Schwingungslehre mit Maschinendynamik [3. Aufl.] 978-3-658-17961-8;978-3-658-17962-5

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XVII
Einleitung (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 1-25
Front Matter ....Pages 27-27
Bodenkräfte einer Rüttelmaschine (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 29-34
Auswuchten starrer Rotoren (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 35-44
Front Matter ....Pages 45-45
Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 47-67
Freie Schwingungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 69-76
Erzwungene Schwingungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 77-96
Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 97-105
Einschwing- und Anlaufvorgänge (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 107-118
Front Matter ....Pages 119-119
Schwinger mit zwei Freiheitsgraden (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 121-139
Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 141-147
Dreh- und Torsionsschwingungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 149-165
Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 167-188
Anisotrope Lagerungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 189-216
Rotorsysteme (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 217-248
Front Matter ....Pages 249-249
Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 251-263
Diskretisieren des Kontinuums (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 265-278
Balken-Biegeschwingungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 279-308
Front Matter ....Pages 309-309
Lösungen (Eberhard Brommundt, Delf Sachau)....Pages 311-512
Back Matter ....Pages 513-602

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Eberhard Brommundt Delf Sachau

Schwingungslehre mit Maschinendynamik 3. Auflage

Schwingungslehre mit Maschinendynamik

Eberhard Brommundt  Delf Sachau

Schwingungslehre mit Maschinendynamik 3., erweiterte und überarbeitete Auflage Mit 313 Aufgaben und Lösungen sowie zahlreichen Beispielen

Eberhard Brommundt Institut für Dynamik und Schwingungen TU Braunschweig Braunschweig, Deutschland

ISBN 978-3-658-17961-8 https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5

Delf Sachau Institut für Mechatronik Helmut Schmidt Universität der Bundeswehr Hamburg Hamburg, Deutschland

ISBN 978-3-658-17962-5 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf www.springer.com. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2008, 2014, 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Maschinen und Fahrzeuge werden leistungsfähiger, schneller und leichter. Dadurch werden sie anfälliger hinsichtlich dynamischer Lasten. Der Ingenieur muss nicht nur die Funktion von Geräten und Anlagen sicherstellen, sondern soll auch Umweltbelastungen durch Schwingungen und Lärm gering halten. Hierzu benötigt er fundierte Kenntnisse der Maschinendynamik und der Schwingungslehre. Dieses Buch ist für Studierende der Ingenieurwissenschaften an Fachhochschulen und Universitäten geschrieben worden. Es zeichnet sich methodisch dadurch aus, dass es den Leser anhand charakteristischer Fragestellungen aus der Maschinendynamik in die Schwingungslehre einführt. Deshalb beginnt die Schwingungsuntersuchung stets mit der Modellbildung, d. h. dem Eindringen in die Struktur und Physik des Systems, dem Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Ziel ist es, das Verständnis der Vorgehensweisen und das Denken in den Begriffen am Schwingungsverhalten einfach aufgebauter Maschinen zu lernen. Diese Grundlagen benötigt der Ingenieur später im Beruf auch zur Untersuchung der Dynamik mechatronischer Systeme mit Hilfe von Simulationsprogrammen, um die Rechnerergebnisse verstehen und bewerten zu können. Das Buch behandelt ausführlich lineare Schwingungen. Die Lösungen der Bewegungsgleichungen werden vor allem analytisch ausgearbeitet und diskutiert, numerisch gewonnene Ergebnisse in Diagrammen veranschaulicht. Den Text begleitende und ergänzende Aufgaben bieten dem Leser Gelegenheit zu Übung und Verständniskontrolle. Kap. 1 fasst mathematische Grundlagen in der Terminologie der Schwingungslehre zusammen. Der Leser hat die Freiheit, dieses Kapitel zu überfliegen, durchzuarbeiten, bei Bedarf nachzulesen oder als Formelsammlung zu benutzen. Dasselbe gilt für die Grundlagen aus der Technischen Mechanik, die im Anhang zusammengestellt sind. Das Buch ist entsprechend des Freiheitsgrades der jeweils betrachteten Systeme in vier Hauptabschnitte gegliedert: S TARRE M ASCHINEN UNTER DYNAMISCHER L AST (F REIHEITSGRAD N ULL ) nimmt die Modellbildung auf. Bewegungsgleichungen werden anfangs als Gleichgewichtsbedingungen, mit d’Alembert’schen Trägheits-Kräften und Momenten, später mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen formuliert. S CHWIN GER MIT EINEM F REIHEITSGRAD behandelt schwingungstechnische Grundbegriffe, Lösungsmethoden und Ergebnisausdeutungen. In D ISKRETE S CHWINGER MIT ZWEI UND MEHR F REIHEITSGRADEN wird die Schwingungsanalyse bei mehr Freiheitsgraden V

VI

Vorwort

vorgestellt. Darauf bauen Rotor-, Dreh- und Biege-Schwingungen sowie Modaltransformation auf. KONTINUA MIT EINEM FUNKTIONALEN F REIHEITSGRAD behandelt Wellen-Drehschwingungen und Balken-Biegeschwingungen. Damit wurde für die zweite Auflage der Inhalt neu strukturiert und ergänzt, um einen noch besseren Zugang zur Schwingungslehre mit Maschinendynamik zu gewährleisten. Die vorliegende dritte Auflage wurde überarbeitet und enthält nun Ergebnisse, auch teilweise ausführliche Lösungswege der Aufgaben. Die MATLAB® Programmcodes sind auf der Verlagshomepage beim Buch zu finden. Die Autoren danken den Mitarbeitern am Lehrstuhl für Mechatronik, die seit der ersten Auflage wesentlich zu den Lösungen der über 300 Aufgaben und den zugehörigen Matlab® -Programmen beigetragen haben. Braunschweig und Hamburg im März 2018

E. Brommundt D. Sachau

Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen

Formelzeichen a b eE eE f g h i j k l m n pE q q r r, ' s t u v vE w x xE x y

Beschleunigung Dämpferkonstante Einsvektor Spaltenmatrix der drei Einsvektoren eines kartesischen Achsensystems (einer Basis) Verschiebungen Fallbeschleunigung Höhe, Stoßantwort Übersetzung imaginäre Einheit Federsteifigkeit Länge Masse Freiheitsgrad Bewegungsgröße generalisierte Koordinate, Streckenlast Spaltenmatrix von generalisierten Koordinaten Exzentrizität, Radius Polarkoordinaten Abstand Zeit Ausschlag, Durchbiegung, Verschiebung Geschwindigkeit Geschwindigkeit Auslenkung Bewegung Ortsvektor Zustandsvektor Geschwindigkeits-Zustand VII

VIII

z A B C C D E F FE G H H I J E JE K K L E L M E M M N P P R T U V W W ˛ ı "    , ', z   '

Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen

Auslenkung des Wellendurchstoßpunktes (komplex) Fläche, Koeffizient Dämpfungsmatrix Konstante Schwerpunkt, Massenmittelpunkt Dämpfungsgrad Elastizitätsmodul, Energie, Extremum Kraft Kraft Gewicht Übertragungsfunktion Nachgiebigkeitsmatrix axiales Flächenmoment 2. Grades Massenmoment Trägheitstensor Körper Steifigkeitsmatrix Länge Drall Masse Moment Massenmatrix Normalkraft Punkt Leistung Drehmatrix Periodendauer Unwucht, statisches Moment Volumen, Vergrößerungsfunktion Arbeit Wellendurchstoßpunkt Winkel, Phase Abklingkoeffizient, Delta-Funktion Dehnung Eigenwert, Stangenverhältnis Reibungszahl Reibungswinkel Zylinderkoordinaten Spannung Schubspannung, Zeitpunkt Winkel (-Auslenkung); Phasenwinkel

Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen

, #, ' ! ˝

Eulerwinkel Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Erregerkreisfrequenz, Drehfrequenz

Dimension, Einheit, Betrag einer Größe; Beispiel x = 3 m x dim(x) [x] = m fxg = 3

Größe Länge Einheit (von x) Maßzahl (von x)

Indizes 0 i, j, k, l h p E

Anfangswert Zählindizes homogen Partikularlösung Extremwert

Sonstige Zeichen | | (absoluter) Betrag ^ Amplitude _ komplex ~ dimensionslos

Operationen d=dt Re Im xN

Zeitableitung Realteil Imaginärteil komplex konjugiert

IX

Inhaltsverzeichnis

1

Teil I 2

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Definition einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Harmonische Schwingung, Sinusschwingung . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Reelle Darstellung der harmonischen Schwingung . . . . 1.2.2 Dimensionslose Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Komplexe Darstellung harmonischer Schwingungen; Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Zeiger und Zeigerdiagramme für Ableitungen . . . . . . . 1.3 Allgemeine periodische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Manipulation periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . 1.3.3 Harmonische Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Harmonische Analyse periodischer Schwingungen . . . . 1.3.5 Zeitliche Mittelwerte und besondere Bezeichnungen . . . 1.4 Nichtperiodische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Fastperiodische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Modulierte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Schwebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Exponentiell wachsende und schwindende Schwingung . 1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 2 4

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5 8 8 9 9 10 12 18 18 19 19 21 22 24

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29 29 29 29 30 31 32

Starre Maschinen unter dynamischer Last (Freiheitsgrad Null) Bodenkräfte einer Rüttelmaschine . . . . . . . . 2.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Allgemeines Lösungsvorgehen . . 2.2.2 Entwurf des Modells . . . . . . . . 2.2.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . 2.2.4 Beschaffen der Systemparameter .

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XI

XII

Inhaltsverzeichnis

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32 32 33 33

Auswuchten starrer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Lageplan, Koordinaten, Kinematik . . . 3.3.2 Schwerpunktbeschleunigung und Drall 3.3.3 Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Diskussion der Lagerkräfte infolge Unwucht . . 3.5 Das Wuchten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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35 35 36 36 36 37 38 39 41 43

Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen . . . . 4.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vereinfachende Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Die Stütz- oder Federelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Ersatzsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Massenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Bemerkungen zu den Massenkräften . . . . . . . 4.3.2 Kinematik der Relativbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Kinetik der Relativbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Schwingungserregung durch bewegte Massen . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Reduktion der Erregerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Zeitverlauf der Erregung; Fourier-Zerlegung . . . . . . . . . 4.5 Gleichgewichtsbedingungen und Bewegungs-Differentialgleichung . 4.5.1 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Die Bewegungs-(Differential-)Gleichung . . . . . . . . . . . . 4.6 Allgemeine Aussagen; Ergänzende Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Überlagerung von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Schwinger mit negativer Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Pendel als nichtlineare Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Allgemeine Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Dimensionslose Schreibweise von Differentialgleichungen . . . . . .

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47 47 48 48 48 50 50 50 52 53 54 54 55 57 57 58 58 58 59 60 61 62 63

2.3 3

Teil II 4

2.2.5 Rechnerprogramm . . . . . . . . 2.2.6 Rechenergebnis/Interpretation 2.2.7 Aufzeichnung . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Schwinger mit einem Freiheitsgrad

Inhaltsverzeichnis

4.8

XIII

4.7.1 Vorgabe von Bezugsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Systematische Bestimmung systemeigner Bezugsgrößen . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 65

5

Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Bewegungsgleichung; Bemerkungen zur Nomenklatur . 5.2 Lösen der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ausdeuten der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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69 69 70 71 71 73 74

6

Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Allgemeine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . 6.2.1 Komplexe Schreibweise der Bewegungsgleichung 6.2.2 Berechnen der erzwungenen Schwingung . . . . . 6.2.3 Diagramme für Amplitudengang, Phasengang, Vergrößerungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Der Frequenzgang der Übertragungsfunktion . . . 6.2.5 Seismische Schwingungsaufnehmer . . . . . . . . . 6.3 Das Arbeiten mit Stoßerregung und Stoßantwort . . . . . . 6.3.1 Die Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Erregung durch einen Kraftstoß . . . . . . . . . . . 6.3.3 Erregerkraft als Stoßfolge . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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77 77 78 78 79

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83 85 87 89 90 91 93 94

7

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Wirkung der relativ bewegten Massen auf die Rahmenauslenkung 7.2 Wirkung der bewegten Bodenplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Passivisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Wirkung der bewegten Massen auf den Boden . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Aktivisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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97 97 100 103 103 104 104

8

Einschwing- und Anlaufvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Einschwingvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung; Anpassen an die Anfangsbedingungen . . . . . 8.1.2 Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Anlauf einer Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Berechnen einer Einhüllenden . . . . . . . . . .

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108 109 110 110 111

XIV

Inhaltsverzeichnis

8.3

Teil III

8.2.3 Erregeranlauf mit Resonanzdurchfahrt . . . . . . . . . . . . . . 112 8.2.4 Anlauf bei Unwuchterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Diskrete Schwinger mit zwei und mehr Freiheitsgraden

9

Schwinger mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Beispiele für Schwinger mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . 9.2 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . 9.2.2 Matrizenschreibweise der Bewegungsgleichungen . . . . 9.2.3 Koppelglieder in den Bewegungsgleichungen . . . . . . . 9.3 Lösen der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Formelmäßiges Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Freie Schwingungen: Zweimassenschwinger . . . . . . . 9.3.3 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Freie Schwingungen: Torsionsschwinger . . . . . . . . . . 9.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . 9.4.2 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Erregung 9.4.3 Erzwungene Schwingungen: Zweimassenschwinger . . . 9.4.4 Erzwungene Schwingungen: Torsionsschwinger . . . . . 9.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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121 121 123 123 124 125 126 126 127 130 131 132 132 133 135 136 138

10

Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse . . . . . 10.1 Orthogonalität der Eigenschwingungsformen . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Orthogonalitätsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Die Modalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Normieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Orthogonalisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Transformation der Schwingungsgleichung auf Modalkoordinaten 10.3 Anwendungsbeispiel: Dämpfungsfreie erzwungene harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Anwendungsbeispiel Rayleigh-Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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141 141 141 143 144 144 145

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Dreh- und Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Aufgabenstellung, Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Drehschwingungen eines Systems mit einer Übersetzung . . . . 11.2.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen nach Lagrange 11.2.2 Lösen des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Darstellung der Schwingungsformen . . . . . . . . . . .

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11

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149 149 151 151 153 154

Inhaltsverzeichnis

11.3 11.4

11.5

XV

Reduktion von Drehschwingern mit Übersetzungen auf eine Welle 11.3.1 Reduktion des Drehschwingers auf die Welle 1 . . . . . . . Erzwungene Drehschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Bewegungsgleichungen (nach Lagrange) . . . . . . . . . . . 11.4.2 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . .

155 156 157 158 160 163

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung 12.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Rotormasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Rotorsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Dämpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . 12.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Gewichtseinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Unwuchteinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Schlüsse aus den Untersuchungen . . . . . . . . . . 12.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

167 167 167 169 170 171 176 179 180 180 181 182 185 187

13

Anisotrope Lagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Steifigkeit des Lagerbocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Berechnen der Lagersteifigkeiten nach dem ersten Satz von Castigliano (vgl. Anhang, Abschn. B.4) . . . . . . . . . . 13.3.2 Einbau eines Versteifungselements – der zweite Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehängter Masse . . . . . 13.4.1 Modell und Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Eigenschwingungen des Lagerbocks . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Der Einfluss von Dämpfung auf die Eigenschwingungen – allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.4 Schwach gedämpfte Eigenschwingungen des Lagerbocks . 13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Experimente: Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

189 189 190 190

. 191 . . . .

193 196 196 197

. . . . . . .

200 202 203 204 204 205 213

XVI

14

Inhaltsverzeichnis

Rotorsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern . . . 14.1.1 Das System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Kreiselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Reelle Form der Kreisel-Bewegungsgleichungen 14.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teil IV 15

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

217 217 217 218 220 231 231 236 244 246

Kontinua mit einem funktionalen Freiheitsgrad

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen . . . . . . . . . . 15.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Herleiten der partiellen Dgl für die Drehschwingungen der Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Untersuchung der freien Schwingungen . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Eigenlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

251 253 257 259 262

16

Diskretisieren des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . 16.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen . . . 16.2.1 Vorbereitung für Lagrange-Gleichungen 16.2.2 Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . 16.2.3 Eigenschwingungen (Zahlenbeispiel) . . 16.3 Das Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen . . . 16.3.1 Die Ausgangsgleichungen . . . . . . . . . 16.3.2 Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 16.3.3 Formales Auswerten der Integrale . . . . 16.3.4 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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265 265 266 266 268 269 270 270 270 272 276 277

17

Balken-Biegeschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1 Aufgabe: Schwingungen einer Kranbrücke . . . . . . . . . . 17.2 Die partiellen Differentialgleichungen der Balkenbiegung . 17.2.1 Herleiten der Differentialgleichungen . . . . . . . . 17.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Eigenschwingungen der Kranbrücke . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

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. . . . . .

. . . . . .

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279 279 280 280 281 283

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. . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. 251 . 251 . 251

Inhaltsverzeichnis

17.4 17.5

17.6

Teil V 18

XVII

17.3.1 Bereichsweise Wahl der Längskoordinate . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Lösen der partiellen Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . 17.3.3 Zwei kleine Orientierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.4 Rand- und Übergangsbedingungen bei der Kranbrücke . . . . 17.3.5 Das Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diskretisieren des Kontinuums Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1 Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . Schwingungen der Kranbrücke nach dem Lastabfall . . . . . . . . . . . 17.5.1 Untersuchung des Lastabfalls mit globalen Ansatzfunktionen 17.5.2 Untersuchungen des Lastabfalls mit den Eigenschwingungen des Balkens als Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283 284 286 290 292 296 296 301 301 302 306

Lösungen Lösungen . . . . . . . . . . . . 18.1 Lösungen zu Kap. 1 . 18.2 Lösungen zu Kap. 2 . 18.3 Lösungen zu Kap. 3 . 18.4 Lösungen zu Kap. 4 . 18.5 Lösungen zu Kap. 5 . 18.6 Lösungen zu Kap. 6 . 18.7 Lösungen zu Kap. 7 . 18.8 Lösungen zu Kap. 8 . 18.9 Lösungen zu Kap. 9 . 18.10 Lösungen zu Kap. 10 18.11 Lösungen zu Kap. 11 18.12 Lösungen zu Kap. 12 18.13 Lösungen zu Kap. 13 18.14 Lösungen zu Kap. 14 18.15 Lösungen zu Kap. 15 18.16 Lösungen zu Kap. 16 18.17 Lösungen zu Kap. 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 326 329 336 351 362 381 387 398 410 418 440 449 476 484 491 501

A Einige Grundlagen aus der Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 B Arbeitsaussagen aus der Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 C Energieverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 D Hinweise zu Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

1

Einleitung

Die Normenreihe DIN 1311 legt Begriffe zu Schwingungen und schwingungsfähigen Systemen vorwiegend im Bereich der Mechanik fest. Wir halten uns überwiegend an die genormten Benennungen und Bezeichnungen, weichen jedoch des bildhaften Ausdrucks oder der Kürze halber (z. B. Periodendauer ! Periode) auch von der Norm ab. Einleitend werden hier vor allem die Grundbegriffe zusammengestellt (siehe DIN 1311, Teil 1). Dabei wird angenommen, dass die Einzelheiten dem Leser aus Mathematik und Technischer Mechanik bekannt sind. Die Zusammenstellung gibt vor allem die schwingungstechnische Sicht und Ausdrucksweise wieder.

1.1 Definition einer Schwingung Unter einer Schwingung versteht man einen Vorgang, bei dem sich die interessierende Größe x so mit der Zeit ändert, dass bestimmte Merkmale wiederkehren, s. Abb. 1.1. Im allgemeinen sprechen wir x als Ausschlag oder Auslenkung an. Der Augenblickswert von x sei eine (deterministische) Funktion der Zeit t: x D x.t/. Es ist unmöglich, eine Schwingung gegenüber einer allgemeinen Bewegung ohne Willkür abzugrenzen. Deshalb rechnet man auch Größen, die nur wenige Male zu- und abnehmen, impulsartig verlaufen, schwingend oder monoton abklingen zu den Schwingungen, s. Abb. 1.2. Wir nennen dann auch den zeitlichen Ablauf von x(t) Bewegung, gleichgültig,

Abb. 1.1 Schwingungen

x

x2 x3

0

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_1

x1

t

1

2

1

Abb. 1.2 Schwingungen: x1 (nicht monoton) abklingend, x2 kriechend (monoton) abklingend, x3 begrenzt, x4 impulsartig

Einleitung

x1

x

x4

x2

t

x3

0

ob es sich bei x um eine Ortskoordinate, einen Weg, einen Winkel, eine Geschwindigkeit, einen Strom usw. handelt.

1.2 Harmonische Schwingung, Sinusschwingung 1.2.1 Reelle Darstellung der harmonischen Schwingung Eine Schwingung x D x.t/, deren Zeitverlauf sich durch eine Kosinus- oder Sinusfunktion beschreiben lässt, heißt harmonische Schwingung oder Sinusschwingung (auch Kosinusschwingung) x D xO cos.!t C '0 / oder x D xO sin.!t C '0s /;

(1.1)

wo xO – Amplitude, ! – Kreisfrequenz, '0 – Nullphasenwinkel, '0s WD '0 C =2 sind. Abb. 1.3 zeigt den Zeitverlauf der harmonischen Schwingungen. Darin bedeutet T die Periodendauer (DIN 1311, hier auch kurz Periode), das ist die kürzeste Zeitspanne, nach der sich der Schwingungsverlauf x(t) wiederholt: x.t C T / D x.t/:

(1.2)

Zwischen der Periodendauer T und der Kreisfrequenz ! gelten die Beziehungen !T D 2

oder T D

2 : !

(1.3)

Das Argument der Kosinusfunktion von (1.1), '.t/ D !t C '0 ; Abb. 1.3 Harmonische Schwingung

x

(1.4)

T

x

t φ0/ω

T

1.2

Harmonische Schwingung, Sinusschwingung

3

heißt Phasenwinkel; '.0/ D '0 ist der Nullphasenwinkel. Im Laufe einer Periode ändert sich ' um 2, die Schwingung durchläuft eine Sinuswelle. Hinweis Es ist üblich, den Zahlenwert des Nullphasenwinkels '0 aus dem Intervall 0  '0 < 2 oder aus  < '0   zu wählen. Der Kehrwert der Periodendauer T liefert die Frequenz 1 (1.5) f D I T man kann sie als Anzahl der Sinuswellen pro Zeiteinheit lesen. Eliminiert man T mit (1.3), folgt der Zusammenhang zwischen Frequenz und Kreisfrequenz ! D 2f:

(1.6)

Dimensionen und Einheiten dim.x/ D dim.x/ O Œx D Œx O  je nach Größe; dim.T / D Zeit

ŒT  D s;

dim.!/ D 1=Zeit

Œ! D 1=s; auch Œ! D rad/s;

dim.f / D 1=Zeit

Œf  D 1=s; meist Œf  D Hz;

dim.'/ D 1

Œ' D 1; auch Œ' D rad:

Umformungen: Summen von Sinus- und Kosinusschwingungen gleicher Frequenz Zerlegung: Mit dem Additionstheorem cos.˛ C ˇ/ D cos ˛ cos ˇ  sin ˛ sin ˇ folgt aus (1.1) (1.7) x D xO cos.!t C '0 / D xO cos '0 cos !txO sin '0 sin !t; „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … xO c

xO s

also die Zerlegung x D xO c cos !t C xO s sin !t;

wo xO c WD xO cos '0 ; xO s WD xO sin '0 :

(1.8)

Die letzten beiden Gleichungen schreiben wir auch mit Zeilenmatrizen: .xO c ; xO s / D .xO cos '0 ; xO sin '0 /:

(1.9)

Zusammenfassung: Kehrt man diese Transformation um, erhält man zur Summe x D xO c cos !t C xO s sin !t die Form x D xO cos.!t C '0 /, wo q xO D xO c2 C xO s2 ;



xO s '0 D arctan  xO c

 I

(1.10)

dabei muss der Quadrant von '0 so gewählt werden, dass (1.9) mit den richtigen Vorzeichen erfüllt ist; vgl. obigen Hinweis.

4

1

1.2.2

Einleitung

Dimensionslose Schreibweisen

Drückt man in der harmonischen Schwingung nach (1.1) die Kreisfrequenz ! gemäß (1.3) durch die Periodendauer aus und dividiert die entstandene Gleichung durch die Amplitude x, O so erhält man xQ D

  t x D cos 2 C '0 D cos.2 tQ C '0 /: xO T

(1.11)

Hier sind

t x und tQ WD (1.12) xO T eine bezogene, also dimensionslose, Auslenkung bzw. bezogene Zeit. Abb. 1.4 zeigt die harmonische Schwingung (1.11). Dimensionslose Größen eignen sich besonders gut zur Verarbeitung in Rechnern und zur Darstellung in Diagrammen, auch weil die Anzahl der Parameter verringert wird. (In Abb. 1.4 unterscheiden sich die harmonischen Schwingungen nur noch durch den Nullphasenwinkel '0 .) xQ WD

Bezeichnungen Wir kennzeichnen dimensionslose Größen durch eine Tilde über dem „alten“ Formelbuchstaben, x; Q tQ. Die Bezugs- oder Referenzgröße trägt als Kennzeichen den Index R; in (1.12) wurden xR D xO und tR D T gewählt. Allgemein schreiben wir (also für evtl. andere xR ; tR ) x t xQ D ; tQ D ; (1.13) xR tR nach x bzw. t aufgelöst: x D xx Q R;

t D tQtR :

(1.14)

Die dimensionslose Schreibweise von Differentialgleichungen wird in Abschn. 4.7 erläutert. Abb. 1.4 Harmonische Schwingung in bezogener Form

~x=x/ x 1

~t=t / T 0 φ0/2π

-1

0.5

1

1.2

Harmonische Schwingung, Sinusschwingung

5

1.2.3 Komplexe Darstellung harmonischer Schwingungen; Zeigerdiagramme Die komplexe Darstellung reeller Sinusschwingungen mit Hilfe von Drehzeigern ist anschaulich einprägsam und formal für viele Zwecke vorteilhaft. Zeiger-Diagramme Drehzeiger: Aus der Eulerschen Formel e j˛ D cos ˛ C j sin ˛; j WD

p

1

(1.15)

folgen mit ˛ D !t cos !t D Re e j!t ;

sin !t D Im e j!t :

(1.16)

In der komplexen Zahlenebene nach Abb. 1.5, mit der reellen Achse Re und der imaginären Achse Im, stellt z D exp.j!t/ einen auf dem Einheitskreis mit der Winkelgeschwindigkeit !, der Kreisfrequenz, mathematisch positiv, also linksdrehend umlaufenden Pfeil, einen (Eins-)Drehzeiger dar. Seine jeweiligen Projektionen auf die reelle Achse Re und die imaginäre Achse Im liefern die Funktionen cos !t bzw. sin !t, s. Abb. 1.5. Drehzeiger und Zeiger der harmonischen Schwingung Die Sinusschwingung (1.1) kann man parallel zu (1.16) wie folgt komplex schreiben: x D x.t/ D Re xe O j.!t C'0 / :

(1.17)

O j.!t C'0 / D .xe O j'0 /e j!t WD xe O j!t x D x.t/ D xe

(1.18)

Dabei steht für die der harmonischen Schwingung x.t/ zugeordnete komplexe Schwingung xO exp.j!t/, den Drehzeiger x in Abb. 1.6. Der nicht-drehende Pfeil O j'0 xO D xe

(1.19)

ist die komplexe Amplitude oder Zeiger von x, Abb. 1.6.

Abb. 1.5 Komplexe Ebene mit Eins-Drehzeiger

Im

ω x=e

sin ωt

ωt cos ωt

1

jωt

Re

6

1

Abb. 1.6 Zeiger xO D xO exp.j'0 / und Drehzeiger x D xO exp.j!t / der harmonischen Schwingung; '0 – Nullphasenwinkel, ! – Kreisfrequenz, xO – Amplitude, R D xO – Kreisradius

Einleitung

Im x ωt x φ0 x Re R

Nach DIN 1311 werden komplexe Größen, die Zeiger, durch Unterstriche gekennzeichnet. (Falls keine Verwechselungsgefahr besteht, lässt man die Unterstriche auch weg.) In Abb. 1.6 liegt der Zeiger xO fest, der Drehzeiger x läuft gegenüber dem Koordinatensystem mit der Winkelgeschwindigkeit ! um, der Winkel !t wird gegen xO gemessen. Dann ist die Sinusschwingung durch Angabe des Zeigers und der Kreisfrequenz eindeutig festgelegt; es genügt die Darstellung nach Abb. 1.7. Abb. 1.8 stellt die Projektion von x.t/ auf die reelle Achse zeitabhängig dar. Zeigerdiagramme eignen sich besonders zum Vergleich mehrerer Sinusschwingungen gleicher Frequenz, zur Addition (Überlagerung) solcher Schwingungen und zur Gegenüberstellung mit ihren Zeitableitungen: Vergleich gleichfrequenter Schwingungen Gegeben: xi .t/ D xO i cos.!t C '0i /; i D 1; 2, komplex: x i D xO i e j'0i e j!t D xO i e j!t , mit den komplexen Amplituden xO i nach Abb. 1.9. Gesucht: Phasenverschiebungswinkel ' von x2 .t/ gegenüber x1 .t/, der Referenzschwingung. Nach Auftragen der Zeiger xO 1 ; xO 2 liest man aus Abb. 1.9 den Phasenverschiebungswinkel ' zwischen x1 .t/ und x2 .t/ unmittelbar ab: ' D '02  '01

also

x2 .t/ D xO 2 cos.!t C '01 C '/:

(1.20)

Wählt man  < '  , eilt x2 bei ' > 0 voraus, bei ' < 0 nach. Man sagt, zwei gleichfrequente Sinusschwingungen x1 .t/, x2 .t/ liegen in Phase (schwingen in Phase), wenn ihr Phasenverschiebungswinkel null ist.

Abb. 1.7 Darstellung der harmonischen Schwingung durch Zeiger xO und Angabe der Kreisfrequenz !

Im

x=xe

jφ0

φ0 Re ω=

1.2

Harmonische Schwingung, Sinusschwingung

Re x

Im

7

x φ0

ωt1

ωt π

ωt1

2π

x(t1) Abb. 1.8 Harmonische Schwingung x.t / als Projektion der komplexen Schwingung x.t / auf die reelle Achse Abb. 1.9 Zeiger xO i der Schwingungen xi .t /; vgl. Abb. 1.7

Im x1

x2

Re

Addition (Überlagerung) gleichfrequenter Schwingungen Gegeben: xi .t/ D xO i cos.!t C '01 / D Re xO i e j!t ; i D 1; 2. Gesucht: x.t/ D x1 .t/ C x2 .t/: Aus

x.t/ D Re xO 1 e j!t C Re xO 2 e j!t   D Re xO 1 e j!t C xO 2 e j!t    j!t  D Re .xO 1 C xO 2 /e j!t D Re xe O

(1.21)

folgt für den Zeiger von x.t/ xO D xO 1 C xO 2 :

(1.22)

Braucht man xO formelmäßig, rechnet man reell z. B. die obenstehenden Dreiecke trigonometrisch nach, einfacher geht es komplex, s. Abb. 1.10.

Abb. 1.10 Parallelogramm für xO D xO 1 C xO 2

x

Im x2 φ02 φ0

x1 φ01 Re

8

1

Abb. 1.11 Relative Phasenlage O aO von Auslender Zeiger x; O v; kung, Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung

Einleitung

Im v a

1.2.4

x Re

Zeiger und Zeigerdiagramme für Ableitungen

Durch Ableitung folgen aus der Auslenkung x D xO cos.!t C '0 /

(1.23)

v WD xP D x! O sin.!t C '0 / D vO cos.!t C '0 C 90ı /;

(1.24)

die Geschwindigkeit

wo vO WD x!, O und die Beschleunigung a WD vP D xR D ! 2 xO cos.!t C '0 / D aO cos.!t C '0 C 180ı /;

(1.25)

O wo aO WD ! 2 x. Durch Ableitung der zugeordneten komplexen Schwingung (des Drehzeigers) O j!t x D xe

(1.26)

folgen O j!t xP D j! xe

und xR D ! 2 xe O j!t :

(1.27)

Man erkennt unmittelbar O j!t v D Re v D Re xP D Re ve

mit vO D j! x; O

(1.28)

O j!t a D Re a D Re xR D Re ae

mit aO D ! 2 x: O

(1.29)

Der Zeiger der Geschwindigkeit ist mathematisch positiv um 90°, der der Beschleunigung ist um 180° gegenüber dem des Ausschlags gedreht, Abb. 1.11.

1.3 Allgemeine periodische Schwingung Die folgenden Seiten fassen die Fourierentwicklung für periodische Schwingungen zusammen.

1.3

Allgemeine periodische Schwingung

9

1.3.1 Definition Eine Schwingung heißt periodisch mit der Periode T (nach DIN 1311 Periodendauer), wenn sie sich nach Ablauf der Zeit T wiederholt: x.t C T / D x.t/ für alle tI T > 0:

(1.30)

Mit T ist auch nT (n ganze Zahl) eine Periode von x.t/. Als Periode schlechthin bezeichnet man die kleinste Periode T, für die (1.30) erfüllt ist. Analog zu (1.3) und (1.5) ordnet man einer periodischen Schwingung mit der Periode T eine Kreisfrequenz ! und eine Frequenz f in der folgenden Weise zu: ! WD

2 ; T

f WD

1 : T

(1.31)

Sinusschwingung als Beispiele Die Sinusschwingung x.t/ D xO cos.!t C '0 / ist das einfachste Beispiel einer periodischen Schwingung; sie hat die Periode T D 2=!. Auch Sinusschwingungen x.t/ D xO cos.n!t C'0n / mit irgendwelchen ganzen Zahlen n (positiv oder negativ) haben (1.32) T  D nT als Periode (für knk ¤ 1 nicht als kleinste).

1.3.2 Manipulation periodischer Funktionen Ableitung einer periodischen Funktion Man darf (1.30) differenzieren: x.t P C T / D x.t/: P

(1.33)

Falls der Ausschlag x.t/ die Periode T hat, s. Abb. 1.12, besitzt die Geschwindigkeit v.t/ WD x.t/ P dieselbe (kleinste) Periode, v.t C T / D v.t/:

(1.34)

Entsprechendes gilt für höhere Ableitungen.

Abb. 1.12 Periodische Schwingung

x

T

T

x(t)

t

10

1

Einleitung

Funktion einer periodischen Funktion Sei y D F .x/ irgendeine (glatte) Funktion. Mit (1.30) folgt y.t/ D F .x.t// D F .x.t C T // D y.t C T /I (1.35) auch y.t/ hat also die Periode T. Dies braucht aber nicht die kleinste Periode zu sein, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei x D xO cos !t. Dann hat y WD x 2 D xO 2 cos2 !t D xO 2 Œ1 C 2 cos 2!t =2 die Periode T / 2. Summe periodischer Funktionen Die Summe (Überlagerung) zweier Schwingungen derselben Periode T hat wieder diese Periode. Seien x1 .t/ D x1 .t CT1 / und x2 .t/ D x2 .t CT2 / zwei Schwingungen mit den kleinsten Perioden T1 bzw. T2 und mit dem rationalen Frequenzverhältnis, vgl. (1.31), f1 n1 T2 D D I f2 n2 T1

n1 ; n2 ganz, teilerfremd.

(1.36)

Dann ist T WD n1 T1 D n2 T2

(1.37)

gemeinsame Periode von x1 ; x2 und damit Periode der Summe x.t/ D x1 .t/ C x2 .t/ D x.t C T /:

(1.38)

(Wieder braucht es nicht die kleinste Periode zu sein!)

1.3.3 Harmonische Synthese Die additive Zusammensetzung einer periodischen Schwingung aus Sinusschwingungen der Perioden Tn D T =n heißt harmonische Synthese: x.t/ D x0 C

N X

xO n cos.n!t C '0n /;

(1.39)

.xO cn cos n!t C xO sn sin n!t/

(1.40)

nD1

oder, vgl. (1.7), x.t/ D x0 C

N X nD1

wo, vgl. (1.31), !D

2 I T

(1.41)

man definiert auch n! DW !n ;

! D !1 :

(1.42)

1.3

Allgemeine periodische Schwingung

11

Die einzelnen Summanden heißen Teilschwingungen, zur Ordnungszahl n gehört die nte Teilschwingung, die n-te Harmonische. Die erste Teilschwingung heißt Grundschwingung, ! ist dann die Grund-Kreisfrequenz, die Teilschwingungen zu n > 1 nennt man gemeinsam auch Oberschwingungen (höhere Harmonische). In der Mathematik nennt man (1.39) für endliches N Fourier-Polynom, für N ! 1 Fourier-Reihe (s. Abschn. 1.3.4). Die xO cn; xO sn heißen Fourierkoeffizienten. Die Harmonische Synthese ist wichtig, weil eine Reihe von analytischen und numerischen Näherungs-Verfahren zur Untersuchung von Schwingungsproblemen auf Lösungen der Form (1.39) führen, s. unten. Beispiele für zweigliedrige Zusammensetzungen Sei x.t/ D xO 1 sin !1 t C xO 2 sin.!2 t C '02 /:

(1.43)

Die Abb. 1.13 zeigt für verschiedene einfache Verhältnisse xO 1 W xO 2 und !1 W !2 sowie Nullphasenwinkel '02 , wie mannigfach schon die Erscheinungsbilder dieser einfachen Summe sind. Abb. 1.13 Mannigfaltigkeit von Formen der Summe (1.43) aus zwei Sinusschwingungen gemeinsamer Periode

x(t)

x1 ω 1 φ x2 ω2 02

x(t)

x 1 ω1 φ02 x 2 ω2 2:1

1:2 1:3 1:1

0 3:1

1:3 0 1:4

6:1

1:10

1:2 1:1

1:2 1:2

π/2 1:3

0 1:2

1:3 1:3

π/2 1:3

12

1

Einleitung

1.3.4 Harmonische Analyse periodischer Schwingungen Die Zerlegung einer periodischen Schwingung in ihre Teilschwingungen heißt harmonische Analyse. Man analysiert periodische und auch nichtperiodische Schwingungen, weil sich die zerlegten Schwingungen oft leichter beurteilen und verarbeiten lassen als die (zusammengesetzten) Ausgangsschwingungen.

1.3.4.1 Die (reelle) Fourierreihe Stückweise stetige periodische Funktionen x.t/ D x.t C T / kann man als Fourierreihen schreiben: 1

x.t/ D

1

X xO 0 X xO cn cos n!t C xO sn sin n!t; C 2 nD1 nD1

!D

2 ; T

T Periode:

(1.44)

Zu Funktionen mit Sprungstellen vgl. Hinweis 7 unten. Die Fourierkoeffizienten xO 0 ; xO cn ; xO sn erhält man, wenn man die obige Gleichung mit cos m!t, sin m!t, m ganze Zahl, multipliziert und nach t über eine Periode integriert: (

ZT x.t/

)

cos m!t sin m!t

xO 0 dt D 2

0

ZT (

cos m!t sin m!t

) dt

0

C

ZT "X 1 0

xO cn cos n!t C

nD1

1 X

#( xO sn sin n!t

nD1

cos m!t sin m!t

) dt: (1.45)

Es gelten die Orthogonalitätsrelationen 8 < 0 für n ¤ m cos.n!t/ cos.m!t/dt D ; T : für n D m 2 0 8 ZT < 0 für n ¤ m sin.n!t/ sin.m!t/dt D und T : für n D m 2 0 ZT sin.n!t/ cos.m!t/dt D 0:

ZT

(1.46)

0

Zum Beweis formt man die Produkte in den Integranden über Additionstheoreme in Summen um.

1.3

Allgemeine periodische Schwingung

13

Konvergiert die Reihe (1.44) gleichmäßig, so kann man die rechte Seite von (1.45) gliedweise integrieren und erhält 2 xO 0 D T

ZT

2 x.t/dt D T

tZ 0 CT

x.t/dt;

(1.47)

t0

0

2 RT 2 t0RCT xO cn D x.t/ cos.n!t/dt D x.t/ cos.n!t/dt T 0 T t0 2 RT 2 t0RCT xO sn D x.t/ sin.n!t/dt D x.t/ sin.n!t/dt T 0 T t0

9 > > > = > > > ;

n D 1; 2; : : :

(1.48)

In den Integralen rechts bedeutet t0 , dass man das Integrationsintervall beliebig verschieben kann. (Damit lassen sich Rechnungen oft vereinfachen.) Spektren Als Ergebnis der Fourieranalyse stellt man die bestimmenden Größen der Harmonischen (der Ordnung n) xn .t/ D xO cn cos n!t C xO sn sin n!t D xO n cos.n!t C '0n /;

(1.49)

die Fourierkoeffizienten xO cn ; xO sn und die Amplituden xO n sowie die Nullphasenwinkel '0n in diskreten Spektren, auch Linienspektren, über einer Frequenz- oder Ordnungsachse dar, s. Abb. 1.14 und 1.15.

xcn

0

xsn

0

1

2

3

4

n

0

0

1

2

3

4

n

0

1

2

3

4

n

Abb. 1.14 Spektren der Koeffizienten xO cn und xO sn

φ0n 2π

xn

0

0

1

2

3

4

n

0

Abb. 1.15 Spektren der Amplituden xO n und Nullphasenwinkel '0n

14

1

Einleitung

1.3.4.2 Hinweise zur reellen Fourierreihe 1. Die Benennung reelle Fourierreihe besagt, dass die Reihe mit den reellen Funktionen cos : : : ; sin : : : angeschrieben wurde. Die Funktion x.t/ selbst darf komplexwertig sein, dann sind auch die Fourierkoeffizienten komplex. 2. Das zeitunabhängige Glied xO 0 =2 in (1.44) heißt Mittel- oder Gleichwert. Es hat diese Form, damit xO 0 aus xO cn für n = 0 entsteht, vgl. (1.47) mit (1.48). DIN 1311 schreibt x0 WD xO 0 =2. 3. Für die zusammengefassten Glieder xO cn cos n!t C xO sn sin n!t D xO n cos.n!t C '0n /

(1.50)

gelten die Bezeichnungen für Teilschwingungen nach Abschn. 1.3.3. 4. Formeln für die Fourieranalyse in Digitalrechner-Programmen zur numerischen Bestimmung der Fourierkoeffizienten enthalten viele numerische Tricks. Man findet sie unter dem Stichwort Fast Fourier Transform(ation), FFT. 5. Für gerade Funktionen x.t/, x.t/ D x.t/; (1.51) folgt aus (1.48) mit t0 D T =2

xO sn

2 D T

ZT =2 x.t/ sin.n!t/dt D 0;

(1.52)

T =2

die Fourierreihe enthält keine Sinusglieder. 6. Für ungerade Funktionen x.t/, x.t/ D x.t/;

(1.53)

folgt aus (1.48) xO cn

2 D T

ZT =2 x.t/ cos.n!t/dt D 0;

(1.54)

T =2

die Fourierreihe enthält weder Gleichwert noch Kosinusglieder. 7. Man kann zeigen: Bei Funktionen mit Sprüngen in der k-ten Ableitung streben die Fourier-Koeffizienten für große n nicht stärker gegen 0 als mit n.kC1/ ; vgl. das folgende Beispiel mit k D 0.

1.3

Allgemeine periodische Schwingung

15

Beispiel Sägezahnfunktion Gegeben sei die Sägezahnfunktion nach Abb. 1.16, 0  t < TW

x.t/ D

h tI T

x.t C T / D x.t/I

! D 2=T:

(1.55)

Gesucht ist die Fourierentwicklung gemäß (1.44). Für x.t/ nach (1.55) erhält man aus (1.47) und (1.48) 2 xO 0 D T

ZT

h 2 tdt D h; xO cn D T T

0

xO sn D

2 T

ZT

ZT

h t cos n!tdt D 0; T

0

(1.56)

h h t sin n!tdt D  : T n

0

Die Fourierreihe der Sägezahnfunktion lautet also x.t/ D

  h h sin !t sin 2!t sin 3!t  C C C::: : 2  1 2 3

(1.57)

In Abb. 1.16 sind die Näherungen mit den N ersten Teilschwingungen .N D 1; 2; 3/ punktiert eingetragen.

1.3.4.3 Konvergenz Fourierreihen für stückweise glatte Funktionen konvergieren. An Sprungstellen (in Abb. 1.16 also bei t D kT , k ganze Zahl) konvergiert die Reihe gegen das arithmetische Mittel aus den beiden Werten links und rechts von der Sprungstelle (im Beispiel gegen h = 2), unabhängig davon, welchen Wert man dort x zugeordnet hat. Links und rechts von der Sprungstelle schwingt die Reihe über, vgl. Abb. 1.17. (Deshalb schreibt man in (1.44) oft  statt =.) Der Bereich des Überschwingens lässt sich durch höhere N=1

x

N=2

N=3

h x0 2

0

T

Abb. 1.16 Sägezahnfunktion der Höhe h, Periode T

2T

t

16

1

Abb. 1.17 Konvergenz an einer Sprungstelle

Einleitung

x h h 2

0

T

t

Gliederzahl zeitlich zusammendrücken, doch nie vollständig unterdrücken; Gibbssches Phänomen1 .

1.3.4.4 Die komplexe Fourierreihe Die komplexe Fourierreihe ist formal einfacher als die reelle. An Stelle von (1.44) setzt man für die periodische Funktion x.t/ D x.t C T / an: x.t/ D

1 X

xO n e j n!t ;

! D 2=T I

(1.58)

nD1

damit sind die xO n komplexe Fourierkoeffizienten. Multiplikation beider Seiten von (1.58) mit e j m!t und Integration über t von t0 bis t0 C T (über eine Periode) liefert wegen der Orthogonalität, (

tZ 0 CT

e

j!.nm/t

dt D

t0

0 für n ¤ m ; T für n D m

(1.59)

die Fourierkoeffizienten, vgl. (1.47), (1.48), 1 xO n D T

tZ 0 CT

x.t/e j n!t dt:

(1.60)

t0

1.3.4.5 Hinweise zur komplexen Fourierreihe 1. Die Benennung komplexe Fourierreihe besagt, dass die Reihe mit den komplexwertigen Funktionen exp.j n!t/ angeschrieben wurde. Die Fourierkoeffizienten xO n sind – auch bei reellem x.t/ – in der Regel komplex, vgl. Punkte 3. bis 5. unten. 2. Die Spektraldarstellungen aus Abschn. 1.3.4.1, die Hinweise 3, 4, 7 aus Abschn. 1.3.4.2 sowie die Aussagen zur Konvergenz in Abschn. 1.3.4.3 werden sinngemäß hierher übertragen. 1

Josiah Willard Gibbs (* 11. Februar 1839 in New Haven, Connecticut; † 28. April 1903 ebenda) war ein US-amerikanischer Physiker.

1.3

Allgemeine periodische Schwingung

3. Für reelles x.t/ folgt aus (1.60)

17

xO n D ONx; n

(1.61)

xO n ist konjugiert komplex zu xO n (das bedeutet der Überstrich). 4. Ist x.t/ eine gerade Funktion, x.t/ D x.t/;

(1.62)

reell oder komplex, so folgt aus (1.60) xO n D xO n :

(1.63)

Ist x.t/ gleichzeitig reell, so folgt das auch aus (1.61) und (1.63) für die xO n , denn Im xO n D 0:

(1.64)

x.t/ D x.t/;

(1.65)

5. Ist x.t/ eine ungerade Funktion,

reell oder komplex, so folgt aus (1.60) xO n D xO n :

(1.66)

Ist x.t/ gleichzeitig reell, so sind nach (1.61) und (1.66) die xO n imaginär, denn Re xO n D 0:

(1.67)

1.3.4.6 Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Fourierreihe Setzt man gemäß der Eulerschen Formel (1.15) exp.j!t/ D cos n!t Cj sin n!t in (1.58) ein, so erhält man durch Umordnen x.t/ D xO 0 C

1 X

Œ.xO n C xO n / cos n!t C j.xO n  xO n / sin n!t:

(1.68)

nD1

Vergleich von (1.68) mit (1.44) liefert den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der beiden Formen der Fourierreihe: xO 0 =2 D xO 0 ;

xO cn D xO n C xO n ;

und xO 0 D xO 0 =2;

xO n D

xO cn  j xO sn ; 2

xO sn D j.xO n  xO n /

xO n D

xO cn C j xO sn : 2

(1.69)

(1.70)

18

1

Abb. 1.18 Besondere Benennungen

T

x

Einleitung

2 x(t) 1

x 4 3

t

0

1.3.5 Zeitliche Mittelwerte und besondere Bezeichnungen Mittelwerte Der Gleichwert xN (vgl. Abschn. 1.3.4.2, Punkt 2), auch linearer oder arithmetischer Mittelwert, ist definiert durch 1 xN D T

tZ 0 CT

x.t/dt:

(1.71)

t0

Der Effektivwert xeff , auch quadratischer Mittelwert, ist definiert durch

xeff

v u tZ0 CT u u1 Dt x 2 .t/dt : T

(1.72)

t0

Die Lage des Zeitintervalls t0  t  t0 C T , also der Zeitpunkt t0 , kann rechengünstig gewählt werden. Besondere Bezeichnungen In Abb. 1.18 bedeuten: 1 Gleichwertachse, 2 Maximalwert xmax , auch Größt-, Spitzen- oder Gipfelwert, 3 Minimalwert xmin , auch Kleinst- oder Talwert. Auf 1 bezogen heißen 2 und 3 auch oberer bzw. unterer Scheitelwert, 4 Schwingungsbreite xn WD xmax  xmin .

1.4 Nichtperiodische Schwingung Eine nicht- oder unperiodische Schwingung ist eine (deterministische) Schwingung, deren Zeitverlauf x.t/ sich nicht (ständig) wiederholt.

1.4

Nichtperiodische Schwingung

19

1.4.1 Fastperiodische Schwingung Eine Überlagerung, eine Summe, von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Perioden (und damit Frequenzen) heißt fastperiodische Schwingung, zum Beispiel 1

x.t/ D

1

X xO 0 X xO cr cos !r t C xO sr sin !r t: C 2 rD1 rD1

(1.73)

Dabei sind !r irgendwelche Frequenzen und die xO cr ; xO sr sind Zahlen, für die die Reihen konvergieren. Lassen sich in (1.73) die !r als Linearkombinationen von endlich vielen (inkommensurablen2 ) Basisfrequenzen !Bi schreiben, zum Beispiel !r D k!B1 C l!B2 C m!B3 ;

k; l; m ganz;

(1.74)

so spricht man von einer quasiperiodischen Schwingung.

1.4.2

Modulierte Schwingung

Aus der harmonischen Schwingung x D xO cos ', vgl. (1.1) und (1.4), entsteht eine modulierte Schwingung, wenn man die Amplitude xO oder die Phase ' durch einen modulierenden Vorgang zeitlich ändert: (1.75) x D xM .t/ cos 'M .t/: Die Schwingung heißt sinusverwandt oder sinusähnlich, wenn sich xM .t/ und Œ'M .t/ .!t C '0 / – verglichen mit ' D !t C '0 – nur langsam mit der Zeit ändern. Amplitudenmodulierte Schwingung Beispiel: Sei in x D xM .t/ cos.!T t C '0T /

(1.76)

der modulierende Vorgang selbst eine harmonische Schwingung: xM D xO 1 C xO 2 cos.!M t C '0M / D xO 1 Œ1 C m cos.!M t C '0M /:

(1.77)

Hier stehen !T und !M für die Träger- bzw. die Modulationskreisfrequenz, m WD xO 2 =xO 1 ist der Modulationsgrad. Einsetzen von xM aus (1.77) in (1.76) liefert nach trigono-

2

Zwei Zahlen heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer dritten Zahl sind. Andernfalls sind sie inkommensurabel.

20

1

Einleitung

metrischer Umformung für x die spektrale Darstellung, die Summe seiner Harmonischen: 

m cosŒ.!T  !M /t C .'0T  '0M / 2  m C cosŒ.!T C !M /t C .'0T C '0M / : 2

x D xO 1 cos.!T t C '0T / C

(1.78)

Stehen die beiden Frequenzen !T ; !M in einem rationalen Verhältnis, ist x.t/ periodisch. Abb. 1.19a zeigt den Zeitverlauf für xO 1 D 1; xO 2 D 1:7; !T W !M D 50=; '0T D '0M . Abb. 1.19b zeigt das zugehörige Spektrum mit der Trägerschwingung bei !T und den beiden Seitenschwingungen bei .!T  !M / und .!T C !M /. Winkelmodulierte Schwingung Beispiel: Werde in x D xO cos.!T t C '0T C '.t//

(1.79)

die Phase '.t/ harmonisch moduliert: ' D 'O cos.!M t C '0M /I

(1.80)

'O heißt Phasenhub. Vereinfachende trigonometrische Umformungen sind nicht möglich. Man kann jedoch eine momentane Kreisfrequenz 'P anschreiben: 'P D !T  !M  'O sin.!M t C '0M /:

(1.81)

Abb. 1.20 zeigt eine phasenmodulierte Schwingung mit xO D 1, !T W !M D 20=, 'O D 3, '0T D '0M D 0.

b

a

x xM

xC x2

1

x1 0

t

-x1

x2 x1 2

0 ω -ω ωT T M

-xM Abb. 1.19 Amplitudenmodulierte Schwingung. a Zeitverlauf x(t), b Spektrum

x2 2

ω

ωT +ωM

1.4

Nichtperiodische Schwingung

Abb. 1.20 Phasenmodulierte Schwingung. a Zeitverlauf x(t), b momentane Kreisfrequenz '.t P /

21 a

x x 0

t

-x b

ωM Δφ

φ ωT 0

t

1.4.3 Schwebung Sei x.t/ die Summe zweier harmonischer Schwingungen x.t/ D xO 1 cos.!1 t C '01 / C xO 2 cos.!2 t C '02 /

(1.82)

mit nahe beieinander liegenden Kreisfrequenzen. Sei !1 > !2 . Mit der Differenzfrequenz bzw. der Summenfrequenz !d WD !1  !2 ;

!s WD !1 C !2

(1.83)

soll also !d  !s gelten. Drückt man !1 ; !2 durch !d und !s aus und setzt das Ergebnis in (1.82) ein, so erhält man durch trigonometrische Entwicklung nach (1.7)   !  ! !s C !d s d x.t/ D xO 1 cos t C '01 C xO 2 cos C '02 2 2

    !d t !d t !s t D xO 1 cos C '01 C xO 2 cos  '02 cos 2 2 2  

  !d t !d t !s t  xO 1 sin C '01  xO 2 sin  '02 sin : 2 2 2

(1.84)

Zusammenfassung gemäß (1.7) bis (1.10) liefert x.t/ D xS .t/  cos

!

s

2

tC

.t/ ;

(1.85)

22

1

Einleitung

x xSmax

Abb. 1.21 Schwebung

xSmin

t -xSmin -xSmax

wo xS .t/ D

2π/ωd

q xO 12 C xO 22 C 2xO 1 xO 2 cos.!d t C '01  '02 /;

tan .t/ D

xO 1 sin. !2d t C '01 /  xO 2 sin. !2d t  '02 / xO 1 cos. !2d t C '01 / C xO 2 cos. !2d t  '02 /

:

(1.86) (1.87)

Die Funktion xS .t/ schwingt langsam mit der Differenzfrequenz !d , die dann auch Schwebungsfrequenz heißt. Die Funktion xS .t/ hüllt den Kosinus ein, der seinerseits mit !

s

2

tC

 1 1 xO 2  xO 2 .t/ D !s C !d 1 2 2 ; 2 2 xS .t/

(1.88)

also rasch schwingt. Die Maxima und Minima von xS .t/ liegen bei xS max D jxO 1 j C jxO 2 j;

ˇ ˇ xS min D ˇjxO 1 j  jxO 2 jˇ:

(1.89)

Vorgänge dieser Art heißen Schwebungen. (Zwei gegeneinander leicht verstimmte Geigenseiten liefern gemeinsam einen „schwebenden“ Ton, seine Lautstärke schwankt mit der Differenzfrequenz.) Für xO 1 D xO 2 WD xO erhält man die reine Schwebung x.t/ D 2xO cos „

!d t C '01  '02 !s t C '01 C '02 cos : 2 2 ƒ‚ …

(1.90)

xS .t /

Nur für rationale Frequenzverhältnisse !1 W !2 sind Schwebungen periodisch (s. Abschn. 1.3.2). Abb. 1.21 zeigt eine Schwebung für xO 1 ¤ xO 2 .

1.4.4 Exponentiell wachsende und schwindende Schwingung Die Schwingung x.t/ D Ae  t cos.!t C '0 / D xM .t/ cos.!t C '0 /

(1.91)

1.4

Nichtperiodische Schwingung

23

ist ein sinusverwandter Vorgang (s. DIN 5483, Teil 1). Die Parameter ! und '0 sind konstant und heißen, wie bisher, Kreisfrequenz bzw. Nullphasenwinkel, obwohl x.t/ nicht periodisch ist. (Deshalb nach DIN 1311 auch z. B. Quasi-Kreisfrequenz !.) Die Konstante A dient in der Regel, gemeinsam mit '0 , zum Anpassen an vorgegebene Anfangsbedingungen (s. Abschn. 5.3.1). Der Parameter  heißt Ankling- oder Wuchskoeffizient, wenn positiv,  > 0. Die (modulierte) Amplitude xM .t/, und damit die Schwingung, wachsen exponentiell, die Schwingung klingt an (DIN 5483), s. Abb. 1.22a. Weil besonders wichtig (s. Abschn. 5.3.2), führt man für  < 0 den Abklingkoeffizienten (1.92) ı WD  und xM WD Ae ıt ein. Amplitude xM .t/ und Schwingung schwinden für ı > 0 exponentiell, die Schwingung klingt ab, s. Abb. 1.22b. Es kann zweckmäßig sein .; !/ bzw. .ı; !/ als komplexen An- oder Abklingkoeffizienten zusammenzufassen,  WD  C j!

bzw.  WD ı C j!;

(1.93)

und x.t/ als Projektion eines (auf einer Spirale statt einem Kreis) umlaufenden Drehzeigers auf die reelle Achse zu sehen (ähnlich Abb. 1.8): x.t/ D Re Ae .t Cj'0 / :

(1.94)

In Abb. 1.22b sind eingetragen: Die Trägerschwingung cos.!t C '0 / gestrichelt, die Einhüllenden ˙A exp.ı  t/, die Schwingung x.t/, die positiven relativen Extrema Ek mit den zugehörigen Auslenkungen ak WD x.tk /; b x

a x Ae σt

A

E1

Δt B1

(1.95)

2π/ω

x (t)

E2

Δt B2

Ae−δ·t

cos (ωt+ϕ0)

1 x(t) 0

t

0

a1

a2

t1

t2

a3 2π/ω

t3

x (t) t

-1 -Ae σt

-Ae-δ·t -A

Abb. 1.22 Schwingung. a exponentiell wachsend (anklingend), b exponentiell schwindend (abklingend)

24

1

Einleitung

die (positiven) Berührpunkte Bk von Schwingung x.t/ und Einhüllender A exp.ı  t/, zweimal die Quasi-Periode 2=! als zeitlichen Abstand zweier aufeinander folgender gleichsinniger Nulldurchgänge von x.t/ bzw. der Extrema E1 ; E2 . (Nur die Nullstellen, die Extrema und die Berührpunkte wiederholen sich im Abstand der Quasi-Periode.) Logarithmisches Dekrement Man greift aus Abb. 1.22b zwei Auslenkungen ak und akCn , zeitlicher Abstand tkCn  tk D 2 n=!, heraus und logarithmiert ihren Quotienten. Damit erhält man das logarithmische Dekrement (den logarithmischen Abfall)

WD

  ak 1 ln n akCn

und D

2 ı !

mit n D 1; 2; : : : :

(1.96)

1.5 Aufgaben Aufgabe 1.1 Nennen Sie 20 umgangssprachliche Ausdrücke für Schwingungen (auch akustische), z. B.: schwanken, zischen oder klopfen. Aufgabe 1.2 Phasenvergleich gleichfrequenter Schwingungen. Für die Sinusschwingungen xi .t/ in Abschn. 1.2.3 sind neben der gemeinsamen Frequenz ! und den Amplituden xO i die Nullphasenwinkel '0i D .0:5; 0:3; 2:1; 4:0; 3:6; 8:0/rad gegeben. Wählen Sie eine der Schwingungen als Referenzschwingung und bestimmen Sie die diesbezüglichen Phasenverschiebungswinkel (Vor- oder Nacheilwinkel) der anderen (Skizzen!). Aufgabe 1.3 Addition gleichfrequenter Schwingungen. Für die beiden Sinusschwingungen xi .t/ in Abschn. 1.2.3 sind neben der gemeinsamen Frequenz die beiden Amplituden xO 1 ; xO 2 und die Nullphasenwinkel '01 ; '02 gegeben. Berechnen Sie die Amplitude xO und den Nullphasenwinkel '0 der Summe in allgemeiner Form und speziell für xO 2 D 2xO 1 ; '01 D 60ı ; '02 D 60ı . Aufgabe 1.4 Geben Sie zwei Funktionen mit gemeinsamer Periode T an, deren Summe eine kleinere Periode hat (vgl. Abschn. 1.3.2), zum Beispiel die Periode T =3. Aufgabe 1.5 Gegeben seien drei periodische Funktionen, deren Perioden Ti sich wie T1 W T2 W T3 D n1 W n2 W n3 verhalten, ni  ganze Zahlen. Wie lautet die gemeinsame Periode? (Abschn. 1.3.2). Aufgabe 1.6 Rechnen Sie die Orthogonalitätsrelationen (1.46) nach. Aufgabe 1.7 Skizzieren Sie für die Schwingungen nach Abb. 1.13 für xO 1 D 1 die Spektren der Amplituden und Nullphasenwinkel sowie die der Fourierkoeffizienten.

1.5

Aufgaben

25

Aufgabe 1.8 Erfülle x.t/ die Periodizitätsbedingung x.t C T =2/ D x.t/. Zeigen Sie, dass in der Fourierreihe alle Glieder mit geradzahligem Index verschwinden. (Man nennt x.t/ dann ungerade-harmonisch.) Aufgabe 1.9 Welche besondere Periodizität besitzt eine Funktion x.t/, deren Fourierreihe nur Glieder mit geradzahligem Index enthält? Aufgabe 1.10 Kontrollieren Sie die in (1.56) angegebenen Fourierkoeffizienten der Sägezahnfunktion. (Wie sieht das Spektrum aus?) Aufgabe 1.11 Werten Sie mit Hilfe eines Digitalrechners die Fourierreihe (1.57) der N ersten Teilschwingungen aus und verfolgen Sie in Diagrammen ähnlich Abb. 1.16, wie mit wachsendem N in der Umgebung der Sprungstelle der Bereich des Überschwingens zwar schmaler und schmaler wird, der Überschwung jedoch erhalten bleibt. Aufgabe 1.12 Kontrollieren Sie die Aussagen (1.59) und (1.60). Aufgabe 1.13 Überprüfen Sie in Abschn. 1.3.4.5 die Aussagen 3, 4 und 5. Aufgabe 1.14 Zeigen Sie, p dass der Effektivwert xeff nach (1.72) bei einer harmonischen O 2 beträgt. Wie groß ist der Effektivwert von x D x.cos O !t C Schwingung xeff D x= sin 2!t/, wie groß der von x? P Aufgabe 1.15 Sei in der amplitudenmodulierten Schwingung x.t/ nach (1.78) das Frequenzverhältnis rational, !T W !M D n W mI n; m – ganze Zahlen. Welche Periode T hat x.t/? Aufgabe 1.16 Skizzieren Sie die reine Schwebung nach (1.90). Aufgabe 1.17 Führen Sie die Projektion (1.94) aus (Skizzen für  > 0 und ı > 0Š). Aufgabe 1.18 Zeigen Sie, dass in Abb. 1.22b gleichsinnige Nulldurchgänge sowie Extrema Ek und Berührpunkte Bk im Abstand der Quasi-Periode wiederkehren. Aufgabe 1.19 Wie kann man aus einem gemessenen Verlauf x.t/, vgl. Abb. 1.22b, die Parameter ı und ! ermitteln? Kann man statt mit den ak in (1.96) auch mit den Auslenkungen an den Berührpunkten arbeiten? Ist es hilfreich, x.t/ für x.t/ > c > 0 halblogarithmisch aufzutragen?

Teil I Starre Maschinen unter dynamischer Last (Freiheitsgrad Null)

An den Beispielen der Bodenkräfte einer arretierten Rüttelmaschine und des Auswuchtens eines starren, starr gelagerten Rotors wird ein systematisches Vorgehen zur Lösung von Kinetikaufgaben dargelegt.

2

Bodenkräfte einer Rüttelmaschine

2.1

Aufgabenstellung

Für den in Abb. 2.1 schematisch dargestellten Rüttler (Baumaschine zur Bodenverdichtung) sollen die auf den Boden wirkenden Kräfte berechnet werden, die entstehen, wenn die Maschine in arretiertem Zustand (mit eingesetzten Transportbolzen T) angelassen wird.

2.2 Lösung 2.2.1

Allgemeines Lösungsvorgehen

Berechnungsaufgaben sind häufig reine Textaufgaben (ohne Schemaskizze): Der Bearbeiter muss oft erst herausfinden, was der Fragesteller eigentlich wissen will. Die Lösung erfolgt in etwa 7 Stufen: 1. Modell entwerfen 2. Gleichungen ansetzen

Abb. 2.1 Rüttler, bestehend aus 1 – Bodenplatte, 2 – Schwingkörper, 3 – Federpakete, 4 – Unwuchträder (Zahnräder mit aufgesetzten Unwuchtmassen), T – Transportbolzen (zur Arretierung)

3

3 T 2

T 1

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_2

29

30

3. 4. 5. 6. 7.

2 Bodenkräfte einer Rüttelmaschine

Systemparameter beschaffen Evtl. Rechnerprogramm schreiben System simulieren (Gleichungen lösen) Ergebnisse interpretieren Untersuchung schriftlich festhalten

Jede der Stufen 1–7 erfordert in der Regel das Lösen von mehreren Teilaufgaben. Man kann sie oft nicht nacheinander abarbeiten, sondern wird parallel vorgehen, weil man sein System erst während des Bearbeitens richtig kennen lernt.

2.2.2

Entwurf des Modells

Schritt 1.1 Modell gegen Umgebung abgrenzen (am besten durch eine gedachte Hüllfläche) und idealisieren (s. Abb. 2.2a). Annahmen:  In Abb. 2.2a weist die Schraffur (innerhalb der Hüllfläche) auf einen starren waagerechten Boden hin.  Wegen der Arretierung können die Federpakete entfallen. Bodenplatte, Masse m1 , und Schwingkörper (samt Zahnrädern), Masse m2 , werden zu einem starren Körper K zusammengefasst (vgl. Abb. 2.2b); Masse: m D m1 C m2 : a

(2.1)

b

ϕ1

mu ϕ1

ϕ2

mu

mu m2

ϕ2

mu r

r Hüllfläche g

K

C m

m1

qB

FB Abb. 2.2 Rüttler. a Als abgegrenztes System, b Ersatzsystem

2.2 Lösung

31

 Die Unwuchträder (gleiche Zahnräder mit gleichen Unwuchtmassen mu ) laufen mit der Winkelgeschwindigkeit ˝ gegenläufig gleichförmig um: '1 D '2 D ˝t:

(2.2)

 Die Annahme ˝ D const. entspricht einem Modell für das Verhalten des Antriebsmotors. Schritt 1.2 Oft fasst man die Annahmen, auch mit Ergänzungen, in einem Ersatzsystem – einem schematisierten Strichbild – zusammen, Abb. 2.2b. Dem Ersatzsystem weist man dabei die Eigenschaften zu, die das Modell haben soll. Abb. 2.2b zeigt im vom Boden freigeschnittenen Ersatzsystem (auch ergänzend zu Schritt 1.1)  die angenommene Symmetrie des Systems durch die eingetragene Mittellinie, E D mgE an den auf der Mittellinie liegenden Schwerpunkt C, an dem das Gewicht G greift (g – Fallbeschleunigung),  eine angenommene (verteilte) Bodenpressung qEB D qEB .Ort; t/,  die resultierende Bodenkraft FEB D FEB .t/, mit bei näherungsweise ortsunabhängiger Pressung qEB D qEB .t/ und einer Bodenfläche AB FB D qB AB :

(2.3)

2.2.3 Gleichgewichtsbedingungen Schritt 2.1 Lageplan für Koordinaten und Kinematik skizzieren (Abb. 2.3).

a

b

a1 a Cu1 ϕ 1 r

mu a

a a2 Cu2

ϕ2

Cu1 ϕ1

r

A1

mu a ϕ2

Gu

Cu1 Gu

A2

C

x m

C G

m

FB Abb. 2.3 Rüttler. a Lageplan, b Schnittbild mit äußeren einschließlich d’Alembert’schen Kräften

32

2 Bodenkräfte einer Rüttelmaschine

Abb. 2.3a zeigt den Lageplan. Der Körper ruht im Inertialsystem. Die beiden UnwuchtSchwerpunkte Cu1 ; Cu2 laufen auf Kreisen vom Radius r mit der Winkelgeschwindigkeit ˝ um. Sie erfahren die Zentripetalbeschleunigungen aE1 bzw. aE2 mit den gleichen Maßwerten (2.4) a D ˝ 2 r; auf die Drehpunkte A1 bzw. A2 zu gerichtet. Schritt 2.2 Schnittbild mit allen wirkenden Kräften (und Momenten) einschließlich der d’Alembert’schen skizzieren. Abb. 2.3b enthält: FB – Bodenkraft, G D mg D .m1 Cm2 /g – Gewicht von Bodenplatte und Schwingkörper, Gu D mu g – Gewichte der Unwuchtmassen mu , die beiden gegen aE1 bzw. aE2 wirkenden d’Alembert’schen Kräfte mu a, in Vektorform mu aE1 ; mu aE2 . Schritt 2.3 Gleichgewichtsbedingungen formulieren: Für das Körpersystem nach Abb. 2.3b lauten die Gleichgewichtsbedingungen (der Koordinatenpfeil x deutet die positive Richtung an): X (2.5) Fxi D 0W FB  G  2Gu C 2mu r˝ 2 cos ˝t D 0: Wegen des angenommenen symmetrischen Laufs der Maschine treten (nach außen) keine horizontalen Kräfte und Momente auf.

2.2.4

Beschaffen der Systemparameter

Falls es den Rüttler bereits gibt: Firmenangaben; Massen wiegen, Unwucht messen. Falls es vom Rüttler nur Zeichnungen gibt, muss man die Massen und die Schwerpunktlagen berechnen.

2.2.5 Rechnerprogramm Hier evtl. nur erforderlich, um Abhebezeitpunkte oder Zeitverläufe zu berechnen (vgl. Aufgaben unten).

2.2.6

Rechenergebnis/Interpretation

Diese Aufgabe ist sehr einfach. Aus (2.5) folgt FB D G C 2Gu  2mu r˝ 2 cos ˝t

(2.6)

Gges D G C 2Gu

(2.7)

Darin ist

2.3 Aufgaben

33

Abb. 2.4 Rüttler: relative Bodenkraft FB =Gges für FO =Gges D .0:2; 0:8; 1:1/

FB Gges

3 2 1

1

0

π

3π

Ωt

das Gesamtgewicht. Das statische Moment U WD mu r

(2.8)

nennt man oft Unwucht (mu – Unwuchtmasse, Exzentermasse; r – Exzentrizität, häufig schreibt man e statt r). Man fasst das Ergebnis (2.6) zusammen: FB D Gges  FO cos ˝t;

(2.9)

FO D 2mu r˝ 2 – Amplitude, ! – Kreisfrequenz der Sinusschwingung. Abb. 2.4 zeigt den Zeitverlauf der Bodenkraft FB =Gges für FO =Gges D .0:2; 0:8; 1:1/. Falls FO =Gges > 1, also 2mu r˝ 2 > Gges , hebt die Rüttelmaschine vom Boden ab, aus unseren Gleichungen ergibt sich FB < 0. Unsere Annahmen bleiben nur dann sinnvoll, falls der Rüttler am Boden verankert ist, anderenfalls wird das Modell ungültig.

2.2.7 Aufzeichnung Das schriftliche Festhalten einer Untersuchung kann zum Beispiel in der hier vorliegenden Form geschehen. Wichtig ist es, Annahmen auch in Worte zu fassen, weil man sonst nach einiger Zeit nicht mehr erkennt, was man überlegt hat.

2.3

Aufgaben

Aufgabe 2.1 Wie kann man die Unwucht U D mu r messen? Aufgabe 2.2 Beim Zusammenbau des Rüttlers wurden die Zahnräder versehentlich um ein paar Zähne – um den Winkel ˛ – versetzt zusammengesteckt. Wie wirkt sich das auf die Bodenkraft FB .t/ aus? Schreiben Sie ein Rechnerprogramm, das Ihnen FB .t/ aufzeichnet. Welche zusätzlichen Kräfte und Momente werden nun auf den Boden ausgeübt? Welche zusätzlichen Parameter brauchen Sie, um diese Größen zu berechnen?

34

2 Bodenkräfte einer Rüttelmaschine

Aufgabe 2.3 Am vom Motor mit konstanter Drehgeschwindigkeit ˝ angetriebenen linken Zahnrad brechen ein paar Zähne aus. Zufällig findet der Bauarbeiter ein paar alte Räder, doch statt 22 Zähne haben sie 20 und 24 (selber Modul; der Achsabstand ist fest; das 24er Rad passt auf die linke Welle). Wie läuft der (nach wie vor) arretierte Rüttler, (2.2)? Übrige Fragen wie bei Aufgabe 2.2. Aufgabe 2.4 Welche Modelle würden Sie für den Fall entwerfen, dass der Rüttler vom Boden abhebt? (Frage geht über Stoff der Vorlesung hinaus.)

3

Auswuchten starrer Rotoren

3.1 Aufgabenstellung Infolge von Fertigungsungenauigkeiten und von Unregelmäßigkeiten im Werkstoff liegt der Schwerpunkt C des starren Rotors nach Abb. 3.1 nicht auf der Drehachse – auf der Verbindungsgeraden der Lagermittelpunkte A, B –, sondern exzentrisch im Abstand rC davon. Außerdem liegen die Trägheitshauptachsen .E e1 ; eE2 ; eE3 / nicht senkrecht bzw. parallel zur Drehachse. Bei Rotation, bei Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ˝, wirken auf die Lager Zusatzkräfte. Solche Kräfte müssen vermieden, mindestens so klein wie möglich gemacht werden. Man hat es mit zwei Teilaufgaben zu tun: 1. Wie groß sind die zusätzlichen Lagerkräfte? 2. Welche (Wucht-) Massen muss man hinzufügen (Ort und Größe) oder wegnehmen (z. B. durch Bohrungen oder Anfräsungen), um die Schwankungen der Lagerkräfte zu verringern? Das allgemeine Lösungsvorgehen nach Abschn. 2.2.1 gilt auch hier.

0

e1 e1 C A

e3

0

e3

B Ω O

0

e2

e2

Abb. 3.1 Starrer Rotor mit exzentrischem Schwerpunkt und schräg liegenden Trägheitshauptachsen; Basis .O; eE10 ; eE20 ; eE30 / maschinenfest © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_3

35

36

3

Abb. 3.2 Starrer Rotor: Ersatzsystem

Auswuchten starrer Rotoren

z Ω B

A l1 l2 l

3.2 Modell Modell abgrenzen und idealisieren. Abb. 3.2 zeigt das Ersatzsystem. Es enthält folgende Annahmen:     

Der Rotor ist starr. Die Lager sind starr. Die Lagerkräfte greifen an den Zapfenachsen an (es wirken keine Reibmomente!). Es wirken keine weiteren äußeren Kräfte. Auch das Gewicht bleibt unberücksichtigt, weil es nur konstante Beiträge zu den Lagerkräften liefern würde.

3.3 Gleichgewichtsbedingungen 3.3.1 Lageplan, Koordinaten, Kinematik Wir betrachten die unsymmetrische Massenverteilung des starren Rotors, die zu den Lagerkräften führt, auf zwei verschiedene Weisen: a)

Der Schwerpunkt C des Rotors mit der Masse m liegt in Abb. 3.3 bei lC im Abstand rC von der Drehachse A–B. Die Achse eEz der körperfesten Basis .C; eEx ; eEy ; eEz / liegt parallel zu A–B, und – bezogen auf diese Basis – hat der Rotor die Trägheitsmomente Jxx ; Jxy ; Jxz ; Jyy ; Jyz ; Jzz , vgl. Abschn. A.2.3 mit .x; y; z/ anstelle von .x1 ; x2 ; x3 /. Mit dieser Darstellungsweise a) arbeiten wir hier.

b)

Bei der zweiten Beschreibungsweise der unsymmetrischen Massenverteilung, das Vorgehen ist bei Aufgabe 3.4 als Lösungshinweis skizziert, erfassen wir die Schwerpunktlage wie in Abb. 3.3, doch statt der achsparallelen Basis .C; eEx ; eEy ; eEz / wählen wir die Basis der Hauptachsen .C; eE1 ; eE2 ; eE3 /, wie sie in Abb. 3.1 angedeutet sind.

3.3 Gleichgewichtsbedingungen

37

Ωt

ex α

lC

Ω

ez

C

B rC

ey

A

Abb. 3.3 Starrer Rotor mit körperfester Basis .C; eEx ; eEy ; eEz /, eEz achsparallel

Dann treten an die Stelle der oben sechs Trägheitsmomente die drei Hauptträgheitse1 ; eE2 ; eE3 / gemomente J1 ; J2 ; J3 , doch müssen wir zusätzlich die Winkellage von .E 0 0 0 genüber dem Inertialsystem .O; eE1 ; eE2 ; eE3 / vermaßen (vgl. Aufgabe 3.4). In der Darstellungsweise a) gelten, vgl. Abb. 3.3: ˝ t Drehwinkel, gemessen von der Vertikalen gegen den rotorfesten Bezugsstrahl, der parallel zu eEx durch A–B führt. ˛ Winkellage des Schwerpunkts gegen Bezugsstrahl. rC Exzentrizität des Schwerpunkts C. Abstand der Schwerpunktebene z = 0 von Lager A. lC

3.3.2 Schwerpunktbeschleunigung und Drall Bezogen auf die drehende Basis .C; eEx ; eEy ; eEz / nach Abb. 3.3 gilt für die Schwerpunktbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) aEC D ˝ 2 rEC

(3.1)

rEC D rC eEx cos ˛ C rC eEy sin ˛:

(3.2)

mit In (3.2) hängen nur eEx D eEx .t/ und eEy D eEy .t/ explizit von der Zeit ab: Von der drehenden Basis gesehen ist der Vektor(pfeil) aEC fest (er dreht mit!). E D JEE!E zu berechnen, vgl. Abschn. A.3.2, Um den auf .C; eEx ; eEy ; eEz / bezogenen Drall L brauchen wir den Winkelgeschwindigkeitsvektor !, E !E D eEz ˝

(3.3)

38

3

Auswuchten starrer Rotoren

E und den Trägheitstensor JE E JE D .E ex Jxx C eEy Jyx C eEz Jzx /E ex C .E ex Jxy C eEy Jyy C eEz Jzy /E ey

(3.4)

C .E ex Jxz C eEy Jyz C eEz Jzz /E ez : Man erhält den mit eE umlaufenden Drall(pfeil) E D .Jxz ˝ eEx C Jyz ˝ eEy C Jzz ˝ eEz /: L

(3.5)

EP brauchen wir die Ableitung Für das d’Alembert’sche Moment .L/ EP D .Jxz ˝ eEx C Jyz ˝ eEy C Jzz ˝ eEz / : L

(3.6)

Da die J:: und ˝ konstant sind, erhält man EP D Jxz ˝ eEPx C Jyz ˝ eEPy C Jz ˝ eEPz : L

(3.7)

Für die Zeitableitung eEP des Dreibeins eE gilt, vgl. (A.57) eEP D !E eE ; Damit folgt aus (3.7)

also

eEPx D ˝ eEy ;

eEPy D ˝ eEx ;

E eEPz D 0:

EP D Jyz ˝ 2 eEx C Jxz ˝ 2 eEy : L

(3.8)

(3.9)

EP D 0, E falls die Deviationsmomente Jxz und Jyz verschwinden, falls die Man sieht: L Drehachse A–B parallel zu einer Trägheitshauptachse liegt (vgl. Abschn. A.2.3).

3.3.3 Lagerkräfte Das Freikörperbild – Abb. 3.4 – enthält die d’Alembert’sche (Trägheits-)Kraft mE aC D PE 2 mErC ˝ und das d’Alembert’sche (Trägheits-)Moment L sowie die Lagerkräfte FEA ; FEB in der Form FEA D eEx FxA C eEy FyA C eEz FzA ;

FEB D eEx FxB C eEy FyB :

(3.10)

3.4 Diskussion der Lagerkräfte infolge Unwucht

m rC Ω

Ωt

-L

lC

39 2

ex ez

B

Ω

C

A

rC

ey FB

FA l Abb. 3.4 Starrer Rotor: Freikörperbild mit Lager- und Trägheitskräften

Da am Rotor von außen keine Axialkräfte angreifen, gilt FzA D 0. Aus den Momentengleichgewichten um die Lagerpunkte A und B folgt X X

E .A/ D 0W E M i

E .B/ D 0W E M i

EP D 0; E .l eEz / FEB C .lC eEz / .mE aC / C .L/

EP D 0: E .l eEz / FEA C ..l  lC /E ez / .mE aC / C .L/

(3.11) (3.12)

Multiplikation beider Gleichungen von links mit eEz – und Entwickeln des doppelten E c – liefert mit (3.1) und (3.9) für die Kreuzprodukts gemäß aE .bE cE/ D .E a  cE/bE  .E a  b/E Kraft auf den linken Lagerzapfen l FEA D Œ.l  lC /mErC C Jxz eEx C Jyz eEy ˝ 2 ;

(3.13)

für die Kraft auf den rechten Lagerzapfen l FEB D ŒlC mErC  Jxz eEx  Jyz eEy ˝ 2 :

(3.14)

3.4 Diskussion der Lagerkräfte infolge Unwucht 1. Anschauliche Deutung Für eine Diskussion der Lagerkräfte infolge Unwucht zeichnen wir die Freikörper-Abb. 3.4 noch einmal und tragen d’Alembert’sche Kraft und Moment an dem zu einer Strichskizze vereinfachten Rotor in der Form von Pfeilen mit Maßwerten ein, vgl. Abb. 3.5. Die Glieder mit den Deviationsmomenten deuten wir mit Abb. 3.6 als Fliehkraftmomente. Gemäß (A.85) gelten Z Z (3.15) ˝ 2 Jxz D ˝ 2 xzd m; ˝ 2 Jyz D ˝ 2 yzd m:

40

3

Auswuchten starrer Rotoren

Ωt Jyz Ω 2 m rC Ω 2

Abb. 3.5 Starrer Rotor: Strichskizze mit Lager- und Trägheitskräften

lC α

C rC

FA αA

ez Jxz Ω 2

FB αB

l

Als Beispiele, siehe Abb. 3.6, seien je zwei Punktmassen m bzw. m0 symmetrisch zum Schwerpunkt C in die x-z-Ebene bzw. die y-z-Ebene gelegt, Orte .c; d / und .c; d / bzw. .c 0 ; d 0 / und .c 0 ; d 0 /. (Die m; m0 liegen symmetrisch zu C, damit sie dessen Lage nicht beeinflussen.) Für diese Punktmassenpaare gilt: Jyz D 2c 0 d 0 m0 :

Jxz D 2cd m;

(3.16)

Andererseits erhält man die Fliehkräfte c˝ 2 m, bzw. c 0 ˝ 2 m0 und – bezüglich C – die Fliehkraftmomente ˝ 2 Jyz D 2c 0 d 0 m0 ˝ 2

˝ 2 Jxz D 2cd m˝ 2 ;

(3.17)

mit den in Abb. 3.5 gezeigten Orientierungen. Kennt man also mrC ; Jxz ; Jyz und ˝ 2 , so kann man sich FEA ; FEB anhand von Abb. 3.5 leicht anschaulich klar machen. (Eine formale Lösung hat man mit (3.13), (3.14).) 2. Bedeutung der Kräfte und Momente Die an den Lagern merk- und messbaren Kräfte sind Folge zweier Ursachen:

a

b

x

y

c Ω2 m

c Ω 2 m'

c -d

m +

C m

d -c

c Ω2 m

-d '

z

c'

m' Ω

C

m' c Ω 2 m'

Abb. 3.6 Punktmassen. a in der x-z-Ebene, b in der y-z-Ebene

+ -c'

d'

z

3.5 Das Wuchten

41

Abb. 3.7 Starrer Rotor: Lagerkräfte in nichtdrehendem Bezugssystem auf die Lagerzapfen wirkend

Ωt Ω2J m rC Ω yz lC

C α

FhA FvA

2

FhB

ez

FvB

rC Jxz Ω

2

ev eh

1. Der Schwerpunkt C ist aus der Drehachse herausgerückt. Dies wirkt sich im Schwerefall so aus, dass sich – bei sehr geringer Lagerreibung – der Rotor mit seinem Schwerpunkt nach unten dreht. Man kann diese Unwucht also auch beim nichtdrehenden Rotor bemerken und nennt sie deshalb statische Unwucht. 2. Liegt der Schwerpunkt C auf der Drehachse, entfällt die statische Unwucht. Doch bei ˝ ¤ 0 können Lagerkräfte aus den Deviationsmomenten entstehen. Weil die nur bei ˝ ¤ 0 beobachtet werden können, spricht man dann von kinetischer Unwucht. Alle Unwuchtkräfte laufen mit dem Rotor um. Bei starrem Rotor und starren Lagern sind sie rotorfest. Aus den Unwuchten folgen für den Rotor also zeitunabhängige (konstante) Kräfte und Biegemomente – also Spannungsbeanspruchungen. Anders sieht es mit den Lagerkräften FEA ; FEB aus, die man vom festen – nichtdrehenden – Bezugssystem sehen muss, wenn man ihre Wirkung aus der Maschine heraus bewerten will. Abb. 3.7 zeigt die Zerlegung von FEA und FEB in Richtung der festen Vektoren eEv vertikal und eEh horizontal. Mit Abb. 3.7 oder auch nach (3.13), (3.14) mit Abb. 3.4 folgen (ohne Gewichtsanteile): lFvA D m.l  lC /rC ˝ 2 cos.˝t C ˛/  .Jxz cos ˝t  Jyz sin ˝t/˝ 2 ; lFhA D m.l  lC /rC ˝ 2 sin.˝t C ˛/  .Jxz sin ˝t C Jyz cos ˝t/˝ 2 ; lFvB D mlC rC ˝ 2 cos.˝t C ˛/ C .Jxz cos ˝t  Jyz sin ˝t/˝ 2 ;

(3.18)

lFhB D mlC rC ˝ 2 sin.˝t C ˛/ C .Jxz sin ˝t C Jyz cos ˝t/˝ 2 : Vom festen System her gesehen, führen die Unwuchten zu Wechsellasten.

3.5 Das Wuchten Durch das Anbringen – oder Wegnehmen – von Ausgleichsmassen versucht man, die Unwuchtlasten zu verringern. (Das Wegnehmen – durch Bohren, Fräsen usw. – von Ausgleichsmassen sehen wir als Hinzufügen von negativen Ausgleichsmassen.) Man spricht vom Wuchten.

42

3

Auswuchten starrer Rotoren

Es gibt zwei Sichtweisen des Wuchtens: 1. Fliehkräfte der hinzugefügten Massen heben die Lagerkräfte auf. 2. Hinzugefügte Massen verschieben den Schwerpunkt auf die Drehachse und drehen die Hauptachse in die Drehachse. Vorgehen Bei der Konstruktion von Rotoren sieht man Plätze zum Anbringen von Ausgleichsmassen (Wuchtgewichten) vor. (Beim Kfz-Rad z. B. die beiden Felgenränder.) Im allgemeinen muss man mindestens zwei Punktmassen m1 und m2 in unterschiedlichen Abständen von den Lagern anbringen, z. B. in den Wuchtebenen 1 und 2, an den Enden des Rotorballens bei l1 und l2 in Abb. 3.2. Nimmt man an, dass diese Massen, analog zu rEC für den Schwerpunkt C, auf den Spitzen der Vektoren rE1 und rE2 sitzen, so kann man (3.13) und (3.14) um die entsprechenden Glieder ergänzen und erhält l FEA C .l  lC /m˝ 2 rEC C .Jxz eEx C Jyz eEy /˝ 2 E C .l  l1 /m1 ˝ 2 rE1 C .l  l2 /m2 ˝ 2 rE2 D 0; E l FEB C lC m˝ 2 rEC  .Jxz eEx C Jyz eEy /˝ 2 C l1 m1 ˝ 2 rE1 C l2 m2 ˝ 2 rE2 D 0:

(3.19)

(3.20)

Hieraus folgen zwei Vorgehensweisen: E FEB D 0E und erhält aus (3.19) und (3.20) zwei Gleichun1. Man fordert formal FEA D 0; gen für m1 rE1 und m2 rE2 (das sind statische Momente). Hierzu ist allerdings die Kenntnis der Schwerpunktlage sowie von Jxz ; Jyz erforderlich. 2. Man hat zunächst FEA DW SEA ˝ 2 ; FEB DW SEB ˝ 2 – gewissermaßen als Lösungen von (3.13) und (3.14) – die statischen Momente SEA ; SEB gemessen. Dann folgen aus (3.19), (3.20) für verschwindende (resultierende) Lagerkräfte E  l SEA ˝ 2 C .l  l1 /m1 ˝ 2 rE1 C .l  l2 /m2 ˝ 2 rE2 D 0;

(3.21)

 l SEB ˝ 2 C l1 m1 ˝ 2 rE1 C l2 m2 ˝ 2 rE2 D 0

(3.22)

und m1 rE1 D

l2 SEA  .l  l2 /SEB ; l2  l1

m2 rE2 D

l1 SEA C .l  l1 /SEB : l2  l1

(3.23)

Aus diesen Gleichungen liest man sofort ab: Sollen die Ausgleichsmassen klein sein, müssen die Wuchtebenen einen möglichst großen Abstand .l2 l1 / haben und die Wuchtradien kEr1 k und kEr2 k möglichst groß sein. Achtung auf Vorzeichen: Am Lager misst man die Reaktionskräfte FEA und FEB !

3.6 Aufgaben

43

3.6 Aufgaben Aufgabe 3.1 Für das praktisch ebene Speichenrad nach Abb. 3.8, Masse m D 50 kg, ey / gm gemessen (E ex ; eEy körperfest). Die Durchmesser 1 m, wurde SE D .25:0E ex C 17:0E Ausgleichsmassen dürfen nur (in Nuten) auf den drei Speichen angebracht werden. Zur Verfügung stehen Passstücke von 20 g. Wie gleichen Sie die Unwucht aus? Aufgabe 3.2 Zum Wuchten wird das Speichenrad aus Aufgabe 3.1 auf die Welle nach Abb. 3.9 gesteckt .l D 800 mm; lC D 1100 mm/. Bei der Winkelgeschwindigkeit ˝ D 20 rad/s wird, von der Welle auf das Lager B wirkend, horizontal der Kraftverlauf FhB D FO cos.˝t C '0 / gemessen (Orientierung vgl. Abb. 3.7), mit FO D 21:0 N; '0 D 30ı . (Zur Zeit t = 0 weise eEx senkrecht nach oben, vgl. Abb. 3.8.) Wie gleichen Sie die Unwucht aus? Aufgabe 3.3 Der Rotor nach Abb. 3.10, l D 700 mm, hat bei (r1 , l1 ) = (200 mm, 250 mm) eine Fehlstelle mit m1 D 20 g und bei .r2 ; l2 / D .320 mm; 480 mm/ eine mit m2 D 15 g. Dabei ist m2 gegenüber m1 in positive Drehrichtung um 60° versetzt. Welche Zusatzmassen muss man in Schwalbenschwanznuten (r D 350 mm) bringen, um den Rotor auszuwuchten? (Stückelung der Massen 10 g.) Aufgabe 3.4 Der Rotor nach Abb. 3.11 sei rotationssymmetrisch und bereits ideal ausgewuchtet (Masse m, Massenmomente J1 D J2 ; J3 ; Längen lC ; l). Wegen eines exzentrischen inneren Laufrings im rechten Wälzlager läuft der Zapfen B jedoch auf einem Kreis mit dem Radius r.r= l  1/ um. Welche Kräfte wirken auf die Lager?

Abb. 3.8 Speichenrad

ex

Abb. 3.9 Speichenrad auf Welle

B

A l

lC

ey

44

3

Auswuchten starrer Rotoren

Abb. 3.10 Rotor mit Fehlstellen

l r l1

Abb. 3.11 Rotor in unrundem Laufring

r2

r1

A

Ω

l2

C

e1

B Ω

e3 lC

l

Lösungshinweis Es ist zweckmäßig, das linke Lager A als festen Bezugspunkt zu wählen. Wir arbeiten mit den Kippwinkeln nach Anhang A.1.3.6. Die rotorfeste Basis .A; eE1A ; eE2A ; eE3A / falle mit .O; eE13 ; eE23 ; eE33 / nach Abb. A.7 zusammen, vgl. auch Abb. A.8; A 0 eE dreht gegenüber eE , vgl. Abb. 3.1. Für den Neigungswinkel # gilt sin # WD r= l, in linearer Näherung, bei r= l  1, # D r= l, cos # ! 1. Mit dem Knotenwinkel E und läuft WD 2 C ˝t kippt die Rotorachse bei t D 0 mit dem Winkel # um eE11 D kk dann auf dem Kegel mit dem Öffnungswinkel 2# um die Lagerachse AB, den Einsvektor eE30 , ohne dass der Rotor dreht. Die Rotordrehung folgt mit 'K WD ˝t. Dann folgt aus (A.18), mit (A.36) und (A.34), 1 0 cos ˝t sin ˝t # C B A 0 (3.24) eE D R G eE ; mit R G D @  sin ˝t cos ˝t 0 A: # cos ˝t # sin ˝t 1 P 'PK / D .˝; 0; ˝/ Aus (A.63), (A.65) folgen mit . P ; #; A

A

!E D Ee 1 # ˝ C eE 3 ˝:

(3.25)

Der auf A bezogene Trägheitstensor lautet E A A A A A A JEA D eE1A J11 eE1 C eE2A J22 eE2 C eE3A J33 eE3 ;

(3.26)

A A D J22 D J11 C mlC2 : J11

(3.27)

wo (nach Steiner)

Aufgabe 3.5 Formulieren Sie die Lösungsansätze zu Aufgabe 3.4 mit Hilfe von Eulerund von Kardanwinkeln.

Teil II Schwinger mit einem Freiheitsgrad

Lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad stehen am Anfang der Schwingungslehre. Deren Begriffe bauen weitgehend auf der systematischen Untersuchung des Einmassenschwingers auf. Aber auch über das Schwingungsverhalten technischer Systeme kann man oft mit einem Modell von einem Freiheitsgrad einen Überblick gewinnen, der Beobachtungen an der Maschine erklärt und Eingriffe nahelegt, zum Beispiel, um unerwünschte Schwingungen zu verringern. In Kap. 4 führt eine maschinendynamische Aufgabe auf einen Einmassenschwinger, der anschließend in den Kap. 5, 6 und 7 systematisch abgehandelt wird. Ausgehend von der aufgestellten Bewegungsgleichung enthält Abschn. 4.6 Aussagen zur Terminologie, zum Lösungsvorgehen und auch Ergänzungen.

4

Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

4.1

Aufgabenstellung

Abb. 4.1 zeigt zwei Exzenterpressen 1, 2 auf einem gemeinsamen Rahmen 3, der auf 8 nachgiebigen Stützelementen 5 auf dem Maschinenhausboden 4 steht. Die beiden Pressen werden von einem gemeinsamen Motor über Zahnriemen mit '.t/ gegenläufig so angetrieben, dass sich die Massenmomente und horizontalen Massenkräfte ausgleichen (s. Abb. 4.1). In vertikaler Richtung verbleiben die Massenkräfte von Kurbel, Pleuel und Stößel (Kolben). Außerdem wird dem Maschinenhausboden von Nachbarmaschinen eine Vertikalbewegung u.t/ aufgezwungen. Gesucht sind die Vertikalbewegungen des Rahmens und die Kräfte auf die Federelemente.

ϕ

ϕ

1

2 3

x (t) 4

5

5

5

5 u(t)

Abb. 4.1 Exzenterpressen auf gemeinsamem Rahmen; Auslenkungen x(t) und u(t) © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_4

47

48

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

4.2 Modell 4.2.1

Vereinfachende Annahmen

In Abb. 4.1 ist das System bereits aus seiner Umgebung herausgeschnitten (die am Maschinenhausboden angreifenden Schnittkräfte sind nicht angezeigt). Die Biegeverformungen von Bodenplatte und Rahmen sollen in dem betrachteten Frequenzbereich vernachlässigbar klein sein, beide werden als starre Körper angesehen. Wegen der gegenläufigen Arbeitsweise der Pressen entfällt ein Kippeln. Dann können wir die Vertikalbewegung der Bodenplatte mit u.t/ messen und die Absenkung des Rahmens mit x.t/ erfassen. Sowohl u.t/ als auch x.t/ seien Auslenkungen in einem Inertialsystem, bei x 0; u 0 seien die Federelemente entspannt. Für den Antrieb nehmen wir einen idealen Motor mit ' D ˝t; ˝ D const., unabhängig von den jeweils wirkenden Massen- und Presskräften an. Hinweis Der zum Aufrechterhalten der als zeitunabhängig (fest) angenommenen Drehfrequenz ˝ erforderliche „ideale Antrieb“ muss ein Moment M = M(t) aufbringen, das im Allgemeinen zeitabhängig ist. Es besteht erstens aus einem Nutz- oder Arbeitsanteil, der – obwohl groß – vorab betrachtet und bei der Schwingungsuntersuchung selbst außer Acht gelassen werden kann. Zweitens entstehen Beiträge zu M(t) aus ungleichförmigen Bewegungen (von Teilen) der Maschine. Bei den in den Kap. 12 bis 14 behandelten RotorBiegeschwingungen, zum Beispiel, wo die konstante Drehfrequenz ˝ als Erregerfrequenz auftritt, sind solche Beiträge in der Regel klein gegenüber dem Nutzanteil und bleiben deshalb sowohl in Schnittbildern als auch bei den Bewegungsgleichungen (s. zum Beispiel Abschn. 12.3) gänzlich unbeachtet. – Beide Annahmen können kritisch sein.

4.2.2

Die Stütz- oder Federelemente

Die Stütz- oder Federelemente bestehen im allgemeinen aus Paketen von Schraubenfedern, Tellerfedern, auch Ringfedern, irgendwelchen gummielastischen Elementen und Dämpfern (z. B. Reib-Elementen). Ihr Verhalten erfasst man häufig durch eine (gemessene) Kennlinie, vgl. Abb. 4.2. Da eine solche Kennlinie die parallele Wirkung von Federn und Dämpfern (Reibern) erfasst, kann man die Kraft F1 nicht einfach als Funktion der Auslenkung x1 angeben. Man muss für das Federelement ein Strukturmodell entwickeln, das seinen Aufbau, die parallele Wirkung von Feder und Dämpfer wiedergibt. Abb. 4.3 zeigt den einfachsten Fall, dass sich F1 D F1 .x1 ; xP 1 / als Summe F1 D FF 1 .x1 / C FD1 .xP 1 /

(4.1)

4.2 Modell

49

Abb. 4.2 Stützelement. a schematisch, b Kennlinie als Verhaltensmodell

a

b

F1

F1 x1

x1

schreiben lässt, wo FF 1 .x1 / und FD1 .xP 1 / je für sich die Verhaltensmodelle für Feder und Reiber (Dämpfer) in Form der vom Hersteller gelieferten Kennlinien nach Abb. 4.4a bzw. b sind. Kann man sich keine Kennlinien FF 1 .x1 / oder FD1 .xP 1 / beschaffen, muss man erneut – und feiner – strukturieren, bei der Feder, zum Beispiel, auf Einzelheiten der Form und Abmessungen sowie auf das Hookesche Gesetz (als Verhaltensmodell) zurückgreifen; eine Formel mag helfen, wenn man sie durchschaut und ihr traut. Untersuchungen mit nichtlinearen Kennlinien nach Abb. 4.4 wird man nur durchführen, wenn man es unbedingt muss, denn 1. die Untersuchungen nichtlinearer Systeme sind sehr mühselig und praktisch nur mit Computer möglich, 2. die Ergebnisse sind sehr schwer zu durchschauen und erfordern Vertrautheit mit solchen Aufgaben. Deshalb linearisiert man (oft um den Nullpunkt), d. h., man legt bei x1 D 0 bzw. xP 1 D 0 eine Tangente an die Federkennlinie FF 1 .x1 / bzw. die Dämpferkennlinie FD1 .xP 1 /, in Abb. 4.4 gestrichelt, und erhält FF 1 D k1 x1

bzw. FD1 D b1 xP 1 :

(4.2)

An die Stelle von Abb. 4.3 tritt nun Abb. 4.5. F1

F1

FF1

FD1

Abb. 4.3 Strukturiertes Federelement

Reiber (Dämpfer)

Feder

Reiber

Feder

x1

50

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Abb. 4.4 Nichtlineare Kennlinien. a Feder, b Dämpfer

a

b

FD1

FF1

x1

Abb. 4.5 Lineares Stützelement, k1 – Federsteifigkeit, b1 – Dämpfungskoeffizient

x1

F1

F1 x1 k1

b1

Bei der Parallelschaltung von acht Federelementen an unseren Exzenterpressen gilt F D 8F1 D kx1 C b xP 1

(4.3)

mit k D 8k1 ; b D 8b1 . Aus Abb. 4.1 liest man gegenüber der entspannten Lage x 0; u 0 die folgende Auslenkung x1 bzw. Geschwindigkeit xP 1 ab: P x1 D x  u und xP 1 D xP  u:

(4.4)

4.2.3 Ersatzsystem Als Ersatzsystem wählen wir Abb. 4.6. (Der Bequemlichkeit halber ist nur eine Presse gezeichnet. Die erforderlichen Maschinenparameter folgen unten.) Zunächst werden nun die Massenkräfte infolge der Arbeitsbewegung angesetzt und abgehandelt, die Bewegungsgleichung wird in Abschn. 4.5 aufgestellt.

4.3

Massenkräfte

4.3.1 Allgemeine Bemerkungen zu den Massenkräften Das Ersatzsystem nach Abb. 4.6 enthält Teile, nennen wir sie Massen mi , die mit dem Rahmen direkt oder indirekt fest verbunden sind, sich also mit x.t/ auf und ab bewegen.

4.3 Massenkräfte

51

Abb. 4.6 Exzenterpresse: Ersatzsystem

φ g h x

B b

k

u(t) F

Nach Anhang A.4.3 erfahren sie jeweils die d’Alembert’sche Kraft mi x; R gegen x orientiert! Andere Massen mj , die Kurbel, das Pleuel, der Stößel (vgl. Abb. 4.7) bewegen sich – zusätzlich – gegenüber dem Rahmen. In Abb. 4.7 sind für die relativen vertikalen Schwerpunktauslenkungen die Koordinaten j eingeführt. Dann beträgt die (absolute) Beschleunigung der Masse mj gegenüber dem Inertialsystem xR j D xR C Rj :

(4.5)

Abb. 4.7 Pressengetriebe: Kinematik

y φ r Ck 0

rk

l1

ξ Cp β

Cs

l

52

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Mithin lautet ihre Trägheitskraft  mj .xR C Rj / D mj xR  mj Rj :

(4.6)

Der erste Anteil rechts kann zu den Trägheitskräften der mit dem Rahmen fest verbundenen Teile, der Massen mi , geschlagen werden. Nur der zweite Anteil muss je gesondert betrachtet werden. Wir sehen: Im Ersatzsystem nach Abb. 4.6 bewegen sich der Rahmen und die beiden Pressen als Ganzes mit x.t/ auf und ab. Dem entspricht eine d’Alembert’sche Kraft mxR mit der Pressen- und Rahmen-Gesamtmasse m, vertikal nach oben gerichtet. Kurbel, Pleuel und Stößel erfahren zusätzliche Trägheitskräfte infolge ihrer Relativbewegung gegenüber x.t/. Die daraus folgenden Massenkräfte müssen separat berechnet und dann addiert werden.

4.3.2 Kinematik der Relativbewegungen Abb. 4.7 zeigt schematisch das Ersatzsystem für das Pressengetriebe mit den benötigten Abmessungen. Da sich die horizontalen Trägheitskräfte der beiden Pressen wechselseitig aufheben, werden nur die vertikalen Schwerpunktauslenkungen gebraucht. Wir messen sie mit  .t/ gegenüber der Achsmitte 0 der Kurbelwelle: k – Schwerpunkt Kurbel, p – Schwerpunkt Pleuel, s – Schwerpunkt Stößel. Aus Abb. 4.7 liest man ab k D rk cos ';

p D r cos ' C l1 cos ˇ;

s D r cos ' C l cos ˇ;

wo ' D ˝t als Abkürzung steht. Der Winkel ß ist hier eine Hilfskoordinate. Nach Abb. 4.7 gilt p l sin ˇ D r sin '; also cos ˇ D 1  .r= l  sin '/2 :

(4.7)

(4.8)

Wegen r= l < 1 lässt sich (4.8) stets eindeutig auflösen. (Bei r= l > 1 würde die Kurbel sperren.) Die Beschleunigungen Rk ; Rp ; Rs folgen durch Differenzieren von (4.7) zu Rk D rk ˝ 2 cos ';

(4.9)

Rp D r˝ 2 cos '  l1 ˇR sin ˇ  l1 ˇP 2 cos ˇ; Rs D r˝ 2 cos '  l ˇR sin ˇ  l ˇP 2 cos ˇ: Darin stehen r ˇP cos ˇ D ˝ cos ' l

sin ' r und ˇR D  ˝ 2 l cos ˇ

als Hilfsgrößen, mit cos ˇ aus (4.8).



 r 2 cos2 '  1 l cos2 ˇ

(4.10) (4.11)

(4.12)

4.3 Massenkräfte

53

Abb. 4.8 Pressengetriebe mit d’Alembert’schen Kräften

..

mk ξk

..

mk yk

Ck

..

m p ξp

..

mp yp Cp

..

Jp β Cs

..

ms ξ s

4.3.3 Kinetik der Relativbewegungen Abb. 4.8 zeigt die Trägheitskräfte und das Moment infolge der Relativbewegungen an der Kurbel der Masse mk W mk Rk ; mk yRk ; R am Pleuel durch die Masse mp W mp Rp ; mp yRp , durch das Trägheitsmoment Jp W Jp ˇ, am Stößel der Masse ms W ms Rs ; ms yRs jeweils gegen die (positive) Orientierung der Koordinaten ; y und ˇ aus Abb. 4.7 eingetragen (vgl. Anhang A.4.3). Die Summe der Relativ-Trägheitskräfte an einer Maschine lautet FTrel D .mk Rk C mp Rp C ms Rs /:

(4.13)

Mit den oben berechneten Beschleunigungen erhält man FTrel D 

r

k





 l1 mp C ms l.ˇP 2 cos ˇ C ˇR sin ˇ/ l

mk C mp C ms r˝ cos ' C k mk C mp C ms r˝ 2 cos ' D r  

  r 2 cos2 '  l1 r˝ 2 r 2 2 C mp C ms cos '  sin ' 1  : l cos ˇ l l cos2 ˇ r r

2

(4.14) Hiermit sind alle auf das Ersatzsystem nach Abb. 4.6, ergänzt um die zweite Maschine, wirkenden Kräfte durch gegebene Größen oder die Koordinaten und ihre Zeitableitungen

54

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

ausgedrückt. Aus dem Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung folgt in Abschn. 4.5 die Bewegungsgleichung. Zuvor ziehen wir, ohne Kenntnis der Bewegungsgleichung, aus der Form (4.14) der Trägheitskräfte FTrel einige technisch relevante Schlüsse.

4.4 Schwingungserregung durch bewegte Massen Die Trägheitskräfte FTrel hängen gemäß (4.14) explizit von der Zeit ab. Mit ' D ˝t bilden sie eine T-periodische Erregung des Systems, T D 2=˝. Zwei Fragen treten auf: 1. Wie kann man die Erregungen im Rahmen des vorliegenden Modells, also durch Wahl der Parameter, gezielt beeinflussen, zum Beispiel verringern? 2. Vorbereitend für die spätere Schwingungsuntersuchung: Wie sieht der Zeitverlauf der Erregung im Einzelnen aus?

4.4.1 Reduktion der Erregerkräfte Die Erregerkraft FTrel nach (4.14) zerlegt man zweckmäßig in zwei Anteile   C FTrel ; FTrel D FTrel

(4.15)

mit  FTrel

D

mred r˝ 2

cos ';

 FTrel

D

2 m red r˝

" # 2  2 sin .2'/ cos 2' C  ; cos ˇ 4 cos2 ˇ

(4.16)

 WD r= l – Stangenverhältnis, und den reduzierten Massen   mp rk rk mk C mk D ms 1 C ; r ms r ms   l1 l1 mp WD ms C mp D ms 1 C : l l ms

mred WD ms C mp C m red

(4.17)

Ganz rechts wurde ms als größte Masse angenommen und als Referenzgröße für mp ; mk benutzt (vgl. Abschn. 1.2.2). Die relativen Massen lassen sich bei etwas Erfahrung leichter abschätzen als die absoluten. Für das Beispiel unten und die Aufgaben seien die numerischen Parameter wie folgt gegeben: mk =ms D 0:2; mp =ms D 0:9; rk =r D 0:5; l1 = l D 0:4;  D r= l D 0:3.   ; Frel bei gegebenen Kurbelradius r und Drehfrequenz ˝ Um die Erregerkräfte Frel klein zu halten, muss man die reduzierten Massen klein halten, also möglichst leicht bauen. Man kann jedoch auch, durch Anbringen von Zusatz- oder Ausgleichsmassen am

4.4 Schwingungserregung durch bewegte Massen

55

Achsende von Kurbelarm (oder -wange) bzw. am unteren Ende des Pleuels die Produkte .rk mk / bzw. .l1 mp / minimieren. (Bei der Kurbel lässt sich die Ausgleichsmasse evtl. so wählen, dass rk mk negativ und mred D 0 wird.) Geringer Bauraum, die Forderung nach geringem Gewicht, aber auch durch die Zusatzmassen erhöhte innere Kräfte auf Lager usw. können einen Massenausgleich einschränken. Bemerkung: Die vorstehende kurze Diskussion soll (auch) andeuten, dass schon eine sorgfältige Analyse des Systems auf dem Wege zu den Bewegungsgleichungen auf nutzbringende Zusammenhänge und Einsichten führen kann.

4.4.2

Zeitverlauf der Erregung; Fourier-Zerlegung

Aus (4.16) liest man ab   .t C T / D FTrel .t/; FTrel

  FTrel .t C T =2/ D FTrel .t/:

(4.18)

  regt das System also mit der einfachen Drehfrequenz ˝, FTrel regt mit der doppelFTrel ten Drehfrequenz 2˝ und deren Oberschwingungen an. Die Einzelheiten des Zeitverlaufs erfasst man zweckmäßig mit einer Fourier-Reihe oder -Zerlegung. Zweckmäßigerweise zieht man dazu, wie in (4.17), die Stößelmasse ms auf der rechten Seite von (4.17) heraus, dividiert durch ms r˝ 2 und betrachtet die (bezogene, d. h.) dimensionslose Erregung

  mp FTrel rk mk D  1 C C cos ' ms r˝ 2 ms r ms # "    sin2 .2'/ l1 mp 2 p : C 1C cos 2' C  l ms 4.1  2 sin2 '/ 1  2 sin2 '

f .t/ WD

(4.19)

In allgemeiner Form lautet die Fourierreihe für f .t/, vgl. Abschn. 1.3.4 mit ! D ˝: 1 1 fO0 X  O fO0 X  O fcn cos n˝t C fOsn sin n˝t D fcn cos n' C fOsn sin n' : C C 2 2 nD1 nD1 (4.20) Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten fO0 ; fOcn ; fOsn dienen die Formeln (1.47), (1.48). Hier kann man besondere Eigenschaften von f .t/ D f .'/ zum Vereinfachen der Rechnungen ausnutzen (vgl. die Hinweise in Abschn. 1.3.4). Wegen f .'/ D f .'/, die Funktion f .'/ ist gerade bezüglich ' D 0, entfallen in (4.20) die (ungeraden) Sinusglieder. Wegen f .'  =2/ D f ..'  =2//, die Funktion f .'/ ist ungerade bezüglich =2, entfällt das konstante Glied fO0 ; vgl. auch Aufgabe 4.8. Da die zweite Zeile von (4.19) – bezüglich ' – -periodisch ist, folgt aus der ersten

f .t/ D

  mp rk mk O fc1 D  1 C C ; ms r ms

(4.21)

56

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

und es gilt fOcn D 0 für die ungeraden n > 1. Die fOcn zu geradzahligem Index n müssen im allgemeinen gemäß (1.48) aus 1 fOcn D 

'Z 0 C2

f .'/ cos.n'/d'

(4.22)

'0

numerisch berechnet werden. Alternativ kann man für kleine Stangenverhältnisse r= l D   1 die Funktion f .'; / bezüglich  in eine Taylorreihe entwickeln. Mit den Gliedern bis 5 erhält man   mp rk mk C f .t/ D  1 C cos ' ms r ms     15 4 l1 mp 1 (4.23)  C    cos 2' C 1C  1 C 2 C l ms 4 128    1 9 4 3  2 1 C 2 C    cos 4' C  .1 C    / cos 6' C    : 4 4 128 Mit den bei (4.17) angegebenen Parametern erhält man die Zahlenwerte fO0 D 0;

fOc1 D 2:0;

fOc2 D 0:426 : : : ;

fOc4 D 0:0097 : : : ;

fOc6 D 0:00023 : : :

Abb. 4.9 zeigt das Linienspektrum der vier ersten cos-Koeffizienten (fOc4 ; fOc6 fallen in die Strichstärke der Abszisse). Abb. 4.10 zeigt f .'/für0  '  2. Zum Vergleich ist fOc1 cos ' eingetragen. Abb. 4.9 Linienspektrum

fcn 0

2

-1 -2 f 2

f (φ) fc2 cos2φ

0 -2 Abb. 4.10 Funktionsverlauf

π

fc1 cos φ 2π φ

4

6n

4.5 Gleichgewichtsbedingungen und Bewegungs-Differentialgleichung

57

Allgemeine Bemerkungen zu zeitabhängigen Erregungen Genauso wie die periodischen Erregerkräfte aus hin- und hergehenden oder umlaufenden Massen wird man periodische Fundamentbewegungen u.t/ usw. in Fourierreihen entwickeln. Die Fourierentwicklung ist nicht nur zweckmäßig für die unten folgenden Untersuchungen der erzwungenen Schwingungen, sie ermöglicht als Ergebnis einer Messung nicht nur, die Quellen der häufig unerwünschten Schwingungen auszumachen und Abhilfen zu entwickeln, sondern gestattet auch, Schwingungen auf ihre Gefährlichkeit hin zu beurteilen.

4.5 4.5.1

Gleichgewichtsbedingungen und BewegungsDifferentialgleichung Gleichgewicht

Abb. 4.11 zeigt das freigeschnittene Ersatzsystem mit der Stützkraft F D k.x  u/ C b.xP  u/ P nach (4.3), (4.4), dem Gesamtgewicht G D mg, der Gesamt-Trägheitskraft FTges D mxR C 2FTrel , vgl. Abschn. 4.3.3 und (4.14). P In x-Richtung muss Gleichgewicht herrschen, Fxi D 0 W FTges C G  F D 0:

φ

(4.24)

φ

FTges

x(t) G

b

k

u(t) F Abb. 4.11 Exzenterpresse: Freigeschnittenes Ersatzsystem mit Trägheitskräften und Gewicht

58

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Abb. 4.12 Einmassenschwinger

b

k

x m Fe (t)

Einsetzen obiger Einzelterme und Ordnen der Glieder liefert P mxR C b xP C kx D mg C 2FTrel .t/ C ku.t/ C b u.t/:

4.5.2

(4.25)

Die Bewegungs-(Differential-)Gleichung

Die Differentialgleichung 2. Ordnung (4.25) für die Bewegung x.t/ heißt Bewegungsgleichung. Man kürzt sie mit (4.26) mxR C b xP C kx D Fe .t/ ab. Auf der rechten Seite steht die allgemeine Erregerkraft Fe .t/, in unserem Fall also P Fe .t/ D mg C 2FTrel C ku.t/ C b u.t/:

(4.27)

Da die Bewegungsgleichung dimensionsrichtig ist (sein muss!), haben alle Glieder dieselbe Dimension, hier die einer Kraft. Der physikalische Charakter der Glieder, Federkraft, Dämpferkraft usw., ist jetzt nebensächlich. In Handbüchern, Formelsammlungen usw. findet man zu (4.26) das System nach Abb. 4.12, den Einmassenschwinger. An diesem Bild werden dann auch die Lösungen gedeutet. Nur im günstigen (Ausnahme-)Fall passen die Deutungen unmittelbar zum eigenen System. In der Regel braucht man zur Schwingungsuntersuchung ein eigenes Schnittbild (z. B. wie Abb. 4.11), das zum System passt.

4.6 Allgemeine Aussagen; Ergänzende Hinweise 4.6.1 Benennungen Eine Differentialgleichung (Dgl) der Form mxR C b xP C kx D Fe .t/;

(4.28)

4.6 Allgemeine Aussagen; Ergänzende Hinweise

59

mit der linearen linken Seite L.x; R x; P x/ D mxR C b xP C kx;

(4.29)

heißt lineare Differentialgleichung. Die Funktion L.x; R x; P x/ der drei Variablen .x; R x; P x/ ist homogen, d. h. L.˛ x; R ˛ x; P ˛x/ D ˛L.x; R x; P x/;

(4.30)

L.xR 1 C xR 2 ; xP 1 C xP 2 ; x1 C x2 / D L.xR 1 ; xP 1 ; x1 / C L.xR 2 ; xP 2 ; x2 /:

(4.31)

und additiv, d. h.

Die (lineare) Differentialgleichung (4.26) – als Funktion der vier Variablen .x; R x; P x; Fe / R x; P x/ nicht homogen. Deshalb unterscheidet angesehen – ist für Fe ¤ 0 bezüglich .x; man die inhomogene lineare Differentialgleichung (4.26) von der homogenen linearen Differentialgleichung mxR C b xP C kx D 0; (4.32) (die die Bedingungen (4.30), (4.31) erfüllt). Oft braucht man zur inhomogenen Differentialgleichung (4.26) die zugehörige oder zugeordnete homogene Gleichung (4.32), in der man dann – zur Unterscheidung – gelegentlich xh statt x schreibt. Aus Sicht der Schwingungslehre beschreibt die lineare inhomogene Differentialgleichung die erzwungenen oder erregten Schwingungen (eines linearen Schwingers), während die homogene Gleichung freie (d. h. nicht erzwungene) Schwingungen erfasst. Im ersten Fall hängt die Dgl explizit von der Zeit ab, das Schwingungssystem ist also (im Sinne eines Schnittbildes) von außen beeinflusst und deshalb nicht autonom. Bei homogener Gleichung entfällt die explizite Zeitabhängigkeit, das System ist autonom. Man spricht auch von Zeit-varianten bzw. Zeit-invarianten Systemen.

4.6.2

Überlagerung von Lösungen

Ohne Lösungen der linearen Dgl (4.26) zu kennen, folgt aus der Additivität nach (4.31): 1. Ist x.t/ eine beliebige Lösung der inhomogenen Dgl (4.26) und xh .t/ eine (beliebige) Lösung der (4.26) zugeordneten homogenen Dgl (4.32), so ist (auch) xges D x.t/ C xh .t/ eine Lösung von (4.26).

(4.33)

60

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

2. Sind x1 .t/ und x2 .t/ beliebige Lösungen von mxR 1 C b xP 1 C kx1 D Fe1 .t/

bzw. mxR 2 C b xP 2 C kx2 D Fe2 .t/;

(4.34)

so löst x D x1 .t/ C x2 .t/

die Dgl mxR C b xP C kx D Fe1 .t/ C Fe2 .t/:

(4.35)

Auf diesen beiden Überlagerungssätzen, auch Superpositionsprinzip genannt, beruht – nach analoger Erweiterung auf umfangreichere Systeme – ein großer Teil der Theorie der linearen Schwingungen.

