Language:中文,Soft cover,description:Paperback Pages Number: 232 Language: Chinese. "Second-order elliptic equations
499 88 79MB
Chinese Pages [584] Year 2000
Table of contents :
《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》
书名页
版权页
序言
目录页
目录页1
目录页2
目录页3
正文
第一部分 二阶椭圆型方程
第一章 L2 理论
§ 1. Lax-Milgram 定理
§ 2. 椭圆型方程的弱解
§ 3. Fredbolm 二择一定理
§ 4. 弱解的极值原理
§ 5. 弱解的正则性
第二章 Schauder 理论
§ 1. Holder 空间
§ 2. 磨光核
§ 3. 位势方程解的C2.α估计
§ 4. Schauder 内估计
§ 5. Schauder 全局估计
§ 6. 古典解的极值原理
§ 7.Dirichlet 问题的可解性
第三章 Lp 理论
§ 1. Marcinkiewicz 内插定理
§ 2. 分解引理
§ 3. 位势方程的估计
§ 4. W2.p 内估计
§ 5. W2.p 全局估计
§ 6. W2.p 解的存在性
第四章 De Giorgi-Nash 估计
§ 1. 弱解的局部性质
§ 2. 内部Holder 连续性
§ 3. 全局Holder 连续性
第五章 散度型拟线性方程
§ 1. 弱解的有界性
§ 2. 有界弱解的Holder i模
§ 3. 梯度估计
§ 4. 梯度的Holder 模估计
§ 5. Dirichlet 问题的可解性
第六章 Krylov-Safonov 估计
§ 1. Aleksandrov 极值原理
§ 2. Harnack 不等式与解的Holder 模内估计
§ 3. 解的全局Holder 模估计
第七章 完全非线胜方程
§ 1. 解的最大模估计与Holder 模估计
§ 2. 解的梯度估计
§ 3. 解的梯度的Holder 模估计
§ 4. 非散度型拟线性方程的可解性
§ 5. 关于完全非线佳方程的可解性
§ 6. 一类特殊方程
§ 7. 一般完全非线性方程
第二部分 椭圆型方程组
第八章 b线性散度型椭圆组的L 2 理论
§ 1. 弱解的存在性
§ 2. 能量模估计和H2 正则性
第九章 线性散度型椭圆组的Schauder 理论
§ 1. Morrey空间和Campanato 空间
§ 2. Schauder 理论
第十章 线性散度型椭圆组的Lp理论
§ 1. BMO 空间和Stampaccbia 内插定理
§ 2. Lp 理论
第十一章 非线性椭圆组弱解的存在性
§ 1. 引言
§ 2. 变分方法
第十二章 非线性椭圆组弱解的正则性
§ 1. H2 正则性
§ 2. 进一步的正则性.不正则的例子
§ 3. 研究正则性的间接方法
§ 4. 反向Holder 不等式和Du 的Lp 估计
§ 5. 研究正则性的直接方法
§ 6. 奇异点集
附录1 Sobolev 空间
附录2 Sard 定理
附录3 John-Nirenberg 定理的证明
附录4 Stampacchia 内插定理的证明
附录5 反向Holder 不等式的证明
参考文献
与 程组 2
亚
陈
豆 浙
弓 i i i ,, i , T i - _. __ _ _ _ __ _ __ _ _ , ' i
_ _ i
方 程
巨型 方 学圆 型 数 戈椭 圆 1 现 阶椭
二
\ l
\
i
2 J4 ,8
6 " l
扯
E1
白
、斜
择
i
, l9
9
i
i
一
_
t
i
-
iilli' • •
_ _
酝
i
-
lI a ` d '
' ! '2,U, ' 冒刀看 芍
"' ,
• "'' ' ' ' 一
'心..
八�,
"
.
一 口
1
一 一
-
i
』
,
_ II, . I t I - 严 . li' :l 己I 七苍召七 乍E, L 但乍,七 _ _ .. 一 _ _ _ _ ·'_
、
)丿1/170/7 否
内
容
闯
介 “
“
本书是作者根据1'85年在南开数学研究所举办的 偏微年 活动中授课 的讲搞,井吸取了当时来访的国外专家讲学的最新内容编写而成的 . 本书共 分两部分: 第一部分全面介绍二阶椭圆型方程Dhl,hl"问题的各种先 验估计方法,包含近年来出现的最新技巧,井讨论线性方程、拟线性方程以 及完全非线性方程Dlmhl« 问题的可觯性;第二部分介绍线性和非线性 椭圆型力程组Dm,hloO 使得当µ�fl. 时,非齐次Dirichlet问题
t· u
存在唯一的弱解.
十
一
µ. u - T,
(2.9)
g E Hi(lJ)
证明.由弱解的定义,与间题(2.9)相应的双线性型为a(u, 11) +队:u, ti)L (Q). 弱解“满足 2
(u,11)+µ(u, 心一(T, 份,Vv E ffl(O), 一 g EHi(o),
r u
这里(u,11为全(u ,II)L (Q). 现在令“ 2
于寻求zu E H�(Q), 使其满足 •
, i
'
一
u
一
(2.10)
g, 则问题(2.10)等价
.,.
a(w,v) +µ(w,v)0 = (T ,v) - a(g,v) -µ(g,v)o, (2.11) VvEH�(Q).
由引理2.1与2. 2, 当
µ
�µ 时a (w , v) +µ(w , 心是Hi(IJ)
上的有界强制双线性型,不难验证(T, 吟一a(g,v)-µ(g,v)。是 Hi(D)上的连续线性泛函. 由Lax- Milgram定理方程(2.11)存 在唯一的解w E H�(Q), u = w 十 g即为问题(2.9)的弱解.
§3. Fredholm二择 一 定理 Fredholm二择一定理在Banach空间的表述如下:
定理3.1. 设V是赋范线性空间, A:V--+V是 一 紧线性算
子,1是V的恒同算子,则只有以下两种可能发生: (1)存在XE V, X 兰 o, 使得x- Ax = o.
(2)对于任意y EV, 存在唯一的XE V'使得 x- Ax = Y.
在第二种情况下(I-A尸是有界线性算子. 此外,我们还可得 到: A的谱是离散的,除0之外不可能有其他极限点,每 一 特征值 的重数是有限的.
这个定理的证明在泛函分析的教科书中都能找到. 下面我们 将把它应用于椭圆型方程的Dirichlet问题.
定理3.2. 设L与9满足定理2.3的限定,则问题(2.9)只有以
下两种可能: (1)对于任意TEH飞Q) , g E H1 (!J) , 问题(2.9)有唯一的 弱解.
(2)存在非零u E H�(/J), 使得Lu 队u,11) 一 o, V11 E HKQ)).
。
十
µ.u
一
0(即a(u, v )
+
此外,使第二种情况成立的µ是离散的, 只能以 00 为极限点,
对于每一特征值p,, 相应的特征函数空间是有限维的. 证明. 不妨设g == 0 (参看定理2.3的证明). 对于固定的
uE:L1 (Q), (u, •)。是H氐(fJ)上的有界线性泛函,因此存在有界 • 6 •
线性算子P: L 2 (Q)
-'JI,
一
H l(!J), 使得
(u,v为= (Pu,v), VuE L 2 (t:J), vEH氏(O). 设1是由H长Q)到L 2 (Q)的嵌人算子,由引理2.1的附注与上 述的事实,我们可把(2.9)写成: 求u E H�(Q)使得 巨+ µ PI u = T. 定理2.3的结论说明必存在fl>
o,
斐得(L
(3.1)
+ ,aPJ尸存在,且
为H飞SJ)--), H从Q)的有界线性算子.记G=(L+µPJ)飞将 算子G作用于方程(3.1)之后得到 U
一
(µ-µ)GP lu
一
GT.
(3.2)
方程(3.1)与(3.2)是等价的. 由于HKQ)到L 2 (Q)的嵌人算子 是紧的,因此GPJ是H�(Q)到其自身的紧线性算子. 现在对方 程(3.2)应用定理3.1立即得到所要的结论.
钰弱解的极值原理 极值原理有多种证明方法,De Giorgi迭戊与Moser迭代是 两种常用方法, 它们也是目前偏微研究中的重要手段. 本书将在 不同的地方加以介绍. 这里我们采用De Giorgi迭代方法. De Giorgi迭代往往归结为如下的引理: 引理4.1. 设叭t)是定义于[从+oo)的非负非增函数,当 h>k�k。时满足 C
叭h)�
0 (h - k.)
其中a> O,{J >匕 则有 斗i(如十d)
这里
l
一 0,
d = C ;.[叭知) ]
(4.2)
, 且一 仁 a
2
(4.1)
·.
(4.3)
` {
, ? 一 . 可
证明, 定义数列
[cp(k)]fl,
d 七一知+d-� 2'
(s
0,1,2, ···).
一
条件(4.1)给出了以下递推公式 q,(k,+1)�
C
2::
1沁
(s
[叭k,)]fl
一
O,l,2, ···).
(4.4)
我们将用归纳法证明
( $ 一 0,1,2, ···),
叭 k,)� 迅炉 r'
其中r > 1待定.设不等式(4.5)对于
假设
礼,)�
C
2::
1)a
k时
k)飞当h>k时 [!cpllt z *�(h
应用引理4.1, 则有 A(ko
+
。
时.
— k) I A(h)凡
“ (CF。) IA(h)I� i"* I A(k.) I (h 一 k)
• lO•
当 k�k
亚动
P(,. -2)
d)
.l
, 当h>k�k。时.
一 o,
(4.16)
其中 d 这样
一
C和A(k。)
。
l
1
ess sup u�k +d¾k
石
!!皂 -1·Zic11 一 •>. 1
。+
CF
。
IOI
了1 一 .l,,
(4.17)
•
为估计从我们分两步进行. 第一步:由于 和A(k)I�! 因此只须取
心X
D
==
!lu((i•,
~
。
K �(2C) 飞 llu肛且心�sup仗, ctD 必有(4.15)成立.由(4.17)立即得到 ess sup u�sup u+ o ao
+
C
!lullL气co,+
。
CF IDI
1 1 百 一下
•
(4.18)
第二步:由(4.18), 我们知道“有本性上界,但我们必须进 一 (u 一 步去掉(4.18)右端的第二项.记M = ess sup u 一 J, V 一
"i) + . 我们将考虑函数
印-
1n卫-½:_s._±_ 互 M + s +F。 一”
(4.19)
了 所满足的方程,其中F。 一 F 。 IJJI 入 6 是在意正数为此我们取 l
l
检验函数
" 一一 E HKD 中一 . ·-- ------严二 ). M+
七十几
一
”
(4.20)
类似于(4.10), 我们有 a(u,肛使(4.15)成立.于是由(4.17) ess sup正至sup u+ ao
注意到M
一1
一
ess sup
+
矿一
+
(1一勺) (M
CF。心I
-1_-J n
-t-s+ 沁
•
sup矿与e的任意性,我们立即有 8D
ess sup u�sup旷+ CF c)f}
。 I'11
l
l
石一石
•
定理证乳 附注.如果关于L的系数的条件(2.2)加强为
芝 II b II LP(D) +芝 i
!!J i ll 让(D>
+
(2. 2)'
lie [ILp/a(!J)�A,
其中p> n, 则定理4.2的结论(4.9)中常数C只依赖于n,p, A/勺
与D, 而不依赖于凡礼
例如
J
的具体形式与l&J I的下界.
o, 我们可证明 {心妇+归D;cp + C 忖}叫
事实上,对于任意
IL
C
8
>
切
O n
t' 1
IDu(r,r)I�C[u]_
ER
允
(Z) fl是某 一 ”重指标,则存在C
一 C(n,a,p)使得
[D'十1u]. �sup[DD�u(x ,, r)]! �C [D fl十l u 1 a '
一
. (2.9)
T>O
(2.10)
l DD fl 小K表示关于工变量的Holder模. 其中Dfl十 证明. (2.9)是引理2.2与引理2.3的直接推论. 不等式(2.10)的第 一 部分是显然的.事实上对于l>O I D� +1 u(x ,1) - D�+lu(y ,1) I lz-yl"
�sup [D, 1 u]七 r>o
令.t-+O, 则有 • 24 .•
欢
[D沁la�
[D沁比
+
现在证明(2.10)的第二个不等式.令y ==- x
k, A,u
~
一
u(x
h), 则 IDD位(x, 了)一DD位(y,r)I IDD只(u�.A.,,u)(x,r) I ..........__...--._,,,, IDD!(u 一 A 矗 u)(x,r)t�C [D 8+1 (u 一 A 矗 u)lo,
一
一
最后的不等式应用了引理2.2的(2.7) (当K 此立即可得(2.1 o).
§3.
位势方程解的
2
c ,a
+
一 1, a= 1时).由
估计
由§2知道,关于解的Holder模估计可简化为其磨光函数 的微商估计,因此我们首先需要位势方程解的微商估计公式. 引理3.1. 设u€ c•(R•)且满足 一 Au 一 I, 其中A是Laplace算子,则对于任意R > O, 我们有
"
ID;u(元) I�- osc u R环(雾)
+
.(i
R sup I/ I BRcr>
(3.1)
这里osc u表示”在9上的振幅. 证明.不妨设工为坐标原点,并记F
!
,
叩 (D
心心 一 \ aa
_ p彝
一
I
-沪 另 一 方面
J•.
A(D;11)d:r
,.
出
8p
.
-
t
足0
。 一 sup I fl. 由Gauss公 BR(d
妞坚心 Br
1 a·-v-·I;; lp'一 f 劝 iw,=I
一 1,2, • ••,n),
(pro ) 如 D;11ds].
Au cos (r, 尤,)dS ., 2,,- •
,.. - !
jcos(r, r;)dS.
联合上两式,我们有
I..
士嘉. [产
勺
D;uds].,.; nw.F
。,
其中o霹是“维单位球体积.. 不等式两边关于P从0至 到 士
r 积分得
[r•-• ts, D;utlS - nw D,u(O)] .,.; nc,,平 彝
不等式两边同乘以r 广l 之后再关于r从0至R积分,则有 士
整理后得
[t, D1u心
一
心(O)I.,;: RF。十1 .;;; R几十
心D 心)
1�
心丸
左扫炉叫
1
石
�RF。十工。 SC R B
If ••• 关于x, 口微商两次后得到 -.6.D屯 (x,-r)
一
o.
D芍(x,r) 应用引理3.1(限制上式vi 为DD 怎 ),则有 IDD汪(x,, t') l 冬 C {�osc DD改江) + R sup ID节1} BR 心 R BR(Zu>
}
�C { _!__ 一 [DD :c u]: +'R sup I D2g I• RI ” BR(zo> 我们取r�R, 应用引理2.1与引理2.3的推论(2), 则 1 ” 一1一0 了 sup·I ti 产 "IDD泣(xo,r) I�C 一 。 [D丸+ R-r ' R
(— 一
一
BR丘(叩
)•
现在取R Ni-, N待定,又应用估计(3.5), 则 一 廿勹DD泣(x0 ,r) l�C{Na 1 [D2u 1 a + N l+a l/l ai}• 应用引理2.3的推论(1), 则 一 [D2u ] a �C sup r 1 fll JDD泣(允o, r) I 1'> 0 1toE'R 11
�C{Na l [D 切 L + N1 + .. [几}. 一
一I
选取N充分大使得CNa
_!__, 则得到所要的估计(3.3). 2
..., _
我们很容易将此结果推广到常系数椭圆型方程 D;;u 一 I,
-让
(3.6)
这里遵从求和约定.假设常系数矩阵(a;;)满足 1
,t I�1 2�a 1 �;�; �A_I汗,欢ER•,
.
_
(3. �)
其中A�l > O. 定理3.3. 设u E C�·"(R 娜 ) (O 0时,
Lt
一 �C[R0 1[DD 怎 1t1 ]0+ R-r-2 sup 与定理3.2的证明类似,取R 分大,则有
山
L
一 Ni-, 利用引理2.3, 然后取N充 BR+I' o, 一 a'iD;;z + b'D;z > 0,
在9内,
则关于切的微分不等式(6.4)就化归为(1)中所讨论的情况.不妨 设9包含于0 l, 可测函数称 ZJ1.t
为属于弱L'空间(记为L!,(Q)), 如果 inf {A I邓t)�,-pA P 冲> O} < oo.'> (1.4) 叩心 (Q)
一
. .., .
一
这里需要注意n·11 L1�(JJ> 不是范数此外L!(D) L气切, 事 实上由于llf心一inf{t\l凡) = O}, 因此当t�\)fl匕时儿位)一 o, 当t < lllllc:io时加) > o, 由定义(1.4)则有llf II 心一 Ill 11£ ID • 此外可以证明 (1.5) L'(!J)�L!,(D)CL9(0), Vq < p, q�1. 事实上对于IE L P (Q) r·· 由(1.4)
r'meas.A.,(f)�
, :,,.';
、
L.
lf(x) I Pdx�1 [J·. 1/(x}l'上
lit I L , �Iii II 止 又如果f E L!,(D), 由引理1.1(1.3) u,
J
/1
If If心一 q �q
CID
f f 可A,(f) I tlt
J>·-! A,(t) 0
冲+贮,•-•\ A,(f)由
�q I D I + Ill II {t, q
。
J: “ 五 一
O使得 IT{f + g)(尤汁 �Q(ITf(元) I + ITg(元) I), . ·: . · (l.6) Vf, g E L'(IJ), a.e.D. 拟线性映射T称为强(p,q)型的,如果存在C>O使得 IITfllLq, Vf E L'(D). � . , ·...,_:
,宁O(Q)
. i3r
IITllc,., 》 一 sui HTf tli.q/ lff 11£,,,. E: L
T称为弱 s} .,;:; meas {x E !J I I T f心) I>
+ meas�x E O 11 Tf心) t,> l
._
\
.
如果q < oo, 由(1.7),(1.8)与(1.9) 我们有 压(s).� (2QB 汇妇l_ sP 又由引理1.1 j11
ITf\'dx
一
+
. -�. . 七. �. ...` ,卜...
吵 _.一$
(2QB 况凶 . s'
一
+
!'
lfl>1',
0
lfl'dz
叶: ,,-, 一'ds L, .... IfI•.r.
(2QB,
(2Q /-? 冲 十 (2QB9
(l.�)
.
)�rs' •1 心) ds
�(2QB ,, 叶气 rs 广 广,叫'、
一
妒
i
Q
叫
If I 中 11
r,1/T 0
-
户劝
1
,.`
..
'
• If l•dr} lf1/1',-d . .... ,十 1
.•
尸 宁
.. 45•
-[毁必丫 p一, 十三r• r
取
Y
一
一
p
q
r
一
喟D
lfl'd 石
(B�B ;t)•i�C T II
,
!
00
定理证毕.
§2. 分解引理 1 引理2.1. 没f�O, f E L (R 爆 ), 则对于任意固定的 a> 0, 存在两个集合F与9使得: (i) R" FUQ,FnQ (ii) f(x)�a, a.e.F,
一
u
欠== 1
Q .t'{ Q .t}是两两不重叠且边平行于坐标轴
的立方体,满足如下估计 o< 其中
扣阳) dx�2 飞
(k
一 1,2···),
(Z.1)
加心一忒加扛
证明. 分解R"成等立方体网,其边长如此之大,使得对于任 意这样的立方体Q'都有 • 1ft•
王乙
(iii) {} -
一¢,
七 fdr�a. ,这是 一 定可以做到的,因为JR•/(X)心有限.将每一
er
又等分
成2• 个新的立方体Q勹此时可能出现两种情况: 情况1• 情况2.
t
f
O"
Q"
f d�
�a,
f心?>"`,产
当第二种情况成立时,我们选择这样的:__Q"为引理叙述中的立方
体Q ,t 之 一 ,对于此立方体,(3)显然成立,因为 a
< ,, fdx¾
扣
2
一
.\Q'I
fo ,
fd:r�2飞.
如果第 一 种情况出现,则继续剖分,直至情况2出现为止,然后定
一
义9为上述步骤中使情况2成立的所有立方体Q ,t 的并集,而令 F
R•\IJ. 这样,断言(i),(iii)显然成立.现在证明断言(ii).
对于任意“凡必存在这样的立方体列 {Q 扣·-,, 使得 rE 礼IQ,1--+0, 当�-. CX) 时 且对于每 一个
Q,
第 一 种情况成立.由于f可积,因此
i
/($) - lim -,;,;1 —- -·_ f (y)dy, a.e.-i.
, ... I Q,1°,
由此知道
f( 元)�a, a.e.P.
引理证毕.
由引理直接可得到
•. ; 炉
ID I�-1 11111 凶记).
事实上池(2.1)知
. 子
·
101 - .',E 如<笘 "• 1
�L舟 '""气- 11,n山记).
. ., .
上面的分解引理是属于Calderon与Zygmund的,它对于奇
}异积分算子的研究是十分重耍的,而且已成为测度论证的基本方 法(参看第六章§2).
§3. 位势方程的估计 人们熟知,Laplace方程的基本解为 I'(x)
.
(3.1)
f(x - ;)f(�)d;.
(3.2)
1
一
lxl
n(n一 2) 也,
1 一
霄
2
一对于f E C ;(If;)·, 考虑以f为密度的Newton位势
i
气===
满足
Rn
引理3.1. 没f E C0(R汃则Newton位势w E C 00 (R")且 ,-Aw 证明. 将(3.2)写成 叭x)
一
00
一
1
(3,3)
J, Vx ER•.
R,,
f(;)f (x - {)歧,
不难看出"'E C (R"). 应用分部积分公式 A叭x�
一
--i )Rn
f(g)A臣-�)兵 R
n
压 (x)
- lim 邕
-+O
8�;
8�;
L,,.., v, C;) 如 r
- -,:丹 再 一 次分部积分后得
旦 r(g)且臣-
I
Iii==•
从r(,)f(x
上面我们用到了Af(的一0 (当
l;I
一
;)d;
(x - g)Jg,
�)立tlS.
l�I
9;= o时).由r(�)· 的表达
式(3.1), 不难计算上述极限得到等式(3.3). 现在将( ii) 写成印 一 Nf, 其中N是C0(R•)至C 00 (R•)的
线性映射. 对于固定的i,j(l�;,;.�n)定义 多节·
其中加表示微分算子 的线性映射. 引理3.2.
Tf
一
, 8x;ax; 守
(3.4)
D;; 对,
潭 T也是由 C0(R•) 至c-(R )
T是L 2(R")至L 2(R")的有界线性算子,且 (3.5) IIT lb,2, �1.
