Einführung in die klassische Elektrodynamik und die spezielle Relativitätstheorie 3832227687

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Einführung in die klassische Elektrodynamik und die spezielle Relativitätstheorie

Peter Ryder

Berichte aus der Physik

Peter Ryder

Einführung in die Elektrodynamik und die spezielle Relativitätstheorie

Shaker Verlag Aachen 2004

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

Copyright Shaker verlag 2004 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany. ISBN 3-8322-2768-7 ISSN 0945-0963 Shaker Verlag GmbH · Postfach 101818 · 52018 Aachen Telefon: 02407/9596-0 · Telefax 02407/9596-9 Internet: www.shaker.de · eMail: [email protected]

Vorwort Diese Einführung in die Elektrodynamik (Elektrizität und Magnetismus) und die spezielle Relativitätstheorie ist aus Vorlesungsskripten hervorgegangen, die im Rahmen der Grundausbildung im Physik-Diplomstudiengang an der Universität Bremen eingesetzt wurden. Dementsprechend enthält der Text in kompakter Form einen Überblick über die essentiellen Inhalte dieses Teils des Grundkurses und eignet sich sowohl zur Begleitung der Vorlesung als auch zur Prüfungsvorbereitung. Obwohl speziell für den Diplomstudiengang Physik konzipiert, eignet sich das Buch auch für Studierende der Physik als Nebenfach und für Lehramtskandidat/inn/en. Allerdings werden relativ gute Mathematikkenntnisse (Differential- und Integralrechnung, Vektoranalysis) vorausgesetzt. Darüberhinaus dürfte das Buch für alle Bachelor-Studiengänge interessant sein, die eine Grundausbildung in experimenteller Physik beinhalten. Die Skripten wurden in einer Zeit entwickelt, in der das Internet eine stürmische Entwicklung durchmachte und immer interessanter als Quelle seriöser Fachinformation wurde. Es wurden daher nach und nach zahlreiche Hinweise auf Internetquellen, speziell interaktive multimediale Darstellungen, die den Lernprozess unterstützen können, eingefügt. Sie wurden alle kurz vor Drucklegung des Buches auf ihre Aktualität überprüft. In dieser elektronischen Version des Buches führen aktive Links direkt zu den zitierten Quellen. An dieser Stelle möchte ich mich bei den vielen Studierenden und einigen Kollegen bedanken, die durch Hinweise und Vorschläge zu einer stetigen Verbesserung des Textes beigetragen haben. Peter Ryder

Bremen, April 2004 i

Inhaltsverzeichnis Vorwort

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I

Elektrodynamik

1

1

Einleitung

2

2

Elektrostatik 2.1 Experimentelle Verfahren . . . . . . . . . . . 2.2 Das Gesetz von Coulomb . . . . . . . . . . . 2.3 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Arbeit und Potential . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Wirbelfreiheit und Quellenstärke des E-Feldes 2.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Der faradaysche Käfig . . . . . . . . 2.6.3 Linienladung . . . . . . . . . . . . . ii

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7 8 10 14 15 18 23 23 24 25

iii

INHALTSVERZEICHNIS 2.6.4 Flächenladungen: der Kondensator . . . . . . 2.6.5 Kugelsymmetrische Ladungsverteilung . . . 2.6.6 Leitende Kugel im E-Feld . . . . . . . . . . 2.6.7 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . 2.6.8 Bildladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Elektrostatische Generatoren . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Influenzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Bandgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Elektrische Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Definitionen von Multipolen . . . . . . . . . 2.8.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . 2.9 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Suszeptibilität und Dielektrizitätszahl . . . . 2.9.3 Freie und gebundene Ladungen - das D-Feld 2.9.4 Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.5 Ferro-, Pyro- und Piezoelektrizität . . . . . . 2.9.6 E-Felder in Dielektrika: Allgemein . . . . . 2.10 Die Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . 2.11 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . 3

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Elektrische Leitung 3.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Leitungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Elektrische Leitung in Metallen . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elektrische Leitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Elektrische Leitung in wässrigen Lösungen (Elektrolyten) 3.2.4 Elektrische Leitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . .

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26 29 30 32 38 38 39 41 43 43 44 48 48 50 53 54 55 56 57 59

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64 65 66 66 75 81 86

iv

INHALTSVERZEICHNIS

3.3

3.4

3.2.5 Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Schaltkreise und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen und Kondensatoren 3.3.2 Ladung und Entladung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Innerer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Netzwerke: die kirchhoffschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Bewegte Ladungen und Magnetfelder 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Grundeigenschaften des magnetischen Feldes . . . . . . 4.2.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Das B-Feld bewegter Ladungen . . . . . . . . . 4.2.3 Magnetfelder elektrischer Ströme . . . . . . . . 4.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Kraft zwischen stromführenden Leitern . . . . . 4.3.2 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Magnetisches Dipolmoment einer Stromschleife 4.3.4 Magnetfeld eines Toroids . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Spezielle Stromkreise und Spulen . . . . . . . . 4.4 Das Vektorpotential des Magnetfeldes . . . . . . . . . . 4.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Magnetische Eigenschaften der Materie 5.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Vergleich zwischen elektrischer Polarisation und Magnetisierung 5.1.2 Magnetische Suszeptibilität, Permeabilität, das H-Feld . . . . . . 5.1.3 Magnetfelder in Materie: Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . .

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104 105 106 106 108 110 115 115 116 118 121 122 126 130

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134 135 135 137 139

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v

INHALTSVERZEICHNIS 5.2

5.3

Klassifizierung magnetischer Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Messung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität . . . . 5.2.4 Magnetische Ordnung: Ferro- Antiferro- und Ferrimagnetismus Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Zeitlich veränderliche Magnetfelder 6.1 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Das Feld eines bewegten magnetischen Dipols . . . . 6.1.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Beispiele für Induktionsvorgänge . . . . . . . . . . . 6.1.4 Gegeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Wechselstromnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Wirkung einer periodischen Spannung auf R, C und L 6.2.2 Die Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Die Verwendung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . 6.3 Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Elektromagnetische Strahlung 7.1 Maxwells Theorie der Elektrodynamik . . . 7.1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . 7.1.2 Die elektrodynamischen Potentiale . 7.2 Harmonische Wellen im Vakuum . . . . . . 7.2.1 Die E- und B-Felder . . . . . . . . 7.2.2 Transport von Energie . . . . . . .

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140 140 143 146 148 156

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158 159 159 163 164 173 176 177 178 181 187 188 192

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195 196 196 199 202 202 204

vi

INHALTSVERZEICHNIS

7.3

7.4

II 8

7.2.3 Transport von Impuls . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Strahlung in Materie . . . . . . . . 7.3.1 Grenzbedingungen für elektromagnetische Felder 7.3.2 Transparente, isotrope Dielektrika . . . . . . . . 7.3.3 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Schwingender Dipol . . . . . . . . . . . . . . . Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Spezielle Relativitätstheorie Die relativistische Kinetik 8.1 Die Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die relativistischen Transformationsgleichungen . . . . . . . 8.2.1 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Transformation der Geschwindigkeit . . . . . . . . . 8.2.3 Transformation der Beschleunigung . . . . . . . . . 8.2.4 Die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit 8.2.5 Grafische Darstellung: Minkowski-Diagramme . . . 8.3 Anwendungen der Transformationsgleichungen . . . . . . . 8.3.1 Die Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Die Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Das Problem der zeitlichen Reihenfolge: Kausalität . 8.3.4 Das Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Optik bewegter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206 207 208 210 216 220 224

227 . . . . . . . . . . . . . .

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vii

INHALTSVERZEICHNIS 9

Die relativistische Dynamik 9.1 Die relativistische Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Energie und Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Beschleunigung geladener Teilchen . . . . . . . 9.3.2 Zusammenstoß beschleunigter Teilchen . . . . . 9.3.3 Das Photon und der Doppler-Effekt . . . . . . . 9.4 Transformation der dynamischen Größen . . . . . . . . 9.4.1 Transformation von Impuls und Masse (Energie) 9.4.2 Transformation der Kraft . . . . . . . . . . . . . 9.5 Transformation der thermodynamischen Größen . . . . . 9.6 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Transformation der EM-Größen 10.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Transformation der Felder . . . . . . . . . . . 10.3 Transformation der Strom- und Ladungsdichten 10.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Linienladung . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Stromführender Leiter . . . . . . . . . 10.4.4 Die Felder einer bewegten Punktladung 10.4.5 Kraft zwischen bewegten Ladungen . . 10.5 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum . 10.6 Antworten zu den Fragen . . . . . . . . . . . .

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260 261 264 267 267 268 270 273 273 274 276 277

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280 281 282 286 290 290 291 291 295 297 298 301

A Formelzusammenstellung Elektrodynamik 304 A.1 Verwendete Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

INHALTSVERZEICHNIS

viii

A.2 Formelliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 B Maßeinheiten der Elektrodynamik

313

C Thermodynamik der Magnetisierung

316

Index

322

Abbildungsverzeichnis

336

Teil I

Elektrodynamik

1

Kapitel 1

Einleitung

KAPITEL 1. EINLEITUNG

3

Zur Geschichte Das Wort Elektrizität stammt ursprünglich vom griechischen Wort für Bernstein (elektron). Schon vor 2600 Jahren bemerkten die Griechen, dass Bernstein (Fossilharz) ein Phänomen zeigt, das wir heute Reibungselektrizität nennen: Wird er mit einem Stück Stoff oder Fell gerieben, zieht er leichte Gegenstände wie Haare oder Federn an. Der Name Magnetismus geht auf die Bezeichnung des magnetischen Minerals Magnetit (Eisenoxyd) zurück, das schon im ersten Jahrhundert n. Chr. in China zur Konstruktion des ersten Kompasses verwendet wurde. 1600 veröffentlichte der Engländer William Gilbert (1544–1603) ein Buch, in dem er die Unterschiede zwischen den elektrischen und magnetischen Kräften beschrieb: Magnetit zieht Eisen an, nicht aber Papier oder Federn. Für Bernstein gilt das Umgekehrte. Mit der Zeit verliert Bernstein seine „Elektrizität“, die aber durch erneute Reibung wiederhergestellt werden kann, während Magnetit seine magnetische Eigenschaft auf unbestimmte Zeit behält. Anfang des 18. Jahrhunderts entdeckte Stephen Gray (1666–1736), dass bestimmte Substanzen Elektrizität leiten können, andere aber nicht. 1733 machte der Franzose Charles du Fay die wichtige Entdeckung, dass es zwei Sorten von Elektrizität gibt, und dass es nicht nur anziehende sondern auch abstoßende Kräfte gibt: Gleichartig geladene Körper stoßen sich ab, während verschiedenartig geladene sich anziehen. Die Bezeichnungen „positiv“ und „negativ“ wurden zuerst von Benjamin Franklin (1706–1790) eingeführt. Mit Fell geriebener Bernstein ist z.B. negativ, mit Seide geriebenes Glas positiv geladen. Die Menge der Elektrizität bezeichnet man als Ladung. Die Abhängigkeit der Kräfte, die zwischen zwei elektrisch geladenen Körpern wirken, von den Ladungen und dem Abstand der Körper wurde von Joseph Priestley (1733–1804), Henry Cavendish (1731–1810) und Charles Coulomb (736–1806) experimentell untersucht. Die Ergebnisse fasste Coulomb in dem nach ihm benannten Gesetz zusammen (1785). Die heutige Einheit der elektrischen Ladung ist nach Coulomb benannt. Es gibt Analogien zwischen elektrischen und magnetischen Kräften. „Positive“ und „negative“ magnetische „Ladungen“ erscheinen jedoch nie getrennt, d.h. als so genannte Monopole, sondern nur als Plus-Minus-Paare (Dipole). Die Erde hat ein Magnetfeld, das zur Navigation verwendet werden kann (Kompass). Der Italiener Luigi Galvani, (1737–1798) Professor für Anatomie in Bologna, experimentierte (um 1786) mit der Wirkung von Ladungen auf das Muskelgewebe von Froschschenkeln. Dabei entdeckte er, dass zwischen zwei verschiedenen Metallen ein Ladungsfluss entstand, wenn sie in die Körperflüssigkeit getaucht wurden.

KAPITEL 1. EINLEITUNG

4

Diese Entdeckung führte später (um 1800) zur Erfindung der ersten Batterie durch Allessandro Volta (1745– 1827). Mit dieser Erfindung war es zum ersten Mal möglich, kontinuierlich Ladungsflüsse (elektrische Ströme) zu erzeugen. Volta erfand auch den Elektrophor (s. Abschnitt 2.1). Das erste Instrument zur Messung elektrischer Ströme (Galvanometer) wurde nach Galvani genannt. Zu Ehren Voltas heißt die Einheit der elektrischen Spannung Volt (V). Eine erste umfassende mathematische Theorie der elektrischen Leitung wurde von Georg Simon Ohm (1789–1854) aufgestellt. Sein 1827 veröffentlichtes Buch Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet enthält das nach ihm genannte Gesetz, das die quantitative Beziehung zwischen Strom, Spannung und Widerstand beschreibt. Nach Ohm wurde die Einheit des elektrischen Widerstands (�) benannt. Elektrizität und Magnetismus wurden lange als getrennte Phänomene angesehen. 1819 entdeckte jedoch der Däne Hans Christian Oersted (1777–1851), dass eine Kompassnadel durch einen elektrischen Strom abgelenkt wird. Damit zeigte er zum ersten Mal, dass zwischen Elektrizität und Magnetismus eine enge Beziehung besteht. Die quantitativen Beziehungen zwischen dem elektrischen Strom und dem, was wir heute als magnetisches Feld bezeichnen, wurden von André Marie Ampère (1775–1836), Jean-Baptiste Biot (1774–1862) und Félix Savart (1791–1841) aufgestellt. Ampère entdeckte auch, dass sich zwei parallele, stromführende Leiter anziehen, wenn die Ströme die gleiche Richtung haben, bzw. sich abstoßen, wenn die Stromrichtungen entgegengesetzt sind. Dieser Effekt wird heute benutzt, um die nach Ampère genannte SI-Einheit des elektrischen Stroms zu definieren. Da elektrische Ströme Magnetismus erzeugen, ist es nahe liegend anzunehmen, dass Magnete auch „Elektrizität“ hervorrufen können. Dieses Phänomen, das wir heute elektromagnetische Induktion nennen, wurde unabhängig voneinander von Michael Faraday (1791–1867) und Joseph Henry (1797–1878) entdeckt. Faraday erfand das Dynamo, Henry das Elektromagnet. Die Namen dieser beiden Wissenschaftler sind in den Bezeichnungen der Einheiten für Kapazität (Farad) und Induktivität (Henry) verewigt. Die Verknüpfung zwischen Elektrizität und Magnetismus lässt sich aus heutiger Sicht wie folgt darstellen: • Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder. Der Magnetismus von Atomen und Festkörpern ist allein auf die Bewegungen der Elektronen zurückzuführen. Eine Spule, durch die ein elektrischer Strom fließt, ist ein Magnet. • Bewegte Magnete erzeugen elektrische Felder und damit Spannungen und (in Leitern) Ströme. Nach

KAPITEL 1. EINLEITUNG

5

diesem Prinzip arbeitet ein Dynamo, der elektrische aus mechanischer Energie erzeugt. • Bewegte Ladungen werden von Magneten abgelenkt. Magnetfelder üben Kräfte auf Ströme aus. Nach diesem Prinzip arbeitet der Elektromotor. Wenn man, wie in der Elektrostatik, nur ruhende Ladungen betrachtet, kommt man ohne Magnetfelder aus. Ebenfalls kann man im Rahmen der Magnetostatik ruhende Magnete und zeitlich unveränderliche Magnetfelder behandeln, ohne dass elektrische Felder notwendig sind. Die Verknüpfung von Elektrizität und Magnetismus zeigt sich in dynamischen Vorgängen, d.h. bei Bewegungen und zeitlich veränderlichen Feldern. Das Gebiet der Physik, das elektrische und magnetische Phänomene sowie ihre wechselseitige Beziehungen beschreibt, heißt deshalb Elektrodynamik. Eine komplette Theorie der Elektrodynamik wurde zuerst von James Clerk Maxwell (1831–1879, Bild rechts) aufgestellt. Er fasste die Gesetze der Elektrodynamik in vier Differentialgleichungen zusammen, berechnete die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen und schloss daraus, dass Licht ein elektromagnetisches Phänomen sein muss, was später von Heinrich Hertz (1857–1894) experimentell bestätigt werden konnte. Eine interessante Konsequenz der maxwellschen Theorie ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: Sie sollte in allen Inertialsystemen gleich sein, unabhängig von ihren relativen Bewegungen. Da dies nicht im Einklang mit der klassischen Relativität ist, die in der Galilei-Transformation ihren Ausdruck findet, gab es verschiedene Versuche, die Existenz eines massenlosen Mediums nachzuweisen, das als „Äther“ bezeichnet wurde und die Rolle eines speziellen Bezugssystems für die Lichtgeschwindigkeit übernehmen sollte. Diese Versuche schlugen jedoch fehl, und das Dilemma wurde erst durch Albert Einstein mit seiner Relativitätstheorie aufgelöst. Zur Mathematik Dieses Buch setzt gute Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung (einschließlich Funktionen mehrerer Variablen), der Vektorrechnung und insbesondere der Vektoranalysis voraus. Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln befindet sich im Anhang A (zum Nachschlagen, nicht zum Auswendiglernen!).

KAPITEL 1. EINLEITUNG

6

Um eine kompaktere Schreibweise zu ermöglichen, werden die kartesischen Koordinaten im Teil Elektrodynamik mit x1 , x2 , x3 statt x, y, z bezeichnet. Gelegentlich werden auch Kugelkoordinaten (r, θ, φ) verwendet: x1 = r sin(θ ) cos(φ), x2 = r sin(θ ) sin(φ), x3 = r cos(θ ). Maßeinheiten In der Vergangenheit wurden die armen Physikstudenten mit einer verwirrenden Vielfalt von Einheiten in der Elektrodynamik geplagt. Man unterschied zwischen elektrostatischen, elektromagnetischen und „praktischen“ Einheiten, zwischen CGS- (cm-g-s) und MKS- (m-kg-s) Einheiten sowie zwischen rationalen und nichtrationalen Einheiten. Glücklicherweise wurde 1960 das Internationale Einheitensystem (Système International, SI) eingeführt, in dem auch für elektromagnetische Größen die Einheiten eindeutig festgelegt werden. In den meisten Industrieländern ist ihre Verwendung gesetzlich vorgeschrieben. In diesem Buch werden ausschließlich SI-Einheiten verwendet. Eine Zusammenstellung der Definitionen befindet sich im Anhang B. Wer sich mit den alten Einheiten auseinander setzen will oder muss, um z.B. ältere Texte verstehen zu können, findet die Definitionen in den alten Lehrbücher oder auch noch in einigen 1 modernen .

1 Z.B. Horst Hänsel, Werner Neumann, Physik: Elektrizität, Optik, Raum und Zeit, Kap. 8.

Kapitel 2

Elektrostatik

8

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2.1

Experimentelle Verfahren

Eine einfache Apparatur zur Ladungserzeugung mittels Reibungselektrizität ist der von Volta erfundene Elektrophor (s. Abb. 2.1): Eine Plexiglasplatte wird mit Seide gerieben. Dadurch wird die Oberfläche positiv gela-

isolierender Griff Metall

Plexiglas

(a)

+ + + + + + +

(b)

+ + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + +

_ _

_ _

_ _

_ _

Erde (c)

_ _ _ _ _ _ _ + + + + + + +

(d)

Abbildung 2.1: Der Elektrophor. (a) Mit Seide gerieben wird die Plexiglasplatte positiv geladen. (b) In der Metallplatte trennen sich die positiven und negativen Ladungen. (c) Bei Berührung fließen die positiven Ladungen zur Erde. (Eigentlich fließen nur die Elektronen, s. Text.) (d) Die Metallplatte ist jetzt negativ geladen.

+ + + + + + +

den. Eine mit einem isolierenden Griff versehene Metallplatte wird auf die Plexiglasplatte gelegt. Die positive Ladung der Plexiglasplatte zieht die negativen Ladungen des Metalls an und stößt die positiven Ladungen ab. Es sind aber nur die negativen Ladungen (Elektronen) beweglich. Die Elektronen bewegen sich auf die untere Oberfläche zu, und es entsteht dort ein Überschuss an negativer Ladung. Dementsprechend entsteht an der oberen Oberfläche ein positiver Ladungsüberschuss. Nun wird die Metallplatte durch Berührung der oberen

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

9

Oberfläche geerdet. Wenn die positiven Ladungen beweglich wären, würden sie zur Erde fließen. Stattdessen fließen Elektronen von der Erde zur Platte, was makroskopisch den gleichen Effekt hat. Der Vorgang ist dann abgeschlossen, wenn die negative Oberflächenladung der Metallplatte betragsmäßig genauso groß ist wie die positive Ladung der Plexiglasplatte, so dass die Kombination insgesamt neutral ist. Nach Unterbrechung des Kontakts zur Erde wird die Metallplatte von der Plexiglasplatte getrennt. Die negative Ladung verteilt sich wegen der abstoßenden Kräfte über die Oberfläche der Platte. Man beachte, dass bei diesem Prozess die Ladung der Plexiglasplatte nicht verändert wird. (Sie geht aber mit der Zeit durch „Kriechströme“ verloren, besonders bei hoher Luftfeuchtigkeit). Der Vorgang kann also beliebig oft wiederholt werden, solange die Ladung besteht. Mit dem Elektrophor kann man Ladung auf beliebige Gegenstände bringen und z.B. die Kräfte zwischen geladenen Körpern messen. Coulomb bestimmte die Kräfte mit Hilfe einer selbst konstruierten Torsionswaage, aber wie konnte er (1785!) die Ladungen messen? Ohne auf die experimentellen Einzelheiten einzugehen, sei hier nur das Prinzip erläutert: Wenn eine Kugel aus einem leitenden Material geladen wird, verteilt sich die Ladung gleichmäßig über die Oberfläche (wegen der abstoßenden Kräfte zwischen gleichen Ladungen). Bringen wir nun zwei identische Kugel miteinander in Kontakt, muss sich die Ladung aus Symmetriegründen gleichmäßig auf beide Kugeln verteilen. Damit haben wir eine Methode, die Ladung einer Kugel zu halbieren: Wir berühren die geladene mit einer nicht geladenen Kugel und entfernen diese. Auf diese Weise konnte Coulomb mit verschiedenen Ladungen experimentieren, die in bekannten Verhältnissen zueinander standen. Ein Instrument, mit dem man elektrostatische Ladungen messen kann, ist das Elektroskop bzw. Elektrometer, das auf der Abstoßung gleichartiger Ladungen beruht. Abb. 2.2 zeigt zwei Ausführungen des Elektroskops: das braunsche Elektroskop und das Blättchenelektroskop. In beiden Fällen ist die Auslenkung von der Übertragenen Ladung abhängig und kann in Ladungseinheiten geeicht werden. Will man die Ladung einer Metallkugel vollständig auf das Elektroskop übertragen, geschieht dies am einfachsten mit Hilfe des Faraday-Bechers (s. Abb. 2.3). Bringt man eine positiv geladene Kugel in einen geschlossenen Metallbehälter ein, sammelt sich eine gleich große negative Ladung auf der inneren Oberfläche des Behälters. Verbindet man den Becher mit einem Elektroskop, sammelt sich dort eine entsprechende positive Ladung, die einen Ausschlag des Zeigers bewirkt. Entfernt man die Kugel, ohne den Becher berührt zu haben, behält sie ihre Ladung, und die Ladungen verteilen sich wieder gleichmäßig zwischen Becher und Elektroskop,

10

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

Zeiger

Braunsches Elektroskop

Blättchen

Abbildung 2.2: Zwei Arten von Elektroskopen. Das braunsche Elektroskop hat einen leichten, auf Nadelspitzen gelagerten Zeiger, der im ungeladenen Zustand vertikal hängt, weil der Schwerpunkt knapp unterhalb der Achse liegt. Der Zeiger des Blättchenelektroskops ist ein extrem dünnes Metallblättchen, das in einem Glasgehäuse eingeschlossen ist, um den Einfluss von Luftbewegungen auszuschließen.

Blättchenelektroskop

so dass der Ausschlag auf Null zurückgeht. Man kann also die Ladung der Kugel messen, ohne dass die Ladung auf das Elektroskop übertragen wird. Berührt man dagegen den Becher mit der Kugel, neutralisieren sich die positiven und negativen Ladungen, und es bleibt eine positive Ladung am Elektroskop. In diesem Fall bleibt der Ausschlag erhalten, wenn die Kugel entfernt wird.

2.2

Das Gesetz von Coulomb

Die Behauptung, dass Kräfte zwischen zwei Ladungen wirken, reicht als physikalisches Gesetz noch nicht aus. Der Physiker möchte es genauer wissen: Wie groß ist die Kraft, und in welche Richtung zeigt sie, in Abhängigkeit von den Ladungsmengen und der Entfernung der Ladungen voneinander? Wie oben erwähnt, wurde diese Frage durch die Untersuchungen von Priestley, Cavendish und Coulomb im 18. Jahrhundert beantwortet. Die

11

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

+

+ + FaradayBecher

+

+

+ +

+ +

+

-+ -+ + -

Elektroskop

+

+

+ + -

+ ++-

Abbildung 2.3: Zur Wirkung des Faraday-Bechers.

+ ++ + + + + + + +

zu der Zeit vorhandenen Erkenntnisse über statische Elektrizität lassen sich wie folgt zusammenfassen: • Es gibt zwei Arten von Ladungen, die wir positiv und negativ nennen. • Ladungen mit dem gleichen Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an. • Die zwischen zwei Punktladungen wirkende Kraft ist parallel zur Verbindungslinie. • Die Stärke der Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands und proportional zum Produkt der Ladungen.

12

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

• Die Kräftewirkungen mehrerer Ladungen sind additiv (Superpositionsprinzip): Die Gesamtkraft, die die � Fi , wo Fi die Kraft ist, die q spüren Ladungen q1 , q2 , . . . auf eine bestimmt Ladung q ausüben, ist würde, wenn nur die beiden Ladungen q und qi vorhanden wären. • In einigen Substanzen, die als elektrische Leiter bezeichnet werden (z.B. Metalle), können sich die Ladungen frei bewegen. Stoffe, in denen sich die Ladungen nicht bewegen können heißen Nichtleiter oder Isolatoren. Heute wissen wir, dass die elektrische Ladung eine Erhaltungsgröße ist: Die algebraische Summe aller Ladungen in einem geschlossenen System ist konstant. Ferner ist die Ladung: sie kann nur in Mengen übertragen werden, die ein Vielfaches der Elementarladung e sind. Alle Elementarteilchen haben die Ladung 0, +e oder −e. Bezeichnen wir die beiden Ladungen mit q1 bzw. q2 und den Abstandsvektor von q1 nach q2 mit r, so ist die Kraft, die auf die Ladung q2 wirkt, nach dem Coulomb-Gesetz durch F =k

q1 q2 r r

3

(2.1)

gegeben, wo k eine zunächst nicht bestimmte Konstante darstellt. Früher hatte man eine elektrostatische Einheit der Ladung dadurch definiert, dass man für diese Einheit k = 1 setzte. In dem inzwischen international vereinbarten Einheitensystem (SI = Système International) wird die Ladung über die Einheit der Stromstärke (Ampere) definiert, die wiederum durch die Kraft zwischen Strömen festgelegt wird. Die SI-Einheit der Ladung wurde nach Coulomb benannt (Symbol: C) und ist gleich 1 Ampere-Sekunde (1 C = 1 As). Die Konstante k in Gleichung (2.1) ist über die Beziehung k = 1/4π �◦ mit einer anderen Größe �◦ , der so genannten Influenzkonstante, verknüpft, deren Bedeutung wir später kennen lernen werden. Diese Konstante ist wiederum durch 2 �◦ = 1/µ◦ c gegeben, wo c die Lichtgeschwindigkeit und µ◦ die „Permeabilität des Vakuums“ bedeuten. Der Wert von c −1 ist durch die Definition der SI-Einheit für die Länge mit c = 299792458 m s festgelegt. Ferner ist, wie wir

13

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK später sehen werden, der Wert von µ◦ durch die Definition des Ampere festgelegt (4π · 10 ist auch �◦ festgelegt: 7 2 −12 2 −1 −2 �◦ = 10 /4π c = 8,854187817 . . . · 10 C N m .

−7

−2

NA

). Deshalb

Damit lautet das Coulomb-Gesetz in SI-Einheiten:

F =

q1 q2 r 4π �◦ r

(2.2)

. 3

Frage 2.1 Die Coulomb-Gleichung (2.2) ist formal identisch mit dem Gravitationsgesetz. Vergleichen Sie die elektrostatische Kraft mit der Gravitationskraft zwischen zwei Protonen (Masse = 1,67·10

= 1,60 · 10 spielt.

−19

−27

kg, Ladung

C). Sie werden dann verstehen, warum die Gravitationskraft keine Rolle in der Atomphysik

Antwort ⇓

10

Die Kraft zwischen zwei Ladungen von 1 C in einem Abstand von 1 m beträgt rd. 10 N. Für die Elektro−19 statik ist 1 C also eine unpraktisch große Einheit. Die Elementarladung e ist 1,602 · 10 C. Die Ladung von 23 4 L = 6,03 · 10 Elektronen (1 mol) nennt man die Faraday-Konstante; sie beträgt 9,648 · 10 C. Um die Coulomb-Gleichung noch etwas zu verallgemeinern, bezeichnen wir die Ortsvektoren der beiden Ladungen mit r1 bzw. r2 . Der Verbindungsvektor ist dann r = r2 − r1 , und wir erhalten aus (2.2) F =

q1 q2 (r2 − r1 )

. 3 4π �◦ |r2 − r1 |

(2.3)

Mit mehr als 2 Ladungen erfährt jede Ladung einer Kraft von den übrigen Ladungen. Erfahrung hat gezeigt, dass diese Kräfte sich einfach vektoriell addieren: Die von einer Ladung ausgeübte Kraft ist unabhängig von den anderen (Superpositionsprinzip). Die auf die Ladung q am Ort r durch die Ladungen q1 , q2 , . . . qN ausgeübte Kraft ist damit N � q q(r − r ) i i . (2.4) F (r) = 3 4π � |r − r | i=1 ◦ i

14

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

Manchmal ist es nützlich, nicht individuelle Punktladungen sondern eine kontinuierliche Ladungsdichte ρ zu betrachten: ρ(r)dxdydz = ρ(r)dV ist die in dem am Ort r befindlichen Volumenelement dV enthaltene Ladung. Die Kraft, die eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf eine Punktladung q am Ort r ausübt, ist � � � qρ(r )(r − r ) � dV . (2.5) F (r) = 3 � V 4π �◦ |r − r |

2.3

Das elektrische Feld

Gleichung (2.4) lässt sich wie folgt umschreiben: F = q.

N � i=1

qi (r − ri )

4π �◦ |r − ri |

3

= qE(r).

Die Vektorgröße E(r) ist eine Eigenschaft des Raums, die durch die Anwesenheit der Ladungen q1 , q2 , . . . qN bestimmt wird, und heißt das elektrische Feld der Ladungen. Der Wert des elektrischen Feldes an der Stelle r lässt sich dadurch bestimmen, dass man eine „Probeladung“ an den Ort bringt und die Kraft misst. Die Kraft entspricht immer dem Produkt aus der Feldstärke und der Ladung. Es ist oft sehr anschaulich, ein elektrisches Feld durch so genannte Feldlinien darzustellen. Eine Feldlinie kann als die Bahn einer Probeladung betrachtet werden, die sich langsam in Richtung des elektrischen Feldes bewegt. Feldlinien beginnen immer an positiven Ladungen (Quellen) und enden an negativen Ladungen (Senken). Die Feldlinien einer isolierten Punktladung q sind einfach Geraden, die sich strahlenförmig von der Ladung divergieren. Die Anzahl der Feldlinien ist natürlich unendlich, aber wenn wir uns eine endliche Zahl N symmetrisch angeordneter Linien vorstellen, so wird jede Kugelfläche um q durch genau N Linien geschnit2 ten. Die Dichte der Linien (Anzahl pro m ) ist deshalb umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung und somit proportional zur Feldstärke. Allgemein gilt: Dort, wo die Feldlinien dicht beieinander liegen, ist die Feldstärke.

15

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Mit diesem Computer-Experiment können Sie elektrische Felder mit Hilfe von Probeladungen untersuchen.

Analog zu den Gleichungen (2.4) und (2.5) gilt für das elektrische Feld einer Ansammlung von Punktladungen N �

E(r) =

i=1

qi (r − ri )

(2.6)

, 3 4π �◦ |r − ri |

und für eine kontinuierliche Ladungsdichteverteilung ρ(r) E(r) =

2.4

�

V

� ρ(r )(r

4π �◦ |r

� −r )

� −r |

�

dV . 3

(2.7)

Arbeit und Potential

Wenn wir eine Punktladung im Feld der Ladung q bewegen, wird Arbeit geleistet. Nehmen wir an, dass die � Ladung q am Ursprung des Koordinatensystems sitzt. Wenn sich die Ladung q an der Stelle r befindet, ist die von q ausgeübte Kraft durch � qq r F = 3 4π �◦ r � q

gegeben. Verschiebt man die Ladung

� q

um die Strecke dr ist die dafür erforderliche Arbeit dW = −

� qq r.dr

4π �◦ r

3

.

16

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Man kann aber leicht zeigen, dass r.dr = rdr ist, und damit dW = −

� qq dr

4π �◦ r

. 2

Die Arbeit hängt also nur von der Änderung im Betrag von r ab. Der physikalische Grund hierfür ist die Tatsache, dass die Kraft überall radial ist: Tangentiale Bewegungen erfordern also keine Arbeit. Frage 2.2 Beweisen Sie die behauptete Äquivalenz von r.dr und rdr. Wird die Ladung

� q

von r1 nach r2 bewegt, ist die geleistete Arbeit � � � r � � 2 dr qq 1 1 qq = − . W =− 2 4π �◦ r1 r 4π �◦ r2 r1

Die geleistete Arbeit ist also unabhängig vom Weg und hängt nur von den Anfangs- und Endpositionen ab. Ein Feld, das diese Eigenschaft aufweist, wird als konservativ bezeichnet. Obwohl wir den Beweis nur für den Spezialfall einer Punktladung geführt haben, gilt die Aussage aufgrund des oben diskutierten Superpositionsprinzips für ein beliebiges elektrostatisches Feld. Wenn die geleistete Arbeit unabhängig vom Weg ist, hängt sie nur von der Veränderung einer Größe, die als potentielle Energie bezeichnet wird: Die geleistete Arbeit ist gleich der Differenz in potentieller Energie zwischen Anfangs- und Endpunkt. Dementsprechend ist die � potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung q durch Ep =

� qq

4π �◦ r

+ Konst.

gegeben. Die Konstante können wir beliebig festlegen, da wir nur Differenzen der potentiellen Energie messen können. Die willkürliche Festlegung Ep → 0 für r → ∞ ergibt die einfache Form Ep =

� qq

4π �◦ r

Antwort ⇓

17

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

für die potentielle Energie. � Bei der Einführung des elektrischen Feldes haben wir festgestellt, dass die auf eine „Probeladung“ q wirkende Kraft gleich dem Produkt dieser Ladung mit einer Vektoreigenschaft des Raums, dem elektrischen Feld � � E, ist. Die letzte Gleichung zeigt, dass die potentielle Energie einer Probeladung q gleich dem Produkt von q mit einer skalaren Eigenschaft des Raums ist. Diese skalare Eigenschaft wird als elektrostatisches Potential bezeichnet. Das elektrostatische Potential einer Punktladung q, die sich am Ursprung des Koordinatensystems befindet, ist daher q . φ(r) = 4π �◦ r

Da das Potential nur bis auf eine willkürliche Konstante definiert ist, lässt sich der absolute Wert des Potentials nicht bestimmen; wir können nur Potentialdifferenzen messen. Eine Potentialdifferenz wird auch als Spannung bezeichnet. Die Einheit der Spannung wird nach Alessandro VoltaVolt (V) genannt: 1V = 1JC

−1

.

Frage 2.3 Was sind die Einheiten des elektrischen Feldes?

Antwort ⇓

Das Superpositionsprinzip gilt für das Potential genauso wie für das Feld. Haben wir eine Reihe von N Punktladungen q1 , q2 , . . . an den Stellen r1 , r2 , . . ., ist das elektrostatische Potential an der Stelle r durch 1 φ(r) = 4π �◦

N � i=1

qi |ri − r|

(2.8)

gegeben. Für eine kontinuierliche Ladungsdichteverteilung erhalten wir 1 φ(r) = 4π �◦

�

V

� � ρ(r )dV � |r

− r|

.

(2.9)

18

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Frage 2.4 Schätzen Sie die Größenordnung der Ladungen, die durch einfache Versuche mit Reibungselek-

trizität erzeugt werden können.

Antwort ⇓

In der Atomphysik, wo die elektrostatische Wechselwirkung eine wichtige Rolle spielt, wird Energie oft in Elektronenvolt (eV) angegeben: 1 eV ist die Energie, die benötigt wird, um eine Elementarladung e durch eine −19 Potentialdifferenz von 1 V zu bewegen. Da die Elementarladung e = 1,60217733 · 10 C beträgt, gilt 1 eV = 1,60217733 · 10

−19

J.

Frage 2.5 Nach dem bohrschen Atommodell besteht das Wasserstoffatom im Grundzustand aus einem

Proton (Ladung +e) und einem Elektron (Ladung −e), das sich auf einem Kreisförmigen Bahn (Radius a◦ ) um das Proton bewegt. Um das Elektron vom Proton zu entfernen, benötigt man eine Energie von mindestens 13,6 eV. Berechnen Sie daraus den bohrschen Radius a◦ .

2.5

Wirbelfreiheit und Quellenstärke des elektrostatischen Feldes

In diesem Abschnitt wollen wir einige wichtige mathematische Eigenschaften elektrostatischer Felder und Potentiale untersuchen. Für eine bewegte Ladung q gilt für die Arbeit W : dW = qdφ = −qE.dr. Für das Differential dφ gilt also

dφ = −E.dr

Antwort ⇓

19

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK bzw. in Komponentenschreibweise

3 � i=1

Daraus folgt

bzw. in der Schreibweise der Vektoranalysis:

∂φ dxi = − ∂xi

3 �

Ei dxi .

i=1

∂φ Ei = − ∂xi

E = −∇φ = − grad φ.

(2.10)

Das elektrostatische Feld ist also gleich dem negativen Gradienten des Potentials. (Dies entspricht der Tatsache, dass die Kraft gleich dem negativen Gradienten der potentiellen Energie ist). In 2 Dimensionen könnte man sich das Potential als „Hügellandschaft“ vorstellen: Die Höhenlinien verbinden Orte mit dem gleichen Potential, und die Feldlinien verlaufen senkrecht zu den Höhenlinien. In 3 Dimension bilden die Orte gleichen Potentials jeweils eine Fläche, und die Feldlinien sind überall senkrecht zu den Potentialflächen. Ein einfaches Beispiel: Für eine Punktladung sind die Potentialflächen Kugeln und die Feldlinien sind von der Ladung ausgehende Radien. Bewegen wir eine Ladung auf einem geschlossen Weg zurück zum Ausgangspunkt, ist die geleistete Arbeit immer Null, da sich die potentielle Energie nicht geändert hat. Für das elektrische Feld bedeutet das, dass das Linienintegral um einen beliebigen geschlossenen Weg � immer Null ist: � E.dr = 0. �

Mit Hilfe des Satzes von

1 Stokes

können wir das Linienintegral in ein Flächenintegral umformen: � � E.dr = (∇ × E).df = 0, �

�

1 S. z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 580.

20

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

wo � eine beliebige von � begrenzte Fläche ist, und df das Flächenelement. Da diese Beziehung für jede Wahl von � und � gilt, folgt zwangsläufig die Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes: ∇ × E = rot E = 0.

(2.11)

Die Wirbelfreiheit folgt auch aus der Beziehung E = −∇φ, da für jedes skalare Feld f der Ausdruck ∇ ×(∇f ) identisch gleich 0 ist. Jedes Vektorfeld, das als Gradient eines skalaren Feldes dargestellt werden kann, ist wirbelfrei. Eine sehr nützliche Beziehung erhalten wir, wenn wir das elektrische Feld über eine geschlossen Fläche integrieren. Betrachten wir zunächst wieder den einfachen Fall einer Punktladung q am Ursprung und einer geschlossen Fläche �, die die Ladung einschließt (s. Abb. 2.4a). Wir wollen nun das Integral � � q r.df E.df = 3 4π �◦ � r � 3

2

berechnen. Den Term r.df /r können wir als df cos(α)/r schreiben, wo α der Winkel zwischen dem Radiusvektor r und der Flächennormalen df ist. Der zweite Ausdruck lässt sich wie folgt interpretieren: Wir 2 projizieren das Flächenelement df auf eine zu r senkrecht stehenden Ebene und dividieren durch r . Dies ist nichts anderes als der Raumwinkel (d�) des Flächenelements df bezogen auf den Ursprung (Abb. 2.4b). Es gilt also: � � q E.df = d�. 4π �◦ � �

Das Integral über den Raumwinkel hat aber den Wert 4π , wenn der Ursprung innerhalb der Fläche ist (Abb. 2.4a), sonst 0 (Abb. 2.4c). Es gilt also � � q/�◦ q innerhalb � E.df = 0 q außerhalb �. �

21

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Σ

df

E r

E

Σ df

r

q O

r

α df qO

(a) O

Abbildung 2.4: Der Satz von Gauß. (a) Integral des elektrischen Feldes über eine Fläche �, die die Ladung q einschließt. (b) Zur Definition des Raumwinkels. (c) Integral des elektrischen Feldes über eine Fläche �, die die Ladung q ausschließt.

(c)

(b)

Nun können wir das Superpositionsprinzip wieder anwenden und das Ergebnis verallgemeinern: �

�

E.df =

� i

(2.12)

qi /�◦ ,

wo die Summe über alle Ladungen geht, die sich innerhalb der Fläche befinden. Dies ist der Satz von Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(r) nimmt der Satz von Gauß folgende Form an: � � 1 E.df = ρ(r)dV , �◦ V � wo V das von der Fläche � begrenzte Volumen ist. Ein anderer (mathematischer) Satz von 2 Karl Friedrich Gauß (1777–1855).

3 S. z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 578.

3 Gauß

2 Gauß .

besagt, dass

22

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK man das Flächenintegral wie folgt umformen kann: � � E.df = ∇.EdV . �

V

Daraus folgt die differentielle Form des Gaußschen Satzes: ∇.E = div E = ρ/�◦ .

(2.13)

Die Quellenstärke des elektrischen Feldes ist also proportional zur Ladungsdichte. Aus der Beziehung E = −∇φ folgt für φ die so genannte Poisson-Gleichung: 2

∇ φ = −ρ/�◦ .

(2.14)

In einem ladungsfreien Raum (ρ = 0) gilt die so genannte Laplace-Gleichung: 2

∇ φ = 0.

(2.15)

In einem elektrischen Leiter (z.B. Metall) können sich die Ladungsträger frei bewegen. Solange ein elektrisches Feld innerhalb des Leiters existiert, werden die Ladungen in Richtung des Feldes bewegt. Sie können sich aber nur bis zur Oberfläche bewegen. Dort sammeln sich positive bzw. negative Ladungsüberschüsse, die ein Gegenfeld erzeugen. Die Bewegung der Ladung hört erst dann auf, wenn das externe Feld durch das Gegenfeld vollständig kompensiert ist. Dies bedeutet, dass im elektrostatischen Fall (keine Ströme) innerhalb eines Leiters • das Feld E = 0 und • das Potential φ = konstant ist. Außerhalb des Metalls (in der Luft bzw. im Vakuum) kann ein elektrisches Feld existieren. Da die Oberfläche eine Fläche konstanten Potentials ist, sind die Feldlinien überall an der Oberfläche senkrecht zur Fläche.

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2.6

23

Beispiele

Die meisten elektrostatischen Probleme gehören zu einem von zwei Typen: 1. Gegeben sei eine bestimmte Verteilung von Ladungen im Raum. Das elektrostatische Potential lässt sich dann aus (2.8) bzw. (2.9) bestimmen, das elektrische Feld dann aus (2.10). Alternativ kann das Feld direkt aus (2.6) bzw. (2.7) bestimmt werden. In Fällen mit besonderer Symmetrie ist es oft möglich, wie wir an einigen Beispielen sehen werden, eine umständliche Integration durch Anwendung des Gaußschen Satzes zu vermeiden. 2. Gegeben sei ein bestimmte Anordnung von Elektroden (elektrische Leiter) mit gegebenen Potentialen und zusätzlich eine bestimmte Ladungsverteilung ρ zwischen den Elektroden. Eine einfache Integration ist in diesem Fall nicht möglich, weil die Ladungsverteilung auf den Oberflächen der Elektroden nicht bekannt ist. Es muss die Differentialgleichung (2.14) mit den gegebenen Randbedingungen gelöst werden Im folgenden werden einige einfache Beispiele erläutert.

