Dynamische Systeme: Modellierung mit den Methoden der Laplace-Transformation [1. Aufl.] 978-3-658-18184-0;978-3-658-18185-7

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-IX
Laplace-Transformation (Anton Braun)....Pages 1-26
Mechanische Systeme (Anton Braun)....Pages 27-52
Elektrische Systeme (Anton Braun)....Pages 53-80
Elektromechanische Systeme (Anton Braun)....Pages 81-99
Systemanalyse im Zustandsraum (Anton Braun)....Pages 101-129
Stabilität technischer Systeme (Anton Braun)....Pages 131-148
Back Matter ....Pages 149-154

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Anton Braun

Dynamische Systeme Modellierung mit den Methoden der Laplace-Transformation

Dynamische Systeme

Anton Braun

Dynamische Systeme Modellierung mit den Methoden der Laplace-Transformation

Anton Braun Wernberg-Köblitz, Deutschland

ISBN 978-3-658-18184-0 ISBN 978-3-658-18185-7  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Nicht zuletzt durch den rasanten Fortschritt in der Entwicklung kostengünstiger Computer hat die Simulation technischer Systeme immer mehr an Bedeutung gewonnen. Viele Hochschulen und Universitäten bieten deshalb seit geraumer Zeit Vorlesungen auf dem Gebiet der Systemdynamik an, um die Studierenden mit der mathematischen Modellierung von Systemen im weitesten Sinne vertraut zu machen. Mit diesem Buch wird der begründete Versuch unternommen, das dynamische Verhalten von Systemen mit den modernen Methoden der Laplace-Transformation, der Analyse des Frequenzverhaltens sowie der Systembeschreibung mit den Methoden der Zustandsraum-Darstellung durch theoretische Modellierung das transiente Systemverhalten zu simulieren und zu analysieren. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird es möglich, rechenintensive Differenzialgleichungen linearer Systeme im Zeitbereich durch wesentlich einfachere algebraische Gleichungen im Bildbereich zu ersetzen. Darüber hinaus haben sich die Möglichkeiten der Zustandsbeschreibung vor allem für sogenannte Mehrgrößensysteme bestens bewährt. Im Zuge der Umsetzung der im Rahmen der Simulation gewonnenen Erkenntnisse auf technische Anlagen genießt die Stabilität von Systemen eine nicht zu unterschätzende Rolle. Auch und gerade aus diesem Grund wurde in dieser Arbeit der Beurteilung der Stabilität technischer Systeme große Priorität eingeräumt. Im ersten Kapitel werden zunächst, allerdings ohne Anspruch auf Vollständigkeit, die Grundlagen der Laplace-Transformation präsentiert, wie sie im Rahmen der diversen Stoffgebiete dieser Arbeit und der dazu relevanten Beispiele notwendig sind. Hierzu zählen insbesondere die wichtigsten Rechenregeln, die Transformation typischer Zeitfunktionen, die inverse Laplace-Transformation mit ihren typischen Sonderfällen, die Lösung linearer Differenzialgleichungen im Bildbereich sowie die Definition und Bestimmung der Übertragungsfunktion. Ein für technische Anwendungen nicht unwesentlicher Abschnitt ist dem Sachgebiet der Linearisierung von Systemen gewidmet, damit auch für diese außergewöhnlichen Fälle die Laplace-Transformation zur Anwendung kommen kann.

V

VI

Vorwort

Das zweite Kapitel bringt einleitend zunächst die wichtigsten physikalischen Grundlagen, insbesondere die Newtonschen Axiome für Translation und Rotation, soweit sie dann im Rahmen der Modellierung mechanischer Systeme benötigt werden. Ein besonderes Augenmerk wird in diesem Zusammenhang den schwingfähigen Systemen gewidmet. Im Vorspann des dritten Kapitels werden einleitend die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten passiver Elemente der Elektrotechnik aufgezeigt. Hierzu zählen insbesondere das Ohmsche Gesetz, das Induktionsgesetz sowie die Kirchhoffschen Gesetze. Anschließend wird an Hand einer Reihe typischer Beispiele das dynamische Verhalten passiver Netzwerke vorwiegend unter Anwendung der Laplace-Transformation analysiert. Ein wesentlicher Abschnitt des selben Kapitels untersucht die Dynamik aktiver Netzwerke. Hierzu zählen insbesondere der Operationsverstärker sowie sein praktischer Einsatz als elektrisches Filter oder als technischer Regler mit seinen diversen Varianten. Kapitel vier behandelt im Besonderen elektromechanische Systeme, wie sie in neuerer Zeit vor allem auf dem breiten Gebiet der Mechatronik als Aktuatoren in Erscheinung treten. Hierzu zählen vor allem der konstant erregte Gleichstrommotor und der Servoantrieb. Hohe Priorität wird in diesem Zusammenhang der Analyse und der Simulation des Schrittmotors eingeräumt, dem wegen seiner großen Robustheit und Flexibilität in weiten Bereichen der Praxis große Bedeutung beigemessen wird. Weil mit der konventionellen Laplace-Transformation das Übertragungsverhalten von Systemen grundsätzlich nur für den sogenannten Eingrößenfall analysiert werden kann, wird Im fünften Kapitel die Analyse von elektrischen und mechanischen Systemen auf der Basis der Zustandsraum-Darstellung aufgezeigt. Neben den einleitenden mathematischen Grundlagen der Vektoranalysis werden hier ganz spezielle Beispiele aufgezeigt und analysiert, die ausnahmslos nur im Zustandsraum tieferen Einblick in die Dynamik des jeweiligen Systems ermöglichen. Ausklingend wird in diesem Kapitel zusätzlich die Dynamik fluider Systeme mit den Methoden der Zustandsbeschreibung in Verbindung mit der Laplace-Transformation einer eingehenden Untersuchung unterzogen. Vor der jeder Inbetriebnahme aktiver Systeme, insbesondere von Regelkreisen, muss deren Stabilität unter allen Umständen gewährleistet sein. Deshalb wird im Kapitel sechs der Definition sowie der Beurteilung der Stabilität von Systemen mit den Methoden der Laplace-Transformation an Hand diverser Stabilitätskriterien im Eingrößenfall und für Mehrgrößensysteme höchste Priorität beigemessen. Last not least sollte darauf verwiesen werden, dass die hier aufgezeigten Stoffgebiete mit einer Reihe anschaulicher Beispiele untermauert werden. Wernberg-Köblitz September 2018

Anton Braun

Inhaltsverzeichnis

1 Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Definition der Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Wichtige Transformationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Linearitätsregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Differenziationsregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Integrationsregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4 Dämpfungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.5 Faltungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.6 Grenzwertsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.7 Zeitlicher Verschiebungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Laplace-Transformierte typischer Zeitfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Laplace-Transformierte der Sprungfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Laplace-Transformierte der Rampenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion. . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Laplace-Transformierte des Rechteckimpulses. . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 Laplace-Transformierte der Impulsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.6 Laplace-Transformierte der Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.7 Laplace-Transformierte der Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Inverse Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Allgemeine Berechnung der Inversen Laplace-Transformierten mithilfe der Partialbruchzerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Partialbruchzerlegung von Funktionen mit ausnahmslos verschiedenen Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Partialbruchzerlegung von Funktionen mit mehrfachen Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Lösung linearer Differenzialgleichungen mithilfe der Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.5 Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

1.5 Linearisierung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.1 Definition der Linearität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2 Analytische Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Mechanische Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 Mechanische Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Inertiale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Federelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Dämpferelemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Modellierung mechanischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Newton’sche Axiome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Das zweite Newton’sche Axiom für Translation. . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Das zweite Newton’sche Axiom für Rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Feder-Masse-System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.5 Massenträgheitsmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.6 Transientes Verhalten von Systemen zweiter Ordnung. . . . . . . . . . 41 2.2.7 Mechanische Systeme mit zwei oder mehreren Freiheitsgraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Elektrische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 Physikalische Grundlagen der Elektrotechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1 Elektrische Spannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.3 Elektrische Stromstärke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.4 Ohmsches Gesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.5 Kapazitive Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.6 Induktivität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.7 Kirchhoffsche Gesetze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.8 Typische Testsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Modellierung passiver elektrischer Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.1 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.2 Praktische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 Elektromechanische Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1 Gleichstrommotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1.1 Der Prinzipschaltplan des fremderregten Gleichstrommotors. . . . . 82 4.1.2 Geräteübersicht des konstant erregten Gleichstrommotors. . . . . . . 82 4.1.3 Blockschaltbild des konstant erregten Gleichstrommotors. . . . . . . 84 4.2 Servomotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.1 Anwendungsgebiete und Übertragungsfunktion des Servomotors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2 Anwendungsbeispiel: Brennstoffzufuhr eines Industrieofens. . . . . 89

Inhaltsverzeichnis

IX

4.3 Der Schrittmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.1 Mechanischer Aufbau des Schrittmotors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.2 Typische Anwendungen des Schrittmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.3 Schrittmotoren mit variabler Reluktanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.4 Mathematische Modellierung des Reluktanz-Schrittmotors. . . . . . 95 4.3.5 Permanentmagnet-Schrittmotoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5 Systemanalyse im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Begriffe und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.1 Zustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.2 Zustandsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1.3 Zustandsvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1.4 Zustandsraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.1 Beschreibung linearer Systeme durch Zustandsvariable. . . . . . . . . 102 5.2.2 Lösung der Vektordifferenzialgleichung im Zeitbereich. . . . . . . . . 108 5.2.3 Lösung der Zustandsgleichung im Bildbereich. . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2.4 Korrelation zwischen Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3 Mathematische Modellierung fluider Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.1 Strömungswiderstand und Volumengradient fluider Systeme. . . . . 122 5.3.2 Mathematische Modellierung eines zu befüllenden Behälters . . . . 122 5.3.3 Modellierung von korrelierenden Behältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6 Stabilität technischer Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1 Definition der Stabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 Das grundlegende Stabilitätskriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3 Numerische Stabilitätskriterien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3.1 Das Stabilitätskriterium von Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3.2 Das Stabilitätskriterium von Cremer und Leonhard . . . . . . . . . . . . 137 6.4 Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4.1 Beurteilung an Hand der Übertragungsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4.2 Das Stabilitätskriterium von Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Weiterführende Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1

Laplace-Transformation

1.1 Definition der Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Operatorenmethode die sich als besonders vorteilhaft bei der Lösung linearer, zeitinvarianter Differenzialgleichungen erwiesen hat. Ihr wesentlicher Vorteil besteht darin, dass die Differenziation einer Zeitfunktion f (t) mit der Multiplikation der Transformierten mit einer komplexen Variablen s korrespondiert und dadurch Differenzialgleichungen im Zeitbereich zu algebraischen Gleichungen in s werden. Die Lösung der gegebenen Differenzialgleichung erhält man in einfachen Fällen durch sogenannte Korrespondenztabellen oder durch Anwendung der Partialbruchzerlegung, von der in einem späteren Abschnitt noch ausführlich die Rede sein wird. Ein weiterer Vorteil der Laplace-Transformation besteht darin, dass in der gesuchten Lösung der Differenzialgleichung eventuelle Anfangswerte mit berücksichtigt werden und gerade dadurch sowohl die partikuläre Lösung als auch der flüchtige Anteil explizit zum Vorschein kommen. Laplace-Transformation Mit den Definitionen eine Zeitfunktion mit der Maßgabe f (t) = 0 für t < 0, f (t): s = σ + jω: eine komplexe Variable, Laplace-Operator, L: ein Operatorensymbol welches andeuten soll, dass die unmittelbar nachfolgende Funktion zu transformieren ist, die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t). F(s): Mit diesen Definitionen ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t) gegeben durch ∞   L f (t) = F(s) = f (t) · e−st dt. (1.1) 0 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_1

1

2

1 Laplace-Transformation

Der umgekehrte Prozess, nämlich die Bestimmung der Zeitfunktion f (t) aus der Laplace-Transformierten F(s), wird als inverse Laplace-Transformation L−1 bezeichnet; also L−1 [F(s)] = f (t)

Existenz der Laplace-Transformation Die Laplace-Transformierte einer Funktion f (t) existiert dann und nur dann, wenn das Laplace-Integral konvergiert. Das genannte Integral konvergiert dann, wenn f (t) für t > 0 in jedem endlichen Intervall abschnittsweise kontinuierlich ist und außerdem für t → ∞ konvergiert. Schließlich sei darauf hingewiesen, wenn zwei Funktionen f1 (t) und f2 (t) Laplace-transformierbar sind, dass dann die Laplace-Transformierte von f1 (t) + f2 (t) gegeben ist zu   L f1 (t) + f2 (t) = F1 (s) + F1 (s). Für Details, gerade hinsichtlich der Herleitung sowie der Konvergenz des Laplace-Integrals, wird auf die diesbezügliche vertiefende Literatur verwiesen.

1.2 Wichtige Transformationsregeln Die Anwendung der Laplace-Transformation vereinfacht sich in sehr vielen Fällen, wenn der Anwender die Rechenregeln der Laplace-Transformation kennt. Diese Regeln sollen im Folgenden kurz aufgezeigt werden.

1.2.1 Linearitätsregel   L α · f1 (t) + β · f2 (t) = α · F1 (s) + β · F2 (s)

(1.2)

wobei α und β beliebige Konstanten sind. Dieses Theorem bedarf insofern keines mathematischen Beweises, weil die jeweilige Konstante entsprechend Gl. (1.1) vor das Laplace-Integral gezogen werden kann und dann unter dem Integral nur die ursprüngliche Zeitfunktion f1 (t) bzw. f2 (t) verbleibt. Nach 1.1 Man bestimme die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen a) f (t) = cos (ωt) sowie b) f (t) = sin (ωt).

1.2  Wichtige Transformationsregeln

3

Zu a): Mit

cos(ωt) = wird

F1 (s) =

 1  jωt · e + e−jωt 2

∞

e−(s−jω)t dt =

∞

e−(s+jω)t dt =

0

Analog wird

F2 (s) =

0

 e−(s−jω)t ∞ 1 . 0 =  −(s − jω) s − jω  e−(s+jω)t ∞ 1 . = −(s + jω) 0 s + jω

Damit wird die gesuchte Laplace-Transformierte F(s) zu

s 1 · (F1 (s) + F2 (s)) = 2 . 2 s + ω2   Mit f (t) = sin (ωt) = 2j1 · ejωt − e−jωt erhalten wir durch analoge Vorgehensweise F(s) =

L [sin (ωt)] = F(s) =

ω . s2 + ω 2

1.2.2 Differenziationsregel Die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Zeitfunktion f (t) lautet   df (t) = s · F(s) − f(0), L, dt

(1.3)

wobei f (0) der Anfangswert der Funktion f (t), also der Funktionswert an der Stelle t = 0 ist. Nachweis Die partielle Integration des Laplace-Integrals führt zu

∞ 0

f (t)e

−st

e−st ∞ dt = f (t) − −s 0

∞  0

 df (t) e−st dt dt −s

Aus obiger Gleichung folgt sofort

  df (t) f (0) 1 + L ; F(s) = s s dt

4

1 Laplace-Transformation

durch Erweiterung mit s wird diese Gleichung   df (t) = s · F(s) − f (0) , L dt womit der Beweis für die Richtigkeit der Gl. (1.3) geliefert ist. Durch analoge Vorgehensweise erhält man die zweite Ableitung der Funktion f (t) zu

 d2 f (t) = s2 · F(s) − s · f (0) − f˙ (0), L dt 2 

.

wobei f (0) die erste Ableitung der Funktion f (t) an der Stelle t = 0 ist. In allgemeiner Form wird die n-te Ableitung der Zeitfunktion f (t) im Laplace-Bereich   n (n−2) (n−1) . d f (t) n n−1 n−2 f f f (0). s F(s) − s f − s − . . . s − = L (0) (0) (0) dt n Für den Fall, dass sämtliche Anfangswerte der Zeitfunktion f (t) und ihre entsprechenden Ableitungen Null sind, wird die Laplace-Transformierte der n-ten Ableitung der Zeitfunktion f (t) zu sn F(s).

1.2.3 Integrationsregel Der Differenziation der Originalfunktion entspricht (abgesehen von der Addition einer Konstanten) die Multiplikation der Bildfunktion mit s. Der Integration der Originalfunktion von 0 bis zu einem variablen Zeitpunkt t entspricht dann (logischerweise) die Division der Bildfunktion durch s.   t � 1 L  f (τ )dτ  = · F(s). (1.4) s 0

1.2.4 Dämpfungssatz Korrespondiert eine Zeitfunktion f (t) mit der Laplace-Transformierten F(s), so entspricht der gedämpften Zeitfunktion f (t) · e−αt die Laplace-Transformierte



L f (t) · e

−αt



=

∞

f (t) · e−(α+s)t dt = F(s + α).

(1.5)

0

Wie man sieht, hat die Multiplikation der Zeitfunktion f (t) mit e−αt sden Effekt, dass in der entsprechenden Laplace-Transformierten F(s) = L f (t) der Operator s lediglich mit (s + α) zu ersetzen ist.

1.2  Wichtige Transformationsregeln

5

Beweis Mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation folgt

  L f (t) · e−αt =

∞

f (t) · e−αt · e−st dt =

0

∞

f (t) · e−(s+α)t dt.

0

Das letzte Integral unterscheidet sich von der Laplace-Transformierten der Funktion f (t), nämlich

F(s) =

∞

f (t) · e−st dt

0

nur dadurch, dass die komplexe Variable s mit s + α ersetzt worden ist. Beispiel 1.2

Es soll die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

f (t) = e−3t · sin (2t)

bestimmt werden. Aus der (aus Tabellen) bekannten Korrespondenz   2 L sin (2t) = 2 s + 22 folgt mit dem Dämpfungssatz   L e−3t · sin (2t) = Beispiel 1.3

2 2 = 2 . 2 2 s + 6s + 13 (s + 3) + 2

Zur Bildfunktion

F(s) =

s+5 s2 + 2s + 10

soll die zugehörige Originalfunktion f (t) berechnet werden. Die Bildfunktion F(s) kann umgeformt werden in

F(s) =

s+1 4 3 s+5 = + · . 3 (s + 1)2 + 32 (s + 1)2 + 32 (s + 1)2 + 32

Mit den Korrespondenzen

L [sin (ωt)] =

s ω und L[cos (ωt)] = 2 s2 + ω 2 s + ω2

folgt unter Beachtung des Dämpfungssatzes

6

1 Laplace-Transformation

  4 L f (t) = cos (3t) + sin (3t) · e−t 3

1.2.5 Faltungssatz Der Faltungssatz eröffnet einen Weg, die Rücktransformation vom Laplace- in den Zeitbereich durchzuführen, wenn die Bildfunktion F(s) in Terme zerlegt werden kann, deren jeweilige Originalfunktion bereits bekannt ist. Der Faltungssatz lautet: Dem Produkt F1 (s) · F2 (s) zweier Bildfunktionen entspricht im Originalbereich die Faltung f1 (t) ∗ f2 (t) ihrer Originalfunktionen; wenn also     F1 (s) = L f1 (t) und F2 (s) = L f2 (t) dann ist

  F1 (s) · F2 (s) = L f1 (t) ∗ f2 (t) ,

(1.6)

wobei die Faltung zweier Zeitfunktionen durch das Duhamel-Integral

f1 (t) ∗ f2 (t) =

t

f1 (t − τ )f2 (τ )dτ =

0

t

f1 (τ ) · f2 (t − τ )dτ

0

definiert ist. In der symbolischen Schreibweise wird dieses Integral geschrieben als

f1 (t) ∗ f2 (t). Beispiel 1.4

Zur Bildfunktion

F(s) = 

as s2

+ a2

2

soll mithilfe des Faltungssatzes die zugehörige Zeitfunktion f (t) berechnet werden. Wir zerlegen hierzu die gegebene Laplace-Transformierte

F(s) =

a s · s2 + a2 s2 + a2

in ein Produkt von zwei Bildfunktionen. Mit den bereits bekannten Korrespondenzen erhalten wir L−1 [F1 (s)] = f1 (t) = cos (at) und L−1 [F2 (s)] = f2 (t) = sin (at)

Mithilfe des Faltungssatzes erhält man schließlich die gesuchte Zeitfunktion zu

1.2  Wichtige Transformationsregeln

7

f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) =

t

cos (aτ ) sin (at − aτ )dτ .

0

Zur Berechnung des Faltungsintegrals wandeln wir das Produkt der beiden trigonometrischen Funktionen mit

sin α · cos β =

1 [sin (α + β) + sin (α − β)] 2

in eine Summe von Sinusfunktionen um und finden so

1 f (t) = 2

t

1 [sin (at) + sin (at − 2aτ )]dτ = sin (at) 2

0

=

t

1 dτ + 2

0

t

sin (at − 2aτ )dτ

0

1 1 1 t sin (at) + [cos (−at) − cos (at)] = t sin (at). 2 4a 2

1.2.6 Grenzwertsätze Die Grenzwertsätze sind bei praktischen Anwendungen sehr nützliche Beziehungen weil man damit in der Lage ist, den Beginn und den stationären Zustand der Zeitfunktion f (t) aus der Laplace-Transformierten F(s) zu bestimmen, ohne die vollständige Zeitfunktion zu kennen beziehungsweise berechnen zu müssen. Anfangswertsatz Mit dem Anfangswertsatz wird ohne großen mathematischen Aufwand aus der Laplace-Transformierten Zeitfunktion F(s) der dazu entsprechende Anfangswert f (0+ ) ohne Kenntnis der Zeitfunktion f (t) ermittelt. Wenn f (t) und dfdt(t) Laplace-transformierbar sind und der Grenzwert lim sF(s) existiert, dann gilt der Zusammenhang s→∞

f (0+ ) = lim sF(s). s→∞

(1.7)

Zum Beweis dieser  Gleichung wird die Laplace-Transformierte des rechtsseitigen Grenzwertes von df (t) dt aufgestellt:   ∞  d f˙ (t)e−st dt = s · F(s) − f (0+ ). f (t) = L dt 0 Für das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ ∞ geht für s gegen Unendlich der Ausdruck e−st gegen Null. Somit gilt

lim

∞ 

s→∞ 0+

   d f (t) · e−st dt = lim sF(s) − f (0+ ) = 0 und somit f (0+ ) = lim sF(s). s→∞ s → ∞ dt

8

1 Laplace-Transformation Beispiel 1.5

Aus der Bildfunktion

F(s) =

7s2 − s + 12 + s2 + 3s + 3

s3

soll der Anfangswert f (0+ ) der Zeitfunktion f (t) berechnet werden. Unter Anwendung des Anfangswertsatzes erhalten wir sofort   s 7s2 − s + 12 = 7. lim f (t) = lim sF(s) = 3 s→∞ t→0+ s + s2 + 3s + 3

Wir haben also f (0+ ) ohne Kenntnis der Originalfunktion f (t) berechnet. Endwertsatz Mit dem Endwertsatz lässt sich aus der Bildfunktion F(s) ohne Kenntnis der Originalfunktion f (t) eine Aussage über den Endwert der Zeitfunktion lim f (t) machen. Der t→∞

Endwertsatz kann folgendermaßen definiert werden: Falls f (t) und dfdt(t) Laplace-transformierbar sind und F(s) die Laplace-Transformierte von f (t) ist, so gilt

lim f (t) = lim sF(s).

t→∞

s→0

(1.8)

Zum Nachweis dieses Theorems lassen wir in der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation für die Ableitung der Zeitfunktion f (t) den Laplace-Operator gegen Null streben und erhalten

lim s→0

∞  0

 ∞   df (t) −st · e dt = f ′ (t) · e−st dt = lim sF(s) − f (0) . s→0 dt 0

Wegen

lim e−st = 1

s→0

wird

∞  0

 d f (t) = f (t)|∞ 0 = f (∞) − f (0) = lim sF(s) − f (0); s→0 dt

aus dieser Gleichung folgt schließlich

f (∞) = lim f (t) = lim sF(s). t→∞

s→0

1.2  Wichtige Transformationsregeln

9

Beispiel 1.6

Gegeben sei

  L f (t) = F(s) =

1 ; s · (s + 1)

gesucht ist der Grenzwert lim f (t).

t→∞  Weil der Pol der Funktion sF(s) = 1 (s + 1) in der linken s-Halbebene liegt, existiert der gesuchte Grenzwert. Unter Anwendung des Endwertsatzes erhalten wir

s = 1. s→0 s(s + 1)

lim f (t) = f (∞) = lim sF(s) = lim

t→∞

s→0

Dieses Ergebnis lässt sich leicht überprüfen, nachdem sich die zu F(s) korrespon.. dierende Zeitfunktion auf einfachem Wege zu f (t) = 1 − e−t fur t ≥ 0 bestimmen lässt.

1.2.7 Zeitlicher Verschiebungssatz Der Verschiebungssatz macht eine Aussage über die Laplace-Transformierte einer verzögert einsetzender Zeitfunktion. Die Funktion  .. f (t − t0 ) fur t > t0 .. f ∗ (t) = 0 fur t < t0 ist gegenüber der Funktion f (t) zeitlich um t0 nach rechts verschoben. Wesentlich ist, dass die Zeitfunktion f ∗ (t) für t < t0 den Wert Null hat, also

f ∗ (t) = f (t − t0 ) · ε(t − t0 ) mit

ε(t − t0 ) =



..

1 fur t ≥ t0 .. . 0 fur t < t0

Mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation erhält man

  L f ∗ (t) =

∞

f (t − t0 ) · e

0

−st

dt =

∞

f (t − t0 ) · e−[(t−t0 )+t0 ]s dt.

0

Durch Einführen einer neuen Integrationsvariablen τ = t − t0 geht die untere Integrationsgrenze t1 = t0 über in τ1 = 0, während die obere Integrationsgrenze t2 = ∞ unverändert in τ2 = ∞ überführt wird. Damit wird  ∞     L f ∗ (t) = e−st0 · f (τ ) · e−sτ dτ = e−st0 · L f (t) (1.9) 0

10

1 Laplace-Transformation

Die Verschiebung einer Zeitfunktion um t0 hat also im Bildbereich den Faktor e−st0 zur Folge. Beispiel 1.7

Es soll die Bildfunktion eines zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Rechteckimpulses der Dauer τ und der Impulshöhe A berechnet werden. Mit

f (t) = A · [ε(t) − ε(t − τ )] erhält man durch Anwenden des Verschiebungssatzes

F(s) =

 A  · 1 − e−sτ . s

1.3 Laplace-Transformierte typischer Zeitfunktionen 1.3.1 Laplace-Transformierte der Sprungfunktion Die im Rahmen der Analyse dynamischer Systeme häufig verwendete Testfunktion ist die sogenannte Sprungfunktion A · ε(t), definiert durch  A f¨u t ≥ 0 f (t) = , 0 f¨u t < 0 wobei A eine Konstante ist. (Für den Fall A = 1 spricht man auch vom sogenannten Einheitssprung). Die Laplace-Transformierte der gegebenen Zeitfunktion f (t) lautet

  L f (t) =

∞

A · e−st dt =

A s

0

Das in obiger Gleichung ermittelte Ergebnis gilt für die ganze s-Ebene mit Ausnahme einer Polstelle bei s = 0. Der Einheitssprung an der Stelle t = t0 wird in der Regel geschrieben als ε(t − t0 ). Die Laplace-Transformierte des Einheitssprungs gemäß  .. 1 fur t ≥ 0 .. ε(t) = 0 fur t < 0 wird mit obigem Ergebnis zu L [ε(t − t0 )] =

1 −st0 ·e . s

Physikalisch korrespondiert die Sprungfunktion mit einem Signalsprung konstanter Amplitude an der Stelle t = 0.

1.3  Laplace-Transformierte typischer Zeitfunktionen

11

1.3.2 Laplace-Transformierte der Rampenfunktion Die Rampenfunktion ist definiert durch



f (t) =

..

0 fur t < 0 .. , At fur t ≥ 0

wobei A eine Konstante ist. Die dazu entsprechende Laplace-Transformierte erhält man mit dem Laplace-Integral und Anwendung der partiellen Integration zu L [At] =

∞

−st

At · e

0

e−st ∞ | − dt = At −s 0

∞ 0

A A · e−st dt = · −s s

∞

e−st dt =

A s2

0

1.3.3 Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion ist definiert durch  .. 0 fur t < 0 .. f (t) = , Ae−αt fur t ≥ 0 wobei A und α beliebige Konstanten sind. Die zugehörige Laplace-Transformierte ergibt sich auf folgende Weise:

  L A · e−αt =

∞

A·e

−αt

·e

−st

0

dt = A ·

∞

e−(s+α)t dt =

0

A . s+α

Wie man sieht erzeugt die Exponentialfunktion eine Polstelle in der komplexen Ebene. Zur Konvergenz des Laplace-Integrals muss deshalb vorausgesetzt werden, dass der Grenzwert lim e−(s−α)t = 0 ist. Diese Bedingung ist erfüllt für t→∞ Re(s − α) = σ − Re(α) > 0. Zur Zeitfunktion f (t) = Ae−αt existiert also eine Laplace-Transformierte, wenn σ > Re(α) gewählt wird. Dadurch ist die Konvergenzhalbebene der Bildfunktion bestimmt.

1.3.4 Laplace-Transformierte des Rechteckimpulses Der Rechteckimpuls ist im Zeitbereich definiert durch

f (t) =



A t0

..

fur 0 < t < t0 , .. 0 fur t < 0, t < t0

wobei A und t0 Konstanten sind. Entsprechend obiger Gleichung kann der Rechteck impuls als Sprung der Amplitude A t0 an der Stelle t = 0 interpretiert werden, dem ein

12

1 Laplace-Transformation

 negativer Sprung der Amplitude A t0 an der Stelle t = t0 überlagert ist. Somit kann die Gleichung des Rechteckimpulses auch formuliert werden als f (t) =

A A ε(t) − ε(t − t0 ). t0 t0

Mithilfe des Rechtsverschiebungssatzes erhalten wir die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t) zu 



L f (t) = L



    A A A  A A · ε(t) − L · ε(t − t0 ) = L − · e−st0 = · 1 − e−st0 . t0 t0 t0 · s t0 · s t0 · s

1.3.5 Laplace-Transformierte der Impulsfunktion Der zeitliche Verlauf der Impulsfunktion kann mit t0 → 0 als Spezialfall der Rechteckfunktion aufgefasst werden; sie ist definiert durch

f (t) = lim

t0 →0



A t0

..

fur 0 < t < t0 .. 0 fur t < 0, t > t0

Weil die Amplitude des Impulses tA0 und die Impulsdauer t0 ist, wird die Fläche unter dem Impuls zu A. Weil außerdem wegen t0 → 0 die Impulsdauer t0 gegen Null strebt, muss die Impulshöhe gegen Unendlich streben. Bezug nehmend auf den Faltungssatz wird die Laplace-Transformierte der Impulsfunktion unter Anwendung der L’Hospital’schen Regel zu.

  L f (t) = lim

to →0



  A  −st0 · 1−e = lim to →0 t0 · s

d dt0

   A 1 − e−st0 d dt0 (t0

· s)

=

As = A. s

Somit wird die Laplace-Transformierte der Impulsfunktion zur Fläche unter dem Impuls. Der Impuls, dessen Fläche eins ist, wird als Einheitsimpuls oder als Dirac’sche Deltafunktion bezeichnet. Der Einheitsimpuls an der Stelle t = t0 wird mathematisch mit δ(t − t0 ) bezeichnet. Somit gilt.  .. ∞ ∞ fur t = t0 .. ; außerdem gilt δ(t − t0 ) = δ(t − t0 ) · dt = 1. 0 fur t �= t0 −∞ Natürlich ist ein Impuls der Breite Null und einer unendlich hohen Amplitude nur ein mathematisches Hilfsmittel, der in der Praxis jedoch nicht realisierbar ist. Weiterhin sollte darauf verwiesen werden, dass die Impulsfunktion δ(t − t0 ) als Ableitung der Sprungfunktion ε(t − t0 ) betrachtet werden kann; d. h. es gilt der Zusammenhang

δ(t − t0 ) =

d ε(t − t0 ). dt

1.3  Laplace-Transformierte typischer Zeitfunktionen

13

1.3.6 Laplace-Transformierte der Sinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion ist gegeben durch  .. 0 f ur t < 0 .. f (t) = A · sin (ωt) f ur t ≥ 0 wobei A bekanntlich die Amplitude und ω die Kreisfrequenz der periodischen Schwingung ist. Die dazu entsprechende Laplace-Transformierte erhält man mit  1  jωt e − e−jωt sin ωt = 2j zu

A · L [A · sin (ωt)] = 2j

ˆ∞ 

e

jωt

−e

0

−jωt



e

−st

A dt = · 2j



1 1 − s − jω s + jω



=A·

ω . s2 + ω 2

1.3.7 Laplace-Transformierte der Kosinusfunktion Der zeitliche Verlauf der allgemeinen Kosinusfunktion lautet  .. 0 f ur t < 0 .. f (t) = . A · cos (ωt) f ur t ≥ 0 Im Gegensatz zur Herleitung der Laplace-Transformierten der Sinusfunktion soll hier der Differenziationssatz der Laplace-Transformation zur Anwendung kommen. Mit der Definition  .. 0 fur t < 0 .. f (t) = A sin ωt fur t ≥ 0 wird, wie bereits gezeigt, L [A · sin (ωt)] = A ·

s2

ω + ω2

Damit erhält man

   A  d A · sin (ωt) · sF(s) − f (0) = dt ω ω   A s sω = · 2 −0 =A 2 . ω s + ω2 s + ω2

L [A · cos ωt] = L



Die Tab. 1.1 zeigt Laplace-Transformierte von Zeitfunktionen, die besonders häufig bei systemtechnischen Aufgabenstellungen auftreten.

14

1 Laplace-Transformation

Tab. 1.1  Korrespondenzen häufig vorkommender Zeitfunktionen Nr

f (t)

F(s)

1

δ(t)

2

ε(t)

4

tn − 1 (n − 1)! ;

1  1 s

5

e±αt

1 s∓α

6

t · e−αt

7

1 (s + α)2

1 (n − 1)!

1 (s + α)n

9

sin (ωt)

ω s2 + ω 2

10

cos (ωt)

s s2 + ω 2

11

sinh (ωt)

ω s2 − ω 2

12

cosh (ωt)   1 −at a · 1−e   −at 1 − e−bt b−a · e    −at 1 1 − ae−bt ab · 1 + a−b · be

s s2 − ω 2

17

e−at · cos (ωt)

18

   · e−ω0 dt · sin ω0 1 − d2 t   √    −ω dt 1 − d2 1 − √e 0 2 · sin ω0 1 − d2 t + ϕ ; ϕ = arctan d

s+a (s + a)2 + ω2 ω0 s2 + 2dω0 s + ω02

13 14 15 16

19

1/sn

n = 1, 2, . . .

