Die Zeichenkunst: Lieferung 8 [2., verbes. u. verm. Aufl., Reprint 2022] 9783112678022, 9783112678015

Table of contents :
Schatten eines senkrechten Kreiszylinders
Schatten eines senkrechten Kreiskegels
Schatten einer Kugel
Schatten einer Kugelnische
Schatten eines halben Kreiszylinders mit kugelförmigem Abschluß
Schatten eines Kreisringes
Schatten eines allgemeinen Umdrehungskörpers
VII Das perspektivische Zeichnen
Freie Perspektive
Einleitung
Allgemeine Begriffe
Der perspektivische Kreis
Das perspektivische Achteck
Die Teildistanz
Linien mit unzugänglichen Fluchtpunkten
Vermehrung horizontaler Parallellinien

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Lieferung 8

Preis 1 Mark Gesamt preis des Werkes gebunden 25 Mark

DIE

ZEICHENKUNST METHODISCHE DARSTELLUNG DES

GESAMTEN ZEICHENWESENS UNTER MITWIRKUNG VON

A. ANDEL, LUDWIG HANS FISCHER, M. FÜRST, 0 . HUPP, A. KULL, KONRAD LANGE, A. MICHOLITSCH, ADOLF MÖLLER, PAUL NAUMANN, F. R E I S S , A . v . SAINT-GEORGE, K A R L STATSMANN, R. TRUNK, J . VONDERLINN UND HERMANN WIRTH HERAUSGEGEBEN VON

KARL KIMMICH ZWEITE VERBESSERTE UND VERMEHRTE AUFLAGE MIT 1157 ABBILDUNGEN IM TEXT UND 60 TAFELN IN FARBEN- UND LICHTDRUCK 23 LIEFERUNGEN à 1 MARK UND 2 EINBANDDECKEN à 1 MARK KOMPLETT IN 2 ORIGINALLEINENBÄNDEN 25 MARK

LEIPZIG G. J . GÖSCHEN'SCHE VERLAGSHANDLUNG

Einzelne Lieferungen werden nicht abgegeben Die Abnahme von Lieferung 1 verpflichtet zum Bezug des ganzen Werkes

Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

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e 2 und f 2 erhalten können, wenn man einfach die Strecke e ' f ' parallel zur X-Achse verschoben hätte, bis ihr Mittelpunkt m ' nach m " gefallen wäre. So z. B. erhielte man die den Punkten g' und h' entsprechenden Punkte g " und h " durch Verschieben der Strecke g ' h ' parallel zur X-Achse, bis ihr Mittelpunkt i' nach i " kommt ; ebenso entspricht dem Punkte c ' der Punkt c " . Der Schatten des Kreises K auf die Pr. Eb. E 2 ist eine Ellipse K " ,

und -Richtung. Beschreibt man über m ' m " einen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt auf der X-Achse liegt, so trifft dieser Kreisbogen die X-Achse in zwei Punkten o und p so, daß durch o und p die Hauptachsen der Ellipse K " hindurchgehen. Den Schnittpunkten der Verbindungslinien m ' o und m ' p mit dem Kreise K ' entsprechen die Scheitel der Ellipse K " .

Schatten eines senkrechten Kreiszylinders. 46. Die Grundfläche des Zylinders liegt in der Pr. Eb. E x . Man zieht parallel zum Grundriß der Lichtrichtung Tangenten an den Grundkreis K x (Fig. 575) des Zylinders, so stellen die Berührungspunkte a x b x , K i m m i c h , Die Zeichenkunst.

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J. Vonderlinn, Das Projektionszeichnen.

bzw. Cj dj die Grundrisse von zwei Mantellinien a b und c d dar, welche die Selbstschattengrenze des Zylinders bilden. Hierzu kommt noch die rechtsseitige Hälfte b e d des oberen Zylinderkreises. Der Schlagschatten des Zylinders auf die Pr. Ebn. bestimmt sich nun durch den Schlagschatten der ebengenannten Kreishälfte b e d und den Schlagschatten der beiden Mantellinien a b und c d auf die Pr. Ebn. Man ermittelt den Schatten des Halbkreises b e d auf die Pr. Eb. E 2 , wie in voriger Nummer, und bestimmt hieraus die entsprechenden Schattenpunkte in der Pr. Eb. E 2 .

Schatten eines senkrechten Kreiskegels. 47. Die Grundfläche des Kegels liegt in der Pr. Eb. E j . Man bestimmt (Fig. 576) den Schlagschattenpunkt s' der Kegelspitze s auf die Pr. Eb. E, und zieht von s' aus Tangenten an den Kegelgrundkreis. Diese Tangenten begrenzen den Schlagschatten des Kegels auf die Pr. Eb. E 1 ; während die Selbstschattengrenze durch die die Punkte a und b enthaltenden Kegelmantellinien gebildet ist. Dem Punkte s' entspricht als eigentlicher Schlagschatten der Punkt s " , welcher mit den Schnittpunkten c und d der Tangenten s' a x und s' bj mit der X-Achse zu verbinden ist.

Schatten einer Kugel. 48. Die Selbstschattengrenze für eine Kugel ist gebildet durch den zur Lichtrichtung senkrecht stehenden größten Kugelkreis. Der Schlagschatten auf die Pr. Ebn. wird begrenzt durch den Durchschnitt des die Selbstschattengrenze enthaltenden Lichtstrahlenzylinders mit der betreffenden Pr. Eb. Zur konstruktiven Ermittlung der Selbstschattengrenze wählt man zweckmäßig (Fig. 577) eine dritte Pr. Eb. E 3 parallel zur Lichtrichtung und senkrecht zur Pr. Eb. E t . Man bestimmt die dritte Projektion des Kugelmittelpunktes, indem man durch m t die Senkrechte zur Projektionsachse Y zieht, m y m 3 = m x m 2 abträgt und aus m 3 mit dem Kugelhalbmesser einen Kreis beschreibt. Die dritte Projektion der Lichtrichtung geht durch m 3 und durch die dritte Projektion m ' " des Schnittpunktes m ' des Lichtstrahles durch m mit der Pr. Eb. E x . Die dritte Projektion der Selbstschattengrenze ist der zu L 3 senkrechte Kreisdurchmesser a 3 b3 . Aus der dritten Projektion a 3 b3 bestimmen sich die Punkte a x und bj auf L x und die Punkte Cj und dj auf dem horizontalen größten Kugelkreise. Die Strecke a, bj ist die

