Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques - Cours et exercices corrigés 9789947341506

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Avant-Propos Au sujet de ce manuel Ce manuel a été écrit à l’intention des étudiants de deuxième année des filières scientifiques et techniques des universités et écoles d’ingénieurs. Il correspond au programme officiel du module Electromagnétisme enseigné en deuxième année (L2) des filières SM-Sciences de la Matière option Physique et ST-Sciences et Technologie. Les objectifs assignés par ce programme portent sur l’approfondissement et la consolidation des notions d’électromagnétisme acquises par les étudiants au cours de leur première année à l’université. Ce programme est destiné également à fournir aux étudiants les outils physiques et mathématiques prérequis par les modules de troisième année consacrés à l’électromagnétisme et l’optique ainsi qu’à la relativité restreinte. Ce manuel essaie de répondre au mieux aux recommandations du programme officiel. Afin de combler les lacunes éventuelles des étudiants venant de première année, il nous a semblé nécessaire de consacrer le premier chapitre à l’analyse vectorielle pour introduire les opérateurs utilisés en électromagnétisme. Les exercices de ce chapitre ont pour but d’initier très rapidement les étudiants à l’utilisation de ces opérateurs dans différents systèmes de coordonnées. L’électrostatique est étudiée dans le second chapitre. Les phénomènes électrostatiques sont introduits à partir de la loi de Coulomb et du principe de superposition. Le théorème de Gauss est démontré en calculant la divergence du champ électrique défini à partir de la loi de Coulomb ; nous avons préféré cette démarche à la méthode qui utilise la notion d’angle solide car elle permet aux étudiants de manipuler les opérateurs vectoriels et de saisir la notion de localité des expressions. Les exercices portent essentiellement sur la résolution de l’équation de Laplace et de l’équation de Poisson dans des configurations où la symétrie permet d’obtenir des équations aux dérivées partielles qui iii

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

s’expriment en fonction d’une seule variable. Le chapitre suivant consacré à la magnétostatique débute par une définition du vecteur densité de courant. La décomposition de la force de Lorentz en deux composantes permet de définir le champ magnétique. Nous avons préféré commencer ce chapitre par le théorème d’Ampère ; la loi de Biot-Savart est décrite comme une conséquence des propriétés du champ magnétique et du potentiel vecteur associé. Le régime variable introduit les équations de Maxwell sous la forme d’une généralisation des équations locales obtenues en régime stationnaire. Après une présentation des phénomènes d’induction électromagnétique, la notion de courant de déplacement est introduite comme une nécessité permettant de respecter la relation de continuité. Les équations aux dérivées partielles pour le champ électrique et le champ magnétique sont obtenues à partir des équations de Maxwell. Les potentiels, scalaire et vecteur, ainsi que la condition de jauge sont également présentés dans ce chapitre qui se termine par l’approximation du régime quasi-stationnaire. La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est traitée dans le chapitre suivant. Enfin, les propriétés électromagnétiques des matériaux sont présentées assez brièvement dans le chapitre suivant sachant qu’un module intitulé Ondes électromagnétiques consacré à la propagation dans différents milieux fait partie du programme de troisième année (L3-S5). Le chapitre suivant est consacré à la réflexion-transmission des ondes électromagnétiques à un interface entre deux milieux linéaires, homogènes et isotropes. Un chapitre est consacré aux guides d’ondes plans. Le dernier chapitre est réservé au rayonnement dipolaire que nous avons volontairement limité au cas du dipôle électrique. La première annexe présente, sans démonstration, les différents opérateurs dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. Le principe de symétrie de Curie est énoncé dans l’annexe suivante et les propriétés de symétrie du champ électromagnétique sont énoncées sans démonstration. Une annexe est consacrée, sous forme de rappel, aux propriétés générales des ondes. Enfin, une bibliographie sommaire présente les principaux ouvrages utilisés pour la confection de ce manuel. Ce manuel est le fruit d’une pratique pédagogique dans cette matière

v de plusieurs années et résulte de longues discussions avec les collègues qui ont eu à assurer cet enseignement. Les exercices proposés dans ce manuel ont été confectionnés à partir d’une compilation des séries d’exercices et des sujets d’examens proposés par les collègues qui ont enseigné le module Électromagnétisme à la Faculté de Physique de l’Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene. Gestion du temps pédagogique Le contenu de ce programme est prévu pour être enseigné pendant un semestre de 14 semaines, à raison d’un cours hebdomadaire de 1h30mn et d’une séance de travaux dirigés de 1h30mn par semaine. Afin de couvrir la plus grande partie du programme officiel pendant cette durée, une gestion rigoureuse du temps pédagogique ainsi qu’une coordinationsynchronisation entre les cours et les travaux dirigés sont indispensables. Nous recommandons la progression ci-dessous (Tableau 1).

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Semaine 1 2 3 4 5 6 7 8

Cours Calcul vectoriel

11

Electrostatique Electrostatique Magnétostatique Magnétostatique Régime variable Régime variable Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Milieux matériels

12 13 14

Réflexion-transmission Guides d’ondes Rayonnement dipolaire

9 10

Travaux Dirigés Systèmes de coordonnées, Symétries Calcul vectoriel Electrostatique Electrostatique Magnétostatique Magnétostatique Régime variable Régime variable Régime variable Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Milieux matériels Réflexion-transmission Guides d’onde

TABLE 1 – Proposition de progression des cours et travaux dirigés

Table des symboles Symbole c ε0 µ0 εr ε µr µ γ ρ σ ρP ⃗j ⃗jD

Unités m s−1 F m−1 H m−1

⃗jT ⃗jS ⃗E ⃗B ⃗D ⃗ H ⃗A U

A m−2 A m−1 V m−1 T C m−2 A m−1 Wb m−1 V

F m−1 H m−1 S m−1 C m−3 C m−2 C m−3 A m−2 A m−2

Description Vitesse de la lumière dans le vide Permittivité du vide Perméabilité du vide Permittivité relative Permittivité absolue Perméabilité relative Perméabilité absolue Conductivité électrique Densité volumique de charges électriques Densité surfacique de charges électriques Densité volumique de charges de polarisation Vecteur densité volumique de courant Vecteur densité volumique de courant de déplacement Vecteur densité volumique de courant total Vecteur densité de courant surfacique Champ électrique Champ magnétique Vecteur excitation électrique Vecteur excitation magnétique Potentiel vecteur Potentiel scalaire

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Table des matières 1

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Eléments d’analyse vectorielle 1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 2 Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Laplacien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Théorème de Stokes-Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . 8.1 Circulation d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . 8.2 Flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Théorème de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Formule de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Théorèmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Exercice d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Electrostatique 1 La loi de Coulomb . . . . . . 2 Le champ électrique . . . . . . 3 Principe de superposition . . . 3.1 Champ électrique créé de charges électriques ix

. . . . . . par . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . une distribution . . . . . . . . .

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1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5 5

. 6 . 6 . 6 . 7 . 8 . 11

17 . . . . . . 18 . . . . . . 18 . . . . . . 19 linéique . . . . . . 19

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques 3.2

Champ électrique créé par une distribution surfacique de charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Champ électrique créé par une distribution volumique de charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Propriétés du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . 4.1 Le potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le vecteur excitation électrique ⃗D . . . . . . . . . . 4.4 Equation de Poisson - Equation de Laplace . . . . . 5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Electrocinétique et magnétostatique 1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant 2 Magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le champ magnétique . . . . . . . . 2.3 Le vecteur excitation magnétique . . 2.4 Potentiel vecteur ⃗A . . . . . . . . . . 2.5 La loi de Biot-Savart . . . . . . . . . 3 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . .

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Le régime variable 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . 2.1 La loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Equation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . 3 Le théorème de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . 3.1 Le phénomène de capacité . . . . . . . . . . 3.2 Le vecteur densité de courant de déplacement 3.3 Le théorème de Maxwell-Ampère . . . . . . 3.4 Equation de continuité . . . . . . . . . . . . 4 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . .

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. 20 . . . . . . . . .

20 21 21 23 25 26 27 28 31

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37 38 39 39 40 41 41 43 46 47 50

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59 60 61 61 61 62 63 63 65 65 66 67

xi 4.1 Les hypothèses de Maxwell . . . . . . . . 4.2 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Equations pour ⃗E et ⃗B . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Introduction des potentiels . . . . . . . . . . . . . 6.1 Potentiel scalaire. Potentiel vecteur . . . . 6.2 Equations des potentiels. Jauge de Lorenz . 7 Le champ électromoteur . . . . . . . . . . . . . . 7.1 f.é.m induite dans un circuit . . . . . . . . 7.2 Induction de Lorentz, Induction de Neuman 8 Approximation des états quasi-stationnaires . . . . 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Phénomène d’induction . . . . . . . . . . 8.3 Phénomène de capacité . . . . . . . . . . . 8.4 Phénomène de propagation . . . . . . . . . 8.5 Equations des états quasi-stationnaires . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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67 68 68 70 70 71 73 73 74 74 74 75 75 75 75 76 83

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93 94 95 95 95 96 97 97 99 100 101 103 104 105 113

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Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Equations de propagation pour ⃗E et ⃗B . . . . . . . . . . . 3 L’onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . 3.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Structure de l’onde uniforme plane . . . . . . . . . 4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Onde de polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . 4.2 Onde de polarisation quelconque . . . . . . . . . 5 Energie électromagnétique : vecteur de Poynting . . . . . 5.1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques 5.2 Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale . 6 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Ondes électromagnétiques dans les milieux 127 1 Propriétés électromagnétiques des milieux matériels . . . . . . 128 1.1 Polarisation d’un milieu matériel . . . . . . . . . . . . 128

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques 1.2 1.3 1.4

Conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milieux aimantés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations de Maxwell dans les milieux matériels, homogènes, linéaires et isotopes . . . . . . . . . . . . . 2 Ondes électromagnétiques dans les milieux . . . . . . . . . . 2.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Les trois types de solution de l’équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Equations de Maxwell dans les milieux parfaits . . . . 2.6 Propagation dans les milieux diélectriques . . . . . . . 3 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Composante tangentielle et composante normale de ⃗E 3.2 Composante tangentielle et composante normale de ⃗B . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8

Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques 1 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Formules de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Champ électrique dans le plan d’incidence . . . . . . 2.2 Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence 156 2.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Réflexion en incidence normale sur un conducteur parfait . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation guidée 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . 2 Guide d’onde plan : propagation entre infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Configuration . . . . . . . . . 2.2 Formulation du problème . . . 2.3 Equations de Maxwell . . . . 2.4 Conditions aux frontières . . .

. . . deux . . . . . . . . . . . . . . .

133 133 138 139 139 139 140 141 142 142 144 144 144 145 148 151 152 154 155 158 160 162 166

169 . . . . . . . . . . 170 plans parallèles . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . 173

xiii 2.5 Modes TEM 2.6 Modes TE . . 2.7 Modes TM . Exercices . . . . . . . . . Corrigés des exercices . . 9

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Rayonnement dipolaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . 2 Rayonnement par un dipôle électrique 2.1 Potentiel vecteur . . . . . . . 2.2 Potentiel scalaire . . . . . . . 2.3 Champ électromagnétique . . Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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173 175 178 182 184

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187 188 188 189 191 191 195

A Opérateurs vectoriels et systèmes de coordonnées. 197 1 Coordonnées cartésiennes (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2 Coordonnées cylindriques (r, θ , z) . . . . . . . . . . . . . . . 199 3 Coordonnées sphériques (r, θ , ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . 200 B Propriétés de symétrie 1 Le principe de Curie . . . 2 Le champ électrostatique . 3 Le champ magnétostatique 4 Le potentiel vecteur . . . .