· t n − 1 · e−αt ; n = 1, 2, . . .

1 s · (s + a) 1 (s + a) · (s + b) 1 s(s + a) · (s + b) ω (s + a)2 + ω2

e−at · sin (ωt)

√ ω0 1−d 2

1−d

ω02   s · s2 + 2dω0 s + ω02

1.4 Inverse Laplace-Transformation Der Übergang von der komplexen Funktion F(s) zu der dazu korrespondierenden Zeitfunktion f (t) wird als Rücktransformation oder auch als Inverse Laplace-Transformation bezeichnet. Formell kommt diese Operation durch die Schreibweise. L −1 [F(s)] = f (t) zum Ausdruck. Mathematisch exakt erhält man die gesuchte Zeitfunktion mithilfe des Umkehrintegrals

1 f (t) = 2jπ

c + j∞

F(s) est ds (t > 0);

c − j∞

1.4  Inverse Laplace-Transformation

15

wobei c die Konvergenz-Abszisse auf der reellen Achse der Gauß’schen Ebene ist. Dabei ist darauf hinzuweisen, dass die Konvergenz-Abszisse rechts von sämtlichen Polstellen von F(s) liegen muss. Die Berechnung des Inversionsintegrals ist jedoch selbst für einfache Beispiele mathematisch relativ aufwendig. Eine einfachere Methode, die Zeitfunktion f (t) aus F(s) zu bestimmen, besteht in der Verwendung von KorrespondenzTabellen. Wenn jedoch in besonderen Fällen die gegebene Laplace-Transformierte F(s) in keiner Korrespondenz-Tabelle zu finden ist, kann die gesuchte Zeitfunktion f (t) mithilfe der sogenannten Partialbruchzerlegung elegant ermittelt werden.

1.4.1 Allgemeine Berechnung der Inversen LaplaceTransformierten mithilfe der Partialbruchzerlegung Bei regelungs- und systemtechnischen Aufgabenstellungen erscheint F(s), die LaplaceTransformierte der gesuchten Zeitfunktion f (t), als gebrochen rationale Funktion der Form F(s) = B(s) A(s), wobei A(s) und B(s) Polynome in s sind und der Grad von B(s) kleiner als der Grad von A(s) ist. Wenn F(s) in einzelne Komponenten aufgespalten werden kann, also

F(s) = F1 (s) + F2 (s) + . . . + Fn (s), und die Laplace-Transformierte der Einzelkomponenten F1 (s), F2 (s), . . . , Fn (s) einfache, also leicht transformierbare Funktionen sind, so erhält man die gesuchte Zeitfunktion zu.

und damit

f (t) = L−1 [F(s)] = L−1 [F1 (s)] + L−1 [F2 (s)] + . . . + L−1 [Fn (s)] f (t) = f1 (t) + f2 (t) + . . . + fn (t),

wobei

f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t). die inversen Laplace-Transformierten von

F1 (s), F2 (s), . . . , Fn (s) sind. Wie sich weiter unten zeigen wird, bedarf es bei dieser Vorgehensweise in den seltensten Fällen einer Korrespondenz-Tabelle, wenn man nur die Korrespondenzen einiger weniger Funktionen kennt. Es sollte jedoch darauf hingewiesen werden, dass bei der Partialbruchzerlegung die Kenntnis der Polstellen von F(s) notwendig ist.

16

1 Laplace-Transformation

1.4.2 Partialbruchzerlegung von Funktionen mit ausnahmslos verschiedenen Polstellen Die Funktion F(s) als echt gebrochen rationale Funktion

F(s) =

b0 + b1 s + b2 s2 + . . . + bm−1 sm−1 + bm sm B(s) = , A(s) a0 + a1 s + a2 s2 + + . . . + an−1 sn−1 + an sn

lässt sich formulieren als

F(s) = k0 ·

(s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) , (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )

dabei sind z1 , z2, . . . zm die Nullstellen und p1 , p2 , . . . pn die Polstellen von F(s). Außerdem gilt für kausale Systeme n > m. Wenn F(s), wie vorausgesetzt, nur verschiedene Pole hat, dann lässt sich diese Funktion als Summe von Partialbrüchen formulieren:

F(s) =

c1 cn c2 ck B(s) = + ... + + + ... + . A(s) s − p1 s − p2 s − pk s − pn

(1.10)

Bei den Faktoren c1 , c2 , . . . cn handelt es sich um Konstanten, die im Rahmen der Funktionentheorie als Residuen der Funktion F(s) an der Stelle s = pk, k = 1, 2, . . . ,n bezeichnet werden. Der Wert des Residuums ck ergibt sich durch Multiplikation der beiden Seiten der Gl. (1.10) mit s − pk, wobei anschließend s = pk gesetzt wird:    B(s) c1 c2 = (s − pk ) (s − pk ) + (s − pk ) + . . . A(s) s = pk s − p1 s − p2  ck cn = ck . + (s − pk ) + . . . (s − pk ) s − pk s − pn s = pk Wie man aus obiger Gleichung sieht, heben sich für s = pk alle Terme bis auf ck weg. Somit ergibt sich das Residuum ck aus der Gleichung   B(s) . ck = (s − pk ) (1.11) A(s) s=pk Wenn zwei Pole, z. B. p1 und p2, konjugiert komplex sind, dann sind auch die entsprechenden Residuen, also, c1 und c2 zueinander konjugiert komplex. Aufgrund der Korrespondenz   ck = ck epk t L−1 s − pk erhält man schließlich für t ≥ 0 die zu bestimmende Zeitfunktion zu

f (t) = L−1 [F(s)] = c1 · ep1 t + c2 · ep2 t + . . . + cn · epn t

1.4  Inverse Laplace-Transformation

17

Beispiel 1.8

Zur Laplace-Transformierten

F(s) =

s+3 (s + 1) · (s + 2)

ist die inverse Laplace-Transformierte f (t) zu bestimmen. Die Partialbruchzerlegung zu F(s) lautet

F(s) =

c2 s+3 c1 + , = s+1 s+2 (s + 1) · (s + 2)

wobei c1 und c2 mithilfe der Gl. (1.11) ermittelt werden:     s+3 s+3 = 2; c1 = (s + 1) = s + 2 s=−1 (s + 1)(s + 2) s=−1



s+3 c2 = (s + 2) (s + 1)(s + 2)



s=−2



s+3 = s+1



s=−2

= −1.

Wir erhalten somit die gesuchte Zeitfunktion zu     2 −1 −1 −1 −1 +L = 2 · e−t − e−2t ; t ≥ 0. f (t) = L [F(s)] = L s+1 s+2 Beispiel 1.9

Zur Laplace-Transformierten

F(s) =

2s + 12 + 2s + 5

s2

ist die zugehörige Zeitfunktion f (t) zu bestimmen. Wenn man die Polstellen

p1,2 = −1 ± j2 aus der Gleichung

s2 + 2s + 5 = 0

ermittelt, so lautet das faktorisierte Nennerpolynom

s2 + 2s + 5 = (s + 1 − j2)(s + 1 + j2).

In Fällen, wie im gegebenen Beispiel, bei denen F(s) konjugiert komplexe Polpaare aufweist, erhält man die gesuchte Zeitfunktion bequemer, wenn man F(s) nicht auf dem eben gezeigten Standardweg in Partialbrüche zerlegt, sondern in eine Summe gedämpfter Sinus- und Kosinusfunktionen aufspaltet.

18

1 Laplace-Transformation

Mit

s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22

und der bekannten Korrespondenzen

  L e−αt sin ωt =

  s+α ω sowie L e−αt cos ωt = 2 2 (s + α) + ω (s + α)2 + ω2

kann die gegebene Funktion F(s) als Summe einer gedämpften Sinus- und einer gedämpften Kosinusfunktion angeschrieben werden:

F(s) =

10 + 2(s + 1) 2s + 12 2 s+1 = =5 +2 . 2 2 2 2 s2 + 2s + 5 (s + 1) + 2 (s + 1) + 2 (s + 1)2 + 22

Mit den oben angeführten Korrespondenzen wird die gesuchte Zeitfunktion zu

   s+1 2 −1 + 2 · L (s + 1)2 + 22 (s + 1)2 + 22 f (t) = 5e−t sin (2t) + 2e−t cos (2t); t ≥ 0. f (t) = L−1 [F(s)] = 5 · L−1



1.4.3 Partialbruchzerlegung von Funktionen mit mehrfachen Polstellen Im Gegensatz zu dem Fall ausschließlich einfacher Pole soll hier die Partialbruchzerlegung von Funktionen mit mehrfachen Polstellen lediglich anhand eines Beispiels aufgezeigt werden. Beispiel 1.10

Zur Laplace-Transformierten

F(s) =

s2 + 2s + 3 (s + 1)3

mit einer dreifachen Polstelle ist die dazu inverse Zeitfunktion f (t) zu bestimmen. Die Partialbruchzerlegung dieser Funktion bekommt zunächst die Form

F(s) =

c2 c1 c3 B(s) + + = , A(s) s+1 (s + 1)3 (s + 1)2

wobei im Folgenden die Bestimmung von c3 , c2 und c1 gezeigt werden soll. Multipliziert man beide Seiten der obigen Gleichung mit (s + 1)3, so erhält man

(s + 1)3

B(s) = c3 + c2 (s + 1) + c1 (s + 1)2 . A(s)

(1.12)

1.4  Inverse Laplace-Transformation

19

Setzten wir s = −1, so wird Gl. (1.12)   3 B(s) = c3 . (s + 1) A(s) s=−1 Differenziert man außerdem Gl. (1.12) nach s, so erhalten wir   d 3 B(s) = c2 + 2c1 (s + 1). (s + 1) ds A(s)

(1.13)

Mit s = −1 wird Gl. (1.13) zu   d 3 B(s) = c2 . (s + 1) ds A(s) s=−1 Eine weitere Differenziation der Gl. (1.13) nach s ergibt   d2 3 B(s) = 2c1 . (s + 1) ds2 A(s) Aus dieser Vorgehensweise kann man leicht ersehen, dass die Koeffizienten c3 , c2 und c1 wie im Folgenden gezeigt wird, systematisch bestimmt werden können:     1 B(s) = s2 + 2s + 3 = 2; (s + 1)3 s = −1 0! A(s) s = −1       d 2 B(s) 1 d = = (2s + 2)s = −1 = 0; c2 = s + 2s + 3 (s + 1)3 1! ds A(s) s = −1 ds s = −1        1 d2  2 1 1 d2 3 B(s) + 1) = s + 2s + 3 = · 2 = 1. c1 = (s 2 2 2! ds A(s) 2! ds 2 c3 =

s = −1

s = −1

Damit wird die zu bestimmende Zeitfunktion zu       0 1 2 −1 −1 + L + L f (t) = L−1 [F(s)] = L−1 s+1 (s + 1)3 (s + 1)2   f (t) = t 2 + 1 · e−t ; t ≥ 0.

1.4.4 Lösung linearer Differenzialgleichungen mithilfe der Laplace-Transformation Kausale, lineare, zeitinvariante Systeme werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen n-ter Ordnung

y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + . . . + a1 y˙ (t) + a0 y(t) = b0 u(t) + b1 u˙ (t) + . . . + bm u(m) (t), (1.14)

20

1 Laplace-Transformation

mit konstanten Koeffizienten beschrieben, wobei y(t) Ausgangsgröße und u(t) eine beliebige Störfunktion, (Eingangsgröße) ist. Für den Fall u(t) = 0, also .

y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + ... + a1 y (t) + a0 y(t) = 0

handelt es sich um eine homogene Differenzialgleichung, im Fall u(t) = 0 um die inhomogene Differenzialgleichung. Bei der Lösung linearer zeitinvarianter Differenzialgleichungen unter Anwendung der Laplace-Transformation sind grundsätzlich zwei Schritte durchzuführen: 1. Zunächst ist jeder Term der gegebenen Differenzialgleichung in den Laplace-Bereich zu transformieren. Durch diesen Prozess entsteht eine lineare Gleichung in s. 2. Die Lösung der gegebenen Differenzialgleichung erhält man durch Rücktransformation der einzelnen Terme vom Laplace- in den Zeitbereich. Im Folgenden soll anhand von zwei Beispielen der grundsätzliche Lösungsweg aufgezeigt werden. Beispiel 1.11

Zur homogenen Differenzialgleichung

y¨ (t) + 3 · y˙ (t) + 2 · y(t) = 0 mit den Anfangsbedingungen

y(0) = a, und y˙ (0) = b ist die Lösung y(t) zu bestimmen. Mit der Definition   L y(t) = Y (s)

und dem Differenziationssatz der Laplace-Transformation     L y˙ (t) = sY (s) − y(0) und L y¨ (t) = s2 Y (s) − sy(0) − y˙ (0) wird die transformierte Differenzialgleichung zu



   s2 Y (s) − sy(0) − y˙ (0) + 3 sY (s) − y(0) + 2Y (s) = 0.

Setzt man die gegebenen Anfangsbedingungen ein, so ergibt sich 

   s2 Y (s) − as − b + 3[sY (s) − a] + 2Y (s) = 0 bzw. s2 + 3s + 2 · Y (s) = as + b + 3a.

Auflösen nach Y (s) liefert die Gleichung

Y (s) =

as + b + 3a 2a + b a + b as + b + 3a = − . = 2 s + 3s + 2 s+1 s+2 (s + 1)(s + 2)

1.4  Inverse Laplace-Transformation

21

Dabei sollte darauf hingewiesen werden, dass sich die beiden letzten Brüche über die bereits bekannte Partialbruchzerlegung ergeben haben. Die inverse Laplace-Transformierte, also die gesuchte Lösung der gegebenen Differenzialgleichung wird damit zu     a+b 2a + b − L−1 , y(t) = L −1 [Y (s)] = L−1 s+1 s+2

y(t) = (2a + b) · e−t − (a + b) · e−2t ; t ≥ 0 Beispiel 1.12

Zur inhomogenen Differenzialgleichung

y¨ (t) + 2˙y(t) + 5y(t) = 3 mit

y(0) = 0,

y˙ (0) = 0

ist die Lösung y(t) zu bestimmen. Beachtet man, dass für die Laplace-Transformierte des Störterms L[3] = 3s gilt, so wird die transformierte Differenzialgleichung zu

s2 Y (s) + 2sY (s) + 5Y (s) =

3 . s

Auflösen nach Y (s) ergibt

s+2 3 31 3 = − 2 Y (s) =  2 5s 5 s + 2s + 5 s s + 2s + 5 31 3 3 2 s+1 = − . − 2 2 5s 10 (s + 1) + 2 5 (s + 1)2 + 22 Damit wird die inverse Laplace-Transformierte und damit die Lösung der gegebenen Differenzialgleichung zu

      3 2 3 s+1 3 −1 1 −1 −1 − ·L , ·L − y(t) = · L 5 s 10 5 (s + 1)2 + 22 (s + 1)2 + 22   1 3 1 − sin2t − e−t cos2t . y(t) = 5 2

1.4.5 Übertragungsfunktion Die Ausgangsgröße y(t) eines linearen, zeitinvarianten Systems ist bei einer eindeutig definierten Eingangsgröße x(t) durch das zu analysierende System bestimmt. Es ist daher auch die Laplace-Transformierte Y (s) der Ausgangsgröße durch die Laplace-Transformierte X(s) der Eingangsgröße eindeutig festgelegt.

22

1 Laplace-Transformation

 Definition  Unter der Übertragungsfunktion G(s) eines beliebigen technischen Systems versteht man das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße Y (s) zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße X(s).

G(s) =

Y (s) . X(s)

(1.15)

1.5 Linearisierung nichtlinearer Systeme 1.5.1 Definition der Linearität Übertragungssysteme werden als linear bezeichnet, wenn sie das Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip erfüllen. Ein System, das aus der Eingangsgröße x1 die Ausgangsgröße

y1 = f (x1 ) und aus einer anderen Eingangsgröße x2 die Ausgangsgröße

y2 = f (x2 ) erzeugt erfüllt das Überlagerungsprinzip, wenn auch die Summe der beiden Eingangsgrößen in die Summe der Ausgangsgrößen übergeht:

y1 ± y2 = f (x1 ± x2 ) = f (x1 ) ± f (x2 ).

1.5.2 Analytische Linearisierung Ist das Übertragungsverhalten eines Systems analytisch, also durch eine Gleichung darstellbar, so ist eine Linearisierung in den meisten Fällen dadurch möglich, dass man die nichtlineare Funktion in der Umgebung des Arbeitspunktes durch eine Taylor-Reihe ersetzt und davon wiederum nur den linearen Term berücksichtigt. 

Linearisierung der Funktion y = f (x) in der Umgebung des Arbeitspunktes (¯y, x¯ )

Die Systemgleichung

y = f (x) wird in der Umgebung des Arbeitspunkts

y¯ = f (¯x )

(1.16)

1.5  Linearisierung nichtlinearer Systeme

23

in eine Taylorreihe wie folgt entwickelt:

y = f (x) ≈ f (¯x ) +

df 1 d2 f · (x − x¯ ) + · 2 · (x − x¯ )2 + . . . dx 2! dx

(1.17)

In genügend naher Umgebung des Arbeitspunkts, also für kleine Werte vonx − x¯ , können die höheren Terme von x − x¯ vernachlässigt werden; wir erhalten damit

y = y¯ + a · (x − x¯ )

(1.18)

mit

a=

df |x = x¯ , y = y¯ . dx

Beispiel 1.13

Ein System mit dem nichtlinearen Übertragungsverhalten

y(t) = 2 · x 2 (t)

soll im Arbeitspunkt x¯ = 5, y¯ = 2 · x¯ 2 = 50 linearisiert werden. Mit der Taylorreihe ergibt sich

y(t) = x¯ + �x(t) ≈ f (¯x ) +

df (x) |x¯ ,¯y · �x(t), dx

wobei nach Subtraktion von

y¯ = f (¯x ) = 2 · x¯ 2

die linearisierte Form

�y(t) ≈

df (x) |x¯ ,¯y · �x(t) = 20 · �x(t) dx

entsteht. 

Linearisierung der Funktion y = f (x1 , x2 ) um einen Punkt (¯x1 , x¯ 2 , y¯ )

Die Ausgangsgröße y eines nichtlinearen Systems hängt nunmehr von zwei Eingangsgrößen x1 und x2 ab, also

y = f (x1 , x2 ).

(1.19)

Um für ein nichtlineares System dieser Art ein linearisiertes mathematisches Modell im Arbeitspunkt (¯x1 , x¯ 2 , y¯ ) zu bekommen wird Gl. (1.19) wiederum in eine Taylorreihe in der nahen Umgebung dieses Punkts entwickelt:   ∂f ∂f · (x1 − x¯ 1 ) + · (x2 − x¯ 2 ) , y = f (¯x1 , x¯ 2 ) + (1.20) ∂x1 ∂x2

24

1 Laplace-Transformation

wobei die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt x1 = x¯ 1 und x2 = x¯ 2 zu bilden sind. Diese Gleichung kann wie im ersten Fall vereinfacht dargestellt werden als

y = y¯ + a · (x1 − x¯ 1 ) + b · (x2 − x¯ 2 ) mit

a=

∂f |x¯ x¯ ,¯y , ∂x1 1 2

b=

∂f |x¯ x¯ ,¯y . ∂x2 1 2

Beispiel 1.14

Die nichtlineare Gleichung

y = x1 · x2 sei im Gebiet 5 ≤ x1 ≤ 7 und 10 ≤ x2 ≤ 12 zu linearisieren. Darüber hinaus ist die Abweichung der linearisierten Gleichung im Punkt x1 = 5, x2 = 10 vom exakten Wert zu bestimmen. Aufgrund der gegebenen Grenzen wählen wir den Arbeitspunkt zu x1 = 6, x2 = 11. Damit ist

y¯ = x¯ 1 · x¯ 2 = 66. Die nichtlineare Gleichung als Taylorreihe um den Arbeitspunkt wird zu

y = y¯ + a · (x1 − x¯ 1 ) + b · (x2 − x¯ 2 ) mit

a=

∂(x1 x2 ) |x¯1 ,¯x2, y¯ = x¯ 2 = 11; ∂x1

b=

∂(x1 x2 ) |x¯1 ,¯x2, y¯ = x¯ 1 = 6. ∂x2

Damit wird die linearisierte Gleichung

y = 66 + 11 · (x1 − 6) + 6 · (x2 − 11) oder

y = 11x1 + 6x2 − 66. Für x1 = 5, , x2 = 10 wird y der linearisierten Gleichung zu

y = 55 + 60 − 66 = 49. Der exakte Wert wird zu y = x1 · x2 = 50. Somit ergibt sich ein Fehler von 50 − 49 = 1 entsprechend 2 %.

1.5  Linearisierung nichtlinearer Systeme

25

Abb. 1.1   Schema eines hydraulischen Servosystems

Beispiel 1.15

Abb. 1.1 zeigt ein hydraulisches Servosystem, wie es in jedem Kraftwagen beispielsweise als Lenkhilfe oder als Bremskraftverstärker zu finden ist, bestehend aus einem Steuerventil sowie einem Stellzylinder mit Kolben. Ausgehend von der Annahme, dass das Stellventil symmetrisch aufgebaut ist, so sind die Querschnitte der Ventilöffnungen proportional zur Ventilposition x. In Abhängigkeit der Position des Steuerventils gelangt mehr oder weniger Fluid hohen Drucks auf den Kolben des Stellzylinders, der aufgrund seines großen Kolbens als Verstärker fungiert. In Abb. 1.1 wird der Versorgungsdruck mit ps, der Druck im Rücklauf mit pa, der jedoch vernachlässigbar klein ist. Außerdem wird das verwendete Fluid als inkompressibel angenommen. Darüber hinaus wird die geringe Leckrate des Stellventils sowie des Arbeitskolbens vernachlässigt. Unter diesen Voraussetzungen sind die in Abb. 1.1 mit q1 und q2 bezeichneten Durchflussraten gegeben zu

√ ps − p1 · x, √ √ q2 = C · p2 − pa · x ≈ C · p2 · x q1 = C ·

wobei, wie bereits oben angedeutet, pa ≈ 0 angenommen wird; der Faktor C ist eine Proportionalitätskonstante. Die Aufgabe besteht in diesem Beispiel darin, ein linearisiertes mathematisches Modell des Steuerventils in der Umgebung des Ruhezustands x = 0 (Mittenstellung) zu erstellen. Mit den identischen Durchsätzen q1 = q2 wird

ps − p 1 = p 2 .

26

1 Laplace-Transformation

Definieren wir die Druckdifferenz am Arbeitskolben mit p, also

p = p1 − p2 , so werden die Drücke p1 und p2 zu

p1 =

ps − p ps + p sowie p2 = 2 2

und die Durchflussrate q1 zur rechten Seite des Arbeitskolbens mit der obigen Definition  √ ps − �p · x = f (x, �p). q1 = C · ps − p1 · x = C · 2 Die linearisierte Gleichung in der Umgebung des Arbeitspunkts

x = x¯ , p = ¯p, q1 = q¯ 1 bekommt damit die Form (1.21)

q1 = q¯ 1 + a · (x − x¯ ) + b · (�p − �¯p), dabei gilt

∂f |x = x¯ , �p = �¯p, q1 = q¯ 1 = C · a= ∂x b=



ps − �¯p ; 2

C ∂f · x¯ ≤ 0. |x = x¯ , �p = �¯p, q1 = q¯ 1 = − √ √ ∂�p 2 2 · ps − �¯p

In der Umgebung der Nullstellung, also x¯ = 0, ¯p = 0, q¯ 1 = 0, wird Gl. (1.21) zu

q1 = K1 · x − K2 · p Mit

K1 = C ·



ps − ¯p |x¯ = 0, ¯p = 0, q¯ 1 = 0 = C · 2



ps , 2

C · x¯ |x¯ =0,¯p=0,¯q1 =0 = 0. K2 = √ √ 2 2 · ps − ¯p

Damit wird das endgültige linearisierte mathematische Modell des betrachteten Steuerventils

q1 = K1 · x

2

Mechanische Systeme

Der wesentliche Inhalt dieses Kapitels ist die mathematische Modellierung sowie die Bestimmung der Systemantwort auf eindeutig definierte Anregungsfunktionen mechanischer Systeme. Die fundamentale physikalische Grundlage bezüglich der Analyse mechanischer Systeme ist das sogenannte „Zweite physikalische Gesetz“ von Newton, das auf jedes mechanische System angewandt werden kann.

2.1 Mechanische Elemente Jedes mechanische System besteht ausschließlich nur aus mechanischen Elementen. Zu diesen zählen im Wesentlichen drei Typen: Inertiale Elemente, Federelemente sowie Dämpferelemente.

2.1.1 Inertiale Elemente Zur Gruppe der Inertialen Elemente zählen die Masse sowie das Massenträgheitsmoment. Man versteht darunter die Änderung der Kraft (Translation) beziehungsweise des Drehmoments (Rotation) die (das) benötigt wird, um eine wohldefinierte Beschleunigung beziehungsweise Winkelbeschleunigung hervorzurufen. Formal ausgedrückt heißt dies

¨ N Anderung der Kraft = kg; ¨ Anderung der Beschleunigung m/s2 ¨ Nm Anderung des Drehmoments = kg · m2 . = Massentr¨agheitsmoment = ¨ Anderung der Winkelbeschleunigung rad/s2 Masse =

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_2

27

28

2  Mechanische Systeme

2.1.2 Federelemente Eine lineare Feder ist ein mechanisches Element, deren Deformation einer extern einwirkenden Kraft oder einem externen Drehmoment direkt proportional ist. Dieser Zusammenhang wird für eine ursächliche Kraft F durch die Gleichung (2.1)

F =c·x oder auch

F = c · x

N beschrieben, wobei c die Federkonstante in m und x bzw. x die Längenänderung der Feder ist. Für rotierende Bewegungen ist das Torsionsmoment Mt in Analogie zu Gl. (2.1) der Winkeländerung ϕ bzw. �ϕ der tordierten Feder proportional:

(2.2)

Mt = c · ϕ = c · �ϕ. Nm rad .

In diesem Fall hat die Torsionsfederkonstante c die Einheit Die Federkonstante ist in beiden Fällen ein Maß für die Steifigkeit einer Feder. Ein kleiner Wert von c korrespondiert mit einer weichen Feder und umgekehrt. Der reziproke Wert C = 1c wird als mechanische Kapazität bezeichnet. In Abhängigkeit des mechanischen Speichervermögens werden die Gl. (2.1) bzw. (2.2).

x = C · F und ϕ = C · Mt .

2.1.3 Dämpferelemente Ein Dämpfer ist ein mechanisches Element, in dem Energie nicht gespeichert aber als Wärmeenergie dissipiert. Abb. 2.1a zeigt schematisch ein Dämpfungsglied, auch bezeichnet als Translationsdämpfer. Er besteht aus einem Kolben und einem mit Öl befüllten Zylinder. Jede Relativbewegung zwischen der Kolbenstange und dem Zylinder wird durch den vergleichsweise zähen Ölstrom durch die Bohrungen im Kolben behindert. Wesentlich ist dabei, dass die absorbierte Energie als Wärme dissipiert und vorwiegend über Wärmeleitung an die Umgebung abgegeben wird. Beide Geschwindigkeiten, x˙ 1 und x˙ 2, werden auf den Zylinder des Dämpfers in Abb. 2.1a bezogen. Die auf den Dämpfer einwirkende Kraft F verhält sich proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz x˙ an beiden Enden des Dämpfers; es gilt also

F = b · x˙ = b · (˙x1 − x˙ 2 ),

(2.3)

N wobei der Faktor b als viskoser Reibungskoeffizient mit der Einheit m/s bezeichnet wird. Nachdem die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist, kommt auch ­entsprechend der obigen Gleichung die ursprüngliche Position des Dämpfers nicht zum Vorschein.

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

29

Abb. 2.1   a Translationsdämpfer, b Torsionsdämpfer

Beim Torsionsdämpfer gemäß Abb. 2.1b ist das eingeleitete Drehmoment Mt proportional zur Differenz der Winkelgeschwindigkeit an beiden Enden, also

Mt = b · ϕ˙ = b · (ϕ˙ 1 − ϕ˙2 ),

(2.4)

Nm wobei b mit der Einheit rad/s der viskose Torsions-Reibungskoeffizient und ϕ˙ 1 sowie ϕ˙ 2 die Winkelgeschwindigkeiten an den Enden des Dämpfers sind.

2.2 Modellierung mechanischer Systeme 2.2.1 Newton’sche Axiome Es gibt von Newton drei an der Zahl wohl bekannte Axiome: Das erste Axiom besagt, dass bei Abwesenheit externer Kräfte und Momente der Impuls p als Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v, also m · v, eines jeden Translation ausführenden Systems konstant ist. Analog dazu ist für rotierende Systeme das Produkt aus Massenträgheitsmoment J und Winkelgeschwindigkeit ω, also J · ω eine Konstante. Das zweite Axiom liefert die Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung eines starren Körpers sowie den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung eines rotierenden Systems. Das dritte Axiom erklärt den Zusammenhang zwischen Aktion und Reaktion, nämlich, dass jede Reaktion ihrer Ursache, also der Aktion, entgegen gerichtet ist.

2.2.2 Das zweite Newton’sche Axiom für Translation Jedes mathematische Modell eines beliebigen mechanischen Systems kann durch die Anwendung des zweiten Newton’schen Gesetzes entwickelt werden. In diesem Kapitel

30

2  Mechanische Systeme

werden wir uns deshalb mit der Aufgabe der Herleitung mathematischer Modelle mechanischer Systeme befassen. Für translatorische Bewegung besagt das zweite Newton’sche Gesetz, dass die Beschleunigung a eines beliebigen starren Körpers proportional zur einwirkenden Kraft F und umgekehrt proportional zu dessen Masse m ist, also

a=

F m

(2.5)

Für den Fall, dass mehrere Kräfte auf eine Masse m einwirken, wird die Summe aller  Kräfte F in einer vorgegebenen Richtung zu



F = m · a,

(2.6)

dabei ist a die resultierende Beschleunigung in der betrachteten Richtung. Es wird vorausgesetzt, dass die Richtung der auf die Masse einwirkenden Kraft durch deren Schwerpunkt läuft. Falls diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, muss darüber hinaus rotierende Massenbewegung berücksichtigt werden, die in Gl. (2.5) nicht in Erscheinung tritt. Beispiel 2.1

Abb. 2.2 zeigt ein auf einem Wagen montiertes Feder-Masse-Dämpfungs-System. In diesem Beispiel ist u(t) die zeitliche Verschiebung des Wagens und als Eingangsgröße (Ursache) des Systems zu sehen. Die zeitliche Bewegung y(t) der Masse m fungiert als Ausgangsgröße (Wirkung). Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird der Wagen mit konstanter Geschwindigkeit, also u˙ = konst. nach rechts bewegt. Gesucht sind die beschreibende Differenzialgleichung und die Übertragungsfunktion G(s) des skizzierten Modells. Wenden wir das zweite Newton’sche Axiom auf das skizzierte System gemäß Gl. (2.5) an, so erhalten wir   d2 y du dy m· 2 =b· − + c · (u − y) dt dt dt Abb. 2.2   Bewegliches FederMasse-Dämpfungs-System

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

31

oder geordnet nach Aus- und Eingangsgröße

m·

d2 y dy du +c·y =b· + c · u. +b· 2 dt dt dt

(2.7)

Gl. (2.7) ist das mathematische Modell, also die gesuchte Differenzialgleichung des betrachteten Systems. Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion G(s) muss zunächst jeder Term der obigen Gleichung in den Bildbereich transformiert werden:     2 L m · d 2y = m · s2 Y (s) − sy(0) − y˙ (0) , dt     L b · dy = b · sY (s) − y(0) , dt   L cy = c · Y (s),   = b · [sU(s) − u(0)], L b · du dt L[c · u]

= c · U(s).

Setzen wir alle Anfangsbedingungen zu null, also y(0) = 0, y˙ (0) = 0 und u(0) = 0, so wird die Laplace-Transformierte der Gl. (2.7)

  ms2 + bs + c · Y (s) = (bs + c) · U(s)

und damit die gesuchte Übertragungsfunktion des Systems

G(s) =

bs + c Y (s) = . 2 U(s) ms + bs + c

Ohne auf nähere Details einzugehen, Systeme dieser Art werden in späteren Kapiteln ausführlich behandelt, wir können bereits jetzt unter Verwendung der Grenzwertsätze feststellen, dass sich für große Zeiten, also im stationären Zustand ein fester Versatz zwischen der Position des Wagens und der Masse ergibt. Ergänzend sollte darauf hingewiesen werden, dass die Übertragungsfunktion nur für lineare, zeitinvariante ­Systeme definiert ist.

2.2.3 Das zweite Newton’sche Axiom für Rotation Befindet sich ein starrer Körper ausschließlich um eine starre Achse in rotierender Bewegung, so lautet für diesen Fall das zweite Newton’sche Gesetz



Mt = J · α,

(2.8)

 wobei Mt die Summe aller Torsionsmomente um eine gegebene Achse, J das Massenträgheitsmoment und α die Winkelbeschleunigung ist.

