Digitale und analoge Lösungsmethoden der Wärmeleitungsgleichung [1. Aufl.] 978-3-663-20071-0;978-3-663-20430-5

Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-5
Einleitung und Problemstellung (Heinrich Köhne)....Pages 7-7
Wärmeleitungsgleichung (Heinrich Köhne)....Pages 7-8
Stationäre Wärmeleitung (Heinrich Köhne)....Pages 9-48
Instationäre Wärmeleitung (Heinrich Köhne)....Pages 48-77
Zusammenfassung (Heinrich Köhne)....Pages 77-78
Literaturverzeichnis (Heinrich Köhne)....Pages 78-82
Anhang (Heinrich Köhne)....Pages 83-107
Back Matter ....Pages 109-110

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FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN

Nr.2120 Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt

Dr.-I ng. Heinrich Köhne Institut für Industrieofenbau und Wärmetechnik im Hüttenwesen an der Rhein.-WestJ. Techn. Hochschule Aachen

Digitale und analoge Lösungsmethoden der Wärmeleitungsgleichung

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1970

ISBN 978-3-663-20071-0 ISBN 978-3-663-20430-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-20430-5 Verlags-N r. 012120

© 1970 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Köln un Opladen 1970.

Inhalt

1. Einleitung und Problemstellung ........................................

7

2. Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3. Stationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.1.1 3.2.1.1.1 3.2.1.1.2

3.2.1.2 3.2.1.2.1 3.2.1.2.2 3.2.1.2.3 3.2.1.2.4 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.2.1 3.2.2.2.2 3.2.2.2.3 3.2.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.2.1 3.3.2.2 3.3.2.3 3.3.3 3.3.3.1 3.3.3.2 3.3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.1.1 3.4.1.2 3.4.2 3.4.2.1

Exakte Lösungen der elliptischen Differentialgleichung .......... Temperaturfeld ist von einer Koordinate abhängig. . . . . . . . . . . . . . . Temperaturfeld ist von zwei Koordinaten abhängig. . . . . . . . . . . . . . Digitale Näherungslösungen der elliptischen Differentialgleichung. . Aufstellung des Differenzengleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzenverfahren für geschlossene Gebiete .................. Differenzenverfahren zur Lösung der Laplaceschen Aufgabe in einfachen Gebieten ............................................ Differenzenverfahren in zusammengesetzten Gebieten und Differenzenverfahren unter Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Differenzenverfahren für den Gebietsrand ...................... Erste Randwertaufgabe ...................................... Zweite Randwertaufgabe .................................... Dritte Randwertaufgabe ..................................... Allgemeine Randwertaufgabe der Wärmeübertragung . . . . . . . . . . .. Lösung des Differenzengleichungssystems ...................... Exakte Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Iterative Lösungsmethoden .................................. Punktmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Linienmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Gruppenmethoden .......................................... Vergleich der iterativen Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Analoge Näherungslösungen der elliptischen Differentialgleichung Elektroanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Papiermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Beschreibung des Modells .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Dreidimensionales Papiermo:lell .............................. Versuchsergebnisse ......................................... Elektrolytischer Trog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung des Troges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Mehrschichtiges Modell ..................................... Versuchsergebnisse ......................................... Vergleich der Lösungen und Fehlerabschätzung ................ Vergleich der Lösungen ..................................... Wandecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Temperaturvedauf im Hochofenfundament ...... . . . ...... . . . ... Fehlerabschätzung der numerischen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lokaler Abbruchfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

9 9 9 10 11 11 11

13 14 15 17 19 19 21 21 23 23 28 29 30 31 32 33 33 34 35 35 36 37 37 38 38 38 38 39 40

3

3.4.2.2 3.4.2.3

Iterationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fehler durch die Übertragung der Randbedingungen auf den Netzrand....................................................... Fehler durch das Nichteinhalten der Randbedingung . . . . . . . . . . . .. Fehler durch die Approximation der Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Gesamtfehlerabschätzung .................................... Fehlerbetrachtung der analogen Verfahren ..................... Fehlerquellen des Papiermodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fehlerquellen des elektrolytischen Troges ...................... Zusammenfassender Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

41

4. Instationäre Wärmeleitung .............................................

48

Exakte Lösung der parabolischen Differentialgleichung. . . . . . . . . .. Digitale Näherungsläsungen der parabolischen Differentialgleichung Explizite Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzenverfahren aus dem zentralen zeitlichen Differenzenquotienten ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorderer Differenzenquotient .... . .. ....... ....... . . . . ........ Zentraler Differenzenquotient ................................ Rückwärtiger Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzenverfahren aus dem zweifachen vorderen Differenzenquotienten ................................................ . Differenzenverfahren höherer Ordnung ........................ . Differenzenverfahren in zusammengesetzten Gebieten und Differenzenverfahren unter Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit ...................................... . Stabilitäts- und Konvergenzuntersuchung ..................... . Indexkriterium ............................................ . Stabilitätskriterium von J. VON NEUMANN ..................... . e-Schema ................................................. . Implizite Differenzenverfahren ............................... . Aufstellung des Differenzengleichungssystems .................. . Rückwärtiger Differenzenquotient für lineare Probleme .......•... Implizite Methode nach CRANK NICOLSON ..................... . Rein implizite Methode ..................................... . Rückwärtiger Differenzenquotient für nichtlineare Probleme ..... . Implizite Methode nach CRANK NICOLSON 1. Art ............... . Implizite Methode nach CRANK NICOLSON 2. Art ............... . Rein implizite Methode ..................................... . Konvergenz- und Stabilitätsuntersuchung ..................... . Lösung des Differenzengleichungssystems ..................... . Wahl der Lösungsmethode .................................. . Bestimmung des Relaxationsfaktors ........................... . Matrizen Differentialgleichung ............................... . Diskretisierung des Ortes ................................... . Diskretisierung der Zeit ..................................... Analoge Näherungslösungen der parabolischen Differentialgleichung Beukenmodell ..............................................

48 50 50

3.4.2.4 3.4.2.5 3.4.2.6 3.4.3 3.4.3.1 3.4.3.2 3.4.4

4.1 4.2 4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.1.1 4.2.1.1.2 4.2.1.1.3 4.2.1.2 4.2.1.3 4.2.1.4

4.2.1.5 4.2.1.5.1 4.2.1.5.2 4.2.1.5.3 4.2.2 4.2.2.1 4.2.2.1.1 4.2.2.1.1.1 4.2.2.1.1.2 4.2.2.1.2 4.2.2.1.2.1 4.2.2.1.2.2 4.2.2.1.2.3 4.2.2.2 4.2.2.3 4.2.2.3.1 4.2.2.3.2 4.2.3 4.2.3.1 4.2.3.2 4.3 4.3.1 4

44 44 45 45 46 46 47 48

51 51 52 53 54 55

55 57

58 60 62 62 63 63 63 64 64 64 65 66 67

68 69 70 70 70 71 71 71

Hydraulisches Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Instationäres Papiermodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Instationärer elektrolytischer Trog »Cognac« ................... Vergleich der Lösungen und Fehlerabschätzung der Näherungsverfahren ..................................................... Vergleich der Lösungen ..................................... Fehlerabschätzung der Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diskretisationsfehler ........................................ Iterationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approximationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

74 74 75 75 76 76

5. Zusammenfassung....................................................

77

4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.2.1 4.4.2.2 4.4.2.3

5.1 5.2

73 74 74

Stationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Instationäre Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

77 77

6. Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7. Anhang..............................................................

83

7.1 7.2

Tabellen.. ................... ............. . ....... ......... Abbildungen ...............................................

83 90

5

1. Einleitung und Problemstellung

Die Berechnung von Aufheiz- und Abkühlvorgängen ist eine wichtige Aufgabe bei der Planung von Apparaturen, Reaktoren und Öfen. Solche Vorgänge spielen sich in Feuerungen, Werkstücken, Regeneratoren, Wohnräumen, Rohrleitungen und in der Erdoberfläche ab. In vielen Fällen interessiert nur der Endzustand eines solchen Ausgleichsprozesses - also das stationäre Feld. Stoff- und Wärmeaustauschprozesse werden nach den gleichen mathematischen Ansätzen berechnet. Damit gelten alle folgenden Betrachtungen auch für den Stoffaustausch. Eine Berechnung wird erst möglich, wenn idealisierende Voraussetzungen gemacht werden. Inwieweit diese Voraussetzungen die Aussagekraft mindern, wird noch untersucht. Der Körper, in dem das Wärmeleitproblem auftritt, soll homogen und isotrop sein. In diesem Körper wird die Temperaturverteilung gesucht. Handelt es sich um ein stationäres Problem, dann wird bei bekannter Anfangsbedingung das Temperaturfeld für einen gegebenen Augenblick gesucht. Der Einfluß der Umgebung auf die Oberfläche des Körpers kann berücksichtigt werden. In vielen Fällen ist dieser sogenannte Randeinfluß von der Zeit abhängig. Bisher mußte oft auf die Kenntnis der Temperaturverteilung verzichtet werden. Der technische Fortschritt zwingt jedoch zu immer neuen Untersuchungsmethoden, bei denen mit geringstem materiellen und zeitlichen Aufwand aussagekräftige Ergebnisse über den stationären Feldverlauf gewonnen werden sollen. Durch die schnelle Entwicklung elektronischer Datenverarbeitungsmaschinen, die bei ständig wachsender Speicherkapazität immer höhere Rechengeschwindigkeiten erreIchen, lassen sich auch Temperaturfelder in komplizierten Körpern berechnen.

2. Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeleitungsgleichung wird in der ingenieurwissenschaftlichen Literatur auch »Fouriersche Differentialgleichung« genannt. Es handelt sich bei ihr um eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung 1. Grades. Diese kann wie folgt angeschrieben werden:

8{} 8 (8{}) 8 (8{}) 8 ( 8{}) ,1- +- ,1- +- ,1- +rp(x,y,z,t)

c'I]-=-

8t

8x

8x

8y

8y

8Z

8Z

(1)

Darin bedeuten die Wärmeleitfähigkeit, {} die Temperatur, x,y, Z die Orts koordinaten, t die Zeit, I] die Dichte, c die spezifische Wärme und rp die Wärmequellenergiebigkeit. Je

7

Dabei können die Stoffwerte temperaturabhängig sein.

C'(!=f(f)) A=f(f)) Diese Differentialgleichung gehärt zur Kategorie der parabolischen Differentialgleichungen. Bei allen stationären Problemen ist o{}jot = O. Die Differentialgleichung vereinfacht sich zu

0 (Of)) + -oy A - + -0 ( A Of)) - + fP(x,y, z) = 0 oy oZ oZ

-o (Of)) Aox ox

(2)

Man nennt diese Differentialgleichung auch Poissonsche Gleichung. Mathematisch ist sie eine Differentialgleichung von elliptischem Typus. In vielen Fällen sind im Körper keine Wärmequellen vorhanden. Dann gilt außerdem fP(x,y, Z) = 0 und die GI. (2) vereinfacht sich zu

~ (A Of)) + ~ (A Of)) + ~ (A Of)) =

ox

ox

oy

oy

oZ

oZ

0

(3)

Ist die Wärmeleitfähigkeit in dem betrachteten Temperaturbereich praktisch nicht temperaturabhängig, also A = konst., so vereinfacht sich die Gleichung schließlich zu

o2f)

o2f)

o2f)

+ - +-=0 ox2 oy2 oZ2

(4)

Diese Gleichung, die sogenannte Laplacesche Gleichung, dient zur Berechnung von Pontialfeldern. Für die Lösung der Differentialgleichung ist erforderlich, daß die Grenzbedingungen, also Rand- und Anfangsbedingungen, vorgegeben sind. Dabei unterscheidet man im wesentlichen 1. ob die Temperaturverteilung auf der ganzen Oberfläche angegeben ist {} =

f(x,y,

z' t)

(1. Randwertaufgabe),

2. ob der Wärmefluß durch die Oberfläche gegeben ist

q = f(x,y,

z' t)

(2. Randwertaufgabe)

oder

3. ob die Umgebungstemperatur und ein Gesetz für den Wärmeaustausch zwischen der Oberfläche des Körpers und seiner Umgebung angegeben sind

{} = f(x,y, z' t) IX = f(x,y, z' t) IX

(3. Randwertaufgabe).

ist dabei der Wärmeübergangskoeffizient.

Bei allen stationären Problemen darf die Randbedingung nicht von der Zeit abhängig sein. Bei instationären Aufgaben muß außerdem die skalare Ortsfunktion {} = f (x,y, Z), die die Temperaturverteilung zu einer gegebenen Zeit darstellt, angegeben werden. Die Anfangstemperaturverteilung kann völlig willkürlich angenommen werden. Einen Überblick über die Lösungsmethoden gibt Tab. 1. 8

3. Stationäre Wärmeleitung 3.1 Exakte Lösungen der elliptischen Differentialgleichung Jeder Punkt eines Körpers hat eine Temperatur. Die Temperaturwerte ergeben in ihrer Gesamtheit ein Temperaturfeld. Die Verbindung der Orte gleicher Temperatur nennt man Isothermen. Im Körper ergeben sich isothermische Flächen. Die Wärme fließt senkrecht zu den Flächen, also in Richtung der größten Temperaturänderung. Es existieren eine Reihe von exakten Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung (stationäres Temperaturfeld mit konstanter Wärmeleitfähigkeit).

3.1.1 Temperaturfeld ist von einer Koordinate abhängig Es ist sinnvoll (GRÖBER, ERK, GRIGULL [38]), zunächst ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen. Das Temperaturfeld kann dann exakt berechnet werden, wenn es nur von einer Koordinate abhängig ist. Die Differentialgleichung lautet für solche Fälle: Platte

d 2ß -=0 dx 2

Zylinder

d 2ß dr2

Kugel

d 2ß dr 2

(5)

+ ~. dß r

dr

= 0

+ 2.. dß = r

dr

0

(6) (7)

Diese Differentialgleichungen sind elementar durch Trennung der Variablen lösbar. Die Konstanten Cl und C 2 ergeben sich aus den Randbedingungen. Platte Zylinder Kugel

+ C2 • x {} = Cl + C 2 • In r ß = Cl + C 2 • ~ r ß = Cl

(5a) (6a) (7 a)

FALTIN [29] gibt eine geschlossene Lösung an, wenn die Temperaturabhängigkeit von A durch folgende einfache Beziehung approximiert werden kann:

(8) Für den Temperaturverlauf ergibt sich

(9) In diesem Fall ist der Temperaturverlauf nicht mehr linear von x abhängig (Abb. 1).

3.1.2 Temperaturfeid ist von zwei Koordinaten abhängig Für bestimmte Fälle ist eine geschlossene Lösung auch möglich, wenn das Temperaturfeld von zwei Koordinaten abhängig ist. Gelingt es, mit Hilfe der konformen Abbildung, 9

ein Feld, in dem der Wärmestrom von zwei Koordinaten abhängig ist, auf den bekannten Fall des Wärmedurchganges durch eine ebene Platte, bei der das Temperaturfeld nur von einer Koordinate abhängig ist, zu transformieren, dann sind auch die Temperaturen an jedem Ort des Ausgangsfeldes durch Rücktransformation erhältlich. Es können also Wärmestromlinien und Isothermen von der ebenen Platte auf dieses Feld übertragen werden. Die Berechnung der halbunendlichen Ecke gibt GRÖBER, ERK, GRIGULL [38] an. Aus dem Schwarz-Christoffel-Theorem erhält man die analytische Funktion, die die Abbildung einer Ecke (z-Ebene) auf eine Platte (w-Ebene) ermöglicht zu

z=

-

2.. arctan (e wTC

dabei ist Z = x

eW

+ iy.

1)1/2 + ~ . In {(1 _ V/ eew +21)/(1 + 1Vlewe + 11·)}

+1

TC

W

(10)

W

Diese Abbildungsfunktion ermöglicht es, das Temperaturfeld der Ecke durch Übertragen des trivial berechenbaren Temperaturfeldes der ebenen Platte zu bestimmen. Zur Berechnung eines Wertepaares x,y sind allein 53 verschiedene Rechenoperationen erforderlich. Das bedeutet, daß für die Berechnung der Lage eines transformierten Punktes ein großer Zeitaufwand erforderlich ist. Abb. 27 a zeigt den berechneten Verlauf der Isothermen und Wärmestromlinien in einer Wandecke. Für die Berechnung mußten Innen- und Außenflächen der Wandecke als isotherme Flächen angenommen werden. Die Darstellung ist normiert. Das Bild zeigt einige bemerkenswerte Tatsachen: Die Wandecke stört das homogene Feld der ebenen Platte nur in ihrer unmittelbaren Nähe. In einem Abstand s von der Innenkante (s ist dabei die Wanddicke) macht sich der Einfluß der Ecke als Störung auf das Feld der ebenen Platte praktisch schon nicht mehr bemerkbar. Temperaturfelder in komplizierten Körpern lassen sich mit dieser Methode nicht berechnen. Die Methode läßt sich nur für die 1. Randwertaufgabe mit der Bedingung, daß die Temperaturen längs der beiden Ränder konstant sind, anwenden. Die Wärmeleitfähigkeit muß ebenfalls konstant sein. 3.2 Digitale Näherungsläsungen der elliptischen Differentialgleichung Analytische Lösungen lassen sich nur für einige Sonderfälle finden. Die Differentialgleichung für das stationäre Temperaturfeld läßt sich jedoch numerisch lösen. Man bezeichnet diese Verfahren als numerische Integration. Dabei wird jeweils folgende Näherung benutzt: Man ersetzt die in der Differentialgleichung auftretenden Differentialausdrücke durch Differenzenausdrücke. Das bedeutet geometrisch: mathematisch: experimentell:

