Einführung in die Wärmeübertragung: Für Maschinenbauer, Verfahrenstechniker, Chemie-Ingenieure, Chemiker, Physiker ab 4. Semester [5. Aufl.] 978-3-528-43314-7;978-3-663-14149-5

Table of contents :
Front Matter ....Pages II-VIII
Wärmeaustauschapparate (Ernst-Ulrich Schlünder)....Pages 1-78
Analyse und Berechnung von Wärmeübertragungskoeffizienten (Ernst-Ulrich Schlünder)....Pages 79-177
Übungsaufgaben (Ernst-Ulrich Schlünder)....Pages 179-199
Back Matter ....Pages 200-226

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Ernst-Ulrich Schlünder

Einführung in die Wärmeübertragung für Maschinenbauer, Verfahrenstechniker, Chemie-Ingenieure, Chemiker, Physiker ab 4. Sem Fifth Edition

Aus dem Programm Technische Thermodynamik

Grundlegende Literatur: Berkeley Physik Kurs, Band 5 Statistische Physik, von F. Reif Grundlagen der Technischnischen Thermodyn amik, von N. Elsner Physikalische Chemie, von G. M. Barrow Konvektive r Impuls-, Wärme- und Stoffaustausch, von M. Jischa

Einführung in die Wärmeübertragung von E.-U. Schlünder

Ergänzende Literatur: Chemische Thermodyn amik, von W. Wagner Statistische Thermodyn amik, von F. Schrödinger Thermodyn amik 2 Bände, von H. Stumpf und A. Rieckers

Vieweg

Ernst-Uirich Schlünder

Einführung in die Wärmeübertragung Für Maschinenbauer, Verfahrenstechniker, Chemie-Ingenieure, Chemiker, Physiker ab 4. Semester

5., durchgesehene Auflage

Mit 108 Bildern

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

CI P-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Schliinder, Ernst-Uirich: Einfi.ihrung in die Warmei.ibertragung: fi.ir Maschinenbauer, Verfahrenstechniker, Chemie-lngenieure, Chemiker, Physiker ab 4. Sem. 1 Ernst-Uirich Schli.inder.5., durchges. Aufl.- Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1986. ISBN 3-528-43314-0

Die Wiedergabe der Seiten 49-52 und 69-72 aus dem VDI-Warmeatlas erfolgt mit Genehmigung des VDI-Verlages, Di.isseldorf

1. 2., 3., 4., 5.,

Auflage 1972 verbesserte Auflage 1975 vi:ill ig i.iberarbeitete Auflage 1981 durchgesehene Auflage 1983 durchgesehene Auflage 1986

(In der 1. und 2. Auflage erschien das Buch unter dem Titei .,Einfi.ihrung in die Warme- und Stoffi.ibertragung ".)

Al le Rechte vorbehalten

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1986 Ursprunglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1986 Das Werk einschlieBiich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschi.itzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und stratbar. Das gilt insbesondere fi.ir Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich

ISBN 978-3-528-43314-7 ISBN 978-3-663-14149-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-14149-5

Vorwort

Das Skriptum ,.Einführung in die Wärmeübertragung" ist aus dem früheren Skriptum .. Einführung in die Wärme- und Stoffübertragung", 2. Auflage 1975, entstanden. Es ist ebenso wie das frühere Skriptum dem Umfang nach für eine Vorlesung von vier Semesterwochenstunden konzipiert, wobei in dieser Zeit die Übungsstunden enthalten sind. Indessen wurde die .. Stoffübertragung" vollständig herausgenommen, da sich gezeigt hat, daß hierfür eine eigene Vorlesung notwendig ist. Anstelle dessen wurde in erheblichem Umfang die Theorie der Wärmeaustauschapparate auf elementarer Basis aufgenommen. Sie lehrt, wozu die Lehre von der Wärmeübertragung in der Praxis benötigt wird. Außerdem ist ein Kapitel den physikalischen Grundvorgängen der Wärmeübertragung gewidmet. Sie liefern die Begründung der in der Praxis benutzten phänomenologischen Gesetze und zeigen vor allem die Grenzen ihrer Anwendbarkeit. Der Rest der Vorlesung, d.s. etwa 50%, ist dann den klassischen Standardfällen der Wärmeübertragung gewidmet. Übungsaufgaben mit Lösungsblättern beschließen den Text. Die Vorlesung ,.Einführung in die Wärmeübertragung" verfolgt zwei Ziele. Einmal soll sie demjenigen, der im Rahmen seines Studiums nur diese eine Vorlesung über dieses Fachgebiet hört, ein soweit abgeschlossenes Wissen vermitteln, daß er damit einfache praktische Probleme lösen kann. Zum anderen soll aus der Vorlesung verständlich werden, wie man von einer bestimmten Fragestellung zu einer bestimmten Lösung kommt. Die erste Forderung verlangt Vollständigkeit, die zweite Ausführlichkeit. Beide Forderungen sind in Anbetracht der begrenzten Vorlesungszeit nicht in vollem Umfang zu erfüllen. Die Bemühungen, einen Kompromiß zu finden, führten dazu, schwierigere mathematische Ableitungen völlig wegzulassen. Wird z. B. ein Problem durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben, so wird nur die Aufstellung dieser Gleichung, d.h. die Übersetzung des physikalischen Sachverhaltes in die Sprache der Mathematik, nicht aber die formale Auflösung dieser Gleichung ausführlicher behandelt. Daneben wird dann das Endergebnis der formalen Auflösung mitgeteilt, da dieses ja für die Behandlung praktischer Probleme benötigt wird.

V

Ein solches Vorgehen ist vom Standpunkt der akademischen Lehre aus gesehen nicht sehr befriedigend und -abgesehen von dem äußeren Zwang, die Studienzeit zu verkürzen nur dadurch zu rechtfertigen, daß für denjenigen, der das Fachgebiet in wissenschaftlichem Sinne studieren will, Vertiefungsvorlesungen angeboten werden, in denen die in dieser einführenden Vorlesung notwendigerweise enthaltenen inhaltlichen wie methodischen Lücken geschlossen werden. Herrn Dr.-1 ng. H. Martin sei für die Ausarbeitung der Übungsbeispiele, Herrn Ing. L. Eckert und Herrn Dipl.-lng. W. Bühler für die sorgfältigen Korrekturen, Frl. S. Obreiter für die Anfertigung der Zeichnungen und Frau Th. Zepezauer für das einwandfreie Schreiben des Textes an dieser Stelle gedankt.

Karlsruhe Prof. Dr.-lng. E. U. Schlünder

VI

Inhalt

1 Wärmeaustauschapparate ...................... ............ . 1.1

1.2 1.3 1.4

Der Rührkessel - dampfbeheizt, flüssigkeitsbeheizt, mit und ohne Verdampfung- Studium der Grundbegriffe, Energiebilanzen, Gleichgewicht, Kinetik (k-Wert-Methode). Anwendung der Grundbegriffe, Dimensionierung von Rührkesselapparaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Doppelrohrapparat- Gleichstrom, Gegenstrom -thermische Dimensionierung, Wirkungsgrad und NTU-Wert, Bypass-Effekte . . . . . . . . 35 Der Röhrenkesselapparat- als Wärmeaustauscher, als Verdampfer, als Kondensator; k-Werte, mittlere Temperaturdifferenz, Wirkungsgrade ... 47 Berechnung von k-Werten - Reihenschaltung von a-Werten . . . . . . . . . . . 74

2 Analyse und Berechnung von Wärmeübertragungskoeffizienten . . . . . . 79 2.1 2.2 2.3 2.4

Physikalische Grundvorgänge der Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung durch stationäre Wärmeleitung in ruhenden Medien . . . . Wärmeübertragung durch instationäre Wärmeleitung in ruhenden Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung an kinematisch reversibel bewegte Medien . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

79 91 95 100

Wärmeübertragung an bewegte Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Wärmeübertragung an laminar strömende Flüssigkeiten und Gase ... 102

Wärmeübertragung an turbulent strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . Zusammenfassende Darstellung der Wärmeübertragung an durchströmte Kanäle bei laminarer und turbulenter Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung an überströmte Einzelkörper bei erzwungener und freier Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung in durchströmten Hautwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung in Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 115 122 132

135 2.10 Wärmeübertragung bei der Kondensation von Dämpfen . . . . . . . . . . . . . . 137 2.11 Wärmeübertragung bei der Verdampfung von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . 146 2.12 Wärmeübertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.13 Möglichkeiten zur Verbesserung des Wärmeüberganges . . . . . . . . . . . . . . . 172

VII

Übungsaufgaben ............................................ 179 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt Übungsblatt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Lösungen der Übungsaufgaben ................................. 200 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Lösungsblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Oft gebrauchte Symbole

..................................... 222

Physikalische Konstanten und Einheiten ......................... 223 Literatur zur Wärmeübertragung

............................... 224

Sachwortverzeichnis ......................................... 225

VIII

1. Wärmeaustauschapparate 1.1

Der Rührkessel

1.1.1

Der dampfbeheizte Rührkessel

I Ov.--.-+J

lein · HL,ein · TL, ein eintretende Flüssigkeit

Heizdampf

Verlustwärme :

s

Stahlmasse

des

K.HK,TK

Laus • HL,aus • TL .aus

Kondensat

austretende

Kessels

Flüssigkeit

Abb • 1 • 1 . 1 ( 1 )

I.

Beschreibung des Gegenstandes

Dem Rührkessel mit dem Fassungsvermögen L wird die Flüssigkeitsmenge Lein zugeführt, während die Menge Laus abgezogen wird. Die zufließende Menge führt dem Kessel den Enthalpiestrom 8L ,e1n . zu, die abfließende Menge entzieht dem Kessel den Enthalpiestrom HL ,aus . Der Flüssigkeitsinhalt L wird ständig umgerührt, dabei wird dem Kessel die Rührleistung Wzugeführt. Die Kesselwand kann durch kondensierenden Dampf beheizt werden. Der eintretende Heizdampf sei beim Druck P0 gesättigt, das abfließende Kondensat verläßt den Heizmantel im Siedezustand.

1!.

Formulierung der Frage

a) Der Kessel sei leer und unbeheizt, das Rührwerk sei abgestellt. Zur Zeit t=O wird der Zufluß geöffnet und die Menge Lein fließt dem Kessel zu; der Abfluß bleibt geschlossen. Wie lange dauert es, bis der Kessel sein normales Füllvolumen Ln erreicht hat? Gibt es einen Beharrungszustand? Gibt es einen Gleichgewichtszustand? b) Der Kessel sei zur Zeit t=O mit der Menge Ln' die die Temperatur TLA habe, gefüllt. Die Zu- und Ablaufventile sind geschlossen, der Rührwerkmotor sei abgeschaltet. Die Dampf- und Kondensatventile seien geöffnet. Wie lange dauert es, bis der Kesselinhalt seine Temperatur von TLA auf TLE geändert hat? Unter welchen Bedingungen gibt es Beharrungsoder Gleichgewichtszustände? c) Wie b), jedoch mit eingeschaltetem Rührwerk. d) Der Kessel sei zur Zeit t=O mit der Menge Ln, die die Temperatur TLA habe, gefüllt. Ein- und Auslaßventile seien geöffnet, Dampfund Kondensatventil seien geschlossen. Das Rührwerk sei eingeschaltet. Wie lange dauert es, bis sich die Temperatur des Kesselinhaltes von TLA auf TLE geändert hat? Unter welchen Umständen gibt es Beharrungs- oder Gleichgewichtszustände? 111. Formulierung der physikalischen Grundgesetze, auf die die Beantwortung der unter Punkt 11 gestellten Fragen gegründet werden kann. Es gibt 3 Klassen von physikalischen Grundgesetzen: 111.1

Die Erhaltungssätze

111.2 Die Gleichgewichtsbedingungen 1!1.3 Die kinetischen Ansätze

2

Die Gesetze der 1. Klasse gelten a priori und unbedingt, sofern ihre Anwendung auf abgegrenzte Räume beschränkt wird. Die Gesetze der 2. Klasse gelten unter den gleichen Bedingungen ebenfalls unbedingt. Ob indessen ein vorausgesagtes Gleichgewicht sich tatsächlich einstellt, hängt davon ab, ob die Einstellgeschwindigkeit schnell genug ist. Hierüber geben die Gesetze der 3. Klasse Auskunft. Diese Gesetze gelten a posteriori und sind stets nur näherungsweise gültig. Sie werden daher auch nur "kinetische Ansätze" genannt. Die Gesetze der 1. Klasse werden unterteilt in die Sätze von der Erhaltung III.1.1 der Masse III .1.2 der Energie III.1.3 des Impulses Die Gesetze der 2. Klasse werden (etwas willkürlich) unterteilt in die der III.2.1 mechanischen Gleichgewichte III.2.2

thermischen Gleichgewichte

III.2.3

chemischen

Gleichgewichte

Die Gesetze der 3. Klasse werden unterteilt in die kinetischen Ansätze zur Beschreibung des Transports von III.3.1

Masse (Diffusion und Strömung der Masse)

III.3.2

Energie (Diffusion von Energie)

III.3.3

Impuls

(Diffusion von Impuls)

sowie zur Beschreibung der Umwandlungsgeschwindigkeit chemischer Spezies III.3.4

reaktionskinetische Ansätze.

3

Die Anwendung dieser Grundgesetze zur Beantwortung der unter Punkt II gestellten Fragen ist notwendig und hinreichend; weitere Grundgesetze stehen nicht zur Verfügung. Das Problem der Lösungsfindung besteht demnach nur darin, herauszufinden, welche Grundgesetze unter welchen Bedingungen wie angewendet bzw. geeignet ausformuliert werden müssen. Dies soll an konkreten Beispielen gelehrt werden.

Zur Beantwortung dieser Frage genügt die Anwendung des Massenerhaltungssatzes III.1.1. Hierzu muß zuallererst der Anwendungsraum (Kontrollraum, Bilanzraum) festgelegt werden. Solche Festlegungen sind willkürlich und müssen so getroffen werden, daß die gesuchten und die gegebenen Größen sich entweder in ihm befinden oder ihn durchstoßen. Im vorliegenden Beispiel sei der Bilanzraum durch die Außenwand des Kessels gegeben. Dann gilt in den Kessel eintretende Masse = aus dem Kessel austretende Masse + im Kessel akkumulierte Masse oder in Symbolen

mit

und

aus + dlakku

dlein

~

dlein

Lein dt

dlaus

Laus dt

dlakku= dl

folgt

dl Lein = Laus +K

1.1.1(1) 1.1.1(2)

1.1.1(3) 1.1.1(4)

Dabei sind die Dimensionen von L bzw. dl Masse, d.h. kg, von L Massenstrom, d.h. kg/s und von t bzw. dt Zeit, d.h. s. Laut Voraussetzung ist Laus = 0 und Lein = const. Damit kann nun im nächsten Schritt, IV. Die Entwicklung nach den gesuchten Größen erfolgen: dt 4

dl Lein

1.1.1(5)

Im fünften Schritt erfolgt die V.