证明.先设f E C0(R露 )油(3.3), 对于任意球肛
一
w LR f'心一!BR心) 2 =�L. D;; D;;wdz,
B从0)'
对上式右端两次分部积分后得
上R f'dx - LR 匀 (D叩)沿 干 -D 叩 + j R�D,w(D;;w R 叩
BB
现假设
I
的支集sptfc B Ro , 对于R > 2R。,当x E aBR时 也叫�J
ID 切 I�J
BR
。
BR
。
ID;T(x气) II 阳)
此等式蕴含墙
JR . 习
1 必勹胚
C ID和 - 切l阳)1农21息 1 忒芯 其中J只依赖于“ 墨
• 鲁9 •
证明. 利用中值公式
!
I Di;f(X -�) - D凇),"
l:r 1;;;.,,21 t·
¾l
I z1;;;,,21仑 1
±!D; 九 r(x一区) 11 ;, I心, ot=l
其中O
叶� �J!lfll
利用(3.16), 我们有
止
切 (f)�I沪+ meas { x E F* I I T扣) I>
�(41
+
O使得 a;;g ;; ; �.t I f I飞\/xEO,gER 籍 ,
习 l!a jj ii
仁('1)
+艺
a;; EC (ll)
!lb; !IL 气 SJ)
(i ,i
一
(4.3)
+ Uc IIL °" cD>¾A,
(4.4) (4.5)
1,2, · · • ,n).
这里的估计方法与Schauder内估计的方法相仿. 引理4.1. 设方程(4.1)的系数满足(4.3)
。
一 (4.5).
则存在仅
依赖于n,p,A/l与a;; 的连续模的正数R �1, 使得对于任意 0 < R�R,,如果BR 仁 Q,uE W沪(BR),l
s;; C
{_!_ llfllLP(B > + R-1!1ul1 入
R
让(BR >},
(4.6)
其中C依赖于n,p,A儿 证明不妨设入 一 L设趴的球心为石.用凝固法将方 程(4.1)写成 其中 }一f • 54
停
一 a ii (x。) D;;u 一 f,
+
(a;1(尤:)一a ii (x0 ))D;;i.『- b;D,u 一&M•
(4.7)
关于常系数糙圆型方程(4.7)有类似于定理3.6的结果,飞比 ijD 1 u.:L,'¾C !!fiJLt', (4.8) 其中C只依赖于n,p与A/ l ,..l = 1. 记a;'的连续模为 w(R)= sup Ja ii (x)-a ii (y)I. (4.9) l Yi..;;R t...;i .;...,;;n 由假定(4.5)当R _.. 0时,w(R)� 队由(4.8)可得 II 庄 ullLP�C { llfllL t, 十 w(R)[ID切胪+ !Ju胪叶. 1 取R。> o, 使得当O O}附近为零,又满足方程 则
一/::,. u 一 /,a.e.B:,
(5.1)
1lD2uJI LP(B炉 �C 11/1, •11,.PcB;>'
(5.2)
其中C只依赖于n,p. 证明.令 ,., 一 u(x'凸),当:r. �0时, 一u(z', 一心),当x },
(S.4)
l
其中C依赖于n ,p, A/ l, dist {!J',aSJ\S}以及a;; 的连续模. z
最后我们可得到 w 鲁P 全局估计. 定理5.4. 设砬属于C出方程(4.1)的系数满足(4.3)一
(4.5). 如果uEW气o)nw沪(D)且在9内几乎处处满足方程 (4.1), 则 2
llu!I w ''c1J>�C
{_!_l llfll
让 cD>
+
llull 让 CD)},
(5.5)
其中C依赖于n,p,A/l,D以及a•i的连续模. 这里我们必须强调,
w 2 ,,
估计依赖于砂的连续模,因此在
应用时必须特别小心. 附注考虑非齐次边值条件 u 其中
cp
一
中,在迎上,
(5.6)
E W攷D). 如果u E W2•1(IJ), u 一 q, E W�·"(O)且几乎 • 57 .• ,.,
』
..
'
处处满足方程(4.1), 则称 U 是Dirichlet问题(4.1), (5.6)的解(或 称为强解). 如果记
Jlcp II w2一7,•t-= inf{j] j E W 2 • 心),
+ lluNI] 让(D)), 其中tJ'c 仁 !JU�,c与N无关. 由估计(6.1),对于任意N·,N', sup luN - UN'I�sup lq:,N -中N''• 因此 UN 一 致收敛到某一函数u E C(D), 又由w 2 ., 内部估计 与对角线序列法,{u对可抽子序列在W,�双!J)意义下弱收敛 到u, 因此uEW诏(JJ) n C(D), 引理的结论由(6.5)可得到.
吓
现在考虑椭圆算子类 豆一江IL a叮)ii+ b i D; +
一一
满足(4.3) 一 (4.5),c�O}, (6.6) 其中(4.5)改成: l:c 翌总忖心)一a ii (,y)\�oo(R)(l�i,i� 立 当
R-+
C
胪时,叭R)�o.
1 定理6立如果对于任意LE立,otJ E C '1, Dirichlet问题 (4.1),(4.2)属于W2 •P(Q)(l < p < 00)的解都是唯一的. 则对 � ��1
于任意有界区域Q
,atJ E C汇间题(4.1),(4.2)的解u E W 2 '11(0)
必有估计 C
!lu\lw1、P(Q)�- Hill 让 (Dh A.
(6.7)
其中C只依赖于n,p ,A/l心以及w(R). 进一步可证:如果/ E L"(SJ)(l < p N
+
\]uNl] 让CD>}
+ C,
其中C与N无关,当N�2C时,则有 II uN !lw1 ·P�C. 因此存在IIN 的子序列在w 2 ·P(O)中弱收敛于某函数uE 2
w · 心), 同样a如妹,CN与坎也有子序列满足(6.2), 由此不 难验证uEW叩 co)nw尸(iJ)且满足Lu 一 0, [lu加一1'但 由定理关于唯一性的假定,上面事实是矛盾的. 于是(6.7)得证. 其次证明W
2iP
解的存在性. 同引理6.2证明的第一步一样,
考虑近似间题(6.3), 由于 ao 属于C心必具有外球性质,因此由 第二章定理7.2, 问题(6.3)存在解UN E c 2 ·�(iJ) n C (.D). 我们需 z
2 要证明UN E W ''(iJ), 那时可用w ,p全局估计,定理的结论垂
手可得. 为此只需证明压在每 一 边界点附近属于wz 人设工” ao. 由假定 aD EC沁设 V 与中是第 一 章定义5.1中的z, 的邻 域与映射. 我们可以磨光oBt的角点,因此不妨设8Bt充分光 滑. 令y一叭(%), 记UN(-y)一UN。心-l (分, 则沁满足方程 一政D,心+妗Dr沁+ cN 如= JN, • fO•
共中 砍一a 卢少丸,'6; 扣扣 CN
对于q
一
一
z==
i a�fy, 朊祝
CN呻飞fN
=压 O
+ b 豆杻
贮.
妇
max{n, 叶,伈E£i(Bt), 由定理6.1, 引理6.2, UN E
w2 ,q (Bt), 变换回变量x, 则压在x。附近屈于w 2 飞因而
属于w 2 .,, 这就是我们所需要的.定理证毕.
虽然定理6.3巳经得到了w2 ,, 解存在性的结果,但它是在唯 一性的前提下证朗的.当p�n时,由于有定理6.1, 可解性I问题 巳彻底解决了,但当p'其中q为任意�2整数虽然计算较 繁,但基本思路是Moser迭代 • 6ti •
在
(1.12)
中取检验函数中
一
妇 UJ 内(q�1), 其中CE c;;(B石),则
\
;B汀
妇切卢a;iD;wD 叩 ¾2q \
.'B..,
'
'五1 2 � 一炉D;吵; 1.."11 dx
(1.15)
_ .. ,
十}如u尸a ii D;wD心dx. B(I
., 1:."..
利用Young不等式
2q \ W \ Zq 一I � 2 q - l泸+ (2q)归, 2q
一,' �
于是由(1.15)可得
上\尽a•i伍卢D;wD;w�(2q) 2 叶砂 D;wDi�di Ba 2q Ba 十
勹 4q
+ 4q
I
C
2
Bu
l a i1 D;wD; 切心 I 切勺 '
Bu
i
.
'
'
俨
'
;,
吵上D;CD沁心,
整理之后并应用正定性条件(1.2)与估计(1.13), 我们得到 A.
j
B (1
,2 I 切 \ 2 "!D砂dx�CA(2q) 勺
+
I 6Aq'l
Ba
(1.16)
凇丙ID 奸dz,
其中C与q无关.对于B�l,r>O,o+r¾ 行取从工)为关 于凡与Bo+� 的截断函数,即
!;EC;'(Bs+'I"), O�{�l,
.
I
,
-·
.
3
2, '= 1当xEB�, IDCI�---,--., t'
今
注意到(应用Cauchy不等式与Young不等式) 2 ID(和叫 2 ") I�2q和叭 Z f甘D-\w I I + 2?;1Dtl lw 1 ' �,2 1切尸叶Dw 12 + ,2c2 1 w I 2q-2 + 4-r-l \·IQ心 2 2 2 ¾C2 lwJ2tJDwl2 + ?;2 \11112, + , q , + 4-r-1lwl f; 则由(1.16)司得
I..
ID(甘lw户) I d.x .a;;; C (2q) 2 • +
c .. --.,. J•.
行
. ., .
lw l 2 •d.r,
�
其中 C只依赖于 m A/l与(a - 1)飞
记
,
忙-=
n一 l
Sobolev嵌入定理,则有
(J., iw 严心 ) 取 q;
¼
,s;; C(2沪 +c 心忆
一 K. , 。 一 a,lJ; 仁1
8
a-1 0;_1 -一 i
-==-
(\
两边同时开长 ;
¼
2
�C(..)•o
n
2 (1.2)' a;(x,z,11) 11 ; �l11 l 2 一[µ(z - k)+J -旷, -b(x,z,11)sign z�A[闭+µ(z - k) + + /]. (i'. 7)
则定理仍然成立. 附注3. 如果结构条件(1.2)改为 a;(x,z, 心.,,; �I.,, I ""
- g"" ,
其中i-> 1, 其它结构条件、弱解的定义作相应的改动,那么也有 类似的定理成立. 以上附注请读者作为练习证明之.
§2. 有界弱解的Holder模 估计的方法类似于第四章§1, 但是这里所讨论的是相应于非 齐次方程的情况,此外在结构条件(1.3) ,(1.4)中我们可以看到b 关于凡的增长阶比I叭高一阶,这种增长阶条件称为自然结 .. 构条件,因为不符合这种增长阶条件就存在相应的Dirichlet问题 无古典解的反例. 定璞Z.1. 设方程(l.1)满足结构条件(l.2);(1.3)与(l.4)'
•,a'
u E W 1 ·2(B心是方程(l.l)在凡上的有界弱解,对于某q> n, 设 2一 l 一三 (2.1) F R f IIKIILq 十 R 气 lit + g2 lJ£t < oo,
。-
则对于任意p>O, .0
,, .
[f 压 由 叫,
l
4 m上l
..
o, 使得对于任意0e-A 飞由弱
(2p+l}e-Au]
(lD叮+ f)芍
一
(2P+1)e
一 Au dX.
然后通过与定理2.1类似的计算可得对于任意p > ess
·�r
即 ess 1�: u;::,,
一 五 •,;,;;; C
囚 矿叫\
¾凡 ; 叫
;,. ½ 甘
一
B,
u-•dr •
!
o,
-}
B,
U•d r
-t ]
u
矿 dx
i
]
与第四章定理1.3相同,为证定理,只须证明存在p卢>
炉 olwldx�C,
其中w
一
J
fJ - lnu, 现在取检验函数 Ba
口开D叮dx
1, 取{(元)为BR(动上的截断函数,其中R=- N飞 仁(心满足
c E c;(BR(心),知a) 一 1,
IDtl
det(-D切dx.
啪九,a;;; :
在上面取极限过程中应用了
det(-D'u)d
平.
Vm 心在C(立)上收敛于 tis'
(12 6) 这是
应用Sobolev嵌入定理的结果. 注意到rts crt并在(1.26)的
左端令8--...0, 则有所要的估计(1.20). 现在我们来讨论椭圆型方程 Lu 一— a iiDi;u + h;D;u
假设系数满足以下条件:
+
(a i )�O, 在9内, i
江卢 I
霹
L (D)
C�0, 在9内,
cu
一
,;;;;
t.
(1.27) (1.28)
B,
(1.29) (1.30)
其中勿 * 一[ det(a吟]飞 先考虑如下的特殊方程 L u 一- 让D;;u
。
。
一
,.
定理1.8. 设 u E C(D)n W识(tJ)'
L u�f, 系数a ii 满足条件(1.28), 则 • 104•
(1.31) 在9上几乎处处满足
骂p
u (s),,:;;;;
j+
d
s�f u (元) +�11-�\\口(中,
(1.32)
其中v = u - sup u(x). elf}
A
一
证明. 不妨设不等式(1.32)的右端是有限的. 现在记矩阵 (a;;), U (-D切,由引理1.1'在几上几乎处处有 u�o,
一
应用算术平匀值与几何平均值的不等式,我们有 -a ii D ;ju
1
= Trace(AU)�n [ det AU]• =n 勿 *[det(-D 2 u)] s , a.e.x Er九
因此在ri上几乎处件有
冗· det(-D 2 u)--c:::::
l "纫 *
f十
[—沪D;iU] < --. * "勿
应用定理1.7立即有所要的结果. 最后关于方程(1.27)我们得到如下的 A leksandrov 极值原 理: 定理1.9. 设 u E C(fJ)n W记(Q)满足方程Lu�I方程 (1.27)的系数满足条件(1.28),(1.29)与(1.30), 则
叩 u ,,-;
s荔r u
+
+ c\l
卢t
气 r,,
其中C只依赖于n, B与diamfJ. 证明. 令v = u 一 sup u飞由于Lu< a!)
-砂 D;;v�-b;D;v 十 l 其中b是向量(b '护,
(1.33)
,
I,
f�I Dul lbl
则在
+
r:
上有
f+,
•,h"). 应用Young不等式,可得 一1 --T -. , ] -让D;it/�[ I b I ,. 十µ一 "(f +)于[!Dul 口 +µ. IO
降
其中µ是待定正数. 记 g(p) 上式可写成
一 [}pl ¼
II
亡l
+
彝
·
IJ
"'亡 ]·-·,
霹
1 啊
一砂D i ;u• [g(Du)] �[ I 6尸+尸矿) ] .
(1.34) • lOS
11
先设uEC 2 (!J), 由引理1.4
忆;)
g(p)dp ,;;;;
。
L:
g(Du)det(-D'u)dx.
一 sup v(x)今M, 如果x。 E iJIJ,
此外,必存在x E !J, 使得叭Xo) 则M
一 o.
(1.35)
。
现在设r E O, 由引理1.3 (2)与引理1.5, B旦(0)cQ[x0 , v(x。) Jcx(r;).
又注意到 g(p)�2 2
一
"(I P I "十矿)飞
因此我们有
巨)
g(p)dp�) B,i
一
(O)
尸(IP尸十矿) •Jp
一 2 飞 In [1+( 叮 d ]. 2
,,
又由(1.35)则有 ln [ 1
+卫).]� 立 I rt g(Du)det(-D切dr. 叩
叫
(1.36)
类似于定理1.7的证明方法并注意到g(p)的有界性,可知上式对
于uE W记(0) II C (li)仍成立. (1.36)与(1.34)
类似于定理l.8的证明, 由
In [ l +心).]� 巴 1,: g( 加)[一:芦;u] du 玉伈[志尸µ凡.(么)·1,.,, 彝
如果1 + .i.
于是
o,
则令µ
心 M
• l06•
一
�exp 一
I 上-
旷
}I
芯丿
厚
•
此时有
[11, I J 彝
I f+ ; I s�p v(x)�Cd· Q
i 云
+I
仲}- I,
气 ,: ,
•
如果f
三
o, 取亿> o, 如同上述运算,然后令p-+ o. 定理证
毕. §2. Harnack不等式与解的Holder模内估计 我们将仿照散度型方程的De Giorgi-Nash估计的程序,先 建立局部极值原理,弱Harnack不等式,最后导出Harnack不 等式. 为计算简便,我们只考虑以下形式的方程 Lu = -a iiD,;u 一 儿在9内.
(2.1)
假设系数(让)满足 一 致椭圆型条件: ,1. > O, A几E;; r, Vz ED,
(2.2)
ii
其中l,A分别是矩阵(a (名))的最小特征值与最大特征值, T 是某 一 正常数. 定理2.1 (局部极值原理). 设方程(2.1)的系数满足 一 致 椭圆型条件(2.2), u E w 2 ••(!J)在9上几乎处处满足Lu�f, 又设//2 EL 霜 (O), 则对于任意p > O, Bu(,,)cD, 我们有·
郘 II..:; C [ ••!,., 111 K(i_i,· ·.. ,i.)I, I K(ii,• .. 心一1) (1 r I�tJI K(i.,·.. ,i. 一 1)I. . 由几的定义,则有K(i1 , · · ·,i 雇 一 1)cr,. 于是 几全
U Ker,.
fCEI
此外由(2.9), I几nr1
一
I
�IJ
U (Kn r)t KE, 艺 JK!
Kft,
.·f, 又设f/1 E L•(Q), 棹 在B叭y)CQ中非负,则存在p>O,C>l使得 霜
[ .)., I u\• 心 1 1 ,,;;;
1 t,, u + R 11+11口
C [ 忱
(2.10) (B,a(YJ ,
其中p,C只依赖于”与兀 这个定理的证明是相当冗长的,我们分为五步.
一 ?立二立,我们不妨设y为坐标 户 标变换 第• 一 步: 应用坐 • • 2R
原点,2R
一 L记
" - "+ 11+11
·
r
L nO, O 只须取 {J
LtJ�I gl
一
时,
__
丫· " I > 2 2a.
则有L 71 �0, 这里我们应用了 一 致椭圆型条件(2.1): A/-1 于是由(2.13)在B 十
fl
< T.
{x E B i , 叭心> O}上
+ 4/J'A
十·�;(节) X(B扣
其中X(B a )表示B。上的特征函数. 注意到
, . 1 � I 1 IJf IL B > 气 1
由Aleksandrov极值原理
sup-v�C[l B1
十
llv 十 fl
L 霉 CB o>
],
(勾“
其中C只依赖于几九o. 为了应用测度论证方法,我们将球转换为立方体, 由(2.15), sup v�C [ 1 + liu + UL•] 邑1
�C[l+IK:I
1. 霄
其中立一{x EK 山心> O}一{ r E K. f u
sup v], .IJ,
+ ti
“ 古,.
< 1 } , 如果 • 111•
一-··-·一, .,.,, ,..,,. ,
1
鸟�8全
芦!Kai
1 K.1
(4Ca)•
则 sup "�2C, Bt
即 inf (u B½
+ s)�J_.
(2 .16)
C
注意这里的C只考虑其依赖关系,而不计其大小. s__.O, 我们得到以下结论: 如果 IK 引 �fJ,
在(2.16)中令
IK 』
其中立一{x EK卫�1 }, 则有 inf u�C 飞 斗 现在取8 引
x_t
K 一 l - f ,�- -兰,显然 n ,./ 6 J
时
I ](!I
由上面的结论
一
B1. 则当
lfC1Kal�
I ,;.\Cr n 凡) 1-�BIK.I.
inf u
K归
坛仁
;;:: Binf u�C 飞 令
这就是所要证的. 第二 如果 ..步:对于任意正整数m, . 则
ir nKCII� 沪 I K(I I'
c-- ' · inf u 。 K
;?;
(2.17)
.. .
-
(2.18)
其中C是第 一 步的结论中所确定的常数. 当m=}时,上述结论显然成立. 采用归纳法,设上述结论对 m成立,要证它对于m+t也成立. 现在设
z
It
止
. .
• ll
tr nK.. I�lJ 咖+i lK.I.
(2�19)
记兑一尺与
几一U{K.J心)
n 岛K心) c 兑,
I rnK 心) I� 引 K,. (3')[}.
由引理2.2, 则有
ra = i C
一1
Ta
如果八一 m). 如果
(2.20)
.
K。 一 凡,则(2.20)缰含着(2.18) (以m+1代替 1rnR。,� 引八 I , 记 Cu, v满足方程 tJ
一
-a ii D尹, = Cf.
由第 一 步所给出的记号 V-
又记
f
V
十
I 啊让CB
,>·
一 c;;,
一 {x EB拉�1}, (2.20)意味着 r8乙入
因此由上述事实与(2.19),
1tn和�I 八,� 上 Ir n和 lJ
-凸 f nKal lJ
6畸 I
K"'!
一沪
I
和.
由归纳法假设
inf v�c-•, Ko
即
inf"�c-< +u. 啊
Ko
...
第三步:记 I' t一 {z E B1 I u(:切> t},
(2.21)
则存在C>l,µ.>O使得对于t>O有估计 • 113•
C
•
.
,,..
' �·
. ,.,,,,,.
• ...
I B.n r 丿 ,e;;c\B Ir�·-1 "
鼻
,
inf
打
�
(2.22)
t
其中C与µ只依赖于n, 兀 令,
,由第一步的结论中所采用的记号,相应地有;; =
一?
uf,, 记
巨刍扛EB扛(x) > 1} = r,, 如果!Banr,I o, 则(2.22)是显然的.现在设IB"nr,i�o, 则必存在正整数m使得 "'一1 沪 !K a i�I斤K a i�o \ K a i, 即 。1 ln ·一, .一 -• (]n8)-1�m�l + In If 门 Koil • (lnlJ)飞 iK,,. I 因 夕;>/ 由第二步的结论(2.18)
一
rrnK
inf v�C
一
k卫
"'�C 一 1
i巳“ 一 ln8一 1 /lnC, 贝O
[
l " lnr
I 和勹K,J i
r;:;-;r=-
I K.I
IT,UK« I�(C infi,)P.IK a l. Ko
由此不难得到(2.22). 纾归才:证明存在
驴 I'dx]
}
,;:;; C
由第三章引理1.1,
}酝
1> > 0
ju/P 心一 Pj-
使得
(tf u十五“心)).
(2.23)
,,-•1 B !l rt r t I dt
-寸, 广 1 JB
-x
nr,Jd,
十
p
J�勹,可 B
tt ()
T, ! dt ,
其中b是待定正常数.在上式右端第二项中应用第三步的估计,我 们得到 • 11 令·
仁 lul'd.r,;;; P 『 f可B.I dt + p�Cm:i l B.I尸劝,
其中m
。 一 inf u. Ba
仁
取 p
0
一
J.