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Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

kleine, q dj die große Achse der Ellipse, als welche sich der Grundriß der Selbstschattengrenze darstellt. Die Tangenten durch a 3 und b 3 an die dritte Projektion der K u g e l treffen die Achse Y in den Punkten af"

und W " , denen im Grundriß die P u n k t e a ' und b ' als Endpunkte der großen Achse der Schlagschattenellipse entsprechen. Die kleine Achse der Schlagschattenellipse geht durch m ' senkrecht zu L x und ist gleich dem K u g e l durchmesser. T

o

*

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J . Vonderlinn, Das Projektionszeichnen.

Der Aufriß der Selbstschattengrenze ist eine Ellipse, kongruent dem Grundriß der Selbstschattengrenze. — Die große Achse geht durch m 2 senkrecht zu L 2 , die kleine Achse fällt mit L 2 zusammen und ist gleich a, b, . Die Schlagschattenellipse im Aufriß ist jener im Grundriß ebenfalls kongruent; ihr Mittelpunkt ist m " . Die große Achse fällt mit L 2 zusammen; die kleine Achse steht senkrecht zu L 2 .

Schatten einer Kugelnische. 49. Gegeben ist (Fig. 578) eine kugelförmige Nische in einer vertikalen Wand, an welche sich ein Halbkreiszylinder anschließt. Schatten wird hervorgerufen durch den äußeren Nischenrand, und es erscheint der Schatten zum Teil auf der Kugel, zum Teil auf der Zylinderoberfläche. Um den Schatten auf der Kugeloberfläche zu bestimmen, wählt man zunächst einen Lichtstrahl, dessen Aufriß durch den Aufriß des Kugelmittelpunktes hindurchgeht. Dieser Lichtstrahl trifft den Aufriß des Nischenrandes in einem Punkte c 2 , zu welchem als Grundriß der Punkt c x gehört. Um nun den Schlagschatten des Punktes c auf die Kugelfläche zu ermitteln, legt man durch den Lichtstrahl durch c eine zur Pr. Eb. E 2 senkrechte Ebene, bestimmt deren Schnitt mit der Kugel und sieht nach, in welchem Punkte diese Schnittlinie den Lichtstrahl durch c trifft; der Schnittpunkt ist der Schatten von c auf die Kugelfläche. Die Konstruktion wird am einfachsten mit Zuhilfenahme einer dritten Projektionsebene parallel zur Lichtrichtung und senkrecht zur Pr. Eb. E 2 ausgeführt. Der Schnitt der den Lichtstrahl c enthaltenden zur Pr. Eb. E 2 senkrechten Ebene mit der Kugel erscheint in der dritten Projektion als der Halbkreis K 3 (siehe Fig. 579); die dritte Projektion des Lichtstrahles durch c ist die Linie c 3 d 3 , wobei m;i d3 = m, d t ist. m 3 d 3 und K 3 treffen sich im Punkte e 3 , dem in der zweiten Projektion der Punkt e 2 entspricht; e 2 ist der Aufriß des Schlagschattenpunktes von c auf die Kugelfläche. Wählt man einen weiteren Punkt f und bestimmt dessen Schlagschatten auf die Kugelfläche, so wird der Schnittkreis der den Lichtstrahl durch f enthaltenden, zur Pr. Eb. E 2 senkrecht stehenden Ebene mit der Kugel in der dritten Projektion sich als Kreis N 3 darstellen, während der Lichtstrahl durch f sich als eine Parallele durch f 3 zu c 3 d 3 projiziert. Dieser Lichtstrahl trifft N 3 in g 3 , welchem Punkte im A u f -

Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

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riß der Punkt g 2 entspricht. Ein weiterer Punkt der Schattengrenze ist der Berührungspunkt k 2 eines Lichtstrahls mit dem Aufriß des Nischenrandes. Die Punkte k 2 , g 2 , e 2 liegen auf einer Ellipse, deren große Halbachse m2 k 2 und deren kleine Halbachse m 2 e2 ist. Diese Ellipse trifft den horizontalen größten Kugelkreis in einem Punkt h 2 , und h2 ist der Aufriß des Schlagschattens eines Punktes 1 des Nischenrandes. Somit Fig. 581.

Fig- 579-

jLj c,

l,

m,

k,

Fig- 578. fällt der Schatten des Nischenrandes k 1 auf die Kugelfläche, und demnach der Schatten des übrigen Teiles 1 a des Nischenrandes auf den Zylinder. So fällt der Schatten von c nach i, im Aufriß nach i 2 , der Schatten von n nach o, der Schatten von b nach p . Der Schatten der Geraden b a fällt zum Teil auf den Zylindermantel nach p q, zum Teil auf die Bodenfläche. Im Grundriß ist der Schatten des Nischenrandes auf die Kugelfläche dargestellt; dem Bogen k 2 g 2 h 2 entspricht im Grundriß der Bogen k i gi h i .