4.6.3 Schwinger mit negativer Dämpfung1 Abb. 4.13 zeigt einen Reibschwinger, Masse m, Gewicht G, an der Wand C mit einem Feder-Dämpferelement (Parameter k; b1 ) aufgehängt, der auf einem schnell laufenden rauen Band, v  kxk, P Reibungszahl µ, liegt. Zusätzlich ist ein schräger auf das System wirkender Dämpfer, Dämpfungskoeffizient b2 , angebracht, sodass die horizontale Bewegung des Klotzes Einfluss auf die Normalkraft zwischen Klotz und Band hat. Im Ausgangszustand, bei x D 0, sei die Feder entspannt, die Dämpferstange habe die Länge l und sei unter dem Winkel ˛ geneigt. Bleibt die Auslenkung x klein gegenüber der Länge l, kxk  l, behält der Zusatzdämpfer am ausgelenkten Klotz (näherungsweise) seine Richtung ˛. Dann lautet die (lineare) Bewegungsgleichung mxR C b xP C kx D G; (4.36)

Abb. 4.13 Reibschwinger mit Laufband

l b2

α

b1 C

k m

μ

x B

A G

v 1

Nach Dr.-Ing. Heinz Waltermann, Remscheid.

D

4.6 Allgemeine Aussagen; Ergänzende Hinweise

61

wo b D b1 C b2 cos ˛.cos ˛   sin ˛/:

(4.37)

Mit dem Reibungswinkel % D arctan  kann man (4.37) umformen: b D b1 C b2 .cos % C cos.2˛ C %//=2 cos %:

(4.38)

Da ˛ beliebig ist, darf man in (4.38) .2˛ C %/ D ˙ setzen und erhält b D b1  b2

.1  cos %/ : 2 cos %

(4.39)

Für b2 > 2b1 cos %=.1  cos %/ wird b also negativ. Bemerkung Der Dämpfer eines mechanischen Systems vernichtet Energie, er dissipiert, d. h. zerstreut sie (letztlich wird sie in Wärme umgewandelt). Ein negativer Dämpfungskoeffizient b erfordert Energiezufuhr, also eine Energiequelle. In obigem Beispiel stammt die – bei negativem b – erforderliche Energie aus dem Antrieb des Bandes. Die beiden Dämpfer selbst dissipieren Energie!

4.6.4 Pendel als nichtlineare Schwinger Das mathematische und das physikalische Pendel nach Abb. 4.14a bzw. b sind die Prototypen nichtlinearer Schwinger. Beim mathematischen Pendel hängt eine Punktmasse m mit einer masselosen Stange der Länge l am Aufhängepunkt A, beim physikalischen Pendel ist es ein Körper der Masse m, Trägheitsmoment JA (bezogen auf A), Schwerpunktabstand s D AS. Beide Pendel schwingen unter dem Einfluss ihres Gewichts G D mg – so ist Pendeln in der Physik charakterisiert – im Schwerefeld. Die Bewegungsgleichungen für die Winkel-Auslenkung ' D '.t/ lauten ml 2 'R C mlg  sin ' D 0 bzw. JA 'R C msg sin ' D 0: Abb. 4.14 Pendel. a mathematisches, b physikalisches

a

(4.40)

b

A

A l

m,JA

s m

φ

φ C

G

G

62

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Die Pendelgleichungen (4.40) sind nichtlinear (vgl. Aufgabe 4.19), die Überlagerung von (Teil-)Lösungen ist nicht möglich (vgl. Abschn. 4.6.2). Die Pendelgleichungen (4.40) sind konservativ (vgl. Aufgabe 4.18), gemäß diesen Gleichungen würde ein einmal angestoßenes Pendel dauernd weiter schwingen. Die Modelle taugen also nicht für reale Pendel. Beim mathematischen Pendel liegt es nahe, einen dem Geschwindigkeitsquadrat proportionalen Luftwiderstand einzuführen: ml 2 'R C b  lvkvk C mgl  sin ' D 0;

(4.41)

mit v D l ', P und b  ist proportional zu Querschnittsfläche und Luftdichte. Mit b WD b  l lautet (4.41) nach Division durch .ml 2 /: 'R C

b 'k P 'k P C g= l  sin ' D 0: m

(4.42)

4.6.5 Allgemeine Bewegungsgleichung Die vorangehenden Überlegungen und Beispiele legen für den Schwinger von einem Freiheitsgrad (nach Division durch m) die allgemeine Form xR D f .x; x; P t/

(4.43)

nahe. Dabei müssen xR und f dimensionsgleich sein! (Eine dimensionslose, bezogene, Schreibweise ist stets zweckmäßig.) Gelegentlich schreibt man auch P t/ D 0 mit f  D f: xR C f  .x; x;

(4.44)

Hängt f .x; x; P t/, wie in dieser allgemeinen Form, explizit von der Zeit ab, heißen System wie Bewegungsgleichung nicht-autonom. Wird f .x; x; P t/ ) f .x; x/ P zeitunabhängig, sind sie autonom. Für numerische Lösungen muss in der Regel eine Differentialgleichung zweiter Ordnung durch ein System von zwei Gleichungen erster Ordnung ersetzt werden. Mit y D xP entsteht aus (4.43) – in Matrixschreibweise – das System ! ! y xP ; D f .x; y; t/ yP

(4.45)

(4.46)

was man mit x D .x; y/T ; f D .y; f /T durch xP D f .x; t/ abkürzt.

(4.47)

4.7 Dimensionslose Schreibweise von Differentialgleichungen

63

4.7 Dimensionslose Schreibweise von Differentialgleichungen Die dimensionslose Schreibweise ist vorteilhaft wegen: 1. Dimensionsloser Rechnung mit Digitalrechner 2. Rechnen mit systemeigenen „Maßstäben“ (Referenzgrößen, Einheiten) bringt vielfach anschauliche Interpretationsmöglichkeit für dimensionslose Parameter und Ergebnisse. 3. Die Anzahl der Parameter wird verringert, nur die verbleibenden wesentlichen Parameter gehen in die Lösung ein. Zwei Vorgehensweisen sind möglich, Wir erläutern sie am Beispiel der Bewegungsgleichung (4.28) mit Fe .t/ D F0 cos ˝t: mxR C b xP C kx D F0 cos ˝t

(4.48)

Diese Gleichung enthält fünf dimensionsbehaftete Parameter, m; b; k; F0 und ˝. Variabel sind x und t, x steht für eine Länge, t steht für die Zeit; (4.48) entstand aus einem Kräftegleichgewicht.

4.7.1

Vorgabe von Bezugsgrößen

Um die Auslenkung x und die Zeit t dimensionslos zu machen, kann man beliebig zwei günstige Referenzgrößen wählen, z. B. LR als Bezugslänge und TR als Bezugszeit. (TR braucht keine Periode zu sein.) Mit LR und TR werden definiert: xQ WD x=LR – dimensionslose Auslenkung, tQ WD t=LR – dimensionslose Zeit, also gelten x D xL Q R ; t D tQTR :

(4.49)

Für die Ableitung xP folgt xP D

ı LR d.xL Q R/ d xQ LR dx D xQ D D dt d.tQTR / d tQ TR TR

Analog bildet man

ı

mit xQ WD

ıı L

xR D xQ

R TR2

d xQ d tQ

(4.50)

(4.51)

Einsetzen der Größen aus (4.49)–(4.51) in die Bewegungsgleichung (4.48) und Division durch mLR =TR2 liefert ıı

xQ C

ı b k F0 TR2 cos.˝TR tQ/: TR xQ C TR2 xQ D m m m LR

(4.52)

64

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Alle vier hier auftretenden Koeffizienten (Parameter) und die Variablen x; Q tQ sind dimensionslos. Man kann setzen p1 WD und erhält

b ; m

p2 WD ıı

k 2 T ; m R

p3 WD

F0 TR2 ; m LR

p4 WD ˝TR

(4.53)

ı

xQ C p1 xQ C p2 xQ D p3 cos.p4 tQ/:

(4.54)

Hier sind die Referenzgrößen also willkürlich vorgegeben.

4.7.2

Systematische Bestimmung systemeigner Bezugsgrößen

Seien die Referenzgrößen LR und TR in (4.49) zunächst nicht festgelegt. Dann darf man in (4.52) zwei – einander nicht widersprechende – Bedingungen stellen und LR ; TR daraus ermitteln. Damit (4.52) einfach wird – wenige Parameter enthält – fordern wir: k 2 T D 1; m R

F0 TR2 D1 m LR

(4.55)

r m F0 1 LR D I (4.56) ; TR D DW k k !0 LR ist also die statische Absenkung der Masse, Dehnung der Feder, unter der „Last“ F0 , 1=TR D !0 ist die Eigenfrequenz des ungedämpften Schwinger; vgl. (5.3)1 . Beide kann man als systemeigene Einheiten ansehen. Gl. 4.52 erhält die Form Dies führt auf

ıı

b ı xQ C p xQ C xQ D cos.˝Q tQ/; mit ˝Q WD ˝=!0 I (4.57) km p üblicherweise wird b= km DW 2D gesetzt, vgl. (5.3)2 . Für den Einmassenschwinger nach Abb. 4.12 mit sinusförmiger Krafterregung gibt es also nur zwei wesentliche Parameter (alle weiteren lassen sich darin aufnehmen). Statt (4.56) zu fordern, hätte man eine dieser Forderungen durch bTR =m D kTR2 =m oder durch bTR =m D 1 ersetzen können und andere wesentliche Parameter behalten. Günstig erscheint auch die Wahl einer festen Anregungsperiode ˝TR D 1:

(4.58)

Ein Blick auf (4.52) zeigt, dass dann nur noch F0 TR2 =.mLR / D 1 gesetzt werden kann. Man erhält statt (4.48) die 2-periodische Gleichung ıı

xQ C

2D ı 1 xQ C xQ D cos tQ; ˝Q ˝Q 2

(4.59)

4.8 Aufgaben

65

nach Multiplikation mit ˝Q 2 , gleichbedeutend: ıı

ı

˝Q 2 xQ C 2D ˝Q xQ C xQ D ˝Q 2 cos tQ:

(4.60)

Welche Bezugsgrößen man wählt, welche Bedingungen für die Parameter setzt, hängt auch davon ab, was man in der Lösung variieren will. Soll zum Beispiel b „frei“ diskutiert werden, darf man nicht bTR =m D 1 setzen, denn damit ist b D 0 ausgeschlossen. Die Anzahl der übrig bleibenden, der wesentlichen Parameter ist unabhängig davon, welche Bedingungen man setzt. Für jede Variable kann man eine freie Referenzgröße einführen, jede Gleichung kann man durch eine Konstante dividieren. Bei M Variablen und N Gleichungen kann man also bis zu M C N Parameter „eliminieren“, also unwesentliche Parameter in die Variablen oder die verbleibenden (wesentlichen) aufnehmen.

4.8

Aufgaben

Aufgabe 4.1 Für das Modell zum Stützelement nach Abb. 4.3, 4.4 mit (4.1) nehme man an: FF 1 D k1 x1 C k1 x12 ; FD1 D FR tanh.˛ xP 1 / mit den Parametern k1 D 250 N/mm; k1 D 50 N/mm2 ; FR D 200 N; ˛ D 0:05 s/mm. Berechnen Sie die Kennlinien nach Abb. 4.4 und für x1 D xO 1 cos ˝t, mit xO 1 D 1 mm; ˝ D 50 rad/s; einen Stützkraftverlauf wie in Abb. 4.2b. Aufgabe 4.2 Man variiere die Parameter in Aufgabe 4.1, zum Beispiel xO 1 D 0:5 mm, 2 mm; ˝ D 25 rad/s; 75 rad/s (Computer!) Aufgabe 4.3 Linearisieren Sie die Modelle in Aufgabe 4.1 und Aufgabe 4.2, indem Sie FK1 D k1  x1 ; FD1 D FR ˛ xP 1 setzen. Berechnen Sie die Linien analog zu Aufgabe 4.1. Wie unterscheiden sich die neuen Kennlinien von den alten? (Computer!) Aufgabe 4.4 Nehmen Sie in den voranstehenden Aufgaben x1 D xO 1 cos ˝t CxO 3 cos.3˝t/ mit xO 3 D xO 1 an und berechnen Sie den Verlauf F1 analog zu Abb. 4.2b. Aufgabe 4.5 Kontrollieren Sie die Beschleunigungen Rk ; Rp ; Rs ; ˇR in Abschn. 4.3.2. Aufgabe 4.6 Wenn man die Standsicherheit der einzelnen Presse untersuchen will, braucht man auch die horizontalen Trägheitskräfte und das d’Alembert’sche Moment des Pleuels, vgl. Abb. 4.8. Schreiben Sie die erforderlichen Schwerpunktauslenkungen yk ; yp ; ys an und berechnen Sie yRk ; yRp ; yRs . Aufgabe 4.7 Welches dynamische (Kipp-)Moment um den Mittelpunkt B der Bodenplatte einer Maschine tritt auf? (Kurbel-Welle hat Höhe h gegen Bodenplatte, s. Abb. 4.6.) Geht auch x.t/ R in das Moment ein?

66

4 Vertikalschwingungen eines Paares gekoppelter Exzenterpressen

Aufgabe 4.8 Untersuchen Sie die Periodizität der einzelnen Glieder von f .t/ nach (4.19). Zeigen Sie mit ' D ˝t, dass f .'/ D f .'/; f .'/ ist gerade bezüglich ' D 0 (oder t = 0). Ferner f .'  =2/ D f ..'  =2//; f .'/ ist ungerade bezüglich ' D =2 (oder t D T =4). Aufgabe 4.9 Führen Sie für f .'; / nach (4.19) die Taylorentwicklung nach  aus, die auf (4.23) führt. Aufgabe 4.10 Für die Kraft F(t) von der Decke auf den Maschinenrahmen (s. Abb. 4.11) gilt laut (4.3), (4.4) F .t/ D b.xP  u/ P C k.x  u/, wobei x.t/ die Dgl (4.25) erfüllt: P Eliminieren Sie aus diesen beiden Gleichungen mxR C b xP C kx D mg C 2FTrel C ku C b u. x; x; P xR und schreiben Sie eine Dgl für F(t) an. (Hinweis: Um x; x; P xR zu eliminieren, muss man die Gleichung für F(t) ein- und zweimal nach t differenzieren; u; P u; R u « sind mit u.t/ bekannt.) Aufgabe 4.11 Schreiben Sie für die linke Seite L.x; R x; P x/ der linearen Dgl (4.26) die Beziehungen (4.30), (4.31) im Einzelnen an. Aufgabe 4.12 Verfolgen Sie – durch ausführliches Anschreiben der Gleichungsterme – die Überlagerungsaussagen in Abschn. 4.6.2. Aufgabe 4.13 Setzen Sie die lineare Bewegungsgleichung (4.36), (4.37) für den Reibschwinger aus Abschn. 4.6.3, Abb. 4.13 an. (Hinweis: Bei jxj  l wird der Zusatzdämpfer bei Auslenkung x(t) mit der Geschwindigkeit vD D xP cos ˛ zusammengepresst.) Aufgabe 4.14 Führen Sie für den Reibschwinger aus Aufgabe 4.13 die Umformungen von Gl. (4.36), (4.37) nach (4.38),(4.39) durch. Nehmen Sie zum Beispiel  D 0:75 an und skizzieren Sie für das System die Dämpferlagen ˛ D .% ˙ /=2. Aufgabe 4.15 Schreiben Sie für den Bandantrieb des Reibschwingers aus Aufgabe 4.13 eine Leistungsbilanz an. (Nehmen Sie dabei x D x(t) , also auch xP als bekannt an.) Aufgabe 4.16 Bei größeren Auslenkungen x(t) ändert sich in Aufgabe 4.13 die StangenP auch der länge l D l.t/ abhängig von x(t). Für den Dämpferzug gilt dann FD D b2 l; Winkel ˛ D ˛.t/ hängt dann von x(t) ab. Setzen Sie die, nun nichtlineare, Bewegungsgleichung für x(t) an. Aufgabe 4.17 Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die Pendel in Abschn. 4.6.4 auf. Aufgabe 4.18 Multiplizieren Sie die Bewegungsgleichungen (4.40) der Pendel mit '. P Wie können Sie das Resultat als Leistungsaussage lesen? Integrieren Sie unter Beachtung von d' D 'dt P und d 'P D 'dt R über die Zeit und zeigen Sie, dass die Pendel konservativ sind: Die Summe von kinetischer und potenzieller Energie bleibt erhalten.

4.8 Aufgaben

67

Aufgabe 4.19 Zeigen Sie, dass die Gleichungen (4.40) weder homogen noch additiv sind; vgl. (4.30), (4.31). Aufgabe 4.20 Kontrollieren Sie in den Pendelgleichungen (4.41), (4.42) die Dimensionen der Koeffizienten und der Gleichungsterme sowie die Richtung des Luftwiderstandes. Aufgabe 4.21 Bringen Sie die Bewegungsgleichung (4.40) des physikalischen Pendels auf die Form (4.42); dabei wird l zu einer durch die Parameter JA , m, s ausgedrückten reduzierten Länge lred . Wie verfahren Sie mit dem Luftwiderstand? Aufgabe 4.22 Wie sieht die Leistungsbilanz und die Energieaussage von Aufgabe 4.18 aus, wenn Sie, wie in (4.41), (4.42) den Luftwiderstand berücksichtigen? Aufgabe 4.23 Schreiben Sie einige der in diesem Kapitel behandelten Bewegungsgleichungen in den Formen (4.43) bis (4.47) an.

5

Freie Schwingungen

5.1

Bewegungsgleichung; Bemerkungen zur Nomenklatur

Die Bewegungsgleichung für die freien Schwingungen des Schwingers vom Freiheitsgrad eins lautet mxR C b xP C kx D 0: (5.1) Meistens sieht man sie als Bewegungsgleichung des Einmassenschwingers nach Abb. 5.1 an, vgl. Abb. 4.12 und (4.26) ohne Erregerkraft: Fe .t/ 0, (Aufgabe 5.1). In (5.1) stehen (noch) die allgemein mechanischen Parameter m – Trägheit (Masse), b – Dämpfungskoeffizient, k – (Feder-)Steifigkeit. Für die Schwingungslehre dividiert man (5.1) durch m und setzt (für k > 0) k D !02 ; m

b b !0 D 2D!0 ; D m m!0 r

wo !0 WD

k ; m

(5.2)

b D WD p 2 km

(5.3)

Abb. 5.1 Feder-Masse-Dämpfer-Schwinger

k

b

m

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_5

x

69

70

5

Freie Schwingungen

für die Eigen(kreis)frequenz des ungedämpften Schwingers (mit b D 0) bzw. den Dämpfungsgrad (auch Lehr’sches Dämpfungsmaß) stehen, die unten unmittelbar in die Schwingungen eingehen. Aus (5.1) folgt damit (Aufgabe 5.2): xR C 2D!0 xP C !02 x D 0:

(5.4)

Führt man in (5.4) mit tR D 1=!0 , vgl. Abschn. 1.2.1, die dimensionslose Zeit tQ D !0 t ı ein, setzt xP D dx=dt D !0 dx=d tQ DW !0 x, so entsteht aus (5.4) nach Division durch !02 ıı

ı

x C 2D x C x D 0:

(5.5)

In dieser Gleichung haben alle Glieder die Dimension dim.x/, die man auch heraus dividieren könnte, vgl. (4.30).

5.2 Lösen der Differentialgleichung Eine homogene lineare Differentialgleichung (beliebiger Ordnung) mit konstanten Koeffizienten löst man mit einem e t -Ansatz: x D x.t/ D C e t ;

(5.6)

C;  freie Konstanten (komplexe). Aus (5.6) folgen xP D C e t ;

xR D C 2 e t :

(5.7)

Einsetzen von x; x; P xR aus (5.6), (5.7) in (5.4) und geeignetes Zusammenfassen liefert C 2 e t C C 2D!0 e t C C !02 e t D 0 und

2  C 2D!0  C !02 C e t D 0:

(5.8)

Wegen e t ¤ 0 kann man (5.8) durch e t dividieren:

2 C 2D!0  C !02 C D 0:

(5.9)

Dies ist ein (sehr einfaches) Eigenwertproblem mit zwei prinzipiell verschiedenen Lösungen: a) b)

C D 0: Dies ist die triviale Lösung x 0, das System steht still! (Für Schwingungslehre ist sie uninteressant, doch für Gebäude wichtig.) Für C ¤ 0: (5.10) 2 C 2D!0  C !02 D 0:

5.3 Ausdeuten der Lösung

71

Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung, in der Schwingungslehre auch Frequenzgleichung. Aus (5.10) folgen die beiden Eigenwerte p 1=2 D D!0 ˙ !0 D 2  1:

(5.11)

Im Regelfall, bei unterkritischer Dämpfung kDk < 1, sind die beiden Eigenwerte zueinander konjugiert komplex: 2 D N 1 ; bei kDk D 1 fallen sie zusammen, bei D > 1 sind sie reell negativ, bei D < 1 reell positiv. Mit den beiden Eigenwerten 1 ; 2 lautet die allgemeine Lösung von (5.4) (Aufgaben 5.4, 5.5) (5.12) x.t/ D C1 e 1 t C C2 e 2 t :

5.3

Ausdeuten der Lösung

Wir unterscheiden zwischen der ungedämpften Schwingung, der gedämpften Schwingung mit b > 0, also D > 0, und der angefachten mit b < 0, also D < 0.

5.3.1 Ungedämpfte Schwingung Bei fehlender Dämpfung lauten die Bewegungsgleichungen (5.1) bzw. (5.4) mxR C kx D 0; xR C !02 x D 0

(5.13)

und die allgemeine Lösung (5.12), mit 1=2 D ˙j!0 aus (5.11): j!0 t

x D C1 e 1 t C C2 e 2 t D C1 e j!0 t C C2

:

(5.14)

Die komplexe Form schreibt man um: x D C1 e j!0 t C C2 e j!0 t D .C1 C C2 / „ ƒ‚ …

e j!0 t C e j!0 t 2

xO c

D

xO c

C j.C1  C2 / „ ƒ‚ …

e j!0 t  e j!0 t 2j

(5.15)

xO s

cos !0 t

C

xO s

sin !0 t:

Anpassen der allgemeinen Lösung an die Anfangsbedingungen (Aufgabe 5.6) x.0/ D x0 ;

x.0/ P D v0

(5.16)

72

5

liefert x D x.t/ D x0 cos !0 t C

Freie Schwingungen

v0 sin !0 t: !0

(5.17)

Auch dies ist eine Form der allgemeinen Lösung von (5.13), denn x0 und v0 sind (physikalisch leicht interpretierbare) freie Konstanten. Gemäß Abschn. 1.2.1 schreibt man (5.15) und (5.17) als harmonische Schwingung x D xO cos.!0 t C '0 /

(5.18)

mit der Amplitude xO und dem Nullphasenwinkel '0 (Aufgaben 5.7 bis 5.10). Darstellung des Zeitverlaufs Man stellt x.t/ als Sinuslinie, den Zeitverlauf nach Abb. 1.3, 1.4 sowie durch den (komplexen) Drehzeiger, Abb. 1.5, 1.8, dar. Man trägt auch x.t/ P über x.t/ in einer Phasenebene – mit der Zeit t als Kurvenparameter auf, Abb. 5.2 (Aufgabe 5.11). Der Punkt .x; x/ P läuft darin während der Periode T D 2=!0 einmal um: x.t C T / D x.t/;

x.t P C T / D x.t/: P

(5.19)

Die Auslenkung x.t/ schwankt in der Phasenebene zwischen den Extremwerten xE und xE , die Geschwindigkeit x.t/ P zwischen vE und vE . Bezieht man in der Phasenebene x.t/ auf die Amplitude xO und x.t/ P auf .x! O 0 /, so erhält man als Phasenkurve den Einskreis nach Abb. 5.3. Darin läuft der Phasenpunkt .x=x; O x=. P x! O 0 // rechtsdrehend mit der Winkelgeschwindigkeit !0 – der Kreisfrequenz oder Winkelfrequenz – um (Aufgabe 5.12). Hinweis Die Darstellung des Verlaufs des System-Zustandes .x; x/ P in der Phasenebene bringt hier wenig zusätzlichen Nutzen (Aufgabe 5.13). Bei nichtlinearen Schwingungen (vom Freiheitsgrad 1) bilden Phasenkurven oft den einzigen einfachen Zugang.

Abb. 5.2 Phasenebene

x vE (x,x)

-xE

0

-vE

xE

x

5.3 Ausdeuten der Lösung

73

Abb. 5.3 Phasenkurve dimensionslos

x ω0 x v0 ω0 x 0

5.3.2

1

ω0 P x0 x

1 x x

Gedämpfte Schwingungen

Man wählt den ungedämpften Schwinger nach (5.13)1 als gedanklichen Ausgangspunkt und schreibt diese Bewegungsgleichung – nach Division durch m und mit !02 D k=m vgl. (5.2) – in der Form (5.13)2 . Jetzt sieht man !0 , die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung, als unmittelbar gegebenen (z. B. gemessenen, also bekannten) Parameter an. Die in Abschn. 5.1 entsprechend umgeformte Bewegungsgleichung des gedämpften Schwingers lautet, vgl. (5.4), xR C 2D!0 xP C !02 x D 0:

(5.20)

In dieser Form ist die Bewegungsgleichung für Schwingungsuntersuchungen besonders geeignet, weil die Parameter leicht interpretiert werden können. Für positive D unterscheidet man etwa 8 0:001  0:01 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < 0:01  0:1 0:1  0:2 DD ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ : >1

sehr schwache Dämpfung schwache Dämpfung mittlere Dämpfung

(5.21)

kritische Dämpfung Kriechfälle

Dies sind willkürlich gesetzte grobe Anhaltswerte. (Dämpfungszahlen lassen sich ebensowenig allgemein vorhersagen wie Reibungszahlen.) Mit den Parametern !0 und D nach (5.3) folgen die Eigenwerte 1 ; 2 aus (5.11): Für kDk < 1 erhält man p 1=2 D D!0 ˙ j!0 1  D 2 :

(5.22)

1=2 D ı ˙ j!

(5.23)

Man setzt

74

5

Freie Schwingungen

p mit ı WD D!0 – Abklingkoeffizient und ! WD !0 1  D 2 – Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Für D D 1 erhält man den aperiodischen Grenzfall (Aufgabe 5.5), für D > 1 sind beide Eigenwerte 1=2 reell, man erhält Kriechbewegungen (vgl. Aufgabe 5.14). Für 0  D < 1 gewinnen wir die reelle Lösung x.t/ durch Projektion (D RealteilBildung) einer der komplexen Lösungen aus (5.12), (5.23), vgl. Abschn. 1.2.3. Mit C D Ae j'0 ; reell, gilt x D C e 1 t D Ae j'0 e .ıCj!/t D Ae ıt e j.!t C'0 /

(5.24)

und x.t/ D Ae ıt Re e j.!t C'0 /

also

x.t/ D Ae ıt cos.!t C '0 /;

(5.25)

gemäß Abschn. 1.2.1 umgeformt (Aufgabe 5.15) x.t/ D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/:

(5.26)

(Es ist unzweckmäßig, die Koeffizienten A; Ac ; As Amplituden zu nennen.) P D v0 liefert (Aufgabe 5.16) Anpassen an die Anfangsbedingungen x.0/ D x0; x.0/ 

v0 C ı  x0 x.t/ D e ıt x0 cos !t C sin !t : !

(5.27)

Den Zeitverlauf x.t/ nach (5.27) kann man als modulierte Schwingung ansehen, vgl. Abschn. 1.4.4. Abb. 1.22b zeigt den Zeitverlauf x.t/ gemäß (5.25). Zum besseren Verständnis sind dort auch ˙Ae ıt und cos.!t C'0 / eingetragen. Die Lösung x.t/ schwingt unperiodisch, sie klingt exponentiell ab. Die gleichsinnigen Nulldurchgänge, die Extrema E1 ; E2 und die Berührpunkte von x.t/ mit Ae ıt haben den Abstand 2=!. Man kann ! also aus einem gemessenen Verlauf x.t/ gewinnen. (Aufgaben 5.16 und 5.17).

5.4

Aufgaben

Aufgabe 5.1 In der Bewegungsgleichung (4.40)1 des Pendels setzt man sin '  ' für kleine Auslenkungen k'k  1. Führen Sie unter dieser Annahme in (4.40)1 eine lineare Dämpfung ein und bringen Sie die dann lineare Bewegungsgleichung auf die Form (5.1). Aufgabe 5.2 Führen Sie den Übergang von der Bewegungsgleichung (5.1) nach (5.4) durch und kontrollieren Sie die Dimensionen. Aufgabe 5.3 Setzen Sie den Ansatz (5.6) in die Ausgangsform (5.1) der Bewegungsgleichung ein und ermitteln Sie daraus die Eigenwerte 1 ; 2 .

5.4 Aufgaben

75

Aufgabe 5.4 Passen Sie die allgemeine Lösung (5.12) an die Anfangsbedingungen x.0/ D x0 ; xP .0/ D v0 an, .x0 ; v0 / gegeben. Aufgabe 5.5 Zeigen Sie, dass die beiden Teillösungen in (5.12) für 1 ¤ 2 linear unabhängig sind. Bei D ! ˙1 gilt 2 ! 1 , dann sind e 1 t und e 2 t nicht mehr linear unabhängig. Man kann die allgemeine Lösung (5.12) aber auch in der Form x.t/ D C1 e 1 t C C2

e 2 t  e 1 t 2  1

(5.28)

schreiben. (Passen Sie diese Lösung an die Anfangsbedingungen von Aufgabe 5.4 an.) Die Lösung (5.28) gestattet den Grenzübergang 2 ! 1 und liefert auch für 1 ! 2 die zwei linear unabhängigen Teillösungen (einer Dgl 2. Ordnung). Ein alter (und nicht sehr treffender) Name des Sonderfalles 1 D 2 ist aperiodischer Grenzfall. Aufgabe 5.6 Passen Sie die allgemeine Lösung (5.15) an die Anfangsbedingungen x.0/ D P D v0 an; vgl. (5.17). x0 ; x.0/ Aufgabe 5.7 Welches sind die freien Konstanten in der allgemeinen Lösung (5.18)? Passen Sie (5.18) an die Anfangsbedingungen (5.16) an. Aufgabe 5.8 Viele Taschenrechner haben ein Tastenpaar, in dem die Umformungen (5.15), (5.17) $ (5.18) numerisch durchgeführt werden können. Nutzen Sie dies für das Umformen der folgenden Ausdrücke: a) 3 sin !0 t ˙ 4 cos !0 t, b) 5 cos.!0 t C 120ı /, c) 2 sin.!0 t C 5/, d) 3 cos !0 t C 4 sin !0 t C 5 cos.!0 t  =6/. Aufgabe 5.9 Skizzieren Sie den einen oder anderen Schwingungsverlauf aus Aufgabe 5.8 ohne besondere Rechnung grob. Aufgabe 5.10 Berechnen Sie zu x.t/ nach (5.18) die Funktionen v.t/ WD x.t/ P und 2 O 0 . Wie unterscheia.t/ WD x.t/ R und zeigen Sie für die Amplituden vO D x! O 0 und aO D x! den sich die Nullphasenwinkel von x; v; a (vgl. Abschn. 1.2.4)? Aufgabe 5.11 Zeigen Sie, dass die Phasenkurve .x.t/; x.t// P in Abb. 5.2 eine Ellipse mit der Zeit als Kurvenparameter ist. (Eliminieren Sie dazu die Zeit.) Drücken Sie die Halbachsen, die Extremwerte xE und vE durch die Anfangswerte x0 ; v0 aus. Aufgabe 5.12 Zeigen Sie, dass längs der elliptischen Phasenkurve in Abb. 5.2 Energieerhaltung gilt, d. h. die Summe von kinetischer und potenzieller Energie ist konstant. Aufgabe 5.13 Zeigen Sie, dass die Ellipse nach Abb. 5.2 mit der Transformation x=x; O x=. P x! O 0 / in den Einskreis nach Abb. 5.3 übergeht und dass am Einskreis deren Phasenpunkt P mit !0 umläuft.

76

5

Freie Schwingungen

Aufgabe 5.14 Schreiben Sie ein Rechnerprogramm, dass für D > 1 die Lösung x.t/ gemäß Aufgabe 5.4 – und auch x.t/ P – zu gegebenen Anfangswerten .x0 ; v0 / zeichnet und erläutern Sie die Bezeichnung Kriechbewegungen an einigen Beispielen. Aufgabe 5.15 Formen Sie x.t/ von (5.25) nach (5.26) und umgekehrt um. Aufgabe 5.16 Kontrollieren Sie die Lösung (5.27). Aufgabe 5.17 Nehmen Sie in Abb. 1.22b die Zeit t3 mit 11.4 s an. (Das Bild ist maßstäblich gezeichnet.) Berechnen Sie ! und D, indem Sie die erforderliche Zusatzinformation aus dem Bild herausmessen. Wie groß sind Dämpfungskoeffizient b und Federsteifigkeit k, wenn der Schwinger eine Masse von 3.7 kg hat? Aufgabe 5.18 Wie sieht die Phasenkurve .x.t/; x.t// P zu einer gedämpften Schwingung aus – vgl. Abb. 5.2 – und wie sieht das Zeigerdiagramm – vgl. Abb. 1.6 – aus? (Beide Darstellungen sind wenig üblich.) Aufgabe 5.19 Im Fall negativer Dämpfung b < 0 (vgl. das System in Abschn. 4.6.3) wachsen oder schwellen die Schwingungen an, sie werden angefacht. Was ändert sich in Abschn. 5.3.2 (vgl. Abschn. 1.4.4)?

6

Erzwungene Schwingungen

6.1

Allgemeine Aussagen

Gegeben sei die Bewegungsgleichung (4.26) aus Abschn. 4.5.2 bzw. 4.6.1 für den Einmassenschwinger nach Abb. 4.12, mxR C b xP C kx D Fe .t/;

(6.1)

mit beliebiger Erregerkraft Fe .t/. Eine (spezielle) Lösung x.t/ von (6.1) zu einem gegebenen Fe .t/ nennt man allgemein erzwungene Schwingung. Dabei kümmert man sich zunächst nicht um (oft unbekannte und unwichtige) Anfangsbedingungen (s. Kap. 8). Die spezielle Lösung nennt man dann auch Partikularlösung (oder Partikularintegral) und schreibt xp , um sie von der Lösung xh der zugeordneten homogenen Gleichung (4.32) bzw. (5.1), (5.4) zu unterscheiden. Die große Mannigfaltigkeit möglicher Erregerfunktionen Fe .t/ setzt man aus wenigen typischen Erregungen zusammen. Prototyp aller T-periodischen Erregungen ist die harmonische Erregung (6.2) Fe D FOe cos ˝t mit der Erregeramplitude FOe und der Erregerfrequenz ˝ D 2=T . Über die Fouriersynthese (s. Abschn. 1.3.3) setzt man beliebige T-periodische Erregungen aus harmonischen zusammen. (Mit Hilfe des hier nicht behandelten Fourier-Integrals gelingt das auch für unperiodische Erregungen mit verschwindendem Mittelwert.) Wenn dann auf der rechten Seite von (6.1) eine Fouriersumme als Erregung steht, berechnet man die durch die einzelnen Summanden erzwungenen Schwingungen und überlagert sie gemäß Abschn. 4.6.2. Weiter lässt sich jeder (stetige) Kraftverlauf als Folge unendlich kurzer Stöße auffassen. Deshalb führt man einen Kraftstoß I  ı.t  / ein, der zum Zeitpunkt  wirkt, s. Abb. 6.15a, und berechnet die durch ihn erzwungene Schwingung. Aus der Überlagerung der Wirkungen der Einzelstöße wird dann ein Integral (s. Abschn. 6.3.3). Weitere typische Erregungen lassen sich daraus ableiten. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_6

77

78

6

Erzwungene Schwingungen

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen 6.2.1 Komplexe Schreibweise der Bewegungsgleichung Mit (6.2) lautet die Bewegungsgleichung (6.1) mxR C b xP C kx D FOe cos ˝t:

(6.3)

Es ist wichtig, die erzwungene Schwingung in einer möglichst übersichtlichen und manipulierbaren Form zu gewinnen. Das gelingt in komplexer Schreibweise mit Hilfe von Drehzeigern, wie wir sie in Abschn. 1.2.3 eingeführt haben. Analog zu (6.3) gelte die Gleichung myR C b yP C ky D FOe sin ˝t:

(6.4)

p Addiert man zu (6.3) die mit der imaginären Einheit j WD 1 multiplizierte (6.4), so folgt (6.5) m.x C jy/:: C b.x C jy/: C k.x C jy/ D FOe .cos ˝t C j sin ˝t/: Mit der komplexen Auslenkung x WD x C jy

sowie

.cos ˝t C j sin ˝t/ D e j˝t

(6.6)

entsteht aus (6.5) die komplexe (Form der) Bewegungsgleichung: mxR C b xP C kx D FOe e j˝t :

(6.7)

Wie wir in Abschn. 6.2.2 sehen, lässt sie sich einfacher lösen als (6.3). Kennt man ihre Lösung x.t/, so gelangt man gemäß (6.6) durch Bilden des Realteils oder des Imaginärteils (Operationen Re bzw. Im, d. h. Projektionen auf die reelle Achse Re bzw. imaginäre Achse Im in Abb. 6.1) zurück zu x.t/ D Rex.t/

bzw. y.t/ D Imx.t/:

(6.8)

Hinweis 1 Unterwirft man die ganze (6.7) diesen Operationen (Projektionen Re oder Im), so erhält man (wieder) die (6.3) bzw. (6.4). Hinweis 2 Man nutzt Hinweis 1 zum Übergang von einer reellen Dgl – z. B. (6.3) – zur zugehörigen komplexen – hier (6.7) – aus, indem man die komplexe Form errät und durch Bilden des Realteils überprüft, ob man richtig geraten hat, (s. Aufgaben 6.1/2/3).

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen

79

Abb. 6.1 Erregerkraft als Zeiger

Im

Fe sin Ωt

Fe =Fe e jΩt Ωt 0

Re

Fe Fe cos Ωt

Hinweis 3 Wenn man häufig mit komplexen Gleichungen umgeht, vergisst man auch, zwischen x und x zu unterscheiden und erschließt aus dem Zusammenhang, was gemeint ist. Mit den bezogenen Größen aus Abschn. 5.1 lautet die komplexe Bewegungsgleichung (6.7), vgl. Aufgabe 6.4, xR C 2D!0 xP C !02 x D !02

6.2.2

FOe j˝t e : k

(6.9)

Berechnen der erzwungenen Schwingung

Gesucht ist die erzwungene Schwingung der komplexen Dgl (6.7)1 mxR C b xP C kx D FOe e j˝t :

(6.10)

Hinweis Man löst eine inhomogene lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten durch einen Ansatz vom Typ der rechten Seite (s. auch Aufgabe 6.18). In Dgl (6.10) ist die rechte Seite vom Typ linksdrehender Zeiger, vgl. Abschn. 1.2.3 und Abb. 6.1. Dementsprechend setzt man an, vgl. Abb. 6.2, O j˝t : x D xe

Abb. 6.2 Lösungsansatz als Zeiger

(6.11)

Im x Ωt 0

1

x

Re

Die freie Schwingung, die Lösung der zugeordneten homogenen Dgl haben wir in Kap. 5 bestimmt. Die nun komplexe Schreibweise ändert nichts daran.

80

6

Erzwungene Schwingungen

Daraus folgen O j˝t ; xP D j˝ xe

xR D ˝ 2 xe O j˝t :

(6.12)

Einsetzen von x; x; P xR in (6.10) liefert m˝ 2 xe O j˝t C bj˝ xe O j˝t C k xe O j˝t D FOe e j˝t ; also .k und xO D

m˝ 2 C bj˝/xe O j˝t D FOe e j˝t

FOe : k  m˝ 2 C bj˝

(6.13)

(6.14)

Dieses xO ist der Zeiger, der in Abb. 6.2 umläuft: x D x.t/ D

FOe e j˝t : k  m˝ 2 C bj˝

(6.15)

Man definiert die komplexwertige Übertragungsfunktion (meistens ohne Unterstrich geschrieben) 1 ; (6.16) H.j˝/ WD k  m˝ 2 C bj˝ weil sie mit der Frequenz geht (sich ändert), oft kurz Frequenzgang genannt, und erhält aus (6.15) O j˝t D H.j˝/FOe e j˝t : (6.17) x D xe Der Regelungstechnik folgend zeichnet man für den Wirk-Zusammenhang zwischen O j˝t den Signalflussplan nach Abb. 6.3. F .t/ D FOe e j˝t und x D xe Das Ergebnis – am Ausgang des Blocks – ist das Produkt aus Eingang mal Frequenzgang – dem Inhalt des Blocks. Man spricht vom Übertragungssystem und Übertragungsverhalten, skizziert gelegentlich auch das Ersatzsystem aus Abb. 4.12 in den Block. Zeichnet man die beiden Drehzeiger in ein Diagramm, so laufen sie dort gemeinsam mit einem festen (zeitunabhängigen) Winkel ˛ um, Abb. 6.4. Deshalb genügt es auch, statt der Drehzeiger F e und x die Zeiger FOe und xO aufzuzeichnen, Abb. 6.5, (s. Aufgabe 6.5). Der Zeiger xO eilt dem Zeiger FOe um den Winkel ˛ nach.

a

b

Eingang (Ursache)

1

Fe =Fe e jΩt

k-mΩ +bjΩ

Abb. 6.3 Signalflussplan

2

Ausgang (Wirkung) x=xe jΩt

Fe e jΩt

H(jΩ)

xe jΩt

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen

81

Abb. 6.4 Drehzeiger-Diagramm

Im Fe (t)

x(t)

α Ωt Fe α

0

Re

x

Abb. 6.5 Zeiger-Diagramm

Im Fe 0

Re

α x

Um den Zusammenhang (6.14) zwischen FOe und xO besser diskutieren zu können, zieht man aus dem Nenner die Steifigkeit k heraus und erhält mit !0 und D aus (5.2), (5.3) !0 D

p k=m;

D D b=.2m!0 /

(6.18)

zunächst xO D

FOe  k 1

m 2 k˝

FOe 1 D C 2Dj m!0˝=k k 1

1 ˝2 !02

C 2Dj !˝0

:

(6.19)

Mit der auf die Eigenfrequenz !0 bezogenen Erregerfrequenz ˝Q WD ˝=!0 ; gilt xO D

auch

WD ˝=!0 ;

FOe : 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q k 1

(6.20)

(6.21)

In der Schwingungslehre ist statt ˝Q (leider der weniger einprägsame) Buchstabe üblich. In (6.21) steht rechts mit FOe =k die Auslenkung, die eine statische Last FOe an Q die bezogene der Feder bewirken würde. Der komplexe Faktor 1=.1  ˝Q 2 C 2Dj ˝/ (dimensionslose) Übertragungsfunktion Q WD kH.j˝/ D HQ .j ˝/

1 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

(6.22)

82

6

Erzwungene Schwingungen

gibt an, wie sich xO von dieser Auslenkung unterscheidet. Der Nenner von HQ , vgl. Abb. 6.6, Q N D 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝; lautet in Polarform

(6.23)

N D kN ke j˛ ; wo q

2 1  ˝Q 2 C 4D 2 ˝Q 2 ; kN k D Q tan ˛ D 2D ˝=.1  ˝Q 2 /;

(6.24)

0  ˛ < :

Dann lauten (6.15), (6.19) oder (6.21) x.t/ D

1 FOe e j˝t FOe FOe e j˝t D q e j.˝t ˛/ : D 2

2 k  m˝ C bj˝ k N k 1  ˝Q 2 C 4D 2 ˝Q 2

(6.25)

Bilden des Realteils liefert die (reelle) Lösung, die erzwungene Schwingung xp D xp .t/ D xO p cos.˝t  ˛/

(6.26)

mit der Amplitude (Index p: Partikularlösung!) xO p D

FOe q k

1  ˝Q 2

1

2

(6.27)

C 4D 2 ˝Q 2

und dem Phasenverschiebungswinkel (vgl. 6.24) ˛ D arctan

2D ˝Q ; 1  ˝Q 2

0  ˛ < :

(6.28)

Abb. 6.7 stellt die Zeitverläufe Fe .t/ und xp .t/ einander gegenüber; man vergleiche mit den so viel einfacher zu überschauenden Zeigerdarstellungen in Abb. 6.4 und 6.5.

Abb. 6.6 Nenner N

Im N

2DΩ

N α 0

1-Ω

2

Re

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen

xp Fe

83

xp (t) x Fe

0 α

2π

4π

Ωt

Fe (t) Abb. 6.7 Zeitverläufe F e (t) und xp (t) bei harmonischer Erregung

6.2.3 Diagramme für Amplitudengang, Phasengang, Vergrößerungsfunktion Q – früher auch ResonanzAbb. 6.8 und 6.9 zeigen den Amplituden-Frequenzgang xO p .˝/ Q kurve genannt – und den Phasen-Frequenzgang ˛.˝/ nach (6.27) bzw. (6.28). Aufgetragen wurden in den Bildern bezogene (dimensionslose) Größen, nämlich xO p =.FOe =k/;

˛=;

Q ˝=!0 DW ˝;

(6.29)

p für vier Dämpfungsgrade .D D 0; 0:1; 0:16; 1= 2/.

xp Fe /k

D1

Resonanzbereich

D2

4 3 2 1

D3

1 2D2 1-D22

D1=0 D2=0.1 D3=0.16 D4=1/ 2

D4

0

1

2

~

Ω

Abb. 6.8 Amplituden-Frequenzgang

1.0 α π 0.5

D2 D

D4

D3

0.0 0 Abb. 6.9 Phasen-Frequenzgang

D1 D2 D1

1

D3

D4 D 2

Ω

84

6

Erzwungene Schwingungen

Man sieht: In der Umgebung von ˝Q D 1 – also bei ˝  !0 , die Erreger- liegt nahe der Eigenfrequenz – treten bei kleinem D sehr große Amplituden auf; man spricht von Resonanz (Widerhall) und nennt die Umgebung von !0 Resonanzbereich. Für den Fall verschwindender Dämpfung D ! 0 entstehen aus (6.27), (6.28) für ˝Q ¤ 1: FOe =k ; xO p D k1  ˝Q 2 k

( ˛D

0 für ˝Q < 1  für ˝Q > 1:

(6.30)

Bei fehlender Dämpfung wächst xO p für ˝Q ! 1 über alle Grenzen. Deshalb hört man gelegentlich, Resonanz führe bei fehlender Dämpfung zu unendlich großen Amplituden. Das trifft in dreierlei Hinsicht praktisch nicht zu.  Erstens gibt es keine Schwinger ohne Dämpfung, sondern allenfalls solche mit sehr schwacher Dämpfung – und dann großen Amplituden.  Zweitens gelten die angesetzten Bewegungsgleichungen nur für beschränkte Auslenkungen. Bei (zu) großen Auslenkungen ändern die Schwinger ihr Verhalten (es gelten nichtlineare Bewegungsgleichungen) oder sie brechen und ändern damit ihr Verhalten drastisch.  Drittens wachsen die Amplituden langsam mit der Zeit (vgl. Aufgabe 6.15), der Erreger muss ja die Energie für den Schwinger liefern. Aus Abb. 6.9 liest man ab, dass der Phasenverschiebungswinkel ˛ im Resonanzbereich in der Nähe von ˛ D =2 D 90ı liegt und dass ˛ D =2 D 90ı für ˝Q D 1; .˝ D !0 /, für alle Werte D 0 gilt. (Dies nutzt man gelegentlich bei Messungen aus, um die Resonanzstelle zu erkennen.) p Bei p vorhandener Dämpfung sind die Resonanzamplituden für 0 < D < 1= 2 durch 1  D 2 /  FOe =k beschränkt (vgl. Aufgabe 6.11 und Aufgabe 6.12). Für D > 1=.2D p 1= 2 gibt es praktisch keine Resonanzspitzen mehr. Im Übrigen nähern sich die Resonanzkurven für D > 0 umso stärker – von unten – an die für D D 0 an, je weiter man sich von ˝Q D 1 entfernt. Bei kleiner Erregerfrequenz, 0 < ˝Q  1, ist die Amplitude etwa gleich der Auslenkung der Feder unter der Last FOe , denn die wirkende Trägheitskraft wächst mit ˝ 2 , ist also noch klein, vgl. (6.27). Mit zunehmendem ˝ wird der Einfluss der Trägheitskraft größer, die Amplitude nimmt zu, bei strenger Resonanz heben sich Feder- und Trägheitskraft auf, der Dämpfer allein hält der Erregung das (dynamische) Gleichgewicht. Oberhalb ˝Q D 1 übertrifft die Trägheitskraft die Federkraft, sie übernimmt zunehmend die Erregerkraft, für ˝Q ! 1 gilt xO p ! 0. Damit dieses (dynamische) Gleichgewicht möglich ist, steigt der Phasenverschiebungswinkel ˛ für 0 < ˝Q < 1 zunächst langsam, dann sehr rasch von 0 auf 90°, für ˝Q > 1 nähert er sich zunächst rasch, dann langsam werdend asymptotisch dem Wert ˛ D  (von unten).

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen

85

Vergrößerungsfunktion Schreibt man die erzwungene Schwingung xp .t/ gemäß (6.26) mit xO p nach (6.27) und ˛ nach (6.28) in der Form xp D

FOe 1 cos.˝t  ˛/; q k .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

(6.31)

q so steht FOe =k als statische Auslenkung und 1= .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 als eine Einflussfunktion, die die Wirkung des Schwingens berücksichtigt. Man nennt 1 V1 WD q .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

(6.32)

Vergrößerungsfunktion2 und schreibt statt (6.31) xp D

FOe Q cos.˝t  ˛/: V1 .˝/ k

(6.33)

Für ˛ gilt nach wie vor (6.24)3 bzw. (6.28): tan ˛ D

2D ˝Q ; 1  ˝Q 2

0  ˛ < :

(6.34)

Q unterscheidet sich praktisch nicht von Abb. 6.8. Es ist allerDas Diagramm für V1 .˝/ Q dings üblich, auf der Abszisse .˝-Achse/ für ˝Q 1 statt ˝Q den transformierten Wert Q WD 2  1=˝Q a.˝/

(6.35)

aufzutragen, vgl. Abb. 6.10.

6.2.4

Der Frequenzgang der Übertragungsfunktion

Die Produktdarstellung der erzwungenen Schwingung – in der komplexen Form bzw. Sichtweise von Abschn. 6.2.2 – als Eingang × Übertragungsfunktion (s. Abb. 6.3) ist besonders wichtig, weil sie den Zugang zu theoretischen und messtechnischen Methoden der Signalverarbeitung eröffnet. (In reeller Form, vgl. Aufgabe 6.18, ist das nicht möglich.) Die Darstellung der Übertragungsfunktion H.j˝/, die man dazu braucht, nennt man Ortskurve, sie zeigt H oder HQ in der komplexen Ebene mit ˝ oder ˝Q als Kurvenparameter. 2

V 2 vgl. Abb. 7.3, V 3 vgl. Abb. 7.1.

86

6

Erzwungene Schwingungen

V1 6

5 4

D2

1 2D2 1-D22

3 2 1 0 ~

0

1 1

0.5

Ω

0.5

2 0

~

1/Ω

Abb. 6.10 Vergrößerungsfunktion V 1

Der Vergleich von (6.22), (6.25), (6.32), (6.34) liefert Q D HQ .j ˝/

e j˛ Q Q j˛.˝/ Dq D V1 .˝/e : 2 Q Q 1  ˝ C 2Dj ˝ .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 1

(6.36)

Q für D D 0.2 in Abb. 6.11a als dreidimensionale Zur Veranschaulichung ist HQ .j ˝/ Raumkurve dargestellt. (Aus dem Diagramm lassen sich nur schwer Daten abgreifen.) Abb. 6.11b zeigt die zugehörige Ortskurve.

a

−1

Im 0

b

Re

+2

+1

Im 0

−1

0.2

∞

0.4

0.4 0.6

α

~

0.6 Ω

1

−1

−1

0.8 ~ ~ H( j Ω ) 1.4 1.8 2.0

1.2

Ω

1.1

0.7

V1

~

Ω

0.8 1.2

~

Re

+1

−2 0.9

1.1 1.0

0.9 1.05

1.00

0.95

Q für D D 0.2. a dreidimensional, in perAbb. 6.11 Frequenzgang der Übertragungsfunktion HQ .j ˝/ spektivischer Darstellung, b als Ortskurve

6.2 Erzwungene harmonische Schwingungen Abb. 6.12 Messgerät. a Schemaskizze b Schnittbild für die „seismische“ Masse

87

a k

b b

x

m

kx u

.

bx

x

..

u

m(u-x)

6.2.5 Seismische Schwingungsaufnehmer Die Arbeitsweise eines seismischen Schwingungsaufnehmers als Bewegungssensor diene als Anwendungsbeispiel für Übertragungsfunktionen. Bewegungen von Gebäuden, Maschinenfundamenten, Schiffen, Flugzeugen, Fahrzeugen usw. misst man gegen eine mitgeführte träge Masse, die im Raum möglichst in Ruhe bleibt. Damit das Gewicht dieser Masse aufgenommen werden kann und sich eine Nulllage definieren lässt, fesselt man die Masse über eine Feder an das bewegte Gebilde (federgefesselter Aufnehmer). Man kann die Parameter des angehängten Schwingers (Masse, Federsteifigkeit, Dämpfung) so wählen, dass sein – leicht messbarer – Relativausschlag gegen das Messobjekt direkt proportional zu der gesuchten Größe (Auslenkung, Geschwindigkeit oder Beschleunigung des Messobjekts) ist. Das gemessene Signal ist heute in der Regel Eingang in eine analoge oder digitale Signalverarbeitung.

6.2.5.1 Prinzipmodell des Messgeräts und Aufgabe Abb. 6.12a zeigt das Schema des Messaufnehmers: Die seismische Masse m hängt über ein Feder-Dämpfer-Element, Steifigkeit k, Dämpferkonstante b, am Galgen, dessen Grundplatte festen Kontakt mit dem Messobjekt hat. Der Zeitverlauf der Auslenkung u.t/ – oder dessen erste bzw. Zeitableitung – gegen das durch Schraffur angedeutete Inertialsystem soll gemessen werden. „Abgelesen“ wird der Zeitverlauf x.t/ der Relativauslenkung; das ist der Eingang in die Signalverarbeitung. Wie müssen m, b, k gewählt werden, damit die folgenden Proportionalitäten gelten? 1. u.t/ x.t/ – Ausschlags- (Weg-)Messung 2. u.t/ P

x.t/ P – Geschwindigkeits-Messung 3. u.t/ R

x.t/ R – Beschleunigungs-Messung

6.2.5.2 Allgemeine Lösungsüberlegungen Ausgangspunkt ist die Gleichgewichtsbedingung an der in Abb. 6.12b freigeschnitten gezeigten seismischen Masse in (hier vertikaler) Messrichtung: m.u  x/::  b xP  kx D 0:

(6.37)

88

6

Erzwungene Schwingungen

Das Gewicht bleibt außer Acht. Durch Umstellen folgt mxR C b xP C kx D mu: R

(6.38)

Komplex und mit !02 D k=m, 2D!0 D b=m: xR C 2D!0 xP C !02 x D u: R

(6.39)

Aus (6.38) bzw. (6.39) sollen die Zusammenhänge zwischen x.t/ und u.t/ erschlossen werden. Führt die Grundplatte des Geräts periodische Schwingungen, sagen wir mit der Periode T D 2=˝, ˝ eine Erregerfrequenz, aus, so lässt sich u.t/ in eine Fourier-Reihe zerlegen, deren Glieder mit ganzen Vielfachen von ˝ schwingen; vgl. Abschn. 6.1. Gemäß den Überlagerungsaussagen aus Abschn. 4.6.2 können wir die Lösung x.t/ aus harmonischen Bewegungen zusammensetzen. Es genügt also, den Zusammenhang zwischen u und x für harmonische Bewegungen zu studieren, also zwischen O j˝t x D xe

und u D ue O j˝t :

(6.40)

Mit (6.40) gewinnt man aus (6.39) die Übertragungen uO D Hu x; O

j˝ uO D HuP x; O

wo

  1 1 D Hu D 1   2Dj ˝Q 2 ˝Q mit, abweichend von (6.28), ˝Q D ˝=!0 ;

tan ˛ D

q

˝ 2 uO D HuR x; O

.1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 ˝Q 2

2D ˝Q ; ˝Q 2  1

(6.41)

e j˛

(6.42)

0  ˛  ;

(6.43)

und HuP D j˝Hu D !0

1  ˝Q 2 2D  j ˝Q

! D !0

q .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 ˝Q



e j. 2 ˛/

(6.44)

sowie HuR D ˝ Hu D 2

!02 .1

q 2 2 Q Q  ˝ C 2Dj ˝/ D !0 .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 e j.˛/ : (6.45)

6.2.5.3 Wahl der Aufnehmer-Parameter Die Parameter der jeweiligen Aufnehmer müssen so gewählt werden, dass die zugehörige Übertragungsfunktion im Messbereich ˝min < ˝ < ˝max möglichst gleichbleibende Zahlenwerte annimmt, sich dort also nur schwach mit der Erregerfrequenz ˝ ändert.

6.3 Das Arbeiten mit Stoßerregung und Stoßantwort

89

Weg-Messung Aus p (6.42) folgt die Forderung ˝Q  1, also ˝ > ˝min  !0 . Die Eigenfrequenz !0 D k=m des angehängten Wegaufnehmers muss möglichst klein, also die Federsteifigkeit k klein und die Masse m groß sein. Andererseits ruft das Gewicht G D mg die statische Auslenkung xstat D mg=k D g=!02 hervor. Sie begrenzt !02 nach unten. Der Messbereich von Wegaufnehmern ist vor allem nach unten begrenzt. Mit Q WD 1=˝Q folgen aus (6.42), (6.43) für kleine Werte Q kHu k  1  Q 2 .1  2D 2 /;

˛  2D : Q

(6.46)

Das Dämpfungsmaß D darf einerseits nicht zu groß sein, damit die Phasenwinkel der Harmonischen möglichst übereinstimmen, andererseits müssen Eigenschwingungen des Messaufnehmers hinreichend schnell abklingen (vgl. Kap. 8). Geschwindigkeits-Messung Die Forderung nach möglichst konstantem HuP lässt sich nur in einem engen Bereich ˝Q min < 1 < ˝Q max erfüllen. Mit Q WD ˝Q  1 folgt aus (6.44) Q 2 Q 3 kHuP k  2D C  ; !0 D D

.=2  ˛/ 

Q Q 2  : D 2D

(6.47)

Man sieht: Das Dämpfungsmaß muss hinreichend groß gewählt werden. Der Messbereich liegt etwa symmetrisch um !0 . Geschwindigkeitsaufnehmer werden selten eingesetzt. Ein Anwendungsfeld sind „Schnelle“-Messungen, weil der Mensch bei Schwingungen im Bereich von etwa 10 Hz bis 100 Hz die Schnelle (D Geschwindigkeit) fühlt, sein Körper auf hohe Schnelle empfindlich reagiert. Auch Schnellemessungen erfordern eine Signalverarbeitung. Beschleunigungs-Messung Die Forderung HuR  konstant führt zu einem nach oben beschränkten Messbereich ˝Q  1, also ˝max  !0 , die Federsteifigkeit k D !02 m muss also groß, die Masse m klein sein. Für ˝Q  1 folgt aus (6.45) kHuR k  1  ˝Q 2 .1  2D 2 /; !02

Q .  ˛/  2D ˝:

(6.48)

Diese Bedingungen sind am leichtesten zu erfüllen. Deshalb sind Beschleunigungsmessungen allgemein bevorzugt. Kleine Messsignale x.t/ kann man analog oder digital verarbeiten, dass heißt verstärken, auch ein- oder zweimal integrieren, um den Geschwindigkeitsverlauf u.t/ P bzw. den Wegverlauf u.t/ zu gewinnen.

6.3

Das Arbeiten mit Stoßerregung und Stoßantwort

Statt Stoßerregung und Stoßantwort sagt man nach ISO 31-3 Impulserregung bzw. Impulsantwort (vgl. die Bemerkung in A.3.1).

90

6

Erzwungene Schwingungen

6.3.1 Die Delta-Funktion Man kann – mit einiger Vorsicht – die Delta-Funktion ı.t  / als einen sehr kurzen Einsstoß ansehen. Mit Abb. 6.13a gelten bei " ! 0 ı.t  / 0 für kt  k > "; Z1 1

(6.49)

ZC" Š ı.t  /dt D ı.t  /dt D A D 1:

(6.50)

"

Bemerkungen 1. Man nennt ı.t  / auch Dirac-Funktion, aus mathematischer Sicht handelt es sich um eine Distribution (nach L. Schwartz3 ). 2. Im Intervall kt  k < " darf ı.t  / auch negative Werte annehmen, s. Abb. 6.13b, doch muss die, unter Beachtung der Vorzeichen, berechnete Fläche die Bedingung (6.50) erfüllen. 3. Dimensionen: Für die Fläche A gilt dim.A/ D 1, für die Delta-Funktion dim ı D 1=Zeit; beim Einführen einer dimensionslosen Zeit muss ı.t  / also (mit)transformiert werden. 4. Damit ı.t  / nicht mit dem Abklingkoeffizienten ı, s. zum Beispiel (1.92), verwechselt wird, bezeichnen wir letzteren mit ı  , soweit er parallel zur Delta-Funktion vorkommt. 5. Zur Vereinfachung schreiben wir unten   WD   ";

 C WD  C ":

Abb. 6.13 Delta Funktionen

(6.51) a

δ(t−τ) A

0 b

τ−ε

τ

τ+ε

t

δ(t−τ)

0 3

Laurent Schwartz, *1915–2002*, französischer Mathematiker.

τ−ε

τ

τ+ε

t

6.3 Das Arbeiten mit Stoßerregung und Stoßantwort

91

Abb. 6.14 Einmassenschwinger

b

k

x m Fe (t)

6. Überlegungen mit Hilfe von Delta-Funktionen führen stets auf Integrale der Art (6.50), wo jedoch die Delta-Funktion im Integranden mit einer stetigen Funktion f .t/ multipliziert ist. Dann gilt (vgl. Aufgabe 6.21): Z C

Z1 f .t/ı.t  /dt D

f .t/ı.t  /dt D f ./:

(6.52)



1

6.3.2 Erregung durch einen Kraftstoß Auf den Einmassenschwinger nach Abb. 6.14 (vgl. Abb. 4.12) wirkt zur Zeit t D  als „Erregerkraft Fe “ der Stoß I  ı.t  /, vgl. Abb. 6.15a. Die Bewegungsgleichung (6.1) lautet dann (Aufgabe 6.24): mhR C b hP C kh D I  ı.t  /;

(6.53)

wobei wir – um Dimensions-Wirrwarr zu vermeiden – die Auslenkung x(t) durch die Stoßantwort h(t) ersetzen. Sei der Schwinger bis zum Zeitpunkt   in Ruhe: h(t) 0 für t    . Wir integrieren linke wie rechte Seite von (6.53) über das Intervall    t   C nach der Zeit t und erhalten (vgl. 6.50, 6.52): P C /  h. P  // C b.h. C /  h.  // C k m.h.

Z C h.t/dt D I:

(6.54)



Die Stoßantwort h.t/ muss stetig sein: Wegen h D 0 für t <   und " ! 0 gelten dann P  / D 0; h.

h. C / ! 0;

h.  / D 0;

Z C h.t/dt D 0; 

(6.55)

92

6

Abb. 6.15 a Stoß, b Stoßantwort, c F e (t) als Stoßfolge

Erzwungene Schwingungen

a

Fläche I

Fe

I δ(t−τ)

0

τ

t

b

h

I -δ*(t−τ) — e mω

τ

0

t I -δ*(t−τ) − mω e —

c

Fe (t) Fe Fläche Fe (τ)·Δτ 0

und (6.54) liefert

τ

Δτ

P C / D I =m: h.

t

(6.56)

Die für t   verschwindende Stoßantwort h.t/ genügt unmittelbar nach dem Kraftstoß also den Anfangsbedingungen h. C / D 0;

P C / D I =m: h.

(6.57)

Nach dem Stoß gilt anstelle von (6.53) die zugeordnete homogene Dgl mhR C b hP C kh D 0:

(6.58)

Die Stoßantwort h.t/ ist für t >  also als Lösung von (6.58) zu den Anfangsbedingungen (6.57) definiert. Aus (5.27) folgt für t >  h.t  / D

I ı .t / sin !.t  /: e m!

(6.59)

6.3 Das Arbeiten mit Stoßerregung und Stoßantwort

Eingang (Ursache)

k

Fe (t)=I·δ (t)

b

93

m I·δ(t)

Ausgang (Wirkung) h(t)

h

Abb. 6.16 Wirkungsplan für Kraftstoß I  ı.t / und Stoßantwort h(t)

Abb. 6.15b zeigt den Verlauf; s. auch Abb. 1.22b. Meistens setzt man bei der Darstellung  D 0 und nennt h.t/ Stoßantwort zum Einsstoß I ı.t/. Parallel zum Signalflussplan nach Abb. 6.3 zeichnet man für lineare Schwingungssysteme (mit konstanten Koeffizienten) den Wirkungsplan nach Abb. 6.16.

6.3.3 Erregerkraft als Stoßfolge Eine stetige Erregerkraft F .t/ kann man als Folge von Stößen mit I D F ./  ansehen, vgl. Abb. 6.15c. Wir dürfen die Wirkungen der Folge von Einzelstößen überlagern, vgl. Abschn. 4.6.2. Da die Einzelstöße – wegen " ! 0 bzw.  ! 0 – jeweils unendlich kurz werden, müssen wir integrieren und erhalten für t  1 x.t/ D m!

Zt

F ./e ı

 .t /

sin !.t  /d ;

(6.60)

tA

in allgemeiner Form

Zt F ./h.t  /d :

x.t/ D

(6.61)

tA

Darin steht tA für einen Anfangszeitpunkt (evtl. tA < 0), zu dem das System in Ruhe war. Integrale der Form (6.60), (6.61) heißen Faltungsintegrale. Für verwickelte Funktionen ist ihre Auswertung schwierig, wenn nicht unmöglich. Routineaufgaben erledigt man mit Hilfe der Laplace-Transformation. (Heute geht man oft zu numerischen Lösungen über.) Ersetzt man in (6.61) die Integrationsvariable  durch  D t  ;

(6.62)

so liefert die entsprechende Transformation tZtA

F .t   /h. /d:

x.t/ D 0

Dies ist eine andere Lesart obiger Überlagerung.

(6.63)

94

6

Erzwungene Schwingungen

6.4 Aufgaben Aufgabe 6.1 Schreiben Sie die komplexe Form zur Dgl mxR C b xP C kx D FO1 cos ˝t C FO2 sin ˝t an. Aufgabe 6.2 Schreiben Sie die komplexe Form zur Dgl mxR C b xP C kx D b uP C ku mit u.t/ D uO cos ˝t an. Aufgabe 6.3 Gegeben sei die nichtlineare Bewegungsgleichung mxR C b xP C kx C cx 3 D FOe cos ˝t, dim c D Kraft/Länge3 . Zeigen Sie, dass die nichtlineare komplexe Dgl mxR C b xP C kx C cx 3 D FOe e j˝t nicht durch Realteilbildung in die reelle übergeht. Aufgabe 6.4 Überführen Sie die Dgln (6.3) und (6.7) in die Formen xR C 2D!0 xP C !02 x D !02 FOe =k  cos ˝t bzw. xR C 2D!0 xP C !02 x D !02 FOe =k  e j˝t mit leicht interpretierbaren Parametern. Aufgabe 6.5 Berechnen Sie die erzwungene Schwingung für die Bewegungsgleichung aus Aufgabe 6.1. Aufgabe 6.6 Zeigen Sie, dass aus der Dgl (6.9) unmittelbar die Form (6.19), (6.21) der (komplexen) Amplitude der erzwungenen Schwingung folgt. Aufgabe 6.7 Setzen Sie den Zeiger (die komplexe Amplitude) zu Aufgabe 6.5 entsprechend Abb. 6.5 grafisch aus zwei Anteilen – für F1 und F2 – zusammen. Aufgabe 6.8 Schreiben Sie für den in Abschn. 6.2.2 untersuchten Schwinger für die Geschwindigkeit vp WD xP p und die Beschleunigung ap WD xR p die (komplexen) Ausdrücke O aO p an. Tragen Sie die Zeiger jeweils gemeinsam für die Drehzeiger v p ; ap und Zeiger v; in Diagramme entsprechend Abb. 6.4 und 6.5 ein. Aufgabe 6.9 Deuten Sie (6.13) grafisch als geometrische Summe von (Dreh-)Zeigern. Aufgabe 6.10 Bringen Sie die rechte Seite der (6.21) auf eine Form mit reellem Nenner und schreiben daraus (6.25) an. p Q für 0 < D < 1= 2 ihren MaAufgabe 6.11 ZeigenpSie, dass die Amplituden xO p .˝/ ximalwert bei ˝Q D p1  2D 2 annehmen (Resonanzstelle) und dass der Maximalwert xO p =.FOe =k/ bei 1=.2D 1  D 2 / liegt. O Q Aufgabe 6.12 Zeigen Sie, dass p für ˝ D 1, (also ˝ D !0 ), xO D Fe =.2Dk/ gilt (vgl. Aufgabe 6.11 für 0 < D < 1= 2).

6.4 Aufgaben

95

Aufgabe 6.13 Leiten Sie durch Grenzübergang D ! 0 (6.30) aus (6.28) her. Aufgabe 6.14 Ermitteln Sie für den Fall verschwindender Dämpfung die erzwungenen Schwingungen für mxR C kx D FOe cos ˝t, vgl. (6.3), mit dem Gleichtakt-Ansatz xp D xOO cos ˝t und weisen Sie nach, dass dieses xp für ˝ ¤ !0 mit dem nach (6.26), (6.30) übereinstimmt. Aufgabe 6.15 Zeigen Sie, dass die Dgl xR C !02 x D FOe =k  !02 cos !0 t die Lösung xp D 1=2  FOe =k  .!0 t/  sin !0 t hat. Q von Abb. 6.10 durch die Verzerrung Aufgabe 6.16 Zeigen Sie, dass in den Kurven V1 .˝/ Q gemäß (6.35) bei ˝ D 1 keine Knicke entstehen. Q Aufgabe 6.17 Verzerren Sie in Abb. 6.10 die Ordinate der Vergrößerungsfunktion V1 .˝/ für V1 1 gemäß b.V1 / D 2  1=V1 und zeichnen Sie das entsprechende Diagramm. Aufgabe 6.18 Gesucht ist die Lösung der Dgl aus Aufgabe 6.1 auf reellem Wege mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite: dort ist das xp D A cos ˝t CB sin ˝t. Bestimmen Sie die zunächst freien Konstanten A, B durch Abgleich der Sinus- und Kosinus-Terme. Aufgabe 6.19 Vergleichen Sie die Diagramme in Abb. 6.8 (bzw. 6.10) und 6.9 mit der Q ˛.˝/ Q aus HQ .j ˝/ Q und umgekehrt Ortskurve in Abb. 6.11a. Versuchen Sie jeweils V1 .˝/; zu skizzieren. Aufgabe 6.20 Schreiben Sie für die Aufhängekraft F D kx C b x, P vgl. Abb. 4.12, zu gegebener harmonischer Erregung, vgl. (6.2), (6.3), eine Übertragungsfunktion H.j˝/ vom Eingang FOe exp.j˝t/ zum Ausgang FO exp.j˝t/ an, machen Sie sie dimensionslos und entwerfen Sie eine Vergrößerungsfunktion sowie eine Ortskurve des Frequenzgangs Q HQ .j ˝/. Aufgabe 6.21 Für den Wegaufnehmer nach Abschn. 6.2.5 sei !0 gegeben. Wie groß ist ˝min , wenn eine Amplitudenabweichung von 3% und ein Phasenfehler von 5 Grad zulässig sein soll. Wie groß darf D sein, wenn beide Bedingungen auf das gleiche ˝min führen sollen? Aufgabe 6.22 Für den Beschleunigungsaufnehmer nach Abschn. 6.2.5 sei eine obere Grenze ˝max für den Messbereich gegeben. Wie groß müssen !0 und D gewählt werden, damit im Messbereich die Amplitudenabweichung von 2% und ein Phasenfehler von 3 Grad zulässig sein soll? Wie groß muss das Dämpfungsmaß D gewählt werden, damit Eigenschwingungen des Aufnehmers innerhalb eines Zeitintervalls 0  t  N  2=˝max mit N D 10 auf 2% abgeklungen sind?

96

6

Erzwungene Schwingungen

Aufgabe 6.23 Wählen Sie als Delta-Funktion ı.t/ im Intervall " < t < " zum Beispiel ı.t/ D 1=.2"/ oder ı.t/ D .=4"/  cos. t=2"/ und als f .t/ ein Polynom oder eine trigonometrische Funktion. Werten Sie damit die Integrale (6.50), (6.52) aus und führen die Grenzübergänge " ! 0 durch. Aufgabe 6.24 Welche Dimensionen haben die Stoßantwort h.t/, die Delta-Funktion ı(t), der Stoß I  ı(t – ) und der Kraftstoß (engl. impulse) I in der Dgl. (6.53)? Aufgabe 6.25 Nehmen Sie an, dass auf einen Schwinger als Erregung eine Stoßfolge der Periode T jeweils mit den Kraftstößen IO; dim.IO/ D MasseGeschwindigkeit wirkt. Setzen Sie die Bewegung aus Stoßantworten zusammen. Aufgabe 6.26 Der Schwinger nach Abb. 6.14 sei zunächst in Ruhe. Zum Zeitpunkt t D 0 wird als konstante Last das Gewicht G aufgebracht. Berechnen Sie x.t/ für t > 0 nach (6.60). Aufgabe 6.27 Auf den Schwinger nach Aufgabe 6.26 wirkt die konstante Kraft Fe .t/ D Fc stufenförmig, d. h. nur im Intervall 0  t  T1 . Wie lautet x.t/ für t > T1 ? Aufgabe 6.28 Die stufenförmige Kraft aus Aufgabe 6.27 wird durch eine bei t D T1 abbrechende Rampe F .t/ D .t=T1 /  Fc ersetzt. Wie lautet x.t/ für 0  t  T1 und für t > T1 ? Aufgabe 6.29 Kontrollieren Sie die Transformation (6.62), (6.63) und vergleichen Sie die Lesarten von (6.60), (6.61) mit der von (6.63) an Hand von Abb. 6.15.

7

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen

Die Bewegungsgleichung (4.25) bzw. (4.26), (4.27) ist linear, die Wirkungen der einzelnen Erregerterme auf der rechten Seite, vgl. (4.27), können gemäß Abschn. 4.6.2 getrennt untersucht und dann einander überlagert werden. (In Kap. 8 kommen dann noch Wirkungen aus der zugeordneten homogenen Gleichung hinzu, die die Anfangsbedingungen erfassen; sie klingen in der Regel rasch ab.) Das Überlagern gilt allerdings nur für das Auffinden der Lösungen. Bewerten muss man oft die Summe. Das gilt besonders für das Erreichen und Überschreiten von zulässigen Lasten oder Auslenkungen. In Grenzfällen sind für solche Untersuchungen umständliche numerische Rechnungen erforderlich.

7.1

Wirkung der relativ bewegten Massen auf die Rahmenauslenkung

Berücksichtigt man in der Bewegungsgleichung (4.25) allein die Erregerkräfte 2FTrel aus der Relativbewegung von Kurbel, Pleuel und Stößel, so lautet sie

mit

mxR C b xP C kx D Fe

(7.1)

 ˚ Fe D 2FTrel D 2ms r˝ 2 fOc1 cos ' C fOc2 cos 2' C fOc4 cos 4' C : : : ;

(7.2)

wo ' D ˝t, vgl. (4.7), (4.15)–(4.23). Man setzt die erzwungenen Schwingungen aus den Lösungen der Dgl mxR C b xP C kx D 2ms r˝ 2 fOcn cos n˝t

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_7

(7.3)

97

98

7

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen

zusammen für die einzelnen Erregungen . . . cos n˝t. In der bezogenen Schreibweise aus Abschn. 5.1, vgl. auch (6.9), lautet (7.3) xR C 2D!0 xP C !02 x D 2r

ms O 2 Q 2 fcn !0 ˝ cos n˝t; m

(7.4)

ms O 2 Q 2 j n˝t fcn !0 ˝ e : m

(7.5)

komplex, vgl. Abschn. 6.2.1. xR C 2D!0 xP C !02 x D 2r Der Lösungsansatz O j n˝t ; x D xe

(7.6)

vgl. Abschn. 6.2.2, führt auf xO D 2r

!02 ˝Q 2 ms O ms ˝Q 2 fcn 2 : D 2r fOcn 2 2 m m !0  n ˝ C 2Dn!0j˝ 1  n2 ˝Q 2 C 2j nD ˝Q

(7.7)

Ähnlich Abschn. 6.2.2 gelangt man zu xO D 2r

ms O fcn q m

˝Q 2 e j˛ ;

2 2 2 2 2 2 Q Q 1  n ˝ C 4D n ˝

wo tan ˛ D

2Dn˝Q ; 0  ˛ < : 1  n2 ˝Q 2 (7.8)

Hier wird die neue Vergrößerungsfunktion ˝Q 2 V3 ˝Q WD q

2 1  ˝Q 2 C 4D 2 ˝Q 2

(7.9)

eingeführt; für den Phasenverschiebungswinkel gilt (6.28). Abb. 7.1 zeigt V3 ˝Q ; für ˛ ˝Q gilt Abb. 6.9. Überlagert man die Wirkungen der einzelnen Terme von (7.2) gemäß (7.8), so erhält man – in reeller Form – die erzwungene Schwingung 

ms O fc1 V3 ˝Q cos ˝t  ˛ ˝Q xp .t/ D 2r m

fOc2 C 2 V3 2˝Q cos 2˝t  ˛ 2˝Q 2 

fOc4 Q C 2 V3 4˝ cos 2˝t  ˛ 4˝Q C : : : : 4

(7.10)

7.1 Wirkung der relativ bewegten Massen auf die Rahmenauslenkung

V3 6

D1 = 0 D2 = 0.1 D3 = 0.16 D4 = 1/ 2

D1

5

99

D2

4 D3

3 2 D4

1 0 0

~

Ω

1 1

0.5

0.5

~

1/Ω

2 0

Abb. 7.1 Vergrößerungsfunktion V 3

Man liest aus (7.10) ab: 1. Die erzwungenen Schwingungen werden umso kleiner, je kleiner das Verhältnis 2ms =m ist, je kleiner also die bewegten Massen im Verhältnis zur Gesamtmasse sind. (Ein schweres Fundament ist günstig.) 2. Durch die Faktoren fOcn =n2 wird die Wirkung der höheren Harmonischen .n > 1/ O abgemindert. Für die fcn gilt das Linienspektrum nach Abb. 4.9. Q 3. In V3 n˝ trifft man auf Resonanz, wenn n˝Q D n˝=!0  1 ist. Man kann Resonanz vermeiden, wenn man ˝Q > 1 wählt, also !0 < ˝ tief abstimmt. Dann ist man allerdings in einem Bereich V3  1. 4. Da die fOcn mit steigendem n rasch abnehmen, vgl. Abb. 4.9, kann man hier auch ˝Q < 1 wählen und braucht nur darauf zu achten, z. B. 2˝Q  1 zu vermeiden. In Abb. 7.2 ist die (bezogene) Erregerkraft f .t/ gemäß (4.23) – vgl. auch Abb. 4.10 – gemeinsam mit der bezogenen Auslenkung x.t/ Q WD

1 xp .t/ 2rms =m

(7.11)

mit D D 0:05 für 6 verschiedene Werte ˝Q dargestellt. Die ersten 3 (untereinander stehenden) Teilbilder zeigen das Schwingungsverhalten x.t/ Q für ˝Q D 0:45; 0:5 und 0:6, also in der Umgebung der Resonanz mit fOc2 cos 2˝t (bei ˝Q D 0:5). Man beachte den sich stark mit ˝Q ändernden Zeitverlauf! Die zwei oberen Bilder in der 2. Spalte zeigen x.t/ Q bei ˝Q D 0:9 und 1.0, also in der Nähe der Resonanz mit fOc1 cos ˝t (bei ˝Q D 1). Das letzte Bild, für ˝Q D 2:0, zeigt fast schon den asymptotischen Wert (für ˝Q ! 1), vgl. V3  1 in Abb. 7.1.

100

7

12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

3 f

2 x~

1 0 -1

~

Ω = 0.45

-2 -3 0.0

0.5

1.0 Ωt/2π

1.5

2.0

f

1

x~

0 -1 ~

Ω = 0.5

-2 -3 0.0

0.5

1.0 Ωt/2π

1.5

x~

0 -1 ~

Ω = 0.6

-2 -3 0.0

0.5

1.0 Ωt/2π

1.5

~

Ω = 0.9 0.5

2.0

1.0 Ωt/ 2π

1.5

2.0

~ x/2

f

~

Ω = 1.0 0.0

0.5

12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

f

1

f

0.0

2.0

3 2

x~

12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

3 2

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen

1.0 Ωt/ 2π

f

1.5

2.0

x~

~

Ω = 2.0 0.0

0.5

1.0 Ωt/ 2π

1.5

2.0

Abb. 7.2 Exzenterpresse: Zeitverläufe der bezogenen Erregerkraft f (t) und bezogener Auslenkungen x.t Q / zu verschiedenen Erregerfrequenzen ˝Q D ˝/! 0 mit D D 0.05

7.2 Wirkung der bewegten Bodenplatte Lässt man nun in der Bewegungsgleichung (4.25) 2FTrel und G weg und nimmt für die Fußpunkterregung durch die Bodenplatte eine (komplexe) Bewegung O j˝t u.t/ D ue

(7.12)

7.2 Wirkung der bewegten Bodenplatte

101

an, so erhält man (komplex) die Gleichung1 mxR C b xP C kx D b uP C ku:

(7.13)

Will man (anschließend) auch die Kraft F .t/ auf den Boden berechnen, gilt dafür, vgl. (4.3), (4.4), P C k.x  u/: (7.14) F .t/ D b.xP  u/ Mit den Lösungsansätzen F D FO e j˝t

(7.15)

k C jb˝ u; O k  m˝ 2 C jb˝

(7.16)

O j˝t ; x D xe erhalten wir aus (7.13) und (7.14) xO D

.k C jb˝/m˝ 2 O D u: O FO D .k C jb˝/.xO  u/ k  m˝ 2 C jb˝

(7.17)

Zieht p man in (7.16) und (7.17) in Zähler und Nenner das k heraus, so ergeben sich mit !0 D k=m, b D 2D!0 m, ˝Q D ˝=!0 , vgl. Abschn. 5.1 und 6.2.2, xO D und

Man setzt

wo

1 C 2Dj ˝Q u; O 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

1 C 2Dj ˝Q ˝Q 2 FO D k u: O 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

(7.18)



j˛2 ˝Q 1 C 2Dj ˝Q D V2 ˝Q e ; 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

1 C 2Dj ˝Q ˝Q 2 Q D ˝Q 2 V2 ˝Q e j˛2 ˝ ; 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q p 1 C 4D 2 ˝Q 2 V2 ˝Q D q

2 1  ˝Q 2 C 4D 2 ˝Q 2

und ˛2 D ˛  ˇ;

(7.19)

(7.20)

(7.21)

(7.22)

mit ˛ aus (6.28), vgl. Abb. 6.9, und ˇ aus Q tan ˇ D 2D ˝; 1

0  ˇ < =2:

Wegen der Gleichbehandlung von F(t) und x(t) schreiben wir komplex F(t) und x(t).

(7.23)

102 Abb. 7.3 Vergrößerungsfunktion V 2

7

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen

V2 6

D1

5

D2

4

D1 = 0 D2 = 0.1 D3 = 0.16 D4 = 1/ 2

D3

3 2

D4 P

1

D1 0 0

0.5 0.5

~

1.5 0.5

1 1

Ω

Abb. 7.4 Phasengang ˛ 2

1/Ω

1.0 α2 π 0.5

D2

D4

D1 ~

0.5 0.5

1.5 0.5

1 1

~

Ω2V2

Ω

6 5 4

~

2.0 0

~

2.0 0

1/Ω

D1 = 0 D2 = 0.1 D3 = 0.16 D4 = 1/ 2

D1 D2 D3

3 2

D4

P

D1

1 0 0

D1

D3

0 0 0

Abb. 7.5 Vergrößerungsfunktion ˝Q 2 V2

~

2.0 0

~

Ω

0.5 0.5

1 1

1.5 0.5

1/Ω

7.3 Wirkung der bewegten Massen auf den Boden

103

Dann lauten (7.18) und (7.19) O 2 e j˛2 ; xO D uV

FO D k uO ˝Q 2 V2 e j˛2 :

(7.24)

Q ˛2 .˝/; Q ˝Q 2 V2 .˝/. Q Abb. 7.3, 7.4 und 7.5 zeigen V2 .˝/;

7.2.1

Passivisolierung

Man spricht von Passivisolierung, wenn man ein schwingungsfähiges System durch geeignet gewählte Parameter vor starken Auswirkungen durch Erregungen von außen bewahren will, hier ist das die Bewegung der Bodenplatte. Man verlangt kleine Bewegungen, Q klein sein, vgl. (7.24) und Abb. 7.3, ˝Q D also kleine Amplituden jxj, O also muss V2 .˝/ ˝=!0 muss danach groß, bei gegebener Erregerfrequenz ˝ also !02 D k=m klein sein. Dies ist wieder eine tiefe Abstimmung, die man durch weiche Federn und große Masse Q O also auch ˝Q 2 V2 .˝/ erreicht. Dabei sollen die Kräfte, also die Beschleunigungen j˝ 2 xj, möglichst klein bleiben. Demnach darf, vgl. Abb. 7.5, das Dämpfungsmaß D nicht zu groß sein; vgl. die Aufgaben 7.6 und 7.7 zur Bedeutung des Punktes P.

7.3

Wirkung der bewegten Massen auf den Boden

Infolge der Erregerkräfte FTrel bewegt sich der Maschinensatz mit xp .t/, vgl. Abschn. 7.1. Gemäß (4.3), (4.4) übt er auf den Boden die Kraft P C k.xp  u/ F .t/ D b.xP p  u/

(7.25)

aus. Bleibt die Bodenplatte in Ruhe, gilt also u.t/ 0, so folgt aus (7.25) F .t/ D b xP p C kxp :

(7.26)

Schreibt man xp .t/ wieder komplex, vgl. (7.5), so liefert (7.26) für die n-te Harmonische O j n˝t DW FO e j n˝t : (7.27) F D b xP C kx D .k C bj˝n/xe Man erhält mit (5.3) und (7.7)

Q ˝Q 2 1 C 2Dj ˝n m s O FO D 2r fcn k

: Q m 1  ˝Q 2 n2 C 2Dj ˝n

(7.28)

Vergleich mit (7.20)–(7.22) liefert 2 ms 1 FO D 2r k 2 fOcn n˝Q V2 n˝Q e j˛2 m n



n˝Q

:

(7.29)

104

7

Erzwungene Schwingungen der Exzenterpressen

Damit folgt mit den fOcn aus (4.23) (



j ˝t ˛2 .˝/ ms 1 O Q 2 Q j 2˝t ˛2 .2˝/ Q Q 2 O Q Q C 2 fc2 2˝ V2 2˝ e F .t/ D 2r k fc1 ˝ V2 ˝ e m 2 )

1 O Q 2 Q j 4˝t ˛2 4˝Q C 2 fc4 4˝ V2 4˝ e C::: ; 4 (7.30) und reell (

ms F .t/ D r k fOc1 ˝Q 2 V2 ˝Q cos ˝t  ˛2 ˝Q m 2

1 (7.31) C 2 fOc2 2˝Q V2 2˝Q cos 2˝t  ˛2 2˝Q 2 ) 2

1 C 2 fOc4 4˝Q V2 4˝Q cos 4˝t  ˛2 4˝Q C : : : : 4

7.3.1 Aktivisolierung Man spricht von Aktivisolierung, wenn man die Umgebung eines schwingenden Systems durch geeignet gewählte Parameter vor der Auswirkung der über die Anschlusspunkte wirkenden Kräfte bewahren will. Bei den Exzenterpressen sind die Wirkungen der (relativ) bewegten Massen auf den Q Boden durch (7.30) bzw. (7.31) gegeben. In der Regel wird es nicht gelingen, ˝ D 2 Q Q ˝=!0  1 zu wählen, sodass man im Bereich ˝ V2 ˝ < 1 liegt, vgl. Abb. 7.5 und den Hinweis auf die statische Absenkung xstat D g=!02 in Aufgabe 7.11. Also muss man wieder, wie bei der Passivisolierung in Abschn. 7.2.1, tief abstimmen, !02 D k=m und D jetzt also möglichst klein wählen. (Ein Beispiel dafür ist die Waschmaschine.)

7.4 Aufgaben

Aufgabe 7.1 Zeigen Sie V3 ˝Q D ˝Q 2 V1 ˝Q D V1 1=˝Q ; – vgl. (7.9) mit (6.32). Aufgabe 7.2 Nehmen Sie für 2rms =m, D und ˝Q Zahlenwerte an und berechnen Sie mit Q den Daten von Abb. 4.9 das Linienspektrum von (7.8). Variieren Sie ˝. Aufgabe 7.3 Schreiben Sie ein Rechnerprogramm, das – etwa zu den Daten gemäß Aufgabe 7.2 – die Funktionsverläufe xp .'/; ' D ˝t zur erzwungenen Schwingung (7.10) zeichnet. Wie sehen die Funktionsverläufe xp .'/ im Vergleich zu Abb. 4.10 aus, wenn

7.4 Aufgaben

105

man in die Resonanzen ˝Q D 1 und ˝Q D 0:5 hineinfährt? Was muss man also beachten, wenn man die Pressen mit veränderlicher Drehzahl betreiben will? – vgl. Abb. 7.2. Aufgabe 7.4 Welche Phasen(winkel)-Beziehungen können Sie aus den Einzelbildern von Abb. 7.2 ablesen? Aufgabe 7.5 Schreiben Sie die linke Seite der (7.20) durch Vergleich mit (6.36) in der Form p





1 C 2Dj ˝Q = 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q D 1 C 2Dj ˝Q V1 e j˛ DW 1 C 4D 2 ˝Q 2 e jˇ V1 e j˛ und verifizieren Sie damit (7.20), (7.22), (7.23). Aufgabe 7.6 Bei welchem Wert ˝Q liegt der Punkt P in Abb. 7.3 und 7.5, bei dem die Dämpfung D die Wirkung umkehrt? Aufgabe 7.7 Wie erklären Sie physikalisch anschaulich den Umschlag der Wirkungsrichtung der Dämpfung D bei P? Vgl. Abb. 7.3, 7.4 und Aufgabe 7.8; links von P wirkt größere Dämpfung mindernd, rechts von P verstärkt größere Dämpfung. Aufgabe 7.8 Berechnen Sie zu Abb. 7.3 und 7.5 die Lage der Extrema. Aufgabe 7.9 Nehmen Sie Zahlenwerte für die Parameter in (7.30) an und zeichnen Sie parallel zu Aufgabe 7.2 das Linienspektrum zu F(t). Aufgabe 7.10 Schreiben Sie ein Rechnerprogramm, das Ihnen die Zeitverläufe F(t) gemäß (7.31) berechnet, vgl. Abb. 7.2. Aufgabe 7.11 Denken Sie über die Wahl der Parameter m und k nach, wenn die Drehzahl ˝, der Kurbelradius r, die Masse ms und die fOc gegeben sind und Sie xp .t/ oder F(t) – am besten beide p – klein halten wollen. (Wie kann man m und k beeinflussen?) Beachten Sie ˝Q D ˝= k=m; auch ist die statische Absenkung durch das Gewicht xstat D G=k D mg=k D g=!02 , meistens durch die Nutzung der Maschine beschränkt.

8

Einschwing- und Anlaufvorgänge

Unmittelbar nach dem Einschalten einer Schwingungserregung, während ihres Anlaufs und einer Weile danach schwingt das erregte System instationär, d. h. die momentane Amplitude und die momentane Kreisfrequenz (vgl. Abschn. 1.4.2) ändern sich, sind evtl. gar nicht definiert (vgl. Abb. 8.1). Nach dem Übergang der Erregung in den periodischen Verlauf, oder auch nach dem Aufhören der Erregungen, klingen die Anfangsstörungen je nach Größe der Dämpfung mehr oder minder rasch ab (vgl. Abb. 8.1). Hier stellen wir allgemeine Überlegungen zusammen. Quantitative Aussagen lassen sich in der Regel nur numerisch – für ein vorliegendes System mit konkreten Parametern – gewinnen.

xmax

x F/k

x(t)

x(t) xp(t)

x0 F/k

xp(t)

2π

0 Ωt xp(t)

xp(t)

xmin Einschwingzeitraum Abb. 8.1 Einschwingvorgang © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_8

107

108

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge

8.1 Einschwingvorgänge Gegeben sei die Bewegungsgleichung (4.26): mxR C b xP C kx D Fe .t/:

(8.1)

Die Erregerkraft Fe .t/ ist gemäß (4.27) aus konstanten und harmonisch schwingenden Anteilen zusammengesetzt. Die dadurch hervorgerufenen erzwungenen Schwingungen xp .t/ wurden in den Abschn. 6.2, 6.3, auch 7.1, 7.2 angeschrieben, dort der Einfachheit halber zum Teil ohne den Index p, sind also bekannt. Man stellt sich nun vor, dass die Erregerkraft Fe .t/ schon auf das System wirkt, der Schwinger jedoch bis zu einem Zeitpunkt t0 festgehalten wird – oft setzt man t0 D 0 – und mit einer Anfangsauslenkung x0 sowie einer Anfangsgeschwindigkeit v0 losgelassen wird; das führt auf die Anfangsbedingungen x.t0 / D x0 ;

x.t P 0 / D v0 :

(8.2)

8.1.1 Allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung; Anpassen an die Anfangsbedingungen Die allgemeine Lösung x(t) der Bewegungsgleichung (8.1) setzt sich aus einem Partikularintegral xp (t) der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung xh (t) der (zugeordneten) homogenen Gleichung (4.32) zusammen: x.t/ D xh .t/ C xp .t/:

(8.3)

x.t/ D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/ C xp .t/I

(8.4)

Mit xh (t nach (5.26) folgt

die beiden Konstanten Ac und As sind frei. Anpassen der allgemeinen Lösung (8.3) bzw. (8.4) an die Anfangsbedingungen (8.2) liefert x0 D xh .t0 / C xp .t0 /;

v0 D xP h .t0 / C xP p .t0 /:

(8.5)

Zu (8.4) folgen hieraus die Bestimmungsgleichungen für Ac und As und damit – auf umständlichem Wege (vgl. Aufgabe 8.1) – für t t0 h x.t/ D e ı.t t0 / .x0  xp .t0 // cos !.t  t0 / C

i .v0  xP p .t0 // C ı  .x0  xp .t0 // sin !.t  t0 / C xp .t/: !

(8.6)

8.1 Einschwingvorgänge

109

Hinweise 1. Allgemeine Lösung heißt, dass man jede (denkbare Form einer) Lösung von (8.1) durch (8.3) und (8.4) ausdrücken kann. 2. Die zwei freien Konstanten Ac und As werden durch die zwei Anfangsbedingungen (8.2) bestimmt. Damit wird die Lösung der Bewegungsgleichung eindeutig festgelegt. 3. Die Eindeutigkeitsaussage bietet die Möglichkeit, Lösungen zu raten: Eine geratene Lösung, die die Differentialgleichung und die Anfangsbedingungen erfüllt, ist die gesuchte Lösung (vgl. Aufgabe 8.2). 4. In (8.6) erscheint die Lösung xh .t/ aus (4.32) mit xh .t t0 / als längs der Zeitachse verschoben. Das ist möglich, weil die homogene Dgl nicht explizit von der Zeit abhängt, weil sie autonom ist. 5. Je nach vorliegender Dämpfung, D > 0 bzw. ı > 0, klingt der Lösungsanteil xh .t/, also der Einfluss der Anfangsbedingungen mehr oder minder rasch ab, vgl. Abschn. 8.1.2.

8.1.2 Einschwingvorgang Sei in (8.1) die Erregerkraft Fe .t/ harmonisch, vgl. (6.3). Dann lautet (8.6) mit xp .t/ nach (6.31)–(6.34) " x D e ı.t t0 / .x0  xp0 / cos !.t  t0 / # .v0  xP p0 /  ı  .x0  xp0 / sin !.t  t0 / C ! C

(8.7)

FOe Q cos.˝t  ˛/; V1 .˝/ k

wo xp0 D

FOe Q cos.˝t0  ˛/;  V1 .˝/ k

xP p0 D ˝

FOe Q sin.˝t0  ˛/:  V1 .˝/ k

(8.8)

Abb. 8.1 zeigt zu angenommenen Parametern einen Einschwingvorgang x.t/ gemäß (8.7). Innerhalb der Einschwingdauer ist der erzwungenen Schwingung xp .t/ die freie xh .t/ überlagert, vgl. (8.3), (8.4) und (8.6). Bei vorhandener Dämpfung .b > 0, also D > 0; ı > 0/ klingt die freie Schwingung exponentiell – also asymptotisch für t ! 1 – ab; das Einschwingen dauert (theoretisch) unendlich lange. (In Abb. 8.1 wurde ı recht groß gewählt, sodass xh nach kurzer Einschwingdauer innerhalb der Strichstärke liegt.) In realen Systemen stets vorhandene Coulombsche Reibungsanteile bewirken abbrechende Einschwingvorgänge. Die Einschwingdauer ist bei praktischen Problemen deshalb endlich, meistens aber nicht genau erfassbar.

110

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge

Am Ende des Einschwingvorgangs verbleibt die (stationäre) erzwungene Schwingung (ggf. auch die Gleichgewichtslage, vgl. Aufgaben 8.3/8.4). Des Aufwandes halber berechnet man häufig nur die Partikularlösung xp .t/ und verlässt sich darauf, dass die „stets vorhandene kleine Dämpfung“ für das Abklingen der Eigenschwingung xh .t/ sorgt. (Das gilt jedoch nicht immer: bei einer rotierenden Welle kann die „innere“ Werkstoffdämpfung anfachend wirken; vgl. auch das System aus Abschn. 4.6.3.) Weglassen von xh .t/ bedeutet nach (8.5) die Wahl der Anfangsbedingungen (8.9) x0 D xp .t0 / und v0 D xP p .t0 /: (Weglassen von xh .t/ bedeutet also nicht, dass keine Anfangsbedingungen vorgegeben wurden.) Bei Rechnungen mit dem Faltungsintegral (6.60) kann man den Anfangszeitpunkt t0 D tA ! 1 schieben, um sicher zu gehen, dass (bei D > 0) alle Einschwingvorgänge abgeklungen sind (Aufgabe 8.5).

8.2 Anlauf einer Erregung 8.2.1 Vorüberlegungen Sowohl in der Schwingungslehre als auch in der Maschinendynamik werden die Grundbegriffe der erzwungenen Schwingungen an Hand von Schwingern bzw. von Modellen entwickelt, die mit (vorgegebener) fester Frequenz erregt werden. Hierzu gibt es Standarduntersuchungsmethoden, man gewinnt allgemeine Aussagen, wie wir schon einige kennengelernt haben. Bei experimenteller Überprüfung muss man sicherstellen, dass die Annahme eines gleichförmigen Rundlaufs des Phasenwinkels '.t/ und einer festen Amplitude trotz der Rückwirkung des Schwingers auf den Erreger genügend genau erfüllt sind. (Vor der Untersuchung des aus Erreger und Schwinger bestehenden dynamischen Systems scheut man an dieser Stelle zurück, weil der dazu erforderliche Aufwand zu hoch ist.) Unabhängig von eventuellen Rückwirkungen fragen wir uns, wie sich ein Schwinger mxR C b xP C kx D FOe cos '.t/

(8.10)

verhält, wenn die momentane Erregerfrequenz ˝ D '.t/ P

(8.11)

nicht konstant ist, sondern sich mit der Zeit ändert, weil der Erreger anläuft oder die Maschine eine Drehzahländerung erfährt. Die Änderung der Erregerfrequenz beginne zur Zeit t0 mit einer gegebenen Winkelbeschleunigung 'R D ˝P D ".t/

(8.12)

8.2 Anlauf einer Erregung

111

für t t0 . Ausgangspunkt der Änderung seien die vorgeschriebenen (Anfangs-)Bedingungen (8.13) '.t0 / D '0 ; ˝.t0 / D ˝0 : Gewinnt man '.t/ aus der Dgl (8.12), zum Beispiel numerisch, und setzt es auf der rechten Seite von (8.10) ein, kann man auch diese Dgl – parallel zu (8.12) – numerisch p lösen. Dabei p ist eine geringe Anzahl von Systemparametern von Vorteil. Mit !0 D k=m, D D b=.2 km/, vgl. (5.2), (5.3), und der dimensionslosen Zeit ı

xP D dx=dt D !0 dx=d tQ DW !0 x

tQ WD !0 t; sowie

˝Q WD ˝=!0 ;

xQ WD x=.FOe =k/;

lauten (8.10) und (8.12)

ıı

"Q WD "=!02

(8.15)

ı

xQ C 2D xQ C xQ D cos '.tQ/;

(8.16)

ı

ıı

Q tQ/: ' D ˝Q D ".

8.2.2

(8.14)

(8.17)

Berechnen einer Einhüllenden

Erwünscht ist die Lösung x.t/ Q in einer Form, die – obwohl nur numerisch bestimmt – leicht interpretierbar ist. Dazu schreiben wir (8.16) analog zu (6.3), (6.7) komplex: ıı

ı

xQ C 2D xQ C xQ D e j'.tQ/ :

(8.18)

Das Vorgehen in Abschn. 6.2.2 legt den Ansatz OQ tQ/e j.'.tQ/˛.tQ// xQ D x.

(8.19)

nahe. Für reelles x. QO tQ/ > 0 und ˛.tQ/ ¤ 0 steht hier auf der rechten Seite der Drehzeiger OQ tQ/ umläuft. (Soexp.j'.tQ//, der um die Zeitachse tQ in einem „Schlauch“ vom Radius x. 2 OQ tQ/ und ˛.tQ/ nur lange die Beschleunigung ".t/ klein bleibt, k"=!0 k  1, werden sich x. langsam ändern.) Der Schlauch bildet eine Einhüllende der Schwingung x.t/. OQ tQ/ und ˛.tQ/ lassen sich am einfachsten berechnen. Sei Die Funktionen x.

dann lautet (8.19)

OQ tQ/e j˛.tQ/ ; XQ WD x.

(8.20)

Q j' : xQ WD Xe

(8.21)

112

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge

Einsetzen von xQ gemäß (8.21) in (8.18) liefert, nach Herauskürzen von exp.j'/,  ı   ı ı2 ı ıı Q Q X C 2 D C j ' X C 1  ' C 2Dj ' C j ' XQ D 1: ıı

(8.22)

Bei den Anfangsbedingungen unterscheiden wir die Anfahrt aus dem Stillstand und die Beschleunigung (oder Verzögerung) aus dem stationären Lauf mit ˝Q 0 ab dem Zeitpunkt tQ0 , vgl. (8.13). Für die Anfahrt aus dem Stillstand gelten die Anfangsbedingungen '0 D '.0/ D 0;

Q ˝Q 0 D ˝.0/ D 0;

Q XQ 0 D X.0/ D 1;

ı

ı

Q XQ 0 D X.0/ D 0:

(8.23)

Diese Bedingungen sind so gesetzt, dass zum Zeitpunkt tQ D 0 am System Gleichgewicht herrscht, vgl. (8.16), (8.18), (8.21). Im zweiten Fall ist der Endpunkt tQ0 des stationären Laufs gleich dem Anfangspunkt tQ0 des instationären. Also müssen – komplex! – übereinstimmen, vgl. (6.36), Q tQ0 /; ˝Q 0 D ˝.

'0 D ˝Q 0 tQ0 D '.tQ0 /;

XQ 0 D XQ .tQ0 / D V1 .˝Q 0 /e ˛.tQ0 / D 1=.1  ˝Q 02 C 2Dj ˝Q 0 /; ı

(8.24)

ı

XQ 0 D XQ .tQ0 / D 0: Mit den Anfangsbedingungen (8.23) oder (8.24) kann man die Dgln (8.17) und (8.22) gemeinsam numerisch lösen. Dazu müsste man die komplexe Gleichung (8.22) als gekoppeltes System aus ihren Real- und Imaginärteilen schreiben. Bei Verwendung von Matlab geschieht das im Rechnerprogramm. Q tQ/ numerisch, folgt aus (8.20) Kennt man X. OQ tQ/ D kXk; Q x.

˛.tQ/ D Arg.XQ /;

(8.25)

OQ tQ/ ist die gesuchte Einhüllende, der Winkel Q Die Funktion x. in Matlab: ˛ D angle.X/. ˛.tQ/ gibt die Phasenlage relativ zur Erregerphase '.tQ/ an. Projektion von x. Q tQ/ auf die reelle Achse liefert OQ tQ/ cos.'.tQ/  ˛.tQ//: x.t/ Q D x. (8.26)

8.2.3 Erregeranlauf mit Resonanzdurchfahrt Auf ein zunächst stillstehendes System wirke während einer Anlaufzeit 0  tQ  TQA die (Winkel-)Beschleunigung (8.27) "Q D "Q0 tQ=TQA :

8.2 Anlauf einer Erregung

113

Im Anschluss laufe der Erreger mit der bei tQ D TQA erreichten Winkelgeschwindigkeit ˝Q A D "Q0 TQA =2. Gegeben sind die Parameter D D 0:05; TQA D 600; "Q0 D 0:005. Zur Lösung (mit Matlab) werden die Dgln (8.17), (8.22) als System erster Ordnung geschrieben, vgl. (4.45) bis (4.47): Mit   ı

Q '; XQ ; XQ u D .u1 ; u2 ; u3 ; u4 /T WD ˝;

T

;

 ı T Q Q tQ/; ˝; f3 ; XQ ; f D .f1 ; f2 ; f3 ; f4 / WD ". T

(8.28)

ı

Q XQ  .1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q C j "Q.tQ//X; Q f3 WD 1  2.D C j ˝/ lautet es

ı

u D f .u; tQ/:

(8.29)

Dazu gehören die Anfangsbedingungen (8.23): u.0/ D .0; 0; 0; 1/T : Abb. 8.2 zeigt für das Zeitintervall 0  tQ D !0 t  700 (entspricht etwa 110 Perioden Q tQ/, c den Verlauf der Eigenschwingung) a den Verlauf von "Q.tQ/, b den Verlauf von ˝. OQ tQ/. Die Erregerfrequenz ˝ D !0 ˝Q erreicht die von x. Q tQ/ sowie die Einhüllenden ˙x. Eigenfrequenz !0 bei  tQ D 490, vgl. die vertikalen strichpunktierten Linien in Abb. 8.2b und c. Am Ende des Anlaufs, bei TQA D 600 liegt ˝ um 50 % über der Eigenfrequenz (gestrichelte Vertikalen). OQ tQ/ und der Phasenverschiebungswinkel ˛.tQ/ In Abb. 8.3 wurden die Einhüllende x. Q Q über der momentanen Frequenz ˝.t / und, zum Vergleich, die (stationäre) VergrößerungsQ sowie der Phasenverschiebungswinkel ˛1 .˝/ Q nach (6.30) bzw. (6.32) funktion V1 .˝/ aufgetragen. OQ tQ/ Q tQ/ < 0:5, folgt x. Über gut die Hälfte des betrachteten Zeitintervalls, solange ˝. Q nahezu quasi-statisch der anlaufenden Oszillation von Fe .t /. Bei Annäherung von ˝Q an den Resonanzbereich, ˝Q  1, erscheint die Reaktion des Systems gegenüber dem stationären Verhalten verzögert, die Erregung braucht Zeit, um dem Schwinger Energie OQ tQ/ unterhalb der Resonanzspitze von V1 . Andererzuzuführen. Da die Zeit fehlt, bleibt x. seits enthält der Schwinger kurz oberhalb ˝Q > 1 noch mehr Energie als es dem stationären Lauf entspricht. Die steckt, aus einer Sicht ähnlich Abschn. 6.3, in einer beim Resonanzdurchgang „angestoßenen“ Eigenschwingung. Die Schwingung x. Q tQ/ setzt sich in diesem Frequenzbereich also aus der mit ˝.tQ/ > !0 erregten Schwingung und der (abklingenden) Eigenschwingung mit einer Frequenz  !0 zusammen, es entsteht eine Schwebung, s. Abschn. 1.4.3, mit der Differenzfrequenz !d D ˝  !0 . Wächst ˝.tQ/ mit tQ weiter, nimmt die Schwebungsfrequenz zu, deren Amplitude jedoch wegen der schwindenden Eigenschwingung ab. Bei kleinem Dämpfungsgrad D können recht weit außerhalb ˝Q D 1 noch große Amplituden auftreten.

114

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge c

x 10 ^ Fe /k 5

^ x~ (t)

x~ (t)

0 ^ -x~ (t)

-5 -10 b

Ω 2 ω0 1

~ Ω (t)

0 ×10 -3

a

5 ε ω02

0 0

ε~(t) 100

200

300

400

500

ω0t

700

Abb. 8.2 Erzwungene Schwingung: Anlauf und Resonanzdurchfahrt. a Winkelbeschleunigung OQ / Q /, c Auslenkung x.t "Q.t /, b Winkelgeschwindigkeit ˝.t Q / und Einhüllende ˙x.t Abb. 8.3 Erzwungene Schwingung: Anlauf und Resonanzdurchfahrt von stationären und instationären Verläufen (dicke bzw. dünne Linie). a VergrößerungsfunkOQ tion V1 und Einhüllende x, b Phasenverschiebungswinkel ˛1 und ˛

a

~ V1(Ω) ^ ~ x~ (Ω)

10 V1 8 ^ x~ 6 4 2 0

0.5

1

~ Ω

1.5

b

1

~ α1(Ω)

α1

~ α(Ω)

0.5

0

0.5

1

~ Ω

1.5

8.2 Anlauf einer Erregung

115

8.2.4 Anlauf bei Unwuchterregung Bei der Rüttelmaschine aus Kap. 2 seien die Transportbolzen T entfernt, die Federn haben die Gesamtsteifigkeit k, sie werden um einen Dämpfer mit der Konstanten b ergänzt. Die Unwuchträder laufen mit '1 .t/ D '2 .t/ D '.t/ gemäß den Überlegungen in Abschn. 8.2.1 an. Die Bodenplatte möge zunächst nicht abheben. Wie läuft die Rüttelmaschine an? (Zusatzfrage: Zu welchem Zeitpunkt tA wird die Bodenpressung erstmals gerade aufgehoben?) Die Bewegungsgleichung Zunächst brauchen wir eine Bewegungsgleichung. Die Auslenkung x, nach oben positiv, s. Abb. 8.4, wird gegenüber der statischen Ruhelage gemessen. Die Federn sind dann bereits durch das Gewicht G D .m2 C 2mu /g

um xstat D G=k

(8.30)

ausgelenkt. Wir stellen die Bewegungsgleichung für x.t/ nach Lagrange auf. Dazu braucht man die kinetische Energie T, das Potenzial U und die Rayleighsche Dissipationsfunktion R, ausgedrückt durch x; xP und bekannte Funktionen der Zeit; hier ist das '.t/. Mit den Unwucht-Geschwindigkeiten vxu D .x C h C xu / D .x C h C r cos '/ D xP  r 'P sin '; vyu D yPu

D .r sin '/

(8.31)

D r 'P cos '

erhält man die kinetische Energie

 1 1 2 2 C vyu / m2 xP 2 C 2 mu .vxu 2 2

 1 1 D m2 xP 2 C 2 mu .xP 2  2xr P 'P sin ' C r 2 'P 2 / : 2 2

T D

Abb. 8.4 Rüttler nicht arretiert

(8.32)

φ

yu

mu

xu h

r

3

3 2 m2

k

b

1

x

116

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge

Das Potenzial, bezogen auf die entlastete Feder, lautet U D

1 k.x C xstat /2 C G.x C xstat / C 2mu gr cos ': 2

(8.33)

Für die Dissipationsfunktion gilt RD

1 2 b xP : 2

(8.34)

Die Lagrange-Gleichung (C.25) lautet mit q D x und hinzugefügtem Dissipationsterm:   d @T @T @U R  C C D 0: (8.35) dt @xP @x @x @xP Einsetzen von T, U, R aus (8.32) bis (8.34) ergibt .m2 C 2mu /xR C b xP C kx D 2mu r.'R sin ' C 'P 2 cos '/I

(8.36)

das Gewicht G hebt sich wegen (8.30)2 heraus. In dimensionsloser Form, mit tQ D !0 t;

!02 D k=.m2 C 2mu /;

2D!0 D b;

x D x2m Q u r=.m2 C 2mu /;

(8.37)

lautet (8.36), vgl. (8.14) bis (8.16) ı

xQ C 2D xQ C xQ D "Q sin ' C ˝Q 2 cos ' :

ıı

(8.38)

Die komplexe Form der Bewegungsgleichung Parallel zum Übergang von (8.16) zu (8.18) folgt hier aus (8.38), analog zu (6.3) bis (6.7), ı

xQ C 2D xQ C xQ D ˝Q 2  j "Q e j'.tQ/ :

ıı

(8.39)

Der Ansatz xQ D XQ exp.j'/ liefert ıı

ı



XQ C 2 D C j ˝Q XQ C 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q C j "Q XQ D ˝Q 2  j "Q :

(8.40)

Wenn man – ähnlich wie in Abschn. 8.2.2 – aus dem Stillstand .tQ0 D 0/ anfahren will, kann man ı ı Q Q D 0; XQ 0 D X.0/ D0 (8.41) '0 D '.0/ D 0; ˝Q 0 D ˝.0/ aus (8.23) übernehmen. Ein stoßfreier Anlauf des Schwingers erfordert jedoch, falls "Q.0/ ¤ 0, "Q.0/ Q XQ 0 D X.0/ D j : (8.42) 1 C ".0/ Q Das übrige Vorgehen entspricht dem von Abschn. 8.2.2.

8.3 Aufgaben

8.3

117

Aufgaben

Aufgabe 8.1 Schreiben Sie mit (8.5) die Bestimmungsgleichungen für Ac , As an, lösen Sie sie, setzen Ihr Ergebnis in (8.4) ein und bringen es auf die Form (8.6). Aufgabe 8.2 Die Lösung (5.27) legt zu den Anfangsbedingungen (8.2) die Form xh .t t0 / nahe, wobei in (5.27) x0 ! x0  xp .t0 /; v0 ! v0  xP p .t0 / gesetzt wird. Zeigen Sie, dass die so „geratene“ Lösung die gesuchte Lösung ist. Aufgabe 8.3 Nehmen Sie an, dass die Federn der Exzenterpressen bei der Montage (bewegliche Maschinenteile arretiert) gerade entspannt waren, die Stützklötze zur Zeit t0 D 0 plötzlich weggeschlagen werden und damit das Gewicht mg in (4.26), (4.27) wirksam wird. Berechnen Sie x(t) unter der Annahme verschwindender Bodenauslenkung, u 0. Aufgabe 8.4 Wie verläuft der „Fall“ der Exzenterpressen von Aufgabe 8.3, wenn bei aufgestützten Maschinen zwischen Feder und Federabstützung ein (kleiner) Spalt der Höhe h vorliegt? Aufgabe 8.5 Sei xp (t) durch das Faltungsintegral (6.60) gegeben. Welche Anfangsbedingungen (8.8) erfüllt es? Aufgabe 8.6 Auf einen zunächst ruhenden Schwinger .x0 D 0; v0 D 0/ wird eine Erregung FOe cos ˝t aufgeschaltet, vgl. (8.1). Zu welchem Zeitpunkt t  .> 0/ muss die Erregung auf den Schwinger gegeben werden, damit möglichst geringe freie Schwingungen angestoßen werden? Aufgabe 8.7 Was wäre in Aufgabe 8.6 ein sehr ungünstiger Einschaltzeitpunkt t  ? Aufgabe 8.8 Für einen Schwinger nach (8.1) sei der Einschwingvorgang zur Zeit t = 0 bereits abgeklungen (vgl. Abb. 8.1). Wann .t  D‹/ muss man abschalten, damit freie Schwingungen klein bleiben? Aufgabe 8.9 Überprüfen Sie die Anfangsbedingungen (8.23) und (8.24). Aufgabe 8.10 Setzen Sie ausgehend von (8.36) unter der Annahme, dass x(t) bekannt ist, eine Gleichung für die Bodenkraft F B (t) an, vgl. Abb. 2.3b. Aufgabe 8.11 Verifizieren Sie die dimensionslose Form (8.38) der Bewegungsgleichung (8.36). Aufgabe 8.12 Kontrollieren Sie die Übergänge von (8.38) zu (8.39) und von (8.39) zu (8.40).

118

8 Einschwing- und Anlaufvorgänge

Aufgabe 8.13 Lesen Sie die Bedingung (8.42) für stoßfreien Anlauf aus den vorangehenden Gleichungen ab. Aufgabe 8.14 Schreiben Sie parallel zu (8.28), (8.29) die Dgln (8.17) und (8.40) als Differentialgleichungssystem 1. Ordnung an. Aufgabe 8.15 Entwickeln Sie ein Matlab® -Programm zum Lösen der Dgl aus Aufgabe 8.14. Aufgabe 8.16 Arbeiten Sie die numerische Lösung aus Aufgabe 8.15 in die Gleichung für die Bodenkraft F B aus Aufgabe 8.10 ein (Abspaltung (8.30)2 beachten!) und berechnen Sie – zu gewählten Parameterwerten – den Abhebeaugenblick tA . Aufgabe 8.17 Formulieren Sie, analog zu (8.24), die Anfangsbedingung für einen unwuchterregten Schwinger, der bis zum Zeitpunkt t0 stationär betrieben wird, und dessen Erregung sich ab t0 beschleunigt.

Teil III Diskrete Schwinger mit zwei und mehr Freiheitsgraden

Statt von Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden spricht man auch von Koppelschwingungen und versteht darunter Bewegungen mechanischer Systeme, bei denen mehrere starre Körper – Klötze, Scheiben, Räder – durch elastische Elemente – Dehn-, Torsions-, Biegefedern – miteinander oder mit der festen Umgebung verbunden – gekoppelt – sind. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, die Überlegungen vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad hierher zu übertragen und zu erweitern.

9

Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

Die folgenden Darlegungen sind an Hand einfacher Beispiele so geführt, dass man die Untersuchung von Schwingern mit einem höherem Freiheitsgrad n daran anlehnen kann. Dämpfung wird zunächst ausgeschlossen. Nach dem Einführen dreier Beispiel-Schwinger in Abschn. 9.1 geht es in den Abschn. 9.2 und 9.3 um freie Schwingungen, erzwungene Schwingungen folgen in Abschn. 9.4.

9.1

Beispiele für Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

Ausgangspunkt sind die drei Schwinger vom Freiheitsgrad n D 2 in Abb. 9.1. (Gewicht und Dämpfung sind zunächst ausgeschlossen.) Abb. 9.1a zeigt einen Dehnschwinger mit zwei Massen m1 , m2 („Zweimassenschwinger“), zwei Federn 1, 2 der Steifigkeiten k1 , k2 , Längen (unbelastet) l1 bzw. l2 . Als Koordinaten x1 , x2 werden die vertikalen Auslenkungen der Massen m1 , m2 gegenüber der Lage bei entspannten Federn (Ausgangs- oder Ruhelage) gewählt. Die Hilfskoordinate x3 erfasst die Verlängerung der Feder 2 unter Last. Es gilt x3 D x2  x1 :

(9.1)

Abb. 9.1b zeigt einen Torsionsschwinger mit zwei Drehkörpern (Scheiben) der Trägheitsmomente J 1 , J 2 die auf den Enden einer (horizontal gelagerten) Welle der Torsionssteifigkeit kT sitzen. Als Koordinaten werden die beiden Drehwinkel '1 ; '2 gewählt, die die Winkel zwischen der Vertikalen und (zu Messzwecken) auf den Drehkörpern angebrachten Markierungen erfassen; bei '1 D '2 sei die Welle torsionsfrei. Die Hilfskoordinate '3 misst die Torsion der Welle: (9.2) '3 D '2  '1 : © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_9

121

122

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden b

a

l1

k1

φ1 φ2

x1

m1

(φ1) φ3

m1

l2

l2

k2 kT

J1

m2 x2

J2

x3 m2

c

F2 F 1 EI l1

l1

x2

l2

l2

x1 m

Ecke starr

Abb. 9.1 Schwinger mit Freiheitsgrad zwei. a Dehnschwinger (Zweimassenschwinger), b Torsionsschwinger, c Biegeschwinger

Abb. 9.1c zeigt eine Einzelmasse m, die auf einem ausgelenkten, zunächst rechtwinklig gekröpften Biegewinkel sitzt (vgl. Teilbild mit Kräften F 1 , F 2 ) und parallel zur Zeichenebene schwingt; Schenkellängen l1 , l2 Biegesteifigkeit EI. Als Koordinaten werden die Auslenkungen x1 , x2 horizontal bzw. vertikal gegenüber der entspannten Ausgangslage gewählt. Hinweis 1 Im Rahmen der Linearen Schwingungen müssen die Auslenkungen in der Regel klein gegenüber den Abmessungen des betrachteten Gebildes sein. (In Planskizzen übertrieben groß gezeichnete Verformungen dienen nur der deutlichen Darstellung.) Desgleichen müssen die (dynamischen) Kräfte klein sein. „Klein“ heißt hier, zum Beispiel, im Vergleich zu Kipp- oder Knicklasten. Unter diesen Voraussetzungen darf man Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System ansetzen. Entstehen die Bewegungsgleichungen durch Linearisieren, zum Beispiel von Kennlinien um einen „Arbeitspunkt“, gelten obige Aussagen für die „Zusatz“-Auslenkungen und „Zusatz“-Kräfte.

