Toeplitz 系统预处理方法 9787040369502

Citation preview

内容简介 　　用循环矩阵作为预处理共轭梯度法的预处理矩阵始于 1986 年。在这 本薄书中 , 作者主要从理论的角度研究了一些著名的预处理矩阵 , 并给 出了其在求解常微分方程系统中的应用。本书包含了近些年得到的关于 Toeplitz 快速迭代解法的一些重要的研究成果 , 它可为科学计算相关专业 的高年级本科生所接受 , 要求读者只要具有线性代数、微积分、数值分析 和科学计算的基本知识即可。同时，本书也可作为对 Toeplitz 快速迭代算 法感兴趣的科研和工程计算人员的参考书。 　　金小庆博士是澳门大学数学系的教授。他已出版了 6 本书 , 发表了 80 多篇学术论文。同时 , 他还是众多国际期刊的编委。

　　图书在版编目（C I P）数据 　　Toeplitz 系统预处理方法 / 金小庆著 . -- 北京 : 高等教育出版社，2013. 3 　　ISBN 978-7-04-036950-2 　　Ⅰ. ① T… Ⅱ. ①金… Ⅲ. ①矩阵 - 前处理 Ⅳ . ① O241.6 　　中国版本图书馆 CIP 数据核字（2013）第 025266 号

策划编辑 王丽萍 责任校对　李大鹏　

责任编辑　李华英 责任印制　 韩 刚

封面设计　张　楠

版式设计　杜微言

出版发行 社 址 邮政编码 印 刷 开 本 印 张 字 数 购书热线

高等教育出版社 北京市西城区德外大街4号 100120 涿州市星河印刷有限公司 787mm×1092mm 1/16 8.5 130千字 010-58581118

咨询电话 400-810-0598 网 址 http://www.hep.edu.cn http://www.hep.com.cn 网上订购 http://www.landraco.com http://www.landraco.com.cn 版 次 2013 年 3 月第 1 版 印 次 2013 年 3 月第 1次印刷 定 价 29.00元

本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换 版权所有 侵权必究 物 料 号 36950-00



Toeplitz , , 

  [24, 28, 40, 47, 56, 61, 73], . ,   Toeplitz .  ( PCG )   Toeplitz   1986  [74, 81].    n × n  Toeplitz  Tn x = b,  O(n log n). , . 

 ,    ,  ( ODE) . . ,     .   Krylov  :  ( CG )   ( GMRES ).  CG  Toeplitz  .

· ii ·





,  Strang  s(Tn ),   Strang  1986  [81]. 

  Toeplitz  Tn ,   ,    .  s(Tn )  PCG   . Strang     Hermite Toeplitz . ,  T. Chan  [35].  Toeplitz  Tn , T. Chan  cF (Tn ), 

,  Tn − Wn F   ,   · F

Frobenius , Wn  .  cF (Tn )  PCG  ,    T. Chan  .

  [87].  Toeplitz  Tn ,  tF (Tn )  In − Wn−1 Tn F  

,  In n × n  , Wn    .  tF (Tn )  PCG   ,    . , .  ,   Toeplitz  [32]  {ω}–  [75]   Toeplitz . 

 PCG  Tmn x = b,  Tmn

 m × m  Toeplitz ,  n × n  Toeplitz .   Tmn ,   . ,    Toeplitz ,   . ,   ( BVM)    ODE  [9, 29].  

, GMRES 



· iii ·



.  Aν1 ,ν2 –   BVM  m × m  ODE  ,  I + L,  I  , L   2m(ν1 + ν2 ) . ,  GMRES  ,   2m(ν1 + ν2 ) + 1  .   MATLAB  .     Toeplitz  

. [24, 56, 73] ,         ,     ,     . ,   Toeplitz   . , . ,    . ,    ,    Toeplitz    ,     .  

  (   ),      .      ,   :       . ,    ,   MATLAB . ,      ——  ,    .   

 . , ,    .   RG-UL/07-08S/Y1/JXQ/FST  UL020/08-Y2/MAT/JXQ01/FST . ——  

· iv ·





:  ,   [82].          ,    ,   .  !   11201192    SBK201220691   12KJB110004   . ——  2013  2   





 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

1

§1.1   · · · · · · · · · · · · · · · ·

1

§1.1.1   · · · · · · · · · · · · ·

1

§1.1.2 Hermite  · · · · · · · · · · · · · ·

3

§1.1.3   · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

5

§1.2 Toeplitz  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

9

§1.3  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 §1.4   · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 §1.5 Toeplitz   · · · · · · · · · · · · · · 21 §1.5.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22 §1.5.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · 25



Strang  · · · · · · · · · · · · · · 28

§2.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28

· ii ·





§2.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 30



T. Chan  · · · · · · · · · · · · · 35

§3.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 §3.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39 §3.3  · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41 §3.3.1   · · · · · · · · · · · · · 41 §3.3.2   · · · · · · · · · · · · · 42 §3.3.3  Hartley   · · · · · · · · · · · 42 §3.3.4  · · · · · · · · · · · · · · · 43 §3.4  cU · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 §3.5   · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 48



 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51

§4.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51 §4.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 53 §4.3   · · · · · · · · · · · · · · · · · · 55 §4.4  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 58



 Toeplitz  · · · · · · · · · · · · · · · · · 60

§5.1  Toeplitz  · · · · · · · · · · · · · · · · 60 §5.2 {ω} –  · · · · · · · · · · · · · · · · · · 63 §5.2.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · 64 §5.2.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 64



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 69 (b)

§6.1 cU · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70





§6.2  · · · · · · · · · · · · · · 76 §6.3  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 77 §6.4  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 85



 · · · · · · · · · · · · · · · 86

§7.1   · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 86 §7.1.1  · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87 §7.1.2   · · · · · · · · · · · · · 90 §7.2  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 §7.3  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 95 §7.4  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 96



 M · · · · · · · · · · · · · · · · · 99

 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 105  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 114  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 117

· iii ·





“, 

. ” —— [84] ,     . ,  :   ( CG )   ( GMRES ).  ,  Toeplitz  .

