Electromagnétisme et ondes électromagnétiques 5030004696

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AVANT-PROPOS
INTRODUCTION PLACE DE L’ÉLECTROMAGNËTISME DANS L IMAGE PHYSIQUE MODERNE DU MONDE
I. ELEMENTS D’ELECTROMAGNETISME ET DE PHYSIQUE DE L’ESPACE - TEMPS
1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE
2. ÉLECTROSTATIQUE DES DIÉLECTRIQUES
3. COURANT ÉLECTRIQUE CONTINU
4. CHAMP MAGNÉTIQUE DANS LE VIDE
5. INDUCTION ÉLECTROMAGN ÉTIQUEET COURANTS ALTERNATIFS
6. LOIS DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME
7. LA PHYSIQUE DE L’ESPACE-TEMPS
II. PROPRIETES ELECTRIQUES ET MAGNETIQUES DE LA SUBSTANCE
8. DIÉLECTRIQUES
9. MÉTAUX ET SEMI-CONDUCTEURS
10. ÉLECTROLYTES
11. DECHARGE ELECTRIQUE DANS LES GAZ
12. SUBSTANCES MAGNÉTIQUES
13. SUPRACONDUCTEURS
III. ONDES ELECTROMAGNETIQUES. OPTIQUE
14. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
15. INTERFÉRENCES ET COHÉRENCE
16. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LA MATIÈRE
17. OSCILLATIONS DE PLASMA
18. OPTIQUE DES CRISTAUX
19. OSCILLATIONS DES MILIEUX GYROTROPES
20. OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
21. DIFFRACTION
IV. INTERACTION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES AVEC LES PARTICULES ET LES ONDES
22. OPTIQUE NON LINÉAIRE
23. EMISSION D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
24. INTERACTION DES PARTICULES CHARGÉES ET D’UN RAYONNEMENT AVEC LA MATIÈRE
CONCLUSION EVOLUTION DES CONNAISSANCES EN ELECTROMAGNETISME
ANNEXE
BIBLIOGRAPHIE
INDEX
TABLE DES MATIERES

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A. II. AXHE3EP, H. A. AXHE3EP

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A. AKHIEZER, I. AKHIEZER

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES

EDITIONS MIR MOSCOU

Traduit du russe par V. KOLIMÊEV

Ha (fipaHityacKOM xsune

Imprime en Union Soviétique

ISBN 5-03-000469-6

© HagaTejibCTBo «Bucman mKOJia», 1985 © traduction française, Editions Mir, 1988

AVANT-PROPOS

Le présent manuel diffère notablement des autres livres consacrés à rélectromagnétisme tant par l’ampleur des sujets traités que par la façon d’exposer les matières. 11 n ’existe aucune question quelque peu importante de la théorie moderne de rélectromagnétisme qui ne soit pas étudiée dans ce livre. D’une part, y sont examinées a un niveau scientifique moderne les questions théoriques générales et, d’autre part, une place importante est accordée aux caractères spé­ cifiques des phénomènes électriques, magnétiques et optiques dans des types concrets de substances ainsi qu’aux principes des appli­ cations industrielles les plus importantes de ces phénomènes. Le livre représente un ensemble unique dont tous les chapitres s'enchevêtrent de la façon la plus étroite. Néanmoins, il est divisé en quatre parties suivantes, intimement liées l’une à l’autre: I. Eléments d’électromagnétisme et de physique de l’espacetemps. II. Propriétés électriques et magnétiques de la substance. III. Ondes électromagnétiques et optique. IV. Interactions des ondes électromagnétiques avec les particules et les ondes. L’ouvrage proposé constitue une partie du cours de physique générale et, à notre avis, il ne doit se substituer ni au cours de physi­ que théorique, ni à celui de physique expérimentale. Cela signifie qu’en exposant le fonds d’idées de la physique moderne, nous avons cherché à nous en passer des finesses de l’appareil théorique et des détails des expériences de physique. C’est pourquoi ce livre se carac­ térise par un exposé clair et accessible, sans détails mathématiques et expérimentaux superflus, une attention particulière étant portée au côté théorique et non pas méthodique de la question. Il est bien connu qu’en mathématiques les notions d’élémentaire et de non élémentaire ont subi ces dernières années de grandes modi­ fications ; en particulier, à la fin des études secondaires les élèves possèdent déjà des connaissances mathématiques que n ’avaient naguère que les étudiants des facultés à la fin du premier semestre d ’études. C’est pourquoi nous considérons que les méthodes d ’éta­ blissement des formules, adoptées dans de nombreux cours de physique