9.2 Freie Schwingungen

123

9.2 Freie Schwingungen 9.2.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen Bei den gezeigten Schwingern vom Freiheitsgrad n D 2 genügen je zwei Gleichgewichtsbedingungen zum Anschreiben der Bewegungsgleichungen. Für den Dehnschwinger, Abb. 9.1a, folgen mit den Federverlängerungen x_1 und x3 die Federkräfte F1 D k1 x1 bzw. F2 D k2 x3 und aus den Gleichgewichtsbedingungen an den freigeschnittenen Massen die beiden Gleichungen (Aufgabe 9.1) m1 xR 1 C k1 x1  k2 x3 D 0; m2 xR 2 C k2 x3 D 0:

(9.3)

Elimination der Hilfskoordinate x3 mit der „Bindungsgleichung“ (9.1) – hier eine geometrische Beziehung zwischen x1 ; x2 ; x3 – führt auf m1 xR 1 C .k1 C k2 /x1  k2 x2 D 0; m2 xR 2  k2 x1 C k2 x2 D 0:

(9.4)

Für den Torsionsschwinger, Abb. 9.1b, folgen mit der Wellenverwindung '3 das Torsionsmoment MT D kT '3 und aus den Drehmoment-Gleichgewichtsbedingungen an den freigeschnittenen Drehkörpern (Aufgabe 9.2) J1 'R1  kT '3 D 0;

(9.5)

J2 'R2 C kT '3 D 0: Elimination von '3 mit (9.2) liefert J1 'R1 C kT '1  kT '2 D 0; J2 'R2  kT '1 C kT '2 D 0:

(9.6)

Beim Biegeschwinger, Abb. 9.1c, ist das Berechnen der durch die Auslenkungen x1 ; x2 hervorgerufenen Kräfte F1 ; F2 verwickelter: Man kehrt die Aufgabe um, gibt die Kräfte vor und berechnet (dazu) die Auslenkungen. Hier erhält man, zum Beispiel durch Aneinanderstückeln von Biegelinien (Aufgabe 9.3), x1 D

3l1 l22 C l23 l 2l F1 C 1 2 F2 ; 3EI 2EI

x2 D

l12 l2 l3 F1 C 1 F2 : 2EI 3EI

(9.7)

Setzt man jetzt rechts als Kräfte die d’Alembert’schen Trägheitskräfte der Masse in die Richtungen von, nämlich F1 D mxR 1 ; F2 D mxR 2 ein und stellt die rechten Seiten nach

124

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

links, erhält man die Bewegungsgleichungen in der „unüblichen“ Form 3l1 l22 C l23 mxR 1 C 3EI l12 l2 mxR 1 C 2EI

l12 l2 mxR 2 C x1 D 0; 2EI l13 mxR 2 C x2 D 0: 3EI

(9.8)

Besser, man löst zuerst (9.7) nach F1 ; F2 auf und setzt die d’Alembert’schen Kräfte ins Ergebnis ein, (Aufgabe 9.4).

9.2.2

Matrizenschreibweise der Bewegungsgleichungen

Beide Bewegungsgleichungen (9.4) und (9.6) haben dieselbe Struktur. Dies wird besonders deutlich, wenn man zur Matrizenschreibweise übergeht. Man erhält so: 0 m2

m1 0

!

! J1 0

0 J2

! xR 1 k C k2 C 1 xR 2 k2 ! 'R1 kT C 'R2 kT

k2 k2 kT kT

!

x1 x2

!

! D 0;

(9.9)

! '1 '2

D 0:

(9.10)

Symbolisch abgekürzt: M xR C K x D 0:

(9.11)

Dabei steht M als Massen- (oder Trägheits-)Matrix, K als Steifigkeits- (oder Feder-)Matrix, x D x(t) ist die Spaltenmatrix der Auslenkungen: m11 MD m21

! m12 ; m22

k K D 11 k21

! k12 ; k22

(9.12)

x D x.t/ D .x1 ; x2 /T D .x1 .t/; x2 .t//T : Im Allgemeinen sind M und K voll besetzt. Massen- und Steifigkeitsmatrix sind stets konstant, sie lassen sich auf eine, für viele Untersuchungen vorteilhafte, symmetrische Form bringen: (9.13) M D M T; K D K T: Nach Lagrange aufgestellte Bewegungsgleichungen sind von vornherein symmetrisch, aus Gleichgewichtsaussagen gewonnene schreibt man zweckmäßig um.

9.2 Freie Schwingungen

125

9.2.3 Koppelglieder in den Bewegungsgleichungen Die diagonalen Massenmatrizen M in (9.9) und (9.10) machen besonders deutlich, dass bei beiden Schwingern die Auslenkungen – x1 mit x2 bzw. '1 mit '2 jeweils nur über die Steifigkeiten gekoppelt sind. Man spricht auch vom federgekoppelten Schwinger. Das ist keine Systemeigenschaft! – Die Kopplung hängt von der Koordinatenwahl ab! Wir eliminieren aus (9.3) mit (9.1) anstatt der Koordinate x3 die Koordinate x2 , ersetzen also in (9.3) überall x2 gemäß x2 D x1 C x3 . In Matrixschreibweise bedeutet das die Koordinatentransformation x1 x2

!K

! !M x1 1 0 D ; 1 1 x3

abgekürzt als x K D T x M ,

(9.14)

wo x K und x M die Spaltenmatrizen der Koordinaten für Feder- bzw. (das Ergebnis vorwegnehmend) Trägheitskopplungen sind; die Matrix T ist eine zeitunabhängige (konstante, nicht-singuläre) Transformationsmatrix. Gl. 9.9 lautet mit den hochgestellten K: M K xR K C K K x K D 0. Einsetzen von (9.14)2 liefert (9.15) M K T xR M C K K T x M D 0; ausgeschrieben: m1 m2

0 m2

!KM

! xR 1 k C 1 xR 3 0

k2 k2

!KM

! x1 x3

D 0:

(9.16)

Diese Gleichung ist richtig, doch zeigt sie eine „gemischte Kopplung“, auch sind die Matrizen unsymmetrisch. Eine zweite Multiplikation, jetzt von (9.15) von links mit T T liefert T T M K T xR M C T T K K T x M D 0;

(9.17)

ausgeschrieben: m1 C m2 m2

m2 m2

!M

xR 1 xR 3

!M

k C 1 0

0 k2

!M

x1 x3

!M D 0:

(9.18)

Bezüglich des Koordinatenpaars x M D .x1 ; x3 /T ist der Feder-Masse-Schwinger nach Abb. 9.1a also Trägheitsgekoppelt, (Aufgabe 9.5). Hinweis Hinter der Multiplikation „von links“ mit T T steckt das Prinzip der virtuellen Verrückungen, vgl. zum Beispiel (C.29). Stellt man die Bewegungsgleichungen nach Lagrange auf, so kann man in einfach strukturierten Systemen wie hier Kopplung und Entkopplung in gewissem Rahmen gezielt ansteuern.

126

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

9.3

Lösen der Bewegungsgleichungen

Das Vorgehen ist so gefasst, dass man es leicht vom Freiheitsgrad n D 2 auf n > 2 übertragen kann. Wir arbeiten hier mit dem allgemeinen (komplexen) e t -Ansatz, weil er später auf gedämpfte Schwingungen unmittelbar übertragbar ist. Ohne Dämpfung kann man jedoch auch rein reell arbeiten; siehe Aufgabe 9.15.

9.3.1 Formelmäßiges Vorgehen Die Bewegungsgleichung (9.11), M xR C K x D 0;

(9.19)

ist ein lineares Differentialgleichungssystem 2n D 4-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, vgl. Abschn. 5.2 für n D 1. Dem e t -Ansatz (5.6) dort entspricht hier x D x.t/ D xe O t ;

(9.20)

wo  und xO D .xO 1 ; xO 2 /T freie, reelle oder komplexe Konstanten sind. (Komplexe Größen werden nur in Zweifelfällen unterstrichen.) Einsetzen von x nach (9.20) in (9.19) führt nach Division durch e t ¤ 0 auf .M 2 C K /xO D 0:

(9.21)

Zur besseren Übersicht kürzen wir ab: 2 D  :

(9.22)

Dann lautet das homogene Gleichungssystem (9.21) mit dem Parameter , das Eigenwertproblem: .M C K /xO D 0: (9.23) Für allgemeine Parameterwerte ist das Gleichungssystem (9.23) regulär, für seine Koeffizientendeterminante . / WD det.M C K /

(9.24)

gilt . / ¤ 0, es hat nur die triviale Lösung xO D 0, die der (statischen) Ruhe- oder Gleichgewichtslage des Systems entspricht. Damit (9.23) eine nicht-triviale Lösung xO ¤ 0 besitzt, muss seine Koeffizientendeterminante . / verschwinden. Diese Bedingung führt auf die charakteristische Gleichung . / D 0;

(9.25)

in der Schwingungslehre auch Frequenzgleichung (für  oder !, siehe unten) genannt.

9.3 Lösen der Bewegungsgleichungen

127

Die charakteristische Gleichung ist eine algebraische Gleichung n D 2-ten Grades in

. Ihre n D 2 Wurzeln D 1 und D 2 heißen Eigenwerte (ebenso  oder !). Für die Eigenwerte D k ; k D 1; 2, verschwindet die Determinante, . k / D 0, das Gleichungssystem (9.23) wird singulär, aus .M k C K /xO k D 0

(9.26)

berechnet man die Spaltenmatrizen xO k ¤ 0, die Eigenvektoren xO k ; k D 1; 2. Eigenwerte und Eigenvektoren sind dem System eigen! Rechengang zum Lösen des Eigenwertproblems: 1. Die n Eigenwerte k aus der charakteristischen Gleichung gewinnen; d-fach Wurzeln werden d-fach gezählt. 2. Bei k ist in (9.26) eine Gleichungszeile von den (n  1) übrigen linear abhängig, kann also gestrichen werden. – Bei n D 2 bleibt nur eine Gleichung übrig. – Vom gesuchten Eigenvektor xO k wird zuerst ein Element, nennen wir es xO i k , z. B. D 1 gesetzt, die übrigen xO lk folgen aus den „übrigen Gleichungen“ – bei n D 2 eine. (Im folgenden Beispiel liest man die Lösung von (9.26) unmittelbar ab.) 3. Ist – bei semidefinitem K – k eine d-fach-Wurzel der charakteristischen Gleichung, so sind d Zeilen von (9.26) Linearkombinationen der übrigen. Das Vorgehen nach Punkt 2, entsprechend abgewandelt, führt auf d linear unabhängige Eigenvektoren xO k ; xO kC1 ; : : : ; xO kCd 1 . 4. Des knappen Ausdrucks halber werden Eigenwert k und Eigenvektor xO k jeweils zur Eigenlösung . k ; xO k / zusammengefasst.

9.3.2 Freie Schwingungen: Zweimassenschwinger Vorgehen gemäß Abschn. 9.3.1: Aus der Bewegungsgleichung (9.4) folgen mit x D xe O t 2 und D  das homogene Gleichungssystem m1 C k1 C k2 k2

k2 m2 C k2

seine charakteristische Determinante: ˇ ˇ ˇ m1 C k1 C k2 . / D ˇ ˇ k2

!

xO 1 xO 2

! D 0;

ˇ ˇ k2 ˇ ˇ m2 C k2 ˇ

(9.27)

(9.28)

128

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

und die charakteristische Gleichung für , . / D m1 m2 2  .m1 k2 C m2 .k1 C k2 // C k1 k2 D 0   k1 C k2 k2 k1 k2 2 oder  C D 0;

C m1 m2 m1 m2

(9.29)

mit den Lösungen, den Eigenwerten 1 ; 2 ,

1;2

1 0 s   k1 C k2 1 @ k1 C k2 k2 k2 2 k1 k2 A : D C  C 4 2 m1 m2 m1 m2 m1 m2

(9.30)

Beide, 1 und 2 sind reell, positiv, es gilt 2 > 1 , (Aufgabe 9.6). Aus 2 D  , vgl. (9.22), erhält man die zwei zueinander konjugiert komplexen Paare 1 D j!1 ; 1 D j!1 ; 2 D j!2 ; 2 D j!2 ;

p

1 ; p mit !2 D 2 I mit !1 D

(9.31)

!1 und !2 sind die zwei Eigenfrequenzen. (Die Indizes ˙k vereinfachen die Zuordnung.) Zu den bekannten Eigenwerten D k berechnet man die Eigenvektoren xO k aus dem homogenen Gleichungssystem m1 k C k1 C k2 k2

k2 m2 k C k2

!

xO 1 xO 2

! D 0:

(9.32)

k

Beide Zeilen 1), 2) von (9.32) sind linear abhängig, also austauschbar. Man hat die Wahl, mit welcher man arbeiten will: Als Zeilenmatrix xO k geschrieben lauten die Alternativen 1) und 2) – entsprechend (9.29) umgestellt:  1/ W

k1 C k2  k m1

k2  m1

 xO k D 0;

2/ W

 k2  m2

 k2  k xO k D 0: (9.33) m2

Daraus liest man die Eigenvektoren (bis auf multiplikative Konstanten) ab,  1/ W

xO k D

k2 m1

 k1 C k2  k ; m1

 2/ W

xO k D

k2  k m2

k2 m2

 ;

(9.34)

wo die k ; k D 1; 2, aus (9.30) einzusetzen sind. Die Vorzeichen der Elemente xO lk aus xO k D .xO 1k ; xO 2k /T sind zu k = 1 gleich, xO 11  xO 21 > 0, zu k = 2 verschieden, xO 12  xO 22 < 0, (Aufgabe 9.7). Damit sind die Eigenlösungen in den Formen . k ; xO k / und .!k ; xO k / bekannt.

9.3 Lösen der Bewegungsgleichungen

129

Einsetzen der Eigenlösung .!k ; xO k / in den e t -Ansatz (9.20) liefert mit Rücksicht auf (9.31) die Eigenschwingung x k .t/. Je nach Fragestellung ist eine der folgenden vier Formen günstig: komplex: x k D x k .t/ D ck xO k e k t C ck xO k e k t ; oder x k D x k .t/ D ck xO k e j!k t C ck xO k e j!k t ; reell:

x k D x k .t/ D .ack cos.!k t/ C ask sin.!k t//xO k ;

(9.35)

oder x k D x k .t/ D ak xO k cos.!k t C '0k /: Stets enthält die Eigenlösung zwei freie Konstanten: .ck ; ck /; .ack ; ask / bzw. .ak ; '0k /, (Aufgabe 9.8). In der Eigenschwingung x k D x k .t/ schwingt das mechanische System – seine Elemente – (synchron) sinusförmig mit der Frequenz !k in der Schwingungsform xO k . Die Elemente xO lk messen die relativen Amplituden in Richtung der Koordinaten x l , die Vorzeichen der xO lk erfassen den Richtungssinn, zeigen, wie die Systemelemente (momentan) gegensinnig, gleich- oder gegenläufig, im Gleich- oder Gegentakt, in Gleich- oder Gegenphase schwingen. In der Form (9.35)4 erfasst die Konstante ak die (gemeinsame) Stärke (Höhe, „Amplitude“) der Eigenschwingung x k ; '0k ist ihr (Null-)Phasenwinkel. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (9.19) setzt sich aus den n D 2 Eigenschwingungen zusammen, mit (9.35)4 erhält man: (Aufgabe 9.9) x D x.t/ D

nD2 X

ak xO k cos.!k t C '0k /:

(9.36)

kD1

Die allgemeine Lösung wird an gegebene Anfangsbedingungen angepasst: Seien für den Anfangszeitpunkt t0 D 0 gegeben: die Anfangsauslenkung

x.t0 / D x 0 ;

die Anfangsgeschwindigkeit x.t P 0 / D v0 :

(9.37)

Einsetzen dieser Bedingungen in die allgemeine Lösung der Form (9.35)3 liefert x0 D

nD2 X

ack xO k

D ac1 xO 1 C ac2 xO 2 ;

kD1

v0 D

nD2 X

(9.38) ask !k xO k

D as1 !1 xO 1 C as2 !2 xO 2 :

kD1

Dies sind n n D 2 2 D 4 Gleichungen für die vier Unbekannten ack und ask ; k D 1; 2.

130

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

9.3.3 Zahlenbeispiel Wir arbeiten dimensionslos mit den Bezugsgrößen Masse m1 und Steifigkeit k1 : mR D m1 ;

kR D k1 ;

p kR =mR ; kl D kQl  kR :

!R D

Q l  mR ; ml D m

tQ D !R t;

(9.39)

Gewählte Zahlenwerte: m Q 1 D 1; m Q 2 D 0:8I kQ1 D 1; kQ2 D 0:8. Damit folgen für den Zweimassenschwinger die Eigenlösungen (gemäß (10.16) normiert, gerundet): !Q 1 D 0:648; xO 1 D .0:544I 0:938/T und (9.40) !Q 2 D 1:543; xO 2 D .0:839I 0:603/T: Abb. 9.2a, b zeigt die Eigenschwingungsformen xO 1 bzw. xO 2 , in die Systemskizze nach Abb. 9.1a geklappt eingetragen, Massen durch Punkte ersetzt; die Verbindungsgeraden interpolieren Federauslenkungen. Entspräche die gezeigte Form, z. B. xO 1 , dem positiven Maximalausschlag der Schwingung, würden – bei Animation des Bildes – die Auslenkungen x1 .t/; x2 .t/ zu xO 1 über das schraffierte Feld mit der Eigenfrequenz !1 zwischen positivem und negativem Maximalausschlag hin und her schwingen. In der ersten Eigenform schwingen die beiden Massen im Gleichtakt, in der zweiten im Gegentakt. Beim Gegentakt gibt es in der Feder 2 einen Schwingungsknoten K, an dem der Federpunkt K ruht. Hält man den Knotenpunkt der Feder fest, ändert sich an der zugehörigen Eigenschwingung nichts, (Aufgabe 9.12).

a

b

c

l1

x2 +

x1

+

l2

x11

+

+

x2

x21

x1

x12

K x21 x..

x12 x22

x..

0

x1

x11 x2

x22 Abb. 9.2 Zweimassenschwinger. a, b Auslenkungen zu xO 1 bzw. xO 2 geklappt in Systemschema eingetragen; K-Knoten, c Eigenvektoren xO 1 ; xO 2 in x1 ; x2 -Bewegungs-Ebene

9.3 Lösen der Bewegungsgleichungen

131

Abb. 9.2c zeigt die Eigenvektoren xO 1 und xO 2 als Pfeile in der (kartesischen) x1 ; x2 Bewegungsebene (man denke z. B. an ein Oszillografenbild). In der Eigenschwingung, z. B. x 1 .t/, schwingt der zugehörige Bildpunkt auf der durch den Pfeil xO 1 festgelegten strichpunktierten Geraden symmetrisch zum Nullpunkt hin und her. – Nur die Richtung der Pfeile ist hier wesentlich, denn sie gibt die Schwingungsform wieder, (Aufgabe 9.13).

9.3.4 Freie Schwingungen: Torsionsschwinger Der Torsionsschwinger, wie seine Bewegungsgleichung (9.10), ist sehr einfach aufgebaut. Seine Besonderheit liegt in der singulären Steifigkeitsmatrix K, denn det.K / D 0. Gemäß Abschn. 9.3.1, parallel zum Zweimassenschwinger, Abschn. 9.3.2, folgen für die Bewegungsgleichung (9.10) mit der Umbenennung .'1 ; '2 / ! .x1 ; x2 / das Eigenwertproblem ! ! ! x1 0  J1 C kT kT ; (9.41) D 0 kT  J2 C kT x2 die charakteristische Gleichung . / D J1 J2 2 C .J1 C J2 /kT D 0; deren zwei Wurzeln

1 D 0;

2 D

(9.42)

J1 C J2 kT ; J1  J2

(9.43)

und vier Eigenwerten ˙k ; k D 1; 2, ˙1 D ˙j!1 D 0- Doppelwurzel!;

2 D j!2 ;

2 D j!2 ;

mit !2 D

p

2 ; (9.44)

sowie den beiden Eigenvektoren xO 1 D .1; 1/;

xO 2 D .J2 ; J1 /:

(9.45)

Die Doppelwurzel ˙1 D 0 hat zwei Folgen: Erste Folge: Aus der allgemeinen Form (9.35)1 der Eigenschwingung xO 1 liest man ab: Der Lösungsanteil zur zweiten Konstanten stimmt mit dem erstem überein, entfällt also. Ausweg über Umweg (vgl. Aufgabe 9.5): Seien die Eigenwerte k ¤ k zunächst verschieden. Man formt (9.35)1 um: x k D x k .t/ D ck xO k e k t C ck xO k

e k t  e k t : k  k

(9.46)

Für k ¤ k sind dies – nach wie vor – zwei linear unabhängige Lösungen mit je einer freien Konstanten. Grenzübergang k ! k am Bruch nach l’Hospital – d. h.

132

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

Zählerableitung nach k dividiert durch Nennerableitung nach k – liefert (mit Konstanten ck ; ck ! ak ; bk /: (9.47) x k D x k .t/ D .ak C bk  t/e k t xO k : Lösungsglieder mit vorgestellter Zeit t (bei Vielfachwurzeln auch t-Potenzen) nennt man säkulare Glieder. Zweite Folge: Mit 1 D j!1 D 0 verliert x 1 .t/ den Charakter einer Schwingung, vgl. (9.47): (9.48) x 1 D x 1 .t/ D .a C b  t/xO 1 : Die Lösung x 1 .t/ beschreibt eine Starrkörperbewegung, nämlich die gleichförmige Drehung der Welle mit der Winkelgeschwindigkeit b D ˝ aus der Ausgangslage '1 .0/ D '2 .0/ D a. Die allgemeine Lösung in der Form (9.36) enthält hier also zuerst x 1 .t/ gemäß (9.48); die Eigenschwingung x 2 .t/ ist der gleichförmigen Drehung überlagert. (Aufgabe 9.14)

9.4 Erzwungene Schwingungen 9.4.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen Auf den Zweimassenschwinger und den Torsionsschwinger nach Abb. 9.1a bzw. b wirken nun die Erregerkräfte F1 .t/; F2 .t/ bzw. Erregermomente M1 .t/; M2 .t/, vgl. Abb. 9.3a, b. Das Ersatzsystem nach Abb. 9.3b ist gegenüber Abb. 9.1b symbolisch vereinfacht, die Orientierungen (die Vorzeichen) der Winkel '1 ; '2 sind umgekehrt. Beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen für die erzwungenen Schwingungen muss man in den Gleichgewichtsbedingungen, die zu (9.4) und (9.6) führten, nun die Erregerkräfte F1 .t/; F2 .t/ bzw. Momente M1 .t/; M2 .t/ berücksichtigen. Hier führt das gegen-

b

a

l1

k1 m1 F1

l2

Abb. 9.3 Erzwungene Schwingungen. a Dehnschwinger mit Erregerkräften F1 .t /; F2 .t /,b Drehschwinger mit Erregermomenten M1 .t /; M2 .t /

k2

m2 F2

J1 M1

φ1

J2 kT

φ2

M2

9.4 Erzwungene Schwingungen

133

über (9.4) und (9.6) zu den rechten Seiten: m1 xR 1 C .k1 C k2 /x1  k2 x2 D F1 ; m2 xR 2  k2 x1 C k2 x2 D F2 ; bzw.

cJ1 'R1 C kT '1  kT '2 D M1 ; J2 'R2  kT '1 C kT '2 D M2 :

(9.49)

(9.50)

In Matrix-Schreibweise abgekürzt, vgl. (9.11), (9.12), M xR C K x D F e .t/; mit F e D .F1 ; F2 /T ;

auch M e D .M1 ; M2 /T ;

(9.51) (9.52)

als Spaltenmatrix der Erregungen.

9.4.2

Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Erregung

Die Aussagen zur Überlagerung von Lösungen in Abschn. 4.6.2 und zum Zusammensetzen von erzwungenen Schwingungen aus harmonischen Teilen in Abschn. 6.1 gelten auch hier. Demnach genügt es, die Erregung in der Form F e D FO cos ˝t anzusetzen, mit

FO e D .FO1 ; FO2 /T

oder F e D Fe fO cos ˝t

(9.53)

oder fO D .fO1 ; fO2 /T ;

(9.54)

wo die fOi reine Zahlenwerte sind und Fe eine zweckmäßig herausgezogene Kraft ist. Mit dem Gleichtakt-Ansatz x D x.t/ D xO c cos ˝t; erhält man aus (9.51) formal gelöst:

kurz: x D xO cos ˝t

(9.55)

.M ˝ 2 C K /xO D Fe fO ;

(9.56)

xO D Fe .M ˝ 2 C K /1 fO ;

(9.57)

Für n = 2 lässt sich die Matrix formelmäßig invertieren: Bei „vollen“ Matrizen M und K , vgl. (9.12), gilt für die Spaltenmatrix xO der erzwungenen Schwingungen ! ! Fe fO1 .k22  m22 ˝ 2 / .k12  m12 ˝ 2 / xO D ; .˝/ .k21  m21 ˝ 2 / .k11  m11 ˝ 2 / fO2

(9.58)

134

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

wo für die Gleichungsdeterminante (9.24) mit  ! j˝ steht:







D k11  m11 ˝ 2 k22  m22 ˝ 2  k12  m12 ˝ 2 k21  m21 ˝ 2

(9.59)

(Aufgaben 9.16, 9.17). Im Unterschied zu den Eigenschwingungsformen xO k der freien (Eigen-)Schwingungen erfassen die Elemente der Spaltenmatrix xO der erzwungenen Schwingungen nicht nur die Schwingungsform – die Auslenkungsverhältnisse –, sondern auch die Größe der Auslenkungen, deren Amplituden, beide hängen von der Erregerfrequenz ˝ ab. Resonanznenner Ohne weiter Rechnung zeigt der Vergleich von  D j˝ mit k D j!k , zum Beispiel in Abschn. 9.3.2: Für ˝ ! !k gilt .˝/ ! .!k / D 0, der Nenner von (9.58) strebt gegen null, die Elemente xO l von xO wachsen dem Betrage nach über alle Grenzen, es herrscht Resonanz. (Vgl. die Erklärungen in Abschn. 6.2.3 und Aufgabe 9.15). Für j1  ˝=!k j  1 ist man in der Resonanzumgebung oder im Resonanzbereich; vgl. Frequenzgänge in Abb. 9.4.

a

b

6

6

~ xl

~ xl

4

4

2

2

2

2

1 1

0 T

0

~ ω 1

0

0.5 ~ ω

1

0

0.5

1

0

0.5

1

c

~ ω 2

1

α1 1 π 0.5

-2

0

~ Ω

2.5

1.5

~ Ω

2.5

1.5

~ Ω

2.5

1.5 ~ ω

2

α2 1 π 0.5

-4

-6 0

0.5

1

1.5

~ Ω

2.5

0

Abb. 9.4 Zweimassenschwinger Amplituden- und Phasenfrequenzgänge (Resonanzkurven). Q l D 1; 2, b Amplitudenbeträge jxOQ l .˝/j, Q c Phasenwinkel ˛l .˝/ Q a Amplituden xOQ l .˝/;

9.4 Erzwungene Schwingungen

135

9.4.3 Erzwungene Schwingungen: Zweimassenschwinger Zahlenbeispiel Wir übernehmen aus Abschn. 9.2.2 die Matrizen M ; K , (9.9), aus Abschn. 9.3.3 die Bezugsgrößen mR ; kR ; !R und die Zahlenwerte der Parameter, (9.39) usw. Sei ˝Q D ˝=!R (9.60) die bezogene Erregerfrequenz. Dann lautet (9.56) für den Zweimassenschwinger

Q xO D Fe fO Q ˝Q 2 C K kR M wo

xQ D x=xR

und



Q ˝Q 2 C K Q xOQ D fO ; M

auf xR D Fe =kR ;

(9.61)

die Verlängerung der Feder kR durch die Kraft Fe ist, d. h. Fe D kR xR , (Aufgabe 9.18). Abb. 9.4 zeigt für den Zweimassenschwinger zu den oben angegebenen Parametern nach (9.57) numerisch berechnete Frequenzgänge zur Erregung T fO D .f1 ; f2 / D .0; 1/ für den Frequenzbereich 0  ˝Q  2:5:

(9.62)

Dargestellt sind Amplituden-Frequenzgänge und Phasen-Frequenzgänge für die erzwungenen Schwingungen x.t/, auf xR und tR bezogen, in den beiden Formen, vgl. (9.55), xQ l .tQ/ D xOQ l cos ˝Q tQ und xQ l .tQ/ D jxOQ l j cos.˝Q tQ  ˛l /;

l D 1; 2:

(9.63)

Q mit Vorzeichen, Abb. 9.4b, c die Abb. 9.4a zeigt die Amplitudenfrequenzgänge xOQ l .˝/ O Q Q EingetraFrequenzgänge der Amplitudenbeträge, jxQ l .˝/j, bzw. der Phasenwinkel ˛l .˝/. gen sind auch die Eigenfrequenzen !Q 1 D 0:648; !Q 2 D 1:543 aus (9.40); vergleiche auch Abb. 9.1a und 9.3a, b. Aus den Diagrammen liest man ab: Für 0  ˝Q  1 hat man eine quasistatische Auslenkung, die an der Masse m2 angreifende Kraft F2 .t/ D Fe fO2 cos ˝t dehnt die beiden Federn umgekehrt proportional zu ihren Steifigkeiten k1 ; k2 I k1 =k2 D 5=4. Bei steigender Frequenz ˝Q wirken sich zunehmend die Trägheitskräfte der Massen m1 ; m2 aus, – gegen die Federkräfte gerichtet –, die Amplituden wachsen und streben für ˝Q " !Q 1 (von unten), beim „Fahren in die Resonanz“, gegen C1 („werden sehr groß“). An der Resonanzstelle, bei ˝Q D !Q 1 springen die Kurven (nicht der Schwinger!). In Abb. 9.4a wechseln beide Amplituden die Vorzeichen, dem entsprechen die Phasensprünge von ˛l D 0 nach ˛l D ; l D 1; 2, in Abb. 9.4c. Das Verhältnis xOQ 1 W xOQ 2 der Amplituden ist in der Resonanzumgebung von !Q 1 etwa das der zugehörigen Eigenschwingung in Abb. 9.2a, auch (9.40)2 . Q beim Entfernen von der Resonanzstelle fallen die Bei weiter steigender Frequenz ˝, Beträge der Amplituden, jxOQ 2 j fällt rascher als jxOQ 1 j. Am Punkt ˝Q T D

q .kQ1 C kQ2 /=m Q 1 D 1:341

wechselt xOQ 2 das Vorzeichen, der Phasenwinkel ˛2 springt auf ˛2 D 0.

(9.64)

136

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

An der Stelle ˝Q D ˝Q T steht die Masse m2 still, xQO 2 .˝Q T / D 0, obwohl die Kraft F2 .t/ dort angreift. Nur die Masse m1 schwingt und bewirkt als Einmassenschwinger, der am Aufhängepunkt A und an der stillstehenden Masse m2 gefesselt ist, siehe Abb. 9.3a, ein dynamisches Gleichgewicht. Seine Eigenfrequenz ist gerade durch (9.64) gegeben. Aus solcher Sicht nennt man den Punkt ˝Q D ˝Q T Tilgungspunkt und nennt den – evtl. erst durch nachträgliches Hinzufügen der Masse m1 zum System aus m2 ; k1 ; k2 entstandenen – „Einmassenschwinger“ Tilger. Man kann ˝Q T jedoch auch als die Stelle auf der Frequenzachse ansehen, ab der ein Knotenpunkt von unten auf die Feder k2 wandert, vgl. Abb. 9.2b. Bei der weiteren Annäherung von ˝Q an !Q 2 , die zweite Eigenfrequenz, nähert man sich der zweiten Resonanzspitze, wo die zweite Eigenform nach Abb. 9.2b bestimmend wird; Interpretation ähnlich wie bei ˝Q  !Q 1 .

9.4.4 Erzwungene Schwingungen: Torsionsschwinger Wie wirkt sich die doppelte Nullstelle bei den Eigenwerten des Torsionsschwingers nach Abb. 9.1b bei den erzwungenen Schwingungen aus? Zahlenbeispiel Wir gehen analog zum Zweimassenschwinger vor. Gewählt werden die Referenzwerte JR D J1 ;

kTR D kT 1 ;

!R D

p kTR =JR ;

'R D Me =kTR ;

(9.65)

und die numerischen Werte JQ1 D 1; JQ2 D 0:5; kQT D 1. Das Erregermoment M1 .t/ D Me fO2 cos ˝t wirkt mit .fO1 ; fO2 / D .1; 0/ auf die Drehmasse J1 . Abb. 9.5 zeigt, parallel zu Abb. 9.4, die nach (9.57) numerisch berechneten FrequenzQ für die Drehwinkel '1 und '2 . gänge 'OQl .˝/ Gegenüber Abb. 9.4 überrascht zuerst der Start der Frequenzgänge mit negativen Amplituden 'OQl < 0 bzw. Phasenwinkeln ˛l D . Außerdem ist die „Resonanzstelle“ bei !1 D 0 sehr breit. Beides rührt von der möglichen freien Drehbewegung her. Bei kleinen Erregerfrequenzen ˝Q verhält der Drehschwinger sich wie starr. Setzt man dafür .J1 C J2 /'R D MO cos ˝t und ' D 'O cos ˝t an, so folgt 'O < 0. Die Breite lesen wir aus (9.58) ab. Zu fO D .fO1 ; fO2 / folgt nach Umformung OQ ˝/ Q D '.

kT  J2 ˝Q 2 Q kT .˝/ 1

! kT kT  J2 ˝Q 2

! fO1 : fO2

(9.66)

9.4 Erzwungene Schwingungen

137

a

b

4

4

~

~

l

l

2

2

2 1 0 0

T

~ ω 1

1

0

1

~ Ω

3

0

1

~ Ω

3

0

1

~ Ω

3

c

~ ω 2

α1 1 0.5

2

0

-2

α2 1 0.5 -4

0

1

~ Ω

3

0

Q l D Abb. 9.5 Torsionsschwinger Amplituden- und Phasenfrequenzgänge. a Amplituden 'OQl .˝/; Q c Phasenwinkel ˛l .˝/ Q 1; 2, b Amplitudenbeträge j'OQl .˝/j,

Q D ˝Q 2 .JQ1 JQ2 ˝Q 2  kQT .JQ1 C JQ2 // D JQ1 JQ2 ˝Q 2 .˝Q  !Q 2 /.˝Q C !Q 2 / bringt Der Nenner .˝/ Q in diese Frequenzgänge als Faktor 1= .˝/ bei ˝Q  !2 W bei ˝Q  0 W

1 0:5 D 3 Q 1 J1 J2 !2 .!2  ˝/ 1 1 D J1 J2 !22 ˝Q 2

einen Pol erster Ordnung; (9.67) einen Pol zweiter Ordnung.

Diese asymptotischen Ausdrücke erklären nicht nur die Breite, sondern zeigen auch das Kurvenverhalten in der unmittelbaren Umgebung der Resonanzstellen.

138

9.5

9 Schwinger mit zwei Freiheitsgraden

Aufgaben

Aufgabe 9.1 Leiten Sie für den Zweimassenschwinger nach Abb. 9.1a die Bewegungsgleichungen (9.3) her. Zeigen Sie den Weg zu (9.4). Eliminieren Sie alternativ aus (9.3) mit Hilfe von (9.1) die Koordinate x1 oder x2 und gewinnen so statt (9.3) Bewegungsgleichungen mit .x2 .t/; x3 .t// bzw. .x1 .t/; x3 .t// als Koordinaten. Aufgabe 9.2 Arbeiten Sie die Punkte aus Aufgabe 9.1 für den Torsionsschwinger nach Abb. 9.1b ab. Aufgabe 9.3 Kontrollieren Sie für den Biegeschwinger nach Abb. 9.1c die in (9.7) angegeben Auslenkungen, a) mit Hilfe von Balkenbiegeformeln, b) nach (dem ersten Satz von) Castigliano (vgl. Abschn. B.4). Aufgabe 9.4 Lösen Sie für den Biegeschwinger nach Abb. 9.1c die (9.7) nach den Kräften auf und schreiben Sie seine Bewegungsgleichungen in der „üblichen“ Form von (9.4), (9.6) an. Aufgabe 9.5 Wenden Sie die Vorgehensweise aus Abschn. 9.2.3 auf die Transformationen in Aufgaben 9.1 und 9.2 an. Aufgabe 9.6 (eher mathematisch): Zeigen Sie an Hand von (9.29) und (9.30), dass 1;2 reell und positiv sind. Aufgabe 9.7 (eher mathematisch): Zeigen Sie an Hand einer der beiden Formen (9.34) und von (9.29), (9.30) die Vorzeichengleichheit von bzw. den Vorzeichenwechsel bei xO 1k  xO 2k . Aufgabe 9.8 Schreiben Sie für sich eine Formelsammlung zum Umrechnen der Konstanten der vier Lösungsformen (9.35). Aufgabe 9.9 Wenn Sie die vier Lösungsformen (9.35) vergleichen: Welche ist am Anschaulichsten, mit welcher kann man gut rechnen? Aufgabe 9.10 Geben Sie zum Zahlenbeispiel 9.3.3 die vier Anfangsbedingungen x T0 D .1; 0/; x T0 D .0; 1/; vT0 D .1; 0/; vT0 D .0; 1/ zum Zeitanfang t0 D 0 vor und berechnen Sie dazu numerisch mit den Zahlenwerten der Eigenlösungen .!1 ; xO 1 /; .!2 ; xO 2 / nach (9.40) die vier Konstanten ack ; ask ; k D 1; 2. Aufgabe 9.11 Lösen Sie die Anfangswert-Aufgabe 9.10 mit den dort angegebenen Daten für den Zeitanfang t0 D 0:5.

9.5 Aufgaben

139

Aufgabe 9.12 Skizzieren Sie ein Bild entsprechend Abb. 9.2a, b mit den Koordinaten x1 ; x3 , (vgl. Aufgabe 9.1); tragen Sie x3 anstelle x2 über m2 auf. Aufgabe 9.13 Skizzieren Sie ein Bild entsprechend Abb. 9.2c mit den Koordinaten x2 ; x3 bzw. x1 ; x3 , vgl. Aufgabe 9.1. Aufgabe 9.14 Skizzieren Sie für die am Ende von Abschn. 9.3.3 und 9.3.4 genannten Überlagerungen qualitativ, doch unter Beachtung der Eigenformen nach (9.40) und (9.45), ein Anfangsstück der Zeitverläufe x1;2 .t/ und '1;2 .t/ über einer gemeinsamen Zeitachse. Wählen Sie unterschiedliche Anfangsbedingungen. Aufgabe 9.15 Ungedämpfte freie Schwingungen kann man (rein reell) mit dem Ansatz x.t/ D xO cos.!t C '0 / untersuchen. Dann tritt ! als freie Konstante an die Stelle von  vgl. (9.20). Machen Sie diesen Ansatz zur Lösung von (9.19), kürzen ! 2 D statt (9.22) ab und führen die im Text folgenden Überlegungen – mutatis mutandis – bis zum Ende des Abschn. 9.3.3 durch. Aufgabe 9.16 Passen Sie (9.58), (9.59) an die Bewegungsgleichungen für den Zweimassen- und den Torsionsschwinger an. Aufgabe 9.17 Passen Sie (9.58), (9.59) an die Bewegungsgleichungen für den Zweimassen- und den Torsionsschwinger mit den Koordinaten nach Aufgabe 9.1, Aufgabe 9.2 an. Aufgabe 9.18 Überprüfen Sie die Dimensionen in (9.61). Aufgabe 9.19 Entwickeln Sie aus den Resonanzkurven nach Abb. 9.4a, b, für die Auslenkungen x1 ; x2 solche für die Auslenkungen x1 ; x3 von Aufgabe 9.1.

Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse

10

Ausgangspunkt ist die Bewegungsgleichung (9.51) einschließlich viskoser Dämpfung B x: P (10.1) M xR C B xP C K x D F e .t/: Die Koeffizientenmatrizen M ; B; K sind symmetrisch, vgl. (9.13), M D M T;

B D B T;

K D K T;

(10.2)

und positiv definit bzw. positiv semidefinit, das heißt zu allen xP ¤ 0; x ¤ 0 gilt xP T M xP > 0 bzw. xP T B xP 0;

x T K x 0I

(10.3)

(Aufgaben 10.1 und 10.2).

10.1 Orthogonalität der Eigenschwingungsformen Für ungedämpfte freie Schwingungen, B D 0; F e D 0, wurde in Abschn. 9.3.1 das Eigenwertproblem .M C K /xO D 0, (9.23), formuliert und gelöst. Ergebnis sind die Eigenlösungen . k ; xO k /; k D 1; : : : ; n, vergl. Abschn. 9.3.2 und 9.3.3 als Beispiele. Ziel: Auf der Grundlage der Eigenlösungen . k ; xO k / will man das Schwingungssystem p (10.1) durchschauen. Dabei sollen die Eigenfrequenzen !k D k als Kennfrequenzen und die Eigenvektoren xO k als n-dimensionale, orthogonale Basis dienen.

10.1.1 Orthogonalitätsnachweis Wir zeigen: Sind im Eigenwertproblem (9.23) die Matrizen M ; K symmetrisch und definit gemäß (10.2), (10.3), so sind die Eigenlösungen . k ; xO k / reell. Zu zwei verschiedenen © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_10

141

142

10

Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse

k D !k2 und l D !l2 gehörende Eigenvektoren xO k bzw. xO l sind im verallgemeinerten Sinne orthogonal. Man definiert mit den Matrizen M ; I-Einsmatrix; K (als Gewichtsfunktionen) für zwei nicht notwendig verschiedene Eigenvektoren xO k ; xO l die Skalarprodukte .xO k ; xO l /M WD xO k M xO l ;

.xO k ; xO l /I WD xO k I xO l D xO k xO l ;

.xO k ; xO l /K WD xO k K xO l : (10.4) Darin sind (vorübergehend) komplexwertige Eigenvektoren zugelassen und xO k bedeutet xON Tk , das heißt komplex konjugierte Transposition; vor allem .xO k ; xO l /M ist wichtig, (Aufgabe 10.3). Gl. 9.23 ist für . k ; xO k /; . l ; xO l / erfüllt: M xO k k D K xO k ;

M xO l l D K xO l :

(10.5)

Um das Reell-Sein der Eigenlösungen . k ; xO k /; . l ; xO l / unter den Bedingungen (10.2), (10.3) zu beweisen, lassen wir sie zunächst komplex zu, multiplizieren (10.5)1 von links mit xO l und (10.5)2 mit xO k und erhalten xO l M xO k k D xO l K xO k ;

xO k M xO l l D xO k K xO l :

(10.6)

Mit . k ; xO k / D . l ; xO l / folgt aus (10.6)1

k D

xO k K xO k ; xO k M xO k

auch RA D

xO  K xO I xO  M xO

(10.7)

rechts steht der Rayleighsche Quotient, der häufig zu Abschätzungen genutzt wird. Aus (10.7)1 folgt mit (10.3)1,3 , auch Aufgabe 10.3: Alle Eigenlösungen sind reell (xO k D xO Tk ist wieder erlaubt), es gilt überdies k 0; einzelne Eigenwerte k D 0 nur bei det K D 0; die Eigenwerte k sind rein imaginär, vgl. (9.22). Zurück zum Gleichungspaar (10.6): Transponiert man (10.6)2, berücksichtigt M D M T , K D K T , und subtrahiert die so entstandene Gleichung von (10.6)1, so heben sich die rechten Seiten weg, es verbleibt (Aufgabe 10.4) . k  l /xO Tl M xO k D 0:

(10.8)

.xO k ; xO l /M D xO Tk M xO l D 0:

(10.9)

Falls k ¤ l , folgt daraus

Wegen (10.6) gilt dann auch .xO k ; xO l /K D xO Tk K xO l D 0:

(10.10)

Eigenvektoren xO k ; xO l zu verschiedenen Eigenwerten, also k ¤ l , sind im Sinne des Skalarprodukts .xO k ; xO l /M orthogonal.

10.1 Orthogonalität der Eigenschwingungsformen

143

Hinweis 1 Nur wenn M proportional zu I ist, stimmt diese Orthogonalität mit jener der Vektorrechnung – das ist die .xO k ; xO l /I -Orthogonalität – überein. Im Fall k D l macht (10.8) über .xO k ; xO l /M keine Aussage. Bei k D l geht es um dieselbe (Einfach-)Wurzel, aus (10.6)1 folgt xO Tk M xO k k D xO Tk K xO k ;

gleichwertig

.xO k ; xO k /M k D .xO k ; xO k /K :

(10.11)

Zu einer d-Fachwurzel k der charakteristischen Gleichung (9.25), zum Rangabfall, zum Defekt d > 1 hat das homogene Gleichungssystem (9.26) d > 1 linear unabhängige Eigenvektoren, sagen wir xO k ; xO kC1 ; : : : ; xO kCd 1 , die zwar orthogonal zu den xO i für i ¤

k sind, doch oft untereinander (nachträglich) orthogonalisiert werden müssen; siehe Abschn. 9.3.1 und Aufgabe 10.6.

10.1.2 Die Modalmatrix Man fasst die k D 1; : : : ; n Spaltenmatrizen xO k der orthogonalen Eigenvektoren zur MoO und die Eigenwerte k in der Diagonalmatrix  zusammen: dalmatrix X 0 1 xO 11 : : : xO 1n B :: C :: C O D .xO 1 ; xO 2 ; : : : ; xO n / D B :: X : : A bzw. @ : xO n1    xO nn 0 1 (10.12) 0

1 B C :: C:  D diag. k / D B : @ A 0

n Dann kann man (10.11) für die n Eigenlösungen wie folgt zusammenfassen: ODX O TK X O: O TM X X

(10.13)

O und X O TK X O Diagonalmatrizen O TM X Wegen der Orthogonalität (10.9), (10.10) sind X 0 0 1 1 0 0 m1 k1 B B C C B B C C :: :: M D diag.mk / D B D diag.k / D ; K B C C : (10.14) k : :



@ @ A A 0 mn 0 kn



Die mk D xO Tk M xO k > 0 nennt man modale Massen, die kO k D xO kT K xO k 0 modale

Steifigkeiten. Da man jeden einzelnen Eigenvektor xO k (individuell) mit einer Konstanten multiplizieren darf, sind modale Massen und Steifigkeiten nicht dem System eigentümlich, können

144

10

Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse

(ohne weitere Annahmen) nicht einmal untereinander verglichen werden. Aus (10.13) folgt lediglich (10.15) mk k D k k :



Hinweis 2 Soweit man nicht mit dimensionslosen Größen arbeitet, haben die modalen Massen die Dimension von (Massen-)Trägheitsmomenten, die modalen Steifigkeiten die Dimension von Dreh-Steifigkeiten; vorausgesetzt die xO l sind Längen oder Winkel.

10.1.3 Normieren In Lehrbüchern werden die Eigenvektoren xO k gemäß dem Skalarprodukt .xO k ; xO l /M häufig auf (10.16) .xO k ; xO k /M D xO Tk M xO k D 1 normiert. Erfüllt xO k , d. h. seine Vorstufe xO vk , mit der wir die modale Masse berechnet haben, die Norm noch nicht, folgen mit dem Ansatz xO k D c  xO vk aus (10.16): .xO k ; xO k /M D q .c xO vk ; c xO vk /M D c 2 mk D 1 und c D ˙1= mk



q xO k D ˙xO vk = mk :

(10.17)

Das Vorzeichen von xO k wählt man zum Beispiel so, dass sein erstes Element oder das dem Betrage nach größte positiv ist. Hinweis 3 In (10.17) muss man die Wurzel aus einer Masse ziehen. Wenn man alle darauf folgenden Rechnungen konsequent durchführt, hebt sich diese Wurzel am Ende auf. Man kann die (Vorstellungs-)Schwierigkeiten vermeiden, indem man bezogene (dimensionslose) Größen einführt oder nicht normiert und mit modalen Massen und Steifigkeiten rechnet.

10.1.4 Orthogonalisieren Ist ein Eigenvektor xO k gemäß (10.16) genormt, kann man jeden anderen (n-dimensionalen) Vektor xO bezüglich xO k im Sinne des Skalarprodukts .xO k ; xO l /M orthogonalisieren, indem man seine Projektion auf xO k von ihm subtrahiert (Aufgabe 10.5): x ?xO k D x  .x; xO k /M xO k :

(10.18)

10.3 Anwendungsbeispiel: Dämpfungsfreie erzwungene harmonische Schwingung

145

10.2 Transformation der Schwingungsgleichung auf Modalkoordinaten Mit den n linear unabhängigen Modalvektoren xO k (Eigenvektoren) und den Modalkoordinaten qk D qk .t/ – auch Hauptkoordinaten genannt – setzt man für die Spaltenmatrix x D x.t/ der Auslenkungen die Koordinatentransformation x D x.t/ D

n X

O qI xO k qk .t/ D X

q D .q1 ; : : : ; qn /T

(10.19)

kD1

an. Einsetzen von (10.19) in die Schwingungsgleichung (10.1) liefert (Aufgabe 10.7) O qR C B X O qP C K X O q D F e: MX

(10.20)

O T , vgl. (10.17), und anschließendes Multiplikation dieser Gleichung von links mit X T T T O MX O qR C X O BX O qP C X O KX OqDX O T F e und Umstellen liefert: X O TBX O; mit D WD X

M qR C D qP C M q D Qe ;



O TF e : Qe WD X

(10.21)

O von B auf D transformierte Dämpfungsmatrix ist im AllgeO TBX Die gemäß D D X meinen keine Diagonalmatrix (s. unten). Ohne Dämpfung, bei verschwindendem D, zerfällt (10.21) in n entkoppelte Einmassenschwinger (Aufgabe 10.7): qRk C !k2 qk D Qek =mk ; mit Qek WD xO Tk F e ; k D 1; : : : ; n:

(10.22)

Das bedeutet: Je nach Aufbau der Dämpfungsmatrix D enthält also (10.21) zusätzlich zum Dämpfungseffekt eine Kopplung. Hinweis 4 Bei Normierung gemäß (10.17) gilt mk D 1.

10.3 Anwendungsbeispiel: Dämpfungsfreie erzwungene harmonische Schwingung Für Qek D QO ek cos ˝t folgt zum Lösungsansatz qk D qOk cos ˝t die Amplitude qOk D QO ek =mk

QO ek 1 D : .!k  ˝/  .!k C ˝/  mk !k2  ˝ 2

(10.23)

146

10

Modaltransformation als Hilfsmittel zur Schwingungsanalyse

Dabei ist die Erregeramplitude QO ek D xO Tk FO e D .xO k ; FO e /I

(10.24)

die Projektion der Spaltenmatrix FO e auf den Eigenvektor xO k im Sinne des .xO k ; xO l /I – Skalarprodukts. Man spricht von Scheinresonanz, wenn die Erregerfrequenz ˝ nahe einer Eigenfrequenz !k liegt und trotzdem keine oder eine nur sehr niedrige Resonanzspitze beobachtet wird, weil die zugehörige Projektion (10.24) nahezu verschwindet. Beim Lesen und Deuten von Resonanzkurven x.˝/, O wie zum Beispiel Abb. 9.4a, ist es vorteilhaft, die Beteiligung der Eigenlösungen .!k ; xO k /, vgl. Abschn. 9.3.3, gemäß (10.19) mit (10.23), gedanklich zusammenzusetzen: (Aufgabe 10.8) . Der Erregung F e D FO e cos ˝t folgt die Schwingung x D xO cos ˝t mit xO D x.˝/ O D

n X kD1

n X .xO Tk FO e / .xO Tk FO e / xO k D xO k : 2 .!k C ˝/  .!k  ˝/  mk .!k  ˝ 2 /  mk

kD1

(10.25)

Die Nennerschreibweise, Nk D .!k C ˝/  .!k  ˝/  mk , hebt die mit 2!k fallenden

Breiten der Resonanzkurven der höheren Eigenfrequenzen hervor.

10.4 Anwendungsbeispiel Rayleigh-Dämpfung Eine allgemeine Dämpfungsmatrix B koppelt die Modalkoordinaten, vgl. (10.20), (10.21). Um die Kopplung zu vermeiden, setzt man an: B D ˛M C ˇK :

(10.26)

Darin sind ˛ und ˇ freie (dimensionsbehaftete) Parameter. Anschaulich interpretiert man ˛M als Wirkung von äußerer Dämpfung und ˇK als Folge innerer Dämpfung. (Dieser Ansatz ist bequem, weil er D diagonalisiert, vgl. (10.27). Deshalb nennt man ihn oft Bequemlichkeitshypothese; (Rayleigh-Dämpfung ist kürzer). Einsetzen von (10.26) in (10.21) führt auf (Aufgabe 10.9) qR C .˛I C ˇ/qP C q D Qe ;

mit

O TF e : Qe WD X

(10.27)

Die n entkoppelten Einmassenschwinger nach (10.22) lauten nun (mit mk D 1):

qRk C .˛ C ˇ!k2 /qP C !k2 qk D Qek ;

mit

Qek WD xO Tk F e ;

k D 1; : : : ; n:

(10.28)

Die innere Dämpfung wirkt sich hiernach auf die höheren Eigenschwingungsformen zunehmend stärker aus als auf die tieferen. Nach diesem Muster fügt man gelegentlich in den einzelnen Gleichungen von (10.28) „modale Dämpfung“ auf Grund von Erfahrung hinzu.

10.5 Aufgaben

147

10.5 Aufgaben Aufgabe 10.1 Drücken Sie die Definitheitsannahmen xP T M xP > 0; xP T B xP 0; x T K x 0 in (10.3) physikalisch anschaulich als Energie- und Leistungsaussagen aus. Aufgabe 10.2 Setzen Sie die Energie E D E.t/ des hinter (10.1) stehenden mechaniP und der potenziellen, schen Systems aus seiner kinetischen Energie, T D xP T M x=2, T U D x K x=2, zusammen: E D T C U . Bilden Sie die Zeitableitung EP D TP C UP unter Beachtung von (9.19) und eliminieren rechts daraus mit Hilfe der zuvor von links mit xP T multiplizierten Bewegungsgleichung (10.1) die Glieder mit M und K . Welche Aussagen über EP lesen Sie aus dem Ergebnis ab? Aufgabe 10.3 Setzen Sie in .x; x/M D xN T M x das komplexe x WD u C j vI u; v ¤ 0, reell, und zeigen Sie mit (10.4)1: .x; x/M > 0. Die letzte Aussage gilt auch für .x; x/I . Jedoch erfasst .x; x/K 0, weil nur indefinit, den n-dimensionalen x-Raum nicht sicher, ist deshalb als Orthogonalitätskriterium ungeeignet. Aufgabe 10.4 Schreiben Sie die Schritte von (10.4) bis (10.11) ausführlich an. Aufgabe 10.5 Beweisen Sie (10.18). Aufgabe 10.6 Zu einem dreifachen Eigenwert 1;2;3 gehören die drei noch nicht wechselseitig orthogonalen Eigenvektoren xO 1 ; xO 2 ; xO 3 . Sei .xO 1 ; xO 1 /M D 1. Wie müssen Sie xO 2 ; xO 3 abwandeln, um ein im Sinne des Skalarprodukts .xO k ; xO l /M „orthogonales Dreibein“ zu erhalten? Aufgabe 10.7 Schreiben Sie die Transformationen (10.20), (10.21) mit der Summenform aus (10.19) an. Aufgabe 10.8 Schreiben Sie die Lösung zum Zahlenbeispiel in Abschn. 9.4.3 in der Form (10.25) an. Aufgabe 10.9 Entwickeln Sie Argumente für und gegen die Interpretation der beiden Glieder der Rayleigh-Dämpfung als äußere bzw. innere Dämpfung.

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

Wir benutzen Drehschwingungen und Torsionsschwingungen in der Regel synonym. Bei einer ungleichförmig drehenden Windkraftanlage wird man jedoch von Drehschwingungen sprechen, während man Torsionsschwingungen vorzieht, wenn bei dem Vorgang eine Welle tordiert (verwunden, verdreht) wird. Auch bei Kolbenmaschinen spricht man von Dreh- oder Torsionsschwingungen, wobei die Kurbelwelle in sehr verwickelter Weise verbogen und verwunden wird, was man unter einer Torsion näherungsweise (!) zusammenfasst. Bei einem Verbrennungsmotor kann ein Zylinder – die dazugehörigen beweglichen Teile – unter Umständen gegen den anderen Zylinder schwingen. Die Abweichungen der Bewegungen des Kolbens, des Pleuels vom regelmäßigen Lauf infolge der Drehschwingungen „ihres“ Kurbelzapfens werden dann einfach als Folge von Drehschwingungen gesehen.

11.1 Aufgabenstellung, Symbole Drehschwingungen treten bei vielen Maschinen auf. Abb. 11.1 zeigt einen Motor, der über eine (längere) Welle eine Kreiselpumpe antreibt. Hier kann der Anker des Motors gegen den Lauf der Pumpe schwingen, die Welle wirkt als Torsionsstab (Drehfeder).

Abb. 11.1 Pumpensatz

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_11

149

150

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

Wenn man genauer hinguckt, sieht man, dass die Drehschwingungen des Ankers auch mit der Elektrik des Motors verknüpft sind. Wir gehen darauf nicht ein und lassen diese Wechselwirkungen außer Acht. Ähnlich – fast noch verwickelter – sieht es beim Pumpenläufer aus: Drehschwingungen des Läufers ändern die Anströmwinkel, die gepumpte Flüssigkeit schwingt mit usw. Auch diese Effekte bleiben unbeachtet. Zur Untersuchung der Drehschwingungen eines solchen Maschinensatzes zeichnet man dann ein Ersatzsystem nach Abb. 11.3a oder b, vgl. Abb. 9.1b. Dabei steht J für eine Drehträgheit (Trägheitsmoment) und kT für eine Torsionssteifigkeit. Beachtet man beim Schiffsantrieb nach Abb. 11.2 nur die Verformungen der Propellerwelle, so erhält man wieder ein Modell nach Abb. 11.3, wobei J1 die Drehträgheit des Propellers (evtl. mit einem Wasserzuschlag) und J2 die des Motors bezeichnet. Berücksichtigt man dagegen die Verformbarkeit der Kurbelwelle – und das muss man tun, wenn hohe Erregerfrequenzen vorliegen –, so erhält man ein Ersatzsystem nach Abb. 11.4 (6-Zylinder-Motor). Enthält das Aggregat ein Getriebe, so gilt im einfachen Fall ein Ersatzsystem nach Abb. 11.5, wobei zunächst offen bleibt, ob die Drehträgheiten der Zahnräder beachtet werden oder nicht. Abb. 11.2 Schiffsantrieb

a

b

J1

kT

J2

J1

kT

J2

Abb. 11.3 Schematische Darstellungen von Drehschwingern Abb. 11.4 Ersatzsystem für Schiffsantrieb mit 6-ZylinderMotor

6 Zylinder

Propeller

Schwungscheibe

11.2

Drehschwingungen eines Systems mit einer Übersetzung

151

Abb. 11.5 Drehschwinger mit Getriebe

Getriebe kT1 kT2

11.2 Drehschwingungen eines Systems mit einer Übersetzung Das Drehschwingungssystem nach Abb. 11.6 besteht aus zwei Drehmassen J1 ; J4 , zwei (Torsions-)Wellen mit den Steifigkeiten kT1 ; kT2 und einem Zahnradgetriebe, dessen Räder die (Teilkreis-)Radien r2 ; r3 und die Drehmassen J2 bzw. J3 haben. Gesucht werden die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingungsformen (der freien ungedämpften Schwingungen) des Systems.

11.2.1 Aufstellen der Bewegungsgleichungen nach Lagrange Das Arbeiten mit den Lagrangeschen Gleichungen, vgl. Abschn. C.2.3, ist vorteilhaft, wenn man für die wirkenden Kräfte (und Momente) Potenziale anschreiben und auf Schnittbilder zum Formulieren von Gleichgewichtsbedingungen verzichten kann. Das Schema-Vorgehen nach Lagrange führt überdies in der Regel auf symmetrische Systemmatrizen, deren Vorteile in Kap. 9 hervorgehoben wurden. (Auch numerisch bieten symmetrische Matrizen Vorteile.) Die Bewegungsgleichungen werden in fünf Schritten gewonnen: 1. Koordinaten einführen. Überzählige Koordinaten mit Hilfe von Bindungsgleichungen eliminieren. 2. Kinetische Energie anschreiben. 3. Potentielle Energie anschreiben (Potenzial formulieren). 4. Virtuelle Arbeiten für die Kräfte ohne Potenzial formulieren. 5. Lagrange Formalismus abarbeiten.

a

J1

b

kT

J2 1

φ1

r2 kT

r3

2

J4

1 φ3

J3

Abb. 11.6 Drehschwingungssystem. a Ersatzsystem, b Drehwinkel

φ2 2

φ4

152

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

Koordinaten Wir führen an den vier Wellenendpunkten l die Drehwinkel 'l ein, l D 1; : : : ; 4, vgl. Abb. 11.6b. Der Systematik halber erhalten alle 'l die gleiche Drehrichtung als positiv. (Der Doppelpfeil steht für eine Drehung im Sinne einer Rechtsschraube.) In der Referenzlage, bei 'l D 0, seien die Wellen momentenfrei. Übersetzung (Bindungsgleichung) Die Zahnradübersetzung im Getriebe verbindet die Drehwinkel '2 und '3 . Allgemein benennen wir Übersetzungsverhältnisse wie folgt: ik=l D

'k 'l

oder i3=2 D

'3 : '2

(11.1)

Bei nur einer Übersetzung kann man den Index bei i weglassen: '3 D i'2 :

(11.2)

Für die Umfangsgeschwindigkeiten v2 D r2 'P2 , v3 D r3 'P3 auf den Teilkreisen der Zahnräder, Radius r2 bzw. r3 , gilt v2 D v3 , also folgt, (z2 =z3 D Verhältnis der Zähnezahlen), (11.3) i D r2 =r3 D z2 =z3 : Kinetische Energie in Drehträgheiten: T D

1 1 1 1 J1 'P12 C J2 'P22 C J3 'P32 C J4 'P42 : 2 2 2 2

(11.4)

Elimination von '3 mit (11.2), also 'P3 D i 'P2 : T D

1 1 1 J1 'P12 C .J2 C J3 i 2 /'P22 C J4 'P42 : 2 2 2

(11.5)

Potentielle Energie in Drehfedern: U D

1 1 kT1 .'2  '1 /2 C kT2 .'4  '3 /2 : 2 2

(11.6)

Elimination von '3 mit (11.2) liefert U D

1 1 kT .'2  '1 /2 C kT2 .'4  '2 i/2 : 2 1 2

(11.7)

Das Übersetzungsverhältnis i wird unten gemäß (11.3) durch das Radienverhältnis r2 =r3 ausgedrückt. Virtuelle Arbeit entfällt.

11.2

Drehschwingungen eines Systems mit einer Übersetzung

153

Lagrangesche Gleichungen Nachdem '3 eliminiert ist, lauten die generalisierten Koordinaten: (11.8) q1 D '1 ; q2 D '2 ; q3 D '4 ; Freiheitsgrad: n D 3: Man erhält aus

d @T dt @qP k



@T @qk

C

@U @qk

D 0, k D 1, 2, 3, vgl. (C.26) mit Qk D 0:

für q1 W

J1 'R1 C kT1 .'1  '2 / D 0;

für q2 W

.J2 C J3 i 2 /'R2 C kT1 .'2  '1 /  ikT2 .'4  '2 i/ D 0;

für q3 W

J4 'R4 C kT2 .'4  '2 i/ D 0:

(11.9)

In Matrixschreibweise mit J5 WD J2 C i 2 J3 , kT3 WD kT1 C i 2 kT2 : 0

J1 B @0 0

0 J5 0

10 1 0 0 kT1 'R1 CB C B 0 A @'R2 A C @kT1 J4 0 'R4

kT1 kT3 kT2 i

10 1 0 '1 CB C kT2 i A @'2 A D 0; kT2 '4

(11.10)

symbolisch gemäß (9.11) M xR C Kx D 0 mit

11.2.2

x D .'1 ; '3 ; '4 /T :

(11.11)

Lösen des Eigenwertproblems

Parallel zum Vorgehen in Abschn. 9.3 führt der e t -Ansatz auf das homogene Gleichungssystem 10 1 0 kT1 0 'O1 J1 C kT1 CB C B (11.12) kT1 J5 C kT3 kT2 i A @'O2 A D 0; @ 0 kT2 i J4 C kT2 'O4 die charakteristische Gleichung 

 3

kT1 kT kT C 2 C 3 J1 J4 J5



2 C kT1 kT2

J1 C J4 i 2 C J5

D 0; J1 J4 J5

(11.13)

mit den Wurzeln (Eigenwerten) 1 D 0 und

2=3 D

1 kT1 kT kT C 2 C 3 2 J1 J4 J5 s !   kT1 J1 C J4 i 2 C J5 kT2 kT3 2  C C  4kT1 kT2 : J1 J4 J5 J1 J4 J5

(11.14)

154

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

Aus (9.22), entsprechend (9.31) bzw. (9.44), folgen !1 D 0-Doppelwurzel!;

!2 D

p p

2 ; !3 D 3 :

(11.15)

Die Eigenvektoren xO k D .'O1 ; 'O2 ; 'O4 /T

(11.16)

gewinnt man für D k , zum Beispiel aus der ersten und dritten Zeile von (11.12) mit 'O2 D 1 zu xO 1 D .1; 1; i/T ;  T kT1 ikT2 ; 1; ; xO k D kT1  J1 k kT2  J4 k

für 1 D 0; für 2 und 3 :

(11.17)

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (11.9) lautet mit den Eigenlösungen .!k ; xO k / analog zu (9.36) mit (9.48) x.t/ D .aCct/xO 1 C.ac2 cos !2 t Cas2 sin !2 t/xO 2 C.ac3 cos !3 t Cas3 sin !3 t/xO 3 : (11.18)

11.2.3 Darstellung der Schwingungsformen Systemparameter p !R WD kTR =JR ; Bezogene Größen: tQ D !R t; Jl D JQl JR ; kT l D kQT l kTR ; Zahlenwerte: JQ1 D 1; JQ2 D 0:2; JQ3 D 0:3; JQ4 D 0:666; kQT D 1; kQT D 1:8; i D r2 =r3 D 0:8: Bezugsgrößen: JR WD Jl ;

1

kTR WD kT1 ;

(11.19)

2

Dazu berechnet man nach (11.14), (11.15) und (11.17) die drei Eigenlösungen .!k ; xO k / !1 D 0;

xO 1 D .1; 1; 0:8/T ;

!2 D 1:290;

xO 2 D .1:505; 1; 2:086/T;

!3 D 2:743; xO 3 D .0:153; 1; 0:448/T: Q xO k D 1 normiert, vgl. (10.16), lauten die xO k Gemäß xO Tk M xO 1 D .0:742; 0:742; 0:593/T; xO 2 D .0:638; 0:424; 0:885/T; xO 3 D .0:206; 1:349; 0:605/ : T

(11.20)

11.3

Reduktion von Drehschwingern mit Übersetzungen auf eine Welle

a

b φ.. 0.74

155

c

φ..

φ..

1.35

0.64

+

+

0 2

1

1

0.34

K

-

K1

+

-0.21

+

0.61 2

1

-0.42

0

-

2

K2

+

-

-0.60

-1.08

Abb. 11.7 Eigenformen der Drehschwingung. K – Schwingungsknoten. a für !Q 1 D 0, b für !Q 2 D 1:29, c für !Q 3 D 2:74

Abb. 11.7 zeigt schematisch die drei Eigenschwingungsformen des Drehschwingers nach Abb. 11.6 zu den Parametern (11.19). Abb. 11.7a bedeutet – abgesehen von der Übersetzung von '2 nach '3 – eine Starrkörperdrehung in den Lagern, die Welle bewegt sich gemäß (11.18), erstes Glied rechts. Bei Abb. 11.7b, der zweiten Eigenform, dem zweiten Glied in (11.18) rechts, schwingt im wesentlichen die Trägheit J1 mit 'O1 gegen J4 mit 'O4 . Die Welle bleibt am Knoten K in Ruhe, dreht dort nicht, anders gesehen: bei K kehren die jeweiligen Drehrichtungen der Welle 1 um. In Abb. 11.7c, der dritten Eigenform, schwingt das Getriebe, die beiden Zahnräder J2 , J3 , gegen die beiden äußeren Trägheiten, beide Wellen enthalten Schwingungsknoten K1 , bzw. K2 .

11.3 Reduktion von Drehschwingern mit Übersetzungen auf eine Welle Vor allem bei Drehschwingern mit mehreren Übersetzungen ist es häufig vorteilhaft, den Schwinger auf eine der Wellen zu reduzieren, zum Beispiel ist es nicht immer so leicht wie in Abb. 11.7b, c, zu überschauen welche Systemteile gegen-, und welche miteinander schwingen. Als Beispiel wird der Drehschwinger aus dem vorigen Abschnitt auf einen Drehschwinger mit durchlaufendem Wellenstrang abgebildet. Abb. 11.8 stellt die beiden Ersatzsysteme mit eingetragenen Drehwinkeln nebeneinander.

156

11

a

Dreh- und Torsionsschwingungen

b J1 φ1

kT

J2 1

J1

r2 φ2

1 r φ3 3

kT

2

J3

φ1

J4

2

kT

J2r

r

1

J4r

kT

1

2

φ2 =φ3r

2r

φ4r

φ4

Abb. 11.8 Drehschwinger. a mit Übersetzungsgetriebe, b Bildwelle mit durchlaufendem Wellenstrang

11.3.1 Reduktion des Drehschwingers auf die Welle 1 Für den Schwinger nach Abb. 11.8a können die Bezeichnungen und Ansätze aus Abschn. 11.2.1 übernommen werden. Für kinetische und potenzielle Energie gelten, vgl. (11.4) bzw. (11.6), 1 1 1 1 J1 'P12 C J2 'P22 C J3 'P32 C J4 'P42 ; 2 2 2 2 1 1 2 U D kT1 .'2  '1 / C kT2 .'4  '3 /2 ; 2 2 T D

(11.21)

Für die Übersetzung gelten (11.2) und (11.3): '3 D i3=2 '2 ;

i D i3=2 D r2 =r3 :

(11.22)

Falls die Wellen (torsions-)starr sind, sich infolge von Momenten also nicht verformen, ist i das Übersetzungsverhältnis von Welle 2 gegenüber Welle 1. In dem Fall gilt auch '4 D '3 D i'2 D i'1 . Man setzt – auch bei verformbarer Welle 2 – '3 D i'3r ; '4 D i'4r I

(11.23)

dabei sind '3r D '2 und '4r reduzierte Winkel. Einsetzen von '3; '4 gemäß (11.23) in (11.21) liefert T D

1 1 1 J1 'P12 C .J2 C i 2 J3 /'P22 C i 2 J4 .'P4r /2 ; 2 2 2

(11.24)

1 1 (11.25) kT1 .'2  '1 /2 C kT2 i 2 .'4r  '2 /2 : 2 2 Bei dieser Reduktion (oder Abbildung) des Ausgangssystems auf die Welle 1 bleiben '1 , '2 , J1 und kT1 erhalten. Die Winkel '3 , '4 werden gemäß (11.23) durch '3r .D '2 / und '4r ausgedrückt; vgl. (11.24) und (11.25). Es entstehen die reduzierten (Drehmassen) U D

J2r D J2 C i 2 J3 D J2 C .r2 =r3 /2 J3 ;

J4r D i 2 J4 D .r2 =r3 /2 J4

(11.26)

11.4

Erzwungene Drehschwingungen

157

und die reduzierte Drehsteifigkeit kTr 2 D i 2 kT2 D .r2 =r3 /2 kT2 :

(11.27)

Für das auf die Welle 1 reduzierte Drehschwingungssystem gemäß Abb. 11.8b erhält man – formal nach Lagrange oder elementar über Gleichgewichtsbedingungen und Verformungsansätze – die Bewegungsgleichungen 0

J1 B @0 0

0 J2r 0

10 1 0 kT1 0 'R1 CB C B 0 A @'R2 A C @kT1 J4r 'R4r 0

kT1 kT1 C kTr 2 kTr 2

10 1 0 '1 CB C kTr 2 A @'2 A D 0: kTr 2 '4r

(11.28)

11.4 Erzwungene Drehschwingungen Wir nehmen an, dass auf den Drehschwinger nach Abb. 11.9 (im allgemeinen Fall) die vier Erregermomente Mi .t/ wirken, wobei – zur Verwirrung! – M3 .t/ gegen die positive Orientierung des Drehwinkels '3 positiv gezählt wird, vgl. Abb. 11.9a, b; die bTi bedeuten Dämpfung. Gesucht sind für das System nach Abb. 11.9 das auf die Welle 1 reduzierte Bildsystem und dazu die Bewegungsgleichungen. Für den Sonderfall M2 D 0; M3 D 0; M4 D 0 und M1 D MO cos ˝t sollen die Amplituden-Frequenzgänge für die Winkelauslenkungen '1 ; '2 ; '4r berechnet werden (Parameter vgl. Abschn. 11.2.3). Die Dämpfungen bT i seien klein. Hinweis 1 Für das Torsionsmoment M in Abb. 11.10 gilt M D bT .'P2  'P1 / C kT .'2  '1 /:

(11.29)

Man kann dieses Moment in elastischen Anteil und Dämpfungsanteil zerlegen: M k D kT .'2  '1 /;

a

M1

J1

M b D bT .'P2  'P1 /;

J3

r2

φ1

M2 kT ,bT 2 2

M3

(11.30)

b

J2 kT , b T 1 1

M D M k C M b:

J4

M4

Abb. 11.9 Drehschwinger. a Ersatzsystem, b Drehwinkel

r3 φ3

φ2

φ4

158

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

11.4.1 Bewegungsgleichungen (nach Lagrange) Vom Ausgangssystem in 11.2 unterscheidet sich der Schwinger hier nur durch die Erregermomente Mi .t/, vgl. Abb. 11.9a, und durch Torsionsdämpfung, die proportional zur Verwindungsgeschwindigkeit, zum Beispiel .'P2  'P1 / für Welle 1, angesetzt wird; vgl. Abb. 11.10 und (11.30). Deshalb brauchen wir zusätzlich zu den Überlegungen in Abschn. 11.2.1 und 11.3 nur Terme für Virtuelle Arbeiten An der Drehmasse J1 , Drehwinkel '1 , vgl. Abb. 11.9, greifen neben dem elastischen Anteil des Wellenmoments, der mit der potenziellen Energie U in (11.6) erfasst ist, noch von außen das Moment M1 .t/ und der Dämpfungsanteil des Wellenmoments an, (11.31) M1b D bT1 .'P2  'P1 /; vgl. Abb. 11.10 und 11.11. Bei einer virtuellen Drehung ı'1 wird dem System die virtuelle Arbeit ıW1 D M1 ı'1 C bT1 .'P2  'P1 /ı'1

(11.32)

zugeführt. Entsprechend muss man sich die virtuellen Arbeiten zu den Drehungen ı'2 ; ı'3 ; ı'4 überlegen. Die gesamte virtuelle Arbeit beträgt, zunächst ohne Rücksicht auf die Bindungen (11.2): ıW D M1 ı'1 C M2 ı'2  M3 ı'3 C M4 ı'4  bT1 .'P2  'P1 /.ı'2  ı'1 /  bT2 .'P4  'P3 /.ı'4  ı'3 / DW

4 X

(11.33)

Qi ı'i :

i D1

Einführen der reduzierten Winkel Mit den reduzierten Winkeln '2 D '3r und '4r aus Abschn. 11.3 gilt '3 D i'2 ; 'P3 D i 'P2 ; ı'3 D iı'2 ; (11.34) '4 D i'4r ; 'P4 D i 'P4r ; ı'4 D iı'4r :

Abb. 11.10 Torsion mit Dämpfung

φ1

φ2

kT,bT

M Abb. 11.11 Momente ohne Potenzial an Drehmasse J1

M J1 M1

M1 b

11.4

Erzwungene Drehschwingungen

159

Damit erhält man aus (11.24), (11.25) und (11.33) T D

1 1 1 J1 'P12 C .J2 C i 2 J3 /'P22 C i 2 J4 .'P4r /2 ; 2 2 2

(11.35)

1 1 kT1 .'2  '1 /2 C i 2 kT2 .'4r  '2 /2 ; 2 2

(11.36)

U D

ıW D M1 ı'1 C .M2  iM3 /ı'2 C M4 iı'4r

(11.37)

 bT1 .'P2  'P1 /.ı'2  ı'1 /  i 2 bT2 .'P4r  'P2 /.ı'4r  ı'2 /: Aus diesen drei Gleichungen ergibt sich die Bildwelle nach Abb. 11.12. Die Parameter lauten: J1 ; M1 ; kT1 ; bT1 wie bisher, J2r D J2 C i 2 J3 ; M2r D M2  iM3 ;

J4r D i 2 J4 ;

kTr 2 D i 2 kT2 ;

bTr 2 D i 2 bT2 ;

(11.38)

M4r D iM4 :

Schließlich gewinnt man aus (11.35) bis (11.38) nach Lagrange gemäß Abschn. C.2.4 die Bewegungsgleichungen 0

J1 B @0 0

0 J2r 0

10 1 0 bT 1 0 'R1 CB C B 0 A @'R2 A C @bT1 J4r 'R4r 0 0 kT1 B C @kT1 0

bT1 bT1 C bTr 2 bTr 2 kT1 kT1 C kTr 2 kTr 2

10 1 0 'P1 CB C bTr 2 A @'P2 A bTr 2 'P4r 10 1 0 '1 r CB C kT2 A @'2 A kTr 2 '4r 0 1 M1 B C D @M2r A: M4r

(11.39)

Hinweis Wenn die Dämpfungen, wie hier, völlig parallel zu den Steifigkeiten wirken, kann man, wie zu sehen, in den Bewegungsgleichungen die Dämpfungsterme einfach parallel zu den Rückstelltermen anschreiben, ohne den Weg über die virtuelle Arbeit ıW zu gehen.

Abb. 11.12 Bildwelle

J1 M1

r

kT1,bT1

r

k T2,b T2 J2r

M2r

J4r M4r

160

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

11.4.2 Zahlenbeispiel Aus Abschn. 11.2.3 übernehmen wir: p die Referenzgrößen JR D Jl ; kTR D kT1 ; !R WD kTR =JR ; tQ D !R t, die Zahlenwerte JQ1 D 1; JQ2 D 0:2; JQ3 D 0:3; JQ4 D 0:666; kQT1 D 1; kQT2 D 1:8; i D 0:8. Dazu folgen aus (11.38) JQ2r D 0:392, JQ4r D 0:427; kQTr 2 D 1:152. Die Dämpfungen setzen wir proportional zu den Steifigkeiten an: B D bQ

kTR Q K; !R

mit

bQ D 0:015:

(11.40)

Mit der Erregung T

.M1 ; M2r ; M4r / D .1; 0; 0/Me cos ˝Q tQ DW fO Me cos ˝Q tQ

(11.41)

folgt aus (11.39) schließlich die Bewegungsgleichung in der Form kTR Q ı Q ıı Q x D Me cos ˝Q tQfO ; K x C kTR K x C !R bQ JR !R2 M !R

(11.42)

wo 1 1 0 1:0 1:0 0 1:0 0 0 C C Q DB Q DB M 0 A; K @1:0 2:152 1:152A ; @ 0 0:392 0 1:152 1:152 0 0 0:427 0 1 1 B C Q D bQ K Q ; x D .x1 ; x2 ; x3 /T WD .'1 ; '2 ; '4r /T : fO D @0A ; B 0 0

(11.43)

Dimensionslos lautet sie: ıı

ı

Q xQ C bQ K Q xQ C K Q xQ D fO cos ˝Q tQ mit xQ WD x=.Me =kTR /: M

(11.44)

Berechnen der erzwungenen Schwingungen Komplexe Form der Bewegungsgleichung, vgl. (6.7): ıı ı Q xQ C K Q xQ D fO e j ˝Q tQ : Q xQ C bQ K (11.45) M

11.4

Erzwungene Drehschwingungen

161

Lösungsansatz und Lösungsergebnisse: OQ j ˝Q tQ , vgl. (6.11), erhält man Mit xQ D xe 

Q ˝Q K Q M Q ˝Q 2 C bj Q xOQ D fO K

 1 Q ˝Q K Q M Q ˝Q 2 C bj Q fO : (11.46) und xOQ D K

Abb. 11.13 und 11.14 zeigen aus (11.46) numerisch berechnete Frequenzgänge zu den Systemdaten nach (11.19) mit fO nach (11.43)3 für das Frequenzintervall 0  ˝Q  3:5. Gemäß (11.43) sind die Winkel 'i den Auslenkungen xl wie folgt zugeordnet: '1 D x 1 ;

'2 D x 2 ;

'3 D ix2 ;

'4 D x 3 I

i D 0:8:

(11.47)

Q und jxOQ l .˝/j Q des ungedämpften SysAbb. 11.13a und b gilt für die Amplituden xOQ l .˝/ tems: xQ l D xOQ l cos ˝Q tQ bzw. xQ l D jxOQ l j cos.˝Q tQ  ˛l /;

˛l D 0; :

(11.48)

Aus dem Amplitudenverhältnis 'O1 ='O2 kann man berechnen, ob und wo sich auf der Welle 1 (Länge L1 ) ein Knoten befindet: Mit LK D Knotenabstand von J1 gilt (Aufgabe 11.14): (11.49) 1 WD LK =L1 D 'O1 =.'O 1  'O2 / solange 0  1  1: a

b

2

2

x~l

3

1

1.5 T3

T1

0 l=

2 T2

1

2 2 1

E

1

2

-1

3

x~l

l=

1 1

0.5

3 -2 0

2 ~ 2 Ω

~ 1 ω 2

~ 3 ω 3

3

0 0

T1 1

T2

~ 2 Ω T3

3

Knotenlagen längs Strang

c 2 ξ

Welle 2

1 0 0

T1

T2 E Welle 1 ~ 2 Ω T3 3

Abb. 11.13 Frequenzgänge ohne Dämpfung. a Amplituden xOQ l , b Amplituden jxOQ l j, c Knotenlagen , 0    1 – Welle 1, 1    2 – Welle 2

162 Abb. 11.14 Frequenzgänge mit Dämpfung. a Amplituden jxO l j b Phasen ˛l

11

x~l

Dreh- und Torsionsschwingungen

2 3 2 1 1

0

2 0

α1 1 π

3

1

1 l=

2

1

0 -1 1

~ Ω

3

1

3

3

2 0

2

1

l=

2

2 ~ Ω

3

Q in vertikaler -Richtung die Knotenlagen 0  1  Abb. 11.13c zeigt, abhängig von ˝, 1 auf Welle 1 und längs 1    2 (gestrichelt) die auf Welle 2. Die allgemeinen Aussagen in den Abschn. 9.4.3 und 9.4.4 über Amplitudenverhalten in Resonanznähe usw. gelten auch hier. Jetzt wählen wir den Blickwinkel von (10.25), den des Aufbaus der erzwungenen Schwingung aus zueinander orthogonalen Komponenten .xO Tk FO e /xO k =Nk , wobei der Nenner Nk D .!k C ˝/  .!k  ˝/ D .!k2  ˝ 2 / je nach Resonanz-Nähe oder -Entfernung ihr Gewicht individuell erhöht bzw. mindert; vgl. (11.20) und Abb. 11.7. Steigern wir in Abb. 11.13a ˝Q schrittweise längs der Abszisse: Zuerst, in der Nähe von !O 1 , dominiert die Starrkörperbewegung der Eigenform xOQ 1 gemäß dem ersten Glied von (10.25). Bei Erhöhen von ˝Q nähert man sich, zunächst langsam, der Eigenfrequenz !O 2 , Trägheitskräfte werden wirksam, die Eigenform xOQ 2 gewinnt Gewicht (Glied 2). Bei ˝Q D ˝Q T1  1 setzt sich der Knoten von xOQ 2 gegen das inzwischen abgeschwächte xOQ 1 durch: Die Drehmasse J1 kommt zur Ruhe, es liegt ein Tilgerpunkt T1 vor. Am nicht drehenden J1 halten sich das Erregermoment und das Reaktionsmoment des mit ˝Q T1 frei, mit passender Amplitude schwingenden J2 ; J3 -Drehschwingers Gleichgewicht (Aufgabe 11.15). Oberhalb ˝Q T1 schwingt J1 in Gegenphase zum übrigen System, in Abb. 11.13c bewegt sich der Knoten auf J2 zu. Das System fährt in den Resonanzbereich von !O 2 , die Ausschläge werden sehr groß, xOQ 2 dominiert, schließlich folgt der gemeinsame Vorzeichensprung gemäß dem Nenner von Glied 2; die Knotenwanderung (Abb. 11.13c) verläuft stetig. Bei ˝Q D ˝Q T2  1:63 kommt der Knoten, längs der Welle 1, bei J2 an und „tilgt“ die Getriebe-Drehschwingung: J1 mit kT 1 führt gegen J2 erzwungene Drehschwingungen aus, J4 mit kT 2 schwingt frei (Aufgabe 11.16). Oberhalb ˝Q T2 wandert der Knoten in die

11.5

Aufgaben

163

Welle 2, J 1 und J 2 schwingen in Phase. Weil es auf !Q 3 zugeht, wo xOQ 3 zwei Knoten wirksam macht, nehmen die Auslenkungen von J1 ab, die von J2 zu. Bei ˝Q D ˝Q E  2:3 stimmen die Amplituden überein, die Welle 1 schwingt entspannt (Aufgabe 11.17). Der weitere Verlauf der Kurven folgt grundsätzlich dem vorangehenden Muster. Kurz vor ˝Q  !Q 3 liegt ein weiterer Tilgerpunkt ˝Q D ˝Q T3 für J1 , an dem seine Phase um 180° springt, wo abermals ein Knoten in Welle 1 hineinläuft usw. (Aufgabe 11.18). Nicht zu übersehen (besonders deutlich in Abb. 11.13b): Die Resonanzspitze bei !Q 3 ist erheblich schmaler als die bei !Q 2 , zu schweigen von der bei !Q 1 I vgl. die Bemerkung im Anschluss an (10.25), Aufgabe 11.19. Die Frequenzgänge der Amplitudenbeträge in Abb. 11.13b kommen den Frequenzgängen der gedämpften Schwingungen in Abb. 11.14a nahe, bieten also Hilfe beim Übertragen von am ungedämpften Schwinger entdeckter Details auf den gedämpften. Für gedämpfte erzwungene Schwingungen aus (11.46) komplex berechnete AmplituQ werden umgeformt: xOQ l D jxOQ l j exp.j˛l / D xOQ l exp.j˛l /, vergleiche: den xOQ l .˝/ Q

Q

Q

komplex: xQ l D xQ l .tQ/ D xOQ l e j ˝ tQ D jxOQ l je j.˝ tQ˛l / D xOQ l e j.˝ tQ˛l / ;   < ˛l  ;

(11.50)

reell: xQ l D xQ l .tQ/ D RexQ l D jxOQ l j cos.˝Q tQ  ˛l / D xOQ l cos.˝Q tQ  ˛l /: Q bzw. ˛l .˝/. Q Die DämpfungsmaAbb. 11.14a und b zeigt die Frequenzgänge xQO l .˝/ trix wurde mit (11.40) proportional zur Steifigkeitsmatrix angesetzt, was nach (10.26) bis (10.28) einer inneren Dämpfung der Wellen entspricht, die sich in den Resonanzumgebungen der höheren Eigenfrequenzen !Q k verstärkt auswirkt. Verglichen mit Abb. 11.13b ist dieser Effekt sehr deutlich zu erkennen. Während in der Umgebung von !Q 2 die (nicht gezeigten) Resonanzspitzen bei ca. 20 liegen, erreichen sie bei !Q 3 nicht einmal 1. Im unteren Bereich sind die Tilgerpunkte als Schwingungen geringer Amplitude noch deutlich zu erkennen, im zweiten bemerkt man die Tilgerstelle nur, weil man sie aus Abb. 11.13a kennt. Obwohl bei höherer Frequenz gelegen, hat sich der Ort der entspannt umlaufenden Welle praktisch nicht geändert; klar: wo keine Verformung, da keine innere Dämpfung! Bei den auf Dämpfung besonders empfindlich ansprechenden Phasenwinkeln macht sie sich unten nur in Resonanznähe bemerkbar, Abb. 11.14b, erzwingt dort schon Phasendifferenzen von 90°, und wirkt ausgeprägt in der Umgebung von !Q 3 .

11.5 Aufgaben Aufgabe 11.1 Leiten Sie die Bewegungsgleichungen (11.9), und damit auch (11.10), auf „konventionelle Weise“ (Verformungsansätze, Momentengleichgewichte) her. Aufgabe 11.2 Wie sehen die Schwingungsformen für das untersuchte System aus (vgl. Abb. 11.7, wenn man im Getriebe die Zahnräder vertauscht, also r2 =r3 D 1:25 setzt?

164

11

Dreh- und Torsionsschwingungen

Aufgabe 11.3 Welche Eigenfrequenzen erhält man, wenn man a) die Drehmasse J1 , b) die Drehmasse J4 , c) das Getriebe festsetzt? Aufgabe 11.4 Das Aggregat nach Abb. 11.6 laufe mit der konstanten Drehgeschwindigkeit 'P1 D ˝. Plötzlich (zur Zeit t0 D 0) bricht ein Zahn im Getriebe und sperrt es. Was geschieht? (Treffen Sie vereinfachende Annahmen, z. B. die, dass die Antriebsmomente vernachlässigt werden können. Wählen Sie evtl. zusätzlich erforderliche Parameter.) Welche Schwingungen stellen sich ein? Welche Momente wirken auf das Getriebe? Aufgabe 11.5 Reduzieren Sie das System nach Abb. 11.8 auf die Welle 2 (kT2 ). Aufgabe 11.6 Stellen Sie für die Bildwelle gemäß Aufgabe 11.5 die Bewegungsgleichungen (11.26) bis (11.28) nach Lagrange auf. Aufgabe 11.7 Stellen Sie die Bewegungsgleichungen zu Aufgabe 11.5 mit den Mitteln der Grundvorlesung Technische Mechanik auf. Aufgabe 11.8 Welche Eigenfrequenzen und welche Eigenschwingungsformen erhält man aus (11.28) mit den Parametern des Zahlenbeispiels nach (11.19)? Aufgabe 11.9 Rechnen Sie die Eigenschwingungsformen der Bildwelle aus Aufgabe 11.8 auf die Originalwelle nach Abb. 11.8a um. Aufgabe 11.10 Zeichnen Sie Schnittbilder nach Art von Abb. 11.10 und 11.11 auch für die anderen Drehmassen und kontrollieren Sie (11.33) und (11.37). Aufgabe 11.11 Stellen Sie für das gemäß Aufgabe 11.5 reduzierte System für erzwungene Schwingungen nach Abb. 11.9a parallel zum Vorgehen in Abschn. 11.4.1 die (11.39) bzw. (11.42) entsprechenden Bewegungsgleichungen auf. (Gibt es eine schnelle Lösung? – vgl. Abschn. 9.2.3) Aufgabe 11.12 Schreiben Sie ein Matlab® -Programm zum Berechnen der erzwungenen Schwingungen nach (11.43) bis (11.46). Es ist günstig zu trennen, und die ungedämpften Schwingungen reell, die gedämpften komplex zu berechnen. Aufgabe 11.13 Rechnen Sie die Eigenvektoren xO k , k = 1, 2, 3, auf die (zum Teil) gemäß (11.23) reduzierten Koordinaten um und schreiben Sie damit für den vorliegenden Schwinger die zugehörigen drei Glieder von (10.25) einmal in Formelzeichen, einmal mit den zahlenmäßig bekannten Eigenvektoren an. Können Sie die Summanden der Gleichung mit den Resonanzkurven nach Abb. 11.13a in Einklang bringen?

11.5

Aufgaben

165

Aufgabe 11.14 Bestätigen Sie (11.49) für den Knotenabstand 1 . Ermitteln Sie analog ein 2 für Welle 2, so dass Abb. 11.13c passt. Aufgabe 11.15 Wo liegt der Tilgerpunkt ˝Q T1? Wie groß sind die zugehörigen Tilgeramplituden? Aufgabe 11.16 Wo liegt der Tilgerpunkt ˝Q T2? Wie groß sind die Amplituden der beiden an die ruhende Drehmasse angeschlossenen Drehschwinger vom Freiheitsgrad 1? Aufgabe 11.17 Gesucht sind gemäß Abb. 11.13a, c die Erregerfrequenz ˝Q E für den Sonderfall der entspannt schwingenden Welle, also für 'OQ1 .˝Q E / D 'OQ2 .˝Q E /. Schreiben Sie die Bewegungsgleichung (11.44) ohne Dämpfungsterme, also für bQ D 0, ausführlich an, z. B. wie (11.39). Führen Sie 'OQ1 D 'OQ2 ein und berechnen mit den Zahlen aus (11.43) die Zahlenwerte von ˝Q E , 'OQ1 und 'OQ4r . Aufgabe 11.18 Wo liegt der Tilgerpunkt ˝Q T3 ? Wer schwingt dort gegen wen? Wie groß sind die Amplituden? Aufgabe 11.19 Können Sie durch Herausmessen aus Abb. 11.13b die Breiten der zwei (drei?) Resonanzspitzen miteinander vergleichen und formelmäßig Aussagen aus (10.25) gegenüberstellen.

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

12

12.1 Aufgabenstellung Der Verdichter, den Abb. 12.1 im Schnitt schematisch zeigt, soll auf Schwingungen seines Rotors untersucht werden. Diese Aufgabe stellt sich zum Beispiel während der Konstruktion: Man will wissen, welche Schwingungen man zu erwarten hat, will vielleicht gezielt Änderungen gegenüber einer Vorgängeranlage durchführen, will konstruktiv Eingriffsmöglichkeiten vorsehen, um nachträglich Schwingungen beeinflussen zu können, falls sie sich – nach dem Bau der Maschine – als zu stark erweisen. Ist die Maschine bereits gebaut, so muss man Schwingungen – messend und rechnend – untersuchen, wenn sie zu stark schwingt, muss man nach den Ursachen, Erklärungen und nach Abhilfemaßnahmen suchen.

12.2 Modell Die Maschine nach Abb. 12.1 ist offensichtlich Teil eines Maschinensatzes, steht wahrscheinlich mit der Antriebsmaschine auf einem gemeinsamen Fundament. Falls die Kupplung zum Antrieb relativ weich – im Vergleich zur Steifigkeit der Wellenzapfen und La-

Abb. 12.1 Verdichter

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_12

167

168

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Abb. 12.2 Rotor in starren Lagern

ger – ist, können wir die Wechselwirkung zum Antrieb vernachlässigen und starre Lager annehmen; auch die Nachgiebigkeit des Ölfilms muss klein sein! Weiter lassen wir auch die Kräfte an den Dichtungen außer Acht und nehmen an, dass Gaskräfte auf die Verdichterschaufeln – selbst beim schwingenden Rotor – in jedem Augenblick ausgeglichen sind. Die Schaufeln sollen mit dem Rotorballen als starrer Körper schwingen. (Die Reihe dieser Annahmen zeigt nur, wie gewagt das unten angegebene Modell schon im Hinblick auf das Freischneiden – die Wechselwirkung mit der Umgebung – ist.) Abb. 12.2 zeigt den im Sinne obiger Annahmen freigeschnittenen Rotor. (Dabei sei die Schaufelmasse zur Ballenmasse addiert.) Wir vereinfachen jetzt weiter, nehmen an, dass sich der Rotorballen praktisch nicht verformt, dass die gesamte Nachgiebigkeit von den Wellenzapfen – den dünneren Rotorteilen in Abb. 12.2 – herrührt. Wir wählen dann als Ersatzsystem für unseren Rotor die auf einem elastischen Balken sitzende einzelne Punktmasse nach Abb. 12.3, die sich in der Blattebene auf und ab sowie senkrecht zur Blattebene bewegen kann. Mit der Wahl einer Punktmasse als Modellkörper haben wir auch alle Dralleinflüsse vernachlässigt. Der größeren Anschaulichkeit halber zeichnet man das Ersatzsystem nach Abb. 12.3 gern mit einer Scheibe als Rotorkörper. Damit man dann in keinen Anschauungskonflikt mit der Vernachlässigung der Dralleinflüsse durch Kippen der Scheibe um die Achsen in der Scheibenebene kommt, setzt man die Scheibe in die Mitte zwischen die Lager und spricht von der mittig besetzten Welle oder auch Laval-Welle, vgl. Abb. 12.4. In Abb. 12.4 ist die Scheibe ausgelenkt gezeichnet. Es bedeuten: O – Schnittpunkt der Lagerverbindungsgeraden AB mit Scheiben(mittel)ebene W – Wellendurchstoßpunkt (liegt auf O bei ungebogener gerader Welle) x, y – Koordinaten von W bei ausgelenkter (gebogener) Welle; auch horizontale bzw. vertikale Wellen-(oder Rotor-)Auslenkung genannt C – Scheiben- (oder Rotor-)Schwerpunkt ru – Exzentrizität (mru – Unwucht, m – Masse) ˝ – Drehfrequenz ' – Drehwinkel .' WD ˝t/

Abb. 12.3 Rotor Ersatzsystem

Balken

Punktmasse

12.3 Bewegungsgleichungen Abb. 12.4 Laval-Welle

169

A

ru C φ

y 0

W x

B

12.3 Bewegungsgleichungen Wir erfassen die Wellen- oder Rotorbewegung durch die in Abb. 12.4 eingeführten Koordinaten x, y. Das Modell hat damit den Freiheitsgrad 2, wir brauchen zwei Bewegungsgleichungen. Hinweis Die Laval-Welle hat horizontal und vertikal die gleiche Steifigkeit. Deshalb ist (oder läuft) sie rund (auch wenn der Querschnitt ein Quadrat oder ein gleichseitiges Dreieck ist). Man kann ihre beiden Bewegungsgleichungen zu einer komplexen Gleichung zusammenfassen, vgl. (12.45), und gewinnt daraus auch nur einen Wert für die Eigenfrequenz (kritische Drehzahl). Das ist jedoch eine Doppelwurzel, denn im Hintergrund bleiben die beiden Bewegungsgleichungen bestehen, wie man sie nach Kap. 9 ansetzen und abhandeln würde. Damit behandelt dieses Kapitel einen Sonderfall, das Vorgehen ist nicht einfach auf andere Schwinger vom Freiheitsgrad 2 anwendbar; z. B. nicht auf die Schwingungen in der Ebene beim System nach Abb. 9.1c. Abb. 12.5 zeigt die von der Welle freigeschnittene Scheibe mit den (Schwerpunkt-) Hilfskoordinaten (12.1) xC D x C ru cos '; yC D y C ru sin '; den d’Alembert’schen Kräften mxR C ; myRC , den (Rückstell-)Kräften Fx ; Fy von der Welle auf die Scheibe (Masse) und dem Gewicht G D mg. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten (12.2) mxR C C Fx D 0; myRC C Fy C G D 0:

Abb. 12.5 Freigeschnittene Rotor-Scheibe

mÿC yC y

Fx r u W F G y

0

x xC

mxC

φ

170

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Mit ' D ˝t und (12.1) erhält man mxR C Fx D

mru ˝ 2 cos ˝t;

myR C Fy D G C mru ˝ 2 sin ˝t:

(12.3)

Die Masse m und die Kräfte Fx ; Fy werden in den drei folgenden Abschnitten ermittelt.

12.3.1 Rotormasse Welches m, welche Rotor- (oder auch Wellen-)Masse muss man in die (12.3) einsetzen? Eine Antwort ist: die (mit)schwingende Masse. Wie man sie systematisch gewinnen kann, überlegen wir uns unten. Meistens, vor allem bei Überschlagsrechnungen, wählt man die in m zu berücksichtigenden Rotorteile per Anschauung oder gemäß Erfahrung. Bei dem Rotor nach Abb. 12.2 könnten es zum Beispiel die in Abb. 12.6 schraffierten Teile sein. (In diesem Fall würden die Wellenenden auch nicht viel zur Masse beitragen.) Man berechnet dann diese Masse. (Falls es den Rotor bereits gibt, kann man ihn auch wiegen und die Gewichte der Wellenendteile abziehen.) Ein systematisches Vorgehen, das auf Energieüberlegungen beruht, zeigen wir anhand von Abb. 12.7. Dort ist für die horizontale Ebene durch die Rotorachse eine Auslenkung w.; t/ – eine momentane Biegelinie – der Welle gezeichnet. Es gelten  – Längskoordinate, t – Zeit, L – Wellenlänge (greift evtl. über Lagerspanne hinaus, falls dort große Massen vorkommen; wir setzen 0    L), x – Auslenkung in x-Richtung gemäß Abb. 12.4 und 12.5. Wir nehmen hier an, dass dies die Auslenkung am Schwerpunkt C des starr gedachten Rotors ist. Für die Biegelinie w.; t/ setzen wir an w.; t/ D W ./  x.t/:

(12.4)

Die Funktion W ./ – die Form der Biegelinie – nennt man auch Formfunktion. Diese Funktion muss man schätzen – also wählen!1 Im einfachsten Fall kann man zum Beispiel eine Parabel ansetzen, die durch die Lager A und B geht: W ./ D c.L  /

(12.5)

und c wählt man so, dass am Schwerpunkt, bei  D lC , gilt W .lC / D 1: Abb. 12.6 Schwingende Masse des Rotors 1

Bei den Finiten Elementen (FE) wählt man lokale Formfunktionen, siehe [56].

(12.6)

12.3 Bewegungsgleichungen

171

Abb. 12.7 Momentane Wellen-Biegelinie

L Δζ C lC A

ζ w(ζ,t)

B x

Man erhält

.L  / : (12.7) lC .L  lC / Andere Schätzungen erfordern mehr Mühe (z. B. kann man W ./ proportional zur Biegelinie infolge Eigengewicht wählen). Man verlangt nun, dass die mit m und xP angeschriebene kinetische Energie dieselbe ist wie die der gebogenen Welle: W ./ D

1 1 mxP 2 D 2 2

ZL ./wP 2 .; t/d :

(12.8)

0

Darin ist µ die Massenbelegung ./ D %A./I

(12.9)

% – Dichte, A D r 2  – Fläche, r D r./ – Radius. Setzt man (12.4) in (12.8) ein, so kann man wegen w.; P t/ D xP  W ./ beide Seiten 2 durch xP =2 dividieren und erhält ZL mD

%A./W 2 ./d :

(12.10)

0

Man sieht: Wenn man eine Vorstellung von der Formfunktion (oder Biegelinie) W ./ hat, kann die Masse über den Rotor beliebig verteilt sein. Die schwingende Masse oder Ersatzmasse m weicht unter Umständen stark von der wahren Masse ab; lC gibt (nur) an, wo man x, y misst.

12.3.2 Rotorsteifigkeit Die in den Bewegungsgleichungen (12.3) auftretenden Kräfte Fx ; Fy zwischen Welle und Rotor (vgl. Abb. 12.5) sind in Abb. 12.8 so eingetragen, wie sie auf die Welle wirken und wir nehmen an, dass sie am Rotorschwerpunkt auf die Welle wirken.

172

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Abb. 12.8 Schnittkräfte Welle – Rotor

A Fy Fx lC B

Von der Welle her gesehen sind diese Kräfte erforderlich, um die Welle elastisch zu verformen und um etwa vorhandene innere Dämpfungen (oder Reibungen) zu überwinden. Zusätzlich wollen wir in Fx und Fy jedoch auch Kräfte aufnehmen, die von außen – über das Arbeitsmedium – auf den Rotor wirken. (Wir werden dafür unten äußere Dämpfungen ansetzen.) In diesem Abschnitt sollen nur elastische Verformungen berücksichtigt werden. Abb. 12.9 zeigt die Verformung in der horizontalen Rotorebene (ein entsprechendes Bild gilt für die vertikale Ebene). Für die hier vorliegenden kleinen Auslenkungen kann man ein lineares (Hooke’sches) Gesetz annehmen (vgl. Abb. 12.10): Fx D kx:

(12.11)

Die Wellensteifigkeit k gewinnt man in der Regel mit Hilfe von Balken-Biegelinien aus einem Taschenbuch [40] (oder mit einem Rechnerprogramm). Im einfachsten Fall, bei einer Welle mit konstanter Biegesteifigkeit EI (vgl. Abb. 12.11) berechnet man die Durchbiegung bei  D lC zu xD

Fx lC2 .L  lC /2 3EIL

(12.12)

Abb. 12.9 Wellenverformung in horizontaler Rotorebene

ζ

Fx x

A

B

lC Abb. 12.10 Lineares (Verformungs-)Gesetz

Fx

x

12.3 Bewegungsgleichungen

173

Abb. 12.11 Welle mit konstanter Biegesteifigkeit

ζ

Fx x EI lC L

Abb. 12.12 Balken-Schnittgrößen

Q w

M EI

0

ζ

und erhält durch Vergleich mit (12.11) die Steifigkeit k zu kD

3EIL : lC2 .L  lC /2

(12.13)

Die meisten Maschinenwellen haben jedoch keinen konstanten Durchmesser, sie sind mehrfach abgesetzt (s. unten). Auch dann kann man (12.13) benutzen, um überschläglich einen groben Anhaltswert für die Steifigkeit zu gewinnen; zum Beispiel um zu entscheiden, ob die Lager(böcke) im Vergleich dazu weich oder hart sind (s. Abschn. 12.2). Bei einer abgesetzten Welle kann man k – wie m in Abschn. 12.3.1 – wieder über eine Energiebetrachtung gewinnen. Abb. 12.12 zeigt das Biegemoment M.; t/ und die Querkraft Q.; t/ an einem Balken mit der Biegesteifigkeit EI D EI./. Sei w.; t/ die Biegelinie. Dann gilt die Biegedifferentialgleichung .w 0 D @w=@ usw.: EIw 00 D M:

(12.14)

Die in einem gemäß w.; t/ gebogenen Balken steckende potenzielle Energie erhält man aus ZL 1 Epot D EI./  Œw 00 .; t/2 d : (12.15) 2 0

Mit (12.14) kann man hierfür auch schreiben

Epot

1 D 2

ZL 0

M 2 .; t/ d  D Epot .t/: EI./

(12.16)

174

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Diese Energie muss (zu jedem Zeitpunkt t) gleich der durch die schraffierte Fläche von Abb. 12.10 wiedergegeben sein: Epot D

1 2 1 Fx2 kx D : 2 2 k

(12.17)

Unabhängig von den Wellendurchmessern erzeugt die Last Fx in der Welle nach Abb. 12.9 eine Momentenlinie, wie in Abb. 12.13 gezeigt: M.; t/ D Fx .t/  Mb ./;

(12.18)

wobei für das bezogene Moment Mb .&/ gilt: 8 .L  l / C ˆ für 0    lC ; >1

m0 α

Ω

α

α=90° Abb. 12.19 Umlaufender Rotor

erhält man aus (12.53), vgl. Abschn. 7.1, (7.8), (7.9), Q j˛ : zO D ru V3 .˝/e

(12.55)

Es ist zweckmäßig, die Ortskurve für den Frequenzgang, die Übertragungsfunktion Q WD zO D V3 e j˛ H3 .˝/ ru

(12.56)

aufzutragen, vgl. Abb. 12.17. Aus Abb. 12.18 liest man ab, wie der Rotor mit der Unwucht umläuft, vgl. Abb. 12.4 und 12.5 mit 12.19a–c. Man sieht: Die Unwuchtkraft lenkt den Rotor aus und zieht ihn gegen die äußere Dämpfungskraft. Vgl. auch die Diskussion im Abschn. 12.6.

12.5 Freie Schwingungen Die der Bewegungsgleichung (12.45) zugeordnete homogene Differentialgleichung lautet mRz C .ba C bi /Pz C .k  j˝bi /z D 0:

(12.57)

z D C e t ;

(12.58)

Der Lösungsansatz vgl. (5.6), führt auf das Eigenwertproblem

2 m C .ba C bi / C k  j˝bi C e t D 0

(12.59)

und die charakteristische Gleichung m2 C .ba C bi / C k  j˝bi D 0:

(12.60)

12.5 Freie Schwingungen

183

Mit !02 D k=m;

Q D =!0 ;

˝Q D ˝=!0 ;

lautet sie

ba D 2Da !0 m;

bi D 2Di !0 m; (12.61)

Q 2 C 2.Da C Di /Q C 1  2Di j ˝Q D 0:

(12.62)

Man erhält die Eigenwerte Q 1=2 D .Da C Di / ˙

q Q .Da C Di /2  1 C 2Di j ˝:

(12.63)

Die allgemeine Lösung von (12.57) lautet nun Q

Q

Q

Q

z D C1 e 1 !0 t C C2 e 2 !0 t D C1 e 1 tQ C C2 e 2 tQ;

(12.64)

mit tQ D !0 t. Abb. 12.20 zeigt die Lage von Q 1 und Q 2 in der komplexen Ebene. Es gilt c 2 D 1 C .Da C Di /2 C 2Di j ˝Q D jc 2 je j  mit tan  D

2Di ˝Q ; 1 C .Da C Di /2

(12.65)

=2 <   :

(12.66)

Abb. 12.20 Eigenwerte in komplexer Ebene

Im λ1

... (Da+Di) C ~ 2Di Ω

γ/2

c2 0

-1+(Da+Di)2

λ2

γ

(Da+Di) - ...

Re

184

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Dann folgt die Wurzel aus (12.63) mit C D jcj zu p : : : D C e j =2 ;

(12.67)

vgl. Abb. 12.20, und Q 1 ; Q 2 liegen an den markierten Stellen. Die Zerlegungen von Q 1 und Q 2 in Real- und Imaginärteil laute Q 1 D ıQ1 C j !Q 1 ;

Q 2 D ıQ2  j !Q 2 :

(12.68)

Aus Abb. 12.20 liest man ab: !Q 1 D !Q 2

und ıQ1 < ıQ2 :

(12.69)

Es erhebt sich die Frage, kann ıQ1 negativ werden? Dann klingt C1 e 1 tQ nicht mehr ab, sondern wächst mit der Zeit (der Rotor wird instabil!). Im Grenzfall muss ıQ1 D 0 gelten und (12.63) liefert dafür: Q

j !Q 1 D .Da C Di / C

q Q .Da C Di /2  1 C 2Di j ˝:

(12.70)

Addiert man auf beiden Seiten .Da C Di / und quadriert dann, so erhält man (für den Grenzfall) (12.71) !Q 1 D 1 und Da D .˝Q  1/Di : Man sieht: Für ˝Q  1 ist (12.71)2 nicht mit positiven Dämpfungszahlen Da ; Di erfüllbar. Für ˝Q > 1 erhält man den Grenzfall, wenn Da =Di D ˝Q  1:

(12.72)

Ist Di größer als dieser Grenzwert, wird ıQ1 negativ. (Übungsaufgabe!) Man zeichnet eine Stabilitätskarte (vgl. Abb. 12.21), aus der man ablesen kann, wann – für welche Parameter Da ; Di – ein stabiler Betrieb der Maschine möglich ist.

Abb. 12.21 Stabilitätskarte

Da /Di 2

stabil instabil

1 0

1

2

3

~ Ω

12.6 Schlüsse aus den Untersuchungen

185

12.6 Schlüsse aus den Untersuchungen Wir haben in diesem Kapitel für die zweifach gelagerte Welle ein einfaches Modell zur Schwingungsuntersuchung hergeleitet. Dabei wurden in horizontaler und vertikaler Richtung je eine Auslenkung (Gesamt-Freiheitsgrad 2) vorgesehen. Das Modell eignet sich zur Untersuchung niederfrequenter Schwingungen – solange die Welle näherungsweise in der angenommenen Form schwingt. Man erhält für die zwei Auslenkungen zwei Bewegungsgleichungen, die über die innere Dämpfung miteinander gekoppelt sind. Da in diesem Modell in beiden Gleichungen dieselben Parameter auftreten, braucht man die Bewegungsgleichungen (noch) nicht mit Hilfe von Matrizen zu untersuchen, sondern kann mit der komplexen Ebene arbeiten. Als Lösung der Bewegungsgleichung(en) fanden wir  in Abschn. 12.4.1 eine Änderung der stationären Biegung durch das Gewicht infolge innerer Dämpfung und Rotation,  in Abschn. 12.4.2 erzwungene Schwingungen mit einem Resonanzbereich infolge (unvermeidbarer) Unwucht,  in Abschn. 12.5 ein mögliches Instabil-Werden der stationären Lösung (das ist Biegung durch Gewicht und erzwungener Schwingung) infolge der inneren Dämpfung bei ˝Q > 1 (das heißt ˝ > !0 ). Welchen Nutzen, welche allgemeinen Schlüsse kann man aus den Ergebnissen ziehen? Wir wollen vorsichtig verallgemeinern: Falls man bei einer Maschine eine Verlagerung der Wellenachse bei Drehzahländerungen beobachtet, kann man Mechanismen, wie sie hinter der inneren Dämpfung stecken, zur Erklärung heranziehen und muss dann auch mit Instabilität rechnen; vgl. auch Abschn. 14.1.3.5. (Auch der Ölfilm von Gleitlagern kann drehzahlabhängige Wellenverlagerungen und Instabilität bewirken.) Eine Unwucht erzeugt eine mit der Drehfrequenz ˝ (Drehzahl n D 60˝=2) umlaufende Auslenkung, die bei isotroper Lagerung (horizontal und vertikal gleiche Steifigkeit) für den Rotor eine quasistatische Last, für die Lager eine harmonisch schwingende Last bedeutet. In der Umgebung von ˝Q D 1, also in einem ˝-Bereich um die Eigenfrequenz !0 , treten sehr große Ausschläge auf. Man nennt dann auch ˝krit D !0 eine kritische Drehgeschwindigkeit (kritische Drehzahl). Einen fortdauernden Betrieb im Bereich der kritischen Drehzahl – vgl. schraffiertes Gebiet in Abb. 12.22 – muss man vermeiden. Nach Abb. 12.22 wäre ein Betrieb bei ˝  !0 wünschenswert. Das ist heute jedoch nicht möglich, weil erstens die Produktivität der Maschine bei kleinem ˝ zu gering ist und zweitens, ebenfalls aus Kostengründen, Maschinen möglichst leicht und nicht steif (mit großem !0 ) gebaut werden.

186

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Abb. 12.22 Amplitude im Bereich der kritischen Drehzahl

x

0

ω0=Ωkrit.

Ω

Man wählt den Betriebsbereich oberhalb von !0 , sodass man genügend weit vom kritischen Bereich – bei mehreren Eigenfrequenzen von den kritischen Bereichen – entfernt ist. Den kritischen Bereich – oder die kritischen Bereiche – muss man beim An- oder Abfahren der Maschine möglichst rasch durchlaufen (dazu ist eine Leistungsreserve erforderlich). Das Instabil-Werden der stationären Lösungen infolge der inneren Dämpfung führt auf sogenannte Selbsterregte Schwingungen (bekannt sind solche vor allem als Ratterschwingungen). Diese Schwingungen wachsen nur während einer kleinen Zeit exponentiell mit der Zeit, wie in unserem Modell. Sehr rasch werden – bei etwas größeren Auslenkungen – nichtlineare Terme in den Gleichungen wirksam und begrenzen die Amplituden der sich einstellenden Schwingungen. Von den Unwuchtschwingungen unterscheiden sich die selbsterregten einmal dadurch, dass sie nicht mit der Drehfrequenz ˝ ablaufen, sondern weitgehend unabhängig von ˝ mit der etwa festen Frequenz !1 < ˝, vgl. Abschn. 12.5. Trägt man die Amplitude xO einer selbsterregten Schwingung über der Drehfrequenz ˝ auf, so erhält man zum Beispiel einen Verlauf wie in Abb. 12.23, der sich im allgemeinen deutlich von der Resonanzkurve in Abb. 12.22 unterscheidet. Sieht man sich in Abschn. 12.5 die Terme an, die das Instabil-Werden einer Maschine bei ˝ > !0 verhindern – und die meisten Maschinen laufen bei ˝ > !0 –, so stößt man auf die äußere Dämpfung als einzigen stabilisierenden Parameter. Zwar bereitet die Instabilität bei sehr hohen Drehzahlen Kopfzerbrechen, und Flugtriebwerke enthalten Quetschöldämpfer, um die äußere Dämpfung zu erhöhen, doch laufen die meisten Maschinen auch so – warum? So beliebt unser Modell ist, es muss einen Mangel haben. – Eine Antwort kann man aus den Stabilitätskarten in Abb. 14.7 ablesen.

Abb. 12.23 Amplitudenverlauf selbsterregte Schwingung

x Unwuchtschwingungen

0

Selbsterregte Schwingung

ω0

Ω

12.7

Aufgaben

187

12.7 Aufgaben Aufgabe 12.1 Wie muss man W ./ in (12.10) wählen, damit sich als (Ersatz-)Masse m die Masse der in Abb. 12.6 schraffierten Rotorteile ergibt? (Hinweis: Die Teilchen müssen identische Geschwindigkeit haben.) Aufgabe 12.2 Gegeben sei der in Abb. 12.24 skizzierte Rotor mit den Abmessungen R und l sowie der Dichte . Berechnen Sie m mit Hilfe von (12.10). (Schätzen Sie m vor der Rechnung!) Aufgabe 12.3 Gegeben sei der in Abb. 12.25 skizzierte Turbinenläufer mit den Abmessungen R und l sowie der Dichte . Berechnen Sie m mit Hilfe von (12.10). (Schätzen Sie m vor der Rechnung!) Aufgabe 12.4 Gegeben sei der zylindrische Rotor (Abb. 12.26) mit den Abmessungen R und l sowie der Dichte . Berechnen Sie die (statische) Biegelinie w./ unter der Einwirkung des Wellengewichtes. Entwickeln Sie die Formfunktion W ./ aus w./ und setzen Sie sie statt (12.7) in (12.10) ein; berechnen Sie damit m. Wie unterscheidet sich dieses m von einem mit (12.7) gewonnenen? Aufgabe 12.5 Kontrollieren Sie die Formel (12.12).

Abb. 12.24 Abgesetzte Welle

R

R

3R

l 4

l 2 l Abb. 12.25 Kegelförmiger Rotor

R

R

3R 2R l 4

l 2 l Abb. 12.26 Zylindrischer Rotor

R g l

188

12

Der starr gelagerte Rotor mit einfacher Durchbiegung

Aufgabe 12.6 Die Maschinenwelle nach Abb. 12.11 habe eine Länge L D 2.0 m, einen Durchmesser d D 100 mm, es sei lC D 1:2 m und E D 2:1  1011 N/m2 (Elastizitätsmodul von Stahl). Berechnen Sie die Steifigkeit k nach (12.13) in N/m, N/mm und N/µm. Welche elastische Energie steckt bei einer Durchbiegung von x D 1 mm in der Welle? (Vgl. schraffierte Fläche in Abb. 12.10.) Aufgabe 12.7 Kontrollieren Sie (12.12) mit (12.21). Aufgabe 12.8 Berechnen Sie die Wellensteifigkeit k gemäß (12.21) für den Rotor aus Abb. 12.24. Aufgabe 12.9 Berechnen Sie die Steifigkeit der Welle nach Abb. 12.11 mit W ./ gemäß (12.7) nach (12.24). Aufgabe 12.10 Zeigen Sie für die Drehmatrix R z .'/ nach (12.35)2 : R z .'1 /R z .'2 / D R z .'1 C '2 /. Aufgabe 12.11 Schreiben Sie die Bewegungsgleichungen (12.43) in Matrizenform: ! ! ! :: :: xR :: :: C :: :: yR :: :: ! :: :: C :: ::

xP yP x y

! !