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201 201 201 202 202

C Généralités sur les phénomènes de propagation 1 Propagation à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Solution de l’équation de propagation . . . . . . . . . 1.3 Onde progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales 1.5 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Onde vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Propagation dans l’espace à trois dimensions . . . . . . . . . 2.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Onde plane progressive sinusoïdale . . . . . . . . . . 3 L’onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203 203 203 203 207 209 210 212 214 214 214 215 217

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xiv Bibliographie

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques 219

Chapitre 1 Eléments d’analyse vectorielle

Dans ce chapitre : — Champ scalaire - Champ vectoriel — Gradient d’un champ scalaire — Divergence d’un champ vectoriel — Rotationnel d’un champ vectoriel — Laplacien scalaire, laplacien vectoriel — Opérateur nabla — Théorème de Stokes, Théorème de Gauss-Ostrogradsky

Travaux Dirigés: Exercices corrigés

2

1

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Champ scalaire - Champ vectoriel

Soit un trièdre orthonormé (⃗ex ,⃗ey ,⃗ez ) et M un point de l’espace, de coordonnées (x, y, z) : −−→ OM = x ⃗ex + y ⃗ey + z ⃗ez (1.1) La fonction f (M) est dite fonction scalaire de point ou champ scalaire si : f (M) = f (x, y, z)

(1.2)

Le vecteur ⃗v (M) est dit fonction vectorielle de point ou champ vectoriel si : ⃗v (M) = vx (x, y, z) ⃗ex + vy (x, y, z) ⃗ey + vz (x, y, z) ⃗ez

2

(1.3)

Gradient d’un champ scalaire

−−→ Le gradient ( noté grad ) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composantes suivant ⃗ex ,⃗ey , et ⃗ez les dérivées partielles de f (M) par rapport à x, y et z respectivement : −−→ ∂f ∂f ∂f grad ( f ) = ⃗ex + ⃗ey + ⃗ez (1.4) ∂x ∂y ∂z

3

Divergence d’un champ vectoriel

La divergence (notée div ) n’est définie qu’à partir d’une fonction vectorielle ⃗v (M) de point et donne une fonction scalaire de point définie, en coordonnées cartésiennes par : ∂ vx ∂ vy ∂ vz div (⃗v) = + + (1.5) ∂x ∂y ∂z

4

Rotationnel d’un champ vectoriel

− → Le rotationnel noté ( rot ) d’un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point définie en coordonnées cartésiennes par :       ∂ vy ∂ vx ∂ vz ∂ vy ∂ vx ∂ vz − → rot (⃗v) = − ⃗ex + − ⃗ey + − ⃗ez (1.6) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

5

3

Laplacien scalaire

Le laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point ( noté lap ou ∆) est par définition un champ scalaire défini par : h−−→ i lap (f) = ∆f = div grad (f) (1.7) Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit : ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f lap (f) = ∆f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

6

(1.8)

Laplacien vectoriel

− → Le laplacien vectoriel (noté lap ou ⃗∆) d’un champ vectoriel⃗v est un champ vectoriel défini par : i h − → −−→ → − → − (1.9) lap (⃗v) = ∆⃗v = grad [div (⃗v)] − rot rot (⃗v) Dans le cas d’un système de coordonnées cartésiennes, le laplacien vectoriel a pour composantes :  ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx   ∆v = + 2 + 2  x  2  ∂ x ∂y ∂z   2 2 − → ∂ vy ∂ vy ∂ 2 vy lap (⃗v) ∆vy = (1.10) + 2 + 2 2  ∂ x ∂ y ∂ z    ∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂ 2 vz    ∆vz = + 2 + 2 ∂ x2 ∂y ∂z

7

Opérateur nabla

Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla et défini par : ⃗∇ =⃗ex ∂ +⃗ey ∂ +⃗ez ∂ (1.11) ∂x ∂y ∂z

4

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes : — le gradient d’un champ scalaire f est noté −−→ ∂f ∂f ∂f grad ( f ) = ⃗∇ f = ⃗ex + ⃗ey + ⃗ez ∂x ∂y ∂z

(1.12)

— la divergence d’un champ vectoriel est notée ∂ vx ∂ vy ∂ vz + + div (⃗v) = ⃗∇ ·⃗v = ∂x ∂y ∂z

(1.13)

— le rotationnel d’un champ vectoriel est noté       ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v − → y y z x z x rot (⃗v) = ⃗∇ ×⃗v = − ⃗ex + − ⃗ey + − ⃗ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (1.14) — le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté h−−→ i ˜ · ∇f ˜ = ∇2 (f) lap (f) = ∆f = div grad (f) = ∇

(1.15)

∇2 se lit ”del de”.

— le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté i h i h −−→ → − → − 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∇ ⃗v = ∆⃗v = grad [div (⃗v)] − rot rot (⃗v) = ∇∇ · (⃗v) − ∇ × ∇ ×⃗v (1.16)

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

8

5

Théorème de Stokes-Théorème de Gauss

8.1

Circulation d’un champ vectoriel On définit la circulation d’un vecteur ⃗v le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne :

B

→ (⃗v) = C− AB r v

r dl

− → AB

⃗v · d⃗l

(1.17)

La circulation de long d’un contour fermé est notée :

(C)

I

C (⃗v) = ⃗v · d⃗l

A

8.2

Z

(1.18)

Flux d’un champ vectoriel (S)

r v

r n

dS

On définit le flux d’un vecteur ⃗v à travers une surface (S) par l’intégrale double : x φ/(S) (⃗v) = ⃗v ·⃗n dS (1.19) (S)

r dl

8.3

(C)

Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire ⃗n est dirigé de l’intérieur vers l’extérieur.

Théorème de Stockes

La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface.   − → C (⃗v) = φ/(S) rot (⃗v) (1.20) I x − → ⃗ rot (⃗v) ·⃗n dS (1.21) ⃗v · d l = (S)

Le vecteur unitaire ⃗n est orienté selon la convention du tire-bouchon de Maxwell.

6

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

8.4

Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence)

Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégrale de sa divergence dans le volume (τ) limité par la surface fermée (S) : { y (S)⃗v ·⃗n dS = div (⃗v) dτ (1.22) (τ)

8.5

Formule de Kelvin I

(C )

f d⃗ℓ =

x (S)

⃗∇ f × d⃗S

(1.23)

où (S) est la surface orientée limitée par la courbe fermée (C )

9

Théorèmes utiles −−→ −−→ −−→ grad( f + g) = grad ( f ) + grad (g)

(1.24)

−−→ −−→ −−→ grad ( f · g) = f · grad(g) + g · grad( f )

(1.25)

−−→ div (⃗u +⃗v) = div (⃗u) + div (⃗v) div (m⃗v) = m div (⃗v) +⃗v · grad (m) − → − → div (⃗u ×⃗v) = −⃗u · rot(⃗v) + rot (⃗u) ·⃗v   − → −−→ rot grad f = 0   − → div rot⃗v = 0

(1.26) (1.27) (1.28) (1.29)

− → − → − → rot (⃗u +⃗v) = rot (⃗u) + rot(⃗v)

(1.30)

−−→ − → − → rot(λ ⃗v) = λ rot(⃗v) −⃗v × grad(λ )

(1.31)

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

10

7

Exercice d’application

Soit deux points M et P de coordonnées respectives M (x, y, z) et P (xP , yP , zP ). −→ −→ 1. Calculer⃗r = PM et r = ∥PM∥.
2. Calculer ⃗∇ 1r au voisinage de M.   ⃗ 3. Calculer ∇ × r⃗r3 au voisinage de M.   ⃗ 4. Calculer ∇ · r⃗r3 au voisinage de M. Réponses

1.

2.

⃗r = (x − xP )⃗ex + (y − yP )⃗ey + (z − zP )⃗ez i1/2 h 2 2 2 r = (x − xP ) + (y − yP ) + (z − zP )

  ⃗∇ 1 = − h(x − xP )⃗ex + (y − yP )⃗ey + (z − zPi)⃗ez = − ⃗r 3/2 r r3 2 2 2 (x − xP ) + (y − yP ) + (z − zP )

3. En tenant compte du résultat précédent et sachant que le rotationnel d’un gradient est nul, on obtient :   ⃗∇ × ⃗r = ⃗0 r3 4.



⃗∇ · ⃗r r3



=0

8

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

11

Exercices

Exercice 1 : On donne le champ ⃗ F = (y − 1) ⃗ex + 2x ⃗ey ; trouver le vecteur ⃗F

au point (2, 2, 1) et sa projection sur ⃗B, si ⃗B = 5 ⃗ex −⃗ey + 2 ⃗ez .

⃗ = 2⃗ex +⃗ey : Exercice 2 : Soient les vecteurs ⃗ A =⃗ex +⃗ey , ⃗B =⃗ex + 2⃗ey et C     ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1. Calculer A × ⃗B × C et comparer avec A × ⃗B × C .     ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2. Calculer A · B × C et comparer avec A × B · C.

Exercice 3 : Exprimer en coordonnées cylindriques (r, θ , z), le vecteur ⃗ A

donné en coordonnées cartésiennes par :

2

⃗A = y ⃗ex + x ⃗ey + p x ⃗ez x2 + y2

Exercice 4 : Soit un vecteur de module 10 unités dirigé de l’origine vers le

point (5, 5π/4, 0), en coordonnées cylindriques (r, θ , z). Exprimer ce vecteur en coordonnées cartésiennes. Exercice 5 : Exprimer le vecteur ⃗ A = Ax ⃗ex + Ay ⃗ey + Az ⃗ez en coordonnées cylindriques (Ar , Aθ , Az ). Exercice 6 : Exprimer le vecteur ⃗ A = Ar ⃗er + Aθ ⃗eθ + Az ⃗ez en coordonnées cartésiennes. Exercice 7 : Exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur ⃗ F = r−1 ⃗er donné en coordonnées sphériques. Exercice 8 : Etablir, à partir des relations de définition, les formules de com-

position :

−−→ −−→ −−→ grad( f + g) = grad ( f ) + grad (g) −−→ −−→ −−→ grad ( f · g) = f · grad(g) + g · grad( f ) −−→

Exercice 9 : Montrer que grad ( f ) est normal en chaque point à la surface

f = constante passant par ce point. Exercice 10 : Montrer que la circulation d’un vecteur gradient le long d’un

contour fermé est nulle.

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

9

Exercice 11 : Etablir les formules de composition :

div (⃗u +⃗v) = div (⃗u) + div (⃗v) −−→ div (m⃗v) = m div (⃗v) +⃗v · grad (m) − → − → div (⃗u ×⃗v) = −⃗u · rot(⃗v) + rot (⃗u) ·⃗v Exercice 12 : On donne ⃗ A = e−y (cos x ⃗ex − sin x ⃗ey ) ; chercher ⃗∇ · ⃗A. Exercice 13 : On donne ⃗ A = x2 ⃗ex + yz ⃗ey + xy ⃗ez ; chercher ⃗∇ · ⃗A.