2.6.1

Gleichgewicht

Ist es möglich, z.B. durch eine bestimmte Anordnung von Elektroden oder Ladungen, ein elektrostatisches Feld im Vakuum so zu gestalten, dass es für eine Ladung q ein stabiles, dreidimensionales Gleichgewicht gibt? Diese Frage lässt sich eindeutig verneinen. Ein stabiles Gleichgewicht bedeutet ein Minimum in der potentiellen Energie und deshalb auch im elektrostatischen Potential, d.h. 2 ∂ φ ∂φ =0 und > 0, 2 ∂xi ∂xi (i = 1, 2, 3). Wenn aber die zweiten Ableitungen alle positiv sind, ist es nicht mehr möglich, Gleichung (2.15) zu erfüllen. Es gibt also keine Lösung mit einem dreidimensionalen Minimum.

24

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2.6.2

Der faradaysche Käfig

Wenn man einen Raum mit einer elektrisch leitenden Schicht (z.B. einer Metallfolie) auskleidet, ist der Raum von den elektrischen Feldern aller Ladungen, die sich außerhalb des Raumes befinden, völlig abgeschirmt. Für viele Zwecke, z.B. wenn man einen begrenzten Bereich in einem Labor abschirmen aber gleichzeitig beobachten möchte, genügt ein „Käfig“ aus einem Drahtgeflecht. Metall

Σ1

Σ1

+

+

-

-

+

-

+ -

+ -

-

+

+

(a)

Σ2

-

+

+

Abbildung 2.5: Zur Wirkungsweise des faradayschen Käfigs. (a) Hohlraum in einem Metall ohne Ladungen. (b) Der gleiche Hohlraum mit Ladung. In beiden Fällen ergibt das Gaußsche Integral über die Fläche �1 Null. Dagegen ist das Gaußsche Integral über die Fläche �2 im Fall (b) verschieden von Null.

(b)

Um zu verstehen, wie ein so genannter faradayscher Käfig funktioniert, betrachten wir in Abb. 2.5 einen Hohlraum innerhalb eines metallischen Festkörpers. Wenn wir das Gaußsche Integral über eine Fläche �1 ausrechnen, die vollständig innerhalb des Metalls liegt, ist das Ergebnis immer 0, d.h. � Edf = 0, �1

weil E überall auf der Fläche 0 ist. Dies bedeutet nach dem Satz von Gauß, dass die Summe über alle Ladungen innerhalb der Fläche �1 gleich 0 sein muss. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Im Hohlraum befinden sich keine Ladungen (Abb. 2.5a). In diesem Fall verschwindet das elektrische Feld wie im Metall auch im Hohlraum.

25

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2. Es befinden sich Ladungen im Hohlraum (Abb. 2.5b). Jede Ladung q im Hohlraum induziert eine negative Ladung auf der inneren Oberfläche des Metalls. Da die Summe der Ladungen innerhalb der Fläche �1 immer noch gleich Null sein muss (Gauß), hat die induzierte Ladung genau den Wert −q. Gleichzeitig erscheint eine Ladung +q auf der Außenfläche des Metalls. In beiden Fällen ist das elektrische Feld innerhalb des Hohlraums unabhängig von irgendwelchen Ladungen, die sich außerhalb des Metalls befinden. Es sollte betont werden, dass ein faradayscher Käfig die Ladungen, die sich innerhalb des Käfigs befinden, nicht nach außen hin abschirmt. In der in der Abb. 2.5b dargestellten Situation sind die auf der Außenfläche induzierten Ladungen Quellen von Feldlinien. Innerhalb der Fläche �2 , die sich außerhalb des Metalls befindet, ist die Nettoladung gleich q, d.h. es gilt �

und das Feld ist nicht 0.

2.6.3

�2

Edf = q/�◦ ,

Linienladung

Wir berechnen das elektrostatische Feld einer Ladung, die gleichmäßig auf einer unendlich langen Geraden verteilt ist. Dieses Problem lässt sich am einfachsten durch Anwendung von Symmetrieüberlegungen zusammen mit den Satz von Gauß lösen: Da die Anordnung zylindrische Symmetrie besitzt, muss das elektrische Feld überall radial sein. Es bleibt nur, den Betrag des Feldes in Abhängigkeit von der Entfernung r zu bestimmen. Dazu betrachten wir einen Zylinder mit dem Radius r und der Länge l, dessen Achse mit der Linienladung übereinstimmt (Abb. 2.6). Die lineare Ladungsdichte (Ladung pro Länge) sei λ. Das elektrische Feld ist senkrecht zur Zylinderfläche und hat auf dieser Fläche überall den gleichen Wert E(r). Das Gaußsche Integral des elektrischen Feldes über die Fläche des Zylinders lässt sich daher einfach als Produkt der gesuchten Feldstärke E(r) mit der Fläche 2π rl. (Die Endfläche des Zylinders machen keinen Beitrag zu diesem Integral, weil das Feld parallel zu diesen Flächen verläuft). Anwendung des Gaußschen Satzes (2.12) ergibt � E.df = 2π rlE = λl/�◦ ,

26

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

l r

Ladung λ pro Längeneinheit

Abbildung 2.6: Darstellung der zylindrischen Gauß-Fläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Linienladung.

und E = λ/(2π �◦ r).

Das elektrostatische Potential ergibt sich durch Integration des Feldes: −λ φ(r) = ln(r) + C. 2π �◦ In diesem Fall kann man die Integrationskonstante nicht so wählen, dass φ → 0 für r → ∞ geht. In der Praxis gibt es aber keine unendlich langen Linienladungen. Die obige Lösung gilt in guter Näherung für eine endlich lange Linienladung, wenn die Entfernung r klein im Vergleich mit der Länge ist. Frage 2.6 Zeigen Sie, dass für eine endliche Linienladung die Bedingung φ → 0 für r → ∞ erfüllt werden kann.

2.6.4

Flächenladungen: der Kondensator

Als nächstes Beispiel betrachten wir eine Flächenladung, d.h. eine Ladung, die gleich-mäßig über eine unendliche Ebene verteilt ist. Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass die Feldlinien senkrecht zur Ebene sein müssen.

Antwort ⇓

27

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

Damit sind die Feldlinien parallel zueinander, was wiederum bedeutet, dass die Feldstärke im ganzen Raum konstant ist: Es handelt sich um ein homogenes elektrisches Feld. (Die Felder auf beiden Seiten der Ebene unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen). Eine einfache Anwendung des Gaußschen Satzes zeigt, dass die Feldstärke E durch σ E= 2�◦

(2.16)

gegeben ist, wo σ die Ladung pro Flächeneinheit ist.

Frage 2.7 Wählen Sie eine geeignete „Gauß-Fläche“ , um die Gleichung (2.16) abzuleiten.

Bereich I -E

+E

+σ Bereich II +E

+E d

−σ Bereich III +E

-E

Abbildung 2.7: Das Feld zweier Flächenladungen mit dem gleichen Betrag σ aber unterschiedlichen Vorzeichen (Plattenkondensator).

Spannung U

Ein für die Praxis wichtiges Ergebnis erhalten wir, wenn wir zwei parallele Flächenladungen mit dem gleichen Betrag σ aber unterschiedlichen Vorzeichen betrachten (Abb. 2.7). Jede Flächenladung macht einen Beitrag +E oder −E zum Feld, wo E durch (2.16) gegeben ist. Die beiden Ebenen teilen den Raum in drei Bereiche: In den Bereichen I (links von beiden Flächen) und III (rechts von beiden Flächen) haben die Beiträge

Antwort ⇓

28

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

der beiden Flächenladungen unterschiedliche Vorzeichen und heben sich auf. Im Bereich II (zwischen den Ebenen) addieren sich die Beiträge zu einem Gesamtfeld, das doppelt so groß wie der Einzelbeitrag ist. Für das Feld der Doppelschicht gilt daher � σ/�◦ zwischen den Platten (2.17) E= 0 im übrigen Raum. Ist d der Abstand zwischen den Ebenen, so ist die Spannung (Potentialdifferenz) U = �φ = σ d/�◦ .

Eine Kombination aus zwei Leitern, die den gleichen Ladungsbetrag mit unterschiedlichen Vorzeichen tragen, wird als Kondensator bezeichnet. Ein Kondensator ist also insgesamt ladungsneutral, speichert aber Energie, wie wir später sehen werden. Die einfachste Form eines Kondensators ist der Plattenkondensator, bestehend aus zwei parallelen Metallplatten. Das Feld eines Plattenkondensators ist näherungsweise durch (2.17) gegeben. Abweichungen gibt es aber im Randbereich, weil Gleichung (2.17) nur für unendliche Ebenen gilt, während ein realer Kondensator notwendigerweise endlich ist. Wenn der Plattenabstand d viel kleiner als die seitlichen Abmessungen ist, können wir die Randeffekte vernachlässigen. Die Spannung zwischen den Platten eines Kondensators, der die Ladung ±Q auf einer Fläche A trägt, ist damit Qd . U= �◦ A

Die Spannung ist also proportional zur Ladung, und das Verhältnis Ladung/Spannung wird als Kapazität bezeichnet. Die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Fläche A und dem Abstand d ist also �◦ A C= d Die Einheit der Kapazität wird nach Michael Faraday Farad (F) genannt: 1F = 1CV

−1

.

Zur Frage der gespeicherten Energie kommen wir später zurück (Abschnitt 2.10).

(2.18)

29

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Frage 2.8 Mit welcher Kraft ziehen sich die beiden Platten eines Kondensators an?

2.6.5

Kugelsymmetrische Ladungsverteilung

Wir betrachten eine Ladungsverteilung , die kugelsymmetrisch um den Ursprung ist, d.h. die Ladungsdichte ρ ist nur vom Betrag r abhängig. Aus Symmetriegründen muss das elektrische Feld radial und richtungsunabhängig sein, wie das Feld einer Punktladung. Die Feldstärke in einer Entfernung r vom Ursprung ergibt sich direkt aus dem Gaußschen Gesetz: � 2 E.df = 4π r E = Q/�◦ ,

wo Q die Gesamtladung innerhalb der Kugelfläche ist. Das Feld ist also E=

Q 2

4π �◦ r .

Das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen Ladung in einer Entfernung r vom Mittelpunkt ist das gleiche, als ob sich die gesamte innerhalb der Entfernung r befindliche Ladung am Mittelpunkt wäre. Ein einfaches Beispiel: Eine leitende Kugel (Radius R) trage die Ladung Q. Wenn wir den Mittelpunkt der Kugel als Ursprung wählen, ist das elektrische Feld � 2 Q/(4π �◦ r ) (r ≥ R) E= (2.19) 0 (r ≤ R) 2

Die Feldstärke an der Kugeloberfläche (r = R) ist damit Q/(4π �◦ R ) und steigt bei gleich bleibender Ladung mit kleiner werdendem Kugelradius immer stärker an. Allgemein gilt für einen geladenen Leiter, dass die Feldstärke an den Stellen besonders hoch ist, wo die Oberfläche eine starke Krümmung aufweist, z.B. an

Antwort ⇓

30

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

Spitzen. Die Feldstärke kann so groß sein, dass die Luft in unmittelbarer Nähe der Spitze durch Stoßionisation (s. Abschnitt 3.2.4) leitend wird, was zur Entladung des Leiters führt. Die Entladung wird oft von einer schwachen Leuchterscheinung, der so genannten Korona, begleitet. Man spricht daher von Korona-Entladung oder Spitzenentladung. Der so genannte „Blitzableiter“, den man an vielen Gebäuden findet, sollte eigentlich „Blitzverhinderer“ heißen: Seine Aufgabe ist es, das elektrische Feld in der Nähe des Gebäudes durch Spitzenentladung abzubauen, bevor es zum Blitzeinschlag kommt.

2.6.6

Leitende Kugel im E-Feld

Als Beispiel für ein Problem, bei dem die Ladungsverteilung zunächst nicht bekannt ist, betrachten wir eine Kugel aus leitendem Material, die sich in einem sonst homogenen Feld befindet. Um das Potential φ(r) außerhalb der Kugel zu bestimmen, müssen wir die Laplace-Gleichung 2

∇ φ=0 lösen. Aber wie lauten die Randbedingungen? Durch das elektrische Feld entsteht eine Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche, die das örtliche Feld modifiziert. In einer großen Entfernung von der Kugel haben wir aber noch das ungestörte Feld (E◦ ). Nehmen wir den Mittelpunkt der Kugel (Radius R) als Ursprung des Koordinatensystems und die Feldrichtung als x3 Achse. Wenn wir auch noch den Ursprung als Nullpunkt des Potentials wählen, ist das ungestörte Potential gleich −E◦ x3 = −E◦ r cos(θ ). Ferner ist das Potential der Kugel = 0. Die Randbedingungen sind also φ = 0 für r = R φ → −E◦ r cos(θ ) für r → ∞. Zur allgemeinen Lösung der Laplace-Gleichung sei auf die

4 Mathematik-Literatur

4 Z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik 3.3.2.3.

verwiesen. Die Lösung des

31

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK vorliegenden Falls ist, wie man leicht nachprüfen kann,

�� � � 3 R −1 . φ = E◦ r cos(θ ) r

(2.20)

Abb. 2.8 zeigt den Verlauf der Feldlinien in der Nähen der Kugel. Feldlinien:

ohne Kugel

mit Kugel

Abbildung 2.8: Änderung der Feldlinien durch dass Einbringen einer elektrisch leitenden Kugel in ein ursprünglich homogenes elektrisches Feld.

Die Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche lässt sich durch folgende Überlegung bestimmen: Die Feldlinien schneiden die Kugeloberfläche senkrecht. In einer sehr kleinen Entfernung von der Oberfläche ist die Situation die gleiche wie in der Nähe einer Platte des Kondensators: Man hat eine bestimmte (lokale) Ladungsdichte σ auf der Oberfläche und ein einseitiges elektrisches Feld. Wir erwarten also die gleiche Beziehung zwischen σ und E, nämlich σ = �◦ E. In diesem Fall erhalten wir das lokale Feld durch die radiale Ableitung von φ: � ∂ �� φ(r, θ ) = 3� E cos(θ). σ = −�◦ ◦ ◦ � ∂r r=R

32

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2.6.7

Der elektrische Dipol

Potential und Feld eines Dipols Ein Paar von Ladungen +q und −q in einem Abstand a nennt man einen Dipol. Das Produkt des Ladungsbetrags mit dem Abstandsvektor (von −q nach +q) wird als Dipolmoment bezeichnet: p = qa. Wir berechnen zunächst das elektrische Potential eines Dipols, dessen Mittelpunkt sich am Ursprung des Koordinatensystems befindet. Da das Problem rotationssymmetrisch ist, verwenden wir Polarkoordinaten und wählen die Richtung von a als x3 -Achse (Abb. 2.9). Das Potential am Punkt P (r, θ) ist � � 1 1 q φ= − , 4π �◦ s t

wo s und t die Entfernungen des Punktes P von der positiven bzw. der negativen Ladung sind. Aus dem Kosinussatz folgt s t

2 2

= =

2

2

2

2

r + a /4 − ra cos(θ ), und r + a /4 + ra cos(θ ).

Das Potential als Funktion von r und θ ist damit �  � � � −1/2 −1/2 2 2 a a q  a a . 1 + 2 − cos(θ ) − 1 + 2 + cos(θ) φ= 4π �◦ r r r 4r 4r 2

2

Eine für viele Fälle nützliche Näherung erhalten wir für r � a. In diesem Fall gilt 1 + a /4r ≈ 1 und −1/2

(1 ± (a/r) cos(θ ))

≈ 1 ∓ (a/2r) cos(θ).

33

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

P

x3

s +q a/2 θ

r

Abbildung 2.9: Zur Berechnung des elektrostatischen Potentials eines Dipols.

t

a/2 -q

Im Bereich dieser Näherung erhalten wir für das Potential des Dipols φ=

qa cos(θ ) 4π �◦ r

2

.

(2.21)

Wenn wir (2.21) mit (2.20) vergleichen, sehen wir, dass das Potential der leitenden Kugel als Überlagerung des ungestörten Potentials mit dem Potential eines punktförmigen Dipols, der sich im Mittelpunkt der Kugel

34

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK befindet, betrachtet werden kann. Das effektive Dipolmoment ist 3

p = 4π�◦ R E◦ . Gleichung (2.21) können wir mit Hilfe der Vektorrechnung verallgemeinern. Es gilt nämlich p.r = qar cos(θ ) und damit φ=

p.r 4π �◦ r

(2.22)

. 3

Das elektrische Feld eines Dipols erhalten wir aus der Beziehung E = −∇φ. Mit Hilfe der leicht zu n n−2 r erhält man aus (2.22) überprüfenden Beziehungen ∇(a.r) = a und ∇r = nr 1 E=− 4π �◦

�

p r

3

−

3(p.r)r r

5

�

(2.23)

. 3

Das Feld setzt sich zusammen aus einem Beitrag parallel zu −p mit dem Betrag p/(4π�◦ r ) und einem radialen 3 Beitrag mit dem Betrag 3p cos(θ )/(4π �◦ r ). Wechselwirkung eines Dipols mit einem elektrostatischen Feld In einem homogenen elektrischen Feld E wirken auf einen Dipol die Kräfte qE und −qE. Die resultierende Kraft ist daher Null, aber die Angriffspunkte der Kräfte unterscheiden sich durch den Vektor a, so dass ein Drehmoment M = qa × E = p × E (2.24)

35

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

entsteht. Der Betrag des Drehmoments ist proportional zum Sinus des Winkels (α) zwischen p und E und verschwindet deshalb, wenn p parallel zu E ist. Dipole haben also die Tendenz, sich parallel zum Feld anzuordnen. Die potentielle Energie in Abhängigkeit vom Winkel α ist � Ep = − Mdα = −pE cos(α) + Konst.

Wählen wir α = π/2 für den Nullpunkt der Energie, ist

Ep = −pE cos(α) = −p.E

(2.25)

In einem inhomogenen elektrischen Feld erfährt der Dipol eine resultierende Kraft. Wir berechnen zunächst die x1 -Komponente: Wenn die x1 -Komponente des elektrischen Feldes den Wert E1 am Ort der Ladung −q hat, ist der Wert am Ort der Ladung +q ∂E1 ∂E1 ∂E1 + a2 + a3 . E1 + δE1 = E1 + a1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Die resultierende x1 -Komponente der Kraft ist F1 = qδE1 =

3 � i=1

∂E1 pi ∂xi

Die anderen Komponenten lassen sich analog bestimmen, d.h. Fk =

3 � i=1

∂Ek pi ∂xi

(k = 1, 2, 3).

Mit Hilfe des Nabla-Operators lässt sich Gleichung (2.26) auch in folgender Form schreiben. F = (p.∇)E.

(2.26)

36

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK ∂φ Aufgrund der Beziehung Ei = − (φ = Potential) ist ∂xi 2 ∂ φ

2 ∂ φ

∂Ej ∂Ei =− =− = , ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi d.h., die sechs Ableitungen der Feldkomponenten bilden eine symmetrische Matrix. Dementsprechend lässt sich Gleichung (2.26) auch in folgender Form schreiben: Fk =

3 � i=1

∂Ei pi ∂xk

(k = 1, 2, 3).

(2.27)

Frage 2.9 Zeigen Sie, dass es nicht möglich ist, ein elektrostatisches Feld mit folgenden Eigenschaften zu erzeugen:

• Die Feldlinien sind alle gerade, parallel zur x1 -Achse, d.h. E2 = E3 = 0. ∂E1 • Die Feldstärke variiert in x2 -Richtung, d.h. �= 0. ∂x2

Antwort ⇓

Wechselwirkung zwischen 2 Dipolen In diesem Abschnitt wollen wir die Kräfte und Drehmomente bestimmen, die zwischen zwei Dipolen � wirken. Der Vektor von p nach p sei r. Wir nehmen wieder an, dass r sehr viel größer als die Abmessungen � der beiden Dipole ist. Das Feld des Dipols p am Ort des Dipols p ist durch Gleichung (2.23) gegeben. Damit � erhalten wir mit (2.21) für die potentielle Energie des Dipols p im Feld des Dipols p: � � � � 1 3(p.r)(p .p .r) p � Ep = −p .E = . − 3 5 4π �◦ r r � p, p

37

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Die auf

� p

wirkende Kraft erhalten wir als Ableitung der potentiellen Energie: F = −∇Ep .

r erhält man als Ergebnis Mit Hilfe der schon oben verwendeten Beziehungen ∇(a.r) = a und ∇r = nr � � � � � � (p.p )r + (p .r)p + (p.r)p 5(p.r)(p .r)r 3 (2.28) − F = 7 5 4π �◦ r r n

n−2

Um die Kraft zu bestimmen, die auf p ausübt, müssen wir in Gleichung (2.28) p und und r durch −r ersetzen. Das Ergebnis ist � F = −F , � F

� p

� p

vertauschen

wie aus den 3. newtonschen Gesetz (Impulserhaltung ) zu erwarten war. Aus (2.28) geht aber hervor, dass F � und F nicht notwendigerweise parallel zu r sind. Sie üben daher ein Drehmoment 3 MF = r × F = − 4π �◦

� (p .r)(p

� × r) + (p.r)(p

r

5

× r)

auf das System der beiden Dipole aus. Bedeutet dies eine Verletzung der Drehimpulserhaltung? Um diese Frage � zu beantworten, müssen wir noch zwei andere Drehmomente berücksichtigen: das Drehmoment M, das p im � � Feld des Dipols p erfährt, und das Drehmoment M , das p auf p ausübt. Diese sind nach (2.24): � � � � p × p × r) 1 3(p.r)(p � − M =p ×E =− 3 5 4π �◦ r r � � � � 1 3(p .r)(p × r) p × p � � M =p×E =− − 3 5 4π �◦ r r

Die Summe ergibt

d.h. die Impulserhaltung gilt auch hier.

�

MF + M + M = 0,

38

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

2.6.8

Bildladungen

Als ein Beispiel für ein elektrostatisches Problem, das mit Hilfe so genannter Bildladungen einfach gelöst werden kann, betrachten wir folgende Situation: Am Ursprung des Koordinatensystems befindet sich eine Punktladung q. In einer Entfernung a befindet sich die Oberfläche einer geerdeten Metallplatte, die senkrecht zur x1 -Achse steht. Die Randbedingungen dieses Problems lauten φ→0 für r→∞ φ → q/(4π �◦ r) für r→0 φ(a, x2 , x3 ) = 0 für alle x2 , x3 . Exakt die gleichen Randbedingungen gelten aber, wenn wir die Metallplatte durch eine Punktladung −q an der Stelle (2a, 0, 0) ersetzen, weil die Ebene x1 = a dann immer noch eine Ebene konstanten Potentials (φ = 0) ist. Die Lösungen der Laplace-Gleichung sind aber eindeutig durch die Randbedingungen bestimmt. Das elektrische Feld außerhalb der Metallplatte muss daher identisch mit dem Feld des Dipols im entsprechenden Raumbereich sein. Um z.B. die Kraft zu bestimmen, die die Metallplatte auf die Punktladung ausübt, brauchen wir nur die Kraft zwischen den beiden Punktladungen auszurechnen, d.h. zwischen der echten Ladung +q an der Stelle (0, 0, 0) und der Bildladung −q an der Stelle (2a, 0, 0). Diese so genannte Bildkraft ist damit eine anziehende Kraft mit dem Betrag 2 q . F = 2 16π �◦ a

2.7

Elektrostatische Generatoren

Es gibt verschiedene Maschinen, mit denen man hohe elektrostatische Spannungen (bis ca. 100 kV im Labor) erzeugen und längere Zeit aufrechterhalten kann. Im folgenden wird das Arbeitsprinzip von zwei solchen

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

39

Maschinen erläutert, ohne auf die technischen Einzelheiten einzugehen. Trotz der hohen Spannung ist das Arbeiten mit diesen Geräten nicht lebensgefährlich, weil die Ladungen sehr kleine sind, und hohe Ströme auch bei schneller Entladung nicht entstehen können.

2.7.1

Influenzmaschine

Abb. 2.10 zeigt eine moderne Version der 1882 von James Wimshurst (1832–1903) erfundenen Influenzmaschine (auch als Wimshurst-Maschine bekannt). Die Maschine besteht aus zwei Scheiben aus isolierendem Material (z.B. Plexiglas), die — angetrieben durch einen Elektromotor oder über eine Handkurbel — gegenläufig rotieren. Beide Scheiben tragen auf der äußeren Oberfläche in regelmäßigen Abständen Sektoren aus Metallfolie (S in Abb. 2.10). Zu jeder Scheibe gehört ein feststehender, elektrisch leitender Verbindungsarm (A,A’), der an beiden Enden mit einem Drahtpinsel versehen ist, die über die Scheibe streicht. Jedes Mal, wenn ◦ ein Sektor an einem Ende des Arms vorbeigeht, wird er kurzzeitig mit dem 180 von ihm versetzt auf der ◦ gleichen Scheibe liegenden Sektor elektrisch verbunden. Die beiden Arme sind 90 gegeneinander versetzt. Über zwei Kollektoren (K, K’) wird die Ladung auf die Kugeln X, X’ übertragen. Die Kollektoren sind „Bürsten“ oder „Kämme“ aus Metalldraht, die keinen direkten Kontakt mit den Sektoren haben. Die Ladungsübertragung erfolgt durch Spitzenentladung (s. Abschnitt 2.6.5). Hat sich eine genügend hohe Spannung aufgebaut, erfolgt eine Entladung durch einen Funkenübergang zwischen X und X’. Die Elektroden können mit Kondensatoren (C, C’) verbunden werden; die Ladungsmenge wird dadurch größer und der Funke entsprechend kräftiger. Die Influenzmaschine benötigt kein Startpotential, etwa durch eine Batterie, sondern funktioniert durch die Verstärkung von zufällig vorhandenen Ladungen. Zur Erläuterung der Funktionsweise der Influenzmaschine zeigt Abb. 2.11 eine schematische Darstellung, in der die Scheiben durch konzentrische Kreis ersetzt wurden. Wir nehmen an, dass sich die hintere Scheibe (Außenkreis) nach links dreht, die vordere Scheibe (Innenkreis) nach rechts. Wenn der an der Stelle 1 befindliche Sektor a der hinteren Scheibe zufällig negativ geladen ist, werden die Sektoren b und c auf der vorderen Scheibe durch Influenz positiv bzw. negativ geladen, weil sei gerade miteinander verbunden sind. Die Verbindung zwischen b und c wird unterbrochen, bevor sie den Einflussbereich von a verlassen, so dass sie ihre Ladung beibehalten.

40

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

X

X'

S

A

A'

K

K'

C

C'

Abbildung 2.10: Eine moderne Influenzmaschine. C, C’: Kondensatoren, K, K’: Kollektoren, A, A’: leitende, mit Drahtpinseln versehenen Verbindungsarme, S: Sektoren aus Metallfolie XX’: Funkenstrecke.

41

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK hinten 1

a b

+

6

vorne

5

2

c 3

Abbildung 2.11: Prinzip der Influenzmaschine. Die Scheiben sind in dieser schematischen Skizze durch konzentrische Kreise Dargestellt. Die Sektoren sind entweder positiv (rot) oder negativ (blau) geladen.

4

An der Stelle 2 gibt der Sektor a seine negative Ladung ab und begegnet dem negativ geladenen Sektor c an der Stelle 3. An dieser Stelle ist a mit seinem Gegenüber verbunden und wird nun durch Influenz positiv geladen. Nach einer halben Umdrehung der beiden Scheiben befindet sich a an der Stelle 4 und c an der Stelle 1. Der Sektor c hat seine negative Ladung bei 2 abgegeben und wir nun bei 1 positiv geladen. Der Sektor a gibt seine positive Ladung bei 5 ab, wird bei 6 wieder positiv geladen, usw. Sobald sich eine Polarität einmal eingestellt hat, wird sie also ständig durch Influenz verstärkt.

2.7.2

Bandgenerator 5 Erfinder auch

Abb. 2.12 zeigt das Prinzip des Bandgenerators, der nach seinem van-de-Graaff-Generator genannt wird, in seiner einfachsten Form. Im Bandgenerator wird Ladung kontinuierlich über ein Band auf eine Metallkugel transportiert. Das Band aus isolierendem Material läuft zwischen zwei Umlenkrollen, die an einem vertikalen, ebenfalls isolierenden Träger befestigt sind. 5 Robert Jemison van de Graaff (1901–1967).

42

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

+

oberer Kamm

+

+

+

+

+

Anregungsspannung + -

+ + + ++ + + + + + +

Metallkugel +

obere Umlenkrolle

+ + Band

Abbildung 2.12: Prinzip des Bandgenerators.

isolierender Träger

untere Umlenkrolle unterer Kamm

Positive Ladungen werden durch Spitzenentladung über einen Metallkamm, der sich in der Nähe der unteren Umlenkrolle befindet, auf das Band übertragen. Zu diesem Zweck wird zwischen dem Kamm und einer auf der Rückseite des Bandes befindlichen Platte eine Spannung angelegt, die groß genug ist (einige 100 V), um die gewünschte Spitzenentladung anzuregen. Am oberen Kamm (Abb. 2.12), der mit der Metallkugel verbunden ist, werden die Ladungen durch eine negative Spitzenentladung neutralisiert, wodurch die Kugel eine positive Ladung bekommt. Die maximal erreichbare Spannung ist durch das Gleichgewicht zwischen dem Ladestrom und der Summe aller Verlustströme bedingt. Sie beträgt bei einfachen Laborgeräten rd. 100 kV. Größere Geräte erreichen höhere Spannungen, weil die Verlustströme im wesentlichen von der Feldstärke (Spannung/Abstand) abhängen. Der van-de-Graaff-Generator hat in der Vergangenheit vielfach Anwendung als Spannungsquelle für Teil-

43

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK chenbeschleuniger gefunden. Die größten Geräte erreichen Spannungen bis zu 20 MV.

2.8 2.8.1

Elektrische Multipole Definitionen von Multipolen

Der im Abschnitt 2.6.7 beschriebene Dipol ist ein Spezialfall einer Ladungsverteilung, die insgesamt neutral ist, aber ein elektrisches Feld erzeugt. Für eine beliebige Ladungsverteilung ist das Dipolmoment bezogen auf 6 den Ursprung des Koordinatensystems durch � p = ρrdV definiert und ist im allgemeinen abhängig von der Wahl des Bezugspunktes. Verschieben wir den Ursprung um den Vektor s ist das neue Dipolmoment � � � p = ρ(r − s)dV = p − s ρdV . � (p

Das Dipolmoment ist daher immer dann unabhängig vom Bezugspunkt = p), wenn die Ladungsverteilung � insgesamt neutral ist ( ρdV = 0). Ist die Ladungsverteilung nicht neutral, gibt es immer einen Bezugspunkt, für den das Dipolmoment 0 ist. Diesen Punkt kann man als „Ladungsschwerpunkt“ definieren, analog dem Massenschwerpunkt in der Mechanik. Da es aber keine negativen Massen gibt, existiert immer ein Massenschwerpunkt, und das Dipolmoment einer Massenverteilung ist abhängig vom Bezugspunkt. 6 In diesem Abschnitt beschränken wir uns der Einfachheit halber auf kontinuierliche Ladungsdichteverteilungen. Die Umformung der

Gleichungen auf Verteilungen von Punktladungen erfolgt analog den Gleichungen (2.4) bzw. (2.5).

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

44

Ein Monopol ist eine einzelne Ladung, und das „Monopolmoment“ einer Ladungsverteilung ist einfach � die Summe ρdV . Neben dem Dipol gibt es weitere Multipole, die im einfachsten Fall aus 4 (Quadrupol), 8 Oktupol usw. Ladungen bestehen. Jeder Multipol setzt sich zusammen aus 2 Multipolen der nächstniedrigsten Stufe. Die Definitionen der verschiedenen Multipolmomenten folgt durch Verallgemeinerung der Definition des Dipolmoments. Sie lauten in Komponentenschreibweise: � Monopolmoment: q = ρdV , (2.29) � (2.30) Dipolmoment: pi = ρxi dV , � Quadrupolmoment: Qij = ρxi xj dV (2.31)

usw. Damit ist ein Monopolmoment (Ladung) eine skalare Größe, ein Dipolmoment ein Vektor, und ein Quadrupolmoment ein Tensor zweiter Stufe. Die höheren Multipolmomente sind Tensoren entsprechend höherer Stufen. Wir haben gesehen, dass das elektrostatische Potential eines Monopols nach 1/r abfällt, das Potential eines 2 Dipols dagegen nach 1/r . Dies lässt vermuten, dass die höheren Multipolmomente Beiträge zum Potential 3 4 liefern, die nach 1/r , 1/r usw. abfallen. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, das Potential einer Ladungsverteilung als eine Reihe von 1/r-Potenzen zu entwickeln. Die Terme einer solchen Entwicklung sind sukzessive Näherungen des Potentials an einem Punkt, der weit entfernt ist im Vergleich mit der Ausdehnung der Ladungswolke. Dieses Verfahren bezeichnet man als Multipolentwicklung.

2.8.2

Multipolentwicklung

Wir betrachten eine „Ladungswolke“ (ρ(r)), die auf ein endliches Volumen � (s. Abb. 2.13), das den Ursprung O des Koordinatensystems enthält, beschränkt ist, und berechnen das elektrostatische Potential an einem Punkt

45

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

dV P

R-r R

r O

Abbildung 2.13: Das Feld einer Ladungswolke.

ρ(r ) Volumen Ω

P mit dem Ortsvektor R, wobei wir annehmen wollen, dass R � r für alle r in � ist. Aus (2.9) folgt � 1 ρ(rdV ) φ(R) = . 4π �◦ � |R − r| Wenn wir den Winkel zwischen r und R mit α bezeichnen, ist

1 1 −1/2 2 2 = (R + r − 2rR cos(α)) = |R − r| R

�

2

r r 1 − 2 cos(α) − 2 R R

�−1/2

.

46

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK Der Klammerausdruck lässt sich mit Hilfe der Legendre-Polynome als Potenzreihe in r/R �

2

r r 1 − 2 cos(α) − 2 R R

�−1/2

mit

1 d

=

l

Pl (x) =

2 l! x l

∞ �

Pl (cos(α))

l=0

2

� r �l R

(x − 1) . l l

Die gewünschte Reihenentwicklung des Potentials ist damit φ(R) =

∞ � l=0

1 4π �◦ R

n+1

�

�

l

r Pl (cos(α))dV .

Die ersten 3 Legendre-Polynome sind 2

P0 = 1, P1 = x, P2 = (3x − 1)/2. Dementsprechend erhalten wir für die ersten Terme der Reihenentwicklung: � � � 1 1 1 ρdV + 2 ρr cos(α)dV φ(R) = 4π �◦ R � R � � � 2 2 ρr (3 cos (α) − 1) 1 dV + . . . + 3 2 R � 7 S. z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 447.

,

7 entwickeln :

47

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 2

Der erste Term ist einfach der Beitrag eines Monopols q am Ursprung. Der Koeffizient von 1/R kann man wie folgt umschreiben � � p.R ρr.R dV = . ρr cos(α)dV = R � � R

Dies ist die Komponente des Dipolmoments in Richtung von R. 3 Der Koeffizient von 1/R lässt sich am einfachsten interpretieren, wenn wir unser Koordinatensystem zunächst so festlegen, dass die x3 -Achse parallel zu R ist. Es gilt dann α = θ und (mit (2.31)) � � 2 2 2 2 ρr (3 cos (α) − 1)dV = ρ(3x3 − r )dV = 2Q33 − (Q11 + Q22 ). �

�

Mit dem gewählten Koordinatensystem lautet die Reihenentwicklung also � � p3 Q33 − (Q11 + Q22 )/2 1 q + 2+ φ(R) = + . . . 3 4π �◦ R R R

Manchmal ist es nützlich, den Quadrupolbeitrag als Funktion der Hauptwerte Q1 , Q2 , Q3 des Quadrupolmoment-Tensors darzustellen. Mit Hilfe der Transformationsgleichungen für Tensoren beim Wechsel des 8 Bezugssystems kann man folgende Beziehung ableiten 2Q33 − (Q11 + Q22 ) =

3 �

2 (3ai

i=1

− 1)Qi .

(2.32)

Hier ist ai der Kosinus des Winkels zwischen R und der zu Qi gehörenden Hauptachse. Als Beispiel betrachten wir die verschiedenen Beiträge zum elektrostatischen Potential der Atomkerne: Die Atomkerne haben die Form von Rotationsellipsoiden, wobei die Ladung Ze (Z = Ordnungszahl, e = Elementarladung) im Mittel gleichmäßig über das Volumen verteilt ist. Aufgrund der Ladung gibt es immer 8 S. z.B. S. Haussühl, Kristallphysik, 2.5.

48

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

einen Monopolbeitrag. Das Dipolmoment bezogen auf den Mittelpunkt ist 0. Aufgrund der Symmetrie ist die Rotationsachse eine Hauptachse des Quadrupolmoment-Tensors. Wenn wir diese als x3 -Achse definieren, ist 2 2 2 Q11 = Q22 , und Gleichung (2.32) (mit a1 + a2 + a3 = 1) führt zu 2Q33 − (Q11 + Q22 ) =

2 (3a3

− 1)(Q3 − Q1 ).

Der Quadrupolbeitrag zum elektrostatischen Potential hängt daher nur von einer einzigen Zahl Q3 − Q1 ab. Diese kann positiv (gestrecktes Ellipsoid), negativ (gestauchtes Ellipsoid) oder Null (Kugelsymmetrie) sein. In 2 Tabellenwerken werde die Werte meistens durch e dividiert und in Einheiten von m angegeben.

2.9

Dielektrika

2.9.1

Polarisation

In nichtleitenden Stoffen sind die Elektronen fest an die Atome oder Moleküle gebunden und können sich deshalb nicht frei bewegen. Unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes werden die positiven und negativen Ladungen (d.h. die Atomkerne und die Elektronen) dennoch gegeneinander verschoben, so dass ein elektrisches Dipolmoment entsteht (s. Abb. 2.14a). Dieses Phänomen bezeichnet man als Verschiebungspolarisation. Das durch ein elektrisches Feld induzierte Dipolmoment ist in erster Näherung proportional zur Feldstärke: p = αE. Diese Proportionalität folgt aus der Quantentheorie und wird experimentell bestätigt. Die Proportionalitätskonstante α ist eine Eigenschaft des Atoms, die als Polarisierbarkeit bezeichnet wird. Die Verschiebungs-Polarisierbarkeit eines Atoms bzw. eines Moleküls ist praktisch temperaturunabhängig. Es gibt jedoch Molekül — wie z.B. das Wassermolekül H2 O — , die auch ohne Feld ein eigenes Dipolmoment besitzen. In Flüssigkeiten und Gasen sind die Moleküle ohne Feld willkürlich angeordnet, im Anwesenheit eines Feldes haben sie aber die Tendenz, sich parallel zum Feld zu orientieren (Abb. 2.14b). Die Polarisation, die hierdurch entsteht, heißt Orientierungspolarisation. Sie ist — wie der Paramagnetismus, s. Abschnitt 5.2.1 — temperaturabhängig, aber bei Raumtemperatur in guter Näherung proportional zur E-Feldstärke.

49

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK E=0

E

+ +

- + - + - +

-

+

-

-

+

-

+

-

-

+

- +

-

+

- +

- +

- +

+

- +

+

- +

- +

- + -

- +

+

+ +

- +

- +

+

+

-

- +

+

-

- +

-

-

+

-

-

+

- +

-

+

(a)

(b)

- + - + - + - + - + + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + + + - + - + - + - + - + + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

Abbildung 2.14: Schematische Darstellung der Polarisation durch (a) Ladungsverschiebung bzw. (b) Umorientierung von Molekülen, die ein eigenes Dipolmoment besitzen.

+ +

+ - +

Ein nichtleitender Stoff, der in einem E-Feld polarisiert wird, heißt Dielektrikum (Mehrzahl: Dielektrika). Was passiert, wenn der Raum zwischen den Platten eines Kondensators mit einem solchen Stoff gefüllt wird? Abgesehen von den Randeffekten herrscht überall im Stoff eine konstante Feldstärke. Jedes Atom macht also den gleichen Beitrag p zum Dipolmoment parallel zum Feld. Ist n die Anzahl der Atome pro Volumeneinheit, entsteht überall im Stoff ein Dipolmoment P = np pro Volumeneinheit. Für diese Größe wird auch die Bezeichnung Polarisation, oder besser Polarisationsvektor verwendet. Der Polarisationsvektor ist der durch das Feld hervorgerufene Dipolmoment pro Volumeneinheit des Dielektrikums. Frage 2.10 Wie lauten die SI-Einheiten des Polarisationsvektors? Welche andere physikalische Größe hat

die gleichen Maßeinheiten? (Wie wir später sehen werden, sind diese beiden Größen eng miteinander verknüpft.)

Antwort ⇓

50

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK d Oberflächenladungen

Felder

−σp E

Vakuum

2.9.2

−σ

+σ

+σp E B), während das elektrische Feld durch die Polarisation abgeschwächt (Ei < E) wird. Es gibt jedoch einen weiteren Unterschied zwischen dem elektrostatischen und dem magnetischen Fall: Während die Polarisation immer parallel zu E ist, gibt es Stoffe, die man als diamagnetisch bezeichnet, in dem die induzierte Magnetisierung antiparallel zu B ist. In solchen Materialien ist Bi < B. Frage 5.1 Bevor Sie den nachfolgenden Abschnitt lesen, versuchen Sie, die Beziehung zwischen B, Bi und M in Abb. 5.2 abzuleiten.

5.1.2

Magnetische Suszeptibilität, Permeabilität, das H-Feld

Zwischen den in Kapitel 3 diskutierten elektrischen Strömen und den oben eingeführten Oberflächenströmen besteht grundsätzlich der gleiche Unterschied, wie zwischen den freien und gebundenen Ladungen in der Elektrostatik. Bei der Behandlung der Dielektrika haben wir ein Feld eingeführt (das D-Feld), das nur die freien Ladungen als Quellen hat. Wir wollen nun ein entsprechendes Feld für die Magnetisierung einführen, d.h. ein Feld, das nur die „wirklichen“ Ströme (Bewegung freier Ladungen) „sieht“, nicht aber die durch die Magnetisierung hervorgerufenen Oberflächenströme. Dazu zeigt Abb. 5.3 einen Ausschnitt aus einer langen Spule, die einen Kern aus einem Material enthält, das durch das Magnetfeld magnetisiert wird. Innerhalb des Materials wirkt der Oberflächenstrom wie eine zusätzliche Spule, die nach (4.18) ein Feld �

B = µ◦ i = µ◦ M

hervorruft. Das B-Feld innerhalb des Materials ist daher �

Bi = B + B = B + µ◦ M.

Antwort ⇓

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

138

.............................. H

B

H

B

i

M

i

.............................. H

B

Abbildung 5.3: Zur Definition des H-Feldes.

Spule

Die so genannte magnetische Feldstärke, oder kurz H-Feld, wird durch B H = −M µ◦

definiert. Nach dieser Definition ist das H-Feld innerhalb des Materials Bi Hi = − M = H. µ◦

Das H-Feld wird also von den Oberflächenströmen nicht beeinflusst. Aus der Definition ist zu erkennen, dass −1 die Einheiten des H-Feldes die gleichen wie die der Magnetisierung sind, d.h. A m . Experimentell stellt man fest, dass es bei manchen Stoffen eine lineare Beziehung zwischen der Magnetisierung und den Feldern gibt, wie in der Elektrostatik. Die magnetische Suszeptibilität χm ist durch die Beziehung M = χm Hi

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

139

definiert. Sie ist damit, wie die elektrische Suszeptibilität, dimensionslos. Aus den Definitionen von H und χm folgt allgemein (unter Weglassen des Index i) B = µ◦ (H + M) = µ◦ (1 + χm )H = µ◦ µr H = µH ,

wobei die Materialparameter µ und µr analog den elektrostatischen Größen � und �r definiert werden: µ ist die so genannte Permeabilität des Materials. Deshalb wird µ◦ auch als „Permeabilität des Vakuums“ bezeichnet. Die dimensionslose Größe µr = µ/µ◦ = 1 + χm ist die relative Permeabilität. (Die Materialparameter µ, µr und χm sind — wie �, �r und χe — eigentlich Tensoren).

