. La question qui se pose alors est la suivante : comment retrouver l’intensité du courant qui circule dans la branche extérieure de connexion AB comportant le résistor, de résistance R = 6 V , sans recalculer tout le réseau, à partir de la seule tension (U AB)o que l’on vient de calculer ? Le théorème de Thévenin permet d’y répondre.

152

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

a) Démonstration de L. Thévenin Reprenons le raisonnement que fit le physicien français L. Thévenin dans sa publication originale en 1883. Il appliqua le théorème de superposition à un réseau linéaire actif, en ne s’intéressant qu’à la branche extérieure AB reliant deux points A et B du réseau et en considérant les deux états suivants. i) Dans la branche extérieure AB , on insère, en opposition avec la tension (U AB )o entre A et B , mesurée lorsque la branche extérieure AB est ouverte, un générateur de tension de f.e.m E Th égale à (UAB ) o . Comme ces deux tensions sont en opposition, aucun courant ne parcourt la branche extérieure : I(a) = 0 . ii) On passive le réseau initial, c’est-à-dire que l’on supprime tous les générateurs, en remplaçant les sources de tension par des courts-circuits et en ouvrant les branches contenant des sources de courant. La tension entre les points A et B est donc nulle et le réseau se comporte comme un résistor, de résistance RTh . On insère alors dans la branche extérieure AB un générateur de tension, de f.e.m E Th , de même sens que la tension initiale (UAB )o . L’intensité du courant dans la branche extérieure AB de résistance R vaut alors : ETh I (b) = RTh + R La superposition de ces deux états donne l’intensité du courant qui circule dans la branche extérieure AB (Fig. 5.4) I = I (a) + I (b) soit : I=

E Th RTh + R

avec

E Th = (UAB ) o

ETh = (U AB )0 +

ETh = (U AB )0

= =

−

A

−

+

A

Réseau linéaire actif B

Réseau linéaire passivé

R A

B

I1(a)= 0 a)

b)

F IG . 5.4.

R

RTh A I (b)= 0

Exemple : retrouvons l’intensité du courant qui parcourt la branche AB , la résistance R = 6 V étant connectée. Pour cela, déterminons la résistance interne RTh du réseau entre A et B passivé. Entre ces deux derniers points, cette résistance RTh s’identifie à R 1 en parallèle avec R2 et R 3 en série, soit : RTh =

3 × 18 18 = 2, 57 V = 3 + 18 7

d’où

I=

90/7 = 1, 5 A 18/7 + 6

b) Énoncé du théorème Étant donné un système linéaire quelconque de conducteurs reliés, et renfermant des générateurs répartis d’une manière quelconque, on considère deux points A et B appartenant au système, entre lesquels la tension est UAB = VA − VB . Si l’on vient à réunir les points A et B par un résistor de résistance R , ne contenant pas de générateur, la tension UAB devient nulle et l’intensité I du courant

153

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires qui parcourt ce résistor est donnée par l’expression : I=

(U AB) o RTh + R

dans laquelle RTh représente la résistance du système initial, mesurée entre les points A et B , une fois passivés tous les générateurs. Soulignons bien que VA − V B est la tension (U AB )o , avant que l’on ne relie les deux points A et B par le dipôle de connexion de résistance R. Retenons comment, en pratique, appliquer le théorème de Thévenin : i) on ouvre d’abord la branche AB dans laquelle on veut calculer l’intensité, ii) cette branche étant ouverte, on détermine successivement la tension (U AB ) o et la résistance équivalente RTh entre A et B en passivant toutes les sources. Il suffit alors d’utiliser la formule précédente pour en déduire le courant dans la branche. c) Extension au régime quasi stationnaire sinusoïdal Cette extension au régime quasi stationnaire sinusoïdal est immédiate. Il suffit de considérer, en régime sinusoïdal, en plus des résistances, les impédances offertes par les bobines et les condensateurs (cf. chapitre 2), ce qui implique d’utiliser la notation complexe. L’intensité complexe du courant dans la branche extérieure AB d’un réseau linéaire est donc donnée par l’expression : i=

(uAB )o Z Th + Z

dans laquelle (uAB )o est la tension entre les deux points A et B et Z Th l’impédance du réseau mesurée entre ces points avant que l’on ne les relie par un dipôle de connexion d’impédance Z . Exemple : dans le circuit représenté sur la figure 5.5, on souhaite déterminer la puissance dissipée par la charge résistive Rc = 8 V . −12j

A 12 V 8V

24 V ∼ j12 V

B F IG . 5.5.

Déterminons, à l’aide du théorème de Thévenin, l’intensité complexe i du courant qui parcourt cette charge. Il vient : (uAB )o i= Z Th + Rc Le circuit de charge étant ouvert, la tension (uAB )o vaut, en reconnaissant un diviseur de tension : (u AB )o =

12(1 + j) × 24 = 24(1 + j) 12

154

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

Quant à l’impédance interne ZTh du générateur de Thévenin, on l’obtient en passivant la source de tension ; elle se présente comme le résultat de deux impédances en parallèle : Z Th = Il en résulte pour l’intensité en ampère : i=

12(1 + j)(−12j) = 12(1 − j) 12(1 + j) − 12j

24(1 + j) 6(1 + j) 6(1 + 4j) = = = 0, 35 + j1, 41 12(1 − j) + 8 5 − 3j 17

On en déduit la puissance dissipée par la charge : P=

R c|i|2 8 × 36(1 + 16) = ≈ 8, 5 W 2 2 × 172

Remarque : Dans un circuit constitué de deux sous-systèmes dont l’un est linéaire et l’autre non, le théorème de Thévenin permet de remplacer le premier par un simple générateur. On utilise cette propriété pour déterminer le point de fonctionnement d’un dipôle non linéaire, telle qu’une diode, connecté aux bornes d’un sous-système qui lui est linéaire. I . 3 . — Théorème de Norton a) Démonstration Le théorème de Norton, du nom de l’ingénieur américain L. Norton qui l’établit en 1926, permet lui aussi de calculer l’intensité du courant qui circule dans une branche extérieure d’un réseau linéaire entre deux points A et B ; cependant, dans ce cas, on considère que le réseau se comporte, entre ces deux points, non comme un générateur de tension, mais comme un générateur de courant (Fig. 5.6). On l’établit aisément à partir du théorème de Thévenin. En effet, ce dernier s’écrit aussi, en régime stationnaire (Fig. 5.6a) : ETh RTh E = × Th I= RTh + R RTh + R R Th soit, en introduisant le courant de court-circuit Icc ou courant de Norton IN : I=

RTh IN RTh + R

avec

I N = I cc =

ETh RTh

Le schéma correspondant est celui représenté sur la figure 5.6b. Il est instructif d’écrire le théorème de Norton sous une forme, dite duale de celle du théorème de Thévenin, dans laquelle on souligne la correspondance entre tension et courant, impédance et admittance, série et parallèle. Pour cela, il suffit d’exprimer la tension U AB aux bornes de la charge R : UAB = RI =

1 RRTh IN = I N soit R Th + R 1/RTh + 1/R

U AB =

où GTh et G représentent les conductances 1/R Th et 1/R (Fig. 5.6c).

IN G Th + G

155

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires I

I

A

A

IN

RTh

IN

R Th

R ETh

I

B

GTh

R

B

a)

A G

UAB

B

b)

c)

F IG . 5.6.

b) Énoncé Étant donné un système linéaire quelconque de conducteurs reliés, et renfermant des générateurs répartis d’une manière quelconque, on considère deux points A et B appartenant au système. En réunissant les points A et B par un simple fil conducteur, l’intensité du courant qui le parcourt est l’intensité de court-circuit ou de Norton I cc = IN . Si l’on insère entre A et B , à la place du fil de court-circuit, un dipôle de conductance G , ne contenant pas de générateur, le courant entre A et B prend une valeur différente de Icc , mais la tension UAB est donnée par l’expression : UAB =

IN GTh + G

dans laquelle GTh représente la conductance du système initial passivé, mesurée entre A et B . Notons que l’intensité du courant de court-circuit ou de Norton est directement reliée aux caractéristiques du générateur de Thévenin par l’équation I cc = IN = (UAB ) oG Th Exemple : sur le montage de la figure 5.7, cherchons la tension aux bornes des points A et B , lorsqu’on les réunit par un conducteur de résistance R = 10 V : U AB =

IN GTh + G

avec G = 0, 1 S

On obtient GTh en remplaçant le générateur de tension par un fil et en ouvrant la branche comportant la source de courant. Les conducteurs sont alors en parallèle : GTh =

1 1 5 1 + = = = 0, 083 S d’où 20 30 60 12

R Th = 12 V

Quant à IN , on l’obtient rapidement en calculant l’intensité de court-circuit, c’est-à-dire en connectant directement les points A et B par un fil de résistance nulle : IN = Icc =

15 − 5 = −4, 25 A 20

Remarque : On peut retrouver I N en effectuant EThG Th , ETh étant la tension entre A et B , la charge R = 10 V n’étant pas connectée. La résolution du circuit initial donne l’équation : 15 = 20 I + 30(I − 5)

d’où I = 3, 3 A

Il vient donc : IN = U AB G Th = −

et

UAB = 30(3, 3 − 5) = −51 V

51 = −4, 25 A 12

156

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires I K A

20 V + 15 V −

30 V

A

30 V 5A

j 40 V

2V ∼

10 V

−j 50 V

B

B

F IG . 5.7.

F IG . 5.8.

c) Extension au régime quasi stationnaire Comme pour le théorème de Thévenin, l’extension au régime stationnaire est immédiate. Il suffit de considérer, en régime sinusoïdal, en plus des conductances, les admittances offertes par les bobines et les condensateurs (cf. chapitre 2), ce qui implique d’utiliser la notation complexe. La tension complexe recherchée est donc donnée par l’expression : iN avec iN = (uAB )o G Th uAB = GTh + G dans laquelle G est l’admittance du dipôle de connexion et GTh l’admittance du système initial, mesurée entre les points A et B . Exemple : déterminons les caractéristiques du générateur de Norton équivalent aux bornes des points A et B , dans le montage étudié sur la figure 5.8. Calculons l’admittance équivalente en passivant le circuit : 1 1 1 3 + 4j − 5j 1 3−j 3+j + = = = × × G Th = −j50 30 + j40 10 5j(3 + 4j) 50 4 − 3j 250 Quant à iN , on l’obtient aisément en cherchant le courant de court-circuit. Comme le condensateur est court-circuité, on trouve : 2 0, 2 4 = iN = soit iN = 0, 04 exp(jf) avec tan f = − 30 + 40j 3 + 4j 3 Un réseau linéaire entre deux de ses points A et B peut donc être représenté indifféremment par un générateur de tension ou par un générateur de courant ; le passage d’une représentation à une autre est illustrée sur la figure 5.9. A ZTh

e Th

iN e Th ZTh

B

A Y Th =

1 ZTh

B F IG . 5.9.

I . 4 . — Représentation de Thévenin et représentation de Norton a) Représentation d’un système linéaire D’après ce qui précède, un système linéaire peut être représenté, entre deux de ses nœuds A et B , relativement à son extérieur, soit par une source de tension, de f.e.m eTh et d’impédance ZTh , soit par une source de courant, de c.e.m i N = e Th /ZTh et d’admittance Y Th = 1/ZTh .

157

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

On a alors les deux équations suivantes reliant la tension u entre les bornes A et B et l’intensité i du courant de A vers B (Fig. 5.10) : u = eTh − Z Thi ou

i = i N − Y Thu

Le choix de l’une ou l’autre de ces représentations relève uniquement de la commodité. Lorsque ZTh est faible devant les autres impédances du circuit, le modèle de Thévenin sera privilégié car les effets de ZTh seront négligeables (Fig. 5.10a). En revanche, on adoptera le modèle de Norton dans le cas inverse, où c’est YTh = 1/ZTh qui est faible devant les autres admittances du circuit (Fig. 5.10b), car ce sont les effets de YTh qui seront négligeables. i

i

A

A

iN

ZTh u

YTh

u

eTh B

a)

B b) F IG . 5.10.

b) Application à la simplification d’un réseau Le passage d’une représentation à l’autre permet souvent de simplifier un réseau. C’est le cas du montage de la figure 5.11a, lequel comporte, en régime stationnaire, deux résistances R1 et R2 alimentées par une source de tension, de f.e.m E et de résistance interne r , et par une source de courant, de c.e.m I et de résistance R . I1

I1

B R1

A

R1

I

r R2

R

I1

R2

E

R1

I

R2 R2 I

E

E a)

b)

c)

F IG . 5.11.

Pour déterminer l’intensité I 1 du courant qui parcourt R 1 , on commence par remplacer les ensembles r , R1 en série et R , R 2 en parallèle par, respectivement (Fig. 5.11b) : R1 = R1 + r

et

R 2 = R2//R =

R2 R R2 + R

Ensuite, on se ramène à une seule maille en remplaçant la source de courant par une source de tension équivalente (Fig. 5.11c). On en déduit : E − R 2I I1 =  R1 + R2

158

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

L’application du théorème de Thévenin entre les points A et B du montage donne évidemment le même résultat : I1 =

(U AB)o (UAB )o = RTh + R1 + r RTh + R1

avec RTh = R2//R = R 2

et

(UAB )o = E−I×(R2//R) = E−I R 2

Exemple concret : E = 48 V , I = 12 mA , R 1 = 1 kV , R2 = 2, 2 kV , r = 250 V , R = 10 kV . On trouve : R  1 = 1, 25 kV

R 2 = 1, 8 kV d’où

I=

48 − 12 × 1, 803 = 8, 6 mA 1 250 + 1 803

I . 5 . — Effet de fermeture d’un interrupteur dans un circuit linéaire a) Fermeture d’un interrupteur Considérons deux points P et Q d’un réseau linéaire entre lesquels il existe, en régime stationnaire, une différence de potentiel UPQ (Fig. 5.12), en raison des sources de tension ou de courant existant dans le réseau. P Réseau linéaire

P K

Réseau linéaire

Q

E = UPQ Q

a) P Réseau linéaire

P K

E

Réseau linéaire

Q

E Q

b) F IG . 5.12.

Réunissons les bornes P et Q à celle d’un interrupteur K ouvert. La branche PKQ est donc caractérisée par la tension UPQ et par un courant nul. L’état de cette branche ne change pas si l’on insère entre P et Q une source idéale de tension, dont la f.e.m E est précisément égale à UPQ , le pôle positif en P et le pôle négatif en Q . L’effet de fermeture de K revient à ajouter, en série avec la source idéale de tension précédente, une seconde source de tension identique mais en opposition. La différence de potentiel entre les deux points est alors nulle, comme lorsqu’on ferme K . Ainsi, la fermeture d’un interrupteur est équivalente à l’adjonction, au réseau comportant l’interrupteur ouvert K , aux bornes duquel la tension est U PQ , d’une source de tension idéale en opposition avec UPQ . Ce résultat se généralise aux signaux variables dans l’approximation des régimes quasi stationnaires.

159

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires b) Application à la mesure de la résistance interne d’une pile par la méthode de Mance

Considérons le pont représenté sur la figure 5.13a dans lequel les résistances R 1 et R 2 sont connues avec précision, Rv est une résistance variable, E est la f.e.m de la pile et R i sa résistance interne. On réalise l’équilibre du pont, entre les points A et B , en cherchant la valeur de R v qui annule le courant dans la branche AB . Désignons par UPQ la tension aux bornes de l’interrupteur et insérons une source de tension idéale de f.e.m EK = U PQ . Un tel système est équivalent au pont, avec K ouvert. A

A Pile

R1

Q

A

P

≡

B

I

R2

Q Rv

Ri

R1

(a)

A

P

Rv

R2

Pile

R1

I

A

+

I(b) Q

A

P R2

B

Rv B

K EK a)

b) F IG . 5.13.

EK c)

D’après le théorème de superposition, un tel montage peut être considéré comme la superposition de deux montages : i) dans le premier (Fig. 5.13b), on maintient la pile et on passive la tension idéale en connectant directement les points P et Q . Ce montage est équivalent au montage initial avec interrupteur fermé. L’intensité du courant qui circule dans la branche AB est I (a) . ii) Dans le second (Fig. 5.13c), on maintient la tension idéale E K et on passive la pile en la remplaçant par sa seule résistance interne. Ce montage est équivalent à un pont de Wheatstone. L’intensité du courant qui circule dans la branche AB est I (b) . On sait qu’elle est nulle lorsque le pont est équilibré, c’est-à-dire lorsque : R1 Ri R1 = d’où Ri = Rv R2 Rv R2 On en déduit que l’intensité I est égale à I (a) , que l’interrupteur soit ouvert ou fermé. Une telle détermination de la résistance interne d’une pile, insérée dans l’une des branches d’un pont de Wheatstone équilibré (dans la branche AB ), avec un interrupteur K dans la branche PQ , est connue sous le nom de méthode de Mance . Application : R1 = R3 = 2 kV et Rv = 14, 5 V ; on trouve R i = 14, 5 V . c) Extension au régime quasi stationnaire Le résultat précédent s’étend sans précaution particulière aux circuits variables dans l’approximation des régimes quasi stationnaires. Par exemple, considérons le circuit de la figure 5.14a dans lequel, lorsque l’interrupteur K est ouvert (Fig. 5.14b), on mesure entre les points P et Q une tension efficace UPQ = 12 V , en présence des sources de tension, de f.e.m efficaces E 1 et E2 inconnues, mais avec les valeurs d’impédances données sur la figure.

160

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires P

P

24 V

E1

12 V 48 V

Q E2

24 V

K Q

48 V

C 70 V

A

L

r

70 V

B

L

A

a)

r

B

b) F IG . 5.14.

On se propose de déterminer la variation de la tension entre les bornes A et B de la bobine, lorsqu’on ferme l’interrupteur. Pour cela, ajoutons entre P et Q une source de tension de f.e.m 12 V , mais en opposition avec la tension avant fermeture de K . La variation de tension recherchée est obtenue en calculant l’intensité du courant que fait circuler cette nouvelle source de tension, lorsqu’on passive le circuit initial. On trouve aisément cette intensité en appliquant le théorème de Thévenin. Il vient : Du AB = (r + jLv)i

où

i=

(u AB )o r + jLv + Z Th

La tension complexe (uAB ) o est, en choisissant r = 14 V et Lv = 20 V (Fig. 5.14b) : √ √ √ 24 4 2 cos(vt) = −4 2 cos(vt ) d’où i = − cos(vt) (uAB ) o = −12 2 24 + 48 100 + j 20 Quant à l’impédance interne ZTh , elle vaut, puisque le condensateur est court-circuité : ZTh = 70 +

24 × 48 = 86 V 24 + 48

On en déduit la surtension mesurée lorsqu’on ferme K : √ 4 2 cos(vt) Du AB = −(14 + j 20) 100 + j 20 dont la valeur efficace est :    1/2  14 + j 20  53   =4 = 2, 85 V DU AB = 4  100 + j 20  104

II . — CAS DES SOURCES COMMANDÉES

Jusqu’à maintenant les sources de tension ou de courant considérées étaient indépendantes. Or les composants actifs, tels que les transistors sont représentés par des schémas électroniques dans lesquels des sources de tension ou de courant ont des caractéristiques qui, elles, dépendent des autres paramètres du réseau. Par exemple, sur le montage de la figure 5.15, représentant un transistor (cf. chapitre 7), le c.e.m de la source de courant dans la deuxième maille est proportionnel à l’intensité i1 dans la première ; il s’écrit précisément : i2 = b i1 . Lorsqu’on applique les théorèmes de Thévenin ou de Norton, la détermination de e Th , qui est la tension entre les points A et B d’une branche ouverte, ne pose pas de problème particulier.

161

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

ue

A

i1

R1 Ud

R2 bi 1

u2

B

F IG . 5.15.

En revanche, celle de ZTh par la passivation des sources d’un réseau, qui consiste à court-circuiter une source de tension et à « coupe-circuiter » une source de courant, ne peut plus convenir. En effet, la suppression d’une f.e.m indépendante dans une branche impliquerait automatiquement celle de l’intensité i dans une autre branche, ce qui reviendrait à annuler la f.e.m commandée. On évite cette difficulté en utilisant les deux méthodes suivantes de détermination de l’impédance de Thévenin, moins simples mais valables, elles, dans tous les cas. II . 1 . — Détermination de l’impédance de Thévenin En présence de sources commandées, on peut déterminer l’impédance de Thévenin du réseau entre les points A et B , de deux façons différentes plus ou moins commodes, selon la nature du réseau considéré. a) Méthode du courant de court-circuit Le courant de court-circuit entre les points A et B est, comme on le sait, le courant qui parcourt la branche AB lorsqu’on court-circuite ces deux points par un simple fil de connexion. En régime quasi stationnaire sinusoïdal, le rapport de la f.e.m de Thévenin eTh sur son intensité icc donne précisément l’impédance interne (Fig. 5.16) : e ZTh = Th icc

ZTh

i

A

e Th

i cc

R1

R2

A

e

B F IG . 5.16.

ai

B F IG . 5.17.

Exemple : déterminons la f.e.m de Thévenin entre les points A et B du circuit, représenté sur la figure 5.17, dans lequel les éléments passifs sont des résistors ; le c.e.m de la source de courant est commandé par l’intensité i de courant qui parcourt la résistance R 1 . La branche AB étant ouverte, on trouve aisément que eTh = e . Quant au courant de court-circuit, il a pour expression, avec les notations de la figure : i cc = i(1 + a) avec i est tel que e = R 1i + R2 icc . Il en résulte :   R1 e e(1 + a) e = i cc R2 + = d’où i cc = R2 + R1 /(1 + a) R2 (1 + a) + R 1 1+a

162

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

On en déduit la résistance de Thévenin : R Th =

e Th R1 = R2 + 1+a icc

b) Méthode du générateur auxiliaire Neutralisons les f.e.m indépendantes et connectons un générateur de f.e.m e g entre les points A et B . Si l’intensité du courant débité par le générateur est ig , l’impédance de Thévenin est (Fig. 5.18) : ZTh =

eg ig

A

ZTh

eg

e Th B F IG . 5.18.

Exemple : reprenons le circuit de la figure 5.17. Le courant i g satisfait aux deux équations suivantes : ig = −(1 + a)i avec i tel que eg = R2 i g − R 1i . Il en résulte : eg = R2 i g +

R1 i 1+a g

d’où ZTh = R2 +

R1 1+a

Remarques : 1) On retrouve évidemment l’intensité icc en résolvant le circuit simple considéré, avec A et B reliés par un fil de connexion. En effet, on a alors : icc = (1+ a)i

et

e = R1i + R 2 icc = R 2 icc +

R1 icc 1+a

d’où icc =

e R2 + R1/(1 + a)

2) La méthode de passivation de toutes les sources, ici inadaptée, aurait donné pour Z Th , les résistances étant en série : ZTh = R 1 + R 2 et donc i cc = e/(R 1 + R2) comme valeur de l’intensité, ce qui est inexact. II . 2 . — Applications a) Générateur de Thévenin associé à un transistor La figure 5.19a représente le schéma équivalent simplifié d’un transistor. La f.e.m du générateur équivalent de Thévenin, que l’on obtient en l’absence de branche AB extérieure, a pour expression : eTh = −Z 2bib

avec i b =

ue Z1

d’où eTh = −

Z2b u Z1 e

163

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

Quant à l’impédance ZTh , on la trouve en déterminant l’intensité du courant de court-circuit. Pour cela, on relie les bornes A et B par un simple fil de connexion (Fig. 5.19b). Il vient : i cc = −bi b = −b

ue Z1

d’où Z Th =

eTh = Z2 icc

Ordres de grandeur : avec le transistor bipolaire NPN 2N2219, pour lequel : b = 180

Z 2 = 5 kV

Z 1 = 2, 5 kV

et

u e = 25 mV

on trouve : e Th = −360 ue = −9 V ib

et ZTh = 5 kV

A

Z1

ue

ib ue

Z2 bi b

A

Z1 Z2 bib

B

a)

icc B

b) F IG . 5.19.

b) Générateur de Thévenin associé à un réseau avec bobines couplées Un exemple de circuit à sources commandées est fourni par le couplage de deux bobines (cf. chapitre 11). Proposons-nous de déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin entre les points A et B du réseau représenté sur la figure 5.20. i1

e1 ∼

L 1 , r1

1

i2

L 2, r2

Z1

2

A Z2 B

F IG . 5.20.

Dans la maille 1 (respectivement 2 ) apparaît une f.e.m supplémentaire proportionnelle à la variation de l’intensité du courant qui circule dans le circuit 2 (respectivement 1 ) et au coefficient d’inductance mutuelle M , lequel est positif ou négatif selon le sens des enroulements (cf. Électromagnétisme). Les deux équations du réseau s’écrivent donc : e1 = r1 i1 + L1

d i1 di + M 2 + Z 1(i1 − i2 ) dt dt

et

0 = r2 i 2 + L2

d i2 di + M 1 + Z 2i2 − Z 1 (i1 − i2 ) dt dt

ce qui donne, en régime sinusoïdal et en notation complexe : e1 = (r 1 + jL1v)i 1 + jMvi2 + Z 1(i1 − i2 )

et

0 = (r2 + jL2 v)i2 + jMvi 1 + Z2i2 − Z 1(i 1 − i2 )

La résolution laborieuse de ces équations fournit l’intensité i2 et donc la f.e.m de Thévenin selon : eTh = Z 2i2

164

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

On trouve ZTh en déterminant icc , lequel s’identifie à i 2 si Z2 = 0 : e 1 = (r 1 + jL 1v)i 1 + jMvicc + Z1(i1 − icc ) et

0 = (r 2 + jL 2v)icc + jMvi 1 − Z1 (i1 − icc )

Exemple : plaçons-nous dans le cas concret où la pulsation est telle que : L1v = L 2v = 5 V

M v = −4 V

Z1 = (3 − 4j) V

et

Z2 = 5 V

En outre, r1 = r 2 ≈ 0 et e m = 10 V . Le système numérique à résoudre est alors le suivant : i1,m (3 + j) − 3i2,m = 10 On trouve : i 2,m =

30 14 + 11j

3i 1,m − (8 + j)i 2,m = 0 et e Th,m =

150 14 + 11j

Pour déterminer le courant icc , il faut résoudre le nouveau système : i1,m (3 + j) − 3i cc,m = 10

On obtient : icc,m =

30 −1 + 6j

et

ZTh =

3i 1,m − (3 + j)i cc,m = 0

150 −1 + 6j −1 + 6j e Th = × =5 14 + 11j 30 14 + 11j icc,m

Ainsi, le générateur équivalent de Thévenin est caractérisé par : eTh,m =

150 −1 + 6j = (6, 62 − j 5, 2) V et ZTh = 5 = (0, 8 + j 1, 5) V 14 + 11j 14 + 11j

III . — ANALYSE DES RÉSEAUX Analyser un réseau, c’est-à-dire un circuit comprenant un nombre suffisant de mailles, c’est mettre en œuvre une méthode qui permet de connaître son état électrique, présent et futur. III . 1 . — Variables d’état d’un réseau électrique a) Inconnues du réseau Considérons un réseau tel que celui représenté sur la figure 5.21, lequel est un pont de Wheatstone modifié, qui comporte six branches ( b = 6 ), contenant chacune un résistor, et quatre nœuds N 1, N2 , N3 et N4 ( n = 4 ). La connaissance des intensités des courants, dans les b branches du réseau, détermine l’état électrique du réseau, puisque les tensions entre deux points quelconques du réseau s’en déduisent, en appliquant les relations entre courant et tension aux bornes de chaque dipôle. En fixant arbitrairement un potentiel de référence, origine des tensions dans le circuit, que l’on appelle la masse, le nombre total Nt de variables inconnues du réseau est la somme des b intensités ikl des courants qui circulent dans les branches Nk Nl , délimitées par les nœuds N k et Nl , et des n − 1 tensions de nœud : Nt = b + n − 1 Le circuit de la figure 5.21 comporte N t = 6 + 4 − 1 = 9 variables inconnues, 6 courants et 3 potentiels de nœud.

165

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

E1

i 1 N2 i5

R1

R2

R5

1 N1

I2

i2

2

i3

i4 N4

R3 R6

i6

R4

N3

3 B

A F IG . 5.21.

E3

b) Variables d’état Les b variables d’intensité du réseau ne sont pas indépendantes, car elles sont reliées entre elles par les lois de Kirchhoff relatives aux nœuds et aux mailles. Appliquée aux n nœuds du circuit, la loi des nœuds fournit n équations, dont seulement n − 1 sont indépendantes. En effet, aux deux extrémités d’une même branche Nk Nl , le courant ikl converge en Nl et diverge de Nk . Par conséquent, en considérant les courants externes à cette branche, au nombre de j au nœud Nk et de j au nœud Nl , la loi des nœuds en ces points s’écrit, respectivement : ikl +

j 



εmim = 0 et

m=1

− ikl +

j 

εmim = 0

m=1

où εm traduit l’orientation des courants i m . La somme, membre à membre, des n équations de nœuds, donne l’égalité 0 = 0 , puisque chaque courant apparaît deux fois avec des signes opposés, ce qui retire une équation au décompte initial. Ainsi, le nombre N e de variables indépendantes d’un circuit électrique, appelés variables d’état, qui déterminent toutes les autres grandeurs électriques, est relié aux b branches et n nœuds du système par la relation : Ne = b − (n − 1) = b − n + 1 Dans le réseau de la figure 5.21 le nombre de variables d’état est donc : Ne = 6 − 4 + 1 = 3 . III . 2 . — Analyse des réseaux linéaires a) Réseaux linéaires Dans les circuits linéaires, qui sont constitués uniquement de dipôles linéaires et de générateurs de tension ou de courant, les relations courant-tension aux bornes des dipôles du circuit se réduisent à des relations affines, en présence de f.e.m ou de c.e.m, ou à des relations de proportionnalité : i) entre grandeurs stationnaires en régime établi, ( U = RI ) ; ii) entre grandeurs complexes en régime sinusoïdal forcé dans l’ARQS ( u = Zi ), iii) entre les transformées de Laplace des courants et des tensions, en régime variable quelconque dans l’ARQS ( TL{u} = Z (p) TL{i} ). Dans ces conditions, les équations issues des lois de Kirchhoff deviennent des combinaisons linéaires des grandeurs inconnues. Le formalisme matriciel est alors particulièrement adapté au traitement des réseaux linéaires.

166

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

b) Méthodes d’analyse Les méthodes d’analyse des réseaux visent soit à trouver l’ensemble des b courants de branche, soit à connaître l’ensemble des n − 1 potentiels de nœud ; les grandeurs inconnues restantes, tensions de nœud ou courants de branche, se déduisent évidemment des relations tension-courant aux bornes des dipôles du circuit. Il existe principalement trois méthodes d’analyse équivalentes qui, par des écritures spécifiques des lois de Kirchhoff, permettent d’obtenir toutes les grandeurs électriques d’un réseau : i) l’analyse par les courants de branche, qui cherche à accéder aux b intensités des courants dans les branches du circuit, ii) l’analyse par les tensions de nœud qui conduit à déterminer les n − 1 tensions de nœud, un nœud étant choisi comme référence des tensions, iii) l’analyse par les courants de maille qui, en introduisant N e = b − n + 1 courants fictifs indépendants, de maille, permet d’accéder aux courants dans les branches du circuit. Nous nous proposons dans la suite de mettre concrètement en œuvre ces méthodes sur l’exemple de la figure 5.21, avec les valeurs suivantes des caractéristiques des composants : R 6 = 1 kV , R 1 = 1 kV , R2 = 10 kV , R3 = 10 kV , R4 = 10 kV , R5 = 1 kV , E1 = 5 V , E 3 = 12 V , I2 = 10 mA et R2I 2 = 100 V . Notons que les sources, réelles, sont représentées par un générateur de tension ou de courant avec sa résistance interne.

III . 3 . — Méthode des courants de branche Pour déterminer les intensités des b courants de branche, on exprime d’abord les n − 1 relations indépendantes issues de la loi des nœuds, écrites en fonction des courants de branche. On complète ensuite le système d’équations par b − n + 1 relations, issues de la loi des tensions appliquée à un même nombre de mailles dans le circuit. Afin que les équations obtenues ne soient pas redondantes, le choix des mailles doit inclure toutes les branches qui comportent des sources, ces dernières ne pouvant évidemment pas être sans effet sur le réseau. Notons qu’il est impossible d’appliquer la loi des tensions à une branche du circuit constituée d’une source parfaite de courant, puisque la tension à ses bornes dépend du reste du circuit. En revanche, le courant dans la branche est connu, ce qui réduit d’une inconnue le système d’équations. Il suffit donc de choisir b − n mailles qui ne comportent pas cette source de courant pour compléter le système d’équations (cf. Exercices). a) Mise en équations La loi des nœuds, en N 1 , N2 et N 4 par exemple, donne trois ( n − 1 = 3) , équations indépendantes : −i1 + i3 + i6 = 0 en N 1 i1 + i2 + i5 = 0 en N 2 i3 + i4 + i5

=

0 en N 4

Appliquons alors la loi des tensions dans trois ( b − n + 1 = 3 ), mailles choisies parmi les sept que compte le réseau. Les mailles N1N 2 N3BA , N1 N2 N4 et N 2N3 N4 conviennent puisqu’elles englobent

167

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires toutes les sources. En veillant à l’orientation algébrique des courants, on trouve : E 1 − R 1 i1 + R 2 (i2 − I 2 ) + E3 − R6 i6 E1 − R 1i 1 + R5 i5 − R3 i3 R 2(i 2 − I 2 ) + R4 i4 − R5 i5

=

0

=

0

=

0

ce qui donne, en séparant les termes de source :

R 1i 1 − R2 i2 + R6i 6

=

R 2i 2 + R4 i4 − R5i 5

=

R 1i 1 + R3 i3 − R5i 5

=

E1 + E 3 − R 2 I2 E1

R2I 2

Le système linéaire précédent, constitué par les six équations de branche, peut ainsi se mettre sous la forme matricielle : [Z][i] = [S] dans laquelle [i] est le vecteur colonne des courants de branche, [S] le vecteur colonne des sources et [Z ] la matrice impédance. Cette équation s’explicite selon : ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1 0 1 0 0 1 0 i1 ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 0 1 0⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ i2⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 1 1 0 0 i 3 ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ R1 −R 2 0 ⎢ ⎥ ⎢E1 + E 3 − R2 I2 ⎥ 0 0 R6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i4⎥ ⎢ ⎥ ⎣ R1 ⎣ ⎦ 0 R3 0 −R 5 0 ⎦ ⎣ i5⎦ E1 0 R2 0 R4 −R5 0 i6 R 2I 2 b) Résolution du système

Les méthodes de résolution du système d’équations linéaires précédent sont nombreuses. En pratique, il est efficace d’utiliser une calculatrice scientifique, ou mieux un logiciel de calcul qui inverse la matrice des impédances et donne : [i] = [Z] −1[S] On trouve les valeurs suivantes des intensités en mA : i1 ≈ −4, 38

i 2 ≈ 7, 36

i3 ≈ 0, 64

i4 ≈ 2, 34

i5 ≈ −2, 98

i 6 ≈ −5, 02

III . 4 . — Méthode des tensions de nœud Une fois choisi le nœud de référence, on détermine les valeurs des n − 1 tensions de nœud, en exprimant les n − 1 relations issues de la loi des nœuds en fonction des tensions de nœud. a) Mise en équation Choisissons l’origine des potentiels en N 1 . La loi des nœuds en N 2 , N3 et N 4 donne : Y 1(E1 − U 2) + Y5 (U4 − U 2) + Y2 (U3 − U 2) + I2 = 0 Y 4(U4 − U 3) − Y 2(U3 − U 2) − I 2 − Y 6(U 3 + E 3) = 0 Y3 (U4 − 0) + Y5(U 4 − U 2) + Y4 (U 4 − U 3) = 0

ce qui s’écrit aussi, en séparant les termes de source :

(Y1 + Y 2 + Y 5)U2 − Y2 U 3 − Y5U 4

−Y2 U 2+ (Y 2 + Y 4 + Y6 )U 3 − Y4U 4 −Y5 U 2− Y 4U 3 + (Y 3 + Y 4 + Y 5)U4

= I2 + Y1E 1 = −I2 − Y 6E 3 = 0

168

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

b) Écriture matricielle Le système linéaire constitué par ces trois équations peut se mettre sous forme matricielle : [Y][U] = [S] dans laquelle [U ] est le vecteur colonne des tensions de nœud, [S] le vecteur colonne des sources et [Y ] la matrice admittance : ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Y1 + Y2 + Y5 −Y2 −Y5 U2 I 2 + Y1 E1 ⎣ ⎦ ⎣U3 ⎦ = ⎣−I 2 − Y6E 3⎦ −Y2 Y2 + Y4 + Y6 −Y4 0 −Y5 −Y4 Y3 + Y4 + Y 5 U4 Comme la matrice des admittances est simple et symétrique, cette méthode est remarquablement efficace. Notons les points suivants : i) un élément diagonal Y kk de la matrice des admittances est la somme des admittances reliées au nœud Nk , ii) l’élément non diagonal Y kl est égal à l’admittance de la branche N kNl changée de signe, iii) la ligne k du vecteur colonne des sources est la somme des c.e.m qui aboutissent au nœud , avec la convention habituelle consistant à compter positivement les courants dirigés vers le nœud et Nk négativement les courants qui en sortent.

Remarque : Si une branche comporte un générateur de Thévenin, il est nécessaire de convertir ce dernier en son générateur de Norton équivalent. c) Résolution du système La résolution numérique donne : U 2 ≈ 9, 38 V , U 3 ≈ −17, 02 V et U 4 ≈ 6, 40 V . On déduit l’intensité des courants de branche à l’aide des relations courant-tension dans chaque branche : E1 − U2 U3 − U 2 U4 ≈ −4, 38 mA i2 = I 2 + ≈ 7, 36 mA i3 = ≈ 0, 64 mA R1 R2 R3 U − U3 U 4 − U2 U3 + E 3 i4 = 4 ≈ 2, 34 mA i5 = ≈ −2, 98 mA i6 = ≈ −5, 02 mA R4 R5 R6 i1 =

III . 5 . — Méthode des courants de maille Cette méthode consiste à effectuer, directement sur le circuit, un changement de variables, en introduisant Ne variables d’état, homogènes à des intensités, appelées courants de maille. Ces derniers, qui ne correspondent à aucun courant réel, sont construits en choisissant Ne mailles, parcourues par ces courants de maille d’intensité im,n . L’application de la loi des mailles aux branches communes de deux mailles adjacentes, permet de calculer les courants de maille. Aussi cette méthode est-elle dite des mailles adjacentes. Enfin, avec le théorème de superposition, on relie les courants de maille aux courants de branche. a) Mise en équation Les mailles choisies sont représentées sur la figure 5.22. La loi des tensions, appliquée aux mailles N1N2N4 , N2 N3 N4 et N1N4 N 3BA parcourues respectivement par les courants de maille i m,1 , im,2 et im,3 , donne : E 1 − R1 im,1 + R5(i m,2 − im,1 ) + R3(im,3 − im,1 ) = 0 −R2 (im,2 + I2) + R 4(i m,3 − im,2 ) + R5(im,1 − im,2 ) = 0 E 3 − R6 im,3 + R3(i m,1 − im,3 ) + R4(im,2 − im,3 ) = 0

169

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires ce qui s’écrit, en séparant les termes de source : (R1 + R3 + R 5) im,1 − R5im,2 − R3im,3

= E1

−R3i m,1 − R4im,2 + (R 3 + R 4 + R6 ) im,3

= E3

−R5i m,1 + (R2 + R 4 + R5 ) im,2 − R4im,3

= −R2 I2

Notons sur la figure 5.22 que i1 = i m,1 , i 2 = −im,2 , i 3 = im,1 − i m,3 , i 4 = i m,3 − im,2 , i 5 = im,2 − i m,1 et i6 = im,3 . E1 R1

I2

N2

R2

i5 i1 N1 A

1 i3

R3

i6

R6

R5 N4

i2

2 R4

i4

N3

3 B E3 F IG . 5.22.

b) Écriture matricielle Le système linéaire précédent peut aussi se mettre sous la forme matricielle [Z][i m ] = [S] , dans laquelle [im] est le vecteur colonne des courants de maille, [S] le vecteur colonne des sources et [Z ] la matrice des impédances. En explicitant, on obtient : ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ R1 + R 3 + R 5 −R5 −R 3 im,1 E1 ⎣ ⎦ ⎣im,2 ⎦ = ⎣−R2I 2 ⎦ −R 5 R2 + R4 + R 5 −R 4 −R 3 −R4 R3 + R4 + R6 im,3 E3 La forme des matrices obtenues est ici aussi remarquablement simple. Notons les points suivants :

i) l’élément diagonal Z kk de la matrice des impédances est la somme des impédances de la maille k , ii) l’élément non diagonal Z kl est égal à l’impédance de la branche commune aux mailles Mk et , Ml affectée d’un signe positif si les courants des deux mailles parcourent la branche dans le même sens, et négatif dans le cas contraire ; iii) la ligne k du vecteur colonne des sources est la somme des f.e.m de la maille M k , affectées d’un signe positif si le courant de maille im,k sort par la borne positive, d’un signe négatif dans le cas contraire. Notons alors que, si une branche comporte un générateur de Norton, il devient nécessaire de le convertir en son générateur de Thévenin équivalent. c) Résolution du système La résolution numérique donne les intensités suivantes des courants de maille : i m,1 = −4, 38 mA

im,2 = −7, 36 mA

im,3 = −5, 02 mA

170

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

On en déduit, à l’aide du théorème de superposition, les courants de branche selon : i1 = i m,1 = −4, 38 mA i4 = im,3 − im,2 = 2, 34 mA

i 2 = −im,2 = 7, 36 mA

i 3 = i m,1 − i m,3 = 0, 64 mA

i 5 = im,1 − im,2 = −2, 98 mA

i 6 = im,3 = −5, 02 mA

III . 6 . — Comparaison des méthodes d’analyse des réseaux L’analyse par les courants de branche a l’avantage de conduire directement à la détermination de tous ces courants, mais au prix d’une résolution d’un système d’ordre élevé ( b = 6 ). L’utilisation des tensions de nœud ou des courants de maille présente, elle, l’avantage d’introduire un nombre plus faible d’inconnues indépendantes ( b − n + 1 = 3 ) ; les courants de branche sont alors calculés en combinant les tensions de nœud ou les courants de mailles obtenus.

IV . — UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE En appliquant les propriétés de la transformée de Laplace (cf. annexe 3) aux équations définissant les relations tension-courant des dipôles passifs, résistor, condensateur et bobine, s’introduisent naturellement les impédances symboliques de ces composants, avec lesquelles les théorèmes précédents d’analyse des circuits s’appliquent sans modification essentielle. IV . 1 . — Impédance symbolique d’un résistor La relation u R = RiR , entre la tension u R aux bornes du dipôle et l’intensité i R du courant qui le traverse, donne, en prenant la transformée de Laplace des deux membres : U R(p) = RIR (p) d’où

ZR(p) =

U R(p) =R I R(p)

IV . 2 . — Impédance symbolique d’un condensateur De la même manière, la valeur de l’impédance symbolique Z C (p) d’un condensateur de capacité C , s’obtient à partir de la relation entre la tension uC et l’intensité iC du courant qui la traverse. On sait que l’on a :  1 t uC (t) − uC (0) = i C(t ) d t  C 0 Or la transformation de Laplace d’une fonction Jg(t) est reliée à celle de sa dérivée g(t) par l’équation (cf. annexe 3) :     Jg (0) G(p) + TL Jg(t) = avec G(p) = TL g(t) p p ce qui donne dans l’exemple d’un condensateur, de charge initiale (à t = 0 ) Cu C(0) : U C(p) =

IC (p) uC(0) + Cp p

ou IC (p) = CpUC (p) − Cu C (0)

En introduisant l’impédance symbolique du condensateur : ZC (p) =

1 Cp

171

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires les relations précédentes deviennent respectivement : UC (p) = Z pI C(p) +

uC (0) p

et

IC (p) = CpUC(p) − Cu C(0)

Sur la figure 5.23a on a dessiné le schéma symbolique équivalent du condensateur, avec la condition initiale uC (0)/p représenté par un générateur en série dont la tension indicielle correspondante s’écrit uC (0) Y(t) . En b, le schéma s’appuie sur la deuxième équation ; la condition initiale CuC (0) est traduite par un générateur de courant impulsionnel d’expression CuC (0) d(t) (cf. annexe 2). 1/Cp IC (p)

1/Cp

uC (0)/p IC (p) CuC (0)

UC (p) UC (p) a)

b) F IG . 5.23.

Remarque : On peut vérifier l’homogénéité des équations précédentes en notant que p a la dimension de l’inverse d’une durée, U (p) celle du produit d’une tension par une durée et I (p) celle du produit d’un courant par une durée, c’est-à-dire d’une charge. IV . 3 . — Impédance symbolique d’une bobine On sait que la relation entre la tension u L aux bornes d’une bobine, d’inductance L , et l’intensité iL du courant qui la traverse s’écrit : d iL uL = L dt Comme la TL d’une fonction est reliée à celle de sa dérivée par l’équation (cf. annexe 3) :     d g(t) g ( t ) TL = p G(p) − g(0 ) avec G(p) = TL dt Il vient, en prenant la TL de l’équation de départ :

  U L(p) = L pIL (p) − i L (0) = Lp I L (p) − L iL(0) ou

IL (p) =

UL(p) iL (0) + Lp p

En introduisant l’impédance symbolique Z L (p) d’une bobine : ZL (p) = Lp les équations précédentes s’écrivent : U L (p) = ZL (p)IL(p) − Li L(0) et

I L(p) =

U L (p) iL (0) + ZL (p) p

On en déduit deux représentations de la bobine : sur la figure 5.24a, on prend en compte le courant initial en introduisant un générateur de tension impulsionnel, de f.e.m −LiL (0) d(t) ; en b, on représente ce courant par un générateur de courant indiciel de c.e.m i L (0) Y(t) .

172

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires Lp

IL(p)

IL (p)

Li L(0)

Lp

i L(0) UL(p)

UL (p)

a)

b)

F IG . 5.24.

IV . 4 . — Application au filtre passe-bas RC On sait que l’équation différentielle linéaire et du premier ordre, à laquelle satisfont de nombreux systèmes électroniques, dont le filtre passe-bas type RC de la figure 5.25 (cf. chapitre 4), se met sous la forme : d s(t) tc + s(t) = e(t) avec tc = RC dt En prenant la transformation de Laplace des deux membres de cette équation différentielle, on obtient, avec les notations habituelles :   tc pS(p) − s(0) + S (p) = E(p)

soit

S (p) =

E(p) U0 + 1 + pt c p + 1/t c

où

U0 = s(0)

représente l’influence de la charge initiale du condensateur. R

R

e(t)

C

s(t)

E(p)

1 Cp

u C,0 p

F IG . 5.25.

S(p)

F IG . 5.26.

Remarque : On retrouve ce dernier résultat en remplaçant la résistance et le condensateur par leurs impédances symboliques. Le circuit de la figure 5.25 se transforme selon la figure 5.26, où la tension U0Y(t) traduit la charge initiale du condensateur. En effet, avec des diviseurs des tensions E(p) et U0 (p) , on obtient : S(p) =

U R 1/(Cp) E(p) + 0 R + 1/(Cp) p R + 1/(Cp)

soit

S(p) =

E(p) U0 + 1 + ptc p + 1/t c

puisque tc = RC . a) Réponse transitoire à un échelon de tension À un signal d’entrée, de type échelon de tension e(t ) = e m Y(t) , le circuit donne la réponse suivante : em U0 em S(p) = + puisque E(p) = p + 1/tc p(ptc + 1) p

173

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires Il vient en décomposant S(p) en éléments simples :     em A B U0 em A(p + 1/t c) + Bp U0 + + = + S(p) = tc p tc p + 1/tc p + 1/t c p(p + 1/tc) p + 1/tc soit :

  em p(A + B) + A/tc U0 S(p) = + p(p + 1/t c ) p + 1/tc tc

On obtient, par identification, A = −B = tc , et donc :   1 1 U0 + − S(p) = em p + 1/tc p p + 1/tc

on en déduit le signal s(t) pour t > 0 , en prenant la TL inverse (cf. annexe 3) :      t t s(t) = e m 1 − exp − + U0 exp − tc tc b) Réponse transitoire à un signal sinusoïdal Appliquons à l’entrée du système défini par la fonction de transfert H (jv) , à un instant pris comme origine, un signal sinusoïdal e(t) = e m cos(vt) . Cherchons à déterminer le signal de sortie correspondant. Il vient, en utilisant les résultats précédents : S(p) =

em p U0 + 2 2 tc (p + 1/tc )(p + v ) p + 1/tc

ce qui s’écrit aussi :

puisque

E(p) = e m

p2

p + v2

 A Bp + C U0 + 2 + 2 p + 1/tc p + 1/t c p +v On détermine les trois coefficients A , B et C en réduisant au même dénominateur et en identifiant : em S(p) = tc



A Bp + C A(p 2 + v2 ) + (Bp + C)(p + 1/tc ) + 2 = p + 1/t c p + v2 (p + 1/tc )(p2 + v2 ) soit : S(p) =

(A + B)p2 + Av2 + C/t c + p(C + B/t c ) U0 + 2 2 (p + 1/tc )(p + v p + 1/tc

On en déduit : A+B = 0 d’où :

C A = −B = − 2 v tc

Av2 +

B +C = C tc

C B = 0 et C + = 0 tc tc 

 v2 t2c 1 + 1 = 1 et C = v 2t 2c 1 + v 2t 2c

Finalement, en exprimant A et B en fonction du seul facteur C qui ne dépend que de (vtc )2 , on obtient :   1 emC p + v2tc U0 + 2 + S(p) = 2 2 − v tc p + 1/tc p + 1/t c p + v2 ce qui se simplifie selon :   em p + v 2t c U0 1 S(p) = + + − p2 + v 2 1 + v2 t2c p + 1/t c p + 1/t c

174

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

Il vient alors, en revenant au signal s(t ) (cf. annexe 3) :      em t t cos(vt) + vt c sin(vt) − exp − s(t) = + U 0 exp − tc tc 1 + v 2t2c En faisant tendre t vers l’infini, on restitue évidemment le régime établi, (cf. chapitre 4) :   em cos(vt) + vt sin( vt ) s(t) = . c 1 + v2 t2c On voit que le calcul opérationnel permet d’obtenir globalement la réponse complète du circuit, en régime transitoire et en régime établi.

CONCLUSION Rappelons les résultats essentiels que sont les théorèmes de superposition, de Thévenin et de Norton, ainsi que les méthodes d’analyse des réseaux linéaires. 1) Le courant produit dans une branche par un ensemble de générateurs est la somme des courants produits par chacun d’eux, les autres étant remplacés par des courts-circuits pour les sources de tension et par des coupe-circuit pour les sources de courant. 2) Selon le théorème de Thévenin, le courant dans une branche a pour expression, en régime stationnaire ou quasi stationnaire : (uAB )o i= Z Th + Z dans lequel ZTh est l’impédance du système initial, mesurée entre les points A et B , une fois les générateurs passivés. 3) Selon le théorème de Norton, on a en régime stationnaire ou quasi stationnaire : uAB =

iN Y Th + Y

avec i N = i cc = (uAB )o Y Th et

YTh =

1 RTh

dans laquelle Y est l’admittance du dipôle de connexion et YTh l’admittance du système initial passivé, entre les nœuds A et B . 4) La fermeture d’un interrupteur dans un circuit linéaire est équivalente à l’adjonction, dans la branche comportant l’interrupteur ouvert K aux bornes duquel la tension est UPQ , d’une source de tension idéale en opposition avec UPQ . 5) Avec des sources commandées, les théorèmes de Thévenin et Norton sont toujours valables pourvu que les systèmes soient linéaires. Cependant la méthode de détermination de l’impédance de Thévenin par passivation des sources ne convient plus ; on doit lui substituer soit la méthode du courant de courtcircuit, soit celle du générateur auxiliaire : Z Th =

eTh icc

ou Z Th =

eg ig

6) Concernant la détermination de l’état électrique d’un réseau, l’analyse est conduite à l’aide de trois méthodes qui s’appuient largement sur l’efficacité du calcul matriciel.

175

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

EXERCICES ET PROBLÈMES P5– 1. Théorème de superposition Le circuit de la figure 5.27 comporte deux sources de tension, de f.e.m respectives E 1 = 12 V , E2 = 24 V , et une source de courant de c.e.m I = 10 mA . 1. a) Calculer l’intensité I (a) du courant qui parcourt la branche AB , de résistance R , lorsque seule la source de f.e.m E1 est activée. b) Même question pour l’intensité I (b) du courant qui parcourt la branche AB , lorsque seule la source de f.e.m E2 est activée. c) Même question pour l’intensité I (g) du courant qui parcourt la branche AB , lorsque seule la source de c.e.m I est activée. 2. En déduire l’intensité du courant qui parcourt la branche lorsque les trois sources sont activées. Trouver sa valeur sachant que R = 1 kV . 3. Retrouver l’intensité du courant qui circule dans la branche AB en déterminant la f.e.m E Th et la résistance RTh du générateur équivalent de Thévenin. 4. Toutes les sources étant activées, calculer la puissance reçue par chacun des dipôles. Commenter. I P

A

R E1

R

Q R E2

B F IG . 5.27.

P5– 2. Réseau en régime stationnaire On considère le réseau en régime stationnaire représenté sur la figure 5.28. 1. Calculer, à l’aide des lois de Kirchhoff, les intensités des courants dans les différentes branches, sachant que la f.e.m de la source de tension est E = 6, 4 V . 2. Quels sont les générateurs de Thévenin et de Norton correspondants, entre les nœuds A et B du réseau ? 3. Entre A et B , on connecte une charge résistive. Quelle doit être la valeur de sa résistance R pour que la puissance dissipée dans la charge soit maximale ? Calculer la puissance correspondante.

176

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires B

I1

6,4 V

40 V

I3

160 V

160 V

E1

A

C

I

A

E2 R

320 V

R1

R2

A

I2

D

R B

F IG . 5.28.

F IG . 5.29.

P5– 3. Courant stationnaire dans un ampèremètre Le réseau de la figure 5.29 associe un montage potentiométrique, de f.e.m E 1 , et un montage diviseur de tension, de f.e.m E2 . On connecte le curseur C et le point D aux bornes d’un ampèremètre de résistance interne r . 1. Trouver, en appliquant le théorème de Thévenin, l’intensité I du courant qui parcourt l’ampèremètre, en fonction de E 1 , E 2 , R1 , R 2 , R et x , rapport de la résistance du conducteur AC sur R1 . 2. Pour quelle valeur de x , I s’annule-t-il ? Effectuer l’application pour E 1 = 3 V , E 2 = 6 V , R = 100 V et R 2 = 400 V. Retrouver ce résultat directement, sans prendre en compte la première question. P5– 4. Bolomètre à pont de Wheatstone Un bolomètre à pont de Wheatstone est un instrument qui permet de mesurer la température T d’un corps, à partir de la variation de la résistance du conducteur ohmique que l’on met en contact avec ce corps. Initialement, les quatre résistances sont égales à R et le pont, alimenté par une source de tension de f.e.m E , est équilibré. 1. En utilisant le théorème de Thévenin, trouver l’intensité du courant qui circule dans le milliampèremètre, de résistance r , placé dans la branche AB de recherche d’équilibre, lorsque la valeur de l’une des quatre résistances varie faiblement : ( DR  R) . 2. Les conducteurs ohmiques étant en platine, la résistance varie avec la température absolue T selon la loi : R(T ) = R 0[1 + A(T − T 0 )] avec T0 = 273, 15 K Dans le montage, E = 12 V , R = 100 V et r = 2 V , à la température ambiante T a = 293, 15 K . Expérimentalement, en plaçant l’une des résistances en contact avec le corps considéré, à la température T , le milliampèremètre détecte un courant de 0, 1 mA . Sachant que A = 4 × 10 −3 K−1 , quelle est la température recherchée ? P5– 5. Rôle d’un interrupteur dans un pont de Wheatstone On se propose d’analyser l’ouverture et la fermeture d’un interrupteur K dans la branche diagonale AB d’un pont de Wheatstone, comportant trois résistors, de résistances R1 , R2 et R3 connues avec précision, et un quatrième composant, de résistance inconnue R 4 (Fig. 5.30) ; R 1 et R2 sont fixées,

177

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

alors que l’on peut faire varier R3 . Le pont est alimenté, entre les points P et Q , par une source de tension stationnaire, de f.e.m E et de résistance interne négligeable. A R3

R1 K

P

Q

R2

R4 B E F IG . 5.30.

1. a) Établir, en fonction de E , R 1 , R 2 , R3 et R 4 , l’expression de la tension entre les points A et B , mesurée avec un voltmètre de très grande résistance interne, K étant ouvert. b) Dans ce montage R 1 = R 2 = 2 kV . On fait varier R3 jusqu’à réaliser l’équilibre du pont ; on obtient cet équilibre pour la valeur (R3) e = 804 V . En déduire la valeur de R 4 . 2. a) Dans le montage précédent, avec K ouvert et E = 1, 23 V , on donne à la résistance du troisième composant, une valeur R 3 différente de la valeur d’équilibre (R 3 )e , sans modifier les autres éléments. On constate alors expérimentalement que la tension U AB vaut 0, 5 V . Calculer les courants qui circulent dans les différentes branches du pont, ainsi que la valeur de R 3 . b) En appliquant le théorème de Thévenin, calculer l’intensité I 0 du courant qui parcourrait le conducteur reliant les points A et B , si on fermait K . c) En présence du générateur, on insère, dans la branche AB , en série avec K fermé, une source de tension supplémentaire idéale, de f.e.m E  = 0, 5 V , le pôle positif en A et le pôle négatif en B . Les intensités calculées à la question 2.a sont-elles modifiées. Si non pourquoi, si oui comment ? d) On maintient le générateur, de f.e.m E = 1, 23 V , ainsi que la source de tension idéale, de f.e.m  E = 0, 5 V , mais on ajoute en série, entre A et B , une troisième source de tension, de même f.e.m 0, 5 V et en opposition avec la précédente. Quelle est alors l’intensité I du courant dans la branche AB lorsqu’on ferme K ? Comparer I à I0 ? Commenter. En déduire la représentation d’un interrupteur ouvert ou fermé à l’aide de sources de tension idéale. P5– 6. Rôle d’un interrupteur en terme de source de courant

web

Dans le circuit représenté sur la figure 5.31a, avec les trois sources de tension, de f.e.m respectives E1 , E 2 et E 3 , on mesure, à l’aide d’un ampèremètre, de résistance interne négligeable, l’intensité du courant qui traverse l’interrupteur K fermé. On obtient, de D vers B , une valeur de 1, 0 A . 1. On supprime les trois sources de tension dans le réseau précédent, mais on connecte, entre les points B et D , une source de courant d’intensité 1 A , orientée de B vers D (Fig. 5.31b). Calculer l’intensité du courant dans la branche BC . 2. Quelle est la variation de tension entre les bornes B et C du réseau initial, avec les trois sources de tension, lorsqu’on ouvre K ?

178

5. Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires

20 V

K

D

A

20 V

A 60 V

40 V

D

B E1

A

1A

40 V

60 V

E3

50 V

B 50 V

E2 C

C

a)

b) F IG . 5.31.

P5– 7. Puissance dissipée dans une impédance de charge adaptée

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Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au circuit représenté sur la figure 5.32, entre les points A et B , en régime sinusoïdal. L’amplitude de la f.e.m est 12 V . Un tel circuit générateur débite dans une impédance de charge adaptée, c’est-à-dire que la puissance dissipée dans la charge est maximale. 1. Calculer l’impédance de charge adaptée. 2. Quelle est la puissance dissipée dans la charge ?

30 V e

40j V

20 V

A e

−20j V

−50 j V

30 V 20j V

A −50j V R = 10 V B

B F IG . 5.32.

F IG . 5.33.

P5– 8. Puissance dissipée dans un conducteur ohmique, en régime quasi stationnaire

web

Entre les bornes A et B du circuit représenté sur la figure 5.33, on connecte un conducteur ohmique de résistance R = 10 V . La valeur maximale de la f.e.m de la source de tension sinusoïdale est 90 V . 1. À l’aide du théorème de Thévenin, déterminer le courant qui circule dans ce conducteur, la valeur maximale de son intensité, ainsi que son déphasage par rapport à la source. 2. Quelle est la puissance dissipée dans le conducteur ? P5– 9. Mesure d’une tension par la méthode d’opposition À partir d’une source de tension connue (E 1) , il est possible de déterminer la tension d’une autre source inconnue (E2 ) par la méthode d’opposition (Fig. 5.34). Cette dernière consiste à régler la valeur du facteur a du potentiomètre, de résistance R , constitué des résistances en série aR et (1 − a)R dans le but d’annuler le courant I2 .

179

Théorèmes de base dans l’analyse des réseaux linéaires 1. Déterminer les intensités des courants I 1 et I2 . 2. À partir de la condition I 2 = 0 , donner l’expression du rapport des f.e.m. E2/E 1 .

3. Retrouver les courants I 1 et I2 en utilisant la méthode des mailles adjacentes et en orientant les deux mailles dans le sens horaire. Ii

(1 − a)R E1

A

I2

R2

aR

E2

F IG . 5.34.

P5– 10. Triple réseau RC La figure 5.35 représente un réseau électrique itératif dans lequel R = 10 k V et C = 39 nF . On désigne par t la constante de temps de l’une des cellules. 1. À l’aide de la méthode des mailles adjacentes, établir l’expression du facteur d’amplification en tension us/ue . 2. Pour quelles valeurs de la pulsation v , le rapport u s /ue est-il réel ? R ue

R C

R C

F IG . 5.35.

C

us

6 Fonctions de transfert. Quadripôles Le concept de fonction de transfert joue un rôle essentiel en physique, surtout en électronique, mais aussi en mécanique et en optique. En effet, chaque fois qu’un instrument fait correspondre une réponse en sortie à une excitation en entrée, se pose le problème de son influence dans la relation entre l’entrée et la sortie. Le cas de l’électronique présente un intérêt particulier, en raison de la facilité technique avec laquelle on peut illustrer concrètement ce concept à l’aide de circuits simples. En effet, si l’on applique à l’entrée d’un circuit RC (Fig. 6.1), une tension ue(t) , on constate qu’en général la tension à la sortie us (t) est différente de ue (t) . L’étude de la relation entre u s(t) et ue (t) relève précisément de la théorie du transfert. Plus généralement, on peut caractériser tous les systèmes linéaires en électronique par une fonction de transfert. Aussi convient-il d’abord de rappeler la définition des systèmes linéaires en électronique.

ue (t)

R

C

F IG . 6.1.

us(t)

e1

s1

e2

s2 F IG . 6.2.

I . — SYSTÈMES ÉLECTRONIQUES LINÉAIRES Considérons un système électronique faisant correspondre les tensions de sortie s 1(t) et s 2(t) aux tensions d’entrée e1 (t) et e2(t) (Fig. 6.2). I . 1 . — Définition d’un système linéaire Un système électronique est linéaire si toute combinaison linéaire des tensions à l’entrée admet comme réponse la même combinaison linéaire des tensions de sortie correspondantes : l1 e1 + l2 e2 −→ l 1 s1 + l2 s2

l 1 et l2 étant deux constantes réelles ou complexes (Fig. 6.2). Cette propriété justifie l’importance de la décomposition du signal d’entrée en une superposition de signaux sinusoïdaux selon l’analyse de Fourier (cf. annexe 2). En effet, on peut considérer tout signal d’entrée, fonction du temps, comme une superposition discrète ou continue de signaux sinusoïdaux dont l’amplitude complexe est une fonction de la fréquence.

181

Fonctions de transfert. Quadripôles

Remarque : Les signaux sinusoïdaux sont simples car, relativement aux opérateurs qui apparaissent dans l’expression des lois physiques, ils gardent leurs formes, lorsqu’on les dérive ou les intègre par rapport au temps. Par exemple :  p d cos(vt) = −v sin(vt) = v cos vt + dt 2 La forme complexe de ces signaux donne un résultat techniquement plus intéressant, puisque l’opération de dérivation d / d t se traduit par une simple multiplication : d exp(jvt) = jv exp(jvt ) dt En langage plus élaboré, on dit, dans ce dernier cas, que le signal sinusoïdal, sous sa forme complexe, est une fonction propre de l’opérateur dérivation. I . 2 . — Fonction de transfert Appliquons à l’entrée d’un circuit RC , tel que le précédent (Fig. 6.1), une tension sinusoïdale u e , de pulsation v = 2pf : ue(t) = u e,m exp(jvt) On sait que la tension de sortie aux bornes du condensateur s’écrit : u s(t) = u s,m exp(jvt) La relation entre les tensions d’entrée et de sortie est simple à établir puisque le système est un diviseur de tension (cf. chapitre 2) : us(t) =

1/(jCv) 1 ZC ue(t) = u e(t) = u (t) R + 1/(jCv) 1 + jRCv e R + ZC

On en déduit le rapport us (t)/u e(t) : 1 us (t) = ue (t) 1 + jv/v 0

en posant

v0 =

1 RC

Il est souvent commode d’introduire le nombre sans dimension suivant : f v x= = f0 v0 qui est une pulsation réduite ou une fréquence réduite. Ordre de grandeur : dans le cas concret où R = 5 kV , C = 20 nF , on trouve : v0 1 1 = = 104 rad · s −1 et f0 = = 1, 59 kHz RC 2p 2pRC Pour tout système linéaire, tel que le précédent, le rapport de la tension de sortie sur la tension d’entrée, qui dépend de la pulsation v , est la fonction de transfert du système ; on la note très souvent H (jv) en électronique (cf. chapitre 13) : v0 =

H (jv) =

1 1 + jv/v0

Le cas singulier où v = 0 correspond évidemment aux signaux stationnaires. L’équation précédente est facile à interpréter : le système affecte chaque composante sinusoïdale, en la multipliant par la fonction de transfert H (jv) .

182

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

I . 3 . — Diagrammes de Bode Pour des raisons pratiques, on utilise généralement comme variable, non la pulsation v exprimée en rad · s−1 , mais la fréquence f = v/(2p) en Hz . On pose alors : H (jv) = T (f ) = |T (f )| exp[jf(f )] En outre, le domaine de variation de la fréquence, dit spectral, étant très étendu, puisque compris entre quelques hertz et quelques centaines de mégahertz, on utilise en abscisse, non la variable f , mais son logarithmique décimal lg f , ce qui permet de resserrer l’extension du domaine significatif. a) Gain en tension On appelle gain en tension d’un système, exprimé en décibel, la quantité suivante : Gu (dB) = 20 lg |T (f )| Cette définition fut introduite par l’ingénieur américain A.G. Bell pour deux raisons : i) le module de T (f ) pouvant lui aussi varier fortement, une échelle logarithmique permet, ici aussi, de resserrer le domaine significatif de variation, ii) la loi expérimentale du physiologiste G. Fechner montre que la sensation sonore d’un signal acoustique est proportionnelle au logarithme de la puissance mécanique reçue par le tympan de l’oreille et donc au logarithme de la puissance électrique fournie au haut-parleur (cf. Mécanique). Comme l’unité logarithmique qui en résulte s’avère en pratique trop grande, on introduit le décibel en multipliant le logarithme par 10. Le facteur 20 qui apparaît dans l’expression du gain en tension G u se justifie aisément, car la puissance est proportionnelle au carré d’une tension, ce qui se traduit par un facteur 2 supplémentaire lorsqu’on prend le logarithme. On appelle diagrammes de Bode, du nom de l’électronicien américain H. Bode, les représentations du gain en tension Gu (dB) et de la phase f de la fonction de transfert en fonction de lg f . Remarque : Pour des raisons pratiques, on utilise parfois du papier semi logarithmique dont l’échelle des abscisses, qui est celle des fréquences, est logarithmique et l’échelle des ordonnées, qui est celle du gain, linéaire. b) Détermination expérimentale Expérimentalement, on détermine le diagramme de Bode relatif au gain comme suit : pour chaque fréquence, on mesure les amplitudes des tensions d’entrée et de sortie à l’aide d’un oscilloscope. On en déduit leur rapport et donc le gain que l’on porte sur le diagramme relatif au gain. Notons que le module de T (f ) est évidemment non négatif, mais que le gain en décibel est lui négatif dès que |T (f )| < 1 ; en outre, pour |T (f )| = 0 , G u = −∞ . On trace le diagramme de Bode relatif à la phase en comparant la phase de la tension de sortie à celle de la tension d’entrée, ce que permet un oscilloscope utilisé en mode de Lissajous (cf. Introduction expérimentale) : f(f ) = fs(f )−f e (f )

avec

ue = ue,m exp[jfe (f )] exp(j2pf t) et

u s = us,m exp[jfs (f )] exp(j2pf t)

On utilise de plus en plus des décibelmètres qui sont des voltmètres numériques gradués en dB ; dans ces appareils, la tension efficace de référence est 0, 775 V , ce qui correspond à une puissance de 1 mW dissipée dans un conducteur ohmique, conventionnellement de résistance R = 600 V . Pour la phase, on préfère utiliser aujourd’hui un phasemètre, lequel donne une valeur plus précise que celle obtenue avec un oscilloscope.

183

Fonctions de transfert. Quadripôles

Remarques : 1) Les filtres passifs sont caractérisés par un facteur d’amplification en puissance toujours inférieur ou égal à l’unité, et donc un gain en puissance non positif, puisque par définition ils n’utilisent pas pour leur fonctionnent de sources auxiliaires (cf. chapitre 1). Cependant leur gain en tension peut, lui, être positif ; c’est ce que l’on observe par exemple dans l’étude de d’un circuit RLC lorsque la tension de sortie est la tension aux bornes du condensateur (cf. chapitre 3) : si le facteur de qualité Q est supérieur à 1 , alors le gain en tension sera positif pour une fréquence égale à la fréquence propre du circuit. 2) Une autre façon de déterminer expérimentalement la fonction de transfert consiste à utiliser un générateur d’impulsions qui fournit en sortie la réponse impulsionnelle dont la transformée de Fourier est précisément la fonction de transfert (cf. chapitre 15). I . 4 . — Exemple du filtre RC a) Diagramme de Bode De la fonction de transfert H (jv) du circuit RC (Fig. 6.1), on déduit : T(f ) = Par conséquent :

1 1 + j f /f 0



1 G u = 20 lg [1 + (f /f0) 2 ]1/2



d’où |T (f )| = 

1 [1 + (f /f 0 ) 2]1/2

 2  f = −10 lg 1 + f0

et

  f f = −arctan f0

Sur la figure 6.3, on a représenté le gain en tension Gu et la phase f en fonction de X = lg x ( x = 10X ), x = f /f0 étant la fréquence réduite ; on porte directement x en abscisse, sur une échelle logarithmique. Il vient :     et f = −arctan(10 X) G u = −10 lg 1 + x 2 = −10 lg 1 + 10 2X On voit que la valeur maximale du gain en décibel est 0 , lorsque x = 0 , soit X = −∞ , ce qui n’est pas surprenant puisque la valeur maximale de |T(f )| est 1 . Les valeurs de Gu et f pour la valeur singulière x = 1 ou X = 0 sont respectivement :   p 1 = −10 lg 2 ≈ −3 dB et f(1) = − rad Gu (1) = 20 lg √ 4 2 f(rad) 0

G u (dB)

0 −3

1

X = lg x

X = lg x − p/4

−20 − p/2

a)

b)

F IG . 6.3.

184

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

b) Représentation asymptotique Le tracé point par point des diagrammes de Bode étant laborieux, on lui substitue généralement une représentation asymptotique. Dans l’exemple du filtre RC , on décompose l’espace des fréquences en deux zones délimitées par la fréquence f0 ( x = 1 ), et on introduit la fonction de transfert normalisée H : T (f ) = H(x) =

1 1 = 1 + jx 1+j

d’où G u = 20 lg 1 − 20 lg(21/2) = 0 − 10 lg 2 = −3 dB

et : f = −arctan x = −arctan 1 = −

p rad 4

Les deux zones sont donc les suivantes : i) Pour x = f /f 0  1 , on a : H ≈ 1 d’où G u = 20 lg |H| ≈ 0 L’asymptote du gain est une droite horizontale et la phase est nulle. ii) Pour x = f /f 0  1 , on trouve : 1 1 H≈ ≈ −j jx x

  1 d’où Gu = 20 lg |H| ≈ 20 lg = −20 lg x = −20 X x

L’asymptote du gain est une droite qui passe par G = 0 pour x = 1 et dont la pente vaut −20 dB par décade, puisque qu’une décade correspond à DX = 1 , soit une multiplication par 10 du rapport f /f 0 . La phase est constante et égale à −p/2 rad . Notons que ce même gain diminue de 6 dB , lorsque la fréquence f est multipliée par 2 : Gu = −20 lg 2 ≈ −20 × 0, 3 = −6 dB On dit aussi que la chute de gain est de 6 dB par octave, car l’octave musicale est définie par un rapport de fréquence égal à 2 . On peut constater, sur la figure 6.3, que le tracé asymptotique donne l’allure des vrais diagrammes avec une très bonne approximation. Retenons que le gain en tension de ce circuit électronique s’effondre pour les hautes fréquences. Aussi est-il utilisé pour privilégier le transfert des faibles fréquences au détriment des hautes fréquences présentes dans le signal d’entrée. c) Bande passante à −3 dB La fréquence caractéristique f 0 , correspondant à x = 1 , symbolise une rupture dans la courbe de gain et de phase. Aussi l’appelle-t-on fréquence de coupure à −3 dB , car 20 lg |T (f0)| = −3 dB et la note-t-on souvent fc . Comme f c = f0 = 1/(2pRC ) délimite la limite supérieure de la bande passante à −3 dB du filtre et que la limite inférieure est la valeur nulle, la fréquence de coupure f c détermine la bande passante du système. Dans cette bande, le déphasage entre les signaux d’entrée et de sortie est pratiquement constant : il est nul pour f < f0 et vaut −p/2 rad pour f > f0 ; pour f = f 0 sa valeur est −p/4 rad .

185

Fonctions de transfert. Quadripôles I . 5 . — Diagramme de Nyquist

Dans le diagramme de Nyquist, du nom du physicien américain H. Nyquist, on représente la fonction de transfert H (jv) dans un plan complexe : on porte sur l’axe réel Re{H } et sur l’axe imaginaire Im{H } en fonction, par exemple, de la pulsation réduite x . Le point figuratif M décrit, dans ce plan, une courbe lorsque x varie. Dans l’exemple précédent, l’élimination de x entre : Hr = Re{H } =

1 1 + x2

et

Hi = Im{H } = −

x 1 + x2

donne : Hi2

=

H 2r x2

=

H r2



1 −1 Hr



= H r − H 2r

ce qui s’écrit

(H r − 0, 5)2 + H 2i = 0, 25

Ainsi, le diagramme de Nyquist est, dans ce cas, le cercle de centre C de coordonnées (0, 5 ; 0) et de rayon R = 0, 5 (Fig. 6.4). Lorsque f augmente, le point représentatif M décrit le demi-cercle inférieur AIO , A étant le point de coordonnées ( 1 ; 0 ) et O l’origine du diagramme. Dans la pratique, ce diagramme est moins utilisé que le diagramme de Bode, car la lecture des fréquences est moins commode. En revanche, il présente un intérêt pour analyser la stabilité des circuits (cf. chapitres 12, 13 et 14). c = Im{H }

C

O

A

0,5 f M

1 X = Re{H }

ue

Quadripôle

us

I F IG . 6.4.

F IG . 6.5.

II . — QUADRIPÔLES ET FILTRES PASSIFS Le circuit simple de la figure 6.1 peut être considéré comme un quadripôle, c’est-à-dire un système à quatre bornes, deux à l’entrée, entre lesquelles on applique une tension u e , et deux à la sortie entre lesquelles on mesure la tension de sortie u s , même si une borne de sortie est reliée à une borne d’entrée (Fig. 6.5). Si le gain en tension varie, lorsqu’on fait varier la fréquence, on dit qu’on a réalisé un filtre en fréquence. Comme, en outre, la puissance à la sortie est nécessairement inférieure à la puissance à l’entrée, puisque le système ne reçoit pas d’énergie d’une source auxiliaire, le filtre est passif. II . 1 . — Classification des filtres passifs a) Selon leur fonction Dans cette classification, on distingue les filtres passe-bas, les filtres passe-haut, les filtres passebande et les filtres coupe-bande (ou réjectecteur de bande). On les désigne parfois, de façon plus précise, par le nom de la fonction qui les caractérise ou par celui d’un auteur historiquement lié à leur étude.

186

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Ainsi, en électronique, le filtre passe-bas exponentiel et le filtre passe-bas de Butterworth ont pour fonctions de transfert respectives, en fonction de la fréquence réduite x : H(x) = exp(−x)

et

H(x) =

1 (1 + x 2n) 1/2

Remarque : En optique incohérente, le filtre spatial de Butterworth est souvent défini par la fonction de transfert en puissance, laquelle est donnée par le carré du module de l’expression précédente (cf. Optique). b) Selon leur ordre De façon technique et spécifique à l’électronique, on classe les filtres selon leur ordre, c’est-à-dire selon le degré le plus élevé des polynômes qui apparaissent dans la fonction de transfert H (jv) . Ainsi, les fonctions de transfert : H (jv) =

Av + B Cv + D

ou H (jv) =

B Cv + D

A , B , C , D étant quatre coefficients constants, sont des filtres d’ordre 1. En revanche : H (jv) =

A 1 v2 + B 1v + C1 A 2 v2 + B 2v + C2

H (jv) =

B1 v + C1 A 2v 2 + B2 v + C2

et

H (jv) =

A 2v 2

C1 + B2 v + C2

caractérisent des filtres d’ordre 2. II . 2 . — Gabarit d’un filtre passif On appelle gabarit d’un filtre passif la zone géométrique qui le caractérise dans le diagramme de Bode. Pour un filtre passe-bas, cette zone peut être définie par la fréquence de coupure f 1 , à G1 dB , en dessous de laquelle tous les signaux sont transmis, et par la fréquence f 2(> f1) à G 2(< G1 ) dB, qui donne l’atténuation minimale dans la bande de fréquence à rejeter (Fig. 6.6a). On montre que les gabarits des autres filtres peuvent se déduire du gabarit d’un filtre passe-bas ; par exemple pour un filtre passe-haut, la zone est symétrique par rapport à la fréquence moyenne, comprise entre f1 et f 2 (Fig. 6.6b). Les gabarits des filtres passe-bande ou réjecteurs de bande sont des juxtaposition de gabarits passe-bas et passe-haut. Gu

0

Gu f1

f2

f

0

a1

a1

a2

a2

a)

F IG . 6.6.

f1

f2

b)

f

187

Fonctions de transfert. Quadripôles II . 3 . — Filtres passe-bas d’ordre 1 a) Filtre RC

L’exemple le plus simple de filtre passif passe-bas est celui du dipôle RC précédent (Fig. 6.1). Son étude expérimentale est simple à conduire. On a vu que, pour R = 5 kV et C = 20 nF , on avait f0 = 1, 59 kHz . Le choix pratique d’une valeur de R de l’ordre de quelques kV n’est évidemment pas hasardeux, car l’impédance interne du GBF (générateur basse fréquence), de l’ordre de 50 V , a ainsi une influence négligeable ; on peut donc se fier à la tension affichée par le GBF. Sinon, il faudrait ajuster l’amplitude de cette dernière, afin que la tension réelle à l’entrée du filtre ne change pas lorsque la fréquence varie. De façon qualitative, c’est-à-dire sans calcul, il est facile de montrer qu’un tel système se comporte comme un filtre passe-bas. En effet, l’impédance offerte par le condensateur, qui est 1/(jCv) , s’effondre pour les hautes fréquences ; la tension à ses bornes devient donc très faible. C’est évidemment l’inverse à très basse fréquence. Un filtre passe-bas, tel que le circuit simple précédent, est utilisé lorsqu’on veut privilégier les basses fréquences dans un signal électrique ; c’est ce que l’on réalise à la sortie d’un amplificateur audio, en connectant, aux bornes du haut-parleur (HP), un condensateur (Fig. 6.7).

R

ue

C F IG . 6.7.

HP

b) Filtre LR La fonction de transfert H (jv) du diviseur de tension LR , représenté sur la figure 6.8a, est facile à exprimer : u R f R v 1 H (jv) = s = = = avec x = et v0 = v0 1 + jx ue R + jLv f0 L On en déduit : (jx) −1 1 1 R H(x) = ou H (x) = avec f 0 = −1 1 + jx 1 + (jx) 2p L Il vient, comme précédemment : 1 Gu = −20 lg |H| = −10 lg(1 + x 2)| |H| = 2 1 / 2 ) (1 + x

et

f = −arctan x

Le résultat est donc le même que celui obtenu avec le circuit RC . Dans la pratique, l’utilisation des bobines est moins commode, car ces composants sont plus encombrants et souvent mal représentés par une seule inductance ; on doit prendre en compte une résistance supplémentaire. On tend de plus en plus à les remplacer par des montages équivalents avec amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8).

ue

L R

ue

L HP

a)

F IG . 6.8.

b)

188

6. Fonctions de transfert. Quadripôles Application : filtrage des basses fréquences à la sortie d’un baladeur

On sélectionne les basses fréquences à la sortie d’un baladeur à l’aide d’un filtre LR , L étant l’inductance d’une bobine et R la résistance du haut-parleur (Fig. 6.8b). Les ordres de grandeur sont L = 0, 5 mH et R = 8 V . Par conséquent : f0 =

1 R 1 8 = 2 540 Hz soit = 2p L 2p 0, 5 × 10−3

f0 = 2, 54 kHz

Remarques : 1) Avec un condensateur au lieu d’une bobine, il aurait fallu une forte capacité, puisque : 1 ≈ 20 mF C= 2pfR 2) Soulignons que tous les filtres passe-bas d’ordre 1 sont décrits par la même fonction de transfert, laquelle est complètement définie par la valeur d’une seule caractéristique, la fréquence de coupure f 0 . II . 4 . — Filtres passe-haut d’ordre 1 a) Filtre CR L’exemple le plus simple et le plus répandu de filtre passif passe-haut est le dipôle CR (Fig. 6.9a). Une analyse qualitative préalable permet d’obtenir rapidement le comportement d’un tel filtre. Pour une fréquence f faible, la tension aux bornes du condensateur est bien plus grande que la tension de sortie aux bornes du résistor ; cette dernière est donc négligeable devant la tension d’entrée. La fonction de transfert s’obtient facilement puisqu’on a toujours un diviseur de tension : H (jv) =

1 us R = = ue R + 1/(jCv) 1 + 1/(jRCv)

soit

H (jv) =

1 1 − jv 0/v

avec v 0 =

1 RC

On en déduit, en fonction de x = f /f0 : H= d’où :

1 1 (jx) = = −1 1 − j/x 1 + (jx) 1 + (jx) 

1 Gu = −10 lg 1 + 2 x En fonction de X = lg x , il vient :



Gu = −10 lg(1 + 10−2X )

et

  1 f = arctan x

et

f = arctan 10 −X

Remarque : Notons que l’on passe d’un filtre passe-bas du premier ordre à un filtre passe-haut du premier ordre en procédant au changement de variable : (jx) en (jx) −1 . Sur les figures 6.9b et 6.9c, on a représenté les diagrammes de Bode en gain et en phase d’un tel circuit avec R = 10 kV et C = 10 nF . On voit que le gain croît lorsque la fréquence augmente ; le filtre est passe-haut avec une fréquence de coupure fc = f 0 = 1, 59 kHz . On déduit aisément G u et f , relatifs au filtre passe-haut CR , des mêmes grandeurs relatives au filtre passe-bas RC , en procédant au changement X en −X . En effet, le gain et la phase sont des fonctions respectivement paire et impaire de X :   et f = arctan 10 −X G u = −10 lg 1 + 10−2X

189

Fonctions de transfert. Quadripôles Gu (dB)

−1

0

f(rad) p/2

X = lg x

−3

C ue

R

p/4

us −20

a)

b)

0

X = lg x

c) F IG . 6.9.

b) Applications 1) Filtrage des hautes fréquences à la sortie d’un baladeur Pour sélectionner les hautes fréquences de la tension à la sortie d’un baladeur, on utilise un filtre passe-haut en ajoutant un condensateur en série avec le haut-parleur. Par exemple, si R = 8 V et C = 5 mF , la fréquence de coupure est : fc =

1 ≈ 4 kHz 2pRC

2) Utilisation de la voie AC d’un oscilloscope Dans un oscilloscope, la voie AC se distingue de la voie DC par un condensateur en série à l’entrée (cf. Introduction expérimentale) ; ce dernier, associé à la grande résistance d’entrée de l’instrument de mesure, forme un filtre passe-haut (Fig. 6.9a) qui étouffe les fréquences faibles, notamment la fréquence nulle. Calculons la capacité C nécessaire pour que la fréquence de coupure d’un oscilloscope, de résistance d’entrée R = 1 MV , soit de 1 Hz : C=

1 1 = 0, 16 mF = 2pfcR 2p × 106

Remarque : On peut réaliser des filtres passe-bas ou passe-haut plus sélectifs en plaçant en cascade plusieurs filtres d’ordre 1 identiques, comme on le verra plus loin. On obtient ainsi des filtres d’ordre 2 ou plus élevé, suivant le nombre de cellules. Cependant il existe aussi des systèmes électriques globalement caractérisés par des fonctions de transfert d’ordre 2 ou plus élevé (cf. Exercices). II . 5 . — Filtres passe-bande d’ordre 2 a) Circuit RLC série Le circuit oscillant RLC série peut être considéré comme un système qui fait correspondre, à la tension d’entrée aux bornes du circuit, la tension de sortie, aux bornes du résistor, proportionnelle à l’intensité du courant (cf. chapitre 3). Il se comporte comme un filtre, puisque, lorsqu’on fait varier la fréquence de la tension sinusoïdale à l’entrée, l’amplitude de la tension de sortie varie (Fig. 6.10). On sait que cette dernière passe par un maximum pour une pulsation v du GBF égale à la pulsation propre v0 du circuit :  1/2 1 v = v0 = LC

190

6. Fonctions de transfert. Quadripôles C ue

L R

Oscilloscope

us F IG . 6.10.

Le calcul de la fonction de transfert H (jv) ne présente pas de difficulté : H (jv) =

us R RCv = = ue RCv + j(LCv2 − 1) R + jLv + 1/(jCv)

Le filtre est donc du deuxième ordre. Il est commode d’exprimer H (jv) en fonction de v 0 et du facteur de qualité Q = L v0 /R : 1 H (jv) = 1 + jQ (v/v0 − v0/v) On en déduit, en introduisant la fréquence réduite x = v/v0 = f /f 0 : H(x) =

1 1 = 1 + jQ (x − 1/x) 1 + Q[(jx) + (jx) −1]

d’où :       2 1/2     1  = −10 lg  1 + Q2 x − 1  Gu = 20 lg |H| = 20 lg     2 2 1 / 2 x [1 + Q (x − 1/x) ]  

et :

   1 f = −arctan Q x − x

En fonction de la variable X = lg x , on obtient :     Gu = −10 lg  1 + Q 2(10X − 10 −X)1/2 

et

   f = −arctan Q 10X − 10 −X

Sur la figure 6.11, on a représenté les diagrammes de Bode relatifs au gain et à la phase, en fonction de X = lg x = lg(f /f0) . Il s’agit ici d’une autre représentation que celle donnée habituellement (cf. chapitre 3) du pic de résonance qui apparaît pour X = 0 , soit x = 1 ou f = f 0 . Lorsqu’on réalise un tel montage, on doit prendre en compte la résistance r de la bobine, dans le calcul de Q , ainsi que la résistance interne du GBF, de l’ordre de 50 V . Ordres de grandeur : si L = 0, 1 H , R = 90 V , C = 0, 2 mF , on trouve : v0 =



1 LC

 1/2

3

= 7, 07 × 10 rad · s

−1

1 f0 = 2p



1 LC

1/2

= 1, 13 kHz et

Q=

Lv 0 = 7, 9 R

On peut utiliser un tel filtre pour sélectionner une fréquence déterminée dans la tension d’entrée ; il suffit de modifier la valeur de la capacité jusqu’à obtenir un gain maximal aux bornes du résistor. On rend le circuit sélectif en augmentant Q , concrètement en diminuant R .

191

Fonctions de transfert. Quadripôles Gu 0

f (rad) X = lg x

p/2 X = lg x

0

Q=5 Q = 20

− p/2

Q=5 Q = 20

a)

b) F IG . 6.11.

Remarques : 1) On s’affranchit de la résistance interne du générateur en utilisant un amplificateur opérationnel monté en suiveur (cf. chapitre 8). 2) Entre la tension de sortie prise aux bornes d’un condensateur et la tension d’entrée, la fonction de transfert est évidemment différente : le gain en tension passe par une valeur maximale non nulle, alors que le filtre est passif (cf. Exercices). b) Filtre de Wien Le filtre de Wien, du nom du physicien allemand C. Wien, à ne pas confondre avec son cousin W. Wien à qui l’on doit des travaux sur le corps noir (cf. Thermodynamique), est un filtre passe-bande d’ordre deux constitué de deux résistors et de deux condensateurs identiques, disposés comme le montre la figure 6.12.

R ue

R

C

us

F IG . 6.12.

Établissons l’expression de sa fonction de transfert, en nous appuyant sur le diviseur de tension ainsi constitué : 1 u Z2 H (jv) = s = = 1 + Z 1/Z2 ue Z1 + Z2 avec : 1 1 + jRCv R/(jCv) R et Z 2 = Z1 =R+ = = R + 1/(jCv) 1 + jRCv jCv jCv Il vient, en effectuant :   1 + jRCv 1 + jRCv 1 − R2 C2 v 2 + j2RCv Z1 v v0 =2+j = = × − Z2 jCv R jRCv v0 v

On en déduit :

H (jv) =

1 3 + j(v/v 0 − v0/v)

soit

H(x) =

1 3 + j(x − 1/x)

où v0 =

1 RC

192

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

en introduisant la fréquence réduite x = v/v0 = f /f 0 . Ainsi : H(x) =

Q 1 + Q[(jx) + (jx)−1 ]

avec Q =

1 3

d’où :

  1 x − 1/x et f = −arctan |H(x)| = 3 [9 + (x − 1/x) 2 ]1/2 Sur les figures 6.13a et 6.13b, on a représenté les diagrammes de Bode du gain G u et de la phase f en fonction de X = lg x .  X  10 − 10−X X −X 2 G u = 20 lg |H| = −10 lg |9 + (10 − 10 ) | et f = −arctan 3 On voit que Gu passe par sa valeur maximale −9, 54 dB , correspondant à |T | = 1/3 , lorsque X = 0 , soit x = 1 ou f = f 0 . Pour R = 5 kV et C = 10 nF , f 0 vaut : f0 =

1 = 3, 18 kHz 2pRC

Gu (dB) X = lg x 0

f(rad) p/2

0

X = lg x

− p/2

a)

b) F IG . 6.13.

II . 6 . — Filtres coupe-bande d’ordre 2 en double T Le filtre, en double T, représenté sur la figure 6.14, est constitué de deux filtres en T, l’un formé de deux condensateurs identiques, de capacité C , séparés par un résistor, de résistance R/2 , l’autre formé de deux résistors, de résistance R , séparés par un condensateur de capacité 2C . C

C

N

S K ue

R 2C

R

us

R/2

M F IG . 6.14.

Notons, avant tout calcul, que u s ≈ ue à haute fréquence (v ≈ ∞) , ainsi qu’à basse fréquence (v ≈ 0) . Dans le cas concret où R = 10 kV et C = 15 nF , v0 et f0 valent respectivement : v0 1 v0 = = 6, 67 × 10 3 rad · s−1 et f0 = = 1, 062 kHz 2p RC

193

Fonctions de transfert. Quadripôles

On obtient rapidement le facteur d’amplification en tension, en appliquant le théorème de Millman aux nœuds K , N et S , le filtre ne débitant sur aucune charge. Il vient, respectivement : uK =

ue /R + us/R 2/R + j2Cv

uN =

jCvue + jCvu s j2Cv + 2/R

et

us =

uK /R + jCvuN 1/R + jCv

ce qui s’écrit, en introduisant la fréquence réduite x = RCv = v/v 0 = f /f0 : uK =

ue + us 2(1 + jx )

uN = jx

ue + us 2(1 + jx )

et

us =

u K + jxuN 1 + jx

Ainsi, remplaçant dans cette dernière équation u K et u N par leurs expressions respectives , on trouve : us =

(ue + u s )(1 − x2) 2(1 + jx )2

soit

ue + us 2(1 + jx )2 = 1 − x2 us

On en déduit : 2(1 + jx ) 2 2(1 + jx) 2 − 1 + x2 1 − x 2 + j4x ue = − 1 = − 1 = 1 − x2 1 − x2 1 − x2 us

et

1 − x2 us = 1 − x 2 + j4x ue

Finalement : H(x) =

1 − x2 1 − x 2 + j 4x

ce qui s’écrit aussi, en divisant les deux membres par j 4x : H(x) = Ainsi :

Q[(jx) + (jx)−1 ] (1 − x 2 )/(4 jx) = 1 + (1 − x 2)/4 jx 1 + Q[(jx) + (jx) −1]

   1 − x2    G u = 20 lg  1 − x 2 + j4x 

et

f = −arctan

avec Q =

1 4

4x 1 − x2

Sur la figure 6.15, on a représenté les diagrammes de Bode relatifs au gain et à la phase, en fonction de X = lg x : |1 − 10 2X | 4 × 10 X et f = −arctan G u = 20 lg [(1 − 102X )2 + 16 102X ]1/2 1 − 10 2X

Les fréquences voisines de f0 sont étouffées. Le système se comporte bien comme un filtre coupe-bande. G u(dB)

0

f (rad)

p/2

X = lg x

0

a)

b) F IG . 6.15.

− p/2

X = lg x

194

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

III . — ASSOCIATION EN CASCADE DE FILTRES PASSIFS Très souvent, les filtres passifs réels se présentent comme des associations en cascade de quadripôles, tels que ceux qui ont été étudiés précédemment. Il est alors commode de décrire le comportement linéaire de ces systèmes par une matrice de transfert, laquelle permet de passer des caractéristiques tension-courant, à l’entrée, à celles tension-courant, à la sortie (Fig. 6.16). Notons que le courant de sortie is , qui traverse l’impédance de charge Z c , sort de la borne 3 du quadripôle. Désignons par X e la matrice colonne formée par les données tension et courant à l’entrée et par Xs la matrice colonne correspondante à la sortie. Il vient : a b c d

ie

ue

1

¸

Xs = [T ] Xe avec [T] =





car

a c

b d

2

u s = a u e + b i e et

¸3

is us

i s = c u e + d ie

Zc

4

F IG . 6.16.

III . 1 . — Matrices de transfert élémentaires Les matrices de transfert des systèmes électroniques peuvent être obtenues à partir de deux matrices de transfert élémentaires de quadripôles simples Ql et Qt représentés sur la figure 6.17 : le premier Ql est constitué d’une impédance z longitudinale entre les bornes 1 et 3 du quadripôle et le second Q t d’une impédance z transversale entre les bornes 1 et 2. ie ue

z

is

ie ue

us

a) Ql

is

z

us

b) Qt F IG . 6.17.

a) Matrice de transfert de Ql Les relations entre l’entrée et la sortie sont très simples à établir (Fig. 6.17a) : u s = u e − z ie

et

is = i e

ce qui se met sous la forme matricielle suivante : X s = [T] l Xe

avec [T ] l =

Notons que le déterminant de la matrice [T ]l vaut 1.



1 −z 0 1



195

Fonctions de transfert. Quadripôles b) Matrice de transfert de Qt De même, pour le quadripôle Q t (Fig 6.17b) : us = ue

et

ue + ie z

is = −

d’où, matriciellement : Xs = [T] t X e avec [T ]t =



1 0 −1/z 1



Le déterminant de [T ]t est, lui aussi, égal à 1. III . 2 . — Matrice de transfert d’une association de quadripôles en cascade Les matrices de transfert élémentaires permettent d’en déduire simplement la matrice de transfert du quadripôle Q formé par l’association en cascade de quadripôles élémentaires. En effet, en procédant de proche en proche, on voit que la relation entre Xe et Xs s’obtient en multipliant entre elles les matrices élémentaires. Notons que l’ordre dans l’écriture des matrices élémentaires est l’inverse de celui dans lequel les quadripôles se suivent (Fig. 6.18). Ainsi, on écrira, pour n quadripôles, qui se suivent en cascade dans le sens Q1 , Q 2 , . . . Qk . . . Q n , de matrices de transfert respectives [T 1 ] , [T2] , . . . [T k] . . . [Tn] : [T] = [T]n × . . . [T ]k × . . . [T ]2 × [T ]1

Le déterminant de [T ] vaut 1 puisqu’il est le produit de déterminants tous égaux à 1 . ie ue

Q1

Q2

Qn

us

F IG . 6.18.

Pour trouver la fonction de transfert de Q , il suffit de rappeler les relations linéaires suivantes : u s = a ue + b ie

et is = c ue + d ie

et de noter que l’on doit avoir i s = 0 . Il en résulte que : us = a ue −

bc u d e

d’où

us bc ad − bc 1 =a− = = ue d d d

puisque le déterminant ad − bc de la matrice vaut 1 . Ainsi, la fonction de transfert H (jv) = T (f ) s’identifie finalement à l’inverse de l’élément de matrice d : H (jv) = T (f ) =

1 d

Remarques : 1) On aura probablement noté l’analogie de traitement avec l’analyse matricielle en optique géométrique (cf. Optique). 2) Les électroniciens définissent souvent la matrice de transfert par l’inverse de la matrice précédente, c’est-à-dire la matrice qui détermine l’entrée à partir de la sortie, probablement pour éviter l’ordre inverse dans l’écriture des matrices successives. Notre choix est conforme à celui que l’on a déjà adopté en optique, précisément « la sortie en fonction de l’entrée ».

196

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

III . 3 . — Exemples a) Matrice de transfert du quadripôle passif en T Pour le quadripôle passif en T (Fig. 6.19a), on a : soit

Xs = [T]l (z3 ) [T]t (z2 ) [T]l (z1)X e Il vient, en explicitant :   1 −z 3 1 [T] = 0 1 −1/z2

0 1



z1

avec [T] = [T] l (z3 ) [T] t (z2) [T]l (z1)

Xs = [T ]Xe

1 −z 1 0 1





=

1 + z3 /z2 −1/z2

z3

ue

z2

us

ue

z 2

z1

a)

−(z1 z 2 + z 1z 3 + z2 z3 )/z2 1 + z1/z2

z3



us

b) F IG . 6.19.

b) Matrice de transfert du quadripôle passif en P De façon analogue, avec le quadripôle en P (Fig. 6.19b), on obtient : Xs = [T]t (z3) [T]l (z2) [T]t (z1) X e

soit

avec [T] = [T]t (z 3) [T]l (z2 ) [T]t (z1 )

Xs = [T ] Xe

On trouve, en explicitant :    1 0 1 −z 2 1 [T] = −1/z 1 1 0 1 −1/z3

0 1



=



1 + z2 /z1  −(z 1 + z2 + z 3)/(z3 z 1 )

−z 2 1 + z2 /z3



III . 4 . — Théorème de Kennely : conversion triangle-étoile Ce théorème, qui porte le nom de l’électrotechnicien américain du début du XX e siècle A. Kennely, donne les relations auxquelles doivent satisfaire les impédances pour que les quadripôles en T et en P soient équivalents. De façon plus imagée, le quadripôle T est dit en étoile et P en triangle. En identifiant les éléments des matrices précédentes, on obtient respectivement : 1+

z3 z = 1 + 2 z2 z1

z1 z 2+ z 1 z3 + z 2z 3 = z 2 z2

z + z  + z 3 1 = 1  2 z2 z3 z1

1+

z1 z = 1 + 2 z2 z3

On retient généralement cette équivalence sous les deux formes suivantes : zi z j zk =   i zi

et

z k

=



ij zi z j

zk

selon que l’on passe du montage en triangle ( P d’impédances zk ) vers celui en étoile ( T d’impédances zk ), ou l’inverse. La conversion triangle-étoile est largement utilisée en électrotechnique, précisément pour économiser un fil conducteur dans le transport de la puissance électrique, en triphasé (cf. chapitre 2).

197

Fonctions de transfert. Quadripôles III . 5 . — Association de deux cellules identiques RC

On détermine la matrice de transfert de l’association de deux cellules identiques en portant à la puissance deux la matrice de transfert TRC d’une seule cellule (Fig. 6.20) :      1 0 1 −R 1 −R [T ]RC = [T]t (C) [T] l(R) = = −jCv 1 0 1 −jCv 1 + jRC v La fonction de transfert d’une cellule, H (jv) = u s/u e , s’en déduit à l’aide de l’inverse du quatrième élément de la matrice : 1 1 H (jv) = = d 1 + jRCv R C

ue

R us

C F IG . 6.20.

Pour obtenir la fonction de transfert de l’ensemble, effectuons la multiplication matricielle T RC TRC , en introduisant la fréquence réduite x = RCv :       1 −R 1 −R 1 + jx −R − R(1 + jx) = × [T] = −jx/R 1 + jx −jx/R 1 + jx −j2x/R + x 2/R jx + (1 + jx) 2 Ainsi :

[T] = d’où l’on déduit :



1 + jx −R(2 + jx) −j2x/R + x2 /R 1 − x2 + j3x H(x) =



1 1

− x2

+ j3x

On trouve alors aisément le gain en tension Gu et la phase f :

 3x G u = 20 lg |H(x)| = −10 lg[(1 − x ) + 9x ] et f = arctan x2 − 1 Ce filtre est donc du deuxième ordre. Pour f  fc , G u ≈ 0 dB , alors que, pour f  f c , Gu s’effondre ; lorsque f = fc , G u = −10 lg 9 ≈ −9, 54 dB . Sur la figure 6.21, on a représenté les diagrammes de Bode correspondants. 2 2



2

Gu (dB)

f(rad)

X = lg x

0

0

−9,54 − p/2

−p

a)

F IG . 6.21.

b)

X = lg x

198

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

IV . — CARACTÉRISTIQUES DES QUADRIPÔLES Nous venons de voir que les quadripôles se comportaient comme des filtres dont la caractéristique essentielle était leur fonction de transfert en tension T(f ) = us /ue , d’où leur nature passe-bas, passehaut ou autre, selon la variation du gain Gu = 20 lg |T | en fonction de lg f . Comme le gain en tension de ces filtres est souvent positif, c’est-à-dire que le module du rapport des tensions est supérieur à l’unité, on les qualifie d’amplificateurs en tension.

Un quadripôle se comporte généralement comme un filtre passe-bande. Le diagramme de Bode donnant le gain en fonction de la fréquence permet de déterminer la bande passante à 3 dB , à l’aide des fréquences f1 et f 2 pour lesquelles le gain G u satisfait à l’inégalité : Gu  Gu,max − 3 dB On obtient expérimentalement ce diagramme en appliquant à l’entrée une tension sinusoïdale et en déterminant le facteur d’amplification en tension Au et donc du gain Gu correspondant pour chaque fréquence f (Fig. 6.22). La bande passante à −3 dB est l’intervalle spectral : Df = f2 − f 1 f1 et f2 étant respectivement la fréquence de coupure basse et la fréquence de coupure haute. Gu (dB) 3

(Gu)max

f1

f2

f

F IG . 6.22.

En dehors du gain en tension et de la bande passante des quadripôles, il existe d’autres grandeurs caractéristiques. IV . 1 . — Impédance d’entrée d’un quadripôle Schématiquement, un quadripôle reçoit un signal d’entrée d’un GBF, lequel peut être assimilé à une f.e.m eg et une impédance interne Z g . Ce générateur débite un courant d’intensité ie dans l’impédance d’entrée Ze de l’amplificateur (Fig. 6.23). À la sortie, l’amplificateur se comporte comme un générateur de Thévenin, de f.e.m Auue et d’impédance interne Z s , appelée impédance de sortie du quadripôle ; il débite un courant d’intensité is dans une charge d’impédance Zc . L’impédance d’entrée Z e est définie par le rapport (Fig.6.23) : Ze =

ue ie

En général, Ze dépend de l’impédance de charge Zc .

199

Fonctions de transfert. Quadripôles is

Zg

ie

R

ue

eg

Zs Au ue us

Ze

Z

F IG . 6.23.

Exemple : mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope Le schéma représenté sur la figure 6.24a permet de mesurer la résistance d’entrée R e de l’oscilloscope ; on applique, à l’entrée verticale Y de l’appareil, une tension stationnaire délivrée par un dipôle, lequel est formé d’un générateur de tension, de f.e.m E, et d’un résistor de résistance réglable R v . Pour R v = 0 , la déviation verticale du spot est y0 ; on fait alors varier R v jusqu’à la valeur R 1/2 telle que la déviation devienne y0 /2 . On a alors Re = Rv = R 1/2 ; on trouve généralement une valeur de l’ordre de 1 MV . Remarque : En toute rigueur, on devrait tenir compte de la résistance interne du générateur, mais cette dernière est négligeable devant Re .

Rg

i

Y oscilloscope

Rv

Y oscilloscope

Rv

Re

C e uC

Re

E

a)

b)

F IG . 6.24.

L’impédance d’entrée ne se réduit pas à R e ; elle présente aussi un caractère capacitif que l’on traduit par un condensateur, de capacité C e en parallèle avec R e . Pour le vérifier et mesurer C e , il suffit de remplacer, dans le montage de la figure 6.24a avec Rv = R1/2 , la tension stationnaire précédente par une tension carrée, de hauteur E égale à quelques volts et de fréquence quelques kHz (Fig. 6.24b). Lors de la charge du condensateur, la tension aux bornes du condensateur satisfait à l’équation différentielle suivante (cf. chapitre 4) : E = Rvi + u C

avec i =

d qC uC d uC uC = Ce + + dt dt Re Re

Comme Rv = Re , il vient : E = Re Ce

d uC + 2u C soit dt

t

d uC E + uC = dt 2

en posant

t=

Re Ce 2

Ce type d’équation différentielle est bien connu (cf. chapitre 4). Sa résolution donne :  t E + u C(t) = Cte × exp − t 2

soit

uC (t) =

 t  E 1 − exp − t 2

200

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Ainsi, pour t = t : uC (t) =

 E 1 − e−1 ≈ 0, 316 E 2

On accède à Ce en mesurant t . Ordre de grandeur : avec E = 6 V , on a obtenu une tension égale à 1, 9 V pour t = t ≈ 8, 5 ms . On en déduit la capacité suivante : 2t ≈ 17 pF Ce = R Une autre façon de déterminer Ce consiste à ajouter, en parallèle avec R v = Re , un condensateur de capacité variable Cv . Le circuit admet alors comme fonction de transfert : H (jv) =

us Ze = ue Ze + Z

avec Z e =

Re 1 + jRe Cev

et

Z=

Rv Re = 1 + jR vCv v 1 + jR e Cv v

On trouve, en effectuant : H (jv) =

1 1 + jR e Cv v = 1 + Z /Z e 2 + jR e (Cv + Ce )v

On voit que la fonction de transfert est indépendante de v si C v = Ce et vaut alors 1/2 . En envoyant un signal carré à l’entrée, on fait varier C v jusqu’à la valeur C e pour laquelle la tension de sortie est aussi un signal carré sans distorsion. IV . 2 . — Impédance de sortie Entre les deux bornes de sortie d’un quadripôle (Fig. 6.23), ce dernier se comporte, relativement à la charge, comme un générateur de Thévenin de f.e.m A uue et d’impédance Zs . L’impédance de sortie du quadripôle est précisément Zs . On calcule Z s en passivant la tension d’entrée ue = 0 et en remplaçant l’impédance de charge par un générateur auxiliaire idéal de tension de f.e.m eg ; ce dernier permet d’exciter les sources liées et donc de déterminer correctement l’impédance de sortie selon : Zs =

eg , ig

ig étant l’intensité du courant débité par ce générateur. Exemple : mesure de l’impédance de sortie d’un filtre RC passe-bas (Fig. 6.25a) En passivant la tension d’entrée et en connectant un générateur idéal de f.e.m e g , on obtient (Fig. 6.25b) : eg eg R . d’où Z s = ig = = Z c//R = 1 + jRCv Zc //R ig R C

ue

ig

R

eg

C

a)

b) F IG . 6.25.

201

Fonctions de transfert. Quadripôles IV . 3 . — Facteurs d’amplification en courant et en puissance

Lorsque le quadripôle débite dans une charge, on introduit, comme pour la tension, les facteurs d’amplification en courant et en puissance respectivement, selon :   i  Ps A i =  s  et Ap = ie Pe Le plus souvent, on exprime les facteurs d’amplification en courant et en puissance, en décibel, selon : Gi = 20 lg Ai

et

G p = 10 lg Ap

Dans le langage courant de l’électronique, on désigne par amplificateur, ou plus brièvement ampli, sans autre précision, un quadripôle dans lequel la puissance électrique à la sortie Ps , associée à la tension de sortie us , est supérieure à la puissance électrique à l’entrée P e , associée à la tension d’entrée ue (Fig. 6.26). Évidemment, l’énergie étant une grandeur conservative (cf. Thermodynamique), le facteur d’amplification en puissance Ps /Pe n’est supérieur à l’unité que grâce à des sources auxiliaires d’énergie, lesquelles sont regroupées dans l’alimentation. Un tel quadripôle est donc nécessairement actif ; son gain en puissance 10 lg(Ps /P e) peut être positif, contrairement au quadripôle passif. L’intérêt d’un gain positif vient de l’objectif généralement visé pour un amplificateur qui est d’augmenter la puissance électrique d’un signal. Par exemple la puissance électrique à la sortie d’un microphone est faible, de l’ordre de 1 nW , alors que celle qui est nécessaire pour faire vibrer une membrane de haut-parleur est bien plus grande, de l’ordre de 1 W .

Ampli Microphone

HP F IG . 6.26.

IV . 4 . — Classification des amplificateurs On classe les amplificateurs selon leur fonction amplificatrice ou selon leur domaine spectral. a) Fonction amplificatrice L’amplification en puissance est généralement l’objectif d’une chaîne amplificatrice constituée de plusieurs étages connectés en cascade (Fig. 6.27). Cependant, les fonctions amplificatrices de chacun des étages ne concernent pas nécessairement la puissance. Parfois, on souhaite transmettre une tension maximale, ce qui exige que l’impédance de sortie d’un étage soit négligeable devant l’impédance d’entrée de l’étage suivant. Si c’est l’intensité maximale que l’on souhaite transmettre, c’est l’inverse ; l’impédance de sortie de l’étage doit être grande devant l’impédance d’entrée de l’étage suivant. En fin de chaîne, c’est la puissance maximale que l’on désire généralement transmettre ; dans ce cas, on sait que la résistance de sortie du dernier étage doit être égale à la résistance de la charge. Signalons que, dans la pratique, on n’hésite pas à s’écarter de cette condition lorsque la dissipation d’énergie dans la résistance de sortie est jugée trop grande et donc dangereuse pour l’ampli.

202

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

Pour que le facteur d’amplification en tension de l’ensemble soit le produit des facteurs d’amplification en tension des étages considérés séparément, il faut que la mise en série des amplificateurs ne modifie pas chacun de ces facteurs. On dit dans ce cas qu’il y a adaptation d’impédance en tension. On réalise pratiquement cette condition en imposant à l’impédance de sortie d’un étage d’être très faible devant l’impédance d’entrée du suivant. Pour un ensemble de n amplificateurs en tension placés en série, on a alors : Au ≈ Au,n × · · · × Au,2 × A u,1 Remarque : Cette adaptation d’impédance est facilement réalisée dans le montage suiveur et plus généralement dans les filtres actifs, munis d’amplificateurs opérationnels (cf. chapitres 8 et 10). + u+ ue (t)

Au,1

Au,2

us (t)

F IG . 6.27.

ε

− us

u− F IG . 6.28.