! ! :: 2 :: C mru ˝ DG : :: ::

Aufgabe 12.12 Schreiben Sie in (12.49) den Ausdruck ˝bi =k mit bi DW 2Di !0 m usw. dimensionslos. Aufgabe 12.13 Passen Sie die allgemeine Lösung (12.64) an die Anfangsbedingungen P D vx0 ; y.0/ P D vy0 an; vgl. auch (12.45). x.0/ D x0 ; y.0/ D y0 ; x.0/ Aufgabe 12.14 Nehmen Sie für die Anfangswerte von Aufgabe 12.3 und für Da ; Di Zahlenwerte an, z. B. .Da ; Di / D .0:1; 0:05/; .0:05; 0:1/ sowie ˝Q D 0.5; 1.0; 1.5 und berechnen Sie die Bahnkurve z(t) des Wellendurchstoßpunkts W.

13

Anisotrope Lagerungen

Sehr oft sind die Lager von Rotoren gar nicht steif im Verhältnis zur Welle und dürfen dann nicht als starr angenommen werden. In der Regel haben sie auch horizontal und vertikal unterschiedliche Steifigkeiten, sie sind anisotrop. In diesem Kapitel wollen wir den Einfluss nachgiebiger Lagerböcke auf die Wellenschwingungen untersuchen.

13.1 Aufgabenstellung Es gibt keine einheitliche Form der Lagerung von Rotoren. Die Lager können am Gehäuse angegossen sein, sie können auf eigenen Böcken vom Gehäuse getrennt stehen. Wir wollen hier annehmen, dass zwei Böcke die beiden Rotorlager und das Gehäuse tragen (Abb. 13.1). Die beiden Böcke stehen auf je einem I-Träger, dessen Enden auf festem Mauerwerk ruhen. Das Maschinengehäuse ist – etwa in Zapfenmitte – an den Böcken aufgehängt und auch dort gegen Verdrehen gesichert. Wegen der langen Träger ist die Lagerung hier sicher nicht starr (selbst wenn die Lagerböcke relativ steif sind). Gefragt ist nach dem Einfluss der nachgiebigen Lagerung auf die Maschinenschwingungen. Für den Rotor sollen bei der Untersuchung die Annahmen aus Kap. 12 übernommen werden. a

b

h1 A

B

A

EI l1

h l2

B

Abb. 13.1 Nachgiebige Lagerung. a Schema, b Abmessungen © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_13

189

190

13

Abb. 13.2 Lagerung Kräfte

Anisotrope Lagerungen

FyL FxL h1 A

EI l1 FyL

h B

l2 EI

ML FxL

13.2 Modell Wir fragen hier zunächst nach den Nachgiebigkeiten eines Lagerbocks. In der Praxis ist das eine sehr schwierige Frage, weil – wie hier – der Bock nicht auf einem starren Fundament ruht. Sehr oft ist die Gründung des Lagerbocks nachgiebiger als dieser selbst. In unserem Fall nehmen wir an, dass der Lagerbock starr ist und auf einem Balken der Biegesteifigkeit EI steht, der bei A und B gelenkig gelagert ist. Abb. 13.1b zeigt die wesentlichen Abmessungen, es gelte h  l1 ; l2 . Wenn wir die versteifende Wirkung der Grundplatte des Lagerbocks auf den Balken vernachlässigen, können wir ihn als Durchlaufträger mit den Lasten FxL ; FyL und ML WD h1 FxL ansehen, vgl. Abb. 13.2. Dabei sind FxL und FyL die im Zapfenmittelpunkt am Lagerbock angreifend gedachten Kräfte, die vom Rotor und dessen Gehäuse herrühren. Das Gewicht des Lagerbocks und des Trägers lassen wir außer Acht.

13.3 Steifigkeit des Lagerbocks Abb. 13.3 zeigt am Lagerbock die Auslenkungen xL ; yL infolge der wirkenden Kräfte FxL ; FyL . Gesucht ist der Zusammenhang zwischen .xL ; yL / und .FxL ; FyL /.

Abb. 13.3 Auslenkungen am Lagerbock

FyL FxL

yL 0

xL

13.3

Steifigkeit des Lagerbocks

191

Abb. 13.4 Kräfte und Momente am Balken. a Lasten, b Momentenlinien

a

FyL

FA

FB

ML FxL

b

l

M M2 M1 M3

ξ

0

l1

l x

Hinweis Es ist nur nach dem Zusammenhang zwischen .xL ; yL / und .FxL ; FyL / und nicht nach der Biegelinie des Balkens gefragt. Wenn wir den Zusammenhang finden, ohne die Biegelinie zu berechnen, ist die Frage beantwortet.

13.3.1 Berechnen der Lagersteifigkeiten nach dem ersten Satz von Castigliano (vgl. Anhang, Abschn. B.4) Um den ersten Satz von Castigliano anzuwenden, müssen wir die innere Arbeit W i im Balken A–B durch die Lasten FxL und FyL ausdrücken, vgl. Abb. 13.4. Da wir nur Biegeverformungen im Balken berücksichtigen, gilt 1 W D 2

Zl

i

M 2 .x/ 1 dx D EI 2EI

0

Zl M 2 .x/dx:

(13.1)

0

Darin ist M.x/ die Momentenlinie nach Abb. 13.4b. Mit den Parametern aus Abb. 13.2 gelten in Abb. 13.4 Lagerkräfte: FA D .l2 FyL C h1 FxL /= l; Momente: M1 D l1 l2 Fyl = l;

FB D .l1 FyL  h1 FxL /= l;

M2 D .l1 l2 Fyl C h1 l1 Fxl /= l;

M3 D .l1 l2 Fyl  h1 l2 Fxl /= l:

(13.2) (13.3)

Momentenlinie M.x/ – vgl. auch  WD l  x in Abb. 13.4b cM.x/ D FA x D .l2 FyL C h1 FxL /= l  x M.x/ D FB  D .l1 FyL  h1 FxL /= l  

für 0  x  l1 ; für 0    l2 :

(13.4)

192

13

Anisotrope Lagerungen

Einsetzen von (13.4) in (13.1) liefert Zl1 Zl2 1 1 2 2 2 2 2 cW D .l2 FyL C h1 FxL / = l  x dx C .l1 FyL  h1 FxL / = l   2 d  2EI 2EI 0 0   3 1 l13 l D .l2 FyL C h1 FxL /2 = l 2 C 2 .l1 FyL  h1 FxL /2 = l 2 D W i .FxL ; FyL /: 2EI 3 3 (13.5) Nach dem ersten Satz von Castigliano erhält man die Auslenkungen xL und yL aus i

xL D zu

@W i ; @FxL

yL D

@W i : @FyL

(13.6)

h21 .l13 C l23 / h1 l1 l2 .l1  l2 / FxL C FyL ; 2 3EIl 3EIl (13.7) h1 l1 l2 .l1  l2 / l 2l 2 yL D FxL C 1 2 FyL : 3EIl 3EIl Mit den Verformungseinflusszahlen oder Nachgiebigkeiten hkl , s. Abschn. B.4, xL D

h21 .l13 C l23 / ; 3EIl 2 h1 l1 l2 .l1  l2 / D ; 3EIl

h11 D h21

h1 l1 l2 .l1  l2 / ; 3EIl l 2l 2 D 1 2 3EIl

h12 D h22

(13.8)

lauten die (13.7) xL D h11 FxL C h12 FyL ; yL D h21 FxL C h22 FyL ;

(13.9)

in Matrixschreibweise xL D H FL ;

(13.10)

mit den Spaltenmatrizen der Auslenkungen, der Kräfte bzw. der Nachgiebigkeitsmatrix ! ! ! xL FxL h11 h12 xL WD ; FL D ; H D : (13.11) yL FyL h21 h22 Wegen der Symmetrie der Nachgiebigkeitsmatrix, H D H T , also hkl D hlk , vgl. (B.21), liest man gelegentlich ! h11 h12 : (13.12) H D h12 h22 Wenn det H ¤ 0, diese Bedingung ist hier erfüllt, führt die Umkehrung von (13.10) auf FL D H 1 xL ;

also

FL D K xL ;

(13.13)

13.3

Steifigkeit des Lagerbocks

193

a

b

h1

FyS

EA

h1+yL

h

EI l1

EA l1+xL

B

A

FxS

l2

Abb. 13.5 Verspannter Lagerbock. a Gesamtbild, b Spannstange

mit der Steifigkeitsmatrix, Abschn. B.5, K DH

1

! k12 : k22

k11 D k21

(13.14)

Auch sie ist symmetrisch, K D K T , ihre Elemente, die Krafteinflusszahlen kkl erfüllen kkl D klk ; hier gelten, vgl. (13.8), k11 D

3EIl ; h21 l1 l2

k12 D k21 D

3EIl.l2  l1 / ; h1 l12 l22

k22 D

3EIl.l12  l1 l2 C l22 / : l13 l23

(13.15)

Ausführlich lautet (13.13)2, vgl. (13.9), ! FxL FyL

! k11 D k21

k12 k22

! xL : yL

(13.16)

13.3.2 Einbau eines Versteifungselements – der zweite Satz von Castigliano Aufgabe: Man befürchtet, dass der Lagerbock nach Abb. 13.1b zu weich, das heißt zu nachgiebig ist (die hkl sind zu groß). Deshalb will man ihn durch eine Stange – einen Stab der Dehnsteifigkeit EA – versteifen, die, wie in Abb. 13.5 gezeigt, mit dem einen Ende am Lager A, mit dem anderen am Lagerbock angelenkt ist. Wie groß muss man EA wählen, damit eine nennenswerte Versteifung (von vielleicht 20 %) erzielt wird? Wir berechnen die durch die Stange erzeugten Zusatzkräfte .FxS ; FyS / (vgl. Abb. 13.5b) und addieren sie zu .FxL ; FyL / nach Abb. 13.3. Wir vernachlässigen die Abmessungen der Anschlussköpfe der Stange und setzen ihre unverformte Länge mit q lS 0 D

h21 C l12

(13.17)

194

13

Anisotrope Lagerungen

an (vgl. Abb. 13.5); beachte .h  l1 ; l2 ; h1 /. Abb. 13.5b zeigt die belastete und durch die Lagerauslenkungen xL ; yL verformte Stange. Sie hat die Länge p lS D .l1 C xL /2 C .h1 C yL /2 : (13.18) Die Verlängerung der Stange beträgt lS D lS  lS 0 D

q p .l1 C xL /2 C .h1 C yL /2  h21 C l12 :

(13.19)

Dann lautet die Stangenkraft FS D EA lS = lS 0 ;

(13.20)

und die in der Stange gespeicherte innere Arbeit beträgt Wi D

1 1 . lS /2 : FS  lS D EA 2 2 lS 0

(13.21)

Setzt man lS aus (13.19) hier ein, so erhält man W i D W i .xL ; yL /:

(13.22)

Nach dem zweiten Satz von Castigliano gelten FxS D

@W i ; @xL

FyS D

@W i : @yL

(13.23)

Man erhält mit (13.21) und (13.19) EA.l1 C xL / lS @ lS lS D p ; lS 0 @xL lS 0 .l1 C xL /2 C .h1 C yL /2 EA.h1 C yL / lS @ lS lS D EA D p : lS 0 @yL lS 0 .l1 C xL /2 C .h1 C yL /2

FxS D EA FyS

(13.24)

Diese Gleichungen sind bezüglich xL und yL noch nichtlinear.

13.3.2.1 Linearisieren der Gleichungen Wir gehen in 3 Schritten vor: 1. In (13.24) werden xL und yL wie folgt ersetzt (" kleiner Parameter): xL ) "xL ;

yL ) "yL I

(13.25)

dadurch entstehen FxS ."/; FyS ."/; die Abhängigkeit von EA, l1 ; h1 ; xL ; yL bleibt hier im Hintergrund.

13.3

Steifigkeit des Lagerbocks

195

2. Für FxS ."/; FyS ."/ werden die linearen Glieder der (Taylor)Reihen nach " am Punkt " D 0 angeschrieben, zum Beispiel: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ @FxS ˇ ˇ @FyS ˇ ˇ ˇ : ˇ ˇ FxS ."/ D FxS .0/ C "  ˇ ; FyS ."/ D FyS .0/ C "  ˇ @" ˇ"D0 @" ˇ"D0

(13.26)

(Die Ausdrücke FxS .0/; FyS .0/ verschwinden hier, weil lS ."/ D 0 für " D 0.) 3. Mit " D 1 liefert (13.26) die linearisierten Gleichungen. Man erhält auf diese Weise aus (13.24) FxS D EA

l12 h1 l1 xL C EA 3 yL ; 3 lS 0 lS 0

FyS D EA

h1 l1 h21 x C EA yL I L lS3 0 lS3 0

(13.27)

in Matrixschreibweise: FS D KS xL ; ! FxS FS D ; FyS

wo

(13.28) !

k KS D 11S k21S

k12S k22S

(13.29)

k22S D EAh21 = lS3 0 :

(13.30)

und, mit lS 0 nach (13.17), k11S D EAl12 = lS3 0 ;

k12S D k21S D EAh1 l1 = lS3 0 ;

13.3.2.2 Wirksame Steifigkeiten Am Lagerbock – am Zapfen – addieren sich die Kräfte FL und FS . Für die Gesamtkräfte folgt aus (13.13)2 und (13.28) Fges D FL C FS D .K C KS /xL :

(13.31)

In der Aufgabenstellung wurde gefragt, wie groß EA gewählt werden muss, damit durch die Stange eine Zusatzsteifigkeit von 20 % erzeugt wird: Vergleicht man k11 nach (13.15)1 und k11S nach (13.30)1 und setzt k11S D 0:2k11 folgt: EA q

l12

h21

C

3 D 0:2 l12

3EIl : h21 l1 l2

(13.32)

Dies ist eine Gleichung für EA. Um einen Eindruck von der Größenordnung von EA zu gewinnen, setzen wir in (13.32) l1 D l=3; h1 D l=4 und erhalten, wenn wir E herauskürzen: I A D 162  2 : (13.33) l

196

13

Anisotrope Lagerungen

Schreibt man I D AI iI2 (AI -Trägerquerschnitt, iI -Trägheitsradius), so folgt  A D 162AI

iI l

2 :

(13.34)

Da iI die Größenordnung der Trägerhöhe h hat, wird .iI = l/2  1, es ergibt sich eine sehr kleine Fläche A. (Das Verspannen von Bauteilen ist sehr steifigkeitswirksam, falls man feste Punkte – hier das Lager A – hat.)

13.4 Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehängter Masse Wie erwähnt, ist die Modellbildung für Lagerungen nicht einfach, weil man die Nachgiebigkeiten der Anschlussstellen – Fundamente, Mauerwerk – häufig nur sehr grob schätzen kann. Bei größeren Anlagen führt man deshalb während des Aufbaus auch Messungen an fertiggestellten Teilsystemen durch, um die getroffenen Annahmen zu überprüfen und – falls erforderlich – Änderungen vorzunehmen. Stellen wir uns vor, einer der Lagerböcke der Maschine sei aufgebaut, Rotor und Maschinengehäuse fehlen noch. Um die getroffenen Annahmen zu überprüfen, soll eine Masse m (entsprechend etwa der halben Gehäuse- und Rotormasse) in das Lager eingehängt und angestoßen werden, um anhand der gemessenen Eigenschwingungen (Eigenfrequenzen) die Steifigkeiten festzustellen. In einem weiteren Versuch soll der Bock (mit der Masse m) durch einen Unwuchtschwinger erregt werden. Wir betrachten den ersten Versuch hier im Abschn. 13.4, den zweiten im Abschn. 13.5.

13.4.1 Modell und Bewegungsgleichungen Abb. 13.6 zeigt den Lagerbock mit der eingehängten Masse m. Der Körper ist drehbar im Lager eingehängt, da man andernfalls die durch das Kippen des Bocks (vgl. Winkelauslenkung in Abb. 13.3) bewirkte Drehträgheit der Masse beachten müsste. Ferner soll die Masse m so groß sein, dass man ihr gegenüber die Masse des Bocks und des Trägers vernachlässigen kann. Abb. 13.7 zeigt die Schnittbilder für Bock und Zusatzmasse. Am Bock greifen die Kräfte .FxL ; FyL / an, die Masse ist mit .xL ; yL / ausgelenkt, vgl. Abb. 13.3. Neben .FxL ; FyL /

Abb. 13.6 Versuchsaufbau für Eigenschwingungen

m

A

B

13.4

Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehängter Masse

Abb. 13.7 Schnittbilder zum Eigenschwingungsversuch

197 b

a

FyL

FxL

yL

FxL

0 A

mÿL mxL

FyL xL

m B

wirken die d’Alembert’schen Kräfte .mxR L ; myRL /. (Das Gewicht – als statische Kraft – bleibt unbeachtet.) Die Gleichgewichtsbedingungen für die Massen lauten, vgl. Abb. 13.7b, mxR L C FxL D 0;

myRL C FyL D 0:

(13.35)

Mit .FxL ; FyL / nach (13.16) erhält man die beiden Bewegungsgleichungen mxR L C k11 xL C k12 yL D 0; myRL C k21 xL C k22 yL D 0:

(13.36)

In Matrizenschreibweise, mit der Steifigkeitsmatrix K aus (13.14) oder (13.31) und der Massenmatrix ! m 0 ; (13.37) M WD 0 m lauten sie Mx R L C K xL D 0:

(13.38)

13.4.2 Eigenschwingungen des Lagerbocks Für die Bewegungsgleichung (13.36) folgen analog zu Abschn. 9.3.2 das homogene Gleichungssystem ! ! ! xO L 0 m C k11 k12 ; (13.39) D 0 k21 m C k22 yOL und seine charakteristische Gleichung k11 C k22 k11 k22  k12 k21 D0 C m m2

(13.40)

o p 1 n .k11 C k22 /  .k11  k22 /2 C 4k12 k21 : 2m

(13.41)

2 

mit den Lösungen

1;2 D

198

13

Anisotrope Lagerungen

Zu D k folgt aus der ersten Zeile von (13.39) der Eigenvektor xO L x Ok D yOL

! k

! kQ12 D : m k  k11

(13.42)

Zahlenwerte der Systemparameter Bezugsgrößen: LR D l;

mR D m;

kR D 27EI=L3R ;

!R D

p

kR =mR I

(13.43)

Bezogene Größen: tQ D !R t;

! D !! Q R;

li D lQi LR ;

h1 D h1 LR ;

ki l D kQi l kR I

(13.44)

Zahlenwerte: lQ D 1; lQ1 D 1=3; lQ2 D 2=3; hQ 1 D 1=4; kQ11 D 8; kQ12 D kQ21 D 3; kQ22 D 27=8:

m Q D 1;

(13.45)

Damit berechnet man die Eigenlösungen (gerundet) !Q 1 D 1:378;

x O 1 D .0:4413; 0:8974/T;

!Q 2 D 3:078;

x O 2 D .0:8974; 0:4413/T:

(13.46)

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (13.38) lautet, vgl. (9.35)3 und (9.36): x.t/ D

2 X

.ack cos !Q k tQ C ask sin !Q k tQ/Oxk

kD1

! 0:4413 .ac1 cos !Q 1 tQ C as1 sin !Q 1 tQ/ D 0:8974 ! 0:8974 .ac2 cos !Q 2 tQ C as2 sin !Q 2 tQ/; C 0:4413

(13.47)

13.4.2.1 Ausdeuten der Schwingungen Bei geeigneten Anfangsbedingungen schwingt das System mit ac2 D 0; as2 D 0 gemäß x1 .t/ D x O 1 .ac1 cos !Q 1 tQ C as1 sin !Q 1 tQ/ ! 0:4413 .ac1 cos !Q 1 tQ C as1 sin !Q 1 tQ/; D 0:8974 Dies ist die erste Eigenschwingung.

(13.48)

13.4

Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehängter Masse

199

Wählt man die Anfangsbedingungen so, dass ac1 D 0; as1 D 0, schwingt das System gemäß O 2 .ac2 cos !Q 2 tQ C as2 sin !Q 2 tQ/ x2 .t/ D x ! (13.49) 0:8974 .ac2 cos !Q 2 tQ C as2 sin !Q 2 tQ/ D 0:4413 in der zweiten Eigenschwingung. Abb. 13.8 verdeutlicht diese Schwingungen am Lagerbock. Gewählt wurden dort a) b)

ac1 D 0:5 mm, as1 D 1:2 mm, ac2 D 0, as2 D 0 ac1 D 0, as1 D 0, ac2 D 0:2 mm, as2 D 0:7 mm

Hinweis 1 Die Bilder machen deutlich, dass die Eigenschwingungen x1 .t/ und x2 .t/ senkrecht aufeinander stehen, denn es gilt (vgl. Hinweis 1 in Abschn. 10.1.1) O 2 D mOxT1 I x O 2 D mOxT1 x O 2 D 0: x O T1 M x

(13.50)

Addiert man die beiden Lösungen x1 .t/, x2 .t/, wie sie in Abb. 13.9 aufgezeichnet sind, setzt man in (13.47) also ac1 D 0:5 mm, as1 D 1:2 mm, ac2 D 0:2 mm, as2 D 0:7 mm, so erhält man für 0 D !R t0  !R t  !R te D 11:5 für .xL .tQ/; yL .tQ// den in Abb. 13.9a gezeigten Verlauf. Man nennt ein solches Bild Lissajous-Figur. Im allgemeinen Fall – wie hier – ist die Gesamtbewegung unperiodisch. Lässt man den Schwinger länger laufen, q q 2 2 2 2 C as1 x O 1 und ˙ ac2 C as2 x O 2 aufgespannte Rechteck bei irratiowird das durch ˙ ac1 nalem Frequenzverhältnis !Q 1 =!Q 2 allmählich überdeckt, vgl. Abb. 13.9b.

Hinweis 2 Bei rationalen Frequenzverhältnissen !1 =!2 wird x.t/ periodisch, die Lissajous-Figuren bilden geschlossene Kurvenzüge, vgl. Abschn. 1.3.2.

a

yL mm 1

b

yL mm 1

x1(t) ω1=1.37...

x2

x1 1 xL mm

-1 -1

0

-1 -1

Abb. 13.8 Am Lager beobachtete Eigenschwingungen. a x1 (t), b x2 (t)

x2(t) ω2=3.07... 1 xL mm

200

13 b 1.5

1.5

1

1 to

0.5

yL / mm

yL / mm

a

Anisotrope Lagerungen

0

0.5 0

-0.5

-0.5 te

-1

-1 -1.5

-1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x L / mm

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x L / mm

2

1

1.5

2

Abb. 13.9 Am Lager beobachtete freie Schwingungen des Lagerbocks (Lissajous-Figuren). a Kurzzeitig, b langfristig

13.4.3 Der Einfluss von Dämpfung auf die Eigenschwingungen – allgemein Wir fügen zu den Bewegungsgleichungen (13.36), (13.38) ohne besondere Begründung Dämpfungsterme hinzu und untersuchen, wie sie in die Bewegungsgleichungen eingehen.

13.4.3.1 Bewegungsgleichungen mit Dämpfung Parallel zu den Kraft-Einflusszahlen ki l führt man Dämpfungs-Einflusszahlen bi l ein und setzt für die Dämpferkräfte an, vgl. (13.16), ! ! ! D FxL b11 b12 xP L D : (13.51) FylD b21 b22 yPL Matrixschreibweise: P LI FD L D Bx

b B D 11 b21

! b12 : b22

(13.52)

Mit Dämpfung lautet die Bewegungsgleichung, vgl. (13.35) bis (13.38) und Kap. 10, P L C K xL D 0: Mx RL C Bx

(13.53)

Achtung! Die in Abschn. 12.5 herausgestellte destabilisierende Wirkung der inneren Dämpfung tritt hier nicht auf; jener Effekt entstand aus dem Zusammenwirken der Drehung des nachgiebigen Rotors mit seiner inneren Dämpfung.

13.4.3.2 Eigenschwingungen Der Exponentialansatz x D xL D xe O t führt hier auf das Eigenwertproblem .M 2 C B C K /xO D 0;

(13.54)

13.4

Eigenschwingungen des Lagerbocks mit angehängter Masse

201

parallel zu Abschn. 9.3. Dazu gehört die charakteristische Gleichung ./ WD det.M 2 C B C K / D 0; ˇ ˇ ˇm 2 C b11  C k11 D ˇ 11 2 ˇm21  C b21  C k21

ˇ ˇ m12 2 C b12  C k12 ˇ ˇ: m22 2 C b22  C k22 ˇ

(13.55) (13.56)

Multipliziert man diese Determinante aus, erhält man die charakteristische Gleichung in der Form a4 4 C a3 3 C a2 2 C a1  C a0 D 0; (13.57) mit a0 D det K D k11 k22  k12 k21 ; a1 D b11 k22  b12 k21  b21 k12 C b22 k11 ; a2 D .k11 m22  k12 m21  k21 m12 C k22 m11 / C .b11 b22  b12 b21 /;

(13.58)

a3 D b11 m22  b12 m21  b21 m12 C b22 m11 ; a4 D det M D m11 m22  m12 m21 : Hinweise Die charakteristische Gleichung (13.57) lässt sich im allgemeinen nur numerisch lösen. (Für 2 Gleichungen, also ein System 4. Ordnung gibt es zwar noch Formeln, doch sind die numerischen Verfahren meistens effektiver.) Die Eigenwerte k sind meistens komplex, vgl. Abschn. 5.3.2, bei sehr großen Dämpfungskoeffizienten bi l treten auch reelle k auf. Da in (13.57) alle Koeffizienten der -Potenzen reell sind, ist mit  D k komplex auch die komplex konjugierte Zahl N k Lösung (Wurzel, Eigenwert) der Aufgabe. Die Eigenwerte treten also paarig komplex konjugiert auf: k ; N k , und/oder reell: k . Da die Gesamtzahl gerade ist, gibt es ggf. also auch eine gerade Anzahl reeller Eigenwerte. O k entsprechend dem Vorgehen in Zum Eigenwert k berechnet man den Eigenvektor x Abschn. 9.3.1. Zu einem komplexen Eigenwert k gehört im allgemeinen ein komplexer O k /; die konjugiert komplexe EigenEigenvektor x O k , also die komplexe Eigenlösung .k ; x O k /. lösung .N k ; xNO k / nennen wir .k ; x O k / schreibt man die Eigenschwingung Zur Eigenlösung .k ; x O k e k t xk .t/ D ck x

(13.59)

an, vgl. (9.35)1. Die allgemeine Lösung von (13.53) lautet x.t/ D

nD2 X kD1

.xk .t/ C xk .t// D

nD2 X

O k e k t C ck x O k e k t : ck x kD1

(13.60)

202

13

Anisotrope Lagerungen

13.4.4 Schwach gedämpfte Eigenschwingungen des Lagerbocks 13.4.4.1 Untersuchung mit Hilfe von Störungsrechnung Oft kennt man die ungedämpften Eigenschwingungen, die Eigenlösungen .!k ; xO k / eines Systems und will die Wirkung einer schwachen Dämpfung abschätzen. Dann bietet sich eine Störungsrechnung an. Das Klein-Sein der Dämpfung kennzeichnen wir in (13.53) durch den dimensionslosen kleinen Faktor " vor dem Dämpfungsglied, (vgl. Abschn. 13.3.2.1): M xR C "B xP C K x D 0: (13.61) Beim Exponentialansatz (13.54) hängen dann xO und  von " ab. Wir fragen konkret, wie die k-te ungedämpfte Eigenlösung .!k ; xO k / gestört wird und setzen im Sinne einer Taylorreihe mit Gliedern "0 ; "1 ; "2 ; : : : an: " ."/t D x Ok C " x.t; "/ D x."/e O

X

# al x O l C "2    e .j!k t C" t C"

2  /

:

(13.62)

l

Dabei darf in der eckigen Klammer der Faktor bei x O k gleich 1 gesetzt werden, denn (13.61) ist homogen. Ferner erfasst x O k gemeinsam mit den in der Summe stehenden anderen Eigenvektoren x O l ; l ¤ k, alle Bewegungsmöglichkeiten des Systems. Im Exponenten bedeutet "  die mit " lineare Änderung des Eigenwerts. Dabei kann  ebenso wie die al reell oder komplex sein. Mit x; xP und xR gemäß (13.62) folgt aus (13.61) Œ.!k2 C 2"j!k  C "2 : : :/M C ".j!k C "  C "2 : : :/B C K  ! X 2 al x O l C " : : : D 0: x Ok C "

(13.63)

l

  O k D 0, verbleibt bis auf Glieder Subtrahiert man die ungestörte Gleichung !k2 M C K x 2 " usw. X  al x O l C "j!k Œ2 M C BOxk D 0: (13.64) " K  !k2 M l

Multiplikation von links mit

x O Tk

liefert bei Orthogonalität, vgl. Abschn. 10.1,

Ok C x O Tk B x O k D 0; 2 OxTk M x also  D 

Ok O Tk B x 1x : T 2x Ok M x Ok

(13.65)

(Durch Multiplikation mit x O Tl kann man die Koeffizienten al gewinnen; Aufgabe 13.20.)

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks

203

13.4.4.2 Zahlenbeispiel für den Lagerbock Im Anschluss an die Abschn. 13.4.1 und 13.4.2 schreiben wir (13.61) wie folgt an ! ! ! 0:1 0:05 kQ11 kQ12 1 0 x P L C kR x RL C b mR (13.66) xL D 0: 0:05 0:05 0 1 kQ21 kQ22 Darin sind die Zahlenwerte von B willkürlich gewählt, und b ist zunächst ein Dimensionsfaktor. Mit tQ D !R t, vgl. Abschn. 13.4.2, folgt aus (13.66) nach Division durch kR ! ! ! b kQ11 kQ12 1 0 ıı 0:1 0:05 ı xL C p xL C (13.67) xL D 0: 0 1 kQ21 kQ22 kR mR 0:05 0:05 p Wir wählen b= kR mR D 1. O k / des ungedämpften Lagerbocks lauten, vgl. (13.46), Die Eigenlösungen .!Q k ; x .!Q 1 I x O 1 / D .1:37828; .0:4413; 0:8974/T/; .!Q 2 I x O 2 / D .3:07820; .0:8974; 0:4413/T/:

(13.68)

Damit erhält man aus (13.65) Q 1 D 0:0101;

Q 2 D 0:0649:

(13.69)

Q 2;2  ˙3:078j  0:0649:

(13.70)

Mithin lauten die (bezogenen) Eigenwerte Q 1;1  ˙1:378j  0:0101;

Vom praktischen Standpunkt aus ist es wichtig, dass die Realteile der Eigenwerte negativ sind, die Schwingungen also abklingen. Hinweis 1 Der kleine Faktor " erscheint in (13.67) – also auch in (13.69), (13.70) – nicht explizit. (Wenn man will, kann man ihn, etwa mit " D 0:1, einführen und kommt zum selben Ergebnis.) Hinweis 2 Der Wert der Formel (13.65) liegt NICHT darin, dass man das erneute Lösen des Eigenwertproblems umgeht, sondern in der Möglichkeit, den Einfluss der einzelnen Dämpfungskoeffizienten bi l auf die Q k zu überschauen.

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks Am Beispiel der Lagerbockschwingungen führen wir in die Darstellung von harmonischen erzwungenen Schwingungen durch Ortskurven für komplexwertige Amplitudenfrequenzgänge in der Gaußschen Zahlenebene ein.

204

13 a

b

F(t) α

A

B

FV

Anisotrope Lagerungen

FH

A

B

Abb. 13.10 Lagerbock mit Krafterregung

ru

Abb. 13.11 Lagerbock mit Unwuchterregung

m

Ωt A

B

13.5.1 Experimente: Aufgabe Wie in der Einleitung zu Abschn. 13.4 angedeutet, misstraut man den Annahmen, die zu den Steifigkeiten in Abschn. 13.3 führten. Jetzt will man sie mit Hilfe von erzwungenen Schwingungen, die bei sinusförmiger Anregung auftreten, untersuchen. Zwei Versuchsreihen sollen durchgeführt werden: Einmal wird am Lager unter einem Winkel ˛ sinusförmig mit veränderlicher Frequenz ˝ erregt, Abb. 13.10, die Auslenkungen werden gemessen. Zweitens wird mit einer Unwucht erregt, Abb. 13.11, die Auslenkungen werden gemessen. Wir berechnen, was man zu erwarten hat.

13.5.2

Bewegungsgleichungen

An dem Lagerbock mit Masse m nach Abb. 13.6 greifen nun horizontal und vertikal die zeitabhängigen Kräfte FH .t/ und FV .t/ an, vgl. Abb. 13.10b. Im Fall von Abb. 13.10a gilt FH D F .t/ cos ˛;

FV D F .t/ sin ˛;

mit

F .t/ D FO cos ˝t;

(13.71)

bei der Unwuchterregung nach Abb. 13.11 gilt FH D mru ˝ 2 cos ˝t;

FV D mru ˝ 2 sin ˝t;

(13.72)

vgl. Abschn. 12.3. (In (13.72) haben wir angenommen, dass die Exzentrizität ru auf die Gesamtmasse m bezogen wird.)

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks

205

Die Erregerkräfte FH .t/ und FV .t/ treten auf die rechte Seite der Bewegungsgleichungen (13.36) und (13.38) – im Fall fehlender Dämpfung – bzw. (13.53) – bei vorhandener Dämpfung: P L C K xL D Fe .t/; (13.73) Mx RL C Bx mit Fe D Fe .t/ D .FH ; FV /T :

(13.74)

13.5.3 Erzwungene Schwingungen Wir setzen Fe .t/ als komplexe harmonische Erregung mit der Frequenz ˝ an und schreiben (13.75) Fe .t/ D FO e e j˝t : Die Dgl (13.73) lautet dann (mit xL ! x) M xR C B xP C K x D FO e e j˝t :

(13.76)

Der Ansatz vom Typ der rechten Seite,

liefert

O j˝t ; x D xe

(13.77)

.K  M ˝ 2 C j˝B/xO D FO e :

(13.78)

13.5.3.1 Dynamische Steifigkeit Man kann die Amplituden FO e und xO als Kräfte bzw. Auslenkungen auffassen und (13.78) parallel zu (13.13)2 lesen: FO e D .K  M ˝ 2 C j˝B/xO DW K .j˝/x: O

(13.79)

Dann ist K .j˝/ WD .K  M ˝ 2 C j˝B/ k11  m11 ˝ 2 C j˝b11 D k21  m21 ˝ 2 C j˝b21

k12  m12 ˝ 2 C j˝b12 k22  m22 ˝ 2 C j˝b22

!

(13.80)

eine (komplexe) dynamische Steifigkeit, die für ˝ D 0 in die normale Steifigkeit übergeht: K .0/ D K :

(13.81)

206

13 a

Im

Ω= 5

1 3

4

2

k11 -20

-10

-15

Anisotrope Lagerungen

0

-5

b

1 5

Re

Im 1

-20

-10

-15

Ω= 5 k12=k21 1 0 5 Re

-5

c

Im Ω= 5

k22 -20

1

4 -15

3 -10

2 0

-5

1 5

Re

Abb. 13.12 Frequenzgänge der dynamischen Steifigkeiten

Zahlenbeispiel für den Lagerbock: In der entsprechend (13.67) bezogenen Form erhalQ .j ˝/ Q D K .j ˝/=k Q ten wir für K R den Ausdruck Q kQ12 C j bQ12 ˝Q Q ˝Q 2 C j bQ11 ˝Q Q .j ˝/ Q D k11  m K kQ21 C j bQ21 ˝Q kQ22  m Q ˝Q 2 C j bQ22 ˝Q ! Q Q kQ 11 .j ˝/ kQ 12 .j ˝/ DW : Q Q Q Q k 21 .j ˝/ k 22 .j ˝/

! (13.82)

Q sowie K Q nach (13.43) und B Q neu gewählt, Mit M ! 1 0 Q D ; M 0 1

! 8:0 3:0 Q D ; K 3:0 3:375

! 0:2 0:08 Q D ; B 0:08 0:1

(13.83)

Q die in Abb. 13.12 gezeigten Frequenzgänge in Form von Ortserhält man für die kQ i l .j ˝/ kurven. In dieser Darstellung wird besonders deutlich, wie die von der Massenmatrix herrührenden d’Alembert’schen Kräfte, mit dem Frequenzquadrat zunehmend – vgl. (13.82) –,

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks Abb. 13.13 Blockbild mit Übertragung einer Zeitfunktion

207

Eingang (Ursache) Fˆe e j Ω t

H( jΩ)

Ausgang (Wirkung) xˆ e j Ω t

vereint mit der Wirkung der Dämpfung, die dynamische Steifigkeit vom ersten in den zweiten Quadranten drehen. Ohne Dämpfung würden die Steifigkeiten – auf der reellen Achse verbleibend – einfach abnehmen, schließlich negativ werden. Der Wert Null entspricht dem Unendlich-Werden in Resonanzkurven.

13.5.3.2 Dynamische Nachgiebigkeit, Übertragungsfunktion, Frequenzgang Löst man FO e D K .j˝/xO aus (13.79) nach xO auf, erhält man xO D K 1 .j˝/FO e D .K  ˝ 2 M C j B˝/1 FO e :

(13.84)

Die dynamische Nachgiebigkeit 1

H .j˝/ WD .K  ˝ M C j˝B/ 2

! H 11 .j˝/ H 12 .j˝/ D H 21 .j˝/ H 22 .j˝/

(13.85)

ist hier die Übertragungsfunktion (auch Frequenzgang, vgl. Abschn. 6.2.2): xO D H .j˝/FO e :

(13.86)

Parallel zum Signalflussplan nach Abb. 6.3 kann man das Blockbild (Abb. 13.13) zeichnen, welches die Zeitfunktion FO e exp.j˝t/ überträgt xe O j˝t D H .j˝/FO e e j˝t :

(13.87)

13.5.3.3 Diskussion der Frequenzgänge am Beispiel Aus (13.80) berechnet man gemäß (13.85) H .j˝/ D

k11  m11 ˝ 2 C j˝b11 k21  m21 ˝ 2 C j˝b21

k12  m12 ˝ 2 C j˝b12 k22  m22 ˝ 2 C j˝b22

!1

! 1 k22  m22 ˝ 2 C j˝b22 .k21  m21 ˝ 2 C j˝b21 / D .k12  m12 ˝ 2 C j˝b12 / k11  m11 ˝ 2 C j˝b11 ! H 11 H 12 DW : H 21 H 22

(13.88)

208

13

Anisotrope Lagerungen

Dabei steht für die Koeffizientendeterminante D det.K  ˝ 2 M C j˝B/ D .j˝/ D .k11  m11 ˝ 2 C j˝b11 /  .k22  m22 ˝ 2 C j˝b22 /

(13.89)

 .k12  m12 ˝ C j˝b12 /  .k21  m21 ˝ C j˝b21 /; 2

2

vgl. auch (13.55). Mit den Zahlenwerten aus (13.82), (13.83) erhält man Q Q ˝Q 2 C j ˝Q bQ11 Q .j ˝/ Q D k11  m H kQ21  j ˝Q C j ˝Q bQ12

kQ12  j ˝Q bQ12 Q k22  m Q ˝Q 2 C j ˝Q bQ22

!1 (13.90)

die folgenden Darstellungen. Q .j ˝/ Q der Übertragungsmatrix für 0  ˝Q  5 als Abb. 13.14 zeigt die Elemente H il Ortskurven, zum Teilˇ in vergrößerten Ausschnitten. ˇ ˇQ ˇ Q Q für die Polardarstellung Abb. 13.15 zeigt ˇH .j ˝/ und die Winkel i k .˝/ ˇ il ˇ ˇ Q i l .j ˝/ Q i l ˇˇ e j Q D ˇˇH H

Q

i l .˝/

:

(13.91)

Aus Abb. 13.14 liest man ab: Wenn ˝Q – die Erregerfrequenz – in der Nähe einer der Eigenfrequenzen liegt (!Q 1 D Q i l j Extremwerte an. 1:378; !Q 2 D 3:078, vgl. (13.46); nehmen die jH Q 11 mit H Q 12 und H Q 12 mit Q Bei ˝  !Q 1 schwingt der Lagerbock – vergleiche jeweils H Q H 22 so, dass sich die Ausschläge etwa wie j  0:47j W .0:89/ verhalten, vgl. (13.46); für die Phasenwinkel gilt j 11 .!Q 1 /  12 .!Q 1 /j  j 12 .!Q 1 /  22 .!Q 1 /j  . Man kann sagen, O 1. bei ˝Q  !Q 1 schwingt das System im Wesentlichen in Richtung des Eigenvektors x Q Q O 2 . Allerdings wirkt sich bei ˝  !Q 2 die geEntsprechendes gilt für ˝  !Q 2 und x schwindigkeitsproportionale Dämpfung auch stärker aus als bei !Q 1 . Deshalb wird die Resonanzstelle bei ˝Q  !Q 2 in Abb. 13.15b und c nur wenig deutlich. Abb. 13.15 hebt die Unterschiede zwischen den Resonanzhöhen bei !Q 1 und !Q 2 sowie die in Resonanznähe auftretenden starken Phasenänderungen hervor. Resonanzstellen und Tilgerpunkte (des ungedämpften Systems) sind durch Phasenwinkel in der Nähe von ˙=2 ausgezeichnet, weil sich Trägheitskräfte und elastische Kräfte (fast) aufheben und überwiegend Dämpfungskräfte die äußeren Kräfte aufnehmen. Die beiden Darstellungsweisen haben ihre Vor- und Nachteile: In der (komplexen) Ortskurve sind Amplitude(nbetrag) und Phase(nwinkel) gemeinsam (zusammengefasst) dargestellt, die Frequenz ist (nur) als Kurvenparameter (bereichsabhängig verzerrt) angetragen, deshalb schwer genau ablesbar. Resonanzbereiche erscheinen breit auseinandergezogen. Aus der Zusammenfassung folgt jedoch der Hauptvorteil: Bei Wirkungsketten kann man Blöcke (vgl. Abb. 13.13) aneinanderhängen und deren Übertragungsfunktionen ausmultiplizieren.

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks

209

a

5

0

Im H11

Ω

-1

3.07...

-2 -3

b

-1

1.378... 0 1 Re H11

2 d

Ausschnitt von links

0.2

1.378...

0

Ω

2.11...

5

Im H12

Im H12

6 5 4 3 2 1 0 -1

-2

-0.2

Ω

-4

2.11... 0 3.09.. -2 0 2 Re H12

-0.4 -0.6 -0.4

4

0

0.2 Re H12

0.40.5

Im H22

0.1

Im H22

0 Ω -2 -4 -6 -8 -10 1.37... -12 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Re H22

-0.2

Ausschnitt von links

e

c

Ω

3.09

0

5 2.88...

-0.1 -0.2 -0.3

8

3.01... Ω

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Re H22

Q il .j˝/ der Übertragungsmatrix für 0  ˝Q  5 Abb. 13.14 Ortskurven der Elemente H

Bei der Polardarstellung sind Amplitudenbetrag und Phasenwinkel als Frequenzgänge getrennt in Abhängigkeit von der Frequenz aufgetragen und daher leicht ablesbar. Resonanzbereiche erscheinen eng. Resonanzspitzen erscheinen übersichtlich vergleichbar. Bei Schwingungsuntersuchungen sind die Resonanz- und Phasenkurven zur Bewertung und Beurteilung von Schwingungen bevorzugt. Schwingungsmessungen kommen nicht ohne (Ortskurven, also) Übertragungsfunktionen aus, denn es gibt kaum noch Messgeräte ohne Signalverarbeitung.

210

13

a 3

b 6

c 12

H11

H12

H22

2

4

8

1.5

3

6

1

2

4

0.5

1

2

0

0

2

0

4

d

0

2

0

4

e

0

1

1

1

Ψ 12

Ψ 22

π

π

π

0

0

0

-0.5

-0.5

-0.5

2

4 Ω

2

4

f

Ψ11

-1 0

Anisotrope Lagerungen

-1 0

2

4

-1 0

Ω

2

4 Ω

Q il .j˝/ der Übertragungsmatrix für 0  ˝Q  5 Abb. 13.15 Polarform der Elemente H

13.5.3.4 Resonanzkurven für Sinusanregung O e nach (13.74), (13.75) Bei der Sinusanregung nach Abb. 13.10 gilt für Fe und F ! ! cos ˛ O cos ˛ Oe D F cos ˝t; F FO : (13.92) Fe D sin ˛ sin ˛ Man erhält aus (13.86)

! cos ˛ O F; xO D H .j˝/ sin ˛

(13.93)

dimensionslos (bezogen), kR vgl. (13.43), ! ! O

OxQ WD xQ 1 WD xO D H j ˝Q cos ˛ : sin ˛ xOQ 2 FO =kR

(13.94)

Im folgenden Zahlenbeispiel setzen wir wieder die Zahlen von oben ein, vgl. (13.82) usw., und wählen ˛ D 30ı . Abb. 13.16 zeigt für xOQ i D jxOQ i je j

(13.95)

i

die Amplituden jxOQ i j und die Phasen-(verschiebungs-)winkel

i

Q als Funktionen von ˝.

13.5 Erzwungene Schwingungen des Lagerbocks

211

b

a

1

1

x~^ 1

x~^ 2

0.5

0.5

0 1

c

d

0.5

0 1 0.5

Ψ1

π 0

Ψ2 0 π

-0.5

-0.5

-1 0

~ 2 ~ 1ω 1 ~ 3 ω2 4 Ω

5

-1 0

~ 2 ~ 1ω 1 ~ 3 ω2 4 Ω

Abb. 13.16 Frequenzgänge der Amplituden jxOQ i j und Phasenwinkel kel ˛ D 30°

i

5

bei Erregung unter dem Win-

13.5.3.5 Resonanzkurven für Unwuchterregung Bei der Unwuchterregung nach Abb. 13.11 gilt für Fe nach (13.72), (13.74), (13.75) ! ! 1 2 cos ˝t 2 Fe D ru m˝ ; also FO e D ru m˝ : (13.96) sin ˝t j Damit folgt aus (13.86) mit ˝Q D ˝=!R ; !R2 D kR =mR ; m Q D m=mR , ! 1 xO D ru m˝ 2 H .j˝/ j ! 1 1 Q .j ˝/ Q D ru m˝ 2 H kR j ! 1 Q .j ˝/ Q D ru m ; Q ˝Q 2 H j

(13.97)

!

und Q .j ˝/ Q xOQ WD x=r O u D ˝Q 2 m QH

1 j

:

(13.98)

Abb. 13.17a und b zeigt die Frequenzgänge xOQ 1 und xOQ 2 , Abb. 13.17c und d zeigt die PhaQ gemäß senverschiebungswinkel i .˝/ xOQ i D jxOQ i je j i :

(13.99)

212

13

Anisotrope Lagerungen

a

~ Ω

2 3.5

Im x1

-2

1.36...

1

0 1.5

-4

1.44...

-6 -8 -10 -12 -10

3.0 3.01... -8

-6

-4

-2

0 2 Re x1

4

6

8

10

12

b

15 1.43...

Im x2

10 1.5

5 1.36...

3.5 2.5

0

1

-5 c

Ψi

-25

-20

-15

π 1.0 0.5 0 -0.5

3.03

~ Ω -5

0

2

Ψ2 3

Ψ1

5

Ψ1

Ψ2

Ψ1 Ψ2 1

-10 Re x2

4

~ Ω

Ψ1

-1.0 Abb. 13.17 Unwuchtanregung. a, b Frequenzgänge für Systemantwort, c Phasenverschiebungswinkel

13.6

Aufgaben

213

13.6 Aufgaben Aufgabe 13.1 Berechnen Sie die hi k für den Lagerbock nach Abb. 13.1 mit Hilfe von Formeln für Balkenbiegung gemäß Abschn. B.6.1 oder aus einem Tabellenbuch; vgl. (13.8). Aufgabe 13.2 Wie muss man in (13.8) die Höhe h1 wählen, damit der Lagerbock horizontal und vertikal gleich nachgiebig ist .h11pD h22 /? Wie nachgiebig ist er dann unter 45°? – für eine Kraft .FxL ; FyL / D .1; 1/FL = 2? Aufgabe 13.3 Berechnen Sie die ki l für den Lagerbock nach Abb. 13.4 mit den Hilfsformeln für Balkenbiegung aus einem Tabellenbuch; vgl.(13.14), (13.15) und Aufgabe 13.1. Aufgabe 13.4 Wie muss man in (13.15) die Höhe h1 wählen, damit der Lagerbock horizontal und vertikal gleich steif ist .k11 D k22 /? Aufgabe 13.5 Führen die Forderungen „gleich nachgiebig“ – Aufgabe 13.2 – und „gleich steif“ – Aufgabe 13.4 – auf dasselbe h1 ? Aufgabe 13.6 Überlegen Sie sich Messvorschriften für die hi k und die ki l . Gehen Sie dabei von (13.9), (13.10), (13.13)2 bzw. (13.16) aus. Aufgabe 13.7 Berechnen Sie die Kräfte FxS ; FyS in (13.27) mit den Mitteln der Grundvorlesung Mechanik (Verlängerung eines Zugstabes, Verschiebungsplan). Aufgabe 13.8 Versuchen Sie (13.28) mit Nachgiebigkeiten zu schreiben, xL D HS FS , vgl. (13.10) und (13.13)2. Weshalb ist das nicht möglich? Können Sie die Aussage anschaulich begründen? Aufgabe 13.9 Ohne es besonders erwähnt zu haben, lassen wir bei der Stangenkraft FS nach (13.20) auch Druck zu (z. B. bei xL < 0 oder yL < 0). Nach (13.34) erhält der Stab eine relativ kleine Querschnittsfläche und wird deshalb bei Druck knicken. (Dann gilt (13.20) nicht mehr!) Was muss man tun, um die Steifigkeiten KS gemäß (13.30) auch für xL < 0; yL < 0 garantieren zu können? Aufgabe 13.10 Kontrollieren Sie (13.40)/(13.41). Aufgabe 13.11 Kontrollieren Sie die Rechnungen (13.42) bis (13.46). Aufgabe 13.12 Berechnen Sie zu den Schwingungen in Abb. 13.8a, b und 13.9 die Anfangsauslenkungen x0 und die Anfangsgeschwindigkeiten v0 .

214

13

Anisotrope Lagerungen

Aufgabe 13.13 Schreiben Sie x.t/ nach (13.47) in der Form x D x O 1 a1 cos.!1 t C '1 /C x O 2 a2 cos.!2 t C '2 / und berechnen Sie a1 ; '1 ; a2 ; '2 für die Schwingung nach Abb. 13.9. (Nehmen Sie dazu !R – vgl. (13.43) – als bekannten Zahlenwert an.) Aufgabe 13.14 Können Sie aus Abb. 13.9 eine grobe Näherung für das Frequenzverhältnis !1 =!2 abzählen? Aufgabe 13.15 Können Sie sich durch einen Blick auf die Steifigkeiten kQi l in (13.43) O 2 – eine größere Eigenplausibel machen, dass zur Eigenschwingung x2 – in Richtung x O 1 – mit !Q 1 . frequenz (!Q 2 ) gehört als zur Eigenschwingung x1 – in Richtung x O 2 gedrehte Aufgabe 13.16 Führen Sie (zu den konkreten Zahlen) in Richtung von x O 1; x Koordinaten yL bzw. xL ein und berechnen Sie die darauf bezogenen Steifigkeiten kil . Aufgabe 13.17 Arbeiten Sie die Rayleigh-Dämpfung B aus (10.26) in die Bewegungsgleichung (13.53) ein und untersuchen Sie für den Lagerbock die nunmehr gedämpften Eigenschwingungen aus Abschn. 13.4.2. Wählen Sie Zahlenwerte für ˛ und ˇ (Anhaltswerte – anderer Dimension! – finden Sie in (13.83)) und setzen Sie die Lösungen x D xO exp.t/ mit unbekanntem , doch mit xO D x O k , den aus Abschn. 13.4.2 bekannten Eigenvektoren an. Nutzen Sie (13.49) mit den ebenfalls bekannten k aus, um die charakteristische Gleichung (13.55) umzuformen und zu lösen. Aufgabe 13.18 Lösen Sie die Aufgabe 13.17 mit dem Störungsansatz nach Abschn. 13.4.4.1 und vergleichen Sie die Ergebnisse. Ok Aufgabe 13.19 Berechnen Sie numerisch die Eigenwerte k und die Eigenvektoren x zum Eigenwertproblem (13.67). Aufgabe 13.20 Ermitteln Sie aus (13.64) – durch Multiplikation der Gleichung von links mit x O Tl – die Korrekturkoeffizienten al für die k-te Eigenschwingung. Setzen Sie die Zahlenwerte aus Abschn. 13.4.2 in Ihr Ergebnis ein. Aufgabe 13.21 Schreiben Sie mit den Ergebnissen aus Aufgabe 13.20 für den Lagerbock die Eigenschwingungen xi .t/ entsprechend (13.59) an. Aufgabe 13.22 Schreiben Sie für den Lagerbock die allgemeine Lösung (13.60) explizit an. Bringen Sie die allgemeine Lösung auf eine reelle Schreibweise (vgl. (13.47) und (5.24), (5.26)).

13.6

Aufgaben

215

Aufgabe 13.23 Der Versuch zu Abb. 13.11 wurde mit der (großen) Masse m und einem drauf gesetzten Unwuchterreger der Gesamtmasse m1 und der Exzentrizität r1 vorgenommen. Welches m und welches ru müssen in (13.72) und in die Bewegungsgleichungen eingesetzt werden? Aufgabe 13.24 Erläutern Sie den Aufbau der (13.73) anhand eines Schnittbildes nach Art von Abb. 12.5 und 13.7. Welche Dämpfungseinflüsse kann man mit B xP erfassen, wo greifen die entsprechenden Kräfte im Schnittbild an? Aufgabe 13.25 Bei einem Schwingungssystem vom Freiheitsgrad 2 sei (vgl. 13.74) FH D F1e D FO cos ˝t; FV D F2e D FO .cos ˝t  sin ˝t/. Wie lauten die Erregeramplituden FO e in (13.76)? Aufgabe 13.26 Der Lagerbock soll so durch eine Kraft F .t/ D FO e e j˝t erregt werden, O j˝t harmonisch („hin und her“) dass er unter ˛ D 30ı , vgl. Abb. 13.10, gemäß x ˛ D xe O schwingt. Welche (komplexe) Amplitude Fe ist erforderlich? Berechnen Sie FO e für ˝Q D 3 mit Hilfe von (13.79) und den Zahlenwerten (13.82), (13.83). Tragen Sie FH .t/; FV .t/ – reell! – in einem FH -FV -Diagramm für 0  ˝Q tQ  2 auf. Q ist in Aufgabe 13.26 – für die dort angegeAufgabe 13.27 Für welchen Wert ˝Q D ˝ O (Bei welchem ˝Q treten das benen Zahlenwerte – die Amplitude jFH j=xO am kleinsten? q O das kleinste jFOV j=x, O das kleinste jFOH j2 C jFOV j2 =xO und der kleinste kleinste jFOH j=x, q Extremwert Fmax =xO auf, wo Fmax =xO D max FH2 .tQ/ C FV2 .tQ/=x.) O 0˝Q tQ2

Aufgabe 13.28 Rechnen Sie (13.88), (13.89) nach. Aufgabe 13.29 Lesen Sie aus Abb. 13.15d, e zu ˝Q D 1:4 und ˝Q D 3:1 die Winkel i k ab und tragen sie in Abb. 13.14 die entsprechenden Winkel ein. (Achtung! Wegen des Drucks sind die Achsen etwas verzerrt – berücksichtigen Sie das!) Q Aufgabe 13.30 Lesen Sie aus Abb. 13.16 die ˝-Bereiche ab, in denen sowohl die Bedingung jxOQ 1 j < 0:2 als auch die Bedingung jxOQ 2 j < 0:3 erfüllt sind. Aufgabe 13.31 Es interessiere für die Erregung (13.92), vgl. Abb. 13.10, die Schwingung x˛ .t/ in Richtung der anregenden Kraft. Wie berechnet man sie aus (13.86) oder (13.87)? Wie kann man sie aus den Diagrammen nach Abb. 13.16 ermitteln (die könnten z. B. gemessen sein)? Aufgabe 13.32 Zeichnen Sie für x.t/ zur Erregung Fe nach (13.96) je einen Zeitverlauf xQ 1 .tQ/; xQ 2 .tQ/ für 0  ˝Q tQ  2 für ˝Q  !Q 1 und ˝Q  !Q 2 ; vgl. die Darstellung in Abb. 13.9.

216

13

Anisotrope Lagerungen

Aufgabe 13.33 Finden Sie eine anschauliche Begründung, weshalb in Abb. 13.16a die Resonanzamplitude für x1 D xL bei ˝Q D !Q 2 sehr viel größer ist als die bei ˝Q D !Q 1 ? (Vgl. Abb. 13.8.) Aufgabe 13.34 Wie kann man aus Abb. 13.16 entnehmen, dass bei ˝Q  !Q 1 die Schwingungen x1 .t/ D xL .t/ und x2 .t/ D yL .t/ im Wesentlichen gegenphasig stattfinden und bei ˝Q  !Q 2 gleichphasig? Aufgabe 13.35 Zeichnen Sie für die unwuchterregten Schwingungen, (13.96)–(13.99), entsprechend Abb. 12.19 für ˝Q D 1:36 und ˝Q D 1:43 – z. B. mit den Angaben in Abb. 13.17 – jeweils die Winkellage zwischen Unwucht und Auslenkung für ˝Q tQ D Q o t D 0; =2; ; 3=2; 2. ˝! Aufgabe 13.36 Lesen Sie aus Abb. 13.17 ab, in welchen Drehzahlbereichen der Lagermittelpunkt mit demselben Drehsinn wie die Unwucht umläuft und wann er gegensinnig umläuft. Aufgabe 13.37 Lesen Sie aus Abb. 13.17 ab, bei welcher Drehzahl sich der Lagermittelpunkt bei Unwuchterregung längs einer Geraden bewegt.

14

Rotorsysteme

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern 14.1.1 Das System Die einfach besetzte Welle aus Abschn. 12.3 wird auf zwei Lagerböcke nach Art von Kap. 13 gesetzt, Abb. 14.1. Das System besteht dann aus der Scheibe S, der Welle W und den beiden Lagerböcken A und B. Die Untersuchung hier greift auf die vorangehenden Überlegungen zurück und setzt die neuen Bewegungsgleichungen aus den bekannten gemäß der Systemstruktur zusammen. (Das Gewicht der Teile wird vernachlässigt, da sein Einfluss trivial ist.) Abb. 14.1 Einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Böcken

l

l2

B

l1

Ω

S

W A

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_14

217

218

14.1.2

14

Rotorsysteme

Das Modell

Die aus dem Abschn. 12.3 und Kap. 13 übernommenen Größen werden durch die vier Indizes S, W, A, B – Scheibe, Welle, Bock A bzw. Bock B – unterschieden. Wesentliche neue Systemparameter sind die Längenverhältnisse, vgl. Abb. 14.1: lQ1 D l1 = l;

lQ2 D l2 = l;

wo l WD l1 C l2 :

(14.1)

Die Gleichungen für die vier Systemteile werden zunächst vorbereitend zusammengestellt und dann zusammengefasst. Verbindendes Element ist die Welle, sie steht deshalb an erster Stelle.

14.1.2.1

Gleichgewicht, Kinematik, konstitutives Verhalten der Welle

Hinweis 1 Damit die Überlegungen aus Kap. 12 und 13 unmittelbar benutzt werden können, zeigen Abb. 14.2 und 14.3 die Vektoren für die Kräfte und die Auslenkungen mit den Symbolen für (Spalten-)Matrizen, ohne darüber gesetzte Pfeile. Abb. 14.2 zeigt die herausgeschnittene Welle mit den angreifenden Kräften. (Da mit linearen Gleichungen gearbeitet wird, darf das Gleichgewicht an der unverformten Welle angesetzt werden.) Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt B bzw. A liefert die Kräfte FA=W bzw. FB=W auf den Lagerbock A bzw. B von der Welle W: FA=W D lQ2 FW ;

FB=W D lQ1 FW :

(14.2)

Dabei steht FW für .FxW ; FyW /T , die Wellenkraft F aus (12.32). Analog bezeichnen die Pfeile FA=W und FB=W die Reaktionen zu den Lagerkräften FL aus (13.11)2, vgl. Abb. 13.3. (Gemäß (14.2) sind an der Welle alle Kräfte stets parallel.)

Abb. 14.2 Kräfte auf Welle

FB/W

FW

B

FA/W A

l2 l1 l2

Abb. 14.3 Auslenkungen der Welle, –  –  – Verbindungsgerade der ausgelenkten Lager A und B

0

l1

xB B

0 xA

A

xS

xW

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern

219

Die geometrischen und kinematischen Beziehungen liest man aus Abb. 14.3 ab: xS D lQ2 xA C lQ1 xB C rW :

(14.3)

Hier ist xW die Wellendurchbiegung, vgl. (12.27)1 , xA ; xB stehen für die Auslenkungen xL der Lagerböcke A bzw. B, vgl. (13.11)1, und die Scheibenauslenkung xS ist jetzt die Auslenkung am Wellendurchstoßpunkt (Punkt W in Abb. 12.5) gegenüber der Ausgangslage auf der Geraden 0–0 in Abb. 14.3, entsprechend .x; y/T in (12.1) und (12.3). Die konstitutiven Gleichungen (12.42) der mit der Winkelgeschwindigkeit ˝ umlaufenden Welle mit innerer Dämpfung, ihr Deformations-Kraft-Verhalten, lautet in Matrixform (14.4) FW D bi xP W C .kW I2 C bi ˝J2 /xW ; mit den 2 × 2-Matrizen ! 1 0 ; I2 D 0 1

! 0 1 J2 D : 1 0

(14.5)

14.1.2.2 Gleichgewicht an der Scheibe Parallel zu (12.43) gilt, in Matrixschreibweise, mS xR S C ba xP S C FW D mS ru ˝ 2 f .˝t/; wo

! cos ˝t : f .˝t/ D sin ˝t

(14.6)

(14.7)

14.1.2.3 Gleichgewicht an den Lagerböcken Wir greifen auf Gl. (13.53) zurück und fügen auf der rechten Seite die von der Welle ausgeübten (Zusatz-)Kräfte FA=W bzw. FB=W aus (14.2) hinzu. Mit der oben eingeführten Indizierung erhält man MA xR A C BA xP A C KA xA D FA=W ; MB xR B C BB xP B C KB xB D FB=W I

(14.8)

die Lagerböcke brauchen nicht gleich zu sein.

14.1.2.4 Die Bewegungsgleichungen Mit (14.2) bis (14.8) stehen alle Gleichungen bereit. Die Kräfte werden eliminiert, die Bewegungsgleichungen enthalten nur die Auslenkungen und deren Zeitableitungen. Entscheiden muss man, ob die Scheibenauslenkung durch xW , d. h. gegenüber der Verbindungsgeraden der beiden Lager (in Abb. 14.3 strichpunktiert) oder absolut, durch xS ,

220

14

Rotorsysteme

gemessen werden soll. Wir arbeiten mit xS , da die Systemmatrizen dann weitgehend symmetrisch werden. Der Arbeitsaufwand wird verringert und die Lesbarkeit der Gleichungen wird erhöht, wenn man mit Block-Matrizen arbeitet. Elimination von xW sowie der Kräfte liefert 1 0 1 0 0 0 xS mS I2 CB C B MA 0 A @xA A @ 0 0 0 MB xB 1 0 1 0 bi lQ2 I2 bi lQ1 I2 xS .ba C bi /I2 CB C B 2 Q Q Q C @ bi lQ2 I2 BA C bi l2 I2 bi l1 l2 I2 A @xA A bi lQ1 I2 bi lQ1 lQ2 I2 BB C bi lQ12 I2 xB 1 20 kW lQ2 I2 kW lQ1 I2 kW I2 C 6B 2 (14.9) C 4@kW lQ2 I2 KA C kW lQ2 I2 kW lQ1 lQ2 I2 A 2 Q Q Q Q kW l1 I2 kW l1 l2 I2 KB C l1 kW I2 13 0 1 0 lQ2 J2 lQ1 J2 xS J2 C7 B C B Q 2 Q Q Q C bi ˝ @l2 J2 l2 J2 l1 l2 J2 A5 @xA A lQ1 J2 lQ1 lQ2 J2 lQ12 J2 xB 1 0 f .˝t/ C 2B D mS ru ˝ @ 0 A ; 0 abgekürzt M xR C B xP C ŒK C bi ˝J x D mS ru ˝ 2 f .˝t/:

(14.10)

Die 6 × 6-Matrix J ist schiefsymmetrisch: J D J . T

14.1.3 Numerische Beispiele Zur numerischen Auswertung der Bewegungsgleichungen (14.9) braucht man Maschinenparameter. Der Einfachheit halber greifen wir auf die Parameter aus den Abschn. 12.3 und 12.13zurück. Dann muss man die Skalierungen (12.61) aus Abschn. 12.5 und (13.43) aus Abschn. 13.4.2 aufeinander abstimmen.

14.1.3.1 Skalieren der Bewegungsgleichungen Sind die beiden Lagerböcke (einschließlich Massen) identisch und ist .L ; xO L / eine der Eigenschwingungen aus Abschn. 13.4, also ohne die Welle mit der Scheibe, so hat die (14.10) zugeordnete homogene Gleichung – unabhängig von den Wellenparametern – die Eigenlösung .# ; xO # / mit # D L und  (14.11) xO T# D 0; 0; lQ1 xO TL ; lQ2 xO TL ;

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern

221

die Scheibe bleibt also in Ruhe. Um diesen Sonderfall zu vermeiden, gehen wir zu unterschiedlichen Lagermassen über und setzen Q A mL ; mA D m

mB D m Q B mL :

(14.12)

Die übrigen Lagerbockparameter sollen gleich sein. Mit der Referenzmasse mL übernehmen wir aus Abschn. 13.4.2 die Referenzgrößen mR D mL ;

kR D 27EI B = lB3 ;

!R WD

p kR =mR ;

(14.13)

wo lB und EI B für die Länge bzw. Biegesteifigkeit des Lagerbock-Trägers stehen. Die Skalierung (12.61) lautet nun !02 D kW =mS ;

ba D 2Da !0 mS ;

Mit

bi D 2Di !0 mS :

kQW D kW =kR

m Q S D mS =mR ;

(14.14)

(14.15)

folgt daraus !02 D

kQW 2 ! ; m QS R

q ba D 2Da

kQW m Q S ! R mR ;

bi D 2Di

q kQW m Q S ! R mR :

(14.16)

Mit obigen Transformationen und mit tQ D !R t;

Q R ˝ D ˝!

(14.17)

erhält man aus (14.10) in einem ersten Schritt 

q Q C 2Di ˝Q kQW m Q ıı Q xı C kR K x C !R2 mR B Q SJ x !R2 mR M D

!R2 mR m Q S ru ˝Q 2 f

(14.18)

.˝Q tQ/:

Nach Division durch .mR !R2 / D kR und mit xQ D x=ru folgt

 q ıı ı Q Q Q Q Q M xQ C B xQ C K C 2Di ˝ kW m Q S J xQ D m Q S ˝Q 2 f .˝Q tQ/:

(14.19)

(14.20)

222

14

Rotorsysteme

Vergleich der Koeffizienten liefert 0

m Q S I2 Q DB M @ 0 0

1 0 C 0 A; m Q B I2

0 m Q A I2 0

0

0 0 Q D kQW A C B QL K @0 K 0 0

0 q Q Q S Da I2 q B2 kW m Q B Q B D 2 kW m Q S Di A C @ 0 0

1 0 C 0 A; QL K

(14.21)

1 0 QL B 0

0 C C 0 A; QL B

(14.22)

wo A und J für die Matrizen 0

1 lQ2 I2 lQ1 I2 C lQ22 I2 lQ1 lQ2 I2 A ; lQ1 lQ2 I2 lQ12 I2 1 0 lQ2 J2 lQ1 J2 J2 C B J D J T D @lQ2 J2 lQ22 J2 lQ1 lQ2 J2 A lQ1 J2 lQ1 lQ2 J2 lQ12 J2

I2 B Q A D @l2 I2 lQ1 I2

(14.23)

QB DK Q L , vgl. (13.14), B QADB QB DB Q L , vgl. (13.66), gesetzt wurde. QADK stehen und K

14.1.3.2 Wahl der numerischen Parameter Ziel des Beispiels ist ein kurzer Überblick über die Eigenschwingungsformen des Systems vom Freiheitsgrad 6 sowie ein Einblick in die Phänomene, die aus der (mitrotierenden) inneren Dämpfung der Welle (vgl. Abschn. 12.3.3 und 12.5) in diesem System entstehen. Gewählt werden als Nominalparameter für Welle und Scheibe lQ1 D 0:6;

lQ2 D 0:4;

m Q S D 5;

kQW D 3;

Da D 0:02;

Di D 0:01;

(14.24)

für die Lagerböcke, s. auch (13.45) und (13.67), m Q A D 0:9;

m Q B D 1:1;

QN K

! 8 3 ; D 3 3:75

QN B

! 0:1 0:05 : D 0:05 0:05

(14.25)

Bei der Untersuchung der Wirkung der inneren Dämpfung muss man isotrope Lagerung – die Steifigkeiten und Dämpfungen der Lagerböcke sind richtungsunabhängig – und anisotrope Lagerung – Steifigkeiten und Dämpfungen sind richtungsabhängig – unterscheiden. Für den isotropen Fall setzen wir mit den Mittelwerten der Hauptdiagonalelemente kQm D 5:875;

bQm D 0:075;

Q Q IS D km K 0

! 0 ; kQm

Q Q IS D bm B 0

! 0 : bQm

(14.26)

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern

223

Für den Übergang vom isotropen zum (anisotropen) Nominalsystem wählen wir die Homotopie (siehe [9]) KA D KB D KL D h  KN C .1  h/  KIS ; BA D BB D BL D h  BN C .1  h/  BIS ;

(14.27)

mit h D 0: Isotropie, h D 1: anisotropes Nominalsystem, Steifigkeit und Dämpfung werden also parallel variiert. Wir beschränken uns hier auf die Untersuchung von Eigenschwingungen. Das dem System (14.20) zugeordnete homogene Dgl-System Q xı C K Q x D 0 Q ıı x CB M

(14.28)

wird in ein System erster Ordnung umgeschrieben Q M 0

0 Q M

!

ı

x x

!ı

Q B D Q M

Q K 0

!

ı

x x

! (14.29)

und das zugehörige Eigenwertproblem mit Matlab numerisch gelöst. Mit den hier vorliegenden Parameterwerten treten Eigenwerte stets paarig komplex konjugiert auf. Es genügt dann, den Eigenwert mit dem positiven Imaginärteil darzustellen. Hinweis 2 Bei den Eigenschwingungen braucht die Bewegung des Wellendurchstoßpunktes W nicht von der Bewegung des Schwerpunktes C unterschieden zu werden, bei der Deutung der Schwingung darf C als auf W liegend angenommen werden.

14.1.3.3 Ungedämpfte Eigenschwingungen Tab. 14.1 listet die Eigenfrequenzen !Q k und die zugehörigen Eigenschwingungsformen (Eigenvektoren) xO k D .xO S k ; yOS k ; xO Ak ; yOAk ; xO Bk ; yOBk /T für die Fälle h D 0 (isotrope Lagerung), h D 0.5 und h D 1 (nominale Lagerung) auf. Die jeweils größte Auslenkung wurde auf 1 normiert. Um sich die Eigenschwingungen zu veranschaulichen, muss man die Eigenschwingungsformen anhand der Zahlenwerte aus Tab. 14.1 skizzieren (s. Abb. 14.4). In den Fällen h > 0 schwingen die Punkte W, A, B von Scheibe bzw. Lagern längs Geraden, vgl. Abb. 13.8. Wegen der speziellen Struktur (14.9), (14.10) und der Wahl KA D KB , vgl. (14.27), liegen (ohne Dämpfung) die Eigenschwingungen jeweils in einer Ebene (s. Aufgabe 14.4). Bei h D 0, im isotropen Fall, fallen jeweils zwei Eigenfrequenzen zusammen. 14.1.3.4 Gedämpfte Eigenschwingungen Wir gehen vom isotrop gelagerten Rotor unter der Wirkung der inneren Dämpfung Di aus und ändern das System schrittweise ab:

224

14

Rotorsysteme

a

W

B

B B

W W

A

~ ω=0.68

~ =0.68 ω

A

~ =2.39 ω A

B B

b

W

W

B

W

A

~ =0.64 ω

B

W

B

A

A ~ =2.72 ω

W ~ =2.72 ω

~ =2.39 ω

A

B

A

W

~ =0.7 ω

B

~ =1.97 ω A

B

A

B

W W ~ =2.35 ω

c

W

A

W ~ =3.07 ω

~ =2.75 ω

A

B

B

W

A W

A

~ =0.55 ω B

B

A

W

W W ~ =1.92 ω

~ =1.4 B ω B

~ =0.71 A ω

A

~ =3.05 ω

A ~ =3.38 ω

Abb. 14.4 Eigenformen ohne Dämpfungen. a h D 0, b h D 0.5, c h D 1; Wellenbiegungen durch bei W geknickte, strichpunktierte Geradenzüge AW  WB wiedergegeben

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern

225

Tab. 14.1 Eigenschwingungen ohne Dämpfung h D 0; 0:5; 1 h 0

0.5

1

k 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

!Q k 0.680 0.680 2.392 2.392 2.725 2.725 0.640 0.701 1.966 2.346 2.745 3.066 0.550 0.715 1.400 1.921 3.054 3.379

xO Sk 1 0 0.035 0 0.067 0 0.492 1 0.019 0.052 0.031 0.047 0.492 1 0.017 0.095 0.028 0.035

yOSk 0 1 0 0.035 0 0.067 1 0.492 0.039 0.105 0.015 0.023 1 0.492 0.035 0.193 0.014 0.017

xO Ak 0.175 0 0.784 0 1 0 0.118 0.138 0.474 0.492 0.593 1 0.183 0.113 0.492 0.492 0.482 1

yOAk 0 0.175 0 0.784 0 1 0.240 0.068 0.964 1 0.292 0.492 0.372 0.056 1 1 0.237 0.492

xO Bk 0.267 0 1 0 0.601 0 0.181 0.209 0.492 0.379 1 0.479 0.285 0.172 0.392 0.486 1 0.390

yOBk 0 0.267 0 1 0 0.601 0.368 0.103 1 0.770 0.492 0.235 0.579 0.085 0.798 0.988 0.492 0.192

a) Allein innere Dämpfung Di D 0:01 ist wirksam, h D 0 Genau wie in Abschn. 12.5, Abb. 12.21, wird der Realteil des (kleinsten) Eigenwerts positiv, wenn die Winkelgeschwindigkeit ˝Q die kleinste Eigenfrequenz !Q 1 überschreitet. An der Stabilitätsgrenze gelten die Eigenlösungen nach Tab. 14.2, die zweite und die dritte Eigenlösung klingen ab: vgl. ReQ k < 0 für k D 2; 3 in Tab. 14.2. Oberhalb ˝Q G D !Q 1 D 0:680 klingt die erste Schwingung auf. Nach Tab. 14.2 laufen die Punkte S, A, B bei Q 1 ; xO 1 auf Kreisen mit der Welle um (s. Aufgabe 14.6). Abb. 14.5 zeigt die 6 umlaufenden Eigenschwingungen für dieses ˝Q G . b) Gemischte Dämpfungen für h D 0 mit Di D 0:01 Q L D 0 rückt die Stabilitätsgrenze nach ˝Q G D 2:44, die EigenschwinBei Da D 0:02; B gung mit !Q 2 D 2:39 beginnt zu wachsen. QL D B Q IS rückt die Stabilitätsgrenze nach 3.09, hier wird, wie Bei Da D 0:02 mit B bei a), die Eigenschwingung mit !Q 1  0:68 entscheidend. Hinweis 3 Bei Dämpfungsvariationen kann der Ursprung der Instabilität also sprunghaft zwischen den Eigenschwingungen wechseln.

14.1.3.5 Stabilitätskarten Kennt man keine allgemeinen Stabilitätsaussagen, muss man gemäß Hinweis 3 numerisch für alle Parameterkombinationen – das sind hier der Homotopiebereich 0  h  1 und ein

xO Sk yOSk xO Ak yOAk xO Bk yOBk

k Q k

1 0.0000 C 0.6822 j 0 C 1.0000 j 1.0000 C 0.0000 j 0.0000 C 0.1706 j 0.1706 C 0.0000 j 0.0000  0.2603 j 0.2603 C 0.0000 j

2 0.0091 C 0.6822 j 0  1.0000 j 1.0000  0.0000 j 0.0049  0.1706 j 0.1706 C 0.0049 j 0.0076  0.2603 j 0.2603 C 0.0076 j

3 0.0021 C 2.4294 j 0.0006  0.0349 j 0.0349  0.0006 j 0.0247  0.7307 j 0.7307 C 0.0247 j 0.0000 + 1.0000 j 1.0000

Tab. 14.2 Eigenschwingungen für h D 0; Di D 0:01; Da D 0:00 4 0.0037 C 2.4296 j 0.0010 C 0.0349 j 0.0349  0.0010 j 0.0440 C 0.7318 j 0.7318  0.0440 j 0  1.0000 j 1.0000 C 0.0000 j

5 0.0248 C 2.7594 j 0.0643  0.0069 j 0.0069  0.0643 j 1.0000 0.0000 C 1.0000 j 0.5886  0.0385 j 0.0385 C 0.5886 j

6 0.0150 C 2.7596 j 0.0643  0.0042 j 0.0042 C 0.0643 j 1.0000  0.0000 j 0.0000  1.0000 j 0.5877 C 0.0232 j 0.0232  0.5877 j

226 14 Rotorsysteme

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern

W

227

W

B B

B

O

O

O W

A

A

O

O ~ ω=0.68

O

~ =0.68 ω

~ =2.43 ω

A

B O

O

B

W

O

W

O

W

B

O

A

A

O

A

~ =2.43 ω

~ =2.76 ω

~ =2.76 ω

Abb. 14.5 Umlaufende Eigenschwingungen für Di D 0:01; Da D 0:00, BL = 0 an der Stabilitätsgrenze ˝Q D 0:680. Bei W geknickte, strichpunktierte Geradenzüge AW  WB geben Wellenform zum Zeitpunkt tQ D 0 wieder

Drehgeschwindigkeitsbereich, sagen wir 0  ˝Q  ˝Q E , – sämtliche Eigenwerte Q k auf ReQ k < 0

(14.30)

überprüfen. Parameter-Mannigfaltigkeiten, die auf max.ReQ k / D 0

(14.31)

führen, begrenzen den Stabilitätsbereich; Überlappungen von Instabilitätsbereichen können vorkommen. Wir untersuchen die Dämpfungskombinationen a:

Di D 0:01; Da D 0;

BL D 0;

b: Di D 0:01; Da D 0:02; c:

BL D 0;

Di D 0:01; Da D 0;

d: Di D 0:01; Da D 0:02 Q  ˝Q  8. (BL in c und d nach (14.27)2 ), für den ˝-Bereich0

(14.32)

228

14

a

b 0.01

k =1

Rotorsysteme

3.5 k =6

0

3

5

-0.01 2.5

-0.02 ~ Re λk

3 2

~ Im λk 2

-0.04

4

1.5

5

1

-0.05

4 3

2

-0.06 -0.07

0.5

6 0

1

2

3

4

5

6

~ Ω

8

0

1 0

1

2

3

4

5

6

~ Ω

8

Q für den Parametersatz d Abb. 14.6 Verlauf von a Real- und b Imaginärteil der Eigenwerte Q k .˝/ in (14.32), Homotopie h D 0.6

Abb. 14.6 zeigt den Verlauf der 6 Eigenwerte Q k (mit positivem Imaginärteil !Q k D ImQ k ) über ˝Q für den Parametersatz d aus (14.32) zu h D 0:6. Der Nulldurchgang von ReQ k bei ˝Q  7:20 ist ein Punkt der Stabilitätsgrenze in der Stabilitätskarte in Abb. 14.7d. Abb. 14.7 zeigt die Stabilitätskarten für die vier Parametersätze (14.32). Man liest daraus ab: Bei fester Anisotropie, bei konstantem h, erhöht die äußere Dämpfung Da die Stabilitätsgrenze erheblich, vgl. jeweils die Bilder a $ b und c $ d; siehe auch Q L nur geringen (stabilisierenden) Abb. 12.21. Dagegen hat die Lagerbockdämpfung B Q L die StabilitätseinEinfluss, vgl. jeweils die Bilder a $ c und b $ d. Allerdings hebt B brüche in Abb. 14.7b bei sehr kleinem h und bei h  0:25 auf, die durch Schwankung der Vorzeichen der Realteile und durch Wechsel der diskriminierenden Eigenschwingung hervorgerufen werden. Steigendes h – zunehmende Anisotropie der Lagerbocksteifigkeiten, vgl. (14.25)2 und (14.27)1 – stabilisiert sehr wirksam, stärker als die äußeren Dämpfungen.

14.1.3.6 Unwuchterregte Schwingungen Bei Unwuchterregung gemäß (14.6) und (14.7) lautet (14.20) in komplexer Form, vgl. Abschn. 6.2.1,

wo

 q ıı ı Q Q Q Q Q Q M xQ C B xQ C K C 2Di ˝ kW m Q S J xQ D FO e e j ˝ tQ ;

(14.33)

Q FO e e j ˝ tQ D m Q S ˝Q 2 .1; j; 0; 0; 0; 0/T :

(14.34)

14.1 Die einfach besetzte Welle auf nachgiebigen Lagern a

h

b

1

h

0.8

stabil

h

0.8 0.6

0.4

0.4

0 c

1

0.6

instabil

0.2 0

1

2

3

4

5

6

~ Ω

0

8

1

h stabil

0

0.4

0.4 instabil

0

1

2

3

4

5

6

1

2

0.8 0.6

0

instabil

3

4

8

6

~ Ω

8

~ Ω

8

stabil

instabil

0.2 ~ Ω

5

1

0.6

0.2

stabil

0.2

d

0.8

229

0

0

1

2

3

4

5

6

Abb. 14.7 Stabilitätskarte für die Parameter nach (14.32)

Mit xQ D xOQ exp.j˝t/ folgt daraus für die komplexe Amplitude xOQ die Gleichung   q Q ˝Q C K Q C 2Di ˝Q kQW m Q ˝Q 2 C j B Q S J xOQ D FO : (14.35) M Q Abb. 14.8 zeigt zu den Parametern aus Abschn. 14.1.3.2 für h = 1 und den ˝-BeQ reich 0  ˝  4 die Resonanzkurven für die Amplitudenbeträge der horizontalen und vertikalen Auslenkungen jxOQ S j, jyOQS j der Scheibe, sowie jxOQ A j, jyOQA j und jxOQ B j, jyOQB j der Lager(zapfen) A bzw. B. In Abb. 14.8 sind die Lagen der 6 Eigenfrequenzen !Q k des ungedämpften Systems gestrichelt markiert; vgl. Tab. 14.1, h = 1, für die Zahlen der Eigenlösungen und Abb. 14.4 für perspektivische Darstellungen der zugehörigen Eigenschwingungsformen. Die erzwungenen Schwingungen nicht zu stark gedämpfter Schwinger kann man angenähert nach (10.25) mit Hilfe der für ungedämpfte Systeme eingeführten Modalkoordinaten interpretieren. (Die Amplituden werden gut erfasst, die Phasen nur als Vorzeichensprünge.) Zutreffend ist vor allem das hohe Gewicht der Eigenschwingung xOQ k für ˝Q in der Umgebung der Eigenfrequenz !Q k . Auf den ersten Blick fällt auf, dass bei jxO S j, jyOS j, der Scheibe nur je zwei höhere Resonanzspitzen vorliegen, bei den Lagern A und B gibt es mehrere, alle sechs jedenfalls klar erkennbar. Die Zahlen in Tab. 14.1 zeigen die Ursache: In Spalte 3 und 4, die die

230

14

0

1

2

3

4

5 0

1

2

3

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

~ Ω

4

5 0

4

10

10

|y^B|/ru

|x^B|/ru

0

10

|y^A|/ru

|x^A|/ru

10

0

15 10 5 0

|y^S|/ru

|x^S|/ru

15 10 5 0

Rotorsysteme

5 0 0

1

2

~ Ω

4

5 0

Abb. 14.8 Resonanzkurven für unwuchterregte Schwingung

Koordinaten xO S k und yOS k enthalten, stehen nur bei !Q 1 und !Q 2 größere Glieder; bei yOS k auch bei !Q 4 . Dem entspricht der Verlauf der Resonanzkurven. Allerdings streben jxO S j=ru und jyOS j=ru für große ˝Q nicht gegen 0, sondern gegen 1, weil bei wachsendem ˝Q die Trägheit(skraft) der Unwuchtmasse letztlich so groß wird, dass der Wellendurchstoßpunkt W, s. Abb. 12.4, mit dem Radius ru um den Schwerpunkt C kreist; vgl. auch die Bahnkurve für die Scheibe bei ˝Q D 2:9 in Abb. 14.9. Auch die Auslenkungsverhältnisse in den Umgebungen der anderen Resonanzspitzen kann man mit Hilfe der Zahlen aus Tab. 14.1 nachvollziehen, sowie, an Hand der Eigenformen von Abb. 14.4, Kräftegleichgewichte überlegen. Abb. 14.9 zeigt beispielhaft, wie sich die Umlaufbahnen der Lagerzentren und des Wellendurchstoßpunktes W drehzahlabhängig einstellen. (Der Parameter h D 0.35 wurde gewählt, damit sich unterschiedliche Umlaufrichtungen deutlich zeigen.) Bei den im allgemeinen ellipsenartigen Bahnen kehrt bei allmählicher Drehzahländerung der Durchlaufsinn der Bahn um, indem zum Beispiel die Schwingungsamplitude in Richtung eines Modalvektors ihr Vorzeichen wechselt. Falls Eigenfrequenzen nahe beieinanderliegen, kommt es zu raschen Richtungswechseln der Ellipsenachsen und auch des Durchlaufungssinns.

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel Scheibenzentrum W

Zapfenzentrum A 2

10

0

0

-2

-10

L -5

0

231

5

Zapfenzentrum B 5 0

L -20

0

20

-5 -10

0.2

1

0

0

0

-1

-1

L

-0.2 -0.5

0

0.5

L -2

-1

0

1

2

0

0

0

-1

-2

R

4 2 0 -2 -4

0

5

L -2

0

2

-5

0

5

10

0

2

L -2

-1

0

1

2

L -5

1 0 -1

0 -1

5

2

1

R

0

L -2

1

-5

-5

1

2

-2

L

0

5

R -2

0

2

Abb. 14.9 Bahnkurven der Zentren von Lager A, Scheibe W, Lager B. Auslenkungen auf Unwuchtradius ru bezogen. Unwucht dreht links herum; ab Ausgangslage 3 h sind 45°-Schritte im Bild markiert; Bahnumlauf: L – links, R – rechts. (Parameter wegen deutlicher Effekte gewählt: h D 0.35; ˝Q D 0.65, 2.0, 2.7, 2.9 – von oben)

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel 14.2.1

Kreiselwirkungen

14.2.1.1 Allgemeine Bemerkungen Der Drall von Drehkörpern, zum Beispiel von Rädern oder Scheiben, die auf einer Welle sitzen und mit ihr schnell umlaufen, ist so groß, dass der Körper einer Richtungsänderung seiner Drehachse einen zu beachtenden Widerstand entgegensetzt. (Ein schnell laufender Kreiselkompass bewahrt seine Richtung.) Für eine kurzzeitige Dralländerung gilt das Vektorgesetz, vgl. (A.107), E C t/ D L.t/ E CM E  t; L.t E C t/  L.t/ E E DM E  t: anders gelesen: L.t DW L

(14.36)

232

14

Abb. 14.10 Kreiseleffekt: Dralländerung infolge Momentenstoß

a

Rotorsysteme

b

Ω

L(t) L(t+Δ t)

L M·Δ t

Abb. 14.10 illustriert den Zusammenhang: Die Scheibe im Teilbild a drehe schnell um ihre Figurenachse. (Schnell heißt, die Drehgeschwindigkeit ˝ ist sehr viel größer als die E mit guter Winkelgeschwindigkeiten der Achskippungen.) Dann liegt der Drallvektor L E Genauigkeit auf der Figurenachse. Gemäß (14.36) kippt ein Moment M , das während der E , sondern schwenkt sie Zeit t wirkt, die Figurenachse nicht um die Wirkrichtung von M E und M E aufgespannten Ebene von L.t/ E nach L.t E C t/, vgl. Abb. 14.10b. in der von L.t/ Das muss man beim Ansetzen der Bewegungsgleichungen beachten. Wir zeigen hier ein systematisches Vorgehen nach Lagrange (s. Anhang C.2.3) mit Hilfe der Kippwinkel (aus Anhang A.1.3.6). Dabei beschränken wir uns auf kleine Winkelauslenkungen, also lineare Bewegungsgleichungen (die aus teilweise zunächst nichtlinearen Gleichungen durch Vernachlässigung der Glieder höherer Ordnung entstehen).

14.2.1.2 Lagekoordinaten Abb. 14.11 zeigt einen allgemeinen Körper und, als konkretes Beispiel, eine Scheibe, 0 die in ihrer Ausgangslage mit ihren Hauptachsen auf der Inertialbasis eE liegt. Auf die Hauptachsen bezogene Trägheitsmomente: J11 , J22 , J33 . (Die schnelle Rotation ˝ erfolge um die 3-Achse. Deshalb ist die Basis gegenüber Abb. A.8 gedreht gezeichnet, vgl. Abb. 14.1). a

b

e20

e20 K W e10

e30

e10 e30

Abb. 14.11 Körper mit Hauptachsen in Ausgangslage

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

233

Die Kipp-Dreh-Bewegung des Körpers wird mit den Kippwinkeln . 1 ; 2 ; '/ nach Anhang A.1.3.6 erfasst. Ähnlich wie bei den Eulerwinkeln, Anhang A.1.3.4, wird die 0 Bewegung in zwei Teile zerlegt (s. Abb. 14.12). Im ersten Teil kippt die Basis eE um eine Knotenlinie, kk, dem im zweiten Teil die eigentliche Drehung folgt. Bei Euler wird das Kippen durch zwei aufeinanderfolgende Drehungen vollzogen, die sich nicht scharf von der (nachfolgenden) Drehung trennen lassen (und deshalb bei kleinen Kippungen # die bekannten Schwierigkeiten bereiten). Bei den Kippwinkeln nach Anhang A.1.3.6 wird die Kippung der „Drehachse“ eE3:: wie in einer Technischen Zeichnung durch die Winkel 0 . 1 ; 2 / erfasst. Sie werden im zur Basis eE gehörenden Koordinatensystem .x10 ; x20 ; x30 / 0 als Winkel 1 zwischen eE3 und der Projektion von eE3:: auf die Ebene x10 D 0 gemessen, bzw. als Winkel 2 zwischen eE30 und der Projektion von eE3:: auf die Ebene x20 D 0; den Drehsinn, die Orientierung zeigt Abb. A.4. (Eine eigentliche Drehung gegenüber der mit K eE3:: gekippten Basis eE – auch eE3:: ) eE3K gehört dazu – findet beim Kippen nicht statt.) Alle in Abb. 14.12 zusätzlich angegebenen Größen, insbesondere die Kugelkoordinaten . ; #/ der Kippung, dienen lediglich als Anschauungshilfsmittel oder, in Formeln, als Abkürzungen.

e03 ..

e3

eG2

1 2

EK k E0 e02

eG1 k

eK1

e01 0

K

G

Abb. 14.12 Zeigt feste Basis eE , von gekippter Basis eE nur eE1K , körperfeste Basis eE nach Gesamtdrehung; Kippwinkel . 1 ; 2 /, hilfsweise . ; #/, Drehwinkel ' (D 'K in Abb. A.7)

234

14

Rotorsysteme

K

Im zweiten Schritt dreht (rotiert) der Körper, die Basis eE um die Achse eE3K D eE3:: mit dem Winkel '.t/; bei der hier angenommenen festen Drehgeschwindigkeit ˝ gilt ' D ˝t:

(14.37)

G

Die körperfeste Basis eE ist das Ergebnis der Gesamtdrehung, die momentane Lage des Körpers, die also durch die Koordinaten .

1;

2 ; '/

D.

1 ; .t/;

2 .t/; ˝t/

(14.38)

erfasst wird.

14.2.1.3 Kinetische Energie und Winkelgeschwindigkeiten G Bezogen auf eE lautet die kinetische Energie der Rotation, vgl. (A.104), Ekr D

1 2 2 2 C J22 !2G C J33 !3G ; J11 !1G 2

(14.39)

G

darin sind .!1G ; !2G ; !3G / die auf eE bezogenen Koordinaten der WinkelgeschwindigG 0 keiten !G der Basis eE gegenüber der Inertialbasis eE , vgl. (A.65): 1 0 cos ' !1G C B B @!2G A D @ sin ' 0 !3G 0

sin ' cos ' 0

10 1 !1K 0 CB C 0A @ !2K A : 1 !3K C ˝

(14.40)

Einsetzen von (14.40) in (14.39) liefert Ekr D

1 1 J11 C J22 2 2 C J33 .˝ C !3K /2  !1K C !2K 2 2 2 

1 J11  J22  2 2 C  !1K  !2K cos 2' C !1K !2K sin 2' : 2 2

(14.41)

Im allgemeinen Fall, bei einem unrunden Körper mit J11  J22 ¤ 0, gelangen mit cos 2' D cos 2˝t und sin 2' D sin 2˝t periodisch von der Zeit abhängende Terme in die Bewegungsgleichungen. Unrunde Körper schließen wir aus und setzen J11 D J22 DW Ja ;

J33 DW Jp I

(14.42)

Ja ist das axiale Massenträgheitsmoment, Jp das polare. Die Winkelgeschwindigkeiten 0 K .!1K ; !2K ; !3K / gelten für die Kippung von eE nach eE , vgl. (A.64).

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

235

14.2.1.4 Vereinfachen der Gleichungen Beim Aufstellen von Bewegungsgleichungen nach Lagrange werden kinetische Energie und Potenzial einmal nach den (generalisierten) Koordinaten bzw. den Geschwindigkeiten differenziert. Damit werden in den Termen – soweit sie Polynome sind – die Potenzen von Koordinaten bzw. Geschwindigkeiten um eins herabgesetzt. Sind lineare – also linearisierte – Bewegungsgleichungen das Ziel, muss man demnach sicherstellen, dass kinetische Energie und Potenzial mindestens bis zur zweiten Potenz korrekt sind. (Höhere Potenzen braucht man nicht zu beachten.) In der kinetischen Energie nach (14.41) treten !1K und !2K selbst quadratisch auf, also genügt es, !1K und !2K durch die Kippwinkel . 1 ; 2 / bzw. deren Ableitungen linear zu erfassen. Dagegen kann in .˝ C !3K / die Drehfrequenz ˝ groß sein. Deshalb müssen in !3K zunächst . 1 ; 2 / und ihre Ableitungen – als Produkte – bis zur 2. Ordnung beachtet werden. Aus (A.37) folgen in linearer Näherung t1 D

1;

t2 D

2;

tP1 D P 1 ;

tP2 D P 2 :

(14.43)

Für cos #, das in (A.64), der Gleichung für .!1K ; !2K ; !3K /, als Abkürzung benutzt wird, folgt aus (A.39)3 für jt1 j; jt2 j  1 mit Gliedern bis zur 2. Ordnung cos #  1  .t12 C t22 /=2:

(14.44)

Dann liefert (A.64) in linearer bzw. quadratischer Näherung 0 1 1 0 P1 !1K B C C B P2 @!2K A D @ A: P P !3K . 2 1  1 2 /=2

(14.45)

Mit (14.42) und (14.45) erhält man aus (14.41) Ekr D

1 1 Ja . P 12 C P 22 / C Jp Œ˝ C . 2 2

2

P1 

1

P 2 /=22 :

(14.46)

Dieser Ausdruck wird in die Lagrange-Gleichung (C.25) eingesetzt. (Nach dem Differenzieren streicht man die nichtlinearen Glieder weg.) Übrig bleiben die linearen Gleichungen J a R 1 C J p ˝ P 2 D M1 ; (14.47) J a R 2  J p ˝ P 1 D M2 ; in Matrixschreibweise ! Ja 0

0 Ja

! R1 0 C R2 Jp ˝

! Jp ˝ 0

P1 P2

!

! M1 D : M2

(14.48)

Dabei sind M1 und M2 die auf die Scheibe wirkenden Momente um eE10 bzw. eE20 .

236

14

14.2.2

Rotorsysteme

Anwendungsbeispiel

Aufgabe: Abb. 14.13 zeigt eine fliegend gelagerte nicht notwendig flache Kreiselscheibe: Dicke 2h, Masse m, Trägheitsmomente Ja ; Jp , Winkelgeschwindigkeit ˝, Länge der Kragwelle l, Biegesteifigkeit EI; Gewichte und Wellenmasse vernachlässigt. Gesucht sind die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen.

14.2.2.1 Bewegungsgleichungen (Lagrange) Die kinetische Energie lautet mit den Auslenkungen am Schwerpunkt C, .x; y/C D .x; y/, und den Winkeln .'x ; 'y / nach Abb. 14.13, vgl. Abb. 14.12 und Ekr nach (14.46), T D

1 1 1 m.xP 2 C yP 2 / C Ja .'Px2 C 'Py2 / C Jp Œ˝ C .'y 'Px  'x 'Py /=22 : 2 2 2

(14.49)

Um das Potenzial der elastischen Verformung der Welle anzuschreiben, brauchen wir deren Steifigkeitsmatrix, s. Anhang B.6. Wir wollen die Scheibendicke 2h berücksichtigen, vgl. Abb. 14.13. Deshalb müssen wir die Auslenkungen .x; y/A am Wellenanschlusspunkt A von .x; y/ D .x; y/C unterscheiden; der Einfachheit halber schreiben wir auch .'x ; 'y /A , obwohl .'x ; 'y /A D .'x ; 'y /C . Aus der Kragbalkenformel (B.37) folgen ! ! ! l Fx 2l 2 3l x D ; 6EI 3l 6 'y My A A ! (14.50) ! ! l Fy 2l 2 3l y D ; 6EI 3l 'x 6 Mx A

invertiert: Fx My

A

! D KA1 A

x 'y

!

Fy Mx

; A

! D KA2 A

y 'x

! (14.51) A

2h m,Ja ,Jp

φy

A

y

Ω x

C

EI

φx l Abb. 14.13 Fliegend gelagerte Kreiselscheibe. C – Schwerpunkt, A – Anschlusspunkt der elastischen Welle

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

237

mit den Steifigkeitsmatrizen KA1

2EI D 3 l

6 3l

! 3l ; 2l 2

KA2

2EI D 3 l

6 3l

! 3l : 2l 2

(14.52)

Dann lautet das Potenzial der elastischen Wellenbiegung bezogen auf den Anschlusspunkt A !T ! !T ! 1 x 1 y x y KA1 C KA2 : (14.53) UA D 2 'y 2 'x 'y 'x A

A

A

A

Koordinatentransformation von .x; 'y /A , .y; 'x /A nach .x; 'y /C .x; 'y /, .y; 'x /C

.y; 'x /, vgl. Abb. 14.13, x 'y

! D T1

! x ; 'y

! 1 h ; mit T 1 D 0 1 A

liefert 1 x U D 2 'y wo

!T K1

x 'y

!

! y D T2 ; 'x A ! 1 h T2 D ; 0 1

y 'x

!

1 y C 2 'x

!T K2

! y ; 'x

! 2EI 6 3.l C 2h/ D 3 K1 D l 3.l C 2h/ 2l 2 C 3h.l C h/ ! k11 k12 D ; k21 k22 ! 2EI 6 3.l C 2h/ T K2 D T 2 KA2 T 2 D 3 l 3.l C 2h/ 2l 2 C 3h.l C h/ ! k11 k12 D : k21 k22

(14.54)

(14.55)

TT1 KA1 T 1

(14.56)

Mit der kinetischen Energie T nach (14.49) und dem Potential U aus (14.55) erhält man nach Lagrange für die (generalisierten) Koordinaten .q1 ; q2 ; q3 ; q4 / D .x; y; 'x ; 'y / die vier Bewegungsgleichungen, je zweiter Ordnung, mxR C k11 x  k12 'y D 0; myR C k11 y C k12 'x D 0; Ja 'Rx C Jp ˝ 'Py C k21 y C k22 'x D 0; Ja 'Ry  Jp ˝ 'Px  k21 x C k22 'y D 0:

(14.57)

238

14

Rotorsysteme

In Matrixschreibweise lauten sie M xR C ˝G xP C K x D 0;

(14.58)

mit der Trägheits-, der gyroskopischen bzw. der Steifigkeitsmatrix 0

m 0 0 B B0 m 0 M DB @ 0 0 Ja 0 0 0 0

0

1 0 C 0C C; 0A Ja

k11 B B 0 K DB @ 0 k12

0 B B0 G DB @0 0

0 k11 k21 0

0 k12 k22 0

0 0 0 0 0 0 0 Jp 1

1 0 C 0C C; Jp A 0

k12 C 0 C C: 0 A

(14.59)

k22

Die Schief-Symmetrie der gyroskopischen Matrix, G D G T ;

(14.60)

bewirkt (hier in linearer Näherung) den in Abb. 14.10 besprochenen Kreiseleffekt (s. auch 14.48).

14.2.2.2 Komplexe Form der Bewegungsgleichungen p Multipliziert man die zweite und die vierte Gleichung (14.57) mit j D 1 und addiert sie zur ersten bzw. dritten, so folgen mit x WD .x C jy/;

' WD .'x C j'y /

(14.61)

die beiden komplexen Bewegungsgleichungen mxR C k11 x C j k12 ' D 0;

(14.62)

Ja 'R  j˝Jp 'P  j k21 x C k22 ' D 0:

14.2.2.3 Eigenschwingungen Mit dem Ansatz O '/e O j!t .x; '/ D .x;

(14.63)

drehen die Zeiger x; O 'O mit ˝ im Gleichlauf , wenn ! > 0, im Gegenlauf , wenn ! < 0, vgl. Abb. 14.13 und (14.61). Der Ansatz (14.63) überführt (14.62) in das Eigenwertproblem k11  m! 2 j k12

! j k12 k22 C ˝Jp !  Ja ! 2

xO 'O

! D 0;

(14.64)

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

239

Parameter !, mit der charakteristischen Determinante ˇ ˇ ˇ k  m! 2 .!/ D ˇ 11 ˇ j k12

ˇ ˇ j k12 ˇ ˇ: k22 C ˝Jp !  Ja ! 2 ˇ

(14.65)

Die charakteristische Gleichung, .!/ D 0, lautet 2 D 0: .k11  m! 2 /.k22 C !˝Jp  Ja ! 2 /  k12

(14.66)

Numerisch gewonnene Wurzeln bringen wenig Überblick, deshalb diskutieren wir die O '/ O k / grafisch. vier Eigenlösungen .!k ; .x; Diskussion der Eigenlösungen Wir dividieren (14.66) durch mJa und stellen um: 2 =.mJa /: .k11 =m  ! 2 /.k22 =Ja C !˝Jp =Ja  ! 2 / D k12

(14.67)

Die beiden Klammerausdrücke links sind Frequenzgleichungen des Schwingers nach Abb. 14.13 für eingeschränkte Bewegungen durch am (Schwer-)Punkt C wirkende Bindungen: einmal ist die Winkelauslenkung ' verhindert, zweitens die Auslenkung x. (Die zugehörigen Eigenwertprobleme folgen aus der entsprechend abgewandelten (14.62).) Nullsetzen der Klammerausdrücke liefert vier Kennfrequenzen (!R wird Bezugsfrequenz): q p !I;II D  k11 =m; !III D .˝Jp =2Ja /  .˝Jp =2Ja /2 C k22 =Ja < 0; (14.68) q q 4 2 2 !R D k12 =mJa ; !I V D .˝Jp =2Ja / C .˝Jp =2Ja / C k22 =Ja > 0: Mit den Kennfrequenzen lässt sich (14.67) wie folgt schreiben: 2 =.mJa /: .!I C !/.!II  !/.!III C !/.!I V  !/ D k12

(14.69)

Einsetzen von !I D !II und der auf !R bezogenen Frequenzen !Q D !=!R ; ˝Q D 2 Q !Q II  !/ Q D .!Q II  !Q 2 / ˝=!R usw. in (14.69) liefert nach Dividieren durch .!Q I C !/. .!Q III C !/. Q !Q I V  !/ Q D

2 .!Q II

1 :  !Q 2 /

(14.70)

Die Abszissenwerte !Q D !Q k ; k D 1; : : : ; 4, der Schnittpunkte.!Q k / der drei Äs2 Q der gebrochen rationalen Funktion 1=.!Q II  !Q 2 / rechts, mit Polen bei te f1;2;3 .!/ Q – ScharQ ˝/ !Q D ˙!Q II , (vgl. Abb. 14.14), und der links stehenden Parabelschar fP .!; Q Q parameter ˝ – sind die gesuchten Eigenfrequenzen !Q k .˝/I

240

14

Rotorsysteme

Für die grafische p Konstruktion stellen wir die bezogene Größen aus (14.70) geeignet zusammen .iJa D Ja =m ist der Trägheitsradius des Kreiselkörpers um die Querachse): q p 1 Q ˝Jp =Ja ; !Q B D k22 =.jk12 jiJa /; !Q W WD !Q A2 C !Q B2 ; 2 p D k11 iJa =jk12 j; !Q III D !Q A  !Q W < 0; !Q I V D !Q A C !Q W > 0:

!Q A D !Q II

(14.71)

Q Abb. 14.14 gilt für gegebene Systemparameter und eine gewählte Drehfrequenz ˝. Q aufQ und fP .!; Q ˝/ Über der Abszisse !Q sind als Ordinaten h die Funktionen f1;2;3 .!/ Q mit getragen. Fest – unabhängig von ˝Q – sind in dem Diagramm die Kurven f1;2;3 .!/ den Polen !Q D ˙!Q II und die auf der Ordinate als 0B eingetragene Kennfrequenz !Q B .D Q als !Q III D !Q I V für ˝ D 0/, vgl. (14.71)2. Der Punkt A markiert auf der !-Achse Q p =Ja indirekt die Drehfrequenz, er wandert mit steigender Drehzahl also nach !Q A D 12 ˝J rechts. Im eingetragenen Rechteck ist die Diagonale AB gleich der Hilfsgröße !Q W , vgl. (14.71)3. Der Kreis mit AB um A schneidet die Abszisse bei !Q III und !Q I V , den Nullstel2 /. len der Parabel. Der Parabelscheitel hat die Koordinaten .!Q A ; !Q W Wie oben bereits gesagt, sind die Lot-Fußpunkte der vier eingetragenen Schnittpunkte .!Q k / auf den Eigenfrequenzen !Q k I der Übersichtlichkeit halber sind sie im Diagramm nicht markiert. (Es lässt sich leicht zeigen, dass die gezeigte Anordnung der Schnittpunkte recht allgemein gilt: stets liegt Punkt D oberhalb Punkt C, und nur bei extrem gestreckten Kreiselkörpern kann !Q II !Q B auftreten; vgl. (14.71)2,4.) Dann sind !Q 1 und !Q 2 stets negativ, drehen also im Gegenlauf , !Q 1 liegt unterhalb von !Q I ; !Q 2 oberhalb. Mit steigendem ˝Q wandern beide nach rechts, !Q 1 strebt gegen !Q I ; !Q 2 Abb. 14.14 Lage der Eigenfrequenz !Q k . (Die !Q k liegen an den Lot-Fußpunkten der Schnittpunkte (!Q k ) der Kurvenäste f1;2;3 mit der Parabel fp .)

f2 h

~) (ω 3

fP

D

~) B (ω 2 ~ ω III f1

~) (ω 1

0 C ~ ~ ωI ω II

~ ω IV

A ~ f3 (ω4) Jp ~ 2Ja Ω

~ ω

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

241

gegen 0. Die Eigenfrequenzen !Q 3 und !Q 4 sind stets positiv, also gilt Gleichlauf . Mit steiQ gendem ˝Q strebt !Q 3 von unten gegen !Q II ; !Q 4 von oben gegen .Jp =Ja /  ˝. Q Achtung: Hinweis 1 Abb. 14.16 zeigt für ein Rechenbeispiel Kurvenverläufe !Q k .˝/. Häufig werden in solchen Kurven auch !Q 1 D j!Q 1 j und  !Q 2 D j!Q 2 j, also alle Eigenwerte positiv aufgetragen. Das ist formal nicht falsch, weil zu jeder (komplexen) Eigenlösung der (reellen) Ausganggleichung (14.57) auch die dazu komplex konjugierte Lösung existiert. (Gleich und Gegenlauf ist dann nicht so leicht zu unterscheiden.) O '/ O Tk folgt aus Die zur Eigenfrequenz !k gehörende Eigenschwingungsform xO k D .x; T der oberen Zeile von (14.64) zu xO k D .j k12 ; k11  m!k2 /. Will man die oben eingeführte bezogene Schreibweise auch hier ausnutzen, ist es günstig, wenn xO und 'O die gleiche Dimension 1 haben. Für die Auslenkung x und den Trägheitsradius iJa des Kreiselkörpers setzen wir mit der Länge l der Kragwelle xQ D x= l

bzw. iQJa D iJa = l:

(14.72)

2 aus (14.71)4 als Abkürzung und c k Dann lautet die dimensionslose Eigenform, mit !Q II als freie Konstante, ! ! xOQ iQJa D ck : (14.73) 2 'O j.!Q II  !Q k2 / k 2  !Q k2 /, die Phasen von 'O k Aus Abb. 14.14 liest man hierzu die Vorzeichen von .!Q II gegen xOQ k , direkt ab: Der Winkel ˛k sei gegen den Drehsinn von ˝ positiv orientiert, vgl. Abb. 6.5 und 6.11. Für 'O k D j'O k je j˛k liefert (14.73) zu den !Q k nach Abb. 14.14: .˛1 ; ˛2 ; ˛3 ; ˛4 / D .=2; =2; =2; =2/. Abb. 14.15 zeigt schematisch (stark überhöht) die beiden möglichen Biegeformen der umlaufenden Eigenschwingung. Bei ˛k D =2 wirkt das Kreiselmoment gegen die Biegung der Kragwelle durch die übrigen Trägheitskräfte, Abb. 14.15a, bei ˛k D =2 verstärkt es sie, Abb. 14.15b. Die Biegelinie bleibt stets in der durch den mit !Q k umlaufenden Drehzeiger xOQ k und die gerade Ausgangsachse aufgespannten Ebene. jxOQ k j proportional zum kleinen iQJa , die '-Amplitude Nach (14.73) ist die x-Amplitude Q zu j!Q II C !Q k j  j!Q II  !Q k j. Damit die Amplituden vergleichbare Größen haben muss j!Q k j also nahe !Q II liegen, vgl. Abb. 14.14.

Drehzahlabhängigkeit der Eigenfrequenzen; Zahlenbeispiel Ergänzend zum qualitativen Überblick über die Eigenlösungen nach Abb. 14.14, 14.15 zeigt Abb. 14.16 zwei Q Sie sind numerische Lösungen der Sätze numerisch berechneter Frequenzverläufe !Q k .˝/. Frequenzgleichung (14.66) in der Form von (14.70): 2  !Q 2 /.!Q III C !/. Q !Q I V  !/ Q  1 D 0: .!/ Q D .!Q II

(14.74)

242

14 a

Rotorsysteme

b

Ω

Ω

φ x~

x~

φ

Abb. 14.15 Form der umlaufenden Eigenschwingungen, schematisch, xOQ D jxQO k j; 'O D j'O k j. a Phase Q p =Ja Gleichlauf b Phase ˛2;3 D =2 W zu !Q 2 < 0 ˛1;4 D =2 W zu !Q 1 < 0 Gegenlauf, zu !Q 4  ˝J Gegenlauf, zu !Q 3 > 0 Gleichlauf

Die Bedeutung der Parameter stimmt mit Abb. 14.14 überein, vgl. (14.71). Die Basis- Zahlenwerte lauten für Abb. 14.16 a und b: Jp =Ja D 1:5; !Q II D 0:29; !Q B D 3:54, für c und d: Jp =Ja D 2=3; !Q II D 0:27; !Q B D 3:80 (Die Ermittlung ist etwas mühsam.) Q und !Q 4 .˝/; Q mit !Q 1 .0/ D !Q 4 .0/, die Bilder Die Bilder a und c zeigen jeweils !Q 1 .˝/ Q Q b und d zeigen !Q 2 .˝/ und !Q 3 .˝/, mit !Q 2 .0/ D !Q 3 .0/. Beim gestreckten KreiselkörQ siehe per, Jp D 0:666Ja , schneidet die Gerade !Q D ˝Q die Gleichlauffrequenz !Q 4 .˝/,

a

c

30

30

20

20 k= 4

10 0 b

0.2 ~ 0.1 ω k 0 -0.1

~ ~ ω=Ω

0

~ ~ ω=Ω

1 10 ~ 15 Ω

5

~ ω k

k= 4

10 0 20

1 0

d

10

~ Ω

20

30

~ Ω

20

30

0.2 k=3 2 0

5

k=3

~ 0.1 ω k 0 10 ~ 15 Ω

20

-0.1

2 0

Abb. 14.16 Eigenfrequenzen zu a, b J p /J a D 1.5, c, d J p /J a D 2/3

10

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

243

Abb. 14.16c, Resonanz mit Unwuchterregung tritt auf, Abschn. 14.2.2.4. Das asympQ für ˝Q ! 1 erkennt man leicht, doch kann man nach totische Verhalten der !Q k .˝/ Abb. 14.14 mit (14.71) auch Werte abschätzen.

14.2.2.4 Erzwungene Schwingungen Unwuchtschwingungen Enthält die fliegend gelagerte Scheibe nach Abb. 14.13 eine Unwucht mit der Exzentrizität ru , vgl. Abb. 12.5, sei jedoch gerade auf die Welle aufgesetzt, kommen in den Bewegungsgleichungen (14.58) die Fliehkraftterme wie in (12.43) hinzu (vgl. Aufgabe 14.11): mxR C k11 x  k12 'y D mru ˝ 2 cos ˝t; myR C k11 y C k12 'x D mru ˝ 2 sin ˝t; Ja 'Rx C Jp ˝ 'Py C k21 y C k22 'x D 0;

(14.75)

Ja 'Ry  Jp ˝ 'Px  k21 x C k22 'y D 0: In komplexer Form, vgl. (14.61), (14.62), lauten sie mxR C k11 x  j k12 ' D mru ˝ 2 e j˝t ; Ja 'R  j˝Jp 'P C k22 ' C j k21 x D 0:

(14.76)

Mit dem Lösungsansatz O '/e O j˝t .x; '/ D .x;

(14.77)

folgen aus (14.76) und der Frequenzfunktion .!/ nach (14.65) .x; O '/ O D

mru ˝ 2 .k22 C ˝ 2 .Jp  Ja /; j k12 /: .˝/

(14.78)

Die Zeiger xO und 'O laufen mit dem Rotor „eingefroren“ um. Resonanzen treten an den Nullstellen des Nenners auf. Der verschwindet bei den Eigenfrequenzen !k . Da ˝ > 0 gilt, kommen nach Abb. 14.14 nur ˝ D !3

und ˝ D !4

(14.79)

in Frage. Q oberhalb ˝, Q vgl. die Gerade !Q D ˝Q in Abb. 14.16a, Bei Jp =Ja > 1 liegt jedoch !Q 4 .˝/ in diesem Fall gibt es nur die Resonanzstelle ˝ D !3 , vgl. Abb. 14.16b. Q als auch von !Q 3 .˝/ Q Bei Jp =Ja < 1 gibt es sowohl je einen Schnittpunkt von !Q 4 .˝/ Q mit !Q D ˝, vgl. Abb. 14.16c, d, beide Resonanzstellen (14.79) sind möglich.

244

14

Rotorsysteme

Vertikalerregung durch Lagerung Ist die Welle in Abb. 14.13 horizontal gelagert und schwingt der Lagerbock ohne zu kippen in y-Richtung mit ue .t/ D uO e cos ˝e t

(14.80)

mit der Erregeramplitude uO e und der Erregerfrequenz ˝e ¤ ˝, so tritt an die Stelle von (14.75) mxR C k11 x  k12 'y D 0; myR C k11 y C k12 'x D muO e ˝e2 cos ˝e t; Ja 'Rx C Jp ˝ 'Py C k21 y C k22 'x D 0;

(14.81)

Ja 'Ry  Jp ˝ 'Px  k21 x C k22 'y D 0: In komplexer Form lauten die Gleichungen mxR C k11 x C j k12 ' D j muO e ˝e2 cos ˝e t; Ja 'R  j˝Jp 'P  j k21 x C k22 ' D 0:

(14.82)

Da (14.82) komplexe Koeffizienten hat, muss man rechts cos ˝e t D .e j˝e t Ce j˝e t /=2 setzen: mxR C k11 x C j k12 ' D 0:5j muO e ˝e2 .e j˝e t C e j˝e t /; Ja 'R  j˝Jp 'P  j k21 x C k22 ' D 0:

(14.83)

Die cos-förmige Erregung bewirkt also einen Gleichlauf- und einen Gegenlauf-Drehzeiger auf der rechten Seite. Dazu gehört das Ansatzpaar O '/ O 1;2 e ˙j˝e t : .x; '/1;2 D .x;

(14.84)

O 1 C ˝e folgt parallel zu (14.77), (14.78) Für .x; O '/ O 1D .x; O '/

0:5j muO e ˝e2 .k22  Ja ˝e2 C Jp ˝˝e ; j k12 /I .˝e /

(14.85)

O 2 folgt daraus durch Vorzeichenumkehr bei ˝e . Bei variabler Erregerfrequenz ˝e .x; O '/ unterliegen die beiden Zeigerpaare Resonanzen an unterschiedlichen Stellen, die auch von der Drehfrequenz ˝ abhängen. Im allgemeinen beschreiben x(t) und '.t/ ovale Bahnkurven vergleichbar Abb. 14.9.

14.2.3 Reelle Form der Kreisel-Bewegungsgleichungen Der Übergang von den (reellen) Bewegungsgleichungen (14.58) ff. zu den komplexen Gleichungen (14.62) bringt bei isotropen und isotrop gelagerten Rotoren Vorteile.

14.2 Rotoren mit aufgesetztem Kreisel

245

Im anisotropen Fall mit symmetrischen Trägheits- und Steifigkeitsmatrizen M bzw. K und schiefsymmetrischer gyroskopischer Matrix G nach (14.60) muss man mit (14.58) arbeiten. Für die Eigenschwingungen erhält man, wie bisher, mit x D xO exp.t/ das Eigenwertproblem (14.86) .M 2 C ˝G  C K /xO D 0 und daraus die charakteristische Gleichung ./ D 0; wo ./ WD det.M 2 C ˝G  C K /:

(14.87)

Solange das System (14.58) keine Dämpfung enthält, sind die Lösungen k von (14.87)1 rein imaginär: (14.88) k D j!k ; vgl. die vorangehenden Untersuchungen. Das lässt sich leicht allgemein zeigen: Wir ersetzen (14.58) durch das Dgl-System erster Ordnung M 0

0 K

!

xP x

!

˝G D K

K 0

!

! xP ; x

abgekürzt: A uP D Bu:

(14.89) (14.90)

Sei neben M auch K positiv definit (nicht nur semidefinit), vgl. (10.3)). Wegen der Symmetrie von M und K, vgl.(10.2), und der Schiefsymmetrie von G, vgl. (14.60), gelten A T D A;

B T D B;

u Au > 0;

(reell);

für u ¤ 0:

(14.91)

Dem Eigenwertproblem (14.86) entspricht .A  B/uO D 0:

(14.92)

Sei .k ; uO k / eine Eigenlösung dazu. Dann gilt k A uO k D B uO k :

(14.93)

Multiplikation von links mit uO  liefert k uO k A uO k D uO k B uO k

und k D

uO k B uO k : uO k A uO k

(14.94)

Konjugiert komplexe Transposition von (14.94) führt wegen (14.91)2 auf 

uO B uO k N k D  k D k : uO k A uO k

(14.95)

246

14

Rotorsysteme

Die Eigenwerte k sind also rein imaginär k D j!k , die Eigenvektoren uO k sind komplex. Sei .i ; uO i /, neben .k ; uO k /, eine zweite Eigenlösung von (14.92). Wir multiplizieren (14.93) von links mit uO i und die (14.93) entsprechende Gleichung für .i ; uO i / mit uO k : (14.96) k uO i A uO k D uO i B uO k ; i uO k A uO i D uO k B uO i : Transposition und komplexe Konjugation des rechten Ausdrucks liefert N i uO i A uO k D uO i B uO k :

(14.97)

Addiert man (14.96)1 und (14.97), so folgt .k C N i /uO i A uO k D 0 bzw. .!k  !i /uO i A uO k ;

(14.98)

letzteres wegen (14.95). Demnach gilt: Im Sinne des komplexwertigen Skalarprodukts .uO i ; uO k /A WD uO i A uO k

(14.99)

sind die zu zwei verschiedenen Eigenfrequenzen !i ¤ !k gehörenden Eigenvektoren orthogonal: (14.100) uO i ?uO k ; falls !i ¤ !k I s. Aufgabe 14.10.