5.1.3

Magnetfelder in Materie: Allgemein

Der allgemeine Fall lässt sich analog zu der Behandlung der elektrostatischen Polarisation (s. Abschnitt 2.9.6) beschreiben. Hier müssen wir die poissonschen Gleichungen für die Komponenten des Vektorpotentials (4.23) lösen, die nun durch den Faktor µr erweitert werden muss: 2

∇ A = −µr µ◦ j .

Wieder gibt es zwei Spezialfälle, die wir ohne Komplikationen behandeln können. Für einen langen, parallel zu einem homogenen Feld angeordneten Stab gilt, wie wir oben gesehen haben, dass die H-Felder innen und außen gleich sind (Hi = H ). Daher gilt, analog zu dielektrischen Fall (2.41), M = χm H.

(5.1)

Bei einer großen, zum Feld senkrecht angeordneten Platte kann man die Oberflächenströme vernachlässigen. Dann gilt Bi = B und Hi = B/µr µ◦ = H /µr = H /(1 + χm ), so dass wir wieder das zum dielektrischen Fall analogen Ergebnis χm M= H (5.2) 1 + χm erhalten. Bei paramagnetischen (5.2.1) und diamagnetischen (5.2.2) Stoffen ist |χm | immer viel kleiner als 1, so dass Gleichung (5.1) immer in guter Näherung gilt, unabhängig von der Form.

140

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

5.2

Klassifizierung magnetischer Stoffe

Stoffe können in allen Aggregatzuständen magnetische Eigenschaften zeigen. Sie werden nach ihrem magnetischen Verhalten als paramagnetisch, diamagnetisch, ferromagnetisch, antiferromagnetisch oder ferrimagnetisch klassifiziert. Im folgenden werden die wesentlichen Charakteristika dieser verschiedenen Stoffe und die physikalische Grundlagen ihres Verhaltens diskutiert.

5.2.1

Paramagnetismus

Paramagnetische Stoffe sind durch folgende Merkmale gekennzeichnet: Die magnetische Suszeptibilität ist • positiv (χm > 0), 1 Curie-Gesetz ),

• umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur (χm ∼ 1/T , und • bei Raumtemperatur sehr klein (χm � 1). In paramagnetischen Stoffen haben die Atome bzw. Moleküle im Grundzustand ein eigenes magnetisches Moment. Ohne externes Feld sind diese Momente willkürlich orientiert, so dass insgesamt keine Magnetisierung vorhanden ist. In einem externen B-Feld orientieren sich die atomaren magnetischen Momente bevorzugt parallel zum Feld, weil diese Orientierung einem Minimum der potentiellen Energie entspricht. Aufgrund der Thermodynamik haben aber nicht alle Atome die minimale Energie, außer beim absoluten Nullpunkt. Bei gegebener Feldstärke ist die Orientierungsordnung um so schlechter, je höher die Temperatur. Hieraus resultiert die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität. Frage 5.2 Wir behandeln gleich die Theorie des Paramagnetismus. Versuchen Sie vorher zu erraten, wie

die Abhängigkeit der Magnetisierung von der Feldstärke bei sehr niedrigen Temperaturen qualitativ aussieht. Was heißt „niedrige Temperatur“ in diesem Zusammenhang?

1 Nach dem Entdecker Pierre Curie, 1859–1906, Nobel-Preis 1903.

Antwort ⇓

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

141

Eine vollständige Theorie des Paramagnetismus erfordert die Quantentheorie. Um eine Idee davon zu bekommen, nehmen wir folgendes vereinfachtes Modell an: Die Atome bzw. Moleküle mit dem magnetischen Dipolmoment pm haben nur 2 mögliche Orientierungen, parallel oder antiparallel zum B-Feld. Zwischen diesen beiden Orientierungen besteht der Energieunterschied �E = 2pm B. Von insgesamt n Molekülen pro + − + Volumeneinheit seien n parallel und n = n − n antiparallel zum Feld. Die Magnetisierung ist +

−

M = (n − n )pm .

Unter der Annahme der Gültigkeit der Boltzmann-Verteilung gilt aber +

+

−

n /n = e

�E/kT

.

−

Aus diesen beiden Gleichungen und n = n + n folgt

�

pm B M = npm tanh kT

�

(5.3)

Dies ist eine Funktion, die linear anfängt und schließlich in eine Sättigung übergeht (s. Abb. 5.4). Alle paramagnetische Moleküle bzw. Atome zeigen prinzipiell das gleiche Verhalten. Die Sättigung wird erreicht, wenn die magnetische Energie (pm B) viel größer als die thermische Energie (kT ) ist. Die magnetische Dipolmomente sind dann fast alle parallel zum B-Feld, und eine weitere Erhöhung der Magnetisierung ist nicht möglich. Das magnetische Dipolmoment eines Atoms (s. 4.3.3) ist einige µB , −23 −1 −21 J T . Bei Raumtemperatur entspricht kT der Energie 4 · 10 J. Bei einer d.h. von der Größenordnung 10 Feldstärke bis maximal 10 T gilt also pm B � kT . Unter diesen Bedingungen folgt aus (5.3) in guter Näherung M= und damit χm =

2 nµ◦ pm

kT

C = T

2 npm

kT

B

(Curie-Gesetz).

(5.4)

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

142

1,0

M npm

0,8 0,6

Abbildung 5.4: Die paramagnetische Magnetisierung M als Funktion des Magnetfeldes B und der Temperatur T . pm ist das magnetische Dipolmoment des Atoms.

0,4 0,2 0

0

1

2

Bpm kT

3

Die Sättigung wird nur bei tiefen Temperaturen erreicht. Die allgemeine quantenmechanische Behandlung des Atoms ergibt 2 2 + 1)g µB

nµ◦ J (J χm = 3kT mit

,

J (J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1) g =1+ 2J (J + 1)

wo J , S und L so genannte Quantenzahlen des Atoms sind (L ∈ N, 2S ∈ N, 2J ∈ N). Gleichung (5.4) gilt mit pm = µB für den Spezialfall L = 0, S = J = 1/2 (z.B. für die Atome Li, Na, K, Rb, Cs, Ag, Au.) Die Thermodynamik der Magnetisierung wird ausführlicher im Anhang C diskutiert.

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

5.2.2

143

Diamagnetismus

Manche Substanzen zeigen eine negative magnetische Suszeptibilität, d.h. die Magnetisierung ist dem H-Feld entgegengesetzt. Sie werden als diamagnetisch bezeichnet. Die experimentellen Beobachtungen lassen sich wie folgt zusammenfassen: Die Suszeptibilität ist • negativ (χm < 0), • temperaturunabhängig und • betragsmäßig viel kleiner als 1 (|χm | � 1), B

p

x3

m

M α

L

x2 x1

Abbildung 5.5: Zur klassischen Theorie des Diamagnetismus.

ωL

Den Diamagnetismus kann man nur mit Hilfe der Quantenmechanik „richtig“ erklären. Es gibt aber eine einfache klassische Theorie, die zum gleichen Ergebnis führt: Dazu betrachten wir zunächst den Einfluss eines B-Feldes auf die Bahn eines einzelnen Elektrons in einem Atom (Abb. 5.5). Zwischen dem Drehimpuls L und

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

144

dem magnetischen Dipolmoment pm der Bahnbewegung besteht die Beziehung (s. 4.3.3) e L pm = − 2me (me = Masse des Elektrons). Wenn pm nicht parallel zu B ist, gibt es ein Drehmoment M = pm × B. Wenn dieses Drehmoment als eine kleine Störung betrachtet werden kann, d.h. wenn die magnetische Energie klein im Vergleich mit der elektrostatischen Energie ist, kann man die Reaktion des Elektrons als Präzessionsbewegung beschreiben. Die Präzessionsfrequenz ωL — auch als Larmor-Frequenz bezeichnet — lässt sich wie beim ˙ ableiten. Da die Vektoren M und L bei der Präzession immer senkrecht Kreisel aus der Bedingung M = L aufeinander stehen, genügt es, die Beträge zu berechnen: ˙ ist die Geschwindigkeit, mit der die Spitze des Vektors L um einen Kreis mit dem Radius Der Betrag von L L sin(α) läuft, wo α der Winkel zwischen pm und B bzw. zwischen L und −B ist (s. Abb. 5.5). Es ist also L˙ = LωL sin(α) und damit pm B M eB . = = ωL = L sin(α) L 2me (Die Larmor-Frequenz entspricht der Zyklotronfrequenz eines freien Elektrons. ) Das Vorzeichen ist positiv in Richtung des B-Feldes. Ein (neutrales) Atom mit der Ordnungszahl Z hat Z Elektronen, die alle eine Präzessionsbewegung machen. Da die Larmor-Frequenz nur von B, e und me abhängt, ist sie für alle Elektronen des Atoms gleich. Die Präzession erzeugt also einen Strom 2 Ze B ZeωL =− . I =− 2π 4π me

Um den Beitrag dieses Stroms zur Magnetisierung zu berechnen, müssen wir noch mit der Fläche des Strom2 kreises multiplizieren. Diese beträgt π s für ein Elektron, das sich in einer Entfernung s von der Drehachse befindet. Diese Größe müssen wir über alle Elektronen des Atoms mitteln. Nehmen wir die Richtung des BFeldes als x3 -Achse, gilt 2

s =

2 x1

2 + x2

=

2 x1

2 + x2 .

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

145

Ferner gilt für eine kugelsymmetrische Verteilung 2 x1

und damit

=

2 x2

=

2 x3

2 2 2 2 2 2 s = (x1 + x2 + x3 ) = r . 3 3 Mit n Atomen pro Volumeneinheit ist die Magnetisierung 2

2

2

ne BZr . M=− 6me Daraus folgt, dass die diamagnetische Suszeptibilität durch 2

ne µ◦ Zr χm = − 6me

2

gegen ist. Alle Atome machen einen negativen (diamagnetischen ) Beitrag zur Suszeptibilität. Bei Atomen, die ein eigenes magnetisches Dipolmoment besitzen, überwiegt meistens der positive Beitrag, so dass diese Stoffe paramagnetisch (oder ferromagnetisch) sind. In Metallen ist der paramagnetische Beitrag der Leitungselektronen von der gleichen Größenordnung wie der diamagnetische Beitrag der Atomrümpfe, so dass Metalle, die kein eigenes magnetisches Dipolmoment besitzen, sowohl paramagnetisch als auch diamagnetisch sein können. Supraleiter sind „ideale Diamagnetika“: Im Inneren ist im supraleitenden Zustand B = 0, d.h. χm = −1. Frage 5.3 Ein kleiner Stab aus (a) paramagnetischem bzw. (b) diamagnetischem Material ist parallel zu

einem magnetischen Dipol pm . Für die beiden Spezialfälle, wo die Verbindungslinie zwischen dem Stab und dem Dipol (i) parallel bzw. (ii) senkrecht zu pm ist, überlegen Sie, ob die Wechselwirkung anziehend oder abstoßend ist.

Antwort ⇓

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

5.2.3

146

Messung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität

Para- bzw. Diamagnetika lassen sich qualitativ durch verschiedene Verhaltensweisen unterscheiden: • Ein drehbar aufgehängter Stab, der sich in einem (homogenen) B-Feld befindet, orientiert sich parallel bzw. senkrecht zum Feld, je nachdem, ob das Material para- oder diamagnetisch ist. • In einem stark inhomogenen B-Feld erfährt ein paramagnetisches Material eine Kraft, die es zum Bereich der größten Feldstärke zieht, während ein diamagnetisches Material vom starken Feld abgestoßen wird. Die Methoden zur quantitativen Bestimmung des magnetischen Suszeptibilität basieren auf der Messung der Kräfte, die eine Probe in einer inhomogenen magnetischen Feld erfährt. Es sollen zwei experimentelle Situationen hier behandelt (s. Abb. 5.6): • Eine „kleine“ Probe, d.h. eine, bei der man annehmen kann, dass die Variation der Feldstärke innerhalb der Probe vernachlässigbar ist. (Abb. 5.6a). • Eine lange, stabförmige Probe mit einem im obigen Sinne „kleinen“, konstantem Querschnitt a. (Abb. 5.6b). In beiden Fällen befindet sich die Probe in der Symmetrieebene des Magnetfeldes zwischen den Polen eines Permanent- bzw. Elektromagneten.

x2 x1

F1 (a)

F1

(b)

Abbildung 5.6: Zum Prinzip der experimentellen Bestimmung der para- bzw. diamagnetischen Suszeptibilität. (a) Kleine Probe. (b) Lange, stabförmige Probe.

147

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

Kleine Probe Es sei v das Volumen der Probe und χm ihre magnetische Suszeptibilität. Das induzierte magnetische Moment ist vχm H , und die Kraftkomponenten ergeben sich analog aus Gleichung (2.27): Fk = vχm

3 � i=1

∂Bi Hi = vµ◦ χm ∂xk

Die letzte Summe lässt sich auch schreiben als

3 � i=1

∂Hi Hi ∂xk

2

∂H 1 ∂(H ) H. = . ∂xk 2 ∂xk Die Kraftkomponenten sind also 2

vµ◦ χm ∂(H ) Fk = ; 2 ∂xk

k = 1, 2, 3. 2

Mit anderen Worten: Die Kraft ist proportional zum Gradienten von H . In der in Abb. 5.6 dargestellten, symmetrischen Situation befindet sich die Probe auf einer Linie, auf der die Variation des Betrags der Feldstärke mit x2 und x3 jeweils ein Minimum hat, d.h. 2

2

d(H ) d(H ) = = 0. dx2 dx3 Es gibt daher nur die Komponente F1 :

2

vµ◦ χm ∂(H ) . F1 = 2 ∂x1 Diese Methode reagierte empfindlich auf die genaue Positionierung der Probe. Wenn genügend Stoff zur Verfügung steht, ist daher das folgende Verfahren vorzuziehen.

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

148

Stabförmige Probe Ein Abschnitt des Stabs mit der Länge δx1 erfährt nach der obigen Betrachtung die Kraft 2 aδx1 µ◦ χm ∂(H ) δF1 = , 2 ∂x1 und die Gesamtkraft ergibt sich durch Integration. Es sei x1 = p die Position des oberen Endes des Stabs und x1 = q die Koordinate des anderen Endes, das sich im Bereich des starken Feldes befindet. Die Kraft ist aµ◦ χm F1 = 2

�

x1 =q

x1 =p

2

� � aµ◦ χm ∂(H ) 2 2 dx1 = H (q) − H (p) . ∂x1 2 2

Bei genügend großer Länge des Stabs kann man H (p) = 0 annehmen. Befindet sich das untere Ende im 2 2 Bereich des Maximums (Hmax ) ist H (q) = Hmax , und die Kraft ist nicht empfindlich von der exakten Position des Stabs abhängig: 1 2 (5.5) F1 = aµ◦ χm Hmax . 2 Para- bzw. diamagnetische Suszeptibilitäten liegen gewöhnlich bei Raumtemperatur im Bereich |χm | ≈ 10 −4 −4 −4 −5 −4 10 , z.B. Al 2,3·10 , Pt 2.5·10 , Ag −2,6 · 10 , Bi −1,66 · 10 .

−5

–

Frage 5.4 Welche Kraft wirkt auf einen Stab aus Aluminium mit einem Durchmesser von 2 mm, wenn sich

ein Ende in einem Feld von 1 T befindet?

5.2.4

Magnetische Ordnung: Ferro- Antiferro- und Ferrimagnetismus

Ferromagnetismus Ferromagnetische Stoffe — wie z.B. Eisen — zeichnen sich durch folgendes Verhalten aus: Oberhalb einer bestimmten kritischen Temperatur Tc , die als ferromagnetische Curie-Temperatur bezeichnet wird, verhalten

Antwort ⇓

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

149

sich ferromagnetische Stoffe ähnlich wie paramagnetische Stoffe. Für die Temperaturabhängigkeit der Suszep2 tibilität gilt aber anstelle des Curie-Gesetzes (5.4) das so genannte Curie-Weiss-Gesetz C . χm = T −�

(5.6)

� ist die so genannte paramagnetische Curie-Temperatur. Sie liegt nahe bei Tc , ist aber immer etwas größer. Abb. 5.7 vergleicht das Temperaturverhalten der Suszeptibilität für paramagnetische und ferromagnetische Stoffe. Sowohl das Curie-Gesetz als auch das Curie-Weiss-Gesetz ergeben eine Gerade bei der Auftragung von 1/χm gegen T . Bei ferromagnetischen Stoffen weicht die Kurve jedoch vom Curie-Weiss-Gesetz in der Nähe von � ab und geht erst bei Tc durch Null (entsprechend χm → ∞).

0

0

Tc Θ

ma ro fer

pa

ra

m

ag

ne

gn

tis

eti

ch

sc

h

1/χ m

Abbildung 5.7: Auftragung von 1/χm gegen T für paramagnetische (Curie-Gesetz) und ferromagnetische (Curie-Weiss-Gesetz) Stoffe.

T

Unterhalb der ferromagnetischen Curie-Temperatur zeigen diese Substanzen das typische ferromagnetische Verhalten: 2 Pierre-Ernest Weiss, 1865–1940.

150

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

• Sie können eine endliche Magnetisierung ohne externes Feld, d.h. eine spontane Magnetisierung aufweisen. Nach der für paramagnetische Stoffe gültige Definition entspricht dies einem unendlichen Wert der Suszeptibilität. • Bei Raumtemperatur zeigen sie eine viel stärkere Magnetisierung als paramagnetische Stoffe und erreichen schon bei moderaten Feldstärken eine Sättigung. • Der Magnetisierungsprozess ist nicht reversibel. Vielmehr weist die Kurve von M gegen H eine Hysterese auf. • Die maximale Magnetisierung, die so genannteSättigungsmagnetisierung, ist temperaturabhängig: sie hat den größten Wert beim absoluten Nullpunkt, fällt monoton mit steigender Temperatur ab und erreicht den Wert 0 bei Tc Tabelle 5.1 zeigt die Parameter einiger Ferromagnetika. Tabelle 5.1: Ferromagnetische Curie-Temperatur (Tc ), paramagnetische Curie-Temperatur (�), Curie-Konstante (C) und Sättigungsmagnetisierung bei 0 K (Ms (0)) einiger ferromagnetischer Stoffe.

Fe Co Ni EuO EuS

Frage 5.5

Tc [K]

�[K]

C[K]

1043 1395 629 69,4 16,5

1100 1415 649 78 19

2,22 2,24 0,558 4,68 3,06

6

−1

Ms (0)[10 A m

]

1,746 1,446 0,510 1,930 1,240

◦ Welche magnetische Suszeptibilität hat Nickel bei 500 C?

Abb. 5.8 zeigt schematisch die Hysteresekurve eines ferromagnetischen Stoffes. Da die Beziehung zwischen M und H nicht linear ist, wird die Suszeptibilität als Steigung der M(H )-Kurve definiert und ist keine

Antwort ⇓

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

151

M

Ms

Ms Tc

MR T Hc

H

Abbildung 5.8: Schematische Darstellung der Magnetisierung M eines ferromagnetischen Stoffes als Funktion des H-Feldes unterhalb der ferromagnetischen Curie-Temperatur. Ms : Sättigungsmagnetisierung, MR : Remanenz, Hc : Koerzitivfeldstärke. Oben links: Abhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung von der Temperatur.

Konstante. Für Ferromagnetika gilt allgemein, dass die so definierte Suszeptibilität viel größer als 1 ist, so dass man zwischen χm und µr nicht unterscheiden muss. In Tabellen findet man meistens angaben über die AnfangsA max permeabilität µr einer nicht magnetisierten Probe und die maximale Permeabilität µr , s. z.B. Tabelle 5.2. Mit steigendem H-Feld geht die Magnetisierung in eine Sättigung (Ms ) über. Das Teilbild oben links in Abb. 5.8 zeigt den prinzipiellen Verlauf der Ms (T )-Kurve. Der stärkste Abfall ist im Bereich der CurieTemperatur. Dies bedeutet, dass der Übergang von den hohen µr -Werten zum quasiparamagnetischen Verhalten in einem engen Temperaturbereich stattfindet. Wenn das H-Feld nach dem Erreichen der Sättigung wieder verringert wird, geht die Magnetisierung nicht auf dem gleichen Weg zurück, sondern bleibt länger in der Sättigung und hat immer noch einen endlichen Wert, wenn das H-Feld wieder Null erreicht hat. Diese verbleibende Magnetisierung wird als Remanenz bezeich-

152

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE A max Tabelle 5.2: Anfangspermeabilität µr und maximale Permeabilität µr einiger magnetischer

Legierungen.

Bezeichnung

Zusammensetzung (%)

A µr

Eisen-Silizium Heuslersche Legierung Hipernik µ-Metall Cr-Permalloy Mo-Permalloy

Fe96/Si4 Cu75,6/Mn14,2/Al10,1 Ni50/Fe50 Ni76/Fe17/Cu5/Cr2 Ni78,5/Cr3,8/Fe17,7 Ni78,5/Mo3,8/Fe17,7

400 48 5 000 12 000 12 000 25 000

max µr

8 000 80 56 000 45 000 62 000 75 000

net. Um die Magnetisierung weiter zu verringern, muss man ein H-Feld in negativer Richtung anlegen. Die Magnetisierung verschwindet erst bei der Feldstärke −Hc , der so genannten Koerzitivfeldstärke. Wird das Feld weiter in negativer Richtung gesteigert, erreicht die Magnetisierung die Sättigung −Ms . Bei wieder steigendem H-Feld ist der Verlauf symmetrisch, d.h. die Kurve schneidet die M-Achse bei −MR und die H -Achse bei Hc . Ferromagnetische Stoffe werden als „hart“ oder „weich“ bezeichnet, je nachdem, ob sie hohe oder niedrige Werte der Remanenz und Koerzitivfeldstärke aufweisen. Harte magnetische Materialien werden für Permanentmagneten benötigt. Dagegen braucht man für Transformatorkerne weiche Materialien, weil die Energieverluste proportional zur Fläche der Hysteresekurve sind. Das oben beschriebene Verhalten ferromagnetischer Stoffe ist auf das Auftreten magnetischer Ordnung zurückzuführen: Aufgrund der gegenseitigen Wechselwirkungen haben die atomaren magnetischen Dipole die Tendenz, sich parallel zueinander und parallel zu bestimmten Kristallrichtungen einzustellen. Im allgemeinen ist die Magnetisierung aber nicht im ganzen Körper homogen, weil es auch bei einem Einkristall mehrere mögliche Magnetisierungsrichtungen gibt. Die Bereiche einheitlicher Magnetisierung werden magnetische Domäne oder Weiss-Bezirke genannt. Befinden sich im Körper viele Domänen mit unterschiedlicher Magnetisierungsrichtung, heben sich die magnetischen Dipolmomente makroskopisch auf. Bringt man den Körper in ein Magnetfeld, verschieben sich die Domänengrenzen (die so genannten Bloch-Wände) derart, dass die

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

153

Domänen, die annähernd parallel zum Feld gerichtet sind, auf Kosten der anderen wachsen. Je stärker das Magnetfeld, um so größer werden die günstig orientierten Domänen. Die Sättigung ist dann erreicht, wenn bei einem Einkristall der ganze Körper bzw. bei einem polykristallinen Körper jeder einzelne Kristall aus einer einzigen Domäne besteht. Reduziert man das Feld wieder auf Null, bilden sich wieder Domänen mit unterschiedlicher Orientierung. Die treibende Kraft hierfür ist die Energie, die im externen Feld steckt, wenn die Magnetisierung vollständig ist. Die Entmagnetisierung ist jedoch nicht vollständig, weil Energie benötigt wird, um die Domänengrenzen zu bewegen. Es bleibt also eine Restmagnetisierung, die Remanenz. 3 1907 veröffentlichte Weiss die so genannte Molekularfeld-Theorie des Ferromagnetismus. Die Grundlage dieser Theorie ist die Überlegung, dass die Wechselwirkung zwischen den magnetischen Dipolen nur über das Magnetfeld geht: Ein Dipol stellt sich nur deshalb parallel zu den anderen in seiner Umgebung, weil diese an seinem Ort ein Magnetfeld erzeugen, das parallel zu der örtlichen Magnetisierung ist. Das Atom „sieht“ also ein internes Feld Hi , das sich aus dem externen Feld H und einem „Molekularfeld“, das proportional zur Magnetisierung ist, zusammensetzt: Hi = H + γ M.

Im Bereich der schwachen Magnetisierung (T > Tc ) können wir davon ausgehen, dass für die Beziehung zwischen der Magnetisierung und dem lokalen Feld das Curie-Gesetz gilt: C M = Hi . T

Wenn wir Hi aus diesen beiden Gleichungen eliminieren und nach M auflösen erhalten wir genau das CurieWeiss-Gesetz (5.6) mit � = γ C. Im Bereich der starken Magnetisierung unterhalb von Tc , können wir das Curie-Gesetz nicht mehr ansetzen, sondern wir müssen den vollen Ausdruck für die paramagnetische Magnetisierung, die auch für den Bereich der Sättigung gilt, verwenden. Im Rahmen des im Abschnitt 5.2.1 verwendeten einfachen Modells (nur 2 Orientierungen der magnetischen Dipolmomente) gilt Gleichung (5.3), wobei wir für B in diesem Fall µ◦ Hi einsetzen 3 Pierre-Ernest Weiss, 1865–1940.

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

154

müssen. Die spontane Magnetisierung innerhalb einer Domäne entspricht der Sättigungsmagnetisierung und ist praktisch unabhängig vom externen Feld H . Wir setzen daher H = 0 und Hi = γ M, womit wir aus (5.3) � � pm µ◦ γ M M = tanh npm kT erhalten. Dies ist eine implizite Gleichung für M, deren Lösungen aber wie folgt grafisch verdeutlicht werden können: Wir definieren α = pm µ◦ γ M/kT . Die Lösungen für M sind dann durch die Schnittpunkte der Geraden kT M = 2 α y= npm np µ γ mit der Kurve

m ◦

y = tanh(α)

gegeben (s. Abb. 5.9). Für T > Tc ist die Steigung der Geraden größer als die Anfangssteigung der Kurve, und es gibt keine Lösung M > 0, d.h. keine spontane Magnetisierung. Dies erklärt die Existenz der CurieTemperatur als kritischer Größe. Für T > Tc gibt es einen Schnittpunkt, und der entsprechende Wert von M geht gegen Ms (0) = npm für T → 0. Bei der kritischen Temperatur ist die Steigung der Geraden (kTc /pm µ◦ γ ) gleich der Anfangssteigung der Kurve (npm ), d.h. Tc = Nach (5.4) ist aber C=

Es gilt also im Rahmen der Molekularfeld-Theorie

2 npm µ◦ γ /k. 2 npm µ◦ /k.

Tc = � = γ C.

KAPITEL 5. MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN DER MATERIE

M npm

1,0 0,8 0,6

155

T=Tc T >Tc T l2 . Wir nehmen an, dass 2 die Spule 1 eine „lange“ Spule ist, d.h. l1 � A. Das durch den Strom I1 in dieser Spule erzeugte B-Feld ist µ◦ µr N1 I1 B1 = , l1

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

175

und der daraus resultierende Fluss in der zweiten Spule, die nicht lang sein muss, ist �21

µ◦ µr N1 N2 AI1 = N2 AB1 = . l1

Es ist also L12 = L21

µ◦ µr N1 N2 A = . l1

Γ I1

I2 U1

N1

N2

U

2

Abbildung 6.6: Das Prinzip des Transformators

Ein besonderer Fall einer Gegeninduktivität ist der Transformator, der aus 2 Spulen besteht, die auf einem gemeinsamen Kern aus ferromagnetischem Material gewickelt sind (s. Abb. 6.6). Der Kern ist meistens rechteckig, bildet also einen geschlossen Weg. Dies bewirkt, dass die magnetische Feldlinien fast vollständig innerhalb des Kerns bleiben und geschlossene Kurven bilden, die durch beide Spulen laufen. Für das Linienintegral des Feldes um den Weg � gilt in sehr guter Näherung � H .ds = H l, �

wo l die Länge des Weges ist. Mit Hilfe des ampèreschen Durchflutungsgesetzes folgt H l = N1 I1 + N2 I2

176

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER und somit �1 = kN1 (N1 I1 + N2 I2 ) �2 = kN2 (N1 I1 + N2 I2 )

mit

k = Aµ◦ µr / l.

Die Matrix der Induktivitäten ist damit L=k

�

2 N1

N1 N2

N1 N2 2 N2

�

.

Die Spannungen, die bei zeitlich veränderlichen Strömen entstehen, sind U1 = −L11 I˙1 − L12 I˙2 = −kN1 (N1 I˙1 + N2 I˙2 ) U2 = −L21 I˙1 − L22 I˙2 = −kN2 (N1 I˙1 + N2 I˙2 ).

(6.11)

Daraus folgt die allgemeine Beziehung

N1 U1 = . U2 N2 Die Spannungen sind in gleichem Verhältnis wie die Wicklungszahlen der Spulen. Diese Beziehung gilt unabhängig von der Form der zeitlichen Abhängigkeit der Ströme. Transformatoren werden aber insbesondere in Wechselstromkreisen eingesetzt (s. Abschnitt 6.2), in denen die zeitliche Abhängigkeit der Ströme und Spannungen sinusförmig ist.

6.2

Wechselstromnetzwerke

Beim Wechselstrom sind Strom und Spannung harmonische Funktionen der Zeit. Die Frequenz f wird in Hertz (Hz) angegeben. In den mathematischen Formeln verwendet man aber häufig die Kreisfrequenz ω = 2πf .

177

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

6.2.1

Wirkung einer periodischen Spannung auf R, C und L

Betrachten wir zunächst die Wirkung einer Wechselspannung U = U◦ cos(ωt) auf einen Widerstand R, eine Kapazität C und eine Induktivität L. Für den Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Der resultierende Strom ist also I = I◦ cos(ωt) Die Ladung des Kondensators ist

mit

I◦ = U◦ /R.

Q = CU◦ cos(ωt).

Der Strom ist die zeitliche Ableitung der Ladung:

˙ = −ωCU sin(ωt) = I cos(ωt + π/2) I =Q ◦ ◦

mit

I◦ = ωCU◦ .

Im Falle der Induktivität ist die Spannung gleich der zeitlichen Ableitung des Stroms: U◦ cos(ωt) = LI˙. Integration ergibt

I = I◦ cos(ωt − π/2)

mit

I◦ = U◦ /ωL.

Wir sehen also, dass auch im Falle eines Kondensators oder einer Spule ein Strom fließt, dessen Amplitude proportional zur Spannung ist. Es gibt aber zwei wesentliche Unterschiede zum Fall des Widerstandes: • Der effektive Widerstand, d.h. das Verhältnis U◦ /I◦ ist abhängig von der Frequenz: 1/ωC bzw. ωL. • Zwischen dem Strom und der Spannung gibt es einen Phasenunterschied π/2 bzw. −π/2.

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

178

Tabelle 6.1: Effektiver Wechselstromwiderstand und Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung für einen Widerstand R, einen Kondensator C und eine Induktivität L.

R C L

U◦ /I◦ R 1/ωC ωL

φ 0 +π/2 −π/2

Tabelle 6.1 fasst diese Ergebnisse zusammen In Abb. 6.7 (Mitte) sind die Ströme und Spannungen in den drei Schaltungselementen als Funktionen der Zeit dargestellt. Da es sich um harmonische Schwingungen handelt, besteht auch die Möglichkeit, die Größen in einem Amplituden-Phasen-Diagramm darzustellen: Dort wird jede Schwingungen durch einen zweidimensionalen Vektor (Pfeil) dargestellt. Die Länge des Vektors entspricht dabei der Amplitude der Schwingung, und die Phase wird als Winkel zwischen dem Vektor und der horizontalen Achse dargestellt. In Abb. 6.7 (unten) werden die Amplituden-Phasen-Diagramme für die drei Fälle wiedergegeben, wobei die Phase der Spannung gleich Null gesetzt wird. Mit Hilfe dieses Applets von Walter Fendt können Sie das Wechselstromverhalten von Widerstand, Kapazität und Induktivität in einer Simulation studieren.

6.2.2

Die Leistung

Die Leistung eines Stroms ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke. Im Falle des Wechselstroms ist sie eine Funktion der Zeit: P (t) = I (t)U (t).

179

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER C

R I

I

U ~ U

Uo I

I

U ~ U ωCUo

Uo

Uo /R

L

Uo

t

U ~ U

I Uo/ω L

t

t I

Uo /R

I I U

U

Uo/ω L

ωCUo U

Abbildung 6.7: Grafische Darstellungen der Ströme und Spannungen bei der Anwendung einer Wechselspannung auf einen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule. Oben: die Schaltungen. Mitte: Strom und Spannung als Funktionen der Zeit. Unten: Amplituden-Phasen-Diagramme.

I

Uns interessiert insbesondere die mittlere Leistung, die wir durch Integration über eine Periode erhalten: � T 2π 1 . I U dt, T = P¯ = T 0 ω

Für den Widerstand erhalten wir

P¯ = wobei

2 ωU◦

2π R

�

0

2π/ω

2

cos (ωt)dt =

Ueff

√ = U◦ / 2

2 U◦

2R

=

2 Ueff

R

,

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

180

die effektive Spannung ist: Eine Gleichspannung Ueff würde die gleiche Leistung ergeben wie die Wechselspannung der Amplitude U◦ . Aus diesem Grund wird bei der Angabe der Stärke einer Wechselspannung (z.B. der Netzspannung) immer die effektive Spannung Ueff und nicht die Amplitude U◦ genannt. Das gleiche gilt √ für die Angabe der Stromstärke: Es wird Ieff = I◦ / 2 angegeben. Die mittlere Leistung ist dann P¯ = Ieff Ueff , entsprechend P = I U beim Gleichstrom. Wird nun ein Kondensator oder eine Spule an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen, besteht zwischen Strom und Spannung die Phasendifferenz ±π/2. Der Integrand bei der Berechnung der mittleren Leis2 tung ist dann nicht mehr cos (ωt), sondern cos(ωt) sin(ωt), was immer Null ergibt. Eine reine Kapazität oder eine reine Induktivität verbraucht also im Mittel keine Energie: Es wird zwar Energie benötigt, um das elektrische bzw. das magnetische Feld aufzubauen, dies Energie wird aber wieder abgegeben, wenn die Feldstärke wieder auf Null geht. Man spricht daher von einer Blindleistung. Eine ideale Induktivität hat den (ohmschen) Widerstand 0, was nur mit supraleitendem Material realisiert werden kann. Eine ideale Kapazität sollte einen unendlich großen Widerstand haben, was in der Praxis nicht erreicht werden kann. Wie wir später sehen werden, kann in komplexen Schaltungen der Phasenwinkel φ zwischen Strom und Spannung beliebig sein. Wir können aber den Strom in zwei Komponenten aufspalten: eine Komponente mit der Amplitude I◦ cos(φ) und der Phase 0 und eine Komponente mit der Amplitude I◦ sin(φ) und der Phase π/2. (Man kann sich dies am einfachsten mit Hilfe eines Amplituden-Phasen-Diagramms klar machen). Nur die zur Spannung „parallele“ Komponente trägt zu Leistung bei. Die mittlere Leistung ist daher im allgemeinen P¯ = Ieff Ueff cos(φ). Frage 6.4 Wenn Ihnen dieses Vektorargument nicht gefällt, beweisen Sie die Richtigkeit der Schlussfolgerung durch direkte Integration.

(6.12) Antwort ⇓

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

6.2.3

181

Die Verwendung komplexer Zahlen

Bei der Behandlung von harmonischen Schwingungen und Wellen vereinfacht sich die Mathematik erheblich, wenn wir komplexe Exponentialfunktionen anstelle von Sinus- und Kosinusfunktionen verwenden. Der Vektor in der komplexen Ebene entspricht genau der Darstellung im Amplituden-Phasen-Diagramm. Um die Ergebnisse des Abschnitts 6.2.1 in komplexen Zahlen darzustellen, wird die Spannung als U˜ = U◦ e

iωt

,

geschrieben, wobei die Tilde ( ˜ ) verwendet wird, um die komplexen Größen anzuzeigen. Der Strom ist dann allgemein i(ωt+φ) iωt = I˜◦ e . I˜ = I◦ e Hier bedeutet I˜◦ = I◦ e die komplexe Amplitude, die sowohl die reelle Amplitude I◦ als auch die Phase φ enthält. Da wir allgemein zulassen wollen, dass die Amplitude einer harmonisch schwingenden Größe komplex iωt sein kann, können wir auf die Tilde verzichten, und wir schreiben z.B. X(t) = X◦ e , wo X◦ den Phasenfaktor iφ e enthält. Für die im Abschnitt 6.2.1 abgeleiteten Ströme gilt in der komplexen Schreibweise: iφ

R:

C:

L:

I◦ = U◦ /R,

I◦ = ωCU◦ e

iπ/2

= iωCU◦ ,

−iπ/2

I◦ = (U◦ /ωL)e

= −iU◦ /ωL.

Allgemein lässt sich die Beziehung zwischen Strom und Spannung in folgender Form schreiben: U = ZI, wobei Z für die hier betrachteten drei Fälle folgende Werte hat: R:

ZR = R,

(6.13)

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER C: L:

182

−iπ/2

e

−i 1 = = , ZC = ωC ωC iωC iπ/2 ZL = ωLe = iωL.

Gleichung (6.13) kann man als das ohmsche Gesetz für Wechselströme betrachten. Z ist der komplexe Widerstand oder Impedanz. Für einen Widerstand ist Z identisch mit dem ohmschen Widerstand R. Die Impedanz einer Spule oder eines Kondensators ist dagegen imaginär und frequenzabhängig. iωt Da U und I den Faktor e enthalten, gilt auch U◦ = ZI◦ . Da wir uns aber meistens nur für die Amplitude und die Phase interessieren, nicht für die periodische Änderung der Größen, können wir auf den Index iωt verzichten und U und I in Gleichung (6.13) als die komplexen Amplituden (ohne den Faktor e ) betrachten. Die Impedanz einer Parallel- oder Reihenschaltung von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten ist im allgemeinen eine komplexe Zahl mit reellem und imaginärem Anteil. Der Vorteil der Darstellung der Impedanzen als komplexe Zahlen liegt darin, dass wir bei der Berechnung der Gesamtimpedanz genauso vorgehen können, wie bei der Berechnung des Gesamtwiderstands von Gleichstromschaltungen. Dazu betrachten wir zunächst eine Reihenschaltung Z1 , Z2 , Z3 , . . .. Durch alle Impedanzen fließt der gleiche Strom I . Die Gesamtspannung ist also � � Ui = Zi I. U= i

i

Die Reihenschaltung verhält sich also wie ein Einzelelement mit der Impedanz Z=

�

Zi .

i

Für eine Parallelschaltung mit der gemeinsamen Spannung U gilt für den Gesamtstrom I=

� i

−1 Zi U,

183

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER und die effektive Impedanz ist damit durch Z

−1

=

�

−1 Zi .

i

Die Regeln sind also die gleichen wie für Widerstände (s. Abschnitt 3.3.1), nur muss man natürlich die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen beachten. Bei komplexen Wechselstrom-Schaltungen (Netzwerken) gelten auch die kirchhoffschen Gesetze in komplexer Form. Wir wollen einige einfache Beispiele betrachten: Beispiel 1: Resonanzschaltung, bestehend aus einem Widerstand R, einer Kapazität C und einer Induktivität L in Reihe: Die Impedanz ist � � 1 i, Z = R + ωL − ωC und die Amplitude des Stroms ist damit � � �2 −1/2 � ω U U U ω 2 ◦ =� 1 + Q = − |I | = � � 2 |Z| R ω ω ◦ 2 1 R + ωL − ωC mit

−1/2

ω◦ = (LC)

,

1 Q= R

�

L . C

√ Der Strom hat ein Maximum bei der Resonanzfrequenz ω◦ = 1/ LC. Bei dieser Frequenz ist der imaginäre Beitrag zur Impedanz Null, und der Strom hat den gleichen Wert (U/R), als ob die Schaltung nur aus dem Widerstand bestünde. Die Schärfe der Resonanz wird durch die so genannte Güte Q (auch Q-Faktor genannt) ausgedrückt. Abb. 6.8 zeigt das Resonanzverhalten bei verschiedenen Werten von Q. Im Gegensatz zum mechanischen Oszillator ist die Resonanzfrequenz unabhängig von der Dämpfung.

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

184

1,0 |I|/|Imax| 0,8

Q =1

Abbildung 6.8: Abhängigkeit des Stroms von der Frequenz für einen Resonanzkreis mit verschiedenen Werten der Güte Q. Aufgetragen ist das Verhältnis der Stromamplitude |I | zur maximalen Amplitude |Imax | als Funktion des Verhältnisses der Frequenz ω zur Resonanzfrequenz ω◦ .

0,6 0,4

Q = 10

0,2 Q = 100 0

0,8

Q = 1000

0,9

1,0

1,1

ω/ωo

1,2

Frage 6.5 Wenn der Widerstand 1,� beträgt, welche Werte müssen C und L haben, um eine Resonanzfre-

quenz von 1 kHz und eine Güte von 100 zu erreichen?

Beispiel 2 Filter. Abb. 6.9 zeigt das Prinzip einer einfachen Filterschaltung. Zwischen den Eingangs- und Ausgangskontakten ist eine Impedanz Z1 in Reihe und eine Impedanz Z2 parallel geschaltet. Wir nehmen an, dass der Primärkreis den Strom I trägt, während der Sekundärkreis offen ist. Für die Eingangs- und Ausgangsspannung gilt dann U2 = Z2 I. U1 = (Z1 + Z2 )I,

Daraus folgt

U2 = F (ω)U1

mit

Z2 F (ω) = . Z1 + Z2

Antwort ⇓

185

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER Z1

U1

Abbildung 6.9: Eine einfache Filterschaltung mit 2 Impedanzen Z1 , Z2 .

U2

Z2 I

Wenn Z1 und Z2 beide ohmsche Widerstände sind, handelt es sich um einen einfachen Spannungsteiler (U2 = R2 U1 /(R1 +R2 )). Durch geeignete Wahl der Glieder kann man Filter herstellen, die nur tiefe Frequenzen (Tiefpass), nur hohe Frequenzen (Hochpass) oder ein Frequenzband (Bandpass) durchlassen: −1 Wählt man Z1 = R (Widerstand) und Z2 = (iωC) (Kondensator) wählt, erhält man einen Tiefpass. Der Betrag von F ist � � 2 −1/2 ω −1 |F (ω)| = 1 + 2 mit ω◦ = (CR) . ω◦ Mit Z1 = R (Widerstand) und Z2 = iωL (Spule) erhält man einen Hochpass mit �

|F (ω)| = 1 +

� 2 −1/2

ω◦ ω

2

und

ω◦ = R/L.

Die oben diskutierte Resonanzschaltung dient als Bandpass: U1 ist die Gesamtspannung und U2 die Spannung

186

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER am Widerstand R. In diesem Fall ist �

|F (ω)| = 1 + Q

2

�

ω◦ ω − ω◦ ω

� �2 −1/2

mit

1

ω◦ = √ . LC

Abb. 6.10 Zeigt die Funktion |F | in Abhängigkeit von ω/ω◦ für die drei Filterarten, wobei eine logarithmische Frequenzskala verwendet wurde. 1,0

|F| 0,8 0,6 Abbildung 6.10: Der Betrag der Filterfunktion |F (ω)| als Funktion von ω/ω◦ (logarithmische Skala) für Hoch-, Tief- und Bandpass-Filter.

Q = 10

0,4 0,2 0

-2

10

10

-1

10

0

1

10

ω/ωo

10

2

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

6.3

187

Vierpole

Die oben besprochenen Filternetzwerke sind Beispiele für so genannte Vierpole. Ein Vierpol ist ein „schwarzer Kasten“ mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen, die über ein beliebig kompliziertes Netzwerk miteinander verbunden sind, wobei im allgemeinen auch im Ausgangskreis ein Strom fließen kann. Enthält das Netzwerk nur lineare, passive Elemente (d.h. nur Impedanzen und keine Transistoren oder Dioden), besteht zwischen den Spannungen und Strömen eine lineare Beziehung, die z.B. durch eine Matrizengleichung ausgedrückt werden kann: � � �� � � A11 A12 U1 U2 = . (6.14) I2 A21 A22 I1 Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass das Hintereinanderschalten von mehreren Vierpolen der Multiplikation der Matrizen entspricht. Für die in der Abb. 6.9 gezeigte Schaltung gilt � � � � 1 −Z1 A11 A12 = A21 A22 −1/Z2 1 + Z1 /Z2 Der Transformator (s. Abschnitt 6.1.4) ist ein Beispiel für einen Vierpol. Aus (6.11) folgt in der komplexen Schreibweise mit I˙j = iωIj : � � � � � � 2 1 0 N2 U1 U2 µ A/ l. = mit k = µ −1 2 ◦ r I2 I N1 N2 −(iωk) −N1 2

Daraus folgt die schon bekannte Beziehung

U2 = (N2 /N1 )U1 .