On distingue en général trois types d’amplificateur. i) Les amplificateurs en tension L’objectif recherché par les utilisateurs de préamplificateurs est la récupération dans les meilleures conditions de fidélité du signal à transmettre. Les caractéristiques essentielles des préamplificateurs sont donc leur fonctionnement linéaire avec des gains en tension élevés. Ils sont placés juste après le microphone qui transforme le signal acoustique initial en signal électrique. ii) Les amplificateurs en puissance Ce sont les amplificateurs placés en fin de chaîne, avant le haut-parleur qui transforme le signal électrique en signal acoustique. Souvent l’amplificateur n’est linéaire que dans le voisinage d’un point de fonctionnement ; on travaille alors sur des réseaux de courbes de fonctionnement. iii) Les amplificateurs différentiels Ces amplificateurs fournissent à leur sortie une tension proportionnelle à la différence de deux tensions d’entrée (Fig. 6.28) : us = A0 e avec e = u+ − u − L’amplificateur opérationnel (cf. chapitre 8) est avant tout un amplificateur différentiel. b) Classification selon leur fréquence On classe souvent les amplificateurs selon la fréquence, en trois catégories : i) les amplificateurs audio qui ont une bande passante comprise entre 20 et 20 kHz ; en téléphonie, la fréquence maximale ne dépasse pas 3, 4 kHz , ii) les amplificateurs des récepteurs radio dont la bande passante, comprise entre 20 et 20 kHz , est centrée sur l’onde porteuse dont la fréquence varie typiquement entre 100 kHZ et 100 MHz ; c’est le cas des ondes radio modulées en amplitude ou en fréquence (cf. chapitre 16), iii) les amplificateurs vidéo dont la bande passante est comprise entre 1 MHz et 10 MHz .

203

Fonctions de transfert. Quadripôles

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Le concept de fonction de transfert suppose que le système électrique considéré soit linéaire, c’est-à-dire qu’un signal d’entrée, combinaison linéaire de deux signaux, admette comme sortie la même combinaison linéaire des sorties correspondantes. 2) La fonction de transfert, entre la tension à la sortie et la tension à l’entrée, se met sous la forme : u H (jv) = s = T (f ) = |T (f )| exp jf ue 3) On représente le comportement spectral du système à l’aide des diagrammes de Bode, donnant, en fonction de lg f , le gain Gu = 20 lg |T (f )| en dB et la phase f . Il est souvent préférable d’introduire la fonction de transfert normalisée H(x) dans laquelle x désigne la pulsation ou la fréquence réduites x = v/vc = f /fc , f c = v c /(2p) étant une fréquence caractéristique. 4) Les filtres passifs ont un facteur d’amplification en puissance inférieur à l’unité et donc un gain en puissance négatif ; ils sont passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande. 5) Les quadripôles sont caractérisés par une bande spectrale, une impédance d’entrée et une impédance de sortie. Dans une chaîne de quadripôles en cascade, l’influence des éléments placés en aval sur ceux situés en amont n’est négligeable que si les impédances d’entrées sont très grandes devant les impédances de sortie, typiquement 1 MV pour les premières, quelques ohms pour les secondes. Cette adaptation d’impédance est aisément réalisée grâce aux amplificateurs opérationnels (chapitre 8).

EXERCICES ET PROBLÈMES P6– 1. Filtre passif passe-bas Le filtre, représenté sur la figure 6.29, est constitué par un résistor (résistance R 1 ) en série avec un ensemble résistor-condensateur (résistance R2 et capacité C2 ). 1. Que devient la fonction de transfert u s /u e = H (jv) = T (f ) , dans les cas extrêmes des très faibles et des très grandes fréquences ? 2. Établir l’expression de T (f ) ; on introduira la fréquence particulière f 0 que l’on exprimera en fonction des caractéristiques du circuit. Retrouver les valeurs extrêmes précédentes. 3. Dans l’exemple concret où R 1 = 15 kV , R 2 = 20 kV et C2 = 15 nF , calculer T (0) et f0 . Quelle est la fréquence de coupure à −3 dB . Tracer les diagrammes de Bode. R1

R1 ue

R2

F IG . 6.29.

C2

us

ue

C1

F IG . 6.30.

R 2 us

204

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

P6– 2. Filtre passif passe-haut Dans le schéma de la figure 6.30, représentant un filtre passif passe-haut, les valeurs des composants sont R1 = 19 kV , R 2 = 1 kV et C1 = 20 nF . 1. Quelles sont les valeurs de la fonction de transfert H (jv) = T (f ) aux fréquences extrêmes ? Justifier la fonction d’un tel filtre. 2. Établir l’expression de la fonction de transfert en calculant les deux fréquences caractéristiques. Représenter les diagrammes de Bode correspondants. 3. La tension à l’entrée du filtre a pour expression u e (t) = ue,m cos(2pft) avec u e,m = 0, 1 V . Calculer la tension de sortie, successivement pour f = f1 , f = f2 et f = (f1 + f2)/2 . P6– 3. Circuit RLC Un circuit série RLC , constitué d’une bobine, d’un résistor et d’un condensateur (Fig. 6.31), est alimenté par un générateur de f.e.m e(t ) = em cos(2pft) . 1. Trouver la fonction de transfert H (jv) entre la tension aux bornes du condensateur et la tension d’excitation ; on introduira la pulsation propre v0 et le facteur de qualité Q . 2. Calculer le gain et la phase pour v = v 0 , sachant que Q = 15 . R L

e (t)

C

u s (t)

F IG . 6.31.

P6– 4. Filtre passe-bande RLC Le filtre RLC , représenté sur la figure 6.32, est constitué d’un condensateur et d’une bobine en parallèle alimentés, à travers un résistor, par un générateur de f.e.m e(t) = em cos(2pft) . Le condensateur, la bobine et le résistor sont caractérisés par la capacité C = 20 nF , l’inductance L = 0, 2 H et la résistance R = 100 V , respectivement. 1. Montrer qualitativement qu’un tel filtre est passe-bande. 2. La fonction de transfert de ce filtre est définie par le rapport T (f ) de la tension complexe u s(t) , aux bornes du condensateur et de la f.e.m complexe e(t) . a) Trouver l’expression de T (f ) . b) Déterminer la pulsation propre v 0 de ce filtre, ainsi que le facteur de qualité. c) Exprimer le gain G et la phase f en fonction de la fréquence. 3. Pour quelle valeur de f le gain est-il maximal ? Calculer ce gain maximal. En déduire les fréquences de coupure à −3 dB et la bande passante du filtre ainsi constitué.

205

Fonctions de transfert. Quadripôles

Ri R C2

e (t)

L

e (t)

Ci

F IG . 6.32.

P6– 5. Système à gain uniforme

R

us (t)

C

F IG . 6.33. web

Un générateur de signaux sinusoïdaux, dont l’impédance interne Z i est celle Ri d’un résistor en parallèle avec un condensateur de capacité C i , débite dans une charge formée d’un résistor (résistance R ) en parallèle avec un condensateur, de capacité variable C (Fig. 6.33). 1. Trouver la fonction de transfert, rapport de la tension aux bornes de la charge sur la f.e.m du générateur, en fonction de la fréquence. On introduira deux fréquences caractéristiques fi et f e que l’on exprimera à l’aide de R i , R , Ci et C . 2. Quelle doit être la valeur de C pour que le facteur d’amplification en tension soit indépendant de la fréquence ? Trouver le déphasage entre la tension à la sortie et la f.e.m. Calculer C et le facteur d’amplification pour Ri = 50 V , R = 0, 5 kV et C i = 0, 5 mF . P6– 6. Filtre de Colpitts

web

Le filtre représenté sur la figure 6.34 est le filtre de E. Colpitts. À l’entrée, un générateur fournit une tension sinusoïdale, de fréquence f , et, à la sortie, la tension est celle aux bornes du condensateur de capacité C2 . 1. Montrer, à l’aide de considérations qualitatives, qu’un tel filtre est de type passe-bande. 2. Trouver sa fonction de transfert. On souhaite sélectionner la fréquence f 0 = 150 kHz avec une inductance L = 50 mH , une capacité C1 = 40 pF et un facteur de qualité Q = 20 . Calculer les valeurs de C2 et R . Quel est le gain pour f = f 0 ? C1 R e (t)

R L C2

us(t)

ue

R C

F IG . 6.34.

R C

C

us

F IG . 6.35.

P6– 7. Filtre passif constitué de trois cellules identiques en cascade Un filtre est constitué par la succession de trois cellules élémentaires identiques RC , comportant chacune un résistor ( R = 0, 8 kV ) et un condensateur ( C = 50 nF ) (Fig. 6.35). 1. Déterminer, à l’aide de R et C , la fréquence caractéristique f 1 d’une cellule. Établir, en fonction de la fréquence réduite x = f /f1 , l’expression de la matrice de transfert T d’une seule cellule,

206

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

définie comme suit : Xs = [T ] Xe où X est une matrice colonne dont les deux lignes sont respectivement la tension u et l’intensité i du courant. 2. Quelle est la fonction de transfert H(x) du filtre constitué des trois cellules identiques ? En déduire le gain et le déphasage f de la sortie par rapport à l’entrée. 3. Déterminer la fréquence f pour laquelle la tension de sortie est en opposition par rapport à l’entrée. Trouver le gain correspondant. P6– 8. Filtre passe-bas de Butterworth

web

Un filtre de Butterworth est un filtre dont le carré du module de la fonction de transfert a pour expression : 1 |T(f )|2 = 1 + (f /fc )2n n étant un entier. Le quadripôle, représenté sur la figure 6.36, est un filtre de Butterworth ; il est constitué de deux bobines inductives, d’inductances respectives L1 et L2 , d’un condensateur de capacité C et d’une résistance de charge Rc . 1. Montrer que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme : H(x) =

1 1 + c 1(j x) + c 2(j x) 2 + (j x) 3

x étant la fréquence réduite par une fréquence caractéristique f 0 que l’on déterminera. 2. Comment faut-il choisir les facteurs c 1 et c2 pour un filtre de Butterworth d’ordre 3 ? En déduire les expressions de L1/R et L 2/R en fonction de f0 . Calculer L2 , C et Rc pour f 0 = 10 kHz et L1 = 0, 5 mH . 3. Tracer les diagrammes √ de Bode√associés à H(x) . Calculer le déphasage introduit par le filtre, successivement pour x = 1/ 2 , x = 2 et x = 1 . L

L

ue

C

F IG . 6.36.

Z1 Rc

ue

Z 3 = Z1 Z2

us

F IG . 6.37.

P6– 9. Impédance itérative Un générateur de tension sinusoïdale alimente un filtre passif symétrique constitué de trois impédances Z1 , Z2 et Z 3 = Z1 (Fig. 6.37). 1. Déterminer, en fonction de Z 1 et Z2 , la matrice « abcd » de transfert du filtre, donnant la sortie { us , i s } en fonction de l’entrée { u e , ie }.

207

Fonctions de transfert. Quadripôles

2. On appelle impédance itérative (qui se répète) Zi celle qu’il faut brancher en sortie pour que l’impédance d’entrée soit égale à cette impédance de charge. a) Exprimer Zi en fonction de Z1 et Z2 . Application au cas où Z 1 est l’impédance d’un condensateur de capacité C = 0, 5 mF , Z2 celle d’une bobine non résistive d’inductance L = 20 mH , et où f = f0 , f 0 étant la fréquence de résonance du circuit LC . b) Exprimer Z i en fonction de Ze,o , impédance d’entrée en sortie ouverte et Z e,f , impédance d’entrée en sortie fermée ou en court-circuit. Quelles sont les valeurs de ces impédances d’entrée pour f = f0 ? 3. On ferme le filtre, à la sortie, à l’aide d’un dipôle d’impédance égale à l’impédance itérative Z i . On désigne par G le rapport de la tension de sortie sur la tension d’entrée. a) Montrer que u s/u e = is/i e = G et en déduire l’équation vérifiée par G faisant intervenir l’élément a de la matrice « abcd ». b) Établir l’équation à laquelle satisfait G . c) L’analyse du transfert de l’énergie depuis l’entrée jusqu’à la sortie implique une condition, sous forme d’inégalité, à laquelle doit satisfaire G . Quelle est cette condition ? d) On souhaite que la transmission du signal s’effectue sans atténuation énergétique. Trouver la condition sur la fréquence f pour qu’il en soit ainsi. P6– 10. Approche de la fonction de transfert d’un filtre à l’aide de son gabarit On cherche à approcher la fonction de transfert d’un filtre passe-bas à l’aide de son gabarit, lequel est caractérisé par les coordonnées suivantes, dans le diagramme de Bode, des points A 1 et A2 : f1 = 300 Hz

G1 = −3 dB

et

f2 = 600 Hz

G2 = −12, 3 dB

On suppose que la fonction de transfert H (jv) est caractéristique d’un filtre de Butterworth : |H (jv)|2 =

1 1 + (v/v 0)2n

v0 étant une pulsation caractéristique et n un entier. 1. Quelle est la valeur de n pour laquelle la fonction de transfert est conforme au gabarit ? Même question pour la fréquence f 0 = v0 /(2p) . 2. Montrer que, si n = 2 , la fonction de transfert H (x) peut s’écrire : H (x) =

1 1 + jc 1x − c 2x2

x étant la fréquence réduite x = f /f0 , c1 et c2 deux facteurs positifs que l’on calculera. P6– 11. Filtrage par une suite infinie de cellules identiques

web

Un système électrique se présente comme une suite infinie de cellules identiques, constituées de deux composants, d’impédances respectives Z 1 et Z 2 , comme le montre la figure 6.38. La tension à l’entrée est celle fournie par un générateur de tension sinusoïdale, de fréquence f . 1. Trouver, en fonction de Z 1 et Z 2 , l’impédance Z 0 de cette suite entre les deux bornes d’entrée ; pour cela on remarquera que l’on ne change pas le résultat en ajoutant une cellule à la suite considérée.

208

6. Fonctions de transfert. Quadripôles

2. On désigne par u n la tension aux bornes de la cellule de rang n , par u n+1 celle aux bornes de la cellule n + 1 et par in l’intensité du courant dans la branche An An+1 . a) Trouver l’équation reliant i n−1 , i n , in+1 et les deux impédances Z 1 et Z 2 . b) Chercher une solution de la forme : i n = I ma n exp(jvt) , a étant un facteur que l’on déterminera. 3. Les impédances Z 1 et Z2 de la cellule sont celles respectivement d’une bobine et d’un condensateur : L = 10 mH et C = 5 mF . a) Établir la relation entre u n+1 et un en fonction de Z 1 et Z0 . En déduire un en fonction de ue , Z1 et Z0 . b) Montrer que cette ligne infinie de cellules se comporte comme un filtre dont on précisera la nature et dont on calculera la fréquence de coupure fc . c) Calculer le gain pour f = 1, 5 kHz et n = 5 . E Z1 ue

Z1 Z2

L

Z1 Z2

S

r K

Z2

F IG . 6.38.

C ue

C

R

us

F IG . 6.39.

P6– 12. Relations de Kennely, filtre coupe-bande Sur la figure 6.39, on a représenté un filtre constitué d’une bobine résistive ( L = 0, 1 H , r = 20 V ), de deux condensateurs de capacités identiques C = 1 mF et d’une résistance variable R . 1. À l’aide de considérations qualitatives, montrer qu’un tel filtre est du type coupe-bande. 2. Remplacer le triangle d’impédances ESK par l’étoile correspondante. 3. Établir l’expression de la fonction de transfert. À quelles conditions sur R et sur la fréquence f , cette fonction est-elle nulle ? Calculer f et R . P6– 13. Filtre passif de Wagner et Campbell

web

Le schéma de la figure 6.40 représente la structure d’un filtre passif proposé dès 1915 par K. Wagner et G. Campbell. On donne les valeurs suivantes des composants : R 1 = 10 kV , R3 = 30 kV , L = 1 mH , C = 1 mF . 1. Pour un signal d’entrée U e stationnaire, établir l’expression de la tension de sortie U s . 2. Montrer, à l’aide du théorème de Thévenin, que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme suivante : H(0) H (jv) = 2 1 + (jv) a + (jv) b + (jv) 3 c + (jv)4 d + (jv) 5 e H (0) étant un facteur que l’on déterminera, a , b , c , d , e , cinq coefficients que l’on exprimera en fonction des quantités suivantes :  1/2 1 R1 R3 L et t l = v0 = tc = C LC R1 + R 3 R1 + R3

209

Fonctions de transfert. Quadripôles

3. Retrouver le résultat précédent par la méthode des mailles adjacentes, en orientant les mailles dans le sens horaire. 4. Tracer les diagrammes de Bode correspondants à H(x) en fonction de la fréquence réduite x = v/v0 . R1 ue

L C

L C F IG . 6.40.

L R3

us

7 Composants électroniques On classe généralement les composants électroniques, c’est-à-dire les constituants des circuits électriques, en deux grands groupes : i) les composants passifs, tels que les résistors, les bobines, les condensateurs et les diodes, déjà introduits (cf. chapitres 1 et 2), mais aussi les transformateurs qui jouent un rôle essentiel dans la distribution de la puissance électrique, ii) les composants actifs, tels que les générateurs, les amplificateurs opérationnels et les transistors. Nous nous proposons d’analyser le comportement des composants passifs déjà rencontrés, en précisant les caractéristiques qui les décrivent le mieux, diode et transformateur inclus. Pour les composants actifs, nous rappelons d’abord les caractéristiques connues des piles et des accumulateurs (cf. Électromagnétisme), puis nous analysons celles des transistors bipolaires et à effet de champ. Concernant les amplificateurs opérationnels, nous leur réservons une étude spécifique suffisamment exaustive (cf. chapitres 8 et 9).

I . — RÉSISTORS, CONDENSATEURS ET QUARTZ I . 1 . — Résistors Comme nous l’avons déjà vu (cf. chapitres 1 et 2), un résistor, appelé aussi conducteur ohmique, est un composant qui satisfait à la loi d’Ohm, laquelle exprime la proportionnalité entre la tension aux bornes d’un dipôle et le courant qui le traverse (cf. Électromagnétisme). Cette relation s’écrit, lorsque le régime est stationnaire, sous la forme dépouillée U = RI , dans laquelle U représente la tension entre les bornes A et B , précisément V A − V B , I l’intensité du courant qui le traverse dans le sens A vers B (Fig. 7.1) ; le coefficient de proportionnalité R est la résistance. En régime quasi stationnaire, c’est-à-dire dans l’ARQS, cette relation est valable, à chaque instant : u(t) = Ri(t) . R

I A

B U F IG . 7.1.

211

Composants électroniques

Rappelons que pour un conducteur ohmique cylindrique, la résistance est reliée à la conductivité g du matériau, sa longueur l et sa section S par l’équation (cf. Électromagnétisme) : R=

l gS

a) Différents types de résistors On distingue principalement deux types de résistors : ceux qui sont bobinés et ceux dits à couche. i) Résistors bobinés Ils sont constitués d’un conducteur, à base de nickel, enroulé autour d’une tige isolante qui est recouverte d’un émail cuit à haute température. On les utilise comme résistors de précision ou comme résistors de puissance, car ils peuvent dissiper des puissances électriques importantes, jusqu’à quelques milliers de watts ; dans ce dernier cas, un diffuseur thermique est indispensable. Comme le bobinage présente des propriétés inductives, on élimine cet effet parasite en utilisant deux fils bobinés en sens inverse que l’on connecte en parallèle. ii) Résistors à couche Ces résistors sont constitués d’un cylindre isolant en céramique sur lequel on a déposé une couche de carbone ou de chromure de nickel. On trace alors un sillon en spirale afin d’enlever une partie du dépôt conducteur. L’ensemble est entouré d’une protection isolante. Leur gamme de valeur est très étendue : de 1 V à 10 MV , avec une précision de 2 à 5% . Ils ne sont pas très coûteux (inférieur au centime d’euro) ; cependant, ils ne peuvent dissiper qu’une puissance inférieure au watt. b) Valeur nominale et tolérance Les résistances s’expriment en ohm ( V ) ; leurs valeurs sont comprises entre quelques dixièmes et plusieurs millions d’ohms. Elles sont généralement données avec une certaine tolérance ε définie par :   R − R n    ε= Rn 

R étant la valeur réelle et R n celle affichée, dite nominale. Les tolérances s’échelonnent de 10% à moins de 0,1% ; dans la gamme courante, ε est compris entre 2 et 5 %. Généralement, sur la surface cylindrique des résistors sont peints quatre anneaux ; le quatrième indique la tolérance, le troisième une puissance de dix et les deux premiers le nombre à multiplier par cette puissance. Les résistances très précises portent, elles, cinq anneaux : le dernier pour la tolérance, l’avantdernier pour la puissance de dix et les trois premiers pour le nombre à multiplier par cette puissance. Sur le tableau 7.1, on a explicité le code des couleurs universellement adopté. Exemples : 1) Un résistor avec quatre anneaux, orange-orange-brun-or, a une résistance électrique de 33 × 10 = 330 V avec 5% de tolérance. 1

2) Avec cinq anneaux, brun-bleu-vert-rouge-brun, la résistance de 165 × 10 2 = 16, 5 kV est donnée avec 1% de tolérance. La tolérance sur la valeur d’une résistance est une indication importante fournie par le constructeur. En effet, une tolérance de 5% sur une résistance de 1, 0 kV signifie que cette valeur est comprise entre 950 V et 1 050 V ; aussi de tels écarts doivent-ils parfois être pris en compte dans l’étude d’un circuit.

212

7. Composants électroniques Couleur

Chiffre associé

Argent

Tolérance associée

−2

10 %

−1 0

5%

Brun ou Marron

1

1%

Rouge Orange

2 3

2%

Jaune

4

Vert Bleu

5 6

0,5 % 0,25 %

Violet Gris

7 8

0,1 %

Blanc

9

Or Noir

TAB . 7.1.

Toutes les valeurs des résistances ne sont pas accessibles sur le marché des composants : celles qui sont disponibles sont d’autant plus nombreuses que la gamme considérée est précise, puisque avec une précision de 10% , elles doivent être séparées de 20% , alors que pour une précision de 1% , elles ne le sont que de 2% . Dans la pratique, à chaque précision est associée une série dont le numéro indique le nombre de résistances par décade : par exemple, la série E 12 pour la tolérance 10% et la série E 96 pour la précision 1%. Les valeurs exactes de la série n sont données par l’expression : R k = 10k/n La série E 24 , qui est la plus utilisée en électronique, a un dernier anneau doré, ce qui correspond à une précision de 5 % ; elle comporte 24 valeurs normalisées, comprises entre 10 et 91 , soit : 10

11

12

13

15

16

18

20

22

24

27

30

33

36

39

43

47

51

56

62

68

75

82

91

Ainsi la résistance 50 V n’est pas disponible dans une série standard, mais on trouve des résistances de 47 V ou de 51 V qui encadrent cette valeur, compte tenu de la précision relative de 5 % et donc de l’incertitude absolue de 2, 5 V . c) Dissipation nominale d’un résistor La dissipation nominale d’un résistor est la puissance maximale P M admissible en régime stationnaire, dans le voisinage de la température ambiante ( 293 K ). Elle est de l’ordre de 0, 1 W , ce qui implique une tension maximale d’utilisation : P=

U2  PM R

entraîne

U  UM

avec UM = (P MR)1/2

Le dépassement de UM peut conduire, sinon à la destruction totale du composant, à une forte modification de sa résistance. Il est donc essentiel de respecter la puissance nominale admise par un résistor.

213

Composants électroniques d) Coefficient de température

La résistance d’un composant ohmique varie avec la température. Pour exprimer ces variations, on introduit le coefficient de température suivant, homogène à l’inverse d’une température : CT =

1 R(T ) − R0 R0 T − T0

R(T ) désignant la résistance à la température T et R 0 la résistance à T 0 prise en général égale à 293 K . Pour les métaux ou alliages, il est positif et la résistance augmente lorsque la température augmente (cf. Électromagnétisme). Ainsi, il vaut 0, 004 K−1 pour la plupart des métaux purs et atteint de très faibles valeurs pour certains alliages tels que le constantan (cuivre-nickel), ou le manganin (cuivre-manganèse-nickel) dont les coefficients de température sont respectivement : 2 × 10 −5 K −1 et 10−5 K −1 . Exemples : 1) Entre les froides journées d’hiver à 253 K et les chaudes journées d’été à 303 K , la variation relative de résistance d’une ligne haute tension en aluminium, matériau pour lequel C T = 4, 4 × 10−3 K −1 , vaut : DR = C T × (T − T0 ) = 22 % R Comme les pertes de puissance électrique en ligne sont proportionnelles à la résistance des câbles (cf. chapitre 2), ces dernières varient aussi de 22% entre l’hiver et l’été. 2) La résistance d’une lampe électrique à incandescence, marquée 100 W , peut être aisément mesurée avec un ohmmètre. À froid, on a trouvé 40 V , alors qu’en fonctionnement normal, sous une tension efficace de 230 V , lorsque la température du filament est 2 500 K , cette résistance devient : R = U 2/P = 2302 /100 = 529 V . Le coefficient de température du filament vaut donc : CT =

1 529 − 40 ≈ 5, 5 × 10 −3 K −1 40 2 500 − 293

Remarque : Les résistors sont sensibles à l’humidité, ainsi qu’aux déformations mécaniques ; en outre, ils sont caractérisés par un bruit thermique ou bruit Johnson (cf. chapitre 17). I . 2 . — Condensateurs On sait qu’un condensateur est constitué de deux armatures métalliques (surface S ) séparées par un isolant, d’épaisseur e et de permittivité relative ε r (cf. Électromagnétisme). Sa capacité a pour expression : C=

ε0 εr S e

Comme la constante ε0 est très faible ( 8, 85 10−12 SI ), les capacités usuelles sont très faibles, précisément comprises entre quelques mF et une fraction de pF . Il existe principalement trois familles de condensateurs classées selon la nature des isolants utilisés et donc selon la technique de fabrication. Ces isolants sont soit des céramiques, soit des films plastiques, soit des couches d’oxyde métallique obtenues par électrolyse.

214

7. Composants électroniques

a) Différents types de condensateurs Les condensateurs à céramique sont formés d’empilements successifs de couches métalliques et isolantes comprimées d’épaisseur 20 mm environ. La constante diélectrique relative εr de l’isolant étant comprise entre 10 et 10 000 , la capacité de ces condensateurs varie entre 1 pF et 1 mF . Les condensateurs à films plastiques sont constitués de quatre couches (métal-diélectrique-métaldiélectrique) enroulées ; le diélectrique est un film plastique, d’épaisseur 20 mm environ, dont la permittivité électrique relative est comprise entre 2 et 4 . l’ensemble est entouré d’un isolant. Leurs capacités sont comprises entre 100 pF et 10 mF . Ils se présentent sous forme de cylindre, dont la longueur varie de quelques millimètres à quelques centimètres. Dans les condensateurs électrolytiques, le diélectrique utilisé est une couche d’alumine ( ε r = 9 ) ou d’oxyde de tantale ( εr = 27 ) déposée par électrolyse sur une feuille d’aluminium ou de tantale pur. L’électrolyte qui imbibe un papier forme la seconde armature. L’épaisseur étant inférieure au micromètre et les surfaces en regard de l’ordre du mètre carré, les condensateurs obtenus sont de forte capacité, comprise entre 1 mF et 1 mF . Ces condensateurs électrolytiques sont polarisés et caractérisés par une tension inverse maximale d’environ 1, 5 V et un courant inverse maximal, au-delà desquels leurs propriétés sont altérées. On les utilise le plus souvent pour polariser les composants actifs tels que les transistors et pour maintenir sous tension les mémoires pendant de courtes durées. Ils présentent un inconvénient : l’intensité des courants de fuite peut atteindre 1 mA par mF . b) Caractéristiques des condensateurs La valeur de la capacité d’un condensateur est parfois exprimée avec un code de couleur analogue à celui employé pour les résistors, mais le plus souvent, elle est directement inscrite sur le composant. La tolérance sur la valeur de la capacité varie entre 50% pour les condensateurs électrolytiques et 1% pour ceux constitués de multicouches à céramique. La tension nominale d’un condensateur est la tension efficace maximale que l’on peut appliquer entre ses bornes sans le détériorer ; elle est en général de quelques centaines de volts. Au-delà, le diélectrique peut devenir conducteur, c’est le claquage. c) Représentation électrique d’un condensateur réel Chargeons un condensateur à céramique, de capacité C = 0, 1 mF , avec une pile de 9, 0 V , et étudions l’évolution de la tension à ses bornes, une fois la pile déconnectée. La mesure effectuée à l’aide d’un voltmètre à haute impédance d’entrée ( 1012 V ) donne, immédiatement après le débranchement, uC (0) = 9, 0 V ; cependant on constate que le condensateur se décharge, même en circuit ouvert. En effet, trois minutes après, la tension obtenue n’est plus que de uC(t1 ) = 5, 74 V ; après six minutes, elle tombe à uC(t 2) = 3, 66 V et, après neuf minutes, elle ne vaut plus que u C (t3) = 2, 33 V . Ainsi :   ln[uC (t 3)/u C (0)] uC (t1 ) u C(t 2) uC (t3 ) uC (t3 ) uC(t 1) 3 d’où et =3 = = = ln[uC (t 1)/u C (0)] uC (0) u C(t 1) uC (t2 ) uC(0) uC (0)

ce qui représente précisément le rapport des durées t3 /t 1 . La chute de tension n’est donc pas proportionnelle à la durée de décharge, mais au logarithme de cette durée ; on en déduit que la décharge suit une loi d’évolution, selon une exponentielle décroissante du temps. Comme cette loi est celle de la décharge d’un condensateur dans un conducteur ohmique (cf. chapitre 4), on représente le composant par l’association d’une capacité C en parallèle avec une résistance de fuite Rf (Fig. 7.2a). Cette résistance est en général de plusieurs milliers de MV ; la durée de décharge t = R f C est donc très longue. Dans l’exemple précédent, on trouve :  t  180 u(t1) t1 1 =− = exp − d’où t = − = 400 s et Rf = 4 × 109 V t u(0) ln[u(t1)/u(0)] ln(5, 74/9)

215

Composants électroniques C

Y

jCv

d

Rf 1/Rf b)

a) F IG . 7.2.

On traduit souvent cette imperfection du condensateur en introduisant l’angle de perte d suivant, défini à partir de l’admittance Y du composant (Fig. 7.2b) : tan d =

Re{Y } 1/Rf 1 = = Im{Y } Cv R f Cv

Cet angle tend vers zéro lorsque Rf est très grand devant 1/(Cv) . Dans l’exemple précédent, tan d = 1/(800pf) ; on peut le négliger dès que la fréquence dépasse quelques Hz , en pratique dès que le régime d’utilisation est variable. I . 3 . — Quartz La piézo-électricité, découverte en 1881 par les physiciens français Pierre et Paul Curie, tous deux frères, est l’apparition d’une polarisation de certains corps, tels que le quartz, lorsqu’on les soumet à une contrainte mécanique. Les oscillations mécaniques d’un cristal de quartz sont donc accompagnées d’oscillations électriques. En raison de la grande stabilité de sa période d’oscillation, le quartz s’est imposé comme résonateur dans toutes les horloges et dans de nombreux filtres à bande passante très étroite. Leur fréquence propre varie, selon la nature de la déformation (flexion, élongation ou cisaillement), de quelques kHz à 200 MHz . Sur la figure 7.3, on a représenté le symbole et le schéma électrique équivalent à un quartz ; aussi son impédance s’écrit-elle : Z=

1/(jC 0v) [jL sv + 1/(jCsv)] 1 − LsCsv2 = jLs v + 1/(jCs v) + 1/(jC0 v) jv(Cs + C 0)(1 − Ls Ce v2)

avec Ce =

Cs C 0 Cs + C0

En introduisant les pulsations caractéristiques v2s = 1/(L sCs ) et v 2e = 1/(LsC e) , Z se met sous la forme : 1 − v 2/v2s Z= jv(Cs + C0 )(1 − v2/v 2e ) Pour un quartz d’horlogerie, de fréquence 32 768 Hz = 2 15 Hz , on peut relever, sur la notice du fabricant, les valeurs suivantes : C0 = 1, 5 pF

Cs = 3 f F(= 3 × 10 −15 F) et

Ls = 7 879 H

D’où les fréquences fs = 32 736 Hz et fe = 32 768 Hz La figure 7.4 représente la courbe donnant le module de Z en fonction de la fréquence. L’impédance est purement imaginaire et son signe indique que le quartz a un comportement capacitif pour f < fs et f > fe , et inductif entre fs et fe . Pour f = f s , l’impédance est nulle, tandis que si f = fe , l’impédance tend vers l’infini. Notons que, f s et f e étant très proches, le comportement inductif n’est observable que sur une gamme de fréquence très étroite ( fe − f s = 32 Hz ). Dans ce domaine spectral, l’impédance varie très rapidement avec la fréquence, ce qui est mis à profit pour réaliser des oscillateurs très stables en fréquence (cf. chapitre 14).

216

7. Composants électroniques |Z |

Ls C0

a)

Cs

fs

b) F IG . 7.3.

fe

f

F IG . 7.4.

II . — BOBINES ET TRANSFORMATEURS Les bobines sont des composants généralement encombrants, coûteux et lourds. Dans la plupart des circuits électroniques actuels, on les remplace par d’autres composants, notamment par des systèmes à amplificateurs opérationnels qui permettent de les simuler (cf. chapitre 8). En revanche, les transformateurs, qui sont constitués de deux bobines en interaction, restent des composants essentiels, principalement dans le transport de la puissance électrique, après sa production et avant son utilisation. II . 1 . — Bobines a) Les différents types de bobines Les bobines sont constituées d’un fil de cuivre gainé enroulé sur un support cylindrique. En raison de la longueur importante du fil, on utilise souvent un vernis isolant. La valeur de l’inductance est proportionnelle à la section de l’enroulement et au carré du nombre de spires (cf. Électromagnétisme). Pour une bobine en forme de solénoïde long et rectiligne, de longueur l , de rayon R , avec n spires par unité de longueur, l’inductance a pour expression : L = m 0pR2 n2l = 4p 2 × 10−7 R 2n2 l Notons que l’inductance d’une bobine à air est très faible, puisque, pour les valeurs typiques n = 103 m−1 , R = 2 cm et l = 6 cm , la valeur calculée n’est que de 0, 1 mH environ. Aussi est-il souvent nécessaire d’introduire un matériau ferromagnétique dans l’enroulement. Avec un noyau de fer doux, on obtient des inductances bien plus élevées. En effet, l’inductance initiale de la bobine est alors multipliée par la perméabilité relative mr , laquelle est de l’ordre de 1 000 (cf. Électromagnétisme). Cependant, la masse du composant augmente fortement ; en outre le composant perd sa propriété de linéarité. Dans les bobines à noyaux de ferrite, le fer doux est remplacé par un isolant de grande perméabilité relative, typiquement 5 000 , par exemple l’oxyde mangano-ferreux. L’intérêt principal est une grande valeur de l’inductance pour des dimensions comparables à celles des résistances ou des condensateurs. Cependant, ces composants étant fortement non linéaires, on ne doit les utiliser que pour de faibles variations de courant.

217

Composants électroniques b) Représentation d’une bobine

La résistance d’une bobine n’est jamais nulle, car le fil conducteur de l’enroulement est généralement fin et long. C’est ce que confirme une mesure effectuée avec un ohmmètre : on trouve plusieurs ohms. Par exemple, pour une bobine de 500 spires, d’inductance 10 mH , l’ohmmètre indique une résistance r ≈ 10 V . Une bobine réelle est, par conséquent, bien représentée par l’association en série d’une bobine idéale d’inductance L et d’un résistor de résistance r (Fig. 7.5a).

r

Z

L

d

jLv

r a)

r

L C

b) F IG . 7.5.

F IG . 7.6.

À basse fréquence, l’impédance de la bobine est due principalement à la résistance du fil, Lv ayant alors une contribution beaucoup plus faible. Cette imperfection est caractérisée par un angle de perte, défini à l’aide de l’impédance Z du composant (Fig. 7.5b) : tan d =

Re{Z } r = Im{Z } Lv

Notons que cette définition est différente de celle relative aux condensateurs, afin que l’angle de perte croisse avec les imperfections. Dans les bobines supraconductrices (cf. Électromagnétisme), pour lesquelles la résistance a disparu, l’angle de perte est nul. À haute fréquence, des effets capacitifs apparaissent entre les spires ; aussi ajoute-t-on au modèle précédent une capacité en parallèle avec L et r (Fig. 7.6). Exemple : à haute fréquence, on constate qu’une bobine comportant une dizaine de spires non jointives, d’inductance 0, 1 mH , se comporte comme un circuit résonnant de fréquence propre f0 = 1, 5 MHz ; on en déduit aisément sa capacité parasite par (cf. chapitre 3) : f0 =

1 2p(LC) 1/2

d’où C =

1 = 0, 11 nF 4p2L f 02

II . 2 . — Transformateurs Comme son mode de fonctionnement s’appuie sur le phénomène d’induction électromagnétique, un transformateur ne concerne que les régimes variables, le plus souvent sinusoïdal ; une tension variable aux bornes du primaire crée un courant, lequel produit, dans le circuit magnétique, un champ magnétique dont la variation induit une tension aux bornes du secondaire (cf. Électromagnétisme). Ils doivent leur nom à leur capacité à modifier l’amplitude de la tension sinusoïdale délivrée par un générateur, ce qui est à l’origine du rôle essentiel qu’ils jouent dans le transport de la puissance électrique ; en effet, cette dernière est produite par les alternateurs, couplés aux centrales électriques, sous une tension sinusoïdale efficace d’environ 25 kV , laquelle est transformée en une très haute tension de 400 kV avant le transport, car la puissance dissipée par effet Joule dans les fils conducteurs est alors bien plus faible (cf. chapitre 2). En fin de transport, des transformateurs abaisseurs de tension réalisent la distribution domestique de la puissance électrique sous 230 V .

218

7. Composants électroniques

a) Description Sur le circuit électrique d’un appareil photographique jetable, on reconnaît aisément un transformateur placé à coté d’un condensateur destiné à alimenter le flash. Une pile de f.e.m E = 1, 5 V alimente un circuit oscillant RLC siège d’oscillations de tension dont l’amplitude est fortement amplifiée grâce à ce transformateur. Après redressement et filtrage de cette tension, le condensateur, de capacité C , est chargé jusqu’à une tension stationnaire de l’ordre de 200 V . Aussi est-il déconseillé d’ouvrir ce type d’appareil, sans précaution, car le condensateur chargé peut provoquer, en se déchargeant dans le corps, un choc électrique dangereux. Si, une fois le condensateur déchargé, on démonte ce transformateur, on distingue sur une carcasse métallique deux enroulements : l’un, très fin, d’environ 1 000 spires, l’autre, de diamètre plus grand, formé d’une dizaine de spires. De façon générale, un transformateur est constitué de deux bobinages couplés, appelés respectivement enroulement primaire, ou plus simplement primaire, et enroulement secondaire ou secondaire. Le couplage s’effectue par l’intermédiaire d’un circuit magnétique (Fig. 7.7). En général, les fils des enroulements, sont en cuivre ou, au besoin, en aluminium plus léger. Ils sont comprimés lors du montage et parfois imprégnés de résine afin de résister aux effets des forces de Laplace (cf. Électromagnétisme). Les carcasses sur lesquelles sont enroulés le primaire et le secondaire sont souvent des tôles en alliage fer-nickel, fer-cobalt ou fer-silicium, d’épaisseur de l’ordre de 0, 1 mm , isolées les unes des autres par un vernis afin de limiter les courants de Foucault.

i2

i1 e∼

N1

N2

R

F IG . 7.7.

b) Propriétés du transformateur idéal Le transformateur peut être considéré comme un quadripôle (cf. chapitre 6) : deux bornes au primaire et deux autres au secondaire. Pour un transformateur idéal, c’est-à-dire sans pertes, le facteur de proportionnalité entre les tensions sinusoïdales aux bornes du secondaire et du primaire est égal au rapport n du nombre de spires du secondaire et du primaire (cf. Électromagnétisme). u2(t) N2 = =n u1(t) N1 Comme le transformateur est un composant passif, la puissance électrique maximale que peut fournir le secondaire est celle reçue au primaire. Il en résulte qu’en régime établi, pour un transformateur idéal, le facteur de proportionnalité des courants est égal à l’opposé de l’inverse du rapport du nombre de spires : Pr,1 = u 1(t)i1 (t) = Pf ,2 = −u 2(t)i2(t)

donne

1 i2(t) N1 =− =− i1(t) N2 n

219

Composants électroniques

Notons que les courants doivent être convenablement orientés pour que la relation soit algébriquement satisfaite. Sur la figure 7.8a, on a précisé cette convention : si les courants pénètrent par les points, les flux s’ajoutent ; en 7.8b, on a représenté le symbole du transformateur. Retenons que, si N2 > N1 , le transformateur élève la tension et abaisse l’intensité du courant, et notons que le transformateur est un composant réversible, c’est-à-dire qu’il est possible d’inverser primaire et secondaire. i1

i2

i1

i2

u1

u2

a)

b) F IG . 7.8.

c) Utilisation du transformateur en adaptateur d’impédance En utilisation normale, la tension d’alimentation est connectée aux bornes du primaire et le secondaire est fermé sur une charge (Fig. 7.9). Au primaire, le transformateur et sa charge sont équivalents à une seule charge dont les caractéristiques dépendent du rapport de transformation et de la charge réelle. En régime sinusoïdal et en notation complexe, nous avons les relations suivantes : u2 = −Z i 2

u 2 = n u1

et

i2 = −

i1 n

d’où u 1 =

Z i et n2 1

u1 Z = 2 i1 n

Ainsi l’ensemble équivaut au primaire à une charge d’impédance : Ze =

Z n2

De même, au secondaire, le transformateur et son alimentation sont équivalents à un dipôle dont les caractéristiques dépendent du rapport de transformation et de l’alimentation. Ainsi, pour un générateur de tension, de f.e.m e et d’impédance interne Zi , le générateur équivalent, vu du secondaire, est caractérisé par un générateur de tension, de f.e.m n e et une impédance interne n 2Zi . i1

i2

u1

u2

Z

F IG . 7.9.

Exemple : on souhaite alimenter, à l’aide d’un GBF, une lampe qui fonctionne habituellement sous une tension 4, 5 V et consomme une puissance de 1, 35 W . Sa résistance est donc R = U 2/P = 4, 52 /1, 35 = 15 V . Le branchement direct de la lampe sur le GBF, de f.e.m 15 V et de résistance interne 50 V , ne donne qu’un très faible flux ; on constate, en outre, que le générateur s’échauffe rapidement. Calculons la puissance dissipée dans la lampe et dans la résistance interne du générateur ; il vient, puisque I = 15/(50 + 15) = 0, 23 A , respectivement : Pl = RI 2 = 0, 79 W

et

Pg = Ri I2 = 2, 64 W

220

7. Composants électroniques

Dans ces conditions où R < Ri , on dit que la charge n’est pas adaptée à l’alimentation. Cette adaptation peut être réalisée à l’aide d’un transformateur, placé entre le GBF et la lampe, de rapport de transformation n = 1/2 . En effet, dans ces conditions, le générateur débite dans une charge, qui n’est pas R , mais R/n2 = 60 V ; la lampe semble alimentée par un générateur de f.e.m 15 ×n = 7, 5 V et de résistance interne 50 × n 2 = 12, 5 V . Les puissances dissipées dans la lampe et dans la résistance interne du GBF sont alors, respectivement : Pl =

RI22



7, 5 = 15× 12, 5 + 15

2

= 1, 1 W et

Pg =

Ri I12

=

Ri n2 I 21

 2 50 7, 5 = 0, 9 W = × 4 12, 5 + 15

Ainsi, l’introduction du transformateur réalise l’adaptation d’impédance en récupérant un maximum de puissance du générateur (cf. chapitre 1). d) Transformateur d’isolement Lorsque le rapport de transformation n est égal à l’unité, le transformateur ne modifie pas l’amplitude de la tension aux bornes du secondaire, mais présente l’avantage d’isoler le circuit de la source d’alimentation. Montrons l’intérêt du transformateur d’isolement sur un exemple. Exemple : dans le circuit RLC de la figure 7.10, visualiser simultanément sur un oscilloscope, la tension uR aux bornes du résistor et la tension u C aux bornes du condensateur pose problème, car le GBF et l’oscilloscope sont alimentés par le secteur et possèdent, par construction, une liaison entre leur masse et la prise de terre. Grâce au transformateur d’isolement, la tension qui alimente le circuit RLC n’a plus de potentiel imposé et le montage est réalisé sans court-circuit. Voie 1 de l'oscilloscope

R

GBF

C L

Transformateur d'isolement F IG . 7.10.

Voie 2 de l'oscilloscope

e) Alternostat Dans un alternostat, il n’y a qu’un seul enroulement qui sert à la fois d’enroulements primaire et secondaire. L’enroulement secondaire est parfois à prise variable : en modifiant son nombre de spires, on fait varier la tension de sortie (Fig. 7.11). En outre, le nombre de spires dans le secondaire peut être plus élevé que dans le primaire. Notons que, les circuits primaire et secondaire étant confondus, les alternostats n’assurent pas d’isolement électrique, ce qui présente un danger en cas de branchement sur la tension du secteur. En effet, on peut voir sur la figure 7.11 qu’une permutation du neutre et de la phase, à l’entrée connectée au secteur ( 230 V ), donne une faible tension en sortie entre les conducteurs (par exemple U2 = 50 V) , mais le fil de connexion commun est alors porté au potentiel de la phase. En revanche, avec un transformateur d’isolement, tout danger est écarté, puisqu’entre la terre et l’un des deux fils du secondaire les circuits ne sont jamais fermés. On peut permuter sans danger neutre et phase dans le primaire.

221

Composants électroniques

Phase u1

u2

Neutre F IG . 7.11.

f) Transformateur réel Sur un transformateur réel, on lit les indications suivantes fournies par le constructeur pour un fonctionnement optimal : 50 Hz ; 230 V ; 12 V ; 60 VA , ce qui signifie que : i) le transformateur doit être alimenté par une tension sinusoïdale, de fréquence 50 Hz et de valeur efficace U1 = 230 V , ii) la tension de sortie, elle aussi sinusoïdale et de fréquence 50 Hz , a pour valeur efficace U2 = 12 V , iii) enfin que la puissance apparente S = U 2I 2 vaut 60 VA . On en déduit l’impédance de la charge selon :

12 2 U 22 = 2, 5 V = 60 S Notons que la puissance dissipée dans le circuit secondaire ne sera égale à 60 W , que si le facteur de puissance ( cos w ) de l’installation vaut 1 (cf. chapitre 2). Le modèle du transformateur idéal n’est qu’une première approximation du transformateur réel car, il faut prendre en compte les différentes pertes de puissance : i) pertes P b dans les bobinages, par effet Joule,

ii) pertes de fer P f , dues à la fuite des lignes de champ magnétique, aux courants de Foucault crées par induction dans le circuit magnétique, à l’hystérésis magnétique attribuée au processus microscopique de magnétisation (cf. Électromagnétisme). Le rendement d’un transformateur est naturellement défini par le rapport des puissances, secondaire sur primaire : P P2 r = 2 avec P1 = P 2 + Pb + Pf soit r = P1 P 2 + P f + Pb Les transformateurs actuels ont des rendements très élevés, supérieurs à 95 % . Exemple : sur la fiche technique d’un transformateur 400 V/24 V , on peut lire les valeurs nominales suivantes : 10 kVA , rendement 95 % , cos w2 = 0, 80 et pertes fer 120 W . On en déduit les pertes de bobinage : Pb =

P2 − P2 − Pf r

avec P2 = S cos w2 = 10 × 0, 8 = 8, 0 kW

d’où

P b = 300 W

Remarque : Pour limiter les pertes par courants de Foucault, les carcasses métalliques sont formées de tôles très fines isolées les une des autres. Ce sont les vibrations de ces tôles qui sont responsables du ronronnement bien connu des transformateurs. À haute fréquence, on préfère utiliser des carcasses en ferrites, car ces dernières ne sont pas conductrices.

222

7. Composants électroniques

III . — DIODES SEMICONDUCTRICES ET THYRISTORS III . 1 . — Diodes à jonction Comme nous l’avons déjà vu, la diode semiconductrice est un composant passif non linéaire qui se comporte comme un interrupteur ouvert ou fermé selon le sens du courant ou de la tension (cf. chapitre 1). Nous nous proposons d’analyser le comportement de ce composant de façon plus détaillée. Nous n’étudierons que les diodes semiconductrices car les diodes à vide, constituées d’une cathode chauffée et d’une anode métalliques placées dans une ampoule vidée d’air, ne sont pratiquement plus utilisées. La diode à jonction est constituée de deux zones adjacentes d’un semiconducteur dopées différemment, p pour l’une et n pour l’autre (cf. Électromagnétisme), d’où son nom. Le côté dopé n est la cathode repérée sur le composant par un anneau rouge ou blanc ; le côté p est l’anode. Sur la figure 7.12, on a représenté la structure du composant et son symbole. p

n Symbole F IG . 7.12.

a) Approche expérimentale Traçons la caractéristique I (U ) d’une diode au silicium typique, de référence 1N 4001, en utilisant un ordinateur muni d’une interface. La courbe obtenue, représentée sur la figure 7.13 pour des tensions comprises entre 0 et 0, 8 V , a l’allure d’une exponentielle, ce que l’on pourrait confirmer en traçant le graphe ln I , en fonction de U . On constate que, pour U > 0, 60 V , l’intensité qui est de quelques dizaines de milliampères croît très rapidement. I (mA) 40 20 0

U (V) 0,1

0,3

0,5

F IG . 7.13.

b) Fonctionnement en sens direct Si la tension appliquée entre l’anode et la cathode de la diode est positive, la diode est connectée en direct. Une analyse expérimentale soignée montre que l’équation de la caractéristique peut se mettre sous la forme approchée suivante :     U −1 I = I s exp UT Is étant l’intensité du courant de saturation qui est de l’ordre de quelques dizaines de nanoampère, ce qui est très faible. L’intensité I n’est donc significative que si la tension est supérieure à une certaine tension de seuil U d . Au-delà de U d , la diode fonctionne en régime passant.

223

Composants électroniques

Conventionnellement, on définit U d par la tension pour laquelle l’intensité du courant est égale à 1 mA . Avec la fonction « test diode », les multimètres, qui se comportent alors comme des générateurs, de courant de c.e.m I = 1 mA , affichent la valeur U d de la tension qui apparaît aux bornes de la diode. Ordres de grandeur : U d ≈ 0, 6 V pour les diodes au silicium, Ud ≈ 0, 3 V pour celles au germanium et Ud ≈ 1, 1 V pour celles en alliage d’arséniure de gallium. Cette équation s’interprète en prenant en compte courants de conduction et courants de diffusion (cf. Électromagnétisme et Thermodynamique) ; ce dernier devient prépondérant et augmente exponentiellement lorsqu’on fait croître U . Quant à U T , c’est une tension proportionnelle à la température absolue T : UT = k B T /e où e = 1, 6 × 10 −19 C est la charge élémentaire et kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 la constante de Boltzmann. Pour T = 300 K , kB T ≈ 0, 025 eV et donc U T ≈ 25 mV . Remarques : 1) Le courant Is est fonction des paramètres géométriques de la diode et des dopages et on donne parfois l’expression suivante, plus précise de I (U ) :     U −1 I = Is exp LUT dans laquelle L est un facteur positif compris entre 1 et 2 qui dépend du matériau et de la géométrie de la jonction. Le plus souvent, L est pris égal à 1. 2) La tension de seuil est parfois notée U s , notation que nous avons écartée pour éviter tout risque de confusion avec la tension de sortie des montages, en régime stationnaire.

L’intensité Is varie avec la température selon :



Ei I s = A T exp − kb T 3



où Ei est l’énergie d’ionisation du semiconducteur (elle vaut 1, 1 eV pour le silicium) et A un coefficient numérique qui dépend de la jonction ; I s augmente très rapidement avec T . En effet, il vient, en calculant la dérivée de Is par rapport à T :       Ei Ei Ei Ei d Is Is 2 + = = 3A T exp − A T exp − 3+ dT kB T kB k BT T kBT

ce qui donne, pour le silicium, à T = 300 K , DI s/Is = 0, 15 DT . Ainsi, l’intensité Is est multipliée par deux tous les 7 K environ pour une diode au silicium. Un risque d’emballement thermique existe, puisqu’une augmentation de Is entraîne celle de I , laquelle peut provoquer une élévation de température et donc une nouvelle augmentation de I s . Afin d’éviter cet enchaînement thermique qui peut conduire à la destruction de la diode, les constructeurs donnent généralement la puissance maximale qui peut être dissipée à température ambiante ou le courant maximal correspondant. c) Fonctionnement en inverse Lorsque la diode fonctionne en inverse, la tension U est négative dans l’expression de la caractéristique I (U ) . Dès que |U | devient inférieure à quelques dixièmes de volt, le terme exponentiel est négligeable. Il en résulte que I ≈ −Is avec Is ∼ 10 nA . On ne doit pas donner à |U | une valeur trop importante, car, au-delà d’une certaine tension de claquage le courant augmente exponentiellement et détruit le composant. En effet, les porteurs de charge assurant la conduction acquièrent suffisamment d’énergie pour ioniser les atomes lors des chocs ; les électrons arrachés, à leur tour, ionisent d’autres atomes : c’est l’avalanche qui conduit à la destruction de la diode. La zone de la caractéristique pour laquelle I = −Is est donc assez limitée puisque les prémisses de l’effet d’avalanche viennent se superposer à I s dès que |U | dépasse quelques volts. Les tensions de claquage des diodes varient de quelques volts à 1 000 V pour les diodes de redressement.

224

7. Composants électroniques

d) Schéma électrique équivalent à une diode Comme nous l’avons déjà vu (cf. chapitre 1), il existe différentes représentations d’une diode, suivant la zone de la caractéristique considérée et du niveau d’approximation souhaité. On retrouve la caractéristique de la diode idéale en négligeant le courant inverse, ainsi que la tension de seuil, et en assimilant l’exponentielle à une droite parallèle à l’axe des intensités, dès que le courant n’est plus négligeable. Le composant est alors équivalent à un interrupteur : coupe-circuit pour U < 0 et court-circuit pour U > 0 (Fig. 7.14a). Si l’on tient compte de la tension de seuil, et que l’on assimile l’exponentielle à une droite faiblement inclinée par rapport à l’axe des intensités, la diode est un coupe-circuit tant que U < Ud . Pour U > Ud , elle se comporte comme un générateur en opposition, de f.e.m U d , en série avec sa résistance interne (Fig. 7.14b). On affine la représentation de ce composant, en introduisant une capacité parasite, de l’ordre d’une dizaine de picofarads, placée en parallèle avec le générateur de f.e.m Ud . La valeur de cette capacité est généralement donnée par le constructeur. I

I

Régime passant 0 U

Régime bloqué

Régime passant 0 Régime bloqué

a)

Ud

U

b) F IG . 7.14.

e) Hyperbole de puissance Les diodes ne peuvent dissiper qu’une puissance limitée, spécifiée par le constructeur, comprise entre quelques dixièmes de watt et plusieurs dizaines de watts. Il en résulte que, dans le plan de la caractéristique, les points de fonctionnement, pour lesquels la puissance dissipée est inférieure à la valeur maximale PM , sont situés sous l’hyperbole d’équation I = P M/U . III . 2 . — Autres types de diode a) Diode Zener Lorsque l’une des deux zones de la jonction est fortement dopée, apparaît, pour une tension inverse supérieure à une valeur seuil UZ , une forte augmentation de l’intensité du courant, pratiquement indépendante de U (Fig.7.15a). C’est l’effet Zener, découvert par le physicien allemand C. Zener, en 1934 ; on l’interprète par le passage des électrons de la bande de valence à la bande de conduction, par effet tunnel, sous l’action du champ électrique intense qui règne dans le matériau (cf. Quantique). Le symbole de la diode Zener est représenté dans un coin de la figure 7.15a. Il existe des diodes avec des tensions Zener comprises entre 1 V et quelques dizaines de volts. On représente souvent la diode Zener, en inverse, par un générateur de tension en opposition, de f.e.m UZ (Fig. 7.15b).

225

Composants électroniques I

I

−UZ

2

1 Ud

3

4

UZ

U

I0 Ugs,0

g0 étant de l’ordre de 1 mS , Ugs,0 étant négative. Le schéma équivalent du transistor JTEC dans cette zone est une source de courant commandée par une tension ; la grille est parcourue par un courant dont l’intensité est négligeable de l’ordre de 1 pA (Fig. 7.49b).

247

Composants électroniques f) Zone bloquée

La zone bloquée correspond à I ds = 0 . La tension de grille est alors inférieure à la valeur de blocage : Ugs  −Ugs,0 . C’est l’équivalent de la zone bloquée dans les transistors bipolaires. Remarque : Les caractéristiques des JTEC à canal p sont analogues à celles des JTEC à canal n . On déduit les secondes des premières en inversant toutes les polarités, ce qui revient, dans l’analyse, à remplacer toutes les tensions par leurs opposées. Les JTEC à canal p sont beaucoup moins utilisés que ceux à canal n , car les trous sont moins mobiles que les électrons, ce qui confère à ces JTEC une valeur plus grande de la résistance du canal. VI . 2 . — Transistors de type MOSTEC La différence entre un JTEC et un MOSTEC provient de la grille qui, pour ce dernier, est isolée du canal, par une très mince couche d’oxyde de silicium (SiO2) , d’une épaisseur d’environ 10 nm . Sa conception date de 1930, mais sa réalisation est plus récente, dans les années 1960, en raison des difficultés de réalisation d’un excellent isolant. a) Fonctionnement du MOSTEC Il existe deux types de transistors MOS : dans les premiers, dits à appauvrissement, un canal entre le drain et la source existe initialement, mais sa section diminue au cours du fonctionnement, d’où leur nom (Fig. 7.50a) ; dans les seconds, au contraire à enrichissement, ce canal, initialement absent, se crée au cours du fonctionnement, d’où leur nom (Fig. 7.50b). La grille agit sur la conductivité du canal par effet capacitif, en la réduisant en régime d’appauvrissement, ou en l’augmentant en régime d’enrichissement. Pour chaque type de transistor, le canal peut être dopé n ou p . Dans la suite, nous nous limitons aux seuls transistors à canal n , à appauvrissement ou enrichissement ; Ugs,0 est négatif pour les premiers et positif pour les seconds. Les transistors MOS à appauvrissement peuvent fonctionner sous deux régimes : celui d’appauvrissement et celui d’enrichissement. En revanche, les MOS à enrichissement ne fonctionnent que sous le régime d’enrichissement, seul capable de créer un canal entre le drain et la source. Drain

Grille

SiO2

Drain

n

SiO2 Grille

p Canal

n p

n

n Source

Source D

D G

G

S

S a) n−MOS à appauvrissement F IG . 7.50.

b) n−MOS à enrichissement

248

7. Composants électroniques

Remarque : Les transistors MOS sont très sensibles aux charges électrostatiques qui peuvent s’accumuler sur la grille et ainsi créer des tensions pouvant entraîner la destruction de l’isolant. Afin d’éviter les décharges électrostatiques, il est conseillé d’utiliser un bracelet anti statique qui relie le corps du manipulateur à la terre afin d’éviter toute accumulation de charges lors des manipulations de circuits comportant des MOSTEC. C’est notamment le cas pour les circuits numériques utilisés en informatique tels que les cartes mères d’ordinateurs. b) Caractéristiques du MOSTEC Les caractéristiques du MOSTEC sont semblables à celles des JTEC puisque les fonctionnements sont analogues ; en particulier, le canal pouvant également se pincer, le courant I ds est alors quasiment indépendant de Uds . Seules les valeurs de U gs changent, puisqu’elles peuvent prendre des valeurs positives. Sur la figure 7.51, correspondant à un transistor 2N 3819 à appauvrissement, on distingue aisément les zones de pincement, ohmique et de blocage. Ids (mA)

Ids (mA)

Ugs = 1,5 V Ugs = 1 V

24 Enrichissement

Ugs = 0,5 V Ugs = 0 V

12

12

Ugs = − 0,5 V

I ds,s

Appauvrissement Ugs = − 1 V

0 Uds,s

10

Ugs  −3 V U ds (V)

Ugs,0 − 2

−1

F IG . 7.51.

0

1

Ugs (V)

c) Schéma équivalent En zone de pincement, le MOSTEC est représenté par les schémas équivalents de la figure 7.52, à basse et à haute fréquence respectivement ; les capacités parasites, qui apparaissent à haute fréquence, sont beaucoup plus élevées que celles des JTEC, puisqu’elles sont de l’ordre du nF au lieu du pF . Évidemment, les schémas équivalents n’ont de signification que pour les petits signaux variables autour du point de fonctionnement, lequel, on l’a vu, est déterminé par la polarisation du transistor, en régime stationnaire. Notons que la présence de capacités parasites non négligeables augmente les durées de réponse des circuits. C dg i ds

G ugs

D

ids

G ugs

rds

Cds

gugs

gu gs S

r ds

Cgs

D

S

S

a) À basse fréquence

S b) À haute fréquence

F IG . 7.52.

249

Composants électroniques VI . 3 . — Montages de base avec des transistors MOSTEC et JTEC

Comme les montages sont similaires à ceux déjà étudiés avec des transistors bipolaires, nous nous contentons de souligner les avantages des transistors à effet de champ, JTEC ou MOSTEC. a) Polarisation Avant tout, il est nécessaire de polariser le transistor JTEC, ce qui fixe les paramètres qui interviennent dans les schémas équivalents, notamment la transductance g . Comme pour les transistors bipolaires, la polarisation peut être économique (Fig. 7.53a) ou à pont de grille (Fig. 7.53b). Cette dernière est, ici aussi, souhaitable car elle stabilise davantage le circuit, compte tenu de la disparité des caractéristiques des JTEC. Analogue à la polarisation par pont de base des transistors bipolaires, elle permet, en outre, de polariser les MOSTEC à enrichissement, pour lesquels il est indispensable que la tension Ugs soit positive.

Rd

R1

Rd

I ds

Ids U ds

E

U ds

Ugs

E

U gs

Rg

Rs

R2

Rs

a)

b) F IG . 7.53.

Sur les schémas, les résistances R g et R2 sont de l’ordre de 1 MV ; quant à l’intensité Ig du courant de grille, elle est comprise entre 10 et 100 pA , ce qui est très faible ; comme la chute de tension RgI g ≈ 10 mV est négligeable devant les autres tensions, on considère généralement que la tension de la grille par rapport à la masse est nulle. Les équations permettant de déterminer I ds , U gs et Uds , à partir de Rd , Rs et des caractéristiques du transistor, sont les suivantes (Fig. 7.53 et 7.47) :

U gs = −Rs I ds

E = U ds + (R s + Rd )I ds

et

  U gs 2 I ds = Ids,s 1 − U gs,0

Une résolution graphique sur le réseau de caractéristiques est souvent très commode (Fig. 7.54) : i) la droite d’équation U gs = −R sIds coupe la courbe I ds(U gs) , précisément au point de fonctionnement ; on obtient par simple lecture Ids et U gs , ii) sur la droite d’équation E = U ds + (Rs + Rd )I ds , on obtient U ds , grâce à I ds déterminé précédemment.

250

7. Composants électroniques Ids (mA)

Ids (mA) 12

12 Droite de charge I ds = (E − U ds) / (R s + R d)

Droite d'entrée I ds = −U gs /Rs

F

Ids

F

Ids

U gs (V) 0

5

10

E a)

20 U ds(V)

−2

Ugs 0

b)

F IG . 7.54.

b) Montages amplificateur et suiveur Comme les transistors bipolaires, les JTEC permettent de réaliser, soit un amplificateur inverseur lorsque la source est commune, soit un suiveur si le drain est commun. L’intérêt des transistors à effet de champ est la valeur très élevée de leur impédance entrée de l’ordre de 1 GV . En revanche, le facteur d’amplification en tension est plus faible que celui des transistors bipolaires, ce qui constitue un inconvénient sérieux. Les montages sont très proches de ceux comportant des transistors bipolaires (cf. Exercices). Retenons la méthode : i) la polarisation, c’est-à-dire le choix de I ds , Uds et Ugs , permet de déterminer la transductance g = ids /u gs ; les capacités des condensateurs de découplage dépendent évidemment de la fréquence des signaux variables considérés, ii) relativement aux signaux variables, on utilise le schéma équivalent habituel du transistor, dans lequel le circuit de polarisation ne figure plus. c) Générateur de courant Le montage à grille commune est souvent utilisé comme source de courant dans les circuits intégrés, notamment pour réaliser les amplificateurs opérationnels (cf. chapitre 8). Il consiste simplement à relier la grille à la source ( Ugs = 0 ) et à maintenir une tension Uds supérieure à U ds,s (Fig. 7.55a). Le JTEC se comporte alors comme un générateur de courant, précisément entre U ds,s = 2, 0 V et Uds,c = 100 V dans le montage considéré. Notons que, dans une même série, les valeurs de I ds,s et de Uds,s peuvent varier d’un facteur 5 . Si l’on veut que le générateur débite un courant d’une intensité déterminée, il vaut mieux prévoir un système d’ajustement de ce courant, comme dans le circuit de la figure 7.55b. La résistance R assure une bonne stabilité du courant délivré, car une légère augmentation de Ids conduit à une diminution de Ugs et ainsi à un affaiblissement de I ds . On se déplace alors parallèlement à l’axe des intensités sur le réseau de caractéristiques Ids en fonction de Uds , lorsque U gs varie. Le choix de R fixe Ids puisque : Ids = I ds,s

  U gs 2 1− U gs,0

et

Ugs = −RIds

Il suffit donc de résoudre l’équation du deuxième degré suivante, pour en déduire l’intensité I ds du

251

Composants électroniques courant drain-source, en fonction de la résistance R :     2 U U2 2U RI ds 2 gs,0 gs,0 2 I ds = I ds,s 1 + Ids + gs,0 + − 2 soit Ids =0 U gs,0 R R I ds,s R2 ce qui donne, pour Ugs,0 = −4, 0 V , Ids,s = 12 mA et R = 670 V : I ds = 3, 0 mA . i Ids

Ids

Ri

rds gugs

U

U

S E

G

Ri

Ugs

R G

a)

u E

b)

ugs

R

c)

F IG . 7.55.

En réalité, les courbes du réseau I ds en fonction de Uds , à Ugs constant, ne sont pas parfaitement parallèles à l’axe des abscisses : le générateur de courant n’est pas idéal ; il possède une résistance interne Ri que l’on détermine en utilisant le schéma équivalent en signaux variables (Fig. 7.55c). En effet, écrivons les relations entre la tension d’entrée u et le courant d’entrée i . Il vient : u = r ds (i − gugs) − ugs

avec u gs = −Ri

d’où

u = i [r ds (1 + Rg) + R]

On en déduit la résistance interne : Ri =

u = rds(1 + Rg) + R i

Avec R = 670 V , rds = 500 kV et g = 3 mS , on trouve Ri = 1, 5 MV , ce qui rend le générateur de courant quasiment parfait.

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Les composants de base d’un circuit électrique sont les conducteurs ohmiques et les condensateurs. Les premiers sont caractérisés par leur résistance, ainsi que par la puissance qu’ils sont capables de dissiper. Conventionnellement, la valeur de la résistance est donnée par un code de couleurs peintes sur le composant lui-même ; l’une de ces couleurs indique l’incertitude relative. La capacité caractérise les seconds ; elle est le plus souvent inscrite sur le composant avec la tension de claquage. 2) Les bobines présentent des imperfections rédhibitoires (encombrement et coût) ; aussi sont-elles de plus plus souvent remplacées par des montages à amplificateur opérationnel, capables de les simuler. En revanche le transformateur, ensemble de deux bobines en forte interaction magnétique, est précieux, car il permet de modifier la valeur de la tension ou du courant avec un rendement en puissance excellent. 3) Les diodes sont les composants non linéaires les plus répandus ; on les utilise surtout pour redresser les courants alternatifs, pour stabiliser les tensions (diode Zener), pour la protection contre les surtensions (thyristors) et pour le contrôle de puissance (triac).

252

7. Composants électroniques

4) Les piles et les accumulateurs sont évidemment des éléments essentiels, puisqu’ils fournissent l’énergie nécessaire aux systèmes pour qu’ils puissent amplifier la puissance transportée par le signal d’entrée. Ils sont caractérisés par leur f.e.m et la charge totale qu’ils peuvent débiter. 5) Les transistors sont les composants actifs élémentaires des circuits intégrés actuels. Les transistors bipolaires sont équivalents, en régime linéaire, à des générateurs de courant commandés par un courant ; aussi les caractérise-t-on par le facteur d’amplification en courant b = ic /ib entre la base et le collecteur. En régime non linéaire, ils se comportent comme des commutateurs. 6) Les transistors à effet de champ, JTEC et MOSTEC, sont, eux, des générateurs de courant commandés par une tension. Ils sont plus faciles à fabriquer, d’où leur intérêt.

EXERCICES ET PROBLÈMES P7– 1. Lampe à filament de carbone On mesure la résistance d’une lampe électrique à filament de carbone, sur laquelle on lit 140 W ; l’ohmmètre indique R = 588 V , lorsque la température est 293 K . En fonctionnement normal, sous une tension efficace de 230 V , la température du filament atteint 2000 K . Calculer le coefficient de température du carbone supposé indépendant de la température ; en déduire la valeur de la résistance du filament pour une température de 673 K . P7– 2. Charge totale d’un accumulateur de caméra numérique Sur la figure 7.56, on a représenté les courbes, fournies par un fabricant d’accumulateurs pour caméra numérique, donnant l’évolution de la f.e.m d’une source lors d’une décharge à courant constant ; la référence de l’accumulateur est HR14 et sa f.e.m nominale E = 1, 2 V . L’intensité du courant de décharge correspondant est indiquée sur chacune des courbes ; elle varie entre 220 mA et 6 600 mA . Calculer la charge totale que cet accumulateur peut débiter. À quel nombre d’électrons, cette charge correspond-elle ?

E (V)

E (V)

1,4

1,4

1,2

1,2

1 0,8

1 100 mA

440 mA

0

1 6 600 mA 4 400 mA

220 mA 10

t (h)

0,8 0

a)

2 200 mA

10

50

t (min)

b) F IG . 7.56.

P7– 3. Détermination de l’inductance d’une bobine

web

Pour déterminer l’inductance L d’une bobine, on réalise un circuit RL série, que l’on soumet à un échelon de tension E0 . On mesure, à l’oscilloscope, la durée caractéristique t = L/R : on trouve

253

Composants électroniques

t = 1, 2 ± 0, 2 ms . Avec un ohmmètre, on relève que la résistance totale du circuit est R = 1, 03 kV à 1 % près. Une seconde méthode consiste à former un circuit série RLC très peu amorti, avec C = 22 nF à 1 % près, que l’on soumet à l’échelon de tension E0 . On relève à l’oscilloscope la durée de dix pseudo-périodes : on trouve 300 ± 10 ms . 1. Trouver la valeur de L en précisant l’incertitude dans chacune des méthodes. 2. Les résultats sont-ils compatibles ? Comparer la précision des deux méthodes. P7– 4. Représentation d’une bobine réelle À basse fréquence, une bobine réelle peut être représentée par l’association, en série, d’une inductance L et d’une résistance R . 1. Calculer l’impédance et l’angle de perte d , pour les deux fréquences f = 50 Hz et f = 500 Hz , sachant que L = 1, 2 mH et R = 1, 5 V . 2. Déterminer l’intensité i(t) du courant dans la bobine, lorsque cette dernière est soumise à la tension u(t) = um cos(vt) . 3. Pour des fréquences supérieures à 10 kHz , on ne peut plus négliger la capacité parasite qui apparaît entre les spires et que l’on représente par un condensateur, de capacité C , en parallèle avec la bobine précédente. a) Établir l’expression de la nouvelle impédance Z  de la bobine. b) Sachant que C = 10 pF , trouver la fréquence d’anti-résonance, c’est-à-dire la fréquence pour laquelle le module de Z est maximal. P7– 5. Mesure de la résistance de fuite d’un condensateur

web

Dans le circuit de la figure 7.57, on ferme l’interrupteur K 1 , l’interrupteur K2 restant ouvert. Lorsque la charge du condensateur est terminée, K1 est ouvert et K 2 fermé. Après une minute, la tension mesurée aux bornes du condensateur est U 1 . 1. Sachant que la résistance de fuite du condensateur est négligeable devant la résistance interne R i du voltmètre numérique utilisé, calculer Ri pour E = 10, 0 V , C = 2, 2 mF et U1 = 0, 54 V . 2. En réalité, le condensateur n’est pas parfait et on souhaite calculer sa résistance de fuite R f . Pour cela, on le charge jusqu’à la tension E : K 1 est fermé et K2 ouvert ; on ouvre alors K 1 sans fermer K2 . Une minute après, on bascule K2 et on lit la tension U 2 = 8, 29 V aux bornes du condensateur. En déduire Rf et corriger la valeur précédemment obtenue de la résistance interne du voltmètre. K1

K2

R C E F IG . 7.57.

U

V

254

7. Composants électroniques

P7– 6. Condensateur réel

web

Un condensateur, de capacité C0 dans l’air, est rempli d’un diélectrique, dont la permittivité relative complexe εr admet l’expression suivante, en fonction de la pulsation de la tension sinusoïdale appliquée : v2r εr = 1 + 2 v0 − v2 + jv/t Dans cette écriture, la convention adoptée est celle des électroniciens, selon laquelle les retards de phase sont comptés négativement : Déterminer l’association de dipôles simples, résistor, condensateur et bobine, équivalente à ce condensateur réel. Calculer la valeur de ces composants pour : vr v = 859, 4 kHz f0 = 0 = 843, 5 kHz t = 7, 14 ns et C 0 = 5 pF fr = 2p 2p P7– 7. Quartz Un quartz piézo-électrique peut être représenté par le schéma électrique de la figure 7.58. 1. a) Établir l’expression de son impédance Z . b) Exprimer la pulsation de résonance v r , pour laquelle Z = 0 , et d’anti-résonance v ar définie par Z infini. c) Calculer v r et var , ainsi que les fréquences f r et f ar correspondantes, dans le cas suivant : Cp = 9, 55 pF

C s = 7, 5 × 10−15 F et

Ls = 4, 54 H

2. Dans quel domaine de fréquence, le quartz peut-il être assimilé : a) à une bobine parfaite, b) à un condensateur parfait ? 3. Quelle est la pente de la courbe représentant |Z | en fonction de la fréquence. Calculer sa valeur à la fréquence de résonance.

A

B

Cp

Cs

Ls F IG . 7.58.

P7– 8. Champ magnétique maximal dans un transformateur Le primaire d’un transformateur, de N1 spires, est alimenté par une tension sinusoïdale, de fréquence f ; le secondaire possède, lui, N 2 spires. 1. En négligeant la résistance des bobinages, montrer que le champ magnétique maximal est donné par les expressions suivantes, dans lesquelles S désigne la section du circuit magnétique : BM ≈

U1 4, 44 f N 1S

ou B M ≈

U2 4, 44 f N 2S

255

Composants électroniques

2. Un transformateur 230 V/6 V , dont la section du noyau est S = 7 cm 2 , doit fonctionner avec une tension sinusoïdale, de fréquence 50 Hz , de telle sorte que le champ magnétique, dans le noyau, ne dépasse pas 1, 1 T . Quel est le nombre nécessaire de spires, au primaire et au secondaire ? P7– 9. Réponse spectrale d’un transistor bipolaire en émetteur commun

web

Sur la figure 7.59a, on a représenté un transistor monté en émetteur commun. Pour l’étude suivante on adoptera le schéma équivalent au transistor de la figure 7.32 en admettant que les résistances R 1 , R2 et rco sont très supérieures à r b et Rco .

R1 C0

Rco

rb Ic

Ib

ib

E r b

ue ue

R2

Ce

Re

Cbe

us

Rco

us

bi b

a)

b) F IG . 7.59.

1. a) Établir la fonction de transfert en tension H = u s/ue , aux fréquences moyennes pour lesquelles les impédances des capacités de polarisation Ce et C0 sont négligeables. b) Aux basses fréquences, l’impédance de la capacité C 0 n’est plus négligeable. Déterminer la fonction de transfert et tracer le diagramme de Bode. Reprendre ensuite la question lorsque c’est l’impédance correspondant à la capacité Ce qui n’est plus négligeable. 2. Aux hautes fréquences, les capacités de polarisation C 0 et Ce sont bien équivalentes à des courts-circuits, mais la capacité parasite C be entre la base et l’émetteur n’est plus négligeable. En outre, la résistance rb est remplacée par rb , en série avec rb . Le schéma équivalent pour les petits signaux est alors celui de la figure 7.59b. a) Établir la nouvelle fonction de transfert et tracer son diagramme de Bode. b) Calculer les différentes fréquences de coupure pour b = 150 , r b = 1, 0 kV , rb = 100 V , Re = 2, 0 kV , Rco = 1, 5 kV , C be = 100 pF , C 0 = 2, 2 mF et C e = 220 mF . P7– 10. Transistor JTEC en haute fréquence Lorsque la fréquence des signaux dépasse 1 MHz , il est nécessaire de tenir compte des capacités parasites qui apparaissent entre les différentes jonctions du transistor JTEC. Le schéma du circuit et son équivalent en signal variable sont représentés sur la figure 7.60. Entre le drain et la source du transistor, la résistance de charge est Rc . 1. Déterminer les facteurs d’amplification en tension et en courant, respectivement : Au =

uds ugs

et Ai =

id ig

256

7. Composants électroniques

Application : f = 1, 2 MHz , Rc = 800 V , rds = 1/gds = 500 kV , g m = 30 mS , C gs = Cgd = 7 pF et Cds = 0, 6 pF . 2. Donner l’expression de l’impédance d’entrée Z e . Application numérique. G

D G

S

ig

ugs

Rc

Cgd

D id

C gs

Cds

rds

Rc

uds

gm ugs

S a)

b) F IG . 7.60.

P7– 11. Transistor JTEC monté en source commune

web

Sur la fiche technique d’un transistor JTEC à canal n , monté en source commune (Fig. 7.61), on peut lire les valeurs suivantes : Ugs,0 = −4, 0 V et I ds,s = 12 mA . On souhaite polariser ce transistor autour de Ugs = −2, 0 V et de Uds = 10 V . En ce point de fonctionnement, g m = 3 mS et rds = 500 kV . L’alimentation est une source stationnaire, de f.e.m E = 15, 0 V et la résistance de charge vaut R c = 1, 0 kV . En outre, l’intensité du courant de base étant de 100 pA , on fixe la valeur de Rg à 1, 0 MV . 1. Déterminer les valeurs de I ds , Rs et Rd . 2. Pour les petits signaux, trouver les valeurs des capacités afin que le montage fonctionne correctement à la fréquence f = 1, 5 kHz , avec eg = 0, 5 V et une résistance interne du générateur de 100 V . 3. Établir les expressions des facteurs d’amplification en tension et en courant. 4. Calculer l’impédance d’entrée et de sortie du montage. Rd

C0

D

C0

Ids

G

E S Rc

Ri ue

eg ∼

Rg

Rs

F IG . 7.61.

Cs

us

8 Amplificateur opérationnel : montages de base C’est en 1947 que le terme amplificateur opérationnel, en abrégé AO, est mentionné pour la première fois, et c’est en 1963 qu’il est conçu sous la forme d’un circuit intégré par B. Widlar. Il s’agit d’un amplificateur différentiel destiné à effectuer des opérations fonctionnelles, d’où son nom. En raison de son faible coût et de ses performances, c’est aujourd’hui un composant actif de base considéré comme une brique élémentaire dans tous les montages actuels d’électronique. Son champ d’application est considérable : il s’étend depuis le traitement de grandeurs électriques issues de capteurs (microphones, thermocouples, photopiles, ...), jusqu’à la réalisation de signaux capables de commander des dispositifs aussi divers que des moteurs, des haut-parleurs, des résistors chauffants, des relais, ...). Dans ce chapitre, nous proposons une introduction à l’étude des amplificateurs opérationnels en nous limitant à sa description et à son fonctionnement dans le cas idéal. Les imperfections de l’AO ne seront abordées que pour interpréter les limitations qu’elles imposent aux montages réels.

I . — DESCRIPTION ET REPRÉSENTATION DE L’AO I . 1 . — Description L’amplificateur opérationnel est essentiellement un amplificateur différentiel, c’est-à-dire un amplificateur capable de fournir à sa sortie, une tension us directement reliée à la différence e = u+ − u − des deux tensions d’entrée u+ et u− . Sur la figure 8.1, on a représenté le symbole électrique normalisé de ce composant actif . On y distingue au moins cinq broches, ou plots de connexion : deux entrées respectivement notées u + et u − , une sortie us , une tension d’alimentation positive U a et une tension d’alimentation négative −U a . Remarques : 1) Par convention, dans les schémas électriques des montages, on ne représente ni les tensions d’alimentation, ni la connexion à la masse, ni les générateurs de tension à l’entrée. 2) Dans certains documents, on trouve encore l’ancienne représentation de l’AO par un triangle.

258

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Ua + e u+

−

u−

us −Ua

F IG . 8.1.

La plupart de ces composants électroniques, fabriqués à partir de semiconducteurs, principalement du silicium et du germanium, sont encapsulés dans différents types de boîtiers (Fig. 8.2a), ce qui assure une connexion avec le circuit environnant, une bonne tenue mécanique et une isolation suffisante. La fiche technique de l’AO permet de situer les différentes entrées et sorties ; la broche numéro 1 est repérée conventionnellement par un point ou une encoche, la numérotation s’effectuant dans le sens trigonométrique (Fig. 8.2b). La plupart des AO sont présentés dans un boîtier de huit broches ; l’AO est seul ou apparié avec un autre AO (Fig. 8.2c).

8 NC

u− 2

us,1 1

7 Ua

u −,1 2

6 Sortie

u +,1 3

8 Ua 7 u s,2

+

1

-

Balance

-

−U a 4 a)

6 u −,2

+

+

5 u +,2

5 Balance −U a 4 b)

-

u+ 3

c) F IG . 8.2.

Remarques : 1) Certains constructeurs fournissent des AO non encapsulés. 2) Les broches Non Connectées de l’AO sont notées NC. 3) Les deux connexions « balance » permettent d’équilibrer l’étage différentiel à transistors qui forme l’amplificateur différentiel. Dans certains boîtiers, les fabricants insèrent un potentiomètre entre ces broches, afin que l’utilisateur puisse lui-même compenser une éventuelle tension de décalage. Ce point sera développé dans l’étude des imperfections de l’AO. I . 2 . — Équations de fonctionnement d’un AO Comme nous le verrons, un amplificateur opérationnel est généralement utilisé en ramenant, à l’une de ses entrées, une partie au moins du signal de sortie. On réalise ainsi une rétroaction (cf. chapitre 13), qui est négative ou positive ou selon que l’entrée est inverseuse ou non inverseuse. On dit que l’AO travaille en boucle fermée.

259

Amplificateur opérationnel : montages de base

Auparavant, il est indispensable d’étudier l’AO en boucle ouverte, c’est-à-dire comme un système sans rétroaction qui fournit une tension de sortie u s , lorsqu’on lui applique une tension différentielle e entre les deux entrées. Il n’est pas nécessaire de connaître la structure interne d’un amplificateur opérationnel pour en déduire l’équation reliant us à e , en boucle ouverte. L’étude expérimentale montre que l’équation différentielle suivante, linéaire d’ordre un, permet de décrire correctement le comportement de l’AO : tc

d us + u s = A 0e dt

Notons que cette équation est aussi celle qui caractérise un filtre linéaire passe-bas de type RC (cf. chapitre 6). La durée tc , constante de temps de l’AO, est de l’ordre de 10 ms . Quant au facteur sans dimension A0 , sa valeur typique est comprise entre 104 et 107 . Il représente l’amplification différentielle stationnaire. En effet, l’équation précédente devient, dans ce cas : us = A0 (u + − u− ) = A0 e

d’où A0 =

us e

On voit que si u + est reliée à la masse, u s et u− ont des signes opposés, d’où le qualificatif inverseuse donnée à l’entrée correspondante. De même, si u− est reliée à la masse, us et u + sont de même signe, d’où le qualificatif non inverseuse donnée à cette dernière entrée. Remarques : 1) L’AO étant un composant actif, la fonction linéaire entre la sortie et l’entrée différentielle ne peut être obtenue que sous réserve de le polariser grâce à deux sources de tension stationnaires symétriques Ua et −Ua . Ainsi, la tension de sortie est limitée en amplitude selon la relation : −Ua < us < U a

soit encore

− Usat  us  Usat

avec Usat tension de saturation, légèrement inférieure aux tensions de polarisation de l’AO. 2) Afin d’éviter la saturation en courant, l’intensité i s du courant de sortie doit vérifier la condition : is < i s,max avec i s,max , intensité maximale du courant de sortie donnée par le fabricant. 3) On évitera une déformation du signal de sortie par saturation en vitesse en garantissant une variation maximale de u s au cours du temps, d’où la condition :   d us     ym max  dt 

avec y m , vitesse maximale de balayage de l’AO, ou slew rate, (cf. paragraphe V).

260

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

I . 3 . — Réponse d’un AO en régime sinusoïdal En régime sinusoïdal, à la tension d’entrée e(t) = e m exp(jvt) en notation complexe, correspond la solution us de la forme : u s(t) = u s,m exp(jvt)

avec

us,m = us,m exp(jf s)

En injectant cette forme de solution dans l’équation différentielle, et en simplifiant par exp(jvt ) , il vient : us,m A0 (1 + jvtc )us,m = A0 em d’où A = = em 1 + jvt c On en déduit le module et l’argument de A : |A | =

A0 (1 + v2t2c )1/2

et

fs = − arctan(vtc)

ce qu’il est commode d’écrire en fonction de la pulsation ou la fréquence réduite x = v/vc = f /fc , avec : 1 1 et fc = vc = 2ptc tc On a alors : A0 A0 |A| = et fs = − arctan x car A(x) = 2 1 / 2 (1 + x ) 1 + jx Les diagrammes de Bode correspondants sont représentés sur la figure 8.3. Ils ont même allure que les diagrammes de Bode des filtres passifs passe-bas déjà étudiés (cf. chapitre 6). Rappelons que l’on utilise non pas la variable x mais X = lg x et que l’on introduit le gain en tension Gu = 20 lg |A| . Cependant, dans le cas présent, l’AO étant un système actif, le gain passe par une valeur maximale qui n’est pas nulle mais qui vaut : (Gu) max = 20 lg A 0 soit 20 lg 106 = 120 dB pour A 0 = 10 6 f (rad)

G u ( dB) 100

0

X = lg x

−p/4

X = lg x 0

1

−p/2

2 F IG . 8.3.

Sur la figure 8.3, on identifie aisément la fréquence de coupure à −3 dB , égale à f c , pour laquelle le gain vaut (Gu)max − 3 en dB. Dans le cas d’un AO, une autre fréquence caractéristique, dite de transition, présente de l’intérêt, celle pour laquelle le gain Gu est nul. Le facteur d’amplification étant alors égal à l’unité, on a, en désignant par ft cette fréquence : A0 = 1 d’où ft = fc (A 20 − 1)1/2 ≈ f c A0 (1 + ft2 /fc2)1/2

261

Amplificateur opérationnel : montages de base

Comme Gu est une fonction décroissante de la fréquence, f t représente la fréquence de transition entre le mode d’amplification, pour lequel Gu > 0 , et le mode d’atténuation de l’AO, défini par G u < 0 . Remarques : 1) Les constructeurs donnent généralement à f t le nom de produit facteur d’amplificationbande passante PAB (gain-bandwidth product en anglais). 2) L’identification de la fréquence de coupure fc est immédiate lorsque la fonction de transfert A(f ) est exprimée sous la forme canonique : A(f ) =

A0 1 + j f /f c

Aussi, est-il judicieux de s’y ramener systématiquement. Par exemple : A(f ) =

108 5 × 10 4 = 2000 + j200 f 1 + j f /10

implique f c = 10 Hz et A 0 = 50 000 . I . 4 . — Schéma électrique de l’AO Aux propriétés précédentes de l’AO, il convient d’ajouter l’impédance d’entrée, l’impédance de sortie et l’intensité maximale du courant de saturation. a) Impédance d’entrée de l’AO C’est l’impédance entre les entrées + et − de l’AO. Dans la bande passante de l’amplificateur, c’est souvent une résistance Re dont la valeur s’échelonne de 100 kV à 10 MV . b) Impédance de sortie C’est l’impédance interne du générateur, de f.e.m commandée A 0e , placé en sortie de l’AO. Dans la bande passante de l’amplificateur, c’est une résistance R s . Sa valeur varie entre 10 et 100 V ; pour l’AO LM741, par exemple, elle est de 75 V . c) Saturation en courant La structure interne d’un AO limite la valeur maximale du courant en sortie, ce qui protège des courts-circuits. Cette valeur is,max est de l’ordre de 20 à 80 mA pour un AO typique. En pratique, on peut déterminer ce courant de saturation en connectant une charge résistive variable en sortie de l’AO ; en diminuant cette charge, à partir d’une certaine valeur, apparaît un écrêtage (symétrique ou non) du signal, correspondant à une saturation en courant. Sur la figure 8.4a, on a représenté le schéma équivalent de l’AO avec l’ensemble de ses caractéristiques. Un tel schéma présente deux avantages : il facilite l’analyse du système ; en outre, il permet de prendre en compte l’impédance de charge. En effet, la connexion d’une impédance de charge Zc modifie la tension de sortie us,∞ , qui existerait en l’absence de cette impédance, selon l’expression donnée par le diviseur de tension : us =

Zc us,∞ Zc + R s

262

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

∞

+

u+

Rs

Re

e

+

is Zc

Ae

−

us

u−

is

e=0

a)

u+

us

−

Zc

u− b)

F IG . 8.4.

I . 5 . — Régime linéaire et régime saturé Le graphe donnant, en régime stationnaire, la tension de sortie u s que donne l’AO lorsque la tension différentielle d’entrée e varie, est représenté sur la figure 8.5. On distingue trois zones de fonctionnement, suivant les valeurs de la tension d’entrée : i) une zone de saturation négative : u s = −Usat pour e  −Usat /A 0 , ii) une zone de saturation positive : u s = U sat pour e  Usat /A0 , iii) une zone intermédiaire, pour −U sat /A0 < e < Usat /A0 , qualifiée de linéaire, car u s = A0 e . Cette relation u s = A 0e implique, en raison de la très grande valeur de A0 et de u s limité par Ua de l’ordre de 10 V , une tension différentielle quasiment nulle : e≈0 La figure 8.4b représente le schéma équivalent de l’AO idéal, dans lequel le générateur de f.e.m Ae est remplacé par un générateur parfait de f.e.m u s . On voit que cette approximation ne peut être satisfaite que si la tension de sortie est toujours inférieure ou égale aux limites de tension Usat et −U sat imposées par les tensions d’alimentation Ua et −U a avec une différence en partie liée à la tension base-émetteur des transistors constituant le composant : |us|  |U sat| avec |U sat | < |U a| us Ua Usat Modèle idéal −Usat/A 0

0

−Ua

Usat /A0

e

−Usat

F IG . 8.5.

Les propriétés des montages en boucle fermée découlent du type de rétroaction, positive ou négative, laquelle conditionne la stabilité du montage (cf. chapitre 13). En effet, dans l’équation différentielle en boucle ouverte de l’AO réel : du t c s + u s = A 0e dt

263

Amplificateur opérationnel : montages de base la rétroaction intervient selon : e = u+ − u − = u e ± a us

a étant un facteur positif compris entre 0 et 1 , ue la tension d’entrée et u s la tension de sortie. Avec le signe + , la rétroaction est positive ; avec le signe − , elle est négative. On en déduit l’équation différentielle suivante de l’AO en boucle fermée :   d us + u s 1 − ±A 0a = A 0ue tc dt Puisque A0 a  1 , cette équation admet une solution générale de la forme :   t us = K exp ±A 0a tc

où K est une constante déterminée par les conditions initiales. Comme la fonction exponentielle diverge si le signe est + , on en conclut que les montages à rétroaction positive fonctionnent en régime de saturation de l’AO, contrairement aux montages à rétroaction négative. I . 6 . — Amplificateur opérationnel idéal Les hypothèses associées à l’AO idéal sont : i) un facteur d’amplification A 0 infini, ii) une impédance d’entrée infinie (par rapport aux impédances utilisées dans le montage), ce qui suppose que les intensités des courants d’entrée soient nulles, iii) une impédance de sortie nulle (par rapport aux impédances utilisées dans le montage), iv) une fréquence de coupure infinie, c’est-à-dire t c = 0 et donc A = A 0 . Compte tenu des valeurs typiques de fc , quelques dizaines de Hz, cette hypothèse semble difficilement justifiable ; nous reviendrons sur ce point un peu plus loin dans l’analyse des imperfections de l’AO. On résume ces hypothèses par le symbole ∞ à côté du petit triangle, lequel donne le sens d’utilisation de l’AO. Avec les progrès récents dans la réalisation technologique des AO, le modèle idéal s’avère très efficace, au moins dans une première approche à la fois théorique et expérimentale qui est celle que nous adoptons ici.

II . — ÉLECTRONIQUE NON LINÉAIRE AVEC AO II . 1 . — Comparateur simple a) Analyse Le système représenté sur la figure 8.6 fournit une tension de sortie u s égale à ±Usat . En effet, si la tension différentielle e = ue,1 −u e,2 est positive, soit u e,1 > ue,2 , alors le point de fonctionnement se situe dans la zone de saturation positive et us = U sat ; dans le cas contraire, ue,1 < ue,2 et us = −Usat (Fig. 8.7), d’où le nom du montage : us = Usat si u e,1 > ue,2

et

us = −Usat

si

ue,1 < u e,2

264

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

On voit que si, l’on impose à l’une des deux tensions d’entrée, par exemple u e,2 , d’être nulle, alors ce montage devient un détecteur de signe pour l’autre tension ue,1 : us = Usat

pour

ue,1 > 0

et

us = −U sat

pour

u e,1 < 0

Il arrive souvent que les tensions extrêmes atteintes par u s ne soient pas symétriques, bien que les tensions d’alimentation le soient. Dans ce cas, on remplace la notation ±U sat par Usat,+ et Usat,− respectivement. us

+ e ue,1

us Usat

Usat

− us

ue,2

ue,2

ue,1

u e,1

−U sat F IG . 8.6.

F IG . 8.7.

ue,2

−U sat

Exemple : connectons sur les entrées + et − du montage comparateur de la figure 8.6, respectivement les f.e.m E 1 = 1, 607 V et E 2 = 1, 605 V de deux piles AA, pour lesquelles le constructeur indique 1, 5 V . L’AO choisi est un LM741, avec Ua = 15 V et −U a = −15 V . En visualisant la sortie du montage avec un multimètre, on mesure us = 14 V = U sat avec E1 > E2 , alors que, si on permute les deux piles on trouve us = −13, 5 V . Dans ce cas concret, Usat,+ = 14 V et Usat,− = −13, 5 V . Remarques : 1) En associant les variables logiques binaires 1 et 0 aux tensions de saturation Usat,+ et Usat,− , on exploite le régime saturé de l’AO dans les montages de l’électronique numérique (chapitre 19). 2) Le montage comparateur est largement utilisé dans les Convertisseurs Analogiques Numériques dits instantanés (cf. chapitre 19). b) Application à la surveillance d’alimentation Dans les systèmes embarqués (téléphone portable, ordinateur portable, véhicule, satellite, etc.) une chute du niveau d’alimentation de la source d’énergie (piles ou accumulateurs), peut s’avérer désastreuse : pertes d’information dans les mémoires, dysfonctionnement du système, etc. Un exemple de surveillance d’un niveau de tension stationnaire est présenté sur la figure 8.8. Supposons que l’on souhaite détecter une chute de 20 % de la tension U cc , en utilisant une diode Zener de type BZX55-5,1 avec UZ = 5, 1 V pouvant dissiper une puissance maximale de 500 mW . R1

-

∞

e Ucc

Rp

R2

Ue

+ Rd

UZ F IG . 8.8.

265

Amplificateur opérationnel : montages de base La tension différentielle à l’entrée du comparateur est reliée à U Z et à Ucc par : e = u+ − u − = UZ − u e = UZ −

R2 Ucc R1 + R 2

en utilisant la division de tension. La tension de sortie u s du montage comparateur basculera de −Usat à Usat , lorsque la tension ue de l’entrée inverseuse deviendra inférieure à U Z . La diode électroluminescente, connectée en sortie, s’éclairera donc si :   R1 U e < UZ soit Ucc < 1 + UZ R2 Avec les résistances R1 = 27 kV et R2 = 20 kV , dans la série E 24 , le seuil de détection Ue = UZ est obtenu pour une tension d’alimentation minimale U cc,m qui vaut :   27 5, 1 ≈ 12 V U cc,m = 1 + 20 Quant à la résistance de polarisation Rp de la diode Zener, déterminons ses valeurs minimale et maximale : i) sa valeur minimale R p,m est obtenue pour le courant maximal I M correspondant à la puissance maximale que peut dissiper la diode, soit : IM =

PM 0, 5 ≈ 100 mA d’où = 5, 1 UZ

Rp,m =

U cc − UZ ≈ 100 V IM

ii) sa valeur maximale R p,M est donnée par le courant minimal nécessaire pour polariser la diode Zener dans le cas le plus défavorable de la chute maximale de tension de 20% , soit U cc,m = 0, 8U cc ; en supposant Im = 5 mA , on trouve : Rp,M =

Ucc,min − UZ ≈ 1380 V Im

Ainsi, avec Rp = 470 V , on réalise la polarisation de la diode. Pourvu que la chute de la tension d’alimentation de 20 % n’affecte pas le fonctionnement de l’AO en comparateur, le système peut être utilisé pour déclencher une procédure d’alarme. Un tel type de montage est utilisé pour surveiller le niveau de la batterie d’un téléphone portable, ou encore pour déclencher une procédure de sauvegarde dans un ordinateur portable. Dans ce cas, le circuit est qualifié de superviseur de microprocesseur. Remarque : Il existe des composants qui réalisent directement la fonction de surveillance de tension d’alimentation ; citons par exemple la référence TCM809R du fabricant Microchip, dont le seuil de détection est 2, 63 V . II . 2 . — Comparateur à hystérésis ou bistable ou trigger de Schmitt Le comparateur simple présente l’inconvénient d’être sensible aux fluctuations dues au bruit qui accompagne nécessairement toute tension de référence (cf. chapitre 17). Aussi lui préfère-t-on le comparateur à hystérésis. C’est un système bistable car il présente deux états stables U sat et −Usat , qui passent de l’un à l’autre lorsque la tension différentielle d’entrée e varie faiblement autour de la valeur nulle ; e joue le rôle de déclencheur, d’où leur nom anglais trigger qui signifie gâchette. On l’appelle aussi trigger de Schmitt, du nom de son inventeur américain Otto Schmitt, en 1934, alors qu’il était encore étudiant !

266

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

a) Comparateur non inverseur Le comparateur non inverseur, représenté sur la figure 8.9a, est constituée par un AO, dont la tension de sortie u s est appliquée sur l’entrée non inverseuse à travers la résistance R2 , ce qui permet d’effectuer une rétroaction positive, d’où son fonctionnement en régime de saturation. Afin d’analyser son fonctionnement, exprimons la tension différentielle d’entrée, en fonction de u e et us , à l’aide du théorème de Millman appliqué à l’entrée non inverseuse : e = u + − u − = u+ =

ue/R 1 + u s /R2 R2 R1 ue + us = 1/R 1 + 1/R 2 R1 + R 2 R1 + R 2

avec us = U sat ou u s = −U sat , selon que e est positif ou négatif. i) Si initialement us = U sat , alors la tension différentielle d’entrée vaut : e=

R2 R1 ue + U sat R1 + R2 R 1 + R2

Pour que us bascule en −U sat , il faut que : e < 0 soit ue < −

R1 Usat R2

ce qui s’écrit

u e < u n avec u n = −

R1 U sat R2

ii) Inversement, si initialement u s = −Usat , alors : e=

R2 R1 ue − U sat R1 + R2 R 1 + R2

Pour que us bascule en U sat , il faut que : R1 R1 Usat ce qui s’écrit Usat u e > u p avec u p = R2 R2 Sur la figure 8.9b, on a représenté le graphe donnant u s en fonction de ue , dans le cas où Usat = 14 V , R1 = 1 kV et R 2 = 2 kV . Lorsqu’on part de la valeur u s = U sat = 14 V obtenue pour u e suffisamment grand, et que l’on diminue progressivement u e , on voit que u s garde la valeur U sat tant que ue > un = −7 V ; le basculement vers u s = −Usat = −14 V se produit alors. Si on change alors de sens de variation de u e en l’augmentant, u s garde sa valeur −Usat tant que ue < up = 7 V . Il y a alors basculement de us vers la valeur Usat . Le graphe décrit par le point figuratif est donc un cycle dont le sens de parcours est le sens trigonométrique entre deux points extrêmes situés dans les quadrants I et III . On dit que l’on a réalisé un comparateur à d’hystérésis, ce mot étant issu d’un mot grec signifiant retard de la variation de us par rapport à celle de u e . e > 0 soit ue >

Usat

R2 R1 +

∞

e -

ue

us

a)

R1 un = − Usat R2 −Usat Bistable «non inverseur» b) F IG . 8.9.

us

ue R1 up = Usat R2

267

Amplificateur opérationnel : montages de base

Remarques : 1) Notons que, pour u n < ue < up , il existe deux états possibles, mais la tension de sortie us conserve sa valeur, laquelle valable, pour u e = 0 , se maintient tant que les tensions d’alimentation de l’AO sont maintenues, comme c’est le cas pour la mémoire vive (Read Access Memory) d’un ordinateur. 2) Dans les matériaux magnétiques, l’hystérésis traduit le retard de son aimantation volumique M par rapport à l’excitation magnétique H (cf. Électromagnétisme). b) Comparateur inverseur Le comparateur inverseur diffère du précédent car la tension d’entrée u e est appliquée sur l’entrée inverseuse (Fig. 8.10a). Comme précédemment, exprimons la tension différentielle d’entrée e = u + − u− . Il vient, par division de tension : e = u+ − u− =

R1 us − ue R 1 + R2

avec us = U sat si e > 0 et u s = −Usat si e < 0 . i) Supposons que u s soit égal à Usat . Il vient : e=

R1 U sat − u e R1 + R 2

Le basculement de us vers −Usat se produira lorsque e deviendra négatif, soit : e < 0 d’où ue >

R1 U sat ce qui s’écrit aussi R 1 + R2

ue > up

R2 R1 +

R1 U sat R1 + R2

us

Usat ∞

ue

e us

ue

avec u p =

un = −

R1 U sat R1 + R2

up =

R1 Usat R 1 + R2

−Usat

Bistable inverseur a)

b) F IG . 8.10.

ii) Inversement, si u s = −Usat , il vient : e=−

R1 U sat − ue R1 + R2

Le basculement de us vers Usat interviendra pour : e > 0 soit u e < −

R1 U sat R1 + R2

ce qui s’écrit aussi

ue < u n

avec un = −

R1 Usat R 1 + R2

Sur la figure 8.10b, on a représenté le graphe donnant u s en fonction de u e , dans le cas où Usat = 14 V , R1 = 1 kV et R2 = 2 kV . On obtient un cycle d’hystérésis décrit dans le sens horaire entre deux points extrêmes situés dans les quadrants II et IV .

268

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Remarque : Si l’on supprime la rétroaction positive en choisissant pour R2 une valeur très grande, les deux seuils un et up se confondent en une valeur nulle. On retrouve alors la caractéristique du montage comparateur simple. c) Commande de basculement On réalise le basculement du système d’un état à l’autre, à l’aide d’une impulsion de tension avec les propriétés suivantes : i) l’amplitude est supérieure au niveau du seuil, ii) la durée prend en compte l’inertie de basculement liée aux constantes de temps du montage, iii) enfin, le sens de la tension d’impulsion est déterminé par l’état précédent du système. II . 3 . — Comparateurs monostables ou univibrateurs En insérant dans les montages précédents, par exemple le comparateur inverseur, une source de tension stationnaire, de f.e.m E (Fig.8.11a), il est possible de provoquer une translation du cycle d’hystérésis, dans le plan ( ue, u s ), de telle sorte qu’il n’y ait plus qu’un seul point d’intersection entre le cycle et l’axe ue = 0 , et donc un seul point de repos stable (Fig.8.11b) ; le comparateur devient alors monostable. us

R2 R1

+ e

E

U sat

∞

un

−

up

ue

us

ue

a)

b)

−Usat

F IG . 8.11.

Afin d’analyser le fonctionnement de ce comparateur monostable, exprimons, à l’aide du théorème de Millman, la tension différentielle e = u+ − u − . Il vient, avec E > 0 : u+ = d’où : e=

us /R2 − E /R 1 1/R2 + 1/R1

et

u− = ue

R1 R2 us − E −ue R1 + R 2 R 1 + R2

i) Si u s = Usat , alors :

R1 R2 U sat − E − ue R1 + R 2 R1 + R 2 Le basculement de la tension us de Usat vers −Usat se produit lorsque e devient négatif. Par conséquent : e=

R1 R2 U sat − E − u e < 0 d’où ue > up R1 + R 2 R1 + R 2

avec up =

R1 R2 Usat − E R1 + R2 R1 + R 2

269

Amplificateur opérationnel : montages de base ii) En revanche, si u s = −Usat , alors : e=−

R1 R2 Usat − E − ue R1 + R 2 R 1 + R2

Le basculement de la tension u s de −Usat vers Usat se produit lorsque e devient positif, c’est-à-dire pour : −

R1 R2 Usat − E − u e > 0 soit ue < u n R1 + R2 R1 + R 2

avec u n = −

R1 R2 U sat − E R1 + R 2 R1 + R2

Dans notre hypothèse où E est positif, u n est négatif. Un tel comparateur est monostable si up est négatif, car il n’y a pas alors de point d’intersection entre le cycle et l’axe ue = 0 . On en déduit la condition suivante sur la f.e.m E : E>

R1 U sat R2

Lorsqu’une tension d’entrée ue négative est appliquée, le système peut basculer en u s = Usat , mais revient en −Usat , dès que ue devient supérieure à u p , condition vérifiée si u e = 0 et up < 0 . À la différence du comparateur bistable qui nécessite deux tensions de basculement, le montage monostable n’exige qu’une seule tension de basculement, celle à la sortie d’un capteur par exemple.

Remarque : En associant un condensateur et un montage bistable, on réalise un montage astable qui est un oscillateur de relaxation (cf. chapitre 14). II . 4 . — Comparateur monostable avec constante de temps On réalise de tels comparateurs avec constante de temps en insérant un condensateur, de capacité C , dans la branche de rétroaction (Fig. 8.12). On augmente ainsi la durée du retour vers zéro de la tension d’entrée ue , ce qui présente d’intéressantes applications. Par exemple, dans l’ouverture d’une barrière de parking, de tels systèmes permettent de laisser suffisamment de temps à un conducteur pour manœuvrer après l’introduction de son titre de paiement ; on trouve aussi ce mode de fonctionnement dans un minuteur d’extinction de lumière, dans la gestion de l’éclairage d’un habitacle de véhicule ou encore dans la fermeture des portes d’ascenseurs. uC C

R2 i

R1

q

i +

∞

e E

us

ue

F IG . 8.12.

Supposons que la tension d’entrée soit nulle, sauf lors du déclenchement par une impulsion négative. À l’état de repos ( ue = 0 ), la tension de sortie est u s = −Usat ; le condensateur est

270

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

chargé et, comme aucun courant ne traverse les résistances R 1 et R2 , la tension à ses bornes est uC = u C,0 = −E − u s = U sat − E . L’état de repos est bien stable puisque : e = u+ − u − = −E − u e(t = 0) = −E < 0 et us (t = 0) = −U sat Le système bascule instantanément dans l’état us = Usat si : e = u + − u− = −E − u e > 0

soit

u e < −E

et reste dans cet état, tant que u+ = −E + R1 i > 0 . Il apparaît ainsi nécessaire d’analyser l’évolution de i(t) . Pour cela établissons l’équation différentielle à laquelle satisfait l’intensité i . La loi des tensions appliquée à la maille extérieure donne : −E + R1i + R 2i − u C − u s = 0 avec us = −U sat

et

i = −C

d uC dt

En dérivant par rapport au temps l’équation de maille précédente, on obtient : t

di + i = 0 avec t = (R1 + R 2)C dt

dont la solution s’écrit (cf. chapitre 4) i(t) = A exp (−t/t) , A étant une constante que l’on détermine en exprimant la continuité de la tension aux bornes du condensateur : uC (t = 0) = −E + (R 1 + R2 )i(t = 0) − Usat = −E + (R 1 + R2)A − U sat = U sat − E d’où

2Usat R1 + R2 Le re-basculement intervient à l’instant t2 pour lequel e devient négatif, c’est-à-dire : A=

u+ (t2 ) = 0 = −E + R 1i(t 2 )

soit

i(t 2) =

E R1

Le condensateur se décharge à travers les résistances R 1 et R2 :    t  2Usat 2R1 Usat E 2 = exp − d’où t 2 = (R 1 + R 2)C ln t R1 R1 + R2 (R1 + R 2)E

Avec R1 = R 2 = 10 kV , C = 10 mF , Usat = 13, 5 V et E = 4, 5 V , on trouve t2 = 0, 22 s .

III . — ÉLECTRONIQUE LINÉAIRE À BASE D’AO En régime linéaire, les amplificateurs opérationnels sont utilisés dans la zone de la variation linéaire de la tension de sortie en fonction de la tension différentielle e . On réalise un tel régime en effectuant une rétroaction négative de la tension de sortie, ou d’une partie de celle-ci. En boucle fermée, avec une rétroaction négative, l’AO présente une nouvelle fonction de transfert H (jv) = T (f ) qui dépend de sa fonction de transfert en boucle ouverte. C’est ce que nous préciserons dans une étude générale ultérieure sur les systèmes bouclés (cf. chapitre 13). La rétroaction provoque une réduction importante du facteur d’amplification A0 , ce qui est souhaitable, puisque une valeur de A0 de l’ordre de 10 5 implique une tension d’entrée inférieure à 100 mV , c’est-à-dire de l’ordre de grandeur d’une tension de bruit (cf. chapitre 17). Dans ce qui suit, nous présentons des montages bâtis autour d’AO idéaux en régime linéaire.

271

Amplificateur opérationnel : montages de base III . 1 . — Amplificateur non inverseur a) Facteur d’amplification en tension

Le montage amplificateur non inverseur est celui représenté sur la figure 8.13a dans lequel l’AO étant idéal, on a e = 0 . En utilisant la division de tension, il vient : u− = On en déduit : us =



R1 us R 1 + R2

R2 1+ R1



ue

avec u+ = ue

soit

et

u + = u−

  us R2 = 1+ Au = ue R1

ue (V) + ue

∞

us (V) 1,83

us 0,17

− us

ue

t

R2 R1

a)

b) F IG . 8.13.

Supposons que l’on souhaite fixer le facteur d’amplification en tension A u du montage à 11 , soit Gu = 20 lg 11 = 20, 8 dB . On dispose d’une seule équation R 2 = 10R 1 pour déterminer les valeurs de R1 et R2 . Néanmoins l’hypothèse de l’AO idéal qui a conduit à cette relation, suppose l’utilisation de résistances, d’une part inférieures à l’impédance d’entrée R e considérée comme infinie, d’autre part supérieures à l’impédance de sortie R s considérée comme nulle. Aussi les résistances sont-elles choisies dans la gamme du kV , par exemple R1 = 1 kV et R2 = 10 kV . Remarques : 1) Un couple de résistances R 1 = 10 V , R 2 = 100 V , avec des tensions de l’ordre de quelques volts ( Ua de 10 à 20 V ), donnerait en outre des courants de sortie de l’AO d’intensité supérieure à l’intensité maximale i s,max tolérée par le composant (cf. Exercices). 2) On sait que les résistances sont données dans certaines gammes de valeurs, séries E12 , E24 , E48 , E 96 , avec une tolérance variant de 5 % à 0, 1 % et aussi des fluctuations qui dépendent de la température. Aussi, à faible coût, il serait vain de tenter de construire un amplificateur non inverseur avec un gain strictement égal à 11 ! b) Vérification expérimentale On réalise un montage de facteur d’amplification théorique égal à 11 , en utilisant un AO type LM741C, polarisé par les sources externes U a = 15 V et −Ua = −15 V .