14.3 Aufgaben Aufgabe 14.1 Kontrollieren Sie die Gültigkeit von (14.11) für den Fall identischer Lagerböcke. Aufgabe 14.2 Wie viele wesentliche, d. h. dimensionslose (bezogene) Parameter braucht man für die Bewegungsgleichung (14.20)? Aufgabe 14.3 Deuten und diskutieren Sie die mit (14.24) und (14.25) gewählten Parameter. Stellen Sie Überlegungen für Variationen an. Aufgabe 14.4 Habe die Steifigkeitsmatrix KN in (14.25)2 die Eigenlösungen . i ; ki / mit K N ki D i ki

(14.101)

Zeigen Sie: Wegen des speziellen Aufbaus der Bewegungsgleichungen (14.9) ff. liegen für h > 0 und ohne Dämpfungen die Eigenschwingungen jeweils in der k1 - oder k2 -Richtung; vgl. Abb. 14.4. Kann man dies ausnutzen, um die Lösung des Eigenwertproblems zu vereinfachen?

14.3 Aufgaben

247

Aufgabe 14.5 Zeigen Sie für den Fall isotroper Lagerung (Fall h = 0 in Tab. 14.1) ohne Dämpfung, dass die Eigenschwingungen zur jeweils gleichen Frequenz so zusammengesetzt werden können, dass die Punkte W, A, B von Scheibe bzw. Lagern auf Ellipsen in oder gegen die Wellendrehrichtung umlaufen. Aufgabe 14.6 Kontrollieren Sie den Umlaufsinn der Punkte W, A, B in Abb. 14.5 anhand der Eigenlösungen .Q k ; xQ k / aus Tab. 14.2. Aufgabe 14.7 Sei in (14.41) – abweichend von (14.42) – der Körper unrund, J11 ¤ J22 . Schreiben Sie für diesen Fall die (14.47), (14.48) entsprechenden linearen Bewegungsgleichungen an, die mit ' D ˝t, vgl. (14.37), explizit mit der Periode T D =˝ von der Zeit abhängen. Aufgabe 14.8 Kontrollieren Sie (14.50), insbesondere im Hinblick auf die Vorzeichen von 'x und Mx . Aufgabe 14.9 Statt beim Übergang von (14.57) zu (14.61) zu addieren, kann man auch subtrahieren, dann die Lösung parallel zu (14.63) mit einem rechtsdrehenden Zeiger ansetzen, alle Überlegungen gewissermaßen „spiegelbildlich“ abhandeln. Erhält man auf diese Weise anders ablaufende Eigenschwingungen? Aufgabe 14.10 Die fliegend gelagerte Kreiselscheibe nach Abb. 14.13 hat offensichtlich den Freiheitsgrad vier, vgl. die Bewegungsgleichungen (14.57). Dann muss man acht AnP y.0/; P 'Px .0/; 'Py .0/ vorgeben. Setzen fangsbedingungen für x.0/; y.0/; 'x .0/; 'y .0/; x.0/; Sie mit den vier komplexen Eigenschwingungen zu (14.64) die entsprechende (allgemeine) Lösung an. Aufgabe 14.11 Löst man die Bewegungsgleichungen (14.57) direkt, also nicht über (14.61) usw. komplex, so erhält man acht Eigenlösungen. Wie hängen diese mit den komplexen zusammen (vgl. Aufgabe 14.10)? Aufgabe 14.12 Man kann die beiden Biegeformen nach Abb. 14.15a und 14.15b dadurch unterscheiden, dass die Subtangente st der Biegelinie auf der vom Lager abgewandten Seite der Scheibe liegt, st > 0, bzw. auf der dem Lager zugewandten Seite, st < 0. Schreiben Sie für die Eigenschwingungen (14.73) eine Formel für st .!k / an, vgl. Abb. 14.17. Aufgabe 14.13 Zeigen Sie für die fliegend gelagerte Kreiselscheibe nach Abb. 14.13, dass es zu Gleich- und Gegenlauf jeweils die Eigenschwingungen mit positiver und negativer Subtangente gibt. Q nach Abb. 14.16 für negative Aufgabe 14.14 Ergänzen Sie die Frequenzverläufe !Q k .˝/ Q also für das Intervall 20  ˝Q  0. ˝,

248

14

Abb. 14.17 Subtangente: xO D 'O  st

Rotorsysteme

φ

x st

Aufgabe 14.15 Ergänzen Sie die kinetische Energie nach (14.49) um Unwuchtterme und stellen sodann die Bewegungsgleichungen (14.75) nach Lagrange auf. Aufgabe 14.16 Wie ändern sich die auf (14.78) folgenden Resonanzaussagen bei Umkehr der Drehrichtung (vgl. Aufgabe 14.9)? Aufgabe 14.17 Kontrollieren Sie die Aussage (14.94) ! (14.95). Aufgabe 14.18 Sei von der Eigenlösung .k ; xO k / D .j!k ; xO k / neben !k der Realteil xO kR WD RexO k bekannt. Ermitteln Sie aus (14.86) den Imaginärteil xO kI WD ImxO k .

Teil IV Kontinua mit einem funktionalen Freiheitsgrad

15

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Als einfachen Fall eines schwingenden Kontinuums untersuchen wir in diesem Abschnitt die Wirkung der mitschwingenden Wellenmasse auf das Schwingungsverhalten des Systems.

15.1 Aufgabenstellung Als typisches Beispiel untersuchen wir den Drehschwinger nach Abb. 15.1. Eine Welle (Radius R, Länge l, Dichte , Schubmodul G) trägt an den Enden zwei Drehmassen (Massenmomente J1 ; J2 ). Gesucht sind die Eigenfrequenzen, Eigenschwingungsformen und die erzwungenen Schwingungen (bei Anregung an einem Ende). Schließlich interessiert die Frage, wie man das Kontinuum Welle näherungsweise durch ein diskretes System ersetzen kann.

15.2 Freie Schwingungen 15.2.1

Herleiten der partiellen Dgl für die Drehschwingungen der Welle

Abb. 15.2a zeigt einen Schnitt durch die Welle an der Stelle x, wobei die Koordinate von einem Wellenende gezählt ist, vgl. etwa Abb. 15.1. Die Wellendrehung an der Stelle x wird durch den Winkel ' D '.x; t/ gemessen, wobei ' D 0 zum Beispiel der vertikalen Referenzlage entspricht. Abb. 15.2b zeigt den Winkel symbolisch als Drehpfeil. Drillung Abb. 15.3 zeigt ein Wellenelement der Länge x. Es erfährt die Drillung '0 D

'.x C x; t/  '.x; t/ @' D lim : x!0 @x x

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_15

(15.1)

251

252

15

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Abb. 15.1 Drehschwinger

x R

ρ,G

J2

J1 l Abb. 15.2 Drehwinkel '.x; t /, Torsionsmoment MT .x; t /. a ausführlich, b symbolisch

a

x φ MT

b

Abb. 15.3 Drillung am Wellenelement

x φ(x,t)

x

φ

MT

Δx φ(x+Δx,t)

Moment (Torsionsmoment) Für das Torsionsmoment MT gilt, vgl. Abb. 15.2, MT D GIp  ' 0 :

(15.2)

Dabei ist G der Schubmodul und Z Ip D

r 2 dA D

 4 R 2

(15.3)

A

das polare Flächenmoment 2. Grades (früher Flächenträgheitsmoment). Man nennt das Produkt GIp Drillsteifigkeit. Momentengleichgewicht am Wellenelement Abb. 15.4 zeigt ein Wellenelement der Länge x mit den angreifenden Torsionsmomenten sowie dem d’Alembert’schen Moment  J '. R Das Massenmoment J lautet J D %Ip x D Jw = l  x:

Dabei ist

(15.4)

1 (15.5) mR2 2 das Massenmoment der als starr angenommenen Welle; Jw = l ist das auf die Länge bezogene Massenmoment. Jw D %Ip  l D

15.2 Freie Schwingungen

253

Abb. 15.4 Drehmomente am Wellenelement

x

Δx

MT (x,t) ΔJ·φ

MT (x+Δx,t)

Die Bedingung für das Momentengleichgewicht am Element nach Abb. 15.4 lautet: MT .x C x; t/  MT .x; t/  Jw = l  ' x R D 0:

(15.6)

Mit Division durch x und Grenzübergang x ! 0 erhält man MT .x C x; t/  MT .x; t/ @MT D D MT0 : x!0 x @x

Jw = l  'R D lim

(15.7)

Einsetzen von MT aus (15.2) liefert Jw 'R D .GIp ' 0 /0 : l

(15.8)

Falls GIp unabhängig von x ist, falls also R – wie bisher angenommen – konstant ist, gilt (15.9) Jw = l  'R  GIp ' 00 D 0: Dies – wie auch (15.8) – ist eine lineare partielle Dgl 2. Ordnung nach der Zeit t (! 2 Anfangsbedingungen erforderlich) und 2. Ordnung nach dem Ort x (! 2 Randbedingungen erforderlich). Hinweis 1 Wenn man will, kann man nach (15.4) Jw = l D %Ip setzen und Ip aus (15.9) herauskürzen (das ist nur bei Ip D const möglich). Man erhält %'R  G' 00 D 0:

(15.10)

(Wir werden stets mit (15.9) arbeiten.)

15.2.2

Untersuchung der freien Schwingungen

Abb. 15.5 zeigt die geometrischen Beziehungen und die Schnittmomente an unseren Systemen. Abb. 15.5a macht die geometrischen (die kinematischen) Beziehungen deutlich: '1 .t/ D '.0; t/;

'2 .t/ D '.l; t/:

(15.11)

Abb. 15.5b enthält neben den Schnittmomenten auch die d’Alembert’schen Momente J1 'R1 und J2 'R2 .

254

15 a

J1 φ1

x=0

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Welle

φ(0,t)

J2

x=l φ(l,t) φ2

b

J1φ1

MT (0,t) x=0

Welle

MT (0,t)

x=l

MT (l,t)

J2φ2

MT (l,t)

Abb. 15.5 System mit a geometrischen, b kinetischen Größen

Bewegungsgleichungen: Partielle Dgl und Randbedingungen Für die Bewegung der Welle gilt die partielle Dgl (15.9): Jw = l  'R  GIp ' 00 D 0:

(15.12)

Für die Drehmassen J1 ; J2 gelten mit den Momenten gemäß Abb. 15.5b die Gleichgewichtsbedingungen  J1 'R1 C MT .0; t/ D 0;

J2 'R2  MT .l; t/ D 0:

(15.13)

Darin sind '1 und '2 gemäß (15.11) mit Hilfe von '.x; t/ auszudrücken, und für MT .0; t/, MT .l; t/ folgen aus (15.2) MT .0; t/ D GIp ' 0 .0; t/;

MT .l; t/ D GIp ' 0 .l; t/:

(15.14)

Zusammengefasst liefern (15.13) mit (15.11) und (15.14) die beiden Randbedingungen R t/ C GIp ' 0 .0; t/ D 0; J1 '.0; R t/  GIp ' 0 .l; t/ D 0 J2 '.l;

(15.15)

für die partielle Dgl (15.12). Lösung der Bewegungsgleichungen Wir suchen freie Schwingungen des Schwingers nach Abb. 15.1, die durch den Satz homogener Gleichungen (15.12), (15.11), (15.13), (15.14) bzw. – nach Elimination von MT .0; t/, MT .l; t/, '1 und '2 – durch (15.12) und (15.15) beschrieben werden.

15.2 Freie Schwingungen

255

Das System von Gleichungen hat bezüglich der Zeit konstante Koeffizienten, deshalb liegt ein e t -Ansatz nahe: 1 0 1 0 'O1 '1 .t/ C B C B B '2 .t/ C B 'O2 C t (15.16) CDB Ce : B @MT .x; t/A @MO T .x/A '.x; t/

'.x/ O

O natürlich noch Funktionen von x. Darin sind MO T .x/ und '.x/ Arbeitet man mit (15.12) und (15.15) – in denen '1 ; '2 ; MT nicht mehr vorkommen –, braucht man von (15.16) nur die letzte Zeile: t : '.x; t/ D '.x/e O

(15.17)

Da wir die Systemdämpfung weggelassen haben, erwarten wir rein imaginäre Eigenwerte (15.18) ˙i D ˙j!i : Da in unserem System nur Zeitableitungen zweiter Ordnung vorkommen, liegt es nahe, statt des komplexen Ansatzes (15.17) den reellen Ansatz '.x; t/ D '.x/ O cos !t zu wählen (die Funktionen sin !t; cos.!t C

(15.19)

/ tun es auch!).

Lösen der partiellen Dgl Mit (15.19) folgt aus (15.12)  Jw = l  ! 2 'O cos !t  GIp 'O 00 cos !t D 0:

(15.20)

Da cos !t ¤ 0, ergibt sich aus (15.20) für '.x/ O die gewöhnliche Dgl GIp 'O 00 C ! 2 Jw = l 'O D 0:

(15.21)

Hierin ist ! der freie Parameter des Eigenwertproblems. Zur Abkürzung dividieren wir (15.21) durch GIp und setzen s Jw 2 2

D ! Jw =.lGIp /; also D ! : (15.22) lGIp Der Parameter tritt an die Stelle von !, aus (15.21) entsteht 'O 00 C 2 'O D 0:

(15.23)

Dies ist mathematisch dieselbe Dgl wie (5.13) – mit x statt t als unabhängiger Variabler – und hat die allgemeine Lösung, vgl. (5.15), 'O D a1 cos x C a2 sin x:

(15.24)

256

15

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Einarbeiten der allgemeinen Lösung in die Randbedingungen Mit dem Ansatz (15.19) nehmen die Randbedingungen (15.15) nach Herauskürzen von cos !t die folgende Form an: O C GIp 'O 0 .0/ D 0; ! 2 J1 '.0/ (15.25) ! 2 J2 '.l/ O  GIp 'O 0 .l/ D 0: Mit ! 2 D

2 lGIp Jw

aus (15.22) lauten sie: J1 GIp '.0/ O C GIp 'O 0 .0/ D 0; Jw 2 J2 O GIp 'O 0 .l/ D 0I l GIp '.l/ Jw

2

l

(15.26)

hier wurde durch GIp .¤ 0/ dividiert. Einsetzen der allgemeinen Lösung '.x/ O nach (15.24) in die Randbedingungen (15.26) liefert J1 .a1 cos.0/ C a2 sin.0// C .a1 sin.0/ C a2 cos.0// D 0; Jw J2

2 l .a1 cos l C a2 sin l/  .a1 sin l C a2 cos l/ D 0: Jw

2l

(15.27)

Achtung! Es ist gefährlich, durch zu teilen, bevor man zu D 0 gehörende Lösungen ausgeschlossen hat. (Hier gibt es solche! – vgl. 1 in (9.43)1) Zusammenfassen der Koeffiziententerme von a1 und a2 liefert J1 a1 C a2 D 0; Jw     J2 J2 cos l C sin l a1 C 2 l sin l  cos l a2 D 0:

2l Jw Jw

2l

(15.28)

Es ist zweckmäßig, statt das Produkt l DW ˛ als dimensionslosen Parameter einzuführen. Dann gelten, vgl. (15.22), (15.5), s ˛ D l D !

lJw D !l GIp

r

% : G

(15.29)

Nach Multiplikation von (15.28) mit l lauten die Gleichungen in Matrixschreibweise

˛ 2 JJw2

˛ 2 JJw1 cos ˛ C ˛ sin ˛

˛ 2 JJw2

˛ sin ˛  ˛ cos ˛

!

! a1 a2

D 0:

(15.30)

15.2 Freie Schwingungen

257

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem für a1 ; a2 , dessen Koeffizienten vom freien Parameter ˛ abhängen, vgl. (5.9), (9.23) usw. Damit es eine nichttriviale Lösung hat, muss die Koeffizientendeterminante verschwinden: ! ˛ ˛ 2 JJw1 .˛/ WD det 2 J2 ˛ Jw cos ˛ C ˛ sin ˛ ˛ 2 JJw2 sin ˛  ˛ cos ˛ (15.31) Š 4 J1 J2 3 J1 C J2 2 D˛ sin ˛  ˛ cos ˛  ˛ sin ˛ D 0: Jw2 Jw Dies ist die charakteristische Gleichung unseres Systems. Es handelt sich um eine transzendente Gleichung mit unendlich vielen Lösungen (Wurzeln). Man kann zeigen, dass alle Wurzeln ˛i reell sind.

15.2.3

Eigenlösungen

Lösungen zu ˛1 D 0: Man erkennt unmittelbar, dass .˛/ D 0 nach (15.31) die dreifache Wurzel ˛1 D 0 hat. (Bestimmend für dreifach sind das zweite und dritte Glied in der letzten Zeile von (15.31); ˛ 2 sin ˛ hat die 3-fache Wurzel ˛ D 0, weil sin 0 D 0.) Die lineare Gleichung (15.30) lässt für ˛ D 0 beliebige Koeffizienten a11 und a21 zu. Aus (15.24) folgt (15.32) 'O1 D a11 D Jw =J1 .gesetzt! vgl. (15.37)/ und die zugehörige Eigenbewegung lautet '1 .x; t/ D .a C bt/;

(15.33)

vgl. (9.48). Zur dritten Wurzel ˛ D 0 gibt es keine Auslenkungsform. Lösungen zu ˛ ¤ 0: Nach dem Abhandeln der Wurzeln ˛ D 0 darf man (15.31) durch ˛ 2 .¤ 0/ dividieren und umstellen.   J1 J2 J1 C J2 cos ˛: (15.34) ˛ 2 2  1 sin ˛ D ˛ Jw Jw Seien zunächst cos ˛ ¤ 0 und .˛ 2 J1 J2 =Jw2  1/ ¤ 0; (s. Aufgabe 15.6). Dann folgt aus (15.34) die charakteristische Gleichung in der Form tan ˛ D

˛ J1 C J2 : J J 1 2 Jw ˛ J 2 2  1

(15.35)

w

Zu ihrer grafischen Lösung sind in Abb. 15.6 für die Parameterwerte J1 D 1:0; Jw

J2 D 2:0 Jw

(15.36)

258

15

tg2

tg1

tgi 3 fi 2 1 0 -1

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

tg3

tg4

f2 α1/π

α5/π

α4/π

α3/π

α2/π

f1

-2 -3

tg5

0

0.5

1

1.5

2 α/π

2.5

3

3.5

4

Abb. 15.6 Graphische Lösung der charakteristischen Gleichung für k D i C 1

über ˛= als Abszisse die Äste tgi der Funktion tan ˛ und die beiden Äste f1 ; f2 der hyperbelförmig von ˛ abhängigen Funktion auf der rechten Seite aufgetragen. Die Schnittpunkte der beiden Kurvenscharen liefern die charakteristischen Wurzeln ˛k für k > 1. Aus Abb. 15.6 liest man (nach Vergrößern der jeweiligen Bildausschnitte) die Eigenwerte der Tab. 15.1 ab. Wenn man will, kann man diese Näherungswerte mit Hilfe von (15.35) – zu den gewählten Parametern (15.36) – iterativ verbessern (evtl. auch Newton-Verfahren). Zu den Eigenwerten ˛k nach Tab. 15.1 erhält man aus dem Gleichungssystem (15.30) die Eigenvektoren (15.37) .a1 ; a2 /Tk D .Jw =J1 ; ˛k /T : (Diese Normierung wurde für die Darstellung in Abb. 15.7 gewählt, sie setzt J1 ¤ 0 voraus.) Dann lauten die Eigenschwingungsformen 'Ok nach (15.24) 'Ok .x/ D

x x Jw cos ˛k  ˛k sin ˛k ; J1 l l

mit den zugehörigen Eigenfrequenzen nach (15.29) s G !k D ˛k : %l 2

(15.38)

(15.39)

Mit steigenden Eigenfrequenzen steigt der Einfluss der verteilten Trägheiten: Bei der ersten Eigenform 'Ok ; k D 1, der gleichförmigen Drehung nach (15.32), (15.33), entfällt Tab. 15.1 Eigenwerte ˛k k ˛k =

1 0

2 0.362

3 1.132

4 2.073

5 3.050

n (1) .n  ˛k / C : : :

15.3 Erzwungene Schwingungen

259

a

c 1.0

1.0

0.5 0.0 φ2 -0.5

0.0 φ4 -0.5

-1.0

-1.0

0.0

0.5 x/l

b

0.5 x/l

d

1.0

1.0 Knoten

0.5

Knoten

0.0 φ3 -0.5

0.0 φ5 -0.5

-1.0

-1.0

0.0

Knoten

0.0

1.0

1.0 0.5

Knoten

0.5

Knoten

0.5 x/l

1.0

Knoten

0.0

Knoten

0.5 x/l

1.0

Abb. 15.7 Eigenschwingungsformen 'Ok .x/ für die Eigenwerte ˛k nach Tab. 15.1, k D i C 1

ihr Einfluss vollständig. Abb. 15.7 zeigt die vier nächsten Eigenformen, 'Ok ; k D 2; : : : ; 5. Bei k D 2, ˛2 D 0:362 verläuft 'O2 .x/ noch nahezu linear, die verteilte Trägheit wirkt sich wenig aus (vgl. Aufgabe 15.1). Bei k D 3, ˛3 D 1:132 . 3˛2 / schwingt die Welle schon gegen die Endmassen; bei k > 3 schwingt sie teils mit, teils gegen die Endmassen.

15.3 Erzwungene Schwingungen Aufgabe: Auf den Schwinger nach Abb. 15.8 wirken die beiden Erregermomente Mi D MO i cos ˝t:

(15.40)

Wie lauten die erzwungenen Schwingungen? Lösung Für die Welle gilt (nach wie vor) die Bewegungsgleichung (15.9), Jw = l  'R  GIp ' 00 D 0:

(15.41)

260

15

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Abb. 15.8 Schwinger mit Erregermomenten

φ J1 M1

R, ρ, G

J2 M2

l

Die Gleichgewichtsbedingungen an den ähnlich wie in Abb. 15.5b freigeschnittenen End-Drehmassen lauten, vgl. (15.13), J1 'R1 C MT .0; t/ C M1 .t/ D 0; J2 'R2  MT .`; t/ C M2 .t/ D 0:

(15.42)

Mit (15.40) und (15.2) erhalten wir daraus die Randbedingungen, vgl. (15.15), R t/ C GIp ' 0 .0; t/ D MO 1 cos ˝t; J1 '.0; R t/  GIp ' 0 .l; t/ D MO 2 cos ˝t: J2 '.l;

(15.43)

(Um die Parallelen zu Abschn. 15.2 zu bewahren, lassen wir die Gleichungen in dieser Form stehen.) Die (15.41) und (15.43) sind die Bewegungsgleichungen für die erzwungenen Schwingungen. Sie sind inhomogen, haben also – wenigstens zum Teil, vgl. (15.43) – nichtverschwindende rechte Seiten. Zur Lösung der Bewegungsgleichungen kann man auf komplexe Schreibweise übergehen – rechte Seiten erhalten die Form : : : e j˝t –, doch genügt für die ungedämpften erzwungenen Schwingungen der Ansatz '.x; t/ D '.x/ O cos ˝t;

(15.44)

vgl. (15.16) bis (15.19). Die Lösung der partiellen Dgl (15.41) kann man aus Abschn. 15.2 übernehmen, wenn man in (15.19) ff. die unbekannte Frequenz ! durch die hier bekannte Erregerfrequenz ˝ ersetzt. Insbesondere gelten jetzt, vgl. (15.22), (15.29), s s r Jw lJw % ; ˛ D l D ˝ D ˝l I (15.45)

D˝ lGIp GIp G und für die Schwingungsform '.x/ O gilt wieder (15.24): '.x/ O D a1 cos x C a2 sin x:

(15.46)

Mit (15.44) lauten die Randbedingungen (15.43) O C GIp 'O 0 .0/ D MO 1 ; J1 ˝ 2 '.0/ O  GIp 'O 0 .l/ D MO 2 ; J2 ˝ 2 '.l/

(15.47)

15.3 Erzwungene Schwingungen

261

und mit (15.46) erhält man unter Beachtung von (15.45) ! ! ˛ ˛ 2 JJw1 l a1 D 2 J2 2 J2 GIp ˛ Jw cos ˛ C ˛ sin ˛ ˛ Jw sin ˛  ˛ cos ˛ a2

! MO 1 ; MO 2

(15.48)

vgl. (15.26) bis (15.30). Dies ist ein lineares Gleichungssystem für a1 und a2 mit der Lösung 

  l 2 J2 O O sin ˛  ˛ cos ˛  ˛ M2 ; M1 ˛ a1 D  GIp  .˛/ Jw 

  (15.49) l 2 J2 2 J1 O O cos ˛ C ˛ sin ˛ C M2 ˛ M1 ˛ ; a2 D  GIp  .˛/ Jw Jw dabei ist .˛/ die Koeffizientendeterminante nach (15.31) mit ˛ nach (15.45)2. Diese Ausdrücke für a1 ; a2 muss man in (15.46) einsetzen (Übungsaufgabe). Aus (15.49) liest man direkt ab: Stimmt ˝ mit einer der Eigenfrequenzen !k , vgl. (15.39) überein, so verschwindet .˛/ im Nenner. Die Koeffizienten, a1 ; a2 wachsen über alle Grenzen (soweit die Ausdrücke in den eckigen Klammern nicht zufällig gleichzeitig verschwinden), man hat Resonanz für alle k˝k D !k :

(15.50)

Für k˝k  !k werden a1 ; a2 sehr groß. a

b

^1 φ~1 0

^1 φ~2 0

-1

-1 0

1

α/π

2

3

4

c

d

0.1 ^ ~ φ1

0.1 ^ ~ φ2

0

0

-0.1

-0.1 0

1

α/π 2

3

4

0

1

0

1

2

3

4

α/π 2

3

4

α/π

Abb. 15.9 Frequenzgänge. a 'OQ1 .˛/, b 'OQ2 .˛/, c, d vertikal gestreckt, vgl. (15.51), (15.52)

262

15

Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Abb. 15.9 zeigt für die Parameter (15.36) zur Erregung MO 1 D MO ; MO 2 D 0 die Frequenzgänge von GIp GIp 'OQ1 WD '.0/; O 'OQ2 WD '.l/; O (15.51) O lM l MO aufgetragen über s ˝ lJw : (15.52) ˛= D  GIp

15.4 Aufgaben Aufgabe 15.1 Die Schwingungsform nach Abb. 15.7a für die tiefste Eigenfrequenz !1 weicht nur wenig von einer Geraden ab, der Einfluss der Wellenträgheit ist gering. Berechnen Sie zum Vergleich die Eigenfrequenz !1 bei Vernachlässigung der Wellenträgheit (d. h. Jw D 0 bzw. % D 0). Aufgabe 15.2 Wie lauten die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen der frei schwingenden Welle nach Abb. 15.5 für den Fall fehlender End-Drehmassen, d. h. J1 D J2 D 0? Aufgabe 15.3 Kontrollieren Sie die Zahlenwerte ˛k ; k D 1; : : : ; 5 in Tab. 15.1 und verbessern Sie die Näherungswerte mit Hilfe eines Iterationsverfahrens um (wenigstens) eine weitere Stelle. Aufgabe 15.4 Schreiben Sie mit Hilfe der Eigenfrequenzen !k und Eigenformen 'Ok .x/ nach (15.39) bzw. (15.38) – auch (15.32) – die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen an. Aufgabe 15.5 Welche Bedingung müssen die Parameter J1 =Jw und J2 =Jw in der charakteristischen Gleichung (15.35) erfüllen, damit – wie in unserem Beispiel – keine Eigenwerte ˛k auftreten, für die tan ˛k < 0 gilt? (. . . in Abb. 15.6 keine Schnittpunkte in der unteren Halbebene auftreten?) Aufgabe 15.6 Für welche Parameterwerte .J1 J2 =Jw2 / hat die charakteristische Gleichung (15.35) Lösungen ˛k mit cos ˛k D 0? O Aufgabe 15.7 q In Abb. 15.9 sind die Amplituden 'Qk über der bezogenen Frequenz ˛=

lJ ˝ Q ˝= D  GIwp mit Vorzeichen aufgetragen. Schreiben Sie 'OQk D k'OQ k ke j k und skizzie-

ren Sie parallel zu Abb. 9.5 die Verläufe (die Frequenzgänge) der Amplituden k'OQ k k und Q der Phasenverschiebungswinkel k in Abhängigkeit von ˝.

15.4 Aufgaben Abb. 15.10 Symmetrisch aufgebauter Drehschwinger

263

R, ρ, G M2

M1 x J1=J

l 2

l 2

J2=J

Aufgabe 15.8 Diskutieren Sie die Frequenzgänge aus Aufgabe 15.7 analog zu Abschn. 9.4.3 und 9.4.4. Dazu ist es günstig, sich die Schwingungsform '.x/ O für einige Erregerfrequenzen ˝Q D ˛ zu berechnen (PC!) Aufgabe 15.9 Besonders bei symmetrisch aufgebauten Systemen, vgl. Abb. 15.10, mit a) symmetrischer Erregung M1 D M2 D M.t/ oder mit b) antimetrischer Erregung M1 D M2 D M.t/ ist es günstig, die Koordinaten so zu wählen – hier z. B. den Nullpunkt von x in die Wellenmitte zu legen –, dass Symmetrien und Antimetrien in den Gln. Wiederzuerkennen sind. Welche Symmetrien und Antimetrien treten in diesem System in den freien und den erzwungenen Schwingungen auf?

Diskretisieren des Kontinuums

16

16.1 Allgemeines Unter Diskretisieren – Vereinzeln – eines Kontinuums versteht man das Einschränken der oft unüberschaubaren Mannigfaltigkeit seiner Bewegungsmöglichkeiten auf (relativ) wenige, überschaubare, die man für wichtig hält. Bei den eindimensionalen technischen Kontinua dreh-schwingende Welle, längs-schwingender Stab und biege-schwingender Balken (auch die quer-schwingende Saite gehört hierher) hat man bereits vereinfacht, indem man die Querschnittsverformungen unbeachtet gelassen oder speziell angenommen hat. Ihre Bewegungen werden jedoch immer noch durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Von Diskretisieren und einem diskretisierten oder auch diskreten Modell spricht man erst dann, wenn man die Bewegungen des Systems durch einzelne Variablen erfasst, die im allgemeinen Funktionen der Zeit sind und durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Alle Diskretisierungsverfahren sind Näherungsverfahren, man muss sich also stets fragen, ob die getroffenen vereinfachenden Annahmen (noch) zulässig sind. Die im Ingenieurwesen angewandten diskreten Modelle werden heute in der Regel aus Variationsprinzipen oder gleichwertigen Gleichungssätzen hergeleitet. Man kann zwei Ansatzweisen unterscheiden: a) Man setzt für einzelne Komponenten seines Systems (zum Beispiel) Verformungstypen an, wie es die Fragestellung gebietet und die eigene Erfahrung nahe legt. b) Man zerlegt sein System in sehr viele, sehr kleine (finite) Elemente, für die man (meistens sehr) einfache Verformungstypen ansetzt. Beim Vorgehen a) gelangt man in der Regel zu kleinen Gleichungssystemen, die sich leicht lösen und interpretieren lassen. Auch Einschwingvorgänge oder nichtlineare Schwingungen lassen sich (numerisch, mit einem Computer) untersuchen. Ehe man an© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_16

265

266

16

Diskretisieren des Kontinuums

setzen kann, muss man jedoch schon einen Einblick in die Physik seines Systems haben, und man braucht auch Grundlagenkenntnisse, um die Frage- und Aufgabenstellungen in Gleichungen umsetzen zu können (die man dann mit dem Computer löst). Beim Vorgehen b) gelangt man rasch zu großen Gleichungssystemen, die häufig eine besondere (z. B. Band-)Struktur haben. Das Vorgehen lässt sich leicht schematisieren, man braucht z. B. nur noch die Umrisse eines Bauteils und die Belastungen in ein entsprechendes Programmsystem einzugeben. Von den Einzelheiten braucht man nicht viel zu verstehen, wenn man nur Antworten auf bestimmte Fragen, z. B. nach der Spannung in einer bestimmten Kerbe, haben will. Zeitabhängige Vorgänge lassen sich mit Hilfe von Finiten Elementen nur schwer untersuchen, weil der Rechenaufwand sehr, sehr groß wird. Eine Kombination beider Vorgehensweisen erscheint als günstig: Mit Hilfe von Finiten Elementen berechnet man sich Detail-Erfahrungen, die man in spezielle Ansätze für das (Gesamt-)System einbringt.

16.2 Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen Wir schließen an die freien Schwingungen in Abschn. 15.2 an. In Abb. 15.7a ist der Einfluss der verteilen Masse auf die (erste) Eigenschwingungsform offenbar klein, der Drehwinkelverlauf weicht nur wenig von einer Geraden ab. Man fragt nach einem Modell, das die verteilte Wellenmasse näherungsweise erfasst und einfacher ist als die partielle Dgl (15.12) mit den Randbedingungen (15.15). Es liegt nahe, die Aufgabe auch gleich um ein Erregermoment M1 .t/ zu erweitern. Abb. 16.1 zeigt das zu untersuchende System.

16.2.1 Vorbereitung für Lagrange-Gleichungen Wir arbeiten mit den Lagrange-Gleichungen nach Abschn. C.2.3. Kinetische Energie

T D

1 2

Zl

1 1 %Ip Œ'.x; P t/2 dx C J1 'P12 C J2 'P22 2 2

(16.1)

0

Abb. 16.1 Drehschwinger

R

M1(t)

J1

ρ,G

J2

x l

16.2 Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen

267

mit '1 D '.0; t/; '2 D '.l; t/;  Ip D R4 D Ip .x/ falls R D R.x/; 2 %Ip D Jw = l falls R konstant. Potential 1 U D 2

Zl

(16.2) (16.3)

GIp Œ' 0 .x; t/2 dx:

(16.4)

0

Virtuelle Arbeit ıW D M1 .t/  ı'1 :

(16.5)

Ansatzfunktionen Wir bilden ein diskretes System mit drei Variablen '1 .t/; '2 .t/; '3 .t/ – vom Freiheitsgrad 3 – , und zwar setzen wir, vgl. Abb. 16.2,  x x x x C '2 C '3 4 1 : (16.6) '.x; t/ D '1 1  l l l l Die Funktionen '1 .t/; '2 .t/, '3 .t/ sind die generalisierten Koordinaten q1 ; q2 bzw. q3 . Die beiden ersten Summanden erfassen die Gerade, '3 liefert die Abweichung davon (in Wellenmitte gemessen) in Form einer (quadratischen) Parabel. Es ist zweckmäßig, (16.6) abzukürzen: 3 X ˚i .x/'i .t/; (16.7) '.x; t/ D i D1

mit ˚1 WD 1 

x ; l

˚2 WD

x ; l

˚3 WD 4

x x 1 : l l

(16.8)

Matrix-Schreibweise Setzt man '.x; t/ gemäß (16.7) bzw. (16.6) in die Ausdrücke (16.1), (16.4) der kinetischen Energie T bzw. der potenziellen Energie U ein, kann man die Koeffizienten 'i .t/, sie stehen hier als generalisierte Koordinaten qi .t/, aus den Integralen herausziehen. Mit der Spaltenmatrix q D x.t/ WD .'1 ; '2 ; '3 /T Abb. 16.2 Globale Ansätze für die Auslenkung

(16.9)

φ φ2

φ2 φ3

φ1 0 0

0.5

1

x/l

268

16

Diskretisieren des Kontinuums

erhält man, in Matrixschreibweise, die quadratischen Formen T D

1 T P xP J x; 2

U D

1 T x K x; 2

(16.10)

mit der Trägheitsmatrix 0

J1 C J11 B J D @ J21 J31

1 J13 C J23 A J33

J12 J2 C J22 J32

(16.11)

und der Steifigkeitsmatrix 0

K11 B K D @K21 K31

K12 K22 K32

1 K13 C K23 A ; K33

(16.12)

wo, vgl. (16.1) bzw. (16.4) Zl Ji k WD

%Ip .x/˚i .x/˚k .x/dx;

(16.13)

GIp .x/˚i0 .x/˚k0 .x/dx:

(16.14)

0

Zl Ki k WD 0

Diese Integrale muss man vorab, das heißt vor dem Lösen der Bewegungsgleichungen (evtl. numerisch), auswerten. Die virtuelle Arbeit ıW erhält die Form ıW D QT ıxI

(16.15)

aus (16.5) folgt hier für die generalisierte Kraft QT D .M1 .t/; 0; 0/:

16.2.2

(16.16)

Lagrange-Formalismus

Will man die Lagrangeschen Gleichungen in der Form d @T @T @U  C D Qi ; dt @qPi @qi @qi

i D 1; 2; 3;

(16.17)

16.2 Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen

269

anwenden, muss man T und U aus (16.10) in Doppelsummen umschreiben, die Differenziationen ausführen und dann zur Matrix-Schreibweise zurückkehren (Übungsaufgabe). Man erhält die Bewegungsdifferentialgleichung J xR C K x D Q:

(16.18)

Im Fall konstanten Wellenquerschnitts, vgl. (16.3)2 , kann man die Integrale (16.13), (16.14) leicht ausrechnen und findet (Übungsaufgabe): 0 10 1 Jw Jw J1 C J3w 'R1 6 3 B Jw Jw Jw C B C J2 C 3 'R @ 6 3 A @ 2A Jw Jw Jw 8 15 'R3 3 3 (16.19) 0 10 1 0 1 1 1 0 M1 '1 GIp B CB C B C C 0 A @' 2 A D @ 0 A : @1 1 l 0 0 16 0 '3 3 Das diskrete System (16.19) ist in einem großen Frequenzbereich – solange nur die ersten drei Eigenformen 'Oi in Abschn. 15.2 erregt werden, also bis etwa ˛ D 1:3 für die dort gewählten Parameter – eine Näherung für das dort angegebene Modell. Es hat den Vorteil, dass es einfach aufgebaut ist und auch numerisch einfach gelöst werden kann.

16.2.3 Eigenschwingungen (Zahlenbeispiel) Wir setzen M1 D 0 und wählen die Bezugsgrößen s JR D Jw ;

kTR

GIp D ; l

!R D

kTR JR

(16.20)

und die Parameter J1 D Jw ; Dann lautet (16.19) mit

J2 D 2Jw :

Q xR C K QxD0 M

1 0 40 5 10 C Q D 1 B M @ 5 70 10A ; 30 10 10 16

(16.21) (16.22)

1 3 3 0 C Q D 1B K 0 A: @3 3 3 0 0 16 0

Der Ansatz x D xe O j !Q tQ führt auf das Eigenwertproblem 0 1 2 2 2 1  !Q6  !Q3 1  4!3Q 2 2 2 B C 1  7!3Q  !Q3 A xO D 0: @1  !Q6 2 2 2 16 !Q  !Q3  !Q3  815 3

(16.23)

(16.24)

270

16

Diskretisieren des Kontinuums

Die charakteristische Gleichung lautet nach Multiplikation mit .135=4/ .!/ Q D !Q 2 .43!Q 4  612!Q 2 C 720/ D 0

(16.25)

und hat die Lösungen (vgl. Tab. 15.1) !Q 1 D 0

vgl. ˛1 D 0

!Q 2 D 1:13768 vgl. ˛2 D 0:362 D 1:13725 : : :

(16.26)

!Q 3 D 3:59699 vgl. ˛3 D 1:132 D 3:55628 : : : mit den Eigenvektoren: xO T1 D .1; 1; 0/;

xO T2 D .1; 0:609; 0:036/;

xO T3 D .1; 0:503; 4:136/:

(16.27)

16.3 Das Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen Hinweis 1 Die hier vorgestellten Ansätze entsprechen gängigen Finiten Elementen, vgl. [60].

16.3.1 Die Ausgangsgleichungen Nehmen wir an, es liegt dieselbe Aufgabe wie in Abschn. 16.2 vor, vgl. Abb. 16.1. Die kinetische Energie T, das Potential U und die virtuelle Arbeit ıW werden aus Abschn. 16.2 übernommen: 1 T D 2

ZL

1 1 %Ip 'P 2 .x; t/dx C J1 'P 2 .0; t/ C J2 '.L; P t/; 2 2

(16.28)

0

1 U D 2

ZL

GIp Œ' 0 .x; t/2 dx;

(16.29)

0

ıW D M1 .t/ı'.0; t/:

(16.30)

16.3.2 Ansatzfunktionen Beim Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen zerlegt man die Welle in n  1 Abschnitte der Längen li ; i D 1; : : : ; n  1 (sie können auch alle gleich lang sein, li D L=.n  1/), Abb. 16.3. Damit liegen die Endpunkte xi der Abschnitte (Elemente, Intervalle) i fest: x1 D 0; xi C1 D xi C li ; xn D l:

(16.31)

16.3

Das Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen

Abb. 16.3 Wellenabschnitte li

271

φ x1 0

x2 xi-1

l1

xi

xi+1

xn-1

li

li-1

xn ln-1

l

x

Die einfachste Ansatzfunktion (die die Welle nicht abschert) ist ein Polygonzug, vgl. Abb. 16.4. Es gilt (16.32) 'i D 'i .t/ D '.xi ; t/: Man wählt nun Formfunktionen Ni .x/, wie in Abb. 16.5 skizziert. Mit den jeweiligen lokalen Koordinaten i , vgl. Abb. 16.5, lauten sie ( N1 .x/ WD

für 0  1  l1

1   1 = l1

0 sonst;

8 ˆ < 1 C i = li 1 Ni .x/ WD 1   i = li ˆ : 0 ( 1 C n = ln1 Nn .x/ WD 0

;

(16.33)

für  li 1  i  0; für 0  i  li ;

(16.34)

sonst; für  ln1  n  0;

(16.35)

sonst:

Mit den Formfunktionen schreibt man den Polygonzug nach Abb. 16.4 als Summe: ' .x; t/ D ^

n X

'i .t/Ni .x/:

(16.36)

i D1

Dabei wird durch ' markiert, dass wir die rechts stehende Summe meinen. Den Aus^

druck ' .x; t/ können wir in (16.28) bis (16.30) einsetzen und dabei zulassen, dass die ^

Drillsteifigkeit GIp und auch die Trägheit %Ip von Abschnitt zu Abschnitt springt, vgl. Abb. 16.6. Abb. 16.4 Polygonzug als Wellendrehwinkel zum Zeitpunkt t

φ φ2

φ1 x1

x2

φi-1 xi-1

φi xi

φi+1 xi+1

φn-1 xn-1

φn xn

x

272

16

Abb. 16.5 Formfunktionen

N1 1

Diskretisieren des Kontinuums

ξ1

x1 l1 x2 Ni 1

L

x

L

x

ξi xi-1

Nn

li-1

xi

li

li+1

ξn

1 xn-1

0 Abb. 16.6 Abschnittsweise konstante Drillsteifigkeiten und Drehträgheiten

i-1

ln-1

i

xn x i+1

(GIp)i

(GIp)i-1 ( ρIp)i-1

( ρIp)i xi

li-1

li

Dann lauten die Ausdrücke (16.28) bis (16.30) 1X T D 2 i D1 n1

Zxi C1 1 1 .%Ip /i 'P 2 dx C J1 'P12 C J2 'Pn2 ; 2 2 ^

(16.37)

xi

1X U D 2 i D1 n1

xi C1 Z .GIp /i Œ' 0 2 dx;

(16.38)

^ xi

ıW D M1 .t/ı'1 :

(16.39)

16.3.3 Formales Auswerten der Integrale Nun muss ' nach (16.36) mit den Ni .x/ nach (16.33) bis (16.35) in T – und dann auch in ^

U und ıW – eingesetzt und die Ausdrücke ausgewertet werden. Dabei geht man wie folgt vor:

16.3

Das Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen

273

Man reserviert den Summationsindex i für die Summe in (16.37) und schreibt (16.36) einmal mit dem Summationsindex j und einmal mit k an: ' .x; t/ D ^

n X

'j .t/Nj .x/; ' .x; t/ D ^

j D1

n X

'k .t/Nk .x/:

(16.40)

kD1

Setzt man die Zeitableitungen der ' aus (16.40) in (16.37) ein, erhält man ^

1 1X 1 T D J1 'P12 C J2 'Pn2 C 2 2 2 i D1 n1

3" 2 # xi C1 Z n n X X 5 4 .%Ip /i 'Pj Nj .x/ 'Pk Nk .x/ dx: (16.41) j D1

xi

kD1

Da alles beschränkt ist, darf man Summationen und Integration vertauschen: 1 1 1 XXX T D J1 'P12 C J2 'Pn2 C 'Pj 'Pk 2 2 2 i D1 j D1 n1

n

n

kD1

xi C1 Z .%Ip /i Nj .x/Nk .x/dx:

(16.42)

xi

Da von den Nj .x/ im i-ten Intervall xi  x  xi C1 nur Ni .x/ und Ni C1 .x/ NICHT verschwinden, bleiben in (16.42) von der Summe über j nur diese beiden Glieder übrig: T D

1 1 J1 'P12 C J2 'Pn2 2 2 Zxi C1 n1 X n X 1 C 'Pk .%Ip /i Nk .x/Œ'Pi Ni .x/ C 'Pi C1 Ni C1 .x/dx: 2 i D1 kD1

(16.43)

xi

Das gleiche Argument gilt für die Summe über k, man erhält: 1 1 1X T D J1 'P12 C J2 'Pn2 C 2 2 2 i D1 n1

xi C1 Z .%Ip /i Œ'P i Ni .x/ C 'Pi C1 Ni C1 .x/2 dx; xi

also T D

12 1 J1 'P12 C J2 'Pn2 2 2 xi C1 Z n1 1X C .%Ip /i Œ'Pi2 Ni2 C 2'Pi 'Pi C1 Ni Ni C1 C 'Pi2C1 Ni2C1 dx: 2 i D1

(16.44)

i D1

Analog ergibt sich 1X U D 2 i D1 n1

xi C1 Z   .GIp /i 'i2 .Ni0 /2 C 2'i 'i C1 Ni0 Ni0C1 C 'i2C1 .Ni0C1 /2 dx: xi

(16.45)

274

16

Diskretisieren des Kontinuums

Man rechnet für abschnittsweise konstante Wellenquerschnitte leicht aus, vgl. Abb. 16.5:  Zxi C1 Zli  li .%Ip /i i 2 2 1 .%Ip /i Ni dx D .%Ip /i d i D ; li 3

xi

0

xi C1 Z

Zli

.%Ip /i Ni Ni C1 dx D .%Ip /i xi

i li

  li .%Ip /i i ; 1 d i D li 6

(16.46)

0 xi C1 Z Zli  2 li .%Ip /i i 2 .%Ip /i Ni C1 dx D .%Ip /i d i D ; li 3

xi

0 xi C1 Z Zli .GIp /i d i 02 .GIp /i Ni dx D .GIp /i D ; 2 li li

xi

0

xi C1 Z Zli .GIp /i d i 0 0 .GIp /i Ni Ni C1 dx D .GIp /  2 D  ; li li

xi

(16.47)

0

Zxi C1 Zli .GIp /i d i 02 .GIp /i Ni C1 dx D .GIp /i D : li li2

xi

0

Mit den Abkürzungen .%Ip /i li DW Jwi ;

.GIp /i DW kwi li

(16.48)

lauten T und U 1 1 X J wi 1 J1 'P12 C J2 'Pn2 C  .'Pi2 C 'Pi 'Pi C1 C 'Pi2C1 /; 2 2 2 i D1 3 n1

T D

1X kw .' 2  2'i 'i C1 C 'i2C1 /; 2 i D1 i i

(16.49)

n1

U D

ıW D M1 ı'1 :

(16.50) (16.51)

Aus den Lagrangeschen Gleichungen d @T @T @U  C D Qi ; dt @'P i @'i @'i

i D 1; : : : ; n

(16.52)

16.3

Das Arbeiten mit lokalen Ansatzfunktionen

275

erhält man für i = 1:   Jw Jw J1 C 1 'R1 C 1 'R2 C kw1 '1  kw1 '2 D M1 ; 3 6

(16.53)

für 1 < i < n: Jwi 1 J w C J wi Jw 'Ri 1 C i 1 'Ri C i 'Ri C1  kwi 1 'i 1 C .kwi 1 C kwi /'i  kwi 'i C1 D 0; 6 3 6 (16.54) für i D n (entspricht Index i C 1 mit i D n  1 in (16.49) usw.   Jwn1 Jwn1 (16.55) 'Rn1 C J2 C 'Rn  kwn1 'n1 C kwn1 'n D 0: 6 3 Mit dem Auslenkungsvektor x WD .'1 ; : : : ; 'i ; : : : ; 'n /T und den Matrizen 0 J J1 C w3 1 B J w1 B 6 B B 0 B M DB B B @

J w1 6 Jw1 CJw2 3 J w2 6

0 J w2 6 Jw2 CJw3 3



Jwn2 6

0 0

kw1 B Bkw1 B B 0 K DB B B B @

kw1 kw1 C kw2 kw2

0 kw2 kw2 C kw3  kwn2 0

(16.56) 1

0 0 J w3 6



Jwn2 CJwn1 3 Jwn1 6

Jwn1 6 J J2 C w3n1

0 0 kw3  kwn2 C kwn1 kwn1

C C C C C C C C A

(16.57)

1 C C C C C C C C kwn1 A kwn1

(16.58)

lauten die Bewegungsgleichungen (16.53) bis (16.55) M xR C K x D .M1 ; 0; 0; : : : ; 0; 0/T :

(16.59)

Achtung! Die Matrizen M und K gemäß (16.57) und (16.58) haben Bandstruktur: Nur die Hauptdiagonale und die beiden benachbarten Parallelen sind mit (Matrix-)Elementen ¤ 0 besetzt. (Für solche Matrizen gibt es spezielle Lösungsverfahren, die die Besonderheit ausnutzen.) Bandstrukturen erhält man (immer dann), wenn sich die Formfunktionen Ni der Struktur-Elemente nur zum Teil überlappen. In Abb. 16.5 tun das nur die Formfunktionen unmittelbar benachbarter Wellenabschnitte.

276

16

Diskretisieren des Kontinuums

16.3.4 Zahlenbeispiel Wir wenden die Überlegungen auf das Eigenwertproblem aus Abschn. 15.2, auch 16.2, an und arbeiten mit n = 2 Elementen der Längen l1 D l2 D l=2, vgl. Abb. 16.1. Um mit den Ergebnissen aus Abschn. 16.2 leicht vergleichen zu können, setzen wir li D l=2 ein: kwi D

GIp GIp D2 ; li l

J wi D

Jw 1 li D J w ; l 2

i D 1; 2;

vgl. (16.19). Dann lauten die Bewegungsgleichungen (16.59) – mit M1 D 0: 0 1 0 1 J1 C J6w J12w 0 '1 B Jw CB C Jw Jw @ 12 A @' 2 A 3 12 Jw Jw 0 J C '3 2 12 6 10 1 0 '1 2 2 0 GIp B CB C C @2 4 2 A @'2 A D 0: l 0 2 C2 '3

(16.60)

(16.61)

Achtung! Die 'i .t/ hier sind andere Koordinaten als in Abschn. 16.2. In dimensionsloser Form gilt, vgl. (16.20) bis (16.23), 1 0 2 Q2 2  !12 0 2  7!6Q 2 B Q2 Q2 C x (16.62) 4  !Q3 2  !12 A O D 0: @2  !12 2 !Q 13!Q 2 0 2  12 2  6 Die Eigenwerte lauten, vgl. (16.26) !Q 1 D 0; !Q 2 D 1:13796;

kontin.: 1:13725; global: 1:13768;

(16.63)

!Q 3 D 3:88302; kontin.: 3:55628; global: 3:59699: Die Eigenvektoren ergeben sich zu: xO 2 D .1; 0:2320; 0:6071/T;

xO 3 D .1; 4:7876; 0:5083/T:

(16.64)

Zum Vergleich mit dem Ergebnis aus Abschn. 16.2 rechnen wir xO 1 ; xO 2 um: x3 tritt an die Stelle von x2 , das neue x3 – mit '3 aus Abschn. 16.2 vergleichbar – ergibt sich aus dem alten x2  .x1 C x3 /=2: xO 2vergl: D .1; 0:6071; 0:0355/T; xO 3vergl: D .1; 0:5083; 5:5417/TI (16.65) muss man mit (16.27) vergleichen.

(16.65)

16.4

Aufgaben

277

16.4 Aufgaben Aufgabe 16.1 Überführen Sie die kinetische Energie T nach (16.1) und die potenzielle Energie U nach (16.4) mit dem Ansatz (16.7) in die Matrizenformen (16.11), (16.12) mit den Integralen (16.13) bzw. (16.14). Aufgabe 16.2 Zeigen Sie, dass die Matrizen J und K symmetrisch sind: J D J T ; K D KT Aufgabe 16.3 Wie sähe die generalisierte Kraft Q in (16.16) aus, wenn in Wellenmitte bei x D l=2 das Drehmoment M.t/ angriffe? Aufgabe 16.4 Schreiben Sie T und U nach (16.10) als Doppelsumme über .i; k/ D .1 W 3; 1 W 3/, setzen Sie sie in (16.17) ein und schreiben Sie die drei (gekoppelten) Bewegungsdifferentialgleichungen für die drei 'i an. Fassen Sie die drei Dgln zu einer Matrixgleichung (16.18) zusammen. Aufgabe 16.5 Können Sie sich aus Aufgabe 16.4 eine „Ableitungsregel“ zurechtlegen, die Ihnen in Zukunft gestattet, die in (16.17) geforderten Ableitungen aus der Matrixschreibweise (16.10) unmittelbar zu gewinnen? (Hinweis: Nutzen Sie die Symmetrie aus, s. Aufgabe 16.2.) Aufgabe 16.6 Werten Sie die Integrale (16.13), (16.14) mit den Ansatzfunktionen ˚i .x/ nach (16.8) für den Fall konstanten Wellenquerschnitts aus, vgl. (16.3)2 , und kontrollieren damit (16.19). Aufgabe 16.7 Schreiben Sie die Schritte des Dimensionslos-Machens von (16.19) nach (16.22) ausführlich an. Weshalb kann man in (16.26) !Q i direkt mit ˛i aus Abschn. 15.2 vergleichen? Aufgabe 16.8 Skizzieren Sie die Schwingungsformen '.x/ O zu den Eigenvektoren nach (16.27) und vergleichen Sie sie mit jenen nach Abb. 15.7. Aufgabe 16.9 Berechnen Sie zu den angegebenen Parametern und mit M1 .t/ D MO .cos ˝t C 0:5 sin 3˝t/ die erzwungenen Schwingungen. Bei welchen Frequenzen ˝ treten Resonanzen auf? Aufgabe 16.10 Schreiben Sie die Bewegungsgleichungen (16.59) analog zu (16.61) für den Fall an, dass die Welle in 3 gleich lange Elemente l1 D l2 D l3 D l=3 geteilt wird. Das entstehende Eigenwertproblem – analog (16.62) – enthält dann eine 4 × 4-Matrix. Die charakteristische Gleichung ist vom 4. bzw. 3. Grad (Wurzel !Q D 0 trivial); Lösung von Hand oder PC.

278

16

Diskretisieren des Kontinuums

Abb. 16.7 Drehschwinger

kT

ρ,IP1,G

l1

J ρ,I ,G P2

l2

Aufgabe 16.11 Der in Abb. 16.7 skizzierte Drehschwinger besteht aus zwei dicken Wellen (Parameter %; G; Ipi ; li ) und einer Drehmasse J und ist mit einem dünnen Torsionsstab (Steifigkeit kT ) an die Umgebung angeschlossen. Gesucht sind Näherungsgleichungen der Form (16.59) für Eigenschwingungen. Aufgabe 16.12 Zur genaueren Untersuchung von Drehschwingungen '.x; t/ soll – P zweckmäßig von vornherein dimensionslos! – mit dem Ansatz '.x; Q tQ/ D I 'i .tQ/  P Q Q Q Q N .x/ C ' . t /  N .x/ gearbeitet werden, die Größen x, Q t , l ,  sind also bezogeI i II i II i i i ne Größen. Die beiden Formfunktionen I Ni .i / und II Ni .i / sind in Abb. 16.8 skizziert. Sie genügen den Bedingungen Q

D I N i .lQi / D 0; 0 0 Q Q I N i .li 1 / D I N i .li / D 0; I Ni .li 1 /

I N i .0/ 0 I N i .0/

D 1; D 0;

Q

D II N i .lQi / D 0; 0 0 Q Q II N i .li 1 / D II N i .li / D 0; II N i .li 1 /

II N i .0/ 0 II N i .0/

D 0; D 1:

In den Summen müssen die Formfunktionenn I N i .i / und II N i .i / für positives Argu˙ ment 0  i  lQi , und negatives Argument lQi 1  i  0 durch ˙ I N i .i / bzw. II N i .i / unterschieden werden. Die Unterscheidung gilt nicht für die zugehörigen Zeitfunktionen I '.tQ/ und II '.tQ/. a) b) c)

Ergänzen Sie die Bedingungen für I N1 .1 /, I Nn .n / und II N1 .1 /, II Nn .n /, die Formfunktionen an den beiden Wellenenden. ˙ Entwickeln Sie die ˙ I N i .i / und II N i .i / jeweils für positives und negatives Argument. Stellen Sie die Trägheitsmatrix M und die Steifigkeitsmatrix K zu (16.46), (16.47) auf.

Abb. 16.8 Ansatzfunktionen für finite Elemente

I

Ni ξi

1 x˜i-1 l˜i-1 x˜i II Ni

l˜i

x˜i+1

x˜

x˜i+1

x˜

ξi l˜i-1 x˜i-1

x˜i

l˜i

17

Balken-Biegeschwingungen

17.1 Aufgabe: Schwingungen einer Kranbrücke Abb. 17.1 zeigt schematisch eine Kranbrücke mit Laufkatze, die an einem Seil eine Last trägt. Gefragt ist nach den Schwingungen im System, wenn die Last (oder auch nur ein Teil davon) plötzlich abfällt. Das System ist bereits stark vereinfacht: Die Stützen wurden als (vertikal) starre Auflager gezeichnet, der Kranträger als Balken mit konstantem Querschnitt (Biegesteifigkeit EI, Massebelegung µ) angenommen. Wir vereinfachen noch weiter: Der Achsabstand der Laufkatze (2a) soll klein gegenüber den Balkenlängen l1 ; l2 sein; dann kann die Laufkatze durch eine Punktmasse m ersetzt werden. Wir fragen auch nur nach dem vollständigen Abfall der Last GL D gmL . Dann gilt das Ersatzsystem nach Abb. 17.2: Der Balken ist infolge des Katzen- und Eigengewichts und zusätzlich durch das Gewicht GL der Last statisch durchgebogen (und in Ruhe). Plötzlich fällt die Last ab. Wie schwingt er danach? Insbesondere interessieren die beiden tiefsten Eigenfrequenzen und die zugehörigen Eigenschwingungsformen. (Man könnte z. B. auch nach den schwingenden Auflagerkräften fragen, ob eines der Lager abhebt – die Brücke aus einer Führung springen kann – usw.)

Abb. 17.1 Kranbrücke mit Laufkatze

a a EI,μ

m

l1

l2 ml

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_17

279

280

17

Abb. 17.2 Kranbrücke mit Punktmasse

Balken-Biegeschwingungen

EI,μ

m

l1

l2 GL

17.2 Die partiellen Differentialgleichungen der Balkenbiegung 17.2.1

Herleiten der Differentialgleichungen

Kräfte und Gleichgewichtsbedingungen Abb. 17.3a zeigt in Abhängigkeit von der Längskoordinate x die auf den Balken vertikal nach unten wirkende verteilte Last, q.x; t/, kurz Streckenlast, sowie die Querkraft Q.x; t/ und das Biegemoment M.x; t/, die Schnittgrößen. In der Mechanik leitet man für die Querkraft bzw. das Moment am Balkenelement die Gleichgewichtsbedingungen Q0 D

@Q D q; @x

M0 D

@M DQ @x

(17.1)

her. Auslenkungen Der Balken sei in der Ausgangslage unbelastet gerade. Seine Achse, die Schwerelinie seiner Querschnitte, falle auf die x-Achse, vgl. Abb. 17.3b. Die Auslenkung w.x; t/ wird (positiv) als Absenkung der Schwerelinie gegenüber der Ausgangslage gemessen. (Als Funktion von x wird w.x; t/ auch Biegelinie genannt.) Der Winkel '.x; t/ erfasst die Neigung der Biegelinie gegenüber der x-Achse, s. Abb. 17.3b. In linearer Näherung gilt @w (17.2) D w0 : 'D @x b

a

0

x

0

c

x

0

q Δm w M(x,t) Q(x,t)

w

w φ Δx

Abb. 17.3 Kräfte und Auslenkungen am Balken

17.2

Die partiellen Differentialgleichungen der Balkenbiegung

281

Balkenbiegung der Elastostatik Unter Annahme der Hypothese von Bernoulli-Euler, dass ursprünglich auf der Balkenachse senkrecht stehende ebene Querschnitte auch bei der Biegung eben und senkrecht zur Biegelinie bleiben, leitet man in der Elastostatik die Balken-Biegegleichung M (17.3) ' 0 D w 00 D  EI her. Darin darf die Biegesteifigkeit EI (schwach) veränderlich sein. Die Schwingungsdifferentialgleichung Habe der Balken eine Massebelegung .x/ D %A.x/. Ein Masseelement m D  x auf dem Balkenabschnitt x, vgl. Abb. 17.3c, erfährt die (d’Alembert’sche) Trägheitskraft  mwR D  x wR

(17.4)

und ist eine dynamische Streckenlast R qdyn x D w x;

(17.5)

vergleiche Abb. 17.3a mit Abb. 17.3c (insbesondere die Vorzeichen). Die dynamische Streckenlast qdyn D wR nach (17.5) tritt auf der rechten Seite von (17.1) hinzu. Wir haben damit für unser Problem den folgenden Gleichungssatz gewonnen R Q0 D q C w;

M 0 D Q;

'0 D 

M ; EI

w 0 D ':

(17.6)

Hier steht die Bewegungsgleichung als System von partiellen Dgln 1. Ordnung bezüglich x. (Das ist für manche Untersuchungen günstig.) Eliminiert man aus (17.6) Q; M; ', so erhält man .EIw 00 /00 C wR D q.x; t/:

(17.7)

Dies ist eine partielle Dgl vierter Ordnung nach dem Ort x: man braucht 4 Randbedingungen, und zweiter Ordnung nach der Zeit t: man braucht 2 Anfangsbedingungen. Für EI D constant erhält man EIw I V C wR D q.x; t/:

17.2.2

(17.8)

Randbedingungen

In der Regel muss man zum Einarbeiten von Randbedingungen '; M; Q durch w ausdrücken. Deshalb seien zusammengestellt: ' D w0 ;

M D EIw 00 ;

oder Q D EIw 000

Q D .EIw 00 /0

.bei EI D const./:

(17.9)

282

17

Balken-Biegeschwingungen

Tab. 17.1 Einfache Randbedingungen

a 0

x

w.0; t / D 0; '.0; t / D 0:

b x=0 EI, μ

EI, μ

c EI, μ

'.0; t / D 0; Q.0; t / D 0:

x=l

w.l; t / D 0; M.l; t / D 0:

d

x=l

M.l; t / D 0; Q.l; t / D 0:

EI, μ

Für jedes Balkenende muss man zwei Randbedingungen vorschreiben. Tab. 17.1 zeigt vier Standardfälle, bei denen an den Rändern einfache geometrische oder Belastungs-(d. h. Kraft- oder Moment-)Bedingungen vorliegen. Zusammengesetzte Randbedingungen Anschlüsse an andere Elemente (Federn, Massen, andere Balken usw.) formuliert man über geometrische Verträglichkeiten (Auslenkungen, Winkel) und Gleichgewichtsbedingungen (die man oft auch als Aktion D Reaktion sehen kann). Beispiel 1 Mit Feder, Steifigkeit k, gestütztes Balkenende Abb. 17.4a zeigt das betrachtete Balkenende, die Schnittbilder Abb. 17.4b und c zeigen Q D Q.0; t/ als Kraft auf die Feder bzw. Querkraft am Balken. Aus Abb. 17.4a liest man ab: M.0; t/ D 0. Abb. 17.4b zeigt Q.0; t/ D kw.0; t/. Aus (17.9)2,3 entnimmt man M.0; t/ D EIw 00 .0; t/; Q.0; t/ D .EIw 00 /0 jxD0 . Für EI D const. erhält man daraus die beiden Randbedingungen w 00 .0; t/ D 0;

kw.0; t/ C EIw 000 .0; t/ D 0:

(17.10)

Beispiel 2 Balkenende mit aufgesetzter Punktmasse m und Krafterregung F(t) Abb. 17.5 zeigt das Balkenende x D l und die benötigten Schnittbilder. Man liest aus den Bildern ab: M.l; t/ D 0; Q.l; t/ C mw.l; R t/  F .t/ D 0:

Abb. 17.4 Balkenende mit Federstützung

a

b

c

x=0 EI,μ k

w

Q k

Q

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

Abb. 17.5 Balkenende mit aufgesetzter Punktmasse

a

283 b

x=l

c

m

mw(l,t) w

Q

EI,μ

Q F(t)

F(t)

Für EI D const. erhält man daraus mit (17.9)2,3 die beiden Randbedingungen w 00 .l; t/ D 0;

EIw 000 .l; t/ C mw.l; R t/ D F .t/:

(17.11)

Es ist ratsam, in den endgültigen Formen der Randbedingungen (wenigstens einmal) die Funktionsargumente vollständig anzuführen.

17.3 Eigenschwingungen der Kranbrücke 17.3.1 Bereichsweise Wahl der Längskoordinate In Abb. 17.6 ist das Ersatzsystem der Kranbrücke noch einmal skizziert. Gesucht ist die Schwingung w.x; t/, also die zeitabhängige Biegelinie. Wegen der bei x D l1 aufgesetzten Punktmasse zerfällt die x-Achse in zwei Abschnitte; Bereich 1: 0  x  l1 , Bereich 2: l1  x  l1 C l2 , in denen w.x; t/ formal unterschieden werden muss, sagen wir w1 .x; t/ im ersten, w2 .x; t/ im zweiten Bereich. Für Biegelinien unter statischen Lasten führen die etwas umständlichen Rechnungen zu leicht auswertbaren Formeln, siehe [40], auch Abschn. B.6.1. Die Rechnungen werden einfacher, wenn man für die beiden Bereiche individuelle Abszissenachsen x1 und x2 einführt, vgl. Abb. 17.7a. Dann gilt im 1. Bereich: w.x; t/ ! w1 .x1 ; t/ mit 0  x1  l1 ; 2. Bereich: w.x; t/ ! w2 .x2 ; t/ mit 0  x2  l2 : Die in Abschn. 17.2 getroffenen Vorzeichenvereinbarungen gelten in beiden Bereichen in gleicher Weise.

Abb. 17.6 Balken mit Punktmasse

x

EI,μ l1 Bereich 1

m l2 Bereich 2

284

17

Abb. 17.7 Abschnittsweise Längskoordinaten

a

0

Balken-Biegeschwingungen

0 x2

x1 l1

b

c

l2 x1

0 x2

l1 0

l2 x2

x1 l1 Bereich 1

0

l2 Bereich 2

Erheblich einfacher werden die formalen Rechnungen oft, wenn man die xi -Achsen gegenläufig wählt und die Nullpunkte zusammenfallen, Abb. 17.7b, oder sich für die Nullpunkte besonders einfache (Rand-)Bedingungen ergeben, z. B. wi .0; t/ D 0 und wi00 .0; t/ D 0, mit den x-Achsen nach Abb. 17.7c. Der Nachteil gegenläufiger xi -Achsen ist, dass die Orientierungen der wi und ihrer Ortsableitungen (nach den xi ) und auch die von 'i ; Mi ; Qi nur noch zum Teil zusammenpassen; man begeht also sehr leicht Vorzeichenfehler beim Aneinander-Stückeln der Funktionen an der Verbindungsstelle (hier der Punktmasse m). Wir arbeiten deshalb im Folgenden mit den Koordinaten x1 und x2 nach Abb. 17.7a.

17.3.2

Lösen der partiellen Differentialgleichung

Für die beiden Bereiche 1 und 2 in Abb. 17.6 und 17.7a gilt die Dgl (17.8) mit q = 0, zwischen w1 .x1 ; t/ und w2 .x2 ; t/ brauchen wir erst später zu unterscheiden: EIw I V C wR D 0:

(17.12)

Da keine Dämpfung vorliegt, erwarten wir eine Eigenschwingung t w.x; t/ D w.x/e O

(17.13)

mit rein imaginären Eigenwerten k D j!k und können deshalb statt (17.13) auch j!t w.x; t/ D w.x/e O

oder w.x; t/ D w.x/ O cos !t

(17.14)

ansetzen. Auf beiden Wegen (17.14) entsteht aus (17.12) O EI wO I V D ! 2 w:

(17.15)

Dies ist eine lineare, gewöhnliche Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten (x-unabhängigen!) Koeffizienten; sie enthält ! als (unbekannten) Parameter. Wir divi-

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

285

dieren (17.15) durch EI .¤ 0/ und setzen ! 2

WD > 0; EI 4

r

WD

4

! 2 > 0I EI

(17.16)

später brauchen wir

4 EI : 

(17.17)

wO I V D 4 wO

(17.18)

!2 D Jetzt lautet (17.15) mit als Parameter. Mit dem Lösungsansatz

w.x/ O D C e kx

(17.19)

erhält man aus (17.18) das (Unter-)Eigenwertproblem .k 4  4 /C e kx D 0

(17.20)

mit den vier Lösungen k1 D j ;

k2 D j ;

k3 D ;

k4 D  :

(17.21)

w.x/ O D C1 e j x C C2 e j x C C3 e x C C4 e  x :

(17.22)

Damit lautet die allgemeine Lösung von (17.18)

Die Ci sind freie Konstanten. Arbeitet man mit w.x/, O so läuft die Rechnung durchs Komplexe (das kann Vorteile haben). Will man im Reellen bleiben, muss man die Teillösungen e ki x geeignet kombinieren, vgl. (5.15). Man erhält neben den trigonometrischen (oder Kreis-)Funktionen e j x C e j x D cos x; 2

e j x  e j x D sin x 2j

(17.23)

die hyperbolischen (oder Hyperbel-)Funktionen e x C e  x D cosh x; 2

e x  e  x D sinh x: 2

(17.24)

Lösen Sie hierzu die Aufgaben 17.1 bis 17.4. Mit (17.23), (17.24) kann man die allgemeine Lösung (17.22) umschreiben in w.x/ O D A cos x C B sin x C C cosh x C D sinh xI mit den Konstanten A, B, C, D.

(17.25)

286

17

Balken-Biegeschwingungen

17.3.3 Zwei kleine Orientierungsaufgaben Vor der Untersuchung des in Abschn. 17.1 vorgestellten Systems, betrachten wir zur Orientierung die in Abb. 17.8 und 17.9 gezeigten zweiseitig gestützten und einseitig eingespannten Balken.

17.3.3.1 Zweiseitig gestützter Balken Für den beidseitig gestützten Balken nach Abb. 17.8 gelten die Randbedingungen, vgl. Tab. 17.1, w.0; t/ D 0 ! w.0/ O D 0; M.0; t/ D 0 ! EIw 00 .0; t/ D 0 ! w.l; t/ D 0 !

wO 00 .0/ D 0;

(17.26)

w.l/ O D 0;

M.l; t/ D 0 ! EIw 00 .l; t/ D 0 !

wO 00 .l/ D 0:

Dabei folgen die ganz rechts stehenden Ausdrücke aus den linken mit (17.9). Die rechts stehenden Ausdrücke muss (17.25) erfüllen. w.0/ O D A cos 0 C B sin 0 C C cosh 0 C D sinh 0 00

D 0;

wO .0/ D .A cos 0  B sin 0 C C cosh 0 C D sinh 0/

D 0;

w.l/ O D A cos l C B sin l C C cosh l C D sinh l

D 0;

2

(17.27)

wO 00 .l/ D 2 .A cos l  B sin l C C cosh l C D sinh l/ D 0: In Matrixschreibweise lauten die Gleichungen: 0

1 B B  2 B @ cos l  2 cos l

0 0 sin l  2 sin l

1

2 cosh l

2 cosh l

10 1 0 A CB C 0 C BB C C B C D 0: sinh l A @ C A

2 sinh l D

(17.28)

Damit dieses lineare homogene Gleichungssystem (für A, B, C, D) eine nichttriviale Lösung hat, muss die Koeffizientendeterminante verschwinden. Man erhält die charakteris-

Abb. 17.8 Beidseitig gelenkig gelagerter Balken

x

EI,μ

l Abb. 17.9 Einseitig eingespannter Balken

x

EI,μ l

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

287

tische Gleichung . l/ D det.   / D 4 4 sin l sinh l D 0

(17.29)

als Bestimmungsgleichung für (oder  l). Offensichtlich gibt es die folgenden Lösungen: (17.30)

4 D 0 ! 4-fache Wurzel D 0; n sin l D 0 ! n D ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; (17.31) l p n (17.32) ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; j D 1: sinh l D 0 ! n D j l Zu 0 D 0, vgl. (17.30) und (17.31), (17.32) mit n = 0, lautet das Gleichungssystem (17.28) 10 1 0 1 0 1 0 A CB C B 0 0 0 0 B CB C B (17.33) C B C D 0: B @1 0 1 0A @ C A 0 0 0 0

D

0

Es hat den Lösungsvektor (Eigenvektor) vO 0 D .A; B; A; D/T

(17.34)

Setzt man diese Koeffizienten – und 0 D 0 – in (17.25) ein, erhält man wO 0 .x/ D A  1 C B  0  A  1 C D  0 0:

(17.35)

Dies ist also eine verwickelte Form der trivialen Lösung. Zu n D n= l, vgl. (17.31) mit n ¤ 0, lautet das Gleichungssystem (17.28): 0

1 B B 1 B @ .1/n .1/n

10 1 0 1 0 A CB C 0 1 0 C BB C C B C D 0: 0 cosh.n/ sinh.n/A @ C A 0 cosh n sinh.n/ D n

(17.36)

Wegen sinh.n/ ¤ 0 gelten An D 0; Cn D 0; Dn D 0 und Bn ¤ 0. Dann lautet die nte Eigenschwingung wn .x; t/ D .acn cos !n t C asn sin !n t/ sin s

wo !n D

n2

EI  2 n2 D 2  l

 nx ; l

(17.37)

s EI ; 

(17.38)

vgl. (17.17). (Die Lösungen zu positiven und negativen n fallen zusammen.) Die Lösungen zu n D j n= l lassen sich auf die wn .x; t/ nach (17.37) zurückführen (vgl. Aufgabe 17.5).

288

17

Balken-Biegeschwingungen

17.3.3.2 Einseitig eingespannter Balken Für den einseitig eingespannten Balken nach Abb. 17.9 gelten die Randbedingungen, vgl. Tab. 17.1: w.0; t/ D 0 ! ! w.0/ O D 0; '.0; t/ D 0 !

!

wO 0 .0/ D 0;

M.l; t/ D 0 ! EIw 00 .l; t/ D 0

!

wO 00 .l/ D 0;

Q.l; t/ D 0 ! EIw 000 .l; t/ D 0

! wO 000 .l/ D 0:

(17.39)

Einsetzen der Randbedingungen in (17.25) liefert w.0/ O D A cos 0 C B sin 0 C C cosh 0 C D sinh 0 0

wO .0/ D .A sin 0 C B cos 0 C C sinh 0 C D cosh 0/ 00

D 0; D 0;

wO .l/ D .A cos l  B sin l C C cosh l C D sinh l/ D 0; 2

wO 000 .l/ D 3 .A sin l  B cos l C C sinh l C D cosh l/

(17.40)

D 0:

Matrixschreibweise: 0

1 B 0 B B 2 @ cos l

3 sin l

0

 2 sin l  3 cos l

1 0

2 cosh l

3 sinh l

10 1 A 0 CB C

C BB C C B C D 0:

2 sinh l A @ C A D

3 cosh l

(17.41)

Charakteristische Gleichung: . l/ D det.   / D

. l/6 Œ.cosh l C cos l/2  .sinh2 l  sin2 l/ l6

. l/6 D 2 6 .1 C cosh l  cos l/: l

(17.42)

Die 6-fache Nullstelle 0 D 0 erkennt man direkt. Die übrigen Wurzeln liest man zweckgemäß aus einer grafischen Darstellung ab. Abb. 17.10 zeigt cos ˛ D 

1 ; cosh ˛

wo

˛ D l:

(17.43)

Man liest die Abszissen der Kurvenschnittpunkte (in der gewünschten Genauigkeit durch entsprechendes Vergrößern auf dem Bildschirm eines PC) unmittelbar ab: ˛1 D 0:597;

˛2 D 1:493

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

Abb. 17.10 Graphische Lösung der charakteristischen Gleichung

289

1

Funktion

cos α

-

-1

1 cosh α

0

(

und ˛n D

α2/π

α1/π

0

0.5

1.0

1.5 α/π

2.0

0:5 C .n  1/ C " für n ungerade; 0:5 C .n  1/  " für n gerade;

2.5

3.0

(17.44)

wo " eine kleine positive Zahl ist, die rasch gegen Null strebt, s. Abb. 17.10. Zu ˛0 D 0 erhält man wO 0 .x/ D 0. Zu ˛n ¤ 0 erhält man aus (17.41) die Eigenschwingungen wO n .x/ D .cos ˛n C cosh ˛n /.cos.˛n x= l/  cosh.˛n x= l// (17.45) C .sin ˛n  sinh ˛n /.sin.˛n x= l/  sinh.˛n x= l//: Natürlich kann man die wO n .x/ noch mit einer beliebigen Konstanten .¤ 0/ multiplizieren (weil (17.41) homogen ist). Abb. 17.11 zeigt die auf den Maximalausschlag 1 normierten vier ersten wO n .x/. 1.0 ^ (x) w 1 0.0 -0.5 -1.0 0 1.0 ^ (x) w 2 0.0 -0.5 -1.0 0

n=1

1.0 ^ (x) w 3

n=2

0.0 -0.5 -1.0 0 1.0 ^ (x) w 4

0.5

0.5

x/l

x/l

1

1

n=3

0.5

x/l

1

0.5

x/l

1

n=4

0.0 -0.5 -1.0 0

Abb. 17.11 Eigenschwingungen des eingespannten Balkens ( Knoten)

290

17

Balken-Biegeschwingungen

17.3.4 Rand- und Übergangsbedingungen bei der Kranbrücke Bei der Kranbrücke gilt für die beiden Abszissenbereiche 1 und 2, vgl. Abb. 17.7, jeweils eine Lösung der Form (17.25): wO 1 .x1 / D A1 cos x1 C B1 sin x1 C C1 cosh x1 C D1 sinh x1 ;

(17.46)

wO 2 .x2 / D A2 cos x2 C B2 sin x2 C C2 cosh x2 C D2 sinh x2 :

Hinweis 1 Da EI und µ in beiden Bereichen gleich sind, gilt hier für beide Bereiche dasselbe , vgl. (17.16). Bei verschiedenen EI oder µ müsste man zum gemeinsamen Parameter ! aus (17.16) jeweilige 1 ; 2 ausrechnen und in (17.46) einsetzen. Für die wO k .xk /; k D 1; 2, in (17.46) liest man aus Abb. 17.6 mit x1 ; x2 nach Abb. 17.7a unmittelbar ab: w.0; t/ D 0 ! wO 1 .0/ D 0; M.0; t/ D 0 !

wO 100 .0/ D 0;

w.l1 C l2 ; t/ D 0 !

wO 2 .l2 / D 0;

(17.47)

M.l1 C l2 ; t/ D 0 ! wO 200 .l2 / D 0: Aus Abb. 17.12 liest man für den Übergang von Bereich 1 nach Bereich 2 – von x1 D l1 nach x2 D 0 die folgenden Bedingungen für geometrische Verträglichkeit ab: w1 .l1 ; t/ D w2 .0; t/ !

wO 1 .l1 /  wO 2 .0/ D 0;

'1 .l1 ; t/ D '2 .0; t/ !

wO 10 .l1 /  wO 20 . / D 0:

(17.48)

Abb. 17.13 zeigt die Schnittgrößen und die d’Alembert’sche Kraft an der Übergangsstelle. Aus dem Bild liest man für die Schnittgrößen die folgenden Bedingungen ab: M1 .l1 ; t/ D M2 .0; t/

wO 100 .l1 /  wO 200 .0/ D 0;

!

m! 2 wO 2 .0/  wO 2000 .0/ D 0: EI (17.49) Mit (17.47), (17.48), (17.49) sind acht Bedingungen (Gleichungen) für die acht freien Konstanten Ak ; Bk ; Ck ; Dk ; k D 1; 2, von (17.46) gegeben. Q1 .l1 ; t/ C mwR 2 .0; t/  Q2 .0; t/ D 0

! wO 1000 .l1 / C

x2=0

x1=l1 1

w1(l1,t)

φ1(l1,t)

w1(l1,t)

φ1(l1,t) Abb. 17.12 Auslenkungen an der Punktmasse

w2(0,t) φ2(0,t)

φ2(0,t)

1

w2(0,t)

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

291

x1=l1 M1(l1,t)

Q1(l1,t)

Q1(l1,t)

M1(l1,t)

Q2(l,t) x2=0

M2(0,t)

Q2(0,t) mw2(0,t)

M2(0,t)

Abb. 17.13 Kräfte und Momente an Punktmasse

Vor dem Einsetzen der Bedingungen (17.47) bis (17.49) in (17.46), führen wir einige Abkürzungen ein: Wir beziehen die l1; l2 auf die Gesamtlänge l und setzen l WD l1 C l2 ;

lQ1 WD l1 = l;

lQ2 WD l2 = l;

lQ1 C lQ2 D 1:

(17.50)

Außerdem sei, vgl. (17.43), ˛ WD l: Für den Faktor

m! 2 EI

in (17.49) erhält man mit ! 2 D

(17.51)

4 EI 

, s. (17.17),

m! 2 m m 4 EI D D 3˛ ; EI EI l

(17.52)

und mit der auf die Brückenmasse l bezogenen Punktmasse m Q WD lautet der Faktor

m l

m! 2 Q D 3 ˛ m: EI

(17.53)

(17.54)

(Der Faktor 3 tritt auch bei den wO k000 auf und lässt sich dann herauskürzen; s. unten.)

292

17

Balken-Biegeschwingungen

17.3.5 Das Eigenwertproblem Einsetzen der Bedingungen (17.47) bis (17.49) in (17.46) liefert das Eigenwertproblem: 0 1 0 1 0 B 2 B  2 0

0 B B 0 0 0 0 B B 0 0 0 0 B B Q1 ˛ Q1 ˛ B cos lQ1 ˛ sin l cosh l sinh lQ1 ˛ B B  sin lQ ˛ Q Q

cos l1 ˛

sinh l1 ˛

cosh lQ1 ˛ 1 B B 2 2 2 @ cos lQ1 ˛  sin lQ1 ˛ cosh lQ1 ˛ 2 sinh lQ1 ˛

3 sin lQ1 ˛  3 cos lQ1 ˛ 3 sinh lQ1 ˛ 3 cosh lQ1 ˛ 10 1 (17.55) 0 0 0 0 A1 CB C C B B1 C 0 0 0 0 CB C B C Q Q Q Q cos l2 ˛ sin l2 ˛ cosh l2 ˛ sinh l2 ˛ C C B C1 C C B C 2 2 2 2  cos lQ2 ˛  sin lQ2 ˛ cosh lQ2 ˛ sinh lQ2 ˛ C BD1 C C B C D 0: C B A2 C 1 0 1 0 CB C C BB C 0  0  C B 2C CB C

2 0  2 0 A @ C2 A

3 ˛m Q

3

3 ˛m Q  3 D2 Die Koeffizientendeterminante von (17.55) ist die charakteristische Gleichung. Man erkennt unmittelbar eine Mehrfachnullstelle D 0 .bzw. ˛ D 0/, sieht aber auch sofort, dass der nur eine triviale Lösung wO 0 entspricht. Für n ¤ 0 kann man die aus (17.55) herauskürzen. Wir kürzen außerdem ab und setzen s1 WD sin lQ1 ˛; c1 WD cos lQ1 ˛; sh1 WD sinh lQ1 ˛; ch1 WD cosh lQ1 ˛; s2 WD sin lQ2 ˛; c2 WD cos lQ2 ˛; sh2 WD sinh lQ2 ˛; ch2 WD cosh lQ2 ˛:

(17.56)

Addiert man in der Determinante die erste Zeile zur zweiten, dritte Zeile zur vierten, fünfte Zeile zur siebten, sechste Zeile zur achten und zieht Faktoren 2 sofort heraus, erhält man

(17.57)

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

293

Die gestrichenen Glieder entfallen bei Subtraktion von Zeile 4 von Zeile 3, Zeile 7 von Zeile 5. Entwickeln nach zweiter und erster Zeile liefert ˇ ˇ ˇ 0 s2 0 0 ˇˇ 0 c2 ˇ ˇ ˇ sh2 ˇ 0 0 0 ch2 ˇ 0 ˇ ˇ ˇ s1 0 1 0 0 0 ˇˇ ˇ .˛/ D 16 ˇ 0 1 0 1 ˇˇ ˇ c1 ch1 ˇ ˇ (17.58) ˇ 0 sh1 0 0 1 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 ch1 ˛ m=2 Q 0 ˛ m=2 Q 1 D 16f˛ m=2Œ.s Q 1 c2 C c1 s2 /sh1 sh2  .sh1 ch2 C ch1 sh2 /s1 s2  Š

C .s1 c2 C c1 s2 /.sh1 ch2 C ch1 sh2 /g D 0 Aus den Additionstheoremen (vgl. Aufgabe 17.3) folgen s1 c2 C c1 s2 D sin lQ1 ˛  cos lQ2 ˛ C cos lQ1 ˛  sin lQ2 ˛ D sin.lQ1 C lQ2 /˛ D sin ˛; jsh1 ch2 C jch1 sh2 D sin.j lQ1 ˛/  cos.j lQ2 ˛/ C cos.j lQ1 ˛/  sin.j lQ2 ˛/ D sinŒj.lQ1 C lQ2 /˛ D j sinh ˛:

(17.59)

Damit liefert (17.58) für ˛ die Bestimmungsgleichung sin ˛ sinh ˛ D

i ˛m Q h sinh ˛  sin lQ1 ˛  sin lQ2 ˛  sin ˛  sinh lQ1 ˛  sinh lQ2 ˛ : 2

(17.60)

Hinweis 1 Für m Q D 0 stimmt (17.58) mit (17.29) im Wesentlichen überein (Kontrollmöglichkeit!). Hinweis 2 Man sieht: Mit ˛n ist auch ˛n eine Lösung von (17.60); also braucht man nur positive Wurzeln zu suchen. (Wie ist das mit rein imaginären? – vgl. Aufgabe 17.5.) Hinweis 3 Will man (17.60) – wenigstens zur Orientierung – grafisch lösen, ist es zweckmäßig, mit Funktionen zu arbeiten, deren Schnittpunkte für größere ˛ in der Nähe der Abszisse bleiben. Deshalb dividieren wir die Gleichung für ˛ > 0 durch ˛  sinh ˛: " # sinh lQ1 ˛ sinh lQ2 ˛ m Q sin ˛ Q Q sin l1 ˛ sin l2 ˛  sin ˛ : D ˛ 2 sinh ˛

(17.61)

Abb. 17.14 zeigt grafisch ermittelte Eigenwerte für m Q D 0:5, im Teil a) für lQ1 D 0:7; lQ2 D 0:3, im Teil b) für lQ1 D lQ2 D 0:5. Man gewinnt für die ersten 6 Eigenwerte ˛n die Näherungen.

294

17

Balken-Biegeschwingungen

a

0.4 sin α /α ~ m [...] 2

Funktionen

0.2

α4/π

α2/π

0

α1/π

α5/π

α3/π

α6/π

-0.2

-0.4

~ = 0.5, ~l = 0.7 , ~l = 0.3 m 1 2 0

1

2

3 α/π

b

4

5

6

0.4 sin α /α

Funktionen

0.2

0

α1/π

~ m [...] 2

α2/π

α3/π

α4/π α5/π

α6/π

-0.2 ~ = 0.5, ~l = 0.5 , ~l = 0.5 m 1 2 -0.4

0

1

2

3 α/π

4

5

6

Abb. 17.14 Graphische Lösung der charakteristischen Gleichungen

Mit den ˛n kann man aus (17.51) die n und damit aus (17.52) die Eigenfrequenzen !n berechnen. (Setzt man die ˛n in (17.55) ein, kann man daraus die Eigenvektoren und damit aus (17.46) die Eigenschwingungsformen berechnen. Wenn man will, kann man die ˛n (und natürlich auch die entsprechenden !n ) aus Tab. 17.2 mit jenen der Balken ohne Punktmasse, vgl. Abb. 17.8, vergleichen. Wir fanden dort ˛n D n  . Man sieht: Die Eigenwerte werden im allgemeinen durch die Zusatzmasse m abgesenkt, jedoch unterschiedlich stark. Und zwar werden jene Eigenwerte stärker beeinflusst, deren Eigenschwingungsformen am Ort .x D l1 / der Punktmasse eine relativ starke Aus-

17.3

Eigenschwingungen der Kranbrücke

295

Tab. 17.2 Eigenwerte lQ1 0.7 0.5

n ˛n = ˛n =

1 0.878 0.840

2 1.795 2

3 2.971 2.697

4 3.848 4

5 4.654 4.635

6 5.887 6

lenkung (einen Schwingungsbauch) haben, während die Eigenwerte, deren Eigenform in der Nähe der Punktmasse einen Knoten – oder einen sehr kleinen Ausschlag hat, kaum beeinflusst werden (vgl. ˛2 ; ˛4 ; ˛6 – also gerade n – bei lQ1 D 0:5). Man sieht auch, dass die ˛n zusammen- und auseinanderrücken können, wenn die Punktmasse ihren Ort ändert. Die Eigenschwingungsform wO n .x/ zum Eigenwert ˛n – bzw. der Eigenfrequenz !n –, vgl. den Ansatz (17.13), wird für die beiden Bereiche 1 und 2, s. Abb. 17.13, gemäß (17.46) durch wO 1n .x/ bzw. wO 2n .x/ ausgedrückt, wobei die Koeffizienten .A1 ; B1 ; C1 ; D1 /n und .A2 ; B2 ; C2 ; D2 /n aus der homogenen Gleichung (17.55) abgelesen werden. Da deren Determinante für ˛ D ˛n verschwindet, sind darin nur 7 der 8 Gleichungen linear unabhängig: man kann einen der Koeffizienten gleich 1 setzen und die übrigen durch ihn ausdrücken. Im vorliegenden Fall ist die Rechnung einfach: Die mit (17.56) eingeführten Abkürzungen für die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen mögen nun für den interessierenden Eigenwert ˛ D ˛n gelten. Da die Zeilenkombinationen, die von der Matrizengleichung (17.55) zur Determinante (17.57) führen, auch bei der Matrizengleichung selbst ausgeführt werden dürfen, kann man den Elementeblock (17.57) als Umformung der Matrix von (17.55) sehen. Man liest aus der 1. und 2. Zeile ab: A1n D 0; C1n D 0. Damit sind 1. und 2. Zeile erfüllt und 1. sowie 3. Spalte verschwinden. Übrig bleibt der Elementeblock von (17.58) mit 5 unabhängigen Gleichungen. Sei (zunächst) B1n D 1. Aus den 5 ersten Zeilen folgen die übrigen Koeffizienten. Multiplikation des Endergebnisses mit s2  sinh ˛n und Einsetzen in (17.46) liefert mit xQ 1 WD x1 = l; xQ 2 WD x2 = l für 0  xQ 1  lQ1 ; 0  xQ 2  lQ2 W wO 1n D sinh ˛n  sin lQ2 ˛n  sin xQ 1 ˛n  sin ˛n  sinh lQ2 ˛n  sinh xQ 1 ˛n ; wO 2n D sinh ˛n  sin lQ1 ˛n  sinŒ.lQ2  xQ 2 /˛n   sin ˛n  sinh lQ1 ˛n  sinhŒ.lQ2  xQ 2 /˛n :

(17.62)

296

17

Balken-Biegeschwingungen

17.4 Diskretisieren des Kontinuums Balken Die allgemeinen Überlegungen sind – mutatis mutandis – dieselben wie bei den Drehschwingungen der Welle in Kap. 16. Wir beschränken uns hier auf den Fall globaler Ansatzfunktionen.

17.4.1

Das Arbeiten mit globalen Ansatzfunktionen

Ausgangspunkt ist das Ersatzsystem nach Abb. 17.15 (vgl. Abb. 17.8) mit den Abschnittslängen l1 ; l2 ; l WD l1 C l2 , der Biegesteifigkeit EI, der Massebelegung  sowie einer bei x D l1 aufgesetzten Punktmasse m. Gesucht ist eine Näherungslösung für die drei tiefsten Eigenfrequenzen.

17.4.1.1 Vorbereitung für die Lagrange-Gleichungen Kinetische Energie (vgl. auch (12.8)): 1 T D 2

Zl

1 wP 2 .x; t/dx C mwP 2 .l1 ; t/: 2

(17.63)

0

Potential (vgl. auch (12.15)): 1 U D 2

Zl

EIŒw 00 .x; t/2 dx:

(17.64)

0

Zieht man eine numerische Auswertung der Integrale (17.72), (17.73), s. unten, in Betracht, kann man hier ortsabhängige Biegesteifigkeit EI D EI.x/ und Massebelegung  D .x/ zulassen. Ansatzfunktionen In allgemeiner Form setzen wir an, vgl. (16.7), w.x; t/ D

3 X

qk .t/Wk .x/:

(17.65)

kD1

Abb. 17.15 Balken mit Punktmasse

x m

EI,μ

l1

l2 l

17.4

Diskretisieren des Kontinuums Balken

297

Dabei müssen die Wk .x/ die geometrischen Randbedingungen, vgl. Abb. 17.15, w.0; t/ D 0;

w.l; t/ D 0

(17.66)

erfüllen (diese heißen auch wesentliche Bedingungen). Hinweis 1 Erfüllen die Ansatzfunktionen Wk .x/ die geometrischen Randbedingungen nicht von vorneherein, muss man das Erfüllen durch Nebenbedingungen beim Lösen der Variationsaufgabe erzwingen. Die nicht-wesentlichen Randbedingungen, das sind hier die Momentenbedingungen an den Balkenenden, vgl. Abb. 17.15, M.0; t/ D 0; M.l; t/ D 0 bzw. w 00 .0; t/ D 0; w 00 .l; t/ D 0:

(17.67)

brauchen von den Ansatzfunktionen Wk .x/ nicht erfüllt zu werden (das verringert nur die Lösungsgüte). Speziell wählen wir als Lösungsansatz die drei ersten Sinus-Halbwellen w.x; t/ D

3 X

qk .t/ sin.kx= l/;

also

Wk .x/ D sin.kx= l/:

(17.68)

kD1

Die Wk .x/ D sin.kx= l/ erfüllen alle Randbedingungen. Überdies sind die sin.kx= l/ die Eigenschwingungsformen des Balkens ohne die Masse m; vgl. (17.37). Eigenschwingungsformen eines Nachbarsystems sind im allgemeinen günstige Ansatzfunktionen.

17.4.1.2 Lagrange Formalismus Einsetzen von (17.68) in (17.63) und (17.64) liefern parallel zu (16.9) bis (16.16) T D

1 T P qP M q; 2

U D

1 T q K q; 2

(17.69)

mit 0

m12 m22 m32

m11 B M D @m21 m31

q D .q1 ; q2 ; q3 /T 1 0 m13 k11 C B m23 A ; K D @k21 m33 k31

k12 k22 k32

1

k13 C k23 A ; k33

(17.70) (17.71)

Zl mi k WD

Œ.x/ C mı.x  l1 /Wi .x/Wk .x/dx;

(17.72)

0

Zl ki k WD 0

EI.x/Wi00 .x/Wk00 .x/dx:

(17.73)

298

17

Balken-Biegeschwingungen

Hinweis 2 In (17.72) steht ı.x  l1 / für die Delta-Funktion aus Abschn. 6.3.1, jetzt als Funktion der Ortsvariablen x. Analog zu (6.52) folgt Zl mWi .x/Wk .x/ı.x  l1 /dx D mWi .l1 /Wk .l1 /:

(17.74)

0

Aus den Lagrangeschen Gleichungen @T @U d @T  C D 0; dt @qPk @qk @qk

k D 1; 2; 3;

(17.75)

erhält man für die Matrizenform der Bewegungsgleichungen, M qR C K q D 0:

(17.76)

Für die Sinus-Halbwellen nach (17.68) erhält man im Fall konstanten Balkenquerschnitts die Massenmatrix (Trägheitsmatrix, lQ1 WD l1 = l) 0

C m sin2  lQ1 B M D @m sin  lQ1 sin 2 lQ1 m sin  lQ1 sin 3 lQ1 l 2

m sin  lQ1 sin 2 lQ1 l 2 Q 2 C m sin 2 l1 m sin 2 lQ1 sin 3 lQ1

1 m sin  lQ1 sin 3 lQ1 C m sin 2 lQ1 sin 3 lQ1 A ; l C m sin2 3 lQ1

(17.77)

2

und die Steifigkeitsmatrix 1 1 0 0 EI B C KD @0 16 0 A : 3 2l 0 0 81 0

4

(17.78)

Für konstante Biegesteifigkeit EI und die Wk nach (17.68) verschwinden die Integrale Zl

EIWi00 .x/Wk00 .x/dx D 0 für i ¤ kI

(17.79)

0

die Wk sind zueinander orthogonal. Deshalb wird die Steifigkeitsmatrix hier diagonal.

17.4.1.3 Auswertung der Gleichungen (Zahlenbeispiel) Seien !R2 l m EI 4 ; m Q D und tQ D !R t; wo D l 2 2l 3

(17.80)

vgl. (17.53). Dann lauten die Bewegungsgleichungen (17.76) Q ıı Q q D 0; M q CK

(17.81)

17.4

Diskretisieren des Kontinuums Balken

299

mit 0

1 C 2m Q sin2  lQ1 B Q D @2 m M Q sin  lQ1 sin 2 lQ1 2m Q sin  lQ1 sin 3 lQ1

2m Q sin  lQ1 sin 2 lQ1 1 C 2m Q sin2 2 lQ1 2m Q sin 2 lQ1 sin 3 lQ1

1 2m Q sin  lQ1 sin 3 lQ1 C 2m Q sin 2 lQ1 sin 3 lQ1 A ; 1 C 2m Q sin2 3 lQ1

(17.82)

0

1 1 0 0 C Q DB K @0 16 0 A : 0 0 81

(17.83)

Für m Q D 0:5 und lQ1 D 0:5, vgl. die Parameter zu Tab. 17.2, erhält man aus (17.81) mit q D qO cos.!Q tQ/ das Eigenwertproblem 0

0 1  !Q 2  2 B 0 16  !Q 2 @ 0 !Q 2

1 !Q 2 C 0 A qO D 0; 2 81  2!Q

(17.84)

während sich für lQ1 D 0:7 (gerundet) dass Eigenwertproblem 0

1  1:6545!Q 2 B @ 0:76942!Q 2 0:25!Q 2

0:76942!Q 2 16  1:90450!Q 2 0:29389!Q 2

1 0:25!Q 2 C 0:29389!Q 2 A qO D 0 81  1:09549!Q 2

(17.85)

ergibt. Man erhält (numerisch) die inp Tab. 17.3 aufgelisteten !Q n2 und (zum Vergleich mit ˛n 4 Tab. 17.2 daraus umgerechnet)  D !Q n2 . Die Übereinstimmung der Ergebnisse ist so gut, weil die Ansatzfunktionen (17.68) hier sehr gut sind.

17.4.1.4 Modalmatrix und allgemeine Lösung Zu den Eigenwerten !Q n2 in Tab. 17.3: erhält man aus (17.84) und (17.85) die folgenden Eigenvektoren: für lQ1 D 0:7: qO 1 D .1

 0:03085

0:00190

qO 2 D .0:49765

1

 0:02558/T;

qO 3 D .0:09045 für lQ1 D 0:5:

0:13192

1

/ ;

0

 0:00623/T;

qO 2 D .0

1

0

/T ;

1

T

0

(17.86)

T

qO 1 D .1 qO 3 D .0:50466

/T ;

/ :

(17.87)

300

17

Balken-Biegeschwingungen

Tab. 17.3 Eigenwerte lQ1 0.7 0.5

n !Q n2

1 0.59569 0.87853 0.49844 0.84024

˛n  !Q n2 ˛n 

2 10.4636 1.79854 16.0 2.0

3 78.3281 2.97494 54.1682 2.71291

Man fasst die Eigenvektoren qO n als Spaltenvektoren in der Modalmatrix Q zusammen: Q D .qO 1 ; qO 2 ; qO 3 /:

(17.88)

Aus (17.86), (17.87) folgen (auf 3 Stellen gerundet) Q1 bzw. Q2 : 1 1 0 0 1 0:498 0:090 1 0 0:505 C C B B Q1 D @0:031 1 0:132 A ; Q2 D @ 0 1 0 A: 0:002 0:026 1 0:006 0 1

(17.89)

Die allgemeine Lösung von (17.76) lautet dann q.t/ D

3 X

qO n .acn cos !Q n tQ C asn sin !Q n tQ/

(17.90)

nD1

D Q  Œdiag.cos !Q n tQ/ac C diag.sin !Q n tQ/as ; n D 1; 2; 3; wo ac D .ac1 ; ac2 ; ac3 /T ;

as D .as1 ; as2 ; as3 /T :

(17.91)

Vor dem Einsetzen der qk n .t/ in den Ansatz (17.68) fasst man die Formfunktionen Wk .x/ zweckmäßig auch als Diagonalmatrix zusammen: W D diag.Wk .x// D diag.sin kx= l/;

k D 1; 2; 3:

(17.92)

Dann gilt mit einer der Formen von q.t/ aus (17.90) w.x; t/ D W .x/q.t/:

(17.93)

Für den Anfangspunkt tQ0 D 0 erhält man die Anfangsauslenkungen q 0 D q.0/ D Qac

und w.x; 0/ D W .x/q.0/;

(17.94)

für die Anfangsgeschwindigkeiten gilt P D Qdiag.!Q n /as qP 0 D q.0/

und w.x; P t/ D W .x/q.0/: P

(17.95)

Das Anpassen der allgemeinen Lösung an Anfangsbedingungen hängt davon ab, ob die Anfangsbedingungen für q.t/ oder für w.x; t/ gegeben sind. Der erste Fall wird in Abschn. 17.5.1, der zweite in 17.5.2 behandelt.

17.5

Schwingungen der Kranbrücke nach dem Lastabfall

301

17.5 Schwingungen der Kranbrücke nach dem Lastabfall Unter der Last, dem Gewicht GL in Abb. 17.2, hat sich die Brücke abgesenkt. Fällt die Last weg, beginnt die Brücke um die unbelastete Gleichgewichtslage zu schwingen. Anfangsauslenkung ist die statische Auslenkung. (Das Eigengewicht von Brücke und Katze und die dadurch bedingte statische Auslenkung ändern sich beim Lastabfall nicht und brauchen deshalb hier nicht berücksichtig zu werden.) Um zwei Vorgehensweisen zu demonstrieren, wird zuerst mit den globalen Ansatzfunktionen aus Abschn. 17.4 gearbeitet und danach mit den Gleichungen des Kontinuums aus 17.3.

17.5.1

Untersuchung des Lastabfalls mit globalen Ansatzfunktionen

Die Konstanten ac ; as der allgemeinen Lösung (17.90) folgen aus (17.94), (17.95) zu vorgegebenen Anfangsauslenkungen q 0 und Anfangsgeschwindigkeiten qP 0 . Unmittelbar vor dem Lastabfall sei die Brücke in Ruhe. Dann gilt qP 0 D 0 bzw. w.x; P 0/ 0, und aus (17.95) folgt as D 0. Die statische Absenkung q st infolge der Last G müssen wir zuerst berechnen. Es ist zweckmäßig, sie mit Hilfe der Ansatzfunktionen Wk .x/ zu ermitteln.

17.5.1.1 Bestimmen der statischen Absenkung Wir arbeiten mit Lagrange. Dann kommt zum Potential U nach (17.64) das Potential der Last G, s. Abb. 17.2, hinzu. Mit der statischen Auslenkung wst .x/ gilt 1 Ust D 2

Zl

EIŒwst00 .x/2 dx  G  wst .l1 /:

(17.96)

0

Setzt man die statische Absenkung mit (17.68) an, nimmt (17.96) analog zu (17.69) ff. die folgende Form an: 1 (17.97) Ust D q Tst K q st  g T q st 2 wo, vgl. (17.68), g D G  .W1 .l1 /; W2 .l1 /; W3 .l1 //T D G  .sin  lQ1 ; sin 2 lQ1 ; sin 3 lQ1 /T :

(17.98)

Aus den Lagrangeschen Gln, zum Beispiel (17.75), folgt K q st  g D 0;

(17.99)

also, mit (17.78): q st D K

1

2l 3 G gD EI 4

 T 1 1 Q Q Q sin 2 l1 ; sin 3 l1 : sin  l1 ; 16 81

(17.100)

302

17

Balken-Biegeschwingungen

17.5.1.2 Bestimmen der Konstanten ac Mit q 0 D q st folgt aus (17.94)1 ac D Q1 q st D Q1 K 1 gI

(17.101)

s. Aufgabe 17.15 ff.

17.5.2

Untersuchungen des Lastabfalls mit den Eigenschwingungen des Balkens als Kontinuum

Ausgangspunkte sind (wieder) die Anfangsbedingungen w.x; 0/ D wst .x/;

w.x; P 0/ D wP 0 .x/;

(17.102)

wobei wst .x/ für die statische Absenkung unter der Last GL steht und wP 0 .x/ z. B. eine durch einen Anfangsstoß hervorgerufene Anfangsgeschwindigkeit sein mag.

17.5.2.1 Statische Absenkung; Anpassen der allgemeinen Lösung Die statische Biegelinie folgt am einfachsten aus (B.38). Mit xQ D x= l; lQ1 D l1 = l; lQ2 D l2 = l gilt 8 Gl 3 Q ˆ ˆ xQ l2 Œ1  lQ22  xQ 2  < 6EI wst .x/ Q D 3 ˆ ˆ Gl : Q 2 .1  x/Œ1 Q  lQ12  .1  x/ 6EI

für 0  xQ  lQ1 (17.103) für lQ1  xQ  l:

Q oder !Q n ; wO n .x/ Q zusammengesetzte allgeDie aus den Eigenschwingungen ˛n ; wO n .x/ meine Lösung1 der Partiellen Dgl. (17.12), oder der Gewöhnlichen Dgl. (17.15), mit den Randbedingungen (17.47) bis (17.49) lautet, vgl. (17.90), w.x; Q t/ D

1 X

wO n .x/.a Q cn cos !Q n tQ C asn sin !Q tQ/;

(17.104)

nD1

Q gemäß (17.62) aus zwei Teilen zusammensetzten. Setzt man dieses wobei sich die wO n .x/ w.x; Q tQ/ in (17.102) ein, ergeben sich Q D wst .x/

1 X nD1

1

acn wO n .x/; Q

wP 0 .x/ Q D

1 X

!n asn wO n .x/: Q

(17.105)

nD1

Der Begriff der „Allgemeinen Lösung“ aus der Theorie der gewöhnlichen Dgln wird hier der Anschauung halber übernommen. Er ist bei den partiellen Dgln unüblich, weil es dort zu viele Einschränkungen dafür gibt.

17.5

Schwingungen der Kranbrücke nach dem Lastabfall

303

Die beiden Gleichungen (17.105) sind die Bestimmungsgleichungen für die Konstanten acn ; asn , d. h. der Entwicklungskoeffizienten der rechts stehenden Reihen. Ein scheinbarer Umweg führt am raschesten zum Ziel:

17.5.2.2 Die Orthogonalität der Eigenfunktionen Sei T nach (17.63) die kinetische Energie des Systems: 1 T D 2

Zl

1 wP 2 .x; t/dx C mwP 2 .l1 ; x/: 2

(17.106)

0

Seien wO i .x/ und wO k .x/ zwei Eigenschwingungsformen des Systems. In Anlehnung an die quadratische Form (17.106) definiert man die folgende Bilinearform als Skalarprodukt (ohne 1 / 2): Zl (17.107) .wO i ; wO k /;m D wO i .x/wO k .x/dx C mwO i .l1 /wO k .l1 /: 0

Man erkennt unmittelbar die Symmetrie .wO i ; wO k /;m D .wO k ; wO i /;m :

(17.108)

Für die Eigenschwingung .!i ; wO i / folgt aus (17.15)

und aus (17.49)2

!i2 wO i D EI wO iI V ;

(17.109)

m!i2 wO i .l1 / D EIŒwO i000 .l1 C "/  wO i000 .l1  "/I

(17.110)

darin bedeuten wO i000 .l1 ˙ "/, dass der Funktionswert unmittelbar rechts bzw. links von x D l1 zu nehmen ist. Multipliziert man (17.109) mit wO k .x/ und integriert über x, multipliziert auch (17.110) mit wO k .l1 /, addiert dann beide Ergebnisse, so folgt, vgl. (17.107): Zl !i2 .wO i ; wO k /;m

D

EI wO iI V .x/wO k .x/dx 0

C EIŒwO i000 .l1 C "/  wO i000 .l1  "/wO k .l1 /:

(17.111)

304

17

Balken-Biegeschwingungen

Zweifache partielle Integration der rechten Seite liefert: Zl

EI wO iI V  wO k dx C EIŒwO i000 .l1C /  wO i .l1 /wO k .l1 /

0 lC

l

D EI wO i000 wO k j01 C EI wO i000 wO k jll C C EI wO k .l1 /wO i000 jl1 1

1



l EI wO i00 wO k0 j01



EI wO i00 wO k0 jll C

Zl C

1

(17.112)

EI wO i00 wO k00 dx:

0

Dabei wurde das Integrationsintervall wegen der Unstetigkeit der dritten Ableitungen bei x D l1 in die beiden Abschnitte 0  x < l1 und l1 < x  l zerlegt; die Schreibweise der Glieder aus (17.110) wurde angepasst; " wurde unterdrückt. Beide Eigenschwingungen wO i .x/; wO k .x/ erfüllen, je für sich, alle Rand- und Zwischenbedingungen (17.47) bis (17.49). Setzt man diese in (17.112) ein, bleibt nur das Integral übrig, aus (17.111) entsteht Zl !i2 .wO i ; wO k /;m

D

EI wO i00 wO k00 dx:

(17.113)

EI wO k00 wO i00 dx:

(17.114)

0

Vertauscht man i und k, erhält man Zl !k2 .wO k ; wO i /;m

D 0

Auch in die rechten Seiten gehen wO i und wO k symmetrisch ein. Subtraktion von (17.113), (17.114) liefert

Für !i2 ¤ !k2 folgt daraus:

.!i2  !k2 /.wO i ; wO k /;m D 0:

(17.115)

.wO i ; wO k /;m D 0:

(17.116)

Die Eigenschwingungsformen wO i .x/ und wO k .x/ zu verschiedenen Eigenfrequenzen !i ; !k – oder Eigenwerten ˛i ; ˛k – sind (im verallgemeinerten Sinne) bezüglich der Gewichte µ und m orthogonal. Für wO i .x/ wO k .x/ gilt !i D !k und .wO k ; wO k /;m > 0, vgl. (17.107). Man definiert für eine Funktion w.x/, O die die geometrischen (die wesentlichen) Randbedingungen erfüllt, die Norm 2 l 31=2 Z q 2 O w/ O ;m D 4 Œw.x/ O dx C mwO 2 .l1 /5 : (17.117) kwk O ;m D .w; 0

17.5

Schwingungen der Kranbrücke nach dem Lastabfall

305

Hinweise 1. Der Ausdruck für die gesamte kinetische Energie des Systems – hier (17.106) – dient nur als Vorbild für die Formulierung des Skalarprodukts – hier (17.107). Bei der Nutzung ist von Energie nicht mehr die Rede. 2. Das Skalarprodukt .wO i ; wO k /;m heißt Bilinearform, weil es bezüglich seiner beiden Argumente, je für sich, linear ist. 3. Wie die Herleitung zeigt, hängt das Skalarprodukt vom Aufbau des Systems, insbesondere seiner Massenverteilung ab. 4. Man braucht die Eigenschwingungen nicht zu kennen, um das Skalarprodukt zu definieren. O ;m > 0 für wO ¤ 0. 5. Die Norm kwk O ;m ist positiv definit, das heißt kwk

17.5.2.3 Bestimmen der Entwicklungskoeffizienten Wir betrachten (17.105)1 und schreiben in dimensionsbehafteter Form wst .x/ D

1 X

acn wO n .x/:

(17.118)

nD1

Multiplikation von (17.118) mit wO i .x/ und Integration über die Länge l liefert Zl wst .x/wO i .x/dx D

1 X

Zl wO n .x/wO i .x/dx:

acn

nD1

0

(17.119)

0

Unter der Annahme, dass die Summe rechts gleichmäßig konvergiert, wurden Summation und Integration vertauscht. Für x D l1 folgt aus (17.118) nach Multiplikation mit m  wO i .l1 / W m  wst .l1 /wO i .l1 / D

1 X

acn mwO n .l1 /wO i .l1 /:

(17.120)

nD1

Addition von (17.119) und (17.120) liefert unter Beachtung von (17.107) nach Vertauschen von linker und rechter Seite 1 X

Zl acn .wO n ; wO i /;m D mwst .l1 /wO i .l1 / C

nD1

wst .x/wO i .x/dx:

(17.121)

0

Links gilt .wO n ; wO i /; m D 0 für n ¤ i. Es verbleibt für n D i, vgl. (17.117), Zl aci kwO i k2;m

D mwst .l1 /wO i .l1 / C

wst .x/wO i .x/dx: 0

(17.122)

306

17

Balken-Biegeschwingungen

Mit Hilfe des Skalarprodukts gelingt es also, das unendliche Gleichungssystem (17.118) zu entkoppeln und zu lösen.

17.6 Aufgaben Aufgabe 17.1 Man zeige im Anschluss an (17.23): cos jx D cosh x; sin jx D j sinh x, cosh jx D cos x; sinh jx D j sin x: Aufgabe 17.2 Man zeige mit Hilfe von (17.24) oder mit den Formeln aus Aufgabe 17.1: .cosh x/0 D sinh x; .sinh x/0 D cosh x: Aufgabe 17.3 Schreiben Sie die Analoga zu den Additionstheoremen für sin.˛ C ˇ/, cos.˛ C ˇ/, sin ˛  sin ˇ, sin ˛  cos ˇ, cos ˛  cos ˇ sowie zu sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1, sin2 ˛ D .1  cos 2˛/=2, cos2 ˛ D .1 C cos2 ˛/=2 für die Hyperbelfunktionen an. Aufgabe 17.4 Skizzieren Sie die Verläufe sinh x und cosh x mit Hilfe der e-Funktionen. Berechnen Sie insbesondere cosh 0, sinh 0 und die Werte der Ableitungen von cosh x, sinh x bei x = 0. Aufgabe 17.5 Zeigen Sie, dass die zu n nach (17.32) gehörenden wn .x; t/ mit den zu (17.31) gehörenden zusammenfallen. Aufgabe 17.6 Nehmen Sie für den Balken nach Abb. 17.8 E D 2:1  1011 N/m2 (Stahl), einen Kreiszylinder vom Durchmesser D (z. B. in m), eine Länge l (in m) an und stellen Sie mit Hilfe von (17.38) eine Formel für !n auf, die Sie am besten gleich auf (kritische) Drehzahlen nkrit umrechnen .Œn D Umdr/min/. Gelegentlich kann man eine solche Formel als grobe Faustformel benutzen, um die ni einer Welle abzuschätzen, bei der D nur näherungsweise konstant ist. Aufgabe 17.7 Zeigen Sie, dass zur Wurzel 0 D 0 das Eigenwertproblem (17.41) nur die triviale Lösung wO 0 .x/ D 0 hat. Aufgabe 17.8 Kontrollieren Sie die Eigenschwingungsformen wO n .x/ nach (17.45). Aufgabe 17.9 Kontrollieren Sie die Rand- und Übergangsbedingungen in Abschn. 17.3.4. Aufgabe 17.10 Rechnen Sie die Bestimmungsgleichung (17.60) nach.

17.6

Aufgaben

307

Aufgabe 17.11 Wie könnte man bei der Kranbrücke eine mitschwingende Masse der Last (mL in Abb. 17.1) berücksichtigen, die an einem Seil (D Feder) der Dehnsteifigkeit k hängt? Aufgabe 17.12 Kontrollieren Sie die Eigenschwingungsform wO n .x/ nach (17.62) und zeichnen Sie die einzelnen Verläufe mit den Eigenwerten aus Tab. 17.2. Aufgabe 17.13 Die Nachgiebigkeit des Kranseils in Abb. 17.1 soll berücksichtigt werden (damit man auch den Abfall von Lastteilen untersuchen kann). Seien die (am Seil verbleibende) Masse mL und die Seilsteifigkeit ks D 1= hs , hs -Seilnachgiebigkeit, als Vielfache f1 ; f2 der Katzenmasse m bzw. der Balkenbiegenachgiebigkeit hB am Katzenort, x D l1 , gegeben: mL D f1  m; hs D f2  hB . Zur Untersuchung werde angenommen, dass die Masse mL nur vertikal schwingt und dass das durch das Gewicht GL vorbelastete Seil nicht schlaff wird. Damit Sie auf den Untersuchungen aus Abschn. 17.4 aufbauen können, führen Sie q4 .t/ als Koordinate für die Absenkung der Last ein. Lösen Sie die Aufgabe, zum Beispiel, in folgenden Schritten: 1. Ergänzen der kinetischen Energie T aus (17.63) und des Potenzials U aus (17.64) um die Terme für die Masse mL bzw. das Seil der Steifigkeit ks . 2. Ergänzen des Ansatzes (17.65), (17.68), (17.70) um die Koordinate q4 . 3. Berechnen der Zusatzelemente mLk und ki k für die erweiterten 4 × 4-Matrizen M bzw. K, vgl. (17.71) bis (17.73). 4. Machen Sie Ihre Bewegungsgleichung dimensionslos und schreiben Sie sie in der Form von (17.81). 5. Lösen Sie die Bewegungsgleichung (PC) mit den Zahlen aus Abschn. 17.4 für f1 D 0:5; f2 D 0:25, vgl. (17.84)ff. Aufgabe 17.14 Berechnen Sie die statische Durchbiegung w0 .x/ des Kranbalkens nach Abb. 17.2 unter der Last GL . (Die Durchbiegungen infolge der Eigengewichte des Balkens und der Masse m interessieren hier nicht.) Aufgabe 17.15 Entwickeln Sie w0 .x/ aus Aufgabe 17.14 in eine Fouriersumme mit K 3: K X qk sin.kx= l/: w0 .x/ D kD1

Aufgabe 17.16 Nehmen Sie lQ1 D 0:5 oder lQ1 D 0:7 an und formulieren Sie für den Fall, dass zur Zeit t = 0 die Last GL abfällt (s. Aufgabe 17.14), die Anfangsbedingungen für die sich anschließenden Schwingungen, (vgl. (17.100).

