Relativité fondements et application 978-2-10-075155-6

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phoiocopilloge.

reprociKJioo, ponielle ou lolole,

le Code de la propriete intellec-

de lo prés.enJe pubiKotioo es.t

luêlle du l" juillet 1992 inle, correspond globalement au programme traité en licence troisième année, à l'Université Paul Sabatier de Toulouse, pendant un semestre de douze semaines, à raison d' une heure de cours et d' une heure de travaux dirigés par semaine. C'est un cours introductif qui s'adresse à de jeunes érudiants dont les connaissances en mathématiques, en mécanique et en optique, bien que modestes, suffisent pour comprendre les fondements et les implications physiques de cette théorie. Nous avons volontairement réduit Je formalisme à sa plus simple expression, considérant que ce dernier privilégiait une présentation abstraite, voire mystique de la relativité. Au contraire, nous avons voulu bâtir notre exposé, de façon rationnelle et concrète, en nous appuyant sur l'expérimentation et les limites physiques des hypothèses newtoniennes. La signarure + - -- caractérisant Je carré de l'intervalle espace-temps a été délibéremment choisie, afin de privilégier la durée, laquelle, invariante en relativité galiléenne, est remplacée, en relativité einsteinienne, par la durée propre ou par l'intervalle qui est son équivalent spatial par multiplication par la constante d' Einstein c. D n'est probablement pas inutile de rappeler que, comme son nom ne l'indique pas, la théorie de la relativité n' est pas l'expression scientifique d'un quelconque relativisme philosophique : elle est donc très mal résumée par l'expression « Tout est relatif>>. Au contraire, les relativités newtonienne, restreinte et générale peuvent être considérées comme les recherches frucrueuses de concepts universels, c'est-à-dire invariants par changement de référentiel. Le cours est divisé en dix leçons : i) La première concerne 1'extension du principe newtonien de relativité aux phénomènes électromagnétiques, avec les expériences décisives de Fizeau et Michelson. ii) Dans les leçons 2, 3 et 4, on développe toute la cinématique einsteinienne, en introduisant notamment Je formalisme quadridimensionnel, mais sans omettre d'analyser ce qui est parfois présenté sous forme de paradoxes : les « jumeaux de Langevin>>, pour la dilatation des durées, et la barre en mouvement cependant contenue dans une ouverrure plus courte, pour la contraction des longueurs.

Avant propos

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iii) Les leçons 5, 6, 7, 8, qui concernent la dynamique et l'én ergétique des particules, sont essentielles, puisqu'elles permettent d'introduire et de valider, par de multiples applications physiques (particules dans un champ électromagnétique et collisions), la loi fondamentale de la dynamique einsteinienne, ainsi que Je concept d'énergie de masse. iv) Les deux dernières leçons, 9 et JO, sont des extensions qui, en général, ne figurent pas dans les programmes d'enseignement de licence. L'avant-dernière « Électromagnétisme et relativité» permet de présenter l'électromagnétisme classique sous une forme synthétique très enrichissante. Dans la dernière, « Relativité générale>>, on donne un aperçu physique significatif de cette théorie et de son rôle majeur en cosmologie.

V ouvrage s'adresse d'abord aux é rudiants des licences de physique. Aussi les leçons sont-eUes quasi autonomes, les exemples nombreux et les !50 exercices et problèmes accompagnés de leurs solutions, ce qui témoigne de notre volonté de communiquer à la fois till savoir-culturel et un savoir-faire utile pour préparer les divers examens et concours. En outre, dans l'annexe 3, intirulée « Simulation en relativité>>, on propose d' utiliser les possibilités q u'offre Je langage Matlab pour résoudre quelques problèmes concrets, tels que l'anisotropie de l'émission de particules par des noyaux en mouvement ou la focalisation de particules chatgées dans des spectromètres. Comme il s'agit avant tout d' un ouvrage d'enseignement, nous avons systématiquement utilisé Je système d'unités international et adopté les notations recommandées par l' AFNOR, abandonnant ainsi Je « régionalisme>> des notations de spécialistes. Dansee contexte, nous avons adopté les unités standard, en évitant notamment la valeur unité pour la constante d' Einstein c, ce qui est précieux dans l'analyse dimensionnelle. En raison de son découpage en leçons strucrurées, de son aspect peu technique, de l'accent mis sur Je développement des idées et de la présence de thèmes physiques tels q ue « Électromagnétisme et relativité», et « Relativité générale», ce livre devrait intéresser aussi les candidats aux concours de recrutement de l'enseignement (CAPES et agrégations).

Plus largement, l'ouvrage est destiné à tous ceux qui s'intéressent à la théorie de la relativité, afin d'en comprendre la signification profonde et ainsi en écarter tout aspect mystérieux : pour être attractive, la théorie de la relativité n'a nul besoin de véhiculer une pensée magique ; son esthétique, sa capacité explicative et son pouvoir créatif suffisent.

Les étudiants de licence de l'Université Paul Sabatier, ainsi q ue ceux qui préparent l'agrégation de physique, m'ont beaucoup aidé par leurs questions et leurs exigences pédagogiques. Aussi figurent-ils en bonne place parmi tous ceux, notamment coUègues de recherche o u d'enseignement, que je remercie pour leurs remarques et commentaires constructifs. Mises à part q uelques corrections typographiques ou pédagogiques, cene troisième édition diftère des précédentes principalement sur la leçon 10 dans laquelle la section « cosmologie» a été acrualisée et développée en s'appuyant sur la nouvelle annexe 2 sur les tenseurs. L'ancienne annexe 1, « Rappels mathématiques», a été j ugée inutile car déjà présente dans les autres ouvrages de la collection, et remplacée par une nouvelle annexe sur les systèmes d'unités en raison des modifications profondes q ue subira certainement dès 2018 Je système international acruel.

José-Philippe Pérez, Mars 2016

Les grands noms de la relativité

François Arago Astronome et opticien français, né à Estagel, dans Je Rousillon, en 1786, et mort à Paris en 1853. Polytechnicien, il est nommé à 23 ans professeur à l'École Polytechnique, succédant ainsi à G. Monge, afin d' y enseigner la géodésie. D oriente ses travaux de recherche vers l'optique, notamment dans Je but d'améliorer la précision des observations en astronomie. D s'intéresse alors à la nature ondulatoire et polarisée de la lumière ; dans ce contexte, il découvre la polarisation rotatoire du quartz, ainsi que les conditions d'obtention des franges d'interférence en lumière polarisée. Très influent, il entreprend une carrière politique qui Je conduit à rédiger Je décret d'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises. Henri Becquerel Physicien français, né à Paris en 1852 et mort à Le Croisic en 1908. Polytechnicien, puis professeur à l'École Polytechnique, il découvre en 1896, sur des sels d'uranium, trois mois après la mise en évidence des rayons X par W. Rontgen,la radiaoactivité bêta moins du thorium 234, c'est-à-dire l'émission d'électrons par des noyaux. Ses travaux sur la radioactivité sont récompensés en 1903 par Je prix Nobel qu'il partage avec P. et M. Curie. Hans Bethe Physicien américain, d'origine allemande, né à Strasbourg (ville allemande à cette époque) en 1906, et mort à Ithaca (état de New-York) en mars 2005. Après des études à Munich, Bethe prépare une thèse sous la direction de Sommerfeld, puis devient professeur à l'Université de Munich d'abord puis à celle de Tübingen. En 1933, après l'arrivée d' Hitler, il est démis de ses fonctions, en raison de ses origines juives. D s'installe aux États-Unis en 1935, précisément à Ithaca, à l'Université Cornell où il enseigne la physique. D devient célèbre en 1938 en décrivant Je cycle du carbone dans les étoiles et en détaillant les réactions nucléaires de fusion qui sont à l'origine du rayonnement intense qu'elles émettent. En 1943, il dirige Je groupe de physique théorique dans Je projet Manhattan chargé de développer les premières bombes par fission nucléaire. D reste cependant un adversaire du développement des armes nucléaires en s'opposant notamment au projet américain de guerre des étoiles. D reçoit en 1967 Je prix Nobel de physique pour l'ensemble de ses travaux. À partir de 1975, il s' intéresse à l' astrophysique et publie quelques contributions remarquables sur les supernovae.

Les grands noms de la relativité

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Arthur Compton Physicien américain, né à Wooster (Ohio) en J892et mort à Berkeley en 1962. D rend parfaitement compte de la diffusion des rayons X par le graphite en interprétant ce phénomène comme une collision entre un photon incident et un électron libre du matériau. Cette contribution, publiée en 1923, lui valut le prix Nobel en 1927. Marie Curie Physicienne et chimiste française, née à Warsovie (Pologne) en 1867 et morte à Sallanches (Haute Savoie en 1934). À 24 ans, Marya Sklodowskaquitte sa ville natale pour se rendre à Paris afin d'y effectuer des études scientifiques. Excellente étudiante à la Sorbonne, elle est reçue première à l'agrégation de physique en 1896. Elle est ensuite accueillie à l'École de Physique et Chimie de Paris, où elle étudie le nouveau rayonnement bêta découvert par H. Becquerel. Avec l'aide de son mari P. Curie, enseignant et chercheur dans cette École, elle identifie le radium et le polonium. En 1903, elle passe sa thèse, puis reçoit le prix Nobel de physique qu'elle partage avec son mari et Becquerel. Après la mort accidentelle de P. Curie, elle lui succède comme professeur à la Sorbonne. En 1911, elle reçoit un second prix Nobel, celui de chimie, pour avoir déterminé la masse molaire du radium. Curieusement, l' Académie des Sciences ne l'a jamais admise en son sein. Pendant la Première Guerre mondiale, elle crée un service de radiologie aux armées. Elle meurt en 1934 des suites d' une leucémie contractée précisément par une trop grande exposition aux rayons X et au rayonnement bêta. Paul Dirac

Physicien anglais, né à Bristol en 1902 et mort à Tallahassee en 1984. Grâce à des qualités exceptionnelles en mathématiques, il imagine un formalisme permettant de concilier l'approche ondulatoire de Schrodinger et la démarche matricielle d'Heisenberg, ce qui lui vaut d'obtenir en 1932 la célèbre chaire q u'occupa Newton à Cambridge. Sa contribution la plus importante, intitulée « L'équation d' onde relativiste de l'électron>>, a été publiée en 1928. Cette théorie prédit non seulement le spin de l'électron, mais aussi l'existence du positron. D reçut le prix Nobel de physique en 1933, la même année q ue Schrooinger. Al bert Einstein

Physicien allemand, naturalisé suisse puis américain, né à Ulm (Allemagne) en 1879 et mort à Princeton (USA) en 1955. D est considéré, avec Newton, comme le plus grand physicien de tous les temps. Cependant ses qualités exceptionnelles ne furent remarquées ni au collège ni à l' université. En optique, ses contributions sont l'interprétation de l'effet photo-électrique, pour laquelle il reçoit le prix Nobel en 1921, celle de l'expérience de Michelson et Morley par extension du principe de relativité et celle de l'émission stimulée en 1917. D est surtout connu pour la théorie de la relativité restreinte q u'il publie en 1905, et q u'il complète en 1915, en prenant en compte le caractère singulier de la gravitation. Son influence en cosmologie est considérable. Celle en physique statistique aussi, notamment avec la condensation dite d'Einstein-Bose.

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Les grands noms de la relativité

Hippolyte F izeau Opticien français, né à Paris en 1819 à et mort à La Ferté-sous-Jouarre en 1896. D fut le premier à mesurer la vitesse de la lumière par une expérience de laboratoire. D montra expérimentalement, dès 1850, q ue la composition des vitesses, appliquée à la lumière se propageant dans un milieu liquide en mouvement, n'était pas de nature newtonienne. En outre, il découvrit la possibilité de mesurer Je diamètre des étoiles à partir de méthodes interférométriques (synthèse d'ouverture). Enfin, il étendit, à l'optique, l'effet découvert en acoustique par Doppler, c'est-à-dire Je décalage de fréquence mesuré par un observateur en mouvement par rapport à une source lumineuse. Augustin Fres nel Opticien français, né à Broglie (Eure) en 1788 et mort à Ville d' Avray (région parisienne) en 1827. D reprend les expériences d' Young (cf. Optique), les étend et p ropose, avec Je physicien français François Arago, l'interprétation ondulatoire de la lumière. D étudie également la diffraction à distance finie, ainsi q ue la propagation de la lumière dans les milieux cristallins. D présente un mémoire complet sur ce dernier sujet à l'Académie des Sciences en 1823. Galileo G alilei dit G alilée Astronome et physicien italien, né à Pise en 1564 et mort à Arcetri (près de Florence) en 1642. D est considéré comme le précurseur de la science moderne, d'une part en utilisant les mathématiques pour décrire les lois de la physique, d'autre part en testant la validité de ces lois par l'expérimentation. Ses principales contributions en astronomie sont l'observation de la surfuce de la Lune et la découverte des satellites de Jupiter à l'aide d'instruments d'optique qu'il met lui-même au point. L'ensemble est publié en 1610 dans « Le messager des étoiles>>. Cependant, c'est sa contribution en mécanique qui est la plus célèbre. En é tudiant Je mouvement des corps, il découvre les lois de la chute libre, notamment l'indépendance de la masse lorsque la résistance de l'air est négligée, l'isochronisme des petites oscillations d' un pendule ; il perçoit aussi le principe de l'inertie et se rallie aux idées héliocentriques de Copernic. D publie alors le « Dialogue sur les deux principaux systèmes du monde>> en 1632, ce qui lui vaut la condamnation de l'Inquisition en raison de sa vision copernicienne du Monde (mobilité de la Terre). C'est à la fin de ce procès qu'il aurait prononcé la fumeuse phrase « eppur si muove. >> George Gamow Physicien et astrophysicien américain d'origine russe, né à Odessa en 1904 et mort à Boulder dans Je Colorado en 1968. Après des é tudes à Leningrad, à Copenhague avec N. Bohr et à Cambridge avec E. Rutherford, il obtient une charge d'enseignement en URSS. En 1928, il interprète la radioactivité a à l'aide de la physique q uantique, précisément l'effet tunnel. D montre notamment q u'il est possible qu' un proton-projectile peut pénétrer dans un noyau et ainsi en modifier la constitution, ce qui est à la base de la transmutation nucléaire, réalisée pour la première fois par J. Cockroft etE. Walton. En récompensant ces derniers en 195J,Ie jury Nobel oublia de l'inclure dans le prix. En 1939, il s'installe aux USA et prend la nationalité américaine. D fut Je premier en 1948 à prévoir, avec deux collaborateurs, Alpher et Hermann, Je rayonnement radio fossile, lequel fut découvert par hasard en 1965 par Penzias et Wilson.

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Grunow fut aussi connu pour ses travaux de vulgarisateur scientifique dans lesquels se sont exprimés, outre ses grandes compétences, son style alerte et son humour. William Rowan Hamilton Mathématicien et physicien irlandais, né en 1806 à Dublin et mort en 1865 près de Dublin. Enfant prodige puis é rudiant génial, il impressionne, à 22 ans, l'Académie Royale d'Irlande en présentant un exposé moderne sur la théorie des rayons lumineux. Ce travail est Je point de départ d' une contribution capitale en dynrunique qui s'achèvera en 1833 sur une remarquable analogie entre l'optique et la mécanique. Cette synthèse débouchera sur la relation deL. de Broglie et sur l'équation de Schrooinger en mécanique ondulatoire. Erentz Physicien néerlandais, né à Arnhem en 1853 et mort à Haarlem en 1928. D devint en 1878 tirulaire de la chaire de physique théorique à l'Université de Leyde. Ses contributions importantes concernent

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Les grands noms de la relativité

l'électromagnétisme des milieux matériels, et notamment l'influence d' un champ magnétique sur Je rayonnement lumineux émis par les atomes, ce qui lui vaut Je prix Nobel en 1902, prix q u'il partage avec son élève P. Zeeman. D est surtout connu pour les formules de transformation de la relativité restreinte qui respectent l'invariance de toutes les équations de Maxwell par changement de référentiel galiléen.

James Clerk Maxwell Physicien britannique, né à Edimburg (Écosse) en 1831 et mort à Cambridge en 1879. En 1857, il publie un article sur la constitution probable des anneaux de Saturne, ce qui Je fait connaître de la communauté scientifique et l'incite à s' intéresser aux systèmes constitués d' un grand nombre de particules. D établit alors les principaux résultats de la théorie cinétique des gaz. C'est ensuite comme professeur d' université au King's Colle ge de Londres q u'il travaille sur l'électromagnétisme, chez lui ( !), assisté par son épouse. Sa contribution décisive sur les équations de l'électromagnétisme date de 1876. Enfin, il est nommé à Cambridge pour diriger la construction du célèbre « Cavendish La bora tory ». Albert Michelson Physicien américain d'origine polonaise, né à Strelno en 1852 et mort à Pasadena (Californie) en 1931. Expérimentateur de génie, il construisit un interféromètre, devenu désormais célèbre, pour mettre en évidence de très faibles chemins optiques, ce qui permit d'établir expérimentalement l'invariance de la vitesse de la lumière dans Je vide, malgré ses propres convictions antirelativistes. D reçut Je prix Nobel en 1907 pour cene contribution qu' il publia seul en 1881 ; avec Morley, il en fournit une version plus précise en 1887. D développa en outre la technique de synthèse d'ouverture imaginée par Fizeau pour déterminer Je diamètre apparent des étoiles par des méthodes interférométriques. Hermann Minkowski Mathématicien allemand, né à Kovno (Lituanie) en 1864 et mort à Goningen en 1909. Après ses études à l'Université de Konigsberg et une thèse qu'il présente en 1885, il exerce les fonctions de professeur, notamment à l'École Polytechnique de Zurich. C'est là qu' il rencontre son élève Einstein. D est à l'origine de l' utilisation du formalisme quadridimensionnel pour exprimer Je concept d'espacetemps en relativité. Isaac Newton Mathématicien, astronome et physicien anglais, né à Woolsthorpe en 1642 et mort à Kensington en 1727. D est considéré, avec Einstein, comme l' un des plus grands physiciens de tous les temps. Curieusement et comme ce dernier, il fut un élève qui ne révéla au collège aucune capacité exceptionnelle. C'est à Cambridge q ue l'on remarqua ses grandes possibilités. Plus influencé par Descartes q ue par Aristote, il publie en 1687 une synthèse magistrale de la mécanique, « Principia mathematica » ; il y énonce les fondements de la dynamique et relie, en introduisant la loi de la gravitation universelle, Je mouvement des planètes et la chute des corps. En optique, il s' opposa à C. Huygens et R. Hooke, adeptes d' une théorie ondulatoire de la lumière. Cependant, sa contribution faite dans « Opticks » est, elle aussi, ex-

Les grands noms de la relativité

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ceptionnelle : il interprète la décomposition spectrale de la lumière à partir d'expériences concues avec des prismes et montre q ue la couleur blanche est un mélange des différentes couleurs spectrales ; il explique aussi la formation des images par des miroirs, et suggère même la possibilité d'échanges entre lumière et matière. Henri Poincaré Mathématicien et physicien français, né à Nancy en 1854 et mort à Paris en 1912. Après des é rudes à l'École Polytechnique et un diplôme d'ingénieur au corps des Mines, il passe une thèse en mathématiques en 1879. Deux ans après, il est nommé professeur à la SorboiUle. À 33 ans, il entre à l'Académie des Sciences. Sa contribution en mathématiques est considérnble et fortement inspirée par la physique. Aussi ses apports à l'électromagnétisme et à la mécanique sont-ils considérés comme majeurs. Da ainsi joué un rôle essentiel dans la recherche d' un groupe de transformation compatible avec l'invariance des équations de Maxwell et dans l' introdu ction des concepts relativistes développés par Einstein ; il est acruellement établi q u'il fut le premier à étendre le principe de relativité newtonien aux phénomènes électromagnétiques. En outre, sa contribution sur les équations différentielles, issues de la physique, en a fait le fondateur de la théorie des systèmes dynamiques à comportement chaotique. Ernes t Rutherford Physicien britannique, né à Brightwater, près de Nelson, en Nouvelle Zélande en 1871 et mort à Cambridge en 1937. Même si très jeune, en classe, il excellait sur tous les sujets, Rutherford fut intéressé surtout par les sciences et les mathématiques, au point de construire chez lui, pendant sa scolarité, un appareil lui permettant d'érudier la propagation des ondes électromagnétiques. Boursier, il poursuit ses érudes en Angleteire, à Cambridge, où il devint l'élève de 1.1. Thomson, celui qui détermina pour la première fois le rapport e fm, pour l'électron. D fut successivement professeur à Montréal, à Manchester, puis à Cambridge en 1909, et prit la direction du Laboratoire Cavendish en 1919. D est surtout connu pour ses travaux sur la radioactivité, notamment l'érude des rayons a, qu' il identifie à des noyaux d'hélium, et de leur diffusion, ce qui lui permet d'établir le modèle de la structure atomique, dans lequel une chruge positive est concentrée au centre, le noyau, et une charge négative est répartie autour. En 1920, au cours d' une conférence, il prévoit l'existence d'une particule, de masse égale à celle du proton, mais de charge nulle ; cene particule sera découverte dans son laboratoire par James Chadwick en 1932 et appelée neutron par ce dernier. Curieusement, il reçut, en 1908, le prix Nobel de chimie mais pas celui de physique.

Constantes physiques, notations et symboles Constantes physiques Constante de gravitation ou constante de Newton : Constante d'Einstein (valeur exacte) : Charge élémentaire : q~ = è /(47Tso) : Masse de l'électron : Masse du proton : Constante de Planck : Constante de Planck divisée par 27T : Nombre d'Avogadro : Constante de Boltzmann : Constante des gaz parfaits : Constante de Faraday :

G = 6, 67428(67) x JO- li ru3 .kg- 1,s-2 c = 2, 997924580 x !OS m.ç 1 e = 1, 602176487(40) x J0 - 19 C ~ "'230, 708 x 10- 30 SI m, = 9, 109 38215(45) x J0 - 31 kg m,c2 "'0, 511 MeV lnp = 1, 672 621637(83) x JO - Z7 kg mpc2 "'938, 27 MeV h = 6, 62606896(33) x J0- 34 J .s fi= 1, 054571628(53) x J0- 34 J .s NA = 6, 022 141 79(20) x J023 moJ- 1 k 8 = 1, 3806504(24) x J0 - 23 J .K- 1 R = NAks = 8, 314472 (15)J.K- lmoJ- 1 F = NAe = 96485, 3399(24) C.moJ- 1

Constante de strucrure fine :

a, = q~/fi.c

Longueur d' onde de Compton relative à l'électron : Unité de masse atomique :

= 7,297 3525376(50) x 10- 3 "' 1/ 137, 036 Ac= 2 ,426 310217 5(33) x J0- 12 rn u = 1, 6604 x 10- 27 kg= 931, 5 Mev .c - 2

Les valeurs de ces constantes fondamentales sont celles actualisées en 2006 (http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html). La valeur de la constante de Newton doit se lire : G = 6,674 28(67) ± 0, 000 67 x 10- ll m3. kg - 1.s- 2

Notations et symboles net n' x , y , z;x' , l , t v, a v', a!

référentiels (repères d'espace et de temps) composantes cartésiennes du vecteur position dans n et n' vecteurs vitesse et accélération d'une particule par rapport à n vecteurs vitesse et accélération d' une particule par rapport à n'

xvii

Constantes physiques, notations et symboles

v,

vitesse d' entllÛilement de R' en translation par rapport à R

4-x ( ct,x, y, z)

quadrivecteur espace-temps

ct.r2 =

c2 dr - dr - dyl - dr carré de l'intervalle élémentaire entre deux événements

114-xW

carré de la pseudo-norme de 4 -x : c2

dT= dsfc

durée propre élémentaire

m

masse d'une particule

r-r

-l -r

M

masse d'un système de particules

[3, = v, fe 'Ye = ( 1 _ {3';)- 1/2

rapport de la vitesse de translation de R' par rapport à R sur c facteur relativiste associé à v,

f3 = vfc 'Y = (1 - {32 ) - 1/ 2

facteur relativiste associé à la vitesse v quelconque d' une particule

4-v ( yc, y v)

quadrivecteur vitesse

4-a

quadrivecteur accélération

4-k (wfc, k)

quadrivecteur d'onde

4-p (ymc, p = ymv)

quadrivecteur énergie-quantité de mouvement

rapport de la vitesse quelconque d'une particule sur c

L

moment cinétique

E:k = ('Y - l )mc2

énergie cinétique d'une particule

E:o = ,m;2

énergie de masse d'une particule

t:p t: t:,

énergie potentielle énergie totale d'une particule dans un potentiel

4-f (yF · vfe, yF)

quadrivecteur force

énergie d'une particule libre

n·

référentiel du centre de masse

E,V

champ et potentiel scalaires électriques

B,A Wc =

champ et potentiel vecteur magnétiques

qBf( ym)

pulsation cyclotron d'une particule en dynamique einsteinienne

P= p + qA

impulsion d'une particule ou moment linéaire

C' 1i. 4-J (pc, J)

quadrivecteur source du champ électromagnétique

4-A ( V/c, A )

quadrivecteur potentiel

4-\7 (8f8ct, - V )

quadriopérateur nabla

lagrangien, hamiltonien

0 = 82/ é282f2- ';72

dalembertien

H

coefficient de Hubble

z

décalage spectral relatif

A

constante cosmologique

Gan

giga-année (milliard d'années, 1 Gan= 3,155 76 x 10 16 s)

xv ill

Constantes physiq11es, lW/arions et symboles Alphabet grec alpha

A

a

êta

H

'11

nu

N

p

tau

T

'T

v

bêta

B

{3

thêta

a

(}

xi

E §

upsilon

y

gamma

r

'Y

iota

1

0

cf>

delta

8

kappa

K

K

pi

n

.,.

phi

a

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omicron

khi

x x

epsilon

E

€

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A

À

rhô

p

p

psi

qr

zêta

z ç

mu

M

p.

sigma

~

q

oméga

0

milli (rn) = J0 - 3

micro( p.) =

J0- 6

nano (n) = J0 - 9

pico (p) =

kilo (k) = 103

méga (M) =

1o6

giga (G) = 109

téra (T) = 1012

"'

"' n "'

J0- 12

péta (P) = 1015

Description de l'ouvrage V ouvrage « Relativité» est découpé en dix leçons dont les trois dernières sont des compléments succints de physique nucléaire, d'électromagnétisme et de gravitation. Le déroulement de ce cours, qui s'adresse à des étudiants de licence 2 ou 3, est le suivant : Leçons 1 à 5 : Introduction, Transformation de Lorentz-Poincaré, Intervalle entre deux événements, Dilatation des durées, Contraction des longueurs, Effet Doppler-Fizeau, Composition des vitesses, Loi fondamentale de la dynamique einsteinienne, quadrivecteur énergie-quantité de mouvement, énergie cinétique et énergie de masse. Leqns 6 à 7 : Mouvement de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques, Collisions élastiques et inélastiques entre particules. Leçons 8 à 10 : Physique nucléaire, Électromagnétisme et Relativité Générale.

Les leçons 1, 2, 3, 4 et 5 tiennent un rôle central, car elles contiennent les éléments indispensables (définitions, lois et principes) à l'étude des leçons qui suivent. Même si ces dernières sont presentées dans un certain ordre, on peut les aborder dans un ordre quelconque, selon l'intérêt du moment ; en effet, toutes les leçons sont présentées de fuçon quasi autonome et le renvoi à des formules éloignées est pratiquement inexistant.

Méthode de travail L«ture des leçons Dans une phase initiale, une leçon doit être lue une première fois, en insistant sur l'introduction, laquelle situe la leçon dans le cours, et sur la conclusion qui répertorie l'ensemble des résultats essentiels. Dans une deuxième phase, l'étudiant doit refaire avec soin tous les calculs intermédiaires.

Enfin, une dernière lecture devrait permertre d'appréhender complètement la leçon, notamment les résultats essentiels, les exemples significatifs et les ordres de grandeur. Exercices et problèmes

La lecture de la leçon achevée, l'étudiant doit passer à la phase d' application en faisant des exercices simples et courts, directement liés au contenu de la leçon ; il doit essayer de les résoudre avec le seul support que constitue le cours. En cas de difficultés, un coup d'œil rapide sur la solution, proposée en fin d'ouvrage, devrait l'aider. D fu ut cependant éviter la simple lecture de la solution proposée et la mémorisation de la démonstration : mieux vaut revenir sur la leçon pour résoudre l'exercice. En cas de difficulté majeure,lire la solution et tenter de la refuire, sans aucune aide, un ou deux jours plus tard.

Description de l'ollvrage

xx

Une fois ces exercices rédigés, tenter de résoudre des problèmes d'examens et concours, généralement plus longs. Révision Pour réviser, une ultime lecture devrait conforter l'apprentissage. Ne pas hésiter à souligner au crayon les parties essentielles et à porter en marge des remarques personnelles suggérées par la lecture d'autres ouvrages ou de documents annexes, tels que des revues à grand public (La Recherche, Pour la Science, Ciel et Espace, Science et Vie, etc.).

Comment résoudre un problème de relativité '? La pratique pédagogique de l'enseignement de relativité nous conduit à souligner préalablement quelques points essentiels en cinématique et en dynamique einsteiniennes.

Cinématique C'est la partie la plus délicate, car non intuitive. On la résout correctement si l'on suit les règles suivantes, même lorsque Je texte du problème n'invite pas à Je faire. 1) On s'astreint à écrire systématiquement les coordonnées des différents événements considérés. On change de référentiel en appliquant la transformation de Lorentz-Poincaré. 2) On écrit cette dernière transformation sous sa forme canonique, dans laquelle toutes les variables sont homogènes à une longueur (ct au lieu de t ). 3) On identifie Je référentiel propre pour les durées (référentiel par rapport auq uel les deux événements sont localisés au même point) et pour les longueurs (référentiel par rapport auq uel la tige dont on mesure la longueur est fixe). 4) On introduit Je q uadrivecteur vitesse et Je q uadrivecteur d'onde, lesquels se transforment comme les coordonnées spatio-temporelles. 5) On distingue soigneusement les trois facteurs relativistes : y, associé à la vitesse d'entraînement v, de R.' par rapport à R., y fonction de la vitesse v de la particule par rapport à R. et y dépendant de la vitesse de cene même particule par rapport à R.' .

6) Enfin, on vérifie l'analyse par Je test d'invariance de l'intervalle entre deux événements, lequel remplace Je temps newtonien qui, en relativité, n'est plus universel. Dynamique et énergétique C'est la partie la moins délicate et la plus riche sur Je plan des applications : particules chargées dans des champs, électrique et magnétique, collisions élastiques ou inélastiques. Les précautions à prendre sont les suivantes. 1) Les théorèmes à appliquer sont analogues à ceux de la mécanique newtonienne, avec des expressions évidemment plus riches de la quantité de mouvement et de l'énergie E: d' une particule libre : p =ymv et

E:t = (y - J)mc2 avec y= ( J - {32 ) - 112 et {3= ~ c

au lieu de p = mv et E:k = mll-/2.

Description de l'o11vrage

xxi

2) La quantité E:o = mc2 , concept nouveau appelé énergie de masse, est reliée à la quantité de mouvement p et à son énergie E: de particule libre par la relation générale :

3) Dans l'application de la loi fondamentale de la dynamique, il est préférable de privilégier Je concept de quantité de mouvement. Techniquement, cela revient à obtenir d'abord la quantité de mouvement par intégration puis à en déduire la vitesse par la relation :

4) Pour toute collision, élastique ou inélastique, la quantité de mouvement totale et l'énergie totale se conservent. Dans Je premier cas, cette dernière conservation implique celle de l'énergie cinétique. Comme en mécanique newtonienne, Je référentiel du centre de masse est commode pour établir des propriétés caractéristiques ou pour déterminer des seuils énergétiques. Simula tion Le recours à la simulation numérique est particulièrement utile dans l'étude du mouvement de particules chargées rapides dans des champs non uniformes, et surtout dans Je tracé de fuisceaux de particules.

Quelle es t J'interprétation des r ésultats obtenus? Cette demière phase est capitale, car elle permet d' apprécier la narure physique des résultats obtenus et donc de revenir sur des erreurs de calcul ou de programmation malheureuses. Dans la plupart des applications numériques, il est j udicieux d' utiliser Je MeV pour l'énergie, Je MeV.c - t pour la q uantité de mouvement et Je MeV.c - 2 pour la masse.

La relativité en vingt questions

1. Pollrqlloi dit-on parfois que la relativité est une théorie mal nommée? 2. On lit souvent la phrase suivante : « Les q uatre équations de Maxwell ne sont pas invariantes par transformation de Galilée>>. Po11rqlloi une telle affirmation n'est-elle que partiellement correcte? 3. Po11rqlloi, malgré certaines analogies, les ondes électromagnétiques sont-elles fondamentalement différentes des ondes acoustiques? 4. On lit souvent, dans des textes relativistes, pas nécessairement destinés au grand public, q ue les intervalles temporel et spatial sont séparément invariants en relativité galiléenne. Pollrqlloi cette affirmation est-elle en partie incorrecte? 5. D existe deux façons d'écrire l'intervalle entre deux événements, l'une privilégiant le temps, l'autre privilégiant l'espace. Pollrqlloi, malgré une même efficacité calculatoire, la première est-elle pédagogiquement et même conceptuellement préférable à la seconde? 6. En relativité restreinte, il est souvent commode de mesurer le temps en mètre, en utilisant la coordonnée ct au lieu de la variable temps l. Pollrqlloi cependant la phrase s uivante souvent entendu e: « Avec la relativité, le temps et l'espace ont désormais des statuts identiques», est-elle abusive? 7. Lors d' une émission télévisée grand public sur la relativité, un scientifique ( !) voulant illustrer la contrnction des longueurs a affirmé q u' un voyageur, situé dans un train se déplaçant à grande vitesse par rapport à la Terre, voyait la largeur de la fenêtre de son compartiment se rétrécir. Pollrqlloi une telle affirmation traduit -elle une incompréhension de la relativité? 8. Pollrqlloi n'y a-t-il pas réciprocité de situation dans l'expérience de pensée sur les j umeaux de Langevin? 9. Pollrqlloi James Bradley a-t-il pu, en 1729, estimer la vitesse de la lumière dans le vide, avec une efficacité remarquable, en é tudiant l'aberration de l'étoile y du Dragon, alors q u'il s'appuyait sur la simple théorie newtonienne? 10. Po11rqlloi l'expérience interférométrique de Fizeau, où la lumière se propage dans de l'eau en mouvement, suffisait à valider le point de vue d'Einstein sur l'espace et le temps, sans le recours de l'expérience de Michelson et Morley?

La relativité en vi11gt qllestio11s

xxili

11. Ftmrq11oi Je concept de masse variable ne présente aucun intérêt, et qu'en outre il est pédagogiquement dangereux? 12. Pollrqlloi la tentative d'interpréter l'avance du périhélie de Mercure par une théorie relativiste d'espace-temps plat a-t-elle conduit à un échec? 13. Ftmrq11oi un ensemble de deux photons, de même énergie et de q uantités de mouvement opposées, se comporte-! -il comme un système de masse non nulle? 14. Pollrqlloi Je mouvement relativiste d' une particule chargée, dans un champ magnétique seul, est-il simple à étudier et important à connaître?

15. Dans l'érude des collisions entre particules rapides, on introduit souvent, même en mécanique einsteinienne, Je référentiel du centre de masse. Pollrqlloi? 16. Lorsqu'on veut créer de nouvelles particules, on s'arrange pour q ue Je projectile et la cible soient en mouvement, de telle sorte q ue Je référentiel du laboratoire soit aussi Je référentiel du centre de masse. Pollrqlloi?

17 . Pollrqlloi un ensemble de deux champs orthogonaux, l'un électrique et l'autre magnétique, peut-il se réduire, dans d'autres référentiels, à un seul champ électrique ou à un seul champ magnétique? 18. Pollrqlloi Je rayonnement d' une étoile ne peut-il être artribué à un effondrement gravitationnel? 19. Malgré une masse nulle, un photon émis par une étoile est dévié de sa trajectoire par une masse telle que Je Soleil. Pourqr«>i?

20. Pollrql«>i la constante cosmologique A exprime-t-elle l'équivalent d' une force répulsive?

1 Introduction. Principe de relativité Au début du XXCsiècle,Ja plupart des physiciens étaient persuadés que l'ensemble des phénomènes physiques pouvaient être interprétés, soit par la mécanique de Newton (cf. Mécanique), soit par l'électromagnétisme de Maxwell (cf. Électromagnétisme). Cependartt, dans ce tableau d'une science physique pratiquement maîtrisée, seulement deux questions restaient à résoudre, selon notamment l'éminent physicien écossais Lord Kelvin: i) Je mode de propagation de la lumière ainsi que Je comportement singulier de sa vitesse, ii) Je rayonnement émis par les corps condensés. Cene seconde question constitue Je point de départ de la physique quantique (cf. Quantique), Quant à la réponse à la première question, elle est à l'origine de la théorie, dite de la Relativité, qui se présente, après analyse, comme une double extrapolation du principe de relativité newtonien, selon lequel aucune expérience de mécanique ne permet de distinguer entre deux référentiels galiléens (cf. Mécanique). La première extrapolation, qui concerne l'extension de ce principe à la lumière, est la Relarivilé Reôtreirue (RR),la seconde est la Relativité Génémle (RG). D convient donc avant tout de rappeler la Relativité Newtonienne.

1.- RELATIVITÉ NEWTONIENNE On appelle relativité ntMtonieru1e des lois de la mécanique leur invariance, par changement de référentiel galiléen (cf. Mécanique). Rappelons que ces derniers sont des référentiels en translation, rectiligne, uniforme, les uns par rapport aux autres, dans lesquels les forces qui apparaissent sont uniquement dues à l'interaction du corps considéré avec d'autres corps situés dans son voisinage.

Remarque: D convient de ne pas confondre la translation, qui exprime l'absence de rotation d'un référentiel par rapport à un autre référentiel, et Je mouvement rectiligne qui, lui, ne concerne qu'un point dont la trajectoire au cours du temps est une droite (cf. Mécanique). C'est une incorrection que l'on peut malheureusement lire, encore aujourd'hui, dans des textes écrits par des scientifiques.

1. 1 . - Coordonnées d'un événement On exprime la relativité newtonienne en exprimant Je changement de coordonnées d'un événement, c'est-à-dire d'un phénomène physique localisé, dans un référentiel donné, à la fois dans Je temps (instant) et dans l'espace (lieu).

1. l11troduction Principe de relativité

2

Ainsi, un événement, survenant à une particule matérielle, est caractérisé par la donnée de la coordonnée temporelle t et de ses coordonnées de position, par exemple x, y , z. D est alors commode d' utiliser un espace à quatre dimensions, dans lequel un événement est représenté par un point Q appelé point d'U11ivers. Dans cet espace, la courbe décrite par Q est la ligne d'Univers. La figure 1.1 représente Je mouvement rectiligne d' une particule ainsi que la ligne d' univers correspondante.

a)

b)

FIG. 1.1.

1. 2 . - Transformation de G alilée La transformation de Galilée permet de relier les coordonnées d' un événement dans un référentiel galiléen R. à celles du même événement dans un autre référentiel galiléen R.', de vitesse d'entraînement v, par rapport à R. (Fig. 1.2a). Cette transformation est à la base de la cinématique newtonienne :

t=l

x =x +v,l

y=

y

et

z= i

L'absence de constantes dans les formules de transformation revient simplement à supposer que les origines 0 et rY de R. et R.' coïn 0 et x' < 0.

On voit qu'en cinématique relativiste la duree est un invariant : on dit aussi que Je temps est une grandeur universelle ; c ' est Je principe d' universalité du temps de la mécanique newtonienne. En revanche, contrairement à une idée incorrecte très répandue, l' espace n'est pas absolu en mécanique newtonienne, mais relatif, puisque les coordonnées spatiales d' un même événement different d' un référentiel à l'autre.