32

2  Mechanische Systeme Beispiel 2.2

Abb. 2.3 zeigt die Skizze einer Schwungscheibe, deren Lagerreibung symbolisch durch eine elektrische Wirbelstrombremse angedeutet ist. Zu bestimmen ist die das System beschreibende Differenzialgleichung und die dazu entsprechende Übertragungsfunktion mit dem Antriebsmoment Mt (t) als Eingangsgröße und der Winkelgeschwindigkeit ω(t) als Ausgangsgröße. Wenn wir auf dieses Beispiel das zweite Newton’sche Gesetz anwenden, so erhalten wir in Analogie zu Gl. (2.8) mit J als Massenträgheitsmoment der rotierenden Masse und b als viskosen Reibungskoeffizient die Gleichung

Mt = J ·

dω +b·ω dt

als mathematisches Modell des zu untersuchenden Systems. Die entsprechende Übertragungsfunktion ergibt sich durch Laplace-Transformation der obigen Differenzialgleichung zu

Mt (s) = Js�(s) + b�(s) und daraus

G(s) =

�(s) 1 . = Mt (s) Js + b

Wenn wir andererseits davon ausgehen, dass kein externes Moment eingeleitet wird (Mt = 0) und die Schwungmasse zum Zeitpunkt t = 0 mit der Winkelgeschwindigkeit ω(0) = ω0 rotiert, so erhalten wir jetzt mit Gl. (2.8)

J·

dω + b · ω = 0. dt

(2.9)

Das betrachtete System wird durch eine Differenzialgleichung erster Ordnung beschrieben, man spricht deshalb auch von einem System erster Ordnung. Um für dieses System mit der gegebenen Anfangsbedingung den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße ω(t) zu bestimmen, wird Gl. (2.9) in den Bild-Bereich transformiert:

J · [s�(s) − ω0 ] + b · �(s) = 0. Abb. 2.3   Rotierendes mechanisches System

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

33

Durch entsprechendes Umordnen erhalten wir daraus

�(s) =

ω0 . s + b/J

(2.10)

Der Ausdruck s + Jb = 0 wird als Charakteristische Gleichung bezeichnet, weil dessen Lösung charakteristisch für den zeitlichen Verlauf der Ausgangsgröße ist; in unserem Fall für ω(t). Unter Verwendung der Zeile 5 in Tab. 1.1 erhalten wir

ω(t) = ω0 · e−(b/J)t = ω0 · e−t/T .

mit T = J/b als die sogenannte Zeitkonstante. Die Winkelgeschwindigkeit nimmt offensichtlich nach einer Exponentialfunktion ab, wie Abb. 2.4 zeigt. Ein weiteres Beispiel für die Modellierung der Dynamik einfacher Systeme ist das mathematische Pendel, wie es in Abb. 2.5 gezeigt ist. Wird die Masse m um den Winkel ϕ(0) = ϕ0 ausgelenkt, so wirkt auf sie zu jedem beliebigen Zeitpunkt aufgrund der Erdbeschleunigung die Gewichtskraft Fg = m · g und die Rückstellkraft Fr = mg · sin ϕ(t). Die durchlaufene Bogenlänge der ­beweglichen Abb. 2.4   Zeitlicher Verlauf der Winkelgeschwindigkeit für ω0 = 0, Mt = 0

Abb. 2.5   a Mathematisches Pendel, b Kräftediagramm

34

2  Mechanische Systeme

Masse ist allgemein l · ϕ(t) und damit deren Beschleunigung l · ϕ(t) ¨ . Durch Einsetzen dieser Beziehungen in das zweite Newton’sche Axiom erhalten wir

ml · ϕ(t) ¨ + mg · sin ϕ(t) = 0.

(2.11)

Im diesem Fall handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit den Anfangsbedingungen

ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) ˙ = ϕ˙0 = 0. Bei dieser Modellbildung wurden die vereinfachenden Annahmen getroffen, dass die gesamte Masse im Schwerpunkt konzentriert sei. Eine weitere Vereinfachung besteht darin, dass das Pendel nur um kleine Winkel ausgelenkt werde, sodass

sin ϕ(t) ≈ ϕ(t) ist. Unter diesen Voraussetzungen wurde, vielleicht unbewusst, eine Linearisierung der Gl. (2.11) vorgenommen. Damit erhalten wir

ml · ϕ(t) ¨ + mg · ϕ(t) = 0.

(2.12)

Die Laplace-Transformierte dieser Gleichung wird mit den Transformationsregeln zu

mls2 · �(s) − s · ϕ0 − ϕ(0) ˙ + mg · �(s) = 0.

Daraus ergibt sich der Auslenkwinkel im Bildbereich

�(s) =

s ϕ0 · ml s2 + g/l

mit den charakteristischen Lösungen

s1/2 = ±j ·



g . l

Den zeitlichen Verlauf des Auslenkwinkels erhalten wir mit Zeile 10 der Tab. 1.1 −1

ϕ(t) = L [�(s)], ϕ(t) = ϕ0 · cos



g ·t l



und damit die sogenannte ungedämpfte Dauerschwingung. Auf Systeme dieser Art wird jedoch in einem gesonderten Kapitel ausführlich eingegangen.

2.2.4 Feder-Masse-System In Abb. 2.6 ist ein mechanisches System, bestehend aus einer Masse und einer Feder, skizziert. Im Hinblick auf die vertikale Bewegung der Masse m sind zwei Kräfte zu

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

35

Abb. 2.6   Feder ohne und mit Last

berücksichtigen: Die Federkraft c · y(t) sowie die konstante Gravitationskraft m · g, die für eine Dehnung der Feder in positiver x-Richtung zuständig ist. Wenn nun die Masse durch eine externe Kraft nach unten gezogen und dann sich selbst überlassen wird, so verursacht die Feder eine Kraft in entgegengesetzter Richtung mit der Tendenz, die Masse wieder nach oben zu ziehen. Durch erneute Anwendung des zweiten Newton’schen Axioms wird die Bewegungsgleichung zu

m · y¨ (t) = mg − c · y(t) oder

m · y¨ (t) + c · y(t) = m · g.

(2.13)

Im Gleichgewicht ist also die Dehnung δ der Feder proportional zur statischen Gravitationskraft. Wenn wir also die Bewegung der Masse auf diesen Gleichgewichtspunkt beziehen, so braucht wegen cδ = m · g in der Gl. (2.13) der Term m · g nicht mehr berücksichtigt zu werden. Mit der Substitution y = x + δ in Gl. (2.13) erhalten wir

m · x¨ (t) + c · x(t) = 0,

(2.14)

als mathematisches Modell des mechanischen Systems. Nachdem die beschreibende Differenzialgleichung offensichtlich wieder zweiter Ordnung ist, spricht man im gegebenen Fall ebenso von einem System zweiter Ordnung. Gehen wir nunmehr für die weitere Betrachtung des Systems in Abb. 2.6 davon aus, dass die Masse um eine bestimmte Länge x(0) = x0 in positiver x-Richtung ausgelenkt und dann losgelassen wird. Das heißt also, wir wollen die sogenannte freie Bewegung des Feder-Masse Systems analysieren. Wie im Folgenden gezeigt wird, führt die Masse eine periodische Oszillation aus. Zur Herleitung der entsprechenden Gleichung bestimmen wir die Lösung der Gl. (2.14). Transformieren wir diese Gleichung in den Laplace-Bereich, so erhalten wir

  m · s2 X(s) − sx0 − x˙ 0 + c · X(s) = 0

36

2  Mechanische Systeme

oder umgeformt



 ms2 + c · X(s) = m˙x0 + msx0 .

Daraus ergibt sich die Ausgangsgröße im Bildbereich zu

X(s) =

x˙ 0 sx0 + . s2 + c/m s2 + c/m

Diese Gleichung kann mit etwas Geschick so umgeformt werden, dass man die Laplace-Transformierte eines jeden Terms mithilfe von Korrespondenz-Tabellen mühelos bestimmen kann:

X(s) =



c s m m · x˙ 0 ·  c 2 +  c 2 · x0 . 2 2 c s + s + m m

Mit den bekannten Korrespondenzen

und

c    c m t = L sin  c 2 m s2 + m    c s L cos t =  c 2 m s2 + m

erhalten wir die gesuchte Zeitfunktion als sogenannte harmonische Schwingung      m c c x(t) = · x˙ 0 · sin t + x0 · cos t . c m m

(2.15)

Für den Fall x˙ 0 = 0 vereinfacht sich Gl. (2.15) zu   c x(t) = x0 · cos t . m Die Periodendauer T dieser einfachen harmonischen Schwingung wird für unser Beispiel

T=

2π ω0

mit

ω0 =



c m

als die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung.

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

37

2.2.5 Massenträgheitsmoment Das Massenträgheitsmoment J eines starren Körpers um eine Achse ist definiert als  J = r 2 dm, wobei dm ein infinitesimales Massenelement und r der Abstand des Massenelements von der Drehachse ist. Die Integration wird über das Volumen des gesamten Körpers durchgeführt. Aus physikalischer Sicht ist das Massenträgheitsmoment ein Maß für den Widerstand, den die rotierende Masse einer Winkelbeschleunigung entgegensetzt. Wenn wir von einem rechtwinkeligen x, y, z-Koordinatensystem in einem Körper ausgehen, so errechnet sich das Massenträgheitsmoment um die x-Achse zu    Jx = y2 + z2 dm.

Analog dazu werden Jy und Jz

Jy = Jz =

 

 x 2 + z2 dm,

   x 2 + y2 dm = Jx + Jy .

Falls die Ausdehnung eines Körpers in z-Richtung vernachlässigbar klein ist im Vergleich zu den Abmessungen in x- oder y-Richtung, so errechnen sich die jeweiligen Massenträgheitsmomente zu  Jx = y2 dm,  Jy = x 2 dm    Jz = x 2 + y2 dm = Jx + Jy . Beispiel 2.3

Die Skizze in Abb. 2.7 zeigt einen homogenen Zylinder mit dem Außenradius R und ′ der Länge l . Es ist das Massenträgheitsmoment dieses Zylinders um die Achse A − A zu berechnen. Für ein ringförmiges Massenelement mit dem Radius r und der infinitesimalen Breite dr ist die Masse dm = ρ · dV dieses Ringes zu

dm = 2rπlρ · dr gegeben, wobei ρ die Dichte des Materials ist.

38

2  Mechanische Systeme

Abb. 2.7   Homogener Zylinder

Entsprechend der obigen Definition erhalten wir

J=

R

2

r 2rπ lρ · dr = 2π lρ ·

R

r 3 dr =

πlρR4 . 2

0

r=0

Mit

erhalten wir schließlich

m = R2 πlρ

J=

mR2 . 2

Experimentelle Bestimmung des Massenträgheitsmoments Anhand des Beispiels 2.3 erkennen wir unschwer, dass sich die Formel zur Bestimmung des Massenträgheitsmoments nur für einfache geometrische Körper anwenden lässt. Für kompliziertere Geometrieen ist deshalb die experimentelle Bestimmung einer mathematischen Berechnung des Massenträgheitsmoments vorzuziehen. Die Vorgehensweise wird anhand von Abb. 2.8 erläutert: Wir befestigen einen starren Körper auf einer Achse mit – theoretisch- reibungslosen Lagern. Außerdem wird auf dieselbe Achse eine Torsionsfeder mit bekannter Federkonstante c montiert. Nunmehr wird die Achse um einen kleinen Winkel gedreht und dann das ganze System sich selbst überlassen. Im Anschluss daran messen wir die Periodendauer der harmonischen Drehbewegung. Aufgrund der bereits bekannten Bewegungsgleichung dieses Systems

J · ϕ¨ + c · ϕ = 0

Abb. 2.8   Experimenteller Aufbau

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

39

oder

c ϕ¨ + ϕ = 0 J wird die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung  c ω0 = J und damit die entsprechende Periodendauer

T= und daraus

2π 2π = c ω0 J

J=

cT 2 . 4π 2

Durch analoge Vorgehensweise würden wir die Masse des vertikalen Schwingers im Abb. 2.6 erhalten:

m=

cT 2 4π 2

Tab. 2.1 liefert eine Zusammenstellung der Massenträgheitsmomente häufig auftretender Konturen. Beispiel 2.4

Ein rotationssymmetrischer Körper mit der Masse m ist im Abstand 2a an zwei Fäden der Länge h befestigt, wie Abb. 2.9 zeigt. Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie der ringförmigen Masse. Diese wird um einen kleinen Winkel ϕ um die vertikale Achse gedreht und dann die skizzierte Vorrichtung sich selbst überlassen. Gesucht ist das Massenträgheitsmoment J , wenn T die Periodendauer der oszillierenden Schwingung ist. Unter der Voraussetzung kleiner Drehwinkel ϕ um die Gleichgewichtslage dürfen die Kräfte F in beiden Fäden als identisch angenommen werden. Damit ist natürlich auch der Neigungswinkel  des jeweiligen Fadens betragsmäßig klein. Die Winkel  und ϕ sind dann zueinander proportional; also

aϕ = h�, und damit

�=

a · ϕ. h

40

2  Mechanische Systeme

Tab. 2.1  Typische Massenträgheitsmomente

Kontur

Massenträgheitsmoment

Die vertikale Komponente der Kraft F in jedem der beiden Fäden ist zu mg/2 gegeben. Die wiederum identischen horizontalen Komponenten von F mit mg�/2 erzeugen je ein Rückstellmoment mit mg · a. Damit wird die Rotation der Drehbewegung durch die Gleichung

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

41

Abb. 2.9   Experimentelle Bestimmung des Massenträgheitsmoments

J ϕ¨ = −mg�a = −mg ·

a2 ϕ h

oder

ϕ¨ +

a2 mg ϕ=0 Jh

beschrieben. Aus dieser Gleichung ergibt sich die Periodendauer der Schwingung

2π T=

a2 mg Jh

und damit das gesuchte Massenträgheitsmoment

J=



T 2π

2

·

a2 mg . h

2.2.6 Transientes Verhalten von Systemen zweiter Ordnung Sind in einem System zwei verschiedenartige Energiespeicher vorhanden, so kann die Ausgangsgröße des Systems mehr oder weniger gedämpfte Schwingungen ausführen. Dies ist beispielsweise bei einem Feder-Masse-Dämpfungs-System der Fall, nachdem

42

2  Mechanische Systeme

hier potenzielle und kinetische Energie gespeichert werden kann. Abb. 2.10 zeigt als typisches Beispiel die Skizze eines Feder-Masse-Dämpfungs-Systems als Einrad-Modell eines Kraftfahrzeugs mit der gesamten Masse m, des Federbeins mit der Federkonstante c sowie eines Stoßdämpfers mit dem viskosen Dämpfungsmaß b. Im Sinne der Analyse dieses mechanischen Systems gehen wir davon aus, dass die Masse, beispielsweise veranlasst durch die Fahrt über eine Unebenheit, nach oben gestoßen wird. Bei entsprechend schwacher Dämpfung wird diese eine mehr oder weniger gedämpfte vertikale Schwingung ausführen. Man spricht hier von einer periodischen Schwingung oder auch von einem untergedämpften System. Im Gegensatz dazu wird bei genügend großer Dämpfung keine Schwingung mehr auftreten; in diesem Fall spricht man von einem übergedämpften System. Ein kritisch gedämpftes System ist dann gegeben, wenn der noch zu definierende Dämpfungsgrad einen ganz bestimmten Wert hat, bei dem sich die resultierende Bewegung gerade an der Grenze zwischen dem über- und untergedämpften Fall befindet. Unabhängig davon, ob nun das System schwach, über- oder kritisch gedämpft ist, die Schwingung wird in allen drei Fällen mit zunehmender Zeit ausklingen. Die freie Bewegung zeigt also transientes Verhalten. Freie Bewegung ohne Dämpfung Bezug nehmend auf das Feder-Masse-System in Abb. 2.6 soll das Zeitverhalten des Systems für den Fall untersucht werden, dass die Masse um eine definierte Weglänge x0 nach unten gezogen und mit einer ebenso definierten Anfangsgeschwindigkeit x˙ 0 sich selbst überlassen wird. Dieser Fall wurde bereits im Abschn. 2.2.4 ausführlich behandelt und bedarf somit an dieser Stelle keiner weiteren Diskussion mehr. Freie Bewegung mit viskoser Dämpfung Die Dämpfung ist bei allen praktisch realistischen, mechanischen Systemen immer vorhanden, obwohl sie natürlich in bestimmten Fällen vernachlässigbar klein sein kann. In Abb. 2.10 greifen an der Masse m drei vertikale Kräfte an: Die Federkraft, die Dämpfungskraft sowie die Gravitationskraft. Wenn wir die Bewegung der Masse auf den Gleichgewichtszustand beziehen, so tritt die Gravitationskraft nicht in Erscheinung. Abb. 2.10   System zweiter Ordnung

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

43

(Dieser Sachverhalt wurde bereits im Abschn. 2.2.4 besprochen). Somit ergibt sich aus der Bilanz der Kräfte folgende, das System beschreibende Differenzialgleichung

m · x¨ (t) + b · x˙ (t) + c · x(t) = 0.

(2.16)

Diese Differenzialgleichung beschreibt die zeitliche Bewegung der Masse und ist damit zugleich das mathematische Modell des Systems. Das Eigenverhalten dieses Systems zweiter Ordnung wird durch die Lösungen der charakteristischen Gleichung

ms2 + bs + c = 0

beschrieben. Die Wurzeln dieser Gleichung errechnen sich zu √ −b ± b2 − 4mc s1/2 = . 2m Für ein kleines Dämpfungsmaß b und damit b2 < 4mc werden die Lösungen der charakteristischen Gleichung konjugiert komplex. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, dass dann die Eigenbewegung x(t) durch eine periodische, zeitlich abklingende Funktion beschrieben wird. Für einen größeren Dämpfungsgrad mit b2 = 4mc werden beide Wurzeln der charakteristischen Gleichung negativ reell und betragsmäßig gleich. Man sagt dann, das System ist in diesem Fall kritisch gedämpft. Der dritte Fall ist durch b2 > 4mc gekennzeichnet. Beide Lösungen der charakteristischen Gleichung werden negativ reell und betragsmäßig voneinander verschieden. Hierfür ist der Begriff des übergedämpften Falls definiert. Im Zuge der Lösung der Gl. (2.16) ist es üblich, für die Systemantwort x(t) zwei für das System typische Kennwerte zu definieren:

 ω0 = mc : Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung; d = 2√bc·m: Dämpfungsfaktor; damit wird Gl. (2.16)

x¨ + 2dω0 x˙ + ω02 x = 0.

(2.17)

Im Zuge der folgenden Betrachtung wird die Systemantwort für drei typische Fälle hergeleitet. a) Periodischer Fall (0 < d < 1) Die Laplace-Transformierte der Gl. (2.17) liefert



 s2 X(s) − sx0 − x˙ 0 + 2dω0 [sX(s) − x0 ] + ω02 X(s) = 0.

Aufgelöst nach X(s) ergibt

X(s) =

(s + 2dω0 ) · x0 + x˙ 0 . s2 + 2dω0 s + ω02

(2.18)

44

2  Mechanische Systeme

oder

√ ω0 1 − d 2 ω0 dx0 + x˙ 0 (s + ω0 d) · x0 X(s) = √ ·  +  .   ω0 1 − d 2 (s + ω d)2 + ω √1 − d 2 2 (s + ω d)2 + ω √1 − d 2 2 0 0 0 0

Die inverse Laplace-Transformierte dieser Gleichung liefert die zeitliche Bewegung der Masse       ω0 dx0 + x˙ 0 −ω0 dt x(t) = √ ·e · sin ω0 1 − d 2 t + x0 · e−ω0 dt · cos ω0 1 − d 2 t . ω0 1 − d 2 Mit der Definition

ωd = ω 0



1 − d2

als Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung folgt schließlich    d 1 −ω0 dt √ · x˙ 0 · sin ωd t + x0 · cos ωd t . x(t) = e · x0 + ωd 1 − d2

(2.19)

Für den Fall verschwindender Anfangsgeschwindigkeit, also x˙ 0 = 0 vereinfacht sich die Gl. (2.19) zu   d x(t) = x0 · e−ω0 dt · √ · sin ωd t + cos ωd t . (2.20) 1 − d2 oder alternativ

x0

x(t) = √ ·e 1 − d2

−ω0 dt



· sin ωd t + arctan

√

1 − d2 d



oder

   x0 d x(t) = √ · e−ω0 dt · cos ωd t − arctan √ . 1 − d2 1 − d2

(2.21)

b) Aperiodischer Fall (d > 1) Für diesen Fall sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden und negativ reell. Damit bekommt nunmehr Gl. (2.18) die Form

(s + 2dω0 ) · x0 + x˙ 0    √ √ s + ω 0 d + ω0 d 2 − 1 · s + ω 0 d − ω0 d 2 − 1

X(s) =  =

a′

b′ √ √ + s + ω0 d + ω 0 d 2 − 1 s + ω0 d − ω0 d 2 − 1

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

45

mit

  √ −d + d 2 − 1 x0 x˙ 0 √ √ − a′ = 2 2 d −1 2ω0 d 2 − 1   √ d + d 2 − 1 x0 x˙ 0 ′ √ √ + . b = 2 2 d −1 2ω0 d 2 − 1 Die inverse Laplace-Transformierte von X(s), also L−1 [X(s)] = x(t) wird zu ′

� � √ − ω0 d+ω0 d 2 −1 t

′

� � √ − ω0 d−ω0 d 2 −1 t

x(t) = a · e +b ·e , �  � √ � � √ −d + d 2 − 1 x0 2 x˙ 0  · e− ω0 d+ω0 d −1 t √ √ − x(t) =  2 d2 − 1 2ω0 d 2 − 1 � �   √ � � √ d + d 2 − 1 x0 x ˙ − ω0 d−ω0 d 2 −1 t 0   √ √ + . ·e + 2 d2 − 1 2ω0 d 2 − 1

Beide Terme der rechten Seite dieser Gleichung klingen exponenziell mit der Zeit t ab und besitzen im Gegensatz zum ersten Fall keinen Schwingungsterm. Man spricht deshalb auch manchmal vom sogenannten Kriechfall. c) Aperiodischer Grenzfall (d= 1) Der Fall d = 1 zeichnet sich dadurch aus, dass bei dieser Dämpfung der transiente Übergang für alle aperiodischen Verläufe (d > 1) die wenigste Zeit in Anspruch nimmt. In diesem Fall sind beide Wurzeln der charakteristischen Gleichung negativ reell und betragsmäßig gleich. Gl. (2.18) wird damit

X(s) =

ω0 x0 + x˙ 0 x0 (s + ω0 ) · x0 + ω0 x0 + x˙ 0 (s + 2ω0 ) · x0 + x˙ 0 + = = . 2 2 2 s + ω0 s + 2ω0 s + ω0 (s + ω0 ) (s + ω0 )2

Die inverse Laplace-Transformierte der obigen Gleichung liefer

x(t) = {x0 + [ω0 x0 + x˙ 0 ]t} · e−ω0 t . Der zeitliche Verlauf ist dem für d > 1 ähnlich; der transiente Übergang zeigt ebenso wie zu erwarten war, keinen Schwingungsterm. Abb. 2.11 zeigt skizzenhaft die Systemantwort x(t) für x0 = 0 und x˙ 0 = 0 der drei hier aufgezeigten Fälle. Experimentelle Bestimmung des Dämpfungsfaktors In vielen praktischen Fällen besteht die Notwendigkeit, den Dämpfungsfaktor d und/ oder die Eigenkreisfrequenz ωd der gedämpften Schwingung zu bestimmen. Zur experimentellen Bestimmung dieser Parameter wird die gedämpfte Schwingung des zu untersuchenden Systems mit einem x, t-Schreiber oder einem Oszillografen registriert, wie dies in Abb. 2.12 skizzenhaft angedeutet ist. Die Periodendauer T des Systems

46

2  Mechanische Systeme

Abb. 2.11   Typische Antwortfunktionen für Systeme zweiter Ordnung

Abb. 2.12   Exponenziell abklingende Schwingung

kann unmittelbar aus dem zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge des Ausgangssignals abgelesen werden. Zur Bestimmung des Dämpfungsgrades d messen wir zum Zeitpunkt t = t1 die Amplitude x1 und zum Zeitpunkt t = t1 + (n − 1)T die Amplitude xn. Bezug nehmend auf Gl. (2.19) erhalten wir

e−ω0 dt1 x1 = −ω d(t +T ) = eω0 dT . x2 e 0 1 Analog erhalten wir

1 x1 = −ω d(n−1)T = eω0 d(n−1)T . 0 xn e Der Logarithmus aus dem Verhältnis zweier aufeinander folgender Amplituden bezeichnen wir als logarithmisches Dekrement mit dem Formelzeichen δ:

δ = ln

2π d 2π x1 =√ = ω0 dT = ω0 d · x2 ωd 1 − d2

(2.22)

Aus dieser Gleichung kann nun unschwer der Dämpfungsgrad berechnet werden. Abschätzung der Einschwingzeit Die Masse des mechanischen Systems in Abb. 2.9 wird zum Zeitpunkt t = 0 um eine definierte Weglänge x0 ausgelenkt. Die Anfangsgeschwindigkeit sei zu x˙ 0 = 0 angenommen. Die Systemantwort ist entsprechend Gl. (2.21) gegeben zu    x0 d −ω0 dt x(t) = √ ·e · cos ωd t − arctan √ . 1 − d2 1 − d2

47

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

In Abb. 2.13 ist der typische zeitliche Verlauf der Systemantwort skizziert. Die sogenannte Einhüllende dieser Systemantwort unterliegt der Funktion

x0 ±√ · e−ω0 dt . 1 − d2 Die Periodendauer T entspricht dem Exponenten der Exponentialfunktion und lautet T = 1/ω0 d. Nachdem die Exponentialfunktion die bereits definierte Einhüllende der Systemantwort x(t) ist wird es möglich, die Dauer des transienten Einschwingvorgangs in Abhängigkeit der sogenannten Abklingzeit ts (engl. settling time), definiert durch

ts = 4T =

4 ω0 d

abzuschätzen. Die Abklingzeit ts kann näherungsweise als Dauer des Einschwingvorgangs verstanden werden wenn man per Definition davon ausgeht, dass der Funktionsgraf für t > ts innerhalb ±2 % der Anfangsamplitude, im gegebenen Fall von √ x0 / 1 − d 2 verbleibt.  Hinweis  Die durchgeführten Analysen des gesamten Abschn. 2.2.6 und deren hergeleiteten Gleichungen können für jedes analoge System angewendet werden, die der Gl. (2.17) unterliegen.

Abb. 2.13   Typische Antwortfunktion eines Systems 2. Ordnung

48

2  Mechanische Systeme Beispiel 2.5

Das skizzierte Feder-Dämpfer-System kann als Modell einer Federwaage (s. Abb. 2.14) betrachtet werden. Die Aufgabe in diesem Beispiel besteht darin, das dynamische Verhalten des Systems zu bestimmen, wenn die skizzierte Vorrichtung zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Gewicht der Masse m belastet wird. Bezugspunkt für die zeitliche Bewegung x(t) ist die Position der Auflage für t < 0. N Die Masse sei gegeben zu m = 1 kg, der viskose Reibungskoeffizient zu b = 1 m/s und die Federkonstante zu c = 40 N/m. Eingangsgröße des Systems ist die konstante Gravitation m · g als Sprungfunktion. Die Anfangsbedingungen sind gegeben als x(0) = 0, x˙ (0) = 0. Damit lautet die Bewegungsgleichung des mechanischen Systems

m · x¨ (t) + b · x˙ (t) + c · x(t) = mg, t ≥ 0. Setzen wir die diversen Zahlenwerte ein, so bekommen wir

x¨ + 4˙x + 40x = 9,81. Die Laplace-Transformierte dieser Gleichung wird unter Berücksichtigung der Anfangswerte

s2 X(s) + 4sX(s) + 40X(s) =

9,81 . s

Aufgelöst nach X(s) ergibt

  9,81 s+4 1 9,81 = · − 40 s s2 + 4s + 40 s · s2 + 4s + 40   1 1 s+2 6 = 0,245 · . − − 2 2 s 3 (s + 2) + 6 (s + 2)2 + 62   1 −2t −1 −2t x(t) = L [X(s)] = 0,245 · 1 − e sin 6t − e cos 6t . 3

X(s) =



Die entwickelte Lösung steht für die gesuchte vertikale Bewegung der Auflage.

Abb. 2.14   Modell einer Federwaage

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

49

Beispiel 2.6

Abb. 2.15a zeigt ein typisches System 2. Ordnung. Wenn die Masse m mit einer sprungförmigen Kraft von F(t) = 2N · ε(t) beaufschlagt wird, so führt diese eine gedämpfte Schwingung gemäß Abb. 2.15b aus. Es sind die Masse m, das Dämpfungsmaß b sowie die Federkonstante c der Vorrichtung unter Verwendung des zeitlichen Verlaufs der Sprungantwort zu bestimmen. Die Systemgleichung lässt sich mithilfe des Kräftegleichgewichts zu

m¨x + b˙x + cx = 2N · ε(t) bestimmen. (Die sogenannte Sprungfunktion ε(t) wird im Abschn. 3.1.8 definiert). Unter der Voraussetzung verschwindender Anfangsbedingungen wird die Laplace-Transformierte dieser Gleichung

 2N  X(s) · ms2 + bs + c = s

und damit die gesuchte Ausgangsgröße im Bildbereich

X(s) =

s·



ms2

2 2/c  =  + bs + c s mc s2 + bc s + 1

Durch den zusätzlichen Pol an der Stelle s = 0 wird der zeitliche Verlauf in Analogie zu Gl. (2.20)    d −ω0 dt x(t) = 0,1 · 1 − e · √ · sin ωd t + cos ωd t 1 − d2

Aus Abb. 2.15b lässt sich das größte positive Maximum an der Stelle tmax ≈ 4,8 s ablesen. Mit

t=

π T = 2 ωd

Abb. 2.15   a Mechanisches schwingfähiges System, b Sprungantwort

50

2  Mechanische Systeme

wird mit sin π = 0 und cos π = −1   √ T 2 = 1 + e−πd/ 1−d x 2 und damit die maximale Amplitudenüberhöhung   √ T 2 − 1 = e−π d/ 1−d . �xmax = x 2 Daraus finden wir die entsprechende Dämpfung zu

d=



(ln �xmax )2 = π 2 + (ln �xmax )2



(ln 0,025)2 = 0,76. π 2 + (ln 0,025)2

Außerdem können wir aus Diagramm die Periodendauer der gedämpften Schwingung

T ≈ 10 s =

2π ωd

ablesen und erhalten daraus die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

ωd =

2π = 0,63 s−1 T

sowie die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

ωd ω0 = √ = 0,97 s−1 . 1 − d2 Mithilfe des Endwertsatzes der Laplace-Transformation erhalten wir zunächst die Federkonstante

x(t → ∞) = x∞ = lim s · X(s) = s→0

2N N N 2 →c= = 20 = 2 · 103 , c 0,1 cm cm m

wobei x∞ = 0,1 cm wiederum aus dem Diagramm abgelesen worden ist. Schließlich können wir die restlichen Unbekannten durch einen Koeffizientenvergleich in gleichen Potenzen von s der charakteristischen Gleichung der Aufgabe I) mc s2 + bc s + 1 mit der allgemein gültigen charakteristischen Gleichung eines Systems 2. Ordnung II) ω12 s2 + 0

2d ω0 s

+1

bestimmen:

2d 2d N b = →b=c· = 3,13 · 103 c ω0 ω0 m/s

2.2  Modellierung mechanischer Systeme

51

Und

c m 1 → m = 2 = 2,12 · 103 kg. = c ω02 ω0

2.2.7 Mechanische Systeme mit zwei oder mehreren Freiheitsgraden Für einfache mechanische Systeme genügt lediglich eine Koordinate, um die zeitliche Bewegung solcher Systeme zu bestimmen. Für kompliziertere Systeme ist jedoch in der Regel mehr als eine Koordinate notwendig, um deren Dynamik beschreiben zu können. Die minimale Anzahl notwendiger unabhängiger Koordinaten zur vollständigen Beschreibung der Position aller Elemente wird üblicherweise mit dem Synonym Freiheitsgrad bezeichnet. Beispielsweise handelt es sich um ein System mit einem Freiheitsgrad, wenn nur eine Koordinate zur vollständigen Beschreibung der örtlichen Lage einer Masse zu jedem beliebigen Zeitpunkt genügt. Dabei muss darauf hingewiesen werden, dass grundsätzlich weder die Anzahl der Massen in einem System oder eine beliebige andere physikalische Größe zu einer korrekten Bestimmung des Freiheitsgrades führt. Stattdessen gilt folgende Definition: Abhängig von der Anzahl der notwendigen Bewegungsgleichungen zur vollständigen Beschreibung der Dynamik eines Systems und der Anzahl der Randbedingungen wird der Freiheitsgrad zu

Zahl der Freiheitsgrade = Zahl der Bewegungsgleichungen − Zahl der Randbedingungen.

Beispiel 2.7

Für die Systeme, in Abb. 2.16, ist für jedes der drei Beispiele der entsprechende Freiheitsgrad zu bestimmen. Beginnen wir mit dem System in Abb. 2.16a. Wenn wir voraussetzen, dass die Masse m nur vertikale Schwingungen ausführen kann, so ist auch nur eine Koordinate x(t) notwendig, um diese zu jedem beliebigen Zeitpunkt lokalisieren zu können. Also hat dieses System auch nur einen Freiheitsgrad. Um dieses Statement zu verifizieren haben wir, wie eingangs bereits erwähnt wurde, die Anzahl der Bewegungsgleichungen und die Zahl der Randbedingungen zu bestimmen. Das System ist durch eine Bewegungsgleichung

m¨x + b˙x + cx = 0 und im gegebenen Fall ohne Vorgabe von Randbedingungen eindeutig beschrieben. Konsequenterweise ist erwartungsgemäß

Freiheitsgrad = 1 − 0 = 1.

52

2  Mechanische Systeme

Abb. 2.16   Mechanische Systeme mit verschiedenen Freiheitsgraden

In Abb. 2.16b sind zwei Bewegungsgleichungen

m¨x1 + c1 x1 + c2 (x1 − x2 ) = 0 c2 (x1 − x2 ) = b2 x˙ 2 zur vollständigen Beschreibung der Dynamik des Systems notwendig. Außerdem sind auch in diesem Fall keinerlei Randbedingungen vorgegeben. Damit ergibt sich jetzt ein Freiheitsgrad von

2 − 0 = 2.

In Abb. 2.16c sind zwei Koordinaten x und y zur Lokalisierung der Pendelmasse notwendig,

m¨x = −F · sin ϕ m¨y = mg − F · cos ϕ wobei F für die Seilkraft steht. Somit wird dieses System logischerweise durch zwei Bewegungsgleichungen beschrieben. Allerdings existiert in diesem Beispiel eine Randbedingung, nämlich

Also gilt jetzt

x 2 + y2 = l 2 . Zahl der Freiheitsgrade = 2 − 1 = 1.

3

Elektrische Systeme

Die Intention in diesem Kapitel besteht darin, passive und aktive elektrische Systeme mathematisch zu modellieren und die Systemantwort für physikalisch eindeutig definierte Anregungsfunktionen zu bestimmen. Natürlich müssen zunächst in einem kurzen Abriss die wesentlichen Grundlagen der Elektrotechnik in Erinnerung gerufen werden. Eine detaillierte Auflistung diesbezüglich kompetenter Lehrbücher ist im Literaturverzeichnis zu finden.