Mathematische Auflösung Ln

- -L-e,-.n-

J

dL

1.1.1(6)

0

1.1.1(7)

In einem 6. Schritt muß dann die so erhaltene Lösung noch daraufhin untersucht werden, ob sie auch "physikalisch sinnvoll" ist. Mathematische Lösungen müssen nicht immer eine physikalische Bedeutung haben oder mit der Erfahrung übereinstimmen. VI. Diskussion des Ergebnisses Zur Zeit t=O ist L=O, in Obereinstimmung mit Gl. 1.1.1(6). Indessen nun zu den weiteren Fragen unter Punkt Ila. Gibt es einen Beharrungszustand? Antwort nein, denn ein Beharrungszustand ist dadurch definiert, daß die Akkumulation verschwindet, d.h. dL dt

=0

1.1.1(8)

ist. Daraus folgt mit Gl. 1.1. 1(4) für den Beharrungszustand L. e1n .

Da Laus= 0, jedoch Lein erfüllt werden.

~

= L. aus

1.1.1(9)

0 ist, kann die Beharrun(Jsbedingung nicht

Die Antwort auf die weitere Frage, ob ein Gleichgewichtszustand existiert, lautet ja. Die Gleichgewichtsbedingung lautet, daß sämtliche Ströme verschwinden, also 1.1.1(10)

und

1.1.1(11)

5

Letzteres ist voraussetzungsgemäß erfüllt; ersteres tritt dann ein, wenn der Druck im Kessel so weit angestiegen ist, daß er gleich dem Druck in der Zuleitung ist. Sodann ist das Gesetz III.2.1 vom mechanischen Gleichgewicht erfüllt. Im folgenden sollen nun die weiteren Fragen II.b)bis II.d)nach dem gleichen Ablaufschema beantwortet werden, um diese methodische Vergehensweise zu üben und dabei Schritt für Schritt weitere Grundgesetze systematisch anwenden zu lernen.

Bilanzraum "Kesselinnenmantel" dEzu = dEab + dEakku

1.1.1(12)

dEzu

Ezu dt

1.1.1(13)

dEab = Eab dt

1.1.1(14)

Ezu = Eab

dEa kku

+ __::..:..:c..:.:::..

Ezu = ÖD Eab

0

Eakku= HL + Hs

dt

1.1.1(15) 1.1.1(16) 1.1.1(17) 1.1.1(18)

HL ist die Enthalpie des Kesselinhaltes, Hs ist die Enthalpie des Kessels selbst. 1.1.1(19) 1.1.1(20) 1.1.1 (21) 1.1.1(22) Gleichung 1.1. 1(22) kann vereinfacht werden. Mit guter Näherung ist Ts =TL. Dann gilt

6

1. 1. 1 ( 23)

Die Energiebilanz für den Bilanzraum "Kesselinnenmantel" lautet damit 1. 1 . 1( 24)

Bilanzraum sei nun der Kesselaußenmantel. Ezu

Ho

Eab

HK

d

+

Öv

(cL Ln

dT Eakku

H0

1.1.1 (25) 1. 1.1 ( 26) +

d\ cs S) ot

1. 1. 1( 27)

HD = Öh"D

1. 1.1( 28)

HK = öh 0

1 • 1. 1( 29)

HK

-

=

6( h~

-

h~)

=

6 DhvD

1 • 1 • 1( 30)

6hvD ist die Kondensationsenthalpie des Heizdampfes. Die Energiebilanz für den Bi 1anzraum "Kesse 1außenmante 1" 1autet demnach 1.1.1(31)

Gl. 1. 1.1(31) besagt, daß die durch die Kondensationswärme des Heizdampfes frei werdende Wärme die Wärmeverluste Öv und die Aufheizwärme für den Kesselinhalt Ln und die StahlteileS decken muß. Bilanzraum sei schließlich der Heizmantel. 1.1.1(32)

Ezu

Ho

Eab

HK

+

Öv

dT Eakku

=

0

d

+

Oo

1.1.1(33) 1. 1. 1( 34)

Daraus folgt die Energiebilanz für diesen Bilanzraum

ö 6hvo = Öv

+

Oo

1.1.1(35)

7

Aus der Skizze des Kessels ersieht man, daß "Bilanzraum Kesselaußenmantel" minus "Bil anzraum Heizmantel" gl ei eh "Bilanzraum Kesselinnenmantel" ist. Daraus folgt: Gleichung 1.1.1(31) minus Gleichung 1.1.1(35) ist gleich Gleichung 1.1.1(24~ d.h. nur jeweils zwei der drei angeschriebenen Bilanzen sind voneinander unabhängig, die jeweils dritte liefert keine neue Aussage. Gleichwohl können alle drei Gleichungen alternativ benutzt werden. 111.3.2 Kinetische Ansätze für die Energieübertragung Energieübertragung (Wärmeübertragung) durch die Kesselinnenwand 1.1.1(36) Energieübertragung durch die Kesselaußenwand 1. 1.1( 37) AD Av kD kv

= Fläche der Kesselinnenwand =Fläche der Kesselaußenwand = Wärmedurchgangskoeffizient = Wärmedurchgangskoeffizient

(ohne Deckel) (ohne Deckel) für den Kesselinnenmantel [w;m 2K] für den Kesselaußenmantel [W/m 2K]

Die kinetischen Ansätze nach den Gln. 1.1. 1(36) und 1 .1.1(37) besagen, daß der Wärmestrom Ö[W] proportional der Durchtrittsfläche A [m 2] und dem Unterschied der Temperaturen zu beiden Seiten der Wand (TD - TL) bzw. (TD- Too) ist. Diese Ansätze sind in der Praxis nicht streng, aber für diesen Zweck mit hinreichender Genauigkeit erfüllt. Eine genauere Analyse dieser Ansätze wird im Kapitel 2 gegeben. IV.

Entwicklung nach den gesuchten Größen

Eliminiert man in den Energiebilanzen nach Gl. 1.1.1 ( 24),(31) und(35) die Wärmeströme Ömit Hilfe der kinetischen Ansätze nach den Gln. 1.1.1(36) und 1.1.1(37), so entstehen Gleichungen, in denen als Variable nur noch die Temperatur TL und die Zeit t auftreten. Da nach TL= TLtt1 gefragt war, ist diese Elimination ein gangbarer Weg zur Beantwortung der gestellten Frage. 8

Aus Gl. 1.1.1(24) und Gl. 1.1.1(36) folgt AD kD(TD - TL)

=

(cL Ln + es S)

d\

cn;-

1.1.1(38)

Aus Gl. 1.1.1(31)und Gl. 1.1.1(37) folgt

Ö ~hv

=

AVkV(TD-Too)+(cL Ln + es S)

d\ cn;-

1.1.1(39)

Aus Gl. 1.1.1(35) sowie Gl. 1.1.1(36) und Gl. 1.1.1(37) folgt 1. 1. 1( 40) Man sieht, daß zur Berechnung von \ ftt nur Gl. 1.1.1(38) geeignet ist. Kennt man TLft1, so läßt sich aus Gl. 1.1.1(40) die zeitliche Abhängigkeit des Heizdampfverbrauches bestimmen. Gleichung 1 .1. 1(39) ließe sich ebenfalls für diesen Zweck verwenden. Sie muß das gleiche Ergebnis liefern, da sie (siehe oben) keine neue Aussage enthalten kann. Sie ließe sich jedoch für eine formale Kontrollrechnung verwenden. Zweckmäßig führen wir jetzt dimensionslose Variable ein. Zunächst ist 1.1.1(41) da TD

const. Bildet man 1.1.1(42)

so hat man die Variable \ "normiert". Zur Zeit t=O ist \ = \A und die Größe e nimmt den Wert 1 an. Andererseits kann TL in diesem Fall niemals größer als TD werden, d.h. 8 ist niemals kleiner null. Die normierte Temperatur 8 des Kesselinhaltes liegt also stets zwischen null und eins. Faßt man außerdem die übrigen Parameter (Konstanten) der Gl. 1.1.1(38) mit der Variablen t (Zeit) zusammen, dann entsteht eine dimensionslose Zeit 1. 1. 1( 43) Die Größe ' ist eine "Kennzahl". Im Unterschied zu einer "normierten" Größe ist eine "Kennzahl" stets ein Quotient von verschiedenen physikalischen Größen. 9

In Gleichung 1.1.1(43) hat der Ausdruck 1. 1. 1( 44)

die Dimension einer Zeit. Sie wird die "Relaxationszeit" des Aufheizvorganges genannt. Die Gl. 1 .1.1(38) läßt sich nunmehr dimensionslos anschreiben 1.1.1 (45) Sie beschreibt ein Anfangswertproblem 8tT1 mit der Bedingung

8tD1 =

1. 1. 1( 46)

1

Auch die Gl. 1.1.1(40) läßt sich entsprechend umformen und man erhält ~hvD

ö Ä kD(TD - \A) D oder

QK

Av ky(TD- TJ AD kD(TD - \A)

Öv =ÖDA ÖDA

+ 8

+ 8

1.1.1(47)

1. 1. 1( 48)

ÖK ist die (zeitlich veränderliche) vom Heizmantel abgegebene Kondensationswärme, ÖDA die zur Zeit t=D verbrauchte Aufheizwärme und Ov die (zeitlich unveränderliche) Verlustwärme. V.

Mathematische Auflösung 1.1.1(49)

e = e -T

1 • 1. 1( 50)

1.1.1(51)

10

VI. Diskussion des Ergebnisses Nach hinreichend langer Zeit wird 8=0, d.h. TL = T0 ; der Kesselinhalt steht im thermischen Gleichgewicht mit dem Heizmantel, der Wärmestrom 60 wird gleich null. Andererseits wird unter den gleichen Bedingungen Öv nicht gleich null; d.h. zwischen Heizmantel und Umgebung wird für t = oo nur ein Beharrungszustand erreicht.

III. 1.2 Energiebilanz Bilanzraum sei der Kesselinnenmantel. Bilanz wie unter Frage II.b), Gleichung 1.1.1(24), jedoch zusätzliche Energiezufuhr durch das Rührwerk 1.1.1(52)

III.3.2 Kinetischer Ansatz Wie Gleichung 1.1.1(36) 1. 1. 1(53) IV.

Entwicklung nach den gesuchten Größen

Aus Gleichung 1.1.1(52) und 1.1.1(53) folgt 1. 1. 1(54)

Einführung dimensionsloser Größen 8 nach Gleichung

1.1.1(4~

~*

=

und T nach Gleichung 1.1.1(43) sowie 1.1.1(55)

ergibt die Gleichung zur Bestimmung der Funktion 8tT1 bzw. Tlft1: 1. 1. 1 (56)

11

mit der Anfangsbedingung V.

8t01

1.

Mathematische Auflösung

_sd,

=

0

s~ 1

1.1.1(57)

e+W

1. 1. 1(58)

VI. Diskussion des Ergebnisses Für •=0 ist e voraussetzungsgemäß gleich 1. Für,+

oo

ergibt sich 1.1.1(59)

oder wieder rücktransformiert 1. 1. 1( 59a) Das heißt, daß sich der Kesselinhalt über TD hinaus erwärmt und schließlich Wärme an den Heizmantel, dessen Temperatur mit T0 = const vorgegeben war, abgibt. Frage: Ist das technisch möglich? Antwort: Nein, denn wegen des zeitlich veränderlichen Heizdampfbedarfes muß ein statisch wirkender Kondensatableiter verwendet werden, s. Abb. 1.1.1(2)

I

~:;d•n•at vom Lzmantel

Kondensatablauf

Poo.Umgebung TD fällt nun aber kein Kondensat mehr an. Demnach kann auch kein Dampf durch den Heizmantel ins Freie strömen und dabei ggf. Wärme abführen. Tatsächlich ist also die Voraussetzung TD = const nicht mehr erfüllbar. Kessel und Heizmantel heizen sich ständig weiter auf. Frage: bis zu welcher Temperatur? Antwort: Es sind zwei Fälle denkbar. a) Die Flüssigkeit im Kessel fängt an zu kochen. b) Bevor die Flüssigkeit im Kessel zu kochen beginnt, wird ein Beharrungszustand erreicht, bei dem die zugeführte Energie Wgerade gleich der Verlustwärme Öv wird. Gleichung 1.1.1(58) gilt also nur für 0.;8"1

Für e < 0 lautet die Energiebilanz für den Kontrollraum "Kesselaußenmantel ": III.1.2

E:zu

w

1. 1.1( 60)

Eab

Öv

1.1.1(61)

d dt Eakku = (cL Ln

+

cs

s

+

dTL CD D ) dt

1.1.1(62)

wobei angenommen ist, daß mit ausreichender Näherung TL = T5 = TD ist. TD ist jetzt nicht mehr die vom Druck PD aufgeprägte Kondensationstemperatur des Heizdampfes, sondern seine nunmehr zeitlich veränderliche Oberhitzungstemperatur. D ist die im Heizmantel enthaltene und dort eingeschlossene Heizdampfmasse. Die Energiebilanz lautet also 1. 1 . 1( 63)

Der kinetische Ansatz für die Verlustwärme Öv lautet nun III.3.2

1.1.1(64)

Bemerkenswert ist, daß QV jetzt auch zeitlich veränderlich sein muß (wegen TL=TLft1)und daß der Wärmedurchgangskoeffizient k~ nicht der gleiche ist, wie der im Bereich e > 0 wirksame Wärmedurchgangskoeffizient kv, 13

da die Verlustwärme Öv nunmehr durch den mit stagnierendem Heizdampf gefüllten Heizmantel hindurchgeleitet werden muß. (Die Energiequelle, die Öv deckt, liegt für 8 < 0 im Kesselinnern, für e > 0 im Heizmantel !) Wegen des zusätzlichen Wärmedurchgangswiderstandes des dampfgefüllten Heizmantels ist stets k~ < kv! IV. Entwicklung nach den gesuchten Größen Aus Gleichung 1.1.1(63) und 1. 1 . 1( 64) folgt

w

d\ Av k~ (\ - TJ+(cl Ln + es S + CD D ) dt

1.1.1 (65)

Praktisch kann man den Summanden cD D gegenüber den beiden anderen in der Klammer stehenden vernachlässigen, die Dampfmasse im Heizmantel ist viel kleiner als die Masse des Kessels und des Kesselinhaltes. Zweckmäßigerweise benutzt man jetzt wieder die gleichen dimensionslosen Variablen e und 1: wie im Bereich 0 < 8 < 1, damit man beide Bereiche 8 < 0 und e > 0 einheitlich darstellen kann. Sodann erhalten wir aus Gl. 1.1.1(65) zunächst d8 TL - T= ·* Av k~ 1.1.1 (66) W = r-r-D \A - -d1: H~ K~D • TD Gehen wir davon aus, daß die Anfangstemperatur des Kessels gleich der Umgebungstemperatur war, also TLA = T dann ist 00 ,

-(TD - TL)+(TD - TLA) TD -

\A

- 8 +

1

1.1.1(67)

Mit der Abkürzung Av k~

--=

a

1. 1. 1 ( 68)

AD kD lautet dann die Grundgleichung 1. 1. 1( 66)

I

de ·* W+a(8-1)+cr;:-=0

1.1.1 (69)

Zweckmäßig wählen wir als Zeitpunkt 0 für die Integration der Gl. 1.1.1 ( 69) den Augenblick, in dem 8 = 0 ist. Um Verwechslungen mit der Zeitkoordinate 1: für den Bereich 0 < 8 < 1 auszuschließen, sollte man bei der mathemati14

sehen Auflösung besser ' durch ,' ersetzen. V.