R emarques : 1) Le q ualificatif inertiel est souvent utilisé à la place d e galiléen. Certains auteurs ne font aucune différence entre les deux adjectifs. D'autres, comme nous, définissent les référentiels inertiels comme des référentiels dans lesquels Je principe de l'inertie, ou première loi de Newton, peut être concrètemelll réalisé, et non en imaginant simplement l'absence de force (cf. Mécanique). Cette distinction apparaîtra clairement plus loin, lorsque nous analyserons les idées de la relativité générale (cf. chapitre JO). Le choix, fuit ici, permet d'adopter une démarche sans rupture avec la mécanique newtonienne et d'éviter de déflorer Je point central de la RG, c'est-à-dire l'analyse du rôle de la gravitation en relativité. Pour l'instant, cette discussion s'avère quelque peu académique puisque, dans la plupart des cas intéressants où des forces électromagnétiques sont présentes, la gravitation n'est pas à prendre en compte car négligeable. 2) Dans son livre « Principia mathematica »,Newton introduisit non seulement Je concept de temps absolu, mais aussi celui d'espace absolu, ce dernier à l'analyse s'avérant sans fondement, comme Je firent remarquer au début des années 1900 H. Poincaré etE. Mach.

flltrod!lctioll. Pri11cipe de relativité

dans

3

On obtient les formules réciproques donnant les coordonnées dans R' en fonction des coordonnées en les permutant et en changeant v. en - v• .

n.

t'= t

x'= x - v, t

y'= y et

z' = z

y'

y

x a)

b)

FIG. 1.2.

Exemple de tra11sjormation galiléenne des coordon11ées d'évé11eme111s

Une source lumineuse, placée à l'origine 0' du référentiel galiléen R' = 0' x'it, de vitesse d'entraînement v, par rapport au référentiel du laboratoire R, émet un rayonnement lumineux selon l'axe O'i (Fig. 12b). Appelons Et l'événement « émission de lumière en 0', >> ~ l'événement « réflexion sur un petit miroir plan M'>>, situé sur l'axe Oi à la distance 1, et ~ « l'événement détection de la lumière en 0' >>. Les coordonnées de Et , ~ et ~ , dans R' , sont, respectivement :

t' =Ife x' =0 ~ l =1 n· t =0

t'= 0 x'= 0 Et y'= 0 n· t =0

t' =21/c x'= 0 ~ y'= 0 n· t =0

Par conséquent, d'après la transformation de Galilée, on a :

t=O x=O Et y=O n z =O

E 2

f'''

x=v,lfc y=l z =O

t = 21/c x= 2v,l fc 13) y=O n z =O

Une telle explicitation, qui peut paraître superflue dans Je cas newt onien, s'avérera utile en relativité restreinte où l'intuition et Je bon sens habituels peuvent fucilement conduire à des erreurs. Dans ce contexte, il est prudent de rappeler la phrase de G. Bachelard : « En relativité restreinte, l'intuition (newtonienne) est un obstacle à la pensée scientifique>>. Notons q ue la durée galiléenne entre deux événements est invariante par changement de référentiel galiléen : elle vaut Ife pour Et et ~, 21/c pour Et et E3 , à la fois dans R et R', conformément à l'hypothèse du temps universel. En revanche, la distance qui sépare les deux événements, elle, n'est pas invariante par changement de référentiel galiléen : pour les événements Et et ~ , eUe vaut respectivement, dans R' et dans R

d'= 1 et d = (P +1f.Pfc 2 )t 12 = 1{1 +v:fè)t 12

1. l11troduction Principe de relativité

4 1. 3 . -Transformation galiléenne des vitesses

En dérivant par rapport au temps, paramètre universel temps ( t = t') , les formules de transformation de Galilée, on retrouve la loi bien connue de composition des vitesses, dans Je cas de la translation (cf. Mécanique). En effet : dx

dx'

dt= d7 +v, puisque dt = dt' . Par conséquent :

ce qui s'écrit vectoriellement :

v=v1 +

Ve

v, étant la vitesse d'entraînement de R.' par rapport à R.. Remarques: 1) En cinématique newtonienne, la composition des vitesses ne concerne pas uniquement des référentiels R. et R.' galiléens (cf. Mécanique) ; elle est établie à partir de considérations uniquement cinématiques, indépendantes de la nature galiléenne des référentiels. Ces derniers peuvent être, en effet, en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, mais en mouvement de rotation par rapport au référentiel de Copernic. Ce résultat est directement relié à l'hypothèse newtonienne de l'universalité du temps. 2) La composition des vitesses précédentes est souvent retenue sous la forme incorrecte suivante :« vitesse absolue égale vitesse relative plus vitesse d'entraînement>>, car seules les vitesses relatives n'ont de sens et qu'aucun référentiel galiléen ne presente de caractère singulier.

1. 4. -Transformation galiléenne des accélérations Dérivons par rapport au temps l'équation précédente exprimant la loi newtonienne de composition des vitesses. On trouve, à l'aide de la transformation de Galilée : d v,

d v~

dv,

d 1/,

-dt = -dt' + -dt = -dt' Ainsi, on trouve., vectoriellement a = fi .

Si l'on admet l'invariance des forces (lorsqu'on change de référentiel galiléen),Ja loi fondamentale de la dynamique du point matériel, ou deuxième loi de Newton, s'écrit donc de la même manière dans tous les référentiels galiléens R. et R.' : dp

d~

1

F = - = ma et F = = ma dt dt' F désignant la somme des forces qui s'exercent sur Je point matériel, p et p' les quantités de mouvement, produit de la masse m par la vitesse v ou v' suivant Je référentiel. Aucune expérience de mécanique ne permet donc de distinguer deux référentiels galiléens. Cette analyse, qu'imposa Galilée, fut magistralement confirmée par la célèbre expérience du boulet tombant verticalement du sommet du mât d'un voilier, qui se déplace à vitesse vectorielle constante v, par rapport à la Terre : dans Je référentiel lié au voilier R.' , les lois de la chute libre sont les mêmes que dans Je référentiel R. ; Je mouvement (de translation rectiligne uniforme) de R.' par rapport à R. est « comme rien >> : on ne se rend compte du mouvement du voilier par rapport à R que si l'on regarde, depuis Je voilier, Je mouvement de l'eau ou Je rivage ; enfermé dans une cabine sans fenêtre, un passager du voilier est totalement insensible au mouvement en translation, rectiligne, uniforme, de R.' par rapport à R..

flltrod!lctioll. Pri11cipe de relativité

5

'j ·~~,, 0

x FIG. 1.3.

II.- COMPORTEMENT SINGULIER DE LA LUMIÈRE D. 1 . -

Aberration des étoiles de Bradley

On sait, depuis les travaux de l'astronome anglais J. Brndley, en 1729, que les étoiles lointaines présentent, pour un observateur terrestre, en mouvement annuel autour du Soleil, non seulement une anomalie de position, le défuut de parallaxe, mais aussi une anomalie de vitesse, l'aberration des étoiles. En supposant que la vitesse de la lumière est indépendante de la vitesse de l'étoile émettrice et en appliquant une simple composition newtonienne de cette vitesse avec celle de l'observateur (cf. M éca11iqlle), Bradley put obtenir la première mesure correcte de la vitesse de la lumière dans l'espace, de l'ordre de 3 x !OS rn · s- 1 •

D. 2 . - Expérience d ' Arago En 1809, l'astronome F. Arago tente en vain de tester, sur la lumière, la composition newtonienne des vitesses, en analysant la lumière provenant des étoiles et réfractée par un prisme, Je soir à l'ouest, juste a pres Je coucher du Soleil, puis douze heures a pres, juste avant son lever (Fig. 1.4). D reprend ainsi un ancien programme expérimental, proposé plusieurs années auparavant, en 1786, par un astronome écossais R. Blair. Malheureusement, comme dans le cas de Blair, dont il ne connait pas les trnvaux, la précision des mesures est insuffisante.

Q) Manomètre

FIG. 1.4.

FIG. 1.5.

D. 3 . - Théorie ondulatoire de la lumière Sollicité par Arago, Je physicien français A. Fresnel, adepte d'une théorie ondulatoire de la lumière, seule théorie en mesure d'expliquer les phénomènes de diffraction et d'interférence (cf. Optiqlle),

6

1. llltrod!lction Principe de relativité

interprète, d' une part Je résultat de Bradley par l'indépendance de la vitesse de la lumière par rapport au mouvement de la source, d'autre part celui d'Arago comme une absence de liaison entre la réfraction et la valeur de la vitesse de la lumière. D considère, par analogie avec Je son, q ue la lumière est une onde qui se propage dans un certain milieu, q u'il nomme « éther>> en raison des propriétés exceptionnelles q ue ce milieu devait posséder, notamment une vitesse aussi grande que 3 x 108 rn · s- 1 . D est alors conduit en 1818 à supposer un entraînement partiel de l'éther par les corps en mouvement, notamment la Terre, avec un facteur d'entraînement d'expression f = 1 - l / 112 , 11 étant l'indice optique du milieu considéré. Cependant une différence importante entre Je son et la lumière était déjà connue : contrairement au son, qui se propage moins bien dans les milieux dilués q ue dans les milieux condensés, et ne se propage pas en l'absence de matière, la lumière se propage, elle, avec une vitesse qui est maximale dans Je vide. On met aisément en évidence cene différence entre Je son et la lumière, à l'aide de l'expérience représentée sur la figure 15 : en faisant Je vide dans une cloche de verre contenant une sonnette électrique, Je son émis s' affaiblit j usqu'à ne plus être audible, alors que la sonnette est toujours visible.

D. 4.- Expérience de Fizeau C'est dans Je but de tester expérimentalement l'hypothèse de l'entraînement de l' éher q ue Je physicien français H. Fizeau proposa, dès 1851, une expérience consistant à étudier, à l'aide d' un système optique interférentiel, de type « fentes d'Young>> (cf. Optiq11e), la vitesse de la lumière dans un courant d'eau. Sur la figure 1.6a, on a représenté un tel dispositif ; en b, on rappelle Je montage original utilisé et décrit par Fizeau lui-même ; grâce à une lame semi-transparente et un miroir, on double l'effet, ce qui améliore la précision, et on minimise les effets de turbulence de l'eau dans les tubes.

'P

Source S

Branche 2 ~---

---- J -------·

Écr.ln

a)

Source S

Miroir Lame semi-trampare nte

b)

FIG. 1.6.

Introduction. Principe de relativité

7

a) Dispositif expérimental

La première lentille Lt (distance focale ft ) permet d'obtenir un faisceau parallèle ; avec la seconde L, de distance focale f , on forme sur l'écran P l'image géométrique de la fente source. En l'absence de courant d'eau, on observe en un point d'observation P, de coordonnée X du plan P, la figure de diffraction donnée par les deux fentes diffractantes Fmet F2 • Si les fentes distantes de a sont très fines, on observe un réseau de franges d'interférence distantes de ).j/a, A étant la longueur d'onde du rayonnement monochromatique. En présence d'tm courallt d'eau, de vitesse u , on constate un d écalage des phénomènes d'interférence que l'on doit comparer à la prévision galiléenne. b) Prévision galiléenne ou newtonienne

La différence de chemin optique supplémentaire tiL,; , selon la transformation de Galilée ou la théorie de Newton, s' obtient en prenant en compte les vitesses de propagation de la lumière par rapport à l'observateur. Dans la branche 1 du tube d'amenée de l'eau, cette vitesse serait V t = cfn - 11 et dans la branche 2, 1J2 = cfn + 11, puisque cf n est la vitesse de la lumière par rapport au liquide en mouvement. Par conséquent : tiL,;

( = c

l cfn -

11 -

l ) 2luc 2111-u cf n + 11 = c2 fn2 - u2"' - c-

Il étant très fuible devant cfn. En divisant par la longueur d'onde (dans Je vide) Ao de la radiation utilisée, on obtient Je décalage suivant des franges d'interférence :

l1pN = tiL,; "'

Ao

2fii2U

cAo

Ordre de grandeur: dans l'expérience de Fizeau, 11 = 7 rn · s- 1 , l = 1, 5 rn, Ao = 530 nm et n = 1, 33, ce qui prédit !1pN = 0, 23, alors que l'expérience fournit une valeur proche de 0, 1. Fizeau remarqua que ce résultat expérimental pouvait être retrouvé en tenant compte du facteur d'entraînement de Fresnel 1 - l / n 2 égal à 0,44 dans l'eau. Remarques: 1) Dans cette expérience, délicate à reprnduire, les deux tubes doivent être très proches l'un de l'autre et de faible diamètre, 5 mm environ. 2) Une version moderne de l'expérience de Fizeau a été réalisée en 2012 parT. Lahaye et al.

D. 5 . - Expérience de Michelson Malgré l'efficacité du facteur d'entraînement de l'éther, pour retrouver les résultats expérimentaux fournis par son expérience, Fizeau, comme la plupart des physiciens, resta sceptique sur la validité théorique de l'entraînement de l'éther. Des expériences plus précises, du deuxième ordre en v,fc apparaissaient nécessaires. Dans ce contexte, Je physicien américain, A. Michelson eut l'idée, en 1880, de construire un interféromètre optique très sensible, afin d'analyser les variations de la vitesse de la lumière v1 , par rapport au référentiel R représentant l'éther, au cours du mouvement orbital de la Terre (Fig. 1.7). Entre Vt et la vitesse ~ de la lumière, par rapport au référentiel R' du laboratoire, la composition newtonienne des vitesses s'écrit :

v1 =v; + ve v, étant la vitesse d'entraînement du laboratoire. Pendant la durée de l'expérience, les deux référentiels R et R' peuvent être considérés comme des référentiels galiléens, avec une excellente approximation.

8

n

Référe ntiel li6 à félher

0

1. Introd!lction Principe de relativité

L

,.~

Référentiel n' terrestre

\ 't

0' ~----------~

x FIG. 1.7.

a) Dispositif expérimental I.: interféromètre, construit par Michelson à cette occasion, est désormais bien connu et porte depuis Je nom d'interféromètre de Michelson. D est constitué de deux miroirs Mt , M2 et d'une lame semi transparente 4 qui divise l'onde incidente en deux parties d'égales intensités (Fig. !.&a). On réalise l'interférence des ondes issues de l'image St de la source S, donnée par 4 et Mt , et de l'image S 2 , donnée par M2 légèrement incliné et 4 (cf. Optiq11e). Pourl'expérimentateur,Ja variation de l'éclairement au point P, où se trouve Je détecteur, dépend de la différence 'T des durées mises par les ondes issues de S et détectées en P ; précisément, l'aspect interférentiel dépend de la différence de phase 21Til'T, 11 étant la fréquence du rayonnement.

_ ,.•

~J

1

Source

Ls Lame semi-lnlnsparente Détecteur

Miroir M 2

~P a)

b)

FIG. 1.8.

b) Expression de la différence de pl~ase Si 'Tt désigne la durée mise par la lumière pour aller de 1 à ft , puis revenir en 1 , et 1'2 la durée qu'elle met pour aller de 1 à h, et revenir en 1, il vient,les trajets SI et IP étant communs : 'T

=

1'2 -

'Tt

Exprimons 'Tt et 1'2 , en fonction des longueurs lt et 12 des bras de l'interféromètre (lit = lt et lh = h ), de la vitesse d'entraînement v, = v,e, du laboratoire et de la vitesse de la lumière dans Je vide c. On voit aisément que, selon la théorie newtonienne : 1'2

en posant :

12 12 c = - - + - - = 2h ----c - Ve c + Ve c2 - v;

soit

2 1'

=

2l2

1 c l - ~fé2

Introd!lction. Principe de relativité

9

D' autre part, comme la vitesse de la lumière dans R est c, la vitesse dans R' est c - v, selon la théorie newtonienne (Fig. 1.8b). On a alors, (J étant l'angle que fait ce vecteur vitesse avec 1' axe des x défini par v. :

lie - v, li = (ê +v: -

2v,c coso)tl 2

= (ê

-

v:)t/2

puisque cos 0 = v,fc. Den résulte que : et Comme v,fc"' 10- •

«

1, on en déduit l'expression approchée suivante de 'T :

d'où la différence de phase : = 21Til'T = 27T -C'T

Àü

"=' -27T [2(~ - lt) + (2.1:2 - !t)-v~ ]

è

Àü

en introduisant la longueur d'oode dans le vide (lt = h = l ), on trouve :

Ao = cf v. Pour des bras de longueurs égales

c) Échec expérimental Techniquement, Michelson a réalisé l'expérience avec une source S quasi-monochromatique, mais étmd11e. En inclinant légèrement le miroir M2 , il a observé des franges d'interférence, localisées sur Mt , caractéristiques d'un coin d'air (cf. Optiq11e). En fuisant tourner J'appareil de 90 • , autour d'un axe vertical, les rôles joués par les miroirs Mt et M2 , relativement à la direction de v, , sont inversés (Fig. 1.9a). La nouvelle différence de durée s'obtient à partir de la précédente, en affectant aux longueurs lt et l 2 des coefficients de correction en vitesse permutés :

r

d'où la différence de phase associée : ' = 21Tvr =

2

2 7T cr"' 7T

Ao

Àü

[2(~ - lt) + (~ - 2/t)~l c2

Ainsi, on devrait observer au point P de J'écran, selon la théorie newtonienne, une variation d'éclairement associée à la différence de phase supplémentaire , du fait de la rotation de l'interféromètre : · sott

rentz.Poincaré C'est en 1905 que Je savant français H. Poincaré énonça, à l'Académie des Sciences de Paris, la nouvelle transformation des coordonnées, par changement de référentiel galiléen, sous sa forme définitive, en lui accordant une importance physique et en en attribuant élégamment la paternité à Lorentz :

Ye (x'+ f3,a')

X=

y=y

z= t

avec : {3, =

~

et

Ye = ( 1 - {3:)- l/Z

i

ll montre alors que cene transformation laisse invariante la forme quadratique il + + z2 - c2 f2 et qu'elle a une structure mathématique de groupe, c'est-à-dire que Je produit de deux transformations de Lorentz est encore une transformation de Lorentz. Sur la figure 1.10, on a représenté la variation du facteur relativiste y, en fonction de {3, ; on voit que y, varie entre 1 et l'infini lorsque {3, passe de 0 à 1.

2

0 FIG. J.JO.

Comme pour la transformation de Galilée, les origines des durées et des espaces sont supposées les mêmes pour les deux référentiels. Selon cette transformation, Je temps n'apparat! plus comme un paramètre universel. Nous reviendrons plus loin sur les implications de ce résultat qui surprit les physiciens de l'époque et déroute encore les débutants.

14

1. llltrod!lction Principe de relativité

IV.- PRINCIPE DE RELATIVITÉ DE POINCARÉ-EINSTEIN Avant d'énoncer Je principe de relativité de Poincaré-Einstein, il n'est pas sans intérêt de rappeler une expérience historique qui souligne l'échec, non de la composition newtonienne des vitesses, comme dans les expériences de Fizeau ou de Michelson, mais de la loi fondamentale de la dynamique newtonienne. IV . 1 . -

Expérience d e Kaufmann

En 1901, Je physicien allemand W. Kaufmann tenta de vérifier expérimentalement la relation newtonienne entre la quantité de mouvement p d'un électron rapide et Je rayon de courl>ure R de sa trajectoire dans un champ magnétique B . On sait, en effet, que la trajectoire d' une particule chrugée (charge q ), dans un champ magnétique constant B , est un cercle, si sa vitesse initiale est perpendiculaire au champ (cf. Méca11iq11e). Entre R, p et B, on a la relation newtonienne suivante : R _ p _ mv _ {3mc

-qB-qB-qB

avec

{3

= -v

c

D constata q ue R n'était pas proportionnel à {3, mais à y{3, y = ( 1 - {32 ) - 112 étant Je facteur relativiste associé à {3, introduit dès 1895 par Lorentz. Sur la figure 1.11, on a représenté Je graphe établissant expérimentalement la relation de proportionnalité entre R et y{3 ; la pente de la droite dépend évidemment du champ magnétique, lequel était d'environ 17 mT. Comme nous Je verrons ultérieurement (cf. chapitres 6 et 7), ce résultat expérimental s'interprète aisément à l'aide de la loi fondamentale de la dynamique d'Einstein, appliquée au mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique. R(m)

0,2 0,1

0

.;( 1 2

3

4

yfJ

FIG. !.li.

IV . 2 . - Énoncé du principe !.:extension du principe de relativité newtonien à tOIIS les phénomènes physiques, notamment lumineux, fut proposée, pour la première fois, par Je mathématicien et physicien français H. Poincaré, dans sa conférence de Saint Louis, aux États-Unis, Je 24 septembre 1904 :

To11tes les lois de la physiq11e so11l invaria11tes par changement de référentiel galiléen. Den résulte que les lois de la dynamique, ainsi que celles de l'électromagnétisme contenues dans les équations de Maxwell, doivent s'exprimer de la même façon dans deux référentiels galiléens. Dans cene conférence, Poincaré y développe ce qu'il a déjà écrit deux ans plus tôt, dans un livre célèbre « La Science et l'hypothèse», principalement l'inexistence d' un temps absolu ; en outre, il y voit la possibilité d'éviter les onze hypothèses qui ont permis à Lorentz de justifier son inteq>rétation de l'invariance des équations de Maxwell.

llltroductio11. Pri11cipe de relativité

15

Quelques mois plus tard, le 30 juin 1905, un jeune physicien allemand, inconnu, A. Einstein, publie, dans la revue Annalen der Physik, en même temps q ue trois autres articles décisifs en physique, un texte sur le même sujet, intirulé « Sur l'électrodynamique des corps en mouvement>>. Dy énonce clairement l'extension du principe de relativité et y interprète physiquement, avec simplicité et élégance, toutes les conséquences, notamment l'invariance des équations de Maxwell e t le résultat négatif de l'expérience de Michelson.

Remarque: Dans les énoncés originaux du principe de relativité donnés par Poincaré et d'Einstein, le qualificatif rectilig11e, qu'on lit habiruellement dans les ouvrages de base (cf. Méca11ique), n'est pas mentionné. La raison en est simple : le mot u11ijorme est pris au sens vectoriel, ce qui évite de préciser davantage. IV . 3 . - Invaria nce de la vitesse de la lumière D'après l'énoncé précédent, appliqué aussi aux lois de l'électromagnétisme et donc à la propagation de la lumière dans le vide, sous forme d'onde, le champ électromagnétique doit se propager à la même vitesse c, invariante par changement de référentiel galiléen. Dans ce nouveau contexte, c n' est pas seulement la vitesse de la lumière dans le vide, mais bien plus largement une constante universelle de la physique, q u'on appellera dans la suite collstallte d'Ei11stei11. Dans sa publication originale, Einstein, contrairement à Poincaré, introduisit un second principe sur la vitesse de la lumière. Ce dernier est superflu, si l'on ne tient pas compte de la théorie électromagnétique de Maxwell, établie dès 1876, selon laquelle la lumière se propage dans le vide sous forme d'onde, l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel galiléen découlant du principe de relativité de Poincaré-Einstein. Dans une note envoyée un peu plus tard au directeur de la publication, Einstein admet lui-même que ce second principe est narurellement contenu dans les équations de Maxwell. La contribution de Poincaré fut remarquable à la fois dans la mise en forme définitive de l'écrirure de la transformation de Lorentz-Poincaré, et dans l'extension du principe de Relativité. Cependant, elle est moins précise et moins développée que celle d' Einstein, lequel envisage précisément la dilatation des durées totalement ignorée par Poincaré.

Remarques: 1) Certains auteurs n'ont pas hésité à affaiblir la contribution d'Einstein à la relativité restreinte, jusqu'à mettre en doute son intégrité, en le soupçonnant de plagiat. Nous conseillons au lecteur intéressé par cette polémique de se référer aux publications originales de ces deux grands scientifiques, ou plus simplement à la comparaison exhaustive de leurs contributions respectives fuite récemment par le physicien français T. Damour. D n'est pas inutile de rappeler q ue, dans leurs notes, Lorentz et Poincaré ont rendu un hommage appuyé au talent d'Einstein. 2) De fuçon anecdotique, Lorentz appela f3 le rapport v, f e, alors que Poincaré le désignait par s ; tous deux notent k la quantité y, . Quant à Einstein, il n'attribue pas de lettre au rapport v, f e et appelle f3 ce qu'on appelle actuellement y • ! IV . 4 . -Interprétation de l'expérience de Michelson-Morley Le principe de relativité, ainsi généralisé aux phénomènes électromagnétiques, permet d'interpréter l'expérience de Michelson et Morley de façon très simple : comme la vitesse de la lumière dans le vide est aussi égale à c, par rapport au référentiel du laboratoire, Tt vaut 21/ c ainsi que T 2 . Par conséquent, T = T 2 - Tt est nul au point d'observation P. Le concept d'éther ne présente alors aucun intérêt.

16

1. l11troduction Principe de relativité

IV. 5. - Écriture condensée de la transformation de I.A>rentz-Poincaré D est commode de réécrire la transformation de Lorentz Poincaré en substituant ct à la variable t et cl à la variable 1 , c étant un invariant :

ct= y, (ct

+ f3.x')

x= y,(x'

+ [3,d)

y= y'

z= t

avec [3, = v,fc et y,= ( ! - {3~)- 1 12 •

IV. 6. - Universalité de la théorie de la relativité Contrairement à ce que pourrait laisser supposer son nom, la théorie de la relativité restreinte n'est pas une traduction scientifique d'un éventuel relativisme philosophique, doctrine selon laquelle, par opposition à l'universalisme, rien n'est immuable et tout change selon Je point de vue, ce que Je sens commun résume efficacement par un « Tout est relatif». À l'analyse, cene théorie se présente finalement, au contraire, comme la recherche de ce qui est invaria11t par changement de référentiel galiléen et donc de ce qui est universel. Notons que l'universalité porte essentiellement sur la forme des lois et non sur les grandeurs qui apparaissent dans ces lois. On dit aussi q ue ces lois sont covarialltes. Par exemple, on écrira, par rapport à R et par rapport à R' , respectivement : dp

F= dl

d p' et F' = dt'

Remarque : La confusion et l'ambigwté provoquées dans l'esprit du grand public par Je nom de relativité sont telles, aujourd'hui, q ue certains auteurs ont proposé d'abandonner cene terminologie, en proposant à la place « Théorie de l'invariance ».

IV. 7 . - Invaria nce des équations de Maxwell par transformation de I.A>rentz-Poincaré

On montre que les quatre équations de Maxwell sont invariantes par transformation de LorentzPoincaré, pourvu q ue les champs se transforment, par changement de référentiel galiléen, selon (cf. chapitre 9) : E11 = E' 11

B11c = B'11c

et

E.L = y,(E'.L - ~. x B'.Lc)

B.Lc = y, (B'.Lc + ~.x E'.L)

dans lesquelles on a séparé les champ longitudinaux (parallèles à la direction v,) et les champs transversaux (perpendiculaires à v,).

Pour vérifier cene invariance, on doit, en outre, s'appuyer sur les relations entre les dérivations issues de la transformation inverse de Lorentz-Poincaré :

ct =

x=

y,(ct - f3.x)

l

y,(x - {3,ct)

=y

t

=

z

Pour les coordonnées spatiales transversales, on a encore :

8

-

8y

= -

8

8i

et

8

8

8z = 8z'

En revanche, pour la coordonnée temporelle et la coordonnée spatiale longitudinale, on doit utiliser les relations suivantes de dérivation :

8 8 8x' 8 8ct' 8 8 = - - + - - =y, - - y,f3, 8x 8x' 8x 8ct1 8x 8x' act

-

llltroductio11. Pri11cipe de relativité

17

« 1 dans les formules de transformation des champs, on restitue évidemment l'approximation newtonienne :

Remarque: En faisant [3,

E11 =E'11 E.L "' E' .L - ~. x B' .LC

B11 c = B' 11 c B.Lc "' B'.Lc

et

soit: E = E' - v, x B' et B = B'. Notons que, dans ces dernières formules, la symétrie entre Je champ électrique et Je champ magnétique a disparu.

CONCLUSION Retenons les résultats essentiels de ce chapitre introductif à la relativité. 1) Le principe de relativité de Poincaré-Einstein est une extension, à tous les phénomènes physiques, de l'invariance des lois de la mécanique newtonienne par changement de référentiel galiléen, en particulier à ceux concernant la lumière. Comme les équations de Maxwell s'écrivent de la rnème façon dans de tels référentiels, la vitesse c des ondes électromagnétiques qui se propagent dans Je vide est la rnème dans différents référentiels galiléens. 2) Ce principe permet d'expliquer rationnellement l'absence de déplacement de franges d'interférence dans l'expérience historique de Michelson et Morley. 3) Ses conséquences sont considérables, car les formules de transformation galiléenne des coordonnées d'un événement, repére dans deux référentiels galiléens, sont impropres à exprimer l'invariance de c par changement de référentiel galiléen. D est donc indispensable de substituer à la transformation de Galilée une nouvelle transformation, précisément la transformation de Lorentz-Poincaré que nous retiendrons désormais sous la forme :

ct= y,(cl + f3.x')

x = y,(x' + [3,cl)

)' = y'

z= t

avec [3, = v,fc et y, = (1- {3~)- 1 12 .

La relativité (restreinte ou générale) est encore aujourd' hui soumise à des tests de validité très contraignants, sous forme d'expériences réalisées avec des précisions extrêmes. Jusqu'à maintenant, malgré tous ces efforts, aucun de ces tests n'a pu mettre en défaut cette théorie.

EXERCICES ET PROBLÈMES Pl- 1. Principe de J'inertie en mécanique de Newton Dans Je Dialogue des deux mo11des, Galilée pose la question suivante : quel est Je point de chute d'un boulet abandonné au sommet du mât vertical d'un voilier, qui se déplace à vitesse (vectorielle) constante par rapport au référentiel terrestre, lorsqu'on néglige l'influence du vent (Fig. 1.3) ? Le point situé au bas du mât, en avant ou en arrière ? Justifier votre réponse.

Pl- 2. Mesure de la vitesse de la lumière par Roemer et Huygens En 1676, l'astronome danois O. Roemer prouva, pour la première fois, que la vitesse de la lumière avait une valeur finie, en notant les instants d'éclipses de Io, satellite naturel de Jupiter, lesquelles se produisent toutes les 42 h environ (Fig. 1.12) ; des cinq satellites de Jupiter, Io est Je plus proche, à

18

1. llltrod!lction Principe de relativité

une distance de 412600 km du centre de la planète. Roemer constata un retard maximal de 22 min entre deux observations d'éclipses à six mois d'intervalle, ce q ue C. Huygens attribua aux positions diamétralement opposées de la Terre sur son orbite autour du Soleil, et ainsi à la distance supplémentaire égale au diamètre D de l'orbite terrestre que la lumière devait parcourir avec une vitesse finie. Sachant q ue les mesures précises actuelles de ce retard donnent 16, 5 min, q uelle était l'estimation de la vitesse de la lumière faite par Huygens? f"''l ----------~

: '' '

D

: '' '

: .... -- ....... : :

,..

~,, :

:.· 0s ·;i

.•• - -.gateDite Jo

.

' 0 ' ·.. ___'\,: Jupiter

\ ______ .d

Te rre FIG. J.J2.

Pl- 3. Propagation du son La vitesse de propagation du son dans un milieu isotrope a pour expression : c, = (pK,)- 112 , p étant la masse volumique du milieu et K, le coefficient de compressibilité isentropique (cf. Thermodyllamiqlle).

1. Calculer la vitesse de propagation du son, dans le dioxygène et dans le diaz ote, à 300 K, sachant que ces gaz sont des gaz parfaits diatomiques, de facteur thermodynamique y = 1, 4. On donne leurs masses molaires respectives 32 g . mol- 1 et 28 g . mol- 1 • 2. Quelle est la valeur de c, dans le benzène : p = 879 kg · m- 3 et 3. Même q uestion dans une roche : p = 2 500 kg · rn -

3

et

K3

= 10-

K,

= 0, 73 x J0 - 9 Pa - 1 ?

12

Pa- t ?

Pl- 4. Invariance de l'équation de Maxwell-Farad ay d ans la transformation de Galilée Montrer que l'équation structurelle de Maxwell-Faraday, traduisant la loi de l'induction, est invariante par transformation de Galilée. Pl- S. Non-invariance de l'équa tion de Maxwell-Ampère dans la transformation de Galilée Prouver q ue l'équation non structurelle de Maxwell-Ampère, traduisant le théorème d'Ampère généralisé, n'est pas invariante par transformation de Galilée. Pl- 6. Non-invariance du dalembertien da ns la transformation d e Galilée On appelle dalembertien l'opérateur qui apparaît dans l'équation de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide le long de la direction Ox (cf. chapitre 9) :

1. Établir q ue l'opérateur 0 n'est pas invariant, par changement de référentiel galiléen, pour le groupe de transformation de Galilée.

19

flltrod!lctioll. Pri11cipe de relativité

2. Vérifier qu'il est, en revanche, invariant par changement de référentiel galiléen, pour la transformation de Lorentz-Poincaré. Pl- 7. invariance du caractère conservatif de la charge dans la transformation de Galilée I.: équation locale 8pf 8t = - div J traduit Je caractère conserva tif de la charge électrique (cf. Électromagllétisme). Établir son invariance par changement de référentiel galiléen, dans la transformation

de GaJilée. Pl- 8. Vite~e de propagation d'ondes électromagnétiques dans différents milieux Sachant que l'indice optique du verre et celui de l'eau valent respectivement 1, 5 et 1, 33 , pour la longueur d'onde optique A = 550 nm, calculer la vitesse de propagation de ces ondes dans ces milieux. Pl- 9. Coordonnées d'événements en cinématique galiléenne

On considère, dans Je référentiel R.' , les événements Et « émission de lumière en 0' >>, ~ « réflexion de la lumière sur Je miroir M', >> situé à la distance l = 0, 5 m sur l'axe Oy' , et EJ « réception de la lumière en 0' >> (Fig. 1.2). 1. Écrire, dans Je cadre de la cinématique galiléenne, les coordonnées de ces trois événements dans les référentiels galiléens R.' et R., sachant que [3, = v, f e = 0, 2. 2. En déduire, en fonction de l et [3, , la durée et la distance qui séparent E 1 et E 1 et EJ d'autre part. Quels sont les invariants?

~

d'une part, et

Pl- 10. Variante de J'expérience de Fizeau Une variante de l'expérience de Fizeau a été réalisée à l'aide du montage représenté sur la figure 1. 13. Le rayonnement émis par un Jaser dans des directions opposées est astreint, grâce à quatre miroirs, à se propager dans un tube contenant de l'eau en mouvement. Lorsque l'eau est au repos, la longueur d'onde Ao dans Je vide, émise par Je Jaser, est telle que Je chemin o ptique, Je long du trajet en anneau M 1M 2M 3M.,M 1 , soit égal à un nombre entier de longueurs d'onde. 1. Veau étant mise en mouvement, dans Je tube AB de longueur l, à la vitesse 11, calculer, selon la cinématique galiléenne, la variation de chemin optique pour Je rayonnement se propageant dans Je sens AB. Même question pour Je rayonnement se propageant dans Je sens BA. 2. Trouver, en fonction de l, 11 et de l'indice 11 de l'eau, la variation de chemin optique l1L, entre les deux faisceaux émis par Je Jaser, dans des directions opposées. Application numérique : calculer Je rapport l1L sur la longueur d'onde dans Je vide du rayonnement du Jaser, qui vaut Ao = 632, 8 nm, pour "= JO rn · s - 1 , 11 = 1, 33 et l = 2 rn. Pl- 11. Effet Doppler-Fizeau optique en cinématique galiléenne

V effet Doppler-Fizeau optique est la variation de fréquence que l'on observe lorsque la source et Je récepteur sont en mouvement relatif (cf. M éca11iqlle et chapitre 3)- Pour établir la formule caractéristique, on considère deux référentiels galiléens R. et R.' de vitesse v, = v, e, par rapport à R.. Une soun:e située en 0', origine de R.' = O'x'it , émet une onde lumineuse monochromatique plane, de pulsation w, et de vecteur d'onde k, dans R.' (Fig. 1.14). Le récepteur est lié à R..

20

1. llltrod!lction Principe de relativité u

Y'

'R.'

'R. Récepteur

Laser

FIG. J.J 3.

FIG. J.J4.

1. La phase cl> = wt - k · r est invariante par changement de référentiel galiléen. Trouver, en utilisant la transformation de Galilée, l'expression de la fréquence reçue v, en fonction de la fréquence émise v,, du rapport [3, = v, f e et de l'angle 0, que fait la direction de l'onde émise avec l'axe Ox du mouvement.

2. Que devient l'expression précédente pour 0, = 1T / 2 et pour 0, = 0 ? Dans ce dernier cas, représenter v, en fonction de la position de la coordonnée de la source dans R.

3. Calculer la variation relative de longueur d'onde, définie par A = cf v, (A, - A,)/ A, en fonction de {3, , dans le cas où {3, « 1 et où la source s' éloigne. Application pour A,= 656,468 nm (raie Ha de l'atome d' hydrogène) et v, = 2 900 rn . s - 1 • Pl- 12. Variation du facteur relativiste 1. Calculer les valeurs de y, correspondant aux valeurs suivantes de {3,

Tracer le graphe correspondant. Pour quelles valeurs de [3,, y, est-il égal à 5 et à JO? 2. Pour quelles valeurs de [3, , le facteur relativiste y, est-il égal à 1 + {32 /2 avec une précision meilleure qu' un pour mille?

Pl- 13. Transformation du champ électromagnétique produit par un fil chargé Un fil rectiligne, uniformément chargé, est fixe par rapport au référentiel R' , lequel est en mouvement de translation rectiligne uniforme, à la vitesse v, = v, e,, par rapport au référentiel galiléen du laboratoire R . On désigne par Â() la charge linéique mesurée dans le référentiel galiléen R' . 1. Déterminer, en point M du plan Oxy , sirué à la distance r de 1' axe Ox du fil, les champs électrique et magnétique E', B' créés par le fil dans R' . Calculer ces champs dans le cas où Â(J = 0, 2 nC · m - 1 , r = JO cm et v, = 0, 5c.

2. À l'aide des formules de transformation des champs, en théorie newtonienne, trouver les champs E, B créés par le fil dans R . Établir 1'expression de B par une méthode directe. Calculer sa valeur et la comparer au champ magnétique terrestre qui est de l'ordre de 30 ..,.,T. Conclure. 3. Quels sont les champs E, B obtenus en utilisant les formules de transformation des champs de la théorie einsteinienne.

2 Transformation de Lorentz-Poincaré. Intervalle entre deux événements La transformation spéciale de Lorentz-Poincaté a été introduite par Lorentz et Poincaré pour satisfaire à l'invariance des équations de Maxwell par changement de référentiel galiléen. En étendant Je principe de relativité à tous les phénomènes physiques, électromagnétisme compris, Poincaré puis Einstein réussirent, du même coup, à lever la crise provoquée par les résultats de l'expérience de Michelson et Morley. Nous nous proposons ici d'établir la transformation de Lorentz à partir de considérations physiques et d'analyser ses propriétés. Ensuite, nous introduirons Je concept d'intervalle entre deux événements, lequel joue un rôle essentiel en raison de son invariance par changement de référentiel galiléen, Je temps d' un référentiel n'étant plus Je paramètre d'évolution universel.

1.- TRANSFORMATION DE LORENTZ-POINCARÉ 1. 1.- Rappel de J' expression de la transformation de I.A>rentz· Poincaré Soient deux référentiels galiléens, l' un R et l'autre R' se déplaçant par rapport à R à la vitesse v, = v, e,, dirigée suivant l'axe Ox. On sait q ue les coordonnées spatio-temporelles d'un mème événement dans ces deux référentiels sont reliées par les équations :

ct= y,(cl + f3.x')

x= y,(x' + [3,ct)

)' = y'

z= t

si les origines des durées dans R et R' sont prises lorsque les origines de l'espace coïncident. Exemple : Reprenons l'exemple d'une source lumineuse pla>Cée à l'origine 0' du référentiel R' = 0' x'ii , de vitesse d'entraînement {3,c selon Ox , par rapport à R = Oxyz (Fig. 2.1). Les coordonnées dans R' des événements Et , « émission de lumière en 0' >>, Ez « réflexion sur Je petit miroir plan M'», situé sur l'axe Oi à la distance l, et ~ « détection de la lumière en 0' »,

sont respectivement,

ct

étant la première d'entre eUes :

ct!= 0 x'=O Et y' = 0 n· i =O

Ez

l 0

n·O

21 0 EJ 0 n· 0

2. Transformation de Lorentz-Poincaré. lnJervalle entre deux événemellls

22

On en déduit, par tmnsformation de Lorentz-Poincaré, les coordonnées de ces mêmes événements dans

n. et= 0 x=O

Et

y= O

J

z =O

y

y'

FIG. 2.1.