272

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Avec un signal d’entrée sinusoïdal, de fréquence 2 kHz , on constate que le signal de sortie est en phase avec le signal d’entrée et présente une amplitude environ 11 fois plus grande, la mesure donnant Au = u s,m /ue,m ≈ 1, 83/0, 17 ≈ 10, 8 dans le cas de résistances données avec une précision de 10 % (Fig. 8.13b). Avec un signal d’entrée de forme carrée, on mesure sur la figure 8.14a, un facteur d’amplification Au ≈ 1, 9/0, 17 ≈ 11, 2 , même si, en analysant soigneusement la transition, on observe une déformation du signal de sortie. Cette distorsion dépend de l’AO utilisé. La raison de cette déformation du signal sera analysée plus loin (cf. paragraphe V). u e (V) 0,17

us (V)

ue (V)

1,5 us

13,70

us

1,90

ue

us (V)

ue t

t

−13,40 a)

b) F IG . 8.14.

En augmentant l’amplitude du signal d’entrée, on constate sur la figure 8.14b une saturation en amplitude. Soulignons que les niveaux de saturation ne sont pas symétriques, U sat,+ = 13, 7 V et Usat,− = −13, 4 V , avec des valeurs absolues inférieures à U a = 15 V . L’amplitude maximale u e,max du signal d’entrée, qui permet d’éviter la saturation du montage, est alors donnée par : ue,max =

13, 4 min(Usat,+ , |Usat,− |) |U sat,−| ≈ 1, 24 V = = A0 A0 10, 8

ce qui est inférieur à sa valeur théorique égale à Ua /Au = 15/11 = 1, 36 V . Ces relevés expérimentaux ont été obtenus dans une configuration où aucun courant n’est débité par l’AO, puisque la charge connectée en sortie est infinie. On peut alors prédire l’évolution de la tension de sortie, en fonction de la charge Rc connectée, par simple prise en compte de la division de tension : us =

Rc Auue Rc + R s

La limite de validité de cette relation demeure la capacité de l’AO à fournir l’intensité du courant demandé is = u s/R c , pour Rc faible (Fig. 8.15a). En pratique pour un AO type 741 , i s,max est de l’ordre de 25 mA . Dans notre exemple, la valeur minimale théorique de l’impédance de charge R c est donnée par l’expression : | |−13, 4| min(Usat,+ , |U sat,−|) |U = sat,− = = 536 V R c,min = 0, 025 is,max is,max Pour vérifier l’effet de la saturation en courant, dérogeons à la condition précédente en connectant une charge Rc < R c,min avec R c = 235 V , et en choisissant u e,m < u e,max afin d’éviter la saturation en amplitude, soit ue,m = 0, 72 V .

273

Amplificateur opérationnel : montages de base

ue (V) + ue

us (V)

∞

−

us

0,72

Rc

ue

6,60

us

t

R2

−5,80

R1

a)

b) F IG . 8.15.

Sur la figure 8.15b, on voit que, dans le cas d’une saturation en courant, la tension de sortie us est comprise entre −5, 8 V et 6, 6 V , ce qui est nettement inférieur à la valeur théorique us = A uue,m = 7, 8 V . Remarque : À la saturation en courant, la tension u s peut légèrement différer de R c is,max de par la mise en conduction de protections internes de l’AO contre les courts-circuits. III . 2 . — Suiveur de tension ou adaptateur d’impédance en tension a) Facteur d’amplification et impédances L’amplificateur suiveur de tension, représenté sur la figure 8.16, est le plus simple des dispositifs à rétroaction négative, puisque cette dernière se réduit à un simple fil de connexion reliant la sortie de l’amplificateur à son entrée inverseuse. + ue

∞

−

us

F IG . 8.16.

Dans l’hypothèse d’un AO idéal, la tension différentielle d’entrée e est nulle : e = u+ − u − = 0

avec

u+ = ue

et

u−= us

On en déduit le facteur d’amplification en tension du montage : Au =

us =1 ue

soit

G u = 20 lg 1 = 0 dB

Bien que l’amplification par le composant se réduise à l’unité, à condition évidemment qu’il soit polarisé convenablement, ce montage simple est probablement l’un des montages les plus utilisés en électronique, en raison de impédance d’entrée pratiquement infinie et de son impédance de sortie pratiquement

274

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

nulle : Ze = et : Zs =

us is

ue ie

avec i e = 0 d’où

avec ue = 0 = u + = u−

et

Ze= ∞

us = u−

d’où

Zs = 0

Ces deux dernières propriétés permettent de connecter des systèmes entre eux, sans chute de tension, et donc d’assurer une association des systèmes en cascade. La fonction de transfert globale est alors le simple produit des fonctions de transfert de chaque système. On dit que le montage suiveur est un adapteur d’impédances en tension. Remarque : Avec un AO réel, on obtient le même résultat (cf. Exercices). b) Applications du suiveur i) Augmentation de la résistance interne d’un voltmètre Sur le montage simple de la figure 8.17a, mesurons la tension aux bornes du générateur stationnaire, de f.e.m E = 12 V et de résistance interne Rg = 10 kV , à l’aide d’un voltmètre de résistance Rv = 20 kV . On trouve, d’après la division de tension : U=E

Rv =8V Rg + R v U

U V E

V Rv

E

Rg

Rv Rg +

∞

S

a)

F IG . 8.17.

b)

En insérant un AO monté en suiveur, comme sur la figure 8.17b, on mesurerait, puisque la tension aux bornes du voltmètre est égale à la tension d’entrée et que l’intensité du courant à l’entrée de l’AO est nulle : Us = Ue = E − R g I = E = 12 V ii) Suppression de la résistance interne d’un GBF Un générateur basse fréquence (GBF), de f.e.m maximale e m et de résistance interne R i , débite un courant dans une charge Rc (Fig 8.18a). La résistance interne du générateur n’étant pas négligeable, la valeur maximale de la tension aux bornes de Rc ne vaut pas e m mais, par division de tension : uc,m =

Rc em Rc + Ri

Évidemment le générateur de tension doit être conçu pour débiter un courant d’intensité maximale ic,m = em/Rc sans subir de dommage.

275

Amplificateur opérationnel : montages de base Ri +

Ri

∞

S

em

em

Rc u c

Rc

a)

b) F IG . 8.18.

En intercalant un montage suiveur de tension comme sur la figure 8.18b, la tension u c,m vaut : uc,m = ue = e m − R ii avec

i = 0 d’où u s,m = e m

On dit qu’il y a adaptation d’impédance en tension. Notons que l’AO doit alors délivrer un courant i s,m qui doit être inférieur à l’intensité maximale is,max du courant que peut délivrer un AO standard, de l’ordre de 20 mA . Ordres de grandeur : si e m = 2 V , Ri = 50 V et R c = 200 V , alors : uc,m =

200 em = 1, 6 V 250

u s,m = em = 2 V

et

i s,m =

em = 10 mA Rc

En revanche, si em = 12 V , Ri = 1 kV et R c = 5 V , on trouve uc,m =

5 12 ≈ 60 mV 5 + 1 000

us,m = e m = 12 V mais

is,m =

12 = 2, 4 A 5

ce qui est bien supérieur à l’intensité maximale que peut délivrer un AO. Pour diminuer ce courant, on insère, dans la boucle de rétroaction négative, avant la charge R c , un montage push-pull à transistors (cf. chapitre 7) de facteur d’amplification en tension unité (Fig. 8.19). Ua

+ ue

∞

is

− Rc

F IG . 8.19.

us = ue

−U a

III . 3 . — Amplificateur inverseur Dans le montage inverseur représenté sur la figure 8.20, l’entrée non inverseuse est connectée à la masse, ce qui impose u+ = 0 et donc u − = 0 . Il vient, puisqu’un même courant parcourt les résistances R1 et R 2 : ue us R d’où Au = − 2 ie = =− R1 R2 R1

276

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Le facteur d’amplification en tension étant négatif, le signal de sortie est en opposition de phase par rapport au signal d’entrée, c’est-à-dire que le déphasage est p , d’où le nom du montage. Notons que R1 représente l’impédance d’entrée du montage amplificateur inverseur : ue = R1 ie Cette résistance doit être très supérieure à l’impédance de sortie du générateur pour satisfaire à l’adaptation d’impédance en tension, explicitement pour que le signal d’entrée ne subisse aucune atténuation de tension. Typiquement, on choisit le couple de résistances R1 = 10 kV et R 2 = 100 kV , ce qui donne un gain Gu = 20 lg |10| = 20 dB . R2

ie ie

R1 -

A

ue

∞

+

us

F IG . 8.20.

Remarque : Pour que le courant sur l’entrée non inverseuse au nœud E soit quasi nul, l’AO doit compenser le courant d’entrée i e , lequel est limité à la valeur maximale is,max du courant de sortie. On en déduit la valeur minimale de la résistance R 1 : ue R 1,min = is,max III . 4 . — Convertisseurs courant-tension et tension-courant a) Convertisseur courant-tension La conversion courant-tension s’avère indispensable lorsqu’on utilise des capteurs dont la sortie électrique est un courant (capteurs photoélectriques, capteurs chimiques, etc.). Le traitement du courant issu de ces capteurs, par des chaînes à base d’AO, nécessite une conversion courant-tension (Fig. 8.21). Un convertisseur courant-tension idéal réalise l’opération : us = −R1 ie dans laquelle R1 est la trans-résistance. +

R1

ie

ue ie

+

F IG . 8.21.

∞

−

is

Rc us

∞

R1

us F IG . 8.22.

277

Amplificateur opérationnel : montages de base b) Convertisseur tension-courant

La figure 8.22 représente un convertisseur idéal tension-courant. La rétroaction négative permet de réaliser un fonctionnement en régime linéaire, soit e = 0 , d’où la relation entre la tension de sortie et le courant is dans l’impédance de charge : us = Rci s L’AO étant idéal, le courant entrant dans l’entrée inverseuse est nul, la totalité du courant i s parcourt la résistance R1 : ue et i s < is,max ue = R1i s + e = R1 is d’où is = R1 Ainsi, le convertisseur tension-courant idéal est le système qui réalise la fonction : is = Yt ue où Yt = 1/R1 est la trans-admittance. Remarque : D’autres systèmes de conversion courant-tension et tension-courant existent (cf. Exercices). III . 5 . — Sommateur Sur le montage de la figure 8.23 où l’AO est monté en sommateur, appliquons le théorème de Millman aux deux entrées de l’AO. Il vient, respectivement, avec les notations de la figure : u+ =

ue,1/R 1 + ue,2 /R2 1/R 1 + 1/R2

et

u− =

us/R3 1/R 3 + 1/R4

Il en résulte, puisque e = 0 :    R3 R1 R2 us = 1 + ue,2 + ue,1 R4 R1 + R2 R 1 + R2 Notons que les résistances R1 et R 2 permettent de pondérer la somme des deux tensions, amplifiée par R3 et R 4 . Pour R1 = R2 , l’expression se simplifie, on voit que la tension de sortie est proportionnelle à la somme des tensions d’entrée :   1 R3 1+ us = (ue,1 + ue,2 ) si R 1 = R2 2 R4 Remarque : Les résistances R3 et R4 fixent le gain du montage, alors que R 1 et R 2 déterminent l’impédance d’entrée sur la borne non inverseuse. Il en résulte que les résistances R 1 et R 2 doivent être à la fois inférieures à l’impédance d’entrée R e de l’AO, et suffisamment grandes devant l’impédance interne des sources de tension à l’entrée, afin d’assurer l’adaptation d’impédance : R1  Z Th,1

et

R2  Z Th,2

Z Th,1 et ZTh,2 étant les impédances internes des deux générateurs de Thévenin à l’entrée non inverseuse. Lorsque l’adaptation d’impédance n’est pas réalisée, on intercale, entre les générateurs de Thévenin et ces résistances, un suiveur de tension.

278

8. Amplificateur opérationnel : montages de base R2 R1 u e,1 ue,2

∞

+

R1

−

R2

−

ue,1

us

ue,2

+

R3

R3

R4

∞

us

R4

F IG . 8.23.

F IG . 8.24.

III . 6 . — Soustracteur Sur la figure 8.24 on a représenté un AO dans un montage soustracteur, fonctionnant en régime linéaire. Appliquons le théorème de Millman aux entrées inverseuse et non inverseuse. Il vient respectivement : u /R + u s/R2 ue,2/R3 u− = e,1 1 et u + = 1/R 1 + 1/R2 1/R 3 + 1/R 4 Il en résulte, puisque e = u+ − u − = 0 : R2 R1 R4 ue,1 + us = u R1 + R 2 R1 + R 2 R 3 + R 4 e,2 soit :



us =

R2 1+ R1



R4 R2 ue,2 − ue,1 R3 + R4 R 1 + R2



On fait apparaître la différence des tensions ue,2 − ue,1 en imposant la condition suivante : R4 R2 = R 3 + R4 R1 + R2 On a alors :

soit

R4 (R 1 + R2 ) = R2 (R3 + R 4) ou

R1R4 = R2 R3

  R2 R2 us = 1 + (ue,2 − u e,1 ) R1 R1 + R 2

d’où la propriété de soustraction du montage : us =

R2 (u − u e,1) R 1 e,2

avec

R1 R4 = R 2R3

Remarque : Pour des signaux de faible amplitude, ce montage exige un compromis car la résistance R 1 , qui représente l’impédance d’entrée sur la borne inverseuse, doit être, d’une part, assez grande pour assurer l’adaptation d’impédance avec le générateur u e,1 , d’autre part assez faible pour que le facteur d’amplification soit suffisant. Aussi, dans ce cas utilise-t-on un autre montage, appelé amplificateur d’instrumentation (cf. chapitre 9).

279

Amplificateur opérationnel : montages de base III . 7 . — Intégrateur

Bien avant l’avènement des calculateurs numériques, un moyen pour résoudre les équations différentielles consistait à câbler les termes de l’équation avec des montages à base d’AO, puis à identifier la solution. Le montage intégrateur que nous allons présenter réalise la fonction d’intégration d’un signal. a) Montage intégrateur Ce montage est semblable au montage amplificateur inverseur, mais on a remplacé la résistance de contre-réaction par un condensateur de capacité C (Fig. 8.25). Rappelons que les éléments R et C sont ceux qui définissent un filtre passif passe-bas (cf. chapitre 6). Comme l’AO est idéal, le courant qui parcourt la résistance R est aussi celui qui charge le condensateur. On peut écrire, si q désigne la charge de l’armature proche de l’entrée inverseuse : dq ue = dt R

avec u s = −

q C

On en déduit : d us u =− e t dt

1 us = − t

soit



ue (t) d t + K

en posant

t = RC

K étant une une constante qui prend en compte la charge initiale du condensateur. On obtient bien us à partir d’une intégration de u e à un facteur multiplicatif près ; ce dernier étant négatif, le montage intégrateur est inverseur, d’où un déphasage de p entre le signal d’entrée et le signal de sortie. Remarque : La modification qui consisterait à remplacer le résistor par une bobine et le condensateur par un résistor, conduirait aussi à l’intégration de la tension d’entrée. On obtient cependant des résultats médiocres, car il n’existe pas de bobine purement inductive, en raison des effets parasites résistif et même capacitif. R

C C q

q R ue

R

∞

+

us

ue

F IG . 8.25.

+

∞

us

F IG . 8.26.

b) Réalisation du montage intégrateur Le montage précédent présente un inconvénient majeur : il amplifie considérablement les signaux stationnaires ou de basse fréquence ; en effet l’impédance offerte par la capacité est alors très grande, d’où un facteur d’amplification Au = −ZC /R capable de provoquer la saturation de l’AO à partir d’un simple signal de bruit à l’entrée. Pour y remédier, on ajoute, en parallèle avec le condensateur, un second résistor (Fig. 8.26). La nouvelle résistance R permet en outre au condensateur de se décharger et donc d’annuler la constante d’intégration K précédente. L’équation, vérifiée par u s , devient alors, en notant qu’ici le courant d’entrée se partage entre deux branches, celle de C et celle de R  : dq ue us = −  dt R R

avec u s = −

q C

280

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Il en résulte :

d us us ue +  =− t t dt

avec t = RC

et t  = R C

Pour un signal d’entrée ue , de période T , on a : i) Si T  t  , alors d u s / d t  us/t et l’équation initiale se réduit à d us/ d t = −ue /t , de solution :  1 us = − u e(t) d t si T  t  t la constante d’intégration étant nulle puisque le condensateur s’est déchargé grâce à R . Ordre de grandeur : avec R = 10 kV , C = 10 nF , R  = 1 MV , on trouve t = 0, 1 ms , t = 10 ms ; la fréquence des signaux à intégrer doit donc être suffisamment grande devant 1/t = 100 Hz . ii) Si T  t  , alors d u s/ d t  us/t , d’où la tension de sortie u s ≈ −(R /R)u e . Ce résultat est conforme à l’analyse en régime stationnaire : le condensateur étant équivalent à un circuit ouvert, on est en présence d’un montage amplificateur inverseur de facteur d’amplification −R /R . c) Exemple d’intégration expérimentale d’un signal On applique, à l’entrée d’un intégrateur, un signal périodique carré, de période T , de valeur moyenne nulle et d’amplitude U0 . Ce signal peut se mettre sous la forme d’une somme de signaux sinusoïdaux associés aux harmoniques impairs, de périodes T , T /3, · · · , T /(2m + 1) , et d’amplitudes a, a/3, · · · , a/(2m + 1) , avec m entier positif et a = 4U0/p (cf. annexe 2).

Concrètement, soit à intégrer un signal carré u e , de fréquence 23, 2 kHz et d’amplitude U0 = 1 V , par l’ensemble C = 150 pF et R = 15, 5 kV (Fig. 8.27a). La tension de sortie u s représente effectivement au signe près l’intégrale du signal ue car le montage intégrateur est inverseur. La mesure de la pente, associée à la primitive de la fonction d’entrée qui est une constante, donne 438 mV · ms−1 , à comparer avec la valeur théorique qui vaut U0 /t = 440 mV · ms−1 . En revanche, on note la présence d’une forte composante stationnaire qui tend à saturer le signal de sortie. En utilisant une résistance R  = 2 MV en parallèle avec le condensateur, on supprime une partie de la composante stationnaire, et on retrouve l’intégration avec une forme d’onde quasi symétrique, puisque la condition T  t est respectée : T = 43 ms et t  = 300 ms (Fig. 8.27b). ue (V)

ue (V)

us (V)

1

u s (V)

1 2,6

T = 43 ms

T = 43 ms t

t

−4 −1

−1 −13,4 −7,6 a)

b) F IG . 8.27.

281

Amplificateur opérationnel : montages de base

Remarque : Nous analyserons ultérieurement plus en détail le fonctionnement de ce montage intégrateur, en prenant en compte les imperfections de l’AO (cf. chapitre 9). III . 8 . — Dérivateur a) Montage dérivateur Alors que le montage intégrateur est réalisé à partir d’un filtre RC passe-bas, le montage dérivateur l’est avec un filtre CR passe-haut (Fig. 8.28a). Comme le courant qui traverse le condensateur est le même que celui qui parcourt la résistance, puisque l’AO est idéal, on a : iC =

dq u =− s dt R

avec q = Cu e

Il en résulte : d ue u s = 0 avec t = RC + dt t

d’où

us = −t

d ue dt

Ainsi, la tension de sortie est proportionnelle à la dérivée de la tension d’entrée par rapport au temps, d’où le nom du montage. ue (V) us

R

ue

iC q

us (V) 0,36

0,2

C -

∞

-0,2 +

ue T = 2 ms -0,38

us

t a)

F IG . 8.28.

b)

b) Illustration expérimentale Sur la figure 8.28b, on a représente la réponse du montage dérivateur à un signal d’entrée, de forme triangulaire, pour R = 10 kV et C = 100 nF , soit t = RC = 1 ms . On obtient bien la fonction dérivée, de forme carrée et de valeur moyenne nulle. On peut réduire les oscillations observées, en adoptant le montage de la figure 8.29a, où l’on ajoute une résistance R en série avec la capacité. Le résultat affiché sur la figure 8.29b, pour R = 250 V , illustre bien l’influence de cette résistance. Remarque : En pratique, les applications du montage dérivateur restent limitées, car tout bruit superposé au signal d’entrée provoque une forte variation du signal de sortie. Un exemple est fourni par le capteur équipant les airbags ; on ne dérive pas la vitesse du véhicule pour obtenir l’accélération, mais on mesure directement cette dernière, à partir de la variation d’une capacité entre une masse et des structures mobiles usinées dans le silicium. Ces capteurs équipent la plupart de nos véhicules depuis le début des années 1990.

282

8. Amplificateur opérationnel : montages de base u e (V) R 

R

us

C −

ue

0,36

0,2

∞

+

us (V)

−0,2

ue T = 2 ms

us

−0,36

t a)

b)

F IG . 8.29.

III . 9 . — Amplificateur logarithmique a) Description du montage Dans le montage de la figure 8.30 on a placé une diode dans la boucle de rétroaction négative d’un AO. On sait que la caractéristique courant-tension de la diode id (ud ) , s’écrit, lorsque la diode est passante (cf. chapitre 7) :     ud −1 id = Is exp UT

où Is est l’intensité du courant de saturation de la diode et U T = k B T /e , T étant la température absolue, kB la constante de Boltzmann et e la charge électrique élémentaire. Dès que ud est supérieur à environ 3UT , la diode est passante et on peut faire l’approximation :     ud id soit ud = U T ln id ≈ Is exp UT Is Sur ce montage où l’AO fonctionne en régime linéaire, on a : ud = −us

et id =

ue R

Par conséquent, pourvu que la diode soit conductrice, on trouve la relation suivante entre la tension de sortie et la tension d’entrée :   ue us = −UT ln RIs ce qui justifie le nom du montage. Remarque : Les grandeurs Is et UT dépendent toutes deux de la température T mais pas de la même façon ; alors que UT est proportionnel à T , Is est proportionnel à T 3 . La fonction logarithmique obtenue avec ce montage n’est donc pas utilisable dans une large gamme de températures. Rappelons qu’on impose aux systèmes électroniques de supporter des plages en température allant de 230 K à 400 K ou plus parfois, comme c’est le cas dans les systèmes chargés de contrôler l’injection dans un moteur thermique. On contourne ce problème, en remplaçant la diode par deux transistors câblés en diode. Ces transistors doivent absolument être appariés, c’est-à-dire fabriqués dans le même substrat semi-conducteur, afin de présenter le même courant de saturation Is (cf. chapitre 9).

283

Amplificateur opérationnel : montages de base ud R ue

−

R

id id

∞

+

ud −

ue

us

∞

+

F IG . 8.30.

us

F IG . 8.31.

III . 10 . — Amplificateur exponentiel L’amplificateur exponentiel ressemble à l’amplificateur logarithmique mais le résistor et la diode ont été permutés (Fig. 8.31). La diode est passante pourvu que la tension ue soit positive et supérieure à sa tension de seuil ; l’égalité des courants, qui parcourent alors la diode et le résistor, donne : 

ud id ≈ I s exp UT



u =− s R

soit



ue us = −RI s exp UT



en inversant la fonction. Ainsi la tension de sortie est proportionnelle à l’exponentielle de la tension d’entrée, d’où le nom de l’amplificateur. Remarque : La présence de la diode à jonction rend ce montage sensible à la température, ce qui devra être compensé (cf. chapitre 9). III . 11 . — Multiplieur Le multiplieur est un système qui fournit à sa sortie une tension u s proportionnelle au produit des deux tensions ue,1 et u e,2 que l’on applique à ses deux entrées : us = K m u e,1 ue,2 où Km est un coefficient homogène à l’inverse d’une tension ; son symbole est représenté sur la figure 8.32. Bien que souvent réalisé à l’aide d’étages à transistors, le multiplieur peut aussi être construit avec des AO, en associant en cascade un amplificateur logarithmique, un amplificateur sommateur et un amplificateur exponentiel. On s’appuie alors sur la relation : a × b = exp(ln a + ln b) , dans laquelle a et b sont deux réels positifs. Ainsi, en l’absence de saturation de l’étage exponentiel, on obtient le produit de deux tensions. Très utilisé dans la transmission des signaux, le multiplieur permet de réaliser notamment la modulation de signaux (cf. chapitre 16). Km u e,1

Km u e,1 ue,2

u e,2 F IG . 8.32.

284

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

Sur la figure 8.33, on distingue aisément les trois étages qui assurent successivement les fonctions logarithme, somme et exponentielle. Les tensions d’entrée u e,1 et ue,2 étant positives, les tensions en A et B , en sortie du montage logarithmique, avec l’interrupteur K ouvert, ont pour expressions respectives :     ue,1 ue,2 et u B = − UT ln uA = − UT ln RI s,1 RIs,2 Tandis qu’en sortie du sommateur inverseur, la tension en P est positive :     ue,1 ue,2 uP = −(u A + uB ) = UT ln + U T ln RIs,1 RIs,2

Si les intensités des courants de saturation sont identiques, I s,1 = I s,2 = Is , ce que l’on réalise en utilisant des diodes appariées, c’est-à-dire fabriquées sur le même substrat, on obtient :   ue,1 ue,2 avec u e,1 > 0 et u e,2 > 0 uP = U T ln R 2Is2 Par conséquent, la tension de sortie du troisième étage, s’écrit, avec K ouvert :      uP ue,1 ue,2 u u soit u s = − e,1 e,2 u s = −RI s exp = −RIs exp ln 2 2 UT R Is RIs

Cependant, cette fonction multiplication n’est pas réalisable en pratique, car on atteint très facilement la tension de saturation du montage. En effet, la faible intensité du courant, de l’ordre de 1 nA , rend le terme quadratique R2I s2 très faible et donc la fonction exponentielle rapidement croissante. R ue,1

−

∞

R A

+

R

uA

K R ue,2

− +

∞

R B

R −

uB

R ∞

+

P

− uP

∞

+

us

F IG . 8.33.

En revanche ce problème disparaît si l’on ferme l’interrupteur, puisque, le facteur d’amplification en tension du montage sommateur valant alors −1/2 , on a :   1 UT u e,1 ue,2 ln uP = − (uA + u B) = 2 2 R2Is2 d’où, l’interrupteur K étant fermé :       uP ue,1 ue,2 1/2 us = −RI sexp = −RIs exp ln UT R2I 2s

et

us = − (ue,1 ue,2 ) 1/2

285

Amplificateur opérationnel : montages de base

Ainsi, en connectant simplement en parallèle une seconde résistance identique à la résistance R de rétroaction négative, on évite la saturation. On obtient alors la fonction racine carrée du produit des deux signaux d’entrée. Une façon de réaliser la fonction multiplication consiste à remplacer le coefficient K m = 1/(RI s) trop grand et donc responsable de la saturation par un coefficient K m plus faible. Pour cela, ajoutons le terme UT ln(RI s /E) en entrée du sommateur inverseur, dans lequel E est la f.e.m d’un générateur stationnaire. La nouvelle expression à la sortie P du sommateur ne fait plus apparaître (RIs )2 mais RIs (Fig. 8.34) : uP = UT [ln(ue,1 ue,2) − 2 ln(RI s)] + UT ln(RIs ) − UT ln(E) = UT ln



ue,1 u e,2 RIs E



Il en résulte la tension suivante à la sortie du multiplieur, dans laquelle figure E à la place de RI s : us = −

u e,1 u e,2 = −Km ue,1 u e,2 E

avec Km = E −1 . Cette fonction multiplieur étant indépendante de UT et Is , elle est en outre peu sensible aux variations de température.

R ue,1

−

∞

R A

+

uA R

R ue,2

∞

− +

R B

+

R E

−

∞

uB

− +

R

∞

P

− uP

+

∞

us

R C F IG . 8.34.

Remarques : 1) Le choix de la résistance R s’effectue en définissant le courant nécessaire à la polarisation des diodes ; la valeur R = 10 kV , très inférieure à l’impédance différentielle d’entrée de l’AO, permet la circulation d’un courant dont l’intensité est de quelques mA . 2) On prendra soin de placer des capacités de découplage sur les tensions d’alimentation des AO afin de limiter l’influence des perturbations inductives entre les composants.

286

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

IV . — RÉALISATION D’IMPÉDANCES À L’AIDE D’AO On utilise souvent les AO pour réaliser des impédances, ou des fonctions d’impédances très utiles dans la conception des filtres actifs ou des oscillateurs. IV . 1 . — Réalisation d’une résistance négative Sur la figure 8.35, on a représenté un système se comportant comme une résistance négative (NIC, en anglais pour Negative Impedance Converter en anglais). On suppose l’AO idéal et R  R2 .

En régime linéaire, la tension différentielle e est nulle, d’où, en utilisant l’additivité des tensions et la division de tension : R ue = R 1ie + u s et u e = us R2 + R Il en résulte, en éliminant us : ue = R1ie +

R2 + R ue R

soit

ue

R2 = −R1 ie R

On en déduit l’impédance équivalente du montage : Ze =

ue R1 = −R ie R2

qui est réelle et négative. En choisissant R1 = R2 et R variable on obtient une résistance négative −R ajustable. R1 ie

ie ∞

S

+ -

ue

us i2

R2

i2

R

F IG . 8.35.

Remarques : 1) Physiquement, on aura compris ici le rôle essentiel de l’AO qui, comme élément actif, puise, dans les sources d’alimentation stationnaire, l’énergie nécessaire pour compenser et dépasser les pertes de puissance électrique par effet Joule. 2) En outre, on aura noté que, pour R1 = R2 , les intensités ie et i2 des courants qui pénètrent dans l’AO par sa sortie S sont égales (Fig. 8.35). Aussi le résistor, de résistance R , est-il parcouru par un courant qui, grâce à l’AO, est orienté dans le sens opposé au sens habituel en l’absence d’AO, d’où l’effet de résistance négative. 3) Un des domaines d’application des résistances négatives est la réalisation d’oscillateurs, dans lesquels on doit compenser les pertes par effet Joule (cf. chapitre 14).

287

Amplificateur opérationnel : montages de base IV . 2 . — Système se comportant comme une impédance

Le montage représenté sur la figure 8.36 est un système qui se comporte comme une impédance. Il est construit autour d’un seul AO, en rétroaction avec les trois dipôles passifs d’admittances Y1 , Y2 , Y3 . L’impédance qui en résulte est le quotient Z e = u e/i e . Y2 Y3

is

ue

ie A

Y1

i1 E

∞

− +

us

F IG . 8.36.

L’AO étant idéal et travaillant en régime linéaire ( e = 0 ), l’application du théorème de Millman au point E donne : uE =

ue Y1 + us Y3 Y1 + Y3

avec uE = u− = 0 d’où u s = −

Y1 ue Y3

Écrivons au point A la loi des nœuds. Il vient, les courants d’entrée dans l’AO idéal étant nuls : ie = i s + i1

d’où i e = (ue − us )Y 2 + u e Y1

En reportant dans cette équation l’expression de us , on trouve :   Y1 Y2 ie = ue Y 2 + + Y1 Y3

d’où



 Y 1Y 2 Ye = Y2 + + Y1 Y3

Suivant la nature des admittances Yi , le montage est un simulateur d’inductance ou de capacité. i) Simulateur d’inductance Si l’on choisit Y1 = 1/R1 , Y2 = 1/R2 , Y3 = jCv , il vient : Ye =

1 1 1 + + R1 R2 jR1 R2Cv

soit

Ye =

1 1 + Re jLe v

avec :

R1R2 et Le = R1 R2C R 1 + R2 Ainsi, l’impédance d’entrée du montage est un résistor de résistance R e placé en parallèle avec une bobine de grande valeur d’inductance L e . Exemple : pour R 1 = R 2 = 1 kV et C = 1 mF , on trouve R e = 500 V et L e = 1 H , ce qui est énorme pour une inductance. ii) Simulateur de capacité Re =

En choisissant Y1 = jCv , Y2 = 1/R2 , Y 3 = 1/R3 , on trouve l’expression suivante de l’admittance d’entrée :   R3 1 Ye = + jCv 1 + R2 R2

288

8. Amplificateur opérationnel : montages de base

ce qui se met sous la forme : 1 Ye = + jC ev avec Re



R3 Ce = C 1 + R2

et

Re = R2



L’impédance d’entrée du montage se présente donc sous la forme d’un résistor, de résistance Re = R 2 , placé en parallèle avec un condensateur de capacité C e = C (1 + R3/R 2) . Exemple : pour R 2 = 1 kV , R3 = 10 kV et C = 1 mF , on trouve R e = 1 kV et Ce = 11 mF , ce qui est une grande capacité. IV . 3 . — Réalisation d’une inductance positive de grande valeur On peut aussi réaliser de grandes impédances à l’aide de la structure connue sous le nom de Convertisseur d’Impédance Généralisée (GIC en anglais pour Generalised Impedance Converter) (Fig. 8.37). Dans les conditions habituelles de fonctionnement de l’AO idéal, on a : ue = u s

Z 1i e = Z2i2

et

Z3 i2 = −Z 4 is

Il en résulte le facteur d’amplification en courant suivant : Ai =

is Z1 Z 3 =− ie Z2 Z 4

Comme us = −Z c is et ue = us , on en déduit l’impédance du montage : Ze =

ue Z1 Z 3 = Zc ie Z2 Z 4

∞

∞

Exemple : si l’on choisit Z1 = Z2 = Z3 = R , Z4 = 1/(jCv) et Z c = r , l’impédance d’entrée est une bobine pure, d’inductance L = RCr . Pour R = 5 kV , r = 0, 5 kV , C = 0, 5 mF , l’inductance vaut 1, 25 H , ce qui est énorme, surtout si l’on songe à l’encombrement d’une bobine réelle, de même inductance.

i2

−

i2

Z4 +

−

ie

Z2 Z 3 +

Z1

ue

is Z c us

F IG . 8.37.

V . — IMPERFECTIONS DE L’AO EN RÉGIME VARIABLE La figure 8.38 représente le schéma constitutif le plus simple d’un AO à transistors bipolaires. On reconnaît successivement : i) en entrée, un étage différentiel de très forte impédance d’entrée, ii) un étage amplificateur,

289

Amplificateur opérationnel : montages de base

iii) un étage de sortie en push-pull (cf. chapitre 7), lequel permet d’augmenter le courant de sortie de l’AO et donne une impédance de sortie très faible. Les différents étages sont réalisés avec des transistors en technologie bipolaire ou CMOS, selon les caractéristiques et les performances souhaitées. Ce montage met en évidence les limites du modèle de l’AO, précisément la saturation en tension |u s|  |U sat | avec |Usat |  U a , la saturation en courant i s  i s,max et la valeur de la fréquence de coupure fc,o due à la présence de capacités.

R

+ u+

Ua

R

Étage différentiel

Étage amplificateur

−

u−

−Ua

Étage push-pull

us

F IG . 8.38.

V . 1 . — Limitation en fréquence et bande passante Dans tous les exemples précédents, l’amplificateur opérationnel était considéré comme un composant idéal caractérisé par la relation simple us = A0 e avec A0 de l’ordre de 105 . En réalité, on a vu que l’AO en boucle ouverte se comportait comme un filtre passe-bas du premier ordre, avec une excellente approximation : A0 A(f ) = 1 + j f /fc,o où fc,o est de l’ordre de 10 Hz . Comme A 0 est très grand, il est quasiment impossible de déterminer expérimentalement le diagramme de Bode de l’AO, c’est-à-dire son gain en tension et sa phase en fonction de lg f . En revanche, on peut illustrer la limitation spectrale d’un AO en boucle fermée avec rétroaction négative. Dans le cas d’un montage non inverseur avec le couple de résistances, 1 kV et 100 kV , le facteur d’amplification en tension vaut Au = 100 , c’est-à-dire que Gu = 40 dB . En faisant varier la fréquence du signal d’entrée sinusoïdal, on remarque que ce montage ne remplit sa fonction que dans un intervalle de fréquences du signal d’entrée. Pour l’AO type LM741C, le facteur d’amplification est encore de 100 à f = 1 kHz , mais il ne vaut plus que 59 à f = 15 kHz (Fig. 8.39a) et 11 à f = 150 kHz (Fig. 8.39b) ; cette décroissance se poursuit aux fréquences plus élevées. En outre, dès que le gain n’est plus égal à 100 , apparaît un déphasage entre le signal de sortie et le signal d’entrée qui se stabilise vers −p/2 rad .

En utilisant l’OPA 2604, on observerait le même phénomène, mais déplacé vers les hautes fréquences. Ce résultat montre l’influence de la fréquence de coupure fc,o de l’AO, en boucle ouverte, sur le montage de l’AO en boucle fermée par rétroaction négative.

290

0,07

8. Amplificateur opérationnel : montages de base u e (V)

u s (V)

0,07

ue (V)

us (V)

4,15 us

us

0,79 t

t ue

T = 66 ms

T = 66 ms

ue

a)

b) F IG . 8.39.

Une expression réaliste de la fonction de transfert de l’AO en boucle fermée, encore de type filtre passe-bas, est la suivante : T (f ) =

T(0) 1 + j f /fc,r

où fc,r et T(0) représentent respectivement, la fréquence de coupure et le facteur d’amplification stationnaire du montage en boucle fermée ; ces quantités dépendent des paramètres de l’AO et des éléments de rétroaction. Par exemple, les mesures ont donné : pour AO LM741 T(0) = 100

et

f c,r = 15 kHz

pour AO type OPA 2604 T(0) = 100 et

fc,r = 200 kHz

Remarque : Dans le tracé expérimental des diagrammes de Bode, la courbe de phase est essentielle pour s’assurer que le système étudié n’est pas un déphaseur pur, lequel est de la forme : T d (f ) =

1 − j f /f 1 1 + j f /f 1

pour lequel

|Td (f )| = 1

a) Limitation en fréquence du montage suiveur Sur la figure 8.40a, on a représenté un montage suiveur dans lequel l’AO a pour fonction de transfert, en boucle ouverte : A0 A(f ) = 1 + j f /fc,o À l’aide du schéma équivalent de la figure 8.40b, l’application des lois sur les tensions permet d’écrire : i= d’où :

ue − us u − Ae = e = Re Re + R s

ue − A (ue − u s) u e − us = Re + R s Re

avec

et

e = u + − u− = u e − u s us =

ARe + Rs ue Re (1 + A) + Rs

291

Amplificateur opérationnel : montages de base

+ Rs

Re

e ue

Ae

−

i

S

S

Rs

us

ue

us

e Re

Ae

i a)

b) F IG . 8.40.

Comme Re  Rs par conception de l’AO, la relation précédente se simplifie selon : A us A us = ue d’où T (f ) = = ue 1+A 1+A Ainsi, en remplaçant A par son expression fonction de la fréquence, on trouve : T(f ) =

A0 1 + A0 + j f /fc,o

ce qui s’écrit aussi

T (f ) =

T(0) 1 + j f /fc,r

avec : T(0) =

A0 ≈1 1 + A0

et

fc,r = fc,o (1 + A 0)

soit

fc,r ≈ f c,o A 0 si

A0  1

Notons que le produit du facteur d’amplification stationnaire par la bande passante à −3 dB se conserve entre l’AO en boucle ouverte et l’AO en boucle fermée : T (0) × f c,r = A0 × fc,o

avec T(0) ≈ 1

On en déduit la nouvelle fréquence de coupure à −3 dB , selon : fc,r ≈ A 0 fc,o b) Limitation en fréquence du montage amplificateur inverseur Considérons le montage amplificateur inverseur avec l’AO réel (Fig. 8.41). En supposant l’AO idéal, on avait établi l’expression suivante du facteur d’amplification : Au =

us R2 =− ue R1

Appliquons le théorème de Millman successivement aux points S et E de ce montage, dans lequel l’AO est réel : i) au point S Ae/R s − e/R 2 us = =e 1/Rs + 1/R 2



AR2 − R s Rs + R 2



≈ Ae puisque

R2  R s

ii) au point E , en négligeant le courant de polarisation sur l’entrée inverseuse de l’AO : −e =

ue /R1 + u s/R2 1/R 1 + 1/R 2

292

8. Amplificateur opérationnel : montages de base R2

is ie

R1 E e

ue

∞

− Re +

Rs S Ae

us

F IG . 8.41.

On en déduit le facteur d’amplification : us AR2 =− ue R1 (1 + A) + R 2 soit : T(f ) =

T(0) 1 + j f /fc,r

avec T(0) = −

A 0R2 R2 ≈− R 1(1 + A 0) + R 2 R1

et fc,r =

A 0 fc,o A0 fc,o = 1 + R2/R1 1 + |T (0)|

Remarque : Pour R1 = R2 = R , avec R de l’ordre de quelques kV compatible avec la non-saturation en courant, on obtient un facteur d’amplification stationnaire T(0) = −1 et une fréquence de coupure f c,r = (A 0 fc,o)/2 . Ce montage se comporterait donc comme un montage suiveur inverseur, avec une bande passante à −3 dB deux fois plus faible que celle relative au montage suiveur. V . 2 . — Vitesse maximale de balayage a) Mise en évidence Appliquons à l’entrée d’un montage amplificateur non inverseur, pour lequel A u = 10 , un signal de forme carrée, d’amplitude fixée. Si on augmente la fréquence du signal d’entrée, on constate, à partir d’une certaine valeur, que le signal de sortie se déforme pour prendre une forme trapézoïdale avec des pentes finies, environ 20 V · ms−1 pour un AO TL081 et 0, 5 V · ms−1 pour un AO LM741 (Fig. 8.42). Ainsi, en valeur absolue, la pente d u s/ d t du signal de sortie, qui représente la vitesse de variation du signal us (t) , est limitée par une valeur v m finie :    d us     vm max  dt 

Cette vitesse vm est appelée la vitesse maximale de balayage. Comme les droites de montée ou de descente du signal ne sont plus verticales, on dit de façon imagée qu’elles ont subi un pivotement autour du point de variation de la tension, d’où le nom anglais slew rate qui signifie vitesse de pivotement. Pour un signal sinusoïdal de fréquence f i (Fig. 8.43), ue = u e,m cos(2pfi t) , la réponse d’un montage de fonction de transfert T (f ) a pour expression : u s(t) = |T (fi )|u e,m cos (2pfit + f s )

293

Amplificateur opérationnel : montages de base u e (V)

ue

10 ue

us T = 92 ms

u s (V)

1

10

1

−1

u e (V)

us (V)

−10

us

−1

−10 t

t

F IG . 8.42.

F IG . 8.43.

dans laquelle |T (fi )| est le module de la fonction de transfert de l’AO en boucle fermée, à la fréquence fi , et f s l’argument de T (fi ) . La non-saturation en vitesse implique : 2pf i ue,m |T (f i)| < v m d’où la contrainte à respecter sur l’amplitude du signal d’entrée : ue,m
= 0 et C e,b =< e(t ; L) b∗ (t − t ; L) >= 0

552

17. Signaux aléatoires et bruits

III . 1 . — Transfert d’un processus aléatoire dans un système linéaire La relation de convolution bien connue, entre l’entrée et la sortie d’un système linéaire (cf. chapitre 15), se transpose directement aux signaux, sous la forme :  ∞ s(t ; L) = e(t ; L)h(t − t ) d t −∞

dans laquelle la réponse impulsionnelle h(t − t ) est une fonction déterministe. Il en résulte, dans le domaine spectral, en omettant de souligner les grandeurs complexes : s(f ; L) =  h(f )  e(f ; L)

a) Relation entre les puissances spectrales à la sortie et à l’entrée En multipliant l’équation précédente par sa conjuguée et en calculant la moyenne d’ensemble du produit, on en déduit l’équation entre les puissances spectrales Se (f ; L) et S s(f ; L) des signaux d’entrée et de sortie, respectivement : | s(f ; L)| 2 = |h(f )| 2 | e(f ; L)| 2 d’où

S s(f ; L) = | h(f )| 2Se (f ; L)

On en déduit alors la fonction d’autocorrélation à la sortie en prenant sa transformée de Fourier inverse. Exemple : appliquons une tension aléatoire u e (t ; L) , de fonction d’autocorrélation Ce (t) = A exp(−a|t|) , à l’entrée d’un filtre RC comme le montre la figure 17.5 ; la tension de sortie est celle mesurée aux bornes du condensateur, de capacité C . On sait que la fonction de transfert d’un tel filtre a pour expression (cf. chapitre 6) :  h(f ) =

1 1 + j f /fc

avec f c =

1 2pRC

d’où | h(f )| 2 =

1 1 + (f /fc)2

On déduit la puissance spectrale Se (f ) en prenant la TF de Ce (t) . On obtient (cf. chapitre 15) :  ∞  ∞ 1 Se (f ) = exp(−a|t|) exp(−j2pf t) d t = 2Aa 2 Ce (t) exp(−j2pf t) d t = A a + 4p2 f 2 −∞ −∞ Par conséquent : S s(f ) = 2Aa

1 1 2A 1 1 = 2 2 2 2 2 a 1 + (f /fc ) 1 + (f /fc ) 2 1 + (f /fc ) a + 4p f

en posant fc = a/(2p) . On peut récrire Ss (f ) sous la forme plus commode :   2A K K + S s(f ) = a 1 + (f /fc )2 1 + (f /f c ) 2 Les deux coefficients K et K s’obtiennent en identifiant les deux expressions de la puissance spectrale en sortie. On trouve :  2 1 1 fc  et K = −  K=  2 1 − (fc/f c ) 1 − (f c /f c ) 2 fc d’où :

2A/a S s(f ) = 1 − (f c /fc )2



(fc /fc )2 1 − 1 + (f /fc) 2 1 + (f /f c )2



553

Signaux aléatoires et bruits

En prenant la TF inverse, on trouve la fonction d’autocorrélation associée à la tension de sortie u s :    2 A/a fc 2pfc exp(−2pfc |t|) −  2pfc exp(−2pf c|t|) Cs (t) = 1 − (fc /f c)2 fc C2 R e(t ; L)

R1 R2

E

s(t ; L)

C

C1

F IG . 17.5.

F IG . 17.6.

b) Circuit RC alimenté par un générateur de bruit Alimentons un circuit RC à l’aide d’un générateur de bruit blanc, lequel impose une tension d’entrée de la forme e(t ; L) (Fig. 17.5). La tension de sortie s(t ; L) est celle mesurée aux bornes du condensateur. On sait que (cf. chapitre 6) : T(f ) =

1 1 + j f /fc

avec fc =

1 2pRC

Comme la fonction de transfert  h(f ) s’identifie à T (f ) et que le bruit est blanc, il vient : Se(f ; L) =

b/2 b d’où Ss (f ; L) = |h(f )|2S e(f ; L) = 2 1 + f 2/fc2

On en déduit la fonction d’autocorrélation associée au signal de sortie en prenant la TF inverse (cf. annexe 2) :  b b/2 exp( j 2p f t ) d f d’où C exp(−2pf c t) Cs (t) = (t) = s 1 + f 2/f c2 4RC et la variance Cs (0) = s2s = C s(0) = b/(4RC) . En électronique, on peut réaliser simplement un générateur de bruit à l’aide de composants tels qu’un conducteur ohmique porté à une certaine température ou une diode. Dans ce dernier cas, le phénomène est plus complexe, mais la puissance du bruit est plus grande. Sur la figure 17.6, on a représenté un générateur de bruit à diode Zener, que l’on utilise à faible fréquence ; la capacité C1 sert à éliminer de la sortie le bruit de la tension d’alimentation stationnaire, alors que la capacité C2 permet, elle, de bloquer en sortie toute composante stationnaire. Avec la résistance R2 on ajuste la résistance de sortie du générateur, alors qu’avec la résistance R 1 , on règle la puissance du bruit en sortie. Évidemment, la f.e.m E du générateur doit être supérieure à la tension Zener. III . 2 . — Bande équivalente de bruit d’un système Tout système linéaire est caractérisé par une fonction de transfert T (f ) , de bande spectrale B à −3 dB , dont le module |T(f )| passe par la valeur maximale |T |M . Soumettons-le, à l’entrée, à un

554

17. Signaux aléatoires et bruits

générateur de bruit de puissance spectrale Sb,e (f ) . La puissance spectrale de la réponse qu’il en donne à la sortie a pour expression, d’après ce qui a été déjà vu : 2

Sb,s (f ) = |T (f )| Sb,e (f ) d’où la puissance totale du signal en sortie : 

B

Sb,e |T (f )|2 d f

Comme les bruits sont d’origines différentes, il est commode, pour simplifier, de les assimiler à des bruits blancs dans une certaine bande spectrale Be , appelée bande équivalente de bruit, définie conventionnellement par la relation : 

b S b,e |T (f )| d f = 2 B 2



B

b |T (f )| d f = |T |2M × Be 2 2

d’où

1 Be = |T |2M



B

|T (f )| 2 d f

Ainsi, la bande équivalente de bruit Be d’un système est la largeur spectrale du système idéal, de fonction de transfert |T| M , qui transmettrait la même puissance de bruit que le système réel. Exemple : calculons la bande équivalente de bruit pour un filtre passe-bas, d’ordre 1, de fonction de transfert : T(0) T (f ) = 1 + j f /f c Il vient : Be = ce qui donne, en intégrant :

1 2 |T (f )| M

Be = f c





0

∞

2

|T (f )| d f =



  ∞ f p arctan = fc 2 fc 0

∞ 0

1 df 1 + (f /fc )2

soit

Be =

pB 2

puisque fc définit la bande passante B à −3 dB de ce filtre passe-bas. III . 3 . — Rapport signal sur bruit Dans les systèmes, le rapport signal sur bruit RSB est défini par le rapport des puissances respectives du signal et du bruit. Lorsque les signaux sont aléatoires, ce rapport est celui des puissances spectrales associées au signal et au bruit. Comme le bruit est supposé à valeur moyenne nulle, sa puissance spectrale s’identifie à sa variance. Il en est de même pour le signal d’entrée si ce dernier est aléatoire et si sa valeur moyenne est nulle. Remarque : Si le signal est déterministe, la puissance spectrale se réduit au carré de l’amplitude du signal (cf. chapitre 15). a) Rapport signal sur bruit en modulation d’amplitude Rappelons qu’en modulation d’amplitude, le signal modulé avec porteuse se met sous la forrme (cf. chapitre 16) : s(t) = a p,m[1 + m gi (t)] cos (vp t)

avec

m  1 et |gi (t)|  1

555

Signaux aléatoires et bruits

gi (t) étant le signal contenant l’information à transmettre. En présence d’un bruit blanc additif b(t ; L) , de variance s2b , le signal reçu par le récepteur a pour expression : r(t ; L) = a p,m [1 + mg i (t)] cos (v pt) + b(t ; L)

avec s2b =

b b × Df = × 2B × 2 = 2bB 2 2

car d’une part la largeur spectrale à considérer, autour de la fréquence de l’onde porteuse, est le double de la bande passante B du signal modulé s(t) , d’autre part, dans l’espace de Fourier, la puissance spectrale comporte une partie centrée autour de la fréquence négative −fp . La puissance spectrale S i , associée au signal d’information g i (t) , est seulement affectée du facteur a2p,m m2 , si le système est muni d’un démodulateur cohérent qui supprime la porteuse. On en déduit le rapport signal sur bruit : RSB =

a 2p,m m 2S i s 2b

soit

a2p,m m2Si RSB = 2bB

Exemple : un système à modulation d’amplitude (AM) est caractérisé par une tension de la porteuse d’amplitude ap,m = 50 mV et un facteur de modulation m = 0, 8 . Le spectre du signal modulant s’appuie sur une largeur spectrale B = 5 kHz et sa puissance spectrale est S i = 0, 5 V 2 · Hz−1 . Le système est affecté d’un bruit thermique, additif, de puissance spectrale b/2 = 5 × 10 −10 W · Hz−1 . Le rapport signal sur bruit vaut donc : RSB =

2 500 × 10−6 × 0, 64 × 0, 5 = 80 2 × 10−9 × 5 × 103

soit, en dB, 10 × lg 80 = 19 dB (cf. chapitre 6).

b) Rapport signal sur bruit en modulation de fréquence 16) :

On sait qu’en modulation de fréquence, le signal modulé par l’information s i (t) s’écrit (cf. chapitre s(t) = ap,m cos[v pt + f(t )] avec

f i − fp =

1 d f(t) = kf s i (t) 2p d t

À l’entrée du récepteur, le signal, qui est entaché d’un bruit additif, a pour expression : r(t ; L) = s(t) + b(t ; L)

avec

b(t ; L) = b m(t ; L) cos[vp t + fb (t ; L)]

En notation complexe, il vient : r(t ; L) = a p,m exp j[v pt + f(t )] + b m(t ; L) exp j[v pt + f b(t ; L)] = r m (t ; L) exp(jvp t) avec : rm (t ; L) = a p,m exp[jf(t)] + b m(t ; L) exp[jfb (t ; L)] = r m(t ; L) exp[ju(t ; L)] On en déduit : exp[ju(t ; L)] =

ap,m b m(t ; L) exp[jf(t)] + exp[jf b(t ; L)] rm (t ; L) rm(t ; L)

soit, puisque |bm(t ; L)|  a p,m et donc rm (t ; L) ≈ ap,m : exp[ju(t ; L)] ≈ exp[jf(t)] +

bm (t ; L) exp[jf b(t ; L)] ap,m

556

17. Signaux aléatoires et bruits

En développant u(t ; L) autour de f(t) , on trouve : exp[ju(t ; L)] ≈ exp[jf(t)] + j[u(t ; L) − f(t)] exp[jf(t)] ce qui donne, en identifiant ce dernier terme avec celui de l’expression précédente : u(t ; L) = f(t) − j

bm(t ; L) exp[jfb(t ; L)] exp[−jf(t)] ap,m

soit, en prenant la partie réelle : u(t ; L) = f(t) +

bm(t ; L) sin[fb(t ; L) − f(t)] ap,m

puisque les grandeurs angulaires sont réelles. La moyenne d’ensemble peut alors s’écrire, en introduisant le nouveau terme de bruit b(t) : b(t) u(t) = f(t) + ap,m ce qui donne en modulation de fréquence : du df 1 db 1 db = 2pk f si (t) + = + dt dt ap,m d t ap,m d t Le rapport signal sur bruit s’obtient en effectuant le rapport des spectres de puissance des deux termes du second membre. Comme la dérivée de b(t) par rapport au temps fait apparaître la pulsation v du signal de bruit, on trouve les contributions suivantes : S(f ) =

4p 2k2f S i(f )

et

Bf (f ) =

1 a2p,m

v2 Sb (f ) =

4p2 2 f Sb(f ) a2p,m

On détermine la puissance totale du bruit en sommant sur toutes les fréquences comprises entre −B et B , B étant la bande passante de bruit. Il vient, en supposant que Sb (f ) = b/2 et en tenant compte de la même contribution des fréquences négatives dans le spectre :  B  B  4p2b B 2 4p2 b f 3 8p2B 3b f df = 2 = Bf d f = 2 B=2 ap,m −B a p,m 3 −B 3a 2p,m −B Finalement, en modulation de fréquence, le rapport signal sur bruit S /B a pour expression : RSB =

3a 2p,m k2f Si 2bB3

Exemple : un système à modulation de fréquence (FM) est caractérisé par un coefficient de modulation de fréquence de kf = 25 kHz · V −1 . Supposons que, comme en modulation d’amplitude, l’amplitude de la tension de la porteuse soit a p,m = 50 mV , que le spectre du signal modulant s’appuie sur une largeur spectrale B = 5 kHz et que sa puissance spectrale vaille Si = 0, 5 V2 · Hz −1 . Le bruit étant blanc, additif, de puissance spectrale b/2 = 5 × 10−10 W · Hz−1 , on en déduit le rapport signal sur bruit suivant : RSB =

3a2p,m k 2f Si 2bB3

=

3 × 2 500 × 10 −6 × 625 × 10 6 × 0, 5 = 9 375 2 × 10 −9 × 125 × 10 9

soit 10 × lg(9 375) = 39, 72 dB . Ainsi, dans des conditions comparables, RSB est bien plus grand qu’en modulation d’amplitude. C’est précisément là l’un des intérêts de la modulation de fréquence.

557

Signaux aléatoires et bruits

IV . — BRUIT DANS LES COMPOSANTS Le bruit dans les circuits électroniques est directement relié au bruit des composants avec lesquels on les réalise. Pour étudier son influence, on associe à ces composants des tensions ou des courants de bruit égaux à la racine carrée de leurs variances, les valeurs moyennes de bruit étant en général nulles. La puissance d’un signal de bruit b(t ; L) , tension ou courant, s’obtient en calculant sa variance :  ∞ 2 2 sb = b (t ; L) = Cb(0) avec C b(0) = Sb (f ) d f −∞

S b(f ) étant la puissance spectrale de bruit. L’écart-type correspondant est :   1/2 1/2 sb = Cb (0) = b2 (t ; L)

Exemple : calculons s 2b , pour un bruit b qui varie entre les valeurs symétriques A/2 et −A/2 , avec une densité de probabilité p(b) uniforme. Il vient, puisque cette densité vaut 1/A : Cb(0) =

s 2b



A/2

1 p(b)b d b = = A −A/2 2



b3 3

A/2

−A/2

=

A2 12

d’où s b ≈

A 3, 46

Si, en outre, ce bruit est blanc dans l’intervalle Df , alors : Cb(0) = Sb Df

et

Sb =

Cb(0) A2 s2 = b= Df Df 12Df

IV . 1 . — Tension de bruit et courant de bruit dans un dipôle passif Rappelons qu’un dipôle passif est décrit soit par son impédance Z = R +jX soit par son admittance Y = G + jB . Les fluctuations de tension ou de courant dans ce dipôle sont produites par des sources internes de bruit thermique. On prend en compte ces sources en ajoutant soit une source de tension b u , soit une source de courant bi , d’expressions respectives : bu = s u = (4kB T RDf )1/2 = (4kB T Df Re{Z }) 1/2 et :

b i = si = (4kB T GDf )1/2 = (4kBT Df Re{Y })1/2

T étant sa température en kelvin et Df la bande spectrale considérée. En effet, on passe de la première expression à la seconde aisément : bi =

bu R

donne

s 2i =

4k BT Df s2u = 4k BT G Df = 2 R R

Exemple : pour étudier le bruit dans un dipôle RC , on associe à R une source de tension de bruit, bu (Fig. 17.7) ; le bruit étant blanc, la puissance spectrale de b u s’écrit simplement : Su,f =

Cb(0) s2 = u = 4kB T R Df Df

La tension de bruit bu,C aux bornes du condensateur s’obtient par division de tension : bu,C = bu

1/(jCv) 1 = bu R + 1/(jCv) 1 + j f /fc

avec f c =

1 2pRC

558

17. Signaux aléatoires et bruits

R C bu F IG . 17.7.

On déduit le carré de la tension de bruit, aux bornes du condensateur, en sommant la puissance spectrale |b u,C|2 sur tout le domaine spectral :  ∞  ∞  ∞ 1 1 2 2 su,C = d f = 4kBT R f c dx |bu,C | d f = 4kBT R 2 2 1 + f /fc 1 + x2 0 0 0 Par conséquent : s 2u,C

∞ 2 kB T  k T = = B arctan x p C 0 C

et

bu,C = su,C =



kB T C

1/2

Ce résultat est bien homogène à une tension, puisque kB T a la dimension d’une énergie et C celle d’une énergie divisée par le carré d’une tension. Ordre de grandeur : pour T = 290 K et C = 1 mF , on trouve s u,C = 63 nV . Remarques : 1) La puissance de bruit s 2u,C s’exprime en V 2 et non en W , car, conformément à l’usage en électronique, nous avons systématiquement assimilé la puissance du signal au carré de la tension ou du courant associés, ce qui revient à supposer que cette puissance serait dissipée dans un conducteur ohmique, de résistance R = 1 V . 2) Dans l’exemple précédent, la puissance trouvée augmente lorsque C diminue. Elle devient donc infinie, lorsque C devient nul, c’est-à-dire en l’absence de C , ce qui est irréaliste. On résout ce paradoxe en rappelant que l’expression de la tension de bruit due au résistor est valable dans le seul domaine des fréquences suffisamment faibles : hf /(kB T)  1 .

3) Mise sous la forme Cb2u,C /2 = kB T/2 l’expression donnant la tension de bruit, permet de vérifier le théorème de l’équipartition de l’énergie (cf. Thermodynamique).

IV . 2 . — Bruit dans les amplificateurs opérationnels Comme les différents bruits sont généralement indépendants, et donc sans corrélation entre eux, le bruit qui affecte une grandeur physique d’un circuit, tension ou courant, s’obtient en exprimant cette grandeur en fonction des signaux de bruit, et en sommant les variances des différentes contributions. Les circuits avec AO fournissent un bon exemple d’illustration du calcul du bruit dans un circuit. a) Bruit interne de l’AO Ce sont les imperfections de l’AO, tension de décalage et courants de polarisation (cf. chapitre 9) qui sont à l’origine de tensions et courants de bruit. Les puissances spectrales associées S u(f ) et Si (f ) s’expriment respectivement en V2 · Hz −1 et en A2 · Hz −1 . Sur des graphes représentant lg Su et lg S i en fonction de lg f , on distingue : i) à grande fréquence, une asymptote parallèle à l’axe des abscisses, caractéristique d’un bruit blanc, de grenaille ou thermique, ii) à faible fréquence, une asymptote de pente égale à −1 , caractéristique d’un bruit en 1/f , puisque lg(1/f ) = − lg f .

559

Signaux aléatoires et bruits

En pratique, les constructeurs fournissent une documentation technique dans laquelle les graphes représentent, non pas les puissances spectrales de bruit en fonction de lg f , mais leurs racines carrées, 1/2 1/2 Su ou S i , qui s’expriment en V · Hz−1/2 ou en A · Hz −1/2 , afin de faire apparaître explicitement une tension ou un courant (Fig. 17.8). 1/2

10

1/2

Su

10

Si

2 1

5

0,4 1 0,01

0,1

1

0,01

f ( kHz)

0,1

a)

1

f ( kHz)

b) F IG . 17.8.

L’intersection des deux asymptotes définit la fréquence f i dite d’intersection. Les tensions et les courants de bruit internes à l’AO, que l’on associe à la tension de décalage et aux courants de polarisation, peuvent alors se mettre sous les formes respectives suivantes :     fi fi et Si = Si,b 1 + Su = Su,b 1 + f f

Su,b et Si,b étant les grandeurs relatives à la puissance spectrale du bruit blanc. Très souvent, f i est faible devant la fréquence f du bruit, ce qui justifie l’assimilation de ces signaux à des bruits blancs. La puissance spectrale de bruit, en tension ou en courant, dépend de la technologie de fabrication. Pour l’OPA 27, qui est un AO à transistors bipolaires et à faible bruit, les puissances spectrales de bruit valent respectivement : Su,b = 9 nV 2 · Hz −1 et

S i,b = 0, 16 pA2 · Hz−1

Pour l’OPA 2604, dont l’AO est constitué de transistors FET, on a : Su,b = 100 nV2 · Hz −1

et

S i,b = 36 fA 2 · Hz−1

Enfin, pour l’AO LM 741, S u,b = 441 nV 2 · Hz −1 . On voit que, pour un montage à niveau de bruit imposé, le choix de l’AO est décisif. b) Bruit externe de l’AO dans un montage amplificateur non inverseur Pour comparer les performances des deux AO précédents, de types OPA 27 et OPA 2604, déterminons le bruit dans un montage, de gain fixé, que l’on utilise pour amplifier un signal audio avant sa numérisation, Le Produit Amplification-Bande passante, brièvement PAB , que l’on appelle aussi gain unitaire ou fréquence de transition, diffère d’un AO à l’autre : PAB = 8 MHz

pour l’OPA 27

PAB = 20 MHz

pour l’OPA 2604

Par conséquent, à gain stationnaire de 40 dB , ce qui correspond à un facteur d’amplification en tension Au = 100 , les montages à rétroaction ont des bandes passantes à −3 dB différentes :

560

17. Signaux aléatoires et bruits

i) fc = PAB/Au = 80 kHz pour l’OPA 27, ce qui reste en conformité avec la contrainte de bande passante du signal audio, ii) f c = PAB/Au = 200 kHz pour l’OPA 2604, ce qui est largement supérieur aux 20 kHz nécessaires à un signal audio. La bande équivalente de bruit B e = fcp/2 diffère donc d’un AO à l’autre : B e ≈ 125 kHz

pour l’OPA 27

et

B e ≈ 314 kHz

pour l’OPA 2604

Sur la figure 17.9, on a représenté un montage amplificateur non inverseur avec ses sources de bruit. Plaçons-nous dans l’hypothèse déjà évoquée où l’influence du bruit en 1/f est négligeable devant celle du bruit blanc. Le gain en tension imposé de 40 dB est obtenu par les résistances R1 = 1 kV et R2 = 100 kV , alors que la résistance R3 = R 1R 2 /(R1 + R2) ≈ 1 kV permet de diminuer l’influence de la tension de décalage produite par les courants de polarisation (cf. chapitre 9). On distingue sur la figure : i) les courants de bruits internes à l’AO, b i,b+ et bi,b− , associés aux courants de polarisation de l’entrée non inverseuse et de l’entrée inverseuse, ainsi que la tension de bruit b u,d correspondant à la tension de décalage, ii) les bruits externes à l’AO, associés aux résistances R 1 , R 2 , R 3 du montage, respectivement bu,1 , bu,2 , bu,3 , supposés indépendants. R2 R1

B

b u,1

F bi,b−

− +

b u,d R3

ue

bu,2

us

E bi,b +

bu,3

F IG . 17.9.

Exprimons la tension de sortie u s en fonction de celle d’entrée u e et des générateurs de bruit, en régime linéaire. Égalons les tensions aux entrées inverseuse F et non inverseuse E . Il vient, en utilisant le théorème de Millman au nœud F : uF = uB + bu,d

avec uB =

bu,1 /R1 + (us − bu,2 )/R 2 + b i,b− 1/R1 + 1/R2

Ce même théorème, appliqué au nœud E , donne : uE =

(bu,3 + ue )/R3 + b i,b+ 1/R3

L’égalité des tensions uF = u E fournit alors l’équation : bu,d +

R 2bu,1 + R1 (us − b u,2 ) + R 1 R2 bi,b− = bu,3 + u e + R3b i,b+ R 1 + R2

561

Signaux aléatoires et bruits

ce qui donne, en ordonnant et en simplifiant :     R2 R2 R2 us = 1 + ue + bu,s où bu,s = 1 + (bu,3 + R 3 bi,b+ − b u,d) + b u,2 − b u,1 − R2b i,b− R1 R1 R1 représente la tension de bruit en sortie. Comme R3 = R 1R 2/(R1 + R2 ) , cette tension de bruit s’écrit aussi :   R2 R bu,s = 1 + (bu,3 − bu,d ) + R2(bi,b+ − bi,b− ) + bu,2 − 2 bu,1 R1 R1 Les sources de bruit étant indépendantes, la variance du bruit est la somme des variances de chacun des termes :  2  2 R2 R2 2 2 2 2 2 2 2 su,s = 1 + s 2u,1 (su,3 + s u,d ) + R2(si,b+ + s i,b− ) + su,2 + R1 R1 ce qui donne en remplaçant s2u,i par 4kB T Ri Df dans le cas des résistances : s2u,s



R2 = 1+ R1

2



4k B T R3 Df +

s2u,d



+ R22 s2i,b−

+

R22s2i,b+

+



R2 R1

2

4k BT R 1 Df + 4kB T R2 Df

Si l’on tient compte de la relation de R3 = R 1R 2/(R1 + R 2) , le premier terme du second membre se met sous l’autre forme suivante :     R2 2 R2 1+ (4kB T R3 Df ) = 1 + 4kB T R2 Df R1 R1 Distinguons, dans l’expression de b u,s , ce qui est uniquement dû aux résistances du montage, du reste. Il vient :   R2 2 2 2 2 1/2 2 avec su,ao = 1 + b u,s = (s u,r + su,ao ) su,d + R22(s 2i,b− + s 2i,b+) R1 et : s2u,r

   2    2 R2 R2 R2 R2 2 4kBT R2 Df + 4k B T R1 Df = 2 + = 2+ su,2 + s2u,1 R1 R1 R1 R1

Dans notre exemple, on trouve les résultats suivants, lorsque R1 = 1 kV et, R2 = 100 kV . i) Pour l’OPA 27, avec Df = B e = 125 kHz , les bruits internes sont : s2u,d = S u,b × Df = 1, 125 × 10 −12 V2

s2i,b+ = s 2i,b− = S i,b × Df = 2 × 10 −20 A2

et

alors que les bruits externes, à T = 300 K , valent : s2u,1 = 4k B T R1 Be = 2, 07 × 10−12 V2

et

s2u,2 = 4k BT R2 Be = 2, 07 × 10−10 V2

Ainsi, la puissance spectrale du bruit total en sortie, dans ce montage amplificateur non inverseur, de gain 40 dB ( 20 lg(R2 /R1) = 20 lg 100 ), est la somme de la puissance spectrale de bruit externe à l’AO qui vaut s2u,r = 4, 18 × 10−8 V2 , et de la puissance spectrale de bruit interne s2u,ao = 1, 18 × 10−8 V2 . On en déduit : bu,s = (s2u,r + s2u,ao )1/2 = (5, 36 × 10−8 ) 1/2 ≈ 0, 23 mV ii) Pour l’OPA 2604, avec Df = B e,2 = 314 kHz , on obtient pour les bruits internes : s 2u,d = 3, 14 × 10−11 V 2

et

s2i,b+ = s 2i,b− = Si,b × Df = 1, 13 × 10 −23 A 2

562

17. Signaux aléatoires et bruits

Quant aux bruits externes, à T = 300 K , ils sont donnés par : s 2u,1 = 4k B T R1Be,2 ≈ 5, 2 × 10−12 V2

et

s2u,2 = 4k BT R2 Be,2 ≈ 5, 2 × 10−10 V 2

On en déduit la puissance spectrale du bruit externe de cet AO, s 2u,r ≈ 10, 5 × 10−8 V 2 et la puissance spectrale de bruit interne s2u,ao = 32 × 10 −8 V2 , d’où la tension totale de bruit : bu,s = (s2u,r + s2u,ao )1/2 = (42, 5 × 10−8 ) 1/2 ≈ 0, 65 mV Remarques : 1) Un système électronique analogique, de niveau de bruit très faible, c’est-à-dire inférieure à 1 mV , est coûteux à la fois dans sa conception et dans sa réalisation. 2) En supposant une numérisation préalable de la tension d’entrée de ce montage amplificateur, à l’aide d’un CAN 16 bits, lequel accepte des tensions comprises entre 0 et 5 V , avec un pas de conversion D = 5/216 ≈ 76 mV (cf. chapitre 19), le bruit représenterait, avec l’OPA 2604 une perte des 3 derniers bits de conversion !

CONCLUSION Rappelons les définitions et les résultats essentiels. 1) Un signal aléatoire, dépendant du temps t , se met sous la forme s(t ; L) , L étant une variable statistique. 2) Un processus aléatoire s(t ; L) est stationnaire au sens large, jusqu’à l’ordre deux, si : s(t ; L)

et

s(t ; L) s∗ (t − t ; L)

ne dépendent pas du temps t . Il est ergodique jusqu’à l’ordre deux si les moyennes simples et quadratiques dans le temps sont égales aux moyennes statistiques correspondantes. 3) La fonction d’autocorrélation C(t) du signal aléatoire stationnaire s(t ; L) est : C(t) = s (t ; L) s ∗(t − t ; L) Quant à la fonction d’intercorrélation de deux signaux aléatoires stationnaires s 1(t ; L) et s2(t ; L) , elle s’écrit : C12 (t) = s 1(t ; L) s∗2 (t − t ; L) 4) La puissance spectrale d’un signal aléatoire s(t ; L) est définie selon : 1 |sT (f ; L)| 2  T→∞ T

S s(f ) = lim

Elle est reliée à la fonction d’autocorrélation par une relation de transformation de Fourier : ∞ Ss (f ) = Cs(t) exp(−j2pt) d t soit S s(f ) =  Cs (f ) −∞

5) On distingue différents types de bruit :

i) le bruit blanc caractérisé par un spectre de puissance S b (f ) indépendant de la fréquence, ii) le bruit rose, pour lequel S b(f ) est constant pour f < f c et nul au-delà,

563

Signaux aléatoires et bruits

iii) le bruit gaussien dont l’amplitude b est répartie autour d’une valeur moyenne b m selon une courbe de Gauss, iv) le bruit poissonnien pour lequel la loi de probabilité discrète à laquelle il satisfait est celle de Poisson, soit P m = x m /(m!) exp(−x) 6) On classe aussi les bruits par leur origines physiques :

i) le bruit de photons associé à l’émission de photons par une source de lumière incohérente ; il est poissonnien et blanc, de variance et de puissance spectrale : s 2F = 2hn F Df

et

Sph = 2hn F

ii) le bruit de grenaille ou bruit Schottky, lié à l’intensité I du courant qui traverse une section d’un conducteur, de variance et de puissance spectrale : s2i = 2eI Df

et

S g = 2eI

iii) le bruit d’agitation thermique ou bruit Johnson, que l’on observe sur la tension u(t ; L) aux bornes d’un conducteur, en raison de sa température T , de variance et de puissance spectrale : s2u = 4k BT R Df

et

S T = 4k BT R

7) Enfin, le rapport signal sur bruit, RSB , rapport des puissances spectrales respectives du signal et du bruit, joue un rôle majeur dans tous les problèmes de détection des signaux, par exemple en modulation d’amplitude et en modulation de fréquence.

EXERCICES ET PROBLÈMES P17– 1. Autocorrélation de signaux différemment bruités Les signaux réels, s 1(t) et s 2(t) , observés à la sortie de deux capteurs différents, se mettent sous les formes respectives suivantes : s1(t ; L) = s(t) + b1(t ; L) et

s 2(t ; L) = s(t) + b2 (t ; L)

où s(t) désigne le signal étudié, b 1(t ; L) et b 2(t ; L) des bruits différents. Les fonctions aléatoires s(t) , b1(t ; L) et b 2(t ; L) sont centrées en t = 0 , non corrélées et stationnaires ; en outre, leurs fonctions de corrélation sont connues : C (t) , C b,1(t) , Cb,2 (t) . 1. Calculer les fonctions d’autocorrélation de s 1 (t) et s2(t) , ainsi que l’intercorrélation entre s1 (t) et s2(t) . 2. En déduire la fonction d’autocorrélation C S (t) de la somme des deux signaux s1(t ; L) et s2 (t ; L) .

564

17. Signaux aléatoires et bruits

P17– 2. Bruit Johnson et bruit Schottky dans une photodiode On mesure, aux bornes d’un résistor, de résistance R , la tension U produite par le passage d’un courant stationnaire, d’intensité I , fourni par une photodiode lorsque le flux lumineux incident est F . Les fluctuations sont attribuées aux bruits Johnson et Schottky. 1. Montrer que les fluctuations de la tension U , dues à l’effet Johnson, sont prédominantes lorsque I est faible, et inversement que l’effet Schottky l’emporte lorsque I est grand. En déduire que les deux effets sont équivalents lorsque U atteint une valeur critique Uc que l’on calculera en fonction de la température T . Application pour T = 290 K . 2. Déterminer la valeur minimale de I pour laquelle les fluctuations relatives de tension ne dépassent pas ±10 % lorsque R = 1 MV et Df = 1 Hz . En réalité, un courant d’obscurité I 0 = 10 −14 A se superpose au courant photoélectrique. Comparer ce courant au courant minimal précédent. P17– 3. Bruit Johnson et bruit Schottky dans un photomultiplicateur

web

On mesure, aux bornes d’un résistor, de résistance R , la tension U produite par le passage d’un courant stationnaire, d’intensité I , débité par un photomultiplicateur lorsque le flux lumineux incident est F . Le facteur multiplicatif est M = 106 . Les fluctuations sont dues aux bruits Johnson et Schottky. 1. Montrer que les deux sources de fluctuation de la tension U sont équivalentes lorsque U atteint une valeur critique Uc que l’on calculera en fonction de la température. Application pour T = 290 K . 2. Quelle est la valeur minimale de l’intensité I pour laquelle les fluctuations relatives d’intensité ne dépassent pas ±10% , lorsque Df = 1 Hz ? Comparer le résultat obtenu au courant d’obscurité d’intensité I0 = 10 −14 A . P17– 4. Signal aléatoire à l’entrée d’une ligne à retard Un système fait correspondre, à un signal d’entrée, un signal de sortie égal à la différence entre le signal d’entrée et le même signal d’entrée retardé de la durée t . 1. Donner l’expression du signal de sortie s(t ) et en déduire son spectre de Fourier. 2. Montrer qu’un tel système permet de calculer la dérivée par rapport au temps d’un signal d’entrée e(t) , pourvu que l’on multiplie le signal de sortie par une certaine quantité, à préciser en fonction de t , et que t soit suffisamment faible. Établir alors la relation entre le signal de sortie et le signal d’entrée. 3. Le signal à l’entrée est aléatoire. Établir la relation entre les puissances spectrales à l’entrée et à la sortie du système. Pour quelles valeurs de la fréquence f la puissance spectrale à la sortie estelle nulle ? Application pour t = 1 ms . Que devient la relation entre les puissances spectrales pour f suffisamment faible ? P17– 5. Bruit blanc à l’entrée d’un système linéaire

web

À l’entrée d’un système linéaire, de réponse impulsionnelle h(t) , on applique une tension de bruit blanc, de puissance spectrale b/2 . 1. Quelle est la relation intégrale donnant la fonction d’autocorrélation C(t) du signal, à la sortie du système, en fonction de h(t) et b ? 2. Application aux réponses impulsionnelles suivantes : a) Réponse causale rectangulaire : h(t) = 1/T pour 0  t  T et h(t) = 0 autrement.

565

Signaux aléatoires et bruits

b) Réponse causale amortie exponentiellement : h(t ) = exp(−at) pour t > 0 et h(t) = 0 autrement. c) Réponse causale gaussienne : h(t) = exp(−a 2 t2) pour t > 0 et h(t) = 0 autrement. P17– 6. Rapport signal sur bruit et rétroaction La chaîne directe d’un système à rétroaction est constituée de deux amplificateurs, de fonctions de transfert Hd,1 et H d,2 respectivement ; la chaîne retour a une fonction de transfert Hr . On se propose d’analyser l’influence de la rétroaction sur le bruit qui affecte le système. 1. La tension de bruit u b s’ajoute au signal d’entrée, en raison d’une source extérieure non désirée : ue,b = u e + u b . Quelle est l’influence de la rétroaction sur la tension d’entrée ue non bruitée, sur la tension de bruit ub et sur le signal bruité u e,b ? Application pour H d,1 = 2 , H d,2 = 15 et H r = 4 . Que peut-on dire du rapport signal sur bruit ? 2. Même question lorsque les bruits des deux amplificateurs de la chaîne directe s’ajoutent. P17– 7. Transmission d’un signal en modulation d’amplitude On souhaite transmettre un signal s i (t ; L) , basse fréquence, sur un canal de radiodiffusion affecté d’un bruit additif, blanc et gaussien. Les caractéristiques du signal à transmettre, qui est une tension, sont la puissance spectrale Si = 0, 8 V2 · Hz −1 et la largeur spectrale B = 20 kHz . La puissance spectrale de bruit blanc est b/2 = 5 × 10−12 W · Hz −1 . En outre, la valeur moyenne de si (t) est nulle et sa valeur absolue inférieure à l’unité. Sachant que le rapport signal sur bruit RSB est supérieur à 50 dB , calculer, en modulation d’amplitude, avec démodulation cohérente et suppression de la composante stationnaire, l’amplitude a p,m de la tension à la détection, pour un facteur de modulation m égal à 1 . La perte de puissance du canal de transmission étant de 60 dB , trouver la puissance à l’émission. P17– 8. Lecture d’un disque optique avec bruit

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La surface sensible d’une photodiode, fonctionnant dans le domaine infrarouge ( l = 1, 06 mm ), est celle d’un carré de côté a = 0, 15 mm . L’intensité I du courant de sortie est détectée aux bornes d’une résistance R = 5 × 109 V . La photodiode est utilisée à la température T = 300 K , avec un rendement quantique Q = 0, 6 . 1. Quelle est l’énergie des photons associés à ce rayonnement ? Trouver la valeur de I lorsque l’éclairement incident est E´ = 0, 5 mW · m −2 . 2. Le bruit associé à la mesure du courant est dû au bruit Schottky et au bruit Johnson. Calculer le rapport signal sur bruit de la mesure du courant effectuée avec une bande passante Df = 2 Hz .

3. La photodiode est utilisée pour lire un disque optique. Quel flux lumineux doit-elle recevoir pour détecter chaque bit, lorsque RSB = 30 , sachant que le bruit Johnson est négligeable et que la bande passante est Df = 1 MHz ? P17– 9. Détection synchrone d’un signal dans du bruit Dans un spectrophotomètre, instrument d’optique analysant le flux lumineux que transmet une substance partiellement transparente, le signal portant l’information est une tension stationnaire U proportionnelle au flux transmis à déterminer. Grâce à un hâcheur, on crée un signal rectangulaire périodique

566

17. Signaux aléatoires et bruits

s(t) , variant entre 0 et une valeur maximale U , de période T0 = 1/f0 avec f 0 = 1 kHz, et dont le motif élémentaire est un créneau de durée T0/4 . 1. Rappeler sommairement en quoi consiste la démodulation synchrone d’un signal modulé en amplitude. 2. a) Trouver le spectre  s(f ) du signal s(t) , sachant que ce dernier est pair. Calculer, pour U = 100 mV , les cinq premiers termes du développement du signal analytique s a(t) . Représenter graphiquement son spectre  s a(f ) . b) Montrer que tout se passe comme si le signal contenant l’information modulait une infinité de porteuses dont on calculera les fréquences.

3. a) On sélectionne, à l’aide d’un filtre passe-bande, la composante sinusoïdale, de fréquence f 0 , du signal s(t) . Le signal disponible sd (t) est fortement entaché d’un bruit rose additif s b(t) , dont la fréquence de coupure est fb = 500 Hz . Quelle est l’expression du signal s d (t) qui est expérimentalement accessible ? b) Grâce à un multiplieur, on réalise le produit de sd (t) par un signal de référence sinusoïdal, de fréquence f0 et d’expression : r (t) = a r,m cos(v0 t + f) où a r,m = 4 V et f est constant. Le coefficient Km du multiplieur, c’est-à-dire le rapport de la tension qu’il fournit sur le produit des deux tensions à l’entrée vaut 0, 1 V−1 . Déterminer le spectre du signal à la sortie du multiplieur. c) On utilise un filtre passe-bas RC pour ne sélectionner que les fréquences les plus faibles. Dessiner le schéma d’un tel filtre. Sachant que R = 10 kV , calculer, en microfarad, la valeur de la capacité C du condensateur telle que la fréquence de coupure de ce filtre soit de 2 Hz . d) Lorsqu’on fait varier la phase f , la tension transmise par le filtre passe par une valeur maximale qui vaut D = 36 mV. En déduire U . P17– 10. Démodulation quadratique en présence de bruit

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Un signal analogique représente une tension modulée en amplitude, dont la porteuse a une fréquence fp = 1 MHz et une amplitude a p,m = 10 V . On peut admettre que les fréquences de la tension modulante si (t) sont distribuées selon une fonction rectangulaire, de hauteur A s et de largeur spectrale 2B = 3 kHz , centrée autour de la fréquence f0 = 1, 6 kHz . 1. Quelles sont les fréquences minimale et maximale contenues dans s i (t) . Calculer, en ms , la période optimale d’échantillonnage du signal modulant. Justifier son intérêt. 2. Le signal d’information si (t) peut se mettre sous la forme : s i (t) = a(t ) cos(2pf0t) . Trouver l’expression de a(t ) pour As B = 25 mV . 3. On utilise un quadrateur, c’est-à-dire un système qui fait correspondre, à une tension d’entrée e(t) , la tension de sortie : |si (t)| 1 s(t) = K q e2 (t) pour ap,m Kq étant un coefficient dont on donnera la dimension. Montrer que l’on peut restituer le signal s i(t) en associant un filtre au quadrateur. Donner la propriété caractéristique de ce filtre, ainsi qu’une façon simple de le réaliser à l’aide de composants de base. 4. La tension modulée à l’entrée du quadrateur est entachée d’un bruit b e (t ; L) , blanc dans la bande de fréquence considérée et de valeur moyenne nulle. La valeur de la puissance spectrale de la tension de bruit est b/2 = 2 × 10−9 V 2 · Hz−1 .

567

Signaux aléatoires et bruits

a) Quelle est la fonction d’autocorrélation de bruit b e (t ; L) à l’entrée ? En déduire sa variance. Application numérique. b) Montrer que, pour |b e|  ap,m , le bruit b s(t ; L) à la sortie du quadrateur est approximativement de la forme : bs (t ; L) = a ap,m b e (t ; L) cos(vpt) a étant un coefficient que l’on déterminera en fonction de K q . c) En déduire la puissance spectrale du bruit, à la sortie du quadrateur, ainsi que sa variance. Application pour Kq = 1 V−1 . P17– 11. Augmentation du rapport signal sur bruit d’un détecteur CCD

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Dans une caméra à détecteur CCD (Charged Coupled Device), dit à transfert de charge, les pixels, en forme de carré, de côté a = 10 mm , ont une capacité individuelle de stockage de 2 × 10 6 électrons et un rendement quantique de Q = 0, 55 . Le bruit de lecture du CCD est caractérisé par un écarttype sl = 75 électrons. Ce détecteur reçoit un flux lumineux monochromatique, de longueur d’onde l = 560 nm , pendant la durée de pose T TV qui est celle d’une caméra de télévision fonctionnant à 25 images par seconde. 1. À température ambiante ( 300 K ), l’intensité du courant d’obscurité vaut, pour un pixel, I0 = 0, 02 pA . a) Quel est le nombre d’électrons n 0 associé au courant d’obscurité pendant la durée T TV ? En déduire le bruit correspondant, précisément l’écart-type associé s0 . b) Calculer le nombre minimal d’électrons détectés sur un pixel, ce minimum étant défini par RSB = 1 ? Même question pour le nombre maximal d’électrons. En déduire le nombre de bits nécessaires pour numériser le signal de sortie. c) Un pixel reçoit un flux lumineux F , pendant la durée T TV ; le nombre de photoélectrons correspondant est np . Donner l’expression du RSB , pour un pixel, en fonction de sl , s0 et np . En déduire F pour RSB = 4 . 2. On améliore le RSB en refroidissant le CCD. On constate que l’intensité du courant d’obscurité est divisée par deux chaque fois que la température diminue de Q = 7 K . a) Trouver la loi d’évolution de I 0(T ) , en fonction de la température T , ainsi que l’expression de la température Q qui caractérise cette évolution. b) Quelle doit-être la baisse de température du CCD pour que l’intensité du courant d’obscurité soit 50 fois plus faible qu’à 300 K ? P17– 12. Bruit dans un circuit avec une diode Zener Dans le montage de la figure 17.10, on utilise une diode Zener, avec U Z = 5, 1 V , qui est polarisée en inverse par une source de tension de f.e.m E = 9 V . 1. Trouver la valeur de la résistance R , telle que la diode soit polarisée en inverse, avec un courant d’intensité I = 200 mA . 2. Calculer la tension de bruit aux bornes de la résistance, pour une température de 300 K et une plage spectrale de 2 kHz .

568

17. Signaux aléatoires et bruits I E

Uz R

F IG . 17.10.

P17– 13. Rapport signal sur bruit dans le couplage capteur-amplificateur

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Une chaîne qui fournit un signal analogique comprend (Fig. 17.11) : i) un capteur représenté par un générateur, de f.e.m u g = 71 mV , de tension de bruit bu,g et d’impédance interne Rg = 1 kV , ii) un ensemble LC , avec L = 1 mH et C = 10 nF , qui assure le couplage entre le capteur et l’amplificateur, iii) un montage amplificateur non inverseur, de facteur d’amplification en tension A u = 100 , d’impédance d’entrée Ze = 100 kV , d’impédance de sortie Z s = 1 V ; bu,ao et bi,ao sont les générateurs de bruit indépendants, de puissances spectrales respectives Su = b 2u,ao = 14 nV2 · Hz−1 et Si = b 2i,ao = 16 nA2 · Hz −1 . 1. Exprimer le rapport A = u s/ug entre la tension de sortie et celle délivrée par le capteur ; on introduira l’impédance équivalente Z de l’ensemble LC . 2. Estimer la puissance de bruit en sortie du montage en S , ainsi qu’au niveau du capteur physique, en P . 3. Calculer, à la température T = 300 K , pour une fréquence f = 100 kHz , sur une bande spectrale Df = 10 Hz , les différentes impédances qui définissent la puissance de bruit. 4. Montrer que la puissance de bruit S b,g de la résistance Rg du capteur est négligeable devant les autres puissances de bruit. 5. Déterminer RSB g qui représente le rapport signal sur bruit dans le capteur. Déterminer qualitativement RSBg à la fréquence de résonance du circuit LC . S

P Rg

bu,ao

bu , g L

Zs

bi,ao ue

C

Ze

A u ue

ug Capteur

Amplificateur non inverseur F IG . 17.11.

us

18 Notions d’électronique numérique Les signaux analogiques que fournissent les capteurs physiques sont souvent transformés en signaux numériques ou discrets, car ces derniers sont plus faciles à transmettre, moins lourds à stocker et surtout beaucoup moins sensibles au bruit (cf. chapitre 17). Cette transformation s’opère à l’aide de systèmes physiques simples pouvant se trouver dans deux états seulement, par exemple les deux états qui correspondent à l’ouverture ou la fermeture d’un interrupteur dans un circuit. Aussi les variables et les opérations logiques associées sont-elles qualifiées de binaires. Les signaux numériques combinés à l’informatique et utilisés en télécommunications constituent probablement la plus grande révolution technologique de la fin du XX e siècle. Dans ce chapitre, nous commençons par la représentation binaire des nombres et l’algèbre correspondante. Ensuite, nous présentons les opérateurs logiques ainsi que leur réalisation à l’aide de circuits électriques simples. Enfin, nous donnons un aperçu de la technologie adoptée et nous développons quelques applications, précisément la construction de phasemètres, de fréquencemètres et de générateurs numériques.

I . — NUMÉRATION ET ALGÈBRE BINAIRES I . 1 . — États logiques En électronique numérique, on ne produit et ne traite que des signaux discrets à deux états, appelés respectivement vrai-faux, ou haut-bas, ou mieux encore 1-0. Bien que les termes haut et bas (up et down en anglais) soient adaptés à la représentation de l’état électrique des points d’un circuit, nous utiliserons les symboles 1 et 0 qui se prêtent à l’élaboration d’un système de numération. Les variables qui ne peuvent prendre que les valeurs 1 ou 0 sont qualifiées de booléennes, du nom du mathématicien anglais G. Boole qui a développé en 1854 l’algèbre correspondante. On dit aussi que chaque variable est un bit, contraction de l’anglais binary digit qui signifie chiffre binaire. I . 2 . — Numération binaire a) Nombres entiers positifs On représente les nombres en système binaire ou en base 2 par une succession de bits, de valeurs 0 ou 1 .

570

18. Notions d’électronique numérique

Rappelons que l’on écrit un nombre N en base 10 (système décimal), par exemple 135 , sous la forme cdu suivante : N = 135 = 1 × 102 + 3 × 10 + 5 soit cdu = c × 102 + d × 10 1 + u × 100 avec c = 1 , d = 3 et u = 5 . La place des chiffres est évidemment essentielle : c est le chiffre des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités. Il existe d’autres systèmes de numération qui utilisent des bases différentes. De manière générale, un nombre entier N s’écrira, dans une base entière x , sous la forme : N = x h g f e d c b a = h × x 7 + g × x 6 + f × x 5 + e × x 4 + d × x 3 + c × x2 + b × x 1 + a × x 0 Le préfixe x en indice identifie la base choisie, différente de 10 . En dehors de cette dernière, la base la plus couramment utilisée est binaire (2) ou hexadécimale (16) ; dans ces deux derniers cas, les préfixes en indice sont respectivement b et h . En base 2, le premier chiffre en partant de la droite est le bit de poids faible ; en effet, il est multiplié par 20 = 1 , alors que le deuxième chiffre l’est par 21 = 2 , le troisième par 2 2 = 4 et ainsi de suite, jusqu’au chiffre de gauche, qui est évidemment le bit de poids fort. Ainsi, le nombre N = 135 a pour expression binaire N = b1 0 0 0 0 1 1 1 car : 135 = 1 × 27 + 0 × 26 + 0 × 2 5 + 0 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 22 + 1 × 2 1 + 1 × 20 = 128 + 4 + 2 + 1 Pratiquement, on écrit en binaire un nombre N , en notant, de droite à gauche, les restes des divisions successives de ce nombre par 2 : 135 = 67 2 8 =4 2

reste

reste

1

0

67 = 33 2 4 =2 2

reste

reste

1

0

33 = 16 2

reste

2 = 1 reste 2

0

1

16 =8 2

reste

1 = 0 reste 2

1

0

Notons que le nombre de bits choisi pour le codage fixe le nombre maximal de valeurs considérées. Ainsi, un codage sur 8 bits, appelé octet, permet de représenter 28 = 256 valeurs, alors qu’un codage sur 16 bits permet d’en représenter 2 16 = 65 536 . b) Addition binaire Les règles qui permettent d’additionner des nombres binaires sont identiques à celles connues dans le système décimal : l’addition s’effectue en sommant les bits correspondants aux mêmes puissances de 2, évidemment en commençant par les bits de poids faible. La table d’addition en binaire est très simple puisque : 0+0 = 0

0+1=1

1 + 1 = 10

Dans ce dernier cas, la somme donne 0, mais il faut reporter la retenue 1 dans la colonne de gauche qui précède, laquelle contient les chiffres de la puissance de 2 suivante. Exemple : l’addition de b 111 et b 010 ( 7 et 2 en numération décimale) donne pour la colonne de droite 1 + 0 = 1 , 1 + 1 = 0 pour la colonne intermédiaire avec une retenue de 1 qui vient s’ajouter à la dernière colonne. Le résultat est donc b 1001 ( 9 en numération décimale).

571

Notions d’électronique numérique c) Nombres entiers négatifs

Les nombres dont on désire coder aussi le signe, appelés nombres signés, sont codés selon le complément à deux. Dans ce codage, les nombres positifs sont précédés d’un zéro et les nombres négatifs sont les compléments à 2 de leurs nombres positifs correspondants. Le codage d’un nombre en complément à 2 s’effectue en deux étapes : i) la première est le complément à 1 d’un nombre binaire, ce qui consiste à changer chaque 0 par 1 et chaque 1 par 0. Par exemple, le complément à 1 du nombre binaire b 101 (5 en numération décimale) est b 010 , ii) la seconde consiste à ajouter 1 au bit de poids faible du complément à 1 de ce nombre. Ainsi le complément à 2 de b 101 est b 010 + b 1 soit b 011 . Pour éviter toute confusion, en codage par complément à 2, on fait précèder l’écriture en binaire du nombre considéré par le symbole c2 ; le bit de poids fort code alors le signe des nombres ; il vaut 0 pour les nombres positifs et 1 pour les nombres négatifs. Exemples : 1) Le nombre +5 se note c2 0101 , son complément à 1 c1 1010 et son complément à 2 c2 1011 , lequel représente donc −5 . 2) De même, le nombre −27 se note, avec 6 bits, c2 10 0101 , car 27 s’écrit b 1 1011 , +27 c2 01 1011 , son complément à 1 c2 100100 et son complément à 2 c2 10 0101 . Dans un codage sur 8 bits, le plus grand nombre positif et le plus petit nombre négatif s’écrivent respectivement : 7 c2 0111 1111 = 2 − 1 = 127 et c2 1000 0000 Pour évaluer ce dernier nombre, il suffit de soustraire 1 , ce qui donne en notation binaire b 0111 1111 , et de prendre le complément à 1, b 1000 0000 = 27 = 128 ; c2 1000 0000 est donc le nombre −128 . Avec 8 bits, en complément à 2, il y a 127 nombres positifs, 128 nombres négatifs et le nombre 0 , ce qui donne bien 256 = 28 valeurs de codage. Plus généralement, sur n bits, on peut représenter les nombres compris entre −2n−1 et 2n−1 − 1 . L’intérêt majeur du codage en complément à 2 est précisément que la somme des nombres est égale à la somme des valeurs codées ; ainsi l’opération 5 − 27 se calcule en additionnant c2 00 0101 = 5 et c2 10 0101 = −27 soit c2 10 1010 qui code −22 . d) Expression des nombres décimaux Les nombres décimaux, c’est-à-dire non entiers, peuvent aussi être écrits en base 2. La règle est la même qu’en base 10 : les chiffres à droite de la virgule sont multipliés par les puissances négatives successives de 2. Ainsi, 5, 8 peut se développer selon : soit :

5, 8 = 5 + 0, 8 ≈ 4 + 1 + 0, 5 + 0, 25 + 0, 0625 = 5, 8125

5, 8 ≈ 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−4 d’où l’écriture binaire

b

101, 1101

Retenons que pour écrire un nombre décimal en binaire, il suffit de noter, de gauche à droite, les retenues successives qui apparaissent à gauche de la virgule, lors des multiplications par 2 de la partie fractionnaire. Par exemple, avec le nombre 13, 64 = 13 + 0, 64 , on a : 0, 64 × 2 = 1, 28 (retenue 1) 0, 56 × 2 = 1, 12 (retenue 1)

0, 28 × 2 = 0, 56

−→

0, 12 × 2 = 0, 24

−→

et ainsi de suite. Comme 13 = b 1101 , 13, 64 s’écrit

b

1101, 1010 · · · .

(retenue 0) (retenue 0)

572

18. Notions d’électronique numérique

Dans le système décimal, on utilise généralement la notation scientifique pour exprimer des nombres très grands ou très petits. Dans cette notation, les nombres sont écrits sous la forme d’un nombre décimal, compris entre 1 inclus et 10 exclu, appelé mantisse, que l’on multiplie par une puissance de 10. Par exemple, la constante d’Einstein c = 299 792 458 m · s −1 est notée c = 2, 997 924 58 × 108 m · s −1 . Cette notation est également utilisée dans le système binaire avec une mantisse écrite en binaire, comprise entre 0 et 1, multipliée par une puissance de 2. Ainsi : b 1011 0011 1000

se note

b

1, 0110 0111 000 × 2 11

Elle sert aussi de base au codage à virgule flottante, noté avec un préfixe vf en indice. La norme IEEE 754 qui date de 1985 définit les trois formats, selon le nombre de bits utilisés selon la précision : 32

en précision simple

64 en précision double

80

en précision étendue

Détaillons la répartition des bits pour le codage en précision simple. On a : i) 1 bit pour coder le signe 0 si le nombre est positif et 1 s’il est négatif, ii) 8 bits pour coder l’exposant de la puissance de 2, iii) 23 bits pour coder la partie fractionnaire de la mantisse. Afin de ne pas avoir de signe dans l’exposant, ce dernier est codé avec 8 bits, après ajout de 127 à l’exposant réel ; ce décalage permet de coder les exposants compris entre −127 et 128 . Exemple : le nombre 135, d’expression binaire b10000111 , s’écrit aussi b 1, 0000111 × 27 en notation scientifique. En virgule flottante de précision simple (préfixe vf en indice), on le code selon : vf

0(signe) 1000 0110(7+127 = 134) 0000111(partie fractionnaire de la mantisse)

Réciproquement, le nombre suivant, codé en virgule flottante et précision simple, vf

1 0010 1010 0110 0111 0100 0010 0001 000

s’écrit, en notation binaire scientifique, puisque b 0010 1010 = 42 et 42 − 127 = −85 : −b 1, 0110 0111 0100 0010 0001 000 × 2 −85 La précision relative des nombres notés en virgule flottante, qui est définie par le rapport de l’écart entre deux nombres consécutifs sur la valeur de ces nombres, est donc au minimum de 2 −23 ≈ 1, 2 × 10 −7 . Le plus grand nombre positif que l’on peut coder en virgule flottante de précision simple. s’écrit : vf

0 1111 1110 1111 1111 1111 1111 1111 111 = (2 − 2−23 ) × 2127 ≈ 3, 40 × 1038

Quant au nombre le plus petit, il a pour expression : vf 0

0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 000 = 1 × 2 −126 ≈ 1, 2 × 10−38

Les valeurs extrêmes négatives sont les mêmes en valeur absolue. Remarques : 1) L’exposant qui ne contient que des zéros sert à coder le nombre zéro, pour lequel la mantisse ne contient également que des 0. Le bit de signe pouvant être 0 ou 1, la notation à virgule flottante fait la distinction entre +0 et −0 . 2) De façon analogue, l’exposant ne contenant que des 1, qui coderait normalement l’exposant 128, sert à coder l’infini en prenant une mantisse ne contenant que des 0.

573

Notions d’électronique numérique I . 3 . — Autres représentations des nombres a) Décimal codé binaire

Lorsqu’on veut représenter des nombres, il est souvent plus commode d’utiliser le codage Décimal Codé Binaire, brièvement DCB, pour lequel chaque chiffre d’un nombre décimal (unité, dizaine, centaine ou plus) est codé en binaire, à l’aide de quatre bits ; en effet, en notation décimale, le chiffre le plus élevé 9 , s’écrit b 1001 , ce qui nécessite au plus 4 bits, c’est-à-dire quatre symboles. Tout nombre se présente alors sous la forme de quadriplets successifs. Par exemple, le nombre 135 s’écrit en DCB : dcb 0001

0011 0101

b) Hexadécimal Comme les quatre bits du codage DCB permettent de coder jusqu’à seize chiffres, on utilise préférentiellement le codage hexadécimal (base 16), en ajoutant simplement les lettres A , B , C , D , E et F aux 10 chiffres habituels du système décimal. Ces six lettres codent respectivement 10 , 11 , 12 , 13 , 14 et 15 . Par exemple, le nombre décimal 135 s’écrit en hexadécimal nombre décimal 174 : 135 = 8 × 16 1 + 7 × 160 = h 87

et

hAE

h 87 ,

tandis que h AE désigne le

= 10 × 16 + 14 × 1 = 174

L’affichage des nombres codés en hexadécimal est réalisé grâce à un composant, appelé afficheur sept segments, qui commande la mise sous tension de diodes électroluminescentes, ayant la forme de segment. La figure 18.1 représente les sept segments permettant l’affichage des chiffres de 0 à 9, ainsi que les valeurs hexadécimales A , B , C , D , E et F . Notons que les symboles hexadécimaux sont écrits en majuscules, sauf B et D afin de ne pas les confondre avec les chiffres ressemblants 8 et 0.

F IG . 18.1.

I . 4 . — Algèbre de Boole L’algèbre de Boole est fondée sur les trois opérations suivantes que peuvent subir les variables booléennes de valeurs 0 ou 1 : i) l’opération complément qui associe, à chaque variable booléenne A , NON A noté A , ce dernier prenant la valeur complémentaire de A , ii) l’opération somme logique OU entre deux variables A et B , que l’on note A + B , et qui signifie A ou B ; le résultat de l’opération OU prend la valeur 1 si l’une au moins des variables vaut 1, iii) l’opération produit logique ET entre deux variables A et B , que l’on note A.B , et qui signifie A et B ; le résultat de l’opération ET prend la valeur 1 si les deux variables valent 1.

574

18. Notions d’électronique numérique

Ces trois opérations sont représentées sur la figure 18.2 où la partie grisée correspond au résultat de l’opération. A

A

B

A

b) A OU B

a) NON A

B

c) A ET B

F IG . 18.2.

a) Propriétés des opérations logiques Les opérations OU et ET sont : i) commutatives (Fig. 18.3a), A + B = B + A et A.B = B.A , ii) associatives (Fig. 18.3b), (A + B) + C = A + (B + C ) et (A.B).C = A.(B.C ) , iii) distributives, l’une par rapport à l’autre (Fig. 18.3c) : A.(B + C ) = (A.B) + (A.C ) et

A + (B.C ) = (A + B).(A + C )

Les opérations OU et ET admettent comme éléments neutres respectivement 0 et 1 : A+0 = A

et

A.1 = A

Retenons en outre que : A + A = 1 et A.A = 0 . C A

B

A

A+B a)

B

A·B

A

C

C B

A

A+B+C

B

A·B·C

b) F IG . 18.3.

A

C B

A

A ·(B + C)

B

A + (B · C ) c)

b) Théorèmes de l’algèbre booléenne À partir des propriétés précédentes, on établit trois théorèmes supplémentaires, lesquels facilitent l’étude des opérateurs logiques qui interviennent dans les circuits électriques (cf. Exercices). i) Idempotence Les opérations OU et ET sont idempotentes, si appliquées à deux variables identiques, elles fournissent en sortie cette même variable : A+A = A

et

A.A = A

ii) Absorption Il y a absorption lorsqu’une variable en entrée s’impose en sortie, quelles que soient les autres entrées : A+1 = 1 A.0 = 0 A + (A.B) = A et A.(A + B) = A

575

Notions d’électronique numérique iii) Théorèmes de De Morgan Les deux théorèmes de De Morgan, du nom du logicien anglais du XIX les a établis, s’expriment par les équations suivantes : A + B = A.B

et

e

siècle A. De Morgan qui

A.B = A + B

II . — OPÉRATEURS LOGIQUES Les opérateurs logiques sont définis par l’opération qu’ils effectuent entre une ou plusieurs variables à l’entrée et une seule variable à la sortie. Comme nous le verrons, une représentation simple de l’opération que réalise de tels opérateurs est fournie par la table de vérité, laquelle est construite à partir des valeurs 1 ou 0 que peuvent prendre les variables booléennes. Précisément, cette table se présente sous la forme d’un tableau, dont les colonnes de gauche affichent les valeurs des variables d’entrée, E1 , E2 , · · · , alors que la dernière colonne à droite donne la sortie S correspondante. II . 1 . — Portes logiques Les portes logiques sont les éléments de base de la logique combinatoire pour laquelle l’état de sortie des portes, à un instant, ne dépend que des variables d’entrée à cet instant ; elles sont faciles à réaliser et disponibles sous forme de circuits intégrés. Ces composants sont actifs et non linéaires ; en effet, ils doivent être alimentés par un générateur stationnaire, qui fournit la puissance nécessaire à leur fonctionnement, et ils se comportent le plus souvent en commutateur. L’alimentation de ces portes logiques, que l’on ne représente généralement pas sur les schémas, sera simplement notée Un , l’indice n rappelant qu’il s’agit d’un système numérique. a) Opérateur logique NON L’opérateur logique NON (NOT en anglais) réalise la complémentation ou l’inversion d’une variable : S=A Aussi l’appelle-t-on inverseur. Sa table de vérité, très simple, est explicitée sur le tableau 18.1. A

S=A

0

1

1

0

TAB . 18.1.

Le symbole de l’inverseur, selon la norme européenne, est représenté sur la figure 18.4a ; un petit cercle en sortie, parfois remplacé par un triangle, exprime la négation de la fonction réalisée.

576

18. Notions d’électronique numérique

Un schéma électrique élémentaire permet de réaliser simplement cette opération (Fig. 18.4b) : la lampe indique l’état de la sortie et l’interrupteur celui de l’entrée ; pour la lampe, l’état 1 correspond à l’illumination et l’état 0 à l’extinction ; pour l’interrupteur, l’état 1 correspond à la fermeture et l’état 0 à l’ouverture. Si l’interrupteur est dans l’état 1-fermé, la lampe est dans l’état complémentaire 0-extinction ; de même, si l’interrupteur est dans l’état 0-ouvert, la lampe est dans l’état complémentaire 1-illumination. NON

A

1

S

A

E

Lampe

R

a)

b) F IG . 18.4.

b) Opérateur logique ET L’opérateur ET (AND en anglais) effectue en sortie l’opération suivante entre les deux entrées A et B : S = A.B La table de vérité est celle représentée par le tableau 18.2. A 0 0

B 0 1

S = A.B 0 0

1

0

0

1

1

1

TAB . 18.2.

Son symbole « & » et le circuit électrique simple associé (Fig. 18.5) rappellent qu’il est nécessaire que toutes les entrées soient égales à 1 pour que la sortie vaille aussi 1 . Notons que l’opération logique ET peut comporter plus de deux entrées. A B

A

ET &

a)

E

F IG . 18.5.

B

R

Lampe

b)

c) Opérateur logique OU L’opérateur logique OU (OR en anglais) réalise l’opération suivante entre les deux entrées A et B : S = A+B La table de vérité est donc celle qui figure sur le tableau 18.3. Sur la figure 18.6, on a représenté son symbole  1 , ainsi que le circuit électrique simple associé. On voit aisément qu’il faut que l’une au moins des entrées soit égale à 1 pour qu’en sortie on ait 1 aussi. Comme ET, l’opération OU peut comporter plus de deux entrées.

577

Notions d’électronique numérique A

B

S = A+B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

TAB . 18.3.

A

A

OU

B

1

E

B

Lampe

R

a)

b) F IG . 18.6.

d) Opérateur logique OU-EXCLUSIF Avec l’opérateur OU-EXCLUSIF que l’on abrège en EX-OU (XOR en anglais), la sortie ne prend la valeur 1 que si les entrées A et B ont des valeurs différentes : ou

S = A.B + A.B = (A + B).(A + B)

S = A⊕B

On en déduit la table de vérité (18.4). A

B

S = A⊕B

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

TAB . 18.4.

Le symbole de cet opérateur, = 1 , est représenté sur la figure 18.7 avec le circuit électrique associé. Notons qu’il faut d’une part qu’une seule des entrées soit égale à 1 pour que la sortie le soit aussi, d’autre part que cette porte ne possède que deux entrées. B A B

A

EX-OU =1

E

a)

Lampe

R

b) F IG . 18.7.

578

18. Notions d’électronique numérique

e) Opérateur logique NON-ET L’opérateur NON-ET, brièvement N-ET, (NAND en anglais, contraction de NOT et AND), donne, en sortie, le complémentaire de l’opérateur ET de A et B : S = A.B = A + B = A/B La table de vérité est explicitée dans le tableau 18.5. A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S = A.B 1 1 1 0

TAB . 18.5.

Le symbole est celui de ET avec le petit cercle en sortie qui indique la négation de l’opération (Fig. 18.8). Notons que la sortie ne vaut 0 que si toutes les entrées valent 1 ; en outre, la porte NONET peut, elle aussi, comporter plus de deux entrées. A B

N-ET &

A

S

Lampe

E

B

R a)

b) F IG . 18.8.

f) Opérateur logique NON-OU L’opérateur NON-OU, brièvement N-OU, (NOR en anglais, de la contraction de NOT et OR), donne en sortie le complémentaire de l’opérateur OU des entrées A et B : S = A + B = A.B = A ↓ B On peut lire sa table de vérité sur le tableau 18.6. Le circuit électrique simple associé, ainsi que le symbole NON-OU, sont dessinés sur la figure 18.9. En ajoutant un petit cercle à la sortie de la porte OU, on traduit la négation. Notons que la porte NON-OU peut comporter plus de deux entrées et que la sortie ne vaut 1 que si toutes les entrées sont dans l’état 0 . A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S = A+B 1 0 0 0

TAB . 18.6.

