Die Sphärik oder Lehrbuch der sphärischen Geometrie und Trigonometrie [Reprint 2021 ed.] 9783112429921, 9783112429914

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ber fpfjánfc&ett ®eometne

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Xngonomettie*

SSon "Jílejran&er J t e i f j m n t>on Sorjiitcr, Sicutenant im 22(leit 3«fa«teviC( Regiment, S)litgiie& tei- ObtriSttilitäte gwminationá ¡ Çommifïton, íicí/vev sei- SRat(emati( 6ei bet: nKgemeincrt Srieíttfdwle, ici' îOirttijemiUifrnib9>e ©eo*

VI

S3 o r r e b e.

m e t r i e , in ben ©djriften nur fc^t* mager abgetan* beit ijt, wirb auefy bie fpfjarifcfye T r i g o n o m e t r i e , gr&jjtentfjeite nur eírtfciíig geteert, b. Ij. wenig auf* merffam auf t>iex fo wefenblid) »erfcfjiebenen unb bodj aus e i n e r Clueííe enffpringenben $ormein f«* bie Tíuflófung ber fpfjarifcfjen Triangel gemadjí/bann ober bem Tínfdnger gewóíjnlidj bie, oft fdjwierige SSeljanb* íung ber gormein für würflige ¿Berechnungen, feibft itberfajfen. Sine Ärifif ber, bie fpljárifdje Trígono* meírie abfjanbeínben SBerfe, fann unb foll f)ier nidji gege6en »erben; bie meijlen t>on ifjnen ober, trogen fíe gemeinfdjafííidj mit ber ebenen Trigonometrie bor, unb nehmen bann auf bie fpfjdrifcfte ©eometrie nur notf)* búrfíig ÍKúcfjtchí; anbere SDtángeí ju gefdjweigén. — € i n SCBerf muß aber fjier befonberé genannt werben, baö ber beutfdjen Literatur gewiß jur (Sljre gereift; nemiicl): ©eometrie unb Trigonometrie auf ber ©pfjáre OSeriin 1819). 91 a á) biefem SS3erfe, fcfjeint es úberfííifjtg, bie ©pljárif bon 9ieuem felbftflanbig ju bearbeiten, unb es erfdjeint bieííeidjt gewagt, bajj neben jenem fiafitfcfyen Sßerfe, gegenwärtiges 23ud) auftritt. 3ÍÍS ^Rechtfertigung mógte woi nur notfjig fein ljier anjufúfjren, bajj im borliegenben SBerfe, alie £e!)ren ber (Spfjárif, auf weniger ató bem Ijai&en ütaume jenes bebeufenben SBerfes bargefMt (tnb, unb noch manche Tinwenbungen ber ©pljarif in ber reinen «Jftatfjematif, befonbers auf bie Äorper, torfom* men, bon benen jenes SBerP nichts enthalt, £>iefe Tin> wenbungen burften aber fyer nur f u r j , ja faffc nur

2$ o

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c b c.

VII

in Tfnbeufungen geieljrf werben, ba fie bei tfjrer fufjrung, in ein ju grofjes ©ebief führen, ba$ Ijier bem £efer weiter ju fcerfoigen überiajfen wirb. £)ie 93crfd?iebenfjeit in ber, in beiben SOBerfen befolgten SOietfjoben, uberjiefji bcr Kenner ieid^t. — ^ n anbei ren SOßerfen weiche bie fpljärifcfte Trigonometrie ab* ^anbein, fntbei man off bie tfnwenbungen biefer ciplin auf baS gelbmeffen, bie fpfyarifdje "Xftronomie u. f. ro.; eine lobiid)e roo i»*/ ^inlangtü cf;er SSSorbereitung bes £efers, gegeben werben fann; i)ier iag es außerhalb beö, r e i n w i f f e n f c f j a f t l i d j e n 3 w e c f e ö , t>on tiefen Tinroenbungen ju reben. £)ie, bem Vortrage ber fpljarifdjen Trigonometrie, in 72 für$ &orau$gefdjion ber eigentlichen ÄSr* perlehre, foll fie hier betrachtet »erben, baher t i ihrer »firbig war, bie öürflarung ber Ä u g elf lache (§. 1.), unabhängig fcom Ä u g e l f S r p e r (b- (>. »on ber Äugel) iu geben, wenn gleich betbe 6rS|jen immer nur ¡ w g l e i c h »orhanben fein fSnnen; baf>er tS benn^ nicht (lohren fann, wenn auch hier »on ber Ä u g e l oft ge* rebet wirb, wo Ä u g e l f l a c h e fiehen fSnnte. — iOian fann aber auch bie fphdrifche (Geometrie, als einen $heil ber ©iereomeirte anfehen, jumal fte mit ber ©te? reometrie in bemerfenöwerther SBejtehung fleht. ***) — SBenn alfo ber Sefer btefer gegenwärtigen ©chrift, auch mit ben Sehren ber ©tereometrie ganj unbefannt fein follte, fo fann er im Solgenben bennoch fein -Sunbernifi für baS ©tubium fittben; fennt er bie Äßrperleljre, fo wirb er bie mancherlei 55ejiehungen beiber ju einanber, leicht entbeefen, unb follen folche SBejtehungen — ba ftch jene Äenntnijj faf! »orauöfe|en laft — am geh§i