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AVANT-PROPOS

générale sont tout à fait périmées. Cette remarque concerne aussi les aspects physiques de l’exposé. De nos jours, lorsque les écoliers sont déjà familiarisés avec les principes de la physique quantique et de la théorie de la relativité, il ne nous semble pas raisonnable de cons­ truire le cours d’électromagnétisme d’une manière artificielle, en évitant les notions quantiques. Bien entendu, ces notions doivent être expliquées et utilisées seulement dans le cadre de la physique générale. L’emploi dans ce livre de certaines notions de physique quantique nous a permis d’exposer les éléments de théorie de la conductibilité électrique des métaux et des semi-conducteurs, d ’ex­ pliquer la nature du rayonnement de Vavilov-Cerenkov, de l’effet Compton, de la création de paires électron-positron, etc. Un chapitre distinct expose les principes de relativité re s tre in te s de relativité générale. La conclusion est consacrée aux questions du développe­ ment de la science de l’électroraagnétisme. L’ouvrage s’adresse avant tout aux étudiants en physique, mais pourra intéresser également les chercheurs et les enseignants. La lecture du livre implique la connaissance des mathématiques au niveau de deux premières années d’études aux facultés du physique. Le chapitre Physique de Vespace-temps est écrit en collaboration avec Y. Stépanovski. Nous tenons à remercier F. Bass, Y. Gourévitch et A. Riazanov qui nous ont prodigué des remarques bien utiles. A. Akhiezer, /. Akhiezer

INTRODUCTION

PLACE DE L’ÉLECTROMAGNËTISME DANS L IMAGE PHYSIQUE MODERNE DU MONDE

Toute la matière de l’Univers, dans sa partie connue de nous, est constituée principalement par les électrons, protons, neutrons, neutrinos et photons. Ce sont des particules dites élémentaires ou fondamentales. Actuellement, le nombre de particules élémentaires découvertes s’élève à plusieurs centaines. Les propriétés des particu­ les élémentaires sont extrêmement variées: il suffit de dire que les particules telles que le photon sont dépourvues de masse (on a en vue la masse au repos) alors que les plus lourdes des particules con­ nues possèdent une masse près de 10 GeV ; les particules telles que l’électron et le proton peuvent exister pendant un temps indéterminé alors que les particules à très brève vie, appelées résonances, se désintègrent spontanément pendant un temps de l’ordre de 10"“3 s. Un trait est commun à toutes les particules : elles sont toutes soumises à l’action de certaines forces ou, comme on dit, aux interactions. Bien que les manifestations diverses de ces forces soient innom­ brables, les différents types d’interactions entre particules élémentai­ res ne sont qu’au nombre de quatre: la gravitation ou Vinteraction gravitationnelle, les interactions fortes, les interactions électromagné­ tiques et les interactions faibles. D’ailleurs, il apparaît actuellement que les interactions électromagnétiques et faibles sont deux mani­ festations d’une seule et même interaction, de même que l’électricité et le magnétisme, qui étaient considérés primitivement comme deux interactions différentes, sont en réalité les manifestations des forces électromagnétiques uniques. Cependant, dans le domaine des éner­ gies des particules interagissantes, réalisées à l’heure actuelle par voie expérimentale, les propriétés et les manifestations des branches électromagnétique et faible de l’interaction électrofaible unique sont si différentes qu’elles peuvent être considérées comme indépendantes l’une de l’autre. On peut penser que finalement les autres interactions se trouveront elles aussi non indépendantes et se réuniront en une interaction fondamentale unique à quatre manifestations différentes. Toutes les particules élémentaires ne sont pas soumises à chaque type d’interactions. C’est seulement l’interaction gravitationnelle que subissent toutes les particules élémentaires. L’interaction gra­ vitationnelle est basée sur la loi de l’attraction universelle de Newton