Mathematische Auflösung d8 W+

0

1.1.1 (70)

a ( e-1 )

0

Die Integration liefert 8

·* a

(.!i.-

1) (e-a''

-

1)

1.1.1(71)

VI. Diskussion des Ergebnisses Zunächst Prüfung der Grenzwerte von Gl. 1.1.1(71). Für ,• setzungsgemäß 8 gleich null. Für,' ~ oo folgt ·* w 8 = 1 -a

0 wird voraus-

oder rücktransformiert 1.1.1(72) Gleichung 1 .1. 1(72) gibt also die vorerwähnte zweite Möglichkeit eines Beharrungszustandes wieder, bei dem W= Öv ist. Voraussetzung für die Existenz eines solchen Zustandes ist, daß die nach Gl. 1.1.1(72) erreichbare Temperatur des Kesselinhaltes unter der Siedetemperatur desselben liegt. Ist dies nicht der Fall, beginnt der Kesselinhalt vor Erreichen der Beharrungstemperatur zu kochen. Der Kesseldruck steigt, bis das Sicherheitsventil abbläst und nach einer weiteren Zeitspanne der gesamte Kesselinhalt in die Umgebung entwichen ist. Frage: wie lange dauert es, bis der gesamte Kesselinhalt in die Umgebung entwichen ist? Die Antwort liefern wieder die Energiebilanz nach III.1.2 und der kinetische Ansatz nach III.3.2. Die Energiebilanz für den Bilanzraum "Kesselaußenmantel" lautet

Ezu = W

1. 1. 1( 73)

15

= Öv

Eab

+

L h~

1.1.1 (74)

d dHL Cft Eakku= -;rr-

1.1.1(75)

L ist die je Zeiteinheit aus dem Sicherheitsventil entweichende Damofmasse [kg/s]. h~ ist die Enthalpie des beim Abblasedruck des Sicherheitsventils Ps entweichenden Dampfes. Die Enthalpie des Kesselinhaltes ist 1.1.1(76) wobei TLS die zum Abblasedruck Ps gehörende Siedetemperatur des Kesselinhaltes ist. Sie bleibt während der Verdampfung des Kesselinhaltes konstant. Demnach ist dHL dL 1.1.1(77) ~= CL TLS Gr Somit lautet die Energiebilanz

.

W=

.

.

Ov + L hL" + CL

dL

\s df

1.1.1(78)

Ferner liefert die Massenbilanz für denselben Bilanzraum 0

1.1.1(79)

L

1.1.1 (80) 1.1.1(81)

und mit

.

.

1.1.1(82)

Mzu = Mab + Makku . dL L+crr=D

1.1.1(83)

Dies in die Energiebilanz nach Gl. 1.1.1 ( 78) eingesetzt, ergibt:

w= Nun ist

CL

Öv - ( h~

\s

- cL

\s)

dL crr

I

hL

1. 1. 1( 84) 1.1.1(85)

die Enthalpie der siedenden Kesselflüssigkeit. Ferner ist 1. 1. 1 ( 86)

16

gerade die Verdampfungswärme des Kesselinhaltes bei TLs· Das Ergebnis der Bilanzgleichung lautet also 1. 1. 1( 87) Der kinetische Ansatz für Öv lautet III.3.2

öv

Av kv (\s - TJ

Ov

Av k~ (TLS - TLA) = Övs

const

1. 1. 1( 88)

IV. Entwicklung nach den gesuchten Größen Aus Gleichung 1.1.1(87) und 1.1.1(88) folgt ·

·

w - Ovs

= - 6 hvL

dL dT

1.1.1(89)

Zwecks Einführung dimensionsloser Größen bilden wir + T

und A

w - Övs

= llh

L t vL n

L =r n

1. 1. 1( 90)

1.1.1(91)

Gleichung 1. 1.1(89) lautet dann

I :,~ ,

0

1.1.1(92)

Die Anfangsbedingung lautet A(O)

V.

1.1.1(93)

Mathematische Auflösung 1.1.1(94)

T

+

-

A

17

VI. Diskussion des Ergebnisses Die gesuchte Zeitspanne ergibt sich für A = 0, d.h. T+ = TEnde = 1. Die Lösung existiert indessen nur für W> Övs' Beharrungs- oder Gleichgewichtszustände existieren nicht.

III.1 .1 Massenbilanz, Bilanzraum gleich Kessel innen- oder Außenmantel . . Lein = Laus

dL dT

+

1.1.1(95)

Da lt. Voraussetzung ~ = 0 ist, muß

Laus =L. e1n =L

1.1.1(96)

sein. III.1 .2 Energiebilanz, Bilanzraum gleich Kessel innen- oder Außenmantel Ezu

H. e1n

+

w

1.1.1(97)

Eab

Haus

+

Öv

1.1. 1( 98)

. dHL Eakku= d"t

+

dHs -----1 Tl_ ,aus

Abb. 1.2(6) 46

J

T L.aus

Parallelbetrieb von zwei Gegenstromwärmeaustauschern

Jeweils der kleinere Teilstrom erreicht am Austritt das thermische Gleichgewicht, der größere jedoch nicht. In den Sammlern werden beide Ströme gemischt. Der Gesamtwirkungsgrad beider Apparate berechnet sich dann aus

(L'+ l.") E = C' E + L E 1

zu EL,Gg = Für NTU

~ oo

11

11

i[

(1-A) EL,Gg + (1+A)

1

>

und für die Platte

fft* - Tw TfO,tj-TW Tft* - Tw TfO,tt-Tw

>

0,432

2.3(16)

2

2.3(17)

>Tl

99

2.4

WärmeUbertragung an kinematisch reversibel bewegte Medien

2.4.1

WärmeUbertragung an bewegte Festkörper

Wir betrachten ein Kunststoffband, das aus dem Extruderkommend zur AbkUhlung durch ein Wasserbad gezogen wird, wie dies in Abb. 2.4.1(1) dargestellt ist. Wir wollen wieder voraussetzen, daß der WärmeUberqangskoeffizient au zwischen Wasserbad und Wandoberfläche viel größer sei als der Wärmeeindringkoeffizient a8 in das Band.

-

Tein

u

--Wasserbad -

Abb. 2.4.1(1)

-

-

--

KUhlung eines Kunststoffbandes in einem Wasserbad

Dann ist die Oberflächentemperatur TW des Bandes gleich der Wassertemperatur Tu = const. Im Innern des Bandes bildet sich ein Temperaturprofil Tfy,x1 aus, wie in Abb. 2.4.1(2) dargestellt ist. Man erkennt die Ähnlichkeit dieser Profile an verschiedenen Stellen x mit den Temperaturprofilen der beheizten Kugel in Abb. 2.3(1) zu verschiedenen Zeiten t. In der Tat entspricht jede Stelle x im Wasserbad einer bestimmten Verweil zeit t =~ 2. 4. 1 ( 1) u

wenn u die Bandgeschwindigkeit ist.

100

..

u

Abb. 2.4.1 (2)

Temperaturprofile im Band an verschiedenen Stellen x.

Für einen mit der Bandgeschwindigkeit u mitfahrenden Beobachter handelt es sich in der Tat um einen Vorgang der instationären Wärmeleitung in einem ruhenden Festkörper. Demnach ist das vorliegende Problem zurückführbar auf die im Abschnitt 2.3 behandelten Fälle. Ersetzt man in der Formel 2.3(14) die Kontaktzeit durch t - .!:._

2.4. 1( 2)

u

so geht die Fourier-Zahl über in

Die Kennzahl

KL 1 Fo = --z = Gz us

2.4. 1(3)

us s Gz =7 T

2.4.1(4)

nennt man die Graetz-Zahl. *) Somit erhält man aus Gl. 2.3(14), die für die instationäre Aufheizung (Abkühlung) eines ruhenden Bandes gilt, die Standardformel zur Berechnung des Wärmeeindringkoeffizienten, die für ein bewegtes Band gilt: Nu s

- - /,(i)2

= V \7

4

+ 1T Gz

2.4.1(5)

Für einen durch das Wasserbad hindurchlaufenden Draht erhält man dementsprechend aus Gl. 2.3(13)

*) Graetz, Leo (1856-1941); Wärmeleitung, Wärmestrahlung 101

2.4.1(6) wobei Nud und Gz mit dem Drahtdurchmesser dzyl zu bilden sind.

2.4.2 Wärmeübertragung an laminar strömende Flüssigkeiten und Gase Wir denken uns das Kunststoffband in Abb. 2.4.1(1) durch einen dünnwandigen Blechkanal von der Breite s, der z.B. von Luft mit der mittleren Geschwindigkeit Li= V/f (V in m3;s = Volumendurchsatz und f in m2 = Strömungsquerschnitt) durchströmt wird, ersetzt. Die Wandtemperatur des Kanals wird durch das Wasserbad auf Tw=Tu gehalten. Die Luft tritt mit der Temperatur Tein in den Blechkanal ein und mit der mittleren Temperatur Taus bei x=L aus, wie dies in Abb. 2.4.2(1) dargestellt ist.

..

L----~

Taus

--

Luft

u

-

Kühlwasser

Abb. 2.4.2(1)

Kühlun~ von Luft in einem laminar durchströmten Blechkanal

Solange der Kanal laminar durchströmt wird (d.h. Re=~< Rek r1.t), ist v die Strömungsgeschwindigkeit nach dem Hagen-Poiseulle'schen Gesetz parabolisch über den Strömungsquerschnitt verteilt: 2.4.2(1) Der einzige Unterschied zu dem durchlaufenden Kunststoffband nach Abb. 2.4.1(1) besteht darin, daß die Teilchen des Luftstromes je nach Lage der Strombahn eine unterschiedliche Verweilzeit im Wasserbad haben, während sie beim Kunststoffband für alle Teilchen gleich lang war. 102

Doch auch in diesem Fall läßt sich der Wärmeeindringvorgang in den Luftstrom durch einen Wärmeübertragungskoeffizienten a beschreiben. Die Anwendung des Fourier'schen Grundgesetzes der Wärmeleitung in Verbindung mit dem Hagen-Poiseulle'schen Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung führt zu folgender Standardformel zur Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten im laminar durchströmten ebenen Kanal Nu s

=

o/3,77 3

+

1,47 3 Gz

2.4.2(2)

Für das laminar durchströmte Rohr erhält man Nud

=

V3,66 3

+

1,62 3 Gz

2.4.2(3)

Nu und Gz sind jeweils mit der Kanalbreite s bzw. mit dem Rohrdurchmesser gebildet. Für die Strömungsgeschwindigkeit in Gz ist der Mittelwert ij einzusetzen. Man erkennt den grundsätzlich gleichen Aufb~u dieser Formeln wie sie auch für das durchlaufende Band gelten, vgl. Gl. 2.4.1(5) und 2.4.1(6). Indessen ist zu beachten, daß sie nur für den Fall der sog. "ausgebildeten" Laminarströmung gelten; denn nur diese Strömung wird durch das Hagen-Poiseulle'sche Gesetz beschrieben. Andererseits ist klar, daß zumindest in der Nähe des Kanaleinlaufes die Strömung noch nicht voll ausgebildet ist. Das Geschwindigkeitsprofil hat dort noch nicht die parabolische Gestalt, vgl. Abb. 2.4.2(2).

f"i~p,~(x- ~I noch nicht ausge bildetes u- Profi I I x -

0 )

Abb. 2.4.2(2) Strömungsprofile im laminar durchströmten Rohr

Für derart kurze Kanäle liefert die Rechnung die Näherungsformel 0,664 ... ~G Nu-_ ~ VbZ

yP7

2.4.2(4)

103

In dieser Gleichung tritt eine neue Kennzahl auf Pr - v

2.4.2(5)

K

die sog. Prandtl*)_zahl. Sie ist gleich dem Verhältnis von kinematischer Viskosität v zu Temperaturleitfähigkeit K. Sie ist eine reine Stoffeigenschaft und hat für Gase und Dämpfe etwa den Wert 1. Für Flüssigkeiten liegt sie in der Größenordnung von 10 (Wasser von 10°C). Gleichung 2.4.2(4) gilt sowohl für ebene Kanäle als auch für Rohre, denn der Kanal- bzw. Rohrdurchmesser kürzen sich heraus: as :: 0,664

~

T--ywv~ a :: 0,664 T-

fu

§y-P;Y-:L

Bedenkt man noch, daß L/u gleich der mittleren Verweilzeit der Luft im Kanal ist, so läßt sich Gl. 2.4.2(4) auch schreiben ::0,664

VPr'

a-~

~pC -t

Man erkennt deutlich den prinzipiell gleichen Aufbau dieser Formel, wie wir ihn schon bei den instationären Wärmeleitvorgängen in Festkörpern für kurze Einwirkungszeiten kennengelernt hatten, vgl. Gl. 2.3(5). Gleichung 2.4.2(4) liefert formal für Pr~ 0 Nu~=. Dies ist physikalisch unsinnig. Pr~ 0 bedeutet, daß wegen v --r

Geschwindigkeits- und Temperaturprofile in durchströmten Kanälen (Rohren)