⃗ ⃗ Exercice 14 : On donne ⃗ A = 5x2 sin πx 2 ⃗ex ; calculer ∇ · A pour x = 1.


−1/2 Exercice 15 : On donne ⃗ A = x2 + y2 ⃗ex ; calculer ⃗∇ · ⃗A au point de coordonnées (2, 2, 0).

Exercice 16 : On donne ⃗ A = r sin θ ⃗er + 2r cos θ ⃗eθ + 2z2 ⃗ez , chercher div ⃗A

.

Exercice 17 : Etablir la formule de composition :

− → − → div (⃗u ×⃗v) = −⃗u · rot(⃗v) + rot (⃗u) ·⃗v Exercice 18 : Démontrer les relations :

  − → −−→ rot grad f = 0 − →
div rot ⃗v = 0

Exercice 19 : Etablir les lois de composition :

− → − → − → rot (⃗u +⃗v) = rot (⃗u) + rot(⃗v) −−→ − → − → rot(λ ⃗v) = λ rot(⃗v) −⃗v × grad(λ ) Exercice 20 : Démontrer la formule de Kelvin : I x (C )

f d⃗ℓ =

(S)

⃗∇ f × d⃗S

où (S) est la surface orientée limitée par la courbe fermée (C ) Exercice 21 : Soit un champ de vecteurs, ⃗ A = (y cos ax)⃗ex + (y + ex )⃗ez ; calculer ⃗∇ × ⃗A à l’origine.

10

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Exercice 22 : Etant donné le champ de vecteurs ⃗ A = 5r sin θ ⃗ez , en coor-

− → données cylindriques (r, θ , z) ; trouver rot ⃗A au point (2, π, 0). Exercice 23 : Etant donné le champ de vecteurs ⃗ A = 5e−r cos θ ⃗er −5 cos θ ⃗ez , − → en coordonnées cylindriques (r, θ , z), trouver rot ⃗A au point (2, 3π/2, 0). Exercice 24 : Etant donné le champ de vecteurs ⃗ A = 10 sin φ ⃗eφ , en coordonnées sphériques (r, θ , φ ), trouver ⃗∇ × ⃗A au point (2, π/2, 0). Exercice 25 : Soit un champ de vecteurs ⃗ A(⃗r,t) = ⃗A0 exp[ j(ωt −⃗k ·⃗r)] où le

vecteur d’onde ⃗k a pour composantes kx , ky , kz . Le vecteur ⃗A0 (indépendant de⃗r et t) a pour composantes A0x , A0y , A0z . Démontrer les relations : div(⃗A) = − j⃗k · ⃗A − → rot(⃗A) = − j⃗k × ⃗A ∇2⃗A = −k2 ⃗A

Exercice 26 : Soit le champ scalaire V (⃗r,t) = V0 exp[ j(ωt −⃗k ·⃗r)] (avec les

mêmes notations que pour l’exercice précédent). Montrer que : −−→ grad(V ) = − j⃗k V ∇2V = −k2 V

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

11

Corrigés des exercices Corrigé exercice 1 : Formule pour calculer la projection d’un vecteur ⃗ A dans

la direction d’un vecteur ⃗B :

Projection de ⃗A dans la direction de ⃗B =

⃗A · ⃗B ∥⃗B∥

1 Pour les valeurs de cet exercice, on trouve : P⃗A→⃗B = √ . 30 Corrigé exercice 2 :

1. Il suffit d’utiliser la définition du produit vectoriel, on trouve :   ⃗A × ⃗B × C ⃗ = −2 ⃗ey + 4 ⃗ez   ⃗A × ⃗B × C ⃗ = 2 ⃗ex − 2 ⃗ey + 3 ⃗ez

2. Il suffit d’utiliser les définitions du produit scalaire et du produit vectoriel, on trouve  ⃗A · ⃗B × C ⃗ = −5   ⃗A × ⃗B · C ⃗ = −5

Corrigé exercice 3 :

Méthode pour exprimer les composantes cylindriques d’un vecteur ⃗A en fonction de ses composantes cartésiennes. Le vecteur ⃗A s’écrit : ⃗A = Ax ⃗ex + Ay ⃗ey + Az⃗ez en coordonnées cartésiennes ⃗A = Ar ⃗er + Aθ ⃗eθ + Az⃗ez en coordonnées cylindriques. Pour exprimer le vecteur ⃗A en coordonnées cylindriques, il suffit d’exprimer les vecteurs unitaires ⃗ex , ⃗ey et ⃗ez en fonction des vecteurs unitaires ⃗er , ⃗eθ et ⃗ez : ⃗ex = cos θ ⃗er − sin θ ⃗eθ ⃗ey = sin θ ⃗er + cos θ ⃗eθ ⃗ez =⃗ez On obtient alors : Ar = Ax cos θ + Ay sin θ Aθ = −Ax sin θ + Ay cos θ Az = A z

12

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques Dans cette expression, il faut remplacer cos θ et sin θ par : cos θ = √ 2x 2 sin θ =

x +y √y x2 +y2

Corrigé exercice 4 :

2

En coordonnées cartésiennes : Ax = y, Ay = x, Az = √ x2

x +y2

En tenant compte des résultats de l’exercice 3, on obtient : Ar = √2xy 2 2 x +y 2 2 Aθ = √x −y x2 +y2 2 Az = √ x2 2 x +y

Corrigé exercice 5 :

Méthode pour exprimer les composantes cartésiennes d’un vecteur ⃗A en fonction de ses composantes cylindriques. Le vecteur ⃗A s’écrit : ⃗A = Ax ⃗ex + Ay ⃗ey + Az⃗ez en coordonnées cartésiennes ⃗A = Ar ⃗er + Aθ ⃗eθ + Az⃗ez en coordonnées cylindriques. Pour exprimer le vecteur ⃗A en coordonnées cylindriques, il suffit d’exprimer les vecteurs unitaires ⃗er , ⃗eθ et ⃗ez en fonction des vecteurs unitaires ⃗ex , ⃗ey et ⃗ez : ⃗er = cos θ ⃗ex + sin θ ⃗ey ⃗eθ = − sin θ ⃗ex + cos θ ⃗ey ⃗ez =⃗ez On obtient alors : Ax = Ar cos θ − Aθ sin θ Ay = Ar sin θ + Aθ cos θ Az = A z Corrigé exercice 6 :

z , A = 0, A = z θ 3/2 3/2 (r2 + z2 ) (r2 + z2 ) et en tenant compte des résultats de l’exercice 5, on obtient : Ax = r2 cos2 θ3/2 (r +z ) Ay = 2r sin2 θ3/2 (r +z ) Az = 2 z2 3/2 (r +z ) Sachant que : Ar =

r

Chapitre 1. Eléments d’analyse vectorielle

13

Corrigé exercice 7 :

Méthode pour exprimer les composantes cartésiennes d’un vecteur ⃗A en fonction de ses composantes sphériques. Le vecteur ⃗A s’écrit : ⃗A = Ax ⃗ex + Ay ⃗ey + Az⃗ez en coordonnées cartésiennes ⃗A = Ar ⃗er + Aθ ⃗eθ + Aφ⃗eφ en coordonnées sphériques. Pour exprimer le vecteur ⃗A en coordonnées cartésiennes, il suffit d’exprimer les vecteurs unitaires⃗er , ⃗eθ et⃗eφ en fonction des vecteurs unitaires⃗ex , ⃗ey et ⃗ez : ⃗er = sin θ cos φ ⃗ex + sin θ sin φ ⃗ey + cos θ ⃗ez ⃗eθ = cos θ cos φ ⃗ex + cos θ sin φ ⃗ey − sin θ ⃗ez ⃗eφ = − sin φ ⃗ex + cos φ ⃗ez On obtient alors : Ax = Ar sin θ cos φ + Aθ sin θ sin φ + Aφ cos θ Ay = Aθ cos θ sin φ + Ar cos θ cos φ − Aφ sin θ Az = Aθ cos φ − Ar sin φ Pour Ar = 1r , Aθ = 0 et Aφ = 0, on obtient : Ax = sin(θ )rcos(φ ) Ay = cos(θ )rcos(φ ) ) Az = − sin(φ r Corrigé exercice 8 :

On a : Ax = e−y cos x, Ay = −e−y sin x et Az = 0. En utilisant l’expression de ⃗∇ · ⃗A en corrdonnées cartésiennes, on trouve : ⃗∇ · ⃗A = 0

Corrigé exercice 9 :

On a : Ax = x2 , Ay = yz et Az = xy. En utilisant l’expression de ⃗∇ · ⃗A en corrdonnées cartésiennes, on trouve : ⃗∇ · ⃗A = 2x

Corrigé exercice 10 :


On a : Ax = 5x2 sin πx 2 , Ay = 0 et Az = 0 En utilisant l’expression de ⃗∇ · ⃗A en
coordonnées cartésiennes, on trouve :
⃗∇ · ⃗A = 5 πx2 cos πx + 10x sin πx 2 2 2 = 10 d’où, en x = 1 : ⃗∇ · ⃗A x=1

14

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Corrigé exercice 11 :


−1/2 2 2 x +y ⃗e

On a : Ax = x , Ay = 0 et Az = 0. En utilisant l’expression de ⃗∇ · ⃗A en coordonnées cartésiennes, on trouve : x ⃗∇ · ⃗A = − 3/2 (x2 + y2 ) ⃗ d’où, en (2, 2, 0) : ∇ · ⃗A = − 8√1 2 (2,2,0)

Corrigé exercice 12 :

On a : Ar = r sin θ , Aθ = 2r cos θ et Az = 2z2 En utilisant l’expression de ⃗∇ · ⃗A en coordonnées cylindriques (voir Annexe), on trouve : ⃗∇ · ⃗A = 4z

Corrigé exercice 13 :

On a : Ax = y cos ax, Ay = 0 et Az = y + ex En utilisant l’expression de ⃗∇× ⃗A en coordonnées cartésiennes, on trouve : ⃗∇ × ⃗A =⃗ex − ex ⃗ey − cos(ax) ⃗ez ⃗ ⃗ En (0, 0, 0), on obtient ∇ × A = ⃗ex −⃗ey −⃗ez (0,0,0)

Corrigé exercice 14 :

On a : Ar = 0, Aθ = 0 et Az = 5r sin θ En utilisant l’expression de ⃗∇× ⃗A en coordonnées cylindriques, on trouve : ⃗∇ × ⃗A = 5 cos θ ⃗er − 5 sin θ ⃗eθ ⃗ En (r = 2, θ = π, z = 0), on obtient : ∇ × ⃗A = −5 ⃗er (r=2,θ =π,z=0)

Corrigé exercice 15 :

On a : Ar = 5e−r cos θ , Aθ = 0 et Az = −5 cos θ En utilisant l’expression de ⃗∇× ⃗A en coordonnées cylindriques, on trouve : ⃗∇ × ⃗A = 5 sin θ ⃗er + 5e−r sin θ ⃗ez r r En (r = 2, θ = 3π/2, z = 0), on trouve : ⃗∇ × ⃗A = − 25 ⃗er − 2e52 ⃗ez (r=2,θ =3π/2,z=0)