*) 3m ©caetifafc* i>cc an u&er* gangen werben, b. oj)ne bem SBerfiefjen Der folgen* ben £ef)ren jtt fcfcaben. wirb baljer f ü r biefett erfien 3i6fcf>ttitt nur bte © e o m e t r i e b e r £&et»en unb ötc £ e ( j r e » o n t>cit (E6enett *) »orau$gefe§t, fc wie fu» ben jweiten fc^nitt (bte fpljarifcfje Trigonometrie), a u f e r ben Sie* menten ber nieberen 3irit(jmetif, nur nocf; bic e&ene Trigonometrie »erau3gefe$t wirb. 25em 2efer wirb «Ifo jugemut^et, baß er bie @5f$e auf weiche berufen w i r b , aile f e n n t , unb fort bag ©es rufen auf biefe @ d | e burcf) «in, in einer sparentljefe fieftenbeö © ( © e o m e t r i e bebeutenb) ober £ ( € 6 e * « e n l e i j r e ) , oljne SBejieljung auf ein 6efonbere$ geo* metrifcfjeS sSucfj, gefc^efjen. € i n e B e r u f u n g auf fte? reometrifcf>e Seigren, füibet au$ genannten ©vunbett iticfct ffatt, bodj foii ein ^inweifen auf folc&e, a u s gletcf>fai(S genannten ©runben, burdj ein © ( S t e r e o * m e t r i e ) gefcf>eljen. $ . 5 . 9 e f ) r f a | (Sigur 1.) g i n ^ J e r p e n b i f e l Dom S f t i t t e l p u n c t e e i n e r $ u g e l , a u f e i n e bte Ä u g e l fc&neibenbe € 6 e n { g e f a l l t , t r i f f t b i e f e £ & e n e j f e t ä i n n e r h a l b ber Äugei. beweis. 6ebeute A P B S eine Äuge!**)/ N M fei eine btefel&e fc&neibenbe €6ene, A E B F a&er ber •) «m feinen 3roetfel über Jen 55et Sein?« yott aett e b e n e n ja laffen, fei bemerft, bof? barunter »erflanben wirb: bie bei gbenen unter einanber uttb fiinte« au@«r&er nicfrt m ß g l i $ ijt; alfo fallt ber ißerpenbtfel i n n e r * ( ; a l b ber Äugel, weil nemlid) feine anbere £age f ü r tf;n bleibt, er aber $u fallen jletS möglich tjf ( £ ) . — Söelrf)eö §n beroeifen war. $. 6. £ e O r f a § . CS««- 1 0 ©er S u r c ^ f ^ n i t t A U B F , einer Äugel A i ' B S u n b e i n e r ., u n b »er*

binbe bie Wuntte H , F, B u. f. t». mit O ;

fo entffe?

l>en l a u t e r , bei Q recfjtroinfliebe T r i a n g e l O Q H , O Q F , O Q B u. f.

((£.)/ weiche Die £tnie O Q gemeinfc&affc

lieb, bie .£t)potI)enufen

OH,

«IS J^albmeffer ber Ä u g e l ,

O F , O B u. f. t». a b e r ,

gleid)

baben.

S i e f e Sri»

angel ftnö baljer congruent (e me pon ¡.

j r o e i SOiittelpuncten bei einer Äugel,

aueb a u f jtt>ei 9D?ittelpuncte ffir b i e , burc& biefe beibe qjunete j u l e g e r e Äreiöebene ($. 6.) fflbren ttnirbe. 3)

Sie

33erbinbunglinie

beö

SWittelpuncteS

ber

Äugel mit bem S f t i t t e l p u n c t e , beö Surcbfc&nittf reifes, fleljt fletö f e n . f r e c & t a u f biefer $dc&e. S5ic Slnnafjme beS (SegentljeilS G e r e o n / w ü r b e nac& 9?r. 1. unb 2. fo? gleich a u f ben SBiberfprucb f u h r e n , baß a l ö b a n n Pom «föittelpuncte ber Äugel auf biefe 2>urc&fc$nitttlt ben SOíittelpunct träfe. 4) €rrid>tet matt im SDíiítelpuncte beé ©ttrc^f^nitts fvctfeé, auf bei1 e¡té tvurbe, wenn man bie S8er6inbunglinie biefer beiben júnete jiefjt, na$ 9to. 3. barauf fuhren, baf? in einem júnete meljr alé ein $erpenbifel auf einer @bene möglich toare, tuaé be« fanntlidj nic&t fein fann (€). 5) SOBenn ber Sttittelpunct einer Äugel, ober für einen $ugeltl)eil, ju finben ijf; fo tfl nadj Üir. 4. bie €onffruction fefyr einfach, inbeiu man jtoei beliebige, nur nic&f parallele iDurd)f$nittfreife burefc bie Äugel legt, in ben 9)?ittelpuncten beiber, iperpenbifel auf i&nen errietet, bie fdjneiben muffen beibe aber na 6. fogleid) erfic&tlicfj fein, baß eine, ¿»ei júnete ber Ä u g e l t e »er&inbenfce £inie, toeldje @ef>ne ber Äugel fjeißt, immer g a n j inner« (> a 16 ber Äugel fallt, unb baß jebe gerabe £inie un# enblic^ oevlangert, bie Äugelflac(je in itidjt meljr alé jroei Nuntien burcfjfcfjneiberf fann- (SDian lege nemlicfc burcf> fold>e finte eine S)urc^fc^nitte6ene, fo iji bie Ijauptung fogleicfc fiar). 8. Aufgabe. 25urd> toier j ú n e t e im üíattme bie «idjt ttt einer (Ebene l i e g e n , eine $ u g e l f l ä d j e j u legen. Sluflöfung unb SBeroeié. SDIan lege buref)

8

©pljdrifc&e ©eomettie.

1. Äapifel.

ferei jener Pier Quítete bie, fíeté mSgltc&e €6ene (urc|fc^niíté jener 6eiben ijJerpenbifel). $ . 9 . 8 e $ r f ¿ * e . (gig. 1.) 1) € i n £ ) u r d > f c f j n i t t f r e i é b e r Ä u g e ! , i | l beflo g r ö ß e r , je n a f j e r er 6 e i m S K i t t e i p u n c t e b e r Ä u g e l i ffgSetpeiS. 3(1 O Q < O K , f o f o a Q B > K G f e t n , t»enn A B unb I G jtpei Surc&fc&nittfreife, O Q unb C K aber ifjre roecfjfelfeittgen €ntfernungen finb. SBirb O mit B unb mit G perbunben, fo i(l bei benen, bei Q unb K rec&ttpinííic&en Sriangeln O Q B unb O K B , O B = O G unb O Q < O K , ba^er «uc& ÖB* = Ü G 2

fo n>tc

Ö Q 2 < O K 3 / bafjer Ö 1

2

2

- Ü Q QB QB

2

> Ö G ' - Ö K Z

>KG >KG.

2

b. i).

( 0 ) , alfo «U jwd íPunctí in &« J)«tp$em cittcí SußelEreifei,

£wtfe auf ber &ugeíjfócf;c.