1. 2 . - Établissement de la transformation de I.A>rentz.Poincaré Considérons un signal lumineux émis suivant Ox par Je point 0 , à un instant pris comme origine dans R et R' ; à cet instant, 0 et 0' coincident. Notons que, l'entraînement se faisant suivant la direction des x ou x' , les coordonnées transversales sont inchangées : y = y1 et z = i . a) Linéarité

D'après Je principe de relativité, un point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme par rapport aux référentiels galiléens R et R' . On a donc, pour un tel mouvement suivant l'axe d' entraînement Ox : x=vt + Xô et x'=v'{ + ~ Comme les formules de transformation entre les coordonnées spatio-temporelles doivent transformer la deuxième équation en la première, elles sont linéaires, c 'est-à-dire que la transformation de x', 1 en x, t se met sous la forme : x = Ai + BI et t = ci + Dl b) Réciprocité

x

Exprimons que l'origine 0' de R' , de coordonnée = 0 dans R' , a pour coordonnée spatiale x = v,t dans et que réciproquement l'origine 0 de de coordonnée x = 0 dans a pour coordonnée spatiale x' = - v, ( dans n•. n vient, d'une part :

n.

n.

n.

x= A x 0 + BI = v,t et t = C x 0 + Dl d' où BI= v,Dt et donc B = v,D D'autre part x = 0 = A x ( - v,t') + Bt, d'où B = v.A. On en déduit A = D, B = v.A et par conséquent : x = A(x + v, l ) et t =At' + ex' c) Équation d'onde

Pour déterminer A et C, considérons, à l'instant initial, l'émission d'une onde lumineuse sphérique en 0 et donc aussi en 0'. Cette onde atteint un détecteur situé au point P, d'abscisse Xp sur l'axe d'entraînement dans à l'instant tp ; dans elle atteint ce point p d'abscisse à l'ins-

n.

n•.

x:,.

Transformation de Lorentz-Poincaré. flltervalle entre deux événements tant

23

lp. On a donc :

La première équation s'écrit aussi :

soit, en développant :

En identifiant à

x'; = th'; , on obtient :

Finalement, on trouve bien :

x= y,(x' + v,t')

et

t =y,

(t +v; )

Remarque: On montre que l'on peut établir la structure de la transformation de Lorentz-Poincaré, à partir des seules propriétés de réciprocité et de transitivité des transformations linéaires entre trois référentiels R , R' et R" . Évidemment, une constante s'introduit naturellement que l'on identifie à la constante d'Einstein c, après application de cette transformation aux ondes lumineuses. Dans ce contexte, un astrophysicien français L. Nottale a utilisé la structure de la transformation de Lorentz-Poincaré pour effectuer des transformations d'échelle et tenter ainsi d'établir des liens entre la physique microscopique et la physique macroscopique.

1. 3 . - Autres écritures de la transformation de I.A>rentz-Poincaré a) Écriture vectorielle

Les formules de transformation de Lorentz-Poincaré, entre les référentiels R et R', peuvent se mettre sous forme vectorielle, en introduisant les vecteurs positions :

En effet, puisque v, = c ~. · e,, il vient :

r=

r

1

+(y, -

ct= y,(ct'

1)(~. · r') ~: + y,~,ct1

+ ~. · r')

b) Écriture hyperbolique On exprime souvent les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré entre les référentiels R et R' , à l'aide du seul paramètre r, défini par :

tanh r, =

exp r, - exp( - r,) v, = exp r, + exp( - r,) c

soit

r, = arg tanh ,8,

2. Transformation de l.orentz-Poi11caré. Intervalle entre deux évé11eme111s

24

Le facteur relativiste y, = ( 1 - ,8~) - 112 s'écrit alors : Ye =

expr, - exp ( - r,) l 2} - 1/2 expr, + exp( - r,) 1- [ = = cosh r, { exp r, + exp ( - r,) 2

On en déduit :

y, ,B, = cosh r, x tanh r, =

exp r, - exp( - re)

2

.

= smh r,

Finalement : Cl = ct' cosh r, +x' sinh r, x = x' cosh r, + ct si nb r,

L'argument r, , sans dimension, est parfois appelé la rapidité. On voit que cette quantité tend vers l'infini lorsque la vitesse d'entraînement tend vers c. Ce nouveau concept présente l'avantage de souligner l'inaccessibilité de la vitesse de la lumière pour des particules de masse non nulle. Sur la figure 22, on a représenté la rapidité r, de R.' par rapport à R., en fonction de ,8, = v, fe. r, (rapidi16)

FIG. 2.2.

1. 4.- Propriétés de la transformation de I.A>rentz-Poincaré Les propriétés de la transformation de Lorentz-Poincaré découlent de ce qui précède. (1) Les form ules de transformation de x', i, t, ct' en x, y, z, Cl sont linéaires. (2) Elles sont réciproques, ce qui exprime l'équivalence physique des référentiels R. et R.' , et donc l'impossibilité de hiérarchiser R. et R.' . On passe de R. à R.' en permutant les coordonnées et en changeant v, en - v, :

ct =

y,(ct - ,B.x)

x' = y,(x - ,B,ct)

i

= )'

t

=

z

(3) La constante d'Einstein c apparaît comme une vitesse limite, puisque y, n'est réel que si Ve

< C.

Ce résultat a été vérifié expérimentalement à de multiples reprises, notamment par le physicien américain W. Bertozzi en 1964, avec des électrons issus d'un accelérateur linéaire ; la tension d'accélération Va était celle fournie par une machine électrostatique de type van de Graff (cf. Électromagnétisme). Sur la figure 2.3a, on a représenté le dispositif utilisé ; pour chaque valeur de l' énergie cinétique E:t des électrons, laquelle vaut eVa , on mesure la durée 'T qui sépare le passage des électrons, d'abord en un point A, puis au point B, où se trouve le détecteur, lequel est situé à une distance L de A . Sur un graphe, on a porté v 2 fél avec v = L/ 'T, en fonction de E:tff!n,él) ; on constate que v 2 fél atteint prntiquement la valeur asymptotique 1 , lorsque la tension est supérieure à une di-

v.

Transformation de Lorentz-Poincaré. fll tervalle entre deux événements

25

zaine de kilovolts (Fig. 2.3b) ; pour L = 8, 4 rn et E:t = 1 MeV, la durée de parcours est d'environ

0, 30 ns. Générateur

van de Graff Accélérateur bnéaire

··············

:r ·

i~sx~·

Courroie chargte électriquement

Oscillographe

0

a)

5 b)

FIG. 2.3.

(4) La transformation de Lorentz-Poincaré restitue la transformation de Galilée entre deux référentiels galiléens pour [3, « 1 . En effet, y, est alors sensiblement égal à 1 , d'où f3,x « ct et donc ct' "' ct, encore faut-il dans ce cas que les valeurs de x ne soient pas trop grandes : x « ct/ [3,.

r

(5) Elle réalise l'invariance de la quantité ; = êt2 - l - t . En effet, en remplaçant, dans Je premier membre, ct, x , y et z par les expressions fournies par la transformation, on a :

puisque les doubles produits s'éliminent Comme 1 -

{3: =

Jfy:, on en déduit :

Nous analyserons ultérieurement la signification de cene invariance (cf. chapitre 3).

1. 5 . - Vitesses s upralurniniqu es On dit qu' une vitesse est supraluminique lorsqu'elle est supérieure à la constante d'Einstein c. a) Vitesse de phase en électromagnétisme

La vitesse de phase v• d' un groupe d'ondes électromagnétiques qui se propagent dans un milieu conducteur, est supraluminique, car on a, Wp étant la pulsation plasma (cf. Électromagnétisme) :

v. =c (

J- ;~)

- t/2

>c

alors que la vitesse de groupe, qui est la vitesse avec laquelle Je groupe d'ondes se déplace, est, elle, inférieure à c , puisqu'on a, dans ce cas :

2. Transformation de Lorentz-Poincaré. lnJervalle entre deux événemellls

26

C'est ce que l'on constate dans un guide d'ondes centimétriques, vide, à l'intérieur duquel se propage une onde transverse électrique de mode (1, 0). Cependant, cene vitesse de phase, qui est la vitesse avec laquelle la phase du groupe d'ondes se propage, n'est pas celle d'un objet physique. b) Vitesse supraluminique de /a projection d'une source lumineuse En astronomie, on introduit parfois la vitesse supraluminique avec laquelle la projection radiale d'une source lumineuse se déplace lorsque cene dernière tourne sur elle-même. Par exemple, lorsque la source effecrue une rotation complète en une minute, à la manière d' till phare, la vitesse de sa projection radiale, à une distance d = 1 parsec ( 1 parsec "' 3 x 1016 rn), est, en désignant par n la vitesse de rotation : 27T

6

vp = ûd = - x 3 x 10 1 "'3 14 x 1015 m · s60 '

1

soit vp"' 107 c

Cette valeur énorme ne contredit pas la théorie d'Einstein, car la vitesse de la projection radiale n'est pas celle d'un objet matériel. c) Vitesse de groupe supérieure à c

Depuis quelques années, précisément 1990, les physiciens érudient la propagation de la lumière 11 ne diminue pas 110 + A/ A2 , mais augmente. Rappelons la formule de J. Rayleigh reliant vitesse de phase et vitesse de groupe pour une onde lumineuse (cf. Électromagné tisme) :

dans des matériaux de dispersion lumineuse mwnnale, c 'est-à-dire tels que l'indice avec la longueur d'onde A dans Je vide, selon la loi bien connue de Cauchy 11 =

v.,

c

1 - (A/ n) dn/ dA

n - Adn/ dA

v g -

puisque v• = cfn . On voit que : Vg

>C

dn si n - A- < 1 soit dA

dn 11 - 1 dA > - A- > 0

Cependant, de telles vitesses de groupe dans ces milieux matériels particuliers, à dispersion mwrmale, ne contredisent pas la théorie d'Einstein, car elles n'impliquent ni tran.ifert d'énergie ni tran.ifert d'information (cf. 11termod)7Uimique). d) Tachyons Dans les années 1970, certains physiciens ont imaginé l'existence de particules se déplaçant à des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière, auxquelles ils ont donné Je nom de tachyons (prononcer taquion) ; ce mot vient du grec 'TaxvÇ qui signifie rapide. Pour ces particules, on a : 1

1

y= ( 1 - v2fél )lf2 = i(v2fc2 - 1)1/ 2 = - ia avec a=

(';;ïIl- - 1)

- 1/ 2

> 0

Ces particules n'ont jamais pu être mises en évidence. Récemment, on en a reparlé à propos de la publication, en septembre 20 Il, de l'expérience OPERA, relative à des neutrinos, qui auraient parcouru une distance de 730 km à une vitesse supérieure à c ! Comme la relativité restreinte est fondée sur de solides bases épistémologiques (symétrie des lois) et expérimentales (précision relative de l'ordre de J0- 10), la confirmation de ces résultats par d'autres voies s'impose avant tout. En effet, trois mois suffiront à déceler plusieurs anomalies expérimentales qui conduiront au retrait de l'annonce.

Transformation de Lorentz-Poincaré. flltervalle entre deux événements

27

II.- INTERVALLE ENTRE DEUX ÉVÉNEMENTS D. 1 . -

Définition et intér êt

Nous avons w que l'intervalle de temps qui sépare deux événements Et et Ez n'était plus un invariant, en cinématique einsteinienne :

La q uestion qui se pose alors est la recherche d' un nouvel invariant. En utilisant les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré, on montre aisément que :

n suffit, pour Je prouver, d' utiliser les formules de transformation de

Lorentz :

D vient, en effectuant, en ordonnant et en simplifiant les doubles produits :

On en déduit l'invariance recherchée. Aussi introduit-on Je concept d'intervalle entre deux événements, de coordonnées spatio-temporelles respectives x1 , y1 , z1 , t 1 et x2 , y2 , z2 , t2 , défini par la quantité s 12 telle q ue :

Dans ce contexte, l'invariance de la q uantité ci~ - xi - )~ - zi traduit celle du carré de l'intervalle entre l'événement générique E , de coordonnées x, )' , z, t , et de l'événement origine, de coordonnées nulles : On voit q ue

sf2

s'écrit aussi :

Si, dans l' intervalle, la contribution temporelle est supérieure à la contribution spatiale, s 12 est un nombre réel ; l'intervalle est du genre temps car c2 /l? > f6.(2.

.sf2 > 0

et

Si la contribution spatiale est supérieure à la contribution temporelle spatiale, .sf2 < 0 et s 12 est un nombre imaginaire ; l'intervalle est du genre espace car â/.2 > èô.P. Pour de tels événements, il ne peut y avoir de relation de causalité, puisque :

sf

Si les contributions temporelle et spatiale sont égales, 2 = 0 ainsi que s 12 : l'intervalle est du genre ltunière. Notons que cette classification est invariante par changement de référentiel galiléen, et par conséquent présente un caractère universel.

2. Transformation de l.orentz-Poi11caré. lnJervalle entre deux évé11eme111s

28

Entre deux événements infiniment voisi11s, l'intervalle élémentaire est tel que :

Le carré d J de l'intervalle définit une métrique de l'espace-temps à quatre dimensions, le temps et les trois dimensions spatiales. Dans l'approximation newtonienne, on obtient : 2

2

dl= è dr (1 - d r+dy + d z ) ""è dr c2 d t2 On retrouve bien l'invariance du temps, c ' est-à-dire son universalité, caractéristique de la mécanique newtonienne.

Remarque: Certains auteurs, et non des moindres puisque Poincaré et Minkowski furent de ceux-là, ont défini le carré de l'intervalle par la quantité opposée à celle que nous avons adoptée. Bien que les deux définitions soient d'une même efficacité mathématique, nous avons choisi celle adoptée par Einstein dans sa publication de 1916, laquelle privilégie les phénomènes présentant entre eux une relation de causalité, puisque dans l'expression de l'intervalle on affecte d'un signe positif le terme temporel et de signes négatifs les termes spatiaux. Cependant l'argument décisif en faveur de la convention d'Einstein, qui est celle que nous avons choisie, est le suivant : l'intervalle est le concept qui se substitue au temps newtonien universel, et non à la distance qui sépare deux événements, laquelle n'est pas invariante par changement de référentiel galiléen, même en cinématique newtonienne (chapitre 1). En bref, contrairement à ce que dit Newton lui-même, l'espace en mécanique newtonienne n'est pas universel mais relatif ; seul le temps newtonien est universel.

Exemple : Calculons l'intervalle entre les deux événements suivants E 1 et

~

, de coordonnées

respectives :

E1

n

1

tt = 3 ns

x1 = 0, 2m

~ ~ t2=6ns n

x2 = 0, 8m

Comme ct 1 = 0, 9 rn et ct2 = 1, 8 rn, il vient :

_rf2 = 0, 92

-

0, f52 = 0,45

d'où

st2

= 0, 67 rn

Cet intervalle est du genre temps.

D . 2 . - Ligne d 'Un ivers. Cône de lumière Dest naturel de représenter le mouvement rectiligne d'une particule sur un axe Ox, 0 étant l'endroit où elle se trouvait à l'instant pris comme origine dans le système de coordonnées (x, ct). La trajectoire du point représentatif Q, ou ligne d'Univers dans l'espace-temps, est forcément contenue dans une certaine région du plan (x, ct), définie par l.xl < cltl, puisque c est une vitesse limite indépassable. On distingue ainsi trois zones (Fig. 2.4a). (1) La zone pour laquelle lxt < lctl correspond à des intervalles du genre temps. Suivant le signe de t, l'événement se produit dans le passé ou dans le futur. (2) Celle pour laquelle

lxi >

le~ est relative à des intervalles du genre espace.

(3) Enfin, celle pour laquelle lxi = lctl définit des intervalles du genre lumière. Les droites x= ct et x = - ct, appelées droites de lumière, forment un cône plat, appelé c{)ne de l1unière. Elles définissent l'horizon des événements perçus par un observateur situé en O.

29

Transformation de LorenJz-Poincaré. flltervalle enJre deux événements

Passé

Pass6 a)

b)

FIG. 2.4.

À trois dimensions x, y, ct , les intervalles du genre espace sont caractérisés par 1' équation :

Le cas limite définit une surface ayant la forme d'un cône ; aussi l'appelle-t-on c{)ne de lumière (Fig. 2.4b). À quatre dimensions x, y, z,ct , c'est un hypercône d'équation :

D. 3 . - Géométrie dans J'espace-temps On peut établir un parallèle entre la géométrie habituelle des poi111s du plan cartésien Oxy et la géométrie des événements qui s'impose en relativité à deux dimensions (x, ct). Dans Je premier cas, bien connu (Fig. 25a), la représentation des points du plan s'appuie sur l'invariance de la distance l entre deux points A et B, de coordonnées respectives (xA,YA) et (xs,Ys): (xs - XA)

2

+ (Ys -

YA)2 = 12

Dans Je plan ( x, y), tout élément curviligne ds est plus long que les éléments correspondants dx et dy :

0

0

x

a) Espace

x b) Espace-lemps

FIG. 2.5.

En géométrie de l'espace-temps (Fig. 2.5b), la représentation des événements s'appuie, eUe, sur l'invariance du carré de l'intervalle entre deux événements Et et Ez

30

2. Transformation de l.orentz-Poi11caré. lnJervalle entre deux évé11eme111s

Dans Je plan (x,ct ), tout élément d'intervalle ds est plus court(!) que cdt : dr= èdr - dr

La géométrie des événements de l'espace-temps n'est donc pas intuitive.

D. 4.- Ensemble des référentiels associés à un intervaUe Soient deux événements Et et Ez , de coordonnées respectives Xt , 0, 0 , Ctt et X2 > Xt , 0 , 0 , > Clt , dans le référentiel galiléen R. Dans le système d' axes orthonormés où l'on porte X2 - Xt et c(t2 - tt)), l'origine représente l'événement Et , alors qu' un point du plan désigne l'événement Ez. L'ensemble des points caractérisés par une valeur déterminée du carré de l'intervalle entre Et et Ez

C12

appartient aux hyperboles d'équations :

Notons que chaque point sur une hyperbole correspond à un référentiel déterminé.

? > 0 ; les courbes sont les hyperboles H, ? < 0 ; les courbes sont les hyperboles H, .

Si les intervalles sont du genre temps, En revanche, s'ils sont du genre espace,

de la figure 2.6.

(1) Lorsque l'intervalle est du genre temps, il existe un référentiel galiléen particulier pour lequel les deux événements se produisent en un même point de l'espace : point Tt sur la figure puisque t2 >t t .

Exemple : Si Cft = 0, 4 rn Xt = 1 rn,

ct2

= 1, 6 rn

X2

= 2 rn, alors

.sf2 =

(1,2)2 - 12 = 0, 44m2

et : ~ - x\ = Ye l(x2 -

X2 - X l

xt) - f3,(ct2 - Ctt)) = 0 si v, = c- - - = 0, 83 c Ct2 -

Ctt

X2-Xl

Passé FIG. 2.6. (2) Lorsque l'intervalle est du genre espace, il existe un référentiel galiléen particulier dans lequel les deux événements sont simultanés : point At sur la figure, puisque X2 > Xt . On peut déterminer aisément ce référentiel R' , comme Je montre 1'exemple qui suit.

Si x1 = 1 rn, ct1 = 0,4 rn, x2 = 2 rn, ct2 = 0, 8 rn, alors

.sf2

= (0,4)2 - 12 = - 0, 84m2 et : Ct2 -

Ctt

v, = c- - - = 0,4c X2 - X l

Transformation d e LorenJz-Poincaré. flltervalle enJre de ux événements

31

ill.- FORMALISME QUADRIDIMENSIONNEL Ce formalisme, introduit par Je mathématicien balte H. Minkowski, permet de développer techniquement un calcul vectoriel adapté à l'espace-temps de la relativité restreinte. D s'appuie évidemment sur l'invariance du carré Jf2 de l'intervalle qui sépare deux événements.

rn .1 . -

Quadrivecteur

On appelle quadrivecteur un vecteur, noté 4 - x , dont les quatre composantes xo , X 1 , X2, X3 , de même dimension physique, se transforment dans un changement de référentiel galiléen de la même façon que ct , x , y et z . Par conséquent : xz =-4 Ces relations linéaires peuvent être écrites sous forme matricielle en introduisant la matrice suivante de Lorentz-Poincaré : y , f3. 0 01 Y. Ye L -_ l y ,0{3, 0 1 0 0 0 1 0

r

0 OJ

En effet, on a :

Le déterminant de la matrice L vaut 1, car lorsqu'on Je développe par la ligne 4, il s'explicite selon :

y, det L=I xdet Yet • [

y, f3. Ye 0

00] = 1

X

1

1 X det

[ Yf3e Ye e

D est souvent commode d' introduire la matrice carrée relative aux seules coordonnées intéressantes Xo et x1 • La relation matricielle précédente se réduit alors à : 2 - x = L,{2 - x'}

avec L, = [ y, y , f3,

Yef3e ] Ye

Cette relation s'explicite alors selon :

= [Xo] X1

[ Ye Ye f3e

Yef3e] Ye

rro]

lx\

Exemple : les coordonnées d' un événement E 1 dans R sont, en mètre : ct = 1 ; x = 0, 6 ;

y = 2 ; z = 1, 5. Dans R', tel que v, = 0, 6 c , soit {3, = 0, 6, y , = 1, 25 et y , {3, = 0, 75, les

2. Transformation de l.orentz-Poi11caré. Intervalle entre deux évé11eme111s

32

coordonnées de ce même événement s' obtiennent à partir de l'équation matricielle 4 où L' est la matrice i11verse de L, que l'on obtient en changeant [3, en - [3, :

[~1~ -ys

-1,0,75 25 0 001 [0,161

[ 1,25

=

0

1

0

0

0 1

2

?ot t~> et ~ « B et A' coïncident. >> Pour cela, on introduit les deux référentiels R et R' respectivement liés aux règles AB et A'B' .

1. Écrire les coordonnées de E 1 et ~ à la fois dans R et dans R' . 2. En déduire l'intervalle de temps entre E 1 et

~

.

3. Vérifier l' invariance du carré de l'intervalle. Quel est le genre de l' intervalle? Calculer sa valeur en mètre pour l = 1 rn et v, = 0,8 c.

y' y

n'

~~''•

,.~

B'

A'

y'f

y

n

0

aA

0

B

n

B'i

A'

~==~~=:f=~x ;===~a~------~ B

i x

A

a)

b)

FIG. 2.9.

P2- 7. Événements non causaux Deux événements Et et

~

x 1 = 3 rn y 1 = 0 z1 = 0

ont pour coordonnées spatio-temporelles respectives : 11

= JOns

et

1. Calculer le carré de l'intervalle entre ces deux événements. Quelle est la vitesse du référentiel

R' dans lequel ces deux événements sont simultanés ? 2. À q uel instant t' de R', ces événements se produisent-ils simultanément? P2- 8. La transformation de Lorentz-Poincaré considér ée comme une rotation complexe On caractérise un événement par les coordonnées x,y, z et u = ict ( •'2 = - 1) dans un référentiel R. Dans R' en translation, suivant l'axe des x, à la la vitesse v, par rapport à R, ses coordonnées sont ,i, t et u'.

x

2. Transformation de l.orentz-Poi11caré. lnJervalle entre deux évé11eme111s

38

1. Montrer q ue l'opposé de l'intervalle qui sépare cet événement de l'origine 0 peut être représenté par la norme d'un même vecteur dans les deux plans complexes (x, u) et (x, al). En déduire que la transformation de Lorentz est caractérisée géométriquement par une rotation d'angle complexe.

2. Dans cene représentation, on désigne par a 1' angle que font entre eux les axes Ox et Ox' . Établir les relations entre les coordonnées (x, u ) et (x', u') . 3. À l'aide de la transformation de Lorentz-Poincaré, montrer q ue a s'écrit a = iO, 0 étant Je nombre réel, que l'on exprimera en fonction de [3, = v,fc e t dont on calculera la valeur pour {3. = 0,4. P2- 9. Groupe de transformation de I.A>rentz-Poincaré 1. Montrer, à l'aide de l'écriture hyperbolique de la transformation de Lorentz-Poincaré, que Je produit de deux transformations est aussi une transformation de Lorentz-Poincaré. On désignera par rot la rapidité d'entraînement de R.t par rapport à R.o et par rt2 celle relative au mouvement de R.2 par rapport à R.t .

2. À q uelle condition sur rot et rt2 Je produit de deux transformations de Lorentz-Poincaré se réduit-il à la transformation unité? P2- 10. Approximation à J' ordre un de la transformation de I.A>rentz-Poincaré 1. Écrire la transformation de Lorentz-Poincaré pour les fuibles vitesses d'entraînement, jusqu'au deuxième ordre en {3, = v,fc. Montrer que l'approximation, au deuxième ordre près, ne restitue pas la transformation de Galilée relative au temps.

2. Sachant q ue {3, = 0, 1, trouver l'erreur commise sur la position dans l'approximation au deuxième ordre près. Quel doit-être Je rapport des coordonnées x'/ ct' pour que l'erreur relative sur Je temps soit égale au double de la précédente? P2- 11. Valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de I.A>rentz On considère la transformation de Lorentz entre les coordonnées (x, ct) dans R. d' un événement et celles (x', cl) dans R.' du même événement.

1. Expliciter, en fonction de y, et {3, , les q uatre éléments a, b, c' , d de la matrice de Lorentz

réduite

4

associée aux deux coordonnées x et ct. Quel est Je déterminant de cene matrice?

2. On appelle vecteurs propres d'une matrice tout vecteur V tel que L{V} = AV, A étant un nombre réel appelé la valeur propre correspoodante. Montrer q ue les valeurs propres de L satisfont à l'équation du deuxième degré suivante :

A2

-

A(a + d) +(ad - bd ) = 0

En déduire les valeurs propres de L.

3. Quelles sont les pentes des vecteurs propres de L correspondants? Commenter physiquement.

39

Transformation de LorenJz-Poincaré. flltervalle enJre deux événements

P2- 12. Différents événements dans l'expérience de Michelson- i\-Iorley On se propose d'analyser les différents événements qui doivent être pris en compte dans l' expérience de Michelson-Morley (Fig. 2.10). Le référentiel R' = O'x'y't , dans lequel est fixé l'interféromètre, est le référentiel terrestre qui se déplace à la vitesse v, = 0,624 c, par rapport au référentiel R de Copernic. La source de lumière S est située en 0' et les miroirs Mt et M2 sont placés sur les axes 0'x' et O'y' à la mème distance l = 3 rn de S. On suppose que R' est lui-aussi galiléen. On considère les cinq événements suivants :

Eo est l'émission du signal lumineux vers Mt et M2

,

Et est l'arrivée du signal sur Mt ,

Ez est l'arrivée du signal sur M2 , ~

est le retour en S du signal réfléchi par Mt ,

E• est le retour en S du signal réfléchi par M 2

•

1. Sachant qu'à l'instant initial les origines 0 et 0' de R et R' coïncident, écrire, en fonction de !, [3, et y • , les coordonnées spatio-temporelles de ces événements. 2. Quels sont les carrés des intervalles entre etE•.

Eo

et Et , entre E 0 et

~,entre

Et et

~,entre ~

3. Les événements Et et E2 sont-ils simultanés, dans R, dans R' ? Même q uestion pour les événements ~ et E 4 • Préciser par un calcul numérique. Commenter.

'L 0

Y't

Mt

ft ~ ''e

l

s x

l

O' FIG. 2. 10.

12 ~ M2

3 Fondements de la cinématique einsteinienne En dehors de l'interprétation simple et élégante de l'expérience de Michelson et Morley, par la seule extension du principe de relativité à tous les phénomènes physiques, Je mérite de Poincaré et surtout celui d'Einstein fut d'analyser et d'objectiver les concepts de temps, d'espace et de simultanéité. En soulignant la nécessité de preciser les conditions de la mesure des durées et des longueurs, Poincaré et Einstein ont fait de la cinématique, qui est l'étude du mouvement des corps, indépendamment des causes physiques qui en sont à l'origine, une discipline relevant désormais de la physique essentiellement. Les conséquences immédiates les plus surprenantes de la transformation de Lorentz sont connues sous les noms de dilatation des durées et de contraction d es longlle llrs. La signification de ces expressions est délicate au point q ue ces conséquences sont souvent presentées sous forme de paradoxes.

1. - MESURE DES DURÉES ET DES LONGUEURS Rappelons que toute mesure d'une durée ou d'une longueur se rrunène à la comparaison à un étalon. i) Pour une durée, l'étalon peut être, par exemple, la périnde d' u n pendule dont on admet l'isochronisme des oscillations (Fig. 3.1a). ii) Pour une longueur, c'est par exemple une règle dont on admet la rigidité (Fig. 3.Jb).

A

Barre

B

G +"';;ul"'''""'l""""''l"""''1""'...~ 1

Longueur étalon

a)

b) FIG. 3.1.

1. 1 . - s imultanéité

Une analyse attentive du processus de mesure montre q ue la comparaison précédente des grandeurs spatio-temporelles aux étalons suppose implicitement acquise la notion de simultanéité.

41

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

En effet, mesurer la durée qui sépare deux passages, dans le même sens, d'un pendule simple, devant un index 1 situé à sa position d'équilibre, c'est constater deux simultanéités : la première entre le premier passage et la position angulaire de l'aiguille du chronomètre, la seconde entre le second passage et la nouvelle position angulaire de l'aiguille (Fig. 3.Ja). De même, mesurer la longueur d'une barre AB, c'est constater la simultanéité de la coïncidence de l'extrémité A avec une graduation Gt d'une règle-étalon et de la coïncidence de l'autre extrémité B avec une seconde graduation Ch de la règle-étalon (Fig. 3.Jb). D convient alors de définir avec soin la simultanéité de deux événements, qui ne se produisent pas en un mème lieu, car nous aurons à comparer des durées perçues par des observateurs différents en mouvement les uns par rapport aux autres. Pour cela, il est nécessaire de synchroniser préalablement des horloges placées en des lieux distincts, c'est-à-dire de contrôler l'identité de le11r marche ainsi que celle de l'origine des d11rées. Notons que, mème en cinématique newtonienne, ces précautions ne sont pas superflues, lorsqu'on veut effectuer des mesures reproductibles précises et comparer les résultats obtenus par deux observateurs éloignés d'un même référentiel. Cependant, elles apparaissent moins cruciales, car l'hypothèse intuitive de l'universalité du temps, faite par Newton, exclut d'emblée la non-invariance de la durée qui sépare deux événements lorsqu'on change de référentiel.

a) Synchronisation des horloges La synchronisation est réalisée à l'aide de signaux lumineux ou plus largement électromagnétiques. Donnons le procédé de synchronisation de deux horloges H 1 et H2 situées en deux points différents A 1 et A2 (Fig. 3.2).

lL*m i

•,

MirOir

FIG. 3.2.

i) Contrôle de la mème marche À l'instant t 1 de H 1 , A 1 envoie un signal vers A 2 qui le reçoit à t2 de H 2 (3.2). À l'instant t 1 + T de H 1 , A 1 envoie un second signal vers A2 qui doit le recevoir à t2 + T de H 2 • ii) Contrôle de la même origine

À l'instant ft de Ht , At envoie un signal vers A2 qui le réfléchit vers At (3.2). Ce dernier le reçoit à l'instant t 1 + T. L'origine des temps des deux horloges est la même si A2 a reçu le signal à l'instant t 1 + T / 2. Le temps unique ainsi associé à tous les points d' un mème repère d'espace est le temps dtl repère.

b) Définition de la sim111tanéité Deux événements sont sim.11/Janés si des horloges S)71cltronisées, placées aux points où ils se produisent, donnent la même indication.

Dans le diagramme de Minkowski (x, ct) , deux évéments simultanés sont representés par des points d'Univers situés sur une droite parallèle à l'axe Ox (3.3a).

42

3. Fo11dements de la ci11ématique ei11stei11ietute ct

ct 1

-- ~ -- r- -

0

ct 2

·····---- ~

ct1

·····-···?

1 1

0 x

x,

x

Événements simultanés

Événements local:isés au même point

a)

b)

FIG. 3.3.

1. 2 . -Relativité d e la simultanéité Considérons deux événements Et et pectives suivantes : lt , Xt , )'t , Zt , et t2,

Ez, décrits dans un référentiel R, par les coordonnées resX2,

)'2, Z2.

Supposer que Et et Ez soient simultcmés dans R (Fig. 3.3a), c'est imposer dans les différentes expressions : tt = t2 . Le sont-ils aussi dans R', en translation rectiligne uniforme par rapport à R, c'est-à-dire avons-nous aussi dans R' tf = t~, comme en mécanique newtonienne? Pour répondre à cette question, évaluons la durée qui sépare Et et

Ez

dans R'

c4 - c~ = y,(Clz - f3.xz) - y,( ctt - /3.Xt) = - y, f3,(xz - Xt) Ainsi, deux événements, simultanés dans R , ne sont simultanés dans R' que s'ils sont localisés en des points de même abscisse. La simultanéité ne présente donc pas de caractère universel.

Remarque: On retrouve le caractère universel de la simultanéité en faisant tendre {3, = v, fe vers 0 :

c(4 - ti}= - y, f3,(xz - Xt) = 0 Ainsi, l'universalité de la simultanéité, admise en cinématique newtonienne, revient à considérer que c est infiniment grand devant toute autre vitesse. 1. 3 . -Relativité de la localisation Deux événements Et et Ez sont localisés en un même endro it dans R : Xt = x2 (3.3b). Ces deux événements ne sont pas localisés au même endroit dans R' , puisque :

4 - xj =

y,(xz - {3, ctz) - y,(xt - {3, ctt) = - y, f3, (ctz - ctt) = - y,v,(tz - tt)

ils ne seront localisés au même point dans R' que si, en outre, ils sont simultanés dans R.

Remarque: En cinématique newtonienne, on obtient un résultat analogue, mais quantitativement dif. férent, puisque :

xi - xj "' - v,(tz -

tt ).

II.- DILATATION DES DURÉES D. 1 . - Durée propre. Référentiel propre Le temps d'un référentiel n'étant plus un paramètre universel en cinématique einsteinienne, existet-il un paramètre universel qui jouerait le rôle qu'avait ce temps en cinématique newtonienne ? C'est la

43

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

question que s'est posé Einstein, à laquelle il a répondu par l'affirmative, en s'appuyant sur le concept d'intervalle. Considérons deux événements Et et Ez , dont l'intervalle St2 est du genre temps ( sf2 > 0 ), avec postérieur à Et. Cet intervalle s'écrit, en fonction des coordonnées spatio-temporelles de Et et Ez dans un référentiel galiléen R. :

Ez

La d11rée propre entre ces deux événements est, par définition, la quantité suivante : St2

Tp= -

c

homogène à une durée et invariante par changement de référentiel galiléen, puisque St2 et c le sont. Cene durée Tp s'identifie à celle t~ - ~ qui sépare Et et les deux événements sont localisés au même point. En effet :

Ez

dans le référentiel R.' dans lequel

yj = )~ et zj =

zi

Le référentiel R.' est alors appelé le référentiel propre pour les deux événements localisés au même

point. Toute autre durée, mesurée dans tout autre référentiel, est par opposition qualifiée d'impropre.

D. 2 . - Relation entre durée propre et durée impropre Pour deux événements, on peut établir la relation entre la durée propre dans le référentiel propre et la durée mesurée dans tout autre référentiel. D suffit, pour cela, d'imposer, dans les formules de transformation de Lorentz-Poincaré entre les deux référentiels R. et R.', la condition _xi = xj si R.' est référentiel propre : Clt

= y,(cft

+ ,B,xj)

Den résulte la relation suivante entre la durée propre Tp = t~ - ~ , dans le référentiel propre R.', et la durée T1 = t2 - ft qui sépare les deux événements dans tout autre référentiel galiléen R. : 2) - t / 2

T; = y, Tp

avec

y, = ( 1 -

~

La durée entre deux événements dépend donc du mouvement de l'observateur. Elle est minimale dans le référenJiel propre, qui est celui dans lequel les événements se produisent au même point. On dit qu' il y a dilatation de la d11rée qui sépare deux événements dans tout référentiel autre q ue le référentiel propre. On dit parfois aussi q ue les horloges mobiles du référentiel propre retardent pour tout autre référentiel. Dconvient de souligner que cene dilatation des durées n'est pas subjective mais objective; c'est un effet réel, mais de perspective, qui apparaît lorsqu'on mesure la durée qui sépare deux événements dans un référentiel où ces événements ne se produisent pas au même point, seule la durée propre ayant une signification universelle. Exemple : Soit à mesurer la durée séparant deux passages successifs, dans le même sens, d' un pendule devant un index (Fig. 3 .4). Pour l'observateur de R.' , lié au bâti et à l'index, la durée mesurée est par exemple Tp = 2 s . Pour un observateur de R. , par rapport auquel R.' a une vitesse v, telle que y, = 3 , la durée mesurée est y, Tp = 6 s .

44

3. Fo11dements de la cillématiqlle einsteinie1uJe

FIG. 3.4.

Remarques: 1) D n'est pas inutile de préciser que deux observateurs, A et B, transportant avec eux des pendules identiques, mesurent chacun de leur côté la même valeur de la période de leur pendule, puisque ces périodes sont des durées propres dans les deux cas. La dilatation est constatée par A lorsqu'il mesure la période du pendule que transporte B, et par B lorsqu'il mesure la période du pendule que transporte A . 2) En faisant y, = 1 , on obtient évidemment Je résultat newtonien T; = Tp : en cmematique newtonienne, la durée d' un phénomène ne dépend pas du référentiel lié à l'observateur. 3) La relation de dilatation des durées peut être obtenu e aussi à partir de l'invariance du carré de l'intervalle élémentaire. En effet, si les coordonnées spatiales d'un événement sont fixées dams R.', on a : dr=

è dr - dr - dl - dr= c2 dt12 - d.0 - dy12 - dtl = c2 dt'2

d'où :

11- )1/2 dt'=dt ( 1 - ;;ï

Den résulte la relation dt= y dt' avec y = ( 1 - v 2 jc2 ) et la puissance impropre dt.

-

112

entre la durée propre dt'

D. 3 . - Preuves expérimentales et applications La première preuve expérimentale de l'effet de dilatation des durées fut obtenue par Ives et Stilwell en 1938 en étudiant l'effet Doppler-Fizeau transversal essentiellement relativiste (cf. paragraphe IV).

a) Relativité de la durée d'un phénomène Considérons deux référentiels galiléens R. et R.' de vitesse v, par rapport R.. Une source lumineuse située en d émet, dans la direction de l'axe dl, un signal qui est réfléchi vers d par un miroir plan placé au point M' de l'axe dy', à la distance l (Fig. 35a). y'

y

y

n 0 x

x' a)

b)

FIG. 3.5.

45

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne Dans R', la durée T' qui sépare l'événement Et « émission de lumière en

0' >>et l'événement

Ez « réception de lumière en 0' >> est 21/ c : E

1 'R/

let= x' =

0 0

Dans R, la durée entre ces deux événements s'obtient en prenant en compte le mouvement du miroir. Surla figure 3 .5b, on voit bien que T doit être tel que : 2 r) = ,.2 + r)2 OM~2 = OH2 + M~H2 soit 2 2

(v,

(c

Par conséquent :

21 et T= - y, = y. T c Ce résultat s'obtient directement à partir de la transformation de Lorentz-Poincaré : 4[2

T2 = - - él - ~

T = y, T' = 2-y, lf c

J

Ez

2(-y~ - 1) 112 1

x = y, {3, cT' = 2y, {3, l =

b) Parco11rs des m11ons dans l'atmosphère Les rayons cosmiques qui traversent l'atmosphère terrestre sont constitués notamment de mésons - e ou e, dont la masse est environ 200 fois celle de l'électron. Ces particules furent découvertes séparément et indépendamment parC. Anderson et S. Neddermeyer d' une part, par J. Street etE. Stevenson d'autre part, en 1937, alors qu'ils étudiaient le rayonnement cosmique. Les muons négatifs subissent des collisions au cours desquelles ils cèdent de l'énergie en se désintégrant en un électron, un neutrino mésique Vp. et un antineutrino électronique ïi, , selon la réaction (cf. chapitres 7 et 8) : !" ou muons qui sont des particules chargées, de charge

JJ-- -+ e- + Ilp. + îie

La désintégration des muons se fait selon la loi exponentielle suivante : N(t) = N(O) exp ( - ; ) dans laquelle N(t) est le nombre de muons à l'instant t et 'T une durée appelée la durée de vie des muons. On introduit souvent la demi-vie des muons qui est la durée T 112 au bout de laquelle N (T 112) = N(0)/2 ; T 112 et 'T sont reliés par :

N(T1; 2 ) =N(O) exp

Tt/2) =zN(O) (- ---:;:-

d'où

T1; 2 ='Tln2

La durée de vie propre 'Tp des muons, est mesurée en laboratoire, dans le référentiel terrestre, lorsque le muon est au repos, à partir de la loi de désintégration donnant la décroissance d'un flux 11 de muons. On obtient, en fonction du temps propre lp (Fig. 3.6a) : n(tp) = n(O) exp (

- ~)

avec

'Tp

= 2 ,2 x 10- 6 s

ou

Tp, l / 2

= 2,2 x 10- 6 x O, 69 = 1, 5x 10- 6 s

En 1941, B. Rossi et D. Hall ont observé un tel phénomène, alors qu'ils étudiaient, dans la région de Denver, dans le Colorado, la désintégration des muons qui composent le rayonnement cosmique tombant sur la Terre.