J. Vonderlinn, Das Projektionszeichnen.

Schatten eines halben Kreiszylinders mit k u g e l f ö r m i g e m Abschluß. 50. In Figur 580 ist ein halbkreisförmiger Zylinder dargestellt, der auf der unteren Seite kugelförmig abgeschlossen ist. Schatten wird hervorgerufen : 1. von einem Teile des Kreises K , 2. von der geraden Begrenzungslinie a h , 3. von der kreisförmigen Begrenzung h o . Der Schatten des Kreises K fällt auf die Oberfläche des Hohlzylinders und bestimmt sich direkt aus dem Grundriß. Der Schatten des Punktes a ist der'Durchschnittspunkt b des durch a geführten Lichtstrahles mit der Zylinderoberfläche. Punkt c liefert den Schattenpunkt d . Der Berührungspunkt einer parallel zu L1 an K x geführten Tangente hat als Aufriß den Punkt e 2 ) durch welchen die Schattengrenze hindurchgeht. Der Schatten von a h fällt zum Teil auf die Zylinderfläche und ist die Mantellinie b g , im Aufriß b2 g 2 . Der Schatten von f h fällt auf die Kugelfläche und projiziert sich im Aufriß als eine Ellipse g 2 i 2 , von welcher h2 g 2 die kleine Achse darstellt, während die halbe große Achse gleich der Länge der halben Kreissehne aj bj ist. Der Schatten des Kreisstückchens h o fällt ebenfalls auf die Kugelfläche und wird konstruiert, wie in Nr. 48 angegeben (siehe Fig. 581). Die Schattengrenze geht durch den Berührungspunkt o2 einer parallel zu L 2 an den Begrenzungskreis h 2 o 2 geführten Tangente.

Schatten eines Kreisringes. 51. Der Kreisring kann entstehen durch Drehung eines Kreises K (Fig. 582) um eine die Kreislinie K nicht schneidende Gerade A . Hierbei beschreibt jeder Punkt der Kreislinie K einen Kreis, dessen Ebene senkrecht zur Geraden A steht. Der Kreisring kann aber auch hervorgebracht werden durch die Bewegung einer Kugel K , so daß ihr Mittelpunkt die Kreislinie B durchläuft. Bei der letzteren Art der Erzeugung eines Kreisringes besitzt die bewegliche Kugel in jeder Lage mit dem Kreisringe einen größten Kreis gemeinsam, dessen Mittelpunkt auf der Linie B liegt und dessen Ebene die Achse A enthält, d. h. senkrecht steht zur Ebene von B . Die Grundrisse dieser gemeinsamen Kreise,

Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

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welche C h a r a k t e r i s t i k e n der Ringfläche heißen, stellen sich als gerade Linien, nach dem Mittelpunkt von gehend, dar. Denkt man sich nun für die bewegliche Kugel in allen ihren Lagen die Selbstschattengrenze konstruiert, so wird diese von^der zugehörigen Charakteristik je in zwei Punkten getroffen, welche der Selbstschattengrenze der Ringfläche angehören. Um die Punkte des Selbstschattens in einfacher Weise konstruktiv

Selbstschattengrenze für eine der beweglichen Kugel kongruente Kugel und zieht durch deren Mittelpunkt m t Ebenen parallel zu den Charakteristikebenen der Ringfläche. Diese Parallelen stellen sich in Figur 583 als Kreisdurchmesser dar und schneiden die Selbstschattengrenze in Punkten, welche auf die Grundrisse der parallelen Charakteristiken zu übertragen sind. In Figur 582 ist der Kreis B j in 16 gleiche Teile geteilt, desgleichen der Kugelkreis K j in Figur 583; es entsprechen sich also z. B. die mit I, II, III usw. bezeichneten Radien in den Kreisen B j , Figur 582 und K x , Figur 583. Trägt man nun die Strecken m 1 = m 2 von I, Figur 583

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J. Vonderlinn, D a s Projektionszeichnen.

nach m 1 = m 2 auf I, Figur 582 ab, so sind die Punkte 1 und 2 Punkte des Grundrisses der Selbstschattengrenze der Ringfläche, desgleichen die Punkte 3, 4 auf II, 5, 6 auf III usw. Die Aufrisse der Punkte der Selbstschattengrenze der Ringfläche erhält man, wenn man durch die Grundrisse in Figur 582 Parallelkreise der Ringfläche legt, deren Aufrisse ermittelt und auf diese die Punkte der Selbstschattengrenze projiziert. Die Punkte 1 und 2 von K j liegen auf K 2 . Die Punkte 7 und 8 liegen auf dem größten bzw. kleinsten Parallelkreise der Ringfläche. Die Punkte 6 und 5 gehören dem höchsten bzw. tiefsten Parallelkreise an 1 ).

Schatten eines allgemeinen Umdrehungskörpers. 52. Ist B (Fig. 584) die Meridiankurve eines Umdrehungskörpers mit der Achse A , und a ein Punkt von B , der bei der Drehung von B um A den Parallelkreis K beschreibt, so gibt es längs des Kreises K eine die Oberfläche des Umdrehungskörpers berührende Kugel R , deren Mittelpunkt auf der im Punkte a zur Meridiankurve B gezogenen Normalen und zwar in deren Schnittpunkt m mit der Achse A liegt; der Aufriß von m Ist m 2 . Die Selbstschattengrenze dieser Kugel schneidet den Parallelkreis K in zwei Punkten, welche der Selbstschattengrenze des Umdrehungskörpers angehören. Durch Annahme beliebig vieler Parallelkreise und Ermittlung der Selbstschattengrenze für die die Oberfläche -nach diesen Kreisen berührenden Kugeln kann man beliebig viele Punkte der Selbstschattengrenze für den Umdrehungskörper konstruieren. Ist m 2 der Aufriß des Mittelpunktes der Kugel Ä , welche mit der Oberfläche des Umdrehungskörpers den Parallelkreis K gemeinsam hat, so trifft die durch m 2 zu L 2 gezogene Senkrechte den Aufriß K 2 in b 2 , dessen Grundriß auf i t j liegt. Die durch bx zu L x gezogene Senkrechte stellt den Grundriß der Schnittlinie der Ebene der Selbstschattengrenze der Kugel R mit der Ebene des Parallelkreises K dar und schneidet darum K, in den Punkten c^ und dj der Selbstschattengrenze der Kugel Ä ; die Aufrisse von Cj und dx liegen auf K 2 . Besitzt die Meridiankurve B eine horizontale Symmetrieachse c , so gibt es einen zu K symmetrischen Parallelkreis K ' , dessen Grundriß K( ') Aus der Konstruktion folgt, daß die Punkte des Grundrisses der Selbstschattengrenze symmetrisch liegen z u m Grundriß des zur Lichtrichtung parallelen Meridians (Lichtmeridian). Die Punkte der Selbstschattengrenze selbst liegen symmetrisch zur Ebene des Lichtmeridians.

Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

sich mit K j deckt. Für diesen Parallelkreis erhält man die berührende Kugel 5V mit dem Mittelpunkt m ' , im Aufriß m i . Die Senkrechte durch m2' zu L 2 liefert auf den Punkt t>2, im Grundriß bi. Die Senkrechte durch bi zu L t bestimmt auf K i zwei Punkte ci und di, die Symmetriepunkte zu c t und dj hinsichtlich der durch in, zu Lj gezogenen Senkrechten. Aus ci und di ergibt i auf K2 durch zieren. Aus de den Konstruktio daß die Selbstscl eines Umdreh symmetrisch Ii« zur Lichtrichtu lelen Meridiane dian). Die Pn Selbstschattengr Ebene senkrech des Umdrehung sitzt die Projektion des Lichtmeridians als Symmetrieachse. 53. Auf Grund des Vorangegangenen kann man nun für die in Figur 585 dargestellten Umdrehungskörper die Selbstschattengrenze konstruieren. Man zieht parallel zu L 2 an den Meridian B 2 die möglichen TanFig. 584. genten; sie berühren in den Punkten i bis 5. In dem zu B hinsichtlich des Lichtmeridians symmetrischen Meridiane Bi liegen die zu 1 bis 5 gehörigen Symmetriepunkte i ' bis 5'. Ihre Grundrisse liegen auf Bi in den Senkrechten zu L : durch 1 bis 5, die Aufrisse auf B 2 und auf der Horizontalen durch x bis 5. Ebenso zeichnet man parallel zu L 1 die Tangenten an den ersten Umriß der Umdrehungskörper und erhält hierdurch die Punkte 6 bis 1 5 im Grund- und Aufriß.

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J. Vonderlinn, Das Projektionszeichnen.

Nunmehr kann man die im Lichtmeridiane liegenden Punkte der Selbstschattengrenze ermitteln, indem man parallel zu L2 (siehe Fig. 586) an B 2 die möglichen Tangenten zieht und durch deren Berührungspunkte mit B 2 die Aufrisse von Parallelkreisen zieht; deren Grundrisse schneiden dann auf L l die gesuchten Punkte 16, 17, 18, 19 usw. aus. Nachdem auf diese Weise die besonderen Punkte der Selbstschattengrenze bestimmt sind, ermittelt man jetzt für einen ganz beliebigen Parallelkreis K nach dem in Nr. 52 angegebenen Verfahren die auf K liegenden Punkte 20 und 21 der Selbstschattengrenze. In der Figur 585 ist die Kon^•i- 6 » VH struktion noch für einen weiteren 1 Parallelkreis K ' , dessen GrundSP I ! ^ riß mit K x sich deckt, angegeben; 15 man erhält hierfür die Punkte 20' und 21'. Man hat nunmehr eine genügende Anzahl Punkte zur Verzeichnung der Selbstschattengrenze konstruiert. 54. Im vorliegenden Fall entsteht auf der Oberfläche des Körpers noch ein Schlagschatten, hervorgerufen durch den Durchschnitt des die Selbstschattengrenze enthaltenden Lichtstrahlenzylinders mit der Oberfläche F«g- 585des Umdrehungskörpers. Diesen Schlagschatten bestimmt man so, daß man auf der Selbstschattengrenze einen beliebigen Punkt, z. B. den Punkt d, annimmt, durch ihn einen

Konstruktion des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

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Lichtstrahl zieht, durch letzteren eine Ebene senkrecht zur Pr. Eb. E t legt und deren Schnittlinie C mit der Oberfläche des Umdrehungskörpers ermittelt.

J. Vonderlinn, Das Projektionszeichnen.

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Der Schnittpunkt e, im Aufriß e 2 , des Lichtstrahles durch d und der genannten Schnittlinie ist der Schlagschatten des Punktes d auf die Oberfläche des Körpers. Mittels der Schnittlinie C der Ebene C t mit der Oberfläche des Umdrehungskörpers sind noch weitere Punkte, z. B. g, i, als Schatten der Punkte f und h ermittelt worden. Durch Annahme weiterer Punkte auf der Selbstschattengrenze und Wiederholung des Verfahrens kann man beliebig viele Punkte der Schlagschattengrenze ermitteln.

X

Fig

sg8

Ist die schattenwerfende Linie ein Parallelkreis des Körpers, z. B. der Kreis D , so kann man dessen Schlagschatten auf die Körperoberfläche noch auf eine zweite Art ermitteln. Man wählt auf der schattenauffangenden Oberfläche einen Parallelkreis, etwa F , legt durch ihn einen Zylinder parallel zur Lichtrichtung, bestimmt seine Schnittlinie G mit der Kreisebene D sowie die Schnittpunkte p und q von G und D . Die durch letztere Punkte gezogenen Lichtstrahlen treffen die Kreislinie F in den Schlagschatten der Punkte p und q auf die Oberfläche des Umdrehungskörpers. In der Figur ist

durch den Mittelpunkt n 2 von F 2 der Lichtstrahl gezogen; er liefert den Punkt o 2 auf D 2 und damit o t auf L x . Der Kreis G x um o x als Mittelpunkt und mit einem Halbmesser gleich jenem von F liefert die Punkte pj und q t . Im Aufriß fällt q2 mit o 2 zusammen, so daß n 2 als Schatten von o 2 erscheint. Der Kreis F ist zufällig so gewählt worden, daß der Schatten r 2 von p2 auf den Umriß, und zwar n 2 von o, auf den Aufriß der Achse des Umdrehungskörpers fällt. 55. Auf die in den Nr. 52 bis 54 beschriebene Weise ist die Schattenkonstruktion für den in Figur 587 dargestellten Umdrehungskörper ausgeführt worden. Das in Nr. 52 beschriebene Verfahren zur Konstruktion der Selbstschattengrenze für einen Umdrehungskörper gilt auch für den senkrechten Kreiskegel; denn zieht man in a 2 (siehe Fig. 584) an B 2 eine Tangente T 2 , so beschreibt letztere bei der Drehung der Kurve B um die Achse A

K o n s t r u k t i o n des Schlagschattens von Punkten und Linien usw.