3.1 Physikalische Grundlagen der Elektrotechnik Dieser Abschnitt liefert einen Überblick über die wichtigsten Grundlagen elektrischer Schaltkreise. Wir versuchen mittels eines kurzen Überblicks die Begriffe elektrische Spannung, elektrische Ladung und Stromfluss zu klären. Im Anschluss daran findet der Leser eine überschlägliche Behandlung der wichtigsten elektrotechnischen Elemente; als da sind: Ohmscher Widerstand, Kapazität und Induktivität. Schließlich runden wir diese Vorbetrachtung mit dem Ohmschen Gesetz sowie mit den Kirchhoffschen Sätzen verzweigter Stromkreise ab.

3.1.1 Elektrische Spannung Die elektrische Spannung in elektrischen Systemen verhält sich analog zum Druck von fluiden Medien in hydraulischen und pneumatischen Systemen. Man kann sie deshalb als notwendige Kraft interpretieren, um einen elektrischen Stromfluss zu bewerkstelligen. Die Einheit der elektrischen Spannung ist 1 V.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_3

53

54

3  Elektrische Systeme

3.1.2 Elektrische Ladung Die elektrische Ladung ergibt sich als zeitliches Integral des Stromflusses und wird in Coulomb (Cb) gemessen. Ein Coulomb ist die Ladungsmenge, die innerhalb einer Sekunde von einem Strom von einem Ampere transportiert wird. Gemessen in metrischen Einheiten ist ein Coulomb die Ladungsmenge, die durch eine Kraft von einem Newton von einer Feldstärke von einem Volt pro Meter transportiert wird, also

1 Cb =

Nm . V

3.1.3 Elektrische Stromstärke Die elektrische Stromstärke ist definitionsgemäß der Ladungstransport pro Zeiteinheit. Wenn eine differenziell kleine Ladungsmenge dq eine vorgegebene Fläche innerhalb einer differenziellen Zeit dt durchströmt, dann ergibt sich der Stromfluss i als

i=

dq . dt

3.1.4 Ohmsches Gesetz Der Ohmsche Widerstand R ist definiert als notwendige Spannungsänderung U , um einen Strom I von einem Ampere zu transportieren:   U V = . R= I A Ohmsche Widerstände sind nicht in der Lage, Energie irgendeiner Form zu speichern. Stattdessen wird die aufgenommene Energie in Wärme umgesetzt.

3.1.5 Kapazitive Elemente Der Kondensator als Speichermedium elektrischer Energie besteht im einfachsten Fall aus zwei elektrisch leitenden Platten, die durch ein elektrisch nicht leitendes Medium (Dielektrikum) voneinander getrennt sind. Die sogenannte Kapazität C, also das Speichervermögen eines Kondensators, ist definiert als Ladungsänderung Q, die sich als Resultat einer Spannungsänderung U von einem Volt

C=

Q U

3.1  Physikalische Grundlagen der Elektrotechnik

55

ergibt. Die Kapazität C eines Plattenkondensators ist ein Maß für die Ladungsmenge, die von einem Kondensator bei einer vorgegebenen Spannung an den Leiterplatten gespeichert werden kann. Die Einheit der Kapazität ist das Farad:

F=

Coulomb As . = V Volt

Wegen

i(t) =

dq(t) und dq(t) = C · duC (t) dt

folgt

i(t) = C ·

duC (t) dt

und damit

uC (t) =

1 · C



0

t

i(τ )dτ + uC (0).

3.1.6 Induktivität Bewegte Ladungen werden bekanntlich von einem magnetischen Feld umgeben. Befindet sich eine Leiterschleife in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld, so wird in dieser eine elektrische Spannung induziert. Die induzierte elektrische Spannung uL (t) in der Leiterschleife ist deren Induktivität L und der zeitlichen Änderung des durch die Leiterschleift fließenden Stroms proportional:

uL (t) = L ·

diL (t) . dt

Die Einheit der Induktivität wird in Henry H, angegeben:

H=

Vs Wb V . = = A/s A A

Der Stromfluss durch eine Induktivität wird mit obiger Gleichung  t 1 uL (τ )dτ + iL (0). iL (t) = · L 0

3.1.7 Kirchhoffsche Gesetze Im Zuge der mathematischen Behandlung von Systemen mit mehreren passiven Elementen, also Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten, treten bei deren Lösung häufig die nach Kirchhoff benannten Regeln in Erscheinung.

56

3  Elektrische Systeme

Kirchhoffsche Knotenpunktsregel Ein Knoten in einer elektrischen Schaltung ist ein Punkt, in dem mindestens drei oder mehrere Leiter miteinander verbunden sind. Die Kirchhoff’sche Knotenpunktsregel besagt, dass sich die algebraische Summe aller zu- und abfließenden Ströme in einem Knoten zu Null ergibt. Üblicherweise werden zufließende Ströme positiv, abfließende negativ gezählt. Bezugnehmend auf Abb. 3.1 gilt für den Knoten A:

+I1 − I2 − I3 = 0. Kirchhoffsche Maschenregel Diese Regel, auch zweiter Kirchhoffscher Satz genannt, besagt, dass sich in jeder geschlossenen Masche eines beliebigen Netzwerks die Summe aller Spannungen zu Null ergibt. Bei der Anwendung dieses Satzes ist folgendes zu beachten: Stimmt die Maschenrichtung mit der jeweiligen Spannungsrichtung überein, so ist diese positiv zu zählen. Im anderen Fall, also Spannungs- und Maschenrichtung sind entgegengesetzt, negativ. In Abb. 3.2 gilt beispielsweise:

+U − U2 − U1 = 0. Für weitere Einzelheiten in diesem Rahmen sei auf hierzu spezielle Literaturquellen verwiesen.

3.1.8 Typische Testsignale Im Zuge der Analyse und Identifikation von Systemen hat man sich in der Praxis auf einige wenige Testsignale festgelegt: Die Sprungfunktion, die Impulsfunktion und Abb. 3.1   Knotenregel

Abb. 3.2   Maschenregel

3.1  Physikalische Grundlagen der Elektrotechnik

57

die Sinusfunktion. Welches dieser Testsignale in jeweiligen Fall zur Analyse eines bestimmten Systems Verwendung findet, hängt im Wesentlichen davon ab, welchem Signaltyp das zu untersuchende System im realen Betrieb am meisten unterworfen ist. Die Sprungfunktion Die Sprungfunktion als Eingangssignal des zu untersuchenden Systems ist definiert durch

xe (t) = xˆ e · ε(t), wobei  xe = konst. als Amplitude oder Sprunghöhe und  .. 0 fur t < 0 .. ε(t) = , 1 fur t ≥ 0 aufgrund dieser Definition auch als Einheitssprung bezeichnet wird. Das zu xe (t) entsprechende Ausgangssignal xa (t) ist die sogenannte Sprungantwort. Die auf die Amplitude xˆ e bezogene Sprungantwort

h(t) =

xa (t) xˆ e

wird in der DIN 19226 als Übergangsfunktion h(t) bezeichnet. Die Gewichtsfunktion Die Gewichtsfunktion g(t) ist die Systemantwort auf die Impulsfunktion δ(t) (auch als Dirac-Stoß bezeichnet). Dabei ist die Impulsfunktion definiert als   +∞ .. ∞ furt = 0 .. oder gleichbedeutend damit δ(t) = δ(t)dt = 1. 0 f u r t �= 0 −∞ Gemäß der Definition der Sprungfunktion und der Impulsfunktion gilt der Zusammenhang

δ(t) =

dε(t) . dt

Wegen des vorausgesetzten linearen Zusammenhangs zwischen der Eingangs- und der Ausgangsgröße des betrachteten Systems besteht zwischen der Gewichtsfunktion g(t) und der Übergangsfunktion h(t) die Beziehung

g(t) =

dh(t) . dt

Wegen L [δ(t)] = 1 ist die Impulsantwort eines Systems identisch mit der rücktransformierten Übertragungsfunktion, also

g(t) = L−1 [G(s)].

58

3  Elektrische Systeme

Der Frequenzgang Wählt man ein sinusförmiges Eingangssignal in der komplexen Darstellung

xe (t) = xˆ e · ejωt

mit xˆ e = konst. und 0 ≤ ω ≤ ∞ so wird aufgrund der vorausgesetzten Linearität die Ausgangsgröße im stationären Zustand

xa (t) = xˆ a · ej(ωt+ϕ) .

Das stationäre Ausgangssignal mit der Amplitude xˆ a ist ebenso sinusförmig und um den Phasenwinkel ϕ gegen das Eingangssignal verschoben. Das Verhältnis zwischen dem Ausgangs- und dem Eingangssignal ergibt den Frequenzgang

G( jω) =

xˆ a jϕ xa (t) = ·e . xe (t) xˆ e

Der Frequenzgang ist ein komplexer Zeiger, dessen Betrag |G(jω)| das Amplitudenverhältnis xxˆˆae und dessen Phasengang sich zu

ϕ(ω) = arctan

Im (G( jω)) Re (G( jω))

ergibt. Der sogenannte Amplitudengang ist definiert als

A(ω) = 20 · lg |G( jω)|[dB]. Ergänzend sei angemerkt, dass sich der Frequenzgang auch als Sonderfall der Übertragungsfunktion ergibt, wenn der Laplace-Operator s = σ + jω mit s = jω ersetzt wird.

3.2 Modellierung passiver elektrischer Netzwerke Die Frage nach den Strömen und Spannungen in den Zweigen eines passiven Netzwerks führt im Zeitbereich in der Regel auf ein System von linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, deren Lösung erfahrungsgemäß sehr zeitaufwendig ist. Hingegen entsteht im Bildbereich durch die Laplace-Transformation ein lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit des Operators s für die gesuchten Ströme und Spannungen. In diesem Abschnitt soll vor allem gezeigt werden, dass man, im Gegensatz zu mechanischen Systemen, ohne Kenntnis der Differenzialgleichung(en) sofort das lineare Gleichungssystem im Bildbereich aufzustellen imstande ist. Für die Teilströme ik (t) sowie die Teilspannungen uk (t) eines für t < 0 unerregten ­Netzwerkes gelten folgende Korrespondenzen:   n L [ik (t)] = Ik (s); L d dtikn(t) = sn · Ik (s); L [uk (t)] = Uk (s);

L



dn uk (t) dt n



= sn · Uk (s).

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke

59

Tab. 3.1  Impedanzen im Bildbereich

Damit wird das Ohmsche Gesetz im Bildbereich

Z(s) =

U(s) , I(s)

(3.1)

wenn man den einzelnen Bauteilen sogenannte symbolische Impedanzen zuteilt, wie dies in der Tab 3.1 gezeigt ist. Beispiel 3.1

An einen R, C-Vierpol, s. Abb. 3.3, wird zum Zeitpunkt t = 0 die Eingangsspannung ue (t) = kt = Uτ0 · t (Rampe) angelegt. a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Netzwerks. Lösung a (s) Definitionsgemäß ist G(s) = U Ue (s) und damit

G(s) =

Abb. 3.3   R, C-Netzwerk

1 1/RC 1/sC ; = = R + 1/sC 1 + sRC s + 1/RC

60

3  Elektrische Systeme

b) Berechnen Sie die Ausgangsspannung ua (t). Der Kondensator sei vor dem Anlegen der Spannung ungeladen, es gilt also die Anfangsbedingung ua (t = 0− ) = 0. Lösung Mithilfe der Tab. 1.1, Zeile 7 wird L [ue (t)] = L [kt] =

k = Ue (s). s2

Damit bekommt die Laplace-Transformierte Ausgangsgröße die Form

Ua (s) = Ue (s) · G(s) =

1/RC k . · s2 s + 1/RC

Die Partialbruchzerlegung wird im gegebenen Fall (zweifacher Pol (s1 = s2 = 0))

Ua (s) =

c3 c2 c1 . + + 2 s s s + 1/RC

Die Residuen c1, c2 und c3 errechnen sich zu

1/RC k |s=0 = k; · s2 s + 1/RC    1/RC d d2 s · Ua (s) |s=0 = k· |s=0 = −kRC; c2 = ds ds s + 1/RC k 1 | c3 = (s + 1/RC) · Ua (s)|s=− 1 = 2 · 1 = +kRC. RC s RC s=− RC c1 = s2 · Ua (s)|s=0 = s2 ·

Damit wird die in Partialbrüche zerlegte Ausgangsgröße im Bildbereich

Ua (s) =

kRC kRC k − + s2 s s + 1/RC

und damit der zeitliche Verlauf

  L−1 [Ua (s)] = ua (t) = kt − kRC · 1 − e−t/RC .

In Abb. 3.4 ist der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals ua (t) qualitativ wiedergegeben. In der Fachsprache der Systemtechnik wird bei diesem Übertragungstyp von einem Integrator mit Verzögerung erster Ordnung gesprochen. Das Synonym „erster Ordnung“ ist dadurch begründet, dass der Laplace-Operator in der Übertragungsfunktion in erster Potenz und die beschreibende Differenzialgleichung, sofern sie aufgestellt worden wäre, von erster Ordnung ist.

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke

61

Abb. 3.4   Ausgangssignal eines verzögerten Integrators

Beispiel 3.2

An den Spannungsteiler von Abb. 3.5, bestehend aus zwei gleichen Ohmschen Widerständen R und einer Kapazität C wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung u(t) = U0 · ε(t) angelegt. a) Man bestimme zunächst die gesamte Impedanz des Netzwerks in der Pol-Nullstellenform, Lösung Gesamte Impedanz

 1  s+ R · sC sRC + 2  =R· Z(s) = ZR (s) + ZR (s)ZC (s) = R + =R· 1  sRC + 1 R + sC s+

b) Bestimmung des zeitlichen Verlaufs des Gesamtstroms i(t), Abb. 3.5   Spannungsteiler

2 RC 1 RC

;

62

3  Elektrische Systeme

Lösung Unter Verwendung des Ohmschen Gesetzes im Bildbereich erhalten wir zunächst

I(s) = Mit den Residuen

1 s + RC U0 c2 c U(s)  = 1+ = · . 2 Z(s) s R· s+ 2 s s + RC RC

c1 = s · I(s)|s=0

 1 s + RC U U 0 � � |s=0 = 0 , · =s· 2 s R· s+ 2R RC 

  � � � � 1 s + RC 2 U 2 0 � � |s=− 2 · I(s)|s=− 2 = s + · · c2 = s + RC RC RC RC s R· s+ 2 RC =

U0 2R

finden wir den Bildstrom

  1 1 U0 · + I(s) = . 2 2R s s + RC Durch inverse Laplace-Transformation der beiden Terme dieser Gleichung folgt mit der Zeitkonstante T = RC/2 der zu bestimmende Strom im Zeitbereich

i(t) =

 t U0  · 1 + e− T 2R

In Abb. 3.6 ist der zeitliche Verlauf des Gesamtstroms i(t) skizziert.

Abb. 3.6   Zeitlicher Verlauf des Gesamtstroms i(t)

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke

63

Dieser Stromverlauf ist außerdem physikalisch begründet: An der Stelle t = 0, also im Einschaltmoment, verursacht die Kapazität einen Kurzschluss, der Gesamtstrom wird also nur durch den Reihenwiderstand R begrenzt, also

i(0) =

U0 . R

Im stationären Zustand ist der Kondensator aufgeladen, damit wird jetzt der Gesamtstrom von der Reihenschaltung der beiden Widerstände begrenzt, es ist also

i(t → ∞) =

U0 . 2R

Übrigens hätten wir die gleichen Ergebnisse durch die Verwendung der Grenzwertsätze bekommen:   1 s + U U 0 � RC �  = 0 , · i(0) = lim s · I(s) = lim s ·  s→∞ s→∞ s R· s+ 2 R RC   1 s + RC U U0 � � = 0 · i(∞) = lim s · I(s) = lim s ·  s→∞ s→0 s R· s+ 2 2R RC

c) Berechnung des Spannungsverlaufs uC (t) am Kondensator, Lösung Unter Anwendung der Maschenregel wird die Spannung an der Parallelschaltung

uC (t) = u(t) − uR (t). Mit

uR (t) = R · i(t) =

 t U0  · 1 + e− T 2

bekommen wir für t ≥ 0

uC (t) =

 t U0  · 1 − e− T . 2

d) Berechnung des über den Kondensator fließenden Stroms iC (t). Lösung C (t) Mithilfe der Grundgleichung iC (t) = C · dudt wird die gesuchte Lösung zu

iC (t) = C ·

d dt



 U t t U0  0 · 1 − e− T · e− T ; = 2 R

womit wiederum bestätigt wird, dass der Strom über den Kondensator im aufgeladenen Zustand zu Null wird.

64

3  Elektrische Systeme Beispiel 3.3

Es ist der Stromverlauf i(t) zu berechnen, wenn an das Netzwerk in Abb. 3.7a die in Abb. 3.7b skizzierte Spannung u(t) angelegt wird. Im Bildbereich gilt nach dem Ohmschen Gesetz für den transformierten Strom

I(s) =

U(s) U(s) s U(s) sC = = · = U(s) · . 1 1 Z(s) 1 + sRC R R + sC s + sC

Bevor der gesuchte Bildstrom I(s) berechnet werden kann, muss zunächst die Laplace-Transformierte U(s) der Eingangsspannung u(t) ermittelt werden. Der ­skizzierte Signalverlauf lässt sich durch Überlagerung von zwei Rampen und einer konstanten Spannung zusammensetzen:

u(t) =

U0 · [t − 2ε(t − τ/2) + ε(t − τ )]. τ/2

Mithilfe der Korrespondenztabelle 1.1 sowie des Rechtsverschiebungssatzes der Laplace-Transformation wird diese Gleichung

  2U0 2 −sτ/2 1 −sτ 1 · 2 − ·e + ·e , L[u(t)] = U(s) = τ s s s    2U0 1 U(s) = 2 · 1 − 2se−sτ/2 1 − e−sτ/2 . s τ 2 Wenden wir schließlich den Binomischen Satz an, so erhalten wir

U(s) = Damit folgt für den Bildstrom

I(s) =

2 2U0  · 1 − e−sτ/2 . 2 s τ

  1 2U0  · 1 − 2e−sτ/2 + e−sτ . ·  Rτ s s + 1 RC

Abb. 3.7   a R,C-Netzwerk; b angelegtes Signal u(t)

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke

65

Durch (hier nicht gezeigte) Partialbruchzerlegung wird   1 1 1   = RC · − . 1 s s + RC s s+ 1 RC

und damit der Bildstrom

    1 1 2U0 C −sτ/2 −sτ · − . I(s) = · 1 − 2e + e 1 τ s s + RC Um eine gliedweise Rücktransformation durchführen zu können, zerlegen wir den Bildstrom in die drei Anteile

I(s) = I1 (s) + I2 (s) + I3 (s) mit

  1 1 2U0 C · − I1 (s) = , 1 τ s s + RC

    1 1 2U0 C −sτ/2 · − I2 (s) = · −2e 1 τ s s + RC

und

  1 1 2U0 C · − I3 (s) = · e−sτ . 1 τ s s + RC

Der Strom i(t) besteht demnach aus drei Anteilen, von denen i1 (t) zum Zeitpunkt t = 0, i2 (t) zum Zeitpunkt t = τ/2 und i3 (t) an der Stelle t = τ einsetzt. Es gilt also

i(t) =

            

2U0 C τ 2U0 C τ 2U0 C τ

� � t .. · 1 − e− RC f ur 0 ≤ t < τ2 � � t− τ2 t .. f ur τ2 ≤ t < τ . · −1 − e− RC + 2e− RC � � t− τ2 t−τ t .. · −e− RC + 2e− RC − e− RC f ur t ≥ τ

Abb. 3.8 zeigt schließlich den zeitlichen Verlauf des Stroms  τ + i3 (t) · ε(t − τ ) : i(t) = i1 (t) · ε(t) + i2 (t) · ε t − 2

Abb. 3.8 entspricht im Übrigen dem typischen Verlauf der Regelgröße unter Verwendung eines Zweipunktreglers mit Hysterese, wie uns dieser beispielsweise bei der Zimmertemperaturregelung oder (den meisten von uns) bei der Temperaturregelung eines Bügeleisens mit einem Bimetallregler bekannt ist. Der in Abb. 3.7b skizzierte Spannungsverlauf entspräche in diesem Fall der Regelabweichung als Eingangsgröße des erwähnten Reglers.

66

3  Elektrische Systeme

Abb. 3.8   Stromverlauf i(t)

Beispiel 3.4

In diesem Beispiel wollen wir den Fall behandeln, dass ein Netzwerk für t < 0 nicht unerregt ist. An den Stromkreis von Abb. 3.9 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleichspannung u(t) = U1 · ε(t) angelegt. Der Kondensator sei bereits auf die Spannung uC (t < 0) = U0 aufgeladen gewesen. Zu bestimmen ist der Strom i(t). Unter Verwendung der Maschenregel erhalten wir im Bildbereich die Gleichung

U0 1 U1 − − I(s) − RI(s) = 0 s s sC oder aufgelöst nach dem Strom

I(s) =

1 1 U1 − U0 U1 − U0 · · = . 1 1 s R R + sC s + RC

Mit Tab. 1.1, Zeile 5 und der Konstantenregel erhält man damit den Strom im Zeitbereich

i(t) =

U1 − U0 − t ·e T, R

mit T = RC als die bei allen natürlichen Vorgängen auftretende Zeitkonstante. In Abb. 3.10 ist der zeitliche Verlauf des Stroms i(t) für die Fälle U0 < U1 und U0 > U1 skizziert. Abb. 3.9   R,C-Netzwerk mit U0 = 0

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke

67

Abb. 3.10   Stromverlauf für U0 > U1 und U0 < U1

Beispiel 3.5

In diesem sehr einfachen Beispiel wird die Absicht verfolgt, die im Abschn. 3.1.8 aufgezeigten Definitionen -Sprungantwort, Übergangsfunktion und Impulsantwortanhand von Abb. 3.11 zu bestimmen. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Eingang mit dem Signal ue (t) = U0 ε(t) versorgt. a) Sprungantwort Entsprechend der Spannungsteilerregel bekommen wir zunächst im Bildbereich 1/sC · Ue (s). Ua (s) = R + 1/sc Mit

Ue (s) =

1/sC 1 1/T U0 |T =RC = und = s R + 1/sc 1 + sRC s + 1/T

wird

Ua (s) = Abb. 3.11   Tiefpass

1/T c1 c2 U0 . · = + s s + 1/T s s + 1/T

68

3  Elektrische Systeme

Unter Verwendung der Residuenmethode ergeben sich c1 = U0 und c2 = −U0 und damit die gesuchte Sprungantwort   ua (t) = U0 · 1 − e−t/T . b) Übergangsfunktion Definitionsgemäß ist

h(t) =

ua (t) xa (t) ≡ = 1 − e−t/T . xe (t) U0

c) Impulsantwort Getreu der Definition

g(t) =

dh(t) dt

erhalten wir für das gegebene Beispiel

g(t) =

 1 d 1 − e−t/T = · e−t/T . dt T

 Anmerkung  Für jedes beliebige technische System hat die Impulsantwort immer die Einheit einer Zeit im Nenner. In Assoziation zur physikalischen Geschwindigkeit spricht man deshalb in diesem Zusammenhang auch häufig von der sogenannten „Geschwindigkeitsfunktion“ g(t). Beispiel 3.6

Für das lineare Netzwerk in Abb. 3.12 ist die Übertragungsfunktion G(s), die Gewichtsfunktion g(t) sowie die Übergangsfunktion h(t) zu bestimmen. a) Übertragungsfunktion Im Gegensatz zu den bisherigen, vergleichsweise einfachen Beispielen kann die Übertragungsfunktion nicht unmittelbar aufgestellt werden, sondern muss erst durch die Anwendung der Kirchhoffschen Maschenanalyse schrittweise erarbeitet werden. Aus den Maschengleichungen Abb. 3.12   Lineares Übertragungsglied

3.2  Modellierung passiver elektrischer Netzwerke





�

Ue (s) 0

�

69

 � � � �  � � 1 1 + 2R + sC − R + sC I1 (s)  � � � �  = . 1 1 I2 (s) − R + sC + 2R + sC

folgt für den gesuchten Maschenstrom       1 Ue (s)   + 2R + sC       1 0   − R + sC 1 + sRC    = I2 (s) =   · Ue (s) ⇒  1 1 R(2 + 3sRC) − R + sC   + 2R + sC        1 1 + 2R + sC   − R + sC

Ua (s) = R · I2 (s) = Ue (s) ·

Ua (s) 1 + sRC 1 + sRC . ⇒ G(s) = = 2 + 3sRC Ue (s) 2 + s3RC

Nachdem die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion g(t) ist, wird wegen Ue (s) = L [δ(t)] = 1 Ua (s) = G(s). Alternativ könnte man aber auch die Übertragungsfunktion G(s) durch das Spannungsteilerverhältnis bestimmen:   1   R R+ sC 1 R + R 1 1 + sRC Za (s) sC 2R+ sC   =    = G(s) = = . 1 1 1 Z(s) 2 + 3sRC R R+ sC R 2R + sC + R R + sC R+ 1 2R+ sC

b) Gewichtsfunktion Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. Durch Polynomdivision erhalten wir   1 1 1 s + RC 1 3RC G(s) = · = · 1+ . 2 2 3 s + 3RC 3 s + 3RC Die Rücktransformierte ergibt die gesuchte Gewichtsfunktion zu   2 1 1 − 3RC −1 t ·e g(t) = L [G(s)] = · δ(t) + . 3 3RC c) Sprungantwort Analog zu g(t) =

H(s) =

dh(t) dt

erhalten wir umgekehrt h(t) = ∫ g(t)dt und damit

s+ 1 1 · G(s) = ·  s 3 s s+

1 RC  2 3RC

=

1 1 1 − · , 2 2s 6 s + 3RC

70

3  Elektrische Systeme

und durch inverse Laplace-Transformation 2 1 1 h(t) = L−1 [H(s)] = − · e− 3RC t . 2 6

3.3 Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke Zu den aktiven elektrischen Netzwerken zählen im Wesentlichen der elektronische Rechenverstärker, kommerziell auch als Operationsverstärker (OP) bezeichnet, die diversen handelsüblichen Gleichrichterschaltungen im Energiebereich sowie aktive F ­ilter auf dem breiten Gebiet der Signalverarbeitung. Den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Untersuchung des dynamischen Verhaltens dieser Systeme unter Verwendung der Laplace-Transformation, insofern ist es zunächst naheliegend, die Funktion sowie die verschiedensten Einsatzmöglichkeiten des Operationsverstärkers aufzuzeigen.

3.3.1 Operationsverstärker Dieses Bauelement findet breite Anwendung auf dem Gebiet der Sensorik im Hinblick auf die Signalaufbereitung, der Filterung, Signalbegrenzung und Normierung sowie auf dem Sektor der analogen Regelungstechnik im Interesse der Realisierung der diversen Grundregler. Darüber hinaus ist zu betonen, dass der Schwerpunkt dieses Abschnitts in der Analyse der Dynamik des OP’s und nicht der Untersuchung des teilweise komplizierten elektronischen Verhaltens begründet ist. Zu dem genannten Zweck wird der Operationsverstärker durch das in Abb. 3.13 skizzierte Ersatzschaltbild beschrieben. Das Eingangssignal u1 (t) ist am sogenannten invertierenden Eingang, das zweite Eingangssignal u2 (t) liegt am nicht invertierenden Eingang des OP’s; beide Signale werden relativ zum Masseanschluss gemessen. Mithilfe der folgenden Gleichungen wird beabsichtigt, das Übertragungsverhalten zwischen den Signalen u1 (t) sowie u2 (t) und dem Ausgang ua (t) zu bestimmen: Der Knotenpunkt am invertierenden Eingang des Verstärkers liefert die Gleichung

i1 (t) + ir (t) − i0 (t) = 0.

(3.2)

Mithilfe der Maschengleichungen und des Ohmschen Gesetzes werden diese Ströme zu

i1 (t) =

u1 (t) − u3 (t) − u0 (t) ; Z1

u0 (t) + u3 (t) + ua (t) + ur (t) = 0. Mit

ur (t) = ir (t)Zr

3.3  Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke

71

Abb. 3.13   Ersatzschaltbild des Operationsverstärkers

erhalten wir

ir (t) = −

u0 (t) + u3 (t) + ua (t) . Zr

Außerdem steht am Eingang des OP’s die Differenzspannung u0 (t) an und damit

i0 (t) =

u0 (t) . Ze

Damit wird Gl. (3.2)

u0 (t) + u3 (t) + ua (t) u0 (t) u1 (t) − u3 (t) − u0 (t) = + . Z1 Zr Ze

(3.3)

Durch analoge Vorgehensweise wird die Summe der Ströme im unteren Knoten

i2 (t) + i0 (t) − i3 (t) = 0.

(3.4)

Mit

i2 (t) =

u3 (t) u0 (t) u2 (t) − u3 (t) , i3 (t) = , i0 (t) = . Z2 Z3 Ze

erhalten wir Gl. (3.4) als

u2 (t) − u3 (t) u0 (t) u3 (t) − = 0. + Z2 Ze Z3

(3.5)

72

3  Elektrische Systeme

Aufgrund des hochohmigen Rückkopplungswiderstands Zr ≥ 105  zum vergleichsweise niederohmigen Ausgangswiderstand Za ≈ 100  kann dieser in der weiteren Abhandlung vernachlässigt werden. Mit der Spannungsverstärkung

V0 =

ua (t) u0 (t)

und damit

u0 (t) =

ua (t) V0

vereinfachen sich die Gl. (3.3) und (3.5) zu

u3 (t) + ua (t) u1 (t) − u3 (t) = , Z1 Zr

(3.6)

u3 (t) u2 (t) − u3 (t) = . Z2 Z3

(3.7)

Gl. (3.7) in (3.6) eingesetzt ergibt

ua (t) = u1 (t) ·

Z3 Z1 + Z r Zr + u2 (t) · · . Z1 Z1 Z2 + Z 3

(3.8)

3.3.2 Praktische Anwendungen

Realisierung analoger Regler In diesem Abschnitt soll nunmehr die praktische Anwendung des OP’s zur Entwicklung der klassischen analogen Regler aufgezeigt werden. Dabei muss deutlich darauf verwiesen werden, dass in den folgenden Bildern nur die maßgeblichen Bauteilkomponenten skizzenhaft eingetragen sind, also ohne Spannungsversorgung, Masseanschlüsse, etc. Legen wir den nicht invertierenden Eingang auf Masse und damit Z3 = 0 und u2 (t) = 0, so wird Gl. (3.8) zu

ua (t) = u1 (t) ·

Zr . Z1

Im Bildbereich erhalten wir damit die Übertragungsfunktion des auf diese Weise beschalteten Operationsverstärkers

G(s) = 

Zr (s) Ua (s) = U1 (s) Z1 (s)

Aus dieser Gleichung geht hervor, dass das gesamte Übertragungsverhalten des OP’s nur noch eine Funktion der Gegenkopplungsimpedanz Zr (s) und der Eingangsimpedanz Z1 (s) ist.

(3.9)

3.3  Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke

73

Abb. 3.14   ProportionalRegler

a) Bezogen auf Abb. 3.14, also Zr (s) = Rr und Z1 (s) = R1 wird Rr = konst. G(s) = R1 Die Übertragungsfunktion des Proportionalreglers (P-Regler) lautet GR (s) = KR Durch die Wahl der beiden ohmschen Widerstände Rr und R1 lässt sich also die für den jeweiligen Anwendungsfall notwendige Reglerverstärkung KR ohne Mühe ­einstellen. b) Realisieren wir gemäß Abb. 3.15 die Gegenkopplungsimpedanz als Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität, also 1 Zr (s) = Rr + sCr und die Eingangsimpedanz zu einem bloßen ohmschen Widerstand Z1 (s) = R1, so wird die entsprechende Übertragungsfunktion

  Rr + sC1 r Rr 1 Rr 1 Zr (s) = = + = · 1+ . G(s) = Z1 (s) R1 R1 sR1 Cr R1 sRr Cr Der klassische Proportional-Integral-Regler (PI-Regler) unterliegt der Gleichung   1 . GR (s) = KR · 1 + sTn Der Koeffizientenvergleich zwischen den beiden letzten Gleichungen liefert die Identitäten Rr sowie Tn = Rr Cr . KR = R1 Durch die Wahl der beiden Widerstände R1 und Rr und der Kapazität Cr können also die gewünschte Reglerverstärkung KR sowie die Nachstellzeit Tn den Erfordernissen gemäß realisiert werden.

Abb. 3.15   ProportionalIntegral-Regler

74

3  Elektrische Systeme

Abb. 3.16   ProportionalDifferenzial-Regler

c) Ersetzen wir die Eingangsimpedanz durch eine Parallelschaltung, s. Abb. 3.16. R1 Z1 (s) = R1 ||C1 = 1 + sR1 C1 und die Gegenkopplungsimpedanz durch einen ohmschen Widerstand

Zr (s) = Rr , so ergibt sich die Übertragungsfunktion des idealen Proportional-Differenzial-Reglers (PD-Regler), wie folgende Rechnung zeigt. Mit



G(s) =

Rr Rr Zr (s) = = · (1 + sR1 C1 ) Z1 (s) R1 /(1 + sR1 C1 ) R1

und der Übertragungsfunktion des PD-Reglers

GR (s) = KR · (1 + sTv ) erhalten wir die Verstärkung erneut zu



KR =

Rr R1

und die sogenannte Vorhaltzeit

Tv = R1 C1 .

d) Dem versierten Regelungstechniker ist der reale Proportional-Differenzial-Regler mit Verzögerung erster Ordnung (PDT1-Regler) unter der Übertragungsfunktion 1 + sTv GR (s) = KR · 1 + sT1 bekannt, wobei T1 die noch zu bestimmende Verzögerungszeitkonstante ist. Wie sich im Folgenden zeigen wird, unterliegt der in Abb. 3.17 beschaltete OP exakt diesem Übertragungsverhalten. Mit

Z1 (s) = R1 ||C1 = Abb. 3.17   Realer PD-Regler (PDT1)

R1 1 + sR1 C1

75

3.3  Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke

und

Zr (s) = Rr ||Cr =

Rr 1 + sRr Cr

wird

Zr (s) G(s) = = Z1 (s)

Rr 1+sRr Cr R1 1+sR1 C1

=

Rr 1 + sR1 C1 · . R1 1 + sRr Cr

Der Koeffizientenvergleich zwischen der allgemein gültigen Übertragungsfunktion des PDT1-Reglers GR (s) und des beschalteten OP’s liefert die Identitäten Rr , Tv = R1 C1 , T1 = Rr Cr . KR = R1 e) Als letztes Beispiel dieser Art soll die Beschaltung eines OP’s mit dem Ziel der Realisierung eines linearen Proportional-Integral-Differenzial-Reglers (PID-Regler) anhand von Abb. 3.18 gezeigt werden. Mit R1 Z1 (s) = R1 ||C1 = 1 + sR1 C1 und

Zr (s) = Rr +

1 + sRr Cr 1 = sCr sCr

wird

G(s) =

Zr (s) = Z1 (s)

1+sRr Cr sCr R1 1+sR1 C1

  1 R1 C1 · Rr Cr R1 C1 + Rr Cr · 1+ . +s = R1 Cr s(R1 C1 + Rr Cr ) R1 C1 + Rr Cr Die mathematische Herleitung dieser Gleichung sei dem interessierten Leser (ausnahmsweise) überlassen. Die allgemein gültige Übertragungsfunktion des genannten Reglers ist in der einschlägigen Fachliteratur in der Form   1 + sTv GR (s) = KR · 1 + sTn Abb. 3.18   PID-Charakteristik

76

3  Elektrische Systeme

zu finden. Der Koeffizientenvergleich zwischen den letzten beiden Gleichungen liefert die in der technischen Anwendung einzustellenden Reglerparameter R1 C1 · Rr Cr R1 C1 + Rr Cr , Tn = R1 C1 + Rr Cr und Tv = . KR = R1 Cr R1 C1 + Rr Cr  Hinweis  Abschließend sollte in diesem Zusammenhang erwähnt werden, dass bei der Beschaltung des positiven, also nicht invertierenden Eingangs des OP’s sich eine Verstärkung von KR = R1R+Rr > 1 und damit keine Ver1 stärkungsfaktoren unter eins möglich sind!