579

Notions d’électronique numérique A

N-OU

S

1

E

B

A

R

a)

Lampe

B

b) F IG . 18.9.

g) Universalité des opérateurs logiques NON-ET et NON-OU Les expressions booléennes précédentes peuvent toutes se ramener à diverses combinaisons des opérateurs OU, ET et NON ; ces trois dernières suffisent pour réaliser n’importe quelle opération logique. En pratique, ce sont les portes N-ET et N-OU que l’on utilise, car d’une part elles présentent un caractère universel, puisque chacune d’elles permet de réaliser toutes les autres opérations logiques (cf. Exercices), d’autre part elles sont plus faciles à réaliser. II . 2 . — Bascules Les bascules sont des systèmes logiques élémentaires dont la sortie dépend non seulement des entrées à l’instant présent mais également de l’état de la sortie à l’instant antérieur. À une combinaison des variables d’entrée correspondent plusieurs états possibles du système qui dépendent des états antérieurs de celui-ci. Comme la connaissance des entrées à un instant est insuffisante pour connaître l’état de la sortie à cet instant, l’évolution du système est toujours donnée sous la forme d’une séquence temporelle, Par opposition à la logique combinatoire des portes, la logique des bascules est séquentielle, c’està-dire relative à une suite ordonnée d’états. On distingue deux types de système séquentiel : i) ceux dits asynchrones, car leur état varie immédiatement après le changement des entrées, ii) ceux qualifiés de synchrones dans lesquels l’évolution des sorties est cadencée par les variations du signal de commande, le signal d’horloge ; les différents éléments du système sont ainsi synchronisés, d’où le qualificatif choisi. a) Bascule RS asynchrone Une bascule RS asynchrone possède deux entrées, la première notée R (de l’anglais Reset pour remise à zéro) et la seconde notée S (de l’anglais Set qui signifie mettre), et deux sorties complémentaires, que l’on note Q et Q afin d’éviter la lettre T , qui suit R et S dans l’alphabet, mais que l’on réserve pour désigner des durées (Fig. 18.10a). S

Q

S

Q

R

Q

R

Q

a)

b) F IG . 18.10.

Les sorties Q et Q , à l’instant t + Dt , dépendent des entrées R et S , à l’instant t , mais aussi des sorties à cet instant t . Cette bascule est caractérisée par le fonctionnement suivant : i) si R = 1 et S = 0 , Q prend la valeur 0 ,

580

18. Notions d’électronique numérique ii) si R = 0 et S = 1 , Q prend la valeur 1 , iii) si R = 0 et S = 0 , Q conserve sa valeur, ainsi que Q ; iv) l’état R = 0 et S = 0 est interdit. Sur la figure 18.10a, on a représenté le symbole de la bascule RS décrite ci-dessus.

Remarque : Il existe une variante de la bascule RS asynchrone ; c’est celle pour laquelle la fonction de remise à zéro est assurée par l’entrée R = 0 et la mise à 1 par l’entrée S = 0 ; l’état interdit est dans ce cas R = S = 0 . Le symbole correspondant est donné sur la figure 18.10b ; notons la présence des petits cercles sur les entrées qui indiquent le fonctionnement complémentaire de celui de la bascule précédente. On réalise simplement une bascule RS asynchrone en associant deux portes NON et deux portes N-ET comme le montre la figure (Fig. 18.11) : les deux entrées de la porte 1 N-ET sont S et la sortie N-ET de la porte 2. De façon symétrique, les deux entrées de cette porte 2 sont R et la sortie de la porte 1. Analysons le système ainsi obtenu. i) Si R = 0 et S = 1 , l’entrée S de la porte 1 est dans l’état 0, quelles que soient les valeurs de Q et Q , d’où sa sortie dans l’état 1. Les entrées de la porte 2 sont donc toutes les deux dans l’état 1 et sa sortie dans l’état 0, ce qui est bien le complémentaire de Q . La mise à 1 de S provoque la mise à 1 de la sortie Q . ii) Si R = 1 et S = 0 , l’entrée R de la porte 2 est dans l’état 0, quelles que soient les valeurs de Q et Q . Sa sortie est donc 1. Les entrées de la porte 1 sont alors toutes les deux dans l’état 1 et sa sortie est 0, laquelle est bien le complémentaire de Q . La mise à 1 de R conduit bien à une sortie Q dans l’état 0. iii) Si R = S = 0 et Q = 0 , les deux entrées de la porte 1 N-ET sont dans l’état 1 et sa sortie est dans l’état 0. Pour la porte 2, ses deux entrées étant dans les états 1 et 0, sa sortie est dans l’état 1. iv) Si R = S = 0 et Q = 1 , les entrées de la porte 1 N-ET sont dans les états 1 et 0 et sa sortie dans l’état 1. Pour la porte 2, sa sortie est dans l’état 0 puisque les entrées sont dans l’état 1. Notons que l’état 0 des entrées R et S permet aux sorties de se maintenir dans leur état antérieur. v) Si R = S = 1 , l’une au moins des entrées de chaque porte est dans l’état 0 et leurs sorties dans l’état 1, quelles que soient les valeurs de Q et Q . Une telle combinaison des entrées est interdite, puisque les sorties ne sont pas complémentaires. NON S

1

N-ET Q

& 1 Q N-ET

NON R

Q

&

1

2 F IG . 18.11.

581

Notions d’électronique numérique Application : interrupteur anti-rebonds

L’interrupteur mécanique présente un défaut majeur : lors de sa fermeture, la mise en contact des lames conductrices s’accompagne de rebonds mécaniques successifs avant d’atteindre la position définitive (Fig. 18.12). Ces rebonds peuvent engendrer des dysfonctionnements dus aux variations brutales de la tension appliquée. Un

Us

t=0 Un

Us

R

0 t (ms)

1 a)

b) F IG . 18.12.

La présence d’une bascule RS (Fig 18.13), placée entre l’interrupteur et le reste du circuit, permet de détecter un seul saut de tension : au premier contact, la bascule change d’état, mais ce dernier n’est pas influencé par les rebonds successifs. Un R S Us R

t=0

Us

R

Un 0

Un

1 b)

a)

t (ms)

F IG . 18.13.

b) Synchronisation des bascules Lorsqu’un circuit comporte plusieurs bascules, il est nécessaire de contrôler leurs instants de basculement, afin d’éviter l’apparition d’états transitoires au cours desquels seules certaines bascules ont changé d’état. En outre, il faut que les différents composants soient synchronisés. Aussi une horloge suffisamment précise est-elle indispensable. Le signal périodique fourni par cette horloge passe de la valeur 0 à la valeur 1 , pendant une durée qui doit être la plus faible possible. En pratique, on utilise un signal analogique carré, délivré par la sortie TTL des GBF, mais dont la forme et l’amplitude sont fixées et la fréquence réglable ; H désigne le signal d’horloge dont l’entrée sur les composants est repérée par un petit triangle (Fig. 18.14a). La transition de l’horloge entre les niveaux 0 et 1 , pendant une très courte durée, est appelée le front montant, alors que la transition inverse aussi rapide est le front descendant. Les instants considérés pour les entrées dans les composants synchrones sont situés soit sur le front montant soit sur le front descendant de la transition. Lorsque ces instants concernent le front descendant, on l’indique sur le schéma du composant en précédant l’entrée H d’un petit cercle (Fig. 18.14b). c) Bascule D synchrone Une bascule D (de l’anglais data qui signifie donnée) comporte deux entrées, l’une pour la donnée D , l’autre pour l’horloge qui évolue sur des fronts déclenchants montants ou descendants. Sur la

582

18. Notions d’électronique numérique

figure 18.14, on a représenté les symboles des bascules D à front montant et descendant. Ces bascules possèdent également deux sorties complémentaires Q et Q , ce qui évite d’ajouter un inverseur dans les nombreux montages où la valeur de Q est nécessaire. Elles possèdent parfois des entrées asynchrones R de mise à 0 , ou S de mise à 1 , utilisées pour initialiser des circuits (Fig. 18.14c). Comme ces entrées peuvent être activées indépendamment de l’horloge, elles sont qualifiées d’asynchrones. D

Entrée de l’horloge

Q

D

Q a)

Q

D S

Q

Q

R

Q

b)

c)

F IG . 18.14.

Après déclenchement de l’horloge, la sortie de la bascule prend la valeur de la donnée D . En dehors des fronts déclenchants, la bascule est verrouillée : sa sortie n’évolue plus, même si D change, d’où le nom de bascule D à verrouillage. Une des applications des bascules D est le stockage de données. Sur la figure 18.15, on a représenté quatre bascules D associées en parallèle afin de stocker quatre bits de données D 0 , D 1 , D2 et D3 . Au front montant de l’horloge, les données sont stockées dans les bascules et n’évoluent plus jusqu’au front suivant, même si ces données changent. R H D3

Q3

D2

Q2

D1

Q1

D0

Q0

F IG . 18.15.

D1

Q1

D2

Q2

D3

Q3

D4

Q4

F IG . 18.16.

Remarques : 1) Lorsqu’un composant comporte plusieurs bascules commandées par une même horloge ou possède une remise à zéro commune, le symbole utilisé regroupe les commandes communes dans un bloc surmontant le symbole du composant (Fig. 18.16). 2) La prise en compte des entrées de commande d’une bascule synchrone exige que l’on tienne compte de deux durées, avant et après le front déclencheur du signal d’horloge, respectivement la durée de stabilisation ts et la durée de maintien tm , dont les ordres de grandeurs sont compris entre 1 ns et 50 ns . d) Bascule JK synchrone Le fonctionnement d’une bascule JK synchrone est analogue à celui d’une bascule RS , avec l’entrée J jouant le rôle de S et l’entrée K celui de R , mais aucun état n’est interdit. i) Si J ⊕ K = 1 , la sortie Q prend la valeur de J .

ii) Si J et K sont dans l’état 0, la sortie Q conserve sa valeur. iii) Si J et K sont à 1, Q bascule en prenant l’état complémentaire. Remarque : La dénomination JK n’a pas de signification particulière, si ce n’est que ces deux lettres sont consécutives dans l’alphabet comme le sont R et S .

583

Notions d’électronique numérique

L’évaluation des entrées ainsi que celle de la sortie se font lors d’un front montant ou descendant de l’horloge. Les figures 18.17a et b représentent respectivement les symboles des bascules JK à déclenchement sur front montant et sur front descendant de l’horloge. Il existe des variantes de cette bascule avec des entrées asynchrones R et S de mise à 0 ou 1 (Fig. 18.17c). J

Q

J

Q

J S

Q

K

Q

K

Q

K R

Q

a)

b)

c)

F IG . 18.17.

La table de vérité de la bascule JK synchrone est représentée dans le tableau 18.7, dans lequel Q n représente l’état de la sortie de la bascule, après n fronts déchenchants de l’horloge, et Qn+1 l’état de la sortie après le front déclenchant suivant. J 0 0 1 1

K 0 1 0 1

Qn+1 Qn 0 1 Qn

Valeur inchangée Mise à 0 Mise à 1 Changement de valeur

TAB . 18.7.

Application : division de la fréquence de l’horloge par 2 n Si l’on impose l’état 1 à J et K , on obtient en sortie un signal Q qui bascule de 0 à 1 , avec une période qui est le double de celle de l’horloge puisque Q bascule vers Q à chaque front déclenchant de l’horloge ; la fréquence est donc divisée par deux. Sur la figure 18.18, on a représenté un chronogramme, précisément l’évolution de l’horloge et de la sortie Q au cours du temps. H t 1

J

Q

H 1

Q t

K a)

b) F IG . 18.18.

En connectant la sortie Q 0 de cette bascule JK sur le signal d’horloge d’une seconde bascule JK , dont les entrées J et K sont maintenues dans l’état 1, on obtient de nouveau une division par deux de la fréquence de basculement sur la sortie Q1 (Fig. 18.19). Plus généralement, l’association de n bascules JK permet de diviser la fréquence de l’horloge par 2n .

584

18. Notions d’électronique numérique H t Q0 t 1

J

H 1

Q0

K

1

J

1

K

Q1

Q1

t

a)

b) F IG . 18.19.

II . 3 . — Compteur Un compteur est un circuit séquentiel synchrone particulier, car il n’y a pas d’entrée : le système évolue à chaque front montant de l’horloge et décrit une séquence fixe. Le plus simple des compteurs est le compteur binaire qui suit la séquence : 000 001 010 011 100 101 110 111 000 ··· Il est possible de coder chaque bit du compteur à l’aide de la sortie d’une bascule JK synchrone. La sortie Q0 de la première porte, qui code le bit de poids faible, doit changer d’état à chaque front déclenchant de l’horloge. La sortie Q1 de la deuxième porte, codant le deuxième bit, doit basculer avec une période deux fois plus longue que celle de la première porte. Enfin, la période de basculement de la dernière porte, qui code le bit de poids fort, doit être quatre fois plus longue que celle de la première porte. Sur la figure 18.20, on a représenté l’association de trois bascules JK synchrones qui permet de diviser la période de l’horloge par 23 ; le déclenchement se produit sur les fronts descendants, la sortie de l’une jouant le rôle d’horloge pour la suivante. L’ensemble des sorties, écrites dans l’ordre Q 2 Q 1 Q0 , forme le code binaire du compteur qui suit la séquence souhaitée. Pour initialiser le compteur, il est toujours possible de prévoir des entrées asynchrones de remise à zéro sur les bascules. 1

J

1 Q0

J

1 Q1

J

K

1

K

1

K

H 1

Q2

Q0

t Q1

t Q2

t Q 2 Q1 Q0

000

001

010

011 100

101 110 111

F IG . 18.20.

000

001

585

Notions d’électronique numérique

Ce compteur, réalisé avec des portes synchrones, est asynchrone car les différentes bascules ne sont pas commandées par la même horloge. En effet, il y a accumulation des durées de transmission entre l’entrée et la sortie d’une bascule, ce qui peut être à l’origine d’un code de sortie Q 2 Q1 Q0 erroné, notamment si les durées sont courtes. Lorsque le nombre de bascules en série devient important, comme c’est le cas pour les compteurs à grand nombre de bits, certaines valeurs du compteur peuvent même disparaître ; c’est ce qui se produit lorsque le cumul des durées de transmission, entre la première porte et la dernière, dépasse la période de l’horloge. Aussi préfère-t-on utiliser des compteurs synchrones dans lesquels toutes les bascules sont pilotées par la même horloge. La réalisation d’un tel compteur est possible à l’aide de bascules JK , mais il est nécessaire d’utiliser des portes logiques afin d’imposer aux entrées J et K de chaque bascule les bonnes valeurs. i) Pour la bascule associée au bit de poids faible, il n’y a pas de changement, puisque sa sortie Q 0 doit basculer à chaque front descendant de l’horloge. ii) Pour la bascule associée au deuxième bit, le changement d’état de sa sortie Q 1 ne doit s’effectuer que si Q0 était dans l’état 1 avant le front d’horloge. Il faut donc imposer aux entrées J et K de cette bascule, la valeur de Q0 . iii) Quant à la dernière bascule, sa sortie Q 2 ne change d’état que si Q0 et Q1 sont dans l’état 1 avant le front d’horloge. La valeur imposée à ses entrées J et K est donc Q0 ET Q1 . Sur la figure 18.21, on a représenté le schéma du montage dans lequel intervient une porte ET ; le compteur 3 bits, de capacité 23 = 8 , permet de coder successivement 8 valeurs différentes. ET

H

1

J

1

K

Q0

J

Q1

K

&

J

Q2

K F IG . 18.21.

Il existe des compteurs binaires que l’on peut connecter en série. afin d’augmenter la capacité globale de comptage. Remarque : Il n’est pas nécessaire d’utiliser un compteur de 64 bits, avec une fréquence d’horloge est de 10 GHz , puisque ce dernier mettrait 2 64 /1010 = 1, 84 × 10 9 s , soit près de 60 ans, pour atteindre sa valeur finale ! II . 4 . — Registres Un registre est un circuit logique qui permet à la fois le stockage et le transfert de données. Aussi le caractérise-t-on par sa capacité à emmagasiner les données et à les transférer en sortie. Les entrées sont en série ou en parallèle : en série les données se succèdent à chaque période de l’horloge, en parallèle les données entrent ou sortent en une seule période d’horloge. Les sorties sont elles aussi en série ou en parallèle. a) Registres à entrées parallèles et sorties parallèles L’élément de base des registres est la bascule D synchrone. Avec de telles bascules, nous avions déjà réalisé un registre de quatre bits à entrées parallèles et sorties parallèles (Fig. 18.15).

586

18. Notions d’électronique numérique

La figure 18.22a représente un registre (SRG pour Serial ReGister) de quatre bits, à entrées parallèles et sorties parallèles ; en b, on montre une variante comportant une entrée asynchrone de mise à zéro de toutes les données ; enfin, en c, le registre possède une entrée supplémentaire EN (de l’anglais enable qui signifie permettre), dont la fonction est de provoquer, lors du front d’horloge, l’enregistrement des données lorsque EN = 1 , et leur maintien en mémoire tant que EN = 0 . On peut ainsi stocker ces données pendant plusieurs cycles d’horloge et conserver leurs valeurs dans le registre, même si elles changent sur les entrées. D0 D1 D2 D3 SRG 4 Q0 Q1 Q 2 Q3 a)

D0 D 1 D2 D 3

D 0 D1 D 2 D3

R SRG 4

EN R SRG 4

Q0 Q1 Q2 Q 3

Q 0 Q1 Q 2 Q3

b)

c)

F IG . 18.22.

b) Registres à entrées en série Les registres à entrées en série reçoivent les données d’entrée les unes après les autres. Il est facile de réaliser de tels registres avec des bascules D synchrones : la sortie de l’une joue le rôle d’entrée pour la suivante (Fig. 18.23). Q0 D

Q1

D0

D1

Q2 D2

Q3 D3

H F IG . 18.23.

Ces registres peuvent être utilisés soit avec des sorties en série si seule la sortie Q 3 est utilisée, soit avec des sorties en parallèle si les sorties Q3 , Q 2 , Q1 et Q0 sont accessibles. Sur les figures 18.24a et b, on a dessiné deux symboles d’un registre d’une capacité de 8 bits. D

SRG 8

Q7

D

Q7

SRG 8

Q 0 Q1 Q2 Q 3 Q 4 Q5 Q6 Q 7 a)

b) F IG . 18.24.

c) Registres à entrées en parallèle et sorties en série Ce dernier type de registre est plus délicat à réaliser, car il faut intégrer la commande EN afin de séparer la première étape de chargement des données dans les bascules du registre, pendant une période, de la seconde de transfert des données vers la sortie de la dernière bascule. Le montage de la figure 18.25 permet de réaliser un tel registre à trois bits. En effet, on a, respectivement pour la première bascule et pour les deux autres : D = D0

et D = (EN.Di ) + (EN.Di−1 ) avec

i = 1, 2

587

Notions d’électronique numérique EN

D0

D

NON 1

ET &

NON 1

OU 1 ET &

D

ET & OU 1

D

ET &

D1 Q D2 H

F IG . 18.25.

Le fonctionnement est le suivant : i) si EN = 1 alors D = D i pour toutes les bascules ; les données sont stockées lors du front montant de l’horloge ; ii) si EN = 0 et Q = D 2 avant le front de l’horloge, alors D = Di−1 après le front d’horloge pour les bascules 1 et 2. Les données se décalent donc d’un cran vers la droite et la sortie Q vaut D 1 . Le front suivant provoque un nouveau décalage et Q = D 0 . Comme les données entrent toutes en même temps et sortent successivement, il s’agit bien d’une entrée en parallèle et d’une sortie en série ( D2 , D1 puis D0 ). La principale application des registres est la réalisation de mémoires, lesquelles se présentent comme des associations de registres capables de stocker une grande quantité d’information.

II . 5 . — Multiplexeurs et démultiplexeurs a) Multiplexeurs Il est essentiel de pouvoir sélectionner une donnée parmi toutes celles qui résident dans une mémoire. C’est précisément ce que réalisent les multiplexeurs (MUX en abrégé). Ces derniers, appelés aussi sélecteurs de données, sont des systèmes logiques qui possèdent 2 n entrées de données et une seule sortie, mais aussi n entrées supplémentaires formant l’adresse binaire, laquelle sélectionne l’une des 2n données à recopier en sortie. Ces systèmes transmettent ainsi plusieurs données à partir d’un seul dispositif, d’où leur nom. Un multiplexeur à 2 n entrées nécessite ainsi une adresse de n bits. En général, il existe une entrée supplémentaire EN qui commande l’activation ou la désactivation du multiplexeur ; la sortie, elle, est double : Q et Q . Sur la figure 18.26, on a dessiné le symbole d’un multiplexeur à quatre entrées D 0 , D 1 , D 2 et D3 ( n = 2 ), avec deux bits d’adresse, notés A0 et A1 , et une entrée de validation EN . Le tableau 18.8 indique, pour une entrée EN = 1 , la donnée recopiée en sortie en fonction des valeurs prises par A 0 et A1 .

588

18. Notions d’électronique numérique EN

MUX

A

EN

D0

MUX

Q0

D1

A0 Q

A1 D0 D1

Q

D2 D3

D0

A1 0

A0 0

Q D0

0 1

1 0

D1 D2

D0

1

1

D3

D1

F IG . 18.26.

Q1

D1 D0

Q2

D1

TAB . 18.8.

Q3

F IG . 18.27.

On constate que le nombre binaire A 1A 0 , c’est-à-dire 2 1 × A 1 + 20 × A0 , est le numéro de l’entrée recopiée en sortie ; par exemple b 10 donne D2 . C’est pourquoi les entrées A sont numérotées en commençant par l’indice 0 ; le numéro de chaque entrée A code ainsi la puissance de 2 par laquelle il faut le multiplier pour obtenir l’entrée choisie. Sur la figure 18.27, on a dessiné le symbole du composant 74HC157, lequel comporte quatre multiplexeurs à deux entrées et deux commandes communes A et EN . Ces dernières sont regroupées au-dessus des multiplexeurs qu’elles commandent. Si A = 0 , les quatre sorties Q recopient leur entrée D0 ; en revanche, si A = 1 , ce sont les données D 1 que l’on retrouve en sortie. Il est possible de réaliser, à l’aide de portes logiques, un multiplexeur simple à deux entrées D 0 et D1 et un bit d’adresse A . Si on souhaite que A = 0 corresponde à Q = D 0 et A = 1 à Q = D 1 , l’expression logique de Q en fonction des diverses entrées doit être : Q = D0.A + D 1.A Cette opération est réalisée dans le montage de la figure 18.28 constitué d’un inverseur, de deux portes ET et d’une porte OU. D0

NON A

D1

ET &

1

OU 1

Q

ET & F IG . 18.28.

b) Démultiplexeurs Les démultiplexeurs (DMX en abrégé), ou distributeurs de données, permettent de réaliser l’opération inverse des multiplexeurs : on envoie un signal d’entrée vers l’une des sorties possibles, en fonction d’une adresse codée en binaire.

589

Notions d’électronique numérique

L’application essentielle des multiplexeurs et des démultiplexeurs est la gestion de l’écriture et de la lecture des registres qui stockent les données.

III . — TECHNOLOGIE DES PORTES LOGIQUES Alors que les circuits logiques n’admettent que deux états, les composants électroniques qui les constituent fonctionnent avec des courants et des tensions qui sont des grandeurs analogiques et donc admettent une infinité de valeurs. Aussi se pose un problème de correspondance entre les circuits logiques et les composants qui les constituent. III . 1 . — Codages des états logiques 1 et 0 Les correspondances entre les états logiques et les états électriques d’un point du circuit sont appelées codes de lignes. Le plus simple d’entre eux est le code NRZ unipolaire : le sigle NRZ, issu de l’expression anglaise Not Return to Zero, signifie que la tension d’un point du circuit ne revient pas à zéro avant le codage de l’état suivant ; en outre l’adjectif unipolaire rappelle que les tensions utilisées sont toutes de même signe. Ce code associe une tension nulle à l’état 0, et une tension U n , généralement inférieur à 10 V , à l’état 1. Sur la figure 18.29a, on a représenté la suite suivante d’états logiques 1 0 1 1 0 0 0 1 codée en NRZ unipolaire. En b, on peut lire la même série d’états logiques codée en NRZ bipolaire. Enfin, en c, le codage est RZ (Remise à Zéro) unipolaire ; pour ce dernier, la tension revient systématiquement à 0 avant le codage de l’état suivant. État logique unipolaire NRZ a)

1

0

1

1

État logique bipolaire NRZ

0

0

0

1

t

t

b) État logique unipolaire RZ

t

c) État logique AMI RZ

t

d) État logique biphase

t

e) F IG . 18.29.

Le format AMI RZ est de type bipolaire RZ, mais l’état 0 est codé par une tension nulle, alors que l’état logique 1 est codé alternativement par une tension positive et une tension négative (Fig. 18.29d). Ce

590

18. Notions d’électronique numérique

codage permet de détecter certaines erreurs de transmission puisque l’absence d’alternance traduit une amputation du message transmis. Enfin, dans le code biphase, on représente électriquement les deux états binaires 1 et 0 par leurs phases, qui valent respectivement p/2 et −p/2 ; ce sont les fronts montants qui représentent l’état logique 0, et les fronts descendants l’état logique 1 (Fig. 18.29e). Dans la suite, on utilisera surtout le codage unipolaire NRZ avec la tension U n positive. Remarque : Le code biphase est souvent appelé code Manchester, en hommage aux travaux sur les machines de calcul, effectués dans les années 1940 par le groupe de G. Thomas de l’Université de Manchester. III . 2 . — Différentes caractéristiques d’une porte NON On sait qu’il existe principalement deux technologies en électronique (cf. chapitre 7) : i) la technologie TTL, de l’anglais Transistor-Transistor Logic, dans laquelle on utilise des transistors bipolaires npn et pnp , ii) la technologie CMOS qui associe des transistors n-MOS et p-MOS, d’où le préfixe C pour rappeler que les transistors sont complémentaires. Les portes logiques NON ou inverseurs que nous allons étudier sont de technologie TTL et CMOS. Il s’agit précisément de portes N-ET (74LS00 et 74HC00), dont les deux entrées sont reliées et placées dans le même état logique : A.A = A ; elles sont alimentées sous une tension U n = 5 V . a) Caractéristique de transfert L’inverseur est commandé par une tension analogique d’entrée ue qui varie entre 0 et 5 V (Fig 18.30a). On caractérise le transfert entre l’entrée et la sortie par le tracé du graphe us (ue) , ce qui permet de préciser la tolérance sur la définition des états 1 et 0 . us( V) NON

TTL

5

us (V)

CMOS

4

1 ue

us

ue (V ) 0

a)

1

2

5 b)

ue (V) 0

2

3

5

c)

F IG . 18.30.

Sur les caractéristiques des inverseurs TTL et CMOS (Fig. 18.30), on constate que la sortie est à l’état haut 1 tant que l’entrée est inférieure à une tension Ue,b et que l’état bas 0 n’est atteint en sortie que si l’entrée dépasse une tension Ue,h . Pour U n = 5 V , les valeurs lues sur les caractéristiques sont Ue,b = 1 V et U e,h = 2 V pour l’inverseur TTL et U e,b = 2 V et Ue,h = 3 V pour l’inverseur CMOS. Toute tension d’entrée, comprise entre U e,b et Ue,h , ne doit jamais apparaître en fonctionnement normal, puisqu’elle correspond à une zone d’indécision. b) Caractéristique de sortie L’inverseur de la figure 18.31a fonctionne en charge puisque sa sortie est connectée à une résistance ajustable. Son entrée est dans l’état 0 et sa sortie dans l’état 1. On trace la caractéristique de sortie is (u s) en relevant les valeurs de u s et is (Fig. 18.31b et c).

591

Notions d’électronique numérique TTL

is (mA) NON

is

1

10

10

us

R

CMOS

i s (mA)

u s (V ) 0

1

u s (V ) 0

5

a)

1

b)

5 c)

F IG . 18.31.

La figure 18.32a représente le circuit qui permet de relever la caractéristique de sortie i s (us ) pour l’état 0 en sortie. Les courbes obtenues pour les portes TTL et CMOS sont données sur les figures 18.32b et c. Dans les deux états la sortie se comporte comme un générateur de tension réel, dont la résistance interne vaut en TTL environ 150 V pour le niveau 1 et 30 V pour le niveau 0 ; en CMOS, la résistance interne est de l’ordre de 80 V .

NON

1

0

is R us

u e = Un a)

TTL

is (mA) 1

us (V)

−10

0

CMOS

i s (mA) 1

us (V)

−10

Un b)

c)

F IG . 18.32.

Lorsque la porte logique fonctionne en charge, c’est-à-dire que sa sortie est renvoyée à l’entrée d’une ou plusieurs autres portes, sa résistance interne provoque un écart de la tension us par rapport à sa valeur à vide. Aussi limite-t-on la charge de chaque porte, afin que la zone interdite ne soit pas atteinte. Le nombre maximal d’entrées que peut commander une sortie est sa sortance ou son facteur de charge (FAN OUT en anglais du verbe se déployer). c) Caractéristique d’entrée La caractéristique d’entrée de l’inverseur TTL montre que l’entrée consomme un courant à l’état 0 , mais pas à l’état 1 (Fig. 18.33). La sortance est donc limitée par l’état 0 à une valeur de 10 environ. Pour l’inverseur CMOS, le courant d’entrée est quasiment nul, quelle que soit la tension d’entrée. La sortance est donc très élevée et généralement supérieure à 50. Elle n’est limitée que par les capacités parasites qui doivent se charger ou se décharger à chaque changement d’état logique. Remarque : En technologie TTL, une entrée non connectée impose un courant d’entrée nul, ce qui correspond à un état 1. En technologie CMOS, l’entrée non connectée joue le rôle d’antenne, et il est impossible de prévoir la valeur qui sera interprétée par la porte. Aussi ne laisse-t-on jamais les entrées sans connexion.

592

18. Notions d’électronique numérique ie ( mA )

ie

NON

0

1

ue

5

ue (V)

us −1 a)

b) F IG . 18.33.

III . 3 . — Fonctionnement d’une porte NON Étudions le circuit électronique d’un inverseur réel en commençant, pour des raisons de simplicité, par la technologie CMOS. a) Inverseur CMOS Le fonctionnement d’un inverseur est très simple puisqu’il suffit de remplacer l’interrupteur manuel de la figure 18.4 par un transistor MOS à enrichissement pour réaliser un inverseur CMOS. On sait en effet qu’un tel transistor se comporte comme un interrupteur ouvert ou fermé, selon la valeur de la tension Ugs entre la grille et la source (cf. chapitre 7) : i) si U gs > U gs,0 , le transistor n-MOS est passant et équivalent à une faible résistance, de l’ordre de 1000 V (Fig. 18.34) ; pour un transistor p-MOS, le comportement est identique si Ugs < −U gs,0 ;

ii) si U gs = 0 V , les transistors n-MOS et p-MOS sont bloqués ; on peut alors les considérer comme des coupe-circuit. D

D

U gs > U gs,0

D S

G S

U gs = 0 V

Un

S U gs < −U gs,0

G

D

S

D

S Ugs = 0 V D

S

us

ue

p-MOS

n-MOS F IG . 18.34.

F IG . 18.35.

Il ne reste plus qu’à associer deux transistors n -MOS et p -MOS, tels que U gs,0 < Un , Un étant la tension d’alimentation, pour réaliser l’inverseur (Fig. 18.35). i) Si l’entrée est dans l’état 1, soit si u e = Un , le transistor n -MOS est passant et le transistor p -MOS bloqué, d’où us est nul et la sortie dans l’état 0. ii) Inversement, si u e est nul, le transistor p -MOS est passant et le transistor n -MOS bloqué, d’où us = U n ; la sortie est donc dans l’état 1. Remarque : En pratique, le circuit comporte des diodes de protection aux entrées, afin de limiter l’influence des décharges électrostatiques auxquelles les transistors MOS sont très sensibles.

593

Notions d’électronique numérique b) Inverseur TTL

En technologie TTL, les transistors sont bipolaires et utilisés en commutation entre l’état bloqué et l’état saturé (cf. chapitre 7). Nous avons vu que la tension base-émetteur ube commandait l’état des transistors (Fig. 18.36). i) Lorsque u be est égal à 0, 6 V , le transistor est passant entre le collecteur et l’émetteur ; pour un courant de base suffisamment élevé, la tension résiduelle U ce est de l’ordre de 0, 2 V . ii) Pour u be inférieur à 0, 6 V , le transistor est bloqué et se comporte comme un interrupteur ouvert entre le collecteur et l’émetteur. C ic

B Ube

E F IG . 18.36.

Rb

ue

Un

R co

T1

T2

us

F IG . 18.37.

La commande de cet interrupteur ne pouvant être effectuée directement par la tension associée 0 ou 5 V , il est nécessaire d’introduire un second transistor dont la fonction est de déclencher l’alimentation du premier, lequel joue le rôle d’interrupteur. Sur la figure 18.37, on a représenté un inverseur simple en technologie TTL ; le transistor T2 est l’interrupteur commandé par le transistor T 1 . i) Si u e = 0 V , un courant circule dans Rb et traverse T1 de la base vers l’émetteur ; comme aucun courant n’arrive sur la base du transistor T2 , ce dernier reste bloqué. La chute de tension étant nulle aux bornes de Rco , la tension de sortie u s est égale à Un , d’où l’état 1.

ii) Si u e = U n , la jonction base-émetteur de T1 est bloquée, mais sa jonction base-collecteur est passante ; le courant arrivant sur la base de T2 est suffisant pour saturer T2 , d’où Uce,2 = 0, 2 V ; la tension de la sortie est alors proche de 0 V , d’où la sortie dans l’état 0. Remarque : Dans le montage réel, on utilise deux transistors supplémentaires associés selon un montage dit totem. La sortance est alors meilleure et la consommation de courant plus faible lorsque la sortie est dans l’état 0 (cf. Exercices).

III . 4 . — Comparaison des technologies TTL et CMOS La technologie TTL fournit un courant de sortie plus intense que la technologie CMOS. Aussi la première est-elle utilisée en sortie des systèmes logiques, alors que la dernière est préférée dans le traitement numérique des signaux. L’association des ces deux types de technologie porte le nom de BiCMOS. La technologie CMOS permet une miniaturisation plus poussée, car les transistors MOS occupent une surface moins grande que les transistors bipolaires et la puissance qu’ils consomment est plus faible. C’est la raison pour laquelle les circuits CMOS représentent plus de 90 % des circuits intégrés logiques. Actuellement, les circuits intégrés agrègent, sur des « puces » de quelques centimètres carrés seulement, des microprocesseurs contenant des millions de transistors, ce qui contribue à réaliser des ordinateurs compacts et performants.

594

18. Notions d’électronique numérique

IV . — APPLICATIONS IV . 1 . — Phasemètre numérique La réalisation d’un phasemètre est une application simple des portes logiques. On associe aux deux signaux sinusoïdaux, dont on veut connaître le déphasage, les signaux logiques correspondant ; une porte EX-OU suffit pour obtenir une tension de sortie dont la valeur moyenne, mesurée à l’aide d’un voltmètre en position « continu », est proportionnelle au déphasage des deux signaux. La transformation des signaux sinusoïdaux en créneaux est réalisée par un amplificateur opérationnel et un transistor qui fonctionnent tous deux en commutation, de telle sorte que la tension au point C du collecteur ne puisse prendre que les valeurs 0 ou 5 V ; u 1 est transformé en s1 et u2 en s 2 (Fig. 18.38). Tant que le signal u i est négatif, la sortie de l’AO est en saturation haute ; le transistor est passant et saturé, d’où s1 = s2 = uce,s ≈ 0, 2 V . Lorsque le signal devient positif, l’AO bascule en saturation basse et le transistor se bloque ; le courant délivré par le générateur stationnaire est alors nul, d’où s1 = s 2 = 5 V . 5

Tensions (V) u1

1 0

R − u1

∞

Un

s1

1 0 s

u2

50

u2

EX-OU =1

∞

10

s2

+

−

t (ms)

5

C

C

+

V 5

Un

R

s1

s2

0

F IG . 18.38.

t (ms) 10

50

s (V )

t (ms) 10

50 F IG . 18.39.

La figure 18.39 exhibe les différentes tensions du circuit, pour un déphasage de p/2 rad . La sortie de la porte EX-OU vaut 1 si u1 et u2 sont de signe opposés. Or la durée pendant laquelle u 1 et u2 sont de signes opposés est proportionnelle à leur déphasage. En effet, pour u 1 = u 1,m cos(vt) et u2 = u2,m cos(vt + f) avec f > 0 , on a u 1u2 < 0 pour : cos(vt) cos(vt + f) < 0 soit, pour : cos(vt + f) < 0 et

cos(vt) > 0

ou

cos(vt + f) > 0 et

cos(vt) < 0

595

Notions d’électronique numérique Il faut donc que :



T f T t∈ − ; v 4 4





f 3T 3T − ; ou t ∈ v 4 4



La durée recherchée est donc Dt = 2w/v = fT /p . On en déduit que f = pDt /T . Comme le signal de sortie a pour valeur efficace U = u m Dt/T , f = p U /u m . Ici, la durée Dt est une demi-période ; la tension moyenne, lue sur le voltmètre en position « continu », est donc : U = 5 × 0, 5 = 2, 5 V

d’où le déphasage

w=p×

2, 5 p U = rad =p× 5 5 2

Remarques : 1) Si la valeur moyenne des deux signaux analogiques n’est pas nulle, on introduit un filtre passe-haut entre l’entrée du système et l’entrée non-inverseuse des AO. 2) Ce phasemètre ne donne pas le signe du déphasage. IV . 2 . — Fréquencemètre numérique Le fréquencemètre numérique que nous proposons de réaliser compte le nombre de périodes d’un signal sur une durée d’une seconde. Au préalable, il est nécessaire de remplacer le signal étudié par une succession de créneaux d’amplitude 5 V , grâce à un système analogique. La mise en forme du signal est obtenue avec un AO et un transistor, de la même manière que pour le phasemètre précédent. Ainsi transformé, le signal est appliqué à l’une des entrées d’une porte ET, alors que l’autre reçoit un signal d’horloge de même amplitude et de période 2 s . La sortie de la porte ET est alors transmise à un compteur binaire (Fig. 18.40).

E u1

− +

∞

Compteur binaire 6 bits

Un

R

ET

C

&

us

Q0 Q1 Q2 Q3 Q4

1

J

1

K

R

Q5

H

F IG . 18.40.

Sur la figure 18.41, on a représenté l’évolution des tensions en divers points du circuit, après la mise en forme du signal us , en H , ainsi que la valeur à la sortie du compteur, codée en binaire Q5 Q4 Q3 Q2 Q 1 Q 0 . La porte ET interrompt le comptage des fronts montants au bout d’une seconde. La valeur affichée par le compteur est donc égale à la fréquence, laquelle vaut 5 Hz dans cet exemple. Pour simplifier la réalisation, on remet le compteur à zéro à l’aide d’un signal créneau, de période T = 4 s , fourni par une bascule JK utilisée en diviseur par deux de fréquence. Remarque : Lorsque l’amplitude est insuffisante ou lorsque le signal présente une composante stationnaire, la mise en forme du signal est impossible à réaliser avec le circuit précédent. Aussi le signal est-il filtré puis amplifié dans les fréquencemètres commerciaux.

596

18. Notions d’électronique numérique

5

us (V)

1 0

5

1

2

3

4

t(s)

1

2

3

4

t(s)

4

t(s)

H (V)

1 0

Affichage du compteur 5

Comptage Affichage Remise à zéro

0

1

2

3

F IG . 18.41.

IV . 3 . — Générateurs de fonctions Les oscillateurs stables en fréquence peuvent être réalisés avec divers types de circuit, selon le domaine spectral souhaité (cf. chapitre 14). Pour les fréquences inférieures à 1 MHz , un AO et un filtre suffisent ; pour des fréquences atteignant 500 MHz , il faut un oscillateur piloté par un quartz. Au-delà de 500 MHz , seule l’électronique numérique permet de réaliser des oscillateurs stables. Pour cela, on monte en série un nombre impair d’inverseurs formant un anneau (Fig. 18.42). Le système est instable puisqu’aucun état ne peut se maintenir durablement au cours du temps. Comme la sortie d’un inverseur ne répond à une modification de son entrée qu’après une durée de l’ordre d’une nanoseconde, les basculements périodiques de tension des inverseurs s’effectuent avec une période égale au produit de la durée de basculement par le nombre d’inverseurs de l’anneau. Cette durée de basculement des tensions est liée aux capacités parasites des inverseurs ainsi qu’à leurs résistances d’entrée et de sortie. Il est alors possible de commander cette durée à l’aide d’un transistor JTEC comme le montre la figure 18.42. En modifiant la tension de commande U appliquée sur la grille du transistor, on change la résistance de son canal et donc la durée de basculement des inverseurs. La sortie de l’un quelconque des inverseurs se comporte alors comme un générateur de signaux carrés dont la fréquence est commandée par une tension. Pour produire un signal sinusoïdal, il suffit de filtrer la tension de sortie, par exemple à l’aide d’un simple circuit bouchon (cf. chapitre 3).

597

Notions d’électronique numérique NON 1

NON 1

NON 1 D

G

S U

F IG . 18.42.

IV . 4 . — Mémoires Une mémoire est une association de plusieurs registres, encore appelés mots mémoire, capables de stocker des données en vue d’une lecture ultérieure. Le nombre de mots mémoire ainsi que leur format sont généralement une puissance de 2. L’octet est un mot mémoire de 8 bits et le kilo-octet (ko) est l’unité de mémoire : 1 ko = 2 10

soit

1 024 octets = 1 024 × 8 = 2 13 = 8 192 bits

1 024 étant la puissance de 2 la plus proche de 1 000 , d’où l’appellation kilo. On trouve par exemple des mémoires de 16 ko . De même, un méga-octet ne contient pas exactement 10 6 octets, mais : 1 Mo = 2 20 = 1 048 576 octets

soit 1 048 576 × 8 = 2 23 = 8 388 608 bits

Les registres, qui sont à entrées parallèles et sorties parallèles, possèdent une première entrée E permettant l’enregistrement des données, et une seconde entrée L autorisant la sortie pour la lecture. À l’aide d’un ensemble de fils conducteurs, appelé bus, on amène les données sur les entrées de tous les mots mémoires. Le nombre de fils du bus est égal au nombre de bits de chaque mot mémoire. En outre, une adresse binaire est affectée à chacun de ces mots. Pour le stockage, un démultiplexeur active l’entrée E du registre situé à l’adresse sélectionnée, ce qui transfère les données du bus vers le registre. Pour la lecture, c’est l’entrée L qui est activée ; les sorties du registre sélectionné sont connectées au bus. Le trajet des données dans le bus est bidirectionnel, car les données peuvent se déplacer dans les deux sens, l’un pour la mise en mémoire, l’autre pour la sortie de la mémoire. Sur la figure 18.43, on a représenté une mémoire composée de quatre mots mémoires, de quatre bits chacun. Pour l’enregistrement des quatre bits présents dans le bus de données, via le registre 2, il suffit d’envoyer sur le démultiplexeur DMX E, qui commande l’enregistrement, l’adresse A 1A 0 = b10 , ainsi que D = 1 . Seul le registre 2, qui correspond à l’adresse binaire b 10 est alors activé pour enregistrer les quatre bits. Pour la lecture des quatre bits du registre 3, il suffit que le démultiplexeur DMX L, qui commande la lecture, reçoive l’adresse A1 A0 =b 11 , ainsi que la donnée D = 1 . Les données qui apparaissent sur les quatre fils du bus de données sont alors celles stockées dans le registre 3, d’adresse binaire b 11 = 3 , dont les sorties sont activées. En réalité, un composant unique, appelé décodeur d’adresse assure la commande de l’enregistrement ou de la lecture des registres. Pendant ce temps, les registres qui ne sont pas concernés par l’adresse ne peuvent ni enregistrer les données provenant du bus, ni lire les valeurs stockées.

598

18. Notions d’électronique numérique

D0 D1 D2 D3 E SRG 4 L Q0 Q1 Q2 Q3

DMX E A0 A1

Bus de données Registre 0

D0 D1 D2 D3 E SRG 4 L Q0 Q1 Q2 Q3

Registre 1

D0 D1 D2 D3 E SRG 4 L Q0 Q1 Q2 Q3

Registre 2

D0 D1 D2 D3 E SRG 4 L Q0 Q1 Q2 Q3

Registre 3

D DMX L A0 A1

D

H F IG . 18.43.

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) L’arithmétique binaire obéit aux mêmes lois que l’arithmétique décimale, mais les puissances de 10 sont remplacées par les puissances de 2. On écrit généralement les nombres en utilisant divers codages, tous dérivés de la numération à base 2 : binaire, complément à 2, DCB, virgule flottante, etc. 2) L’algèbre binaire concerne les variables booléennes qui se caractérisent par deux valeurs possibles 0 ou 1. Les opérations fondamentales sur ces variables sont ET et OU de symboles respectifs « . » et « + ». 3) Les opérateurs logiques NON, ET, OU, EX-OU, N-ET, N-OU, sont mis en œuvre par des portes logiques, qui constituent les éléments de base de l’électronique numérique. 4) Les portes logiques peuvent être analysées comme des systèmes électriques à partir de leurs caractéristiques de transfert, d’entrée et de sortie. Deux technologies complémentaires existent : l’une TTL pour les forts courants de sortie et l’autre CMOS pour les faibles courants de sortie. 5) L’association de ces portes permet de construire des bascules, lesquelles jouent un rôle essentiel

599

Notions d’électronique numérique

dans la réalisation des compteurs, des registres, des mémoires et des multiplexeurs. Parmi elles, citons les plus utilisées, la bascule RS asynchrone et la bascule JK synchrone. 6) Parmi les très nombreuses applications des portes logiques, citons la construction d’appareils numériques de plus en plus performants, par exemple les phasemètres, les fréquencemètres numériques et les mémoires d’ordinateurs.

EXERCICES ET PROBLÈMES P18– 1. Numération et soustraction 1. Convertir le nombre 25 en binaire, en hexadécimal et en DCB. 2. a) Coder, en complément à 2 sur 6 bits, les nombres 25 , −8 et −28 . b) Montrer, en réalisant les opérations 25 + (−8) , puis 25+ (−28) , que le codage en complément à 2 permet d’effectuer des soustractions à partir d’un additionneur. P18– 2. Codage en virgule flottante

web

1. Vérifier que le codage en virgule flottante de p est : vf

0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1011 011

2. En double précision, les 64 bits sont répartis en un bit de signe, 11 bits pour l’exposant et 53 bits pour la mantisse. Sachant que l’exposant codé est l’exposant réel auquel on a ajouté 1023, et que les exposants ne contenant que des 0 ou que des 1 sont réservés pour l’écriture de nombres particuliers, calculer les valeurs positives extrêmes qu’il est possible de coder en double précision. Quelle est alors la précision relative des nombres codés ? P18– 3. Théorèmes de l’algèbre booléenne Démontrer, à l’aide des tables de vérité, les théorèmes suivants de l’algèbre de Boole : 1) Idempotence A+A = A

et

A.A = A

2) Absorption A+1 = 1

A.0 = 0

A + (A.B) = A

et

A.(A + B) = A

3) Théorèmes de De Morgan A + B = A.B

et

A.B = A + B

P18– 4. Universalité des portes N-ET et N-OU On propose d’établir la propriété d’universalité des portes logiques N-ET et N-OU, c’est-à-dire la possibilité pour elles de réaliser toutes les autres fonctions élémentaires. 1. Établir, en fonction de l’opération N-ET, les expressions des opérations logiques NON, OU, N-OU et EX-OU.

600

18. Notions d’électronique numérique

2. Même question, en fonction de l’opération N-OU, pour les opérations logiques NON, ET, N-ET et EX-OU. P18– 5. Comparateur

web

Le mode opérationnel d’un comparateur simple est le suivant : si tous les bits de l’entrée A codée en binaire sont identiques à ceux de l’entrée B , alors la sortie vaut 1. Sinon cette dernière est 0. Établir le schéma d’un circuit réalisant la comparaison de deux nombres A et B de quatre bits. P18– 6. Testeur de parité La parité d’un nombre codé A en binaire est 1 si la somme des chiffres binaires est paire, et 0 sinon. Montrer que le circuit représenté sur la figure 18.44 rend compte de la parité de ce nombre codé binaire selon b A3 A 2 A1 A 0 .

A0

EX-OU =1

A1 A2

EX-OU

NON

=1

1

EX-OU

Q

=1 A3 F IG . 18.44.

P18– 7. Multiplication

web

La multiplication de deux nombres de quatre bits, A 3A2 A1A 0 et B3 B2B 1B 0 , peut se faire à l’aide du multiplieur série représenté sur la figure 18.45. Le registre A à décalage à droite sur les fronts descendants est initialisé avec les valeurs A3 , A2 , A 1 , A 0 ; le registre B à décalage à gauche sur les fronts descendants l’est avec les valeurs 0 , 0 , 0 , 0 , B 3 , B2 , B 1 , B 0 . Le registre parallèle P reçoit ses données Di des sorties Qi de l’additionneur ; il les transfère à l’additionneur sur les fronts montants de A0 .H . S’il est initialisé à 0, il indique la valeur en fin de calcul. 1. Calculer le produit de

b

1101 par

b

1001 .

2. Vérifier le fonctionnement du multiplieur proposé, en donnant le contenu de chaque registre, ainsi que les sorties Qi de l’additionneur, lors de la multiplication de b 1101 par b 1001 . P18– 8. Multiplexeur à quatre entrées Proposer un circuit qui réalise l’aiguillage de l’une des quatre données D 0 , D 1 , D 2 et D3 vers la sortie Q , en fonction d’une adresse A1 A 0 codant en binaire le numéro de la donnée sélectionnée. P18– 9. Générateur de nombres pseudo-aléatoires

web

Le circuit de la figure 18.46 associe un registre à décalage à huit bits et trois portes EX-OU. La sortie du système est constituée par la sortie parallèle du registre à décalage, précisément par le nombre

601

Notions d’électronique numérique

ET

& Registre P

D7

D6

P7

P6

Q4 Q5 Q6 Q7

Registre B

B7 D

D5

D4

P5

P4

D3 P3

D2 P2

D1 P1

B5 D

B4 D

B3 D

P0

Q3 Q2 Q1 Q0

Aditionneur parallèle de 8 bits

B6 D

D0

B2 D

B1 D

B0 D

Registre A

D A3

D A2

D A1

D A0

H F IG . 18.45.

Q7Q 6 Q 5Q 4Q3Q 2Q 1Q 0 codé en binaire. Le circuit est initialisé par le chargement d’un octet, appelé germe, à travers l’entrée parallèle du registre. 1. Quelle valeur du germe faut-il éviter si l’on souhaite que le contenu du registre évolue lors des décalages ? 2. Quelle est la plus longue séquence de nombres binaires différents ? 3. Déterminer les premières sorties lorsque le germe est 16. 4. La sortie du système est-elle déterministe ou aléatoire ? P18– 10. Monostable Un circuit logique monostable a deux états : l’un stable est conservé en l’absence de déclenchement ; l’autre instable n’apparaît qu’après une transition forcée et ne se maintient que pendant une durée fixée Dt . Le montage de la figure 18.47, alimenté par un générateur de f.e.m U n = 5 V , comporte une porte N-ET et un inverseur CMOS, dont le seuil de basculement est U b = U n/2 = 2, 5 V . La masse est celle de l’alimentation. 1. Montrer que, si l’état logique du point E est 1 , alors l’état Q = 1 est stable. Que vaut la tension uC dans ces conditions ? 2. En partant de l’état stable, à l’instant pris comme origine, E change brièvement de valeur ; ce changement bref est appelé impulsion et permet le basculement du circuit vers l’état instable.

602

18. Notions d’électronique numérique

H D1

Q7 Q6

EX-OU

Q5

=1

Q4

EX-OU

Q3

=1

Q2 Q1

uC

N-ET

EX-OU

&

E

=1

P uQ1

e1

Q0

NON

F

F IG . 18.46.

C

1

R

Q uQ

e2

F IG . 18.47.

a) Étudier l’évolution temporelle des tensions u C , e 2 , uP et uQ représentés sur la figure. b) Déterminer la durée Dt d’apparition de l’état instable. Application numérique pour R = 10 kV et C = 1 mF . c) Que se passe-t-il si l’impulsion sur E est reproduite avant que la durée Dt ne se soit écoulée ? d) La valeur E = 0 est maintenue au-delà de la durée Dt . Quel est alors le comportement du circuit ? P18– 11. Porte N-ET en technologie CMOS Le schéma de la porte N-ET en technologie CMOS est donné sur la figure 18.48. L’alimentation est assurée par un générateur de tension stationnaire, de f.e.m Un = 5 V . 1. Déterminer l’état logique à la sortie, lorsque les entrées A et B sont toutes deux dans l’état 1 : uA = uB = U n . 2. Même question, si au moins l’une des entrées est dans l’état 0 . Retrouve-t-on la table de vérité de la porte N-ET ? Un A

B

p-MOS

uA

uB

I1

I2

R1 4 kV

R2 1, 6 kV B1

Q B

uB

B n-MOS

T1

R4 130 kV B3

B2

A

I4

T2

I b,2 Ie,2

uA

IR F IG . 18.48.

T3 U Q

B4

R3 1 kV

A

Un

F IG . 18.49.

T4

uQ

603

Notions d’électronique numérique P18– 12. Porte N-ET en technologie TTL

web

En technologie TTL, la porte N-ET est la porte de base, puisque toutes les autres portes peuvent être réalisées en associant des portes de ce type. Son fonctionnement est identique à celui de l’inverseur, mais le transistor d’entrée possède plusieurs entrées reliées à l’émetteur (transistor multiémetteur) : il est passant dans le sens base-émetteur si au moins l’une des entrées est au niveau logique 0. Comme dans le montage inverseur réel, la sortie est constituée de deux transistors supplémentaires, que l’on associe selon un montage totem dans lequel les deux transistors sont l’un au-dessus de l’autre (Fig. 18.49). La tension de saturation collecteur-émetteur est U ce,s = 0, 2 V , la tension des jonctions polarisées en direct Ud = 0, 7 V et l’intensité du courant inverse dans une jonction Is = 10 mA . La sortie de cette porte est reliée à l’entrée d’une deuxième porte identique. 1. a) Montrer que la sortie est à 0 , si les transistors T 2 et T 4 sont saturés et le transistor T3 bloqué. b) Déterminer, dans cette configuration, la tension en chaque nœud et le courant dans chaque branche. 2. a) Vérifier que, lorsque la sortie est dans l’état 1 , T 2 et T4 sont bloqués et T3 passant.

b) Établir les valeurs des tensions et des courants en tout point du circuit, lorsque la sortie est dans l’état 1 . 3. En déduire la puissance moyenne consommée par la porte.

19 Conversions analogique-numérique Historiquement, on doit associer les conversions analogique-numérique à l’enregistrement et la reproduction du son, depuis le téléphone inventé par Bell en 1876, le phonographe proposé par T. Edison en 1877 , jusqu’au Compact Disc (CD) de Philips et Sony. La transcription numérique d’un signal analogique fut proposée pour la première fois, en 1937 , par l’ingénieur britannique A. Reeves, sous la dénomination Pulse Code Modulation ou Coded Step Modulation. La technologie associée s’est alors développée de façon spectaculaire dans les domaines du son et de l’image. On commence ici par présenter les fondements de la numérisation d’un signal analogique : c’est l’étape de conversion analogique numérique, réalisée par un Convertisseur Analogique Numérique, couramment appelé CAN, dont le symbole est représenté sur la figure 19.1a. L’opération inverse, mise en œuvre par un Convertisseur Numérique Analogique, en abrégé CNA (Fig. 19.1b) est, elle aussi, très importante, puisque, en fin de chaîne, les systèmes physiques, comme par exemple le haut-parleur, ne sont sensibles qu’à des signaux analogiques. N

A sj

N

b

p

bp

A

sj

b) CNA

a) CAN F IG . 19.1.

Il n’existe pas de boîtier typique pour un CAN ou pour un CNA, car la conversion dépend du nombre de bits et de l’architecture qui réalise la fonction souhaitée.

I . — CONVERSION ANALOGIQUE NUMÉRIQUE OU CAN La conversion analogique numérique consiste à transformer un signal analogique ou continu, le plus souvent une tension, en un nombre binaire de n bits, prenant 2n valeurs différentes qui s’échelonnent entre 0 et 2n − 1 (cf. chapitre 18). I . 1 . — Caractérisation de la conversion analogique numérique a) Quantification et résolution dans une conversion analogique numérique Dans une conversion analogique numérique, à n bits, on subdivise l’amplitude maximale s cc crête à crête du signal analogique en entrée du CAN, en 2n intervalles, autant que de valeurs codées, de même

605

Conversions analogique-numérique largeur D . La conversion est alors linéaire : D=

scc 2n

Dans cette expression, D est le pas de conversion et scc la pleine échelle de conversion. On distingue : i) les conversions unipolaires pour lesquelles les signaux d’entrée sont strictement positifs et compris entre 0 et scc , ii) les conversions bipolaires, pour lesquelles les valeurs des signaux d’entrée sont comprises entre −scc/2 et scc /2 . On est conduit naturellement à introduire la résolution r d’une conversion analogique numérique définie par le rapport du pas de conversion D sur la pleine échelle scc , exprimé souvent en pourcentage : r=

1 D = n 2 scc

Ce facteur, indépendant de scc , est uniquement fonction du nombre de bits du CAN. Remarques : 1) L’étape de préconditionnement du signal analogique s j à convertir, réalisée par des montages amplificateurs, atténuateurs ou translateurs simplement, permet de respecter la condition 0  sj < s cc pour une conversion unipolaire, ou −s cc/2  s j < s cc/2 pour une conversion bipolaire. 2) Certaines applications peuvent exiger une conversion analogique numérique dans laquelle le pas est une fonction logarithmique de l’amplitude du signal analogique d’entrée. De telles conversions non linéaires sont notamment utiles lorsqu’on veut réduire le nombre de bits de codage dans des algorithmes de compression ou de décompression des données. Nous étudierons ultérieurement la réalisation d’une telle conversion sur l’exemple important de la téléphonie numérique. b) Règles de codage Le CAN transforme l’amplitude s j du signal d’entrée, à un instant t j , en un nombre entier p , codé sur n bits. On distingue deux modes de conversion : la conversion par arrondi et celle par troncature à la valeur inférieure. Pour un entier p , compris en 0 et 2n − 1 , la représentation binaire codage est effectué par troncature ou par arrondi, respectivement : sj ∈ [pD, (p + 1)D[

ou

sj ∈



1 p− 2



b

p en sortie signifie, selon que le

D,



1 p+ 2

  D

Sur la figure 19.2, on a représenté les fonctions discontinues de codage pour une conversion analogiquenumérique sur 3 bits, par troncature et par arrondi. Par exemple, pour une conversion analogiquenumérique par troncature d’une tension d’entrée sj = 6 V , avec scc = 10 V , on a : D=

10 = 1, 25 V d’où 23

Il en résulte que p vaut sj ∈ [4, 5 D ; 5, 5 D[ .

b

sj =

6 = 4, 8 D 1, 25

soit

sj ∈ [4 D ; 5 D[

100 par troncature. En revanche, par arrondi, on a

b

101 , c’est-à-dire

606

19. Conversions analogique-numérique bp

bp

111

111

110

110

101

101

100

100

011

011

010

010

001 000

001 000

D

a)

5D

scc

sj

D

b)

5D

scc

sj

F IG . 19.2.

Remarques : 1) Il ne faut pas confondre le codage binaire du nombre p , noté b p , associé à la tension d’entrée sj , et la représentation binaire b sj de cette tension : par exemple avec s cc = 10 V et sj = 6 V on a b p = b 100 pour une conversion par troncature, alors que b s j = b 110 . 2) Pour une conversion analogique numérique unipolaire, la valeur maximale s j,max du signal analogique s’écrit, en fonction de D :   2n − 1 1 n d’où s j,max < scc sj,max = (2 − 1) D = scc = scc 1 − n 2n 2 Comme le 0 V analogique est codé, la valeur s cc correspondant à la pleine échelle n’est jamais atteinte ; aussi l’appelle t-on l’horizon de conversion puisqu’elle tend vers le maximum sans l’atteindre. Toute tension d’entrée supérieure ou égale à la pleine échelle provoque un dépassement, lequel est généralement signalé par un signal d’erreur alertant sur un risque de dégradation du composant. 3) Les règles de codage diffèrent parfois des codages par arrondi ou par troncature. Dans ce cas, la documentation technique nécessaire est fournie par le fabricant. I . 2 . — Erreur de quantification Le caractère discontinu des valeurs en sortie d’un CAN provoque une erreur de quantification, que l’on peut considérer comme un bruit (cf. chapitre 17), puisque des grandeurs analogiques différentes, qui se trouvent dans le même intervalle, sont représentées par un même nombre binaire. On diminue l’erreur de quantification en choisissant une largeur plus faible de l’intervalle analogique D , ce qui augmente la précision de la conversion, évidemment au prix d’un plus grand nombre de bits à traiter. Un autre moyen de réduire l’erreur de quantification consiste à choisir une fonction qui donne une erreur centrée autour de 0 , de manière à quantifier la valeur tantôt par excès, tantôt par défaut. C’est précisément ce que réalise la conversion par arrondi, dans laquelle on a fait subir une translation de D/2 à la fonction de conversion par troncature (Fig. 19.2b). Ici, le premier intervalle vaut 0, 5D , alors que le dernier d’entre eux, qui donne le code p = 2n − 1 , a une largeur de 1, 5D ; il en résulte une erreur de quantification plus grande sur cette plage. Remarques : 1) Nous reviendrons ultérieurement sur ce point en comparant les règles européennes et américaines de conversion en téléphonie.

607

Conversions analogique-numérique

2) Lorsqu’on mesure avec précision une grandeur physique, en utilisant une carte d’acquisition de données qui comporte un CAN, le réglage du gain et du décalage en tension de la chaîne de conversion s’effectue à partir de la première et de la dernière transition du CAN. a) Codage par troncature Dans l’exemple de la figure 19.2a, pour lequel la conversion idéale serait représentée par la droite y = x , avec y code numérique associé à la valeur analogique x , on constate qu’il existe une erreur de codage due à la différence entre la fonction de conversion et le codage idéal. Sur la figure 19.3a, on a calculé l’erreur de quantification pour un signal analogique croissant. Si cette erreur associée à un signal s peut être représentée par une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [0 , D] (Fig 19.3b), avec la densité de probabilité p(s) = p0 , il vient (cf. annexe 5) :  ∞  D D 1 1= p(s) d s = d s = p 0 D d’où p0 = p0 d s = p0 D 0 0 −∞ On introduit alors la variance du signal s 2t pour un codage par troncature : D s2 p(s) d s s2t = 0

ce qui donne en effectuant : s2t

= p0



D 0

1 x dx = D 2



D

s2 d s =

0

1 D3 D2 = × 3 3 D

d’où

D st = √ 3

p(s) p0

Erreur de quantification sur s j D

scc

5D

D

sj

a)

0

D

s

b) F IG . 19.3.

b) Codage par arrondi Lorsque le codage est effectué par arrondi, la caractéristique réelle du transfert est décalée de D/2 par rapport au codage par troncature (Fig.19.4a). En supposant l’erreur de conversion uniformément distribuée sur l’intervalle [−D/2 , D/2] (Fig.19.4b), on a, comme précédemment : ∞  D/2 1 1= p(s) d s = p 0 d s = p 0 D d’où p0 = D −D/2 −∞ On en déduit l’expression suivante de la variance du signal d’erreur, pour un codage par arrondi : s2a

1 = D



D/2

−D/2

s2 d s =

D2 12

d’où

Notons que c’est la moitié de la valeur obtenue par troncature.

D sa = √ 2 3

608

19. Conversions analogique-numérique p(s)

Erreur de quantification sur sj

p0

D/2 0 −D/2

scc

5D

D

sj −D/2

a)

D/2

s

b)

F IG . 19.4.

c) Rapport signal sur bruit La qualité de la conversion dépend du rapport du signal à convertir sur l’erreur de quantification. Aussi le rapport signal sur bruit RSB est-il défini par le quotient de la valeur efficace S du signal sur l’écart-type s de l’erreur, lequel est la racine carrée de la variance (cf. annexe 5) : RSB =

S s

Exemple : la valeur efficace d’un signal sinusoïdal numérisé, d’amplitude s m = scc /2 , s’écrit, pour un CAN à n bits : 2nD 2n−1 D sm scc soit S = √ = √ S= √ = √ 2 2 2 2 2 2 On en déduit les expressions suivantes du rapport signal sur bruit : i) pour un codage par troncature √  2n−1 D 3 S = √ = 2n−1 1, 5 RSBt = st 2D

ce qui donne en dB : RSBt,dB



S = 20 lg st



   = 20 lg 2n−1 1, 5

soit

RSBt,dB = 6, 02 n − 4, 26

ii) pour un codage par arrondi √  S 2n−1 D × 2 3 RSBa = = √ = 2 n 1, 5 sa D 2

d’où

RSBa,dB = 20 lg



S sa



= 6, 02 n + 1, 76

Cette dernière valeur diffère de la précédente de 6 dB , puisque le rapport des variances est de 2 , ce qui correspond en dB à 20 lg 2 = 6 . I . 3 . — Étapes de la conversion analogique-numérique On distingue trois phases successives dans la conversion analogique numérique d’un signal qui sont l’échantillonnage, la mémorisation et le codage.

609

Conversions analogique-numérique a) Échantillonnage d’un signal

On sait qu’échantillonner un signal s(t ) consiste à discrétiser la variable temps du signal, avec une certaine période Te . La fréquence correspondante, fe = 1/T e , doit satisfaire à la condition de Shannon-Nyquist, pour éviter le recouvrement des bandes spectrales (cf. chapitre 16) : fe  f SN

avec

fSN = 2 f M

fM étant la fréquence maximale du spectre du signal s(t ) et f SN la fréquence de Shannon-Nyquist. Le système qui réalise l’échantillonnage, appelé échantillonneur, est un interrupteur périodique, de période Te (Fig. 19.5a), qui reste fermé pendant une durée t < T e , comme le montre la figure 19.5b. e (t ) e (t ) xe (t)

x (t )

0

Te

t

a)

t

b) F IG . 19.5.

Remarque : Certains CAN comportent un filtre anti-repliement dans le même boîtier. Le constructeur précise alors dans la documentation correspondante la condition d’utilisation : fM 

fe 2

C’est grâce aux filtres à capacités commutées que l’on obtient la valeur désirée de fM en fonction de fe (cf. chapitre 10). b) Blocage du signal échantillonné Pendant la durée nécessaire au codage, il est souhaitable que le signal d’entrée s(t ) ne varie pas d’une quantité supérieure ou égale au pas d’échantillonnage D . Aussi, la valeur de s(t) est-elle maintenue constante ou bloquée pendant cette durée de conversion tc . Pour comprendre la nécessité de bloquer le signal pendant cette durée, analysons le processus de numérisation d’un signal sinusoïdal d’expression s(t) = sm cos(2pf t) . Pendant la durée de conversion tc , la variation maximale du signal s’obtient en différentiant s(t ) : d s = − 2pf s m sin(2pf t) d t

d’où

(Ds) max = 2pf tc s m

Cette dernière variation doit rester inférieure à D , car sinon le code binaire de sortie varierait d’une unité binaire, d’où une erreur d’une unité sur le Bit de Poids Faible (BPF, en anglais LSB pour Least Significant Bit) : s cc (Ds)max < D avec D = n 2 s cc étant l’amplitude crête à crête convertible par le CAN. On en déduit le domaine spectral du signal d’entrée qui permettrait une conversion sans erreur en l’absence de bloqueur : 2pf tcs m
> > > > > > > > > > > > > > :

Bit de signe

D

> > > > > > > > > > > > > > > > :

L1

8 > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > :

8 > > > > > > > < >

L2

8 > > > > > > > > > > > > > > > > >
sj : la combinaison b1110 0000 correspond à une tension analogique trop grande. Il faut donc mémoriser 0 dans le troisième bit et ainsi de suite. Le chronogramme de la figure 19.17 montre l’évolution de la tension de sortie du CAN au cours de huit périodes d’horloge. Remarque : Cette structure présente l’avantage d’offrir une durée de conversion constante, directement liée au nombre de bits du registre. Le CAN AD670 d’Analog Devices, 8 bits avec une durée de conversion de 10 ms , exploite la structure à pesées multiples.

619

Conversions analogique-numérique Valeur codée 1110 0000 1100 0000 1010 0000 1000 0000 0110 0000 0100 0000 0010 0000 0000 0000 0 1

2

3

4

5

6

7

t

8

F IG . 19.17.

II . — CONVERSION NUMÉRIQUE ANALOGIQUE OU CNA Un convertisseur numérique analogique ou CNA, effectue l’opération réciproque du convertisseur analogique numérique (CAN) : à l’entier p , positif ou négatif, représenté binairement sur n bits, il associe un signal analogique s tel que : s = pD Bien que le pas D soit arbitraire, il est courant, pour un constructeur, de relier ce pas à la valeur crête à crête scc disponible en sortie du CNA par la relation : D=

scc −1

2n

À la différence d’un CAN, où l’on distingue deux lois de codage, la représentation de s est parfaitement définie par l’image analogique associée au code binaire (Fig. 19.18). s scc

5D

D 000 001 010 011 100 101 110 111

bp

F IG . 19.18.

Remarque : On note volontairement par la même lettre D les pas de conversion du CNA et du CAN, même si leurs valeurs peuvent différer.

620

19. Conversions analogique-numérique

II . 1 . — Choix d’un CNA Il n’y a pas de paramètre essentiel qui permette de choisir un CNA, car la conversion numérique analogique ne commet pas d’erreur, tout code à l’entrée admettant une image dans la plage de valeurs analogiques. Le choix du CNA s’effectue donc sur la base de critères technologiques : structure série ou parallèle, nombre de bits, bande passante maximale, consommation, type d’alimentation, etc. Notons que certains CNA possèdent une fonction de lissage, c’est-à-dire un filtre passe-bas (Fig. 19.19) dont la fréquence de coupure fc est égale ou légèrement supérieure à la fréquence de fonctionnement ; on atténue ainsi les marches d’escalier qui affectent le signal analogique de sortie. L’ordre du filtre passe-bas a évidemment une influence sur la qualité de lissage du signal (cf. chapitre 10). N bp

A

s

F IG . 19.19.

Par exemple, avec un signal sinusoïdal d’amplitude 1 V ( s cc = 2 V ), de fréquence 1 Hz , que l’on échantillonne à la fréquence de 50 Hz , on a obtenu en fonction des caractéristiques du filtre passe-bas : i) un lissage insuffisant pour f c = 32 Hz , ii) un lissage correct, mais une atténuation en amplitude pour f c = 1, 6 Hz , iii) un lissage correct et sans atténuation avec un filtre d’ordre deux pour f c = 16 Hz . II . 2 . — Différentes structures de CNA Dans les processus industriels d’observation et de commande, on fait largement appel aux techniques numériques ; un CNA réalise généralement l’interface entre la sortie d’un ordinateur, type parallèle-série et un système physique qui agit sur commande, l’actionneur, par exemple un haut-parleur en fin de chaîne. On distingue deux familles de CNA : i) les CNA à n entrées parallèles, associées respectivement à chacun des n bits de codage, ii) les CNA à une entrée série, où les bits associés au signal d’entrée codé en binaire sont présentés en série sur une entrée. a) CNA à entrées parallèles et à résistances pondérées Le système représenté sur la figure 19.20 est un CNA à sommation de courant et résistances pondérées à 2 bits d’entrée. Son fonctionnement est celui d’un montage amplificateur inverseur à plusieurs entrées (cf. chapitre 8). Les interrupteurs Ki codent électriquement le bit i , lequel prend la valeur ki = 0 lorsque l’interrupteur est connecté à la masse et la valeur ki = 1 lorsqu’il est connecté à la borne d’entrée, de tension U e . La tension de sortie Us de l’AO est reliée simplement aux intensités I0 et I1 par :   k0 Ue k1 U e U s = −R(I 0 + I1) soit U s = −R + R0 R1 Si l’on choisit R1 = R0 /2 , la tension de sortie, dans le cas général des quatre configurations d’interrupteurs, s’écrit, si k0 est associé à l’état du bit de poids faible : 1

Us = −

 R R (k 0 20 + k 1 21)Ue = − Ue ki 2 i R0 R0 i=0

621

Conversions analogique-numérique R R0

I0

K0

−

I1 e

∞

+

Ue

Us K1

R1 F IG . 19.20.

Pour n bits et n résistances décroissantes suivant les puissances de 2 , avec pour chacun des bits la résistance Ri = R 0/2i , l’expression précédente devient : Us = −

R U e (k 0 20 + k1 21 + ... + kn−1 2n−1 ) R0

ce qui s’écrit : n−1  R Us = − Ue ki 2i = −b p D R0

où

i=0

est le pas de quantification du CNA et CNA.

b

D=

R Ue R0

p la représentation binaire de l’entier p , présenté à l’entrée du

Remarques : 1) La qualité de la conversion dépend de la tension de référence Ue , qui doit être maintenue constante en dépit de dérives éventuelles dues par exemple à la température. En ajoutant une tension de référence sur l’entrée non inverseuse de l’AO, on peut transformer ce système en convertisseur bipolaire. 2) Ce système, de conception très simple, s’avère à l’analyse être bien vite limité au-delà de 12 bits, voire inexploitable, en raison des valeurs des résistances. En effet, la résistance minimale Rn−1 , associée au bit de poids fort, est reliée à la résistance R 0 par l’équation : Rn−1 =

R0 2n−1

ce qui donne

Rn−1 =

R0 R0 = 11 2 2 048

pour n = 12

Cette résistance ne doit pas être trop petite, sous peine d’introduire un risque de saturation en courant de l’AO, alors que la résistance maximale R 0 doit toujours rester inférieure à l’impédance d’entrée de l’AO (cf. chapitre 8). 3) Cette structure suppose une très grande précision dans la valeur des résistances (cf. Exercices). b) CNA à entrées parallèles et à échelle résistive Les CNA à échelle résistive permettent de corriger les défauts précédents, en n’utilisant que deux résistances, dont l’une est le double de l’autre (Fig. 19.21a). Cette structure en réseau est constituée de cellules élémentaires, de type R −2R , agencées de telle sorte que la résistance, entre la masse et chacun des nœuds de l’échelle, soit identique et égale à R (Fig. 19.21b).

622

19. Conversions analogique-numérique R

Ue

U3

2R

R

U2

2R

R

R

U1

2R

2R

U0

2R

2R

2R

R

2R

a)

b) F IG . 19.21.

Il s’ensuit une variation par palier des tensions U i , de U0 à Ue , selon (Fig. 19.21a) : U0 =

R U U1 = 1 2 R+R

R U U2 = 2 2 R+R

U1 =

ce qui donne : U3 = U e

U2 =

Ue 2

U2 =

R U U3 = 3 2 R+R

Ue 4

U0 =

U1 =

et

U3 = Ue

Ue 8

Associons le réseau R − 2R au montage amplificateur inverseur de la figure 19.22. U3

R

U2

I3 Ue

2R

R

R

U1

I2

I1

2R

2R

K3

U0

K2

I0 2R

K1

2R K0 R

I −

e

∞

+

Us

F IG . 19.22.

La rétroaction négative de l’AO lui assure un fonctionnement en régime linéaire, d’où : U s = −R  I avec : I3 =

U3 U = e 2R 2R

I2 =

et

I = k 3I 3 + k2 I2 + k 1I 1 + k0 I0

U2 U = e 2R 4R

I1 =

U1 U = e et 2R 8R

I0 =

U0 U = e 2R 16R

La tension de sortie devient, si k0 est la variable associée au bit de poids faible : Us = −R





Ue Ue 1 Ue 1 Ue 1 k3 + k2 + k1 + k0 2R 2R 2 2R 4 2R 8



3

R Ue  ki 2 i =− R 24 i=0

623

Conversions analogique-numérique soit : Us = − p D

où

bp

=

3 

ki 2i

et

D=

i=0

R U e R 24

désignent respectivement le code binaire associé au nombre entier p à l’entrée du CNA et le pas de conversion du CNA. Ainsi, avec un CNA à 4 bits, l’entier 0 , représenté par le code binaire b 0 0 0 0 , donne en sortie la tension Us = 0 V . En revanche, l’entier 14 , codé b 1 1 1 0 , où le bit 0 est associé au poids faible, donne en sortie Us = −14 D . c) CNA à entrée série Dans le cas de transmissions sur des distances supérieures au mètre, il est souhaitable de diminuer le nombre de connexions en privilégiant une architecture série. La figure 19.23 donne un exemple de transmission série pour un code de 4 bits. N

1100 bp

A

Us

E

F IG . 19.23.

1 2 K C

C

u C,1

C1

uC,2

C2

F IG . 19.24.

Le système de conversion, synchronisé par une horloge, doit être en mesure de détecter la présence du premier bit du mot à convertir, ou du bit précédent, appelé bit de démarrage. Notons que, dans beaucoup d’applications, on rajoute un code de détection et de correction d’erreurs afin de contrôler la qualité de la transmission série. Considérons le circuit de la figure 19.24, constitué par une source de tension stationnaire E , connectée à deux condensateurs C 1 et C2 , de même capacité C , initialement déchargés. Un interrupteur K , pouvant se trouver exclusivement en positions 1 ou 2 , permet de relier les deux condensateurs. i) K est en position 1 Le condensateur C 1 se charge jusqu’à ce que sa tension atteigne la valeur uC,1 = E = q/C . ii) K bascule en position 2

Le condensateur C1 transfère la moitié de sa charge à C 2 jusqu’à l’équilibre, puisqu’il est de même capacité. Comme C2 est initialement chargé, alors u C,2 (0) = 0 . À l’équilibre, les nouvelles tensions aux bornes des condensateurs sont égales et valent : uC,1 = u C,2 =

E + uC,2 (0) 2

Dans le montage de la figure 19.25, on associe le réseau électrique précédent à un AO monté en suiveur. Au cours de chacun des n cycles, n = 4 étant la taille du nombre à convertir, l’interrupteur K est séquentiellement en positions 1 , 2 puis 3 . Le nombre binaire b p à convertir est représenté par 4 bits en série, depuis le bit de poids faible jusqu’au bit de poids fort.

624

19. Conversions analogique-numérique 2

1 C

E

J

3

K u C,1

C1

C

+ C

u C,2

∞

e -

C2

Us

F IG . 19.25.

Analysons les différentes phases de la conversion analogique : i) Début du cycle 1 , à t = 0 La conversion série démarre par le bit de poids faible auquel on associe la variable logique k 0 . En position 1 , l’interrupteur K permet au premier condensateur de se décharger, d’où u C,1 = 0 . Lorsque K est en position 2 , le condensateur 1 mémorise l’état du bit k0 , soit uC,1 = k0E , alors que le second condensateur est au potentiel uC,2(0) nul. Le basculement de K en position 3 assure le transfert des charges entre les deux condensateurs selon : uC,2 = uC,1 =

k 0E + uC,2 (0) 2

avec u C,2(0) = 0 d’où uC,2 = k0

E 2

ii) Démarrage du cycle 2 , à t = t 1 La charge précédente stockée par le condensateur 1 est remise à 0 , lorsqu’on bascule K en position 1 , alors que le condensateur 2 conserve sa charge uC,2 (t1) . On applique la même séquence avec uC,1 = k1 E pour K en position 2 , puis en position 3 ; le transfert des charges implique : uC,2 =

k1 E + uC,2(t 1) 2

avec u C,2(t 1) =

k0E 2

d’où u C,2 = k 1

E E + k0 2 2 2

iii) Début du cycle 3 , à t = t 2 En effectuant le même raisonnement avec le basculement séquentiel de K en position 1 , 2 puis 3 , on obtient, en fin de cycle : E E E uC,2 = k 2 + k 1 2 + k0 3 2 2 2 iv) La conversion se termine au quatrième cycle, puisque l’entier p à convertir est codé sur 4 bits dans l’exemple choisi. On décharge le condensateur 1 afin de définir le potentiel k 3 E à ses bornes, avant le transfert de charges entre le premier condensateur et le second qui est chargé. Avec l’interrupteur K en position 3 , on a : uC,2 = k 3

E E E E + k 2 2 + k 1 3 + k0 4 2 2 2 2

Ainsi, à la fin des quatre étapes de conversion, la tension aux bornes du condensateur 2 se met sous la forme : uC,2



1 1 1 1 = E k3 + k2 2 + k 1 3 + k 0 4 2 2 2 2



3 E  i ki 2 = 4 2 i=0

soit

u C,2 = (b p) D

où

D=

E 2n

est le pas de conversion du CNA. En fermant l’interrupteur J , on rend disponible en sortie la tension analogique, avec une adaptation d’impédance assurée par le montage suiveur de tension.

625

Conversions analogique-numérique Par exemple, pour l’entier p = 12 , représenté par le mot binaire k1 = 0 , k 0 = 0 à la fin des quatre cycles), on obtient : uC,2 =

bp

= 1100 ( k 3 = 1 , k2 = 1 ,

3E 12E = 4 16

ce qui est conforme à la définition de la conversion numérique analogique u C,2 = pD avec D = E/24 .

CONCLUSION Retenons les points essentiels. 1) Les convertisseurs analogiques numériques (CAN) et numériques analogiques (CNA) réalisent la conversion réciproque entre un système entièrement numérique, par exemple un calculateur, et les systèmes analogiques placés le plus souvent à la sortie des capteurs physiques (de température, de pression, d’accélération, · · · ). 2) Un CAN à n bits fait correspondre un code de sortie numérique à n bits à un signal d’entrée analogique stationnaire ; la fonction de conversion est le nombre de pas de quantification contenus dans la variation crête à crête du signal.

3) La fréquence maximale f M du spectre d’un signal à numériser est une grandeur essentielle puisqu’elle conditionne le choix de la fréquence d’échantillonnage fe du CAN, laquelle satisfait à la condition de Shannon-Nyquist fe  f SN avec f SN = 2f M . 4) Trois paramètres permettent de caractériser un CAN : la pleine échelle, définie par les tensions minimale et maximale autorisées pour la tension d’entrée, le nombre de bits, qui assure la précision sur le codage, et la fréquence d’échantillonnage, qui détermine la bande passante du convertisseur et donc la fidélité du signal restitué. 5) Comme la fréquence d’échantillonnage et le nombre de bits jouent un rôle décisif dans le flux d’informations et le stockage des données, des techniques de compression de données sont-elles mises en œuvre afin de réduire le flux de l’information redondante. 6) Un CNA transforme réciproquement une valeur numérique en un signal analogique, tension ou courant, qui lui est proportionnel ; le coefficient de proportionnalité est le pas de conversion.

EXERCICES ET PROBLÈMES P19– 1. Graphes de transfert pour un CAN 3 bits Tracer les graphes de transfert pour un CAN 3 bits unipolaire ou bipolaire, dans les deux cas d’une conversion par arrondi ou par troncature. P19– 2. Codage CAN 6 bits Sachant qu’un CAN à 6 bits fournit le code b 1 0 1 1 0 1 par troncature, lorsque la tension d’entrée est 2, 71 V , déterminer le code en sortie correspondant à une tension d’entrée de 3, 4 V .

626

19. Conversions analogique-numérique

P19– 3. Utilisation d’un CAN On considère un CAN qui code, par valeur inférieure, un enregistrement sonore, avec n = 16 bits et une fréquence d’échantillonnage fe = 44, 1 kHz . La plage de conversion des tensions d’entrée s’étend de 0 à 10 V . 1. Calculer le pas de conversion D . 2. À l’instant t k , le signal d’entrée est la tension analogique uk . Trouver, à la microseconde près, la durée qui sépare tk de l’instant tk+1 , auquel on peut présenter le prochain échantillon de tension. 3. Déterminer la fréquence maximale f M du spectre du signal d’entrée que l’on peut convertir avec ce système. 4. Donner le code, en base 10 et en base hexadécimale, correspondant à une tension d’entrée de 2, 78 V . Quel est, au microvolt près, l’intervalle des tensions représentées par le même code numérique ? 5. Estimer l’erreur commise sur la conversion de 2, 78 V , si on arrondissait le pas de conversion à 152 mV . P19– 4. CAN unipolaire Un CAN unipolaire à 10 bits, de fréquence maximale d’échantillonnage f e = 10 MHz , est caractérisé par un pas de conversion de 2, 1 mV . 1. Calculer la résolution du convertisseur. 2. Trouver le code en sortie si l’entrée vaut 1, 57 V , pour une conversion par arrondi et pour une conversion par troncature. 3. Indiquer la durée de conversion selon la structure du CAN : à conversion simultanée, à rampe et à pesées successives. 4. Donner la valeur du signal d’horloge interne au CAN, permettant de respecter la valeur d’échantillonnage fe = 10 MHz , pour une conversion flash, à rampe ou à pesées successives. P19– 5. CAN unipolaire et CAN bipolaire

web

Un CAN à 16 bits fonctionne avec une pleine échelle en tension égale à 8 V . 1. Le CAN est unipolaire. a) Donner le code correspondant à la tension 2, 071971 V pour une conversion par troncature, puis pour une conversion par arrondi. b) L’erreur spécifiée par le constructeur est de 1% de la pleine échelle. Déterminer l’écart correspondant à cette erreur. Commenter. 2. Le CAN est bipolaire et son codage s’effectue par arrondi. Trouver le code associé à la tension d’entrée d’amplitude 2, 071971 V .

627

Conversions analogique-numérique P19– 6. CNA à résistances pondérées

Un CNA à 8 bits est réalisé sur la base d’une structure à entrées parallèles et à résistances pondérées. 1. Quelles sont les valeurs des résistances, sachant que la plus faible d’entre elles doit être égale à 2 kV ? Préciser la valeur de la résistance qui code le pas de codage, précisément la valeur de la tension analogique correspondant à une variation d’une unité pour le bit de poids faible. 2. Sachant que la résistance de rétroaction négative vaut R = 1 kV et que la f.e.m du générateur d’entrée est E = 3, 3 V , calculer le pas de quantification. 3. Trouver la valeur de la tension associée au code hexadécimal

h

F F présenté en entrée.

4. On souhaite que l’erreur due à la tolérance des résistances ne dépasse pas la moitié du pas de conversion. On suppose, pour simplifier, que la résistance de rétroaction R ne présente pas de dispersion et que les huit résistances ont la même tolérance. Quelle est cette tolérance ? P19– 7. Utilisation d’un CNA Un CNA unipolaire de 12 bits a son pas de conversion égal à 800 mV . 1. Calculer la valeur de la tension pleine échelle, ainsi que la résolution du CNA en pourcentage de la pleine échelle. 2. L’erreur pleine échelle est de ±0, 5% . Donner la plage des sorties possibles correspondant au code hexadécimal h 0 F 7 . web

P19– 8. Structure d’un CAN à modulation de durée

Sur la figure 19.26, les AO qui composent la structure du CAN sont idéaux avec des tensions de saturation symétriques égales à 9 V en valeur absolue. La tension d’entrée est U e = 5 V . K2

UZ

C K1

R −

E

+

R1

∞

uc

R2

F

−

∞

+

NON S

1

ET &

Compteur n bits RAZ

Ue

K3

3, 3 V

F IG . 19.26.

1. Quelles sont les caractéristiques du signal d’entrée (signe et plage de variation) ? Le nombre de bits du CAN est-il limité ? Donner les avantages de cette structure par rapport à celle d’une rampe numérique. 2. On présente, à l’instant t1 = 5 ms , une tension analogique de 2, 5 V . En supposant nulle la charge du condensateur à cet instant, déterminer la durée nécessaire au montage intégrateur pour atteindre la tension −2, 5 V . On donne R = 10 kV et C = 1 mF .

628

19. Conversions analogique-numérique

3. Quel est le mode de fonctionnement du second étage à base d’AO ? Justifier l’utilisation de la diode Zener. Déterminer la valeur de la tension UZ qui assure la compatibilité avec les étages logiques placés en aval. 4. Le signal d’horloge a une fréquence de 100 kHz . Sachant qu’à l’instant t = 5 ms le compteur est remis à 0 , trouver le code numérique correspondant à 2, 5 V . Établir la loi de conversion numérique. 5. Expliciter la séquence de commande des interrupteurs. Comment améliorer le système afin de définir parfaitement le code de sortie ? Proposer une modification de la structure qui permette une conversion de signaux positifs ou négatifs. Comment évaluer la fréquence d’échantillonnage de ce CAN ? P19– 9. Séquence à décoder Dans le montage de la figure 19.27a, le bistable non inverseur du CAN a ses deux seuils de basculement à 1, 25 V et 3 V , respectivement. 1. La tension u e varie entre 0 et 5 V . La capacité du CAN étant de 6 bits, avec le bit 0 de poids faible et le bit 5 de poids fort, calculer le pas du CAN. 2. Donner la ou les conditions sur ue pour lesquelles le bit 4 est toujours égal à 1 , dans une conversion par troncature. 3. Le compteur est sensible aux fronts descendants de l’horloge. À la mise sous tension, l’afficheur indique 0 . On applique à l’entrée le signal ue(t) présenté sur la figure 19.27b. Quelle est la valeur affichée par le système au cours de l’évolution de ue ? A Bit 4 N

N-OU

1 ue

Compteur 4 bits

Afficheur 7 segments

1 0 a) ue (V) 3

1,25 t b) F IG . 19.27.

20 Théorie de la communication de Shannon Dans le développement des communications, entre une source émettant un message et un récepteur éloigné qui le détecte, à travers un canal de transmission (vide ou milieu matériel), s’est posé rapidement le problème de la capacité du canal à transmettre un très grand nombre de signes avec une fiabilité suffisante. Aussi la nécessité d’évaluer quantitativement cette capacité à transmettre des symboles s’estelle très vite manifestée. Les premières tentatives d’évaluation datent des contributions de Nyquist en 1924 et de l’ingénieur américain R. Hartley en 1928, mais une étape décisive fut franchie en 1949 par Shannon lorsque parut son article intitulé « Théorie mathématique de la communication ». Dans sa théorie, Shannon s’intéresse essentiellement au canal de transmission, qui relie la source du message au récepteur, précisément à sa capacité à transmettre le maximum de symboles, sans se préoccuper de leur signification sémantique. Shannon ne répond pas à la question fondamentale « Qu’est-ce que le canal transmet ? », mais à la question technique « Qu’est-ce que le canal peut transmettre ? ». Il en résulte que le concept d’information introduit par Shannon diffère sensiblement de celui qu’en donne le sens commun. En outre, sa théorie est essentiellement probabiliste (cf. annexe 5) : on admet que la source peut émettre plusieurs messages avec des probabilités différentes, et que ces messages, une fois émis, sont transmis par le canal de transmission, puis détectés par un récepteur avec une certaine probabilité, variable d’un message à l’autre.

I . — INFORMATION MANQUANTE ASSOCIÉE À UNE SOURCE I . 1 . — Messages émis par une source Soit une source X émettant, vers un récepteur Y , à travers un canal de transmission, un ensemble discret de s messages xs , l’indice s rappelant source ou état (state en anglais), avec des probabilités respectives P s , en général différentes les unes des autres (Fig. 20.1a). On sait que l’on peut se ramener aisément à ce cas en numérisant le signal émis, quelle que soit sa nature physique (acoustique, électrique, optique, etc.). xs

Ps

x 2 P2

x 1 P1 Source a)

xe

Pe

yr P r

Émetteur X Canal de transmission b) F IG . 20.1.

Récepteur Y

630

20. Théorie de la communication de Shannon Exemples

1) Dans un télégraphe, la source émet deux messages, le point et le trait, le premier de faible durée 0, 2 s , avec une probabilité P1 = 2/3 , et le second, de longue durée 0, 6 s , avec une probabilité P2 = 1 − P1 = 1/3 .

2) Un paquet de cartes à jouer peut être considéré comme une source d’information, si l’on s’intéresse au message constitué par exemple par quatre cartes tirées d’un jeu de bridge ; on rappelle qu’un tel jeu comporte 52 cartes, regroupées en quatre séries, deux noires (majeur-pique et mineur-trèfle) et deux rouges (majeur-cœur, mineur-carreau), et qu’il y a 13 cartes par série : quatre honneurs (as, roi, dame, valet) et neuf basses (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). La probabilité de tirer quatre cartes quelconques, dans un ordre déterminé, parmi les 52, est donc : P4 =

1 1 1 1 1 ≈ 1, 54 × 10−7 = × × × 52 51 50 49 6 497 400

Notons que le nombre d’arrangements de 4 cartes tirées dans un jeu qui en comporte 52 est précisément l’inverse de P4 : A452 =

52! 52 × 51 × 50 × 49 × 48! = = 52 × 51 × 50 × 49 = 6 497 400 (52 − 4)! 48!

3) Une image de télévision est définie par un ensemble de pixels (contraction de pictures elements), c’est-à-dire d’éléments picturaux, de dimensions très faibles, que l’on distingue à l’aide d’une échelle comportant souvent 28 = 256 niveaux équiprobables. La probabilité de l’un de ces niveaux, pour un pixel, est : 1 P1 = = 3, 9 × 10−3 256 4) En optique, on interprète le facteur de transmission en flux lumineux t d’un film partiellement transparent, qui est compris entre 0 et 1 , comme la probabilité pour que le faisceau lumineux traverse le film (cf. Optique). On numérise le résultat en introduisant plusieurs niveaux de gris. I . 2 . — Information manquante associée à un message La définition de l’information manquante associée à un message s’appuie sur l’analyse simple suivante. i) Lorsqu’un message est totalement prévisible par un récepteur ( P s = 1 ), car on connaît son contenu, l’information qui manque à l’observateur est nulle. En revanche, si le message est totalement inattendu ( P s = 0 ), l’information qui lui manquait était maximale. Ainsi, l’information manquante du message x s , de probabilité P s , est d’autant plus grande que sa probabilité est faible, ce que l’on résume sommairement par la phrase : « Informer, c’est surprendre ». L’information manquante est celle que le récepteur acquerrait en recevant le message ; elle est donc d’autant plus grande que le nombre de messages différents qu’il aurait pu recevoir est élevé. ii) Si les probabilités d’un événement composite sont les produits des probabilités d’événements élémentaires, comme c’est le cas lorsqu’ils sont indépendants (cf. Thermodynamique), les informations manquantes s’ajoutent. Aussi choisit-on une fonction logarithmique de la probabilité pour définir l’information manquante.

Théorie de la communication de Shannon

631

On appelle information manquante associée au message x s de la source, de probabilité P s , la quantité sans dimension suivante :   1 = − lb P s I s = lb Ps lb étant le logarithme binaire (base 2) que l’on choisit généralement en raison de l’intérêt technique de la transmission binaire ; Is s’exprime alors en shannon, brièvement Sh. On aurait pu utiliser d’autres fonctions logarithmiques : avec un logarithme décimal, l’information s’exprimerait en decit ou hartley, le premier nom étant la contraction de decimal digit, le second choisi en hommage à Hartley ; avec un logarithme népérien (base e = 2, 71818... ), l’unité serait le nat, abréviation de logarithme naturel. On passe aisément d’un logarithme à l’autre à l’aide des relations suivantes : 2 lb x = 10 lg x = expln x soit lb x × ln 2 = lg x × ln 10 = ln x ou 0, 693 lb x = 2, 30 lg x = ln x en prenant le logarithme népérien. On établit aisément les propriétés suivantes : i) l’information manquante est une quantité non négative : 0  P s  1 , ii) l’information manquante relative à un événement certain est nulle : si P s = 1 alors I s = 0 , iii) pour deux messages de probabilités P 1 et P2 telles que P 1 > P2 , on a I1 < I 2 , iv) si deux événements sont indépendants, les informations manquantes respectives I 1 et I2 s’ajoutent. Remarque : Soulignons que l’expression information manquante a ici un sens précis qui exclut toute la sémantique contenue dans le langage habituel, c’est-à-dire toute la signification des messages dans le langage courant. Exemples i) Dans l’exemple du télégraphe, les informations manquantes I 1 et I2 valent respectivement :       2 1 3 1 1 = = ln = 0, 585 Sh et I2 = − lb ln 3 = 0, 405 Sh I 1 = − lb 3 0, 693 2 3 0, 693

puisque lb Ps = ln Ps/ ln 2 = ln Ps /0, 693 . ii) Dans le tirage de 4 cartes quelconques, dans un ordre déterminé parmi les 52 d’un jeu de bridge, l’information manquante vaut : 1 ln (6 497 400) = 22, 64 Sh I4 = − lb P4 = 0, 693 C’est précisément cette information que l’on acquiert lorsqu’on prend connaissance des cartes tirées. iii) Dans l’observation d’un pixel d’une image de télévision, l’information manquante qui correspond à ce pixel est :   1 Ip = − lb = − lb (2−8) = 8 Sh 256 L’information que l’on acquiert en observant toute l’image s’obtient en multipliant ce résultat par le nombre de pixels. Si ce nombre est 625 × 500 , on trouve : I = 625 × 500 × 8 = 2, 5 × 10 6 Sh

iv) La densité optique d’un film, que l’on définit par : ln 2 D = − lg t = − lb t ≈ −0, 3 lb t ln 10 t désignant le facteur de transmission en flux lumineux du film (cf. Optique), peut être considérée aussi comme la mesure d’une information.

632

20. Théorie de la communication de Shannon

I . 3 . — Entropie d’une source a) Définition L’entropie d’une source est la valeur moyenne de l’information manquante associée aux différents messages qu’elle peut émettre. Désignons-la, comme Shannon, par la lettre H :      1 H= Ps I s = Ps lb Ps lb P s =− P s s s s la sommation portant sur les différents états s . Notons qu’ainsi définie, H est une grandeur non négative puisque les probabilités sont des nombres compris entre 0 et 1 . Elle s’exprime évidemment avec la même unité que Is , précisément le shannon. Lorsque tous les messages ont même probabilité, l’entropie H vaut, si V est le nombre total de messages :     1 1 1 lb lb V = lb V H=− = V V V s s Exemples i) L’entropie d’un système à deux états, de même probabilité 1/2 est :     1 1 1 1 − × lb = lb 2 = 1 Sh H = − × lb 2 2 2 2

Ce résultat donne au shannon une signification précise : c’est l’entropie d’un système à deux états, de même probabilité. ii) L’entropie des messages envoyés par le télégraphe précédent vaut : H = P 1I 1 + P2 I2 =

2 1 × 0, 585 + × 0, 405 = 0, 525 Sh 3 3

iii) Lors du tirage de 4 cartes quelconques dans un jeu de bridge, les différentes probabilités sont égales à 1/V , d’où l’entropie : 1 ln(6 497 400) = 22, 64 Sh 0, 693   PsIs = I s Ps = Is . On trouve la même valeur que I5 = I4 puisque H = H = lb V = lb (6 497 400) =

s

iv) De même, l’entropie d’un pixel et celle de l’image totale de télévision valent respectivement : H1 = lb V = lb (256) = 8 Sh

d’où H = 625 × 500 × H1 = 2, 5 × 106 Sh

b) Entropie d’une source binaire Une source est binaire lorsqu’elle peut émettre seulement deux messages. Si l’on désigne par P 1 et P2 = 1 − P1 les probabilités correspondantes, l’entropie a pour expression :  H=− Ps lb P s = −P1 lb P1 − (1 − P 1) lb (1 − P1 ) s

Sur la figure 20.2, on a représenté, en fonction de x = P1 , dans l’intervalle [0 ; 1] , les fonctions : f1 (x) = −x lb x = −

x ln x ln 2

f2(x) = f1 (1 − x ) et

f (x) = f1 (x) + f 2(x)

633

Théorie de la communication de Shannon

1

f(x ) f 1(x)

0

f 2(x)

1

0,5

x

F IG . 20.2.

Comme f1 (x) ln 2 = −x ln x = ln(1/x)/(1/x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0 , l’entropie est nulle pour x = 0 et pour x = 1 . En outre, f (x) passe par un maximum pour x = 0, 5 , puisque : df − ln x + ln(1 − x) = 0 et = dx ln 2



d2 f d x2



1 = ln 2 0,5



1 1 − − x 1−x



0,5

=−

4 1 , H (X ) > 0 ; en revanche, pour a < 1 , H (X ) < 0 . I . 4 . — Codage d’une source Le codage d’une source consiste à réécrire les différents messages qui sont émis par cette source d’information, afin d’augmenter leur concision, tout en assurant leur réversibilité, c’est-à-dire la restitution des messages initiaux malgré les perturbations que peuvent subir les canaux de transmission. Une telle concision, qui revient à réduire les redondances contenues dans un message, permet de minimiser le coût du transport de l’information en diminuant son flux à travers le canal de transmission. Entre la source d’information caractérisée par l’ensemble {x s} des valeurs qu’elle peut émettre, avec la probabilité {Ps } , c’est-à-dire son alphabet, et le canal de transmission, on insère un codeur qui fait correspondre une suite binaire à cet alphabet. Remarque : Le codage a souvent une autre fonction, sans influence sur la réversibilité, que nous n’étudierons pas ici, celle de rendre le message intelligible au seul destinataire prévu et donc indéchiffrable à tout intercepteur indiscret. Il relève alors de la cryptographie, que l’on doit distinguer de la stéganographie, laquelle consiste à camoufler un message sans le coder. a) Longueur moyenne d’un code Désignons par ns la longueur, en bits, du mot codé affecté au message xs , de probabilité Ps . On appelle longueur moyenne de code la grandeur suivante L , sans dimension physique : L=



Ps ns

s

Cette longueur représente le nombre moyen de bits, par symbole de l’alphabet, qui est nécessaire au codage de la source. Évidemment, L prend sa valeur minimale L m , lorsque le codage a supprimé toute redondance. On introduit alors l’efficacité d’un code et sa redondance, respectivement par les facteurs suivants h et g : h=

Lm L

et

g= 1−h

On voit que l’efficacité h est maximale et vaut 1 pour L = Lm ; la redondance g correspondante est alors nulle.

635

Théorie de la communication de Shannon b) Différents codes binaires

Considérons une source produisant quatre symboles x 1, x 2 , x3, x 4 , avec les probabilités respectives : 1 1 1 1 P1 = P2 = P3 = P4 = 8 4 8 2 L’entropie de la source vaut donc :           1 1 1 1 1 1 1 1 1 H=− Ps lb P s = − + ln + ln + ln ln = 1, 75 Sh 0, 693 8 8 4 4 8 8 2 2 s A priori, on peut coder cet alphabet de plusieurs façons. Cependant, lorsque le codage ne présente pas d’ambiguïté et que sa longueur est minimale, on le qualifie d’optimal. On regroupe généralement les codes en deux familles : les codes de longueur fixe et ceux de longueur variable. i) Code de longueur fixe Dans cette famille, tous les symboles sont représentés par des mots, de même longueur fixée, et en outre distincts, ce qui les rend univoques. Par exemple : x 1 = 00

x2 = 01

x3 = 10

x4 = 11

Comme chaque chiffre binaire du code exige un bit, à chacun des symboles précédents correspondent deux bits. Il en résulte pour la longueur L f de ce code : 

Lf =

Ps ns =

e

1 1 1 1 × 2 + × 2 + × 2 + × 2 = 2 bit 8 4 8 2

ii) Code de longueur variable Les quatre codes suivants, C 1 , C2 , C3 et C 4 , sont de longueur variable : C1

x1 = 00 x 2 = 0

C3

x1 = 0

x 3 = 11

x4 = 1

x 2 = 10 x 3 = 110 x4 = 111

C2

x1 = 1

x 2 = 01 x 3 = 001 x 4 = 0001

C4

x1 = 110 x 2 = 10 x 3 = 111 x 4 = 0

Notons que C 1 est un code avec préfixe, c’est-à-dire que certains mots sont obtenus à l’aide d’autres mots, en ajoutant un symbole. En outre, il n’est pas déchiffrable de façon unique, puisque, avec ce code, les suites x3 x3 x4 x1 et x4 x3 x3 x1 sont codées de la même façon 1111100 . Sa longueur vaut :  1 1 1 1 Lv,1 = Ps ns = × 2 + × 1 + × 2 + × 1 = 1, 25 bits 8 4 8 2 s Les trois autres sont, eux, déchiffrables de façon unique, mais leurs longueurs diffèrent. En effet : L v,2 =



Psn s =

s

L v,3 =



Psns =

1 1 1 1 × 1 + × 2 + × 3 + × 3 = 2, 5 bits 8 4 8 2

Ps ns =

1 1 1 1 × 3 + × 2 + × 3 + × 1 = 1, 75 bits 8 4 8 2

s

Lv,4 =

 s

1 1 1 1 × 1 + × 2 + × 3 + × 4 = 3 bits 8 4 8 2

636

20. Théorie de la communication de Shannon

On peut constater que les longueurs des codes déchiffrables sans ambiguïté sont toutes de valeur supérieure ou égale à celle de l’entropie ( 1, 75 Sh ), d’où la propriété fondamentale suivante : la longueur d’un code déchiffrable est toujours supérieure ou égale à son entropie : LH Il en résulte que le codage optimal est le codage entropique, c’est-à-dire celui dont la longueur est égale à son entropie. Dans l’exemple considéré, les codages 3 et 4 ne diffèrent que par l’affectation des codes aux symboles, et c’est le codage 4, pour lequel on affecte le nombre le plus important de bits aux symboles de faible probabilité, qui est optimal. Remarque : Il n’existe pas de méthode rigoureuse permettant d’obtenir le codage entropique. Cependant deux procédures permettent de s’en approcher : celle de Shannon-Fano et celle de Huffmann (cf. Exercices). I . 5 . — Codage d’un canal de transmission Alors que l’objectif du codage d’une source est la réduction des redondances, dans le but principal de réduire le nombre des informations à transmettre, sans perte d’information décisive, le codage d’un canal vise principalement à le protéger de perturbations extérieures et donc à réduire la probabilité d’erreur du fait de ces perturbations. On y parvient, d’une part en renonçant à la suppression totale des redondances dans le codage de la source, d’autre part en introduisant une redondance systématique dans le flux de données provenant de la source.

II . — INFORMATION MUTUELLE DE DEUX SOURCES Tout système de communication se présente comme un canal de transmission entre une source, l’émetteur X à l’entrée du canal, et le récepteur Y à sa sortie. Comme ce dernier peut lui aussi être considéré comme une source vers un autre récepteur, on dira que X et Y sont des sources qui délivrent des messages, de probabilités respectives {P(xe )} et {P(yr)} ; les indices e et r ont été choisis pour rappeler qu’ils concernent respectivement l’émetteur à l’entrée et le récepteur à la sortie (Fig. 20.1b). II . 1 . — Information conjointe, information conditionnelle et information mutuelle Les messages délivrés par les sources étant reliés, on est conduit à introduire : i) la probabilité conjointe P(x e , yr) pour que les événements x e et y r soient tous les deux réalisés, ii) la probabilité conditionnelle P(y r |xe ) pour que y r soit reçu, sachant que x e a été émis, iii) la probabilité conditionnelle P(x e |yr ) pour que x e ait été émis, sachant que yr a été reçu. La relation entre ces différentes probabilités est donnée par la formule de Bayes sur les probabilités conditionnelles (cf. annexe 5) : P(xe, yr ) = P(xe)P(y r|xe ) = P(yr)P(x e |y r) On introduit alors l’information conjointe aux événements xe et y r , ainsi que leur information conditionnelle I(xe |yr ) , c’est-à-dire l’information associée à x e , sachant que yr a été reçu : I (xe , yr) = − lb P(xe, y r )

et

I (xe |yr ) = − lb P(xe |yr )

637

Théorie de la communication de Shannon

Un concept commode est celui du gain d’information que procure la connaissance du message reçu yr , lorsque la source a émis le message xe , c’est-à-dire la différence :   P(x e |y r) I (x e ) − I (xe |yr ) = − lb P(xe) + lb P(xe |y r) = lb P(xe ) Cette quantité est inchangée lorsqu’on permute les rôles de xe et de yr . En effet, d’après l’égalité de Bayes, on a       P(xe |yr ) P(xe , yr ) P(y r |xe) lb = lb lb P(xe) P(xe)P(y r ) P(yr) Aussi désigne-t-on par information mutuelle la quantité : 

P(x e , yr) Im (xe , yr ) = lb P(x e)P(yr )



Remarque : Si les deux événements xe et yr sont indépendants, l’information mutuelle est nulle car la probabilité conjointe P(x e , yr ) est le produit des deux probabilités P(xe ) et P(yr ) . Notons que l’information mutuelle peut être négative, car on peut avoir P(x e, yr) < P(x e)P(y r) (cf. Exercices). Exemple : dans une région où la probabilité pour qu’il pleuve est de 0, 3 , un métérologue M fournit, la veille, des prévisions sur le temps pluvieux qu’il fera le lendemain, avec une probabilité de réussite de 0, 75 . En outre, la probabilité pour qu’il annonce un temps pluvieux est 0, 2 . On a donc, si x1 désigne l’événement « prévision d’un temps pluvieux annoncé par M » et si y1 est l’événement « temps pluvieux » : P(x 1) = 0, 2 P(y1) = 0, 3 P(y1 |x1) = 0, 75 d’où : P(x1, y1) = P(y 1|x1 )P(x 1) = 0, 75 × 0, 2 = 0, 15

et

P(x1 |y1) =

0, 15 P(x1 , y1) = 0, 5 = 0, 3 P(y 1)

On en déduit les informations correspondantes : I (x1, y1) = − lb P(x 1 , y1 ) = 2, 74 Sh et : Im (x1 , y1) = − lb



I (x1|y1) = − lb P(x1 |y1) = 1 Sh

   P(x1 |y 1) P(y1 |x1) = − lb = 2 Sh P(x1 ) P(y1 )

II . 2 . — Entropie conjointe et entropie conditionnelle L’entropie conjointe de deux sources X et Y , qui peuvent émettre plusieurs messages, est la valeur moyenne de l’information conjointe associée aux messages de X et Y : H (X , Y ) = −

 e

r

P(x e, y r ) lb P(xe, yr )

638

20. Théorie de la communication de Shannon

Explicitons cette expression de H (X , Y ) , à l’aide de la formule de Bayes :    P(xe, y r) lb P(xe , yr ) = − P(x e, yr ) lb P(yr ) − P(xe, yr ) lb P(xe|yr ) − e

r

e

r

e

r

 Comme e P(x e , yr ) = P(yr ) , le premier terme du second membre représente l’entropie H (Y ) du récepteur. Quant au second, on l’appelle l’entropie conditionnelle des sources X et Y : H (X |Y ) = −

 e

r

P(x e, y r ) lb P(xe|y r)

On a donc, entre l’entropie conjointe et l’entropie conditionnelle, la relation suivante : H (X , Y ) = H (Y ) + H (X |Y ) On trouve une relation analogue en permutant les rôles de X et Y : H (Y , X ) = H (X ) + H (Y |X ) avec

H (Y , X ) = H (X , Y ) puisque

P(x e , yr) = P(y r, xe )

Remarque : Notons que, contrairement à H (X , Y ) qui est égal à H (Y , X ) , en général H (X |Y ) =  H (Y |X ) . Le cas particulier de l’égalité implique H (X ) = H (Y ) . Exemple : l’alphabet d’une source d’information binaire X est constitué de deux symboles 0 et 1 (Fig. 20.3) : Pe (0) = 0, 4 et Pe (1) = 0, 6 . Le récepteur Y est lui aussi binaire. 0 Émetteur X 1

P e(0)

0, 9

Pr (0)

0, 1 0, 2 P e ( 1) Pr (1) 0, 8 Canal de transmission F IG . 20.3.