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einen senkrechten Kreiskegel, welcher den Umdrehungskörper nach dem Parallelkreise K 2 berührt. Für den senkrechten Kreiskegel ist die in Nr. 52 angeführte Konstruktion von besonderer Bedeutung, weil sie die Selbstschattengrenze auch bei unzugänglicher Kegelspitze liefert. In Figur 588 ist ein abgestumpfter Kreiskegel, dessen Spitze unzugänglich sein soll, dargestellt. Man zeichnet in a 2 die Senkrechte zu a 2 b2 bis zum Schnitt c 2 mit der Kegelachse, zieht c 2 d 2 senkrecht zu L 2 ) bestimmt dx im Grundriß und zeichnet die Senkrechte durch dx zu L-!, welche K j in den beiden Punkten ex und f x der Selbstschattengrenze durchschneidet. Hierdurch sind die Verbindungslinien e x c x und f t cx und damit auch die Punkte g x und hx sowie die zugehörigen Aufrisse bestimmt.

VII

Das perspektivische Zeichnen Von

Rudolf Trunk

Freie Perspektive. Einleitung. P e r s p e k t i v e ist die Lehre von der Darstellung der Gegenstände, wie sie nach Maßgabe ihrer Form, ihrer Lage und Entfernung dem Auge des Beschauers e r s c h e i n e n . Alles, was die Zeichnung darstellt, soll auf unser Sehorgan dieselbe W i r k u n g ausüben, wie die gezeichneten Gegenstände selbst, d. h. das Bild eines Gegenstandes soll beim Beschauer den Eindruck der Wirklichkeit hervorbringen. Unter f r e i e r P e r s p e k t i v e versteht m a n die Anwendung der hauptsächlichsten perspektivischen Gesetze und Regeln zum Zweck des Naturstudiums, ohne Zuhilfnahme umständlicher Konstruktionen mit Lineal und Zirkel, sondern mit freihändiger Anwendung der notwendigen Hilfslinien. Selbst der geübteste Zeichner wird die Benützung der Perspektive nicht entbehren können, wenn sie ihm auch nur dazu dient, dem Augenmaß zu Hilfe zu kommen und zeichnerische Fehler zu vermeiden. Auf ein Bild von mathematischer Genauigkeit verzichtet der Maler, da ihm die nötigen Anhaltspunkte fehlen und er an seinem Objekte keine Messungen vornehmen k a n n ; doch muß auch bei ihm Vertrautheit mit den Grundbegriffen der ebenen und der darstellenden Geometrie vorausgesetzt werden, wenn er das Wesen der Perspektive voll und ganz erfassen soll. Ebenso muß ihm ein gutes Stück Vorstellungsvermögen eigen sein, wie es sich aus fleißiger Naturbeobachtung ergibt.

Allgemeine Begriffe. Beobachtungen in der Natur ergeben, daß Gegenstände von bestimmt gleicher Größe bei verschiedenen Entfernungen verschieden groß erscheinen; Linien, die bestimmt horizontal sind, erscheinen dem Auge als auf- oder absteigende. — Gleichlaufende Linien, die sich wagrecht entfernen, wie die Begrenzungslinien einer geraden Straße auf der Ebene, scheinen sich in der Ferne in e i n e m P u n k t zu verlieren. Die ebene K i m m i c h , Die Zeichenkunst.

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R. Trunk, Das perspektivische Zeichnen.

Fläche, auf welcher sich die Straße fortzieht, ist in der Ferne scheinbar durch eine wagrechte Linie abgeschlossen; diese Linie heißt V e r s c h w i n d u n g s l i n i e oder H o r i z o n t . Jede Linie, die sich auf der Ebene oder parallel mit ihr vom Auge entfernt, geht bei entsprechender Verlängerung nach dem Horizont; der Punkt, in welchem sie dort eintrifft, heißt V e r s c h w i n d u n g s p u n k t oder F l u c h t p u n k t . Der Horizont ist stets in Augenhöhe — zu dieser Wahrnehmung gelangt man leicht, wenn man sich zur Erde niederbeugt oder sich auf irgend einen Gegenstand hinaufstellt. Im ersten Fall wird der Horizont tiefer, im zweiten höher erscheinen. Zieht man vom Auge A aus (Fig. 589) Linien oder S e h s t r a h l e n nach den Endpunkten einer Linie a b, so bilden diese Sehstrahlen einen spitzen Winkel, dessen Scheitelpunkt im Auge selbst liegt. Wenn nun

diese Sehstrahlen A a und A b unterwegs eine mit dem Horizont gleichlaufende, auf dem Boden oder der G r u n d e b e n e senkrecht aufgestellte Fläche durchdringen, so ergibt die Verbindungslinie der Durchdringungspunkte a' b' auf dieser Fläche das perspektivische Bild der Linie a b . Entfernt man die Linie a b in wagrechter Richtung bis a " b", so rücken die Sehstrahlen näher zusammen, der Sehwinkel wird kleiner und damit auch das Bild der Linie. Denkt man sich durch das Auge A (Fig. 590) eine wagrechte Ebene gelegt, welche eine auf der Grundebene senkrecht stehende Fläche, die B i l d f l ä c h e , durchschneidet, so stellt diese Schnittlinie den Horizont dar. Fällt man von A aus ein Lot auf den Horizont = A O , so ist O der A u g p u n k t ; das Lot A O , d. h. der direkte Abstand des Auges von der Bildfläche, heißt D i s t a n z . Diese Linie ist in bezug auf ihre Länge von großer Wichtigkeit, denn von ihrer richtigen Abmessung hängt die gute Wirkung des Bildes ab. Würde man die Distanz zu kurz nehmen, so müßte der Sehwinkel vergrößert werden, wenn die Sehstrahlen den darzustellenden Gegenstand ganz umspannen sollen. Der Sehwinkel darf aber die Größe von 38° kaum überschreiten, wenn das

Freie Perspektive.