46

3. Fo11dements de la cillématiqlle eillsteillietuJe

N(tp)

0

-

'Tp

a)

b) FIG. 3.6.

En J963,Jes physiciens américains D. Frisch et J. Smith ont repris l'expérience de Rossi et Hall en la simplifiant (Fig. 3.6b) ; ils ont mesuré Je flux de muons, de vitesse v = 0, 992 c , à des altitudes différentes, en plaçant un premier détecteur, au sommet du Mont Washington (New Hampshire), à 1910 rn d'altitude et un second à seulement 3 rn d' altitude. ils trouvèrent res pectivement, par heure, 563 ± JO et 408 ± 9 muons.

La décroissance radioactive du flux étant exponentielle, il vient, en désignant par lt et instants de détection : 111 = 11(0)exp ( - ~) On en déduit, puisque 'T

12 -

= -

112 = 11(0)exp ( - ~)

'Tp

-

12 -

11

'f

1 910 - 3 = 19 89 s 0, 992 x 3 x !OS x (408/ 563) ' IL

Zt - Z2

.!. "'

ln(~) = 1Jt

les

11 = (z1 - z2 )/v :

v ln(112/11t}

n vient donc :

d'où

12

19 89 • = 9 2 , 21

à comparer à

y= ( ! -

rP)- 112 =

1, 92

Compte tenu de la précision expérimentale, la dilatation des durées est bien vérifiée.

En 1976, au CERN (Centre Européen pour la Recherche Nucléaire), on a pu comparer, avec précision, la durée de vie propre des muons à celle des muons en mouvement, à la vitesse 0, 9994 c , dans un accélérateur. On a trouvé pour 'T la valeur de 63, 8 JLS, ce qui satisfait bien à la relation : puisque

.!. "' 29

et

'Tp

Remarque: Les rayons cosmiques, qui sont constitués de particules connues, comme des noyaux, des neutrinos, des photons, des muons, etc., font encore l'objet de recherche, car l'origine de leur énergie considérable, de l'ordre d' un million de fois les énergies les plus grandes obenues dans les accélérateurs, reste un mystère.

c) Correctio11 de la relativité restrei11te du GPS V objectif de la rndionavigation par satellites est de connaître avec précision la position d'un objet (navire, avion, automobile, piéton) dans l'espace, au voisinage de la Terre. Son fonctionnement est basé sur la réception, par cet objet, muni d'un récepteur portatif, des signaux électromagnétiques émis par des satellites de la Terre en orbite circulaire.

47

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSfeinienne

Le système GPS (pour GlobalPositioning System) est un dispositif récent, conçu par l'armée américaine dans les années 1990, à des fins militaires, pour localiser les différents véhicules de l' armée et les troupes au sol. Depuis 1995, une version du GPS à performances limitées a été rendue accessible à la communauté internationale. Certains véhicules sont déjà équipés d'un tel système, ce qui permet au conducteur de se repérer sur Terre avec suffisamment de précision. Ce système utilise en tout 31 satellites, la plupart groupés par quatre, orbitant sur des trajectoires circulaires, à une altitude de 20200 km (Fig. 3.7). Les satellites d'un même groupe se trouvent dans des plans inclinés de 55° par rapport à l'équateur, qui font entre eux des angles de 60° . Leur vitesse est de v, = (GMT/ r) t/ 2 "=' 3, 88km · s- t car r "=' 20200 + 6400=26600km, leur révolution dure 12 h et ils émettent des signaux, de fréquence f = 1, 57542 GHz (A "' 19 cm), avec un éclairement de 30 fW · m- 2 , soit 30 x 10- ts W . m- 2 .

Orbite circulaire d'un groupe d e satellites FIG. 3.7.

Si Dt et D2 désignent les distances StR et ~R qui séparent deux des quatre satellites du récepteur R et si ft et t2 sont les instants indiqués par les horloges synchronisées transportées par les satellites S t et S 2 lors de l'émission des signaux, on a, en notant f, le temps donné par l'horloge du récepteur : Dt = c(t, - ft ) et D2 = c(f, - t2) d'où Dt - D2 = c(t2 - ft ) On en déduit donc Dt - D2 , ce qui situe R sur l'une des deux nappes d'un hyperboloïde de révolution dont les deux foyers sont occupés par les satellites (cf. Optiq11e). En procédant avec trois autres couples de satellites du même groupe, on parvient à localiser R. La localisation du récepteur exige que les instants d'émission soient connus avec une excellente précision. En effet, une erreur maximale de 3 cm sur Dt ou D 2 exige que les temps ft ou t2 soient déterminés avec une précision meilleure que :

!lt =

w

= 3 x 10- 2 = 10- 10 s soit !lt = 0, 1 ns 3 x !OS

c

Cette précision est à comparer à l'erreur que l'on commettrait en ignorant Je ralentissement des horloges mobiles, à bord des satellites ; calculons l'erreur relative associée : 2

To - T T

= ~y - l=(l - ~) - t/ - J "' - 2c2 ~ c2

soit

To - T "=' - ~ (3,88 x T

2

3

10 3 x !OS

2 )

= - O 83 x 10 _10 '

pour une vitesse des satellites par rapport à la Terre de 3,88 km · s-n . Pour des durées de l'ordre d'une minute, nécessaires à l'enregistrement des données, l'écart que provoquerait l'ignorance de la dilatation relativiste des durées atteindrait 5 ns et serait donc intolérable.

48

3. Fo11dements de la ci11ématique eillsteillieluJe

Remarques: 1) On tient compte du mouvement de l'objet à positionner en mesurant sa vitesse par effet Doppler-Fizeau (cf. paragraphe IV), c'est-à-dire par la variation de la fréquence de l'onde incidente réfléchie vers Je satellite. 2) Dans Je calcul précédent, on devrait prendre en compte aussi Je mouvement de rotation propre de la Terre ; Je terme correctif est f 2c2 , étant la vitesse d'entraînement d'un point de la Terre ; à l' équateur v, "'465 rn · s - 1 (cf. Méca11ique). Une autre source d'erreur est l'influence de la variation du potentiel gravitationnel produit par la Terre (cf. chapitre JO). Finalement, cene technique de la radionavigation par satellite n'a pu se développer qu'en s' appuyant sur la relativité restreinte (retard des horloges en mouvement), sur la relativité générale (avance des horloges en altitude), et aussi sur la quantique, laquelle est à l'origine de la construction d'horloges atomiques extrêmement précises (cf. Qua11tique). 3) L'Europe se dotera d'ici 2020 d'un système analogue, GaJileo, constitué de 30 satellites, situés à une altitude d'environ 24 000 km. Par rapport à ses concurrents, il sera plus précis et uniquement civil.

v:

v,

D. 4.- Paradoxe d es jumeaux de Langevin

Dans Je but de populariser les idées d'Eintein en France et de préciser la modification considérable qu'apporte sur Je temps l'analyse einsteinienne, Je physicien français P. Langevin a posé, vers 1911, Je problème suivant, appelé depuis Je paradoxe des jumeaux de l.a11gev.ill. Le premier des jumeaux, Albert (première lettre A comme Astronaute), quine la Terre à bord d'une fusée pour un voyage interplanétaire et revient à son point de départ au bout d'une durée T.., mesurée par ses horloges. Pendant ce voyage, son frère Gaspard (première lettre G de Gaia, déesse Terre) est constamment resté sur Terre ; la durée affichée par les horloges de Gaspard, entre Je départ et l'arrivée d'Albert est TG (Fig. 3 .8a). n:.(O)

n:.(T12)

~::::::::~:::::::

T (en annfes)

Retour poor A

--~/ ·:

~·..

/ . / AIJo;rpourA

JO D (annfes Jurni~re)

a)

b)

FIG. 3.8. Selon la cinématique newtonienne, qui postule l'universalité du temps, évidemment T.., = TG . Mais qu'en est-il selon la cinématique einsteinienne? On a objecté à Langevin que les durées T.., et TG devaient aussi être identiques dans la théorie relativiste, car les signes des vitesses de déplacement d'Albert par rapport à Gaspard et de Gaspard par rapport à Albert étaient opposés, et par conséquent Je facteur relativiste de dilatation y • inchangé. En fait, ce raisonnement est erroné, car il suppose que les rôles d' Albert et de Gaspard sont symétriques, ce qui est incorrect comme Je montre une analyse attentive ; alors que Gaspard sur Terre n'a subi aucune accélération pendant la durée du voyage, Albert a dû supporter trois fortes accélérations, la première pour sauter dans une première fusée s'éloignant de la Terre, la deuxième à la fin de l'aller pour embarquer dans une seconde fusée se dirigeant vers la Terre, enfin la troisième pour atterrir au retour.

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

49

Aussi répond-on convenablement à la question de Langevin, en introduisant les trois référentiels suivants (Fig. 3.8a) : i) R.G lié à la Terre,

ii) R.~ lié à une première fusée transportant Albert à l'aller, de vitesse v, par rapport à R.G,

-v.

no.

iii) R.~ lié à une seconde fusée Je transportant au retour, de vitesse par rapport à Pour les intervalles aUer et reto11r, de même durée, Gaspard ne peut guère revendiquer Je rôle d'observateur propre, contrairement à Albert. Par conséquent, la durée de l'aller étant TG/ 2 pour Gaspard, elle vaut T~ = TG/(2y, ) pour Albert dans R.~. De même, pourle retour, T',( = TG/(2y, ). Den résulte, en négligeant la durée des transferts pour R.G (montée dans R.~ , passage de R.~ à R.~, descente de R.~ ), que la durée du voyage pour Albert est reliée à celle de Gaspard par l'équation :

.,.. lA.~ T'A. + T" À = -TG Ye

Ainsi, une analyse rationnelle commune aux deux jumeaux conduit à une durée T;. pour l'astronaute ilifériellre à la durée TG pour Je jumeau resté sur Terre. Retenons que Je temps s'écoule plus lentement pour l'astronaute Albert que pour Je terrien Gaspard. Le paradoxe est donc levé.

Exemple : Pour effectuer Je trajet aller et retour vers une étoile située à la distance D = JO a.l (année-lumière) de la Terre, à la vitesse 0, 9c ,les durées de l'aller et du retour, pour Gaspard, sont respectivement :

"=

.,..Ga __

,,

D _ __ JO xc x 1

•

Il

--=--=-- "'11, 1 an ~~

et

D

JO xc x 1

Il

~~

TG,r = - =

"'11, 1 an

d'où la durée totale du voyage pour Gaspard :

TG= TG,a Comme y, = (1- 11 ment:

2

/ c?) -

112

2D - "'22,2 an Il

= 2,294 ,les durées de l'aller et du retour, pour Albert, sont respective-

TGr D "'4, 84 an et T;., = - ' = - "'4, 84 an

TGa

D

Ye

Y e ll

T;. a = -'- = '

+ TG,r =

'

Ye

Y e ll

d'où la durée totale du voyage pour Albert :

Ainsi Je temps s'écoule plus lentement pour Je nomade Albert que p our Je sédentaire Gaspard dans Je rapport 2, 294. Sur la figure 3.8b, on a représenté ce résultat dans Je diagramme espace-temps (x, ct) associé au référentiel R.. La trnjectoire traduisant l'immobilité de Gaspard sur Terre est Je segment OTG sur l'axe Oct. Dans ce même référentiel R., celle d'Albert est formée de deux segments OM et MTG dont les pentes ont une même valeur absolue supérieure à un, puisque 11 < c, et des signes opposés en raison de l'opposition des vitesses à l'aller et au retour. La longueur du segment OTG donne la durée qui s'écoule pour Gaspard, entre Je départ et l'arrivée d'Albert. La durée, plus faible pour Albert, se calcule Je long de sa trajectoire, c'est-à-dire sur l'axe Oct' défini par OM, puis sur l'axe Met" défini par MTG :

Tp =

~

{ ds + ~ c loM c

1

MTo

ds =

~

{ ds c loM

50

3. Fondements de la cinématique einsteinie1u1e

puisque les durées sont indentiques et que l'on néglige les durées de changement de référentiel en 0 , en M et en T. D vient :

Avec une vitesse plus élevée u = ( J - 5 x J0 - 5 )c , pourlaquelle y, "' JOO, un voyage interstellaire aller et retour, qui ne durerait que 2 ans pour l'astronaute, exigerait que Gaspard, sur Terre, attende deux siècles pour revoir son frère. Albert ne retrouverait donc pas Gaspard, mais découvrirait des habitants inconnus vivant sur une Terre vieillie de deux siècles (!).Soulignons qu'il ne s'agit pas d'un effet apparent mais objectif, même si chacun des jumeaux ne ressent aucune perturbation du temps biologique défini par son propre métabolisme. La seule hypothèse admise est qu'Albert soit capable de supporter physiquement les accélérations subies, comme Je sont une particule physique ou un instrument de mesure.

Remarques: J) Parfois, des auteurs prennent une précaution inutile avant d'érudier Je paradoxe des jumeaux de Langevin : un tel problème devrait être rigoureusement traité dans Je cadre de la Relativité Générale (RG) disent-ils. D n'en est rien car la RG est essentiellement la prise en compte du caractère singulier de la gravitation dans la théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre JO). 2) Même si la réalisation de teUes vitesses pour des voyages interstellaires d'humains donnant lieu à des ralentissements d'horloges significatifs n'est pas envisageable pour Je moment, cene prime accordée aux voyageurs les plus téméraires, sous la forme d'un ralentissement de leur vieillesse, est bien réelle. C'est ce qu'illustre Je fim « Interstellar », réalisé en 20J4 parC. Nolan ; après un voyage intersteUaire, Je héros assiste à la mort de sa fille devenue une très vieille darne, bien plus âgée que lui !

a) Visualisation de la dilatation des durées sur le diagramme de Minkowski Sur Je diagramme bidimensionnel de Minkowski de la figure 3.9, Je point A' sur l'axe Oct représente Albert puisque Je lieu où se trouve l'horloge qui l'accompagne demeure à x' = 0. Son référentiel est donc référentiel propre au cours de l'aller. Pour déterminer la durée de l'aller selon son jumeau Gaspard, il suffit de considérer la projection A de A' sur l'axe Oct : on constate que Je référentiel de Gaspard n'est pas référentiel propre puisque la projection sur Ox n'est pas nulle et que la durée OA, malgré les apparences, est supérieure à OA', cene dernière durée se retrouvant en OH sur l'axe Oct, H étant Je point où l'hyperbole êt2 = Cte, passant par A', coupe l'axe Oct.

r

Pour Je retour, il suffit de tracer les axes oct' et Ox' respectivement symétriques des axes oct et Ox' par rapport aux axes Oct et Ox, car la vitesse du nouveau référentiel R." a changé de sens. Le point A" représente Albert au retour dans R." . Comme précédemment, ce référentiel est référentiel propre pour Je retour. En raison de la symétrie, la projection de A" sur Oct coïncide avec H.

b) Ralentissement d'horloges mobiles En J'17 J, on a embarqué des horloges atomiques au césium à bord d'avions de ligne (Concorde et Boeing 707). Après un tour du monde, à la même Jatirude, on a comparé leurs indications à celles données par des horloges témoins laissées sur Terre. Une fois prise en compte l'influence du champ de pesanteur sur leur période (cf. chapitre JO), on a décelé un retard des horloges en mouvement en accord avec Je retard prédit par la relativité restreinte.

51

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

FIG. 3.9.

La relation entre la période propre Tp donnée par les horloges aéroportées et celle T indiquée « c) et les référentiels sensiblement galiléens :

par les horloges au sol est, puisque la vitesse d'entraînement est faible ( v,

T = YeTp

avec

Ye = ( 1 - {3:) - l/ 2 "' 1 +

13}

Or, suivant q ue le vol, qui s'effectue à la vitesse v par rapport à la Terre le long d'une trajectoire circumpolaire, à la distance R de l'axe de rotation de la Terre, est orienté vers l'ouest ou vers l'est, les vitesses d'entraînement à considérer sont respectivement :

v, = v+ fiR

v. = v - fiR

où fi=21T/(24 x 3600) "'7, 3 x I0 - 5 rad ·s- 1 est la vitessederotationdelaTerreautourdel'axe des pôles. La différence relative de la période T,. donnée par une horloge transportée par un avion qui se déplace vers l'ouest (we.tt en anglais) vaut donc : -- v+ Rfi

puisque

{3.

puisque

{3, = - - -

c

Pour un avion se dirigeant vers l'est, on a : T, - Tp

(v - Rûf

{3:

---;y;- "' 2

=

2c2

v(v - 2Rfi)

"'

c2

v - Rfi c

Les dérives observées, de 275 ns pour le déplacement vers l'ouest et de 40 ns pour le déplacement vers l'est, sont en accord avec les prévisions théoriques.

ill.- CONTRACTION DES LONGUEURS

rn .1 . -

I.Amgueur propre et r éférentiel propre

Soit une barre rigide AB, fixe dans le référentiel R', en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel galiléen R . Sa longueur dans ce référentiel R' s'obtient en évaluant la différence -4 des abscisses des deux événements suivants :

-x;

52

3. Fo11dements de la ci11ématique eillsteillielule i) première coïncidence de l'extrémité B avec la graduation

a; d'une règle-étalon (Fig. 3.10a), a; de cette même règle-étalon.

ii) seconde coïncidence de l'autre extrémité A avec la graduation

a;

»et « B- a~» étant statiomUlires, c 'est-à-dire indépendantes Notons q ue les coïncidences « Adu temps dans R.' , la mesure de la longueur AB de la barre donne le même résultat, même si les deux événements ne sont pas simultanés. On appelle lo11gueur propre Lp d'une barre la longueur mesurée par un observateur.fixe par rapport à la barre. Par conséquent :

Je référentiel R.' , par rapport auquel la barre est fixe, est Je référelltiel propre. La longueur d' une barre mesurée par un observateur en mouveme11t par rapport à cette barre est dite, par opposition, longueur impropre. y'

y

n:

n R~glo-étalon de

G'1

n

n'

n' G2

0

x O'A

y'

y

B

x

B

O'

0

x'

x

R~glo-étalon den

a)

G, b)

FIG. 3. 10.

ill. 2 . - Rela tion entre longueur propre et longueur impropre Pour comparer longueur propre et longueur impropre, la procédu re de mesure de la longueur d'une barre doit être universelle. Aussi adopte-t-on la définition suivante : la longueur d' une barre est la différence des abscisses x2 - x 1 obtenues en notant, au même i11stallt du référentiel R. de l'observateur, la coïncidence des extrémités A et B de la barre avec les graduations a, et a 2 d'une règle-étalon fixe dans R. (Fig. 3.10b). Notons que cette définition est compatible avec celle de longueur propre, puisque, la barre étant dans ce cas fixe par rapport à l'observateur, la contrainte de simultanéité est superflue. En revanche dans R., en mouvement par rapport à la barre, la coïncidence des extrémités A et B, respectivement avec les graduations ~ et Ch de R. , n'est pas stationnaire. Pour une barre AB, en mouvement de translation rectiligne uniforme, à la vitesse u = u e, par rapport à un observateur du référentiel R., écrivons les coordonnées des événements-coïncidences, dans R., puis dans R.' lié à la barre, en utilisant la transformation de Lorentz-Poincaré. D vient, en introduisant [3, = ufc et y,

puisque la mesure faite par 1' observateur de R. implique t 1 = t2 • On en déduit :

~ - x; = y,(x2 - xt) avec y, = ( ! - {3: )- 112 et {3, = ~ c

53

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

xi - x'n , mesurée dans R' où la barre est

On retient la relation suivante, entre la longueur propre Lp = fixe, et la longueur impropre L; = X2 - Xt , mesurée dans R :

L; = Lp

y, = { 1 -

avec

{3:} - l / 2

'Ye

Ainsi, les longueurs d'une même barre, mesurées dans le référentiel propre R' et dans tout autre référentiel R, par rapport auquel R' est en mouvement à la vitesse u = "e,, sont différentes. Elles sont dans le rapport y, , la valeur la pl11s grande étant mesurée dans le référentiel propre. Ce résultat est connu sous le nom de contraction des longlle!lrs. Ici aussi, il faut souligner que cette contraction des longueurs n'est pas subjective mais objective; c'est un effet réel de perspective qui apparaît lorsqu'on mesure la distance qui sépare deux événements dans un référentiel où ces événements ne se produisent pas au même instant. En faisant y, = 1 , on trouve le cas newtonien dans lequel la mesure de la longueur d'une barre ne dépend pas de son état de mouvement par rapport à l'observateur.

Remarq11es: 1) Les coordonnées perpendiculaires à la direction de la vitesse u sont inchangées. Par conséquent, la longueur d'une barre qui se déplace perpendiculairement à sa direction n'est pas affectée par le mouvement. 2) D n'est pas inutile de préciser que les longueurs de deux règles idenliqlles mesurées par deux observateurs A et B, respectivement fixes par rapport à chacune d'elles, sont égales, puisque ces observateurs comparent les longueurs propres de deux règles identiques. La contraction est constatée lorsque A mesure la longuette de la règle accompagnant B ou lorsque B mesure la longueur de la règle fixe par rapport à A. ID . 3 . -

Exemples

a) Vitesse associée à 11ne contraction donnée Calculons la vitesse 11 d'un observateur pour laquelle la longueur de la barre qu'il mesure soit égale au tiers de la longueur propre. Comme y, = 3 , il vient : Il

=

(1 - ~) 'Y~

112

c=

2

v'2 c = 3

0 94 c '

b) Paradoxe de la ba"e et de l'ollverfllre Une barre AB, de longueur propre L = 1, 1 rn , se déplace, à la vitesse u = 11 e, , avec 11 = 0, 5 c , par rapport au référentiel du laboratoire R = Oxyz ,le long de l' axe horizontal Ox (Fig. 3.11). Sur cet axe de R, on a ménagé une ouverture OP de diamètre propre plus petit, D = 1 rn. D'après la contrnction des longueurs, la longueur de la barre mesurée par un observateur de R est : L - "'95, 3 cm 'Ye

puisque

y, =

(

;z.)-t/2

1- ~

"' 1, 1547

C

De même, la longueur OP paraît contractée pour un observateur de R' : Dfy, "'86, 6 cm. D est instructif de comparer les abscisses des points B et P, lorsque A et 0 coïncident (Fig. 3.lla), et les abscisses de A et 0 lorsque B et P coïncident (Fig. 3.1lb). (1) Événement E 1

:

A et 0 coïncident.

54

3. Fo11dements de la cillématiqlle eillsteillieluJe )'

)'

Barre

A

B

Barre

A

o~====::::::j~ ,. ...

················0~--

xa:P

x

'·~ -------------D _..,i

B

'' 0 , o~====::5--~ .................,. , _ __.,. :P

: X..t

:

x

D ..,._------------_..,:

a)

b)

FIG. 3. 11.

Adoptons comme origine cet événement : et'= 0

et= 0

Et

n

l

x=O

Et

n·

lx'= O

Écrivons successivement, dans R' et dans R, les coordonnées spatiales de l'extrémité B de la barre, à l'instant t = 0 de n. n vient :

Xs = y,(.ls + f3,ct~) et cts = 0 = y,(ct~

+ f3eXs )

avec

4

= L

On en déduit :

Ainsi : L

xs = -

'Ye

=95, 3cm

cts = 0

4= L=

110 cm et

ct~= - f3,L = - 55 cm

La valeur de Xs confirme Je résultat relatif à la contraction des longueurs. Lorsque les extrémités gauches A et 0 de la barre et de l'ouverture coütcident, l'extrémité B de la barre a une abscisse Xs inférieure à celle du point P de l'ouverture : la barre est contenue dans l'ouverture OP.

Remarque : Notons que, si les horloges de R et de R', situées respectivement aux origines 0 et A des deux référentiels, donnent toutes deux la même indication 0 lorsque ces deux points coütcident, elles ne donnent pas la même indication 0 au point B, car ce dernier ne coütcide pas avec 0 : cts = 0 alors que et cfa = - f3,L. (2) Événement ~ : B et P coütcident. Les coordonnées spatio temporelles de cet événement, dans R et dans R' sont :

~

~ 1 ct= cr n

x=D

1

n·

ct'= y,(cr - {3,L ) x' = L = y,(D - {3,cr)

On en déduit aisément cr , en fonction de D et L :

D L cr= - - - [3,

'Ye [3,

soit cr= 9,47 cm

Rmdemellls de la cinématiq11e eiiiSteinienne

55

Écrivons successivement, dans R et dans R', les coordonnées spatiales de l'extrémité A, à l'instant t = 'T pour R , lorsque B et P comcident. D vient :

XA = 'Ye(~

+ {3,cit,)

CfA= C'T

avec

~ = 0 = 'Ye(XA - f3ectA)

et

cit, = 'Ye(CIA - f3.XA)

On en déduit :

C'T clt, = y,(c'T - f3.XA) = y,c'T( J - {3: ) = - = 8,20cm 'Ye Ainsi, lorsque les extrémités droites de la barre et de l'ouverture coïncident, A est à droite de 0. En résumé, bien que plus longue de JO cm, la barre en mouvement est toujours contenue dans l'ouverture. C'est ce résultat, surprenant dans Je contexte newtonien, qui constitue Je paradoxe. D est intéressant de calculer Je carré de la pseudo-norme de l'intervalle entre les événements E 1 « A et 0 coïncident » et Ez. « B et P comcident : >> XA = f3,c'T = 4, 74cm

sf2 =

2 c (t2

2 - 11) -

(x2

-

et

xi)2 =

é.,.2 -

L'intervalle entre les événements E1 et entre eux.

_!:_)

2 D = ( D f3e 'Ye f3e

2 -

2 2 D = 9, 47

-

JOlY= - 9, 9JO cm2

E2 est donc du genre espace : il n'y a pas de relation de causalité

ill. 4.- Visualisation de la contraction des longueurs s ur Je diagramme de Minkowski Traçons, surie diagramme de Minkowski, l'hyperbole H, d'équation th2 - xl= - J (Fig. 3.J2). Désignons par A1 et A2 les points représentant les deux événements E1 et E2 qui se produisent, au même instant ct dans R, aux points de coordonnées respectives x 1 et x2 • Les droites parallèles à l'axe Oct, passant par A 1 et A2 , coupent l'axe Oct aux points A~ et A~.

La longueur propre entre ces deux événements est donnée par Je rapport : A1A2/ 0A puisque, A étant l' intersection de H, avec l'axe Ox , OA représente l' unité de longueur dans R. Quant à la longueur impropre, elle est représentée par Je rapport A;A~/OA', A' étant Je point d'intersection de l'axe Ox' avec l'hyperbole H, et OA' l'unité de longueur selon l'axe Ox', puisque :

c2 12

-

;(2 = - J

x' = J

donne

t

pour

= 0

À l'aide du diagramme, on voit que, si K' est Je point d'intersection de la parallèle menée de A à l'axe Oct avec l'axe Ox' , et si a est l'angle que fait Ox' avec Ox , on a : A 1A2 = A 1A2/ cos a= A\ A~ :;, A\A~ OA OA fco sa OK' "' OA'

soit

L ,:: L ~ P

puisque OK' ,;;; OA'. Le rapport OK'/ OA' est Je facteur de contraction. Pour montrer qu' il vaut Jfy, , exprimons séparément OK' et OA' en fonction de OA . On a :

oK' =

OA

cosa

= OA(J + {3: ) 112

tan a = [3,

puisque

_!_ = J + tan2 a

et

cos2 a

On obtient OA' en exprimant que A' est l'intersection de l'axe Ox avec l'hyperbole H, ; ses coordonnées satisfont aux deux équations :

ct = tan a x = f3.x et

c2

r - x2 = - OA

2

On en déduit : OA' = (th

2

+ r) 112 = (J + f3: ) 112x =

OA (:

Le facteur de contraction vaut donc bien Jfy, .

~ ~~ )

112 d'où

OK' = OA'

(J _ {32 )1/2 = _!_ '

'Ye

56

3. Fo11dements de la ci11ématique eillsteillieluJe

'' FIG. 3. 12.

IV.- EFFET DOPPLER-FIZEAU IV . 1 . -

Définition

On appelle effet Doppler-Fizeau la variation de la fréquence d'un signal lumineux lorsque la source et le récepteur sont en mouvement relatif. Cet effet a été érudié par le physicien autrichien C. Doppler sur les ondes acoustiques (cf. Méca11ique), puis étendu aux ondes lumineuses par Fizeau.

Considérons deux référentiels galiléens R et R', l'un lié à la source 0 et l'autre au récepteur 0'. La source émet une onde lumineuse monochromatique plane, de fréquence 11, se dirigeant dans la direction qui fait, dans Je plan Oxy, J'angle fJ avec Ox (Fig. 3.13). Sur la figure, la vitesse v, de 1>et « passage de A en A2 >>est du genre temps, puisqu'une relation de causalité existe, et vaut : 1 dx 2 1 dy 2 1 d z 2] 1/2 2 2 12 d s = (c dt - dr - dl - d r) ' = c dt [ 1 - - ( - ) - - ( - ) - - ( - ) ~ dt ~ dt ~ dt

=cdt (

2) 1/2

1-~

v étant la norme de la vitesse de A par rapport à R . Comme l'intervalle est une quantité invariante (par changement de référentiel galiléen), il en est de même du rapport dT = d s / c, homogène à une durée, que l'on appelle durée propre élémentaire de la particule : 2) - 1/2

ds dt dT= - = -

y= (

avec

y

C

1-~

D est essentiel de ne pas confondre y, relatif à la particule de vitesse v quelconque par rapport à R , et Je facteur relativiste y, associé à la vitesse v, constallle de R' par rapport à n.

D . 2 . - Définition du quadrivecteur vitesse Comme la durée propre associée au mouvement d' une particule est un invariant, on définit Je quadrivecteurvitesse 4-v, à partir du quadrivecteur 4 -x(ct, r), selon : d(4-x) 4 -v = - dT

Le quadrivecteur 4-v s'explicite selon :

d

d

4-v = - (ct, r ) = y - (ct, r) = ( yc, yv) d 1" dt

Notons que la quatrième composante yc est supérieure à c, ce qui n'est pas en contradiction avec la théorie d'Einstein, cette composante n'étant qu'un intermédiaire de calcul. On en déduit Je carré de la pseudo-norme :

Exemple : calculons Je quadrivecteur vitesse d'une particule qui se déplace à la vitesse 0, 8 c Je long de l'axe Ox. Comme {3 = 0, 8, y= 1, 67, il vient : yv, = 1, 67

X

0, 8c = 1, 333c

YVy = 0

yc= 1, 67c

On vérifie évidemment que :

Remarque: Pour v = c, Je carré de la pseudo-norme donne encore ~ ; en effet, ~ - v 2 s'annule mais y 2 devient infini, de telle sorte Je produit donne la valeur finie ~ .

4. Transformation eiiiSteiniome des vitesses et des accélérations

72

n. 3 . - Transformation d es vitesses à l'aide du formalisme quadridimensionnel On peut retrouver les formules de transformation des vitesses en exprimant que 4-v se transforme comme un quadrivecteur par changement de référentiel galiléen. En effet, 4 -v = L{4-v '} donne, en explicitant :

d'où :

y= y.y'( t

+ f3,v~fc)

On retrouve évidemment les fonnules de transformation des vitesses établies précédemment : Vy =

ill . ID . 1 . -

v'

v -

y

y, ( 1 + f3,1f.fc)

x -

v'


. Dans cet espace règne un champ magnétique B constant, parallèle à l'arête du prisme et dirigé suivant l'axe Oz0 du référentiel du laboratoire R. La trajectoire moyenne du pinceau incident, est normale à la face d' entrée, laquelle est représentée par l'axe Ox0 passant par Je point Etel que OE =Po (Fig. 6.17).

1. a) Écrire, sous forme vectorielle, la loi fondamentale de la dynamique d'Einstein, en introduisant Je vecteur unitaire e,o porté par l'axe Ozo et w, = eBf( ym,) , e étant la charge élémentaire, m, la masse de l'électron et y Je fucteur relativiste. b) Expliciter la relation précédente en coordonnées cylindriques (p,

=

avec

(J

+a

4. Quelles sont les valeurs maximale et minimale de la coordonnée y1 du point d'impact sur le détecteur? En déduire l'expression suivante de la distance ay entre les points d'impact correspondants :

ay= (4~ - d 2 ) 1' 2 -

(4~cos2 €

-

tP) 1' 2

s étant la valeur maximale de 0 définie par la fente d'entrée. Que d evient cene distance lorsque s est suffisamment petit ? Commenter.

7 Collisions de particules rapides

Comme en mécanique newtonienne, on dit q ue deux particules entrent en collision lorsque, du fuit de leur interaction, elles subissent des variations brutales de vitesse dans une zone quasi poncruelle de l'espace. Cene définition exprime soit notre incapacité à analyser la complexité de ce qui se passe dans la zone d' interaction, soit une artirude délibérée qui consiste à ne s' intéresser qu' aux états initial et final du système des deux particules. Ce manque d'information concernant la narure exacte de l'interaction se traduit nécessairement par une indétermination. En revanche, il conduit à établir des relations très générales puisque indépendantes de l'interaction. Dans beaucou p de problèmes concrets, les informations que nous tirerons d'une analyse générale s'avéreront très instructives. I.: é rude des collisions en dynamique einsteinienne constitue Je prolongement indispensable de ce qui est bien connu en mécanique newtonienne (cf. Mécaniq11e), puisque les valeurs des vitesses considérées sont,le plus souvent, proches de c.

Énonçons d'abord les propriétés générales des collisions, précisément les lois de conservation.

1.- PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COLLISIONS 1. 1 . -I.A>is de conservation

a) Conservation de la qllCintité de mo11 vement totale La propriété de conservation de la quantité de mouvement totale, au cours d' une collision entre particules, est une généralisation de celle, bien connue en mécanique newtonienne, relative à un système isolé ou pseudo-isolé (cf. Mécaniq11e) : au cours d'une collision, la quantité de mouvement totale d' un système de particules se conserve, ce qui s'écrit, dans l'hypothèse d''additivité : Pav =

P.,

soit

L

p1 =

L Pt

avec

p 1 = y;m;v; et

p1 =

'Yt'ntVf

f

car on admet que la quantité de mouvement est une grandeur cinétique vectorielle additive ; l'indice est utilisé pour les particules initiales et l'indice f pour les particules finales. Notons q ue cene loi est indépmda111e de la narure précise de la collision.

Collisions de particules rapides

137

Remarque: Dans la technique du calcul, il est judicieux de se garder d' expliciter trop tôt les quantités de mouvement en fonction des vitesses. b) Conservation de l'énergie totale

La propriété de conservation de l'énergie totale, au cours d'une collision entre particules, est aussi une généralisation de celle, bien connue en mécanique newtonienne, relative à un système isolé ou pseudo-isolé dont les forces intérieures dérivent d'une énergie potentielle : l'énergie d'un système isolé de particules se conserve. Ainsi :

E:av = E:ap soit

L E:t ; + E:o,; + E:p,av = L E:tt + E:ot + f:,,ap f

en explicitant les différentes énergies. Comme la collision est un pbénomène localisé, l'énergie potentielle se conserve aussi E:p,av = E:p,ap . L'équation de conservation de 1' énergie se réduit donc à :

L E:t,i + m;c = L E:tt + mt c 2

2

avec

E:t,i = (Yi - l )miè et E:t t = ( Yt - 1 )n'tè

f

Le tableau 7.1 donne la masse de quelques particules en MeV · c - 2 • Une autre unité, souvent employée dans ce contexte, est l'rmité de masse atomique (u). On appelle ainsi la masse d'une particule fictive telle que, N;. = 6, 02 x J()23 mol- 1 étant le nombre d'Avogadro : N;. x u.m .a= Jg

d'où

lu= 1, 6604 x J0- 27 kg=93! , 468MeV · c - 2 "' 931 , 5MeV · c - 2

Particule (p+)) proton neutron (n) deuton (d) (t) triton hélion (a) (/3 -) électron deutérium tritium hélium

lH+

bn

fH+

~H+

1He2+ ~,e

fH tH 1H,

Masse en MeV · c -< 938,27 939,565 1 875,61 2808,84 3727,27 0,511 1876,07 2809,35 3728,30

Masse en u 1,007276 1,008665 2,013553 3,015 501 4,001505 0,000549 2,014 102 3,016050 4,002603

TAB. 7.1.

1. 2.- Collisions élastiques et collisions inélastiques

a) Collisions élastiques Les collisions sont dites élastiques lorsque le n ombre et la nature des particules sont inchangés. Une telle collision sera représentée par une réaction où l' on retrouve dans l'état final les mêmes particules que dans l'état initial, mais avec des propriétés cinétiques différentes : Ar + A2 -+ A; + A~ Comme la somme des énergies de masse ne varie pas, au cours d'une collision élastique :

7. Collisions de particules rapides

138

la conservation de l'énergie se réduit à celle de 1'énergie cinétique de l'ensemble :

Cependant, en raison de la relation E? - p 2c2 = m 2c4 qui relie la quantité de mouvement p = ymv à l'énergie E: = ymc2 d'une particule, il est généralement plus commode d'écrire, en relativité, dans le cas de collisions élastiques, la conservation de la somme des énergies cinétiques, en y incluant les énergies de masse des particules. Exemple: e- + e- -+ e- + eDans cette collision élastique entre deux électrons, ni le nombre de particules en interaction ni leur nature ne sont modifiés ; seules leur quantité de mouvement et leur énergie cinétique ont changé. Remarque: Le concept de collision élastique est en réalité une idéalisation, puisque toute collision modifie nécessairement la nature des particules. Cette idéalisation doit être rapprochée de la notion de réversibilité en physique, définie comme une invariance par changement de signe de la variable temps (cf. Thermodynamique). b) Collisions inélastiques

Les collisions sont dites inélastiques si le nombre ou la nature des particules sont modifiés après collision. Aussi les représente-t-on par la réaction suivante :

Comme :

L m;c # L m1c 2

2

alors

f

la conservation de l'énergie dans une collision inélastique cooduit à l'équation :

Par conséquent, la variation d'énergie cinétique est directement reliée à la variation de la somme des masses des particules qui constituent le système. Cette transformation de l'énergie cinétique en masse et vice-versa exprime l'équivalence masse-énergie. D est alors commode d'introduire le défuut de la somme des masses des particules, historiquement appelé défaut de masse :

+ p+ -+ p+ + p+ + 110 Établissons, pour une collision inélastique, dans laquelle la cible est au repos, la relation entre la masse M du système des deux particules en interaction et la somme des masses des particules incidentes. D'après la définition de la masse, il vient :

Exemple : p+

2

2 2 2 4 M c =E: - Ji2c =

(~t:,) (~P,)

2 2 c = (E:1 + m2èf - pfè

Collisions de particules rapides

139

puisque ~ = m2è et p 2 = 0 . Par conséquent :

On retrouve bien la non-additivité des masses en relativité (cf. chapitre 5).

Remarque: D convient de ne pas confondre le défaut de la somme des masses avec une variation hypothétique de la masse M du système. Nous avons vu que la masse M, définie à partir de la norme du quadrivecteur 4 -P, était invariante au cours d' unecollision (cf. chapitre 5).