0 Récepteur Y 1

Le canal de transmission vers le récepteur est caractérisé par P(yr = 0|x e = 0) = 0, 9 , P(yr = 0|xe = 1) = 0, 2 P(y r = 1|x e = 0) = 0, 1 et P(y r = 1|xe = 1) = 0, 8. On en déduit : P(yr = 0, xe = 0) = P(y r = 0|xe = 0)P e (0) = 0, 9 × 0, 4 = 0, 36 , P(yr = 0|x e = 1)P e(1) = 0, 2 × 0, 6 = 0, 12 , P(yr = 1|x e = 0)P e(0) = 0, 1 × 0, 4 = 0, 04 ,

P(yr = 1|x e = 1)P e(1) = 0, 8 × 0, 6 = 0, 48 . d’où : Pr (0) = P(yr = 0|xe = 0) × P e(0) + P(yr = 0|xe = 1) × Pe (1) = 0, 36 + 0, 12 = 0, 48 et : Pr (1) = P(yr = 1|xe = 0) × P e(0) + P(yr = 1|xe = 1) × Pe (1) = 0, 04 + 0, 48 = 0, 52

639

Théorie de la communication de Shannon

Toutes ces probabilités permettent de calculer H (X ) , H (Y ) , H (X |Y ) , H (Y |X ) et H (X , Y ) , respectivement :  1 (0, 4 × ln 0, 4 + 0, 6 × ln 0, 6) ≈ 0, 971 Sh H (X ) = − P(x e ) lb P(xe) = − 0, 693 e H (Y ) = −

 r

H (Y |X ) = −

P(x r) lb P(xr ) = −

 e

r

1 (0, 48 × ln 0, 48 + 0, 52 × ln 0, 52) ≈ 0, 999 Sh 0, 693

P(xe , yr) lb P(y r|x e)

−0, 36 × lb 0, 9 − 0, 12 × lb 0, 2 − 0, 04 × lb 0, 1 − 0, 48 × lb 0, 8 = 0, 621 Sh   Quant à H (X , Y ) = H (Y , X ) = e r P(x e, yr ) lb P(xe , yr ) , il vaut : =

H (X , Y ) = 0, 36 × lb 0, 36 + 0, 12 × lb 0, 12 + 0, 04 × lb 0, 04 + 0, 48 × lb 0, 48 = 1, 592 Sh

On vérifie alors que la relation H (X , Y ) = H (X ) + H (Y |X ) est bien satisfaite, et on en déduit H (X |Y ) , respectivement : H (X ) + H (Y |X ) = 0, 971 + 0, 621 = 1, 592 = H (X , Y ) et :

H (X |Y ) = H (X , Y ) − H (Y ) = 1, 592 − 0, 999 = 0, 593 Sh II . 3 . — Information mutuelle moyenne a) Définition On appelle information mutuelle moyenne de deux sources X et Y la moyenne statistique de l’information mutuelle :    P(xe, yr ) Im(X , Y ) = P(xe , yr) lb P(x e)P(yr) e r Puisque Im (X , Y ) = Im (Y , X ) , on a évidemment : Im(X , Y ) = I m (Y , X ) Exemple : calculons I m(X , Y ) pour la source binaire précédente, telle que Pe (0) = 0, 4 , Pe(1) = 0, 6 , et, comme on l’a vu, Pr (0) = 0, 48 et P r(1) = 0, 52 :         0, 36 0, 04 0, 12 0, 48 +0, 04 lb +0, 12 lb +0, 48 lb = 0, 378 Sh Im (X , Y ) = 0, 36 lb 0, 192 0, 208 0, 288 0, 312 b) Relation entre entropie conjointe, entropie conditionnelle et information mutuelle moyenne

On déduit aisément de la définition précédente une relation simple entre l’information mutuelle moyenne, l’entropie conjointe et l’entropie conditionnelle. En effet :      P(x e|y r ) Im (X , Y ) = P(xe , yr ) lb P(xe, yr ) lb P(xe|y r ) − P(x e ) lb P(xe ) = P ( x ) e e r e r e On a donc, en tenant compte des définitions de l’entropie et de l’entropie conditionnelle : I m(X , Y ) = H (X ) − H (X |Y)

soit aussi

puisque H (X , Y ) = H (X ) + H (Y |X ) = H (Y ) + H (X |Y ) .

I m(X , Y ) = H (Y ) − H (Y |X)

640

20. Théorie de la communication de Shannon

Exemple : retrouvons l’information mutuelle moyenne I m(X , Y ) de la source binaire précédente, à l’aide des expressions déjà calculées de H (X ) , H (Y ) , H (Y |X ) et H (X |Y ) : Im (X , Y ) = H (X ) − H (X |Y) = 0, 971 − 0, 593 = 0, 378 Sh

ou :

I m(X , Y ) = H (Y ) − H (Y |X) = 0, 999 − 0, 621 = 0, 378 Sh c) Positivité de l’information mutuelle moyenne D’après la définition de l’information mutuelle moyenne, on peut écrire :   1  P(xe)P(y r) −Im(X , Y ) = P(xe , yr ) ln ln 2 e r P(xe , yr)

Or, on sait que ln x  x − 1 (Fig. 20.4) :

x−1

1

0

ln x

x −1 F IG . 20.4.

Par conséquent :

soit :

  1  P(x e )P(yr ) −1 −I m(X , Y )  P(xe , yr ) P(xe , y r ) ln 2 e r −Im(X , Y ) 

Comme :

 e

r

P(xe )P(yr ) =



1  P(x e)P(y r ) − P(x e, y r) ln 2 e r

P(x e)

e

il en résulte que −Im (X , Y )  0 , d’où :



P(yr) = 1 et

r

I m(X , Y ) = H (X ) − H (X |Y)  0

 e

et

P(x e, y r) = 1

r

H (X )  H (X |Y )

On en déduit que l’information mutuelle moyenne est toujours positive, alors que l’information mutuelle peut être négative. En outre, l’entropie H (X ) d’une source, qui représente l’information manquante sur cette source, est nécessairement supérieure ou égale à l’entropie conditionnelle H (X |Y ) de cette même source, lorsque l’on connaît les messages de Y . Toute connaissance sur le récepteur Y induit une diminution de la valeur qu’avait l’entropie de l’émetteur avant la perception du message : en d’autres termes, le manque d’information sur la source X a diminué, après connaissance du message perçu par le détecteur Y . Exemple : on peut vérifier ce résultat avec la source binaire étudiée précédemment : H (X |Y )  H (X ) puisque

H (X |Y ) = 0, 593 Sh

et

H (X ) = 0, 999 Sh

641

Théorie de la communication de Shannon d) Relation entre information mutuelle moyenne, entropies des sources et entropie conjointe La comparaison des deux relations précédemment établies : I m (X , Y ) = H (X ) − H (X |Y ) et

H (X , Y ) = H (Y ) + H (X |Y)

donne : I m (X , Y ) = H (X) + H (Y ) − H (X , Y ) Si les sources X et Y sont indépendantes, c’est-à-dire si l’information qu’apporte Y à la connaissance de X est nulle, alors Im (X , Y ) = 0 ; l’entropie conjointe est, dans ce cas, la somme des entropies de chaque source : H (X , Y ) = H (X ) + H (Y ) . Exemple : vérifions la validité de la relation précédente, dans le cas déjà étudié de la source d’information, dont l’alphabet est constitué de deux symboles 0 et 1 , de probabilités Pe (0) = 0, 4 et Pe(1) = 0, 6 , avec le canal de transmission considéré. On trouve, à l’aide des résultats déjà établis : I m(X , Y ) = H (X) + H (Y ) − H (X , Y ) = 0, 971 + 0, 999 − 1, 592 = 0, 378 Sh II . 4 . — Cas d’une distribution de probabilité continue Les définitions précédentes se généralisent aux distributions continues. En effet, si p(x) et p(y) désignent les densités de probabilité de l’émetteur X et du récepteur Y , on a :  ∞ ∞ p ( x ) lb p ( x ) d x H(Y) = − p(y) lb p(y) d y H (X ) = − −∞

−∞

En outre, si l’on note p(y|x) et p(x|y) les densités de probabilités conditionnelles, alors : ∞  ∞  ∞ ∞ p(x, y) lb p(y|x) d x d y H(X |Y ) = − p(x, y) lb p(x|y) d x d y H (Y |X ) = − −∞

−∞

−∞

−∞

On en déduit l’information mutuelle moyenne selon : Im (X , Y ) = H (Y ) − H (Y |X)

ou

Im (X , Y ) = H (X ) − H (X |Y)

Exemple : supposons que l’on ait, entre les variables aléatoires, X à l’entrée et Y à la sortie, la relation simple suivante : y= x+b b désignant la valeur prise par une variable aléatoire gaussienne B , de valeur moyenne nulle. C’est le cas d’un système physique altérant les données d’un instrument par du bruit. L’information mutuelle moyenne s’écrit : Im(X , Y ) = H (Y ) − H(B) puisque H (X | Y ) = H (B) , l’entropie de Y se réduisant à celle de B lorsqu’on connaît X . Calculons donc l’entropie de la densité de probabilité gaussienne du bruit. Si ce dernier est centré et de variance s2b , il vient (cf. annexe 5) :   ∞ b2 1 H(B ) ln 2 = − p(b) ln p(b) d b avec p(b) = exp − 2 (2p) 1/2sb 2sb −∞

642

20. Théorie de la communication de Shannon

soit : H(B ) ln 2 = Ainsi :



∞

p(b) −∞



b2 + ln[(2p)1/2sb ] 2s2b



db =

1 s 2b + ln[(2p)1/2 sb ] = + ln[(2p)1/2 sb] 2 2 2sb

ln e 1/2 ln[(2p)1/2 sb ] = lb (2pes2b)1/2 ln 2 Si, en outre, p(y) est une gaussienne, de variance s 2y :   1 y2 exp − 2 p(y) = (2p) 1/2sy 2sy alors : H(B) =

H (Y ) =

lb (2pes2y )1/2

d’où I m(X , Y ) =

lb (2pes2y )1/2

−

lb (2pes2b)1/2

= lb



sy sb



Ainsi, l’information mutuelle s’identifie au logarithme binaire du rapport signal sur bruit RSB . Les variables aléatoires X et B étant indépendantes, on a la relation suivante entre les variances : s2y = s 2x + s2b

Il en résulte : I m (X , Y ) = lb



s 2x + s2b s2b

1/2



s2 = lb 1 + x2 sb

1/2

soit

Im (X , Y ) ≈ lb



sx sb



si

s x  sb

II . 5 . — Entropie relative de Kullback a) Définition Écrite sous la forme : Im(X , Y ) =

 e

P(xe , yr) lb

r



P(xe, yr ) P(x e)P(yr)



l’information mutuelle Im(X , Y ) peut aussi être considérée comme la valeur moyenne du logarithme d’un rapport entre la probabilité conjointe P(xe , yr ) et une estimation de cette dernière, a priori égale à P(xe)P(y r ) , en l’absence d’indication sur une éventuelle dépendance de ces deux probabilités. Cette interprétation est à l’origine de la définition du concept d’entropie relative, introduite par les mathématiciens américains R. Kullback et S. Liebler en 1951. Pour deux distributions de probabilité, l’une réelle {P s } et l’autre estimée {Q s} , on appelle entropie relative de Kullback la valeur moyenne du logarithme du rapport Ps /Qs :    Ps K (P, Q ) = Ps lb Qs s On voit que si Qs = Ps , l’entropie relative de Kullback est nulle. Exemple : calculons l’entropie relative des deux sources binaires suivantes {P s} et {Qs } : P1 = 0, 2

Il vient :

P2 = 0, 8

et

Q1 = 0, 4

Q2 = 0, 6

         0, 2 0, 8 1 0, 2 0, 8 = K = 0, 2 × lb + 0, 8 × lb 0, 2 × ln + 0, 8 × ln ≈ 0, 13 Sh 0, 4 0, 6 ln 2 0, 4 0, 6

643

Théorie de la communication de Shannon

Remarque : Pour une source émettant des messages dont l’ensemble forme un continuum, l’entropie relative de Kullback a pour expression :   ∞ p(x) K (p, q) = p(x) ln dx q(x) −∞ b) Propriété de l’entropie relative  Montrons que l’entropie relative de Kullback est une quantité positive. Pour cela, exprimons s Ps ln Qs en posant Q s = Ps + Us . Il vient :           Us Us = P s ln Qs = Ps ln(P s + Us ) = Ps ln P s 1 + Ps ln P s + Ps ln 1 + Ps Ps s s s s s Or, on peut déduire du graphe de la figure 20.4 que ln(1 + x)  x . Il en résulte :     Us    soit Ps ln Qs  Ps ln P s + Ps P s ln Qs  Ps ln Ps P s s s s s s    U Q P puisque s s = s s − s s = 1 − 1 = 0 . On a donc, en divisant par ln 2 :      Ps K (P, Q ) = Ps lb Ps lb P s − Ps lb Q s  0 = Q s s s s

C’est probablement parce que l’entropie relative K (P, Q) est nulle ou positive qu’on l’appelle parfois « distance » de Kullback. Cette quantité n’est cependant pas symétrique puisque :    Qs K (Q, P) = Qs lb = K (P, Q) Ps s

Exemple : avec deux sources binaires émettant deux messages, la première avec les probabilités P(1) = 0, 2 et P(2) = 0, 8 et la seconde avec les probabilités Q(1) = 0, 4 et Q(2) = 0, 6 , on trouve :     0, 2 0, 8 K (P, Q ) = 0, 2 lb + 0, 8 lb = 0, 129 Sh 0, 4 0, 6 et :

K (Q, P) = 0, 4 lb



0, 4 0, 2



+ 0, 6 lb



0, 6 0, 8



= 0, 151 Sh

c) Entropie maximale Comme l’entropie relative est positive, il vient :    K (P, Q ) = Ps lb Ps − P s lb Qs  0 d’où H  − P s lb Q s s

s

s

Si la probabilité {Qs } est uniforme, alors Q s est égal à l’inverse du nombre de messages V . Il en résulte :      1 1 H− Ps lb P s et = − lb H  lb V V V s s Ainsi, l’entropie d’une distribution de probabilité est maximale lorsque cette dernière est uniforme.

Remarques : 1) En thermodynamique statistique, l’estimation uniforme des probabilités des différents messages est connue sous le nom d’hypothèse microcanonique (cf. Thermodynamique). 2) Lorsque la distribution estimée {Qs} est uniforme, l’entropie relative de Kullback de  la distribution {P s} est maximale puisque − s P s lb Qs l’est.

644

20. Théorie de la communication de Shannon

d) Redondance d’une source La redondance R(S) d’une source est l’entropie relative de Kullback normalisée par l’entropie d’une distribution uniforme {Qs } :   −H − s Ps lb Qs Ku H −H H s lb (Ps /Qs ) sP   = = = u =1− R(S) = − − Hu Hu Hu s Q s lb Qs s Qs lb Qs

  puisque, {Qs } étant une distribution uniforme, on a Ps lb Q s = Qs lb Qs . Cette quantité mesure donc, en terme d’entropie, l’écart relatif par rapport à la distribution uniforme. Elle permet par exemple de quantifier l’utilisation que l’on fait d’une langue à partir de son alphabet. En effet, toutes les lettres d’un alphabet n’ont pas la même fréquence d’apparition, laquelle varie d’une langue à l’autre ; la redondance mesure l’écart à l’usage hypothétique d’un alphabet dans lequel tous les symboles utilisés auraient une même contribution. Exemple : l’alphabet de la langue française contient 26 lettres auxquelles il faut ajouter 13 lettres accentuées (à, â, ç, é, è, ê, î, ô, ù, û, ö, ï, ë). Pour simplifier, limitons-nous à 6 d’entre elles, d’où le nombre de lettres 26 + 6 = 32 = 25 , ce qui revient à confondre i avec î, o avec ô, u avec ù et û, enfin à ne pas tenir compte du tréma. Sur un texte écrit, suffisamment long, comme cet ouvrage, on peut estimer les probabilités d’apparition des différents signes. Sur le tableau 20.1, on a rassemblé l’ensemble de ces probabilités ; on constate, sans surprise, que la lettre e possède la plus forte probabilité d’apparition ( P e ≈ 0, 13 ), alors que la probabilité de la lettre w est l’une des plus faibles ( P w = 8 × 10 −4 ). Le calcul de l’entropie, avec ces probabilités, donne : H=−

 P s lb P s ≈ 4, 2 Sh

et Hu = lb V = lb 2 5 = 5 Sh

s

Il en résulte une redondance égale à R = 1 − H /Hu ≈ 0, 16 . Remarque : En réalité, l’entropie H précédente est sur-évaluée et donc la redondance R sous-estimée, car certaines lettres n’apportent dans certains conditions aucune information supplémentaire ; c’est par exemple le cas de la lettre u dont la présence est certaine après la lettre q. Caractère

e

t

a

n

i

s

r

u

Probabilité

0,131 6

0,079 6

0,073 2

0,073 2

0,071 0

0,067 3

0,067 2

0,057 3

Caractère Probabilité

o 0,056 7

l 0,050 4

d 0,043 8

c 0,037 9

p 0,030 2

m 0,026 3

é 0,021 7

f 0,019 0

Caractère

g

q

b

h

v

x

y

à

Probabilité

0,015 8

0,014 2

0,014 2

0,011 5

0,011 4

0,010 2

0,003 8

0,003 1

Caractère

è

j

k

z

w

ê

ç

â

Probabilité

0,002 2

0,002 1

0,002 0

0,001 6

0,000 8

0,000 6

0,000 2

0,000 1

TAB . 20.1.

645

Théorie de la communication de Shannon

III . — CANAUX DE TRANSMISSION Le canal de transmission, entre l’émetteur X à l’entrée et le récepteur Y à la sortie, peut être caractérisé par l’ensemble des probabilités conditionnelles P(yr |xe ) donnant les probabilités pour que le message yr soit détecté, sachant que le message x e a été émis. III . 1 . — Représentation matricielle Les relations entre probabilités, dans la formule de Bayes, étant linéaires, il est commode de représenter matriciellement l’ensemble des probabilités. a) Matrice de transmission d’un canal On appelle matrice de transmission d’un canal, la matrice [P(Y |X )] suivante, dont les éléments sont constitués par les probabilités P(yr |xe ) , chaque ligne étant caractérisée par une même valeur de y r et chaque colonne par une même valeur de xe . Ainsi, pour un canal de transmission reliant deux messages à l’entrée ( m = 2 ) à trois messages à la sortie ( n = 3 ), [P(Y |X )] se met sous la forme (Fig. 20.5) : ⎡

⎤ P(y 1 |x 1) P(y 1|x2 ) [P(Y |X )] = ⎣ P(y 2 |x 1) P(y 2|x2 ) ⎦ P(y 3 |x 1) P(y 3|x2 )

par exemple

⎡

0, 7 ⎣ [P(Y |X )] = 0, 2 0, 1

⎤ 0, 2 0, 3 ⎦ 0, 5

Notons que la somme des probabilités conditionnelles sur une colonne doit être égale à 1 , puisque tout message d’entrée aboutit nécessairement à l’un quelconque des messages de sortie (Fig. 20.5) :  r

P(yr|x e) = 1

quel que soit le signal d’entrée

0, 7 0, 2

1 Émetteur X 2

0, 1

xe

1 0, 2 0, 3

0, 5

2 Récepteur Y 3

Canal de transmission F IG . 20.5.

b) Matrices des probabilités d’entrée et de sortie Les matrices des probabilités d’entrée et de sortie sont les matrices colonnes [P(X)] et [P(Y)] que l’on forme à l’aide des probabilités {Pe(x e )} et {P r(yr )} , respectivement. On passe de [P(X)] à [P(Y)] à l’aide de la matrice de transmission selon : [P(Y)] = [P(Y |X )] [P(X)]

646

20. Théorie de la communication de Shannon

En explicitant, pour m = 2 et n = 3 , on obtient : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤  P(y1 ) P(y1 |x1) P(y 1|x2 )  P(y1 |x1)P(x 1) + P(y 1 |x2)P(x 2 ) ⎣ P(y2 ) ⎦ = ⎣ P(y2 |x1) P(y 2|x2 ) ⎦ P(x 1) = ⎣ P(y2 |x1)P(x 1) + P(y 2 |x2)P(x 2 ) ⎦ P(x 2) P(y3 ) P(y3 |x1) P(y 3|x2 ) P(y3 |x1)P(x 1) + P(y 3 |x2)P(x 2 )  ce qui montre bien que P(yr ) = e P(y r|xe ) .

Il convient de noter avec soin l’écriture de la matrice de transmission : ici les lignes sont définies par un même indice de yr et les colonnes par un même indice de x e . En outre, les matrices de probabilités de X et Y sont des matrices colonnes qui doivent être écrites à gauche de la matrice rectangulaire représentant le canal de transmission, comme il est d’usage ailleurs en physique, par exemple en optique géométrique matricielle (cf. Optique). Exemple : calculons la matrice colonne des probabilités à la sortie du canal de transmission, caractérisé par la matrice de transfert précédente, lorsque la matrice des probabilités à l’entrée admet comme ligne Pe(1) = 0, 6 et P e(2) = 0, 4 :

[P(Y |X )][P(X)] = [P(Y)]

soit

⎡

0, 7 ⎣ 0, 2 0, 1

⎤ ⎡ ⎤  0, 2  0, 42 + 0, 08 = 0, 5 0, 6 0, 3 ⎦ = ⎣ 0, 12 + 0, 12 = 0, 24 ⎦ 0, 4 0, 5 0, 06 + 0, 2 = 0, 26

Les probabilités conjointes s’en déduisent par simple lecture : P(xe = 1, yr = 1) = 0, 42 P(xe = 2, yr = 2) = 0, 12

P(xe = 2, yr = 1) = 0, 08

P(x e = 1, y r = 2) = 0, 12

P(xe = 1, yr = 3) = 0, 06

P(x e = 2, y r = 3) = 0, 20

Remarque : Dans une représentation matricielle différente, adoptée par certains auteurs, les matrices sont remplacées par leurs transposées (permutation des lignes et des colonnes) et l’ordre des produits matriciels inversé. c) Matrice des probabilités conjointes Les probabilités conjointes peuvent être obtenues par simple lecture de la multiplication matricielle donnant [P(Y)] . En effet, on a, d’après ce qui précède : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ P(y1 ) P(y1|x 1)P(x 1) + P(y 1|x 2 )P(x2) P(y1 , x1 ) + P(y1 , x2) ⎣ P(y2 ) ⎦ = ⎣ P(y2|x 1)P(x 1) + P(y 2|x 2 )P(x2) ⎦ = ⎣ P(y2 , x1 ) + P(y2 , x2) ⎦ P(y3 ) P(y3|x 1)P(x 1) + P(y 3|x 2 )P(x2) P(y3 , x1 ) + P(y3 , x2)

La matrice P(Y |X ) de transmission du canal permet aussi d’obtenir les probabilités conjointes {P(xe, yr )} en la multipliant à droite par la matrice diagonale [Pd(X)] constituée des probabilités {P(xe)} qui caractérisent l’entrée :   P(x1) 0 [P(X , Y )] = [P(Y |X )] [P d (X)] avec [Pd(X)] = 0 P(x 2) Il vient, en explicitant, pour m = 2 et n = 3 : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤   P(y1|x 1) P(y 1 |x 2) P(y1 |x 1)P(x1 ) P(y1 |x 2 )P(x2) 0 ⎣ P(y2|x 1) P(y 2 |x 2) ⎦ P(x 1) = ⎣ P(y2 |x 1)P(x1 ) P(y2 |x 2 )P(x2) ⎦ 0 P(x2 ) P(y3|x 1) P(y 3 |x 2) P(y3 |x 1)P(x1 ) P(y3 |x 2 )P(x2)

647

Théorie de la communication de Shannon soit, puisque P(yr |xe )P(xe ) = P(x e , yr ) :

⎡

P(x 1 , y1) ⎣ [P(X , Y )] = P(x 1 , y2) P(x 1 , y3)

⎤ P(x 2, y 1) P(x 2, y 2) ⎦ P(x 2, y 3)

Exemple : reprenons l’exemple précédent pour lequel la matrice des probabilités à l’entrée admettait comme lignes Pe (1) = 0, 6 et Pe (2) = 0, 4 . On obtient à l’aide de la matrice conjointe : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤  0, 7 0, 2  0, 42 0, 08 0, 6 0 [P(X , Y )] = ⎣ 0, 2 0, 3 ⎦ = ⎣ 0, 12 0, 12 ⎦ 0 0, 4 0, 1 0, 5 0, 06 0, 2 Là aussi, on obtient les probabilités conjointes par simple lecture. III . 2 . — Exemple de calcul matriciel Proposons-nous de retrouver, par la méthode matricielle, les résultats relatifs au canal binaire déjà étudié (Fig. 20.3). Il vient, pour la matrice de transmission :   0, 9 0, 2 [P(Y |X )] = 0, 1 0, 8 On en déduit la matrice de sortie, selon : [P(Y)] = [P(Y |X )] [P(X)] d’où



P(y 1 ) P(y 2 )



=



0, 9 0, 1

0, 2 0, 8



0, 4 0, 6



=



0, 48 0, 52

Quant à la matrice des probabilités conjointes, on la trouve comme suit :     0, 9 0, 2 0, 4 0 0, 36 [P(X , Y )] = [P(Y |X )] [P d(X)] soit [P(X , Y )] = = 0, 1 0, 8 0 0, 6 0, 04

 0, 12 0, 48



III . 3 . — Capacité d’un canal Rappelons que l’information mutuelle moyenne, qui est toujours positive, apparaît comme la différence entre le manque d’information H (X ) de la source X , avant la consultation des messages en sortie, et le manque d’information H (X |Y ) de la source X , après consultation des messages reçus Y . Cette quantité permet donc de mesurer l’efficacité du canal, entre la source et le détecteur, chargé de transmettre les différents symboles, d’où la définition suivante de la capacité d’un canal. La capacité d’un canal par symbole transmis, entre l’émetteur X et le récepteur Y , est la valeur maximale de l’information mutuelle moyenne Im (X , Y ) de ces deux sources, lorsqu’on fait varier l’ensemble des probabilités sur X : C s = max X Im (X , Y )

ce qui s’écrit aussi

  Cs = maxX H (Y ) − H (Y |X )

Elle s’exprime évidemment en shannon par symbole, brièvement Sh · symb−1 . On définit aussi la capacité Ct d’un canal par unité de temps, c’est-à-dire le flux maximal d’informations transmises par le canal, en multipliant Cs par le flux tqs de symboles dans le canal, ce dernier étant le nombre de symboles transmis par unité de temps : Ct = tqsCs L’unité de Ct est le shannon par seconde ( Sh · s−1 ).

648

20. Théorie de la communication de Shannon

Pour un signal continu, la capacité C t s’exprime aussi par qsC s , mais qs doit prendre la valeur la plus grande, qui est celle pour laquelle le signal émis est restitué fidèlement à la sortie ; cette valeur est obtenue pour la durée minimale de Shannon-Nyquist qui vaut précisément TSN = 1/(2B) , B étant la largeur de la bande passante du canal. On a donc pour un tel signal : qs =

1 T SN

= 2B

d’où

Ct = 2BC s

III . 4 . — Capacité d’un canal binaire symétrique Sur la figure 20.6a, nous avons schématisé un canal binaire symétrique : la source est constituée de deux messages dont les probabilités sont respectivement Pe (1) = a et Pe(2) = 1 − a . On désigne par p la probabilité conditionnelle P(yr = 1|x e = 1) ; en raison de la symétrie, la probabilité conditionnelle P(yr = 2|xe = 2) vaut p aussi.

1

Ps ( 1)

1 −p

Émetteur X 2

p

Pe (1)

Cs 1

1 Récepteur Y

1 −p p Pe (2)

Ps ( 2)

2 0

Canal de transmission a)

0, 5

1

p

b) F IG . 20.6.

Exprimons d’abord la matrice P(X ) et la matrice de transmission P(Y |X ) . On a, respectivement :     a p 1−p et [P(Y |X )] = [P(X)] = 1−a 1−p p On trouve [P(Y)] selon : [P(Y)] = [P(Y |X )] [P(X)] soit

[P(Y)] =



p 1−p 1−p p



a 1−a



=



pa + (1 − p)(1 − a) (1 − p)a + p(1 − a)

Il en résulte l’expression de H (Y ) : H (Y ) = −[pa + (1 −p)(1 − a)] lb [pa+ (1 − p)(1 − a)] − [(1 − p)a + p(1 −a)] lb [(1 − p)a + p(1 −a)] et les probabilités conjointes suivantes lues directement sur [P(Y)] : P(y1 , x1 ) = pa

P(y1, x 2) = (1 − p)(1 − a)

P(y2, x 1 ) = (1 − p)a

P(y2 , x2 ) = p(1 − a)

On en déduit : H (Y |X ) = −

 e

s

P(y r , xe) lb P(yr|x e )

= −pa lb p − (1 − p)(1 − a) lb (1 − p) − (1 − p)a lb (1 − p) − p(1 − a) lb p ce qui donne, en effectuant : H (Y |X ) = −p lb p − (1 − p) lb (1 − p)



649

Théorie de la communication de Shannon

Comme H (Y |X ) est indépendant de X , on obtient la capacité par symbole du canal symétrique en déterminant la valeur maximale de H (Y ) , laquelle vaut 1 Sh , puisque, pour un message binaire, le maximum d’entropie est obtenu lorsque les probabilités sont égales : Pr (1) = Pr(2) = 0, 5 . Finalement :     Cs = max X H (Y ) − H (Y |X ) = max X H (Y ) − H (Y |X) = 1 − [−p lb p − (1 − p) lb (1 − p)] soit :

Cs = 1 + p lb p + (1 − p) lb (1 − p) Sur la figure 20.6b, on a tracé Cs en fonction de p ; ce graphe s’obtient aisément à partir de la fonction f (x) représentée sur la figure 20.2 : Cs(p) = 1 − f (p) . On voit qu’il est symétrique autour de p = 0, 5 et que Cs est nul pour cette valeur de p , ce qui était prévisible puisque, dans ce cas, la transmission relève du hasard : le canal ne sert à rien ! Exemple : soit une source qui émet une information binaire vers un récepteur, avec un flux de 10 000 symb · s−1 et des probabilités égales P e(1) = Pe (2) = 0, 5 . En raison du bruit introduit par le canal de transmission, 0, 5% des messages sont incorrectement transmis, c’est-à-dire que P(x1|y 2) = P(x 2|y 1) ne sont pas nuls, mais valent 0, 005 . Calculons C s : Cs = 1 +

1 × [0, 995 × ln(0, 995) + 0, 05 × ln(0, 05)] ≈ 0, 7766 Sh · symb −1 0, 693

On en déduit la capacité Ct du canal en shannon par seconde : Ct = q s Cs = 7 766 Sh · s−1 III . 5 . — Canal déterministe Un canal de transmission est déterministe si la connaissance des messages envoyés par X induit celle des messages de Y ; en d’autres termes, pour un message xe à l’entrée, il n’y a qu’un seul message yr correspondant en sortie. Tout élément P(yr | xe ) de la matrice de transmission d’un canal déterministe vaut donc 0 ou 1 . Par exemple, le canal représenté sur la figure 20.7, reliant les deux messages à l’entrée aux trois messages en sortie, est déterministe :   1 1 0 P(Y |X ) = 0 0 1 1 1 Récepteur Y

2 Émetteur X

2

3 Canal déterministe F IG . 20.7.

L’entropie conditionnelle H (Y |X ) associée à un canal déterministe est nulle. En effet :   H (Y |X ) = P(xe , yr) lb P(y r|x e) = P(xe )P(yr|x e ) lb P(yr |xe ) = 0 e

r

e

r

650

20. Théorie de la communication de Shannon

car, soit P(yr|x e ) = 0 , soit lb P(y r|xe ) = 0 . On en déduit l’information mutuelle et la capacité du canal selon :  I m(Y |X ) = H (Y ) − H (Y |X ) = H (Y ) = − P(y r) lb P(y r) r

Comme la valeur maximale de I m(Y |X ) est réalisée, lorsque les différentes probabilités P(y r) sont égales, on trouve, si n est le nombre de messages reçus par le récepteur :      1 1 lb soit Cs = max − P(y r) lb P(yr) = − Cs = lb n n r n r Remarque : Le canal binaire étudié précédemment (Fig. 20.6) n’est pas déterministe. III . 6 . — Canal sans perte Un canal de transmission est dit sans perte lorsque tout signal émis par l’émetteur X est nécessairement reçu par le récepteur Y ; en d’autres termes, il n’y a qu’un seul message x e en entrée qui correspond à un message yr en sortie. Cela implique des valeurs des probabilités conditionnelles nulles ou égales à l’unité pour tout message émis, lorsqu’on connaît les messages reçus : P(xe |y r) = 0 ou P(x e |yr ) = 1 La matrice P(X |Y ) , formée par ces probabilités, qu’il faut distinguer de la matrice de transmission P(Y |X ) , est donc constituée d’éléments égaux à 0 ou 1 . Par exemple, dans le diagramme représenté sur la figure 20.8, on a : ⎡ ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ P(X |Y ) = ⎢ 0 1 0 ⎥ alors que P(Y |X ) = ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 1

0,75

2 Récepteur Y

0,25

3

2 Émetteur X 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1

1 1

1 0 0 0 0, 75 0 0 0, 25 0 0 0 0, 1 0 0 0, 9

0,1 4 0,9

5

Canal sans perte F IG . 20.8.

L’entropie conditionnelle H (X |Y ) est nulle, puisque, soit P(x e |yr ) = 0 et donc P(x e|yr) lb P(x e |yr ) = 0 , soit P(xe |y r ) = 1 et lb P(xe |yr ) = 0 :   H (X |Y ) = P(xe , yr ) lb P(xe|y r) = P(yr )P(xe|y r ) lb P(xe |yr ) = 0 e

r

e

r

651

Théorie de la communication de Shannon On en déduit l’information moyenne mutuelle : Im (X |Y ) = H (X ) − H (X |Y ) = H (X ) = −



P(x e) lb P(x e)

e

La connaissance des messages de sortie ne modifie pas l’entropie de la source. Le canal n’introduit aucune perte dans le manque d’information sur la source, d’où son nom. Si le nombre de messages émis par l’émetteur est m , la capacité du canal s’obtient en prenant la valeur maximale de H (X ) soit :      1 1 lb soit Cs = max − P(xe ) lb P(xe) = − Cs = lb m m m e e III . 7 . — Canal sans bruit Un canal est sans bruit s’il est à la fois déterministe et sans perte. La relation entre les messages à l’entrée et à la sortie est alors biunivoque, ce qui implique l’égalité m = n des nombres de messages à l’entrée et à la sortie (Fig. 20.9). On a donc : P(y r |x e) = 1 ou P(y r|xe ) = 0

et

P(xe |y r) = 1 ou P(x e|y r ) = 0

Il en résulte que H (Y |X ) = 0 (canal déterministe) et H (X |Y ) = 0 (canal sans perte). Dans ce canal, les matrices P(Y |X ) et P(X |Y ) s’écrivent (Fig. 20.9) : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 0 1 0 0 P(Y |X ) = ⎣ 0 1 0 ⎦ et P(X |Y ) = ⎣ 0 1 0 ⎦ 0 0 1 0 0 1 D’après ce qui précède, la capacité d’un tel canal a pour expression : C s = lb n = lb m 1

Émetteur X

1 2

2

Récepteur Y

3 3 Canal sans bruit F IG . 20.9.

Remarque : Les canaux de transmission présentent généralement du bruit. Ainsi, le canal binaire symétrique étudié précédemment (Fig. 20.6) est un exemple de canal avec bruit. III . 8 . — Capacité d’un canal avec bruit blanc gaussien additif Reprenons l’exemple de l’addition d’un bruit gaussien B à une source X , au cours de la transmission par un canal. La capacité de ce canal s’obtient en cherchant le maximum de l’information mutuelle moyenne : I m(X , Y ) = H (Y ) − H (Y |X) soit I m (X , Y ) = H (Y ) − H(B) puisque, connaissant X , l’entropie de Y se réduit à celle de B . Il importe alors de déterminer la densité de probabilité qui réalise la valeur maximale de H (Y ) .

652

20. Théorie de la communication de Shannon

Montrons que la densité de probabilité p(y) qui réalise cette valeur maximale est gaussienne. Pour cela, cherchons, par la technique des multiplicateurs de Lagrange (cf. Thermodynamique), le maximum de la fonction de Lagrange L construite à partir de H (Y ) et des contraintes à la fois sur la densité de probabilité et sur la variance (cf. annexe 5) :  ∞  ∞  ∞ H (Y ) ln 2 = − p(y) ln p(y) d y avec p(y) d y = 1 et y2 p(y) d y = s2y −∞

−∞

−∞

Cette fonction de Lagrange peut s’écrire : L(p, l1 , l2 ) = −p(y) ln p(y) − l 1 p(y) − l2 y2p(y) l 1 et l2 étant deux multiplicateurs de Lagrange. Il vient donc : ∂L = −1 − ln p(y) − l1 − l 2y 2 = 0 ∂p On en déduit : ln p(y) = −1 − l 1 − l 2y 2 soit

p(y) = exp(−l1 − 1) exp(−l 2y2 )

qui est une distribution gaussienne. Les relations de contraintes permettent d’exprimer l1 et l2 en fonction de s2y : 1=





∞

∞



p p(y) d y = exp(−l 1 − 1) exp(−l2 y ) d y = exp(−l1 − 1) l2 −∞ −∞ 2

 1/2

et : s2y



∞



∞

1 = exp(−l2y ) d y = exp(−l 1 − 1) y p(y) d y = exp(−l1 − 1) 2 −∞ −∞ 2

2



p l32

1/2

Il en résulte, en divisant la première équation par la seconde : 1 l2 = 2s2y

1 exp(−l 1 − 1) = (2p) 1/2s y

  1 y2 d’où p(y) = exp − 2 2s y (2p) 1/2s y

d’où, d’après le résultat établi en II.4, la capacité par symbole du canal et la capacité par unité temps :  1/2 s2x = lb 1 + Cs s2b

et

Ct = 2BCs = B lb

  s2 1 + x2 sb

B étant la largeur de la bande passante du canal. Voyons ce que devient cette dernière expression pour un bruit blanc, de puissance spectrale b/2 ; il vient, puisque s2b = b/2 × 2B = bB (cf. chapitre 17) :   s 2x B ln 1 + Ct = ln 2 Bb Ordre de grandeur : si B = 5 kHz , s 2x = 0, 5 mW , b = 2 × 10 −12 W.Hz−1 , on trouve Ct = 78 × 10 3 Sh.s−1 .

653

Théorie de la communication de Shannon

CONCLUSION Rappelons les résultats essentiels. 1) La théorie de Shannon est une théorie probabiliste dans laquelle l’information I s d’un message s , de probabilité Ps , est définie par le logarithme binaire de l’inverse de P s :   1 = − lb Ps  0 puisque 0  P s  1 I s = lb Ps Elle permet de déterminer ce qu’un canal d’information, entre une source et un récepteur, peut transmettre. 2) L’entropie d’une source, qui émet plusieurs messages, est la valeur moyenne des informations associées :   H= Ps I s = − Ps lb P s s

s

Pour un ensemble de V messages équiprobables, l’entropie est maximale et vaut H = lb V .

3) L’entropie conjointe et l’entropie conditionnelle d’un émetteur et d’un récepteur, de part et d’autre d’un canal de transmission, sont respectivement :   H (X , Y ) = − P(xe, y r) lb P(xe, yr ) et H (Y |X ) = − P(xe , yr) lb P(yr |x e) e

r

e

r

Entre ces deux entropies, on a la relation suivante : H (X , Y ) = H (X ) + H (Y |X ) = H (Y ) + H (X |Y ) L’information mutuelle entre l’émetteur et le récepteur est la différence entre l’entropie de l’émetteur H (X ) et son entropie conditionnelle H (X |Y ) , une fois révélés les messages détectés par le récepteur : I m(X , Y ) = H (X ) − H (X |Y) soit aussi

I m(X , Y ) = H (Y ) − H (Y |X)

Cette quantité est non négative, car toute connaissance sur le récepteur Y induit une diminution de la valeur qu’avait l’entropie de l’émetteur avant la réception du message. 4) L’entropie relative de Kullback, entre deux distributions de probabilité, l’une réelle {P s } et l’autre estimée {Q s} , est la valeur moyenne du logarithme du rapport Ps/Q s :    Ps K= Ps lb Qs s 5) La capacité d’un canal est la valeur maximale de l’information mutuelle moyenne, lorsqu’on fait varier les probabilités de l’émetteur. Il existe plusieurs types de canaux de transmission. Pour déterminer leur capacité, on doit calculer au préalable l’information mutuelle moyenne et donc les probabilités conjointes et les probabilités conditionnelles. Un moyen technique efficace d’y parvenir est l’utilisation de la matrice de transmission [P(Y |X )] . Pour un canal binaire symétrique, on trouve l’expression suivante de la capacité : Cs = 1 + p lb p + (1 − p) lb (1 − p) p étant la valeur commune des probabilités P(yr = 0|xe = 0) et P(yr = 1|xe = 1) .

6) On a recours au codage des messages émis dans le but de diminuer les redondances, tout en préservant la réversibilité.

654

20. Théorie de la communication de Shannon

L’entropie de Shannon et l’entropie de Boltzmann représentent finalement le même concept exprimé avec des unités physiques différentes. La théorie de Shannon permet d’interpréter l’entropie d’un système thermodynamique comme l’information objectivement manquante, du fait de l’absence de communication. Il est possible de déduire de la théorie de l’information les résultats importants de la physique statistique : on cherche pour cela les conditions dans lesquelles l’entropie est maximale, compte tenu des contraintes. C’est dire que la théorie de Shannon offre un cadre très général qui englobe celui de la physique statistique (cf. Thermodynamique). La relation entre entropie et information manquante joue un rôle essentiel dans la résolution des problèmes inverses, tels qu’ils se posent en théorie du signal et des images. Il s’agit là de restituer rationnellement un objet à partir d’une donnée-image affectée par du bruit, connaissant au moins partiellement le processus de formation de cette image. On utilise des méthodes de recherche du maximum d’entropie. Dans ce contexte, il n’est pas étonnant que le concept d’entropie apparaisse à certains égards comme encore plus fondamental que celui d’énergie.

EXERCICES ET PROBLÈMES P20– 1. Information et entropie d’une source discrète sans mémoire Un émetteur de signaux, discrets et sans mémoire, transmet vers un récepteur, à travers un canal, trois signaux successifs x1 , x2 et x 3 . Les probabilités d’émission de ces signaux sont respectivement : P1 = 0, 3 P2 = 0, 5 P3 = 0, 2 . 1. Quelle est l’entropie H de la source ? 2. Calculer l’information manquante associée aux quatre messages suivants : x1 x2 x3

x 1 x1 x1

P20– 2. L’information dans un jeu de cartes

x1 x2 x2

et x 3 x2 x1

web

Dans un jeu de 52 cartes (pique, cœur, carreau, trèfle), chaque groupe contient, par valeur décroissante l’as, le roi, la dame, le valet, le 10, le 9, le 8, le 7, le 6, le 5, le 4, le 3 et le 2. On tire quatre cartes. 1. Calculer les probabilités P 1 , P2 , P 3 des événements suivants : E1 = 4 as, E2 = 4 cartes qui ne contiennent aucune figure (roi, dame ou valet) et E3 = 4 cartes dont aucune ne contient de carte inférieure au valet. En déduire les informations manquantes associées. 2. Quelle est la valeur de l’entropie H , lors du tirage de 4 cartes ? Comparer H à la quantité d’information qui est nécessaire pour connaître les quatre cartes tirées. 3. Calculer l’information mutuelle I m(2, 3) relative aux événements E 2 et E3 .

655

Théorie de la communication de Shannon P20– 3. Information contenue sur une feuille de papier portant des inscriptions

Sur une feuille blanche, on a inscrit dans un cadre de dimensions 19 cm × 25 cm des caractères en noir. L’information contenue dans ce format est transmise par des pixels carrés de côté 0, 02 cm . Le noir ne couvre que deux pour cent de la page. 1. Quelle est l’entropie d’un pixel ? 2. On veut transmettre cette page en 6 secondes. Quel est le flux d’information correspondant ? P20– 4. Flux d’information provenant d’une image de télévision Une image TV en noir et blanc comporte 4, 8 × 10 6 pixels et 32 niveaux de gris pour chaque pixel. La fréquence de renouvellement des images est de 25 images par seconde. Les niveaux de gris ont même probabilité et les pixels sont indépendants. 1. Calculer l’entropie d’un pixel. 2. On veut transmettre cette image. Quel est le flux d’information correspondant ? P20– 5. Efficacité et redondance d’un code Une source discrète comporte deux symboles x 1 et x2 , de probabilités respectives P(x 1) = 0, 8 et P(x2) = 0, 2 . On les code selon 0 pour x 1 et 1 pour x2 . 1. Calculer l’entropie H (X ) de la source. 2. Quelle est la longueur moyenne du code ? En déduire l’efficacité du codage et sa redondance. P20– 6. Codages de Shannon-Fano et de Huffman Une source émet cinq symboles x 1 , x2 , x3 , x4 , x5 , avec les probabilités respectives suivantes : P1 = 0, 1

P2 = 0, 15

P3 = 0, 15

P4 = 0, 2 et P5 = 0, 4

1. Calculer l’entropie de la source. 2. On code la source selon deux codages, le premier de Shannon-Fano, le second de Huffman : 111 110

10

01

00

et

011

010

001

000

1

Comparer les deux longueurs de code à l’entropie. Conclure. P20– 7. Probabilités des causes

web

On dispose de quatre urnes, U 1 , U2 , U3 U4 , contenant chacune une bille blanche et respectivement 2 , 3 , 4 et 5 billes noires. 1. On extrait une boule blanche d’une urne choisie au hasard. Calculer la probabilité P(1|B) pour que cette boule blanche provienne de l’urne 1. En déduire la probabilité conjointe P(B, 1) . 2. De même, calculer P(2|B) , P(3|B) et P(4|B) . 3. On recommence l’expérience, après avoir remis dans son urne la boule blanche extraite. On tire cette fois une boule noire. Calculer P(1|N ) , P(2|N ) , P(3|N ) et P(4|B) .

656

20. Théorie de la communication de Shannon

P20– 8. Fiabilité du test de séropositivité sur le sida

web

Un test T permet de diagnostiquer la séropositivité S sur le sida, avec les probabilités conditionnelles suivantes : P(T |S) = 0, 9 et P(T |S) = 0, 9

Dans ces expressions, T est l’événement « test positif » et T l’événement complémentaire « test négatif » ; de même, S est l’événement « séropositivité » et S l’événement complémentaire « séronégativité » ; P(T |S ) représente donc la probabilité pour que le test soit positif lorsque le malade est séropositif. En outre, dans la région étudiée, la probabilité pour que la séropositivité soit déclarée est P(S) = 2 × 10−3 . 1. Établir l’expression suivante, donnant la probabilité P(S|T ) pour que le patient soit séropositif, sachant que le test a été positif : P(S|T ) =

P(T |S)P(S) P(T |S)P(S) + P(T |S)P(S)

Calculer P(S|T ) .

2. Trouver l’entropie H (T ) de la source T .

3. Quelle est l’entropie conditionnelle H (T |S) ? En déduire l’information mutuelle moyenne Im(S, T ) . P20– 9. Représentation matricielle d’un canal binaire non symétrique Sur la figure 20.10, on a représenté un canal binaire non symétrique dont la matrice de transmission a pour expression :   0, 8 0, 3 [P(Y |X )] = 0, 2 0, 7 Les probabilités d’entrée sont P(x1 ) = 0, 4 et P(x2) = 0, 6 . 1. Calculer la matrice colonne des probabilités de sortie. 2. Même question pour la matrice des probabilités conjointes. 0,8

1

1

0,2

Emetteur X

Récepteur Y

0, 3

2

2

0, 7 F IG . 20.10.

P20– 10. Entropie relative de Kullback Une source discrète peut émettre trois messages de probabilités respectives vraies : P 1 = 0, 2

P 2 = 0, 5

P3 = 0, 3

Deux hypothèses différentes ont conduit a priori aux probabilités suivantes : P (11) = 0, 25

P(21) = 0, 55

P(31) = 0, 2

et

P (12) = 0, 15 P (22) = 0, 45 P(32) = 0, 4

657

Théorie de la communication de Shannon 1. Calculer l’entropie de la source dans les trois cas.

2. Quels sont les écarts quadratiques moyens sur les probabilités entre les deux hypothèses et la vraie loi de probabilité ? 3. Comparer, dans chaque hypothèse, les entropies relatives de Kullback avec la vraie loi de probabilité. Conclure. P20– 11. Entropie relative symétrique de Kullback

web

On définit l’entropie relative symétrique de Kullback de deux distributions, de probabilité {P s } et {Qs } , par la quantité suivante :       Ps Qs + Ks = Ps lb Qs lb Qs Ps s s 1. Justifier son nom. Quelle doit être la relation entre Q s et Ps pour que K s , appelée aussi distance symétrique de Kullback, soit minimale ? Trouver la valeur de ce minimum. 2. Calculer K s pour les deux distributions de probabilité suivantes : Ps = {0, 3 ; 0, 7} et Qs = {0, 4 ; 0, 6} . P20– 12. Capacité d’un canal discret avec trois symboles transmis

web

Un canal discret peut transmettre les trois symboles x 1 , x2 et x3 émis par un émetteur, de probabilités respectives P1 = a , P 2 = b et P3 = g , vers les trois symboles d’un récepteur y 1 , y 2 et y3 . Alors que la transmission de x1 vers y1 n’est jamais affectée par le bruit, celles de x 2 vers y2 et x3 vers y3 le sont, de façon symétrique : p est la probabilité pour que x 2 atteigne y 2 ou que x 3 parvienne à y3 ; 1 − p est la probabilité pour que x2 atteigne y3 ou que x3 parvienne à y2 , en raison du bruit (Fig. 20.11). 1. Quelles sont, en fonction de a et b , l’expression de l’entropie de la source H (X ) , ainsi que celle de l’entropie conditionnelle H (X |Y ) ? 2. On pose n = p lb p + (1 − p) lb (1 − p) . Trouver l’expression de la capacité par symbole C s de ce canal en fonction de n . 3. Calculer C s pour p = 0, 5 et pour p = 1 . Comment varie C s lorsque n varie de −1 à 0 ? 1 2

p

Émetteur X 1 −p 3

1 −p

1 2 Récepteur Y

p F IG . 20.11.

3

658

20. Théorie de la communication de Shannon

P20– 13. Succession de deux canaux binaires différents Deux canaux binaires différents sont connectés en série. On désigne par X la variable aléatoire à l’entrée, Y celle entre les deux canaux et Z la variable à la sortie. Le premier canal est caractérisé par P(1) (y1 |x2 ) = p1 et P (1) (y2 |x1) = q 1 , le second par P(2) (z 1 |y2) = p2 et P (2)(z 2|y1 ) = q2 . 1. Trouver, en fonction de p 1 , q 1 , p2 et q2 , la matrice de transmission du canal formé par l’ensemble des deux canaux. Application pour p1 = p 2 = 0, 1 et q1 = q2 = 0, 2 2. Sachant que la probabilité P(x 1 ) à l’entrée vaut a , quelles sont les probabilités à la sortie P(z1 ) et P(z2) ? Application pour a = 0, 4 . P20– 14. Capacité d’un canal binaire avec effacement

web

Un canal binaire avec effacement possède deux entrées, x 1 = 0 et x2 = 1 , et trois sorties, y 1 = 0 , y2 = b (b pour « borrar » qui signifie effacer en espagnol) et y 3 = 1 (Fig. 20.12). Les seules transitions transversales possibles concernent y 2 ; comme la valeur reçue y 2 = b n’est pas retenue, on dit qu’elle est effacée. On désigne par p la probabilité pour que x1 = 0 donne y 2 = b . En outre, la probabilité à l’entrée P(x1 ) est a . 1. Écrire la matrice de transition [P(Y |X )] . En déduire les probabilités de sortie pour p = 0, 3 et a = 0, 1 . 2. Dans le même cas, calculer les probabilités conjointes P(0, 0) , P(1, 1) , P(0, b) et P(1, b) . 3. Établir, en fonction de p et a , la capacité par symbole C s . Tracer le graphe Cs(p) . 1 −p 1

p

Récepteur Y b

Émetteur X 2

1

p 1 −p

2

F IG . 20.12.

1

1 p

Émetteur X 2

1 −p

1 Récepteur Y 2

F IG . 20.13.

P20– 15. Capacité d’un canal binaire en Z Le canal binaire, représenté sur la figure 20.13, est dit en Z , en raison de sa configuration graphique : P(y1|x 1) = 1 alors que P(y 2 |x2) =  1 . On désigne par p la probabilité pour que x 2 donne y1 . En outre, la probabilité à l’entrée P(x1) est 1 − a . 1. Écrire la matrice de transition [P(Y |X )] . En déduire les probabilités de sortie en fonction de p et a . Quelle est l’entropie de sortie H (Y ) ? 2. Calculer les probabilités conjointes. En déduire l’entropie conditionnelle H (Y |X ) . 3. Trouver la capacité par symbole C s d’un tel canal pour p = 0, 1 .

659

Théorie de la communication de Shannon P20– 16. Capacité de trois canaux discrets avec probabilités de transition symétriques

web

Dans sa publication originale, Shannon étudie les trois canaux discrets représentés sur la figure 20.14. Ces canaux sont caractérisés par des probabilités de transition identiques de l’émetteur vers le récepteur et du récepteur vers l’émetteur. 1. Montrer que la valeur maximale de H (Y ) se met sous une même forme simple ; calculer cette valeur dans les trois cas. 2. Établir l’expression de l’entropie conditionnelle H (Y |X ) , en fonction des probabilités de transition des messages de l’émetteur vers l’ensemble des messages détectés par le récepteur. Calculer sa valeur dans les trois cas. 3. Quelle est la capacité de chaque canal de transmission ? X

Y 0,5

1

0,5 2

X

Y

1

1

0,5

0,5

2

1

1/3

2

1/6

1/6 3

0,5

3 0,5

4

0,5 a)

2

1/2 3

1/3

1/6

1/3

1/6

Y

1/2

1/3 1/6

0,5

X

1/3

1/3

1/6

1/2

1/6

1/3 4

4 b)

c)

F IG . 20.14.

P20– 17. Capacité d’un canal de transmission avec bruit blanc gaussien En raison de la présence d’un bruit blanc gaussien qui s’ajoute au signal émis par une source, on sur-échantillonne le signal analogique issu d’une source, avec une fréquence égale à 1,5 fois la fréquence de Shannon-Nyquist. La largeur de bande du signal est 5 kHz . En outre, chaque échantillon est quantifié sur 512 niveaux différents, de même probabilité. 1. Calculer l’entropie de la source et le flux d’information q i émis. 2. Quel doit être le rapport signal sur bruit, RSB , pour que le canal transmette, sans erreur, les signaux émis par la source, malgré un bruit de bande passante B = 15 kHz ?

Annexe 1 Outils mathématiques de base Nous proposons de rappeler brièvement les outils mathématiques simples de base qui sont indispensables pour une lecture efficace du cours d’Électronique : trigonométrie, développements limités, nombres complexes, matrices, déterminants et équations différentielles.

I . — RAPPELS DE TRIGONOMÉTRIE I . 1 . — Sommes cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

On en déduit cos(a − b) et sin(a − b) en changeant, dans les relations précédentes, b en −b et en tenant compte de la parité de la fonction cosinus et de la nature impaire de la fonction sinus : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b I . 2 . — Duplication En faisant a = b dans les deux premières expressions précédentes, on obtient : cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a puisque cos2 a + sin2 a = 1 . sin 2a = 2 cos a sin a I . 3 . — Somme et produit a) Transformation d’une somme en produit



   p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2     p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2

661

Outils mathématiques de base

On peut en déduire cos p − cos q en changeant q en q + p dans la première formule, et sin p − sin q en changeant q en −q dans la seconde :     p+q p−q cos p − cos q = −2 sin sin 2 2 

p−q sin p − sin q = 2 sin 2



cos



p+q 2



b) Transformation d’un produit en somme cos a cos b =

1 [cos(a + b) + cos(a − b)] 2

sin a sin b =

1 [cos(a − b) − cos (a + b)] 2

On peut déduire sin a cos b et cos a sin b de ces formules en changeant a en p/2 − a ; on obtient respectivement : 1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin (a − b)] 2 cos a sin b =

1 [sin(a + b) − sin(a − b)] 2

II . — FONCTIONS HYPERBOLIQUES II . 1 . — Définition On appelle cosinus, sinus et tangente hyperboliques de x , respectivement les trois expressions : cosh x =

exp x + exp(−x) 2

sinh x =

exp x − exp(−x) 2

et

tanh x =

exp x − exp(−x) exp x + exp(−x)

Ces trois fonctions sont liées par les deux identités suivantes : tanh x =

sinh x cosh x

et

cosh 2 x − sinh 2 x = 1

Remarque : Le qualificatif hyperbolique vient de cette dernière équation qui, en posant u = cosh x et v = sinh x , donne l’équation cartésienne en u, v d’une hyperbole (cf. Mécanique) : u2 − v 2 = 1 Rappelons que les fonctions habituelles cos x et sin x sont elles qualifiées de circulaires, précisément parce que, en posant u = cos x et v = sin x , la relation : cos2 x + sin 2 x = 1

donne

u 2 + v2 = 1

c’est-à-dire l’équation cartésienne en u, v d’un cercle.

662

Annexe 1.

II . 2 . — Propriétés Les fonctions hyperboliques sont définies et continues partout sur l’ensemble des nombres réels. En outre, la première est paire et les deux autres impaires. Sur la figure A1.1, on a représenté le graphe de cosh x , appelé chaînette, ainsi que ceux de sinh x et tanh x ; on voit que ces deux dernières fonctions diffèrent peu lorsque x  1 . Ces trois fonctions étant partout dérivables, calculons leurs dérivées : d cosh x exp x − exp(−x) = = sinh x dx 2

d sinh x exp x + exp(−x) = = cosh x dx 2

et :

d tanh x cosh x cosh x − sinh x sinh x 1 = = 2 dx cosh cosh2 On voit qu’en x = 0 , les dérivées de sinh x et tanh x sont égales à 1 ; aussi, leurs graphes se confondent-ils en ce point avec la première bissectrice. Comme pour les fonctions circulaires sin x et tan x , les fonctions hyperboliques sinh x et tanh x sont équivalentes à x , lorsque x tend vers 0 . Le formulaire connu sur les fonctions circulaires se transpose presqu’à l’identique aux fonctions hyberboliques. cosh x

sinh x

1 tanh x 0 x

F IG . A1.1.

II . 3 . — Fonctions hyperboliques inverses Alors que les fonctions sinh x et tanh x , qui sont continues et strictement croissantes, s’inversent sans limitation, la fonction cosh x , elle, ne s’inverse que pour x  0 . On introduit alors le symbole arg (pour argument) selon : u = arg cosh x

avec

x  1 ou x = cosh u avec

u0

De façon analogue, on a, pour la fonction sinus hyperbolique inverse : v = arg sinh x

ou

x = sinh v

et pour la fonction tangente hyperbolique inverse : w = arg tanh x

avec

− 1  x  1 ou x = tanh w

Ces fonctions sont partout dérivables. Calculons la dérivée de arg cosh x : d(arg cosh x) dy = dx dx

avec x = cosh y

663

Outils mathématiques de base On déduit de cette dernière équation, par différentiation : dx = sinh y = (cosh2 y − 1) 1/2 = (x2 − 1) 1/2 d’où dy

d(arg cosh x) 1 = 2 dx (x − 1)1/2

De même pour arg sinh x : d(arg sinh x) dy = dx dx

avec x = sinh y

On en déduit : dx = cosh y = (sinh 2 y + 1) 1/2 = (x2 + 1)1/2 dy

d’où

d(arg sinh x) 1 = 2 dx (x + 1) 1/2

Enfin, concernant la fonction arg tanh x , il vient : d(arg tanh x) dy = dx dx

avec x = tanh y

Il en résulte : dx 1 cosh2 y − sinh2 y = 1 − tanh 2 y = 1 − x 2 = = 2 2 dy cosh y cosh y

d’où

d(arg tanh x) 1 = dx 1 − x2

Remarques : 1) Ces résultats simples sur les dérivées des inverses des fonctions hyperboliques sont précieux dans le calcul intégral. 2) Les trois fonctions hyperboliques inverses peuvent s’exprimer explicitement par des logarithmes :     arg cosh x = ln x + (x2 − 1)1/2 arg sinh x = ln x + (x 2 + 1)1/2 et :

arg tanh x = ln



1+x 1−x

1/2

III . — DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS AU VOISINAGE DE ZÉRO III . 1 . — Définition Soit f une fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle I de l’ensemble des nombres réels admettant 0 pour point intérieur. On appelle développement limité de f , d’ordre n , au voisinage de zéro, un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que : lim

x→0

1 [f (x) − P(x)] = 0 xn

Si la dérivée d’ordre k de f , f (k) , existe et si elle est continue dans I , on montre que f s’écrit : n

f (x) = P(x) + x e(x)

n  x k (k) avec P(x) = f (0) et k! k=0

e(x) → 0

quand

x→0

664

Annexe 1.

III . 2 . — Exemples de développements limités a) Fonction exponentielle Les dérivées successives de exp x étant toutes égales à exp x , on a, quand x → 0 : exp x = 1 + x +

x2 xn + xn e(x) +... + 2! n!

b) Fonction cosinus Les dérivées successives de cos x étant − sin x , − cos x , sin x , cos x , . . . , on a, quand x → 0 , puisque cette fonction est en outre paire : cos x = 1 −

x2 x4 x2n + x 2n+1e(x) + + . . . + (−1)n 2! 4! (2n)!

c) Fonction sinus Les dérivées successives de sin x étant cos x , − sin x , − cos x , sin x , . . . , on a, quand x → 0 , puisque cette fonction est en outre impaire, sin x = x −

x3 x5 x2n+1 + x 2n+2e(x) + + . . . + (−1) n 3! 5! (2n + 1)!

d) Fonction cosinus hyperbolique Les dérivées successives de cosh x étant sinh x , cosh x , sinh x , cosh x , . . . , on a, quand x → 0 , puisque cette fonction est paire : cosh x = 1 +

x2 x4 x2n + x2n+1 e(x) + + ... + 2! 4! (2n)!

e) Fonction sinus hyperbolique Les dérivées successives de sinh x étant cosh x , sinh x , cosh x , sinh x , . . . , on a, quand x → 0 , puisque cette fonction est impaire, sinh x = x +

x3 x 5 x2n+1 + x2n+2e(x) + +... + 3! 5! (2n + 1)!

a

f) Fonction (1 + x) , a étant une constante réelle Les dérivées successives étant a(1 + x) a−1 , a(a − 1)(1 + a)a−2 , . . . , on a, quand x → 0 : (1 + x )a = 1 + ax +

a(a − 1) 2 a(a − 1) . . . (a − n + 1) n x +... + x + xn e(x) n! 2!

Ce développement est appelé développement binomial en raison des coefficients qui sont du même type que ceux qui interviennent dans la loi binomiale de probabilité (cf. annexe 5). Exemples : 1 x x2 (1 + x )1/2 = 1 + − a= +... 2 2 8 1 1 3 (1 + x )−1/2 = 1 − x + x2 + . . . a=− 2 2 8 a = −1 (1 + x )−1 = 1 − x + x 2 + . . .

665

Outils mathématiques de base

Cette dernière expression permet d’obtenir par intégration le développement limité de ln(1 + x) quand x→0 : x2 x3 x4 ln(1 + x) = x − + − +... 2 3 4

IV . — NOMBRES COMPLEXES IV . 1 . — Définition On appelle nombre complexe le couple ordonné (a, b) de deux nombres réels a et b . L’ensemble des nombres complexes est muni de deux opérations : i) la somme, (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) ii) le produit, (a, b)(c, d) = (ac − bd , ad + bc) . Le produit est commutatif puisque : (a, b)(c, d ) = (ac − bd , ad + bc) = (ca − db, da + cb) = (c, d )(a, b) IV . 2 . — Forme cartésienne d’un nombre complexe Le nombre complexe z = (a, b) peut s’écrire, compte tenu des propriétés de définition : z = (a, 0) + (0, b) = (1, 0)a + (0, 1)b Le nombre complexe (1, 0) a les mêmes propriétés que le nombre réel 1. Quant au nombre complexe (0, 1) , il est tel que (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) . On le note j en électricité et on l’appelle unité imaginaire, car j2 = −1 . Par conséquent : z = (a, b) = a + jb où a et b sont respectivement appelées parties réelle et imaginaire de z : a = Re{z} et b = Im{z}. Remarque : L’unité imaginaire est ainsi notée en électricité, et non i comme les mathématiciens la désigne, afin d’éviter toute confusion avec l’intensité i d’un courant électrique. IV . 3 . — Représentation géométrique d’un nombre complexe Le nombre complexe (a, b) peut être représenté, dans un plan cartésien Oxy , par le point M de coordonnées a et b ; Ox est l’axe réel et Oy l’axe imaginaire (Fig. A1.2a). La distance d entre l’origine O et M est le module |z| du nombre complexe z : 1/2

d = |z| = (a 2 + b2 )

Si M 1 et M2 représentent respectivement les nombres complexes z1 = a1 + jb1 et z2 = a 2 + jb 2 , la distance M1M2 est égale au module du nombre complexe (z 2 − z1 ) (Fig. A1.2b) :   1/2 M 1M 2 = |z 2 − z1 | = (a2 − a 1) 2 + (b2 − b 1) 2 Le carré du module de z = a + jb , a2 + b 2 , s’écrit aussi : 2

|z| = (a + jb)(a − jb)

soit

2

|z| = zz∗

où z∗ = a − jb

est le nombre complexe conjugué de z . Les parties réelle et imaginaire sont souvent écrites en fonction de z et z ∗ : z + z∗ z − z∗ a = Re{z} = et b = Im{z} = 2 2j

666

Annexe 1. y

y M2

b1 M

b |z| O

d M1

b2

u a

O

x

a)

a2

b)

a1

x

F IG . A1.2.

IV . 4 . — Forme polaire d’un nombre complexe D’après la représentation géométrique, si u est l’angle (Ox, OM) , on a : a = |z| cos u et b = |z| sin u , d’où la forme polaire de z : z = a + jb = |z| (cos u + j sin u)

IV . 5 . — Formules d’Euler Rappelons les développements en série entière des fonctions cos x , sin x et exp x : cos x = 1 −

x 2 x4 x 6 + − +... 2! 4! 6!

sin x = x −

x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!

exp x = 1 + x + Pour tout nombre complexe z , on peut poser : exp z = 1 + z +

x2 x3 + + ... 2! 3! z2 z 3 + +... 2! 3!

Dans le cas où z est imaginaire pur, z = jx avec x réel, on obtient : exp(jx) = 1 + jx −

x2 jx3 − + ... 2! 3!

En comparant exp(jx) à cos x et sin x , on trouve les formules d’Euler : exp(jx) = cos x + j sin x cos x = et

exp(jx) + exp(−jx) 2

sin x =

exp(jx) − exp(−jx) 2j

Il en résulte que la forme polaire d’un nombre complexe s’écrit : z = |z| exp(ju) avec exp(ju) = cos u + j sin u √ Par exemple : 1 + j = 2 exp(jp/4) , j = exp(jp/2) et −1 = exp(jp) .

667

Outils mathématiques de base IV . 6 . — Interprétation géométrique de la multiplication par le nombre complexe exp(ia)

Soit z = |z| exp(ju) le nombre complexe représenté par le point M du plan cartésien Oxy (Fig. A1.3). Si l’on multiplie z par exp(ja) , on obtient : z  = z exp(ja) = |z| exp[j(u + a)]

C’est un nombre complexe de même module que z , mais dont l’angle polaire a augmenté de a . Le vecteur OM représentant z s’obtient donc à partir du vecteur OM par une rotation de l’angle a autour de l’axe Oz perpendiculaire au plan Oxy . y

M

a O

M u x

F IG . A1.3.

V . — MATRICES V . 1 . — Définition On appelle matrice q × n un tableau rectangulaire de nombres à q lignes et n colonnes (Fig. A1.4a). Les nombres du tableau, aij , sont les éléments de matrice ; le premier indice i est l’indice de ligne, le second j est celui de colonne. On note la matrice A = [aij ] . Si q = n , la matrice est rectangulaire ; si q = n , elle est carrée. Lorsque n = 1 , la matrice est colonne alors que si q = 1 , la matrice est ligne.

B

q

m

n a)

A q

q

C b)

n

F IG . A1.4.

V . 2 . — Algèbre des matrices a) Matrices égales Par définition, deux matrices A et B sont égales si, et seulement si, a ij = b ij quel que soit le couple (ij) , ce qui exige que A et B aient le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

668

Annexe 1.

b) Matrice nulle La matrice nulle est la matrice A = [a ij ] où a ij = 0 quel que soit le couple (ij) . c) Matrice unité La matrice carrée (nn) , dont les éléments diagonaux sont égaux à 1 et les autres nuls, est la matrice unité ou identité d’ordre n . Par exemple : I=



1 0 0 1



d) Somme de deux matrices q × n Si A = [a ij] et B = [b ij] sont deux matrices q × n , la matrice somme S = A + B est telle que sij = a ij + b ij , quel que soit le couple (ij) . Par exemple : A=



1 −0, 5 2

0



B=



3 2 1 1



A+B =



4 1, 5 3

1



e) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Pour multiplier une matrice A par un nombre réel m , on multiplie chacun de ses éléments par m : mA = [ma ij ] f) Multiplication de deux matrices Le produit dans l’ordre de deux matrices A et B est la matrice P dont les éléments p ij sont reliés à ceux de A et B : q  pij = ai1b 1 j + a i 2b2 j + . . . ai q bq j = ai k bk j k=1

Notons que le produit n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B . Dans la pratique, on retient souvent le schéma de la figure A1.4b. g) Propriétés du produit matriciel i) Le produit matriciel n’est pas commutatif : AB = BA . Vérifions-le :       1 2 2 5 8 7 A= B= AB = alors que 3 4 3 1 18 19

BA =



17 24 6

10



Dans le cas singulier où l’une des matrices est l’identité, on a : IA = AI = A . ii) Le produit matriciel est associatif : C(BA) = (CB)A . Vérifions-le : A=



1 2 5 3



B=



2 1 3 1



C=



2 3 1 2



d’où C(BA) =



38 41 23 25



= (CB)A

669

Outils mathématiques de base V . 3 . — Déterminants de matrices carrées 2 × 2 a) Définition Le déterminant d’une matrice carrée 2 × 2 , A , est le nombre : det A = a 11a 22 − a 12 a21 Par exemple : si

A=



2 3 1 7



det A = 11

Lorsque le déterminant n’est pas nul, la matrice est dite régulière. b) Déterminant du produit de deux matrices carrées 2 × 2 Le déterminant de la matrice produit AB est le produit des déterminants des matrices A et B : det (AB) = det A × det B Vérifions-le sur un exemple :   2 3 A= 1 7

B=



4 1 1 2



et

AB =



11

8

11

15



on trouve : det A = 11, det B = 7 et det (AB) = 77 = 11 × 7 . c) Déterminant d’une matrice carrée n × n Le déterminant d’une matrice carrée A , n × n , s’obtient à partir des mineurs et des cofacteurs définis de la façon suivante. 1) Le mineur associé à l’élément a ij d’une matrice carrée A , de rang n , est le déterminant de la matrice carrée d’ordre n − 1 que l’on obtient en retirant de A les éléments de la ligne i et de la colonne j . Exemple :

⎡

2 A = ⎣1 3

Les mineurs valent :

⎤ 3 1 2 3⎦ 1 2

M11 = 4 − 3 = 1

M12 = 2 − 9 = −7

M21 = 6 − 1 = 5

M 22 = 4 − 3 = 1

M31 = 9 − 2 = 7

M32 = 6 − 1 = 5

M13 = 1 − 6 = −5 M23 = 2 − 9 = −7 M33 = 4 − 3 = 1

2) Le cofacteur a ij s’en déduit selon aij = (−1)i+j M ij . Dans l’exemple précédent, on trouve : a11 = 1 a21 = −5 a31 = 7

a12 = 7

a13 = −5

a22 = 1

a23 = 7

a32 = −5

a33 = 1

670

Annexe 1.

Le déterminant de la matrice carrée s’en déduit en effectuant la somme suivante, selon les éléments d’une ligne quelconque i :  det A = ai1 ai1 + a i2ai2 + . . . ce qui s’écrit det A = aija ij j

ou selon les éléments d’une colonne quelconque j :

det A = a 1ja1j + a 2j a2j + . . .

soit det A =



aij aij

i

On retrouve ainsi pour le déterminant de A :

det A = 2 × (4 − 3) − 3 × (2 − 9) + 1 × (1 − 6) = 18 V . 4 . — Inversion d’une matrice carrée Si deux matrices carrées, A et B , sont telles que : AB = BA = I alors elles sont inverses l’une de l’autre : B = A−1 et A = B−1 . Par exemple, les matrices A et B suivantes sont inverses l’une de l’autre :     0, 25 0, 5 2 −0, 5 puisque AB = BA = I A= B= −1 2 1 0, 25 Une matrice carrée est régulière si elle admet une matrice inverse et une seule. Une manière d’obtenir la matrice inverse d’une matrice carrée régulière consiste à diviser, par son déterminant, sa matrice adjointe A , laquelle s’obtient en prenant la transposée de la matrice C des cofacteurs. Sur l’exemple de la matrice A à neuf éléments, donnée plus haut, on trouve : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 7 −5 1 −5 7 7 ⎦ d’où A  = ⎣ 7 1 −5⎦ C = ⎣−5 1 7 −5 1 −5 7 1 On en déduit la matrice inverse A −1 en divisant la matrice adjointe A  par le déterminant : ⎡ ⎤ 1 −5 7 1 ⎣7 1 −5 ⎦ A−1 = 18 −5 7 1

puisque det A = 18 . On peut alors vérifier que A−1 A = 1 . Retrouvons l’inverse de la matrice carrée régulière à quatre éléments donné un peu plus haut :   0, 25 0, 5 A= −1 2 Il vient, pour les mineurs : M11 = 2

M12 = −1

a 11 = 2

a12 = 1

M 21 = 0, 5

M 22 = 0, 25

d’où les cofacteurs : a21 = −0, 5

a 22 = 0, 25

671

Outils mathématiques de base la matrice des cofacteurs, sa matrice adjointe et son inverse :     2 1 2 −0, 5 C= A = −0, 5 0, 25 1 0, 25

et

A−1 =



2 −0, 5 1

0, 25



le déterminant étant égal à 1 . Retenons que, si det A = 0 , alors : A−1 =

1 A det A

V . 5 . — Vecteurs propres, valeurs propres et diagonalisation d’une matrice carrée a) Définitions On appelle vecteur propre d’une matrice carrée A tout vecteur v = 0 qui est transformé en un vecteur colinéaire lv selon : Av = lv l étant la valeur propre correspondante. b) Équation aux valeurs propres Pour simplifier l’écriture et analyser un cas important en physique, explicitons, pour des vecteurs v à deux dimensions, l’équation vectorielle précédente. Il vient, avec les notations habituelles :           v1 v1 0 a11 a12 v1 a11 − l a12 soit = l = v2 0 a21 a22 v2 a21 a 22 − l v 2 Un tel système admet une solution non nulle en v 1 et v2 si le déterminant de la matrice des coefficients est nul :   a 11 − l a12 det = 0 soit (a11 − l)(a 22 − l) − a12 a21 = 0 a21 a22 − l Il en résulte l’équation du deuxième degré en l suivante :

l 2 − l(a11 + a 22 ) + a11 a22 − a12 a 21 = 0 Exemple : cherchons les valeurs propres de la matrice :   1 1 A= 1 2 L’équation du deuxième degré, qui s’écrit, l2 − 3l + 1 = 0 , admet les deux racines suivantes : l1 =

3 + 51/2 2

et

l2 =

3 − 5 1/2 2

Pour obtenir les deux vecteurs propres, il suffit d’injecter ces deux valeurs de l dans l’équation initiale. Il vient pour la première valeur propre l1 :      (1) 1 1 v (11) 1 + 5 1/2 (1) v1 (1) (1) (1) (1) (1) = l1 (1) v1 d’où v 1 + v 2 = l 1 v1 et v 2 = (l1 − 1) v 1 = 1 2 v (1) 2 v2 2

672

Annexe 1.

De la même façon, on trouve pour la seconde valeur propre l2 : (2)

v2

(2)

= (l 2 − 1) v1 =

1 − 51/2 (2) v1 2

Notons que, les deux vecteurs propres sont orthogonaux, puisque :    1 + 5 1/2 1 − 51/2 (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) v 1 v1 = 0 v · v = v 1 v 1 + v 2 v2 = v1 v1 + 2 2

VI . — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Les lois de la physique et donc celles de la mécanique se traduisent le plus souvent par des équations reliant des fonctions dépendant d’une ou plusieurs variables à leurs dérivées première et seconde par rapport à ces variables. Ces équations sont appelées des équations différentielles. Parmi elles, celles qui sont linéaires jouent un rôle important en raison de leur simplicité. VI . 1 . — Équations différentielles linéaires Les équations différentielles que l’on rencontre le plus souvent dans les problèmes simples de mécanique sont linéaires, c’est-à-dire que toute combinaison linéaire de solutions est encore solution de l’équation. C’est le cas pour les équations suivantes, respectivement du premier et du deuxième ordre : dV V + =0 t dt

et

d2 X 1 d X + + c aX = 0 t dt d t2

t et ca étant des constantes. Les expressions ci-dessus sont linéaires par rapport aux fonctions V , X et leurs dérivées. Remarque : Si V a les dimensions d’une vitesse et si t représente le temps, t est homogène à une durée. Si X a la dimension d’une longueur, c a est homogène à l’inverse d’une durée au carré. Ces deux équations différentielles peuvent se ramener aisément à des équations avec second membre, dites non homogène. En effet, posant v = V + at et x = X + b/c a , on obtient respectivement : dv v + =a t dt

et

d2 x 1 dx + ca x = b + 2 t dt dt

Il suffit donc de résoudre les équations sans second membre précédentes (en V et en X ) et d’ajouter les solutions particulières suivantes : v = Cte = at et x = Cte = b/c a respectivement. a) Équation différentielle du premier ordre L’intégration de cette équation s’effectue sans difficulté. En effet, cherchons une solution de la forme Cte × exp(rt ). L’équation différentielle :   V dV 1 r+ + = 0 donne exp(rt) = 0 t t dt

673

Outils mathématiques de base

d’où l’équation caractéristique r + 1/t = 0. On en déduit :  t  t V = Cte × exp − et v = Cte × exp − + at t t Pour calculer la constante, il suffit de connaître v à un instant particulier. Par exemple, si, pour t = 0, v = v0 , alors (Fig. A1.5) :  t v = (v 0 − at) exp − + at t v v0 at O

t

t F IG . A1.5.

b) Équation différentielle linéaire du deuxième ordre Cherchons des solutions de la forme X = Cte × exp(rt) de l’équation différentielle du second ordre, sans second membre, suivante : d2 X 1 dX + caX = 0 + d t2 t dt Il vient :   r 2 r + + c a exp(rt) = 0 t d’où l’équation caractéristique du deuxième degré r 2 + r/t + c a = 0 , dont les solutions sont :  1/2   1/2 1 1 1 1 et r2 = − r1 = − + − ca − ca − 2t 4t2 2t 4t2 La solution générale de l’équation différentielle se met alors sous la forme suivante : X = C+ exp(r1t) + C− exp(r 2t) C+ et C − étant deux constantes quelconques. 1ercas : 1/(4t2 ) − ca > 0

Les deux solutions r 1 et r2 sont réelles :  1/2 1 1 r1 = − + − ca 2t 4t2

1 − et r2 = − 2t



1 − ca 4t2

 1/2

La solution générale est donc la combinaison linéaire suivante :  1/2  t   1 C+ exp(at) + C − exp(−at) avec a = −ca X = exp − 2t 4t2 ce qui s’écrit aussi :

 t   X = exp − A cosh(at) + B sinh(at) 2t Les constantes C+ , C − , A et B sont déterminées par des valeurs particulières de X et X˙ .

674

Annexe 1. 2e cas : 1/(4t2) − c a < 0 C’est, du point de vue de la physique, le cas le plus intéressant. Les deux solutions sont complexes :  1/2 1 1 r 1 = − + j ca − 2 2t 4t

  1/2 1 1 − j ca − et r2 = − 2t 4t 2

La solution générale est donc la combinaison linéaire suivante : 

 t  C+ exp(jv a t) + C− exp(−jva t) avec va = X = exp − 2t



1 ca − 2 4t

1/2

Cette solution s’écrit aussi, en raison des relations d’Euler :  t   t   X = exp − A cos(va t) + B sin(vat) ou X = C exp − cos(v at + w) 2t 2t

Les constantes C+ , C − , A , B , C et w sont déterminées par des valeurs particulières de X et X˙ . 3e cas : 1/(4t2) − c a = 0 Les deux solutions de l’équation caractéristique sont égales : r 1 = r2 = − Une première solution est donc :

1 2t

t  X (t ) = C 1 exp − 2t Montrons que X (t) = C2t exp[−t /(2t)] est aussi solution de l’équation différentielle. Comme :   t  dX t  exp − = C2 1 − dt 2t 2t

on retrouve, en effet :



et

 t  d2 X C2  t  −2 + exp = − d t2 2t 2t 2t

d2 X 1 dX + + caX = 0 2 t dt dt La solution générale est alors la combinaison linéaire suivante :  t  X = (C1 + C2t) exp − 2t

Comme précédemment, les constantes C 1 , C2 sont déterminées par des valeurs particulières de X et X˙ . Exemple : supposons que 1/(4t2 ) < c a et que, à l’instant t = 0 , on ait X = 0 et X˙ = v0 . Il vient : X (0) = C+ + C− = 0 et X˙ (0) = jv a(C+ − C −) = v 0 On en déduit C+ = −C− = v0 /(2va ) . Finalement :  t  v sin(vat) X (t ) = 0 exp − 2t va

675

Outils mathématiques de base VI . 2 . — Équation différentielle non linéaire

Les équations différentielles non linéaires interviennent de plus en plus en physique contemporaine, car elles décrivent des phénomènes nouveaux intéressants. En raison de la complexité des solutions, ces équations différentielles sont de nos jours largement étudiées par des moyens informatiques (cf. chapitre 12). Un exemple simple d’équation différentielle non linéaire, est fourni par le mouvement d’un point matériel soumis à son poids et à une force de frottement visqueux proportionnelle au carré de la vitesse. On trouve (cf. Mécanique) :   dv v2 =a 1− 2 dt v1 Les quantités a et v1 ont respectivement les dimensions d’une accélération et d’une vitesse. En séparant v et t, cette équation différentielle s’écrit : 

dv dv dv = + = a dt 2 2 2 (1 + v/v1 ) 2 (1 − v/v 1 ) 1 − v /v1

d’où, en intégrant, sachant que v = 0 à t = 0 :     v v ln 1 + − ln 1 − = 2a t v1 v1 On en déduit l’expression de v(t) : v (t) = v 1

1 − exp(−2at) = v1 tanh(at) 1 + exp(−2at)

On voit que v1 est la limite vers laquelle tend v lorsque t augmente infiniment.

Annexe 2 Analyse de Fourier L’analyse de Fourier joue un rôle capital en théorie du signal. Elle a été élaborée par J. Fourier en 1815 pour résoudre l’équation différentielle du transfert thermique (cf. Thermodynamique). Depuis, on la retrouve dans les divers domaines de la physique, en mécanique pour l’étude des vibrations, en électromagnétisme dans la théorie de la réponse linéaire des milieux matériels, en électronique dans la réponse fréquentielle des circuits, enfin très largement en optique car elle permet de décrire de façon efficace le phénomène de diffraction. Nous nous proposons de donner les principaux résultats de l’analyse de Fourier en nous limitant volontairement aux cas simples et importants que l’on rencontre en électronique où la variable est le temps ( t ).

I . — SÉRIES DE FOURIER DE FONCTIONS PÉRIODIQUES I . 1 . — Théorème de Fourier. Coefficients de Fourier réels On démontre que, sous certaines conditions de dérivation et de continuité que nous n’expliciterons pas car généralement satisfaites en physique, toute fonction réelle g(t) , périodique de période T , peut se mettre sous la forme : ∞  nt   nt  a0  + g(t) = a n cos 2p + bn sin 2p 2 T T n=1

où les quantités a0 , a n et bn sont des nombres réels appelés les coefficients de Fourier réels de g(t ) . Ces coefficients a0 , a n et b n s’obtiennent à partir de g(t) à l’aide des expressions suivantes : 2 a0 = T



0

T

g(t) d t

2 an = T



T 0



nt  g(t) cos 2p dt T

et

2 bn = T



0

T

 nt  g(t) sin 2p dt T

En effet, si l’on multiplie les deux membres de l’équation donnant g(t ) par cos(2pmt/T ) et l’on intègre entre 0 et T , on trouve des intégrales du type :  a  T cos(2pnt/T ) cos(2pmt/T ) d t et bn sin(2pnt/T ) cos(2pmt/T ) d t an 0

0

677

Analyse de Fourier Or :  T



1 cos(2pnt/T ) cos (2pmt/T ) d t = 2

0

T 0



1 cos[2p(n + m)t/T ] d t + 2

T

0

cos[2p(n − m)t/T ] d t

vaut T/2 pour n = m et 0 pour n = m . Notons que pour n = m = 0 , cette intégrale vaut T . L’autre intégrale est toujours nulle, puisque : 

T 0

1 sin(2pnt/T ) cos(2pmt/T ) d t = 2



T

0

1 sin[2p(n + m)t/T ] d t + 2



T

0

sin[2p(n − m)t/T ] d t = 0

On procède de même pour établir l’expression de b n : on multiplie les deux membres de l’équation donnant g(t) par sin(2pm t/T) et on intègre. Apparaissent alors des termes de la forme : an



0

a

 nt   mt  cos 2p sin 2p dt T T

et

bn



T 0

 nt  mt  sin 2p sin 2p dt T T

Comme :     T    nt   mt  1 T 1 T (n + m)t (n − m )t cos 2p sin 2p dt = sin 2p dt + sin 2p dt = 0 2 0 2 0 T T T T 0 et



0

T



 mt  nt  1 sin 2p sin 2p dt = 2 T T



T 0



(n − m )t cos p T

vaut T/2 pour n = m et 0 pour n = m , il en résulte que : 2 an = T



0

T



t g(t) cos 2pn dt T

et

2 bn = T

La valeur a0 s’obtient aisément en faisant n = 0 dans a n .

 

1 dt − 2

T 0



T 0

  2p(n + m)t cos dt T

 t g(t) sin 2pn dt T

Si la fonction est paire, g(t) = g(−t ) ; le développement ne comporte alors que des termes en cosinus : bn = 0 . Si la fonction est impaire, g(t) = −g(−t ) ; le développement ne comporte alors que des termes en sinus : a0 = 0 et a n = 0 . L’ensemble des valeurs a n et bn forme le spectre réel de g(t ) . Le terme constant a0 /2 représente la valeur moyenne de g(t) ; quant au premier terme sinusoïdal, on l’appelle le terme fondamental ou l’harmonique 1 . I . 2 . — Coefficients de Fourier complexes Dans l’expression de g(t ) , remplaçons cos(2pnt/T ) et sin(2pnt/T ) respectivement par :   1 nt  nt  exp j2p + exp −j2p 2 T T

On obtient :

et

  1  nt  nt  exp j2p − exp −j2p 2j T T

 ∞    a0  an − jbn nt  an + jbn nt  + + exp j2p exp −j2p g(t) = 2 2 2 T T n=1

678

Annexe 2.

soit aussi : g(t) = c0 +

∞  n=1

en introduisant : c0 =

a0 2

∞   nt   ∗ nt  + cn exp j2p c n exp −j2p T T n=1

cn =

an − jbn 2

c∗n =

et

an + jbn 2

Comme : ∞  n=1

−∞ −∞     ∗  nt  mt  mt  = = c∗n exp −j2p c −m exp j2p cm exp j2p T T T m=−1

m=−1

puisque c∗−m = a−m + jb−m = am − jb m = c m , g(t) se met sous la forme : 

nx  g(t) = cn exp j2p a n=−∞ ∞ 

1 avec cn = T



0

T

 nt  g(t) exp −j2p dt T

L’ensemble des valeurs de cn forme le spectre complexe de g(t ) . Ce dernier fournit le spectre réel selon : an = c n + c∗n et b n = j(c n − c ∗n) Remarque : En définissant les coefficients complexes, s’introduisent naturellement des entiers négatifs ; on ne s’étonnera pas alors de voir apparaître des « fréquences négatives ». I . 3 . — Exemples Nous allons calculer le développement en série de Fourier de fonctions souvent utilisées en optique et en électronique. Le plus simple est de calculer cn et d’en déduire si besoin an et bn . a) Fonction créneau Considérons la fonction créneau représentée sur la figure A2.1a ; sa largeur est égale à la moitié de la période T , sa valeur minimale est 0 et sa valeur maximale est 1 . En outre, elle est centrée, ce qui permet d’en conclure que bn = 0 . g(t)

1

an

1

T/2 0

T

t

a)

0

1

2

3

4 b)

F IG . A2.1.

5

6

n

679

Analyse de Fourier

Calculons c n :    1 T/4 1 1 sin(pn/2) T exp(−j2pnt/T ) d t = [exp(−jpn/2) − exp(jpn/2)] = cn = 2 pn/2 T −T/4 T −j2pn d’où : an =

sin(pn/2) pn/2

et

bn = 0

La figure A2.1b représente le spectre de g(t) formé par l’ensemble des coefficients a n . Ainsi :  ∞   nt  1  sin(pn/2) cos 2p g(t) = + T 2 pn/2 n=1

soit :

 1 2 2 t − cos g(t) = + cos 2p 2 p 3p T



3t 2p T



2 + cos 5p



5t 2p T



  2 7t − +··· cos 2p 7p T

Sur la figure A2.2, on a représenté les courbes successives donnant une fonction rectangle avec une précision qui croît au fur et à mesure que l’on augmente le nombre de termes du développement. La première courbe donne la valeur moyenne, la deuxième prend en compte aussi le premier harmonique, la troisième ajoute les troisième et cinquième harmoniques, la quatrième représente la somme des dix premiers termes non nuls du développement. On voit que l’on restitue progressivement la fonction rectangle. g(t)

4

3

1

0,5

1

2 0

t

F IG . A2.2.

b) Fonction en dents de scie Considérons une fonction périodique en dents de scie dont le motif est de la forme : g 0 (t) = t /T entre 0 et T , T étant la période (Fig. A2.3a). Calculons cn pour n = 0 :  T  1 t nt  exp −j2p dt cn = T 0 T T En intégrant par parties, il vient :    T    1 t 1 T 1 T T exp(−j2pnt/T ) − exp(−j2pnt/T ) d t cn = T T −j2pn T 0 T −j2pn 0

680

Annexe 2.

soit : cn = et pour n = 0 :

    1 1 nt  T nt T j = − t exp −j2p exp −j2p 2 −j2pnT (−j2pn) 2pn T T 0 0 

1 c0 = T

0

d’où l’on déduit (Fig. A2.3b) : a0 = c 0 =

1 2

T

1 t dt = 2 T

a n = cn + c∗n = 0 et b n = j(c n − c∗n ) = −

1 pn

|c n |

g ( t) 1

0,5 1/2p

0

1/4p 1/8p t

T

1

a)

b)

2

3

n

F IG . A2.3.

II . — TRANSFORMATION DE FOURIER II . 1 . — Définition et propriété de réciprocité a) Définition La transformation de Fourier est l’opération mathématique qui associe à une fonction g(t) , réelle ou complexe, de la variable réelle t , son spectre  g(f ) ou transformée de Fourier, selon l’intégrale : g(f ) = 



∞

−∞

g(t) exp(−j2pf t) d t

f ayant une dimension physique égale à l’inverse de celle de t . Cette définition n’a de sens évidemment que si l’intégrale existe. Notons que la valeur moyenne de g(t ) est donnée par g(0) puisque :  ∞  g(0) = g(t) d t −∞

Remarque : On définit parfois la transformée de Fourier sans faire apparaître explicitement le facteur 2p dans l’argument de l’exponentielle. C’est le cas en physique quantique (cf. Quantique). Les propriétés de la transformée de Fourier ne sont évidemment pas modifiées ; cependant un facteur numérique égal à 1/(2p) doit être affecté à l’expression intégrale de g(t) .

681

Analyse de Fourier b) Réciprocité (f ) sont réciproques, c’est-à-dire que l’on a aussi : On démontre que les rôles de g(t) et g  ∞ g(f ) exp(j2pf t) d f g(t) = −∞

ce que l’on interprète comme une superposition linéaire de fonctions sinusoïdales, de fréquence f , pondérées par la fonction  g(f ) . On notera le changement de signe dans l’exponentielle de cette dernière intégrale. II . 2 . — Exemples a) Fonction rect ( t) La fonction rect(t) , appelée aussi fonction fente ou fonction porte, vaut 1 pour |t| < 1/2 et 0 ailleurs (Fig. A2.4). Le calcul de sa transformée de Fourier est aisé :  ∞  1/2 1 1/2  rect(f ) = rect(t) exp(−j2pf t) d t = exp(−j2pf t) d t = [exp(−j2pf t)] −1/2 −2jpf −1/2 −∞ d’où :

 rect(f ) =

sin(pf ) = sinc(f ) pf

Remarques : 1) Certains auteurs mathématiciens, de plus en plus minoritaires, définissent la fonction rect(t) de façon légèrement différente ; le support vaut 2 et non 1. 2) La fonction sinc(f ) , introduite par P. Woodward en 1953, est appelée sinus cardinal (cf. Optique). Noter qu’elle fait apparaître explicitement p , conformément à sa définition originale. rect( t )

d rect( f ) =

1

1

−

1 2

0

1 2

t

−3

−2

a)

−1

0

1

sin(pf ) pf

2

3

f

b) F IG . A2.4.

b) Fonction L(t) La fonction triangle, L(t) , a pour équation 1−|t| pour |t |  1 et 0 ailleurs (Fig. A2.5). Calculons sa transformée de Fourier :  ∞  0  1  L(t) exp(−j2pf t) d t = (1 + t ) exp(−j2pf t) d t + (1 − t ) exp(−j2pf t) d t L(f ) = −∞

−1

0

682

Annexe 2.

La première intégrale vaut, en posant w = 2pft :  0  0 1 1 + exp(−jw ) w exp(−jw ) d w j2pf 4p 2 f 2 −2pf −2pf ce qui donne, en intégrant par parties cette dernière intégrale :      0 w 1 1 1 1 + = + 2 2 [1 − exp(j2pf )] − +1 exp(−jw) 2 2 j2pf 4p f j2pf 4p f j −2pf De même, la seconde intégrale vaut :     2pf w 1 1 1 1 + − − +1 =− exp(−jw ) [1 − exp(−j2pf )] 2 2 j2pf 4p f j2pf 4p 2f 2 j 0 En sommant ces deux contributions, on trouve :

1 1 [2 − exp(j2pf ) − exp(−j2pf )] = [1 − cos(2pf )] 4p2f 2 2p2 f 2 Par conséquent :  2 sin(pf )  = sinc 2(f ) L(f ) = pf ¸

sin(pf ) b L(f ) = pf 1

L( t ) 1

−1

0 a)

1

−3

t

−2

−1

0 b)

1

2

¸2

3 f

F IG . A2.5.

c) Fonction de Gauss La fonction de Gauss g(t) = exp(−pt 2 ) a la particularité d’admettre comme spectre une fonction de Gauss de même caractéristique :  g(f ) = exp(−pf 2) (Fig. A2.6). En effet, on a :  ∞ ∞ 2 2  exp[−p(t + j2f t)] d t soit  g(f ) = exp(−pf ) exp(−pz2 ) d z g(f ) = −∞

−∞

en posant z = t + j f . Or, (cf. Thermodynamique) :  ∞ exp(−pz 2) d z = 1 −∞

Il en résulte que :

 g(f ) = exp(−pf 2)

683

Analyse de Fourier G( t ) = exp(−p t 2 )

1

t

0

b ( f ) = exp(−p f 2 ) G

1

f

0

a)

b) F IG . A2.6.

II . 3 . — Théorèmes relatifs à la transformation de Fourier a) Translation Une translation de la fonction g(t ) se traduit par la multiplication de  g(f ) par un terme de phase.  En effet, on a, en introduisant t = t − t :  ∞  ∞ g(t ) exp[−j2pf (t + t)] d t TF {g(t − t)} = g(t − t) exp(−j2pf t) d t = −∞

−∞

soit : TF {g(t − t)} = exp(−j2pf t) Retenons :

b) Similitude



∞ −∞

g(t ) exp(−j2pf t ) d t  = exp(−j2pf t)  g(f )

TF {g(t − t)} = exp(−j2pf t)  g(f )

Une dilatation des coordonnées dans l’espace direct se traduit à la fois par une contraction des coordonnées dans l’espace spectral et par un changement de l’amplitude du spectre. Montrons-le en posant t = t /a , a étant le facteur de dilatation supposé positif :  ∞   t   ∞  t  = TF g exp(−j2pf t) d t = a g f (t  ) exp(−j2pfat ) d t a a −∞ −∞ Par conséquent :   t  = a g(af ) T.F g a

Notons que les supports de g(t) et de g(f ) varient en sens inverse.

Exemple : la propriété de similitude permet d’en déduire la transformée de Fourier de rect(t/a) . On trouve :   t  sin(pfa) TF rect =a a pfa Remarque : Le cas où a < 0 ne présente pas de difficulté ; le facteur multiplicatif de l’intégrale doit être remplacé par |a| .

684

Annexe 2.

c) Convolution Le produit de convolution de deux fonctions e(t ) et h(t ) est par définition : s(t) =



∞

−∞

e(t ) h(t − t ) d t

ce que l’on note aussi

s(t ) = e(t) ∗ h(t )

La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions e(t) et h(t) est égale au produit simple des transformées de Fourier  e(f ) et  h(f ) . Établissons ce résultat :  ∞  ∞      s(f ) = e(t ) h(t − t ) d t exp(−j2pf t) d t = −∞

−∞

∞



e(t ) d t

−∞

soit :

 s(f ) =

Ainsi :



∞ −∞





∞

−∞

h(t − t ) exp(−j2pf t) d t

e(t) exp(−j2pf t ) d t  h(f ) = e(f )  h(f ) s(f ) =  e(f ) h(f )

La figure A2.7 donne une représentation géométrique de la convolution ; on distingue quatre opérations successives : un retournement de h(t ) en h(−t) , une translation t de h(−t  ) en h(t − t) , une multiplication par e(t) et une intégration selon t  dont le résultat est une fonction de t . Remarque : Le produit de convolution est commutatif : e(t) ∗ h(t ) = h(t) ∗ e(t ) .

Retournement

Translation

 h(t− t )



h(− t )

h( t )

t

0

h( t )



0

t



0 Multiplication

Intégration

f (t  )



t

t

t

t

f (t  )

f (t  ) × h(t − t  ) 0

t

t F IG . A2.7.

685

Analyse de Fourier d) Corrélation

Le produit de corrélation de deux fonctions à valeurs complexes g(t ) et h(t) est par définition : Cg,h (t) =



∞ −∞

g(t ) h∗ (t − t) d t

ce qui s’écrit aussi

C g,h (t) = e(t ) ∗ h ∗ (−t)

C’est donc un produit de convolution particulier. Dans le cas où les deux fonctions sont identiques, h(t) = g(t ) , on obtient l’autocorrélation : ∞ Cg = g(t ) g∗(t − t ) d t  soit Cg,h = g(t ) ∗ g ∗ (−t) −∞

On en déduit la TF de l’autocorrélation de la fonction g(t ) :  ∞   ∗   TF g(f ) × TF {g ∗ (−t)} =  g(t )g (t − t ) d t =  g(f ) ×  g∗ (f ) = | g(f )| 2 −∞

car, en introduisant t = −t , on a :  ∞  ∗ ∗ TF {g (−t)} = g (−t) exp(−j2pf t) d t = − −∞

−∞

g∗ (t ) exp(j2pf t ) d t 

∞

soit : TF {g (−t)} = ∗



∞

g (t ) exp(j2pf t ) d t = ∗ 





−∞



∞

g(t ) exp(−j2pf t ) d t 

−∞





∗

Exemple : la fonction L(t) est l’autocorrélation de rect(t ) puisque :  2 sin(pf ) 2   = sinc 2 (f ) L(f ) = |rect(f )| = pf

= g∗ (f )

e) Théorème de Parseval-Plancherel

Le théorème de Parseval-Plancherel exprime l’égalité suivante : 

∞ −∞

|g(t)|2 d t =



∞ −∞

|g(f )|2 d f

On établit ce résultat comme suit : ∞  ∞   ∗ ∗ 2 |g(t)| d t = g(t)g (t) d t = TF g(t)g (t) −∞

−∞

soit :



∞ −∞

2

|g(t)| d t =



∞

−∞

 g(f ) g∗ (f − f ) d f 

−∞

Or g∗ (f ) = g (−f ) , puisque :  ∞  ∗ g (t) exp(−j2pf t) d t = ∗

= f =0









f =0

∞

g(t) exp(j2pf t) d t −∞

 ∗   g(f ) ∗ g (f )

∗

= g ∗ (f )

f =0

686

Annexe 2.

Il en résulte :  ∞  2 |g(t)| d t = −∞

∞

−∞

 g(f  ) g ∗ (f  − f ) d f 



=

f =0



∞

−∞

 g(f ) g ∗ (f  ) d f  =



∞

−∞

g(f )|2 d f |

En électronique, la première intégrale représente l’énergie transportée par un signal électrique, alors que la dernière exprime la somme des puissances transportées par les différentes composantes harmoniques. II . 4 . — Extension au cas des distributions a) Impulsion de Dirac Il est intéressant d’étendre la définition précédente de la transformée de Fourier aux distributions telles que l’impulsion de Dirac d(t) introduite en 1931 par le physiciens P.A. Dirac. Cette dernière peut être définie comme la limite de la fonction (1/t) rect(t/t) lorsque t tend vers 0 : t 1 rect t→0 t t

d(t) = lim

En électronique, d(t ) est une impulsion électrique, de durée extrêmement brève devant toute autre durée du système étudié. b) Spectre de l’impulsion de Dirac Pour obtenir le spectre de d(t ) , cherchons la limite de la TF de la fonction (1/t)rect(t/t) , lorsque t tend vers 0 :   sin(pf t) lim =1 t→0 pf t Ainsi la TF de d(t) est la fonction constante  d(f ) = 1 (Fig. A2.8). d( t )

1

0 a)

0 b)

t

b d( f )

f

F IG . A2.8.

c) Unité de convolution Considérons la convolution de la fonction g(t) et d(t) . D’après ce qui précède, on peut écrire :

Par conséquent :  ∞

−∞

d(f ) =  g(f ) TF {g(t) ∗ d(t )} = g(f )  g(t  ) d(t − t ) d t  = g(t )

ce qui s’écrit formellement

Ainsi l’impulsion de Dirac est l’unité de convolution.

g(t ) ∗ d(t) = g(t)

687

Analyse de Fourier

De l’intégrale de convolution précédente, on déduit, en faisant t = t et en remarquant que d(t ) est paire, la relation suivante :  ∞  ∞    g(t) d(t − t) d t = g(t) g(t ) d(t − t) d t = g(t) soit −∞

−∞

Cette dernière relation permet de préciser la définition du dirac d(t ) . d) Dérivée au sens des distributions L’étude des distributions conduit à généraliser la notion de dérivation d’une fonction continue à des fonctions présentant des discontinuités (Fig. A2.9). Ainsi, au sens des distributions, on introduit la fonction g(t) qui s’identifie à la dérivée usuelle de g(t) , sauf au point de discontinuité t0 où l’on a :  −  g (t0 ) = g(t + 0 ) − g(t 0 ) d(t − t 0) g g(t− 0 ) g(t + 0 ) t0

0

t

F IG . A2.9.

Exemple : la dérivée de la fonction de Heaviside, nulle en tout t = 0 s’écrit, au sens des distributions :   dY = Y(0 + ) − Y(0− ) d(t) = d(t ) dt II . 5 . — Peigne de Dirac

Le peigne de Dirac pgn D (t) , de pas D , est un ensemble d’impulsions de Dirac régulièrement espacées (Fig. A2.10a), d’expression analytique : pgnD (t) =

∞ 

n=−∞

d(t − nD)

Afin d’établir l’expression de la transformée de Fourier de pgn D (t) , considérons une fonction g(t) en dents de scie, de période D . Nous avons précédemment établi la décomposition en série suivante :  1  j nt exp j2p g(t) = + 2 2pn D n=0

La dérivée de cette fonction par rapport au temps est donc : n=∞   dg 1  1 1  nt  nt  =− exp j2p exp j2p = − dt D D D D n=−∞ D n=0

688

Annexe 2.

Au sens des distributions, la dérivée de g(t ) s’écrit, puisque la fonction est continue par morceaux de pentes 1/D : n=∞ n=∞     dg 1 1 1 − + g[(nD) ] − g[(nD) ] d(t − nD) = + −d(t − nD) = − pgnD (t) = + dt D n=−∞ D n=−∞ D

d’où, en identifiant les deux expressions précédentes de g(t) : n=∞  1  nt  pgnD (t) = exp j2p D n=−∞ D

Exprimons maintenant la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac :  n=∞  n=∞ n=∞    TF TF {d(t − nD)} = exp (−j2pnf D) d(t − nD) = n=−∞

n=−∞

n=−∞

en utilisant l’influence d’une translation et TF {d(t )} = 1 . Comme : n=∞ 

exp (−j2pnf D) =

n=−∞

1 pgn1/D (f ) D

la TF d’un peigne de Dirac, de période D est un peigne de Dirac, de période 1/D , multiplié par 1/D (Fig. A2.10b) : TF {pgn D (t)} = P n

−3D −2D −D

0

1 pgn1/D (f ) D

d( t − n D)

D

2D

( 1/D)

3D

t

−3/D −2/D−1/D

a)

0

P n

d( f − n/D)

1/D 2/D 3/D

f

b)

F IG . A2.10.

II . 6 . — Transformées de Fourier des fonctions périodiques On peut retrouver les résultats sur les séries de Fourier à l’aide de l’extension de la transformée de Fourier aux distributions. En effet, une fonction périodique, de période T , peut se mettre sous la forme : g(t) =

∞ 

n=−∞

d(t − nT ) ∗ g0 (t)

g0(t) étant la fonction caractérisant le motif élémentaire. On en déduit son spectre selon : ∞ ∞ ∞  n    1   1  n n n = d f− d f−    g(f ) = g0(f ) = g0 c nd f − T n=−∞ T T n=−∞ T T T n=−∞

avec :

cn =

1  n  g T 0 T

689

Analyse de Fourier Exemples :

1) Si le motif est un signal rectangulaire, de largeur T/2 , on retrouve le développement établi précédemment en I. En effet, on a : g(t) =

∞ 

n=−∞

  2t d(t − nT ) ∗ rect T

d’où c n =

T 1 sin(pf T/2) 1 sin(pn/2) = × × T 2 pfT/2 2 pn/2

On en déduit : an = 2c n et b n = 0 . 2) Si g(t) = exp(j2pf 0t) , alors, dans le développement en série, seul c 1 = 1 est non nul et  g(f ) = d(f − f0 ) . En combinant linéairement les exponentielles, on obtient : 



=

1 [d(f − f0 ) + d(f + f0 )] 2





=

1 [d(f − f 0) − d(f + f 0)] 2j

exp(j2pf 0t) + exp(−j2pf 0t) TF {cos(2pf 0 t)} = TF 2

TF {sin(2pf0 t)} = TF

exp(j2pf0 t) − exp(−j2pf0t) 2j

3) Si le motif est une sinusoïde simplement redressée, de période T , on a :    t 2t g0 (t) = cos 2p rect T T En effectuant, on trouve :

d’où l’on déduit :

     sin(pfT/2) 1 1 1 +d f + d f− ∗ d’où g0(f ) = 2 pf T T

  sin(pf T/2 + p/2) T sin(pf T/2 − p/2)  g0(f ) = + 2p f T −1 f T +1 1 n  1 0 cn = g = 2p T T



sin[(n − 1)p/2] sin[(n + 1)p/2] + n−1 n+1



ce qui donne c0 = 1/p , c 1 = 1/4 , c2 = 1/(3p) , c3 = 0 et c4 = −1/(15p) . Ainsi : g0(t) =

 t   1 1 2 2 t t + cos 2p + − +··· cos 4p cos 8p p 2 3p 15p T T T

La valeur de c1 s’obtient en effet en faisant sin[(n − 1)p/2] ≈ (n − 1)p/2 . Les coefficients réels s’en déduisent aisément : an = 2c n et bn = 0 . II . 7 . — Transformée de Fourier d’un signal échantillonné Dans le traitement des signaux, le signal s(t ) à traiter se présente sous forme numérique ; plus précisément, on a le signal échantillonné se (t) , c’est-à-dire l’ensemble des valeurs prises par s(t ) pour N valeurs de la variable t , régulièrement espacées, avec un pas Te (Fig. A2.11a).

690

Annexe 2.

La relation entre le signal s(t ) et le signal échantillonné correspondant s e (t) peut être écrite, à l’aide du peigne de Dirac, sous la forme suivante : ∞  s e(t) = s(t ) d(t − nTe ) n=−∞

n étant un entier positif négatif ou nul ; ainsi, seules les valeurs de s(t ) correspondant à t = nT e sont considérées. On comprend intuitivement que la fonction échantillonnée se (t) représentera d’autant mieux le signal s(t ) que le pas Te est suffisamment faible. Cependant, comme nous allons le voir, il n’est pas nécessaire que T e soit plus petit que les détails les plus fins du signal, lesquels correspondant à la fréquence maximale fM , au-delà de laquelle on peut négliger le spectre. se ( f )

se (t)

0 a)

Te

0

−2/T e −1/Te

t

f M 1/Te

2/T e

3/T e

f

b) F IG . A2.11.

Pour trouver la valeur optimale du pas de l’échantillonnage, prenons la TF de s e(t) :   ∞ ∞  1  1 n d f− se(f ) = s(f ) ∗ soit s e(f ) =  s(f ) ∗ f e d (f − nfe) fe = Te n=−∞ Te T e n=−∞

étant la fréquence d’échantillonnage. Sur la figure A2.11b, on a représenté le spectre se (f ) ; ce dernier reproduit, autour de chaque fréquence n/T e , le spectre de la fonction initiale. Comme les supports de  s(f ) sont identiques pour f < 0 et f > 0 , l’échantillonnage restitue toute l’information utile pourvu que la fréquence de coupure fM soit telle que : fe  f S avec f S = 2fM

ou T e  T S

avec T S =

1 2fM

Ce résultat constitue le théorème de Shannon ; le pas optimal T S = 1/(2fM ) est souvent appelé pas de Shannon. Si la condition de Shannon n’est pas respectée, les spectres translatés du signal se chevauchent et donc s’altèrent mutuellement (Fig. A2.12). Ce défaut, appelé repliement ou recouvrement de spectre (aliasing en anglais), provoque une perte d’information dans le signal étudié. On peut l’éviter en filtrant préalablement le signal, à l’aide d’un filtre passe-bas, dont la fréquence de coupure est f M . |b s(f )|

−fe

0 F IG . A2.12.

fM

fe

f

691

Analyse de Fourier

III . — TRANSFORMÉE DE FOURIER NUMÉRIQUE On réalise l’échantillonnage à l’aide d’un échantillonneur bloqueur (cf. chapitre 15 et 18). Le signal obtenu est alors représenté par un tableau de nombres, s e[n] où n est un entier qui donne les valeurs du signal s(nTe ) aux instants t = nTe . La fréquence d’échantillonnage est donc f e = 1/T e et l’on a la relation : n=∞  se [n] = s(nT e ) = s(t) d(t − nT e) n=−∞

III . 1 . — Transformée de Fourier des signaux à temps discrets Dans le cas des signaux à variable temporelle discrète, échantillonnée avec la période D e et donc à la fréquence fe = 1/D e , il est d’usage de désigner la fonction échantillonnée de s(t ) pour t = nD e , n étant un entier relatif, par : se (t) = s(t )

∞ 

n=−∞

d(t − nD e) =

∞ 

n=−∞

s(nD e )d(t − nDe )

La transformée de Fourier correspondante s’écrit : se(f ) =



∞

−∞

se (t) exp(−j2pf t) d t =



∞

∞ 

−∞ n=−∞

s(nDe )d(t − nDe ) exp(−j2pf t) d t

ce qui donne, en permutant les deux signes de sommation :  s e (f ) =

∞ 

n=−∞

s(nDe)



∞

−∞

d(t − nD e) exp(−j2pf t) d t =

∞ 

n=−∞

s(nDe) exp(−j2pf nDe )

Par conséquent, il vient, en introduisant la notation s e[n] = s(nDe ) : 

∞ 

f se (f ) = se[n] exp −j2pn fe n=−∞



Réciproquement, établissons l’expression de se [n] en fonction de  s e(f ) . Il vient : ∞ s(f ) exp(j2pf nD e) d f se [n] = s(nD e) = −∞

Or, d’après la convolution et la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac, on a :     ∞ ∞ 1  1  n n = d f− se (f ) =  s f − s(f ) ∗ De n=−∞ De D e n=−∞ De

ce qui donne, en multipliant les deux membres de l’égalité par De rect(f /f e) :

       ∞ f f n  s f − De rect s e(f ) = rect s(f ) = fe fe n=−∞ De

692

Annexe 2.