µ/2, 则
lul'dx�b 1 IBal
+
取b =- C忐西,则 \B.
I ul'dx¾2C m� ¾ 2C 台
合
第互枣:利用覆盖技术证明
[4
I ul'd"] 古 ...;; C
Cmg'b-'IB .. I.
(tf u + 1l+IL.•}·
(i卧 u + 11+ IL , 它将在后面确定.现在构造闸函
这里门荫足Ix 已兄
"(劣)
1 一 一—
r'Ix
一
,1,,
其中?是待定大正数.容易计算 Lw
立_ —沁_ 一 a;; [p(p + 2)位�lz y_;)(x; yJ•+z] PI 工 一 ,1,+< _
一
凡 �. x一yl , ...1..• (p+ 2
一
rn),
上式应用了条件(2.2入取x, 的邻域 ._Ar, -
o n {,
丫n, 则在4气上 Lw�
YI < 3r}.
2凡 (3r)'+z•
(3.2)
,现在在J广,上考虑辅助函数 ,,(髯:) .... K切(箕?)一(11(:c)一u( 元o)) + (6,) 0 [ 山1 ] a ,8.K,.nlJD t 其中K是待定正常数.由(3.2)
L• 气芯� +2
• 118•
士
气) > o,
(3.3)
i I
如果取K > 3,+2 l_ I 入
L "°
尸飞此外在叮顺吐 叭:%)�o.
如果又取K > 4r门u ID'则在 心�K
a方,na上
灶-护- 2Jul 。 �o.
这样由Aleksandrov极值原理,当
。, 3
K ;;;,, r 1 max { 4 I uI
户
时在J飞上有叭x)�O, 即 叭幻
一
·/l+!lJ
。
u(x )�Kw位) + (6 r) "' [ u] o:,B.KrnBD
O,OO与
Ilg 11£"l,Ol,O o, 记柱形区域 BR.� =- {x 11 工 'I < R,O < x. < IJR}, B:
一
2''
一
3 6R {xllx'l 0使得 工亢
, 11,,
昂t.,;;
”十 Ril+』�,B:>). 2 (�罚
(3.19)
为简单起见,我们可以规范化,设 R=l, 入= 1 , i inf o·, O < p < 1使得对于 任意石E8D
文。
SC
D田 �CR,, VR > O,
其中fl, C依赖于n, 如 I"!, A,.儿Mui 中 h 与 i=1 BR_(�。)
其中
(3.23)
ao.
证明.首先令尸一 ” 一 如u满足方程 一 a'iD;;v 一一 a ii D 时) + F(x,u, 加,O),
设石召泣,
a il 一
『庄 (x,u, 加,-rD u)杠 ar;; 2
由于沉"1 E C 2 , 0
我们可以通过一个c 2 微分同胚将
沉}在 Zo 的邻域展平,并使 x。在9的邻域映为Bt, 由上面的 Krylov引理 [Dv] 111stJBf n
�c.
现在映回原区域D, 并应用有限覆盖定理可得 [ Du l 11 ;Bl1�C. 歹
类似于内估计,考虑函数
• 138•
(3.24) 、
叶=(-1) 0 D1u
+ s 芝(D心2
(l
i=t
=:a
1 , 2, · · ·, n; 0 = 1 , 2). (3.25)
在引理3.2中巳证 fJF 一一—D;;叶�Ce 儿 (1
a吓
+
ID叫中).
由引理1. 又对于任意石E 80,r ED, 叶(心一叶(x。) .;;; c.1x一X产
(1
+孚[叶].,aR).
由叫的定义与(3.24), 上式蕴含蓿 心(:c) - D1u(z。) l-2sM1
�c.Jz对l求和后,并取s=
文 ID心)一Diu( ,)I 允
i -1
m气
允
1
—后,则有 4nM1
文 ID,心-加(动 �Cl 尤
l•l
一
艾• I 击,
0E BD,zE D.
父
由此立即得到(3.23). 这样由定理3.2的内估计与定理3.S的边界附近的估计,我们 可得到梯度的全局Holder模估计,即存在C�l,O X:1 在点(u, a) E X1 X 2的Fr 七chet导数记为G, 对于任意 hE Xu lE�, G:� � 凡称为G在(u,rr)的Frechet
偏导数. 隐函数定理设Xu�,X1是实Banach空间,G是由X心2 的某开子集到凡的映射,对于(uo,ao) EX1X2,G满足:
。
(1) G[u., o]一=
o.
(2) G在[u。,叫的邻域可微且其Frechet导数在(uo, uo) 连续. • 142•
(3)关于U的Frechet偏导数G�u�,a。)可逆.
则存在q在 户
2的邻域丿户 , 使得G[u, a]= 0对于每一个aE ..A 可解,即 对于每一aE .A户 ,存在Ua 使得G[ua , a]= O. 现在记 F[u] = F(x,u,Du,D切. 定理5.1. 设FE c 1 (r)且满足结构条件(Fl), 如果对于 某O n, 则u E C · (B忒句),其中 8
一
"
1--,
?
但若p�n, 则”并不 一定是Holder连续的. 关于Holder连续性的定理告诉我们:
但是Morrey的
定理1.1 (Morrey入 设u E w 1 ·'(B从句),p > l. 如果对 VxE B从句和Vp:O < p < d(:t:) R- Ix 一 z出有
一
忆•> I Dul'dx..;;; C (右厂,.
0 < IJ < 1,
(1.1)
则对Vr:O n时,L'•,.(!J)
{O},
(iv)若p�q, 且立二!!_�.!!_二卫,则L4•"(0) 已 Lt• (D). p 'I 卢
证明(i)显然. oo (ii)若正L (!J), 则 ,
ilu II .J..P'•�C \\ul\LP'µ n
+ p,
则豆p,µ(Q)一{常数}. 0 证明.首先证明:如果 uE C •'(fJ), 0 < 8 < l, 则
,
11E
幻· 凡 (JJ),µ=n+po, 且\lu\l !i P' 汽 D)�C l\ul\c: 叫 s,. 这里Uu\lc"' u归+ [u]o,8;!J (参看第二章定义1.1), 为书写简单起见,下面
我们常用Iulo和[u]o.i分剔表示l ulo心和[u]o,&:D• 设uE C 0 · 6 (D),O < o < 1, 则对Vx E JJ, Vz E Q(x,p), 我
们有
-i
仁 I心 l中) - ..... , �_J I Q (X, p)'., JI(ti•11) ¾--1;,
一霹
f -"'«,,/ u J••• I "
一
-
叭t)IM
心
• 171•
f
�C[u]。, fJ Zp 心-1dr 。 Ap 露 �C (n , A, o) [ u] o, 矿, 因而有
习 Q( ,p) l心- U ,p/Pdz�C(n,A,8,p)[上产曰 一 C(n,A,o,p)[u]沁, µ 一 n + pa. z
z
因此有
一
[u],,µ �C[u]o,a,
C(n, A, 其中 C u E !iL',.卢 (O), 且
a,
p).
又由于\Ju\\L P �IO I ! l. 11. I,, 故
t\u \]砰屯 D)�C\\uflc ° '3co),
其中C
一 C(n,A,o,p,l!JI), µ 一 n + p8.
其次证明:若u E�p,µ(O),n fJ 叭 (R)
+
Br欠 fJRP
红(+l)B [IP(R)
+
BR'
芝:
一
一
i=O
”
1一r' 亡 8)(.t+l) l一廿--,
-,;fl
因此,我们有 叭r -t+1 R)�c-r c.t+1>fl 切(R) 其中C
'Z'j(1"
I _'l'T
+
C(A,a,tJ).
]•
BR6],
(2.3)
现在,对心�R, 选k,使-r -t+1 R < P¾ 召凡于是,由0的
单调上升性和K的选法,以及不等式(2.3), 容易得到 叭p)� 叭 (r k R)�C卢叮(R)
+
�c 尸
+
�c, 其中C1
一
l(%Y
l烽)•
叭R)
O, 设f't Ei O (i 使得对V式ED和Vp,R :0 �C l]fl1L11心 .IR邓 C(n,N,l,A,µ, diam!J).
2立变系数椭圆组
0 定理2.5. 设A尔夕)满足 c 2.2), 13_ Arf E c cn), 1 A中�A (a,/1 = 1, · · ·,n;i,j = I,···,N), f't EL 扣 (.Q) (a 一 l, · · ·,n; i
一 1 , · · ·,N), 0
-+·
ilf 1li1, 霜
一
'(Q',Ill 毒 N>} R 11+28 飞
• 189•
由迭代引理知 \
., B ,, 心
I Du - (D�) 怎 •,,,! 2dx
� C{!)Dulli1w',R N) + llfll ia, 亢 巴(立 R N)} p"+za飞 其中C依赖于n,N,从A,lJ,s, !IA和lc•·w, dist(ii,ao)及diat心. 一
霄
由此知 0,3
彝
一g
DuEC,oc: 2(0,R"吟,Vs> O, 而且 11Dullc••6-½ 心,R• 趴
+ llfllrr·•H8(D',R彝N >}.
< C {IIDullL1(.0',R"N>
特别是,由此可知Du是局部有界的且有
I
D
BR(11t )
I Du I 2dx�C [ l)Du!f i1ca'.R 鹉N )
+
!lfll 沪(也R"N>] R 露 ,
其中C依赖于n,N,l,A,8,IIAffllc0•1J, dist(Q,8!J)以及diam!J. 将此再代入(2.18), 得
l
Bo 心
I Du - (Du江 ,P I 2dx
�C
+
(g_R)
霜
+2
, I Du - (Du)箕 , .寸心
\
.. BR(11t)
C [ ii Dul)i2 �C llf 11 让(BR.IR"N)' 其中C = C(n,N, 儿, A ,P). 定理得证.
下面我们研究线性散度型椭圆组弱解的L'局部估计. 定理2立.设u E H1 (!J'RN )满足 LA加) D,u'D.中"dx
一
\代 (x)D矿dx, I)
V中E Hi(D,R吟,
其中A汗EC (fl)'I A汗(无) I�A(i,i = 1, · · ·,N;a,fJ 一 l'... , 心,且A't/(x)轧轧 �l I ;! 2 , A> 0't: €- LP(Q) (i = l, ...' N; rt 1,···,n), p�2, 则Du E Lfoc(!> ,R n 吟,且对 vfJcco, 。
一
有估计
l]Du]l让(fl.]RnN ) �C(llullH 1( 如i N ) + Hill LP(D.R" >] , 八r
其中f
一句),
连续模.
C依赖于n , N , .t , A , p , dist ({j , 8Q)和A汗的
证明.只要对迈 c c !J , V xo E Q, \:/ R : 0 < R < dist (Q, 心),证明Du E L1(B R(句,R•N)即可. 歹
由假设知u E H (BR(句,即)满足
!
1
B'Ji. 怎 '>
Af;飞) D,,iD.qi
用凝固系数法将它改写为
\
BR(怎·>
..... :·
j
心一 \
�B�1r•)
f,
(元 )D矿丘
'i q, E C;'(B R (xu ) ,R N ).
(2.2)
店 (x.)D叫D对dx II
肛釭 )
UAif(义·') - A:'f(元) ]D 11 u 1 D oi 2**' 则Du E L 2 **(BRi 'R nN ),
于是继续进行上述
步骤,经有限步以后,总可得到Du E LP(B 色 ,R [IDu!] 让 (B�,R" 趴 �C{llfll, L心 ,R nN )
心
)且有估计
+ I 叫. Hl(D,R'!>},
其中C依赖于n,N, ,l, A,p, dist (iJ, 8Q)和心f的连续模. 证 毕.
注2.1. 在定理2.2中,A汗E C 0 (Q)这一条件是不可少的,请
参看第十二章§4中N.G.M�yers的例子.
• 20C•
第十一章
非线性椭圆组弱解的存在性 弓l
言
§1.
雪
.1
在本章中,我们考虑散度型非线性椭圆组 Da Af(x,u,Du) + B1(x,u,Du)= 0 (i=== l,•••,N) (1.1) 释 nN N 弱解的存在性问题.其中式,B;:Q X R X R -it>�, .!J是R
—
”
中的有界区域.“椭圆性 的意思将在下面说明令 (1.1)的弱解的定义与A'; , B; 满足什么样的结构条件有关. 在这里,和在第五章中一样,结构条件是指椭圆性条件和增长条件 的总和. 定义1.1.
r
若Af, B; 满足下列结构条件 Af (X'u'p) p� 诊 lip1 2 -Alul" - f飞),
" . :,,.
(L2)
+ 111! :i 十 f飞)), 1< IB;(x, u, p)I�A(\p! •-}> + lul r- 1 + f心)), 灯(x, u, p) ,s;; A,(lpl
(1.3)
2 其中i, A, A1 是正常数,片,f; �O,f ,ff E L (IJ), /; E L�(!J), 2n 而r 一 2*是2的Sobolev共枙指数(当n>i时,它等于 一一— , n-2
当n=2时,它可为[2, 十 00)内任一实数),则我们说灯, B ; 满足 可控制的结构条件.这里,(1.2)是糊圆性条件,(1.3)是增长条件, 我们称其为可控制的增长条件.
N l 在灯,趴满足可控制的结构条件时,我们可以在H (!J,R )
中寻找(1,1)的弱解. N 定义1.2. 当Af, B i 满足(1.2),(1.3)时,若u E 1/i (Q, R ) 满足 i } [尤(x, u, 加)归+ Bi(x, u, Du)cp ]dx s;
一 o,
(1.4)
• 201•
Vc1, E
Hl(.Q, RN) ,,
则说”是椭圆俎(1 1)的兢斛. 可控制的增长杀件(l.3)保证了积分恒等式(1.4)有意义,但这 组增长条件不十分自然,在N= l (单个方程)的情形, 我们知道, 自然的增长条件是
1 A"(x , u ,
p) I�A, (I p 1 + g C心), I B (X, u'p) I�A(Ip I 2 十 f (x)),
其中f,g>O, 且f'g E L 1 (0). 现在我们也来考虑与此相应的自然结构条件. 定义l立
若店,B; 当I叭�.M时满足 尤(x, u, p)p� � 儿 jpf 2 - Ad飞), (.r, u'p) I ,,,:;; Ai(I p I +代(x)),
{团
(1.5)
(1.6) 2 IB;(x, 凡 P)ll时, 一 般讲拟凸性比凸 2 性弱). 可以证明, 当FE C 时, F关于P的拟凸性蕴涵Legen dre-Hadamard条件(2.12)成立. 因此, 更为自然的是称满足 Legendre-Hadamard条件的积分泛函为正则积分泛函,而不是称 满足Legendre条件:
F
比咋
氐gb�0 (即F关于P凸)的积分
泛函为正则积分泛函. 但是由于下面研究椭圆组弱解正则性间题 的需要,我们常常还是假设Legendre条件成立, 甚至假设强Le gendre条件 N F g j l , l > 0 , V; E Rn I �A 氐扎 咕咋 成立, 而不是假设Legendre-Hadamard条件成立. 即使在强 Legendre-Hadamard条件 F PaI P13; ; 心和I;�
入
lg 旧寸,1>0
V;E R飞'1 E RN 下,也不能得到后面第十二章中所述的正则性结果,关于这方面的 讨论请参看[GS], [FU]. 1 (单个方程)的情形,Legendre-Hadamard条 当然,在N
一
件与Legendre条件是等价的. 2.3.
正则积分泛函在 Hl 中的可微性
在第2.2小节中我们研究了 J[u]
一
i
D
F(x,
11
, 加)”
在“心(D, 配)处的一阶变分的存在性(以下简称J的可微性), Iil i 一 并导出了J在 U 处的Euler方程组但 般讲,J在c (lJ, R ) 一 中不一定有极小点,我们在第2.1小节中证明了在 定杀件下J在 • 219•
户
t
H (Q, 即)的闭凸集沈 中有极小点.现在我们要研究J{u]在 u E H 1 (Q, 即)处的可微性并导出J在u E H 1 (!J, R N )处的Euler 方程组.须要注意的是,在这里,要泛函J可微,不但要求F有 一 定的可微性,而且还要求F满足适当的增长条件. 定理2立假设 1 ° F:D X RN X R nN ___. R关于 X 可测,且对a. e. x E Q, 关 i 于(u, p)属于c . 2 ° lV 2 - g1(x)¾F(x, u, p)�AV 1 + g2(元), 2 2 其中儿,A是正常数,V = (1 + !ul + lpl )合,g;(:c) ;?; 0, g 氏 L 1 (fJ) (i = l, 2), 且
『
只(x, u, p)I,;; C(lpl + lul j了
I 心(x,u,p)lCfJ,
其中
一
(1.8)
一 t)D心)dt,
—--,
he )一u i (元) -—一1一 h
• 215•
尸.,
由于心满足(1.2)和(1.3), 故A't;伈满足
总斡诊入 1 汗,儿>
!A 灯1i) 1 冬A 鲁
o,
(1.9)
现在,对VQccQ, Vx气Q, VR:O < R
f{ {J
+
'. ·�
[A7工 , +心归+ A�I ·D, D 叫lD胪 心 lB;:r, + B;,,;D叫+ B i p�D1D fl 记l扒心一
o.
其次,对VfJc 仁 Q, Vx乓Q, \f R: O < R < _!_ dist(O, aJJ), 2 o 取中一矿D,u, 其中 77 E Coe(B忒x ))满足(1.10), 则得 0 i DpD s u i D U DS 心x A \矿 i p d ./ Q
+ \Q
A''.,D 8 D叫• 271D « 11• D, 心x •r,,
+
旷A�r,Di1 D,u i dx
lf"J
,
+
\
D
+
I Afx .- • 211Da11• D, 心x Q
矿心D,u仇D,u;dx +
+ \ lJ TJ 2 Bi 工
,
D,u'dx
+
\ IJ A切.
2西• D,u1'D,u'dx'
\矿B ;";D,u;D出心 Q
旷B i t-'..D8D, u1 D出dx +\ , Q
-=
(1.12)
O.
通过简单的计算并利用(l.2)和(l.3)可得 因而有
归。, l'IDD,u !'dx�CI
1
B
R
(:,; O )
和炒)
(1
+ I D,11') I bu l'dx,
IDD,ui 2 dx至Cllu\\沁 .R 吓
a
其中C依赖于n, N, 1, A, dist (i:J, !J), 将对 S 的微商改为差商今 , ,u, 以上过程可以严密化而得到 �
宁
)
I Di:::J..,..,u I 2dx�C \lu.11沁式),
其中C仍依赖于上述诸量而与h无关. 而且可得D,u满足(1.7). 定理得证.
因此有"E -Hi 。 c:(D, RN )
但在自然结构条件下,上述结果 一 般讲不成立,这时只能证明 ..)1'•
i
连续弱解属于H � 即我们有 定理1.2. 假设A,BEC 1 , 满足自然结构条件(1.4), (1. 5 ), 且uE 1 L oo(Q, R N )满足
月n
(x, u, Du)Da cp i + B;(x, u, }凶 " "°
Du)矿]dx
一
o, (1.13)
V rp E H6n L (Q, R勺,
而且还假设u E C 0 (Q'RN 入则uE Hf 。 c(D, 即),且导数D,,� (s 一 1, • • ·, n)对任意中E H�n L OCl(Q'R N ), spt中co满足积分 恒等式(1.7). 证明.首先,与定理1.1类似,对'r/QCCfJ, Vx气Q, VR: O 1, 所以u,, 无界. 这个例子说明: De Giorgi的关于系数有界可测的散度型二 阶椭圆型方程的弱解必定Holder连续的结论在椭圆组(N> 1) 的清形是不成立的,因而不能用第五章的方法去研究散度型非线 a
性椭圆组弱解的c 1 , 正则性. 但是在系数充分光滑的情况下,究竟散度型非线性椭圆组的 弱解是否具有C 卫 正则性?或者,散度型拟线性椭圆组的弱解是 o 6
否具有 c , 正则性?这些问题从例1中仍然找不到答案.. 1968 年,E. Giusti和M. Miranda将De Giorgi的例子作了一些修 改,得到 一 个散度型拟线性椭圆组的例子,说明了上述间题的答案 是否定的. 例2 (Giusti-Miranda f 1968).
设9
n�3. 考虑
\灯,r (u)D u;D ti
B 1 (0}
叩; d X
一
B1(0)cR•,
N=
== 0'\:/ cp E HA (B 1 (0)'R 露 ),(2.5)
其中 伈+上一一_u;u°] 吓(u) ..... llo心+ n - 2 t + I" 1 2
伈+
X
这里心
一
{
1, u
一
('t
关
o,
4 n-2
”“
一言吵
p,
/1.
容易证明,A'tf(u);�g� �I; 几且灯!'(•)是”的实解析函 )I 1 数.但是向趾值函数u.l(xJ - -----·- E H (B 1,(0) ,. R•)是(2.5)的弱
比l
,,
--;
. ,..
•·.
-
..
一 中
. .~ . `
晌
2.U ..
解,却不连续. 还可以举出其系数十分光滑但其弱解不属于厅(Q, 的)的 散度型拟线性椭圆组的例子. 例3 (Necas, 1972). 设Q = B 1 (0)CR", N = n�5. 考 虑
\对 (X, U) D 8u; D a(JJ; d X
一
�B! (I)
O,V
I; I 2, A�f(x, u)十分光屑,且 n-2 X U 1 ...:= --- E H1 (B 1 (0), R 11 )是(2.6)的弱解.但是当y� 2 I xJ r 时,U1不属于H2 (B 1 (0)'R n ) • 另外还有许多例子说明椭圆组弱解的正则性问题要比二阶椭
- ,.一---—--
圆型方程弱解的正则性问题复杂得多,读者可以参看[GQ1l. 因此,1968年以后, 一 方面,对 一般形式的散度型椭圆组,从 C. 8. Morrey开始,研究弱解的所谓 “ 部分正则性 ” (即证明弱解 1 e 在9的一个开子集!Jo上具有c , 正则性,而meas(Q\Qo) = 0). 另 一 方面,对特殊形式的椭圆组进行具体分析,其中有许多椭圆组 ”
“
的弱解仍具有 处处正则性 ,例如可以参看[HB). 下面我们将在§3和§§4一5中分别介绍对一般形式的散度 型椭圆组研究弱解部分正则性的间接方法和直接方法.