Übergang von der Tangente zur Sehne Abbruch der Taylorentwicklung punktweises Ausmessen des Temperaturfeldes

Bei genügend kleiner Schrittweite stimmt die Näherungslösung gut mit der exakten Lösung überein. Differenzenverfahren (DV) sind immer anwendbar. In der Praxis wird die Berechnung von Temperaturfeldern mittels Differenzenverfahren durch die endliche Speicherkapazität elektronischer Digitalrechner beschränkt. Die zu lösence Differentialgleichung beschreibt die Lösung für das gesamte Gebiet. Im allgemeinen ist dieses Gebiet so auf10

gebaut, daß eine exakte Lösung der Differentialgleichung nicht möglich ist. Das geschlossene Gebiet, dessen Temperaturfeld gesucht wird, wird durch ein Netzwerk überdeckt. Für jeden Schnitt- oder Knotenpunkt des Netzes muß die Differentialgleichung gelten. Sie wird durch eine Differenzengleichung ersetzt. So entsteht für jeden Knotenpunkt eine Differenzengleichung und in der Gesamtheit ein Differenzengleichungssystem, dessen Lösung eine Näherungslösung des Problems ist.

3.2.1 Aufstellung des DifferenzengleichUlzgssystems 3.2.1.1 Differenzenverfahren für geschlossene Gebiete Zunächst soll das Gebiet mit Ausnahme des Randes untersucht werden. Es interessiert also nicht, ob Netz- und Gebietsrand zusammenfallen.

3.2.1.1.1 Differenzenverfahren zur LiJsung der Laplaceschen Aufgabe in einfachen Gebieten Die Differenzenmethode erfordert eine Diskretisierung. Durch zwei Systeme senkrecht aufeic.anderstehender Geradenscharen wird das gesamte Gebiet überdeckt. Es ist günstig, wenn in dem so entstandenen Netzwerk die Geraden konstante Abstände haben. In dem Gitternetz bezeichnet man 2 Gitterpunkte, die um die Maschenweite h voneinander entfernt sind, als Nachbarn. Jeder Punkt, dessen Nachbar (das sind: eindimensional 2, zweidimensional 4 und dreidimensional 6) zum Gebiet einschließlich der Randkurve gehört, heißt innerer Punkt. Betrachtet man den Punkt (i, k) des Netzes (Abb. 2) und entwickelt von diesem Punkt Taylorreihen nach den 4 benachbarten Punkten (i + 1, k), Ci, k + 1), (i, k -1), Ci -1, k), so erhält man folgende Gleichungen ({}i, k ist dabei der Temperaturwert an der Stelle i, k): h2 h3 h4 {}i+1,k = {}i,k + h· {}x +2 . {}x 2 + 3! . {}X 3 + 4! {}x 4 +... (11a) {}i -1 k

=

{}i k -

{}i,k+1

=

{}i,k

"

+ -h . {}x 2 -

h3 3!

2

-

2

h2

• {}x3

h3

+ -h

4

4!

{}x4

+ ...

h4

+ h· {}y +"2' {}y2 + 3! . {}y3 + 4! . {}y4 + ...

{}i k-1 = {}i k -

,

h . {}x

,

Darin bedeuten {}x = d{}/dx,

h '{}y {}x2

+ -h22 . {}y2 -

h3 3!

-

• {}y3

+ -h4!4 . {}y4 + . . .

(11 b) (11c) (11d)

= d 2{}/dx2 usw.

Durch Addition dieser 4 Gleichungen erhält man

+ {}i-1,k + {}i,k+1 + {}i,k-1 = 4· {}i,k + h2 • ({}x2 + {}y2) + ~ + -~12 . ({}x4 + {}y4) + -360 . ({}xs + {}ys) + ...

{}i+1,k

0~

Nach Auflösen der Gleichung ergibt sich

{}x + {}y2 -_ {}i+1, k + {}i-1, k + {}i, hk+1 + {}i, k-1 2

4·

{}i, k

2

(13)

11

Diese Gleichung ist exakt. Für die höheren Ableitungen lassen sich jedoch nicht so einfache Beziehungen angeben. Deshalb vernachlässigt man diese Ableitungen, die hier die Fehlerordnung 0 (h 2 ) haben. Man setzt also

(14) und erhält damit {}

_

i,k -

{}i+l,k

+ {}i-l,k + {}i,k+1 + {}i,k-l

(15)

4

das sogenannte Kreuzschema. Die Erfassung der Randwerte und die dazugehörigen Korrekturen werden noch behandelt. Grundsätzlich wird man bestrebt sein, die Ordnung des Fehlers zu vergrößern. Das ist nur möglich, wenn für die Berechnung des Funktionswertes {} an der Stelle (i, k) mehr als vier benachbarte Punkte benutzt werden. Beim DV höherer Ordnung (nach COLLATZ »DV höherer Annäherung«) ersetzt man die Differenzenquotienten durch finite Ausdrücke. Hierbei stimmt die Taylorentwicklung bis zu Gliedern höherer Ordnung mit dem Differentialausdruck überein als beim gewöhnlichen Differenzenverfahren. Die Aufstellung solcher finiter Ausdrücke geschieht entweder über die Operatorenmethode oder durch die unmittelbare Taylorentwicklung [57]. Beim DV höherer Ordnung ergibt sich folgende Gleichung {}

_ 16·

({}i+l, k

i,k -

+ {}i-l, k + {}i, k+1 + {}i, k-l) 60

({}i+2, k

+ {}i-2, k + {}i, k+2 + {}i, k-2) (16)

Das vernachlässigte Restglied Ri,k

=

h4

90 ({}x s

h6

+ {}ys) + 1008 ({}x s + {}ys) + ...

(17)

ist von der Fehlerordnung 0 (h 4 ). So erstrebenswert eine hohe Fehlerordnung ist, so wird sich bei der Betrachtung der Randprobleme zeigen, daß es im allgemeinen zur Erreichung einer höheren Genauigkeit günstiger ist, bei der niedrigen Fehlerordnung die Maschenweite zu verringern. Das ist deshalb wichtig, weil die Differenzenmethoden mit h -J>- 0 gegen die Differentialgleichung konvergieren. Bei der Hermiteschen Methode werden die acht umliegenden Punkte herangezogen. Die Berechnungsgleichung lautet

{}

_ 4·

i,k -

({}i,k+1

+ {}i,k-l + {}i+1,k + {}i-l,k) +20{}i+1,k+l + {}i+l,k-l + {}i-l,k+1 + {}i-l,k-l. (18)

mit dem Restglied (19)

12

Vergleicht man den ersten Koeffizienten von R i , le vom Verfahren höherer Ordnung mit dem des Hermiteschen Verfahrens, so stellt man fest, daß im ersten Fall der Koeffizient 1/90 = 0,011 und im zweiten Fall 2/6! = 0,0029 beträgt. Der Koeffizient beim Hermiteschen Verfahren ist also viermal kleiner als der Koeffizient beim Verfahren höherer Ordnung. Diese Abschätzung hat nur Bedeutung für die erste Orientierung. Die Verfahren wurden alle für den speziellen Fall - quadratisches Gitter und zweidimensionales Feld - abgeleitet. Eine Erweiterung auf andere Gitter und auf den dreidimensionalen Fall bereitet keine Schwierigkeiten (siehe PANOW [72], KÖHNE [57]). In Abb. 3 sind für die einzelnen DV die Schemata angegeben.

