Одноэлектронные задачи квантовой механики в квазиклассическом рассмотрении. Краткий курс ВКБ

Table of contents :
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ВКБ
§ 1. Приближенное решение одномерного уравнения Шредингера
§ 2. Критерии применимости метода ВКБ
§ 3. Сшивание решений. Формула связи
§ 4. Финитное движение. Две точки остановки
§ 5. Фазовые траектории. Условия квантования Бора-Зоммерфельда
§ 6. Нормировка волновой функции
§ 7. Вычисление диагональных матричных элементов
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ
§ 8. Степенной потенциал
§ 9. Одномерный линейный гармонический осциллятор
§ 10. Двухмерный изотропный гармонический осциллятор
§ 11. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор. Применение квазиклассического приближения к нахождению магических чисел в оболочечной модели ядра
§ 12. Вычисление матричных элементов. Матричные элементы координаты в случае линейного гармонического осциллятора. Правила отбора
Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ ЗАДАЧ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 13. Туннельный эффект. Коэффициент прозрачности потенциального барьера
§ 14. Кеплерово движение. Финитное движение. Водородоподобный атом
§ 15. Кеплерово движение. Инфинитное движение. Рассеяние альфа-частиц кулоновским полем
§ 16. Расщепление уровней энергии в электрическом поле. Эффект Штарка для водородоподобного атома
§ 17. Электрон в периодическом потенциальном поле
Глава 4. ВЫВОД ПРИБЛИЖЕННОЙ ФОРМУЛЫ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
§ 18. Оператор релятивистской поправки к уравнению Шредингера. Релятивистская поправка к энергии
§ 19. Вычисление спин-орбитальной поправки к энергии
§ 20. Вывод формулы тонкой структуры с помощью интеграла квантования
ЛИТЕРАТУРА

Citation preview

Министерство образования и науки Российской Федерации

Б. Х. Ишмухаметов, М. И. Кацнельсон, А. Ф. Поликарпов

ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ РАССМОТРЕНИИ. Краткий курс ВКБ Учебный электронный текстовый ресурс Ресурс предназначен для всех форм обучения направления 03.03.02 «Физика» Подготовлено Департаментом фундаментальной и прикладной физики Института естественных наук и математики

Екатеринбург 2018

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................................................ 3 Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ВКБ ........................................................... 5 § 1. Приближенное решение одномерного уравнения Шредингера ......................................... 5 § 2. Критерии применимости метода ВКБ ................................................................................... 7 § 3. Сшивание решений. Формула связи ...................................................................................... 7 § 4. Финитное движение. Две точки остановки ........................................................................ 11 § 5. Фазовые траектории. Условия квантования Бора-Зоммерфельда .................................... 13 § 6. Нормировка волновой функции ........................................................................................... 15 § 7. Вычисление диагональных матричных элементов ............................................................ 18 Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ ..................................................................................... 21 § 8. Степенной потенциал ............................................................................................................ 21 § 9. Одномерный линейный гармонический осциллятор ......................................................... 23 § 10. Двухмерный изотропный гармонический осциллятор .................................................... 24 § 11. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор. Применение квазиклассического приближения к нахождению магических чисел в оболочечной модели ядра ........................ 26 § 12. Вычисление матричных элементов. Матричные элементы координаты в случае линейного гармонического осциллятора. Правила отбора ...................................................... 34 Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ ЗАДАЧ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ...... 36 § 13. Туннельный эффект. Коэффициент прозрачности потенциального барьера ................ 36 § 14. Кеплерово движение. Финитное движение. Водородоподобный атом ......................... 41 § 15. Кеплерово движение. Инфинитное движение. Рассеяние альфа-частиц кулоновским полем ...................................................................................................................... 46 § 16. Расщепление уровней энергии в электрическом поле. Эффект Штарка для водородоподобного атома ........................................................................................................... 49 § 17. Электрон в периодическом потенциальном поле ............................................................ 53 Глава 4. ВЫВОД ПРИБЛИЖЕННОЙ ФОРМУЛЫ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ .......................................................................... 56 § 18. Оператор релятивистской поправки к уравнению Шредингера. Релятивистская поправка к энергии ....................................................................................................................... 56 § 19. Вычисление спин-орбитальной поправки к энергии ....................................................... 58 § 20. Вывод формулы тонкой структуры с помощью интеграла квантования ...................... 61 ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................................................. 64

2

ПРЕДИСЛОВИЕ Почти одновременно с возникновением квантовой механики Вентцель, Крамерс, Бриллюэн предложили использовать при решении задач квантовой механики квазиклассическое приближение (метод ВКБ). Первоначальная формулировка метода ВКБ не была слишком строгой, однако за последние годы благодаря усилиям математиков метод стал значительно более обоснованным. В настоящее время квазиклассическое приближение, соединяя в себе преимущества простоты, с которой могут быть получены результаты, и физичности, находит широкое применение при решении таких задач, попытки рассмотрения которых другими методами встречают серьезные затруднения. Первое знакомство с квантовой механикой через квазиклассическое приближение имеет неоспоримые преимущества. С одной стороны, ясно прослеживается связь квантовой физики с классической, с другой стороны – наглядно выявляются различия квантового и классического поведения частиц. Действительно, преподаватель

при

каноническом

сталкивается

с

изложении

дилеммой:

либо

квантовой

механики

постоянно

ссылаться

на неизвестно откуда взявшиеся свойства специальных функций, возникающих в базовых задачах (гармонический осциллятор, атом водорода...), что вдумчивые студенты могут счесть неубедительным, либо тратить время на вывод

этих

свойств,

не

имеющих

никакого

отношения

к

физике

рассматриваемых задач. Квазиклассическое приближение не только очень наглядно, оно позволяет ограничиться элементарными функциями, давая при этом, удивительным образом, в большинстве базовых примеров точные ответы для энергетического спектра. Математические механизмы такого везения до сих пор полностью не ясны, но, как говорится, мы не должны отказываться от вкусного блюда только потому, что не знаем, как повар приготовил его. Предлагаемое пособие предназначено для первого знакомства с методом ВКБ и рассчитано, в первую очередь, на студентов. Оно может быть полезным также

и

«взрослым»

физикам,

желающим

детально

познакомиться

с квазиклассическим приближением квантовой механики. Мы стараемся 3

не углубляться в математические тонкости, не гнаться за общностью, а показать, как метод ВКБ работает при решении конкретных задач. Название книги, а, точнее, содержащееся в нем выражение «Краткий курс ВКБ» содержит намек на некий более чем широкоизвестный текст, который (намек), к счастью, будет малопонятен новым поколениям студентов. Ну, что ж, как говорил Ходжа Насреддин, пусть те, кто знает, расскажут тем, кто не знает.

4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ВКБ § 1. Приближенное решение одномерного уравнения Шредингера Одномерное стационарное уравнение Шредингера для волновой функции электрона Ψ(𝑥) имеет вид −

ℏ2 𝑑 2 Ψ(𝑥) 2𝑚

𝑑𝑥 2

+ 𝑈(𝑥)Ψ(𝑥) = 𝐸Ψ(𝑥),

(1.1)

где 𝑈(𝑥) – потенциальная энергия, 𝐸 – энергия, 𝑚 – масса электрона и ℏ – постоянная Планка ℏ = ℎ/2𝜋. Вентцель, Крамерс и Бриллюэн предложили и развили приближенный метод решения уравнения (1.1), основанный на формальном разложении решения в ряд по степени ℏ. Конечно, реальный параметр разложения должен быть безразмерным и зависит от конкретной задачи. Важно подчеркнуть, что даже решение уравнения (1.1), полученное даже в главном приближении по ℏ, не является чисто классическим и представляет собой де Бройлевскую волну с зависящей от координат длиной волны. С формальной точки зрения, это связано с тем обстоятельством, что малый параметр в уравнении (1.1) умножается на старшую производную, и, следовательно, малость этого параметра всегда может (и должна) быть скомпенсирована быстрым изменением решения с координатой. В соответствии с Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном мы ищем решение (1.1) в виде: 𝑖

Ψ(𝑥) = exp⁡{ 𝜎(𝑥)}. ℏ

(1.2)

Тогда для новой неизвестной функции 𝜎(𝑥) находим: 𝑖

𝑖 2

𝜎 ′′ (𝑥) + ( ) (𝜎 ′ (𝑥))2 + ℏ ℏ

2𝑚 ℏ2

(𝐸 − 𝑈(𝑥)) = 0.

(1.3)

Старшими по параметру малости ℏ членами в (1.3) являются второе и третье слагаемое, первое же дает квантовые поправки следующего порядка малости. Следовательно, в нулевом приближении получим: 𝜎0′ (𝑥) = ±√2𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥)). Таким образом, волновая функция в нулевом приближении имеет вид:

5

𝑖

Ψ0 (𝑥) = exp⁡(± ∫ √2𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥))𝑑𝑥). ℏ Используем теперь идею о разложении 𝜎(𝑥) в ряд: ℏ 2

ℏ

𝜎(𝑥) = 𝜎0 (𝑥) + 𝜎1 (𝑥) + ( ) 𝜎2 (𝑥) + ⋯ 𝑖 𝑖

(1.4)

Подставляя это разложение в (1.3) и приравнивая слагаемые при одинаковых степенях ℏ нулю, получаем следующую цепочку равенств 2

(𝜎0′ (𝑥)) − 𝑝2 (𝑥) = 0 𝜎0′′ (𝑥) + 2𝜎0′ (𝑥)𝜎1′ (𝑥) = 0 2

𝜎1′′ (𝑥) + 2𝜎0′ (𝑥)𝜎2′ (𝑥) + (𝜎1′ (𝑥)) = 0

(1.5)

𝜎2′ (𝑥) + 2𝜎0′ (𝑥)𝜎3′ (𝑥) + 2𝜎1′ (𝑥)𝜎2′ (𝑥) = 0 …, где 𝑝(𝑥) = √2𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥))  классический импульс электрона. Структура цепочки равенств (1.5) такова, что первое позволяет определить 𝜎0′ (𝑥), второе 𝜎1′ (𝑥) через уже найденное 𝜎0′ (𝑥), третье 𝜎2′ (𝑥), и т. д. Решая последовательно эту цепочку равенств, мы можем член за членом определить последовательно входящие в (1.4) слагаемые. Первое из неравенств (1.5) дает нам уже известный результат: 𝜎0′ (𝑥) = ±𝑝(𝑥).

(1.6)

Второе неравенство дает выражение для 𝜎1′ (𝑥) 𝜎1′ (𝑥) = −

1 𝑑 2 𝑑𝑥

𝑙𝑛𝜎0′ (𝑥) = −

1 𝑑 2 𝑑𝑥

ln 𝑝(𝑥),

или 1

𝜎1 (𝑥) = − ln 𝑝(𝑥)⁡.

(1.7)

2

Для наших целей будет вполне достаточно ограничиться двумя членами ряда (1.4). Следовательно, ℏ

ℏ

𝑖

2𝑖

𝜎(𝑥) = 𝜎0 (𝑥) + 𝜎1 (𝑥) = ± ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 −

ln 𝑝(𝑥).

Волновая функция электрона Ψ(𝑥) в этом приближении (с точностью до умножения на постоянный множитель) имеет вид: 𝑖

1

Ψ(𝑥) = exp(± ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 − ln 𝑝(𝑥)) = ℏ 2 6

1 √𝑝(𝑥)

𝑖

exp(± ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥). ℏ

(1.8)

§ 2. Критерии применимости метода ВКБ С точки зрения формальной математики квазиклассический метод справедлив тогда, когда разложение (1.4) достаточно быстро сходится. Для выполнения этого условия необходимо потребовать, чтобы член, учитывающий квантовые поправки в (1.3) был мал в сравнении с основным слагаемым: |𝜎 ′′(𝑥)/ℏ| |𝜎 ′ (𝑥)/ℏ|2

≪ 1.

(2.1)

Для оценки мы можем подставить в (2.1) найденные в нулевом порядке значения для 𝜎 ′ (𝑥) ≈ 𝜎0′ (𝑥) = 𝑝(𝑥): |𝜎 ′′ (𝑥)/ℏ| |𝜎 ′ /ℏ|2

=

ℏ|𝑑𝑝/𝑑𝑥| |𝑝(𝑥)|2

= ℏ|

𝑑 𝑑𝑥

(𝑝(𝑥))−1 | = |

𝑑 𝑑𝑥

(𝑘(𝑥))−1 | =

1 𝑑 2𝜋 𝑑𝑥

|𝜆(𝑥)| ≪ 1. (2.2)

Здесь мы ввели обозначения для зависящих от координат волнового вектора 𝑘(𝑥) = 𝑝(𝑥)/ℏ и длины волны де Бройля электрона 𝜆(𝑥) = 2𝜋/𝑘(𝑥). Следовательно, для того чтобы применение метода ВКБ имело смысл, необходимо, как следует из (2.2), чтобы длина волны де Бройля электрона мало менялась на расстояниях порядка ее самой, т. е. необходимо, чтобы понятие локальной длины волны де Бройля для электрона сохраняло смысл. С другой стороны, критерий (2.2) может быть записан в виде: 𝑚ℏ|𝐹|/𝑝3 ≪ 1,

(2.3)

где 𝐹 = −𝑑𝑈/𝑑𝑥 – сила. Условие (2.3) есть требование, накладываемое на потенциал 𝑈(𝑥): потенциальная кривая должна быть достаточно гладкой для того, чтобы можно было применять квазиклассическое приближение. § 3. Сшивание решений. Формула связи Как следует из вида приближенных решений (1.8), они становятся неприменимыми в точках, в которых 𝑝(𝑥) = √2𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥) обращается в ноль. Это – так называемые классические точки остановки. Если же при переходе 7

через точку остановки функция 𝑘 2 (𝑥) = 𝑝2 (𝑥)/ℏ2 меняет знак, то и сам характер решения (1.8) меняется. Пусть для определенности 𝑘 2 (𝑥0 ) = 0, 𝑘 2 (𝑥) > 0 при 𝑥 < 𝑥0 и 𝑘 2 (𝑥) < 0 при 𝑥 > 𝑥0 . Тогда в области I (𝑥 < 𝑥0 ) произвольное решение может быть записано в соответствии с (1.8) Ψ(𝑥) =

𝑥

1 √𝑘(𝑥)

𝑥

(𝐴 exp(𝑖 ∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 ) + 𝐵⁡ exp(−𝑖 ∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 )),

(3.1)

где 𝐴 и 𝐵 – произвольные константы. В области II (𝑥 > 𝑥0 ) решение не имеет осциллирующего характера и может быть записано как Ψ(𝑥) =

1 √|𝑘(𝑥)|

𝑥

𝑥

0

0

[𝐶 exp (− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 ) + 𝐷 exp (∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 )].

(3.2)

Если область II простирается до бесконечности, то естественно в качестве граничных условий потребовать, чтобы 𝐷 = 0, т. е. чтобы в области II поведение решения было экспоненциально затухающим. Тогда в области II имеем: Ψ(𝑥) =

𝐶 √|𝑘(𝑥)|

𝑥

[exp (− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 )]. 0

(3.3)

Рис. 1. Графики функции 𝑈(𝑥) (сплошная линия) и 𝑘 2 (𝑥) (пунктир). Прямая 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 разбивает пространство на две области: область I (𝑥 ≤ 𝑥0 ) и область II (𝑥 > 𝑥0 ). Точка остановки 𝑥 = 𝑥0 определяется равенством 𝐸 = 𝑈(𝑥)

Нам требуется установить, каковы A и B у функции (3.1) в области I. Пусть в окрестности точки 𝑥 = 𝑥0 (рисунок 1), 𝑘 2 (𝑥) имеет вид: 𝑘 2 (𝑥) = −𝛼(𝑥 − 𝑥0 ),

(3.4)

причем 𝛼 > 0. Воспользуемся методом Цвана, переходя из области II в область I по окружности радиусом 𝜌 в комплексной плоскости (рис. 2).

8

Рис. 2. Обход точки остановки 𝑥 = 𝑥0 по верхней полуокружности в комплексной плоскости. На окружности 𝑧 − 𝑥0 = 𝜌⁡𝑒 𝑖𝜑

При этом 𝑘 2 (𝑥) нигде не обращается в нуль и можно совершить непрерывный переход из области II в область I, обойдя «опасную» точку 𝑥 = 𝑥0 по верхней или нижней полуокружности. На этой окружности 𝑘 2 (𝑥) = −𝛼𝜌⁡𝑒 𝑖𝜑 , где 𝜌  радиус окружности. Стоящий в показателе экспоненты (3.3) интеграл, равный 𝑥

𝑥

0

0

2

∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 = 𝛼 1/2 ∫𝑥 (𝑥 − 𝑥0 )1/2 𝑑𝑥 = 3 𝛼 1/2 (𝑥 − 𝑥0 )3/2 , на верхней полуокружности примет вид: 𝑥

2

∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 → 3 𝛼 1/2 𝜌3/2 (cos

3𝜑 2

0

+ 𝑖 sin

3𝜑 2

).

При этом 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋. В указанном интервале изменения угла⁡𝜑⁡ ⁡cos

3𝜑 2

⁡убывает

от значения, равного единице (при⁡𝜑 = 0), до значения, равного минус 1 при 𝜑=

2𝜋 3

, после чего вновь возрастает до значения, равного нулю при ⁡𝜑 = 𝜋.

Следовательно, решение (3.3) на окружности сначала будет экспоненциально возрастать при изменении угла от 𝜑 =0 до 𝜑 =

2𝜋 3

, после чего действительная

часть показателя экспоненты (3.3) будет убывать до нуля при 𝜑 = 𝜋. При 𝜑 = 𝜋 показатель

экспоненты

(3.3)

обратится

2

в

1

3

1

2

3

𝑖 ⁡𝛼 2 ⁡𝜌2 = 𝑖𝛼 2 (𝑥0 − 𝑥)2 = 3

3

𝑥

𝑖 ∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥. Таким образом, если мы будем переходить из области II в область I по верхней части полуокружности, то при этом 𝑥

𝑥0

exp {− ∫ |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 } → exp{𝑖 ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 ⁡} 𝑥0

𝑥

9

Рассмотрим

теперь,

как

при

таком

переходе

будет

меняться

1

предэкспоненциальный множитель |𝑘(𝑥)|−2 : 1 √𝑘(𝑥)

=

1 1 1

𝜑

𝑖 𝛼4𝜌4𝑒 4

→

1 1 1

=

𝜋

𝑖 𝛼 4 𝜌4 𝑒 4

𝜋 −𝑖 4 1 1 𝛼 4 𝜌4

𝑒

=

𝑒

𝜋 −𝑖 4

.