§3
研究正则性的间接方法
本节中我们以下列散度型拟线性椭圆组为例来介绍研究弱解 的部分正则性的低接方法.考虑
, ii•.
-Da (A'tf(x, u)Deu1 ) = O.
(3.1)
在本节中,我们总假设当(x, u)ED X R N 时,有 A汗(x, u)轧扎�ll�l2, l>O, _
(3.2) (3.3)
IA寸(z, u)J�A,
其中l, A为常数.
出气
我们要证明的主要结果是 定理3.1. 假设A识石u)满足(3.2),(3.3), 且A计(x, u)在 Q X RN 上 一致连续,并没U E H{ oc (Q, R N )是(3.1)的弱解,则存 在开集Q产Q, 使u E Cf�i(O R罚, VO < li < 1, 且meas(!J\
。,
Qo) = 0 ,.
为了证明这个定理,我们需要下面几个引理。 弓 l 理3.2. (Caccioppoli不等式). 设u E Hi 。 c(Q, RN )是 0 (3.1)的弱解,其中系数灯f(x, u)满足(3.2),(3.3),则对Vx E O, 沁,R :0 < p < R < dist(式80), 有 )
!
其中C
B。心
IDul 2dx�
一 C(n, N, 1, A).
(R
C
一 p)'t
卢
•,
(3.4)
I 寸丸
这个引理可以和第八章定理2.1 一 样地进行证明. 引理3.3. 设b汗是常数,满足肘,梵忑店>门�1 2 , l>O, lh 寸I�A (i,J = l, · · ·, N; a, {3 = 1, · · ·, n). 并且设u E H� oc n L 2 (B 1 (0), RN )满足
{
, B, (01
则存在c 。 ===
砑D叫D对心
C
其中叭斗p)
。 (n, 一
p
一
0'\;/中E C;°(B1(0),
即),
N, .1., A)> 1, 使得对Vp:O
!B
Ju($)
这表明meas(l'J\00)
一
“心泊< s�,
一 o.
(iv)乌与8无关.事实上,可以证明当且仅当 liminf尸 ·O
户
l
lJ。心)
l心 .
-
材嵩·�p J 也一O
•J.31•
f
时红乌. 因为当
气fp一.
时,
一
·f f
B沪
心)一心 •P I z心一0
定存在Rp, 那么,
一
般
讲,此不等式就不成立了.不过,在前面我们也遇到过q>p的情 形,第四章定理1.4中的Harnack不等式就是 一 例.这表明在某 些情况下反向Holder不等式也会成立. • 23i•
而且以后我们会看到,
它在弱解正则性的研究中有重要应用. 定理4.1 (反向H 汕 lder不等式).
设B是R• 中的球,并设 1" g ? 0, g E L q(B), q > 1; f�0, f E L'(B), r > q; z o 对Vx0 E B和VR : 0 < R < dist (x0 , aB) /\ R。,有
忨工,,g 切x,,;;
。,
r
b[ 忆 ,,plx +
其中R b, 0是常数,b > 1, R 则存在s>O和C > O, 使
t., .•,
。> o,
卢+
e
f
0�8< 1,
g E L foe (B) , VP E [ q , q十的, 而且对VBRcB, R < R。,有
[f •• 1 肝心
l
2
其中C和
C
,,;;c
Hf.. 1 g也"
¼
a.,.,,K 飞,
十
[t.
/'tlx
J }• ½
依赖于b, 8, n, q, r, 而肛和BR是同心球.
关于这个定理的证明,请参看附录5或[GQl]. 下面我们利用定理4.1来证明椭圆组的弱解在 一 定条件下属 1 于 w ,,, p > 2. 为使证明的思路清晰,先研究线性齐次椭圆组. 定理4.2. 若 1 ° A汗(幻满足
00
A识Q霖 h� 川汀,l.>O; A汗E L (Q), IA'l/J�A; 2 ° u E H1 (Q, R罚满足 �A沁) D6 u i D0r:p,.dx fJ
则存在p > 2, 使
[f
BR 了
=
O, VcpEHb(!J, 即),
I Du I E Lfoc:(D), 1v .. 1 叫 t o;;; C
[f
(4.1)
而且对任意BRcQ, 有 由
压
I v.. 心] ,
(4.2)
其中C和P依赖于n, N, 1, A. 证明.对VB 仁 O, V炒 EB, VR: OZ的情形.此时,
r
-= -;;互了, 2 (1-
上)=n+2,,-l= 尸旦-. 利用Holder不等式和Sobolev r ; n 九 一 2 Poincare不等式,我们得到 \矿lu - uRI• BR
111 心
�[归 lu 产网气 B R 111 击d,e 严 Du归"l 川 111 哉 平计 I �C(n) [\ BR 一
� •I l
d,
压
BR BR
I Du归 x+ 空 B 示lu
一
UR I•
lI
BR
•
111
上 平 ,
击 d,
I ul 广1 d,
尤
, i s, ·
- I'12 I u
..-;; [『:R lu
一
一
UR I • l u I 己” 伟
u,.)
..L l
气可加 ul
-2. tlx]宁
f 为 Cl// 2 + 111 + I 旰)计了 , (} =上 2
使
{iJB [ I Du I铝 + \
lu 翌气叶
.1.
�c{[f (ID叮+ lu 尸)心 + [归 Cltl'+ I斤+心) �d凇}. 2n
厚
石
BR
令
p
一.,n+
彻 一..2一·一 , 由 2
H /ID
m
BR
..;; C
现在,将 • 240•
i
) BR
p>
+
lf
BR
n +2 知P>2 , 而且有 n
中+
l•I 气陆
(I Du I'+ I产酝严 (l/l'+伽+I 斤)才叫.
I和'd:·用
1 的积分来估计:
(4.12)
f心 BR
因此
dx = RP �C RP
[t 压 if I 气勺
[f
BR
BR
111 心
卢立气 J
凡心叶 ¾CR [f.R 111妇x] 翌
于是,当R 2. 定理4.4. 假设: 1 0 当lul�M时 (4.13) A只x, u, p)p� � 引?尸 -f气心, {团(x,11,P)i�A心I + f 飞), (4.14) IB,(x, u, P)I�A IPl 2 十 f心), 其中1, A, 儿是与M有关的正常数, 儿r: �o, 几 ff E L 11 (lJ), •>2, f,EL'(O), .1> I; 2 ° u E HJ. n L 00 (0, 即)满足
J " [A飞, u, Du)D平+B 心, u, Du沺]心
3 ° 2AM 2, 使uE W记(O,R吟,且对任意同心球Bl2
其中8
一
使I Du I E Lioc; (D), 且对任意BJCB 及仁 D, 当R(x0 , R) < sf, 那么必有
o,
使得如果对某个
4>(x0, -r-tR)�2s沪,tll.
巾于对任意p:O·3)
dim
雾(息 一 P;)
0, dim认I)
一 1, dim
零
(S)
一 z.
中,
6立奇异点集的Hausdorff维敷的估计 现在我们来估计椭圆组(3.1)和(S.l)的弱解的奇异点集的 Hausdorff维氪 我们已经证明了在定理3.1 (定理5.1)的条件 下,椭圆组(3.1) (椭圆组(5.l))的弱解在9的开子集D, 内局部 Holder连续,且
。
9 -{zEQ
归�f p1--• I..c,> I l心) I 让一叶,
(6.3)
因而Q\D 仁 :E, 其中 2
一{允 E D I li'!':!�f p' . ! ..,., ID心)心> o}. 一
(6.4)
由定理4.3'知存在p > 2 :, 使 I D111 E: L(oc(D). 利用Holder不 等式易知 • 255•
一
{i-2 la ,c, 霓
因此若令
I Du(..-) I 叫 ,;; {沪\ Bi•l I Du(-.. )\•叫 t. 合
l
,1
{
氐= .rE Olli空 �pp,-. l..c•> ID心心
>o},
(6.5)
则ECE霉一,.于是为了估计!J\Do的Hausdorff维数,只要估计 出E,._, 的Hausdorff维数即可.为此我们需要下列引理.
矗
,
引理6.2 (覆盖引理).设G是R可 中的有界集,且设r:x� r(元)是定义在G上值域在(0, 1)中的函数,那么一定存在一个点 1, 2,···)_, 使 列灼}, Xi E G (i
一
< 1 }. “
由于G有界, 故可找到一 个由有限个互不相交的球组成的 最大 的子球族 心))
1+�,( 动< 1,
;
一
1, • • •, n 1 },
”
“
2
一
心中的 一 个球相交.这样做下去, 一 且我们巳选好 Xi,• • •, 尤"' 一 1, -粤., 那么在满足2 十飞tr(元) 2, 使 I Du I E Lfoc: (D). p> n, 则由嵌入定理知"E C记(D, 即),lJ > o, 因而/Jo - D. 若2 < p�n, 则在引理6.3中取v 一 1 Du\ t, a 一 ,, 一 ,,, 便知 "'
辱 ._,(E霉一,)
一
o,
故�._,(Q\JJ,)
其中E.一,的定义见(6.5), 而D\D,cB 彝 一”
一 o.
• 2St•
附录
1
Sobolev 空间
Sobolev空间的有关知识是近代偏微分方程理论的基础知 识.在这个附录里,我们只列出本书中要用的一些结果. 除Poin care不等式外,其起均未给出证明,读者可在[AD], [MJ]等书 中查到这些证明. §1. 弱导数和Sobolcv空间W�·P(Q) 在介绍Sobolev空间之前先介绍 一 下弱导数的概念. 为此我 们先引进下列记号: 1 0 多重指标记号. 我们称“ 一 (a1, • • •, a.)为多重(n重) 指标,其中a;(i一I,•••, n)为非负整数,并规定la I - a1 +· · ·
+ n ,. ,
at - ad·• •a 霹 t, a�{J的意思是中�fl; (i
(/t) 一—仁一(m.;;;; ,8). a at(P- a)!
n),
一 1, .•• ,
2 。 高阶导数记号. 设9是R 觼 中的开集,尤 一 (尤1 , ••• , % 霄 ) R 是9中的点,u:0--+ R, 我们用 D u(心一D沁1D2• • • ·D:nu(x) = ---
a1a1"
---·-u(劣)表示叭心的叫价导数(如果这些导数存在的
O式... a 式露
话). 定义1.1. 设uEL比(D),a是多重指标,若存在vE L比(D),
i
使
D
uD飞工
一
( 一 1) I乒l!D 呼
对一切中E Ci(IJ)均成立, 则称,为
U
的叶介弱导数, 仍记作
11 - D0 u.
可以证明,弱导数D0u除零测集外是唯 一 确定的. • 2,0•
如果 一 个函数的所有 一 阶弱导数均存在,则说这个函数弱可
衙.如果它所有的直到 K 阶(包括 K 阶)的弱导数都存在,则说这 个函数K次弱可微.我们用W�(fJ)表示由K次弱可微函数组成 的线性空间. 定义1.2. 设K为非负整数,?为实数,p�l, {J为R"中的 开集.我们称集合 {uE W心) \ Dau E LP (0) , V国�k} 赋以范数 切w压丘)-
几互 \ D"u I' ,
冲
(1.1)
后得到的线性赋范空间为Sobolev空间w -t ·1(D). 可以证明,Wl•P(Q)在(l.l)中规定的范数下是 一 个Banach空 间. 当P=2时,常将w.t,,2 (t1)简记作庄(D). 定义1.3. W扣(Q)是c:(JJ)在w-t,P(Q)中的闭包. W沪(Q) = 命题1.1. wl·"(R") ::::::::: w扣(R"), W 0 •1(0)
一
[, P (Q), 但在一般情况下,w扣(Q)是w l ,P(Q)的真子空间. 下面我们来叙述w-t,, 心)中的二个逼近定理. 命题1立 l�p�C(n,q,D)l{u[[w 1tPca,, I'�q < +oo, p 2 0 若 ao 适当光滑 o , 则当?>”时,有
一
"
(1.6)
而且对任意u E W 1 •'(D), 有 llullco•acfJ� �C(n,p,O)Hu!lwi ."(D>.
(1.7 )
,
W 1 ·1(/J)cC 0 '°(D), 0 �C IID,ull 让(lJ). l)
见上页注脚 1).
" itJ "
2 0 设吓 L11(Q), l �C !lull 沁 I 欠 ( 心'
VuE H-t (R':. 入
命题2.2(逆迹定理).存在线性有界算子 R ` 尸: rr·H .t -½-, (R l 尸H.t(R!) 一
; -o
使得
• 264•
广
仁
了 -1
='、
其中1是但问算于. §3. Poinca让不等式 定理3.1. 设9是Rn中的有界区域. 10 若uE W汃Q), l�p< 十 oo, 则 0
0
2 若9是有界连通区域, w•· 心),1�p < +co, 则 J lu
其中心
(18)
归中�C(n, p, o)J IDul'dr,
一
证明•
一
atJ 满足局部Lipschitz条件,"
I 加 I'心,(1.9)
u叭'dx�C(n, P, fJ)
f:u心 一 心I Ludr.
L,
0
1 先考虑uE C吵)的清形.不妨设 JJccQ, R• I I x;I < a, i一1,···,n}. 令 沁) = {u(x), xE IJ, O, zE Q\D, 对VxE Q, 有
1 知) I,
因而有
=
I)�. v.u(t, 知
X
Q 一{xE
,I'
. . . ,心
�(2a) 户 J_. ID矿dx1�(2a)P-• }_.ID印dru
�!:�::f
i
_IDUl•Mr, { i l , .j:::�:;� : � : : : " � : l•;:1�!
令C(n, p, D)一(2a)1, 即得(3.1).
对于uE W沪(Q)的请形,只要利用C�(D)在W�·'(D)中 • 265•
的稠密性,即可得到(1.8). 2
0
为简单起见,我们仅就P>l的悄形证明(1.9), 至于忙>
1的情形,请参看[MJ). 由于在 U 上加 一 个常数以后,(1.9)不变,故不妨设心一
o.
现在假设(1.9)不真,那么对任意正整数k.., 都存在".t E w 1 •1(a), 满足
f
D
u让户..
o,
使
炉心> k
f
D
令 切
U,t
t ....
llu.tllL心) 则叭E W 1 ·'(D)有下列性质: (i) (ii) (iii)
t 11
Q
J
.tll£P(IJ)
D
一
1, 2,···),
o,
叭心一
切
(k
!Du.ti也
一
I,
ID纫 d 中<上. k
由(ii), (iii)知ll w ,t I w 1 •11ca>有界,故利用W'·'(fJ)中有界集的 1
弱列紧性和紧嵌入定理,知存在子列{111,t;}和w E W •1(0), 使 (1.10) (在L 1 (D)中强收敛), 气一切 D 印 .t;-D 印 (1.11) (在L'(!J, R") .中弱收敛), 由(iii)和(1.11)知D叭(元)一0 {a. e. x E D), 因而 a. e. xE D, 切(元)圭常数, 又由(i)和(1.10)知
t
D
w心一 o, 因而
切(元) 但由(ii)和(1.10)知
= o, 扣 11 让(Q)
a.e.rED. 一
1,
与(1.12)矛盾. 证毕. 推论3.1. 设肛是R• 中以R为半径的球. • 266•
(1.12)
1 0 若uE W汃B心l�p
l� f !u 一 "op> I dx, 再次应用Calder6n-Zygmund分解于囡数lu o?)
“叶) I' 则存在互不重迭的立方体列{Q网(将每 一 个Q� l) 所得 的立方体列合在 一 起)使得
\ Iu 艺 IQ?> I�-;; � , • o(O
压)
一
一
”砂压
u fJ产I�a, a.e. xEQ沪\
LJ
Q�:a),
(3.5) (3.6) • 269•
。一 l 与(3. 3), 由(3.5)可得 艺; IQ伊I¾ a 艺. IQ?'I¾ 飞" IQ止
注意到lu心 , Q
1
1-
事实上,如果xEQ。\ .r
E
l) Q叭UQ伊,
lu(允)
一
u
X
。,v
今. .
.,,,
Q丸
' ,
uo0 I < 2• 2飞,a. e. z E Q
,�
d
一
;
`』+
lu(x)
-
b
我们将证明
(3.7) '
(3.8)
Q; 1) , 那么(3.2)蕴含(3.8), 现在设
必属于某一Q�l:)主(3.6)与(3.4), 我们有
uo。 I�lu(x)
一
ufJ?'I
+ \ u0?'
一
Uo。 I�2. z•a.
(3.8)得证.归纳地重复上面的分解,对于任意整数k�I, 存在 互不重迭的立方体列{Q�u}使得 U �IQ) J.,;;;
lu(心 于是
沪• I'
U()。 I�k·2飞,a. e. x E Q
一
。\U;
Q丸
meas {x E Q0 ! 1 u(x)一uo0 I > 2撑 ka} ��IQ伈,�
一
古 IQol
Ck
一
1, 2,···).
0也成立.现在对于任意压(O,+oo), 上面的最后估计对于K 必存在整数k�O使得 2•吹< t�z•a(k + 1). 这样
meas{x E Qol I u(:t)一uoo l > ,} �meas{x E Q,l l u(劣) 一 "oo l > 2顷} 一 I 叫Q I' �ae I
U 畸
`缅 1
由此容易看出
。
mea.s{x E Q.: Me 飞)
> s}�
�3•
应用(4.8), 则有 meas{x E Q0: M心) • 272•
Q(r;, 3心)) n 釭
>
.,
�I Q(x;, 3 心)) n Q,I '- 1
�IQ(x;, r 伍)) nQ,I. `一 1
.
�I
s}� 翌$`一 1
()(11;.r(11;
»no。
tf (y)由
3• �- llfllL 1 (Q 。).
s
这说明M。是弱(1.1)型的,不等式(4.6)说明M也是弱(1,1)型的, 这就是所要证的. 推论 .
对于l
f IQ'i l,
{Q 廿中任意包含于 Q, 的那些立方体.对上
艺IQ, I< 主 L J If 2 叶1 If Io。,记 由于从心 I,
�IQ,I,
一 J. P
评 +1111
。
9
�P J�meas
I,
一 pr。 a -lµ(1.必. fl
上述积分是有意义的.利用估计(4.17), a'甘(a冲+ PJ'
2
a' 1 心)如 一
叶.,,,,,。
{心)>;}“心
• a1s•
+;
J:。 a,
P一 1µ(
�APl)f 井 lltt心。)十
取A
一 4 • z a, 则有 lq
>
f
g•dx
叮 glj1.,f({ J)t
l',t .;
}
(g •JJ F 心+
i) (5.23)
2{ll
心]. • 283•
一-1 -, 4
则有
?
酌 8 使得肛
g (5.24) ,;;;;;c a 。m,�注 ' q, 十 o。而>肛 ,F 心]. ,对于所有Q切与任意xEQ切,依上有相应的 x. 所有这样
l
U
叩
6。江
{Q。}构成 LJQ 切的一个覆盖,由覆盖引理(引理5.1), `寸,I 可以抽出子列 Q 。, i,Q 。, 2'... 使得 的立方体
对于每一6 们得到
。,
m,
JQ,ntg 中>11
此外,显然
(5.25)
。, "'f. 芝IQ 切 I�s• 艺IQ m
t .; .,
(5.24)都成立,这样由(5.18), (5.24)与(5.25), 我
(g心 •¾Cl• 一
·[L.rn...,., .. 6"'十
(g心•¾C 儿 q
\o,n•••,)
(gq,)• 心
一一
r··
一
团(,)
L. 而>•• Fdr, 一
+ l)Fllt,cR• > l. 利用Young不等式与to、F的定义,则有 一
lll'P llzPc 0 1 >�C [ II gl} L q 注意到主> 1 (当 p q
一
+
.l
ll M (fcp )中.t ], 口
q时定理的结论是显然的),算子M是强
停 f) 型的(附录4, Hardy-Littlewood极大定理的推论),于 是我们有
Jl tq>I) LPco,>�C [ Ila IILfcf) 1 > + Hill£Pco,>l ,
这个估计蕴含着定理的结论.
• 285•
参
考
文
献
Acerbi, E. & Fusco, N. [AF 1] Semicontinuity problems in the calculus of variations, A.rel. R 心 M�ch; .Anal.�86 (1984), 125一145. [AF2] A regularity th eorem f or m1n1m1zers of quas1conve:1. integrals ., pre 一 print, 1986. Adams, R. A. [AD]
Sobolev spaces. Academic Press, New York., 1975 (中汗本 :
凡A. 阿
达姆斯著,索伯列夫空间,人民教育出版社, 1981). Evans, L. C. [EV] Q uas1convex1ty and partial regularity in th e ca I cu 1 us o f variations, 4社. Rat. Mech. 心al., 95 (1986), 227 --252. Evans ., L. C. &·Gariepy ., R. F. [EG] Blow-up, compactness and partial regularity in the calculus of v 矿 riations, lndi ana University Math. J ., 36 (1987), 361-371. Pefferman. C. & Stein, E. M. [FS] HP spaces of several variables, Acta Math, 129 (1972), 137 一 193. Fuchs, M. (FU] Regularity theorems for nonlinear systems of partial differential equations under natural ellipticity conditions, 心al y sis, 7 (1987), 83 一 93. Fusco, N. & Hutchinson ,, J. [FH] c1,• parua . 1 regu \ anty · of f unctions m101mu1ng qua11convex integrals, manuscripta math., 54 (1985), 121 一 143. Giaquinta, M. [GQl] Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elli• ptic systems, Princeton University Press, Princeton, 1983. [GQ2] An introduction to the regularity theory for nonlinear elli p tic sys· tems, preprint, 1984. Giaquinta ,, M. & Modica, G. . 1 regu 1 anty • of m1n1m1zers of quasiconvex integrals, A 厚霄. ,,,,,_ [GM] P artta H. Poincare, Analyse non linlair,, 3 (1986)., 185 一 208. Giaquinta, M. & Soucek, J. [GS] Caccioppoli's inequality and Legendre-Ha.damard condition, M ,,A. Ann., 270 (1985), 105 一 107. Gilbarg, D. & Trudingcr, N. S. [GT] Elliptic partial differential equations ot second order, Springer一 Verlag, Heidelberg, New York, 1977 (中译本: D. 吉耳巴格 , N. S. 堪 丁格著,二阶椭圆型偏微分方程,上海科学技术出版社,1981), Hildebrandt, S.
• 286•
-;.
[HB]
Nonlinear e1'i p tic systems and harmonic mappings, Proc. Beijing S y mp. Diff. Geo. & Diff. Eq., Science Press, Beijing, China, Gordoo & Breach, New York, 1982.