§1.1    ,     .

§1.1.1  ,  .

·2·







—  R ; C ; i ≡

√ −1;  Rn  n

 ; Cn  n  . ,   ,  ,   .  Rm×n  m × n  ;  Cm×n  m × n   .  dim(S)   S  . — ,  A, B, C, Δ, Λ , ;  ,  x, y, z ,  . —  (A)ij = aij  A = (aij )  (i, j) . 

 n × n ,  i  j  1 n, 

 0 n − 1.  AT  A∗  A  n  aii ;  rank(A)  A ;  tr(A) ≡ i=1

 A ;  ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ diag(a11 , . . . , ann ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

a11

0

0 .. .

a22 .. .

··· .. . .. .

0

···

0

⎞ 0 .. ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠ ann

 n × n  ;  In  n × n  ,    ,  I;  ej    I  j . —  A ∈ Rn×n ,  AT = A.  A 

 ( ),   x ∈ Rn ,  xT Ax > 0 ( 0).  A ∈ Cn×n  Hermite ,  A∗ = A.  Hermite  A   ( ),   x ∈ Cn ,  x∗ Ax > 0 ( 0). —  A ∈ Cn×n .   x ∈ Cn  λ ∈ C  Ax = λx,  λ A , x A   λ 

§1.1



.  , Hermite  ,  λmin (A)  λmax (A)  Hermite  A  . 

 ρ(A) ≡ max |λi (A)|  A ,   λi (A)  A .  A  A . —  Amn  m × m  n × n

;  (Amn )i,j;k,l  Amn  (k, l)  (i, j) . —   ·    ;   · 1 ,  · 2 ,  · ∞

 p – ,  p  1, 2, ∞. —  C2π  2π    f (x) ; C+ 2π 

 C2π   f (x)  0 ,    f (x) ;  C2π×2π  2π   ( )  f (x, y) .

§1.1.2 Hermite  Hermite   .  

 [50, 61, 84, 93],   .  1.1 ()  A ∈ Cn×n  Hermite ,   Q ∈ Cn×n  Λ ∈ Rn×n ,  A = QΛQ∗ .  M ∈ Cn×n ,  M −1 = M ∗ .  1.2 (Cauchy )  A ∈ Cn×n  Hermite ,   λ1  λ2  · · ·  λn .

 μ1  μ2  · · ·  μm

 A  m ,  λk  μk  λk+n−m ,

·3·

·4·







 k = 1, 2, . . . , m.  1.3 (Weyl )  A, E ∈ Cn×n  Hermite ,   λi (A), λi (E)  λi (A + E) .  k = 1, 2, . . . , n,  λk (A) + λ1 (E)  λk (A + E)  λk (A) + λn (E).

 1.4 (Courant-Fischer )  A ∈ Cn×n  Hermite ,  λ1  λ2  · · ·  λn . 

 k = 1, 2, . . . , n,  λk =

=

minn

S⊆C dim(S)=k

max

0=x∈S

maxn

S⊆C dim(S)=n−k+1

x∗ Ax = x∗ x

min

0=x∈S

min

max x∗ Ax

x∈S S⊆Cn dim(S)=k x2 =1

x∗ Ax = x∗ x

 S  Cn , x2 =

min x∗ Ax,

max

x∈S S⊆Cn dim(S)=n−k+1 x2 =1

n 

|xi |2

1/2

, 

i=1

x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn .

, x∗ Ax = min x∗ Ax, x=0 x∗ x x2 =1 x∗ Ax λn = max ∗ = max x∗ Ax. x=0 x x x2 =1

λ1 = min

,  .  [50],  A ∈ C

m×n

,  m  n,  U ∈ Cm×n  U ∗ U = I 

V ∈ Cn×n  V ∗ V = I,  A = U ΔV ∗ ,

 Δ = diag(σ1 , σ2 , . . . , σn ), σ1  σ2  · · ·  σn  0.  σk (k = 1, 2, . . . , n)  A  .  ,  A∗ A  σk2 , k = 1, 2, . . . , n.

·5·



§1.1

§1.1.3  

 , 

,  c ∈ C  |c|  .  ,  Cn   Cn×n ,     . , .  ,    ,  .  1.5  x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn ,  Cn  ,  x ∈ Cn  x,  x ,  x, y ∈ Cn  α ∈ C  : (a) x  0

(x = 0  x = 0);

(b) αx = |α| · x; (c) x + y  x + y.

   p – ,  xp ≡

n 

|xi |p

1/p

,

i=1

 p  1.  p –  : x1 =

n 

|xi |,

x2 =

n 

i=1

|xi |2

1/2

,

x∞ = max |xi |.

i=1

1in

Cn    ,   Cn  

 . 

,   · α   · β Cn   ,  c1  c2 ,   x ∈ Cn  [50] c1 xα  xβ  c2 xα .

 x2  x1 

√

nx2 ,

x∞  x2 

√ nx∞ .

·6·







, x∞ =



max |xi |2

1/2

1in



 n max |xi |

2

 x2 ≡

1/2

1in

n 

|xi |2

1/2

i=1

√ = nx∞ .