√𝑘(𝑥)

Следовательно, мы имеем 𝑥

1 √|𝑘(𝑥)|

exp{− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥} → ⁡ 0

1 √𝑘(𝑥)

𝑥

π

exp{⁡𝑖(∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − )} 4

При таком переходе мы смогли определить только коэффициент A в соотношении (3.1). Если совершать переход по полуокружности, лежащей в нижней части комплексной плоскости, то получим: 𝑥

1 √|𝑘(𝑥)|

exp{− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 } → ⁡ 0

𝑥

1 √|𝑘(𝑥)|

𝜋

exp{−𝑖⁡(∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 −⁡ )}. 4

Эта процедура позволит определить коэффициент B. Тот факт, что при обходе точки 𝑥0 ⁡мы не можем получить одновременно оба коэффициента A и B, связан с асимптотическим характером решений, в силу которого мы не имеем права наряду с экспоненциально возрастающим решением 𝑥0 1 − 2 (𝑘(𝑥)) exp{±𝑖(∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 𝑥

𝜋 − )} 4

удерживать и экспоненциально убывающее 𝑥0 1 − (𝑘(𝑥)) 2 exp{∓𝑖(∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 𝑥

π − )}⁡ 4

В области I оба этих решения одного порядка и имеют осциллирующий характер. В силу сказанного, получаем формулу связи: 1 √|𝑘(𝑥)|

𝑥

exp {− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 } → ⁡ 0

2

𝑥

π

cos{∫𝑥 0 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − ⁡} 4 √𝑘(𝑥)

(3.5)

Стрелка в соотношении (3.5) указывает на то обстоятельство, что его можно использовать только при переходе из области, в которой волновая функция экспоненциально убывает («классически запрещенная область»), в область, в которой волновая функция имеет осциллирующий характер («классически разрешенная область»). Использование соотношение (3.5) в обратном направлении может привести к ошибочному результату. 10

§ 4. Финитное движение. Две точки остановки Движение классической частицы будет финитным, если частица движется в потенциальном поле типа «потенциальная яма», причем энергия такова, что имеются две точки остановки (см. рис. 3), 𝑥1 и 𝑥2 , определяемые условием: 𝐸 = 𝑈⁡(𝑥1,2 )

(4.1)

В таком потенциальном поле классическая частица будет двигаться в области 𝑥1 ≤ 𝑥⁡ ≤ ⁡ 𝑥2 (область II), причем никаких других ограничений, кроме E > U(x), на энергию классической частицы не накладывается.

Рис. 3. Движение электрона с энергией E в потенциальном поле типа потенциальная яма. Точки 𝑥1 и 𝑥2 – точки остановки, для которых 𝐸 = 𝑈⁡(𝑥1,2 )

Движение квантовой частицы (например, электрона) будет существенным образом отличаться от движения классической частицы. Хотя электрон в основном и будет находиться в области II, имеется определенная, не равная нулю, вероятность обнаружить его в областях I (𝑥 < ⁡ 𝑥1 ) и III (𝑥 > ⁡ 𝑥2 ), недоступных для классической частицы. Кроме того – и это самое существенное отличие – электрон может обладать лишь определенными квантованными дискретными значениями энергии E, в то время как классическая частица может двигаться в области II с любой энергией. В соответствии с методом ВКБ, определим теперь волновую функцию электрона в области II. Поскольку в классически запрещенных областях I и III волновая функция должна экспоненциально убывать, то, согласно (3.5), для области II мы имеем: Ψ𝐼𝐼 (𝑥) = где 𝑘(𝑥) = ⁡ √(

2𝑚 ℏ2

2𝑐 √𝑘(𝑥)

𝑥

π

1

4

cos{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } , 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 ⁡,⁡

(4.2)

)(𝐸 − 𝑈(𝑥)), а c – нормировочный множитель; при выводе

этой формулы, мы использовали переход из области I в область II. 11

Обе точки остановки, 𝑥1 и 𝑥2 , однако, являются равноправными, и эту же волновую функцию Ψ𝐼𝐼 (𝑥) мы можем (переходя из области III в область II) записать в другом виде: Ψ𝐼𝐼 (𝑥) =

𝑥

2𝑐′ √𝑘(𝑥)

π

cos {∫𝑥 2 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } ; 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 4

(4.3)

Выражения (4.2) и (4.3) являются разными аналитическими выражениями одной и той же функции Ψ𝐼𝐼 (𝑥). Рассматривая фазу в (4.3) как 𝑥

π

𝑥

π

𝑥

π

2 2 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − ⁡ 4 = ⁡ ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − 2 − (∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − ⁡ 4 ), 1

1

находим 𝑥

𝑥

π

π

𝑥

π

cos {∫𝑥 2 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } = cos {∫𝑥 2 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } cos {∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } + 4 2 4 1

𝑥 + sin {∫𝑥 2 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 1

−

𝑥 sin {∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 } 2 2

π

π

− }. 4

Из последнего равенства следует, что для того чтобы выражение (4.3) совпало с выражением (4.2), необходимо потребовать: 𝑥

𝜋

2 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − ⁡ 2 = 𝑛𝜋 , 𝑐′ = (−1)𝑛 𝑐,⁡ 1

(4.4)

где n  любое целое число. Таким образом, в задаче о движении электрона в потенциальной яме естественно возникает квантовое число n, финитное движение электрона квантуется. Условие (4.4), записанное в виде 𝑥

1

2 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + 2)𝜋 1

(4.5)

представляет собой условие квантования для энергии E, т. к. k(x) зависит от энергии электрона. Итак, в квантовой механике финитное движение квантуется, т. е. при решении задачи о финитном движении электрона появляется дискретное квантовое число n, как правило, пробегающее значения натурального ряда чисел. Энергия 𝐸𝑛 и волновая функция электрона Ψ𝑛 (𝑥) зависит от квантового числа n как от параметра. Условие квантования (4.5) является ничем иным, как требованием, чтобы величина полного интервала изменения аргумента косинуса в (4.2) равнялась целому числу 𝜋. Отсюда непосредственно вытекает, что квантовое число n есть 12

не что иное, как число корней волновой функции электрона 𝜓𝑛 (𝑥), т. е. целое число n определяет, сколько раз волновая функция электрона обращается в нуль на интервале (𝑥1 , 𝑥2 ). Это свойство квазиклассической волновой функции (номер состояния, по возрастанию энергии, равен числу нулей волновой функции), как можно показать, имеет место и для точного решения уравнения Шредингера. § 5. Фазовые траектории. Условия квантования Бора-Зоммерфельда Рассмотрим движение электрона на фазовой плоскости 𝑝(𝑥) = ℏ𝑘(𝑥), 𝑥. Движение классической частицы может быть изображено в виде кривой 𝑝 = 𝑝(𝑥). В случае финитного движения это будет замкнутая кривая, которая называется фазовой траекторией. Классическая частица, как известно, может обладать любой энергией, квантовая же – лишь энергией 𝐸 = 𝐸𝑛 , определяемой условиями квантования (4.5). Выясним геометрический смысл условия квантования (4.5) с помощью понятия фазовой траектории. Рассмотрим движение электрона с разрешенной энергией 𝐸 = 𝐸𝑛 . По смыслу определенного интеграла 𝑥2

𝑥2

∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ℏ ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 ⁡ 𝑥1

𝑥1

равен площади, ограниченной верхней частью замкнутой кривой 𝑝 = 𝑝(𝑥) и осью абсцисс. Если же ввести интеграл по замкнутой фазовой кривой 𝑥2

𝑥1

𝑥2

∮ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ⁡ ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + ⁡ ∫ (−𝑝(𝑥)𝑑𝑥) = 2ℏ ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥, 𝑥1

𝑥2

𝑥1

учитывая, что частица в своем движении в области II при подходе к точке остановки 𝑥1 ⁡или 𝑥2 уменьшает свой импульс до нуля при 𝑥 = 𝑥1,2 и затем меняет его на противоположный, то тогда интеграл ∮ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 равен площади, ограниченной замкнутой фазовой кривой. Условие квантования (4.5) при этом имеет вид: 1

∮ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + 2) ℎ 13

(5.1)

(напомним, что h= 2𝜋ℏ). В такой форме условие квантования, правда, без половинки, было впервые введено в старую квантовую механику Бором и Зоммерфельдом (фактически, постулировано). Поэтому условие квантования в форме (5.1) носит название условия квантования Бора-Зоммерфельда. На рис. 4 рассматривается случай движения электрона в потенциальной яме. Показаны точки остановки x1n , x2n , соответствующие энергии электрона En , даны соответствующие фазовые траектории.

Рис. 4. Движение электрона в потенциальной яме

Площадь заштрихованного кольца, отделяющего фазовые траектории, соответствующие двум последовательным значениям допустимой энергии электрона, равна ℎ. Площадь центральной заштрихованной области равна площади, ограниченной фазовой траекторией, соответствующей минимальной 1

энергии электрона, т. е. ℎ. 2

Согласно

(5.1),

площади,

ограниченные

фазовыми

траекториями

с энергиями, соответствующими двум последовательным значениям квантовых чисел 𝑛1 = 𝑛 и 𝑛2 = 𝑛 + 1, отличаются на ∆⁡𝑆 = ℎ. Находясь же в состоянии с минимальным значением энергии 𝐸0 , соответствующим 𝑛 = 0, частица 14

1

движется по фазовой траектории, ограничивающей площадь, равную 𝑆0 = ℎ 2

(см. рис. 4). Именно наличие

1 2

в условии квантования (5.1) выгодно (как мы

увидим ниже) отличает его от старого условия квантования ∮ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑛 ℎ. Именно эта половинка объясняет факт существования так называемых нулевых колебаний

в

квантовой

механике,

существование

которых

следует

из соотношения неопределенности Гейзенберга. § 6. Нормировка волновой функции Приведем здесь строгий вывод условия нормировки волновой функции по Фарри. Рассмотрим уравнение Шредингера: 𝜓"(𝑥) + (2𝑚/ℏ2 )(𝐸 − 𝑈(𝑥))𝜓(𝑥) = 0

(6.1)

Пусть потенциал U (x) имеет вид потенциальной ямы (см. рис. 3). Тогда точка остановки x1  a и x2  b определяются как корни выражения E  U ( x)  0 .

Решение  (x) уравнения (6.1) может быть записано в виде:  1  a  exp    k ( x) dx, x  a  k ( x)  x    b  1   b      ( x)  C  exp i ( k ( x ) dx  )  exp      i (  k ( x)dx  ), a  x  b 4  4   x  k ( x)   x  x  1 exp k ( x) dx, x  b     k ( x) b   

(6.2)

Наряду с решением  (x) уравнения (6.1), введем в рассмотрение функции  1 ( x) и  2 ( x) , соответствующие значениям параметра энергии

E1

и E2

соответственно. Пусть свойства этих функций таковы, что  I (x) убывает при x   и стремится к  (x ) при E1  E , а  2 ( x) убывает при x   и стремится

к  (x) при E 2  E :

15

  a   (1) n C exp   k1 ( x) dx, x  a1   x   k1 ( x)  x   x    i   k1 ( x ) dx     (1) n C  i   k1 ( x ) dx  4  4    a1  a1   1 ( x)   e e  k ( x )  1     b1  b1      b1  b1    n  i   k1 ( x ) dx    i   k1 ( x ) dx   2 i   k1 ( x ) dx    i   k1 ( x ) dx    (  1 ) C  2 2     4 4 a a  1  x  1  x e e e e , a1  x  b1  k1 ( x)    

(6.3)

  i b2 k 2 ( x ) dx    i b2 k 2 ( x ) dx     1 4 4 x  e x e , a2  x  b2  k 2 ( x)      2 ( x)  C   x   1 exp  k 2 ( x) dx, x  b2   b2   k 2 ( x)

(6.4)

Здесь 𝑘1,2 = √(2𝑚⁄ 2 ) (𝐸1,2 − 𝑈(𝑥)), ℏ

(6.5)

a1 ,b1 и a 2 ,b2 – точки остановки, соответствующие значениям энергии E  E1 и E 2

соответственно. Функции  1 ( x) и  2 ( x) удовлетворяют уравнениям: 𝜓1∗ "(𝑥) + (2𝑚/ℏ2 )(𝐸1 − 𝑈(𝑥))𝜓1∗ (𝑥) = 0,

(6.6)

𝜓2∗ "(𝑥) + (2𝑚/ℏ2 )(𝐸2 − 𝑈(𝑥))𝜓2∗ (𝑥) = 0.

(6.7)

Помножив уравнение (6.1) на  1* ( x) и вычитая из полученного уравнение (6.6), помноженное на  (x) , после интегрирования в пределах от



до x , причем

a  x  b , имеем: 𝑥

𝜓 ′ (𝑥)𝜓1∗ (𝑥) − 𝜓1∗ (𝑥)𝜓(𝑥) = (2𝑚⁄ 2 )(𝐸1 − 𝐸) ∫ 𝜓(𝑥)𝜓1∗ (𝑥) 𝑑𝑥 ℏ ′

−∞

Дифференцируя обе части равенства по E1 , находим: ′

𝜕 ∗ 𝜕𝜓1∗ (𝑥) 𝜓 𝜓 (𝑥) − 𝜓(𝑥) 𝜕𝐸1 1 𝜕𝐸1 𝑥 2𝑚 𝑥 2𝑚 𝜕𝜓1∗ (𝑥) ∗ (𝑥)𝑑𝑥 = ( 2 ) ∫ 𝜓(𝑥)𝜓1 + ( 2 )(𝐸1 − 𝐸) ∫ 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 ℏ ℏ 𝜕𝐸1 −∞ −∞ ′⁡ (𝑥)

Устремляя в последнем равенстве 𝐸1 к E, получим 16

′

𝜕 𝜕𝜓∗ (𝑥) 𝜓 ′ (𝑥) 𝜓1∗ (𝑥) − 1 𝜓(𝑥)|𝐸1→𝐸 𝜕𝐸1 𝜕𝐸1

=(

2𝑚 ℏ2

𝑥

) ∫−∞ 𝜓(𝑥)𝜓 ∗ (𝑥)𝑑𝑥

(6.8)

Аналогично выводим подобное соотношение для функции 𝜓(𝑥) и 𝜓2∗ (𝑥): 𝜕 𝜓 ′ (𝑥) 𝜓 ∗ (𝑥) 𝜕𝐸2 2

Объединяя

′

−

(6.8)

𝜕𝜓2∗ (𝑥) 𝜕𝐸2

и

𝜓(𝑥)|𝐸2→𝐸 = − (

(6.9),

выводим

2𝑚 ℏ2

∞

) ∫𝑥 𝜓(𝑥)𝜓 ∗ (𝑥)𝑑𝑥

для

интеграла

(6.9)

нормировки

соотношение: ℏ2

∞

𝜕𝜓∗

𝜕𝜓∗

1

2

𝜕

∫−∞ 𝜓(𝑥)𝜓 ∗ (𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑚) {𝜓 ′ (𝑥) ( 𝜕𝐸 1 − 𝜕𝐸 2) − 𝜓(𝑥) 𝜕𝑋 (

𝜕𝜓1∗ (𝑥)

−

𝜕𝐸1

𝜕𝜓2∗ (𝑥) 𝜕𝐸2

)}|𝐸1=𝐸2 =𝐸

(6.10) Найдем теперь выражение ( несущественный

для

𝜕𝜓1∗ (𝑥) 𝜕𝐸1

−

𝜕𝜓2∗ (𝑥) 𝜕𝐸2

определения

)|𝐸1 =𝐸2 =𝐸 . Если при этом опустить

волновой

𝑏

𝜋

1

2

функции

фазовый

𝜓1 (𝑥)

множитель (−1)𝑛 exp{−𝑖(∫𝑎 1(𝑥)𝑑𝑥 − )} , то при переходе к пределу 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸 в выражении

𝜕𝜓1∗ (𝑥) 𝜕𝐸1

𝜕𝜓1∗ (𝑥) 𝜕𝐸1

−

−

𝜕𝜓2∗ (𝑥) 𝜕𝐸2

𝜕𝜓2∗ (𝑥) 𝜕𝐸2

уничтожаются все члены, кроме единственного:

|𝐸1 =𝐸2 =𝐸 =

𝑐 √𝑘(𝑥)

𝑏

π

𝑒 −𝑖{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− 4 } ⁡

𝑏

2𝑖𝑚 ℏ2

𝑏 𝑑𝑥

∫𝑎

(6.11)

𝑘(𝑥)

1

𝜕𝑘(𝑥)

2

𝜕𝐸

При этом нужно учесть, что ∫𝑎 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + )𝜋, а также тот факт, что 𝑚 ℏ2 𝑘(𝑥)

=

. Подставив (6.11) в (6.10), легко вывести для интеграла нормировки: ℏ2

∞

∫−∞ ψ(x)ψ∗ (𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑚 (−𝑖 𝜓(𝑥)

𝜕

{

1

𝜕𝑥 √𝑘(𝑥)

𝑒

𝑏 π 𝑖{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− } 4

2𝑚

𝑏 𝑑𝑥

) ∫𝑎 ℏ2

𝑘(𝑥)

{𝜓 ′ (𝑥)

𝑏 𝑑𝑥

}} = −𝑖 ∫𝑎

1 √𝑘(𝑥)

𝑏

π

𝑒 𝑖{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− 4 } − 𝑏 𝑑𝑥

𝑘(𝑥)

2𝑖|𝑐|2 = 2 |𝑐|2 ∫𝑎

.

𝑘(𝑥)

Следовательно, в рамках метода ВКБ интеграл нормировки строго равен: ∞

𝑏 𝑑𝑥

∫−∞ 𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 = 2|𝑐|2 ∫𝑎

.