II.- RÉFÉRENTIEL DU CENTRE DE MASSE V analyse newtonienne des collisions montre que le référentiel du centre de masse, appelé parfois référentiel barycentrique, est un intermédiaire commode pour résoudre les problèmes de collision (cf. Mécanique). Den est de même en relativité. D. 1 . -

Définition de

n·

On appelle référentiel du centre de masse R. • le référentiel en translation par rapport au référentiel du laboratoire R., tel que la quantité de mouvement totale du système y soit nulle :

p• = 0 soit aussi

L pi" = 0

Lorsque le système de particules en interaction peut être considéré comme isolé, comme c'est généralement le cas, ce référentiel est aussi galiléen.

n·

Remarque: La définition précédente de n· généralise celle, adoptée en mécanique newtonienne, qui s'appuie sur la définition préalable du centre de masse par le barycentre du système de particules affectées de leurs masses respectives (cf. Mtcanique). Pour déterminer la vitesse d'entraînement v, de n• par rapport à R., écrivons les formules de transformation du quadrivecteur 4 -P = L;;4-p;. Appelons Ox l'axe dirigé suivant la quantité de mouvement totale P ; il vient :

d'où : Ve

[3, = -

c

Pxc = -

t:

et

n·

Exemple : Déterminons la vitesse de translation de associé à deux particules, l'une animée d'une vitesse v1 , par rapport au référentiel du laboratoire R., et l'autre A2 fixe dans R. (Fig. 7.1). Comme L;; l:; = y 1m 1è + n~zc2 et L:;P;x = y 1m 1v 1 , on obtient : c2ytmtVI Vt d' , (Ytmt + m2)2 2 v, = Ytmtc2 + 117zC2 = 1 + n~zfytml ou Y, = ,/If + mi + 2ytmtm2 Dans le cas d'un électron projectile et d'un proton cible, on a généralement 'llz ~ y 1m 1 ; v, est alors coütcide pratiquement avec R.. En revanche, si le mouvement de A1 est ultranégligeable et einsteinien (117z"' y 1m 1), v, n'est plus négligeable.

n·

7. Collisions de particules rapides

140 )'

y*

n

o+-----.x-·O··a• At FIG. 7. 1.

Si les deux particules sont identiques, mt = m2, on trouve :

y, = ( 1 ~ Pour deux photons, de fréquences différentes les angles 11 1 et 112 , on a :

Yt)

1/ 2

et

112 ,

lit

dont les directions font, avec l'axe Ox ,

+ 112 cos 112 "' + 112

{3. = "' cos lit

Si les photons ont même fréquence ( 11 = v) et s'ils sont émis dans une même direction mais dans des sens opposés ( 11 1 = 0 et 112 = 1r ), alors v, = 0. S'ils sont émis dans Je même sens ( 11 1 = 0 et 112 = 0 ), Je résultat précédent donne v, = c, ce qui doit être exclu, car les expressions utilisées supposent que y, soit fini ; physiquement, aucun référentiel ne peut se déplacer à la vitesse c .

D. 2 . - Propriétés générales d es collisions dans R • Le système considélé étant isolé, les propriétés générales des collisions dans

n· s'écrivent:

Sur la figure 7 2, on a représenté les quantités de mouvements de deux particules en interaction, avant et après une collision élastique, dans et dans

n

Pt

n. .

P2 = 0

-----0 >----········0 ·········· At

Avant a) Collision élastique dans

P~

~;~ A, puisque le photon diffusé perd de l'énergie.

!.:écart observé peut être aisément expliqué par Je modèle approché de l'électron cible libre. Ce modèle est d' autant plus satisfaisant que l'énergie acquise par l'électron sous forme cinétique est plus grande.

La présence du premier pic doit être attribuée à la diffusion Compton par les particules lourdes de la cible, précisément les cœurs des atomes, pour lesquels la longueur d'onde de Compton est beaucoup plus faible que celle associée aux électrons externes, qui sont pratiquement libres. Quant au fond continu, qui s'étend sur tout le spectre, il est dû à la diffusion Thomson que l'on explique à l'aide du modèle de l'électron élastiquement lié, soumis au champ électrique de l'onde électromagnétique incidente (pulsation w ), loin de la résonance : w ~ wo (cf. Électromagnétisme). Remarques: 1) D convient de bien distinguer l'effet Compton et l'effet photo-électrique. ils font intervenir tous deux un photon incident et un électron cible. Cependant, contrairement à l'effet Compton, l'effet photoélectrique est le résultat d'une collision inélastique entre un photon incident et un métal par l'intermédiaire d' un électron en interaction avec le reste du métal. Après collision, la cible métallique a changé de narure puisqu'un électron a été arraché à l'édifice. 2) On introduit parfois la longueur d'onde de Compton « barrée» pour l'électron :

k =

Ac 1T = 0, 38615905 pm 2

3) Ce travail a valu à Compton le prix Nobel en 1927.

Collisions de particules rapides

157

VI. 2 . - Créa tion d ' une paire électron· p ositron V action d' un photon sur une cible matérielle telle q u' un électron peut donner, en plus de l'électroncible, une paire électron-positron :

Calculons l'énergie-seuil, à partir de l'expression générale, établie au paragraphe V :

Cette énergie correspond à une longueur d'onde dans le domaine du rayonnement y : A(nm) =

1239 8 ' Ci' "' 0, 6 x 10- 3 nm 2, 044 x 1

. so1t

A "'0, 6 pm

Le positron fut découvert par l'américain d'origine suédoise C. Anderson, en 1932, alors q u'il observait les traces prnduites par les photons y du rayon cosmique dans une chambre de Wilson (cf. chapitre 8) ; dans ce cas, la particule cible de la collision était un noyau d'hydrogène.

R emarque : Ignorant les prévisions de Dirac sur les antiparticules, Anderson établit le premier, par l'expérience, l'existence du positron ; les trajectoires analysées sur les clichés ressemblaient en tout point à celles décrites par des particules ayant la masse d'un électron, mais dotées d'une charge électrique égale à e et non - e. D'autres physiciens, comme 1. Curie et F. Joliot, avaient observé de telles trajectoires, mais les avaient interprétées comme des électrons se déplaçant vers la source de rayonnement q u'ils utilisaient.

La présence de la particule-cible est indispensable ; en effet, les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie de la réaction : y -+ e- + e+ sont incompatibles. En effet, d'une part, la conservation de la quantité de mouvement donne : hv

7

e = P2 + p 3

. SOit

hv - ,;;; P2 + Pl

c

et hv ,;;; P2C + PJC

en raison de la règle des longueurs dans le triangle de conservation des quantités de mouvement. D'autre part, la conservation de l'énergie se traduit par l'équation : hv = ~ + 0

puisque ~ =

(nc2 + m~c")

112

et

0

d'où hv ;;, P2C + p 3c

= (p~c2

hv ,;;; P2C + p3c

+ m~c") 112 . On trou ve ainsi, de façon contradictoire :

et hv = ~ + 0

;;, P2C + p3c

ce qui établit l'impossibilité de la matérialisation d' un photon en l'absence de cible.

VI. 3. - Émission et absorption de photons par un a tome V émission et l'absorption de photons par un atome doivent être traitées comme des collisions inélastiques dans lesquelles on exprime la conservation de la quantité de mouvement et celle de l'énergie du système total.

7. Collisions de particules rapides

158 a) Émission

!.:émission d'un photon par un atome ou un noyau, passant d'un niveau excité d' énergie

E:0;2 = 117zc2 à son niveau fondamental d' énergie t:0 , 1 = m1c2 < ~,peut être considérée comme une collision inélastique (Fig. 7 .IOa) : atome excité

--+

atome + y

Désignons par Pa la quantité de mouvement acquise par l'atome, par E:. son énergie et par E:y,e = hv, l'énergie du photon émis. Les conservations de la quantité de mouvement et de l'énergie du système, qui est isolé, s'écrivent, respectivement :

En utilisant la relation entre Pa et E:a , on élimine ces deux quantités selon : d'où ce qui s'écrit aussi :

E:y,e =

(~;! -

E:o,t) (E:o,2 + E:o, t) U o,2

soit

Comme E:0,2 - E:0 , 1 « E:0;2, l'énergie E:y,e du photon émis ne diffère que légèrement de la différence E:o;2 - E:o, 1 • Posant, E:o,2 - E:o, 1 = hv 12 , la relation précédente s' écrit aussi : Pe -

Pt2

--v;;- =

hPt2

- 2m2&

li>.2 - - - - - -

li>.2

ti>.t

ti>.t - - -A-l>l-orp .6-b-.o-n- -

Émission a)

b)

FIG. 7. 10.

b) Absorption !.:effet photo-électrique est un exemple d'absorption de photon par un métal avec émission d'électron (cf. Quantique). On résume cene absorption par l'équation de réaction :

y + métal

--+

métal ionisé + e-

Un autre exemple important est l'absorption d'un photon par un atome, ce qui produit un atome excité (Fig. 7.10b) : y + atome --+ atome excité

Collisions de particules rapides

159

Avec des notations analogues aux précédentes, E:y,a = hva étant l'énergie du photon absorbé, les conservations de la quantité de mouvement et de l'énergie donnent respectivement :

E:y,a e + 0 = pa et E:o,1+ E:y,a = E:a = C

(p~c2 + t:6,2)112

puisque ~,2 est l'énergie de masse de l'atome dans l'état final. Comme précédemment, il vient, en éliminant Pa et E:a : > en allemand), iii) les pertes par rayonnement Cerenkov des particules, chrugées ou non, qui se déplacent, dans un milieu, avec une vitesse plus grande que celle de la lumière dans ce même milieu, iv) les pertes d'énergie des photons parprnduction de paires électron-positron.

189

Physiq11e llllCléaire et applications a) Pertes d'énergie par ionisation. Formule de Bethe

Les pertes des particules chatgées par ionisation sont les plus importantes. !.:énergie cédée aux électrons atomiques d'un milieu, par une particule incidente chargée A1 , durant un trajet élémentaire de longueur d s, est proportionnelle à la perte d'énergie, notée Q, relative à une collision et au nombre de collisions subies. Ce dernier est égal au nombre de centres diffuseurs contenus dans Je cylindre droit, de longueur d s et de section égale à la section efficace de diffusion du (cf. Mécaniq11e) ; il vaut donc lld du d s, si lld désigne Je nombre de centres diffuseurs par unité de volume. Den résulte que la perte d'énergie - d t, au cours du déplacement élémentaire d s, s'obtient en sommant toutes les valeurs de Q : - d t= d s

J

Qnddu

avec lld=Zila

p~

et lia= M.,

11a étant Je nombre d'atomes par unité de volume, p la masse volumique du milieu, N~o Je nombre d'Avogadro, Z Je nombre d'électrons par atome et M., la masse molaire des atomes du milieu.

Pour calculer l'intégrale précédente, il faut exprimer du en fooction de Q . En effectuant ce calcul laborieux, Bethe a établi Je résultat suivant, relatif au pouvoir d' arrêt des matériaux pour des particules incidentes autres que des électrons :

27T1

_ dt = ZpNA ds m,c M.,

zt{3

[ln

(2yff3fm,c2) _f3f] 1

1

e2

avec

J= - 4mso

q,

{3

où m, est la masse d' un électron atomique, 1 Je rapport de la vitesse v 1 de la particule incidente sur c, y 1 Je facteur relativiste associé à 1 , Z 1 Je nombre de charges élémentaires de cene particule et 1 une énergie associée à l'ensemble des états électroniques de l'atome, appelée potentiel moyen d'ionisation. On admet souvent la formule empirique suivante donnant 1, en eV, en fonction de Z :

{3

/ ( eV) = 16Z0•9 Notons que la particule incidente n'intervient que par Je carré de :sa vitesse (/3f) et par celui de sa charge Z1 • Sur la figure 8.8, on a représenté, pour des particules a, Je pouvoir d'arrêt de l'hydrogène liquide, en fonction de (Yt - 1) qui désigne l'énergie cinétique de At en unité de masse m,c2 • Dans ce cas, où Z 1 = 2, Z = 1, p = 70, 8 kg · m- 3 , M., = 10- 3 kg, on obtient l'expression suivante de - d t/ d s ,en MeV . m- 1 :

6

{3f] -

- d t = 4,35 {1 [ 1, 022 x 10 ds {jf n 16(1 - f3f)

250 200

ISO 100 50

0

L_~------ y,-1 2 3 4 s

FIG. 8.8.

/32} 1

190

8. Physiq11e llllCléaire et applications

b) Rayonnement de freinage La perte d'énergie par ionisation d'une particule incidente chargée s'accompagne nécessairement d'un rayonnement, puisque toute particule chargée, freinée, rayonne une énergie qui est proportionnelle au carré de son accélération (cf. Électromagnétisme). Cette perte d'énergie par rayonnement de freinage est négligeable devant la perte par ionisation, lorsque les particules incidentes sont Jourdes ou de faible énergie. En revanche, elle est significative pour des électrons dont l'énergie cinétique est supérieure à plusieurs MeV.

c) Rayonnement Cerenkov Le rayonnement Cerenkov (prononcer Tchérenkof) est Je rayonnement émis par un milieu matériel, lorsqu'une particule se déplace dans ce milieu d'indice 11 , avec une vitesse qui est supérieure à la vitesse de la lumière dans ce même milieu. Da été observé, pour la première fois en 1935, par Je physicien russe P. Cerenkov, ce qui lui a valu Je prix Nobel en 1958. La condition d'émission s'écrit:

c

v> -

1

{3 > -

soit

Il

11

Le phénomène est analogue à l'onde de choc acoustique entendue lorsqu'un avion se déplace à une vitesse supérieure à la vitesse de propagation du son dans l'air (cf. M écaniq11e). Pour une particule chargée en mouvement dans un milieu matériel, d'indice 11 , qui provoque l'excitation des atomes rencontrés, la vitesse de phase des ondes lumineuses sphériques émises par ces atomes est cfn. Si cette vitesse est inférieure à la vitesse v de la particule, Je milieu est perturbé vers l'arrière du projectile et non vers l'avant (Fig. 8.9). Désignons par A la position de la particule à l'instant t. À un instant antérieur t - 'T ,la particule, qui se trouvait au point A< , a émis une onde lumineuse sphérique do nt Je front, à l'instant t, est une sphère ~ ; cette sphère se réduit au point A à l'instant t . On peut reproduire Je même raisonnement à tous les instants antérieurs à t. Den résulte un cône d'accumulation de lumière dont Je demi-angle au sommet 0 est tel que : sin{}= A) - l/2

a.

aV + - diVA= - -p

8t

so

et

av) = -~J

1 ~A . 1 M - - - grad ( divA + -

él at2

él at

Comme les potentiels V et A ne sont pas totalement définis, on peut imposer la condition suivante, appeléejallge de Lorenz (cf. Électromagnétisme):

av

. 1 divA + - - = 0

él at

Les potentiels satisfont alors aux équations suivantes :

O V=

~v -2 - aV= -P

élat

so

et

dans lesquelles 0 est un opérateur spatio-temporel appelé le dalembertien, en hommage au physicien et mathématicien français Jean Le Rond d'Alembert. Ces équations traduisent la propagation des potentiels V et A , à la vitesse de la lumière c dans le vide, à partir des sources ( p et J ), et par conséquent celle des champs E et B , ce que confirme l' el\périence. 1. 2 . - Quadriopérateur nabla

La relation entre l'électromagnétisme et la relativité s' eltplicite naturellement à l'aide du formalisme quadridirnensionnel. Aussi définit-on l'opérateur quadridirnensionnel nabla :

4-V

=(.!.... -v)=(.!.... - ~ - ~ _!._) act ' act ' 8x' &y' a z

Montrons que 4 -\7 est un opérateur quadrivectoriel à l'aide des formules de transformation de LorentzPoincaré inversées :

les dérivations par rapport aux variables y et

z étant inchangées, et :

Le carré de la pseudo-norme du quadriopérateur 4-\7 s'identifie à l'opérateur 0 . En effet :

218

9. Électromagnétisme et relativité

Les équations, auxquelles satisfont les potentiels V et A, s'écrivent donc, avec la notation quadridimensionnelle : II4-\7II2 V = .E._ et II4-\7II2 A = J.ti>J so Cette écriture conduit narurellement à poser les questions suivantes : i) Comment se transforment les sources ( p , J ) par changemen t de référentiel galiléen ? ii) Comment se transforment les potentiels ( V, A) qui leur sont directement reliés ? iii) Enfin, comment se transforment les champs ( E, B) qui dérivent des potentiels (V , A) ?

II.- QUADRIPOTENTIEL ÉLECTROMAGNÉTIQUE

n. 1.- invariance de la charge électrique La chatge électrique est invariante par changement de référentiel galiléen. Cene invariance est souvent admise comme un posrulat implicite. Elle est analogue à l'invariance de la masse d'une particule ou d'un système.

D. 2.- Formules de transformation de la charge volumique Considérons une chatge Sq, dans un volume élémentaire d f 1 , centré autour d'un point en mouvement quelconque, de vitesse v par rapport à un référentiel galiléen R. . La charge volumique correspondante, est :

Sq p = d f1

où d f 1 = d x dy d z désigne Je volume élémentaire occupé par Sq . Pour simplifier, sans cependant restreindre la généralité du raisonnement, supposons qu'à l'instant considéré l'axe Ox soit parallèle à v (Fig. 9.1), et introduisons Je référentiel galiléen R.o qui, à cet instant, a la vitesse v par rapport à R.. Comme la charge Sq est immobile par rapport à R.o, on peut définir la chatge volumique propre par :

Sq Po= d f 1o

où d f 1o = dxo dyo d yo représente Je volume élémentaire occupé par Sq dans R.o. Or dx = dX(J/ Y, d y = d y0 et d z = d zo. D vient donc, y = ( 1 - v2 fc2) - I / 2 étant Je facteur relativiste associé à la vitesse v : dq=Pod i 1o avec d f 1o=ydxdyd z =yd f 1

n en résulte, puisque

Po d f 1o = Po y d f 1 = pd f 1 : P=YPo y

x

FIG. 9.1.

Électromagnétisme et relativité

219

D. 3 . - Quadrivecteur source du champ électromagnétique On appelle qlladrivectellr so11rce du champ électromagnétique le quadtivecteur défini directement à partir de 4 -v ( yc, y v) et de la charge volumique propre po : 4-J = Po( yc, yv) = (pc, J )

On en déduit les formules de transformation suivantes entre les composantes du quadrivecteur 4-J dans les référentiels galiléens n et n'. en translation rectiligne uniforme à la vitesse v, par rapport à n :

où [3, = v,fc et y, = ( I - f3~) - 1 12 .Enoutre,Iecarrédelapseudo-normede 4-J s'écrit :

114-1112 = p2c2 -

i

= Pf,c2

On sait q u' une relation entre la chatge volumique p et le courant volumique J permet d'exprimer localement le caractère conservatif de la charge électrique (cf. Électromagnétisme) : Bp = - div J soit

8t

Bpc

8ct

+ V ·J =

0

On peut réécrire cette relation en introduisant l'opérateur q uadtidimensionnel 4-\7 et le quadrivecteur courant volumique 4-J. En effet :

8

4-\7 · 4-J = ( -V ~·

)

8pc

· (pc J) = -

~

'

. + \7 · J = -8p + div J

8t

d'où

4-\7 ·4-J = 0

D. 4.- Formules de transforma tion du potentiel Les relations entre les potentiels aux sources peuvent être rassemblées en une seule équation, à coodition de définir le q uadtivecteur potentiel 4-A ( V/ c, A) :

En effet, cela entraîne, respectivement pour les trois dimensions spatiales et pour la dimension temporelle:

Les formules de transformation des potentiels entre deux référentiels galiléens sont donc les suivantes :

V -c = 'Ye (V' -c + f3.A' ) x

Avec la notation quadtidimensionnelle, la jauge de Lorentz s'écrit :

4-\7 · 4-A = -

a(v)c

8ct

-

.

av

t -= 0 + V · A =dtv A + -

él 8t

D résulte du caractère quadridimensionnel du q uadtipotentiel que le carré de la norme de 4-A est invariant (par changement de référentiel) : V2 fc2 - A2 = invariant.

9. Électromagnétisme et relativité

220 D. 5 . - Exemples a) Condensateur plan

Par rapport à un référentiel galiléen R., un condensateur plan dont les armatures, distantes de l = 1 mm, et portées aux potentiels respectifs U = 1 kY et 0 (Fig. 9.2), se déplace avec un mouvement de translation, de vitesse u = ue,, avec u = 0, 9c. y

y' +++

n

~ '·~

++ ~

ut~ )

0

n'

:d

0'

i......x'

x FIG. 9.2.

Dans le référentiel R.', lié au condensateur, le quadripotentiel ( V'/c, A') s'obtient aisément à partir des champs selon (cf. Électromagnétisme) : nf. E1 = - -u ey = - Iuey Y · m -

1

l

d'où les potentiels V' et A' :

v

1

1

et

B' = 0

1

et A = 0 l On en déduit les potentiels V et A dans le référentiel R., sachant que {3, = 0, 9 et donc y, = 2, 29 :

V = -- y

U

Vi

V =')1,-)'1 et A =')1, {3, - - e, l l c Sur cet exemple, on vérifie aisément que la norme de 4 -A est invariante :

est invariant car toutes les quantités qui apparaissent dans l'expression précédente le sont.

On retrouve les résultats de l'approximation newtonienne, en faisant [3, les expressions précédentes :

u

1

1

V= - y =V l

et

«

1 et donc y, "' 1 dans

u y'

A "' [3, - - e, "' 0 l c

b) Particule en mouvement rectiligne uniforme Une particule, de charge q, se déplace avec une vitesse vectoriellement constante u = rapport au référentiel galiléen du laboratoire R. = Oxyz (Fig. 9.3a). Dans le référentiel galiléen R.' = O'x'y'i , lié à la particule placée en électromagnétique 4-A' a pour expression au point d'observation M : 1 V'= - -!!.. 41Tso r'

et

A'= 0

avec

1 = (x'2 + y12

11

e, par

0', le quadripotentiel

+ 12 ) 112

Électromagnétisme et relativité

221

y

E (0 = 0)

x'

x

a)

FIG. 9.3.

n vient, pour un obsetVateur de V- 'Y V'- _ 1_ -

e

-

n. en utilisant les formules de transformation du quadtipotentiel : 'Ye q

q

4mso I'Y~(x - llt)2 + ),2 + z2]I/2

4mso l(x - llt)2 + (1 - /3~)6,2 + z2)] I/2

A = _ 1_ 'Yef3eq = /"o y,q Il J"o q Il x 4mso cr' 41T IYHx - llt)2 + y2 + z2)I/2 - 41T l(x - llt)2 + (1 - f3n6•2 + z2))I/2

Ay = 0 et A, = 0 avec {3, = 11/ c et 'Ye = (1 - {3~) - 1 /2.

Dest naturel d'introduire, pour un obseevateur de R , Je vecteur R = O'M , dont les composantes dans R sont (x - 111, y, z ), et l'angle fJ que fait R avec Ox. Notons que, pour un observateur de R', le vecteur O'M a, lui, pour composantes t = y,(x - 11t), l =y, = z. D vient:

t

Par conséquent :

Pour fJ = 0 et 1T :

1 q V= - - 41Tso R

et

JLo q u V A= - - = - u 47T R c2

Pour fJ = ?T/ 2 :

v=

1 q ( 1 ) 1/ 2 47T€O R 1 - {3~

Dans l'approximation newtonienne ({3, connues :

«

l"o q u (

et

A= 47T

R

1

1 - {3~

)I/2

1 et 'Ye "' 1), on retrouve évidemment les expressions bien

1 V= - - 1 47Tso R

et

9. Électromagnétisme et relativité

222

i l l . - TRANSFORMATION EINSTEINIENNE DES CHAMPS ID . 1 . -

Formules de transformation des champs

n existe plusieurs méthodes pour établir les formules de transformation du champ électromagnétique ( E, B) : l'une à partir des potentiels V et A, une deuxième en utilisant les formules de transformation des forces, une troisième s'appuyant sur l'invariance des équations de Maxwell par changement de référentiel galiléen. Nous utiliserons ici la première méthode (cf. Exercices pour les autres). Notons que, les dimensions physiques des champs E et B étant différentes, il sera plus commode et plus naturel d'écrire les formules de transformation du champ electromagnétique en considérant, grâce à la constante universelle c, non le champ ( E, B) mais le champ équivalent ( E, Be) dont les deux éléments s'expriment avec la même unité SI, le V · m - 1 • Les relations entre les champs et les potentiels :

aA

E = - grad V - -

8t

et B =rotA

s'explicitent selon :

et

Nous devons alors remplacer les potentiels dans le référentiel galiléen R. par leurs expressions en fonction de ceux dans R.', en translation rectiligne uniforme, à la vitesse v, = f3,c e, par rapport à R., et tenir compte des relations de dérivation issues de la transformation de Lorentz-Poincaré inverse :

a 8x

=

a) Y• (a 8x' - [3, 8cl 1

celles relatives aux coordonnées transversales se réduisant à

aj&y = a/&l

et

ataz = atat.

a) Transformation du champ magnétique

Commençons par les composantes du champ magnétique, précisément par la transformation de sa composante selon l'axe Ox :

Bx = aA, _ aAy = aA', _ aA'y &y az é}l 8z'

=

B'x

Concernant la composante de B suivant l'axe Oy , il vient :

soit, en regroupant les termes :

aA'x - -aA',) - y,f3, ( - aV'fc aA',) By=y, ( -at ax' az'- - -8ct:'

=

y,(B'yc - f3,E,)

De façon analogue, on a pour l'autre composante transversale suivant Oz :

Électromagné tisme et relativité

223

soit : B, = 'Ye ( aA' __Y ax'

aA' x) + 'Yef3e ( -aV' fe - __ aA'Y ) = 'Ye ( B', + [3,-2 E' ) -EN az' 8ct' c

---

En résumé :

Les relations inverses donnant le chrunp B' c en fonction de E et Be s'obtiennent évidemment en changeant v, en - v, , soit {3, en - {3, . b) Transformation du champ électrique

D vient, pour la composante du champ électrique E selon Ox

a ,2 +

z2)f12

1 1 qi 1 qz E, = y, E = - - y, - = - - - - - - - - - - - ' ' - - - - - - - - - ; ;-;;: < 41Tso r'3 4?Tso Y~ ](x - ut)2 + ( l - /3~)(),2 + z2)]3/2

Bx = 0 B = - y, qu _ l _ i_ = y él 47T€O r 13

qu z 47T ynx - rlt)2 + (1 - ,8~)(>,2 + z2))3/2

_ JJ{J

B _y qu _ l _ j_ _ JJ{J qrl)' < - 'c2 4?Tso r'3 - 41T y~ ](x - ut)2 + (1 - ,8~)6,2 + z2)]3/2 En fonction de R = OM et de l'angle (} que fait R avec l'axe Ox de déplacement de la particule, on trouve finalement : E= - l _ q R

1 - {3~

41Tso R3 (1 - {3~ sin2 0)3/2

et

Comme on pouvait s'y attendre, puisque E · B = E 1 • B1 = 0, les champs E et B sont orthogonaux. Sur la figure 9.3b, on a représenté le champ électromagnétique créé par la particule en quelques points particuliers de la sphère de rayon R .

228

9. Électromagnétisme et relativité

Pour fJ = 0 et

1r :

1 q 2 El/ = 4 - R2 (1- ,8,) ex 1T€O

E.L = 0 et

B= 0

Pour fJ = 1T/ 2 et fJ = 31T/ 2 :

1 q 1 E.L = 41Tso R2 ( 1 - ,8~)112 ep On voit que Je champ électrique longitudinal est plus faible que Je champ électrique transversal :

E11 = ( l _ ,82)3/2 = ..!._ E.L • y~ Le chrunp électrique n'est donc pas radial. D passe par une valeur maximale pour (} = 1r/ 2 et s'effondre rapidement lorsqu'on s'écarte de cette valeur. On peut montrer que la largeur /10 de cet intervalle est de l'ordre de 1fy, pour des particules rapides. Pour cela, développons, autour de (} = 1T / 2, la fonction caractéristique f (O) , qui apparaît dans l'expression du champ électrique :

On a :

df) _ [ 2 sin(20) ( dO de Be . Notons q ue la dimension physique du tenseur {F,..} ainsi défini est celle d' un champ électrique.

IV.- LAGRANGIEN ET HAMILTONIEN D' UNE PARTICULE RAPIDE IV. 1 . - Lagr angien d' une pa rticule chargée r apide Le lagrangien d'une particule chargée, plongée dans un champ électromagnétique extérieur, est la fonction .C( {q;}, {q;}, t) , des coordonnées de position {q;} , de leurs dérivées et du temps, qui satisfait aux équations de la mécanique écrites sous la forme (cf. Mécaniq11e} :

~ ( a.c) _ a.c =

aq;

dt

0

8q;

Montrons que l'expression suivante de .C :

lrW .C= - - - qV + qv · A y

dans laquelle m , q, v, y et A désignent respectivement la masse, la charge, la vitesse de la particule, Je fucteur relativiste associé et Je potentiel vecteur, restitue la loi fondamentale de la dynamique

einsteinienne : ddp = q(E + v x B) avec

p = ymv

t

Pour cela, évaluons les quantités Px = a.ctax et a.ctax , x étant la coordonnée de position dans Je référentiel R = Oxyz . D vient :

a.c ,ru? ay ,ru? v x . Px = -a · = - y 2 -a · + qAx = - y 2 Y3 2+ qAx =ymx+ qAx x x cv et -a.c = - q-av

ax

8x

aAx y-+ .aAr z .aA, + q (.x-+ -) ax

ax

8x

n en résulte q ue : d(ymx + qAx) dt

av

(· aAx

. aAy

. aA, )

= - q ax + q xa; +y ax +za;

soit, puisque dAx/ dt= aAx/8t +xaAxfax + j•aAxf8y + zaAx!az : d . av aAx . ( aAy aAx) . ( aAx dr peut se mettre sous la forme : cl>= 2cur

(:~)

(y2 - 1)

ur étant une q uantité q ue l'on exprimera en fonction de r, = t?é/(rn,c2 ). b) Quelle est la signification physique des grandeurs s2/(2Jl{J) et r, ? Vérifier la cohérence dimensionnelle de l'expression de cl> . c) Calculer la puissance rayonnée par l'électron en watt puis en eV par seconde. 5. t.: électron émet ce rayonnement de façon isotrope dans R.o . En admettant la composition einsteinienne des vitesses entre R.o et R. , montrer q ue le rayonnement dans R. est confiné dans une zone étroite dont on précisera l'orientation moyenne et la demi-largeur en fonction de y.

10 Relativité générale La relativité restreinte a été généralisée par Einstein, en 1916, principalement dans le but d'étendre le principe de relativité à tous les référentiels, galiléens ou non. Rappelons q ue la relativité restreinte (RR) et la relativité newtonienne (RN) artribuent toutes les deux un caractère privilégié aux référentiels galiléens, la première ne fuisant qu' élargir le principe de relativité aux phénomènes physiques, autres que mécaniques. Trouvant ce privilège incompréhensible, Einstein confia, à plusieurs reprises, qu'il avait été fortement influencé par le physicien allemand E. Mach, lequel avait proposé une lecrure critique des hypothèses de Newton, notamment celles concernant l'espace absolu et la masse inerte. D fut alors conduit à réexaminer la gravitation, en abandonnant le concept d'interaction pour celui de courbure de l'espacetemps. Nous nous proposons ici de développer les idées fondamentales de la relativité générale (RG), notamment le rôle singulier de la gravitation, en raison de l'égalité de la masse grave et de la masse inerte, l'équivalence de tous les systèmes de référence pour exprimer les lois de la physique et enfin l' inexistence de l'espace et du temps, en dehors de la matière ou de l'énergie. \blontairement, nous laissons de côté le développement technique nécessaire à l'écrirure des équations de la relativité générale, lequel s'appuie largement sur le calcul tensoriel (cf. Annexe 2). Nous donnons ensuite un aperçu du rôle majeur de la RG en cosmologie.

1.- CARACTÈRE SINGULIER DE LA GRAVITATION On sait que la force de gravitation est de loin la moins intense des quatre forces fondamentales (cf. chapitre 8). Cependant, elle joue un rôle essentiel à l'échelle de l'Univers, car les autres forces sont soit de très faible portée, soit nulles, les corps stellaires étant électriquement neutres. 1. 1.- Forces d' inertie et force de gravitation Rappelons que les forces d'inertie, qui apparaissent lorsque le référentiel par rapport auq uel on étudie le mouvement n'est pas galiléen, sont les termes d'accélération - ma, et - mac, qui par définition sont proportionnels aux masses inertes (cf. Méca11ique). Ces forces ont ainsi la particularité de s' évanouir lorsqu'on effecrue un bo11 choix de référentiel privilégié. Quant à la force de gravitation qui s'exerce muruellement entre deux points matériels At et A2 , son expression vectorielle, bien connue, est la suivante, avec des notations explicites (Fig. 10.1) : r

A At

ft - r

où e, = - = -2 - = - - -2 r r r

JO. Relativité générale

240

La valeur de la constante de Newton G = 6, 67 x 10- ll SI rappelle que cene interaction est la plus faible des quatre interactions fondamentales. Les quantités scalaires positives mj , 1n2 sont les masses graves des points A 1 et A2 • Bien que souvent on se contente de parler de masse sans autre précision, il convient de distinguer la masse inerte de la masse grave, car ces deux quantités traduisent des propriétés différentes de la matière : la première qui est la capacité qu'a un corps de résister à sa mise en mouvement, la seconde qui est la propriété d'un corps électriquement neutre d'attirer un autre corps. Le mérite d'Einstein fut notamment de souligner le caractère exceptionnel de l'identité des masses inerte et grave, à une époque où cette singularité passait inaperçue.

Th be vid6 d'air

z

g

Oo

Billes

Pompe à vide

x FIG. 10.1.

FIG. 10.2.

1. 2 . - Égalité des masses inerte et grave Plusieurs analyses expérimentales ont permis d'établir l'égalité des masses grave et inerte, à l' origine du Principe d'Équivalence, comme on le verra plus loin. i) La première fut celle proposée par Galilée dans la deuxième partie de la première journée du « Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles», en 1620. Citons Galilée : « Mais, moi qui en aifaitl'essai, je VOliS aJSure qu'tm boulet d'artillerie, pesant cent ou deux cents livres ou même davantage, ne précèdera même pas d'une palme, en touchant terre, rme balle de lnDrlSqrœt dont le poids n'excède pas rme demi-livre, et cela après une clu1te commrme de deux ce111s corldées ».Galilée analyse aussi le rôle de la force de frottement visqueux exercée par l'air.

ii) La plus connue est celle prouvant la chute identique des corps dans un tube vidé d' air (tube de Newton) ; Einstein disait d'elle que c'était selon lui la plus belle expérience qu'un professeur de physique pouvait montrer à ses élèves. iii) La plus spectaculaire est celle montrant l'impesanteur dans un satellite artificiel. iv) La plus précise est celle faite, entre 1890 et 1920, par le physicien hongrois R. Eôtvos avec une balance de torsion (précision relative de J0- 9 ) ; elle fut reprise par le physicien américain R. Dicke dans les années 1960, avec une excellente précision relative ( JQ - ll ), et parE. Adelberger plus récemment, en 1990, avec une précision relative encore meilleure de 3 x JQ - 13 •

a) Expérience du tube de Newton Dans un tube vertical en verre, que l'on a préalablement vidé d'air à l'aide d'une pompe à vide, on laisse tomber deux corps différents, par exemple une bille métallique lourde et une bille en sureau

Relativité générale

241

légère (Fig. 10.2). On constate que ces deux corps acquièrent la même accélération. Montrons que ce résultat implique la proportionnalité entre les masses inerte et grave.

En appliquant la loi fondamentale de la dynamique dans Je référentiel terrestre aux deux corps, on obtient, si Fp,I et Fp,z désignent les poids et .n la vitesse de rotation de la Terre autour de son axe sud-nord (cf. M écaniq11e) :

Comme a1 = a 2 et v 1 = v2 , d'après l'expérience, il en résulte que :

Fp,I = Fp,2 mt

1n2

où les poids sont reliés au champ de gravitation Ç par (cf. M écanique) :

Par conséquent, on a, puisque Ç(AI) "' Ç(A2 ) =

(m") g - a,"' (m") b) Mes11re d11 rapport m"/mpar Newton ml

g

et

g - a,

a.,1 "' a,,2 = a. : d'où

m2

(m") "' (m") '"'t

m2

m" /m

Newton testa expérimentalement l'indépendance du rapport avec Je matériau constirutif, en comparant la périnde des pendules simples que l'on réalise en accrochant, à l'extrémité inférieure d'un fil, des masselottes de différentes substances. Établissons l'expression de la période de ces pendules de même longueur l, à l'aide de la loi fondamentale de Newton, appliquée au corpuscule A, de masse inerte m et de masse grave m• : ma=m"g + R g désignant Je champ de pesanteur terrestre, lequel est constitué principalement du champ de gravitation AO qui relie A au point d'attache 0 de l'autre extrémité du fil (Fig. 10.3). D vient, en projetant l'équation vectorielle précédente selon Je vecteur unitaire e, défini par la tangente à la trajectoire circulaire, et en désignant par 0 l'angle que fait OA avec la verticale descendante :

g (cf. M écaniq11e) ; la réaction du fil, R, est portée par Je vecteur

miiJ = -m"gsinO Pour les oscillations de fuible amplirude, l'équation différentielle précédente est caractéristique d' oscillations sinusoïdales : ··

2

0 + w0 0 = 0

mg -;;;[ •

avec

wo =

(

) 1/ 2

d'où la périnde propre : 112

To = -27T =27T ( -ml ) WO

m•g

La mesure de T0 pour différentes substances (bois, métal, etc.) permit à Newton de tester la proportionnalité de la masse grave et de la masse inerte avec une précision relative de J0 - 3 .

JO. Relativité générale

242

t z. 1

e---y. :

.,)\t '

:

'- -: --

/

"x.

n•

Y•

/ A

'

'

FIG. 10.3.

FIG. 10.4.

c) Impesanteur dans une cabine spatiale Appliquons la loi fondamentale de la dynrunique à un corpuscule A, de masse inerte m, par rapport au référentiel de centre de masse d'une cabine spatiale, en translation quelconque (curviligne) par rapport au référentiel géocentrique R.g = T.xoy0 z0 (Fig. 10.4). Si le corpuscule n'est soumis à aucune force occasionnelle, en dehors de la gravitation, il vient :

n·

maAt n· = m•Ç(A) - ma., Or a, est relié au champ de gravitation au Ç(C) au centre de masse C de la cabine. En effet, le théorème du centre de masse appliqué à la cabine, de masse inerte M et de masse grave M• donne :

Mac = M• Ç(C)

d'où

aAt n· = m• Ç(A) - MM• Ç(C) m

Expérimentalement, on constate que Ç(A) "' Ç( C) et a,.. "' 0 . Den résulte que :

d) Expériences d'Eiitvos et de Dicke Dans les expériences d' Eôtvos et de Dicke, un pendule de torsion est en équilibre dans le référentiel du laboratoire. La première, celle d'Eotvos, date de 1890. Nous allons décrire celle de Dicke plus récente : trois masses identiques A 1 , A2 , A3 , placées aux sommets d'un triangle équilatéral matériel, constitué de trois tiges en quartz, forment un pendule de torsion (Fig. 105). Une telle configuration rend le dispositif peu sensible aux variations du champ de gravitation. L'ensemble est suspendu verticalemement à l'aide d'un fil de suspension en quartz. À l'équilibre, le moment, au centre de masse C, de toutes les actions, forces de gravitation m•Ç et forces d'inertie - ma, , est nul :

Si l'on remplace A3 par un corps B3 , de même masse mais de matérieau différent, le moment Mc devient :

Relativité générale

243

A30uB3 Vue de d essus

FIG. 10.5.

soit, en tenant compte de l'équilibre précédent : avec 'fJ =

(mi) _(mi) 1113 B

m3

A

Expérimentalement, Dicke et ses collaborateurs ont pu établir que Je facteur 'fJ valait, pour l'aluminium et l'or : 'fJ = (1, 3 ± 1) x JO- li On en conclut que Je rapport m• f m ne dépend pas du matériau considéré : les masse grave et inerte sont des grandeurs proportionnelles. En utilisant la même unité pour mesurer ces deux grandeurs, on conclut à leur égalité: 1n•

= 1n

Les mesures les plus récentes fuites sur des corps en chute libre ou sur les « chutes» de la Terre et de la Lune sur Je Soleil donnent des précisions relatives de J0 - 12 et J0 - 13 , respectivement.