9

2) (Ein 2>urc!>fd>tt¿ítfreíé t>cr grSfjer a l é ein a n b e r e r ífí, ijf n a í j e r am S K i t t e l p u n e t e ber Síugel a l é ber í t c í n c r e . SBeroeié. SB ei ¡>cr 2lnnaf)me Q B > K G , iff lei^t wie itt 9ír. 1. ju ödtjeifett, baf$: O B 2 — ( J B 2 < O G 2 — K G 2 / ¡>ÖQ

2

öaß

2

< Ü K / aífo baß

O Q < O K i ( t . SB. j. 6. ft>. 3 » f a § 1. ©er bural6fugel.

SDaf fleinere Äugelfretfe ($. 10, 2 )

bte Ä u g e l (bie gläc&e unb ben Ä S r p e r ) in jroei un^ g l e i c h e Sljeile tijeilen, ijt auS bem Sßewiefenen fogleic^ einjufeOen. §. 12.

Sufa&e-

1) Oiormalfreife ftnb etnanber gleicj).

£ e m t : ifjt'e

•fwlbmefjer ftnö ^)a(6mefler ber Äugel. 2 ) Siormalfretfe fc&nei&en unb ljal6iren ftc& t o t & felfeitig im Surdjmefjer ber Äugel.

2)enn: tnbem £e

burdj ben SKittelpunct ber Ä u g e l flehen, tyaben fte bie* fen «punct gemetnfc(jaftlic(>, muffen ftc& baljer tn einer Stnie fc&neiben, tn welcher ber SDiittelpunct liegt ( S ) , »elcfje Sinie, ba fte 6i$ jur $ugelflac&e gefyt, ein 35urc&? meffer ifi, welcher »teberum bte greife fyalbirt ( © ) . 3) 3 u gleiten ©eignen ber £ u g e l , n>ecf>felfeitig *)

g e l t e n aucf>

gleiche SKormalfreiöbogen,

fo wie ju

gleiten Sftormalfreiäbogen, gleite ©eignen ber Äugel gel^ren.

O f t au$ 9ir. 1. unb §. 13.

fogleidj flor).

2el)t f a § .

3 t » e t S J M c & t n o r m a l f r e i f e , fßnttett ftc& nicf>t »ec^felfeitig 35eu>eig.

Ijalbiren. gdnbe

bie »ec^felfeitige

-gKilbirung

ffatt, fo m u f e n ftd) beibe 9ii$tnormalfreife in ttyren ©urc^roeffern tyat&iren ( & ) ,

mußten alfo auc& beffen

*) Siaci) §• 9. 3«fa& 1. beflimmt «ine (Se&ne ber iìugel Me finge eituS 9tormflliretfe$, uttb t&cilt iugleidj benfelben ti» jtoet SSogett/ t>ie, roetm tene ©e&ne ttid)t DiwJjmeffcr i|t, ungleicty ftnb. ffliait ba&er bei ¡»et gleicf)ett ©e&neit, »ecf)felfeitifl gleict)« SBogett bei ittt sitge&&tigett 9io(tiwlfreifett (.©).

12

(Sp^drifcf)« ©eomefrie. 1. Äapiief.

SDiiitc, b. fj. if>re fKittelpttncte gemeinfcijaftlid) Ijaben. SBflfbe biefer «Purtct mit bem Sdiitteipuncte ber Äugel ©erbunben, fo flanöc biefe Söerbtnöunglinie fenfredjt in bemfelben fünfte auf beiben Äjrcigcbcttcn ($. 7, 3), n>aS nicfjt mSglicfc ijt, ba beibe (Ebenen gegen einanber geneigt ftnb ( fiar, «nb gefc|>iei)t bieS, »wenn man burcfc ben 2)urd;mefTer eine! SiidjtnormalireifeS, einen belie* bigen anberen ÄugelfreiS legt. 3 « f a | 2. Äugeifreife bie einanber tyalbiren, ftnb 9?ormalf'reife (ba nacf) bem eben SBenuefenen, anbere Äugelfreife biefeö nicf>t fonnen, na$ 12, 2 aber, Sftormalfreife eö jietS ti;un). §. 14. ?el)rfa§. € t n Ä u g e l f r e t i ber burcjj bie $}Joie eitieS a n b e r e n Ä u g e l f r e i f e ö geljf, i(i etn S i o r m a k f r e i S , ffeljt fenfrec&t a u f bem S u g e l f r e i f e u n b ( j a l b i r t biefen. 53eroei$. 25er bur$ bie $oie eines Äugelfreifes gefyenbe Äreiö/ geljt au s beffen }Jole, ber SJiormalfreiS gel)t. Ivette gemeinfc^aft* (icf;e Surcfofdjnittlinie, ijt aber ein 2)urcf>meffer be$ ÄttgelfreifeS, welcfjer baljer »om Siormalfreife Ijal&irt wirb. SB. i. 93. t». B u f a f c 1. © i n b bie 6etben Greife 9iormalfreife, fo f a n n m a n j w a r ben ermähnten ^Jerpenbifel nid)t f a l l e n , a&er b o ^ im SDiitteipuncte auf ber einen 9ior« malf'reiöe6ene einen ^erpenbifel e r r i c h t e n , t»o bann ber fernere SBeroeiS für if>r gegenfeitigeS ^>al6iren u.f.i»., wie öorf>er geführt ft>irb. 5iuö 12, 2 ijt i$r gegen* feitigeä £al&iren f $ o n 6efannt. 3 u f a § 2. S3ei fenfrec&t auf einanber jteljenben 9?ormalfreifen, fteljt bie gemetnfdjaftliclje 2>urcf>f($ititti Knie, fenfrecfct auf ben Sfpen beiber {Kormalireife, biefe Sljrett alfo «neberum f e n f r e ^ t auf jener £inie. S e n n : bie Surcfjfc&nittltttie iji n u r eiue »on ben unenölicfc »ielen, burdj ben Äugelmittelpunct in jeber ber 9ior« malfreiöe6enen ju jiei;enben f t n i e n , bie alle mit ber,

14

@pf)drifcf)e ©eomeirte. 1. Kapitel.