Corrigé exercice 16 :

On a : Ar = 0, Aθ = 0 et Aφ = 10 sin φ En utilisant l’expression de ⃗∇ × ⃗A en coordonnées sphériques, on trouve : ⃗∇ × ⃗A = 10 cot(θ ) sin(φ )⃗er − 10 sin(φ )⃗eθ r r

En (r = 2, θ = π/2, φ = 0), on trouve : ⃗∇ × ⃗A = ⃗0 (r=2,θ =π/2,φ =0)

Corrigé exercice 17 :

Il suffit d’utiliser les définitions du gradient et du laplacien en coordonnées cartésiennes et de se rappeler que : ⃗r = x ⃗ex + y ⃗ey + z ⃗ez ⃗k = kx ⃗ex + ky ⃗ey + kz ⃗ez ⃗k ·⃗r = kx x + ky y + kz z k2 = kx2 + ky2 + kz2 Corrigé exercice 18 :

Il suffit d’utiliser les définitions de la divergence, du rotationnel et du laplacien en coordonnées cartésiennes et de se rappeler que : ⃗k · ⃗A = kx Ax + ky Ay + kz Az ⃗k × ⃗A = (ky Az − kz Ay )⃗ex + (kz Ax − kx Az )⃗ey + (kx Ay − ky Ax )⃗ez

16

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Chapitre 2 Electrostatique

Dans ce chapitre : — Loi de Coulomb — Le champ électrique — Principe de superposition — Le potentiel électrostatique — Le théorème de Gauss — Le vecteur excitation électrique — Equations de Poisson

Travaux Dirigés: Exercices corrigés

18

1

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

La loi de Coulomb Deux particules chargées, q et Q placées dans le vide exercent l’une sur l’autre une force appelée force d’interaction électrique. La force exercée par la charge Q sur la charge q est donnée par la loi de Coulomb :

q 

Q 

⃗FQ→q = q Q ⃗u 4πε0 r2

(2.1)

où ⃗u est le vecteur unitaire qui pointe de la position de Q vers la position de q ; r représente la distance séparant les deux charges et ε0 =

1 = 8.854 187 817 × 10−12 F m−1 −9 36π × 10

(2.2)

est la permittivité du vide.

2

Le champ électrique

La présence de la charge Q dans une région de l’espace crée dans cette région un champ électrique noté ⃗EQ qui est mis en évidence par la force agissant sur la charge q ; ce qui peut se traduire par la relation : ⃗FQ→q = q ⃗EQ

  Q 

 

(2.3)

Tenant compte de la loi de Coulomb, le champ électrique créé par la charge Q, dans une direction donnée par le vecteur unitaire ⃗u et à une distance r, est alors défini par : ⃗EQ =

Q ⃗u 4πε0 r2

(2.4)

Remarque : En raison de la réciprocité des interactions, la charge q exerce sur la charge Q une force ⃗Fq→Q = −FQ→q

(2.5)

Chapitre 2. Electrostatique

19

Il s’en suit que la charge q crée à la position occupée par Q un champ électrique ⃗Eq défini par : ⃗Eq = q ⃗u′ (2.6) 4πε0 r2 avec ⃗u′ = −⃗u. Par la suite, on notera le champ créé par une charge Q : ⃗E =

Q ⃗u 4πε0 r2

(2.7)

Dans le cas des phénomènes indépendants du temps ou stationnaires, le champ électrique est appelé champ électrostatique.

3

Principe de superposition

La présence de plusieurs charges Qi crée un champ électrique résultant égal à la somme vectorielle des champs électriques créés individuellement par chacune de ces charges : ⃗E = ∑ ⃗EQi = ∑ Qi ⃗ui = ∑ Qi ⃗ri 2 3 i i 4πε0 ri i 4πε0 ri

(2.8)

avec⃗ri = ri⃗ui . Le principe de superposition peut être généralisé au cas d’une distribution continue de charges. Dans ce cas on considère que la région occupée par les charges est constituée d’un ensemble de "petits" éléments chargés et la sommation peut alors s’écrire sous la forme d’une intégrale.

3.1

Champ électrique créé par une distribution linéique de charges électriques

B      P  A 

M 

En utilisant le principe de superposition, on considère de petits éléments de la distribution de charges de longueur dℓP , situés aux points P portant chacun une charge dQ = λ (P) dℓP où λ est la densité linéique locale de charge électrique. Le champ

20

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

électrique créé par une distribution linéique de charge de longueur ℓ est donné par : −→ Z PM λ (P) ⃗E (M) = (2.9) −→ dℓP (ℓ) 4πε0 ||PM||3

3.2

Champ électrique créé par une distribution surfacique de charges électriques

    P   

M 

Dans ce cas on considère de petits éléments de la distribution surfacique de charges de surface dSP ,situés aux points P et portant chacun une charge dQ = σ (P) dSP où σ (P) est la densité surfacique locale de charge électrique. Le champ électrique créé par une distribution surfacique de charge de surface S est donné par : → x σ (P) − PM ⃗E (M) = → 3 dSP 4πε0 ||− PM|| (S)

3.3

(2.10)

Champ électrique créé par une distribution volumique de charges électriques

Dans le cas d’une distribution continue de charges électriques dans un volume (τ) avec une   densité volumique de charge électrique ρ, on consiM    P  dère de petits éléments de la distribution volumique   de charges de volume dτP , situés aux points P et portant chacun une charge dQ = ρ(P) dτP . Le champ électrique créé par cette distribution volumique de charge est donné par : → y ρ(P) − PM ⃗E (M) = → 3 dτP 4πε0 ||− PM|| (τ)

(2.11)

Chapitre 2. Electrostatique

4 4.1

21

Propriétés du champ électrostatique Le potentiel électrostatique

Calculons le rotationnel du champ électrique ⃗E (M) donné par la précédente équation. → y ρ(P) − PM ⃗∇ × ⃗E (M) = ⃗∇ × (2.12) → 3 dτP 4πε0 ||− PM|| (τ) Comme on calcule le rotationnel au voisinage du point M, les dérivées partielles se calculent par rapport aux coordonnées (x, y, z) du point M, tandis que l’intégration se fait pour des éléments de volume portant les charges et situés aux points P ; l’intégration de volume se fait donc par rapport aux coordonnées (xP , yP , zP ) du point P. De ce fait, l’opérateur rotationnel ⃗∇× peut être introduit dans l’intégrale et on obtient alors : " # −→ y ⃗∇ × ρ(P) PM dτP ⃗∇ × ⃗E (M) = (2.13) → 3 4πε0 ||− PM|| (τ) les éléments ρ(P) et dτP sont indépendants de la position du point M et ne dépendent que de P, il s’en suit que l’équation précédente peut s’écrire : " −→ # y ρ(P) PM ⃗∇ × ⃗∇ × ⃗E (M) = (2.14) −→ 3 dτP 4πε0 || PM|| (τ) Or nous avons montré dans l’exercice résolu à la fin du premier chapitre que : " −→ # PM ⃗∇ × = ⃗0 (2.15) −→3 ||PM ||

Il s’en suit le résultat fondamental :

⃗∇ × ⃗E = ⃗0

(2.16)

Sachant que le rotationnel d’un gradient est nul (voir exercice du premier chapitre, on en déduit qu’il existe un champ scalaire appelé potentiel électrostatique U tel que : ⃗E = −⃗∇U (2.17)

22

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

A partir du résultat précédent on peut aisément montrer que : dU = −⃗E · d⃗ℓ

(2.18)

Par intégration, on peut montrer que le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle est : Q (2.19) U(⃗r) = 4πε0 r On dit que le champ électrostatique ⃗E dérive d’un potentiel. On peut écrire de manière équivalente que le champ électrostatique est à circulation conservative, c’est-à-dire qu’il satisfait la relation intégrale suivante (voir exercice du premier chapitre) : I ⃗E · d⃗ℓ = 0 (2.20) (Γ)

où (Γ) est un contour fermé quelconque orienté. Le principe de superposition peut être généralisé au calcul du potentiel électrostatique. — Potentiel électrostatique créé par une distribution discrète de charges U(M) = ∑ UQi = ∑ i

i

Qi 4πε0 ri

(2.21)

— Potentiel électrostatique créé par une distribution linéique de charges U(M) =

Z

λ (P) −→ dℓ (ℓ) 4πε0 ||PM||

(2.22)

— Potentiel électrostatique créé par une distribution surfacique de charges U(M) =

x (S)

σ (P) −→ dS 4πε0 ||PM||

(2.23)

— Potentiel électrostatique créé par une distribution volumique de charges U(M) =

y (τ)

ρ(P) −→ dτ 4πε0 ||PM||

(2.24)

Chapitre 2. Electrostatique

4.2

23

Le théorème de Gauss

Le champ électrostatique possède des propriétés très intéressantes. En effet considérons une charge ponctuelle Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur⃗rP qui crée en chaque point M (x, y, z) de l’espace qui l’entoure, un champ ⃗E (M) donné par : −→ PM Q ⃗E (M) = → 4πε0 ∥− PM∥3

(2.25)

Comme nous pouvons le constater, le champ ⃗E (M) possède une singularité en P. Considérons une surface fermée (S) telle que la charge Q se trouve à l’extérieur de cette surface. À l’intérieur du volume (τ) délimité par la surface (S) le champ ⃗E (M) ne possède pas de singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence de ⃗E (M). Or nous avons montré dans l’exercice résolu [ page 7 ] que : " −→ # PM ⃗∇ · =0 (2.26) −→ ||PM 3 || Il s’en suit le résultat : ⃗∇ · ⃗E = 0 Le flux à travers cette surface fermée est nul car : y { ⃗∇ · ⃗E dτ = 0 ⃗ ⃗ φE = E · dS = (S)

(2.27)

(2.28)

τ

Par contre, lorsque la charge Q se trouve à l’intérieur de la surface ⃗∇ · ⃗E n’est plus définie en (xP , yP , zP ). Pour contourner cette difficulté, on considère un volume limité par la surface extérieure (S) et par une petite sphère de rayon rB entourant la charge Q. Le volume τ − τB ne contient pas de charge ; ce volume est limité par la surface fermée constituée par la surface extérieure (S) et par la surface (SB ) en remarquant que le vecteur unitaire ⃗n doit être dirigé de l’intérieur vers l’extérieur du volume τ − τB . On exprime le flux de ⃗E à travers la surface (S) en l’écrivant sous la forme :

24

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

φE =

{

=

{

(S)

(S)

⃗E · d⃗S

(2.29)

⃗E · d⃗S −

{ (SB )

⃗E · d S⃗B +

{ (SB )

⃗E · d S⃗B

(2.30)

En utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradski, on obtient : y ⃗∇ · ⃗E dτ + φB φE =

(2.31)

τ−τB

où :

φB =

{ (SB )

⃗E · d S⃗B

(2.32)

est le flux de ⃗E à travers petite sphère (B) de volume τB et de rayon rB , entourant la charge ponctuelle Q. Dans ce cas : y ⃗∇ · ⃗E dτ = 0 (2.33) τ−τB

car la divergence est définie partout sur τ − τB . Il nous reste donc : { ⃗E · d S⃗B φE = φ B = (2.34) (SB )