3.2.1.1.2 Differenzenverfahren in zusammengesetzten Gebieten und Differenzenverfahren unter Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit Bisher wurde angenommen, daß die Wärmeleitfähigkeit A = konst. ist. Kennt man die Funktion A = f({}) oder A = f({}i) in diskreten Punkten, so läßt sich die Differentialgleichung

!.('A O{}) + ~ (A O{}) + ~ (A O{}) = ° OX OX oy oy oZ oZ

(3)

lösen. Die Taylorentwicklung wird für den Wärmestrom durchgeführt. Es ist (Abb. 4)

Ai-I'

o{}

OX

= A. o{}

~ . O(AO{}/OX) 2 OX

_

OX

+ ~ . h2 • 02 (AO{}/OX) _ 4

2!

ox2

~ . h3 • 03 (AO{}/OX) 8 3! ox3

+ ... (20)

Entwickelt man den Wärmestrom auch in andere Richtungen, summiert und löst die Gleichung auf, so ergibt sich

~ (A O{}) OX OX

+ ~ (A O{}) = ~

AHI . {}i+1, le

+ Ai-I' {}i-I, le + Ale+1 • {}i, le+1 + Ale-I' {}i, le-I_

~

AHI

~

+ At-l + Ale+1 + Ale-l {} + Ri, le -• i, le h2

°

(21)

Dabei ist Ri

,

_

le -

-

+ Ai-I • {}x 2 + Ale+1 + Ale-I .( }y2) -

(Ai+1

2

2

h (AHI - Ai-I • {}X S 3!

+ Ale+1 -

3!

Ale-I

•

{}

_ h2 (AHI + Ai-I. {}x 4+ Ale+1 + Ale-I. (}Y4) _ h2 {!:... (A O{}) + 03 (A O{})} _ . . . 4!

4!

41 ox3

OX

oy3

oy

°

Ist Ai+1 = Ai-I = Ale+1 = Ale-I = A, so verschwinden die beiden ersten Terme, und das Restglied hat die Fehlerordnung (h 2). Bei unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten läßt sich bei Vernachlässigung des Restgliedes (22) aus GI. (21) folgende Berechnungsgleichung angeben. {} i le ,

=

Ai+1 • {}i+1,le

+ Ai-I' {}i-I,le + Ale+1 • {}i,le+1 + Ale-I' {}i,le-I Ai+1 + Ai-I + Ale+1 + Ale-I

(23)

Eine weitere Möglichkeit, die Differentialgleichung (3) zu lösen, soll noch gezeigt werden. 13

y"

)

-

(22)

Die Differentialgleichung läßt sich wie folgt aufspalten: 8f} ) -8 ( A-

8x

8x

8 (, 8f}) _ +8y 8y A-

2f}) 8A {(8f})2 (8f})2 } - +88+- +8f} 8x ay y2

,(82f} 8x 2

-A

(24)

oder (25)

Falls }, = a

+ b . f} ist, ergibt sich folgende Differenzengleichung f}i+1,k + f}i-l,k + f}i,k+1 + {}i,k-l- 4 f}i,k + h2

Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung in IX

= -

a

(f}i+l, k -

mit

b + 4" (f}i,k+1 + f}i,k-l + f}i+I,k + f}i-l,k)

und

ß=

1

f}i, k

f}i-I, k)2

+ (f}i, k+1 -

f}i, k_l)2

16

(27)

+ _a_ (f}. . + f}. + f}.Hl,k + f}.t-l,k ) 4. b t,ktl t,k-l (28)

Es ergibt sich IX

f}i k= -

'2

+ ß ±V-4

/ (X2

4

(29)

Diese Formel ist von der Fehlerordnung her genauer als GI. (23). Der Aufwand für die Berechnung des Funktionswertes an der Stelle i, k ist jedoch groß, da dieser Wert durch GI. (29) berechnet wird. 3.2.1.2 Differenzenverfahren für den Gebietsrand Bisher sind Betrachtungen über alle Randprobleme ausgeklammert worden. Aber gerade hier treten die Hauptschwierigkeiten auf. Die erste Schwierigkeit besteht darin, daß die tatsächliche Randkurve r allgemein nicht mit r* zusammenfällt. Für eine große Zahl von technischen Problemen sind die Begrenzungsflächen so beschaffen, daß man die Punkte des Netzwerkes genau mit der Randkurve (Randfläche) zusammenfallen lassen kann. Hat man aber Flächen, deren Randkurven nicht aus Geradenstücken, sondern z. B. aus Kreisstücken zusammengesetzt sind, dann kann allgemein diese Forderung nicht eingehalten werden. Man muß deshalb verlangen, daß das Netzwerk so konstruiert wird, daß der Rand des Gebietes G* den Rand des Gebietes G optimal approximiert. P ANOW [72] stellt die zusätzliche Forderung auf, daß die Begrenzung des gegebenen Gebietes die Linien des Netzes immer zwischen einem Randpunkt und einem inneren Punkt und nicht zwischen zwei inneren Punkten schneidet. Die Randpunkte eines Netzgebietes können sowohl im Außeren als auch im Inneren des zu approximierenden Gebietes liegen. Da nicht in jedem Fall die Randwerte durch einfache lineare Interpolation (oder Extrapolation) gefunden werden, ist es zweckmäßig, den Rand so zu legen, daß die Rand14

punkte des Netzgebietes im Äußeren des Gebietes G liegen, wenn der Abstand zum äußeren Randpunkt kleiner oder gleich der halben Maschenweite ist. Die entsprechende Betrachtung gilt auch für Randpunkte im Inneren des Gebietes (Abb. 5). Ferner gibt es Randpunkte (z. B. P), die bei einem vorgegebenen Differenzenverfahren auf die Lösung keinen Einfluß haben. Man kann durch die Wahl einer anderen Differenzenformel diese Punkte aber auch mit erfassen. Dies ist im allgemeinen empfehlenswert. Die Rechnung kann beim Differenzenverfahren dadurch erleichtert werden, daß man bei Gebieten mit kompliziertem Rand eine bessere Approximation durch eine Kombination verschiedener Gitter erreicht. Dabei muß sofort auf die Schwierigkeit hingewiesen werden, die an der Verbindungsstelle der verschiedenen Gitter entsteht. Im allgemeinen muß man dann das Gitter aus dem einen Gebiet so in das Gebiet mit dem veränderten Gitter legen, daß es zu einer Gitterüberdeckung kommt. Dann kann man mit Hilfe von Interpolationsformeln die Funktionswerte in den neuen Knotenpunkten berechnen. Für einen sehr einfachen Fall soll dies gezeigt werden (Abb. 6). Da in unmittelbarer Nähe der Ecke die Isothermen sehr dicht liegen, wird dort ein Netz mit halber Maschenweite gewählt. Zur Berechnung der Funktionswerte wird das Kreuzschema benutzt. Sollen die Funktionswerte an der Begrenzungsfläche zwischen verfeinertem und grobem Gitter berechnet werden, dann fehlt der Funktionswert an der Stelle (0); dieser kann jedoch wiederum nach dem um 45 0 gedrehten Kreuzschema (aus den Punkten 1-4) berechnet werden. Die Wahl des Netzes muß so erfolgen, daß das Gebiet möglichst gut approximiert wird. Man kann durch Verfeinerung der Schrittweite den Gebietsrand besser approximieren. Dabei muß berücksichtigt werden, daß z. B. im dreidimensionalen Fall eine Halbierung der Schrittweite achtfachen Rechenaufwand erfordert. 3.2.1.2.1 Erste Randwertaufgabe

Bei der Lösung elliptischer Differentialgleichungen unterscheidet man grundsätzlich drei Fälle, die sich durch die Randbedingungen ergeben. Dabei muß vorausgesetzt werden, daß die Randkurve rund r* stückfrei geschlossen und doppelpunktfrei ist. Diese Voraussetzung ist für technische Berechnungen immer erfüllt. Ist die Funktion {} = {} auf r vorgegeben, so spricht man von der sogenannten Dirichletschen Aufgabe oder der ersten Randwertaufgabe (R W A), wenn man die Lösung der partiellen Differentialgleichung sucht. An jeder Stelle des Randes müssen die Werte von {} vorgegeben werden. Nun ist speziell dieser Fall dann einfach, wenn die tatsächliche Randkurve mit der approximierten zusammenfällt. In vielen Fällen läßt sich die Temperatur auf der Randkurve (oder Oberfläche) meßtechnisch erfassen. Wenn bei der Lösung einer Dirichletschen Aufgabe der Rand des Netzes mit dem Rand des zu untersuchenden Gebietes zusammenfällt, dann bleiben die Werte der gesuchten Funktion {} auf dem Rande des Netzes während einer Iterationsrechnung unverändert. Wenn aber, was allgemein der Fall ist, die Ränder r des gegebenen Gebietes und die Ränder r* des zu approximierenden Gebietes nicht zusammenfallen, trifft das schon nicht mehr zu. Man muß dann die Werte von den Randwerten des Gebietes auf den Rand des Netzgebietes übertragen. Da die Funktionswerte im Inneren des Gebietes noch nicht bekannt sind, sondern erst ermittelt werden müssen, kann schon bei der ersten R W A die Randbedingung nur sukzessiv erfüllt werden. COLLATZ [19] hat folgende Methode zur Verbesserung der Randwerte vorgeschlagen (Abb.7): (31)

15

Es soll noch die Größenordnung des Fehlers bei der Verbesserung der Randwerte nach untersucht werden. Die Entwicklung der Taylorreihe liefert:

COLLATZ

{}2={}R+(h-6)·{}x+

6)2

(h -

2

·f}x2+

(h - 6)3 '{}xB+'" 3!,

(32b)

Dividiert man die erste Gleichung durch 6 und die zweite Gleichung durch (h - 6) und addiert beide Gleichungen, so ergibt sich {}2 -6 + -= h-6

{}l

{}R

-

6

1 1 + h-o -{}R- + -{6 + (h-6)} {}x2 + - {-6 2 + (h-6)2}{}x3 2! 3!