 .  A = (aij ) ∈ Cn×n   A = (c1 , c2 , . . . , cn ),



⎛

⎞ r1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ r2 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ .. ⎟ . ⎜ . ⎟ ⎝ ⎠ rn

 1.6  A = (aij ) ∈ Cn×n , ,   A ∈ Cn×n  A,  A ,  A, B ∈ Cn×n  α ∈ C  : (a) A  0

(A = 0  A = 0);

(b) αA = |α| · A; (c) A + B  A + B; (d) AB  A · B.

  ,   “”   .      · v ,    · M

 AM ≡ max x=0

Axv = max Axv . xv xv =1

    p –  p – ,  p = 1, 2, ∞.  [44, 61]: A1 ≡ max Ax1 = max x1 =1

1jn

n  i=1

|aij | = max cj 1 , 1jn

·7·



§1.1

A∞ ≡ max Ax∞ = max x∞ =1

1in

 A2 ≡ max Ax2 =



x2 =1

n 

|aij | = max ri 1

j=1

1in

λmax (A∗ A) = σmax (A),

(1.1)

 λmax (A∗ A)  A∗ A , σmax (A)  A 

. ,  (1.1) .  A2 = max Ax2 = max [(Ax)∗ (Ax)]1/2 x2 =1

x2 =1

∗

∗

= max [x (A A)x]1/2 . x2 =1

 A∗ A Hermite  ,    : 0  λ1  λ2  · · ·  λn .

  1.1,  v1 , . . . , vn ∈ Cn  λ1 , . . . , λn   .   x ∈ Cn , x2 = 1,  n n   x= αi vi , |αi |2 = 1. i=1

i=1

 x∗ A∗ Ax =

n 

λi |αi |2  λn .

i=1

,  x = vn ,  x∗ A∗ Ax = vn∗ A∗ Avn = vn∗ λn vn = λn .

 A2 = max Ax2 = x2 =1

  λn = λmax (A∗ A) = σmax (A).

  Frobenius ,   n  n n n

1/2 

1/2 

1/2  AF ≡ |aij |2 = cj 22 = ri 22 j=1 i=1

= [tr(A∗ A)]1/2 =

n  k=1

j=1

1/2 λk (A∗ A) ,

i=1

·8·







 tr(A∗ A)  A∗ A .   · 2   · F 

, .  1.7  A ∈ Cn×n ,  Q  Z,  A2 = QAZ2 ,



AF = QAZF .

 y = Qx, x ∈ Cn .     · 2 ,

y22 = y∗ y = (Qx)∗ (Qx) = x∗ Q∗ Qx = x∗ x = x22 .

   · 2 ,  (1.1)  QAZ22 = λmax [(QAZ)∗ (QAZ)] = λmax (Z ∗ A∗ AZ) = λmax (A∗ A) = A22 .

   · F ,  AZ = W = (w1 , w2 , . . . , wn ).

    · 2 ,  QAZ2F = QW 2F =

n 

Qwj 22 =

j=1

n 

wj 22

j=1

= W 2F = AZ2F .

  AZ2F = A2F .  A ,      · 2 , AZ2F =

n 

ri Z22 =

i=1

=

n 

n 

Z ∗ r∗i 22

i=1

r∗i 22 = A2F .

i=1

2

,    .  1.8  A ∈ Cn×n ,  ·,  ρ(A)  A. 

 x ∈ Cn  x = 0,

Ax = λx,

|λ| = ρ(A).

§1.2

·9·

Toeplitz 

 ρ(A)xeT1  = λxeT1  = AxeT1   A · xeT1 ,

 e1 = (1, 0, . . . , 0)T ∈ Rn  n   1 .  ρ(A)  A. 2

 (1.1)   1.8  ,  Hermite  H     · ,  H2 = max

1jn

 λ2j (H) = max |λj (H)| = ρ(H)  H. 1jn

(1.2)

 ,  .   ·  

, A . A    κ(A) ≡ A · A−1 .

,  ,    · 2 .  κ(A) 

,  A  .  ,  κ(A) ,  A  .   Ax = b ,    .   [44, 61].

§1.2 Toeplitz  ,  Toeplitz ,  Toeplitz  .   n × n  Toeplitz  ⎞ ⎛ t0 t−1 · · · t2−n t1−n ⎟ ⎜ ⎜ t t0 t−1 · · · t2−n ⎟ ⎟ ⎜ 1 ⎜ . .. ⎟ .. ⎟ ⎜ . (1.3) Tn = ⎜ . . . ⎟, t1 t0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . . . .. .. .. ⎜ tn−2 t−1 ⎟ ⎠ ⎝ tn−1 tn−2 · · · t1 t0  tij = ti−j ,  Tn   

. Toeplitz   O. Toeplitz  1911   Laurent 

· 10 ·







 [83].   . ,  Laplace   Toeplitz ,   :

⎞ −1 · · · 0 ⎜ .. ⎟ .. ⎟ ⎜ . ⎜ −1 2 . ⎟ ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ . .. .. ⎜ .. . . −1 ⎟ ⎠ ⎝ 0 · · · −1 2 ⎛

2

 Toeplitz  Tn x = b  ,   b  , x  . Toeplitz   [14, 16, 24, 28, 40, 47, 56, 64, 73],   !   Toeplitz ,  Toeplitz .    Toeplitz  .  ,   Gauss ,  O(n3 ),   n  () .  ,   n × n  Toeplitz  2n − 1   n2 ,  " O(n3 ) 

 Toeplitz .  1946 , Levinson   O(n2 )  [70]. ,   ,   [48, 85, 94].     Tn  (n − 1) × (n − 1)  .  O(n log2 n)  (superfast) Toeplitz   20 # 80  [1, 12, 15].  Tn  n/2 × n/2   . Bunch  [16] ,   Toeplitz    .  ,  Tn    ,  ,   . ,  Toeplitz    .