Mais dans le cas d’une sphère, il est relativement facile de montrer que : { (SB )

⃗E · d S⃗B =

{ (SB )

E dSB = E

{ (SB )

dSB = E SB =

Q Q 2 4πr = (2.35) B ε0 4πε0 r2B

Le flux du champ électrostatique à travers une surface (S) fermée entourant une charge ponctuelle Q est donc égal à Q/ε0 . Ce raisonnement peut être reconduit au cas où la surface fermée (S) entoure un ensemble de charges Qi . D’où le théorème de Gauss pour le champ électrostatique : Le flux du champ électrostatique à travers une surface S fermée entourant un ensemble de charges ponctuelles Qi est égal à Q/ε0 , Q = ∑ Qi étant la i

Chapitre 2. Electrostatique

25

charge électrique totale contenue dans le volume τ limité par la surface fermée S. Cette relation constitue le théorème de Gauss pour le champ électrostatique qui, sous cette forme dite intégrale, s’écrit : { ⃗E · d⃗S = Q (2.36) ε0 (S)

Si la charge Q est répartie dans l’espace selon une densité volumique de charge ρ, nous avons : y Q= ρ dτ (2.37) (τ)

Le théorème de Gauss peut alors s’écrire : { y ⃗E · d⃗S = 1 ρ dτ ε0 (S)

(2.38)

(τ)

où (S) est une surface fermée quelconque orientée vers l’extérieur et (τ) est le volume intérieur à (S) . En utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradski, on peut écrire : { y ⃗∇ · ⃗E dτ ⃗E · d⃗S = (2.39) (S)

(τ)

Le théorème de Gauss étant vrai quel que soit le volume τ, on obtient l’équation aux dérivées partielles suivante qui constitue la forme locale du théorème de Gauss : ⃗∇ · ⃗E = ρ ε0

(2.40)

Cette équation relie ⃗E aux charges qui constituent les sources du champ électrostatique.

4.3

D Le vecteur excitation électrique ⃗

Dans le vide le vecteur excitation électrique ⃗D est défini par la relation : ⃗D = ε0 ⃗E Le théorème de Gauss pour ⃗D s’écrit sous la forme : ⃗∇ · ⃗D = ρ

(2.41) (2.42)

26

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

4.4

Equation de Poisson - Equation de Laplace

1 Sachant que ⃗E = −⃗∇U, le théorème de Gauss ⃗∇ · ⃗E = ρ devient : ε0 h i ⃗∇ · −⃗∇U = 1 ρ (2.43) ε0

Or le laplacien scalaire de U est défini par :

∇2U = ⃗∇ · ⃗∇U

(2.44)

D’où l’équation aux dérivée partielle satisfaite par le potentiel électrostatique U: ρ ∇2U = − (2.45) ε0 Cette équation aux dérivées partielles porte le nom de équation de Poisson pour U. En absence de charges électriques, ρ = 0 et on obtient alors l’équation de Laplace pour U : ∇2U = 0 (2.46) L’équation de Poisson pour le potentiel électrostatique U : ∇2U = −

ρ ε0

(2.47)

admet comme solution : U (M) =

y

ρ (P) −→ dτ 4πε0 ∥PM∥

(2.48)

Cette expression permet de calculer le potentiel scalaire U au point M (x, y, z) créé par une distribution de charges électriques dans un volume (τ) qui est découpé en éléments de volumes dτ localisés aux points P (xP , yP , zP ) où les charges sont définies localement par la densité volumique de charges ρ (xP , yP , zP ).

Chapitre 2. Electrostatique

5

27

En résumé Les deux équations fondamentales de l’électrostatique dans le vide sont : 1. Théorème de Gauss pour ⃗E : Forme locale ⃗∇ · ⃗E = ρ ε0 2. ⃗E conservatif : Forme locale ⃗∇ × ⃗E = ⃗0

Forme intégrale { y 1 ⃗E · d⃗S = ρdτ ε0 τ S

Forme intégrale I

Γ

⃗E · d⃗ℓ = 0

28

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Exercices Exercice 1 :

On donne ⃗E = β x ⃗ex ; déterminer le flux de ⃗E traversant une surface de S, perpendiculaire à l’axe des x à l’abscisse x0 . Application numérique :β = 10 mV m−2 , S = 1 m2 et x0 = 3 m2 Exercice 2 :

Déterminer le flux de ⃗E traversant une portion de surface de 1 mm2 , prise à la surface d’une enveloppe cylindrique, autour du point de coordonnées r = 10 m, z = 2 m , θ = 53.2◦ quand
⃗E = 2 x ⃗ex + 2 (1 − y) ⃗ey + 4 z ⃗ez mV m−1 Exercice 3 :

On donne en coordonnées cylindriques la répartition de charges suivantes
−2r −3 ρ = 5re C m . Utiliser le théorème de Gauss pour trouver ⃗E.

Exercice 4 :

Etant donné le champ électrique

⃗E = ε0 d r2 + z2


−3/2

(r ⃗er + z ⃗ez )

en coordonnées cylindriques, trouver la densité de charges. Exercice 5 :

Soit le champ électrique Q (1 − cos 3r) ⃗er πr2 ε0 exprimé en coordonnées sphériques, chercher la densité de charge. ⃗E =

Exercice 6 :

On considère un potentiel électrostatique donné en coordonnées cylindriques par :    U0 (β R − γr) r cos θ pour 0 ≤ r ≤ R U (r, θ ) =   U0 R cos θ pour r ≥ R r

où U0 est une constante positive, R étant une longueur. On donne β = 3 m−2 et γ = 2 m−2

Chapitre 2. Electrostatique

29

1. Préciser la dimension de la constante U0 . 2. Calculer les composantes du champ électrostatique ⃗E de ce potentiel en tout point M de l’espace. 3. En déduire la densité de charge ρ qui crée le champ électrostatique ⃗E. Exercice 7 :

La distribution spatiale du potentiel électrostatique est donnée par la fonction quadratique suivante : U (x, y) = −


ρ x2 + y2 4ε0

Vérifier que cette équation satisfait l’équation de Poisson. Exercice 8 :

La région de l’espace entre les plans conducteurs situés en x = 0 et x = d, contient une distribution uniforme de charges électriques de densité ρ. Les conditions aux frontières sont : U (x = 0) = 0 et U (x = d) = U0 . On néglige les effets de bord. Pour 0 ≤ x ≤ d, calculer : 1. Le potentiel électrostatique U (x), 2. Le champ électrique ⃗E .

Exercice 9 :

Trouver la fonction potentiel et le champ électrique dans la région comprise entre deux cylindres circulaires droits concentriques séparés par le vide. Le cylindre intérieur a pour rayon r1 et est au potentiel U(r1 ) = 0 V ; l’autre a pour rayon r2 et est au potentiel U(r2 ) = U0 . On néglige les effets de bords. Exercice 10 :

Soit deux sphères concentriques dont les rayons et les potentiels sont respectivement r1 , U(r1 ) = 0, pour la première sphère et r2, U(r2 ) = U0 pour la seconde sphère. En supposant qu’il y ait le vide entre les deux sphères concentriques, trouver ⃗E dans la région séparant les deux sphères.

30

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Exercice 11 :

z

Une région de l’espace vide de U2 = U 0 charges électriques est limitée par deux 0 = 1 r U plans conducteurs formant un angle droit. Le premier plan est le plan ×M(r, θ , z) xOz dont le potentiel électrostatique est z O U1 =0. Le second plan est le plan yOz, son potentiel étant U2 = U0 . On utiy θ lise un système de coordonnées cylin- x driques (r, θ , z). En raison de la symétrie de cette configuration, le potentiel ∂U ∂U électrostatique U ne dépend que de l’angle θ (i.e = = 0). ∂z ∂r 1. Etablir l’expression de U(θ ). 2. Calculer les composantes du champ électrostatique ⃗E. 3. Représenter les surfaces équipotentielles et les lignes de champ.

Chapitre 2. Electrostatique

31

Corrigés des exercices Corrigé exercice 1 :

Le fluxsdu champ électrostatique ⃗E à travers une surface (S) est défini par : Φ(⃗E/S) = S ⃗E ·⃗n dS Avec les données de l’exercice : ⃗E = β x⃗ex ,⃗n =⃗ex , dΦ = ⃗E ·⃗ndS = β x dS ⃗ D’où l’expression s du flux de E en s x = x0 : Φ(⃗E/S) = S β x0 dS = β x0 S dS = β x0 S Application numérique : Φ(⃗E/S) = 30 mV m Corrigé exercice 2 :

On remarque que les dimensions de la surface ∆S sont très petites devant la distance r ; ∆S peut donc être considérée une surface élémentaire et le flux élémentaire ∆Φ à travers la surface élémentaire ∆S s’écrit : ∆Φ = ⃗E ·⃗n ∆S. Les différents vecteurs exprimés dans le système de coordonnées cartésiennes (x, y, z) s’écrivent : — Champ électrique : ⃗E = 2x ⃗ex + 2(1 − y) ⃗ey avec x = r cos θ et y = r sin θ — Vecteur unitaire ⃗n normal à ∆S : ⃗n =⃗er = cos θ ⃗ex + sin θ ⃗ey 
 d’où ∆Φ = 2 r cos2 θ − sin2 θ + sin θ ∆S A.N : ∆Φ = −4.045 × 10−9 V m

Corrigé exercice 3 :

Avant de commencer la résolution d’un exercice, une bonne habitude consiste à introduire des paramètres pour remplacer les valeurs numériques. On pose α = 5 C m−4 et β = 2 m−1 . Pour calculer ⃗E, il faut utiliser la forme locale du théorème de Gauss : ⃗∇ · ⃗E = ρ . ε0 En coordonnées cylindriques, on obtient : ⃗∇ · ⃗E = 1 ∂ (rEr ) + 1 ∂ Eθ + ∂ Ez r ∂r r ∂θ ∂z On remarque que ρ ne dépend que de r et ne dépend ni de θ ni de z ; il s’en suit que ∂∂θ = ∂∂z = 0. Les plans θ = cte et z = cte sont donc des plans de symétrie pour la distribution de charges : en un point donné,le champ électrique appartient à l’intersection des plans θ = cte et z = cte passant par ce point,

32

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

il est donc radial. D’où Eθ = Ez = 0. En tenant compte de ces remarques, le théorème de Gauss se met sous la forme : 1 ∂ (rEr ) = αre−β r , soit r ∂r ∂ (rEr ) αr2 e−β r = ∂r ε0 Z r αr2 e−β r r Er = dr ε0 ∞ En intégrant par partie, on trouve
:
−β r 2 2 β r + 2β r + 2 αe 5 e−2 r 2 r2 + 2 r + 1 Er = − =− β 3 rε0 4 rε0 Corrigé exercice 4 :

La densité volumique de charge s’obtient à partir de la forme locale du théorème de Gauss : ρ = ε0 ⃗∇ · ⃗E. Ecrire l’expression de la divergence en coordonnées cylindriques : ⃗∇ · ⃗E = 1 ∂ (rEr ) + 1 ∂ Eθ + ∂ Ez r ∂r r ∂θ ∂z −3 On obtient ρ = 0 C m . Corrigé exercice 5 :