(33)

und daraus (30b) mit 1 >

~h

:::0: 0 ergibt sich

-

BI =

I!.2! . ~h . {}x 2 + h3! (~h + h~)2 . {}x3 + ... 3

(34)

MIKELADSE [69] hat einige Formeln zur weiteren Verbesserung der Randwerte angegeben (Abb. 8).

Es ist

{}, k-l = {}i k -

'..

h·

+ -h2! . {}y2 2

{}y

h3

-

3!

. {}y:l

+ -1;4 . {}y4 - . . • 4!

(35c)

Addiert man die beiden ersten Gleichungen nach Division durch h bzw. 6i und die GI. (35c) und (35d) nach Division durch h bzw. 6k, so erhält man

Nun werden noch die zweiten Ableitungen eliminiert. Da {}a;2 + {}y2 = 0 ist, muß die erste Gleichung durch (6i h) und die zweite durch (6 k + h) dividiert werden. Durch Umformen und Auflösen nach {}i. k erhält man:

+

16

Die Größenordnung des Fehlers beträgt 0 (h 3). Eine weitere Steigerung der Fehlerordnung ist möglich, wenn man zusätzliche Punkte zur Berechnung von {h, k heranzieht. Es scheint erstaunlich, daß man für zweidimensionale Felder am Rande bereits mit zwei Punkten eine Fehlerordnung 0 (h 2) und mit vier Punkten eine Fehlerordnung o (h 3) erzielt, wenn man bedenkt, daß im Gebiet für 0 (h 2) vier Punkte und für 0 (h4) mindestens acht Punkte benötigt werden. Das liegt daran, daß am Rand (bei der 1. RWA) die Funktionswerte schon bekannt sind.

3.2.1.2.2 Zweite Randwertaufgabe Als zweite Randwertaufgabe bezeichnet man die Aufgabe, die Laplacesche Gleichung für ein Gebiet G zu lösen, wenn auf der Randkurve nicht die Werte der Funktion, sondern ihre Normalenableitung gegeben ist, also

r

o{}

- = k(x,y, z)

on

Die 2. RWA wird auch Neumannsche Aufgabe genannt. Zur Lösbarkeit muß gesagt werden, daß eine eindeutige Lösung nur dann existiert, wenn der Wert der Funktion entweder im Gebiet oder auf der Randkurve an mindestens einer Stelle bekannt ist. Außerdem muß

Jon ds=O O{}

(39)

s

sein, das heißt, die Summe der Normalenableitung über der Randkurve muß Null sein. Die 2. RWAsoll mit Hilfe von Differenzenverfahren gelöst werden. Die Diskretisierung wird durch die Oberdeckung des Gebietes mit einem Netz erreicht. Zunächst wird ein quadratisches Netz gewählt, bei dem die Randkurve eine Gerade ist und eine Linie des Netzes bildet. Die Randkurve soll dabei senkrecht auf der Normalenrichtung stehen. Die Bedingung (39) wird durch I: iJ{}jiJn = 0 ersetzt, wobei sich die Summation über den ganzen Rand erstreckt. Die Normalenableitung selbst wird durch die Taylorreihe gebildet (Abb. 9). {}i k+1

"

o{}

= {}i

k

- = {}a; =

on

+ h . {}a; + -h2 . {}a;2 + -h3! . {}a;3 + ... 2

{}i, k -

{}i, k+1

h

3

+ -2h . {}a;2 + ...

(40) (41)

Die so gebildete Normalenableitung hat einen Fehler von der Ordnung 0 (h). Natürlich kann man die Fehlerordnung weiter steigern, indem man zusätzlich andere Punkte zur Berechnung von o{}jon heranzieht. So ergibt sich: o{} =

&

4· {}i, k+1 -

3 . {}i, k 2h

-

{}i,

k+2

+ ~ h2 {}a;3 + ... 3

(42a)

17

Die 2. RWA wird bei der Lösung auf die Dirichletsche Aufgabe zurückgeführt. Zunächst werden willkürlich gewählte (in der Regel sinnvoll geschätzte) Funktionswerte auf dem Rand angenommen. Mit diesen »willkürlich« gewählten Werten löst man das Dirichletsche Problem. Danach kontrolliert man, ob die Randbedingungen erfüllt sind und berechnet die nun schon verbesserten Randwerte gemäß der Beziehung

an + {}(n) i,k+l

h . o{}

{}(n+1) = i,k

(43)

Dabei bedeutet (n + 1) die (n + 1). Näherung und entsprechend (n) die n. Näherung. Die Folge konvergiert, und man erhält schließlich die Lösung der Neumannsehen Aufgabe aus der Lösung einer Reihe von Dirichletschen Aufgaben. In der praktischen Rechnung kann man gleichzeitig mit den Funktionswerten im Gebiet auch die Randwerte verbessern. Das bringt eine Zeitersparnis bei der Berechnung. Sehr große Schwierigkeiten entstehen, wenn der gegebene Rand des Gebietes nicht mit dem Netzrand zusammenfällt, weil in den Randbedingungen Ableitungen in Richtung der Normalen auftreten. Ist n die Normalenrichtung und sind 11 , 12 zwei Richtungen durch Netzpunkte, weiterhin 0 der Randpunkt, Cl, ßdie Winkel zwischen der Normalen und den Richtungen 11 und 12 , so läßt sich nach Taylor folgende Entwicklung durchführen (Abb. 10): {}1 = {}o

-+ 01 1

(

cos

. ({J1 -0 )2 {} + ... + -2!1 h"l' ( COS ({J1 ox - 0 + sm oy

o +.sm ({J1 • -0) {}

({J1 • -;-

ox

oy

(44a) {}2 = {}o

-+ h2 ( COS ({J2 • OX - 0 + sin ({J2 • -0 ) {} + -1 h 2' oy 2! 2

(

COS ({J2 - 0

OX

+ sm. ({J2

-0 )' 2 {} ~y

+ ... (44b)

Vernachlässigt man die Glieder mit h 2 [das sind, da durch h dividiert wird, die Glieder

der Ordnung 0 (h)], so erhält man: {}o.

{}l -

{}x

{}o

{}2 -

.

- - - . sm ({J2 • sm ({Jl h1 h2 =-----~~--~--sin (({J2 - ({Jl) {}2 -

{}1 -

{}o - - - • COS ({Jl -

h2

{}o

h1

• COS ({J2

{}y = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

sin

(({J2 -

({Jl)

(45a)

+ ...

(45b)

+ ...

und o{}

-

an

=

cos

({J'

+ sm ({J' {} y

{}'

x

(46a)

Vernachlässigt man das Restglied, so wird o{)

-=

an

.

sm

1

{{}l -

(({J2 -

h1

({J1)

{}o

.

sm

.

(({J2-({J)

oder, wenn man die Differenzenwinkel durch Cl und o{}

-

an

18

=

({}l h1

{}o

.