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INTRODUCTION

selon laquelle tous les corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Les forces gravitationnelles sont les plus faibles des forces con­ nues. Il suffit d’indiquer que la force d’attraction gravitationnelle, qui s’exerce entre deux électrons, est 1045 fois plus faible que la force de leur répulsion électrique à la môme distance. Les interac­ tions fortes se caractérisent par des énergies qui sont des millions de fois plus hautes que les énergies mises en jeu dans des interactions électromagnétiques. Dans la structure de notre monde, la manifestation principale des interactions fortes est l’existence de noyaux atomiques. On connaît plusieurs centaines de noyaux atomiques différents, mais tous ces noyaux ne sont constitués que de deux types de particules élémentai­ res: de neutrons et de protons « agglutinés » par les interactions fortes. Les forces électriques jouent elles aussi leur rôle, bien que moins important, dans la structure des noyaux. Le fait est que les protons portent une charge électrique et donc se repoussent. Il en résulte que les noyaux ayant un très grand nombre de protons (ou, comme on dit, un grand nombre atomique) ne peuvent pas être stables. C’est là la cause de ce que dans la nature il n’existe que des éléments chimiques de numéro atomique non supérieur à 92 (si on néglige des quantités infimes de plutonium naturel). L’intensité des interactions fortes est près de 100 fois plus élevée que celle des interactions électromagnétiques (sans parler des interac­ tions gravitationnelle et faible). Néanmoins ce n ’est pas l’interaction forte qui gouverne le monde « en autocrate ». Cela tient à ce que toutes les particules ne sont pas soumises aux interactions fortes (bien que la plupart des particules connues, réunies sous le nom d 'hadrons, le soient) ; l’électron et le photon ne subissent pas des interactions fortes. En outre, les interactions fortes se caractérisent par un rayon d'action très court, de l’ordre de 10~15 m, c’est-à-dire comparable aux dimensions des noyaux. C’est pourquoi, à des dis­ tances supérieures aux dimensions des noyaux atomiques, les interac­ tions fortes ne jouent aucun rôle. A des distances plus grandes, le rôle des forces électromagnétiques s’accroît du fait que ces forces ne s’affaiblissent que très lentement avec la distance. C'est précisément les forces électromagnétiques qui sont responsables de l’association des noyaux et des électrons en atomes et des atomes en molécules. Leurs manifestations sont les forces de frottement, les forces de liaison entre les particules dans les solides, les liquides et les gaz imparfaits, les forces régissant le plasma, en un mot, toutes les forces (excepté celle de gravitation) auxquelles on a affaire en dehors des laboratoires nucléaires. Tous les composés chimiques à partir des plus simples, tels que l ’eau et l’oxygène moléculaire, jusqu’à si complexes que les protéines