Même méthode que l’exercice 4 mais en coordonnées sphériques. ρ = ε0 ⃗∇ · ⃗E. avec 2 ⃗∇ · ⃗E = 1 ∂ (r Er ) + 1 ∂ (Eθ sin θ ) + 1 ∂ Eφ r2 ∂ r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ φ 3 Q sin(3 r) On obtient ρ = π r2 Corrigé exercice 6 :

1. V0 s’exprime en volts. 2. Pour obtenir l’expression du champ électrique ⃗E, il faut écrire les composantes du gradient dans un système de coordonnées cylindriques. Pour cela on utilise le résultat (Voir Annexe A) : ⃗∇U = ∂U ⃗er + 1 ∂U ⃗eθ + ∂U ⃗ez r ∂θ ∂r ∂z L’expression ⃗E = −⃗∇V donne : r ≤ R : ⃗E = −U0 (β R − 2γr) cos θ ⃗er +U0 (β R − γr) sin θ ⃗eθ

Chapitre 2. Electrostatique

33

⃗E = U0 R cos θ ⃗er + U0 R sin θ ⃗eθ r2 r2 3. Pour calculer ρ, on peut utiliser deux méthodes r≥R:

— Utiliser l’équation de Poisson : ρ = −ε0 ∇2U qui s’écrit en coordonnées cylindriques :    2U 2U  ∂U ∂ ∂ ∂ r + r12 ρ = −ε0 1r + 2 ∂r ∂r ∂θ2 ∂z — ou bien utiliser la forme locale du théorème de Gauss : ρ = ε0⃗∇ · ⃗E qui s’écrit :   en coordonnées cylindriques ∂ (r Er ) 1 ∂ Eθ ∂ Ez +r + ρ = ε0 1r ∂r ∂θ ∂z

On vérifie que les deux méthodes donnent le même résultat. r≤R: ρ = 3γU0 ε0 cos θ = 6U0 ε0 cos θ r≥R: ρ =0 Corrigé exercice 7 :

Il suffit de vérifier que : ∇2U = − ερ0 en utilisant l’expression du laplacien d’un champ scalaire en coordonnées cartésiennes : ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U 2 ∇U= + 2 + 2 = − ερ0 2 ∂x ∂y ∂z

Corrigé exercice 8 :

1. En coordonnées cartésiennes, l’équation de Poisson ∇2U = − ερ0 , s’écrit : ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + 2 + 2 = − ερ0 2 ∂x ∂y ∂z

Comme on néglige les effets de bord,

∂ ∂ = =0: ∂y ∂z

∂ 2U ρ = − ∂ x2 ε0 ρ étant uniforme, ne dépend pas de x d’où la solution de l’équation de Poisson : ρ 2 x +C1 x +C2 U =− 2ε0 Pour calculer C1 et C2 , on exprime les conditions aux limites,

34

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques 

U(x = 0) = 0 U(x = d) = U0     ρ ρd U0 2 On trouve : U(x) = − 2 ε0 x + d + 2 ε0 x

2. Sachant qu’en coordonnées cartésiennes : ⃗E = −⃗∇U = − ∂U ⃗ex − ∂U ⃗ey − ∂U ⃗ez , ∂x ∂y ∂z h i ρ ρd U 0 on obtient : ⃗E = Ex = x− − ⃗ex ε0

d

2ε0

Corrigé exercice 9 :

Pour trouver U(r), il faut résoudre l’équation de Laplace ∇2U = 0. On utilise l’expression du laplacien de U en coordonnées cylindriques (voir Annexe A). En raison de la symétrie U ne dépend ni de θ ni de z. L’équation de Laplace  s’écrit : ∂U 1 ∂ r =0 r ∂ r ∂  r ∂ ∂U r =0 ∂r ∂r ∂U d’où r = C1 ∂r ∂U C1 = ∂r r et U = C1 ln r +C2 L’écriture des conditions aux limites :  U(r1 ) = 0 U(r2 ) = U0 permet d’obtenir le résultat : r U0 ln ( ) pour r1 ≤ r ≤ r2 U(r) = r2 r 1 ln ( ) r1 Pour calculer ⃗E, il suffit d’écrire ⃗E = −⃗∇U en coordonnées cylindriques. On obtient : ⃗E = Ur0 1 ⃗er ln( r21 ) r

Chapitre 2. Electrostatique

35

Corrigé exercice 10 :

On ne peut pas utiliser le théorème de Gauss. Comme on connait le potentiel sur les 2 sphères, il faut d’abord résoudre l’équation de Laplace en coordonnées sphériques, calculer les constantes d’intégration en tenant compte des conditions aux frontières puis calculer ⃗E à partir de ⃗E = −⃗∇U en coordonnées sphériques. ∂ ∂ En raison de la symétrie sphérique : = = 0 et l’équation de La∂θ ∂φ place s’écrit  :  1 ∂ 2 ∂U r =0 r2 ∂ r ∂r d’où  ∂ 2 ∂U r =0 ∂r ∂r ∂U r2 = C1 ∂r ∂U C1 = 2 ∂r r C1 U(r) = − +C2 r En tenant compte des conditions aux frontières  U(r1 ) = 0 U(r2 ) = U0 i r2U0 h r1 −1 on obtient : U(r) = r1 − r2 r En écrivant ⃗E = −⃗∇U en coordonnées sphériques, on obtient le champ électrique : ⃗E = r1 r2U0 ⃗er r2 (r1 − r2 ) Corrigé exercice 11 :

1. ∇2U = 0 2. En coordonnées cylindriques : ∂U 1 ∂ 2U = C1 =⇒ U = C1 θ +C2 = 0 =⇒ r2 ∂ θ 2 ∂θ U(θ = 0) = 0 =⇒ C2 = 0
2U0 π =⇒ U = U θ = π2 = C1 +C2 =⇒ C1 = 2 π

2U0 π

θ

3. ⃗E = −⃗∇U

 ∂U   Er = − ∂ r En coordonnées cylindriques : ⃗E = Eθ = − 1r ∂U ∂r   E = − ∂U z ∂z

= 0 = − 2πUr0 = 0

Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique

Dans ce chapitre : — Electrocinétique et magnétostatique — Le champ magnétique — Le vecteur excitation magnétique — Le potentiel vecteur — Jauge de Coulomb — Equation de Poisson — La loi de Biot-Savart

Travaux Dirigés: Exercices corrigés

38

1

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Electrocinétique - Vecteur densité de courant

Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant ⃗j , le vecteur tangent à la ligne de courant, défini par : ⃗j = ρm ⃗vm

(3.1)

où ρm est la densité volumique de charges mobiles et ⃗vm la vitesse d’entraînement de ces charges mobiles. Le module de ce vecteur représente la charge qui traverse, par unité de temps, l’unité de surface perpendiculaire à la direction de déplacement des charges mobiles ; il s’exprime en A m−2 . Le courant I traversant une surface   (S) quelconque est le flux de ⃗j à travers cette surface :   x   ⃗j ·⃗n d⃗S I= (3.2) S

En régime stationnaire, c’est-à-dire lorsque le vecteur densité de courant ⃗j est indépendant du temps, le flux de ⃗j est conservatif ce qui se traduit par les relations intégrale et locale : { ⃗j ·⃗n d⃗S = 0 (3.3) ⃗∇ · ⃗j = 0

(3.4)

Densité de courant surfacique : Lorsqu’un courant se trouve, à l’échelle macroscopique, étendu sur une surface, on parle de densité de courant surfacique. On dit qu’un courant admet une densité surfacique ⃗jS de courant sur une surface S si l’épaisseur ∆e de la couche où circulent les charges mobiles de densité volumique ρm est très inférieure aux dimensions latérales de la surface S. La densité de courant surfacique est donnée par : ⃗jS =

Z ∆e 0

⃗j de

(3.5)

où l’intégrale est faite sur l’épaisseur ∆e, c’est-à-dire dans une direction orthogonale à la surface considérée. L’unité de ⃗jS est le A m−1 car son unité est celle de ⃗j multipliée par une longueur.

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

Ainsi le courant électrique qui parcourt une surface S est égal au flux du vecteur densité surfacique de courant à travers une ligne. L’intensité passant à travers une ligne [AB] contenue dans la surface S s’écrit :

B     

  A 

39

 

IS =

Z B A

⃗jS ·⃗n dℓ

(3.6)

où dℓ est l’élément de longueur de la ligne [AB] et⃗n est un vecteur unitaire tangent à la surface S et normal à la ligne [AB] en tout point.

2 2.1

Magnétostatique Introduction

La force agissant sur une charge ponctuelle q dépend généralement non seulement de la position de cette charge mais également de sa vitesse ⃗v. Cette force ⃗F est décomposée en deux composantes, la composante électrique ⃗Fe (qui ne dépend pas de la vitesse de la charge) et la composante magnétique ⃗Fm (qui dépend de la vitesse de la charge). Toutes les propriétés de la force magnétique peuvent être décrites par l’introduction de la notion de champ magnétique noté usuellement ⃗B qui s’exprime en tesla (T). La force magnétique ⃗Fm est décrite par : ⃗Fm = q⃗v × ⃗B (3.7) La force résultante agissant sur la particule chargée est appelée force de Lorentz ; elle s’écrit : h i ⃗F = ⃗Fe + ⃗Fm = q ⃗E +⃗v × ⃗B (3.8)

Cette définition est universelle, elle s’applique aussi bien pour les champs stationnaires que pour les champs dépendant du temps et quelle que soit la vitesse ⃗v. Dans l’approximation non relativiste la force de Lorentz comme toute autre force, ne dépend pas du référentiel d’inertie choisi. Par contre sa décomposition en composante électrique et composante magnétique n’a de signification que si le référentiel d’inertie utilisé est explicitement défini. L’expression de la force de Lorentz peut être considérée comme la définition du champ électrique ⃗E et du champ magnétique ⃗B. Le champ magnétique

40

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

⃗B, contrairement au champ électrique ⃗E, n’exerce aucune force sur une charge immobile.