111

Unmittelbar an der Kanalwand, wo die Flüssigkeit haftet und die lokale Strömungsgeschwindigkeit null ist, müssen auch die turbulenten Schwankungsbewegungen verschwinden. Prandtl hat in Anbetracht dieser Sachlage folgendes Modell der turbulenten Kanalströmung entworfen: In unmittelbarer Nähe der Kanalwand existiere eine viskose (laminare) Unterschicht von der Dicke E, innerhalb welcher die kinetischen Ansätze von Fourier q = -A aT/ar und Newton T = -n au;ar gelten, d.h., daß dort rein molekularer Energie- und Impulstransport vorliegt. Im Kern der Strömung besorgen den Energie- und Impulstransport sog. "Turbulenzballen", die- ähnlich wie Moleküle eines Gases - regellose Schwankungsbewegungen ausführen und von denen mr Massenelemente je Flächen- und Zeiteinheit in die viskose Unterschicht eindringen und - wegen der Kontinuitätsbedingung - auch wieder aus ihr herausgeschleudert werden. Die Turbulenzballen haben in der Kernströmung den Axialimpuls mru; beim Eindringen in die viskose Unterschicht werden sie auf den Impuls mru' abgebremst. Da eine Impulsänderung nur durch Einwirkung äußerer Kräfte zustande kommen kann, herrscht in der Ebene E die Schubspannung 2.5(5) Qiese Schubspannung wird in der viskosen Unterschicht an die Wand gemäß dem Newton'schen Schubspannungsansatz übertragen

'=

u'

2.5(6)

n E"

Ähnlich wie das Geschwindigkeitsprofil sieht auch das Temperaturprofil aus; im Kern der Strömung herrscht T, an der viskosen Unterschicht T' und an der Wand Tw. Damit erhalten wir für den Energietransport von der Kernströmung an die viskose Unterschicht 2.5(7) Dieser Wärmestrom wird durch die Unterschicht hindurch gemäß dem Fourier' sehen Vlärmeleitgesetz an die Wand übertragen q

= A

T' - Tw E

2.5(8)

In diesen Gleichungen sind mr und E Hilfsgrößen, sog. Modellparameter, die, da ihnen keine unmittelbare physikalische Realität zukommt, bei der Formulierung des gesuchten Zusammenhanges zwischen q und , wieder elimi112

niert werden müssen. In diesem Sinne folgt aus den Gln. 2.5(5), 2.5(6), 2.5(7) und 2.5(8) q 2.5(9)

oder mit Pr

= v/K q

(f- T )

T

u' J cu [1+(Pr-l)-=-

2.5(10)

w

u

Mit den Definitionsgleichungen a = _ _.:q,____

2.5(11)

T- Tw und worin

T =

~

S~

-2

2.5(12)

p U

der Druckverlustbeiwert, definiert durch 2.5(13)

llP

ist. folgt aus Gl. 2.5(10) Nu

Nu

=

.f Re Pr--'---~ 8

1+(Pr-1) ~

2.5(14)

u

= ad/A und Re = ud/v

Dies ist die Grundform der Prandtl 'sehen Beziehung zwischen Wärmeübergang und Druckverlust bei turbulenter Rohrsträmung. Betrachtet man Gasströmungen mit Pr Blasius'sche Widerstandsgesetz

~

=

~

1 und setzt man außerdem das

0,3164 Re- 114

2.5(15)

ein, so folgt aus Gl. 2.5(14) eine Beziehung Nu = 0,04

Re 3/ 4

2.5(16)

die mit experimentellen Ergebnissen sehr gut übereinstimmt. Insbesondere wird der Exponent der Re-Zahl mit dem Zahlenwert 3/4 bestätigt. 113

Bei genauerer Betrachtung ist jedoch anzumerken, daß das Blasius'sche Widerstandsgesetz nur bis etwa Re = 10 5 mit genügender Genauigkeit erfüllt ist. Bei höheren Re-Zahlen ist~~ Re- 1/ 5 bis ~Re- 1 1 6 . Demnach ist zu erwarten, daß bei sehr hohen Re-Zahlen Nu ~ Re 4/ 5 bis Nu ~ Re 5/ 6 wird. Auch dies ist durch Versuche bestätigt worden. Für Pr t 1 spielt das Geschwindigkeitsverhältnis u'/u eine Rolle. Auch das Verhältnis von Rohrdurchmesser zu Rohrlänge d/L hat zumindest bei relativ kurzen Rohren einen gewissen Einfluß auf den Wärmeübergang. Zur Erfassung dieser Einflüsse sind in den letzten 50 Jahren zahlreiche Vorschläge gemacht worden. Die neueste, weiterentwickelte Fassung der Gl. 2.5(14) findet sich im VDI-Wärmeatlas, III. Aufl., Blatt Gb 3. Sie lautet Nu =

~

(Re-1000)Pr [

1+(~)

2/3

J

1 Z/3 1+12,7 {JS(Pr -1)

2.5(17)

Hierin ist der Druckverlustbeiwert nach der Formel ~=

( 1,82lgRe-1,64) -2

2.8(18)

zu berechnen. Die Gl. 2.5(17) wurde von Gnielinski*) aus Vorschlägen von Petukhov **) und Hausen ***) entwickelt und an alle z.Zt. verfügbaren experimentellen Daten angepaßt. Sie gilt innerhalb folgender Bereiche 2300 0,5 0

Re < Pr d ~ ~· ., ---- "" _[~-

~

r-.... -c:S

~\

II

-Q:

J-ö\

\1~ ~0-

..,

-

C)

.....

\

~~,

""

-

""

C)

\

.....

\

PnN I

""

-

1\

Abb. 2.6(6)

C)

""

120

"".....

0 C)

10- 4 ~------~------~~-L----~------~------~ 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 Abb. 2.6(7)

Re

10°,-------"------- ,,-------,--------,-- ------.

10- 4 ~------~--------~~----~------~------~ 101 102 103 104 105 106 Abb. 2 • 6 ( 8)

Re

121

wird, wie man aus Gl. 2.5(17) ersieht, wenn man dort den ~enner 1+12,7 · 1(rJ8 ( Pr 2/3 - 1) durch 12,7 • v'V8 Pr 2/3 ersetzt. Auch bei l ami na rer Anlaufströmung ist 2.6(8) wie man aus Gl. 2.4.2(4) ersieht. Daraus folgt, daß in gewissen Bereichen der j-factor im wesentlichen eine Funktion der Reynolds-Zahl ist. Die Abb. 2.6(7) zeigt den j-Factor über Re, für Pr = 0,7; die Abb. 2.6(8) zeigt ihn für Pr = 700.

2.7

Wärmeübertragung an überströmte Einzelkörper bei erzwungener und freier Konvektion

Ein überströmter Einzelkörper ist dadurch gekennzeichnet, daß das strömende Medium sehr ausgedehnt ist und in hinreichender Entfernung von diesem Körper sowohl hydrodynamisch wie thermisch völlig ungestört strömt. Prototypen von Einzelkörpern sind die Platte, der Zylinder und die Kugel. Die Strömung um den Einzelkörper kann nun von außen aufgezwungen werden (Einzelkörper im Windkanal) oder durch Dichteunterschiede als Folge von Temperaturunterschieden entstehen (Heizkörper). Im ersteren Fall spricht man von erzwungener Konvektion, im letzteren von freier Konvektion. 2.7.1 Wärmeübergang bei erzwungener Konvektion Die Abb. 2.7.1(1) zeigt eine angeströmte ebene Platte. ungestörte

Außenströmung. dP

dx

=0

laminare Unterschicht

Abb. 2. 7. 1( 1) 122

An der Vorderkante beginnend bildet sich eine sog. "Grenzschichtströmung" aus. Dieser Ausdruck besagt, daß sich die Verzöqerung der Außenströmung von U auf null an der Plattenoberfläche innerhalb einer relativ dünnen Strömungsgrenzschicht abspielt. Die Dicke dieser Grenzschicht nimmt stromabwärts zu, da kein Druckgefälle besteht (dP/dx = 0) und deswegen die Reibungsverluste nur durch eine Impulsabnahme der Außenströmung gedeckt werden können. Die mittlere Dicke solcher Strömungsgrenzschichten ist von der Größenordnung 1 mm. 00

Die Grenzschicht ist von der Vorderkante her stets laminar. Erst wenn sie eine gewisse kritische Dicke erreicht hat, schlägt sie in eine turbulente Strömung um, wobei jedoch eine sog. laminare "Unterschicht" unmittelbar an der Plattenoberfläche erhalten bleibt. Dieser Turbulenzumschlag ist ähnlich wie bei durchströmten Kanälen -durch eine kritische Reynolds-Zahl, die jedoch hier mit der Plattenlänge L gebildet wird, gekennzeichnet. u [

00

L ]

- v - krit

5·105

2.7.1(1)

Ist die Länge der Platte kleiner als 5·10 5 v/U so ist die Grenzschicht über die ganze Länge laminar. Ist die Plattenlänge größer als dieser kritische Wert, so ist die Grenzschicht im vorderen Teil laminar, im hinteren Teil jedoch turbulent. Das Einsetzen der Turbulenz ist durch die Gl. 2.7.1(1) nur näherungsweise beschrieben. Tatsächlich kann die kritische Reynolds-Zahl auch erheblich kleiner sein (5·10 4 ), was davon abhängt, wie die Plattenvorderkante ausgebildet ist (stumpf oder zugeschärft) und welchen "Turbulenzgrad" die Außenströmung hat. 00 ,

Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient bei laminarer Grenzschichtströmung läßt sich nach folgender Formel berechnen Nulam Hierin sind

= 0,664

VPr

-y-pe

2.7.1(2)

Nu = ..::.!:._ I.

uooL

und

Pe

sowie

Pr = v/K

K

123

Der Wärmeübergangskoeffizient a nimmt demnach mit der Wurzel aus der Anströmgeschwindigkeit zu. Man erkennt die Ähnlichkeit der Gl. 2.7.1(2) mit der Gl. 2.4.2(4) für den Wärmeübergang bei laminarer Anlaufströmung im Rohr. Gl. 2.7.1(2) geht unmittelbar in Gl. 2.4.2(4) über, wenn man sie mit dem Verhältnis von Rohrdurchmesser zu Rohrlänge multipliziert. Ist die Strömungsgrenzschicht teilweise turbulent, so gilt nach VDI -~lärmeat­ las, Blatt Ga 1 für den über die gesamtePlattenlänge gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten Nuturb

mit

Für Pr

=

~ Re Pr

1 273 1+f2 ,7 fi]S(Pr -1)

i = 0 037 Re- 1/ 5 8

2.7.1(3)

2.7.1(4)

'

(Gase) hat diese Gleichung die einfache Form Nuturb = 0,037 Re

4/5

2.7.1(5)

Für hohe Prandtl-Zahlen (zähe Flüssigkeiten) folgt

bzw.

1

ff:

Pr Pr2/3 _

Nuturb

=

T2,T "V 8

Nuturb

=

0, 015 Pr 113 Re 9110

Re

2.7.1(6) 2.7.1(7)

Man erkennt an Hand der Gln. 2.7.1(2) bis 2.7.1(7), daß der Einfluß der Strömungsgeschwindigkeit auf den Wärmeübergangskoeffizienten mit steigender Pr-Zahl zunimmt. Die Gln. 2.7.1(2) bis 2.7.1(7) gelten indessen nicht nur für überströmte Platten. Sie sind praktisch auf alle überströmten Einzelkörper mit konkaven Oberflächen anwendbar, wenn man die Plattenlänge L durch eine geeignete äquivalente Länge des nichtplattenförmigen Körpers ersetzt. Aus Versuchen hat man gefunden, daß eine solche Länge zweckmäßig wie folgt gebildet wird: L =~ 2.7.1(8) I'-s

Hierin sind A die wärmeaustauschende Oberfl~che und Us der Umfang der Projektionsfläche in Strömungsrichtung. 124

Für die überströmte Kugel vom Durchmesser d folgt danach nd 2 nd

L =- = d

Für den (langen) querüberströmten Zylinder folgt

Bei sehr kleinen Re-Zahlen verliert Gl. 2.7.1(2) ihre Gültigkeit, da dann die Grenzschichtdicke nicht mehr als klein gegenüber der Körperabmessung angesehen werden kann. Man nennt diesen Bereich den der "schleichenden" Umströmung. Hier gilt für den Zylinder 0,75

vP;

2.7.1(9)

Nu= 1,01

~

2.7.1(10)

Nu und für die Kugel

=

Geht schließlich die Re-Zahl gegen null, so findet eine Wärmeübertragung nur noch durch Wärmeleitung in eine ruhende Umgebung statt. Für die Kugel wurde dieser Fall bereits im Abschnitt 2.2 mit dem Ergebnis NufRe

+

01 = m1n . Nu = 2

2.7.1(11)

behandelt. Allgemein gilt: Für jeden dreidimensional endlichen Körper gibt es eine minimale Nußelt-Zahl, die auf keine Weise unterschritten werden kann. Die Kugel hat den größten minimalen Wärmeübergangskoeffizienten. Für eine dünne Tablette vom Durchmesser d errechnet man 8 I. mina =-;r 0

2.7.1(12)

die äquivalente Tablettenabmessung gemäß Gl. 2.7.1(8) ist L Damit wird für die dünne Tablette minNu

=

min(a;)

2

nd/4.

2.7.1(13)

125

2.7.2

Wärmeübergangskoeffizient bei freier Konvektion

Eine freie Strömung entsteht durch Dichteunterschiede. Wird z.B. eine senkrecht stehende Platte von der Höhe L beheizt, dann sind die wandnahen Flüssigkeits- oder Gasschichten spezifisch leichter als die weiter entfernt liegenden und es besteht ein statischer Druckunterschied zwischen diesen Schichten, der eine aufwärts gerichtete Strömung bewirkt. Die Abb. 2.7.2(1) zeigt das entsprechende Geschwindigkeitsprofil einer solchen Auftriebsströmung. Unmittelbar an der Plattenoberfläche ist die Strömungsgeschwindigkeit null. Mit zunehmender Entfernung von der Plattenoberfläche steigt die Geschwindigkeit an, durchläuft ein Maximum und fällt in hinreichender Entfernung von der Platte wieder auf null ab. Das zugehörige Temperaturprofil fällt in einer wandnahen Grenzschicht auf den Wert, der in hinreichender Entfernung vorgegeben ist, ab.