§1.3



Strang [81]  Olkin [74]  1986 

 ( PCG )  Toeplitz .  ,  n × n  Toeplitz   Tn x = b,  O(n log n). ,  PCG   Toeplitz  20   [24, 56, 73]. ,   Toeplitz     ,  ,     .   Toeplitz   ,  Toeplitz   ( ODE) .     . ,  ( CG ),   ( GMRES ).

§1.3  CG   Hermite ()   Hn x = b 

 ,   [3, 44, 45, 61, 76].  x(0)   (Hn x(0) ≈ b),  Hn x = b  CG  [44] .

· 11 ·

· 12 ·







⎧ ⎪ ⎪ k=0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ r(0) = b − Hn x(0) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ while r(k) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k =k+1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ if k = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p(1) = r(0) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ else ⎪ ⎨ ∗ ∗ βk = r(k−1) r(k−1) /r(k−2) r(k−2) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p(k) = r(k−1) + βk p(k−1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ end ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∗ ∗ ⎪ ⎪ αk = r(k−1) r(k−1) /p(k) Hn p(k) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x(k) = x(k−1) + αk p(k) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ r(k) = r(k−1) − αk Hn p(k) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ end ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = x(k)

 r(k)  p(k) , αk  βk ,  x(k)  k   .   Hn p(k) ,   O(n2 ) .  Hermite ,   1.1   . ,   CG ,     (clustered spectrum)   [28, 56, 73, 88].  Hn  Hn 

.  1.9  Hermite  {Hn }∞ n=1  1 (clustered spectra around 1)  :   > 0,  M  N > 0

 n > N ,  Hn − In   M   ,  In .  1.1.

§1.3

· 13 ·



   1−

0

1


1+



 

?

? -

 1.1  1

,  CG . ,   .  1.10  0 < λ1  · · ·  λn  Hermite  Hn  , p(t)  t  .  v ∈ Cn  p(Hn )vHn  max |p(λj )| · vHn , 1jn

  · Hn  v2Hn ≡ v∗ Hn v . 

 y1 , y2 , . . . , yn  Hn  λ1 , λ2 , . . . , λn

 .   1.1,  y1 , y2 , . . . , yn  Cn  n  βi yi . .  ,  v ∈ Cn ,  v = i=1

v∗ p(Hn )Hn p(Hn )v =

n 

∗

βi p(λi )yi Hn

n 

i=1

=

n 

βi p(λi )yi

i=1

λi βi2 p2 (λi )  max p2 (λj ) 1jn

i=1 2

n 

λi βi2

i=1

∗

= max p (λj )v Hn v. 1jn



p(Hn )vHn  max |p(λj )| · vHn . 1jn

2

 ,    ·    · Hn .  e(k) ≡ x − x(k) ,

(1.4)

  x(k)  CG  Hn x = b  k  , x .

· 14 ·







 1.11  e(k)   min max |pk (λi )|, e(0)  pk ∈Pk 1in

 Pk  k   pk , λi (i = 1, 2, . . . , n)  Hn .



 CG  k ,  

[44, 61]  x(k) : x(k) − x = min{y − x : y ∈ x(0) + K(Hn , r(0) , k)},

 x Hn x = b , r(0) = b − Hn x(0) , K(Hn , r(0) , k) ≡ span{r(0) , Hn r(0) , . . . , Hnk−1 r(0) }

 Krylov .  y ∈ x(0) + K(Hn , r(0) , k),  y = x(0) +

k 

αj Hnj−1 r(0) .

j=1

 x − y = x − x(0) −

k 

k    αj Hnj−1 r(0) = Hn−1 r(0) − αj Hnj r(0)

j=1

=

j=1

Hn−1 pk (Hn )r(0) ,

 pk ∈ Pk .  1.10  x − x(k)  = min{x − y : y ∈ x(0) + K(Hn , r(0) , k)} = min Hn−1 pk (Hn )r(0)  = min pk (Hn )Hn−1 r(0)  pk ∈Pk

 min max |pk (λi )| · pk ∈Pk 1in

pk ∈Pk

Hn−1 r(0) 

= min max |pk (λi )| · x − x(0) , pk ∈Pk 1in



e(k)   min max |pk (λi )|. e(0)  pk ∈Pk 1in 2

§1.3



  1.11,  pn (z) =

n  λi − z i=1



λi

∈ Pn ,

e(n)   max |pn (λi )| = 0. e(0)  1in

 x(n) Hn x = b , 

, CG  n  .   CG  

,  [44, 76].  1.12  CG ,  e(k)  2 e(0) 

√  κ2 − 1 k , √ κ2 + 1

 e(k) (1.4), κ2 = κ2 (Hn ) = Hn 2 Hn−1 2 . ,    ,   [89]  [73, p.16].  1.13  Hn  λj  0 < λ1  · · ·  λp  b1  λp+1  · · ·  λn−q  b2  λn−q+1  · · ·  λn ,

 b1  b2 ,  k  p + q, ⎫ ⎧     ⎬ k−p−q p  n ⎨ (k)  α−1 λ − λj λj − λ e  2 max , ⎭ α+1 λ λj λ∈[b1 ,b2 ] ⎩ e(0)  j j=1 j=n−q+1  e(k) (1.4), α ≡ (b2 /b1 )1/2  1.  b1  λ  b2  n − q + 1  j  n, 0

λj − λ < 1, λj

  1.13 .

· 15 ·

· 16 ·







 1.14  1.13 ,    k−p−q p   α−1 λ − λj e(k)  max  2 . α+1 λ∈[b1 ,b2 ] λj e(0)  j=1  p  q  n , α > 1,  n  λ1 ,  1.14  ,  α−1 e(k+1)  = = c, (k) α+1 e 

 0 < c < 1. , CG    n.  , , α ≈ 1, .  ,   1.15  Hn  λj  0 < δ < λ1  · · ·  λp  1 −   λp+1  · · ·  λn−q  1 +   λn−q+1  · · ·  λn ,

 0 <  < 1,  e(k)  2 e(0) 



1+ δ

p

k−p−q ,

 k  p + q. 