Hong, M, C. (洪敏纯) [ HM] Existence and partial regularity in the calculus of variations, Annali di M atematica pura ed appli cat a, Vol. 149 (1987), 311-328. John, F. & Nirenberg, L. [ .TN J On functions of bounded mean oscillation, Comm. P11re Appl. Ma rh., 14 (1961), 415�4Z5.
Kpb口 OB, H. B.
[KL]
HeJIHH妞H 郎劝 Jl 血 THqec1O使得 a(u ,u)�Bllull比\:Ju EH. (1.2) 定理1.1 (Lax-:-_Milgram定理). 设a(u,v)是H上的有界 髦
1 (
.' .
II
'』,.,,.,.,, .......,,,
··-··
""旧:: •
. ,.,, .. ,
... ..
丿 / 、 , 、 3 4
1 (
一
强制双线性型,则对于任意巨H', 存在唯一的uE H_, 满足 (f ,11), \./v EH a(u,v) 且有估计 l I!" ! H�- II f II H'.
证明. 容易知道,对于固定的u EH, a(u, •)是H上的有界 线性泛函,存在唯一的Au EI九使得 (Au,v〉, 'Iv EH a(u,v) 且 IIAullH'�M llullH,
一
(1.5)
容易验证A是线性的. 此外,又由强制条件知 IJA.u!JH·llu!ln�a(u ,u)�/J[lull拓 因此
(1.6)
[IAu[IH'� 利ul!H.
这样4 勹 存在. 我们将证明A的值域R(A)一H'. R(A)是闭集若Au 了+ "'由(1.6) I I心一u,,, IIH�-- II Au. - Au IIH', B
首先证明
哪
因此 Un 是H的基本列. 由H的完备性,必有极限元素uf H, 又 由A的连续性,必有心厚 一 心, 因此“ 一 Au E R(A.), 这说明 R(A)是H'的闭子空间. 如果R(A)�H', 由正交分解定理,必 存在,飞订,v'�0且v'J_R(A入由H的自反性,必存在vE H 使得(v', •) H, 一< • ,,, 〉, 应用强制性, , 0一(小心)H' 一 (心, g 〉�1Jll11 llt
>
0.
这一矛盾说明R(A)一H', 因此必存在唯一的“适合Au (1.5)与(1.6)立即得到(1.3)与(1.4).
一
f, 由
§2. 椭圆型方程的弱解 设9是忙的有界开区域,为简单起见,我们总假定n�3. 这一章我们将在9上考虑散度型椭圆型方程 Lu - -D;(a;; D;u + di u) + (h;D;u 十 c心一
I+
D;f仁 {2.1)
上式及以下各处都遵照求和约定,对重复脚标i刃将从1至“求
·a
和,D;-- 对于算子L, 本章总做如下的假定: 8矿 • I •
壮E L (D), 00
又存在正常数从A使得 2 ll�l �ai'(x)� 品�A飞12, VgER•, xED.
艺 !JbillL11 心)+ 艺矿归 ( SJ) "
,,
'= 1
,= 1
下面我们简记Sobolev空间 E H1 (Q), 我们记 a(u,v)
在引理2.1 的.
一j
D
+
!] C !! L ff/l(!J)�A.
w -t · 心) =H心).
(1.2) (2.3)
对于
u,11
{ (a;; 卯+心)加
+ (b;D;u 十 cu)叶心.
的证明过程中我们将看到上面的各项积分是有意义
定义2.1. 对于TEH飞0) (HKD) 的对偶空间), gE H 1 (!J), 称u E H 1 (D)为Dirichlet问题 的弱解,如果
U
满足
{Lu 一 T, 在9内, u 一 g, 在
ao
上
(2.4)
r(u,v) - (T, 份,Vv E H:(o), “ 一 g E Hi(!J).
(2.5)
引理2.1. 设L的系数满足条件(2.2), (2.3), Q为氏的有界
开区域,则a(u,v)为HKO)上的有界双线性型.
证明.利用Holder不等式与条件(2.2), 可得 II
D
砬D;uD;v心I�A llull H�II vii H�O 使得当µ�fl. 时,非齐次Dirichlet问题
t· u
存在唯一的弱解.
十
一
µ. u - T,
(2.9)
g E Hi(lJ)
证明.由弱解的定义,与间题(2.9)相应的双线性型为a(u, 11) +队:u, ti)L (Q). 弱解“满足 2
(u,11)+µ(u, 心一(T, 份,Vv E ffl(O), 一 g EHi(o),
r u
这里(u,11为全(u ,II)L (Q). 现在令“ 2
于寻求zu E H�(Q), 使其满足 •
, i
'
一
u
一
(2.10)
g, 则问题(2.10)等价
.,.
a(w,v) +µ(w,v)0 = (T ,v) - a(g,v) -µ(g,v)o, (2.11) VvEH�(Q).
由引理2.1与2. 2, 当
µ
�µ 时a (w , v) +µ(w , 心是Hi(IJ)
上的有界强制双线性型,不难验证(T, 吟一a(g,v)-µ(g,v)。是 Hi(D)上的连续线性泛函. 由Lax- Milgram定理方程(2.11)存 在唯一的解w E H�(Q), u = w 十 g即为问题(2.9)的弱解.
§3. Fredholm二择 一 定理 Fredholm二择一定理在Banach空间的表述如下:
定理3.1. 设V是赋范线性空间, A:V--+V是 一 紧线性算
子,1是V的恒同算子,则只有以下两种可能发生: (1)存在XE V, X 兰 o, 使得x- Ax = o.
(2)对于任意y EV, 存在唯一的XE V'使得 x- Ax = Y.
在第二种情况下(I-A尸是有界线性算子. 此外,我们还可得 到: A的谱是离散的,除0之外不可能有其他极限点,每 一 特征值 的重数是有限的.
这个定理的证明在泛函分析的教科书中都能找到. 下面我们 将把它应用于椭圆型方程的Dirichlet问题.
定理3.2. 设L与9满足定理2.3的限定,则问题(2.9)只有以
下两种可能: (1)对于任意TEH飞Q) , g E H1 (!J) , 问题(2.9)有唯一的 弱解.
(2)存在非零u E H�(/J), 使得Lu 队u,11) 一 o, V11 E HKQ)).
。
十
µ.u
一
0(即a(u, v )
+
此外,使第二种情况成立的µ是离散的, 只能以 00 为极限点,
对于每一特征值p,, 相应的特征函数空间是有限维的. 证明. 不妨设g == 0 (参看定理2.3的证明). 对于固定的
uE:L1 (Q), (u, •)。是H氐(fJ)上的有界线性泛函,因此存在有界 • 6 •
线性算子P: L 2 (Q)
一
H l(!J), 使得 (u,v为= (Pu,v), VuE L 2 (t:J), vEH氏(O). -'JI,
设1是由H长Q)到L 2 (Q)的嵌人算子,由引理2.1的附注与上 述的事实,我们可把(2.9)写成: 求u E H�(Q)使得 巨+ µ PI u = T. 定理2.3的结论说明必存在fl>
o,
斐得(L
(3.1)
+ ,aPJ尸存在,且
为H飞SJ)--), H从Q)的有界线性算子.记G=(L+µPJ)飞将 算子G作用于方程(3.1)之后得到 U
一
(µ-µ)GP lu
一
GT.
(3.2)
方程(3.1)与(3.2)是等价的. 由于HKQ)到L 2 (Q)的嵌人算子 是紧的,因此GPJ是H�(Q)到其自身的紧线性算子. 现在对方 程(3.2)应用定理3.1立即得到所要的结论.
钰弱解的极值原理 极值原理有多种证明方法,De Giorgi迭戊与Moser迭代是 两种常用方法, 它们也是目前偏微研究中的重要手段. 本书将在 不同的地方加以介绍. 这里我们采用De Giorgi迭代方法. De Giorgi迭代往往归结为如下的引理: 引理4.1. 设叭t)是定义于[从+oo)的非负非增函数,当 h>k�k。时满足 C
叭h)�
0 (h - k.)
其中a> O,{J >匕 则有 斗i(如十d)
这里
l
一 0,
d = C ;.[叭知) ]
(4.2)
, 且一 仁 a
2
(4.1)
·.
(4.3)
` {
, ? 一 . 可
证明, 定义数列
[cp(k)]fl,
d 七一知+d-� 2'
(s
0,1,2, ···).
一
条件(4.1)给出了以下递推公式 q,(k,+1)�
C
2::
1沁
(s
[叭k,)]fl
一
O,l,2, ···).
(4.4)
我们将用归纳法证明
( $ 一 0,1,2, ···),
叭 k,)� 迅炉 r'
其中r > 1待定.设不等式(4.5)对于
假设
礼,)�
C
2::
1)a
k时
k)飞当h>k时 [!cpllt z *�(h
应用引理4.1, 则有 A(ko
+
。
时.
— k) I A(h)凡
“ (CF。) IA(h)I� i"* I A(k.) I (h 一 k)
• lO•
当 k�k
亚动
P(,. -2)
d)
.l
, 当h>k�k。时.
一 o,
(4.16)
其中 d 这样
一
C和A(k。)
。
l
1
ess sup u�k +d¾k
石
!!皂 -1·Zic11 一 •>. 1
。+
CF
。
IOI
了1 一 .l,,
(4.17)
•
为估计从我们分两步进行. 第一步:由于 和A(k)I�! 因此只须取
心X
D
==
!lu((i•,
~
。
K �(2C) 飞 llu肛且心�sup仗, ctD 必有(4.15)成立.由(4.17)立即得到 ess sup u�sup u+ o ao
+
C
!lullL气co,+
。
CF IDI
1 1 百 一下
•
(4.18)
第二步:由(4.18), 我们知道“有本性上界,但我们必须进 一 (u 一 步去掉(4.18)右端的第二项.记M = ess sup u 一 J, V 一
"i) + . 我们将考虑函数
印-
1n卫-½:_s._±_ 互 M + s +F。 一”
(4.19)
了 所满足的方程,其中F。 一 F 。 IJJI 入 6 是在意正数为此我们取 l
l
检验函数
" 一一 E HKD 中一 . ·-- ------严二 ). M+
七十几
一
”
(4.20)
类似于(4.10), 我们有 a(u,肛使(4.15)成立.于是由(4.17) ess sup正至sup u+ ao
注意到M
一1
一
ess sup
+
矿一
+
(1一勺) (M
CF。心I
-1_-J n
-t-s+ 沁
•
sup矿与e的任意性,我们立即有 8D
ess sup u�sup旷+ CF c)f}
。 I'11
l
l
石一石
•
定理证乳 附注.如果关于L的系数的条件(2.2)加强为
芝 II b II LP(D) +芝 i
!!J i ll 让(D>
+
(2. 2)'
lie [ILp/a(!J)�A,
其中p> n, 则定理4.2的结论(4.9)中常数C只依赖于n,p, A/勺
与D, 而不依赖于凡礼
例如
J
的具体形式与l&J I的下界.
o, 我们可证明 {心妇+归D;cp + C 忖}叫
事实上,对于任意
IL
C
8
>
切
O n
t' 1
IDu(r,r)I�C[u]_
ER
允
(Z) fl是某 一 ”重指标,则存在C
一 C(n,a,p)使得
[D'十1u]. �sup[DD�u(x ,, r)]! �C [D fl十l u 1 a '
一
. (2.9)
T>O
(2.10)
l DD fl 小K表示关于工变量的Holder模. 其中Dfl十 证明. (2.9)是引理2.2与引理2.3的直接推论. 不等式(2.10)的第 一 部分是显然的.事实上对于l>O I D� +1 u(x ,1) - D�+lu(y ,1) I lz-yl"
�sup [D, 1 u]七 r>o
令.t-+O, 则有 • 24 .•
欢
[D沁la�
[D沁比
+
现在证明(2.10)的第二个不等式.令y ==- x
k, A,u
~
一
u(x
h), 则 IDD位(x, 了)一DD位(y,r)I IDD只(u�.A.,,u)(x,r) I ..........__...--._,,,, IDD!(u 一 A 矗 u)(x,r)t�C [D 8+1 (u 一 A 矗 u)lo,
一
一
最后的不等式应用了引理2.2的(2.7) (当K 此立即可得(2.1 o).
§3.
位势方程解的
2
c ,a
+
一 1, a= 1时).由
估计
由§2知道,关于解的Holder模估计可简化为其磨光函数 的微商估计,因此我们首先需要位势方程解的微商估计公式. 引理3.1. 设u€ c•(R•)且满足 一 Au 一 I, 其中A是Laplace算子,则对于任意R > O, 我们有
"
ID;u(元) I�- osc u R环(雾)
+
.(i
R sup I/ I BRcr>
(3.1)
这里osc u表示”在9上的振幅. 证明.不妨设工为坐标原点,并记F
!
,
叩 (D
心心 一 \ aa
_ p彝
一
I
-沪 另 一 方面
J•.
A(D;11)d:r
,.
出
8p
.
-
t
足0
。 一 sup I fl. 由Gauss公 BR(d
妞坚心 Br
1 a·-v-·I;; lp'一 f 劝 iw,=I
一 1,2, • ••,n),
(pro ) 如 D;11ds].
Au cos (r, 尤,)dS ., 2,,- •
,.. - !
jcos(r, r;)dS.
联合上两式,我们有
I..
士嘉. [产
勺
D;uds].,.; nw.F
。,
其中o霹是“维单位球体积.. 不等式两边关于P从0至 到 士
r 积分得
[r•-• ts, D;utlS - nw D,u(O)] .,.; nc,,平 彝
不等式两边同乘以r 广l 之后再关于r从0至R积分,则有 士
整理后得
[t, D1u心
一
心(O)I.,;: RF。十1 .;;; R几十
心D 心)
1�
心丸
左扫炉叫
1
石
�RF。十工。 SC R B
If ••• 关于x, 口微商两次后得到 -.6.D屯 (x,-r)
一
o.
D芍(x,r) 应用引理3.1(限制上式vi 为DD 怎 ),则有 IDD汪(x,, t') l 冬 C {�osc DD改江) + R sup ID节1} BR 心 R BR(Zu>
}
�C { _!__ 一 [DD :c u]: +'R sup I D2g I• RI ” BR(zo> 我们取r�R, 应用引理2.1与引理2.3的推论(2), 则 1 ” 一1一0 了 sup·I ti 产 "IDD泣(xo,r) I�C 一 。 [D丸+ R-r ' R
(— 一
一
BR丘(叩
)•
现在取R Ni-, N待定,又应用估计(3.5), 则 一 廿勹DD泣(x0 ,r) l�C{Na 1 [D2u 1 a + N l+a l/l ai}• 应用引理2.3的推论(1), 则 一 [D2u ] a �C sup r 1 fll JDD泣(允o, r) I 1'> 0 1toE'R 11
�C{Na l [D 切 L + N1 + .. [几}. 一
一I
选取N充分大使得CNa
_!__, 则得到所要的估计(3.3). 2
..., _
我们很容易将此结果推广到常系数椭圆型方程 D;;u 一 I,
-让
(3.6)
这里遵从求和约定.假设常系数矩阵(a;;)满足 1
,t I�1 2�a 1 �;�; �A_I汗,欢ER•,
.
_
(3. �)
其中A�l > O. 定理3.3. 设u E C�·"(R 娜 ) (O 0时,
Lt
一 �C[R0 1[DD 怎 1t1 ]0+ R-r-2 sup 与定理3.2的证明类似,取R 分大,则有
山
L
一 Ni-, 利用引理2.3, 然后取N充 BR+I' o, 一 a'iD;;z + b'D;z > 0,
在9内,
则关于切的微分不等式(6.4)就化归为(1)中所讨论的情况.不妨 设9包含于0 l, 可测函数称 ZJ1.t
为属于弱L'空间(记为L!,(Q)), 如果 inf {A I邓t)�,-pA P 冲> O} < oo.'> (1.4) 叩心 (Q)
一
. .., .
一
这里需要注意n·11 L1�(JJ> 不是范数此外L!(D) L气切, 事 实上由于llf心一inf{t\l凡) = O}, 因此当t�\)fl匕时儿位)一 o, 当t < lllllc:io时加) > o, 由定义(1.4)则有llf II 心一 Ill 11£ ID • 此外可以证明 (1.5) L'(!J)�L!,(D)CL9(0), Vq < p, q�1. 事实上对于IE L P (Q) r·· 由(1.4)
r'meas.A.,(f)�
, :,,.';
、
L.
lf(x) I Pdx�1 [J·. 1/(x}l'上
lit I L , �Iii II 止 又如果f E L!,(D), 由引理1.1(1.3) u,
J
/1
If If心一 q �q
CID
f f 可A,(f) I tlt
J>·-! A,(t) 0
冲+贮,•-•\ A,(f)由
�q I D I + Ill II {t, q
。
J: “ 五 一
O使得 IT{f + g)(尤汁 �Q(ITf(元) I + ITg(元) I), . ·: . · (l.6) Vf, g E L'(IJ), a.e.D. 拟线性映射T称为强(p,q)型的,如果存在C>O使得 IITfllLq, Vf E L'(D). � . , ·...,_:
,宁O(Q)
. i3r
IITllc,., 》 一 sui HTf tli.q/ lff 11£,,,. E: L
T称为弱 s} .,;:; meas {x E !J I I T f心) I>
+ meas�x E O 11 Tf心) t,> l
._
\
.
如果q < oo, 由(1.7),(1.8)与(1.9) 我们有 压(s).� (2QB 汇妇l_ sP 又由引理1.1 j11
ITf\'dx
一
+
. -�. . 七. �. ...` ,卜...
吵 _.一$
(2QB 况凶 . s'
一
+
!'
lfl>1',
0
lfl'dz
叶: ,,-, 一'ds L, .... IfI•.r.
(2QB,
(2Q /-? 冲 十 (2QB9
(l.�)
.
)�rs' •1 心) ds
�(2QB ,, 叶气 rs 广 广,叫'、
一
妒
i
Q
叫
If I 中 11
r,1/T 0
-
户劝
1
,.`
..
'
• If l•dr} lf1/1',-d . .... ,十 1
.•
尸 宁
.. 45•
-[毁必丫 p一, 十三r• r
取
Y
一
一
p
q
r
一
喟D
lfl'd 石
(B�B ;t)•i�C T II
,
!
00
定理证毕.
§2. 分解引理 1 引理2.1. 没f�O, f E L (R 爆 ), 则对于任意固定的 a> 0, 存在两个集合F与9使得: (i) R" FUQ,FnQ (ii) f(x)�a, a.e.F,
一
u
欠== 1
Q .t'{ Q .t}是两两不重叠且边平行于坐标轴
的立方体,满足如下估计 o< 其中
扣阳) dx�2 飞
(k
一 1,2···),
(Z.1)
加心一忒加扛
证明. 分解R"成等立方体网,其边长如此之大,使得对于任 意这样的立方体Q'都有 • 1ft•
王乙
(iii) {} -
一¢,
七 fdr�a. ,这是 一 定可以做到的,因为JR•/(X)心有限.将每一
er
又等分
成2• 个新的立方体Q勹此时可能出现两种情况: 情况1• 情况2.
t
f
O"
Q"
f d�
�a,
f心?>"`,产
当第二种情况成立时,我们选择这样的:__Q"为引理叙述中的立方
体Q ,t 之 一 ,对于此立方体,(3)显然成立,因为 a
< ,, fdx¾
扣
2
一
.\Q'I
fo ,
fd:r�2飞.
如果第 一 种情况出现,则继续剖分,直至情况2出现为止,然后定
一
义9为上述步骤中使情况2成立的所有立方体Q ,t 的并集,而令 F
R•\IJ. 这样,断言(i),(iii)显然成立.现在证明断言(ii).
对于任意“凡必存在这样的立方体列 {Q 扣·-,, 使得 rE 礼IQ,1--+0, 当�-. CX) 时 且对于每 一个
Q,
第 一 种情况成立.由于f可积,因此
i
/($) - lim -,;,;1 —- -·_ f (y)dy, a.e.-i.
, ... I Q,1°,
由此知道
f( 元)�a, a.e.P.
引理证毕.
由引理直接可得到
•. ; 炉
ID I�-1 11111 凶记).
事实上池(2.1)知
. 子
·
101 - .',E 如<笘 "• 1
�L舟 '""气- 11,n山记).
. ., .
上面的分解引理是属于Calderon与Zygmund的,它对于奇
}异积分算子的研究是十分重耍的,而且已成为测度论证的基本方 法(参看第六章§2).
§3. 位势方程的估计 人们熟知,Laplace方程的基本解为 I'(x)
.
(3.1)
f(x - ;)f(�)d;.
(3.2)
1
一
lxl
n(n一 2) 也,
1 一
霄
2
一对于f E C ;(If;)·, 考虑以f为密度的Newton位势
i
气===
满足
Rn
引理3.1. 没f E C0(R汃则Newton位势w E C 00 (R")且 ,-Aw 证明. 将(3.2)写成 叭x)
一
00
一
1
(3,3)
J, Vx ER•.
R,,
f(;)f (x - {)歧,
不难看出"'E C (R"). 应用分部积分公式 A叭x�
一
--i )Rn
f(g)A臣-�)兵 R
n
压 (x)
- lim 邕
-+O
8�;
8�;
L,,.., v, C;) 如 r
- -,:丹 再 一 次分部积分后得
旦 r(g)且臣-
I
Iii==•
从r(,)f(x
上面我们用到了Af(的一0 (当
l;I
一
;)d;
(x - g)Jg,
�)立tlS.
l�I
9;= o时).由r(�)· 的表达
式(3.1), 不难计算上述极限得到等式(3.3). 现在将( ii) 写成印 一 Nf, 其中N是C0(R•)至C 00 (R•)的
线性映射. 对于固定的i,j(l�;,;.�n)定义 多节·
其中加表示微分算子 的线性映射. 引理3.2.
Tf
一
, 8x;ax; 守
(3.4)
D;; 对,
潭 T也是由 C0(R•) 至c-(R )
T是L 2(R")至L 2(R")的有界线性算子,且 (3.5) IIT lb,2, �1.
证明.先设f E C0(R露 )油(3.3), 对于任意球肛
一
w LR f'心一!BR心) 2 =�L. D;; D;;wdz,
B从0)'
对上式右端两次分部积分后得
上R f'dx - LR 匀 (D叩)沿 干 -D 叩 + j R�D,w(D;;w R 叩
BB
现假设
I
的支集sptfc B Ro , 对于R > 2R。,当x E aBR时 也叫�J
ID 切 I�J
BR
。
BR
。
ID;T(x气) II 阳)
此等式蕴含墙
JR . 习
1 必勹胚
C ID和 - 切l阳)1农21息 1 忒芯 其中J只依赖于“ 墨
• 鲁9 •
证明. 利用中值公式
!