. Sin

ß-

-+ {}2 -h

2

{}o

+ {}2 -

{}o

h2

. sm. (({J-({Jl) }

(46b)

ßersetzt

. sm. IX_) sin (Cl1 -+ ß)

(46c)

Für das Rechteckgitter vereinfacht sich die Gleichung weiter zu

(46d) (für quadratische Gitter ist zudem h1 = h2) Bei diesen Formeln wurde vorausgesetzt, daß der Randpunkt (0) ein Gitterpunkt ist. Dies ist allgemein nicht der Fall. Wenn man bedenkt, daß man Berechnungsgleichungen mit hohen Fehlerordnungen für Punkte im Feld sowie für die Verbesserung von Randwerten (r und r* fallen nicht zusammen) kennt, dann sieht man bei der Behandlung der 2. RWA, daß die Hauptschwierigkeit in der Berechnung des Temperaturgradienten liegt. Bis auf eine Ausnahme wurden nur Formeln mit der Fehlerordnung 0 (h) abgeleitet. Die Winkel, die das Gitternetz mit der Normalen auf der Randkurve bildet, müssen bekannt sein. 3.2.1.2.3 Dritte Randwertaufgabe

Liegt eine Linearkombination der Bedingungen für die erste und zweite R W A vor, so spricht man von der dritten R W A, es gilt a' {}

-+-

o{}

b. an =

C (x,y,

(47)

Z)

Hierbei müssen a, bund c bekannte Funktionen sein, die für jeden Randpunkt definiert sind. Die Aufgabe hat dann eine eindeutige Lösung, wenn die Funktionen a und b in allen Randpunkten das gleiche Vorzeichen haben und nicht gleichzeitig Null werden. 3.2.1.2.4 Allgemeine Randwertaufgabe der Wärmeübertragung

Für wärmetechnische Rechnungen gilt nach FOURIER -

O{}R

Je -

an

=

IX

(48)

(}u)

({}R -

dabei ist Je = f ({}) die Wärmeleitfähigkeit, während IX = f ({}) der Wärmeübergangskoeffizient ist. Außerdem bedeuten {}R = Randtemperatur und {}u = Umgebungs•

IX

temperatur. Gemäß GI. (48) wIrd b = 1, a = -

IX{}R

und c = - .

O{}R

-

bedeutet, daß an der Wärmetransport in Richtung des Gradienten erfolgt. Der Wärmestrom durch die Wand berechnet sich aus Je

= q . df' cos & = -

Je

Je • grad {} . (cos & . dj)

(49a)

Betrachtet man den Wärmetransport normal zum Flächenelement dj, so ergibt sich = -

Je • (grad

{} . cos &) . df

(49b)

(dabei ist & der Winkel zwischen dem Gradienten und der Flächennormalen). Man sieht, daß beim »Fourierschen Abkühlungsgesetz« o{}jon die Ableitung in Normalenrichtung auf die Isotherme (in unmittelbarer Wandnähe) und bei der dritten RW A o{}jon die Ableitung normal zur Randkurve ist (Abb. 11). Die Randkurve ist allgemein keine Isotherme. Damit erhält man eine neue Unbekannte, nämlich die Richtung der Normalen auf die Isotherme an der Randkurve. Es gilt also, zusätzlich die Richtung des stärksten Temperaturabfalls am Rand zu bestimmen.

19

Zunächst soll eine Formel entwickelt werden, mit deren Hilfe man die Randwerte mit der Fehlerordnung 0 (h) bestimmen kann, wenn ä = 0° ist. Es ist

(48) (50a) und bei Vernachlässigung des Restgliedes IX

-

. {}u

h

Je

{}R =

+ -1 . {}i

IX

(50b)

1

-+}, h

r

Nimmt man an, daß die Randkurve mit einer Netzlinie zusammenfällt, dann kann man durch die neun Punkte (i + 2, k), (i + 2, k + 1), (i + 2, k + 2), (i + 1, k + 2), (i, k + 2), (i -1, k + 2), (i - 2, k + 2), (i - 2, k + 1), (i - 2, k) und den gesuchten Randpunkt (i, k) neun Richtungen legen. Von diesen neun Richtungen wird die Richtung der Normalenrichtung auf die Isotherme am nächsten kommen, bei der die Differenz der Funktionswerte des Randpunktes und des 2. Punktes, durch den die Gerade bestimmt wird, dem Betrag nach am größten ist. Für den Rechenautomaten bietet die Abfrage nach dem größten Betrag kein besonderes Problem. Liegt die Richtung der Normalen fest, dann läßt sich {}i, k mit einer Fehlerordnung 0 (h 2 ) berechnen. Die Genauigkeit der Richtungsbestimmung erfolgt aus 1 Llä = - arctan (0,5) 2

(51 )

das heißt, der maximale Fehler für die Richtung beträgt

Die Taylorentwicklung ergibt (Abb. 12)

+ -h3! . {}y:l + ...

{}i k+l = {}i k

+ h . {}y + -h2

{}i, k+2 = {}i, k

+ 2 h . {}y + 2 h2 '{}y2 + 3! h3 • {}Y:l + ...

"

2

3

{}y2

8

(52a) (52b)

Daraus erhält man

4 . {}i, k+1 - {}i, k+2 - 3 . {}i, k ----'----2-h----'-

+ '31 h2 . {}y:l + ...

(53e)

Diese Formel hat Gültigkeit für Richtung 5. Für die anderen Richtungen ergeben sich, wenn das Restglied vernachlässigt wird, folgende Annäherungen: Richtung 1 Richtung 2

20

{}

_ 4· {}i-l, k

n, -

-

{}i-2, k -

2h

3 {}i, k

(53a) (53b)

=

V2 V2 2 + {}n ' -2-

Richtung 3

{}n

Richtung 4

{}n 4

Richtung 6

{}na

+ {}n 5 • sin (63,4°) = {}n 9 • cos (63,4°) + {}n5 • sin (63,4°)

Richtung 7

{}n

=

{}n

Richtung 8

{}ns

=

{}ng •

Richtung 9

{}n9

=

3

7

=

{}n

1

• --

{}n 1 •

9

(53c)

5

cos (63,4°)

V22 + {}n -V22-

• --

4 . {}i+l, k

-

+ {}n5 • sin (26,6°)

{}i+2, k -

(53f) (53g)

5

cos (26,6°)

(53d)

3 {}i, k

2h

(53h) (53i)

Der Aufwand zur Bestimmung des größten Temperaturgradienten ist sehr groß. Dabei ist noch nicht berücksichtigt worden, daß im allgemeinen Fall A = f({}) ist. Das gilt auch für die Berechnung der Randwerte. Für einen solchen Fall ergibt sich folgende Gleichung, wenn A durch die lineare Abhängigkeit A = a + b . {} approximiert wird. a {}(n+ 1) R

{}) + b . {})f) + 21h (4{) i, k+1 + i, k+2 IX

-

IX

a

+ b . {})f)

3

(54)

2h

wobei n und n + 1 wieder die Anzahl der Iterationsschritte bedeuten. Sowohl bei der Neumannsehen und bei der dritten RWA als auch bei der allgemeinen RW A der Wärmeübertragung muß an mindestens einem Punkt des Feldes der Funktionswert bekannt sein. Diesen Punkt kann man im allgemeinen mit genügender Näherung dort wählen, wo man die Wärmeleitung auf klassische Fälle - also solche Fälle, in denen die Richtung des Wärmestromes bekannt ist - zurückführen kann.

3.2.2 Lijsung des Differenzengleichungssystems Soll in einem Gebiet das Temperaturfeld bei konstanter Wärmeleitfähigkeit numerisch berechnet werden, dann ergibt sich aus den Berechnungsformeln für die einzelnen Gitterpunkte ein lineares Gleichungssystem. Läßt sich dieses System exakt lösen, dann konvergiert diese Lösung gegen die Lösung der Differentialgleichung mit 0 (h v). Für ein zweidimensionales Problem ergeben sich z. B. bei einem Rechteckfeld, das durch 10 Geraden in der einen und 20 Geraden in der anderen Richtung unterteilt wird, bereits 200 Knotenpunkte und demzufolge ein Gleichungssystem mit 200 Unbekannten. Eine exakte Lösung dieses Systems ist mit Hilfe des Gaußsehen Algorithmus oder des Cramersehen Verfahrens möglich. 3.2.2.1 Exakte Lösungsmethoden Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem von n Gleichungen mit n Unbekannten in der Form

+ a12 {}2 + a13 {}3 + .. . a2l {}l + a22 {}2 + a23 {}3 + .. . a3l {}l + a32 {}2 + a33 {}3 + . . .

an {}l

(55a) 21

oder

A'#=a

(55b)

Diese Gleichungen sind eindeutig lösbar, wenn die n Zeilen der Gleichungskoeffizienten linear unabhängig sind. Diese Bedingung läßt sich zahlenmäßig durch die Forderung nicht verschwindender Koeffizientendeterminate ausdrücken. D = det (ai, lc) =f= 0

(56)

Die stufenweise Elimination der Unbekannten wird so durchgeführt, daß man die Eliminationsgleichung der Reihe nach mit geeigneten Faktoren (21, (31 ... (nI versieht und von der zweiten, dritten bis n-ten Gleichung subtrahiert. Für ein System mit n = 3 Gleichungen ergibt sich an . #1