Remarque: Plusieurs projets expérimentaux sont prévus pour tester l'égalité entre les masses grave et inerte, et donc la RG. Citons notamment, MIŒOSCOPE (pour MICRO Satellite à traînée COmpensée pour l'Observation du Principe d'Équivalence), qui implique Je CNES et l'ONERA en France ; il s'agit de mertre en évidence, sur des objets embarqués sur satellite, une violation du principe d'équivalence, grâce à une précision relative de 1o- 15 • Certains physiciens pensent qu'une violation du principe d'équivalence, à un niveau très faible, constituerait un premier indice confortant la Thtéorie des Cordes, laquelle apparaît actuellement comme l'une des rares tentatives crédibles d'unification de la RG et de la Quantique. 1. 3. -Analogie et différence entre forces d' inertie et force de gravitation

a) Analogie Le résultat précédent n'est pas du tout banal puisque, parmi toutes les forces qui peuvent modifier Je mouvement d'une particule, seules la force de gravitation et les forces d'inertie ont la propriété d'être proportionnelles à la masse. Par exemple, la force électromagnétique qui s'exerce sur une particule, de charge électrique q, est indépendante de la masse d'inertie. La force de gravitation possède donc, comme les forces d'inertie, Je caractère exceptionnel d'être proportionnelle à la masse inerte. Il en résulte la possibilité de compenser Je champ de gravitation par Je champ d'accélération produit par la force d'inertie d'entraînement. Par exemple dans Je référentiel du

JO. Relativité générale

244

centre de masse d'une cabine spatiale, la loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un corpuscule A , donne (Fig. 10.4) : a = Ç(A) - Ç(C) On voit que, localement c'est-à-dire dans le voisinage du centre de masse, la compensation des champs est réalisée. La différence résiduelle Ç(A) - Ç( C) , qui exprime la non-uniformité du champ de gravitation produit par la Terre en différents points de la cabine spatiale, est à l'origine d'un phénomène de marées, analogue aux matées océaniques qui sont dues, rappelons-le, à la non-uniformité du champ de gravitation produit par la Lune et le Soleil en différents points de la Terre (cf. Mécanique). b) Différence

Dexiste une différence importante entre la force de gravitation et la force d'inertie d'entraînement : la première s'évanouit lorsque la distance entre les corps en interaction augmente infiniment, tandis que la seconde augmente lorsqu'on s'éloigne de l'axe de rotation. Cene différence montre que c'est seulement dans une zone réduite de l'espace que le champ de gravitation peut être compensé par un champ d'accélération. Quant à la force d' inertie de Coriolis, elle présente moins d'intérêt puisqu'elle s'annule dans tous les référentiels en mouvement de translation ou lorsque le point matériel est immobile dans le référentiel non galiléen considéré. 1. 4.- Équations du champ et du potentiel de gravitation Dans la théorie newtonienne de la gravitation, le champ de gravitation g présente deux propriétés : il dérive d'un potentiel cl> et satisfait à l'équation de Poisson dans laquelle apparaît la densité volumique de masse p (cf. Mécanique) :

g

= - gr ad cl> et

div g = - 41TGp

d'où

acl> = 41TGp

Ces équations sont analogues à celles du champet du potentiel électrique V qui découlent des équations de Maxwell en régime stationnaire (cf. chapitre 8).

II.- INVARIANCE DE LA FORME DES LOIS DE LA PHYSIQUE D. 1.- Apparence du caractère privilégié des référentiels galiléens Dans ses publications originales de 1915 et 1916 sur les fondements de la théorie de la relativité générale, Einstein souleva d'emblée le problème de l'origine du caractère privilégié des référentiels galiléens, tels qu'ils sont introduits en relativité newtonienne, et confortés en relativité restreinte.

Pour établir la simple apparence de ce caractère privilégié, il considère deux corps déformables, S et S', de même taille et de même nature, formant un système très éloigné de tout autre masse, le premier S au repos par rapport au référentiel galiléen R. et le second S' , tel que chacun de ses points ait un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, par exemple Oz (Fig. 10.6) ; les seules interactions à prendre en compte sont les forces de gravitation mutuelle. On constate que S et S' se comportent différemment : alors que le premier a la forme d'une sphère, le second a celle d'un ellipsoïde. En mécanique newtonienne, on attribue cene différence observée au caractère privilégié de R. galiléen comparé au référentiel R.' , dans lequel S' est au repos, et qui est en rotation par rapport à R., autour de Oz ; en effet, dans R.' , apparaissent des forces d'inertie d'entraînement centrifuge qui applatissent S' suivant l'axe de rotation.

Relativité générale

245

Selon Einstein, cette cause purement fictive cache une vraie caus e, située en dehors du système des deux corps et liée à l'ensemble des masses très éloignées de S et S1 • En ce sens, il conforte Mach, lorsque ce dernier affirmait, dès 1903, q ue, contrairement à l'analyse de Newton, les faits observés ne conduisent en réalité q u'à des mouvements relatifs de corps par rapport à d'autres corps, pris comme référence.

FIG. 10.6.

FIG. 10.7.

D. 2 . - Systèmes de coordonnées Le concept de référentiel q uadridimensionnel, introduit en relativité newtonienne et en relativité restreinte, doit être abandonné en relativité générale, au profit d' un système d e quatre coordonné es spatio-temporelles, xo , x 1 , x2 , X3 , plus général, qui permette de constater essentiellement la coïncidence on non des coordonnées d'événements différents. En effet, un référentiel suppose un ensemble de points de l'espace invariablement liés entre eux et pouvant être infiniment éloignés les uns des autres. Den résulte des problèmes concernant la vitesse de certains points suffisamment éloignés d'un centre de rotation, la mesure des durées, ainsi q ue celles des longueurs dans ces référentiels. Pour s'en convaincre, considérons un référentiel R/ = Ox'iz tournant autour de l'axe Oz , par rapport au référentiel galiléen R. = Oxyz (Fig. 10.7a). i) Un point A 1 , suffisamment éloigné du centre de rotation 0, peut atteindre et dépasser la vitesse de la lumière, puisque V JI• = nON . ii) On ne peut pas associer un seul temps à R. 1 • En effet, deux horloges H~. et H~. de R.1 , placées respectivement aux points distincts N et /Y, ne peuvent pas être synchronisées, puisqu'elles sont en mouvement relatif l' une par rapport à l'autre (Fig. 10.7b) ; pour un observateur de R., l'horloge la plus éloignée de l'axe de rotation, de vitesse plus grande, subira un ralentissement plus élevé (cf. chapitre 3). iii) On ne peut pas non plus associer un seul étalon de longueur à R.1 • Radialement l'étalon ne subit pas de contraction, alors q ue tangentiellement, il en subit une. D en résulte q ue Je rapport entre Je périmètre d' un cercle, de centre 0, et son diamètre est différent de 1T dans R.1 : dans ce dernier, la mesure du diamètre donne D, comme dans R. , puisque Je segment MN est comparé à un étalon inchangé ; en revanche, la mesure du périmètre dans R. 1 donne une valeur supérieure à L, car elle est Je rapport de la longueur du cercle dans R.1 , qui vaut aussi L, sur celle contractée de l'étalon en mouvement car porté tangentiellement au cercle (Fig. 10.7).

n. 3 . - Équivalence locale d' un champ de gravitation et d ' un champ d'accélér ation Dans un référentiel galiléen R., une masselotte tombe en chute libre, c'est-à-dire q u'elle est soumise à la seule action du champ de gravitation g. Son mouvement, étudié par un observateur de R.,

JO. Relativité gé11érale

246

est caractérisé par une accélération g (Fig. 10.8a). En effet, cene dernière est donnée par la loi fondamentale de Newton si, comme c'est le cas, la vitesse reste négligeable devant c : ma

=m· g d'où a= g puisque m=1n• a.

lg 9··g( n

Ç= O

9-ma.

t

1

n'

a)

b)

FIG. 10.8.

Un observateur d' un référentiel R.', en translation accélérée par rapport à R., avec l'accélération d'entraînement a, = - g , dans lequel le champ de gravitation serait nul, observerait le même mouvement accéléré d'un corpuscule A, abandonné sans vitesse initiale par rapport à R.' (Fig. 10.8 b). En effet, la loi fondamentale appliquée à A , par rapport à R.' non galiléen, donnerait :

ma= - m a, = mg d'où a= g Ainsi, en raison de l'égalité des masses grave et inerte, on peut compenser la force de gravitation par la force d'inertie d'entraînement, c'est-à-dire neutraliser un champ de gravitation par un champ d'accélération, d'où l'équivalence entre un champ d'accélération et un champ de gravitation.

il convient cependant de souligner que cene compensation, q11i est eMicte dans le cas particulier considéré, ne peut l'être dans le cas général, puisque les comportements à grande distance du champ de gravitation et du champ d'accélération sont fondamentalement différents : le premier s'effondre à grande distance contrairement au second. Aussi énonce-t-on le principe d'équivalence sous la forme suivante: Aucu11e expérie11ce de physique 11e peut révéler de différellce e11tre rm laboratoire local accéléré da11s l'espace et so11 a11alogue sorunis à rm champ de gravitation Remarque : En toute rigueur, dans le voisinage de la surface de la Terre, le champ de gravitation g doit être remplacé par le champ de pesanteur g , lequel est une combinaison de g et de l'accélération d'entraînement terrestre, mais on sait q ue g "' g avec une bonne approximation (cf. Méca11ique).

D. 4.- Référentiels naturels ou référentiels inertiels En dynamique newtonienne, comme en dynamique einsteinienne, ce qui distingue les référentiels galiléens de ceux qui ne le sont pas, ce sont les forces d'inertie, lesquelles sont, comme la force de gravitation, proportionnelles à la masse. Aussi a-t-il paru naturel à Einstein de chercher les raisons du caractère privilégié des référentiels galiléens dans l'analyse de la formulation newtonienne habituelle de l'interaction gravitationnelle. Rappelons q ue, pour expliquer le mouvement des planètes autour du Soleil, Newton admit que celles-ci étaient soumises, dans le référentiel galiléen lié au système solaire, à la force de gravitation

Relativité générale

247

exercée par Je Soleil (cf. Méca11ique). Bien que les résultats obtenus aient été remarquables, au point de permettre l'invention de la planète Neptune par Le Verrier, avant sa découverte en 1846 par Galles, Einstein songea à une autre interprétation fondée sur l'introduction de référentiels plus adaptés à l'analyse du mouvement d'un corps dans un champ de gravitation. Selon Einstein, pour étudier localement la chute libre d'un corps, dans un champ de gravitation, Je référentiel11ature1 à utiliser n'est pas Je référentiel terrestre R, mais celui R' qui tombe avec Je corps, c'est-à-dire celui qui a un mouvement de translation, avec une accélération g, par rapport à R. Dans R' , Je mouvement du corps satisfait au principe de l'inertie. En effet, appliquons la loi fondamentale de la dynamique à un corpuscule A dans R' . D vient, en tenant compte de la force d'inertie d'entraînement et d'une force occasionnelle Foc :

maA/'R.' = mÇ - ma. + Foc = Foc puisque

g =a,

Aussi, Je référentiel R', dans lequel le principe de l'inertie peut être réalisé, est-il appelé référentiel inertiel. De même, Je référentiel naturel R' à adopter pour étudier localeme11t Je mouvement d' un corpuscule, dans Je champ de gravitation produit par la Terre, à grande distance du sol, est une cabine spatiale qui est soumise pratiquement au même champ de gravitation que Je point considéré (Fig. 10.4).La cabine forme alors un référentiel inertiel. Formulées dans les référentiels inertiels, pour lesquels la force de gravitation est compensée par la force d'inertie d'entraînement, les lois de la physique gardent une même forme par changement quelconque de référentiel. Choisir un référentiel inertiel plutôt qu'un référentiel galiléen revient à compenser la gravitation par des forces d'inertie, et donc à prendre en compte la gravitation, non pas sous la forme d'une force d'interaction, mais sous celle d'une modification de la structure de l'espace-temps. Dans Je cas général, l'introduction des référentiels inertiels locaux, plus précisément de systèmes locaux de coordonnées permet d' écrire les lois de la physique sous une forme invariante ; cene form ulation locale s' appuie naturellement sur le calcul tensoriel (cf. Annexe 2).

D. 5 . - Principe de relativité générale Cene analyse préalable d'Einstein l'a conduit à généraliser Je principe de relativité restreinte, sous la forme suivante :

Les lois de la physique doive11t itre valables par rapport à des systèmes de coordoJurées e11 mouvement quelco11que les rms par rapport aux autres. Soulignons que cene validité des lois de la physique dans tout système de référence ne signifie pas, comme en relativité restreinte, une écriture identique, mais seulement une forme rmiverselle qui légitime tous les systèmes de référence, et exclut tout privilége accordé à une famille d'entre eux ; l'écriture concrète des lois diftèrera selon Je système de référence.

Remarque: Comme en relativité restreinte, on peut dire, ici aussi, que Je nom de relativité générale incite au contresens, car il s'agit en fait, pour Einstein, de proposer une nouvelle théorie de la gravitation en relation avec la structure de l'espace-temps. D. 6. - Courbure de J' espace-temps Nous sommes ainsi conduits à étudier Je mouvement des corps d ans des systèmes de référence dans lesquels la gravitation est prise en compte sous la forme d'une modification des facteurs qui caractérisent

248

JO. Relativité gé11érale

la métrique spatio-temporelle. En RR, où la gravitation est ignorée, les facteurs de la métrique sont uniformes et valent ± J . Rappelons l'écriture du carré de l'intervalle élémentaire : dr= c2 dt2 - dr - d yl - d r ce qui s'écrit aussi, en utilisant la notation tensorielle avec la règle de sommation d'Einstein (cf. Annexe 2) : dx1 = d x dr= dy et d xl = d z Les facteurs Cij, qui sont au nombre de JO (4 avec les deux indices i et j identiques et 6 avec les deux indices différents), sont nuls pour i # j, valent J pour la coordonnée temporelle :1' et - J pour les coordonnées spatiales x 1 • r et xl : Cij

= J

pour

i=j =0

et

g,j

= - J pour

i=j= J, 2 , 3

En RG, où l'on prend en compte l'interaction gravitationnelle, cette dernière apparaît, non pas sous la forme d'une force, mais par l'intermédiaire des facteurs Cij de la métrique, lesquels ne sont plus uniformes mais dépendent localement du champ de gravitation. On dit que l'espace-temps n'est plus plat, mais qu' il est co11rbé par la gravitation.

n. 7 . - Trajectoire dans l'espace-temps Une image simpliste mais efficace permet d' illustrer le point de vue de la RG comparé à celui de la RR. Dans ce dernier cadre, le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil peut être représenté par celui du centre de masse T de la Terre orbitant autour du centre de masse S du Soleil, sous l'action de la force de gravitation (Fig. JO.J9a). En RG,la grosse masse S modifie l'espace-temps en le courbant : l'espace prend la forme d'une cuvette, comme le ferait une nappe en caoutchouc souple au milieu de laquelle on aurait placé une grosse masse ; la planète T , :soumise à allCillle interaction, autre que la gravitation, a alors dans le voisinage de S une trajectoire circulaire autour de S (Fig. JO.J9b). ...... !

/

-·· ...... ··-.' ····-·· -.......

C9 -~,

...._ ··-······························-···········

T

a)

b)

FIG. 10.9. Dans l'espace-temps modifié par une grosse masse,la trajectoire d' une particule est celle qui réalise une valeur extrémale, généralement minimale, de l'intervalle entre deux points de l'espace-temps. On dit que la trajectoire de la particule est une géodésiq11e de l'espace-temps (cf. Annexe 2). Lorsque l'intervalle est nul, la trajectoire est celle de particules de masse nulle, par exemple un photon. Une telle trajectoire, influencée par la présence de la grosse masse qui détermine l'espacetemps, n'est donc pas rectiligne. Ainsi, contrairement à ce que laisse supposer l'expression de la force de gravitation universelle de Newton, la relativité générale prévoit une influence de la gravitation sur les photons. Traduite en termes de force, l'analyse d'Einstein prédit une force de gravitation entre une masse M au point S et un photon P d'énergie E:.y = hv, se déplaçant à la vitesse c selon la direction SP, de la forme :

(E:y~ )M e, 2

Fs- P = - G

avec

SP

r = SP et e,= -

r

Relativité générale

249

Remarques: 1) Notons que la masse m du corpuscule dont on cherche Je mouvement, dans un environnement influencé par les autres masses, participe elle-même à la définition de l'espacetemps. Cette contribution ne joue pas de rôle significatif dans l'hypothèse où cette masse m est négligeable devant celle M de l'environnement ; seule cette dernière est alors déterminante dans la définition de la métrique de l'espace-temps. 2) Certains astrophysiciens n'ont pas hésité à proposer d'utiliser cette modification de l'espace-temps par la matière, pour envisager des voyages intersidéraux, entre points distants de plusieurs milliers d'années-lumière, pendant des durées de quelques années seulement pour les cosmonautes. Cependant, en dehors de problèmes techniques difficilement surmontables, ce type de modification semble remettre en cause un principe de base admis en physique, Je principe de causalité, selon lequel l'effet doit nécessairement suivre la cause qui Je produit. Du point de vue quantitatif, la trajectoire d'une particule, de masse m, dans l'espace-temps, peut être obtenue, comme en relativité restreinte, à partir du lagrangien et du principe de moindre d'action. Rappelons que ce dernier s'écrit, pour une particule libre, qui n'est pas soumise à un champ électromagnétique (cf. chapitre 9) :

SS=O avec S=

12 12 .Cdt=

1

1

- ,,w - dt= - mc y

f

1

-c dt= - mc y

12

ds

1

puisque ds = c dr = c dtf y. En RG,J'écrirure est la même puisque Je champ de gravitation est pris en compte dans la structure de l'espace-temps.

D. 8.- Formulation locale invariante d' Einstein Dans la formulation locale invariante d'Einstein, les lois du mouvement d'un corps dans l'espacetemps se présentent sous la forme d'une équation de proportionnalité entre un tenseur géométrique G;j, associé à la courbure de l'espace-temps produite par Je corps, homogène à l'inverse d'une surface, et un tenseur énergie-quantité de mouvement E;j associé au corps, homogène à une énergie volumique :

avec

_ ----;;;:8?TG

K -

::::!. 2 ,

069

X

Jo-•3 N- 1

G étant la constante de Newton et c celle d'Einstein. Une simple analyse dimensionnelle montre que K

est homogène à l'inverse d'une force.

La composante i = 0 et j = 0 de l'égalité tensorielle précédente permet de restituer l'équation de Poisson bien connue à laquelle satisfait Je potentiel de grnvitation cl> (cf. Méca11ique) :

a étant l'opérateur laplacien et p la masse volumique. En effet, cette dernière apparaît dans Boo , qui vaut pè (énergie volumique de masse), ce qui modifie les coefficents g 9 de la métrique, notamment goo . Pour trouver goo , il suffit d'exprimer l'action S en fonction du lagrangien, comme on l'a déjà fait plus haut, mais en ajoutant, au terme cf y ,la contribution du potentiel de gravitation cl> fe . D vient :

ds =

(~+ ~)dt= c dt(~ + ~)

JO. Relativité gé11érale

250 ce qui doiUle, en élevant au carré, en première approximation :

~2 "='C2 dt2 d.r

(

-1 + 2- cf> ) y2 yc2

"='C2

dt2

(

,;.+2 -cf>) = c2 dt2 1- c2 c2

(

1 + 2 -cf>) - dr2 c2

puisque dr = v dt . On en déduit :

24> act> goo = 1 + '7' d' où agoo =2 - 2 c en considérant Je laplacien, comme Je suggère l'équation de Poisson. On retrouve cette dernière en identifiant Goo à agoo . En effet :

Goo =

K

Boo

act> &1rG agoo = 2 - 2 = -4-pc2 et donc act> = 47TG p c c

do IUle

4 , mais 87TG/ ê, qui vaut 1, 87 x J0- 26 m .kg - 1 , car Je « tenseur énergie-quantité de mouvement» qu'il utilisait était divisé par c2 •

Remarque: Dans son travail original, Einstein introduisit, non pas 87TG/ c

i l l . - PARTICULE DANS LE VOISINAGE D'UNE GROSSE MASSE Cette étude présente un intérêt multiple. D'abord, elle est un exemple d'illustration du point de vue de la RG. Ensuite, appliquée à la planète Mercure, elle penne! d'interpréter l'avance du périhélie de cette planète. Enfin, dans Je cas des photons ( m = 0 ), elle permet de prédire la valeur de la déviation par Je Soleil d'un rayon lumineux provenant d'une étoile éloignée.

ID .1 . - Métrique de Schwarzchild Lorsqu'une particule A, de masse m, se trouve dans Je champ de gravitation produit par une distribution de masse sphérique, ulliforme, de centre S, de masse M ~ m (Fig. 10.10), on admet selon la RG que A évolue librement dans un espace dont la métrique d'espace-temps est la suivante :

avec : rs r

goo =l - -

1

gu= - - - 1 - r5 f r

C22

=

2GM

- ?-

rs= ~

A

F IG. 10.10.

Remarque: Notons que les coefficients g;j n'ont pas tous la même dimension physique : g00 et

cu

sont des facteurs (sans dimension), alors que g22 et g 33 sont homogènes à une surface.

Relativité générale

251

Cene métrique fut introduite en 1916 par Je physicien allemand K Schwarzchild ; aussi est-elle appelée la métrique de Schwarzchild, et rs Je rayon de Sclnvarzchild. Elle s'écrit donc :

~2 2 ( 1 - -rs) dr .2 1 - dr2 - rdll 2 2: - rsm 2 · 2 lldq>2 d.r=c - --

r

1 - rs/ r

On retrouve évidemment l'espace plat de la RR, en annulant la constante de gravitation, c'est -à-dire en faisant rs = 0 : dr= c2 d?- - ,2 dll2 - ,2 sin2 Il dq>2

dr -

Calculons rs pour Je Soleil :

rs

= 2GM, = 2 X 6,67 X JO- Il X 1, 99 x Jo30 = Jo3 ~ 2 ' 94 x é2 9 x JQ16 -

3 km

On peut en déduire la courbure de l'espace-temps produite par Je Soleil S, dans Je voisinage de planètes telles que la Terre T et Mercure M. Comme ST = 1,49 x JOli rn et SM/ ST = 0, 39, il vient :

rs 2, 94 x Jo3 - = ST 1,49 x 1011

~

2 x 10

_8

rs

et

2, 94 x Jo3 "'5 x 10-8 0, 391,49 x JOli

SM

Lorsque la distribution de masse a la symétrie sphériq11e, les variables angulaires Il et 9' ne jouent aucun rôle ; on peut alors réduire la métrique à :

~2 = c2 ( 1 - -rs) d t2 - - 1 - dr2 d.r r 1 - rs f r

rn .2 . -

Trous noirs

Le concept de trou noir fut introduit dès 1784 par Je révérend anglais J. Miche Il, puis repris et vulgarisé par Je français P. Laplace, à l'aide de la notion de vitesse de libération ou d'évasion (cf. Mécalliqlle). On sait que cene dernière s'introduit naturellement en mécanique newtonienne lorsqu'on étudie Je mouvement d' une particule dans Je voisinage du champ de gravitation produit par un corps sphérique. Si la masse M de ce dernier est suffisamment grande ou son rayon suffisamment faible, la valeur de la vitesse de libération dépasse celle de la lumière. Dans Je voisinage du corps, aucune particule ne peut donc se libérer complètement de l'attraction gravitationnelle, même pas une particule de lumière. Aussi un tel corps est-il appelé troll 1wir. Michell a même obtenu, à partir d'un raisonnement newtonien ( !), l'expression du rayon de Schwarzchild rs . On a, en effet, en introduisant la constante de l'interaction gravitationnelle K = - GMm :

-mv: + -Kr 2

= Û

On en déduit :

v1 >c sir ~

.

SOit

VI =

T (2GM)

(2GM) r --

12 /

112

On retrouve ce même résultat, dans Je cadre naturel de la RG, en cherchant la trajectoire d'une particule de lumière, de masse nulle, à l'extérieur d'un corps attractif. En effet, on obtient, en imposant à l'intervalle ds une valeur nulle (géodésique nulle) :

dr=è(l - ~) r

1 d r - - -d?-=o 1 - rs f r

d'où

dr c d t=±- - 1 - rs f r

JO. Relativité gé11érale

252

Ainsi, dans l' espace-temps courbé par un champ de gravitation, la lumière se déplace à une vitesse radiale différente de la constante d'Einstein c et d'expression :

Lorsque rs est négligeable devant r, cette équation permet de retrouver la relation newtonienne bien connue dr= c d t, laquelle exprime la propagation de la lumière dans Je vide à la vitesse c, malgré la présence d'un corps attractif : rs) ~c -dr =c ( 1 - dt r En revanche, si rs n'est pas négligeable devant r, la lumière se propage avec une vitesse affaiblie : dr= c dt

(1 - ~) r

Dans Je cas extrême où r = rs, cette vitesse s'annule : la lumière ne peut s'extraire de l'attraction gravitationnelle du corps attractif ; ce dernier est alors un trou noir. La contraction gravitationnelle continue d'un trou noir n'a été établie qu'en 1939 parR. Oppenheimer etH. Snyder.

Remarque: Les astrophysiciens pensent avoir localisé au cœur de notre galaxie, la Voie Lactée, un trou noir plusieurs millions de fois plus massif que Je Soleil.

ill . 3 . - Problème de Kepler en relativité générale Étudions Je mouvement d'un corpuscule, de masse m, dans Je voisinage d'une distribution de masse M, à symétrie sphérique, telle que M ~ m . C'est par exemple celui du centre de la planète Mercure dans son mouvement de révolution autour du Soleil. Comme en mécanique newtonienne, ce mouvement est plan car le moment cinétique est constant (cf. chapitre 5). On peut donc choisir la coordonnée (} de telle sorte que Je plan du mouvement soit celui défini par fJ = 1r /2 . La métrique est alors :

~2 = c2 dr= .2 rs) d t2 - - 1 - dr2 - ,.-2 dq>2 d.r c2 ( 1 - r

1 - rs/ r

Pour un observateur, de coordonnées spatiales fixées (dr = 0 et d 9' = 0 ), la relation entre Je temps propre 'T et Je temps t qu'il mesure est alors la suivante : d-r= ( 1ce qui n'a de sens évidemment que pour r l'observateur a pour expression :

v=

1

dr

(1 - r, f r)l12 d 'T

e, +

>

rs)I/2 -; dt

rs. Avec la métrique précédente, la vitesse par rapport à

rdq>

-- e• = d 'T

r

- - - e, 1 - rs f r

+

rip

( J - rs f r) 112

e•

Remarque: En faisant rs = 0, on retrouve évidemment les expressions relatives à l'espace plat de la relativité restreinte : v= re, + ripe. et t: = ymc2

Relativité générale

253

Quant à l'énergie, elle devient : E:=ymè ( 1-

rs) I/ 2

-;:-

afin de prendre en compte l'énergie potentielle newtonienne de gravitation dans la géométrie de 1'espacetemps ; c'est ce que l'on peut vérifier en faisant rs « r et v « c dans cene nouvelle expression de l'énergie : .2 ( rs) E:=ymc1-r

12 1

2 .2 ( rs) =ymc2 - G (ymM) GmM ymM "='ymc1 -- - "='II!C2 + m -v - - =ymc2 - G2r r 2 r r

soit : 2

E: "'E:k + E:p + mc

avec

2

E:k = (y - l)mc

et

ymM E:p = - G- r

Remarque: !.:énergie potentielle de gravitation entre Je corpuscule et la distribution de masse ne difîere de celle non relativiste que par Je fucteur relativiste y qui affecte m . Le moment cinétique a pour expression:

L = OA

xp = re, xym [~ / e,+ ( 1 - rsripf r) e•] =Le, - rs r 112

où

L=

ymrip

(1 - rs/ r)l /2

e. étant Je vecteur unitaire normal au plan du mouvement. Proposons-nous d'établir l'équation différentielle du mouvement d'une planète autour du Soleil. On a la relation suivante : 1 v2 - 1 - = 1- d'où v 2 =è - -

r

&

y2

y2

ce qui donne, en remplaçant 'Il- par son expression, en fonction des coordonnée polaires r et (r)

- GM/ r, et, sur la sufuce, au niveau du récepteur, Je champ vaut

9o = GMr/R2 • c) Application à la co"ection de relativité générale du GPS Dans sa publication originale de 1911, Einstein appliqua Je rérultat précédent au potentiel de gravitation produit par Je Soleil, en un point de sa surface, à une distance Rs de son centre, et en un point de la surface de la Terre, à la distance Rs + ST où est placé Je récepteur. D trouva:

cl>, - cl>, (Rs + ST) - (Rs) - -él- - = c2

(Rs)

"' -

GMs

rs

~ = Rsc2 = 2Rs

en introduisant Je rayon de Schwarzchild rs = 2GMs fc2 et en négligeant (Rs + ST) devant (Rs) . nen resulte : ,, - ,, "' - ~ - - 2, 94 x !03 "' - 2 13 x 10-6 v, 2Rs 2 x 0, 69 x 109 ' Dans les systèmes de radionavigation par satellite, essentiels pour l'atterrissage des avions et Je guidage des bateaux, tels que Je GPS américain ou son équivalent européen Galileo (cf. chapitre 3), la précision sur la détermination des durées exige que l'on prenne en compte ce décalage spectral. D vient, en désignant par H l'altitude des satellites au-dessus de la Terre (masse Mr et rayon Rr) : T, - T, _ cl>, - cl>, _

--:y;- -

-c-2-

-

GMr ( 1 1 ) _ GMr (l Rr - Rr + H - - Rre2

- Cl

1 -

)

1 + H / Rr

ce qui donne, à une altitude H = 20 200 km : 6,67 x JO-li x 6 x J()2" 6,4 x !06 x 9 x 1016

(1 -

1 ) "' - 5

1 + 20, 2 / 6 ,4

4x

J0-10

'

Sur une durée de 1 min, l'horloge satellitaire avance de 32 ns sur ceBe du récepteur sur la Terre, ce qui implique une variation de position d'environ 9, 7 rn ! Ainsi, l'avance gravitationnelle est plus graode que Je retard de 5 ns liée à la vitesse des satellites (cf. Leçon 3). L'erreur de 27 ns que l'on ferait en négligeant ces deux corrections relativistes, de signes opposés, entraînerait une imprécision dans la géolocalisation de 8,1 rn ! On tient compte des deux corrections relativistes en diminuant légèrement la fréquence des horloges au sol.

Relativité générale

263

Remarque: En ne tenant pas compte de la rotation propre de la Terre, les deux erreurs relativistes se compenseraient à l'altitude H telle que : T, - T, 1 v2 - - - = - - 1 "' - T, y 2c2

et

ce qui donne, puisque GMr/Rr = v 2

soit H "'Rr

IV. 2 . - Expérience de Pound et Rebka En 1959, les physiciens américains R. Pound et G. Rebka ont eu l'idée de se servir de l'effet Mossbauer (cf. chapitre 8), c'est-à-dire de l'émission sans rec1d de rayons y, à la suite de transitions de noyaux atomiques insérés dans des structures cristallines, pour tester sur Terre la validité de la théorie d'Einstein sur la gravitation. En effet, les raies du spectre du rayonnement émis sont alors extrêmement fines, ce qui permet de faire des mesures très précises.

ils utilisèrent un rayonnement y , d'énergie 14, 4 ke V, émis selon la verticale descendante par une soun:e radioactive de noyau de fer 57 (cf. chapitre 8), placée à une hauteur H = 22, 6 rn au-dessus du sol, là où se trouvait un photomultiplicateur détectant le rayonnement incident (Fig. 10.17). La variation relative de tiéquence est donc la suivante :

v, - v, 9oH 9, 81x22, 6 - v-, - "' c2( J + H/ Rr)"' 9x J016

"='2, 5x JO

_ 15

sachant que Rr = 6,4 x 106 rn et Ç0 "'9, 81 rn · s- 2 . Pour mertre en évidence cette très petite variation de la fréquence, ils eurent l'idée de communiquer un mouvement d'éloignement de la source par rapport au récepteur, afin de compenser, par effet DopplerFizeau longitudinal (cf. chapitre 3), la variation relative de fréquence due à la gravitation. On a, alors, si v, désigne la vitesse d'éloignement de la source :

(!:J.") JI

G

+ (!:J.") JI

= 0

d'où

et

DFL

Ve

ÇH = - -

c

Dans cette expérience, l'ordre de grandeur de la vitesse v, était, en valeur absolue :

1v, 1-

9, 81x22, 6~

3x JOB

-

_1 074 ' J.LID · s

La mesure précise de v, permit de tester cette prévision théorique et donc de confirmer l'influence de la gravitation sur l'énergie du rayonnement.

JO. Relativité gé11érale

264 S7

Source 26 F.

H

/-"-.~

Photomultipticateur

Étoile( '-..

Récepteur

~-················@

/Rayonnement

-

FIG. 10. 17.

Observateur

émis

FIG. 10. 18.

IV . 3 . - Décalage spectral vers Je bleu ou vers Je rouge ? Lorsqu'on observe Je rayonnement électromagnétique émis par une source stellaire (Fig. 10.18), située à une distance d, Je champ de gravitation qu'elle crée est opposé au rayonnement. On a donc:

v, - v, v,

Çd

--- = --

c2

~ / : ~~~ \

'

' ' : !pc \ '' '' ' ' : \ Plan de l'écliptique

c:DT ere ,

a)

b)

F IG. 10. 19.

En astrophysique, les distances sont généralement exprimées en parsecs, brièvement pc : le parsec (mot formé à partir de parallaxe et de seconde d'arc) est la distance à laquelle le rayon de l'orbite terrestre est vu sous un angle de J seconde d'arc (Fig. JO.J9 b) : J

pc

= ST = J, 49 x JOli = 3 085677 10'6 J" 5 x JO 6 x rn '

soit

J pc "' 30 Pm

( pétamètre)

On utilise souvent le mégaparsec J Mpc = 3, 085677 x J02 2 rn et l'année-lumière (al), laquelle est la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année : Jal = 24 x 3600 x 365, 25 x 3 x 108 = 0, 946 x 1016 rn

ou

Jal = 0, 3066 pc

Au-delà du système solaire, les étoiles se regroupent pour former notre galaxie, dont la Voie lActée est l'image que nous en avons en observant le ciel (Fig. J0.20).Cette dernière a l'allure d' une spirale dont le diamètre Dvt et l'épaisseur H vt valent en kilo parsec (kpc) : Dvt ~ J2, 5 kpc

et H vt

~

0, 3 kpc

Les galaxies se regroupent à leur tour en amas de galaxies. Notre galaxie appartient au Groupe Local constitué de la galaxie Messier 3J et d'une vingtaine de galaxies-satellites. La distance moyenne entre deux galaxies dans un amas est de l' ordte de 0, J Mpc. b) lA fU ite des galaxies C'est en J9J5, q ue l'astronome américain V. Slipher constata expérimentalement un décalage spectral vers le rouge du rayonnement électromagnétique émis par plusieurs galaxies. Plusieurs années plus tard, en J929, un autre astronome américainE. Hubble publia une étude approfondie des résultats obtenus par des expérimentateurs pour en déduire une relation entre le décalage spectral relatif z du rayonnement émis par les galaxies et leur distance d à la Terre. D obtint la loi simple suivante :

cz =

H0 d

avec

A, - A, aA z= --- = en posant aA =A, - A, A, A,

266

JO. Relativité géllérale

z (décalage spectral) 0,2 ~~ -- - !Okpc ---""1

t-foyau

l0,5 kpc

0

Soleil

0, 1

1 0

----------------- 30 kpc ---------------- ~ FIG. 10.20.

/

d(Gpc)

0,4

0,8

1,2

FIG. 10.21.

A, étant la longueur d'onde du rayonnement reçu sur la Terre, A, la longueur d'onde du rayonnement dans le référentiel lié à la source et Ho une quantité homogène à l' i11verse d'lille d11rée que l'on appelle le coefficielll d'H!lbble à l'iiiStalll préselll. Notons que A, est aussi la longueur d'onde dans le vide de la radiation émise par une source analogue en laboratoire. La distance d est obtenue par diverses méthodes selon l'ordre de grandeur. i) Pour les distances telles que les distances Terre-Soleil et Terre- a du Centaure, on utilise la méthode de triangulation qui consiste à déterminer 1' angle sous lequel on voit l'astre depuis deux points de la Terre de distance connue. ii) Pour des distances plus élevées, on s'appuie sur la relation en tre d et la variation du flux lumineux émis par un astre et détecté sur la Terre. Or, dans le cas des é toiles à flux variable, telles que les céphéides, situées à des distances connues, on a pu établir la relation entre le flux qu'elles émettent et la période de variation de ce flux que l'on mesure. On en déduit alors la distance d. Sur la figure 1021, on a représenté z, en fonction de d, pour différentes galaxies. Historiquement, on a exprimé Je coefficient d'Hubble Ho en km . s- 1 . Mpc- 1 , ou mieux, ce qui est plus commode, dans l'unité H 1oo qui vaut :

105

Hwo = 100 km · s- 1 · Mpc - 1 = =,..--::-~::-o:=----:7.":'

J06 x 3, 085 677 x JQ16

1 3, 085677 x JQ17 s

1

aan-

1 , le Gan étant le milliard d'années (Giga ou 109 ): La valeur de H 100 est souvent donnée en 1 - 1 1 H1oo = Gan d'où HjOO =9, 77792Gan 9 77792

avec:

'

1 Gan= 109 x 3 600 x 24 x 365,25 = 3, 15576 x 10 16 s Les différentes méthodes de détermination de ho = H0 / H 100 ont donné jusqu'à présent des valeurs voisines de 0, 7. La valeur la plus récente obtenue avec la mission européenne Planck en 2013 est:

ho =

Ho

"' 0, 673 H1oo

Hubble a interprété le décalage spectral cosmologique appareil!.

z, comme un effet Doppler-Fizeau longitudinal

Rappelons l'équation reliant la fréquence v, du rayonnement lumineux monochromatique reçu v, du rayonnement émis par la source

par un observateur, en mouvement longitudinal, à la fréquence

Relativité générale

267

(cf. chapitre 3) :

.,, = .,, ( 1 - {3) 1/2 1 + {3

avec

v c

{3 = -

v étant la vitesse d'éloignement du récepteur ou de la source. En fonction des longueurs d'onde A, = cf v, et A, =cf v,, on a :

- A, (1-+{3)1/2 A,1 - {3

soit

On voit que, si la source s' éloigne de la Terre ({3 > 0), l'écart en longueur d'onde est positif. Ce décalage spectral se produit, dans ce cas, vers Je rouge, d'où son nom anglais redshift. De z , on déduit aisément la vitesse d'éloignement selon :

(z+ 1)2 - l v = {3c = (z + 1)2 + 1 c Notons que, pour les faibles vitesses ({3 précédente se réduit à :

v=

«

1) et donc pour des faibles valeurs de

(z+ 1)2 - J z(z+ 2) 2z d'où v c= c~ - c (z+ 1)2 + 1 (z+ 1)2 + 1 2

z, la

relation

~cz

Exemples : 1) Le décalage spectral cosmologique relatif z pour une galaxie, située à une distance de 300 Mpc, est d'environ 0,05. Dans ce cas, puisque z « 1 : z"' {3

d'où

v "=' 0, 05 c = 15 x J06 m · s - 1

2) Pour des quasars, qui sont probablement des trous noirs supermassüs ( 108 à 1010 fois la masse du Soleil), z peut être bien plus grand ; avec Je quasar PC JI 58 + 4635, on a trouvé 4, 73, d'où :

(z+ 1)2 - J 31, 83 v ={3c = (z+ l )2+ l c = 33, 83 c"=' 0, 94J c 3) En 2004, on a pu détecté un rayonnement IR, provenant d'une galaxie lointaine, correspondant à la raie H., de l'atome d'hydrogène dans l'UV, à 121, 6 nm, avec un décalage spectral relatif z égal à JO ; la vitesse de récession de cene galaxie est donc :

(z+ 1)2 - J 120 v = {3c = ( , c = - c "' 0, 9836 c z + J,2 + 1 122 Comme z est directement relié à la vitesse d'éloignement des galaxies par rapport à la Terre, pour les faibles vitesses, Hubble écrivit la loi reliant c z à d sous la forme :

v =Hod En réalité, cette loi fut prévue parle physicien belge l'abbé G. Lemaitre, dès 1927, et interprétée comme une dilatation ou d'une expansion de l'Univers au cours du temps : l'Univers « gonfle>>, précisément les distances qui séparent les différentes galaxies augmentent lorsque Je temps s'écoule. Ainsi, dans Je passé, les galaxies se trouvaient plus proches les unes des autres qu'aujourd'hui. Dans la suite, nous appellerons loi de Lemaitre-Hubble cene relation entre vitesse v des galaxies et distance d .