Tco • Poo

L Abb. 2. 7. 2( 1) Auftriebsströmung an einer senkrechten Platte Gesetzt den Fall, daß die mittlere Geschwindigkeit der Auftriebsströmung in dem Bereich, in dem die Temperatur von Tw auf T abfällt, bekannt w~re, müßten sich die zuvor aufgeführten Gleichungen für die überströmte Platte bei erzwungener Konvektion auch auf den Fall der freien Konvektion anwenden lassen. Geht man davon aus, daß die potentielle Energieaufgrund des statischen Druckunterschiedes

u

00

2.7.2(1) vollständig in kinetische Energie der Auftriebsströmung 2.7.2(2) umgesetzt werden könnte, so müßte gelten

126

1 --2 gL ( P -p w) =2 pu

2.7.2(3)

00

Tatsächlich muß wegen der unvermeidlichen Reibungsverluste Ek.1 n < Epot sein. Mit einem Wirkungsgrad E der Energieumsetzung erhalten wir demnach aus Gl. 2.7.2(3) ( ) 1 - _2 2.7.2 4 Pw ) E=zp u g L (P 00

-

Durch Erweiterung erhält man hieraus g L3 ( P -p ) oow_ --_-=2--- V

PW

_2 2 pul

2EP. -=z W

2.7.2(5)

V

Die linke Seite der Gl. 2.7.2(5) nennt man die Grashof*l_zahl Gr. Die rechte Seite dieser Gleichung enthält die bekannte (äquivalente) ReynoldsZahl im Quadratund einen Vorfaktor, der den Wirkungsgrad der Energieumsetzung enthält und der aus Versuchen zu p/2Epw = 2,5 bestimmt wurde. Somit ergibt sich zwischen der die freie Konvektionsströmung beschreibenden Grashof-Zahl Gr und der die (äquivalente) Strömung durch erzwungene Konvektion beschreibenden Reynolds-Zahl Reäq folgender Zusammenhang

I .

Gr : 2,5 R 2 eäq

2.7.2(6)

Mit dieser Äquivalenzbeziehung lassen sich die im Abschnitt 2.7.1 genannten Formeln für erzwungene Konvektion auch auf Fälle der freien Konvektion anwenden. Beispielsweise geht die Gl. 2.7.1(2) für die laminare Grenzschichtströmung bei erzwungener Konvektion über in die Beziehung Nu = 0,528

:vr:; y-G;'

2.7.2(7)

Für turbulente Grenzschichtströmung und Pr = 1 erhält man Nu = 0,023 Gr 2/ 5 Man auf von der

2.7.2(8)

entnimmt diesen beiden Gleichungen, daß der Einfluß der Plattenhöhe L den Wärmeübergangskoeffizienten a bei laminarer Grenzschichtströmung der Art a ~ L- 114 , bei turbulenter Grenzschichtströmung jedoch von Art a ~ L+ 1/ 5 ist.

*) Grashof, Franz (1826-1893), Karlsruhe, Wärmeübertragung, Gründerdesvor 127

In den meisten technischen Anwendungsfällen liegt indessen der Obergangsbereich vor, in dem a praktisch unabhängig von der Plattenhöhe L ist. Handelt es sich um nichtplattenförmige Körper, so gelten die gleichen Formeln, wenn man wiederum eine äquivalente Plattenhöhe, wie sie durch Gl. 2.7.1(8) bereits für den Fall erzwungener Konvektion definiert wurde, einsetzt. 2.7.3

Oberlagerte freie und erzwungene Konvektion

Durch Versuche hat man festgestellt, daß es bei der Oberlagerung von freier und erzwungener Konvektion ebenfalls möglich ist, die im Abschnitt 2.7.1 genannten Formeln zur Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten bei erzwungener Konvektion anzuwenden, wenn man in diese eine resultierende Reynolds-Zahl einsetzt, die wie folgt zu bilden ist: Re

res.

2

V Re erzw.

=- /

+

n1

Gr

2.7.3(1)

Hierin sind Reerzw die Reynolds-Zahl der erzwungenen Strömung und Gr die Kennzahl der freien Strömung. Man erkennt, daß offensichtlich eine Addition der Strömungsenergien vorgenommen werden muß, wobei es gleichgültig ist, ob die Strömungen der erzwungenen und der freien Konvektion gleichoder gegengerichtet sind. Indessen gibt es bei gegengerichteten Strömungen, falls Reerzw = Reäq ist, instabile Strömungszustände, bei denen eine Vorausberechnung von Wärmeübergangskoeffizienten sehr unsicher ist. 2.7.4

Zusammenfassende Darstellung der Wärmeübertragung an überströmte Einzelkörper verschiedener Form bei erzwungener und freier Konvektion

Die in den Abschnitten 2.7.1 bis 2.7.3 mitgeteilten Gleichungen zur Berechnung von mittleren Wärmeübergangskoeffizienten überströmter Einzelkörper lassen sich empirisch zu einer einzigen Berechnungsformel zusammenfassen, die alle bekannten Meßergebnisse mit einer für technische Zwecke ausreichenden Genauigkeit wiedergibt:

128

2.7.4(1) Hierin ist Nu= al/A mit L = A/Us nach Gl. 2.7.1(8). minNu, Nulam und Nuturb berechnen sich wie folgt: minNu




Nu=

100

2

10 1

2

1

I

I'

_\. .

I

10 a

2

5

·~~

.::;~~

10 1 2

5

__.

10 2 2

5

~Platte

1

/ ~/V ,-;:I·--hv g Trennung der Variablen und Integration über x Funktion der Länge x: 4

Af(TS-TW)vf X Pf t>hv g

-zr= E

2 .10.1 ( 19) er~ibt

die Filmdicke E als

2 .10.1 (20)

Gl. 2.10.1(20) nach E aufgelöst und in Gl. 2.10.1(5) eingesetzt ergibt den lokalen Wärmeübergangskoeffizienten ax ax,lam =

V 4

g pf t>hv Af 3

l vf(T s -T w)x

2.10. 1( 21)

Für die praktische Anwendung benötigt man den integralen Mittelwert L

a1am =

TJ

ax dx

2. 10. 1( 22)

0

Aus Gl. 2.10.1 (21) folgt

alam

-v'2 = -3- •

4

2

2 .10. 1(23)

Gl. 2.10. 1(23) läßt sich auch in dimensionsloser Form schreiben. Der Ausdruck -y--g 3 fvf2.., hat die Dimension einer Länqe. - ~lir bilden hiermit eine dimensionslose Wärmeüberaangszahl Nu

Lam

= al am f l g 2 Af

2 .10.1 (24)

und eine dimensionslose Länge 2.10.1(25a)

bzw.

140

2.10.1(25b)

Sodann verbleibt noch eine dimensionslose Temperaturdifferenz 2.10.1(26) Mit diesen Kennzahlen lautet dann Gl. 2.10.(23) Nu l am

=

1 l:....::ff. ."..v--K--K-, 3 L

2.10.1(27)

T

Diese Gleichung gilt für laminare Filmströmung. Wichtig ist festzustellen, daß der Wärmeübergang bei laminarer Filmströmung um so schlechter wird, je größer die Höhe L der gekühlten Wand und je größer der Temperaturunterschied (Ts-Tw) ist. Dies liegt daran, daß bei Zunahme dieser beiden Größen auch die Filmdicke E zunimmt, womit a nach Gl. 2. 10.1(5) abnehmen muß. Diesem Einfluß ist indessen dadurch eine Grenze gesetzt, daß bei zunehmender Filmdicke E schließlich eine kritische Filmdicke erreicht wird, ab welcher der Film dann turbulent strömt. Bei turbulenter Filmströmung kehren sich nun die Verhältnisse um, d.h. der Wärmeübergang wird mit weiter zunehmender Filmdicke wieder besser. Dies liegt daran, daß mit zunehmender Filmdicke auch die Intensität der turbulenten Mischbewegungen im Innern des Filmes und damit auch der Wärmetransport stark zunehmen. Abb. 2.10.1(4) zeigt das Temperaturprofil im Innern eines turbulent strömenden Kondensatfilmes.

viskose

+ - - - - - -Folge

Unterschicht als der Oberflächenspannung

-------

viskose Unterschicht als Folge der Wandhaftung

Abb. 2.10.1(4)

Temperaturprofil im turbulent strömenden Kondensatfilm 141

Danach ist die turbulente Kernströmung mit nahezu ausgeglichenem Temperaturprofil von zwei viskosen (laminaren) Unterschichten von der Dicke ~w in der Nähe der gekühlten Wand und von der Dicke ~ 0 in der Nähe der Filmoberfläche begrenzt. Die Wärmeübergangswiderstände liegen hauptsächlich in diesen Unterschichten, so daß ax , tu rb

-

>.f -E-w-:-+-E-0-

2. 10. 1( 28)

ist. Die Dicke dieser Unterschichten nimmt nun mit zunehmender Gesamtdicke des Filmes ab. Indessen läßt sich diese Abnahme nicht a priori berechnen, weshalb man hier auf Versuchsergebnisse angewiesen ist. Letztere haben gezeigt (vgl. F. Blangetti "')),daß auch bei turbulenter Filmströmung der Wärmeübergangskoeffizient Nu von den gleichen Kennzahlen wie bei laminarer Filmströmung, nämlich KL und KT abhängt, zusätzlich jedoch auch noch die Prandtl-Zahl des Kondensatfilmes Prf einen maßgeblichen Einfluß hat. Diese Effekte lassen sich erfassen, wenn man den Wärmeübergangskoeffizienten für laminare Filmströmung mit einer entsprechenden empirischen Korrekturfunktion versieht. Demnach gilt allgemein für den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten bei der Kondensation ruhender Dämpfe an vertikalen Flächen: 2.10.1(29)

Die Korrekturfunktion hat nach den Versuchen von Blangetti die Form 2. 10. 1 ( 30)

Sie ist experimentell bis Prf

= 20 belegt.

Nulam ist nach Gl. 2.10.1(27) zu berechnen. In der Abb. 2.10.1(5) ist Nu über KLKT mit Prf als Parameter aufgetragen. Alle Kurven durchlaufen ein Minimum, das sich mit steigender Prf-Zahl zu kleineren KLKT-Werten hin verschiebt.

*) Blangetti, F.: Lokaler Wärmeübergang bei der Kondensation mit überlaqerter Konvektion im vertikalen Rohr, Dissertation Universität Karlsruhe, 1979

142

Die Darstellung des Wärmeüberganges nach Gl. 2.10.1(29) und 2.10.1(30) ist für die erste Auslegung von Kondensatoren geeignet, da häufig die Höhe der gekühlten Fläche und der Temperaturunterschied vorgegebene Größen sind. Zur Nachrechnung eines ausgeführten Kondensators eignet sich indessen eine Darstellung, in der unmittelbar die ablaufende Kondensatmenge je Längeneinheit der gekühlten Fläche NfLt als unabhängige Variable enthalten ist. Diese Kondensatmenge tritt unmittelbar in der mit der Filmdicke EtLt am Kondensatablauf gebildeten Reynolds-Zahl auf. Es ist 2.10.1(31) Nun ist die ablaufende Kondensatmenge je Längeneinheit der Filmbreite b 2.10.1(32) Demnach läßt sich die Reynolds-Zahl des ablaufenden Kondensatfilmes auch schreiben Re fU = NfU 2.10.1 (33) f

nf

Weiterhin folgt aus der Energiebilanz für den gesamten Kondensatfilm 2. 10. 1( 34) und dem kinetischen Ansatz Q

2.10.1(35)

der Zusammenhang 2. 10. 1 ( 36)

oder entsprechend erweitert 2.10.1(37) Mit Hilfe dieser Beziehung, die die Reynolds-Zahl des ablaufenden Kondensatfilmes mit dem über die gesamte Filmoberfläche gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten verknüpft, lassen sich in die Abb. 2.10.1(5) Linien konstanter ReffLi-Zahl einzeichnen, so daß man aus dieser Abbildung auch den Zusammenhang Nu = NufReffLt, Prft ablesen kann.

143

1o-2L-----------~----------~----------~L---------~ 10 1 10 2 10 3 KL KT .10 4 10 5

Abb. 2.10.1 (5)

Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient bei der Kondensation von ruhenden Dämpfen an vertikalen ebenen Flächen

Im Hinblick auf die technische Anwendung interessiert auch der Wärmeübergang bei der Kondensation an gekrümmte Flächen, wie z.B. an innen gekühlten, waagerechten Rohren, vgl. Abb. 2.10.1(6).

\ I

/ sin I.P Abb. 2.10.1 (6) Kondensation an innen gekühlten, waagerechten Rohren

Da in diesem Falle nur die Schwerkraftkomponente g pf sin~ in Richtung der Filmströmung wirksam ist, liefert die Rechnung für den laminar ablaufenden Film Nu Rohr,waag. = Nu Wand,senkr · 0 ' 77 2 · 10 · 1( 38)

144

wobei als Höhe der Kühlfläche zur Berechnung von Nuwand,senkr der Durchmesser d des Rohres einzusetzen ist. Es wird empfohlen, diesen Minderungsfaktor auch bei turbulent ablaufenden Filmen anzuwenden. In praktisch ausgeführten Kondensatoren werden oft viele Rohre übereinander angeordnet, so daß das Kondensat von einem auf das ~dere Rohr tropft. Dadurch werden die Kondensatfilme der tiefer liegenden Rohre dicker, was bei laminaren Filmen den Wärmeübergangskoeffizient verschlechtert. Ist z die Zahl der übereinander liegenden Rohre und a0 der Wärmeübergangskoeffizient der obersten Rohrlage, so sollte entsprechend Gl. 2.10.1(23) bei rein laminarem Film gelten: az = a0 z- 114 . Indessen wird durch das Abtropfen auch Turbulenz erzeugt, was den Wärmeübergang wieder verbessert. Für praktische Rechnungen mag daher der Ansatz a

z

= a

0

z -O ' 1

2.10.1 (39)

empfohlen werden. 2.10.2

Kondensation von strömendem Dampf

Wird Dampf nicht an der Außenseite innengekühlter Rohre, sondern an der Innenseite außengekühlter Rohre kondensiert, so ist der sich bildence Kondensatfilm besonders zu Beginn der Kondensation einer hohen Strömungsgeschwindigkeit des Dampfes ausgesetzt. Mit fortschreiDampf tender Kondensation nimmt o-uo diese Dampfgeschwindigkeit dann ab, um gegen Ende der Kondensation gegen null zu .. gehen, wie dies in Abb. 2.10.2(1) schematisch für die Kondensation im senkrec~ ten Rohr dargestellt ist. Durch die Schleppwirkung der Dampfströmung wird erstens die Ablaufgeschwindigkeit des Kondensatfilmes erhöht Flüssigkeit und damit die Filmdicke verringert und zweitens die Abb. 2.10.2(1) Turbulenz im Kondensatfilm Kondensation im vertikalen Rohr

--- ·l·~~Q

145

verstärkt. Beide Effekte bewirken eine Erhöhung des Wärmeüberganges. Eine genaue Berechnung dieses Einflusses erfordert wegen der stark veränderlichen Dampfgeschwindigkeit mit dem Strömungsweg eine schrittweise Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten. Hierzu sei auf die Spezialliteratur verwiesen, z.B. F. Blangetti, Dissertation, Karlsruhe 1979. 2.10.3

Kondensation von Dampfgemischen

Bei der Kondensation von Dampfgemischen kondensieren zuerst verstärkt die Komponenten mit dem niedriqeren Dampfdruck (also die schwerflüchtigen Dampfdruck Bestandteile) und zuletzt die Komponenten mit dem höheren (also die leichtflüchtigen Bestandteile). Es findet also während der Kondensation eine teilweise Entmischung statt. Diese Vorgänge können nur zusammen mit den Gesetzen der Stoffübertragung (Diffusion) behandelt werden. Das gleiche gilt auch für die Berechnung des Einflusses inerter Gase, z.B. Luft, auf den Wärmeübergang bei der Kondensation. Es sei an dieser Stelle angemerkt, daß schon die Gegenwart geringster Luftmengen den Wärmeübergang bei der Kondensation von Wasserdampf erheblich herabsetzen kann. Praktisch liegt dieses Problem bei jedem Dampfturbinenkondensator in Kraftwerken vor. Zu all diesen - technisch sehr wichtigen Fragen -muß an dieser Stelle auf Spezialliteratur verwiesen werden, z.B. VDI-~iärmeatlas, Blätter A14 bis A19 und Jb 1 bis Jb 7.