Il en résulte en remplaçant  s(f ) par son expression dans l’équation intégrale donnant s e[n] :   f  De rect se[n] = s e(f ) exp(j2pf nDe ) d f fe −∞ 

soit :

∞

1 se [n] = fe

  f s e (f ) exp j2pn df fe −fe /2



fe/2

Exemple : la fonction rectangulaire discrétisée, entre −m et m , avec la période D e , et donc de largeur NDe , avec N = 2m + 1 , a pour expression : 

t se [n] = se(nDe ) = rect NDe



= rect

 n N

d’où sa transformée de Fourier : ∞ 



f se (f ) = s e[n] exp −j2pn fe n=−∞



m 



f = exp −j2pn fe n=−m



Il vient, en effectuant la somme, après avoir posé f = 2pf /f e : s e (f ) 

= =

exp(jmf) [1 + exp(−jf) + exp(−j2f) + · · · + exp(−j2mf)] 1 − exp[−j(2m + 1)f] exp(jmf) 1 − exp(−jf)

soit : se (f )

= =

exp[−j(m + 1/2)f] exp[j(m + 1/2)f] − exp[−j(m + 1/2)f] exp(−jf/2) exp(jf/2) − exp(−jf/2) sin(Nf/2) sin(f/2)

exp(jmf)

puisque N = 2m +1 . On retrouve la transformée de Fourier de la fonction réseau (fonction rectangulaire dont la variable est périodiquement discrétisée ), ce qui était prévisible (cf. Optique). III . 2 . — Transformée de Fourier rapide En pratique, on calcule la transformation de Fourier à l’aide d’un ordinateur, dont les possibilités de calcul sont désormais immenses, soit avec un oscilloscope pourvu de fonctions de calcul préprogrammées. Dans les deux cas, on utilise un algorithme remarquablement rapide, appelé FFT (de l’anglais fast Fourier transform pour transformée de Fourier rapide). Cet algorithme, mis au point en 1965 par J. Cooley et J. Tucky, connaît depuis un succès considérable en raison de sa faible durée de calcul, comparée aux durées qu’exigent les méthodes directes de calcul d’intégrales.

693

Analyse de Fourier a) Duplication du signal acquis

Désignons par N le nombre d’échantillons d’un signal échantillonné s e [n] , pendant la durée d’acquisition Ta , et par Te = Ta/(N − 1) le pas d’échantillonnage. Le signal s d(t) , considéré lors du calcul, est construit en dupliquant le signal acquis, précisément en le rendant périodique de période Ta (Fig. A2.13) :    t ∗ pgn Ta (t) avec se (t) = s(t ) pgn T e(t) sd(t) = se (t) rect Ta a) Signal acquis

b) Signal considéré

F IG . A2.13.

La transformée de Fourier se réduit alors à un développement en série de Fourier, dont la fréquence du fondamental est 1/Ta . Le spectre obtenu est donc constitué par un ensemble de pics espacés les uns des autres de 1/T a . À l’issue du calcul, l’algorithme retourne N valeurs complexes, qui se répartissent, sur l’intervalle de fréquence, entre la fréquence nulle et la fréquence d’échantillonnage (N −1)/Ta = 1/T e = f e . Notons qu’en raison du théorème de Shannon, seul le domaine [0 ; f e /2] est significatif. Exemple : Considérons un signal de durée 25 ms échantillonné sur 128 points. Comme le pas d’échantillonnage Te = 25/127 ≈ 0, 195 ms et f e = 1/T e = 5, 1 kHz , l’algorithme FFT fournit un spectre constitué de 64 pics entre 0 et 2, 6 kHz , espacés de 1/0, 025 = 40 Hz . Le fonctionnement optimal de l’algorithme FFT est réalisé pour un nombre d’échantillons égal à une puissance de deux : N = 2p où p est un entier positif. Si N diffère d’une puissance de deux, le signal est ré-échantillonné par interpolation ou complété par des valeurs nulles jusqu’à la puissance de deux immédiatement supérieur. En pratique, on échantillonne le signal sur 2 p points. b) Application aux signaux sinusoïdaux Si le signal s(t) est sinusoïdal, de fréquence f 0 < fe/2 : s(t) = s m cos(2pf0 t) , la transformée de Fourier s’écrit simplement : sm  s(f ) = [d(f − f 0) + d(f + f 0)] 2 Le spectre du signal dupliqué est donc le suivant :      sin(pfT a) 1 t sd(f ) = TF s e(t) rect TF pgnTa (t) = s(f ) ∗ Ta pgn1/T a (f ) Ta pfTa T a soit, en supposant le critère de Shannon respecté,    s e(f ) = TF s(t) pgn Te (t) =  s(f ) En explicitant s(f ) , on obtient : sd (f ) =

1 sin[p(f − f0)T a] 1 sin[p(f + f0 )Ta ] pgn1/Ta (f ) + pgn1/T a (f ) 2 p(f − f0 )T a 2 p(f + f0)T a

694

Annexe 2.

Ainsi, les raies spectrales de fréquences f0 et −f 0 s’étalent en étant modulées par une fonction en forme de sinus cardinal. Deux cas se présentent. i) Si la durée d’acquisition est précisément égale à un nombre entier de période T 0 du signal, Ta = mT0 , m étant un entier positif, les valeurs discrètes  s d[n/T a] du spectre deviennent : sd



 n 1 sin[p(n − m)] 1 sin[p(n + m)] = + = 0 si m = 0 Ta 2 p(n − m) 2 p(n + m)

Le spectre retourné par l’algorithme FFT ne comporte qu’un seul pic, à la fréquence f = f 0 , et est conforme au spectre s(f ) du signal harmonique (Fig. A2.14a). ii) Si le rapport T a/T 0 est différent d’un nombre entier, les pics situés autour de leur position initiale s’étalent ; l’étalement maximal est obtenu pour Ta/T 0 = m + 1/2 : sd



n Ta



=

1 sin[p(n − m − 1/2)] 1 sin[p(n + m + 1/2)] + 2 p(n − m − 1/2) 2 p(n + m + 1/2)

Le module du spectre calculé par l’algorithme FFT se déploie autour de la raie centrale de fréquence f = f0 , avec la lente décroissance en 1/n du sinus cardinal (Fig. A2.14b). L’amplitude du pic central n’est donc pas restituée fidèlement. Le théorème de Parseval-Plancherel permet de calculer la moyenne quadratique sm du signal harmonique. La somme ne portant que sur les fréquences positives, cette moyenne a pour expression :    n 2 2 sd  sm = 2  Ta  n0

£ ¤ bsc n/T a

£ ¤ b sc n/Ta

0

f

f0

0

a)

f b)

F IG . A2.14.

c) Fenêtres de pondération ou d’apodisation Le spectre calculé par l’algorithme FFT est pondéré par la fonction sinc(fT a) à lente décroissance, transformée de Fourier de la fonction rect(t /Ta ) à décroissance abrupte. Pour supprimer cette décroissance, on pondère le signal par une fonction à décroissance douce. Sa transformée de Fourier présente peu ou pas d’oscillations, ce qui permet d’obtenir une atténuation plus rapide de l’amplitude des pics. Cette technique permet de minimiser l’influence des variations brutales du signal entre deux motifs consécutifs (Fig. A2.15). On l’appelle en optique astronomique aussi apodisation, car elle tend à supprimer les oscillations résiduelles ou « pieds » de la fonction de transfert dans le domaine des fréquences spatiales (cf. Optique).

695

Analyse de Fourier

Signal

Signal

Sans pondération

Avec pondération

Forte discontinuité

Faible discontinuité bs(f )

Spectre étalé 0

b s(f )

Spectre élargi f0

0

f

a)

f0

f

b) F IG . A2.15.

Généralement, l’atténuation de l’amplitude des pics latéraux s’accompagne de l’élargissement de la raie centrale. En pratique, de nombreuses fenêtres sont utilisées (cf. Optique), par exemple celle de Hamming. Sur la figure A2.16, on voit l’influence de l’apodisation sur un signal harmonique, après acquisition et calcul du spectre de Fourier ; la fréquence du signal est f = 3 052 Hz , le nombre d’échantillons N = 138 et la durée de l’acquisition T a = 20 ms . |b s(f )|

0

|bs(f )|

f0 a) Sans pondération

f

0

f0

f

b) Pondération par une fenêtre de Hamming F IG . A2.16.

d) Signaux non sinusoïdaux Pour des signaux périodiques, de période T , les fenêtres d’apodisation sont inutiles si l’on parvient à réaliser un rapport Ta/T = m entier. En effet, la linéarité de la transformation de Fourier permet de décomposer le signal en une somme de signaux sinusoïdaux dont les périodes T /k où k est un entier, sont des sous-multiples de T . Dans ces conditions, on réalise pour chacun des harmoniques du signal, un rapport Ta/(T /k) = mk entier, ce qui conduit, après calcul du spectre, à des raies représentées chacunes par un seul pic. Si la condition précédente n’est pas réalisée, ou bien si le signal est apériodique, comme en modulation par exemple, alors les fenêtres de pondération s’imposent, d’où leur importance en pratique ! Notons qu’alors, l’amplitude d’une raie s’obtient en calculant la moyenne quadratique de l’ensemble des pics qui la constitue, avec un facteur de pondération dû au fenêtrage. Ce facteur, qui correspond à la moyenne quadratique de la fonction de pondération, vaut 0, 397 pour la fenêtre de Hamming.

696

Annexe 2.

III . 3 . — Effet de la conversion numérique-analogique Pour restituer un signal analogique en vue d’un traitement analogique, tel un signal audio, on doit utiliser un convertisseur numérique-analogique (cf. chapitre 19). Un signal échantillonné se (t) devient après conversion un signal analogique sa(t) qui présente une structure en forme de marches d’escaliers (Fig. A2.17) :   t s a(t) = se (t) ∗ rect avec s e (t) = s(t ) pgnT e (t) Te s e (t)

0

sa (t)

Signal échantillonné

Te

0

t

Signal analogique

Te

t

F IG . A2.17.

Si la condition de Shannon est respectée, il n’y a pas de repliement de spectre : dans la fenêtre spectrale [−fe /2 ; f e /2] , se (f ) = s(f ) . Quant au spectre de Fourier du signal analogique sa (t) reconstitué, il diffère de celui du signal d’origine s(f ) par :    sin(pfTe ) t  sa (f ) = TF s e(t) ∗ rect = s(f )Te Te pfTe

Ainsi, le spectre du signal restitué est modulé en amplitude par la fonction sinc(fT e) , laquelle s’annule à la fréquence d’échantillonnage fe = 1/T e ; le signal reproduit n’est donc pas fidèle au signal initial. Afin d’atténuer la déformation du spectre par cet effet de modulation, on sur-échantillonne au-delà de la fréquence de Shannon, ce qui permet de réaliser la condition f  1/Te , et donc d’avoir sinc(fTe ) ≈ 1 . Exemple : dans la reproduction des sons, dont on sait que la fréquence maximale audible est de 20 kHz , les contributions de plus haute fréquence peuvent être éliminées, sans perte significative ; la fréquence de Shannon est f S = 40 kHz . Dans la pratique, on sur-échantillonne à f e = nfS avec n = 2, 3 ou 4 .

Annexe 3 Transformée de Laplace L’analyse des signaux temporels conduit à s’intéresser à la réponse que donne un système lorsqu’il est excité, à un instant déterminé pris comme origine, par un signal d’entrée dépendant du temps. Elle complète l’analyse de Fourier (cf. annexe 2), dans la mesure où elle prend en compte toute l’évolution de la réponse, notamment le régime transitoire qui précède le régime établi. La transformation de Laplace, du nom du mathématicien français Pierre Simon Laplace, prend précisément en compte cette caractéristique des signaux temporels. En outre, la variable conjuguée complexe p, homogène à l’inverse d’une durée, que cette transformation introduit permet de remplacer la résolution d’une équation différentielle linéaire, à coefficients constants, par celle d’une équation algébrique. Cette technique développée par Heaviside porte le nom de calcul symbolique ou calcul opérationnel.

I . — DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS I . 1 . — Définition À toute fonction du temps, g(t) , nulle  pour t  0 et définie pour t > 0 , on peut faire correspondre la fonction suivante G(p) , ou TL g(t) , de la variable complexe p = a + jv , appelée Transformée de Laplace de g(t) , définie selon :    G(p) = TL g(t) =

∞ 0

g(t) exp(−pt) d t

Pour a = 0 , cette fonction s’apparente à la transformée de Fourier (cf. annexe 2). En effet, on a, respectivement : G(jv) =



0

∞

g(t) exp(−jvt ) d t

sachant que v = 2pf et p = jv .

g(f ) = et 



∞ −∞

g(t) exp(−j2pft) d t

Remarque : Les anglo-saxons désignent généralement par s la variable complexe p.

698

Annexe 3.

I . 2 . — Réciprocité Réciproquement, on montre que la fonction g(t) , appelée original de G(p) , est donnée par la transformation inverse, dite de Melin-Fourier : g(t) = TL



−1



1 G(p) = j 2p



a0 +j∞

G(p) exp(pt) d p

a0 −j∞

a 0 étant un réel tel que l’intégrale soit sommable. I . 3 . — Propriétés et théorèmes relatifs à la transformation de Laplace a) Linéarité Si g 1(t) et g 2(t) admettent respectivement G 1 (p) et G2 (p) comme transformées de Laplace, on a, l1 et l2 étant deux facteurs réels ou complexes indépendants du temps :       TL l1g1 (t) + l2g2 (t) = l1TL g1(t) + l2 TL g2(t) = l 1G 1(p) + l 2G 2 (p) Ainsi, toute combinaison linéaire de deux fonctions g1 (t) et g 2(t) admet pour transformée de Laplace la même combinaison linéaire des transformées de Laplace correspondantes. De façon analogue on a :       TL −1 l1 G1 (p) + l2G 2(p) = l1 TL−1 G1 (p) + l 2TL −1 G 2(p) = l 1 g1 (t) + l2 g2(t) b) Translation dans le temps ou théorème du retard La fonction G(p) étant la TL de g(t ) , cherchons à connaître la TL de g(t − t) , t étant un retard temporel. Il vient, en introduisant la nouvelle variable t = t − t et en remarquant que d t = d t :  ∞   ∞ g(t ) exp(−pt ) d t  TL g(t − t) = g(t − t) exp(−pt) d t = exp(−pt) 0

0

Ainsi, un retard dans la fonction g(t) a pour effet de multiplier la transformée de Laplace par un terme exponentiel :   TL g(t − t) = exp(−pt) G (p) c) Similitude   Si g(t) = TL −1 G(p) , il vient, en procédant à une similitude, c’est-à-dire en changeant t en t/a avec a > 0 :  ∞   t   ∞  t  g g (t ) exp(−ap t ) d t = a G(ap) = TL g exp(−p t) d t = a a a 0 0 puisque d t = d t/a . Par conséquent :   t  = a G(ap) TL g a

699

Transformée de Laplace d) Dérivation Sachant que TL {g(t)} = G(p) , la fonction dérivée de g(t) a pour transformée de Laplace :    ∞ ∞  ∞ dg dg = TL exp(−pt) d t = g(t) exp(−pt) + p g(t) exp(−pt) d t 0 dt dt 0 0

soit, puisque g(t) exp(−pt) = 0 pour t infini : 

dg TL dt



= p G(p) − g(0 )

Ainsi, dans l’espace de Laplace, la dérivation est équivalente à une multiplication par p , si g(0) = 0 . En utilisant le résultat précédent pour la dérivée première g(t) = d g/ d t , on obtient la TL de la dérivée seconde :       dg TL = p TL g (t) − g  (0) = p pG(p) − g(0) − g (0) = p2 G(p) − p g(0) − g (0) dt d’où :

TL



d2 g d t2



= p 2 G(p) − p g(0) − g (0)

ce qui se généralise pour des dérivées à l’ordre n , selon :   n−1  d (n) g n TL = p G(p) − pn−i−1 g(i) (0 ) ( n ) dt i=0

où g(i) désigne la dérivée d’ordre i de g(t ) . Notons que si la fonction, ainsi que toutes ses dérivées, sont nulles à t = 0 , la relation précédente se réduit à :  d (n) g  TL = pn G(p) d t (n)

e) Intégration

Considérons la fonction J g(t) , primitive de g(t) définie par g(t ) = d Jg (t)/ d t , dont la transformée de Laplace est G(p) . Sa transformée de Laplace s’obtient par intégration par parties, selon : ∞    1 ∞ 1  ∞ d J (t) g = + J J − J TL g (t) exp(−pt) d t g (t) exp(−pt ) d t = g (t) exp(−pt ) 0 d t p p 0 0 avec :



0

Il en résulte :

∞

d Jg(t) exp(−pt) d t = dt



0

∞

g(t) exp(−pt) d t = G (p)

  G(p) Jg (0) TL Jg (t) = + p p Évidemment, si J g(0) = 0 , l’intégration se réduit à une simple division par p .

700

Annexe 3.

f) Convolution Considérons un système, de réponse impulsionnelle h(t) , qui reçoit un signal s(t) à l’entrée. Supposons qu’il admette en sortie un signal s(t) tel que sa transformée de Laplace S(p) soit égale au produit des transformées de Laplace E (p) et H (p) de e(t ) et h(t ) respectivement. On a : avec H (p) =

S(p) = H (p)E (p)



∞

h(t) exp(−pt) d t

0

et E (p) =



∞ 0

e(t) exp(−pt) d t

Il vient, en remplaçant H (p) et E(p) par leurs expressions dans la première équation : S(p) =



∞

0

e(t ) exp(−pt )



∞

0

  h(t) exp(−pt) d t d t =

∞

e(t )

0

0

soit encore, en procédant au changement de variable t = t + t : S(p) =



0

∞ 

e(t )



t

∞



∞

   h(t) exp −p(t + t  ) d t d t 

 h(t − t ) exp(−pt) d t d t 

La réponse impulsionnelle h(t) étant nulle pour t  0 , en raison de la causalité, on a : h(t − t ) = 0 si

t  t

d’où, en permutant l’ordre des intégrations : S(p) =



∞ 0



∞ 

0





e(t ) h(t − t ) exp(−pt) d t d t

soit

 ∞  S(p) = TL e(t ) h(t − t ) d t 0

En identifiant à cette dernière équation la relation de définition de la TL, s(t ) apparaît comme la convolution de e(t) et h(t) : s(t) =



∞ 0

e(t) h(t − t ) d t

soit formellement

s(t) = e(t ) ∗ h(t )

Retenons donc que la transformée de Laplace d’un produit de convolution de deux fonctions est le produit de leurs transformées de Laplace.   TL e(t) ∗ h(t ) = E (p) H (p) Remarque : Comme les rôles joués par s(t ) et h(t) sont interchangeables, la relation précédente s’écrit aussi :  ∞ s(t) = e(t − t ) h(t ) d t 0

701

Transformée de Laplace g) Théorème des valeurs initiale et finale

En utilisant le calcul opérationnel, on peut déterminer les valeurs d’une fonction g(t) en zéro et à l’infini, à partir de sa transformée de Laplace. Pour le montrer, écrivons la propriété de dérivation de la fonction g(t) :    ∞ dg dg TL = p G(p) − g(0) soit exp(−pt) d t = p G(p) − g(0 ) dt dt 0 En faisant tendre p vers l’infini dans les deux membres de l’équation précédente, on obtient :  ∞ d g  lim exp(−pt) d t = 0 d’où lim p G(p) = g(0 ) p→∞ p→∞ dt 0 On en déduit le théorème de la valeur initiale :

lim g(t) = lim p G(p) p→∞

t→0

ce qui permet de connaître la valeur initiale d’une fonction d’évolution, à l’aide uniquement de sa TL. De façon analogue, en faisant tendre p vers zéro, on a :  ∞ d g    lim exp(−pt) d t = lim pG(p) − g(0 ) p→0 0 p→0 dt d’où :



∞ 0

  dg d t = lim pG(p) − g(0 ) p→0 dt

et

  g(∞) − g(0) = lim pG(p) − g(0 ) p→0

On en déduit le théorème suivant dit de la valeur finale :

lim g(t) = lim p G(p)

t→∞

p→0

Ce dernier permet par exemple de déterminer le régime établi correspondant à la fonction d’évolution g(t) , cela uniquement à partir de sa TL. I . 4 . — Exemples de calcul de transformées de Laplace a) Fonction linéaire La fonction linéaire, que l’on appelle souvent rampe en électronique, d’expression r(t ) = at , a étant un coefficient positif ou négatif (Fig. A3.1), admet une transformée de Laplace en 1/p2 . En effet, il vient, en intégrant par parties :  ∞     ∞ at a ∞ = + − R(p) = TL r(t ) at exp(−pt ) d t = exp(−pt) exp(−pt) d t p p 0 0 0 soit :

R(p) = − Retenons donc :

∞ a  a = 2 exp( −pt ) 0 p2 p

  a TL a t = 2 p

702

Annexe 3. r(t)

e(t) = e m exp(−at)

em

0

0 1/a

t F IG . A3.1.

t

F IG . A3.2.

b) Fonction exponentielle Calculons la transformée de Laplace de la fonction exponentielle décroissante, définie pour t > 0 selon e(t) = e m exp(−at) avec a > 0 (Fig. A3.2) : 



E(p) = TL e(t) =



∞ 0

e m exp(−at) exp(−pt ) d t = −

∞ em  em exp[−(p + a)t] = p+a p + a 0

Ainsi :   em TL em exp(−at) = p+a c) Fonctions sinusoïdales Pour calculer la transformée de Laplace des fonctions sinusoïdales e m cos(v0t) et em sin(v0t) , il est commode de commencer par déterminer celle de e(t) = em exp(jv0t) : E(p) =



∞ 0

em exp(jv 0t) exp(−pt) d t =



∞ 0

e m exp[(jv0 − p) t] d t

ce qui donne, en intégrant : ∞ em  em exp[(jv 0 − p) t] 0 = E(p) = = em jv0 − p p − jv 0



v0 p +j 2 2 2 p + v0 p + v20



Comme, en raison de la linéarité de la transformée de Laplace, on peut identifier les parties réelle et imaginaire de E(p) aux TL de cos(v0t) et sin(v 0t) , on trouve respectivement, :   TL e m cos(v0t) = e m

p p2 + v20

et

  TL em sin(v0t) = e m

v0 p 2 + v20

I . 5 . — Table de transformées de Laplace de quelques fonctions Le calcul de la transformée de Laplace et de sa transformée inverse s’avére très rapidement laborieux. Aussi existe t-il des tables de correspondance entre fonctions temporelles et TL correspondantes. Sur le tableau A3.1, on a rassemblé les transformées de Laplace les plus fréquemment utilisées.

703

Transformée de Laplace

Fonction g(t)

Transformée de Laplace G(p)

g(t − t)

exp(−pt) G(p)

g(t) exp(−at)

G(p + a)

d g(t) dt

pG(p) − g (0 ) a p2 1 p+a

at exp(−at)

p

cos(v0 t)

p2 + v 20 v0 p2 + v 20 p+a (p + a) 2 + v 20 v0 (p + a)2 + v 20 p cos f − v0 sin f p2 + v 20 p sin f + v0 cos f p2 + v 20 p 2 p − b2

sin(v 0t) exp(−at) cos(v0 t) exp(−at) sin(v 0t) cos(v0t + f) sin(v 0t + f) cosh(bt) sinh(bt)

p2

b − b2

p+a (p + a) 2 − b 2

exp(−at) cosh(bt )

b (p + a) 2 − b 2 1

exp(−at) sinh(bt ) t exp(−at)

(p + a) 1 p

Y(t)

1

d(t) TAB . A3.1.

2

704

Annexe 3.

II . — SIGNAUX ÉLECTRONIQUES USUELS II . 1 . — Signal échelon ou fonction d’Heaviside La fonction d’Heaviside, ou fonction échelon, est définie selon : Y(t) = 0

pour

t 0 la fonction Gamma s’identifie à l’intégrale suivante, dite d’Euler : G(x) =



∞

0

t x−1 exp(−t) d t

Pour x < 0 , elle se construit à l’aide de la relation de récurrence : G(x) =

G(x + 1) x

que l’on établit en intégrant par parties : x ∞  ∞ x ∞ t t G(x + 1) x−1 G(x) = t exp(−t) d t = + exp(−t) exp(−t) d t = x x x 0 0 0 soit aussi G(x) = (x − 1)G(x − 1) , qui est une autre écriture de la propriété précédente.

709

Fonction gamma et fonctions de Bessel

Notons qu’en x = 0 , l’intégrale d’Euler est divergente, donc non définie. En raison de la relation de récurrence précédente, l’intégrale d’Euler diverge aussi pour toute valeur de x entière négative. Le domaine de définition de la fonction Gamma est donc le suivant : l’ensemble des nombres réels moins {0; −1; −2; −3 ...} . Remarque : On définit parfois la fonction G(z) de la variable complexe z . On a alors x = Re(z) . I . 2 . — Valeurs particulières a) G(1) En x = 1 , on obtient : G(1) = b) G(1/2)



∞ 0

 ∞ exp(−t) d t = − exp(−t) 0 = 1

En x = 1/2 , la fonction Gamma s’identifie à l’intégrale de Gauss (cf. annexe 2) ; en effet, il vient en posant t = u2 :  ∞   ∞ √ 1 ∞ −1/2 2 G(1/2) = exp(−t) d t = exp(−u ) d u = exp(−u2 ) d u = p t 2 0 −∞ 0 c) Valeurs de G(n) pour n entier supérieur à l’unité Lorsque n est un entier positif supérieur à l’unité, la relation de récurrence s’écrit : G(n + 1) = nG(n) = n × (n − 1)G(n − 1) = n × (n − 1) × (n − 2) × G(n − 2) = n × (n − 1) ... G(1) Finalement, avec G(1) = 1 :

G(n + 1) = n! Sur la figure A4.1, on a représenté graphiquement G(x) . G(x)

√

p 1

-2

-1

0 1/2 1

2

x

F IG . A4.1.

d) Valeurs de G(x) pour x demi-entier Lorsque x est demi-entier, on trouve les valeurs successives de G(x) en utilisant la relation de récurrence G(x) = (x − 1)G(x − 1) :             1 1 p2 3 1 1 5 3 3 3p 2 7 5 5 15p1/2 = G = = G = = G = G G G 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 8

710

Annexe 4.

II . — FONCTIONS DE BESSEL II . 1 . — Équation différentielle de Bessel L’équation différentielle de Bessel est une équation différentielle linéaire, à coefficients variables, c’est-à-dire dépendants de la variable de dérivation, du second ordre, et sans second membre (dite homogène) : x2

d2 y dy +x + (x 2 − a 2)y = 0 2 dx dx

où a > 0 est un paramètre indépendant de x . Deux cas doivent être envisagés. a) a n’est pas un nombre entier Si a n’est pas un nombre entier, la solution générale de l’équation de Bessel se met sous la forme d’une combinaison linéaire des fonctions Ja(x) et J −a(x) : y(x) = AJ a(x) + BJ−a (x) A et B étant des constantes déterminées par les conditions initiales, ou aux limites ; Ja (x) et J−a (x) , appelées fonctions de Bessel de première espèce, s’expriment par le développement en série suivant dans lequel G est la fonction gamma.

Ja (x) =

∞  k=0

 x 2k+a (−1)k k! G(k + a + 1) 2

b) a est un nombre entier Si a est un entier n , la solution de l’équation est une combinaison linéaire de deux familles de fonctions, Jn (x) et Yn(x) : y(x) = AJn (x) + BYn(x) A et B étant comme précédemment des constantes déterminées par les conditions initiales, ou aux limites ; J n(x) et Yn (x) appelées respectivement fonctions de Bessel de première et deuxième espèce, s’obtiennent par les développements en série suivants :

Jn (x) =

∞  k=0

(−1) k  x 2k+n k! (k + n)! 2

et

Yn (x) = lim

b→n

Jb (x) cos(bp) − J−b (x) sin(bp)

Remarque : Les fonctions Yn(x) sont aussi appelées fonctions de Neumann ou fonctions de Weber.

711

Fonction gamma et fonctions de Bessel II . 2 . — Propriétés des fonctions de Bessel d’ordre n entier

Sur les figures A4.2a et b, on a représenté les fonctions de Bessel de première et deuxième espèce, pour n = 0, 1, 2 . J n (x ) 1

Yn (x)

J0 (x) J1 (x)

Y0 (x)

Y1(x) Y2 (x)

J 2 (x)

0

0

x

x a)

b) F IG . A4.2.

a) Comportement à l’origine À l’origine, les fonctions J n(x) sont finies, puisque : J0(0) = 1

et

J n(0) = 0 si

n>1

Quant aux fonctions Yn(x) , elles divergent à l’origine, ce qui contribue à les exclure le plus souvent des solutions physiquement acceptables de l’équation différentielle de Bessel : lim Yn (x) = −∞

x→0 +

b) Parité Les fonctions Jn(x) ont la parité de n , puisque : J n(−x) =

∞  k=0

(−1)k k! (k + n)!



−x 2

2k+n

= (−1) nJn (x)

c) Zéros Il est parfois utile de connaître les valeurs de x pour lesquelles les fonctions de Bessel, de première espèce, d’ordre entier, sont nulles. Sur le tableau A4.2, on a donné les huit premiers zéros des cinq premières fonctions Jn (x) ; on lit par exemple J1 (7, 015) ≈ 0 . d) Développements asymptotiques Pour x grand, en pratique x > x 1 , premier zéro de Jn (x) , on utilise les expressions asymptotiques suivantes pour représenter les fonctions de Bessel : Jn(x) ≈ Y n(x) ≈





2 px

 1/2

2 px

1/2

 p cos x − (2n + 1) 4  p sin x − (2n + 1) 4

712

Annexe 4.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

J0 (xk ) = 0

2, 404

5, 520

8, 653

11, 792

14, 931

18, 071

21, 212

24, 352

J1 (xk ) = 0

3, 831

7, 015

10, 173

13, 324

16, 471

19, 616

22, 760

25, 904

J2 (xk ) = 0

5, 135

8, 417

11, 620

14, 796

17, 960

21, 117

24, 270

27, 421

J3 (xk ) = 0

6, 380

9, 761

13, 015

16, 223

19, 409

22, 583

25, 748

28, 908

J4 (xk ) = 0

7, 588

11, 065

14, 373

17, 616

20, 827

24, 019

27, 199

30, 371

TAB . A4.2.

e) Formules de récurrence On établit les relations de récurrence suivantes, satisfaites par J n (x) et Y n(x) : Jn−1 (x) + Jn+1 (x) =

2n Jn (x) x

Jn−1 (x) − J n+1 (x) = 2J n(x)

n J n(x) + x J n(x) = x Jn−1 (x) d n [x Jn(x)] = xn J n−1 (x) dx

n J n(x) − x Jn (x) = x Jn+1 (x)

d −n [x Jn (x)] = −x−nJ n+1 (x) dx

f) Expressions intégrales Citons quelques expressions intégrales usuelles se ramenant directement aux fonctions de Bessel :   1 p 2 ∞ cos(x sin u) d u Y0 (x) = − cos(x cosh u) d u J0 (x) = p 0 p 0 1 Jn(x) = 2p



p −p

exp[j(x sin u − nu)] d u

ou ou

1 Jn(x) = p



1 J n(x) = 2p

p

cos(nu − x sin u) d u

0



2p

exp[j(x cos u + nu)] d u 0

Annexe 5 Lois de probabilité La théorie des probabilités et plus largement la théorie statistique des processus stochastiques (dus au hasard) reposent sur trois axiomes énoncés par le mathématicien russe A. Kolmogoroff en 1933. Avant tout, il convient d’introduire le langage dans lequel on exprime ces axiomes.

I . — LANGAGE DES PROBABILITÉS I . 1 . — Événements En théorie des probabilités, on considère une expérience E , c’est-à-dire une procédure déterminée, que l’on peut répéter N fois dans les mêmes conditions de préparation, soit successivement par le même expérimentateur, soit simultanément par N observateurs qui procèdent selon le même protocole expérimental. Chaque répétition de E constitue une épreuve qui donne un résultat observable. À chacun des résultats, on associe un événement Ak . Exemple : jeu de pile ou face L’expérience E est le lancé d’une pièce de monnaie ; chaque lancé est une épreuve qui donne un résultat, soit pile P soit face F . On associe ainsi à cette expérience deux événements : P ou F . Si l’expérience consiste à lancer deux pièces identiques, trois événements peuvent se produire : PP, PF , FF . I . 2 . — Espace des événements L’espace des événements E est l’ensemble de tous les événements {A k } que l’on peut associer, a priori, à une expérience déterminée E . Exemple : jeu de pile ou face Dans le lancé d’une pièce de monnaie, l’espace des événements est P, F . Dans celui de deux pièces identiques, c’est PP, PF , FF . I . 3 . — Événements disjoints ou incompatibles Deux événements, A et B sont disjoints, ou incompatibles, s’ils s’excluent mutuellement, ce que l’on écrit formellement : A ∩ B = ∅ .

714

Annexe 5.

Par exemple, dans le jeu de dé à 6 faces symétriques, numérotées de 1 à 6 , l’événement « sortie de 2 » et l’événement « sortie de 4 » sont disjoints. En revanche, l’événement « sortie d’un chiffre supérieur à 2 » et l’événement « sortie d’un chiffre inférieur à 4 », sont compatibles par l’événement « sortie du chiffre 3 ». I . 4 . — Événement certain Un événement est certain s’il se produit systématiquement au cours d’une expérience. Par exemple, la réalisation de l’un quelconque des événements de l’espace des événements, associé au lancé d’un dé à 6 faces, est un événement certain.

II . — THÉORIE DES PROBABILITÉS II . 1 . — Axiomes des probabilités de Kolmogoroff On appelle probabilité d’un événement A , issu d’une expérience E , le nombre réel P(A) qui satisfait aux axiomes suivants : axiome 1. La probabilité d’un événement est positive ou nulle : P(A)  0 axiome 2. La probabilité de l’événement certain est égale à 1 : P(A) = 1 axiome 3. La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles, A et B , est la somme des probabilités de chacun des événements : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Remarque : Ce dernier axiome est souvent appelé l’axiome des probabilités totales. II . 2 . — Conséquences a) Somme des probabilités de deux événements contraires La somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1 . En effet, l’événement contraire à l’événement A , noté A , est par définition incompatible avec A . On a donc : P(A ∪ A) = P(A) + P(A) Comme A ∪ A est un événement certain, on en déduit : P(A) + P(A) = 1 . b) Valeur des probabilités Toutes les probabilités sont comprises entre 0 et 1 . En effet, en combinant l’équation précédente et l’axiome 1, on en conclut que : 0  P(A)  1 c) Événements équiprobables Soit une expérience à laquelle on peut associer un ensemble d’événements, A 1 A2 . . . Ak . . . A N , équiprobables. Il vient : P(A1 ) = P(A 2) = · · · = P(Ak ) = · · · =

1 N

puisque

N 

P(Ak ) = 1

k=1

Par exemple, les probabilités de P et F dans le jeu de pile ou face sont égales à 1/2 .

715

Lois de probabilité

Notons que cette hypothèse d’équiprobabilité, justifiée essentiellement par des considérations de symétrie et par des expériences antérieures, permet de connaître la valeur de la probabilité d’un événement : à un dé à 6 faces, bien équilibré (non « pipé »), on associe un espace d’événements de même probabilité 1/6 . II . 3 . — Probabilité conditionnelle Toutes les probabilités sont conditionnées par la connaissance que nous avons a priori de l’expérience. Jusqu’à maintenant, nous n’avons pas explicité cette information. Considérons un événement A , de probabilité P(A) , dont la réalisation est conditionnée par celle d’un autre événement B , de probabilité P(B) , et désignons par P(A ∩ B) ou P(A, B) , la probabilité conjointe ou probabilité pour que les événements A et B soient réalisés . Par définition, la probabilité conditionnelle de A , sachant que B est réalisé, est le rapport suivant noté P(A|B) : P(A, B) P(A|B) = P(B) De même, on définit la probabilité conditionnelle de B si A est réalisé selon : P(B|A) =

P(A, B) P(A)

On en déduit la règle de Bayes (du nom du mathématicien anglais du XVIII esiècle T. Bayes) : P(A, B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A) II . 4 . — Événements indépendants Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité pour que A se réalise ne dépend pas de la réalisation de B . On a donc : P(A|B) = P(A)

d’où

P(A, B) = P(A)P(B)

Exemple : dans le jeu de pile ou face, la probabilité pour que soit réalisé F deux fois de suite est : 1 1 1 × = 2 2 4 puisque les deux épreuves successives sont indépendantes. P(FF) = P(F )P(F ) =

Remarque : On ne doit pas confondre disjoints et indépendants : deux événements disjoints ou incompatibles s’excluent mutuellement ; leur indépendance n’a pas de sens.

III . — VARIABLES ALÉATOIRES III . 1 . — Définition Considérons l’espace des événements {A k } d’une expérience E . À chaque événement Ak , de probabilité P k , on associe un nombre x k . La grandeur X qui peut prendre les valeurs x k , avec les probabilités respectives Pk , est appelée variable aléatoire. On définit alors la loi de distribution de la variable aléatoire X par le graphe donnant P k en fonction de ses réalisations x k . Par exemple, dans le cas du lancé d’un dé à 6 faces, la variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 avec une probabilité uniforme égale à 1/6 (Fig. A5.1).

716

Annexe 5. p(x) −1

a Pk 1/6

−1

a

0

1

2

3

4

5

6

0

xk

exp(−x/a)

a

F IG . A5.1.

x

F IG . A5.2.

III . 2 . — Densité de probabilité Lorsque les valeurs prises par la variable X ne sont pas discrètes mais forment un ensemble continu, on introduit une densité de probabilité p(x) . L’intégrale :  b p(x) d x = P(a  X  b) a

représente la probabilité pour que la variable aléatoire X soit comprise entre les valeurs a et b . Lorsque a = −∞ et b = ∞ , cette intégrale vaut 1 puisqu’elle représente la probabilité de l’événement certain :  ∞ p(x) d x = P(−∞  X  ∞) = 1 −∞

Sur la figure A5.2, on a représenté la loi de probabilité exponentielle qui vaut : p(x) = a−1 exp(−x/a) pour x  0 et p(x ) = 0 pour x < 0 . La loi de densité de probabilité uniforme p0 dans l’intervalle de largeur a et centrée en x = b est telle que : 

∞

−∞

p(x) d x =



b+a/2 b−a/2

p0 d x = p0



b+a/2 b−a/2

d x = p0a = 1 d’où p(x) = p 0 =

1 a

III . 3 . — Fonction cumulative ou fonction de répartition La fonction cumulative F (x) d’une variable aléatoire est la probabilité pour que la variable aléatoire X soit inférieure à la valeur x : x F (x) = p(x ) d x −∞

III . 4 . — Valeur moyenne et moments d’une variable aléatoire a) Variable aléatoire discrète Soit X une variable aléatoire prenant l’ensemble des valeurs {x k } avec les probabilités {P k} . On appelle valeur moyenne de X son espérance mathématique ou sa valeur espérée définie par :  X  = xk Pk k

717

Lois de probabilité

On définit aussi les moments d’ordre n xn  de la variable X et les moments centraux correspondants mn par les moyennes de xn et (x − X)n respectivement :   X n  = xnk Pk et mn = (x − X)n  = (x k − X)nP k k

k

La variance s2 est le moment central d’ordre 2 et sa racine carrée s l’écart-type . La relation entre s2 , X2 et X  2 est facile à établir :     (x − X) 2Pk = x 2P k + X  2 Pk − 2X  xPk = X 2  − X2 s2 = m 2 = (X − X) 2 = k

k

k

k

Exemple : pour un lancé d’un dé à 6 faces : X  = 1 ×

1 1 21 +2 × +··· = = 3, 5 6 6 6

d’où : 91 s = − 6 2



21 6

2

X 2 = 1 × = 8, 75

1 1 91 +4 × +··· = 6 6 6

et s = 2, 96

b) Variable aléatoire continue Lorsque la variable aléatoire est continue, les définitions précédentes se généralisent aisément à l’aide de la fonction densité de probabilité p(x) : ∞  ∞  ∞ n n n X  = x p(x) d x et m = (x − X)np(x) d x xp(x) d x X  = −∞

−∞

−∞

Exemples : 1) Pour une loi exponentielle, on trouve :  ∞  ∞ 2  x  x x x 2 exp − d x = a X  = exp − d x = 2a2 X  = a a a a 0 0

et

s 2 = 2a2 − a2 = a 2

2) Pour la loi de densité de probabilité uniforme p 0 , le calcul des moments d’ordre 1 et 2 donne : X  =



b+a/2 b−a/2

x p0 d x = p 0



x2 2

b+a/2

b−a/2

  1  a 2  a 2 b+ =b = − b− 2a 2 2

et : 2

X  =



b+a/2

b−a/2

2

x p0 d x = p0



x3 3

b+a/2

  1  3ab2 + a 3 /4 a 3  a 3 a2 = = − b− b+ = b2 + 3a 2 2 3a 12 b−a/2

III . 5 . — Fonction caractéristique d’une variable aléatoire On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire X , de densité de probabilité p(x) , l’intégrale suivante :  ∞ p(x) exp(j2pux) d x f(u) = −∞

718

Annexe 5.

Notons que f(u) est l’espérance mathématique de la fonction exp(j2pu) . Cette intégrale est la transformée de Fourier inverse de p(x) (cf. annexe 2). Il en résulte que la densité de probabilité p(x) est la transformée de Fourier (directe) de sa fonction caractéristique f(u) :  ∞ f(u) exp(−j2pux) d u p(x) = −∞

Exemple : la fonction caractéristique d’une variable aléatoire uniformément distribuée sur un segment de largeur a , centré en x = b est, puisque p(x) = 1/a :  ∞  b+a/2 1 p(x) exp(j2pux) d x = exp(j2pux) d x f(u) = −∞ b−a/2 a b−a/2 1  exp(jpua) − exp(−jpua) = exp(j2pux) = exp(j2pub) b+a/2 j2pua j2pua ce qui donne, en effectuant sin(pua) f(u) = exp(j2pub) pua Les fonctions p(x) et sin(pua)/(pua) , dans le cas d’une distribution uniforme de probabilité 1/a , sont représentées sur la figure A5.3. sin(pua) pua 1

p(x) 1 a

0

−

a 2

a 2

x −

3 a

−

2 a

−

1 a

a)

0

1 a

2 a

3 a

u

b) F IG . A5.3.

IV . — DIFFÉRENTES LOIS DE PROBABILITÉ En dehors de la loi de probabilité uniforme sur un segment et de la loi de probabilité exponentielle, les lois de probabilité les plus connues sont la loi binomiale, la loi de Poisson, la loi normale de Gauss et la loi multinomiale. IV . 1 . — Loi binomiale a) Définition La loi binomiale est la loi de probabilité d’une série d’épreuves répétées qui possèdent les propriétés suivantes : i) chaque épreuve admet deux événements possibles A 1 et A2 , de probabilités respectives déterminées p et q = 1 − p , ii) les épreuves sont indépendantes les unes des autres,

iii) la variable aléatoire X est le nombre n d’événements A 1 dans une suite de N épreuves.

719

Lois de probabilité

Par exemple, la probabilité pour que, dans le jeu de pile ou face, P ou F apparaissent n fois, suit une loi dite de Bernoulli avec p = 1/2 . Les différentes épreuves étant indépendantes, la probabilité P n de réaliser n fois A 1 , et donc N − n fois A2 , est proportionnelle à p n , à (1 − p)N −n et au nombre de façons de choisir n épreuves parmi N , c’est-à-dire au nombre de combinaisons C Nn : N! pn(1 − p)N −n n!(N − n)!

P n = C nN pn (1 − p) N −n =

Notons que cette loi dépend de deux paramètres N et n . b) Moyenne et variance Pour calculer la moyenne X  =



n nPn

(px + q)N =

, écrivons l’identité suivante :

N 

CNn pnqN −n xn =

n=0

N 

x nPn

n=0

et dérivons ses deux membres par rapport à x . Il vient :  Np(px + q)N−1 = n xn−1 Pn n

En faisant x = 1 , on trouve, puisque p + q = 1 : X  = On calcule le moment  d’ordre 2, X2  = l’identité (px + q)N = n xnPn . En effet :





n

2

N (N − 1)p (px + q)

n2 Pn en dérivant, une seconde fois, par rapport à x ,

N−2

Donc :

N  n=0

=

N 

n=0

ce qui donne, en faisant une nouvelle fois x = 1 : N (N − 1)p2 =

nPn = Np

n

n(n − 1)xn−2 P n

n(n − 1)Pn = X 2 − X

X 2  = N (N − 1)p2 + X  = N 2 p2 − Np2 + Np

et

s2 = X 2 − X2 = Np(1 − p) = Npq

IV . 2 . — Loi de Poisson ou loi des événements rares a) Définition La loi de Poisson est la loi de probabilité suivante : Pn =

an exp(−a) n!

n étant un nombre entier ou nul et a une quantité positive, appelée paramètre de la loi. Sur la figure A5.4, on a représenté Pn(a) pour différentes valeurs de n .

720

Annexe 5.

1

Pn(a) =

1 n a exp(−a) n!

n=0 n=1 1

0

a F IG . A5.4.

Cette loi est ce à quoi se réduit la loi binomiale lorsque p est très faible et N très grand, de telle sorte que le produit Np soit une constante a . En effet, on a :

Comme :

 a n  N! a N −n an N (N − 1) . . . (N − n + 1)  a  N −n × 1− 1 − = n!(N − n)! N N n! Nn N lim

N→∞

et :



1−

a N = exp(−a) N

      N (N − 1) . . . (N − n + 1) 1 2 n−1 × 1− ×... 1 − lim = lim 1 × 1 − =1 N→∞ N→∞ Nn N N N il vient : Pn = lim CNn pn (1 − p)N −n N→∞

d’où Pn =

an exp(−a) n!

Cette loi joue un rôle très important en physique, car l’émission aléatoire de particules, le nombre de collisions subies par une particule et les bruits fondamentaux (bruit de photon, bruit Schottky, bruit Johnson) satisfont à une statistique de Poisson (cf. chapitre 17). b) Moyenne et variance En utilisant les résultats relatifs à la loi binomiale, on obtient :  a n = Np = a et s2 = Npq = a 1 − ≈a N

On peut retrouver ces résultats directement :

N N N    an an an−1 X  = n exp(−a) = n exp(−a) = a exp(−a) =a (n − 1)! n! n! n=0

n=1

puisque :

N  n=1

De la même façon : X 2 =

N  n=0

n=1

an−1 = exp a (n − 1)! N

n2

 n(n − 1) + n n an exp(−a) = exp(−a) × a n! n! n=0

721

Lois de probabilité d’où : 2

2

X  = a exp(−a) ×

N 

an−2 + a = a 2 +a (n − 2)!

n=2

s2 = X 2−n 2 = a 2+a − a2 = a

et

s = a 1/2

Ainsi, dans une loi de Poisson, moyenne et écart-type coïncident. IV . 3 . — Loi normale et loi de Gauss a) Définition La loi normale est la loi à laquelle satisfait une variable aléatoire continue X , de densité de probabilité de la forme :   (x − m)2 p(x) = A exp − B b) Moyenne et variance La distribution étant symétrique par rapport à la valeur x = m , la valeur moyenne de X est égale à m . Les constantes A et B sont reliées par la condition de normalisation. En effet, en introduisant y = x − m , on a (cf. annexe 2 ) : 

∞

p(x) d x = A

−∞



∞

−∞



y2 exp − B



d y = A(pB)1/2 = 1

d’où

A=

1 (pB)1/2

Quant au moment d’ordre 2 , il se développe selon : 2

X  = A



∞

−∞



(x − m)2 x exp − B 2







y2 (y + m) exp − dx = A B −∞ ∞

2



dy

Comme la contribution du double produit 2my est nulle, il vient, en utilisant les valeurs des intégrales de Gauss G2 et G0 (cf. Thermodynamique) : A



∞

2

y exp −∞



y2 − B



d y + Am

2



 2 y A  31/2 B pB + Am2 (pB) 1/2 = + m2 exp − dy = B 2 2 −∞ ∞

Ainsi s2 = X 2  − X2 = B/2 . La distribution p(x) s’écrit finalement :   1 (x − m) 2 exp − p(x) = (2p)1/2 s 2s2

Lorsque cette loi est centrée ( m = 0 ) et réduite ( s = 1 ), on l’appelle loi de Gauss (Fig. A5.5) :  2 1 x exp − p(x) = 1 / 2 (2p) 2 On se ramène à une telle loi en procédant à une translation et à une affinité de la variable aléatoire. La largeur de cette fonction à mi-hauteur est : 2(ln 2)1/2 = 2, 35 .

722

Annexe 5.

p(x) =

1/(2p)1/2

μ ¶ x2 1 − exp (2p)1/2 2

2, 35

x

0 F IG . A5.5.

IV . 4 . — Théorème de la limite centrale ou de la tendance normale a) Propriété de la fonction caractéristique Considérons une variable aléatoire X , somme de deux variables aléatoires X 1 et X 2 , indépendantes, de même densité de probabilité et donc de même fonction caractéristique f e(u) . La fonction caractéristique fX (u) de X a pour expression :  ∞ ∞ ∞ p e(x1)pe (x2) exp[j2pu(x 1 + x 2)] d x1 d x2 fX (u) = p(x) exp(j2pux) d x = −∞

−∞

−∞

soit : fX (u) = fe(u)fe (u) = [fe (u)]2 Ainsi, la fonction caractéristique d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 est le produit des fonctions caractéristiques de ces variables. En prenant la transformée de Fourier de chaque membre, on en déduit que la distribution de probabilité de la variable X est le produit de convolution des distributions de probabilité des variables X1 et X2 (cf. Optique). En généralisant à la somme d’un nombre quelconque N de variables aléatoires, on trouve évidemment : f X (u) = [fe(u)] N b) Limite gaussienne lorsque N  1 Supposons que le nombre de variables aléatoires, dont la somme est la variable aléatoire X , soit très grand devant 1 . En outre, plaçons-nous, pour simplifier l’analyse, dans le cas où toutes ces variables soient centrées. Comme la variance s 2 de la variable X augmente avec N , considérons la variable plus intéressante S = X /N 1/2 de variance N fois plus petite. Il vient, en remplaçant fe (u) par son développement autour de u = 0 , jusqu’à l’ordre deux inclus, si les termes d’ordre plus élevé gardent une valeur finie :      N u d fe(u) u2 d2 fe (u) + f s(u) = f e(0) + +··· du 2N d u2 N 0 0 avec :

fe(u) =



∞

pe (x) exp(j2pux) d x −∞

723

Lois de probabilité On a, par définition de la densité de probabilité de la variable aléatoire centrée :    ∞  ∞ d f0 (u) f e(0) = = (j2p) pe (x) d x = 1 et x pe(x) exp(j2pux) d x = 0 du −∞ −∞ 0

En outre :  2   ∞  ∞ d f0 (u) 2 2 2 = (j2p) x pe(x) exp(j2pux) d x = −4p x2pe (x) exp(j2pux) d x = −s2e d u2 −∞ −∞ 0 Par conséquent : 

2p2 u 2s2e fS (u) = 1 − +··· N

N

et



2 2 2 se

ln f s(u) = N ln 1 − 2p u

N

+ ···



Comme N est grand, il vient, en développant le logarithme ( ln(1 + x) ≈ x ) :   2 2 2 se ln f S(u) ≈ N −2p u = −2p2u2 s2e N Ainsi : 2 2

fS (u) ≈ exp(−2p u

s2e )

et

  1 x2 pS (x) = exp − 2 (2p)1/2 se 2se

en prenant la transformée de Fourier (cf. annexe 2). Ce résultat constitue le théorème de la limite centrale ou de la tendance normale : La distribution de la variable aléatoire S, somme pondérée d’un grand nombre de variables aléatoires Xi , est donc une gaussienne, pourvu que la fonction de probabilité des variables X i admette des moments mn d’un ordre supérieur à deux. Il en est ainsi pour la plupart des distributions de probabilité, notamment la distribution uniforme.

Annexe 6 Simulation des circuits De nos jours, la simulation est une technique largement utilisée en physique, dans les laboratoires universitaires ou dans les centres de recherche appliquée. En raison de la puissance de calcul toujours croissante des ordinateurs et des soucis économiques de maîtrise des coûts, elle est devenue un outil d’analyse extraordinaire par son efficacité et par conséquent indispensable. Pour cette raison, elle s’est introduite naturellement dans l’enseignement, notamment en physique, car elle offre un moyen facile d’initier les étudiants à l’analyse de systèmes complexes. En effet, il n’existe pas de méthodes analytiques exactes pour décrire de tels systèmes. Avant les techniques de simulation, le physicien réduisait la complexité d’un système en invoquant des hypothèses simplificatrices partiellement justifiées. Bien que nécessaire, cette analyse simplifiée s’avère insuffisante, lorsqu’une description minutieuse et sans approximation est exigée. Le recours à la simulation s’impose alors. La précision n’est pas le seul intérêt de la simulation. La possibilité de changer les conditions du problème, de modifier l’ensemble des paramètres et d’observer le résultat obtenu, apporte un éclairage complémentaire qui contribue à approfondir notre connaissance des phénomènes physiques. Plusieurs thèmes d’électronique sont abordés : i) Simulations SPICE, logiciel de simulation électronique, dont l’acronyme signifie Simulation Program with Integrated Circuits Emphasis. ii) Conception d’un conformateur sinusoïdal. iii) Étude d’un oscillateur à comportement chaotique. Le lecteur trouvera des lignes de codes utilisées dans cette annexe sur le site suivant : http ://webast.ast.obs-mip.fr/perez

I . — SIMULATIONS SPICE La conception des circuits électroniques est facilitée par l’utilisation d’outils de simulation permettant d’en évaluer les performances. Avec l’avènement de différents outils logiciels, la conception assistée par ordinateur (CAO), est devenue une étape incontournable qui facilite l’optimisation d’un circuit et réduit les étapes d’élaboration de prototypes dans la réalisation. Le logiciel de simulation le plus utilisé actuellement est SPICE, développé par l’Université de Berkeley dans les années 1970. Dans cette section, nous donnons un aperçu de l’utilisation de SPICE et de ses avantages, en laissant de côté la syntaxe du logiciel, laquelle est décrite dans de nombreux ouvrages.

725

Simulation des circuits I . 1 . — Simulation d’un oscillateur à résistance négative

On sait que les pertes induites par la résistance parasite R d’une bobine d’inductance L peuvent être compensées par l’utilisation d’une résistance négative réalisée par un montage avec un AO. Le montage de la figure A6.1 est décrit en utilisant la schématique SPICE, où il est impératif d’alimenter l’AO type de la série 741 que l’on aura choisi dans une bibliothèque de modèles. En considérant l’AO idéal, rappelons (chapitres 8 et 15) : i) l’expression de la résistance négative R n de l’AO : Rn = −R1

R3 R2

ii) la condition d’oscillation du montage à la pulsation v 0 , obtenue en faisant varier la résistance R1 s’écrit :   1 L R 2 avec v 0 = 1+ Rn = − RC LC Rn soit :

R2 L R2 = R1 = − Rn R3 RC R3

et

v20

1 = LC

  1 R2 C ≈ 1− L LC

pourvu que la résistance négative soit, en valeur absolue, très supérieure à la résistance de perte de la bobine. Cette représentation est confirmée par la simulation SPICE pour R 2 = R3 = 10 kV , L = 0, 1 H , C = 220 nF , R = 10 V ; où, lorsque R1 = 45, 45 kV , la fréquence de l’oscillation est 1 kHz . Alors que l’expérience confirme la schématisation précédente, la simulation du réseau telle que décrite sur la figure A6.1, avec initialement courants et tensions nuls, conduit curieusement à la tension nulle au nœud B . L’interprétation est la suivante : la solution u B = 0 étant instable, toute perturbation éloigne le point de fonctionnement du circuit de cet état. En pratique, c’est le bruit électronique qui permet le démarrage des oscillations du système. Cette difficulté est contournée par la simulation, lors de la prise en compte de conditions initiales non nulles, par l’intermédiaire du modèle SPICE noté IC (Fig. A6.1). R3

B R

∞

+

P

−

us

5 0

C R2

L

us (V)

10

R1

−5 −10

F IG . A6.1.

0

4

8

12

16

20

t (ms)

F IG . A6.2.

Notons que l’on aurait pu simuler l’effet de la résistance négative sur un réseau R L C série avec une résistance négative optimale égale à la résistance de perte de la bobine. En raison de la faible valeur de cette dernière, quelques ohms, il serait très difficile, voire impossible, de réaliser une résistance négative de quelques ohms sans risquer de saturer en courant l’AO.

726

Annexe 6.

Une fois introduites les conditions initiales, la simulation de l’oscillateur électronique fonctionnant avec un AO réel, dont les caractéristiques ont été fournies par le constructeur, confirme les prévisions : i) pour R 1 = 4, 545 kV , soit une résistance dix fois plus petite que la résistance limite de 45, 45 k V , la tension uB (t) est décrite au voisinage de l’état de repos électrique par une solution du type : uB(t) = A exp(−at ) sin(vt + f) avec a < 0 ce qui confirme le résultat de la simulation sur la figure A6.2 ; on observe une oscillation dont l’amplitude diverge, puis atteint le régime établi sous l’effet des non-linéarités.

ii) Pour R 1 = 454, 5 kV , soit une résistance dix fois plus grande que la résistance optimale, le coefficient de la fonction exponentielle est positif, d’où une oscillation qui s’amortit progressivement (Fig. A6.3). iii) Pour R 1 = 45, 45 kV , ce qui ne peut jamais être réalisé en pratique, l’oscillation est celle d’un oscillateur harmonique (Fig. A6.4). u s (V)

8 4

4

0

0

−4

−4

−8

t (ms) 0

u s(v)

8

10

50

100

−8

t(ms) 0

1

2

F IG . A6.3.

3

4

5

F IG . A6.4.

I . 2 . — Simulation d’un filtre passe-bande On construit un filtre passe-bande sur la base d’une structure de Rauch (cf. chapitre 10 ), de fréquence centrale 200 kHz , dans l’hypothèse d’un AO idéal (Fig. A6.5). Étudions l’influence des imperfections du modèle de l’AO sur la qualité du filtre, en utilisant quatre types d’AO : le LM741, le TL084, le MAX403CP, et le modèle idéal de SPICE. Les résultats décrits sur la figure A6.6 démontrent l’importance du choix de l’AO. 20

0,1mF

159,154 k

7,957 k  ue

LM741

0

∞

TL084

AO idéal

−10

us

−20

100 F IG . A6.5.

MAX403CP

10



398 

Gu (dB)

200

300

F IG . A6.6.

400

f (kHz)

727

Simulation des circuits

II . — CONCEPTION D’UN CONFORMATEUR SINUSOÏDAL Un conformateur sinusoïdal (cf. chapitre 12), est un système dont la caractéristique de transfert, affine par morceaux, est utilisée pour produire des signaux sinusoïdaux, à partir d’une tension triangulaire issue, par exemple, d’un oscillateur de relaxation commandé en tension. Nous nous proposons de déterminer les composants d’un conformateur sinusoïdal, à l’aide de la simulation.

R0

a)

ue

R2

R1

R1

R2

D 2

D 1

D1

D2

E2

E1

E1

us

c c2

E2

c1

E1 −ue,m −u e,1 −u e2

F0 0

−c 1

ue,m u e,2 u e

−E2 −u2 −u e,m

−u1

0

−E2 u1

0

0 −E1

−E1

−c 2

E2

us

EN+1

E1

F1 ue,1

D n+1

us E2

a2 = 0 F2

a1 a0

−p/2

∞

+

D n+1 EN+1

0

−

u2

p/2

ue,m

b)

T 2

T

t F IG . A6.7.

u ue

T 2

T

t

728

Annexe 6.

II . 1 . — Position du problème Sur la figure A6.7a, on a représenté un conformateur sinusoïdal, destiné à produire une tension quasi-sinusoïdale, à partir d’une tension d’entrée triangulaire. Dans le premier quart de période, les tensions d’entrée ue et de sortie us ont pour expressions respectives :     t p ue 2p ue = u e,m t et u s = us,m sin d’où u s = us,m sin T T/4 2 ue,m La caractéristique de transfert réelle doit donc approcher au mieux la caractéristique idéale donnée par l’équation précédente reliant ue à us . C’est ce que montre la figure A6.7b dans laquelle on a supposé pour plus de clarté que N = 1 . La difficulté de réalisation du conformateur consiste à déterminer les coordonnées des points A i , i variant de 1 à N + 1 , qui minimisent « l’écart »de la tension de sortie à la sinusoïde recherchée. II . 2 . — Méthode On mesure l’écart entre tension de sortie et la sinusoïde à réaliser à l’aide du taux de distorsion harmonique (cf. chapitre 12) : 1 Dh = 2 (a1 + b 21)1/2



∞  n=2

a2n + b2n

 1/2

où an et bn sont les coefficients de Fourier :     ∞ a0  2p 2p us (t) = an cos n t + b n sin n t + 2 T T n=1

Le problème à résoudre revient à rechercher le minimum de la fonction D h qui dépend des 2(N + 1) variables suivantes : u e,1 , u e,2 , ..., ue,N +1 , E 1 , E2 , ..., E N+1 . Il existe deux types de méthodes : les premières, directes, fournissent les valeurs optimisées des paramètres, c’est-à-dire les coordonnées du minimum ; les secondes, approchées, donnent des valeurs approchées des paramètres du minimum. Citons quelques exemples de méthodes approchées : i) Ajustement de la fonction : les points A k sont choisis sur la caractéristique idéale ; ii) Ajustement de la dérivée de la fonction : la dérivée d’une caractéristique affine par morceaux est une fonction en marches d’escalier dont la hauteur des paliers s’identifie à la pente ai des différents segments ; les différentes pentes ai sont ajustées à la fonction dérivée de la caractéristique idéale. Les contraintes expérimentales seront finalement décisives sur le choix de la méthode. Les incertitudes sur les valeurs des composants ne permettent pas de réaliser directement les valeurs calculées, ce qui nécessite une phase d’optimisation. Les valeurs des résistances seront affinées à l’aide de potentiomètres à réglages précis ; on s’approchera de la sinusoïde en agissant sur ces réglages, guidé par un distorsiomètre placé à la sortie du montage. Les valeurs optimisées des composants ne seront donc pas plus utiles sur le plan expérimental que les valeurs approchées. Comme, avec la méthode directe, les algorithmes sont plus complexes, le choix se porte sur une méthode approchée. Nous avons retenu la technique d’ajustement de la dérivée de la fonction.

729

Simulation des circuits II . 3 . — Analyse a) Grandeurs non dimentionnées

Il est naturel d’introduire la grandeur u , sans dimension, homogène à un angle, de valeur maximale p/2 , ainsi que la grandeur analogue relative à la tension de sortie : u=

p ue 2 ee,m

et

c=

p us 2 ee,m

Ainsi, les points anguleux Al de la caractéristique, l variant de 0 à N +1 , ont pour coordonnées :   ul Al cl en posant ue,0 = 0 , E0 = 0 , u0 = 0 et c0 = 0 . b) Ajustement de la dérivée Relions les pentes a i , i variant de 0 à N , aux coordonnées des points anguleux. Par construction : i  et c0 = 0 ci = aj−1 (uj − uj−1 ) si i = 0 j=1

Dans l’intervalle ue,i  ue < ue,i+1 , us = E i + (ue − ue,i )ai , d’où l’intervalle correspondant ui  u < u i+1 , obtenu en divisant l’expression précédente par 2u e,m /p : c = ci − ai ui + ai u

et donc

ai =

dc du

La caractéristique idéale devient : u p c = s,m sin u u e,m 2

d’où

ai =



dc du



= i

us,m p us,m p hi cos ui = ue,m 2 ue,m 2

avec hi = cos u i

Les paramètres hi se calculent par ajustement sur la fonction cos u (Fig. A6.8). On impose alors deux conditions : i) annuler sur chaque intervalle la moyenne des écarts à la fonction dérivée cos u : 0=



u i+1

ui

(cos u − hi ) d u

soit

hi =

et

q2N+1

sin u i+1 − sin ui ui+1 − ui

ii) répartir les écarts quadratiques q i : q2i

=



ui+1 ui

2

(cos u − hi ) d u

=



p/2

cos2 u d u

uN+1

selon une pondération de la forme q2i = ai q2N+1 . Les valeurs des a i , arbitraires, ont une influence mineure sur le résultat final. Les simulations montrent que le choix a0 = 1 , ai = 4 , avec i compris entre 1 et N − 1 , et aN = 6 , donne des résultats satisfaisants.

730

Annexe 6.

cos u h0 h1

q0

q1

qN−1 hN−1 qN hN qN+1 0

u1

u N u N+1 p 2

u2

u

F IG . A6.8.

Calculons les carrés des écarts quadratiques par intervalles :  ui+1 2 (cos 2 u − 2hi cos u + h2i ) d u qi = ui  1 1 2 = + h i (u i+1 − ui ) + [sin(2u i+1 ) − sin(2ui)] − 2h i (sin ui+1 − sin ui ) 2 4  p/2 p  1 1 q2N+1 = − u N+1 − sin u N+1 cos2 u d u = 2 2 4 uN+1 c) Résolution par itérations Introduisons l’expression précédente de h i dans la relation donnant les carrés des écarts quadratiques : 2 1 1 (sin ui+1 − sin u i) q2i = (u i+1 − ui) + [sin(2ui+1 ) − sin(2ui )] − u i+1 − u i 2 4 On obtient ainsi un système à N + 2 inconnues, qN+1 et ui , i variant de 0 à N , qui prend la forme d’une relation de récurrence :  1 1 p q2N+1 = − uN+1 − sin u N+1 2 2 4 2 1 (sin ui+1 − sin ui ) 2 ui+1 = ui + 2a iqN+1 − [sin(2ui+1 ) − sin (2ui )] + 2 ui+1 − ui 2 La résolution de ce système d’équations ne présente pas de difficulté numérique. On procède par itérations successives. On introduit initialement un vecteur d’essai, par exemple ul = pl/[2(N + 1)] , l variant de 0 à N + 1 et on calcule les expressions précédentes, c’est à dire q N+1 ainsi que les nouvelles valeurs des ul . On introduit le vecteur u l ainsi obtenu dans le système précédent et ainsi de suite jusqu’à la convergence du système. Les coefficients h i s’obtiennent par la relation déjà établie : hi =

sin ui+1 − sin ui ui+1 − u i

d) Coefficients de Fourier Calculons les coefficients de Fourier afin d’obtenir le taux de distorsion harmonique et donc d’évaluer l’écart entre la sinusoïde recherchée et la sortie produite.

731

Simulation des circuits La tension de sortie étant impaire, seuls les coefficients b n sont non nuls :    n   n  2 T/2 4 T/2 sin 2p t us(t) d t = sin 2p t us (t) d t bn = T −T/2 T T 0 T

En effectuant le changement de variable t = t − T /4 , il vient :     n p 4 T/4 t p  sin 2p t + n dt bn = us 2p + 2 2 T −T/4 T T 



Or us(2pt/T + p/2) = us(−2pt/T + p/2) (Fig. A6.7b). Si n est pair, en posant n = 2p :  n  n sin 2p t + pp = (−1)p sin(2p t ) T T L’intégrant devenant impair, b2p = 0 . Si n est impair, en posant n = 2p + 1 :  n p n sin 2p t + pp + = (−1) p cos(2p t ) 2 T T L’intégrant devenant pair, b2p+1 s’écrit :    T/4 p 4 n  t p (−1) cos(2p t ) us 2p + dt b2p+1 = 2 T T T −T/4    T/4 8 n  t p p (−1) cos(2p t ) us −2p + dt = 2 T T T 0

En effectuant un nouveau changement de variable t = T /4 − t :  T/4  p  n   8 8 T/4 n   t t p ( −1 ) cos + pp − 2 p 2p d t = sin 2p 2p dt b2p+1 = t us t us 2 T T T T 0 T T 0 En introduisant l’angle u précédemment défini : p ue t u= = 2p 2 ee,m T on obtient :

 p/2  4 8ue,m p/2 sin(nu) us(u) d u = sin(nu) c(u) d u bn = p 0 p2 0 En explicitant c(u) sur les différents intervalles, on trouve :  n    p/2 8ue,m  ui+1 bn = (ci − a i ui + a i u) sin(nu) d u + cN+1 sin(nu) d u p2 ui uN+1 i=0  n     u i+1  ui+1 8ue,m  cos(nu N+1 ) sin(nu) d u + ai u sin(nu) d u + cN+1 = (ci − a i ui ) n p2 ui ui i=0 Finalement, on obtient pour tout n impair :

 n  u cos(nu i ) − ui+1 cos(nu i+1 ) 8ue,m  cos(nui ) − cos (nui+1 ) (c i − a i ui ) + ai i + bn = 2 p n n i=0   sin(nui+1 ) − sin(nu i ) cos(nu N+1 ) + cN+1 ai n2 n

732

Annexe 6.

e) Taux de distorsion harmonique Le taux de distorsion harmonique se réduit à l’expression : ⎛ ⎞1/2 ∞  1 ⎝ Dh = b22p+1 ⎠ b1 p=2

Numériquement, le calcul de quelques centaines d’harmoniques b2p+1 est suffisant, ce qui permet de limiter la somme infinie à 1000 , par exemple. II . 4 . — Résultats de la modélisation La simulation a été conduite dans les conditions suivantes, d’une part : 2 ue,m et donc ai = hi p d’autre part, 1 000 harmoniques ont permi d’évaluer la distorsion D h . Nous donnons dans les tableaux A6.3 à A6.6, les résultats obtenus pour N variant de 1 à 4 . u s,m =

i ai ui ci

0 0, 900 0 0

1 0, 471 0, 785 0, 707

2 0 1, 361 0, 978

TAB . A6.3. — N = 1 , D h = 1, 797%

i ai ui ci

0 0, 937 0 0

1 0, 664 0, 619 0, 580

2 0, 321 1, 056 0, 871

3 0 1, 429 0, 990

TAB . A6.4. — N = 2 , D h = 0, 908%

i ai ui ci

0 0, 955 0 0

1 0, 758 0, 522 0, 499

2 0, 508 0, 885 0, 774

3 0, 243 1, 186 0, 927

4 0 1, 463 0, 994

TAB . A6.5. — N = 3 , D h = 0, 554%

i ai ui ci

0 0, 965 0 0

1 0, 813 0, 458 0, 442

2 0, 619 0, 773 0, 698

3 0, 411 1, 030 0, 857

4 0, 196 1, 263 0, 953

TAB . A6.6. — N = 4 , D h = 0, 376%

5 0 1, 484 0, 996

733

Simulation des circuits II . 5 . — Réalisation expérimentale a) Dimensionnement du conformateur Les sources de tension s’obtiennent directement à partir des valeurs c i selon : Ei =

2 u e,m ci p

Les pentes a i des segments de la caractéristique, i variant de 1 à N , sont reliées aux résistances du circuit par (cf. chapitre 12) : (1/R 1 + 1/R2 + 1/R 3 + ... + 1/Ri ) −1 R1//R 2//...//Ri = ai = R0 + R 1//R 2 //...//Ri R 0 + (1/R 1 + 1/R2 + 1/R 3 + ... + 1/R i)−1 Ce qui s’écrit aussi : 1 = R0 ai



1 1 1 + + ... + R1 R2 Ri



+ 1 = R0



1 1 1 + + ... + R0 R1 Ri



= R0



i  1 Ri i=0



d’où l’on déduit la relation de récurrence suivante : 1 1 R0 = + ai ai−1 Ri Soit encore :

R0 1 1 = − Ri ai ai−1

avec a i =

us,m p hi u e,m 2

b) Diodes réelles La tension de seuil U d des diodes réelles introduit un décalage. Pour compenser ce dernier, il suffit d’augmenter les tensions des sources E i d’une quantité égale à la tension de seuil U d . On peut aussi choisir des diodes au germanium, de faible tension de seuil, environ 0, 15 V , et négliger cet effet. La résistance dynamique des diodes est un autre défaut éloignant le circuit du fonctionnement calculé. La compensation peut être envisagée en remplaçant les diodes à jonction par des diodes parfaites conçues à partir d’AO (cf. chapitre 12). c) Exemple Les sources de tension E n peuvent être réalisées à l’aide d’un montage potentiométrique. La figure A6.9 est un exemple de conformateur sinusoïdal à six diodes correspondant au cas N = 2 . Les potentiomètres servent à ajuster les tensions des sources, et les résistances réglables à optimiser le montage, à l’aide d’un distorsiomètre ou analyseur de spectre placé en sortie du montage. Sur le tableau A6.7, on récapitule les résultats obtenus pour u e = 10 V et R0 = 10 kV . n

1

2

3

En ( V) Rn ( V)

3, 69 22 700

5, 54 6 200

6, 30 0

TAB . A6.7. — N = 2

734

Annexe 6.

− 10 kV

∞

+

ue ~10 V

6,2 kV

−6,3 V

−5,5 V

470 V

us

23 kV

23 kV

6,2 kV

−3,7 V

3,7 V

5,5 V

6,3 V

470 V

470 V

470 V

470 V

−15 V

470 V

15 V

F IG . A6.9.

III . — OSCILLATEUR À COMPORTEMENT CHAOTIQUE Un système chaotique présente une extrême sensibilité aux conditions initiales : un petit écart, aussi faible soit-il, sur les conditions initiales, engendre à court terme deux évolutions bien distinctes. Ce chaos, de nature déterministe, rend toute prédiction impossible à moyen terme ; le système est imprédictible. Dans la suite, on se propose de simuler un système électronique susceptible de présenter un comportement chaotique afin de comprendre, qualitativement, par quel mécanisme le système est conduit au chaos. III . 1 . — Système simulé a) L’oscillateur de Chua Dans les années 1980 , Chua construisit un système électronique très simple pouvant présenter un comportement chaotique. La structure du circuit s’apparente à celle d’un oscillateur parallèle à résistance négative (A6.10a). A i2 u2

uR

iR iL

C2

B

i(u)

G n,1

i1

R u1

L

i

Gn,0 C1

u

D

-unl

u nl

0

u

G n,0 Gn,1

a)

C F IG . A6.10.

b)

Le dipôle D est un dipôle actif, donc non linéaire. Il présente une caractéristique i(u) affine par morceaux, avec deux coudes symétriques (A6.10 b) : la relation i(u) s’écrit : i) i(u) = Gn,0 u pour

− u nl  u  u nl

735

Simulation des circuits ii) i(u) = G n,1u + Cte1

pour u  unl

iii) i(u) = Gn,1 u + Cte2

pour u  −unl

Les constantes Cte1 et Cte2 se déterminent aisément en exprimant la continuité de la fonction i(u) : G n,0 unl = G n,1 unl + Cte 1

d’où Cte 1 = (Gn,0 − G n,1 )unl

et −G n,0u nl = −G n,1unl + Cte2

d’où Cte2 = −(G n,0 − Gn,1 )unl

On vérifie alors que la caractéristique i(u) peut se mettre sous la forme synthétique suivante, dans tout le domaine de variation : 1 1 i(u) = G n,0u + (Gn,1 − Gn,0 )|u + u nl| + (Gn,0 − G n,1 )|u − unl | 2 2 III . 2 . — Équations du circuit Le circuit comporte cinq branches et trois nœuds A , B , C . Trois variables indépendantes définissent donc son état électrique ( Ne = b − n + 1 = 5 − 3 + 1 = 3 ). Si l’on choisit les tensions u 1 , u2 aux bornes des condensateurs et l’intensité iL qui parcourt la bobine, une première équation entre ces variables s’obtient immédiatement : u2 = −L

d iL dt

Pour établir les deux autres équations, écrivons la loi des nœuds en A et B : iL = i 2 + iR

et

iR = i 1 + i

avec

i 1 = C1

d u1 dt

Quant à la loi des mailles appliquée à ABC , elle s’écrit :

et i2 = C 2 

d u2 dt

du u1 + u R − u 2 = 0 avec u R = RiR = R(i L − i2 ) = R iL − C2 2 dt ce qui donne une deuxième équation : C2



u1 − u2 d u2 + iL = R dt

On trouve la troisième équation selon : i1 = C 1

d u1 u2 − u1 −i = iR − i = dt R

soit

C1

d u1 u2 − u1 −i = dt R

III . 3 . — Points de fonctionnement en régime stationnaire Supposons que le système fonctionne en régime stationnaire. Le circuit équivalent devient celui de la figure A6.11a dans lequel on a remplacé la bobine par un court-circuit et les condensateurs par des coupe-circuits.

736

Annexe 6.

Le dipôle actif non linéaire D débite un courant stationnaire I dans la résistance R ; la droite de charge définie par I = U /R = GU , G = 1/R désignant la conductance correspondante, est représentée en pointillés sur la figure A6.11b. Notons que le point de fonctionnement F s’obtient en portant la caractéristique de D de la figure A6.10 b avec i = −I (Fig A6.11a). Trois cas se présentent : i) G < −Gn,1 : F0 est le seul point d’équilibre. ii) −G n,1 < G < −Gn,0 : il existe trois points d’équilibre, F0 , F 1 et F1 . iii) −G n,0 < G : F 0 est le seul point d’équilibre. I I R

-Gn,0 U

-unl

D

-Gn,1

G F1

F0 0

unl

U

F’1 a)

F IG . A6.11.

b)

III . 4 . — Stabilité du régime stationnaire Étudions la stabilité du régime stationnaire, en fonction de G . Pour cela, adoptons, comme Chua, les valeurs arbitraires suivantes : C1 = 1/9 mF , C2 = 1 mF , L = 1/7 mH , Gn,0 = −4/5 mS , Gn,1 = −1/2 mS et u nl = 1 V . a) Méthode des perturbations La méthode des perturbations consiste à provoquer une petite perturbation au voisinage d’un état d’équilibre, puis à étudier l’évolution du système : si le système retourne à l’état d’équilibre ou reste confiné dans son voisinage, il est stable ; sinon, il est instable. Techniquement, la méthode consiste d’abord à linéariser le système au voisinage de ses points d’équilibre ; les équations linéarisées peuvent s’écrire sous forme matricielle : dX = AX dt où A est une matrice carrée n × n . Dans le cas simple mais répandu où les valeurs propres l i de A (cf. annexe 1) sont distinctes les unes des autres (pas de dégénérescence), la solution générale se met sous la forme de la combinaison linéaire suivante des vecteurs propres X i de la matrice A : X (t ) =

n 

ai Xi exp (l it)

i=1

dans laquelle les coefficients ai sont des constantes déterminées par les n conditions initiales. Les valeurs propres l i étant des grandeurs complexes, s’il n’existe pas de valeur propre à partie réelle strictement positive, le vecteur X (t) reste borné au cours du temps : l’équilibre est alors stable. En revanche, s’il existe au moins une valeur propre à partie réelle strictement positive, le vecteur X (t ) diverge exponentiellement au cours du temps : l’équilibre est instable.

737

Simulation des circuits b) Application au circuit

Linéariser le système au voisinage d’un point d’équilibre, consiste à envisager des évolutions de faible amplitude autour de ce point. Pour cela, on procède au changement de fonctions suivante : u1(t) = U 1,s + u 1 (t)

u2(t) = U 2,s + u 2 (t)

iL (t) = IL,s + iL (t)

où U1,s , U2,s et I L,s sont des solutions stationnaires du système, c’est-à-dire les valeurs des grandeurs électriques du circuit au point d’équilibre considéré : U2,s = 0

G × (U1,s − U 2,s ) + IL,s = 0

G × (U2,s − U1,s ) − i(U 1,s ) = 0

On linéarise le système d’équations en effectuant un développement de Taylor :     di di  i(u 1) = i(U1,s ) + (u1 − U 1,s) + · · · = i(U1,s ) + u1G F où GF = d u1 U1,s d u1 U 1,s désigne la pente de la caractéristique du dipôle non linéaire, au point d’équilibre. Intéressons-nous à la stabilité des points de fonctionnement F 0 , F1 et F1 . À l’aide de la figure A6.11 b, on détermine aisément le coefficient GF . Deux cas se présentent : en F 0 , GF = Gn,0 et en F1 , ou F1 , G F = G n,1 . Il en résulte le système linéarisé au voisinage des points d’équilibre : d i L d u d u = −u 2 C1 1 = G (u2 − u 1 ) − u1G F et C2 2 = G (u1 − u2) + iL dt dt dt ce qui s’écrit matriciellement : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 u1 −(G + G F )/C1 G/C1 dX = AX avec X = ⎣u2 ⎦ et A = ⎣ G/C 2 −G/C 2 1/C2 ⎦ dt  0 −1/L 0 iL L

En F0 , la matrice devient A0 s’explicite avec les valeurs des paramètres choisis et G F = G n,0 = −4/5 , selon : ⎡ ⎤ −9G + 36/5 9G 0 G −G 1 ⎦ A0 = ⎣ 0 −7 0 L’équation aux valeurs propres, det (A0 − lI) = 0 , s’en déduit aisément :     36 2 36 252 3 =0 l + 10 G − l + 7 − G l + 63G − 5 5 5 En F1 ou en F1 , puisque GF = Gn,1 = −1/2 , A devient A 1 ⎡ −9G + 9/2 9G ⎣ G −G A1 = 0 −7

d’où l’équation aux valeurs propres, det (A 1 − lI) = 0 ,     9 2 9 63 3 l + 10 G − l + 7 − G l + 63G − =0 2 2 2

:

⎤ 0 1⎦ 0 pour

− Gn,1 < G < −Gn,0

Une analyse technique plus poussée montre que les deux équations précédentes, du troisième degré en l , admettent chacune une racine réelle l0 et deux racines complexes conjuguées, donc de même parties réelles, respectivement l1 et l∗1 .

738

Annexe 6.

Ainsi, la stabilité des points de fonctionnement en régime stationnaire, F 0 , F1 et F1 , est donnée par l’étude du signe de l0 et de Re( l1 ). Si au moins l’un des deux est strictement positif, alors le point est instable. Sinon, il est stable et le système évolue vers un régime stationnaire. Il est instructif de représenter graphiquement la variation de l 0 et de Re( l1 ) en fonction de G . Pour cela, on résout numériquement les équations aux valeurs propres précédentes. Les figures A6.12 a et b montrent la variation des parties réelles des valeurs propres l0 , l 1 et l ∗1 de A0 associée à F0 , tandis que la figure A6.12 c donne les valeurs propres de A1 associée aux points F 1 et F 1 . Plusieurs domaines apparaissent selon la valeur de G . Sur ces figures, Gc,0 et G c,1 sont les valeurs de G pour lesquelles Re( l1 ) = 0 . F0 Instable Re(l)

Re(l)

F0 stable

F0 Instable Bruit Numérique l1

l0

0

0 −G n,0 −G n,0

−G n,1

G

G

G c,0 0

1 a)

b)

Re(l)

0

F 1 et F1 instables

F1 et F 1 stables

−G n,1

Cycle Limite

l1 G c,1

Chaos

−Gn,0

G

Bruit numérique

l0 c) F IG . A6.12.

III . 5 . — Exploration des domaines Précisons qu’à chaque valeur de G = 1/R , correspond un circuit différent. L’évolution temporelle des grandeurs du circuit est alors susceptible de changer drastiquement avec G . Par exemple, le circuit peut passer d’un régime stationnaire à un régime périodique, ou d’un régime périodique à un régime chaotique ; c’est pourquoi G est le paramètre critique du circuit. a) Domaine G < −Gn,1 Dans ce domaine, il n’existe qu’un seul point d’équilibre en régime stationnaire : F 0 . Sur la figure A6.12 a, on voit que Re( l 0 ) > 0 , donc F0 est instable ; le circuit ne peut pas rester dans l’état de repos électrique.

739

Simulation des circuits

Expérimentalement, on observe que le point de fonctionnement du circuit se stabilise dans une région de saturation du dipôle D , au-delà des tensions aux coudes d’abscisses unl et −unl (Fig. A6.13). En effet, puisque la puissance UI fournie par ce dipôle reste limitée, la région de saturation existe toujours ! La courbe donnant U en fonction de I finit nécessairement par devenir décroissante, et ce, quelle que soit la technologie utilisée pour réaliser D . I

Saturation G

-u’nl

F2

-unl

0

F’2

U

u’nl

unl

Saturation F IG . A6.13.

Il existe donc deux nouveaux points de fonctionnement en régime stationnaire, F 2 et F2 susceptibles d’être stables. On montre par une analyse similaire à celle menée précédemment, mais avec GF > 0 , que F2 et F2 sont stables. Le circuit évolue donc vers un régime stationnaire, les conditions initiales déterminent lequel des points F2 ou F 2 sera atteint. Pour G = 0, 3 et les conditions initiales u 1(0) = ±0, 1 , u2 (0) = 0 et i L (0) = 0 , une résolution numérique montre que le système évolue selon la figure A6.14a. Dans l’espace des phases, les trajectoires convergent vers les points attracteurs F2 et F2 (Fig. A6.14b). u1

F 2

0

t

iL

F2

u2

a)

u1

b) F IG . A6.14.

On peut étudier analytiquement la limite G = 0 pour laquelle le circuit devient celui de la figure A6.15 :   d u1 Gn,0 C = −G n,0 u1 d’où u 1 (t) = u1(0) exp − t dt C par intégration et prise en compte des conditions initiales (cf. chapitre 4). La solution est exponentiellement croissante puisque Gn,0 < 0 ; l’état électrique de repos est instable, ce qui confirme le résultat obtenu numériquement.

740

Annexe 6.

C1

u1

D

F IG . A6.15.

b) Domaine −Gn,1 < G < G c,1 Il existe trois points stationnaires, F 0 , F1 et F1 . La figure A6.12 c montre que F 1 et F1 sont stables jusqu’à la valeur G = Gc,1 pour laquelle Re( l1 ) s’annule. On peut déterminer G c,1 en résolvant l’équation aux valeurs propres :     9 9 63 2 l + 10 G c,1 − l + 7 − Gc,1 l + 63G c,1 − =0 2 2 2 3

ce qui se met sous la forme : (l − l0)(l − l 1 )(l − l ∗1 ) = 0 avec l 1 = −l ∗1 = jb 1 Il en résulte : (l − l0 )(l2 + b 21) = l 3 − l 0l 2 + b21l − l0 b21 = l 3 + a 2 l2 + a1l + a0 = 0 avec a2 = −l0 , a1 = b21 et a0 = a1 a2 . On obtient G c,1 en identifiant aux coefficients de l’équation aux valeurs propres : 63 63Gc,1 − = 2



9 10 Gc,1 − 2

  9 7 − Gc,1 2

qui donne

G c,1 =

109 ≈ 0, 60555 180

Le point F0 étant instable dans ce domaine de variation de G (Fig. A6.12 a), le circuit finit par atteindre un état stationnaire en F1 ou F1 . L’évolution de la tension u1(t) , obtenue pour G = 0, 55 avec les deux conditions initiales u1 (0) = ±0, 1 , u2 (0) = 0 et iL (0) = 0 est donnée sur la figure A6.16 a. Dans l’espace des phases, les trajectoires s’enroulent autour des points attracteurs, F 1 et F1 (Fig. A6.16b). u 1(t) F 1 t

0

iL

F1

u2

a)

u1

b) F IG . A6.16.

741

Simulation des circuits c) Domaine Gc,1 < G < −Gn,0

C’est le domaine le plus intéressant (Fig. A6.12 c) : les points F 1 et F1 perdent leur stabilité et F0 reste instable (Fig. A6.12 a) ; le comportement de l’oscillateur dépend alors de la valeur précise de G. Pour G = 0, 62 , il se forme, dans l’espace des phases, deux cycles limites qui naissent autour des points F1 et F 1 ; le système oscille alors périodiquement selon deux cycles limites possibles. Le cycle choisi dépend des conditions initiales au moment de l’amorçage des oscillations. Sur la figure A6.17a, l’évolution correspond aux deux conditions initiales : u1 (0) = ±0, 4 , u2 (0) = 0 et iL (0) = 0 . Sur la figure A6.17b, on a représenté le comportement du système dans l’espace des phases. u1(t)

F 1 0

t

iL F1 u2

u1

a)

b) F IG . A6.17.

En augmentant la valeur de G , par exemple pour G = 0, 7 , avec u 1(0) = 0, 1 , u2 (0) = 0 et iL (0) = 0 , les oscillations deviennent apériodiques (Fig. A6.18a). Dans l’espace des phases, la trajectoire orbite en alternance autour des points F1 et F 1 (Fig. A6.18b). L’attracteur n’est plus un cycle limite, mais possède une structure plus complexe, dite fractale en raison de ses propriétés de discontinuité et de fragmentation ; on le qualifie d’attracteur étrange. Bien que déterministe, le système devient imprédictible à courte échéance, car d’une extrême sensibilité aux conditions initiales (cf. Thermodynamique) ; c’est le chaos déterministe. u 1(t) F1 0

t

iL

F1 u2

a)

u1

b) F IG . A6.18.

d) Domaine −Gn,0 < G < G c,0 L’état de repos électrique (point F 0 ) devient stable (Fig. A6.12). Le changement de stabilité se produit pour la valeur critique G = G c,0 qui peut être obtenue comme précédemment, en résolvant l’équation aux valeurs propres :     36 2 36 252 3 l + 10 G − l + 7 − G l + 63G − =0 5 5 5

742

Annexe 6.

ce qui se met sous la forme : (l − l0)(l − l 1 )(l − l ∗1 ) = 0 avec l 1 = jb 0 = −l∗1 Il en résulte : (l − l0 )(l2 + b 20) = l 3 − l 0l 2 + b20l − l0 b20 = l 3 + a 2 l2 + a1l + a0 = 0 et a2 = −l 0 , a1 = b21 et a0 = a1a2 . On obtient Gc,0 en identifiant aux coefficients de l’équation aux valeurs propres :    252 36 36 1471 63G − 7− G qui donne Gc,0 = ≈ 0, 81722 = 10 G − 5 5 5 1800 La résolution numérique de l’évolution a été effectuée pour G = 0, 81 avec u 1 (0) = 10−3 , u2(0) = 0 et iL (0) = 0 (Fig. A6.19a). Dans l’espace des phases, l’attracteur est le point F0 (Fig. A6.19b). u1(t) F0 iL 0

t u2

a)

u1

b)

F IG . A6.19.

e) Domaine Gc,0 < G Le point d’équilibre électrique F 0 devient instable (Fig. A6.12c). La présence de bruit numérique est due à la complexité du problème. Cette instabilité provoque l’apparition d’oscillations périodiques dans le circuit, comme le montre la résolution numérique de l’équation d’évolution pour G = 0, 85 avec u1(0) = 10 −3 , u2(0) = 0 et iL (0) = 0 (Fig. A6.20a). Il se forme un cycle limite dans l’espace des phases (Fig. A6.20b). L’amplitude des oscillations est limitée par les effets non linéaires de la zone de saturation, comme pour un oscillateur quasi sinusoïdal. u1(t) F t

0

iL u2

a)

F IG . A6.20.

u1

b)

743

Simulation des circuits

Étudions analytiquement la limite correspondant à G infini. Dans ce cas, le circuit devient celui de la figure A6.21. Le circuit devient alors un circuit RLC parallèle avec R = 1/Gn,1 < 0 et C = C1 +C 2 (Fig. A6.21) d”équation : d2 u 1 du C + + v20 u = 0 avec t e = 2 G n,1 te d t dt

v0 = (LC)−1/2

et

La solution est exponentiellement croissante puisque te < 0 . L’état électrique de repos est instable, ce qui confirme le résultat obtenu numériquement. C

L

u1 = u2

D

F IG . A6.21.

III . 6 . — Chemin vers le chaos Pour comprendre comment le circuit passe d’un comportement d’oscillateur périodique vers un comportement de système chaotique, il est nécessaire d’étudier l’évolution du cycle limite en fonction de G . Afin de représenter graphiquement les cycles limites, on intègre une première fois les équations d’évolution du système à partir d’un état initial quelconque, pendant suffisamment de temps pour atteindre le régime établi. On intègre à nouveau les équations d’évolution du système, mais en prenant pour conditions initiales les valeurs finales obtenues à l’issue de la première intégration. Sur les figures A6.22a à A6.22d, on a tracé les cycles limites correspondants aux valeurs respectives G = 0, 62 , G = 0, 64 , G = 0, 644 , G = 0, 64547 et G = 0, 7 . Sur les quatre premiers graphiques, on observe successivement le doublement de la période. Le cycle s’allonge, au fur et à mesure que G se rapproche d’une valeur critique au delà de laquelle la période devient infinie (Fig. A6.22e). Le système, devenu apériodique, continue d’osciller, mais de manière imprédictible à court terme, avec une grande sensibilité aux conditions initiales, signature du chaos déterministe.

iL

iL

u2

u1

iL

u2

u1

a)

u2

u1

b)

iL

c)

iL

u2

u1

d)

F IG . A6.22.

u2

u1

e)

744

Annexe 6.

Il est intéressant d’analyser le phénomène de transition vers le chaos dans l’espace de Fourier (cf. Fig. A6.23a à A6.23e). Le doublement de période se traduit par l’apparition, dans le spectre, de sous-harmoniques , c’est-à-dire des fréquences f 0/2 n si f 0 désigne la fréquence fondamentale. Le spectre s’enrichit dans le domaine des basses fréquences. Notons que ce phénomène est de nature fondamentalement différente de l’enrichissement du spectre dû à des effets non linéaires, qui se traduit par l’apparition d’harmoniques de fréquences n f 0 , multiples de la fréquence fondamentale. Le doublement successif de la période des oscillations, qui conduit le système au chaos, porte le nom de cascade sous-harmonique. u1 (dB) b

0

u1 (dB) b

f0

3f0

2f0

0

f

f0 2

f 0 3f0 2f0 2

a)

b)

u1 (dB) b

u1 (dB) b

0 0

f

f

2f0

f 0 f0 2

f0

f

f0

2

c)

d) u1 (dB) b

0

f

f0

e) F IG . A6.23.

745

Simulation des circuits III . 7 . — Réalisation expérimentale du circuit de Chua Un exemple de réalisation expérimentale du circuit de Chua est présenté sur la figure A6.24. 1 kV 5 kV

∞

12 mH

47 nF

4,7 nF 15 V

47 kV

C1

3,3 kV

C2

3,3 kV

L

47 kV

−

15 V

Dipôle D non linéaire F IG . A6.24.

+

TL 081

1 kV 1,5 kV

Réponses aux vingt questions

1 . L’expression P = RI2 de la puissance reçue est correcte, mais dans le montage c’est la tension U = RI qui est imposée par la pile et non l’intensité. Aussi faut-il écrire P en fonction de U , soit P = U 2/R ; la puissance est donc inversement proportionnelle à R (cf. chapitre 1). 2 . À froid, la résistance du filament de la lampe est 40 V , d’où l’intensité du courant correspondant, 230/40 = 5, 75 A , ce qui est élevé ; c’est la raison pour laquelle la lampe « grille », le plus souvent à l’allumage par rupture du filament. Lorsque la lampe atteint son régime de fonctionnement normal et qu’elle brille, sa température est de l’ordre de 2 000 K et la résistance beaucoup plus grande, ce qui rend la puissance électrique consommée différente de 1322, 5 W (cf. chapitre 2). 3 . La raison essentielle qui justifie ce choix est le coût du transport de la puissance électrique. D’une part, l’utilisation de tensions triphasées permet, grâce à la transformation étoile-triangle, d’assurer ce transport avec trois fils et non six comme l’exigerait l’utilisation de trois tensions monophasées. D’autre part, pour une puissance déterminée à transporter, les pertes par effet Joule dans la ligne sont plus faibles à haute tension (cf. chapitre 2). 4 . En régime quasi stationnaire sinusoïdal, les tensions instantanées s’ajoutent à chaque instant, mais pas leur amplitude, en raison des déphasages entre elles (cf. chapitre 2). 5 . Le théorème de superposition n’est établi qu’en régime linéaire, alors que la diode est un composant non linéaire (cf. chapitre 5). 6 . On polarise une diode Zener en inverse, car la tension Zener, qui correspond à la tension de déclenchement d’un effet d’avalanche, est négative (cf. chapitre 7). 7 . Un amplificateur est un système actif qui fournit à sa sortie un signal électrique dont la puissance est supérieure à la puissance du signal électrique à l’entrée ; ce supplément de puissance est apporté par les sources d’alimentation stationnaires, lesquelles déterminent le point de fonctionnement du système (cf. chapitre 6). Il n’y a donc pas de contradiction avec le premier principe de la thermodynamique. 8 . Les composants de résistance négative qui servent à l’entretien des oscillations électriques sont, soit des dipôles non linéaires, dont la caractéristique présente une partie de pente négative, par exemple la diode Esaki (à effet tunnel), soit des éléments actifs, par exemple un AO monté en résistance négative. Dans ce dernier cas, qui est le plus utilisé, la puissance électrique nécessaire est fournie par les sources d’alimentation stationnaires (cf. chapitre 8). 9 . On exprime très souvent le facteur d’amplification d’un amplificateur en décibel, d’abord en raison de la sensation acoustique de l’oreille, détecteur final d’un amplificateur, qui est de nature logarithmique, ensuite parce que le bel est une unité trop grande. Quant à la bande passante, la chute de 3 dB correspond à un affaiblissement de la puissance de sortie égale à la moitié de la puissance de sortie maximale (cf. chapitre 6) :   1 lg = − lg 2 = −0, 3 bel = −3 dB 2

Réponses aux vingt questions

747

10 . Pour des valeurs de résistances supérieures à 1 MV , les impédances d’entrée de l’AO, relatives aux deux voies inverseuse et non-inverseuse, ne peuvent plus être négligées, car les courants d’entrée deviennent comparables aux courants du circuit, ce qui altère le fonctionnement du système. Pour des valeurs de résistances inférieures à 100 V , sous des tensions d’entrée de plusieurs volts, le courant dont l’intensité est de plusieurs dizaines de milliampères risque de dépasser la limite en courant de l’AO et donc de provoquer la saturation du système (cf. chapitre 8). 11 . Effectivement, les bobines ne sont pratiquement plus utilisées en électronique, car elles sont encombrantes, coûteuses et qu’on peut les remplacer avantageusement par des AO, lesquels sont capables de se comporter comme elles, avec une très grande efficacité ; en effet les inductances équivalentes sont très élevées et ne présentent aucune résistance (cf. chapitre 8). La diode Esaki (à effet tunnel) est, elle aussi, délaissée, car, comme système à résistance négative autour du point de fonctionnement, elle peut être aisément remplacée par un AO se comportant comme une résistance négative (cf. chapitres 8 et 14). 12 . Les filtres passifs sont de plus en plus délaissés au profit des filtres actifs pour trois raisons essentielles : la première concerne le facteur d’amplification en puissance qui ne peut pas être supérieur à l’unité, soit un gain en dB non positif ; la deuxième est l’introduction perturbante des filtres passifs dans une chaîne, en raison de l’influence de la charge par inadaptation d’impédance (cf. chapitre 10) ; la troisième enfin est le faible coût des AO. 13 . Comme en mécanique, l’espace des phases en électricité des circuits est l’espace des états. Cependant, en mécanique, cet espace est défini par l’ensemble de l’espace des degrés de liberté et par celui des moments conjugués de même dimension que le précédent, d’où sa dimension paire (cf. Mécanique). En théorie des circuits, cet espace est défini par le nombre de variables indépendantes, qui définissent l’état électrique du réseau électrique, par exemple les valeurs des intensités dans chaque maille ; ce nombre peut être impair (cf. chapitres 5 et 12). 14 . Un oscillateur auto-entretenu est un système produisant des signaux variables à partir de sources d’énergie stationnaires. À la fermeture du circuit, un courant prend naissance et s’amplifie. L’état initial de repos électrique, courants et tensions nuls, ne pouvant perdurer, c’est un état instable ; par extension, on qualifie l’oscillateur d’instable. Après la durée du régime transitoire, on observe sur l’oscilloscope des signaux périodiques, donc stables, d’amplitude limitée par les effets non linéaires de l’oscillateur (cf. chapitre 14). 15 . Le spectre de ce signal fait apparaître des fréquences négatives en raison de la définition du spectre par la transformée de Fourier, laquelle s’appuie sur le terme complexe exp(−j2pft) . On évite ces fréquences négatives en introduisant le signal analytique associé au signal considéré (cf. chapitre 15). 16 . En réalité, seuls des signaux analogiques, dont le spectre présente une fréquence maximale limitée fM , peuvent être restitués par échantillonnage, encore faut-il que la fréquence d’échantillonnage fe soit supérieure ou égale à la fréquence de Shannon fS = 2 fM . Pratiquement, pour la plupart des signaux, on peut définir sans ambiguïté une fréquence maximale, au-delà de laquelle le signal se réduit au seul bruit (cf. chapitre 15). 17 . On admet que l’on restitue pratiquement tous les sons dans l’enregistrement numérique sur CD, si la fréquence maximale est fM = 20 kHz . Les industriels se sont référés à l’analyse de Shannon et ont choisi ensemble l’échantillonnage à la fréquence fe = 2fM + 4, 1 = 44, 1 kHz , estimant qu’il était suffisant (chapitre 16). 18 . Les ondes électromagnétiques, de faible fréquence, ont une portée limitée, car la puissance émise est proportionnelle à la puissance quatrième de la fréquence (cf. Électromagnétisme). Aussi module-ton en amplitude ou en argument des ondes de haute fréquence, qui jouent le rôle de porteuse, par les signaux de faible fréquence qui contiennent l’information à transmettre (cf. chapitre 16).

748

Réponses aux vingt questions

19 . On qualifie un tel bruit de rose car la fréquence maximale privilégie les faibles fréquences et donc les grandes longueurs d’ondes, lesquelles, dans le domaine visible, sont de couleur rouge ; le blanc teinté de rouge donne le rose (cf. chapitre 17). 20 . Dans la théorie probabiliste de la communication de Shannon, les messages reçus qui sont les plus intéressants sont ceux qui, avant d’être reçus, avaient une faible probabilité de l’être. Par exemple, si le temps est pluvieux, l’annonce d’un beau temps le lendemain est plus intéressante que l’annonce de la poursuite du mauvais temps (cf. chapitre 20).

Solutions des exercices et problèmes * La solution des exercices et problèmes dont les énoncés sont affectés du signe internet http://www.ast.obs-mip.fr/perez

web

figure sur le site

Chapitre 1 S1– 2. Mesure de la résistance interne d’un générateur La f.e.m du générateur est U 1 . Lors de la seconde mesure, la tension U2 est celle fournie par un diviseur de tension entre R et Ri . Par conséquent : U 2 = U1

R R + Ri

d’où Ri = R

U 1 − U2 U2

L’application numérique donne Ri = 6, 0 V . S1– 3. Modélisation de diodes 1. En mode bloqué, c’est-à-dire pour U < Ud , la diode est modélisable par un coupe-circuit ou une résistance infinie. En mode passant, soit pour U > U d , l’association en série d’un résistor, de résistance Ri , et d’un générateur idéal de tension, en opposition, de f.e.m E = Ud , permet de retrouver la caractéristique de la diode (Fig. S1.1a). En effet, l’équation de cette association s’écrit : I = (U − Ud )/Ri .

L’association en parallèle d’un résistor, de résistance Ri , et d’un générateur idéal de courant en opposition I = Ud /R i permet également de modéliser la diode passante puisque : I = −I + U /R i = (U − Ud )/Ri . En comparant avec la réponse précédente, on remarque que l’association proposée n’est autre que la substitution du générateur de tension réel caractérisé par Ud et Ri par le générateur de courant équivalent caractérisé par I = Ud /R i et la même résistance interne. 2. En mode bloqué, donc si −U Z < U < Ud , la diode Zener est équivalente à un coupe-circuit. En mode passant direct, on retrouve la modélisation de la diode simple. En mode passant inverse, si U < −UZ , l’association en série d’un résistor, de résistance Ri , et d’un générateur idéal de tension en sens direct E = UZ , donc en opposition au courant réel, permet de retrouver la caractéristique de la diode Zener (Fig. S1.1b). En effet : I=

U + UZ Ri

750

Solutions des exercices Mode passant

I Mode passant

Ri

a) Mode bloqué

Ud

U Mode passant sens direct

I

Mode passant sens direct

−UZ b)

Mode passant sens inverse

Ud

Mode bloqué

Mode bloqué

Ud

Ri

Ud

Mode bloqué

U Mode passant sens inverse Ri

diode Zener

Uz

F IG . S1.1. S1– 5. Ohmmètre analogique 1. Pour X = 0 , on doit avoir I = 10, 0 mA ; par conséquent : R = E /IM − R A = 800 V . 2. a) De la loi de Pouillet, on déduit :

E I= RA + R + X

E E E d’où X = − = I IM IM



 100 −1 n

b) Sur le tableau S1.1, on constate que la valeur de X décroît quand n augmente ; sur un ohmmètre analogique, l’échelle des résistances est effectivement croissante de droite à gauche.

n X (V)

0 ∞

10 8100

20 3600

30 2100

40 1350

50 900

60 600

70 385,7

80 225

90 100

100 0

TAB . S1.1. 3. L’incertitude relative sur X s’obtient en calculant la dérivée logarithmique de la fonction : X = f (n)

ce qui donne

d ln(X ) 100 =− dn n(100 − n)

L’incertitude relative sur X est donc minimale lorsque n(100 − n) est maximum. Or le produit de deux nombres de somme constante est maximal lorsque ces deux nombres sont égaux, on trouve n = 50 . Ainsi, la précision relative de la lecture d’un ohmmètre analogique est maximale en milieu d’échelle. S1– 6. Application simple du théorème de Millman L’application du théorème de Millman au nœud N du montage donne directement : UN =

12/1 000 − 24/2 000 + 18/3 000 72 E1 /R1 − E2 /R 2 + E3/R 3 + 0/R 4 = 2, 88 V = = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4 1/1 000 + 1/2 000 + 1/3 000 + 1/4 000 25

Au point de masse M , placé à la base de la résistance R4 , le théorème de Millman donne, en notant que toutes les masses sont reliées : 0=

(UN − E1 )/R1 + (UN + E 2)/R 2 + (UN − E 3)/R3 + UN /R 4 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4

751

et problèmes d’où :

UN − E 1 UN + E2 U N − E3 UN =0 + + + R1 R2 R3 R4 ce qui est conforme au résultat précédent.

et

UN =

E1 /R1 − E 2/R2 + E3/R 3 1/R 1 + 1/R2 + 1/R 3 + 1/R4

S1– 7. Circuit comportant une diode 1. La présence de l’élément non linéaire impose de simplifier le circuit autour de la diode pour se ramener à un circuit à une seule maille dans lequel l’état de la diode est facile à déterminer. Transformons le générateur de tension en un générateur de courant équivalent E/Ri et associons les deux générateurs de courant qui se retrouvent en parallèle. L’ensemble est un générateur de courant de c.e.m I + E /Ri en parallèle avec R eq = RRi /(R + Ri ) et est équivalent à un générateur de tension, de f.e.m Eeq = R(E + IRi)/(R + R i ) et de résistance interne Req . La diode est bloquée si E eq  U d ; dans ce cas I = 0 et U = Eeq .

Sinon elle est passante et équivalente à une résistance interne R en série avec un générateur de tension Ud en opposition. La loi de Pouillet donne alors : I=

Eeq − Ud Req + R 

et U =

Eeq R  + Ud Req R  + R eq

2. Avec les valeurs données, on trouve E eq = 1, 25 V et Req = 5, 0 V . La diode est donc passante : U = 1, 14 V et I = 22, 5 mA . 3. La puissance électrique reçue par la diode est UI = 0, 026 W , ce qui est inférieur à la valeur maximale ; la diode convient donc bien pour ce montage. S1– 8. Résistance équivalente à un cube de résistors 1. Le plan BCGH étant un plan d’antisymétrie, les nœuds B , C , G et H sont au même potentiel. Le schéma peut par conséquent être remplacé par celui de la figure S1.2a. Comme deux résistors, de même résistance R , en parallèle sont équivalents à un résistor, de résistance R/2 , on est ramené au circuit de la figure S1.2b. On en déduit la résistance entre A et F : 3R 2 /4 3 = R = 165 V RAF = 2 (R/2 + 3R/ 2) 4 2. Le plan ACEH étant un plan de symétrie, les points B et D sont au même potentiel ainsi que les points F et G . Le schéma devient donc celui de la figure S1.2c. On en déduit :      7 7 R R R R R R = 128, 3 V + // + R AH = R// +R+ = R// R = 2 2 2 2 2 5 12

C

E R

R/2 A

B=C=G=H

D

F a)

R/2

E

R/2

B=D

R

R/2 R/2

R/2 A

R

R/2

R/2 b) F IG . S1.2.

F

A

F=G R/2

R c)

H

752

Solutions des exercices

S1– 9. Résistance par carré d’une interconnexion 1. En choisissant a = l on obtient, R p = 110 mV pour l’aluminium, Rp = 69 mV pour le cuivre et Rp = 213 mV pour le tungstène. 2. a) Les nœuds du plan d’antisymétrie sont au même potentiel et peuvent donc être reliés. Le schéma se simplifie alors pour donner celui de la figure S1.3. On en déduit que : RAB = 2 {R p // [Rp + (Rp//2Rp )]} =

5 Rp 4

b) La bande de substrat étant de longueur infinie, il est possible de rajouter une cellule sans modifier la résistance entre les points A et B : RAB = Rp //(2Rp + RAB ) . On en déduit l’équation : 1 1 1 = + 2Rp + R AB R AB Rp Ainsi RAB = (−1 +

2

soit x + 2x − 2 = 0

avec

x=

RAB Rp

√ 3)Rp .

A

B F IG . S1.3. S1– 11. Montages courte et longue dérivations 1. a) Dans un montage courte dérivation, le courant mesuré est la somme des courants traversant le résistor et le voltmètre. On a donc : U U U RRv d’où Rm = + = I= R Rv I R + Rv Pour le montage longue dérivation, la tension mesurée est la somme des tensions aux bornes du résistor et de l’ampèremètre. Il vient, dans ce cas : U = RI + RaI

d’où

Rm =

U = R + Ra I

b) Avec le montage courte dérivation, on sous-estime la résistance R du résistor ; avec celui de longue dérivation, c’est le contraire : on surestime la résistance R du composant. En effet : R D cR 0 = R R

c) Comparons ces deux erreurs :    Dc R  Dl R 2   si R − RR a − R aRv < 0  R < R

  1/ 2 Ra + R 2a + 4R aRv ≈ (Ra R v)1/2 soit R < 2

puisque Ra  R v . Si R est inférieur à la moyenne géométrique des résistances du voltmètre et de l’ampèremètre, le montage courte dérivation est le plus précis. Sinon c’est l’inverse.

753

et problèmes

I (mA) 10

Courte dérivation

Longue dérivation U (V)

0 1 F IG . S1.4.

2. a) La courbe demandée est représentée sur la figure S1.4. La résistance d’une diode passante est faible, inférieure à la centaine d’ohms. Par conséquent, le montage courte dérivation est préférable ; la caractéristique nous permet de mesurer Ri . b) La pente de la droite la plus proche de la caractéristique dans la zone passante vaut 1/R i . Ici R i = 33 V et Ud = 0, 53 V . En longue dérivation, la pente de la caractéristique obtenue (1, 1 × 10−3 S) est en réalité 1/(R + Ra) . On en déduit Ra = 77 V . 3. Pour la diode en inverse dont la résistance interne est très grande, il est préférable d’utiliser le montage longue dérivation, lequel nous donne un courant stationnaire très faible, appelé courant de saturation de la diode : Is = 10−10 A soit 0, 1 nA . En courte dérivation, la pente de la caractéristique obtenue est R + Rv ≈ Rv . On en déduit Rv = 10 8 V . S1– 13. Mesure de température 1. La loi des tensions appliquée dans les trois mailles donne les équations suivantes : R1 I1 + R a I − R4 I4 = 0

− E + R1I 1 + R2 (I1 − I) = 0

et

− E + R4 I4 + R3 (I 4 + I) = 0

On en déduit : I1 = (E + R2 I )/(R1 + R 2) et I4 = (E − R3 I )/(R2 + R4 ) . d’où : I=E

R4 R2 − R1 R3 R a(R 1 + R 2)(R3 + R 4) + R2 R1 (R3 + R4) + R 3R 4(R1 + R 2)

2. Le pont est équilibré, si R4 R2 = R1 R3 . 3. Il en résulte que R0(T 0/T) 3 = R2 R4/R 3 , ce qui donne T = T0[R3R 0/(R2 R4 )]1/3 . 4. Il faut relier ε à DT . Un développement limité au premier ordre de la relation entre T et R1 donne R1 = R0(1 − 3DT /T0 ) , d’où ε = −3DT /T0 . De l’expression de I , on tire : I=E

−R0R 3 ε R a(R 0 + R 2)(R3 + R 4) + R2 R0 (R3 + R4) + R 3R 4(R0 + R 2)

Connaissant le courant minimal détectable, on en déduit la valeur minimale de ε et donc la valeur minimale de DT . Avec les valeurs numériques données et R0 = 1 000 V , on trouve : I m = −εE/(4R2 ) et DT = Im4R 2 T0 /(3E) = 0, 004 K .