PLACE DE L’ÊLECTROMAGNÊTISME DANS LE MONDE

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et les acides nucléiques, la base de la vie, sont constitués de molé­ cules. Le monde de la chimie, de la biophysique et de la biochimie c'est le monde des forces électromagnétiques. La lumière, les ondes radio-électriques, les rayons X et les rayons ultraviolets, tous ces phénomènes sont de nature électromagnétique. On peut affirmer avec assurance qu’à notre échelle humaine le monde est gouverné par les forces électromagnétiques. C’est là que réside le rôle particulier et la très haute importance de l’électromagnétisme. L’interaction électromagnétique est due à l’existence de charges électriques qui peuvent être de deux signes: les charges de même signe se repoussent alors que les charges de signes opposés s’attirent. C’est pourquoi les corps de grandes dimensions sont rarement chargés électriquement: les forces qui s’exercent entre les charges conduisent au rapprochement des charges de signes contraires, de sorte que les corps deviennent dans leur ensemble électriquement neutres. L’interaction gravitationnelle ne connaît pas de masses négatives et donc la création et l’existence de systèmes « gravitationnellement neutres », non soumis à la gravitation, sont impossibles. C’est pour­ quoi les forces de gravitation bien qu’elles soient beaucoup plus faibles que les forces électriques, jouent le rôle dominant dans le cas des systèmes de grande masse, en particulier, à l’échelle de l’Uni­ vers. A l’échelle cosmique, le monde est gouverné par les forces de gravitation. Il est vrai que dans le cas des grandes masses ou de vitesses relativistes (voisines de la vitesse de la lumière) les lois de la gravitation sont beaucoup plus compliquées que la loi de Newton. L’établissement de ces lois relève de la compétence de la théorie de la relativité générale d’Einstein, théorie qui, bien que ne se rappor­ tant pas directement à l’électromagnétisme, constitue un dévelop­ pement logique de la théorie de la relativité restreinte sans laquelle la compréhension des phénomènes électromagnétiques est impos­ sible et qui a été édifiée à la base de l’analyse des phénomènes élec­ tromagnétiques. C’est pourquoi nous ne laissons pas la théorie de la relativité générale tout à fait de côté, nous lui consacrons une partie du chapitre Physique de Vespace-temps. Les interactions faibles se tiennent un peu à l'écart dans la struc­ ture du monde. Le fait est que nous ne connaissons pas d’objets dont la création soit due aux interactions faibles: on peut dire de façon imagée qu’elles « détruisent » (et dispersent) mais « ne créent pas ». Les interactions faibles sont responsables de la désintégration bêta des noyaux, de la valeur finie de la durée de vie du neutron (103 s) et de la désintégration des particules élémentaires à vie relativement longue (1 0 à 10-10 s) (certaines particules à vie plus courte, de l’ordre de 10"16s, se désintègrent par suite de l’interaction électromagné­ tique). Soulignons une fois de plus qu’il existe un vaste domaine des

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INTRODUCTION

phénomènes dans lesquels les quatre formes fondamentales d'interac­ tion n’interfèrent pas et peuvent donc être considérées comme indé­ pendantes l’une de l’autre. Vu cette circonstance, nous n’étudierons dans ce livre que la seule interaction électromagnétique et ceci dans le domaine où elle ne se coupe ni avec les interactions fortes, ni avec les interactions faibles. Les premiers chapitres du livre sont consacrés aux manifestations les plus simples des propriétés électriques et magnétiques de la subs­ tance. Les chapitres suivants présentent l’étude des propriétés électriques et magnétiques des milieux concrets tels que les diélectri­ ques, les conducteurs, les ferromagnétiques, les supraconducteurs. On cherche à rester, autant que possible, dans le cadre de la physique classique bien que dans le cas où il s’agit de la constitution des corps condensés, ceci s'avère insuffisant et l’on est amené à faire usage des éléments de physique quantique. Après avoir étudié les faits pour lesquels Limité de l’électricité et du magnétisme est de peu d’importance, on passe à la théorie uni­ taire des phénomènes électromagnétiques de Maxwell, qui comporte les lois générales de l’électromagnétisme, ensuite on réserve un cha­ pitre distinct à la physique de l’espace-temps où l’on expose la théo­ rie de la relativité restreinte et les idées principales de la théorie de la relativité générale. Plus loin on examine les ondes électromagnétiques de différents types dans les divers milieux et systèmes physiques, leur propagation et les procédés de leur excitation. Le livre se termine par l’exposé des principaux faits et des lois fondamentales concernant l’interac­ tion des particules chargées et des photons avec la substance.