+ a12 . #2 + al3 . #3 = al *

. #3 =

a3*

(57 a)

Dabei ist

a2*

=

a21

a2 - a l an

(57b)

Man bildet so ein dreieckförmiges Koeffizientenschema, aus dem man die Unbekannten der Reihe nach berechnen kann. Praktisch darf das aii dem Betrag nach nicht zu klein im Vergleich zu den übrigen Koeffizienten sein, da sonst Genauigkeitsverluste durch Abrundungsfehler auftreten. Am sichersten verfährt man, wenn man das betragsgrößte Element zum Spitzenelement (Pivotelement) macht, was man durch Zeilenvertauschen immer erreichen kann. Entsprechend verfährt man bei der Elimination der zweiten Stufe. Man kann zeigen, daß für die gesamte Berechnung ungefähr n3 /3 Multiplikationen und Divisionen erforderlich sind. Es gibt kein anderes Verfahren, durch das die exakte Rechnung verkürzt wird. Trotzdem kann mit diesem Verfahren ein großes Gleichungssystem auf einem Digitalrechner wegen der Stellenverluste oft nicht mit genügender Genauigkeit gelöst werden. Außerdem gibt es Verfahren, bei denen man durch iterative Berechnung die Anzahl der erforderlichen Rechenoperationen verringert. Eine andere Möglichkeit der exakten Berechnung bietet das Cramersche Verfahren. Das Verfahren ist aufwendig, wenn man das ganze lineare Gleichungssystem lösen will. Genügt jedoch eine einzige Lösung (weil vielleicht die Temperatur nur an einer Stelle gesucht wird), dann kann das Cramersche Verfahren dem Gaußschen Algorithmus überlegen sein. Ein System (55b)

22

sei für eine dreireihige quadratische Matrix gegeben

+ a12 • fh + a13 • {}3 = al a2l • {}l + a22 • {}2 + a23 • {}3 = a2 a3l • {}l + a32 . {}2 + a33 . {}3 = a3

an • fh

(55c)

dann ist ala12 a 13 a2 a 22 a 23

{}l

=

a3 a 32 a 33

(58)

Entsprechend läßt sich {}2 und {}3 berechnen. Große Gleichungssysteme, wie sie bei der Lösung von stationären Wärmeleitproblemen auftreten, löst man im allgemeinen nicht mit dem Gaußschen oder mit dem Cramerschen Verfahren. Beim Einsatz elektronischer Digitalrechner zeigt sich, daß andere Verfahren günstiger sind. Bei den exakten Lösungsverfahren überschreitet der Speicherbedarf sehr schnell die Maschinenkapazität. Soll z. B. ein zweidimensionales Feld, welches Rechteckform hat und in zehn mal zwanzig Felder aufgeteilt ist, berechnet werden, so benötigt man für die Iteration 200 Speicherplätze. Berechnet man aber die Funktionswerte mit dem Gaußschen Algorithmus, so benötigt man allein zur Speicherung der quadratischen Matrix (n = 200) 40000 Speicherplätze. Man kann sich leicht vorstellen, daß der reine Rechenaufwand entsprechend groß wird. Ein anderer Grund für die Benutzung iterativer Methoden liegt darin, daß die erforderliche Berechnung der Kehrrnatrix A -1 Rundungsfehler in die Lösung bringen kann, die eine Nachiteration erforderlich machen. 3.2.2.2 Iterative Lösungsmethoden Überwiegen in einem linearen Gleichungssystem die Hauptdiagonalelemente, dann lassen sich zu dessen Lösung eine Reihe von iterativen Verfahren angeben. Grundsätzlich unterscheidet man Punktverfahren (point methods), Linienverfahren (line methods) und Gruppenverfahren (block methods). Sämtliche Methoden lassen sich als Gesamt- oder als Einzelschrittverfahren durchführen. 3.2.2.2.1 Punktmethoden

Das Gesamtschrittverfahren Es soll zunächst ein Verfahren besprochen werden, welches in der amerikanischen Literatur als method of simultaneous displacement (point method) bezeichnet wird. In der deutschen Literatur wird das Verfahren allgemein Gesamtschrittverfahren genannt. Das Gleichungssystem -+

A·{}=o

(55b)

wird nach den Diagonalgliedern aufgelöst. Es wird gefordert, daß die Koeffizientenmatrix nicht singulär ist und damit die Determinante nicht verschwindet. Bezeichnet man die Matrix der Hauptdiagonalelemente mit D und die linke untere Dreiecksmatrix mit AL sowie die rechte obere Dreiecksmatrix mit AR, so gilt (59a)

und die Vorschrift für die Iteration lautet

D·D

~(n) _

->

(65)

~(n-I)

und damit A

• 3(n)

=

ren) -

r(n-I)

(66a)

Bei überwiegenden Hauptdiagonalelementen (Jii der Matrix A kann man komponentenweise vorgehen. Dann wird nur eine einzige Komponente Zkn) =F 0, alle anderen Zen) jedoch Null gesetzt. Es vereinfacht sich GI. (66a) zu al k' Z 1 sein soll) die genaue Lösung {}(i, k) wie folgt angeben {}(i, k) = f)ph(i, k)

+ Eph(i, k)

(99a)

oder (99b)

Durch Subtraktion erhält man daraus (100a) weil aber

Eph(i, k)

R:::i

c(i, k) . pv. hv R:::i pv. Eh(i, k)

(101)

ist, folgt (100b) und daraus

Eh

0

(

t,

k)

f)h(i, k) ~ f)ph(i, k) = --------

Ist p = 2 und die Ordnung des Fehlers

Eh t , 0

(

40

(102a)

pv~l

k)

=

jJ

=

f)h(i, k) ~ f)2h(i, k) - - ' - - -3' - - - - -

2, dann wird (102b)

Wie gezeigt wurde, kann in vielen Fällen nur y = 1 erreicht werden. Dann ist der Fehler näherungsweise gleich der Differenz zwischen der Näherungslösung mit der Schrittweite h und der Näherungslösung mit der Schrittweite 2 h. [Bei der Fehlerordnung 0 (hO) läßt sich der Fehler mit dem Rungeschen Prinzip nicht abschätzen.] Durch die Fehlerabschätzung läßt sich die Lösung verbessern. Eine verbesserte Lösung ergibt sich zu (103)

Mit Hilfe von fh(i, k) läßt sich die Größenordnung des lokalen Abbruchfehlers mit guter Näherung angeben. Auch die verbesserte Lösung hat noch einen Fehler, der dadurch zu erklären ist, daß bei der Abschätzung des Fehlers fh(i, k) alle höheren Glieder der Taylorentwicklung vernachlässigt werden. Es ist aber anschaulich, daß der Fehler der verbesserten Lösung immer kleiner als fh(i, k) sein muß. Oft ist es nicht möglich, das gesamte Feld (mit Randverbesserung und Randbedingungen) mit gleicher Fehlerordnung zu lösen. Dann ist für die Berechnung des maximal auftretenden Fehlers die niedrigste Fehlerordnung maßgebend. Es ist erforderlich, daß mindestens ein Funktionswert bei Beginn der Rechnung bekannt ist. Wenn dieser Funktionswert einen anderen Wert annimmt, dann ändert sich zwangsläufig die Gesamtlösung. Ahnlich ist die Sache dann, wenn ein einziger Feld- oder Randpunkt mit einer niedrigeren Fehlerordnung (als die anderen Punkte) berechnet wird; dann ist die Fehlerordnung dieses Punktes bestimmend für den Fehler des gesamten Gebietes. 3.4.2.2 Iterationsfehler Es ist nur in wenigen Fällen möglich, das Gleichungssystem der Differenzengleichungen, das die angenäherte Lösung der Differentialgleichung für das Gebiet punktweise liefert, exakt zu lösen. Die Gründe hierfür sind verschiedener Art: 1. Bei großen Systemen läßt sich die Lösung iterativ schneller finden. 2. Bei großen Feldern kann beim exakten Verfahren (Gauß-Algorithmus) durch ständige Subtraktion ein erheblicher Fehler entstehen. 3. Für den allgemeinen Fall

{?c =f({}) und

-}.(8{}j8n) = ({}R-{}U)}

existiert kein Verfahren, das eine exakte Lösung zuläßt (nichtlineares Gleichungssystem). Fast alle Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme benötigen überwiegende Hauptdiagonalelemente. Diese Forderung ist bei Randwertproblemen für elliptische Aufgaben stets erfüllt. Als hinreichende Konvergenzbedingung muß a) das schwache Zeilensummenkriterium erfüllt sein für alle i