(6.12)

𝑘(𝑥)

Приведенный вывод может служить обоснованием применявшегося еще Паули

способа

вычисления

интеграла

нормировки,

при

котором

интегрирование по бесконечному интервалу заменялось интегрированием 𝑥

π

по интервалу (a,b), причем входящий в интеграл 𝑐𝑜𝑠 2 {∫𝑎 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − }, как 4

1

быстро осциллирующая величина, заменялся его средним значением, равным : 2

17

∞

𝑏

𝑥

𝑏 𝑑𝑥

π

∫−∞ 𝜓 ∗ (𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 4|𝑐|2 ∫𝑎 (𝑘(𝑥))−1 𝑐𝑜𝑠 2 {∫𝑎 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − 4 } ≈ 2|𝑐|2 ∫𝑎

𝑘(𝑥)

(6.13)

Из (6.12) легко находим нормировочную постоянную c: 𝑏 𝑑𝑥

𝑐 = {2 ∫𝑎 ⁡ Т. к. 𝑘(𝑥) =

𝑝(𝑥) ℏ

=

𝑘(𝑥)

1

}−2

(6.14)

𝑚𝜐(𝑥)

, то входящий в (6.14) интеграл очень просто

ℏ

выражается через период классического движения 𝑇𝑛 : 𝑏 2𝜋 𝑑𝑥 𝑇𝑛 = = 2∫ 𝜔𝑛 𝑎 𝜐(𝑥)

Таким образом, для нормировочной постоянной 𝑐𝑛 ⁡имеем следующее выражение: 𝑐𝑛 = (

𝑚𝜔𝑛 1 2𝜋ℏ

)2

(6.15)

в соответствии, с чем можно записать нормированную волновую функцию в виде: 𝑚𝜔

√ 2𝜋ℏ𝑛 𝑚𝜔

𝜓𝑛 (𝑥) = √ 𝑛 2𝜋ℏ

√|𝑘(𝑥)|

𝑎

exp⁡{− ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 , 𝑥 < 𝑎 𝑥

2

π

cos{∫𝑎 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − }⁡, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 4 √𝑘(𝑥)

𝑚𝜔

{

1

√ 2𝜋ℏ𝑛

1 √|𝑘(𝑥)|

(6.16)

𝑥

exp⁡{− ∫𝑏 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 , 𝑥 > 𝑏

§ 7. Вычисление диагональных матричных элементов В квантовой механике наблюдаемые величины операторов вычисляется как квантомеханические средние. Так, наблюдаемое значение величины, соответствующей

оператору

𝐴̂ = 𝐴̂(𝑝̂ , 𝑥)

в

состоянии

|𝑛 >⁡вычисляется

по формуле: ∞ 𝐴̅ =< 𝑛|𝐴̂|𝑛 >= ∫−∞ 𝜓𝑛∗ (𝑥)𝐴̂𝜓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥

(7.1)

Выведем здесь общее правило вычисления 𝐴̅ в квазиклассическом приближении в случае, когда 𝐴̂ = 𝐴̂(𝑝̂ , 𝑥) является плавной функцией импульса и координат.

18

Вспоминая выражение для волновой функции (6.16) и пренебрегая экспоненциально малым вкладом в интеграл (7.1) то областей I и II, имеем: 𝐴̅ = (

𝑥 𝑥 4𝜔𝑛 𝑏 𝑑𝑥 π ℏ 𝑑 π ′ )𝑑𝑥 ′ ̂ )∫ cos {∫ 𝑘(𝑥 − }𝐴( , 𝑥) cos {∫ 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − } , 2𝜋 𝑎 𝜐𝑛 (𝑥) 4 𝑖 𝑑𝑥 4 𝑎 𝑎

где в соответствии с требованиями квантовой механики оператор импульса 𝑝̂ =

ℏ 𝑑 𝑖 𝑑𝑥

. Согласно смыслу квазиклассического приближения, при применении

оператора 𝑝̂ нужно дифференцировать каждый раз лишь быстро меняющийся косинус и не дифференцировать волновой вектор 𝑘(𝑥). Учитывая, что 𝑥 𝑥 ℏ 𝑑 2𝑛 π π ′ )𝑑𝑥 ′ 2𝑛 ( ) cos{∫ 𝑘(𝑥 − } ≈ (𝑝(𝑥)) cos {∫ 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − } , 𝑖 𝑑𝑥 4 4 𝑎 𝑎

и 𝑥 𝑥 ℏ 𝑑 2𝑛+1 π 1 π ′ )𝑑𝑥 ′ 2𝑛+1 ( ) cos{∫ 𝑘(𝑥 − } ≈ (𝑝(𝑥)) sin{∫ 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − }, 𝑖 𝑑𝑥 4 𝑖 4 𝑎 𝑎 а также тот факт, что быстро осциллирующий интеграл, содержащий

произведение 𝑥

𝑥 𝑥 π π 1 π ′ )𝑑𝑥 ′ cos {∫ 𝑘(𝑥 − } sin {∫ 𝑘(𝑥 − } = sin{2 ∫ 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − }, 4 4 2 2 𝑎 𝑎 𝑎 будет давать (при плавном изменении остальных множителей) пренебрежимо ′ )𝑑𝑥 ′

малый вклад, получаем: 𝑥 4𝜔𝑛 𝑏 𝑑𝑥 𝜋 2 )∫ 𝑐𝑜𝑠 {∫ 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − } 𝐴чёт (𝑝′ (𝑥), 𝑥), 2𝜋 𝑎 𝜐𝑛 (𝑥) 4 𝑎 где 𝐴чёт ⁡означает часть оператора 𝐴̂, разлагающуюся лишь по четным степеням

𝐴̂ = (

оператора импульса: 𝐴̂ = 𝐴̂неч + 𝐴̂чёт , причем ∞

∞

𝐴̂неч = ∑ 𝑎𝑚 (𝑥) 𝑝̂ 2𝑚+1 , 𝐴̂чёт = ∑ 𝑏𝑚 (𝑥)𝑝̂ 2𝑚 𝑚=0

Заменяя

в

𝑥

соответствии π

1

4

2

𝑚=0

с

квазиклассическим

приближением

𝑐𝑜𝑠 2 {∫𝑎 𝑘(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − } на , приходим к следующему выражению для среднего от оператора 𝐴̂:

19

𝑏 2𝜔 𝐴̂ = ( 𝑛 ) ∫𝑎 𝑑𝑡𝐴чёт (𝑝(𝑥(𝑡)), 𝑥(𝑡)) = 2𝜋

1 𝑇𝑛

∮ 𝑑𝑡𝐴(𝑝(𝑥(𝑡)), 𝑥(𝑡)).

(7.2)

Таким образом, вычисление наблюдаемого значения от величины, описываемой

оператором

𝐴̂,

есть

квазиклассического движения электрона.

20

простое

среднее

по

периоду

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ О ГАРМОНИЧЕСКОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ Настоящая глава посвящена подробному рассмотрению вопросов, связанных с гармоническим осциллятором. В § 8 рассматриваются поведение электрона

в

потенциальном

поле

типа

𝑥

𝑈(𝑥) = 𝜆( )2𝜇 . 𝑎

§9

посвящен

традиционной задаче о линейном гармоническом осцилляторе. § 10 и § 11 посвящен

двухмерному

и

трехмерному

изотропным

гармоническим

осциллятором, при этом в § 11 рассмотрено приложение результатов к оболочечной модели ядра. Наконец в § 12 предлагается метод вычисления недиагональных матричных элементов в случае линейного гармонического осциллятора. § 8. Степенной потенциал Рассмотрим задачу о поведении электрона в потенциальном поле типа 𝑥

𝑈(𝑥) = 𝜆( )2𝜇

(8.1)

𝑎

(μ>0). Как следует из § 4, поскольку потенциал имеет вид потенциальной ямы, движение электрона будет квантоваться. Энергия квантованного движения определяется условиями квантования Бора-Зоммерфельда: 𝑥

1

2 ∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + 2) 𝜋,

(8.2)

1

где 𝑘(𝑥) = √(

2𝑚 ℏ

)(𝐸 −

𝑥 𝜆( )2𝜇 ), 𝑎

𝐸

1 2𝜇

𝑥1,2 = ∓𝑎( ) 𝜆

= ∓𝑥𝑛

Интеграл квантования в (8.2) вычисляется элементарно. С помощью 1

замены

𝑥

𝜆 2𝜇 (𝑎 ) (𝐸 )

=⁡𝑡

1 2𝜇

интеграл (8.2) выражается через Β-функцию:

𝑥2

1 1 −1 2𝑚 𝑎 𝐸 1 1 2𝜇 ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = √ 2 𝐸 ( ) ∫ (1 − 𝑡)2 𝑡 2𝜇 𝑑𝑡 ℏ 𝜇 𝜆 𝑥1 0

Согласно определению -функции, 1

∫0 (1 − 𝑡)𝑦−1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 = 𝛣(𝑥, 𝑦) =

Γ(𝑥)Γ(𝑦) Γ(𝑥+𝑦)

.

Следовательно, для определения спектра энергии мы имеем уравнение:

21

3

1

1 √2𝑚𝐸𝑛 𝑎 𝐸𝑛 2𝜇 Γ(2)Γ(2𝜇) ( ) 3 1 ℏ 𝜇 𝜆 Γ( + ) 2 2𝜇

1

= (𝑛 + ) 𝜋, 2

из которого легко получить: 𝐸𝑛 = 𝜆

1 𝜇+1

{

𝜋ℏ2

2𝑚𝑎

(𝜇 + 1) 2

2

1 1 ) 𝜇 2 2𝜇 𝜇+1 1 Γ2 ( ) 2𝜇

Γ2 ( +

}

1

2𝜇

(𝑛 + )𝜇+1 2

(8.3)

В очень важном частном случае 𝜇 = 1 получаем спектр энергии линейного гармонического осциллятора: 1

𝐸𝑛 = (𝑛 + ) ℏ𝜔0 , 2 где

собственная

частота

колебания

осциллятора

(8.4) ⁡𝜔0

определяется

соотношением: 𝑘𝑥 2 𝑚𝜔02 𝑥 2 𝜆𝑥 2 = = 2 2 2 𝑎 Интересен здесь также и другой предельный случай потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками при 𝜇 → ∞. Используя соотношение 1

Γ ( ) |𝜇→∞ → 2𝜇, имеем: 2𝜇 𝐸𝑛 =

𝜋ℏ2 8𝑚𝑎2

1

(𝑛 + )2 2

(8.5)

В этом случае мы получаем спектр, подобный спектру электрона, находящегося 1

в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, с заменой n на 𝑛 + . 2

Это отличие происходит из-за того, что случай потенциальной ямы с вертикальными стенками и рассмотренный нами случай (даже в пределе 𝜇 → ∞) отличаются характером граничных условий. Если же квантовые числа n достаточно велики, то половинкой в (8.5) можно пренебречь. В заключении покажем, что при рассмотренном типе движения электрона выполняется теорема вириала. Найдем ожидаемые значения кинетической и потенциальной энергии. Согласно (8.2), имеем: 𝑇̅𝑛 =

𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑝2 (𝑥) 𝑑𝑥 𝜔𝑛 1 1𝜔 1 ∮ 𝑇(𝑥(𝑡))𝑑𝑡 = ∮ = ∮ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + ) ℎ = 2𝜋 2𝜋 2𝑚 𝜗(𝑥) 2𝜋 2 2 2𝜋 2 1

1

2

2

= (𝑛 + )ℏ𝜔𝑛

(8.6)

Вычислим теперь частоту обращения электрона в потенциальной яме 𝜔𝑛 : 22

1 ) π 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √π 2𝜇 =∫ =∫ = 1 1 1 1− 1 2𝜇 𝜔𝑛 2 −𝑥𝑛 𝑣(𝑥) −𝑥𝑛 Γ( + ) √( )(𝐸𝑛 − 𝑈(𝑥)) 𝜆2𝜇 𝐸 2 2𝜇 2 2𝜇 𝑛 𝑚 𝑥𝑛

1 1 22 𝑚 2 𝑎

𝑥𝑛

Γ(

Следовательно: 1

𝜔𝑛 = 2𝜇

𝜇−1 2𝜇

1 1 ) 2 2𝜇 1 √2𝑚𝑎Γ2𝜇

𝜆2𝜇 𝐸𝑛

Γ( +

√𝜋

(8.7)

Подставляя (8.6) в (8.5) и вспоминая (8.3), находим: 𝑇̅𝑛 =

2𝜇 2𝜇+2

𝐸𝑛

(8.8)

Среднее значение потенциальной энергии находим с использованием (8.7): ̅𝑛 = 𝐸𝑛 − 𝑇̅𝑛 = 𝑈

2 2𝜇+2

𝐸𝑛

(8.9)

Отсюда вытекает теорема вириала: ̅𝑛 = 2𝑇̅𝑛 2𝜇𝑈

(8.10)

Отметим здесь, что, хотя метод ВКБ является приближенным, теорема вириала выполняется точно. § 9. Одномерный линейный гармонический осциллятор Рассмотрим движение электрона в потенциальном поле 𝑘𝑥 2

𝑈(𝑥) =

2

=

𝑚𝜔02 2

𝑥2

(9.1)

Несмотря на то, что такой потенциал является частным видом рассмотренного в предыдущем параграфе, мы разберем эту задачу независимо ввиду ее важности в физике. Уравнение Шредингера в нашем случае имеет вид: −(

ℏ2

𝑑2

) (𝑑𝑥 2 ) Ψ(𝑥) + 𝑈(𝑥)Ψ(𝑥) = 𝐸Ψ(𝑥) 2𝑚

(9.2)

Приведем его к стандартному виду: 𝑑2

(𝑑𝑥 2 ) Ψ(𝑥) +

2𝑚 ℏ2

(𝐸 − 𝑈(𝑥))Ψ(𝑥) = 0

(9.3)

Как следует из (9.3), 𝑘𝑛 (𝑥) = √(

2𝑚

𝑚𝜔02

ℏ

2

)(𝐸𝑛 − 2

23

𝑥 2)

(9.4)

В соответствии с формулой (6.16), волновые функции в классическом разрешенной области имеют вид: Ψ𝑛 (𝑥) = √

2𝜔0

𝑥

1

2 2 π 4 2 √ (𝐸𝑛 −𝑚𝜔0 𝑥 ) 𝑚

π

cos{∫−𝑎 𝑘𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 − } 4

(9.5)

𝑛

2

Собственные значения энергии 𝐸𝑛 легко находим из условия квантования (4.5): 𝑎

1

𝑛 ∫−𝑎 𝑘𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = (𝑛 + 2) π,

(9.6)

𝑛

где 𝑎𝑛 = √

2𝐸𝑛 𝑚𝜔02

– амплитуда колебаний классического осциллятора. Условие

квантования (9.6) с учетом (9.4) дает для спектра энергии осциллятора известную формулу: 1

𝐸𝑛 = (𝑛 + )ℏ𝜔0 .

(9.7)

2

Здесь 𝜔0 = √

𝑘 𝑚

– собственная частота осциллятора. Этот квазиклассический

результат совпадает с точным решением квантовой задачи. Запишем

теперь

явный

вид

волновой

функции

в

классически

разрешенной области: 𝜔02

24

Ψ𝑛 (𝑥) = √ √ 2 π

0 cos {(𝑛 + ) arcsin(((2𝑛+1)ℏ ) 2

2

ℏ

1⁄ 2 𝑥) ⁡ +

1

1 𝑚𝜔02 1

+ (

𝑚𝜔2

1

𝑚𝜔2 1 0 𝑥 2) ((𝑛+ )ℏ𝜔0 − 𝑚 2 2

𝑚𝜔02 2

)2 𝑥√(2𝑛 + 1) − ((

ℏ

π

) )𝑥)2 + 𝑛 2 }

(9.8)

§ 10. Двухмерный изотропный гармонический осциллятор Рассмотрим движение электрона в потенциальном поле: 𝑘

𝑚𝜔02

2

2

𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) =

(𝑥 2 + 𝑦 2 )

(10.1)

Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид: −

ℏ2

𝜕2

𝜕2

+ 2 ) Ψ(𝑥, 𝑦) + ( 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦

𝑚𝜔02 2

(𝑥 2 + 𝑦 2 )Ψ(𝑥, 𝑦) = 𝐸Ψ(𝑥, 𝑦)

Переходя к цилиндрическим координатам, 𝑥 = 𝜌 cos 𝜑 , 𝑦 = 𝜌 sin 𝜑, 24

(10.2)

легко получить: −

ℏ2

∂2

1 ∂

1 ∂2

( + ρ ∂ρ + ρ2 ∂φ2 ) Ψ(ρ, φ) + 2m ∂ρ2

mω20 2

ρ2 Ψ(ρ, φ) = EΨ(ρ, φ)

(10.3)

Для решения уравнения (10.3) используем метод разделения переменных, в соответствии с чем, ищем решение в виде Ψ(𝜌, 𝜑) = 𝑅(𝜌)Φ(𝜑).

(10.4)

Тогда 1

2m

ρ

ℏ2

ρ2 (R" + R′ ) Φ + RΦ" + ρ2

(E −

mω20 2

ρ2 ) RΨ = 0.

(10.5)

Разделив (10.5) на произведение функций 𝑅(𝜌)Φ(𝜑), имеем: 1 𝑅

1

2𝑚

𝜌

ℏ2

𝜌2 (𝑅" + 𝑅′ ) + 𝜌2

(𝐸 −

𝑚𝜔02 2

𝜌2 ) = −

Φ" Φ

.

(10.6)

В уравнении (10.6) правая часть равенства является функцией только 𝜑, в то время как левая – функцией только 𝜌, что может быть лишь тогда, когда обе части равенства являются константами. Полагая Φ" (𝜑) Φ(𝜑)

= −𝜇2

(10.7)

получаем: Ф( )  (2 ) 1 / 2 e i ,

(10.8)

причем из однозначности функции Ф( ) следует, что  должно быть целым числом. Тогда из (10.6) следует: 1

2𝑚

𝜌

ℏ2

𝑅"(𝜌) + 𝑅′(𝜌) +

(𝐸 −

𝑚𝜔02 2

𝜌2 −

ℏ2 𝜇 2 2𝑚 𝜌2

)𝑅(𝜌) = 0.

(10.9)

Здесь мы впервые встречаемся с ситуацией, специфической для асимптотического метода, каковым является метод ВКБ. Дело в том, что функция 2

𝑚𝜔 ℏ2 𝜇 2 𝑘 эфф (𝜌) = √(2𝑚⁄ 2 ) (𝐸 − 0 𝜌2 − ) ℏ 2 2𝑚 𝜌2

(10.10)

имеет в точке   0 особенность. Это обстоятельство не позволяет использовать непосредственно условие квантования (4.5) с k (  )  k эфф (  ) , т. к. поведение волновых квазиклассических функций вблизи хорошим. 25

 0

будет недостаточно

Как преодолеть эту трудность, было показано Лангером. Чтобы асимптотический метод можно было применить без опасений, необходимо с помощью замены   0e x , R  U (x) , 1⁄ 2

где 𝜌0 = (ℏ⁄𝑚𝜔0 )

, отнести точку   0 на бесконечность.