I. ELEMENTS D’ELECTROMAGNETISME ET DE PHYSIQUE DE L’ESPACE - TEMPS

CHAPITRE PREMIER

CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE

§ 1.1. Loi de Coulomb Tous les corps ne sont pas soumis a l'interaction électrique, mais seulement ceux qui portent une c h a r g e é l e c t r i q u e ; on les appelle c o r p s c h a r g é s é l e c t r i ­ q u e m e n t ou c o r p s é l ec t r i s é s . Fait important, l'interaction électrique peut conduire tant à l'attraction qu'à la répulsion des corps électrisés. Ceci signifie ue les charges électriques sont de (leux espèces et peuvent être distinguées 'après le signe : les corps portant des charges de même signe se repoussent, alors que les corps portant des charges de signes contraires s'attirent.

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La force d’interaction électrique prend sa forme la plus simple dans le cas où les corps chargés sont immobiles et se trouvent placés dans le vide. Si, en outre, les dimensions des corps sont petites par rapport à leur distance (on dit alors que Ton a -affaire à des points matériels), la force d’interaction ne dépend que des charges des corps et de leur distance. Cette force est dirigée le long de la ligne joignant les corps et sa valeur est inversement proportionnelle au carré de la distance. Mathématiquement, cette force peut s’écrire sous la forme F -= = où qx et q2 sont les charges des corps, r 12 est la distance séparant les corps et A*lT une constante dont la valeur dépend du choix de l’unité de charge. Cette formule traduit la loi de Coulomb, loi fondamentale de l’interaction électrique. Cette loi fut découverte en 1771-1779 par Cavendish et plus tard, en 1786-1789, par Coulomb. Le plus simple est de choisir l ’unité de charge de telle sorte que la cons­ tante k | soit égale à l ’unité. Un tel choix est fait dans le système d unités CGS dit de Gauss qui est utilisé principalement dans des recherches fondamentales et théoriques. Dans ce système, la loi de Coulomb s ’écrit sous la forme

Il s’ensuit de cette formule que dans le système CGS la charge électrique a les dimensions [q] = L3/27’“l M1/2, c ’est-à-dire que l ’unité de charge est 1 cm3/2 s - 1 g1/2.

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CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE

[CH. 1

Cette unité (qui n'a pas de nom spécial) étant très petite, on utilise en pratique une unité plus grande, le coulomb (symbole: C) qui est numériquement 3-109 fois plus grande que l'unité de charge dans le système de Gauss. Le coulomb est l’unité de charge électrique dans le Système international (SI) qui est actuellement largement utilisé, surtout dans les techniques. A la différence du système de Gauss avec ses trois unités de base : le centimètre (cm), unité de longueur, le gramme (g), unité de masse, et la seconde (s), unité de temps, le SI comporte pour l’électromagnétisme quatre unités de base: le mètre (m), unité de longueur, le kilogramme (kg), unité de masse, la seconde (s), unité de temps, et l'ampère (A), unité d’intensité de courant électrique. Le coulomb est une unité dérivée égale à l’ampère-seconde: 1 C = = 1 A-s. Plus loin (au § 6.6), nous examinerons de plus près les systèmes CGS et SI ainsi que d'autres systèmes possibles et donne­ rons des définitions précises de toutes les unités qui se rencontrent dans l’électromagnétisme, alors que pour l'instant nous nous conten­ terons d ’écrire la loi de Coulomb dans le système SI: p _ 1 “ 4ne0 r?2 ’ où (4ne0) -1 est une constante numériquement égale, par définition, à 10"7 de carré de la vitesse c de la lumière dans le vide. Comme c = 3-108 m/s, nous obtenons (4jie0) -1 = 9-109 N-m2-C“2 ; e0 = 8,854-10“12 CMM^-rn-2 = 8.854-10-12 F-m -1 (F désigne le farad, unité de capacité électrique). La loi de Coulomb peut s’écrire également sous forme vectorielle. Si n21 est le vecteur unitaire dirigé de q2 vers qu la force Fx exercée sur fa charge qx par la charge q2 peut être représentée sous la forme Fl=«21 4Jie0r~2 • La charge électrique ne peut ni apparaître ni disparaître spontanément. En d’autres termes, la charge électrique totale d’un système de corps isolé, égale à la somme (algébrine peut pas varier au cours