(104a)

für ein i

(104b)

und mindestens

41

Allgemein ist für jeden inneren Gitterpunkt bei Benutzung der Differenzenformeln [z. B. GI. (15), (16), (18)] IXi =

1

für einen extrapolierten Randpunkt wird IXi =

Ö --

ö+h


ist. Ferner bezeichnet man mit %1 und %2 die Menge der Indizes mit IXi < 1 bzw. 1, dann muß zu jedem j E %2 ein j < i existieren mit b ij =f= O. Die durchdividierte Matrix A wird aufgespalten in

A=L+E+R

(59b)

dabei ist

L = (Iij)

mit

lij

lij

0

R=

(rij)

mit

rij

0 rij

und

{

für für

{

für für

i> j i~j

(105a)

i~j

i 0 sein. Durch Umstellung oder Umnumerierung läßt sich diese Nebenbedingung immer erreichen. Die Abschätzung der Abweichung des (n 1). Näherungsvektors der Iterationsfolge von der exakten Lösung der Differenzengleichung erfolgt in der Form

+

(106)

Die Collatzsche Fehlerabschätzung mit IJ =

42

IIAII 1-IIAII

(107)

wobei

n

IIAII =

max

L

lai,kl ist, ist nicht anwendbar, da

k=1

IIAII =

1 wird. Deshalb müs-

sen die beiden Kriterien von SASSENFELD [81] zur Fehlerabschätzung benutzt werden. Die Fehlerabschätzung soll zunächst für das Gauß-Seidel-Verfahren erfolgen OC l-ar.

(108)

(!(J(.=--

ar.

= max OCi und OCi ergibt aus i

i-1

n

= L

OCi

lai, kl

k=1

ock

+ k=i+1 L

(109a)

lai, kl

wobei z. B. 11

OCl

= k L=2

(109b)

lai, kl

ist. Die Konvergenz ist gewährleistet für oc < 1. Diese Bedingung ist immer erfüllt. Oft ist es einfacher, mit dem Kriterium II von SASSENFELD zu arbeiten. Dieses sichert die Konvergenz des Einzelschrittverfahrens, wenn ß < 1 ist. Es gilt (!ß

ß

= =

ß/(l - ß) maxßt i

(110)

und

ßi

=

i-1

max(!ß'

L

k=1

n

lai,kl

+ k=i+1 L

lat,kl

(111)

Die ßi entstehen damit durch Vergröberung der OCi, indem während der Rekursion mit dem Maximum der gefundenen (!ß weitergerechnet wird. Weil (!(J(. ~ (!ß ist, wird man die Konvergenzgüte möglichst nach dem 1. Verfahren abschätzen. Es soll noch die Fehlerabschätzung beim Überrelaxationsverfahren behandelt werden. ALBRECHT [3] gibt folgende Formel zur Fehlerabschätzung an, wenn A . = a ist

D

(112) Dabei ist y

=

1-

~. w

Die Hauptschwierigkeit besteht in der Invertierung der Ma-

trix A. Eine andere Abschätzung gibt COLLATZ [21] an:

lo a2 ist, wird

1;;:::~±i.l/4b-..:!!.. -

1;;::: -

Damit muß

Ibl

V

2

Y

~

a2

(175f)

4

a2

(175g)

-+b-4 4

1 sein.

So ist zu untersuchen, in welchem Gebiet 12 a (1 wird, da

Ibl

;) . (cos Y - 1) + 1 + ; 1

~1+

(176)

;

~ 1 identisch ist mit 1 ; 1 ~ 1.

Für cos Y müssen die Extremwerte eingesetzt werden: 1. cos Y =-1

1-4a(1- ;)+1+

;1~1+;

(176a)

2. cos Y = 1

11+;1~1+;

(176b)

3. cosy = 0

1-2a(1-;)+1+

;1~1+;

(176c)

Diese Bedingungen liefern ein Gebiet (siehe Abb. 35), in dem das von Neumannsche Kriterium erfüllt ist. Die Untersuchung wurde auch für den zweidimensionalen Fall gemacht. Hierbei wird 12 a ( 1 -

;). (cos Yl - 1) + 2 a (1 -

-

1) + 1 + ; 1

um

~1+~

-

;). (cos Y2

ß

Nun müssen die Fälle Yl =-1 Yl = 0 COS Yl = 1

COS Y2

=-1 =-1 =-1

COS Y2

=

COS

COSY2

COS

COS Y2

COS

Yl

=

1

1 61

(also insgesamt 9 Fälle) untersucht werden. Dabei zeigt sich, daß eine Grenzkurve für den Fall cos Y2 = 0 cos YI =-1 nämlich

(178) auftritt. Damit konnte mit Hilfe des von Neumannschen Kriteriums der Stabilitätsbereich erweitert werden. Mit Hilfe des Kriteriums von]. VON NEUMANN lassen sich für beliebige (J stabile, implizite Differenzenformeln finden. Da für große (J der Fehler 0 (I) sehr stark anwächst, ist die Konvergenz jedoch nicht gesichert. 4.2.1.5.3 E-Schema

Mit Hilfe des E-Schemas läßt sich die Stabilität der Differenzenformeln stets zeigen. Im E-Schema wird zur Zeit k an der Stelle i ein Fehler E angenommen. Schaukelt sich dieser Fehler für Zeiten k P auf, so herrscht Instabilität (siehe Tab. 8), verkleinert sich der Fehler oder wächst nicht über den ursprünglichen Fehler hinaus, so herrscht Stabilität. Da sowohl das Indexkriterium als auch das von Neumannsche Kriterium nur hinreichende Kriterien sind, ist es möglich, daß auch außerhalb des explizit angegebenen Stabilitätsbereichs stabile Differenzenformeln aufgestellt werden können. Ein besonderer Vorteil des E- Schemas liegt darin, daß man mit seiner Hilfe die Güte der Stabilität berechnen kann. Für die beiden Beispiele (Abb. 36 und 37) wurden die Kurven gleicher Stabilität berechnet (nach 10 Zeitschritten).

+

IX

Auf der Grenzkurve -

ß

= 1

herrscht »schwache« Stabilität, das heißt, ein Fehler

E

wird nach k Schritten k . E und bleibt damit beschränkt. Setzt man in der Gleichung

R·

{}i,k+1 =

+ {1 -

(Ai-I' {}i-I,k

+ AHI' {}HI,k) +

R· (Ai+1- AH)}'

{}i,k

A=a+b·{}

(162a)

(8)

und normiert die Temperaturwerte, indem man min {}i, k = 0

und

max {}i, k = 1

setzt, dann erhält das nichtlineare E-Schema folgendes Aussehen (Tab. 10). Die Stabilitätsbedingung erfordert, daß für den eindimensionalen Fall (J

< _

1

+ b)

---

- 2 (a

ist (Abb. 38). 4.2.2 Implizite Differenzenverfahren

Bei den expliziten Differenzenverfahren liegt das Maximum des Zeit-jOrtsverhältnisses fest. Während sich die Größe des Zeitschrittes aus dem größten Verhältnis zwischen Temperaturleitzahl a und dem Quadrat der dazugehörigen Maschenweite ergibt, hängt die Dauer eines Ausgleichsvorganges von der größten Zeitkonstante des Systemes C'

e . s2

T= - A

ab. 62

(122)

In einer zusammengesetzten Wand, die aus einem Isoliermaterial und aus einem Feuerfestmaterial besteht, wird die Zeitkonstante durch das Isoliermaterial und der Zeit schritt des Differenzenverfahrens durch das Feuerfestmaterial bestimmt. Je größer nun die Unterschiede zwischen den Temperaturleitzahlen sind, je ungünstiger ist eine Berechnung mit expliziten Differenzenverfahren, weil die Anzahl der erforderlichen Zeit schritte zu groß wird. Für den n-dimensionalen Fall gilt

h2 1=---2· n· a max

(132c) (122a)

T

a max

s2

I

amin

h2

-=2·n--.-

(179)

Ist a max > amin und s > h, dann ist es vorteilhaft, den Ausgleichsvorgang mit einem impliziten Verfahren zu berechnen. 4.2.2.1 Aufstellung des Differenzengleichungssystems 4.2.2.1.1 Rückwärtiger Differenzenquotient für lineare Probleme

Unter linearen Problemen werden solche Probleme verstanden, bei denen die Stoffwerte nicht temperaturabhängig sind. Allgemein gilt

(180)

Diese Gleichung liefert für den eindimensionalen Fall für 0