2.2

Le champ magnétique

Les expériences montrent que le champ magnétique est créé par des particules chargées en mouvement (courants électriques). Le champ magnétostatique ⃗B obéit à deux lois : 1. Le champ magnétique ⃗B créé par un courant I est donné par le théorème d’Ampère : I ⃗B · d⃗ℓ = µ0 I (3.9) Γ

où Γ est une courbe fermée quelconque traversée par le courant électrique I. µ0 = 4π × 10−7 H m−1

est la perméabilité magnétique du vide. Si le courant I correspond à une distribution de charges électriques mobiles définissant un vecteur densité de courant ⃗j, alors le courant I encerclé par la boucle fermée Γ est le flux de ⃗j à travers une surface quelconque délimitée par Γ : x ⃗j · d⃗S I= (3.10) S

Le théorème d’ampère s’écrit alors : I

Γ

⃗B · d⃗ℓ = µ0

x S

⃗j · d⃗S

En tenant compte du théorème de Stokes : I x ⃗∇ × ⃗B · d⃗S ⃗ ⃗B · d ℓ = Γ

on obtient

x S

(3.11)

(3.12)

S

⃗∇ × ⃗B · d⃗S = µ0

x S

⃗j · d⃗S

(3.13)

Cette égalité étant vraie quelle que soit la surface S, on obtient la forme locale du théorème d’Ampère qui s’écrit : ⃗∇ × ⃗B = µ0 ⃗j

(3.14)

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

41

2. Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée S quelconque est nul. On dit que le champ magnétostatique est à flux conservatif. Cette propriété est traduite par l’intégrale suivante : { ⃗B · d⃗S = 0 (3.15) S

En tenant compte du théorème de Gauss-Ostrogradski, on obtient l’équation du flux magnétique : ⃗∇ · ⃗B = 0 (3.16)

2.3

Le vecteur excitation magnétique

⃗ (A m−1 ) défini par : En introduisant le vecteur excitation magnétique H ⃗B ⃗ H= µ0

(3.17)

le théorème d’Ampère devient x x ⃗∇ × H ⃗ · d⃗S = ⃗j · d⃗S

(3.18)

S

ou encore sous la forme locale ⃗∇ × H ⃗ = ⃗j

2.4

(3.19)

Potentiel vecteur ⃗ A

Jauge de Coulomb

Sachant que ⃗∇ · ⃗B = 0 et que la divergence du rotationnel d’un champ vectoriel est nulle, on en déduit qu’il existe un champ vectoriel ⃗A appelé potentiel vecteur tel que : ⃗B = ⃗∇ × ⃗A (3.20) Ce potentiel vecteur n’est pas défini de manière unique. En effet considé⃗ ′ tel que : rons un autre champ vectoriel A ⃗ ′ = ⃗A + ⃗∇φ A

(3.21)

42

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Calculons le champ magnétostatique ⃗B′ associé à ⃗A′ :   ⃗B′ = ⃗∇ × ⃗A′   ⃗ ⃗ ⃗ = ∇ × A + ∇ × ⃗∇φ = ⃗∇ × ⃗A = ⃗B

car le rotationnel du gradient d’un champ vectoriel est égal à zéro. ⃗ ′ = ⃗A + ⃗∇φ qui ne Nous voyons donc que les deux potentiels vecteurs ⃗A et A diffèrent que par ⃗∇φ conduisent au même champ magnétostatique ⃗B. On dit que le potentiel vecteur est défini à un gradient près. Pour définire ⃗A de manière unique, il faut imposer une condition supplémentaire à ⃗A. Cette condition est appelée condition de jauge. La plus utilisée en magnétostatique est la condition de jauge de Coulomb qui s’écrit ⃗∇ · ⃗A = 0

(3.22)

Equation de Poisson pour ⃗ A

En remplaçant ⃗B par ⃗B = ⃗∇ × ⃗A dans le théorème d’Ampère : ⃗∇ × ⃗B = µ0⃗j et en tenant compte de la jauge de Coulomb ⃗∇ · ⃗A = 0, on obtient   ⃗∇ × ⃗∇ × ⃗A = µ0⃗j   ⃗∇ ⃗∇ · ⃗A − ∇2⃗A = µ0⃗j −∇2⃗A = µ0⃗j

(3.23)

(3.24) (3.25) (3.26)

Ce résultat constitue l’équation de Poisson pour le potentiel vecteur : ∇2⃗A = −µ0⃗j

(3.27)

En absence de courants, on obtient l’équation de Laplace pour ⃗A : ∇2⃗A = ⃗0

(3.28)

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

2.5

43

La loi de Biot-Savart

La loi de Biot-Savart pour ⃗ A

Pour trouver une solution à l’équation de Poisson pour ⃗A, nous procéderons par analogie avec la solution obtenue dans le cas de l’électrostatique pour le potentiel électrostatique. L’équation de Poisson pour le potentiel électrostatique U : ρ ∇2U = − (3.29) ε0 admet comme solution : y ρ (P) U (M) = (3.30) −→ dτ 4πε0 ∥PM∥ De même, l’équation vectorielle pour ⃗A, peut s’écrire comme un ensemble de trois équations aux dérivées partielle pour chacune des composantes Ax , Ay et Az de ⃗A :  2  ∇ Ax = −µ jx (3.31) ∇2 Ay = −µ jy  2 ∇ Az = −µ jz Chacune de ces équations scalaires admet, par analogie avec la solution pour le potentiel scalaire, une solution sous la forme :  y µ j (P)  0 x  Ax (M) =  −→ dτ   4π∥ PM∥       y µ j (P)  0 y Ay (M) = (3.32) −→ dτ  4π∥ PM∥       y µ j (P)   0 z   −→ dτ  Az (M) = 4π∥PM∥

Ce qui peut s’écrire sous une forme vectorielle qui constitue la loi de BiotSavart pour le potentiel vecteur : ⃗A (M) =

y µ ⃗j (P) 0 −→ dτ 4π∥PM∥

(3.33)

44

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques Dans un système de coordonnées cartésiennes, la loi de Biot-Savart s’écrit : ⃗A (x, y, z) =

y

µ0 ⃗j (xP , yP , zP ) p dτ 4π (x − xP )2 + (y − yP )2 + (z − zP )2

(3.34)

Cette expression permet de calculer le potentiel vecteur ⃗A au point M (x, y, z) créé par une distribution de courants électriques dans un volume (τ) qui est découpé en éléments de volumes dτ localisés aux points P (xP , yP , zP ) où les courants sont définis localement par le vecteur densité de courant ⃗j (xP , yP , zP ). Loi de Biot-Savart pour le champ magnétique ⃗ B

Le champ magnétique ⃗B peut être obtenu à partir du potentiel vecteur ⃗A à partir de : ⃗B = ⃗∇ × ⃗A (3.35) y µ0 ⃗j (xP , yP , zP ) ⃗ ⃗B = ∇ × p dτ (3.36) 2 2 2 4π (x − xP ) + (y − yP ) + (z − zP )

Le rotationnel étant calculé autour du point M, les opérations de dérivation se font par rapport aux coordonnées x, y et z. Comme l’intégration se fait par rapport aux coordonnées xP , yP et zP , nous pouvons écrire : ⃗B =

y

Rappelons que : d’où ⃗∇ ×

⃗∇ ×

µ0 ⃗j (xP , yP , zP ) p dτ 4π (x − xP )2 + (y − yP )2 + (z − zP )2 ⃗∇ × ( f⃗u) = ⃗∇ f ×⃗u + f ⃗∇ ×⃗u

⃗j (xP , yP , zP )

p (x − xP )2 + (y − yP )2 + (z − zP )2 ⃗∇

!

(3.37)

(3.38)

= !

1 p × ⃗j(P) 2 2 2 (x − xP ) + (y − yP ) + (z − zP ) 1 ⃗∇ × ⃗j(P) (3.39) +p 2 2 2 (x − xP ) + (y − yP ) + (z − zP )

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique or ⃗∇

1

p (x − xP )2 + (y − yP )2 + (z − zP )2

!

45

−→ PM = − −→ ∥PM∥3

(3.40)

De plus, comme on calcule le rotationnel en dérivant par rapport à x, y et z et que ⃗j(P) ne dépend que de xP , yP et zP : ⃗∇ × ⃗j(P) = ⃗0

(3.41)

on obtient la loi de Biot-Savart pour le champ magnétique ⃗B → ⃗ y − PM × j(P) µ 0 ⃗B = − − → 3 dτ 4π ∥PM∥

(3.42)

−→ Si on appelle ⃗u le vecteur unitaire du vecteur PM, l’équation ci-dessus devient : y ⃗u × ⃗j(P) ⃗B = − µ0 (3.43) −→ dτ 4π ∥PM∥2 y ⃗j(P) ×⃗u ⃗B = µ0 −→ dτ 4π ∥PM∥2

(3.44)

Cette dernière expression constitue la loi de Biot-Savart pour le champ magnétique ⃗B ; elle exprime le champ magnétique créé au point M par les vecteurs densité de courants ⃗j(P) localisés aux point P à l’intérieur du volume τ. Une expression pratique plus intéressante peut être obtenue pour calculer ⃗B en fonction B    du courant I. En effet, on peut simplifier cette   M  intégrale dans le cas de courants filiformes (le   conducteur filiforme est orienté dans le sens P  du courant) : A 

⃗B = µ0 I 4π

Z

d⃗ℓP ×⃗u −→ ΓAB ∥PM∥2

(3.45)

46

3

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

En résumé

L’ensemble des propriétés du champ magnétique est contenu dans les deux seules équations locales de Maxwell dans lesquelles il est présent. Dans le vide, les deux équations fondamentales de la magnétostatique sont : 1. Théorème de Gauss-flux Forme locale ⃗∇ · ⃗B = 0

Forme intégrale { ⃗B · d⃗S = 0

S f ermee ´

2. Théorème d’Ampère Forme locale

Forme intégrale

⃗∇ × ⃗B = µ0 ⃗j

I

Γ

⃗B · d⃗ℓ = µ0

x S

⃗j · d⃗S

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

47

Exercices Exercice 1 :

       

Un courant d’intensité IT , parcourt un filament le long de l’axe des z et pénètre une fine nappe conductrice en z = 0. Exprimer le vecteur densité de courant surfacique ⃗jS pour cette nappe.

Exercice 2 :

Trouver l’intensité du courant qui traverse la surface d’une sphère de rayon r centrée à l’origine, sachant que le vecteur densité de courant est donné par : ⃗j = I0 sin (θ ) ⃗er . r2 Exercice 3 :

Dans un conducteur cylindrique de 2 mm de rayon, la densité de courant
varie avec la distance à l’axe d’après la relation j = 103 e−400r A m−2 . Trouver l’intensité totale du courant.

Exercice 4 :

Calculer le champ magnétique ⃗B dans la région entourant un courant filiforme rectiligne infiniment long, d’intensité I. En déduire le potentiel vecteur ⃗A. Exercice 5 :

Un conducteur cylindrique creux de faible épaisseur, de rayon a et de longueur infinie est parcouru par un courant d’intensité I. Trouver ⃗B en tout point, à l’aide du théorème d’Ampère. Exercice 6 :

A l’aide du théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique ⃗B créé par un conducteur cylindrique plein, de rayon a, parcouru par un courant d’intensité I, uniformément réparti à travers la section droite.

Exercice 7 :

Dans un système de coordonnées cylindriques, la densité de courant est  −2r −2 0 < r < 0.5m ⃗j = 4.5 e ⃗ez A m ⃗0 partout ailleurs

48

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques Trouver le champ magnétique ⃗B par le théorème d’Ampère.

Exercice 8 :

Le champ magnétique ⃗B en tout point intérieur à un conducteur cylindrique de rayon r0 est donnée par :   1 r β µ 0 ⃗B = sin (ar) − cos (ar) ⃗eθ r a2 a Trouver l’intensité totale du courant dans le conducteur. Exercice 9 :

Dans le vide en coordonnées cylindriques (r, θ , z) d’axe 0z , le vecteur champ magnétique ⃗B en un point M de l’espace est ⃗B(M) = Bθ ⃗eθ avec :   r 2   pour r < a  B0 a Bθ =      B a pour r > a 0 r où B0 est une constante. 1. Déterminer la densité volumique de courant ⃗j qui a créé ce champ magnétique en tout point M de l’espace. 2. Calculer l’intensité du courant électrique qui traverse une surface S perpendiculaire à 0z, délimitée par le cercle C de centre 0 et de rayon r, pour r < a et pour r > a. Exercice 10 :

Calculez le champ magnétique associé au potentiel vecteur exprimé en coordonnées cylindriques (r, θ , z) par : ⃗A(r) = − µ0 ln r⃗ez 2π où r est la distance par rapport à l’axe Oz. Exercice 11 :

Calculez le champ magnétique associé au potentiel vecteur exprimé dans un système de coordonnées cylindriques (r, θ , z) par : ⃗A(r) = A0⃗eθ Quelle densité de courant est à l’origine de ce champ magnétique ?