Wenn eine Last Z an den Ausgang des Transformators angeschlossen wird, beträgt der Sekundärstrom I2 = U2 /Z = N2 U1 /(N1 Z).

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

6.4

188

Wellenleiter

Nehmen wir an, ein Verbraucher wird über eine Doppelleitung an eine Spannungsquelle angeschlossen. Ändert sich die Ausgangsspannung der Quelle, erscheint diese Änderung nicht sofort am Verbraucher, sondern die Änderung pflanzt sich mit einer endlichen Geschwindigkeit fort. Abb. 6.11 zeigt einen Ausschnitt aus einem so genannten Wellenleiter, bestehend aus zwei parallelen Leitungen. Im allgemeinen sind Strom und Spannung von der Zeit und von der Ortskoordinate x abhängig. Wie wir im Abschnitt 6.1.3 gesehen haben, besitzt eine solche Doppelleitung sowohl Induktivität als auch Kapazität. Es seien Cˆ die Kapazität und Lˆ die Induktivität pro Längeneinheit. Ein Abschnitt der Länge δx verhält sich wie das in Abb. 6.11 (unten) gezeigte Ersatzschaltˆ ˆ bild, bestehend aus einer Induktivität Lδx und einer Kapazität Cδx. Die Änderungsrate der Ladung δQ im I+δI

I U

U+δU δx L δx

Abschnitt δx ist

C δx

∂I ∂δQ = − δx. ∂t ∂x

Abbildung 6.11: Oben: Wellenleiter. Unten: Ersatzschaltbild eines Abschnitts der Länge δx. Cˆ ist die Kapazität und Lˆ die Induktivität der Leitung, jeweils bezogen auf eine Einheitslänge.

189

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

ˆ δQ ist aber gerade die Ladung des Kondensators mit der Kapazität Cδx. Die am Kondensator anliegende ˆ Spannung ist daher U = δQ/(Cδx), und für die zeitliche Änderung der Spannung folgt 1 ∂I ∂U =− ∂t Cˆ ∂x

(6.15)

ˆ Die Änderung der Spannung über die Induktivität Lδx ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Stroms. Daraus folgt ∂I ∂U = −Lˆ (6.16) ∂x ∂t Durch Bildung der zweiten Ableitungen kann man entweder U oder I aus (6.15) und (6.16) eliminieren. Man erhält in beiden Fällen die Wellengleichung: 2 ∂ U 2 ∂t

2 ∂ U

1 = 2 Cˆ Lˆ ∂x

Die Lösungen als harmonische Wellen sind

bzw.

2 ∂ I 2 ∂t

2 ∂ I

1 = . 2 Cˆ Lˆ ∂x �

Lˆ U = U◦ exp[i(ωt ∓ kx)] = ± I, Cˆ wobei das obere Vorzeichen für eine nach +x und das untere Vorzeichen für eine nach −x laufende Welle � ˆ Cˆ gibt das Verhältnis Spannung/Strom an und hat daher die gleichen Einheiten gilt. Der Parameter Z = L/ wie der Widerstand (�). Er wird als Wellenwiderstand bezeichnet. Die Phasengeschwindigkeit der Wellen ist, unter Berücksichtigung der Gleichung (6.9) 1 1 ω , =� =√ k µ µ � � ˆ ˆ ◦ r ◦ r CL

190

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

wo die Parameter µr und �r für das Material gelten, in dem der Wellenleiter eingebettet ist. Wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, ist dies aber gerade die Geschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen) im betreffenden Medium. In einem Wellenleiter pflanzen sich die Wellen also mit Lichtgeschwindigkeit fort.

Z1 = (L1/C1

Z2 =

1/2 )

Abbildung 6.12: Übergang zwischen zwei Wellenleitern mit unterschiedlichen Wellenwiderständen Z1 , Z2 .

1/2 (L2/C2)

x=0

An einem Übergang zwischen zwei Wellenleitern mit unterschiedlichen Wellenwiderständen ändert sich das Verhältnis von Spannung zum Strom in der nach rechts laufenden Welle. Weder die Spannung noch der Strom darf sich aber sprunghaft an der Grenze ändern, weil dann entweder die Ladungsdichte oder die elektrische Feldstärke am Übergang unendlich werden würde. Eine Anpassung ist nur mit Hilfe einer dritten Welle möglich, die sich in der umgekehrten Richtung bewegt, also einer reflektierten Welle. Abb 6.12 zeigt einen Übergang von Z1 nach Z2 an der Stelle x = 0. Für die von links einfallende Welle gilt Ue =

◦ Ue exp[i(ωt

− k1 x)]

Ie =

◦ Ue

Z1

exp[i(ωt − k1 x)].

(6.17)

exp[i(ωt − k2 x)],

(6.18)

Die transmittierte Welle ist Ut =

◦ Ut exp[i(ωt

− k2 x)]

It =

◦ Ut

Z2

und die reflektierte Welle ist Ur =

◦ Ur exp[i(ωt

+ k1 x)]

Ir = −

◦ Ur

Z1

exp[i(ωt + k1 x)]

(6.19)

191

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER Die Kontinuitätsbedingungen bei x = 0 für Strom und Spannung lauten ◦ ◦ Ue + Ur ◦ ◦ Ue − U r

Z1

= =

◦ Ut ◦ Ut

Z2

.

◦ Ut

aus diesen beiden Gleichungen eliminieren, erhalten wir für den Reflexionskoeffizienten R, der Wenn wir den reflektierten Energieanteil angibt, � ◦ �2 � �2 Z2 − Z1 Ur = . R= ◦ Z2 + Z1 Ue Um zu vermeiden, dass ein Teil der von der Welle transportierten Leistung am Übergang reflektiert wird, müssen die beiden Wellenleiter möglichst gleiche Wellenwiderstände haben. Eine ähnlich Situation tritt auf, wenn ein Wellenleiter mit dem Wellenwiderstand Z am Ende mit einer Last ZL abgeschlossen wird. Zwischen dem Strom I , der durch die Last fließt, und der Spannung U , die an der Last anliegt, besteht die Beziehung I = U/ZL . Verwenden wir wieder die Gleichungen (6.17) und (6.19) mit Z1 = Z für die einfallende bzw. reflektierte Welle, so gilt bei x = 0 U=

◦ (Ue

◦ iωt + Ur )e ,

I=

◦ Ue

◦ − Ur

Z

.

Für das Reflexionsvermögen erhalten wir R=

�

ZL − Z ZL + Z

� �

∗ ZL ∗ ZL

−Z +Z

�

.

Um unerwünschte Reflexionen von einem losen Ende einer Leitung sollte dieses mit einem geeigneten Widerstand (ZL = Z) abgeschlossen werden.

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER

192

In der obigen Behandlung haben wir den ohmschen Widerstand der Leitung vernachlässigt. In der Praxis führt dieser zu einer Dissipation der Energie und einer entsprechenden Dämpfung der Welle. Frage 6.6 Überlegen Sie, was passiert, wenn das Ende der Leitung (a) kurzgeschlossen (Z = 0) oder (b) offen (Z = ∞) ist.

6.5

Antwort ⇓

Antworten zu den Fragen

Frage 6.1

Mit µ◦ = 4π · 10

−7

VsA

−1

−1

m

4

, µr = 1, N = 10 , r = 0,02 m und l = 1 m folgt 2

2

µµr N π r L= = 0,158 H. l Zurück ⇑ Frage 6.2 Da die Kugel leitend ist, verteilt sich die Ladung gleichmäßig über die Oberfläche. Die elektrische Feldstärke ist (s. auch Abschnitt 2.6.5) � 2 q/(4π �◦ r ) r > r◦ , E= 0 r ≤ r◦ . 2

Die Energiedichte ist �◦ E /2, und das Volumenelement zwischen den Kugelschalen mit den Radien r und 2 r + dr ist 4π r dr. Die Gesamtenergie ist daher 2

q W = 8π �◦

�

∞

r◦

dr

2

q = . 2 8π �◦ r r

Zurück ⇑

193

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER Frage 6.3

Die Schwingungsperiode ist √ 2π = 2π LC = 0,628 ms. T = ω◦

Frage 6.4

Mit U = U◦ cos(ωt) und I = I◦ cos(ωt + φ) ist die mittlere Leistung �

�

2π/ω

2π

I◦ U◦ cos(ωt) cos(ωt + φ)dt = cos(α) cos(α + φ)dα 2π 0 0 � 2π I◦ U◦ 2 (cos (α) cos(φ) − cos(α) sin(α) sin(φ))dα = 2π 0

I◦ U◦ L¯ = 2π/ω

Es ist aber

�

0

Daraus folgt

Frage 6.5

Zurück ⇑

2π

2

cos (α)dα = π

und

�

0

2π

cos(α) sin(α)dα = 0.

L¯ = I◦ U◦ cos(φ/2) = Ieff Ueff cos(φ). Es gilt

ω◦ 1 f◦ = = √ 2π 2π CL 3

und

1 Q= R

Zurück ⇑ �

L . C

Mit R = 1 �, f◦ = 10 Hz und Q = 100 erhalten wir zwei Gleichungen für L und C: 1 2 6 −1 − = 4π · 10 H F , LC

L 4 −1 = 10 HF . C

KAPITEL 6. ZEITLICH VERÄNDERLICHE MAGNETFELDER Die Lösungen sind: C=

1

F = 1,592 µF, 5 2π 10

194

0,05 L= H = 15,92 mH. π Zurück ⇑

Frage 6.6 In beiden Fällen ist der Reflexionskoeffizient gleich 1, d.h. es gibt eine stehende Welle. Im Falle (a) hat bei x = 0 der Strom ein Maximum und die Spannung einen Knoten, im Falle (b) ist es umgekehrt. Zurück ⇑

Kapitel 7

Elektromagnetische Strahlung

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

7.1

196

Maxwells Theorie der Elektrodynamik

7.1.1

Die Maxwell-Gleichungen

James Clerk Maxwell fasste die gesamte Elektrodynamik in vier Differentialgleichungen zusammen, die als mathematischer Ausdruck der experimentellen Beobachtungen aufgefasst werden können. Im Abschnitt 2.5 wurde gezeigt, wie die Quellenstärke (Divergenz) des E-Feldes mit der Ladungsdichte zusammenhängt: ∇.E = ρ/�◦ . Diese Gleichung gilt allerdings nur im Vakuum; in einem Medium müssen wir gemäß dem geänderten Kraftgesetz �◦ durch �◦ �r ersetzen. Unabhängig von den Materialkonstanten lässt sich die Gleichung auch als ∇.D = ρ schreiben. Diese ist eine der vier Maxwell-Gleichungen. Eine weitere ist uns schon begegnet als Differentialform des Induktionsgesetzes (6.1): ˙ ∇ × E = −B.

Die dritte

1 Maxwell-Gleichung

ist der Ausdruck der Quellenfreiheit des B-Feldes (4.11): ∇.B = 0.

Schließlich basiert die vierte Gleichung auf dem ampèreschen Durchflutungsgesetz, dessen Differentialform wir als Gleichung (4.10) kennen gelernt haben, die allgemeiner lautet ∇ × B = µ◦ µr j , oder einfacher ∇ × H = j.

1 Zufällig hier die dritte — die Reihenfolge ist nicht festgelegt.

197

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG Maxwell merkte jedoch, dass diese Gleichung nicht im Einklang mit der Kontinuitätsgleichung ∇.j = −ρ˙ ist, weil die Divergenz einer Rotation immer identisch gleich Null ist: ∇.j = ∇.(∇ × H ) ≡ 0.

Er führte daher einen zusätzlichen Term ein, der dafür sorgt, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt wird, wie man leicht nachprüfen kann. Die entsprechende Maxwell-Gleichung lautet ˙ ∇ × H = j + D. Der zusätzliche Term D˙ wird als Verschiebungsstromdichte bezeichnet. Die physikalische Bedeutung des Verschiebungsstroms sei hier an zwei Beispielen demonstriert: 1. Bewegte Ladung Eine Punktladung q bewege sich mit der Geschwindigkeit v und befinde sich gerade am Ursprung des Koordinatensystems. Am Punkt r herrscht nach (4.4) mit v = −r˙ das H-Feld H =

qr × r˙ 4π r

3

.

Gleichzeitig besteht nach dem coulombschen Gesetz das D-Feld D=

qr 4π r

. 3

Mit Hilfe der Vektoranalysis kann man jedoch zeigen, dass � � � � ∂ r × r˙ r ∇× = 3 3 ∂t r r

198

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG ist. Damit ist

˙ ∇ × H = D,

im Einklang mit der vierten Maxwell-Gleichung bei j = 0. F Γ

I

F'

Abbildung 7.1: Zur Berechnung des Verschiebungsstroms in einem Plattenkondensator. Durch die Fläche F fließt der � Strom I , durch die Fläche F nur der Verschiebungsstrom.

I

D

2. Plattenkondensator Abb. 7.1 zeigt einen Plattenkondensator, durch den ein Strom I fließt. Wir vergleichen das Integral der Stromdichte über zwei Flächen, die eine gemeinsame Grenzlinie � haben: Die Fläche � F schneidet den Leiter und wird daher von dem Strom durchflossen, während die Fläche F zwischen den Kondensatorplatten verläuft. Nach dem Durchflutungsgesetz gilt � � H .ds = j .df = I. Für die Fläche

� F

folgt aber

�

F

�

�

�

H .ds =

F�

jv .df ,

199

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

wo jv die Verschiebungsstromdichte bedeutet. Unter Vernachlässigung der Randeffekte ist jv über die Gesamtfläche A des Kondensators konstant, und es ist daher jv = I /A.

Das D-Feld im Plattenkondensator ist aber D = Q/A, und die Ableitung nach der Zeit ergibt ˙ I Q = = jv . D˙ = A A

Wir fassen die Maxwell-Gleichungen zusammen: ∇.D = div D = ρ

Quellenstärke von D

(7.1)

Induktionsgesetz

(7.2)

Quellenfreiheit von B

(7.3)

∇ × E = rot E = −B˙ ∇.B = div B = 0 ∇ × H = rot H = j + D˙

7.1.2

Durchflutung + Verschiebungsstrom

(7.4)

Die elektrodynamischen Potentiale

In Abschnitt 4.4 wurde das Vektorpotential A eingeführt. Da die Beziehung B = ∇ × A das Vektorpotential nicht eindeutig definiert, wurde die zusätzliche Bedingung ∇.A = 0 eingeführt, um die Gleichungen zu vereinfachen. Im Abschnitt 4.4 wurden aber nur statische Magnetfelder betrachtet. Für zeitlich veränderliche Magnetfelder wählt man, wie wir gleich sehen werden, eine andere „Eichung“. Die Beziehung E = −∇φ für das elektrostatische Potential gilt nur für ein wirbelfreies E-Feld, d.h. nur für den elektrostatischen Fall. Die allgemeine Potentialdarstellung des dynamischen E-Feldes lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen ableiten: Aus (7.2) folgt ˙ ∇ × E = −∇ × A,

d.h.

˙ = 0. ∇ × (E + A)

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

200

˙ ist also wirbelfrei und kann als Gradient eines skalaren Potentials dargestellt werden. Das Vektorfeld (E + A) ˙ entspricht. Das skalare Potential φ wird deshalb so definiert, dass sein negativer Gradient dem Feld (E + A) Die Potentialdarstellungen der Felder sind also zusammengefasst ˙ E = −∇φ − A.

B = ∇ × A.

˙ und H durch ∇ × A/µ µ in (7.1) und (7.4) ersetzen, erhalten wir Wenn wir D durch −�◦ �r (∇φ + A) ◦ r ρ ∂ ∇ φ + ∇.A = − , ∂t �◦ �r 1 1 ¨ 2 ∇(∇.A) − ∇ A + 2 ∇ φ˙ + 2 A = µ◦ µr j , c c 2

√ � mit c = 1/ �◦ �r µ◦ µr . Aufgrund der oben erwähnten Unbestimmtheit des Vektorpotentials A (mit A = A + � ∇ψ ist B = ∇ × A = ∇ × A) können wir eine Einschränkung einführen, ohne dass sich die Felder ändern. 2 Durch die so genannte Lorenz-Eichung : 1 ∇.A = − 2 φ˙ c vereinfachen sich die obigen Gleichungen zu 1

ρ ∇ φ − 2 φ¨ = − �◦ �r c 1 ¨ 2 ∇ A − 2 A = −µ◦ µr j c 2

(7.5) (7.6)

2 Diese Bedingung wurde zuerst bereits 1867 von dem dänischen Physiker Ludvig V. Lorenz vorgeschlagen und wird oft fälschlicher-

weise dem Holländer Hendrik Antoon Lorentz zugeschrieben.

201

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG Im Vakuum (�r = µr = 1, ρ = 0, j = 0) haben die Gleichung folgender Form 2

∇ φ−

1 c

¨ = 0, φ 2

1 ¨ ∇ A − 2 A = 0, c 2

√

mit c = 1/ �◦ µ◦ . Für beide Potentiale erhalten wir also die bekannte Wellengleichung. Sie zeigt, dass sich √ jede Veränderung eines elektromagnetischen Feldes mit der Geschwindigkeit c = 1/ µ◦ �◦ im Vakuum fortpflanzt. Ein Ergebnis der Maxwell-Theorie war, dass man den Wert der Konstante c aus Labormessungen der zwischen Ladungen und zwischen Strömen wirkenden Kräfte bestimmen konnte. Die Übereinstimmung des so bestimmten Wertes mit der gemessenen Lichtgeschwindigkeit war der wichtigste Hinweis darauf, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Heute verwendet man die Naturkonstante c, um die SI-Einheit der Länge festzulegen. Damit wird dieser −1 Konstante der feste Wert c = 299 792 458 m s zugeordnet. Aus der Definition der Stromeinheit Ampere (s. −7 −2 Anschnitt 4.3.1 und Anhang B) folgt für µ◦ ebenfalls ein fester Wert: µ◦ = 4π · 10 N A , und wegen der 2 obigen Beziehung zwischen c, µ◦ und �◦ liegt der Wert von �◦ ebenfalls fest: �◦ = 1/(µ◦ c ). Selbstverständlich genügen auch die Felder die Wellengleichung, wie man am einfachsten direkt aus den Maxwell-Gleichungen zeigen kann. Wenn wir uns auf den Vakuumfall beschränken, folgt aus (7.2) ∂ ∇ × (∇ × E) = ∇(∇.E) − ∇ E = − ∇ × B. ∂t 2

2

˙ . Somit folgt schließlich Aus (7.1) folgt (mit ρ = 0) ∇.E = 0 und aus (7.4) (mit j = 0) ∇ × B = E/c 1 ¨ ∇ E − 2 E = 0. c 2

Frage 7.1 Leiten Sie die entsprechende Differentialgleichung für H aus den Maxwell-Gleichungen ab.

Antwort ⇓

202

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Der nächste Abschnitt behandelt harmonische (ebene) Wellen im Vakuum. Vorher sei aber auf eine sehr allgemeine Lösung der Gleichungen (7.5) und (7.6) für den Fall hingewiesen, dass die Strom- und Ladungsdichten als Funktionen des Ortes und der Zeit (j (r, t) bzw. ρ(r, t)) bekannt sind. Wir verzichten allerdings auf den strengen mathematischen Beweis und begnügen uns mit einem „intuitiven“ Argument. Als Ausgangspunkt dienen die Gleichungen (2.9) und (4.25), die für den statischen Fall gelten. In diesen Gleichungen werden die � Potentiale an der Stelle r berechnet, die ein Ladungs- bzw. Stromelement an der Stelle r verursacht. Um nun im dynamischen Fall die Potentiale zum Zeitpunkt t zu berechnen, dürfen wir nicht die Dichten zum gleichen � � Zeitpunkt t verwenden, sondern zum Zeitpunkt t − t , wo t die Zeit ist, die eine Störung benötigt, um vom � Punkt r zum Punkt r zu gelangen, d.h. � � � t = |r − r |/c , wo die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung in dem Medium ist. Mit diesen retardierten Potentialen erhalten wir aus (2.9) und (4.25): � c

�

1 φ(r, t) = , � 4π �◦ V |r − r| � � � � µ◦ j (r , t − t )dV A(r, t) = � 4π V |r − r |

7.2 7.2.1

� ρ(r , t

� � − t )dV

Harmonische Wellen im Vakuum Die E- und B-Felder

Eine ebene harmonische Welle mit der Amplitude A◦ , der Frequenz ω, dem Wellenvektor k und der Phase φ wird durch die Funktion A = A◦ exp[i(ωt − k.r)],

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

203

wo der Phasenfaktor e in der komplexen Amplitude A◦ enthalten ist. Ein Vorteil der komplexen Darstellung ist, dass es für eben Wellen eine sehr einfache Beziehung zwischen den Differentialoperatoren und den Größen ω und k gibt. Es gilt nämlich iφ

∂A = iωA, ∂t

∂A = −ikj A (j = 1, 2, 3), ∂xj

so dass wir allgemein schreiben können ∂ ≡ iω, ∂t

∇ ≡ −ik.

(7.7)

Sie haben wahrscheinlich schon in einem Optik-Kurs gelernt, dass bei linear polarisierten Wellen die Vektoren E, B und k senkrecht aufeinander stehen. Dies können wir jetzt beweisen. Die Wellen für E und B können wir wie folgt schreiben: E = E◦ exp[i(ωt − k.r)]

B = B◦ exp[i(ωt − k.r)]

wo E◦ und B◦ konstante Vektoren sind. Wenn wir diese Ausdrücke in die Maxwell-Gleichungen (7.2) und (7.4) (mit j = 0) einsetzen und die Operatoren nach (7.7) umsetzen, erhalten wir k × E = ωB,

2

c k × B = −ωE.

Aus diesen beiden Gleichungen folgt sofort, dass die drei Vektoren senkrecht zueinander sind, und dass sie in der Reihenfolge E, B, k ein rechtshändiges Achsenkreuz bilden. (Der Vektor E × B ist parallel zur Fortpflanzungsrichtung k). Für die Amplituden gilt mit ω/k = c E◦ = cB◦ . Das Verhältnis ist also eine reelle Zahl, was bedeutet, dass die E- und B-Felder in Phase schwingen. Wir fassen die Eigenschaften einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle im Vakuum zusammen:

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

204

1. Es handelt sich um eine transversale Welle: Sowohl E als auch B liegen in der Phasenebene, d.h. senkrecht zum Wellenvektor k. 2. E und B stehen auch senkrecht aufeinander. 3. Die beiden Felder schwingen in Phase miteinander. 4. Das Verhältnis der Amplituden ist E◦ /B◦ = c. 5. Die Phasengeschwindigkeit ist ω/k = c.

7.2.2

Transport von Energie

Betrachten wir ein durch eine Fläche F begrenztes Volumen V , in dem Vakuum herrscht. Da das Volumen keine Ladungen und keine Massen enthält, kann Energie nur in Form von Feldenergie vorhanden sein. Die im Volumen V enthaltene Energie ist also nach (6.10) � 1 W = (H .B + E.D)dV . 2 V Der Fluss von Energie aus dem Volumen heraus oder in das Volumen hinein können wir durch einen Vektor S beschreiben, der die Energiestromdichte darstellt, so wie j die Ladungsstromdichte angibt, d.h. � � 1 ∂ S.df = − (H .B + E.D)dV . 2 ∂t V F

Die zeitlich Ableitung des Integrands ist

∂ ˙ ˙ (H .B + E.B) = (H .B˙ + H˙ .B + E.D˙ + E.D) = 2(H .B˙ + E.D). ∂t Wenn wir das Flächenintegral nach dem Gaußschen Satz umformen erhalten wir ˙ ∇.S = −(H .B˙ + E.D).

205

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG Die rechte Seite können wir mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen (7.2) und (7.4) umformen: H .B˙ + E.D˙ = −H .(∇ × E) + E.(∇ × H ) = −∇.(E × H ). 3 Die letzte Gleichung folgt aus einem Satz der Vektoranalysis . Wir haben also das Ergebnis ∇.S

= ∇.(E × H ) oder S = E × H + X, wo X ein beliebiges nichtdivergentes Vektorfeld ist. Da nur divergierende Energieflüsse nachweisbar sind, hat X keine physikalische Bedeutung, und wir können (7.8)

S =E×H 4 Poynting-Vektor .

festlegen. Dies ist der so genannte 2 Im Falle einer ebenen Welle ist S � k, und der Betrag ist S = EH = E /µ◦ c. Der mittlere Energieflussdichte einer elektromagnetischen Welle ist daher S¯ =

2 E◦

2µ◦ c

.

Der Energiefluss, d.h. die Intensität der Welle, ist also proportional zum Quadrat der Amplitude. Frage 7.2 Auf der Erdoberfläche hat das Sonnenlicht eine maximale Leistungsdichte von rd. 1 kW m Berechnen Sie die entsprechende Amplitude des elektrischen Feldes.

−2

.

Gleichung (7.8) wurde ohne Bezug zu harmonischen Wellen abgeleitet und gilt demnach ganz allgemein. Dazu ein Beispiel: Ein Strom I fließt in einem langen, geraden Draht mit dem Radius r. Das tangentiale H-Feld an der Oberfläche des Drahts ist H = I /2π r (s. Abb. 7.2). An der gleichen Stelle herrscht das elektrische Feld E = RI / l, wo R der Widerstand einer Länge l des Drahts ist. E ist parallel zum Strom, also senkrecht zu H . 3 S. z.B. I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, S. 577. 4 Nach John Henry Poynting, 1852–1914.

Antwort ⇓

206

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG l r

Abbildung 7.2: Die elektrischen und magnetischen Felder auf der Oberfläche eines Drahts, der einen Strom I trägt. Der Poynting-Vektor S zeigt radial nach innen.

I

E S B

Der Poynting-Vektor S = E × H ist senkrecht zur Drahtoberfläche und zeigt nach innen, weil die H-Feldlinien im Uhrzeigersinn laufen, wenn man in Stromrichtung blickt. Der Betrag des Poynting-Vektors ist 2

S = EH = RI /2π rl. Auf einer Länge l mit der Zylinderfläche 2πrl fließt also die Leistung L = S.2π rl = RI

2

in den Draht hinein. Dies ist aber gerade die Leistung, die als joulesche Wärme erscheint.

7.2.3

Transport von Impuls

Dass eine elektromagnetische Welle neben Energie auch Impuls überträgt, lässt sich durch folgenden Gedankenversuch demonstrieren: Eine linear polarisierte Welle fällt auf einen langen, dünnen Draht, der genau parallel zum elektrischen Feld — und damit senkrecht zu k und B — orientiert ist. In diesem Zusammenhang bedeutet „dünn“, dass der Drahtradius r sehr viel kleiner als die Wellenlänge der Strahlung ist, so dass die

207

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

E- und B-Felder im Draht überall in Phase schwingen. Das E-Feld erzeugt den Strom I = lE/R, wo R der Widerstand einer Länge l des Drahts ist. Die momentane Leistungsaufnahme in einem Abschnitt der Länge l ist damit 2 2 2 L = I R = l E /R.

Auf den gleichen Drahtabschnitt wirkt aber die Lorentz-Kraft 2

2

F = lI B = lI E/c = l E /Rc = L/c

parallel zu k. Die Kraft ist aber die Rate des Impulstransfers. Das Beispiel zeigt also, dass, wenn eine elektromagnetische Welle eine bestimmte Energiemenge W abgibt, der Impuls W/c gleichzeitig in Richtung von k übergeben wird. Der Impulsflussvektor , der angibt, wie viel Impuls pro Zeit- und Flächeneinheit von der Welle transportiert wird, ist also π = S/c = E × H /c.

Wird eine Welle von einem Körper absorbiert oder reflektiert, übt sie auf die Oberfläche des Körper einen Druck aus. Bei senkrechtem Einfall auf einer Oberfläche beträgt der Druck 2

2

2

P = EH /c = EB/µ◦ c = E /µ◦ c = �◦ E ,

wenn die Strahlung vollständig absorbiert wird. Bei totaler Reflexion entsteht der doppelte Druck. Frage 7.3 Welchen Druck übt das Licht einer 100 W-Glühbirne auf einen Spiegel in einer Entfernung von

1 m?

7.3

Elektromagnetische Strahlung in Materie

Die Theorie der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Kristallen, die im allgemeinen anisotrop sind und Doppelbrechung zeigen, ist relativ kompliziert und wird deshalb nicht im Rahmen dieser Einführung behandelt. Das gleiche gilt für optisch aktive Stoffe (Drehung der Polarisationsebene). Wir beschränken uns hier

Antwort ⇓

208

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

auf zwei Arten von Medien: (a) transparente, isotrope Dielektrika wie Gase, Flüssigkeiten, Gläser (b) Stoffe mit hoher elektrischer Leitfähigkeit (Metalle). Vorher wollen wir aber überlegen, welche Grenzbedingungen für elektrische und magnetische Felder beim Übergang von einem Medium zu einem anderen gelten. Es sind gerade diese Grenzbedingungen, die das Reflexions- und Brechungsverhalten von Wellen an Grenzflächen bestimmen.

7.3.1

Grenzbedingungen für elektromagnetische Felder

Abb. 7.3 zeigt schematisch eine Grenzfläche zwischen zwei Medien. Die Felder unmittelbar an der Grenze � � � � seien E, D, B, H auf der einen Seite (unten) bzw. E , D , B , H auf der anderen Seite. Die im folgenden abgeleiteten Grenzbedingungen gelten jeweils für eine bestimmte Komponente des betreffenden Feldes, entweder die Normalkomponente (senkrecht zur Grenzfläche, Index n) oder die Tangentialkomponente (parallel zur Grenzfläche, Index t). E't D'n

B'n

H't

F

Γ l

A δx

V

F'

Et Dn

Bn

Ht

Abbildung 7.3: Zur Bestimmung der Grenzbedingungen der elektromagnetischen Felder an der Grenze zwischen zwei Medien.

209

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Wir berechnen für jedes Feld zwei Integrale (s. Abb. 7.3): • Ein Flächenintegral über einen Zylinder mit der Fläche A und der Länge δx, der von der Grenzfläche senkrecht zur Achse symmetrisch geschnitten wird. • Ein Linienintegral über ein Rechteck der Länge l (parallel zur Grenzfläche) und der Breite δx, das ebenfalls von der Grenze symmetrisch geteilt wird. Um die Werte der Felder unmittelbar an der Grenze zu erfassen, lassen wir δx gegen Null gehen. Die Größen A und l werden so klein gewählt, dass wird die Variation der elektromagnetischen Größen (neben den Feldern auch ρ und j ) parallel zur Grenzfläche vernachlässigen können. Für das Flächenintegral gilt nach dem Gaußschen Satz � � � D.df = ρdV bzw. B.df = 0. F

V

F

Wenn wir δx beliebig klein machen, geht die rechte Seite der ersten Gleichung auch gegen Null, weil die Ladungsdichte immer endlich ist. Ferner tragen für δx → 0 nur noch die Stirnflächen des Zylinders zum � � Flächenintegral bei: Das Ergebnis ist A(Dn − Dn ) bzw. A(Bn − Bn ). Die Normalkomponenten haben also auf beiden Seiten der Grenzfläche den gleichen Wert: � Dn

= Dn ,

bzw.

� Bn

= Bn .

Das Linienintegral berechnet sich nach dem Induktions- bzw. nach dem Durchflutungsgesetz: � � � � ˙ B.df bzw. E.ds = H .ds = j .df . �

F�

�

F�

Die rechten Seiten dieser Gleichungen gehen für δx → 0 gegen Null, weil B˙ und j nicht unendlich werden können. Gleichzeitig tragen nur noch die Tangentialkomponenten zum Ergebnis des Linienintegrals bei. Wir erhalten also � � bzw. Ht = Ht . Et = Et ,

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

210

An einer Grenze zwischen zwei Medien sind die Normalkomponenten von D und B sowie die Tangentialkomponenten von E und H stetig. Dagegen gibt es eine sprunghafte Änderung der Tangentialkomponenten von D und B sowie der Normalkomponenten von E und H . In einem homogenen Medium, bzw. in einem Medium, in dem sich die Eigenschaften nur kontinuierlich verändern, kann es keine Unstetigkeiten der Felder geben. Frage 7.4 Wie lauten die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten von D und B und die Normalkomponenten von E und H ?

7.3.2

Transparente, isotrope Dielektrika

Wenn wir davon ausgehen, dass im Dielektrikum keine freien Ladungen und keine Ströme vorkommen, unterscheiden sich die Maxwell-Gleichungen in solchen Medien von denen des Vakuums nur dadurch, dass das Produkt µ◦ �◦ durch µ◦ µr �◦ �r ersetzt wird. Die Geschwindigkeit der Wellen im Medium ist

1 c � =√ . c =√ µ◦ µr �◦ �r µr �r √ Aus der Definition des Brechungsindex n folgt n = µr �r . Für die meisten transparenten Stoffe kann man aber √ die magnetischen Effekte vernachlässigen (µr ≈ 1), so dass in guter Näherung n ≈ �r gilt. Für die Dielektrizitätszahl �r darf man aber nicht den statischen Wert einsetzen. Bei hohen Frequenzen macht sich die Trägheit der Ladungen (Elektronen), die von dem elektrischen Feld bewegt werden, bemerkbar, und n ist frequenzabhängig (Dispersion). Bezeichnen wir die Wellenlänge bzw. die Wellenzahl der Strahlung im Vakuum mit λ bzw. k = 2π/λ, so gelten für das Medium die Werte � � bzw. k = nk. λ = λ/n Mit Hilfe der oben abgeleiteten Grenzbedingungen sind wir nun in der Lage, genau zu beschreiben, was passiert, wenn eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei transparenten Medien mit unterschiedlichen Dielek-

Antwort ⇓

211

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

trizitätszahlen bzw. Brechungsindizes fällt. Aus den Grenzbedingungen folgen nicht nur die Reflexions- und Brechungsgesetze, sondern auch die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten. Für die Anwendung der Grenzbedingungen ist der Polarisationszustand der Welle wichtig, und wir werden daher die zwei Sonderfälle einer linearen Polarisation parallel bzw. senkrecht zur Grenzfläche getrennt behandeln. Jeder Polarisationszustand lässt sich durch lineare Kombination dieser beiden Zustände erzeugen. Die folgenden Überlegungen gelten aber zunächst für beide Polarisationszustände: Es seien ke , kr und kt die Wellenvektoren der einfallenden, der reflektierten und der gebrochenen Welle. Die Beträge dieser Vektoren sind: � � kt = n2 k = k �2 , ke = kr = n1 k = k �1 ,

Wo k der Wert für das Vakuum ist, und die Indizes 1 und 2 sich auf die beiden Medien beziehen. Wir wählen die Normalrichtung der Grenzfläche als x3 -Achse unseres Koordinatensystems, d.h. die Grenzfläche ist die x1 -x2 -Ebene. Eine ebene Welle mit dem Wellenvektor k erzeugt in der x1 -x2 -Ebene (x3 = 0) das Feld E(x1 , x2 , t) = E◦ exp[i(ωt − k1 x1 − k2 x2 )]. Damit die Grenzbedingungen an jedem Punkt der x1 -x2 -Ebene eingehalten werden, müssen alle drei Wellen die gleiche Periodizität in der Grenzfläche haben, d.h. ke1 = kr1 = kt1

und

ke2 = kr2 = kt2 .

Dies ist nur dann der Fall, wenn alle drei Vektoren und die Normalrichtung in einer Ebene liegen und die Pro� jektionen der Wellenvektoren in der Grenzfläche gleich sind. Mit den Bezeichnungen α, α und β für EinfallsReflexions- und Brechungswinkel folgt �

n1 k sin(α) = n1 k sin(α ) = n2 sin(β), und damit die bekannten Gesetze der Reflexion und Brechung:

212

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG 1. Der einfallende Strahl, der reflektierte Strahl und der gebrochene Strahl liegen in einer Ebene, die senkrecht zur Grenzfläche ist. 2. Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel. 3. Die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel und dem Brechungswinkel lautet: n1 sin(α) = n2 sin(β).

Abb. 7.4 zeigt schematisch die Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche, wobei zwischen zwei Polarisationszuständen unterschieden wird: (a) parallel und (b) senkrecht zur Grenzfläche. Ee He ε

1

ε

ke

x3

Ee

Er α α'

2

β

kr kt

Hr x1

x3

He ε1

ke

Hr α α'

ε2 β

Et

Ht (a)

Er

Ht

kr

x1

kt Et

Abbildung 7.4: Reflexion und Brechung an einer Grenze zwischen zwei transparenten Medien: (a) Polarisationsebene parallel zur Grenzfläche, (b) Polarisationsebene senkrecht zur Grenzfläche. (Das Symbol � stellt einen Vektor dar, der senkrecht zur Bildebene Steht und zum Betrachter hin zeigt.)

(b)

Zur Berechnung der Reflexionskoeffizienten betrachten wir zunächst die Situation, wo das E-Feldvektor parallel zur Grenzfläche, d.h. senkrecht zur Bildebene ist (Abb. 7.4a). Wir definieren die positive Richtung des Feldvektors als die Richtung, die zum Betrachter hin zeigt. Diese Richtung wird in Abb. 7.4 durch das Symbol � dargestellt. Die durch die Pfeile angezeigten Richtungen der H-Vektoren ergeben sich aus der Bedingung, dass das Vektorprodukt E×H in Fortpflanzungsrichtung zeigt. Die Bedingung, dass die Tangentialkomponente

213

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG des E-Feldes stetig sein muss, ergibt für diesen Polarisationszustand Ee + Er = Et . Die entsprechende Bedingung für das H-Feld ergibt (He − Hr ) cos(α) = Ht cos(β).

√

In einem Medium ist aber H = B/µ◦ µr und im Falle einer elektromagnetischen Welle B = E µ◦ µr �◦ �r . √ Unter den angenommenen Bedingungen µr ≈ 1 und n = �r folgt dann aus der letzten Gleichung n1 (Ee − Er ) cos(α) = n2 Et cos(β). Aus den beiden Gleichung für die E-Felder können wir Et eliminieren. Wenn wir ferner n1 /n2 durch sin(β)/ sin(α) ersetzen, erhalten wir für den Reflexionskoeffizienten r

⊥

Er sin(α − β) = =− Ee sin(α + β)

E ⊥ Einfallsebene.

(7.9)

Beim anderen Polarisationszustand (Abb. 7.4b) ergibt die Bedingung für die Tangentialkomponente des E-Feldes (Ee − Er ) cos(α) = Et cos(β),

und für die Tangentialkomponente des H-Feldes

He + Hr = Ht . Mit den gleichen Substitutionen wie oben wird aus dieser Gleichung (Ee + Er ) sin(α) = Et sin(β),

214

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG und das Ergebnis für den Reflexionskoeffizienten ist Er tan(α − β) = r = Ee tan(α + β) �

E in Einfallsebene.

(7.10)

Wenn man die Gleichungen nach Et /Ee auflöst, erhält man die Transmissionskoeffizienten Et 2 sin(β) cos(α) = t = Ee sin(α + β) Et 2 sin(β) cos(α) � = t = Ee sin(α + β) cos(α − β) ⊥

E ⊥ Einfallsebene.

(7.11)

E in Einfallsebene.

(7.12)

Die Gleichungen (7.9) bis (7.12) sind die so genannten fresnelschen Formeln. Man erkennt aus (7.10), dass der Reflexionskoeffizient der in der Einfallsebene polarisierten Welle verschwindet, wenn α + β = π/2 ist, d.h. α = αB mit αB = arctan(n2 /n1 ). (7.13) 5 Brewster-Winkel .

Der Winkel αB heißt Fällt eine nichtpolarisierte Welle mit diesem Einfallswinkel auf die Grenzfläche, ist die reflektierte Welle vollständig polarisiert. Das Reflexionsvermögen, definierte als das Verhältnis der reflektierten zur einfallenden Intensität, ist durch � � 2 ⊥ ⊥ 2 R = |r | bzw. R = |r | gegeben. Abb. 7.5 zeigt das Reflexionsvermögen beider Polarisationszustände für n1 /n2 = 1,7 n1 /n2 = 0,7. Im zweiten Fall (n1 /n2 < 1) gibt es Totalreflexion; in beiden Fällen existiert ein Brewster-Winkel. Die fresnelschen Formeln müssen natürlich der Energieerhaltung genügen. Dies können wir kontrollieren, indem wir die Bilanz des Energieflusses durch einen Streifen der Länge y und der Breite x der Grenzfläche bilden. Abb. 7.6 zeigt einen Schnitt durch diesen Streifen, wobei die Seite mit der Länge x in der Einfallsebene liegt. Den Beitrag der einzelnen Strahlen zum Energiefluss bekommen wir, wenn wir die Fläche des Streifens auf die Ebene projizieren, die senkrecht zum jeweiligen Strahl liegt, und mit dem Betrag des entsprechenden Poynting-Vektors multipliziert. 5 Nach dem Schotten David Brewster, 1781–1868.

215

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Reflexionsvermögen

1

n2 / n1 = 0,7

n2 / n1 = 1,7

0.8

Totalreflexion Brewsterwinkel

0.6

R

0.2 0

0

0.1

R

0.2

0.3

0.4

Einfallswinkel/ π

R 0.5 0

0.1

� 2

Abbildung 7.5: Reflexionsvermögen R (= |r | )

Brewsterwinkel

0.4

�

⊥ 2

⊥

bzw. R (= |r | ) nach den fresnelschen Formeln, für n1 /n2 = 1,7 bzw. 0,7.

R 0.2

0.3

Einfallswinkel/π

Beginnen wir mit den Poynting-Vektoren. Der Betrag des Poynting-Vektors (s. Gleichung (7.8)) ist S = 2 2 EH = EB/µ◦ = nE /µ◦ c = n�◦ cE , wo c/n die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist. Für die einfallende, reflektierte und transmittierte Welle gilt also Se =

2 n1 �◦ cEe ,

Sr =

2 n1 �◦ cEr ,

St =

2 n2 �◦ cEt .

Die projizierte Fläche des x-y-Streifens ist xy cos(α) bzw. xy cos(β). Die Energieerhaltung ergibt also (Se − Sr ) cos(α) = S cos(β). Daraus folgt für die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten tan(α) R+T = 1. tan(β) ⊥

⊥ 2

⊥

⊥ 2

�

� 2

(7.14) �

� 2

Wenn man R = |r | und T = |t | bzw. R = |r | und T = |t | aus den fresnelschen Beziehungen (7.9), (7.10), (7.11), (7.12) für R und T in (7.14) einsetzt, stellt man fest, dass die Energiebedingung für beide Polarisationszustände erfüllt wird.

216

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Se

n1 n2

. α

Sr

. x

α

.

Abbildung 7.6: Zur Berechnung des Energieflusses durch eine Grenzfläche.

β St

7.3.3

Metalle

Metalle haben typischerweise ein hohes Reflexionsvermögen für elektromagnetischer Strahlung im sichtbaren Bereich, werden aber bei höheren Frequenzen, meistens im UV, transparent. Dieses Verhalten lässt sich durch die Anwesenheit von „freien“ Elektronen erklären. Die Bewegungsgleichung für ein freies Elektron (Masse iωt me , Ladung −e) in einem Feld E = E◦ e ist me r¨ = −eE◦ e

iωt

mit der Lösung r=

eE◦

me ω

e 2

iωt

.

217

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Eine um den Vektor r verschobene Ladung −e stellt ein Dipolmoment −er dar. Mit N freien Elektronen pro Volumeneinheit ergibt dies eine Polarisation 2

P = −Ner = −

N e E◦ me ω

2

e

iωt

=−

Ne

2

me ω

E. 2

Aus Gleichung (2.33) folgt für die Suszeptibilität χe = −

Ne

2

�◦ me ω

. 2

� √ Den Brechungsindex n = �r = 1 + χe kann man also in folgender Form schreiben: � � � � 1/2 � ω �2 2 � Ne p � n= 1− mit ωp = . ω me �◦

(7.15)

Die Materialeigenschaft ωp wird als Plasmafrequenz bezeichnet. Gleichung (7.15) zeigt, dass n imaginär ist, wenn die Frequenz der Welle kleiner als die Plasmafrequenz ist. Dies bedeutet, dass der Betrag des Wellenvektors im Metall ebenfalls imaginär wird (k = iλ). Bei senkrechtem Einfall hat die Wellenfunktion im Metall dann folgende Form (wir nehmen die Normalrichtung wieder als x3 -Achse) E = E◦ e

−λx3 iωt

e

.