auf btefer (E6ene fenfrec^t fieOenben Qiye, fei 6iiben (§. 10, 4 unb €•)•

rec&te SSin*

3 u f a $ 3. Surd) bic, in 2. ermahnten Sijrcn utti> bie Surcfrfcfjnittiinie, wirb bai;er jeber ber 6eiben Siormalfreife, in ftier Ouabranten geseilt. (9)?att neijme ttt gigur 4, A B «Ig beö SJiormalfretfeS N L I , fo wie bie K L aiä 2iye für beti SRormalfretö A H B I ; fo l)at matt, wenn H I bte gemeinfcfjaftlidje Surc&fc&nittlinte t|T, i i e SBogett A H , H B , B I u«b I A ftlr bie 92ormalfreiSe&ene A H B I , unb e6eit fo bte $ogen H L , L M I , I K u t i t - K M H für bie£6eneNLI, bte ertoafjnten Sitertelf reiö6ogen. §. 16. £el>rfa§. € i n O l o r m a l f r e i S welcher einen 9iic^tnor; m a l f r e i ö ( j a l b i r t , fteljt fenfrec&t auf fctefent «nb gefjt burrfa&. $ a r a l l e l f ' r e i f e ($. 1 0 , 3 ) a 6 c n e i n u n b öte> fel6e 2fjec u n b b t e f e l 6 e n $ o l e . töerocié. S i e SjJarallelfreife rnßgen ju einer un¡> í>erfeí6cn (Seite, ober j a 6eibett ©eiten beé Littel« puncteé bei* Äugel liegen; fo falle man toom Littel? pitncte bei* Äugel, auf bie eine $ugelíreiée6ene einen $erpenbifel, n>elcl>eiy inbern er beffen ?D?ittelpunct trifft ($. 7, 1) bie 2íye biefeé áíugelfreifeé ifí. Siefer r* penbifel tff a6er auc^, gehörig »erlangert, fenfredjt auf «Ken anberen gjaraííeífreifen ( € ) , unb alé sjJer» penbifel auf tfjnen, ber a u # buref) ben «Kittelpunct ber £ugel geljt, trifft er bie 93?ittelpuncte fammtlic(jer qjarallelfreife ($. 7,1), ift aifo a l l e r 2ljcc. S i e parallel? freife fja&en mitljin audj biefel6en $ole. SB-}. 6. n>. 3 u f a § 1. €itt SiircfjmefFer ber Äugel, gebort alé 2lye, immer ju unenblidj »ielen greifen. Safj"el6e gilt »Ott jroei $olen. 3 u f a § 2. ßugelfreife, ft>eld>e eine gemeinfc&aft; liclje 2lj:e (ober biefel6en ÍJJole) Ija&en, ftnb ¡Parallel* freife. S e n n : auf ben gläcfjen jener Äreife, fieljt bie gemeinfdjaftlicfje 5iye fenfrec^t, biefe g l a s e n ftnb alfo parallel (t biefel&e Slye (unb mithin auef) nicfyt biefel6en $ole) l>aben. S e n n bie gemdnfcfjafis iiefre Sijce, würbe n a $ 3«faicfe 23ef)auptung, fo » t e bie mit ifjr unmittelbar jufammenpngcnben 6 a § e ( j . SB. baf folcfje gletd>e 9JaraHeífreife ttt gleiten Êntfernungen ©ont SDïtttelpuncte jînbf baf ju « « « ©ette biefeê icr auef) fictö a n g e n o m m e n w i r b . 2) S i e ^Benennungen: © S e t t e l unb © d j e n f e l ber SEßinf'el, f b tüte bte SBejeicfjnung b e r S B i n f e f , f i n ö a n a l o g ber © e o m e f r i e b e r (£6ene. @ o tff 58. L I A K ein fpijartfc&er S B i n f e l , A b e r © H e i t e l , A I u n b A K bte ©c&enfel befiel&en. — < £ 6 e n e n b e r © c & e n f e l , Reifen b t e , ben ©c&enfeln jugefyörenben 9iovmalfrei$* ebenen. 3 ) S B e r b e n b t e , e i n e n S S i n f e l fcilbenben S i o r m a t s f r e i é b o g e n , 6 i é j u m §toeiten © c & n i t t e i n G » e r l ä n g e r t (welcher © c e n i t i n a # 12, 2 , i m ¿weiten € n b p u n c t e beé b u r c ^ A g e l j e n b e n £>urter entffetyenbe L I G K , ber i ) J o l a r t » i n f e l b e é S S t n f e l é I A K ( f o w i e I A K , «J31» tawinfel f ü r L I G K i|i>

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©pfjarifcfje ©eomeirie. 2. Äapiief.

4) £>ie €ii»heilung ber frhSrifchen SBinfel, ttt: Diebenroinfel, anjiojienbe S ß i n f e i unb ©cheü t e l r o i n f e l , iji analog biefer Sintljeilung bei öett e6es nen SBirtfcIn, unb wirb ^ter al$ angeführt, anges nommett. $. 29. gehrfafc Cgi«. 3)3Me a u S ben © B e i t e l n gleicher fpf^arif gleidj (»orige §.)

ift; *)

fo

wer*

ben ftcf> baljer fpljàrifc&e SBinfel, ffeté ju ben fammtli* 3>en u m einen $ u n c t a u f ber Äugelflßc&e möglichen SBins fein »erhalten, tote ftd) ein mit beliebigem 3»rfelbogett atté if>rem ©c&eitcl ituifcfjen tljren ©c&enfeln betriebe« ner 33ogen, jur ganjen $eripl)erie toerljält. © i e l brüeft aber ber Siuébrucf : ein SSogen iji baé SKaafi eines W i m felé, genau auö 3ufa§.

—

Sß. j. b- tv.

2>er 55ogen eineé Siormalfreifeé, tfi aifo

baö 5J?aaf beS, $u biefem ^ o g e n gefjßrenben fpljarifcfjen SOBinfelé, beffen ©Heitel ber 5J3ol jeneé 9Ì ormali reifes tfi (23ergleic(je

19).