308

17

Balken-Biegeschwingungen

Aufgabe 17.17 Berechnen Sie für die Eigenschwingungen der Form (17.90) zu den Anfangsbedingungen nach Aufgabe 17.16 die Entwicklungskoeffizienten a, vgl. (17.101). Aufgabe 17.18 Berechnen Sie auf einem PC für bestimmte Balkenpunkte x  die Bewegungen w.x  ; t/ mit Hilfe der aus (17.101) (näherungsweise) bekannten Schwingungen. Aufgabe 17.19 Nach einer Reparatur, bei der die Kranbrücke aus Abschn. 17.3 als Ganzes, mit aufgesetzter Laufkatze, angehoben wurde, fällt sie versehentlich aus der Höhe h auf die (starre) Fahrbahn. Wie lauten die Anfangsbedingungen w0 .x/ und wP 0 .x/ für die anschließenden Schwingungen? Aufgabe 17.20 Berechnen Sie nach (17.117) die Norm kwst k;m der statischen Biegelinie (17.103). Aufgabe 17.21 Man kann die Orthogonalität zweier Eigenlösungen .˛i ; wO i /, .˛n ; wO n /; ˛i ¤ ˛n , aus (17.62) bezüglich des Skalarprodukts (17.107) nachweisen, indem man wO i und wO k rechts einsetzt, das Integral auswertet und zeigt, dass sich die Glieder wegheben. (Das ist sehr mühselig!) Aufgabe 17.22 Formulieren Sie das Skalarprodukt für die Eigenschwingungen des Systems aus Aufgabe 17.13. (Das System besteht aus dem Kontinuum Balken und der angehängten Punktmasse. Deshalb bestehen die Eigenschwingungen aus den Paaren .w; O q/ O nD .wO n ; qOn /, wobei wO n .x/ die Balkenbiegung und qOn D .qO4 /n die Absenkung von mL beschreibt.) Aufgabe 17.23 Nehmen Sie an, dass der Kranbalkenquerschnitt ortsabhängig ist. Dann folgen  D .x/ und EI D EI.x/. Wie sieht jetzt das Skalarprodukt aus? (Zum Lösen dieser Aufgabe muss man von der PDgl (17.7) ausgehen und auch die Randbedingungen, die Querkräfte enthalten, umarbeiten. Das Endergebnis ist fast identisch mit (17.107). Die Eigenschwingungen lassen sich allerdings nur numerisch ermitteln.) Aufgabe 17.24 Schreiben Sie parallel zum Abschnitt „Bestimmen der Entwicklungskoeffizienten“ die Koeffizienten asn für (17.105)2 an. Aufgabe 17.25 Berechnen Sie mit den Anfangsbedingungen aus Aufgabe 17.19 einige Koeffizienten asn für die Eigenwerte ˛i aus Tab. 17.2 und die Schwingungsformen wO n .x/ nach (17.62).

Teil V Lösungen

18

Lösungen

18.1 Lösungen zu Kap. 1 Lösung 1.1 Vibrieren, klopfen, zittern, schwanken, knattern, brummen, summen, tosen, bibbern, klappern, trommeln, rattern, quietschen, rubbeln, wabbeln, wackeln, krähen, kreischen, wiehern, miauen, meckern, klingen, singen, piepen, pfeifen, donnern, läuten, rumoren, krächzen, trippeln, traben, blubbern, ticken, ruckeln, usw. Lösung 1.2 Als Referenzschwingung wird x1 .t/ gewählt. Zur Veranschaulichung sind die Zeiger, die sich nach Tab. 18.1 ergeben, in der Abb. 18.1 dargestellt. Da es auf die Amplitude nicht ankommt, wird einheitlich xO i D 1 gewählt. Tab. 18.1 Vor- und Nacheilwinkel der xi .t / bei gewählter Referenzschwingung x1 .t / i 1 2 3 4 5 6

'0i in rad 0.5 0.3 2.1 4.0 3.6 8.0

'0i in Grad 28.65 17.12 120.32 229.18 206.26 458.37

Nacheilwinkel in Grad 0 45.77 268.33 159.47 234.91 290.28

Voreilwinkel in Grad 0 314.23 91.67 200.53 125.09 69.72

Zur Veranschaulichung sind die Zeiger, die sich nach Tab. 18.1 ergeben, in der Abb. 18.1 dargestellt.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2018 E. Brommundt und D. Sachau, Schwingungslehre mit Maschinendynamik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-17962-5_18

311

312

18

Lösungen

Abb. 18.1 Komplexe Ebene mit den Zeigern nach Tab. 18.1

Zur Abb. 18.1: Wenn man dort die Nullphasenwinkel einträgt, sollte man die Maßzahlen (der Winkel) statt der Symbole (wie '01 ) eintragen. Man macht dabei keine Fehler, wenn man mit durchwegs positiven Maßzahlen arbeitet und bei den in der Planfigur eingeführten Orientierungen bleibt. Schief geht’s, wenn wie in Abb. 18.2 bei '02 D 60ı die Orientierung der zugehörigen Koordinate umgekehrt und '02 drangeschrieben wird. Dann sollte man auch mit Maßlinien, also Doppelpfeilen arbeiten. Lösung 1.3 Aus Abb. 1.10 liest man zu x i D xO i e j.!t C'0i / ; ReW xO cos '0 D xO 1 cos '01 C xO 2 cos '02 ;

i D 1; 2, ab:

ImW xO sin '0 D xO 1 sin '01 C xO 2 sin '02 : (18.1)

Quadrieren und Addieren der beiden Gln. (18.1) liefert wegen cos2 '0 C sin2 '0 D 1 xO 2 D .xO 1 cos '01 C xO 2 cos '02 /2 C .xO 1 sin '01 C xO 2 sin '02 /2 : Ihr Quotient liefert tan '0 D

xO 1 sin '01 C xO 2 sin '02 : xO 1 cos '01 C xO 2 cos '02

Auflösen von (18.2) und (18.3) nach xO bzw. '0 ergibt q xO D ˙ .xO 1 cos '01 C xO 2 cos '02 /2 C .xO 1 sin '01 C xO 2 sin '02 /2 ; '0 D arctan ..xO 1 sin '01 C xO 2 sin '02 / = .xO 1 cos '01 C xO 2 cos '02 // :

(18.2)

(18.3)

(18.4) (18.5)

Hinweis 1 In der Regel wird in (18.4) die Amplitude xO mit positivem Vorzeichen gewählt. Hinweis 2 In (18.5) muss der Quadrant des Nullphasenwinkels '0 so gewählt werden, dass in (18.1) BEIDE Gleichungen mit richtigem Vorzeichen erfülltpsind; für die Orientierung von '0 gilt Abb. 1.6. Die numerische Lösung lautet: xO D xO 1 3, '0 D 30ı ; vgl. das Zeigerdiagramm in Abb. 18.2.

18.1 Lösungen zu Kap. 1

313

Abb. 18.2 Komplexe Ebene mit den Zeigern x; O xO 1 und xO 2

Lösung 1.4 Für die vorgeschlagene Periodenverkleinerung um T =3 eignet sich beispielsweise folgende, den Additionstheoremen entnommene Summe: f .x/ D sin .3x/ D g.x/ C h.x/ D 3 sin.x/  4 sin3 .x/: Wie man der Abb. 18.3 entnimmt, haben die Teilfunktionen g.x/ (—) und h.x/ (- - -) eine dreimal solange Periodendauer wie ihre Summe f .x/ (  ).

Abb. 18.3 Grafische Darstellung der Funktionen

Lösung 1.5 Hier bedeutet T1 W T2 W T3 D n1 W n2 W n3 T1 W T2 WD n1 W n2 ; T2 W T3 WD n2 W n3 ;

auch T1 W T3 WD n1 W n3 :

(18.6)

Analog zu (1.36) – dort ist allerdings das Frequenzverhältnis vorgegeben – folgen aus (18.6)1 T12 D T1 n2 D n1 T2 ; auch T1 D T12 =n2 bzw. T2 D T12 =n1 : (18.7)

314

18

Lösungen

Die zweite Bedingung (18.6)2 liefert mit (18.7)2;3 die gemeinsame Periode T D T123 , nämlich (18.8) T2 =T3 D n2 =n3 ; mit (18.7)3 T123 WD T12 n3 D n1 n2 T3 : Mit (18.7)1 zusammengefasst: T D T1 n 2 n 3 D n 1 T2 n 3 D n 1 n 2 T3 :

(18.9)

Zusatzfrage: Wie würde sich ein gemeinsamer Faktor der ni auswirken? Beispiel: Für die Periodenverhältnisse T1 W T2 W T3 D 20W 15W 12 haben die Verläufe der dazugehörenden Sinusfunktionen erst nach einer vollen Periode T0 D 60s alle gleichzeitig ein ganzzahliges Vielfaches ihrer eigenen Periode erreicht, siehe Abb. 18.4.

Abb. 18.4 Sinusfunktionen mit ganzzahligen Periodenverhältnissen

Lösung 1.6 Mit den Additionstheoremen cos.˛ ˙ ˇ/ D cos ˛ cos ˇ  sin ˛ sin ˇ

(18.10)

folgen mit ˛ D n!t, ˇ D m!t durch Addition bzw. Subtraktion cos.n!t/ cos.m!t/ D

1 Œcos.n C m/!t C cos.n  m/!t ; 2

sin.n!t/ sin.m!t/ D

1 Œcos.n  m/!t  cos.n C m/!t : 2

(18.11)

(18.12)

18.1 Lösungen zu Kap. 1

315

Einsetzen in die linken Seiten von (1.46)1;2 liefert für ganze Zahlen n; m (nicht beide Null) mit T D 2 ! ZT cos .n!t/ cos .m!t/ dt 0

1 D 2

ZT Œcos .n C m/ !t C cos .n  m/ !t dt 0

8

 1 sin Œ.n C m/ !t sin Œ.n  m/ !t T ˆ ˆ C < 2 .n C m/ ! .n  m/ ! 0

T D ˆ sin 2n!t 1 ˆ : Ct 2 2n! 0

D 0 für n ¤ m D

T für n D m 2

Analog ZT 0

ZT 1 sin .n!t/ sin .m!t/ dt D Œcos .n  m/ !t  cos .n C m/ !t dt 2 0 8 0; t < 0 gerade auf. Lösung 1.7 Da die Funktion x.t/ gemäß (1.43) bereits die Form einer Summe von zwei harmonischen Schwingungen hat, geht es hier nur darum, die Glieder auf die beiden in (1.49) angeschriebenen Formen zu bringen. Dazu muss man die Frequenz ! der Grundschwingung mit !1 oder !2 aus (1.43) mit Abb. 1.13 geeignet identifizieren, siehe Tab. 18.2. Wichtig: Man darf die Indizes 1, 2 von (1.43) nicht mit der Nummerierung der Harmonischen in der Fourier-Entwicklung verwechseln.

316

18

Lösungen

xO n 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3

'0n =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 0 0 0 0

Tab. 18.2 Nach Abb. 1.13 zu xO 1 D 1 Lfd. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Indizes gemäß (1.43) xO 2 !1 !2 1 ! 2! 1 ! 3! 1 ! 4! 1 ! 10! 2 ! 2! 2 ! 3! 3 2! ! 3 3! ! 3 6! ! 1 ! 2! 1 ! 3! 3 ! 2! 3 ! 3!

'02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =2 =2 =2 =2

Indizes gemäß (1.49) n xO s1 xO sn 2 1 1 3 1 1 4 1 1 10 1 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 3 1 6 3 1 2 1 0 3 1 0 2 1 0 3 1 0

xO cn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3

xO 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1

'01 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2 =2

Lösung 1.8 Mit ! D 2=T folgt aus (1.48)1 durch Zerlegen des Integrationsintervalls und mit x.t C T =2/ D x.t/ 2

xO cn

3     ZT =2 ZT 2 6 t t 7 D 4 x.t/ cos 2 n x.t/ cos 2 n dt C dt 5 T T T 2

0

T =2

0

1

3

B C 7 6 B C 7 6 B C 7 6 B C 7 6 T =2 B C 7 6Z   ZT =2 B C 7 6 t 2 B 2 n t C T =2 C dt 7 x.t/ cos 2 n x.t/ cos dt  D 6 B C 7 6 T 6 T B „ ƒ‚T … C 7 0 B0 60 7 1C B C 7 6 BB C 6 7 C C @B 4 5 @2 nt =T C 2.n=2/ AA „ ƒ‚ … ganz für n gerade

D 0I

gilt auch für n D 0I (18.13)

Analog für xO sn . Ein Beispiel für eine solche Funktion ist die Dreieckskurve in Abb. 18.5.

18.1 Lösungen zu Kap. 1

317

Abb. 18.5 Dreieckskurve (Skizze für 0:5  t =T  1:5, damit x.t C T =2/ D x.t / ersichtlich)

Lösung 1.9 Setzt man in die Fourier-Reihe (1.44) die Grundfrequenz ! D 2=T und berücksichtigt „geradzahlig“ durch n ! 2n, so folgt 1

1

X xO 0 X xO c2n cos 2n2 t=T C xO s2n sin 2n2 t=T C x.t/ D 2 nD1 nD1 D

1 1 X xO 0 X xO c2n cos n2 t= .T =2/ C xO s2n sin n2 t= .T =2/ C 2 nD1 nD1

D x.t C T =2/ x.t/ wiederholt sich schon nach der halben Periode. Lösung 1.10 Gegeben sei die Sägezahnfunktion   sin 2!t sin 3!t h h sin !t C C C::: : x.t/ D  2  1 2 3 Den Fourier-Koeffizienten xO 0 erhält man aus dem Gleichanteil der Sägezahnfunktion. Für den Fall h D 0 handelt es sich bei der Kurve um eine ungerade Funktion, die Kosinusglieder verschwinden. Die Sinusglieder werden nachgerechnet:

xO sn

2 D T

D

ZT

h 2 t sin.n!t/dt D T T 0 2 0



h T



sin.n!t/ t cos.n!t/  n2 ! 2 n! 1 0

T D 0

13

B C B C7 2 6 6 h B sin.2n/  T cos.2n/ C  h B sin.0/  0  cos.0/ C7 A T @ n2 ! 2 A5 2! 2 T 4 T @„ nƒ‚ n! … „ƒ‚… „ n! ƒ‚ … D0

2h D 2 T

  h T 2 cos.2n/ D  2n n

D0

D0

Der Graph und das Amplituden-Spektrum für N D 8 Glieder ist in Abb. 18.6 dargestellt.

318

18

Lösungen

Abb. 18.6 Darstellung der Fourierreihe und des Amplitudenspektrums mit 8 Gliedern

Lösung 1.11 Das in der Aufgabenstellung beschriebene Überschwingphänomen ist in Abb. 18.7 für N D 5 und N D 50 dargestellt.

Abb. 18.7 Überschwingen der Fourierreihe bei verschiedenen Gliederanzahlen N

Lösung 1.12 Für die Aussage (1.59) wird das Integral für die zwei Fälle berechnet. 1. Fall: n D m

tZ 0 CT

t0

e 0 dt D Œttt00 CT D T

18.1 Lösungen zu Kap. 1

319

2. Fall: n ¤ m



tZ 0 CT

e j!.nm/t dt D

e j!.nm/t j!.n  m/

t0

t0 CT t0

e j!.nm/.t0 CT / e j!.nm/t0  j!.n  m/ j!.n  m/ j!.nm/t0

e e j!.nm/T  1 D j!.n  m/ 1 0 e j!.nm/t0 @ j 2.nm/ A 1 e D j!.n  m/ „ ƒ‚ … D

D1

D0 Für die Verifikation von (1.60) werden zunächst beide Seiten von (1.58): x.t/ D P1 O n e j n!t mit e j m!t multipliziert und anschließend über t von t0 bis t0 C T nD1 x integriert: tZ 0 CT

x.t/e j m!t dt

t0 tZ 0 CT

D

e j m!t

D

xO n e j n!t dt

nD1

t0 tZ 0 CT

1 X

e j m!t : : : C xO m1 e j.m1/!t C xO m e j m!t C xO mC1 e j.mC1/!t C : : : dt

t0

D xO m  T wegen (1.59). Nach dem Umstellen der Gleichung und unter Berücksichtigung von n D m ergibt sich (1.60). Lösung 1.13 Aussage 3: „Für reelles x.t/ folgt aus (1.60): xO n D

1 T

R t0 CT t0

x.t/e j n!t dt, dass die Koef-

fizienten xO n und xO n konjugiert komplex zueinander sind xO n D xO n “. xO n

1 D T

tZ 0 CT

x.t/e j n!t dt t0

D

1 T

Œx.t/e j n!t dt D xO n t0

vgl. Abb. 18.8.

(18.14)

tZ 0 CT

320

18

Lösungen

Abb. 18.8 Konjugiert komplexe Koeffizienten

Aussage 4: „Ist eine gerade Funktion, x.t/ D x.t/ reell oder komplex, so folgt aus (1.60) xO n D xO n .“ Allgemein folgt aus (1.60) mit t0 D T =2 1 xO n D T

ZT =2

(18.15)

T =2

und xO n

x.t/e j n!t dt

1 D T

ZT =2 x.t/e j n!t dt:

(18.16)

T =2

Aus (18.16) folgt mit x.Ct/ D x.t/

xO n

1 D T

t DT Z =2

x.t/e j n!.t / d.t/:

(18.17)

t DT =2

Mit  D t erhält man xO n

1 D T

DT Z =2

x./e j n! d 

DT =2

ZT =2

1 D T

(18.18) x./e j n!./ d./

DT =2

D xO n Ist x.t/ reell, sind nach (18.14) xO n und xO n konjugiert komplex; damit sind beide reell. Aussage 5: „Für ungerade x.t/ D x.t/ gilt xO n D xO n .“

18.1 Lösungen zu Kap. 1

321

Setzt man dies in (18.16) ein, folgt

xO n

1 D T

t DT Z =2

x.t/e j n!.t / d.t/ D usw. usw. D xO n :

(18.19)

t DT =2

Ist x.t/ reell, sind xO n D xO n rein imaginär. Lösung 1.14 Der Effektivwert xeff ist definiert durch (1.72). Einsetzen von x.t/ D xO cos.!t Ct0 / ergibt

xeff

v s

u T u ZT 1 1 1 u1 2 2 t D xO cos .!t/dt D xO tC sin.2!t/ T T 2 4! 0 0

s D xO

1 T



 1 1 xO TC sin.2!T / D p : 2 4! 2

Zur Berechnung des Effektivwertes von x.t/ D x.cos O !t C sin 2!t/ wird wie oben vorgegangen. xeff

v u u ZT u1 Dt xO 2 .cos2 !t C 2 cos !t sin 2!t C sin2 2!t/dt T r

D r

0

xO 2 T xO 2

s

r

1 1 1 1 1 1 tC sin 2!t  cos !t  cos 3!t C t  sin 4!t 2 4! ! 3! 2 8!

T 0

T 1 1 1 T 1 1 1 C sin 2!T  cos !T  cos 3!T C  sin 4!T C C T 2 4! ! 3! 2 8! ! 3! p D xO 2 D jxj O D

322

18

Lösungen

Die erste Ableitung von x.t/ beträgt: x.t/ P D x!.2 O cos 2!t  sin !t/. v u u ZT u1 2 dt .x.t// P veff D t T 0 v u T r uZ 2 2 xO ! u t .4 cos2 2!t  4 cos 2!t sin !t C sin2 !t/dt D T r

0

xO 2 ! T

s

2

2 2 t 1 1 sin 4!t  cos.!t/ C cos 3!t C  sin 2!t 2! ! 3! 2 4! r r ˇ ˇ p ˇ xO ˇ p xO 2 5! 2 xO 2 D D  10 ˇˇ ˇˇ D 10 2 T2 T

D

T

2t C

Lösung 1.15 Die Formel für die amplitudenmodulierte Schwingung lautet: 9 8 m 0.

Die Reibungskraft „will“ die Relativbewegung hemmen, ist bestrebt die Geschwindigkeiten der aneinander reibenden Körper anzugleichen: FR D N   sgn.vrel /; sgn.vrel / WD vrel =jvrel j;

hier also FR D N  :

(18.102)

344

18

Lösungen

Einsetzen der Kräfte in (18.101)1 liefert mxR C .b1 C b2 cos2 ˛/xP C kx D N;

N D G C b2 cos ˛  sin ˛  x; P

(18.103)

und mxR C .b1 C b2 cos ˛.cos ˛   sin ˛//xP C kx D G: a

(18.104)

b

c

Abb. 18.25 a Lageplan (geteilt), b Geschwindigkeitszerlegung, c Freikörperbild

Lösung 4.14 Der Reibungswinkel % ist in Abhängigkeit von der Reibungszahl  als % D arctan./ sin % in (4.37) eingesetzt. Daraus ergeben sich folgende definiert. Es wird  D tan % D cos % Umformungen für die Dämpferkonstante b   sin % b D b1 C b2 cos ˛ cos ˛  sin ˛ cos % b2 D b1 C .cos % cos2 ˛  sin % sin ˛ cos ˛/ cos %   b2 1 1 D b1 C cos % .cos.2˛/ C 1/  sin % sin.2˛/ cos % 2 2 b2 D b1 C .cos % C cos % cos 2˛  sin % sin 2˛/ 2 cos % b2 D b1 C .cos % C cos.2˛ C %// : 2 cos % Für 2˛ C ' D ˙ gilt cos .2˛ C '/ D 1.

18.4 Lösungen zu Kap. 4

345

Lösung 4.15 Wir greifen auf die Lösung 4.13 zurück. Am Band greift tangential die Reibungskraft N – hemmend – an. Mit der konstanten Bandgeschwindigkeit v folgt damit die BandAntriebsleistung, vgl. (18.103)2, P PB D N v D .G C b2 cos ˛ sin ˛  x/v:

(18.105)

Diese Leistung teilt sich auf, in eine Reibleistung PR und eine Schwinger-Antriebsleistung PS : PB D PR C PS , wo PR D N vrel D .G C b2 cos ˛ sin ˛  x/.v P  x/; P

(18.106)

PS D N xP D .G C b2 cos ˛ sin ˛  x/ P xP D G xP C b2  cos ˛ sin ˛  xP : 2

Um die Wirkung von PS nach (18.106)2 auf den Schwinger zu durchschauen, multiplizieren wir (18.103)1 mit xP und stellen geringfügig um: mxR xP C kx xP C .b1 C b2 cos2 ˛/xP 2 D N xP D GxP C b2  cos ˛  sin ˛  xP 2 : (18.107) In der Summe links stehen zunächst die Zeitableitungen von kinetischer und potentieller Energie, gefolgt von der im Schwinger dissipierten Energie; rechts steht der Antrieb (die Interaktion mit dem Band). Das in xP quadratische Glied in (18.107) ganz rechts überrascht etwas, weil sich kein Vorzeichenwechsel bei Richtungsumkehr einstellt. Lösung 4.16 Sei l D l0 die Ausgangslänge der Stange bei x D 0 und ˛ D ˛0 der zugehörige Winkel, vgl. Abb. 4.13 und Abb. 18.26. Mit a D l0 cos ˛0 ; h D l0 sin ˛0 lesen wir zur angenommenen Auslenkung x aus Abb. 18.26 für x < a ab: p p p .a  x/2 C h2 ; sin ˛ D h= .a  x/2 C h2 ; cos ˛ D .a  x/= .a  x/2 C h2 : (18.108) Ableiten von (18.108)1 nach der Zeit liefert: lD

p lP D x.a P  x/= .a  x/2 C h2 :

(18.109)

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Stange bei positiver Geschwindigkeit xP gekürzt wird. Also hat die Dämpferkraft p P  x/= .a  x/2 C h2 FD2 D b2 x.a

(18.110)

dieselbe Orientierung wie in Aufgabe 4.13. Also können wir die Bewegungsgleichung (18.104) hierher übernehmen, wenn wir FD2 ; sin ˛; cos ˛ aus (18.110) bzw. (18.108)2;3

346

18

Lösungen

einsetzen:   .a  x/.a  x  h/ mxR C b1 C b2 xP C kx D G: .a  x/2 C h2

(18.111)

Wegen der x-abhängigen Terme beim Dämpfer b2 ist diese Bewegungsgleichung nichtlinear. Für x ! 0, sehr kleine Auslenkungen, geht sie in die lineare Bewegungsgleichung (18.104) über. Abb. 18.26 Auslenkungen am Dämpfer b2

Lösung 4.17 Die Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel erhält man folgendermaßen: Abb. 18.27 Mathematisches Pendel

In Abb. 18.27 trägt man die äußeren Kräfte und die Trägheitskräfte ein. Wenn man das Momentengleichgewicht um das feste Gelenklager A ansetzt, braucht man das Pendel nicht freizuschneiden X

M A D 0W

m'l R 2 C Gl sin ' D 0:

Die Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel lautet: ml 2 'R C mgl sin ' D 0:

(18.112)

18.4 Lösungen zu Kap. 4

347

Abb. 18.28 Physikalisches Pendel

Entsprechend kann das Momentengleichgewicht für das physikalische Pendel aufgestellt werden. Mit dem Trägheitsmoment JA um den festen Punkt A liest man über das Momentengleichgewicht um A aus Abb. 18.28 die Bewegungsgleichung ab: X M A D 0W JA 'R  mgs sin ' D 0: Lösung 4.18 Multiplikation der Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel (18.112) mit 'P ml 2 'R 'P C mgl sin ' 'P D 0

(18.113)

ergibt eine Leistungsaussage, nach der die Beiträge zu kinetischer und potentieller Energie sich stets aufheben. Die Integration über die Zeit liefert Z Z 2 P C mgl sin ' 'dt P D C: (18.114) ml 'R 'dt Umgeformt:

Z

Z R C ml 'P .'dt/ 2

mgl sin ' .'dt/ P D C:

Durch Substituieren kann man die Integration ausführen: Z Z ml 2 'd P 'P C mgl sin 'd' D C

(18.115)

(18.116)

und es ergibt sich die kinetische Energie Z'P Ekin D

ml 2 'd P 'P D

1 2 2 ml 'P 2

(18.117)

0

und die potentielle Energie (bezogen auf die Lage bei ' D 0) Z' Epot D

mgl sin 'd' D mgl.1  cos '/ 0

(18.118)

348

18

Lösungen

1 2 2 ml 'P C mgl .1  cos '/ D C D konst. 2 Dies ist der Energiesatz für ein konservatives (Energie bewahrendes) System.

(18.119)

also

Ekin C Epot D C D konstant

Lösung 4.19 Die Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel lautet m'l R 2 C mgl sin ' D 0: Eine Funktion L.x; R x; P x/ der drei Variablen .x; R x; P x/ ist homogen, wenn die Bedingung (4.30) erfüllt ist, und additiv, wenn (4.31) gilt. 1.) ‹ R x; P x/ L.˛ x; R ˛ x; P ˛x/ D ˛L.x; 2

2 ml ˛ 'R C ml g sin ˛' ¤ ˛ ml 'R C ml g sin ' D 0 Die Dgl. ist nicht homogen. 2.) ‹

L.xR 1 C xR 2 ; xP 1 C xP 1 ; x1 C x2 / D L.xR 1 ; xP 1 ; x1 / C L.xR 2 ; xP 2 ; x2 / ml 2 .'R1 C 'R2 / C ml g sin.'1 C '2 / ¤ ml 2 'R1 C ml g sin '1 C ml 2 'R2 C ml g sin '2 Die Dgl. ist nicht additiv. Lösung 4.20 Abb. 18.29 Pendel mit Luftwiderstand

Der Luftwiderstand FL wirkt stets gegen die Bewegungsrichtung, der Kraftpfeil ist in Abb. 18.29 also entgegen der positiven Geschwindigkeit eingetragen. Momentengleichgewicht um den Aufhängepunkt A in Abb. 18.29 X

M .A/ D 0W

ml 2 'R  FL l  Gl sin ' D 0:

(18.120)

18.4 Lösungen zu Kap. 4

349

Ansatz in (4.41) für Luftwiderstand mit Geschwindigkeit FL D b  v jvj – gleiches Vorzeichen wie v:

v D l 'W P

(18.121)

Damit folgt aus (18.120) P C mgl sin ' D 0 ml 2 'R C b  l 3 'P j'j und, mit b D lb  , folgt (4.42) 'R C

b g 'P j'j P C sin ' D 0; m l

wobei dim.b=m/ D 1. Lösung 4.21 Zunächst muss (4.40)2 um den Luftwiderstand ergänzt werden. Den erfassen wir, parallel zu (4.41), durch ein der Bewegung entgegen gerichtetes Moment ML , vgl. die Lösung zur Aufgabe 4.20: (18.122) JA 'R C ML C mgs sin ' D 0: Geht man von (4.41) aus und setzt ML D b  l  v  jv  j, mit v  D l  'P an, so ist dies ein formales Übertragen des Vorgehens beim mathematischen Pendel auf das physikalische, denn man kann weder v  noch l  physikalisch begründen (man wird l  etwa in der Größe von s annehmen). Mit diesen Annahmen gilt: P C mgs sin ' D 0 JA 'R C b  l 3 'P j'j

(18.123)

Dividiert man (18.123) durch JA , so erhält man 'R C

g bl  'P j'j P C sin ' D 0: JA = l 2 JA =.ms/

(18.124)

Vergleich mit (4.42) legt nahe: 'R C

g bred 'P j'j P C sin ' D 0 mit mred lred

bred D b  l  ; mred D

JA JA ; lred D (18.125) l 2 ms

Lösung 4.22 Die Bewegungsgleichung (4.42) für das mathematische Pendel lautet 'R C

g b 'P j'j P C sin ' D 0: m l

350

18

Lösungen

Multiplikation mit 'P und Integration über d' und dt  Z  g b P C sin .'/ 'P dt D C 'R 'P C 'P 2 j'j m l ergibt eine Leistungsaussage, die je einen Anteil für die potentielle Energie, für die kinetische Energie und für die dissipierte Energie enthält. Mit d 'P D 'dt R und d' D 'dt P lässt sich das Integral umschreiben als Z

Z

b 2 P dt C 'P j'j 'd P 'P C m ƒ‚ … „ R

Z

g sin 'd' D C l

b P 'jd' P m 'j

und nach Integration erhält man jeweils die drei Energieanteile: 1 2 b 'P C 2 m „ƒ‚… „ kin. Energie

Z

g P dt  cos ' D C: 'P 2 j'j l ƒ‚ … „ ƒ‚ … potentielle Energie

dissipierte Energie

Lösung 4.23 Beispielsweise wird die Dgl. (4.28) verwendet mxR C b xP C kx D Fe .t/: In der allgemeinen Form nach (4.43) lässt sich folgendermaßen umschreiben: xR D

b k 1 Fe .t/  xP  x: m m m

Wird die Dgl. in der Form (4.44) geschrieben, erhält man xR C

k b xP C x  m m

1 Fe .t/ m „ ƒ‚ …

D 0:

Zeitabhängig ! nicht-autonom

Das Dgl.-System lässt sich wie in (4.45) bis (4.47) mit zwei Gleichungen 1. Ordnung beschreiben: y D x; P yP D x; R 3 " # 2 y xP 5: D4 b k 1 yP  y  x  Fe .t/ m m m

18.5 Lösungen zu Kap. 5

351

18.5 Lösungen zu Kap. 5 Lösung 5.1 Die Bewegungsgleichung für freie Schwingungen des mathematischen Pendels lautet m'l R 2 C mgl sin ' D 0: Für kleine ' gilt: sin '  ': Weiterhin kann man für kleine Winkel l' gleich x bzw. l 'R gleich xR setzen. Die lineare homogene Bewegungsgleichung für das mathematische Pendel ist damit mg x D 0: l Kraft hat die Dimension dim mg . Wir kürzen den Quotienten mit k D Länge l mxR C

Der Quotient ab:

mg l

mxR C kx D 0: Mit einer linearen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung (viskose Dämpfung) geht die Bewegungsgleichung in mxR C b xP C kx D 0 über. Der Dämpfungskoeffizient hat die Dimension dim.b/ D

Kraft . Geschwindigkeit

Lösung 5.2 Die Terme der linearen homogenen Bewegungsdifferentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mxR C b xP C kx D 0 haben die Dimensionen: dim.mx/ R D Kraft D Masse Beschleunigung dim.b x/ P D Kraft D Dämpfungskoeff. Geschw. dim.kx/ D Kraft D Steifigkeit Auslenkung Division durch die Masse liefert: xR C

k b xP C x D 0: m m

Führt man folgende Abkürzungen ein: 1 die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers !0 D

q

2 den Dämpfungsgrad bzw. das Lehr’sche Dämpfungsmaß D D

k m pb 2 km

352

18

Lösungen

geht die lineare homogene Bewegungsgleichung mit konstanten Koeffizienten in die Form xR C 2D!0 xP C !02 x D 0 über. Die Einführung der dimensionslosen Zeit tQ D !0 t ist besonders beim Rechnereinsatz zweckmäßig: d d2 x C 2D!0 x C !02 x D 0 2 dt dt bzw.    2  d 2 d !0 2 x C 2D!0 !0 x C !02 x D 0: d tQ d tQ Nach Division durch das Quadrat der Eigenkreisfrequenz hat die Gleichung nur noch die Dimension dim.x/: ıı ı x C 2D x C x D 0: Lösung 5.3 Einsetzen des Ansatzes (5.6), (5.7) in die Differentialgleichung (5.1) ergibt C 2 e t C 2D!0 C e t C !02 C e t D 0 Dividieren durch e t ¤ 0 liefert:

2 C 2D!0  C !02 C D 0:

Die Gleichung ist erfüllt, wenn C D 0 ist. Dies ist die triviale Lösung, das System steht still. Für C ¤ 0 muss 2 C 2D!0  C !02 D 0 erfüllt sein. Die quadratische Gleichung für  hat die Lösungen (Eigenwerte): p 1=2 D D!0 ˙ !0 D 2  1 Setzt man die Eigenwerte wieder in den Ansatz ein, erhält man die allgemeine Lösung: x.t/ D C1 e 1 t C C2 e 2 t mit den zwei freien Konstanten C1 und C2 .

18.5 Lösungen zu Kap. 5

353

Lösung 5.4 Mit den beiden Eigenwerten 1 ; 2 lautet die allgemeine Lösung x.t/ D C1 e 1 t C C2 e 2 t : Einsetzen der Anfangsbedingungen x .0/ D x0 , xP .0/ D v0 liefert I/ x .0/ D C1 C C2 D x0 II/ xP .0/ D C1 1 C C2 2 D v0 : Aus den Gleichungen werden die freien Konstanten bestimmt v0  2 x0 1  2 x0 1  v0 C2 D ; 1  2

C1 D

und in die allgemeine Lösung eingesetzt x.t/ D

˚  1 .v0  2 x0 / e 1 t C .x0 1  v0 / e 2 t : 1  2

Lösung 5.5 Die beiden Teillösungen der Dgl. (5.4), xR C 2D!0 xP C !02 x D 0, lauten e 1 t und e 2 t , mit p 1=2 D D!0 ˙ !0 D 2  1;

vgl. (5.11):

Zwei Funktionen (hier der Zeit), sind linear unabhängig, wenn sie sich nicht nur durch einen zeitunabhängigen Faktor unterscheiden, sich nicht wechselseitig aufheben können; ihre Linearkombination würde in einem solchen Fall verschwinden: C1 e 1 t C C2 e 2 t D 0;

mit C1 ; C2 ¤ 0;

(18.126)

denn man könnte (18.126) zum Beispiel nach e 1 t auflösen: e 1 t D C2 =C1  e 2 t . Bei 1 ¤ 2 gilt dies offensichtlich nicht, e 1 t und e 2 t sind linear unabhängig. Setzt man neben e 1 t statt e 2 t die Kombination .e 2 t  e 1 t /=.2  1 /; .2  1 / ¤ 0, als zweite Lösung an, so ist auch sie linear unabhängig von e 1 t . Man kann, neben (5.12), alternativ, eine allgemeine Lösung in anderer Form, nennen wir sie x2 .t/, anschreiben: x2 .t/ D C1 e 1 t C C2

e 2 t  e 1 t ; 2  1

vgl. (5.12)W

x1 .t/ D C1 e 1 t C C2 e 2 t

(18.127)

354

18

Lösungen

Jede der beiden Formen enthält zwei freie Konstanten C1 ; C2 (beide Male gleich benannt). P D v0 haben wir in Aufgabe 5.4 die Lösung Zu den Anfangsbedingungen x.0/ D x0 ; x.0/ x1 .t/ D

˚  1 .2 x0  v0 /e 1 t C .v0  1 x0 /e 2 t 2  1

(18.128)

gefunden. Analog erhält man zu (18.127)1: x2 .t/ D x0 e 1 t C .v0  1 x0 /

e 2 t  e 1 t : 2  1

(18.129)

Die beiden Lösungen lassen sich leicht ineinander überführen. Für D ! ˙1 fallen e 1 t und e 2 t zusammen, die zweite Lösung geht verloren, die Lösung x1 .t/ versagt, weil der Nenner .2  1 / verschwindet. Anders in der Lösung (18.129): Dort verschwindet mit dem Nenner auch der Zähler .e 2 t  e 1 t /. Nach de l’Hospital gilt für den Grenzwert  ! 1 lim

ˇ .e t  e 1 t / ı=ı.e t  e 1 t / ˇˇ D te 1 t : D .  1 / ı=ı.  1 / ˇD1

(18.130)

Damit lautet für D ! ˙1 die an die Anfangsbedingungen x.0/ D x0 ; x.0/ P D v0 angepasste Lösung x2 .t/ D x0 e t C .v0  x0 /te t

mit

 D D!0

und D D ˙1

(18.131)

Die für D ! ˙1 in (18.131) enthaltene Lösung te t ist von e t linear unabhängig. (Häufig wird sie mit einem Ansatz geraten.) Lösung 5.6 Die allgemeine Lösung lautet: x.t/ D xO c cos !0 t C xO s sin !0 t: Einsetzen der Anfangsbedingungen liefert folgende Werte: x.0/ D x0 D xO c x.0/ P D v0 D xO c !0 sin !0 0 C xO s !0 cos !0 0 D xO s !0 v0 ! xO c D x0 ; xO s D : !0 Nach Einsetzen der berechneten Werte, erhält man abschließend: x.t/ D x0 cos !0 t C

v0 sin !0 t: !0

18.5 Lösungen zu Kap. 5

355

Lösung 5.7 Die freien Konstanten sind die Amplitude xO und der Nullphasenwinkel '0 , die an die Anfangsbedingungen x.0/ D 0 und x.0/ P D v0 angepasst werden müssen. Einsetzen der Anfangsbedingungen liefert folgende Werte für xO und '0 : x.0/ D x0 D xO cos.'0 /; xP D x! O 0 sin.!0 t C '0 / O 0 sin.'0 / v.0/ D v0 D x!

(18.132) (18.133)

Aus (18.132) und (18.133): x0 D xO cos.'0 /;

v0 =!0 D xO sin.'0 /

(18.134)

q Man erhält xO D x02 C .v0 =!0 /2 , tan '0 D v0 =.!0 x0 /. Phase von '0 so wählen, dass Vorzeichen in (18.134) korrekt sind. Lösung 5.8 Kontrollergebnisse auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet: a) b) c) d)

3 sin !0 t ˙ 4 cos !0 t D ˙5 cos.! 0 t  2a tan..1=3//   ˙5 cos.!0 t  0:6435/, p ı 5 cos.!0 t C 120 / D 2:5  cos !0 t C 3 sin !0 t 2 sin.!0 t C5/ D 2sin.5/cos !0 t C2cos.5/sin !0 t  0:5673 sin !0 t 1:9178 cos !0 t, 3 cos !0 t C 4 sin !0 t C 5 cos.!0 t  =6/ p p D 0:5  10  .1 C 3  3/ sin.!0 t C a tan..1=3/ C =6/  9:7969 sin.!0 t C 0:8453/:

Lösung 5.9 In Abb. 18.30 sind die Schwingungsverläufe von x.t/ D 3 sin !0 t C 4 cos !0 t und x.t/ D 5 cos.!0 t C 120ı / über !0 t aufgetragen.

Abb. 18.30 Verlauf von x.t / D 3 sin !0 t C 4 cos !0 t (—) und x.t / D 5 cos.!0 t C 120ı / (- - -)

356

18

Lösungen

Lösung 5.10 Zunächst werden x.t/ P und x.t/ R berechnet, x.t/ D xO cos.!0 t C '0 / x.t/ P D !0 xO sin.!0 t C '0 / D v.t/ D !0 xO cos.!0 t C '0 C 90ı / x.t/ R D !02 xO cos.!0 t C '0 / D a.t/ D !02 xO cos.!0 t C '0 C 180ı / Aus den Gleichungen erkennt man, dass v.t/ und a.t/ gegenüber x.t/ mit dem Nullphasenwinkel um 90ı bzw. um 180ı voreilen.

x.t / v.t / a.t /

Nullphasenwinkel '0 '0 C 90ı (eilt 90° vor) '0 C 180ı (eilt 180° vor)

Amplituden xO !0 xO !02 xO

Lösung 5.11 Zunächst wird x.t/ P berechnet, x.t/ D xO cos.!0 t C '0 / v D x.t/ P D !0 xO cos.!0 t C '0 C 90ı / D !0 xO sin.!0 t C '0 /: Daraus folgen

x D cos.!0 t C '0 /; xO



v D sin.!0 t C '0 /: !0 xO

Quadrieren und addieren mit cos2 .!0 t C '0 / C sin2 .!0 t C '0 / D 1 führt auf

 x 2 xO

 C

v !0 xO

2 D 1:

Das ist eine Ellipsengleichung  x 2 a

C

 2 xP D1 b

mit den Extremwerten (Scheitelwerten) a D xO D xE ;

b D !0 xO D vE

In Abb. 18.31 ist die Phasenkurve dargestellt.

(18.135)

18.5 Lösungen zu Kap. 5

357

Abb. 18.31 Phasenebene mit .x; x/ P

Lösung 5.12 Zunächst wird x.t/ P berechnet, x.t/ D xO cos.!0 t C '0 / x.t/ P D !0 xO sin.!0 t C '0 /: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist definiert als SD

1 1 2 mv C kx 2 2 2 „ƒ‚… „ƒ‚… Kin. Energie

Pot. Energie

Einsetzen von x.t/ und x.t/ P in die obere Gleichung ergibt: 1 1 m!02 xO 2 sin2 .!0 t C '0 / C k xO 2 cos2 .!0 t C '0 / 2 2 k 2 !02 sin2 .!0 t C '0 / C cos2 .!0 t C '0 / D 2 S m xO m 2 2 2 S sin .!0 t C '0 / C cos .!0 t C '0 / D 2 xO m!02 1 2 S; also S D mxO 2 !02 ist konstant! 1D 2 2 2 xO m!0

SD

Lösung 5.13 Aus Aufgabe 5.11:

x.t/2 x.t/ P 2 C D 1: .!0 x/ O 2 xE2

Für eine dimensionslose Darstellung werden x und xP mit xO bzw. mit x! O 0 normiert, xQ D O Daraus folgt die Gleichung für den Einheitskreis, s. Abb. 18.32 x=x; O vQ D x= P .!0 x/. xQ 2 C vQ 2 D 1: Für den Winkel ˛ gilt sin ˛ D x=1: Q Ableitung: ˛P cos ˛ D xPQ D x= P xO

358

18

Lösungen

Abb. 18.32 Darstellung der Bewegung in der Phasenebene

und O cos ˛ D vQ D x=.! P 0 x/ daraus ˛P

xP xP D ) ˛P D !0 !0 xO xO

Lösung 5.14 x.t/ und x.t/ P lauten: x.t/ D und x.t/ P D

˚  1 .v0  2 x0 / e 1 t C .x0 1  v0 / e 2 t 1  2

˚  1 1 .v0  2 x0 / e 1 t C 2 .x0 1  v0 / e 2 t : 1  2

1 und 2 lassen sich mit (5.11) berechnen. Für D > 1 sind beide Eigenwerte 1=2 reell. In Abb. 18.33 sind die Verläufe der Auslenkung x.t/ über einen Zeitraum von 10 Sekunden aufgetragen, wobei x0 D 1 m und v0 D 1 ms als Anfangsbedingungen gewählt wurden. Man erhält nach Abb. 18.33 Lösungen, die asymptotisch gegen die Abszisse kriechen.

Abb. 18.33 Verlauf von x.t / und x.t P /

18.5 Lösungen zu Kap. 5

359

Lösung 5.15 Für die Umformung sind folgende Schritte notwendig: x.t/ D Ae ıt Re e j.!t C'0 / D Ae ıt .cos.!t C '0 // D e ıt .A cos '0 cos !t A sin '0 sin !t/ „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … Ac

De

ıt

AS

.Ac cos !t C AS sin !t/:

Kehrt man die Transformation von (5.25) nach (5.26) um, erhält man zur Summe x.t/ D e ıt .Ac cos !t C AS sin !t/ die Form x.t/ D Ae ıt .cos.!t C '0 //, wo AD

q

 A2c C A2s ;

'0 D arctan

As Ac



ist. Der Quadrant für den Phasenwinkel '0 ist so zu wählen, dass Ac D A cos '0

und As D A sin '0

die richtigen Vorzeichen erhalten. Lösung 5.16 Berechnung von x.t/ P ergibt: x.t/ D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/ x.t/ P D ıe ıt .Ac cos !t C As sin !t/ C e ıt .!Ac sin !t C !As cos !t/: Einsetzen in die Anfangsbedingungen zur Zeit t D 0 x0 D x.t D 0/ D Ac v0 D v.0/ D ıAc C As ! Die beiden Gleichungen liefern Ac D x0 ;

As D

v0 C ıx0 : !

Abschließend einsetzen in (5.26) ergibt: x.t/ D e

ıt



 v0 C ıx0 sin !t : x0 cos !t C !

360

18

Lösungen

Lösung 5.17 Die Periode T wird aus den Abständen der Nulldurchgänge aus der Abb. 1.22b ermittelt: T1 D 3:15 cm ! 5:32 s T2 D 3:2 cm ! 5:40 s

) T D 5:36 s:

Hieraus errechnet sich die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung !D

rad 2  1:172 T s

Aufeinander folgende Extremwerte werden aus der Zeichnung gemessen x.t1 / D 1:9 cm D Ae ıt1 x.t2 / D 1:2 cm D Ae ıt2 x.t3 / D 0:7 cm D Ae ıt3 Einsetzen in das logarithmische Dekrement nach (1.96)

D

x.tk / 1 x.tk / 1 ln D Tı ) ı D ln n x.tkCn / nT x.tkCn /

ergibt für die Messwerte die beiden Abklingkoeffizienten ı1 D

1 1 x1 D 0:08494 ; ln .t1  t2 / x2 s

Gemittelt ergibt sich ıD

ı2 D

1 1 x2 D 0:101315 ln .t3  t2 / x3 s

ı1 C ı2 1 D 0:093 2 s

Die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers folgt aus q q p ! D !0 1  D 2 D !02  .D!0 /2 D !02  ı 2 p rad , !0 D ! 2 C ı 2 D 1:1757 s Hiermit errechnet sich der Dämpfungsgrad DD

ı D 0:0791 !0

18.5 Lösungen zu Kap. 5

361

Mit der Masse m D 3:7 kg errechnet man die Federsteifigkeit k D m!02 D 5:108

kg N D 5:108 s2 m

und schließlich den Dämpfungskoeffizienten 1 b D 2D!0 D 0:18589 : s Lösung 5.18 Das Matlab® -Programm berechnet für eine gedämpfte Schwingung die Phasenkurve und das Zeigerdiagramm in Abb. 18.34. a

b

Abb. 18.34 Phasenkurve (a) und Zeigerdiagramm (b)

Lösung 5.19 Ist b < 0 so gilt für den Dämpfungsgrad D: b D 2Dm!0 ! D < 0: Damit ist der Abklingkoeffizient ı D D!0 ! ı < 0: und die Realteile der Eigenwerte p 1=2 D D!0 ˙ j!0 1  D 2 ! Re ./ > 0:

362

18

Lösungen

18.6 Lösungen zu Kap. 6 Lösung 6.1 Die gegebene reelle Form der Dgl. ist mxR C b xP C kx D FO1 cos ˝t C FO2 sin ˝t

(18.136)

Die Rücktransformation von der komplexen zur reellen Schreibweise soll über die Realteilbildung (Projektion auf die reelle Achse) erfolgen. Somit folgt durch „erraten“ für die Erregerfunktionen: o n o n (18.137) FO1 cos ˝t D Re FO1 .cos ˝t C j sin ˝t/ D Re FO1 e j˝t o n o n FO2 sin ˝t D Re j FO2 .cos ˝t C j sin ˝t/ D Re j FO2 e j˝t

(18.138)

und für die Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung gilt: x D Re fx C jyg D Re fxg ; xP D Re fxP C j yg P D Re fxg P ;

(18.139)

xR D Re fxR C j yg R D Re fxg R : Die komplexe Form der Dgl. ist dann  O j˝t mxR C b xP C kx D FO1  j FO2 ue

(18.140)

Lösung 6.2 Die reelle Form der Dgl. sei mxR C b xP C kx D b uP C ku

(18.141)

mit u.t/ D uO cos ˝t und u.t/ P D ˝ uO sin ˝t. Die Rücktransformation von der komplexen zur reellen Schreibweise soll über die Realteilbildung (Projektion auf die reelle Achse) erfolgen. Somit folgt durch „erraten“ für die Erregerfunktionen: ˚ j˝t  ; u.t/ D uO cos ˝t D Re fuO .cos ˝t C j sin ˝t/g D Re ue O

(18.142)

˚  u.t/ P D u˝ O sin ˝t D Re fj˝  uO .cos ˝t C j sin ˝t/g D Re j˝  ue O j˝t (18.143) und für die Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung gilt: x D Re fx C jyg D Re fxg ; xP D Re fxP C j yg P D Re fxg P ; xR D Re fxR C j yg R D Re fxg R :

(18.144)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

363

Die komplexe Form der Dgl. ist dann O j˝t : mxR C b xP C kx D .bj˝ C k/ ue

(18.145)

Lösung 6.3 3 xCkxCcx P D FOe e j˝t die kartesische Setzt man in die nichtlineare komplexe Dgl. mxCb R Schreibweise ein x D x C jy; e j˝t D cos ˝t C j sin ˝t; ergibt sich

m .xR C j y/ R C b .xP C j y/ P C k .x C jy/ C c x 3 C 3x 2 jy  3xy 2  jy 3 D FOe .cos ˝t C j sin ˝t/ Durch Bilden des Realteiles gelangt man zur reellen Darstellung:

mxR C b xP C kx C c x 3  3xy 2 D FOe cos ˝t: Ein Vergleich mit mxR C b xP C kx C cx 3 D FOe cos ˝t zeigt, dass das nichtlineare Glied der komplexen Dgl. bei Realteilbildung nicht in die reelle Form übergeht. Für nichtlineare Dgl. müssen also andere Lösungsverfahren angewandt werden. Lösung 6.4 Multipliziert man die Dgl. (6.3) und (6.7) mit 1=m, erhält man: b xP C m b xR C xP C m xR C

1 k x D FOe cos ˝t m m FOe j˝t k xD e : m m

Dabei gilt: b D 2D!0 ; m mit der statischen Auslenkung

k D !02 ; m

FOe k FOe D !02 mk k

FOe . k

Lösung 6.5 Die reelle Form der Dgl. sei mxR C b xP C kx D FO1 cos ˝t C FO2 sin ˝t:

(18.146)

Durch erraten erhält man die komplexe Form mxR C b xP C kx D FO1 e j˝t  j FO2 e j˝t

(18.147)

364

18

 mxR C b xP C kx D FO1  j FO2 e j˝t :

bzw.

Lösungen

(18.148)

Die Lösung erfolgt mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite: O j˝t x.t/ D xe

(18.149)

Ableitungen des Ansatzes: j˝t D xj˝e O x.t/ P

(18.150)

x.t/ R D x˝ O 2 e j˝t Einsetzen in Dgl. (18.148): m˝ 2 C jb˝ C k xe O j˝t D FO1

j FO2 e j˝t

(18.151)

Auflösen nach xO  xO D

FO1  FO2 j˝



.m˝ 2 C jb˝ C k/ 1 j D  FO1 C  FO2 .m˝ 2 C jb˝ C k/ .m˝ 2 C jb˝ C k/

(18.152)

Einsetzen in den Ansatz liefert den Drehzeiger der erzwungenen Schwingungen:  FO1  j FO2 (18.153) e j˝t x.t/ D .m˝ 2 C jb˝ C k/ Durch Realteilbildung erhält man den Zeitverlauf der erzwungenen Schwingungen. Da die Funktion (18.153) komplex ist, ist eine Zerlegung in Betrag und Phase vorteilhaft r  2 2 FO1 C FO2  e j˛1

x.t/ D q e j˝t 2 2 2 j˛ 2 .k  m˝ / C .b˝/  e

(18.154)

mit

FO2 ; =2 < ˛1  0 für F1 > 0; F2 0; FO1 b˝ ; 0  ˛2 < : tan ˛2 D k  m˝ 2 Realteilbildung: r  2 2 FO1 C FO2  e j .˝t C˛1 ˛2 / x.t/ D q 2 .k  m˝ 2 / C .b˝/2 tan ˛1 D

(18.155)

(18.156)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

x.t/ D Re

8 ˆ ˆ < ˆ ˆ :

r

FO1

2

365



C FO2

9 > > =

2

q  Œcos .˝t C ˛1  ˛2 / C j sin .˝t C ˛1  ˛2 / > > ; .k  m˝ 2 /2 C .b˝/2 (18.157)

Lösung der Dgl.: r x.t/ D q

FO1

2

 2 C FO2

.k  m˝ 2 /2 C .b˝/2

Lösung 6.6 Mit

 cos .˝t C ˛1  ˛2 /

(18.158)

O j˝t x D xe xP D j x˝e O j˝t xR D x˝ O 2 e j˝t

Einsetzen in (6.9) liefert: ˝ 2 C 2D!0 j˝ C !02 xe O j˝t D !02 xO D

D

FOe j˝t e k

FOe k 1 FOe k 1

1 ˝2 ˝02

C

mit

2jD !˝0

1 2 Q ˝ C 2jD ˝Q

Lösung 6.7 In Abb. 18.35 sind die Komponenten des Zeigers dargestellt. a

b

Abb. 18.35 Vektoraddition von F1 und F2

c

˝ D ˝Q !0

366

18

Lösungen

Lösung 6.8 Die komplexe Amplitude xO für die erzwungene Schwingung aus Abschn. 6.2.2 lautet xO D

FOe Dq k  m˝ 2 C bj˝

0  ˛2 < 

FOe .k 

m˝ 2 /2

mit

C

.b˝/2



e j˛2

vgl. Lösung 6.5.

Die Berechnung von x.t/; x.t/; P x.t/ R ergibt folgende Darstellungen: O j˝t x.t/ D xe x.t/ P D ˝j xe O j˝t D v.t/ D ve O j˝t x.t/ R D ˝ xe O 2

j˝t

D a.t/ D ae O

j˝t

vO D j˝ xO aO D ˝ 2 x: O

In Abb. 18.36 sind die Drehzeiger aufgetragen. Abb. 18.36 DrehzeigerDiagramm

Lösung 6.9 Gl. (6.13) lautet O j˝t C bj˝ xe O j˝t C k xe O j˝t D FOe e j˝t : m˝ 2 xe Die Addition der drei Anteile ist in Abb. 18.37 dargestellt.

18.6 Lösungen zu Kap. 6

367

Abb. 18.37 DrehzeigerDiagramm

Lösung 6.10 Gl. (6.21) wird mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert: xO D D D

FOe 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q k 1  ˝Q 2  2Dj ˝Q 1

.1 

˝Q 2

Q C 2Dj ˝/.1  FOe Z

.1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 k

˝Q 2

FOe Q k  2Dj ˝/

;

wo

Q Z D ..1  ˝Q 2 /  2jD ˝/:

Abschließend werden der Betrag und der Phasenverschiebungswinkel von Z berechnet: 2D ˝Q 2D ˝Q 2D ˝Q , ˛ D arctan D arctan 1  ˝Q 2 1  ˝Q 2 1  ˝Q 2 q jZj D .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 :

tan ˛ D

x.t/ O lautet somit: q FOe 1 .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 e j˛ k .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 FOe 1 D q e j˛ k 2 2 2 2 Q Q .1  ˝ / C 4D ˝

D x.t/ O

j˝t Einsetzen von x.t/ O in x.t/ D x.t/e O ergibt (6.25).

Lösung 6.11 Amplitude der bezogenen Größe

1 xO p Q D .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2  2 D xOQ p .˝/ FOe =k

368

18

Lösungen

Q beträgt: Die erste Ableitung von xOQ p .˝/ 32 Q

2 @xOQ p .˝/ 1  Q C 8D 2 ˝Q : D 2.1  ˝Q 2 /.2˝/ 1  ˝Q 2 C 4D 2 ˝Q 2 Q 2„ ƒ‚ … @˝ ƒ‚ …„ 2. Term

1. Term

Zur Bestimmung der Resonanzstellen, muss

Q @xOQ p .˝/ @˝Q

D 0 gelten.

p 1. Term: Steht im Nenner und hat offensichtlich (für 0 < D < 1= 2) keine reelle Nullstelle 2. Term: ˝Q D 0 und 0 D 4 C 4˝Q 2 C 8D 2 0 D ˝Q 2 C .2D 2  1/ p ) ˝Q D 1  2D 2 .Resonanzstelle/ Q ergibt: Einsetzen der Resonanzstelle in xOQ p .˝/ Vmax D p Dp

1 .1  .1  2D 2 //2 C 4D 2 .1  2D 2 / 1

4D 4 C 4D 2  8D 4 1 p D : 2D 1  D 2

Lösung 6.12 Die Aussage liest man unmittelbar aus (6.27) für ˝Q D 1 ab: xO P D xO D

FOe . 2Dk

Lösung 6.13 Was man bei dem Grenzübergang zu bedenken hat, liest man am besten aus (6.27) ab: xO p D

FOe 1 q k .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

(18.159)

Für D ! 0 muss der Vorzeichenwechsel der Wurzel bei ˝Q D 1, q .1  ˝Q 2 /2 D .1  ˝Q 2 / > 0 für 0  ˝Q < 1 und .1  ˝Q 2 / < 0 für 1 < ˝Q (18.160) durch den Phasenwinkel ˛ berücksichtigt werden, nämlich im ersten oder zweiten Quadranten liegen. Im ersten Fall erfolgt der Grenzübergang D ! 0 in ˛ D arctan

2D ˝Q 1  ˝Q 2

(18.161)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

369

im ersten Quadranten und führt auf ˛ D 0, im zweiten Fall im zweiten Quadranten auf ˛ D . Damit folgt (6.30). Lösung 6.14 Differenzieren des Ansatzes liefert xp D xp cos ˝t xP p D ˝xp sin ˝t xR p D ˝ 2 xp cos ˝t: Einsetzen in die Differentialgleichung und auflösen nach xp führt zu

m˝ 2 C k xp cos ˝t D FOe cos ˝t xp D

FOe : k  m˝ 2

Führt man die bezogene Erregerfrequenz mit m=k D 1=!02 und ˝Q D ˝=!0 ein, ergibt sich FOe =k FOe =k : D xp D 2 1  ˝ m=k 1  ˝Q 2 Der Vergleich mit (6.30) zeigt die Äquivalenz des alternativen Rechenweges. Der Vorzeichensprung von xp bei ˝Q D 1 wird dort durch den Sprung des Phasenverschiebungswinkels ˛ von 0 auf  erfasst. Lösung 6.15 Differenziert man xp , erhält man: 1 FOe !0 .sin !0 t C t!0 cos !0 t/ 2 k 1 FOe xR p D !0 .!0 cos !0 t C !0 cos !0 t  t!02 sin !0 t/ 2 k 1 FOe 2 D ! .2!0 cos !0 t  t!02 sin !0 t/: 2 k 0 xP p D

Abschließend werden xp und xR p in die Dgl. eingesetzt: 1 FOe 2 ! .2 cos !0 t 2 k 0

FOe 2 1 FOe !0 t sin !0 t D ! cos !0 t 2 k k 0 t!0 t!0 sin !0 t C sin !0 t D cos !0 t 2 2 cos !0 t D cos !0 t

t!0 sin !0 t/ C !02 cos !0 t

370

18

Lösungen

Lösung 6.16 Q lautet: Die Vergrößerungsfunktion V1 .˝/ 1 Q Dq : V1 .˝/ .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

(18.162)

Ableitung nach ˝Q lautet: Q Q Q Q  ˝Q 2 / C 4D 2 ˝/ Q  ˝Q 2 /  4D 2 ˝/ 1  2  .2˝.1 .2˝.1 dV1 .˝/ D D    3 : q q 3 Q d˝ 2 2 2 2 2 2 2 2 Q Q Q Q 2 .1  ˝ / C 4D ˝ .1  ˝ / C 4D ˝ Steigung bei ˝Q D 1:

(18.163) ˇ Q ˇˇ dV1 .˝/ ˇ d ˝Q ˇ Q

D

˝D1

4D 2 1 D : .2D/3 2D

(18.164)

Verzerrung für ˝Q 1: Q D2 a D a.˝/

1 ˝Q

mit

1  a  2:

(18.165)

Q nach a: Ableitung von V1 .˝.a// Q Q d ˝.a/ Q Q dV1 .˝.a// dV1 .˝/ dV1 .˝/ D D da da d ˝Q d ˝Q

Q da.˝/ d ˝Q

!1 D

Q dV1 .˝/ ˝Q 2 d ˝Q

(18.166)

Bei ˝Q D 1 stimmen also die beiden Ableitungen überein, die Kurven haben dort keinen Knick! Lösung 6.17 Q nach (6.32) in b.V1 / ergibt: Einsetzen von V1 .˝/ 1 D2 b.V1 / D 2  V1

q .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 :

b.V1 / an der Stelle ˝Q D 1 beträgt: b.V1 / D 2  2D D 2.1  D/: Das entsprechende Diagramm von V1 in Abhängigkeit von ˝Q ist in Abb. 18.38 dargestellt, siehe Matlab® -Programm.

18.6 Lösungen zu Kap. 6

371

Abb. 18.38 Verlauf von V1 für D D 0:1

Lösung 6.18 Die Dgl. aus Aufgabe 6.1 lautet: mxR C b xP C kx D FO1 cos ˝t C FO2 sin ˝t;

(18.167)

Zunächst werden die erste und zweite Ableitung von xp berechnet, welche lauten: xp D A cos ˝t C B sin ˝t xP p D A˝ sin ˝t C B˝ cos ˝t

(18.168)

xR p D A˝ cos ˝t  B˝ sin ˝t 2

2

Einsetzen von (18.168) in die Dgl. (18.167) liefert .A˝ 2 m C B˝b C kA/ cos ˝t C .mB˝ 2  A˝b C kB/ sin ˝t D FO1 cos ˝t C FO2 sin ˝t

(18.169)

Koeffizientenvergleich mit FO1 und FO2 ergibt: mA˝ 2 C bB˝ C kA D FO1 ;

(18.170)

mB˝ 2  bA˝ C kB D FO2 ;

(18.171)

Auflösen von (18.170) und (18.171) nach A und B FO1 .m˝ 2 C k/  b˝ FO2 .m˝ 2  k/FO1 C b˝ FO2 D  k 2  2km˝ 2 C m2 ˝ 4 C b 2 ˝ 2 .m˝ 2  k/2 C b 2 ˝ 2 FO1 b˝ C FO2 .m˝ 2 C k/ b˝ FO1 .m˝ 2  k/ C FO2 BD 2 D : 2 2 4 2 2 k  2km˝ C m ˝ C b ˝ .m˝ 2  k/2 C b 2 ˝ 2 AD

A und B in xp eingesetzt, ergibt die Lösung der Dgl.

372

18

Lösungen

Lösung 6.19 ˝Q 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

Q V1 .˝/ 1.5 1.9 2.3 2.7 3.2 3.25 3.0 2.7

Q ˛.˝/ 14° 20° 30° 40° 60° 90° 103° 115°

Lösung 6.20 Die Übertragungsfunktion vom Eingang FOe exp .j˝t/ zu dem Ausgang xO exp .j˝t/ ist H1 .j˝/ D

1 ; k  m˝ 2 C jb˝

(18.172)

vgl. (6.16). Die Übertragungsfunktion vom Eingang xO exp.j˝t/ zum Ausgang Aufhängelast erhält man mit FO exp.j˝t/ aus: F D kx C b xP (18.173) Einsetzen der Ansätze x D xe O j˝t und F D FO e j˝t liefert: FO D .k C j˝b/ xO D H2 .j˝/xO

(18.174)

mit der Übertragungsfunktion H2 .j˝/ D k C j˝b:

(18.175)

Die Übertragungsfunktion H.j˝/ erhält man durch ineinander einsetzen von FO D H2 .j˝/xO

und

xO D H1 .j˝/FOe als Produkt:

FO D H2 .j˝/H1 .j˝/FOe H.j˝/ D H2 .j˝/H1 .j˝/:

(18.176)

(18.177)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

373

In dimensionsloser Schreibweise ergibt sich die Übertragungsfunktion H.j˝/ D

1 C j˝2D!0 m k1 k C j˝b k D k  m˝ 2 C jb˝ k 1  ˝22 C j 2D!0 m 1 ˝ !0

k

1 C j 2D ˝Q D 1  ˝Q 2 C j 2D ˝Q und in der Schreibweise mit der Vergrößerungsfunktion p

1 C 4D 2 ˝Q 2 Q e j .˛1 ˛2 / ; H j ˝ D q

2 2 2 2 1  ˝Q C 4D ˝Q „ ƒ‚ …

;

(18.178)

(18.179)

Q V .˝/

mit tan ˛1 D tan ˛2 D

2D ˝Q ; 1 2D ˝Q

0  ˛1 < =2; (18.180)

; 0  ˛2 < : 1  ˝Q 2 Das Matlab® -Programm erzeugt die Vergrößerungsfunktion Abb. 18.39 und die Ortskurve des Frequenzgangs Abb. 18.40.

Abb. 18.39 Vergrößerungsfunktion

Abb. 18.40 Ortskurve des Frequenzgangs

374

18

Lösungen

Lösung 6.21 Aus (6.46) folgen mit Q D 1=˝Q für die angegebenen Abweichungen: jHu j D 1  Q 2 .1  2D 2 / D 0:97I

˛ D 2D Q D 0:087:

(18.181)

Q 2 D 0:087=.2D/:

(18.182)

also !0 D 0:184  ˝min :

(18.183)

Daraus ergeben sich

Q 1 D

p

0:03=.1  2D 2 /I

Die Bedingung Q 1 D Q 2 liefert D  0:236;

Q  0:184;

Lösung 6.22 Aus (6.48) folgen für die angegebenen Abweichungen: 2 .1  2D 2 / D 0:98I .  ˛/ D 2D ˝Q max < 0:052: jHuR j=!02 D 1  ˝Q max

(18.184)

Das Abklingverhalten wird durch die Einhüllende A  exp.ı  t/ mit ı D !0 D erfasst, vgl. Abb. 1.22 und Abschn. 5.3.2. Dann folgt für 2% D 0:02 und das angegebene Zeitintervall: (18.185) exp.ı  2N=˝max / D exp.D  2N=˝Q max / D 0:02: Logarithmieren liefert

D D ˝Q max =.2N /  ln 50:

(18.186)

Zu (geschätzt) D D 0:01 erhält man aus (18.184)1 ˝Q max D 0:141 und damit für N D 10 aus (18.186) D D 0:0088. Diese Dämpfung erfüllt alle Abklingbedingungen. Auch (18.184)2 ist erfüllt. Schließlich folgt aus ˝max =!0 < ˝Q max D 0:141 die Bedingung !0 > ˝max =0:141 D 7:09  ˝max . Lösung 6.23 Auswertung von (6.50): Ohne Beschränkung der Allgemeinheit setzen wir  D 0: Da ı.t/ außerhalb " < t < ", also außerhalb eines 2" breiten Intervalls um t D 0, identisch verschwindet, darf man (6.50) schreiben  für ı.t/ D 1=.2"/: Z1

Z" ı.t/dt D

1

Z" ı.t/dt D

"

"

ˇ 1 2" t ˇˇ" D dt D D1 ˇ 2" 2" " 2" ;

(18.187)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

375

 für ı.t/ D =.4"/  cos. t=.2"//: Z" "

 ı.t/dt D 4"

Z" "

ˇ t 1  2"  t ˇˇ" cos D .sin.=2/  sin.=2// D 1: dt D sin ˇ 2" 4"  2" " 2 (18.188)

Im Fall  ¤ 0 substituiert man ı.t  / ) ı.t  / mit t  D t  . Auswertung von (6.52) für f .t/ D bt 2 I b dimensionsloser fester Parameter, mit ı.t/ D 1=.2"/: Mit der Substitution t  D t  ; alsot D t  C , erhalten wir aus (6.52): Z1

Z1 f .t/ı.t  /dt D

1

1

D

1 2"

1 f .t C /ı.t /dt D 2" 



tZ D"



Z" "

b.t  C /2 ı.t  /dt  D

t  D"

f .t  C /dt  ˇt  D" b .t  C /3 ˇˇ ˇ 2" 3 t D"

(18.189)

b . C "/  .  "/ 2 3" b . 3 C 3" 2 C "2 ::/  . 3  3" 2 C "2 ::/ D 2 3" D b 2 C " : : : ! f ./ für " ! 0: 2

D

2

Auswertung von (6.52) für f .t/ D b cos !tI b; ! dimensionslose feste Parameter, ı.t/ D 1=.2"/: Analog zu (18.189) folgt Z1 1

1 f .t/ı.t  /dt D 2"

Z" "

ˇ b sin !.t  C / ˇˇt D" b cos !.t C /dt D ˇ 2" ! t D" 



sin !. C "/  sin !.  "/ 2 sin !" Db D ::: D b cos ! 2"! 2"! D b cos ! für " ! 0: (18.190) Die formalen Rechnungen sind stets umständlich. Allgemein veranschaulicht folgen die Aussagen aus der Stetigkeit von f .t/ mit dem zweiten Integral der ersten Zeile von (18.189) nach (18.187), (18.188) und Cauchys Mittelwertsatz der Integralrechnung. Lösung 6.24 Als Auslenkung hat die Stoßantwort h.t/R in der Regel die Dimension Länge. Da das 1 Integral (6.50) über die Delta-Funktion, 1 ı.t  /dt D 1, dimensionslos ist und

376

18

Lösungen

dim t D dim  D Zeit gilt, folgt dim ı.t/ D 1=Zeit. Die Dgl. (6.53) stellt für den Einmassenschwinger nach Abb. 6.14 eine Kräftebilanz dar. Also müssen für den Stoß dim.I  ı.t  // D Kraft und für den Kraftstoß I (engl. impulse) dim I D Kraft Zeit D Masse Geschwindigkeit gelten. Lösung 6.25 Wir legen den Nullpunkt der Zeitachse t auf den zuletzt erfolgten Stoß der Folge und betrachten die Schwingung x.t/ im Zeitintervall 0 < t < T . Weiter setzen wir x.t/ D PN nD0 xn .t/, wobei xn .t/ jeweils zum Zeitpunkt  D nT angestoßen sei. Aus (6.60) folgt 1 xn .t/ D m! 1 D m!

Zt

 IOı. C nT /e ı .t / sin !.t  /d 

nT " DnT Z C"

(18.191)

 IOı. C nT /e ı .t / sin !.t  /d 

DnT "

IO IO ı .t CnT / sin !.t C nT / D D e Im fexp..t C nT /g ; m! m! mit  D ı  C j!, Im f: : :g steht für den Imaginärteil der komplexen Größe in der Klammer. In komplexer Form lautetet x.t/: x.t/ D

N X

x n .t/ D

nD0

N N IO X .t CnT / IOe t X nT e D e : m! nD0 m! nD0

(18.192)

Die geometrische Reihe unter dem Summenzeichen lässt sich zusammenfassen: N X nD0

e nT D

1  q N C1 1q

mit q D e T

ˇ ˇ und jqj D ˇe T ˇ < 1;

wenn ı  > 0:

(18.193) Für N ! 1 folgt aus (18.192) durch Bilden des Imaginärteils – mit Derive – für 0 < t < T:

  IO e ı .T t / sin !.T  t/ C e ı T sin !t : (18.194)  x.t/ D m! 1  2e ı T cos !T C e 2ı T Die Schwingung x.t/ ist stetig, periodisch, x.t C T / D x.t/, und hat an den Stoßstellen Knicke, die Geschwindigkeit x.t/ P springt dort jeweils um IO=m aufwärts, vgl. (6.56).

18.6 Lösungen zu Kap. 6

377

Lösung 6.26 Mit F ./ D G folgt aus (6.60): 1 x.t/ D m! D

G m!

Zt D0 Zt

Ge ı

 .t /

sin !.t  /d  (18.195)

Im e .t / d 

mit

 D ı  C j!:

D0

Nebenrechnung: Zt

e .t / d  D 

1  e t I 

D0

   1  e t ! ı  t ! cos !t C ı sin !t  e I Im  D 2  ı C !2 ı 2 C ! 2 ı 2 C ! 2 D !02 D k=m;

(18.196)

s. Kap. 5.

Damit folgt aus (18.195) x.t/ D

G G ı t .cos !t C ı  =!  sin !t/:  e k k

(18.197)

Die Bewegung x.t/ setzt sich aus der statischen Absenkung G=k und einer abklingenden Eigenschwingung um diese Gleichgewichtslage zusammen. Bei geringer Dämpfung schlägt das System bei !t   mit cos !t  1 auf nahezu die doppelte statische Absenkung aus. Lösung 6.27 Für 0  t  T1 können wir x.t/ aus Lösung 6.26 mit G ) Fc übernehmen: x.t/ D

Fc Fc ı t .cos !t C ı  =!  sin !t/:  e k k

(18.198)

Daraus folgen für t D T1 : Fc Fc ı T1 .cos !T1 C ı  =!  sin !T1 / und  e k k Fc ı T1 WD x.T P 1/ D sin !T1 : e m!

xT1 WD x.T1 / D vT1

(18.199)

Für t T1 führt das System freie Schwingungen mit .xT1 ; vT1 / als Anfangsbedingungen aus. Zählt man für t T1 die Zeit mit t1 D t  T1 , so gilt für die freie Schwingung x1 .t1 /

378

18

Lösungen

für t1 0 nach (5.27) x1 .t1 / D e ı

t

1

  vT C ı  xT1 sin !t1 : xT1 cos !t1 C 1 !

(18.200)

Hier wird man .xT1 ; vT1 / aus (18.199) hier einsetzen. Man kann jedoch der Bewegung x.t/ nach (18.198) für t T1 auch die Wirkung einer negativen Kraft Fe .t/ D Fc überlagern. Diese zu überlagernde Bewegung folgt aus (18.198) mit Fc ) Fc und t ) t  T1 zu x.t  T1 / D 

Fc Fc ı .t T1 / .cos !.t  T1 / C ı  =!  sin !.t  T1 //: C e k k

(18.201)

Wir nennen die Summe (wieder) x1 .t/, wobei wir die Zeit t ab t D 0 zählen, jedoch gilt x1 .t/ erst ab t D T1 : x1 .t/ D x.t/  x.t  T1 /   Fc ı t  ı T1 e cos !.t  T1 /  cos !t C ı  =!  e ı T1 sin !.t  T1 /  sin !t : e D k (18.202) Oder, mit t1 D t  T1 und t1 0: x1 .t1 /  Fc ı t1    cos !.t  T1 /  e ı T1 cos !t C ı  =!  sin !.t  T1 /  e ı T1 sin !t e D k (18.203) Insgesamt ergibt sich die in Abb. 18.41 dargestellte Auslenkung. Abb. 18.41 Zeitverlauf, Parameter siehe Matlab® Programm

Lösung 6.28 Für 0  t  T1 arbeiten wir mit der reellen Bewegungsgleichung (vgl. (6.9)) xR C 2D!0 xP C !02 x D

Fe m

mit Fe D

t Fc T1

(18.204)

18.6 Lösungen zu Kap. 6

379

und setzen x.t/ D xh .t/ C xp .t/ aus der Lösung (5.26) der homogenen Dgl., xh D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/

(18.205)

und einer Partikularlösung xp .t/, die die inhomogene Dgl. erfüllt, zusammen. Dazu machen wir einen Ansatz „vom Typ der rechten Seite“, das ist hier das (sehr einfache) Polynom t=T1 . Mit den freien Konstanten a; b setzen wir an xp D a C bt. Damit folgt aus (18.204) xR p C 2D!0 xP p C !02 xp ) 0 C 2D!0 b C !02 .a C bt/ D

t Fc : mT1

(18.206)

Koeffizientenvergleich liefert: 2D!0 b C !02 a D 0 und !02 b D Fc =.mT1 /; also

b D Fc =.kT1 / und a D 2DFc =.k!0 T1 /:

(18.207)

Damit lautete die allgemeine Lösung von (18.204): x.t/ D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/ C

Fc k



t 2D  T1 ! 0 T1

 :

(18.208)

Zu den Anfangsbedingungen x.0/ D 0; x.0/ P D 0 erhalten wir durch Anpassen von Ac ; As die Lösung

Fc 1 ıt Fc 2D Fc t  e sin !t  1  e ıt .cos !t C ı=!  sin !t/ : k T1 k !T1 k ! 0 T1 (18.209) P 1 / zur Zeit t D T1 : Auslenkung xT1 D x.T1 / und Geschwindigkeit vT1 D x.T x.t/ D

xT1 D x.T1 /

Fc 2D Fc Fc 1 ıT1 e sin !T1  1  e ıT1 .cos !T1 C ı=!  sin !T1 / ;  D k k !T1 k ! 0 T1 P 1/ vT1 D x.T Fc ıT1 Fc .cos !T1 C ı=!  sin !T1 / :  e D T1 k T1 k (18.210) Für t D T1 C t1 und t1 0 führt das System Eigenschwingungen x1 .t1 / gemäß (5.27) mit den Anfangsbedingungen x1 .0/ D xT1 ; xP 1 .0/ D vT1 um den unbelasteten Zustand aus, vgl. Abb. 18.42.

380

18

Lösungen

Abb. 18.42 Zeitverlauf, Parameter siehe Matlab® -Programm

Lösung 6.29 Das „Duhamel Integral“ (6.60) lautet 1 x.t/ D m!

Zt F ./e

ı  .t /

Zt sin !.t  /d ;

allgemein x.t/ D

tA

F ./h.t  /d : tA

(18.211) Darin wird, wie in Abb. 6.15 veranschaulicht, die Auslenkung x.t/ in der „Gegenwart“ t aus den „Nachwirkungen“ .F ./h.t  / / des „Einflusses“ – des Kraftstoßes – .F ./ / aus der „Vergangenheit“ .< t/ zusammengesetzt (aufsummiert). Mit der Substitution  D t   folgt aus (18.211)2 ZDt x.t/ D

Z D0 F ./h.t  /d  D 

F .t   /h. /d

 Dt tA

DtA  Dt Z tA

tZtA

F .t   /h. /d D

D  D0

(18.212)

F .t   /h. /d; 0

dabei gilt t  tA > 0. Hier werden für die „Gegenwart“ t „rückblickend“, aus der „Distanz“  , die „(Nach)Wirkungen“ .F .t   /h. /  / des „Einflusses“ – des Kraftstoßes – .F .t   /  / summiert. In beiden Sichtweisen könnte man noch die „Stoßantwort“ h.t/ nach (6.53) hervorheben.

18.7

Lösungen zu Kap. 7

381

18.7 Lösungen zu Kap. 7 Lösung 7.1 Mit den Definitionsgleichungen (6.32): q Q D 1= .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 V1 .˝/ und (7.9):

q Q D ˝Q 2 = .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 V3 .˝/

folgen durch algebraische Umformungen q Q D 1= .1  1=˝Q 2 /2 C 4D 2 =˝Q 2 V1 .1=˝/ q  D 1= .˝Q 2  1/2 C 4D 2 ˝Q 2 =˝Q 4 q 2 Q D ˝ = .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 Q D ˝Q 2 V1 .˝/ Q D V3 .˝/: Lösung 7.2 Bezogen auf 2rms =m, vgl. (7.11), folgt aus (7.8) zur Erregerkraft-Amplitude fOcn die komplexe Amplitude xOQ n mit dem Phasen(verschiebungs)winkel ˛n zu q xOQ n D fOcn ˝Q 2 e j˛n = .1  n2 ˝Q 2 /2 C 4D 2 n2 ˝Q 2 ; Q  n2 ˝Q 2 /; tan ˛n D 2Dn˝=.1

2 0  ˛n < ;

(18.213)

Q nach (7.9): reell, mitV3 .˝/ Q xOQ n D fOcn V3 .˝/;

Q tan ˛n D 2Dn˝=.1  n2 ˝Q 2 /;

0  ˛n < :

(18.214)

Um die Amplituden xOQ n und die Phasenwinkel ˛n in Zusammenhang mit Abb. 7.2 diskutieren zu können (vgl. auch Aufgabe 7.4), wählen wir die dort gesetzten Parameter, nämlich D D 0:05, die vier nicht verschwindenden Erregeramplituden fO mit den Ordnungen n der Q zusamHarmonischen – vgl. Abb. 4.9 und (4.23) – sowie die sechs Erregerfrequenzen ˝, O Q mengefasst in den elementweise mit fi ; ni ; ˝i ;i D 1; 2; : : : laufend durchnummerierten Zeilenmatrizen fO D .fOc1 ; fOc2 ; fOc4 ; fOc6 / D .2:0; 0:426; 0:0097; 0:00023/; Q D .0:45; 0:5; 0:6; 0:9; 1:0; 2:0/: n D .1; 2; 4; 6/; ˝

(18.215)

382

18

Lösungen

Tab. 18.3 Bezogene Auslenkungen und Phasenwinkel für verschiedene Erregerkreisfrequenzen 0 0.4500 0.5000 0.6000 0.9000 1.0000 2.0000 ˝Q OxQ 1 2.0000 0.5070 0.6652 1.1201 7.7056 20.0000 2.6608 ˛1 xOQ 2 ˛2 xOQ 4 ˛4 xOQ 6 ˛6

2.0000 0.4260 0.4260 0.0097 0.0097 0.0002 0.0002

0.0564 0.4103 0.4424 0.0009 3.0614 0.0000 3.0987

0.0666 1.0650 1.5708 0.0008 3.0750 0.0000 3.1041

0.0935 0.3363 2.8753 0.0007 3.0912 0.0000 3.1115

0.4424 0.1535 3.0614 0.0007 3.1115 0.0000 3.1224

1.5708 0.1417 3.0750 0.0006 3.1149 0.0000 3.1245

3.0750 0.1136 3.1149 0.0006 3.1289 0.0000 3.1332

Lösung 7.3 Für die bezogene Schwingung x.'/ Q D xp .'/=.2rms =m/, vgl. (7.11), wird Matlab-Code (Druckanweisungen) dem Matlab-Programm Aufg7_2.m angehängt. Die Parameter zu Abb. 7.2 werden übernommen. Die beiden mittleren nebeneinander stehenden Diagramme von Abb. 7.2 zeigen die gesuchten Funktionsverläufe xQ und f bzw. x=2 Q und f . Q Bei ˝ D 1, im rechten Diagramm, liegt die Resonanzüberhöhung der Grundschwingung von x.'/ Q bei V3 D 1=2D D 10; esgiltfOc1 D 2:0, der Phasenwinkel, ein Nacheilwinkel, liegt bei ˛1 D =2, vgl. Tab. 18.3. Die Oberschwingungen kommen bei xQ kaum zur Geltung, wieder Tab. 18.3, während f in der Umgebung des positiven Extremums durch die zweite Harmonische gespitzt, beim negativen abgeflacht wird. Bei ˝Q D 0:5, linkes Diagramm, herrscht Resonanz mit der zweiten Harmonischen Q in der Erregung, Überhöhung V3 D 0:52 =2D D 2:5, es gilt fOc2 D 0:426, x-Amplitude Tab. 18.3. Die Wirkung der starken Grundschwingung der Erregung ist in x.'/ Q deutlich zu erkennen, vgl. Tab. 18.3. Bei Erregungen mit mehreren Frequenzen, müssen die einzelnen Harmonischen je für sich auf Resonanz untersucht und bewertet werden. Lösung 7.4 Zusammen mit Tab. 18.3 lassen sich für die Grundschwingung die Phasenwinkel leicht verifizieren. Bei der zweiten Harmonischen sind sie schwerer zu erkennen, weil sie sich in f .'/ nur als Spitzung und Abflachung ausdrückt, man braucht Zusatzskizzen. Die höheren Harmonischen haben zu kleine Amplituden. Lösung 7.5 p Q j˛ .1 C 2Dj ˝/e 1 C 2Dj ˝Q Dq D 1 C 4D 2 ˝Q 2 e jˇ V1 e j˛ 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

18.7

Lösungen zu Kap. 7

383

Formel (6.36) e j˛ Dq 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 p Q 1 e j˛ D 1 C 4D 2 ˝Q 2 e jˇ V1 e j˛ D .1 C 2Dj ˝/V

Q D HQ .j ˝/ 1 C 2Dj ˝Q 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

1

p 1 C 4D 2 ˝Q 2

Dq e„jˇƒ‚ e j˛ … 2 2 2 2 Q Q .1  ˝ / C 4D ˝ ej˛2

mit ˛2 D ˇ C ˛

Lösung 7.6 Q am Punkt P die Dämpfung D herausheben, sich in (7.22) der Dazu muss sich aus V2 .˝/ D 1 – bei Zähler also gegen den Nenner kürzen. Das ist bei ˝Q D 0 und – wegen .1  2/2p 2 Q Q ˝ D 2 der Fall. In den beiden Diagrammen liegt der Punkt P also bei ˝P D 2. Mit Hilfe der Drehzeiger nach (7.12) und (7.15) für u; x bzw. F kann man die Beziehungen (7.18) und (7.19) in Zeigerdiagrammen veranschaulichen; vgl. Abschn. 6.2.2, p Abb. 6.5. Für den hier betrachteten Sonderfall ˝Q D ˝Q P D 2 folgen aus (7.18) bzw. (7.19) durch Umstellen p p .1 C 2 2Dj /xO D .1 C 2 2Dj /uO (18.216) p p und .1 C 2 2Dj /FO D .1 C 2 2Dj /2.k u/: O Die Abb. 18.43 zeigt das zu (18.216)1 gehörende Zeigerdiagramm. Dabei wurde der Zeiger uO auf die reelle Achse gelegt und das Dämpfungsmaß D der deutlichen Darstellung halber übertrieben groß angenommen. Abb. 18.43 Zeigerdiagramm

Man erkennt leicht, dass sich am Punkt P bei Variation von D nur die Phase des Zeigers xO aber nicht sein Betrag ändert. Das Zeigerdiagramm für (18.216)2 kann man auf Abb. 18.43 zurückführen, in dem man dort xO ! FO und uO ! 2k uO setzt.

384

18

Lösungen

Lösung 7.7 Q leichDer Umschlag lässt sich für die Kraft FO , also die Vergrößerungsfunktion ˝Q 2 V2 .˝/, Q ter veranschaulichen als für die Auslenkung x; O also die Vergrößerungsfunktion V2 .˝/I siehe (7.18)ff. Ohne größere Rechnung folgt: Links von P , noch in der Nähe der Resonanzstelle ˝Q  1, erfasst FO die Wirkung der Trägheitskräfte infolge der großen Maschinenauslenkungen, die mit steigendem D abnehmen. Rechts von P , bei Frequenzen ˝Q  1; wirkt der Maschinensatz wie eine seismische Masse, vgl. Abschn. 6.2.5. Die Bodenplatte schwingt dann gegen die „ruhende“ Maschine, die Kraft FO enthält nun (im Wesentlichen) einen Feder- und einen Dämpferanteil, wobei letzterer mit D und ˝Q wächst, vgl. Abb. 7.5. Wenn man die Wirkungsrichtung von D an Hand von (7.17) verfolgt, wird man dort, entsprechend den voranstehenden Überlegungen, die indirekte Wirkung der Bodenauslenkung u, O nämlich über xO nach (7.18) und mit k D m!02 , nicht, wie in (7.19), mit der direkten Wirkung auf einen gemeinsamen Nenner bringen, sondern getrennt belassen: Q xO  .1 C 2Dj ˝/k Q uO FO D .1 C 2Dj ˝/k Q 2 .1 C 2Dj ˝/ Q u: D .m!02 /uO  .1 C 2Dj ˝/k O 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q

(18.217)

Unweit oberhalb der Resonanzstelle ˝Q D 1 dominiert rechts das erste Glied, ist dort näherungsweise proportional zu 1=D, fällt also mit steigendem D. p Q z. B. ˝Q > ˝Q P D 2, dividieren wir in (18.217) am Für große Erregerfrequenzen ˝, Bruchstrich Zähler und Nenner durch ˝Q 2 und erhalten: FO D 

.1=˝Q C 2Dj /2 Q u: .m!02 /uO  .1 C 2Dj ˝/k O 1  1=˝Q 2  2Dj=˝Q

(18.218)

Lösung 7.8 Q nach (7.22) lautet Die in Abb. 7.3 dargestellte Vergrößerungsfunktion V2 .˝/ p 1 C 4D 2 ˝Q 2 Q Dq : V2 .˝/ .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 Am Extremum verschwindet die Ableitung

2˝Q 1  ˝Q 2  2D 2 ˝Q 4 dV2 Dp

3=2 ; d ˝Q 1 C 4D 2 ˝Q 2 .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

also



2˝Q 1  ˝Q 2  2D 2 ˝Q 4 D 0:

(18.219) Von den fünf Nullstellen sind zwei imaginär und eine negativ. Es verbleiben ˝Q 4 D 0 und r p p .8D 2 C 1  1 4D 2  8D 4 C 32D 6 ˝Q 5 D  (18.220) 2D 2D p D 1  2D 2 C 8D 4  1  D 2 C 7D 4 =2:

18.7

Lösungen zu Kap. 7

385

Q von rechts horizontal in den Nullpunkt. Sein Extremum liegt Bei ˝Q 1 D 0 mündet V2 .˝/ 2 4 mit ˝Q 5  1  D C 7D =2 etwas unterhalb von ˝ D !0 . Q dargestellt. Jetzt lautet die Ableitung In Abb. 7.5 ist ˝Q 2 V2 .˝/

2˝Q 1  ˝Q 2 .1  8D 2 /  ˝Q 4 8D 2 .1  2D 2 / C ˝Q 6 2D 2 d.˝Q 2 V2 / : D p

3=2 d ˝Q 1 C 4D 2 ˝Q 2 .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2

(18.221)

Der Zähler auf der rechten Seite verschwindet für ˝Q 1 D 0 sowie für die sechs Nullstellen von (18.222) 1  ˝Q 2 .1  8D 2 /  ˝Q 4 8D 2 .1  2D 2 / C ˝Q 6 2D 2 D 0: Nach der Vorzeichenregel von Descartes hat ein nach steigenden Potenzen geordnetes Polynom so viele positive Wurzeln wie Vorzeichenwechsel – hier zwei – oder eine gerade Anzahl weniger. Da eine Wurzel (in der Nähe von 1) offensichtlich ist, müssen es zwei sein. Um Näherungslösungen für kleine D zu gewinnen, setzen wir ˝Q 2 D  und D 2 D " und erhalten aus (18.222) 2" 3  8" 2 .1  2"/   .1  8"/ C 1 D 0:

(18.223)

Für eine Lösung in der Nähe von  D 1setzen wir an  D 1Ca" und erhalten aus (18.223) nach Division durch ".¤ 0/ 2a3 "3  2a2 "2 .1  8"/  a.1 C 2"  32"2 / C 16" C 2 D 0:

(18.224)

Um diese Gleichung für kleines " iterativ zu lösen, addieren wir auf beiden Seiten a und vertauschen sie: a D 2a3 "3  2a2 "2 .1  8"/  2a".1  16"/ C 16" C 2:

(18.225)

Für " D 0 erhalten wir in nullter Näherung: a0 D 2: Setzt man dies rechts ein a1 D 2a03 "3  2a02 "2 .1  8"/  2a0 ".1  16"/ C 16" C 2;

(18.226)

berücksichtigt Glieder bis "1 ; so folgt: a1 D 2 C 16"  4" D 2 C 12"I

(18.227)

man kann allgemein fortsetzen: akC1 D 2ak3 "3  2ak2 "2 .1  8"/  2ak ".1  16"/ C 16" C 2:

(18.228)

386

18

Lösungen

Rück-Einsetzen von a1 in obige Transformationen liefert: ˝Q 2 D

p



p

1 C a1 " D

p 1 C .2 C 12"/"  1 C D 2 C : : :

(18.229)

Das Extremum liegt jetzt etwas oberhalb von ˝ D !0 . Die zweite positive Wurzel kann man, versuchsweise ausgehend von 8"02  0 C 1 D 0, an Hand von (18.223) ähnlich wie soeben untersuchen; schneller geht’s heute numerisch. Lösung 7.9 Das zugehörige Matlab® -Programm erzeugt entsprechend (7.30) das Linienspektrum Abb. 18.44.

Abb. 18.44 Linienspektrum von F .t /, siehe Matlab® -Programm

Lösung 7.10 Der Verlauf von F .t/ Abb. 18.45 wird mit zugehörigem Matlab® -Programm berechnet.

Abb. 18.45 Verlauf F .t /

18.8 Lösungen zu Kap. 8

387

Lösung 7.11 Die erzwungenen Schwingungen der Exzenterpressen werden gemäß (7.10) mit (

fOc2

ms O fc1 V3 ˝Q cos ˝t  ˛ ˝Q C 2 V3 2˝Q cos ˝t  ˛ 2˝Q xp .t/ D 2r m 2 )

fOc4 Q C 2 V3 4˝ cos ˝t  ˛ 4˝Q C : : : 4 (18.230) angegeben. Die Exzenterpresse wirkt gemäß (7.31) auf den Boden mit der Kraft F .t/ D r



ms k fOc1 ˝Q 2 V2 ˝Q cos ˝t  ˛2 ˝Q m 2

1 C 2 fOc2 2˝Q V2 2˝Q cos 2˝t  ˛2 2˝Q 2  2

1 C 2 fOc4 4˝Q V2 4˝Q cos 4˝t  ˛2 4˝Q C : : : : 4

(18.231)

Damit die Auslenkung und die Bodenkraft klein werden, muss die Gesamtmasse m möglichst groß und die Federsteifigkeit k möglichst klein sein. Die Eigenfrequenz r k (18.232) !0 D m muss daher möglichst klein gewählt werden. Die Exzenterpressen müssen daher oberhalb der Resonanz (überkritisch) betrieben werden. Eine zu geringe Federsteifigkeit k führt zu großen statischen Absenkungen xstat D

mg : k

(18.233)

Dies ist konstruktiv zu vermeiden. Weiterhin führt ein Betrieb weit oberhalb der Eigenfrequenz zu größer werdenden Bodenkräften. Auch dies ist zu vermeiden, da Maschinenfundamente nur eine begrenzte Tragfähigkeit aufweisen.

18.8

Lösungen zu Kap. 8

Lösung 8.1 Ausgangspunkt ist die allgemeine Lösung x.t/ D xh .t/Cxp .t/ der Dgl. (8.1) in der Form (8.4) (18.234) x.t/ D e ıt .Ac cos !t C As sin !t/ C xp .t/;

388

18

Lösungen

abgeleitet: x.t/ P D e ıt ..As !  Ac ı/ cos !t  .As ı C Ac !/ sin !t/ C xP p .t/:

(18.235)

Vorgegebene Anfangsbedingungen (8.5): xh .t0 / C xp .t0 / D x0 ; xP h .t0 / C xP p .t0 / D v0 :

(18.236)

Einsetzen von (18.234) und (18.235) in (18.236) liefert: e ıt0 .Ac cos !t0 C As sin !t0 / C xp .t0 / D x0 ; e ıt0 ..As !  Ac ı/ cos !t0  .As ı C Ac !/ sin !t0 / C xP p .t0 / D v0 :

(18.237)

Die Lösung der beiden linearen Gleichungen für Ac ; As Ac cos !t0 C As sin !t0 D e ıt0 .x0  xp .t0 // Ac .ı cos !t0  ! sin !t0 / C As .! cos !t0  ı sin !t0 / D e ıt0 .v0  xP p .t0 //

(18.238)

lautet



Ac D e ıt0 =! !.x0  xp .t0 // cos !t0  ı.x0  xp .t0 // C .v0  xP p .t0 // sin !t0 ;

As D e ıt0 =! ı.x0  xp .t0 // C .v0  xP p .t0 // cos !t0 C !.x0  xp .t0 // sin !t0 : (18.239) Einsetzen dieser Ausdrücke für Ac ; As in (18.234) und Zusammenfassen der sin-cosTerme gemäß den Additionstheoremen liefert (8.6).

Lösung 8.2 Ausgangspunkt ist nun die allgemeine Lösung der Dgl. (8.1) in der Form x.t/ D e ı.t t0 / .Ac cos !.t  t0 / C As sin !.t  t0 // C xp .t/;

(18.240)

abgeleitet:



As !  Ac ı cos !.t  t0 /  As ı C Ac ! sin !.t  t0 / C xP p .t/I (18.241) dabei unterscheiden sich Ac und As von Ac und As in Aufgabe 8.1. Die vorgegebenen Anfangsbedingungen (8.5) werden unmittelbar in (18.240), (18.241) eingesetzt. Mit e ı.t0 t0 / D 1; cos !.t0  t0 / D 1; sin !.t0  t0 / D 0 folgen: x.t/ P D e ı.t t0 /



x.t0 / D Ac C xp .t0 / D x0 ;

(18.242)

x.t P 0 / D .As !  Ac ı/ C xP p .t0 / D v0 :

(18.243)

Die Lösungen parallel zu (5.27) liest man einfach ab:

P 0 // =!: Ac D x0  xp .t0 /; As D ı  .x0  xp .t0 // C .v0  x.t Man erhält aus (18.240) mit (18.244) direkt (8.6).

(18.244)

18.8 Lösungen zu Kap. 8

389

Lösung 8.3 Unter den getroffenen Annahmen folgen aus (4.26), (4.27) die Bewegungsgleichung mxR C b xP C kx D G;

(18.245)

vgl. (6.1) und (8.1) mit Fe .t/ D mg D G und die Anfangsbedingungen x.0/ D x0 D 0;

x.0/ P D v0 D 0:

(18.246)

1. Form: Die Lösung mit Hilfe des Faltungsintegrals kann man aus Lösung 6.26 unmittelbar übernehmen. 2. Form: Zusammensetzen der Lösung gemäß (8.3): x.t/ D xh .t/ C xp .t/. Um (8.6) oder die Lösungen der Aufgaben 8.1, 8.2 anzuwenden, benötigen wir zuerst das Partikularintegral xp .t/. Aus (18.245) folgt dafür mxR p C b xP p C kxp D G:

(18.247)

Die Rechte Seite ist hier vom Typ Konstante. Demgemäß folgt aus (18.246) die statische Absenkung (18.248) xp D G=k und xP p D 0: Die den Anfangsbedingungen (18.246) angepasste Lösung (8.6) lautet dann x D x.t/ D

  G G ıt ı  e cos !t C sin !t : k k !

(18.249)

Die Presse führt abklingende Eigenschwingungen um die statische Absenkung aus. Lösung 8.4 Die Bewegung x.t/ setzt sich nun aus zwei Teilen zusammen. Als Bezugslage wird beide Male die Ausgangslage gewählt! Im ersten Teil, während des Zeitintervalls 0  t  tF ; tF Falldauer, fallen die Pressen frei aus der Ausgangslage x1 D 0 auf die Federn. Für x1 .t/ gilt die Bewegungsgleichung (18.245) mit b D 0; k D 0: mxR 1 D mg

oder xR 1 D g:

(18.250)

Anfangsbedingungen: x1 .0/ D x10 D 0;

xP 1 .0/ D v10 D 0:

(18.251)

390

18

Lösungen

Bei schematischem Lösungsvorgehen: Ansatz vom Typ der rechten Seite (hier „Polynom“!), x1 .t/ D a1 C b1 t C c1 t 2 ;

(18.252)

liefert nach Einsetzen in (18.250)2: a1 ; b1 frei c1 D g=2; an Anfangsbedingungen (18.251) angepasst (18.253) x1 .t/ D gt 2 =2: Falldauer und Endgeschwindigkeit aus p p h D gtF2 =2W tF D 2h=gI vF D xP 1 .tF / D gtF D 2gh:

(18.254)

Zweiter Teil: Ab t D tF und für x2 h wird die Federabstützung zusammengepresst. Dann gilt für x2 .t/ die Bewegungsgleichung mxR 2 C b xP 2 C k.x2  h/ D G;

umgestellt: mxR 2 C b xP 2 C kx2 D G C kh; (18.255)

mit den Anfangsbedingungen x2 .tF / D x2F D h;

xP 2 .tF / D v2F D vF D

p 2gh:

(18.256)

Die Dgl. (18.255)2 hat die Partikularlösung x2p D .G C kh/=k D G=k C h; xP 2p D 0:

(18.257)

Nach (8.6) erhält man G  e ı.t tF / x2 .t/ D h C k "

# p 2gh C ı  .G=k C h  h/  .G=k C h  h/ cos !.t  tF /  sin !.t  tF / ! # " p 2gh  ı  G=k G G DhC  e ı.t tF /  cos !.t  tF /  sin !.t  tF / : k k !

(18.258) Bei numerischer Auswertung muss überprüft werden, ob bei (zu) großen Spaltweiten h der Fall x2 .t/ < h auftritt. Die Pressen würden dann ein- oder auch ein paarmal auf den Federn springen, was in der Lösung (18.258) nicht berücksichtigt ist. Lösung 8.5 Beim Faltungsintegral (6.60) soll der Integrand wenigstens stückweise stetig sein. P A / D 0 hineinIn das Faltungsintegral wurden die Anfangsbedingungen x.tA / D 0; x.t gesteckt. Es eignet sich also nicht zum Gewinnen einer stationären Lösung, zum Beispiel bei verwickelter aufgebauter periodischer Anregung, etwa Fe .t/ D 1=.2sin ˝t/. Formal könnte man tA ! 1 setzen, dann wäre, bei ı  > 0, die Wirkung der Anfangsbedingungen formal abgeklungen.

18.8 Lösungen zu Kap. 8

391

Lösung 8.6 Zum gegebenen Anfangszustand x0 D 0; v0 D 0 setzt sich unmittelbar nach dem Aufschalten der Erregung zum Zeitpunkt t  die Schwingung x.t/ gemäß (8.7) wie folgt zusammen: x.t/ D 1=!  e ı.t t

/

  !xp0 cos !.t  t  /  .xP p0  ıxp0 / sin !.t  t  /

Q cos.˝t  ˛/; C FOe =k  V1 .˝/

(18.259)

mit, vgl. (8.7), Q cos.˝t   ˛/; xp0 D FOe =k  V1 .˝/

Q sin.˝t   ˛/: (18.260) xP p0 D ˝ FOe =k  V1 .˝/

p Der Eigenschwingungsanteil von (18.259) lautet dann mit ı D D!0 , ! D !0 1  D 2 , Q 0: ˝ D ˝!  1 ı.t t  /  !xp0 cos !.t  t  /  .xP p0  ı  xp0 / sin !.t  t  / e ! h p Q FOe V1 .˝/  D p  e ı.t t /  1  D 2  cos.˝t   ˛/  cos !.t  t  / k 1  D2 i

C D  cos.˝t   ˛/ C ˝Q sin.˝t   ˛/  sin !.t  t  / Q FOe V1 .˝/   e ı.t t / f .t/: DW p k 1  D2

(18.261) Bei nicht zu großer Dämpfung, 0  D < 1, erfasst die in der eckigen Klammer stehende Funktion f .t/ die Größe der freien Schwingung. Man kann sie phasenverschoben schreiben: p f .t  / D fO sin .!.t  t  /  / ; mit fO sin  D 1  D 2 cos.˝t   ˛/; (18.262) fO cos  D D cos.˝t   ˛/ C ˝Q sin.˝t   ˛/: Aus (18.262) folgen q cos2 .˝t   ˛/ C 2D ˝Q sin.˝t   ˛/ cos.˝t   ˛/ C ˝Q 2 sin2 .˝t   ˛/ q D .1 C ˝Q 2 /=2 C D ˝Q  sin 2.˝t   ˛/ C .1  ˝Q 2 /=2  cos 2.˝t   ˛/ (18.263)

fO D

p

und tan  D

1  D 2 cos.˝t   ˛/ : D cos.˝t   ˛/ C ˝Q sin.˝t   ˛/

(18.264)

In (18.264) muss der Quadrant von  so gewählt werden, dass beide Gln. (18.262) mit den richtigen Vorzeichen erfüllt sind.

392

18

Lösungen

Die beiden trigonometrischen Funktionen im Radikanden R von (18.263)2 lassen sich abermals mit Hilfe eines Verschiebungswinkels # zusammenfassen: R D R1 C R2 sin .2.˝t   ˛/ C #/

D .1 C ˝Q 2 /=2 C D ˝Q  sin 2.˝t   ˛/ C .1  ˝Q 2 /=2  cos 2.˝t   ˛/ : (18.265) 2 Q Q (18.266) R2 cos # D D ˝; R2 sin # D .1  ˝ /=2; q 1  ˝Q 2 1 tan # D mit  =2 < #  =2 und R2 D .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 ; 2 2D ˝Q (18.267)   q 1 2  1 C ˝Q C .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 sin .2.˝t  ˛/ C #/ : (18.268) RD 2 Vergleich von (18.267)1 mit (6.28) zeigt # D =2  ˛: Damit folgt aus (18.268): RD

  q 1 1 C ˝Q 2 C .1  ˝Q 2 /2 C 4D 2 ˝Q 2 cos.2˝t   3˛/ : 2

(18.269)

Diskussion der Lösung: Wir betrachten zuerst den Fall verschwindender Dämpfung, D ! 0: Aus (18.267)1 und (6.28) folgen für ˝Q < 1 die Verschiebungswinkel # D =2 und ˛ D 0, damit aus (18.269), vgl. auch (18.266), RD

1 1 C ˝Q 2 C .1  ˝Q 2 /  cos 2˝t  : 2

(18.270)

Der Radikand R wird klein für cos 2˝t  D 1, also bei .˝t  / D =2 und .˝t  / D 3=2. Dort, bei den Nullstellen der Erregerkraft Fe D FOe cos ˝t, gilt R D ˝Q 2  1. Für ˝Q > 1 gelten die Verschiebungswinkel ˛ D  und # D =2, damit folgt aus (18.269), vgl. auch (18.266), RD

1 1 C ˝Q 2  .˝Q 2  1/  cos 2˝t  : 2

(18.271)

Der Radikand R wird jetzt klein für cos 2˝t  D C1, also bei .˝t  / D 0 und .˝t  / D . Dort, bei den Nullstellen der Zeitableitung der Erregerkraft gilt R D 1. Für ˝Q D 1 und D > 0 erhält man ˛ D =2 und # D 0, und aus (18.269) R D 1 C D cos.2˝t   3=2/ D 1  D

(18.272)

also .2˝t   3=2/ D , äquivalent den Nullstellen .˝t  / D =4 und .˝t  / D 5=4.

18.8 Lösungen zu Kap. 8

393

Lösung 8.7 Zum Beispiel folgt im Fall verschwindender Dämpfung, D ! 0, und für ˝Q < 1 nach (18.270) der Radikand R zu RD

1 1 C ˝Q 2 C .1  ˝Q 2 /  cos 2˝t  : 2

(18.273)

Er wird groß wenn cos 2˝t  D C1, also bei .˝t  / D 0 und .˝t  / D . Dort, bei den Extrema der Erregerkraft Fe D FOe cos ˝t, gilt R D 1 ˝Q 2 . Lösung 8.8 Die Lösung dieser Aufgabe kann man auf die Lösung 8.6 zurückführen: Aus (8.6) folgt mit xp .t/ 0, dass in den Anfangsauslenkungen gegenüber (18.260) gerade die Vorzeichen umgekehrt werden müssen. Das erreicht man durch Verschieben der Zeitpunkte .˝t  / aus der Lösung zu Aufgabe 8.6 um eine halbe Erregerperiode: .˝t  /8:8 D .˝t  /8:6 ˙ :

(18.274)

Lösung 8.9 OQ tQ/e j˛.tQ/ , Die beiden zu lösenden gekoppelten Dgln. (8.17) und (8.22) lauten mit XQ D x. OQ ˛ reell, xOQ > 0, x,  Q ıı C 2 .D C j' ı / XQ ı C 1  ' ı2 C 2Dj' ı C j' ıı XQ D 1: ' ıı D ˝Q ı D ". Q tQ/ und X (18.275) Das Dgl.-System ist von der vierten Ordnung, also braucht man vier Anfangsbedingungen. Q ofBei Anfahrt aus dem Stillstand sind die Bedingungen '0 D '.0/ D 0, ˝Q 0 D ˝.0/ Q Q fensichtlich. Die (komplexe) Anfangsauslenkung X 0 D X.0/ D 1 erfüllt die Bewegungsgleichung (18.275)2 als Gleichgewichtsbedingung (im Stillstand belastet die Kraft FOe den ı ı Schwinger statisch). Die (komplexe) Anfangsgeschwindigkeit XQ 0 D XQ 0 .0/ D 0 ist OQ tQ/e j˛.tQ/ mit der Bedingung xOQ > 0 plausibel, doch fragt sich, wie weit sie in XQ D x. Q j˛. t / OQ tQ/e nach tQ ergibt verträglich ist. Ableiten von XQ D x.  ı OQ tQ/e j˛.tQ/ D xQO ı .tQ/  j˛ ı .tQ/x. OQ tQ/ e j˛.tQ/ : XQ .tQ/ D xOQ ı .tQ/e j˛.tQ/  j˛ ı .tQ/x.

(18.276)

 ı OQ Mit ˛ ı .0/ D 0 und xOQ ı .0/ D 0 ist XQ .0/ D xQO ı .0/  j˛ ı .0/x.0/ e j˛.0/ D 0 erfüllt. Q V1 D Bei Beschleunigung (oder Verzögerung) aus dem stationären Lauf mit ˝Q 0 D ˝; Q Q Q V1 .˝/; ˛ D ˛.˝/ nach (6.36) müssen zum Zeitpunkt t0 stetig anschließen: '0 D ˝Q tQ0 ;

Q ˝Q 0 D ˝;

Q Q tQ0 / D V1 .˝/e Q j˛.˝/ XQ 0 D X. ;

ı

ı XQ 0 D XQ .tQ0 / D j ˝Q XQ 0 : (18.277)

394

18

Lösungen

Lösung 8.10 Nach Abb. 2.2a,b wirken auf die Bodenplatte der Masse m1 neben der Bodenkraft FB .t/ ihr Eigengewicht G1 D m1 g, vgl. Abb. 2.3b, und die über das Feder-Dämpfersystem .k; b/ vom Schwingkörper 2 in Abb. 8.4 in x-Richtung übertragenen Kraft F .t/. Für sie gilt, mit (8.30) und der als bekannt angenommenen Auslenkung x.t/, nach oben positiv, F .t/ D .m2 C 2mu /g C b xP C kx:

(18.278)

Aus der Gleichgewichtsbedingung in vertikale Richtung folgt für die nicht abgehobene Platte: X (18.279) Fxi D 0W FB  G1  .m2 C 2mu /g C b xP C kx D 0 und FB D .m1 C m2 C 2mu /g  b xP  kx:

(18.280)

Lösung 8.11 Die Bewegungsgleichung (8.36) lautet .m2 C 2mu /xR C b xP C kx D 2mu r.'R sin ' C 'P 2 cos '/:

(18.281)

Division durch .m2 C 2mu / führt mit !02 D k=.m2 C 2mu /;

2D!0 D b=.m2 C 2mu /;

2mu r=.m2 C 2mu / D k=k  2mu r=.m2 C 2mu / D 2mu r=k  k=.m2 C 2mu / D 2mu r=k 

(18.282) !02

sowie, vgl. Abschn. 8.2.1, P '.t/ P D ˝.t/; '.t/ R D ˝.t/ D ".t/; Q P D !0 ˝.tQ/; 'R .t/ D !02 ˝Q ı .tQ/ D !02 ".t/; Q tQ D !0 t; '.t/ 

ı

x.t/ P D !0 x .tQ/;

x.t/ R D

(18.283)

!02 x ıı .tQ/;

auf !02 x ıı C 2D!02 x ı C !02 x D 2mu r!02 =k  !02 .Q" sin ' C ˝Q 2 cos '/:

(18.284)

Für die bezogene Auslenkung xQ D

x=r xk x D D 2 .2mu /=.m2 C 2mu / .2mu r!0 /=k 2mu r!02

(18.285)

folgt nach Division durch !02 die Dgl. xQ ıı C 2D xQ ı C xQ D .Q" sin ' C ˝Q 2 cos '/:

(18.286)

18.8 Lösungen zu Kap. 8

395

Lösung 8.12 Die reelle Dgl. (8.38) xQ ıı C 2D xQ ı C xQ D .Q" sin ' C ˝Q 2 cos '/

(18.287)

ist der Realteil der komplexen Dgl. (8.39): xQ ıı C 2D xQ ı C xQ D .˝Q 2  j "Q/e j' :

(18.288)

Die rechte Seite von (18.288) erfüllt, wie für den Übergang gefordert, die Bedingung  ˚ (18.289) Re .˝Q 2  j "Q/e j' D ˝Q 2 cos ' C "Q sin ': Der Übergang von x. Q tQ/ in der Dgl. (8.39) zu XQ .tQ/ gemäß (8.19) bis (8.21), OQ tQ/e j.'.tQ/˛.tQ// D X. Q tQ/e j'.tQ/ x. Q tQ/ D x.

(18.290)

führt auf der linken Seite von (8.40) auf denselben Ausdruck wie in der Dgl. (8.22). Rechts steht die rechte Seite von (18.288), nachdem die e-Funktion herausdividiert wurde:



Q ıı C 2 D C j ˝Q XQ ı C 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q C j "Q XQ D .˝Q 2  j "Q/: X (18.291) Q tQ/ gilt die Dgl. (8.17). Für '.tQ/ bzw. ˝. Lösung 8.13 Die Bewegungsgleichungen für den Anlauf bei Unwuchterregung sind (8.17) und (8.22). Zu vorgegebener Winkelbeschleunigung "Q.tQ/ gelten Q ˝Q ı D "Q und ' ı D ˝;

(18.292)

und



Q ıı C 2 D C j ˝Q XQ ı C 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q C j "Q XQ D .˝Q 2  j "Q/: X

(18.293)

Wie in Abschn. 8.2.2 braucht man für die Anfahrt aus dem stillstand vier Anfangsbedingungen. Die Bedingungen '0 D '.0/ D 0;

Q ˝Q 0 D ˝.0/ D 0;

ı

ı XQ 0 D XQ .0/ D 0

(18.294)

Q Sind unmittelbar plausibel. Der (komplexe) Anfangswert der Auslenkung, XQ 0 D X.0/, Q muss für stoßfreien Anlauf zur Zeit t D 0 die Bewegungsgleichung (18.293) mit Rückıı sicht auf (18.294) bei XQ .0/ D 0 erfüllen: Q 0 D j "Q.0/: .1 C j "Q.0// X

(18.295)

Das führt auf die vierte Bedingung XQ 0 D XQ .0/ D j

"Q.0/ : 1 C j "Q.0/

(18.296)

396

18

Lösungen

Lösung 8.14 Parallel zu (8.28), (8.29) erhält man T  Q '; XQ ı ; XQ ; u D .u1 ; u2 ; u3 ; u4 /T D ˝; T  Q '; f3 ; XQ ı ; f D .f1 ; f2 ; f3 ; f4 /T D ". Q tQ/; ˝;

ı

f3 D .˝Q 2  j "Q/  2 D C j ˝Q XQ  1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q C j "Q XQ

(18.297)

und uı D f .u; t/:

(18.298)

Dazu gehören die Anfangsbedingungen u0 D .0; 0; 0; j "Q.0/=.1 C j "Q.0//T :

(18.299)

Lösung 8.15 Das Matlab® -Programm schließt unmittelbar an Abschn. 8.2.4 und Aufgabe 8.14 an, vgl. Abb. 18.46.

Abb. 18.46 Ergebnisse

18.8 Lösungen zu Kap. 8

397

Lösung 8.16 Gemäß der Lösung von Aufgabe 8.10 lautet die Bodenkraft: FB D .m1 C m2 C 2mu /g  b xP  kx:

(18.300)

Zunächst müssen wir diese Gleichung auf die in Aufgabe 8.11 besprochene dimensionslose Form bringen. Dazu dividieren wir (18.300) durch das Gesamtgewicht Gges D .m1 C m2 C 2mu /g und erhalten mit tQ; xQ nach (18.282), (18.283), (18.285) FB 2mu r!02 D1 .xQ C 2D xQ ı / : FQB D Gges Gges

(18.301)

Hier steht Fu0 WD 2mu r!02 für die Fliehkraft, die die beiden Erregerunwuchten erzeugen, wenn sie gerade mit der Eigenfrequenz !0 umlaufen. Wir kürzen ab: fu0 WD

2mu r!02 : Gges

Q tQ/ besteht die BezieZwischen der komplexen Auslenkung x. Q tQ/ und der Einhüllenden X. Q tQ/ exp.j'.tQ//. Daraus folgt hung (8.21): x. Q tQ/ D X. ı xQ ı .tQ/ D XQ .tQ/ exp.j'.tQ// C j' ı .tQ/XQ .tQ/ exp.j'.tQ/  ı Q tQ/XQ .tQ/ exp.j'.tQ/: D XQ .tQ/ C j ˝.

(18.302)

Damit erhält (18.300) für die bezogene Bodenkraft FQB .tQ/ die Form, vgl. Abb. 18.47 FQB D 1  fu0 Re

o n Q XQ C 2D X Q ı e j'.tQ/ : .1 C 2jD ˝/

(18.303)

Man sieht, das Matlab® -Programm für FQB .tQ/ lässt sich unmittelbar an das aus Aufgabe 8.15 anschließen. Es ist nur der eine dimensionslose Zusatzparameter fu0 erforderlich.

Abb. 18.47 Bezogene Bodenkraft

398

18

Lösungen

Lösung 8.17 Das Dgl.-Gleichungssystem (18.297/18.298) aus Aufgabe 8.14 gilt auch für tQ tQ0 . Anzupassen sind lediglich die „Anfangs“-Bedingungen für tQ D tQ0 . Gelte, wie bei (8.24), für den stationären Lauf bis tQ D tQ0 . Q tQ0 /; ˝Q 0 D ˝.

'0 D ˝Q 0 tQ0 D '.tQ0 /tQ0 :

(18.304)

Q tQ0 / und '.tQ0 / D ˝Q 0 tQ0 . Weiter muss Die sind die beiden Anfangsbedingungen für ˝Q 0 D ˝. ı XQ0 D XQ ı .tQ0 / D 0

(18.305)

Q tQ0 / an die Dgl. stetig an den stationären Lauf anschließen. Schließlich muss XQ0 D X. (8.40) im „stationären Gleichgewicht“ stetig anschließen. Mit Rücksicht auf (18.304),

Q 0 D .˝Q 2  j "Q.tQ0 //, also (18.305) gilt dann 1  ˝Q 02 C 2Dj ˝Q 0 C j "Q.tQ0 / X 0 XQ 0 D

˝Q 02  j "Q.tQ0 / : 1  ˝Q 2 C 2Dj ˝Q 0 C j "Q.tQ0 /

(18.306)

0

Mithin lauten die gesuchten Anfangsbedingungen ! Q 2  j "Q.tQ0 / ˝ 0 u0 .tQ0 / D ˝Q 0 ; ˝Q 0 tQ0 ; 0; : 1  ˝Q 02 C 2Dj ˝Q 0 C j "Q.tQ0 /

(18.307)

18.9 Lösungen zu Kap. 9 Lösung 9.1 Die Bewegungsgleichungen folgen aus Gleichgewichtsbedingungen an den freigeschnittenen Massen m1 und m2 mit den Federkräften F1 ; F2 und den d’Alembert’schen Kräften m1 xR 1 ; m2 xR 2 . Sie lauten bei Vernachlässigen der Gewichtskraft für Masse m1 W

X

für Masse m2 W

Fxi D 0W F1  m1 xR 1 C F2 D 0;

X

Fxi D 0W F2  m2 xR 2 D 0:

(18.308) (18.309)

Einsetzen der Federkräfte F1 D k1 x1 ; F2 D k2 x2 gemäß Abschn. 9.2.1 führt auf die Bewegungsgleichungen (9.3), die mit der Bindungsgleichung (9.1) die Form (9.4) annehmen, in Matrixschreibweise ! ! ! ! xR 1 k1 C k2 k2 x1 m1 0 C D 0: (18.310) 0 m2 xR 2 k2 k2 x2 Diese Art der Kopplung nennt man auch Federkopplung.

18.9 Lösungen zu Kap. 9

399

Elimination von x2 führt, wie in Abschn. 9.2.3 gezeigt, auf die Form mit Trägheitskopplung, gekennzeichnet durch hochgestelltes M : m1 C m2 m2

m2 m2

!M

xR 1 xR 3

!M

k C 1 0

0 k2

!M

x1 x3

!M D 0:

(18.311)

Eliminiert man mit Hilfe der Bindungsgleichung (9.1) die Koordinate x1 , erhält man aus (18.311) mit x1 x3

!M

1 1 D 0 1

! x2 x3

!gem ;

abgekürzt x M D T x gem ;

(18.312)

Das gemischt gekoppelte System T T M M T xR gem C T T K M T x gem D 0; m1 C m2 m1

m1 m2

!gem

xR 2 xR 3

!gem

k1 k1 C k2

k1 C k1

!gem

x2 x3

(18.313) !gem D 0:

(18.314)

Lösung 9.2 Der Torsionsschwinger nach Abb. 9.1b entspricht dem Dehnschwinger nach Abb. 9.1a in fast allen Einzelheiten, wenn man setzt: m1 ! J1 ; m2 ! J2 ; k1 ! 0; k2 ! kT ; x1 ! '1 ; x2 ! '2 ; x3 ! '3 : (18.315) Der wesentliche systematische Unterschied ist die wegen k1 ! 0 hier fehlende Bindung ans Inertialsystem. Lösung 9.3 Untersuchung mit Hilfe von Balkenbiegeformeln: Der unbelastet horizontale Balken 1, Länge l1 , und der unbelastet vertikale Balken 2, Länge l2 , haben beide die Biegesteifigkeit EI . Wir setzen ihre Biegungen mit Hilfe der Kragbalkenformel (B.37), Abschn. B.6.1, Abb. B.5, zusammen. Aus (B.37) folgt für x D l zu den Endlasten F; M die Endabsenkung f und den Endwinkel f D

M l2 F l3 C 3EI 2EI

D

bzw.