Der räumliche Teil der Welle ist eine exponentiell abklingende Funktion und oszilliert nicht. Wir wollen das Reflexionsvermögen zunächst nur für den Fall des senkrechten Einfalls berechnen. Die Gleichungen (7.9) und (7.10) ergeben im Grenzfall α, β → 0 mit n1 /n2 = sin(β)/ sin(α) �

r=r =r

⊥

n2 − n 1 = . n2 + n 1

218

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG Für den Übergang Luft-Metall erhalten wir

n−1 , r= n+1 wo n durch Gleichung (7.15) gegeben ist. Das Reflexionsvermögen ist für den Fall komplexer Amplituden ∗

n − 1 n − 1 ∗ . . ∗ R = rr = n+1 n +1 ∗

∗

Wenn n imaginär ist (ω < ωp ) ist n = −n und R = 1. Dagegen gilt für ω > ωp n = n und R = 2

2

(n − 1) /(n + 1) :

R=

�

1

2

(n − 1) /(n + 1)

2

ω ≤ ωp

ω ≥ ωp

mit

� 2 n = 1 − (ωp /ω) .

(7.16)

Abb. 7.7 zeigt den Verlauf von R als Funktion von ω/ωp nach Gleichung (7.16). Bei allen Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz wird das Licht zu 100% reflektiert d.h. es dringt keine Energie in das Metall ein. Oberhalb von ωp fällt das Reflexionsvermögen rapide ab und beträgt bei ω = 1,2ωp weniger als 10%. Bei den meisten Metallen ist die Plasmafrequenz im UV-Bereich. Das Modell erklärt also qualitativ die oben erwähnten Beobachtungen. Quantitativ ist die Übereinstimmung jedoch nicht sehr gut: Reale Metalle erreichen nie ein Reflexionsvermögen von 100%, und der Übergang zum Bereich der Transparenz ist weniger scharf. Abb. 7.8 zeigt als zwei Beispiele die gemessenen Reflexionskoeffizienten von Silber und Kupfer in Abhängigkeit von der Wellenlänge im Bereich 200 bis 1000 nm. Die rötliche Farbe des Kupfers ist darauf zurückzuführen, dass das Reflexionsvermögen dieses Metalls im sichtbaren Bereich (400–800 nm) stark variiert: Rotes Licht wird zu fast 100%, blaues Licht nur zu etwa 50% reflektiert. Frage 7.5 Wie könnte man das Modell der „freien Elektronen“ verbessern, um die optischen Eigenschaften

der Metalle besser zu beschreiben?

Antwort ⇓

219

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG 1,0

R 0,8 0,6

Abbildung 7.7: Das optische Reflexionsvermögen eines „idealen“ Metalls in Abhängigkeit vom Verhältnis der Lichtfrequenz ω zur Plasmafrequenz ωp bei senkrechtem Einfall.

0,4 0,2 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4 ω/ωp

1,6

1,8

2,0

Eine interessante Konsequenz der Gleichung (7.15) ist die Tatsache, dass die Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Bereich ω > ωp , wo das Metall durchsichtig ist, größer als c ist, weil n < 1 ist. Es folgt nämlich aus (7.15) mit k◦ = Betrag des Vakuum-Wellenvektors und c = ω/k◦ ω c ω � c = = = =� k nk◦ n

c

2

1 − (ωp /ω)

�1/2 .

Dies ist scheinbar in Konflikt mit der speziellen Relativitätstheorie, aber nur scheinbar, weil für die Übertragung von Information in Form von Lichtsignalen nicht die Phasengeschwindigkeit (ω/k), sondern die Gruppengeschwindigkeit (dω/dk) entscheidend ist. Aus der letzten Gleichung folgt � � � ω �2 1/2 dω p =c 1− < c. dk ω

220

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Reflektivität [%]

100

Ag

80 60 40

Abbildung 7.8: Experimentell bestimmte Reflexionsvermögen von Silber und Kupfer im Wellenlängenbereich 200–1000 nm.

Cu

20 0 200

400

800 600 Wellenlänge [nm]

1000

Frage 7.6 Wie verhält sich das Licht im Bereich ω < ωp bei schrägem Einfall auf die Metalloberfläche? Kann man Licht mit einem Spiegel polarisieren?

7.3.4

Schwingender Dipol

Eine wichtige Anwendung der Elektrodynamik ist die Berechnung des Strahlungsfeldes eines schwingenden Dipols. Der Dipol bestehe aus zwei Ladungen q bzw. −q mit dem Abstandsvektor s (s. Abb. 7.9). Dabei soll die iωt Ladung harmonisch mit der Frequenz ω schwingen: q = q◦ e . Dies ergibt ein zeitabhängiges Dipolmoment p(t) = q(t)s = q◦ se und ein zeitabhängiges Stromelement

iωt

= p◦ e

I (t)s = qs ˙ = iωp◦ e

iωt

iωt

.

Wir nehmen den Mittelpunkt des Dipols als Ursprung unseres Koordinatensystems und berechnen zunächst die elektrodynamischen Potentiale an einem Punkt r, wobei wir annehmen wollen, dass stets r � s gilt.

Antwort ⇓

221

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Unter diesen Bedingungen erhalten wir das Vektorpotential aus (4.27), wobei wir hier die Retardierung noch berücksichtigen müssen: iωµ◦ p◦ iωµ◦ p(t − r/c) = exp [i(ωt − kr)] . A(r, t) = 4π r 4π r

E B r +q s -q

Fortpflanzungsrichtung

Abbildung 7.9: Zur Berechnung des Strahlungsfeldes eines schwingenden Dipols.

α

Das B-Feld bestimmen wir nun aus der Beziehung B = ∇ × A. Mit Hilfe der Rechenregeln der Vektoranalysis kann man zeigen, dass, wenn f (r) eine skalare Funktion und b ein konstanter Vektor ist, dann gilt ∇ × (f b) = (∇f ) × b. Angewandt auf die obige Gleichung für A ergibt dies B=−

(1 + ikr)iωµ◦ r × p◦ 4π r

3

exp [i(ωt − kr)] .

Der Vektor B steht senkrecht auf der durch p◦ und r aufgespannten Ebene.

222

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Wir wollen jetzt die weitere Annahme machen, dass die Entfernung r viel größer als die Wellenlänge λ ist, d.h. unsere Lösung gilt nur für das so genannte Fernfeld, nicht für das Nahfeld. Dann gilt die Näherung kr � 1, und das Ergebnis für B vereinfacht sich zu B = B◦ e

i(ωt−kr)

mit

ωkµ◦ r × p◦

B◦ =

4π r

2

.

(7.17)

Gleichung (7.17) beschreibt eine transversale Kugelwelle. Die Amplitude B◦ nimmt proportional zu 1/r mit der Entfernung vom Dipol ab. Das E-Feld kann man aus der Maxwell-Gleichung (7.4) mit j = 0 und E˙ = iωE bestimmen. Die Rechnung ist allerdings etwas umständlich. Viel einfacher kommt man durch folgende Überlegung zum Ziel: Ein kleiner Ausschnitt der Wellenfront einer Kugelwelle ähnelt einer ebenen Welle mit k � r. Wir kennen aber schon die Verhältnisse in einer ebenen Welle: Die Vektoren E, B und k stehen senkrecht aufeinander mit E × B � +k und E = B/c. Daher gilt im vorliegenden Fall (7.18)

E = cB × r/r.

Die Amplituden der Felder sind als Funktionen von α, dem Winkel zwischen r und p, und r (mit k = ω/c) 2

2

ω µ◦ p◦ sin(α) ; B◦ = 4π rc

ω µ◦ p◦ sin(α) E◦ = . 4π r

Die durch (7.17) und (7.18) definierte elektromagnetische Kugelwelle ist in der durch r und p definierten Ebene 2 linear polarisiert. Die Intensität der Dipolstrahlung ist proportional zu (sin(α)/r) . Die mittlere Strahlungsleistungsdichte in einer gegebenen Richtung ist 4

2 2 µ◦ p◦ sin (α) . 2 2

ω E◦ B◦ = S¯ = 2µ◦ 32π r c

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

223

Wenn wir diese Leistungsdichte über eine Kugelfläche integrieren, erhalten wir die Gesamtleistung, die vom Dipol ausgestrahlt wird: � π 4 2 4 2 ω ω µ◦ p◦ µ p 3 ◦ ◦ . (7.19) sin (α)dα = .2π W = 2 12π c 0 32π c

Die sehr starke Abhängigkeit der Strahlungsleistung von der Frequenz hat zur Konsequenz, dass es besonders in Hochfrequenzschaltungen wichtig ist, Maßnahmen zu ergreifen, die Strahlungsverluste verringern (z.B. Verwendung von Koaxialkabel). Nehmen wir ein einfaches Zahlenbeispiel: Eine Ladung von 0,1 C schwingt über eine Strecke von 1 cm, d.h. p◦ = 0,001 C m. Die Frequenz in Hz sei f , d.h. ω = 2πf . Wir erhalten dann aus (7.19) 4 −19 −4 mit a = 1,7 · 10 W Hz . W = af

Dies ergibt 0,17 µW bei 1 kHz, 1,7 mW bei 10 kHz und schon 17 W bei 100 kHz. Elektromagnetische Strahlung tritt immer dann auf, wenn ein geladenes Teilchen eine (positive oder negative) Beschleunigung erfährt. Werden Elektronen oder andere geladene Elementarteilchen in einem Festkörper abgebremst, entsteht ein kontinuierliches Spektrum, die so genannte Bremsstrahlung. In einem Synchrotron werden geladene Teilchen mit Magnetfeldern gezwungen, sich auf einer kreisförmigen Bahn zu bewegen. Überall auf dieser Bahn tritt aufgrund der Beschleunigung Strahlung, hauptsächlich im Röntgenbereich, auf. Diese so genannte Synchrotronstrahlung hat sich als sehr nützliches Nebenprodukt erwiesen: Sie findet als intensive Röntgenquelle vielfach Anwendung in der Strukturforschung. Die Tatsache, dass eine beschleunigte Ladung elektromagnetische Strahlung aussendet, verursachte zunächst große Schwierigkeiten bei der Entwicklung eines Atommodells: In einem Atom bewegen sich (nach den klassischen Vorstellungen) leichte, negative geladene Elektronen auf Umlaufbahnen um einen schweren, positiv geladenen Kern. Rein mechanisch betrachtet sind diese Bahnen stabil, ähnlich den Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, aber das Elektron sollte nach der Maxwell-Theorie ständig Energie durch Strahlung verlieren. Es gibt aber offenbar bestimmte „stationäre Zustände“, die zuerst im Rahmen des Atommodells von 6 Niels Bohr und später allgemeiner in der Quantentheorie beschrieben und erklärt wurden. 6 Niels Bohr 1885–1962, Nobel-Preis 1922.

224

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

7.4

Antworten zu den Fragen

Frage 7.1

Aus (7.4) folgt ∂ ∇ × (∇ × H ) = ∇(∇.H ) − ∇ H = −∇ H = �◦ �r ∇ × E, ∂t 2

und aus (7.2)

2

∇ × E = −µ◦ µr H˙ .

Daraus folgt

1 ¨ ∇ H − 2 H = 0. c 2

Zurück ⇑ Frage 7.2

� −2 −1 Die Gleichung E◦ = 2µ◦ cS¯ ergibt mit S¯ = 1000 W m das Ergebnis E◦ = 868 V m .

Zurück ⇑

2

Frage 7.3 In einer Entfernung r ist die Leistung L auf eine Fläche von 4πr verteilt, was den Druck P = 2 L/(4π r c) ergibt. Wenn wir annehmen, dass fast die gesamte Leistung der Glühbirne als elektromagnetische Strahlung erscheint, ist L ≈ 100 W. (Die auf Seite 71 angegebene Effizienz von 7% bezieht sich auf den −8 Zurück ⇑ sichtbaren Anteil). Der Druck ist dann nur 2,65·10 Pa. Frage 7.4 Mit D = �◦ �r E folgt aus den Komponenten: � Dn

= Dn

� Dn

=

� � Dn �r En

= �r En usw. Es gibt insgesamt 8 Beziehungen zwischen

⇔

� � �r En

= �r En

225

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG � Bn � Et � Ht

= Bn

⇔

= Ht

⇔

= Et

⇔

� � µr Hn � �r Dt � µr Bt

= µr Hn = =

� �r Dt � µr Bt

Zurück ⇑ Frage 7.5 Es gibt hauptsächlich zwei Punkte, bei denen das Modell eine sehr starke Vereinfachung der Wirklichkeit darstellt: 1. Die Elektronen sind nicht vollkommen frei, sondern werden durch Wechselwirkung mit dem Gitter gebremst. Diese Wechselwirkung könnte man durch Einführung einer „Reibung“ berücksichtigen. Eine richtige Behandlung erfordert aber eine Anwendung der Quantenmechanik. 2. Die an die Atome gebundenen Elektronen tragen auch zur Dielektrizitätszahl bei, wurden aber im Modell nicht berücksichtigt. Zurück ⇑ Frage 7.6 Wenn bei senkrechtem Einfall kein Energie in das Metall eindringt, ist zu erwarten, dass dies und (7.10) mit Hilfe der Beziehungen such bei schrägem Einfall der Fall ist. Der Beweis: Wenn wir β aus (7.9) � 2

2

sin(β) = sin(α)/n und cos(β) = 1 − sin (α)/n eliminieren, erhalten wir die Reflexionskoeffizienten als Funktionen von α und n: � 2 2 1 − sin (α)/n − cos(α) n ⊥ r = � , 2 2 n 1 − sin (α)/n + cos(α) � � 2 2 2 2 2 1 − sin (α)/n − cos(α) 1 − sin (α)/n − sin (α) n cos(α) n � � . . r = � 2 2 2 2 2 n 1 − sin (α)/n + cos(α) n cos(α) 1 − sin (α)/n + sin (α)

KAPITEL 7. ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG Wenn nun n imaginär ist, erhalten wir r ⊥

⊥∗

⊥ ⊥∗

und r

�∗

�

226

aus diesen Gleichungen, indem wir n durch −n ersetzen. � �∗

Dann sieht man sofort, dass R = r r und R = r r beide gleich 1 sind. Der Polarisationszustand der Welle ändert sich nicht, weil beide Komponenten gleich stark reflektiert werden. Ein gewöhnlicher Spiegel verwendet eine auf Glas aufgebrachte Metallschicht (Silber) als ReflexionsfläZurück ⇑ che und kann daher nicht zur Erzeugung polarisiertes Licht benutzt werden.

Teil II

Spezielle Relativitätstheorie

227

Kapitel 8

Die relativistische Kinetik

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

8.1

229

Die Lichtgeschwindigkeit

Die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik führen zu einer Wellengleichung für elektromagnetische Strahlung, in der die Geschwindigkeit c (d.h. die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) eindeutig durch die Naturkon√ stanten �◦ und µ◦ gegeben ist: c = 1/ �◦ µ◦ . Die Maxwell-Gleichungen sind mathematische Darstellungen der Grundgesetze der Elektrodynamik und gelten daher für alle Inertialsysteme. Demnach müsste die VakuumLichtgeschwindigkeit den gleichen Wert in allen Inertialsystemen haben. Man muss sich klar machen, was diese schlichte Aussage für Konsequenzen hat: Beobachter A befindet sich in Ruhe im System S, während ein zweiter Beobachter (B) in einem anderen � Inertialsystem (S ) ruht, das sich relativ zum System S mit der Geschwindigkeit u bewegt. Beide Beobachter messen die Geschwindigkeit des gleichen Lichtstrahls im jeweils eigenen System und bekommen das gleiche Ergebnis (c). Eine solche Beobachtung wäre offensichtlich nicht im Einklang mit der Galilei-Transformation. Hierfür gibt es zwei mögliche Erklärungen: • Die Galilei-Transformation ist nicht richtig, sondern nur eine gute Näherung bei kleinen Geschwindigkeiten (� c), oder: • Es gibt ein (massenloses) Medium (das so genannte Äther), in dem sich das Licht fortpflanzt (wie Schallwellen in der Luft), und die Lichtgeschwindigkeit gilt nur für ein spezielles Inertialsystem, in dem das Äther ruht. In anderen Systemen herrscht ein „Ätherwind“, der nur deshalb bisher nicht aufgefallen ist, weil die relativen Geschwindigkeiten sehr klein im Vergleich zu c sind. Wollen wir uns von der Galilei-Transformation verabschieden, die uns so selbstverständlich erscheint, müssen wir auch die klassischen Vorstellungen der absoluten Zeit und des absoluten Raum aufgeben. Dies war ein schwerer Schritt für die Menschheit, und es hat deshalb nicht an Versuchen gefehlt, den Ätherwind experimentell nachzuweisen und die Galilei-Transformation dadurch zu retten. Zwei Beispiele hierfür sind die klassischen 1 Versuche von Michelson und Morley (1887) sowie Trouton und Noble (1903). Moderne Versuche verwendeten den Doppler-Effekt. 1 Albert Abraham Michelson, 1852–1931, Nobel-Preis 1907.

230

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Der Versuch von Michelson und Morley Dieser Versuch basierte auf folgender Überlegung: Bewegt sich das Labor relativ zum Äther, muss die Lichtgeschwindigkeit anisotrop, d.h. richtungsabhängig, sein. Um die Richtungsabhängigkeit nachzuweisen, bauten Michelson und Morley ein Interferometer (s. Abb. 8.1). Spiegel

l2

halbdurchlässiger Spiegel

Lichtquelle l1

v

Spiegel

Abbildung 8.1: Prinzipskizze des Versuchs von Michelson und Morley. Das Interferometer liegt auf einem horizontalen Tisch, der um eine vertikale Achse drehbar ist.

Bewegung relativ zum "Äther" Fernrohr

Ein monochromatischer Lichtstrahl wird durch einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei Lichtstrahlen etwa gleicher Intensität geteilt, die in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen laufen und jeweils nach einer gewissen Strecke von einem Spiegel zurückreflektiert werden. Jeder Strahl teilt sich wieder am halbdurchlässigen Spiegel, so dass jeweils ein Teilstrahl in ein Beobachtungsfernrohr fällt. Dort können die beiden Strahlen miteinander interferieren: Sind die beiden Spiegel z.B. nicht exakt senkrecht zueinander eingestellt, erscheint im Fernrohr ein Streifenmuster. Bei einer Änderungen der Differenz der Laufzeiten der beiden Strahlen auf den Strecken l1 bzw. l2 würde sich das Streifenmuster verschieben. Genau das würde man aber bei einer Drehung des Interferometers erwarten, wenn die Lichtgeschwindigkeit richtungsabhängig wäre. Die maximale

231

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Verschiebung würde man dann beobachten, wenn die Bewegung des Labors relativ zum Äther parallel zu l1 oder l2 ist. Michelson und Morley bauten ihr Interferometer deshalb auf einem drehbaren Tisch auf, und beobachteten ◦ die Interferenzstreifen während einer Drehung von mindestens 180 . Sie konnten keine Verschiebung nachweisen. Um den erwarteten Effekt zu berechnen, nehmen wir zunächst an, dass die Bewegungsrichtung parallel zu l1 ist. Abb. 8.2 zeigt die Vektoren der Lichtbewegung auf den beiden Strecken unter der Annahme der Gültigkeit der Galilei-Transformation. Auf der Strecke l1 sind die Geschwindigkeiten c − v und c + v. Die Laufzeit

l1 c-v c+v

c

c v

Abbildung 8.2: Zur Berechnung der Laufzeiten der Lichtstrahlen auf den Strecken l1 und l2 (s. Abb. 8.1), wenn die Bewegungsrichtung parallel zu l1 ist.

l2

v

ist damit

�

� 2

v l1 l1 2l1 1+ 2 . t1 = + ≈ c−v c+v c c � 2 2 Auf der Strecke l2 ist die Geschwindigkeit c − v in beiden Richtungen. Dies ergibt die Laufzeit 2l2

t2 = � 2 2 c −v

2l2 ≈ c

�

1+

v

2

2c

2

�

.

232

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK Die Differenz ergibt

� �

� 2

�

2c

− l2 1 +

�� 2

v 2 l1 1 + 2 �t = t1 − t2 = c c Nach einer Drehung von

◦ 90

erhalten wir

� �

2

v 2 � �t = l1 1 + 2 c 2c

�

− l2 1 + �

v c

2

v

2 2

��

.

.

Die maximale Verschiebung der Zeitdifferenz ist also 2

�

entsprechend der Phasenverschiebung

3

�t − �t = (l1 + l2 )v /c , 2

(k = Wellenvektor).

�φ = k(l1 + l2 )(v/c)

Moderne Versionen des Michelson-Morley-Versuchs (unter Verwendung von Lasern) führten ebenfalls zu −1 einem negativen Ergebnis. Sie hätten (1979) eine Driftgeschwindigkeit von nur 15 m s relativ zum Äther nachweisen können. Der Versuch von Trouton und Noble Wenn es nur ein Bezugssystem geben soll—das Äther—, in dem die Gesetze der Elektrodynamik gelten, müssen alle Geschwindigkeiten in dieses Bezugssystem transformiert werden, bevor die Gesetze angewendet werden. Bewegt sich das Laborsystem relativ zum Äther, erzeugt eine in diesem System ruhende Ladung ein Magnetfeld. Ein zweite im Laborsystem ruhende Ladung erfährt dann aufgrund der Bewegung relativ zum Äther in diesem Magnetfeld eine Lorentz-Kraft. Das Ergebnis ist, dass ein Dipol aufgrund dieser Bewegung ein Drehmoment erfährt (s. Abb. 8.3). Das B-Feld der Ladung −q am Ort der Ladung +q ist B=

µ◦ qv sin(θ) 4π r

2

.

233

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Bewegung relativ zum "Äther" v -q

F +q θ

Abbildung 8.3: Prinzip der Trouton-Noble-Versuchs.

r

-F Dies ergibt die Lorentz-Kraft

2 2

F =

µ◦ q v sin(θ ) 4π r

2

und damit das Drehmoment 2 2

2

� � µ◦ q v sin(θ ) cos(θ ) q sin(2θ ) v 2 . M= = . 4π r 8π �◦ r c

Trouton und Noble verwendeten einen auf einem Torsionsfaden aufgehängten Kondensator als Dipol und konnten keine Drehung beim Laden des Kondensators beobachten. Doppler-Effekt Aufgrund des so genannten Mößbauer-Effektes sind die von Kernübergängen in Festkörpern stammenden γ -Linien extrem scharfe. Solche Kerne können als empfindliche Detektoren für Frequenzänderungen, die z.B. durch den Doppler-Effekt entstehen, verwendet werden. Mit Hilfe des Doppler-Effektes ist es aber möglich, die Bewegung einer Welle relativ zu Medium nachzuweisen. Alle Versuche, einen „Ätherwind“ mit Hilfe der Mößbauer- und Doppler-Effekte nachzuweisen, schlugen fehl, obwohl sie eine Driftge−1 schwindigkeit von nur 0,05 m s hätten nachweisen können. Die Grundidee der Speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins (1879-1955) war, die Suche nach dem Äther aufzugeben und daraus die Konsequenzen zu ziehen. Seine Theorie basiert auf zwei Grundpostulaten:

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

234

1. Die Gesetze der Physik nehmen die gleiche Form in allen Inertialsystemen an. 2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat den gleichen Wert in allen Inertialsystemen, unabhängig von der Bewegung der Quelle. Aus dem ersten Postulat folgt, dass es keine Möglichkeit gibt, absolute Geschwindigkeiten zu bestimmen, weil alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind. Das zweite Postulat bedeutet die Aufgabe der Galilei2 Transformation, die durch die Lorentz -Transformation ersetzt wird. Die Spezielle Relativitätstheorie trägt diese Bezeichnung, weil sie auf Inertialsysteme beschränkt ist. Die später entwickelte Allgemeine Relativitätstheorie schließt auch beschleunigte Systeme ein. Sie basiert auf der Erkenntnis, dass die so genannten Scheinkräfte in beschleunigten Systemen physikalisch nicht unterscheidbar von den „echten“ Gravitationskräften sind und deshalb als äquivalent behandelt werden müssen.

8.2 8.2.1

Die relativistischen Transformationsgleichungen Die Lorentz-Transformation

Wir suchen eine lineare Transformation zwischen zwei Inertialsystemen, die die Lichtgeschwindigkeit unverändert lässt. In der Speziellen Relativitätstheorie ist es üblich, die erste Koordinatenachse („x“ oder „x1 “) eines kartesischen Koordinatensystems als Richtung der relativen Bewegung anzunehmen. Diese Achse ist also singulär, und ist deshalb zweckmäßig, die Achsen mit x, y, z anstelle von x1 , x2 , x3 (wie in der Elektrodynamik) zu bezeichnen. � Ein Inertialsystem S bewege sich also mit der konstanten Geschwindigkeit u = (u, 0, 0) relativ zu einem � � � Inertialsystem S (Abb. 8.4). Die x -, y - und z -Achsen seien parallel zu den entsprechenden Achsen des Systems S, und zum Zeitpunkt t = 0 fallen die Ursprünge der beiden Systeme zusammen. Die Transformation für x muss linear sein, damit die Gesetze der Physik in beiden Systemen die gleiche Form annehmen. Ferner kann 2 Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928).

235

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

z' S'

z S

t

t' O' x

Abbildung 8.4: Zwei Inertialsysteme, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v (parallel zur x-Achse) bewegen.

u

O y'

y

x'

nicht von y oder z abhängen, da der Ursprung in der y-z-Ebene willkürlich festgelegt werden kann. Es gilt daher allgemein � x = Ax + Bt + C.

� x

= 0 ist aber x = ut oder x − ut = 0 (Bewegung des Ursprungs Für Transformation die Form � x = γ (x − ut), � x

� O

im System S). Damit hat die (8.1)

wobei die Konstante γ noch zu bestimmen ist. Da beide Systeme gleichwertig sind, muss die gleiche Transfor� � mation mit umgekehrtem Vorzeichen von u auch für die Umrechnung von x , t nach x gelten: �

�

x = γ (x + ut )

(8.2)

(Wir können nicht davon ausgehen, dass die Zeitkoordinaten t und identisch sind) Wir können x aus (8.1) und (8.2) eliminieren und erhalten � � �� � 1 x � t =γ 1− 2 +t u γ � t

(8.3)

236

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK Schließlich dividieren wir (8.2) durch (8.3) � � x /t

+u x = . 2 � � t 1 + (1 − 1/γ )x /ut

(8.4)

Für ein Lichtsignal, das zum Zeitpunkt t = 0 von Ursprung ausgestrahlt wird, gilt nach der beobachteten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit � x x c= = �. t t � � Wir setzen diesen Wert für x/t bzw. x /t in Gleichung (8.4), die auch für einen Lichtstrahl gelten muss, ein und erhalten 2 u 1 = 1 − . (8.5) 2 2 γ c Mit der in der Relativitätstheorie üblichen Abkürzung β = u/c ergeben die Gleichungen (8.3), (8.4) und (8.5) nun die gesuchten Transformationsgleichungen für x und t : � x

� + ut

�

�

= γ (x + ut ), x=� 2 1−β � t

2 � + ux /c

�

�

2

t= � = γ (t + ux /c ), 2 1−β

bzw. für die umgekehrte Transformation

x − ut � x =� = γ (x − ut), 2 1−β

237

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK 2

t − ux/c 2 � = γ (t − ux/c ). t = � 2 1−β

Die Transformationsgleichungen für y und z können wir aus folgenden Überlegungen ableiten: Zum Zeit� punkt t = t = 0 fallen die Ursprünge der beiden Systeme zusammen. Nehmen wir an, es wird ein Lichtsignal zu diesem Zeitpunkt in einer beliebigen Richtung vom Ursprung ausgesendet. Zu einem späteren Zeitpunkt ist � � die Entfernung des Signals vom jeweiligen Ursprung gleich ct in S bzw. ct in S . Die Transformation muss also dafür sorgen, dass die Gleichung 2 2 2 2 2 x +y +z =c t in die Gleichung

�2

�2

�2

2 �2

x +y +z =c t

transformiert. Mit anderen Worten, die Größe 2

2

2

2

2 2

R =x +y +z −c t

ist eine Invariante der Transformation. Mit Hilfe der obigen Transformationsgleichungen für x und t lässt sich 2 2 2 2 2 aber leicht zeigen, dass x − c t eine Invariante ist. Somit gilt, dass auch y + z eine Invariante ist, d.h. 2

�2

2

�2

y +z =y +z . Aufgrund der Symmetrie der Problems müssen wir aber y und z gleich behandeln. Somit folgt notwendiger� � weise y = y und z = z . Zusammenfassend lauten die Gleichungen für die Lorentz-Transformation: �

�

�

�

x = γ (x + ut )

y 2

t = γ (t + ux /c ),

�

=y,

�

z=z,

(8.6)

238

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK bzw. für die umgekehrte Transformation �

x = γ (x − ut),

y

�

= y,

2

�

�

t = γ (t − ux/c ).

z = z,

(8.7)

Für β � 1 (d.h. für Geschwindigkeiten, die viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit c) geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über. Die klassische Mechanik ist ein Grenzfall der relativistischen Mechanik für kleine Geschwindigkeiten. Die Gleichungen für x und t werden manchmal in folgender Form geschrieben �

�

�

x = γ (x + βct );

�

(8.8)

ct = γ (ct + βx ),

woraus man erkennt, dass die Transformationen von x und ct symmetrisch sind. Die oben erwähnte invariante Größe R kann man als die Länge eines vierdimensionalen Vektors („Vierervektor“) R = (x1 , x2 , x3 , x4 )

mit

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z,

x4 = ict.

(8.9)

interpretieren. Bei der „mathematischen“ Behandlung der Relativitätstheorie verwendet man daher häufig diesen vierdimensionalen Raum (s. Abschnitt 10.5). Frage 8.1

8.2.2

2

2

2

Antwort ⇓

� Welche Form hat der Kreis x + y = a in S ?

Transformation der Geschwindigkeit � S

Legt ein Körper im System eine Strecke Geschwindigkeit in diesem Bezugssystem

� �x

entlang der �

v =

� �x � �t

� x -Achse

in der Zeit

� �t

zurück, so beträgt seine

239

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Welche Geschwindigkeit wird nun relativ zum System S beobachtet? Diese Geschwindigkeit ist definitionsgemäß �x v= . (8.10) �t Wenn wir die Ausdrücke für �x und �t aus (8.6) in (8.10) einsetzen, erhalten wir v=

� v

+u

� 1 + uv /c

(8.11)

. 2

Dies ist die Formel für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten. Bewegt sich ein Körper z.B. mit � � der Geschwindigkeit v = 0,5c im System S , das sich wieder mit der Geschwindigkeit u = 0,5c relativ zu S bewegt, so ist die Geschwindigkeit des Körpers relativ zu S nach (8.11) nur 0,8c, und nicht c, wie man von der � klassischen Relativität erwarten würde. Für v = c folgt für jeden beliebige Wert von u, wie vom Experiment bestätigt, v = c. � Gleichung (8.11) gilt nur dann, wenn die Geschwindigkeitsvektoren v und v parallel zur Relativgeschwindigkeit u der beiden Bezugssysteme sind. Für den allgemeinen Fall gilt �x vx = ; �t

� vx

=

� �x

�t

; �

�y vy = ; �t

� vy

=

� �y

�t

�z vz = ; �t

; �

� vz

=

� �z

�z

. �

Wenn wir �x, �y, �z und �t mit Hilfe der Lorentz-Transformation umrechnen, erhalten wir vx =

� vx

+u

� 1 + uvx /c

, v = y 2

� vy � 2 γ (1 + uvx /c )

, vz =

� vz

� 2 γ (1 + uvx /c )

.

(8.12)

Für die Umkehrtransformation brauchen wir lediglich das Vorzeichen von u zu ändern: � vx

=

vx − u

1 − uvx /c

, 2

� vy

=

vy 2

γ (1 − uvx /c )

,

� vz

=

vz

2

γ (1 − uvx /c )

.

(8.13)

240

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK Frage 8.2 Ein Raumschiff A bewegt sich von der Erde weg mit der konstanten Geschwindigkeit 0,9 c

relativ zur Erde, und wird von einem zweiten Raumschiff (B) überholt, das auf dem gleichen Kurs fliegt. Die Geschwindigkeit von B relativ zu A beträgt ebenfalls 0,9 c. Wie ist die Geschwindigkeit von B relativ zur Erde?

8.2.3

Antwort ⇓

Transformation der Beschleunigung

Da die Transformationsgleichungen für die Geschwindigkeit nichtlinear sind, müssen wir zur Bestimmung der Beschleunigungen die Differentialrechnung verwenden. Aus (8.12) folgt dvx =

γ

2

� dvx

� 2 2 (1 + uvx /c )

und

dvy,z =

und aus der Lorentz-Transformation (8.6) für die Zeit dt =

� dvy,z � 2 γ (1 + uvx /c )

−

� 2 � (uvy,z /c )dvx , � 2 2 γ (1 + uvx /c )

� 2 � γ (1 + uvx /c )dt .

Wenn wir die Gleichungen für dvx , dvy , dvz jeweils durch die Gleichung für dt dividieren, erhalten wir die Transformationsgleichungen für die Beschleunigungen (bx = dvx /dt usw.): bx =

� bx

; 3 � 2 3 γ (1 + uvx /c )

by,z =

� by,z

� � 2 � − bx uvy,z /(c − uvx ) . 2 � 2 2 γ (1 + uvx /c )

(8.14)

Auf die Umkehrtransformation können wir verzichten: Sie wissen schon, wie sie abgeleitet wird!

8.2.4

Die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit 2 −1/2

Die Lorentz-Transformation und davon abgeleitete Gleichungen enthalten den Faktor γ = (1 − β ) und haben daher keine reelle Lösung für β > 1, d.h. |u| > c. Die Lichtgeschwindigkeit c scheint also eine Grenze

241

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

zu sein, die nicht überschritten werden kann. Auch die Formeln für die Addition der Geschwindigkeit (8.12) führen immer zu einem Ergebnis, das ≤ c ist. Aus der Elektrodynamik folgt also, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht nur in allen Inertialsystemen den gleich Wert hat, sondern auch die maximal mögliche Geschwindigkeit in jedem System darstellt. Dies steht in Widerspruch zur Newtonschen Dynamik: Wirkt eine konstante Kraft F auf eine Masse m, ist die Beschleunigung b = F /m konstant, und die Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu. Offenbar ist die Newtonsche Dynamik, wie die Galilei-Transformation, nur eine Näherung, die für kleine Geschwindigkeiten gilt. Die Einsteinsche (relativistische) Dynamik werden wir im nächsten Kapitel behandeln.

8.2.5

Grafische Darstellung: Minkowski-Diagramme 3 Minkowski .

Die Idee des vierdimensionalen Raums (8.9) stammt von Es ist oft hilfreich, wenn man einfache lineare Bewegungen auf der x-Achse, d.h. in Richtung der relativen Bewegung, betrachtet, die Vorgänge in einem ct-x-Diagramm, d.h. einem Minkowski-Diagramm darzustellen. Abb. 8.5 zeigt z.B. ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit ct als vertikaler Achse. In diesem Koordinatensystem stellt ein Punkt ein Ereignis dar, das durch das Koordinatenpaar (x, ct) charakterisiert ist. Eine Kette von Ereignissen, z.B. die Bewegung eines Objektes, wird als Linie, die so genannte Weltlinie des Objektes, dargestellt. Die Weltlinie eines Lichtstrahls (x = ±ct) ist z.B. eine Gerade mit der Steigung ±1. Die Weltlinien zweier Lichtstrahlen, die sich in +x- bzw. −x-Richtung bewegen und zum Zeitpunkt t = 0 den Ursprung passieren, sind in Abb. 8.5 eingetragen. Alle Weltlinien, z.B. die Linie x = vt in Abb. 8.5, haben eine Steigung ≥ 1, weil die Geschwindigkeit maximal c sein kann. Bezeichnen wir das Bezugssystem, das durch die rechtwinkligen Koordinatenachsen in Abb. 8.5 dargestellt � � � wird, mit S. Wir suchen nun die Koordinatenachse für das System S , d.h. die Achse ct und x . Auf der � � � ct -Achse gilt x = 0, d.h. diese Achse ist die Weltlinie des Ursprungs des Bezugssystems S . Aus der Lorentz� Transformation (8.7) folgt für x = 0 x = ut = βct 3 Hermann Minkowski (1864–1909).

242

ct

t

x=

-c

x=

x=

ct

vt

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Abbildung 8.5: Minkowski-Diagramm mit rechtwinkligen Koordinatenachsen. Die ◦ 45 -Geraden sind die Weltlinien von zwei Lichtstrahlen, die zum Zeitpunkt t = 0 den Ursprung passieren und in entgegengesetzten Richtungen laufen.

x

Die

� ct -Achse

ist also geneigt: Der Winkel α zwischen ct und � � Für die x -Achse gilt t = 0 und damit aus (8.7) t = ux/c � x -Achse

2

⇒

� ct

ist arctan(u/c) = arctan β.

ct = βx. � ct -Achse

macht einen Winkel α mit der x-Achse und ist damit symmetrisch zur angeordnet. Die � � ◦ Abb. 8.6 zeigt die Lagen der ct - und x -Achse im rechtwinkligen Koordinatensystem S (schwarz). Die 45 Geraden stellen die Lichtweltlinien in beiden Systemen dar. Um die Koordinaten eines Ereignisses (E in Abb. 8.6) in beiden Systemen zu bestimmen, projiziert man den Punkt E auf die betreffende Achse jeweils parallel zur anderen Achse. Die Zuordnungen sind also A → ct, B � � → x, C → ct , D → x . Um die Koordinaten ablesen zu können, benötigen wir aber noch die entsprechenden � Maßstäbe, die für S und S unterschiedlich sind. Dazu benutzen wir die Tatsache (s. Abschnitt 8.2.1), dass die 2 2 2 Größe F = x − c t gegenüber der Lorentz-Transformation invariant ist. Abb. 8.7 zeigt die Kurven F = ±1. Die Gleichung F = 1 stellt ein Paar von Hyperbeln dar, die die x-Achse bei x = 1 (D) bzw. x = −1 (B)

243

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

ct

ct'

A

E

C

tan(α)=u/c

x'

α α

D B

x

Abbildung 8.6: Darstellung der � Koordinatenachsen der Bezugssysteme S und S . Die Koordinaten eines Ereignisses E werden bei � A und B (System S) bzw. C und D (System S ) abgelesen.

schneiden, während die Gleichung F = −1 zwei Hyperbeln entspricht, die die ct-Achse bei ct = 1 (A) bzw. ct = −1 (C) schneiden. Die Lichtweltlinien bilden die Asymptoten der Hyperbeln. � � Da F aber invariant ist, müssen die Schnittpunkte mit den ct - und x -Achsen ebenfalls den Wert ±1 � � � ergeben. Die Punkte A Und C in Abb. 8.7 markieren daher die Werte +1 bzw. −1 auf der ct -Achse, und � � � die Punkte D und B die entsprechenden Werte auf der x -Achse. Damit haben wir die Achsen geeicht. Die Markierungen für 0, 1, 2, usw. sind natürlich in gleich bleibenden Abständen. Frage 8.3

� Berechnen Sie das Verhältnis der beiden Skalen, d.h. OA /OA in Abb. 8.7

Antwort ⇓

244

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK ct

F = -1 F = +1

ct' A'

A

x' D'

B O

B'

C'

D

x

F = +1

C

Abbildung 8.7: Zur Eichung der ct- und x-Achsen. Die Schnittpunkte der Kurven 2 2 2 F = x − c t mit den Achsen ergeben jeweils den Wert ±1.

F = -1

8.3 8.3.1

Anwendungen der Transformationsgleichungen Die Zeitdilatation

Eine besondere Konsequenz der Lorentz-Transformation ist die Relativität der Zeitmessung. Betrachten wir � � � � � � zwei Ereignisse, die zu den Zeitpunkten t = t1 bzw. t = t2 an zwei verschiedenen Punkten (x1 bzw. x2 ) � � � � � � auf der x -Achse des Systems S stattfinden. Ihr zeitlicher Abstand beträgt im System S �t = t2 − t1 . Ein Beobachter im System S misst jedoch nach (8.6) den Zeitunterschied � � � � 2 �t = γ �t + u�x /c . (8.15)

245

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK verschieden und hängt außerdem vom räumlichen Abstand Im allgemeinen ist �t von � � Ereignisse ab. Für zwei Ereignisse, die im System S gleichzeitig stattfinden (�t = 0), gilt � �t

� �x

der beiden

2

�

�t = γ u�x /c . Sie werden also im System S nicht gleichzeitig beobachtet, es sei denn, sie befinden sich am gleichen Ort � (�x = 0). � Für zwei Ereignisse am gleichen Ort in S gilt allgemein �

�t = γ �t .

(8.16)

Im System S (d.h. in dem System, in dem die Ereignisse nicht am gleichen Ort stattfinden) ist der beobachtete � Zeitabstand der Ereignisse größer als für einen Beobachter, der sich mit dem System S bewegt. Z.B. scheint eine Uhr, die sich relativ zum Beobachter bewegt, langsamer zu laufen, als eine identische Uhr, die sich relativ zum Beobachter in Ruhe befindet. Dieses Phänomen wird als Zeitdilatation bezeichnet. Eine eindrucksvolle Bestätigung der Zeitdilatation liefert der Zerfall von Elementarteilchen, die sich mit hoher Geschwindigkeit bewegen. In einer Höhe von rd. 30 km entstehen in der Erdatmosphäre unter dem Ein−6 fluss der kosmischen Strahlung µ-Mesonen, die eine mittlere Lebensdauer von 2,15·10 s haben. Die Teilchen haben zwar eine sehr hohe Geschwindigkeit, aber auch bei Lichtgeschwindigkeit würden sie in dieser Zeit im Mittel eine Strecke von nur rd. 600 m bis zum Zerfall zurücklegen. Trotzdem werden sie an der Erdoberfläche beobachtet. Diese Tatsache lässt sich sehr einfach durch die Zeitdilatation erklären: � Es sei S ein System, in dem das µ-Meson ruht. Die beiden „Ereignisse am gleichen Ort“ sind die Entstehung −6 � und der Zerfall des Elementarteilchens mit �t = 2,15 · 10 s. Die Teilchen haben eine Geschwindigkeit von rd. 99,98% der Lichtgeschwindigkeit (β = 0,9998). Nach Gleichung (8.16) beträgt der zeitliche Abstand � dieser Ereignisse für einen Beobachter auf der Erdoberfläche �t /0,02. Dies ergibt eine Lebensdauer von ca. −4 4 · 10 s. In dieser Zeit können die Teilchen eine Strecke von rd. 120 km zurücklegen. Frage 8.4 Bei welcher Geschwindigkeit beträgt die Zeitdilatation 1%?

Antwort ⇓

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

246

Es sei darauf hingewiesen, dass die Zeitdilatation symmetrisch ist: Für jeden der beiden Beobachter ist der andere der bewegte. Jeder stellt fest, dass seine (die ruhende) Uhr schneller läuft als die andere (die bewegte) Uhr. Abb. 8.8 verdeutlicht die Zeitdilatation in einer graphischen Darstellung (Minkowski-Diagramm). Die Punkte 0, 1, 2, 3.. . . auf der ct-Achse stellen Ereignisse mit konstantem zeitlichen Abstand (c�t = 1) am gleichen Ort im System S dar. Man kann sie interpretieren als die Schwingungen eines Oszillators, der am Ursprung des Systems S ruht und als Zeitmessgerät (Uhr) verwendet wird. Die markierten Punkte 0, 1, 2, 3,. . . auf � � der ct -Achse stellen die Perioden einer identischen Uhr dar, die am Ursprung des Systems S ruht. Die Verbindung zwischen den beiden Maßstäben ergibt sich aus der oben beschriebenen Konstruktion mit der Kurve 2 2 2 x − c t = −1.

ct'

ct

3 3 2

2

1

0

1

Abbildung 8.8: Die Zeitdilatation im Minkowski-Diagramm. Die Punkte mit den Bezeichnungen 0, 1, 2, . . . stellen das „Ticken“ � einer im System S bzw. im System S ruhenden Uhr dar. Die Pfeile zeigen die Transformation der Zeitintervalle in das jeweils andere System, in dem sich die Uhr bewegt.