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Bild trotz genauer Einhaltung der sonstigen Regeln nicht verzerrt und unwahr, erscheinen soll. Deshalb ist folgende Regel genau zu merken und bei allen Darstellungen bestimmt einzuhalten: D i e D i s t a n z s o l l n i e m a l s k ü r z e r s e i n a l s die d o p p e l t e G r ö ß e d e s d a r z u s t e l l e n d e n Gegenstandes. Ein Lot von A nach der Grundebene ergibt in F den F u ß p u n k t oder S t a n d p u n k t . Denkt man sich einen horizontal gelegenen rechten Winkel, dessen Scheitelpunkt im Auge liegt und dessen Halbierungslinie mit A O oder dem H a u p t s t r a h l zusammenfällt, so werden die Schenkel des rechten Winkels als horizontale Linien ihre Fluchtpunkte am Horizont haben. Der Abstand dieser Fluchtpunkte vom Augpunkt ist gleich der Distanz,

t

r

Fig. 59i-

Fig. 592-

weil man ja in A O D und A O D ' kongruente rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke hat. Diese Punkte werden als D i s t a n z p u n k t e bezeichnet, und alle Linien, die mit A D und A D ' parallel laufen, d. h. a l l e L i n i e n , d i e s i c h v o n der B i l d f l ä c h e u n t e r e i n e m h a l b e n r e c h t e n W i n k e l und h o r i z o n t a l e n t f e r n e n , h a b e n ihren F l u c h t p u n k t i m D i s t a n z p u n k t , w ä h r e n d a l l e L i n i e n , die s i c h v o n der B i l d f l ä c h e u n t e r e i n e m r e c h t e n W i n k e l e n t f e r n e n , also mit dem Hauptstrahl parallel laufen, nach dem A u g p u n k t g e h e n m ü s s e n . Dreht man das Dreieck A D D ' um seine Hypotenuse D D ' , bis dasselbe mit der Bildfläche (oder ihrer Verlängerung) zusammenfällt, so erhält man den rechten Winkel, dessen Scheitelpunkt im Auge A war, nunmehr bei F (Fig. 591). In Figur 592 haben wir den Horizont, wie man ihn zur Darstellung der Bilder braucht, in D und D' die Distanzpunkte, in O F den Hauptstrahl und bei F den bis zur Bildfläche umgedrehten rechten Winkel

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R. Trunk, Das perspektivische Zeichnen.

des Dreiecks A D D ' . Zieht man von verschiedenen Punkten a , a ' , a " Linien nach den Distanzpunkten, so schließen diese Linien jedesmal einen perspektivischen rechten Winkel ein, der aber um so flacher erscheint, je mehr sein Scheitelpunkt sich dem Horizont nähert. Bei a ist der Winkel, weil in Augenhöhe befindlich, als solcher überhaupt nicht mehr zu erkennen. Wenn man vom Fußpunkt F aus Linien zum Horizont zieht, deren Fluchtpunkte dem Augpunkt näher liegen, die also bei F statt eines rechten Winkels einen spitzen einschließen, so werden auch die perspektivischen Winkel bei c und d keine rechten Winkel, sondern spitzige sein. Diese Wahrnehmung führt zu einem weiteren, wichtigen Satz:

F

Fig- 593Für jeden p e r s p e k t i v i s c h e n W i n k e l k a n n dessen g e o m e t r i s c h e Größe beim F u ß p u n k t a n g e t r a g e n werden. Dreht man den nach Figur 593 am Auge befindlichen rechten Winkel in horizontaler Richtung weiter, so werden die Distanzpunkte nicht mehr die Fluchtpunkte für die Schenkel des rechten Winkels sein, sondern der Fluchtpunkt des einen wird bei a dem Augpunkt näher kommen, während der Fluchtpunkt des anderen sich davon entfernt. Ebenso wird der Augpunkt nicht mehr den Fluchtpunkt für die Halbierungslinie des rechten Winkels abgeben, sondern diese wird ihren Fluchtpunkt in D g , dem D i a g o n a l p u n k t , haben, a und b bilden die Fluchtpunkte für alle rechten Winkel, welche mit dem ursprünglichen parallele Lage haben; und alle diese perspektivischen rechten Winkel werden von D g aus halbiert werden können. Dreht man den rechten Winkel noch weiter, bis der eine Schenkel nach dem Augpunkt geht, so wird der andere mit der Bildfläche und damit zum Horizont parallel; in diesem Fall ist die Halbierungslinie nach

Freie Perspektive.