I Di;f(X -�) - D凇),"
l:r 1;;;.,,21 t·
¾l
I z1;;;,,21仑 1
±!D; 九 r(x一区) 11 ;, I心, ot=l
其中O
叶� �J!lfll
利用(3.16), 我们有
止
切 (f)�I沪+ meas { x E F* I I T扣) I>
�(41
+
O使得 a;;g ;; ; �.t I f I飞\/xEO,gER 籍 ,
习 l!a jj ii
仁('1)
+艺
a;; EC (ll)
!lb; !IL 气 SJ)
(i ,i
一
(4.3)
+ Uc IIL °" cD>¾A,
(4.4) (4.5)
1,2, · · • ,n).
这里的估计方法与Schauder内估计的方法相仿. 引理4.1. 设方程(4.1)的系数满足(4.3)
。
一 (4.5).
则存在仅
依赖于n,p,A/l与a;; 的连续模的正数R �1, 使得对于任意 0 < R�R,,如果BR 仁 Q,uE W沪(BR),l
s;; C
{_!_ llfllLP(B > + R-1!1ul1 入
R
让(BR >},
(4.6)
其中C依赖于n,p,A儿 证明不妨设入 一 L设趴的球心为石.用凝固法将方 程(4.1)写成 其中 }一f • 54
停
一 a ii (x。) D;;u 一 f,
+
(a;1(尤:)一a ii (x0 ))D;;i.『- b;D,u 一&M•
(4.7)
关于常系数糙圆型方程(4.7)有类似于定理3.6的结果,飞比 ijD 1 u.:L,'¾C !!fiJLt', (4.8) 其中C只依赖于n,p与A/ l ,..l = 1. 记a;'的连续模为 w(R)= sup Ja ii (x)-a ii (y)I. (4.9) l Yi..;;R t...;i .;...,;;n 由假定(4.5)当R _.. 0时,w(R)� 队由(4.8)可得 II 庄 ullLP�C { llfllL t, 十 w(R)[ID切胪+ !Ju胪叶. 1 取R。> o, 使得当O O}附近为零,又满足方程 则
一/::,. u 一 /,a.e.B:,
(5.1)
1lD2uJI LP(B炉 �C 11/1, •11,.PcB;>'
(5.2)
其中C只依赖于n,p. 证明.令 ,., 一 u(x'凸),当:r. �0时, 一u(z', 一心),当x },
(S.4)
l
其中C依赖于n ,p, A/ l, dist {!J',aSJ\S}以及a;; 的连续模. z
最后我们可得到 w 鲁P 全局估计. 定理5.4. 设砬属于C出方程(4.1)的系数满足(4.3)一
(4.5). 如果uEW气o)nw沪(D)且在9内几乎处处满足方程 (4.1), 则 2
llu!I w ''c1J>�C
{_!_l llfll
让 cD>
+
llull 让 CD)},
(5.5)
其中C依赖于n,p,A/l,D以及a•i的连续模. 这里我们必须强调,
w 2 ,,
估计依赖于砂的连续模,因此在
应用时必须特别小心. 附注考虑非齐次边值条件 u 其中
cp
一
中,在迎上,
(5.6)
E W攷D). 如果u E W2•1(IJ), u 一 q, E W�·"(O)且几乎 • 57 .• ,.,
』
..
'
处处满足方程(4.1), 则称 U 是Dirichlet问题(4.1), (5.6)的解(或 称为强解). 如果记
Jlcp II w2一7,•t-= inf{j] j E W 2 • 心),
+ lluNI] 让(D)), 其中tJ'c 仁 !JU�,c与N无关. 由估计(6.1),对于任意N·,N', sup luN - UN'I�sup lq:,N -中N''• 因此 UN 一 致收敛到某一函数u E C(D), 又由w 2 ., 内部估计 与对角线序列法,{u对可抽子序列在W,�双!J)意义下弱收敛 到u, 因此uEW诏(JJ) n C(D), 引理的结论由(6.5)可得到.
吓
现在考虑椭圆算子类 豆一江IL a叮)ii+ b i D; +
一一
满足(4.3) 一 (4.5),c�O}, (6.6) 其中(4.5)改成: l:c 翌总忖心)一a ii (,y)\�oo(R)(l�i,i� 立 当
R-+
C
胪时,叭R)�o.
1 定理6立如果对于任意LE立,otJ E C '1, Dirichlet问题 (4.1),(4.2)属于W2 •P(Q)(l < p < 00)的解都是唯一的. 则对 � ��1
于任意有界区域Q
,atJ E C汇间题(4.1),(4.2)的解u E W 2 '11(0)
必有估计 C
!lu\lw1、P(Q)�- Hill 让 (Dh A.
(6.7)
其中C只依赖于n,p ,A/l心以及w(R). 进一步可证:如果/ E L"(SJ)(l < p N
+
\]uNl] 让CD>}
+ C,
其中C与N无关,当N�2C时,则有 II uN !lw1 ·P�C. 因此存在IIN 的子序列在w 2 ·P(O)中弱收敛于某函数uE 2
w · 心), 同样a如妹,CN与坎也有子序列满足(6.2), 由此不 难验证uEW叩 co)nw尸(iJ)且满足Lu 一 0, [lu加一1'但 由定理关于唯一性的假定,上面事实是矛盾的. 于是(6.7)得证. 其次证明W
2iP
解的存在性. 同引理6.2证明的第一步一样,
考虑近似间题(6.3), 由于 ao 属于C心必具有外球性质,因此由 第二章定理7.2, 问题(6.3)存在解UN E c 2 ·�(iJ) n C (.D). 我们需 z
2 要证明UN E W ''(iJ), 那时可用w ,p全局估计,定理的结论垂
手可得. 为此只需证明压在每 一 边界点附近属于wz 人设工” ao. 由假定 aD EC沁设 V 与中是第 一 章定义5.1中的z, 的邻 域与映射. 我们可以磨光oBt的角点,因此不妨设8Bt充分光 滑. 令y一叭(%), 记UN(-y)一UN。心-l (分, 则沁满足方程 一政D,心+妗Dr沁+ cN 如= JN, • fO•
共中 砍一a 卢少丸,'6; 扣扣 CN
对于q
一
一
z==
i a�fy, 朊祝
CN呻飞fN
=压 O
+ b 豆杻
贮.
妇
max{n, 叶,伈E£i(Bt), 由定理6.1, 引理6.2, UN E
w2 ,q (Bt), 变换回变量x, 则压在x。附近屈于w 2 飞因而
属于w 2 .,, 这就是我们所需要的.定理证毕.
虽然定理6.3巳经得到了w2 ,, 解存在性的结果,但它是在唯 一性的前提下证朗的.当p�n时,由于有定理6.1, 可解性I问题 巳彻底解决了,但当p'其中q为任意�2整数虽然计算较 繁,但基本思路是Moser迭代 • 6ti •
在
(1.12)
中取检验函数中
一
妇 UJ 内(q�1), 其中CE c;;(B石),则
\
;B汀
妇切卢a;iD;wD 叩 ¾2q \
.'B..,
'
'五1 2 � 一炉D;吵; 1.."11 dx
(1.15)
_ .. ,
十}如u尸a ii D;wD心dx. B(I
., 1:."..
利用Young不等式
2q \ W \ Zq 一I � 2 q - l泸+ (2q)归, 2q
一,' �
于是由(1.15)可得
上\尽a•i伍卢D;wD;w�(2q) 2 叶砂 D;wDi�di Ba 2q Ba 十
勹 4q
+ 4q
I
C
2
Bu
l a i1 D;wD; 切心 I 切勺 '
Bu
i
.
'
'
俨
'
;,
吵上D;CD沁心,
整理之后并应用正定性条件(1.2)与估计(1.13), 我们得到 A.
j
B (1
,2 I 切 \ 2 "!D砂dx�CA(2q) 勺
+
I 6Aq'l
Ba
(1.16)
凇丙ID 奸dz,
其中C与q无关.对于B�l,r>O,o+r¾ 行取从工)为关 于凡与Bo+� 的截断函数,即
!;EC;'(Bs+'I"), O�{�l,
.
I
,
-·
.
3
2, '= 1当xEB�, IDCI�---,--., t'
今
注意到(应用Cauchy不等式与Young不等式) 2 ID(和叫 2 ") I�2q和叭 Z f甘D-\w I I + 2?;1Dtl lw 1 ' �,2 1切尸叶Dw 12 + ,2c2 1 w I 2q-2 + 4-r-l \·IQ心 2 2 2 ¾C2 lwJ2tJDwl2 + ?;2 \11112, + , q , + 4-r-1lwl f; 则由(1.16)司得
I..
ID(甘lw户) I d.x .a;;; C (2q) 2 • +
c .. --.,. J•.
行
. ., .
lw l 2 •d.r,
�
其中 C只依赖于 m A/l与(a - 1)飞
记
,
忙-=
n一 l
Sobolev嵌入定理,则有
(J., iw 严心 ) 取 q;
¼
,s;; C(2沪 +c 心忆
一 K. , 。 一 a,lJ; 仁1
8
a-1 0;_1 -一 i
-==-
(\
两边同时开长 ;
¼
2
�C(..)•o
n
2 (1.2)' a;(x,z,11) 11 ; �l11 l 2 一[µ(z - k)+J -旷, -b(x,z,11)sign z�A[闭+µ(z - k) + + /]. (i'. 7)
则定理仍然成立. 附注3. 如果结构条件(1.2)改为 a;(x,z, 心.,,; �I.,, I ""
- g"" ,
其中i-> 1, 其它结构条件、弱解的定义作相应的改动,那么也有 类似的定理成立. 以上附注请读者作为练习证明之.
§2. 有界弱解的Holder模 估计的方法类似于第四章§1, 但是这里所讨论的是相应于非 齐次方程的情况,此外在结构条件(1.3) ,(1.4)中我们可以看到b 关于凡的增长阶比I叭高一阶,这种增长阶条件称为自然结 .. 构条件,因为不符合这种增长阶条件就存在相应的Dirichlet问题 无古典解的反例. 定璞Z.1. 设方程(l.1)满足结构条件(l.2);(1.3)与(l.4)'
•,a'
u E W 1 ·2(B心是方程(l.l)在凡上的有界弱解,对于某q> n, 设 2一 l 一三 (2.1) F R f IIKIILq 十 R 气 lit + g2 lJ£t < oo,
。-
则对于任意p>O, .0
,, .
[f 压 由 叫,
l
4 m上l
..
o, 使得对于任意0e-A 飞由弱
(2p+l}e-Au]
(lD叮+ f)芍
一
(2P+1)e
一 Au dX.
然后通过与定理2.1类似的计算可得对于任意p > ess
·�r
即 ess 1�: u;::,,
一 五 •,;,;;; C
囚 矿叫\
¾凡 ; 叫
;,. ½ 甘
一
B,
u-•dr •
!
o,
-}
B,
U•d r
-t ]
u
矿 dx
i
]
与第四章定理1.3相同,为证定理,只须证明存在p卢>
炉 olwldx�C,
其中w
一
J
fJ - lnu, 现在取检验函数 Ba
口开D叮dx
1, 取{(元)为BR(动上的截断函数,其中R=- N飞 仁(心满足
c E c;(BR(心),知a) 一 1,
IDtl
det(-D切dx.
啪九,a;;; :
在上面取极限过程中应用了
det(-D'u)d
平.
Vm 心在C(立)上收敛于 tis'
(12 6) 这是
应用Sobolev嵌入定理的结果. 注意到rts crt并在(1.26)的
左端令8--...0, 则有所要的估计(1.20). 现在我们来讨论椭圆型方程 Lu 一— a iiDi;u + h;D;u
假设系数满足以下条件:
+
(a i )�O, 在9内, i
江卢 I
霹
L (D)
C�0, 在9内,
cu
一
,;;;;
t.
(1.27) (1.28)
B,
(1.29) (1.30)
其中勿 * 一[ det(a吟]飞 先考虑如下的特殊方程 L u 一- 让D;;u
。
。
一
,.
定理1.8. 设 u E C(D)n W识(tJ)'
L u�f, 系数a ii 满足条件(1.28), 则 • 104•
(1.31) 在9上几乎处处满足
骂p
u (s),,:;;;;
j+
d
s�f u (元) +�11-�\\口(中,
(1.32)
其中v = u - sup u(x). elf}
A
一
证明. 不妨设不等式(1.32)的右端是有限的. 现在记矩阵 (a;;), U (-D切,由引理1.1'在几上几乎处处有 u�o,
一
应用算术平匀值与几何平均值的不等式,我们有 -a ii D ;ju
1
= Trace(AU)�n [ det AU]• =n 勿 *[det(-D 2 u)] s , a.e.x Er九
因此在ri上几乎处件有
冗· det(-D 2 u)--c:::::
l "纫 *
f十
[—沪D;iU] < --. * "勿
应用定理1.7立即有所要的结果. 最后关于方程(1.27)我们得到如下的 A leksandrov 极值原 理: 定理1.9. 设 u E C(fJ)n W记(Q)满足方程Lu�I方程 (1.27)的系数满足条件(1.28),(1.29)与(1.30), 则
叩 u ,,-;
s荔r u
+
+ c\l
卢t
气 r,,
其中C只依赖于n, B与diamfJ. 证明. 令v = u 一 sup u飞由于Lu< a!)
-砂 D;;v�-b;D;v 十 l 其中b是向量(b '护,
(1.33)
,
I,
f�I Dul lbl
则在
+
r:
上有
f+,
•,h"). 应用Young不等式,可得 一1 --T -. , ] -让D;it/�[ I b I ,. 十µ一 "(f +)于[!Dul 口 +µ. IO
降
其中µ是待定正数. 记 g(p) 上式可写成
一 [}pl ¼
II
亡l
+
彝
·
IJ
"'亡 ]·-·,
霹
1 啊
一砂D i ;u• [g(Du)] �[ I 6尸+尸矿) ] .
(1.34) • lOS
11
先设uEC 2 (!J), 由引理1.4
忆;)
g(p)dp ,;;;;
。
L:
g(Du)det(-D'u)dx.
一 sup v(x)今M, 如果x。 E iJIJ,
此外,必存在x E !J, 使得叭Xo) 则M
一 o.
(1.35)
。
现在设r E O, 由引理1.3 (2)与引理1.5, B旦(0)cQ[x0 , v(x。) Jcx(r;).
又注意到 g(p)�2 2
一
"(I P I "十矿)飞
因此我们有
巨)
g(p)dp�) B,i
一
(O)
尸(IP尸十矿) •Jp
一 2 飞 In [1+( 叮 d ]. 2
,,
又由(1.35)则有 ln [ 1
+卫).]� 立 I rt g(Du)det(-D切dr. 叩
叫
(1.36)
类似于定理1.7的证明方法并注意到g(p)的有界性,可知上式对
于uE W记(0) II C (li)仍成立. (1.36)与(1.34)
类似于定理l.8的证明, 由
In [ l +心).]� 巴 1,: g( 加)[一:芦;u] du 玉伈[志尸µ凡.(么)·1,.,, 彝
如果1 + .i.
于是
o,
则令µ
心 M
• l06•
一
�exp 一
I 上-
旷
}I
芯丿
厚
•
此时有
[11, I J 彝
I f+ ; I s�p v(x)�Cd· Q
i 云
+I
仲}- I,
气 ,: ,
•
如果f
三
o, 取亿> o, 如同上述运算,然后令p-+ o. 定理证
毕. §2. Harnack不等式与解的Holder模内估计 我们将仿照散度型方程的De Giorgi-Nash估计的程序,先 建立局部极值原理,弱Harnack不等式,最后导出Harnack不 等式. 为计算简便,我们只考虑以下形式的方程 Lu = -a iiD,;u 一 儿在9内.
(2.1)
假设系数(让)满足 一 致椭圆型条件: ,1. > O, A几E;; r, Vz ED,
(2.2)
ii
其中l,A分别是矩阵(a (名))的最小特征值与最大特征值, T 是某 一 正常数. 定理2.1 (局部极值原理). 设方程(2.1)的系数满足 一 致 椭圆型条件(2.2), u E w 2 ••(!J)在9上几乎处处满足Lu�f, 又设//2 EL 霜 (O), 则对于任意p > O, Bu(,,)cD, 我们有·
郘 II..:; C [ ••!,., 111 K(i_i,· ·.. ,i.)I, I K(ii,• .. 心一1) (1 r I�tJI K(i.,·.. ,i. 一 1)I. . 由几的定义,则有K(i1 , · · ·,i 雇 一 1)cr,. 于是 几全
U Ker,.
fCEI
此外由(2.9), I几nr1
一
I
�IJ
U (Kn r)t KE, 艺 JK!
Kft,
.·f, 又设f/1 E L•(Q), 棹 在B叭y)CQ中非负,则存在p>O,C>l使得 霜
[ .)., I u\• 心 1 1 ,,;;;
1 t,, u + R 11+11口
C [ 忱
(2.10) (B,a(YJ ,
其中p,C只依赖于”与兀 这个定理的证明是相当冗长的,我们分为五步.
一 ?立二立,我们不妨设y为坐标 户 标变换 第• 一 步: 应用坐 • • 2R
原点,2R
一 L记
" - "+ 11+11
·
r
L nO, O 只须取 {J
LtJ�I gl
一
时,
__
丫· " I > 2 2a.
则有L 71 �0, 这里我们应用了 一 致椭圆型条件(2.1): A/-1 于是由(2.13)在B 十
fl
< T.
{x E B i , 叭心> O}上
+ 4/J'A
十·�;(节) X(B扣
其中X(B a )表示B。上的特征函数. 注意到
, . 1 � I 1 IJf IL B > 气 1
由Aleksandrov极值原理
sup-v�C[l B1
十
llv 十 fl
L 霉 CB o>
],
(勾“
其中C只依赖于几九o. 为了应用测度论证方法,我们将球转换为立方体, 由(2.15), sup v�C [ 1 + liu + UL•] 邑1
�C[l+IK:I
1. 霄
其中立一{x EK 山心> O}一{ r E K. f u
sup v], .IJ,
+ ti
“ 古,.
< 1 } , 如果 • 111•
一-··-·一, .,.,, ,..,,. ,
1
鸟�8全
芦!Kai
1 K.1
(4Ca)•
则 sup "�2C, Bt
即 inf (u B½
+ s)�J_.
(2 .16)
C
注意这里的C只考虑其依赖关系,而不计其大小. s__.O, 我们得到以下结论: 如果 IK 引 �fJ,
在(2.16)中令
IK 』
其中立一{x EK卫�1 }, 则有 inf u�C 飞 斗 现在取8 引
x_t
K 一 l - f ,�- -兰,显然 n ,./ 6 J
时
I ](!I
由上面的结论
一
B1. 则当
lfC1Kal�
I ,;.\Cr n 凡) 1-�BIK.I.
inf u
K归
坛仁
;;:: Binf u�C 飞 令
这就是所要证的. 第二 如果 ..步:对于任意正整数m, . 则
ir nKCII� 沪 I K(I I'
c-- ' · inf u 。 K
;?;
(2.17)
.. .
-
(2.18)
其中C是第 一 步的结论中所确定的常数. 当m=}时,上述结论显然成立. 采用归纳法,设上述结论对 m成立,要证它对于m+t也成立. 现在设
z
It
止
. .
• ll
tr nK.. I�lJ 咖+i lK.I.
(2�19)
记兑一尺与
几一U{K.J心)
n 岛K心) c 兑,
I rnK 心) I� 引 K,. (3')[}.
由引理2.2, 则有
ra = i C
一1
Ta
如果八一 m). 如果
(2.20)
.
K。 一 凡,则(2.20)缰含着(2.18) (以m+1代替 1rnR。,� 引八 I , 记 Cu, v满足方程 tJ
一
-a ii D尹, = Cf.
由第 一 步所给出的记号 V-
又记
f
V
十
I 啊让CB
,>·
一 c;;,
一 {x EB拉�1}, (2.20)意味着 r8乙入
因此由上述事实与(2.19),
1tn和�I 八,� 上 Ir n和 lJ
-凸 f nKal lJ
6畸 I
K"'!
一沪
I
和.
由归纳法假设
inf v�c-•, Ko
即
inf"�c-< +u. 啊
Ko
...
第三步:记 I' t一 {z E B1 I u(:切> t},
(2.21)
则存在C>l,µ.>O使得对于t>O有估计 • 113•
C
•
.
,,..
' �·
. ,.,,,,,.
• ...
I B.n r 丿 ,e;;c\B Ir�·-1 "
鼻
,
inf
打
�
(2.22)
t
其中C与µ只依赖于n, 兀 令,
,由第一步的结论中所采用的记号,相应地有;; =
一?
uf,, 记
巨刍扛EB扛(x) > 1} = r,, 如果!Banr,I o, 则(2.22)是显然的.现在设IB"nr,i�o, 则必存在正整数m使得 "'一1 沪 !K a i�I斤K a i�o \ K a i, 即 。1 ln ·一, .一 -• (]n8)-1�m�l + In If 门 Koil • (lnlJ)飞 iK,,. I 因 夕;>/ 由第二步的结论(2.18)
一
rrnK
inf v�C
一
k卫
"'�C 一 1
i巳“ 一 ln8一 1 /lnC, 贝O
[
l " lnr
I 和勹K,J i
r;:;-;r=-
I K.I
IT,UK« I�(C infi,)P.IK a l. Ko
由此不难得到(2.22). 纾归才:证明存在
驴 I'dx]
}
,;:;; C
由第三章引理1.1,
}酝
1> > 0
ju/P 心一 Pj-
使得
(tf u十五“心)).
(2.23)
,,-•1 B !l rt r t I dt
-寸, 广 1 JB
-x
nr,Jd,
十
p
J�勹,可 B
tt ()
T, ! dt ,
其中b是待定正常数.在上式右端第二项中应用第三步的估计,我 们得到 • 11 令·
仁 lul'd.r,;;; P 『 f可B.I dt + p�Cm:i l B.I尸劝,
其中m
。 一 inf u. Ba
仁
取 p
0
一
J.
µ/2, 则
lul'dx�b 1 IBal
+
取b =- C忐西,则 \B.
I ul'dx¾2C m� ¾ 2C 台
合
第互枣:利用覆盖技术证明
[4
I ul'd"] 古 ...;; C
Cmg'b-'IB .. I.