F = -1

x' x

Wir können uns die Situation plastisch so vorstellen: Die durch die nummerierten Punkte dargestellten

247

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Ereignisse sind das „Ticken“ der beiden Uhren. Um die Uhren miteinander vergleichen zu können, müssen die Ereignisse auf die Zeitachse des jeweils anderen Systems projiziert werden. Die Projektion auf die ct-Achse � � erfolgt parallel zur x-Achse, die Projektion auf die ct -Achse parallel zur x -Achse. Das Ergebnis ist in Abb. 8.8 dargestellt. Man erkennt, dass in beiden Systemen der Abstand zwischen den projizieren Punkten größer als die Periode der „eigenen“ Uhr ist. Jeder der beiden Beobachter stellt also fest, dass „seine“ Uhr schneller läuft als die bewegte Uhr.

8.3.2

Die Längenkontraktion

� � Betrachten wir einen Maßstab, der im System S entlang der x -Achse liegt und sich mit diesem System bewegt. � � � Die Koordinaten der beiden Enden seien x1 bzw. x2 . Ein Beobachter im System S misst die Länge des Stabes � � � als �x = x2 − x1 . Dagegen sieht ein Beobachter, der im System S ruht, einen bewegten Stab und misst nach

Gleichung (8.6) die Länge

�

�

�x = γ (�x + u�t ).

(8.17)

Bei einem bewegten Stab muss der Beobachter jedoch (mit Hilfe von geeigneten Uhren) dafür sorgen, dass die Koordinaten beider Enden zum gleichen Zeitpunkt (in seinem System, also �t = 0) gemessen werden. Aus (8.6) erhalten wir � � � � 2 �t = γ �t + u�x /c = 0. (8.18)

Die gesuchte Beziehung zwischen �x

� und �x

� ergibt sich dann, wenn wir �t �

�x = �x /γ .

aus (8.17) und (8.18) eliminieren (8.19)

Da γ > 1 ist, erscheint ein Maßstab kürzer zu sein, wenn er sich relativ zum Beobachter bewegt. Dieses Phänomen wird als Längenkontraktion bezeichnet. Die Phänomene Zeitdilatation und Längenkontraktion sind komplementär. Betrachten wir wieder das Problem der µ-Mesonen, diesmal aber vom Standpunkt des Teilchens aus, so findet keine Dilatation der Lebenszeit

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

248

statt. Das Teilchen „sieht“ aber die Erde mit hoher Geschwindigkeit auf sich zukommen, und die zurückzulegende Strecke wird genau um den Faktor 1/γ verkürzt. Die Längenkontraktion ist, wie die Zeitdilatation, symmetrisch: Jeder Beobachter stellt fest, dass der bewegte Maßstab kürzer ist als der ruhende. Abb. 8.9 zeigt die grafische Darstellung der Längenkontraktion in einem Minkowski-Diagramm. OA stellt ein Metermaß dar, das im System S ruht, und OB einen identischen � Maßstab, der im System S ruht. Die Punkte A und B sind die Schnittpunkte des positiven Zweiges der Kurve 2 2 2 � x − c t = 1 mit der x- bzw. x -Achse.

ct

ct' F=1

x' B'

O

A'

B

A

Abbildung 8.9: Graphisch Darstellung der Längenkontraktion. OA ist ein Metermaß, das in � S ruht, OB ein Metermaß, das in S ruht. Die Längen der bewegten Stäbe sind OB’ und OA’. Sie sind in beiden Fällen kleiner als die Länge des im jeweiligen System ruhenden Stabs.

x

Die ct-Achse und eine dazu parallele Linie durch A sind die Weltlinien der beiden Enden des Stabs, der in � � S ruht. Die Schnittpunkte dieser Weltlinien mit der x -Achse sind die Punkte O und B ; diese Punkte markieren � � � � die Positionen der beiden Enden für t = 0, d.h. gleichzeitig in S . Die Länge des Stabs in S ist also OB und damit kleiner also die des ruhenden Stabs OB. Umgekehrt erkennt man durch Verfolgen der Weltlinien der � � beiden Enden des Stabs, der in S ruht, dass dessen Länge in S (OA ) kleiner als die des in S ruhenden Stabs OA ist.

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

8.3.3

249

Das Problem der zeitlichen Reihenfolge: Kausalität

Gleichung (8.15) zeigt, dass das Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen A, B in zwei verschiedenen Systemen unterschiedliche Vorzeichen haben kann. Dies bedeutet, dass zwei Beobachter unterschiedliche Wahrnehmungen der zeitlichen Reihenfolge der Ereignisse haben können: Für den einen findet A vor B statt, für den anderen ist es umgekehrt. Diese Umkehrbarkeit der zeitlichen Reihenfolge könnte zu einem Problem werden, wenn zwischen A und B ein ursächlicher Zusammenhang besteht. Beispiele für solche Zusammenhänge sind: A: Ein Atom strahlt ein Photon aus. B: Das Photon wird von einem anderen Atom an einem anderen Ort absorbiert. A: Eine Nachricht wird gesendet. B: Die Antwort wird empfangen. Wir wollen daher genau untersuchen, unter welchen Bedingungen eine Umkehrung der zeitlichen Reihenfolge stattfinden kann, und wie dies mit der Kausalität zusammenhängt. In Abb. 8.10 vergleichen wir vier Ereignisse (A, B, C, D) mit einem Ereignis O, das am Ursprung beider � Systeme zum Zeitpunkt t = t = 0 stattfindet. Um die Beschreibung zu erleichtern, teilen wir alle Richtungen von O aus in 8 gleiche Abschnitte, die beginnend mit der x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn nummeriert ◦ ◦ werden: ➀ = 0–45 , ➁ = 45–90 , usw. Im System S haben sowohl A als auch B eine positive ct-Koordinate und eine positive x-Koordinate, d.h. � � sie erfolgen nach O und liegen rechts vom Ursprung. Im System S liegt A jedoch unterhalb der ct -Achse � und hat daher eine negative Zeitkoordinate. Die Reihenfolge der Ereignisse im System S ist deshalb AO. B erfolgt immer noch nach O, und sowohl A also auch B sind noch rechts von O. Bei einer schnelleren relativen � Bewegung der beiden Systeme könnte sich auch die Reihenfolge OB umkehren, wenn nämlich die ct -Achse an B vorbeischwenkt. B bleibt aber immer rechts von O. Dies gilt für alle Ereignisse im Sektor ➀. Diese Aussage � kann man auch auf den Sektor ➇ übertragen, wenn man ein System S betrachtet, das sich relativ zu S nach links bewegt. Gleichzeitig erkennt man sofort, dass Ereignisse in den Sektoren ➃ und ➄ vor oder nach O sein können aber immer links vom Ursprung sind. Auf der gleichen Weise erkennt man, dass alle Ereignisse in den Sektoren ➁ und ➂ (wie z.B. C und D) rechts oder links vom Ursprung sein können, aber immer nach O sind. Schließlich gilt für die Sektoren ➅ und ➆, dass

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

ct

250

ct'

3

2

D 4

C

B A

1

x' x

O

Abbildung 8.10: Die Reihenfolge der Ereignisse in verschiedenen Bezugssystemen.

8

5

6

7

alle Ereignisse dort in allen Bezugssystemen vor O sind. Zusammenfassend können wir den Koordinatenraum in vier durch die Lichtweltlinien begrenzte Quadranten teilen (s. Abb. 8.11): • ➇ + ➀ („absolutes Rechts“): Alle Ereignisse in diesem Sektor können vor oder nach O sein, sie sind aber immer rechts von O. • ➁ + ➂ („absolute Zukunft“): Alle Ereignisse in diesem Sektor können links oder rechts von O sein, sie sind aber immer nach O. • ➃ + ➄ („absolutes Links“): Alle Ereignisse in diesem Sektor können vor oder nach O sein, sie sind aber immer links von O. • ➅ + ➆ („absolute Vergangenheit“): Alle Ereignisse in diesem Sektor können links oder rechts von O sein, sie sind aber immer vor O.

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

251

ct Zukunft

links

O

rechts

x

Abbildung 8.11: Bereiche, in denen eine Änderung der räumlichen bzw. zeitlichen Reihenfolge nicht möglich ist. Alle Ereignisse im unteren/oberen Quadranten sind in allen Systemen vor/nach O. Alle Ereignisse im linken/rechten Quadranten sind in allen Systems links/rechts von O.

Vergangenheit

Das Problem mit der Kausalität lässt sich nun lösen, wenn wir davon ausgehen, dass jede Wirkung mit höchstens Lichtgeschwindigkeit übertragen wird. Unter dieser Bedingung können nur diejenigen Ereignisse, die innerhalb des unteren Quadranten (Abb. 8.11) liegen, Ursachen des Ereignisses O sein, und nur die Ereignisse, die sich im oberen Quadranten befinden, können O als Ursache haben. Das sind aber gerade die Bereiche, in denen eine Zeitumkehr nicht möglich ist. Es ist also nicht möglich, die zeitliche Reihenfolge von zwei Ereignissen durch die Lorentz-Transformation umzukehren, wenn es sich um Ursache und Wirkung handelt. Umgekehrt muss man aus den obigen Überlegungen schließen, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht nur für elektromagnetische Wellen und für Materie eine Grenze darstellt, sondern für jede Art der Übertragung (Energie, Kraft, Impuls, Information). Jede Möglichkeit, eine Wirkung oder eine Information mit einer größeren Geschwindigkeit als c zu übertragen, würde zu einem Konflikt mit der Kausalität führen.

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

8.3.4

252

Das Zwillingsparadoxon

Die berühmte Geschichte der relativistischen Zwillinge verdeutlicht eine der verblüffendsten Konsequenzen der Speziellen Relativitätstheorie. Alfred macht eine lange Reise in einem schnellen Raumschiff, während seine Zwillingsschwester Bertha zu Hause bleibt. Er nimmt eine Uhr mit und lässt eine physikalisch identische Uhr bei seiner Schwester. Als er zurückkehrt, stellt er fest, dass die zuhausegebliebene Uhr viel weiter gelaufen ist als seine Uhr. Nicht nur das: Weil sich die biologischen Prozesse nach der im jeweiligen System ablaufende Zeit richten, ist seine Zwillingsschwester entsprechend älter geworden. Die Zwillinge sind nicht mehr gleichaltrig! Um eine quantitative Aussage zu bekommen, nehmen wir an, dass Alfred mit der Geschwindigkeit u zu einem Stern fliegt, der sich in einer Entfernung l von der Erde befindet, dort sofort umdreht und mit der gleichen Geschwindigkeit zurückfliegt. Unter der Annahme, dass die Beschleunigungszeit bei der Umkehr sehr klein im Vergleich mit der Gesamtzeit ist, misst Bertha mit ihrer Uhr die Zeit tB = 2l/u. In Berthas Bezugssystem läuft Alfreds Uhr aber um den Faktor γ langsamer: Auf seiner Uhr ist nur die Zeit tA = 2l/γ u abgelaufen. Das Verhältnis ist (8.20) tB /tA = γ . Frage 8.5 Ein Zahlenbeispiel: Alfred fliegt mit 99% der Lichtgeschwindigkeit zu einem 28 Lichtjahre

entfernten Stern und zurück. Die Zwillinge sind bei der Abfahrt 20 Jahre alt. Wie alt sind sie, wenn Alfred zurückkommt?

Im Abschnitt 8.3.1 haben wir aber gesehen, dass die Zeitdilatation symmetrisch ist. Woher kommt die Asymmetrie also in diesem Fall? Wenn wir die Sache von Alfreds Standpunkt aus betrachten, stellen wir fest, dass sich Bertha mit der Geschwindigkeit u entfernt hat und wieder zurückgekommen ist. Es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Alfred hat (am Umkehrpunkt) eine Beschleunigung erfahren, Bertha aber nicht. Das Bezugssystem, in dem Alfred ruht, ist deshalb kein Inertialsystem, und wir können A und B nicht einfach vertauschen und das gleiche Argument mit dem umgekehrten Ergebnis anwenden. Um den Vorgang in Alfreds Bezugssystem behandeln zu können, benötigen wir die Allgemeine Relativitätstheorie: Während der Umkehrphase „sieht“ Alfred ein Gravitationsfeld, in dem Berthas Uhr „oben“ und seine Uhr „unten“ ist. Es ist ein Ergebnis der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass eine Uhr um so langsamer läuft, je niedriger das Gravitationspotential. Dies äußert sich z.B. dadurch, das die Spektra von sehr schweren

Antwort ⇓

253

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Sternen zu niedrigeren Frequenzen verschoben sind (Gravitationsrotverschiebung). In Alfreds Bezugssystem läuft Berthas Uhr schneller während der Beschleunigungsphase am Umkehrpunkt. Der Zwillingseffekt ist inzwischen längst experimentell bestätigt worden. Beim „Maryland-Experiment“ wurde 1976 eine Atomuhr in einem Flugzeug mitgenommen und nach einem fünfzehnstündigen Flug mit einer nicht mitgeführten Uhr verglichen. Da das Flugzeug in einer Höhe von etwa 10 km flog, musste der oben erwähnte Gravitationseffekt berücksichtigt werden. Bei, Satelliten-Navigationssystem GPS (Global Positioning System), das auf sehr genauen Laufzeitmessungen beruht, müssen die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Eine faszinierende Konsequenz dieses Effektes ist die Möglichkeit, dass ein Raumfahrer prinzipiell sehr große Entfernungen in einer endlichen Zeit zurücklegen kann, auch wenn seine Geschwindigkeit c nicht überschreiten kann. Die Entfernung vom Sonnensystem zum nächsten Stern ist 4,5 Lj. Unsere Galaxie misst ca. 5 10 Lj im Durchmesser. Selbst mit Lichtgeschwindigkeit würde eine Reise durch die Galaxie länger dauern als die bisherige Geschichte der Menschheit. Bei einer genügend hohen Geschwindigkeit kann aber die Eigenzeit des Reisenden erheblich verkürzt werden. Die Entfernung l von der Erde, die er mit Rückkehr in einer Gesamtreisezeit T zurücklegen könnte, ist, wenn man T in Jahren und l in Lichtjahren misst βT

; l= � 2 2 1−β

u β= , c

wo u die Reisegeschwindigkeit ist. Tabelle 8.1 zeigt einige Entfernungen für eine angenommene Reisezeit von 10 Jahren. Tabelle 8.1: Entfernungen von der Erde l in Lichtjahren, die bei einer Gesamtreisezeit von 10 Jahren mit Rückkehr zur Erde erreicht werden können, in Abhängigkeit von β = u/c (u =Reisegeschwindigkeit).

β l [Lj]

0,5 2,9

0,9 10,3

0,99 35,1

0,999 111,7

9,9999 353,5

0,99999 1118,0

254

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Mit einer Geschwindigkeit von 0,99999 c könnte sich der Raumfahrer bis über 1000 Lj von der Erde entfernen. Allerdings wären bei seiner Rückkehr über 2000 Jahre auf der Erde vergangen. Wenn Sie eine Reise von 5 Lichtstunden mit verschiedenen Geschwindigkeiten ausprobieren wollen, gehen Sie zu der Adresse: http://www.walter-fendt.de/ph14d/zeitdilatation.htm (Applet von Walter Fendt).

8.3.5

Optik bewegter Körper

Die Aberration Die Transformationsgleichungen (8.12) sorgen natürlich dafür, dass die Geschwindigkeit eines Lichtstrahls in beiden Systemen gleich ist. Die Richtung des Lichtstrahls kann sich aber ändern. Dazu betrachten wir ein einfaches Beispiel: Ein Beobachter am Ursprung des Systems S sieht einen Lichtstrahl (z.B. von einem Stern), der genau parallel zur y-Achse einfällt. Für diesen Strahl gilt vx = 0;

vy = −c;

vz = 0.

� S,

Im System das sich rechtwinklig zur Einfallsrichtung bewegt, folgt aus (8.13) für die Geschwindigkeitskomponenten des Lichtstrahls � vx

= −u;

� vy

= −c/γ ;

In diesem System macht die Strahlrichtung einen Winkel α zur tan(α) =

� vz

� � vx /vy

= 0.

� y -Achse

= βγ .

mit

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

255

Dieser Effekt—die so genannte Aberration des Lichtes—ist ein rein relativistisches Phänomen, das nicht im Rahmen einer Äthertheorie zu erklären ist. Aufgrund der Bewegung der Erde um die Sonne, oszilliert die scheinbare Position eines Sterns im jährlichen Rhythmus. Der Effekt ist sehr klein, aber nachweisbar. Frage 8.6 Wie groß ist die Aberration aufgrund der Bewegung der Erde auf ihrer Umlaufbahn? Der Radius der Umlaufbahn ist ungefähr 1,5·10

11

Antwort ⇓

m.

Der relativistische Doppler-Effekt Die Phase einer ebenen Welle mit Frequenz ω und Wellenvektor k ist φ = ωt − k.r Mit c = ω/k und k = kn (n =Einheitsvektor in Richtung von k) folgt � � 1 φ = ω t − (nx x + ny y + nz z) . c Um die Phase im System

� S

zu bekommen, wenden wir die Lorentz-Transformation (8.6) an: � � � � 1� � � � � � � 2 � � � � φ = ω γ t + ux /c − . γ x + ut nx + ny y + nz z c

Nach Umformen erhalten wir � � � � � � � � 1 � � � � � φ = ω γ 1 − unx /c t − . γ nx − u/c x + ny y + nz z c Es gilt aber definitionsgemäß

� � 1 � � � � � � � � � φ = ω t − (nx x + ny y + nz z ) , c

(8.21)

(8.22)

256

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK � � � � ω , nx , ny , nz

die entsprechenden Wellenparameter im System wo (8.22) erhalten wir die Transformationsgleichungen

� S

sind. Durch Vergleich von (8.21) und

n n − u/c y,z � � x � ω = ωγ (1 − unx /c), nx = , ny,z = . 1 − unx /c γ (1 − unx /c)

(8.23)

Die Gleichungen (8.23) zeigen, dass die Transformation im allgemeinen die Frequenz, die Wellenlänge und die Richtung der Welle ändert. Die Richtungsänderung haben wir für einen Spezialfall im letzten Abschnitt behandelt. Die Änderungen in Frequenz und Wellenlänge ergeben den relativistischen Doppler-Effekt. Betrachten wir dazu zwei Spezialfälle: Spezialfall 1: Die relative Geschwindigkeit u der beiden Bezugssysteme sei parallel zur Ausbreitungsrichtung k, d.h. nx = ±1, ny = nz = 0. Aus der ersten der Gleichungen (8.23) erhalten wir dann � c ∓ u � . (8.24) ω =ω c±u

Dies ist die relativistische Gleichung für den so genannten longitudinalen Doppler-Effekt, d.h. für den Fall, dass Beobachter und Quelle direkt aufeinander zulaufen (Pluszeichen) bzw. sich radial voneinander entfernen (Minuszeichen). Für kleine Geschwindigkeiten (u � c) erhalten wir die klassische Formel als Näherung � � u � ω ≈ω 1∓ . c Spezialfall 2: Wenn sich der Beobachter senkrecht zum Wellenvektor bewegt gilt nx = 0 und damit aus (8.23) � ω = γ ω. (8.25) Für kleine Geschwindigkeiten gilt in diesem Fall �

�

ω ≈ω 1+

2

u

2c

2

�

.

257

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

Dieser so genannte transversale Doppler-Effekt ist also ein Effekt zweiter Ordnung, der rein relativistisch ist und keine Entsprechung in der klassischen Physik hat. Lichtgeschwindigkeit in einem Medium Die Lichtgeschwindigkeit in einem (ruhenden) Medium mit dem Brechungsindex n ist c/n. Welche Geschwin� digkeit hat das Licht, wenn sich das Medium relativ zum Beobachter bewegt? Es sei S das System, in dem das Medium ruht. Der Lichtstrahl bewege sich parallel zur x-Achse, d.h. die Geschwindigkeitskomponenten � � � des Lichtstrahls sind vx = c/n, vy = vz = 0. Aus den Gleichungen für die Transformation der Geschwindigkeit (8.12) folgt für die Geschwindigkeit des Lichtstrahls im System S, in dem sich das Medium mit der Geschwindigkeit u bewegt c/n + u . vx = 1 + u/nc Die Geschwindigkeit in S variiert von c/n (bei u = 0) bis c (für u → c). Für u � c gilt � � 1 c vx ≈ + u 1 − 2 , n n

2

während die Galilei-Transformation vx = c/n + u ergibt. Der Faktor (1 − 1/n ) < 1 ist also ein relativistischer Effekt, der aber schon 1851 von Fizeau experimentell nachgewiesen wurde. Fizeau untersuchte die Interferenz zwischen zwei kohärenten Lichtstrahlen, die in entgegengesetzten Richtungen durch eine strömende Flüssigkeit geschickt wurden.

258

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK

8.4

Antworten zu den Fragen

Frage 8.1

2

2

2

Wenden wir die Transformation (8.6) auf die Gleichung x + y = a anwenden, erhalten wir 2

� 2

�

γ (x + ut ) + y

Definieren wir die Koordinaten X = + lässt sich die Gleichung wie folgt schreiben:

� ut ,

� x

Y = X

� y

2 2

(a/γ )

+

�2

2

=a .

relativ zum (in Y a

2 2

� S

bewegten) Mittelpunkt des Kreises,

= 1.

Dies ist die Gleichung für eine Ellipse mit den Halbachsen a/γ und a. Die Wirkung der Bewegung besteht also darin, den Kreis in Bewegungsrichtung etwas zusammenzudrücken. Dies ist ein Beispiel für die so genannte Zurück ⇑ Längenkontraktion, die später ausführlich behandelt wird. Frage 8.2

Gleichung (8.11) ergibt mit

� v

= u = 0,9c v = 0,9945c.

Zurück ⇑

Frage 8.3 Dieses Problem löst sich am einfachsten mit den Gleichungen (8.8), die sich direkt auf die Ko� � ordinaten des Minkowski-Diagramms beziehen. Für den Punkt A’ gilt ct = 1 und x = 0 und damit aus (8.8) x = γβ und ct = γ . Das Verhältnis der Skalen ist damit

�

OA = OA

� 2 2 2 γ β +γ 1

� � 2 �1 + β � . = 2 1−β

Zurück ⇑

259

KAPITEL 8. DIE RELATIVISTISCHE KINETIK Frage 8.4

2 −1/2

Die Umkehrung der Gleichung γ = (1 − β )

ist

� −2 β = 1−γ .

Zurück ⇑

Mit γ =1,01 ist β =0,14. Die benötigte Geschwindigkeit ist also 0,14c.

Frage 8.5 Für Bertha braucht Alfred mit (fast) Lichtgeschwindigkeit 56 Jahre. Alfreds Zeit ist aber um den Zurück ⇑ Faktor γ = 7 kleiner, also nur 8 Jahre. Er ist also 28, seine Schwester 76! 4

−1

Frage 8.6 Die Geschwindigkeit der Erde (Umfang durch Umlaufzeit) ist rd. 3 · 10 m s . Es ist also β ≈ −4 −4 βγ ≈ 10 . Der Winkel zwischen zwei Extremen im Abstand von 6 Monaten ist daher 2 · 10 rad oder 0,66’.

Zurück ⇑

Kapitel 9

Die relativistische Dynamik

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

261

Zwei wichtige Grundsätze der klassischen Physik sind die Impuls- und Energieerhaltung. Bei der Formulierung der relativistischen Dynamik ging Einstein davon aus, dass diese Erhaltungssätze auch relativistisch gelten sollen. Er erreichte dies, indem er bei der klassischen Definition des Impulses p = mv blieb, die Masse m aber als geschwindigkeitsabhängig betrachtete. Im nachfolgenden Abschnitt wird gezeigt, wie die Masse von der Geschwindigkeit abhängen muss, um diese Bedingungen zu erfüllen. Der Vollständigkeit halber sei aber darauf hingewiesen, dass es auch andere Definitionsmöglichkeiten gibt. Hochenergiephysiker verwenden häufig einen Parameter θ , der als Rapidität bezeichnet und durch θ = tanh(β) definiert wird. Die Rapidität ist gegenüber der Lorentz-Transformation additiv, wie die Geschwindigkeit in der Galilei-Transformation. Wenn man den Impuls über die Rapidität definiert, kann die Masse als konstant betrachtet werden.

9.1

Die relativistische Masse

Die Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit lässt sich z.B. durch Anwendung der Impulserhaltung auf einen elastischen Zusammenstoß zwischen zwei Teilchen gleicher Masse ableiten. Zwei Teilchen 1 und 2 mit der gleichen Masse und der gleichen Geschwindigkeit in einem Bezugssystem �� S (Abb. 9.1) erfahren einen elastischen Zusammenstoß. Aus Gründen der Symmetrie sind die Beträge der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß gleich, und die Bahnen sind spiegelsymmetrisch. Wir wählen die Symmetrieachsen in der Bewegungsebene als die x- und z-Achsen unseres Koordinatensystems. Wir betrachten nun den gleichen Zusammenstoß in zwei weiteren Bezugssystemen (s. Abb. 9.1). Das System S bewege sich nach rechts mit einer Geschwindigkeit, die genau der x-Komponente der Geschwindigkeit des Teilchens 1 entspricht. In diesem System bewegt sich das Teilchen 1 mit der Geschwindigkeit ±w parallel zur z-Achse. Die Geschwindigkeit des Teilchens 2 sei in diesem System v mit der x-Komponente −u. Das � System S bewegt sich nach links mit der Geschwindigkeit u relativ zu S. Hier ist die Bewegung von Teilchen 2 � parallel zur z-Achse. Die Darstellungen in S und S sind spiegelsymmetrisch zueinander. Die Geschwindigkeit � von S relativ zu S ist u. Wir wenden jetzt die Transformationsgleichungen (8.12) auf die z-Komponenten der � � � Geschwindigkeit des Teilchens 1 in den Systemen S und S an. Für dieses Teilchen gilt vx = 0, vz = w und

262

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

System S'

z'

2 w

System S'' z''

2

x' v u

1

x''

z

System S

u

1

v

2

Abbildung 9.1: Darstellung eines elastischen Stoßes in drei verschiedenen Bezugssystemen: In �� S ist die Bewegungen der beiden Punktmassen symmetrisch. In S bewegt sich das Teilchen 1 � parallel zur z-Achse; In S bewegt sich das � Teilchen 2 parallel zur z -Achse,

x w 1

damit vz = w/γ .

Die Impulserhaltung für die z-Komponente in S ergibt m(w)w = m(v)w/γ

⇒

m(v) = γ m(w).

(9.1)

Wir lassen w verschwindend klein werden (w → 0) Es folgt m(w) → m◦ („Ruhemasse“) und v → u. Gleichung (9.1) ergibt für den Grenzfall m◦

m(v) = � . 2 2 1 − v /c

(9.2)

263

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

Damit haben wir die relativistische Beziehung zwischen der Geschwindigkeit v und der Masse m eines Teilchens abgeleitet. Abb. 9.2 zeigt m/m◦ als Funktion von v/c. 10 m/mo 5 m/mo = (1 -

1

0

0,2

-1/2 2 2 v /c )

0,4

0,6

Abbildung 9.2: Die relativistische Masse. Das Bild zeigt das Verhältnis m/m◦ (logarithmische Skala) als Funktion von v/c.

0,8 v/c

1

Der Impuls ist relativistisch durch m◦ v

p = mv = � . 2 2 1 − v /c

(9.3)

gegeben. Damit gilt das zweite Newtonsche Gesetz in der Form F = p˙ auch für die relativistische Mechanik. Im folgenden Abschnitt fragen wir nach der Energie einer bewegten Masse.

264

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

9.2

Energie und Masse

Die kinetische Energie einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ist gleich der Arbeit, die geleistet werden muss, um die Masse von Ruhe auf diese Geschwindigkeit zu bringen. Der Einfachheit halber betrachten wir eine lineare Beschleunigung: Wirkt eine Kraft F für eine Zeit δt auf eine Punktmasse, deren augenblickliche Geschwindigkeit u ist, leistet sie die Arbeit

Die Gesamtarbeit ist damit

δA = F uδt. A = Ek =

Die Beziehung F = p˙ ergibt mit (9.3)

�

v

(9.4)

F udt.

u=0

�

F = m◦ u˙ 1 −

3 � 2 −2 u

c

2

Wenn wir diesen Ausdruck in (9.4) einsetzen erhalten wir (mit udt ˙ = du) � v � � 2 udu Ek (v) = m◦ � �3/2 = m(v) − m◦ c . 2 2 0 1 − u /c

(9.5)

Frage 9.1 Zeigen Sie, dass diese Gleichung zum klassischen Ausdruck für die kinetische Energie führt,

wenn v � c gilt.

2

Einstein definierte die von der Geschwindigkeit unabhängige Größe m◦ c als die Ruheenergie der Masse. Die Gesamtenergie einer bewegten Masse ist 2

E = mc .

(9.6)

Antwort ⇓

265

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

und die kinetische Energie ist die Differenz zwischen der Gesamtenergie und der Ruheenergie. Wenn man aus (9.3) und (9.6) die Geschwindigkeit v eliminiert, erhält man folgende Beziehung zwischen der Gesamtenergie und dem relativistischen Impuls 2

2

2 2

E = (pc) + (m◦ c ) .

(9.7) 2

E ist also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen pc und m◦ c . Die Beziehung (9.6) zwischen Masse und Energie hat allgemeine Gültigkeit. Masse und Energie sind gleichberechtigte physikalische Größen, die ineinander umgewandelt werden können. Einstein selbst Beschrieb ein einfaches „Gedankenexperiment“, das die Äquivalenz von Masse und Energie im Falle des Lichts demonstriert (s. Abb. 9.3): Zwei Körper befinden sich an den beiden Enden eines Rohres (Länge l) und bilden zusammen mit diesem einen starren Körper mit der Ruhemasse M◦ . Von einem der beiden Körper wird ein Lichtpuls

l

l-x

x

Abbildung 9.3: Ein Gedankenversuch, der demonstriert, das elektromagnetische Strahlung Masse transportiert. Ein Lichtpuls wird von einem Körper ausgestrahlt und später von einem anderen Körper absorbiert, wobei die beiden Körper durch ein Rohr starr miteinander verbunden sind. Aufgrund des Rückstoßes bewegt sich das Rohr, so lange der Lichtpuls unterwegs ist, und wird durch die Absorption wieder angehalten. Aus der Verschiebung x kann man die Masse des Photons bestimmen (s. Text).

der Energie E ausgestrahlt, den wir entweder als Wellenpaket oder als Teilchen (Photon, s. Abschnitt 9.3.3) betrachten können. Wie wir aus der Elektrodynamik wissen, trägt der Lichtpuls den Impuls p = E/c. Nehmen wir an, dass das Rohr auf einem reibungsfreien Tisch liegt. Nach dem Ausstrahlen bewegt es sich wegen der 1 Impulserhaltung mit der Geschwindigkeit v = E/M◦ c (im Bild nach links) und kommt wieder zur Ruhe, 1 Wir gehen davon aus, dass v � c ist, so dass wir die Abweichung der Masse des Rohres von der Ruhemasse vernachlässigen können.

266

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

wenn der Lichtpuls durch den anderen Körper absorbiert wird. Als Ergebnis hat das Rohr eine Verschiebung x erfahren. In dem Zeitintervall �t zwischen dem Ausstrahlen und der Absorption der Lichtwelle legt das Licht die Strecke x − l mit der Geschwindigkeit c zurück. Im gleichen Zeitraum legt das Rohr die Strecke x mit der Geschwindigkeit v zurück. Es gilt also x l−x = �t = c c

⇒

x=

El E + M◦ c

. 2

Da keine externen Kräfte gewirkt haben, muss die Lage des Schwerpunktes des Systems unverändert bleiben. Das Licht muss also eine Masse m von links nach rechts transportiert haben, die die Verschiebung der Masse M◦ von rechts nach links kompensiert, d.h. M◦ x = m(l − x)

ml x= . m+M

⇒

2

Vergleichen wir die beiden Ausdrücke für x, folgt sofort E = mc . Die durch Kernfusion oder Kernspaltung freigesetzte Energie ist mit einem Massendefizit verbunden. Z.B. findet in den Sternen folgende Kernreaktion statt (eigentlich in mehreren Stufen) 4

4

4p + 2e → He.

(p = Proton, e = Elektron, He = Heliumkern). Die Massenbilanz dieser Reaktion sieht wie folgt aus: Teilchen 4 Protonen 2 Elektronen Summe 1 Heliumkern Differenz

−27

Masse [10

−12

kg] 6,6900 0,0018 6,6918 6,6470 0,0448

Dies entspricht nach (9.6) einer Energiemenge von 4 · 10 J. Die Energiemenge, die freigesetzt wird, wenn 14 1 kg Wasserstoff in dieser Reaktion „verbrannt“ wird, beträgt 6 · 10 J.

267

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

9.3

Anwendungen

9.3.1

Beschleunigung geladener Teilchen

Als Beispiel für die Anwendung der relativistischen Mechanik untersuchen wir die lineare Beschleunigung eines geladenen Teilchens in einem konstanten elektrischen Feld. Die konstante Kraft ist F = qE (q = Ladung, E = Feldstärke). Da die Kraft konstant ist, steigt der Impuls linear mit der Zeit an. Mit v(0) = 0 folgt m◦ v p=� = qEt. 2 2 1 − v /c

und damit für die Geschwindigkeit

�

v =c 1+

�

m◦ c qEt

� �2 −1/2

.

Für t → ∞ gilt v → c (Grenzgeschwindigkeit). Für t � m◦ c/qE erhalten wir den klassischen Grenzfall v = qEt/m◦ . Frage 9.2 Geben Sie die Masse und die kinetische Energie des geladenen Teilchens als Funktion der Zeit an.

Obwohl die Geschwindigkeit des Teilchens den Grenzwert c nicht überschreiten kann, können die kinetische Energie und der Impuls beliebig erhöht werden. Bei niedrigen Geschwindigkeiten—im klassischen Bereich—ändert sich die Masse kaum, und eine Steigerung der kinetischen Energie bewirkt in erster Linie eine entsprechende Zunahme der Geschwindigkeit. Ist die Geschwindigkeit dagegen in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit, kann sie nicht mehr merklich steigen, und die zusätzliche kinetische Energie ändert nur die Masse.

Antwort ⇓

268

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

Wird ein Teilchen mit der Ladung q durch eine Potentialdifferenz (Spannung) V beschleunigt, beträgt die 2 kinetische Energie qV und die Gesamtenergie m◦ c + qV . Wenn wir diesen Ausdruck für die Gesamtenergie in die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls (9.7) einsetzen, erhalten wir den Impuls als Funktion der Beschleunigungsspannung: � 2 p = qV (qV + 2m◦ c )/c. Damit ist die de Broglie-Wellenlänge

hc

λ= � . 2 qV (qV + 2m◦ c ) −15

Hier ist h die plancksche Konstante (4,135667·10 eV s). Die Wellennatur von Teilchen macht sich u.a. dadurch bemerkbar, dass Teilchensstrahlen an Kristallgittern gebeugt werden. Bei Elektronen kann man dieses Phänomen z.B. im Transmissionselektronenmikroskop beobachten. Tabelle 9.1 zeigt die Wellenlängen von 6 Elektronen im Spannungsbereich 10–10 V.

9.3.2

Zusammenstoß beschleunigter Teilchen

Als weiteres Anwendungsbeispiel betrachten wir den Zusammenstoß zweier Teilchen mit der gleichen Ruhemasse m◦ . Die Geschwindigkeit eines der Teilchen in einem Koordinatensystem S, in dem das andere Teilchen � � ruht, sei v. Im Schwerpunktsystem S sind die Geschwindigkeiten u und −u. Die Geschwindigkeit von S relativ zu S ist u. Es gilt also nach (8.11): 2u . (9.8) v= 2 2 1 + u /c

Um diesen Zusammenstoß zu bewerkstelligen, muss die kinetische Energie mittels eines Teilchenbeschleu-

269

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK Tabelle 9.1: Geschwindigkeiten (in Einheiten von c) und de Broglie-Wellenlängen von Elektronen als Funktion der Beschleunigungsspannung.

V [V]

v/c

λ [pm]

10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10

0,006256 0,01978 0,06247 0,1950 0,5482 0,9411

387,8 122,6 38,76 12,20 3,701 0,8719

nigers geliefert werden. Die kinetische Energie des Teilchens mit der Geschwindigkeit v im System S ist   1 2 � − 1 . Ek = m◦ c 2 2 1 − v /c Mit Hilfe der Gleichung (9.8) lässt sich die rechte Seite wie folgt umrechnen (mit β = u/c): Ek = 2m◦ c

2

β

2

1−β

. 2

Die Summe der kinetischen Energien der beiden Teilchen mit den Geschwindigkeiten ±u im System   1 � 2 . � Ek = 2m◦ c 2 1−β −1

� S

ist

270

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK Die relative Differenz der beiden Energien ist �Ek = Ek

� Ek − Ek

Ek

=

� 2 1− 1−β β

2

.

(9.9)

Die Werte der Funktion (9.9) laufen von 0,5 bei β = 0 bis 1 bei β = 1 (s. Abb. 9.4).

� Ek/Ek

1,0 0,9

Abbildung 9.4: Relative Differenz der kinetische Energie eines Systems von 2 identischen Teilchen zwischen einem Bezugssystem S, in dem ein Teilchen ruht, und dem Schwerpunktsystem (nach Gleichung (9.9)). Im Schwerpunktsystem wird weniger Energie benötigt.

0,8 0,7 0,6 0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8 u/c1,0

� S

Die Systeme S und entsprechen zwei verschiedenen Möglichkeiten, den Zusammenstoß mit der Relativgeschwindigkeit v zu realisieren. Entweder beschleunigt man ein Teilchen auf die Geschwindigkeit v oder beide Teilchen auf die Geschwindigkeit u. Die Beziehung (9.9) zeigt, dass im zweiten Fall weniger Energie gebraucht wird. Deshalb werden Beschleuniger gebaut, in denen die Teilchen in entgegengesetzten Richtungen kreisen und aufeinander prallen. Auch im nichtrelativistischen Fall spart man schon die Hälfte der Energie.

9.3.3

Das Photon und der Doppler-Effekt

Ein Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, wie z.B. ein Photon, muss nach (9.3) und (9.5) die Ruhemasse m◦ = 0 haben, da seine Energie und sein Impuls sonst unendlich groß sein müssten. Zwischen dem

271

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK Betrag des Impulses und der Energie besteht aber nach (9.6) und (9.3) allgemein die Beziehung 2

p = Ev/c . Diese Beziehung kann auch für v = c verwendet werden, so dass der Impuls eines Photons mit der Energie E durch p = E/c

gegeben wird. Diese Beziehung stimmt mit dem aus der Elektrodynamik bekannten Ergebnis für den Energiebzw. Impulstransport einer elektromagnetischen Welle und ist mehrfach experimentell bestätigt worden. System S m1

vorher u

E

m2

Abbildung 9.5: Zur Ableitung des Doppler-Effektes mit Photonen. Ein Atomkern mit der Ruhemasse m1 , der im System S ruht, sendet zwei Photonen mit der gleichen Energie E in entgegengesetzten Richtungen aus. Der gleichen Vorgang wird in einem zweiten System � S beobachtet, das sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit u parallel zur Bewegungsrichtung der Photonen bewegt.

System S'

E

nachher

E1

m'1

m'2 E2 u

Betrachten wir einen im System S ruhenden Atomkern mit der Ruhemasse m1 , der zwei γ -Photonen mit Energie E in entgegengesetzte Richtungen aussendet (s. Abb. 9.5). Aufgrund der Impulserhaltung ruht der Kern auch nach dem Strahlungsvorgang. Seine Masse ist aber kleiner geworden: 2

m2 = m1 − 2E/c . Wir betrachten nun den gleichen Vorgang in einem Bezugssystem, das sich parallel zu einem der Photonen mit der Geschwindigkeit u bewegt. In diesem System bewegt sich der Kern mit der Geschwindigkeit −u und hat

272

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK demnach vor dem Strahlungsvorgang die Masse � m1

m1

=� . 2 2 1 − u /c

Nach dem Ausstrahlen der Photonen ist die Masse des Kerns in

� S 2

m − 2E/c � 1 m2 = � = � . 2 2 2 2 1 − u /c 1 − u /c m2

Seine Geschwindigkeit ist gleich bleibend −u. Wir wenden nun die Impuls- und Energieerhaltung auf das � � System S an, wobei wir zulassen müssen, dass die Photonen in S unterschiedliche Energien (E1 , E2 ) haben können. Die Impulserhaltung ergibt und damit

� −m1 u

E1 − E2 =

=

� −m2 u − E1 /c

� (m1

� − m2 )uc

Aus der (relativistischen) Energieerhaltung erhalten wir � 2 m1 c

bzw. E1 + E2 =

=

� (m1

� 2 m2 c

+ E2 /c 2uE/c

=� . 2 2 1 − u /c

(9.10)

+ E1 + E2 ,

� 2 − m2 )c

2E

=� . 2 2 1 − u /c

Wenn wir die Gleichungen (9.10) und (9.11) für E1 und E2 lösen ist das Ergebnis. �1/2 �1/2 � � c+u c−u E1 = E bzw. E2 = E . c−u c+u

(9.11)

273

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

Da die Frequenz des Lichts proportional zur Photonenenergie ist, gilt für die Doppler-Verschiebung der Frequenz � c±u . ω1,2 = ω c∓u

Dies ist identisch mit Gleichung 8.24 für den longitudinalen Doppler-Effekt, die aus der relativistischen Wellenoptik abgeleitet wurde.

9.4

Transformation der dynamischen Größen

9.4.1

Transformation von Impuls und Masse (Energie)

Die Impulskomponenten und die Masse eines Teilchens sind im System S px,y,z und im System

� S � px,y,z

m◦ vx,y,z =� ; 2 2 1 − v /c � m◦ vx,y,z

=� ; 2 2 � 1 − v /c

m◦

(9.12)

m◦

(9.13)

m= � , 2 2 1 − v /c �

m =� . 2 2 � 1 − v /c

Wenn wir die Geschwindigkeitskomponenten in (9.12) durch die rechten Seiten der Gleichungen (8.12) ersetzen, erhalten wir unter Berücksichtigung von (9.13) (nach einigen Umrechnungen) die Transformationsgleichungen px =

� γ (px

�

+ um );

py =

� py ;

pz =

� pz ;

m = γ (m

�

� 2 + upx /c ),

(9.14)

274

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK bzw. für die umgekehrte Transformation � px

= γ (px − um);

� py

= py ;

� pz

= pz ;

�

2

m = γ (m − upx /c ),

(9.15)

Die Gleichungen (9.14) und (9.15) sind formal identisch mit den Gleichungen der Lorentz-Transformation 2 2 2 2 (8.6) und (8.7), wobei r durch p und t durch m = E/c ersetzt wurden. Es folgt, dass die Größe p − c m 2 2 2 ebenso wie r − c t eine Invariante der Lorentz-Transformation ist. Die Transformationsgleichungen für die „Vierervektoren“ (x, y, z, ict) und (px , py , pz , icm) sind also identisch.

9.4.2

Transformation der Kraft

Im System S wirke eine Kraft F auf eine Punktmasse, deren Geschwindigkeit in S gleich v sei. Für die Systeme � S und S gilt � dp dp � F = bzw. F = �. dt dt � Für die x-Komponente von F gilt unter Berücksichtigung der Transformation (9.15) � � � � d d � d uE uE dt � px − 2 Fx = � px = γ � px − 2 = γ . (9.16) � dt dt dt dt c c Die zeitliche Ableitung der Energie entspricht der Leistung der Kraft dE = F .v = Fx vx + Fy vy + Fz vz , dt

275

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK und aus

� t

2

= γ (t − ux/c ) (Lorentz-Transformation) folgt dt 1 = . � 2 dt γ (1 − uvx /c )

Einsetzen dieser Ausdrücke für dE/dt und chungen:

� dt/dt

� Fx

(9.17)

in (9.16) ergibt die erste der gesuchten Transformationsglei-

= Fx − u.

Fy vy + Fz vz 2

c − uvx

(9.18)

.

Die Transformationsgleichungen für die anderen beiden Komponenten folgen aus � Fy

=

Fy 2

γ (1 − uvx /c )

bzw.

� Fz

=

Fz

2

γ (1 − uvx /c )

� py,z

= py,z und (9.17):

.

(9.19)

Frage 9.3 Ein Teilchen mit der Ruhemasse m◦ wird im System S mit einer konstanten Kraft F = (0, 0, F ) beschleunigt. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Teilchen in Ruhe am Ursprung. Die Geschwindigkeitskomponenten sind dann (s. Abschnitt 9.3.1) vx = vy = 0;

�

vz = c 1 +

�

m◦ c Ft

� �2 −1/2

.

� � � Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit v und der Kraft F im System S . Wie kann es sein, � � dass Fx �= 0 ist, obwohl vx konstant ist?

Antwort ⇓

276

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK

9.5

Transformation der thermodynamischen Größen

In diesem Abschnitt wird dargestellt, wie die thermodynamischen Größen Volumen, Druck, Temperatur, Wärme und Entropie zwischen verschiedenen Inertialsystemen transformieren. Beginnen wir mit dem Volumen � (V ): Ruht das thermodynamische System im Bezugssystem S, sieht ein Beobachter in S auf Grund der Län� genkontraktion, die nur in einer Dimension stattfindet, das Volumen V = V /γ . Nehmen wir nun an, im System Druck P

Druck P'

Fz

Fz'

Abbildung 9.6: Zur Bestimmung der relativistischen Transformationsgleichung für den Druck.

Fx'

Fx Fy

a a

a a

a

Fy' a/γ

S

S'

� S

herrsche ein Druck P (s. Abb. 9.6). Die auf einen Würfel der Kantenlänge a wirkenden Kraftkomponenten sind: 2 Fx = Fy = Fz = P a . Aus (9.18) und (9.19) folgt

� Fx

2

= Pa ,

� Fy

=

� Fz

2

= P a /γ .

277

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK 2

� Fx

2

Die Komponente wirkt auf die Fläche a , die anderen beiden Komponenten jeweils auf die Fläche a /γ . � Der Druck ist also auf allen Flächen gleich P = P . � � � � Die Zustandsgleichung für n Moleküle eines idealen Gases lautet in S P V = nkT und in S P V = nkT , da die Boltzmannkonstante k eine universelle Konstante ist, und die Anzahl der Moleküle in beiden Systemen � � � gleich sein muss. Bilden wir den Quotienten der beiden Gleichungen, folgt T /T = P V /P V = 1/γ . Bei einer isothermen, reversiblen Expansion vom Volumen V1 auf das Volumen V2 nimmt das ideale Gas im System � � S die Wärmemenge Q = nRT ln(V2 /V1 ) auf. Im System S gilt Q = nRT ln(V2 /V1 ), und wir erhalten, � wieder durch Division, Q = Q/γ . Schließlich folgt aus dS = dQ/T , dass die Entropie S invariant ist. Die Ergebnisse der obigen Diskussion lassen sich wie folgt zusammenfassen: • Druck und Entropie sind invariant: �

P =P

�

S =S

• Die Größen Volumen, Wärme und Temperatur verhalten sich wie �x bei der Längenkontraktion: �

V = V /γ

�

Q = Q/γ

�

T = T /γ .

Frage 9.4 Die obigen Gleichungen gelten für den Fall, dass die Messungen an einem thermodynamischen

System gemacht werden, das in S ruht. Geben Sie die entsprechenden Gleichungen für den Fall an, dass das � thermodynamische System in S ruht.

9.6

Antworten zu den Fragen

Frage 9.1

Die Entwicklung des Ausdrucks für m(v) als Binomialreihe ergibt � � � � 2 −1/2 � � � � v 1 v 2 3 v 4 m(v) = m◦ 1 − 2 = m◦ 1 + + + ... . 2 c 8 c c

Antwort ⇓

278

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK 4

Unter Vernachlässigung der Terme der Ordnung (v/c) haben wir 1 2 Ek = [m(v) − m◦ ]c ≈ m◦ v . 2 2

Zurück ⇑ Frage 9.2

Aus �

v =c 1+

�

m◦ c qEt

� �2 −1/2

folgt

und

�

m = m◦ 1 + Damit ist die kinetische Energie Ek = m◦ c

2

� � � v �2 −1/2 m = m◦ 1 − c

�

1+

�

�

qEt m◦ c

qEt m◦ c

� �2 1/2

� �2 1/2

.

2

− m◦ c . Zurück ⇑

Frage 9.3

Aus den Gleichungen (8.13) folgt � vx

= −u;

� vy

= 0;

� � −1/2 � � 2 m c c � ◦ 1+ vz = . γ Ft

279

KAPITEL 9. DIE RELATIVISTISCHE DYNAMIK � statt t . Aus der Lorentz-Gleichung t

In der letzten Gleichung steht noch t � � (Bewegung des Ursprungs von S in S ) t = t /γ und damit

=

2 � � � γ (t +ux /c ) folgt mit x

=

� −ut

� � −1/2 � � 2 γ m◦ c c � 1+ . vz = � γ Ft

Die Gleichungen (9.18) und (9.19) ergeben

� � � γ m c �2 −1/2 � ◦ ; Fx = βF 1 + � Ft

� Fy

= 0;

� Fz

F = . γ

Die x-Komponente der Geschwindigkeit in ist zwar konstant (−u), aber die x-Komponente des Impulses � � � � px = −mu ist nicht konstant, weil die Masse m ständig zunimmt. Aufgrund der Beziehung Fx = p˙ x ist Fx � daher nicht gleich 0. In S ist die Kraft F nicht parallel zur z-Achse. Zurück ⇑ � S

Frage 9.4 Wie im Falle der Längenkontraktion und der Zeitdilatation sind die reziproken Beziehungen sym� � � � Zurück ⇑ metrisch, d.h. es gilt für den Fall eines in S ruhenden Systems V = V /γ , Q = Q /γ , T = T /γ .

Kapitel 10

Relativistische Transformation der elektromagnetischen Größen

281

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

10.1

Vorbemerkungen

Der Wert einer bestimmten physikalischen Größe X, der an einem bestimmten Punkt und zu einer bestimmten Zeit im System S gemessen wird, kann durch eine funktionelle Beziehung der Form X = f (x, y, z, t) angegeben werden. Der Punkt (x, y, z, t) in S entspricht dem Punkt Koordinatensätze durch die Lorentz-Transformation miteinander verknüpft sind:

� � � � (x , y , z , t )

�

x = γ (x − ut), � Im allgemeinen misst der Beobachter in S

Koordinaten:

�

�

y = y,

in

� S,

wobei die beiden

�

z = z,

t = γ (t − βx/c).

(10.1)

� einen anderen Wert (X ) und einen anderen Zusammenhang mit den �

�

�

�

�

�

X = f (x , y , z , t ).

Es steht uns aber frei, mit Hilfe der Lorentz-Transformation, die Größe X als Funktion der darzustellen: ∗ � � � � X = f (x, y, z, t) = f (x , y , z , t ).

� S -Koordinaten

∗

Die Funktionen f und f sind mathematisch unterschiedlich, sie geben aber den selben Wert (X), wenn die Koordinaten durch die Lorentz-Transformation miteinander verknüpft sind. Es sei ausdrücklich darauf hinge∗ � � wiesen, dass auch die Funktionen f und f verschieden sind (sonst wäre immer X = X ). ∗ Im folgenden werden wir die Darstellung durch die Funktion f verwenden, um die Ableitungen nach ∗ � � � � x, y, z, t in die Ableitungen nach x , y , z , t umzurechnen. Allgemein gilt für f (x1 , x2 , . . .) = f (y1 , y2 , . . .) ∗

∗

∂f ∂y1 ∂f ∂y2 ∂f = + + ... ∂xi ∂y1 ∂xi ∂y2 ∂xi

(10.2)

282

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

Wir benötigen also folgende Ableitungen, deren Werte aus den Lorentz-Transformationsgleichungen (10.1) folgen: � ∂x

=γ

∂x � ∂x =0 ∂y � ∂x =0 ∂z � ∂x = −γ u ∂t

10.2

� ∂y

� ∂z

=0

∂x � ∂y =1 ∂y � ∂y =0 ∂z � ∂y =0 ∂t

=0

∂x � ∂z =0 ∂y � ∂z =1 ∂z � ∂z =0 ∂t

� ∂t

= −γβ/c

∂x � ∂t =0 ∂y � ∂t =0 ∂z � ∂t =γ ∂t

(10.3)

Transformation der Felder

Die Transformationsgleichungen für die Größen E, D, B, H , j und ρ müssen so gestaltet sein, dass die Maxwell-Gleichungen in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben, d.h. im System S: (10.4a) (10.4b)

∇.D = ρ ∇.B = 0

∂B ∇ ×E =− ∂t ∂D , ∇ ×H =j + ∂t und im System

(10.4c) (10.4d)

� S �

�

∇ .D = ρ

�

(10.5a)

283

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN �

�

∇ .B = 0 �

(10.5b)

�

∇ ×E =− �

�

� ∂B � ∂t

�

∇ ×H =j + mit ∇=

�

�

∂ ∂ ∂ , , , ∂x ∂y ∂z

(10.5c)

� ∂D

�

∇ =

� ∂t

�

(10.5d)

,

∂ ∂ ∂ , , � � � ∂x ∂y ∂z

Wir beginnen mit der x-Komponente der Gleichung (10.4c): ∂Ez

�

.

∂Ey

∂Bx − =− . ∂y ∂z ∂t

Mit Ez (x, y, z, t) = umschreiben

∗ � � � � Ez (x , y , z , t )

usw. lässt sich diese Gleichung mit Hilfe von (10.2) und (10.3) wie folgt ∗ ∂Ez � ∂y

−

∗ ∂Ey � ∂z

=

∗ ∂Bx γu � ∂x

−γ

∗ ∂Bx . � ∂t

Gleichung (10.4b) lautet in Komponentenschreibweise ∂By ∂Bz ∂Bx + + = 0. ∂x ∂y ∂z Transformation der Ableitungen ergibt in diesem Fall γ

∗ ∂Bx � ∂x

γβ = c

∗ ∂Bx � ∂t

−

∗ ∂By � ∂y

−

∗ ∂Bz . � ∂z

(10.6)

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

284

∗ ∂Bx � ∂x

in (10.6) einsetzen, erhalten wir nach Umordnen der Wenn wir die rechte Seite dieser Gleichung für γ Terme: ∗ � � �� � � �� ∂Bx ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ + uB − uB . γ E − γ E = − z y y z � � � ∂y ∂z ∂t Vergleichen wir mit der x-Komponente der Maxwell-Gleichung (10.5c): � ∂Ez � ∂y

−

� ∂Ey � ∂z

=

� ∂Bx − � , ∂t

erhalten wir die Transformationsbeziehungen � Ez � Ey � Bx ∗ Ez ,

∗ By

= γ (Ez + uBy ) = γ (Ey − uBz ) = Bx ,

usw. durch Ez , By usw. ersetzt haben. Dies können wir tun, weil es hier um die Größen, wobei wir nicht um die Funktionen handelt. Die übrigen Beziehungen erhalten wir aus den anderen Komponenten der Gleichung (10.4c). Die y-Komponente ist ∂By ∂Ez ∂Ex − =− . ∂z ∂x ∂t Die Umrechnung der Ableitungen mit Hilfe der Beziehungen (10.2) und (10.3) ergibt nach Umordnen der Terme � � ∗ � � ∂Ex ∂ ∂ β ∗ ∗ ∗ ∗ E − + uB ) = − + ) . γ (B γ (E z y y z � � � ∂z ∂x ∂t c Ein Vergleich mit der y-Komponente der Gleichung (10.5c) ergibt die zusätzlichen Beziehungen � Ex

= Ex

285

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN � By

β = γ (By + Ez ). c

� Bz

Die noch fehlende Gleichung für lässt sich durch eine ähnliche Behandlung der z-Komponente der Glei� chung (10.4c), auf die wir hier verzichten, bestimmen. Alternativ erhält man sie aus der Gleichung für By durch Symmetrieüberlegungen: Wir tauschen y und z und ändern das Vorzeichen: � Bz

β = γ (Bz − Ey ). c

Wir fassen nun alle Gleichungen zusammen: � Ex � Bx

= Ex ; = Bx ;

� Ey

= γ (Ey − uBz );

β � By = γ (By + Ez ); c

� Ez

= γ (Ez + uBy );

(10.7)

β � Bz = γ (Bz − Ey ); c

Die Umkehrtransformationen ergeben sich durch Änderung der Vorzeichens von u: Ex =

� Ex ;

Bx =

� Bx ;

Ey =

� γ (Ey

By =

� γ (By

� + uBz );

β � − Ez ); c

Ez =

� γ (Ez

Bz =

� γ (Bz

� − uBy );

(10.8)

β � + Ey ). c 2

2

2

Frage 10.1 Zeigen Sie mit Hilfe der Gleichungen (10.7), dass die Größen E.B und B − E /c invariant sind.

Mit Hilfe der Beziehungen D = �◦ E,

µ◦ H = B

und

�◦ µ◦ = c

−2

Antwort ⇓

286

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN kann man auch die Transformationsgleichungen für D und H (im Vakuum) angeben: � Dx � Hx

= Dx ; = Hx ;

β = γ (Dy − Hz ); c � Hy = γ (Hy + uDz );

� Dz

β � Dy = + Hz ); c � � Hy = γ (Hy − uDz );

β � Dz = − Hy ); c � � Hz = γ (Hz + uDy ).

� Dy

β = γ (Dz + Hy ); c � Hz = γ (Hz − uDy );

bzw. Dx = Hx =

10.3

� Dx ; � Hx ;

� γ (Dy

� γ (Dz

Transformation der Strom- und Ladungsdichten

Gleichung (10.4a) lautet in Komponentenschreibweise ∂Dy ∂Dz ∂Dx + + . ρ= ∂x ∂y ∂z Umrechnung in die Koordinaten

� � � � x ,y ,z ,t

ρ=γ

führt in diesem Fall zu der Gleichung

∗ ∂Dx � ∂x ∗

γβ − c

∗ ∂Dx � ∂t

+

∗ ∂Dy � ∂y

+

∗ ∂Dz . � ∂z

Wir transformieren die Komponenten von D = D mit Hilfe der oben abgeleiteten Gleichungen: �� � � � � � � � � ∂Dy ∂Hy ∂Dz ∂Dx ∂Dx β ∂Hz . + + + − − ρ=γ � � � � � � ∂x ∂y ∂z c ∂y ∂z ∂t

287

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Aus (10.5a) folgt aber �

� ∂Dx � ∂x

� jx

� ∂Hz � ∂y

ρ = und aus (10.5d) =

+

� ∂Dy � ∂y

−

� ∂Hy � ∂z

+

� ∂Dz , � ∂z

−

� ∂Dx . � ∂t

Wir erhalten also die Transformationsgleichung β � � ρ = γ (ρ + jx ). c Um die Transformationsgleichungen für die Stromdichte zu ermitteln, beginnen wird mit den Komponenten nach Gleichung (10.4d). Die x-Komponente ist ∂Hy

∂Hz

∂Dx jx = − − . ∂y ∂z ∂t Das gleiche Verfahren wie bei ρ führt im ersten Schritt zu jx =

∗ ∂Hz � ∂y

−

∗ ∂Hy � ∂z

∗ ∂Dx + γu � ∂x

� ∂Dx � ∂t

�

−γ

∗ ∂Dx � ∂t

und im zweiten Schritt zu jx = γ

�

� ∂Hz � ∂y

−

� ∂Hy � ∂z

−

Mit (10.5a) und (10.5d) folgt dann jx =

+u

� γ (jx

� ∂Dx � ∂x

�

+ uρ ).

+

� ∂Dy � ∂y

+

�� �

∂Dz � ∂z

.

288

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Die y-Komponente von Gleichung (10.4d) ist ∂Dy ∂Hz ∂Hx jy = − − . ∂z ∂x ∂t Der erste TransformationsSchritt ergibt jy =

∗ ∂Hx � ∂z

−γ

�

∗ ∂Hz � ∂x

β − c

∗ ∂Hz � ∂t

∗ ∂Dy −u � ∂x

+

� ∗

∂Dy � ∂t

.

Der zweit Schritt ergibt auf der rechten Seite insgesamt 9 Terme, die sich zum Teil aber gegenseitig aufheben. Das Ergebnis ist � � � ∂Dy ∂Hz ∂Hx � jy = − − = j . y � � � ∂z ∂x ∂t Aus Symmetriegründen gilt auch � jz = jz .

Wir fassen die Transformationsgleichungen für ρ und j zusammen: � jy

= jy ,

� jz

= jz

(10.9)

und � jx

= γ (jx − uρ),

β � ρ = γ (ρ − jx ). c

(10.10)

β � � ρ = γ (ρ + jx ). c

(10.11)

bzw. jx =

� γ (jx

�

+ uρ )

289

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

Wir erkennen wieder die Lorentz-Transformation, d.h. j und ρ transformieren wie r und t oder auch wie 2 2 2 p und m. Es folgt, dass j − c t invariant ist. Wir können aber auch zeigen, was wir bei der Ableitung nicht vorausgesetzt haben, dass auch die Ladung Q bei der Transformation invariant ist: Betrachten wir einen im � � � � � System S ruhenden Quader mit den Kantenlängen �x , �y , �z , in dem eine gleichmäßige Ladungsdichte ρ � � herrscht. Für die im Quader enthaltene Ladung �Q und den im Bereich herrschenden Stromdichte j gilt �

�

�

�

� jx

�

�Q = ρ �x �y �z ;

=

� jy

=

� jz

= 0.

Für das System S gilt �Q = ρ�x�y�z.

Es ist aber

ρ = γ (ρ

und Daraus folgt

�

�x = �x /γ

�

� 2 + ujx /c )

�

(Längenkontraktion), �

�

= γρ

�

�y = �y ,

�

�

�

�z = �z .

�

�Q = ρ �x �y �z = �Q .

In Tabelle 10.1 sind die Größen zusammengestellt, die die Lorentz-Transformation gehorchen. Dabei wurde die zeitabhängige Koordinate (z.B. ct) so gewählt, dass sie die gleichen Dimensionen wie die anderen hat. Tabelle 10.1: Zusammenstellung von Größen, die der Lorentz-Transformation gehorchen.

Größen x px

y py

z pz

jx

jy

jz

Einheiten

ct E/c = mc cρ

Invarianten 2

[m] −1 [kg m s ] −1

[C s

−2

m

]

2 2

r −c t 2 2 2 p − E /c 2

2 2

j −c ρ ,Q

290

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

10.4

Anwendungsbeispiele

10.4.1

Die Lorentz-Kraft

Betrachten wir eine Ladung q, die sich im System S mit der Geschwindigkeit u parallel zur x-Achse bewegt. In S herrsche kein E-Feld, sondern nur ein B-Feld parallel zur z-Achse, d.h. Ex = Ey = Ez = 0;

Bx = By = 0,

Bz = B.

Die auf die Ladung wirkende Lorentz-Kraft ist F = qu × B = (0, −quB, 0). ruht die Ladung und erfährt daher keine Lorentz-Kraft. In diesem System gibt es aber ein E-Feld, wie man durch Anwendung der Transformationsgleichungen (10.7) zeigen kann: � Im System S

� Ex

� Ey

= 0;

= −γ uB;

� Ez

= 0.

In diesem Feld erfährt die Ladung die Kraft �

F = (0, −γ quB, 0). Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die Transformationsgleichungen für die Kraft (9.18) und (9.19) � anwendet, um F direkt aus F zu berechnen. Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass elektrische und magnetische Kräfte zwei Erscheinungsformen des gleichen Phänomens sind. Die auf eine bewegte Ladung wirkende (magnetische) Lorentz-Kraft erscheint in dem System, in dem die Ladung ruht, als elektrostatische Kraft.

291

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

10.4.2

Linienladung

Wir betrachten eine unendlich lange Linienladung der Stärke λ (Ladung pro Längeneinheit), die auf der xAchse des Systems S ruht. In diesem System gibt es keinen Strom und deshalb kein B-Feld. Das elektrische Feld (s. Abschnitt 2.6.3) ist λ E= (0, y, z). 2 2 2π �◦ (y + z )

Wir wenden nun die Transformationsgleichungen (10.7) an und erhalten (mit 2 Lorentz-Transformation, und c = 1/(�◦ µ◦ )) �

E =

γλ � 2π �◦ (y2

� + z2 )

�

�

(0, y , z );

�

B =

µ◦ γ λu

� 2π(y2

� + z2 )

� y

�

= y und

� z

= z, nach der

�

(0, z , −y ).

Wie können wir dieses Ergebnis interpretieren? Das elektrische Feld ist das Feld einer Linienladung = γ λ. Die Erhöhung um den Faktor γ ist eine Folge der Längenkontraktion in Verbindung mit der Ladungserhaltung. � � � � Das B-Feld ist tangential (B .E = 0) und eine Folge der Bewegung der Ladung in S . Das Produkt γ λu = λ u � � ist nichts anderes als der Strom I . Der Betrag des B-Feldes in S ist � λ

� I

µ � ◦ B = . � 2π r Diese Beziehung kann man auch durch Anwendung des Durchflutungsgesetzes ableiten (s. Abschnitt 4.2.3).

10.4.3

Stromführender Leiter

Abb. 10.1 zeigt schematisch einen stromführenden metallischen Leiter, der parallel zur x-Achse liegt und im System S ruht. In diesem System existiert ein B-Feld aufgrund des Stromes, aber kein E-Feld, weil der Leiter elektrisch neutral ist. Die negativen Ladungsträger (Elektronen) bewegen sich in +x-Richtung, so dass der Strom I einen negativen Vorzeichen hat. Eine Ladung q, die sich im Abstand r parallel zum Draht mit der

292

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

Geschwindigkeit u bewegt, erfährt eine radiale Lorentz-Kraft. Wenn wir die durch die Ladung und den Draht definierte Ebene als die x-y-Ebene nehmen, ist diese Kraft parallel zur y-Achse und hat den Betrag µ◦ quI . F = quB = 2π r

y S F u q

y' F'

S'

x

v

q

A

r

(10.12)

-u

v'

Abbildung 10.1: Stromführender Leiter. Im System S ruht der Leiter, während er sich mit der � Geschwindigkeit −v in S bewegt.

r'=r x'

� Betrachten wir nun den gleichen Vorgang in einem System S , das sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit

u in x-Richtung bewegt. In diesem System ruht die Ladung, während sich der Leiter mit der Geschwindigkeit −u bewegt. Wir können nun die Gleichungen (9.18) und (9.19) anwenden, um die Kraft zu bestimmen, die auf � die Ladung q in S wirkt. Das Ergebnis, mit vx = u, vy = vz = 0, Fx = Fz = 0 sowie Fy = F , ist � Fx

Die Kraft ist also in

� S

=

� Fz

= 0,

� Fy

= γ Fy .

ebenfalls radial. Unter Einbeziehung der Gleichung (10.12) ist der Betrag µ γ quI � ◦ F = γF = . 2π r

Da die Ladung in Betrag

� S

ruht, kann diese Kraft nur auf die Anwesenheit eines radialen elektrischen Feldes mit dem � F

µ γ uI � ◦ = E = q 2π r

293

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

zurückzuführen sein. Ein Vergleich mit dem elektrischen Feld einer Linienladung (siehe 10.4.2, oben) zeigt, � dass der Leiter in S nicht mehr neutral ist, sondern pro Längeneinheit die Ladung �

λ = γ µ◦ �◦ uI = γ uI /c

2

(10.13)

trägt. Woher kommt diese Ladung? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir die Bewegungen der Ladungen in den beiden Systemen. Die Anzahl der freien Elektronen pro Volumeneinheit in S sei n. Ihr Beitrag zur Ladungsdichte ist ρ− = −ne. Es gibt aber ebenso viele positive Ladungen (Atomrümpfe), die den Betrag ρ+ = ne liefern, so dass die Ladungsdichte insgesamt verschwindet: ρ = ρ+ + ρ− = 0. In S ruhen die positiven Ladungen, während sich die negativen Ladungen mit der mittleren Geschwindigkeit v bewegen. Ihre Beiträge zur Stromdichte sind daher j+ = 0 bzw. j− = −nev. Der Strom ist I = −nevA, wo A den Querschnitt des Drahts bedeutet. Damit lässt sich (10.13) wie folgt umschreiben: 2 � λ = γ neuvA/c . (10.14) Nun verwenden wir die Transformationsgleichungen für Ladungs- und Stromdichten (10.10), um die La� dungsdichte in S zu bestimmen. Dabei müssen wir die positiven und negativen Ladungen getrennt behandeln, weil die jeweiligen Stromdichten unterschiedlich sind: Für die positiven Ladungen gilt jx = j+ = 0, und für � die negativen Ladungen jx = j− = −nev. Gleichung (10.10) ergibt dann ρ+ = γρ+ = γ ne und � � � � β uv � − 1 . ρ− = γ ρ− − j− = γ ne 2 c c Daraus folgt, dass die Ladungsdichte in

positiv ist:

� S �

ρ =

� ρ+

� + ρ−

2

= γ neuv/c .

Die Ladung pro Längeneinheit ist das Produkt aus Ladungsdichte und Querschnittsfläche, die durch die LorentzTransformation nicht verändert wird: �

�

�

�

2

λ = ρ A = ρ A = γ neuvA/c ,

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN

294

in Übereinstimmung mit (10.14). � Das Auftreten einer positiven Überschussladung in S ist nichts anderes als eine Auswirkung der Längenkontraktion, die sich unterschiedlich auf die positiven und negativen Ladungen auswirkt, weil sie unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Abb. 10.2 zeigt eine grafische Darstellung der Situation in einem Minkowskict

ct'

Abbildung 10.2: Stromführender Leiter im Minkowski-Diagramm. Aufgrund der unterschiedlichen Längenkontraktionen sind die Abstände der positiven und negativen Ladungen � in S unterschiedlich, so dass der Leiter geladen ist.

x'

x

Diagramm. Das Bild stellt ein vereinfachtes Modell dar, in dem sowohl die negativen als auch die positiven Ladungen jeweils auf einer „Perlenkette“ mit gleich bleibenden Abständen aufgereiht sind. Die Weltlinien der positiven Ladungen verlaufen parallel zur x-Achse, weil sie in S ruhen, während die Weltlinien der negativen Ladungen nach rechts geneigt sind. Die Schnittpunkte der Weltlinien mit der x-Achse sind die Orte der jeweiligen Ladungen zum Zeitpunkt t = 0 in S. Da der Leiter in diesem System elektrisch neutral ist, ist der Abstand zwischen benachbarten Ladungen in beiden Ketten gleich. Betrachtet man die Schnittpunkte der Weltlinien � mit der x -Achse, so erkennt man sofort, dass der Abstand zwischen den negativen Ladungen größer als der Abstand zwischen den positive Ladungen ist.

295

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Frage 10.2 Für den Fall I = 1 A, u = 1 m s � der Strom I ?

10.4.4

−1

� � , welche Linienladung λ wird in S gemessen? Wie groß ist

Die Felder einer bewegten Punktladung

Eine Punktladung q ruhe am Ursprung des Systems �

E =

� S.

� qr

4π �◦

� r

Die Felder in diesem System sind �

B = 0.

, 3

Wir berechnen nun die Felder im System S bei t = 0; zu diesem Zeitpunkt ist die Ladung auch am Ursprung von S, bewegt sich aber mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung. Da das Problem rotationssymmetrisch um � die x-Achse ist, betrachten wir nur die x-y-Ebene (z = z = 0). Anwendung der Transformationsgleichungen (10.8) auf die obigen Felder ergibt zunächst Ex = und

� qx

4π �◦

� r

Bx = By = 0; Wir müssen aber noch die Koordinaten � � Transformation x = γ x, y = y und r

�2

2

2

2

Ey =

, 3

Bz =

� � � x ,y ,r 2

2

� γ qy

4π �◦

� r

γβqy 4π �◦

Ez = 0.

, 3

3 � cr

=

µ◦

� γβcqy

3 � 4π r

.

in x, y, r umrechnen. In diesem Fall ergibt die Lorentz2

2 2

2 2

2

2

= γ (x + y /γ ) = γ (r − β y ) = γ r (1 − β sin (α)),

wo α der Winkel zwischen dem Radiusvektor r und der x-Achse ist. Wir erhalten dann für das E-Feld in S: qr E= (10.15) 3/2 2 3 2 2 4π �◦ γ r (1 − β sin (α))

Antwort ⇓

296

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN und für das B-Feld B=

µ◦ βcqy(0, 0, 1)

2 3

2

2

4π γ r (1 − β sin (α))

(10.16)

. 3/2

Das elektrische Feld ist also radial, und das B-Feld ist tangential, d.h. die B-Feldlinien sind Kreise um die x-Achse. Die Beträge der Felder sind E=

1

q 4π �◦ r

. 2

1−β

2

; 3/2 2 2 (1 − β sin (α))

E(α)/E(90)

B=

µ◦ qc

4π r

. 2

2

β(1 − β ) sin(α) 2

2

(1 − β sin (α))

. 3/2

B(α)/B(90)

0.8 β =0,5

Abbildung 10.3: Die elektrischen und magnetischen Felder einer bewegten Ladung. Es wurde das Verhältnis des Feldes bei dem jeweiligen Winkel α zum Maximum (bei ◦ α = 90 )bei konstantem Abstand r aufgetragen.

0,6 β =0,5 0,4 0,2

β =0,9 β =0,99

0

0

30

60 α [°] 90 0

β =0,9 β =0,99 30

60 α [°] 90

Abb. 10.3 zeigt die Beträge der Felder in Abhängigkeit vom Winkel α bei gleich bleibendem Abstand r für ◦ verschiedene Werte von β = u/c. Dabei wurde auf den Wert des jeweiligen Feldes bei α = 90 normiert. Bei β = 0 ist das E-Feld isotrop, und es gibt kein B-Feld. Mit steigendem β konzentrieren sich beide Felder immer mehr in der senkrecht zur Bewegungsrichtung stehenden Ebene.

297

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Gleichung (10.16) lässt sich (mit u = (u, 0, 0)) in folgender Form schreiben: B=

2 3

µ◦ qu × r 2

2

4π γ r (1 − β sin (α))

(10.17)

. 3/2

Im klassischen Grenzfall (β � 1, γ ≈ 1) lautet diese Gleichung B≈

µ◦ qu × r 4π r

3

.

Dies ist der klassische Ausdruck für das Magnetfeld einer bewegten Ladung (s. Abschnitt 4.2.2), der als eine Form des Biot-Savart-Gesetzes betrachtet werden kann.

10.4.5

Kraft zwischen bewegten Ladungen

Mit Hilfe der Gleichungen (10.15) und (10.17) können wir die relativistischen Formel für die Kräfte ableiten, die zwischen zwei bewegten Ladungen wirken. Die Ladungen seien q1 , q2 mit den Geschwindigkeiten u1 , u2 , � 2 und r sei der Vektor von q1 nach q2 . Wir definieren ferner (mit i = 1, 2) βi = ui /c, γi = 1/ 1 − βi und αi = Winkel zwischen ui und r. Die Felder der Ladung q1 am Ort der Ladung q2 sind dann E12 =

q1 r

2 3 2 2 4π �◦ γ1 r (1 − β1 sin (α1 ))

, 3/2

B12 =

q1 u1 × r/c

2

, 3/2 2 3 2 2 4π �◦ γ1 r (1 − β1 sin (α1 ))

2

wobei in der zweiten Gleichung µ◦ durch 1/�◦ c ersetzt wurde. Die entsprechenden Gleichungen für die Felder der Ladung q2 am Ort der Ladung q1 sind E21 =

−q2 r

2 3 2 2 4π �◦ γ2 r (1 − β2 sin (α2 ))

, 3/2

B21 =

−q2 u2 × r/c

2

. 3/2 2 3 2 2 4π �◦ γ2 r (1 − β2 sin (α2 ))

298

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Die Kraft, die auf die Ladung q2 wirkt ist daher

F12 = q2 (E12 + u2 × B12 ) =

� � 2 q1 q2 r + u2 × (u1 × r)/c

. 3/2 2 3 2 2 4π �◦ γ1 r (1 − β1 sin (α1 ))

Entsprechend gilt für die Kraft, die auf q1 wirkt

F21 = q1 (E21 + u1 × B21 ) = −

� � 2 q1 q2 r + u1 × (u2 × r)/c

2 3 2 2 4π �◦ γ2 r (1 − β2 sin (α2 ))

. 3/2

Für β1 , β2 � 1 gehen diese Gleichungen in die klassischen Gleichungen (s. Abschnitt 4.2.2) über. Wie im klassischen Grenzfall ist im allgemeinen F12 �= −F21 , und die Kräfte sind—abgesehen von Spezialfällen— nicht zentral. Die Ladungen werden aber beschleunigt und erzeugen EM-Strahlung, die Impuls und Drehimpuls trägt.

10.5

Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum 2

2

2

Im Zusammenhang mit der Lorentz-Transformation wurde schon erwähnt, dass die Größe R = x + y + 2 2 2 z − c t invariant ist. Formal kann man die Größe R als den Betrag eines vierdimensional Vektors R = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x, y, z, ict) betrachten. Da die Lorentz-Transformation die Längen aller Vektoren dieses Raums unverändert lässt, kann man sie als eine starre Rotation des Raums auffassen. Ähnlich kann man andere Größenpaare, die wie Raum/Zeit

299

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN transformieren, zu einem Vierervektor zusammenfassen, wie z.B. Impuls/Energie :

P = (P1 , P2 , P3 , P4 ) = (px , py , pz , iE/c)

Strom-/Ladungsdichte :

J = (J1 , J2 , J3 , J4 ) = (jx , jy , jz , icρ)

Potential :

A = (A1 , A2 , A3 , A4 ) = (Ax , Ay , Az , φ/c).

Die Faktoren c bzw. 1/c in den vierten Komponenten sorgen dafür, dass alle vier Komponenten die gleichen Dimensionen haben. Zwischen den dreidimensionalen Feldern und Potentialen bestehen die Beziehungen ˙ E = −∇φ − A,

B = ∇ × A.

Die Differentialkoeffizienten, die in diesen Gleichungen vorkommen, lauten in der vierdimensionalen Darstellung ∂Ax ∂A1 = ic ∂t ∂x4 ∂A4 ∂φ = −ic ∂x ∂x1

∂Ay

∂A2 = ic ∂t ∂x4 ∂A4 ∂φ = −ic ∂y ∂x2

∂Az

∂A3 = ic ∂t ∂x4 ∂A4 ∂φ = −ic . ∂z ∂x3

Wenn wir nun den Tensor-Operator ROT durch ∂Xl ∂Xk − (ROT X)kl = ∂xk ∂xl

(k, l = 1, 2, 3, 4)

definieren, lassen sich die Komponenten der dreidimensionalen Felder dem Komponenten des Tensor ROT A wie folgt zuordnen: Ex = (ROT A)14

Ey = (ROT A)24

Ez = (ROT A)34

300

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Bx = (ROT A)23

By = (ROT A)31

Bz = (ROT A)12 .

Der so genannte Feldtensor wird durch E = c ROT A definiert. Dies ist ein antisymmetrischer Tensor (d.h. Ekl = −Elk ). Ein antisymmetrischer 4 × 4-Tensor hat nur sechs unabhängige Elemente; sie entsprechen in diesem Fall, bis auf den Faktoren c und i, den Komponenten der E- und B-Felder:   0 cBz −cBy −iEx  −cB 0 cB −iE  z x y (10.18) E = c ROT A =  . 0 −iEz   cBy −cBx iEx iEy iEz 0 Der entsprechende Tensor für die D- und H-Felder (Erregungstensor) lautet   0 Hz −Hy −icDx   0 Hx −icDy  1  −Hz ROT A =  D= . −Hx 0 −icDz   Hy µ◦ icDx icDy icDz 0

Die Darstellung der Felder in dieser Tensorform macht deutlich, dass Elektrizität und Magnetismus zwei Aspekte des gleichen Phänomens sind. Die Lorentz-Transformation lässt sich im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum mit Hilfe einer 4 × 4Matrix darstellen:   γ 0 0 iβγ  0  1 0 0   L= 0 0 1 0  −iβγ 0 0 γ

301

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN = LR, d.h. Die Transformation eines Vierervektors erfolgt durch Matrixmultiplikation:     �   x1 γ (x1 + iβx4 ) x1 γ 0 0 iβγ �  x   x   0  1 0 0 x 2   2 =   2�  =    x   x   0  0 1 0 x 3 3 3 � −iβγ 0 0 γ x4 γ (x4 − iβx1 ) x4 � R

Wie man leicht überprüfen kann, hat die Matrix L folgende Eigenschaften, die aus der Tatsache resultieren, dass die Lorentz-Transformation eine starre Rotation der Koordinatenachsen darstellt: • Das Skalarprodukt einer Reihe oder einer Spalte mit sich selbst ist gleich 1, das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Reihen oder Spalten ist gleich 0: 4 � i=1

Lik Lil =

• Die Determinante ist gleich 1: det L = 1.

4 � i=1

Lki Lli = δkl . ∗

−1

• Die komplex konjugierte Matrix ist gleichzeitig die inverse Matrix: L = L Identitätsmatrix ist. Ein Tensor T (z.B. das Feldtensor) transformiert nach folgendem Schema: ∗

T = LTL . �

∗

oder LL = I, wo I die (10.19)

Frage 10.3 Zeigen Sie, dass Gleichung (10.19) zu den uns schon bekannten Transformationsgleichung für

die (dreidimensionalen) Felder E und B bzw. D und H führen (s. Abschnitt 10.2).

10.6

Antworten zu den Fragen

Frage 10.1 Es ist E.B = Ex Bx + Ey By + Ez Bz . Wenn wir die Komponenten von E und B durch die rechten Seiten der entsprechenden Gleichungen (10.7) ersetzen, erhalten wir nach Kürzen der Terme, die sich

Antwort ⇓

302

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN gegenseitig aufheben E.B =

� � E x Bx

2

+ γ (1 − β

2

2

� � )Ey By 2

2

+ γ (1 − β

2

� � )Ez Bz .

Aus den Definitionen von γ und β folgt aber γ (1 − β ) = 1. Damit ist E.B =

� � Ex Bx

� � + E y By

� � + E z Bz

�

�

= E .B .

Die andere invariante Größe ist 2

2

2

B − E /c =

2 Bx

2 + By

2

2 + Bz

2 − (Ex

2 + Ey

2 2 + Ez )/c .

�2 + Ey

�2 2 + Ez )/c

2

Nach dem gleichen Verfahren erfolgt mit γ (1 − β ) = 1 2

2

2

B − E /c =

�2 Bx

�2 + By

�2 + Bz

�2 − (Ex

�2

�2

2

= B − E /c . Zurück ⇑

−17

−1

Frage 10.2 Aus (10.13) folgt mit λ ≈ 1 ≈ 10 C m . Bezogen auf eine Länge von 1 m, ist dies einer sehr kleine Menge, aber sie reicht aus, um die gleiche Kraft zu erzeugen wie die Lorentz-Kraft in S. Um den Strom zu bestimmen, wenden wir die Gleichung (10.10) für die Stromdichten: � λ

� j+ � j− �

= γ (j+ − uρ+ ) = −γ une,

= γ (j− − uρ− ) = γ ne(u − v)

j =

� j+

� + j−

= γj ≈ j.

Die Stromdichte—und damit der Strom—ändert sich also in erster Näherung nicht.

Zurück ⇑

303

KAPITEL 10. TRANSFORMATION DER EM-GRÖSSEN Frage 10.3 Wenn wir den Feldtensor (10.18) ersten Multiplikation (mit cβ = u)  βγ Ex γ (βE − cB )  ∗ y z TL =  γ (βEz + cBy ) iγ Ex

für T in Gleichung (10.19) einsetzen, erhalten wir nach der cBz 0 −cBx iEy

−cBy cBx 0 iEz

Daher gilt





bzw.

γ  0   0 −iβγ � cBz � −cBy � −iEx

usw.

� cBz

� −cBy � cBx



−iγ Ex  iγ (uBz − Ey )  . −iγ (uBy + Ez ) βγ Ex

� −iEx � −iEy  � −iEz 

0 −cB � 0  z =  � � 0  cBy −cBx � � � iEx iEy iEz 0    cBz −cBy −iγ Ex βγ Ex 0 0 iβγ   γ (βE − cB ) 0 cB iγ (uB − E ) 1 0 0    y z x z y  .  0 −iγ (uBy + Ez ) 0 1 0  γ (βEz + cBy ) −cBx 0 0 γ iEy iEz βγ Ex iγ Ex

= γ cBz − βγ Ey

⇒

= −γ cBy − βγ Ez

⇒

= −iγ Ex + iβ γ Ee

⇒

2

2 2

� Bz � By � Ex

2

= γ (Bz − uEy /c ), 2

= γ (By + uEz /c ), = Ex . Zurück ⇑

Anhang A

Formelzusammenstellung Elektrodynamik

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK

A.1 Symbol A B C c D d E F F df H I I J j L l me M n

Verwendete Symbole Bezeichnung Vektorpotential magnetische Induktion (a) Kapazität (b) Materialparam. im Curie-Gesetz Lichtgeschwindigkeit elektrische Verschiebung Abstand elektrisches Feld Kraft Fläche Flächenelement magnetisches Feld elektrischer Strom Magnetisierung Impulsflussvektor Stromdichte Induktivität Länge Masse des Elektrons Drehmoment Flächennormale (Einheitsvektor)

SI-Einheit −1

T m (V s m ) −2 T (V s m ) −1 F (C V ) K −1 ms −2 Cm m −1 Vm N 2 m 2 m −1 Am −1 A (C s ) −1 Am −2 N m (Pa) −2 Am −1 H (V s A ) m kg Nm —

305

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK P P pe pm p Q, q R r S ds T t U, V v � dV W w Z �r µr ω ρ σ � φ χe , χm

−2

dielektrische Polarisation Cm Leistung W elektrisches Dipolmoment Cm 2 magnetisches Dipolmoment Am −3 Leistungsdichte Wm Ladung C Widerstand � Ortsvektor m −2 Poynting-Vektor Wm Linienelement m Temperatur K Zeit s Spannung V −1 Geschwindigkeit ms 3 Volumenelement m Energie J −3 Energiedichte Jm komplexer Widerstand (Impedanz) � Wellenwiderstand � Dielektrizitätszahl — relative Permeabilität — −1 Kreisfrequenz s −3 Ladungsdichte Cm −1 elektrische Leitfähigkeit Sm magnetischer Fluss Wb (V s) elektrostatisches Potential V dielektrische, magnetische Suszeptibilität—

306

307

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK

Durch die Definitionen der SI-Einheiten sind die numerischen Werte folgender Universalkonstanten exakt festgelegt: −1

• Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 299 792 458 m s

• Permeabilität des Vakuums: µ◦ = 4π · 10

−7

2

−2

NA

. −7

= 12,566. . . ·10 −12

• Permittivität des Vakuums: �◦ = 1/(µ◦ c ) = 8,8541 . . . · 10

A.2

NA

−1

Fm

−2

.

.