Тогда 1

R '' (  )  

1

0

e

R' 



x

1 d 1 x d du dx dx ( R ' )  e (0e x )   d 0 dx dx d d

d du 1  x 1  x 1 d 2U ( x) (0e x e ) e  2 e 2 x dx dx  0 0  dx 2

,

и уравнение (10.9) приводится к каноническому виду: U '' ( x)  02{k 2эфф( x)e2 x }U ( x)  0 .

(10.11)

Спектр энергии находим, как обычно, из условия квантования: 2

x2

0  k

эфф

x1

1 ( x)e dx   k эфф (  )d (n  ) . 2 1 x

(10.12)

Используя выражение (10.10) для k эфф (  ) , легко находим: 𝜌

𝐸

𝜋

2 ∫𝜌 𝑘 эфф (𝜌)𝑑𝜌 = (−𝜇 + ℏ𝜔 ) 2 , 1

0

что с учетом (10.12) дает правильную формулу для спектра 𝐸𝑛 = (𝑛 + 1)ℏ𝜔0 ,

(10.13)

где главное квантовое число n равно n  2n   . §

11.

Трехмерный

изотропный

гармонический

осциллятор.

Применение квазиклассического приближения к нахождению магических чисел в оболочечной модели ядра Рассмотрим теперь задачу о поведении электрона в трехмерной изотропной потенциальной яме: 𝑘

𝑚𝜔02

2

2

𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) =

(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )

(11.1)

Уравнение Шредингера такой задачи −(

ℏ2

) ΔΨ(𝑟⃗) + 2𝑚

𝑚𝜔02 2

26

𝑟 2 Ψ(𝑟⃗) = 𝐸Ψ(𝑟⃗),

(11.2)

ввиду

сферической

симметрии

гамильтониана,

естественно

решать

в сферической системе координат: 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃⁡

(11.3)

В этих координатах оператор Лапласа выглядит следующим образом: Δ = Δ𝑟 + где

Δ𝑟 =

1

1 ∂

∂

1

∂

∂

1

∂2

Δ = 2 𝜃,𝜑

(𝑟 2 ∂𝑟) + 𝑟 2 sin 𝜃 ∂𝜃 (sin 𝜃 ∂𝜃) + 𝑟 2𝑠𝑖𝑛2 𝜃 ∂𝜑2, (11.4) 𝑟 2 ∂𝑟

1 𝜕

𝜕

𝑟

1

𝜕

𝜕

1

𝜕2

(𝑟 2 𝜕𝑟 ) , ⁡Δ𝜃,𝜑 = sin 𝜃 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕𝜃) + 𝑟 2𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜑2. 𝑟 2 𝜕𝑟

Применяя метод разделения переменных Ψ(𝑟⃗) = 𝑅(𝑟)𝑌(𝜃, 𝜑) из (11.2) с учетом (11.4), получим: 1 𝑑

𝑑𝑅

(𝑟 2 𝑑𝑟 ) + 𝑅 𝑑𝑟

2𝑚 ℏ2

(𝐸𝑟 2 −

𝑚𝜔02 2

𝑟 4) = −

1 𝑌(𝜃,𝜑)

Δ𝜃,𝜑 𝑌(𝜃, 𝜑)

(11.5)

Слева в (11.5) мы имеем функцию только от переменной 𝑟, а справа – функцию только от переменных 𝜃 и 𝜑. Равенство (11.5) может быть выполнено тогда и только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной. Следовательно: Δ𝜃,𝜑 𝑌(𝜃, 𝜑) = −𝜆𝑌(𝜃, 𝜑)

(11.6)

В теории шаровых функции, являющихся решениями уравнения (11.6), показывается, что постоянная 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1), где 𝑙 = 0,1,2, …. Появляющееся здесь квантовое число 𝑙 называется орбитальным квантовым числом. Сами же шаровые функции 𝑌(𝜃, 𝜑) зависят от двух квантовых чисел 𝑙 и 𝑚 как от параметров: 𝑌(𝜃, 𝜑) = 𝑌𝑙𝑚 (𝜃, 𝜑), причем 𝑚,так называемое магнитное квантовое число, принимает при данном 𝑙 значения: 𝑚 = −𝑙, −(𝑙 − 1), … , −1,0,1, … , (𝑙 − 1), 𝑙.

(11.7)

Рассмотрение свойств шаровых функции в нашу задачу не входит (хотя квазиклассическое приближение может быть применено и в этом случае). Поэтому обратимся к уравнению для радиальной волновой функции 𝑅(𝑟), получающейся из (11.5) с учетом (11.6):

27

1 𝑑

𝑑

(𝑟 2 𝑑𝑟) + 𝑟 2 𝑑𝑟

2𝑚

(𝐸 −

ℏ2

𝑚𝜔02 2

𝑟2 −

ℏ2 𝑙(𝑙+1) 𝑟2

2𝑚

) 𝑅(𝑟) = 0,

(11.8)

которое нам и надлежит решать с помощью метода ВКБ. Здесь мы опять-таки встречаемся с осложнением, связанным с тем, что особая точка 𝑘 эфф (𝑟) = √(

2𝑚

𝑚𝜔02

ℏ

2

)(𝐸 − 2

𝑟2 −

ℏ2 𝑙(𝑙+1)

(11.9)

𝑟2

2𝑚

r = 0 находится не в бесконечности. Подстановка Лангера 𝑥

𝑟 = 𝜚0 𝑒 𝑥 , 𝑅(𝑟) = 𝑒 −2 𝑤(𝑥), 𝜚0 = (

ℏ

1

2 2)

(11.10)

𝑚𝜔0

позволяет удалить особенность в бесконечность и улучшить сходимость метода. Тогда 1 𝑑 2 𝑑𝑅 1 −5𝑥 1 2 (𝑤 " − 𝑤), = 𝑒 (𝑟 ) 𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 4 𝜚02 и мы получаем для новой неизвестной функции 𝜛⁡уравнение 𝑤 " (𝑥) + 𝜚02

2𝑚 ℏ2

(𝐸𝑒 2𝑥 − 𝜚02

𝑚𝜔02 2

𝑒 4𝑥 −

ℏ2 2𝑚𝜚02

1

[𝑙(𝑙 + 1) + ])𝑤(𝑥) = 0, (11.11) 4

к которому можно применить метод ВКБ без всяких опасений. Из (11.11) видно, что замена Лангера приводит к тому, что автоматически 1

𝑙(𝑙 + 1) заменяется на (𝑙 + )2 . Следовательно, для определения спектра 2

энергии нам необходимо использовать условие квантования (4.5), в котором 𝑘 эфф (𝑟) заменено на 𝑘 ∗эфф (𝑥): 𝑘

∗эфф (𝑥)

2𝑚

= 𝜚0 √

ℏ2

(𝐸𝑒 2𝑥

−

𝑚𝜔02 𝜚02 2

1

𝑒 4𝑥

−

2 ℏ2 (𝑙+2) ) 2𝑚 𝜚02

(11.12)

Таким образом: 𝑥 𝜚0 ∫𝑥 2 𝑘 ∗эфф (𝑥)𝑑𝑥 1

𝑟2 2𝑚 ∫𝑟 √( ℏ2 ) (𝐸 1

−

=

𝑚𝜔02 2

𝑥 2𝑚 𝜚0 ∫𝑥 2 √( 2 )(𝐸 ℏ 1 1 2

𝑟2 −

ℏ2 (𝑙+2) 2𝑚

𝑟2

−

𝑚𝜔02 𝜚02 2

1

𝑒 2𝑥

−

1

) 𝑑𝑟 = (𝑛𝑟 + 2)𝜋

Вычисление интеграла в (11.13) дает выражение:

28

2 ℏ2 (𝑙+2) 𝑒 −2𝑥 )𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2𝑚 𝜚02

=

(11.13)

1 2 2𝑚 ℏ2 (𝑙 + 2) 1 1 1 𝐸 ∫ √( 2 ) (𝐸 − 𝑟2 − 𝑑𝑟 = − + 𝜋 + ) (𝑙 ) ℏ 2 2𝑚 𝑟 2 2 2 2 ℏ𝜔0 𝑟1 𝑟2

𝑚𝜔02

Тогда, как следует из условия (11.13), для спектра энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора имеем: 3

𝐸𝑛,𝑙 = (𝑛 + ) ℏ𝜔0 , 2

(11.14)

где главное квантовое число n равно 𝑛 = 2𝑛𝑟 + 𝑙.

(11.15)

Поскольку в одной из формулировок оболочечной модели ядра используется как раз потенциал вида (11.1), посмотрим, какие следствия можно извлечь из решения настоящей задачи. Прежде всего, определим так называемую кратность вырождения уровней энергии, определяемых условиями (11.14). Т. к. при фиксированном значении 𝑙

имеется 2𝑙 + 1 различных

возможностей для магнитного квантового числа 𝑚 (11.7), а при заданном 𝑛⁡⁡𝑙 может принимать, согласно (11.15), значения либо 0, 2, 4, …. (если 𝑛 четно), либо 1, 3, 5,… (если 𝑙 нечетно), то число состояний (кратность вырождения) 𝑔 с фиксированной энергией 𝐸𝑛 ⁡будет равно: 1

∑𝑛по⁡четным⁡𝑙(2𝑙 + 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2 𝑔={ 1 ∑𝑛⁡по⁡нечетным⁡𝑙(2𝑙 + 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2

Если при этом учесть, что из-за наличия спина число состояний удваивается, то истинная кратность вырождения будет в два раза больше: 𝑔 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

(11.16)

Таким образом, мы имеем следующую систему чисел (табл. 1), показывающих число частиц (в данном случае число нуклонов, поскольку речь идет о ядре), находящихся в оболочке, соответствующей данному квантовому числу 𝑛.

29

Таблица 1 Кратность вырождения для квантовых чисел 𝑛

𝑔

∑𝑔

0 1 2 3 4 5

2 6 12 20 30 42

2 8 20 40 70 112

Как известно, имеется система так называемых «магических чисел»: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 152, характеризующихся тем свойством, что ядра, число нейтронов или протонов которых равно одному из магических чисел, является особенно устойчивыми. Если считать, что ядра с заполненными оболочками должны обладать особой устойчивостью, то в нашей модели мы получили в качестве магических чисел другой ряд, а именно: 2, 8, 20, 40, 70, 112 и т. д. Усовершенствование

данной

модели

связанно

с

учетом

спин-

орбитального взаимодействия, которое приводит к частичному расщеплению состояний с данным 𝑛, и наиболее далеко отщепляющиеся состояния считаются настолько близко расположенными к уровням, принадлежащим к предыдущему 𝑛, что образуют с этими уровнями единую оболочку. Напомним коротко, как вводится спин-орбитальное взаимодействие для электронов в атомах. Электрон, движущийся со скоростью 𝑣⃗ по орбите, ⃗⃗ (вследствие Лоренц-преобразования ощущает действие магнитного поля 𝐻 электрического поля 𝐸⃗⃗ ): ⃗⃗ = − 𝐻 Множитель

1 2𝑐

[𝑣⃗𝐸⃗⃗ ].

1

, как было показано Томасом и Френкелем, возникает

2

вследствие того, что причиной магнитного поля является само движение электрона. В случае, когда потенциал сферически симметричен 𝑈 = 𝑈(𝑟), 𝑑𝑈 𝑟⃗ 𝐸⃗⃗ = − , для напряженности магнитного поля имеем: 𝑑𝑟 𝑟

⃗⃗ = 𝐻

1 1 𝑑𝑈 1 1 𝑑𝑈 1 1 𝑑𝑈 [𝑣⃗𝑟⃗] = − [𝑟⃗𝑝⃗] = − 𝐿⃗⃗, 2𝑐 𝑟 𝑑𝑟 2𝑚𝑐 𝑟 𝑑𝑟 2𝑚𝑐 𝑟 𝑑𝑟 30

где 𝐿⃗⃗ = [𝑟⃗𝑝⃗] – оператор момента количества движения. Если магнитный момент электрона 𝜇⃗ 𝜇⃗ = 2𝜇𝑏 𝑠⃗, где 𝜇𝑏 = −

|𝑒|ℏ 2𝑚𝑐

– магнетон Бора, 𝑠⃗ – оператор спина, то для оператора спин-

̂𝑙𝑠 имеем: орбитального взаимодействия Δ𝐻 |𝑒|ℏ 1 𝑑𝑈 (𝑙⃗𝑠⃗), 2𝑚𝑐 𝑟 𝑑𝑟 поскольку 𝐿⃗⃗ = ℏ𝑙⃗, где 𝑙⃗ – безразмерный квантовомеханический вектор. ⃗⃗) = ΔΗ̂𝑙𝑠 = −(𝜇⃗𝐻

Непосредственное обобщение полученной для электрона формулы для оператора спин-орбитального взаимодействия, однако, не дает правильного порядка величины спин-орбитального расщепления. По-видимому, правильное выражение для оператора спин-орбитального взаимодействия нуклона должно получаться в мезонной теории ядерных сил. Поэтому, в соответствии с Гепперт-Майер и Иенсеном, постулируем, что оператор спин-орбитального взаимодействия имеет вид: 1 𝑑𝑈 ΔΗ̂𝑙𝑠 = −𝛽 (𝑙⃗𝑠⃗), 𝑟 𝑑𝑟

где 𝛽 =

𝛼 𝑘

(11.17)

– феноменологическая константа теории.

Согласно векторной модели, квантовомеханические векторы 𝑙⃗ и 𝑠⃗ ведут себя как обычные векторы, с той, однако, особенностью, что их модули вычисляются по специфическим правилам: |𝑙⃗| = √𝑙(𝑙 + 1), |𝑠⃗| = √𝑠(𝑠 + 1).

(11.18)

Применяя векторную модель, легко найти изменение в спектре, обусловленное возмущением (11.17): 𝛼 ⃗⃗⃗2 − |𝑒⃗|2 − |𝑠⃗|2 ) = Δ𝐸𝑙𝑠 = −𝛼(𝑙⃗𝑠⃗) = − (|𝑗| 2 𝛼

= − (𝑗(𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) − 𝑠(𝑠 + 1)) 2

(11.19)

Здесь мы положили, что 𝑠⃗ + 𝑙⃗ = 𝑗⃗ возвели это векторное равенство в квадрат и нашли из него выражение для скалярного произведения (𝑙⃗𝑠⃗).

31

1

Согласно векторной модели, j= 𝑙 ± 𝑠, а 𝑠 = , следовательно, добавка 2

к энергии Δ𝐸𝑙𝑠 , согласно (11.19), имеет вид: 𝑙⁡при⁡𝑗 = 𝑙 +

𝛼

Δ𝐸𝑙𝑠 = − { 2

1 2

−(𝑙 + 1)⁡при⁡⁡𝑗 = 𝑙 −

(11.20)

1 2

Полная энергия нуклона равна: 3

𝐸 = (𝑛 + ) ℏ𝜔0 + Δ𝐸𝑙𝑠 = 2 3

𝑎

= (2𝑛𝑟 + 𝑙 + ) ℏ𝜔0 + { 2 2

−𝑙, 𝑗 = 𝑙 +

1 2 1

𝑙 + 1, 𝑗 = 𝑙 −

(11.21)

2

Из (11.21) следует, что каждый подуровень, соответствующий данному 𝑙, расщепляется на два, причем величина расщепления 1 1 𝛼 Δ𝐸 = 𝐸 (𝑙 + ) − 𝐸 (𝑙 − ) = (2𝑙 + 1) 2 2 2 тем больше, чем больше значение орбитального квантового числа. Формула (11.21) приводит к следующей схеме уровней нуклонов (см. рис. 5). Таким образом, наблюдаемая экспериментально система магических чисел хорошо объясняется.

32

Рис. 5. Схема уровней нуклонов

33

§ 12. Вычисление матричных элементов. Матричные элементы координаты

в

случае

линейного

гармонического

осциллятора.

Правила отбора Если ввести параметр малости

(𝑛−𝑛′ ) (𝑛+𝑛′ )

, где 𝑛′ и 𝑛 – квантовые числа

волновых функций, на которых вычисляется соответствующий матричный элемент, то можно вычислить недиагональные матричные элементы в квазиклассическом приближении. В качестве примера рассмотрим вычисление матричного элемента координаты 𝑥𝑛,𝑛′

для линейного гармонического

осциллятора: 𝑥𝑛,𝑛′ =< 𝑛|𝑥|𝑛′ >= ∫ Ψ𝑛∗ (𝑥)𝑥⁡Ψ𝑛 (𝑥)𝑑𝑥

(12.1)

Для вычисления матричного элемента (12.1) разложим фазу Φ𝑛 (𝑥) волновой функции Ψ𝑛 (𝑥) (9.8) по вышеуказанному параметру малости: 1

1 2

𝑚𝜔0

1 𝑚𝜔0 1

𝑚𝜔02

ℏ

ℏ

Φ𝑛 (𝑥) = (𝑛 + ) arcsin (((2𝑛+1)ℏ) 𝑥) + ( 2 2 Φ𝑛+𝑛′ (𝑥) + 2

(𝑛−𝑛′ ) 2

1 2

𝑚𝜔0

)2 𝑥√(2𝑛 + 1) −

π

+ ≈

π

(arcsin(((𝑛+𝑛′+1)ℏ) 𝑥) + 2 )

2

(12.2)

Представим далее входящее в (12.1) произведение косинусов в виде: 1

cos Φ𝑛 (𝑥) cos Φ𝑛′ (𝑥) = (cos{ Φ𝑛 (𝑥) − Φ𝑛′ (𝑥)} + cos⁡⁡{Φ𝑛 (𝑥) + Φ𝑛′ (𝑥)}). 2

Считая вклад от быстро осциллирующего слагаемого, содержащего cos⁡⁡{Φ𝑛 (𝑥) + Φ𝑛′ (𝑥)}, в интеграл (12.1) пренебрежительно малым, имеем: 1 2 𝜔0 cos{Φ𝑛 (𝑥) − Φ𝑛′ (𝑥)} < 𝑛|𝑥|𝑛′ >⁡= ∫ 𝑑𝑥 2 π4 𝑚𝜔02 2 2 𝑚𝜔02 2 1 √[ 2 (𝑛 + 1) ℏ𝜔0 − 𝑥 ] [ ((𝑛′ + ) ℏ𝜔0 − 𝑥 ] 𝑚 2 2 𝑚 2 2 Полученное выражение с точностью до членов первого порядка по параметру малости

(𝑛 − 𝑛′ ) ⁄(𝑛 + 𝑛′ + 1) равно: 1 2 𝑚𝜔0 𝑛−𝑛′ ′ 𝑥𝑐𝑜𝑠⁡((𝑛−𝑛 ) arcsin(( ) 𝑥+ 𝜋) 2 (𝑛+𝑛′ +1)ℏ

< 𝑛|𝑥|𝑛′ >≅

𝜔0 π

∫

′ 𝑚𝜔2 0𝑥2) √ 2 (𝑛+𝑛 +1ℏ𝜔0 − 𝑚 2 2

34

𝑑𝑥

(12.3)

Из (12.3) следует, что при 𝑛 − 𝑛′ четном < 𝑛|𝑥|𝑛′ >≡ 0, т. к. в этом случае интеграл берется в симметричных пределах от нечетной функции. Отличный от нуля результат получается лишь при⁡𝑛 − 𝑛′ нечетном. При этом, если

𝑛 − 𝑛′ ≠ 1,

то

мы

имеем

интеграл

от

произведения

быстро

осциллирующей функции на плавную функцию 𝑥. В методе ВКБ такими интегралами принято пренебрегать. Следовательно, остается лишь вычислить интеграл (12.3) при 𝑛′ = 𝑛 ± 1. Пусть, для определенности, 𝑛′ = 𝑛 − 1. < 𝑛|𝑥|𝑛′ − 1 >⁡=

𝜔0 π

∫

𝑥(

1 𝑚𝜔0 )2 𝑥 2𝑛ℏ 2

√ 2 (𝑛ℏ𝜔0 −𝑚𝜔0 𝑥 2 ) 𝑚

𝑑𝑥 = √

ℏ 𝑚𝜔0

𝑛

√2⁡

(12.4)

2

Нетрудно аналогично полученному вычислить и матричный элемент < 𝑛 + 1|𝑥|𝑛 >≔⁡< 𝑛 + 1|𝑥|𝑛 >= ⁡ √

ℏ 𝑚𝜔0

√

𝑛+1 2

(12.5)

Если учесть, что все остальные матричные элементы оператора координаты равны нулю, то для произвольного матричного элемента координаты мы можем записать: 𝑛

𝑛+1

2

2

< 𝑛 + 1|𝑥|𝑛 >⁡= (√ 𝛿𝑛−1,𝑛′ + √ Удивительным

образом,

в

задаче о

𝛿𝑛+1,𝑛′ )

гармоническом

(12.6) осцилляторе

квазиклассический результат совпадает с точным не только для энергии стационарных состояний, но и для матричных элементов. Как известно, квадрат матричного элемента координаты определяет вероятность квантового перехода между состояниями n и 𝑛′ . Как следует из (12.6), эта вероятность отлична от нуля лишь в случае, когда 𝑛 = 𝑛′ ± 1 , или Δ𝑛 = ±1. Последнее утверждение является так называемым правилом отбора для осциллятора.