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dem Distanzpunkt gerichtet, der jetzt die Stelle des Diagonalpunktes versieht. Hat man (Fig. 594) das Bild eines Quadrats, dessen Seiten a b und c d mit der Bildfläche gleichlaufend sind, so müssen die Seiten a d und b c nach dem Augpunkt gerichtet sein. Horizontale und der Bildfläche parallele Linien werden stets geometrisch horizontal gezogen und in bezug auf Teilung, Verlängerung, Übertragung stets als geometrische Linien behandelt. Das gleiche gilt von „ r, Linien, die senkrecht auf der Grundebene stehen und infolgedessen auch mit der Bildfläche gleichlaufen. Solche Linien bleiben auch im Bilde stets senkFig. 594recht. Die Diagonalen a c und b d müssen bei ihrer Verlängerung nach den Distanzpunkten gehen (als Halbierungslinien der rechten Winkel bei a und b). Die Distanzpunkte haben hier noch die Eigenschaft von T e i l u n g s p u n k t e n , indem durch sie die ganze Größe der Linie a b, sowie jede beliebige Teilung derselben auf die verkürzten Linien ad und bc übertragen werden können. Linien, die ihren Fluchtpunkt weder im Augpunkt, noch im Distanzpunkt haben, sondern eine ganz beliebige Richtung verfolgen, nennt man a k z i d e n t a l . Für solche Linien muß der Teilungspunkt besonders gesucht werden. Dies geschieht, indem man die betr. Linie a b (Fig. 595) bis zu ihrem Fluchtpunkt c verlängert, c mit dem Fußpunkt F verbindet und die ganze Linie c F um c nach dem Fig. 595Horizont umlegt, so daß c Th = c F ist: Th ist nun der Teilungspunkt für die Linie a b . Zieht man durch a eine geometrische Horizontale (parallel der Bildfläche), ferner die Linie Th b bis d , so ist die Linie a d = a b, d . h . man hat die verkürzte Linie so lange um den Punkt a gedreht, bis sie mit der Bildfläche parallel geworden ist. Jede beliebige geometrische Teilung der Linie a d kann durch den Teilungspunkt auf die Linie a b übertragen werden. Einer ähnlichen Konstruktion bedarf es, um an eine vorhandene perspektivische Linie einen rechten Winkel anzutragen. Man bestimmt

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R. Trunk, Das perspektivische Zeichnen.

auch zuerst den Fluchtpunkt c der Linie a b (Fig. 596 a), verbindet c mit dem Fußpunkt F und legt bei F an diese Linie einen geometrisch rechten Winkel an und verlängert die Senkrechte bis zum Horizont in d, welches nun den Fluchtpunkt für alle Lote vorstellt, die man auf der Linie a b errichten will. Zieht man die Linie a d, so ist der Winkel b a d ein perspektivisch rechter. ~ ' " Die Halbierungslinie des rechten Winkels bei F ergibt am Horizont den Diagonalpunkt Dg . In Figur 596 b soll an eine in bestimmter Länge vorhandene Linie a b ein Quadrat gezeichnet werden, wobei man auf die bei Figur 596 a gezeigte Art verfahren Fig. 596 a. kann, indem man den Fluchtpunkt F " der in a und b zu errichtenden Lote und mittels des Diagonalpunktes Dg den Punkt c sucht, worauf vom Fluchtpunkt F ' aus die vierte Quadratseite c d hereingezogen wird. Man kann aber auch die gegebene Strecke ab mittels des Teilungspunktes nach der Senkrechten ad übertragen. Den Teilungspunkt Thr der Linie a b bestimmt man, wie bei Figur 595 F"

Thr

Dg

7!>I

F'

Fig. 596 b.

angegeben, zieht durch a als den dem Auge nächstliegenden Punkt eine Horizontale, zieht ferner Thr b nach g und überträgt die Strecke a g nach a h . Der Teilungspunkt Thl der Linie a d wird auf die gleiche Art bestimmt, worauf Punkt d von h aus leicht zu ermitteln ist. Die vorhandenen Fluchtpunkte F ' und F " dienen zum Ziehen der Quadratseiten b c und c d . Wenn bei einem würfelförmigen Körper (Fig. 597) die sich entfernenden Kanten nach dem Augpunkt gerichtet sind, so müssen die anstoßenden

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mit der Bildfläche parallel bleiben und als geometrische Linien betrachtet werden. Aus diesem Grund sind die vordere und die hintere Seite des Würfels als geometrische Quadrate zu zeichnen. Man nennt diese Rückt man den Würfel, wie bei B Stellung eines Körpers f r o n t a l . gezeigt ist, seitwärts über die Hauptebene hinaus, ohne ihn jedoch in horizontaler Richtung zu drehen, so bleibt die Stellung frontal, wenn auch

E"

i

\ \ \

E Fig- 597das Bild sich ändert. Statt zwei Seiten werden drei sichtbar. Wie früher schon betont, ist der Horizont die Verschwindungslinie für die Grundebene und für alle anderen Flächen, die mit ihr parallel laufen. Da nun das verkürzte Quadrat a b c d nicht horizontal, sondern senkrecht ist, so muß es auch eine andere Verschwindungslinie haben; als solche ergibt sich die Spur der Hauptebene oder eine im Augpunkt errichtete Senkrechte. Demnach werden alle Linien, die sich in der Ebene a b c d oder parallel mit ihr fortbewegen, ihren Fluchtpunkt auf dieser Senkrechten

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R. Trunk, Das perspektivische Zeichnen.

haben. Die Fluchtpunkte der beiden Diagonalen a c und d b, E und E ' , heißen L u f t - u n d E r d p u n k t . Dieselben haben vom Augpunkt die gleiche Entfernung wie die Distanzpunkte. Der in Figur 598 dargestellte Würfel ist in akzidentaler Stellung. Geht man von der Kante a b aus, so zeichnet man zunächst nach Figur 596 b

die Grundform a b c d und zieht aus jeder Ecke eine Senkrechte. Um die Kante a f = a b zu machen, dreht man letztere mittels des Teilungspunktes nach a e und macht a f = a e ; von f aus kann durch die

vorhandenen Fluchtpunkte der Abschluß des Körpers leicht bewirkt werden. Von drei senkrechten Flächen (Fig. 599) sind zwei parallel der Bildfläche und eine parallel der Hauptebene, bilden also unter sich rechte Winkel. Der Distanzpunkt D ist zugleich Diagonalpunkt, von welchem aus die rechten Winkel bei a und b halbiert werden; ein beliebig an-