 1.14  α,   1/2  1/2 b2 1+ α≡ = . b1 1− √ 1 − 1 − 2 α−1 = < . α+1 

 0

λ − λj 1+ , < λj δ

1  j  p, λ ∈ [1 − , 1 + ]. ,  1.14     k−p−q p p   α−1 λ − λj 1+ e(k)  2 max k−p−q . 2 α+1 λ δ λ∈[b1 ,b2 ] e(0)  j j=1 2

§1.4

· 17 ·



,  n    .  ,   → 0  n → ∞.    > 0,  p  q  n ,   n ,   λmin (Hn )  δ  ,   1.15   e(k+1)  = . e(k) 

 k  n  n → ∞,   e(k+1)  = 0, k→∞ e(k)  lim

 CG  .  ,  [82, p.13].

 $ ?  Hermite   Hn , .    > 0,  M  N > 0   n > N , Hn  Hn = In + Kn + Ln ,

(1.5)

 Kn  Ln Hermite , Kn 2 < , rank(Ln ) < M . 

 1.3 , Hn  1.   ,  (1.5)  In + Kn  (1 − , 1 + ) ,  Ln  M .  Weyl ,  Hn   M ,   (1 − , 1 + ) . ,   λmin (Hn ) ,  Hn   1.15   .  CG  Hn x = b ,   .  (1.5)   .

§1.4   Hermite ()   CG .  An x = b,  GMRES .

· 18 ·







GMRES   Saad  Schultz  1986 ,  

   [77]. GMRES    [44, 61, 76].  x(0)   (An x(0) ≈ b),   GMRES  [76]  x,  An x = b. ⎧ ⎪ ⎪ r(0) = b − An x(0) , β = r(0) 2 , v(1) = r(0) /β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ for j = 1 : k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w(j) = An v(j) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ for i = 1 : j ⎪ ⎪ ⎪ T ⎪ ⎪ ⎪ hij = w(j) v(i) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ w(j) = w(j) − hij v(i) ⎪ ⎨ end ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ hj+1,j = w(j) 2 ;  hj+1,j = 0,  k = j  (∗) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v(j+1) = w(j) /hj+1,j ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ end ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  (k) y2   y(k) . ⎪ (∗)  βe1 − H ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x(k) = x(0) + V(k) y(k) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x = x(k)  (k) = (hij )1ik+1,1jk .  V(k) = (v(1) , v(2) , . . . , v(k) ) ∈  H Rn×k  ,  k  n.  

,  GMRES  m (m n)    ( GMRES(m) ).

m 

,   .   GMRES .  ,  [66],   k , x(k)   min

y∈x(0) +K(An ,r(0) ,k)

b − An y2

,  r(0) = b − An x(0) , (0) K(An , r(0) , k) ≡ span{r(0) , An r(0) , . . . , Ak−1 }. n r

§1.4

 y = x(0) +

k−1 

· 19 ·



γj Ajn r(0) ∈ x(0) + K(An , r(0) , k),

j=0

 r = b − An y = b − An x(0) −

k−1 

(0) γj Aj+1 = r(0) − n r

j=0

k 

γj−1 Ajn r(0) .

j=1

 r = pk (An )r(0) ,

 pk ∈ Pk , Pk  k  pk (0) = 1  . ,  .  1.16  x(k)   k  GMRES   ,   r(k) 2 = min pk (An )r(0) 2  min pk (An )2 r(0) 2 , pk ∈Pk



pk ∈Pk

r(k) 2  min pk (An )2 . pk ∈Pk r(0) 2

,   CG ,   1.17   n  , GMRES   An x = b  .



 An  q(z) ≡ det(zI − An ),

 q(z)  n,  q(0) = (−1)n det(An ) = 0,  pn (z) =

q(z) ∈ Pn . q(0)

 Cayley-Hamilton  [50, p.86],   pn (An ) =

q(An ) = 0. q(0)

· 20 ·







  1.16 r(n) = b − An x(n) = 0.

 x(n)  An x = b .

2

 An  , An = V ΛV −1 ,  Λ  ,   pk  pk (An ) = V pk (Λ)V −1 .

 1.18  An = V ΛV −1 ,  r(k) 2  κ2 (V ) min max |pk (λi )|, pk ∈Pk 1in r(0) 2

 λi (i = 1, 2, . . . , n)  An , κ2 (V ) = V 2 V −1 2 . 

  1.16

r(k) 2 = min pk (An )r(0) 2 = min V pk (Λ)V −1 r(0) 2 pk ∈Pk

pk ∈Pk

 min V 2 V

−1

pk ∈Pk

2 pk (Λ)2 r(0) 2

= κ2 (V ) min pk (Λ)2 r(0) 2 pk ∈Pk

= κ2 (V ) min max |pk (λi )| · r(0) 2 . pk ∈Pk 1in

2

   A∗n An = An A∗n  An .  An ,  An = V ΛV ∗ ,  V  [50]. 

 κ2 (V ) = 1,  r(k) 2  min max |pk (λi )|. pk ∈Pk 1in r(0) 2

 1.19  An  k ,  GMRES   k  . 

 pk (z) =

k  λi − z i=1

λi

∈ Pk ,

§1.5

· 21 ·

Toeplitz 

 λi (i = 1, 2, . . . , k)  An .   1.18  r(k) = 0, An x(k) = b.

2

 , GMRES   .  ,  [45]  , GMRES  ,  . ,   n × n : ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

0

1

0

···

0

0 .. .