(tf u + 1l+IL.•}·
(i卧 u + 11+ IL , 它将在后面确定.现在构造闸函
这里门荫足Ix 已兄
"(劣)
1 一 一—
r'Ix
一
,1,,
其中?是待定大正数.容易计算 Lw
立_ —沁_ 一 a;; [p(p + 2)位�lz y_;)(x; yJ•+z] PI 工 一 ,1,+< _
一
凡 �. x一yl , ...1..• (p+ 2
一
rn),
上式应用了条件(2.2入取x, 的邻域 ._Ar, -
o n {,
丫n, 则在4气上 Lw�
YI < 3r}.
2凡 (3r)'+z•
(3.2)
,现在在J广,上考虑辅助函数 ,,(髯:) .... K切(箕?)一(11(:c)一u( 元o)) + (6,) 0 [ 山1 ] a ,8.K,.nlJD t 其中K是待定正常数.由(3.2)
L• 气芯� +2
• 118•
士
气) > o,
(3.3)
i I
如果取K > 3,+2 l_ I 入
L "°
尸飞此外在叮顺吐 叭:%)�o.
如果又取K > 4r门u ID'则在 心�K
a方,na上
灶-护- 2Jul 。 �o.
这样由Aleksandrov极值原理,当
。, 3
K ;;;,, r 1 max { 4 I uI
户
时在J飞上有叭x)�O, 即 叭幻
一
·/l+!lJ
。
u(x )�Kw位) + (6 r) "' [ u] o:,B.KrnBD
O,OO与
Ilg 11£"l,Ol,O o, 记柱形区域 BR.� =- {x 11 工 'I < R,O < x. < IJR}, B:
一
2''
一
3 6R {xllx'l 0使得 工亢
, 11,,
昂t.,;;
”十 Ril+』�,B:>). 2 (�罚
(3.19)
为简单起见,我们可以规范化,设 R=l, 入= 1 , i inf o·, O < p < 1使得对于 任意石E8D
文。
SC
D田 �CR,, VR > O,
其中fl, C依赖于n, 如 I"!, A,.儿Mui 中 h 与 i=1 BR_(�。)
其中
(3.23)
ao.
证明.首先令尸一 ” 一 如u满足方程 一 a'iD;;v 一一 a ii D 时) + F(x,u, 加,O),
设石召泣,
a il 一
『庄 (x,u, 加,-rD u)杠 ar;; 2
由于沉"1 E C 2 , 0
我们可以通过一个c 2 微分同胚将
沉}在 Zo 的邻域展平,并使 x。在9的邻域映为Bt, 由上面的 Krylov引理 [Dv] 111stJBf n
�c.
现在映回原区域D, 并应用有限覆盖定理可得 [ Du l 11 ;Bl1�C. 歹
类似于内估计,考虑函数
• 138•
(3.24) 、
叶=(-1) 0 D1u
+ s 芝(D心2
(l
i=t
=:a
1 , 2, · · ·, n; 0 = 1 , 2). (3.25)
在引理3.2中巳证 fJF 一一—D;;叶�Ce 儿 (1
a吓
+
ID叫中).
由引理1. 又对于任意石E 80,r ED, 叶(心一叶(x。) .;;; c.1x一X产
(1
+孚[叶].,aR).
由叫的定义与(3.24), 上式蕴含蓿 心(:c) - D1u(z。) l-2sM1
�c.Jz对l求和后,并取s=
文 ID心)一Diu( ,)I 允
i -1
m气
允
1
—后,则有 4nM1
文 ID,心-加(动 �Cl 尤
l•l
一
艾• I 击,
0E BD,zE D.
父
由此立即得到(3.23). 这样由定理3.2的内估计与定理3.S的边界附近的估计,我们 可得到梯度的全局Holder模估计,即存在C�l,O X:1 在点(u, a) E X1 X 2的Fr 七chet导数记为G, 对于任意 hE Xu lE�, G:� � 凡称为G在(u,rr)的Frechet
偏导数. 隐函数定理设Xu�,X1是实Banach空间,G是由X心2 的某开子集到凡的映射,对于(uo,ao) EX1X2,G满足:
。
(1) G[u., o]一=
o.
(2) G在[u。,叫的邻域可微且其Frechet导数在(uo, uo) 连续. • 142•
(3)关于U的Frechet偏导数G�u�,a。)可逆.
则存在q在 户
2的邻域丿户 , 使得G[u, a]= 0对于每一个aE ..A 可解,即 对于每一aE .A户 ,存在Ua 使得G[ua , a]= O. 现在记 F[u] = F(x,u,Du,D切. 定理5.1. 设FE c 1 (r)且满足结构条件(Fl), 如果对于 某O n, 则u E C · (B忒句),其中 8
一
"
1--,
?
但若p�n, 则”并不 一定是Holder连续的. 关于Holder连续性的定理告诉我们:
但是Morrey的
定理1.1 (Morrey入 设u E w 1 ·'(B从句),p > l. 如果对 VxE B从句和Vp:O < p < d(:t:) R- Ix 一 z出有
一
忆•> I Dul'dx..;;; C (右厂,.
0 < IJ < 1,
(1.1)
则对Vr:O n时,L'•,.(!J)
{O},
(iv)若p�q, 且立二!!_�.!!_二卫,则L4•"(0) 已 Lt• (D). p 'I 卢
证明(i)显然. oo (ii)若正L (!J), 则 ,
ilu II .J..P'•�C \\ul\LP'µ n
+ p,
则豆p,µ(Q)一{常数}. 0 证明.首先证明:如果 uE C •'(fJ), 0 < 8 < l, 则
,
11E
幻· 凡 (JJ),µ=n+po, 且\lu\l !i P' 汽 D)�C l\ul\c: 叫 s,. 这里Uu\lc"' u归+ [u]o,8;!J (参看第二章定义1.1), 为书写简单起见,下面
我们常用Iulo和[u]o.i分剔表示l ulo心和[u]o,&:D• 设uE C 0 · 6 (D),O < o < 1, 则对Vx E JJ, Vz E Q(x,p), 我
们有
-i
仁 I心 l中) - ..... , �_J I Q (X, p)'., JI(ti•11) ¾--1;,
一霹
f -"'«,,/ u J••• I "
一
-
叭t)IM
心
• 171•
f
�C[u]。, fJ Zp 心-1dr 。 Ap 露 �C (n , A, o) [ u] o, 矿, 因而有
习 Q( ,p) l心- U ,p/Pdz�C(n,A,8,p)[上产曰 一 C(n,A,o,p)[u]沁, µ 一 n + pa. z
z
因此有
一
[u],,µ �C[u]o,a,
C(n, A, 其中 C u E !iL',.卢 (O), 且
a,
p).
又由于\Ju\\L P �IO I ! l. 11. I,, 故
t\u \]砰屯 D)�C\\uflc ° '3co),
其中C
一 C(n,A,o,p,l!JI), µ 一 n + p8.
其次证明:若u E�p,µ(O),n fJ 叭 (R)
+
Br欠 fJRP
红(+l)B [IP(R)
+
BR'
芝:
一
一
i=O
”
1一r' 亡 8)(.t+l) l一廿--,
-,;fl
因此,我们有 叭r -t+1 R)�c-r c.t+1>fl 切(R) 其中C
'Z'j(1"
I _'l'T
+
C(A,a,tJ).
]•
BR6],
(2.3)
现在,对心�R, 选k,使-r -t+1 R < P¾ 召凡于是,由0的
单调上升性和K的选法,以及不等式(2.3), 容易得到 叭p)� 叭 (r k R)�C卢叮(R)
+
�c 尸
+
�c, 其中C1
一
l(%Y
l烽)•
叭R)
O, 设f't Ei O (i 使得对V式ED和Vp,R :0 �C l]fl1L11心 .IR邓 C(n,N,l,A,µ, diam!J).
2立变系数椭圆组
0 定理2.5. 设A尔夕)满足 c 2.2), 13_ Arf E c cn), 1 A中�A (a,/1 = 1, · · ·,n;i,j = I,···,N), f't EL 扣 (.Q) (a 一 l, · · ·,n; i
一 1 , · · ·,N), 0
-+·
ilf 1li1, 霜
一
'(Q',Ill 毒 N>} R 11+28 飞
• 189•
由迭代引理知 \
., B ,, 心
I Du - (D�) 怎 •,,,! 2dx
� C{!)Dulli1w',R N) + llfll ia, 亢 巴(立 R N)} p"+za飞 其中C依赖于n,N,从A,lJ,s, !IA和lc•·w, dist(ii,ao)及diat心. 一
霄
由此知 0,3
彝
一g
DuEC,oc: 2(0,R"吟,Vs> O, 而且 11Dullc••6-½ 心,R• 趴
+ llfllrr·•H8(D',R彝N >}.
< C {IIDullL1(.0',R"N>
特别是,由此可知Du是局部有界的且有
I
D
BR(11t )
I Du I 2dx�C [ l)Du!f i1ca'.R 鹉N )
+
!lfll 沪(也R"N>] R 露 ,
其中C依赖于n,N,l,A,8,IIAffllc0•1J, dist(Q,8!J)以及diam!J. 将此再代入(2.18), 得
l
Bo 心
I Du - (Du江 ,P I 2dx
�C
+
(g_R)
霜
+2
, I Du - (Du)箕 , .寸心
\
.. BR(11t)
C [ ii Dul)i2 �C llf 11 让(BR.IR"N)' 其中C = C(n,N, 儿, A ,P). 定理得证.
下面我们研究线性散度型椭圆组弱解的L'局部估计. 定理2立.设u E H1 (!J'RN )满足 LA加) D,u'D.中"dx
一
\代 (x)D矿dx, I)
V中E Hi(D,R吟,
其中A汗EC (fl)'I A汗(无) I�A(i,i = 1, · · ·,N;a,fJ 一 l'... , 心,且A't/(x)轧轧 �l I ;! 2 , A> 0't: €- LP(Q) (i = l, ...' N; rt 1,···,n), p�2, 则Du E Lfoc(!> ,R n 吟,且对 vfJcco, 。
一
有估计
l]Du]l让(fl.]RnN ) �C(llullH 1( 如i N ) + Hill LP(D.R" >] , 八r
其中f
一句),
连续模.
C依赖于n , N , .t , A , p , dist ({j , 8Q)和A汗的
证明.只要对迈 c c !J , V xo E Q, \:/ R : 0 < R < dist (Q, 心),证明Du E L1(B R(句,R•N)即可. 歹
由假设知u E H (BR(句,即)满足
!
1
B'Ji. 怎 '>
Af;飞) D,,iD.qi
用凝固系数法将它改写为
\
BR(怎·>
..... :·
j
心一 \
�B�1r•)
f,
(元 )D矿丘
'i q, E C;'(B R (xu ) ,R N ).
(2.2)
店 (x.)D叫D对dx II
肛釭 )
UAif(义·') - A:'f(元) ]D 11 u 1 D oi 2**' 则Du E L 2 **(BRi 'R nN ),
于是继续进行上述
步骤,经有限步以后,总可得到Du E LP(B 色 ,R [IDu!] 让 (B�,R" 趴 �C{llfll, L心 ,R nN )
心
)且有估计
+ I 叫. Hl(D,R'!>},
其中C依赖于n,N, ,l, A,p, dist (iJ, 8Q)和心f的连续模. 证 毕.
注2.1. 在定理2.2中,A汗E C 0 (Q)这一条件是不可少的,请
参看第十二章§4中N.G.M�yers的例子.
• 20C•
第十一章
非线性椭圆组弱解的存在性 弓l
言
§1.
雪
.1
在本章中,我们考虑散度型非线性椭圆组 Da Af(x,u,Du) + B1(x,u,Du)= 0 (i=== l,•••,N) (1.1) 释 nN N 弱解的存在性问题.其中式,B;:Q X R X R -it>�, .!J是R
—
”
中的有界区域.“椭圆性 的意思将在下面说明令 (1.1)的弱解的定义与A'; , B; 满足什么样的结构条件有关. 在这里,和在第五章中一样,结构条件是指椭圆性条件和增长条件 的总和. 定义1.1.
r
若Af, B; 满足下列结构条件 Af (X'u'p) p� 诊 lip1 2 -Alul" - f飞),
" . :,,.
(L2)
+ 111! :i 十 f飞)), 1< IB;(x, u, p)I�A(\p! •-}> + lul r- 1 + f心)), 灯(x, u, p) ,s;; A,(lpl
(1.3)
2 其中i, A, A1 是正常数,片,f; �O,f ,ff E L (IJ), /; E L�(!J), 2n 而r 一 2*是2的Sobolev共枙指数(当n>i时,它等于 一一— , n-2
当n=2时,它可为[2, 十 00)内任一实数),则我们说灯, B ; 满足 可控制的结构条件.这里,(1.2)是糊圆性条件,(1.3)是增长条件, 我们称其为可控制的增长条件.
N l 在灯,趴满足可控制的结构条件时,我们可以在H (!J,R )
中寻找(1,1)的弱解. N 定义1.2. 当Af, B i 满足(1.2),(1.3)时,若u E 1/i (Q, R ) 满足 i } [尤(x, u, 加)归+ Bi(x, u, Du)cp ]dx s;
一 o,
(1.4)
• 201•
Vc1, E
Hl(.Q, RN) ,,
则说”是椭圆俎(1 1)的兢斛. 可控制的增长杀件(l.3)保证了积分恒等式(1.4)有意义,但这 组增长条件不十分自然,在N= l (单个方程)的情形, 我们知道, 自然的增长条件是
1 A"(x , u ,
p) I�A, (I p 1 + g C心), I B (X, u'p) I�A(Ip I 2 十 f (x)),
其中f,g>O, 且f'g E L 1 (0). 现在我们也来考虑与此相应的自然结构条件. 定义l立
若店,B; 当I叭�.M时满足 尤(x, u, p)p� � 儿 jpf 2 - Ad飞), (.r, u'p) I ,,,:;; Ai(I p I +代(x)),
{团
(1.5)
(1.6) 2 IB;(x, 凡 P)ll时, 一 般讲拟凸性比凸 2 性弱). 可以证明, 当FE C 时, F关于P的拟凸性蕴涵Legen dre-Hadamard条件(2.12)成立. 因此, 更为自然的是称满足 Legendre-Hadamard条件的积分泛函为正则积分泛函,而不是称 满足Legendre条件:
F
比咋
氐gb�0 (即F关于P凸)的积分
泛函为正则积分泛函. 但是由于下面研究椭圆组弱解正则性间题 的需要,我们常常还是假设Legendre条件成立, 甚至假设强Le gendre条件 N F g j l , l > 0 , V; E Rn I �A 氐扎 咕咋 成立, 而不是假设Legendre-Hadamard条件成立. 即使在强 Legendre-Hadamard条件 F PaI P13; ; 心和I;�
入
lg 旧寸,1>0
V;E R飞'1 E RN 下,也不能得到后面第十二章中所述的正则性结果,关于这方面的 讨论请参看[GS], [FU]. 1 (单个方程)的情形,Legendre-Hadamard条 当然,在N
一
件与Legendre条件是等价的. 2.3.
正则积分泛函在 Hl 中的可微性
在第2.2小节中我们研究了 J[u]
一
i
D
F(x,
11
, 加)”
在“心(D, 配)处的一阶变分的存在性(以下简称J的可微性), Iil i 一 并导出了J在 U 处的Euler方程组但 般讲,J在c (lJ, R ) 一 中不一定有极小点,我们在第2.1小节中证明了在 定杀件下J在 • 219•
户
t
H (Q, 即)的闭凸集沈 中有极小点.现在我们要研究J{u]在 u E H 1 (Q, 即)处的可微性并导出J在u E H 1 (!J, R N )处的Euler 方程组.须要注意的是,在这里,要泛函J可微,不但要求F有 一 定的可微性,而且还要求F满足适当的增长条件. 定理2立假设 1 ° F:D X RN X R nN ___. R关于 X 可测,且对a. e. x E Q, 关 i 于(u, p)属于c . 2 ° lV 2 - g1(x)¾F(x, u, p)�AV 1 + g2(元), 2 2 其中儿,A是正常数,V = (1 + !ul + lpl )合,g;(:c) ;?; 0, g 氏 L 1 (fJ) (i = l, 2), 且
『
只(x, u, p)I,;; C(lpl + lul j了
I 心(x,u,p)lCfJ,
其中
一
(1.8)
一 t)D心)dt,
—--,
he )一u i (元) -—一1一 h
• 215•
尸.,
由于心满足(1.2)和(1.3), 故A't;伈满足
总斡诊入 1 汗,儿>
!A 灯1i) 1 冬A 鲁
o,
(1.9)
现在,对VQccQ, Vx气Q, VR:O < R
f{ {J
+
'. ·�
[A7工 , +心归+ A�I ·D, D 叫lD胪 心 lB;:r, + B;,,;D叫+ B i p�D1D fl 记l扒心一
o.
其次,对VfJc 仁 Q, Vx乓Q, \f R: O < R < _!_ dist(O, aJJ), 2 o 取中一矿D,u, 其中 77 E Coe(B忒x ))满足(1.10), 则得 0 i DpD s u i D U DS 心x A \矿 i p d ./ Q
+ \Q
A''.,D 8 D叫• 271D « 11• D, 心x •r,,
+
旷A�r,Di1 D,u i dx
lf"J
,
+
\
D
+
I Afx .- • 211Da11• D, 心x Q
矿心D,u仇D,u;dx +
+ \ lJ TJ 2 Bi 工
,
D,u'dx
+
\ IJ A切.
2西• D,u1'D,u'dx'
\矿B ;";D,u;D出心 Q
旷B i t-'..D8D, u1 D出dx +\ , Q
-=
(1.12)
O.
通过简单的计算并利用(l.2)和(l.3)可得 因而有
归。, l'IDD,u !'dx�CI
1
B
R
(:,; O )
和炒)
(1
+ I D,11') I bu l'dx,
IDD,ui 2 dx至Cllu\\沁 .R 吓
a
其中C依赖于n, N, 1, A, dist (i:J, !J), 将对 S 的微商改为差商今 , ,u, 以上过程可以严密化而得到 �
宁
)
I Di:::J..,..,u I 2dx�C \lu.11沁式),
其中C仍依赖于上述诸量而与h无关. 而且可得D,u满足(1.7). 定理得证.
因此有"E -Hi 。 c:(D, RN )
但在自然结构条件下,上述结果 一 般讲不成立,这时只能证明 ..)1'•
i
连续弱解属于H � 即我们有 定理1.2. 假设A,BEC 1 , 满足自然结构条件(1.4), (1. 5 ), 且uE 1 L oo(Q, R N )满足
月n
(x, u, Du)Da cp i + B;(x, u, }凶 " "°
Du)矿]dx
一
o, (1.13)
V rp E H6n L (Q, R勺,
而且还假设u E C 0 (Q'RN 入则uE Hf 。 c(D, 即),且导数D,,� (s 一 1, • • ·, n)对任意中E H�n L OCl(Q'R N ), spt中co满足积分 恒等式(1.7). 证明.首先,与定理1.1类似,对'r/QCCfJ, Vx气Q, VR: O 1, 所以u,, 无界. 这个例子说明: De Giorgi的关于系数有界可测的散度型二 阶椭圆型方程的弱解必定Holder连续的结论在椭圆组(N> 1) 的清形是不成立的,因而不能用第五章的方法去研究散度型非线 a
性椭圆组弱解的c 1 , 正则性. 但是在系数充分光滑的情况下,究竟散度型非线性椭圆组的 弱解是否具有C 卫 正则性?或者,散度型拟线性椭圆组的弱解是 o 6
否具有 c , 正则性?这些问题从例1中仍然找不到答案.. 1968 年,E. Giusti和M. Miranda将De Giorgi的例子作了一些修 改,得到 一 个散度型拟线性椭圆组的例子,说明了上述间题的答案 是否定的. 例2 (Giusti-Miranda f 1968).
设9
n�3. 考虑
\灯,r (u)D u;D ti
B 1 (0}
叩; d X
一
B1(0)cR•,
N=
== 0'\:/ cp E HA (B 1 (0)'R 露 ),(2.5)
其中 伈+上一一_u;u°] 吓(u) ..... llo心+ n - 2 t + I" 1 2
伈+
X
这里心
一
{
1, u
一
('t
关
o,
4 n-2
”“
一言吵
p,
/1.
容易证明,A'tf(u);�g� �I; 几且灯!'(•)是”的实解析函 )I 1 数.但是向趾值函数u.l(xJ - -----·- E H (B 1,(0) ,. R•)是(2.5)的弱
比l
,,
--;
. ,..
•·.
-
..
一 中
. .~ . `
晌
2.U ..
解,却不连续. 还可以举出其系数十分光滑但其弱解不属于厅(Q, 的)的 散度型拟线性椭圆组的例子. 例3 (Necas, 1972). 设Q = B 1 (0)CR", N = n�5. 考 虑
\对 (X, U) D 8u; D a(JJ; d X
一
�B! (I)
O,V
I; I 2, A�f(x, u)十分光屑,且 n-2 X U 1 ...:= --- E H1 (B 1 (0), R 11 )是(2.6)的弱解.但是当y� 2 I xJ r 时,U1不属于H2 (B 1 (0)'R n ) • 另外还有许多例子说明椭圆组弱解的正则性问题要比二阶椭
- ,.一---—--
圆型方程弱解的正则性问题复杂得多,读者可以参看[GQ1l. 因此,1968年以后, 一 方面,对 一般形式的散度型椭圆组,从 C. 8. Morrey开始,研究弱解的所谓 “ 部分正则性 ” (即证明弱解 1 e 在9的一个开子集!Jo上具有c , 正则性,而meas(Q\Qo) = 0). 另 一 方面,对特殊形式的椭圆组进行具体分析,其中有许多椭圆组 ”
“
的弱解仍具有 处处正则性 ,例如可以参看[HB). 下面我们将在§3和§§4一5中分别介绍对一般形式的散度 型椭圆组研究弱解部分正则性的间接方法和直接方法.
§3
研究正则性的间接方法
本节中我们以下列散度型拟线性椭圆组为例来介绍研究弱解 的部分正则性的低接方法.考虑
, ii•.
-Da (A'tf(x, u)Deu1 ) = O.
(3.1)
在本节中,我们总假设当(x, u)ED X R N 时,有 A汗(x, u)轧扎�ll�l2, l>O, _
(3.2) (3.3)
IA寸(z, u)J�A,
其中l, A为常数.