2.11.

Wärmeübertragung bei der Verdampfung von Flüssigkeiten

2.11.1

Verdampfung von ruhenden Flüssigkeiten

t

' 146

... .. .. .. .!w.

...... Ts . • Q

Abb. 2. 11. 1( 1)

-= ~

Wird eine Flüssigkeit erhitzt, so setzt bei Oberschreiten der Siedetemperatur Ts Verdampfung ein. Bei kleinen Obertemperaturen der Wand Tw-Ts findet Verdampfung nur am oberen Flüssigkeitsspiegel statt. Die Wärme wird durch freie Auftriebsströmung von der Heizfläche an die Flüssigkeitsoberfläche transportiert.

Bei größeren Obertemperaturen setzt Dampfblasenbildung an der Heizfläche ein. Die aufsteigenden Dampfblasen erhöhen die Flüssigkeitszirkulation und damit den Wärmeübergang beträchtlich. Bei sehr großen Obertemperaturen schließen sich die Blasen an der Heizfläche zu einem Dampffilm zusammen. Wegen der schlechten Wärmeleitfähigkeit des Dampfes wird dann der Wärmeübergang wieder sehr schlecht, vgl. Abb. 2.11.1(2). 105

a w m2 K

Wasser P

= 1 bar

104 Konvektionssieden

103

instob

Abb. 2.11.1(2) a)

stabil

Wärmeübergangskoeffizient a in Abhängigkeit von Temperaturdifferenz fiT= Tw- Ts.

Konvektionssieden

Im Bereich des Konvektionssiedens gelten die bekannten Wärmeübergangsgleichungen A al _ f ~ '_it 2.11.1(1) vf Kf

1f-

wobei

Hierin ist

ul vf

Re

Gr

L3 ~ fip 2 pvf

= -~~

Gr

L3 g ß fiT vf

ist.

2.11.1(2)

2.11.1(3)

147

mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten 2.11.1(4) bar ist

Für siedendes Wasser von P

0,752·10- 3 [1/ K]

ß

und

0,295·10- 6 [m 2/s]

Bei einer Plattenlänge von z.B. L = 10 cm und einer Temperaturdifferenz von 6T = 5 K ergibt sich dann eine Grashofzahl von

M·

Daraus folgt Re= 10 4 . Dies liegt im Obergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Strömung. In diesem Bereich kann man die Gl. 2.7.4(1) durch folgenden Ausdruck approximieren

oder

aL \f= 0' 180

~·

R

aL

3

3

"If-

0 '180

~·

2.11.1(5) L3gßf.6T 2,5. \)f 2

,: ,

2. 11 . 1( 5a)

Da sich die Länge L herauskürzt, bildet man zweckmäßig wie schon bei der Kondensation die Nußelt-Zahl wie folgt:

.v~r

2.11.1(6)

Damit erhält man für den Bereich des Konvektionssiedens:

I Nu= 0,135 • 3~ • 3-y'ßfM I

2.11.1(7)

Tatsächlich gemessene Wärmeübergangszahlen liegen etwas höher, da einige wenige Dampf- und Gasblasen, die den Auftrieb verstärken, auch in diesem Bereich immer vorhanden sind.

148

b)

Blasensieden

Auch beim Blasensieden ist die Plattenoberfläche noch vollständiq benetzt und es existiert eine dünne Flüssigkeitsunterschicht, in der die Flüssigkeit durch die Auftriebswirkung der Blasen nach oben strömt. Auch dies ist ein Vorgang der Wärmeübertragung bei freier Konvektion, so daß zur Berechnung des Wärmeüberganqs eine im Prinzip ähnlich aufqebaute Gleichung wie die Gl. 2.11.1(7) zu erwarten ist. Indessen ist wegen des großen Dichteunterschiedes zwischen Dampfblasen und Flüssigkeit die Intensität der Auftriebsströmung viel stärker als beim Konvektionssieden. Führt man für das zweiphasige Gemisch aus Flüssigkeit und Dampfblasen ebenfalls einen Ausdehungskoeffizienten 6Gemi sch

ClpGemisch PGemisch

dT

2.11.1(8)

ein, so lautet die auf das Blasensieden übertragene Gl. 2.11.1(7) in ihrem Kern 2.11.1(9) 6Gemisch l'lT a "'

V

Nun ist einzusehen, daß ßG emlsc . h selbst sehr stark mit zunehmendem Temperaturunterschied l'lT zunimmt, da die Zahl der sich bildenden Blasen ebenfalls mit wachsendem Temperaturunterschied l'lT durch vermehrte Blasenkeimstellenaktivierung stark ansteigt. Die Abhängigkeit des Gemischausdehnungskoeffizienten ßGemisch von den äußeren Einflußgrößen wie Stoffwerte der siedenden Flüssigkeit, Druck und Temperatur, Art und Beschaffenheit der Heizkörperoberfläche (Rauhigkeit, Gasgehalt) u.a.m. ist sehr verwickelt und bis heute noch nicht hinreichend geklärt. Man ist hier allein auf Versuche angewiesen. Letztere haben ergeben, daß ßGem1sch . "' l'lTm

2.11.1(10)

gesetzt werden kann, wobei der Exponent m beim Sieden unter Normaldruck im Mittel etwa den Wert 6 hat. Damit folgt aus Gl. 2.11.1(9) für den Wärmeübergang im Bereich des Blasensiedens bei Normaldruck die Proportionalität 2.11.1(11) Bei hohen Drücken ist m kleiner, bei niedrigen dagegen größer, was auch an Hand der Gl. 2.11.1(8) verständlich ist, da sich mit steigendem Druck 149

die Gemischdichte immer mehr der Flüssigkeitsdichte nähert, und demzufolge der Gemischausdehnungskoeffizient gegen den Flüssigkeitsausdehnungskoeffizienten gehen muß. Lassen wir zunächst den Einfluß des Druckes außer acht und schreiben für den Wärmeübergang bei Normaldruck, d.h. bei p = 1 bar und der zugehörigen Siedetemperatur Tsf1bar1 [öTJ7/3 o Ts

a -- C

2.11.1(12)

so gilt für C0 nach einer von K. Stephan*) an Hand von Versuchsergebnissen aufgestellten Korrelation A2 \}f (J

p

C =212·10- 4 -f_.[d 0

'

öh R ~4 / 9 •T vp

y2

(J

s

2.11.1(13)

Hierin bedeuten Af die Wärmeleitfähigkeit und vf die kinematische Viskosität der Flüssigkeit, cr die Oberflächenspannung und y der Randwinkel der Flüssigkeit, pd die Dichte des Dampfes und öhv die Verdampfungsenthalpie bei 1 bar. RP ist die sog. Rauhigkeitstiefe der Heizfläche nach DIN 4762. Danach gilt etwa für feinstgeschliffene Flächen

RP

~

0,1

~m

feingeschlichtete

Rp

~

1

~m

geschlichtete

R

~

10

~m

geschruppte/geputzte "

Rp

>

100

~m

p

Nachstehend sind einige Zahlenwerte für C0 bei einer Rauhigkeitstiefe von Rp = 1 ~m aufgeführt.

*) Stephan, K., CIT 35(1963), 775/784 150

st

0

H2o NH 3 CHll

so 2

CHF 2Cl CF 3Cl CHF Cl 2 CF 2c1 2 CF Cl 3 CzF 4Cl 2 C2F3Cl 3

f f

pJbar TcfoC

Hasser Ammoniak Methylchlorid Schwefeldioxyd Frigen 22 Frigen 13 Frigen 21 Frigen 12 Frigen 11 Frigen 114 Frigen 113

221 ,2 112,6 66,8 78,8 49,3 38,6 51 ,7

374,2 132,3 143' 1 157,5 96,0 28,8 178,5

40 '1 43,8 32,6 34,1

111 '5 198,0 145,7 214' 1

Ts f1bad/ oc

TsfK

+100 -33,4 -23,7 -10,0 -40,8 -81 ,5 + 8,9 -29,8 +23,7

373,1 239,7 249,4 263 '1 232,3 191 ,6 282,0 243,3 275,8 277,2 320,7

+ 4' 1 +47,6

c

I t4 o-;zK

10,61·10 6 8,51·10 6 3,33·10 6 3,26·10 6 1 ,76·10 6 1,67·10 6 1 ,38·10 6 1 ,06·10 6 0,91·10 6 0,73·10 6 0,73·10 6

Trägt man die Konstanten C0 über der Molmasse der Stoffe auf, so erhält man folgendes Bild: 2

5

2

2

5

102

M, Abb. 2.11.1(3)

2

5

kg/kmol

Der Vorfaktor C in Gl. 2.11.1(12) als Funktion der Molmasse M. 0 151

Die Ausgleichsgerade in Abb. 2.11.1(3) folgt der Formel 2.11.1(14) Hiermit lassen sich in erster Näherung Wärmeübergangskoeffizienten beim Sieden anderer Flüssigkeiten bei p = 1 bar abschätzen. Kennt man den Wärmeübergang beim Sieden unter Normaldruck (p 0 = 1 bar), so kann man diesen auf andere Drücke nach der empirischen Formel von Haffner*) umrechnen (q = const) 2.11.1(15)

worin 0,7

+..E....(s+-2 ) 1-L Pc

2.11.1(16)

Pc

Für Wasser z.B. ergibt eine Steigerung des Druckes von 1 bar auf 10 bar eine Verbesserung des Wärmeüberganges nach dieser Gleichung um 54 % (bei q = const). Wie aus der Abb. 2.11.1(2) ersichtlich, gibt es einen kritischen Temperaturunterschied 6Tkrit' der bei Wasser von 1 bar etwa bei 30°C liegt, bei dem ein maximaler Wärmeübergangskoeffizient a und damit auch eine maximal übertragbare Wärmestromdichte 2.11.1(17) erreicht wird. Beim Oberschreiten dieser kritischen Temperaturdifferenz schließen sich die Dampfblasen zu einem die Heizfläche überziehenden Dampffilm zusammen und der Wärmeübergang wird wieder sehr schlecht. Für diese maximal übertragbare Wärmestromdichte hat man aus Versuchen folgende Berechnungsformel entwickelt, siehe auch VDI-Wärmeatlas, Blatt Ha 2:

I maxq

=

0,14 6hv

-y;;; Vgcr(pf-pd)'

2.11.1(18)

*) Haffner, H., Forschungsbericht des Bundesministerium für Bildung und Wissenschaft, FB-K?0/24

152

In dieser Gleichung sind alle Größen in SI-Einheiten einzusetzen. Für SiedendesWasser bei 100 °C ergibt sich mit öhv = 2257,3·10 3 J/kg, pd = 0, 597 kg/m 3 , pf = 958,1 kg/m 3 und a = 58,8 ·10- 3 N/m ein ~lert für maxq = 1,18·10 6 W/m2. Mit Gl. 2.11.1(18) ist die obere Grenze des Existenzbereiches des Blasensiedens angegeben. Das nachfolgende Filmsieden ist von geringerem technischen Interesse (ausgenommen jedoch z.B. Abschrecken von Stahl in Wasser) und soll hier nicht behandelt werden. Gemäß Gl. 2.11.1(7) und 2.11.1(12) ist der Wärmeübergangskoeffizient a beim Sieden ruhender Flüssigkeiten in erster Linie vom Temperaturunterschied zwischen Heizfläche und Sättigungstemperatur öT = Tw - Tsfpj abhängig. Die Abb. 2.11.1(4) zeigt a = aföTt für Wasser bei verschiedenen Drücken für die Bereiche des Konvektions- und des Blasensiedens. In diese Abbildung sind auch Linien konstanter Wärmestromdichte q eingetragen, die sich entsprechend der Definitionsgleichung a = q/öT als Geraden mit der Steigung -1 abbilden.

a.

w

m2 K

10 4

Abb. 2.11.1(4)

Wärmeübergang beim Behältersieden von Wasser 153

Mit Hilfe dieser Definitionsgleichung kann man die Funktion a auch in die Form a = afq~ bringen. Es folgt aus a=C 0 AT 7/3

afAT~

2.11.1(19)

1

mit C = C T- 713 der Zusammenhang 0 s 0 1

a =

(C

1

0

)3/10 q7 /10

2. 11. 1( 20)

Setzt man hierin q maxq nach Gl. 2.11.1(18) ein, so erhält man daraus den maximalen Wärmeübergangskoeffizienten beim Blasensieden. Für Wasser bei 1 bar folgt maxa = 36 130 W/m 2K. Daraus folgt der kritische Temperaturunterschied zu 32,7 K.