JO. Relativité gé11érale

268

V extrapolation cavalière et donc très spéculative de cette réduction des distances entre galaxies, lorsqu'on remonte le temps, conduit à une singrdarité (taille de l'Univers nulle et masse volumique infinie), que Lemaître appela imprudemment « atome primitif». Un ordre de grandeur de la durée T qui sépare l'instant présent de cette singularité, vaut, si l'on admet évidemment que la théorie est toujours valable, même si la masse volumique devient infinie: T

~ ~ "' _ J_ Ho

- 9, 77792 Gan"' J4 5 Gan hoHroo - 0, 673 '

Une détermination plus précise de cette durée, appelée durée de vie de l'Univers, a donné T"' 13, 7 Gan. Des mesures spectrales sur le rayonnement des étoiles les plus vieilles, révèlent une présence de noyaux lourds radioactifs dans des proportions qui accréditent une telle estimation. L'application de la loi de Lemaître-Hubble à des mesures de grand décalage spectral relatif, tel que z = JO, donne une distance d qui nous sépare de l'objet céleste considéré de :

v d = Ho = {3cT = 0, 9836 x 13,7 "' 13, 5 Gal La naissance d'un tel objet date donc de 13, 5 Gan, soit de 13, 7 - 13, 5 = 0,2 Gan ,après la singularité. Remarques: J) L'expansion de l'Univers ne doit pas être confondue avec une simple dilatation de toutes les distances : seules les distances illlergalactiques so11t dilatées. 2) On utilise souvent l'expression malheureuse big ba11g (grande explosion) pour désigner la singularité ; rappelons que cette expression a é té utilisée pour la première fois par l'astrophysicien F. Hoyle, en J949, précisément pour ridiculiser les adeptes d'une théorie non stationnaire de l'Univers.

c) Rayonnement du fond cosmologique Vers la fin des années J940 et au début des années J950, G. Gamow, R Alpher et R. Herman firent une prédiction extraordinaire sur l'existence d'un rayonnement cosmologique isotrope caractéristique d'un corps noir dont ils estimèrent la température à quelques degres K . Ce rayonnement du fond diffus cosmologique fut découvert plus tard en J965, par hasard, par les physiciens américains A Penzias et R. Wilson, auxquels le jury Nobel accorda le prix en J978.

La valeur de la température du corps noir associé a été depuis déterminée de façon précise par le satellite COBE (Cûsmic Background Explorer) en J993 (Fig. 1022), en mesurant la fréquence du maximum de la luminance spectrale 4 , qui est le flux lumineux (en femtowatt) par unité de surface (en mètre carré), par unité d'angle solide (en steradian) et par unité de fréquence (en hertz) (cf. Optique). La fréquence de ce maximum est reliée à la température T par la relation suivante (cf. Thermodynamique) : llm 10 1 T "' 5, 879 x 10 Hz · K - d'où T"' 5, 879 x 1010 = 2, 728 K puisque

Pm

Pm "'

Ce rayonnement est celui émis par l'Univers primordial 380 000 ans après la singularité.

J60 GHz

269

Relativité générale

40

l

20

+ +

1 fW =

+--+-+'+ +

1 THz =1012Hz

\ T T

1

+

+ r

\

+

1

+

T

+

+

+

+

fi

0

w- 15 w

~1

2

v (TÎt.)

FIG. 10.22.

Remarques: 1) Le succès de la mission COBE a valu le prix Nobel aux deux astrophysiciens J. Mather et G. Smoot, responsables des instruments de mesure. 2) Les astrophysiciens appellent habiruellement brillance la luminance des sources stel-

laires. 3) Très souvent, les expérimentateurs considèrent, non pas la luminance spectrale par hertz L., mais la luminance spectrale par mm de longueur d'onde LA, ces deux fonctions étant différentes. La longueur d'onde Àm pour laquelle LA est maximale est reliée à la tempérarure T par :

AmT ~ 2&9& J.1ro.K

d'où

T~

2&9&

""'A;'" ~ 2, 72&

K puisque

Am~

1, 06 mm

I.: expérience a montré que le rayonnement présentait une légère anisotropie que l'on a attribuée avec succès au mouvement de la Terre, à la vitesse de 365 km .s- 1 , par rapport à un référentiel dans lequel un tel rayonnement est isotrope.

Rappelons que le maximum de la luminance spectrale L. ne s'obtient pas à partir du maximum de la luminance spectrale LA , en remplaçant Àm par cfvm (cf. 17termod)7Jamique). d) Métrique FLRW

Cene métrique fut proposée, pratiquement en même temps, par les quatre astrophysiciens A. Friedmann, G. Lemaitre, H. Robertson et A. Walker, d'où son nom ; le premier est russe, le second est belge et les deux derniers américains. Le carré de l'intervalle entre deux événements voisins, exprimé en coordonnées sphériques ( r, (},

= 41TGp p étant la masse volumique et A = 10-

52

2

Ac

avec

a= ~ ~ r-dr

(1 ~) dr

la constante cosmologique exprimée en SI.

1. À l'aide d'une équation aux dimensions, trouver l'unité physique SI de A ainsi q ue celle de

Aè. 2. Montrer que Je champ de gravitation g présente deux contributions, l' une newtonienne attractive et l'autre cosmologique répulsive. Quelle est l'expression de cette dernière en fonction de r ? 3. Calculer ces deux contributions produites par Je Soleil sur la Terre. À queUe distance du centre du Soleil, ces contributions sont-eUes égales ? PlO- 12. Paradoxe du ciel noir ou paradoxe d' Olbers Le paradoxe du ciel noir peut être formulé ainsi : pourquoi, la nuit, Je ciel est-il obscur, malgré la présence des étoiles, puisque, en supposant l'Univers infini notre ligne de visée rencontre toujours une étoile? D est appelé aussi paradoxe d'Olbers, du nom de l'astronome allemand W. Olbers qui, en 1823, tenta de l' interpréter, sans succès, par l'absorption de la lumière dans l'espace interstellaire, Une manière simple de lever ce paradoxe consiste à comparer la durée nécessaire à la lumière pour parcourir la distance qui sépare en moyenne deux étoiles à celle de l'Univers q ui est d'environ 13, 7 Gan.

1. Sachant que la matière est répartie dans l'Univers avec une densité "" d' environ cinq nucléons par mètre c ube, calculer la densité d'étoiles n,, teUes que Je Soleil, qui peuplent l'Univers. 2. Le libre parcours moyen d'un photon émis, puis diffusé par les étoiles, a pour expression (cf. Thermod)7llllnique) : 1 l = -lle 7TR~

"• étant la densité des centres diffuseurs et R, Je rayon du centre diffuseur. Calculer sa valeur ainsi que la durée moyenne 'T qui sépare deux collisions d' un photon avec une étoile. Exprimer cene durée en Gan. Commenter. On rappelle les valeurs de la masse du proton, celle du Soleil, Je rayon de ce dernier et la valeur du Gan : lnp

= 1, 67 x 10- 27 kg

Ms= 1, 99x Jol0 kg

PlO- 13. Matière noire d ans une galaxie spirale

Les galaxies spirales peuvent être schématisées par un disque et un noyau sphérique 0 , de masse M. contenant pratiquement toute la masse de la galaxie. Cene hypothèse est j ustifiée, car la densité d'étoiles observées dans Je noyau est environ cent fois plus grande q ue la densité à l'extérieur. Dans Je disque, chaque constituant A (étoile, nuage de dihydrogène, etc.), de masse m, situé à la distance r du centre 0, est animé d' un mouvement circulaire uniforme de vitesse v.

Relativité générale

283

1. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à A, soumis à l'action de 0, établir la relation donnant v en fonction de Mn et r, d' une part pour r plus grand q ue Je rayon Rn du noyau, d'autre part pour r < Rn . Représenter v en fonction de r .

2. On mesure v par effet Doppler-Fizeau appliqué à la radiation électromagnétique, de longueur d'onde A = 21 cm, caractéristique du spectre de l'atome d' hydrogène dans Je domaine centimétrique. Le décalage spectral maximal, pour un élément A observé, sirué à la distance r = 3, 46 kpc, a donné v = 325 rn · s- 1 • Calculer la valeur de ce décalage déterminée expérimentalement. Comparer Mn à la masse du Soleil Ms. 3. On constate expérimentalement que la vitesse v augmente d'abord proportionnellement à r , jusqu'à une valeur maximale qui ne varie pratiquement plus avec r . D apparaît une contradiction entre l'observation et Je mndèle précédent. Laquelle ? On lève cette contradiction en supposant l'existence d' une distribution continue de matière gazeuse dans laquelle se trouverait plongée la galaxie. Cette matière est qualifiée de noire. Pourquoi ?

PlO- 14. Modèle d'Univers non stationnaire d'Einstein et de Sitter En 1932, Einstein et de Sitter publièrent un mndèle d'Univers non stationnaire, sans facteur de courbure, sans pression et sans constante cosmologique. 1. Montrer q u' un tel mndèle satisfait aux deux équations suivantes :

87TG H 2 = - -p 3

et

n1

p~r = Cte

dans lesquelles H est Je coefficient d'Hubble, p la masse volumique et R la distance d'échelle.

2. En déduire q ue R(t) varie au cours du temps t selon une loi en fl/ 3 . 3. Calculer la valeur constante du facteur de décélération q. 4. Trouver la variation au cours du temps du coefficient d'Hubb le H(t) dans ce mndèle.

PlO- 15. Modèle de Weinberg de J' expansion primo rdiale Le modèle d'Univers de S. Weinberg est adapté à l'érude de l'expansion primordiale de l'Univers, c'est-à-dire au cas où la distance d'échelle R(t) est suffisamment faible pour que l'on puisse négliger, dans les équations de Friedmann-Lemaître, Je terme cosmologique contenant A et Je facteur de courbure k. Dans ce modèle d' Univers primordial, les particules sont ultra-einsteiniennes ; l'énergie volumique pc2 qui apparaît dans l'équation de Friedmann doit être remplacée par une quantité w = A/ R 4 , A étant un coefficient constant. 1. Montrer q ue R(t) est de la forme R(t) = Cwt 112

,

Cw étant un coefficient constant.

2. La tempérarure T est reliée à w par la relation w = u 8 T' avec u 8 = 0, 756 x 10- 15 SI. En déduire l'évolution de T au cours du temps. 3. Calculer la tempérarure de l' Univers au bout de 1 s, puis au bout de 3 min.

Annexe 1. Systèmes d'unités La physique ne se réduit pas à une analyse q ualitative des phén omènes observés, car cela la rendrait imprécise et difficile à formuler voire impossible. Aussi sommes-nous conduits à introduire la mesure d' une grandeur physique, c'est-à-dire sa comparaison à d'autres grandeurs, évidemment de même nature. Par exemple, on mesure la longueur d'un fil tendu en la comparant à celle d' une règle prise comme unité, ce que l'on réalise en faisant coincider les extrémités du fil à deux des traits équidistants d' une règle graduée évidemment au repos ; de même, on estime la masse d' un corps en la comparant à celle d'une masse étalon, par exemple à l'aide d'une balance, laquelle permet en réalité de comparer leurs poids qui sont proportionnels aux masses. La q uestion essentielle qui se pose est alors la suivante : quel système d'unités de base choisir, compte tenu des relations physiques entre les différentes grandeurs, et combien d'unités de base adopter, sachant q ue le critère principal est la précision des résultats obtenus?

1.- UNITÉS DE BASE ET UNITÉS DÉRIVÉES Le choix des unités de base est COIIVI!IJtiOJUJel et dépend essentiellement de la cOJmnodité de réalisatioll des étalo11s par la communauté internationale. Notons que cene dernière exigence d'un système d'unités universel, valable pour tous les peuples, sans changement au cours du temps, animait déjà les partisans du système métrique, proposé dès 1790 sous l'impulsion de Condorcet. Cene même exigence conduit les scientifiques à proposer, dès 2018, un système d' unités totalement dématérialisées s'appuyant sur cinq constantes physiques fondamentales : i) la constante d' Einstein c, ou vitesse de la lumière dans le vide,

ii) la constante de Planck h, ou q uantum d'action, iii) la charge électrique élémentaire e, ou charge du proton, iv) la constante de Boltzmann k 8 , qui réunit température et énergie,

v) la constante d'Avogadro macroscopique.

N~o

qui détermine le passage de l'analyse microscopique à l'échelle

En fixant les valeurs de ces constantes, on abandonne la matérialisation des unités de base et, en outre, on réalise le rêve initial de Condorcet, un système d'unités valable a11 co!lrs d11 temps et po11r !OilleS

les IIQ1ÏOIIS.

Historiquement, ce processus d'universalisation des unités de base, initié par J. Maxwell en 1870, qui souhaitait des références extrahumaines, fut développé par le physicien irlandais G. JohnstoneStoney en 1881, puis achevé par M. Planck en 1899, à partir des constantes G, cet h. V analyse dimen-

285

Systèmes d'rmités sionnelle donne les grandeurs suivantes, qui sont la durée, la sions respectives, li étant h/(21T) :

lp

Jonguet~r et

l'énergie de Planck, d'expres-

liG) 1/ 2 43 = ( ~ "' 0, 54 x 10- s

d'où l'énergie de Planck : li

l:p = - = lp

ficS) (G

1/ 2

"' 1, 95 x 109 J "' 1, 22 x 1019 GeV

et donc la masse et la température correspondantes : mp =

:~ "' 2, 17 x

10- 8 kg et Tp = ;; "' 1, 42 x 1032 K

Du seul point de vue d'une construction universelle et cohérente d'un système d'unités, l'adoption de trois unités mécaniques de base (longueur, masse, durée) fut proposée par Maxwell en 1863, à travers Je système CGS (Centimètre, Gramme, Seconde), les autres unités, notamment électriques, étant dérivées à l'aide des lois physiques les reliant aux précédentes ; dans ce système, la force s'exprime en d)7le (du mot grec « dunamis »),et l'énergie ainsi que Je travail en erg (du mot grec « erg»). Dans ce système, on distinguait les unités électrostatiques, dans lesquelles la force électrostatique ne contenait pas de constante multiplicative (facteur 1 au lieu du coefficient 1/(4ms0) en SI), des unités électromagnétiques choisies de telle sorte que la force magnétostatique entre deux courants ne contienne pas de constante multiplicative (facteur 1 au lieu du coefficient JLo/(41T) en SI). Dans la pratique instrumentale, ce système d'unités, qui subordonnait les mesures électriques aux mesures mécaniques, s'avéra peu précis et donc techniquement inefficace. Aussi Je remplaça-Hm par Je système MKSA (Mètre, Kilogramme, Seconde, Ampère), dans lequel, à la suggestion de l'ingénieur italien G. Giorgi, on substitua Je mètre et Je kilogramme au centimètre et au gramme respectivement, puis on ajouta l'ampère pour les mesures électriques. En outre, on « rationalisa » 1'ensemble en introduisant explicitement Je facteur 1/(41T), de telle sorte que Je facteur 1T disparaisse des expressions relatives à des systèmes présentant une symétrie plane, et en revanche apparaisse dans celles relatives à des systèmes à symétrie circulaire.

La nécessité de mesurer les grandeurs physiques avec une precision encore meilleure a incité les scientifiques à adopter un nombre d' unités de base supérieur à quatre, ce qui permit, en outre, d'éviter que des grandeurs physiques de natures différentes soit exprimées avec la même unité ; par exemple, en unités électrostatiques, la capacité d'un condensateur a la dimension d'une longueur! Dans Je système d'unités actuel, Je nombre d'unités de base est sept ; ce nombre sera conservé en 2018.

Remarque: Dans la recherche théorique d'un faible nombre d'unités de base, Je système de Gauss à trois unités mécaniques pourrait même être reduit à l'unité : il suffirait de relier l'unité de longueur à l'unité de durée, en gardant une valeur exacte pour la constante d'Einstein, et d'écrire la loi de la gravitation universelle sans constante de Newton.

286

A1mexe 1.

II.- LE SYSTÈME INTERNATIONAL EN 2016 D. 1.- Unité de temps La seconde est/a durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition hyperfine ell!re les deux niveaux hyperfins de l'étatfondamelllal de l'atome de césirun 133.

Cette définition se réfère à un atome de césium au repos, à une température extrapolée de 0 K . Précisons que l'atome de césium n'est pas perturbé par Je rayonnement du corps noir, car il est en équilibre dans un environnement maintenu à une température très proche de 0 K .

D. 2 . - Unité de longueur Le mètre est la longueur du trajet parcoum dans le vide par la lumière pendant rme durée de 1/ 299 792 458 de seconde.

Den résulte que la vitesse de la lumière dans Je vide est égale exactement à la constante d'Einstein

c = 299792458 m. s- 1 • Le prototype international du mètre originel est toujours conservé au BIPM dans les conditions fixées en 1889.

D. 3. - Unité de m asse Le kilogramme est l'rmité de masse; il est égal à la masse du prototype i11temational du kilogramme.

Cependant, en raison de l'accumulation inévitable de polluants sur les sutfaces, Je prototype international de masse, défini depuis 1879, subit une contamination réversible de surfuce d'environ 1 11g par an en masse. C'est la raison pour laquelle la masse de référence d u prototype international est celle qui suit inunédiatement un nettoyage selon une méthode spécifique. La masse de référence ainsi définie est utilisée pour étalonner les étalons nationaux en platine iridié.

D. 4.- Unité de courant électrique L'ampère est l'i11tensité d'rm coura11t constalll qui, mai11tenu dans deux conducteurs parallèles, recrilignes, de longueur i11jinie, de section circulaire négligeable et placés à rme distance de 1 mètre l'rm de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs rme force égale à 2 x J0- 7 newton par mètre de longueur. La constante magnétique J.IO, ou perméabilité du vide, est alors égale à 47T x 10- 7 H .m- 1 •

D. 5. - Unité de température thermodynamique Le kelvi11, u11ité de température thermodynamique, est lafracrion 11273,16 de la température thermod)7llllnique du poilll triple de l'ear~

La température thermodynamique du point triple de l'eau vaut alors 273, 16 K . La température en degrés Celsius est liée à la température en degrés kelvins par la relation : T(°C) = T(K) - To, To = 273, 15 K étant Je point de congélation de l'eau, à la pression po= 1 bar.

D. 6. - Unité de quantité de matière La mole (symbole mol) est/a quantité de matière d'rm système colllenant auta11t d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0, 012 kilogrœmne de carbo11e 12.

287

Systèmes d'rmités

Lorsqu'on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d'autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules. La masse molaire du carbone 12 est égale à 0, 012 kilogramme par mole exactement, M( J2C) = 12 g.moJ- 1 • Dans cette définition, on se réfère à des atomes de carbone 12 non liés, au repos et dans leur état fondamental. D. 7 . -

Unité d' intensité lumineuse

La candela est l'intensité lruninellse, dans rme direction d01mée, d'rme SO!lrce qlli émet rm rayonnement monochromatiqlle de fréqllence 5, 40 x 10 14 hertz et dont l 'illlensité énergétiqlle dœ1s cette direction est 1/683 watt par stéradillll. V efficacité lumineuse spectrale K d'un rayonnement monochromatique de fréquence 5,4 x 1014 hertz est égale à 683 lumens par watt : K = 683 Jm .W- 1 = 683 cd .sr.w - 1 •

i l l . - DIFFÉRENTS SYSTÈMES D'UNITÉS ÉLECTRIQUES ill .1 . - Analyse générale a) Constantes électriques

Admettant que l'intensité électrique est définie par Je flux (de charges électriques pendant l'unité de temps) à travers une surface ouverte, Je point de départ de l'analyse est l'écrirure des trois relations empiriques de l'électromagnétisme : la loi de Coulomb, la loi d'Ampère et la loi de force de Lorentz, en intrnduisant trois constantes électriques K 1, K2 et K3 . i) La force de Coulomb qu'exerce, sur une charge élémentaire q1, une autre charge électrique~ distante de r, s'écrit :

et

r r

e, = -

ii) La loi d'Ampère relie la circulation du champ magnétique B, Je long d'un contour fermé C enlaçant un conducteur, à l'intensité 1 du courant qui parcourt ce dernier, selon:

iii) La loi de force de Lorentz donne l'expression de la force qu·exerce, sur une charge q de vitesse

v, un champ électromagnétique (E, B) :

b) Relation entre les trois constantes K, K2 et K3

Une analyse dimensionnelle des trois relations précédentes donne :

d'où :

288

A1UJexe 1.

Kt étant un simple facteur (sans dimension physique). La vitesse fondamentale qui apparaît étant naturellement c,les trois constantes électriques Kt. K2, K3 sont reliées par l'équation:

K2K3

Kt c2 =

K

f

Dans les systèmes ratio11alisés, Kt = 47T. En revanche dans les autres Kt = 1.

c) Écriture des équatio11s de Maxwell avec les co11stantes Kt, K2, K3 Avec ces constantes électriques, les deux équations structurelles de Maxwell s'écrivent:

8B rotE + K3 - = ()

div B = 0

8t

la même constante K3 que précédemment s'imposant par une simple analyse dimensionnelle. D résulte de ces deux équations l'existence du potentiel électromagnétique (V, A) associé au champ électromagnétique (E, B) selon: B =rotA et

rot ( E + K3 8A) =0 d'ou,

8t

E= - gradV - K3 -8A

8t

Quant aux deux équations reliées aux sources (charge volumique p et courant volumique J), elles peuvent s'écrire, par analogie avec les propriétés du champ de gravitation (cf. Méca11iqlle):

1 1 8E - rotB - - - = 47TJ K2 Kt 8t

. E = 41Tp -1 div Kt

Je facteur 1/ Kt affectant Je champ électrique dans sa relation aux charges et Je facteur l / K2 affectant Je champ magnétique dans sa relation aux courants. Dans les milieux matériels, deux nouveaux champs doivent être introduits, Je vecteur polarisation volumique P et Je vecteur aimantation volumique M, produits dans la matière par des charges et des courants induits supplémentaires, différents des charges et des courants extérieurs Pex et Jex (cf. Électromagllétisme). Précisément :

1 8P . = -K3 rotM +8t P'·.= - div P et J ,. En explicitant les charges et les courants dans les équations de Maxwell, on obtient :

1 47T ) 1 8E 8P rot ( - B - - M - - - - 47T - = 41TJa K2 K3 Kt 8t 8t

ill . 2 . - Équations de Maxwell dans SI Dans SI:

1 Kt= - 4mso

d'où, la force de Lorentz : F= q (E + v x B)

et les équations de Maxwell : div B = 0

8B rotE + - =0

div D =p.,

rotH - -8t = Jex

ar

8D

Systèmes d'rmités

289

avec

D = soE + P

B et H = - - M J1(J

Les relations entre le champ électromagnétique (E, B) et le potentiel électromagnétique sont évidemment (cf. Électromag11étisme): f)A

B = rot A et E = - grad V - -

8t

ill . 3 . - Équations de Maxwell dans le système de Gauss C'est dans ce système d'unités queL. Landau écrivit son célèbre cours de physique théorique. Dans ce cas, les constantes sont : Kt= 1 ce qui donne K1 = 1 ; le système n'est donc pas rationalisé. Den rérulte la force de Lorentz :

et les équations de Maxwell : 1 8B

divB = 0

div (E + 47TP) = 41TPa

rotE + - - = 0

eôt

rot (B - 47TM) -

! 8(E + 47TP) c

8t

= 47T Ja

c

soit div D = 47TPa

et

1 80 47T rotH - - - = - J.. e 8t e

avec

D = E + 47TP et H = B - 47TM Le coefficient K3 = ! f e devant rot M implique une autre définition du moment magnétique d' une particule. Précisément, le moment magnétique orbital de l'électron orbitant autour du proton s'écrit ef(2m,e ) et non e f(2m,); il en est de même de la contribution magnétique qA f e, dans la quantité de mouvement d'une particule, de charge q, dans un potentiel vecteur A, et celle qA · v f e dans son lagrangien, v étant sa vitesse. Ce choix présente pour certains auteurs l'avantage de rappeler le caractère relativiste de l'interaction magnétique. Notons que, dans le système de Gauss, les vecteurs D etE sont identiques dans le vide, ainsi que les vecteurs B et H . En outre, les trois vecteurs électriques E, P, D ont la même dimension physique, comme les trois vecteurs magnétiques B, M, H.

Les relations entre le champ électromagnétique (E, B) et le potentiel associé ( V, A) électromagnétique sont alors : 1 8A B=rotA et E= - gradV - - e 8t

290

A1UJexe 1.

rn . 4 . -

Équations de Maxwell dans le système dit d es théoriciens

Dans ce système singulier, les constantes Kt. K2, K3 sont toutes égales à l'unité :

Kt= 1

ce qui implique K2 K3 / Kt c2 = é2 = 1 (système non rationalisé) e t donc c = 1. La force de Lorentz s'écrit alors : F= q(E + v x B) et les équations de Maxwell structurelles:

8B rotE + - =0

divB = 0

8t

Quant aux équations reliées aux sources, elles deviennent : div (E +4?TP) = 4?TPex

rot(B - 47TM) -

soit: div D = 47TPex et

8E

rotH - -

8t

8(E +4?TP)

Bt

= 4?TJa

= 41TJa

avec

D = E + 4?TP et

H = B - 4?TM

Les trois autres systèmes d'unités présentent surtout un intérêt historique.

rn. 5 . - Équations de Maxwell dans le système d ' Heaviside-I.A>rentz Dans ce système voisin de celui de Gauss, les constantes Kt , K2, K3 sont respectivement :

1 41T

1

Kt= -

K2= 4?Tc

ce qui donne Kt = 1, caractéristique d'un système non rationalisé, et l'expression suivante de la force de Lorentz : v F =q(E + - x B)

c

Les deux équations de Maxwell strucrurelles ont, dans ce système, pour expressions respectives : divB = 0

1 8B rotE + - - = 0

c8t

Quant aux équations reliées aux sources, elles deviennent : div (47TE + 4?TP) = 4?Tp.,

8

rot (4?TcB - 4?TcM) - a/4?TE +4?TP) =4?TJ .,

ce qui s'écrit : divD =Pa et

1 8D 1 rotH - - - = - J ., c 8t c

en introduisant les vecteurs excitations D =E + P et H=B - M Dans ce système, on retrouve les résultats du système de Gauss, au facteur 47T près.

Systèmes d'rmités

291

rn. 6.- Équations de Maxwell dans le système électrostatique Dans un tel système, les constantes Kt, K2, K3 valent respectivement :

Kt= 1 ce qui donne Kt = 1 (système non rationalisé). On en déduit la force de Lorentz :

F= q(E + v x B) et les équations de Maxwell structurelles

8B

divB = 0

rotE + -

8t

=0

Quant aux équations de Maxwell reliées aux sources, elles s'écrivent : rot( Bê - 47TM) soit

8(E +47TP)

Bt

= 47TJex

8D 8t

div D = 47TPex et

rotH - - = 41TPex

en posant

D = E + 47TP

et

H = Bè - 47TM

rn. 7 . -Équations de Maxwell dans le système électromagnétique Dans ce système, les constantes K,, K2, K3 sont respectivement :

ce qui donne Kt = 1 (système non rationalisé). On en déduit la force de Lorentz :

F= q(E+ v x B) et les équations de Maxwell structurelles:

8B

rotE + - =0

divB = 0

8t

Dans les milieux matériels, les deux équations liées aux sources deviennent : rot(B - 47TM) - B(E/ ~ + P) = 47TJex t 2

soit:

D = 41TPex et

rotH -

8D

8ï =47TJex

en posant

E

D = ;}: + 47TP

et

H = B - 47TM

Annexe 2. Tenseurs Nous doiUlons ici q uelques éléments de calcul tensoriel, Je but recherché n'étant pas de remplacer un cours de mathématiques sur Je sujet, mais de montrer comment Je concept de tenseur s'est introduit naturellement en physique, notamment en mécanique, en électromagnétisme et surtout en relativité générale.

1.- DIFFÉRENTS TENSEURS EN PHYSIQUE Les vecteurs et les scalaires sont fumiliers en physique. Rappelons qu'une grandeur est vectorielle si elle s'exprime à l'aide de composantes qui dépendent de la base adoptée. Lorsqu'on change de base, les composantes d' un vecteur changent, mais doivent satisfaire à certaines conditions ; ainsi, avec des bases orthonormées, la somme des carrés des composantes doit être .conservée. En revanche, une grandeur est un scalaire lorsqu'elle reste i11variante par cha11gement de base ; ainsi la masse (positive ou nulle) d'un corps, sa charge électrique (positive, nulle ou négative),Je travail d' une force, la pression d' un gaz ainsi que son énergie interne et son entropie sont des scalaires. Notons que les composantes d'un vecteur ne sont pas des scalaires, puisqu'elles changent d'une base à J'autre, alors que la norme l'est. En physique, les relations entre grandeurs vectorielles sont Je plus souvent linéaires, au moins en première approximation. Dans de nombreux cas, la relation reste linéaire, mais elle ne se réduit pas à une simple multiplication par un nombre réel ou complexe. 1. 1.- Tenseur des contraintes En mécanique newtonieJUle des fluides, la relation locale entre une contrainte, la force surfucique fs,I-2, exercée par un fluide sur la paroi qui sépare une partie 1 de ce fluide d' une autre 2, et la normale n 1-2 à cene paroi, orientée de 1 vers 2, se met sous la forme (cf. Mécanique) :

L'opérateur linéaire lu), qui traduit les tensions entre les différentes parties d' un fluide, a été intrnduit et appelé en 1899 tenseur des contrai11tes par Je physicien cristallogra phe allemand W. \bigt. Si Je fluide est au repos, ce tenseur se réduit à un scalaire qui est l'opposé de la pression p du fluide.

1. 2 . - Tenseur dilatation· déformation Thujours en mécanique des fluides, lorsqu'on exprime Je champ des vitesses v dans un fluide, précisément la relation entre les vitesses en deux points voisins P et Q du fluide, s'introduit naturellement

Tense11rs

293

un opérateur ID ) appelé tense11r dilatation-déformation (cf. Mécaniq11e) :

v(Q, t) = v(P, t) + n x PQ + ID)PQ

n

= rot v / 2 étant Je vecteur tourbillon ou vorticité.

1. 3 . - Tenseur d' inertie d ' un solide rigide En mécanique de Newton, la relation entre Je vecteur vitesse de rotation fisr~< d'un solide rigide

S, par rapport à un référentiel R., et son moment cinétique L 01n dans son mouvement autour de son point fixe 0, s'écrit (cf. Mécaniq11e) : Lotn = II Jo fistn

L'opérate11r llJ o permettant de passer du premier vecteur au second est appelé tense11r d'inertie. Si l'axe de rotation du solide coïncide avec un axe principal du solide, cet opérateur se réduit à un scalaire qui est Je moment d'inertie du solide par rapport à cet axe.

1. 4.- Tenseur diélectrique En électromagnétisme, on établit 1' existence d'une relation vectorielle linéaire entre Je champ électrique E d'une onde électromagnétique et son vecteur excitation électrique D dans un milieu matériel. Dans Je vide et dans les milieux isotropes, cene relation se réduit à une simple proportionnalité, respectivement D = soE ou D = s E, so = 8, 85 · ··x J0 - 12 SI étant une constante, de valeur exacte, appelée constante diélectrique du vide, et s la constante diélectrique du milieu (cf. Électromagnétisme). En revanche, dans les milieux matériels anisotropes, la relation linéaire entre ces deux vecteurs ne se réduit pas à une simple proportionnalité (cf. Optiq11e) :

D= ls )E l'opérateur ls J, qui permet de passer de E à D, étant Je tense11r diélectriq11e.

1. 5.- Tenseur électromagnétique En électromagnétisme émerge naturellement Je quadrivecteur potentiel 4-A dont la composante temporelle V/ c est directement reliée au potentiel électrique, alorn que les autres composantes sont celles du potentiel vecteur A (cf. chapitre 9). Le champ électromagnétique qui s'en déduit est Je tensellr champ électromagnétiqlle, noté ICJ, défini à partir de la force de Lorentz F qu'exerce un champ électromagnétique sur une particule, de chruge électrique q et de vitesse v, selon: F= q(E + v x B)

qui s'écrit

F = qCv

À trois dimensions, les tenseurs d'ordre deux s'explicitent dans une base selon une matrice carrée 3 x 3 , do nt 6 éléments sur 9 sont indépendants, alors que les vecteurs s'explicitent, eux, selon une matrice colonne à trois éléments indépendants. Les tenseurs d'ordre deux et antisymétriques ne sont, eux, définis que par trois éléments, ce qui les rapproche des vecteurs sans qu'ils Je soient réellement, car ils dépendent de l'orientation de l'espace. C'est Je cas du vecteur rotation fl.s1n d'un corps rigide, du vecteur vorticité, du moment cinétique L 01n d'un système, du moment magnétique rn d'un dipôle et du champ magnétique B (cf. Électromagnétisme). Pour les distinguer des vecteurs habituels, dits polaires, on les appelle pse!ldo-vecte!lrs ou

vecteurs axiaux. Le tenseur électromagnétique s'explicite, lui, selon une matrice carrée à 16 éléments (cf. chapitre 9).

294

A1UJexe 2.

Remarque: Lorsque les vecteurs polaires étaient surmontés d'une flèche droite, on les distinguait de ces derniers en incurvant la flèche.

II . - CONCEPT DE TENSEUR Les exemples concrets précédents, issus de la physique, conduisent à introduire un nouveau concept, Je tenseur, qui généralise ceux de vecteur et de scalaire. Ce concept permet d'exprimer de façon intrinsèque, c'est-à-dire indépendemment de tout système particulier de coordonnées, les lois de la physique. D. 1 . -

Définition d' un tenseur

Un tenseur est un opérateur linéaire qui relie un vecteur de sortie x, à un vecteur d'entrée

x.

x,= IT)x, D. 2 . - Propriétés d' un tenseur

a) Linéarité

La linéarité du tenseur est définie par la propriété suivante : conques, et A1, A2 deux nombres complexes, on a :

Xt ,

X2

étant deux vecteurs quel-

b) Égalité de deux tenseurs Deux tenseurs IT)t et !Th sont égaux s'ils transforment en un même vecteur de sortie tout vecteur d'entrée x : !Th x= IT)l x.

c) Tenseur nul et tenseur identité Un tenseur IT) est nul si, quel que soit Je vecteur Un tenseur se réduit à l'identité si ITJx = x .

x,

on a:

ITJx= 0 .

ill. - CHAMP DE VECTEUR SUR UNE VARIÉTÉ En relativité générale, les systèmes de coordonnées sont généralement quelconques, c'est -à-dire curvilignes comme par exemple les portions de cercles définis par la longitude

> c = invbeta(l) c = 299792458 Notons que la variable inf de Matlab contient la représentation numérique de oo, ce qui est, ici, particulièrement commode pour Je facteur relativiste y, car ce dernier tend vers l'infini lorsque v tend

vers c : >> gama = gamma(c) gama = Inf Dans ces cooditions, invgamma peut aussi être utilisé pour obtenir la valeur de c :

>> c = invgamma(Inf) c = 299792458 D est alors aisé de tracer Je graphe de y , lorsque f3 varie (Fig. A3.1) :

>> beta=O:O.O l:l; >>for k=l:length(beta), gama(k)=gamma(invbeta(beta(k))); end >> figure( l ); clf; plot(beta,gama);

JO

FIG. A3.1.

Le fichier QX. m dans Je dossier @QX contient la définition de la classe QX représentative du quadrivecteur espace-temps 4-x, lequel est caractérisé par ses quatre composantes (ct, x, y, z) . Dans Je dossier @QX, on trouve des fonctions, internes à la classe QX, qui effecruent des actions simples, comme Je calcul du carré de la pseudo-norme ll4-xll 2 ou celui du carré de l'intervalle entre deux événements, la mise en œuvre de la transformation de Lorentz-·Poincaré, etc.

De même, Je fichier QV. m, dans Je dossier @QV, contient la définition de la classe QV représentative du quadrivecteur vitesse 4-v , de composantes (yc, yv., yvy, yv,). Dans Je dossier @QV, on trouve aussi des fonctions, internes à la classe QV, qui exécutent des actions simples, comme Je calcul du carré de la pseudo-nonne ll4-vll 2 , etc. Ces objets peuvent ensuite être utilisés dans des fonctions MATLAB pour effectuer des calculs parfois complexes. Le lecteur notera avec intérêt que Je langage MATLAB permet alors d'exprimer les équations physiques d'une façon très proche de ceUe utilisée dans Je langage scientifique habiruel.

Simlllation en relativité

307

II.- QUADRIVECTEURS ET TRANSFORMATION DE LORENTZ Dans cene partie, on illustre les propriétés des quadrivecteurs espace-temps et vitesse, relativement à la transformation de Lorentz. On vérifie les relations liant la durée impropre à la durée propre Tp et la longueur impropre à la longueur propre L p.

n. 1.- Quadrivecteur espace-temps a) Intervalle entre detJX événements du genre temps On considère les deux événements A et B, de coordonnées spatio-temporelles suivantes, exprimées en mètre, dans Je référentiel R : Clt.

= 0,4

X;~=

=0

1

)\\ = 0

1;.1

xs =2

YB= 0

ZB = 0

et:

cts = 1, 6

respectivement. Les quadrivecteurs espace-temps 4-x;~ et 4-x8 de ces événements sont créés à l'aide de la fonction QX, laquelle renvoie les informations associées dans les variables A et B : >> c >> A

= invbeta ( 1 ); = QX(0.4/c, 1 )

ct x

0.4 1 y 0 z 0 >> B QX( l. 6/c, 2) ct 1. 6 x 2 y 0 z 0 >> SAB = norm2(A,B) SAB = 0.4400

V intervalle entre les événements A et B est bien du genre temps, puisque .sis= 0, 4400 > 0. b) Intervalle entre detJX événements du genre espace Soient deux événements A et B de coordonnées spatio-temporelles, dans Je référentiel R , toujours exprimées en mètre : Clt.

= 0,4

et:

cts = 1,2

xs =2

YB= 0

ZB = 0

Les quadrivecteurs espace-temps 4-x;~ et 4-x8 de ces événements sont ici encore créés à l'aide de la fonction QX, laquelle restitue les informations associées dans les variables A et B : >> c = invbeta ( 1 ); >> A = QX(0.4/c, 1 )

ct x

0.4 1 y 0 z 0 >> B QX( l.2 /c,2)

308

A1UJexe 3.

ct x

1.2 2 y 0 z 0 >> SAB = norm2(A,B) SAB = - 0.3600 V intervalle entre ces événements est du ge11re espace puisque sis < 0. D. 2 . - Durée propre Lorsque l'intervalle entre les deux événements est du genre temps, Je rapport s;.s/c est la durée propre qui sépare les événements A et B. Dans Je premier exemple où l' intervalle est du genre temps, la fonction 'l'propre restitue la valeur de la durée propre en mètre : >> cTp = Tpropre(A,B) cTp = 0.6633

ce qui est évidemment différent de c(ts - t.> Ve = Rpropre(A,B); >> Ue = beta(Ve) Ue = 0.8333 puis d'appliquer la transformation de Lorentz aux coordonnées de A et B afin d'obtenir leurs coordonnées dans R.' : >> Ap = lorentz(A, - Ve) - 0.7839 ct x 1. 2060 y 0 z 0 >> Bp lorentz(B, - Ve) - 0. 1206 ct x 1. 2060 y 0 z 0 Ces événements sont bien localisés au même point de l'espace ~ = xfJ = 1, 2060 ; l'intervalle de temps qui les sépare dans R.' est bien c(is - "') = cT' = cTp = 0, 6633 . On vérifie alors que durée propre et durée impropre sont bien reliées par la relation T = y, Tp, puisqu'ici y, = 1, 81.

n. 3 . - I.A>ngueur propre La distance qui sépare deux événements A et B peut être considérée comme une longueur propre Lp, si la différence des abscisses 4 - ~ dans un référentiel R.' est indépendante de la différence des En effet, si tel est Je cas, ~ et 4 sont fixés dans R.'. Ce dernier est alors Je référeninstants ct~ tiel propre et la longueur propre Lp est obtenue en calculant x8 - x;. à l'aide de JafonctionLpropre : >> Lp = LPropre(A,B) Lp = 1. 0000

c"' .