F l2 Ml C : 2EI EI

(18.316)

Der an seinem linken Ende horizontal eingespannte Balken 1 ist an der starren Ecke E den Endlasten FE D F2 ; ME D F1 l2 unterworfen und erfährt dadurch dort die Auslenkungen x2E D

F2 l13 F1 l2 l12 C 3EI 2EI

bzw.

E

D

F2 l12 F1 l2 l1 C : 2EI EI

(18.317)

400

18

Lösungen

Balken 2 ist an der Ecke E um x2E abgesenkt unter dem Winkel E eingespannt, wird durch die Endlast F1 gebogen. Auslenkungen am oberen Balkenende: x2 D x2E D

F2 l13 F1 l2 l12 C ; 3EI 2EI

x1 D

E l2 C

F1 l23 F2 l12 l2 F1 l22 .3l1 C l2 / D C : (18.318) 3EI 2EI 3EI

Mit Verformungs-Einflusszahlen hkl geschrieben, vgl. Abschn. B.4, auch (Abschn. B.6.3), x1 D h11 F1 C h12 F2 ; h11 D

l1 l22 EI

C

l2 l22 3EI

;

x2 D h21 F1 C h22 F2 ; h12 D h21 D

l1 .l1 l2 / ; 2EI

wo h22 D

l13 : 3EI

(18.319)

Untersuchung nach Castigliano, Abschn. B.4, das ist der Arbeitssatz, Abschn. B.6.3: Das direkte Berechnen der hkl nach (B.47) erfordert hier das Ablesen der Integrale über die Momentenlinien aus der Tabelle B.1 (siehe dort). Zu F1 ; x1 gehören: Rechteck über l1 , Ordinate f D l2 und Dreieck über l2 , Ordinate f D l2 . Zu F2 ; x2 gehört (nur): Dreieck über l1 , Ordinate f D l2 . Die Auswertung gemäß Tab. B.1 greift bei h11 auf I 1;1 und I 2;2 , bei h22 auf I 2;2 , bei h12 D h21 auf I 1;2 D I 2;1 zurück und liefert die in (18.319) angegebenen Größen. Lösung 9.4 In Matrizenschreibweise lautet (9.7) ! ! ! 1 2l22 .3l1 C l2 / 3l12 l2 F1 x1 D ; 6EI x2 3l12 l2 2l13 F2 Auflösen nach den Kräften liefert ! !1 ! 2l22 .3l1 C l2 / 3l12 l2 x1 F1 D 6EI F2 3l12 l2 2l13 x2 6EI 2l13 D 3 2 l1 l2 .3l1 C 4l2 / 3l12 l2

! ! x1 3l12 l2 : 2l22 .3l1 C l2 / x2

(18.320)

(18.321)

In Matrizenschreibweise analog zu (9.9) lautet dann die übliche Form von (9.8) ! ! ! ! 6EI xR 1 x1 2l13 m 0 3l12 l2 C 3 2 D 0: (18.322) l1 l2 .3l1 C 4l2 / 3l12 l2 2l22 .3l1 C l2 / 0 m xR 2 x2 Lösung 9.5 Die Transformationen zu Lösung 9.1 wurden schon dort auf diese Weise ausgeführt. Wie in Lösung 9.2 gilt für den Torsionsschwinger die in (18.315) genannte „Abbildung“: m1 ! J1 ; m2 ! J2 ; k1 ! 0; k2 ! kT ; x1 ! '1 ; x2 ! '2 ; x3 ! '3 : (18.323)

18.9 Lösungen zu Kap. 9

401

Der wesentliche systematische Unterschied ist die wegen k1 ! 0 hier fehlende Bindung ans Inertialsystem, die gemischte Kopplung entfällt. Lösung 9.6 In der Formellösung (9.30),

1;2

1 0 s



 

k1 k2 k1 C k2 1 k2 k2 2 k1 C k2 A; D @ C C 4  2 m1 m2 m1 m2 m1 m2

(18.324)

der charakteristischen Gl. (9.29) sind die eckig zusammengeklammerten Ausdrücke je positiv. Die Differenz im Radikanden zeigt, dass die Wurzel stets kleiner wird als der davor stehende Ausdruck, also sind 1 ; 2 reell, positiv, es gilt 2 > 1 . Lösung 9.7 Wir arbeiten mit (9.34)1 : Da xO 1k D k2 =m1 > 0 für k D 1; 2 erfüllt, braucht nur das Vorzeichen von xO 2k D .k1 C k2 /=m1  k untersucht zu werden. Direktes Berechnen durch Einsetzen von 1;2 aus 0

1;2 D

1 k1 C k2 k2 @ C  2 m1 m2

s



k1 C k2 k2 C m1 m2

1

2 4

k1 k2 A in .k1 Ck2 /=m1  1;2 m1 m2

liefert 1 k1 C k2  1;2 D m1 2



k1 C k2 k2  m1 m2



s 1 ˙ 2

s



k1 C k2 k2 C m1 m2

2 4

k1 k2 m1 m2

( k2 k2 >0 : C4 D m1 m2 0/: m1 m2 m1 m2

(18.327)

402

18

Lösungen

  k2 2 und stets dasselbe Vorzeichen. Für D 0 ist Mithin haben k1mCk 



k k m 1 2 die linke Seite von (18.327) größer als die rechte, beide Klammerausdrücke sind dann positiv. Steigerung von verringert ihre Größe bis zum ersten Eigenwert 1 . Bei weiterer Steigerung von wechseln die Klammerausdrücke nacheinander ihr Vorzeichen, die linke Seite wächst danach wieder, man gelangt zum zweiten Eigenwert 2 . Lösung 9.8 Die vier Formen lauten x k D x k .t/ D ck xO k e k t C ck xO k e k t D .ck e k t C ck e k t /xO k ; x k D x k .t/ D ck xO k e j!k t C ck xO k e j!k t D .ck e j!k t C ck e j!k t /xO k ; x k D x k .t/ D ack xO k cos.!k t/ C ask xO k sin.!k t/ D .ack cos.!k t/ C ask sin.!k t//xO k ; x k D x k .t/ D ak xO k cos.!k t C '0k /: (18.328) Hierin ist !k die k-te Eigenfrequenz und xO k der k-te Eigenvektor, zusammengefasst die k-te Eigenlösung .!k ; xO k /. Es gelten k D j!k ; k D j!k . Bei reellen x sind die Konstanten ck ; ck komplex, die ack ; ask sowie aO k ; '0k reell. Wie weit man den Eigenvektor bei den zweigliedrigen Ausdrücken ausklammert, hängt von den Zielen der Rechnung ab. Mit e ˙j!k t D cos !k t ˙ j sin !k t;

sin !k t D e j!k t  e j!k t =2j



cos !k t D e j!k t C e j!k t =2;

folgen aus (18.328)3 bzw. (18.328)1;2 ack D .ck C ck /; ask D j.ck  ck /; jack C ask jack  ask ; ck D : ck D 2j 2j

(18.329)

Mit cos.˛ C ˇ/ D cos ˛ cos ˇ  sin ˇ folgt aus (18.328)4 ak cos.!k t C '0k / D ak cos '0k cos !k t  ak sin '0k sin !k t D ack cos !k t C ask sin !k t;

(18.330)

wo ack D ak cos '0k ;

ask D ak sin '0k :

(18.331)

Umgekehrt folgen aus (18.328)3 nach (18.331) ak D

q 2 2 ack C ask ;

tan '0k D ask =ack :

(18.332)

Dabei muss der Quadrant von '0k aus . < '0k  / oder .0  '0k < 2/ so gewählt werden, dass beide Gln. (18.331) mit korrekten Vorzeichen erfüllt sind.

18.9 Lösungen zu Kap. 9

403

Lösung 9.9 Die vier Formen (9.35) der k-ten Eigenlösung lauten x k D x k .t/ D ck xO k e k t C ck xO k e k t D .ck e k t C ck e k t /xO k ; x k D x k .t/ D ck xO k e j!k t C ck xO k e j!k t D .ck e j!k t C ck e j!k t /xO k ; x k D x k .t/ D ack xO k cos.!k t/ C ask xO k sin.!k t/ D .ack cos.!k t/ C ask sin.!k t//xO k ; x k D x k .t/ D ak xO k cos.!k t C '0k /: (18.333) Die vierte Form ist anschaulich am Übersichtlichsten, die dritte Form kann man gut an Anfangsbedingungen anpassen, vgl. Lösungen 9.10 und 9.11, die erste, komplexe Form lässt sich besonders leicht nach der Zeit differenzieren. Lösung 9.10 Bemerkung 1 Alle folgenden Zahlenwerte betreffen dimensionslose Größen, vgl. Abschn. 9.3.3. Bemerkung 2 Die Zahlenwerte in den Eigenvektoren xO 1 ; xO 2 , vgl. (9.40), die unten als Matrix-Spalten xO 1 ; xO 2 , eingeführt werden, entstehen aus (9.34), wenn man sie gemäß xO Tk M xO k D 1; k D 1; 2, normiert; vgl. (9.9), (9.11) und (10.16), (10.17) – im Vorgriff. Nun zur Lösung: Gemäß (9.38) müssen die vier Konstanten ack ; ask ; k D 1; 2, die folgenden Bedingungen erfüllen: x 0 D ac1 xO 1 C ac2 xO 2 ;

v0 D as1 !1 xO 1 C as2 !2 xO 2 :

(18.334)

In numerischer Form mit den Zahlenwerten aus (9.40), in Matrizen zusammengefasst, lauten sie ! !  ac1 0:544 0:839 T ; x 0 D xO 1 xO 2 .ac1 ; ac2 / D 0:938 0:608 ac2 ! ! !  as1 0:648 0 0:544 0:839 T : v0 D xO 1 xO 2 .!1 as1 ; !2 as2 / D 0 1:543 0:938 0:608 as2 (18.335) Formal gelöst: !1 0:544 0:839 x0; D 0:938 0:608 !1 !1 ! as1 0:648 0 0:544 0:839 v0 : D 0 1:543 0:938 0:608 as2 !

ac1 ac2

(18.336)

404

18

Lösungen

Die numerische Auswertung (hier mit Derive) liefert ! ac1 ac2

! 0:544 0:751 x0; D 0:840 0:487

! as1 as2

! 0:839 1:158 v0 : D 0:544 0:315

(18.337)

Wir verzichten darauf, die sehr einfach aufgebauten Anfangswerte aus der Aufgabestellung hier einzusetzen, schreiben stattdessen die zu (allgemeinen) x 0 ; v0 gehörenden Eigenschwingungen an: x1 .t/ x.t/ D x2 .t/

!

! ! cos.0:648t/ 0 0:544 0:839 D 0 cos.1:543t/ 0:938 0:608 ! ! sin.0:648t/ 0 0:544 0:839 C 0 sin.1:543t/ 0:938 0:608

! 0:544 0:751 x0 0:840 0:487 ! 0:839 1:158 v0 : 0:544 0:315 (18.338)

Lösung 9.11 Am einfachsten verschiebt man in der Lösung (18.338) aus Aufgabe 9.10 die Zeitachse um t D 0:5 und erhält für t 0:5: x.t/

! ! cos 0:648.t  0:5/ 0 0:544 0:839 D 0 cos 1:543.t  0:5/ 0:938 0:608 ! ! sin 0:648.t  0:5/ 0 0:544 0:839 C 0 sin 1:543.t  0:5/ 0:938 0:608

! 0:544 0:751 x0 0:840 0:487 ! 0:839 1:158 v0 : 0:544 0:315 (18.339)

Lösung 9.12, Lösung 9.13 Bezogen auf .x1 ; x2 / lauten die Ausgangs-Eigenvektoren xO 1A ; xO 2A , wie in der Lösung 9.10 als Spaltenmatrizen geschrieben: xO 1A

! 0:544 ; D 0:938

xO 2A

! 0:839 : D 0:608

(18.340)

18.9 Lösungen zu Kap. 9

405

Die Transformation von .x1 ; x2 / auf .x1 ; x3 / und .x2 ; x3 / gemäß der Bindungsgleichung (9.1), x3 D x1 C x2 , lauten ! 1 0 D 1 1 ! ! x2 0 1 D xC D x3 1 1 !

x1 xB D x3

! x1 x2 x1 x2

D TB xA

bzw.

!

(18.341) D TC xA :

Damit erhält man xO1B xO2B xO1C xO2C

! 1 0 D T A xO1A D 1 1 ! 1 0 D T A xO2A D 1 1 ! 0 1 D T C xO1A D 1 1 ! 0 1 D T C xO2C D 1 1

! ! 0:544 0:544 ; D 0:394 0:938 ! ! 0:839 0:839 D ; 0:608 1:447 ! ! 0:938 0:544 ; D 0:394 0:938 ! ! 0:608 0:839 : D 1:447 0:608

(18.342)

In der Form (18.342)1;2 würde ein Beobachter (evtl. ein Messgerät), der (bzw. das) sich mit der Masse m1 bewegt, die Bewegung der Masse m2 als xO 3k aufnehmen. Die Umgebung würde sich bei ihm scheinbar mit dem Wert xO 1k bewegen. (Bei xO 2B entfiele der Knoten.) Die Form (18.342)3;4 lässt sich schwerlich anschaulich machen. Abbildungen wie 9.2c kann man zeichnen doch bieten sie keine Interpretationshilfen. Lösung 9.14 Das Matlab® -Programm „Aufg9_14.m“ zeichnet für die beiden Eigenschwingungen x 1;2 .t/ nach (9.40) vier Diagramme gemäß (9.35)4 zu den Amplituden a1 D 2:7 und a2 D 1:5 sowie den Null-Phasenwinkeln '01 D 0 und '02 D , vgl. Abb. 18.48. Die beiden Diagramme in der ersten Reihe zeigen die (periodischen) Eigenschwingungen x 1 .t/ und x 2 .t/ je für sich. Im linken Diagramm der zweiten Reihe ist die (unperiodische) Überlagerung, die Summe x 1 .t/ C x 2 .t/, der beiden Eigenschwingungen gezeigt. Das rechte Diagramm der zweiten Reihe zeigt die Darstellung der zusammengesetzten Eigenschwingungen nach Lissajous. Dabei ist auf der Abszisse zeitabhängig die Auslenkung x1 .t/, auf der Ordinate x2 .t/ aufgetragen, die Zeit t ist also Kurvenparameter; vgl. Abb. 13.9.

406

18

Lösungen

Abb. 18.48 Verschiedene Darstellungsformen der Eigenschwingungen x1 und x2

Lösung 9.15 Einsetzen von x.t/ D xO cos.!t C '0 /

(18.343)

in (9.19) liefert O 2 cos.!t C '0 / D 0; M x! O 2 cos.!t C '0 / C K x! also, mit ! 2 D und für cos.!t C '0 / ¤ 0: .M C K / xO D 0I

(18.344)

vgl. (9.23). Die weiteren Überlegungen in Abschn. 9.3.1 bleiben gültig. In Abschn. 9.3.2 muss gezeigt werden, dass die Wurzeln k der charakteristischen Gleichung reell sind (bzw. bleiben). Die Schreibweisen mit der e-Funktion entfallen, ebenso in Abschn. 9.3.3. Natürlich kann man auch mit einem Ansatz x.t/ D xO sin.!t C '0 / arbeiten.

18.9 Lösungen zu Kap. 9

407

Lösung 9.16 Die Zuordnung der Trägheits- und Steifigkeitsmatrizen von Zweimassen- und Torsionsschwinger zu den (Elementen der) allgemeinen („vollen“) Matrizen in (9.11) M xR C K x D 0

(18.345)

folgt am einfachsten durch Vergleich von (9.9) und (9.10) mit (9.12): m11 MD m21 k11 KD k21

! ! ! m1 0 J1 0 m12 $ $ ; 0 m2 0 J2 m22 ! ! ! k1 C k2 k2 kT k12 kT $ $ : k22 k2 k2 kT kT

(18.346)

Der Gl. (9.11) wird (9.51) mit (9.52)1;2 zugeordnet, vgl. auch (9.53), (9.54): M xR C K x D F e .t/ F e D .F1 ; F2 /T D Fe .f1 ; f2 /T D Fe .fO1 ; fO2 /T cos ˝t; M e D .M1 ; M2 /T D Me .f1 ; f2 /T D Me .fO1 ; fO2 /T cos ˝t:

(18.347)

(18.348)

Dann lauten die (9.59) entsprechenden Gleichungen: .˝/ D .k1 C k2  m1 ˝ 2 /.k2  m2 ˝ 2 /  k22 ; .˝/ D .kT  J1 ˝ 2 /.kT  J2 ˝ 2 /  kT2 :

(18.349)

Der Gl. (9.58) entspricht: Fe .k2  m2 ˝ 2 / xO D .˝/ k2 bzw.

! ! fO1 k2 ; fO2 .k1 C k2  m1 ˝ 2 /

! ! Me fO1 .kT  J2 ˝ 2 / kT 'O D : .˝/ fO2 kT .kT  J1 ˝ 2 /

(18.350)

(18.351)

Lösung 9.17 Wir betrachten hier nur den Dehnschwinger nach Abb. 9.1a, wie er in Abschn. 9.2.1 bis 9.2.3 und 9.4.1, 9.4.2 abgehandelt ist. Dann steckt hinter Aufgabe 9.17 die Frage, wie sich die Koordinatentransformation in Abschn. 9.2.3 auf die Form der Lösungsgleichungen (9.58), (9.59) der erzwungenen Schwingungen auswirkt. Die erste Frage lautete: Wie wirkt sich die Koordinatentransformation (9.14) bei den erzwungenen Schwingungen nach (9.49) aus?

408

18

Lösungen

Kürzen wir zunächst (9.49) in der Form (9.51) mit der hochgestellten Markierung K ab: (18.352) M K xR K C K K x K D F K e : Die Transformation ! ! ! x1 x1 1 0 D kurz x K D T x M ; x2 x3 1 1

vgl. (9.14);

(18.353)

überführt (18.352) in M K T xR M C K K T x M D F K e ;

(18.354)

also, vgl. (9.16), m1 m2

0 m2

!KM

! xR 1 k C 1 xR 3 0

k2 k2

!KM

x1 x3

!

! Fe1 D : Fe2

(18.355)

! Multiplikation dieser Gleichung von links mit T

T

D

1 1 0 1

liefert, vgl. auch (9.17),

(9.18) m1 C m2 m2

m2 m2

!M

xR 1 xR 3

!M

k C 1 0

0 k2

!M

x1 x3

!M

Fe1 C Fe2 D Fe2

!M :

(18.356)

Nun lautet die (9.59) entsprechende Gleichung (sie stimmt mit der aus Aufgabe 9.16 natürlich überein) .˝/ D .k1  .m1 C m2 /˝ 2 /.k2  m2 ˝ 2 /  m22 ˝ 4 ;

(18.357)

Der Gl. (9.58) entspricht: xO M

! ! Fe fO1 C fO2 .k2  m2 ˝ 2 / m2 ˝ 2 D : .˝/ fO2 m2 ˝ 2 .k1  .m1 C m2 /˝ 2 /

(18.358)

Diese Form wirkt unanschaulich, weil ungewohnt. Zur Kontrolle, kann man wieder Einsetzen: ! ! ! ! Fe fO1 .k2  m2 ˝ 2 / 1 1 1 0 m2 ˝ 2 K M : xO D T xO D .˝/ 1 1 0 1 fO2 m2 ˝ 2 .k1  .m1 C m2 /˝ 2 / (18.359) Dies ist wieder die Form (18.350).

18.9 Lösungen zu Kap. 9

409

Lösung 9.18 Gl. (9.61) folgt aus (9.56), die auf (9.51) aufbaut, welche an dieser Stelle (9.49) bzw. (9.50) zusammenfasst. Die Glieder dieser letzten Gleichungen haben die Dimension Kraft bzw. Moment .D Kraft Länge/. Wir überprüfen den ersten Fall: In (9.51), M xR C K x D F e , haben wir also die Dimension Kraft, im ersten Summanden als Produkt Masse Beschleunigung D Masse Länge=Zeit2 , im zweiten als Produkt Dehnsteifigkeit Länge D Kraft=Länge Länge D Kraft. In (9.56) wurden die Dimensionen nach den Ansätzen (9.53), (9.54) noch beibehalten. Mit den Referenzgrößen (D Bezugsgrößen) für Masse, mR , Steifigkeit, kR , daraus p abgeleitet !R D kR =mR für Zeit1 , vgl. (9.39), folgt aus (9.56) mit Q; M D mR  M

Q ˝Q 2 ; Q ˝Q 2 D kR M M ˝ 2 D mR !R2  M

Q K D kR K

(18.360)

die erste Form von (9.61), immer noch mit der Dimension Kraft:

Q xO D Fe fO : Q ˝Q 2 C K kR M

(18.361)

Die dritte unabhängige Referenzgröße, nämlich für die Länge, wird indirekt als Kraft/ Steifigkeit gewählt, xR D Fe =kR , was naheliegt, wenn man (18.361) durch kR dividiert und feststellt, dass die Terme der so entstandenen Gleichung die Dimension Länge haben. O R entsteht die zweite Gl. (9.61) in dimensionsloser Form Mit xQ D x=xR bzw. xOQ D x=x

Q xOQ D fO ; Q ˝Q 2 C K M

(18.362)

denn fO ist gemäß (9.54) dimensionslos. Lösung 9.19 Q aus Abb. 9.4a,b erhalten bleiben, entsteht xOQ 3 .˝/ Q gemäß Während die Kurven für xOQ 1 .˝/ (9.1) als Differenz Q D xOQ 2 .˝/ Q  xOQ 1 .˝/: Q xOQ 3 .˝/ (18.363) Q xOQ 2 .˝/ Q bedeutet das also jeweils nur einen RechenIn einem Rechnerprogramm für xOQ 1 .˝/; O Q xOQ 2 .˝/ Q in einem Diagramm mit gleichem schritt. Liegen die Resonanzkurven für xQ 1 .˝/; Maßstab für beide Auslenkungen vor, kann man die Differenz (9.19) leicht hineinskizzieren. Das ist hier in Abb. 18.49 an Hand einer Kopie von Abb. 9.4a,b gezeigt. (Zur vertikalen Orientierung wurden eine Reihe von Abszissenparallelen Hilfslinien eingetragen.)

410

18

Lösungen

a

b

Abb. 18.49 a Amplituden, b Amplitudenbeträge mit xQO 3 D xQO 2  xQO 1

18.10 Lösungen zu Kap. 10 Lösungen 10.1 und 10.2 Diese beiden Aufgaben sind inhaltlich so eng miteinander verknüpft, dass sie am besten gemeinsam behandelt werden. Allgemeine Vorüberlegung In der Form (10.1) der Bewegungsgleichung (9.51) – mit hinzugefügter viskoser Dämpfung B xP – haben die Elemente der Spaltenmatrix x.t/ die Dimensionen einer Weg- oder Winkelauslenkung (Beispiel für gemischtes System: rutschend rollendes Rad). Die Elemente der Spaltenmatrizen der Produkte M x; R B xP und K x sowie der Erregerkraft F e haben die Dimensionen einer Kraft bzw. eines Moments: M xR C B xP C K x D F e .t/:

(18.364)

(Die Matrizen M ; B; K sollen die Symmetrie- und Definitheitsbedingungen (10.2) und (10.3) erfüllen.) Multipliziert man (18.364) von links mit xP T , erhält man: xP T M xR C xP T B xP C xP T K x D xP T F e .t/:

(18.365)

18.10

Lösungen zu Kap. 10

411

Dies ist eine Leistungsbilanz, Pkin .t/ C Pvisk .t/ C Pelst .t/ D Päuß .t/

(18.366)

der kinetischen, dämpfenden, elastischen und der äußeren Kräfte. R t2 Integriert man die Leistungen zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 gemäß W2;1 D t1 P .t/dt, Zt2

Zt2 xP M xdt R D

xP T M d xP D

T

t1

ˇt2 1 T 1 1 xP M xP ˇt D xP T2 M xP 2  xP T1 M xP 1 D T2  T1 ; 1 2 2 2

t1

Zt2

(18.367)

Zt2 xP T K xdt D

t1

xT K d x D

ˇt 1 T 1 1 x K x ˇt2 D x T2 K x 2  x T1 K x 1 D U2  U1 : 1 2 2 2

t1

(18.368) Dabei erfassen zu zeitabhängigen Auslenkungen x.t/ und Geschwindigkeiten x.t/ P 1 T xP M xP 2

T .t/ D

(18.369)

die momentane kinetische Energie (T steht häufig alternativ für EK vgl. (A.102), (C.3) des mechanischen Systems und U.t/ D

1 T x Kx 2

(18.370)

seine potentielle Energie, das ist das elastische Potential, vgl. (C.6). Das Integral für die Arbeit der viskos dämpfenden Kräfte, Zt2 Wvisk2;1 D

xP T B xdt; P

(18.371)

t1

lässt sich nur für explizit gegebene Auslenkungen x.t/, also x.t/, P berechnen. Bei den äußeren Kräften müssen zur Auswertung des Integrals Zt2 Wäuß2;1 D

Zt2 xP .t/F .t/dt D

t1

Zt2 F .t/x.t/dt P D

T

t1

Zt2 F .t/d x.t/ D

T

F T dx

T

t1

t1

(18.372) im Allgemeinen x.t/ und auch F .t/ explizit gegeben sein. Ist allerdings F .t/ D F fest, das heißt konstant, kann man formal integrieren und erhält Zt2 Wäuß2;1 D

F T d x D F T .x.t2 /  x.t1 // D F T .x 2  x 1 /: t1

(18.373)

412

18

Lösungen

Damit folgt aus (18.366) nach Integration über das Zeitintervall t1  t  t2 : Zt2 T2  T1 C

Zt2 xP B xdt P C U2  U1 D

F T d x:

T

t1

(18.374)

t1

Zur Lösung von Aufgabe 10.1 – Definitheitsaussagen Die Forderung xP T M xP > 0 bedeutet gemäß (18.369), dass zu jeder Bewegung – Bewegung steht hier für Geschwindigkeit! – positive kinetische Energie > 0 gehört (vgl. C.1.2). Beim Ansetzen von Bewegungsgleichungen verletzt man diese Bedingung, wenn man, zum Beispiel, überzählige (redundante) Koordinaten nicht eliminiert, evtl. hat man auch zugehörige Trägheiten übersehen. Die Forderung x T K x 0 bedeutet gemäß (18.370), das zu jeder Auslenkung, die mit einer (elastischen) Verformung verbunden ist, eine Arbeit aufgebracht (dem System Energie zugeführt) werden muss. Der Fall x T K x D 0 liegt zum Beispiel vor, wenn ein Systeme reibungsfrei und ohne Antrieb rutschen oder drehen kann (vgl. Abb. 9.1b). Auch hier sind Fehler durch überzählige Koordinaten oder übersehene Bindungen möglich. Die Forderung xP T B xP 0 an die Dämpfungsmatrix B schließt Systeme mit Antrieb, wie zum Beispiel in Abschn. 4.6.3, aus, lässt jedoch ungedämpfte Systeme oder nur auf bestimmte Richtungen beschränkt wirkende Dämpfung zu. Zur Lösung von Aufgabe 10.2 Ein mechanisches System, dessen Bewegungen durch M xR C K x D 0

(18.375)

beschrieben werden, vgl. (9.11), (9.19), kann freie ungedämpfte Schwingungen ausführen, vgl. Abschn. 9.3.1 bis 9.3.4. Dafür folgt aus (18.374) T2  T1 C U2  U1 D 0;

(18.376)

durch Umstellen, T2 C U2 D T1 C U1 , mit t2 ! t und E D T C U E D T C U D E1 D T1 C U1 :

(18.377)

Das ist der Erhaltungssatz der mechanischen Energie E.t/ D

1 T 1 xP M xP C x T K x 2 2

(18.378)

im konservativen mechanischen System (18.375). Differenziert man E.t/ nach der Zeit, gelangt man wegen der Symmetrie von M D M T und K D K T zu EP D xP T M xR C xP T K x D 0;

(18.379)

18.10

Lösungen zu Kap. 10

413

vgl. (18.367), (18.368). Ersetzt man die Terme .xP T M xR C xP T K x/ in der allgemeinen Leistungsbilanz (18.365) durch EP und stellt um, erhält man EP D xP T B xP C xP T F e .t/:

(18.380)

Die viskose Dämpfung kann dem System nur mechanische Energie entziehen, die äußeren Kräfte führen Energie zu oder ab. Lösung 10.3 Wendet man das Skalarprodukt (10.4)1 auf die komplexen Vektoren (Spaltenmatrizen!) x D u C j v und x  D uT  j vT an, folgt wegen der positiven Definitheit und Symmetrie von M : .x; x/M D x  M x D .uT  j vT /M .u C j v/ D uT M u  j vT M u C j uT M v C vT M v D uT M u  j vT M u C j.uT M v/T C vT M v

(18.381)

D u Mu  j v Mu C j v M u C v Mv T

T

T

T

T

D uT M u C vT M v > 0; reell; denn uT M u > 0; vT M v > 0 gelten wegen u; v ¤ 0; reell je für sich. Da auch die Einsmatrix I definit und symmetrisch ist, gilt .x; x/I > 0 gleichermaßen. Wegen der Symmetrie und des positiven Semidefinit-Sein von K wird .x; x/K reell und nie negativ. Lösung 10.4 Wir zeigen zuerst, dass die Eigenlösungen . k ; xO k / aus Abschn. 9.3.1 reell sind wenn M und K den Bedingungen (10.2), (10.3) genügen. Erfülle die evtl. komplexe Eigenlösung . k ; xO k / das Eigenwertproblem (9.23): .M k C K /xO k D 0I

(18.382)

M xO k k D K xO k :

(18.383)

auseinandergezogen: Multiplikation von (18.383) mit

xO k

von links führt auf

xO k M xO k k D xO k K xO k

(18.384)

mit xO k M xO k D .xO k ; xO k /M > 0, reell, xO k K xO k D .xO k ; xO k /K 0, reell. Also folgt aus (18.384) (18.385)

k D xO k K xO k =xO k M xO k 0; reell: Dann ist nach (18.382) auch der Eigenvektor xO k reell. Dies gilt für alle Eigenlösungen.

414

18

Lösungen

Zum Nachweis der Orthogonalität der Eigenlösungen . k ; xO k /; . l ; xO l / mit k ¤ l : Wir ergänzen (18.383) durch die . l ; xO l / entsprechende Gleichung und erhalten M xO k k D K xO k ;

M xO l l D K xO l :

(18.386)

Multipliziert man die erste Gleichung von links mit xO Tl , die zweite mit xO Tk , so folgen xO Tl M xO k k D xO Tl K xO k ;

xO Tk M xO l l D xO Tk K xO l :

(18.387)



T

T Wegen der Symmetrie von M und K gelten xO Tl M xO k D xO Tk M xO l ; xO Tl K xO k D T xO k K xO l . Dann heben sich in der Differenz der beiden Gln. (18.386) die rechten Seiten auf, es verbleibt: (18.388) . k  l /xO Tl M xO k D 0: Für k ¤ l folgt daraus .xO k ; xO l /M D xO Tk M xO l D 0:

(18.389)

.xO k ; xO l /K D xO Tk K xO l D 0:

(18.390)

Wegen (18.387) gilt dann auch

Eigenvektoren xO k ; xO l zu verschiedenen Eigenwerten k ¤ l sind im Sinne des Skalarprodukts .xO k ; xO l /M orthogonal. Im Fall k D l folgt aus (18.388) keine Aussage. Bei k D l geht es um dieselbe (Einfach-)Wurzel; aus (18.387) folgt xO Tk M xO k k D xO Tk K xO k :

(18.391)

Lösung 10.5 Im n-dimensionalen Raum der Eigenvektoren xO k ; k D 1; : : : ; n, die gemäß (10.16) auf .xO k ; xO k /M D xO Tk M xO k D 1

(18.392)

normiert sein mögen, sei ein n-dimensionaler Vektor x (Spaltenmatrix) vorgegeben. Es soll gezeigt werden, dass x ?xO k D x  .x; xO k /M xO k

(18.393)

im Sinne des Skalarprodukts .xO k ; xO l /M D xO Tk M xO l auf xO k senkrecht steht. Die Bedingung ist erfüllt, wenn die Projektion von x ?xO k auf xO k verschwindet: .x ?xO k ; xO k /M D 0:

(18.394)

18.10

Lösungen zu Kap. 10

415

Einsetzen von x ?xO k nach (18.393) in (18.394) und Ausrechnen liefert wegen (18.392) .x ?xO k ; xO k /M D .x  .x; xO k /M xO k ; xO k /M D .x; xO k /M  ..x; xO k /M xO k ; xO k /M D .x; xO k /M  .x; xO k /M  .xO k ; xO k /M

(18.395)

D .x; xO k /M  .x; xO k /M  1 D 0: Das war zu zeigen. Lösung 10.6 Diese Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar. Nur der erste „Einsvektor“ xO I WD xO 1 liegt fest. Orthogonal dazu kann man, in der von xO 2 ; xO 3 aufgespannten „Ebene“, einen zweiten Einsvektor willkürlich wählen, vom dritten liegt dann die Richtung fest, die Orientierung (das Vorzeichen, der Richtungssinn) – ins Rechts- oder Linkssystem – ist auch dann noch frei. Wir gehen schrittweise vor und orthogonalisieren zunächst xO 2 bezüglich xO I : Demgemäß folgt aus (10.18) die zu xO I orthogonale Komponente von xO 2 : xO 2?xO I D xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I :

(18.396)

Sie wird nach dem Vorbild von Abschn. 10.1.3 normalisiert (vgl. Bezeichnungen dort): Mit xO II D c2  xO 2?xO I D c2  .xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I / fordern wir .xO II ; xO II /M D c22  ..xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I / ; .xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I //M D 1:

(18.397)

Ausrechnen liefert ..xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I / ; .xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I //M D .xO 2 ; xO 2 /M  2  .xO 2 ; xO I /M .xO 2 ; xO I /M C .xO 2 ; xO I /2M D .xO 2 ; xO 2 /M 

(18.398)

.xO 2 ; xO I /2M :

Damit folgt xO II D c2  .xO 2  .xO 2 ; xO I /M xO I /

q mit c2 D ˙1= .xO 2 ; xO 2 /M  .xO 2 ; xO I /2M :

(18.399)

Das dritte Bein xO III muss nun senkrecht auf xO I und xO II stehen und .xO III ; xO III /M D 1 erfüllen. Wir setzen an: (18.400) xO III D c3  .xO 3  ˛1 xO I  ˛2 xO II / : Aus .xO III ; xO I /M D c3  .xO 3  ˛1 xO I  ˛2 xO II ; xO I /M D c3  ..xO 3 ; xO I /M  ˛1 / D 0; .xO III ; xO II /M D c3  .xO 3  ˛1 xO I  ˛2 xO II ; xO II /M D c3  ..xO 3 ; xO II /M  ˛2 / D 0;

(18.401)

416

18

Lösungen

folgen (bei c3 ¤ 0) ˛1 D .xO 3 ; xO I /M ;

˛2 D .xO 3 ; xO II /M :

(18.402)

Die Normierung führt auf .xO III ; xO III /M D c32 ..xO 3  .xO 3 ; xO I /M xO I  .xO 3 ; xO II /M xO II / ; : : : .xO 3  .xO 3 ; xO I /M xO I  .xO 3 ; xO II /M xO II //M D 1:

(18.403)

Ausrechnen liefert ..xO 3  .xO 3 ; xO I /M xO I  .xO 3 ; xO II /M xO II / ; .xO 3  .xO 3 ; xO I /M xO I  .xO 3 ; xO II /M xO II //M D .xO 3 ; xO 3 /M  2.xO 3 ; xO I /M .xO 3 ; xO I /M  2.xO 3 ; xO II /M .xO 3 ; xO II /M C .xO 3 ; xO I /2M C .xO 3 ; xO II /2M D .xO 3 ; xO 3 /M  .xO 3 ; xO I /2M  .xO 3 ; xO II /2M : (18.404) Damit folgt xO III D c3  .xO 3  .xO 3 ; xO I /M xO I  .xO 3 ; xO II /M xO I / q mit c3 D ˙1= .xO 3 ; xO 3 /M  .xO 3 ; xO I /2M  .xO 3 ; xO II /2M :

(18.405)

Bemerkung Die Aussagen von (18.398) und von (18.404) kann man als Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras lesen. Lösung 10.7 Ausgangspunkt ist die Schwingungsgleichung (10.1): M xR C B xP C K x D F e :

(18.406)

Mit den Eigenlösungen . k ; xO k /, den Eigenvektoren xO k und den Modalkoordinaten qk D qk .t/ lautete die Summenform der Koordinatentransformation (10.19) x.t/ D

n X

xO k qk .t/:

(18.407)

kD1

Einsetzen von (18.407) in (18.406) liefert M

n X

xO k qR k C B

kD1

n X

xO k qPk C K

kD1

n X

xO k qk D F e :

(18.408)

kD1

Multiplikation des Gleichungssystems (18.408) von links mit dem transponierten Eigenvektor xO Tl führt auf xO Tl M

n X kD1

xO k qRk C xO Tl B

n X kD1

xO k qP k C xO Tl K

n X kD1

xO k qk D xO Tl F e :

(18.409)

18.10

Lösungen zu Kap. 10

417

Wegen der Orthogonalität (10.9), (10.10) und mit den Elementen der Diagonalmatrizen (10.14), den modalen Massen mk und den modalen Steifigkeiten k k entstehen aus (18.409) Q

Q

die l D 1; : : : ; n über die Dämpfungsmatrix B gekoppelten Gleichungen ml qRl C xO Tl B Q

n X

xO k qPk C k l qRl D Qel ; Q

kD1

wo Qel D xO Tl F e :

(18.410)

Lösung 10.8 In (10.25) geht es um die Amplitude x.˝/ O für die erzwungenen harmonischen Schwingungen x D xO cos ˝t des Schwingers M xR C K x D FO e cos ˝t, vgl. (9.51) und (9.53)ff. Für die Zerlegung in Eigenschwingungen .!k ; xO k / mit Hilfe der Modalvektoren xO k liefert (10.25) n X .xO Tk FO e / xO k : (18.411) xO D x.˝/ O D .!k C ˝/.!k  ˝/  mk kD1

Q

Das Zahlenbeispiel in Abschn. 9.4.3 betrifft den Zweimassenschwinger nach Abb. 9.3a, also gilt n D 2. In dem Beispiel wird mit bezogenen (dimensionslosen) Größen gearbeitet. Die bezogenen und normierten Eigenlösungen lauten, vgl. (9.40): !Q 1 D 0:648;

xOQ 1 D .0:544; 0:938/T ;

!Q 2 D 1:543;

xOQ 2 D .0:839; 0:608/T ; m Q 2 D 1:

m Q 1 D 1; Q

(18.412)

Q

Ferner gilt FOQ e D .0; 1/T , vgl. (9.54), (9.62). Damit lautet (18.411) für das Zahlenbeispiel ! ! 0:608 0:938 0:544 0:839  :   xOQ D Q Q Q Q 0:938 0:608 .0:648 C ˝/.0:648  ˝/ .1:543 C ˝/.1:543  ˝/ (18.413) Hiermit kann man die Diagramme nach Abb. 9.4 nachrechnen. Lösung 10.9 Ersetzt man in der Bewegungsgleichung (10.1), M xR C B xP C K x D F e

(18.414)

die allgemeine (symmetrische, positiv semidefinite) Dämpfungsmatrix B nach Rayleigh durch B D ˛M C ˇK ; (18.415) mit den zwei freien Parametern ˛; ˇ der Dimensionen Zeit bzw. 1=Zeit, erhält man M xR C .˛M C ˇK /xP C K x D F e :

(18.416)

418

18

Lösungen

Kommt man von der anschaulichen Vorstellung, dass die (d’Alembert’schen) Trägheitskräfte M xR gegenüber dem äußeren (Inertial-)Raum wirken, während die inneren (elastischen) Kräfte von K x der Verformung des Systems herrühren, spricht man ˛M als äußere und ˇK als innere Dämpfung an. (Zum Beispiel bei Drehschwingern wird die äußere Dämpfung auch von der Art der Oberfläche der drehenden Körper – glatter Zylinder gegenüber Schaufelbesetzung – abhängen.) Diagonalisiert man (18.416) auf Modalkoordinaten, vgl. (10.27), erhält man qR C .˛I C ˇ/qP C q D Qe ;

T

O F e: mit Qe D X

(18.417)

Die innere Dämpfung nimmt hiernach für große k (stark) zu, was praktischen Erfahrungen widerspricht. Das liegt jedoch schon an der Annahme einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung (und nicht erst an Rayleigh’s Annahme). Um weiterhin linear zu rechnen, setzt man gelegentlich auch für die einzelnen Gleichungen von (18.417), (18.418) qRk C ˛k qPk C k qk D Qek ; modale Dämpfungsbeiwerte ˛k nach Erfahrung an. Falls man jedoch auf solche Weise gewonnene Schwingungen überlagert, verletzt man die Linearitätsannahme des Ausgangssystems nach Abschn. 4.6.1, 4.6.2.

18.11 Lösungen zu Kap. 11 Lösung 11.1 Abb. 18.50a zeigt das Dreh-Schwingungssystem schematisch, ohne die Lager: Zwei (Torsions-)Wellen, Drehsteifigkeiten kT 1 und kT 2 , mit End-Drehmassen J1 bzw. J4 und den Drehmassen J2 bzw. J3 der Getriebezahnräder, Teilkreisradien r2 bzw. r3 . Koordinaten (und Bindungsgleichungen), s. Abb. 18.50b: Die vier Drehwinkel 'k ; k D 1; : : : ; 4, werden in Anlehnung an Abschn. 11.2.1 mit einheitlicher Orientierung gewählt. Die Bindungsgleichung folgt aus Abrollen der (starren) Zahnräder auf ihren Teilkreisen: Umfangsgeschwindigkeiten v2 D r2 'P2 ; v3 D r3 'P3 . Abrollbedingung: v2 D v3 (aus Skizze), damit Bindungsgleichung für Winkelgeschwindigkeiten r2 'P2 D r3 'P3 . Integration liefert Bindungsgleichung für Winkel r2 '2 D r3 '3 (Integrationskonstante gleich 0 gesetzt). Übersetzungsverhältnis von Rad 3 gegenüber Rad 2 (18.419) i3=2 D '3 ='2 D r2 =r3 ; kurz '3 D i'2 :

18.11

Lösungen zu Kap. 11

419

a

b

c

d

Abb. 18.50 Schwingungssystem: a Ersatzsystem, b Drehwinkel, c Schnittbilder Welle 1, d Schnittbilder Welle 2

Schnittbilder, s. Abb. 18.50c, d, vereinfachende Annahmen teils impliziert: Die Schnittbilder enthalten die d’Alembert’schen Momente Jk 'Rk der Drehmassen; Torsionswellen 1 und 2 ohne Trägheit, dort Torsionsmomente MT 1 ; MT 2 je für sich im Momentengleichgewicht. Die Zahnräder übertragen die Drehung ohne Spiel durch (tangential) am Teilkreisberührpunkt angreifende Umfangskraft FU . P .k/ Momentengleichgewicht Mi D 0 an den vier Drehmassen Jk : k D 1W

J1 'R1 C MT 1 D 0;

k D 2W

J2 'R2  MT 1  FU r2 D 0;

k D 3W

J3 'R3 C MT 2  FU r3 D 0;

k D 4W

J4 'R4  MT 2 D 0:

(18.420)

Verwindung der (Torsions-)Wellen: Mit den Drehsteifigkeiten kT 1 ; kT 2 folgen für MT 1 ; MT 2 MT 1 D kT 1 .'2  '1 /;

MT 2 D kT 2 .'4  '3 /:

(18.421)

420

18

Lösungen

Lösen der Gleichungen (Elimination von '3 ; MT 1 ; MT 2 und FU ): Einsetzen von '3 aus (18.419), von MT 1 ; MT 2 gemäß (18.421)1;2 sowie Bilden von 1=r3 Differenz r3 (18.420)2  r2 (18.420)3 führen mit r2 =r3 ) i auf das gesuchte Dgl.System J1 'R1 C kT 1 '1  kT 1 '2 D 0; .J2 C i J3 /'R2  kT 1 '1 C .kT 1 C i 2 kT 2 /'2  ikT 2 '4 D 0; 2

(18.422)

J4 'R4  ikT 2 '2 C kT 2 '4 D 0: Lösung 11.2 Dimensionslos (vgl. Abschn. 11.2.3) lautet das Dgl.-System (11.10) 0

JQ1 B @0 0

10 1 0 kQT 1 0 'R1 CB C B Q 0 A @'R2 A C @kT 1 JQ4 'R4 0

0 JQ5 0

kQT 1 kQT 3 i kQT 2

10 1 0 '1 CB C Q i kT 2 A @'2 A D 0 kQT 2 '4

(18.423)

mit den Abkürzungen JQ5 D JQ2 C i 2 JQ3 ; kQT 3 D kQT 1 C i 2 kQT 2 . Die Zahlenwerte (11.19) gehen bei Vertauschen von Zahnrad 2 gegen Zahnrad 3 – doch Beibehalten der alten Indizierung – über in JQ1 D 1; kQT 1 D 1;

JQ2 D 0:3; JQ3 D 0:2; JQ4 D 0:666; kQT 2 D 1:8; i D r2 =r3 D 1:25:

(18.424)

Werte der Abkürzungen: JQ5 D 0:613; kQT 3 D 3:813; i kQT 2 D 2:250. Das homogene Gleichungssystem lautet mit D ! 2 0

JQ1 C kQT 1 B kQT 1 @ 0

kQT 1 JQ5 C kQT 3 i kQT 2

10 1 0 'O1 CB C i kQT 2 A @'O2 A D 0; JQ4 C kQT 2 'O4

(18.425)

mit obigen Zahlenwerten 10 1 'O1 1  C 1 1 0 CB C B 1 0:613  C 3:813 2:250 A @'O2 A D 0: @ 0 2:250 0:666  C 1:800 'O4 0

(18.426)

Charakteristische Gl. (11.13):

 3

kQT 1 kQT 2 kQT 3 C C J1 J4 J5

!

2 C kQT 1 kQT 2

J1 C J4 i 2 C J5

D 0: J1 J4 J5

(18.427)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

421

Eigenwerte k mit obigen Zahlenwerten:

1 D 0;

2 D 1:348;

3 D 8:555:

(18.428)

Eigenfrequenzen !k D

p

k W

!1 D 0; !2 D 1:164; !3 D 2:925:

(18.429)

Eigenvektoren nach (11.17) oder aus 1. und 3. Zeile von (18.426) zu k nach (18.428): xO 1 D .1:1; 1:25/T ;

xO 2 D .2:721; 1; 2:530/T ;

xO 3 D .0:132; 1; 0:577/T ; (18.430)

Normierung der Eigenvektoren, 0

JO1 B T xO k M xO k D 1 mit M D @ 0 0

0 JO5 0

1 1 0 0 1 0 0 C C B 0 A; 0 A D @0 0:613 0 0 0:666 JO4

(18.431)

führt auf xO 1 D .0:614; 0:614; 0:767/T ;

xO 2 D .0:776; 0:285; 0:722/T ;

xO 3 D .0:143; 1:082; 0:625/T :

(18.432)

Dabei wurde das dem Betrage nach größte Element positiv gewählt. Um die Wellenverwindungen deutlich zu machen, müssen wir 'O3 D i  'O 2 D 1:25  'O 2 in die Eigenvektoren aufnehmen. Wir erhalten die folgenden Eigenschwingungen: !1 D 0; .'O1 ; 'O2 ; 'O3 ; 'O4 / D .0:614; 0:614; 0:767; 0:767/; !2 D 1:164; .'O 1 ; 'O2 ; 'O3 ; 'O4 / D .0:776; 0:285; 0:356; 0:722/;

(18.433)

!3 D 2:925; .'O 1 ; 'O2 ; 'O3 ; 'O4 / D .0:143; 1:082; 1:353; 0:625/: Man kann als Skizzen der Eigenschwingungsformen Abb. 11.7 übernehmen, wenn man die Zahlenwerte an (18.433) anpasst. Lösung 11.3 Wir schließen an die Lösung 11.2 an und übernehmen von dort die Vorarbeit und auch die Daten. Die für den Drehschwinger vom Freiheitgrad drei angesetzten Gleichungen gelten allgemein, das heißt, auch für spezielle „festgehaltene“ Auslenkungen. Festhalten bedeutete Nullsetzen einer Auslenkung, die entsprechenden Spalten der Koeffizientenmatrizen entfallen. Außerdem sorgt die Arretierung für Gleichgewicht, auch die entsprechende Matrixzeile entfällt. Damit wird der Freiheitsgrad drei um eins auf zwei reduziert, im Fall c) spaltet das System in zwei Schwinger vom Freiheitsgrad eins auf.

422

18

Lösungen

Wir übernehmen also aus Lösung 11.2: Dimensionslos (vgl. Abschn. 11.2.3) lautet das Dgl.-System (11.10) 0

JQ1 B @0 0

0 JQ5 0

10 1 0 kQT 1 0 'R1 CB C B Q 0 A @'R2 A C @kT 1 JQ4 'R4 0

kQT 1 kQT 3 i kQT 2

10 1 0 '1 CB C Q i kT 2 A @'2 A D 0 kQT 2 '4

(18.434)

mit den Abkürzungen JQ5 D JQ2 C i 2 JQ3 ; kQT 3 D kQT 1 C i 2 kQT 2 . Die Zahlenwerte (11.19) gehen bei Vertauschen von Zahnrad 2 gegen Zahnrad 3 – doch Beibehalten der alten Indizierung – über in JQ1 D 1; kQT 1 D 1;

JQ2 D 0:3; JQ3 D 0:2; JQ4 D 0:666; kQT 2 D 1:8; i D r2 =r3 D 1:25:

(18.435)

Werte der Abkürzungen: JQ5 D 0:613; kQT 3 D 3:813; i kQT 2 D 2:250. Das homogene Gleichungssystem lautet mit D ! 2 0

JQ1 C kQT 1 B kQT 1 @ 0

kQT 1 Q J5 C kQT 3 i kQT 2

10 1 0 'O1 CB C Q i kT 2 A @'O2 A D 0; Q J4 C kQT 2 'O4

(18.436)

mit obigen Zahlenwerten 10 1 'O1 1  C 1 1 0 CB C B 1 0:613  C 3:813 2:250 A @'O2 A D 0: @ 0 2:250 0:666  C 1:800 'O4 0

(18.437)

Ab hier müssen wir einschränken! Festhalten von J1 , Setzen von '1 0 führt auf JQ5 C kQT 3 i kQT 2

i kQT 2 JQ4 C kQT 2

!

'O2 'O4

! D 0;

! ! 'O2 0:613  C 3:813 2:250 D0 2:250 0:666  C 1:800 'O4

(18.438)

mit der charakteristischen Gleichung (Koeffizientendeterminante) .0:613  C 3:813/ .0:666  C 1:800/  2:2502 D 0:

(18.439)

Lösung der quadratischen Gl. (18.439) liefert

1 D 0:525; 2 D 8:398 und !1 D 0:725; !2 D 2:898:

(18.440)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

423

Festhalten von J4 , Setzen von '4 0 führt auf JQ1 C kQT 1 kQT 1

kQT 1 JQ5 C kQT 3

!

'O1 'O2

! D 0;

! ! 1  C 1 1 'O1 D0 'O2 1 0:613  C 3:813

(18.441)

mit der charakteristischen Gleichung .1  C 1/ .0:613  C 3:813/  1 D 0:

(18.442)

Lösung der quadratischen Gl. (18.442) liefert

1 D 0:704; 2 D 6:516 und !1 D 0:839; !2 D 2:553: Festhalten des Getriebes, Setzen von '2 0 führt auf 1 0 ! JQ1 C kQT 1 'O1 .1 

C 1/ ' O 1 A D 0; @ D0 .0:666  C 1:800/ 'O4 JQ4 C kQT 2 'O4

(18.443)

(18.444)

mit den charakteristischen Gleichungen .1  C 1/ D 0 und

.0:666  C 1:800/ D 0:

(18.445)

Lösungen:

1 D 1; 2 D 2:703 und !1 D 1; !2 D 1:644:

(18.446)

Lösung 11.4 Wir arbeiten mit den Daten, zum Teil auch mit den Ergebnissen der Aufgaben 11.2 und 11.3. Wir nehmen an, dass das Aggregat in der Ausgangssituation ohne Last (leer) läuft. Die Mannigfaltigkeit möglicher Sperren durch einen Zahnbruch ist groß. Das einfachste Modell Im – rechnerisch – einfachsten Modell verklemmt sich der ausgebrochene Zahn in einem „unendlich kurzen plastischen Stoß“ und blockiert anschließend die Getriebedrehung. („Unendlich kurz“ heißt, die Stoßdauer ist sehr kurz gegenüber den Perioden, der sogleich abzuhandelnden Eigenschwingungen. „Plastischer Stoß“ bedeutet, die kinetische Energie der beiden Getrieberäder wird z. B. in ,Zerbröckeln‘ des Schadzahns umgesetzt.) Unter diesen Bedingungen entstehen durch den Stoß aus dem Aggregat die beiden einfachen Drehschwinger nach Aufgabe 11.3c), deren Drehmassen unmittelbar nach dem Stoß mit den Winkelgeschwindigkeiten 'P1 .0/ D 'P10 D ˝

und 'P4 .0/ D 'P40 D ˝  i D 1:25˝

(18.447)

424

18

Lösungen

,weiterlaufen‘ und damit Eigenschwingungen auszuführen beginnen. Wählt man '1 .0/ D 0 und '4 .0/ D 0, das Getriebe ist mit '2 0 blockiert, so folgt mit den beiden Eigenfrequenzen !1 D 1 bzw. !2 D 1:644 aus (18.443) analog zu (5.17) in dimensionsloser(!) Form '1 .t/ D ˝=!1  sin !1 t

und '4 .0/ D 1:25˝=!2  sin !2 t:

(18.448)

Diese Schwingungen klingen infolge der (hier nicht berücksichtigten) Dämpfung ab. Mit den Wellentorsionssteifigkeiten kT 1 und kT 2 könnte man z. B. mit den Winkeln aus (18.448) nach (18.421) aus Aufgabe 11.1 die gemäß diesem Modell maximal möglichen Torsionsmomente berechnen. Eine erste Verbesserung des Modells Es ist unwahrscheinlich, dass das Getriebe des Aggregats nach dem Zahnbruch vollständig blockiert ist. Selbst wenn der Stoß, wie im einfachsten Modell, plastisch abläuft und die beiden Eigenschwingungen einsetzen, wird sich die Bruchblockade nach Umkehr der Bewegungsrichtung einer oder beider Eigenschwingungen wieder öffnen, die beiden Zahnräder werden – wenigstens ein Stück – gemeinsam (in den Bereich unzerstörter Zähne) zurückdrehen. Für eine genauere Untersuchung muss man ein (Teil-) Modell für den Bruch entwickeln (in einem Schadenfall liegen vielleicht Beobachtungen vor). Abb. 18.51 zeigt eine grobe Skizze des angenommenen Zahnbruchs am Getrieberad J3 . Der Zahn I des rechtsdrehenden Rades J2 ist in die Bruchlücke am Rad J3 gestoßen und hat das Getriebe in diese Drehrichtung blockiert. Das Rad J1 schwingt nun rechtsdrehend gemäß (18.448)1 und erzeugt nach (18.421)1 gemäß der Lösung zu Aufgabe 11.1 (es gelten die dort eingeführten Größen) das Moment MT 1 .t/ D kT 1 ˝=!1  sin !1 t:

(18.449)

Der Zahn I hat auch das Rad J3 gestoppt, nach (18.448)2 und (18.421)2 wirkt hier das Moment (18.450) MT 2 .t/ D 1:25kT 2 ˝=!2  sin !2 t: (Die Skizze deutet ergänzend auch die als starr angenommene Wellenlagerung an. Bei einer realen Maschine könnte die Nachgiebigkeit der Lager auf den Vorgang großen Einfluss haben.) Wie im einfachsten Modell angesetzt, wirken beide Momente zu Beginn in die gesperrte Richtung. Lösen kann sich die Sperrung frühestens, wenn das am raschesten schwingende Moment seine Richtung umkehrt und mit einem intakten Zahn die Hemmung aufdrückt, vgl. Abb. 18.51. Den Vorgang stark vereinfachend schreiben wir dazu die mit den Radien r2 und r3 aus den Momenten berechneten Umfangskräfte FI D MT 1 =r2 und FII D MT 2 =r3 , beide nach rechts positiv: FI .t/ D kT 1 ˝=r2 !1  sin !1 t;

FII .t/ D 1:25kT 2 ˝=r3 !2  sin !2 t:

(18.451)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

425

In Summe, FL D FI C FII , drücken sie, wenn negativ, in die Lücke: FL .t/ D FI C FII D kT 1 ˝=r2 !1  sin !1 t  1:25kT 2 ˝=r3 !2  sin !2 t:

(18.452)

Wir brauchen den Zeitpunkt tE , zu dem die Lücke entlastet wird: FL .tE / D 0. Mit den Zahlen aus Aufgabe 11.3 erhalten wir (nach Multiplikation mit r2 ) r2 FL .tE / D ˝  sin tE  1:252 1:8˝=1:644  sin 1:644tE

(18.453)

D ˝. sin tE  1:710 sin 1:644tE / D 0:

Zeichnen des Graphen von y D . sin tE  1:710 sin 1:644tE / mit Derive liefert die (Näherungs-)Lösung tE D 2:205 sowie nach (18.448) '1 .tE / D ˝=!1  sin !1 tE D ˝  sin 2:205 D 0:806˝; 'P1 .tE / D ˝  cos !1 tE D ˝  cos 2:205 D 0:593˝; '4 .tE / D 1:25˝=!2  sin !2 tE D 0:760˝ sin 3:625 D 0:353˝; 'P4 .tE / D 1:25˝  cos !2 tE D 1:250˝ cos 3:625 D 1:107˝; '2 .tE / D 0;

(18.454)

sowie

'P2 .tE / D 0:

Dies sind die Anfangswerte, mit denen der – nun wieder Dreimassenschwinger, vgl. Aufgabe 11.2 – für t tE zunächst schwingt. Dessen allgemeine Lösung setzen wir mit den Eigenschwingungen .!k ; xO k / nach (18.432/18.433) und mit t  D t  tE an: 1 0 10 1 0:614 0:776 0:143 a C bt  '1 .t  / C B CB C B @'2 .t  /A D @0:614 0:285 1:082 A @ac2 cos 1:164t  C as2 sin 1:164t  A : ac3 cos 2:925t  C as3 sin 2:925t  0:767 0:722 0:625 '4 .t  / (18.455) Anfangsauslenkungen: 0

10 1 1 0 1 0 a 0:614 0:776 0:143 '1 .0/ 0:806 1 B CB C 1 C B C B @'2 .0/A D @ 0 A D @0:614 0:285 1:082 A @ac2 A : ˝ ˝ 0:767 0:722 0:625 0:353 '4 .0/ ac3 0

(18.456)

Anfangsgeschwindigkeiten: 10 1 0 1 0 1 b 0:614 0:776 0:143 'P1 .0/ 0:593 1 B CB C B C B C 1 @'P2 .0/A D @ 0 A D @0:614 0:285 1:082 A @1:164as2 A : (18.457) ˝ ˝ 0:767 0:722 0:625 1:107 'P4 .0/ 2:925as3 0

426

18

Lösungen

Lösen der linearen Gleichungen mit Derive liefert in der Form (18.455) 1 1 0 0:614 0:776 0:143 '1 .t  / C C B B @'2 .t  /A D ˝ @0:614 0:285 1:082 A 0:767 0:722 0:625 '4 .t  / 0 1 0:675 C 0:202t  B C  @0:456 cos 1:164t  C 0:853 sin 1:164t  A : 0:263 cos 2:925t  C 0:129 sin 2:925t  0

(18.458)

Abb. 18.52 zeigt den Anfangs-Zeitverlauf von '1 .t  /; '2 .t  /; '4 .t  /. Man sieht, dass das Getriebe (bei fehlendem Antrieb) schwingend gegen die ursprüngliche Richtung dreht (bis es wieder auf die Lücke trifft). Ein weiteres einfaches Modell wäre ein ideal elastischer (unendlich kurzer) Stoß, bei dem das Getriebe seine Drehrichtung plötzlich umkehrt, während die Drehmassen J1 ; J4 momentan weiterlaufen. Genauere Modelle müssen zum Beispiel die Zahnkräfte nach Angriffspunkt und Richtung, die Nachgiebigkeit der Lagerung usw. erfassen. Abb. 18.51 Zahnbruch

Abb. 18.52 Rückschwingung

18.11

Lösungen zu Kap. 11

427

Lösung 11.5 Wir gehen parallel zu Abschn. 11.3.1 vor, benutzen auch die Abb. 11.8a, beachten in Abb. 11.8b jedoch Welle 1 ! Welle 1r ; '1 ! '1r ; '2 ! '2r ; J1 ! J1r ; kT 1 ! kTr 1 , während bei Welle 2, '3 ; '4 ; J4 ; kT 2 die ursprüngliche Bedeutung behalten. Gemäß (11.21) gilt für kinetische und potentielle Energie des Ausgangssystems 1 1 1 1 J1 'P12 C J2 'P22 C J3 'P32 C J4 'P42 ; 2 2 2 2 1 1 U D kT 1 .'2  '1 /2 C kT 2 .'4  '3 /2 : 2 2 T D

(18.459)

Wir behalten auch hier das (alte) Übersetzungsverhältnis (11.22) bei: i D r2 =r3 ;

'2 D '3 =i:

(18.460)

Die auf (11.22) folgende Aussage passen wir für unseren Fall an: Falls die Wellen (torsions-)starr sind, sich infolge von Momenten also nicht verformen, ist 1=i das Übersetzungsverhältnis von Welle 1 gegenüber Welle 2. In dem Fall gilt auch '1 D '2 D '3 =i D '4 =i. Man setzt, auch bei verformbarer Welle 1 '1 D '1r =i;

'2 D '2r =i:

(18.461)

Damit folgen aus (18.459) mit den Auslenkungen '1r ; '2r ; '4 die Reduzierungen

1 1 1 J1 =i 2 .'P1r /2 C J2 =i 2 C J3 .'P2r /2 C J4 'P42 2 2 2 1 r r 2 1 r r 2 1 2 D J1 .'P1 / C J2 .'P2 / C J4 'P4 2 2 2

T D

(18.462)

und

1 1 kT 1 =i 2 .'2r  '1r /2 C kT 2 .'4  '2r /2 2 2 (18.463) 1 r 1 r r 2 D kT 1 .'2  '1 / C kT 2 .'4  '2r /2 : 2 2 Mithin gelten für das auf Welle 2 reduzierte System (vgl. die Bildwelle in Abb. 18.53): U D

'1 D '1r =i; J1r kTr 1 Abb. 18.53 Bildwelle

'2 D '2r =iI

D J1 =i ; 2

D kT 1 =i ; 2

J2r

i D r2 =r3 ;

D J2 =i C J3 ; 2

kT 2 D kT 2 :

J4 D J4 ;

(18.464)

428

18

Lösungen

Lösung 11.6 Aus der Lösung 11.5 übernehmen wir die Reduktionsbeziehungen (18.464), sowie, für das reduzierte System, aus (18.462)2 bzw. (18.463)2 die kinetische und die potentielle Energie. Damit folgen die Bewegungsgleichungen nach Lagrange, vgl. z. B. Abschn. 11.2.1, in Matrixform 10 1 0 10 1 0 0 kTr 1 0 kTr 1 'R1r '1r J1r 0 C C C C B B B B (18.465) @ 0 J2r 0 A @'R2r A C @kTr 1 kTr 1 C kT 2 kT 2 A @'2r A D 0: 0 0 J4 'R4 0 kT 2 kT 2 '4 Lösung 11.7 Wie bei Aufgabe 11.6 übernehmen wir aus der Lösung 11.5 die Reduktionsbeziehungen (18.464). Abb. 18.54 zeigt die Schnittbilder zum Wellenstrang der Bildwelle nach Abb. 18.53:  Teilbild a die Drehmassen mit den d’Alembert’schen Momenten den von den Wellen ausgeübten Torsionsmomenten,  Teilbild b die Wellen mit den (paarig im Gleichgewicht eingeführten) Torsionsmomenten. An den Drehmassen liefern die jeweiligen Bedingungen für Momentengleichgewicht, P Mi D 0: Drehmasse J1r W J1r 'R1r C MTr 1 D 0; Drehmasse J2r W

J2r 'R2r  MTr 1 C MT 2 D 0;

Drehmasse J4 W

J4 'R4  MT 2 D 0:

(18.466)

Die Torsionsmomente der Wellen folgen als Produkt von jeweiliger Verwindung mal Drehsteifigkeit: Welle 1r W Verwindung '2r  '1r ; Welle 2W

Torsionsmoment MTr 1 D kTr 1 .'2r  '1r /;

Verwindung '4  '2r ; Torsionsmoment MT 2 D kT 2 .'4  '2r /:

(18.467)

Einsetzen der Ausdrücke für die Torsionsmomente aus (18.467) in die Gln (18.466) liefert die Bewegungsgleichungen in der Form J1r 'R1r C kTr 1 '1r  kTr 1 '2r D 0; J2r 'R2r  kTr 1 '1r C .kTr 1 C kT 2 /'2r  kT 2 '4 D 0; J4 'R4 

kT 2 '2r

C kT 2 '4 D 0;

die man leicht als Matrizengleichung (18.465) schreiben kann.

(18.468)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

429

a

b

Abb. 18.54 Schnittbilder zu Abb. 18.53, a Drehmassen J1r ; J2r ; J4 , b Wellen kTr 1 ; kTr 2

Lösung 11.8 Die Bewegungsgleichung (11.28) für die Bildwelle, Abb. 11.8b, zum Drehschwinger nach Abb. 11.8a lautet: 10 1 0 10 1 0 0 kT 1 0 kT 1 'R1 '1 J1 0 CB C B CB C B (18.469) @ 0 J2r 0 A @'R2 A C @kT 1 kT 1 C kTr 2 kTr 2 A @ '2 A D 0: r r r r r 'R4 0 kT 2 kT 2 '4 0 0 J4 Die Reduktionsbeziehungen (11.23), (11.26), (11.27) lauten: '3 D i'3r D i'2 ;

'4 D i'4r ;

J2r D J2 C i 2 J3 ;

J4r D i 2 J4 ;

kTr 2

D i kT 2 I 2

(18.470)

i D i3=2 D r2 =r3 :

Bezogene Zahlenwerte der Systemparameter nach (11.19): JQ1 D 1; kQT 1 D 1;

JQ2 D 0:2; JQ3 D 0:3; JQ4 D 0:666; kQT 2 D 1:8; i D 0:8I

(18.471)

Das Eigenwertproblem zu (18.469), vgl. Abschn. 9.3, wird mit der Matlab-Routine [V,D] = eig(A,B) gelöst und führt – für die Bildwelle – auf die Eigenlösungen .!1 ; xO 1 / D .0; .0:7424; 0:7424; 0:7424/T /; .!2 ; xO 2 / D .1:2936; .0:6375; 0:4293; 1:1109/T /; .!3 ; xO 3 / D .2:7466; .0:2059; 1:3474; 0:7630/ /: T

Sie sind in Abb. 18.55 dargestellt.

(18.472)

430

18

Lösungen

Abb. 18.55 Eigenformen der Bildwelle, siehe Matlab® Programm

Lösung 11.9 Wir schließen an die Lösung 11.8 an. In den Eigenlösungen zur Bildwelle (18.472) stehen die xQ i für xO i D .'O1 ; 'O2 ; 'O4r /T . Mit den Reduktionsbeziehungen nach (18.470)1;2, '3 D i'3r D i'2 ;

'4 D i'4r ;

(18.473)

folgt 'O i D .'1 ; '2 ; '3 ; '4 /Ti D .'1 ; '2 ; i3=2  '2 ; i3=2  '4r /Ti :

(18.474)

Mit i3=2 D 0:8 erhält man aus (18.472), vgl. das Matlab -Programm zu Aufgabe 11.8: ®

.!1 ; 'O 1 / D .0; .1:000; 1:000; 0:8000; 0:8000/T /; .!2 ; 'O 2 / D .1:2936; .0:5739; 0:3864; 0:3091; 0:8000/T /;

(18.475)

.!3 ; 'O 3 / D .2:7466; .0:1528; 1:0000; 0:8000; 0:4530/ /: T

Diese Eigenvektoren sind nicht normiert. Lösung 11.10 Abb. 18.56 zeigt die Schnittbilder für die Drehmassen J1 ; J2 ; J3 ; J4 , wobei die Zahnräder J2 ; J3 nicht auseinandergeschnitten sind. Nur die äußeren Erregermomente sowie die Dämpfungsanteile der Wellenmomente sind eingetragen: Mi D Mi .t/; i D 1; : : : ; 4;

bzw. M1b D bT 1 .'2 '1 /; M2b D bT 2 .'4 '3 / (18.476)

Die elastischen Anteile sind durch das Potential U nach (11.25), (11.36) erfasst. Die Zahnkräfte liefern – als paarig auftretende Reaktionskräfte ohne Relativbewegung – keine Beiträge zu den virtuellen Arbeiten.

18.11

Lösungen zu Kap. 11

431

Für die verbleibenden virtuellen Arbeiten gilt ıW1 D M1 ı'1 C bT 1 .'P2  'P1 /ı'1 ;

ıW2 D M2 ı'2  bT 1 .'P2  'P1 /ı'2 ;

ıW3 D M3 ı'3 C bT 2 .'P4  'P3 /ı'3 ; ıW4 D M4 ı'4  bT 2 .'P4  'P3 /ı'4 I

(18.477)

Zusammengefasst, vgl. (11.33): ıW D M1 ı'1 C M2 ı'2  M3 ı'3 C M4 ı'4  bT 1 .'P2  'P1 /.ı'2  ı'1 /  bT 2 .'P4  'P3 /.ı'4  ı'3 / D

4 X

(18.478)

Qi ı'i :

i D1

Die Reduktionsgleichungen (11.34) lauten mit i D i3=2 D r2 =r3 , vgl. (11.22), '3 D i'2 ; 'P3 D i 'P2 ; ı'3 D iı'2 ; '4 D i'4r ; 'P4 D i 'P4r ; ı'4 D iı'4r :

(18.479)

Die Gleichungen der ersten Zeile erfassen die Bindung der beiden Wellendrehungen durch die Zahnräder. (18.478) mit (18.479) ergibt die virtuelle Arbeit (11.37).

Abb. 18.56 Schnittbilder

Lösung 11.11 Wir beschränken uns auf die „schnelle Lösung“, indem wir – gemäß dem Hinweis aus Abschn. 9.2.3 – den Übergang von der Reduktion auf Welle 1, vgl. Abschn. 11.3.1, zur Reduktion auf Welle 2, vgl. Lösungen 11.5 und 11.6, als Koordinatentransformationen auffassen. (Dabei verlassen wir uns darauf, dass (11.39) und (11.42) korrekt sind.)

432

18

Lösungen

Wir unterscheiden die Spaltenmatrizen der Koordinaten (der Drehwinkel) in den Bewegungsgleichungen (11.10), (11.28) und (18.465) – aus Aufgabe 11.6 – wie folgt durch Indizes: AusgangssystemW .'1 ; '2 ; '4 /TA ; Red. auf Welle 1W

.'1 ; '2 ; '4r /TI ;

Red. auf Welle 2W

.'1r ; '2r ; '4 /TII :

(18.480)

Dabei schreiben wir der Deutlichkeit halber die römischen Indizes I, II für 1 bzw. 2. Gemäß Abschn. 11.3.1 bzw. Aufgabe 11.6 lauten die Transformationen, mit i D i3=2 , vgl. (11.22), 0 1 0 0 1 10 1 '1 1 0 0 '1 '1 B C B B C CB C @' 2 A D @0 1 0 A @ ' 2 A D T I @ ' 2 A ; '4 '4r I '4r I 0 0 i (18.481) 0 1A 0 0 1 10 1 '1 '1r '1r 1=i 0 0 B C B C CB C B 1=i 0A @'2r A D T II @'2r A ; @' 2 A D @ 0 '4 A '4 II '4 II 0 0 1 1 1 0 0 C B T I D @0 1 0 A ; 0 0 i 0

wo

0

1=i B T II D @ 0 0

0 1=i 0

1 0 C 0A : 1

(18.482)

Gleichsetzen der linken Seiten von (18.481) liefert  T I  '1  also '1

'2 '2

'4r '4r

T I

T I

 D T II  '1r

'2r

 r D T 1 I T II  '1

T '4 '2r

II

; T

'4

II

 D T  '1r

'2r

T '4

(18.483)

II

mit T D T 1 I T II D 1=i  I; I  Einsmatrix: Wir kürzen (11.39) bzw. (11.42) der Schreibarbeit halber, analog zu (9.11) und (10.1), symbolisch ab, wobei die obigen Indizes benutzt werden: M I xR I C B I xP I C K I x I D F eI :

(18.484)

Die gesuchte Bewegungsgleichung lautet symbolisch M II xR II C B II xP II C K II xR II D F eII :

(18.485)

Die Transformation (18.483) lautet nun x I D T x II D 1=i  x II :

(18.486)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

433

Einsetzen von (18.486) in (18.484) liefert M I T xR II C B I T xP II C K I T x II D F eI :

(18.487)

Diese Gleichung ist korrekt, doch sind die Koeffizientenmatrizen M I T usw. unsymmetrisch, wie wir im Abschn. 9.2.3 gesehen haben. Die ganze Gl. (18.487) muss noch von links mit der Transponierten T T multipliziert werden: T T M I T xR II C T T B I T xP II C T T K I T x II D T T F eI :

(18.488)

Der Vergleich mit (18.485) zeigt M II D T T M I T ;

B II D T T B I T ;

K II D T T K I T ;

F eII D T T F eI :

(18.489)

Da hier(!) T D 1=i  I D 1=i gilt, folgt aus (18.489) M II D 1=i 2  M I ;

B II D 1=i 2  B I ;

K II D 1=i 2  K I ;

F eII D 1=i  F eI I (18.490)

siehe auch die Aufgaben 11.5 und 11.6. Lösung 11.12 Die Bewegungsgleichung (11.44) lautet Q xQ o C K Q xQ D fQ cos ˝Q tQ Q xQ ıı C bQ K M

(18.491)

mit den numerischen Werten (11.40) bzw.(11.43) bQ D 0:015 und 0 1 1 B C fQ D @0A : 0 (18.492) Für die ungedämpfte erzwungenen Schwingungen folgt aus (18.491) mit bQ D 0 und dem Lösungsansatz xQ D xOQ cos ˝Q tQ (18.493)

1 2 Q M Q ˝Q xOQ D K fQ : (18.494) 1 1:0 0 0 C Q DB M 0 A; @ 0 0:392 0 0 0:427 0

1 1:0 1:0 0 C Q DB K @1:0 2:152 1:152A ; 0 1:152 1:152 0

Schreibweise der Lösungen auch, vgl. (11.48), xQ l D xOQ l cos ˝Q tQ bzw. xQ l D jxOQ l j cos.˝Q tQ  ˛l / mit

˛l D 0; ˙; l D 1; 2; 3: (18.495) Für die gedämpften Schwingungen folgt – komplex – aus (18.491) Q xQ ıı C bQ K Q xQ o C K Q xQ D fQ e j ˝Q tQ ; M

(18.496)

434

18

und mit dem Lösungsansatz vgl. (11.46),

Q

Lösungen

OQ j ˝ tQ; xQ D xe

(18.497)

 1 Q ˝Q K Q Q M Q ˝Q 2 C bj xOQ D K fQ :

(18.498)

Schreibweise der Lösungen Q

Q

xQ j D xQ j e j ˝ tQ

bzw. xQ j D jxQ j je j.˝ tQ˛l / ;

  < ˛l  ; l D 1; 2; 3: (18.499) Die Lösungen (18.494) und (18.498) durch Matrix-Inversion lassen sich mit Matlab unmittelbar numerisch gewinnen. wo

Lösung 11.13 Die gemäß Aufgabe 11.8 direkt berechneten (normierten) Eigenlösungen (18.472) lauten, angepasst an die Schreibweise von (11.44), doch ungedämpft, .!Q 1 ; xOQ 1 / D .0; .0:7424; 0:7424; 0:7424/T /; .!Q 2 ; xOQ 2 / D .1:2936; .0:6375; 0:4293; 1:1109/T /;

(18.500)

.!Q 3 ; xOQ 3 / D .2:7466; .0:2059; 1:3474; 0:7630/ /: T

Aus Abschn. 11.2.3 folgen mit 'O4r D 'O4 =i D 'O4 =0:8, vgl. (11.20) .!Q 1 ; xOQ 1 / D .0; .0:742; 0:742; 0:741/T /; .!Q 2 ; xOQ 2 / D .1:290; .0:638; 0:424; 1:106/T /;

(18.501)

.!Q 3 ; xOQ 3 / D .2:743; .0:206; 1:349; 0:756/T /; was sich von den voranstehenden Zahlen durch Rundungsabweichungen unterscheidet. Gl. (10.25) lautet für den vorliegenden Freiheitsgrad n D 3 OQ ˝/ Q D x.

xOQ T1 f xOQ T2 f xOQ 1 C xOQ Q  m1 Q  .!Q 2  ˝/ Q  m2 2 ˝Q  .˝/ .!Q 2 C ˝/ Q

C

Q

xOQ T3 f

Q  .!Q 3  ˝/ Q  m3 .!Q 3 C ˝/ Q

xOQ 3 :

(18.502)

18.11

Lösungen zu Kap. 11

435

Mit f D .1; 0; 0/T , mk D 1 (die Eigenvektoren sind normiert!) und den Zahlenwerten Q

aus (18.500) folgt aus (18.502) OQ ˝/ Q D 0:7424 .0:7424; 0:7424; 0:7424/T x. Q ˝Q  .˝/ 0:6375 C .0:6375; 0:4293; 1:1109/T Q  .1:2936  ˝/ Q .1:2936 C ˝/ 0:2059 .0:2059; 1:3474; 0:7630/T : C Q  .2:7466  ˝/ Q .2:7466 C ˝/

(18.503)

Die drei ,Resonanzspitzen‘ bei !Q 1 D 0; !Q 2 D 1:2936; !Q 3 D 2:7466 – bei !Q 1 D 0 gegen 1, werden durch die gebrochenen Ausdrücke vor den Klammern erfasst, wegen Q im Nenner, nimmt die Breite der Spitzen mit wachsender Frequenz des Terms .!Q k C ˝/ ab. In der Umgebung der Resonanzstellen wird die Schwingungsform (die Richtung) im Wesentlichen durch den zugehörigen Eigenvektor erfasst. (Man verfolge den Verlauf der Resonanzkurven, in den näheren Umgebungen der Resonanzstellen.) Lösung 11.14 Abb. 18.57 zeigt den (linearen) Verlauf der Drehwinkelamplitude '.s/ O längs Welle 1 zu den angenommenen Endwinkeln 'O1 und 'O2 , Wellenlänge L1 . In dieser Planfigur wurden beide Winkel positiv angenommen. Deshalb schneidet die Verbindungsgerade g die Abszisse bei LK rechts außerhalb der Wellenlänge L1 . Die Rechtecke mit den (horizontalen) Grundlinien L1 und LK sind ähnlich, man liest ab 'O1 W LK D .'O1  'O2 /W L1 und erhält 1 D LK =L1 D 'O1 =.'O1  'O2 /:

(18.504)

Haben 'O1 und 'O2 verschiedene Vorzeichen, fällt LK auf die Welle, dann gilt 0  1  1. Da wir die Drehung aller Drehmassen gleichsinnig positiv eingeführt haben, können wir die voranstehende Überlegung übernehmen, indem wir für Welle 2 die Amplituden 'O1 und 'O2 durch 'O3 bzw. 'O4 ersetzen und die Längen auf der Welle 2 zählen. (Gemäß (11.23) ist es gleichgültig, ob man mit den originalen oder den reduzierten Winkeln arbeitet.) Man erhält (18.505) 2 D 1 C LK =L2 D 1 C 'O3 =.'O 3  'O4 /: Dabei wurde, durch Addition von 1, 2 in das Intervall 1  2  2 verschoben, damit man die beiden Wellen gut unterscheiden kann; vgl. Abb. 11.13c. Abb. 18.57 Knotenabstand LK

436

18

Lösungen

Lösung 11.15 Hinweis zum Index bei ˝Q T 1 : Wir lassen die 1 weg, schreiben also ˝Q T . Es gilt die Bewegungsgleichung (11.44) ohne Dämpfung. Zum Tilgerpunkt T1 mit 'O1 D 0 bei der Tilgerfrequenz ˝Q T gehört die Kosinusschwingung  xQ D xOQ cos ˝Q T tQ D 0 'O2

'O4r

T

cos ˝Q T tQ:

(18.506)

Damit lautet (11.44), vgl. auch (11.39), 0

JQ1 2 B Q ˝T @ 0 0

10 1 0 kQT 1 0 0 CB C B Q 0 A @'O2 A C @kT 1 JQ r 'Q r 0

0 JQ2r 0

4

4

kQT 1 Q kT 1 C kQTr 2 kQ r T2

10 1 0 1 0 1 0 r C B C D B C : (18.507) Q kT 2 A @ 'O2 A @0A 0 kQTr 2 'Q4r

Wegen 'O1 D 0 entfallen die ersten Spalten in den beiden Matrizen: 0

00 2 B Qr Q  ˝T @J 2 0

1 0 ! 0 kQT 1 C 'O2 BQ 0 A r C @kT 1 C kQTr 2 'Q4 JQ r kQ r 4

T2

1 0 1 ! 0 1 O2 B C r C ' Q kT 2 A r D @0A : 'Q4 kQ r 0

(18.508)

T2

Dies sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten ˝Q T ; 'O2 ; 'O4r . Da ˝Q T und 'O2 bzw. ˝Q T und 'O4r als Produkte auftreten, sind die drei Gleichungen nichtlinear. Wir lösen die Gleichungen schrittweise: Aus der ersten Zeile von (18.508) erhält man 'O2 D 1=kQT 1 :

(18.509)

Einsetzen dieses Wertes in die zweite Zeile und Auflösen nach 'O4r liefert   'O4r D JQ2r ˝Q T2  kQT 1  kQTr 2 = kQT 1 kQTr 2 : Mit (18.509) und (18.510) folgt aus der dritten Zeile    kQTr 2 =kQT 1 C kQTr 2  JQ4r ˝Q T2  JQ4r ˝Q T2  kQT 1  kQTr 2 = kQT 1 kQTr 2 D 0:

(18.510)

(18.511)

Dies ist eine quadratische Gleichung für ˝Q T2 :

˝Q T2

2

  JQ2r JQ4r  ˝Q T2 JQ2r kQTr 2 C JQ4r kQT 1 C kQTr 2 C kQT 1 kQTr 2 D 0:

(18.512)

Die beiden ˝Q T2 lauten ˇ ˝Q 2 ˇ

T 1;2

1 D 2

kQTr 2 kQT 1 C kQTr 2 C JQ2r JQ4r

!

v !2 u kQTr 2 kQT 1 kQTr 2 kQT 1 C kQTr 2 1u t C  4 : (18.513)  2 JQ2r JQ4r JQ2r JQ4r

18.11

Lösungen zu Kap. 11

437

Mit den Zahlenwerten aus (11.43) erhält man für die beiden Tilgerpunkte T1 und T3 in Abb. 11.13a ˇ ˇ ˝Q T2 ˇT D 0:9510 und ˝Q T ˇT D 0:9752 sowie 'O2 D 1; 'O4r D 1:544; ˇ 1 ˇ1 ˝Q T2 ˇT D 4:2366 und ˝Q T ˇT D 2:690 sowie 'O2 D 1; 'O4r D 1:753: 3 3 (18.514) Der Tilgerpunkt T3 liegt sehr knapp unterhalb der dritten Eigenfrequenz, vgl. Abschn. 11.2.3. Lösung 11.16 Wie in Aufgabe 11.15, gilt die Bewegungsgleichung (11.44) ohne Dämpfung Zum Tilgerpunkt T2 mit 'O2 D 0 bei der Tilgerfrequenz ˝Q T gehört die Kosinusschwingung T  (18.515) xQ D xOQ cos ˝Q T tQ D 'O1 0 'O r cos ˝Q T tQ: 4

Damit lautet (11.44), vgl. auch (11.39), 0 10 1 0 kQT 1 JQ1 0 0 'O1 B C C B B 2 r  ˝Q T @ 0 JQ2 0 A @ 0 A C @kQT 1 0 0 JQ r 'Q r 0 4

4

kQT 1 kQT 1 C kQTr 2 kQTr 2

10 1 0 1 0 1 'O1 CB C B C kQTr 2 A @ 0 A D @0A : (18.516) 0 'Q r kQ r T2

4

Wegen 'O2 D 0 entfallen die mittleren Spalten in den beiden Matrizen: 0 1 1 0 0 1 ! ! JQ1 0 kQT 1 0 1 B C 'O1 C 'O1 B B C  ˝Q T2 @ 0 0 A r C @kQT 1 kQTr 2 A r D @0A : 'Q4 'Q4 0 JQ4r 0 0 kQTr 2

(18.517)

Dies sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten ˝Q T ; 'O1 ; 'O4r . Da ˝Q T und 'O1 bzw. ˝Q T und 'O4r als Produkte auftreten, sind die drei Gleichungen nichtlinear. Wir lösen die Gleichungen schrittweise: Aus der dritten Zeile von (18.517) folgen q  kQTr 2  JQ4r ˝Q T2 'O4r D 0; also ˝Q T2 D kQTr 2 =JQ4r und ˝Q T D kQTr 2 =JQ4r : (18.518) Mit ˝Q T2 (18.518)2 liefert die erste Zeile 1=JQ1  : kQT 1 =JQ1  kQTr 2 =JQ4r

(18.519)

kQT 1 =JQ1 1   : r kQT 2 kQT 1 =JQ1  kQTr 2 =JQ4r

(18.520)

'O1 D 

Dann folgt aus der zweiten Zeile 'O4r D 

438

18

Lösungen

Mit den Zahlenwerten aus (11.43) erhält man für den Tilgerpunkt T2 in Abb. 11.13a ˝Q T2 D 2:698;

˝Q T D 1:643;

'O1 D 0:589;

'O4r D 0:511:

(18.521)

Lösung 11.17 Wie in Aufgabe 11.15, gilt die Bewegungsgleichung (11.44) ohne Dämpfung. Zur mit der Frequenz ˝Q E entspannt schwingenden Welle 1 gehört die Kosinusschwingung T  (18.522) xQ D xOQ cos ˝Q E tQ D 'O1 'O1 'O r cos ˝Q E tQ: 4

Damit lautet (11.44), vgl. auch (11.39), 0

JQ1 2 B Q  ˝E @ 0 0

0 JQ2r 0

10 1 0 kQT 1 0 'O1 CB C B Q 0 A @'O1 AC@kT 1 JQ4r 'Q4r 0

kQT 1 Q kT 1 C kQTr 2 kQTr 2

10 1 0 1 0 1 'O1 r C B C D B C : (18.523) Q kT 2 A @ 'O1 A @0A 0 kQTr 2 'Q4r

Hier kann man die beiden ersten Spalten der Matrizen zusammenfassen (addieren) und erhält 0 1 1 0 0 1 ! ! JQ1 0 0 0 1 B C 'O C 'O B B C  ˝Q E2 @JQ2r 0 A 1r C @ kQTr 2 kQTr 2 A 1r D @0A : (18.524) 'Q4 'Q4 r r r Q Q Q 0 J4 kT 2 kT 2 0 Dies sind drei Gleichungen für die drei Unbekannten ˝Q E ; 'O1 ; 'O4r . Da ˝Q E und 'O1 bzw. ˝Q E und 'O4r als Produkte auftreten, sind die drei Gleichungen nichtlinear. Wir lösen die Gleichungen schrittweise: Die beiden letzten Zeilen von (18.524) bilden das Eigenwertproblem ˝Q E2

JQ2r 0

also

! 0 JQ4r

! 0 ; D 0 ! ! ! 'O1 0 kQTr 2 ; D 0 kQTr 2  JQ4r ˝Q E2 'Q4r

! kQTr 2 'O1 C 'Q4r kQTr 2

kQTr 2  JQ2r ˝Q E2 kQTr 2

kQTr 2 kQTr 2

!

'O1 'Q4r

!

(18.525)

mit der charakteristischen Gleichung JQ2r JQ4r ˝Q E4  kQTr 2 .JQ2r C JQ4r /˝Q E2 D 0

(18.526)

und den (durch die Indizes I und II unterschiedenen) Eigenlösungen   T    T  r Q D 0; cI  1 1 ; ˝E ; 'O1 'O4 I    q T   D kQTr 2 =JQ2r C kQTr 2 =JQ4r ; cII  JQ4r ˝Q E ; 'O1 'O4r II

JQ2r

T 

(18.527) :

18.11

Lösungen zu Kap. 11

439

Die Konstanten cI ; cII werden nun aus der ersten Zeile von (18.524) bestimmt: Einsetzen der ersten Eigenlösung (18.527) führt bei ˝Q E D 0 auf eine „Resonanzstelle“: .˝Q E2 /I  cI D 1;

also

cI ! 1:

(18.528)

Einsetzen der zweiten Eigenlösung in die erste Zeile von (18.524) liefert 'O1 D cII JQ4r D

JQ1

 Qr

1

kT 2 JQ r 2

C

kQTr 2 JQ r

und 'O4r D cII JQ2r D

4

JQ1 JQ4r

JQ r  Qr 2 kT 2 JQ r 2

C

kQTr 2 JQ r

:

(18.529)

4

Mit den Zahlenwerten aus (11.43) folgen ˝Q E D 2:372;

'O1 D 0:177;

'O4r D 0:163:

(18.530)

Lösung 11.18 Die Lösung dieser Aufgabe ist bei Aufgabe 11.15 als zweite Lösung der quadratischen Frequenzgleichung angefallen. Lösung 11.19 In Aufgabe 11.13 gewannen wir zum Zahlenbeispiel in Abschn. 11.4.2 für die erzwungene Schwingung die Amplituden in der Form (10.25): OQ ˝/ Q D .'O1 ; 'O2 ; 'O4r /T x. 0:7424 .0:7424; 0:7424; 0:7424/T D Q ˝Q  .˝/ 0:6375 .0:6375; 0:4293; 1:1109/T C Q  .1:2936  ˝/ Q .1:2936 C ˝/ C

0:2059 Q  .2:7466  ˝/ Q .2:7466 C ˝/

(18.531)

.0:2059; 1:3474; 0:7630/T :

Für j'O1 j D 2 liest man aus Abb. 11.13c unterhalb von ˝O D 1 näherungsweise die Erregerfrequenz ˝O 1 D 0:49 ab. Aus der ersten Eigenlösung (2. Zeile in (18.531)) folgt numerisch 2 D 0:74242 =˝Q 2 und ˝O 1num D 0:52. (Die beiden Werte charakterisieren die „Resonanzspitze“ um ˝O D 0.) Für die Resonanzspitze um ˝O D !Q 2 D 1:2936 betrachten wir 'O4r , denn dazu gehört in der zweiten Eigenlösung (3. Zeile von (18.531)) die größte Auslenkung. Für j'O4r j D 2 liest man aus Abb. 11.13c näherungsweise die beiden Erregerfrequenzen ˝O 2a D 1:12 und Q Q ˝O 2b D 1:44 ab. Numerisch folgen aus ˙2 D 0:63751:1109=..1:2936C ˝/.1:2936 ˝// O O die Werte ˝2anum D 1:15 sowie ˝2bnum D 1:41. Für die Resonanzspitze um ˝O D !Q 3 D 2:7466 betrachten wir 'O2 , denn dazu gehört in der dritten Eigenlösung (4. Zeile von (18.531)) die größte Auslenkung. Für j'O2 j D 2

440

18

Lösungen

liest man aus Abb. 11.13c näherungsweise die beiden Erregerfrequenzen ˝O 3a D 2:73 Q und ˝O 3b D 2:80 ab. Numerisch folgen aus ˙2 D 0:20591:3474=..2:7466C˝/.2:7466 Q O O ˝// die Werte ˝3anum D 2:72 sowie ˝3bnum D 2:77. Die Werte passen gut zusammen. Man könnte die Vergleiche der Näherungen weiter treiben, indem man statt der Werte aus Abb. 11.13c deren numerische Grundlagen und aus (18.531) zwei Glieder heranzieht. (Bei drei gewinnt man Identitäten.)

18.12 Lösungen zu Kap. 12 Lösung 12.1 Man muss die Formfunktion wie in Abb. 18.58b wählen. Dann ergibt sich mit (12.10) Z2 mD

%A./W 2 ./d 

mit

W ./ D 1:

1

Abb. 18.58 Schwingende Masse (a), Formfunktion (b)

Lösung 12.2 Abschätzung der mitschwingenden Wellenmasse: Eine erste Schätzung für die mitschwingende Wellenmasse erhält man, wenn man die Wellenenden vernachlässigt. Die mitschwingende Rotormasse ist dann m1 D %  .3R/2  

l D 4:5%lR2: 2

(18.532)

Berechnung der mitschwingenden Wellenmasse mittels Energiebetrachtung: Über den Ansatz der kinetischen Energien erhält man die Formel für die mitschwingende Rotormasse: Zl (18.533) m D %A ./ W 2 ./ d : 0

18.12

Lösungen zu Kap. 12

441

Ergänzung: Der Rotorballen wird sich nur sehr wenig biegen, deshalb vernachlässigen wir seine Biegung. Für die Biegung der beiden Wellenenden setzen wir Parabeln an, die ohne Knick an die Ballenenden anschließen. Dann gilt für die Formfunktion W ./, vgl. Abb. 18.59a, b, W ./ D 1

für l=4 <  < 3l=4 am Ballen; 2

W ./ D 1  .4= l/

für 0 <  < l=4

am rechten Wellenende:

(18.534)

Das linke Wellenende liefert den gleichen Massenanteil wie das rechte. a

b

Abb. 18.59 Abgesetzte Welle, a System, b Formfunktion W ./

Auswerten von (18.533) mit (18.534) liefert m D m1 C 2m2 mit m1 nach (18.532) und

m2 D %R  2

Zl=4

1  .4= l/

2

2

Zl=4 2 1  2 .4= l/2 C .4= l/4 d  d  D %R  2

0

 D %R2 

l 256 l 5 32 l 3 C  4 3 64l 2 5 1024l 4



0

D

2 %R2 l  0:13%R2l: 15 (18.535)

Man erhält m  .4:5 C 0:26/ %R2 l

(18.536)

Der von den Wellenenden herrührende Massenzuschlag ist klein. Lösung 12.3 Abschätzung der Wellenmasse: Der Schwerpunkt der Welle wird etwas rechts liegend von der Mitte angenommen. Die mitschwingende Wellenmasse kann dann mit einem mittleren Radius Rm D 2:5R mgeschätzt D %  .2:5R/2  abgeschätzt werden.

l D 3:125%lR2 2

(18.537)

442

18

Lösungen

Schwerpunkt und Volumen eines Kegelstumpfes mit R1 D 3R; R2 D 2R; k D l=2: Volumen und Schwerpunkt des Kegelstumpfes als Teilkörper des Rotors berechnen sich zu

1 l 19lR2 h R12 C R1 R2 C R22 D  9R2 C 6R2 C 4R2 D 3 6 6 (18.538) h R12 C 2R1 R2 C 3R22 h 9R2 C 12R2 C 12R2 l 33 D  D  D  : (18.539) 4 R12 C R1 R2 C R22 4 4R2 C 6R2 C 9R2 8 19

VKegelstumpf D xs;Kegelstumpf

Berechnung des Wellenschwerpunktes: In Bezug auf das linke Lager lautet die x-Koordinate des Wellenschwerpunktes (s. Abb. 18.59a)

R2 l 7l P R2 l l 19lR2  3l4  8l  33 Vi xi 93l 4  8 C 6 19 C 4  8 D D  0:528l xsW D P 2l 2 R 19lR Vi 176 2 4 C 6 (18.540) Wahl der Formfunktion a) Als Formfunktion wird einfach W ./ nach Abb. 18.59 gewählt. Dann folgt parallel zu Aufgabe 12.2 mit (18.538) 19 2 R l% m1 D 6 und (18.535) 2 2 m2 D R l% 15 sowie m D m1 C m2 D .3:17 C 0:26/ R2 l% Die Schätzung (18.537) ist gut. b) Man könnte eine Formfunktion wählen, die im Balkenbereich gerade, doch ein wenig gekippt ist – entsprechend einer Trägheitsbelastung, die der Belastung durch das Eigengewicht ähnelt. Da der Schwerpunkt unweit der Rotormitte liegt, dürfte sich wenig ändern. Lösung 12.4 Siehe Matlab® -Programm: 16x.x.l  x/ C l 2 /.l  x/ 5l 4 2 3698lR % mI D 7875 8lR2 % m0 D 15

W .x/ D

Die Masse ist bei quadratischer Formfunktion 6% größer als die Masse bei der Eigengewichtsformfunktion.

18.12

Lösungen zu Kap. 12

443

Lösung 12.5 Mit x D lC aus Biegelinie wD D D D D

 2  l 2 lC l 3 lC lC l 3 l3 l Fx L3 2 C2  3 C 3 C 3 C 4  4C  C3 6EI L L L L L 3  2 3 4  l l l Fx L 2 C2  4 C3 C 2 C4 6EI L L L  2 2  2 Fx L lC L lC L lC2  2 C 3EI L3 L3 L3 2

Fx lC L2  2lC L C lC2 3EIL Fx lC2 .L  lC /2 3EIL

entspricht (12.12). Lösung 12.6 kD

3EIL  lC /2

lC2 .L

mit dem Flächenträgheitsmoment I D

d 4 .100 mm/4 D D   1:5625  106 m4 64 64

folgt die Steifigkeit 3  2:1  1011 N  2 m  1:5625  106 m4 m2 .1:2/2 m2 .2  1:2/2 m2 N N D 6:711  106 D 6:711 m m

kD

Bei einer Durchbiegung von x D 1 mm ergibt sich die elastische Energie U D

1 2 kx D 3:355 Nm 2

Lösung 12.7 Der Momentenverlauf ist in Abb. 18.60 dargestellt.

444

18

Lösungen

Abb. 18.60 Momentenverlauf

Für die Formfunktion des Momentenverlaufes .Fx D 1/ ergibt sich: lC .L  lC / .L  lC / D  LlC L lC .1  lC / lC MII D .L  / D   lC L.L  lC / L MI D

Einsetzen in (12.21) führt auf 1 1 D k EI

ZlC 

L  lC L

0

D

1 EI



L  lC L

2

2

1  d C EI

1 3  3

lC

lC2 lC

C

0



ZL

2

.lC /2 EI



 1 2 2    C 1 d L2 L

1 3 1 2    C 3L2 L

L lC

 lC2 ˚ 2 D l  2LlC C L2 3EIL C lC2 D .lC  L/2 : 3EIL Es folgt die Steifigkeit nach (12.13). Lösung 12.8 Abschätzung der Wellensteifigkeit: Eine erste Schätzung der Wellensteifigkeit k erhält man mittels Biegetafel. kD

48EI F : D w .l=2/ l3

(18.541)

Da es sich im Beispiel um eine abgesetzte Welle handelt kann man mit (12.13) eine obere und untere Grenze für die Steifigkeit angeben.

18.12

Lösungen zu Kap. 12

445

Untere Grenze (Welle hat konstanten Radius R) ku D

48EI1 l3

R4 4

(18.542)

81R4 4

(18.543)

mit I1 D

Obere Grenze (Welle hat konstanten Radius 3R) ko D

48EI2 l3

mit

I2 D

Die wahre Wellensteifigkeit k muss zwischen den beiden Grenzen liegen: 12

ER4 ER4  k  972 3 3 l l

(18.544)

Berechnung der Wellensteifigkeit mittels Energiebetrachtung: Über den Ansatz der potentiellen Energien erhält man die Formel für die Wellensteifigkeit: 1 D k

Zl

Mb2 ./ d : EI ./

(18.545)

0

Die Momentenlinie M .; t/ D M ./ =F .t/ eines elastischen Balkens mit einer mittigen Einzelkraft ist 8

ˆ Zl=4 2 Zl=2 2 = < 1   d C d D2 ˆ k 4EI2 > ; : 4EI1 0 l=4 9 8 > ˆ Zl=2 =

; : 4ER 0 l=4 8 9 (18.548) ˆ > Zl=4 Zl=2 < = 1 2 2 2   d C  d D > ER4 ˆ 81 : ; 0 l=4 (

  ) 1 3 l=4 2 1 1 3 l=2 D  C   ER4 3 81 3 0 l=4 D

88  l 3 3ER4  2592

Die Wellensteifigkeit ist dann kD

ER4 3ER4  2592  88:364  : 3 88  l l3

(18.549)

Diese Lösung liegt innerhalb des abgeschätzten Bereichs. Weiterhin erkennt man, dass im Wesentlichen die Wellenenden für die Rotorsteifigkeit ausschlaggebend sind. Lösung 12.9 Gl. (12.7) mit lC D 12 L W ./ D

.L  / .L  / D4 lC .L  lC / L2

ableiten W 00 ./ D

8 L2

In (12.24) einsetzen ZL kD 0

 2 EI W 00 ./ d  D EI



64  L4

L D 0

64EI L3

18.12

Lösungen zu Kap. 12

Lösung 12.10

447

# cos ' sin ' R.'/ D  sin ' cos ' " #" # " c1 s1 c2 s2 c1 c2  s1 s2 R.'1 /R.'2 / D D s1 c1 s2 c2 s1 c2  s2 c1 " #" # " c2 s2 c1 s1 c2 c1  s2 s1 R.'2 /R.'1 / D D s2 c2 s1 c1 s2 c1  s1 c2 " # c.'1 C '2 / s.'1 C '2 / R.'1 C '2 / D s.'1 C '2 / c.'1 C '2 / "

denn

c1 s2 C s1 c2 s1 s2 C c1 c2 c2 s1 C s2 c1 s2 s1 C c2 c1

# #

c1 c2  s1 s2 D c.'1 C '2 / s1 c2 C c1 s2 D s.'1 C '2 / .s1 c2 C s2 c1 / D s.'1 C '2 / c1 c2  s1 s2 D c.'1 C '2 /

Lösung 12.11 #" # " #" # " " .ba C bi / k xR xP m 0 0 C C 0 m yR 0 .ba C bi / yP bi ˝ # " # " 0 cos ˝t D mru ˝ 2  G sin ˝t

bi ˝ k

#" # x y

Aufgrund der Orthogonalität der beiden Koordinaten x und y ist eine komplexe Schreibweise mit z D x C j  y zulässig. Hierzu multipliziert man die zweite Gleichung mit j und addiert anschließend beide Gleichungen: mRz C .ba C bi / zP C .k  jbi ˝/ z D mru ˝ 2 e j˝t  jG Lösung 12.12 Mit ˝bi =k D 2Di !0 ˝m=k und m=k D !02 folgen Q ˝bi =k D 2Di ˝=!0 D 2Di ˝: Damit ergibt sich aus (12.49) zG D xG C jyG D

G=k G=k G=k j :

2 2Di ˝Q  j D 2 Q2 1 C 4Di ˝ 1 C 4Di2 ˝Q 2 1 C 2Di ˝Q

448

18

Lösungen

Lösung 12.13 Aus der homogenen Bewegungsgleichung mRz C .ba C bi / zP C .k  j˝bi / z D 0:

(18.550)

erhält man mit dem Ansatz z D C e t

(18.551)

in dimensionsloser Schreibweise .Q D =!0 / die charakteristische Gleichung

Q i D 0: Q 2 C 2 .Da C Di / Q C 1  2j ˝D

(18.552)

Die Eigenwerte folgen aus Q 1=2 D  .Da C Di / ˙

q Q .Da C Di /2  1 C 2Di j ˝:

(18.553)

Die allgemeine Lösung lautet nun Q

Q

z D C e 1 tQ C C e 2 tQ ;

Q 0D wo !

und tQ!0 D t

(18.554)

Anpassen an die Anfangsbedingungen: Mit der allgemeinen Lösung und den Anfangsbedingungen x .0/ D x0

y .0/ D y0

und

v .0/ D vx0

v .0/ D vy0

z0 D x0 C jy0 zP0 D vx0 C j vy0

(18.555)

(18.556)

folgt z 0 D C1 C C2 zP 0 D Q 1 C1 C Q 2 C2 :

(18.557)

Für die freien Konstanten C1=2 folgt in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen: C1 D C2 D

vx0 C j vy0  Q 2 .x0 C jy0 / Q 1  Q 2 .x0 C jy0 / Q 1  vx0  j vy0 Q 1  Q 2

(18.558)

18.13

Lösungen zu Kap. 13

449

Lösung 12.14 Abb. 18.61 zeigt die Bahnkurven des Wellendurchstoßpunktes für verschiedene Dämpfungen, siehe Matlab® -Programm. In den Abb. 18.61a–e klingen die Schwingungen ab. In Abb. 18.61f dagegen klingt die nicht mehr ab, es treten selbsterregte Schwingungen auf. a

b

c

d

e

f

Abb. 18.61 Bahnkurve des Wellendurchstoßpunktes: a, c, e .Da ; Di / D .0:1I 0:05/, b, d, f .Da ; Di / D .0:05I 0:1/ und von a, b nach e, f ˝Q D 0:5=˝Q D 1:0=˝Q D 1:5

18.13 Lösungen zu Kap. 13 Lösung 13.1 Abb. 13.2 und 13.3 zeigen die am Biegebalken angreifenden Kräfte. Da die Modellbildung des Trägers mittels Biegebalken (Längssteifigkeit EA D 1) erfolgen soll, müssen nur das Moment ML und die Kraft FyL berücksichtigt werden.

450

18

Lösungen

Lagerauslenkung in yL -Richtung aufgrund der Kraft FyL Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Einzelkraft folgt für die vertikale Auslenkung am Kraftangriffspunkt aus einer Biegetafel: yL D w .l1 / D

l12 l22 FyL : 3EI .l1 C l2 / „ ƒ‚ …

(18.559)

h22

Lagerauslenkung in yL -Richtung aufgrund des Moments ML D h1  FxL Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken unter Einwirkung eines Momentes, folgt für die vertikale Absenkung am Momentenangriffspunkt: w.x/ D

FxL h1 .l1  l2 /2 6EI .l1 C l2 /



6l1 x .l1 C l2 /2



bzw. yL D w .l1 / D

2x x3 3l12 x   3 .l1 C l2 / .l1 C l2 / .l1 C l2 /3 l1 l2 .l1  l2 / h1 FxL : 3EI .l1 C l2 / „ ƒ‚ …

 (18.560)

(18.561)

h21

Lagerauslenkung in xL -Richtung aufgrund der Balkenbiegung Für den Zusammenhang zwischen der Steigung der Biegelinie an der Stelle des Kraft-/Momentenangriffspunktes und der Verschiebung des Lagers gilt: dw D tan 'I dx

xL D h1 sin 'I

yL D  .1  cos '/ h1 :

(18.562)

Alle Biegeverformungen gelten (nur) für j'j  1 also sin '  '. Lagerauslenkung in xL -Richtung aufgrund der Kraft FyL Differenziert man die Biegelinie des mit einer Einzelkraft belasteten Balkens, erhält man die Steigung in Abhängigkeit von x: FyL .l1 C l2 /3 dw.x/ D dx 6EI   2l1 3l12 l13 3l1 x 2 3x 2   C C  .l1 C l2 /2 .l1 C l2 /3 .l1 C l2 /4 .l1 C l2 /4 .l1 C l2 /3 (18.563) Für die Stelle x D l1 folgt: ˇ dw ˇˇ l1 l2 .l1  l2 / D  FyL ˇ dx l1 3EI .l1 C l2 /

(18.564)

18.13

Lösungen zu Kap. 13

451

bzw. xL D h

dw .l1 / h1 l1 l2 .l1  l2 / FyL : D dx 3EI .l1 C l2 / „ ƒ‚ …

(18.565)

h12

Lagerauslenkung in xL -Richtung aufgrund des Moment ML D h1  FxL Differenziert man die Biegelinie des mit einem Moment belasteten Balkens, erhält man die Steigung in Abhängigkeit von x: ML .l1 C l2 /2 dw.x/ D dx 6EI



3l12 2 3x 2    .l1 C l2 /2 .l1 C l2 / .l1 C l2 /3 .l1 C l2 /3 6l1

 (18.566)

Für die Stelle x D l1 folgt:

3 ˇ l1 C l23 dw.x/ ˇˇ D h1  FxL dx ˇl1 3EI .l1 C l2 /2

h21 l13 C l23

bzw. xL D h1 ' .l1 / D

3EI .l1 C l2 /2 „ ƒ‚ …

FxL :

(18.567)

(18.568)

h11

Für die Nachgiebigkeitsmatrix folgt, vgl. (13.8) 2



h21 l13 C l23

6 3EI .l C l /2 1 2 H D6 4 h1 l1 l2 .l1  l2 / 3EI .l1 C l2 /

3 h1 l1 l2 .l1  l2 / 3EI .l1 C l2 / 7 7: 5 l12 l22 3EI .l1 C l2 /

(18.569)

Lösung 13.2 Es gilt xL D H F L

(18.570)

mit der symmetrischen Nachgiebigkeitsmatrix H . Wird das Lager durch eine horizontale oder eine vertikale Kraft belastet, ergeben sich folgende Auslenkungen: "

bzw.

# " F  h11 h D 11 xL D F  h12 h12

h12 h22

" # " F  h12 h xL D D 11 F  h22 h12

h12 h22

#" # F 0

#" # 0 : F

(18.571)

(18.572)

Die Auslenkungen erfolgen im allgemeinen nicht in Richtung der Kraftwirkungslinien.

452

18

Lösungen

Wenn der Lagerbock horizontal und vertikal gleich nachgiebig sein soll, muss h11 D h22 gelten. Gleichsetzen der Nachgiebigkeiten ergibt

h21 l13 C l23 l12 l22 D : (18.573) 2 3EI .l1 C l2 / 3EI .l1 C l2 / Diese Gleichung ist erfüllt für s h1

D

Einsetzen von h1 in (18.569) liefert: 2 l12 l22 6 3EI .l1 C l2 / 6 6 H D 6 l 2 l 2 .l1  l2 / 6 q1 2 4

3EI .l1 C l2 / l13 C l23

l13 l22 C l12 l23 : l13 C l23

(18.574)

3 l12 l22 .l1  l2 / q

7 3EI .l1 C l2 / l13 C l23 7 7 7 DW l12 l22 7 5 3EI .l1 C l2 /

" h11 h12

p

Für die Auslenkungen unter der Kraft FxL ; FyL D .1; 1/ FL = 2 erhält man xL yL

!

" h D 11 h12

h12 h11

" # #" #

1 FL h11 C h12 1 FL : p D p 1 1 2 2

h12 h11

#

(18.575)

(18.576)

Die Auslenkung des Lagerbocks ist in Richtung der Kraftwirkungslinie. Allerdings mit einer Nachgiebigkeit h11 C h12 ¤ h22 wenn l1 ¤ l2 , die Lagerung ist anisotrop. Lösung 13.3 Siehe die Überlegungen zu Aufgabe 13.1. Hier muss man dann nur H invertieren 2 3 3EI l 3EI l.l1  l2 / 6 7 h21 l1 l2 h1 l12 l22 6 7 2

K D H 1 D 6 7: 2 4 3EI l.l2  l1 / 3EI l l1  l1 l2 C l2 5 h1 l12 l22

l13 l23

Lösung 13.4 Für gleiche Krafteinflusszahlen muss gelten k11 D k22 : l12  l1 l2 C l22 1 D h21 l1 l2 l13 l23 Auflösen nach h1

s h 1

D

l12

l12 l22  l1 l2 C l22

18.13

Lösungen zu Kap. 13

Lösung 13.5

453

h1 D h 1 l13 l22 C l12 l23 l12 l22 .l1 C l2 /

D l13 C l23 l12  l1 l2 C l22 .l1 C l2 / D D

l13 l22 C l12 l23 3 2 l1  l1 l2 C l22 l1 C l12 l2  l1 l22 C l23 l13 l22 C l12 l23 was zu zeigen war. l13 C l23

Lösung 13.6 Um die Nachgiebigkeiten zu messen, gibt man nacheinander (statische) Lasten (also Kräfte) .FxL ; 0/ und .0; FyL / vor und erhält aus (13.9) xL D h11 FxL ;

also

h11 D xL =FxL ;

yL D h21 FxL ;

also

h21 D yL =FxL ;

xL D h12 FyL ;

also

h12 D xL =FyL ;

yL D h22 FyL ;

also

h22 D yL =FyL :

(18.577)

beziehungsweise (18.578)

Die Bedingung h12 D h21 muss erfüllt sein und kann zur Kontrolle der Messgenauigkeit dienen. Die direkte Messung der Steifigkeiten ist schwieriger und hängt davon ab, ob der Messaufbau gleichzeitig Belastungen in zwei Richtungen aufzubringen gestattet oder nicht. Bei Belastungen in nur einer Richtung kann man, zum Beispiel, .FxL ; 0/ so vorgeben, dass sich ein bestimmtes xL zusammen mit einem „sich einstellenden“ yL ergibt (ähnlich wie bei der Messung der Nachgiebigkeiten in (18.577)). Einsetzen dieser Werte in (13.16) liefert FxL D k11 xL C k12 yL (18.579) 0 D k21 xL C k22 yL : In einem zweiten Schritt gibt man .0; FyL / so vor, dass sich ein bestimmtes yL zusammen mit xL ergeben. Dann folgt aus (13.16) 0 D k11 xL C k12 yL ; FyL D k21 xL C k22 yL :

(18.580)

Zusammen mit (18.579) hat man damit vier Gleichungen für die kkl zu bekannten FxL ; FyL ; xL ; yL , yL ; xL . Deren Auflösung ist äquivalent zu (13.14).

454

18

Lösung 13.7 Ausgangszustand (unbelastet, keine Vorlast!)

lSO D

q h21 C l12

cos ˛ D l1 = lSO sin ˛ D h1 = lSO Auslenkung xL (ohne yL !)

l D xL cos ˛ EA EAl1 l D 2 xL : FS D lSO lSO Hier, aus xL :

EA 2 l1 x L 3 lSO EA D FS sin ˛ D 3 h1 l1 xL lSO

FxS D FS cos ˛ D FyS

Lösungen

18.13

Lösungen zu Kap. 13

455

Auslenkung yL (ohne xL )

l D yL sin ˛ EA EAh1 l D 2 yL : FS D lSO lSO Hier, aus yL :

EA h1 l1 yL 3 lSO EA D FS sin ˛ D 3 h21 xL lSO

FxS D FS cos ˛ D FyS

Ohne Vorlast darf man die Kräfte addieren und erhält (13.24). Lösung 13.8

 2 l1 h1 l1 ist singulär, det K D 0, H D K 1 existiert Die Steifigkeitsmatrix K D lEA 3 2 h1 l1 h1 SO nicht. Man kann z. B. keine Kraft senkrecht zur Stange – rechts oben angreifend – vorgeben und nach der Auslenkung fragen. Lösung 13.9 1. Überprüfen ob FS kleiner als die Knicklast ist, eventuell eine größere Querschnittsfläche wählen (Stange wird schwerer). 2. Evtl. Stange durch Strebe gegen Fuß des Lagerblockes abspannen (Strebe muss Zug und Druck aufnehmen können). 3. Stange vorspannen (Die Vorspannkraft hat dann Einfluss auf FxS ; FyS ). Lösung 13.10 Dies ist eine (Nach) Rechenaufgabe. Lösung 13.11 Dies ist eine (Nach) Rechenaufgabe.

456

18

Lösungen

Lösung 13.12 Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für die Lagerbockschwingungen erhält man durch Superposition der Eigenlösungen:



x.t/ D xO 1 c1 e Cj!1 t C c1 e j!1 t C xO 2 c2 e Cj!2 t C c2 e j!2 t

(18.581)

x.t/ D xO 1 .ac1 cos !1 t C as1 sin !1 t/ C xO 2 .ac2 cos !2 t C as2 sin !2 t/

(18.582)

bzw.

Für die Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt t D 0 gilt x .0/ D xO 1 ac1 C xO 2 ac2

(18.583)

und für die Anfangsgeschwindigkeit gilt v .0/ D xP .0/ D as1 !1 xO 1 C as2 !2 xO 2 :

(18.584)

Setzt man die Zahlenwerte aus Abschn. 13.4.2.1 a) ac1 D 0:5 mm; b) ac1 D 0 mm;

as1 D 1:2 mm; as1 D 0 mm;

ac2 D 0 mm;

ac2 D 0:2 mm;

as2 D 0 mm

(18.585)

as2 D 0:7 mm

(18.586)

und die Eigenvektoren nach (13.46) in (18.583) und (18.584) ein, erhält man für die Anfangsauslenkung # # " 0:2207 0:4413 mm D a) x .0/ D ac1 xO 1 D 0:5 mm  0:4487 0:897359 # " 0:1795 b) x .0/ D ac2 xO 2 D mm 0:0883 "

(18.587)

und für die Anfangsgeschwindigkeit folgt # 0:7299 mm  !R a) v .0/ D as1 !Q 1 !R xO 1 D 1:4842 # " 1:9336 mm  !R b) v .0/ D as2 !Q 2 !R xO 2 D 0:9509 "

(18.588)

Für Abb. 13.9 erhält man dann die Anfangsauslenkung # 0:0412 mm x .0/ D 0:5369 "

(18.589)

18.13

Lösungen zu Kap. 13

457

und die Anfangsgeschwindigkeit # 1:2037 mm  !R : v .0/ D 2:4351 "

(18.590)

Lösung 13.13 Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für die Lagerbockschwingungen erhält man durch Einsetzen der Eigenlösung in den Ansatz x D xe O t :



x.t/ D xO 1 c1 e Cj!1 t C c1 e j!1 t C xO 2 c2 e Cj!2 t C c2 e j!2 t

(18.591)

x.t/ D xO 1 .ac1 cos !1 t C as1 sin !1 t/ C xO 2 .ac2 cos !2 t C as2 sin !2 t/

(18.592)

bzw.

Im Zahlenbeispiel (13.47): ! !

0:4413 0:8974 ac1 cos !Q 1 tQ C as1 sin !Q 1 tQ C ac2 cos !Q 2 tQ C as2 sin !Q 2 tQ : x.t/ D 0:8974 0:4413 (18.593) überführt man den Term (18.594) aci cos !i t C asi sin !i t in die komplexe Schreibweise aci e j!i t  j  asi e j!i t D .aci  j  asi / e j!i t : Mit ai D

q

2 2 aci C asi

und

tan 'i D 

asi aci

(18.595)

(18.596)

erhält man für (18.595) dann .aci  j  asi / e j!i t D ai e j .!i t C'i / :

(18.597)

Die Rücktransformation durch Realteilprojektion liefert die reelle Schreibweise: ai cos .!i t C 'i /

(18.598)

Setzt man die Zahlenwerte von Abb. 13.9: ac1 D 0:5 mm;

as1 D 1:2 mm;

ac2 D 0:2 mm;

as2 D 0:7 mm

(18.599)

in (18.596) ein, erhält man a1 D 1:3 und '1 D 67:38ı

(18.600)

458

18

Lösungen

bzw. a2 D 0:728 und '2 D 74:05ı :

(18.601)

Damit resultiert die allgemeine Lösung ! ! 0:8974 0:4413 a2 cos .!2 t C '2 / : a1 cos .!1 t C '1 / C x.t/ D 0:4413 0:8974

(18.602)

Lösung 13.14 Abzählen der Schlingen liefert in x1 -Richtung 1  2:5 und in x2 -Richtung 2  5:3. Es folgt 1 = 2 D 0:47 und aus (13.46) !Q 1 =!Q 2 D 1:378=3:078 D 0:448. Lösung 13.15 Die Steifigkeitsmatrix zu (13.45) liefert die Lagerkräfte ! FyL FxL

kQ D 11 kQ21

kQ12 kQ22

!