*) Oter «ton fteUt f»df> L A, in lauter gleite astufet 0eé()al& »teberum auc& ber ebene 9Bin¡ feí D Q P , Sfliaaß bel fp&5rifc&en SBinfeíé D A P iff. 2 ) © a bie SGBínfcí A Q D unb A Q P re#te SBinfel ftnb ( € ; A Q alé üíye fenfrecfjt auf ber ebene D P E Q ) , fo ijf L D Q P baé «Bíaaj? bel glacfjennnnfeíé, ben bie €6enen ber ©c&enfel ( 5 . 28, 2 ) beé 2Bt«felé D A P mit einanber biíben ( € ) . 3 ) ©teíít matt ftor; fo if! a u $ L W A V , baé SDíaaf? beS gíadjentuinfelé ber ©ct)en* felebenen, alfo L W A V = ¿ D Q P SDíanfann L W A V : b e t t S a n g e n t e n f ó i n f e l beSSBinfelé DAP nennen. 4 ) < B fann'&aljerauc&Z. W A V fo wie Z. D Q P , até SDíaag beS fp&arifc&en 2Binfelé D A P , »oHfiänöig bienen, unb weil bie Sangenten im 55eruí)rungpuncte mit ben Sogen jufammenfatíen, fo fagt man auc& oft: ber fpfjarifc&e 5Binfel D A P unb ber e&ene L W A V feien g l e i c h , ein }í»ar uneigentíicfoer Síuébrucf, boc& tfí fein ©eSraucf) tton 23ort()eil fwr bie Síuémittelung ber ©rSjle ber fpl)árift$ett SBinfel, jumal biefer 2íuéi>ritcf feinen 2frrtí>um f;ereor6ringen fann. 5 ) 2lu$ biefen ©runben rebet man aud) ton recJj¡ t e n , f p i f c e n , f f u m p f e n , *) g e l e g t e n , concatoen u n b t o n o e j r e n fpf;arifcf>en SBinfeln, i» bemfelben ©inrte, wie bíefe Benennungen 6ei ben e6enen SBtnfeln gebraucht, baíjer if>re SBebeutunjen f;ier t>orauégefe§t werben. 6 ) SOían tljeilt nun aud> bie fpíjárifc&en SBinfeí itt ¥

)

©pl|e «itt (lumpfcjtfltmeinfc^oftUd)= f ^ i e f e SSinf«!.

35on i>«n giguren auf i>er £ugeijTddftf.

29

flictc^c Steife, bie, in fo fern fte beftimmte Sljeile ber fammtlic&en um ben $unct A itcgcti&en Sßtnfcl ftnb, @5rabe (jeifien, «nb beljalt bte angenommene Sfjeilung in 360 GJrabe, für bie fdmmtlidjen 5Binfel um einen «JJunci/ gleichwie bei ben ebenen SBinfeln, bei. 25er ©rab wirb bann ferner in 60 gleiche £Oeile, SOMnuten Reifen, bie SDJtnute in 6 0 © e c u n b e n (beren Steile man a l l ©ejimalfecunben anjugeben pflegt) geteilt, unb bie SSejeic&nungen bafflr, wie bei ben ebenen Sßinfetn bei* befjalten; alfo j. 93. gefcfjrieben 24° 6' 9", 75. 7) 9iun i(i audj beutlidj in welchem ©inne man fagen f'ann: ber'fpi>arifcl> e SOBtn i e l D A P , fei gleid) bem 33ogen D P ; ba nemliclj betbe gleicl) Diele (Brabe u. f. tü. fjaben. ©onjt ifi ber ilulbrucf toieberum «n? eigentlich wobei bal in 9ir- 4. ©efagte -ju rnerfen iji. 8) ßüinfadj fjerjuleiten «nb- ganj analog wie in ber ©eometrie ber €bene ju beweifen, («nb nun mehrere ©o,f$e für bie fpfjarifcfcen SBinf'el, bie auef) l)ier a l l er* imefen angenommen werben; itemlicfc: a. üiedjte fpljartfcfce SSßinfel jinb einanber gleidj. b. ©pljarifc&e 9Jebenwinfei jtnb jufammen gleich jroei regten (2 R ) . c. ©ie ©umme ber um einen $unct auf ber Fugels fia^e beftnblicfjen fpfjärrfc&en SSßinfeln, ifl 4 Ii. (1. ©pf;arifc(je ©cfyetteliinnfel finb einanber gleich e. (Bleidje fpl)artf$e 5Binfel Ijaben gleiche Oiebenroinfelf. ©leiere fp&arifdje SRebenroinfel ftnb rechte SEBinfel. Unb bgl. ©a|e mei;r. 9) (Eben fo bebient man ftcf> beS Siulbrucfl: ein fpljarifc&er 35ogen jlel>e auf einem anbern f e n f r e d j t ober p e r p e n b i f u l a r , er fei ein ^ e r p e n b i f t l , er flelje fdjief u. f. «>., ganj analog biefer SBebeutung bei geraben Linien in ber ©eometrie ber Sbene. 10) Sterben jn>ifcf>en ben 6$enfeln eine! fp^arifc^en

30

ad baher auch »on ihren fpharifchen SBinfeln gilt (9ir. 4 > 12) SiuS bem in 9ir. 7 angeführten ( M r a u c h e unb ben genannten ©runben, vergleicht man auch h^uftg fpharifdje S23infet unb Sogen i n fo f e r n , *) ob fte fceibe g r ß f s e r ober 6 e i b e f l e i n e r alö 9 0 i h r e r ©rabe ftnb. S a n n nennt man einen SBinfel mit einem Sogen g l e i c h a r t i g , wenn B e i be entweber ü b e r ober fceibe u n t e r 9 0 ° ftnb; iff einer g r ö ß e r ber anbere f l e i n e r 9 0 ° , fo h « f c n beibe u n g l e i c h a r t i g . 5iuch tragt man wol bie, ben SBinfeln jufommenben Senen« nungen fpifc unb f!umj>f, fo wie c o n c a ö unb ton« v e y , auf bie Sogen über, unb fagt: ein SBinfel un& ein Sogen ftnb t>on g l e i t e t ober »on u n g l e i c h e r 2 i r t , je nachbem fte b e i b e f t u m p f ober b e t b e fpifc f i n b , ober wenn ber eine f f u m p f unb ber anbere f p i § iji. 35ie Senennung: ein SCBinfel unb ein S o g e n ftnb »oit g l e i c h e r G a t t u n g , wenn fte b e i b e c o n c a » ober beibe con&eje ftnb, ober fte ftnb t>on u n g I e i c h e r © a t t u n g , wenn ber eine c o n c a ö unb ber anbere c o n & e f (fleu Eilt ©er&Sltttt§ iWtfchett SBmfcl'tt uni> SBofltn, iff, in fte unflUic^artigt ©rußen fürt, nicht mifllMj.