0 .. .

1 .. .

··· .. .

0 .. .

0

0

···

0

c0 c1 · · ·

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠

cn−2 cn−1

 ,   z n −

n−1 

cj z j ,  

j=0

 c0 , c1 , . . . , cn−1  .  ,   r(0)   e1 = (1, 0, . . . , 0)T ,  GMRES   n  [45, p.56] (

 %). , ,  , !  1  .    [61, p.103],   GMRES ,  ODE  .

 1.20  GMRES   An x = b ,  An = I + L,   rank(L) + 1   .

§1.5 Toeplitz  ,  Toeplitz   . .

· 22 ·







§1.5.1  ,  ,    . ,   CG .  CG ,  Hermite   Hn x = b,  ˜ nx ˜ = b, H 1/2 ˜ = Mn−1/2 b, Mn Hermite  n = Mn−1/2 Hn Mn−1/2 , x ˜ = Mn x, b  H

 .  Mn  [3, 24, 56, 61, 73]: (i) Mn ; (ii) Mn y = d ;  n   H  n  Hn  . (iii) H ˜   nx ˜ = b,  CG  H

 Mn−1 Hn v,   v   [44, 61, 76]. Strang [81]  Olkin [74] ,  Toeplitz  Tn , 

 Cn ,  Cn−1 Tn v   ,   O(n log n).  : ⎛

c0

c−1

···

⎜ ⎜ c c0 c−1 ⎜ 1 ⎜ . ⎜ Cn = ⎜ .. c0 c1 ⎜ ⎜ . .. .. ⎜ cn−2 . ⎝ cn−1 cn−2 · · ·

c2−n c1−n ··· .. . .. . c1

 c−k = cn−k , 1  k  n − 1. , 

⎞

⎟ c2−n ⎟ ⎟ .. ⎟ ⎟ . ⎟, ⎟ ⎟ c−1 ⎟ ⎠ c0

§1.5

· 23 ·

Toeplitz 

⎛

⎞ α β

δ

η

γ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜γ α β δ η⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜η γ α β δ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜δ η γ α β⎟ ⎝ ⎠ β δ η γ α

 .     Fn   [41], Cn = Fn∗ Λn Fn ,

(1.6)

√ 1  Fn  (Fn )jk = √ e2πijk/n , 0  j, k  n − 1, i ≡ −1, n Λn  ,   Cn .  Fn∗ Fn = In , Fn . 1  (1.6), Fn  √ 1n ,  1n = (1, 1, . . . , 1)T  n  1  .  1 Fn Cn e1 = √ Λn 1n , n

(1.7)

  e1  .  , Λn  Cn   (c0 , c1 , . . . , cn−1 )T   (FFT) [44] ,  O(n log n).  , (1.7)  Λn   λk (k = 0, 1, . . . , n− 1)

 λk =

n−1 

cj e2πijk/n .

(1.8)

j=0

 Λn ,  Cn y  Cn−1 y  FFT ,  O(n log n).   ,    Fn  F . ,  Tn v  FFT .  ,  Tn  (1.3)

· 24 ·







,   2n × 2n : ⎛

⎞ .. t t · · · t t · · · t t . 0 t 0 −1 2−n 1−n n−1 2 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. .. .. .. .. ⎜ ⎟ . t2−n . t1−n . . . t2 ⎟ t0 0 ⎜ t1 ⎜ ⎟ .. ⎟ .. .. .. ⎜ .. .. .. .. .. .. .. ⎜ . ⎟ . . . . . . . . . . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . .. .. .. .. ⎜t . . . . . t0 0 tn−1 ⎟ t−1 . t−2 ⎜ n−2 ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎜ ⎟ ⎜ tn−1 tn−2 · · · t1 t0 0 ⎟ . t−1 t−2 · · · t1−n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .............................................................. ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎜ 0 . t0 tn−1 · · · t2 t1 t−1 · · · t2−n t1−n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. .. .. .. .. ⎜ . . t2−n ⎟ . . 0 t2 t0 . t1 ⎜ t1−n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ⎟ ⎜ . ⎟ . . . . . . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . .. .. .. .. ⎜t . . . . . 0 tn−1 . tn−2 t0 t−1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ .. t t ··· t 0 . t t ··· t t −1

−2

n−1

1−n

n−2

1

0

 Tn v   ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Tn × v Tn v ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎝ ⎠. 0 × Tn †  (1.6)

⎛ ⎝

Tn

×

×

Tn

⎞ ∗ ⎠ = F2n Λ2n F2n ,

     2n  FFT,  O 2n log(2n) .  PCG

 O(n log n). ,  PCG  ,   O(n log n).  Toeplitz  O(n log2 n)   [1, 12, 15]  ,  PCG .    Toeplitz    [28].

§1.5

Toeplitz 

§1.5.2   ,  —— Toepitz  .   1.13   1.15  ,  Cn   Toeplitz  Tn x = b , PCG   Cn−1 Tn ,  n .  Tn (1  n < ∞) ,  Tn   {tk }n−1 k=−n+1  f  , 1 tk (f ) ≡ 2π

ˆ

π

f (x)e−ikx dx,

−π

 f  Tn . ,  Toeplitz  f ,   Tn (f ) (1  n < ∞). ,    f  Toeplitz  Tn [28, 56, 73]. , — :  f ; —  :  f ; — :  f ; — :  f ; — :

 f .