Formelliste q1 q2 (r1 − r2 ) F = � �3 � � 4π � � r − r

1 E(r) = 4π �r �◦

r ◦

�

1

(r

2

� � − r )ρ(r )

|r

Coulomb-Gesetz

3 � −r |

dV

D = �r �◦ E = �◦ E + P P = �◦ χe E (�r = 1 + χe ) 1 φ(r) = 4π �r �◦ φ(r) =

�

ρ(r) � dV � |r − r | pe .r

4π �r �◦ r

3

�

Elektrisches Feld einer statischen Ladungsverteilung Verschiebungsfeld Polarisation Potential einer statischen Ladungsverteilung Potential eines elektrischen Dipols

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK E(r) =

1 4π �r �◦ r

�

F

3

�

3(pe .r)r r

2

− pe

Auf elektr. Dipol wirkendes Drehmoment

W = −pe .E

Energie eines Dipols im E-Feld

�

D.df =

Satz von Gauß

qi

i

Feld als Gradient des Potentials Kapazität eines Kondensators

C = Q/V bzw. 2

j = σE 2

P = I V = RI = V /R 2

p = j .E = j /σ = σ E � k

� j

Elektrisches Feld eines Dipols

M = pe × E

E(r) = −∇φ(r)

I = V /R

�

Ik = 0

2

Ohmsches Gesetz Leistung eines elektrischen Stroms Leistungsdichte

(Knoten)

Uj = 0 (Maschen)

Kirchhoffsche Gesetze für Netzwerke

308

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK Lorentz-Kraft

F = qv × B � � j .df B.ds = µr µ◦

Durchflutungsgesetz

F

Magnetfeld als Rotation des Vektorpotentials

B =∇ ×A �

� j (r )

µr µ◦ � A(r) = dV � |r − r | 4π � � � µr µ◦ j (r )×(r − r ) � B(r) = dV 3 � 4π |r − r | � µr µ◦ I ds A(r) = � | r −r | 4π � � µr µ◦ I ds × (r − r ) B(r) = 3 � 4π |r − r | pm = I F n A(r) = µr µ◦ B(r) = 4π

µr µ◦ pm × r 4π r

�

309

r

2

M = pm × B

− pm

Vektorpotential und Magnetfeld eines Leiters mit einer zeitlich konstanten Stromstärke I Magnetisches Dipolmoment eines Stromkreises Vektorpotential eines Dipols

3

3(pm .r)r

Vektorpotential und Magnetfeld einer zeitlich konstanten Stromdichteverteilung

�

Magnetfeld eines Dipols Auf mag. Dipol wirkendes Drehmoment

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK Energie eines Dipols im Magnetfeld

W = −pm .B

(µr = χm + 1) I = χm H B = µ◦ (M + H ) = µr µ◦ H C χm = T � �= B.df

Curie-Gesetz Magnetischer Fluss

F

d� V =− dt

φ = LI φj k = Lj k Ik

Induktionsgesetz

dI V = −L dt

⇒ ⇒

Vj k

dIk = −Lj k dt

µr µ◦ I1 I2 l F = 2π d dH =

Ampèresches Gesetz

dF = I ds × B Lj k = Lkj

µr µ◦ = 4π

Gegeninduktion

Biot-Savart-Gesetz

3

� �

Selbstinduktion

Kraft zwischen Leitern

I ds × r 4π r

Magnetisierung

dsj .dsk

� � � � �rj − rk �

Gegeninduktivität

310

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK 1 w = (E.D + B.H ) 2 U = ZI

U = U◦ exp(iωt) I = I◦ exp(iωt) � � 1 Z = R + ωL − i ωC ∇.D = ρ ∇.B = 0

∇ × E = −B˙

∇ × H = j + D˙ � � � ρ(r , t ) � 1 dV φ(r, t) = � |r − r | 4π �r �◦ � � � µr µ◦ j (r , t ) � A(r, t) = dV � |r − r | 4π � � 1 � �� � t =t − r −r c c0 1 =√ c= √ �r �◦ µr µ◦ �r µ r

311

Energiedichte Ohmsches Gesetz für Wechselströme Komplexe Spannung Komplexer Strom Komplexer Widerstand (Impedanz)

Die Maxwell-Gleichungen

Lösungen der Maxwell-Gleichungen für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

Retardierte Zeit Lichtgeschwindigkeit im Medium

ANHANG A. FORMELZUSAMMENSTELLUNG ELEKTRODYNAMIK ˙ t) E(r, t) = −∇φ(r, t) − A(r, B(r, t) = ∇ × A(r, t) � Dn � Bt

= Dn = Bt

� Et = Et � Hn = Ht

S =E×H

1 J = (E × H ) c

Lösungen für die Felder Randbedingungen für die Felder an den Grenzen zwischen zwei Medien Poynting-Vektor (Energiefluss) Impulsfluss

312

Anhang B

Maßeinheiten der Elektrodynamik

ANHANG B. MASSEINHEITEN DER ELEKTRODYNAMIK

314

Elektrische Stromstärke: Ampere (A) Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt −7 fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10 Newton hervorrufen würde. Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit. Elektrische Ladung: Coulomb (C) transportiert wird: 1 C = 1 As

1 Coulomb ist die Ladung, die in 1 s von einem Strom von 1 A

Elektrische Spannung: Volt (V) Um eine Ladung von 1 C durch eine Spannung von 1 V zu verschieben, −1 −1 benötigt man die Energie 1 J: 1 V = 1 J C = 1 W A Elektrischer Widerstand: Ohm (�) Wenn eine Spannung von 1 V an einen Widerstand von 1 � angelegt −1 −2 wird, fließt eine Strom von 1 A: 1 � = 1 V A = 1 W A . Elektrischer Leitwert: Siemens (S)

1S = 1�

−1

.

Elektrische Kapazität: Farad (F) Bei einer Spannung von 1 V trägt ein Kondensator mit einer Kapazität −1 2 2 −1 von 1 F eine Ladung von 1 C: 1 F = 1 C V = 1 A s J . Induktivität: Henry (H) In einem Stromkreis mit einer Induktivität von 1 H induziert eine Stromänderung −1 −1 −2 von 1 A s eine Spannung von 1 V: 1 H = 1 V s A = 1 J A .

ANHANG B. MASSEINHEITEN DER ELEKTRODYNAMIK

315

Magnetische Flussdichte: Tesla (T) Eine Ladung von 1 C, die sich senkrecht zu einem Magnetfeld von −1 −1 −1 1 T mit einer Geschwindigkeit von 1 m s bewegt, erfährt eine Kraft von 1 N: 1 T = 1 N m A Magnetischer Fluss: Weber (Wb) 1 Wb ist der magnetische Fluss durch eine Fläche von 1 m, die senk2 −1 recht zu einem Magnetfeld von 1 T steht: 1 Wb = 1 T m = 1 J A . Lichtstärke: Candela (cd) Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strah12 lungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 10 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt. Die Candela ist eine SI-Basiseinheit. Lichtstrom: Lumen (lm) Das Lumen ist ein Maß für die effektive Stärke einer Lichtquelle und entspricht dem Integral der Lichtstärke (cd) über den gesamten Raumwinkel: 1 lm = 1 cd sr.

Anhang C

Thermodynamik der Magnetisierung

ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG

317

Allgemeine thermodynamische Betrachtung Betrachten wir eine lange Spule mit n Windungen pro Längeneinheit und der Querschnittsfläche A. Befindet sich ein Stoff innerhalb der Spule, wird er magnetisiert, wenn ein Strom durch die Spule fließt. Um den Strom aufzubauen, wird Arbeit geleistet. Es soll nun eine Formulierung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik für diesen Prozess gefunden werden. Dazu betrachten wir zunächst die leere Spule. Alle nachfolgenden Rechnungen beziehen sich auf einen Abschnitt der Länge l, der so weit von den beiden Enden der Spule entfernt sei, dass die Felder im ganzen Volumen als homogen betrachtet werden können. Ein Strom i erzeugt ein Feld H = ni und einen magnetischen Fluss � = nlAµ◦ H in der Spule. Eine Änderung des Magnetfeldes verursacht durch Induktion eine Gegenspannung ˙ = nlAµ H˙ , so dass die Stromversorgung die Leistung P = iV = lAµ H H˙ aufbringen muss, um die V =� ◦ ◦ Änderung aufrechtzuerhalten. Das Produkt Al ist das Volumen des betrachteten Abschnitts. Als „System“ (im thermodynamischen Sinne) wählen wir nun ein Einheitsvolumen innerhalb dieses Raumes. Für dieses System gilt, dass die Arbeit (C.1) dA◦ = µ◦ H dH

geleistet werden muss, um eine Änderung dH zu bewirken. Nun betrachten wir das gleiche System, wenn die gesamte Spule mit einem magnetischen Material ausgefüllt 1 ist. Der Fluss ist in diesem Fall � = nlAB = nlAµ◦ (H + M), wo M = χm H die Magnetisierung des Stoffes ˙ und die Arbeit, die auf unser System (Einheitsvolumen) ist. Die Leistung ist somit P = iV = lAµ◦ H (H˙ + M), geleistet wird, ist � (C.2) dA = µ◦ H (dH + dM) = µ◦ H (dH + χm dH ) = dA◦ + dA.

Gleichung (C.2) zeigt, dass die Arbeit, die geleistet werden muss, um die Magnetisierung des Einheitsvolumens zu ändern, aus zwei Beiträgen besteht. Der erste Beitrag dA◦ ist die Arbeit, die nach Gleichung (C.1) geleistet werden muss, um das für die Magnetisierung benötigte Feld H zu ändern. Diese Arbeit wird als innere Energie des Feldes gespeichert. Es steht uns frei, dieses Feld als Teil unseres Systems zu betrachten oder 1 Der Einfachheit halber gehen wir von einem isotropen Stoff aus, d.h. H und M sind parallel zueinander.

ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG

318

nicht, da es völlig unabhängig von der Anwesenheit des Materials ist. Da wir uns aber hier für die Eigenschaften des Materials interessieren, ist es zweckmäßig, das H -Feld als extern zum System, d.h. als Teil unseres „Magnetisierungsapparats“, zu betrachten. Dies ist möglich, auch wenn das Feld räumlich mit dem System zusammenfällt. Der zweite Beitrag dA = χm dA◦ ist die Energie, die zusätzlich benötigt wird, wenn der magnetische Stoff � vorhanden ist. Die Gesamtarbeit ist dA = (1 + χm )dA◦ = µr dA◦ = BdH . Die Verhältnisse lassen sich mit Hilfe einer mechanischen Analogie verdeutlichen: Betrachten wir ein aus zwei Federn bestehendes System, die in Reihe miteinander verbunden sind, so dass sie die gleiche Dehnungskraft K erfahren. Die Federn haben die Längen x1 , x2 und die Federkonstanten α1 bzw. α2 . Die Arbeit, die bei einer Krafterhöhung dK geleistet wird, ist �

dA = K(dx1 + dx2 ) = α1 KdK + α2 KdK.

(C.3)

Mit den Entsprechungen K ↔ H , α1 ↔ µ◦ und α2 ↔ χm µ◦ sind die Gleichungen (C.2) und (C.3) völlig äquivalent. Die erste Feder stellt das magnetisierende Feld, und die zweite die Magnetisierung dar. Für das System bestehend aus dem magnetisierten Stoff (ohne H -Feld) lässt sich der erste Hauptsatz der Ther2 modynamik daher wie folgt formulieren : dU = dQ + dA = T dS + µ◦ H dM.

(C.4)

Wir betrachten nun den allgemeinen Fall, wo M nicht unbedingt linear von H abhängt. Bei der Betrachtung von bestimmten magnetischen Systemen ist es oft wichtig zu wissen, wie die innere Energie vom Magnetfeld bei konstanter Temperatur abhängt. Dazu bilden wir aus (C.4) die Ableitung: � � � � � � ∂S ∂M ∂U =T + µ◦ H . (C.5) ∂H T ∂H T ∂H T 2 Wir nehmen hier an, dass eine möglich Volumenänderung während der Magnetisierung so klein ist, dass wir die mechanische Arbeit

P dV vernachlässigen können.

319

ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG

Wenn wir (C.4) mit der mechanischen Form dU = T dS − P dV vergleichen, sehen wir, dass wir die MaxwellGleichungen der Thermodynamik anwenden können, indem wir P durch µ◦ H und V durch −M ersetzen. Dadurch erhalten wir u.a. die Beziehung: � � � � ∂M ∂S = µ◦ . (C.6) ∂H T ∂T H Einsetzen in (C.5) ergibt

�

∂U ∂H

�

T

= µ◦ T

�

∂M ∂T

�

H

+ µ◦ H

�

∂M ∂H

�

.

(C.7)

T

Im folgenden wird gezeigt, wie diese Gleichung bei den verschieden Typen von magnetischen Stoffen angewendet werden kann. Paramagnetische Stoffe Zunächst kann man allgemein feststellen, dass die isotherme Magnetisierung eines paramagnetischen Materials mit einer Erhöhung der Ordnung und daher mit einer Abnahme der Entropie verbunden ist. Aufgrund der Beziehung �S = �Q/T folgt daher Q < 0, d.h. Wärme wird abgegeben. Für einen ideal paramagnetischen Stoff (keine Wechselwirkung zwischen den Magnetmomenten innerhalb des Stoffes) gilt, dass die Magnetisierung eine Funktion von H /T ist, d.h. M = f (H /T ) und somit � � � � � � Hf f ∂M ∂M = − 2 und = . ∂T H ∂H T T T Einsetzen in (C.7) ergibt

�

∂U ∂H

�

T

= 0,

d.h. die innere Energie eines paramagnetischen Stoffes ist unabhängig von der Magnetisierung bei konstanter Temperatur. Damit verhält sich ein paramagnetischer Stoff gegenüber einer Magnetisierung wie ein ideales

320

ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG

Gas gegenüber einer Volumenänderung. Die bei der Magnetisierung geleistete Arbeit muss daher vollständig als Wärme abgeführt werden, wenn die Temperatur konstant bleiben soll. Wird die Magnetisierung adiabatisch 3 durchgeführt, steigt die Temperatur . Bei der Entmagnetisierung wird Wärme aufgenommen, oder, wenn der Vorgang adiabatisch erfolgt, sinkt die Temperatur. Die „adiabatische Entmagnetisierung“ist ein bekanntes Verfahren zum Erreichen sehr tiefer Temperaturen. Im Linearitätsbereich M = χm H können wir (C.4) einfach integrieren und erhalten mit U = konstant folgenden Ausdruck für die Wärmemenge Q, die bei der isothermen Magnetisierung frei wird: 1 1 2 Q = µ◦ χm H = µ◦ H M. 2 2 Diamagnetische Stoffe Bei diamagnetischen Stoffen ist die magnetische Suszeptibilität unabhängig von der Temperatur, d.h.: � � ∂M = 0. ∂T H

Wir erhalten daher aus (C.6) direkt

dQ = T dS = T

�

∂S ∂H

�

T

µ◦ T

�

∂M ∂T

�

H

dH = 0.

Es gibt daher bei diamagnetischen Stoffen keine Wärmeentwicklung. Die Magnetisierung führt, da χm < 0 ist, zu einer Erniedrigung der inneren Energie. Ferromagnetische und antiferromagnetische Stoffe Für antiferromagnetische Stoffe und für ferromagnetische Stoffe oberhalb der Curie-Temperatur TC gilt χm = C/(T − �), wobei � < 0 für antiferromagnetische Stoffe gilt. Die Koeffizienten auf der rechten Seite der

3 Die magnetischen Dipole geben dabei Entropie (und Wärme) an das Gitter ab. Deshalb kann die Magnetisierungsentropie abnehmen

(M steigt), obwohl die Entropie des Gesamtsystems (Dipole + Gitter) konstant bleibt.

321

ANHANG C. THERMODYNAMIK DER MAGNETISIERUNG Gleichung (C.7) sind daher � Einsetzen in (C.7) ergibt

∂M ∂H

�

T

C ; = T −�

�

∂M ∂T

�

H

=−

CH (T − �)

. 2

2

µ◦ χm �H dH, dU = − C und aus (C.4) mit M = χm H erhalten wir schließlich für die abgegebene Wärmemenge χm � 1 2 Q = (1 + )µ◦ χm H . 2 C Die Behandlung der Magnetisierung von ferromagnetischen Stoffen unterhalb TC ist im allgemein schwierig, weil die Beziehungen nichtlinear sind. Außerdem finden nichtreversible Prozesse statt. Für einen kompletten Umlauf durch eine Hystereseschleife gilt aber �U = 0, und die freigesetzte Wärmemenge ist gleich der Arbeit: � Q = µ◦ H dM.

Index Aberration, 254 Ampere (A), 4, 12, 13, 65, 105, 116, 201, 314 Ampère, André Marie, 4 ampèresches Gesetz, 310 Amplitude, 178, 180, 182 Amplitude, komplexe, 181 Amplituden-Phasen-Diagramm, 178, 180, 181 Anionen, 81 anisotrope Medien, 55, 58, 172, 207 Anlasser, 96 Anode, 81, 82 Antiferromagnetismus, 140, 156, 320 Äther, 5, 229, 232 Ätherwind, 229, 233 Atomkern, 271 B-Feld, 309 – der Magnetisierung, 137

– einer bewegten Ladung, 108, 162 – einer endlichen Spule, 123 – einer harmonischen Welle, 202 – einer langen Spule, 122 – einer Stromschleife, 111 – – kreisförmig, 122 – eines Dipols, 309 – eines Helmholtz-Spulenpaares, 124 – eines Koakialkabels, 126 – eines mag. Dipols, 163 – eines Stromelements, 111 – eines Toroids, 121 – in Materie, 137 – Quellenfreiheit, 114, 115, 126, 196 – Vergleich mit E-Feld, 126 – von Stromleitern, 125 – Wirbelstärke, 115 322

323

INDEX Bandgenerator, 41, 42, 89 Batterie, 4, 82, 85 – innerer Widerstand, 85, 96 – Klemmspannung, 96, 97 – Kurzschlußstrom, 96 – Urspannung, 96, 97 Bednorz, Johannes, 73 Bernstein, 3, 75 Betastrahlen, 87 Bezugssystem, 105, 159 Bildladung, 38 Biot, Jean-Baptiste, 4 Biot-Savart-Gesetz, 128, 310 – Anwendung, 111, 115, 121, 122, 131 – mit Vektorpotential, 128 – Verallgemeinerung, 128 Blättchenelektroskop, 9, 10 Bleiakkumulator, 85, 96 – innerer Widerstand, 85 – Spannung, 85 Blitz, 30, 89 – Energie, 89 Bogenentladung, 89–91 Bohr, Niels, 223 bohrscher Radius, 18 bohrsches Atommodell, 18, 223 bohrsches Magneton, 120 Boltzmann, Ludwig, 77

Boltzmann-Gesetz, 77, 141 braunsches Rohr, 9, 10 Bremsstrahlung, 223 Brewster, David, 214 Brewster-Winkel, 214 Candela (cd), 71, 315 Cäsium, 142 Cavendish, Henry, 3, 10 Coulomb (C), 3, 12, 314 Coulomb, Charles, 3, 9, 10 Coulomb-Gesetz, 3, 10, 12, 13, 307 – im Dielektrikum, 54 – magnetisches, 105 Curie, Pierre, 140 Curie-Gesetz, 140, 141, 153, 310 Curie-Konstante, 150 Curie-Temperatur – ferromagnetische, 148–151, 154, 320 – paramagnetische, 149, 150 Curie-Weiss-Gesetz, 149, 153, 155, 156 D-Feld, 53, 307 – Quellen, 53 de Broglie-Wellenlänge, 268 Debye, Peter, 68 Debye-Temperatur, 68, 69 Diamagnetismus, 137, 140, 143, 145, 157, 320 Dielektrikum, 49–52, 54, 208, 210

324

INDEX Dielektrizitätskonstante, 53, 55 Dielektrizitätszahl, 52, 210, 211, 306 Diode, 79–81, 187 Dipol, elektrischer, 32 – Drehmoment, 34, 37 – Energie, 308 – Feldlinien, 135 – Kraft auf, 35 – potentielle Energie, 35 – schwingender, 220–223 – Wechselwirkung mit E-Feld, 34 – Wechselwirkung zwischen 2, 36 Dipol, magnetischer, 3, 105, 106, 136, 159 – B-Feld, 163 – Drehmoment, 309 – Energie, 310 – Feldlinien, 135 – Nordpol, 105 – Südpol, 105 Dipolmoment, elektrisches, 32, 44, 47, 306 – Bezugspunkt, 43 – einer Ladungsverteilung, 43 – einer Oberflächenladung, 51 – eines Atomkerns, 48 Dipolmoment, magnetisches, 105, 306 – einer Stromschleife, 118, 119 – eines Atoms, 120, 141 – eines Stromkreises, 309

– induziertes, 135, 157 Dispersion, 210 Dissoziation, 81 Doppelbrechung, 207 Doppler-Effekt, 233, 255, 270 – longitudinal, 256, 273 – transversal, 257 Drehimpuls, 110, 120, 143 Drude, Paul, 66 Dunkelentladung, 89 Durchflutungsgesetz, 113, 114, 196, 309 – Ableitung, 111 – Anwendung, 115, 121, 126, 175, 198, 209 – Differentialform, 114 Dynamik, relativistische, 261 Dynamo, 4, 5 E-Feld, 53, 307, 308 – Abschirmen, 24 – einer bewegten Ladung, 162 – einer harmonischen Welle, 202 – eines Dipols, 34, 308 – Quellen, 53 – Quellenstärke, 22, 196 – Rotationsfreiheit, 126 – Vergleich mit B-Feld, 126 Einstein, Albert, 5, 233 elektrische Verschiebung, 305

325

INDEX Elektrode, 23, 81, 83 Elektrolyse, 81, 82 Elektrolyt, 81–83 – Ladungsträger, 81 – – Beweglichkeit, 81 Elektromagnet, 4 Elektrometer, 9 Elektromotor, 5, 39, 166 – Drehmoment, 166 Elektron, 268 – Bahndrehimpuls, 120 – freies, 66, 144, 216 – im Atom, 223 – im Zyklotron, 108 – in Metallen, 65, 67 Elektronenvolt (eV), 18 Elektrophor, 4, 8, 9 Elektroskop, 9, 10 Element, 75, 82 Elementarladung, 12, 13, 18 Elementarteilchen, 12, 245 Energie – -erhaltung, 261 – chemische, 85 – der Magnetisierung, 317 – des elektrischen Feldes, 57, 170 – des EM-Feldes, 172, 311 – des Kondensators, 28, 57, 96

– des Magnetfeldes, 171 – des Photons, 87 – einer Schwingung, 171 – einer Spule, 171 – innere, 318–320 – Ionisierungs-, 86, 88 – und Masse, 264 Entladung – in Luft, 88, 89 Entmagnetisierung, 153 – adiabatische, 320 Entropie, 320 Erde – Atmosphäre, 87 – mag. Pole, 105 – Magnetfeld, 3, 107, 108 Ereignis, 241, 281 Erregungstensor, 300 Farad (F), 4, 28, 314 Faraday, Michael, 4 Faraday-Becher, 9, 11 Faraday-Käfig, 24 Faraday-Konstante, 13 faradaysches Gesetz, 164 Fay, Charles du, 3 Feld, konservativ, 16 Feldlinie, 14, 19, 22

326

INDEX Feldtensor, 300 Fernsehantenne, 126 Ferrimagnetismus, 140, 156 Ferroelektrizität, 55 Ferromagnetismus, 140, 145, 148–150, 152, 155, 320, 321 – Bloch-Wände, 152 – Domäne, 152, 154 – Hysterese, 150 – Koerzitivfeldstärke, 150, 152 – Magnetisierung, spontane, 150, 154 – Molekularfeld-Theorie, 153, 155 – Remanenz, 150–153 – Sättigungsmagnetisierung, 150, 154 – Weiss-Bezirke, 152 Festkörper, 4, 75, 82, 223 Fizeau-Versuch, 257 Flächenladung, 26–28, 50–52, 62, 136 Fluoreszenz, 91 Fluss, magnetischer, 164–166, 306, 310, 317 Flussdichte, magnetische, 164 Fossilharz, 3 Franklin, Benjamin, 3 Funke, 39, 89 Galilei-Transformation, 229, 231, 234, 238 Galvani, Luigi, 3 galvanische Zelle, 4, 82, 84

Galvanisierung, 82 Galvanometer, 4, 97 Gammastrahlung, 87 Gas, 86, 87, 89, 208 Gas, ideales, 277 Gauß, Karl Friedrich, 21 Gegeninduktivität, 173, 310 – eines Transformators, 175 – konzentrischer Spulen, 174 Geigerzähler, 87 Gewitter, 89 Gilbert, William, 3 Glas, 3, 75, 82 Gleichgewicht in einem E-Feld, 23 Glimmentladung, 90 Gold, 83, 142 Graaff, Robert Jamison van de, 41 Graphit, 89 Gravitation, 13, 59, 234 Gravitationsrotverschiebung, 253 Gray, Stephen, 3 Grenzbedingungen, 56, 208, 210, 211 Grundpostulat, 233 H-Feld, 138, 143, 151 – einer bewegten Punktladung, 197 Halbleiter, 65, 75, 77, 116 – Akzeptor, 77

327

INDEX – Bändermodell, 75 – Bandlücke, 75, 77 – Bandlücke, 77 – Donator, 77 – Dotierung, 77 – Eigenleitung, 76 – Ladungsträger, 76–79 – – Driftgeschwindigkeit, 75 – Leitfähigkeit, 76, 77 – Leitungsband, 75–77 – Leitungselektron, 76 – Loch, 76–78 – n-dotiert, 77 – p-dotiert, 77–79, 116 – p-n-Übergang, 77–80 – Störstellenleitung, 77 – Valenzband, 75–77 Hall, Edwin H., 116 Hall-Effekt, 116, 117 Hauptsatz, erster, 317, 318 Haushalte, Stromverbrauch, 89 Helmholtz, Hermann von, 124 Helmholtz-Spulen, 124 Henry (H), 4, 167, 168, 314 Henry, Joseph, 4, 167 Hertz (Hz), 176 Hertz, Rudolf Heinrich, 5 Hochfrequenzschaltungen, 223

Hysterese, 150, 152, 321 Impuls, 110, 206, 207, 263, 265, 267 – -erhaltung, 37, 87, 109, 261 Impulsfluss, 305, 312 Induktion, 160, 161, 167, 317 Induktion, magnetische, 305 Induktionsgesetz, 163, 164, 310 – Anwendung, 209 – Differentialform, 196 Induktivität, 167, 180, 305 – einer Doppelleitung, 168, 169 – einer Spule, 168 – eines Transformators, 176 Inertialsystem, 105, 229, 234, 282 Influenz, 39, 41 Influenzkonstante, 12 Influenzmaschine, 39, 40 Ion, 81, 82, 85, 87, 88 Ionenleitung, 81, 82 Ionisation, 86–89 Isolator, 12, 75, 76, 86 Joule, James Prescott, 70 joulesche Wärme, 70, 206 Kamerlingh Onnes, Heike, 72 Kapazität, 28, 52, 53, 94, 305 – einer Doppelleitung, 169

328

INDEX Kathode, 81, 82 Kationen, 81 Kausalität, 249, 251 Kern, 223 Kernreaktion, 266 Kilowattstunde, 70 Kinetik, relativistische, 229 Kirchhoff, Gustav Robert, 98 kirchhoffsche Gesetze, 98, 99, 308 Koaxialkabel, 126, 169, 223 Kohlenstoff, 89 Kommutator, 166 Kompass, 3, 4, 105 Kompensationsschaltung, 96 Kondensator, 28, 50, 52, 53, 93, 102 – Entladung, 94 – Kapazität, 308 – Ladung, 94 – Parallelschaltung, 93, 102 – Reihenschaltung, 93, 102 Kontinuitätsgleichung, 66, 197 Korona-Entladung, 30, 90 Korrosionsschutz, 82 Kraft zwischen bewegten Ladungen, 297 Kraft zwischen Leitern, 310 Kreisfrequenz, 108, 176, 306 Kreisstrom, 100, 136 Kristall, 55, 152, 207

Kupfer, 70, 75, 82, 83, 218 Kupfersulfatlösung, 82 Ladung, 3, 11, 12, 306 Ladung, freie, 53, 55 Ladungsarten, 53 Ladungsdichte, 14, 15, 22, 25, 43, 196, 306 Ladungserhaltung, 12, 65, 66, 99, 113 Ladungserzeugung, 8 Ladungsträger, 22, 65, 107, 116–118 – Driftgeschwindigkeit, 66, 67, 117 Ladungsverteilung, 14, 21, 31, 43 – kugelsymmetrische, 29 Lampe – Betriebstemperatur, 71 – Betriebszeit, 71, 72 – Effizienz, 71, 224 – Energiesparlampe, 91 – Glühlampe, 71, 72, 90, 91 – – Halogen, 71 – Helligkeit, 71 – Hochdruck, 91 – Leuchtstoff, 90, 91 – Niedrigdruck, 91 Längenkontraktion, 247, 294 – graphische Darstellung, 248 Laplace-Gleichung, 22, 30, 38 Larmor-Frequenz, 144

329

INDEX Laser, Festkörper-, 80 Lebensdauer, 245 Legendre-Polynome, 46 Legierungen, 73 Leistung – des elektr. Stroms, 70, 308 – induzierte, 165 Leiterpaar, 169 Leiterschleife, 160, 161 Leitfähigkeit, 68, 75, 81, 101, 208, 306 Leitung, 3, 12 – in Gasen, 86 – – Ladungsträger, 86, 87 – in Halbleitern, 75 – in Lösungen, 81 – in Metallen, 66 – in Wasser, 81 – Ionen-, 76 – Theorie, 4, 66 Leitungselektronen, 66, 145 Leitwert, 68, 93 lenzsche Regel, 160, 164 Leuchtdiode, 79 Leuchteffizienz, 102 Leuchterscheinung, 30, 89 Lichtbogen, 90 Lichtfrequenz, 87 Lichtgeschwindigkeit, 12, 190, 201, 229, 305, 307

– als Grenze, 240 – in einem Medium, 257, 311 Lichtintensität, 90 Lichttechnik, 90 Linienladung, 26, 169, 291 Lithium, 142 Lorentz, Hendrik Antoon, 234 Lorentz-Kraft, 107, 233, 290, 309 Lorentz-Transformation, 234, 237, 240, 274, 281, 289, 300 – Invariante, 242, 274, 289 Lorenz, Ludvig V., 200 Lorenz-Eichung, 200 Lumen (lm), 71, 315 µ-Mesonen, 245, 247 Magnet, 4, 5, 105 Magnetfeld, 5, 105, 106, 137, 305 – eines Toroids, 121 – homogenes, 124 – veränderliches, 159 Magnetisierung, 135, 305, 310, 317 – Bezug zum Oberflächenstrom, 137 – diamagnetische, 143–145 – ferromagnetische, 150, 151 – paramagnetische, 141 – Vergleich mit Polarisation, 135, 136 Magnetisierungsrichtung, 152

INDEX

330

Netzspannung, 180 Magnetismus, 3–5 Magnetit, 3 Netzwerk, 91, 98 Magnetostatik, 5, 135 Nichtleiter, 12, 48 Maryland-Experiment, 253 Nickel, 150 Masse, 261, 267 Nobel-Preis Masse-Energie-Äquivalenz, 264 – Bednorz, 73 Maxwell, James Clerk, 5 – Bohr, 223 Maxwell-Gleichungen, 196, 197, 199, 205, 210, 222, – Curie, Pierre, 140 229, 282, 311 – Debye, 68 – der Thermodynamik, 319 – Kamerlingh Onnes, 72 – Lösungen, 311, 312 – Michelson, 229 Metall, 12, 22, 66–69, 72, 73, 75, 82, 145, 208 – Müller, 73 Michelson, Albert, 229 – Néel, 156 Michelson-Morley-Versuch, 230 Oberflächenladung, 9, 51–53 Minkowski, Hermann, 241 Oberflächenstrom, 136–138 Minkowski-Diagramme, 241 Oersted, Hans Christian, 4 Monopol, elektrischer, 44, 47, 48 OH-Radikale, 82 Monopol, magnetischer, 105, 114, 115 Ohm (�), 4, 68, 314 Monopolmoment, elektrisches, 44 Ohm, Georg Simon, 4, 68 Mößbauer-Effekt, 233 ohmsches Gesetz, 68, 160, 177, 308 Müller, Karl Alexander, 73 – Ionenleitung, 81 Multipol, elektrischer, 44 Oktupol, elektrischer, 44 Multipolentwicklung, 44 Optik bewegter Körper, 254 optische Aktivität, 207 NaOH, 82 Ordnung, magnetische, 148, 152, 156, 319 Natrium, 81, 142 Oszillator, harmonischer, 171 Néel, Louis, 156 Néel-Temperatur, 156 Paramagnetismus, 137, 140, 141, 145, 149, 157, 319

331

INDEX Permanentmagnet, 152 Permeabilität, 137, 139, 167 – des Vakuums, 12, 116, 139, 307 – relative, 139, 306 Permittivität, 53 – des Vakuums, 53, 307 – relative, 52 Phase, 178, 180–182, 202, 203 Phasengeschwindigkeit, 189, 204, 219 Phosphor, 77 Photoemission, 90 Photoionisation, 86, 87 Photon, 87, 88, 270 Piezoelektrizität, 55 Planck-Konstante, 87, 120, 268 Plasmafrequenz, 217, 218 Plattenkondensator, 27, 28, 52 Poisson-Gleichung, 22 Polarisation, dielektrische, 48, 50, 51, 53, 306, 307 – in Metallen, 217 – Orientierungspolarisation, 48 – spontane, 55 – Vergleich mit Magnetisierung, 135, 136 – Verschiebungspolarisation, 48 Polarisation, lineare, 203, 212, 214 Polarisation,dielektrische – Polarisationsvektor, 49 Polarisierbarkeit, 48, 54

Polstärke, magnetische, 105 Potential, 202 – retardiertes, 202 Potential, elektrostatisches, 17, 199, 306 – einer Linienladung, 26 – einer Ladungsverteilung, 23, 307 – einer leitenden Kugel, 30 – einer Linienladung, 61 – einer Punktladung, 19 – eines Dipols, 32, 307 – im Elektrolyt, 82–84 Potential, skalares, 200 Potentialfläche, 19 Potentiometer, 97 Poynting, John Henry, 205 Poynting-Vektor, 205, 206, 214, 306, 312 Präzession, 144 Priestley, Joseph, 3, 10 Primärelektronen, 87 Probeladung, 14 Proton, 13, 18, 60, 108 Punktladung, 11, 14, 15, 38, 169 – bewegte, 197, 295 Pyroelektrizität, 55 Quadrupol, elektrischer, 44, 47 Quadrupolmoment, elektrisches, 44, 47, 48 Quantenmechanik, 12, 48, 75, 141–143, 223

INDEX Quarzkristall, 55 Quarzoszillator, 55 Quecksilber, 72 Radioaktivität, 89 Randbedingungen, 30, 38, 56, 312 Randeffekte, 28, 199 Rapidität, 261 Rastertunnelmikroskop, 55 Raum-Zeit-Kontinuum, 298 Raumbeleuchtung, 91 Reaktion, chemische, 81, 82 Reibungselektrizität, 3, 8, 18, 60 Relativitätstheorie, Allgemeine, 234 Relativitätstheorie, spezielle, 219 Relaxationszeit, 67 Resonanz, 55 Richtantenne, 89 Röntgenstrahlung, 223 Ruheenergie, 264 Ruhemasse, 262 Satz von Gauß, 21, 308 – Anwendung, 24, 25, 27, 29, 209 – D-Feld, 54 – Differentialform, 22 – mathematischer, 21, 66, 204 Satz von Stokes, 19, 114, 163 Sauerstoff, 82

332 Savart, Félix, 4 Schaltkreis, 91, 168 Scheinkräfte, 234 Schwingkreis, 170, 171 – Dämpfung, 172 Schwingung, harmonische, 178 Selbstinduktivität, 91, 166, 167, 173, 310 – einer Spule, 167 SI-Einheiten – elektr. Kapazität (F), 4, 28, 314 – elektr. Ladung (C), 3, 12, 314 – elektr. Leitwert (S), 68, 314 – elektr. Spannung (V), 4, 17, 314 – elektr. Stromstärke (A), 4, 12, 13, 65, 105, 116, 201, 314 – elektr. Widerstand (�), 4, 68, 314 – Induktivität (H), 4, 167, 168, 314 – Lichtstärke (cd), 71, 315 – Lichtstrom (lm), 71, 315 – mag. Fluss (Wb), 164, 315 – mag. Flussdichte (T), 107, 314 Siemens (S), 68, 314 Siemens, Werner von, 68 Silber, 75, 83, 142, 218 Silizium, 75, 77 Singularität, 170 Sonnenlicht, 205 Spannung, 17, 306

333

INDEX Spannungsquelle, 82 Spannungsteiler, 185 Spitzenentladung, 30, 42 Spule, 4, 121, 122, 137, 156, 166, 168 – endlich lange, 123 Stabmagnet, 105, 159, 161 Standard-Elektrodenpotentiale, 83 Standardelektrode, 83 Stoßionisation, 30, 86–88 Stoßzeit, 67 Straßenbeleuchtung, 91 Strahlungsverluste, 223 Strom, 4, 65, 164, 305 Stromdichte, 65, 164, 305 Strommessgerät, 97 Stromschleife, 118, 119, 122, 136 – Drehmoment, 119 Stromverbrauch, 70 Stromverteilung, 127 Superpositionsprinzip, 12, 13, 16, 17, 21 Supraleiter, 72 – 1. Art, 72 – 2. Art, 73 – Hochtemperatur, 73 Supraleitung, 72, 73, 145 – Sprungtemperatur, 72, 73 Suszeptibilität, dielektrische, 51, 55, 217, 306 Suszeptibilität, magnetische, 137, 138, 140, 143, 145,

149, 150, 306, 320 Synchrotron, 223 Synchrotronstrahlung, 223 Teilchenbeschleuniger, 43, 267 Teilchenzusammenstoß, 268 Tensor, 54 Tesla (T), 107, 314 Tesla, Nikola, 107 Thermodynamik, 140, 142, 317 Toroid, 121, 123 Torsionswaage, 9 Transformation – B-Feld, 285 – Beschleunigung, 240 – D-Feld, 285 – Druck, 276 – E-Feld, 285 – Energie, 273 – Geschwindigkeit, 238, 239, 241 – H-Feld, 285 – Impuls, 273 – Kraft, 274 – Ladungsdichte, 286, 287 – Masse, 273 – Raum-Zeit, 234 – Stromdichte, 286, 287 – Temperatur, 277

INDEX – Volumen, 276 – Wärme, 277 Transformator, 152, 175, 176, 187 Transistor, 80, 187 Trouton-Noble-Versuch, 232 Überlandleitungen, 70 Urspannung, 97 UV-Strahlung, 87, 90, 216, 218 van-de-Graaff-Generator, 41, 42 Vektorpotential, 126–128, 199, 305, 309 – eines Dipols, 129, 309 Verlustleistung, 70 Verschiebung, elektrische, 53 Verschiebungsdichte, 53 Verschiebungsstrom, 197–199 Verschiebungsstromdichte, 197 Verzinken, 82 Vierervektor, 238, 274 Volt (V), 4, 17, 314 Volta, Alessandro, 4, 8, 17 Voltmeter – innerer Widerstand, 96 Wasser, 81, 82 – destilliertes, 81 Wassermolekül, 82 Wasserstoff, 81, 82

334 Wasserstoffatom, 18 Wasserstoffelektrode, 83 Weber (Wb), 164, 315 Weber, Wilhelm Eduard, 164 Wechselstrom, 125, 176–178, 180 – Blindleistung, 180 – effektive Spannung, 180 – effektive Stromstärke, 180 – Filter, 184–186 – Impedanz, 182, 187, 306, 311 – – einer RCL-Schaltung, 183 – – Parallelschaltung, 182 – – Reihenschaltung, 182 – kirchhoffsche Gesetze, 183 – komplexe Spannung, 311 – komplexe Zahlen, 181 – komplexer Strom, 311 – Leistung, 178, 180 – ohmsches Gesetz, 182, 311 – RCL-Schaltung, 183 – – Q-Faktor, 183 – – Resonanz, 183 – Resonanzschaltung, 183 – Vierpol, 187 Wechselstromgenerator, 166 Wechselstromnetzwerke, 176 Weiss, Pierre-Ernest, 149, 153 Welle, elektromagnetische, 110, 125, 190, 196, 201

335

INDEX – eben Welle, 205 – Energietransport, 204 – Impulstransport, 206, 207 – in Metallen, 216 – – Brechungsindex, 217 – – Reflexionsvermögen, 217, 218 – – Wellenvektor, 217 – in transparenten Medien, 207 – – Brechung, 208, 211 – – Brechungsindex, 210, 211 – – fresnelsche Formeln, 214 – – Geschwindigkeit, 210 – – Reflexion, 211 – – Totalreflexion, 214 – – Wellenlänge, 210 – – Wellenzahl, 210 Welle, harmonische, 189, 202 Wellengleichung, 189, 201 Wellenleiter, 188, 190 – Dämpfung, 192 – Ersatzschaltbild, 188 Wellenvektor, 202, 204 Wellenwiderstand, 189 Weltlinie, 241 Widerstand, 4, 68–70, 72, 83, 92, 102, 306 – komplexer, 182 – Parallelschaltung, 92, 93 – Reihenschaltung, 91–93

– spezifischer, 68, 69, 72, 101 Wimshurst, James, 39 Wimshurst-Maschine, 39 Wirbelfeld, elektrisches, 160 Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes, 20 Wolfram, 71 Zeit, retardierte, 311 Zeitdilatation, 244, 245 – graphische Darstellung, 246 Zink, 82, 83 Zusammenstoß, elastischer, 261 Zwillingsparadoxon, 252 Zyklotron, 108 Zyklotronfrequenz, 108, 144

Abbildungsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16

Der Elektrophor . . . . . . . . . . . . . . . . Zwei Arten von Elektroskopen . . . . . . . . Zur Wirkung des Faraday-Bechers . . . . . . Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . Zur Wirkungsweise des faradayschen Käfigs . Feld einer Linienladung . . . . . . . . . . . . Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . Leitende Kugel in einem E-Feld . . . . . . . Das elektrostatische Potential eines Dipols . . Influenzmaschine . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip der Influenzmaschine . . . . . . . . . Prinzip des Bandgenerators . . . . . . . . . . Das Feld einer Ladungswolke . . . . . . . . Verschiebungs- und Orientierungspolarisation Dielektrikum in einem Kondensator . . . . . Die Felder E und D in einem Kondensator .

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336

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8 10 11 21 24 26 27 31 33 40 41 42 45 49 50 58

337

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 2.17 Zur Bestimmung des Feldes einer Flächenladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

Elektrische Leitung in Metallen . . . . . . . . . . Widerstand der Verbindung YBa2 Cu3 O7 . . . . . Elektronenenergiebänder in Festkörpern . . . . . Mechanismus der p- und n-Leitung . . . . . . . . Der p-n-Übergang (Diode) . . . . . . . . . . . . Aufbau eines Transistors . . . . . . . . . . . . . Prinzip der galvanischen Zelle . . . . . . . . . . Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen Ladung und Entladung eines Kondensators . . . . Kompensationsschaltung . . . . . . . . . . . . . Ausschnitt aus einem Netzwerk . . . . . . . . . . Beispiel für ein Netzwerk . . . . . . . . . . . . .

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. 67 . 74 . 76 . 78 . 79 . 80 . 84 . 93 . 95 . 97 . 98 . 100

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das ampèresche Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . Das Linienintegral von B um einen geschlossenen Weg . . . . . . Zur Entstehung des Hall-Effekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetisches Dipolmoment einer Stromschleife . . . . . . . . . . Zur Berechnung des Magnetfeldes eines Toroids . . . . . . . . . . B-Feld: kreisförmiger Strom, endlich lange Spule . . . . . . . . . B-Feld einer endlichen Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Helmholtz-Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zur Berechnung des Vektorpotentials eines magnetischen Dipols . Zur Berechnung des Magnetfeldes eines unendlich langen Leiters

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5.1 5.2

Feldlinien eines elektrischen und eines magnetischen Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Vergleich der dielektrischen Polarisation mit der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 136

110 112 113 117 118 121 123 124 125 128 131

338

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Zur Definition des H-Feldes . . . . . . . . . Paramagnetische Magnetisierung . . . . . . . Zur klassischen Theorie des Diamagnetismus Messung der Suszeptibilität . . . . . . . . . . Curie-Gesetz und Curie-Weiss-Gesetz . . . . Ferromagnetische Hysterese . . . . . . . . . Lösung nach der Molekularfeld-Theorie . . .

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138 142 143 146 149 151 155

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

Wechselwirkung zwischen Ladung und mag. Dipol . . . . . . Die lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E- und B-Felder bewegter Ladungen und magnetischer Dipole Änderung von � bei B =konst. . . . . . . . . . . . . . . . . Induktivität und Kapazität einer Doppelleitung . . . . . . . . . Prinzip des Transformators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselströme in R, C und L . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resonanz bei verschiedenen Q-Faktoren . . . . . . . . . . . . Eine einfache Filterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoch-, Tief- und Bandpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übergang zwischen zwei Wellenleitern . . . . . . . . . . . . .

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159 161 162 165 168 175 179 184 185 186 188 190

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Verschiebungsstrom im Plattenkondensator Felder auf der Oberfläche eines Drahts . . . Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . Fresnelsche Reflexion . . . . . . . . . . . . Energiefluss durch eine Grenzfläche . . . . Reflexionsvermögen eines idealen Metalls .

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198 206 208 212 215 216 219

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339

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 7.8 7.9

Reflexionsvermögen von Silber und Kupfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Strahlungsfeld eines Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11

Versuch von Michelson und Morley . . . . . . . Versuch vom Michelson und Morley: Laufzeiten . Der Trouton-Noble-Versuch . . . . . . . . . . . Zwei Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . Minkowski-Diagramm (1) . . . . . . . . . . . . Minkowski-Diagramm (2) . . . . . . . . . . . . Minkowski-Diagramm (3) . . . . . . . . . . . . Die Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . Reihenfolge von Ereignissen . . . . . . . . . . . Absolute Zukunft/Vergangenheit . . . . . . . . .

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230 231 233 235 242 243 244 246 248 250 251

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Relativistischer Stoß . . . . . . . . . Die relativistische Masse . . . . . . . Masse des Lichtes . . . . . . . . . . . Kinetische Energie beim Teilchenstoß Doppler-Effekt mit Photonen . . . . . Transformation des Druck . . . . . .

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262 263 265 270 271 276

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10.1 Stromführender Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.2 Stromführender Leiter im Minkowski-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.3 E- und B-Felder einer bewegten Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296