153011 fren St'guren a u f her Äugeiflddje.

31

«er «nb größer 1 8 0 ° ) tfc; ijt feitetter, mag a f e r hier an* geführt fein.

5íucf> jírei S o g e n «eunt man in jenem

©inne, fo töte jivct SStnfel unter jtch, g l e i c h * u n b u n * gleichartig. 1 3 ) 2tul biefett ©rtlnben fann man auch fagemeitt SBinfel un& ein S o g e n ergänzen ftch j u einer 6e|fimm* ten Slnjahl ©rabe gegenfeitig. 1 4 ) a ber Üíeigungivinfeí ber €6enen

unb N O H , recfjt fein foíí, fo t|t berSBinfei,

AON benAO

mit einer burch O in ber (£6ene N O I I (ober beren € r * Weiterung), fenfrecht a u f ber N O

j u jiehenbett Sinie

macht, biefer rechte 9ieigungt»infet ( £ ) , folglich flef;t A O , ber j r o e i rechten SBinfeí roegen, fenfrecht a u f ber (f&ene N O H (er ijf O A S i p e , mithin A ber

alé SiabiuS bie

beé S o g e n g N H .

1 5 ) S i e com «Pole A eineé 6elie6igen ÄugelfreifeS D P E , nach 6eiie6igen $uncten ber Peripherie befl"el6en ju legenben S o g e n , Peripherie.**) —

liehe« «ße f e n f r e c h t a u f biefer

S e n n : sieht man j . 33. S o g e n A P ,

fo ifi fflr bte 2íye A Q ,

» e i l bt'efe fenfre SBogen S F jroifcfoen betben $olen beftnbet, fo ift im Sefjrfafce jur SBejeic&nung bcö SBogenS S P , ge* f a s t : &af Der SSoßcn gemeint fei, welcher f l e i n e r a l l e i n Ü n a b r a n t ( S P < N P ) ift. — SB. j b » . 3 u f a & 1- © e r SBogen S F ift b a S SOiaal? beö j t u m p f e n SEBinfelS N D B . — §olgt t^etlS barauö, t>af L N D A unb L N D B ju 2 R, «Bogen S P unb SBogen S F ftc^ aber jur Dalben «Peripherie erg^n* jen (ber £ef>rfa| » o m t ö gefegt, bie SBeijattptung alfo in ftdj fc&liefjt); tljeilS fann man ben $Bet»eiS eben fo, tt>ie im 2ei)rfa($e für ben fptfcen SBiufei gef^af;, f u ^ ren, inbern SBogen N P B , baö Sttaag beö SBinfelS N D B , unb SBogen B P N = «Bogen S A F ift (jeber biefer J&ogen ifi SBogen S N + einem Üuabranten). 3 u f a & 2. eben fo SBogen F E , ba$ 9)?aaf für L N D A ift, ober allgemein beibe «Bogen S P unb F E j» 9D?aafen für bie beiben (als ©cfjeitelnnnfel gleiten) 5Binfel N D A unb B D M , fo wie für bie SGBtnfel N C A unb B C M (weiche alö «jJolarnnnfel jenen SGBinfeln gleich ftnb) btenen; ift einleuc&tenb. Safielbe gilt für bie «Bogen P B E nnb S A F , in SBejieOung ju ben Dier f l u m p f e n S33inicin^ welche bie Siebenroinfel ber ge* nannten fpi&en SBinfel jTnb. 3 u f a & 3. 3">ei Äugelfreife I K unb G H , roelc&e öiefelben $ole alö jene 91ormalireife Ijaben, ifjnen alfo wec&felfeitig parallel geljen (.§. 17), Ijaben auc^ biefelbe Steigung gegen einanber, toie bie erwähnten Slormals freife. Saljer btent ber 33ogen P S , audj a l l «Biaafi f ü r bie SIeigung jeber jroei Äugelfreife, »eichen felfeitig bie $ole P unb S ($u einer Seite) jufommen. 3 « f a | 4. S e r rec&te fpf>arifc^e SGBinfel, l)at ju feinem SOiaaf einen Üuabranten, Der, in fo fern er ber

S3on ben gigurew auf ber Ä u g e p d j e .

35

im 6e$ei$nete «Bogen i|T, *) mit feilte« €nbi puneten in ben ©c&enfeiebenen bei regten SBinfell enbigt. S e n n &eim rechten fpfjärifdjen SBinFel, flehen bie ©cf>enfele6enen toec&felfeitig fenfrec&t auf einanber ( $ . 31/ 2), baljer jebe t>ie «Pole ber anbeten gefjt ($. 15, 3»fa& 1). 3 « f a § 5. 35a ber SBinfel S O P , auc& beft Söo* gen S P jtim SDiaaf? Ijat, fo fann man aud> fagen: ber fpl)5rifd>e SBinfel N D A ifi gteion Äretl6ogen 6egren$te Sfjeil ber $ugel« jlacfce, Ijeißt eine f p i j a r i f c & e g i g u r . ^néfcefonbere meint man a&er nur bie, »on 9?ormaifreté&ogen i o grenjten gläc&ert/ iwenn con giguren bie Siebe ijf. S i e 33ogen fjetjien bann ( S e i t e n bet giguren, unb if>re SDienge fcilbet, tuie in ber ©eonietrie ber €6ene, ben Sìamen ber gigur, fo wie bie bort u6ltc^en SBenennun« gen, alò: © t u e f e , U m f a n g C^^t'i»wcier), cotti g r u e n t e unb r e g u l ä r e F i g u r e n , d i a g o n a l e n , «{Jolpgone n. f. tt>. Ijier in gleichem ©inne gebraucht, ttnb a l l Gefannt t>oraulgefe|t »erben. §. 35.