,  f &,   Tn .  : (i) f ,  n, Tn (f )  Hermite . (ii) f  (f (−x) = f (x)) ,  n, Tn (f )

.  C2π   [−π, π]  2π    .    [46, pp.64–65]  f   Tn (f )   .  1.21 (Grenander-Szeg¨ o )  Tn  (1.3) ,   f (x) ∈ C2π .  fmin  fmax  f (x) 

· 25 ·

· 26 ·







,  fmin  λmin (Tn )  λmax (Tn )  fmax ,

(1.9)

 λmin (Tn )  λmax (Tn )  Tn   .  2πj ,  fmin > 0 , Tn . ,  λj (Tn )  f n (j = 0, 1, . . . , n − 1)  ,  g ∈ C2π , n−1  2πj

  1  g λj (Tn ) − g f =0 n→∞ n n j=0

lim

.  ∗

u Tn u =

 (1.9) .  u = (u0 , u1 , . . . , un−1 )T ∈ Cn ,  n−1  n−1 

tp−q u ¯ p uq =

p=0 q=0

=

1 2π

ˆ

π

−π

n−1  n−1  p=0 q=0

1 2π

ˆ

π

−π

f (x)e−i(p−q)x dx u¯p uq

 n−1 2   u ¯k e−ikx  f (x)dx. 

(1.10)

k=0

 x, fmin  f (x)  fmax .  u   u∗ u = u22 =

1 2π

ˆ

π

−π

 n−1 2   u¯k e−ikx  dx = 1,  k=0

 (1.10)  fmin  u∗ Tn u  fmax .

  1.4,  fmin  λmin (Tn ) = min u∗ Tn u  max u∗ Tn u = λmax (Tn )  fmax . u2 =1

u2 =1

2

  1.21  Tn (f ) ,   .  Tn x = b , .  , ,   .  .

§1.5

Toeplitz 

 C+ 2π  C2π . 

x0 ∈ [−π, π] f  q ,  f (x0 ) = 0, q  f (q) (x0 ) = 0   f (q+1) (x)  x0 

.  Taylor

, &  x  f (x) =

  f (q) (x0 ) (x − x0 )q + O (x − x0 )q+1 . q!

 f ,  q 

 f (q) (x0 ) > 0.    

 1.21  ,   [20].  1.22  f (x) ∈ C+ 2π  fmin < fmax ,  n > 0  j = 1, 2, . . . , n,

  fmin < λj Tn (f ) < fmax ,

 λj (Tn )  Tn  j . ,  f (x0 ) = 0  x0 ∈ [−π, π]  2p ,  n, Tn (f ) ,  0 < λmin (Tn )  O(n−2p ).

  1.22  ,  f  0  2p ,  Tn (f )   .  , Tn   κ2 (Tn ) =

λmax (Tn )  O(n2p ). λmin (Tn )

 n  ,  Tn  . ,  f  ,  Tn (f )  .

· 27 ·



Strang 

“  ,  .” —— [41]

 1986 ,  Toeplitz ,    [24, 28, 35, 40, 52, 56, 68, 73, 75, 81, 87].  Strang  [81].

§2.1   Tn  (1.3) ,  f (x) = ∞ 

Wiener , f 

∞ 

tk eikx &

k=−∞

|tk (f )| < ∞, 

k=−∞

tk (f ) =

1 2π

ˆ

π

f (x)e−ikx dx.

−π

  Tn (f ) Hermite  ( 1.5.2 ),  Wiener 

C2π  [95].

§2.1



· 29 ·



Strang  s(Tn ) , 

 Tn 

 

 . ,  n =

2m + 1,  s(Tn )   ⎧ ⎪ ⎪ 0  k  m, t , ⎪ ⎨ k sk = tk−n , m < k  n − 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ s¯−k , 0 < −k  n − 1.

, 

⎛

α β¯ γ¯

δ¯ η¯

⎞

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β α β¯ γ¯ δ¯ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ T5 = ⎜ γ β α β¯ γ¯ ⎟ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ δ γ β α β¯ ⎟ ⎠ ⎝ η δ γ β α

⎛

,  ⎛ α ⎜ ⎜ ⎜β ⎜ ⎜ ⎜γ T6 = ⎜ ⎜ ⎜δ ⎜ ⎜ ⎜η ⎝ θ

β¯ γ¯

δ¯ η¯ θ¯

α β¯ γ¯ β α β¯ γ β α δ

γ β

η

δ

γ

⎞

⎟ ⎟ δ¯ η¯ ⎟ ⎟ ⎟ γ¯ δ¯ ⎟ ⎟, ⎟ β¯ γ¯ ⎟ ⎟ ⎟ α β¯ ⎟ ⎠ β α

α β¯ γ¯

⎜ ⎜ ⎜β ⎜ ⎜  s(T5 ) = ⎜ γ ⎜ ⎜ ⎜ γ¯ ⎝ β¯

 n = 2m,  s(Tn )   ⎧ ⎪ tk , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 0  tm + t−m , 2 sk = ⎪ ⎪ tk−n , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ s¯ , −k

(2.1)

⎞ γ

α β¯ γ¯ β α β¯ γ β α γ¯

γ β

β

⎟ ⎟ γ⎟ ⎟ ⎟ γ¯ ⎟ . ⎟ ⎟ ¯ β⎟ ⎠ α

0  k  m − 1, k = m,

(2.2)

m < k  n − 1, 0 < −k  n − 1. ⎛

α β¯ γ¯

⎜ ⎜ ⎜β ⎜ ⎜ ⎜γ  s(T6 ) = ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜ γ¯ ⎝ β¯

⎞ 0

γ

α β¯ γ¯

0

β α β¯ γ¯ γ β α β¯ 0

γ β α

γ¯

0

γ

β

β

⎟ ⎟ γ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, ⎟ γ¯ ⎟ ⎟ ⎟ β¯ ⎟ ⎠ α

¯  s(T6 )  0  (δ + δ)/2.  ,  n = 2m + 1.  n = 2m   ,  sm  0  (tm + t−m )/2.