35

Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ ЗАДАЧ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В настоящей главе рассматриваются традиционные одноэлектронные задачи квантовой механики, решаемые с помощью квазиклассического приближения. потенциальный

§ 13

посвящен

барьер,

также

прохождению выводится

квантовой

формула

для

частицы

через

коэффициента

прозрачности, которая затем применяется к альфа-распаду. В § 14 описан водородоподобный атом. В этом же параграфе рассмотрена теорема вириала для кулоновского поля. Рассеяние альфа-частиц кулоновским полем ядра и формула Резерфорда представлены в § 15. § 16 посвящен рассмотрению эффекта Штарка для водородоподобного атома. Наконец в § 17 изучается поведение электрона в периодическом поле. §

13.

Туннельный

эффект.

Коэффициент

прозрачности

потенциального барьера Рассмотрим движение электронов в потенциальном поле, изображенном на рис. 6. Наиболее интересным для нас случаем будет такой, когда энергия электронов 𝐸 < max 𝑈(𝑥). Как раз такой случай изображен на рисунке. Классическая частица с энергией 𝐸 < max 𝑈(𝑥) может находиться либо в области I⁡(𝑥 ≤ 𝑥1 ) – слева от потенциального барьера, либо в области II (𝑥 > 𝑥2 ) – справа от потенциального барьера, следовательно, для классической частицы потенциальный барьер будет совершенно непрозрачным. Квантовая частица (электрон), находясь, скажем, в области I, будет иметь определенную, не равную нулю, вероятность «просочиться» из области I в область III через область II. Вероятность обнаружить электрон в области II тоже не будет равна нулю. Это явление в квантовой механике носит название «туннельный эффект».

36

Рис. 6. Вид потенциальной кривой U=U(x) типа потенциального барьера

В рассматриваемой постановке задачи движение электрона не будет финитным и, следовательно, не будет квантоваться. Поэтому разумно считать, что имеется поток электронов, движущихся слева направо и налетающих на потенциальный барьер. В области I мы будем иметь суперпозицию волновых функций падающего и отраженного пучков электронов, в области же III будем иметь лишь проходящий пучок. Т. к. в области III мы должны иметь лишь волновую функцию пучка электронов, движущихся слева направо, то этот факт позволит определить произвольные константы интегрирования. В области III волновая функция Ψ𝐼𝐼𝐼 (𝑥) должна иметь вид бегущей волны. Выберем ее как π

Ψ𝐼𝐼𝐼 (𝑥) = ⁡

𝑖 𝐶𝑒 2

√𝑘(𝑥)

𝑒

𝑥 2

π 4

𝑖{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− }

=

𝐶 √𝑘(𝑥)

𝑒

𝑥 2

π 4

𝑖{∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥+ }

(13.1)

Для продолжения функции Ψ(𝑥) в область II воспользуемся методом Цвана, изложенным в § 3. В окрестности точки 𝑥 = 𝑥2 можно приближенно записать: 𝑘 2 (𝑥) = где 𝐹(𝑥2 ) = −

𝑑𝑈 𝑑𝑥

2𝑚 ℏ2

𝐹(𝑥2 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 𝛼(𝑥 − 𝑥2 )

(13.2)

|𝑥=𝑥2 – значение силы в точке 𝑥 = 𝑥2 , 𝛼 = 2𝑚

|𝐹| ℏ2

> 0. Тогда

интеграл, стоящий в показателе экспоненты, будет равен: 𝑥

1

1

𝑥

2

1

3

𝐽 = ∫𝑥 2 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 2 ∫𝑥 (𝑥 − 𝑥2 )2 𝑑𝑥 = 𝛼 2 (𝑥 − 𝑥2 )2 1

3

1

(13.3)

Если перейти из области III в область II в комплексной плоскости по окружности радиуса 𝜚, то 𝑥 − 𝑥2 = 𝜚𝑒 𝑖𝜑 , где 𝜑 изменяется в пределах от 𝜑 = 0 до 𝜑 = 𝜋. 37

Тогда в области II интеграл J обратится в 𝐽=𝛼

1 2

2 3

3

1

3

2

(𝑥 − 𝑥2 )2 → 𝛼 2 𝜚 2 (cos

3𝜑

3

1

2

+ 𝑖 sin

3

2

3𝜑 2

) →⁡𝛼

1 2

2 3

3 2

𝜚 (−𝑖) →

x

→ ⁡ −iα2 (x2 − x)2 = −i ∫x 2 |k(x)|dx

(13.4)

3

1

π

Множитель же (𝑘(𝑥))−2 𝑒 𝑖 4 перейдет при этом в 1 − 𝑖π (𝑘(𝑥)) 2 𝑒 4

1

1

π

1

1

𝜑

π

1

1

= ⁡ 𝛼 −4 (𝑥 − 𝑥2 )−4 𝑒 𝑖 4 → ⁡ 𝛼 −4 𝜚 −4 𝑒 −𝑖 4 𝑒 𝑖 4 → ⁡ 𝛼 −4 𝜚 −4 = 1

1

= 𝛼 −4 (𝑥2 − 𝑥)−4 = (√|𝑘(𝑥)|)−1

(13.5)

Следовательно, в области II волновая функция имеет вид: Ψ𝐼𝐼 (𝑥) =

𝐶 √|𝑘(𝑥)|

𝑒

𝑥

∫𝑥 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥

=

𝑥

𝐶 √|𝑘(𝑥)|

𝑥

∫ 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 − ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒 𝑥1 𝑒 1

(13.6)

Зная волновую функцию в виде (13.6) как экспоненциально убывающую в области 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 , легко восстановить ее вид в области I. В соответствии с (3.5) 𝑥

√|𝑘(𝑥)|

→

2𝐶 √|𝑘(𝑥)|

𝑒

𝑥

∫ 2|𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 − ∫𝑥 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒 𝑥1 𝑒 1

𝐶

𝑥 1

∫𝑥 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥

→⁡

𝑥

π

cos{∫𝑥 1 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − }

(13.7)

4

Представляя Ψ𝐼 (𝑥) в виде падающей и отраженной бегущих волн, имеем: Ψ𝐼 (𝑥) =

𝑥 ∫ 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝐶𝑒 𝑥1

√𝑘(𝑥)

⁡𝑒

𝑥

π 4

−𝑖{∫𝑥 1 𝑘(𝑥)𝑑𝑥− }

+

𝑥 ∫ 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝐶𝑒 𝑥1

√𝑘(𝑥)

𝑥1

⁡𝑒 𝑖{∫𝑥

π 4

𝑘(𝑥)𝑑𝑥− }

(13.8)

В (13.8) первое слагаемое представляет собой падающую Ψпад =

𝑥 ∫ 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝐶𝑒 𝑥1

√𝑘(𝑥)

𝑥1

⁡𝑒 −𝑖{∫𝑥

π 4

𝑘(𝑥)𝑑𝑥− }

,

а второе – отраженную волну Ψотр =

𝑥 ∫ 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 𝐶𝑒 𝑥1

√𝑘(𝑥)

𝑥1

⁡𝑒 𝑖{∫𝑥

π 4

𝑘(𝑥)𝑑𝑥− }

.

В нашем приближении коэффициент отражения 𝑅 =

|Ψотр |2 |Ψпад |2

⁡ ≈ 1.

Коэффициент прозрачности барьера D равен отношению потока прошедшей волны к плотности потока падающей волны: 𝐷=

𝑣(𝑥)|Ψ𝐼𝐼𝐼 |2 𝑣(𝑥)|Ψпад |

2

=

𝑝(𝑥) |Ψ𝐼𝐼𝐼 |2 𝑚0 𝑝(𝑥) |Ψ𝐼|2 𝑚0

=

ℏ𝑘(𝑥) |Ψ𝐼𝐼𝐼 |2 𝑚0 ℏ𝑘(𝑥) |Ψ𝐼 |2 𝑚0

38

=𝑒

𝑥 1

−2 ∫𝑥 2 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥

=

𝑥

2

= exp{− ∫𝑥 2 √2𝑚(𝑈(𝑥) − 𝐸) 𝑑𝑥} ℏ

(13.9)

1

Более точное выражение для коэффициента отражения R может быть получено из закона сохранения числа частиц 𝑅 + 𝐷 = 1, откуда следует 𝑅 = 1 − 𝐷. Формула для коэффициента прозрачности (13.9) имеет важное значение в физике. Проиллюстрируем использование этой формулы на примере теории альфа-распада ядра. Теория рассматривает процесс альфа-превращения ядра как результат туннельного эффекта альфа-частицы через потенциальный барьер, создаваемый полем ядерных и кулоновских сил, действующих на альфа-частицу со стороны дочернего ядра (рис. 7). Вероятность альфа-распада 𝜆 как вероятность двух независимых процессов определяется произведением: 𝜆 = 𝜈𝐷 где

–

𝜈

частота

столкновений

(13.10)

альфа-частицы

со

стенками

ядра,

а D – коэффициент прозрачности потенциального барьера U(r): 𝑒2

2𝑍 , 𝑟 ≥ 𝑅0 𝑟 U(r) = { −𝑈0 ⁡⁡, 𝑟 < 𝑅0 ⁡⁡

(13.11)

Частота столкновений 𝜈 может быть оценена из простых соображений: 𝜈=

𝑣 2𝑅0

=

√2𝑚𝐸 . 2𝑅0

Коэффициент же прозрачности, согласно (13.9) и (13.10), равен 2

𝑟

𝐷 = exp{− ∫𝑅 √2𝑚(𝑈 эфф (𝑟) − 𝐸) 𝑑𝑟} ℏ 0

(13.12)

где 𝑈

эфф (𝑥)

2𝑍𝑒 2 ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) = + 𝑟 2𝑚 𝑟 2

состоит из кулоновской энергии отталкивания ℏ2

«центробежной энергии» ( ) 2𝑚

𝑙(𝑙+1) 𝑟2

=

𝐿2 2𝑚𝑟 2

2𝑍𝑒 2 𝑟

и так называемой

, где L – момент количества

движения. Если учесть также и подстановку Лангера (см. § 11), то в выражении 39

для 𝑈

эфф (𝑟)

вместо 𝑈

эфф (𝑟)

∗эфф (𝑟)

войдет 𝑈

=

2𝑍𝑒 2 𝑟

+(

ℏ2 2𝑚

)

(𝑙+1⁄2)

2

. Оба

𝑟2

слагаемых, входящих в 𝑈 ∗эфф (𝑟), как показывают оценки, будут одинакового порядка в области 𝑟~0,1 ∙ ⁡ 10−13 см, т. е. внутри ядра. Интегрирование же происходит в области от 𝑅0 ~7 ÷ 8⁡ ∙ 10−13 Следовательно, 𝑈ц.б = (

ℏ2

) 2𝑚

в

интересующей

(𝑙+1⁄2)2

отталкивания

𝑟

области

центробежная

см.

энергия

ничтожно мала в сравнении с кулоновской энергией

𝑟2 2𝑍𝑒 2

нас

см до 𝑟1 ~20 ∙ 10−13

. В дальнейших расчетах будем пренебрегать 𝑈ц.б (𝑟), что

значительно упростит выкладки. Учитывая изложенное выше, воспользуемся для D более простым выражением: 2

2𝑍𝑒 2

𝑟

𝐷 = exp{− ⁡ ∫𝑅 1 √2𝑚 ( ℏ

0

𝑟

− 𝐸) ⁡𝑑𝑟}

(13.13)

Вычисление интеграла дает следующий результат: 𝑟

1 ∫𝑅 √2𝑚 ( 0

2𝑍𝑒 2 𝑟

π

𝐸𝑅0

𝐸𝑅0

𝐸𝑅0

2

2𝑍𝑒

2𝑍𝑒

2𝑍𝑒 2

− 𝐸) ⁡𝑑𝑟 = 2𝑍𝑒 2 { − arcsin √

+√ 2

⁡√1 − 2

}⁡.

Выражение в фигурных скобках, вследствие того, что 𝐸 ≪ ⁡

2𝑍𝑒 2 𝑅0

,

π

практически равно , следовательно 2

𝜆=

2 2𝑚 √2𝑚𝐸 exp{− √ 𝑍𝑒 2 π} 2𝑅0 ℏ 𝐸

(13.14)

Постоянная альфа-распада 𝜆 связана с периодом полураспада T соотношением: 𝜆=

𝑙𝑛2 𝑇

.

Следовательно, для ln 𝑇 имеем с учетом (13.14): ln 𝑇 =

𝛼 √𝐸

− 𝛽,

(13.15)

где 𝛼 и 𝛽 – величины, практически не зависящие от энергии альфа-частицы. Выражение (13.15), как известно, является законом Гейгера-Неттола, довольно хорошо выполняющимся на опыте.

40

Рис. 7. Потенциальное поле U(r), действующее на альфа-частицу

В области 𝑟 > 𝑅0 , где 𝑅0 – радиус ядра, альфа-частица ощущает лишь кулоновское отталкивание

2𝑍𝑒 2 𝑟

, при 𝑟 ≤ ⁡ 𝑅0 кулоновские силы преодолеваются

ядерными силами притяжения, которые в данном случае моделируются достаточно глубокой потенциальной ямой. § 14. Кеплерово движение. Финитное движение. Водородоподобный атом Задача двух тел. Приведенная масса Рассмотрим систему, состоящую из ядра с зарядом 𝑍𝑒 и одного электрона. Уравнение Шредингера для такой системы имеет вид: 2

2

2

ℏ ℏ 𝑍𝑒 {− (2𝑀) Δ𝑅 − (2𝑚) Δ𝑟 } Ψ(𝑅⃗⃗, 𝑟⃗) − |𝑅⃗⃗−𝑟⃗| Ψ(𝑅⃗⃗, 𝑟⃗) = 𝐸Ψ(𝑅⃗⃗, 𝑟⃗)

(14.1)

где 𝑅⃗⃗ и 𝑟⃗, M и m – радиус-векторы и массы ядра и электрона соответственно. Так же, как и в классической механике, задача двух тел в квантовой механике допускает разделение переменных с помощью преобразования: 𝑀

𝑅⃗⃗𝑐 =

𝑚+𝑀

𝑅⃗⃗ +

𝑚 𝑚+𝑀

𝑟⃗

(14.2)

где 𝑅⃗⃗𝑐 – радиус-вектор центра масс, а 𝑟⃗ – относительное расстояние. Операторы ⃗⃗𝑅 и Δ ⃗⃗𝑟 выражаются через новые переменные следующим образом: Δ ⃗⃗𝑅 = ⁡∇

𝑀 ⃗⃗ − ∇ ⃗⃗𝑟 ∇ 𝑚 + 𝑀 𝑅𝑐

⃗⃗𝑟 = ∇

𝑚 𝑚+𝑀

⃗⃗𝑅 + ∇ ⃗⃗𝑟 ∇ 𝑐

(14.3)

Уравнение Шредингера в новых переменных будет иметь вид: ℏ2

ℏ2

1

1

{− (2(𝑚+𝑀)) ∆𝑅𝑐 − (2𝑚) (𝑀 + 𝑚) ∆𝑟 − 41

𝑍𝑒 2 𝑟

} Ψ(𝑅⃗⃗, 𝑟⃗) = 𝐸Ψ(𝑅⃗⃗, 𝐹⃗ )

(14.4)

Так как оператор Гамильтона в новых переменных стал аддитивным: Η(𝑅⃗⃗𝑐 , 𝑃⃗⃗𝑅𝑐 ; 𝑟⃗, 𝑃⃗⃗𝑟 ) = ⁡Η(𝑅⃗⃗𝑐 , 𝑃⃗⃗𝑅𝑐 ) + Η(𝑟⃗, 𝑃⃗⃗𝑟 ) где Η(𝑅⃗⃗𝑐 , 𝑃⃗⃗𝑅𝑐 ) = −

ℏ2 2(𝑚+𝑀)

∆𝑅𝑐

(14.5)

и Η(𝑟⃗, 𝑃⃗⃗𝑟 ) = −

ℏ2 2𝜇

Δ𝑟 −

𝑍𝑒 2

(14.6)

𝑟

то можно с помощью метода Фурье разделить переменные, полагая ⃗⃗⃗⃗⃗𝑐 , 𝑟⃗) = Ψ(𝑅⃗⃗𝑐 )Ψ(𝑟⃗). В (14.6) введено обозначение приведенной массы 𝜇 = Ψ(𝑅 𝑚𝑀 (𝑚+𝑀)

. Разделение переменых дает два уравнения: −

ℏ2 2(𝑚+𝑀) ℏ2

⃗⃗𝑅 Ψ(𝑅⃗⃗0 ) = 𝐸𝑅 Ψ(𝑅⃗⃗0 ), Δ 𝑐 𝑐

{− 2𝜇 Δ𝑟 −

𝑍𝑒 2 𝑟

(14.7)

} Ψ(𝑟⃗) = 𝐸𝑟 Ψ(𝑟⃗).