309

Simlllation en relativité

Une autre manière de procéder consiste, comme précédement, à calculer la vitesse d'entraînement v, du référentiel propre R' par rapport au référentiel R dans lequel on souhaite mesurer la différence des abscisses x8 - x11 , les événements correspondants devant se produire au même instant dans R, afin que la mesure de longueur ait un sens pour un observateur de R (cf. chapitre 2, paragraphe II.4) :

>> Ve = Rpropre(A,B); >> Ue = beta(Ve) Ue = 0.8000 On applique ensuite la transformation de Lorentz à A et B pour obtenir les coordonnées de ces événements dans Je référentiel impropre

n

>> A= lorentz(A, - Ve) ct - 0.6667 x 1.1333 y 0 z 0 >> B = lorentz( B, - Ve) ct - 0.6667 x 1.7333 y 0 z 0 Ces événements ont bien lieu au même instant c t11 = c t8 = - 0.6667 et la distance qui les sépare dans Je référentiel impropre est égale à x8 - x11 = 0, 6. On vérifie bien que longueur propre et longueur impropre sont reliées par la relation L = Lp f y,

>> L = LP/gamma (Ve) L = 0.6000 puisqu'en effet, ici y, = 5/ 3.

n. 4.- Quadrivecteur vitesse Une particule P se déplace, par rapport au référentiel du laboratoire R, Je long de l'axe e, , à la vitesse t.le = lle ex , avec lle = 0, 5 c. Elle émet une particule Q dont la vitesse, dans Je référentiel en translation R 1 lié à P, est u 1 = t1 1e,. avec 11 1 = 0, 8c. Le quadrivecteur vitesse 4 -v 1 de Q est créé à l'aide de la fonction QV:

>> Ue invbeta (0. 5); >> U1 invbeta (0. 8) ; >> V41 QV(O,U1) be t a 0.8000 Vx /c 0.0000 Vy/c 0.8000 Vz/c 0.0000 Les fonctions be t a et gamma internes à la classe QV renvoient les valeurs de f3 et y d'un quadrivecteur vitesse, ici 4-v 1

>> be t a1 = be t a (V41) be t a1 = 0.8000 >> gama1 = gamma(V41) gama1 = 1. 6667

310

A1UJexe 3.

Le quadrivecteur vitesse 4-v de Q dans Je référentiel du laboratoire est obtenu par la transformation de Lorentz appliquée au quadrivecteur 4-v 1

>> V42 beta Vx/c Vy/c Vz/c

= lorentz(V4l,Ue) 0.8544 0.5000 0.6928 0.0000

On vérifie, à l'aide de la fonction norm2 interne à la classe QV, l'invariance de la pseudo-norme des quadrivecteurs 4 -Vt et 4 -v :

>> c = invbeta( l ); >> PNl = sqrt(norm2(V41 ))/c PNl = 1 .0000 >> PN2 = sqrt(norm2(V42))/c PN2 = 1 .0000

Enfin, en appliquant la tranformation inverse de Lorentz au quadrivecteur 4-v >> clear V41 >> V41 = lorentz(V42, - Ue) beta 0.8000 Vx/c 0.0000 Vy/c 0.8000 Vz/c 0.0000 on retrouve bien Je quadrivecteur 4-v 1 •

ill.- ÉMISSION DE PARTICULES PAR UN OBJET EN MOUVEMENT On s'intéresse à un noyau radioactif N , en mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel du laboratoire, à la vitesse u. = 11, e, . Ce noyau émet, de manière isotrope, des particules P animées d' une vitesse v 1 dans Je référentiel galiléen R 1 , d'origine N. On se propose de calculer la distribution angulaire des vitesses v de p dans Je référentiel du laboratoire n.

Le quadrivecteur 4-v 1 de la vitesse v 1 = v 1 cos 11 1e, + v 1 sin 11 1ey des particules est créé à l'aide de la fonction QV pour différents angles 11 1 , compris entre 0 et 1T.

La transformation de Lorentz est ensuite appliquée à ce dernier pour obtenir Je quadrivecteur 4 -v associé à la vitesse v. Enfin, pour chaque quadrivecteur, la fonction polar renvoie l'orientation Il et Je module v du vecteur v. Si N se déplace, à la vitesse Ile = tesse v 1 = 0, 75 c par rapport à R 1 , il vient :

0, 5 c, en émettant des électrons animés d'une vi-

>> Ue invbeta(0.5); >> Vl = invbeta(0.75); >>Tl= (0:1:180)*pi/180; >> for k=l:length(Tl) V41=QV(Vl*cos(Tl(k)) ,Vl*sin(Tl(k))); V4 =lorentz(V4 l, Ue); [T(k) ,V(k)]=polar(V4); end

Les variations de Il et v , en fonction de 111 , sont représentées sur la figure A3.2 :

311

Simlllation en relativité >> >>

figure( l ); clf; plot(Tl *l 80/pi,T* l 80/pi); figure(2); clf; plot(Tl *l 80/pi,V);

La distribution angulaire des vitesses, dans n, montre que l'émission a lieu dans tout l'espace, puisque 0 prend des valeurs comprises entre o• et 180° , comme 0 1 • Cependant, elle n'est pas parfaitement isotrope, puisque 0 ne varie pas linéairement avec 0 1 : dans n, environ les trois quarts des électrons sont émis dans le demi-espace situé devant le noyau radioactif. Sur la figure A3.3, on a représenté, en coordonnées polaires, les variations de v 1 en fonction de 0 1 , et celles de v en fonction de 0. Le code des couleurs utilisées est celui associé à 0 1 , depuis le noir pour 0 1 = o• jusqu'au blanc pour 0 1 = 180° . 8 180

vic 1

150

0.8

-

--·-........

..........

,,

......... ...........

120 0.6

.

90

'\.,

............_

0.4 60 0.2

30

0

0 a)

30

60

90

120

150

180 81

b)

FIG. A3.2. 9()0

90°

a)

b)

FIG. A3.3.

Ces figures changent significativement d' allure avec le rapport Ile/Vt. En effet, lorsque = Ile = Û, 5 C , l'émission des électrons dans R_ S'effectue uniquement dans le demi-espace Situé devant le noyau radioactif, comme on peut l'observer sur les figures A3.4 et A3.5.

Vt

Enfin, lorsque v 1 < Ile , par exemple v 1 = 0, 25c, l'émission s'effectue dans un cône, de demiangle au sommet 30° = arcsin v 1/ lle , valeur correspondant à des particules émises dans le référentiel du noyau, avec un angle de 120° , comme on peut le vérifier sur les figures A3.6 et A3.7:

312

A1UJexe 3.

vic 1

8 180

150 120 90 60 30 0 a)

FIG. A3.4. 900

90°

no•

270°

a)

b)

FIG. A3.5.

8

vic 1

180 150

0.8

120 0.6

90 0.4

60

0.2

30 0

0 a)

30

60

90 b)

FIG. A3.6.

120

150

180 81

313

Simlllation en relativité

27Îf'

27Îf' a)

b)

FIG. A3.7.

Notons que, dans tous les cas, la distribution angulaire de v montre que la transformation de Lorentz ne correspond pas à l'addition vectorielle newtonienne des vecteurs Vt + Ue = v puisque v n'estjamaiscomprisentre Vt + Ile et lv t - Ile l · ID .1 . -

Ile

Cas ultra-relativiste

Le noyau N émet maintenant un rayonnement lumineux tout en se déplaçant à la vitesse = 0, 9 C . il vient alors :

Ue invbeta(0.9); Vl = invbeta(l); >>Tl = (O:l:lSO)*pi/180 ; >> for k=l:length(Tl) V41=QV(Vl*cos(Tl(k)) ,Vl*sin(Tl(k))); V4 =lorentz(V4l,Ue); [T(k) ,V(k)]=polar(V4); end Les variations de (} et v en fonction de Ot sont représentées sur la figure A3.8: >> figure(l); clf; plot(Tl*l80/pi,T*l80/pi); >> figure(2); clf; plot(Tl*l80/pi,V2); >> >>

On constate que, dans R, les vitesses v sont égales à c , quels que soient les angles 0 1 et fJ • Par ailleurs, la distribution angulaire de ces vitesses montre que l'émission a lieu dans tout l'espace, puisque fJ prend des valeurs comprises entre o• et 180° , comme 0 1 • Cependant, ici aussi, elle n'est pas parfaitement isotrope car (} ne varie pas linéairement avec 0 1 • Sur la figure A3.9, on a représenté, en coordonnées polaires, les variations de v 1 en fonction de 0 1 , ainsi que celle de v en fonction de (}. Le code des couleurs utilisées est toujours celui associé à 0 1 , depuis Je noir pour 0 1 = o• jusqu'au blanc pour 0 1 = 180° .

314 8

180

A1UJexe 3.

vic 1.2

150 120 0.8 90

60 30

0

0.6 0.4

0

30

60

90

120

150

180 81

b)

FIG. A3.8.

b)

ID. 2. - Approximation newtonienne On restitue l'approximation newtonienne en considérant, par exemple, les vitesses suivantes v, = 20 rn · s- 1 et v 1 = 30 rn · s- 1 • >> Ue 20; >> Vl = 30; >>Tl= (O:l:lSO)*pi/180; >> for k=l:length(Tl) V41=QV(Vl *cos(Tl(k)) ,Vl*sin(Tl(k))); V4 =lorentz(V4 l, Ue); [T(k) ,V2(k)]=polar(V4); end Les variations de 0 et v en fonction de 0 1 sont représentées sur la figure A3.10: >> c = invbeta(l); >> figure( l ); clf; plot(Tl *l 80/pi,T2* 180/pi);

315

Simlllation en relativité

figure(2); clf; plot(Tl *l 80/pi,V2*c);

>>

Ûll VOit que, dans Je référentiel du laboratoire, )a Vitesse et v 1 - 11, pour fJ = 0 1 = 180° .

V

varie entre

Vt

+ Ile

pour fJ =

(JI

= Û0

Par ailleurs, la distribution angulaire des vitesses montre que l' émission a lieu dans tout l'espace puisque (} prend des valeurs comprises entre 0° et 180° , comme 0 1 • Cependant, elle n'est pas parfaitement isotrope, car (} ne varie pas linéairement avec 0 1 • Par exemple, pour (} = 90° , 0 1 est de l'ordre de 132° , ce qui signifie que, dans Je repère du laboratoire, environ les trois quarts des particules sont émises dans Je demi-espace sirué devant Je noyau. Sur la figure A3.11, on a représenté, en coordonnées polaires, les variations de V t , en fonction de 0 1 , et de v en fonction de fJ. Le code des couleurs utilisées est t ouj ours celui associé à 0 1 , depuis Je noir pour Ot = 0° jusqu'au blanc pour Ot = 180° . 8

0

30

60

90

a)

b)

FIG. A3.10.

ZJO•

2700

a)

b)

FIG. A3.11.

120

150

18081

316

A1UJexe 3.

Ces figures changent sensiblement d'allure avec Je rapport Ile/VI . En effet, lorsque Ile = 20 rn · s- I ,l'émission des particules dans Je référentiel du laboratoire s'effectue uniquement dans Je demi-espace situé devant Je noyau, comme on peut Je constater sur les figures A3.12 et A3.13 :

VI

=

0

100 150 . 120

a)

FIG. A3. 12.

9 . Pour simplifier la programmation, on se place dans le cas simple où cl> = 1T /2 .

La source est une fente située en un point Ao , de coordonnées .X0 = 0 et )'0 = - R ; elle émet des électrons, avec un vecteur vitesse initiale qui fait avec la direction moyenne Oy un petit angle s ; on fait varier la valeur de ce dernier entre - Jo• et J0° . Après une trajectoire rectiligne, ils pénètrent dans le prisme au voisinage du point d'entrée E (Fig. A3.20). À la sortie du prisme, leurs trajectoires redeviennent rectilignes et se coupent au voisinage d'un point A1 de coordonnées x1 = 2R et y1 = R :on peut donc dire, ici aussi que A1 est l'image de la source Ao , au sens de l'optique géométrique. Le script suivant permet de représenter ces trajectoires globalement, mais aussi au voisinage des points Ao et A1

>>x = R*cos((0: 185)*pi / 180)+R; >>y = R*sin((0: 185)*pi / 180) ; >> figure( 1 ); clf; hold('on'); >> for epsilon=- 10 :10 xS 0; yS = - R; abs(yS)*tan(epsilon•pi/ 180) ; yB = 0 ; xB xx x•cos(epsilon*pi / 180)+y*s in(epsilon*pi / 180)+xB; yy - x•sin(epsilon*pi / 180)+y*cos(epsilon*pi / 180) ; k =min(find(xx < R)) - 1;

323

Simlllation en relativité

l =max(find(yy > 0)) - 1 ; xC = R; yC = polyval(polyfit(xx(k:k+1 ) ,yy(k:k+1 ) , 1 ) ,xC); xD = 3*R; yD = polyval(polyfit(xx(k:k+1 ) ,yy(k:k+1 ), 1 ),xD); plot([xS xB xx(l: - 1 :k) xC xD]/R, [yS yB yy(l: - 1 :k) yC yD]/R); end

Ces trajectoires sont représentées sur la figure A320. On constate que plus la direction du vecteur vitesse initiale s'écarte de la direction moyenne Oy, plus ces trajectoires se coupent tôt sur la droite joignant A0 à A 1 et passant par le sommet C du prisme. - 0,9

·œ ·········· ~

'"

:

0

"",.

s

.

:

' 1,05

. 0,05

:' ...: .... ~ ...:.. '; . . .

1,9

·'··· ' ..·....·....·x!R

2

2,1

0 b)

a)

c)

FIG. A3.20.

IV . 4.- Particule dans un champ magnétique stationnaire non uniforme On suppose ici à l'action d' un champ magnétique qui varie spatialernent selon la loi:

avec Bo = 0, 05 T et >> BO

= 0.05;

z. = Zo

1 rn, par exemple:

= 1;

Dconvient ici de modifier le fichier odeB. m afin de calculer la valeur B du champ magnétique à l'instant t où la particule se trouve en un point de côte z : function df =odeB(t,f,BO,zo,q,m) x f( 1 ) Vx f(4); y f (2) ; Vy = f ( 5) ; z f (3) ; Vz = f ( 6) ; V sqrt(Vx.'2 + Vy.'2 + Vz.'2) B BO* ( 1 +{z/zo). '2); w (q*B)/{gamma(V)*m); dVxdt w*Vy; dVydt = - w•vx ; dVzdt = 0; df = [Vx ; Vy ; Vz ; dVxdt ; dVydt ; dVzdt] ;

324

A1UJexe 3.

Les conditions initiales restent inchangées pour la vitesse v;. Seule la coordonnée )'; change, puisque le champ magnétique au point A; est plus grand et par conséquent le rayon de courbure local p; plus faible:

>>Vi = invbeta{2/3); >> alphai = 30*pi/ 180; >> Vxi Vi*sin(alphai); >> Vyi = 0; >> Vzi = Vi*cos(alphai); >> Zi - 2.5; Bi= B0*(1+(Zi/Zo).A2);

Ri

{gamma(Vi)•m•Vi)/{q*Bi);

>> Yi = Ri; >> Xi = 0;

Enfin, lors de l'utilisation de la fonction ode45, il fuudra transmettre tous les éléments nécessaires au calcul de la valeur du champ magnétique : >>options = odeset('Stats', 'on', 'RelTol' ,1E- 12, 'AbsTol' ,1E- 12 ); >> [t,f] = ode45('odeB', [0:0.01:9]/c, [Xi Yi Zi Vxi Vyi Vzi], options,BO,zo,q,m);

La trajectoire complète de la particule est représentée sur la figure A3.22: >> figure(2); clf; plot3(X,Y,Z);

·i·~ •~,1~w~~~,~w~;ill.. . n

-0,01

H(

...

.

HH :Hm

·· ········· · ·· -·

m~

>

z varie encore entre

- 2, 5 met 2,7 m. La distance totale

L=sum(sqrt( d i ff (X) . A2 +di ff (Y) . A2 +di ff (Z) . A2))

L = 5.9991

soit encore environ 6 rn, comme le prevoit la vitesse v = 2 c/3 . La particule a effectué beaucoup plus de tours autour de l'axe Oz pour parcourir la même distance, puisqu'ici le rayon de courbure local p est inférieur ou égal) à celui de l'hélice circulaire obtenue dans le cas précédent.

V.- ACTION DE CHAMPS ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE I.:équation différentielle vectorielle décrivant la trajectoire d' une particule, de masse m et de charge q, soumise à l'action simultanée d' un champ électrique E e t d'un champ magnétique B , est la suivante : dp dt = q(E + v x B), avec p = ymv L'équation différentielle vectorielle précédente s'écrit, en coonlonnées cartésiennes :

En raison de la présence du facteur relativiste y qui n'est pas constant, la résolution de ce système d'équations différentielles est plus laborieuse q ue dans le cas newtonien. D n'est plus possible d'obtenir un système d'équations différentielles du second ordre, dont les seules inconnues sont les coordonnées x , y , et z de la position de la particule, comme dans le paragraphe précédent. Aussi devons-nous

326

A1UJexe 3.

exprimer la vitesse v en fonction de p :

v=

pel

-:-::------:---7,...-::-----:--,~

W + p~ + p~)c2 + m2c4)l /2

Finalement, la résolution de l'équation différentielle initiale se ramène à celle d'un système de six équations différentielles du premier ordre couplées : P-;Cz

PxC2 Vx =

IVJ. + p~ + p~)c2 + m2c4JII2 v -

•-

l{p~ +

Vy = l{p~ + P: + P:)c2 + 11.zc•ptz p c2 •

P: + P:)c2 + ,,Zc•J112

et : dp, -d = q(Ex + VyB, - v.By) t

Le fichier odeEB. m est utilisé comme précédemment : le vecteur f contient les valeurs de x, y, z, Px , Py et Pz , à un instant t , tandis que le vecteur df renvoie les valeurs de d x/ d t = v, , d y/ d t = Vy ,

d z/ d t= v, , dp,/ d t, dpy/ d t et dp,/ d t. function df =odeEB( t,f, E,B, q, m) x f( 1 ) Px f(4) Ex E (1) Bx B(1) y f(2); Py = f(S) Ey E(2 ) By B(2) z f(3); Pz = f(6) Ez E (3) Bz B(3) c invbeta (1) ; Vx Px*c'2/sqrt((Px.'2+Py.'2+Pz.'2)*c'2+m'2*c'4) Vy = Py*c'2/sqrt((Px.'2+Py.'2+Pz.'2)*c'2+m'2*c'4) Vz = Pz*c'2/sqrt((Px.'2+Py.'2+Pz.'2)*c'2+m'2*c'4) dPxdt q*( Ex + Vy*Bz - Vz*By) dPydt = q*( Ey + Vz*Bx - Vx*Bz); dPzdt = q*( Ez + Vx*By - Vy*Bx); df = [Vx; Vy; Vz ; dPxdt; dPydt; dPzdt] ; Ce fichier permet de résoudre toutes sortes de problèmes, puisque les composantes cartésiennes des champs électrique E et magnétique B sont transmises dans les vecteurs E et B, ainsi que la masse m et la charge q de la particule dans les variables met q. Cene approche s'avère donc plus générale que celle retenue lorsque la particule est dans un champ magnétique uniforme, ce dernier cas apparaissant alors comme un cas particulier.

V . 1. -

E et B colinéaires

Supposons que les champs électrique et magnétique soient orientés selon l'axe Oz et de valeurs déterminées :

E=Ee,

et

B=Be.

avec

E=0, 03xi0 8 V · m - 1 et B=0, 05T

En outre, la particule, de masse m et de charge q, est un électron : >> >> >> >>

»

c q m E B

invbeta(1); - 1 .602 1892 E- 19; 0.9109534E- 30; [0 0 1]*0.03 E+08; [0 0 1]*0.05;

327

Simlllation en relativité

Enfin, on admet que l'électron pénètre dans la zone où règne le champ électromagnétique en un point A; , de coordonnées (x;, )';, Z;) , avec une vitesse v; = v,-ex perpendiculaire aux champs E et B . Onadonc: (px);= Y;lnv; et {py); = (p, ); = 0 Si l'on adopte, par exemple, v ; = 2 c/ 3 , les coordonnées du point A ; seront choisies de telle sorte que la trnjectoire de la particule s'enroule autour de l'axe Oz : x;= 0, )'; = p; et Z; = 0, p; = y;1nv;/qB étant Je rayon de courbure initial.

>>Vi = invbeta(2/3); >> Pxi gamma(Vi)*m*Vi; >> Pyi = 0; >> Pzi = 0; >> Ri Pxi/ (q*B(3)); >> Xi 0; >> Yi Ri; >> Zi 0; À partir de A;, la particule se déplace sous l'action du champ électromagnétique ; l'équation de sa trajectoire est la solution de l'équation différentielle vectorielle décrite dans Je fichier odeEB. m. La résolution de cette équation se fait en invoquant la fonction ode45, à laquelle on transmet Je nom de ce fichier, les instants t pour lesquels on veut les solutions x, y, z, Px , Py et p, , ainsi que les conditions initiales x;, )';, Z;, (px);, {py}; et (p, );, et un ensemble d'options relatives à la précision numérique des calculs avec lesquels l'intégration s'effectue :

>>options = odeset('Stats', 'on', 'RelTol' ,1E- 12, 'AbsTol' ,1E- 12 ); >> [t,f] = ode45('odeEB', [0:0.01:10]/c, [Xi Yi Zi Pxi Pyi Pzi], option,E,B,q,m);

>> >> >> >> >> >>

x

f(:, 1); f(: ,2);

Px f (: '4) ; y Py f (: '5) ; z f (: , 3) ; Pz f (: '6) ; Vx Px*cA2./sqrt((Px.A2+Py.A2+Pz.A2)*cA2+mA2•cA4); Vy = py*cA2./sqrt((Px.A2+Py.A2+Pz.A2)*cA2+mA2•cA4); Vz = Fz*cA2./sqrt((Px.A2+Py.A2+Pz.A2)*cA2+mA2•cA4); Pour des raisons de commodité, on écrit dans les vecteurs X, Y, Z, Vx, Vy et Vz les valeurs des solutions x, y, z, ainsi que celles des composantes Vx, Vy et 11z du vecteur vitesse v, calculées à partir des composantes Px, py et p, du vecteur quantité de mouvement p Je long de la trajectoire. Les variations de ces solutions au cours du temps sont représentées sur la figure A3.23 :

>> >> >> >> >> >> >>

figure( 1); clf; subplot(6, 1,1); subplot(6, 1,2 ); subplot(6, 1, 3); subplot(6, 1,4); subplot(6, 1, 5); subplot(6, 1, 6);

plot(c•t,X); plot(c•t,Y); plot(c•t,Z); plot(c•t,Vx/c); plot(c•t,Vy/c); plot(c•t,Vz/c);

La trajectoire complète de la particule est représentée sur la figure A3.24:

>> figure(2); clf; plot3(X,Y,Z); La trajectoire est bien ceUe d'une hélice circulaire, de pas variable, qui s'enroule dans Je sens direct (de Ox vers Oy ),le long de l'axe Oz dans la direction opposée au champ électrique, puisque la charge de la particule est négative. Par ailleurs, on vérifie bien que Je long de cette trajectoire, la norme du

328

A1UJexe 3 .

.

71JJîtS·. , ~.\J'-\Jl.. .. . . ......."'i.. .... . .......... . .

.

. . . .

. . . .

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o.:Z, N,·A ,.,.,.,. ,~

v

0 IH - f-1 - +-',-f.--'--'--''> >>

V=sqrt(Vx.A2+Vy.A2+Vz.A2); [min(V), max (V)]/c

ans

= 0.6667

0.9999

Enfin, on vérifie aussi que le long de cene trajectoire, la quantité reste égale à (p,)f + {py)f : Pxy: sqrt(Px.A2+Py.A2); [min(Pxy), max (Pxy)]/sqrt(PxiA2+PyiA2) ans = 1 .0000 1 .0000 >> >>

FIG. A3.24.

Jl. + p~

demeure inchangée et

Simlllation en relativité V.2 . -

329

E et B perpendiculaires

On s'intéresse maintenant à des champs électrique et magnétique orthogonaux et de valeurs constantes : E=E e, et B =Bey avec E=0, 03x JOSV · m- 1 et B=0, 02T

Par ailleurs, la particule est un électron :

>> c >> q >> m >> E >> B

i nvbeta (1); - 1. 602189 2E- 19;

0.910953 4E- 30; [1 0 0 ]*0.03 E+08 ; [0 1 0 ]*0.02;

Enfin, on suppose que l'électron pénètre dans la zone où règne le champ électromagnétique en un point A; , de coordonnées (x;,)';, Z;) , avec une vitesse v; = v;tz perpendiculaire aux champs E et B . On a donc : {p,); = {py); = 0 et {p,); = y;mv;. On prend là aussi v ;= 2c/ 3 et x; = )'; = Z; = 0. >>Vi = invbeta(2/3); >> Pxi 0; >> Pyi = 0 ;

>> Pz i = gamma(Vi)*m*Vi; >> Xi 0; >> Yi = 0 ; >> Zi = 0 ;

On a représenté suries figures A325 et A3.26les solutions obtenues, ainsi q ue la trajectoire complète. On constate que cette dernière est contenue dans le plan perpendiculaire au champ magnétique B et parallèle au plan formé par le champ électrique E et le vecteur vitesse v; .

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3 ~

FIG. A3.25.

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. . . . . . . . . . 4

. "' ct 5

Annexe 3.

330

FIG. A3.216.

O,OS

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FIG. A3.28.

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4

5

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12

3 b)

FIG. A3.TI.

] ... .

d

331

Simlllation en relativité

Plus précisemment, c 'est une sinusoïde dont l'amplitude et la période dépendent de v 1 , de E et de B. En effet, seule la force magnétique peut rappeler périodiquement la particule puisque la force q v x B agit dans Je plan Ozx, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, en fonction de la direction de v, alors que la force électrique q E agit dans ce même plan, mais toujours dans la même direction - e,, puisque q < 0 . Lorsque v 1 se rapproche du rapport E / B ,l'amplitude des oscillations diminue, comme on peut Je constater sur les figures A327 et A328, où v 1 = 0, 6 c alors que E / B = 0, 5 c.

Enfin, lorsque v 1 = E/ B, les actions des forces électrique et magnétique se compensent exactement et la trajectoire est rectiligne, comme on peut Je voir sur les figures A3.29 et A3.30 où v;= 0, 5 c. On réalise ainsi un filtre de Wien, capable de sélectionner les particules qui ont une vitesse exactement égale au rapport des champs puisqu'elles sont les seules à ne pas être déviées.

v,l

0

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Vyl

0

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1

2

3

4

a)

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;]·

0: :=·=====··=··=·=··=·=·=··============~-•

FIG. A3.29.

2

x FIG. A3.30.

0

3

b)

5

ct

Réponses aux vingt questions 1. La relativité restreinte consiste d' abord à constater que certaines grandeurs, le temps d' un référentiel par exemple, ne sont pas universelles, puis à leur substiruer des grandeurs universelles, le temps propre dans l'exemple considéré, qui sont des invariants (par changement de référentiel galiléen). Plus généralement, en relativité, on cherche des grandeurs ( c , etc.) ou des formulations (loi fondamentale, équations de Maxwell, etc.) qui soient invariantes (cf. chapitre 1) ou covariantes (cf. chapitre 10). 2. En réalité, les équations de Maxwell strucrurelles (induction électromagnétique et conservation du flux du champ magnétique) sont invariantes par transformation de Galilée. En revanche, les équations de Maxwell non strucrurelles (théorème de Gauss et théorème d'Ampère) ne sont pas invariantes par transformation de Galilée (cf. chapitre 1). 3. Les ondes électromagnétiques se propagent d'autant plus vite que le milieu est dilué, contrairement aux ondes acoustiques qui se propagent plus vite dans les milieux condensés. Dans le vide, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est maximale ( c ), alors q ue celle des ondes acoustiques y est nulle (cf. chapitre 1). 4. En relativité galiléenne, l'intervalle temporel entre deux événements est un invariant. C'est l'hypothèse newtonienne de l'universalité du temps. En revanche, l'intervalle spatial correspondant n'est pas un invariant. ll y a souvent confusion entre œt intervalle spatial et l'universalité de la longueur d' une règle en relativité galiléenne (cf. chapitre 2). 5. Les deux façons d'écrire le carré de l'intervalle entre deux événements infiniment voisins sont :

dr= èdr -

dr - dl - d r = c2 dt2

- dz2

et

dr

=dr + d l + d r - èdr = dz2 - èdr

La première correspond à la signarure + - - - , la seconde à la signarure + + + - . Du seul point de vue calculatoire, ces deux signarures sont aussi efficaces, mais dans la première les événements sont reliés par des relations de causalité et donc séparés par un intervalle réel (carré positif), alors que dans la seconde œs mêmes événements sont séparés par un intervalle imaginaire (carré négatif). Notons q ue, dans la première formulation, dsfc restirue l'invariance newtonierme dt, par approximation newtonienne en faisant d z2 « c2 dr' conformément à l'analyse einsteinienne (cf. chapitre 2). 6. Même si le temps et l'espace sont imbriqués en relativité restreinte, le temps s'écoule du passé vers le furur, selon le deuxième principe de la thermodynamique, lequel n'a pas d'équivalent spatial (cf. chapitre 2). 7. D s'agit là d' une erreur grossière q ue l'on ne trouve pas uniquement dans de mauvais ouvrages de vulgarisation. Cene erreur cache, au-delà d'un goût particulier pour la pensée magique, une véritable incompréhension de la relativité. Rappelons que la contraction des longueurs concerne la comparaison de deux longueurs d'une même règle, la première mesurée par un observateur fixe par rapport à la règle, la seconde mesurée par un observateur en mouvement par rapport à la règle (cf. chapitre 3).

Réponses allx vingt qllesrions

333

8. L'un des jumeaux, Gaspard, celui qui est sur la Terre, ne fait rien. L'autre, l'astronaute Arthur, saute au départ sur une première fusée, change de fusée à la fin de l'aller, quine ensuite cene dernière pour retrouver son point de départ sur la Terre. Da donc subi trois accélérations importantes, contrairement à Gaspard (cf. chapitre 3). 9. En 1729, James Bradley mesure la vitesse de la lumière dans Je vide, avec une efficacité remarquable, en érudiant l'aberration de l'étoile y du Dragon ; il utilise évidemment la formule newtonienne et non la formule einsteinienne qui en differe par Je seul facteur y, , lequel est dans ce cas très proche de 1 , puisque v, "' 3 x 104 rn · s - 1 (cf. chapitre 4). On a, en effet, si a. est l'angle d'aberration newtonien et a J'angle d'aberration relativiste :

a. "'~ = f3,

et

a"' 'Yef3e "' [3,

puisque

y,

= (1 -

~) -

1 2 /

"'

J

10. L'expérience interférentielle de Fizeau, avec Je dispositif d'Young et de l'eau en mouvement traversée par la lumière, confirme la théorie d'Einstein qui prévoit, contrairement à la théorie de Newton, un facteur J- Jfn2 "' 0, 437. Comme cene expérience a été mise en œuvre en 1851, bien avant que la théorie d'Einstein ne soit connue, elle aurait pu valider la théorie d'Einstein, avant l'expérience de Michelson et Morley (cf. chapitres 1 et 4). 11. Le concept de masse variable jette un trouble inutile dans la définition de la masse d'un corps, car il suffit de dire que la loi fondamentale de la dynamique en relativité s'écrit comme en mécanique newtonienne, avec une relation seulement moins simple entre la quantité de mouvement et la vitesse

p = ymv où

y=

(1 -

v'{?:2)

- 1/ 2

L'inconvénient pédagogique de ce concept est certain : il peut laisser penser que toutes les expressions newtoniennes faisant apparaître la masse peuvent se généraliser en remplaçant m par ym, ce qui est évidemment fuux (cf. chapitre 5). 12. Cene tentative d'interprétation prévoyait une avance du périhélie de Mercure de 7 secondes d'arc, alors que Je résultat d'observation est proche de 43 secondes d'arc. La théorie d'Einstein sur l'espacetemps courbe prévoit, elle, cette dernière valeur avec une excellente précision (cf. chapitres 5 et JO).

13. La masse d'un système n'est pas, en relativité, la somme des masses des constiruants : elle n'est pas additive, contrairement à la masse dans l'approximation newtonienne. Ainsi, dans Je cas considéré, la somme des masses des deux photons est nulle, puisque chaque photon a une masse nulle, alors que la masse du système vaut (cf. chapitre 5) : M=

~

( t:2 - p2c2)112) =

~

car t: = 2hv et P = 0. 14. Ce mouvement dans un champ magnétique seul est simple à étudier, car les résultats newtoniens se transposent au cas relativiste, si on remplace la masse m par Je produit ym. D est en outre important, car il est facile, avec un champ magnétique, d' amener une particule chargée dans une région déterminée de l'espace. C'est précisément ce qui est réalisé dans les accélérateurs de particules : on amène périodiquement des particules dans des régions (les cavités accélératrices) où règne un champ électrique, lequel augmente la norme de la vitesse des particules (cf. chapitre 6).

334

Réponses allx vingt qllesrions

15. Le référentiel du centre de masse R • , défini comme le référentiel en translation par rapport au référentiel du laboratoire et tel q ue la quantité de mouvement totale du système est nul, présente l'avantage de simplifier l'analyse des collisions (cf. chapitre 7). i) Pour traiter la diffusion, on se place d' abord dans n· , puis on applique les formules de transformation de 4-p. ii) Dans n· , il suffit de considérer l'une des particules, le projectile par exemple, pour savoir si la collision subie est élastique ou non. Si cene particule conserve son énergie cinétique, la collision est élastique. iii) Dans n· , il est facile de déterminer l'énergie-seuil d' une collision inélastique, car toutes les particules peuvent y être simultanément au repos.

n·

que dans le 16. Le seuil énergétique de réalisation d'une collision inélastique est plus faible dans référentiel du laboratoire. C'est ce qui est réalisé dans les anneaux de stockage (cf. chapitre 7). 17 . Le produit scalaire des champs électrique et magnétique est un invariant. Par conséquent, la condition nécessaire pour q ue cet ensemble se réduise à un seul champ électrique ou magnétique dans un référentiel est que le produit scalaire soit nul et donc que les champs soient orthogonaux dans un autre référentiel (cf. chapitre 8). 18. Un calcul simple montre que l'effondrement gravitationnel d'un:e étoile, par exemple le Soleil, devrait être perceptible s'il était à l'origine du rayonnement d'une étoile. Depuis les travaux de Bethe, on sait que ce sont des réactions de fusion d'éléments légers dans l'étoile qui fournissent l'énergie rayonnée (cf. chapitre 9). 19. V expression de la force d'attraction gravitationnelle de Newton n'est q u'approximative : elle est nulle lorsque l'une des particules est un photon. En réalité, on sait, depuis la théorie d'Einstein q ue la gravitation doit être interprétée par la courbure de l'espace-temps. Dans ces cooditions, un photon a sa trajectoire modifiée par la présence d' une masse ; c'est ce qui a été observé avec le Soleil et qui est constaté dans les mirages gravitationnels (cf. chapitre 10). 20. La constante cosmologique A a été introdu ite par Einstein pour décrire l'Univers comme un système statique infini, avec une masse volumique non nulle, ce qui condu it à une aporie qu'évite précisément cene constante. Actuellement, on considère que la constante cosmologique est indispensable pour décrire un Univers en expansion accélérée conforme aux observations (cf. chapitre 10). Dans ce contexte, on interprète souvent la constante cosmologique comme la manifestation d'une force répulsive opposée à la force de gravitation ou d'une énergie volumique singulière, l'énergie sombre volumique.

Solutions des exercices et problèmes

Chapitre 1

SI- I . Principe de l'bterüe en mkanlque de Newton Comme le référentiel du voilier a les mêmes propriétés que le référentiel terrestre, et que, dans ce dernier, tout corps abandonné en chute libre a une trajectoire verticale, le p galilunne e ntre les événements vaut 1/c pour E, e t E, e t '11/c pour E, e t E,, à la fois dans 'R. e t 'R.', conformément à l'hypo th~e du temps universel. Quant à la dist.anee qui sépare deux événements, elle vaut pour les événements E, e t E,, respectivement dans 'R.' e t dans 'R. :

Pour les événements E1 e t E, , respectivement dam 'R.' e t dans 'R. , on trouve :

d' = 0

e t d = 2{3,1 = 0 , 2 rn

SI- 10. Variante de l'expérience de Fizeau 1. La variation /lL, de L pour le rayonnement se propageant dans Je sens AB est telle que :

u,

7 = Tl

1

-

To

= c/n + u -

1 c/n

T 1 désigne la dur&> de propagation de la lumi~re dans l'eau e n mouvement e t To eette dur&> en l'absence de mouvement. De même, la variation t:.L, pour le rayonnement se propageant dans le sens oppœé BA est doon&~ par : t:.L, 1 1

où

-

c

= T2-TO =

--- -

c/n -u

-

c/n

2. La variation de c hemin o ptique e ntre les deux faisceaux émis par le Jaser, dans des directions o pposées, est donnu par :

IlL,_ 6L, = c ( - -'- _ - -'- ) = 2/uc "'2_1_lo_•' c/n -u c/n + 1t c'/n' u' c On e n déduit numériquement: t:.L = 237, 0 nm qu'il faut compare r à Ào = 632, 8 nm ; I!.L/ Ao = 0 , 374.

SI- 11. Effet Doppler-Fizeau optique en cinématique galiléenne 1. Si on utilise la transformation de Galilée, la phase de l'onde sinusoïdale reçue par Je récepteur s' écrit:

wt- k · r = wt- k cœ 8 x- k sin 8y = (w- kv,cos8) t- kcos 8 x'

-

k sin 8 y'

339

et problèmes

1?! , 66 à la source, d'expression ( w' t - k' cos If;(

En identifiant avec la phase dans le référentiel on trouve, puisque c = w/ k :

, ( v.- cos w = w-kv"cos O= w 1- - cOn a donc, avec des notations explicites :

2. Pour 8, =

> 0 ),

),

8,)

v, fl('cos O,

v, = 1 Si la source se rapproche ( cos 8,

- k' sin If y'

v, > v, ; si la souree s'éloigne (cos 8,

< 0 ),

v,

< v,.

TT/2, on voit que v, = v, .Il n'y a pas d'effet Doppler-Fizeau transversal

3. Pour 8, = 0, la formule précédente se simplifie selon : v, v, = 1- p, Si la souree se rapproc'. On o btient l'énergie de cene particule dans

= -p,y,m,c y, = ( 1 -

.13~) - l /

2

et y, = ( 1 -

Pi} - l /2

= YI

Par conséquent :

2. Dans 'R. ,l' énergie de J'ensemble est :

t: = t:1+ t/z =

Y1m1c' + y,m,c'

Pi} - l /2

avec Y1 = ( 1 -

et

y, = ( 1 -

PO - l /2

Pour avoir J'énergie dans 'R.', on procMe comme précédemment :

t:' = t:{ + ~ = 3. Dans Je cas considéré, m = m. conséquent :

t:1=

e, = ym.c' =

P1

m 1c' + y 1 y 2m2 c'( J + P1P2 )

= p, = p, = p = 0, 6 e t YI = y, = y, = y = 1, 25. Par

1174, 5 MeV et

t:; =

yt:2 (1 + ,132 ) = 1996, 5 MeV

On en déduit :

t: = t:1+ t/z = 2ym,c' = 2 348, 9 MeV et t:' = t:; + t:; = 939, 57 + 1 996, 48 MeV = 2 936 MeV Le rapport t:' / t: vaut senSib lement 1, 25 soit y , ce qui n'est pas surprenant, car, 'R. étant dans ce cas référentiel du centre de masse, on a la relation suivante :

t:' =

y(t: - pP,c) = yt: puisque P, = 0 et

t:' =

y(t: - J3P,c) =

1,4t: =

3 683 MeV

puisque P, = y pc- y pc = 0.

SS- 9. Force d'Interaction entre deux particules cJtargées animées d'Une mme vitesse constante Dans 1?!, référentiel propre des électrons, la foree d'interaction est d'origine électrostatique :

F' = ~!l: 41Teo d'

Dans

n ,la foree s'obtient à partir de la transformation des forees: yF, =iF',. et yF, = y,(yF', + p,yF' ·v fe)

Comme v = 0 ,

F', = 0, v = u , il vient : y,F, = F',. et

F, = O.

t:. = 1 keV, y"" 1, 002 :J' électron n'est pas einsteinien, d'où: ii) Pour t:. = 1 MeV , y = 2, 957 d'où F, = 7, 8 x 10- 23 N. i) Pour

F, ""

F',. =

23 x J0- 23 N.

Solutions des exercices

364 SS- 10. L