754

Solutions des exercices

Chapitre 2 S2– 1. Circuit RL √ 1. a) L’intensité du courant étant d’expression i(t ) = Re{e/Z } avec Z = R + jLv et e = E 2 exp(jvt) , il vient : √        e  E 2 Lv  e  cos cos vt − arctan arg = i=   1/ 2 2 2 2 Z Z R (R + L v )

i m(mA)

w(rad) 0

100

f (Hz) 200

300

400

200

100

0

−1,0 100

200

300

400

f (Hz)

a)

b)

u L (V ) 10

0

100

200

300

400

f (Hz)

c) F IG . S2.1. On en déduit l’intensité efficace I = E/(R 2 + L2 v2) 1/2 , soit I = 169 mA et I = 125 mA respectivement à 50 Hz et à 100 Hz . Quant au déphasage, il vaut w = −arctan(Lv/R) , d’où w = −0, 56 rad et −0, 90 rad respectivement. Le déphasage w vaut −p/4 rad pour f = R/(2pL) = 79, 6 Hz . b) Les courbes donnant l’amplitude et la phase de l’intensité sont représentées sur les figures S2.1a et b. 2. Aux bornes de la bobine, la tension a pour expression : √    ZL E 2Lv Lv p e donc u L (t) = cos vt + − arctan uL = 2 ZL + R (R 2 + L2 v2 )1/2 R D’où la courbe représentée sur la figure S2.1c. S2– 2. Mesures de tension à l’aide d’un voltmètre 1. L’addition des tensions complexes ou la représentation de Fresnel donnent : u = uR + u C + uL , d’où la relation entre les tensions efficaces U2 = U 2R + (U L − UC )2 . On en déduit l’indication aux bornes de la source : U = 25 V .

755

et problèmes

2. La puissance dissipée par le résistor a pour expression : P R = U2R /R = 2, 25 W . Quant au condensateur et à la bobine non résistive, ils ne dissipent aucune puissance : PC = 0 et PL = 0 . S2– 3. Nature de dipôles inconnus L’étude des différents cas possibles est faite dans le tableau S2.1. Le signe de w correspond au déphasage de u par rapport à i .

R et L

R//L

R + jLv

jRLv R + jLv

Z (0)

R

0

sgn(w)

+

+

Z

R et C R+

1 jCv

∞ –

R//C

L et C

L//C

R 1 + jRCv

1 − LCv 2 jCv

R

jLv 1 − LCv2

∞

–

− puis +

0

+ puis −

TAB . S2.1. On en déduit que l’association 1 est L en série avec R ; la 2 est R en parallèle avec C ; la 3 est L en série avec C . S2– 6. Circuit déphaseur 1. Le régime étant sinusoïdal établi, utilisons la notation complexe. Le diviseur de tension des deux résistors R donne : uA,m = uAM,m = e m/2 . De même, grâce au diviseur de tension dans l’autre branche, on obtient :   1 1 1 ZC e m jRCv − 1 soit u B,m = uBM,m = em − = uAB,m = em = em 1 + jRCv 2 1 + jRCv 2 1 + jRCv R + ZC

On compare les amplitudes en effectuant le rapport des modules des tensions complexes associées aux tensions réelles : |uB /uA | = 1 . Les deux tensions ont donc même amplitude.

On compare les phases en calculant la différence des arguments des tensions complexes associées aux tensions réelles. Il vient, f étant la différence de phase entre uB et u A :   jRCv − 1 f = arg(u B) − arg(u A) = arg = p + arctan (−RCv) − arctan (RCv) = p − 2arctan (RCv) 1 + jRCv puisque, lorsque la partie réelle a d’un nombre complexe a + jb est négative, arg(a + jb) = p + arctan(b/a) .

En agissant sur v ou sur R , on peut modifier à volonté le déphasage entre les tensions entre uA et uB , sans changer l’amplitude des deux signaux : le système est un déphaseur. 2. La courbe donnant les variations de f avec la fréquence est représentée sur la figure S2.2. Les tensions uA et uB étant en quadrature, on a : f = p/2 rad , d’où R = 1/(Cv) = 1/(2pfC) = 603 V . p

f (rad)

p 2

0

(2pRC ) −1 F IG . S2.2.

f

756

Solutions des exercices

S2– 8. Absence de variation de courant à la fermeture d’un interrupteur Un ampèremètre indique la valeur efficace de l’intensité du courant qui le traverse. L’indication qu’il donne ne varie pas lorsqu’on ferme l’interrupteur, si la valeur efficace de l’intensité est constante, ce qui n’implique pas que l’intensité complexe soit inchangée mais simplement que son module n’ait pas varié. La tension à laquelle est soumis le circuit n’est pas modifiée par la fermeture de l’interrupteur puisque le condensateur est branché en dérivation. Comme im = |Y |em , le module de l’admittance du circuit ne change pas.

Le condensateur ajouté ne modifie que la valeur imaginaire de l’admittance : Im{Y } = Im{Y + C v} . Pour que le module soit constant, il faut que la partie imaginaire soit transformée en son opposée :   1 1 Lv Lv  Im{Y } = −Im{Y } soit Im + =− 2 = 2 − Cv 2 2 R r + jLv r +L v r + L2 v 2 En simplifiant, on trouve : C = 2L/(r2 + L2 v2 ) = 298 mF S2– 10. Impédance itérative 1. L’impédance Z AB s’obtient selon : ZAB = Z1 +

Z2 (Z1 + Z c) Z 2 + 2Z 2Z 1 + Zc Z1 + Z2 Zc = 1 Z1 + Z2 + Z c Z 1 + Z 2+ Zc

2. Si Z AB = Z c , alors Zc (Z1 + Z2 + Zc ) = Z21 + 2Z2 Z1 + Zc Z1 + Z2 Zc , d’où Zc = (Z21 + 2Z 2Z1 ) 1/2 . L’adjectif « itérative » exprime que l’impédance Z AB « se répète » pour un nombre quelconque de cellules. 3. Pour exprimer i  en fonction de i , il suffit de tenir compte du diviseur de courant, lequel donne :     Z2 Z2    = 1 si im = i m d’où  i =i Z1 + Z2 + Zc Z 1 + Z2 + Zc  4. a) Comme Z 1 = 1/(jCv) et Z 2 = jLv , la condition précédente s’écrit : 2

Zc = 2

1 L − 2 2 C Cv

 1/2 Si v2 > 1/(2LC) , alors Zc = 2L/C − 1/(C2 v2 ) est une résistance.   2 En revanche, si v < 1/(2LC) , alors Zc = ±j −2L/C + 1/(C2 v2 ) est purement imaginaire. Concernant la condition qui permet d’avoir i m = im , deux cas sont à envisager : i) v2 > 1/(2LC) . Il faut que :   1/2  2  1 1 1 L L   2 2 |Z2 | =  Z1 + Z2 + 2 − 2 2 − Lv  soit encore L v = 2 − 2 2 +   C Cv C C v Cv ce qui est toujours vrai. ii) Pour v 2 < 1/(2LC) :

  1/2  L 1   |Z 2 | = Z1 + Z2 ± j −2 + 2 2    C Cv

Les trois impédances Z 1 , Z2 , Zc étant imaginaires, l’égalité des modules donne soit :  1/2 1 1 L = 0 ce qui est impossible − ± −2 + 2 2 Cv C C v

soit :

 1/2 L 1 1 = −2Lv ce qui est impossible aussi − ± −2 + 2 2 Cv C Cv

car v2 = 3/(2LC) est incompatible avec v 2 < 1/(2LC) .

757

et problèmes

Avec les impédances choisies, il faut donc que v 2 > 1/(2LC ) , c’est-à-dire f > 11, 15 kHz , et Zc = [2L/C − 1/(C 2 v2 )]1/2 pour que les deux conditions soient remplies. Ainsi Zc dépend de v mais reste toujours inférieure à 210 V , valeur correspondant à v infini. b) Ici, Z2 = 1/(jCv) et Z 1 = jLv , d’où : Zc2 = 2L/C − L2 v2 .  1/2 Si v 2 < 2/(LC) , l’impédance Zc = 2L/C − L 2v2 se réduit à une résistance.  1/2 En revanche, si v 2 > 2/(LC) , Zc = ±j −2L/C + L 2v2 est purement imaginaire. Pour la condition permettant d’avoir i m = i m , envisageons comme précédemment deux cas : i) v2 < 2/(LC)   1/2   L   2 2 |Z 2| = Z 1 + Z2 + 2 − L v    C

soit

1 L 2 2 =2 −L v + C2 v2 C



1 − Lv Cv

2

ce qui est toujours vrai. ii) v 2 > 2/(LC)

  1/2   L   |Z2 | = Z1 + Z2 ± j −2 + L 2v 2    C

Les trois impédances étant imaginaires, l’égalité des modules donne les deux conditions suivantes :  1/2 2L L 2 2 v = 0 ce qui donne 0 = 2 Lv ± − +L C C et :

 1/2 2L 2 2 2 = Lv ± − + L v C Cv Ces deux conditions sont donc impossibles à réaliser.

ce qui donne v2 =

2 LC

Il en résulte, d’après la première envisagée que : 2 v < LC 2

d’où f < 22, 3 kHz et

Zc =



L 2 − L2 v2 C

 1/ 2

Ainsi Zc dépend de v et reste toujours inférieure à 210 V . S2– 12. Mesure de puissance à l’aide d’un voltmètre 1. Un voltmètre ne donne que la valeur efficace d’une tension. L’expression de la puissance active est P = UI cos w avec U = U2 et I = U1 /R . Pour déterminer cos w , utilisons le diagramme de Fresnel de la figure S2.3 dans lequel on a représenté l’addition vectorielle des trois tensions. Il vient : U 2 − U 21 − U22 2 2 2 2 2 u3 = u 1 + u2 d’où U 3 = U 1 + U2 − 2U1U 2 cos(p − w) = U1 + U 2 + 2U 1U 2 cos w et P = 3 2R 2. L’application donne P = 211, 8 W . 3. Si Z = R  + jX , alors cos w = R /(R2 + X2 )1/2 et (R 2 + X2 )1/2 = U /I . Ici, cos w = 0, 72 et U /I = RU2/U 1 = 73, 5 V . Par conséquent R  = 52, 9 V et X = 51, 0 V .

u3

u2 w

u1 F IG . S2.3.

758

Solutions des exercices

S2– 14. Facteur de puissance d’une installation et relèvement 1. On a, en notation complexe : IR =

U R

et I M =

U U exp(−jw) = ZM |ZM |

Comme PR = U 2 /R et PM = U2 cos w/|Z M | , il vient : IR =

PR U

IM =

PM exp(−jw) U cos w

et I = I R + I M

2. Pour déterminer le facteur de puissance de l’ensemble, il suffit de calculer le déphasage de l’intensité i par rapport à la tension délivrée par le fournisseur : cos wt =

P R/U + PM /U PR + PM Re{I R + I M} =   1/ 2 =   1/ 2 |I R + IM | (P R/U + PM /U)2 + [P M sin w/(U cos w)]2 (PR + P M)2 + (P M tan w)2

Le calcul donne cos wt = 0, 81 . Le théorème de Boucherot permet d’écrire : P t = PR + PM

et Qt = Q R + QM = 0 + PM tan w

d’où : cos wt =

Pt PR + P M = 2 1 / 2 Qt ) [(PR + PM )2 + (P M tan w) 2] 1/2

(Pt2 +

3. Pour que l’on ait cos w = 1 , il faut que l’impédance totale soit réelle. Les composants étant en parallèle, exprimons l’admittance totale : Yt = jCv + 1/R + 1/Zm . Comme cette dernière doit être réelle, on a : Cv + |YM | sin(−w) = 0

d’où

C=

P M sin w = 352 mF vU2 cos w

Cette valeur de capacité est élevée. À puissance consommée égale, les pertes le long de la ligne d’alimentation sont moindres si le facteur de puissance est proche de l’unité (cf. chapitre 2). S2– 15. Exemple tiré de la publication originale de Boucherot 1. Effectuons le bilan de puissance active : Ps = Pa + Pb + P c + Pd + P e avec :

P a = 103 × 0, 8 = 8 kW P b = 2 × 103 × 0, 9 = 18 kW Pc = 5 × 103 × 0, 8 = 4 kW P d = 10 kW et P e = 0 kW

On en déduit P s = 40 kW . Quant au bilan de puissance réactive, il s’écrit : Qs = Qa + Qb + Qc + Q d + Qe avec : Qa = −10 3 × (1 − 0, 8 2 )1/2 = −6 kVAR Qc = 5× 103 × (1 − 0, 82 )1/2 = 3 kVAR

Q b = 2 × 10 3 × (1 − 0, 9 2 )1/2 = 8, 72 kVAR

Q d = 0 kVAR et Q e = −2 kVAR . On en déduit Qs = 3, 72 kVAR .

2. Les pertes du transformateur étant de 2, 5% pour la puissance active et de 5% pour la puissance réactive, les puissances dans le primaire doivent être respectivement : Pp = 4 × 103/0, 975 = 41, 0 kW et Q p = 3, 72 × 103 /0, 95 = 3, 92 kVAR . On en déduit la puissance apparente dans le primaire et donc l’intensité efficace correspondante : Sp = (Pp2 + Q 2p )1/2 = 41, 2 kVA d’où

Ip =

41, 2 Sp = 10, 3 A = 4 Up

759

et problèmes

3. Pour déterminer la tension efficace U e , il faut déterminer la puissance apparente au niveau de la source, ce que l’on calcule en tenant compte de la puissance active et de la puissance réactive de l’impédance de ligne : Pe = P p + R1 I2p = 41 × 103 + 20 × 10, 32 = 43, 1 kW et : Qe = Q p + X1 Ip2 = 3, 92 × 103 + 30 × 10, 3 2 = 7, 1 kVAR

On en déduit la puissance apparente et la tension Ue : 2

2 1/ 2

Se = (Pe + Qe )

= 43, 7 kVA et Ue =

43, 7 × 103 Se = 4, 2 kV = 10, 3 Ip

S2– 17. Mesure de puissance en triphasé 1. Le montage étant équilibré, on a P = 3VI cos w avec I = V /|Z | , d’où P = 3V 2 cos w/|Z | . De même Q = 3VI sin w = 3V 2 sin w/|Z | . On obtient alors par le calcul P = 992 W et Q = 1, 72 kVAR . La lecture sur le wattmètre A donne :

PA = U 13 I1 cos(fu,13 − fi,1) = UI cos car : f u,13 − fi,1 = f u,13 − f v,1 + f v,1 − fi,1 = −

p  6

p p + w avec w = rad 6 3

Numériquement, on trouve PA = 992 W .

La lecture sur le wattmètre B donne, elle : PB = U 23I2 cos(fu,23 − fi,2 ) = UI cos(p/2) = 0

car : f u23 − fi2 = f u23 − f v2 + fv2 − fi2 = p/6 + w avec On note que l’on a bien P = PA + P B et Q =

w=

√ 3(P A + PB ) .

p rad 3

2. D’après le théorème de Boucherot, la nouvelle puissance totale est égale à la somme des puissances de l’ensemble des dipôles. Pour les impédances Z , les tensions et les courants n’ont pas changé, car le résistor est branché en parallèle. Il en résulte que P = P + U 2/R = 2, 58 kW ; pour Q , il n’y a pas de changement car le résistor ne consomme pas de puissance réactive : Q = Q = 1, 72 kVAR .

Les tensions u13 et u23 sont les tensions composées et ne sont donc pas modifiées par la présence de R . Le potentiel du nœud N , qui est commun aux trois récepteurs inductifs, n’a pas changé et est toujours nul ; pour s’en assurer, il suffit d’écrire le théorème de Millman en ce nœud. Ainsi, i1 n’est pas modifié par la présence de R : l’indication du wattmètre A ne change pas. L’intensité i2 du courant est, elle, modifiée selon : 

i2 =

v2 − vN v − v3 u + 2 = i 2 + 23 Z R R

d’où P B = P B +

U2 R

On en déduit PA = 992 W et PB = 1, 59 kW . Remarquons √ que P = P A + P B, puisque l’expression de P reste valable pour un circuit non équilibré. En revanche, Q = 3(P A + PB) , car cette dernière expression n’est relative qu’à un circuit équilibré.

760

Solutions des exercices

Chapitre 3 S3– 1. Diagramme de l’impédance et de l’admittance d’un circuit RLC 1. Déterminons f 0 , te , Q et fa (cf. chapitre 3) :   1 1 L = 5, 54 kHz t e = = 250 ms f0 = 2p LC R   1/ 2 et fa = f0 1 − 1/(4Q2 ) = 5, 52 kHz .

Q = v0 te = 2pf0 te = 8, 7

2. a) L’impédance du circuit est Z = R + j[Lv − 1/(Cv)] .

b) Le module et l’argument de Z , pour f = 5 kHz , se calculent aisément :   2 1/2 1 2 2 2 1/ 2 = (100 + 179, 2 ) = 205, 2 V |Z | = R + Lv − Cv et :



 Lv − 1/(C v) w = arctan = arctan(−1, 792) = −1, 062 rad R ce qui correspond, en degrés, à un angle de −60, 85◦ . La courbe décrite par l’extrémité I du vecteur OI , lorsque v varie de 0 à ∞ , est la droite perpendiculaire à l’axe des réels passant par le point (R, 0) . Lorsque la réactance est inductive, le point I se trouve dans le premier quadrant ; lorsqu’elle est capacitive, il est dans le quatrième quadrant. (Fig. S3.1a)

Im{Z }

Im{Y } I

I 0

0

R Re{Z }

IV

1/(2R)

1/R A

a)

Re{Y }

b) F IG . S3.1.

3. a) L’admittance Y du circuit est l’inverse de l’impédance : Y=

1 1 Lv − 1/(C v) R = = 2 +j 2 R + j[L v − 1/(C v)] Z R + [Lv − 1/(C v)]2 R + [Lv − 1/(C v)]2

b) On déduit le module et l’argument de Y , pour f = 5 kHz , à partir de Z : Y = |Y | exp(−jw) avec

|Y | =

1 = 4, 87 mS et w = 1, 062 rad |Z |

On obtient la courbe décrite par l’extrémité A du vecteur OA , lorsque v varie de 0 à ∞ , en éliminant v entre les parties réelle et imaginaire, x et y respectivement (Fig. S3.1b) : x=

R R = 2 R2 + [Lv − 1/(C v)]2 D

et y =

Lv − 1/(C v) Lv − 1/(C v) = R2 + [Lv − 1/(C v)]2 D2

avec D2 = R2 + [Lv − 1/(C v)]2 . Il vient : D2 = x2 D4 + y 2D4

2 2 d’où x + y =

1 x = D2 R

761

et problèmes Finalement, on obtient :



1 x− 2R

2

2

+y =



1 2R

2

qui représente un cercle de rayon 1/(2R) dont le centre est situé au point de coordonnées [1/(2R), 0] . Ce résultat peut être obtenu plus rapidement en écrivant l’équation polaire à laquelle satisfait le module |Y | : R = |Z | cos w donne |Y | =

1 cos w = |Z | R

ce qui représente un cercle, de rayon 1/(2R) , passant par l’origine et par le point de coordonnées ( 1/R, 0 ) en lequel |Y | est maximal. S3– 3. Facteur de qualité d’une bobine en forme de solénoïde 1. L’inductance L et la résistance R de la bobine ont pour expressions respectives : L=

F m0 nI × pr 2N m0 N2 pr2 = 8, 9 mH = = I I l

et

R=

2prN l = 2, 1 V = gpD2 /4 gpD 2/4

2. Le facteur de qualité du circuit que forme la bobine avec le condensateur en série vaut :   1/ 2 Lv0 L = 64, 4 = Q= R CR2 S3– 4. Décharge d’un condensateur à travers une bobine 1. L’interrupteur est en position 1 a) L’équation différentielle, à laquelle satisfait la tension u(t ) aux bornes du condensateur, s’obtient aisément en appliquant la loi des mailles. Si q désigne l’armature supérieure du condensateur et i = d q/ d t , l’intensité du courant qui charge cette armature, il vient : 0 = −E + Ri +

q C

soit

dq q + = I0 dt t

avec

t = RC

et I 0 =

E R

La solution de cette équation, qui est linéaire, est bien connue (cf. annexe 1) :  t   t  u(t) = Cte × exp − + CE soit u(t) = CE 1 − exp − t t puisque u(0) = 0 . La durée t est la constante de temps : t = RC = 2, 4 ms .

b) La charge du condensateur diffère de sa charge limite ql = CE , que l’on obtient en faisant tendre t vers l’infini, au plus de 0, 01% si :   CE − u(t) t = exp −  0, 0001 d’où t  9, 2 t = 22 ms CE t 2. L’interrupteur est en position 2 a) L’équation différentielle à laquelle satisfait la tension u(t ) s’obtient en appliquant la loi des mailles au second circuit, i désignant l’intensité du courant qui charge l’armature supérieure du condensateur : 0 = −u + Ri + L

di dt

avec

i=

dq dt

Par conséquent : d2 u 1 du + + v20 u = 0 2 t dt e dt

avec

v0 =



et q(t) = Cu(t )

1 LC

1/2

et t e =

L R

762

Solutions des exercices

Les caractéristiques de cet oscillateur électrique sont donc :  1/2 1 1 = 1, 3 kHz f0 = 2p LC

et

te =

L = 10 ms r

b) Comme Q = v 0 te = 81, 65 , le régime de la décharge du condensateur est pseudo-périodique avec la pseudo-fréquence :   1/ 2 1 fa = f 0 1 − ≈ f0 4Q 2 La solution générale de l’équation différentielle précédente est classique :   t u(t) = Cte × exp − cos(va t + fu ) avec u(0) = U0 = Cte × cos fu 2te et :

d’où :

   du 1 t i(0) = C (0) = 0 = C × Cte × exp − −va sin(va t + f u) − cos(va t + fu) dt 2te te t=0

  1 0 = C × Cte −va sin f u − cos fu 2te

On en déduit fu ≈ 0 et Cte = U0 :

et

tan fu = −

1 1 = 0, 006 =− 2va te 2Q[1 − 1/(4Q2 )]1/2

  t u(t) = U 0 exp − cos(va t) 2te

c) La durée au bout de laquelle l’amplitude des oscillations est divisée par 10 est telle que :   1 1 t = exp − soit t = 2t e ln 10 = 46 ms alors que Ta = = 0, 77 ms f 2t e 10 a S3– 5. Résonance d’intensité 1. En raison de la présence d’un élément ohmique, le régime sinusoïdal est forcé par la fréquence du signal fourni par le générateur. L’intensité a alors pour expression réelle : √ i(t) = I 2 cos(vt + f i) En régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant s’obtient à partir de l’impédance selon : i(t) =

e (t) r + j[Lv − 1/(Cv)]

d’où I =

E {r2 + [Lv − 1/(C v)] 2 }1/2

Lorsque v varie, l’intensité passe par une valeur maximale pour v = v0 = (LC)−1/2 : I m = E/ r . 2. Le déphasage retard w de i(t ) par rapport à e(t) est tel que : Lv − 1/(C v) r On voit que, pour v = v0 , tan w = 0 . Calculons tan w pour v = v0 (1 − 1/2Q) . Il vient :     1 1 1 1 −Lv 0 1 Lv 0 1 tan w = = −1 ≈ − )− =− Lv0(1 − 2Q 2Q 2QCv0 r Cv 0(1 − 1/2Q) r r Q tan w =

La valeur correspondante de w est donc −p/4 rad . De même, pour v = v0(1 + 1/2Q) , on trouve : tan w ≈

Lv 0 1 =1 r Q

d’où

w≈

p rad 4

763

et problèmes S3– 10. Mesure de l’inductance d’un circuit RLC parallèle

1. L’inductance de la bobine est telle que le module de l’admittance soit le même pour C1 et C2 . Par conséquent :  2  2 1 1 1 1 2 2 |Y 1| = |Y2 | ce qui donne + C 1v − = 2 + C2 v − R2 Lv R Lv d’où : 1 1 2 et L = = 35, 2 mH C1v − = −C2v + Lv Lv (C 1 + C 2)v2 2. Les intensités efficaces I1 et I2 sont égales et valent, puisque i = Ye avec Y = jCv + 1/R + 1/(jLv) :   2 1/2 1 em 1 = 6, 84 mA + Cv − I1 = I2 = √ Lv 2 R2 Les phases f1 et f 2 de i 1(t) et i 2(t) , respectivement, sont telles que : tan f 1 =

C1v − 1/(Lv) = −1, 657 et 1/R

tan f2 =

C 2v − 1/(Lv) = 1, 657 1/R

Elles sont donc opposées. 3. D’après son expression, l’intensité du courant est minimale pour : Cv =

1 Lv

soit C =

1 C + C2 = 1 = 0, 5 mF 2 2 Lv

et vaut

Im =

E √ = 3, 5 mA R 2

S3– 11. Circuit bouchon dans un récepteur audio 1. L’impédance Z du circuit résonnant parallèle s’obtient aisément en composant les deux impédances 1/(jCv) et R + jLv : Z=

(R + jLv)/(jCv) R + jLv = R + jLv + 1/(jCv) 1 − LCv2 + jRCv

soit Z =

Ainsi, Z ne présente qu’un aspect résistif si : 2

2

L(1 − LCv ) − R C = 0

2

soit v =

v2r

1 = LC

R + jv[L (1 − LCv2) − R2 C] (1 − LCv2 ) 2 + R 2C2 v2

    R 2C 1 2 1− = v0 1 − 2 L Q

car, dans un circuit bouchon, Q = R/(Lv0 ) (cf. chapitre 3). On trouve numériquement : v 0 = (LC)

−1/2

= 10, 05 Mrad · s

−1

v0 f0 = = 1, 60 MHz 2p

R =R Q= Lv0

  1/ 2 C = 1, 81 L

et fr = f 0 (1 − 1/Q2) 1/2 = 1, 33 MHz . On sait que la fréquence, pour laquelle le module de l’impédance est minimal, a pour expression (cf. chapitre 3) :  1/2  1/ 2 2 1 fm = f 0 1+ 2 d’où f m = 0, 982 × f 0 ≈ 1, 57 MHz − 2 Q Q 2. À la fréquence fr , l’impédance vaut : Zr =

R R = = R Q2 = 818 V (1 − LCv2 )2 + R 2C 2v 2 (1 − fr2 /f02) 2 + f 2r /(Q 2f02 )

Cette valeur est peu éloignée de la valeur maximale du module de l’impédance. En effet, à la fréquence mf , Zm = 937 V . À la fréquence propre f 0 , Z0 = 935 V .

764

Solutions des exercices

Chapitre 4 S4– 1. Durée de montée d’un circuit RC 1. Le circuit est du premier ordre. On mesure une durée de montée de 4, 8 ms . La constante de temps, t = RC se calcule selon : t≈

4, 8 tm ≈ 2, 2 ms = 2, 2 2, 2

d’où

R=

1, 45 × 10 −3 t = 2, 2 kV = 10−6 C

2. L’énergie électrostatique du condensateur s’écrit : Ee = CU 2/2 = 10 −6 × 6 2/2 ≈ 1, 8 × 10−5 J

3. Il suffit de remplacer la source stationnaire par une source de signaux carrés, de période assez grande pour atteindre à chaque alternance le régime transitoire. S4– 2. Réponse indicielle d’un circuit RL 1. Appliquons la loi des mailles au circuit en désignant E la force électromotrice et R la résistance interne de la source de tension, r la résistance de la bobine et L son inductance. On trouve : E = (r + R)i + L

di dt

2. Le courant électrique est la somme de la réponse libre et de la réponse établie :   t E + i(t) = il + i e = A exp − r+R t

avec t = L/ (R + r ) . Le courant étant stationnaire dans la bobine, à l’instant initial, i(0) = 0 , on détermine la constante A selon :    E E E t i(0) = 0 = A + soit A = − et i(t) = il + ie = 1 − exp − r+R r+R r+R t La résistance interne du générateur provoque une chute de tension qui vaut :  t r R u e = E − Ri = E +E exp − r+R r+R t

3. Pour analyser le problème sur le plan énergétique, multiplions par i l’équation différentielle d’évolution du circuit. Il vient :   di d 1 2 = Ei soit (r + R)i2 + L i Li = −(r + R)i2 + Ei dt dt 2 De gauche à droite, on reconnaît l’énergie magnétique de la bobine, la puissance dissipée par effet Joule et la puissance fournie par la source (cf. Électromagnétisme). Le circuit étant du premier ordre, la durée du régime transitoire est 3t . Sur cette durée, l’énergie dissipée dans les résistances par effet Joule s’obtient selon :    3t  3t   2t E2 t 2 (r + R)i dt = dt 1 − 2 exp − + exp − r+R 0 t t 0 soit :

  1 E2 t 3 + 2 exp(−3) − exp(−6) ≈ 7, 4 × 10 −3 J r+R 2

765

et problèmes S4– 3. Décharge d’un condensateur dans un autre condensateur

1. La charge du condensateur est : Q 1 = C1 E = 20 × 10−9 × 3 = 6 × 10−8 C . La moitié de l’énergie électrique fournie a été dissipée dans la résistance, l’autre moitié a été stockée dans le condensateur : E1 =

1 Q1 E −9 −7 C1 E2 = = 10 × 10 × 9 = 0, 9 × 10 J 2 2

2. Écrivons l’intensité du courant électrique dans le circuit : i = C1 On en déduit :

d u1 du uR = −C2 2 = dt dt R

d uR u2 u1 u u − = =− R − R RC2 RC1 dt dt dt

avec : t1 = RC 1

t2 = RC 2

1 1 1 = + t t1 t2

avec

uR = u2 − u1

soit t Ceq =

d uR + uR = 0 dt

C1 C2 (C 1 + C2 )

et t = RC eq

Initialement, u R(0) = u2 (0) − u 1 (0) = −E et donc u R = −E exp (−t/t) . On en déduit :  t  t   t 1 t  t2 t1  exp − −1 +E =E exp − u1 = uRd t + E = E +E t1 0 t1 t t1 + t 2 t t1 + t2     t   t t1 t1 1 t t u2 = − uR d t  = −E −E exp − −1 =E exp − t2 0 t2 t t1 + t2 t1 + t 2 t 3. L’énergie fournie par la source étant Es = C 1E 2 calculons l’énergie E2 :  2  2 C2 C1 C2 t1 t1 1 1 E2 2 2 E 2 = C 2 uC,2 (∞) = C2E = = d’où h = ≈ 0, 07 E + t + t t t 2 2 2C1 1 2 1 1 2 2 (C1 + C2 )2 4. Si C1 = C2 , alors h = 1/8 . La moitié de l’énergie de la source est perdue lors de chaque transfert. Comme les condensateurs emmagasinent chacun autant d’énergie, il reste dans chaque condensateur l’énergie 1/2 × 1/2 × 1/2 × Es = Es /8 . S4– 4. Oscillations de relaxation avec un tube au néon 1. Lorsque la lampe est éteinte, le condensateur se charge. La loi des mailles donne alors :   t d uC avec tR = RC RC + u C = E d’où uC = E + Cte exp − tR dt Lorsque la lampe est allumée, la loi des nœuds conduit à : i=C

d uC u + C r dt

d uC u E − uC + C = soit C r R dt

et

d uC u E + C = t tR dt

en introduisant tr = rC et 1/t = 1/t R + 1/tr . 2. La lampe s’éteint lorsque u C(0) = u b = 50 V et le condensateur se charge sous la tension E = 100 V . On a donc :   t + E avec u C(0) = ub uC = Cte × exp − tR Il en résulte :

Cte + E = u b

     ub t d’où uC (t) = E 1 − 1 − exp − E tR

766

Solutions des exercices

La lampe s’allume lorsque uC = u h = 60 V , c’est-à-dire à l’instant t 1 :     100 − 50 E − ub t1 = tR ln = 2 ln ≈ 0, 45 ms E − uh 100 − 60 Le condensateur se décharge et l’on a : uC = E

  t − t  uh tR  t  1 1− 1− exp − Et tR t

La lampe s’éteint à nouveau lorsque uC = u b , c’est-à-dire à l’instant t2 suivant :   Et/t R − u h t 2 avec t = ≈ 0, 17 ms, tR = 2 ms et ≈ 0, 08 ms t2 = t1 + t ln Et/t R − u b tR 1/1 − 1/0, 09   La période des oscillations est donc T = t2 = 0, 45 + 0, 17 ln (100 × 0, 08 − 60)/(100 × 0, 08 − 50) ≈ 0, 48 ms . S4– 6. Circuit RLC parallèle 1. La continuité du courant dans la bobine entraîne i L(0) = 0 . À l’établissement du courant, le condensateur se comporte comme un fil et court-circuite la résistance r : i r(0) = 0

i C (0) = i R(0) =

E R

ur (0) = 0

En régime établi, la bobine se comporte comme un fil et le condensateur ouvre le circuit : i C(∞) = 0

i r(∞) = 0

iL (∞) = i R(∞) =

E R

ur (∞) = 0

2. Les équations du circuit s’écrivent : iR = iC + iL + ir

et u r = rir = L

d iL qC = = E − Ri R dt C

Il vient, en dérivant : R R d ur d ur d iR d d2 ur − ur − = −R = −R (iC + i L + ir ) = −RC 2 dt dt dt dt L r dt Finalement, l’équation du circuit est la suivante d2ur 1 d ur + + v20 ur = 0 d t2 te d t avec : v0 = (LC)−1/2 = 50 × 103 rad.s−1

te =

rRC ≈ 8, 3 ms (r + R )

et

Q = v 0te ≈ 0, 4

3. Le régime est sous-critique, donc apériodique, puisque Q  1/2 . L’équation caractéristique : 2

X +

X 2 + v0 = 0 te

admet des solutions réelles et négatives : 1 − v0 X1 = − 2t e



d’où : t1 = −

1/2 1 − 1 4Q2

1 ≈ 10, 7 ms X1



 1/ 2 1 − 1 4Q2

et X2 = −

1 + v0 2t e

et

1 ≈ 37, 2 ms X2

t2 = −

767

et problèmes La tension aux bornes du condensateur évolue donc selon :     t t + B exp − u r(t) = A exp − t1 t2 Les constantes A et B étant déterminées par les conditions initiales : ur (0) = 0 on trouve :

et iC (0) = C

d uC d ur E = =C dt dt R

A B E E t1 t2 d’où A = −B = − + =− t1 t2 RC RC t 2 − t 1      E t 1 t2 t t exp − − exp − u r (t) = RC t 2 − t1 t2 t1

A +B = 0 Finalement :

4. Les autres grandeurs électriques se déduisent des équations du circuit :      ur E t 1 t2 t t = ir = exp − − exp − r rRC t 2 − t 1 t2 t1      E ur E E t 1t 2 t t − = − 2 iR = exp − − exp − R R R R C t2 − t1 t2 t1      E t1 t 2 t t d ur 1 1 − =− iC = C exp − exp − R t 2 − t 1 t2 t2 t1 t1 dt       t t t 1 E t t 1 2   − t1 exp − − (t 2 − t 1) iL = ur (t ) d t = − t 2 exp − L 0 RLC t 2 − t 1 t2 t1 S4– 8. Inductance alimentée en simple alternance 1. Quand la diode est bloquée, l’intensité dans le circuit est nulle. La tension aux bornes de la diode est alors ud = ue < 0 . La diode se débloque quand la tension ue de la source devient positive ; on a alors, à partir de l’instant t = 0 : di L + ri = u m sin(vt) dt La solution de cette équation est la superposition du régime libre et du régime établi. Il vient, en posant t = L/r :  t et ie (t) = a cos(vt) + b sin(vt) i(t) = i l(t) + i e (t) avec il(t) = A exp − t On détermine les coefficients a et b en injectant la solution particulière dans l’équation différentielle : −Lva sin(vt) + Lvb cos(vt) + ra cos(vt) + rb sin(vt ) = um sin(vt) En identifiant les termes en sinus et cosinus, on obtient : −Lv a + r b = um

et Lv b + r a = 0

d’où

a=−

um vt r 1 + (vt) 2

et b =

um 1 r 1 + (vt)2

Le régime établi s’écrit donc : ie = −

1 um um vt cos(vt) + sin(vt) 2 r 1 + (vt) r 1 + (vt) 2

d’où le régime transitoire :  t u um vt 1 − m i = i l + i e = A exp − cos(vt) + sin(vt) 2 r 1 + (vt) r 1 + (vt)2 t

768

Solutions des exercices La condition initiale i(0) = 0 permet de calculer A = um vt/[r(v 2 t2+1)] . Finalement, tant que ue (t) > 0 : i(t) =

  t  u um vt 1 m exp − cos( vt ) sin(vt) − + 2 r 1 + (vt) r 1 + (vt)2 t

2. Le courant s’annule à l’instant t1 tel que :   t   1 0 = vt exp − − cos(vt 1 ) + sin(vt 1) t Pour résoudre cette équation transcendante, on peut utiliser par exemple la méthode de Newton-Raphson accessible sur de nombreuses calculatrices. Avec t = 0, 1/10 = 0, 01 s , et v = 2p × 50 ≈ 314 rad.s−1 , il vient : vt ≈ 3, 14 et 0 = 3, 14 [exp (−100 t 1) − cos(314t1 )] + sin(314t 1) On trouve t1 ≈ 14, 7 ms , soit près de 3/4 de la période, puisque T = 20 ms . S4– 11. Impulsions dans un circuit RLC 1. Écrivons la loi des mailles : Ri + L

di + uC = Fd(t) dt

avec

i=

dq d uC =C dt dt

En posant te = L/R , v 20 = 1/(LC) et Q = v0 te , l’équation différentielle précédente s’écrit : d2 uC 1 d uC + + v20 u C = v 20 Fd(t) te d t d t2 2. En prenant la transformée de Laplace de cette équation, on obtient, avec les notations classiques (cf. annexe 3) :

  v 20F p 2 2 + v0 UC = v20 F soit UC = 2 p + te p + p/te + v 20

Calculons v0 , t e et Q : v0 = 50 × 10 3 rad.s−1

te = 0, 4 ms

et

Q = v 0te = 0, 02

Le régime est sous-critique puisque Q < 0, 5 . La solution de l’équation différentielle d’évolution de la tension uC s’obtient en prenant la transformée de Laplace inverse (cf. annexe 3) : uC (t) =

2 v0 F

     t t t 1t2 exp − − exp − t2 − t1 t2 t1

avec : t1 =

1 ≈ 0, 4 ms 1/(2te ) + v0 [1/(4Q2 ) − 1] 1/2

et

t2 =

1 ≈ 1 ms 1/(2t e ) − v0[1/(4Q2 ) − 1]1/2

La plus grande durée t2 est égale à la période des impulsions T = 1 ms . Le régime établi n’est donc pas atteint entre deux impulsions.

769

et problèmes

Chapitre 5 S5– 1. Théorème de superposition 1. a) Pour calculer I(a) , il suffit d’utiliser le schéma de la figure S5.1a, dans laquelle on a passivé la source de courant et la seconde source de tension, et d’appliquer la division de tension : (a )

(a ) IAB =

UAB R

A

P

avec

(a )

UAB = E 1

Q

R

R//R E1 = R + R//R 3

R

E1

A

P

Q

R

R

R

R

B a)

B b) I

I A

P

E2

R

A

P

Q

Q

R

R

R

E1

R

R

B c)

E2

B d) F IG . S5.1.

b) De même, l’intensité I (b) s’obtient selon (Fig. S5.1b) : (b )

I AB =

(b )

UAB R

avec

(b )

U AB = E 2

R//R E2 = 3 R + R //R

c) Enfin, l’intensité I(g) du courant qui parcourt la branche AB , lorsque seule la source de c.e.m I est activée, est nulle, car la passivation des sources de tension court-circuite le générateur de courant (Fig. S5.1c) ; le courant ne circule que dans la branche PBQ . 2. Pour obtenir l’intensité du courant qui parcourt la branche lorsque les trois sources sont activées, il suffit d’appliquer le théorème de superposition, le système étant linéaire ; on a : (a ) (b ) (g ) IAB = IAB + I AB + IAB =

E1 E2 E1 + E 2 +0= = 12 mA + 3R 3R 3R

3. On retrouve l’intensité du courant qui circule dans la branche AB par le théorème de Thévenin. Pour cela, ouvrons la branche AB et calculons successivement RTh et ETh (Fig. S5.1d) : RTh = R//R =

R = 0, 5 kV 2

770

Solutions des exercices

puisque, les sources étant passivées, on a, entre A et B , deux résistances R en parallèle. On obtient ETh en calculant la tension (UAB)o la branche AB étant ouverte. Il vient, en s’appuyant sur la figure S5.1d : 

ETh = −RI + E 2

avec

E2 − RI  − RI  − E 1 = 0

si I est l’intensité du courant qui circule dan la maille PBQP . On en déduit : E 1 − E2 E 1 + E2 + E2 = = 18 V 2 2

ETh = Par conséquent : I=

18 E Th = = 12 mA R + R /2 1, 5 × 103

4. Pour calculer la puissance reçue par chacun des dipôles, il faut connaître les intensités dans toutes les branches. Désignant par I1 l’intensité dans la branche PB , I + I1 parcourt la branche AP et I + I1 + IAB la branche QA . La loi des mailles appliquée à BPAB permet de trouver I1 : E 1 + R(I + I1) − RI AB = 0

d’où

I1 = IAB −

E1 − I = 12 − 12 − 10 = −10 mA R

On en déduit : P1 = E 1I1 = 0, 12 W

P2 = −E2(I1 + IAB) = −0, 048 W

P I = U PQI = (E 1 − E 2)I = −0, 12 W

Ainsi, les valeurs des puissances reçues par les sources sont négatives ; ces dernières se comportent donc comme des générateurs de puissance. La puissance totale est dissipée dans les résistors selon : 2

PPA = R(I + I1 ) = 0 W

2

2

PPA = R(I + I1 + I AB) = 0, 144 W et PAB = RIAB = 0, 144 W

Évidemment, la puissance totale dissipée est égale à celle fournie par les générateurs. S5– 2. Réseau en régime stationnaire 1. Écrivons les lois de Kirchhoff sur les deux mailles, sachant que I3 = I 4 = I1 − I 2 . Il vient : 6, 4 = 40I 1 + 160I2

et 160I2 − 160(I1 − I2 ) − 320(I 1 − I2 ) = 0

soit, en simplifiant : I 1 + 4I2 = 0, 16

et 3I1 − 4I2 = 0

Il en résulte, par addition I1 = 0, 04 A , I 2 = 0, 03 A et I3 = I 4 = 0, 01 A . 2. Entre A et B , le générateurs de Thévenin a la f.e.m suivante : ETh = 320 × 0, 01 = 3, 2 V . Sa résistance interne s’obtient aisément par passivation en combinant en parallèle la résistance de 320 V et : 160 +

160 × 40 = 192 V d’où 160 + 40

RTh =

320 × 192 = 120 V 320 + 192

On en déduit le c.e.m du générateur de Norton équivalent : IN =

3, 2 = 26, 7 mA 120

3. On sait que la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans la charge est maximale est celle de la résistance interne du générateur. Par conséquent, R = 120 V . La puissance correspondante est donc :  2 ETh E2 2 = Th = 0, 021 W P = RI = RTh 2R Th 4R Th

771

et problèmes S5– 3. Courant stationnaire dans un ampèremètre

1. Appliquons le théorème de Thévenin pour déterminer l’intensité I du courant qui parcourt l’ampèremètre placé dans la branche CD : E Th avec ETh = (UC − UD)o I= RTh + r En passivant les sources de tension, le réseau se comporte, entre C et D , la branche CD étant ouverte, comme la somme de deux résistances, qui sont des combinaisons parallèles de deux résistances : R Th =

R 2R xR1 (1 − x)R 1 R2 R + x(1 − x)R 1 + = R2 + R xR1 + (1 − x)R 1 R2 + R

Quant à ETh , il vaut, la branche CD étant toujours ouverte : ETh = E 1x − E2

R R + R2

puisque les deux circuits de même point A se comportent comme des diviseurs de tension. Il en résulte : I=

xE1 − RE 2/(R + R2) r + R 2R/(R 2 + R) + x(1 − x)R1

2. D’après l’expression précédente, I est nul pour : x=

E2 R = 0, 4 E1 R + R2

On aurait pu trouver directement ce résultat en écrivant que les tensions en C et D sont égales : U C − UA = UD − UA

soit E1 x = E2

R R + R2

S5– 4. Bolomètre à pont de Wheatstone 1. Appliquons le théorème de Thévenin entre les points A et B de la branche AB de recherche d’équilibre. La résistance du réseau passivé, entre A et B , se présente sous la forme de deux résistances ; la première est formée de deux résistances R en parallèle, la seconde d’une résistance R en parallèle avec la résistance R + DR :   R R (R + D R ) R R 1 + DR/R R R DR DR DR ≈ + (1 + = + ) 1− R Th = + ≈R+ 2 2R + DR 2 2 1 + DR/ (2R) 2 2 2R 4 R La f.e.m ETh , qui est la tension entre A et B , la branche AB étant ouverte, s’obtient aisément, à partir de deux diviseurs de tension :       R + DR R ER DR DR ER DR DR 1+ 1− −1 ≈ ≈ ETh = U A − U B = E −E =E 2R + DR 2R 2 2R 2 2R 4R R On en déduit : I=

ETh EDR ≈ RTh + r 4R(R + r )

On constate évidemment que le pont est équilibré lorsque DR = 0 . 2. Dans l’expérience considérée, la variation DR vaut : DR =

4RI(R + r) = 0, 34 V E

Des deux relations : R(T ) = R0[1 + A(T − T0 )] et R(T a) = R0 [1 + A(Ta − T0 )]

772

Solutions des exercices

on déduit par différence : R(T ) − R(Ta ) = DR = R0 A(T − Ta ) = R(Ta ) d’où : T − Ta =

DR R (T a )



1 + Ta − T 0 A



=

T − Ta 1/A + Ta − T0

0, 34 × 270 = 0, 92 K 100

et T = 294, 07 K

S5– 5. Rôle d’un interrupteur dans un pont de Wheatstone 1. a) La tension UAB entre les points A et B s’écrit : U AB = UAP + UPB = −R1 I1 + R 2 I2 = −R1 soit : UAB = E



R1 R2 − + R1 + R 3 R 2 + R4



=E

E E + R2 R 1 + R3 R 2 + R4 −R1 R4 + R 2 R3 (R1 + R 3 )(R2 + R4 )

b) À l’équilibre : U AB = 0

d’où

R1R 4 = R2 R3

ce qui s’écrit aussi

R1 R3 = R2 R4

On en déduit R4 = R3 = 804 V . 2. a) Le courant dans la branche comportant les résistances R2 et R4 est simple à calculer : I2 =

1, 23 E = 0, 44 mA = 2, 804 × 103 R2 + R4

On obtient I1 et R3 à l’aide des deux équations suivantes : I1 =

E R1 + R3

et UAB = R3 I1 − R4 I2

Il vient, en substituant : I1 = et :

E − U AB − R 4I2 1, 23 − 0, 5 − 804 × 0, 44 × 10 −3 = 0, 19 mA = R1 2 × 103 R3 =

UAB + R 4I2 = 4, 5 kV I1

b) Passivons le générateur en le remplaçant par un fil de connexion entre P et Q (Fig. S5.2a). La résistance interne du réseau entre A et B est la somme de deux résistances en parallèle, R1 //R3 et R 2//R4 : Ri =

R 1R3 R 2R 4 + = 1, 96 kV R1 + R3 R 2 + R4

D’après le théorème de Thévenin, l’intensité I0 du courant qui parcourrait la branche AB en présence du générateur est (Fig. S5.2b) : 0, 5 = 0, 255 mA puisque ETh = 0, 5 V I0 = 1, 96 × 10 3 c) En insérant dans la branche AB une source de tension idéale de f.e.m E = 0, 5 V , selon les polarités indiquées, les intensités ne sont pas modifiées (Fig. S5.3a).

773

et problèmes A

A R1

R3

R1

A

R2

R3

P Q

Q

P R4

I0 A

P

Q

R4 B R2

B

a)

B E

b)

F IG . S5.2.

d) Si on ajoute entre A et B en série une troisième source de tension, de f.e.m E , mais en opposition, l’intensité I du courant dans la branche AB vaut (Fig. S5.3b) : IAB =

0, 5 E = 0, 255 mA = 1, 96 × 10 3 Ri

On constate que cette intensité est égale à I0 , ce qui n’est pas surprenant puisque le théorème de superposition assimile les deux situations étudiées : i) on connecte directement A et B à l’aide d’un fil de résistance nulle, ii) la somme des f.e.m dans la branche AB est nulle. Du point de vue du comportement en interrupteur, le premier cas correspond à l’ouverture, le second à la fermeture.

A

A

R1

R3

R1

R3 E

E

P R2

Q

P

R4

R2

B

R4 B

E

a)

Q

E

E F IG . S5.3.

b)

S5– 9. Mesure d’une tension par la méthode d’opposition 1. En considérant successivement chacune des deux mailles, on établit les relations suivantes : E 1 = aR(I1 + I2 ) + R(1 − a)I1

et E 2 = aR(I1 + I 2) + R2 I 2

avec 0  a  1 . Réarrangé, le système d’équations est le suivant : E 1 = RI1 + aRI 2

et E2 = aRI1 + (aR + R 2)I2

774

Solutions des exercices

La résolution, en multipliant la première équation par −a et en sommant, donne : E2 − aE1 R 2 + a (1 − a )R

I2 =

et I 1 =

E1 (R /R + a)E1 − aE 2 − aI2 = 2 R R2 + a(1 − a)R

2. En déplaçant le point A du potentiomètre, on modifie la valeur de la résistance a R jusqu’à annuler I2 pour : E 2 − aE1 = 0 soit E2 = aE1

Ainsi la connaissance de R et E1 combinée à la mesure de la résistance a R du potentiométre, permet de déduire le potentiel E2 grâce à un ampèremètre détectant l’annulation de I2 . 3. Désignons par I m,1 et I m,2 les intensités des courants de mailles que l’on oriente dans le sens des aiguilles d’une montre. Le réseau peut être décrit par le système matriciel :      E1 R −aR Im,1 = −E2 −aR R 2 + aR Im,2 On en déduit l’expression des courants de maille, par inversion de la matrice des impédances du réseau :      1 Im,1 R 2 + aR aR E1 = RR2 + a R 2(1 − a) Im,2 aR R −E2 D’où les expressions des intensités des courants de maille : Im,1 =

(R 2 + aR) E1 − a R E2 RR2 + a R2 (1 − a)

et Im,2 =

a RE 1 − RE 2 RR 2 + a R 2(1 − a)

avec

Im,1 = I1

et Im,2 = −I 2

d’après la convention d’orientation des mailles. On retrouve ainsi les expressions précédentes. S5– 10. Triple réseau RC Orientons les trois mailles dans le sens horaire. La relation matricielle [u] = [Z ][im] s’explicite selon : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ R + 1/(jCv) −1/(jCv) 0 ue im,1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ R + 2/(jCv) −1/(jCv) ⎦ ⎣ im,2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ = ⎣ −1/(jCv) 0

0

−1/(jCv)

La tension de sortie us a pour expression : us =

i m,3 jCv

d’où :

avec

i m,3 =

1 det Z

R + 2/(jCv)



1 jCv

2

im,3

ue

 2 us 1 1 = ue det Z jCv Or le déterminant se développe selon det Z = J − K avec :     2     2 2 1 1 1 2 − J = (R + jLv) R+ R+ R+ et K = jCv jCv jCv jCv jCv jCv Finalement, on trouve, en posant t = RC :

ce qui donne en développant :

us 1 = ue (1 + jvt)[(2 + jvt)2 − 1] − (2 + jvt)

1 1 us = 2 3 = 2 v2 + (jvt) (6 − t2 v2 ) 2 3 1 − 5 t ue 1 + (jv) 6t + 5t (jv) + t (jv)

775

et problèmes 2. Le rapport u s /ue est réel pour v = v 1 = 0 ou pour v2 = us /ue à ces pulsations : us = 1 pour ue

v=0

1 us =− 29 ue

et

√ 6/t . On en déduit la valeur du rapport √ 6 pour v = t

A.N : comme R = 10 kV et C = 39 nF , on trouve t ≈ 0, 39 ms , v2 ≈ 6, 280 rad · s−1 et f 2 ≈ 1 kHz .

Chapitre 6 S6– 1. Filtre passif passe-bas 1. Dans le cas extrême des très faibles fréquences, le condensateur est un coupe-circuit. Par conséquent : T(f ) =

us Z2 R2 = = ue R1 + Z2 R 1 + R2

puisque Z2 ≈ R2

Pour les grandes fréquences, le condensateur est un court-circuit : T (f ) =

us Z2 = ≈ 0 puisque ue R 1 + Z2

Z2 ≈ 0

Le système se comporte donc comme un filtre passe-bas. 2. Établissons l’expression de T (f ) : T(f ) = d’où : H (jv) =

Z2 R 1 + Z2

avec

Z2 =

R2 1 + jR2C2 v

R2 R2 /(R1 + R 2) = 1 + jRC2 v R 1 + R 2 + jR1R 2C 2v

avec : T(0) =

R2 R 1 + R2

R=

R1 R2 R1 + R 2

et T(f ) =

et f 0 =

T (0) 1 + j f /f0

1 2pRC2

Évidemment, pour f faible, on retrouve le diviseur de tension en régime stationnaire. 3. Calculons T (0) et f0 : T(0) =

R2 20 = 0, 57 = 35 R1 + R2

R=

R1 R2 = 8, 6 kV R1 + R 2

et f0 =

1 = 1, 238 kHz 2pRC 2

La fréquence de coupure fc , à −3 dB , est la fréquence pour laquelle le gain Gu( dB) = 20 lg |T (f )| diminue de 3 dB par rapport à sa valeur pour f = 0 , ce qui implique : |T(fc )| =

|T(0)| √ 2

d’où f = fc = f 0

Les diagrammes de Bode correspondants sont analogues à ceux relatifs au dipôle RC , mise à part la valeur du gain à f = 0 qui vaut lg 0, 57 = −0, 244 et non 0 .

776

Solutions des exercices

S6– 2. Filtre passif passe-haut 1. Pour les faibles fréquences, le condensateur est un coupe-circuit : T(f ) =

us R2 R2 = = ue Z1 + R2 R1 + R 2

car Z 1 ≈ R1

Pour les grandes fréquences, le condensateur est un court-circuit : T (f ) =

us R2 ≈ 1 puisque = ue Z 1 + R2

Z1 ≈ 0

Le système se comporte donc comme un filtre passe-haut. 2. La fonction de transfert s’obtient aisément : T(f ) =

R2 Z1 + R 2

avec

Z1 =

R1 1 + jR1C1 v

Par conséquent : H (jv) =

1 + jR1 C1 v R2(1 + jR1 Cv) R2 = v R1 + R 2 + jR1 R2C1 R 1 + R2 1 + jRCv

avec

R=

R 1 R2 = 0, 95 kV R1 + R 2

Cette fonction s’écrit aussi : H (jv) = H (0)

1 + jv/v1 1 + jv/ v2

soit T (f ) = T (0)

1 + j f /f 1 1 + j f /f 2

avec : T(0) =

1 R2 = 20 R 1 + R2

f1 =

v1 v2 1 1 ≈ 419 Hz et f 2 = ≈ 8, 4 kHz = = 2p 2pR1C 1 2p 2pRC1

Pour f faible, on retrouve évidemment le diviseur de tension, en régime stationnaire. On en déduit les diagrammes de Bode correspondants en précisant les expressions du gain et de la phase :       f f 1 + f 2 /f 12 et f(f ) = arctan − arctan Gu (f ) = 20 lg |T (f )| = 20 lg T (0) + 10 lg 2 /f 2 f1 f2 1 +f 2 Sur la figure S6.1, on a tracé les graphes en fonction de x = f /f1 .

−1

0

Gu (dB)

1

2

f(rad) p/2

X = lg x p/3

−10

p/6

−20 −1

0

1

2

F IG . S6.1.

et :

3. Pour f = f 1 , la tension de sortie a pour expression us = us,m cos(2pf 1t + f1 ) , avec :   √ R2  1 + j  = 0, 005 × 2 = 7, 1 mV us,m = ue,m |T (f1)| = u e,m   R1 + R 2 1 + j/20 f1 = arctan(1) − arctan(0, 05) ≈

p − 0, 05 = 0, 735 rad soit f 1 = 42, 1 ◦ 4

X = lg x

777

et problèmes

et :

Pour f = f 2 , la tension de sortie s’écrit us = us,m cos(2pf 2t + f2 ) , avec :    1/2  1 + j 20  401 R2   = 0, 005 × = 71 mV us,m = ue,m |T (f2)| = u e,m 2 R 1 + R2  1 + j  f1 = arctan(20) − arctan(1) ≈ −0, 735 rad soit f 1 = 42, 1 ◦

et :

Pour f = f 0 , la tension de sortie est us = us,m cos(2pf0 t + f 0) , avec :    1/2  1 + j 10, 5  R2   = 0, 005 × 10, 55 = 46, 5 mV us,m = ue,m|T (f0 )| = u e,m 1, 129 R1 + R 2  1 + j 0, 525 

f0 = arctan(10, 5) − arctan(0, 525) ≈ 1, 476 − 0, 483 = 0, 99 rad soit f0 = 56, 86 ◦

S6– 3. Circuit RLC 1. Le calcul de la fonction de transfert H (jv) ne présente pas de difficultés : H (jv) =

us 1/(jCv) −jQ/x = = R + jLv + 1/(jCv) 1 + jQ(x − 1/x) ue

en introduisant v0 , la fréquence réduite x = v/v0 et le facteur de qualité Q = Lv 0/R = 1/(RCv0 ) . 2. On en déduit : H(x) = d’où :

  Gu = 20 lg |H (x)| = 20 lg 

S6– 4. Filtre passe-bande RLC

−jQ/x 1 + jQ(x − 1/x)

  Q/x  = 20 lg Q = 23, 5 dB 2 2 1 / 2 [1 + Q (x − 1/x) ] 

et f = −arctan∞ = −

p 2

1. Ce filtre est passe-bande, car pour f = 0 et f = ∞ , l’impédance offerte par l’ensemble, condensateur et bobine en parallèle, est nulle ; la tension aux bornes aussi. 2. a) Établissons l’expression de la fonction de transfert T (f ) . Comme le système est un diviseur de tension, il vient : u ZLC jLv/(jCv) jLv avec ZLC = = H (jv) = T (f ) = s = jL v + 1/ ( jC v) 1 − LCv2 e R + ZLC On trouve, en effectuant : H (jv) =

1 jLv = R(1 − LCv2 ) + jLv 1 + jR [Cv − 1/(Lv)]

b) En identifiant avec l’expression générale de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre, on trouve :  1/2 1 1 R avec v 0 = = 15 811 rad.s−1 et Q = = 0, 031 6 H (jv) = 1 + jQ(v/v0 − v0 /v) LC Lv0 c) On en déduit : |T(f )| = d’où :



2

Gu (f ) = −10 lg 1 + Q



1 [1

+ Q 2(f /f0

f f0 − f0 f

2 

− f 0 /f )2] 1/2 

f0 f et f(f ) = artan − f f0



778

Solutions des exercices

3. Sur la figure S6.2, on a tracé les diagrammes de Bode correspondants en introduisant la fréquence réduite x = f /f0 . Le gain est maximal et nul pour f = f0 = v0 /(2p) = 2, 516 kHz .

−2

−1

0

Gu (dB) 1

2

p/2

X = lg x

−10

−2

−1

f(rad)

1

0

X = lg x

−20 −30

−p/2

a)

2

b)

F IG . S6.2. Calculons les pulsations de coupure à −3 dB . Pour cela, il√suffit de déterminer les valeurs de la fréquence pour lesquelles le module de la fonction de transfert est égal à 1/ 2 de sa valeur maximale, laquelle vaut 1 . On a donc : x 1 1 2 x− =± soit x ± − 1 = 0 x Q Q La résolution de cette équation du deuxième degré donne les deux valeurs suivantes de x : 1 + x1 = − 2Q



1/2 1 +1 4Q 2

1 et x2 = + 2Q



1/2 1 +1 4Q 2

Les fréquences de coupure sont donc : f1 = f0



  1/ 2 1 1 − +1 4Q2 2Q

et f2 = f0



 1/2 1 1 + +1 4Q 2 2Q

Comme Q = R/Lv0 = 0, 03  1 , on trouve, en développant : f1 = f0 et :

  1/2 1  1 1 + 4Q2 − 1 ≈ f0 × 2Q2 = Q f0 = 79, 6 Hz 2Q 2Q

  1/2 1  1 1 2 1 + 4Q + 1 ≈ f0 × 2 = f0 = 79, 5 kHz f2 = f 0 2Q 2Q Q

Notons que Df /f0 = (f 2 − f1 )/f 0 ≈ 1/Q − Q ≈ 1/Q .

S6– 7. Filtre passif constitué de trois cellules identiques en cascade 1. La fréquence caractéristique f1 d’une cellule est obtenue à partir de simples considérations dimensionnelles. Comme RC est homogène à une durée, f1 = 1/(2pRC) ≈ 4 kHz . La matrice de transfert T d’une seule cellule s’obtient aisément en multipliant, dans le bon ordre (de la droite vers la gauche), les matrices élémentaires (cf. chapitre 6) : TRC = T v (C) T h (R) =



1 −jCv

0 1



1 0

−R 1

x = RCv = f /f1 = v/v 1 étant la fréquence réduite.



=



1 −jCv

−R 1 + jRC v



=



1 −jx/R

−R 1 + jx



779

et problèmes

2. On trouve la fonction de transfert de l’ensemble en effectuant la multiplication matricielle, toujours dans le bon ordre :     1 −R 1 −R 1 −R T= −jx/R 1 + jx −jx/R 1 + jx −jx/R 1 + jx soit :

T=



1 −jx/R

−R 1 + jx

ce qui donne, en effectuant :  1 − x2 + 3jx T= 2 4x /R − jx /R(3 − x2 )



1 + jx −j2x/R + x2 /R

−R(3 − x2 + 4jx) 1 − 5x2 + jx(6 − x 2)



−R − R(1 + jx) jx + (1 + jx)2

et H(x) =



1 1 − 5x 2 + jx(6 − x2 )

puisque la fonction de transfert est directement reliée à l’inverse de l’élément de matrice d . On en déduit alors le gain en tension Gu : G u = 20 lg |H (x)| = −10 lg[(1 − 5x2 )2 + x 2(6 − x 2 )] et la phase f : f = arctan



x(x 2 − 6) 1 − 5x2



pour x
0, 447

3. La fréquence f pour laquelle la tension de sortie est en opposition de phase par rapport à la tension d’entrée est telle que : √ √ 2 x(x − 6) = 0 soit x = 6 et f = f1 6 √ Le facteur d’amplification pour f = f1 6 vaut alors :   1 = −29, 2 dB G u = 20 lg |H| = −20 lg 29

Gu (dB) 0

1

f (rad)

X = lg x

20

X = lg x

1

−p/2 −p

100

−3p/2 a)

b) F IG . S6.3.

S6– 9. Impédance itérative 1. La matrice abcd de transfert du filtre s’obtient selon :   1 −Z 1 1 T = Th (Z 3)T v (Z 2 )Th(Z 1 ) = 0 1 −1/Z2

0 1



1 0

−Z1 1



=



a c

b d



avec a = 1 + Z1 /Z2 , b = −2Z1 − Z12/Z2 , c = −1/Z2 et d = 1 + Z1/Z2 . On vérifie aisément que le déterminant de la matrice T est bien égal à 1 .

780

Solutions des exercices

2. a) Pour exprimer Z i en fonction de Z 1 et Z 2 , écrivons que l’impédance à l’entrée est égale à l’impédance à la sortie. Il vient, puisque Z2 est en parallèle avec Z3 = Z1 et Zi en série : Zi = Z 1 +

Z2(Z 1 + Zi ) Z 1 + Z 2 + Zi

2

d’où Z i = Z 1(Z1 + 2Z2)

en effectuant et en simplifiant. Comme Z2 = jLv , Z1 = 1/(jCv) et v20 = 1/(LC) , on obtient, pour v = v0 : Z 2i

1 L L =− 2 2 +2 = C C C v0

  1/ 2  1/2 0, 02 L = soit Zi = = 200 V C 0, 5 × 10 −6

b) Exprimons Ze,o et Ze,f en fonction de Z1 et Z2 :     ue ue Z1Z 2 Z1 (Z 1 + 2Z2 ) = Z e,o = = Z1 + Z2 et Ze,f = = Z1 + ie i s=0 ie is =0,Z c=0 Z1 + Z 2 Z1 + Z2 Par conséquent, Ze,f = Z 2i /Ze,0 , soit Z i2 = Ze,0 Z e,f . Pour f = f0 , les impédances d’entrée valent respectivement : Ze,o =

1 1 − LCv 2 =0 + jLv = jCv jCv

et Ze,f =

Z1 (Z1 + 2Z2 ) =∞ Z1 + Z 2

3. a) Comme le filtre est fermé sur l’impédance itérative, il vient : ue = Zi ie

us = Z i d’où is

b) On a donc : soit

X s = TXe = G X e

ue u = s ie is

et



b d−G

a −G c

us i = s =G ue ie 

=0

L’équation à laquelle satisfait G s’obtient alors aisément en tenant compte de la relation ad − bc = 1 et de l’égalité a=d : (a − G)(d − G) − bc = G 2 − 2(a + d)G + 1 = 0 d’où G 2 − 2aG + 1 = 0 C’est une équation du deuxième degré sur les nombres complexes ; la somme 2a = 1 − 1/LCv2 étant réelle, les deux racines sont conjuguées l’une de l’autre. c) Les puissances dissipées à l’entrée et à la sortie ont pour expressions respectives : 1 1 1 1 2 2 2 2 P e = Re{Z e }i e,m = Re{Z i}i e,m et P s = Re{Zs }is,m = Re{Zi }is,m 2 2 2 2 Par conséquent, le filtre étant passif, on doit avoir : i2s,m Ps = 2 = |G | 2  1 Pe ie,m

soit

|G |  1

d) Si la transmission du signal s’effectue sans atténuation : |G| = 1 , ce qui s’explicite en G = exp(±jf) . D’après l’équation G2 − 2aG + 1 = 0 , les deux solutions G1 et G2 sont telles que : G1 + G 2 = 2a = 2 cos f d’où

−11+

Z1 1 Z2

On en déduit que le filtre est passe-haut, puisque : v v  √0 2

2

et LCv  0, 5

f0 soit f  √ = 1, 13 kHz 2

781

et problèmes S6– 10. Approche de la fonction de transfert d’un filtre à l’aide de son gabarit 1. D’après la définition du gain en tension, on a :   G u = 20 lg |H (jv)| = −10 lg 1 + (v/v 0) 2n

  1/ 2n /10 soit v = v0 10−G u − 1

Ainsi, Gu < 0 . En outre :  1/2n −G /10 f 1 = f 0 10 1 − 1

 1/2n /10 et f2 = f0 10−G2 −1

On trouve l’entier n en éliminant f0 , ce qui est obtenu en effectuant le rapport :  2n 10−G2 /10 − 1 f2 = −G1 /10 10 −1 f1

d’où n =

lg(10−G 2 /10 − 1) − lg(10 −G 1/10 − 1) =2 2 lg(f2 /f 1)

Quant à f0 , on y accède comme suit : f0 =

f1 f1 = ≈ f 1 = 300 Hz (10−G 1/10 − 1)1/2n (10 0,3 − 1)1/2n

2. Pour obtenir les coefficients c1 et c 2 demandés, identifions les deux expressions de H(x) : 1 1 + x4 On trouve :

 2   1 1 1  = et |H(x)|2 =  = 2 1 + jc1x − c 2x  (1 − c 2x 2 )2 + c 21x 2 1 + (c 21 − 2c 2)x2 + c22x 4 c22 = 1

soit c2 = 1

et

c1 = (2c1)

1/ 2

=

√ 2

d’où la fonction de transfert recherchée : H(x) =

1 √ 1 − x2 + j 2x

sur la figure S6.4, on a représenté les diagrammes de Bode correspondants.

Gu (dB) 1 0

f (rad) X = lg x

−10 −p/2

−20 −30

−p

a)

b) F IG . S6.4.

1

X = lg x

782

Solutions des exercices

S6– 12. Relations de Kennely, filtre coupe-bande 1. Pour une fréquence nulle, les condensateurs se comportent comme des coupe-circuit ; en l’absence de courant de sortie, la tension de sortie est égale à la tension d’entrée. Pour une fréquence infinie, les condensateurs sont des courts-circuits. Les tensions de sortie et d’entrée sont égales. La fonction de transfert est ainsi égale à l’unité dans les deux cas extrêmes : le filtre est donc coupe-bande. et

Z2

2. D’après le théorème de Kennely, on peut remplacer le triangle ESK , d’impédances Z1 = Z 3 = 1/(jCv) = r + jLv , par l’étoile correspondante (Fig. S6.5) : Z1 =

Z2 Z3 Z1Z2 = Z 1 + Z 2 + Z3 2Z1 + Z 2

Z2 =

E

Z1

u2

Z1 Z3 Z1 2 = Z1 + Z2 + Z3 2Z 1 + Z2

Z3

et Z3 =

Z1Z2 = Z1 2Z 1 + Z2

S us

Z2

K R

F IG . S6.5. 3. La fonction de transfert H (jv) s’obtient aisément, puisque le filtre se présente alors comme un simple diviseur de tension, le courant de sortie étant nul : us =

R + Z2 u R + Z1 + Z2 e

d’où H (jv) =

R + Z2 R + Z 1 + Z2

Cette fonction de transfert est nulle si : R + Z2 = R +

Z 12 =0 2Z1 + Z2

2

soit si R(2Z1 + Z2 ) + Z 1 = 0

ce qui donne, en explicitant : 

2 R + r + jLv jCv



−

1 =0 C2v2

d’où

Rr =

1 C 2v 2

et

2 = Lv Cv

en annulant séparément les parties réelle et imaginaire. Finalement, les conditions d’annulation de H (jv) sont : f =

1 2p



2 LC

 1/ 2

= 712 Hz et R =

L 1 = 2, 5 kV = rC 2v2 2rC

783

et problèmes

Chapitre 7 S7– 1. Lampe à filament de carbone En fonctionnement normal, la résistance du filament est : R=

2302 U2 = 378 V d’où = 140 P

CT =

1 378 − 588 −4 ≈ −2, 1 × 10 K−1 588 (2 000 − 293)

Le carbone possède effectivement un coefficient de température négatif, c’est-à-dire que sa résistance diminue lorsque sa température s’élève. On en déduit la résistance, à 673 K : R = R0 + R0 CT DT = 541 V . S7– 2. Charge totale d’un accumulateur de caméra numérique Avant que la f.e.m ne devienne trop faible, la décharge de l’accumulateur, avec un courant d’intensité 220 mA , dure environ 10 heures. La charge totale débitée est donc : −3

Q = 220 × 10

× 10 × 3600 = 7 920 C soit

n=

7 560 Q −2 = = 8, 2 × 10 F 96 320

mole de charges élémentaires, F = NA × e = 96 320 C , désignant le faraday, c’est-à-dire la charge d’une mole de charges élémentaires. La décharge complète de l’accumulateur correspond donc à 0, 082 mole d’électrons. S7– 4. Représentation d’une bobine réelle 1. Comme Z = R + jLv et tan d = R/(Lv) , on trouve : à f = 50 Hz,

d = 1, 32 rad = 76◦

à f = 500 Hz d = 0, 38 rad = 21, 7◦ On voit qu’à basse fréquence l’angle de perte est important. 2. L’intensité du courant dans la bobine a pour expression : i(t) = im cos(vt + fi ) avec

um im = 2 [R + (Lv)2 ] 1/2

et fi = −arctan



Lv R



3. a) Pour des fréquences supérieures à 10 kHz , la nouvelle expression de l’impédance est : Z =

R + jLv R + jLv = 1 + jCv(R + jLv) 1 − LCv2 + jRCv

b) Aux fréquence considérées, le rôle de la résistance interne est négligeable devant celui de l’inductance car Lv  R : Z ≈ jLv/(1 − LCv 2) . Cette impédance tend vers l’infini lorsque v = 1/(LC )1/2 = 9, 13 × 10 6 rad · s −1, soit f = 1, 45 MHz .

784

Solutions des exercices

S7– 7. Quartz 1. a) Dans le modèle considéré, l’impédance du quartz a pour expression : Z=

1 − Ls Cs v2 ZCp (Z Cs + ZLs ) = ZCp + Z Cs + Z Ls jv(Cs + C p − Cs Cp Ls v2 )

b) On en déduit la pulsation de résonance pour laquelle l’impédance Z est nulle : vr = (Ls Cs)−1/2 . La pulsation d’anti-résonance pour laquelle l’impédance tend vers l’infini est : var = [(C s + Cp)/(Ls Cs Cp )]1/2 > vr c) Le calcul donne les pulsations suivantes : vr = 5, 419 × 106 rad · s−1

et v ar = 5, 421 × 10 6 rad · s−1

soit les fréquences correspondantes très proches fr = 862, 50 kHz et f ar = 862, 84 kHz . 2. En introduisant les pulsations vr et v ar , l’impédance Z se met sous la forme simple suivante : Z=

1 − v2/v 2r jv(C s + Cp )(1 − v2 /v2ar )

C’est un nombre imaginaire pur, dont le signe détermine la nature capacitive ou inductive de Z . a) Z est inductif pour v r < v < var , avec l’inductance équivalente suivante : −1/v2 + 1/v 2r (Cs + Cp )(1 − v2 /v2ar )

L eq =

b) l’impédance Z est capacitive pour v < vr ou v > var avec la capacité équivalente suivante : Ceq =

(Cs + Cp)(1 − v2 /v2ar ) 1 − v2 /v2r

3. Calculons la dérivée du module de l’impédance par rapport à la pulsation pour v > v r :   d |Z | d −1 + v2 /v2r = dv d v (C s + C p)v(1 − v2 /v2ar )

Pour v < vr , il suffit de changer le signe du numérateur. Comme le numérateur s’annule pour v = vr , il vient :   d |Z | 2/vr 2 = = dv r (C s + Cp )vr (1 − v2r /v2ar) (Cs + C p)v 2r (1 − v2r /v2ar) soit aussi :

d |Z | 4p = 60 V · Hz −1 = df (C s + Cp)v 2r (1 − v2r /v 2ar)

Aux alentours de v r , l’impédance du quartz varie fortement avec la fréquence. Cette propriété est utilisée pour réaliser des oscillateurs remarquablement stables en fréquence (cf. chapitre 14). S7– 8. Champ magnétique maximal dans un transformateur 1. On sait que, dans un transformateur, on a : u1 = N1 Comme u1 = U1

√ 2 cos(vt ) , il vient :

dF dt

et u 2 = N2

√ U1 2 F= sin(vt) vN1

dF dt

avec

F = BS

√ U1 2 d’où B = sin(vt) vN 1 S

785

et problèmes Puisque U1 /N1 = U 2/N2 , on en déduit la valeur maximale du champ magnétique : √ √ U1 2 U1 2 U1 U2 ≈ = = B= 2pfN1 S 4, 44 fN 1 S 4, 44f N2S vN 1S 2. D’après ce qui précède : U1 U1  B d’où N 1  = 1 345, 5 4, 44 fN 1S 4, 44 fSB

et

N2  N1

On prendra par exemple N2 = 36 et N 1 = 1380 qui donnent bien

U2 6 = 1 345, 5 × = 35, 1 230 U1

N1 230 = 38, 3 . = 6 N2

S7– 10. Transistor JTEC en haute fréquence 1. Le théorème de Millman appliqué au drain donne, en prenant le potentiel de la source comme référence : ud =

−g m ug + jC gd vug 1/R c + jC ds v + 1/rds + jCgdv

Le facteur d’amplification en tension est donc : Au =

ud −gm + jC gd v = 1/R c + 1/r ds + j(Cgd + Cds )v ug

Quant au facteur d’amplification en courant, on l’obtient selon : id = −

ud Rc

et ig = jCgs vug + jC gd v(ug − ud ) = jv[C gs + Cgd (1 − A u )]ug

d’où : Ai = Application numérique : Au=

id −A u = ig jvRc [Cgs + C gd(1 − A u )]

−3, 0 × 10 −2 + 5, 3 × 10 −5 j d’où 1, 25 × 10 −3 + 5, 7 × 10 −5j

|A u | = 24 et

| Ai| = 22

2. On déduit l’impédance d’entrée de ce qui précède, selon : Ze =

ug ig

=

1 jv[Cgs + Cgd (1 − A u)]

d’où

|Ze | = 729 V

Chapitre 8 S8– 1. Fonction de transfert d’un AO en boucle ouverte 1. À partir de la définition du gain stationnaire exprimé en dB , Gu,0 = 20 lg A0 , on détermine la valeur du gain stationnaire A0 : A0 = 10

G u/20

= 10

6

ce que l’on écrit aussi A0 = 1 000 V · mV−1

786

Solutions des exercices 2. La fréquence de coupure fc de l’AO est reliée à la constante de temps tc par la relation : fc =

1 = 30 Hz 2pt c

À la fréquence f = fc , la fonction de transfert a pour valeur : A(f c ) =

A0 1 +j

A0 d’où |A (fc )| = √ 2

et Gu = 20 lg |A(f c )| = 20 lg A 0 − 20 lg

√ 2 = Gu,0 − 3

en dB, ce qui justifie l’expression fréquence de coupure à −3 dB .

3. Dans le diagramme de Bode, le gain Gu = 20 lg |A(f )| devient négatif dès que |A(f )| < 1 . On en déduit la limite fréquentielle, entre les modes d’amplification et d’atténuation de l’AO, définie par la fréquence de transition ft :  1/2 A0 2 = 1 d’où f − 1 soit f t ≈ fc A 0 = 30 MHz |A(ft )| = = f A t c 0 [1 + (ft /f c )2 ]1/2 4. Le module et l’argument de A(f ) sont donnés respectivement par : A0 |A(f )| = [1 + (f /fc )2 ]1/2

et

À la fréquence f1 = 3 Hz , on trouve :



 arg A(f ) = arg(A0 ) − arg(1 + j f /fc ) = − arctan

A0 |A(f1 )| = √ ≈ A0 1, 01

et

À la fréquence f2 = 300 Hz , on trouve de même : A0 A0 ≈ |A(f 2 )| = √ 10 101

et

  f fc

  arg A(f1) = − arctan 0, 1 ≈ −6o   arg A(f2 ) = − arctan 10 ≈ −84 o

S8– 3. Stabilité d’un montage à rétroaction à base d’AO 1. On reconnaît un montage amplificateur non inverseur de gain stationnaire : Au = 1 +

R2 = 100 R1

Si l’impédance de charge est infinie, on a : |is| =

|u s| < is,max R1 + R 2

d’où R1 + R2 >

|us |

i s,max

Comme |u s|  U sat ≈ 15 V , il vient R1 + R2 > 750 V . Les résistances utilisées doivent être inférieures à l’impédance différentielle d’entrée de l’AO, mais doivent aussi permettre des courants dont l’intensité est de l’ordre du mA . Il en résulte des valeurs de résistance de l’ordre de 1 kV . 2. a) L’équation différentielle de l’AO en boucle ouverte s’écrit : tc

d us + us = A 0e dt

Le courant de polarisation sur l’entrée inverseuse étant supposé nul, il vient en considérant le diviseur de tension :   d us R1 R1 u− = us = u e − e d’où tc + us = A 0 u e − us R1 + R 2 R 1 + R2 dt

787

et problèmes nouvelle équation différentielle de l’AO en boucle fermée par rétroaction négative. Il en résulte : tc d u s + A0 d t





1 R1 + A0 R 1 + R2

us = u e

Le régime transitoire est de la forme : 

u s = A exp −

t tc,r−



+ us,e

avec

t c,r− =

tc tc (R1 + R2 ) = 16 ms ≈ 1 + A 0R 1 /(R1 + R2) A0R 1

us,e étant la solution du régime établi. La durée du régime transitoire est donc très brève pour ce montage amplificateur non inverseur. Avec une rétroaction de l’AO sur l’entrée non inverseuse, la structure serait celle représentée sur la figure S8.1. L’équation différentielle à laquelle satisfait cette dernière est la suivante : d us + u s = A0 tc dt soit :



R2 R1 ue + us R1 + R2 R1 + R 2



     R1 t c d u s R1 R1 1 1+ − + 1+ us = u e R2 A0 d t R2 A0 R 1 + R2

La constante de temps tc,r+ du régime transitoire est : tc,r+ =

tc t (R 1 + R 2 ) = −16 ms ≈− c A0 R 1 1 − A 0R1 /(R1 + R 2 )

d’où une solution divergente du type : us = A exp



t |t c,r+|



+ us,e

L’amplificateur atteint très vite la saturation positive ou négative selon le signe de la constante A et donc de celui de e . b) La vitesse maximale de balayage valant vm = 0, 5 V · ms−1 et le basculement étant de −15 à 15 V , la durée de basculement s’en déduit selon : tm =

30 Dus = = 60 ms 0, 5 × 106 vm

R2

R1

ue

+ e

−

F IG . S8.1.

∞

us

788

Solutions des exercices

S8– 4. Impédances d’entrée et de sortie dans le montage suiveur de tension 1. Bien que le facteur d’amplification en tension du montage suiveur soit égal à 1, ce dernier est très utilisé, car il offre une impédance d’entrée Ze = ∞ et une impédance de sortie Zs = 0 . Cette propriété établie en supposant l’AO idéal permet l’adaptation d’impédance entre montages, en évitant l’effet d’un diviseur de tension lors de la connexion d’une charge. 2. Reprenons le schéma électrique de l’AO réel et déterminons Ze , impédance d’entrée du montage suiveur (Fig. S8.2a) : u u − us u − Ae e = e = s Ze = e avec i e = ie Re Re Rs En remplaçant e par Rei e on en déduit : u e = u s + R e ie

et i e =

us − AieR e Rs

soit u s = i e (Rs + AR e )

Par conséquent : ie =

u e − us u − ie (Rs + ARe ) = e Re Re

d’où ue = (Re + R s + ARe )i e

On en déduit l’impédance d’entrée du montage suiveur lorsque l’AO est réel :   Rs Z e = (R e + Rs + ARe ) = R e 1 + + A = R e(1 + A) Re

ie e

Rs

Re

e Ae

ue

Re

Rs Ae

us

a)

is us

b) F IG . S8.2.

L’impédance de sortie du montage suiveur, définie par Zs = us/i s avec ue = 0 (Fig. S8.2b), s’obtient selon : e = −us

et i s =

  us − Ae u + Au s u u + Au s u 1 +A 1 −e + = s + s = s + s = us + Rs Re Rs Re Rs Re Rs Re

Par conséquent : Zs =



1 +A 1 + Rs Re

 −1

≈

Rs 1 +A

puisque Re  R s

3. Par construction, R e , impédance différentielle d’entrée de l’AO vaut plusieurs centaines de kV , alors que Rs , impédance de sortie est de l’ordre de quelques V . En régime stationnaire A0 étant très grand, on retrouve les propriétés établies pour le montage suiveur avec AO idéal : Ze ≈ ∞ et Zs ≈ 0 . C’est pour cette raison que le montage suiveur est aussi appelé montage adaptateur d’impédance.

789

et problèmes S8– 6. Voltmètre multicalibre

On reconnaît un montage amplificateur non inverseur utilisé en régime stationnaire. En connectant l’entrée inverseuse au nœud S , on réalise un montage suiveur de tension avec un gain de 0 dB , d’où un calibre de 2 V à l’entrée de l’AO. Si l’on connecte l’entrée au nœud A , le facteur d’amplification en tension du montage est Au = 1 + 90/10 = 10 ; le calibre équivalent à l’entrée de l’AO est donc 200 mV . De même, si l’entrée est connectée au nœud B , alors Au = 1 + 99/1 = 100 , d’où un calibre équivalent de 20 mV à l’entrée de l’AO. S8– 8. Gyrateur à amplificateur opérationnel 1. a) Si A est un simple facteur réel, Y a la dimension physique d’une admittance, précisément une conductance puisque Y est un réel positif. b) La matrice de transfert T d’un tel système, dans lequel l’entrée ou la sortie sont caractérisées par des matrices colonnes tension-courant, est telle que :   0 −A/Y Xs = T Xe avec T = AY 0 c) Pour établir la relation entre l’impédance d’entrée du gyrateur et son impédance de sortie, il suffit d’exprimer cette dernière, en tenant compte de la convention d’orientation du courant de sortie : Zs = −

1 us Aie = = 2 is YAYu e Y Ze

2. a) Comme l’impédance de sortie est Zs = 1/(jCv) , l’impédance d’entrée s’en déduit aisément selon : Ze =

1 Y2 Zs

=

jCv Y2

Un tel système se comporte alors comme une inductance pure. On l’appelle gyrateur parce que l’on passe de l’impédance d’entrée à l’impédance de sortie, dans le plan complexe, par une rotation, éventuellement accompagnée d’une homothétie. L’utilité du montage est de réaliser une inductance en entrée avec une capacité en sortie. b) Pour C = 0, 1 mF et Y = 1/2 000 S , l’inductance équivalente est : Le =

10−7 C = 0, 4 H = 2 0, 25 × 10−6 Y

ce qui est une forte inductance. 3. L’impédance d’entrée de ce gyrateur à AO idéal s’écrit : Ze =

ue ie

avec

− Z1 ie = u s − ue

et u + = u− = ue =

Rc us Rc + Z2

par division de tension. Il en résulte, en éliminant us : −Z1i e = ue



 R c + Z2 − 1 ue Rc

d’où Ze =

ue Z = −R c 1 ie Z2

pour Z1 = Z 2 . Le système est donc équivalent à une résistance négative.

soit Ze = −Rc = −0, 2 kV

790

Solutions des exercices

S8– 9. Réalisation d’une inductance en parallèle avec une résistance 1. L’AO est en fonctionnement linéaire grâce à la rétroaction par le condensateur. Par conséquent : u− = u + = 0

et ue = R1 i2

Comme l’impédance d’entrée du montage est Ze = ue /i e , cherchons à exprimer u e en fonction de ie . La loi des nœuds en A impose ie = i1 + i2 , où i 2 est l’intensité du courant qui traverse le condensateur puisque l’AO est idéal. Sur la maille AESA , la loi des tensions donne :     1 1 1 u 1+ R1 + i2 − R 2i1 = 0 avec i 2 = e d’où i 1 = ue jCv R1 R2 jR1Cv On en déduit : 

1 ie = R2



  1 1 1+ + u d’où jR 1Cv R1 e

1 1 1 1 = + + Ze R1 R2 jR 1R 2Cv

L’impédance d’entrée est par conséquent équivalente à une résistance R en parallèle avec une bobine d’inductance L telles que : R 1R2 R= = 5 kV et L  = R 1 R 2 C = 0, 1 H R1 + R2 2. En rajoutant un condensateur, de capacité C , entre le point A et la masse, le circuit se comporte comme un dipôle R L C parallèle. S8– 12. Filtre passif suivi d’un AO 1. a) Pour f = 0 , l’impédance offerte par l’inductance est nulle, alors que celle de la capacité est infinie. Il en résulte que la fonction de transfert vaut 1 . Pour f = ∞ , c’est l’inverse ; la fonction de transfert est alors nulle. Il s’agit donc d’un filtre passe-bas. b) Ces grandeurs caractéristiques d’un dipôle RLC valent : v0 =



1 LC

1/2

4

= 10 rad.s −1

te =

10−2 L = 2 ms et = 5 R

Q = v0t e = 20

c) La fonction de transfert H (jv) s’obtient aisément puisqu’il s’agit d’un simple diviseur de tension : H (jv) =

R + 1/(jCv) 1 + jRCv = jLv + R + 1/(jC v) 1 + jRCv − LC v2

d’où H(x) =

1 + jx/Q 1 − x 2 + jx/Q

puisque Q = L v0 /R = 1/(RCv0) . d) On tire de ce qui précède : 

1 + x 2/Q 2 Gu = 20 lg (1 − x2 )2 + x 2/Q 2

1/2



1 + x2/Q2 = 10 lg (1 − x2 )2 + x2 /Q2



Pour X = 0 soit x = 1 , Gu = 10 lg(Q2 + 1) = 10 lg 401 = 26 dB . Pour x  1 , soit X < 0 avec |X|  1 , Gu ≈ 10 lg 1 = 0 .

Pour x  1 , soit X > 0 avec |X|  1 : Gu ≈ −10 lg(Q 2x2 ) = −20X − 20 lg Q = −20X − 26 . Le filtre est donc en réalité un filtre passe-bande proche d’un filtre passe-bas (Fig. S8.3).

791

et problèmes Gu (dB) 26 10 0 X = lg x −10

F IG . S8.3. 2. a) L’AO présente une double fonction, d’abord celle d’amplifier le signal de sortie par le facteur Au = −R2/R 1 = −10 , ensuite celle de rendre nulle l’influence de la charge. b) La puissance dissipée dans la charge a pour expression : P = Rc I2s =

U 2s Rc

avec

Us = |AuH(x)|U e

d’où P(x) =

A 2u|H(x)|2 Ue2 Rc

Pour x = 2 , on trouve : P(2) =

100 × |H(2)| 2 1 + 4/Q2 1 = 1, 38 W puisque |H (2)|2 = ≈ 2 8 9 + 4/Q 9

S8– 13. Réponse d’un comparateur inverseur à hystérésis à un signal triangulaire 1. Pour que u s soit égale à Usat il faut que e > 0 , soit : e = u+ − u− =

R1 R1 R1 u s − ue = Usat − ue > 0 ce qui s’écrit ue < up = U sat = 4 V R1 + R 2 R1 + R2 R1 + R 2

De même, pour que us soit égale à −Usat , il faut que e < 0 , soit : e = u + − u− =

R1 R1 R1 us − u e = − Usat − ue < 0 ce qui s’écrit u e > un = − U sat = −4 V R1 + R2 R1 + R 2 R 1 + R2

On déduit de ce qui précède le diagramme donnant us en fonction de u e (Fig. S8.4a). 1 mm représente 1 V .

us (V)

ue(V)

us (V) 14

14 8 ue (V)

-2

1

-1

4

-4

2

-1

1

0

t(ms)

t(ms)

-8 -14

-14 a)

b) F IG . S8.4.

2

c)

792

Solutions des exercices

2. Si on applique à l’entrée du comparateur une tension triangulaire symétrique qui varie entre les valeurs −8 V , 8 V et −8 V pendant 4 ms (Fig. S8.4b), la tension de sortie est celle donnée par la figure (Fig. S8.4c). S8– 14. Utilisation de l’AO OP − 470 1. La figure 8.55a représente le diagramme de Bode asymptotique relatif au gain de l’AO en boucle ouverte, précisément Gu = 20 lg |H (jv)| en fonction de la fréquence, l’AO étant alimenté avec des sources externes de tension d’alimentation ±15 V . Le gain stationnaire étant très élevé, la forme du tracé est quasi triangulaire avec une pente de −20 dB · dec−1 , et coupe l’axe des abscisses pour une fréquence de transition ft = 6 MHz entre les modes d’amplification et d’atténuation ; cette quantité est aussi appelée le PGB (Produit Gain-Bande). 2. À l’aide de la figure 8.55c qui donne le facteur d’amplification stationnaire en fonction de la tension d’alimentation, on détermine les gains stationnaires de l’AO en boucle ouverte pour les deux valeurs de Ua : i) pour U a = 10 V , on lit : A0 = 625 V · mV −1

soit A0 = 625 000 d’où G u = 20 lg A 0 = 115, 9 dB

ii) pour U a = 15 V , on a : A0 = 2 350 000

d’où G u = 20 lg A 0 = 127, 4 dB

3. La fréquence de coupure de cet AO en boucle ouverte se déduit du PGB selon : ft = A0 fc,o

6 × 106 ft = = 2, 55 Hz A0 2 350 000

d’où f c,o =

C’est cette faible valeur de la fréquence de coupure qui donne, au diagramme de Bode relatif au gain, sa forme triangulaire. 4. La figure 8.55b représente le tracé asymptotique du module de la fonction de transfert en boucle fermée pour différentes valeurs du gain stationnaire. Ces courbes sont caractéristiques d’un filtre passe-bas : on identifie un palier relatif au gain stationnaire puis une cassure et une pente décroissante de −20 dBdec−1 . Ainsi, pour un montage à rétroaction négative utilisant cet AO, on lit sur la figure 8.55b, en reportant en abscisse la fréquence fc = 20 kHz , G u = 50 dB , soit un gain stationnaire du filtre passe-bas égal à 1050/20 = 316 . La fonction de transfert de ce filtre passe-bas s’écrit donc : T(f ) =

T(0) 1 + j f /f c

avec

T 0 = 316 et f c = 20 kHz

5. Au signal sinusoïdal d’entrée du filtre ue (t) = em cos(2pf c t) , l’AO fait correspondre le signal de sortie suivant : us (t) = em|T (f c )| cos(2pfc t + f s ) avec

T(0) 316 |T (fc )| = √ = √ 2 2

et fs = − arctan(1) = −p/4

La non-saturation en amplitude, réalisée si |us | < Usat , conditionne l’amplitude du signal d’entrée : em
500 V

794

Solutions des exercices iii) si le montage fonctionne dans la bande passante du montage, soit : f < f c,r

avec

T0 f c,r = ft = A0 fc,o

où T 0 = 1

et

f c,o =

1 2ptc

soit f c,r = 1 MHz

1. b) La fonction de transfert de l’AO en boucle ouverte a pour expression : A(f ) =

us A0 = e 1 + j f /fc,o

avec

f c,o =

1 = 100 Hz 2ptc

En boucle fermée, la fonction de transfert du montage suiveur de tension devient : T (f ) =

1 us T0 = = 1 + j f /fc,r 1 + j f /f c,r ue

avec

fc,r = fc,o A0 = 1 MHz

2. En régime établi sinusoïdal, la réponse du montage à la tension d’entrée ue (t) = ue,m cos(2pfit) se met sous la forme :   u s(t) = |T (f i )| ue,m cos(2pfi t + fs) avec f s = arg T (fi ) Pour f1 = 1 kHz < fc,r , T (f ) ≈ 1 , d’où : u s,1 (t) = u e,m cos(2pf1t) et

− 10 V < u s,1 (t) < 10 V

Il y a donc saturation puisque ue,m = 12 V . Pour f2 = 1 MHz , on se situe à la fréquence de coupure du montage en boucle fermée, d’où :   p 1 1 soit |T(f c,r)| = √ et fs = arg T (fc,r) = − arctan 1 = − T (fc,r) = 1 +j 4 2 Ainsi :

 p u e,m u s,2 (t) = √ cos 2pf2 t − 4 2 Il n’existe pas de risque de saturation en amplitude, puisque : 12 u s,2(t) = √ < 10 V 2 Le gain correspondant exprimé en dB s’écrit :

√ G u (fc,r ) = 20 lg |T (f c,r)| = 20 lg 1 − 20 lg 2 = 0 − 3 = −3 dB

Enfin, pour f3 = 10 MHz , on se situe à la décade supérieure de la fréquence de coupure, f 3 = 10 fc,r , d’où, d’après le tracé asymptotique :   u e,m p cos 2pf 3 t − us,3 (t) = 10 2 3. La condition de non-saturation en vitesse du montage bouclé est donnée par la relation :    d u s (t)     ym max  dt 

où ym est la vitesse maximale de balayage de l’AO ; dans l’exemple considéré y m = 0, 5 V · ms −1 . En régime sinusoïdal établi, on sait que :

d’où :

u s(t) = |T (f i )| ue,m cos (2pf it + fs)

avec fs = arg [T (fi )]

   d u (t)  2pf i ue,m max  s  = |T(fi )| 2pfi u e,m = dt (1 + fi2 /f 2c ) 1/2 Cette expression se simplifie dans la bande passante de l’AO où |T (fi)| = 1 , d’où la condition de non saturation en vitesse : ym u e,m  2pf i < f On peut considérer que |T (fi )| = 1 tant que fi c,r /10 , soit f i < 100 kHz et ue,m  0, 8 V . On observera le déphasage de −p/4 , à la fréquence de coupure, si ue,m  112 mV .

795

et problèmes

On en conclut qu’une très grande fréquence de transition dans un AO ne suffit pas pour exploiter toutes les fréquences. Il faut que le critère de non-saturation en vitesse soit compatible, afin d’ éviter tout risque de distorsion du signal. 4. Le signal d’entrée n’étant pas sinusoïdal, plaçons-nous dans l’espace de Laplace. On a alors : Us (p) = H (p)Ue (p) La transmittance symbolique H (p) est obtenue à partir de l’expression de T(f ) , en substituant à jv la variable symbolique p : H (jv) =

1 1 + jv/ v c

donne H (p) =

1 1 + ptc,r

avec

t c,r =

1 = 0, 16 ms 2pfc,r

Quant à Ue (p) , qui est la transformée de Laplace de ue (t) , son expression est :     E E 1 d’où U s (p) = U e (p) = TL u e (t) = TL E Y(t ) = p p 1 + pt c,r

Exprimons Us (p) sous la forme d’une somme de fonctions dont les transformées de Laplace sont bien connues (cf. annexe 3) :   a b 1 1 − U s(p) = + =E p + 1/t c,r p + 1/tc,r p p Il vient en prenant la TL inverse :           1 1 E E t −1 −1 −1 = TL − TL − us (t) = TL E = E 1 − exp − tc,r p + 1/tc,r p + 1/t c,r p p S9– 3. Réalisation d’un amplificateur inverseur La troisième affirmation est vraie. Ces deux montages ont des facteurs d’amplification stationnaires Au identiques en valeur absolue, et égaux à 1 , mais diffèrent du point de vue de la bande passante. On sait que pour le montage amplificateur inverseur, la bande passante à −3 dB est donnée par (cf. chapitre 8) : fc,r1 =

f 0 A0 1 + |Au |

avec

|Au | = 1

soit fc,r1 =

ft 2

alors que pour le montage suiveur, on a (cf. chapitre 8) : fc,r2 = f0 A 0/1 = f t . S9– 6. Amplificateurs connectés en cascade 1. a) Comme l’AO est idéal, on considère Re infinie, soit ie = 0 , ce qui implique u+ = ue,1 . Comme il y a division de tension sur l’entrée inverseuse de l’AO, il vient : u− =

R1 us,1 R 1 + R2

La rétroaction négative à travers R2 impose un fonctionnement de l’AO en régime linéaire, d’où u+ = u − . On en déduit l’expression du facteur d’amplification en tension : Au =

us,1 R1 + R 2 R2 R2 ≈ = =1+ = 100 = T0 ue,1 R1 R1 R1

b) La conservation du produit facteur d’amplification bande-passante, s’écrit, T0 f c,r = A0 fc,o , avec un facteur d’amplification stationnaire A0 de l’AO en boucle ouverte, qui vaut 104 soit 80 dB , et une fréquence de coupure : fc,o =

1 = 100 Hz 2pt c,o

796

Solutions des exercices

On en déduit les valeurs de la bande passante et de la constante de temps de la fonction de transfert T (f ) en boucle fermée : 106 1 A 0 fc,o = 16 ms = 2 = 104 Hz = 10 kHz et t c,r = f c,r = 10 2pfc,r T0 La fonction de transfert est donc : T(f ) =

us,1 T0 = 1 + j f /fc,r ue,1

c) Les tracés asymptotiques des fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée sont donnés sur la figure S9.2.

Gu (dB)

f (rad) 0

50 0

lg f 2

4

6

2

4

6 lg f

−p/4 −p/ 2

F IG . S9.2. 2. a) Relier les deux montages amplificateurs équivaut à effectuer le produit des deux fonctions de transfert, s’il y a adaptation d’impédance ( Ze,2  Z s,1 ) et une non-saturation en courant ou en tension du premier montage. Par conséquent, à la fermeture de l’interrupteur, on a à réaliser : T(f ) =

us,2 us,2 u s,1 Ze,2 = ue,1 ue,2 ue,1 Ze,2 + Zs,1

Comme Ze,2  Zs,1 , il vient : T (f ) ≈ T1(f )T 2(f ) soit T (f ) ≈ T 21(f ) puisque T 1(f ) = T 2(f ) 2. b) La fonction de transfert T (f ) s’écrit donc : T (f ) =



T0 1 + jf /f c,r

2

soit un facteur d’amplification de 80 dB pour le montage constitué par la mise en cascade de deux montages de facteur d’amplification de 40 dB . La fonction de transfert T(f ) présente deux fréquences de coupure égales à fc,r . La nouvelle constante de temps tk vaut tout simplement tc,r , mais est présente deux fois, ce qui se traduit dans le tracé de Bode par une pente de −40 dB · dec−1 , alors que, pour une fréquence de coupure simple, la pente est −20 dB · dec−1 . c) Le tracé asymptotique dans le plan de Bode se déduit aisément de celui de la fonction de transfert T 1 (f ) : Gu (f ) = 20 lg



T0 1 + j f /fc,r

2

= 40 lg



T0 1 + j f /fc,r



À la fréquence fc,r , Gu(f c,r) est affaibli de 6 dB par rapport au palier à 80 dB , ce qui est équivalent à un facteur d’amplification |T (f c,r)| = T20 /2 = 10 000/2 = 5 000 (Fig. S9.3).

797

et problèmes

Gu (dB)

f (rad)

50

0

lg f

0

2

4

6

2

4

6 lg f

−p/2 −p

F IG . S9.3. Ce montage permet d’augmenter le facteur d’amplification stationnaire, pour une même bande passante, ce qui pourrait être résumé par la règle suivante : en connectant deux montages de facteur d’amplification 100 , on obtient un montage d’amplification 10 000 , qui conserve la même fréquence de coupure, alors qu’un gain de 10 000 obtenu avec un seul AO présenterait une fréquence de coupure 100 fois plus faible. Cette règle ne doit pas occulter la très forte variation de phase et donc les risques d’instabilité (cf. chapitre 14). La fréquence de coupure à −6 dB étant fc,r = 10 kHz on détermine la fréquence de coupure fc,2 à −3 dB selon :  2 √ T2 f c,2 2 20 lg |T(f c,2)| = 20 lg(|T (0)| − 3 soit |T (f c,2 )| = √0 d’où 1 + = 2 f c,r 2 On en déduit : √ 1/2 2 −1 = 6 422 Hz f c,2 = fc,r 3. Dans l’espace de Laplace, la tension de sortie, Us,2 (p) est donnée par : Us,2 (p) = T (p)Ue,1 (p) avec où : T (p) =

T(0) T(0) = (1 + ptk )2 1 + 2p/v n + p2 /v2n

U e,1 (p) =

avec

tk=

E p

1 vn

et T (0) = T20

On en déduit :

    vn 1 1 1 p + 2v n = T (0)E − − − U s,2(p) = T (0)E p p + vn (p + vn )2 p (p + vn) 2 En prenant la transformée de Laplace inverse (cf. annexe 3), on trouve pour t > 0 :      t t exp − et |us,2 (t)| < Usat us,2 (t) = T (0)E 1 − 1 + tk tk S9– 7. Montage comparateur avec rétroaction positive Bien que l’AO semble être en boucle ouverte, tel un montage comparateur, il subit une rétroaction positive ; comme cette dernière est réalisée à travers un montage amplificateur inverseur dont le facteur d’amplification est −1 , elle est assimilable à une rétroaction négative, avec : e=

ue + us × (−1) u − us = e 2 2

et u s = Ae d’où

1 us A/2 = = ≈1 ue 1 + A/2 1 + 2/A

Le montage se comporte comme un montage suiveur de tension. Une telle structure suppose la stabilité des AO, ainsi qu’un fonctionnement dans la bande passante de la chaîne de retour. Le test de cette structure avec un AO type 741 valide la modélisation adoptée.

798

Solutions des exercices

S9– 8. Analyse d’une fiche technique d’un AO et montage non inverseur 1. On déduit de la lecture de la documentation technique : G u = 100 dB soit

A0 = 10

100/20

5

= 10

La constante de temps de l’AO est reliée à la fréquence de coupure en boucle ouverte par tc = 1/(2pfc,o ) . Comme fc est délicat à mesurer, le fabricant n’indique pas sa valeur mais donne la fréquence de transition ft de l’AO ou produit facteur d’amplification-bande passante : f t = 20 MHz = fc,o A0

d’où fc,o =

20 × 106 1 = 200 Hz et tc = = 0, 8 ms 10 5 2pfc,o

2. a) La fréquence de coupure f c,r du montage en boucle fermée avec le gain stationnaire T (0) = T0 dépend des paramètres constructeur de l’AO. Comme le produit facteur d’amplification-bande passante se conserve lorsqu’on passe de la boucle ouverte à la boucle fermée, il vient : A0 f c,o = T 0 fc,r

avec

20 lg T0 = 40 dB soit

T0 = 100

On en déduit la valeur de la bande passante à −3 dB du montage amplificateur : fc,r =

105 × 200 A0 fc,o = 200 kHz = 100 T0

b) Le courant maximal fourni par l’AO est i s,max = 35 mA , pour une tension maximale en sortie us,max = Usat = 12 V , obtenue avec des tensions d’alimentation de ±15 V . La valeur minimale de la résistance de charge Rc,m est fixée par la condition de non-saturation en courant : R c,m =

u s,M 12 ≈ 342 V = 35 × 10−3 is,max

c) La tension maximale en sortie est donnée par le constructeur : us,max = U sat = 12 V . Le montage ayant un facteur d’amplification de 100 , on en déduit la condition de non-saturation en amplitude qui fixe l’amplitude maximale du signal d’entrée : us,max ue,max = = 120 mV 100 3. Le signal d’entrée en régime harmonique, à la fréquence de coupure fc,r , s’écrivant ue (t) = u e,m cos(2pfc,rt) , l’expression du signal de sortie en régime établi est la suivante :  p T0ue,m us(t) = √ cos 2pf c,r t − avec T0 = 100 4 2 La non-saturation en vitesse liée à la vitesse maximale de balayage ym de l’AO, impose la condition :    d us (t)    y m avec ym = 25 V · ms −1 = 25 × 106 V · s −1 max  dt  soit :

T0 ue,m 6 2pfc,r  25 × 10 √ 2

et donc ue,m  281 mV

À la fréquence de coupure, la condition de non-saturation en amplitude se traduit par : T0 u e,m √ < 12 V soit 2

ue,m < 170 mV

Ainsi, la saturation en amplitude aura eu lieu avant que l’on observe la limitation en vitesse. Avec un AO type 741, on constaterait le contraire.

799

et problèmes

Chapitre 10 S10– 1. Diagramme de Bode d’un filtre avec ou sans AO 1. a) Il vient, en utilisant le pont diviseur en tension : H1(jv) =

us R1 jR 1C1 v jvt1 = = = 1 + jR 1 C1 v 1 + jvt 1 ue R1 + 1/(jC 1v)

avec

t1 = R1 C 1 = 10 ms

ce qui donne, en introduisant v1 = 1/t 1 = 2pf1 et en remplaçant v par 2pf : T 1(f ) =

j f /f1 1 + j f /f1

avec

f1=

1 = 16 kHz 2pR1 C 1

b) Le tracé asymptotique du diagramme de Bode relatif au module qui est donné sur la figure S10.1 est bien caractéristique d’un filtre passe-haut. Gu (dB)

f (rad)

p/2

0

lg (f1 /10)

p/4 lg f

lg f 1

0

lg f1

lg f

−20

a)

b) F IG . S10.1.

c) L’expression précédente de H (jv) s’explicite selon us(1 + jvt 1 ) = ue jvt1 , d’où l’équation différentielle à laquelle satisfait le circuit : d us d ue = t1 u s + t1 dt dt Pour tout t > 0 , l’équation précédente devient :   d us t = 0 dont la solution est us = A exp − us + t 1 t1 dt (cf. chapitre 4). La continuité de uC impose que us (0) = E , d’où la valeur de la constante A = E :   t us = E exp − t1 Ce résultat peut également être obtenu à l’aide de la transformée de Laplace (cf. annexe 3). Avec les notations classiques, on a : Ue (p) = E/p , d’où, pour t > 0 : Us (p) =

R1 C 1p E E = R1 C1 p + 1 p p + 1/(R 1C 1 )

ce qui donne, en revenant dans le domaine temporel par transformée inverse de :     t t = E exp − us (t) = E exp − R1 C1 t1

800

Solutions des exercices

2. a) L’AO étant monté en amplificateur non inverseur, dans lequel on a placé un condensateur C2 en parallèle avec la résistance de rétroaction R2 , on en déduit l’expression de la fonction de transfert en tension : H2 (jv) =

us R 2//ZC,2 R2 R 1 + R 2 + jvR1 R2 C2 =1+ =1+ = ue R1 R 1(R 2C 2jv + 1) R 1 (jvR 2 C2 + 1)

En factorisant l’expression précédente, de manière à faire apparaître un terme réel additif égal à l’unité, on obtient les constantes de temps :    R2 1 + jv (R1 //R2 ) C 2 H2 (jv) = 1 + 1 + jvR 2C 2 R1 ce qui est conforme à l’expression recherchée en posant ; H 2 (0) = 1 +

R2 R1

avec

t1 = (R 1 //R2) C 2 =

R1R 2C2 R1 + R 2

et t2 = R2 C2

b) Le facteur d’amplification stationnaire correspond à une fréquence nulle, lorsque le condensateur est équivalent à un coupe-circuit. Le montage est alors de type amplificateur non inverseur. Le gain correspondant valant 40 dB , on a : R2 40 = 20 lg |H 2(0)| d’où H 2(0) = 1 + = 100 si R1 = 1 kV R1 On en déduit les deux fréquences de coupures : f1=

1 R1 + R2 = 16 kHz et ≈ 2pR 1R2 C2 2pR1 C2

f2 =

1 ≈ 160 Hz 2pR2C2

c) La propriété du montage (Fig. S10.2) constitué par un AO est de permettre un facteur d’amplificateur stationnaire en puissance supérieur à l’unité, ce qui est l’un des intérêts des filtres actifs. Un tel réseau impose un déphasage de −p/2 rad sur un intervalle spectral : c’est un filtre correcteur de phase.