(14.8) ⃗⃗

⃗⃗

𝑖𝑃𝑅 𝑅𝑐 Решением уравнения (14.7) является плоская волна Ψ(𝑅⃗⃗0 ) = exp{ 𝑐 }, ℏ

которая описывает равномерное прямолинейное движение центра масс системы с постоянным импульсом 𝑃⃗⃗𝑅𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и энергией 𝐸𝑅𝑐 =

𝑃𝑅2𝑐 2(𝑚+𝑀)

.

Уравнение (14.8) описывает относительное движение, которое можно интерпретировать как движение материальной точки с приведенной массой 𝜇 в силовом поле −

𝑍𝑒 2 𝑟

.

Спектр энергии водородоподобного атома Нам предстоит теперь решить уравнение (14.8) для относительного движения системы, решение которого, по существу, содержит самую существенную часть информации о водородоподобном атоме. Сферическая симметрия потенциальной энергии позволяет и здесь, аналогично тому, как это было проделано в § 11, разделить переменные, представив волновую функцию Ψ(𝑟⃗) в виде произведения: Ψ(𝑟⃗) = 𝑅(𝑟)𝑌(𝜃, 𝜑)

(14.9)

Тогда для функции R получим обыкновенное дифференциальное уравнение: 42

1 𝑑

𝑑𝑅

𝑍𝑒 2

2𝜇

(𝑟 2 𝑑𝑟 ) + ℏ2 (𝐸 + 𝑟 2 𝑑𝑟

𝑟

−

ℏ2 𝑙(𝑙+1) 2𝜇

𝑟2

)𝑅 = 0

(14.10)

Здесь и далее мы будем опускать индекс r у энергии, понимая под E величину энергии относительного движения 𝐸𝑟 . Вспоминая вновь задачу о сферически симметричном осцилляторе (§ 10), применим преобразование Лангера: 𝑥 2

−

𝑥

𝑟 = 𝛼0 𝑒 ⁡, 𝑅(𝑟) = 𝑒 𝑤(𝑥) где 𝛼0 =

ℏ2 𝜇𝑍𝑒 2

(14.11)

. Тогда для⁡𝜛(𝑥) имеем: 𝑤 " (𝑥) +

Уравнение

2𝜇 𝛼02 2 (𝐸𝑒 2𝑥 ℏ

(14.12)

квазиклассического

+

𝑍𝑒 2 𝛼0

1 2

ℏ2 (𝑙+2)

𝑒𝑥 −

2𝜇

𝛼02

) 𝑤(𝑥) = 0

имеет

вид,

пригодный

приближения

для

нахождения

для

(14.12) применения

спектра

энергии

водородоподобного атома. Как известно из классической механики, движение будет финитно, если энергия относительного движения E отрицательна: 𝐸 = −|𝐸|. Т. к. в квантовой механике квантованным будет лишь финитное движение, то в дальнейшем мы рассмотрим лишь случай отрицательных энергий. Из уравнения (14.12) следует условие квантования: 𝛼0 ∫ √

2𝜇 ℏ2

(−|𝐸|𝑒 2𝑥 +

𝑍𝑒 2 𝛼0

1 2

𝑒𝑥 −

ℏ2 (𝑙+2) 2𝜇 𝛼02

1

) 𝑑𝑥 = (𝑛𝑟 + 2)𝜋

(14.13)

Заменяя переменную интегрирования 𝑥 на 𝑟 = 𝛼0 𝑒 𝑥 , имеем: 𝑟2 2𝜇 ∫𝑟 √ ℏ2 (−|𝐸| 1

+

𝑍𝑒 2 𝑟

1 2

−

ℏ2 (𝑙+2) 2𝜇 𝑟 2

1

) ⁡𝑑𝑟 = (𝑛𝑟 + )𝜋 2

(14.14)

Условие квантования может быть наглядно интерпретировано с помощью рис. 8, если ввести эффективную потенциальную энергию 𝑈

эфф (𝑟)

=−

𝑍𝑒 2 𝑟

1 2

+

ℏ2 (𝑙+2) 2𝜇 𝑟 2

,

в которой второй член представляет собой так называемую «центробежную энергию». 43

Рис. 8. Кривая эффективной потенциальной энергии, r1 и r2 – классические точки остановки

Интеграл в левой части (14.14) равен: 𝑟1 2𝜇 ∫𝑟 √ ℏ2 (−|𝐸| 2

+

𝑍𝑒 2 𝑟

−

2 ℏ2 (𝑙+1⁄2) 𝑑𝑟 2𝜇 𝑟2

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ

=

ℏ2 √2𝜇|𝐸|

1

𝜋 − (𝑙 + )𝜋. 2

Следовательно, 𝐸=−

1 𝜇𝑍 2 𝑒 4 1 ℏ2

2

𝑛2

,

(14.15)

причем главное квантовое число n  nr  l  1 . Формула (14.15) представляет собой не что иное, как известные бальмеровские термы. Теорема вириала В заключение настоящего параграфа покажем, что теорема вириала в кулоновском поле остается справедливой в квазиклассическом приближении. Согласно (14.11), радиальная волновая функция R(r ) имеет вид: 𝑅(𝑟) =

𝑥 𝑁𝑒 − ⁄2 𝑤(𝑥)

𝑟

=𝑁

𝜋

1 𝑐𝑜𝑠{∫𝑟2 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 − 4 } 𝑟

,

√𝑘(𝑟)

(14.16)

где 2

2 (𝑙+1⁄2) 2𝜇 𝑟2

2𝜇 𝑍𝑒 ℏ 𝑘(𝑟) = √ 2 (−|𝐸| + − ℏ

𝑟

2

.

(14.17)

Вычисление нормировочного множителя приводит к результату N  2 /  a01n 3 / 2 .

(14.18)

Найдем теперь результат воздействия оператора кинетической энергии Tˆ на волновую функцию R(r ) :

44

2

2

ℏ 1 𝑑 𝑑𝑅 ℏ 𝑙(𝑙+1) 𝑇̂𝑅(𝑟) = − ( 2 (𝑟 2 )) + 𝑅. 2𝜇 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2𝜇 𝑟 2

(14.19)

Вспоминая (14.16) с учетом (14.11) и (14.12), имеем: −

ℏ2

1 𝑑

5

ℏ2 𝑁

𝑑𝑅

1

2 = 𝑒 −2𝑥 (−𝑤"(𝑥) + 𝑤(𝑥))= ( (𝑟 )) 2 2 2𝜇 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2𝜇𝑎 4 0

ℏ2 𝑁 −2𝑥 2 2𝜇 𝑍𝑒 2 𝑥 ℏ2 ℏ2 −2𝑥 1 2𝑥 2 = 𝑒 (𝑎0 2 (−|𝐸|𝑒 + 𝑒 − (𝑙 + 1/2) ))𝑅 + 𝑒 𝑅(𝑟) ℏ 𝑎0 4 2𝜇𝑎02 2𝜇𝑎02 2𝜇𝑎02 Подставляя полученный результат в (14.19), получаем: 2

Ze TˆR (r )  (  E  ) R(r ) . r

(14.20)

Из (14.20) находим T : 1 T   R(r )TˆR(r )r 2 dr   E  R 2 (r )r 2 dr  Ze 2  R(r ) R(r )r 2 dr . r

Первый интеграл в правой части этого выражения равен просто единице, а второй, пользуясь формулой (14.16), можно легко вычислить: 1

1

2𝜇

𝑍𝑒 2 ∫ 𝑅(𝑟) 𝑅(𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝑍𝑒 2 𝑁 2 ∫ {− 2 |𝐸|𝑟 2 + 𝑟 2 ℏ 2

(𝑙 + 1⁄2)

−1⁄ 2

}

𝑑𝑟 =

𝑍𝑒 2 2

𝑁2

𝜋ℏ √2𝜇|𝐸|

=

𝑍𝑒 2 1 𝑎0 𝑛 2

2𝜇𝑍𝑒 2 𝑟

𝑟2 −

.

При вычислении последнего интеграла мы в полном соответствии с методом 𝑟

𝜋

ВКБ заменили быстро осциллирующий 𝑐𝑜𝑠 2 {∫𝑟 2 𝑘(𝑟)𝑑𝜔 − } его средним 4 1

значением, равным ½. Вспоминая выражение для N (14.18), имеем: 2 4

𝜇𝑍 𝑒 𝑇̅ = −|𝐸| + 2 ℏ

1 𝑛2

=

1 𝜇𝑍 2 𝑒 4 1 2

ℏ2

𝑛2

= |𝐸|,

(14.21)

т.е. кинетическая энергия равна модулю полной энергии. Вычисление среднего значения потенциальной энергии U дает результат: U   R(r )( 

Ze 2 ) R(r )r 2 dr  2 E . r

45

(14.22)

§ 15. Кеплерово движение. Инфинитное движение. Рассеяние альфачастиц кулоновским полем В качестве примера рассмотрим применение ВКБ метода к задаче о рассеянии альфа-частиц кулоновским полем. В рассматриваемом случае мы будем иметь кеплерово движение с взаимной энергией E  0 , т. е. движение будет инфинитным, а, следовательно, неквантованным. Задачи такого типа в квантовой механике относятся к задачам рассеяния. Задачи рассеяния в квантовой механике рассматриваются в такой постановке. Имеется пучок монохроматических частиц (в данном случае пучок альфа-частиц), налетающих на рассеивающий центр. Вдали от рассеивающего центра с зарядом Ze , помещенного в начале координат, волновая функция монохроматического пучка частиц имеет вид плоской волны:  пад.  exp{ ikz} , при z   .

(15.1)

После взаимодействия с рассеивающим центром появится и рассеянная волна, которая вдали от начала координат должна иметь вид расходящейся сферической волны:  расс. 

f ( ) exp{ikr} , r   ; r

(15.2)

где f () – амплитуда рассеяния на угол  . Асимптотическое выражение для волновой функции  при больших расстояниях должно быть суммой выражений (15.1) и (15.2): 𝜓(𝑟⃗) = exp{𝑖𝑘𝑧} +

𝑓(Θ) 𝑟

exp⁡{𝑖𝑘𝑟}, 𝑟 → ∞,

(15.3)

В такой форме волновая функция нормирована таким образом, что плотность потока падающих частиц 𝑗⃗ 𝑖ℏ ∗ ∇𝜓пад ) = 𝑣⃗ (𝜓 ∇𝜓 ∗ − 𝜓пад 2𝑚 пад пад ⃗⃗ равна скорости частиц в пучке 𝑣⃗ = ℏ𝑘⁄𝑚, или, что одно и то же, в 1 см3 объема 𝑗⃗ =

имеется одна частица. Запишем уравнение Шредингера: −

ℏ2 2𝑚

Δ𝜓 +

𝑍1 𝑍𝑒 2 𝑚 𝑟

46

𝜓 = 𝐸𝜓,

(15.4)

где m – приведенная масса частицы и рассеивающего центра, Z 1e – заряд налетающей частицы. Учитывая симметрию задачи, удобно перейти к параболическим координатам u rz,   r  z .

(15.5)

Тогда 

    u   2  ( u )  (  )   . 4u  2   u u v v

4 u 

(15.6)

По условиям задачи можно считать, что волновая функция не зависит от полярного угла  . Тогда из (15.4) с учетом (15.6) имеем: 𝜕

𝜕𝜓

𝜕

𝜕

(𝑢 𝜕𝑢 ) + 𝜕𝜈 (𝜈 𝜕𝜈) + { 𝜕𝑢

2𝑚𝐸 𝑢+𝜈 ℏ2

4

−

𝑍1 𝑍2 𝑒 2 𝑚 ℏ2

} 𝜓 = 0.

(15.7)

Применяя метод разделения переменных, ищем решение (15.7) в виде ψ(⃗𝑟⃗) = 𝑈(𝑢)V(𝜐).

(15.8)

Подставляя (15.8) в (15.7), имеем: 1 𝑑

𝑑𝑈

{𝑈 𝑑𝑢 (𝑢 𝑑𝑢 ) +

𝑘2 4

𝑢} + {

1 𝑑

𝑘2

𝑑𝑉

1

(𝜐 𝑑𝜐 ) + ( 4 𝜐 − 𝑟 )} = 0. 𝑉 𝑑𝜐 0

(15.9)

Здесь мы ввели обозначение 1 𝑟0

= 𝑍1 𝑍𝑒 2 𝑚/ℏ2 ; 𝑘 = √2𝑚𝐸/ℏ2 .

(15.10)

Каждая из фигурных скобок в (15.9) представляет собой постоянную, в соответствии, с чем получаем два уравнения: 𝑑

𝑑𝑈

(𝑢 𝑑𝑢 ) + 𝑑𝑢 𝑑

𝑑𝑉

𝑘2 4

𝑢𝑈 = 𝜆𝑈,

𝑘2

1

(𝜐 𝑑𝜐 ) + { 4 𝜐 − 𝑟 } 𝑉 = −𝜆𝑉. 𝑑𝜐 0

(15.11) (15.12)

Уравнение (15.11) имеет решение вида 𝑘

𝑈(𝑢) = 𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑢}, 2

(15.13)

причем постоянная 𝜆 равна 𝜆 = 𝑖𝑘/2. Нам предстоит найти решение уравнения 𝑑

𝑑𝑉

𝑘2

1

𝑘

(𝜐 𝑑𝜐 ) + { 4 𝜐 − 𝑟 + 𝑖 2} 𝑉 = 0. 𝑑𝜐 0

47

(15.14)

Подстановка 𝜐 = 𝑟0 𝑒 𝑥 приводит к исчезновению члена, содержащего первую производную в (15.14). Тогда 𝑘2

𝑘𝑟0

4

2

𝑉" + { 𝑟02 𝑒 2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑖

𝑒 𝑥 } 𝑉 = 0.

(15.15)

Выражение для 𝑘(𝑥) имеет вид: 𝑘(𝑥) = √

𝑘2 4

𝑟02 𝑒 2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑖

𝑘𝑟0 2

𝑒𝑥 = √

𝑘2 4

𝜐2 −

1

𝑘

𝜐 + 𝑖 𝜐.

𝑟0

2

(15.16)

Подкоренное выражение определяет две точки остановки: 𝜐0 =

1

𝑘

𝑘 2 𝑟0

4

2

( − 𝑖 ) и 𝜐1 = 0.

(15.17)

Поскольку нас интересует решение в области больших 𝑟 (большие 𝜐), то окрестность точки 𝜐 = 𝜐1 = 0 нас интересовать не будет. Следовательно, решение уравнения (15.15) надлежит искать в виде: 𝑉(𝜐) = =

𝐶 √𝑘(𝜐)

{𝑒

𝑥

2𝐶 √𝑘(𝜐) 𝜐 0

π

cos {∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − } = 4

−𝑖{∫𝜐 𝑘(𝜐)

0

𝑑𝜐 𝜋 − } 𝜐 4

+𝑒

𝜐 0

𝑖{∫𝜐 𝑘(𝜐)

𝑑𝜐 𝜋 − } 𝜐 4

}.

(15.18)

Входящий в показатели экспоненты интеграл имеет вид: 𝑥

𝜐 𝑘(𝜐)

∫𝑥 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝜐 0

𝑖 + ) ln 2

𝑘𝑟0 √

0

𝜐

𝑘2

1

4

𝑟0

𝑑𝜐 = √ 𝜐 2 + (−

𝑘

1

+ 𝑖 ) 𝜐 + (− + 2 𝑘𝑟 0

𝑘 2 𝑟0 𝜐 𝑘2𝜐2 1 𝑘 1 𝑘 + (− + 𝑖 ) 𝑣 + + (− + 𝑖 ) 𝑟0 4 𝑟0 2 2 𝑟0 2 . 𝑘𝑟0 1−𝑖 2

Поскольку нас будет интересовать асимптотический вид волновой функции, найдем асимптотическое выражение для 𝑘(𝜈) и для ∫

𝑘(𝜈) 𝜈

𝑑𝜈:

1

𝑘(𝜈) ≈ 𝑘𝜈,

(15.19)

2

∫

𝑘(𝜈) 𝜈

𝑑𝜈 ≈

𝑘𝜈 2

−

1 𝑘𝑟0

𝑖

𝑘𝜈

2

2

(ln 𝑘𝜈 + ln 𝑘𝑟0 ) + ⁡ ln 𝑘 2 𝑟0 𝜈 ==

−

𝑖

⁡ ln 𝑘 2 𝑟0 𝜈

1 𝑘𝑟0

ln 𝑘𝜈 + (15.20)

2

Подставляя приведенные выражения в (15.18), находим

48

𝑉(𝜈) =

𝐶 𝑘 2

{⁡𝑒

𝑘𝜈 1 − ln 𝑘𝜈} 2 𝑘𝑟0

−𝑖{

√ 𝜈

⁡√𝑘 2 𝑟0 𝜈 + ⁡ 𝑒

𝑘𝜈 1 − ln 𝑘𝜈} 2 𝑘𝑟0

𝑖{

1 √𝑘 2 𝑟0 𝜈

}.