Signalaufbereitung mit beschalteten Operationsverstärkern Neben der im vorangegangenen Abschnitt aufgezeigten Entwicklung analoger Regler findet der Operationsverstärker eine breite Anwendung auf dem Sektor der Sensorik. Wie wir im Rahmen dieses Abschnitts sehen werden, kann der Einbau eines zusätzlichen Sensors umgangen werden, wenn das Signal eines bereits vorhandenen Messumformers mittels einer kostengünstigen Modifikation zur Produktion einer neuen physikalischen Größe benutzt wird. Des Weiteren werden wir sehen, dass es ohne großen Aufwand möglich ist, die auf Messleitungen eingestreuten elektromagnetischen Spikes nahezu vollständig zu unterdrücken. Darüber hinaus eröffnet sich beispielsweise auf dem Feld der Nachrichtenübertragung die Möglichkeit, mithilfe von OP’s entsprechende Filter zu entwickeln, um mehrere Nachrichtenkanäle auf einer Leitung zu bündeln oder die klassischen Filter (Cauer, Butterworth, etc.) durch aktive Filter zu ersetzen. a) Um von einem Potenziometer als Positionsgeber auch die Geschwindigkeit eines Objekts zu bestimmen bedarf es lediglich der zeitlichen Differenziation des dem Weg proportionalen elektrischen Signals. Wie wir sehen werden, erfüllt der beschaltete OP in Abb. 3.19 genau diesen Zweck. Wird in den Gegenkopplungszweig ein ohmscher Widerstand Rr und in den Eingangszweig die Kapazität C1 eingebaut, so errechnet sich dessen Übertragungsfunktion zu Rr Zr (s) = = Rr C1 · s. G(s) = Z1 (s) 1/sC1 Die allgemein gültige Übertragungsfunktion des Differenzierglieds ist bekannt als GD (s) = KD · s,

Abb. 3.19   Differenzierglied

3.3  Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke

77

wobei KD als Differenzieller Übertragungsbeiwert bezeichnet wird. Der Vergleich der beiden Gleichungen bestätigt die differenzierende Eigenschaft dieser Schaltung und liefert die mit Rr und C1 einstellbare Empfindlichkeit zu

KD = Rr C1 .

 Hinweis  Eine zweite Differenziation nach dem gleichen Schema würde im Übrigen ein Signal proportional zur Beschleunigung eines Systems liefern

b) In der praktisch angewandten Mess- und Regelungstechnik kommt nicht selten der Fall vor, dass zwar zur Bestimmung der Beschleunigung ein Sensor vorhanden ist, nicht aber zur Messung der Geschwindigkeit eines Objekts. Nachdem sich aber bekanntlich die Geschwindigkeit aus dem zeitlichen Integral der Beschleunigung ergibt, kann mit dem als Integrator beschalteten OP in Abb.  3.20 ein der Geschwindigkeit proportionales elektrisches Signal sofort erzeugt werden. Der Vergleich mit der aus Abb. 3.20 folgenden Übertragungsfunktion 1/sCr 1/R1 Cr Zr (s) = = G(s) = Z1 (s) R1 s liefert sofort die Übereinstimmung mit dem allgemein gültigen Integrator

GI (s) =

1 KI mit KI = . s R1 Cr

c) Der aufgezeigte Differenzierer hat allerdings die nachteilige Eigenschaft, dass er auch die auf jeder Messleitung vorhandenen störenden Oberwellen differenziert und dadurch das ursprüngliche Signal noch mehr verzerrt. Aus diesem Grund wird in der Praxis vorwiegend das Differenzierglied mit Verzögerung, auch als DT1-Glied bekannt, verwendet, wie es in Abb. 3.21 gezeigt ist. Die Übertragungsfunktion errechnet sich in diesem Fall mit dem Ansatz Rr Rr C1 s Zr (s) = = . G(s) = Z1 (s) R1 + 1/sC1 1 + sC1 R1

Abb. 3.20   Integrator

Abb. 3.21   Diff.-Glied mit Verzögerung 1. Ordnung

78

3  Elektrische Systeme

Abb. 3.22   Amplitudengang des DT1-Glied

Der verzögerungsbehaftete Differenzierer wird im Allgemeinen mit der Gleichung KD · s GDT (s) = 1 + sT bezeichnet, sodass hieraus die Identitäten



KD = Rr C1 und T = C1 R1

entstehen, wobei T die Zeitkonstante und ωe = T1 die Eckfrequenz ist. Die Eckfrequenz wird im Rahmen der Systemtechnik als die Kreisfrequenz bezeichnet, bei der im Bode-Diagramm die ansteigende Gerade des Amplitudengangs in einen horizontalen Verlauf übergeht (s. Abb. 3.22), das heißt, dass ab der Stelle ω = ωe die Verstärkung einen konstanten einstellbaren Wert annimmt. Die gleiche Aussage erhält man übrigens auch unter Verwendung des Endwertsatzes der Laplace-Transformation: Rr Rr Rr C1 s = = konst. oder A(ωe ) = 20 · lg [dB]. lim G(s) = lim s→∞ s→∞ 1 + sC1 R1 R1 R1 d) Um die neben dem Nutzsignal eines Sensors auf die Messleitung eingestreuten Störsignale weitestgehend auszufiltern, wird diese häufig, wie in Abb. 3.23 skizziert, mit einem Tiefpass 1. Ordnung, auch als Glättungsglied bezeichnet, ergänzt. Mit der Übertragungsfunktion des beschalteten OP’s Rr /R1 Rr /(1 + sRr Cr ) = G(s) = R1 1 + sRr Cr und der allgemeinen Übertragungsfunktion des Glättungsglieds

GGl (s) = finden wir wiederum die Identitäten Abb. 3.23   Glättungsglied

K 1 + sT

K = Rr /R1 und T = Rr Cr ,

3.3  Modellierung aktiver elektrischer Netzwerke

79

wobei K die im Durchlassbereich einstellbare Verstärkung und T die Zeitkonstante oder ωe = T1 die bereits bekannte Eckfrequenz ist (auch als Cut-Off-Frequency bezeichnet). e) Mit dem Ziel, die Signaldämpfung ab der Eckfrequenz noch weiter zu erhöhen, wird gelegentlich das aktive Glättungsglied 2. Ordnung verwendet, s. Abb. 3.24. In der folgenden Analyse soll natürlich wiederum gezeigt werden, dass die Übertragungsfunktion zwischen Aus- und Eingangssignal einem System 2. Ordnung unterliegt. Mit I1 (s) = Ir (s) = ICr (s) + IRr (s) ist zunächst

ICr (s) = Ua (s) · sCr .

Außerdem erhalten wir mit dem ohmschen Gesetz und der Spannungsteilerregel Ua (s) C2 ||Rr Ua (s) Rr UC2 (s) = · = · . IRr (s) = Rr R1 C2 ||Rr + Rr R1 2Rr + sRr2 C2 Durch analoge Vorgehensweise erhalten wir Ue (s) C1 ||R1 Ue (s) R1 UC1 (s) . = · = · I1 (s) = R1 R1 C1 ||R1 + R1 R1 2R1 + sR12 C1 Damit wird die gesuchte Übertragungsfunktion des beschalteten OP’s Rr /R1 Ua (s) = . G(s) = Ue (s) 1 + s · 2Rr Cr + s2 Rr2 Cr C2 In Tab. 1.1, Zeile 18 ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines Systems zweiter Ordnung zu finden: K . G2 (s) = 2d 1 + ω0 s + ω12 s2 0

Abb. 3.24   Glättungsglied 2. Ordnung

80

3  Elektrische Systeme

Der Vergleich der beiden letzten Gleichungen liefert den proportionalen Übertragungsbeiwert der Schaltung zu K = Rr /R1 , die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 1 ω0 =  Rr2 Cr C2 sowie den dimensionslosen Dämpfungsfaktor



d = ω0 Rr Cr =



Cr . C2

Aus der letzten Gleichung kann der Leser ohne Mühe erkennen, dass durch die Wahl der beiden Kapazitäten der Dämpfungsgrad nach Bedarf eingestellt werden kann. Der Einfluss der Dämpfung auf das Schwingungsverhalten der Ausgangsgröße wurde bereits im Abschn. 2.2.6 ausführlich behandelt. Zur Erinnerung sei trotzdem nochmal darauf verwiesen, dass für technische Filter keine Schwingungen der Ausgangsgröße erwünscht und damit Dämpfungsgrade im Bereich d ≥ 1 erforderlich sind. Abschließend zu diesem Kapitel sei noch erwähnt, dass sich der Bandpass und auch die Bandsperre durch eine zusätzliche Verzögerung 1. Ordnung des Proportional-Differenzial beziehungsweise des Proportional-Integral-Reglers realisieren lassen.

4

Elektromechanische Systeme

In jedem technischen Regelkreis ist die Stelleinrichtung, in der neueren Literatur auch als Aktor bezeichnet, neben dem zu regelndem System wichtigste Komponente zur Erzeugung von Kräften und Momenten. Nachdem sie erfahrungsgemäß häufig in lageund winkelgeregelten Prozessen eingesetzt werden, kommen im Wesentlichen weg- und geschwindigkeitsgeregelte Elektromechanische Antriebssysteme infrage. Dieses Kapitel setzt sich deshalb im Besonderen mit der Modellierung und der mathematischen Beschreibung von Servo- und Gleichstrommotoren sowie dem Schrittmotor auseinander.

4.1 Gleichstrommotor Der Gleichstrommotor hat seit seiner Entwicklung seine Lebensfähigkeit und Notwendigkeit vor allem wegen seiner guten Steuerungs- und Regelungseigenschaften bewiesen. Er wird als Vorschubantrieb für Positionieraufgaben in Werkzeugmaschinen, Industrierobotern und einer Reihe anderer verfahrenstechnischer Einrichtungen verwendet. Die in solchen Aufgabengebieten notwendige, stufenlose Drehzahlverstellung, guter Gleichlauf und hohe Dynamik wird von ihm in ausgezeichneter Weise erfüllt. Der wesentliche Nachteil der Gleichstrommaschine, nämlich die mechanische Empfindlichkeit des Kollektors und der Bürsten, wird oft überbewertet. Natürlich sind in der Entwicklung dieser Antriebe in den letzten Jahrzehnten große Fortschritte erreicht worden, sodass sich moderne Maschinen dieser Art selbst in Einzelheiten ihres Aufbaues wesentlich von denen der Jahrhundertwende unterscheiden. Insbesondere haben dies die Forderungen vonseiten der Regelungstechnik bewirkt. Darüber hinaus musste den Problemen Rechnung getragen werden, die bei der energetischen Versorgung der Motoren mit der oberwellenhaltigen Spannung der Stromrichter auftreten.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_4

81

82

4  Elektromechanische Systeme

Abb. 4.1   Fremderregter Gleichstrommotor, a prinzipieller Aufbau, b Schaltbild

4.1.1 Der Prinzipschaltplan des fremderregten Gleichstrommotors Der in der industriellen Praxis am meisten eingesetzte Antrieb ist der fremderregte Gleichstrommotor (GS-Motor). Er zeichnet sich im Wesentlichen dadurch aus, dass sich in der Statorwicklung zur Erzeugung des konstanten Magnetfeldes sowie im Läufer zur Führung des Ankerstroms jeweils eine Wicklung befindet. In Abb. 4.1, a) ist das Funktionsprinzip des Motors angedeutet: Das von der Erregerwicklung C,D erzeugte und im Blechpaket skizzierte Magnetfeld  durchsetzt die mit nur einer Windung angedeutete Ankerwicklung, gekennzeichnet mit A,B, die aufgrund der angelegten Ankerspannung uA über den Kollektor und die angedeuteten Bürsten den Ankerstrom iA verursacht. Durch die nach der Lenzschen Regel resultierende Abstoßung wird der Rotor in Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ω versetzt. Das in Abb. 4.1 b) skizzierte Schaltbild zeigt normgerecht alle maßgeblichen Anschlüsse und Wicklungen in einer Darstellung, wie sie im Bereich der elektrischen Antriebstechnik üblich sind.

4.1.2 Geräteübersicht des konstant erregten Gleichstrommotors In der sogenannten Geräteübersicht, siehe Abb. 4.2, sind alle wesentlichen physikalischen Größen und Komponenten der Anlage skizzenhaft eingetragen, die für die Erstellung der Systemgleichungen von wesentlicher Bedeutung sind. Im Interesse des Auffindens maßgeblicher physikalischer Zusammenhänge ist es dabei empfehlenswert, beginnend mit

Abb. 4.2   Geräteübersicht

4.1 Gleichstrommotor

83

der Ankerspannung uA (t) als Eingangsgröße sich durch Hinzufügen geeigneter Gleichungen sich bis zur Ausgangsgröße, nämlich der Winkelgeschwindigkeit ω(t) „vorzutasten“. Beginnen wir also mit der Ankerspannung: Die Maschengleichung über den Ankerkreis liefert

uA (t) − RA iA (t) − LA

diA (t) − ui (t) = 0, dt

(4.1)

dabei ist RA der Ohmsche Widerstand und LA die Induktivität der Ankerwicklung sowie ui (t) die in der Ankerwicklung induzierte Gegenspannung aufgrund der Rotation des Motorankers. Definieren wir mit

ut (t) ≡ uA (t) − ui (t) die im Ankerkreis treibende Spannung, so wird Gl. (4.1)

LA

diA (t) + RA iA (t) = ut (t). dt

(4.2)

Dividieren wir diese Gleichung durch den Ankerwiderstand RA, so erhalten wir eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung

1 LA diA (t) + iA (t) = ut (t). RA dt RA

(4.3)

Mit

TA =

LA RA

KA =

1 RA

als Ankerzeitkonstante und

als proportionalen Übertragungsbeiwert des Ankerkreises erhalten wir schließlich die allgemein gültige Differenzialgleichung eines Systems 1. Ordnung

TA ·

diA (t) + iA (t) = KA · ut (t). dt

(4.4)

Im nächsten Schritt muss eine Gleichung für den Ankerstrom iA (t) gefunden werden. In den Lehrbüchern für elektrische Maschinen finden wir den Zusammenhang zwischen dem Ankerstrom iA (t) als Ursache und treibenden Moment Ma (t) als Wirkung zu

Ma (t) = cM � · iA (t), wobei cM die sogenannte Maschinenkonstante und  der konstante Erregerfluss ist.

(4.5)

84

4  Elektromechanische Systeme

Unter Verwendung der mechanischen Bewegungsgleichung



finden wir zunächst den Ansatz

Mi (t) = 0

Ma (t) − ML (t) = Mb (t),

(4.6)

dabei ist das Lastmoment ML (t) als von außen auf das System störend einwirkende physikalische Größe zu betrachten. Das Beschleunigungsmoment wird durch das 2. Newtonsche Gesetz für Rotation zu

Mb (t) = J ·

dω(t) dt

und daraus

ω(t) =

1 · J



Mb (t)dt.

(4.7)

Schließlich wird die in der Gl. (4.1) definierte Gegenspannung ui (t) des Motors durch die Gleichung

ui (t) = cM � · ω(t)

(4.8)

beschrieben. Hinweis: Das in den Gl. (4.5) und (4.8) auftretende Produkt cM  errechnet sich wie im Folgenden gezeigt wird, anhand der Nenndaten des Motors:

PN = ωN · MN =

PN 60 2πnN · cM �IN → cM � = · . 60 IN 2πnN

Die Nennleistung PN , die Nenndrehzahl nN sowie der Nennstrom IN können am Typenschild eines jeden handelsüblichen Motors abgelesen werden.

4.1.3 Blockschaltbild des konstant erregten Gleichstrommotors Zur Erstellung des für die Regelung der Gleichstrommaschine unerlässlichen Blockschaltbildes besteht nunmehr die unabdingbare Notwendigkeit, die für die Dynamik des Systems maßgeblichen Differenzialgleichungen (4.4), (4.5), (4.7) und (4.8) unter Berücksichtigung der Transformationsregeln in den Bildbereich zu übertragen:

  diA (t) + iA (t) = KA · ut (t) → IA (s) · (1 + sTA ) = KA Ut (s). L TA · dt

4.1 Gleichstrommotor

85

Die entsprechende Übertragungsfunktion bekommt damit die Form

G1 (s) =

IA (s) KA . = Ut (s) 1 + sTA

(4.9)

In den einschlägigen Lehrbüchern der Laplace-Transformation und der Regelungstechnik wird dieser Übertragungstyp als „Proportionalglied mit Verzögerung erster Ordnung“ oder kurz als „PT1-Glied“ bezeichnet. Die Gl. (4.5) transformiert ergibt L[Ma (t) = cM � · iA (t)] → Ma (s) = cM � · IA (s)

die Übertragungsfunktion

G2 (s) =

Ma (s) = cM �. IA (s)

(4.10)

Dieser Übertragungstyp wird in der Literatur als „Proportionalglied“ oder auch als „P-Glied“ bezeichnet. Durch analoge Vorgehensweise erhalten wir aus der Gl. (4.8) die Übertragungsfunktion

G4 (s) =

Ui (s) = cM �. �(s)

(4.11)

Schließlich erhalten wir aus

   1 1 L ω(t) = · Mb (t)dt → �(s) = Mb (s) J Js und daraus

G3 (s) =

Abb. 4.3   Blockschaltbild des konstant erregten GS-Motors

�(s) 1 = . Mb (s) Js

(4.12)

86

4  Elektromechanische Systeme

Man spricht bei diesem Übertragungstyp von einem „Integrator“, der auch kurz als „I-Glied“ bezeichnet wird. Unter Verwendung der Gl. (4.9) bis einschließlich (4.12) kann nun das gesuchte Blockschaltbild des GS-Motors nach Abb. 4.3 erstellt werden. Wie man unschwer aus Abb. 4.3 ersehen kann handelt es sich im gegebenen Fall um ein sogenanntes Mehrgrößensystem, nämlich mit den beiden Eingangsgrößen UA (s) und ML (s), sowie einer Ausgangsgröße �(s). Systeme dieser Art können nur mit den Methoden der Zustandsbeschreibung behandelt werden, auf die deshalb auch im Kap. 5 ausführlich eingegangen wird. Nachdem aber die Ankerspannung uA (t) von einem vorzuschaltenden Stromrichter geliefert wird und der Regelungs- bzw. Steuerungstechniker vorwiegend an der Winkelgeschwindigkeit ω(t) interessiert ist, soll im Folgenden die gesamte Übertragungsfunktion zwischen UA (s) und �(s) ohne Berücksichtigung der Störgröße ML (s) berechnet werden. Mit den der Regelungstechnik eigenen Methoden der „Algebra der Blockschaltbilder“ wird die zu bestimmende Übertragungsfunktion

G(s) =

�(s) G1 (s)G2 (s)G3 (s) = . UA (s) 1 + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)

(4.13)

Setzen wir die oben errechneten Übertragungsfunktionen ein, so wird Gl. (4.13) zu

G(s) =

KA 1 1+sTA · cM � · Js KA 1 1 + 1+sT (cM �)2 · Js A

=

KA · cM � . KA (cM �)2 + Js + JTA · s2

Eine weitere Umformung liefert schließlich das Ergebnis

G(s) =

1 cM �

1+

J s KA (cM �)2

+

JTA s2 KA (cM �)2

.

(4.14)

Die Standardgleichung eines Systems zweiter Ordnung lautet

G2 (s) =

Kp 1+

2d ω0 s

+

1 2 s ω02

.

(4.15)

Der Koeffizientenvergleich zwischen den beiden letzten Gleichungen in gleichen Potenzen von s liefert die Zuordnungen

JTA J 1 2d = und 2 = . ω0 ω0 KA (cM �)2 KA (cM �)2 Wie der aufmerksame Leser unschwer erkennen kann unterliegt das Übertragungsverhalten des GS-Motors offenbar einem System zweiter Ordnung, also einem schwingungsfähigem System. Je nach Wahl der Systemparameter J , KA, etc. kann periodisches oder aperiodisches Übergangsverhalten erreicht werden.

4.2 Servomotor

87

4.2 Servomotor 4.2.1 Anwendungsgebiete und Übertragungsfunktion des Servomotors Die Aufgabe des Servomotors besteht von anderen Anwendungen abgesehen vor allem darin, den Vorschub von Bearbeitungswerkzeugen bei Dreh- und Fräsmaschinen auf vorgegebene Positionswerte nachzuführen. Ein weiteres großes Anwendungsgebiet ist der Einsatz von Servoventilen als Aktor für die geregelte Brennstoffzufuhr von Kraftstoff getriebenen Fahrzeugen. Darüber hinaus werden in großem Umfang Servoantriebe in Flugzeugen, unter anderem zur Verstellung der Höhen- und Seitenruder, eingesetzt. In all den wenigen genannten Fällen besteht die Intention in einer Regelung der Position oder des Winkels eines maßgeblichen Objekts. Für die erwähnten Anwendungen besteht zunächst grundsätzlich die Möglichkeit, entweder die Spannung des erregenden Magnetfeldes oder des Ankerkreises zu regeln. Aufgrund der großen Zeitkonstante der Erregerwicklung und der daraus resultierenden schlechten dynamischen Eigenschaft des Gleichstrom-Servomotors im Vergleich zur kleinen Zeitkonstante des Ankerkreises wird in der Praxis von Ausnahmefällen abgesehen die Regelung der Ankerspannung bevorzugt. Wir werden deshalb im Folgenden unter Vernachlässigung der vergleichsweise kleinen Ankerzeitkonstante die Übertragungsfunktion des Servomotors mit der Ankerspannung Ua (s) als Eingangsgröße und dem Drehwinkel ϕ(s) als Ausgangsgröße herleiten; Abb. 4.4 zeigt die dazu entsprechende Geräteübersicht. Wegen der bereits oben erwähnten Vernachlässigung der Ankerzeitkonstante vereinfacht sich die Übertragungsfunktion des Ankerkreises aus Gl. (4.9) zu einem bloßen Proportionalglied:

G1 (s) = KA =

1 RA

(4.16)

Die Gl. (4.10) kann unverändert übernommen werden, also (4.17)

G2 (s) = cM �. Die Gegenspannung ist mit Gl. (4.8) bekannt als

ui (t) = cM � · ω(t) = cM � · Abb. 4.4   Geräteübersicht des GS-Servomotors

dϕ(t) dt

88

4  Elektromechanische Systeme

und damit

G4 (s) =

Ui (s) = cM � · s. ϕ(s)

(4.18)

Der Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel ϕ(t) sowie der in diesem Fall nicht vernachlässigbaren Lagerreibung und dem Beschleunigungsmoment Mb (t) wird durch die Gleichung

J·

d2 ϕ(t) dϕ(t) = Mb (t). +b· 2 dt dt

beschrieben, wobei J das bereits im Abschn. 4.1 definierte Massenträgheitsmoment und b der geschwindigkeitsproportionale Reibungskoeffizient ist. Obige Gleichung in den Bildbereich transformiert liefert zunächst

  ϕ(s) · bs + Js2 = Mb (s) und damit die Übertragungsfunktion

G3 (s) =

1/b ϕ(s) . =  Mb (s) s 1 + Jb s

(4.19)

Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems wird in Analogie zu Gl. (4.13)

G(s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)

zu

G(s) =

KA · cM � ·

 1/b  s 1+ Jb s

1 + KA (cM �)2 s ·

 1/b  s 1+ Jb s

.

Diese Gleichung kann durch einfache Umstellung auf die Form

KA cM �/J  G(s) =  b+KA (cM �)2 s + s J

(4.20)

89

4.2 Servomotor

gebracht werden. Mit KA = R1A und entsprechender Erweiterung wird die endgültige Übertragungsfunktion des Servomotors

G(s) =

s

cM � bRA +(cM �)2  JRA · 1+ bRA +(cM �)2

·s

.

In der einschlägigen Literatur ist die Übertragungsfunktion des Integrators mit ­Verzögerung erster Ordnung in der Form

GIT 1 (s) =

KI . s · (1 + sT1 )

zu finden. Der Integrale Übertragungsbeiwert KI sowie die Verzögerungszeitkonstante T1 ergeben sich aus einem bloßen Koeffizientenvergleich der beiden letzten Gleichungen.

4.2.2 Anwendungsbeispiel: Brennstoffzufuhr eines Industrieofens Bei dem folgenden praxisnahen Beispiel (s. Abb. 4.5) handelt es sich um die Kombination eines Servomotors als integrierendes Stellglied mit einem kommerziellen Industrieofen, wie er beispielsweise zum Härten handelsüblicher Materialien Verwendung findet. Eingangsgröße des Teilsystems Servomotor einschließlich Getriebe bildet die von einem Regler zu liefernde Ankerspannung uA, Ausgangsgröße ist die Ventilöffnung x(t). Dieses Teilsystem wird durch die Differenzialgleichung

TM · x¨ + x˙ = KA · uA mit

KA = 0,15

cm , TA = 0,05 sec V

Abb. 4.5   Servomotor als Zumesseinrichtung des Brennstoffs

90

4  Elektromechanische Systeme

bzw. durch die Übertragungsfunktion

GM (s) =

KA s (1 + sTA )

beschrieben. Eingangsgröße des Ofens ist die Ventilöffnung x(t), Ausgangsgröße die Temperatur ϑ(t). Der Zusammenhang zwischen diesen Größen unterliegt der Differenzialgleichung .

TO · ϑ (t) + ϑ(t) = KO · x(t) mit

KO = 5

◦C

cm

, TO = 2 sec

bzw. der Übertragungsfunktion

GO (s) =

KO . 1 + sTO

Die Messbrücke verarbeitet schließlich über ein Widerstandsthermometer (z. B. PT 100) ihre Eingangsgröße ϑ(t) zur Differenzspannung uD als die zugehörige Ausgangsgröße zur Weiterverarbeitung in einem eventuell dem Servomotor vorgeschalteten Regler. Dieser Zusammenhang unterliegt der Gleichung

 uD = KB · (ϑsoll − ϑist ), KB = 1V ◦ C.

Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems Stellglied, Ofen und Messbrücke ergibt sich durch die Multiplikation der drei einzelnen Übertragungsfunktionen zu

G(s) =

KA KO KB 0,75 . = s(1 + sTM ) (1 + sTO ) s(1 + 0,05s) (1 + 2s)

Abb. 4.6   Sprungantwort des Gesamtsystems Steller, Prozess, Messglied

(4.21)

4.3  Der Schrittmotor

91

Das Gesamtsystem hat also integrierendes Verhalten mit zwei Verzögerungen erster Ordnung. Die simulierte Sprungantwort in Abb. 4.6 erlaubt schließlich eine Beurteilung des dynamischen Verhaltens.

4.3 Der Schrittmotor 4.3.1 Mechanischer Aufbau des Schrittmotors Der Schrittmotor zeichnet sich dadurch aus, dass er digitale Impulse in konstante Drehwinkel des Rotors umsetzt. Insofern kann er mit einem Synchronmotor verglichen werden, nachdem der jeweilige Schrittwinkel (beispielsweise 0,9◦ ; 1,8◦ ; 3,6◦ ; 15◦ ; 30◦ , 45◦ oder 90◦ und viele weitere) starr mit der Frequenz der Steuerimpulse gekoppelt ist. ­Dieser Motortyp wird deshalb vorwiegend dort eingesetzt, wo feste Inkremente bezüglich der Drehbewegung notwendig sind. Der große Vorteil des Schrittmotors besteht darin, dass für eine exakte Bewegung bezüglich des Drehwinkels oder der Drehzahl im Gegensatz zum Gleichstrommotor keine Regelung sondern nur eine Steuerung erforderlich ist. Außerdem ist der Schrittmotor besonders gut für Betriebszustände geeignet, in denen häufige Start-, Stopp- oder Drehrichtungswechsel auftreten. Abb. 4.7 zeigt schematisch den gerätetechnischen Aufbau eines Schrittmotors. Der Motor wird von der Signal-Aufbereitung mit elektrischer Spannung versorgt, die ihrerseits mit Gleichspannung gespeist und deren Leistungstransistoren von den Steuerimpulsen zum Betrieb des Motors für jeweils einen Schritt ausgesteuert werden. Wie anschließend ausführlich gezeigt wird ist die Ausgangsspannung der Impulssteuerung für die elektrische Versorgung der Statorwicklungen insofern zuständig, als die jeweilige Wicklung im Sinne der gewollten Drehrichtung angesteuert werden muss. Für den Fall, dass keine Steuersignale an die Impulssteuerung geliefert werden, verbleibt der Rotor des Motors starr an einer festen Position. Aufgrund seines guten Drehmoment-Drehzahlverhaltens zeichnet sich der Schrittmotor durch ein gutes Start- und Stopp-Verhalten aus. Eine Änderung der Pulsrate bewirkt in einem weiten Bereich eine dazu analoge Änderung der Motordrehzahl.

Abb. 4.7   Geräteskizze Schrittmotor

92

4  Elektromechanische Systeme

Die wesentlichen vorteilhaften Eigenschaften des Schrittmotors bestehen in der kleinen Anlaufzeitkonstante, der mechanischen Robustheit sowie vor allem darin, dass er keine Kohlebürsten benötigt und deshalb für einen langen Zeitraum wartungsfrei läuft. Die Anwendung des Schrittmotors ist vorwiegend auf kleine Leistungen bis maximal einige Kilowatt begrenzt. Die Geschwindigkeit ist auf etwa 1200 Impulse pro Sekunde limitiert.

4.3.2 Typische Anwendungen des Schrittmotors Schrittmotoren werden vorwiegend dort eingesetzt, wo schnelle, genaue und reproduzierbare Einstellungen gefordert werden. Ein breites Anwendungsgebiet findet sich in der Verwendung als Servoantrieb, als Steller des Schreibkopfes von x-y-Plottern, ­Magnetbandantrieben, Disk-Drives, Zeilendrucker, Roboterarmen, für elektromechanische Uhren und vieles andere mehr. Analoge Beispiele sind auch Drehbänke und Fräsmaschinen oder der Papiertransport bei grafischen Plottern Eine typische Anwendung besteht in der Positionierung des Schreib/Lesekopfes eines Disk-Drives, wie Abb. 4.8 zeigt: Kommerzielle Schrittmotoren decken einen weiten Bereich hinsichtlich ihrer Leistung und ihres Drehmoments ab. Wie im folgenden Abschnitt ausführlich gezeigt wird finden in der Praxis sogenannte einphasige und mehrphasige Systeme Anwendung. Für Leistungen mit mehr als 10 W werden im Regelfall mehrphasige Motoren eingesetzt. Einphasige Schrittmotoren decken den Bereich von einigen µW bis maximal 10 W ab.

Abb. 4.8   Schematischer Aufbau eines Disk-Drives

4.3  Der Schrittmotor

93

Der Anker des Schrittmotors rotiert bei jedem einlaufenden Impuls um einen ganz bestimmten festen Winkel, dem sogenannten Schrittwinkel. Die Zahl der Schritte für eine volle Umdrehung des Ankers wird als Schrittzahl bezeichnet. Die Schrittzahl variiert je nach Bauart von 2 bis 1000. Schrittmotoren einfacher Bauart haben Schrittwinkel von 15°, 30°, 45° und 90°. Solche, die für Drucker und Plotter eingesetzt werden, weisen Schrittzahlen von 96, 128, ◦ ◦ 132 und 192 auf, entsprechend einem Schrittwinkel von 3,75◦ ; 2 13 16 oder 1,875 . Für einen Motor mit 100  diskreten Positionen für eine volle 360° Umdrehung beträgt der Schrittwinkel 360◦ 100 = 3,6◦.