· 30 ·



Strang 

§2.2    s(Tn )  PCG  Toeplitz  Tn x = b , .   1.13   1.15  , [s(Tn )]−1 Tn , . ,   [s(Tn )]−1 Tn  .   .  2.1  f   Wiener ,   · 2 , s(Tn )  [s(Tn )]−1  .



 (1.8)  , s(Tn )  j  m    λj s(Tn ) = tk e2πijk/n , k=−m

0  j  n − 1.  

∞ 

tk eikx  x ∈ [−π, π] ",

k=−∞

   > 0,  N   m > (N − 1)/2,        ikx   tk e  < .  |k|>m 

,  j      m    2πj 2πj λj s(Tn ) = tk e2πijk/n − f +f n n k=−m   m ∞   2πj 2πijk/n 2πijk/n = tk e − tk e +f n k=−m k=−∞    2πj =f tk e2πijk/n . − n |k|>m



§2.2

· 31 ·

   

         fmin −   fmin −  tk e2πijk/n   λj s(Tn )  |k|>m         fmax +  tk e2πijk/n   fmax + ,  |k|>m

  fmin  fmax  f (x)  .  f   [−π, π] , 0 < δ  fmin  f (x)  fmax < ∞,

 δ (> ) ,     s(Tn )2 = max λj s(Tn )   fmax +  < ∞ 0jn−1

 [s(Tn )]−1 2 =

max

0jn−1

   λj [s(Tn )]−1  =

min

0jn−1



1    λj s(Tn ) 

1 < ∞. fmin −  2

 Tn − s(Tn )  .    [31] ! ,  ! [19] .  2.2  f   Wiener ,   > 0,   M  N > 0,  n > N ,  Tn − s(Tn )   M   . 

    Bn ≡ Tn (f )−s Tn (f )  Hermite Toeplitz

,  bij = bi−j  ⎧ ⎪ ⎪ 0, 0  k  m, ⎪ ⎨ bk = tk − tk−n , m < k  n − 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ¯b , 0 < −k  n − 1. −k

· 32 ·



Strang 

 f & Wiener ,    > 0,  N > 0  ∞  (N ) |tk | < /2.  m > N .  Un  Bn  k=N +1

(n − N ) × (n − N )     n × n .

, rank(Un(N ) )  2N .  Wn(N ) ≡ Bn − Un(N ) ,  Wn(N )  (n − N ) × (n − N ) 

Bn  (n − N ) × (n − N )  ,   Toeplitz 

.   Wn(N ) "   ( (n − N − 1) ),  Wn(N ) 1

=

n−N −1 k=m+1

(N )

 Wn

|bk | =

n−N −1

|tk − tk−n |  2

k=m+1

n−N −1

|tk | < .

k=N +1

Hermite ,  (1.2) Wn(N ) 2  Wn(N ) 1 < ,

 Wn(N )  (−, ) .  Weyl  (  1.3), 

 Bn = Tn − s(Tn )  M ≡ 2N " . 2 ,    .  2.1   2.2   .  2.3  f   Wiener ,   > 0,  M  N > 0,  n > N ,  [s(Tn )]−1 Tn − In 

 M  . 

  2.2,    > 0,  N > 0  

 n > N, [s(Tn )]−1 Tn = In + [s(Tn )]−1 [Tn − s(Tn )] = In + [s(Tn )]−1 (Wn(N ) + Un(N ) ) = In + Kn + Ln ,

§2.2

· 33 ·

   

 Kn = [s(Tn )]−1 Wn(N )  Ln = [s(Tn )]−1 Un(N ) . , rank(Ln )  min{rank(Un(N ) ), n}  2N.

,  2.1   2.2  Kn 2 = [s(Tn )]−1 Wn(N ) 2  [s(Tn )]−1 2 Wn(N ) 2  .

,  [s(Tn )]−1 Tn − In  M ≡ 2N " . 2



 ,  n, [s(Tn )]−1 Tn  1. ,  Courant-Fischer 

 (  1.4), Grenander-Szeg¨o

 (  1.21)  2.1 0 0,   M1 > 0   M2 > M1 ,  ∞ 

|tk |
M1 .   .

m  k=M1 +1

|tk | + 2

∞ 

|tk | < 

k=m

2

· 40 ·



T. Chan 

 3.3  f ∈ C2π ,  cF (Tn )  [cF (Tn )]−1   · 2  . 

 Tn Hermite  ,   3.1 (iii)  cF (Tn )

Hermite  .   3.1 (iii)   1.21,    cF (Tn )2 = λmax cF (Tn )  λmax (Tn )  fmax

 [cF (Tn )]−1 2 =

1 1 1    . λmin (Tn ) fmin λmin cF (Tn ) 2

  2.2  3.2  3.3,   .    .  3.4  f   Wiener ,   > 0,  M  N > 0,  n > N ,  [cF (Tn )]−1 Tn − In 

 M  . 



[cF (Tn )]−1 Tn = In +[cF (Tn )]−1 [Tn −s(Tn )]+[cF (Tn )]−1 [s(Tn )−cF (Tn )]. (3.5)

 (3.5) ,    > 0,  n ,  3.2  3.3  [cF (Tn )]−1 [s(Tn ) − cF (Tn )]2  [cF (Tn )]−1 2 s(Tn ) − cF (Tn )2 < . (3.6)

 (3.5) ,   2.2  3.3,   M  N > 0   n > N , [cF (Tn )]−1 [Tn − s(Tn )] = Kn + Ln ,

(3.7)

 Kn 2 <   rank(Ln )  M .  ,  n ,  (3.5) (3.6)  (3.7) .

2

§3.3



  3.4 ,  n ,  [cF (Tn )]−1 Tn  1. ,   1.4   1.21   3.1 (iii)  0