! xL yL

! ! xL 8 3 D 3 3:375 yL

 T erfolgt überwiegend in y-Richtung mit Die Schwingung xO 1 D 0:44 0:90     kQ12 kQ22  3 3:4 , während xO 2 D 0:90 0:44 in x-Richtung mit kQ11 kQ21   8 3 erfolgt. In xO 2 -Richtung sind die Rückstellkräfte also größer, was die höhere Eigenfrequenz erklärt; vgl. Lösung 13.6. Lösung 13.16 Für die Beziehung zwischen den Koordinaten und yL bzw. yL und xL gilt xL "

wobei

# h xL D xO 1 yL h Q D xO 1

" # i x L xO 2 yL

xO 2

(18.603)

i (18.604)

die Modalmatrix ist, deren Spalten die Eigenvektoren sind. Setzt man den Zusammenhang x L D Qx L in die Bewegungsgleichung M xR L C K x L D 0

(18.605)

ein und multipliziert die Gleichung von links mit QT (damit man symmetrische Matrizen erhält), erhält man (18.606) QT MQxR L C QT KQx L D 0:

18.13

Lösungen zu Kap. 13

459

Im Differentialgleichungssystem (18.606) sind die Matrizen QT MQ und QT KQ nur auf den Diagonalen besetzt: "

m 0

" #  k11 0  C x R L m 0

# 0 x L D 0:  k22

(18.607)

Die Gleichungen sind ungekoppelt # 1:8997 0 : K D 0 9:4753 "



Lösung 13.17 Mit B D ˛M C ˇK , vgl. (10.26), lautet (13.58) M xR L C .˛M C ˇK /xP L C K x L D 0:

(18.608)

Mit den Bezugsgrößen (13.43) erhält man Q xQ ıı C .mR ˛ M Q xQ L D 0: Q C kR ˇ K Q /!R xQ ı C kR K mR !R2 M L L

(18.609)

Division durch .mR !R2 / führt mit ˛Q D ˛=!R ; ˇQ D ˇ!R auf die dimensionslose Form Q xQ ıı Q C ˇQ K Q /xQ ıL C K Q xQ L D 0: M QM L C .˛

(18.610)

Mit den Parameterwerten (13.43), (13.45) erhält man, vgl. (13.67), (13.83), !! ! ! ! 8 3 1 0 8 3 1 0 ıı o Q xQ L C Cˇ xQ L D 0: (18.611) xQ L C ˛Q 3 3:375 0 1 3 3:375 0 1 Die Eigenlösungen (13.46) des ungedämpften Systems lauten



!Q 1 D 1:378; xQ 1 D .0:4413; 0:8974/T ; !Q 2 D 3:078; xQ 2 D .0:8974; 0:4413/T : (18.612) Dann lautet die Modalmatrix, vgl. Abschn. 10.1.2,

! 0:4413 0:8974 O D .xO 1 ; xO 2 / D : X 0:8974 0:4413

(18.613)

Transformation von (18.609)–(18.610) auf Modalkoordinaten, vgl. Abschn. 10.2 und 10.4: OqDX O .q1 ; q2 /T W xQ L D X

QX O q ıı C .˛Q M Q C ˇQ K Q /X O qo C K QX O q D 0: M

(18.614)

460

18

Lösungen

O T führt auf, vgl. (10.27), Multiplikation von (18.614)2 von links mit X q

ıı

o Q C .˛I Q C ˇ/q C q D 0 mit

! 1 0 ; ID 0 1

!Q 12 D 0

! 0 I (18.615) !Q 22

numerische Genauigkeitskontrolle: !T T 0:4413 0:8974 Q O O X MX  I D 0:8974 0:4413 ! 0:00007 0 ; D 0 0:00007 !T T 0:4413 0:8974 O K OX O D X 0:8974 0:4413 !2 1:378 0  D 0 3:078

! 0:4413 0:8974 I 0:8974 0:4413

! ! 0:4413 0:8974 8 3 0:8974 0:4413 3 3:375 ! 0:0009 0:0001 : 0:0001 0:0019

(18.616)

In Modalkoordinaten q1 D q1 .t/; q2 D q2 .t/ erhält man die beiden Dgln. Q o C 1:3782q1 D 0; q1ıı C .˛Q C 1:3782ˇ/q 1 ıı 2Q o q2 C .˛Q C 3:078 ˇ/q1 C 3:0782q2 D 0;

(18.617)

in der Schreibweise (5.4): o 2 Q q1ıı C 2  .0:363˛Q C 0:689ˇ/1:378q 1 C 1:378 q1 D 0; o 2 Q q2ıı C 2  .0:162˛Q C 1:539ˇ/3:078q 1 C 3:078 q2 D 0:

(18.618)

Dasselbe ˛Q wirkt sich also bei q1 .t/ schwächer dämpfend aus als bei q2 .t/, mit ˇQ verhält es sich umgekehrt. (Vgl. die Bemerkungen am Ende von Abschn. 10.4.) Die Lösungen der charakteristischen Gleichungen zu (18.618), vgl. (5.10); sind jetzt einfach, denn man braucht in (5.11), p 1=2 D D!0 ˙ !0 D 2  1; für D und !0 aus (18.618) nur Q D D .0:363˛Q C 0:689ˇ/ Q D D .0:162˛Q C 1:539ˇ/ einzusetzen.

und !0 D 1:378 bzw. und !0 D 3:078

(18.619)

18.13

Lösungen zu Kap. 13

461

Lösung 13.18 Die Vorarbeit in Aufgabe 13.17 führt auf die beiden entkoppelten Gleichungen in der Schreibweise (5.4): o 2 Q q1ıı C 2  .0:363˛Q C 0:689ˇ/1:378q 1 C 1:378 q1 D 0; o 2 Q q2ıı C 2  .0:162˛Q C 1:539ˇ/3:078q 1 C 3:078 q2 D 0:

(18.620)

Aus (13.65) folgen für die beiden Dgln. (18.618)1 durch Einsetzen von xO 1 D qO1 D 1;

M D 1;

xO 2 D qO2 D 1;

M D 1;

Q B D 2  .0:363˛Q C 0:689ˇ/1:378 bzw. Q B D 2  .0:162˛Q C 1:539ˇ/3:078

(18.621)

Q bzw.  D .0:162˛Q C 1:539ˇ/; Q  D .0:363˛Q C 0:689ˇ/

(18.622)

1

wie es einer Taylor-Entwicklung von (5.11) bis zu D entspricht. Lösung 13.19 ! ! ! b 8 3 0:1 0:05 ı 1 0 ıı xL D 0 xL C p xL C 3 3:375 0 1 kR m 0:05 0:05 Mit der Indizierung nach (13.60): 1 D 0:0101 C 1:3783j 1 D 0:0101  1:3783j 2 D 0:0649 C 3:0775j 2 D 0:0649  3:0775j

! 0:2598  0:3568j I xO 1 D 0:5246 C 0:7280j ! 0:2598 C 0:3568j xO 1 D I 0:5246  0:7280j Lösung 13.20

0:8479 C 0:2938j xO 2 D 0:4155 C 0:149j xO 2

!

0:8479  0:2938j D 0:4155  0:1491j

 X " K  !k2 M al xO l C "j!k Œ2 M C B xO k D 0 l

Multiplikation von links mit

xO lT

 X xO Tl " K  !k2 M al xO l C xO Tl "j!k Œ2 M C B xO k D 0 l

aufgrund der Orthogonalität x Tk Kx l D 0 und x Tk Mx l D 0 folgt: X l

 al xO Tl K xO Tl  !k2 xO Tl M xO l " C "j!k xO Tl B xO k D 0

!

462

18

Lösungen

für k D 1 und l D 2: a2 D

j!1 xO T2 B xO 1 xO T2 K xO T2  !12 xO T2 M xO 2

D 0:00195j

für k D 2 und l D 1: a1 D

j!2 xO T1 B xO 2 xO T1 .K  !22 M /xO 1

D j 0:0211

Darin gelten  T xO 1 D 0:4413 0:8974 ; Q  T xO 2 D 0:8974 0:4413 ; Q ! 1 0 0:1 ; BD M D Q Q 0 1 0:05

!1 D 1:37828 !2 D 3:07820 ! ! 8 3 0:05 ; KD 3 27=8 0:05

Korrigierte Eigenvektoren: xO korr 1 Q xO korr 2 Q

! 0:4413 C 0:00175j D xO 1 C a2 xO 2 D Q Q 0:8974 C 0:00086j ! 0:8974 C 0:00192j D xO 2 C a1 xO 1 D Q Q 0:4413  0:00391j

Die korrigierten Eigenvektoren unterscheiden sich von den numerisch gewonnenen nach Lösung 13.19 vor allem durch skalare komplexe Koeffizienten. Wir rechnen ! 0:2598  0:3568j xO 1 D Q 0:5246 C 0:7280j aus Lösung 13.19 um, vgl. xO korr in Lösung 13.20; 1 Q

! 0:4413 C 0:00175j 0:4413 C 0:0017j D xO 1  D Q 0:2598  0:3568j 0:8972  0:0080j ! 0:8479 C 0:2938j Analog folgt für xO 2 D Q 0:4155 C 0:0149j ! 0:8974 C 0:00192j 0:8974 C 0:0019j  xO 2 D xO 2  : D Q Q 0:8479 C 0:2938j 0:4414 C 0:0057j xO 1 Q

Die Abweichungen von Lösung 13.19 – jeweils im Imaginärteil vom 2. Element – sind klein.

18.13

Lösungen zu Kap. 13

463

Lösung 13.21 Wie benutzen die in Lösung 13.19 mit Matlab numerisch gewonnenen Ergebnisse, wie sie die Matlab-Routine polyeig liefert. Die Eigenschwingungen lauten x k .t/ D ck xO k e k t ; Q

Q

k D 1; 1; 2; 1

(18.623)

numerisch: x 1 .t/ D c1 Q

x 1 .t/ D c1 Q

x 2 .t/ D c2 Q

x 2 .t/ D c2 Q

0:2598  0:3568i 0:5246 C 0:7280i

! exp ..0:0101 C 1:3783i/ t/ ;

! 0:2598 C 0:3568i exp ..0:0101 C 1:3783i/ t/ ; 0:5246  0:7280i ! 0:8479 C 0:2938i exp ..0:0649 C 3:0775i/ t/ ; 0:4155 C 0:149i ! 0:8479 C 0:2938i exp ..0:0649 C 3:0775i/ t/ : 0:4155 C 0:149i

(18.624)

Man beachte, xO k und k sind zu xO k bzw. k konjugiert komplex. Q

Q

Lösung 13.22 Achtung: Hier werden komplexe Auslenkungen unterstrichen! Die allgemeine Lösung (13.60) x.t/ D

2 X

ck xO k e k t C ck xO k e k t ;

(18.625)

kD1

Kann mit den numerischen Werten aus Aufgabe 13.21 unmittelbar übernommen werden. Reelle Form: Mit xO k D xO kR C j xO kI ; Q Q (18.626) k D ık C j!k ; Wo

xO kR D Re xO k ; Q

ık D Re k ; vgl. auch (5.23).

xO kI D Im xO k ; Q

!k D Im k ;

(18.627)

464

18

Lösungen

Mit ck D 1 lautet die Eigenschwingung   xO k D xO kR C j xO kI e .ık Cj!k /t Q Q   ık t De xO kR C j xO kI .cos !k t C j sin !k t/ Q Q     D e ık t xO kR cos !k t  xO kI sin !k t C je ık t xO kR sin !k t C xO kI cos !k t Q

Q

Q

Q

(18.628) Da die Ausgangsgleichung (13.54), vgl. (13.67) reell ist, sind x kR .t/ D Re x k .t/ Q

und x kI .t/ D Im x k .t/

(18.629)

Q

zwei linear unabhängige Lösungen, die wir – willkürlich! – mit x k .t/ und x k .t/ bezeichQ Q nen.   x k .t/ D ak xO kR cos !k t  xO kI sin !k t e ık t

(18.630)

  x k .t/ D ak xO kR sin !k t C xO kI cos !k t e ık t

(18.631)

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Hinweis 1 Die Differentialgleichung (13.54), bzw. (13.69), ist autonom (hängt nicht explizit von der Zeit ab). Dann kann man die Zeitachse zum Beispiel um t D = .2!k / verschieben und erhält aus (18.631)   x k .t C t/ D xO kR sin .!k t  =2/ C xO kI cos .!k t  =2/ e ık t  e ık =2!k Q

Q

De

ık =2!k

Q

 xk : Q

(18.632) Die beiden linear unabhängigen Lösungen x k .t/ und x k .t/ unterscheiden sich – neben Q

Q

dem hier unwesentlichen (reellen) Faktor exp.ık =2!k / – nur durch eine Phasenverschiebung, ähnlich wie sin !t und cos !t beim Einmassenschwinger. Hinweis 2 Stellt man die Überlegungen (18.626) bis (18.632) für x k .t/ von (18.625) Q

an, erhält man wieder die Ergebnisse (18.630), (18.631), wenn man am Ende !k ! !k setzt.

18.13

Lösungen zu Kap. 13

465

Zur Numerik Um die Ausdrücke zu vereinfachen, skalieren wir die Eigenvektoren xO k so, dass das jeweilig größte Element bei 1 liegt. Dann lauten die xO k und k vgl. Aufgabe 13.21, ! 0:4918  0:0024j ; 1 D 0:1010 C 1:3783j; xO 1 D 1 ! 0:4918 C 0:0024j ; 1 D 0:1010 C 1:3783j; xO 1 D 1 ! (18.633) 1 ; 2 D 0:0649 C 3:0775j; xO 2 D 0:4919 C 0:0054j ! 1 ; 2 D 0:0649 C 3:0775j: xO 2 D 0:4919  0:0054j Hieraus folgen die reellen Lösungen (18.630) und (18.631) ! # ! " 0:0024 0:4918 sin 1:378t e 0:1010t ; cos 1:378t C x 1 .t/ D Q 0 1 ! # ! " 0:0024 0:4918 cos 1:378t e 0:1010t ; sin 1:378t  x 1 .t/ D Q 0 1 ! # ! " 0 1 sin 3:0775t e 0:0649t ; cos 3:0775t  x 2 .t/ D Q 0:0054 0:4919 ! # ! " 0 1 cos 3:0775t e 0:0649t : sin 3:0775t C x 2 .t/ D Q 0:0054 0:4919

(18.634)

Hinweis 3 Wenn man will kann man die Spaltenelemente mit    cos !k t C    sin !k t individuell zu    cos .!k C '0 / zusammenfassen, also individuell phasenverschoben schreiben. Lösung 13.23 In (13.72) wurden die Unwuchterregerkräfte mit einer auf die Gesamtmasse m bezogenen Exzentrizität ru aufgesetzt. Das bedeutet, mit Abb. 13.11 steht der Punkt m für den Schwerpunkt der aufgesetzten Scheibe. Ist die Scheibe ein unrunder Körper der Masse m mit zentrischem Schwerpunkt und zusätzlich daraufgesetzter Unwuchtmasse m1 und Exzentrizität r1 , so gilt für (13.72) mges D m C m1

(18.635)

und der Gesamtschwerpunkt hat die Exzentrizität ru D

r1 m1 : mges

(18.636)

466

18

Lösungen

Also muss man in (13.72) einsetzen !

r1 m1 ˝ 2 Fe D .m C m1 / m C m1

cos ˝t sin ˝t

und m C m1 M D Q 0

D r1 m1 ˝

! cos ˝t ; sin ˝t

2

! 0 : m C m1

(18.637)

(18.638)

Lösung 13.24 Schnitt zwischen Scheibe und Bock (von Abb. 13.10 bzw. 13.11), vgl. Abb. 18.62. Scheibe: Abb. 18.62 Freigeschnittene Scheibe (vgl. Abb. 12.5)

Auslenkung: x L D .xL ; yL /T . Gewicht G wird vernachlässigt. Beide Erregungen Q

durch Kraft F .t/ und Unwucht .m; ru / sind enthalten. Dämpfungskräfte auf Scheibe gegen Umgebung Fx Fy

!DS

b D 11 b21

Schnittkräfte zu Bock FL Q

b12 b22

!S

xP L yPL

!

! FxL D : FyL



T Bock: Abb. 13.3 zeigt x L D .xL ; yL /T , F L D FxL ; FyL . Q

Q

Der Bock „reagiert“ auf die Auslenkung x L mit seiner Steifigkeit K und seinen DämpQ

fungen B B . Q

! FL Q

k11 D k21

k12 k22

! xL b C 11 yL b21

Q

b12 b22

!B

xP L yPL

!

18.13

Lösungen zu Kap. 13

467

Während die Dämpfung bei der Scheibe im Wesentlichen gegen die Umgebung (z. B. Luft) erfolgt, gibt es beim Bock neben Werkstoffdämpfung auch Reibung, Energieabstrahlung ins Fundament, atmende Fugen usw. die freilich linear kaum zutreffend zu erfassen sind. Elimination von F L und Einsetzen der Trägheitsglieder liefert auf Q

! 2 !B xR L b b b 11 12 C 11 C4 yRL b21 b22 b21 ! ! cos ˝t FM ; C mru ˝ 2 D sin ˝t FV !

m 0 0 m

b12 b22

!S 3 ! k x P L 5 C 11 yPL k21

! k12 k22

! xL yL

abgekürzt M xR L C B xP L C K x L D F e .t/: Q Q

Q Q

Q Q

Q

Lösung 13.25 Für die Kraftanregung entsprechend Abb. 13.10b soll die (komplexe) Erregeramplitude bestimmt werden. Für die (komplexe) Bewegungsdifferentialgleichung M xR C B xP C K x D FO e e j˝t

mit

x.t/ D Re fx.t/g

(18.639)

lauten die Komponenten der (komplexen) Erregeramplitude: 1-Richtung: o o n n FO cos ˝t D Re FO .cos ˝t C j sin ˝t/ D Re FO e j˝t DW

n o Re FO 1e e j˝t (18.640)

2-Richtung: FO cos ˝t  FO sin ˝t o n D Re FO .cos ˝t C j sin ˝t/ C j  FO .cos ˝t C j sin ˝t/ n o n o n o D Re FO e j˝t C j  FO e j˝t D Re FO .1 C j / e j˝t DW Re FO 2e e j˝t :

(18.641)

Für FO e folgt: # # " " # " # " 1 FO 1e FO H FO O O : DF Fe D D D 1Cj FO .1 C j / FO 2e FO V

(18.642)

468

18

Lösungen

Lösung 13.26 Gegeben sei die Bewegungsgleichung: M xR C B xP C K x D FO e e j˝t :

(18.643)

O j˝t liefert Einsetzen des Ansatzes x D xe

˝ 2 M C j˝B C K xO D FO e „ ƒ‚ …

(18.644)

K .j˝/

die komplexe dynamische Steifigkeit K.j˝/. In bezogener Form schreibt man mit der dynamischen Steifigkeit

Q C j!0 ˝b Q xO D FO e Q C kR K Q B kR ˝Q 2 M   Q CK Q xO D FO e Q C j p b ˝Q B kR ˝Q 2 M mkR

2 Q C j ˝Q B Q CK Q xO D FO e kR ˝Q M „ ƒ‚ …

(18.645)

Q .j˝/ K

und ausgeschrieben Q Q Q Q2

Q j ˝Q D k11  ˝ C j b11 ˝ K Q Q k21 C j b21 ˝Q

kQ12 C j bQ12 ˝Q Q k22  ˝Q 2 C j bQ22 ˝Q

! (18.646)



Q j ˝Q xOQ D FOQ . mit K OQ j˝t unter 30ı . Für xOQ setzt Gesucht ist nun FOQ e für eine Schwingungsantwort xQ D xe man an: " # "p # 3 ı cos 30 xQO D xO (18.647) D xO 2 : ı sin 30 0:5 Einsetzen der gegebenen Größen vgl. (13.83) in (18.646) liefert die gesuchte Erregerkraftamplitude, siehe Abb. 18.63.

Abb. 18.63 Kräfte FH und FV für xO D 1; ˝ D 3

18.13

Lösungen zu Kap. 13

469

Lösung 13.27 Q D 1 folgen mit der dynamischen Steifigkeit Für xOQ D .cos ˛; sin ˛/T , also xO D 1 und mit m kQ  ˝Q 2 C j bQ11 ˝Q Q K.j˝/ D 11 kQ21 C j bQ21 ˝Q

kQ12 C j bQ12 ˝Q kQ22  ˝Q 2 C j bQ22 ˝Q

! (18.648)

die komplexen Amplituden   FOQ H D kQ11  ˝Q 2 C j bQ11 ˝Q cos ˛ C kQ12 C j bQ12 ˝Q sin ˛ i h i h D kQ11  ˝Q 2 cos ˛ C kQ12 sin ˛ C j ˝Q bQ11 cos ˛ C bQ12 sin ˛ ;   FOQ V D kQ21 C j bQ21 ˝Q cos ˛ C kQ22  ˝Q 2 C j bQ22 ˝Q sin ˛ i h i h D kQ22  ˝Q 2 sin ˛ C kQ21 cos ˛ C j ˝Q bQ22 sin ˛ C bQ21 cos ˛ :

(18.649)

(18.650)

Ihre Beiträge, das sind auch die Beträge der reellen Amplituden FOQH bzw. FOQV , lauten ˇ rh ˇ h i2 i2 ˇ OQ ˇ Q kQ11  ˝Q 2 cos ˛ C kQ12 sin ˛ C ˝Q 2 bQ11 cos ˛ C bQ12 sin ˛ BH ˝ WD ˇF H ˇ D (18.651) ˇ ˇ rh h i2 i2 ˇ ˇ O kQ22  ˝Q 2 sin ˛ C kQ21 cos ˛ C ˝Q 2 bQ22 sin ˛ C bQ21 cos ˛ BV ˝Q W D ˇFQ V ˇ D (18.652) Die Extrema liegen bei 0 ˝Q WD @BH =@˝Q D 0; BH

BV0 ˝Q WD @BV =@˝Q D 0

(18.653)

Man erhält  i h i2  h 2˝Q 0 ˝Q WD  cos ˛ kQ11  ˝Q 2 cos ˛ C kQ12 sin ˛ C bQ11 cos ˛ C bQ12 sin ˛ ; BH BH (18.654) i h i2  h Q 

2 ˝  sin ˛ kQ22  ˝Q 2 sin ˛ C kQ21 cos ˛ C bQ22 sin ˛ C bQ21 cos ˛ : BV0 ˝Q WD BV (18.655) Q Die Nullstellen bei ˝1 D 0 führen auf ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ OQ ˇ ˇ Q ˇ ˇF H ˇ D ˇk11 cos ˛ C kQ12 sin ˛ ˇ ;

(18.656)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ OQ ˇ ˇ Q ˇF V ˇ D ˇk22 sin ˛ C kQ21 cos ˛ ˇ ;

(18.657)

470

18

Lösungen

das sind die Kräfte für statische Auslenkungen .cos ˛; sin ˛/, mit den Zahlen aus Aufgabe 13.26 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ OQ ˇ (18.658) ˇF H ˇ D 8:428I ˇFOQ V ˇ D 4:286 1

Die jeweils zweiten Nullstellen von

1

0 ; BV0 BH

liegen bei

2 ˝Q 2H D

h i h i2  1 Q11 cos ˛ C kQ12 sin ˛ cos ˛  bQ11 cos ˛ C bQ12 sin ˛ k cos2 ˛

(18.659)

2 ˝Q 2V D

h i h i2  1 Q22 sin ˛ C kQ21 cos ˛ sin ˛  bQ22 sin ˛ C bQ21 cos ˛ k ; sin2 ˛

(18.660)

mit den Zahlen aus Aufgabe 13.26 ˝Q 2H D 3:110;

˝Q 2V D 2:911

(18.661)

ˇ ˇ ˇ OQ ˇ ˇF V ˇ D 0:351:

(18.662)

Hiermit folgen die Kräfte ˇ ˇ ˇ OQ ˇ ˇF H ˇ D 0:665I 2

2

Diese Werte, die Minima, liegen in der Nähe der Resonanzfrequenz !Q 2 D 3:07, vgl. (13.68); !Q 2 kommt ins Spiel, weil die Eigenschwingung x2 etwa in die Richtung von .xH ; xV /T fällt, vgl. Abb. 13.8b. FQmax D max

0˝Q tQ2

q FQH2 .t/ C FQV2 .t/

wo  Q FQH D Re FOQ H e j ˝ tQ i h i h D kQ11  ˝Q 2 cos ˛ C kQ12 cos ˛ cos ˝Q tQ  ˝Q bQ11 cos ˛ C bQ12 sin ˛ sin ˝Q tQ  Q FQV D Re FOQ V e j ˝ tQ i h i h D kQ22  ˝Q 2 sin ˛ C kQ21 cos ˛ cos ˝Q tQ  ˝Q bQ22 sin ˛ C bQ21 sin ˛ sin ˝Q tQ mit den Abkürzungen ' D ˝Q tQ und FQH .'/ D a11 cos '  a12 sin '; FQV .'/ D a21 cos '  a22 sin '; erhält man q FQH2 .'/ C FQV2 .'/ 2  2

1=2 2 2 C a21 C a22 D a11 cos2 '  2 .a11 a12 C a21 a22 / sin ' cos ' C a12 sin '

BF .'/ D

18.13

Lösungen zu Kap. 13

471

Ableitung BF0 D @BF =@': BF0



1 1 2 2 2 2 D a  a12 C a11  a22 sin 2˛ .a11 a12 C a21 a22 / cos 2˛ C BF 2 11

Nullstellen bei

.a11 a12 C a21 a22 /

: tan 2' D C2 2 2 2 2  a11  a22 a11 C a12

(18.663)

Jetzt müssen die aj k – durch Vergleich der FQH ; FQV oben – eingesetzt und schließlich das Extremum bezüglich ˝Q gesucht werden. (Dies führt auf umständliche Rechnungen.) Lösung 13.28 Lösung durch Matrixinversion. Lösung 13.29 Die angegebenen Frequenzen liegen nahe den Eigenfrequenzen !Q 1 und !Q 2 , vgl. (13.68). Für ˝Q  1:4 gelten, vgl. Abb. 13.15d, 11

 0:5 D 90ı I

12

 0:5 D 90ı I

22

 0:5 D 90ı

Für ˝Q  3:1 gelten 11

 0:5 D 90ı I

12

 0:5 D 90ı I

22

 0:5 D 90ı

Lösung 13.30 Die Bedingungen sind in 3 Bereichen erfüllt: 1 im Intervall 0  ˝Q < !Q 1  !Q 1 mit !Q 1  0:2 2 in einem kleinen Intervall kurz oberhalb !Q 1 3 für ˝Q > !Q 2 C !Q 2 mit !Q 2  0:5. Lösung 13.31 Die Rechnung läuft analog zur Aufgabe 13.26 mit (13.93) statt (13.78): Man erhält ! " ! #

cos ˛ xQ L Q Q j ˝Q tQ j ˝ t Q j ˝Q FQ e D Re H D Re xe Q sin ˛ yQL

Will man gemessene Hi l

gemäß (13.91) Hi l j ˝Q zen.

(18.664)

(18.665) xQ ˛ D xQ L .t/ cos ˛ C yQL .t/ sin ˛:

j ˝Q , z. B. nach Abb. 13.15, benutzen, muss man in (18.664) ˇ ˇ Q D ˇHQ i l ˇ e j i l .˝ / mit den Zahlenwerten aus Abb. 13.15 einset-



472

18

Lösungen

Lösung 13.32 Siehe Matlab Skript und Abb. 18.64. Abb. 18.64 Auslenkung des Lagerbocks

Lösung 13.33 Die Kraft wirkt nahezu in Richtung der Eigenschwingung x 2 .t/ fast senkrecht zu x 1 .t/; Q

vgl. Abb. 13.8.

Lösung 13.34 Bei ˝Q D !Q 1 liegen die Phasenwinkel bei 1  =2 D 90ı und also in Gegenphase. Bei ˝Q D !Q 2 liegen 1  =2 D 90ı und in Gleichphase.

Q

 =2 D 90ı ı 2  =2 D 90

2

Lösung 13.35 Die Lösung (18.678) könnte man auch einfach näherungsweise aus Abb. 13.17 ablesen. Zum Zeitpunkt t D 0 gilt für Unwuchterregung im mitdrehenden Koordinatensystem die Zentrifugalkraft, vgl. Abb. 18.65. a  m mit FEe D E

Abb. 18.65 Lage des Lagers und der Unwucht

aE D Eru ˝ 2

h iT und rEu D 1 0

(18.666)

18.13

Lösungen zu Kap. 13

473

Multiplikation mit der inversen Drehmatrix R31 .˝t/ " FOe

# " cos ˝t cos ˝t D sin ˝t sin ˝t "

liefert F e D ru m˝

2

 sin ˝t cos ˝t

#" # 1 O Fe 0

(18.667)

# cos ˝t : sin ˝t

(18.668)

Die komplexe Erregeramplitude ist somit # 1 : j

" FO e D ru m˝ 2

(18.669)

Setzt man die komplexe Erregeramplitude in xO D H .j˝/FO e

(18.670)

ein, erhält man daraus " xO D H .j˝/ru m˝

2

1 j

#



D K  ˝ M C j˝B 2

1

" ru m˝

2

1 j

# (18.671)

Q , M D mM Q , B D b B. Q ˝ D !R ˝Q und ! 2 D kR =m bzw. mit K D kR K R 

Q  ˝ 2 mM Q C j˝b B Q xO D kR K

1

" ru m˝

2

1 j

#

" #

 1 1 1 1 2 2 Q ˝ Q C j˝ b B Q D kR K : mM ru m˝ kR kR j

(18.672)

Weiterhin vereinfacht sich die Gleichung mit ˝ D !R ˝Q und !R2 D kR =m weiter zu #1 " " # r k 1 k 1 1 R R 2 2 Q  Q Cj Q Q R bB ˝Q ˝k K mM ru m˝ xO D kR m kR m j " # 1

1 Q b 1 2 Q 2 Q Q Q D ˝B K ˝ M Cjp ru m˝ kR j kR m 1 " #

1 Q  ˝Q 2 M Q C j p b ˝Q B Q D ru ˝Q 2 K j kR m „ ƒ‚ … Q .j ˝Q / H

(18.673)

474

18

Lösungen

Normiert man xO auf ru ergibt sich die normierte Auslenkung 1 " #

b 1 2 Q  ˝Q M Q Cjp Q xOQ D ˝ K ˝Q B kR m j „ ƒ‚ … Q .j ˝Q / H Q2

(18.674)

Die Lösungen xOQ liest man aus Abb. 13.17 ab oder löst die Gleichung numerisch. Die Schwingungen des Lagers erhält man dann aus o n ˚  OQ u  e j˝t D Re xO  e j˝t : x.t/ D Re xr

(18.675)

Die Unwucht dreht sich im konstanten Abstand ru um das Lager, vgl. Abb. 18.65. Die 0 Unwucht-Koordinaten x u .t/ sind bezüglich der Basis eE #

" x u .t/ D x.t/ C ru bzw. komplex

cos ˝t sin ˝t #!

" xO u .t/ D xO C ru

(18.676)

1 j

e j˝t

(18.677)

In Abb. 13.17 liest man zu den Anregungsfrequenzen ˝Q 1 D 1:36 und ˝Q 2 D 1:43 die Koordinaten der komplexen Amplitudenvektoren x. O ˝Q 1 D 1:36/  Œ9 C j I 18  2j T und x. O ˝Q 2 D 1:43/  Œ0:5  5:5j I 0:5 C 11j T ab. O j˝t wird für ˝Q 1 D 1:36 und für ˝Q 2 D 1:43 Der Graph der Lagerschwingung x.t/ D xe Q zu den Zeitpunkten ˝ tQ D ˝t D 0; =2; ; 3=2:2 mit Hilfe von: " Re " Re

9Cj 18  2j

0:5  5:5j 0:5 C 11j

!

# .e

j˝t

.e

j˝t

!

"

/ D Re # / D Re

"

9Cj 18  2j

!

0:5  5:5j 0:5 C 11j

# .cos ˝t C j sin ˝t/ !

#

(18.678)

.cos ˝t C j sin ˝t/

berechnet. Die Winkellagen der Lageramplituden zur Unwuchtanregung sind für verschiedene Zeitpunkte in Abb. 18.66 dargestellt. Aus (13.46) geht hervor, dass die Resonanzfrequenzen für das System bei !Q 1 D 1:378 und !Q 2 D 3:078 liegen. Bei ˝Q 1 D 1:36 schwingt der Lagerbock unterhalb der 1. Eigenfrequenz im Gleichlauf mit der Unwucht, bei ˝Q 2 D 1:43, im Bereich zwischen den beiden Eigenfrequenzen, im Gegenlauf. Siehe auch das zugehörige Matlab® -Programm.

18.13

Lösungen zu Kap. 13

475

a

b

c

d

e

f

g

h

Abb. 18.66 Winkellagen zwischen Unwucht und Lageramplituden zu den Zeitpunkten ˝t D 0; =2; ; 3=2:2 (von a, e nach d, h) für ˝Q D 1:36 (a–d) und ˝Q D 1:43 (e–h)

Lösung 13.36, 13.37 Die Bahn des Lagermittelpunktes wird durch i hˇ ˇ ˇ ˇ xQ L .t/ D xQ 1 .t/ D Re ˇxOQ 1 ˇ e j 1 e j˝t i; hˇ ˇ ˇ ˇ yQL .t/ D xQ 2 .t/ D Re ˇxOQ 2 ˇ e j 2 e j˝t ˇ ˇ ˇ ˇ xQ L .t/ D ˇxOQ 1 ˇ  cos .˝t C ˇ ˇ ˇ ˇ yQL .t/ D ˇxOQ 2 ˇ  cos .˝t C

erfasst. Man erhält

(18.679)

1/ ; 2/ :

Die „Bahn“ liegt auf einer Geraden, wenn xQ L .t/ und yQL .t/ in Phase oder in Gegenphase schwingen, das heißt für 1



2

D 0 oder

1



2

D ˙ D ˙180ı :

Letzteres ist nach Abb. 13.17 für ˝Q  1:36 der Fall, ersteres für ˝Q  3:03.

476

18

Lösungen

Für 180ı < 2  1 < 0 gilt Gleichlauf, für 0 < 2  1 < 180ı gilt Gegenlauf, ersteres ist für 0 < ˝Q < 1:36:: und für 3:03 < ˝Q < 1, letzteres für 1:36:: < ˝Q < 3:03 der Fall.

18.14 Lösungen zu Kap. 14 Lösung 14.1 Einsetzen von (14.11):   xO T# D 0; 0; lQ1 xO TL ; lQ2 xO TL D 0; lQ1 xO TL ; lQ2 xO TL in (14.10) mit x D xe O t M xR C B xP C ŒK C bi ˝J x D 0 führt auf 10 1 0 1 0 0 0 CB C B C 0 A @ lQ1 xR L A D @ lQ1 M A xR L A ; MB lQ2 xR L lQ2 M B xR L 0 1 0 1 0 bi lQ2 I 2 lQ1 xP L C bi lQ1 I 2 lQ2 xP L 0 B C B C B xO D @0 B A xP L lQ1 C bi lQ1 lQ22 I 2 xP L  bi lQ1 lQ22 I 2 xP L A D @ lQ1 B A xP L A 0 bi lQ12 lQ2 I 2  B B xP L lQ2  bi lQ12 lQ2 I 2 lQ2 B B xP L 1 0 0 C0 C B .K C bi ˝J /x D @ lQ1 K A x L C0A lQ2 K B x L C0 0

ms I 2 B @ 0 0

0 MA 0

Aus dem Einsetzen von (14.11) folgt M A xR L C B A xP L C K A x L D 0 M B xR L C B B xP L C K B x L D 0 das sind genau die Bewegungsdifferentialgleichungen für die freien Schwingungen der Lagerböcke ohne Welle und Scheibe.

18.14

Lösungen zu Kap. 14

477

Lösung 14.2 Dimensionslose Parameter (siehe auch Abschn. 4.7, (4.54)): p1 D MQ p2 D BQ p3 D KQ C 2Di ˝Q p4 D m Q S ˝Q 2 p5 D ˝Q Lösung 14.3

9 > > > > > > =

q kQW m Q S  J > p1 xRQ C p2 xPQ C p3 xQ D p4  f .p5 tQ/ > > > > > ;

lQ1 D 0:6; lQ2 D 0:4; m Q A D 0:9;

m Q s D 5; kQ! D 3;

D˛ D 0:02 Di D 0:01

m Q B D 1:1

! 8 3 ; KN D 3 3:75

! 0:1 0:05 BN D 0:05 0:05

Die Lagermassen betragen je rund 20% der Scheibenmasse. Die unterschiedlichen Längen lQ1 ; lQ2 bewirken ein Schrägstellen der Scheibe, also – bei größeren Scheibendurchmessern – eine Kreiselwirkung, die im vorliegenden Modell nicht berücksichtigt wird. Will man das Resonanzverhalten optimieren, also Lage der Resonanzstellen und Resonanzüberhöhungen schon beim Entwurf durch „günstig gewählte“ Parameter gezielt beeinflussen, wird man dafür geeignete Parameter (zunächst leicht) variieren, „Sensitivitäten“ ermitteln und dann die (Konstruktions-) Daten festlegen. Ob die vorhandene Anisotropie der Lagerung ausreicht, im vorgesehenen Drehzahlbereich eine Selbsterregung durch die innere Dämpfung der Welle zu vermeiden, könnte untersucht werden, vgl. Abschn. 12.5 und 14.1.3.5. Lösung 14.4 K N ki D i ki :

(18.680)

Ohne Dämpfungen lautet die (14.9) zugeordnete homogene Differentialgleichung in dimensionsloser Form, vgl. (14.21), 0

0 m Q AI 2 0

10 1 0 xR S CB C 0 A @xR A A m Q BI2 xR B

kQW I 2 B Q Q C @kW l2 I 2 kQW lQ1 I 2

kQW lQ2 I 2 Q K L C kQW lQ22 I 2 kQW lQ1 lQ2 I 2

m Q SI2 B @ 0 0 0

10 1 0 1 kQW lQ1 I 2 xS 0 CB C B C Q Q Q kW l1 l2 I 2 A @x A A D @0A Q 0 K L C kQW lQ12 I 2 xB

(18.681)

478

18

mit, vgl. (14.27),

Q L D hK Q N C .1  h/kQm I 2 : K

Lösungen

(18.682)

Die Eigenlösungen nach (18.680) seien wie folgt normiert, vgl. Abschn. 10.1.3: Q N kQ i D Q i kQ i ; i D 1; 2; K

T T mit kQ i kQ i D 1; kQ 1 kQ 2 D 1 .orthogonal bei Q 1 ¤ Q 2 /: (18.683)

Mit X D .kQ 1 ; kQ 2 /

gilt X X D I 2 T

Q N X D 1 und X K 0 T

! 0 :

2

(18.684)

Nach der Koordinatentransformation ! q x D .kQ 1 ; kQ 2 / 1 q2

D Xq

(18.685)

messen q1 D q1 .t/; q2 D q2 .t/ die Auslenkungen jeweils in Richtung von k1 bzw. k2 . Aus (18.682) folgt mit (14.4.6) und (18.684) Q Lx D X T K Q Lx D X T K Q LX q XT K ! ! ! kQm q1 .h 1 C .1  h/kQm /q1

1 q1 C .1  h/ D : Dh kQm q2

2 q2 .h 1 C .1  h/kQm /q2

(18.686)

Dann zerfällt nach den Koordinatentransformationen xS D XqS ; xA D XqA ; xB D XqB (18.681) in die beiden Dreier-Systeme für i D 1; 2: 10 1 0 0 0 qRS i m QS CB C B Q A 0 A @qRAi A @ 0 m 0 0 m QB qRBi 0 kQW lQ2 kQW B Q Q C @kW l2 h i C .1  h/kQm C kQW lQ22 kQW lQ1 lQ2 kQW lQ1

10 1 0 1 kQW lQ1 0 qS i CB C B C kQW lQ1 lQ2 A @qAi A D @0A : 0 h i C .1  h/kQm C kQW lQ12 qBi (18.687) Das Eigenwertproblem erfordert jetzt nur noch das Lösen einer kubischen algebraischen Gleichung statt eines Systems sechsten Grades.

18.14

Lösungen zu Kap. 14

479

Lösung 14.5 Bei isotoper Lagerung, h D 0, und ohne Dämpfung gibt es drei Paare, l D 1; 2; 3; von Eigenschwingungen, jeweils in x- und y-Richtung, vgl. Abb. 12.4, 12.5 und 13.3. Sie lauten x l .t/ D axl xO l cos.!Q l tQ C 'xl / D axl .xO S l ; xO Al ; xO Bl /T cos.!Q l tQ C 'xl /; y l .t/ D ayl yO l cos.!Q l tQ C 'yl / D ayl .yOS l ; yOAl ; yOBl /T cos.!Q l tQ C 'yl /; mit

xO l D uO l ;

yO l D uO l

(18.688)

und !Q l aus Tab. 14.1:

uO 1 D .1:0; 0:175; 0:267/T ;

!Q 1 D 0:680I

uO 2 D .0:035; 0:784; 1:0/ ; T

uO 3 D .0:067; 1:0; 0:601/T ;

!Q 2 D 2:392I

(18.689)

!Q 3 D 2:725

und den von den Anfangsbedingungen abhängenden, hier also freien, Amplituden axl ; ayl und Nullphasenwinkeln 'xl ; 'yl . Zu beliebigen mit positiven Amplituden axl > 0, ayl > 0 angeschriebenen Eigenschwingungen laufen die Zentren der Scheibe und der beiden Lager in ihren x-y-Ebenen  Bei 'xl  'yl D 0 und 'xl  'yl D ; mod 2 auf Geraden,  bei 0 < 'xl  'yl < ; mod 2, gegen den Uhrzeigersinn auf Ellipsen,  bei  < 'xl  'yl < 2; mod 2, mit dem Uhrzeigersinn auf Ellipsen. Lösung 14.6 Es genügt, die Anfangswerte, zum Beispiel für die jeweils größte Auslenkung zu kontrollieren. Lösung 14.7 Für den Fall J11 ¤ J22 werden folgende Abkürzungen eingeführt Ja D

J11 C J22 ; 2

Jb D

J11  J22 ; 2

Jp D J33 :

(18.690)

In der kinetischen Energie der Rotation (14.41) werden die Winkelgeschwindigkeiten durch die Kippwinkel nach (14.45) ersetzt. Dieser Ausdruck wird in die Lagrange Gleichungen (C.25) eingesetzt, siehe Matlab® -Programm. Es ergibt sich in linearer Näherung #" # " Jb R1 Ja C Jb cos 2˝t sin.2˝t/ 2 Jb R2 sin.2˝t/ Ja  Jb cos 2˝t 2 " # " # " # (18.691) P1 2Jb ˝ sin 2˝t M1 Jb ˝ cos.2˝t/ C 2Jp ˝ C D P2 Jb ˝ cos.2˝t/  2Jp ˝ 2Jb ˝ sin 2˝t M2

480

18

Lösungen

Lösung 14.8 Kragbalken-Formel, z. B. aus (B.37), vgl. Abb. 18.67 Abb. 18.67 Kragbalken

F l3 M l2 F l2 Ml C ; D C : 3EL 2EL 2EL EL Umschreiben in die Beziehungen von Abb. 14.13 Biegung in horizontaler Ebene, vgl. Abb. 18.68: f D

(18.692)

Abb. 18.68 Horizontale Biegung

My l 2 My l Fx l 3 Fx l 2 C ; 'y D C : 3EL 2EL 2EL EL Biegung in vertikaler Ebene, vgl. Abb. 18.69: xD

(18.693)

Abb. 18.69 Vertikale Biegung

Fy l 3 My l 2 Fy l 2 Mx l  ; 'x D  C : 3EL 2EL 2EL EL Gl. (14.50) zeigt (18.693), (18.694) in Matrix-Schreibweise zusammen. yD

(18.694)

18.14

Lösungen zu Kap. 14

481

Lösung 14.9 Bei Subtraktion statt Addition, wie in 14.2.2.2, folgt aus (14.57)

m .xR  j y/ R C k11 .x  jy/  j k12 'x  j'y D 0





(18.695) Ja 'Rx  j 'R y C j˝Jp 'Px  j 'P y C j k21 .x  jy/ C k22 'x  j'y D 0 Das sind die zu (14.62) komplex konjugierten Gleichungen: mxR C k11 x  j k12 ' D 0; Ja 'R C j˝Jp 'P C j k21 x C k22 ' D 0:

(18.696)

Ein rechtsdrehender Zeiger hat die Form : : : e j!t . Also tritt an die Stelle von (14.63) – gleich komplex konjugiert geschrieben –   x; ' D x; O 'O e j!t : (18.697) Da stets die Lösung des Eigenwertproblems zu (18.697) gleich der komplex konjugierten Lösung zum Eigenwertproblem mit (14.62) gilt, stimmen die beiden Lösungen „physikalisch“ überein. – „Mathematische Umformungen bewahren stets die physikalischen Aussagen.“ Lösung 14.10

! j k12 ck D e j!k t 2 m!  k 11 k kD1 ! ! ! 4 X x.0/ j k12 x.0/ C jy.0/ ck D D '.0/ 'x .0/ C j'y .0/ m!k2  k11 kD1 ! ! ! 4 X x.0/ P j k12 x.0/ P C j y.0/ P c k j!k D D '.0/ P 'Px .0/ C j 'P y .0/ m!k2  k11 kD1 x '

!

4 X

Real- und Imaginärteilbildung liefern 8 Gleichungen für 8 Unbekannte c k D ckr C jcki , k D 1;    ; 4. Lösung 14.11 x '

! k

! x D 'x

! Cj k

y 'y

k

Lösung 14.12 OQ 'O bzw. xO D 'O  st Mit den in den Legenden zu Abb. 14.15 und 14.17 definierten Größen x; folgt aus (14.73)

(18.698) st D iQJa = !Q k2  !Q II2 : Für !Q 1 und !Q 4 folgt st > 0, für !Q 2 und !Q 3 gilt st < 0, vgl. Abb. 14.14 sowie Abb. 14.15a bzw. 14.15b.

482

18

Lösungen

Lösung 14.13 Ist im Nachsatz zu (18.698) enthalten. Lösung 14.14

Abb. 18.70 zeigt: !Q k ˝Q D !Q k ˝Q für k D 1; : : : ; 4. Siehe auch das zugehörige Matlab® -Programm. a

b

Abb. 18.70 Eigenfrequenzen a Jp =Ja D 1:5 und b Jp =Ja D 2=3

Lösung 14.15 Mit den in diesem Abschnitt geltenden Bezeichnungen folgt aus Abb. 12.5 xC D x C ru cos ˝t;

yC D y C ru sin ˝t:

(18.699)

xP C D xP  ru sin ˝t;

yPC D yP C ru cos ˝t:

(18.700)

Daraus folgen Damit lautet die kinetische Energie, vgl. (14.49) T D

i 1 h m .xP  ru ˝ sin ˝t/2 C .yP  ru ˝ cos ˝t/2 2 1 

 1  C Ja 'Px2 C 'Py2 C Jp ˝ C 'y 'Px  'x 'Py =2 : 2 2

(18.701)

18.14

Lösungen zu Kap. 14

483

Der Lagrange-Formalismus liefert d dt d dt

@ T D m .xP  ru ˝ sin ˝t/ D mxP  mru ˝ 2 cos ˝t; @xP @ T D m .yP  ru ˝ cos ˝t/ D myP  mru ˝ 2 sin ˝t: @yP

(18.702)

Gegenüber (14.57) sind in (14.75) also gerade die Unwuchtwirkungen in (13.72) ergänzt. Lösung 14.16 Wenn man die Orientierungen der Koordinaten aus Abb. 14.13 beibehält, rutscht in Abb. 14.14 der Parabelscheitel in die linke Halbebene, „physikalisch“ tritt !Q 1 an die Stelle von !Q 4 , !Q 2 an die von !Q 3 . Man kann sagen: Nur die Drehrichtungen der Schwingungen kehren um, die Absolutwerte der Zahlen bleiben erhalten. Lösung 14.17 Separate Betrachtungen von Zähler und Nenner liefert: Nenner: T ak D uO k A uO k D uO k A uO k ; A D A T 2 Re  T T  T T uO k A uO k D uO Tk uO k A 

D uO Tk A uO k ;

uO Tk A uO k D uO Tk A uO k

D .A uO k /T uO k D uO Tk A uO k D ak also ist ak D ak reell. Zähler:

bk D uO k B uO k ; B D B T 2 Re  T T  uO k B uO k D uO Tk B uO k  T  uO k B uO k D uO k B uO k D b k

also ist bk imaginär. Lösung 14.18 Ausgehend von (14.86)

M 2k C ˝G k C K .xO kR C j xO kI / D 0

484

18

Lösungen

Folgt mit k D j!k

K  !k2 M C j˝!k G .xO kR C j xO kI / D 0:

(18.703)

Gl. (18.703) ist identisch mit dem Eigenwertproblem (14.86); !k ist also eine bekannte! Lösung der charakteristischen Gl. (14.87)1 mit k D j!k Einsetzen von .xO kR C j xO kI / in (14.86) und Zerlegen in Real- und Imaginärteil führt auf

(18.704) K  M !k2 xO kR  ˝!k G xO kI D 0I

K  M !k2 xO kI C ˝!k G xO kR D 0: (18.705) Wegen .k / D 0, sind diese beiden Gleichungen miteinander verträglich, xO kR ist schon bekannt. Da G singulär ist, kann man nur (18.705) nach xO kI auflösen und erhält

1 G xO kR : xO kI D ˝!k K  M !k2

(18.706)

18.15 Lösungen zu Kap. 15 Lösung 15.1 Die Wellensteifigkeit kann mit (15.2) berechnet werden. Hiermit erhält man MT D GIP ' 0 D GIP

' .l; t/  '.0; t/ GIP D ': l l

(18.707)

Die Wellensteifigkeit ist dann GIP : (18.708) l Für das Aufstellen der Bewegungsgleichung mit dem Lagrange’schen Formalismus benötigt man zunächst die kinetische Energie, kT D

T D

1 1 J1 'P12 C J2 'P22 2 2

(18.709)

und die potentielle Energie 1 (18.710) kT .'1  '2 /2 ; 2 wobei in den Energieausdrücken keine Terme für Jw auftreten (Jw D 0). Einsetzen in die Lagrange’sche Gleichung @ @T @T @U  C D 0: (18.711) @t @'P i @'i @'i U D

liefert

" J1 0

0 J2

#" # " # #" # " 'R1 1 1 '1 0 : C kT D 1 1 0 'R2 '2

(18.712)

18.15

Lösungen zu Kap. 15

485

Mit den Zahlenwerten aus (15.36), die bei Berücksichtigung der Wellenträgheit Jw als Referenzgröße gelten und zur Vergleichbarkeit mit (15.29) verwendet werden, folgt " " #" # #" # " # 1 0 1 1 0 ' R '1 1 C kT D Jw '2 0 2 'R2 1 1 0 #" # " # " #" # " kT 1 1 '1 0 1 0 'R1 : C  D J '2 1 0 0 2 'R2 w 1

oder

(18.713)

(18.714)

Die Eigenkreisfrequenz von (18.714) berechnet man mit dem Ansatz " # 'O '1 D 1 e t 'O2

(18.715)

welcher zu dem Eigenwertproblem ("

2 0

#) " # " # # " kT 1 1 'O1 0 0 C  D Jw 1 1 0 22 'O2

(18.716)

führt. Die Frequenzgleichung lautet     2 kT kT kT kT f ./ D 2 C  D 24 C 32  D 0 22 C    Jw Jw Jw Jw

(18.717)

mit den Lösungen 1=2 D 0

s

3=4 D ˙j

3 kT : 2 Jw

(18.718)

Die 1. Eigenkreisfrequenz ist dann r s r s 3 GIP 3 G !D : D 2 Jw l 2 l 2 

(18.719)

Ein Vergleich mit der Tab. 15.1 zeigt, dass die Eigenfrequenz der massenlosen Welle etwa 7% kleiner als die Eigenfrequenz der massenbehafteten Welle ist, diese lautete: s !  D 0:362  

GIP Jw l

486

18

Lösungen

Alternativer Lösungsweg Die partielle DGL für die Drehschwingungen (15.9) Jw = l  'R  GIp ' 00 D 0 vereinfacht sich für Jw D 0 zu GIp 'O00 D 0;

also

'O00 D 0:

Deren allgemeine Lösung '.x/ O stellt eine Geradengleichung dar '.x; t/ D '.x/ O cos !t D .ax C b/ cos !t und wird an die Randbedingungen (15.15) angepasst J1 ! 2 cos !t  b C GIp a  cos !t D 0 J2 ! 2 cos !t  .al C b/  GIp a  cos !t D 0 Hieraus ergibt sich J2 J1 ! 4 bl C bJ2 ! 2 GIp C bJ1 ! 2 GIp D 0: Diese Frequenzgleichung hat neben !1;2 D 0 die Lösung s !3;4 D

.J1 C J2 / GIp J1 J2  l

Mit den Zahlenwerten aus (15.36) lautet diese s !3;4 D

3GIp : 2Jw  l

Lösung 15.2 Die Bewegungsdifferentialgleichung der Welle lautet Jw 'R  GIP ' 00 D 0: l

(18.720)

Die Randbedingungen für die frei schwingende Welle sind MT .0; t/ D GIP ' 0 .0; t/ D 0 und MT .l; t/ D GIP ' 0 .l; t/ D 0:

(18.721)

Die Lösung der Dgl. erfolgt über den Separationsansatz ' .x; t/ D '.x/ O  f .t/:

(18.722)

18.15

Lösungen zu Kap. 15

487

Einsetzen in die Dgl. liefert

bzw.

Jw '.x/ O  fR.t/  GIP 'O 00 .x/  f .t/ D 0 l

(18.723)

fR.t/ GIP l 'O 00 .x/ D D ! 2 muss konstant sein. f .t/ Jw '.x/ O

(18.724)

Die Lösung der zeitabhängigen Dgl. fR.t/ C ! 2 f .t/ D 0

(18.725)

f .t/ D C0 C C1 t

(18.726)

lautet für ! D 0. Für ! ¤ 0 liefert der Ansatz f .t/ D C e t  D ˙j!

(18.727)

f .t/ D C1 e j!t C C2 e j!t D cO1 cos !t C cO2 sin !t:

(18.728)

und Die ortsabhängige Gleichung 'O 00 .x/ C

Jw ! 2 '.x/ O D0 GIP l „ƒ‚…

(18.729)

2

hat für D 0 die Lösung '.x/ O D a C bx;

(18.730)

für ¤ 0 löst man sie ebenfalls mit dem Ansatz '.x/ O D Ae x

(18.731)

'.x/ O D A1 e j x C A2 e j x D ac cos x C as sin x:

(18.732)

und erhält Die Anpassung der freien Konstanten a; b bzw. ac ; as erfolgt über die Randbedingungen. Für die Anfangsbedingungen folgt GIP ' 0 .0; t/ D GIP 'O0 .0/ f .t/ D 0 ! GIP 'O0 .0/ D 0 GIP ' 0 .l; t/ D GIP 'O0 .l/f .t/ D 0 ! GIP 'O0 .l/ D 0:

(18.733)

488

18

Lösungen

Mit (18.730) bzw. (18.732) folgen 'O 0 .x/ D b

bzw. 'O 0 .x/ D ac sin x C as cos x:

(18.734)

Aus (18.723) ergeben sich 'O0 .l/ D b D 0

'O0 .0/ D b D 0;

bzw. 'O0 .0/ D 0 C as cos 0 D 0; 'O0 .l/ D ac sin l C as cos l D 0: (18.735) O D a zu !1 D 0: (18.736) Aus (18.776)1 folgt für (18.771) '.x/ Aus (18.735)2 folgen für as D 0, ac ¤ 0 die Eigenkreisfrequenzen !k ; k D 2; 3;    , zu s

l D i D !k

s Jw l ! !k D i GIP

s GIP D i Jw l

G l 2

mit

k Di C1

(18.737)

Die Eigenschwingungsformen erhält man durch Einsetzen in (18.736) bzw. (18.731) mit (18.737)   ix ; k D i C 1; i D 1; 2;    (18.738) 'O1 .x/ D a; 'Ok .x/ D ack cos l Die allgemeine Lösung der partiellen Dgl. lautet ' .x; t/ D cO1 C cO2 t C

1 X

 cos

i D1

ix l

 .cOk cos !k t C cOsk sin !k t/ :

(18.739)

Die Anfangsbedingungen legen die freien Konstanten cO1 ; cO2 ; cOck ; cOsk fest. Lösung 15.3 Siehe das zugehörige Matlab® -Programm. k ˛k =

1 0

2 0.3617

3 1.1317

4 2.0729

5 3.0497

n. 1/ .n  ˛k / C : : :

Lösung 15.4 'O1 D

Jw ; J1

!1 D 0;

x x Jw 'Ok .x/ D cos ˛k  sin ˛k ; ˛k J1 l l s G !k D ˛k l 2

'.x; t/ D 'O1  .a C bt/ C

N X kD1

Ck 'Ok .x/ cos .!k t C '0k /

k D 2; 3;   

18.15

Lösungen zu Kap. 15

489

Lösung 15.5 f1 D

˛ J1 C J2 J J 1 2 Jw ˛ J 2 2  1 w

Die hyperbelförmige Funktion f1 hat ihre vertikale Asymptote bei der Nullstelle der Nenp ˛, also ners, also bei ˛ D Jw = J1 J2 . Sie muss links von der Asymptote von tg2 D tan 3 2 p links von ˛ D 0:5   liegen. Man erhält die Bedingung Jw = J1 J2 < =2. Lösung 15.6 cos ˛k D 0 ! ˛k D

 C k 2

mit k 2 Z

Einsetzen in (15.34) mit sin ˛k D .1/k ergibt:  0D

J1 J2 ˛k2 2 Jw

  1 .1/k

J1 J2 1 1 D 2 D

2 2  Jw ˛k 2 C k Lösung 15.7 Siehe Matlab® -Programm und Abb. 18.71.

Abb. 18.71 Frequenzgänge

490

18

Lösungen

Lösung 15.8  Kontinuum hat unendliche viele Eigenschwingungsformen längs ˛=, nicht nur eine. Man sollte auf Knoten hinweisen, die in Welle hineinlaufen, vgl. Abschn. 11.4.2.  System besitzt eine Starrkörpermode (˝Q D 0), bei der sich beide starren Endmassen gleichsinnig drehen.  Das System ist nicht gedämpft, daher ergeben sich große Amplituden in den Resonanzbereichen. Lösung 15.9 Aufstellen der Bewegungsgleichungen für den antimetrischen Fall b: Die Randbedingungen lauten )

J 'R1 C MT  2l ; t C M.t/ D 0; wo MT .x; t/ D GIp ' 0 .x; t/ J 'R2  MT 2l ; t  M.t/ D 0; Daraus folgen

 l J 'R1  GIp '  ; t D M.t/; 2   l 0 J 'R2 C GIp ' ; t D M.t/: 2 0

(18.740)



(18.741)

Bei harmonischer Anregung gilt M D MO cos ˝t. Wir erwarten eine antimetrische, eine ungerade, Bewegung '.x; y/ D '.x/ O cos ˝t D a2 sin x cos ˝t s J! mit '.x/ O D '.x/ O und D ˝ ; lGIp

vgl. (15.45)1 :

(18.742)

Damit folgen für x D ˙l=2 aus (18.741)

J ˝ 2 a2 sin l=2  GIp a2 cos l=2 cos ˝t D MO cos ˝t;

J ˝ 2 a2 sin l=2 C GIp a2 cos l=2 cos ˝t D MO cos ˝t:

(18.743)

Die beiden Bedingungen fallen zusammen, es gilt a2 D

J ˝ 2a

MO =GIp MO D : 2 J =Jw ˛ sin l=2  ˛ cos l=2 2 sin l=2  GIp cos l=2

(18.744)

Für den symmetrischen Fall a gilt analog: Randbedingungen: J 'R1 C MT .l=2; t/ C MT .t/ D 0 J 'R2  MT .Cl=2; t/ C MT .t/ D 0

) wo MT .x; t/ D GIp ' 0 .x; t/ (18.745)

18.16

Lösungen zu Kap. 16

Daraus folgen

491

J 'R1  GIp ' 0 .l=2; t/ D MT .t/ J 'R 2 C GIp ' 0 .Cl=2; t/ D MT .t/

(18.746)

Mit M.t/ D MO cos ˝t und der symmetrischen Bewegung, der geraden Funktion '.x/ O D a1 cos x D 'O .x/

(18.747)

und 'O .x; t/ D a1 cos x cos ˝t folgen aus (18.746)

J ˝ 2 a1 cos l=2  GIp a1 sin l=2 cos ˝t D MO cos ˝t;

J ˝ 2 a1 cos l=2  GIp a1 sin l=2 cos ˝t D MO cos ˝t:



(18.748)

Wieder fallen die beiden Bedingungen zusammen, es gilt a1 D

MO =GIp MO D : J ˝ 2 a2 cos l=2  GIp sin l=2 J =Jw ˛ 2 sin ˛=2  ˛ cos ˛=2

(18.749)

Bemerkung: Sowohl (18.744) als auch (18.749) kann man durch trigonometrische Umformungen aus (15.49) herleiten.

18.16 Lösungen zu Kap. 16 Lösung 16.1

Zl 1 1 1 %Ip 'P 2 .x; t/dx C J1 'P12 C J2 'P22 T D 2 2 2 0   x x x x '1 C '2 C 4 1 '3 '.x; t/ D 1  l l l  l  x x x x 'P1 C 'P2 C 4 1 'P3 '.x; P t/ D 1  l l l l 32 3 2 '1 i 3 3 0 GIp h 76 7 6 U D '1 '2 '3 43 3 0 5 4'2 5 6l 0 0 16 '3 32 3 2 'P1 i 10 5 10 Ip l h 76 7 6 T D 'P1 'P2 'P3 4 2 10 105 4'P2 5 60 10 10 16 'P3

492

18

Lösungen

Lösung 16.2 J D JT; Ji k D Jki ; Zl

Kki D Kki

Zl %Ip .x/i .x/k .x/dx D

0

Zl

K D KT

%Ip .x/k .x/i .x/dx

(18.750)

0

GIp .x/i0 .x/k0 .x/dx

Zl D

0

GIp .x/k0 .x/i0 .x/dx

0

Lösung 16.3 Für die Wellenmitte, x D l=2 folgt aus (16.6) ı' .l=2/ D 0:5  ı'1 C 0:5  ı'2 C 1  ı'3 :

(18.751)

Also gilt mit (16.16)   ıW D M.t/  ı' D M.t/  0:5 0:5 1  ı '1 Daraus folgt

T '2

'3

:

 T QT D M.t/  0:5 0:5 1 :

Lösung 16.4 1 T xP J xP 2 1 D f'P1 .J11 'P1 C J12 'P2 C J13 'P3 / C 'P2 .J21 'P1 C J22 'P2 C J23 'P3 / 2 C'P3 .J31 'P1 C J32 'P2 C J33 'P3 /g 1 1 C J1 'P12 C J2 'P22 2 2 3 3 1 XX 1 1 D 'Pi Ji k 'Pk C J1 'P12 C J2 'P22 2 i D1 2 2

T D

kD1

1 T 1 XX 'i Ki k 'k x Kx D 2 2 i D1 3

U D

3

kD1

(18.752)

(18.753)

18.16

Lösungen zu Kap. 16

493

d @T @T @u  C D Qi dt @qi @qi @qi @T 1 D fJ11 'P1 C J12 'P2 C J13 'P3 C J11 'P1 C J21 'P2 C J31 'P3 g C J1 'P1 @qP1 2 ( 3 ) 3 X 1 X D J1k 'Pk C Ji1 'Pi C J1 'P1 2 i D1 kD1

d dt d dt d dt

@T 1 D fJ21 'P1 C J22 'P2 C J23 'P3 C J12 'P1 C J22 'P2 C J32 'P3 g C J2 'P2 @qP2 2 ( 3 ) 3 X 1 X D J2k 'Pk C Ji 2 'Pi C J2 'P2 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X @T 1 X D J3k 'Pk C Ji 3 'Pi @qP3 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X @T 1 X D J1k 'Rk C Ji1 'Ri C J1 'R1 @qP1 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X @T 1 X D J2k 'Rk C Ji 2 'Ri C J2 'R2 @qP2 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X 1 X @T D J3k 'Rk C Ji 3 'Ri @qP3 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X 1 X @U D K1k 'k C Ki1 'i @q1 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X 1 X @U D K2k 'k C Ki 2 'i @q2 2 i D1 kD1 ( 3 ) 3 X 1 X @U D K3k 'k C Ki 3 'i @q3 2 i D1 kD1

Hinweis Diese Rechnung ist etwas umständlich. Bei Zurmühl [72, S. 127], findet man eine Regel über das Differenzieren von quadratischen Formen: Man kommt sofort auf das Ergebnis

@ T (18.754) x Ax D AxI für A T D A @x 2 32 3 2 32 3 2 3 J12 J13 J11 C J1 'R1 '1 K11 K12 K13 0 6 76 7 6 76 7 6 7 J22 C J2 J23 5 4'R2 5 C 4K21 K22 K23 5 4'2 5 D 405 (18.755) 4 J21 0 J31 J32 J33 'R3 K31 K32 K33 '3

494

18

Lösungen

Lösung 16.5   ) J11 C J1 , J22 ) J22 C J2 ergibt sich Mit J11

T 3 X d @ 12 xP J xP D Ji k 'Rk dt @qi kD1  X  3 1 T @ Ki k 'k : x Kx D @qi 2

(18.756)

kD1

Lösung 16.6 Siehe Matlab® -Programm. Lösung 16.7 Gl. (16.19) mit (16.20) und (16.21) ergibt 2 32 3 2 1 1 4 'R1 1 1 3 6 3 61 7 1 76 7 6 JR 4 6 3 3 5 4'R2 5 C kTR 41 1 1 1 8 0 0 'R3 3 3 15

32 3 2 3 0 '1 0 76 7 6 7 0 5 4'2 5 D 405 16 0 '3 3

kTR D !R2 ; JR 2 ıı @2 ' 2 @ ' 2 D ! R Q2 D !R ' 2 @t @t Aus (15.39) folgt mit (16.20):

r ˛k D !k

%l 2 D !k G

(18.758)

und tQ2 D t 2 !R2 ! t D s

1 tQ !R

s %lIp D !k GIp = l

Lösung 16.8 Siehe die mit Matlab® -Programm erzeugte Abb. 18.72.

Abb. 18.72 Vergleich der Schwingungsformen

(18.757)

JR !k D D !Q k : kTR !R

(18.759)

18.16

Lösungen zu Kap. 16

495

Lösung 16.9 Siehe Matlab® -Programm und Abb. 18.73 für die Zahlenwerte von !Q 2 ; !Q 3 nach (16.26).

Abb. 18.73 Campbell Diagramm für die 1. und 3. Ordnung von '1

Lösung 16.10 Siehe zugehöriges Matlab® -Programm. Es ergeben sich die folgenden Eigenkreisfrequenzen: !Q 1 D 0; !Q 2 D 1:1371; !Q 3 D 3:7153; !Q 4 D 7:5415: Lösung 16.11 Teilt man wie im Zahlenbeispiel in Abschn. 16.3.4 die beiden Teilwellen i D 1; 2 jeweils in zwei Elemente, erhält man die Elementsteifigkeitsmatrizen und -massenmatrizen aus (16.61) 3 3 2 2 Jwi Jwi 0 1 1 0 6 12 7 7 6 6 Ji D 4 J12wi J3wi J12wi 5 Ki D kwi  41 2 15 Jwi Jwi 0 1 1 0 12 6

mit Jwi D

1 li Ipi 2

kwi D 2

GIpi : li

496

18

Lösungen

Die Übergangsbedingung zwischen den Wellen an der Masse J ist '4 D '5 . Das Moment an der Torsionsfeder ist MT D kT .'2  '1 / mit '1 D 0. Die einzelnen Komponenten können nun zur gesamten Dgl. zusammengesetzt werden. 32 3 2 Jw1 Jw1 'R2 0 0 0 6 12 76 7 6 Jw1 Jw1 J w1 6 12 0 0 7 6'R3 7 3 12 76 7 6 Jw1 Jw2 Jw1 Jw2 6 7 6 0 C J C 0 7 7 6'R4 7 6 12 6 6 12 6 Jw2 Jw2 7 6 7 Jw2 'R 0 4 0 12 3 12 5 4 6 5 Jw2 Jw2 0 0 0 'R7 12 6 2

kT C kw1 6 6 kw1 6 C6 0 6 6 0 4 0

kw1 2kw1 kw1 0 0

0 kw1 kw1 C kw2 kw2 0

32 3 2 3 0 '2 0 76 7 6 7 0 7 6'3 7 607 76 7 6 7 6 7 6 7 0 7 7 6'4 7 D 607 76 7 6 7 kw2 5 4'6 5 405 kw2 '7 0

0 0 kw2 2kw2 kw2

(18.760)

Lösung 16.12 a) Für i D 1 und i D n müssen die Formfunktionen I Ni .i / und II Ni .i / die folgenden (Rand)-Bedingungen erfüllen (vgl. Abb. 18.74): I N1 .0/ 0 I N1 .0/

D 1;

II N1 .0/

D 0;

0 II N1 .0/

Q D 0; 0 Q I N .l1 / D 0;

Q

D 0;

I Nn .ln1 /

D 1;

II Nn .ln1 /

D 0;

0 Q I Nn .ln1 /

D 0;

0 Q II Nn .ln1 /

D 0;

II N1 .l1 /

I Nn .0/

D 1;

II Nn .0/

D 0;

1

0 I Nn .0/

D 0;

0 II Nn .0/

D 1;

Q D 0; 0 Q II N .l1 / D 0;

I N1 .l1 / 1

Q

D 0;

(18.761)

b) Zu lQi 1  i  0 erfüllt der Ansatz für Ni .i / D  Ni .i /, 

Ni .i / D .i C lQi 1 /2 .a C bi /;

(18.762)

die Randbedingungen bei i D lQi 1 . Für i D 0 folgen aus (18.762) 

Ni .0/ D lQi21  a;



Ni0 .0/ D 2lQi 1  a C lQi21  b

(18.763)

Damit ergeben sich zu den in der Aufgabenstellung gegebenen Randbedingungen bei i D 0, I Ni .0/

D 1;

0 I Ni .0/

D 0 und

II Ni .0/

D 0;

0 II Ni .0/

D1

(18.764)

zu I Ni : lQi21  a D 1; 2lQi 1  a C lQi21  b D 0 die Formfunktion  I Ni .i /

D .i C lQi 1 /2 .lQi 1  2i /=lQi31 ;

(18.765)

18.16

Lösungen zu Kap. 16

497

Abb. 18.74 Formfunktionen

zu II Ni : lQi21  a D 0; 2lQi 1  a C lQi21  b D 1 die Formfunktion  II Ni .i /

D .i C lQi 1 /2 i =lQi21 :

(18.766)

Zu 0  i  lQi erfüllt der Ansatz für Ni .i / D C Ni .i /, C

Ni .i / D .i  lQi /2 .a C bi /;

(18.767)

die Randbedingungen bei i D lQi 1 . Für i D 0 folgen aus (18.767) C

Ni .0/ D lQi2  a;

C

Ni0 .0/ D 2lQi  a C lQi2  b

(18.768)

Für i D 0 gelten wieder die Randbedingungen (18.764). Man erhält zu I Ni : lQi2  a D 1; 2lQi  a C lQi2  b D 0 die Formfunktion C I Ni .i /

D .i  lQi /2 .lQi C 2i /=lQi3 ;

(18.769)

zu II Ni : lQi2  a D 0; 2lQi  a C lQi2  b D 1 die Formfunktion C II Ni .i /

D .i  lQi /2 i =lQi2 :

(18.770)

Die Formfunktionen erfüllen auch die Bedingungen (18.761) für i D 1 und i D n. c) Aufstellen der Trägheitsmatrix M und der Steifigkeitsmatrix K parallel zu Abschn. 16.3.3:

498

18

Ansatz: Q tQ/ D ' .x; `

n X

Q I 'j .tQ/  I Nj .x/

Lösungen

C II 'j .tQ/  II Nj .x/ Q

(18.771)

j D1

Parallel zu (16.41) gilt dann (mit J1 D 0; J2 D 0),

T D

n1 1X

2

2 3" # xQ i C1 Z n n X X

lR .%Ip /i 4 Pj I Nj C II 'Pj II Nj 5 .I 'Pk I Nk C II 'Pk II Nk / d xQ I'

i D1

j D1

xQ i

kD1

(18.772) mit xQ WD x= lR

und der Referenzlänge lR

(18.773)

Für abschnittsweise, xQ i  xQ  xQ i C1 , konstantes .%Ip /i folgt daraus 1X T D lR 2 i D1 n1

xQ i C1 Z  .%Ip /i I 'Pi

C I Ni

C II 'Pi

C II Ni

 C I 'Pi C1  Pi C1  Q I Ni C1 C II ' II Ni C1 d x

xQ i

(18.774) Die eckige Klammer schreiben wir mit Matrizen 0

Pi I'

1T 0

C B B II 'Pi C C B @ I 'Pi C1 A Pi C1 II '

C C I Ni I Ni B C C B II Ni I Ni B @I Ni C1 C I Ni C  N II i C1 I Ni

C C I Ni II Ni C C II Ni II Ni C  I Ni C1 II Ni C  II Ni C1 II Ni

C  I Ni I Ni C1 C  II Ni I Ni C1   I Ni C1 I Ni C1   II Ni C1 I Ni C1

10

1

C  Pi I' I Ni II Ni C1 CB C C  N N ' B C II P i C II i II i C1 B C C   A @ I 'Pi C1 A I Ni C1 II Ni C1   Pi C1 II ' II Ni C1 II Ni C1

(18.775) mit 0 I N i .x/ Q D

C C I Ni I Ni B C C B II Ni I Ni B @I Ni C1 C I Ni C  N II i C1 I Ni

C C I Ni II Ni C C II Ni II Ni C  I Ni C1 II Ni C  II Ni C1 II Ni

C  I Ni I Ni C1 C  II Ni I Ni C1   I Ni C1 I Ni C1   II Ni C1 I Ni C1

1

C  I Ni II Ni C1 C C  II Ni II Ni C1 C C   A I Ni C1 II Ni C1   N N II i C1 II i C1

(18.776)

Der zum Element i gehörende Trägheitsanteil lautet xQ i C1 Z I N i .x/d Q xQ I M i D lR .%Ip /i

(18.777)

xQ i

Hinweis 1 Beim Auswerten für das jeweilige Element muss bei  Ni C1 in (16.12/5,6) i C1 durch .i  lQi / ersetzt werden, während (18.777) über 0  i  lQi integriert wird.

18.16

Lösungen zu Kap. 16

499

Man erhält (siehe auch das zugehörige Matlab® -Programm) ! ! .Ip /i lQi 78 11lQi Ai C i IMi D mit A i D lR ; 210 C Ti B i 11lQi 2lQi2 .Ip /i lQi B i D lR 210 .Ip /i lQi 420

C i D lR

78 11lQi 54 13lQi

! 11lQi ; 2lQi2 ! 13lQi : 3lQ2

(18.778)

i

Mit der Spaltenmatrix („Auslenkungsvektor“) x T D ..I '1 ; II '1 / ; .I '2 ; II '2 / ; : : : ; .I 'i ; II 'i / ; : : : ; .I 'n ; II 'n //

DW 'T1 ; 'T2 ; : : : ; 'Ti ; : : : ; 'Tn

(18.779)

erhält man für die Bewegungsgleichung M xR C K x D 0

(18.780)

Vgl. (16.59) die Trägheitskräfte (das sind hier Momente) 0

A1 B T BC 1 B B M xR D B B B B @

C1 B 1 C A2 C T2

10

C2 B 2 C A3 ::: B n2 C A n1 C Tn1

1 'R 1 CB C C B 'R 2 C CB C C B 'R 3 C CB C C B : : : C (18.781) CB C CB C C n1 A @'R n1 A B n1 'R n

Parallel zu den vorangehenden Überlegungen (18.772) usw. erhält man analog zu (16.41) $ (18.773) aus dem Potential (16.45) die für elementweise konstante Torsionssteifigkeit .GIp /i die (18.776) entsprechende Element-Drehsteifigkeit 1 I K i D .GIp /i lR

ZxQ i C1 I N Si .x/d Q x; Q

(18.782)

xQ i

Q wie I N i .x/ Q nach (18.775) aufgebaut ist, statt Ni .x/ Q jedoch die Ortsableiin der I N Si .x/ 0 Q der Formfunktionen Ni .x/ Q gemäß tungen N i .x/ @Ni 1 @Ni D DW @x lR @xQ

1 0 N .x/ Q lR i

enthält. Auch hier muss der auf (18.777) folgende Hinweis beachtet werden.

(18.783)

500

18

Lösungen

Es ergibt sich (siehe auch das zugehörige Matlab® -Programm) Di IKi D F Ti

Fi Ei

!

1 .GIp /i mit D i D lR 30lQi

36 3lQi

1 .GIp /i Ei D lR 30lQi

36 3lQi

1 .GIp /i lR 30lQi

36 3lQi

Fi D

! 3lQi ; 4lQ2 i

! 3lQi ; 4lQi2 ! 3lQi : lQ2

(18.784)

i

Mit dem aus (18.779) bekannten Auslenkungsvektor x T D ..I '1 ; II '1 / ; .I '2 ; II '2 / ; : : : ; .I 'i ; II 'i / ; : : : ; .I 'n ; II 'n //

DW 'T1 ; 'T2 ; : : : ; 'Ti ; : : : ; 'Tn :

(18.785)

lauten die zu (18.780) gehörenden elastischen Kräfte (das sind hier Momente) 0

D1 B T BF 1 B B Kx D B B B B @

F1 E 1 C D2 F T2

10

F2 E 2 C D3 ::: E n2 C D n1 F Tn1

1 '1 CB C C B '2 C CB C C B '3 C CB C CB ::: C: CB C CB C F n1 A @'n1 A E n1 'n (18.786)

Hinweis 2 Die eingangs unbeachtet gebliebenen Drehträgheiten J1 ; J2 vgl. (18.772) können nachträglich in A 1 bzw. B n1 hinzugefügt werden: ! 11lQn1 B n1 : 2 2lQn1 (18.787) Ein Zahlenbeispiel mit n D 3, für die Zahlenwerte nach Abschn. 16.2.3 bzw. 16.3.4, findet sich im zugehörigen Matlab® -Programm. .Ip /1 lQ1 A 1 D lR 210

78 C J1 11lQ1

! 11lQ1 ; 2lQ12

.Ip /n1 lQn1 D lR 210

78 C J2 11lQn1

18.17

Lösungen zu Kap. 17

501

18.17 Lösungen zu Kap. 17 Lösung 17.1 Ausschreiben der zugehörigen Exponentialausdrücke liefert 1 x .e C e x / D cosh x 2 1 x sin jx D .e  e x / D j sinh x 2j : e jx C e jx cosh jx D D cos x 2 jx jx e e sinh jx D D j sin x 2 cos jx D

(18.788)

Lösung 17.2 Mit Hilfe der Exponentialfunktionen folgt 1 .e x C e x / D sinh x 2 : 1 .sinh x/0 D .e x C e x / D cosh x 2

.cosh x/0 D

Lösung 17.3

1 ˛Cˇ  e .˛Cˇ/ e 2 e ˛  e ˛ e ˇ  e ˇ e ˛ C e ˛ e ˇ C e ˇ D  C  2 2 2 2 D sinh ˛ cosh ˇ C cosh ˛ sinh ˇ

sinh .˛ C ˇ/ D

(18.789)

502

18

Lösungen

Analog: cosh .˛ C ˇ/ D cosh ˛ cosh ˇ C sinh ˛ sinh ˇ   ˇ  e C e ˇ 1 e ˛  e ˛ sinh ˛ cosh ˇ D 4 1 1

1 ˛Cˇ C e ˛ˇ  e ˛Cˇ  e ˛ˇ D e 4 

1 ˛ˇ

1 1 ˛Cˇ  e .˛Cˇ/ C  e .˛ˇ/ e e D 2 2 2 1 D .sinh .˛ C ˇ/ C sinh .˛  ˇ// 2   ˇ  e  e ˇ 1 e ˛  e ˛ sinh ˛ sinh ˇ D 4 1 1

1 ˛Cˇ C e ˛ˇ  e ˛ˇ  e ˛Cˇ D e 4 

1 ˛ˇ

1 1 ˛Cˇ ˛ˇ ˛Cˇ Ce Ce  e e D 2 2 2 1 D .cosh.˛ C ˇ/  cosh.˛  ˇ// 2

1 1 1 2˛ 2 e C e 2˛  2 sinh ˛ D sinh ˛ sinh ˛ D .e ˛  e ˛ / .e ˛  e ˛ / D 2 2 4 1 D .cosh 2˛  1/ 2

1 1 1 2˛ 2 e C e 2˛ C 2 cosh ˛ D cosh ˛ cosh ˛ D .e ˛ C e ˛ / .e ˛ C e ˛ / D 2 2 4 1 D .cosh 2˛ C 1/ 2 2 2 cosh x  sinh x D 1 (18.790) Lösung 17.4 Siehe Matlab Skript und Abb. 18.75. sinh 0 D 0;

cosh 0 D 0

0

.sinh 0/ D cosh 0 D 0 0

.cosh 0/ D sinh 0 D 0

(18.791)

18.17

Lösungen zu Kap. 17

503

Abb. 18.75 Verlauf von cosh.x/ und sinh.x/

Lösung 17.5 lautet das Gleichungssystem (17.28) mit n ¤ 0 Zu n D j n l 0

1 B 1 B B @ cos j n  cos j n

0 0 sin j n  sin j n

1 1 cosh j n cosh j n

10 1 0 A CB C 0C B B C CB C D 0 0A @ C A 0

(18.792)

D

wegen der ersten beiden Zeilen in (18.792) müssen An D 0 und Cn D 0 sein. Wegen sin j n ¤ 0 müssen Bn D 0 sein. Dann lautet die n-te Eigenschwingungsform für D D j wO n .x/ D j sinh j nx= l D sinh j nx= l D j sin

  nx l

;

vgl. (17.37):

Lösung 17.6 Aus der partiellen Dgl. der Balkenbiegeschwingung EI w IV C wR D 0

(18.793)

und den Randbedingungen für den beidseitig gelenkig gelagerten Balken folgen die Eigenkreisfrequenzen s  2 n2 EI : (18.794) !n D 2 l  Setzt man für das axiale Flächenmoment I D

D 4 64

und für  D %A D %

D 2 4

(18.795)

504

18

Lösungen

ein, erhält man für die erste Eigenfrequenz, n D 1, mit f1 D !1 =2 aus (18.794) s !1  f1 D D 2 2 2l

E D 4 4 D D 2 % 64 D  8 l2

s E : %

(18.796)

Für Stahl mit E D 2:1  1011 N=m2 , % D 7850 kg=m3 folgt rechts durch geeignetes Erweitern mit der Längeneinheit 1 m sowie wegen 1 N D 1 kg m=s2 s  D=m f1 D 8 .l=m/2

1 2:1  1011 kg m m3 : m2 s2 m2 7850 kg

(18.797)

Man erhält durch Ausrechnen der Wurzel f1 D 2:031  103

D=m 1 D 2:031  103 Hz: 2 s .l=m/

(18.798)

Mit 1 min D 60 s folgt die (erste) kritische Drehzahl nkrit D auch

D=m 1 60 s  f1 D 122  103 ; min .l=m/2 min

(18.799)

nkrit D=m 1 D 122 : 1000 .l=m/2 min

(18.800)

Zahlenbeispiel: Für eine starr gelagerte zylindrische Welle mit l D 5 m; D D 0:6 m, etwa ein Generatorläufer, erhält man nkrit D 2920

1 : min

(18.801)

Das wäre die Nähe der Netzfrequenz von 50 Hz. Allerdings ist dies eher eine Übung zur numerischen Auswertung der Formel (18.794) von sehr geringer praktischer Relevanz. Die tiefste Eigenfrequenz des Generatorläufers würde wegen der nachgiebigen Lagerung und den biegsameren Wellenenden (vgl. etwa Abb. 12.24) deutlich unter dem Wert (18.801) liegen. Lösung 17.7 Für D 0 folgt aus (17.41): 2

1 6 60 6 40 0

0 0 0 0

1 0 0 0

32 3 0 A 76 7 07 6 B 7 76 7 D 0 05 4C 5 0

D

(18.802)

18.17

Lösungen zu Kap. 17

505

hat die nichttrivialen Lösungen A D C;

B ¤ 0;

C ¤ 0;

D ¤ 0;

(18.803)

doch (17.25) liefert hierzu für D 0 wO 0 .x/ D C C C 0: Lösung 17.8 h ˛ ˛n x ˛n ˛n x i n wO n0 .x/ D .cos ˛n C cosh ˛n /  sin  sinh l l l h ˛l ˛n x ˛n ˛n x i n C .sin ˛n  sinh ˛n / cos  cosh l l

l l   ˛ 2 2 x ˛ ˛ ˛n x n n n 00 wO n .x/ D .cos ˛n C cosh ˛n /  cos cosh  l l l l

  ˛n 2 ˛n x  ˛n 2 ˛n x sin sinh C .sin ˛n  sinh ˛n /   l l l l

   3 3 ˛n ˛n x ˛n x ˛n sin sinh wO n000 .x/ D .cos ˛n C cosh ˛n /  l l l l

   3 3 ˛n ˛n x ˛n x ˛n cos cosh C .sin ˛n  sinh ˛n /  :  l l l l

(18.804)

(18.805)

Einsetzen in die Randbedingungen (17.39), (17.40): wO n .0/ D .   / .1  1/ C .   / .0  0/ D 0 wO n0 .0/ D .   / .0  0/ C .   / .1  1/ D 0 

 ˛n 2 ˛n x  ˛n 2 ˛n x wO n00 .l/ D .cos ˛n C cosh ˛n /  cos cosh  l l l l

  ˛n 2 ˛n x  ˛n 2 ˛n x sin sinh C .sin ˛n  sinh ˛n /   l l l l  ˛ 2 n D fcos2 ˛n C 2 cos ˛n cosh ˛n C cosh2 ˛n C sin2 ˛n l C sin ˛n sinh ˛n  sin ˛n sinh ˛n  sinh2 ˛n g  ˛ 2 n D f1 C 1 C 2 cos ˛n cosh ˛n g l  ˛ 2 n D 2 f1 C cos ˛n cosh ˛n g D 0; l

(18.806)

denn die charakteristische Gl. (17.43) ist erfüllt wO n000 .l/

 ˛ 3

 ˛n x  ˛n 3 ˛n x D .cos ˛n C cosh ˛n / sin sinh  l l l l

   3 3 ˛n ˛n x ˛n x ˛n cos cosh C .sin ˛n  sinh ˛n /   l l l l n

D .˛n = l/3 .cos ˛n C cosh ˛n / .sin ˛n  sinh ˛n / .1  1/ D 0

(18.807)

506

18

Lösungen

Lösung 17.9 Für den Balken nach Abb. 17.6 gilt: w .0; t/ D 0; M .0; t/ D 0; w .l; t/ D 0; w .l1 ; t/ D w .l  l2 ; t/ w 0 .l1 ; t/ D w 0 .l  l2 ; t/

(18.808)

M .l; t/ D 0;

) geometrische Verträglichkeit bei x D l1

(18.809)

Abb. 18.76 Kräfte und Momente an Punktmasse

In Abb. 18.76 ist mit x D l1 der Schnitt links von der Punktmasse, mit x D l  l2 der Schnitt rechts von der Punktmasse gemeint. M .l1 ; t/ D M .l  l2 ; t/ Q .l  l2 ; t/ D Q .l1 ; t/ C mwR .l1 ; t/

(18.810)

Lösung 17.10 Ausgehend von (17.58) ergibt sich, nach Entwicklung der Determinanten (siehe Matlab® Programm), 3 2 ˛m Q 4 .s1 c2 C c1 s2 / sh1 sh2  .sh1 ch2 C ch1 sh2 / s1 s2 5 0D „ ƒ‚ … 2 „ ƒ‚ … sin ˛

sinh ˛

C .s1 c2 C c1 s2 / .sh1 ch2 C ch1 sh2 / „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … sin ˛

sinh ˛

i ˛m Q h sinh ˛  sin lQ1 ˛  sin lQ2 ˛  sin ˛  sinh lQ1 ˛  sinh lQ2 ˛ sin ˛ sinh ˛ D 2 mit

j.sh1 ch2 C ch1 sh2 / D j sinh.lQ1 C lQ2 /˛ D j sinh ˛:

Lösung 17.11 Übergangsbedingung ((17.47)/(17.48)) um die Federkraft ergänzen. Annahme: Die Last mL hängt an einem Seil, das ist eine Feder der Steifigkeit k, an der Punktmasse m. Das Gewicht GL D mL g hält das Seil bei kleinen Schwingungen straff,

18.17

Lösungen zu Kap. 17

507

bleibt als statische Last bei den betrachteten Schwingungen selbst jedoch unberücksichtigt. Abb. 18.77a zeigt die Auslenkungen w2 .0; t/ und xL .t/ gegenüber der Referenzlage w2 .0; t/ D 0, xL .t/ D 0 (Seil unter statischer Last). Abb. 18.77b zeigt die Kräfte usw. beim Schwingen (vgl. Abb. 17.13b). a

b

c

Abb. 18.77 Kräfte und Momente bei einer zusätzlich mitschwingenden Masse

Man erhält aus Abb. 18.77c die Bewegungsgleichung für die Masse mL mL xR L C k .xL .t/  w2 .0; t// D 0:

(18.811)

Aus Abb. 18.77b liest man für die vertikalen Kräfte ab, vgl. (17.49)3 , Q1 .l1 ; t/ C mwR 2 .0; t/  Q2 .0; t/  k .xL .t/  w2 .0; t// D 0:

(18.812)

Diese Gleichung führt xL D xO L cos !t, vgl. (17.14), auf wO 1000 .l1 / C

m! 2 mL ! 2 wO 2 .0/  wO 2000 .0/ C xO L D 0 EI EI

und ersetzt (17.49)4 . Lösung 17.12 Siehe Matlab® -Programm und Abb. 18.78.

Abb. 18.78 Verläufe der Auslenkung für n D 1; 2; 3

(18.813)

508

18

Lösungen

Lösung 17.13 Die kinetische Energie T und das Potential U werden gemäß Abb. 18.79 um jeweils einen Term ergänzt. Abb. 18.79 Balken mit Feder und Masse

1 T D 2

Zl

1 1 wP 2 .x; t/dx C mwP 2 .l1 ; t/ C mL .qP4 C w.l P ; t//2 „ ƒ‚ 1 … 2 2

0

(18.814)

qP 42 C2qP 4 w.l P 1 ;t /C.w.l P 1 ;t //2

1 U D 2

Zl

 2 1 EI w 00 .x; t/ dx C ks q42 2

0

iT

h 1 1 D q T K q C ks q42 ; q D q1 2 2 3 3 1 XX 1 D qi ki k qk C ks q42 2 i D1 2 kD1 2 3 k11 k12 k13 0 7 1 T6 6k21 k22 k23 0 7 U D q 6 7q 2 4k31 k32 k33 0 5 0 0 0 ks 0 T D

q2

q3

q4

1

1 1 T B C P 1 ; t/ C wP 2 .l1 ; t/A qP M qP C mL @qP42 C 2qP4 w.l „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … 2 2

2 m11 6 1 6m D qP T 6 21 2 4m31 0 mL D f1 m; ks D f2 kB

qP 3

m12 m22 m32 0

m13 m13 m33 C mL mL

(18.815)

3

0 7 0 7 7 mL 5 mL

qP 3

(18.816)

18.17

Lösungen zu Kap. 17

509

Lösung 17.14 Entsprechend Abb. (17.2) und (17.6) ergibt sich (vgl. Abschn. B.6.1)   l1 x GL l 3 l12 x l13 x l1 x 3 x 3 2 2 3 3 C 4 C 4  3 für 0  x  l1 wI D 6EI l l l l l  3  GL l 3 l1 x l 3x l1 x 2 l1 x 3 l wII D  13 C 2 2 C 1 4  3 3 C 4 für l1  x  l: 6EI l l l l l

(18.817)

Lösung 17.15 und 17.16 Siehe das zugehörige Matlab® -Programm. Lösung 17.17 tQ D !R t



 q.t/ D Q  diag.cos !Q n tQ/ac C diag sin !Q n tQ as  

q.t/ P D Q  diag sin !Q n tQ  !Q n !R ac C diag cos !Q n tQ  !Q n !R as q 0 D q .0/ D Q  ac

(18.818)

qP 0 D qP .0/ D Q  !R diag .!Q n / as ) ac D Q1 q 0 ) as D !R diag .!Q n / Q1 qP 0 vor dem Lastabfall sei die Brücke in Ruhe. Dann gilt q 0 D q statisch Absenkung ;

qP 0 D 0

q st kann (17.100) entnommen werden: q st D

 T 2l 3 G Q1 ; 1 sin 2 lQ1 ; 1 sin 3 lQ1 sin  l EI  4 16 81

(18.819)

Q wird für l1 D 0:5 aus (17.87) entnommen (alternativ aus Aufgabe 17.16) zu 3 1 0 0:505 7 6 Q D Q2 D 4 0 1 0 5 0:006 0 1 2

(18.820)

damit berechnen sich die Entwicklungskoeffizienten zu 3 3 2 3 2  sin 1 1:003 3 2l 3 G 6 2l 3 G 6 1 2 7 7 7 1 2l G 6 ac D Q1 0 5 4 16 sin  5 D Q2 4 0 5D 2 4 4 4 4 EI  EI  EI  (18.821) 1 3 1  81 0:0063 81 sin 2  2

as D : : :  0 D 0

510

18

Lösungen

Lösung 17.18 Siehe das zugehörige Matlab® -Programm. Lösung 17.19 Anfangsauslenkung w0 .x/ D 0 soll vernachlässigbar klein oder abgeklungen sein. Brücke entspannt sich aufgrund der Elastizität. Annahme für die Anfangsgeschwindigkeit: Brücke fällt aus Höhe h, für einen starren Körper würde gelten: p 1 mVA2 D mgh ! VA D 2gh 2 p ) wP 0 .x/ D 2gh

Das könnte man in Lösung 17.24 unten einsetzen! Lösung 17.20 Mit xQ D xl , lQ1 D

l1 l

und lQ2 D

l2 l :

8 i mgl 3 Q h ˆ < xQ l2 1  lQ22  xQ 2 D wQ stI für 0  xQ  lQ1 wst D 6EI3 i h ˆ : mgl .1  x/ Q 2 D wQ stII für lQ1  xQ  l: Q 1  lQ22  .1  x/ 6EI 2 3 l1  Zl 3 2 Z I 2 II 2 7 mgl 6 2 jwst j2 D 4  wQ st dx C  wQ st dx 5 C mwst .l1 / 6EI 0

D



3

l1

m2 g 2 l 6 l1 l 3  2l l12 C l1 4 .l  Cm 36E 2 I 2 4l 3

 l1 /4 l14 l8



(18.822)

(18.823)

m2 g 2 l 6 36E 2 I 2

Lösung 17.21 Siehe Matlab® -Programm. wO 1n D sinh ˛n sin lQ2 ˛n sin xQ 1 ˛n  sin ˛n sinh lQ2 ˛n sinh xQ 1 ˛n i i h h wO 2n D sinh ˛n sin lQ1 ˛n sin .lQ2  xQ 2 /˛n  sin ˛n sinh lQ1 ˛n sinh .lQ2  xQ 2 /˛n Zl .wO i ; wO k /;m D

wO i .x/wO k .x/dx C mwO i .l1 /wO k .l1 / 0

(18.824)

18.17

Lösungen zu Kap. 17

511

Lösung 17.22 Zl 1 1 1 wP 2 .x; t/dx C mwP 2 .l1 ; t/ C mL .qP4 C w.l P 1 ; t//2 T D 2 2 2 0

Zl SP D

wO i .x/wO k .x/dx C mwO i .l1 /wO k .l1 / C mL .qO4i C wO i .l1 // .qO4k C wO k .l1 // 0

(18.825) Lösung 17.23

00 EI w 00 C wR D 0 mit EI.x/

(18.826)

Es wird angenommen, dass es gelingt Eigenlösungen zu ermitteln, welche die PDgl. erfüllen und auch die zugeordneten Randbedingungen. Sofern das so ist, kann man, wie in (17.106), die kinetische Energie des Systems anschreiben als Zl 1 1 .x/wP 2 .x; t/dx C mwP 2 .l1 ; t/ (18.827) T D 2 2 0

und daraus eine (17.107) entsprechende Bilinearform ableiten. Lösung 17.24 1 X Q D !n asn wO n .x/ Q wP 0 .x/ nD1

Zl

1 X

3

Zl

wO i .x/wO n .x/dx 7 7 7 nD1 0 0 7C 1 7 X 5 !n asn mwO i .l1 /wO n .x/ mwO i .l1 /wP 0 .l1 / D wO i wP 0 .x/dx D

!n asn

nD1

Zl wO i .x/wP 0 .x/dx C mwO i .l1 /wP 0 .l1 / 0

D

1 X nD1

8
0 dieselbe Orientierung, bei F < 0 die entgegengesetzte. In Abb. D.1c kann man den Pfeil als Bild des Einsvektors auffassen; F steht dann als Name und Maßwert. Beim Vektor FE dreht man dann einfach den Einsvektor (den Pfeil) um: FE D .E e F / D .E e /F , vgl. Abb. D.1d. Berechnet man zur Darstellung nach Abb. D.1 die Kraft F zu a) F D 5N , b) F D 7N , so erhält man die in Abb. D.1e,f gezeichneten Pfeile. Stellt man das Ergebnis b) wie in Abb. D.1g dar, ist das nicht falsch, doch fehleranfällig! Die Darstellung von Einsvektor × Maßwert steht hinter allen Koordinatendarstellungen von Vektoren und ist – für den Einzelvektor – in der Mechanik sehr beliebt. Momente Für (Dreh- oder Biege-) Momente in der Ebene (des Körpers K in Abb. D.2) gelten vorstehende Aussagen analog; der linksdrehende Kreisbogen mit Pfeil übernimmt Richtung und Orientierung. E als Rechtsschraubung aufgefasst, die um eine SchraubIm Raum wird das Moment M achse dreht und durch einen Doppelpfeil mit Maßwert symbolisiert wird, Abb. D.3. AnaE D eEM I der Buchstabe M ist also auch der Name des Moments. (Die log zu FE gilt M Einsvektoren eEF der Kraft und eEM des Moments brauchen bei Rechnungen nicht unterschieden zu werden, die Doppelpfeile weisen nur auf die andere Bedeutung hin.) E ist analog aufgebaut, s. Abb. D.2 und Die Bezeichnung des Momentenvektors M Abb. D.3. Kreisbogen und Doppelpfeil werden auch zum Kennzeichnen des Drehsinns von Winkeln benutzt, obwohl sie keine Vektoren sind.

E senkAbb. D.2 Moment M recht zu Ebene E des Körpers K als Kreisbogen in E

M K

E Abb. D.3 Übergang von M E als Dopals Kreisbogen zu M pelpfeil über Rechtsschraube

M

M

M

M

D Hinweise zu Schreibweisen

587

D.2 Hinweise und Beispiele zu Basen, Komponenten, Koordinaten Hinweise und Beispiele zu Abb. D.4 zeigen: Die orthogonalen, rechtshändigen Basen .E ex ; eEy ; eEz /; auch – mit explizit genanntem Nullpunkt (Ursprung, Bezugspunkt) O – als .O; eEx ; eEy ; eEz / geschrieben, sowie die entsprechenden Koordinaten(-systeme) .x; y; z/ bzw. .O; x; y; z/. Zur Kraft FE D eEF F die Komponenten(-vektoren) .E ex Fx ; eEy Fy ; eEz Fz / E und die (Kraft-)Koordinaten(-werte) .Fx; Fy; Fz /. Für das Moment M D eEM M zeigt Abb. D.5a die Komponenten(-vektoren) .E ex Mx ; eEy My ; eEz Mz / und die (Momenten-)Koordinaten(-werte) .Mx ; My ; Mz /. vgl. Abb. D.5a, b mit D.1d bzw. D.3. ex ; eEy ; eEz / ) .E e1 ; eE2 ; eE3 /. Oft wechselt man vorteilhaft .x; y; z/ ) .x1 ; x2 ; x3 /, sowie .E Abb. D.4 Basis, Koordinaten und Komponenten für Kraft FE D eEF F

z y

Fz ez O

F

Fy ey ex Fx x

Abb. D.5 Koordinaten und Komponenten für Moment E D eEM M M

a

M

b

z

Mz M y O

O Mx

Mz

y My Mx x

D.3 Auslenkungen und Koordinaten Vor jeder Untersuchung eines Systems – genauer: der Untersuchung des zugrundegelegten Modells –, sei sie messend, sei sie rechnend muss man Koordinaten einführen (definieren), die seine Form(-änderung) – allgemein seinen Zustand – gegenüber einem festzulegenden Bezugszustand erfassen. Will man rechnen, muss das Verhalten des Modells – im Rahmen der angenommenen Vereinfachungen – durch die gewählten Koordinaten (dann auch beschreibende Variablen genannt) vollständig erfasst („beschrieben“) werden können. Die Mindestanzahl der zur Lösung der Aufgabe erforderlichen Koordinaten heißt in der Mechanik Freiheitsgrad; das

588

D Hinweise zu Schreibweisen

ist die Anzahl der grundsätzlich verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten des Systems, die man (lax aber international) jede einzeln auch Freiheitsgrad (degree of freedom) nennt. Überzählige Variablen (Koordinaten), die man nur zum eigenen Verständnis, als Hilfsgrößen eingeführt hat, müssen im Nachhinein durch die wesentlichen Koordinaten ausgedrückt, möglichst eliminiert werden (z. B. mit Hilfe von Bindungsgleichungen).

D.4 Beispiele Wir listen einige sehr einfache Beispiele für Systeme (Modelle) der Freiheitsgrade 1 und 2 auf; auch um die Freiheit bei der Wahl, deren Willkür aber auch die Möglichkeit zu zielgerechter Wahl zu zeigen. Nicht mit Worten benannte in die Bilder eingetragene Systemparameter entnehme man dem Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen am Anfang des Buches. Beispiel 1 Zu untersuchen sind allein die Vertikalschwingungen des in Abb. D.6a gezeigten Feder-Masse-Schwingers; G D mg ist das Gewicht der Masse m; l0 ist die Länge der entspannten Feder mit gegenüber G vernachlässigbarem Gewicht. Abb. D.6b, c zeigen die gewählten Koordinaten x D x.t/; y D y.t/; z D z.t/. Sie messen die Auslenkung der Masse m, in der durch jeweiligen(!) Koordinatennullpunkt o und Pfeil mit Maßhilfslinie gegebenen Richtung und Orientierung (hier im Text zum Druck um 90° einfach links gedreht) wie folgt: x.t/ gegen den unteren Endpunkt der entspannten Feder; y.t/ gegen den Endpunkt der mit G statisch belasteten Feder bei x D xstat D G=kI z(t) gegen die Decke, den Aufhängepunkt der Feder. Wichtig In den Planskizzen nach Abb. D.6 müssen (!) die Auslenkungen und die Koordinaten so gewählt und eingetragen werden, dass alle Koordinaten positive Werte zeigen. Bindungsgleichungen sind hier offensichtlich x.t/ D xstat C y.t/; z.t/ D l0 C x.t/. Beispiel 2 Die unbelastet gerade Blattfeder nach Abb. D.7a, Biegesteifigkeit EI , Längen li , trägt die beiden Massen mi mit den Gewichten Gi ; i D 1; 2. Gesucht sind die KoorAbb. D.6 Feder-MasseSchwinger

a

k

l0 m g

c

b

z xstat x

y

D Hinweise zu Schreibweisen

589

Abb. D.7 Blattfeder mit aufgesetzten Punktmassen

a

l1

l2

EI

m1

m2

G1

G2

b

x1

x2

dinaten für kleine vertikale Auslenkungen. (Klein steht für jxi = lR j  1; i D 1; 2 wo lR das kleinere der beiden li ist.) Abb. D.7b zeigt die Koordinaten x1 D x1 .t/ und x2 D x2 .t/ wobei in der Skizze der Enge bei x1 halber die positive Koordinate in der Form eingetragen ist. Beispiel 3 An die Blattfeder nach Beispiel 2 ist am Ende, in Abb. D.8a bei A, ein am Lager B (ist vertikal starr, horizontal verschieblich) gelagerter masseloser Hebel angesetzt, Längen l3 ; l4 , der am Ende eine Masse m3 , Gewicht G3 trägt. Gesucht sind Koordinaten für kleine Auslenkungen. Abb. D.8b zeigt die Koordinaten x1 D x1 .t/; x2 D x2 .t/, vgl. Beispiel 2, sowie x3 D x3 .t/ und den Winkel ' D '.t/. Nach wie vor hat das System, wegen des als starr angenommenen Hebels (seine Biegungen seien klein gegen jx1 j; jx2 j), den Freiheitsgrad 2; x1 .t/ und x2 .t/ genügen, um die Bewegungen des Schwingers zu erfassen. Die Zusatzkoordinaten x3 ; ' können also als Hilfskoordinaten dienen, oder eine von beiden kann x2 ersetzen. Abb. D.8 Blattfeder mit Punktmassen und angelenktem Hebel mit Zusatzmassen

a

l1 EI

l2

l3

m1

A m2

G1

G2

l4 B

C m3 G3

b

x1

x2

ϕ

x3

590

D Hinweise zu Schreibweisen

Wichtig: Dieses Beispiel soll zeigen, dass x3 entgegen x2 (positiv) orientiert werden muss! Auch ' muss wie gezeigt passend zu x2 (positiv) orientiert werden! Bindungsgleichungen sin ' D x2 = l3

oder x2 D l3 sin ';

sin ' D x3 = l4

oder x3 D l4 sin ':

Für jx2 = l3 j  1 folgen (näherungsweise): ' D x2 = l3 D x3 = l4 . Beispiel 4 Die zwei Pendel nach Abb. D.9, (Länge, Masse) = .li ; mi /; i D 1; 2, schwingen im Schwerefeld gE um den gemeinsamen Aufhängepunkt A; Pendelstangen starr, masselos. Zwischen den Pendelmassen ist ein masseloses Feder-Dämpfer-Element mit den Parametern .k; b; l0 / eingebaut, wo l0 für dessen entspannte Länge steht. Die beiden eingetragenen Koordinaten ' D '.t/; D .t/ erfassen die Bewegung des Systems vom Freiheitsgrad zwei vollständig. Um die (Längs-)Kraft, die zwischen den Pendelmassen wirkt, zu berechnen, brauchen wir als Hilfskoordinaten den jeweiligen Massenabstand l D l.t/ und die Federlängung l D l.t/ D l  l0 . Die Planskizze nach Abb. D.9 zeigt alle Auslenkungen für positive Koordinatenwerte. Die Bindungsgleichung zwischen den Koordinaten '; und l folgt aus dem Kosinussatz für das Dreieck CAB mit ].CAB/ D zu l 2 D l12 C l22  2l1 l2 cos . Wie die Skizze zeigt, muss die positive Wurzel gewählt werden: l12 C l22  2l1 l2 cos :

Abb. D.9 Viskoelastisch gekoppelte Pendel

(D.1)

A

(l2,m2)

g

C

l

k b (l1,m1)

l

q

l0

lD

B

D Hinweise zu Schreibweisen

591

Abb. D.10 Verschränktes Zweifach-Pendel

A

l2

l1

α

m2

φ1 m1

φ2

g

Damit folgt l gemäß l D l l0 . Für die Dämpferkraft braucht man die Zeitableitung 0/ D d.ll D ddtl D lP der Längung: . l/ D d. l/ dt dt Hinweis Beim Differenzieren von Koordinaten bleiben Richtung und Orientierung erhalten! Aus (D.1) folgt: lP D l1 l2 = l  P sin . Hier müssen rechts das jeweilige D .t/ sowie l D l.t/ eingesetzt werden. Beispiel 5 Ein unter dem festen Winkel ˛ verschränktes Zweifachpendel; Punktmassen m1 ; m2 , Pendellängen l1 ; l2 , Massen der starren Stangen vernachlässigbar, vgl. Abb. D.10, schwingt im vertikal nach unten gezeichneten Schwerefeld, vgl. den Vektor gE der Fallbeschleunigung. Da kein Bezugszustand ins Auge springt, sind die Winkel '1 D '1 .t/ und '2 D '2 .t/ wie gezeigt gewählt. Offensichtlich gilt die Bindungsgleichung '2 .t/ D '1 .t/ C ˛; das Pendel hat den Freiheitsgrad 1. Eine statische Ruhelage '1stat < 0, sowie '2stat D '1stat C ˛ leuchten unmittelbar ein (und folgen als Lösung einer transzendenten Gleichung). Man könnte neue Koordinaten wie folgt ansetzen: 1 .t/ D '1 .t/  '1stat ; 2 .t/ D '2 .t/  '2stat . Wie sieht bei bekanntem '1stat die zu 1 .t/; 2 .t/ gehörende Bindungsgleichung aus?

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Sachverzeichnis

A Abklingkoeffizient, 23, 74 Abstimmung, tiefe, 99, 103 Achse, Balken-, 280 Aktivisolierung, 104 Amplitude, 2 komplexe, 5 Anfangsbedingung, 74, 92 Anklingkoeffizient, 23 Ansatz vom Typ der rechten Seite, 79 Ansatzfunktion globale, 296 lokale, 270 aperiodischer Grenzfall, 74 Arbeit virtuelle, 270 Ausgleichsmasse, 41 Auslenkung komplexe, 78 statische, 85, 301 B Balken beidseitig gestützt, 286 biege-schwingender, 265 einseitig eingespannt, 288 -Biegegleichung, 281 Bandstruktur, 275 Basis, 514, 587 Bequemlichkeitshypothese, 146 Bernoulli-Euler Hypothese, 281 Beschleunigung, 8, 528 Winkel-, 529 Bewegung, 1 Bewegungsgleichung, 58, 536 ansetzen, 513

komplexe, 78 System 1.Ordnung, 281 Bewegungsgröße, 534, 536 Bezugspunkt, 514 Bezugssystem, 513 Biegelinie, 280 Biegemoment, 280 Bildwelle, 159 C Cardan-Winkel, 518 Castigliano erster Satz, 191 zweiter Satz, 561 charakteristische Gleichung, 71, 257 D Dämpfer -kennlinie, 49 Dämpfung, 176 äußere, 172, 177 innere, 172, 177 modale, 146 unterkritische, 71 -sgrad, 70 -smaß, Lehr’sches, 70 -szahl, 73 Dehnschwinger, 121 Dehnsteifigkeit, 557 Dekrement, logarithmisches, 24 Delta-Funktion, 90 Deviationsmoment, 38, 533 Differentialgleichung inhomogene, 59, 79 lineare, 59 -ssystem, 536 597

598 Dirac-Funktion, 90 Diskretisieren, 175, 265, 577 Distribution, 90 Doppelwurzel, 131 Drall, 534–536 Drehfeder, 149 Drehgeschwindigkeitsmatrix, 526 Drehmatrix, 515 Drehschwingung, 149, 150, 278 Drehsteifigkeit reduzierte, 157 Drehung, 515 Drehzahl, 105, 216 kritische, 185 Drehzeiger, 5, 78, 80 Drillsteifigkeit, 271, 557 Drillung, 251, 557 Durchlaufträger, 190 d’Alembert’sche(s) Kraft, 32, 38, 539 Moment, 38, 539 Prinzip, 538 E Effektivwert, 18 Eigen(kreis)frequenz, 70 Eigenlösung, 127, 201 Eigenschwingung, 198, 201, 214, 284, 287 Eigenschwingungsform, 175, 266, 295, 306 Eigenvektor, 127, 128, 154, 201, 287, 585 normiert, 154 Eigenwert, 71, 127, 153 Eigenwertproblem, 70, 299 Einhüllende, 23, 111 Einmassenschwinger, 69 Einsstoß, 90 Einsvektor, 586 Elementardrehung, 517 Energie kinetische, 536, 577 -dissipation, 61, 176 Erreger -amplitude, 77 -frequenz, 77 -kraft, 77 -kraft, allgemeine, 58 Erregung, harmonische, 77 Ersatzsystem, 31, 36, 50, 52, 150, 168 Euler

Sachverzeichnis -drehung, 520 -Winkel, 519 Eulersche Formel, 5 Exzentrizität, 33, 37, 168, 204, 215 F Faltungsintegral, 93 Fast Fourier Transform, 14 Feder Parallelschaltung, 50 -kennlinie, 49 -stützung, 282 Feder-Masse-Schwinger, 588 finite Elemente, 170, 265 Flächenträgheitsmoment, 252, 557 Fliehkraft, 40 -moment, 40 Formänderungsenergie, 556 Formfunktion, 170, 271 Fourier -analyse, 13 -Integral, 77 -koeffizient, 11, 12 komplexer, 16 -reihe, 12, 55, 88 komplexe, 16 reelle, 14 -synthese, 77 Freiheitsgrad, 578, 587 Anzahl, 578 Frequenz, 3 Kreis-, 72 Winkel-, 72 Frequenzgang, 80, 182, 207, 262 Amplituden-, 83 Phasen-, 83 Frequenzgleichung, 71, 126 Funktion additive, 59 homogene, 59 lineare, 59 Fußpunkterregung, 100 G geometrische Verträglichkeit, 282 Geschwindigkeit, 8 Führungs-, 527 Relativ-, 527 Gibbssches Phänomen, 16

Sachverzeichnis Gipfelwert, 18 Gleichung charakteristische, 153 Gleichungssystem homogenes, 153 Gleichwert, 14, 18 Größtwert, 18 H Hamiltonsche Prinzip, verallgemeinerte, 581 Harmonische, 11, 13 höhere, 11 harmonische Analyse, 12 Synthese, 10 Hauptkoordinate, 145 Hauptträgheitsachse, 533 Hauptträgheitsmoment, 533 Homotopie, 223 Hüllfläche, 30 Hyperbelfunktion, 285 I Impuls -antwort, siehe Stoßantwort -erregung, siehe Stoßerregung Inertialsystem, 513 K Kinetik, 513 Kippwinkel, axiale, 524 Kleinstwert, 18 Komponente, 587 Kontinuum, 265 Koordinate, generalisierte, 267, 565, 577 Koordinatensystem, 514 Kraft generalisierte, 565 -einflusszahl, 193, 561 -stoß, 535 Kräftesatz, 537 Kraftstoß, 77 Kreisfrequenz, 2, 5, 9, 73 d. gedämpften Schwingung, 74 d. ungedämpften Schwingung, 73 Grund-, 11 momentane, 20 Quasi-, 23 Kriechbewegung, 74

599 L Lagekoordinate, 516 Lagerung anisotrope, 189, 222 isotrope, 185, 222 Lagrange, 151, 237 -Formalismus, 268 Lagrange Funktion, 583 Laplace-Transformation, 93 Last statische, 81 Laval-Welle, 168 Lehr’sches Dämpfungsmaß, 70 Linearisieren, 49 Linienspektrum, 13, 56 Lissajous-Figur, 199 Lösung allgemeine, 154 nichttriviale, 257, 286 triviale, 287 Luftwiderstand, 62 M Masse modale, 143 schwingende, 171 -nbelegung, 171 -ngeometrie, 531 -nmittelpunkt, 532 -nmoment, reduziertes, 156 -nmomente zweiten Grades, 531 Matrix gyroskopische, 238 Matrixschreibweise, 268 Maximalwert, 18 Maxwellscher Reziprozitätssatz, 560 Minimalwert, 18 Mittelwert, 14 arithmetischer, 18 linearer, 18 quadratischer, 18 Modal -koordinate, 145 -vektor, 145 Modalmatrix, 300 Modell, diskretes, 265 Modulations -grad, 19 -kreisfrequenz, 19

600 Moment, 586 statisches, 33 Momentensatz, 537 Momentenvektor, 586 N Nachgiebigkeit, 190, 192, 196, 213, 565 dynamische, 207 -smatrix, 560, 566 Newton-Euler, 537 Nominalsystem, 223 Nullphasenwinkel, 2, 3 O Oberschwingung, 11 Ordnungsachse, 13 Orthogonalisieren, 144 Orthogonalitätsrelationen, 12 Orts -koordinaten, 515 -kurve, 85, 182, 206 -vektor, 515 P Partikularintegral, siehe Partikularlösung Partikularlösung, 77, 82 Passivisolierung, 103 Pendel mathematisches, 61 physikalisches, 61 Periode, 2, 9, 16, 72 Quasi-, 24 -ndauer, 2, 9 Phasen -ebene, 72 -hub, 20 -kurve, 72 -punkt, 72 -verschiebungswinkel, 6, 82, 98 -winkel, 3 positiv definit, 559 Potential, 556, 577 Q Querkraft, 280 R Randbedingung, 254, 256 Belastungs-, 282 geometrische, 282, 297

Sachverzeichnis nicht-wesentliche, 297 Ratterschwingungen, 186 Rayleighsche Quotient, 142 Rayleigh-Dämpfung, 146 Reibung innere, 176 -swinkel, 61 Relativbewegung, 52 Resonanz, 84, 99 strenge, 84 -amplitude, 84 -bereich, 84 -kurve, 83, 146 -spitze, 84, 146 -stelle, 84, 94 Richtungskosinus, 515 Richtungswinkel, 515 Rotorachse, 44 S Sägezahnfunktion, 15 Saite, quer-schwingende, 265 Scheinkraft, 539 Scheinresonanz, 146 Scheitelwert, 18 Schwebung, 22 reine, 22 -sfrequenz, 22 Schwerelinie, 280 Schwerpunkt, 532 -satz, 537 Schwinger gedämpfter, 73 nichtlinearer, 61 ungedämpfter, 70 Schwingung angefachte, 71 erzwungene, 77–79, 82, 85, 94 fastperiodische, 19 freie, 69 gedämpfte, 71 harmonische, 2 instationäre, 107 modulierte, 74 phasenmodulierte, 20 quasiperiodisch, 19 selbsterregte, 186 sinusähnlich, 19 Sinus-, 2

Sachverzeichnis sinusverwandt, 19 ungedämpft, 71 unperiodische, 18 -sbauch, 295 -sbreite, 18 -sform, 131 -sknoten, 130, 155, 295 Schwingungssystem autonomes, 59, 62 nicht-autonomes, 62 Zeit-invariantes, 59 Zeit-variantes, 59 Signalflussplan, 80, 93 Sinusschwingung, 9 Spektrum, diskretes, 13 Spitzenwert, 18 Stab, längs-schwingender, 265 Stabilitäts -grenze, 228 -karte, 184, 228 Steifigkeit dynamische, 205 modale, 143 Steifigkeitsmatrix, 566 diagonale, 298 singuläre, 131 Störungsrechnung, 202 Stoß -antwort, 89, 91, 92 -erregung, 89 Streckenlast, 280 dynamische, 281 Superpositionsprinzip, 60 System erster Ordnung, 62 -Zustand, 72 T Talwert, 18 Teilschwingung, 11 Tilger -punkt, 163 -stelle, 163 Torsions -stab, 278 Torsionsschwinger, 121 Torsionsschwingung, 149 Trägerkreisfrequenz, 19 Trägheits

601 -kraft, 538 -matrix, 533 -moment, 531, 538 -tensor, 38, 534 triviale Lösung, 70, 292 U Überlagerungssatz, siehe Superpositionsprinzip Übersetzungsverhältnis, 152 Übertragungen, 88 Übertragungs -funktion, 80, 85, 207 -system, 80 -verhalten, 80 Unwucht, 32, 33, 39, 182 kinetische, 41 statische, 41 V Variation, 582 Vektor, 585 physikalischer, 585 Spalten-, 585 Zeilen-, 585 Verformungseinflusszahl, 192, 560, 565 Vergrößerungsfunktion, 85, 98 Verhaltensmodell, 49 Verträglichkeit, geometrische, 290 virtuelle Arbeit, 580 Verrückung, 580 W Welle, dreh-schwingende, 265 Welle, mittig besetzt, 168 Wellen -durchstoßpunkt, 168 -masse, mitschwingende, 251 -zapfen, 167, 168 Werkstoffdämpfung, 177 wesentliche Bedingungen, siehe Randbedingung geometrische Widerhall, siehe Resonanz Winkel reduzierter, 158 Winkelgeschwindigkeit, 526 Wirkung, 581 -splan, 93 Wuchskoeffizient, 23

602 Wuchten, 41 Wuchtmasse, 35 Z Zeiger, 5

Sachverzeichnis der harmonischen Schwingung, 5 linksdrehend, 79 -diagramm, 6 Zentripetalbeschleunigung, 37 Zustandsgröße, 536