2.11.2 Auslegung von Verdampfern zur Verdampfung ruhender Flüssigkeiten Betrachten wir einen Röhrenkesselapparat zur Abkühlung von Wasser mit verdampfendem Frigen 12, wie er in der Abb. 2.11.2(1) dargestellt ist.

t

F 12 Dampf Dampfstrom F12 Flüssigkeitsstand

Abb. 2.11.2(1)

Röhrenkesselverdampfer zur Abkühlung von Wasser mit verdampfendem Frigen 12

. auf TL ,aus abzukühlende Wasser durchströmt die Rohre, das Das von TL ,e1n Frigen verdampft im Mantelraum. Die Siedetemperatur des Frigens Tsfp~ ist durch den Kesseldruck vorgegeben und konstant. Der mittlere Wärmeüber154

gangskoeffizient auf der Wasserseite al kann nach den Gleichungen aus dem Abschnitt 2.5 berechnet werden. Der lokale Wärmeübergangskoeffizient auf der Wasserseite ist auf der Wassereintrittsseite etwas höher wegen der im Abschnitt 2.7.4 beschriebenen Einlaufeffekte, jedoch kann man dies vernachlässigen und al auch lokal als konstant ansehen. Anders hingegen sind die Verhältnisse auf der Frigenseite. Dort ist nach Gl. 2.11.1(12) der Wärmeübergangskoeffizient as stark vom lokalen Temperaturunterschied zwischen der Rohrwand und dem siedenden Frigen ~T = TR - TS abhängig. Da dieser wegen der Wasserabkühlung längs des Strömungsweges stark abnimmt, nimmt auch as längs des Strömungsweges stark ab. Würde man in diesem Fall mit einem mittleren Wärmeübergan9skoeffizienten auf der Frigenseite rechnen, so würde man doch größere Fehler machen. Wir müssen daher für diesen Fall die im Abschnitt 1.4 beschriebene Berechnungsmethode zur Bestimmung des mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten k aus den jeweiligen mittleren Wärmeübergangskoeffizienten aj entsprechend erweitern. Wir beginnen wieder mit den kinetischen Ansätzen für den Wärmestrom an einer beliebigen Stelle z im Apparat: Wasserseite

q

al(TL- TRL)

2.11.2(1)

Rohrwand

q

aR(TRL-TRS)

2.11.2(2)

Frigenseite

q

aS(TRS-TS)

2.11.2(3)

vgl. auch Abb. 1.4(1). Hierin hängt as von (TRS- Ts) und damit auch von q ab, und zwar allgemein in der Form 2.11.2(4) wobei n = 7/10 im Bereich des Blasensiedens und n = 1/4 im Bereich des Konvektionssiedens ist. Wir führen die weitere Rechnung allgemein durch, so daß das Ergebnis für beliebige Zahlenwerte von n benutzt werden kann. Die Elimination der Rohrwandtemperaturen in den Gln. 2.11.2(1) bis 2.11.2(3) ergibt: q. { - 1 al

1-} + - 1 + -. aR

Cqn

=

TL - TS

2.11.2(5)

155

Andererseits lautet die Energiebilanz an der Stelle z 2.11.2(6) Die Elimination von TL liefert 2.11.2(7) Die Integration ergibt qein - + -1-n { -1- - -1-}] A = cll· [ (1- + -1) l n .n. .n nC q. aR al qaus

aus

2.11.2(8)

qe1n

Man sieht, daß sich die Austauschfläche A auch mit Hilfe der Wärmestromdichten am Wasserein- und Austritt qein bzw. qaus berechnen läßt. Diese Wärmestromdichten müssen ihrerseits iterativ aus Gl. 2.11.2(5) bestimmt werden: 2 .11.2(9) und q.

aus

J

1 =T [ -1+ -1+ - -T s L,aus c·n aR al qaus

2.11.2(10)

Beachten muß man, ob der gesamte Apparat im Bereich des Blasensiedens oder im Bereich des Konvektionssiedens arbeitet oder beide Bereiche längs des Strömungsweges des Wassers durchlaufen werden. Den entsprechenden Umschlagspunkt findet man, indem man . nKs CKS qUm

=

. nBs CBS qUm

2.11.2(11)

setzt, wobei die Indizes KS und BS Konvektions- bzw. Blasensieden bedeuten. Mit der so bestimmten Wärmeflußdichte am Umschlagspunkt kann man dann die zugehörige Wassertemperatur am Umschlagsounkt aus Gl. 2.11.2(5) bestimmen q.

156

Um

J

1 + -1[ -1+ c·n aR al qum

=T

L,Um

-T

s

2.11.2(12)

Sodann berechnet man die zugehörigen Flächenanteile AKS und ABS nach Gl. 2.11.2(8). Die Summe beider Anteile ist dann gleich der erforderlichen Gesamtfläche des Verdampfers.

2.11.3 Verdampfung strömender Flüssigkeiten In zahlreichen Fällen (Dampferzeuger in Kraftwerken, Luftkühlern u.a.m.) strömt die zu verdampfende Flüssigkeit durch außen beheizte senkrechte oder waagerechte Rohre. In diesen Fällen ist der Wärmeübergang stets besser als bei ruhenden Flüssigkeiten. Diese Verbesserung macht sich um so stärker bemerkbar, je höher die Strömungsgeschwindigkeit ist. Da letztere mit zunehmendem Dampfgehalt stark ansteigt, ist einzusehen, daß der Wärmeübergang längs des Strömungsweges stark veränderlich ist. Die Angabe von mittleren Wärmeübergangskoeffizienten ist in diesem Falle wenig sinnvoll. Der Verlauf des lokalen Wärmeübergangskoeffizienten folgt ziemlich verwickelten Gesetzmäßigkeiten, so daß hier auf Spezialliteratur verwiesen werden muß.*)

2.12.

Wärmeübertragung durch Strahlung

2.12.1 Strahlung fester Oberflächen Die Wärmeübertragung zwischen Oberflächen fester Körper kann nach zwei Methoden ermittelt werden, der sog. "Reflexionsmethode" und der sog. "Hohlraummethode". Wir wollen zunächst nach der Reflexionsmethode vorgehen, da sie anschaulicher ist, dann aber auch die Hohlraummethode kennenlernen, da sie in vielen praktischen Fällen schneller zum Ziel führt. Den Energieaustausch zwischen zwei planparallelen Platten, deren Ausdehnung groß gegen ihren Abstand ist, berechnen wir nach der Reflexionsmethode wie folgt:

*) Bandel, J.: Druckverlust und Wärmeübergang bei der Verdampfung siedender Kältemittel im durchströmten waagerechten Rohr, Diss. Universität Karlsruhe, 1973. Steiner, D.: Wärmeübergang und Druckverlust von siedendem Stickstoff bei verschiedenen Drücken im waaoerechten durchströmten Rohr, Diss. Universität Karlsruhe, 1975. -

157

Fläche 1

T1

E1

Fläche

2

---

Ll

1 .{' A1

Abb. 2.12.1(1)

Wärmeübertragung durch Strahluno zwischen zwei planparellelen Platten nach der-Reflexionsmethode

Die Energie, die von der Fläche 1 ausgestrahl wird, ist 2.12.1(1) Von dieser Energie wird an der Fläche 2 der Anteil 2.12.1(2) absorbiert. a 2 ist der Absorptionskoeffizient der Fläche 2, der zwischen null und eins liegen muß. Der verbleibende Energieanteil wird von der Fläche 2 reflektiert.

Von diesem reflektierenden Anteil wird von der Fläche

der Anteil

absorbiert und davon wieder der Anteil 2.12.1(5) auf die Fläche 2 zurückgestrahlt. Hiervon absorbiert die Fläche 2 wieder den Betrag 158

2.12.1(6) und sie reflektiert 2.12.1(7) und so fort. Dieser Vorgang ist durch die Pfeile in der oberen Bildhälfte der Abb. 2.12.1(1) veranschaulicht. Demnach erhält die Fläche 1 von der eigenen ausgesandten Energie E: 1 die Summe aller Beträge ßjA 1 wieder zurück: 2.12.1(8) Hierin ist k

(1-a 2 )(1-a 1). Nun ist 1+k+k 2+k 3 +... =-rh-

2.12.1(9)

so daß 2.12.1(10) ist. In der gleichen Weise verfolgen wir nun den Weg der von der Fläche 2 ausgesandten Strahlung. Es ist E2

E2 es T2

4

ll1 A1 ll1

a 1 E2

ll1 Ä~ ll1 E2

E2(1-a 1)a 2

t;

'I

' ll 2 A 1 I

2.12.1(11)

E2(1-a 1l

E2(1-a 1)(1-a 2 ) E: 2( 1-a 1)( 1-a 2) a 1

und so fort. Die Summe allerllj Ä; ergibt dann die Energie, die die Fläche 1 von der Fläche 2 erhalten hat. j=oo l:

llj

Ä;

llj

Ä;

j=1 j=oo l:

j=1

. 2 3 E2(1+k+k +k +.. )a 1 = [2 a1 1-k

2.12.1(12)

2.12.1(13)

159

Die insgesamt von der Fläche 1 abgegebene Energie ist dann j=oo . l: bJÄ j=1 1

q

E1

q

E1

q

E1 a2 - E2 a 1 a 1+a 2 - a 1 a 2

J=oo j' L: 11 A1 j=1 I

2.12.1(14)

Daraus folgt

oder

E: 1( 1-a 2)a 1

+ E: 2 a 1

1- k

2.12.1(15)

2.12.1(15)

Haben nun beide Flächen die gleiche Temperatur, so muß Gleichgewicht herrschen, d.h. q = 0 sein. Daraus folgt aus Gl. 2.12.1(15) mit Gl. 2.12.1(11) 2.12.1(16) oder 2.12.1 (17) Da nun E1 und E2 erstens voneinander unabhängig sind und zweitens auch den Wert 1 annehmen können, muß gelten 2.12.1(18) 2.12.1(19) Gl. 2.12.1(18) und 2.12.1(19), die besagen, daß die Emissionszahl E gleich der Absorptionszahl a ist, nennt man das Kirchhoff'sche*)Gesetz. Damit folgt nun für die zwischen den beiden Platten durch Strahlung ausgetauschte Energie oder die Wärmeflußdichte 2.12.1 (20)

*) Kirchhoff, Gustav Robert, 1824-1887 160

Definiert man noch einen sog. kombinierten Strahlungskoeffizienten 2.12.1(21) so ist im Falle planparalleler Platten, deren Ausdehnung groß gegen ihren Abstand ist 2.12.1(22)

Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man mit der Hohlraummethode, mit der man das Problem jedoch gleich auf eine beliebige Anzahl von Flächen, die einen geschlossenen Hohlraum bilden, ausgedehnt, lösen kann, siehe auch VDI-Härmeatlas, Blatt Ka 5. Wir verwenden bei dieser Methode folgende Begriffe: Hi, d.i. die insgesamt auf die Fläche Ai auftreffende flächenbezogene Strahlung,(~l/m 2 ], auch Helligkeit genannt. Bi' d.i. die insgesamt von der Fläche Ai ausgesandte flächenbezogene Strahlung,[W;m 2]. Sie setzt sich zusammen aus der Eigenemission Ei = ~i CsTi 4 und dem reflektierten Anteil der auftreffenden Strahlung riHi' wobei ri = 1-~i = 1-a; für strahlungsundurchlässige Oberflächen ist. Aus dieser Definition folgt 2.12.1 (23) Der Nettoenergiestrom, den die Fläche Ai mit allen anderen Flächen Ak(k = 1,2,3 .. n) austauscht, ist 2.12.1(24) Die insgesamt auf die Fläche Ai auftreffende Strahlung ist gleich der Summe von allen Flächen (k = 1,2,3 •. n) ausgesandten und auf die Fläche Ai auftreffenden Strahlung 2.12.1 (25) Darin ist ~Pki das sog. "Winkelverhältnis", auch "Einstrahl zahl" genannt. Es ist eine rein geometrische Größe, für die folgende Relationen gelten 161

n l:

k=1

2. 12. 1( 26)

'Pik = 1 '

da das Gesamtsystem ein geschlossener Hohlraum ist und

da bei Temperaturgleichheit Ti = Tk die Nettoenergieströme Qi verschwinden müssen. Aus den Gln. 2.12.1(23), 2.12.1(25), 2.12.1(27) folgt ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Bi: (i=1 ,2,3 .. n)

ß.

1

2. 12. 1( 28)

Ferner folgt aus den Gln. 2.12.1(23) und 2.12.1(24) e:i -e:i

.

.

Q. = A. ~(E.- ß.) 1

1

S1

2.12.1 (29)

1

Andererseits läßt sich die Gl. 2.12.1(24) mit Hilfe von Gl. 2.12.1(25) und 2.12.1(27) in die Form 2.12.1(30) mit

ß.k= A1. .p.k(ß. -Bk) 1 1 1

*)

2.12.1(31)

bringen. Die Gleichungen 2.12.1(29,30,31) sind bei kleinen Zahlen n (n = 1 ,2,3) einfacher zu lösen als das Gleichungssystem 2.12.1(28). Wir wenden nun diese Hohlraummethode auf den Fall an, daß der Hohlraum von nur zwei Flächen gebildet wird. Darunter fallen zwei planparallele Flächen, deren Abstand klein gegen ihre Ausdehnung ist, sowie Körper, die sich im Innern eines (sehr langen) Hohlzylinders oder einer Hohlkugel befinden.

*) Vorsicht!!

Die Größe Bik wird z.T. in der Literatur als Öik bezeichnet. Sie ist aber nur für n=2 oder für e:i=1 (sc~warze Körper) mit dem aus der Reflexionsmethode folgenden Nettostrom Qik identisch.

162

Aus Gl. 2.12.1(30) folgt

01

ß11 + B12

2.12.1 (32)

Q2

B21 + 822

2.12.1 (33)

Nun sind nach Gl. 2.12.1 (31) alle Bii:: 0 und in Verbindung mit Gl. 2.12.1(27) alle Bik =- Bki" Daraus folgt Q1 Ferner folgt

2. 12 .1( 34)

- Q2

. 1- s 1 Q - = Es1 - B1 1 A1s 1

aus Gl. 2.12.1(29)

1 . QGP,2A,-- B1 - B2

aus Gl. 2.12.1 (30 und 34)

. 1-s 2 Q 1~- B2

aus Gl. 2.12.1(29 und 34)

- E:

s2

Die Addition dieser Gleichungen liefert Q1

] A1 1 1 1+\fl12 [ (E,"-1)+ A2(E2-1)

2.12.1(35)

In dieser Gleichung ist noch das Winkelverhältnis \fl 12 unbekannt. Das Winkelverhältnis \fl12 gibt an, welche Strahlungsenergie, die von der Fläche A1 ausgeht, auf die Fläche A2 auftrifft. Dieses wird für Flächen, bei denen die Richtungsverteilung der ausgesandten Strahlung dem sog. "Lambert'schen Cosinusgesetz" folgt, wie folgt berechnet. Die von einem Flächenelement 6A 1 ausgesandte Strahlung in Abhängigkeit des Winkels gegen die Flächennormale ist (Lambert'sches Gesetz) worin ß1 ,n die Strahlungsdichte normal zum Flächenelement 6A 1 ist. Dann ist die insgesamt im Raumwinkel d~ enthaltene Strahlungsdichte 2. 12. 1 ( 36) worin

2.12.1(37) 163

ist, vgl. Abb. 2.12.1(2).