3»f**e.

1) 3«)fi Siormaliretfe f e i l e n bie ÄugeIo6erfIa^e fleti in » i e r ganj 6egrenjte Steile, inbem bte gen bie Reiben €nbpuncte ì>eé Surc&fc&nitfburc&mefl'erl ($. 12, 2) gemeinfc&aftlic& f)a6en, alfo »ier £al6freife auf ber Äugelftdc&e entließen, t»elc&e i « je jtvet unb è»ei, jene »ier Slawen begrenzen*) 3ilS 2R««9 «ItteS regten ffltnfel«, fftttn b« ¿Quobwnt' ou$ jt&em andren Äufldfvttfe eben fo btc ¡n>et SBinfel até «polarroinfel ($. 31,11); ¡. 35. ADBHA in §ig. 4. ij! ei« 3»eifeií. 3) ©pljSrtfcíje 3f>«ifeite finí) congrnent, wenn fie einen gleichen SBinfel íja&en. — Sie gegenfetíige ÍDecfung 6eiber, ba auch iljre Seiten unb ¡Ivetten SBinfel einanber gleich ftnb, tfi fogleicfc beutlidj. 4) íDaS fpl>arifeier ©eiten beé *)3olartriangelé (alé eineé Sriangelé) grSfier alé bie britte ©eite ijt, fo gilt bieé auc& Don benen (mit ií;nen gleich Diele ©rabe Íja6enben) ©upplemen» ten ber SBinfel beé Sriangelé T . 3) 2 5 i e © u m m e ber S u p p l e m e n t e berSBin* f e i e i n e é S r t a n g e l é , tjí i m m e r f l e t n e r a l é 3 6 0 ° . — S)enn: biefe ©umme ijí in £ i n f í $ t ber ©rabe, 0leic& ber ©umme ber ©eiten beé ^Jolartriangelé ($. 41),

93on ten figuren auf fcer Äugeijtacfje.

47

unb biefe ©umme ift fíetttcr alé 360° (§. 39)/ bafjer audj jene Summe ber ©uppiemente ber SBinfel beé urfprflngíic&en Sriangelé, «einer aíé 360° iff. §. 43. 2eí>rfa|. 3 M e © u m m e ber SEBüifel eineé fpljarifcfcett S r i a n g e l é , ift i m m e r g r S f e r 2 R wnb flei* ner 6 R . 25en>eié. £te ©umme ber bret SBinfel ne6ff ifjrer ©uppíemente, ift fíeté 6 R (§. 31, 8, b); ba nun itadj 9ir. 3. beé »origen §'é, bie ©umme ber ©upple* mente Heiner 4 R if!, fo iff bte ©umme ber SBinfei gr$f?er 2 R . gerner: ba bte ©umme ber ©eiten eineé Sriangelé, alfo auc(j ber ©eiten beé ^Jolartmngelé, ni$t toerfc^winben fann, fonbern eine gewifie ©reffe (ja6en muß; fo fSnnen bte, mit btefen ©eiten jufam? men, 6 R 6iíbenben SBtjifeí beé erffen Sriangeíé (9?r. 1. »orige §.)/ « H e i n 6 R fein, fonbern ftnb ftei« ner 6 R . SB. j. t>. t». 3 u f a $ . 2>ie ©umme ber SBinfel eineé fpljári* fnfá|e unb erganjt »orffellt; fo fc&netben ftdj, je jwei unb jroet berfd&ett noc& einmal, unb ¿war in brei ÍJuncten, roeicfje bie jmeiten €nbpuncte ber, ju ben brei SSBinfelfpt&en, A, B unb C gefjörenben Äugelburc&mefier ($. 12, 2) ftnb, welcfoeé in ber §tgur bie bret júnete E, F unb I an* beuten, fo baß (jier ber A E F I entfielt. — S35ei SBe« tracfjtung ber gigur, ergiebt ftd> nun einfach, baf burefc bie »ec^felfeitigen ©cfjnitte ber Síoímalfretfe, bie ganje

48

©pfjárífc&e ©eomeírie. 2 .

Äapiiei.

Äugelo&erfläc&e i n a d> t S r i a n g e l gct^cilt nnrb, »elc&e, außer ben bereits betrachteten 6etben S r i a n g e i n

A B C

uní» E F I , noc& folgenbe fec&é S r i a n g e l j u t b : * ) 1)

A

A G F K C A ,

3) A

2)

A M I _ H B A ,

5) A B D E L G B 2) 3 u

A 4)

unb

A G F I M

A B H I E D B ,

6) A

CLEFKC.

biefen ac&t S r i a n g e l n geljSren acIjt

a m 9D?itteli>uncfe ber Ä u g e t ,

welc&e

€cfen

ben SKaum

biefen qjunct satt} erföaen (23ergl. $. 3 6 , 11). m a n bei jener einen, j u m A A B C Ebenen ber brei ©eitenjtác&en

A,

um

£5tte

gei;5renben €cfe, bie

fl6er

ben

Sftittelpunct

Ijtnaué erweitert, fo würben audj bie adjt (fcfen (Dir. 1) a m SKittelpuncte entjianben fein, f ü r welche b a n n wies berum bie ac^t T r i a n g e l

a u f ber áíugeíjlác&e, jic& er«

geben fetten. 3 ) 23on jenen fte&en S r i a n g e l n , welche ftc& außer beut A A B C

burdj baé SSerfafjren i n 9ír. 1

Oat ber A E F I

bem

A A B C , u n b Ijeijjt beéí^alb ber © e g e n t r i a n g e l

beé

Sriangelé

ABC;

nic&té

»on

ben

eine S e i t e

gemeinfcfjaftlidj

ergeben, mit

lja6en b r e i * * )

gar

fec&é anberen

Sriangeln,

beé S r i a n g e l é A B C

eine 3Btnfelfpi$e beé ©egentriangelé

EFI,

unb

unb

biefe

Reifen bie 9 ? e & e n t r i a n g e l beé S r i a n g e l é A B C ;

bie

brei ü&rigen S r i a n g e í Í)a6en bloé eine SBinfelfpi^e m i t A A B C

gemeinfc^aftlicfr, u n b

triangelé E F I ,

eine ©eite beé S e g e n s

u n b biefe S r i a n g e l Reifen bie © c & e i s

t e l t r i a n g e i beé S r i a n g e l é

ABC.