(15.21)

Волновая функция Ψ(𝑟⃗) в соответствии с (15.8) и (15.9) примет вид 𝜓 = 𝐶√2𝑘𝑟0 ⁡{𝑒

1 ln 𝑘𝜈) 𝑘𝑟0

𝑖(𝑘𝑧+

+⁡

𝑟

1

𝑘 2 𝑟0 𝜈 𝑟

𝑒

𝑖(𝑘𝑟−

1 ln 𝑘𝜈) 𝑘𝑟0

},

(15.22)

причем при больших r и Z первое слагаемое в (15.22) в фигурных скобках представляет собой плоскую падающую на силовой центр волну 𝑒 𝑖𝑘𝑧 , а второе слагаемое – расходящуюся сферическую волну 𝑟 −1 𝑒 𝑖𝑘𝑟 . Чтобы нормировка 1

(15.22) совпала с (15.3), положим 𝐶 = (2𝑘𝑟0 )−2 , после чего (15.22) примет вид: 𝜓 =⁡𝑒

1 ln 𝑘𝜈) 𝑘𝑟0

𝑖(𝑘𝑧+

1

+ 𝑓(Θ) 𝑒

1 ln 𝑘𝜈) 𝑘𝑟0

𝑖(𝑘𝑟−

𝑟

,

(15.23)

где 𝑓(Θ) =

1

𝑟

𝑘 2 𝑟0 𝜈

=⁡

𝑧1 𝑧𝑒 2

1

2𝐸 1−cos Θ

.

(15.24)

Вспоминая выражение для дифференциального сочетания рассеяния, определяемого посредством 𝑑𝜎 = ⁡ |𝑓(Θ)|2 𝑑Ω и (15.24) получаем известную формулу Резерфорда: 𝑑𝜎 𝑑Ω

=(

𝑧1 𝑧𝑒 2 2 1 ) Θ. 4𝐸 𝑠𝑖𝑛4

(15.25)

2

И в этом случае, квазиклассическое рассмотрение приводит к точному результату. § 16. Расщепление уровней энергии в электрическом поле. Эффект Штарка для водородоподобного атома Рассмотрим влияние однородного электрического поля напряженностью 𝜖⃗ на уровни энергии водородоподобного атома. Как известно еще из старой квантовй механики, эта задача тоже может быть решена методом разделения переменных в параболических координатах. Уравнение Шредингера для водородоподобного атома, находящегося в однородном внешнем электрическом поле 𝜖⃗, имеет вид: 49

ℏ2

𝑍𝑒 2

− ( ) Δψ − ( 2𝜇

𝑟

) ψ − eϵZψ = Eψ

(16.1)

Здесь принято во внимание, что потенциал, обусловленный внешним электрическим полем 𝑒𝜑(𝑟), равен: 𝑒φ(𝑟⃗) = ⁡ −𝑒𝜖𝑍.

(16.2)

Используя вид оператора Лапласа в параболических координатах (15.6), перепишем уравнение (16.1) в виде: 4

𝜕

𝜕𝜓

𝜕

𝑢+𝜈 𝜕2 𝜓

𝜕𝜓

{ (𝑢 𝜕𝑢 ) + ⁡ 𝜕𝜈 ⁡(𝜈 𝜕𝜈 ) + ⁡ 4𝑢𝜈 𝜕𝜑2 } + 𝑢+𝜈 𝜕𝑢 +

2𝜇

{𝐸 + ℏ2

2𝑍𝑒 2 𝑢+𝜈

+⁡

𝑒𝜖 2

(𝑢 − 𝜈)} ψ = 0

(16.3)

Будем искать решение уравнения (16.3) в виде произведения: 𝜓(𝑟⃗) = 𝑈(𝑢)𝑉(𝜈)𝑒 𝜄𝑚𝜑 ,

(16.4)

в котором m – уже известное нам магнитное квантовое число. Тогда (16.3) можно представить как совокупность двух обыкновенных дифференциальных уравнений: 𝑑

𝑑𝑈

𝑚2

𝜇|𝐸|

(𝑢 𝑑𝑢 ) + {− 2ℏ2 𝑢 − 4𝑢 + 𝛼⁡ 𝑑𝑢 𝑑

𝑑𝑉

𝜇|𝐸|

(𝜈 𝑑𝜈 ) + {− 2ℏ2 𝜈 − 𝑑𝜈

𝑚2 4𝜈

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2

+ (1 − 𝛼)

+⁡

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2

𝜇𝑒𝜖 4ℏ2

−⁡

𝑢2 } 𝑈 = 0

𝜇𝑒𝜖 4ℏ2

𝜈2} 𝑉 = 0

(16.5) (16.6)

Здесь α – постоянная, появляющаяся в процессе разделения переменных, кроме того, поскольку мы рассматриваем связанные состояния, то E= –|E|. Перепишем уравнение (16.5) и (16.6), видоизменив их с помощью преобразования Лангера: 𝑢 = 𝑟0 𝑒 𝑥 , 𝜈 = 𝑟0 𝑒 𝑦

(16.7)

Тогда вместо (16.5) и (16.6) получаем: 𝑈" + { 𝑉 " + {−

𝜇|𝐸| 2ℏ2

𝜇|𝐸| 2ℏ2

𝑟0 𝑒 𝑥 −

𝑟0 𝑒 𝑦 −

𝑚2 1 4 𝑟0

𝑚2 1 4 𝑟0

𝑒 −𝑥 + 𝛼

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2

𝑒 −𝑦 + (1 − 𝛼)

+

𝜇𝑒𝜖

𝑟 2 𝑒 2𝑥 } 𝑟0 𝑒 𝑥 𝑈 4ℏ2 0

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2

−

=0

(16.8)

𝑟 2 𝑒 2𝑦 } 𝑟0 𝑒 𝑦 𝑉 4ℏ2 0

= 0 (16.9)

𝜇𝑒𝜖

Чтобы получить спектр, определяемый этим уравнениями, оценим величину члена, обусловленного внешним полем в сравнении с кулоновским полем ядра. Даже при 𝜖 = 106 вольт/см

50

𝑒𝜖𝑟0 𝑍𝑒2 ( ) 𝑟0

~10−3 . Следовательно, при

нахождении спектра мы можем последнее слагаемое в фигурных скобках считать малым. С учетом последнего обстоятельства имеем: 𝑥2

𝑢2

𝑑𝑢 𝑚2 𝜇𝑍𝑒 2 𝜇|𝐸| 2 𝜇𝑒𝜖 3 √ ∫ 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 = ⁡ ∫ − +𝛼 2 𝑢− 𝑢 + 2𝑢 ≈ 4 ℏ 2ℏ2 4ℏ 𝑥1 𝑢1 𝑢 𝑢2 𝑑𝑢

∫𝑢

1

𝑢

{ √−

𝑚2 4

+𝛼

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2

𝑢−

𝜇|𝐸| 2ℏ2

𝑢2 +

𝑢3

𝜇𝑒𝜖 8ℏ

⁡ 2

2

1

} = (𝑛𝑢 + ) 𝜋⁡ (16.10) 2

2

𝜇|𝐸| 2 √−𝑚 +𝛼 𝜇𝑍𝑒 2 𝑢− 2 𝑢 ⁡ 4

ℏ

2ℏ

где 𝑢1 и 𝑢2 ⁡– классические точки остановки: 𝑢1,2 = 𝛼

𝑧𝑒 2 |𝐸|

⁡ ∓ √𝛼 2

𝑍2𝑒 4 |𝐸|2

−⁡

ℏ2 𝑚 2 2𝜇|𝐸|

.

Первый интеграл в (16.10) легко вычисляется и равен: 𝑢2 𝑑𝑢

∫𝑢

𝑢

1

√−

𝑚2 4

𝜇𝑍𝑒 2

+𝛼

ℏ2

𝑢−

𝜇|𝐸| 2ℏ2

𝑢2 = (−

|𝑚| 2

+𝛼

𝜇𝑍𝑒 2 √2⁡ℏ√𝜇|𝐸|

)𝜋

(16.11)

В нулевом приближении по полю получаем: 𝛼

𝜇𝑍𝑒 2 √2⁡ℏ√𝜇|𝐸|

= (𝑛𝑢 +

|𝑚|+1

).

2

(16.12)

Аналогичный результат следует из уравнения (16.9): (1 − 𝛼)

𝜇𝑍𝑒 2 √2⁡ℏ√𝜇|𝐸|

= (𝑛𝑣 +

|𝑚|+1 2

).

(16.13)

Сумма выражений (16.12) и (16.13) дает известное из § 14 выражение для бальмеровского терма 1

𝜇𝑍 2 𝑒 4

2

ℏ2

𝐸 = −( )(

)𝑛−2 ,

(16.14)

в котором главное квантовое число n определяется посредством 𝑛 = 𝑛𝑢 + 𝑛𝜈 + |𝑚| + 1.

(16.15)

Чтобы получить поправку к спектру, обусловленную электрическим полем, вычислим второй интеграл в (16.10): 𝜇𝑒𝜖 8ℏ

𝑢2

𝑢

⁡ 2 2 ∫𝑢 1

2

2

𝜇|𝐸| 2 √−𝑚 +𝛼 𝜇𝑍𝑒 2 𝑢− 2 𝑢 4

ℏ

⁡𝑑𝑢 =

2ℏ

𝜇𝑒𝜖 √2ℏ3 |𝑚| ( 8ℏ2 (𝜇|𝐸|)32 2

−

3 𝛼 2 (𝜇𝑍𝑒 2 )2 ℏ2 𝜇|𝐸|

2

)𝜋.

(16.16)

Поскольку напряженность поля 𝜖 может считать достаточно малой, то |E| и α можно заменить их значения, найденными в нулевом порядке: |𝐸| =

1 𝜇𝑍 2 𝑒 4 1

𝜇𝑍 2 𝑒 4

ℏ2

ℏ√𝜇|𝐸|

2

𝑛

; ⁡⁡𝛼 2

51

= √2(𝑛𝑢 +

|𝑚|+1 2

).

С указанной точностью получаем:

=−

𝑢2

𝑢

𝜇𝑒𝜖 8ℏ

⁡ 2 2 ∫𝑢

1

ℏ4 𝜖

2 2 𝜇|𝐸| √−𝑚 +𝛼 𝜇𝑍𝑒 𝑢− 2 𝑢2 4 ℏ2 2ℏ

1

2 𝜇2 𝑒 5 𝑍

𝑛3 {3 (𝑛𝑢 + 3

⁡𝑑𝑢 =

|𝑚|+1 2 2

) −

𝑚2 4

} 𝜋.

(16.17)

Если характерной атомной длиной является боровский радиус 𝑎 =

ℏ2 𝜇𝑒 2

,

то естественной (атомной) единицей напряженности электрического поля 𝑒2

принято считать величину

𝑎2

=

𝜇2 𝑒 5 ℏ4

. Таким образом, коэффициент 𝑔 =

|𝑒𝜖|

,

𝜇2 𝑒6 ( 4 ) ℏ

стоящий множителем в (16.17), является ничем иным, как величиной напряженности внешнего электрического поля, измеренной в атомных единицах. С учетом поправок, пропорциональных первой степени 𝑔, условия квантования (16.10) примут вид: (− (−

|𝑚| 2

|𝑚| 2

+𝛼

+ (1 − 𝛼)

𝜇𝑍𝑒 2 ℏ√2𝜇|𝐸| 𝜇𝑍𝑒 2

ℏ√2𝜇|𝐸|

𝑔

+

+

3

𝑛 {3 (𝑛𝑢 + 2𝑍 3 𝑔

2𝑍

𝑛3 {3 (𝑛𝑣 + 3

|𝑚|+1 2 2

) −

|𝑚|+1 2 2

) −

𝑚2 4

𝑚2 4

1

}) π = (𝑛𝑢 + 2) π;⁡ 1

}) π = (𝑛𝑣 + 2) π

(16.18)

Из (16.18) получаем 𝜇𝑍𝑒 2 ℏ2 √2𝜇|𝐸|

=𝑛+

3 𝑞 2 𝑍3

𝑛3 {(𝑛𝜈 − 𝑛𝑢 )(𝑛𝜈 + 𝑛𝑢 + |𝑚| + 1)} =

=𝑛+

3 𝑔 2 𝑍3

𝑛4 (𝑛𝜈 − 𝑛𝑢 ),

(16.19)

что приводит к следующему выражению для энергетического спектра: 𝐸=

𝜇𝑍 2 𝑒 4 ℏ2

1

3 𝑔

(− 2𝑛2 + 2 𝑍 3 𝑛(𝑛𝑢 − 𝑛𝜈 )).

(16.20)

Из полученной формулы вытекает, что во внешнем электрическом поле вырождение электрических уровней, существующее в водородоподобном атоме, будет частично сниматься, т. к. энергия, в соответствии с (16.20), зависит не только от главного квантового числа n, но и от другого квантового числа Δ𝑛 = 𝑛𝑢 − 𝑛𝜈 = ⁡ −(𝑛 − 1), −(𝑛 − 2) … , −1,0,1, … , (𝑛 − 2), (𝑛 − 1). В связи с частичным снятием вырождения спектральные линии водородоподобных 52

атомов в присутствии электрического поля будут расщепляться. Это явление носит название эффекта Штарка. Формула (16.20) совпадает с точным квантовомеханическим результатом и довольно хорошо подтверждается на опыте. § 17. Электрон в периодическом потенциальном поле Рассмотрим одномерную задачу о поведении электрона в периодическом потенциальном поле 𝑉(𝑥). Решение задачи будем конструировать согласно методу сильной связи из «атомных» волновых функций: 𝜑𝑛 (𝑥),⁡⁡⁡⁡⁡(𝑛 = 1,2, … , 𝑁), где N – число атомов в основной области, протяженность которой 𝐿 = 𝑛𝑎, а a – размер «атомной» ячейки. «Атомные» волновые функции удовлетворяют уравнению Шредингера в «своей» ячейке: ℏ2

(− 2𝜇) 𝜑𝑛" (𝑥) + 𝑉(𝑥)𝜑𝑛 (𝑥) = 𝜖⁡𝜑𝑛 (𝑥), 𝐶𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝐶𝑛+1

(17.1)

и пренебрежимо малы за ее пределами. В соответствии с (6.2) и (6.16) имеем: 0,⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 < 𝐶𝑛 𝜔𝑛

√2𝜋|𝜈

𝑛 (𝑥)|

𝑎

exp{− ∫𝑥 𝑛 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 } , 𝐶𝑛 ≤ 𝑥 ≤ ⁡ 𝑎𝑛 ⁡ 𝑥

2𝜔𝑛

φ𝑛 (𝑥) =

√𝜋|𝜈

𝑛

𝑛

𝑛

(17.2)

𝑥

𝜔𝑛

√2π|𝜈

π

cos {∫𝑎 𝑘(𝑥)𝑑𝑥 − },⁡⁡⁡⁡𝑎𝑛 < 𝑥 < 𝑏𝑛 (𝑥)| 4

exp {− ∫𝑏 |𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 },⁡⁡⁡𝑏𝑛 < 𝑥 ≤ ⁡ 𝑐𝑛+1 (𝑥)| 𝑛

0,⁡⁡⁡𝑥 ≥ 𝑐𝑛+1

{

Волновые функции кристалла Ψ𝑚 (𝑥) являются блоховскими суммами «атомных» функции: 1

𝜄𝑘𝑚 𝑛𝑎 Ψ𝑚 (𝑥) = 𝑁 −2 ∑𝑁 ⁡ φ𝑛 (𝑥), 𝑛=1 𝑒

где 𝑘𝑚 =

2𝜋 𝑁𝑎

⁡⁡𝑚 =

2𝜋 𝐿

(17.3)

𝑚, и удовлетворяют уравнению Шредингера во всей

основной области 𝑐0 ≤ 𝑥 ≤ ⁡ 𝑐𝑁 : −

ℏ2 2𝜇

" (𝑥) Ψ𝑚 + 𝑉(𝑥)Ψ𝑚 (𝑥) = ⁡ 𝐸𝑚 Ψ𝑚 (𝑥).

53

(17.4)

При этом мы будем считать, что выполняется периодические условия БорнаКармана для волновой функции (т. е. цепочка свернута в кольцо большого радиуса). Для нахождения энергии 𝐸𝑚 помножим уравнение (17.1) на Ψ𝑚 (𝑥), а уравнение (17.4) на φ𝑛 (𝑥) и вычтем из первого выражения второе, предварительно проинтегрировав их по всему пространству (основной области). Т. к. под интегралом стоит функция (17.2), то интеграл фактически берется лишь по интервалу 𝑐𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑛+1 : ℏ2 " (𝑥) φ𝑛 (𝑥) − φ"𝑛 (𝑥)Ψ(𝑥))𝑑𝑥 = (𝐸𝑚 − 𝜀) ∫ Ψ𝑚 (𝑥)φ𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 (− ) ∫(Ψ𝑚 2𝜇 Используя выражение для Ψ𝑚 (𝑥) (17.3) и приводя интегрирование левой части, имеем: ℏ2 1 𝜄𝑘 𝑛𝑎 ′ (𝑥)𝜑 (𝑥) ′ (𝑥)Ψ (𝑥) 𝑐𝑛+1 − (Ψ𝑚 − 𝜑 = (𝐸 − 𝜀) 𝑒 𝑚 )| 𝑛 𝑛 𝑚 𝑚 𝑐𝑛 2𝜇 √𝑁 Рассмотрим подробнее левую часть полученного неравенства: −

ℏ2 ′ ′ (𝐶 )𝜑 (𝐶 ) {Ψ𝑚 (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) − 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛+1 )Ψ𝑚 (𝐶𝑛+1 ) − Ψ𝑚 𝑛 𝑛 𝑛 2𝜇 + 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 )Ψ𝑚 (𝐶𝑛 )} ℏ2 1 𝑖𝑘 𝑛𝑎 ′ ′ (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 )𝑒 𝑖𝑘𝑚 𝑎 =− 𝑒 𝑚 {𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) + 𝜑𝑛+1 2𝜇 √𝑁 − 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) − 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 )𝑒 𝑖𝑘𝑚 𝑎 − 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛 ) ′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛 )𝑒 −𝑖𝑘𝑚 𝑎 + 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛 ) + 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛−1 (𝐶𝑛 )𝑒 𝑖𝑘𝑚 𝑎 } − 𝜑𝑛−1 =⁡ ℏ2 1 𝑖𝑘 𝑛𝑎 ′ (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) =− 𝑒 𝑚 {(𝜑𝑛+1 2𝜇 √𝑁 − 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 ))𝑒 𝑖𝑘𝑚 𝑎 + (𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛−1 (𝐶𝑛 ) ′ (𝐶𝑛 )𝜑𝑛1 (𝐶𝑛 ))𝑒 −𝑖𝑘𝑚 𝑎 } − 𝜑𝑛−1 ′ (𝐶𝑛+1 ) = |𝑘(𝐶𝑛+1 )|𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 ) Согласно (17.2), 𝜑𝑛+1

𝜑𝑛′ (𝐶𝑛+1 ) = −|𝑘(𝐶𝑛+1 )|𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) 𝜑𝑛′ (𝐶𝑛 ) = |𝑘(𝐶𝑛 )|𝜑𝑛 (𝐶𝑛 ) ′ (𝐶𝑛 ) = −|𝑘(𝐶𝑛 )|𝜑𝑛−1 (𝐶𝑛 ) 𝜑𝑛−1

54

Следовательно ℏ2 − {2|𝑘(𝐶𝑛+1 )|𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 )𝑒 𝑖𝑘𝑚 𝑎 + 2|𝑘(𝐶𝑛 )|𝜑𝑛 (𝐶𝑛 )𝜑𝑛−1 (𝐶𝑛 )𝑒 −𝑖𝑘𝑚 𝑎 } 2𝜇 = 𝐸𝑚 − 𝜀 В силу периодичности свойств кристалла, |𝑘(𝐶𝑛 )| = |𝑘(𝐶𝑛+1 )|;⁡⁡⁡⁡𝜑𝑛 (𝐶𝑛 )𝜑𝑛−1 (𝐶𝑛 ) = 𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ). Используя последнее соотношения, имеем: 𝐸𝑚 = 𝜀 −

ℏ2 𝜇

2|𝑘(𝐶𝑛 )|𝜑𝑛+1 (𝐶𝑛+1 )𝜑𝑛 (𝐶𝑛+1 ) cos(𝑘𝑚 𝑎).