4.3.3 Schrittmotoren mit variabler Reluktanz Reluktanzmotoren sind im Prinzip Drehstrommotoren, deren Läufer weder Spulen noch Permanentmagnete besitzt, sondern lediglich aus laminierten Blechen aufgebaut ist. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie entlang des umgebenden Stators Pole und Lücken verschiedener magnetischer Leitfähigkeit tragen. Abb. 4.9 zeigt schematisch den Aufbau des Schrittmotors mit variabler Reluktanz. Der Motor in Abb. 4.9 hat entsprechend der Skizze sechs Pole, sogenannte Zähne, entlang des Statorumfangs. Jeder Pol ist mit einer Wicklung versehen; man sagt der Motor hat drei Phasen. (Die Spulen auf zwei gegenüberliegenden Polen gelten entsprechend für eine Phase). Wir gehen in unserer Betrachtung davon aus, dass es sich bei den Polen 1, 2 und 3 um Nordpole, und bei den Polen 1’, 2’ und 3’ um Südpole handeln soll. Der Stator besteht gewöhnlich aus herkömmlichen laminierten Silikon-Blechen. Der

Abb. 4.9   Schrittmotor vom Typ Variable Reluktanz

94

4  Elektromechanische Systeme

Rotor in Abb. 4.9 besteht aus vier ausgebuchteten Polen, sogenannte Ankerzähne, aus laminierten Stahlblechen gefertigt. Sowohl die Statorpole als auch der Läufer bestehen aus Materialien hoher magnetischer Permeabilität. Die Anzahl der Pole des Stators ist im Regelfall verschieden von der Anzahl der Läuferpole. Nehmen wir nun an, dass die Signalaufbereitung in Abb. 4.7 mit einer Impulsfolge angesteuert wird und davon der erste Impuls die Statorwicklungen 1 und 1’ mit Spannung versorgt. Dadurch wird der Rotorzahn 1 mit dem Statorzahn 1 und der Rotorzahn 3 auf den Statorzahn 1’ ausgerichtet, wie dies in Abb. 4.10, a) gezeigt ist. Wenn nun der zweite Impuls die Signalaufbereitungsbox stimuliert, so wird nun die elektrische Spannung von der Phase 1 entfernt und stattdessen Phase 2 mit Spannung versorgt. Einem Naturgesetz folgend tendiert jeder magnetische Kreis dazu, seinen ­magnetischen Widerstand zu verkleinern. Als Konsequenz daraus richtet sich der Rotor auf die neue Achse des Magnetfeldes aus; das heißt, die Rotorzähne 2 und 4 kommen unter den Statorzähnen 2 und 2’ zu liegen, wie dies aus Abb. 4.10, b) hervorgeht. Diese Stellung gewährleistet einen minimalen magnetischen Widerstand und wird so zu einem stabilen Punkt. Der Anker rotiert also aufgrund eines Impulses um 30◦ entgegen des Uhrzeigersinns. Der Schrittwinkel beträgt also 30◦ für den aufgezeigten Fall. In Abb. 4.10, c) ist schließlich die Situation aufgezeigt, dass die Statorzähne 3 und 3’ versorgt und die Zähne 2 und 2’ von der elektrischen Versorgung getrennt werden. Insgesamt betrachtet rotiert der Läufer in Schritten von 30◦ mit jedem eintreffenden Impuls. Die Winkelgeschwindigkeit des im Stator umlaufenden Magnetfeldes beträgt 60◦ im Uhrzeigersinn pro einlaufendem Impuls wodurch eine Winkelgeschwindigkeit des Rotors von 30◦ pro Impuls im Gegenuhrzeigersinn verursacht wird. Um eine Drehrichtungsumkehr zu veranlassen ist lediglich die Umlaufrichtung des Statorfeldes in der Gegenrichtung zu veranlassen. Der Schrittwinkel des skizzierten Reluktanz-Schrittmotors wurde in Abb. 4.10 zu 30◦ nachgewiesen. Dieser Wert kann jedoch ohne Mühe sowohl durch eine Vergrößerung der Anzahl der Statorzähne oder der Ankerzähne reduziert werden. Wenn beispielsweise die Zahl der Statorzähne auf 12 und die der Rotorzähne auf 8 erhöht werden, wie dies in Abb. 4.11 gezeigt ist, so reduziert sich der Schrittwinkel auf 15◦. Formal errechnet sich der Schrittwinkel ϕs aus der Gleichung

Abb. 4.10   Rotor Positionen; a Phase 1, b Phase 2, c Phase 3 an Spannung

4.3  Der Schrittmotor

95

Abb. 4.11   Drei-Phasen Schrittmotor. (Wicklung nur für eine Phase gezeigt)

ϕs =

360◦ , n·N

(4.22)

wobei n die Anzahl der Phasen und N die Zahl der Rotorzähne ist.

4.3.4 Mathematische Modellierung des Reluktanz-Schrittmotors Im Zuge des praktischen Einsatzes von Schrittmotoren muss der Systemingenieur unbedingt dessen dynamisches Verhalten und somit dessen Übertragungsfunktion kennen. Abb. 4.12 zeigt skizzenhaft die Ein- und Ausgangsgröße des Systems Schrittmotor. In Abb. 4.12 ist ϕe das Inkrement des diskretisierten Eingangswinkels, dessen Betrag gleich dem Schrittwinkel ϕs im obersten Koordinatensystem ist; mit ϕa wird der dazu korrespondierende Ausgangswinkel bezeichnet. Das gezoomte Diagramm verdeutlicht zugleich den zeitlichen Verlauf ϕa (t) dieses Winkels. Die nunmehr zu entwickelnde Übertragungsfunktion ist der Quotient zwischen dem Ausgangswinkel ϕa (s) und dem Inkrement des Eingangswinkels ϕe (s), der in Abhängigkeit der Zeit als Treppenfunktion in Erscheinung tritt; also

G(s) =

ϕa (s) . ϕe (s)

(4.23)

Im Folgenden beabsichtigen wir die Übertragungsfunktion für nur eine Wicklung, nämlich für die Phase 1 des Reluktanz-Schrittmotors herzuleiten. Weil erfahrungsgemäß die Zeitkonstanten in der Elektrik des Schrittmotors wesentlich kleiner als die Zeitkonstanten der Mechanik des Antriebs sind, sollen nur die Letzteren berücksichtigt werden. Darüber hinaus wird der ohmsche Widerstand der Wicklung vernachlässigt.

96

4  Elektromechanische Systeme

Abb. 4.12   Ein- und Ausgangssignale des Schrittmotors

Nachdem die zugeführte elektrische Energie innerhalb der differenziellen Zeitspanne dt in abgegebene mechanische Energie und zunehmender magnetischer Energie umgesetzt wird, gilt der Ansatz

−u · i · dt = Md · dϕ + d



 1 2 L1 i , 2

(4.24)

wobei in dieser Gleichung die Konvention aufrechterhalten wird, die einem System zugeführte Energie negativ und abgegebene Energie positiv zu bewerten. Dabei ist

u die induzierte Gegenspannung in Phase 1 i der elektrische Stromfluss in der Wicklung 1 L1 Selbstinduktivität der Wicklung 1 Md vom Stromfluss erzeugtes Drehmoment ϕ zurückgelegter Winkel des Rotors Die Gl. (4.24) umgeformt ergibt

−ui = Md ·

d dϕ + dt dt



 1 2 L1 i . 2

4.3  Der Schrittmotor

97

Die Gegenspannung

d (iL1 ) dt in Gl. (4.24) eingesetzt, wobei das Minuszeichen indiziert, dass die induzierte Gegenspannung der zeitlichen Änderung von iL1 entgegen wirkt. Damit wird der ursprüngliche Ansatz u=−

i·

d dϕ d + (iL1 ) = Md · dt dt dt



 1 2 L1 i . 2

Unter Anwendung der Kettenregel der Differenzialrechnung erhalten wir

i2

dϕ di di 1 dL1 dL1 + iL1 = Md · + iL1 + i2 dt dt dt dt 2 dt

Diese Gleichung vereinfacht sich zu

Md =

1 2 dL1 i . 2 dϕ

(4.25)

Gl. (4.25) bringt zum Ausdruck, dass eine Änderung der Induktivität L1 bezüglich des Winkels ϕ ein Drehmoment Md bewirkt. Weil nun der Reluktanz-Schrittmotor im Regelfall mehr als zwei Polpaare besitzt können wir davon ausgehen, dass die elektrischen und magnetischen Verhältnisse analog zum betrachteten Polpaar auf jedes Weitere übertragen werden können. Wir verwenden deshalb künftig sogenannte elektrische Winkelgrade statt mechanische Winkelgrade durch die Gleichung

ϕe = p · ϕ aus, wobei ϕe der Winkel einer Wechselspannung, ϕ der Winkel einer mechanischen Vorrichtung und 2p die Anzahl der Pole eines Elektromotors sowie p die Anzahl der Polpaare zum Ausdruck bringt. Aufgrund der mechanischen Anordnung in den Bildern (4.9) bis (4.11) können wir davon ausgehen, dass die Änderung der Induktivität in Abhängigkeit zur Position des Ankers einer Sinusfunktion unterliegt. Damit wird die Induktivität L1 durch die Gleichung

L1 = L0 + L · cos 2pϕ

(4.26)

beschrieben. Das Drehmoment in Gl. 4.25) bekommt mit Gl. (4.26) die Form

Md = −i2 Lp · sin 2pϕ.

(4.27)

98

4  Elektromechanische Systeme

Unter Verwendung des zweiten Newton’schen Gesetzes

Md = J ·

d2 ϕ dϕ +b· 2 dt dt

wird die Bewegungsgleichung des Systems Schrittmotor

J·

d2 ϕ dϕ = −i2 Lp · sin 2pϕ. +b· dt 2 dt

(4.28)

Berücksichtigen wir, dass der Winkel ϕ die Differenz zwischen dem Eingangswinkel ϕe und dem Ausgangswinkel ϕa ist, also

ϕ = ϕe − ϕ a , und der Eingangswinkel ϕe konstant ist, so kann Gl. (4.28) umformuliert werden zu

J·

d2 ϕa dϕa + 2Lp2 i2 ϕa = 2Lp2 i2 ϕe . +b· 2 dt dt

(4.29)

Gehen wir, berechtigt, davon aus, dass die zeitliche Änderung des Stromflusses i sehr klein ist und somit als konstant betrachtet werden kann, so erhalten wir aus Gl. (4.29) die gesuchte Übertragungsfunktion des Reluktanz-Schrittmotors als

G(s) =

2Lp2 i2 ϕa (s) . = 2 ϕe (s) Js + bs + 2Lp2 i2

(4.30)

Ziehen wir zum Vergleich die allgemein gültige Übertragungsfunktion eines Systems zweiter Ordnung

G2 (s) =

ω02 s2 + 2dω0 s + ω02

(4.31)

heran, so erkennen wir ohne Mühe, dass der diskutierte Antrieb einem System zweiter Ordnung unterliegt, wobei

ω0 = pi ·



2L J

4.3  Der Schrittmotor

99

Abb. 4.13   PermanentmagnetSchrittmotor mit vier Phasen

die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung und

d=

2pi ·

b √

2JL

der Dämpfungsfaktor ist.

4.3.5 Permanentmagnet-Schrittmotoren Bei Schrittmotoren dieser Art ist der Rotor als Permanentmagnet ausgebildet, wie in Abb. 4.13 gezeigt wird. Der zylindrische Rotor ist in radialer Richtung magnetisiert, ähnlich dem Prinzip eines Synchronmotors. Das Schwergewicht dieses Kapitels soll jedoch auf den Reluktanz-Motor ausgerichtet bleiben; eine weitere Betrachtung dieses Motortyps ist nicht als Inhalt dieser Arbeit zu betrachten.

5

Systemanalyse im Zustandsraum

In den bisherigen Kapiteln wurde das dynamische Verhalten von mehr oder weniger einfachen Systemen analysiert. Diese Untersuchungen sind im Wesentlichen dadurch gekennzeichnet, dass der Systemingenieur die Systemausgangsgröße, also die Wirkung, in Abhängigkeit von einer Eingangsgröße, also der Ursache untersucht. Komplexere Systeme mögen allerdings sehr wohl mehrere Ein- und Ausgangsgröße haben. Solche Systeme können im gegebenen Fall linear oder nichtlinear und auch zeitvariant oder zeitinvariant sein. Eine sehr effiziente Strategie hinsichtlich der Analyse solcher Systeme besteht in der Verwendung der Methode der sogenannten Analyse im Zustandsraum. Mit diesem Kapitel wird die Absicht verfolgt, eine einführende Behandlung der Analyse dynamischer Systeme mit den Methoden der Zustandsraum-Analyse zu präsentieren.

5.1 Begriffe und Definitionen Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wollen wir zunächst Definitionen statuieren, deren Kenntnis für das Verständnis der folgenden Abhandlungen von grundlegender Bedeutung ist.

5.1.1 Zustand Der Zustand eines dynamischen Systems ist der mindest notwendige Satz von physikalischen Variablen, bezeichnet als Zustandsvariablen, damit bei vorausgesetzter Kenntnis dieser Variablen zum Zeitpunkt t = t0 zusammen mit Kenntnis der Eingangsgrößen für t ≥ t0 das dynamische Verhalten dieses Systems für beliebige Zeiten t ≥ t0 vollständig bestimmt werden kann. Bei der speziellen Behandlung linearer und zeitinvarianter Systeme wird gewöhnlich die Bezugszeit t0 = 0 gesetzt. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_5

101

102

5  Systemanalyse im Zustandsraum

5.1.2 Zustandsvariablen Zustandsvariablen sind der mindest notwendige Satz an physikalischen Variablen zur vollständigen Bestimmung des dynamischen Zustandes eines physikalischen Systems. Wenn mindestens n Variablen x1 , x2 , . . . , xn zur vollständigen Beschreibung eines dynamischen Systems notwendig sind, so stellen diese n Variablen einen sogenannten „notwendigen Satz von Zustandsvariablen“ dar.

5.1.3 Zustandsvektor Die n notwendigen Zustandsvariablen zur vollständigen Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines Systems sind die n Komponenten des Zustandsvektors x. Somit determiniert der Zustandsvektor x(t) den (physikalischen) Zustand des analysierten Systems eindeutig für jeden Zeitpunkt t ≥ t0 , sofern dessen Zustand für t = t0 und der Eingangsvektor u(t) für t ≥ t0 bekannt sind.

5.1.4 Zustandsraum Der n-dimensionale Raum, dessen Koordinatenachsen die Zustandsgrößen x1 , x2 , . . . , xn sind, wird als Zustandsraum bezeichnet. Damit wird jeder Zustand durch einen Punkt im Zustandsraum repräsentiert.

5.2 Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme 5.2.1 Beschreibung linearer Systeme durch Zustandsvariable Im Interesse der Modellierung dynamischer Systeme treten drei Variablentypen auf: Eingangsvariable, Ausgangsvariable und Zustandsvariable. Betrachten wir hierzu ein dynamisches System in der allgemeinsten Darstellung entsprechend Abb. 5.1.

Abb. 5.1   Dynamisches System

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

103

Um die innere Struktur eines dynamischen Systems mathematisch zu erfassen, führt man zusätzlich zu den r Eingangsgrößen ui (t), i = 1, 2, . . . , r und den m Ausgangsgrößen yl (t), l = 1, 2, . . . , m weitere n Größen xk (t) ein, die den momentanen inneren Zustand des Systems in eindeutiger Weise kennzeichnen und daher als Zustandsgrößen oder auch als Zustandsvariable bezeichnet werden. Aus mathematischer Sicht entspricht die Darstellung dynamischer Systeme im Zustandsraum der Umwandlung einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung in ein dazu äquivalentes System von n Differenzialgleichungen erster Ordnung. Physikalisch gesehen ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energieinhalt der im System vorhandenen Energiespeicher bestimmt. Konkret heißt das, der Zustand eines Systems mit n Energiespeichern wird durch n Zustandsgrößen beschrieben, die zu einem Zustandsvektor zusammengefasst werden, wie im Folgenden gezeigt wird. Durch die Einführung der Zustandsvariablen erhält man die Zustandsgleichungen

x˙ 1 = f1 [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)], x˙ 2 = f2 [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)], .. .

(5.1)

x˙ n = fn [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)], sowie die Ausgangsgleichungen

y1 (t) = g1 [x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)], y2 (t) = g2 [x1 (t) , x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)], , .. .

(5.2)

ym (t) = gm [x1 (t) , x2 (t), . . . , xn (t), u1 (t), u2 (t), . . . , ur (t)]. Das Gleichungssystem (5.1) verknüpft die zeitlichen Änderungen der Zustandsvariablen mit den momentanen Werten der Zustandsvariablen und den Eingangsgrößen und beschreibt damit das dynamische Verhalten des zu analysierenden Systems. Die Gl. (5.2) stellen die Abhängigkeit der Ausgangsgrößen yl (t) von den Zustandsgrößen xk (t) und den Eingangsgrößen ui (t) dar. Die auf den ersten Blick unhandlich erscheinenden Zustandsgleichungen (5.1) und Ausgangsgleichungen (5.2) kann man verkürzt in der Form

und

x˙ (t) = f [x(t), u(t)]

(5.3)

y(t) = g[x(t), u(t)]

(5.4)

ausdrücken. Die Vektorgleichung (5.3) wird als Zustandsdifferenzialgleichung, die Vektorgleichung (5.4) als Ausgangsgleichung, der Vektor u(t) als Eingangs- oder Steuervektor, der Vektor x(t) als Zustandsvektor und der Vektor y(t) als Ausgangsvektor bezeichnet. Für lineare, zeitinvariante Systeme wird die Zustandsgleichung (5.1)

104

5  Systemanalyse im Zustandsraum

x˙ 1 (t) = a11 x1 (t) + . . . + a1n xn (t) + b11 u1 (t) + . . . + b1r ur (t), x˙ 2 (t) = a21 x1 (t) + . . . + a2n xn (t) + b21 u1 (t) + . . . + b2r ur (t), .. .

(5.5)

x˙ n (t) = an1 x1 (t) + . . . + ann xn (t) + bn1 u1 (t) + . . . + bnr ur (t), sowie die Ausgangsgleichung (4.2) zu

y1 (t) = c11 x1 (t) + . . . + c1n xn (t) + d11 u1 (t) + . . . + d1r ur (t), y2 (t) = c21 x1 (t) + . . . + c2n xn (t) + d21 u1 (t) + . . . + d2r ur (t), .. .

(5.6)

ym (t) = cm1 x1 (t) + . . . + cmn xn (t) + dm1 u1 (t) + . . . + dmr ur (t). Unter Anwendung der Vektorschreibweise kann man schließlich die Gleichungssysteme (5.5) und (5.6) auch in der Matrizenschreibweise formulieren:

  x˙ 1 (t) a11  x˙ 2 (t)   a21     . = . .  .   .. 

x˙ n (t)

a12 . . . a22 . . . .. .

   a1n x1 (t) b11     a2n  x2 (t)   b21 ..  ..  +  .  .  

an1 an2 . . . ann

xn (t)

bn1

  b12 . . . b1r u1 (t)   b22 . . . b2r   u2 (t)   .  ..  ..  . bn2 . . . bnr ur (t)

(5.7)

       y1 (t) c11 c12 . . . c1n x1 (t) d11 d12 . . . d1r u1 (t)  y2 (t)   c21 c22 . . . c2n  x2 (t)   d21 d22 . . . d2r  u2 (t)           . =  .  +   .  (5.8) .. .. . .  ..         . . . .  ym (t) cm1 cm2 . . . cmn xn (t) dm1 dm2 . . . dmr ur (t) 

Diese Gleichungen lauten schließlich in der Vektorform:

x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t)

(5.9)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

(5.10)

Dabei ist A die (n ∗ n)-Systemmatrix, B die (n ∗ r)-Eingangs- oder Steuermatrix, C die (m ∗ n)-Ausgangsmatrix und D die (m ∗ r)-Durchgangsmatrix. Abb. 5.2 zeigt das zu den Gleichungen (5.9) und (5.10) entsprechende Blockschaltbild. Für Systeme mit nur einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße, sogenannte Eingrößensysteme, wird die Steuermatrix zum Steuervektor b und die Ausgangsmatrix zum Ausgangsvektor c.

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

105

Abb. 5.2   Blockschaltbild der Zustands- und Ausgangsgleichung

Beispiel 5.1

Anhand dieses einführenden Beispiels soll aus einer gegebenen Differenzialgleichung die dazu entsprechende Zustandsgleichung sowie die Ausgangsgleichung erstellt werden. Betrachten wir hierzu das durch die Differenzialgleichung definierte System

... y + 6¨y + 11˙y + 6y = 6u,

(5.11)

wobei y Ausgangsgröße und u Eingangsgröße ist. Für dieses Beispiel ist durch die Kenntnis von y(0), y˙ (0) und y¨ (0) zusammen mit der Eingangsgröße u(t) für t ≥ 0 das zeitliche Verhalten des Systems vollständig bestimmt. Definieren wir die zu wählenden Zustandsgrößen als

x1 = y

x2 = y˙

x3 = y¨

und differenzieren jede Zustandsgröße einmal nach der Zeit, so erhalten wir

x˙ 1 = y˙ = x2

x˙ 2 = y¨ = x3 ... x˙ 3 = y = −6x1 − 11x2 − 6x3 + 6u. Die letzte dieser drei Gleichungen haben wir durch Auflösen der ursprünglichen Differenzialgleichung nach der höchsten Ableitung der Ausgangsgröße und Substitution von y = x1 , y˙ = x2 , y¨ = x3 erreicht. In Vektorschreibweise werden die drei Differenzialgleichungen erster Ordnung wie folgt zur Zustandsgleichung:

       x˙ 1 0 1 0 x1 0  x˙ 2  =  0 0 1  ·  x2  +  0  · u. x˙ 3 x3 −6 −11 −6 0 

(5.12)

106

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Die Ausgangsgleichung lautet für dieses Beispiel

�

y= 1 0 0

�

 x1 ·  x2 . x3 

(5.13)

Die Gleichungen (5.12) und (5.13) werden in komprimierter Darstellung zu

x˙ (t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cT x(t) + d mit

   0 1 0 0 � � A =  0 0 1 , b =  0 , cT = 1 0 0 , d = 0. −6 −11 −6 6 

Nebenbei ist anzumerken, dass es sich hier um den bereits oben erwähnten Eingrößenfall handelt.

Beispiel 5.2

Für das in Abb. 5.3 dargestellte -und in anderem Zusammenhang schon mehrfach untersuchte- mechanische Schwingungssystem mit der Masse m, dem Dämpfungsmaß b sowie der Federkonstante c ist die Zustandsraumdarstellung gesucht, wenn dieses System durch die externe Kraft u(t) angeregt wird, wobei die momentane Position y(t) der Masse die interessierende Ausgangsgröße sei.

Abb. 5.3   Mechanischer Schwinger: a Geräteskizze, b Blockschaltbild

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

107

Die zweite Newtonsche Gleichung liefert zunächst die beschreibende Differenzialgleichung (5.14)

m¨y + b˙y + cy = u.

Aus der nach der höchsten Ableitung der Ausgangsgröße umgeformten Differenzialgleichung

y¨ =

 1  u − d y˙ − cy m

kann das Blockschaltbild des analysierten Systems durch die Reihenschaltung zweier Integratoren entwickelt werden. Aus physikalischer Sicht ist es naheliegend, die Ausgänge der Integratoren als Zustandsgrößen x1 und x2 zu definieren und in die obige Differenzialgleichung einzusetzen:

x1 = y

x2 = y˙ . Diese Zustandsgrößen haben im Übrigen auch eine physikalische Bedeutung: Die Zustandsgröße x1 (t) beschreibt die Position der Masse und ist damit ein Maß für die potenzielle Energie, x2 (t) = x˙ 1 (t) steht für die Geschwindigkeit der Masse und ist damit ein Maß für die kinetische Energie. Das gesuchte System von Differenzialgleichungen ergibt sich wie im ersten Beispiel durch jeweils einmalige Ableitung der bereits definierten Zustandsgrößen:

x˙ 1 = x2 , c b 1 x˙ 2 = − x1 − x2 + u m m m In Matrizenschreibweise erhalten wir die Zustandsgleichung



x˙ 1 x˙ 2



=



0 1 − mc − mb



x1 x2



+



0 1 m

oder in komprimierter Schreibweise

x˙ (t) = Ax(t) + bu(t). Die Ausgangsgröße ist zunächst gegeben mit

y = x1 . In vektorieller Darstellung lautet die Ausgangsgleichung

  y = cT x = 0 1 ·



 x1 . x2



u

108

5  Systemanalyse im Zustandsraum

5.2.2 Lösung der Vektordifferenzialgleichung im Zeitbereich Die Vektordifferenzialgleichung

x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t) hat formale Ähnlichkeit mit der skalaren Differenzialgleichung

x˙ (t) = ax(t) + bu(t) Ihre Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t0 = 0 sei mit x(0) = x0 bezeichnet. Durch die Übertragung dieser Differenzialgleichung in den Bildbereich erhalten wir

und daraus

sX(s) − x0 = aX(s) + bU(s)

X(s) =

1 1 · x0 + · bU(s). s−a s−a

Durch Rücktransformation in den Zeitbereich erhalten wir durch Anwendung des Faltungsintegrals die Lösung dieser Gleichung

x(t) = eat · x0 +

t



ea(t−τ ) bu(τ )dτ .

0

Es ist deshalb naheliegend, für den vektoriellen Fall der Zustandsgleichung die gleiche Struktur der Lösung anzusetzen und die skalaren Größen durch entsprechende Vektoren bzw. Matrizen zu ersetzen. Rein formal führt dies auf die Beziehung

x(t) = eAt · x0 +

t



eA(t−τ ) Bu(τ )dτ .

0

(5.15)

Die hier auftretende Matrizenfunktion eAt ist in Anlehnung an den skalaren Fall durch die Reihe

eAt = I + A

t2 t + A2 + . . . 1! 2!

definiert; I bezeichnet die (n ∗ n)-Einheitsmatrix und die Potenzen der Systemmatrix A stellen die Matrizenprodukte entsprechend ihrer Potenz dar. Allgemein wird Gl. (5.15) in der Form

x(t) = (t) · x0 +



0

t

(t − τ )Bu(τ )dτ

(5.16)

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

109

geschrieben, wobei die Matrix

(t) = eAt

(5.17)

als Fundamental- oder Übergangsmatrix oder auch als Transitionsmatrix bezeichnet wird. Diese Matrix ermöglicht gemäß Gl. (5.16) auf einfache Weise die Berechnung des Systemzustandes für alle Zeiten t allein aus der Kenntnis des Anfangszustands x0 zum Zeitpunkt t0 = 0 und des zeitlichen Verlaufs des Eingangsvektors u(t). Der Term (t) · x0 beschreibt die Lösung der homogenen Zustandsgleichung, die auch als Eigenbewegung oder freie Reaktion des Systems bezeichnet wird. Der zweite Term entspricht der partikulären Lösung, auch als erzwungene Bewegung bezeichnet, also dem der äußeren Anregung entsprechenden Anteil. Beispiel 5.3

Gegeben sei die Zustandsgleichung

x˙ (t) =



0 6 −1 −5



·



     x1 (t) 0 3 + · u(t); x(0) = x0 = x2 (t) 1 1

sowie die zugehörige Fundamentalmatrix

(t) =

    −2t   −2t −3t −3t 3e −2t− 2e−3t   6e −2t− 6e −3t  . −2e + 3e −e + e

(Die Vorgehensweise zur Berechnung der Transitionsmatrix (t) wird erst im folgenden Abschnitt aufgezeigt). Es soll der zeitliche Verlauf des Zustandsvektors für den Einheitssprung u(t) = ε(t) als Eingangsgröße mithilfe der Gl. (5.16) berechnet werden. Durch Einsetzen der Größen , b, A und x0 in Gl. (5.16) wir zunächst

       −2t 3e − 2e−3t  6e−2t − 6e−3t  3  x(t) = −2e−2t + 3e−3t −e−2t + e−3t 1   t 6e−2(t−τ ) − 6e−3(t−τ ) + dτ · −2e−2(t−τ ) + 6e−3(t−τ ) 0 Nach Ausführung der Multiplikation und nachfolgender Integration erhält man durch eine kurze Rechnung



x1 (t) x2 (t)



=



15e−2t − 12e−3t 6e−3t − 5e−2t



1 − 3e−2t + 2e−3t + e−2t − e−3t 



=



 1 + 12e−2t − 10e−3t . 5e−3t − 4e−2t

110

5  Systemanalyse im Zustandsraum

5.2.3 Lösung der Zustandsgleichung im Bildbereich Für die Behandlung der Zustandsgleichungen im Bildbereich wird die Laplace-Transformierte zeitabhängiger Vektoren benötigt. Zur Berechnung der Übergangsmatrix (s) werden die Zustandsgleichung (5.9) und die Ausgangsgleichung (5.10) einer Laplace-Transformation unterzogen:

sX(s) − x0 = AX(s) + BU(s),

Y(s) = CX(s) + DU(s). Durch Umordnen der ersten Gleichung folgt

(sI − A)X(s) = x0 + BU(s) und durch linksseitige Multiplikation mit (sI − A)−1

X(s) = (sI − A)−1 · x0 + (sI − A)−1 · BU(s), da (sI − A)−1 nicht singulär und damit invertierbar ist. Diese Beziehung stellt die Laplace-Transformierte der Gl. (5.16) für t0 = 0 und somit die Lösung der Zustandsgleichung im Bildbereich dar. Der erste Term der rechten Seite beschreibt die freie Reaktion, der zweite Term die erzwungene Reaktion des Systems. Bezogen auf Gl. (5.17) ergibt sich sofort die Transitionsmatrix

(t) = L−1 [(sI − A)]−1

(5.18)

oder L [(t)] = (s) = (sI − A)−1 .

Die Berechnung der Matrix (s) ergibt sich mit den bekannten Methoden der Matrizenrechnung aus der Inversion von (sI − A), also aus der Beziehung

(s) =

adj (sI − A) . det (sI − A)

  Die Adjungierte einer Matrix M = mij entsteht daraus, dass man jedes Element mij durch den Kofaktor Mij ersetzt und diese so entstehende Matrix anschließend transponiert. Der Kofaktor Mij ist definiert durch Mij = (−1)i+j · Dij ,

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

111

wobei Dij die Determinante der Matrix ist, die aus der Matrix M durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Damit besteht die Möglichkeit, die Fundamental-­ Matrix (t) analytisch zu bestimmen, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird. Beispiel 5.4

Gegeben sei die Systemmatrix

A=



 0 6 ; −1 −5

gesucht ist die Transitionsmatrix (t). Unter Verwendung der Systemmatrix A wird

(sI − A) =



 s −6 . 1 s+5

Die adjungierte Matrix erhält man unter Anwendung der oben angeführten Methode

adj (sI − A) =



 s+5 6 . −1 s

Mit

det (sI − A) = |(sI − A)| = s2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3) folgt −1

(s) = (sI − A)

1 · = (s + 2)(s + 3)



 s+5 6 . −1 s

Die Rücktransformation der rechten Seite dieser Gleichung in den Zeitbereich liefert mithilfe der Partialbruchzerlegung die gesuchte Transitionsmatrix

(t) =

    −2t   −2t −3t −3t 3e −2t− 2e−3t   6e −2t− 6e −3t  . −2e + 3e −e + e

5.2.4 Korrelation zwischen Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung

Mit der Ein- Ausgangsbeschreibung durch die Übertragungsfunktion G(s) und der Darstellung im Zustandsraum stehen zwei prinzipiell gleichwertige Verfahren zur mathematischen Beschreibung linearer Systeme zur Verfügung. Somit muss auch eine Umrechnung zwischen den beiden Darstellungsformen möglich sein.

112

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Die Übertragungsfunktion eines linearen Systems verknüpft bekanntlich die Eingangsgröße U(s) mit der Ausgangsgröße Y (s) über die Beziehung

Y (s) = G(s) · U(s).

(5.19)

Transformiert man andererseits die Gleichungen (5.9) und (5.10) in den Bildbereich, wobei definitionsgemäß alle Anfangswerte zu Null zu setzen sind, so erhalten wir

sX(s) = AX(s) + BU(s),

Y(s) = CX(s) + DU(s).

Aus der ersten der beiden Gleichungen erhalten wir den in den Bildbereich transformierten Zustandsvektor

X(s) = (sI − A)−1 · BU(s). Ersetzen wir X(s) in der Ausgangsgleichung mit der rechten Seite dieser Gleichung und klammern U(s) aus, so ergibt das

  Y(s) = C(sI − A)−1 B + D U(s).

Für den Fall des Eingrößensystems wird diese Gleichung

  Y (s) = cT (sI − A)−1 b + d U(s).

Der Vergleich dieser Beziehung mit Gl. (5.19) ergibt die gesuchte Übertragungsfunktion

G(s) =

Y (s) = cT (sI − A)−1 b + d, U(s)

(5.20)

wobei man sich im Anwendungsfall erinnern sollte, dass der bereits bekannte Zusammenhang

(s) = (sI − A)−1 verwendet werden kann. Für den Fall des Mehrgrößensystems (r > 1, m > 1) wird Gl. (5.20)

G(s) =

Y(s) = C(sI − A)−1 B + D. U(s)

(5.21)

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

113

Die Matrix G(s), welche offensichtlich einen Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße Y(s) und der Laplace-Transformierten Eingangsgröße U(s) herstellt, wird deshalb als Übertragungsmatrix bezeichnet;

Y(s) = G(s)U(s).

(5.22)

Ausführlich formuliert wird Gl. (5.22)

     U1 (s) G11 (s) G12 (s) . . . G1r (s) Y1 (s)  Y2 (s)   G21 (s) G22 (s) . . . G2r (s)   U2 (s)         ·  .   . = ..   ..   ..   . Ur (s) Gm1 (s) Gm2 (s) . . . Gmr (s) Ym (s) 

(5.23)

Das (i, j)-te Element Gij (s) der Matrix G(s) ist die Übertragungsfunktion, die den Zusammenhang zwischen der i -ten Ausgangsgröße und der j-ten Eingangsgröße beschreibt. Beispiel 5.5

Betrachten wir zum Vergleich noch einmal das mechanische System im Beispiel 5.2, Abb. 5.3. Die Zustandsgleichung wurde dort bestimmt zu      0 1 0 x1 + 1 u x˙ (t) = Ax(t) + bu(t) = x2 − mc − mb m sowie die Ausgangsgleichung T



y=c x= 1 0



·



 x1 . x2

In diesem Beispiel soll nunmehr aus diesen beiden Gleichungen die Übertragungsfunktion

G(s) =

Y (s) U(s)

bestimmt werden. Durch die Substitution von A, b und cT ergibt sich zunächst der Ansatz

  G(s) = cT (sI − A)−1 b + d , −1        0 1 0 s 0 · 1 + 0, G(s) = 1 0 · − 0 s − mc − mb m  −1     s −1 0 G(s) = 1 0 · c · 1 . b s + m m m

114

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Mit



s c m

−1 s + mb

−1

=

1 s2 +

b ms

+

c m

·

�

·



s + mb 1 − mc s



ergibt sich

�

G(s) = 1 0

�

·

1 s2

+

b ms

G(s) =

+

ms2

c m

s + mb − mc

1 s

�

 0 ·  1 , m 

1 . + bs + c

Um die Gleichwertigkeit zwischen der Zustandsraumdarstellung und der Übertragungsfunktion aufzuzeigen, wollen wir alternativ die Übertragungsfunktion durch einfache Laplace-Transformation der Differenzialgleichung (5.14) bestimmen:

und damit

    L m¨y + b˙y + cy = u → Y (s) ms2 + bs + c = U(s) G(s) =

1 Y (s) . = 2 U(s) ms + bs + c

Beispiel 5.6

Eines der beliebtesten „Spielzeuge“ eines jeden ehrgeizigen Regelungstechnikers ist mit größter Wahrscheinlichkeit die Regelung des in Abb. 5.4 skizzierten invertierten Pendels. Dieses System kann als Modell einer Rakete während der Startphase betrachtet werden, deren Dynamik es zu regeln gilt. Wie jedem Insider bekannt ist geht jedoch der Regelkreissynthese grundsätzlich die Analyse des zu regelnden Objekts voraus. Mit diesem Beispiel wird deshalb das Ziel verfolgt, das dynamische Verhalten dieses Systems in der Zustandsraumdarstellung zu modellieren. Definieren wir mit ϕ den Ausschlagwinkel des zu balancierenden Stabs aus der Vertikalen, der situationsbedingt nur kleine Werte annehmen kann. Außerdem definieren wir mit (xs , ys ) die Koordinaten des Schwerpunkts der Masse m als

xs = x + l · sin ϕ,

ys = l · cos ϕ.