des charges des corps constitutifs du système, 3ue) u temps.

Cette loi, appelée loi de conservation de la charge électrique (ou encore principe de conservation de Vélectricité) est une des lois fonda­ mentales de la nature. C’est ainsi par exemple que lors de l'électri­ sation par frottement les corps frottés se chargent toujours par des charges de signes contraires mais égales en module. La loi de conservation de la charge électrique est également valable pour le monde des particules élémentaires. Par exemple,

§ 1.1]

LOI DE COULOMB

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les collisions entre les noyaux atomiques peuvent provoquer la création d'électrons mais la production de chaque électron entraîne l’apparition d’un positron, particule élémentaire qui ne diffère de l’électron que par le signe de sa charge électrique. Puisque tous les corps se composent d’atomes, constitués par les électrons et les noyaux, et les noyaux à leur tour se composent de protons et de neu­ trons, la charge électrique du proton ne différant que par le signe de la charge électronique, il découle de la loi de conservation de la charge électrique que la charge de tout corps est multiple de la charge de l’électron ou du proton. Cette charge a pour valeur numé­ rique |

e = 1,60219-10-19 C = 4,80298-10-10 u.e.s. CCS.

Les charges de toutes les particules élémentaires chargées, con­ nues actuellement, sont égales à e ou multiples de e, ce qui explique le nom de charge élémentaire qu’on donne à e. Nous ne connaissons aucune particule dont la charge soit égale à une partie fractionnaire de e. C’est un des phénomènes remarquables de la nature, non expliqués jusqu’à présent. Puisqu’entre les corps chargés s’exercent des forces électriques, on peut dire que le corps chargé produit autour de lui un certain champ de force. Ce champ est dit électrique.

Pour pouvoir caractériser le champ électrique produit par un ou plusieurs corps électrisés, introduisons dans ce champ un petit corps chargé portant une petite charge électrique qt8. Un tel corps, que l’on appelle charge d'essai, ne modifie pratiquement pas le champ dans lequel il est introduit, si bien que la force F agissant sur la charge d’essai peut caractériser le champ produit‘ par un corps chargé (ou un ensemble des corps chargés) ^ = ^esE. Ici, le vecteur E est indépendant de qesy il ne se détermine que par les corps chargés et l’emplacement de la charge d’essai. Ce vecteur, qui varie en général d’un point à l’autre, s’appelle intensité de champ électrique produit par des corps chargés. Les dimensions de l’intensité de champ électrique sont [E] = [F]![q] = N-C"1. En déplaçant la charge d’essai d’un point à l’autre, on peut déter­ miner la structure de tout le champ électrique. Une méthode bien spectaculaire et commode de description d’un champ est la méthode graphique utilisant des lignes dites de force électriques. On appelle ligne de force toute ligne qui a la propriété d’ctre tangente en chacun de ses points à la direction du champ en ce point.

CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE

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[CH. 1

La figure 1.1 montre les lignes de force de quatre champs électri­ ques les plus simples dus à une seule charge ponctuelle (positive et négative) et à deux charges ponctuelles (de même signe et de signes contraires). Les lignes de force partent toujours des charges positives et se terminent sur des charges négatives ou a l’infini.