Gu (dB)

f(rad)

40 0

0

lg f 2

lg f 1

lg f

−

lg f 2

lg f1

lg f

p 2

F IG . S10.2. S10– 2. Filtre actif passe-bande 1. On reconnaît le montage amplificateur inverseur, avec le gain en tension A u = −Z2 /Z 1 , où Z 2 est constitué par la mise en parallèle de R2 et C 2 , alors que le dipôle Z1 représente la mise en série de R1 et C 1 . On en déduit : Z1 =

1 1 + jR1 C1v + R1 = jC1v jC 1 v

et Z2 =

R 2/ (jC2 v) R2 = 1 + jR 2C2 v R2 + 1/ (jC2 v)

On en déduit la fonction de transfert du filtre actif : H (jv) = −

Z2 jR 2C1 v R 2C1 v =− =− Z1 (R 1C1 + R 2C2 ) v + j (1 − R1R2 C1C2 v2 ) (1 + jR 1C1 v) (1 + jR2C 2 v)

801

et problèmes 2. Le module de H (jv) est maximal si : 2

1 − R1 R2 C1 C2 v = 0

−1/2 vc = (R1 R2C 1C2 ) = 31 622 rad · s −1

soit

ou fc =

vc = 5 kHz 2p

On en déduit la valeur maximale du module : |H (jvc )| =

R 2C 1 = 0, 9 R1 C1 + R 2C2

S10– 6. Filtre actif en structure de Rauch 1. Pour établir l’expression de la fonction de transfert du système, entre la tension d’entrée ue et la tension de sortie us , appliquons le théorème de Millman : i) à l’entrée non inverseuse de l’AO : 0=

Y5 us + Y3 uA Y5 + Y 3

d’où uA = −u s

Y5 Y3

ii) au point d’intersection A : uA =

Y1ue + Y4 u3 Y1 + Y2 + Y3 + Y4

Y1 ue + Y 4us Y5 = −u s Y1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 Y3

d’où

On en déduit l’expression demandée de la fonction de transfert : H (jv) = T (f ) =

us Y1 Y3 =− ue Y 3Y 4 + Y5(Y 1 + Y2 + Y 3 + Y4 )

2. a) Le schéma du filtre est représenté sur la figure S10.3. Pour f très faible, les condensateurs sont des coupe-circuits. Aucun courant ne circule dans Z3 . Le point A est à la masse, le même courant parcourt 1 et 4 . Par conséquent us = ue . Pour f très grand, les condensateurs sont des courts-circuits. La sortie est au potentiel de u − , d’où us = 0 . Le filtre est donc passe-bas.

f faible C E ue

R C

− +

R

ue

R R

R

R

∞

∞

+

S us

S us

R

R

f fort

R

A ue

F IG . S10.3. b) La fonction de transfert T (f ) devient dans ce cas : H (jv) = T(f ) = −

−

1/R2 1 =− 2 1/R + jCv(3/R + jCv) 1 + j3RCv − R 2C2v 2

− +

∞

S us

802

Solutions des exercices

ce qui s’écrit : T(f ) = − On en déduit :

1 1 + j3f /f 1 − f 2 /f12

   = 20 lg |T ( f ) | = 10 lg Gu 

en posant f 1 =

  1  2 /f 2 )2 2 /f 2  (1 − f 1 + 9f 1

v1 2p

et

et v1 =

tan fs =

1 RC

3f /f1 f 2 /f12 − 1

La fréquence de coupure à −3 dB s’obtient à partir de la relation : |T(0)| |T(f )| = √ 2

soit



f2 1− 2 f1

2

+9

f2 =2 f12

En introduisant la fréquence réduite x = f /f1 , on est conduit à résoudre l’équation du deuxième degré en x2 suivante : −7 + (49 + 4) 1/2 = 0, 14 x 4 + 7x 2 − 1 = 0 de solution x 2 = 2 Par conséquent : 0, 374 fc = 0, 374 f1 = = 331 Hz 2pRC 3. a) Le schéma du filtre est représenté sur la figure S10.4. Pour f très faible, les condensateurs sont des coupe-circuits. La tension à l’entrée est nulle, et par conséquent de même à la sortie. Pour f très grand, les condensateurs sont des courts-circuits. La sortie est au potentiel us = 0 . Le filtre est donc passe-bande.

R R f faible Cs C1

ue

ue

R R R

−

∞

+

−

∞

+

R

S us

S R

us

R f fort ue

R

− +

∞

S us

F IG . S10.4. b) Explicitons la fonction de transfert T (f ) . H (jv) = T(f ) = −

1/R2

jC1 v/R jRC 1 v =− 2 1 − R C1 C2 v2 + 3j RC2v + jC 2 v (jC1v + 3/R)

Posons v1 = 1/(RC 1) et v2 = 1/(RC 2) . Il vient : T (f ) = −

j f /f1 1 − f 2/f1 f2 + 3j f /f2

1 f /f 1 d’où |T (f )| =  1/2 =  1/2 2 (f 1/f − f /f2 )2 + 9f 21 /f22 (1 − f 2/f1 f 2)2 + 9f 2 /f2

803

et problèmes Cette quantité passe par un maximum pour f = f0 tel que : f1 f0 = f0 f2

soit f 0 = (f1 f2 )1/2 =

1 = 3, 355 kHz 2pR(C1 C2 )1/2

S10– 8. Filtre passe-bande en structure de Rauch 1. Par comparaison avec l’expression générale d’une structure de Rauch, on a : H (jv) =

us jC 2v/R1   =− ue 1/R 3 1/R1 + 1/R2 + jv(C1 + C2 ) − C1 C2 v2

2. Avec C 1 = C2 = C , l’expression se simplifie selon : T (f ) =

us jR 2 R3 Cv jR 2R 3 Cv/(R1 + R 2 ) =− =− 2 2 1 + 2jvCR 1R 2(R1 + R 2) − R 1 R2 R3C 2v2 /(R1 + r 2 ) ue R1 + R2 + 2jvR1 R2 C − R1 R2 R3 C v

En identifiant T(f ) à la forme canonique d’un filtre passe-bande, on obtient :   1/ 2  1/2 1 R1 + R2 1 R3(R 1 + R2 R3 = vc T(0) = et Q = C R 1R2 R 3 R1R 2 2R1 2 3. a) Sachant que la bande passante à 3 dB est égale à vc /Q , il vient : Dv =

vc 2 = Q R3 C

et R2 =

avec

R3 =

2 CDv

1 R3 = 2T(0) C T(0)Dv

R1 =

1 R1 Dv = 2 2 2 R1 R3C v c − 1 C 2v c − T(0)Dv2

b. Le filtre étant très sélectif, l’expression de R2 se simplifie : R2 ≈

Dv 2Cv2c

Les étapes de réglage du filtre passe-bande sont : i) l’ajustement de la bande passante Dv , en réglant R 3 , avec la condition R3 = 2/(C Dv) soit R3 ≈ 160 kV dans notre exemple, ii) l’accord du filtre sur la pulsation centrale vc en ajustant R 2 qui vaut 400 V dans notre cas, iii) le réglage du gain dans la bande passante, ici T(0) = 10 avec R 1 = R3 /[2T (0)] ≈ 8 kV . Cette valeur convient car cette résistance joue le rôle d’impédance d’entrée du montage. S10– 9. Filtre passe-bande en structure de Sallen-Key 1. On reconnaît la structure de Sallen-Key où l’admittance Y 4 est celle du condensateur, de capacité C , en parallèle avec le résistor de résistance R2 : Y 4 = jCv + 1/R2 . On en déduit la fonction de transfert : H (jv) =

us Au jCv/R1 = (1/R + 1/R )(2 jCv + 1 /R2) + jCv(jC v + 1/R 2 − A u/R2 ) ue 1 2

avec Au = 1 + R 4/R 3 . On en déduit que le filtre présente la forme canonique d’un filtre passe-bande : H(x) = H(0) avec : Au R 2 H(0) = 2R 2 + R 1(3 − Au )

jx/Q 1 + jx/Q − x2

[R1(R 1 + R2)] 1/2 Q= 2R2 + R1 (3 − Au )

1 et vc = R2 C

  R2 1/2 1+ R1

804

Solutions des exercices 2. La bande passante Dv du filtre passe-bande, définie à −3 dB , est donnée par Dv = vc /Q , d’où : 1 vc = Dv = Q R 2C



2

R2 + 3 − Au R1



3. On peut régler la sélectivité du filtre indépendamment de la fréquence centrale, à l’aide du facteur d’amplification Au . La limite pour Au est donnée par la condition de stabilité de la structure, ce que l’on réalise tant que le facteur de qualité Q est positif : 2

R2 + 3 − Au > 0 R1

soit Au < 3 +

2R 2 R1

Enfin l’impédance d’entrée du filtre étant déterminée par la résistance R1 , on veillera à respecter les conditions d’adaptation d’impédance du filtre en utilisant une résistance d’entrée dont la valeur minimale est de l’ordre de quelques centaines d’ohms. S10– 10. Filtre actif du deuxième ordre 1. L’application du théorème de Millman au point A , situé entre les deux résistances, et au point S de sortie de l’AO, donne respectivement : uA =

u e /R1 + u s/Z2 + u e /R2 G

avec : Z1 =

1 jC 1 v

Z2 =

1 jC 2 v

et uS =

et G =

uA/R2 + 0/Z 1 1/R2 + 1/Z1

1 1 1 + + R1 Z2 R2

Il en résulte, en éliminant uA :   u e /R1 + us /Z2 + ue /R 2 R2 = uS 1 + G Z1

soit

us 1 = ue R 1 [G(1 + R2 /Z1 ) − (1/Z1 + 1/R2)]

En effectuant, on trouve : us 1 = 1 + (R 1 + R 2 )/Z 1 + R1 R2/(Z 1 Z2 ) ue

d’où H (jv) =

1

− C1 C2 R1 R 2v2

1 + jC 1 v(R1 + R 2)

ce qui est caractéristique d’un filtre d’ordre deux. 2. En posant : v0 =



1 C1C 2R1 R 2

il vient : H (jv) =

 1/ 2

1 1

− v 2/v 20 +

jv/(Qv 0 )

et Q =

1 (R1 + R 2 )C1v 0

d’où H (jv) = H(x) =

Calculons les valeurs de v0 , f0 et Q :

v0 = 660 krad · s −1

f 0 = 105, 5 kHz

et

1 1 − x + jx/Q 2

Q = 0, 733

805

et problèmes

3. Pour étudier le sens de variation de |H(x)| , lorsque x varie, il suffit de le dériver par rapport à x . On a : |H(x)| =

2 )2

[(1 − x

1 + x2 /Q2 ]1/2

d’où

d |H(x)| 2x(2 − 1/Q 2 − 2x 2) = dx (1 − x2) 2 + x 2/Q 2

On voit que cette dérivée s’annule pour : x=0

et

2

2

2 − 1/Q − 2x = 0

 1/2 1 soit x = 1 − = 0, 263 2Q2

Pour cette dernière valeur de x , |H(x)| est maximal et vaut 0, 997 . Sur la figure S10.5, on a tracé les diagrammes de Bode relatifs au gain Gu et à la phase f :   10X/Q 2X 2 2X 2 Gu = 20 lg |H (x)| = −10 lg[(1 − 10 ) + 10 /Q ] et f = arctan 10 2X − 1 On voit que : pour pour

pour

  10 X /Q Gu = −10 lg[(1 − 102X )2 + 102X /Q2 ] = −10 lg 1 = 0 f = arctan =0 102X − 1   1 2X 2 2X 2 X = 0 Gu = −10 lg[(1 − 10 ) + 10 /Q ] = −10 lg = 20 lg Q = −2, 7 dB Q2   p 10X /Q f = arctan = arctan(−∞) = − 102X − 1 2 X = −∞

X = ∞ Gu = −10 lg[(1 − 102X )2 + 10 2X/Q 2] ≈ −20 lg[102X ] = −40X

f = arctan Ainsi le filtre est passe-bas.

10 X/Q 102X − 1



= −p

f (rad)

Gu(dB)

X = lg x

0 0



1

X = lg x − p/2

−10 −20

−p

−30 a)

b) F IG . S10.5.

4. Pour retrouver la nature de ce filtre, à l’aide de considérations uniquement qualitatives, plaçons-nous dans les situations extrêmes où v = 0 et v = ∞ .

Dans le premier cas, les condensateurs sont des coupe-circuits. Le montage est suiveur avec une tension sur la borne non inverseuse de l’AO égale à ue puisqu’aucun courant ne parcourt le conducteur à l’entrée. La sortie de l’AO est donc ue . Dans le second, les condensateurs sont des courts-circuits : la borne non inverseuse est à la masse et la tension de sortie est nulle. On a bien un filtre passe-bas.

806

Solutions des exercices

Chapitre 11 S11– 1. Couplage capacitif 1. Écrivons la loi des mailles pour les deux circuits : u C,1 + uL,1 + u C12 = 0 avec : uL,1 = L

d i L,1 dt

u L,2 = L

d iL,2 dt

et u C,2 + uL,2 − uC 12 = 0 uC,1 =

q1 C

uC,2 =

et :

d q1 d q2 i L,2 = dt dt En substituant, on obtient les équations différentielles suivantes : i L,1 =

L

d2 q 1 q1 q12 =0 + + 2 dt C C 12

et L

i C12 =

q2 C

u C 12 =

q12 C

d q12 dt

d2 q 2 q2 q12 =0 − + 2 dt C C12

Quant à l’équation différentielle à laquelle satisfait q12 , on la trouve avec la loi des nœuds, iC 12 = i L,1 − i L,2 . Cela donne : d q12 d q 1 d q2 − = dt dt dt Il vient, en intégrant : q12 = q1 − q2 + Cte soit q 12 = q1 − q2 − CU1 + CU2

en tenant compte des conditions initiales q12 (0) = 0 , q 1(0) = CU 1 et q2 (0) = CU2 . Si l’on reporte l’expression précédente de q12 dans les relations issues de l’application des lois des mailles, on obtient le système suivant d’équations couplées :   d2 q1 1 1 1 C + + L q1 − q2 = (U 1 − U2 ) d t2 C C12 C12 C 12   d2 q2 1 1 1 C + + L 2 q2 − q1 = − (U1 − U 2) C C 12 C12 C12 dt 2. a) L’amortissement a pour effet d’annuler, au bout d’une durée assez longue, la solution du système d’équations homogènes associé au système précédent. Il reste la solution particulière qui vérifie les équations stationnaires :     1 1 1 1 1 1 C C + + q 1,e − q2,e = (U 1 − U 2) et q2,e − q1,e = − (U 1 − U 2) C C12 C12 C 12 C C12 C 12 C 12 On en déduit aisément : q 1,e =

C2 (U1 − U2) ≈ 3, 8 × 10 −6 C 2C + C 12

et

q2,e = −

C2 (U1 − U2) ≈ −3, 8 × 10 −6 C 2C + C12

La charge portée par le condensateur de capacité C12 vaut donc : q12,e = q1,e − q2,e − CU1 + CU 2 ≈ −3, 8 × 10 −7 C b) Les tensions finales se calculent selon : u C,1 (∞) =

q1,e ≈ 3, 8 V C

uC,2 (∞) =

q 2,e ≈ −3, 8 V C

uC 12 (∞) =

q12,e ≈ −3, 8 V C12

Notons qu’elles vérifient bien la loi des tensions lorsqu’aucun courant ne circule dans le circuit.

807

et problèmes 3. Introduisons les écarts de charge Q1 = Q C,1 − q1,e et Q 2 = Q C,2 − q2,e . Il vient :     d2 Q 1 1 1 1 d2 Q 2 1 1 1 + + + L Q1 − Q2 = 0 et L 2 + Q2 − Q1 = 0 C C 12 C12 C C12 C12 dt2 dt

En injectant dans ces équations des solutions harmoniques de la forme q1 = A 1 exp(jVt ) et q2 = A2 exp(jVt ) , on obtient le système d’équations algébriques suivant :     1 1 1 1 1 1 A1 − A 2 = 0 et − A1 + −V2 L + + A2 = 0 −V 2L + + C C 12 C 12 C12 C C12 Des solutions d’amplitudes A1 et A 2 non nulles n’existent que si :  2   1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 − + + + 2 + 2 =0 −V L + = 0 soit LV − 2V L C C12 C C12 C C212 C12 ce qui conduit aux pulsations propres suivantes : −1/2

V1 = (LC)

4

≈ 10 rad.s

−1

et V2 =



1 2 + LC LC12

1/2

≈ 4, 6 × 10 4 rad.s −1

Les modes propres sont des solutions harmoniques de pulsations V1 et V 2 auxquelles correspondent les relations suivantes : A1 = A2 et A 1 = −A2 respectivement. La solution générale s’écrit alors (cf. chapitre 11) : Q1 = A 11 cos(V 1t + f1 ) + A12 cos(V2 t + f2 ) et Q 2 = A11 cos(V1 t + f1) − A12 cos(V2t + f2) 4. Les charges Q C,1 et Q C,2 s’en déduisent alors selon : QC,1 = q 1,e + Q1 = q1,e + A 11 cos(V1 t + f1 ) + A 12 cos(V 2t + f2) QC,2 = q 2,e + Q2 = q2,e + A 11 cos(V1 t + f1 ) − A 12 cos(V 2t + f2)

En raison de la continuité du courant dans les bobines : i L,1(0) =

d QC,1 (0) = −A11 sin f1 − A 12 sin f 2 = 0 dt

iL,2 (0) =

d Q C,2 (0) = −A 11 sin f1 + A 12 sin f2 = 0 dt

on a sin f1 = 0 et sin f 2 = 0 ; les phases à l’origine sont donc nulles. Quant à la continuité des tensions dans les condensateurs, elle impose : Q C,1(0) = CU1 = q1,e + A 11 + A 12

et Q C,2 (0) = CU2 = q2,e + A11 − A 12

On tire de ces deux dernières équations : A11 =

1 C [C (U1 + U2 ) − (q 1,e + q2,e )] = (U 1 + U2) 2 2

et :

1 C C12 [C (U1 − U2 ) − (q 1,e − q 2,e)] = (U 1 − U 2) 2 2 2C + C12 Les équations d’évolution des charges sont donc : A 12 =

QC,1 =

C2 C C C12 cos(V2t) (U1 − U2 ) + (U1 + U2 ) cos(V1t) + (U1 − U 2) 2C + C 12 2 2 2C + C12

C2 C C C 12 cos(V2 t) (U1 − U 2) + (U1 + U 2) cos(V1 t) − (U 1 − U2) 2C + C12 2 2 2C + C12 s’obtient selon :

Q C,2 = − La tension uC,1 uC,1 =

Q C,1 C C C12 1 cos(V2 t) = (U1 − U2 ) + (U 1 + U2 ) cos(V1t) + (U 1 − U 2) C 2C + C 12 2 2 2C + C12

808

Solutions des exercices

L’amplitude du mode symétrique, de fréquence f1 = V 2 /2p ≈ 1, 6 kHz , et l’amplitude du mode antisymétrique, de fréquence f2 = V 2/2p ≈ 7, 3 kHz , valent respectivement :   U 1 + U2 C 12 1 ≈ 1 V et ≈ 0, 19 V (U 1 − U2 ) 2 2 2C + C12 On observe, autour de la trace de la sinusoïde de basse fréquence f1 , une ondulation de faible amplitude et de plus grande fréquence (Fig. S11.1).

uC,1 (t)

0

t

F IG . S11.1.

S11– 2. Couplage inductif 1. Écrivons la loi des mailles pour chacun des circuits : L

d i1 d i2 q1 + +M = ue C1 dt dt

et L

d i2 d i1 q2 + +M = 0 puisque C2 dt dt

i1 =

d q1 dt

et i2 =

d q2 dt

on obtient le système suivant en introduisant x = M /L , v20,1 = 1/(LC 1) et v20,2 = 1/(LC2 ) : d 2 q1 d2 q2 u + x + v20,1 q 1 = e 2 2 L dt dt

et

d 2q2 d2 q1 + x + v 20,2 q2 = 0 2 2 dt dt

2. Introduisons les écarts de charge Q 1 = q1 − C 1E et la quantité analogue Q 2 = q2 . Le système devient homogène : d2 Q1 d 2 Q2 d2 Q 2 d 2 Q1 2 = 0 et + x + v + x + v20,2 Q2 = 0 Q 0,1 1 d t2 d t2 d t2 d t2 En recherchant des solutions harmoniques Q1 = A1 exp(jVt ) et Q2 = A 2 exp(jVt ) , on trouve : 2 2 2 (v 0,1 − V )A 1 − xV A 2 = 0

et

2

2

2

− xV A 1 + (v 0,2 − V )A2 = 0

Ce système linéaire n’admet de solution non nulle que si son déterminant est nul : (v20,1 − V 2)(v20,2 − V 2) − x2 V4 = 0 soit finalement (1 − x2 )V 4 − (v20,1 + v20,2 )V2 + v 20,1 v20,2 = 0 dont les solutions conduisent aux pulsations propres V1 et V2 telles que :  1/2 v 20,1 + v 20,2 − (v 20,2 − v 20,1 )2 + 4x2 v20,2 v20,1 2 V1 = 2(1 − x 2 ) et

 1/2 v 20,1 + v 20,2 + (v 20,2 − v 20,1 )2 + 4x2 v20,2 v20,1 = 2(1 − x 2 ) Notons que pour x = 0 , ces pulsations se réduisent à V1 = v0,1 et V 2 = v0,2 . L’application numérique donne x ≈ 0, 33 , V 22

v0,1 ≈ 17, 4 ×10 3 rad · s −1

v0,2 ≈ 30, 2 ×10 3 rad · s −1 V1 ≈ 17 × 10 3 rad · s −1

et V2 ≈ 32, 8× 103 rad · s−1

809

et problèmes

Les modes normaux s’obtiennent en injectant, dans le système d’équations algébriques, les solutions harmoniques qui correspondent aux pulsations propres : A2 = BA 1

avec

B=

v20,1 − V 2 xV2

On obtient respectivement pour les modes 1 et 2 : A 21 = B 1A 11

B1 ≈ 0, 155

A22 = B 2 A12

et B 2 ≈ −2, 15

ce qui conduit à l’évolution suivante des écarts de charge : Q1 = A 11 cos(V1t + f1 ) + A12 cos(V2 t + f2 ) et Q 2 = A 11B 1 cos(V1 t + f1) + A12 B2 cos(V2t + f 2) La continuité du courant dans les bobines impose un courant nul dans les circuits à l’instant origine, d’où f1 = f2 = 0 . Les charges des condensateurs ont donc pour expressions : q1 = A 11 cos(V1 t) + A 12 cos(V 2 t) + C1E

et q 2 = A11 B1 cos(V 1t) + A 12B 2 cos(V2t)

Les constantes A11 et A12 sont déterminées par leurs charges initiales : A 11 + A12 = −C 1E

et B1 A11 + B 2A12 = 0

d’où

A11 = −

B2 C1 E B2 − B1

et A 12 =

B1 C 1E B2 − B1

3. Il suffit de dériver par rapport au temps les expressions précédentes donnant Q1 et Q2 pour obtenir les courants : i1 =

d Q1 = −V 1 A11 sin(V1 t) − V 2A 12 sin(V 2t) et dt

i2 =

d Q2 = −V 1 A11 B1 sin(V1 t) − V2 A 12 B2 sin(V2 t) dt

4. La tension aux bornes de la bobine a pour expression : u L = −L avec :

d i2 = −LV21A11 B 1 cos(V1 t) − LV 22A 12 B2 cos(V2t) = u L,1 cos(V1t) − uL,2 cos(V2 t) dt

B1 B2 uL,1 = B2 − B1



V1 v0,1

2

B 1 B2 E ≈ 0, 82 V et uL2 = B2 − B 1



V2 v0,1

2

E ≈ 3, 08 V

S11– 4. Résonance de deux circuits couplés 1. Les équations auxquelles satisfont les charges des condensateurs s’obtiennent en appliquant la loi des mailles aux deux circuits (cf. Exercices) : d 2 q1 d2 q2 + x + v 20,1 q1 = v20,1 Q 0 cos(vt) et dt2 d t2

d2 q2 d2q1 + x + v20,2q 2 = 0 d t2 d t2

avec x = M /L , v20,1 = 1/(LC1 ) , v 20,2 = 1/(LC 2) et Q0 = C1 um . 2. On cherche des solutions harmoniques de la forme q1 = A1 exp(jvt ) et q2 = A2 exp(jvt ) . Le système d’équations différentielles donne le système d’équations algébriques suivant : 2

2

2

2

(v0,1 − v )A1 − xv A2 = v 0,1Q 0 et

2

2

2

− xv A 1 + (v0,2 − v )A2 = 0

de solutions : A1 =

v 20,1(v 20,2 − v 2 ) Q0 (v20,1 − v 2)(v20,2 − v 2) − x2v4

et A2 =

(v20,1

v20,1v 2x Q0 − v2 )(v20,2 − v2 ) − x2 v4

810

Solutions des exercices

Le maximum des tensions aux bornes des condensateurs est obtenu lorsque A1(v) et A 2(v) sont eux-mêmes maximums. Notons que l’absence de dissipation d’énergie rend infini ces maxima. Ces derniers sont réalisés lorsque le dénominateur des expressions précédentes s’annule : 2 2 2 2 2 4 (v0,1 − v )(v0,2 − v ) − x v = 0

2

4

2

2

2

2

2

soit (1 − x )v − (v 0,1 + v 0,2)v + v0,1 v0,2 = 0

On en déduit les pulsations de résonance vr,1 et vr,2 : v 2r,1 =

  1/ 2 v 20,1 + v20,2 − (v20,2 − v20,1)2 + 4x2 v 20,1v 20,2 2 (1 − x 2)

v 2r,2 =

  1/ 2 v 20,1 + v20,2 + (v20,2 − v20,1)2 + 4x2 v 20,1v 20,2 2 (1 − x 2)

et

ce qui donne numériquement, puisque x ≈ 0, 3 , v0,1 ≈ 3, 89 × 103 rad.s−1 , v0,2 ≈ 1, 23 × 104 rad.s −1 : v r,1 ≈ 3, 87 × 10 3 rad.s−1

4

et vr,2 ≈ 1, 30 × 10 rad.s −1

Les pulsations d’anti-résonance réalisent elles A1(v) et A2(v) minimums. Les deux condensateurs ne présentent donc pas la même pulsation d’anti-résonance en tension. L’anti-résonance en tension du condensateur, de capacité C1 , se produit lorsque l’amplitude |um,1(v)| de u C,1 est minimale : uC,1 (t) = um,1 (v) cos(vt ) avec um,1(v) =

v 20,1(v 20,2 − v 2) A 1(v ) = um (v20,1 − v2 )(v20,2 − v2 ) − x2v 4 C1

c’est-à-dire pour v = var,1 = v0,2 ≈ 1, 23 × 10 4 rad.s−1 . L’anti-résonance en tension du condensateur, de capacité C2 , est réalisée lorsque l’amplitude de uC,2 est minimale, c’est-à-dire pour v vérifiant l’équation :   2 d A2 d v =0 = v20,1 xQ0 dv d v (v 2 − v 2r,1)(v2 − v 2r,2) ce qui donne : (v2 − v2r,1 )(v 2 − v2r,2 ) − v 2(v2 − v2r,1 + v2 − v2r,2 ) = 0

soit v4 + v 2r,1v 2r,2 − 2v4 = 0

Finalement, on obtient var,2 = (vr,1v r,2 )1/2 ≈ 7 090 rad · s −1 . 3. Les graphes |u m,1/um | (v) et |um2/um | (v) sont représentés sur les figures S11.2a et b.

¯ ¯ ¯ um,1 ¯ ¯ ¯ ¯ um ¯

0

¯ ¯ ¯ um,2 ¯ ¯ ¯ ¯ um ¯

v r,1

var,1 v r,2

v

a)

0

vr,1

v ar,2 b)

F IG . S11.2.

v r,2

v

811

et problèmes S11– 5. Recherche de pulsations propres

Établissons les équations du circuit. La loi des nœuds conduit à i C,1 + i L,1 + i L,2 = 0 . Quant à la loi des mailles, elle donne : di Q C,1 = L 1 L,1 dt C1

et L1

En dérivant on trouve :

d iL,1 di Q = C,2 + L2 L,2 dt dt C2

d2 i L,1 i C,1 = L1 d t2 C1

et L 1

avec

iC,1 =

d Q C,1 dt

et iL,2 =

d Q C,2 dt

d2 iL,1 d2 iL,2 iL,2 + L = 2 d t2 d t2 C2

d’où, en éliminant iC,1 : d2 iL,1 L1 C1 + iL,1 + iL,2 = 0 d t2

d 2 iL,2 et L2 C2 + d t2



C2 1+ C1



iL,2 +

C2 i L,1 = 0 C1

Cherchons des solutions harmoniques de la forme iL,1 = A1 exp(jVt ) et i L,2 = A2 exp(jVt ) . En introduisant v1 = (L1 C 1)−1/2 , v2 = (L2 C2 )−1/2 et k = C2 /C1 , il vient : (v21 − V 2 )A1 + v 21A 2 = 0 ce qui ne présente de l’intérêt que si :

  et v22kA1 + (1 + k)v22 − V 2 A2 = 0

  (v21 − V 2 ) (1 + k)v22 − V2 − v 21v22 k = 0

L’application numérique donne k = 4 , v22 = 5v21 /4 et v1 ≈ 5, 17 × 10 4 rad.s−1 . Les pulsations propres sont alors solution de l’équation bicarrée : 29 5 V4 − v 21 V2 + v 41 = 0 4 4 On trouve aisément V1 ≈ 1, 09 × 10 4 rad.s−1 et V 2 ≈ 0, 67 × 10 5 rad.s −1 . S11– 7. Mesure du facteur de couplage 1. a) Le circuit est constitué de résistors en série avec la bobine ; par conséquent, s’introduit naturellement la durée caractéristique t = L/(r + ri + r b) . b) La durée de montée est reliée à la constante de temps du circuit par (cf. chapitre 4) : t≈

tm 2, 2

soit L ≈ (r + ri + rb )

tm ≈ 250 mH 2, 2

2. a) Les équations du circuit s’écrivent : rb i + L

di = ue dt

et us = M

di dt

En notation complexe, ces équations deviennent rb i + jLvi = ue et us = jMvi , d’où la fonction de transfert en tension et son module qui est le facteur d’amplification : H (jv) =

us jMv = ue rb + jLv

et

|H (jv)| = Au(v) =

Mv (r 2b

1/ 2

+ L2 v2 )

812

Solutions des exercices b) La résistance rb est négligeable devant Lv si v  rb/L ≈ 20 rad · s −1 .

c) À la fréquence considérée, r b est négligeable devant Lv et le facteur d’amplification en tension devient Au (v) ≈ M /L ≈ x = 0, 17 . On en déduit M = xL ≈ 43 mH . S11– 10. Chaîne de N oscillateurs identiques 1. La loi des mailles appliquée à une chaîne de N oscillateurs identiques s’écrit (cf. chapitre 11) : in+1 = in −

d qn dt

L

q qn−1 d in =0 + n− dt C C

et L

qn+1 q d i n+1 − n =0 + dt C C

En effectuant la différence des deux dernières équations, on obtient : L

q qn+1 qn−1 d(i n − in+1 ) +2 n − =0 − C C C dt

soit

d2 qn + v20 (qn − qn−1) − v20 (q n+1 − qn ) = 0 d t2

avec v0 = (LC)−1/2 . 2. a) Il vient, en recherchant un solution de la forme exp(jnu) exp(jVt) : 2

−V +

2 2v0

− v20 [exp(−ju) + exp(ju)] = −V2 + 2v20 [1 − cos(u)] = −V2 + 4v20 sin 2

  u =0 2

et donc V = 2v0 |sin (u/2)| . Puisque q0 = qN+1 = 0 , on a : q 0(0) = (A + B) = 0

et q N+1 (0) = A exp[j(N + 1)u] + B exp[−j(N + 1)u] = 0

ce qui implique : A +B = 0

et A exp[j(N + 1)u] + B exp[−j(N + 1)u] = 2jA sin[(N + 1)u] = 0

Les valeurs de u et de V qui conviennent sont donc : up = p

p (N + 1)

et

où p varie de 1 à N .

   Vp = 2v 0 sin p

  p  2(N + 1) 

b) La solution générale s’écrit donc : qn = 2jA

N  p=1

sin



npp N+1



exp(jV pt)

3. Comme v0 = 104 rad.s−1 , les pulsations propres de ce système de cinq oscillateurs couplés identiques sont : p  p  p  V1 = 2v0 sin V 2 = 2v0 sin V3 = 2v0 sin 12 6 4   p  5p V 4 = 2v0 sin V5 = 2v0 sin 3 12 soit f1 = 824 Hz , f2 = 1, 6 kHz , f3 = 2, 2 kHz , f 4 = 2, 8 kHz et f5 = 3, 1 kHz .

813

et problèmes

Chapitre 12 S12– 1. Dipôle non linéaire 1. La diode D 1 est passante si −U − E > U d , c’est-à-dire si U < −E − Ud . La diode D 2 , elle, est passante si U > Ud . Ainsi, trois cas se présentent : i) U < −E − U d : seule D1 conduit ; on a U = r dI − E − Ud et I < 0 . ii) −E − Ud  U < Ud : les diodes sont bloquées et donc I = 0 . iii) U d  U : seule D 2 conduit ; on a U = r dI + U d et I > 0 . La caractéristique obtenue est représentée sur la figure S12.1. Le dipôle simulé est une diode Zener, de tension Zener 15, 7 V .

I

Pente 1/rd

−E − Ud

0

Ud

U

Pente 1/rd F IG . S12.1. 2. Pour I = 15 mA , U = U AB = Ud + rdI = 0, 7 + 10 × 0, 015 = 0, 85 V . Pour I = −15 mA , U = −E − (Ed + rd) = −15 − (0, 7 + 10 × 0, 015) = −15, 9 V

3. La tension U AB aux bornes A et B du générateur de Thévenin est reliée à I par les équations suivantes : U AB = ETh − R ThI  = E Th + R Th I

puisque I = −I  . En explicitant cette relation en fonction de U d et E , on obtient, comme le montre la figure S12.1 : RTh = rd , ETh = −E − Ud pour I < 0 et ETh = U d pour I > 0 . S12– 2. Inverseur commandé 1. Si U c > 0 , la diode D 1 est bloquée. Puisque U e − Uc < 0 , D 2 est, elle aussi, bloquée. L’impédance d’entrée de l’AO étant supposée infinie, u+ = Ue = u − . Les courants dans les résistances R étant nuls, Us = Ue ; le système fonctionne donc en suiveur de tension. Si U c < 0 la diode D1 conduit. Le potentiel du nœud de jonction des diodes est nul. Puisque Ue > 0 , D2 conduit. On a u+ = u − = 0 ; le système fonctionne ainsi en inverseur de tension. 2. La tension de sortie est indépendante de la charge dans les deux montages suiveur et inverseur précédents. L’impédance de sortie est donc nulle. S12– 3. Division d’une tension Le théorème de Millman appliqué à l’entrée inverseuse de l’AO donne : u− = u+ = 0 =

u 1/R + Km us u 2/R 1/R + 1/R

Le système fonctionne donc comme un diviseur de tension.

soit us = −

1 u1 Km u 2

814

Solutions des exercices

S12– 6. Analyseur de spectre 1. La tension d’entrée peut se mettre sous la forme suivante, si n est entier et v = 2pf : ue (t) =

∞ ∞  a0  a0 + cn cos(nvt + fn ) d’où u 1 (t) = K muv,m cos(vv t) + cn Kmuv,m cos(nvt + fn) cos(v v t) 2 2 n=1 n=1

à la sortie du multiplieur avec vv = 2pfv . En linéarisant les produits de cosinus, on obtient les harmoniques de fréquences fv , f v + nf et |fv − nf | , n variant de 1 à ∞ . 2. a) Lorsque f v = f 0 + nf , il existe en sortie du filtre un harmonique de fréquence f 0 . Le système peut fournir ainsi l’amplitude des 99 premiers harmoniques du signal ue (t) .

b) Il permet aussi de mesurer des écarts de fréquences Df entre deux harmoniques consécutifs, supérieurs à Df0 tels que Q = f 0/Df0 , soit Df0 = f0 /Q ≈ 167 Hz . S12– 7. Contenu harmonique de signaux symétriques et de signaux non symétriques 1. a) Les coefficients de Fourier complexes s’écrivent, pour n variant de 1 à ∞ :  T/2 2 cn = e(t) exp(jnvt) d t T −T/2 ce qui donne, pour les harmoniques pairs n = 2p :  0  T/2 2 2 e(t) exp(j2pvt) d t + e(t) exp(j2pvt) d t c2p = T −T/2 T 0 En effectuant le changement de variable t = t + T/2 , on obtient :        T 2 0 2 T/2 2 T/2    e t − e(t ) exp(j2pvt  ) d t  e(t) exp(j2pvt) d t = exp j(2pvt − 2pp) d t = − T −T/2 T 0 T 0 2 car e(t − T /2) = e(t  + T/2) = −e(t) . On en déduit que c2p = 0 .

b) Choisissons l’origine des temps de telle sorte que la tension triangulaire us (t) soit impaire. Cela entraîne an = 0 . La symétrie du signal implique b2p = 0 . Par ailleurs, le signal est de moyenne nulle, a0 = 0 . Il reste à calculer les coefficients suivants :   2 T/2 8 T/4 b 2p+1 = us (t) sin[(2p + 1)vt] d t = us (t) sin[(2p + 1)vt] d t T −T/2 T 0 Or, pour t compris entre 0 et T/4 , us (t) = us,m 4t/T ce qui donne :  32us,m T/4 t sin[(2p + 1)vt] d t b2p+1 = T2 0    T/4  T/4 32us,m t cos[(2p + 1)vt] 1 8 (−1)p cos[(2 p + 1 ) vt ] d t − = + = us,m (2p + 1)v (2p + 1)v 0 T2 p2 (2p + 1)2 0 L’application numérique donne : b1 = 6, 5 V , |b3 | = 0, 7 V et b5 = 0, 3 V .

2. a) Avec le signal d’entrée ue = u e,m sin(vt) , la sortie a pour expression : us = u e,m sin(vt) si

sin(vt) > 0

et

us = 0

si

sin(vt)  0

Les coefficients de Fourier s’écrivent pour n entier, variant de 1 à ∞ :   2ue,m T/2 2ue,m T/2 sin(vt) cos(nvt) d t et bn = sin(vt) sin(nvt) d t an = T T 0 0

815

et problèmes Comme : sin(vt) cos(nvt) =

sin[(n + 1)vt] − sin[(n − 1)vt] et 2

sin(vt) sin(nvt ) =

cos[(n − 1)vt] − cos [(n + 1)vt] 2

on trouve en intégrant :   ue,m −2 {1 − cos[(n + 1)p]} 2 an = 2p n −1

Ainsi :

et b 0 =

u e,m 2

2ue,m 1 et a2p+1 = 0 pour 2 p 4p − 1 Quant à la composante stationnaire, elle vaut :  u e,m T/2 u sin(vt) d t = e,m a0 = T 0 p a2p = −

Finalement :

u s(t) = u e,m



et b n = 0

si n > 1

p> 1

∞

1 1 2  cos(2pvt) + sin(vt) − p p 2 4p2 − 1 p=1



L’application numérique donne : a0 = 3, 2 V , b 1 = 5 V , |a 2 | = 2, 1 V et |a4| = 0, 4 V . S12– 10. Oscillateur parallèle à résistance négative 1. Si l’AO fonctionne en régime linéaire, on a : u = u+ = u− =

R R R2 u s et u − us = R1i d’où u = (u − R 1i) et u = −R i R + R2 R + R2 R1

La caractéristique du dipôle en régime linéaire est celle d’une résistance négative de valeur 500 V . En régime saturé, sa tension de sortie u s a pour valeur Usat,+ ou Usat,− . Faisons l’hypothèse d’une saturation haute us = U sat,+ > 0 : u− =

R U sat,+ R + R2

et u = u+ = U sat,+ + R1 i soit i =

La saturation haute impose la condition supplémentaire ε = u+ − u− > 0 : ε = u+ − u− = u −

R Usat,+ > 0 R + R2

d’où

u>

1 (u − Usat,+ ) R1

R Usat,+ R + R2

Le point de transition du passage de l’AO du régime linéaire au régime saturé s’obtient pour : u nl+ =

R Usat,+ > 0 R + R2

et

inl+ = −

R2 U sat,+ < 0 R1 (R + R2 )

Le courant aux bornes du dipôle s’annule alors pour u0+ = U sat,+ > 0 . Dans l’hypothèse d’une saturation basse, on obtient des résultats similaires, us = U sat,− : u− =

R Usat,− R +R2

et u = u+ = Usat,− + R 1 i soit i =

La saturation basse impose la condition ε = u+ − u− < 0 : ε = u+ − u− = u −

R U sat,− < 0 R + R2

d’où

u
0 R1 (R + R2 )

Le courant aux bornes du dipôle s’annule alors pour u0− = Usat− < 0 .

816

Solutions des exercices

La caractéristique de D est représentée sur la figure 12.7b. Branchons un résistor de charge Rg en dérivation sur D . Les équations du circuit s’écrivent : t

d us + us = Au(u + − u− ) dt

u− =

R us R + R2

et u + =

Rc us Rc + R1

Puisque Au  1 , l’équation donnant la tension de sortie u s de l’AO s’écrit : t

d us + (an − ap)us ≈ 0 dt

avec

an =

R R + R2

et a p =

Rc R c + R1

où ap et a n désignent respectivement les taux de réaction positive et négative. Le système n’est stable que si l’argument de l’exponentielle solution de l’équation différentielle est négatif, c’est-à-dire si an > ap . Si l’impédance de la charge en régime stationnaire est très faible, ap ≈ 0 et a p < a n ; l’AO peut fonctionner en régime linéaire. C’est le cas de la cellule RLC parallèle proposée dans ce circuit. Le système est alors stable. 2. La loi des nœuds donne : iC + iR + iL + ir = 0

avec

iC = C

du dt

iR = −

u R

u=L

diL dt

et ir =

u r

En dérivant la loi des nœuds par rapport au temps et en substituant, on trouve : d2u 1 + 2 dt C



1 1 − r R



du + v20 u = 0 dt

v 0 = (LC) −1/2

avec

3. Les oscillations ne peuvent naître que si r > R , l’état de repos devenant instable dans ces conditions. L’écart de linéarité au niveau des coudes de la caractéristique de D limite l’amplitude des oscillations autour de unl,+ et unl,− . S12– 12. Oscillateur historique de van der Pol 1. La loi des mailles s’écrit : L

d iL = RiR = uc = ua − U 0 avec dt

iC= C

d uC dt

En outre, ug = M d i L / d t et i = ia + i g ≈ ia , le courant de grille étant négligeable. Quant à la loi des nœuds en A , elle donne : d ia d i L d iR d iC =0 + + + ia + iL + i R + i C = 0 soit en dérivant dt dt dt dt Il en résulte, en substituant :   dia 1 1 d d2 + + + C 2 (ua − U0 ) = 0 dt dt L R dt 2. D’après ce qui précède, il vient, en introduisant uv = u a − U0 : dia d2 uv 1 d uv 1 + uv = 0 +C 2 + dt dt R dt L En outre : ug = M

M M d iL = − (U0 − u a) = uv L L dt

avec

ua − gu g = U 0 − (gM /L + 1) uv = U 0 − auv

et a = gM /L + 1 . On en déduit que ua − gug = U0 − au v et par conséquent que i(ua − gu g) = i(U 0 − ku v ) .

817

et problèmes 3. Développons ia au voisinage de U0 : i a(U0 − auv ) ≈ ia (U 0) − au v



d ia du



U0

a 2u 2v + 2

 2    a3 u3v d3 i a d ia − d u2 U 6 d u3 U 0

0

Puisque ia (U0 ) = 0 et que le point de coordonnées (U0, 0) est un point d’inflexion (dérivée seconde nulle), l’expression précédente se réduit à : i a(U0 − auv) ≈ −aauv − ba3u 3v

avec

a>0

et b < 0

4. L’équation du circuit devient alors : d2 u v + d t2



1 3ba 3 2 aa − − uv RC C C

ce qui donne les caractéristiques habituelles :  1/2 1 1 aa − n= v0 = >0 LC C RC



d uv 1 + uv = 0 dt LC

 1/2 Cn ul = − 3ba 3

l’équation canonique de l’oscillateur de van der Pol donne :

1  et t(uv ) = −  n 1 − (u v/u l )2

d2 uv 1 d uv + + v20 uv = 0 t(uv) d t d t2

Chapitre 13 S13– 1. Régulation thermique 1. a) Comme R u = (Ti − Te )/P , l’unité de Ru est le kelvin par watt et sa valeur : Ru =

Ti − Te = 0, 01 K · W−1 P

La notation Ru rappelle le concept de résistance thermique, rapport d’une différence de température sur un flux d’énergie interne, analogue à celui d’une résistance électrique, qui est le rapport d’une différence de potentiel sur un courant, qui est un flux de charge électrique. b) On peut définir une fonction de transfert directe, lorsque la relation entre l’entrée et la sortie est linéaire. Pour la variable d’entrée P et la variable de sortie u = Ti − Te , la fonction de transfert est : Kd =

T − Te u = i = Ru P P

c) D’après la relation précédente, on a : D(T i − Te ) = D(Ru P) = 0 , d’où DTi = DT e = 5 K . 2. a) Le coefficient G u représente une conductance thermique, d’où la notation. Pour la variable d’entrée (Ti − Tc ) et la variable de sortie P , on peut définir une fonction de transfert retour Kr = P r /(Ti − Tc ) = G u . b) Établissons l’expression de T i en fonction de P :

 Ti = Ru[P − G u (Ti − Tc)] + T e d’où T i =

Ru Te + RuG uT c P + 1 + Ru G u 1 + Ru Gu

818

Solutions des exercices

Pour P = 0 , Te = 273 K et T i = 293 K , on trouve : (1 + RuG u)T i − T e 11 × 293 − 273 = 295 K =  10 Ru Gu

Tc =

c) La variation de température DTi de l’enceinte, lorsque la température à l’extérieur varie de DTe = 5 K est, d’après l’expression de Ti : DTe = 0, 45 K DTi = 1 + Ru G u La rétroaction permet ainsi de limiter les fluctuations de la température de l’enceinte, lorsque la température extérieure varie. S13– 2. Rétroaction tension-tension sur un AO non inverseur du premier ordre 1. Dans le schéma synoptique habituel d’un système bouclé à rétroaction négative, les fonctions de transfert directe et retour ont pour expressions respectives : H d (jv) =

A0 1 + jvt

et Hr =

R1 R 1 + R2

2. On en déduit la fonction de transfert en boucle ouverte : Ho = Hd H r =

A0R1 B0 = (1 + jvt)(R 1 + R2 ) 1 + jvt

avec

B0 =

Af =

A0 1 +B0

A 0R1 R1 + R2

ainsi que celle en boucle fermée : Hf =

Hd A0 /(1 + jvt) Af = = 1 + H dH r 1 + B 0 /(1 + jvt) 1 + jvtf

avec

et t f =

t 1 + B0

Numériquement, on trouve : t=

1 = 0, 00795 s 2pfc

Hd =

5 × 105 1 + jv 0, 00795

H r = 0, 1

B 0 = 5×10 4

Af ≈ 10 et t f ≈ 0, 16 ms

Sur la figure S13.1, on a représenté les diagrammes de Bode relatifs aux gains Gu,d Gu,r = 20 lg |H r| , en fonction du logarithme décimal de la fréquence.

Gu,d(dB) 114 Gu,r (dB) 0 lg f −20 0

lg f c

lg f F IG . S13.1.

= 20 lg |Hd | et

819

et problèmes

3. On peut déduire de H f l’équation différentielle que vérifie u s . En effet, il vient, à l’aide de la transformée de Laplace : U s (p) =

d us Af Ue (p) soit Us(p)(1 + pt f ) = Af U e (p) ce qui donne tf + us = A fE 1 + pt f dt

La solution de cette équation est bien connue (cf. chapitre 4) :      t t u s = Cte × exp − + A f E soit us = Af E 1 − exp − tf tf

avec

Af E =

A 0E = 150 mV 1 + B0

puisque, pour t = 0 , us = 0 . S13– 3. Rétroaction sur un filtre passif du premier ordre 1. On sait que la fonction de transfert de ce filtre passif a pour expression : H (jv) =

1 1 + jvRC

Il s’agit d’un filtre passe-bas, de fréquence de coupure fc = v c /(2p) = 1/(2pRC) . 2. Le montage est équivalent à celui de la figure S13.2. Par conséquent : H (jv) =

ZC //R1 R1 R 1/ (R1 + R2 + R) = = 1 + jvR 1C (R 2 + R) / (R 1 + R2 + R) R 2 + R + Z C //R1 (R2 + R) (1 + jvR1 C) + R1

On en déduit le facteur d’amplification stationnaire et la fréquence de coupure : H(0) =

R1 2 fc R0 3(2R0 + R) 3[1 + R/(2R 0)] 3 2pRCR0 2pRC H=

Comme précédemment, on n’obtient pas le même résultat en utilisant l’expression générale Hf = Hd /(1 + H d Hr) dans laquelle Hr = −1 . On trouverait Hf = 1/(jvRC) .

820

Solutions des exercices

S13– 6. Stabilité d’un montage à résistance négative 1. L’application du théorème de Millman, appliqué aux points des entrées non inverseuse et inverseuse de l’AO, donne respectivement :     e u u 1 1 1 1 + = g + s et u− + = s u+ Rg R1 Rg R1 R3 R2 R2 En outre, e = u+ − u − = us /A avec A = A0/(1 + pt) , d’où :     Rg R3 R1 + us A0 − e + 1 + pt = A0 R1 + R g R 2 + R3 R1 + R g g Ainsi :

us A 0 R1 /(R1 + R g) = eg A 0[−Rg /(R1 + R g) + R3 /(R2 + R 3)] + 1 + pt Le système est stable si la racine du dénominateur a une partie réelle négative, précisément si :     Rg R3 R3 Rg A0 + 2 Re −A 0 − − 1 < 0 soit A 0 +1 > A 0 ou R g < R1 + ≈ R1 R1 + R g R2 + R3 R2 + R3 R 1 + Rg A0 − 2 Hf =

qui est la condition à laquelle Rg doit satisfaire. 2. Exprimons le rapport u e /ie , en négligeant e devant toutes les autres tensions : us − u e = −R1ue

et ue =

R3 us R 2 + R3

donnent

ue R1 R 3 =− ie R2

C’est bien d’un montage à résistance négative. S13– 7. Asservissement de la vitesse d’un moteur à courant stationnaire 1. Les deux équations données expriment respectivement la loi des mailles et le théorème du moment cinétique en projection sur l’axe de rotation. Les dimensions physiques de J , F0 , t = RJ/F20 et K sont obtenues à l’aide des équations différentielles : J est un moment d’inertie, F0 le rapport d’une tension sur une vitesse angulaire et donc le produit d’une tension par une durée, soit un flux de champ magnétique, puisque e = −d F/ d t ; il en est de même pour K . Par conséquent : 2

[J] = [M ][L] ( kg · m 2)

[F0 ] = [V ][T ]( Wb)

et [K ] = [V ][T ]( Wb)

Quant à t , il est homogène à une durée puisqu’on obtient, en combinant les deux équations : RJ d V u +V= 2 d t F0 f0

soit t

dV u +V= dt F0

avec

t=

RJ F 20

Le facteur A n’a évidemment pas de dimension physique. 2. Intégrons l’équation différentielle précédente lorsque u = u0 . Il vient, en ajoutant la solution générale de l’équation sans second membre à une solution particulière de l’équation complète :      t u0 u0 t V = Cte × exp − 1 − exp − + = F0 F0 t t car, à t = 0 , V = 0 . Application numérique :

12, 6 8 × 25 × 10−3 u0 = ≈ 6, 3 rad · s−1 ≈ 1 t · s −1 et t = = 50 ms F0 2 4

821

et problèmes

3. La fonction de transfert directe s’obtient en cherchant des solutions en exp(pt) de l’équation différentielle à laquelle satisfait V . Il vient : (pt + 1)V =

u F0

d’où Hd (p) = A

V A/F0 = 1 + pt u

Notons que Hd(p) a la dimension de l’inverse d’un flux. On trouve la fonction de transfert retour selon : Hr =

ur =K V

dont la dimension est celle d’un flux. On en déduit aisément : H o = H d Hr =

AK/F 0 1 + pt

et Hf =

1 Hd A V = = 1 + H d Hr u AK + F0 1 + ptf

avec

tf =

t 1 + AK/F0

4. L’évolution de V en boucle fermée diffère de celle en boucle ouverte, d’une part sur la durée caractéristique tf et d’autre part sur la valeur maximale de V , toutes deux sensiblement plus faibles : tf 1 1 = = t 1 + 10 × 3/2 16

et

1 1 = 1 + AK/F 0 16

Pour obtenir la valeur maximale de V en boucle ouverte, il suffit de multiplier la tension de commande à l’entrée par 16 . S13– 8. Asservissement de position d’un moteur à courant stationnaire 1. L’application du théorème du moment cinétique au moteur, en projection sur l’axe de rotation, donne (cf. Mécanique) : dV = F0 I − Cr − am V Jm dt 2. De la même façon, le mouvement du disque D satisfait à l’équation différentielle suivante : Jd

d Vd = −Cd − ad Vd dt

−C d étant le moment résistant exercé par l’engrenage. Comme la transmission mécanique est parfaite, on a : P 2→ 1 + P 1→ 2 = 0

soit

− Cr V − C d Vd = 0

et

C d = −Cr

V = −mC r Vd

d’où Jd

d Vd = mCr − ad Vd dt

3. Appliquons la loi des mailles au circuit dans lequel se trouve le moteur : u = Rm I + Em = RmI + F 0 V =

Rm Mm F0 F2 u− 0 V + F0V d’où M m = Rm Rm F0

4. On trouve l’équation différentielle à laquelle satisfait V en éliminant Cr et Mm entre les équations mécaniques précédentes :       Jd d V F0 F 20 V ad ad Jm + 2 = Mm − V a m + 2 = u− V − a m + 2 V avec m = dt Rm Rm m m m vd Ainsi, l’équation différentielle reliant u et V s’écrit : Jt

F0 dV u avec +aV = dt Rm

Jt = Jm +

Jd m2

et a =

F20 a + am + d2 Rm m

822

Solutions des exercices

On en déduit la fonction de transfert en cherchant des solutions en exp(pt) : (J t p + a)Vp =

F0 Up Rm

d’où H (p) =

H(0) Vp F0 /Rm = = 1 + pt Up Jtp + a

avec

H(0) =

F0 Rm a

et t =

Jt a

Application numérique : a = am +

ad f 20 f 20 ≈ 15 × 10−3 ≈ a + + m Rm Rm m2

d’où :

Jt = Jm +

0, 5 = 1, 33 rad · s−1 · V−1 25 × 5 × 10 −3

H(0) =

et t =

Jd = 1, 2 × 10−4 kg · m2 m2 1, 2 × 10−4 = 8 ms 15 × 10 −3

Chapitre 14 S14– 1. Oscillateur à pont de Wien 1. Dans la chaîne retour, on reconnaît un diviseur de tension : H r (jv) =

Z1 Z 1 + Z2

avec

1 1 1 = + jCv et Z2 = R + Z1 R jCv

soit encore, en posant v20 = 1/(RC) : H r(jv) =

1 1 1 = = 1 + Z 2/Z1 1 + (R + 1/jCv) (1/R + jCv) 3 + j (v/v 0 − v 0/v)

Le facteur d’amplification de la chaîne directe est celui de l’amplificateur non inverseur à AO : Hd = 1 + R1/R 2 . 2. La condition de Barkhausen, Hd (jv)Hr (jv) = 1 donne v = v0 et 1 + R 1/R 2 = 3 . Finalement, f = f0 = 1/(2pRC) ≈ 1, 54 kHz et R 1 = 2R 2 . 3. Avec us = Hd (jv)u+ et u + = H r(jv)u s , il vient : us[1 − Hd (jv)Hr(jv)] = 0

et u + [1 − H d(jv)Hr (jv)] = 0

d’où

Hr (jv) =

1 Hd (jv)

L’explicitation de cette dernière relation donne : 3 +j



v v0 − v0 v



R1 =1+ R2

R1 ou 2 − +j R2



v v0 − v0 v



=0

En multipliant par jv0 et en transformant les termes en jv en termes de dérivation, on obtient : d2 us + v0 dt2



R1 2− R2



d us + v20 u s = 0 dt

et

  R1 d u+ d2 u+ + v0 2 − + v 20 u+ = 0 R2 dt2 dt

Si R1  R 2 , le signal est écrêté fortement et les oscillations ne sont plus quasi sinusoïdales ; on observe alors des oscillations de relaxation.

823

et problèmes S14– 2. Contrôle d’amplitude

1. L’amplitude des oscillations est limitée par les effets non linéaires dus à la saturation en tension de l’AO. La tension de sortie us de l’amplificateur a donc une amplitude de 15 V . 2. a) Le facteur d’amplification direct devient H d = 1 + R 1 /Rl (ul,m) et l’équation différentielle du circuit s’écrit (cf. Exercice P14-1) :   R1 d2 us d us 2 − + v0 + v20 us = 0 Rl (ul,m ) d t d t2

Pour des oscillations de très faible amplitude, pour lesquelles Rl ≈ Rl(0) , les oscillations sont auto-entretenues si : 2−

R 1,min =0 R l(0)

soit R1,min = 2Rl (0) = 3 kV

b) La résistance R l croissant avec ul,m , le facteur d’amplification de la chaîne directe diminue. Les oscillations se stabilisent pour : 2−

R1 =0 Rl (u l,m)

avec

ul,m =

R l(ul,m ) u s,m R 1 + ul,m

soit aussi ul,m =

1 10 ≈ 3, 33 V u s,m = 1 +2 3

On obtient alors : R1 = 2Rl



10 3





= 2 1500 + 50



10 3

2

+ 10



10 3

3 

≈ 4, 85 kV

S14– 3. Signaux carrés de rapport cyclique réglable 1. Supposons le condensateur initialement déchargé et la sortie de l’AO en saturation haute : uC = 0

et

u s = Usat > 0

Le condensateur se charge sous la tension Usat à travers la résistance r1 . La diode D1 est passante et la diode D2 bloquée. On a : u+ > u−

u+ = aUsat

et r1i + u C = U sat

avec

i=C

d us dt

et a =

R2 R 1 + R2

soit encore, en posant t1 = r 1 C : u U d uC + C = sat t t1 dt 1

qui s’intègre en u C (t) = Usat



  t 1 − exp − t1

La tension uC (t) augmente jusqu’à atteindre le seuil de commutation à l’instant t1 tel que :     1 t u C(t1 ) = aU sat soit 1 − exp − 1 = a d’où t 1 = t1 ln t1 1 −a Le condensateur se décharge sous la tension −Usat à travers la résistance r2 . La diode D 2 devient passante et la diode D1 se bloque. On a : u − > u+ soit encore :

u+ = −aUsat

et r2i + u C = −U sat avec

U d uC u C + = − sat t2 t2 dt

avec

t2 =

1 r 2C

i=C

dus dt

824

Solutions des exercices

L’intégration donne, en tenant compte de la continuité de la tension à l’instant t1 :   t − t1 u C(t) = −Usat + U sat(1 + a) exp − t2 La tension uC (t) diminue jusqu’à atteindre le seuil de commutation à l’instant t2 tel que :     1 +a t 2 − t1 = −a c’est-à-dire t2 = t1 + t2 ln uC (t2 ) = −aUsat soit − 1 + (1 + a) exp − t2 1 −a Le condensateur se charge à nouveau sous la tension Usat : d uC 1 U sat + uC = t1 t1 dt

ce qui s’intègre en

u C(t) = Usat − U sat(1 + a) exp



−

t − t2 t1



en tenant compte de la continuité de la tension à l’instant t2 . On détermine la période en écrivant uC (T) = uC (0) = 0 , c’est-à-dire :     1 +a T − t2 Usat − U sat (1 + a) exp − = 0 soit T = t2 + t1 ln(1 + a) = (t 1 + t 2) ln ≈ 0, 80 ms t1 1 −a 2. L’AO fonctionnant en régime de saturation, les signaux de sortie sont carrés. 3. La durée de l’alternance positive est : 

1 +a T 1 = t1 + T − t2 = t1 ln 1 −a



≈ 0, 53 ms

On en déduit le rapport cyclique ah : ah =

1 2 T1 r1 t1 = = = = t1 + t 2 1 + 1/2 3 T r1 + r2

S14– 6. Contrôle de fréquence d’un multivibrateur astable 1. Le montage représenté sur la figure S14.1 permet de contrôler en tension la fréquence de l’oscillateur (cf. chapitre 14).

Uc Km

R u1

∞

− i

+

C

u2

R1

F IG . S14.1.

R2

825

et problèmes 2. En régime établi, les équations reliant les tensions d’entrée et de sortie du filtre s’écrivent : 

u1 − u2 = Ri

et i = C

d u2 dt

d’où u1 = RC

d u2 + u2 dt

Si la sortie du comparateur bascule à l’instant t0 , de l’état bas à l’état haut, le filtre est alors attaqué par la tension d’entrée u1 = Km U cU sat , tandis qu’en sortie u 2(t0) = −AU sat avec A = R2/(R 1 + R2) . En tenant compte de cette condition initiale, on trouve :  t  u2 (t) = KmU c Usat − (K mU c + A)U sat exp − RC Le comparateur à hystérésis bascule à nouveau, à l’instant t1 tel que :     KmU c + A K mU c + A d’où la période T = 2t1 = 2RC ln u 2(t1 ) = AUsat soit t1 = RC ln KmU c − A K mU c − A S14– 8. Générateur limité en tension 1. Selon le sens du courant, l’une des deux diodes Zener est passante, la tension à ses bornes est Ud , l’autre présente une tension −UZ à ses bornes. La caractéristique de l’association des deux diodes est donnée sur la figure S14.2.

INM

−U Z

0 UZ

U NM

F IG . S14.2. 2. Le premier AO ayant une rétroaction sur son entrée non inverseuse, il fonctionne en commutation, on a donc en sortie : |us,0 | = 15 V . Le courant iNM dans les diodes Zener s’obtient en appliquant la loi des nœuds en N : u s,0 − uNM uNM − i NM = R2 R car la tension aux bornes de R , à l’entrée du deuxième AO est uNM . Puisque iNM u NM  0 , le dipôle NM étant récepteur (Fig. S14.2) il vient :   1 1 + us,0 uNM  R2 u2NM > 0 R R2 La tension uNM est donc du signe de us,0 . Quand l’AO est en saturation haute, uNM = U Z + U d . À saturation basse, uNM = −UZ − Ud .

3. Le second AO est un intégrateur inverseur. Le signal d’entrée étant carré, le signal de sortie est triangulaire. Supposons qu’à l’instant initial, l’entrée uNM bascule à UZ + Ud . On observe en sortie de l’intégrateur :  t 1 u s(t) = − (UZ + Ud ) d t + us (0) RC 0 La tension u+ à l’entrée du comparateur s’écrit, en appliquant le théorème de Millman : u+ =

(UZ + Ud )/R1 + us /R3 1/R1 + 1/R3

826

Solutions des exercices

qui s’annule à l’instant t = T /2 , instant de basculement du comparateur. En régime établi, la tension à l’instant T/2 est l’opposée de celle à l’instant initial. Ainsi :   T R3 us = −u s(0) = − (UZ + Ud ) R1 2 L’amplitude des signaux de sortie est donc (UZ + U d) R3 /R 1 . La période s’obtient à partir de l’expression donnant u s (t) :   T T R3 R3 =− us (U Z + Ud ) + (UZ + Ud ) = − (UZ + U d ) R1 R1 2 2RC On en déduit :

T=4

R3 RC ≈ 480 ms R1

S14– 10. Oscillateur Colpitts à transistor à effet de champ 1. En régime variable et pour de petites oscillations le système se réduit au circuit de la figure S14.3a.

Zi C

Rd

L

C

Rg

us

E Th

Zg

us

gm ugs a)

b) F IG . S14.3.

2. Le facteur d’amplification vaut Hd = gm . Pour calculer le transfert de la chaîne retour, il est judicieux de transformer le générateur de Norton, de courant électromoteur i = gm ugs et dont l’impédance interne est donnée par l’association en parallèle de Rd et C, soit Zc = (1/Rd + jCv) −1 en générateur de Thévenin de force électromotrice eTh = Zc i . On reconnaît alors un nouveau générateur de Thévenin, association de même force électromotrice eTh mais d’impédance interne Zi = Z c + jLv (association en série de Zc et L ). Ce générateur débite dans l’impédance Zg = (1/R g + jCv) −1 correspondant à l’association en série de Rg et 1/(jCv) . Un diviseur de tension permet de relier us à eTh (Fig. S14.3b) : us =

Zg Zg Zc e Th = g mugs Zg + Zi Zg + Zi

En explicitant Zc , Z i et Zg , on obtient la fonction de transfert de la chaîne retour : H r (jv) =

us (1/Rg + jCv) −1(1/Rd + jCv) −1 =− (1/Rg + jCv)−1 + jLv + (1/Rd + jCv) −1 gm ugs

soit encore : Hr (jv) =

1 1/R d + jCv + 1/R g + jCv + jLv [1/(Rd R g) − C 2v2 + jCv (1/R g + 1/Rd)]

Finalement : H r (jv) = −

Rd + R g −

LCv2(R

R dRg 2 2 d + Rg ) + jv(L + 2RdR gC − LR d R gC v )

827

et problèmes 3. La condition de Barkhausen H d(jv)Hr(jv) = 1 donne :   1/ 2   Rd + Rg Rd + R g L 1 2 2 et g m = 1+ v = v0 = + (LCv − 1) = Rd Rg C2 LC R dRg R d Rg Rd Rg C La fréquence f0 correspondante s’en déduit aisément lorsque Rg est infini : v0 = f0 = 2p



2 LC

1/2

≈ 160 kHz

S14– 11. Oscillateur de Clapp 1. La chaîne directe est constituée de l’amplificateur non inverseur à AO. La chaîne retour est le quadripôle d’entrée MA et de sortie MB . 2. On a pour la chaîne directe H d = 1 + R2/R 1 . Appliquons le théorème de Millman aux points D et B : uD =

uA /R + jC1v uB jC1 v + 1/ [jLv + 1/(jCv)] + 1/R

uB =

jC1v C1 u = u jv(C 1 + C2) D C1 + C2 D

En éliminant uD , on obtient :      C2 C C 21 u 1 1+ − C1 + jv + u = A 1 − LCv2 C1 C1 + C 2 R B R d’où finalement : H r(jv) =

uB 1 C1 = uA C1 + C2 1 + jvR [C1 C2 /(C1 + C2 ) − C/(LCv2 − 1)]

3. La condition de Barkhausen H d(jv)Hr(jv) = 1 donne :   1/2 C2 1 1 1 1 et Hd = 1 + v= + + L C C1 C2 C1 Pour une fréquence de 100 kHz , on trouve : C1 = C2 =

2 ≈ 0, 52 nF 4p 2 f 2 L − 1/C

Chapitre 15 S15– 1. Transformée de Fourier de la fonction rectangle

soit :

1. La transformée de Fourier de la fonction rect(t ) s’obtient aisément. En effet :  ∞  1/ 2  1/2 exp(−j2pf t)  rect(f ) = rect(t) exp(−j2pf t) d t = exp(−j2pf t) d t = (−j2pf ) −1/2 −∞ −1/2  rect(t) =

exp(−jpf ) − exp(−jpf ) sin(pf ) = sinc(f ) = (−j2pf ) pf

828

Solutions des exercices

La TF de rect(t − t) se déduit de la précédente en la multipliant par un terme de phase, car :  ∞  ∞   rect(t − t) exp(−j2pf t) d t = rect(t ) exp −j2pf (t  + t) d t −∞

−∞

soit :



exp(−j2pf t)

∞

−∞

rect(t  ) exp(−j2pt) d t  = exp(−j2pf t)sinc(f )

Celle de rect(t/t − 1) s’obtient en tenant compte d’une affinité positive égale à t :  ∞  ∞   t rect exp(−j2pf t) d t = t rect(t ) exp(−j2pf t t) d t = t sinc (f t) t −∞ −∞ en posant t  = t/t . Par conséquent :    t−t TF rect = t exp(−j2pf t)sinc (f t) t 2. Traçons le graphe de la fonction rectangle rect(t/t) , ainsi que celui de la fonction décalée de t (Fig. S15.1). L’aire de la partie commune, en forme de rectangle, représente la fonction d’autocorrélation recherchée. Si t < t , on trouve aisément : t  t  1× − t− =t−t 2 2 Pour t > t , l’aire est nulle. Enfin, pour t < 0 , on trouve de façon analogue : t − t . Finalement, la fonction d’autocorrélation de la fonction rectangle, de largeur t , est la fonction triangle de largeur 2t .

t

0 −t/2

t/2 t

t

F IG . S15.1.

S15– 2. Transformée de Fourier d’une gaussienne 1. Déduisons d  G(f )/ d f de l’expression de  G(f ) , TF de G(t ) : Or :  ∞

(f ) dG = (−j2p) df



∞

−∞

2

t exp(−pt ) exp(−j2pf t) d t = j



d 2 exp(−pt ) exp(−j2pf t) d t d t −∞ ∞

∞  ∞ d 2 2 2 exp(−pt ) exp(−j2pf t) d t = exp(−pt ) exp(−j2pf t) −∞ − exp(−pt )(−j2pf ) exp(−j2pf t) d t d t −∞ −∞

(f ) , puisque G(∞) = G(−∞) = 0 . Ainsi : ce qui vaut j2pf G

 (f ) dG (f ) = −2pf  = j × (j2pf ) G G (f ) df

829

et problèmes 2. L’intégration de l’équation différentielle précédente est aisée. En effet : (f ) dG = −2pf d f (f ) G

(0) exp(−pf 2 ) avec donne  G (f ) = G

 G(0) =



exp(−pt2 ) d t = 1

(cf. Thermodynamique). Finalement, la TF d’une gaussienne est une gaussienne : 2 2 TF{exp(−jpt )} = exp(−jpf )

À l’aide du théorème sur l’affinité, a étant positif, on déduit la TF de la fonction de gauss normalisée :    t2 TF exp −jp 2 = a exp(−jpa2 f 2 ) avec a = (2p)1/2s a Il en résulte :  Gn (f ) =

1 1/ 2 2 2 2 2 2 2 × (2p) s exp(−2p f s ) = exp(−2p f s ) 1 / 2 s(2p)

3. On calcule les moments d’ordre 0, 1 et 2 de cette distribution de probabilité à partir d’intégrales connues (cf. Thermodynamique) :  ∞  ∞ ∞ 1 m0 = exp(−pt 2 ) d t = 1 m1 = t exp(−pt2) d t = 0 et m2 = t 2 exp(−pt2 ) d t = 2p −∞ −∞ −∞   4. En utilisant le théorème sur l’affinité, on trouve  s(f ) = tp1/2 s m exp −p2 t2f 2 . La largeur totale à mihauteur Df1/2 de |s(f )|2 est telle que :   Df12/2 1 (2 ln 2)1/2 0, 37 2 2 = exp −2p t d’où Df 1/2 = = pt t 2 4

S15– 5. Spectre de Fourier d’un signal périodique 1. On sait qu’un signal périodique s(t) peut se mettre sous la forme suivante (cf. annexe 2) : s (t) =

  n cn exp j2p t T0 −∞ ∞ 

avec

cn =

1 sm T0

  n T0

Le spectre est constitué par l’ensemble des différents cn . On a donc :    T 0/2 sm t cn = sin p exp(−j2pf t) d t T0 −T0 /2 T0 soit : sm cn = 2jT 0



T 0/2 −T0 /2



      1 1 exp −j2pt f − − exp −j2pt f + dt 2T 0 2T0

avec f = n/T0 . On trouve, en effectuant :   sin[pT0 (n/T 0 − 1/2T 0)] sin[pT0 (n/T0 + 1/2T0 )] sm − cn = p(n/T0 − 1/2T0 ) p(n/T0 + 1/2T 0 ) 2jT 0

d’où, en simplifiant :     cos(np) −1 1 (−1) n 4n sm − cos(np) sm cos(np) − − = cn = =j sm jp p 4n 2 − 1 2j p(n − 1/2) p(n + 1/2) 2n − 1 2n + 1

830

Solutions des exercices

On vérifie bien que les coefficients réels an sont tous nuls : an = c n + c ∗n =

(−1) n 4n (j − j)sm = 0 p 4n2 − 1

Quant aux coefficients bn , ils valent : ∗

bn = j(cn − cn ) = j

(−1)n 4n 2(−1) n 4n = − ( j + j ) s sm m p 4n 2 − 1 p 4n2 − 1

2. Si le signal représente l’intensité d’un courant électrique, le spectre a la dimension physique d’une charge. Le calcul donne : 1 12 c1 = −j sm c0 = 0 c3 = −j sm 3p 35p d’où : 8 16 24 b2 = − b3 = b1 = − sm = 25 mC sm = −10, 2 mC sm = 6, 54 mC 3p 15p 35p S15– 6. Signal analytique associé à un signal réel 1. Comme cos 2(2pf0 t) = 0, 5 + 0, 5 cos(4pf 0t) , il vient (cf. annexe 2) :  s(f ) =

1 [d(0) + d(f − 2f 0) + d(f + 2f0 )] 2

Le signal analytique correspondant a donc pour TF : sa(f ) = d(0) + d(f − 2f0) , d’où, en prenant la TF inverse (cf. annexe 2) : sa (t) = 1 + exp(j4pf0 t) 2. On sait que la TF de sin(4pf 0t) est [d(f − 2f0 ) − d(f + 2f0 )]/(2j) . Par conséquent, le signal analytique correspondant a pour TF −jd(f − 2f0) , d’où :   p  sa (t) = −j exp(j4pf0t) = exp j 4pf0 t − 2

3. Le spectre de s(t) est :   s(f ) = ap,m d(f ) + 0, 5m[d(f − f 0 ) + d(f + f0 )] ∗ [0, 5 d(f − fp) + 0, 5 d(f + fp )]

d’où la TF du signal analytique correspondant :

sa (f ) = ap,m d(f − f p ) + 0, 5 a p,m m[d(f − f0 − f p ) + d(f + f0 − fp )]

et le signal analytique lui-même :

sa (t) = ap,m exp(jvp t) + 0, 5 ap,m m {exp[j(vp + v 0)t] + exp[j(v p − v 0)t]} ce qui s’écrit : sa (t) = a p,m exp(jv p t) {1 + 0, 5 m [exp(jv0t) + exp(−jv0 t)]} = a p,m [1 + m cos(v0t)] exp(jv pt)

831

et problèmes S15– 7. Fréquences instantanées 1. La fréquence instantanée du signal réel s’obtient aisément, à partir de sa définition : fi=

1 d [2pf0 t + f(t)] = f0 − a f 1 cos(2pf1 t) = 103 − 200 cos(100pt) 2p d t

2. De même, on obtient pour le signal analytique :  1 d  4 3 fi = 2pf0t + f(t) = f0 − f1 sin(2pf1 t) = 10 − 10 sin(2 000pt) 2p d t S15– 8. Autocorrélation d’un signal 1. La fonction d’autocorrélation C (t) du signal s(t) considéré est telle que : (f ) = | C s(f )|2

On en déduit :

s(f ) = avec 

1 1 [d(f − f0 ) + d(f + f0 )] + [d(f − 2f0 ) − d(f + 2f0 )] 2 j

1  C(f ) = [d(f − f 0) + d(f + f 0 )] + [d(f − 2f0 ) − d(f + 2f 0)] 4 d’où, en prenant la TF inverse : 1 C(t ) = cos(v 0t) + j 2 cos(2v 0 t) 2 2. La relation entre le signal s(t) et sa transformée de Hilbert est convolutive : sH (t) = s(t) ∗

1 pt

d’où sH (f ) = js(f ) sgn(f )

2 2 et |sH (f )| = | s(f )|

ce qui permet établir l’égalité des fonctions de corrélation en prenant la TF inverse : C (t) = CH(t) . S15– 10. Filtre linéaire sans distorsion d’amplitude 1. a) La relation entre les signaux d’entrée et de sortie s’écrit : ∞  ∞ 2 2   | s(f ) = h(f ) e(f ) avec |e ( t) | d t = e(f )| d f et −∞

−∞

Comme le filtre transmet toute l’énergie qu’il reçoit :  ∞  P e(t) d t = −∞

alors :



∞

−∞

2

|e ( t) | d t =



∞

−∞

2



|s ( t) | d t

et

∞

−∞

2

|s ( t) | d t =



∞ −∞

2 |s(f )| d f

Ps (t) d t

| e(f )| d f =

Il en résulte que A0 = |  h(f )| = 1 .

−∞

2

∞

−∞



∞



∞

−∞

2

|s(f )| d f =



∞

−∞

| h(f )|2 | e(f )|2 d f

2. Si le signal d’entrée est sinusoïdal, d’amplitude em et de fréquence f0 , il vient : e(f ) = em d(f − f 0 ) d’où s(f ) = e(f )  h(f ) = em d(f − f0 ) exp[−jf(f )] = em d(f − f 0 ) exp[−jf(f0 )]

On en déduit :

s(t) = em exp[−jf(f 0)] exp(j2pf 0 t)

d’où l’amplitude sm = em et le retard de phase f(f0 ) .

832

Solutions des exercices 3. Comme f(f ) = k(f )z , la vitesse de phase vw = d z/ d t , définie par f = Cte , a pour expression : vw =

dz 2pf = k(f ) dt

Pour qu’un tel filtre ne soit pas dispersif, il faut que vw soit indépendant de f et par conséquent que k (f ) soit proportionnel à f . S15– 12. Échantillonnage optimal 1. Calculons le spectre de s(t ) :  s(f ) =

soit :

a a [d(f − f1 ) − d(f + f1 )] ∗ [exp(jf)d(f − f2 ) − exp(−jf)d(f + f2)] 2j 2j

a  s(f ) = − [exp(jf)d(f − f1 − f 2) − exp(jf)d(f + f1 − f2 ) − exp(−jf)d(f − f1 + f 2 ) + exp(−jf)d(f + f 1 + f2 )] 4 les fréquences f1 et f2 valant respectivement 3 kHz et 7 kHz .

2. Les fréquences minimale et maximale sont donc respectivement : fm = f2 − f1 = 4 kHz

et fM = f 1 + f2 = 10 kHz

d’où la fréquence fSN de Shannon-Nyquist fSN = 2fM = 20 kHz . S15– 14. Égalisation d’un signal de transmission 1. La fonction de transfert  hc (f ) de ce canal est telle que : Il en résulte :

s(f ) =  h c(f )  e(f ) avec s(f ) = a1 e(f ) exp(−j2pf t1) + a 2  s(f ) exp(−j2pf t2 ) s(f )  hc (f ) = = a 1 exp(−j2pf t1 ) + a2 exp(−j2pf t2 ) e(f )

2. La fonction de transfert de l’ensemble canal-filtre doit être telle que :

e(f ) exp(−j2pf t1 ) = exp(−j2pf t1 ) se (f ) =  h e(f ) s(f ) = he (f )  hc (f )e(f ) avec  he (f ) hc (f ) =  e(f )

On a donc :

h e(f ) =

en posant t = t2 − t1 .

exp(−j2pf t1 ) 1 = a1 exp(−j2pf t1 ) + a2 exp(−j2pf t2 ) a1 + a2 exp(−j2pf t)

3. Puisque a 2  a1 , il vient, à l’aide d’un développement limité :     2  a2 a2 1 1 1− exp(−j2pf t) + exp( −j 4p f t ) ≈ he (f ) = a1 + a 2 exp(−j2pf t) a1 a1 a 21 Ainsi, au deuxième ordre près, he (f ) s’écrit : he (f ) ≈ A 0 + A 1 exp(−j2pf t) + A2 exp(−j4pf t)

avec

A0 =

1 a1

A1 = −

a2 a21

et A2 =

a22 a31

833

et problèmes

Chapitre 16 S16– 1. Transmission d’un signal audio par modulation d’une porteuse 1. a) On n’utilise pas directement l’antenne parcourue par le courant proportionnel à si(t) , car la portée d’un signal électromagnétique est proportionnelle au carré de la fréquence. En utilisant la modulation d’une onde porteuse de très grande fréquence, on a une longue portée sans altérer l’information à transmettre. Il suffit à la réception de démoduler le signal reçu. b) Dans la suite, on s’intéresse à un signal modulé de la forme :   s(t) = a p,m a + Ks i(t) cos(vp t)

Si a = 0 , la modulation est dite à porteuse supprimée. On réalise la modulation d’amplitude précédente en associant successivement les opérateurs fonctionnels suivants : i) amplificateur de la tension s i(t) , de facteur d’amplification K , ii) sommateur de a et de Ksi (t) iii) multiplieur par a p,m cos(vpt) . c) En prenant la TF, on obtient le spectre  s(f ) , lequel comporte autour des pics, centrés en f = 0 , f = f p et f = −fp , le spectre  si (f ) qui s’appuie sur un support égal à 2fM , fM étant la fréquence maximale contenue dans le signal si (t) . Si ce dernier est sinusoïdal, le spectre se réduit à deux pics symétriques, de fréquences f0 et −f0 ; la bande occupée par le signal modulé est alors 2f0 , puisqu’apparaissent les fréquences f p − f 0 et fp + f 0 .

La modulation à porteuse supprimée présente un intérêt énergétique puisqu’on supprime ainsi l’émission d’une onde qui ne contient aucune information. Le signal modulé s(t) transportant le signal à transmettre si (t) peut occuper une bande plus étroite car les informations de part et d’autre de la porteuse sont de même nature. On travaille alors non en double bande mais en bande latérale unique inférieure ou supérieure. 2. a) Le montage de démodulation, dit de détecteur de crête, est celui représenté sur la figure 16.12a (cf. chapitre 16). b) La technique utilisée est la démodulation synchrone représentée sur la figure 16.11 (cf. chapitre 16). S16– 3. Analyseur de spectre 1. Les trois pics traduisent la modulation d’une porteuse par un signal sinusoïdal : la fréquence centrale à 650 kHz est celle fp de la porteuse, les autres sont la différence fp −f0 = 640 kHz et la somme fp +f 0 = 660 kHz . On en déduit f0 = 10 kHz et la largeur spectrale Df = 2f0 = 20 kHz . 2. Le facteur de modulation m est défini par l’expression canonique :   s(t) = a p,m 1 + m cos(v0 t) cos(vpt)

On déduit du spectre  s(f ) , qui s’écrit, sur l’axe des fréquences positives, la valeur m = 0, 6 :  s ( f ) = a p,m



d(f − fp) +

 m d(f − fp − f0 ) + d(f − f p + f 0) 2

834

Solutions des exercices

S16– 4. Puissance d’un émetteur en modulation d’amplitude 1. Avec l’émetteur considéré, en modulation d’amplitude, les fréquences contenues dans le signal modulé par le signal de modulation sinusoïdal sont fp = 162 kHz , f p − f0 = 152 kHz et f p + f0 = 172 kHz . Les longueurs d’onde correspondantes valent respectivement : lp =

3 × 108 c = 1852 m = 1, 62 × 10 5 fp

l1 =

c = 1974 m et f p − f0

l2 =

c = 1744 m f p + f0

On en déduit Df = 20 kHz et Dl = 230 m . 2. En fonction du facteur de modulation m , l’amplitude maximale et l’amplitude minimale s’écrivent respectivement : 1 +m r−1 6 = = 0, 75 ap,m (1 + m) et ap,m(1 − m) d’où r = et m = 1 −m r+1 8 3. La puissance se répartit proportionnellement au carré des amplitudes du spectre du signal modulé, soit respectivement à a2p,m pour la porteuse et à a2p,mm 2/4 pour les ondes latérales, puisque ces dernières ont pour amplitude ap,m m/2 . Il en résulte que : Pt = Ka2p,m

  m2 m2 + 1+ 4 4

P0 =

1 P t ≈ 1 561 kW 1 + m 2 /2

P 1 = P2 =

m 2/4 Pt ≈ 220 kW 1 + m2 /2

S16– 5. Hétérodynage 1. En sur-hétérodynage, la fréquence f l de l’oscillateur local doit être telle que fMF = fl − f p , d’où : fl = f p + f MF

et fl,m  fl  fl,M

avec

fl,m = f p,m + fMF

et fl,M = fp,M + f MF

Numériquement 910 kHz  fl  2 020 kHz , d’où le rapport des valeurs extrêmes fl,M /fl,m = 2, 22 . 2. En sous-hétérodynage, la fréquence f l de l’oscillateur local doit être telle que fMF = fp − fl . Par conséquent : fl = f p − f MF et fl,m  fl  fl,M avec fl,m = f p,m − fMF et fl,M = fp,M − f MF Numériquement 70  fl  1 180 , d’où le rapport des valeurs extrêmes fl,M /f l,m = 16, 86 . S16– 8. Démodulation cohérente d’un signal à l’aide d’un filtre passe-bas   1. Calculons le spectre de sdc (t) = s(t ) cos(2pfpt) = a(t) cos 2(2pf pt) = a(t) 1 + cos(4pf p t) /2 : sdc (f ) =

   a(f ) 1 1 1 1 1 a(f + 2f p ) ∗ d(f ) + d(f − 2f p ) + d(f + 2f p ) =  a(f ) + a(f − 2fp) +  2 2 2 2 4 4

2. Avec un filtre passe-bas, de fonction de transfert  h(f ) , centrée autour de 0 et de largeur 2B , on peut extraire  a(f ) : h(f )sdc (f ) = 1  a(f ) 2 Il suffit alors d’amplifier le signal d’un facteur égal à deux et de prendre la TF inverse pour restituer a(t ) .

835

et problèmes S16– 9. Modulation angulaire

1. Établissons la relation entre l’amplitude ai,m du signal sinusoïdal modulant si (t) = a i,m cos(v0 t) et le facteur b :   1 d vp t + b sin (v0 t) fi − f p = k fs i(t) = kf ai,m cos(v0t) avec f i = = f p + bf 0 cos(v0 t) 2p dt Par conséquent : 0, 6 × 8 × 103 bf 0 = a i,m = = 192 mV kf 25 × 103 On en déduit aisément l’excursion en fréquence : Df = fi,max − f p = k f a i,m = 25 × 103 × 192 × 10−3 = 4, 80 kHz 2. Avec la modulation en phase (PM), le coefficient kp correspondant est relié à la tension modulante par : f(t) = b sin(v0t) = k p si (t) On en déduit la relation suivante entre l’amplitude ai,m du signal modulant, b et kp : a i,m kp = b d’où kp =

b a i,m

=

0, 6 = 3, 125 rad · V −1 192 × 10 −3

Chapitre 17 S17– 1. Autocorrélation de signaux différemment bruités 1. Calculons les fonctions d’autocorrélation de s 1(t) et s 2(t) , ainsi que l’intercorrélation entre s1 (t) et s2(t) :   ∗  ∗ ∗ C1 (t) =< s 1(t ; L)s1 (t − t ; L) >=< s(t ; L) + b1 (t ; L) s (t − t ; L) + b1 (t − t ; L) >

La sommation, exprimée par les parenthèses angulaires, porte sur la variable aléatoire L . Comme s(t ; L) et b1 (t ; L) ne sont pas corrélés, on a : De même :

C 1(t) =< s(t ; L)s ∗(t − t ; L) > + < b1(t ; L)b∗1 (t − t ; L) >= C s(t) + C b,1(t) C 2(t) =< s(t ; L)s ∗(t − t ; L) > + < b2(t ; L)b∗2 (t − t ; L) >= C s(t) + C b,2(t)

Quant à la fonction d’intercorrélation, elle s’écrit :    C12 (t) =< s 1(t ; L)s∗2 (t − t ; L) >=< s(t ; L) + b 1 (t ; L) s∗(t − t ; L) + b ∗2 (t − t ; L) > soit, compte tenu de l’absence de corrélation entre s(t ) , b1 (t) et b2 (t) :

C12(t) =< s(t ; L)s∗ (t − t ; L) >= C s(t) 2. La fonction d’autocorrélation CS (t) de la somme des deux signaux s1 (t) et s2 (t) s’obtient aisément :   ∗  ∗ ∗ CS (t) =< s1 (t ; L) + s 2(t ; L) s1 (t − t ; L) + s2 (t − t ; L) >= C 1 (t) + C2(t) + C12 (t) + C12(t)

soit, en explicitant, les signaux étant réels :

CS (t) = 2C(t) + C b,1(t) + C b,2 (t) + Cs(t) + C ∗(t) = 4C s(t) + Cb,1 (t) + Cb,2 (t)

836

Solutions des exercices

S17– 2. Bruit Johnson et bruit Schottky pour une photodiode 1. Les fluctuations de la tension U , dues à l’effet Johnson, ne dépendent que de la température et sont donc indépendantes du courant. Aussi sont-elles prédominantes lorsque l’intensité I est faible. En revanche, lorsque I est fort, c’est l’effet Schottky qui l’emporte. Les deux effets sont de même contribution pour U = Uc , soit : s2u = 4kB T RDf = R2 s2i

avec

s 2i = 2eIDf

Il en résulte, puisque Ic = U c /R : 4k BT RDf =

que :

2R2 eUc Df R

d’où Uc =

2kB T 2 × 1, 38 × 10−23 × 290 = 50 mV = 1, 6 × 10−19 e

2. La valeur de I , pour laquelle les fluctuations relatives de tension ne dépassent pas ±10% , doit être telle

 1/2 su (4kB T RDf ) 1/2 400 kBT Df  0, 1 d’où I  I m avec Im = 10 = 1, 26 pA = RI R R Ainsi, l’intensité I0 du courant d’obscurité est 80 fois plus faible que l’intensité minimale précédente. S17– 4. Signal aléatoire à l’entrée d’une ligne à retard 1. Le signal de sortie s(t ) , résultant de la différence du signal d’entrée e(t) et de ce même signal retardé de la durée t par la ligne, a pour expression : s(t) = e(t) − e(t − t) La réalisation nécessite donc un sommateur (algébrique) et une ligne à retard. Le spectre de s(t) se déduit aisément de celui de e(t ) , selon :   s(t) = e(f ) − exp(−j2pf t)e(f ) = e(f ) 1 − exp(−j2pf t) 2. La dérivée du signal d’entrée s’écrit, si t est suffisamment faible : de e(t) − e(t − t) s (t) ≈ = t t dt Ainsi, pour avoir d e/ d t , il suffit de multiplier le signal de sortie par 1/t . En prenant le spectre des deux membres de l’équation précédente, on trouve :        e(f ) 1 − exp(−j2pf t) e (f ) 1 − (1 − j2 p f t ) s(f ) ≈ = e(f ) = j2pf  t t t pour f suffisamment faible.

3. La fonction de transfert du système s’obtient aisément à partir de ce qui précède : s(f )  = 1 − exp(−j2pf t) h(f ) = e(f )

Il vient donc, entre les puissances spectrales d’entrée et de sortie :      Ss (f ) = |h(f )|2Se (f ) = 1 − exp(−j2pf t) 1 − exp(j2pf t) Se (f ) = 2 1 − cos(2pf t) Se (f ) Si la puissance spectrale à la sortie est nulle, alors :

f t = m et f m =

m = m kHz t

m étant un entier. Pour t suffisamment faible, Ss (f ) = 4 sin2 (pf t) Se (f ) ≈ 4p2 f 2 t2 S e (f ) .

837

et problèmes S17– 6. Rapport signal sur bruit et rétroaction 1. La relation directe entre l’entrée et la sortie est la suivante : us = Hd,1 H d,2(u e + u b ) soit us = 30(ue + ub ) puisque H d,1H d,2 = 2 × 15 = 30 En boucle fermée, cette relation devient (cf. chapitre 13) : u s = Hf (ue + ub ) avec Hf =

H d,1H d,2 ≈ 0, 25 1 + Hd,1 Hd,2 Hr

L’influence de la rétroaction sur le signal d’entrée non bruité ue est la même que sur le bruit : une réduction dans le rapport : 1 1 = 1 + H d,1 H d,2Hr 121 Il en résulte que la rétroaction ne change pas le RSB . 2. Supposons que le bruit s’ajoute entre les deux amplificateurs de la chaîne directe et établissons la relation entre ue et u s , d’abord sans rétroaction, ensuite avec rétroaction. Dans le premier cas, on a : us = Hd,2 (ub + H d,1u e ) = Hd,2 ub + H d,2 Hd,1 ue Dans le second : d’où :

  us = H d,2 ub + Hd,1 (ue − u r)

avec

ur = Hr us

  Hd,2 u b + Hd,1 Hd,2 ue us = H d,2 ub + H d,1(ue − H rus ) et u s = 1 + H d,1 H d,2H r

Ainsi, la rétroaction introduit la même atténuation sur le signal d’entrée et sur le bruit, laquelle vaut : 1 1 + H d,1 H d,2Hr

=

1 121

La rétroaction ne change donc pas le RSB . S17– 7. Transmission d’un signal en modulation d’amplitude En modulation d’amplitude, avec détection cohérente et suppression de la composante stationnaire, on doit avoir (cf. chapitre 17) : a2p,m m2 Si 5 RSB  50 dB soit  10 2bB Il en résulte : a2p,m 

2bB × 10 5 m2Si

soit a 2p,m 

2 × 10 −11 × 2 × 104 × 10 5 = 0, 05 et ap,m  224 mV 0, 8

La puissance à l’émission est donc, en tenant compte du facteur 106 introduit par le canal : Pe = a2p,m m2 S i × 10 6 = 0, 05 × 0, 8 × 106 = 40 kW

838

Solutions des exercices

S17– 9. Détection synchrone d’un signal dans du bruit 1. La démodulation cohérente d’un signal modulé en amplitude, s(t) = si(t) cos(v pt) , consiste à multiplier ce dernier par un signal sinusoïdal, de même fréquence fp que la porteuse, et à filtrer l’ensemble à l’aide d’un filtre passe-bas (cf. chapitre 16). On restitue ainsi le signal de modulation si (t) contenant l’information. En effet : 2

sdc = s(t) cos(vpt) = s i (t) cos (vp t) =

 si(t)  1 + cos(2vpt) 2

ce qui donne le spectre suivant :   1 1 1 1 1 1  sdc =  si(f ) ∗ d(f ) + d(f − 2f p) + d(f + 2fp ) = si (f ) + si (f − 2fp ) +  si (f + 2f p) 2 2 2 2 4 4

Un filtre passe-bas, par exemple une cellule RC , résistance en tête, éliminera les deux dernières contributions et permettra la restitution de si (t) . 2. a) On sait que : s (t) =

∞ 

c n exp

n=−∞

On a donc :

  n −j2p t T0 U cn = 4



avec

cn =

sin(pfT 0/4) pfT0 /4





n T0

=

U sin(pn/4) 4 pn/4

1  s0 T0

f =n/T0



et s0 (t) = U rect



t T0 /4



On en déduit les cinq premiers termes du signal analytique : √ U sin(p/4) U 2 2c1 = 2 =2 = 45 mV 4 p/4 2p √ U sin(p/2) U U sin(3p/4) U 2 2c2 = 2 =2 = 31, 8 mV 2c3 = 2 =2 = 15 mV 4 p/2 2p 4 3p/4 6p √ U sin(p) U sin(5p/4) U 2 2c4 = 2 =0 2c5 = 2 = −2 = −9 mV 4 p 4 5p/4 10p U 2c0 = 2 = 50 mV 4

b) Le signal s(t ) se met sous la forme du produit d’une valeur constante U à déterminer par la fonction périodique en créneaux. On peut considérer que U est le signal contenant l’information et que la fonction en créneaux est la porteuse. Cette dernière n’est pas une fonction sinusoïdale, mais une superposition de fonctions sinusoïdales, de fréquences fp = nf0 , lesquelles jouent le rôle de porteuses, avec des contributions différentes données par les coefficients cn . 3. a) Le signal disponible est sd (t) = s 1(t) + sb (t) = a1 cos(v0t) + s b(t) avec a1 = 2c1 . b) À la sortie du multiplieur, la tension est proportionnelle au produit des deux tensions sd(t) et r(t) :   Km sd (t)r (t) = Km a1 cos(v0t) + sb (t) ar,m cos(v0t + f)

K m étant le coefficient constant du multiplieur, homogène à l’inverse d’une tension. Il vient, en effectuant :   Km sd (t)r (t) = K m a1 a r,m cos f cos2 (v0t) − sin f cos(v 0t) sin(v 0 t) + K m sb(t)a r,m cos(v0t + f)

Ainsi :

Km sd (t)r (t) = Km

 a1 ar,m cos f  a1a r,m sin f 1 + cos(2v0t) − Km sin(2v0 t) + Km sb (t)ar,m cos(v0t + f) 2 2

Le spectre comporte donc trois termes, l’un de fréquence nulle, un deuxième de fréquence f0 et un troisième de fréquence 2f0 . Un filtre passe-bas supprime ces deux dernières fréquences. c) Si le filtre passe-bas est une cellule RC , résistance en tête, sa fonction de transfert est :  h(f ) =

1 1 + j f /f c

avec

fc =

1 2pRC

d’où C =

1 = 8 mF 2pRfc

839

et problèmes d) Le signal obtenu est maximal pour f = 0 et vaut : √ a 1a r,m a r,m U 2 2Dp 72p d’où U = √ = √ ≈ 400 mV D = Km = Km 2 2p 0, 1 × 4 2 K ma r,m 2 S17– 12. Bruit dans un circuit avec une diode Zener

1. La résistance de polarisation de la diode en inverse s’obtient aisément en appliquant la loi des mailles : R=

E − UZ = 19, 5 kV I

2. On dénombre dans le circuit deux sources de bruit non corrélées, dont les valeurs quadratiques s’ajoutent : i) le bruit thermique de la résistance, de tension de bruit :  1/2 bu = (4k BT RDf ) 1/2 = 4 × 1, 38 × 10 −23 × 300 × 19, 5 × 10 3 × 2 × 103 ≈ 0, 8 mV ii) le bruit de grenaille de la diode, de tension de bruit :  1/2 R bi = R ( 2eIDf )1/2 = R 2 × 1, 6 × 10−19 × 200 × 10−6 × 2 × 10 3

d’où la tension totale de bruit bu,t :

soit R bi ≈ 7 mV

bu,t = (R2 b2i + b 2u)1/2 ≈ 7, 1 mV

Chapitre 18 S18– 1. Numération et soustraction 1. Comme 25 = 16 + 8 + 1 , il s’écrit 25 = b 1 1 0 0 1 en binaire. De même, 25 = 16 + 9 s’écrit h 19 en hexadécimal. En code DCB, le chiffre des dizaines et celui des unités sont codés sur quatre bits chacun, d’où : 25 = DCB 0010 0101 . 2. a) Comme 25 est positif, son codage en complément à 2 de 25 ne nécessite aucune modification par rapport à son écriture binaire ; il suffit d’ajouter 0 à gauche du bit le plus fort : 25 = c2 01 1001 . Pour coder −8 , il suffit de coder 8 et d’inverser tous les bits avant d’ajouter 1 : 8 = b 00 1000

De même :

d’où

− 8 = b 11 0111 + b 00 0001 =

−28 = b 10 0011 + b 00 0001 =

c2

c2

11 1000

10 0100

b) Puisque les nombres sont codés avec un même nombre de bits, l’addition de 25 et −8 se fait bit à bit et le résultat est c2 01 0001 , ce qui représente 17 . De même, l’addition bit à bit de 25 et −28 donne c2 11 1101 , ce qui correspond à un nombre négatif puisque le premier bit est 1. La valeur absolue de ce nombre s’obtient en appliquant le complément à 1 puis en ajoutant 1. Il s’agit donc de c2 00 0011 = 3 . Le résultat de l’opération 25 − 28 est donc bien égal à −3 . On voit qu’en codage en complément à 2, la soustraction de deux nombres peut être effectuée à l’aide d’un simple additionneur.

840

Solutions des exercices

S18– 3. Théorèmes de l’algèbre booléenne 1. Idempotence Pour l’opération OU, on a, si A = 0 , A + A = 0 . De même si A = 1 , puisque 1 + 1 = 1 . Le théorème est donc vérifié. Le résultat est analogue pour l’opération ET. 2. Absorption Si A = 1 , A + 1 = 1 et A.0 = 0 . Si A = 0 , A + 1 = 1 et A.0 = 0 . Le théorème est donc vérifié. Les tableaux S18.1 et S18.2 représentent les tables de vérité des opérations A + (A.B) et A.(A + B) ; leurs valeurs sont bien celles de A .

A 0

B 0

A.B 0

A + (A.B) 0

0

1

0

0

1 1

0 1

0 1

1 1

TAB . S18.1.

A 0 0

B 0 1

A+B 0 1

A.(A + B) 0 0

1

0

1

1

1

1

1

1

TAB . S18.2. 3. Théorèmes de De Morgan Le tableau S18.3 représente les tables de vérité des opérations A + B et A.B ; leurs valeurs sont bien identiques.

A 0 0

B 0 1

A.B 1 0

A+B 1 0

1 1

0 1

0 0

0 0

TAB . S18.3. De même, le tableau S18.4 représente les tables de vérité des opérations A.B et A + B ; leurs valeurs sont également identiques.

841

et problèmes A 0

B 0

A.B 1

A+B 1

0

1

1

1

1 1

0 1

1 0

1 0

TAB . S18.4. S18– 4. Universalité des portes N-ET et N-OU 1. À l’aide de la propriété d’idempotence de l’opération ET, on peut écrire : A.A = A . Il suffit donc d’appliquer la variable logique à inverser sur chacune des entrées de la porte N-ET pour obtenir son complément en sortie. En prenant deux fois le complémentaire de l’expression A + B et en appliquant le théorème de De Morgan, il vient : A + B = A + B = A.B d’où A + B = A.A.B.B L’expression N-OU étant la négation de OU, il suffit d’appliquer le résultat précédent aux deux entrées d’une porte N-ET : A + B = A .A .B .B .A .A .B .B En prenant deux fois le complémentaire de l’expression A ⊕ B , on obtient l’expression de EX-OU en fonction de l’opération N-ET : A ⊕ B = (A.B) + (A.B) = (A.B) + (A.B) = A.B.A.B

avec

A = A.A et B = B.B

2. De même, on a : A = A + A , A.B = A + B et A.B = A + B Comme A ⊕ B = (A + B).(A + B) , on obtient : A ⊕B = A +B+A +B

S18– 6. Testeur de parité La fonction EX-OU permet de réaliser l’addition de deux bits sans conserver la retenue. Avant l’inverseur, la variable est donc égale à la somme des bits de A modulo 2. Il ne reste plus qu’à inverser cette variable pour obtenir le testeur de parité. S18– 8. Multiplexeur à quatre entrées Pour un multiplexeur à quatre entrées D 3 , D 2 , D1 , D0 , avec une adresse de 2 bits ( A1A 0 ), on a (Fig. S18.1) : S = (A 0.A1 .D0 ) + (A0 .A1.D 1) + (A0 .A1 .D2) + (A 0.A 1.D 3 )

842

Solutions des exercices D0

&

NON

1

A1

ET

D1

ET

&

ET D2

NON A0

OU

1

Q

&

1 ET

& D3 F IG . S18.1. S18– 10. Monostable 1. Si E = 1 et Q = 1 , alors P = 0 et F = 0 V . Le condensateur est déchargé et le montage est stable. 2. a) À l’instant t = 0 , E passe à l’état 0 et provoque le basculement de P dans l’état logique 1. La continuité de la tension aux bornes du condensateur impose alors F = 1 et Q = 0 . La résistance, soumise à une tension de 5 V , est traversée par un courant i = C d uC / d t . Or e2 = u P − u C = Un − uC . L’équation vérifiée par uC est donc : d uC RC + u C = Un dt Comme uC (0) = 0 V , sa solution est uC = Un [1 − exp (−t/t)] où t = RC . La tension e2 évolue donc selon :   t e2 (t) = Un − uC = U n exp − t À l’instant t1 = t ln 2 , e 2 = U n/2 = Ub et l’inverseur bascule ; Q prend la valeur 1 et la porte N-ET bascule, puisque E est revenu à l’état logique 1, après le bref passage par l’état 0. À cet instant, l’état du circuit est le suivant : Un Q=1 P = 0 et e2 = uP − u C = −uC = − < 0 donc F = 0 2 Le condensateur se décharge à travers la résistance : d uC Un = 2, 5 V + u C = 0 avec uC (t1 ) = dt 2 Sa résolution conduit à : uC = U n /2 exp (−t/t) < Un/2 . L’état de l’inverseur ne varie plus et le système est revenu dans l’état stable. Après une durée de l’ordre de quelques valeurs de t , la charge du condensateur est à nouveau nulle. Sur la figure S18.2, on a représenté les évolutions des diverses tensions du circuit monostable. RC

Remarque :

En réalité, la décharge du condensateur après le retour à l’état stable est très rapide, car l’inverseur possède un système de protection à diode contre les tensions négatives, lequel permet une décharge caractérisée par une durée t = rC où r  R est la résistance du circuit de protection.

843

et problèmes

5 4 3 2 1 0

e1 (V)

1

5 4 3 2 1 2

3

4

t(s)

0

t(s)

5 4 3 2 1

e2 (V)

2 1

1

2

3

4

t(s)

1

2

3

4

t(s)

u1 (V)

4

0

u C (V)

2

3

4

−2

0 F IG . S18.2.

b) La durée de l’état instable est Dt = RC ln 2 = 6, 9 ms , quelle que soit la durée de l’impulsion sur E . c) La répétition de l’impulsion sur E ne modifie pas l’évolution des tensions, car l’état 0 de l’une des deux entrées est suffisant pour que la porte N-ET conserve son état P = 1 . d) Le maintien de E dans l’état 0 empêche le retour à l’état stable. Afin de remédier à cet inconvénient, on réalise le montage avec une porte N-ET qui n’est sensible qu’aux fronts descendants de son entrée E . S18– 11. Porte N-ET en technologie CMOS 1. Comme les transistors MOS sont équivalents à des coupe-circuit ou à des courts-circuits, selon la valeur de la tension entre grille et source, les deux transistors p -MOS se comportent comme des coupe-circuits, puisque Ugs étant nul, et les deux transistors n -MOS comme des courts-circuits, puisque Ugs = 5 V . La tension de sortie est donc 0 V et l’état logique 0 . 2. Lorsqu’au moins l’une des entrées est à 0 , un transistor p -MOS au moins est passant et un des transistors n -MOS au moins est bloqué. Comme les transistors p -MOS sont en parallèle, le fait que l’un des deux soit passant implique uQ = 5 V ; de façon analogue, les transistors n -MOS étant en série, le blocage de l’un des deux assure que uQ n’est pas relié à la masse. La sortie est par conséquent dans l’état logique 1 . Cette porte assure bien la réalisation de l’opération logique N-ET, puisque la sortie ne vaut 0 que si les deux entrées valent 1 .

Chapitre 19

S19– 1. Graphes de transfert pour un CAN à 3 bits Les graphes de transfert sont donnés sur la figure S19.1.

844

Solutions des exercices CAN unipolaire 111 110

CAN bipolaire bp 111 110

bp

101

101 100

100

−scc 2

011 010 001 000

011 010

scc 2

D

001

ue

D

ue

000

scc a) Conversion par troncature bp

111 110 101 100 011 010 001 000 0 scc 16

CAN unipolaire

CAN bipolaire bp

ue 5scc 16

13s cc 16

ue

scc

−s cc −5 scc 2 16

0

5 scc scc 16 2

b) Conversion par arrondi F IG . S19.1.

S19– 2. Codage CAN à 6 bits Le code b 1 0 1 1 0 1 , qui correspond à 45 en décimal, est la sortie associée à une tension d’entrée appartenant à l’intervalle [45 D − 46 D[ . On en déduit le pas de quantification pour les valeurs extrêmes de l’intervalle : DM =

2, 71 2, 71 = 60, 22 mV et D m = = 58, 91 mV 45 46

Il en résulte Dm < D  DM . Par conséquent, avec le pas D M , la tension 3, 4 V est codée selon : 3, 4 = 56, 45 DM d’où le code associé, 56 en décimal et b 1 1 1 0 0 0 en binaire. Avec le pas Dm , la tension est codée, elle, selon : 3, 4 = 57, 71 Dm d’où 57 en décimal et b 1 1 1 0 0 1 en binaire.

845

et problèmes S19– 3. Utilisation d’un CAN 1. Le pas de conversion du CAN se calcule aisément : D=

PE 10 = 152, 588 mV = 2n 65 536

2. La tension d’entrée suivante à convertir se présente à l’instant : tk+1 = tk +

1 fe

d’où t k+1 − t k =

1 = 23 ms 44, 1 × 10 3

3. D’après le théorème de Shannon (cf. chapitre 15), la fréquence maximale du spectre du signal d’entrée audio vaut : fe fS = 22, 05 kHz fM = = 2 2 4. Comme la tension u k , qui vaut 2, 78 V , appartient à l’intervalle [pD − (p + 1)D[ , le code p s’obtient selon : uk 2, 78 = 18 219, 008 d’où p = 18 219 ce qui s’écrit h 4 7 2 B = p≈ D 152, 6 × 10 −3 en code hexadécimal. Les tensions représentées par le même code numérique sont alors : [18 219 D; 18 220 D[ soit [2, 779999 V ; 2, 780151 V[ Remarque :

En notation selon la norme ANSI, reprise dans de nombreux langages de programmation dont le langage C, l’écriture du code serait 0x472B .

5. En arrondissant le pas de conversion D à 152 mV , on définit l’intervalle suivant d’appartenance de uk : [18 289 D, 18 290 D[ soit 18 289

et

h

47 71

en codes décimal et hexadécimal respectivement. On commet dans ce cas une erreur de 70 incréments de codage soit 70 bits de poids faible. S19– 4. CAN unipolaire 1. La résolution R d’un CAN 10 bits est par définition : R = 100

1 100 ≈ 0, 1 % = 10 2 1 024

2. On détermine le code en sortie associé à la tension d’entrée de 1, 57 V , en déterminant le nombre k de pas de conversion nécessaires, soit : 1, 57 = 747, 6 k= 2, 1 × 10 −3

Pour un CAN tronqué, le code fourni est 747 soit b 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 en code binaire. S’il est arrondi, le code en sortie est 748 , soit b1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 . 3. La durée de conversion t du CAN est donnée par la relation t = 1/fe = 0, 1 ms . Elle est indépendante de la structure du CAN. C’est l’horloge interne du CAN qui va varier.

846

Solutions des exercices

4. a) Si le CAN est à architecture flash, la conversion s’effectue en une période Th d’horloge avec une durée de conversion égale à : 1 = 0, 1 ms soit Th = 100 ns t= 10 × 106

b) Dans l’architecture à rampe, le compteur doit compter jusqu’à atteindre la valeur de sortie. Ainsi il faut autant de fronts d’horloge, soit pratiquement autant de périodes Th d’horloge que la valeur du code numérique correspondant à la tension maximale à convertir. Dans cet exemple, avec un CAN 10 bits, le plus grand nombre codé en sortie est 210 − 1 = 1 023 avec une durée de conversion t . La période d’horloge doit vérifier la relation : 1 023 Th = t soit T h =

t ≈ 97 ps 1023

c) Dans l’architecture à pesées successives, il faut autant de coups d’horloge qu’il y a de bits composant le code numérique, 10 dans notre cas, d’où : 10 T h = t soit Th = 10 ns

S19– 6. CNA à résistances pondérées 1. Les résistances des composants s’échelonnent en puissance de deux, tout en restant compatibles avec les critères de consommation de courant et d’impédance d’entrée. Sachant que l’une des résistances vaut 2 kV , la série de résistances est la suivante, en commençant par le bit de poids fort : R7 = 2 kV , R6 = 4 kV , R5 = 8 kV , R 4 = 16 kV , R 3 = 32 kV , R2 = 64 kV , R1 = 128 kV et R0 = 256 kV . 2. La tension de sortie a pour expression : Us = −

n−1 R  i E ki 2 R 0 i=0

avec

n=8

k i étant la variable logique associée au bit i . Le pas de conversion est donc E R/R0 que l’on conservera sous forme fractionnaire : R 3, 3 = 12, 89 mV = D=E 256 R0 3. En code décimal,

h

FF vaut 255 , soit une tension de sortie égale à : 255 3, 3 ≈ 3, 287 V 256

4. Dans le CNA à n bits, la tension de sortie a pour expression ; n−1 n−1  R  ki i Us = − E k i 2 = −ER R0 Ri i=0

avec

Ri =

i=0

R0 2i

L’incertitude sur Us s’écrit donc, en négligeant celle sur R : DUs = E R

n−1  ki DRi 2 R i i=0

avec

i DRi DRi 1 DR i 2 = = R i Ri Ri R 0 R2i

soit DUs = E R

n−1 n−1 i   ki DRi 2 DR = E R k i i R i R0 R 2i i=0 i=0

Si l’on suppose que toutes les résistances, de même technologie, sont connues avec la même imprécision, ce qui est raisonnable, il vient : n−1  R DRi i DUs = E ki 2 b où b = R 0 Ri i=0

847

et problèmes

est la représentation binaire du nombre présenté en entrée du CNA. Comme l’erreur due à la tolérance ne doit pas dépasser un demi-pas, on a : DU s