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

115

Abb. 5.4   Invertiertes Pendel

Wenden wir nun das zweite Newtonsche Gesetz auf die Kräfte in x-Richtung an, so erhalten wir zunächst

M

d2 x d2 xs +m 2 =u 2 dt dt

oder

M

d2 x d2 + m (x + l · sin ϕ) = u. dt 2 dt 2

Mit

d ˙ (sin ϕ) = (cos ϕ) · ϕ, dt .. d2 (sin ϕ) = −(sin ϕ)ϕ˙ 2 + (cos ϕ) ϕ , 2 dt d ˙ (cos ϕ) = −(sin ϕ)ϕ, dt .. d2 (cos ϕ) = −(cos ϕ)ϕ˙ 2 − (sin ϕ) ϕ . 2 dt Damit wird jetzt Gl. (5.24)

(M + m)¨x − ml(sin ϕ)ϕ˙ 2 + ml(cos ϕ)ϕ¨ = u.

(5.24)

116

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Die Bewegungsgleichung in y-Richtung kann nicht korrekt bestimmt werden, ohne die Bewegung der Masse m in x-Richtung zu berücksichtigen. Stattdessen analysieren wir die Rotation der Masse m um den Drehpunkt P. Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz für Rotation erhalten wir

m

d2 xs d2 ys · l cos ϕ − m · l sin ϕ = mgl · sin ϕ dt 2 dt 2

oder umgeformt



d2 m 2 (x + l · sin ϕ) dt





 d2 · l cos ϕ − m 2 (l cos ϕ) · l sin ϕ = mg · l sin ϕ. dt

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen auf     m x¨ − l(sin ϕ)ϕ˙ 2 + (l cos ϕ)ϕ¨ l cos ϕ−m −l(cos ϕ)ϕ˙ 2 − l(sin ϕ)ϕ¨ l sin ϕ = mgl sin ϕ.

Die weitere Vereinfachung dieser Gleichung ergibt ..

..

m x cos ϕ ml ϕ = mg sin ϕ.

(5.25)

Natürlich handelt es sich bei den Gl. (5.24) und (5.25) um nichtlineare Differenzialgleichungen. Wenn wir jedoch von der berechtigten Annahme ausgehen, dass es sich bei ϕ und ϕ˙ um zahlenmäßig kleine Werte handelt, so sind die Annahmen sin ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1 und ϕ ϕ˙ 2 ≈ 0. Damit können die beiden Gleichungen linearisiert werden zu ..

..

(M + m) x + ml ϕ = u, ..

..

m x + ml ϕ = mgϕ.

(5.26)

(5.27)

Diese beiden Gleichungen stellen das gesuchte mathematische Modell des invertierten Pendels dar. Unter Verwendung dieser Modellgleichungen wird nun die Zustandsraumdarstellung des linearisierten Systems entwickelt. Modifizieren wir zunächst beide Gleichungen wie im Folgenden gezeigt: ..

Ml ϕ = (M + m)gϕ − u, ..

M x = u − mgϕ.

(5.28) (5.29)

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme

117

(Die Gl. (5.28) erhält man durch Elimination von x¨ aus den Gl. (5.26) und (5.27). Gl. (5.29) ergibt sich durch Elimination von ϕ¨ aus denselben Gleichungen). Definieren wir die Zustandsvariablen x1 , x2 , x3 und x4 durch

x1 = ϕ,

x2 = ϕ, ˙ x3 = x,

x4 = x˙ . Der Deutlichkeit wegen sei noch mal angemerkt, dass ϕ der Winkel des Pendelstabs aus der Vertikalen um den Drehpunkt P und x die Position des Wagens ist. Insofern ist es gerechtfertigt, diese beiden maßgeblichen Variablen als Ausgangsgrößen des Systems zu definieren:

y=



y1 y2



=



ϕ x



=



 x1 . x2

Aus den Gl. (5.28) und (5.29) und der Definition der Zustandsgrößen erhalten wir

x˙ 1 = x2 , 1 M +m gx1 − u, x˙ 2 = Ml Ml x˙ 3 = x4 , m 1 x˙ 4 = − gx1 + u. M M In Matrizen-Schreibweise erhalten wir

  0 x˙ 1  x˙ 2   M+m g   =  Ml  x˙ 3   0 m x˙ 4 g −M 

�

y1 y2

�

=

1 0 0 0

�

0 0 0 0

    0 0 x1 1     0   x2   − Ml ·  +  0 x3 1 1 x4 0 M

1 0 0 0 0 0 1 0

�

 x1  x2   ·   x3 . x1 



  · u; 

(5.30)

(5.31)

Die Gl. (5.30) und (5.31) zeigen die gesuchte Zustandsraum-Darstellung des invertierten Pendels.

118

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Mit relevanten Zahlenwerten M = 2 kg, m = 0,1 kg, l = 0,5 m wird die Systemmatrix   0 1 0 0 A =  20, 6 0 0 0 , 0 0 0 1 der Eingangsvektor

 0  −1   b=  0  0, 5 

sowie die Ausgangsmatrix

C=



 1 0 0 0 . 0 0 1 0

Beispiel 5.7

In der Praxis tritt gerade bei Mehrgrößenregelungen nicht selten der Fall auf, dass sich die verschiedenen Regelgrößen eines Systems gegenseitig störend beeinflussen. Um ein Beispiel zu nennen, bei der Regelung einer Klimaanlage bezüglich Temperatur und Luftfeuchte wird die Temperatur eines Zimmers oder eines Gebäudes von der aktuellen Luftfeuchte und ebenso die Luftfeuchte von der momentan herrschenden Raumtemperatur beeinflusst. Man spricht hier allgemein von gekoppelten Systemen. Im Interesse der Entkopplung werden in das zu regelnde System entsprechende Netzwerke mit dem Ziel entwickelt, die verschiedenen Regelgrößen voneinander zu entkoppeln, sodass das Gesamtsystem für den Regelungstechniker von außen betrachtet wie zwei voneinander total getrennt zu regelnde Systeme erscheint. In Abb. 5.5 ist dieser Einfluss vom Teilsystem 1 mit dem Sollwert w1 und der Regelgröße y1 auf das Teilsystem 2 mit dazu entsprechendem Soll- und Istwert durch ein Übertragungsglied mit dem Kopplungsfaktor K21 angedeutet. Die Aufgabe besteht in diesem Beispiel darin, die Transfermatrix der seriellen Regler

GR (s) =



GR11 (s) GR12 (s) GR21 (s) GR22 (s)



so zu dimensionieren, dass die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises die Form

Gg (s) =



G11 (s) G12 (s) G21 (s) G22 (s)



=



1 s+1

0

0 1 5s+1



119

5.2  Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme Abb. 5.5   Gekoppeltes Mehrgrößensystem

annehmen soll und somit total entkoppelt ist. Die Übertragungsmatrix des sogenannten Vorwärtszweigs Gv (s), also des nicht geregelten Systems, ergibt sich aus der des geschlossenen Regelkreises Gg (s) zu

 −1 Gv (s) = Gg (s) · I − Gg (s) Gv (s) =



1 s+1

0

0 1 5s+1

  ·

s+1 s

0

0 5s+1 5s



=



(5.32)

1 s

1

0 1 s+1

 .

Die Übertragungsmatrix Gs (s) des zu regelnden Systems bestimmen wir aus Abb. 5.5 mit

K21 = 1 als

Gs (s) =



1 2s+1

1

0 1 s+1



.

Gl. (5.32) wird jetzt

Gv (s) = und damit 

GR (s) =



1 s

1

1 2s+1

1

0 1 s+1

0 1 s+1



= Gs (s)GR (s) =

−1

·



1 s

0

0 1 5s



=





1 2s+1

1

0 1 s+1

   GR11 (s) GR12 (s) · GR21 (s) GR22 (s)

2s + 1 0 −(s + 1)(2s + 1) s + 1



·



1 s

0

0 1 5s

 ,

120

5  Systemanalyse im Zustandsraum

GR (s) =



2s+1 0 s (s+1)(2s+1) s+1 − s 5s

 .

(5.33)

Mit dieser Gleichung haben wir die in der Aufgabenstellung gesuchte Übertragungsmatrix der diversen Regler gefunden. Im Übrigen sind GR11 (s) und GR22 (s) jeweils die Übertragungsfunktion eines Proportional-Integral-Reglers und GR21 (s) die eines Proportional-Integral-Differenzial-Reglers. Wenn also die Reglertransfermatrix nach Gl. (5.33) dimensioniert wird besteht zwischen den beiden Eingangsgrößen u1 und u2 des gekoppelten Systems keinerlei Wechselwirkung mehr. Mit anderen Worten, eine Änderung des Sollwerts w1 wirkt sich nur auf die Regelgröße y1 aus. Die dazu analoge Aussage gilt natürlich auch für den Sollwert w2 und den Istwert y2.

Beispiel 5.8

Die Abb. 5.6 zeigt das Modell einer PKW-Aufhängung als Einradmodell mit der Fahrzeugmasse m1, dem Federbein mit der Federkonstanten c1 sowie dem Stoßdämpfer mit dem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungsmaß b. Die Bewegung über eine Unebenheit der Fahrbahn und der daraus resultierende Stoß gegen den Reifen mit der Masse m2 und der Elastizität des Reifens, modelliert durch eine Feder mit der Federkonstanten c2 soll durch die von außen durch den Stoß einwirkende Kraft F(t) modelliert werden. Gesucht ist die Zustandsraum-Darstellung für dieses mechanische System mit der Kraft F(t) als Eingangsgröße und der Bewegungen y1 (t) sowie y2 (t) der beiden Massen als Ausgangsgrößen. Wenden wir das zweite Newtonsche Gesetz auf dieses System an, so kommen wir zu dem Ansatz

m2 y¨ 2 + b(˙y2 − y˙ 1 ) + c1 (y2 − y1 ) + c2 y2 = F,

(5.33)

m1 y¨ 1 + b(˙y1 − y˙ 2 ) + c1 (y1 − y2 ) + c2 y2 = 0.

(5.34)

Abb. 5.6   Mechanisches System

5.3  Mathematische Modellierung fluider Systeme

121

Definieren wir folgende Zustandsvariablen

x1 = y2

x2 = y˙ 2

x3 = y1

x4 = y˙ 1,

so wird Gl. (5.33)

m2 x˙ 2 = −(c1 + c2 )x1 − bx2 + c1 x3 + bx4 . Außerdem wird unter Verwendung der Zustandsvariablen Gl. (5.34)

m1 x˙ 4 = c1 x1 + bx2 − c1 x3 − bx4 . Damit erhalten wir die gesuchte Zustandsgleichung wie folgt:

  0 1 0 0 x˙ 1 c1 +c2 c1 b b  x˙ 2   − − m2 m2 m2 m2  =   x˙ 3   0 0 0 1 c1 c1 b b x˙ 4 − − m1 m1 m1 m1 



    0 x1     1    x2   m2  · F.  ·  + x3  0  x4 0

(5.35)

Ebenso wird die Ausgangsgleichung mit den definierten Zustandsgrößen zu

y=

�

y1 y2

�

=

�

1 0 0 0 0 0 1 0

�

 x1  x2   ·   x3 . x4 

(5.36)

Die beiden letzten Gleichungen zeigen die zu bestimmende Zustandsraum-­ Darstellung des Einrad-Modells.

5.3 Mathematische Modellierung fluider Systeme Industrielle Prozesse beinhalten häufig Systeme aus mit fluiden Medien befüllten Tanks, die durch Rohre mit Drosselklappen, Ventilen und anderen die Strömung beeinträchtigenden Komponenten miteinander verbunden sind. In gewissen Fällen besteht deshalb für den Anwender ein nicht unwesentliches Interesse daran, das dynamische Verhalten solcher Anlagen zu kennen. Im Zuge der mathematischen Modellierung solcher Systeme ist natürlich die Aufbereitung der dazu notwendigen physikalischen Grundlagen

122

5  Systemanalyse im Zustandsraum

unerlässlich. Das wesentliche Interesse in diesem Zusammenhang liegt an der Definition des Strömungswiderstands sowie am Begriff des Volumengradienten. Erst dann können an Hand entsprechender Beispiele Modelle entwickelt werden, bei denen der Schwerpunkt des Interesses vorwiegend an der Simulation von Pegelständen liegt.

5.3.1 Strömungswiderstand und Volumengradient fluider Systeme Der Strömungswiderstand R flüssiger Medien in einem Rohr mit homogenem Querschnitt ist definiert als

  m dH , R= dQ m3 /s wobei dQ für die Änderung der momentanen Durchflussrate und dH die daraus resultierende Änderung des Pegelstands ist; für laminare Strömung ist R eine stoffspezifische Konstante. Der Volumengradient eines Behälters ist definiert als Volumenänderung dV des gespeicherten Fluids, bezogen auf die daraus resultierende Füllstandsänderung,

C=

  dV m3 . dh m

5.3.2 Mathematische Modellierung eines zu befüllenden Behälters Im Folgenden werden die Differenzialgleichung und die dazu entsprechende Übertragungsfunktion eines mit flüssigem Medium befüllten Behälters bestimmt, wobei die Änderung des Zulaufs als Ursache, also als Eingangsgröße und die Änderung des Pegelstands als Wirkung, also als Ausgangsgröße betrachtet werden; siehe Abb. 5.7.

Abb. 5.7   Einfacher Behälter mit Zu- und Ablauf

5.3  Mathematische Modellierung fluider Systeme

123

Mit den Definitionen

H : stationärer Füllstand vor einer Durchflussänderung, h: differenzielle Abweichung vom stationären Füllstand, Q: stationäre Durchflussrate vor einer Störung, qe: kleine Abweichung der Durchflussrate von Q: im Zulauf, qa: kleine Abweichung der Durchflussrate von Q: im Ablauf, wird die zeitliche Änderung der im Behälter gespeicherten Flüssigkeit durch die Gleichung

C · dh = (qe − qa )dt

(5.37)

beschrieben. Aufgrund der vorausgesetzten kleinen Abweichungen vom stationären Pegelstand und dem stationären Abfluss ist

dH = h und dQ = qa . Mit der obigen Definition des Strömungswiderstands

R=

h dH = dQ qa

erhalten wir aus Gl. (5.37)

C ·

h dh = qe − dt R

oder umgestellt

RC ·

dh + h = Rqe. dt

(5.38)

Diese Differenzialgleichung des linearisierten Modells wird im Sprachgebrauch der Systemtechnik als Proportionalglied mit Verzögerung erster Ordnung bezeichnet. Das Produkt RC ist die Zeitkonstante des Systems und hat demgemäß auch die Dimension einer Zeit. Die dazu entsprechende Übertragungsfunktion ergibt sich durch eine einfache Transformation der Gl. (5.38) in den Bildbereich

h(s) · (1 + sRC) = R · qe (s) und damit

G(s) =

R h(s) . = qe (s) 1 + sRC

124

5  Systemanalyse im Zustandsraum

5.3.3 Modellierung von korrelierenden Behältern In Abb. 5.8 sind zwei Behälter skizziert, die über eine Rohrleitung und einem Absperrventil miteinander verbunden sind. Die stationäre Strömung durch beide Behälter wird mit Q, die entsprechenden ­Füllhöhen in diesem Gleichgewichtszustand werden mit H 1 bzw. mit H 2 bezeichnet. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Durchsatz im Zulaufrohr von Q auf Q + q variiert, wobei q ≪ Q ist. Die bisherigen Pegelstände ändern sich dadurch ebenso geringfügig um h1 bzw. h2 und die daraus resultierenden Änderungen der Durchsätze q1 und q2 haben zwangsläufig ebenso kleine Beträge. Der oben definierte Volumengradient von Tank 1 wird mit dem Symbol C1 , analog der von Tank 2 wird mit C2 bezeichnet. Der Strömungswiderstand des Verbindungsventils wird mit dem Formelzeichen R1 gekennzeichnet, der im Ablaufventil mit dem Symbol R2. Zu bestimmen ist die Übertragungsfunktion

G(s) =

Q2 (s) , Q(s)

also zwischen der Zulaufänderung q als Ursache und der Änderung des Abflusses q2 als Wirkung. Für den Behälter 1 wird die Ablaufänderung

q1 =

h1 − h 2 . R1

Mit

C1 ·

dh1 = q − q1 dt

Abb. 5.8   Zwei miteinander kommunizierende Behälter

5.3  Mathematische Modellierung fluider Systeme

125

wird der obige Ansatz

C1 ·

h1 h2 dh1 + =q+ . dt R1 R1

(5.39)

Der analoge Ansatz ergibt für den Behälter 2

q2 =

h2 R2

und damit

C2 ·

dh2 = q1 − q 2 . dt

Durch Einsetzen von q1 und q2 wird diese Gleichung zu

C2 ·

h2 h2 h1 dh2 + + = . dt R1 R2 R1

(5.40)

Transformieren wir die Gl. (5.39) und (5.40) in den Bildbereich mit den Anfangsbedingungen h1 (0) = h2 (0) = 0, so erhalten wir



 1 1 H1 (s) = Q(s) + H2 (s), C1 s + R1 R1

(5.41)

 1 1 1 + H2 (s) = H1 (s). C2 s + R1 R2 R1

(5.42)



Gl. (5.41) umgestellt ergibt

H1 (s) =

R1 Q(s) + H2 (s) . R1 C1 s + 1

Setzen wir nunmehr Gl. (5.43) in Gl. (5.42) ein, so erhalten wir



 1 R1 Q(s) + H2 (s) 1 1 . + H2 (s) = · C2 s + R1 R2 R1 R1 C1 s + 1

Mit H2 (s) = R2 Q2 (s) wird die letzte Gleichung



 R2 1 Q2 (s) Q(s) 1 + . + R2 Q2 (s) = · C2 s + R1 R2 R1 C1 s + 1 R1 R1 C1 s + 1

(5.43)

126

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Diese Gleichung kann vereinfacht werden zu

[(C2 R2 s + 1)(C1 R1 s + 1) + R2 C1 s]Q2 (s) = Q(s). Damit ergibt sich die gesuchte Übertragungsfunktion als

G(s) =

1 Q2 (s) = . Q(s) R1 C1 R2 C2 s2 + (R1 C1 + R2 C2 + R2 C1 )s + 1

(5.44)

Der Zusammenhang zwischen einer Änderung des Zulaufs q(t) und dem Abfluss q2 (t) wird durch ein System zweiter Ordnung, also durch ein schwingfähiges Verhalten beschrieben. Dieses Verhalten lässt sich auch physikalisch erklären: Bei einer Änderung des Zulaufs muss zunächst aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit eine bestimmte Differenz der Füllstände zwischen den beiden Tanks erreicht werden, damit der im Ablauf vorhandene Strömungswiderstand überwunden werden kann. Im Lauf des nun folgenden Druckausgleichs fließt allerdings aufgrund der kinetischen Energie der strömenden Flüssigkeit mehr Medium ab, als dies zum Druckausgleich und damit für ein neues Gleichgewicht notwendig wäre. Im Zuge der nun folgenden Periode entsteht wieder eine Differenz der beiden Füllpegel und der beschriebene Vorgang kann nun von Neuem beginnen. Beispiel 5.9

Im Abschn. 5.3.3 wurde mit Gl. (5.44) die Übertragungsfunktion zwischen zwei in Interaktion bestehenden Behältern hergeleitet, wobei q(t) als Eingangsgröße und q2 (t) als relevante Ausgangsgröße definiert worden sind. Im Rahmen dieses ­Beispiels soll nun unter Verwendung dieser Übertragungsfunktion die dazu gleichwertige Zustandsraum-­Darstellung bestimmt werden. Die zu Gl. (5.44) entsprechende Differenzialgleichung wird mit den Rechenregeln der Laplace-Transformation

R1 C1 R2 C2 q¨ 2 + (R1 C1 + R2 C2 + R2 C1 )˙q2 + q2 = q oder

q¨ 2 +



 1 1 1 1 1 + + q2 = q. q˙ 2 + R1 C1 R2 C2 R2 C1 R1 C1 R2 C2 R1 C1 R2 C2

Definieren wir die Zustandsgrößen mit

x1 = q2 ,

x2 = q˙ 2 , die Eingangsvariable mit

u=q

5.3  Mathematische Modellierung fluider Systeme

127

sowie die Ausgangsvariable mit

y = q2 = x1 , so ergibt sich die Zustandsgleichung



x˙ 1 x˙ 2



=



0

1

− R1 C11R2 C2 −



1 R1 C1

+

1 R2 C2

+





1 R2 C1





·



x1 x2



+



0 1 R1 C1 R2 C2



· u

sowie die Ausgangsgleichung zu

y= 1 0

·



 x1 . x2

Beispiel 5.10

Im Abschn. 5.2.1 Beispiel 5.1 wurde ein System dritter Ordnung mit der Differenzialgleichung

... y + 6¨y + 11˙y + 6y = 6u,

(5.45)

in die Zustandsraumdarstellung übertragen, wobei u(t) Eingangsgröße und y(t) Ausgangsgröße ist. Der Inhalt dieser Aufgabe besteht nun alternativ darin, aus der in Partialbrüche zerlegten Übertragungsfunktion die dazu gleichwertige Zustandsraum-­ Darstellung zu bestimmen. Zunächst bestimmen wir aus Gl. (5.45) die Übertragungsfunktion in bekannter Weise

G(s) =

6 Y (s) . = 3 2 U(s) s + 6s + 11s + 6

Durch die Berechnung der Polstellen und der ebenso bereits bekannten Anwendung der Partialbruch-Zerlegung wird diese Gleichung

6 −6 3 Y (s) 3 . = + + = U(s) s+1 s+2 s+3 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Aus dieser Gleichung ergibt sich die Ausgangsgröße im Bildbereich

Y (s) =

−6 3 3 U(s) + U(s) + U(s). s+1 s+2 s+3

(5.46)

128

5  Systemanalyse im Zustandsraum

Definieren wir die Zustandsgrößen im Bildbereich zu

3 U(s), s+1 −6 X2 (s) = U(s), s+2 3 U(s). X3 (s) = s+3 X1 (s) =

Diese drei Gleichungen jeweils umgestellt ergeben

sX1 (s) = −X1 (s) + 3U(s),

sX2 (s) = −2X2 (s) − 6U(s), sX3 (s) = −3X3 (s) + 3U(s).

Die inverse Laplace-Transformierte dieser Gleichungen ergibt

x˙ 1 = −x1 + 3u,

x˙ 2 = −2x2 − 6u, x˙ 3 = −3x3 + 3u.

Nachdem Gl. (5.46) auch in der Form

Y (s) = X1 (s) + X2 (s) + X3 (s) ausgedrückt werden kann, gilt im Zeitbereich

y = x1 + x2 + x3. Somit erhalten wir aus den abgeleiteten Zustandsgrößen die vektorielle Zustandsgleichung

       x˙ 1 −1 0 0 x1 3 x˙ = Ax + bu →  x˙ 2  =  0 −2 0  ·  x2  +  −6  · u x˙ 3 x3 0 0 −3 3 

sowie die Ausgangsgleichung

y = cT x → y = 1 1 1 �

�

 x1 ·  x2 . x3 

5.3  Mathematische Modellierung fluider Systeme

129

Diese Form der Zustandsgleichung wird in der einschlägigen Literatur als ­Jordan-Form oder auch als Diagonalform bezeichnet. In der Hauptdiagonalen der System-Matrix A sind die Polstellen der Übertragungsfunktion platziert, die restlichen Elemente sind mit Nullen aufgefüllt. Im Eingangsvektor b befinden sich die Residuen der in Partialbrüche zerlegten Übertragungsfunktion und der Eingangsvektor c besteht ausschließlich aus Einsen.

6

Stabilität technischer Systeme

Die Stabilität aktiver Netzwerke, insbesondere die von praktisch angewandten Regelkreisen, ist von ganz zentraler Bedeutung, wie jeder sachkundige Insider bestätigen kann. Weil jedoch eine eventuelle Instabilität eines Systems zu verheerenden technischen und gegebenenfalls auch finanziellen Folgen führen kann, muss bereits vor der Inbetriebnahme unbedingte Gewissheit bestehen, dass während des Betriebs einer Anlage unter keinen Umständen Stabilitätsprobleme auftreten können. Bevor wir jedoch tiefer in die Materie einsteigen muss zunächst der Stabilitätsbegriff erläutert werden.

6.1 Definition der Stabilität Fasst man ein System ganz pauschal als Übertragungsglied auf, so liegt es nahe, die Stabilität aufgrund seines Übertragungsverhaltens zu definieren. Bei der sogenannten BIBO-Stabilität (Bounded Input, Bounded Output) bezeichnet man ein System dann als stabil, wenn es auf jede beschränkte Eingangsgröße mit einer beschränkten Ausgangsgröße reagiert. Für praktische Anwendungen ist es zweckmäßiger, das Stabilitätsverhalten eines Systems durch seine Reaktion auf eine eindeutig definierte Testfunktion zu charakterisieren. Hierfür bietet sich ganz besonders der Einheitssprung

u(t) = ε(t) an, weil ja durch die Übergangsfunktion h(t) das gesamte Übertragungsverhalten eines Systems bestimmt ist. Wir kommen daher zu folgender

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7_6

131

132

6  Stabilität technischer Systeme

 Definition  Ein lineares, zeitinvariantes System wird als stabil bezeichnet, wenn seine Sprungantwort y(t), oder aufgrund der vorausgesetzten Linearität, seine Übergangsfunktion h(t) mit zunehmender Zeit einem endlichen Wert zustrebt, also

h(t)|t→∞ = konst. Vom praktischen Standpunkt aus ist diese Definition dadurch gerechtfertigt, da die sprungartige Veränderung der Eingangsgröße eine besonders harte Beanspruchung des Systems darstellt. Beruhigt es sich wieder, so wird man erwarten dürfen, dass es bei sanfteren Veränderungen der Eingangsgröße erst recht zur Ruhe kommt. Alternativ zu dieser Definition wird ein System dann als stabil bezeichnet, wenn die Impulsantwort mit wachsender Zeit gegen Null strebt, das heißt

g(t) =

dh(t) |t→∞ = 0. dt

6.2 Das grundlegende Stabilitätskriterium Im Abschn. 6.1 wurde der zeitliche Verlauf der Sprungantwort eines Systems als maßgebliches Kriterium für die Stabilität verwendet. Zur bloßen Definition des Stabilitätsbegriffs genügt dieses Kriterium auch. Andererseits wäre aber der Anwender zur Beurteilung der Stabilität eines Systems gezwungen, die Systemantwort durch ein entsprechendes Stimulationssignal auszulösen, was allerdings für den Fall der Instabilität verheerende Folgen haben könnte. Es muss also ein Kriterium gefunden werden, das eine Beurteilung der Stabilität ermöglicht, ohne die Sprungantwort bzw. die Impulsantwort zu kennen. Was man dagegen von vornherein kennt, ist die Übertragungsfunktion des die Stabilität zu beurteilenden Systems. Es ist daher ein sehr wichtiges Faktum, dass man die Stabilitätsbetrachtung auf die Untersuchung der Übertragungsfunktion reduzieren kann. Hieraus resultiert eine weitere, bzw. modifizierte  Definition  Ein System ist dann und nur dann stabil, wenn sämtliche Pole seiner Übertragungsfunktion G(s) links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen; formal ausgedrückt besagt dieser Satz   i = 1, 2, . . . , n, Re sp,i < 0,

wobei n der Grad des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion G(s) ist. Dieser Satz soll nunmehr mithilfe der Partialbruchzerlegung bewiesen werden. Die Stabilität ist ausschließlich eine Eigenschaft des zu untersuchenden Systems und damit unabhängig von den Polstellen des Eingangssignals. Wir entscheiden uns deshalb auf den Impuls als Eingangsgröße L [u(t) = δ(t)] = U(s) = 1.

6.2  Das grundlegende Stabilitätskriterium

133

Mit dieser Eingangsgröße wird die echt gebrochen rationale Funktion der Ausgangsgröße im Bildbereich

G(s) =

b0 + b 1 s + b 2 s 2 + . . . + b m s m B(s) = A(s) a0 + a 1 s + a 2 s 2 + . . . + a n s n

(6.1)

oder alternativ in Produktform

 m  l=1 s − sN,l   G(s) = k0 · n i=1 s − sp,i

dabei werden mit sN,l die Nullstellen und mit sp,i die Polstellen des Systems bezeichnet. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit gehen wir von ausnahmslos einfachen Polstellen aus. Gl. (6.1) in Partialbrüche zerlegt ergibt

G(s) =

c2 cn c1 + + ... + s − sp1 s − sp2 s − spn

(6.2)

Die Polstellen sp1 , sp2 , . . . , spn der Übertragungsfunktion ergeben sich aus der Charakteristischen Gleichung

A(s) = 0, die Residuen c1 , c2 , . . . , cn berechnen wir aus der bereits bekannten Beziehung, Kap. 1, Gl. (1.11) mit    ci = s − sp,i · G(s)s=sp,i Durch Rücktransformation der Gl. (6.2) in den Zeitbereich erhalten wir den zeitlichen Verlauf der Impulsantwort zu L−1 [G(s)] = g(t) = c1 esp1 t + c2 esp2 t + . . . + cn espn t

(6.3)

oder kompakter formuliert

L−1 [G(s)] = g(t) = c1 esp1 t + c2 esp2 t + . . . + cn espn t

Aus Gl. (6.3) lässt sich unschwer der Schluss ziehen, dass die Impulsantwort g(t) nur dann gegen Null strebt und damit Stabilität gegeben ist, wenn, wie eingangs definiert, sämtliche Pole seiner Übertragungsfunktion negativ sind, also links der imaginären Achse der s-Ebene liegen. Für den Fall, dass in der Übertragungsfunktion G(s) auch komplexe Pole auftreten, so sind diese zwangsweise konjugiert komplex mit negativem Realteil für stabiles Systemverhalten. Abb. 6.1 zeigt zur Verdeutlichung den Zusammenhang zwischen den Polstellen der Übertragungsfunktion, also der Nullstellen des Nennerpolynoms, und dem daraus resultierenden Zeitverhalten der Impulsantwort. Damit ist zugleich der bereits weiter oben geprägte Begriff „Charakteristische Gleichung“ begründet; weil nämlich die Position der

134

6  Stabilität technischer Systeme

Abb. 6.1   Assoziierte Impulsantworten mit entsprechenden Polstellen in der s-Ebene

­ ullstellen der charakteristischen Gleichung A(s) = 0 ausschließlich für das Zeitverhalten N der Systemantwort maßgeblich ist. Die Nullstellen des Zählerpolynoms B(s) = 0, also sN,1 , sN,2 , . . . , sN,m wirken sich lediglich auf den Betrag der Residuen, nicht jedoch auf den grundsätzlichen Verlauf der Impulsantwort aus. Darüber hinaus tendiert die Impulsantwort einer Polstelle im Punkt −2 schneller gegen Null als beispielsweise eine solche im Punkt −1. Man spricht deshalb bei Polstellen, die in der linken s-Halbebene weit links liegen, von sogenannten schnellen Polstellen. Darüber hinaus zeigt dieses Bild deutlich, dass Pole rechts der imaginären Achse der komplexen Ebene eine mit zunehmender Zeit ansteigende Impulsantwort auslösen und damit auf Instabilität des zu untersuchenden Systems schließen lassen. Außerdem gibt Abb. 6.1 auch Aufschluss darüber, dass die Frequenz der Impulsantwort proportional zum Betrag des Imaginärteils einer konjugiert komplexen Lösung zunimmt. Last not least kann man aus diesem Bild recht deutlich sehen, dass eine Polstelle im Ursprung der s-Ebene als Impulsantwort eine Konstante bewirkt.

6.3 Numerische Stabilitätskriterien Im Abschn. 6.2 wurde bewiesen, dass ein beliebiges System dann stabil ist, wenn seine sämtlichen Pole zur linken der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen. Nun sollte man sich aber dessen besinnen, dass zu Zeiten, zu denen Stabilitätsbetrachtungen „Hochkonjunktur“ hatten, also im letzten Drittel des neunzehnten Jahrhunderts, den damaligen Koryphäen als mathematische Hilfsmittel lediglich ein Rechenstab und eine Logarithmentafel zur Verfügung standen. Um mit diesen Mitteln die Stabilität von ­Systemen mit einem Nennergrad größer als zwei trotzdem beurteilen zu können war man gezwungen, den Funktionsgrafen des Nennerpolynoms in einem geeigneten Diagramm

6.3  Numerische Stabilitätskriterien

135

aufzuzeichnen, an Hand dessen die Lage der Nullstellen abzuschätzen und dann mit entsprechenden Iterationsverfahren diese Schätzwerte so lange zu verbessern, bis eine der Aufgabe geforderte Genauigkeit erreicht worden ist. Insofern war es mehr als naheliegend nach Möglichkeiten zu suchen, die Stabilität von Systemen zu beurteilen, ohne die Lösungen der Charakteristischen Gleichung explizit berechnen zu müssen.

6.3.1 Das Stabilitätskriterium von Hurwitz Die Systemtechniker Routh und Hurwitz haben unabhängig voneinander algebraische Kriterien entwickelt, mit denen die Stabilität eines Systems nicht an Hand der Lage der Lösungen der Charakteristischen Gleichung, sondern an Hand der Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms beurteilt werden kann. Ausgangspunkt ist bei dieser Vorgehensweise die Charakteristische Gleichung des zu untersuchenden Systems, siehe Gl. (6.1):

A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + an sn = 0.