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

49

Exercice 12 :

Soient A0 une constante et (⃗er ,⃗eθ ,⃗ez ) la base de vecteurs unitaires du repère local en coordonnées cylindriques. 1. Calculer le champ magnétique ⃗B associé au potentiel vecteur

z  a 

a  y x 

⃗A = A0 r sin θ ⃗ez .

θ

2. Calculer le flux de ⃗B à travers la surface de la spire carrée de côté a contenant l’axe Oz et faisant un angle θ avec l’axe Ox. Exercice 13 : z M

O x

y a P

On dispose d’une spire circulaire de centre O, de rayon a, d’axe (Oz), parcourue par un courant I. On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire (i.e OM ≫ a ).

1. Calculer le potentiel vecteur d⃗A créé au point M par un élément d⃗ℓP de la spire situé en un point courant P. 2. En déduire les composantes du potentiel vecteur ⃗A(M) créé par cette spire. 3. En déduire les composantes du champ magnétique ⃗B créé par cette spire. 4. Comparer la forme de ces expressions avec les expressions du champ électrique créé par un dipôle électrostatique.

50

Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

Corrigés des exercices Corrigé exercice 1 :

Le courant IT est égal au courant IS qui s’écoule sur la surface. Sachant que : H IS = ⃗jS ·⃗n dℓ avec ⃗jS = jS ⃗er , ⃗n =⃗er et dℓ = r dθ . On obtient : IT =

Z 2π 0

jS r dθ = 2πr jS .

D’où : jS =

IT 2πr

Corrigé exercice 2 :

Par définition le courant électrique qui traverse la surface de la sphère de rayon r0vest : I = ⃗j ·⃗n dS, sin θ avec ⃗j = I0 2 ⃗er , ⃗n =⃗er et dS = r2 sin θ dθ dϕ. Z Zr I=

ϕ=2π

ϕ=0

θ =π

θ =0

I0 sin2 θ dθ dϕ = π 2 I0 .

Corrigé exercice 3 :

On pose : j0 = 103 A m−2 et β = 400 m−1 Par définition le courant électrique qui traverse la section du fil de rayon a est : x ⃗j ·⃗n dS, I= (S)

⃗j = j0 e−br ⃗ez , ⃗n =⃗ez , dS = r dr dθ I=

Z 2π Z a 0

0

−β r

j0 e

rdrdθ = 2π j0

Z a 0

On intègre"par partie et on obtient # : 1 − (1 + β a) e−β a I = 2 π j0 β2 Application numérique : I = 0.007 A

j0 e−β r rdr

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

51

Corrigé exercice 4 :

⃗A

z r

·r O

x

θ

M z

⃗B y

Le plan z = cte passant par le point où l’on veut calculer le champ magnétique ⃗B est un plan d’anti-symétrie (i.e symétrie négative) pour le vecteur densité de courant, il s’en suit que le champ ⃗B est contenu dans ce plan. Pour le vecteur ⃗j, le plan θ = cte est un plan de symétrie, il s’en suit que le champ magnétique ⃗B est perpendiculaire à ce plan. La seule composante non nulle de ⃗B est donc Bθ , d’où : ⃗B = Bθ⃗eθ . De même pour des raisons de symétrie, le potentiel vecteur ⃗A est perpendiculaire au plan z = cte et est contenu dans le plan θ = cte, on en déduit que : ⃗A = Az ⃗ez Pour calculer le champ magnétique ⃗B on peut utiliser la forme intégrale du théorème d’Ampère : s H ⃗B · d⃗ℓ = µ0 ⃗j ·⃗n dS. Pour le membre de gauche, on choisit un cercle d’axe Oz et de rayon r car, en raison de la symétrie Bθ est constante sur ce cercle. De plus d⃗ℓ = r dθ⃗eθ . Le théorème d’Ampère s’écrit : Z 2π 0

Bθ r dθ = µ0 I

µ0 I 2πr Pour le calcul du potentiel vecteur, on écrit la relation ⃗B = ⃗∇ × ⃗A en coordonnées cylindriques en tenant compte du fait, qu’en raison de la symétrie, ∂ Az Br = Bz = 0 et que Aθ = Ar = 0. On obtient l’équation : Bθ = − , soit : ∂r d’où ⃗B =

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Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques

∂ Az 0 I = − µ2πr ∂r µ0 I ln r + f (r) Az = − 2π Comme le potentiel vecteur est défini à un gradient près, on peut considérer la fonction f (r) comme étant la composante selon z du gradient d’une fonction arbitraire ; elle peut être choisie arbitrairement comme étant une constante C. µ0 I Az = − ln r +C 2π Pour choisir C on peut convenir, de manière arbitraire, que le potentiel vecteur est nul lorsque r = r0 , il s’en suit que : µ0 I C= ln r0 , 2π d’où l’expression de Az : µ0 I r0
ln r Az = 2π Autre méthode : z r N O ℓ x

θ

⃗A(r) ⃗A(r + dr) P

M

Q

⃗B y

dr ⃗B = ⃗∇ × ⃗A, on utilise le théorème de Stokes pour écrire Sachant que : x I   x ⃗∇ × ⃗A ·⃗n dS = ⃗A · d⃗ℓ ⃗B ·⃗n dS = S

S

C

On choisit comme contour C , le petit rectangle situé à la distance r du fil et de petite largeur dr ; le grand côté de ce rectangle est parallèle au fil, et sa longueur est ℓ. s D’où : ⃗B = Bθ ⃗eθ , ⃗n = ⃗eθ et (S) ⃗B ·⃗n dS = Bθ ℓ dr Pour respecter la convention de signe du théorème de Stokes, le contour C est constitué du parcours MNPQM. R R Sur MN : ⃗A = Az (r) ⃗ez , d⃗ℓ = dz ⃗ez , MN ⃗A · d⃗ℓ = zz+ℓ Az (r)dz = Az (r)ℓ

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

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R

sur NP : ⃗A = Az ⃗ez , d⃗ℓ = dℓ ⃗er et MN ⃗A · d⃗ℓ = 0 Sur PQ : ⃗A = Az (r + dr) ⃗ez , d⃗ℓ = dz ⃗ez R R ⃗A · d⃗ℓ = z Az (r + dr)dz = −Az (r + dr)ℓ PQ z+ℓ R ⃗A · d⃗ℓ = 0 Sur QM : ⃗A = Az ⃗ez , d⃗ℓ = dℓ ⃗er et QM

D’où H ⃗A · d⃗ℓ = −ℓ [Az (r + dr) − Az (r)] = −ℓ ∂ Az dr C ∂r En remplaçant chaque membre du théorème de Stokes par son expression, ∂ Az 0 I = − µ2πr obtient finalement : ∂r
µ0 I ln rr0 d’où Az = 2π Remarque : Il faut vérifier que : ⃗∇ · ⃗B = 0 (Equation de conservation du flux de ⃗B) et que ⃗∇ · ⃗A = 0 (Jauge de Coulomb) Corrigé exercice 5 :

On procède de la même manière que pour l’exercice précédent. Pour les mêmes raisons de symétrie : ⃗B = Bθ ⃗eθ . Pour calculer ⃗B on utilise la forme intégrale du théorème d’Ampère. On choisit comme contour d’intégration C un cercle dont l’axe est Oz et dont le rayon est r. On remarque que si r < a le courant qui traverse la surface intérieure de C est nul tandis que pour r > a le courant qui traverse la surface intérieure à C est égal à I. D’où :  si r < a  ⃗0 ⃗B =  µ0 I si r > a 2πr ⃗eθ Corrigé exercice 6 :

Comme pour les deux exercices précédents, on utilise la forme intégrale du théorème d’Ampère. En raison de la symétrie, le champ magnétique ⃗B s’écrit : ⃗B = Bθ⃗eθ . Le théorème d’Ampère s’écrit : s H ⃗ℓ = µ0 ⃗j ·⃗n dS. ⃗ B · d C S H ⃗B · d⃗ℓ = 2πrBθ . C

Pour le second membre du théorème d’Ampère, on doit considérer 2 cas :

⃗j · dS = j π r2 avec j = I S πa2 s — r > a : S ⃗j · dS = j π a2 = I

— r a

— le plan θ = cte est un plan de symétrie ⇒ le champ magnétique ⃗B est perpendiculaire à ce plan. — Le plan z = cte est un plan d’anti-symétrie (i.e symétrie négative), le champ ⃗B est contenu dans ce plan. La seule composante non nulle de ⃗B est donc Bθ : ⃗B = Bθ⃗eθ . Pour calculers⃗B, on utilise la forme intégrale du théorème d’Ampère H ⃗B · d⃗ℓ = µ0 ⃗j ·⃗n dS. Pour le membre de gauche, on choisit un cercle d’axe Oz et de rayon r car, en raison de la symétrie Bθ est constante sur ce cercle. De plus d⃗ℓ = r dθ⃗eθ . R 2π R r R 2π Le théorème d’Ampère s’écrit : 0 Bθ r dθ = 0 0 j r dr dθ Une intégration par partie permet de montrer que :  9 µ0 (e−2 r (2 r+1)−1)  si r < 0.5  − 8r Bθ =   9 µ0 (e−1 − 12 ) − si r > 0.5 4r

Exercice : Refaire le calcul en utilisant la forme locale du théorème d’Ampère ⃗∇ × ⃗B = µ0⃗j. Conclusion. Corrigé exercice 8 :

On utilise la forme locale du théorème d’Ampère : ⃗∇ × ⃗B = µ0⃗j pour obtenir : ⃗j = 1 ⃗∇ × ⃗B µ0 On calcule ⃗∇ × ⃗B en coordonnées cylindriques, on obtient : ⃗j = β sin (a r) ⃗ez Le calcul du courant I parcourant le conducteur cylindrique est donné par : Z 2π Z r0 x ⃗j ·⃗n dS = jz r dr dθ I= S

I=

θ =0 r=0

2πβ [sin(a r0 ) − a r0 cos(a r0 )] a2

Chapitre 3. Electrocinétique et magnétostatique

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Corrigé exercice 9 :

1. Pour calculer ⃗j on utilise la forme locale du théorème d’Ampère : ⃗ ⃗ ⃗∇ × ⃗B = µ0 ⃗j =⇒ ⃗j = ∇ × B µ0  j = 0    r jθ = 0 1 ∂ (r Bθ )    jz = µ0 r ∂r 3r • r < a : jz = µ0 a2 • r < a : jz = 0 Z r Z 2π x ⃗j ·⃗n dS = jz r dr dθ 2. I = S

r=0 θ =0

2π 3 r µ0 a2 2π a •r>a:I= µ0 •r