Или, подставляя выражения для волновой функции (17.2): 𝐸𝑚 = 𝜀 −

ℏ𝜔𝑛 π

𝑎

exp {− ∫𝑏 𝑛+1|𝑘(𝑥)|𝑑𝑥 } cos 𝑘𝑚 𝑎,⁡⁡⁡⁡𝑚 = 1,2,3, … , 𝑁. 𝑛

(17.5)

Таким образом, каждый «атомный» уровень 𝜀 при объединении N атомов в линейную цепочку расщепляется в полосу, состоящую из N уровней. Ширина полосы Δ𝐸 равна Δ𝐸 =

2ℏ𝜔𝑛 π

𝑎

exp{− ∫𝑏 𝑛+1|𝑘(𝑥)|𝑑𝑥} 𝑛

(17.6)

Рис. 9. Электрон в периодическом потенциальном поле V(x)

𝐶𝑛−1 , 𝐶𝑛 , 𝐶𝑛+1 ⁡ – граница ячеек, 𝑎𝑛−1 , 𝑏𝑛−1 ;⁡⁡𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ;⁡𝑎𝑛+1 , 𝑏𝑛+1 – классические точки остановки электронов, движение которых описываются «атомными» волновыми функциями 𝜑𝑛−1 (𝑥), 𝜑𝑛 (𝑥), 𝜑𝑛+1 (𝑥).

55

Глава 4. ВЫВОД ПРИБЛИЖЕННОЙ ФОРМУЛЫ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Настоящая

глава

посвящена

вводу

формулы

тонкой

структуры

с помощью метода ВКБ. § 18 посвящен вычислению релятивистской поправки к спектру энергии водородоподобного атома. § 19 вычисляется спинорбитальная поправка к спектру с помощью векторной модели атома и наконец § 20 приводится вывод формулы тонкой структуры с использованием условия квантования Бора-Зоммерфельда. § 18. Оператор релятивистской поправки к уравнению Шредингера. Релятивистская поправка к энергии По сравнению с релятивистским уравнением Дирака для электронов, нерелятивистское уравнение Шредингера обладает двумя существенными недостатками: а) при выводе уравнения Шредингера используется нерелятивистский закон дисперсии 𝐸нер =

𝑝2 2𝜇

вместо релятивистского 𝐸 = √𝜇2 𝑐 4 + 𝑝2 𝑐 2 ,

б) уравнение Шредингера не содержит спина. В настоящем параграфе ̂рел к уравнению рассмотрим так называемую «релятивистскую поправку» Δℋ Шредингера, введение которой до некоторой степени исправляет первый недостаток уравнения Шредингера. Если использовать точный закон дисперсии для релятивистской свободной частицы 𝐸 = √𝜇2 𝑐 4 + 𝑝2 𝑐 2 , то можно получить поправочные члены к нерелятивистскому закону дисперсии: 𝐸 = 𝜇𝑐 2 {1 +

𝑝2 2𝜇2 𝑐

− 2

1 𝑝4 8 𝜇4 𝑐 4

+ ⋯ }.

Следовательно, для нерелятивистского закона дисперсия мы имеем: 𝐸пер = 𝐸 − 𝜇𝑐 2 =

𝑝2 2𝜇

−

1 𝑝4 8 𝜇3 𝑐 2

.

(18.1)

Здесь первое слагаемое представляет собой обычную нерелятивистскую кинетическую энергию, а второе – добавочную энергию, учитывающую зависимость массы от скорости (импульса). 56

̂рел из (18.1) получаем: Таким образом, образом для оператора⁡Δℋ ̂рел = − Δℋ

1 8𝜇 3 𝑐 2

⁡𝑝̂ 4 .

(18.2)

Согласно теории возмущений, добавочная энергия Δ𝐸рел , обусловленная ̂рел определенным выражением (18.2), вычисляется оператором возмущения⁡Δℋ ̂рел , вычисленный на как диагональный матричный элемент от оператора Δℋ невозмущенных волновых функциях: ̂рел Ψ(𝑟⃗)𝑑𝑟⃗. Δ𝐸рел = ∫ Ψ ∗ (𝑟⃗)Δℋ

(18.3)

Поскольку Ψ(𝑟⃗) = 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝜃, 𝜑), ̂рел не содержит угловых операторов, то и оператор возмущения Δℋ ̂рел 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟. Δ𝐸рел = ∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)Δℋ Вычисления интеграла производится без затруднений. Действительно: ̂рел = − Δℋ

2 1 1 4 ⁡𝑝̂ = − ⁡(2𝜇(𝐸 − 𝑈(𝑟))) = 8𝜇2 𝑐 3 8𝜇 3 𝑐 2

=−

1 2𝜇𝑐 2

(𝐸 2 − 2𝐸𝑈(𝑟) + 𝑈 2 (𝑟)).

Следовательно, Δ𝐸рел = −

𝐸2 2𝜇𝑐 2 1

−

2𝜇𝑐 2

+

𝐸 𝜇𝑐 2

∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑈(𝑟)𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 −.

∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑈2 (𝑟)𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟.

(18.4)

По теореме вириала (см. § 14) ̅ =< 𝑛𝑙⁡|𝑈(𝑟)|𝑛𝑙 ≥ ∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑈(𝑟)𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 = 2𝐸. 𝑈 Последний интеграл в (18.4) вычисляется непосредственно с помощью радиальных ВКБ-функции, найденных в § 14 (формулы (14.16)–(14.18)): 1

∫ 𝑅𝑛𝑒 (𝑟)𝑈2 (𝑟)𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝑍 2 𝑒 4 < 𝑛𝑙⁡ |𝑟 2| 𝑛𝑙 ≥ 2 π𝑎02 𝑛

=⁡

⁡ 3 ∫

1 𝑟2

𝑟 1

1 2 2𝜇 𝑍𝑒2 ℏ2 (𝑙+2) √− 2 (|𝐸|+ − ) 𝑟 2𝜇 𝑟2 ℏ

𝑍2𝑒 4 π𝑎02 𝑛

⁡ 3 ∫

π 4

𝑐𝑜𝑠 2 ⁡{∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟− }

𝑑𝑟 2

2𝜇|𝐸| 2𝜇𝑍𝑒 1 𝑟 √− 2 𝑟 2 + 2 𝑟−(𝑙+ )2 ℏ

ℏ

57

2

⁡

𝑍2𝑒 4 𝑍2

=⁡

⁡𝑟 2 𝑑𝑟 =

𝑍2𝑒 4 𝑎02 𝑛3

⁡

1 1 2

.

(𝑙+ )

(18.5)

Таким образом, для Δ𝐸рел ⁡имеем: Δ𝐸рел = −

𝐸2 2𝜇𝑐

+ 2

4𝐸 2𝜇𝑐

−⁡ 2

1

𝑍2𝑒 4

1

2𝜇𝑐 2

𝑎02 𝑛3

1 (𝑙+2)

где постоянная тонкой структуры 𝛼 =

𝑒2 ℏ𝑐

1

1

2

1 𝑛3 (𝑙+2)

= ⁡ − 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)4 {

−

3 4𝑛4

},

(18.6)

.

§ 19. Вычисление спин-орбитальной поправки к энергии Выражение для оператора спин-орбитальной поправки было найдено в § 11. Согласно (11.17), 2

⃗⃗𝑠⃗). ̂𝑙𝑠 = |𝑒|ℏ2 ⁡ 1 𝑑𝑈 (𝑙⁡ Δℋ 2𝜇 𝑐 𝑟 𝑑𝑟

Вспоминая, что для электрона в водородоподобном атоме 𝑈(𝑟) = −

𝑍|𝑒| 𝑟

получаем: ̂𝑙𝑠 = 𝑍𝑒 Δℋ

2 ℏ2

1 ⃗⃗𝑠⃗). ⁡ 3 ⁡(𝑙⁡

(19.1)

2𝜇𝑐 2 𝑟 1

Для того чтобы вычислить < 𝑛𝑙 | 3| 𝑛𝑙 > докажем соотношение: 𝑟

< 𝑛𝑙 | =⁡−

ℏ2 𝑙(𝑙+1) 𝜇

ℏ2 𝑙(𝑙+1)

𝑑

( 𝑑𝑟

2𝜇𝑟 2

−⁡

𝑍𝑒 2 𝑟

)| 𝑛𝑙 >⁡=

1

1

𝑟

𝑟

< 𝑛𝑙⁡ | 3| 𝑛𝑙 > ⁡ +𝑍𝑒 2 < 𝑛𝑙⁡ | 2| 𝑛𝑙 >⁡= 0,

(19.2)

смысл, которого заключается в том, что в стационарном состоянии среднее значение радиальной силы обращается в нуль. В самом деле: −

ℏ2 1 𝑑 2𝜇

𝑟2

𝑑𝑅

(𝑟 2 𝑑𝑟 ) = ⁡ −|𝐸|𝑅 − 𝑈 эфф (𝑟)𝑅, 𝑑𝑟

где 𝑈 эфф (𝑟) = −

𝑍𝑒 2 𝑟

+

ℏ2 𝑙(𝑙+1) 2𝜇

𝑟2

.

Тогда 𝑑

ℏ2 1 𝑑

1

𝑑𝑅

{ (− ⁡(𝑟 2 ))} = ⁡ −⁡ 𝑑𝑟 𝑅 2𝜇 𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟

𝑑𝑈 эфф 𝑑𝑟

Переходя от функции R(r) к функции 𝜒(𝑟) = 𝑟𝑅, имеем: −

ℏ2 𝑑

𝜒" (𝑟)

( ) = ⁡ −⁡ 2𝜇 𝑑𝑟 𝜒(𝑟)

𝑑𝑈 эфф (𝑟)

Вычисляем среднее от обеих частей равенства: 58

𝑑𝑟

.

.

ℏ2 𝑑

𝜒" (𝑟)

𝑑

( )} 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 = −< 𝑛𝑙 |𝑑𝑟 𝑈 эфф (𝑟)| 𝑛𝑙 >. 2𝜇 𝑑𝑟 𝜒(𝑟)

∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟){−

В последнем равенстве обращается в нуль. Действительно: ∫ 𝑅𝑛𝑙 (𝑟){−

ℏ2 𝑑

𝜒" (𝑟)

ℏ2

ℏ2

( )} 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑟 2 𝑑𝑟 = − 2𝜇 ∫(𝜒 ′′′ 𝜒 − 𝜒 ′′ 𝜒 ′ )𝑑𝑟 = ⁡ − 2𝜇 {𝜒𝜒 ′′ |∞ −∞ − 2𝜇 𝑑𝑟 𝜒(𝑟) 2 ∫ 𝜒 ′′ 𝜒 ′ ⁡𝑑𝑟} =

ℏ2 𝜇

∫ 𝜒 ′ 𝜒 ′′ 𝑑𝑟}.

В соответствии с (14.6) 2

1

𝜒(𝑟) = √ ⁡ π

3

⁡

𝑟 1

π 4

cos{∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟−⁡ } √𝑘(𝑟)

𝑎0 𝑛 2

.

Согласно же методу ВКБ, 𝜒

′ (𝑟)

𝑟 1 2 1 π 2 sin{∫ 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 − ⁡}, = −√ ⁡ ⁡(𝑘(𝑟)) 3 π 4 𝑟1 𝑎0 𝑛2 2

1

𝜒 ′′ (𝑟) = −√ ⁡ π

3

𝑟

π

1

4

3 ⁡(𝑘(𝑟))2 cos{∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 − ⁡}.

𝑎0 𝑛 2

Следовательно, 2

∫ 𝜒 ′ 𝜒 ′′ ⁡𝑑𝑟 = ⁡ π𝑎

0

𝑛3

𝑟

π

1

4

𝑟

π

1

4

⁡ ∫ 𝑘 2 (𝑟) sin{∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 − } cos{∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 − ⁡} 𝑑𝑟 =

𝑟 𝑘 2 (𝑟) sin 2 {∫𝑟 𝑘(𝑟)𝑑𝑟 ∫ 2 3 π𝑎0 𝑛 1 1

π

− } 𝑑𝑟 ≈ 0, 4

т. к. синус удвоенного аргумента является сильно осциллирующей функции на интервале [𝑟1 , 𝑟2 ]. Из справедливости (19.2) следует 1

𝜇𝑍𝑒 2

1

𝑟

ℏ2

𝑙(𝑙+1)

< 𝑛𝑙 | 3| 𝑛𝑙 >⁡= ⁡

1

< 𝑛𝑙 | 2| 𝑛𝑙 >⁡, 𝑟

(19.3)

а из (18.5) имеем: 1

1

𝑟

𝑎02 𝑛3

< 𝑛𝑙 | 2| 𝑛𝑙 >⁡= ⁡

⁡

1 . (𝑙+1⁄2) 1

Таким образом, для матричного элемента < 𝑛𝑙 | 3| 𝑛𝑙 >⁡ получается 𝑟

правильный результат: 1

𝜇𝑍𝑒 2 1

𝑟

𝑎02 ℏ2

< 𝑛𝑙 | 3| 𝑛𝑙 >⁡= ⁡

⁡

𝑛3

⁡

1

.

1 𝑙(𝑙+ )(𝑙+1) 2

(19.4)

Второй поправочный член к энергии будет имеет вид: 1

1

2

1 ℏ3 𝑙(𝑙+2)(𝑙+1)

Δ𝐸𝑙𝑠 = − 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)4

59

⁡⁡(𝑙⃗⁡𝑠⃗),

(19.5)

в котором среднее от скалярного произведения (𝑙⃗⁡𝑠⃗) может быть вычислено с помощью векторной модели. По векторной модели величины 𝑙⃗ и 𝑠⃗ ведут себя как векторы, модули которых вычисляются в соответствии с квантовомеханическими правилами, выполняющимся для квадрантов операторов моментов импульсов: 𝑙⃗2 = 𝑙(𝑙 + 1),⁡⁡⁡⁡𝑠⃗2 = 𝑠(𝑠 + 1).

(19.6)

Во всех остальных проявлениях это обычные векторы, правда, удовлетворяющие еще требованиям пространственного квантования, которые означают, что проекции этих векторов на ось z могут изменятся лишь на целое число. Тогда, согласно векторной модели, 𝑙⃗⁡𝑠⃗ равно просто скалярному произведению двух векторов. Обозначая векторную сумму 𝑙⃗ + 𝑠⃗ через 𝑗⃗ 𝑙⃗ + 𝑠⃗ = 𝑗⃗

(19.7)

для скалярного произведения (𝑠⃗𝑗⃗) получим: 1

1

(𝑙⃗⁡𝑠⃗) = ⁡ 2 ⁡(𝑗⃗2 − 𝑙⃗2 − 𝑠⃗2 ) = ⁡ 2 (𝑗(𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) − 𝑠(𝑠 + 1)). В зависимости от взаимного ориентации векторов 𝑙⃗ и 𝑠⃗ вектор 𝑗⃗ может 1

принимать два значения: 𝑗 = 𝑙 ± , в соответствии с чем 2

𝑙

(𝑙⃗⁡𝑠⃗) = {

−

⁡⁡⁡при⁡𝑗 = 𝑙 +

2 𝑙+1 2

1 2

⁡⁡⁡⁡⁡⁡при⁡⁡𝑗 = 𝑙 −

1, 2

что дает для Δ𝐸𝑙𝑠 выражение: 𝑙 1

1

2

1 ℏ3 𝑙(𝑙+2)(𝑙+1)

Δ𝐸𝑙𝑠 = − 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)4

⁡{

⁡⁡при⁡⁡𝑗 = 𝑙 +

2 𝑙+1

−

2

1 2

⁡при⁡⁡⁡𝑗 = −

1.

(19.8)

2

Складывая вместе полученные добавки к энергии (18.6) и (19.8) и вводя 1

новое квантовое число 𝑘 = 𝑗 + , имеем: 2

1

1

2

𝑛4

Δ𝐸 = Δ𝐸рел + Δ𝐸𝑙𝑠 = ⁡ −⁡ 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)4

𝑛

3

𝑘

4

⁡( − ⁡ ).

(19.9)

Полученная формула дает добавочное изменение энергии, обусловленное наличием релятивистской и спин-орбитальной поправок. Прибавляя (19.9) 60

к величине невозмущенной энергии водородоподобного атома (Бальмеровский терм), получаем наконец приближенную формулу тонкой структуры: 1

1

2

𝑛2

𝐸нер = − 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)2

1

1

2

𝑛4

− ⁡ 𝜇𝑐 2 (𝛼𝑍)4

𝑛

3

𝑘

4

⁡( − ⁡ ).

(19.10)

§ 20. Вывод формулы тонкой структуры с помощью интеграла квантования Использование условия квантования Бора-Зоммерфильда (4.5) позволяет получить формулу тонкой структуры (19.10) без вычисления матричных элементов. Запишем с этой целью уравнение Шредингера с добавками, конкретный вид которых задан выражением (18.2) и (19.1). Т. к. E=

𝑝2 2𝜇

+ 𝑈(𝑟),

̂рел имеем: то для Δℋ ̂рел = − Δℋ Здесь

учтено,

что

1 2𝜇𝑐

⁡(𝐸 2 − 2|𝐸| 2

связанных

𝑍𝑒 2 𝑟

+⁡

𝑍2𝑒 4 𝑟2

соотношений

).

(20.1) (т. е.

E