(6.4)

Die genannten Autoren haben nun zunächst festgestellt, dass das betrachtete System bereits dann instabiles Verhalten aufweist, wenn einer oder mehrere Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms fehlen oder negativ sind. Zur Verdeutlichung dieses Satzes sollen zwei kurze Beispiele angeführt werden Beispiel 6.1

A(s) = 2 + 5s + 12s3 = 0;

wie man unschwer ersehen kann fehlt der Koeffizient a2, es handelt sich also von vornherein um instabiles Systemverhalten. Beispiel 6.2

A(s) = 2 − 4s + 8s2 + 12s3 + 16s4 = 0;

in diesem Polynom sind zwar sämtliche Koeffizienten vorhanden, es ist aber a1 < 0 und damit wiederum der Fall der Instabilität gegeben. Für den Fall, dass sämtliche Koeffizienten vorhanden, reell und positiv sind, wird die weitere Stabilitätsuntersuchung wie folgt durchgeführt. Zunächst ist die sogenannte Hurwitz-Matrix zu entwickeln:   a1 a3 a5 · · · · a a a · · · ·  0 2 4     0 a 1 a3 · · · ·  H= .  0 a 0 a2 · · · ·     0 0 a1 · · · ·  · · · ····

136

6  Stabilität technischer Systeme

In dem nun folgenden Schema sind sämtliche Hurwitz-Determinanten zu bestimmen:

 a H2 =  1 a0   a1  H3 =  a0  0

 a3  = a 1 a2 − a 0 a3 > 0 a2   a3 a5  a2 a4  > 0 a 1 a3 

In dazu analoger Weise sind die weiteren Unterdeterminanten zu bestimmen. Damit lässt sich nunmehr das Routh-Hurwitz-Kriterium verbal in folgender Form ­ausdrücken: 

Das zu analysierende System ist genau dann stabil, wenn sämtliche Unterdeterminanten positiv sind.

(Die Berechnung von Determinanten mit mehr als drei Zeilen und Spalten sei der Matrizen-Rechnung vorbehalten, die aber auch jedem Ingenieur geläufig ist). Beispiel 6.3

Gegeben ist die charakteristische Gleichung eines Systems dritter Ordnung

A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + a3 s3 ,

wobei vorausgesetzt wird, dass sämtliche Koeffizienten positiv sind. Gesucht ist die Bedingung für stabiles Systemverhalten unter Anwendung des Hurwitz-Kriteriums. Für das gegebene Beispiel bekommt die Hurwitz-Matrix die Form   a1 a3 H= . a0 a2 Die Bedingung dafür, dass sämtliche Wurzeln der Charakteristischen Gleichung A(s) = 0 negativen Realteil haben und damit das System stabil ist, ist gegeben durch

H2 = a1 a2 − a0 a3 > 0. Beispiel 6.4

In diesem Beispiel lautet das Charakteristische Polynom

oder allgemein formuliert

A(s) = 5 + 4s + 3s2 + 2s3 + s4

A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 .

Es soll wiederum die Stabilität anhand des aufgezeigten Verfahrens untersucht werden.

6.3  Numerische Stabilitätskriterien

137

Die Hurwitz-Matrix hat für dieses Beispiel die Gestalt     a1 a3 0 4 2 0 H =  a0 a2 a4  =  5 3 1 .

0 a 1 a3

0 4 2

Nebenbei sollte erwähnt werden, dass die Hurwitz-Matrix soweit quadratisch „aufzublähen“ ist, bis in ihr sämtliche Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms vorkommen. Verwenden wir die Hurwitz-Determinante

H2 = a1 a2 − a0 a3 = 4 · 3 − 5 · 2 = 2 > 0, so lässt dieses Ergebnis zweifelsfrei auf stabiles Systemverhalten schließen. Berechnen wir allerdings die Hurwitz-Determinante     a1 a3 0 4 2 0 H3 =  a0 a2 a4  =  5 3 1  = 24 − (20 + 16) = −12, 0 a 1 a3 0 4 2

so erlaubt dieses Ergebnis nach Hurwitz den logischen Schluss auf instabiles Systemverhalten. In Fachkreisen spricht man hier von der sogenannten schärferen Bedingung. Mit den in neuerer Zeit zur Verfügung stehenden Softwaretools bereitet es natürlich keine Schwierigkeiten, für ein Polynom vierten Grades die entsprechenden Lösungen zu bestimmen. Im gegebenen Beispiel ergeben sich die Wurzeln der Charakteristischen Gleichung A(s) = 0 zu

s1,2 = 0,28 ± j1,41; s3,4 = −1,28 ± j0,86,   wir sehen also, dass Re s1,2 > 0 und damit instabiles Systemverhalten vorliegt. Es gilt deshalb der Satz: Bei entsprechenden Problemstellungen ist immer die Determinante zu berechnen, in der sämtliche Koeffizienten des Charakteristischen Polynoms vorkommen.

6.3.2 Das Stabilitätskriterium von Cremer und Leonhard Im Gegensatz zum Routh-Hurwitz-Kriterium handelt es sich hier nicht um ein numerisches, sondern um ein grafisches Verfahren. Gehen wir aus von der Annahme, dass das Charakteristische Polynom

A(s) = a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + an sn

138

6  Stabilität technischer Systeme

k Wurzeln (k < n) in der rechten und (n − k) Wurzeln in der linken s-Ebene hat. Die Ortskurve der Charakteristischen Gleichung lautet mit s = jω in der polaren Darstellung A(jω) = |A| · ejϕ(ω) .

Nun lassen wir die Kreisfrequenz ω von −∞ bis +∞ laufen und beobachten dabei die Änderung des Phasenwinkels ϕ(ω). Nach der eingangs getroffenen Voraussetzung existieren k Wurzeln mit Re(si ) > 0, mit 1 ≤ i ≤ k. Nachdem aber alle Wurzeln symmetrisch zur reellen Achse der komplexen Ebene liegen genügt es, den Bereich 0 ≤ ω ≤ +∞ zu betrachten. Damit kann bereits das Stabilitätskriterium von Cremer und Leonhard folgendermaßen formuliert werden: 

Ein System n-ter Ordnung ist genau dann stabil, wenn sich der mit der Ortskurve mitlaufende Ursprungszeiger des Charakteristischen Polynoms A(jω) um den Winkel n2 π im mathematisch positiven Sinne dreht, wobei die Kreisfrequenz ω Werte zwischen 0 und ∞ durchläuft, also in Richtung steigender ω-Werte.

Eine alternative, und vielleicht auch nahe liegendere Formulierung lautet: Ein System n-ter Ordnung ist genau dann stabil, wenn die Ortskurve des Charakteristischen Polynoms A(jω) genau n im Gegenuhrzeigersinn aufeinanderfolgende Quadranten durchläuft, wenn diese in Richtung steigender ω-Werte durchlaufen wird. In Abb. 6.2 wird das hier aufgezeigte Kriterium anhand typischer Beispiele für stabile und instabile Systeme gezeigt. Beispiel 6.5

Zur Verdeutlichung des Cremer-Leonhard-Kriteriums wird hier noch einmal das Beispiel 6.4 zum Vergleich herangezogen. Das Charakteristische Polynom ist im genannten Beispiel gegeben zu

A(s) = 5 + 4s + 3s2 + 2s3 + s4 .

Abb. 6.2   Verlauf der Ortskurve A(jω) für a stabile und b instabile Systeme

6.4  Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum

139

Abb. 6.3   Ortskurve eines instabilen Systems vierter Ordnung

Bekanntlich ergibt sich die Ortskurve als Sonderfall der Laplace-Transformierten. Mit

s = jω wird die Ortskurve des Charakteristischen Polynoms

  A(jω) = 1 + 5 − 3ω2 + jω 4 − 2ω2 = u(ω) + jv(ω).

Abb. 6.3 zeigt die zu diesem Beispiel entsprechende Ortskurve. Mithilfe des hier aufgezeigten Kriteriums kann man erneut ohne große Mühe das instabile Systemverhalten erkennen.

6.4 Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum 6.4.1 Beurteilung an Hand der Übertragungsmatrix Im Abschn. 5.2.4 haben wir mit Gl. (5.21) die Übertragungsmatrix des Mehrgrößensystems beziehungsweise mit Gl. (5.20) die Übertragungsfunktion des Eingrößensystems mit den Methoden des Zustandsraumes hergeleitet. Zum Bezug soll diese Gleichung

G(s) =

Y (s) = cT (sI − A)−1 b + d U(s)

140

6  Stabilität technischer Systeme

hier noch einmal aufgezeigt werden. Ausführlich angeschrieben lautet diese Gleichung

G(s) =

B(s) cT · adj(sI − A) · b +d = + d, det (sI − A) A(s)

wobei die Konstante d natürlich keinen Einfluss auf die Stabilität hat und deshalb für die weitere Betrachtung nicht mehr berücksichtigt zu werden braucht. Wesentlich ist aber, dass der Nenner der Übertragungsfunktion gerade das bisher mit A(s) bezeichnete Charakteristische Polynom ergibt und damit ausschließlich für die Stabilität des Systems relevant ist. Statt eines allgemein gültigen mathematischen Beweises soll dieses Statement an Hand eines Beispiels gezeigt werden. Beispiel 6.6

Ein Eingrößensystem mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t) wird durch die Differenzialgleichung

y(4) + 2y(3) + 3¨y + 4˙y + 5y = u

beschrieben. Transformieren wir diese Gleichung ohne Berücksichtigung eventueller Anfangswerte in den Bildbereich, so erhalten wir

  Y (s) · s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = U(s).

Die dazu entsprechende Übertragungsfunktion wird damit

G(s) =

1 B(s) Y (s) = 4 ≡ . U(s) s + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 A(s)

Nunmehr stellen wir zu der einleitend aufgezeigten Differenzialgleichung die dazu äquivalente Zustandsgleichung auf und versuchen dann die Stabilität dieses Systems zu beurteilen. Mit den definierten Zustandsgrößen

x1 = y,

x2 = y˙ , x3 = y¨ ,

x4 = y(3) wird die gegebene Differenzialgleichung

y(4) = −2y(3) − 3¨y − 4˙y − 5y + u

in Abhängigkeit der Zustandsgrößen zu

x˙ 4 = −2x4 − 3x3 − 4x2 − 5x1 + u.

6.4  Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum

141

Vektoriell angeschrieben bekommt die Zustandsgleichung die Form         x˙ 1 0 x1 0 1 0 0  x˙ 2   0 0 1 0   x2   0   =       x˙ 3   0 0 0 1  ·  x3  +  0  · u.

−5 −4 −3 −2

x˙ 4

x4

4

Verglichen mit der allgemeinen Form der Zustandsgleichung

x˙ = Ax + bu lautet die Systemmatrix



sowie der Eingangsvektor

0  0 A=  0 −5

1 0 0 −4

0 1 0 −3

 0 0   1  −2

  0 0  b=  0 . 4

Entwickeln wir den Ansatz



s 0 det (sI − A) =  0 5

−1 s 0 4

 0 0 −1 0  =0 s −1  3 s+2

nach der ersten Spalte, so ergibt sich mit den Algorithmen der Matrizenrechnung sowie unter Anwendung der Cramerschen Regel das Charakteristische Polynom aus     s −1 0 −1 0 0 (−1)1+1 · s 0 s −1  + (−1)4+1 · 5 s −1 0  = 0 4 3 s+2 0 s −1 zu

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 ≡ A(s) = 0.

Die Wurzeln des Charakteristischen Polynoms

ergeben sich zu

A(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 s1,2 = 0,28 ± j1,41,

s3,4 = −1,28 ± j0,86;

142

6  Stabilität technischer Systeme

es handelt sich also offensichtlich um ein instabiles System. (Dem aufmerksamen Leser müssten übrigens diese Zahlenwerte bereits bekannt vorkommen). Wir können also unschwer feststellen, dass sich sowohl unter Verwendung der Übertragungsfunktion als auch mithilfe der Zustandsraum-Darstellung eine eindeutige Aussage hinsichtlich der Stabilität eines Systems treffen lässt. Wie wir nunmehr sehen, wird auch über diesen Weg die bereits bewiesene Instabilität bestätigt.

6.4.2 Das Stabilitätskriterium von Liapunov Mit den mathematischen Methoden der Zustandsraumdarstellung wird das lineare homogene System dann als stabil bezeichnet, wenn für jeden endlichen Anfangszustand x(0) die Bedingung (6.5)

limt→∞ �x(t)� = 0

erfüllt ist. Der Term x(t) symbolisiert den Betrag des Zustandsvektors x(t); er ist definiert durch die Gleichung

�x(t)� =

n

j=1

xj2 (t)

1/2

.

(6.6)

Erste Methode von Liapunov Durch diese im Folgenden aufzuzeigende Vorgehensweise wird die Stabilität eines Systems an Hand seiner gespeicherten Energie beurteilt. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass ein schwingfähiges, geschlossenes System nur dann stabil ist, wenn seine Gesamtenergie, eine positiv definite Funktion, kontinuierlich abnimmt. Dies bedeutet, dass die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie negativ definit sein muss, bis ein stabiler Gleichgewichtszustand erreicht ist. Betrachten wir hierzu das Beispiel des ungestörten mechanischen Systems wie in Abschn. 5.2.1 in Abb. 5.3, also u(t) = 0 gezeigt. Zur Vereinfachung des Rechengangs sei m = 1 kg, c = 1 Nm , b = 1 mN/ s. Die beschreibende Differenzialgleichung wird damit zu

d2 y dy + y = 0. + dt 2 dt Mit den Zustandsgrößen

x1 = y, x2 = y˙ wird dieses System durch zwei Differenzialgleichungen erster Ordnung beschrieben:

x˙ 1 = x2 ,

x˙ 2 = −x1 − x2.

6.4  Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum

143

Mit den angenommenen Anfangswerten x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 erhalten wir folgende Lösungen der obigen Zustandsgrößen:

x1 (t) = 1,15 · e−t/2 · sin

√

π 3 t+ 2 3



,

√  3 t . x2 (t) = −1,15 · e−t/2 · sin 2

(6.7)

(6.8)

Nachdem beide Zustandsgrößen mit zunehmender Zeit gegen null streben, handelt es sich ganz offensichtlich um ein stabiles System. Nunmehr soll dieses sicher einfache Beispiel vom energetischen Standpunkt aus betrachtet werden: Die gesamte im System gespeicherte Energie setzt sich zusammen als

W (t) = Wkin + Wpot = c ·

x2 x12 +b· 2. 2 2

Mit c = 1 Nm und b = 1 mN/ s wird obige Gleichung

W (t) =

x2 x12 + 2. 2 2

(6.9)

Diese Energie dissipiert im Dämpfungsglied als Wärme mit einer Rate

˙ (t) = ∂W · dx1 + ∂W · dx2 = −˙x1 x2 = −x22 (t). W ∂x1 dt ∂x2 dt ˙ (t), so ergibt sich Berechnen wir den zeitlichen Verlauf der Funktionen W (t) und W W (t) = 0,667e

−t

 √ √  π 3 3 2 t + sin t+ · sin . 2 2 3 

2

˙ (t) = −1,33e−t · sin2 W

√  3 t . 2

(6.10)

(6.11)

Aus den Gl. (6.10) und (6.11) geht eindeutig hervor, dass die Gesamtenergie des analysierten Systems mit zunehmender Zeit gegen null strebt, also positiv definit ist und der zeitliche Gradient der Gesamtenergie stets negativ und somit negativ definit ist. Aufgrund dieser Tatsache sehen wir wiederum, dass das betrachtete System asymptotisch stabil ist.

144

6  Stabilität technischer Systeme

Zweite Methode von Liapunov Aus den vorangegangenen Betrachtungen ist leicht ersichtlich, dass die Berechnung der Energiefunktion W (t) mit dem Ziel, die Stabilität eines zu untersuchenden Systems zu beurteilen, sehr schnell mit einem meist erheblichen mathematischen Aufwand verbunden ist. Liapunov geht deshalb bei der nach ihm benannten „zweiten Methode“ weniger von energetischen als mehr von systemtheoretischen Untersuchungen aus. Wie wir anhand des obigen Beispiels eines Systems zweiter Ordnung sehen konnten lässt sich zeigen, dass die einem beliebigen System immanente Energie W (x) in Abhängigkeit der Zustandsgrößen immer einer sogenannten quadratischen Form unterliegt:    p11 p12 · · · p1n x1  p12 p22 · · · p2n  x2    � �   W (x) = xT Px = x1 x2 . . xn   · · · · · ·  · ,  · · · · · ·  ·  p1n p2n · · · pnn xn

dabei ist P eine reelle symmetrische Matrix. Die skalare, quadratische Energiefunktion W (x) ist nach dem Kriterium von Sylvester positiv definit und damit stabil, wenn die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt ist, dass alle Unterdeterminanten der Matrix P von links oben beginnend positiv sind; also    p11 p12 · · · p1n     p12 p22 · · · p2n       p11 p12   > 0, . . .  · · · · · ·  > 0. p11 > 0,     p12 p22  · · ··· ·    p p · · · p  1n 2n nn Beispiel 6.7

Es ist zu zeigen, dass die folgende quadratische Form einer Energiefunktion

W (x) = 10x12 + 4x22 + x32 + 2x1 x2 − 2x2 x3 − 4x1 x3 positiv definit ist. Die Funktion W (x) wird in Vektorschreibweise zu    x1 10 1 −2 � � W (x) = xT Px = x1 x2 x3  1 4 −1  x2 . x3 −2 −1 1

Durch Anwendung des Sylvester-Kriteriums erhalten wir    10 1 −2      10 1    > 0,  1 4 −1  = 17 > 0. 10 > 0,     1 4  −2 −1 1 

Nachdem alle Unterdeterminanten entlang der Hauptdiagonalen der Matrix P positiv sind ist W (x) positiv definit und damit das betrachtete System stabil.

6.4  Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum

145

Nach dieser einleitenden Hinführung kann nunmehr zur Erläuterung der zweiten Liapunov’schen Methode übergegangen werden. Die aufzuzeigende Methode ist rein algebraisch und erfordert zur Beurteilung der Stabilität weder die Lösungen der charakteristischen Gleichung |sI − A| = 0 noch die Energiefunktion W (x). Nachdem die Stabilität eine bloße Eigenschaft des zu analysierenden Systems ist und nicht von der Form der Anregung abhängt gehen wir aus von der Zustandsgleichung des linearen ungestörten Systems

x˙ = Ax,

(6.12)

wobei x bekanntlich der n-dimensionale Zustandsvektor und A die konstante (n ∗ n) -Systemmatrix ist. Aufgrund der Homogenität der Gl. (6.12) ist der einzig mögliche Gleichgewichtszustand der Koordinatenursprung x = 0. Für das durch Gl. (6.12) definierte System soll im Folgenden die Energiefunktion

W (x) = xT Px,

häufig auch als Liapunov-Funktion bezeichnet, berechnet werden. Die zeitliche Ableitung dieser Energiefunktion wird zu

˙ (x) = x˙ T Px + xT Px, W ˙ (x) = (Ax)T Px + xT PAx. W Mit den Rechenregeln der Matrizenrechnung (A · B)T = BT · AT folgt für obige Gleichung

˙ (x) = xT AT Px + xT PAx, W   ˙ (x) = xT AT P + PA x. W

(6.13)

˙ (x) = −xT Qx. W

(6.14)

Weil nun die Energiefunktion W (x) für stabiles Systemverhalten als positiv definit ˙ (x) negativ definit sein; somit muss gelten vorausgesetzt wird, muss W Identifizieren wir Gl. (6.13) mit (6.14), so erhalten wir

  Q = − AT P + PA

als positiv definit. Das System gemäß Gl. (6.12) ist also stabil, wenn die Matrix Q positiv definit ist. Um nun zu prüfen, ob diese (n ∗ n)-Matrix positiv definit ist, kann die bereits vorgestellte Regel von Sylvester angewandt. Nachdem wir aber nicht an der relativen sondern lediglich an einer absoluten Aussage bezüglich der Stabilität eines zu analysierenden Systems interessiert sind

146

6  Stabilität technischer Systeme

i­dentifizieren wir die Matrix Q mit der Einheitsmatrix I und bestimmen dann anhand der Gleichung

AT P + PA = −I

(6.15)

in Analogie zu Beispiel 6.7 die Matrix P hinsichtlich ihrer positiven Definitheit. Beispiel 6.8

Ein System zweiter Ordnung sei durch die Zustandsgleichung      x˙ 1 0 1 x1 = x˙ 2 −1 −1 x2 gegeben. Zu bestimmen ist die Stabilität des Gleichgewichtszustandes x = 0. Obwohl man sofort erkennt, dass es sich um ein stabiles System handelt, soll trotzdem für dieses einfache Beispiel die Stabilität an Hand der zweiten Methode von Liapunov überprüft werden. Die Gl. (6.15) wird im gegebenen Fall zu         0 −1 p11 p12 p p 0 1 −1 0 + 11 12 = . p12 p22 −1 −1 1 −1 p12 p22 0 −1 Durch Ausmultiplizieren dieser Matrizen erhalten wir für die Elemente der Matrix P folgende Gleichungen:

−2p12 = −1.

p11 − p12 − p22 = 0,

2p12 − 2p22 = −1.

Aus diesen Gleichungen erhalten wir die zu bestimmende Matrix zu   3 1 p11 p12 P= = 21 2 . p12 p22 2 1 Um nun zu prüfen, ob die Matrix P positiv definit ist und damit Stabilität vorliegt wenden wir die Regel von Sylvester an:   3 1 5 3 2 2 > 0,  1  = > 0.  1 4 2 2

Nachdem die Matrix P positiv definit ist, ist auch der Gleichgewichtszustand dieses Systems im Koordinatenursprung stabil und die Liapunov-Funktion bekommt für ­dieses Beispiel die Form

W (x) = xT Px =

 1 2 3x1 + 2x1 x2 + 2x22 , 2

147

6.4  Beurteilung der Stabilität im Zustandsraum

der dazu entsprechende Gradient ergibt sich als

  ˙ (x) = − x12 + x22 , W

also erwartungsgemäß negativ definit. Beispiel 6.9

Für den in Abb. 6.4 skizzierten Regelkreis ist der Bereich der Verstärkung K des Reglers für stabiles Regelverhalten mithilfe der zweiten Methode von Liapunov zu bestimmen. Bevor wir uns der genannten Aufgabenstellung widmen können, muss zunächst die Zustandsgleichung anhand der in Abb. 6.4 definierten Zustandsgrößen aufgestellt werden. Durch die Rücktransformation der diversen Übertragungsfunktionen

1 X1 (s) = , sX1 (s) = X2 (s), X2 (s) s X2 (s) 1 , sX1 (s) = −2X2 (s) + X3 (s), = X3 (s) s+2 K · (U(s) − X1 (s)), X3 (s) = s+1

x˙ 1 = x2 ; x˙ 2 = −2x2 + x3 ; x˙ 3 = −Kx1 − x3 + Ku.

erhalten wir die zu bestimmende Zustandsgleichung des Regelkreises zu        x1 0 x˙ 1 0 1 0 x˙ = Ax + bu →  x˙ 2  =  0 −2 1  x2  +  0  · u. x3 x˙ 3 K −K 0 −1

Nachdem, wie bereits mehrmals erwähnt, die Stabilität eine ausschließliche Eigenschaft des betrachteten Systems ist genügt es, für die weitere Behandlung die homogene Zustandsgleichung

x˙ = Ax

zu untersuchen. Die Liapunov-Gleichung

AT P + PA = −I

Abb. 6.4   Einfacher Regelkreis

148

6  Stabilität technischer Systeme

bekommt somit die Form

     0 1 0 p11 p12 p13 0 0 −K p11 p12 p13  1 −2 0  p12 p22 p23  +  p12 p22 p23  0 −2 1  p13 p23 p33 p13 p23 p33 −K 0 −1 0 1 −1   −1 0 0 = 0 −1 0 . 0 0 −1 

Berechnen wir daraus die Matrix P, so erhalten wir  2

 P= 

6K K +12K 0 12−2K 12−2K 6K 3K 6 12−2K 12−2K 12−2K 6 K 0 12−2K 12−2K



 . 

2

+12K Allein aus der näheren Untersuchung des Elements p11 = K12−2K sehen wir bereits, dass die Matrix P nur dann positiv definit ist, wenn gilt K > 0 und K < 6. Der gesuchte Bereich bezüglich des einstellbaren Parameters K für stabiles Regelverhalten ist damit gegeben durch

0 < K ≤ 6. Natürlich hätte man das gleiche Ergebnis durch Anwendung des Hurwitz-Kriteriums erhalten.

Weiterführende Literatur

Böttiger, A.: Regelungstechnik, Oldenbourg 1998 Brauch, W.: Mathematik für Ingenieure, Springer Vieweg 2003 Braun, A.: Digitale Regelungstechnik, Oldenbourg 1997 Braun, A.: Grundlagen der Regelungstechnik, Carl Hanser 2005 Bremer, H.: Dynamik mechanischer Systeme, Teubner 1988 Bronstein, N.: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch 2008 Burg, K.: Höhere Mathematik f. Ingenieure, Teubner, 1992 Cannon, R.: Dynamics of Physical Systems, Mc Graw Hill 1967 Carvalho, J.: Dynamical Systems, Prentice Hall 1993 Churchill, R.: Complex Variables and Applications, Mc Graw Hill 1984 Churchill, R.: Operational Mathematics, Mc Graw Hill 1972 Cremer, M.: Regelungstechnik, Springer Vieweg 1995 Dorf, R.: Modern Control Systems, Addison Wesley 1995 Föllinger, O.: Laplace-Transformation für Ingenieure, VDE 1990 Föllinger, O.: Regelungstechnik, VDE 2016 Franklin, G.: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley 1994 Fredriksen, T.: Application of Stepping Motors, IEEE Transaction 1968 Gantmacher, F.: Theory of Matrices, Chelsea Publishing 1959 Gröbner, W.: Matrizenrechnung, Bibliografisches Institut 1966 Hughes, A.: Stepping Motors, IEEE Transaction 1975 Isermann, R.: Mechatronische Systeme, Springer 2008 Kuo, B.: Automatic Control Systems, Prentice Hall 1987 Marko, H.: Methoden der Systemtheorie, Springer 1995 Mayr, M.: Technische Mechanik, Carl Hanser 1995 Müller, P.: Stabilität und Matrizen, Springer, 1977 Needham, T.: Anschauliche Funktionentheorie, Oldenbourg 2001 Ogata, K.: Modern Control Engineering, Prentice Hall 1987 Ogata, K.: State Space Analysis of Control Systems, Prentice Hall 1987 Papula, L.: Mathematik für Naturwissenschaftler, Springer Vieweg 2001 Pfaff, G.: Regelung elektrischer Antriebe, Oldenbourg 1987 Richard, H.: Technische Mechanik Dynamik, Springer Vieweg 2011 Roddeck, W.: Einführung in die Mechatronik, Teubner 2006 Ropohl, G.: Systemtechnik, Carl Hanser 1975 Scheithauer, R.: Signale und Systeme, Springer Vieweg 2004 Schwarz, H.: Mehrfachregelungen, Springer 1967 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7

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Weiterführende Literatur

Shinners, S.: Modern Control System Theory, John Wiley 1992 Smirnow, W.: Höhere Mathematik, Harri Deutsch 1981 Unbehauen, R.: Systemtheorie, Oldenbourg 1993 Waller, H.: Schwingungslehre. BI-Wissenschaftsverlag 1989 Weber, H.: Laplace- und Fourier-Transformation, Vieweg 2012 Zurmühl, R.: Matrizen und Ihre Technische Anwendung, Springer 1964 Zurmühl, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Springer 1984

Stichwortverzeichnis

A Abklingzeit, 47 Adjungierte, 110 Aktor, 81, 87 Amplitudengang, 58, 78 Amplitudenüberhöhung, maximale, 50 Ankerzähne, 94 Arbeitspunkt, 22 Ausgangsgleichung, 103, 106 Ausgangsmatrix, 104 Ausgangsvektor, 103, 104 Auslenkwinkel, 34

B Bandpass, 80 Behälter, korrelierende, 124 Bewegung erzwungene, 109 freie, 35, 42 gedämpfte, 42 BIBO-Stabilität, 131 Blockschaltbild, 84, 86 Brennstoffzufuhr, 87, 89 Butterworth-Filter, 76

D Dämpferelement, 27, 28 Dämpfungsfaktor, 43, 45, 80 Dämpfungssatz, 4 Dauerschwingung, 34 Dekrement, logarithmisches, 46 Diagonalmatrix, 129 Differenzialgleichung, 1, 19

Differenziationsregel, 3 Differenzierglied, 76 Disk-Drive, 92 Drehrichtungswechsel, 91 Drehwinkel, 39, 87, 91 Drosselklappe, 121 Durchgangsmatrix, 104

E Eckfrequenz, 79 Eigenbewegung, 43, 109 Eingangsgröße, 101, 131 Einheitsmatrix, 108 Einhüllende, 47 Einschwingzeit, 46 Element, mechanisches, 27 Energie, potenzielle, 42, 107 Energiespeicher, 41, 103 Entkopplung, 118 Exponentialfunktion, 11

F Fahrzeugmasse, 120 Fall aperiodischer, 44 periodischer, 43 Faltungssatz, 6 Federbein, 42, 120 Federelement, 28 Federkonstante, 38, 120 Feder-Masse-System, 34 Federwaage, 48 Freiheitsgrad, 51

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Braun, Dynamische Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18185-7

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Stichwortverzeichnis

Frequenzgang, 58 Fundamentalmatrix, 109

Kosinusfunktion, 13, 18 Kräftediagramm, 33

G Geräteübersicht, 82 Geschwindigkeitsfunktion, 68 Gewichtsfunktion, 57, 69 Glättungsglied, 78 2. Ordnung, 79 Gleichgewicht, 35 Gleichgewichtszustand, 42, 142 Gleichstrommotor, 81 Gleichung, charakteristische, 33, 133, 134 Gravitationskraft, 35 Grenzfall, aperiodischer, 45 Grenzwertsätze, 7 Grundregler, 70

L Ladung, elektrische, 54 Laplace-Transformation, 1 inverse, 2, 14 Lenzsche Regel, 82 Linearisierung, 22 Linearität, 22 Linearitätsregel, 2 Lösung, charakteristische, 33

H Hurwitz-Kriterium, 136 Hurwitz-Matrix, 135, 136

I Impedanz, 59 Impulsfunktion, 12, 57 Impulssteuerung, 91 Induktivität, 53, 55, 97 Industrieofen, 89 Instabilität, 132, 134, 135 Integrationsregel, 4 Integrator, 60, 86 Inversion, 110

J Jordan-Form, 129

K Kapazität, 54 mechanische, 28 Kirchhoffsche Gesetze, 55 Kofaktor, 110 Kopplungsfaktor, 118 Korrespondenztabelle, 1

M Massenträgheitsmoment, 27, 37 Matrizenschreibweise, 104, 107 Mehrgrößenregelung, 118 Messbrücke, 90 Messleitung, 76 Modell, mathematisches, 23, 29 Modellgleichung, 116 Modellierung (Schrittmotor), 95

N Netzwerk aktives, 70 passives, 58 Newton’sche Axiome, 29

O Ohmsches Gesetz, 54 Operationsverstärker, 70, 76 Ersatzschaltbild, 71 Ortskurve, 138

P Partialbruchzerlegung, 1, 15 PD-Regler, 74 PDT1-Regler, 74 Pegelstand, 122 Pendel invertiertes, 114 mathematisches, 33

Stichwortverzeichnis Periodendauer, 36, 45 Permeabilität, 94 Phasengang, 58 PID-Regler, 75 PI-Regler, 73 Polstellen mehrfache, 18 schnelle, 134 verschiedene, 16 Polynom, charakteristisches, 135, 136 Prinzipschaltplan (Gleichstrommotor), 82 Proportionalregler, 73 Pulsrate, 91

R Rakete, 114 Rampenfunktion, 11 Rechteckimpuls, 10, 11 Regelkreis, geschlossener, 118 Regelkreissynthese, 114 Regler, analoger, 70, 72 Reglertransfermatrix, 120 Reibungskoeffizient, viskoser, 28 Reifen (Elastizität), 120 Reluktanzmotor, 93 Residuen, 16 Roboterarm, 92 Rückkopplungswiderstand, 72

S Schrittmotor, 91 mit variabler Reluktanz, 93 Modellierung, 95 permanent erregter, 99 Schrittwinkel, 91, 93 Schrittzahl, 93 Schwingung, harmonische, 36 Schwungscheibe, 32 Seitenruder, 87 Sensorik, 70, 76 Servoantrieb, 87, 92 Servomotor, 87, 89 Servosystem, hydraulisches, 25 Servoventil, 87 Sinusfunktion, 13 Spannung, 53, 58, 91 Sprungfunktion, 10, 49, 57

153 Stab, balancierter, 114 Stabilität, 131 im Zustandsraum, 139 Stabilitätskriterium grundlegendes, 132 von Cremer und Leonhard, 137, 138 von Hurwitz, 135 von Liapunov, 142 Statorzahn, 94 Stellventil, 25 Steuermatrix, 104 Steuervektor, 103, 104 Stoßdämpfer, 42 Stromstärke, 54 Strömung, 121 Strömungswiderstand, 122 Sylvester-Kriterium, 144 System elektrisches, 53 elektromechanisches, 81 erster Ordnung, 32 fluides, 121 gekoppeltes, 118, 120 mechanisches, 27 zweiter Ordnung, 35, 41 Systemmatrix, 104

T Taylorreihe, 23 Temperaturregelung, 65 Testsignal, 56 Tiefpass 1. Ordnung, 78 Torsionsdämpfer, 29 Transfermatrix, 118 Transitionsmatrix, 109 Translationsdämpfer, 28

U Übergangsfunktion, 57, 68 Übertragungsfunktion, 22, 68, 87, 111 Übertragungsmatrix, 113, 139

V Vektordifferenzialgleichung, 108 Verschiebungssatz, 9 Vierpol, 59

154 Volumengradient, 122

W Widerstandsthermometer, 90

Z Zeitkonstante, 33, 87

Stichwortverzeichnis Zustand, 101 Zustandsgleichung, 103, 105 homogene, 109 im Bildbereich, 110 Zustandsraum, 101, 102, 139 Zustandsvariable, 102 Zustandsvektor, 102, 103 Zweipunktregler, 65