出气
我们要证明的主要结果是 定理3.1. 假设A识石u)满足(3.2),(3.3), 且A计(x, u)在 Q X RN 上 一致连续,并没U E H{ oc (Q, R N )是(3.1)的弱解,则存 在开集Q产Q, 使u E Cf�i(O R罚, VO < li < 1, 且meas(!J\
。,
Qo) = 0 ,.
为了证明这个定理,我们需要下面几个引理。 弓 l 理3.2. (Caccioppoli不等式). 设u E Hi 。 c(Q, RN )是 0 (3.1)的弱解,其中系数灯f(x, u)满足(3.2),(3.3),则对Vx E O, 沁,R :0 < p < R < dist(式80), 有 )
!
其中C
B。心
IDul 2dx�
一 C(n, N, 1, A).
(R
C
一 p)'t
卢
•,
(3.4)
I 寸丸
这个引理可以和第八章定理2.1 一 样地进行证明. 引理3.3. 设b汗是常数,满足肘,梵忑店>门�1 2 , l>O, lh 寸I�A (i,J = l, · · ·, N; a, {3 = 1, · · ·, n). 并且设u E H� oc n L 2 (B 1 (0), RN )满足
{
, B, (01
则存在c 。 ===
砑D叫D对心
C
其中叭斗p)
。 (n, 一
p
一
0'\;/中E C;°(B1(0),
即),
N, .1., A)> 1, 使得对Vp:O
!B
Ju($)
这表明meas(l'J\00)
一
“心泊< s�,
一 o.
(iv)乌与8无关.事实上,可以证明当且仅当 liminf尸 ·O
户
l
lJ。心)
l心 .
-
材嵩·�p J 也一O
•J.31•
f
时红乌. 因为当
气fp一.
时,
一
·f f
B沪
心)一心 •P I z心一0
定存在Rp, 那么,
一
般
讲,此不等式就不成立了.不过,在前面我们也遇到过q>p的情 形,第四章定理1.4中的Harnack不等式就是 一 例.这表明在某 些情况下反向Holder不等式也会成立. • 23i•
而且以后我们会看到,
它在弱解正则性的研究中有重要应用. 定理4.1 (反向H 汕 lder不等式).
设B是R• 中的球,并设 1" g ? 0, g E L q(B), q > 1; f�0, f E L'(B), r > q; z o 对Vx0 E B和VR : 0 < R < dist (x0 , aB) /\ R。,有
忨工,,g 切x,,;;
。,
r
b[ 忆 ,,plx +
其中R b, 0是常数,b > 1, R 则存在s>O和C > O, 使
t., .•,
。> o,
卢+
e
f
0�8< 1,
g E L foe (B) , VP E [ q , q十的, 而且对VBRcB, R < R。,有
[f •• 1 肝心
l
2
其中C和
C
,,;;c
Hf.. 1 g也"
¼
a.,.,,K 飞,
十
[t.
/'tlx
J }• ½
依赖于b, 8, n, q, r, 而肛和BR是同心球.
关于这个定理的证明,请参看附录5或[GQl]. 下面我们利用定理4.1来证明椭圆组的弱解在 一 定条件下属 1 于 w ,,, p > 2. 为使证明的思路清晰,先研究线性齐次椭圆组. 定理4.2. 若 1 ° A汗(幻满足
00
A识Q霖 h� 川汀,l.>O; A汗E L (Q), IA'l/J�A; 2 ° u E H1 (Q, R罚满足 �A沁) D6 u i D0r:p,.dx fJ
则存在p > 2, 使
[f
BR 了
=
O, VcpEHb(!J, 即),
I Du I E Lfoc:(D), 1v .. 1 叫 t o;;; C
[f
(4.1)
而且对任意BRcQ, 有 由
压
I v.. 心] ,
(4.2)
其中C和P依赖于n, N, 1, A. 证明.对VB 仁 O, V炒 EB, VR: OZ的情形.此时,
r
-= -;;互了, 2 (1-
上)=n+2,,-l= 尸旦-. 利用Holder不等式和Sobolev r ; n 九 一 2 Poincare不等式,我们得到 \矿lu - uRI• BR
111 心
�[归 lu 产网气 B R 111 击d,e 严 Du归"l 川 111 哉 平计 I �C(n) [\ BR 一
� •I l
d,
压
BR BR
I Du归 x+ 空 B 示lu
一
UR I•
lI
BR
•
111
上 平 ,
击 d,
I ul 广1 d,
尤
, i s, ·
- I'12 I u
..-;; [『:R lu
一
一
UR I • l u I 己” 伟
u,.)
..L l
气可加 ul
-2. tlx]宁
f 为 Cl// 2 + 111 + I 旰)计了 , (} =上 2
使
{iJB [ I Du I铝 + \
lu 翌气叶
.1.
�c{[f (ID叮+ lu 尸)心 + [归 Cltl'+ I斤+心) �d凇}. 2n
厚
石
BR
令
p
一.,n+
彻 一..2一·一 , 由 2
H /ID
m
BR
..;; C
现在,将 • 240•
i
) BR
p>
+
lf
BR
n +2 知P>2 , 而且有 n
中+
l•I 气陆
(I Du I'+ I产酝严 (l/l'+伽+I 斤)才叫.
I和'd:·用
1 的积分来估计:
(4.12)
f心 BR
因此
dx = RP �C RP
[t 压 if I 气勺
[f
BR
BR
111 心
卢立气 J
凡心叶 ¾CR [f.R 111妇x] 翌
于是,当R 2. 定理4.4. 假设: 1 0 当lul�M时 (4.13) A只x, u, p)p� � 引?尸 -f气心, {团(x,11,P)i�A心I + f 飞), (4.14) IB,(x, u, P)I�A IPl 2 十 f心), 其中1, A, 儿是与M有关的正常数, 儿r: �o, 几 ff E L 11 (lJ), •>2, f,EL'(O), .1> I; 2 ° u E HJ. n L 00 (0, 即)满足
J " [A飞, u, Du)D平+B 心, u, Du沺]心
3 ° 2AM 2, 使uE W记(O,R吟,且对任意同心球Bl2
其中8
一
使I Du I E Lioc; (D), 且对任意BJCB 及仁 D, 当R(x0 , R) < sf, 那么必有
o,
使得如果对某个
4>(x0, -r-tR)�2s沪,tll.
巾于对任意p:O·3)
dim
雾(息 一 P;)
0, dim认I)
一 1, dim
零
(S)
一 z.
中,
6立奇异点集的Hausdorff维敷的估计 现在我们来估计椭圆组(3.1)和(S.l)的弱解的奇异点集的 Hausdorff维氪 我们已经证明了在定理3.1 (定理5.1)的条件 下,椭圆组(3.1) (椭圆组(5.l))的弱解在9的开子集D, 内局部 Holder连续,且
。
9 -{zEQ
归�f p1--• I..c,> I l心) I 让一叶,
(6.3)
因而Q\D 仁 :E, 其中 2
一{允 E D I li'!':!�f p' . ! ..,., ID心)心> o}. 一
(6.4)
由定理4.3'知存在p > 2 :, 使 I D111 E: L(oc(D). 利用Holder不 等式易知 • 255•
一
{i-2 la ,c, 霓
因此若令
I Du(..-) I 叫 ,;; {沪\ Bi•l I Du(-.. )\•叫 t. 合
l
,1
{
氐= .rE Olli空 �pp,-. l..c•> ID心心
>o},
(6.5)
则ECE霉一,.于是为了估计!J\Do的Hausdorff维数,只要估计 出E,._, 的Hausdorff维数即可.为此我们需要下列引理.
矗
,
引理6.2 (覆盖引理).设G是R可 中的有界集,且设r:x� r(元)是定义在G上值域在(0, 1)中的函数,那么一定存在一个点 1, 2,···)_, 使 列灼}, Xi E G (i
一
< 1 }. “
由于G有界, 故可找到一 个由有限个互不相交的球组成的 最大 的子球族 心))
1+�,( 动< 1,
;
一
1, • • •, n 1 },
”
“
2
一
心中的 一 个球相交.这样做下去, 一 且我们巳选好 Xi,• • •, 尤"' 一 1, -粤., 那么在满足2 十飞tr(元) 2, 使 I Du I E Lfoc: (D). p> n, 则由嵌入定理知"E C记(D, 即),lJ > o, 因而/Jo - D. 若2 < p�n, 则在引理6.3中取v 一 1 Du\ t, a 一 ,, 一 ,,, 便知 "'
辱 ._,(E霉一,)
一
o,
故�._,(Q\JJ,)
其中E.一,的定义见(6.5), 而D\D,cB 彝 一”
一 o.
• 2St•
附录
1
Sobolev 空间
Sobolev空间的有关知识是近代偏微分方程理论的基础知 识.在这个附录里,我们只列出本书中要用的一些结果. 除Poin care不等式外,其起均未给出证明,读者可在[AD], [MJ]等书 中查到这些证明. §1. 弱导数和Sobolcv空间W�·P(Q) 在介绍Sobolev空间之前先介绍 一 下弱导数的概念. 为此我 们先引进下列记号: 1 0 多重指标记号. 我们称“ 一 (a1, • • •, a.)为多重(n重) 指标,其中a;(i一I,•••, n)为非负整数,并规定la I - a1 +· · ·
+ n ,. ,
at - ad·• •a 霹 t, a�{J的意思是中�fl; (i
(/t) 一—仁一(m.;;;; ,8). a at(P- a)!
n),
一 1, .•• ,
2 。 高阶导数记号. 设9是R 觼 中的开集,尤 一 (尤1 , ••• , % 霄 ) R 是9中的点,u:0--+ R, 我们用 D u(心一D沁1D2• • • ·D:nu(x) = ---
a1a1"
---·-u(劣)表示叭心的叫价导数(如果这些导数存在的
O式... a 式露
话). 定义1.1. 设uEL比(D),a是多重指标,若存在vE L比(D),
i
使
D
uD飞工
一
( 一 1) I乒l!D 呼
对一切中E Ci(IJ)均成立, 则称,为
U
的叶介弱导数, 仍记作
11 - D0 u.
可以证明,弱导数D0u除零测集外是唯 一 确定的. • 2,0•
如果 一 个函数的所有 一 阶弱导数均存在,则说这个函数弱可
衙.如果它所有的直到 K 阶(包括 K 阶)的弱导数都存在,则说这 个函数K次弱可微.我们用W�(fJ)表示由K次弱可微函数组成 的线性空间. 定义1.2. 设K为非负整数,?为实数,p�l, {J为R"中的 开集.我们称集合 {uE W心) \ Dau E LP (0) , V国�k} 赋以范数 切w压丘)-
几互 \ D"u I' ,
冲
(1.1)
后得到的线性赋范空间为Sobolev空间w -t ·1(D). 可以证明,Wl•P(Q)在(l.l)中规定的范数下是 一 个Banach空 间. 当P=2时,常将w.t,,2 (t1)简记作庄(D). 定义1.3. W扣(Q)是c:(JJ)在w-t,P(Q)中的闭包. W沪(Q) = 命题1.1. wl·"(R") ::::::::: w扣(R"), W 0 •1(0)
一
[, P (Q), 但在一般情况下,w扣(Q)是w l ,P(Q)的真子空间. 下面我们来叙述w-t,, 心)中的二个逼近定理. 命题1立 l�p�C(n,q,D)l{u[[w 1tPca,, I'�q < +oo, p 2 0 若 ao 适当光滑 o , 则当?>”时,有
一
"
(1.6)
而且对任意u E W 1 •'(D), 有 llullco•acfJ� �C(n,p,O)Hu!lwi ."(D>.
(1.7 )
,
W 1 ·1(/J)cC 0 '°(D), 0 �C IID,ull 让(lJ). l)
见上页注脚 1).
" itJ "
2 0 设吓 L11(Q), l �C !lull 沁 I 欠 ( 心'
VuE H-t (R':. 入
命题2.2(逆迹定理).存在线性有界算子 R ` 尸: rr·H .t -½-, (R l 尸H.t(R!) 一
; -o
使得
• 264•
广
仁
了 -1
='、
其中1是但问算于. §3. Poinca让不等式 定理3.1. 设9是Rn中的有界区域. 10 若uE W汃Q), l�p< 十 oo, 则 0
0
2 若9是有界连通区域, w•· 心),1�p < +co, 则 J lu
其中心
(18)
归中�C(n, p, o)J IDul'dr,
一
证明•
一
atJ 满足局部Lipschitz条件,"
I 加 I'心,(1.9)
u叭'dx�C(n, P, fJ)
f:u心 一 心I Ludr.
L,
0
1 先考虑uE C吵)的清形.不妨设 JJccQ, R• I I x;I < a, i一1,···,n}. 令 沁) = {u(x), xE IJ, O, zE Q\D, 对VxE Q, 有
1 知) I,
因而有
=
I)�. v.u(t, 知
X
Q 一{xE
,I'
. . . ,心
�(2a) 户 J_. ID矿dx1�(2a)P-• }_.ID印dru
�!:�::f
i
_IDUl•Mr, { i l , .j:::�:;� : � : : : " � : l•;:1�!
令C(n, p, D)一(2a)1, 即得(3.1).
对于uE W沪(Q)的请形,只要利用C�(D)在W�·'(D)中 • 265•
的稠密性,即可得到(1.8). 2
0
为简单起见,我们仅就P>l的悄形证明(1.9), 至于忙>
1的情形,请参看[MJ). 由于在 U 上加 一 个常数以后,(1.9)不变,故不妨设心一
o.
现在假设(1.9)不真,那么对任意正整数k.., 都存在".t E w 1 •1(a), 满足
f
D
u让户..
o,
使
炉心> k
f
D
令 切
U,t
t ....
llu.tllL心) 则叭E W 1 ·'(D)有下列性质: (i) (ii) (iii)
t 11
Q
J
.tll£P(IJ)
D
一
1, 2,···),
o,
叭心一
切
(k
!Du.ti也
一
I,
ID纫 d 中<上. k
由(ii), (iii)知ll w ,t I w 1 •11ca>有界,故利用W'·'(fJ)中有界集的 1
弱列紧性和紧嵌入定理,知存在子列{111,t;}和w E W •1(0), 使 (1.10) (在L 1 (D)中强收敛), 气一切 D 印 .t;-D 印 (1.11) (在L'(!J, R") .中弱收敛), 由(iii)和(1.11)知D叭(元)一0 {a. e. x E D), 因而 a. e. xE D, 切(元)圭常数, 又由(i)和(1.10)知
t
D
w心一 o, 因而
切(元) 但由(ii)和(1.10)知
= o, 扣 11 让(Q)
a.e.rED. 一
1,
与(1.12)矛盾. 证毕. 推论3.1. 设肛是R• 中以R为半径的球. • 266•
(1.12)
1 0 若uE W汃B心l�p
l� f !u 一 "op> I dx, 再次应用Calder6n-Zygmund分解于囡数lu o?)
“叶) I' 则存在互不重迭的立方体列{Q网(将每 一 个Q� l) 所得 的立方体列合在 一 起)使得
\ Iu 艺 IQ?> I�-;; � , • o(O
压)
一
一
”砂压
u fJ产I�a, a.e. xEQ沪\
LJ
Q�:a),
(3.5) (3.6) • 269•
。一 l 与(3. 3), 由(3.5)可得 艺; IQ伊I¾ a 艺. IQ?'I¾ 飞" IQ止
注意到lu心 , Q
1
1-
事实上,如果xEQ。\ .r
E
l) Q叭UQ伊,
lu(允)
一
u
X
。,v
今. .
.,,,
Q丸
' ,
uo0 I < 2• 2飞,a. e. z E Q
,�
d
一
;
`』+
lu(x)
-
b
我们将证明
(3.7) '
(3.8)
Q; 1) , 那么(3.2)蕴含(3.8), 现在设
必属于某一Q�l:)主(3.6)与(3.4), 我们有
uo。 I�lu(x)
一
ufJ?'I
+ \ u0?'
一
Uo。 I�2. z•a.
(3.8)得证.归纳地重复上面的分解,对于任意整数k�I, 存在 互不重迭的立方体列{Q�u}使得 U �IQ) J.,;;;
lu(心 于是
沪• I'
U()。 I�k·2飞,a. e. x E Q
一
。\U;
Q丸
meas {x E Q0 ! 1 u(x)一uo0 I > 2撑 ka} ��IQ伈,�
一
古 IQol
Ck
一
1, 2,···).
0也成立.现在对于任意压(O,+oo), 上面的最后估计对于K 必存在整数k�O使得 2•吹< t�z•a(k + 1). 这样
meas{x E Qol I u(:t)一uoo l > ,} �meas{x E Q,l l u(劣) 一 "oo l > 2顷} 一 I 叫Q I' �ae I
U 畸
`缅 1
由此容易看出
。
mea.s{x E Q.: Me 飞)
> s}�
�3•
应用(4.8), 则有 meas{x E Q0: M心) • 272•
Q(r;, 3心)) n 釭
>
.,
�I Q(x;, 3 心)) n Q,I '- 1
�IQ(x;, r 伍)) nQ,I. `一 1
.
�I
s}� 翌$`一 1
()(11;.r(11;
»no。
tf (y)由
3• �- llfllL 1 (Q 。).
s
这说明M。是弱(1.1)型的,不等式(4.6)说明M也是弱(1,1)型的, 这就是所要证的. 推论 .
对于l
f IQ'i l,
{Q 廿中任意包含于 Q, 的那些立方体.对上
艺IQ, I< 主 L J If 2 叶1 If Io。,记 由于从心 I,
�IQ,I,
一 J. P
评 +1111
。
9
�P J�meas
I,
一 pr。 a -lµ(1.必. fl
上述积分是有意义的.利用估计(4.17), a'甘(a冲+ PJ'
2
a' 1 心)如 一
叶.,,,,,。
{心)>;}“心
• a1s•
+;
J:。 a,
P一 1µ(
�APl)f 井 lltt心。)十
取A
一 4 • z a, 则有 lq
>
f
g•dx
叮 glj1.,f({ J)t
l',t .;
}
(g •JJ F 心+
i) (5.23)
2{ll
心]. • 283•
一-1 -, 4
则有
?
酌 8 使得肛
g (5.24) ,;;;;;c a 。m,�注 ' q, 十 o。而>肛 ,F 心]. ,对于所有Q切与任意xEQ切,依上有相应的 x. 所有这样
l
U
叩
6。江
{Q。}构成 LJQ 切的一个覆盖,由覆盖引理(引理5.1), `寸,I 可以抽出子列 Q 。, i,Q 。, 2'... 使得 的立方体
对于每一6 们得到
。,
m,
JQ,ntg 中>11
此外,显然
(5.25)
。, "'f. 芝IQ 切 I�s• 艺IQ m
t .; .,
(5.24)都成立,这样由(5.18), (5.24)与(5.25), 我
(g心 •¾Cl• 一
·[L.rn...,., .. 6"'十
(g心•¾C 儿 q
\o,n•••,)
(gq,)• 心
一一
r··
一
团(,)
L. 而>•• Fdr, 一
+ l)Fllt,cR• > l. 利用Young不等式与to、F的定义,则有 一
lll'P llzPc 0 1 >�C [ II gl} L q 注意到主> 1 (当 p q
一
+
.l
ll M (fcp )中.t ], 口
q时定理的结论是显然的),算子M是强
停 f) 型的(附录4, Hardy-Littlewood极大定理的推论),于 是我们有
Jl tq>I) LPco,>�C [ Ila IILfcf) 1 > + Hill£Pco,>l ,
这个估计蕴含着定理的结论.
• 285•
参
考
文
献
Acerbi, E. & Fusco, N. [AF 1] Semicontinuity problems in the calculus of variations, A.rel. R 心 M�ch; .Anal.�86 (1984), 125一145. [AF2] A regularity th eorem f or m1n1m1zers of quas1conve:1. integrals ., pre 一 print, 1986. Adams, R. A. [AD]
Sobolev spaces. Academic Press, New York., 1975 (中汗本 :
凡A. 阿
达姆斯著,索伯列夫空间,人民教育出版社, 1981). Evans, L. C. [EV] Q uas1convex1ty and partial regularity in th e ca I cu 1 us o f variations, 4社. Rat. Mech. 心al., 95 (1986), 227 --252. Evans ., L. C. &·Gariepy ., R. F. [EG] Blow-up, compactness and partial regularity in the calculus of v 矿 riations, lndi ana University Math. J ., 36 (1987), 361-371. Pefferman. C. & Stein, E. M. [FS] HP spaces of several variables, Acta Math, 129 (1972), 137 一 193. Fuchs, M. (FU] Regularity theorems for nonlinear systems of partial differential equations under natural ellipticity conditions, 心al y sis, 7 (1987), 83 一 93. Fusco, N. & Hutchinson ,, J. [FH] c1,• parua . 1 regu \ anty · of f unctions m101mu1ng qua11convex integrals, manuscripta math., 54 (1985), 121 一 143. Giaquinta, M. [GQl] Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elli• ptic systems, Princeton University Press, Princeton, 1983. [GQ2] An introduction to the regularity theory for nonlinear elli p tic sys· tems, preprint, 1984. Giaquinta ,, M. & Modica, G. . 1 regu 1 anty • of m1n1m1zers of quasiconvex integrals, A 厚霄. ,,,,,_ [GM] P artta H. Poincare, Analyse non linlair,, 3 (1986)., 185 一 208. Giaquinta, M. & Soucek, J. [GS] Caccioppoli's inequality and Legendre-Ha.damard condition, M ,,A. Ann., 270 (1985), 105 一 107. Gilbarg, D. & Trudingcr, N. S. [GT] Elliptic partial differential equations ot second order, Springer一 Verlag, Heidelberg, New York, 1977 (中译本: D. 吉耳巴格 , N. S. 堪 丁格著,二阶椭圆型偏微分方程,上海科学技术出版社,1981), Hildebrandt, S.
• 286•
-;.
[HB]
Nonlinear e1'i p tic systems and harmonic mappings, Proc. Beijing S y mp. Diff. Geo. & Diff. Eq., Science Press, Beijing, China, Gordoo & Breach, New York, 1982.
Hong, M, C. (洪敏纯) [ HM] Existence and partial regularity in the calculus of variations, Annali di M atematica pura ed appli cat a, Vol. 149 (1987), 311-328. John, F. & Nirenberg, L. [ .TN J On functions of bounded mean oscillation, Comm. P11re Appl. Ma rh., 14 (1961), 415�4Z5.
Kpb口 OB, H. B.
[KL]
HeJIHH妞H 郎劝 Jl 血 THqec1