Si en un point quelconque il n'y a pas de charge électrique, une seule ligne de force passe par ce point. Ainsi, les lignes de force ne se coupent qu'aux points où se trouvent les charges électriques.

a)

c)

b)

Fig. 1.1. Lignes de force des champs électriques les plus simples produits par:

a, une charge ponctuelle positive ; b. une charge ponctuelle négative ; c. deux charges ponctuel­ les positives; d, charges ponctuelles positive et négative

Le champ électrique a encore une propriété importante: il obéit au principe de la superposition. Ce principe consiste en ce que l’intensité du champ E produite par l’ensemble des corps chargés est égale a la somme des intensités Elf E2, . . . produites par chacun des corps séparément : E = Ej + E2 + • • •

Le principe de la superposition permet de ramener la détermina­ tion de l'intensité du champ produit par un corps chargé déformé com­ plexe (ou par un système de corps) au calcul de la somme des inten­ sités des champs engendrés par chacun des éléments infiniment petits de ce corps. Ainsi, il ne suffit finalement que de connaître l'intensité du champ d’une charge ponctuelle. Or, cette intensité peut être déterminée à l’aide de la loi de Coulomb: à une distance r de la charge q elle a pour valeur F-

n?

4nc0r2 ’

où n est le vecteur unitaire ayant pour origine le point où se trouve la charge q et pour extrémité le point où est placée la charge d’essai. Le champ électrique produit par des charges électriques immobiles et invariables dans le temps (un tel champ est dit électrostatique) présente encore une propriété importante: il est un champ potentiel ou irrotationnel. Cela signifie que le travail effectué par les forces d’un tel champ pour déplacer une charge électrique d’essai suivant un coptour fermé quelconque -est nul.

§ 1.1]

LOI DE COULOMB

15

Pour nous convaincre de la validité de cette proposition, considé­ rons d'abord le cas le plus simple, celui du champ produit par une seule charge ponctuelle q. Déplaçons dans ce champ la charge d'essai qPZ d‘un point quelconque de rayon vecteur r en un point voisin de rayon vecteur r + dr en accomplissant le travail (L4 = F dr = qesE dr =

n dr.

Mais n = rlr si bien que n/r2 = —grad (1/r), où le gradient est un vecteur de composantes (â/dx, d!dyy dldz), de sorte que dA = = —■ 5 dr grad (1/r). Déplaçons maintenant la charge q suivant un trajet quelconque à une distance finie, du point a au point 6. Nous effectuerons un travail A ^ b= - q q es j g ra d -^ d r = - | g - (-£ — £ -) . r = ra

Le travail des forces électriques est caractérisé par le potentiel électrostatique cp qui est une caractéristique du champ lui-même, indé­ pendante de la valeur de la charge d’essai çcs, à savoir: le travail A a-+i s’écrit sous la forme A a-+b = (ra) —

mR (R étant le rayon de la sphère), il convient d ’entendre par qr la charge totale q contenue à l’intérieur de la sphère. Ainsi,

§ 1.2]

THÉORÈME DE GAUSS ET ÉQUATION DE POISSON

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l’intensité du champ et le potentiel à l'extérieur de la sphère (pour toute distribution de la charge présentant une symétrie sphérique à l’intérieur de la sphère) ont pour expression: E = q/(Am0r2)1

/?),

c’est-à-dire sont donnés par les mêmes formules que dans le cas d’une charge ponctuelle. Si toute la charge est concentrée sur la surface de la sphère (r = /?), il est évident que l’intensité du champ à l’intérieur de la sphère est nulle. Si la sphère est chargée uniformément avec une densité

Fig. 1.5. Champ électrique d'un plan cliarg

Fig. 1.6. Champ électrique d’un cy lindre chargé

de charge volumique p, on a qr = 4/3 jir2p, ce qui signifie que l’in­ tensité du champ à l’intérieur de la sphère est proportionnelle à r, alors que le potentiel varie comme r2: E = - & r’

* ~ i k < R2- r2ï + * b r

(la constante figurant dans l’expression de (p est choisie de telle sorte qu’à la surface de la sphère