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genommener Punkt d wird vom Augpunkt aus nach c übertragen, wodurch der in gleicher Breite der Wand entlang laufende Streifen bestimmt wird. Ebenso wird die senkrechte Kante d e nach c f übertragen. Behufs Einteilung der Kante e f muß dieselbe erst durch den Distanzpunkt nach f g gebracht werden. Die aus k und 1 gezogenen Horizontalen

Fig. 600.

und die aus g , h und i nach dem Augpunkt geführten Linien ergeben die Quadrate der Bodenfläche. Die Lösung bei Figur 600 ist, weil durch die akzidentale Stellung bedingt, etwas umständlicher. Der Diagonalpunkt Dg zum Halbieren

der rechten Winkel bei e und f muß erst durch Halbierung des rechten Winkels am Fußpunkt gesucht werden, ebenso der Teilungspunkt Th der Linie g h, um die geometrische Teilung der Strecke g i nach g h zu übertragen. Die Treppe in Figur 601 ist parallel zur Bildfläche, weshalb die Einteilung der Stufen geometrisch erfolgen kann. Die Kanten der Stufen gehen nach dem Augpunkt.

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R. Trunk, Das perspektivische Zeichnen.

Bei Figur 602 ist die Treppe nach dem Augpunkt gerichtet; die Stufen entfernen sich immer mehr und verkleinern sich scheinbar. Errichtet man in a eine Senkrechte, so kann man auf dieser die Höhe der Stufen so oft abtragen, als die Treppe Stufen erhalten soll, und zieht aus den

A

Fig.

602.

Punkten 1 , 2 , 3 usw. Linien zum Augpunkt. Die Stufenbreiten müssen auf die Linie a b perspektivisch abgetragen werden, was in diesem Fall durch den Distanzpunkt geschieht. Senkrechte Linien aus den Punkten c', d', e' ergeben die Treppenkanten. Der Abschluß der Treppe rechts

läßt sich leicht finden, nachdem einmal die mit der Bildfläche gleichlaufenden Kanten bestimmt sind. Der Fluchtpunkt der aufsteigenden Linie g h muß sich in der Fluchtlinie der Hauptebene, d. h. senkrecht über dem Augpunkt, befinden. Der Abstand desselben vom Augpunkt hängt von der Neigung der Treppe ab. Bei Figur 603 sind als Hilfspunkte nur der Augpunkt und der Distanzpunkt notwendig; letzterer dient auch als Diagonalpunkt, um links den

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Streifen gleichmäßig um die Wand zu führen, und als Teilungspunkt, um an dem Turm rechts die Zinnenbekrönung einzuteilen. Die senkrechte Mittellinie für die Türe kann am einfachsten durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen d e und f g bestimmt werden. Ebenso wird die Mittellinie für das Turmdach rückwärts durch die Diagonalen h i und k 1 bestimmt.

Der perspektivische Kreis Wie jede andere Figur, so behält auch der Kreis Form, wenn er zur Bildfläche parallel steht. In allen wird er sich zur Ellipse verkürzen, und um ihn in richtig darstellen zu können, bringt man ihn in eine zur

seine geometrische anderen Stellungen seiner Verkürzung Bildfläche parallele

S

Fig. 04.

Lage, zieht ihn als Zirkelkreis und setzt diesen in ein Quadrat. Dieses bringt man dann in diejenige Lage, welche der Kreis einnehmen soll, und zeichnet den perspektivischen Kreis ins verkürzte Quadrat, wobei die Diagonalen und die Seitenhalbierenden zweckmäßig verwendet werden können. Zur bequemen und sicheren Darstellung des Kreises (Fig. 604) dient das Quadrat a b c d , von welchem man den vierten Teil um die Kante a e parallel zur Bildfläche dreht und als geometrisches Quadrat a e f g darstellt, in das man um f einen Viertelkreis hereinzieht. Den Schnittpunkt h bringt man senkrecht nach der Kante a e und von da durch den

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Augpunkt auf die Diagonalen des perspektivischen Quadrats. Auf diese Weise lassen sich leicht acht Punkte des perspektivischen Kreises bestimmen. Will man noch weitere Punkte, z. B. k , bestimmen, so zieht man die Linie k 1, die im Bild parallel der Bildfläche als Linie k ' 1' erscheinen müßte; eine aus k gezogene Senkrechte muß nach dem Augpunkt gehen, als Schnittpunkt beider Linien ergibt sich k ' und damit ein weiterer Punkt des perspektivischen Kreises. d,

D

k Fig. 605,

Soll der Kreis (Fig. 605) senkrecht zur Bildfläche und Grundebene gestellt werden, so zeichnet man auch erst das perspektivische Quadrat a b c d und bestimmt die Punkte e f g h durch die Seitenhalbierenden. Die Hälfte der Quadratseite a b bringt man durch den Distanzpunkt nach a i, ergänzt das geometrische Quadrat a i k 1 und zieht um k den Viertelskreis, den die Diagonale in m schneidet, welcher Punkt leicht auf die Diagonalen des perspektivischen Quadrats übertragen werden kann. Ähnlich ist die Konstruktion bei akzidentaler Stellung; nur muß dann für die verkürzte Quadratseite erst der Teilungspunkt gesucht werden.

Freie Perspektive.

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Bei ganz beliebiger Neigung, wie in Figur 606, hat man q als Fluchtpunkt der Quadratseiten a b und c d . Mit Hilfe des Teilungspunktes Thl werden die Schnittpunkte f und g nach der Linie a d gebracht und von hier aus durch q nach den Diagonalen des verkürzten Quadrats. Hat man von letzterem nur die Seite a d und soll es erst suchen, so bestimmt man zuerst den Fluchtpunkt B eines in a anzulegenden rechten Winkels. Die geometrische Größe der Linie ä d ist durch den Teilungspunkt in a e ermittelt und nach a f ' abgetragen. Der Neigungswinkel

/

Fig. 606.

des Quadrats zur Grundebene ist in