Abb. 2.12.1(2)

Zur Berechnung des Winkelverhältnisses zwischen den Flächenelementen ~A 1 und ~A 2 •

Die Strahlungsdichte an der Stelle, an der sich das normal zum Abstandsvektor liegende Flächenelement ~A~ befindet, beträgt dann •

ds 1

B1 = M 1 - ,r dA n 2

2. 12. 1( 38)

und die von diesem Flächenelement aufgenommene Strahlungsenergie 2.12.1(39) Nun ist das normal zu r liegende Element 2. 12. 1(40) und das unter einem Winkel

~2

liegende Element dA n 2

2.12.1(41)

Damit folgt 2.12.1(42) Die insgesamt vom Flächenelement ~A 1 abgegebene Strahlungsenergie berechnet sich nach Gl. 2.12.1(36), 2.12.1(37) zu 164

Jf 'II

2'11 2

81

81 ,n

sin

0

~J>1

cos IJ> 1 d1J>1 dw

0

2. 12. 1( 43a)

'1!81 ,n Das Winkelverhältnis

~J>12

2.12.1(43)

ist definiert durch lj>

8 12 = -:---12 B M

2. 12. 1( 44)

1 1 und wir erhalten für den Strahlungsaustausch zwischen zwei Flächenelemen-

nA1 IJ>12 -'II und analog M2 IP21

-'II

cos lj>1 cos lj>2 r

cos lj>1 cos lj>2 r

M 1 nA 2

2.12.1(45a)

M 1 nA 2

2.12.1 (45b)

Liegt z.8. das Fl~chenelement nA 2 in Form einer kleinen Kreisscheibe mit der Fläche 'ITR 22 , dem Flächenelement nA 1 in großem Abstand senkrecht qeqenüber, so ist nach Gl. 2.12.1 ( 45) 2. 12. 1( 46) vgl. Abb. 2.12.1(3)

Abb. 2 • 12. 1( 3) Winkelverhältnis IP12 für zwei senkrecht aeaenüberlieaende Flächenelemente,-deren Abstand r qroß gegen ihre Ausdehnuno ist.

165

Das andere Extrem liegt vor, wenn die Fläche A2 unendlich ausgedehnt ist.

Abb. 2.12.1 (4)

Winkelverhältnis

~P 12

für A2 _,_ oo,

A2 II M 1

In diesem Falle muß über alle Flächenelemente nA 2 summiert werden, wodurch Gl. 2.12.1 ( 45) über~eht in 2.12.1(47)

Im vorliegenden Fall ist ~P 1 = IP 2 = IP und dA 2 = 2npdp mit p dp = rd'P/cos'P. Damit erhält man aus Gl. 2.12.1(47)

J

r sin'P und

n/2

lf) 12 =

2

sin'P cos'P d'P

=

1

2.12.1 (48)

0

Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, da sämtliche von nA 1 ausgehenden Strahlen die unendlich ausgedehnte Fläche A2 treffen müssen. Da dies auch dann der Fall ist, wenn man das Flächenelement nA 1 ebenfalls gegen Unendlich gehen läßt, gilt allgemein

für alle vollständig von A2 abgeschatteten oder umschlossenen Flächen A1. Damit folgt aus Gl. 2.12.1(35) für planparallele Platten, deren Abstand 166

klein gegen ihre Ausdehnung ist und deren Flächen gleich sind

01

1

A

es

1

-+--1 E:1 E:2

(T

4

1

4

- T2 )

2.12.1(49)

Dies ist das gleiche Ergebnis, wie es auch die Reflexionsmethode geliefert hatte, vgl. Gl. 2.12.1 (20). Für umschlossene Körper (Kugeln, lange Zylinder), vgl. Abb. 2.12.1(5), bei denen stets A1 < A2 ist, folgt aus Gl. 2.12.1(35) mit ~ 12 = 1

01

~ ~,.r,

2. 12. 1(50)

Abb. 2.12.1 (5) Strahlungswärmeaustausch zwischen konzentrischen Flächen

Ist die Fläche A2 viel größer als die Fläche A1 , so vereinfacht sich die Gl. 2.12.1(50) ZU 2.12.1(51) Winkelverhältnisse zwischen Flächen, die sich nicht völlig umschließen, müssen nun durch Summation aller lokalen \f.linkelverhältnisse, die den Flächenelementen öA 1 zugeordnet sind, berechnet werden. Gl. 2.12.1(47) geht dann über in 2.12.1(52)

167

Für zwei planparallele Platten endlicher Ausdehnung, die sich mit dem Abstand S gegenüberstehen, liefert das Doppelintegral

Abb. 2.12.1 (6) Zum Winkelverhältnis .n

'1'12

= .!_rr {-1 ln BC 2 +C l

f

~ 12

(1+B 2 )(1+C 2 ) 2 C 2 B 1+B2+C2 -Barctg -""'C"'arctg

~ + 28 - J;":;2arctg _h} 1+C V y1+ß2

.;;:;!' arctg

1+0

l

Hierin sind B = und C = -f. Für sehr lange Platten, d.h. 11 +

l' c.:

2.12.1(53) erhält man aus Gl. 2.12.1(47)

oo

_Q-1

IP. 12 -

B

2. 12. 1(54)

und für sehr lange sowie gleichzeitig sehr schmale Platten folgt lim

C-+«>, B-->-0

'P12

B

12/2

=2=-s-

2.12.1(55)

In diesem Falle ist ~P12 einfach gleich dem halben Sehwinkel, eine Tatsache, die oft als erste Abschätzung benutzt werden kann. Winkelverhältnisse für weitere Konfiguration findet man u.a. im VDIWärmeatlas, Blätter Kb 1 bis Kb 9.

168

2.12.2 Strahlung von Gasen Neben den festen und flüssigen Körpern emittiert und absorbiert auch ein Teil der Gase Energie durch Wärmestrahlung. Es handelt sich hierbei um Gase, deren Atome im Molekülverband so schwingen, daß der elektrische Schwerpunkt des Moleküls eine resultierende Schwingung ausführt und somit das Molekül zu einem abstrahlenden Dipol wird. Demnach können Edelgase, aber auch alle zweiatomige Gase, die aus gleichen Atomen bestehen, wie z.B. N2 , o2 , H2 etc. nicht strahlen. Man nennt sie diatherman. Dagegen sind z.B. H2o, co 2 , CO, so 2 , HCl, NH 3 etc. mehr oder weniger wirksame Strahler, die innerhalb enger Wellenbereiche ausstrahlen bzw. absorbieren. Die Intensität der Gasstrahlung hängt von der Anzahl der im Strahlengang befindlichen Moleküle ab. Die von einer Fläche A1 innerhalb der Absorptionsbanden der Gasmoleküle ausgesandte Strahlungsenergie ~w wird im Verlaufe ihres Weges durch eine angrenzende Gasschicht von der Dichte ~g und der Dicke Sg nach einem Exponentialgesetz tfsj

= E e -aspgSg ~w

2.12.2(1)

geschwächt. Darin ist as der spezifische Absorptionskoeffizient, der von der Gasart abhängt. Der vom Gas absorbierte Energieanteil ist dann ~abs

.

.

E - Efsj

~w

~

2.12.2(2)

~abs oder mit dem volumetrischen Absorptionskoeffizienten 2.12.2(3) ~abs

2.12.2(4)

Läßt man die Anzahl der absorbierenden Gasmoleküle, d.h. das Produkt ~gsg gegen Unendlich gehen, so wird die ge:amte vo~ der Fläche A1 ausgesandte Energie absorbiert und es ist ~abs = Iw· Ist ~ die gesamte von der Fläche A1 im gesamten Wellenlängenbereich ausgesandte Energie, so kann von dieser maximal der Anteil 169

a goo -w E

2.12.2(5)

absorbiert werden. Für endliche Molekülzahlen ist dann

E -abs

=

a goo a g -w E

2.12.2(6)

I

P.· g

.I :I

sw·.. · 1--:.=--Etst

~-----.

~

.I

.

1-l

: I

Abb. 2.12.2(1) Absorption von Strahlungsenergie in einer Gasschicht der Dicke Sg

. s~ g ...

... I

Hierin ist 2.12.2(7) die von der Wand ausgesandte graue Strahlung mit dem Emissionsvermögen Ew der Wand. Andererseits emittiert auch das strahlende Gas

oder

E: -em

Egoo Eg ~g

2.12.2(8)

E -em

Egoo Eg es Tg4

2.12.2(9)

Nach dem Kirchhoff'schen Satz sind bei Temperaturgleichheit Absorptionsund Emissionskoeffizienten gleich, d.h. a g = Eg und a Cl"' = Egoo . Sieht man davon ab, daß beide Koeffizienten mehr oder weniger temperaturabhängig sein können, so läßt sich für die vom Gas absorbierte Energie nach Gl. 2.12.2(6) auch schreiben 2.12.2(10) Aus den Gln. 2.12.2(10) und 2.12.2(9) erhält man sodann z.B. nach der Reflexionsmethode für den ~ettoenergiestrom Qgw zwischen einem Gasvolumen und einer dieses einschließenden Fläche Aw

170

2.12.2(11)

Der Vorfaktor in Gl. 2.12.2(11) ist das resultierende Emissionsverhältnis 2.12.2(12)

Für den Fall, daß die abstrahlende Wand ein nahezu schwarzer Strahler ist, d.h. Ew + 1, was z.B. bei Feuerraumwänden häufig zutrifft, vereinfacht sich Gl. 2.12.2(12)zu Egw ~ EgEw 2.12.2(13) Die Werte für Egoo sind nur durch Extrapolation abschätzbar. Für die technisch wichtigen Rauchgasbestandteile co 2 und H20 gelten etwa folgende Werte Egoo : 0,22 E

goo

:

0,80

Zur Berechnung von Eg benötigt man den spez. Absorptionskoeffizienten as. Er ist leider - auch nicht für jeweils ein bestimmtes Gas -keine Konstante, sondern hängt in nicht einfacher Weise sowohl von der Gasdichte pg als auch von der Schichtdicke und von der Temperatur ab. Dabei gilt, daß as mit steigender Gasdichte und zunehmender Schichtdicke abnimmt. Für Wasserdampf bei 1000 °C ist z.B. 2 275 m TriiöT bei 2 145 m as Kiiiö1'" bei 2 m bei as = 51 Kiiiö1'"

as

m2 as = 16' 6l O) durch eine eingebaute Heizschlange beheizt wird, deren äußere Oberflächentemperatur ~ 0 durch innen kondensierenden Dampf konstant gehalten wird, Der Wärmeübergangskoeffizient a zwischen Heizschlangenoberfläche A und Rührkesselinhalt sei dabei konstant, Anmerkung: Wärmeverluste an die Umgebung, die zugeführte Rührerleistung und die zeitliche Änderung der Enthalpie der Heizelemente u, der Kesselwand sind vernachlässigbar. 3, Aufgabe: Versuchen Sie, die Aufgaben 1 und 2 ohne die in den Anmerkungen angegebenen Vernachlässigungen zu lösen. Berücksichtigen Sie die auftretenden Wärmeverluste (näherungsweise) durch einen konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten kv zwischen Flüssigkeit und Umgebung, Zahlenangaben für Aufgabe 3,1 (Taucnsieder): Masse des Tauchsieders und des Behälters

s

mittlere spez, Wärmekapazität

0,5 kJ/(kgK) es A = 0,1 m2 V ~u = 20°C

äußere Oberfläche aes Behälters Umgebungstemperatur mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient zwischen Wasser und Umgebung

400 g

179

Wärmeübertragung 2. Ubungsblatt Einem flüssigkeitsbeheizten Rührkessel (siehe Skizze) mit dem konstanten Flüssigkeitsinhalt L temperatur ~L A massenstrom

i'. e1n

=

=

800 kg und der Anfangs-

10°C wird kontinuierlich ein Flüssigkeits. = 10°e mit der Eintr.ittstemperatur ~L ,e1n

. =L = 0,5 kg/s zugeführt. Ein gleichgroßer Massenstrom i aus =L e1n verläßt den Kessel mit der Temperatur des Kesselinhalts t wird von Wärmeträgerfll.issigkei ~L · . ,aus = ~L-ttt-. Die Heizschlange mit einem Massenstrom von F = 0,75 kg/s und einer Eintrittstemperatur von ~F,ein = 100 °e durchströmt. Gegebene Daten: Oberfläche der Heizschlan-

p

2

4 m

= 1 bar

ge: AH

~ F,ein

kH = 750 W/m 2 K spezifische Wärmekapazität

=

Wärmedurchgangskoeffizient für die Heizschlange:

F

der Wärmeträgerflüssigkeit: CF = 2,0 kJ/kg K spezifische Wärmekapazität des Kesselinhalts: CL= 4,0 kJ/kg K spezifische Wärmekapazität des Kesselmaterials (Stahl) : [aus.~L.aus

= ~L(t)

eS= 0,5 kJ/kg K

Stahlmasse des Kessels

S

200 kg

mechanische Rührleistung

W

1 ,o

äußere Oberfläche des Kessels Wärmedurchgangskoeffizient für den (unisolierten)Kessel

Av

kW 2 5,0 m

kv

10

Umgebungstemperatur

~u

20

Siedetemperatur des Kesseli:"J.halts bei Verdampfungsenthalpie des Kesselinhalts

180

p

W/m 2 K oe

1 bar, ~L,S

l.a) Berechnen Sie die Beharrungstemperatur ~L,oo' die sich im stationären Betrieb einstellt (falls unter den gegebenen Bedingungen ein Beharrungszustand existiert) . Diskutieren Sie die Wirkung der verschiedenen Einflußgrößen auf die Beharrungstemperatur. b)

Innerhalb welcher Grenzen könnte ~L ,oo variieren, wenn der kontinuierlich durchgesetzte Massenstrom ~ von Null bis zu sehr großen Werten verändert würde?

2.

Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Temperatur des Kesselinhalts

~L~tr

und den zeitlichen Verlauf der

Austrittstemperatur der Wärmeträgerflüssigkeit ~F ,aus ~tr. Skizzieren Sie den Verlauf der Temperaturen ~L~tr

~F~z,tt,

über dem Strömungsweg z der Wärmeträgerflüssigkeit

(abgewickelte Länge der Rohrschlange) für verschiedene Zeiten. Wie lange dauert es, bis die Differenz zur Beharrungstemperatur (~L(O)

-

Hinweis: 3.

(~L

~L,oo)

-

~L,oo)

nur noch 1% der Anfangsdifferenz

beträgt? (t

(a~F/at)

< 2

(rnif

~-

3frnrn)

A" ?

( sfafionär) Darin

/äßf sich

~aus

ous

der Gesa.rnfbilanz ~avs. ~

/(/nefischer

(3) (Teila)

berechnen:

30oC

Ansalz:

203

3. LÖ.sunera.fur zu erre•cl-;en.

214