4 ) SBetrac&tet m a n A E F I alé einen urfprflngiic^ angei *) ttcbec fcie SBcicidjttuttg mit Den uttt«fltl4)«niit ©udjftrt* bett, feiie man Die üínmerf. ¡u (Snöe &er ite 42. **) Sinfü&rnttg iß mcf)t &efottt>erá ti&t&í^/ (»«seiden ft$ foaUtcf) aK fcie gemeinten.

SSon ben ^igurcn auf ber ^uaeíjíácfje.

49

angenommenen S r i a n g e l , mit befielt (Seiten matt bie S r g a n j u n g jii 9iormalfreifen »ornimmt; fo tfl erficht* lieh, baf A A B C ber ©egentriangel bcö Sriangeiä E F I i)í, jene bret (inSir. 3. perff 6efrachteten3;riangei) SJIebentriangel beé Srtangelé A B C , (Scheiteltriangel bcé Sriangelé E F I , unb btc brei ©cfjeiteltriangel beé Sri* angelé A B C , «Jíebentriangeí beé $riangelé E F I jlnb. — Stuf g a n j biefelbe SBeife f'ann aber nucí) jeber ber feríjé »ihrigen Sriangel, alé ein urfprtitiglich betrachteter Sri« attgel angefehen »erbe«/ f ü r ben eé einen ©egentrian* gel, brei Sieben? unb brei (Scheiteltriangel nuter ben übrigen fte6en Sriangeln giebt. ( ¿ o ijt j. 35. für A A G F K G A , ber A B H I E D B ber ©egentriangel). 5) 535ct ber ¿Betrachtung jroeier (Begentriangel, er* geben f»ch folgenbe wichtige (Sen. — SOían ffette ffch j. 33ben 9íormai6reté A C L E I M A t>or, fo liegt A A B C in ber einen, unb A E F I fu ber anberen ber híerburdj ent(íef;enben ^)al&fugeln. — 3 n biefen 9iormalfreifen, liegt jeboch »on jebem ber ©egentriangel, wechfelfettig eine (Seite, t»ie bie ©eiten A C unb E I , beim eben betrachteten Sftormalfreife. b. ( B e g e n t r t a n g e l h a f t e n roechfclfetttg gleú che ( S e i t e n . S)enn: &ogen B A G F = «Bogen A G F E ( a l é £ a ( 6 n o r m a l f r e í f e ) ; totrb «Bogen A G F t o n beiben weggenommen, fo bleibt SBoí gen B A = «Bogen E F . (Ben fo folgt a u é : «Bogen C A M I = &ogen A M I E , baß (wennSBo* Sotftner'í (ÉpíjMif. 4

50

©pfjdrifdje ©comefrie. 2. Äapiief. gen A M I weggenommen wirb) SSogen C A = «Sonett I E tji. €nblic& iff SSogen C B = «Bogen I E , ba 33ogen C B H I = SSogen B H I F itf, unb fceibe ben 2?ogen B H I gemeinfcfjaftlicfj f)aben.— ©egentriangel $aben alfo tongruente (Seinen! triangel ($. 36, 12, §. 12, 3 unb 6 ) . c. © e g e n t r t a n g e l i j a b e n a d e SB in Fei roecfj? f e i f e t £ t d ßleid). £ e n n : L C A B = Z . F G A M I (§• 3 1 , 8 , d), L F G A M I =L G E M ($. 3 1 , 1 1 ) , alfo audj L G A B = L G E M (ober L F E I ) . Stuf gleic&e SBeife ft>irb, burcfc ©Reitet? unb $)Jolaminfel, bie ergiebt. SBoflte man aber eine C o n g r u e n j , b. f>. ges genfettigel S r n e t n a n b e r f a ü e n ber ©renjejt fceiber ©egentnangel barauä folgern, fo Ijinöert bte Siatur ber Äugelftac&e foldje Secfung. — 5D?an fieße ft$ nernlid) nur ben A E F I , in&em feine Seite F I in beut SRorntalfreife F I H C K fcleibt, fo an ben A A B C gehoben »or, bafl bie (Seite I F in bie Seite C B faßt (mal m* gen ber ©ieic^i)eit beiber ©eiten, Dir. 6, erfolgt), fo fallen bie @pi|en ber gleichen Sßtnfel itec^ felfeitig tn einanber, benn I faßt auf C uitb F auf B. £)ie Sriangel liegen aber nodj ganj auS

$ 3 o n fceit g i g u r e t t a u f tier ÄugeifTucfte.

51

cittattöev (9?r. a . ) . SBoffte matt je§t t>ctt, n u n a n B C liegenben A F I E , gleichfam u m bte B G roenben, Damit Die S e c f u n g burd> 3neinanber* fallen ber Dritten SBinfelfpifsen erfolge; fo tjf erftchtlich, Daß Die Ä r i i m m u n g Deö SßogenS, fo ttne Der Äugeljtache, folc(je SBenbung unb 3 n s einanberfallen g a n j i>inDern muffen. SBoffte m a n ober Den A E F I , f o a u f Den A A B C iegen, b a f Die g l e i t e n ©eiten F I u n b B C i n einan* herfallen m u ß t e n , fo m u ß Der *)3unct I a u f B, u n b F a u f C f a l l e n , u n b weil bte SBinfei I u n b B fo tttie F u n b C feineöroegö g l e i c h jtnb, iff auch f e i n 2 f n e i n a n b e t ' f a l l e n ber anberen S e i t e n unb mithin ber S r i a n g e l , nothroen&ig bie golge. — 3 n 6 e f o n b e r n g a l l e n , Hnnte t» o l L I — L F , alfo auch L B = L C fein unb b a n n eine (Eongruenj erfolgen, *) aber in Der tyffs Gemeinheit iff bieg nicht notljivenötg. S i e g iff eitte allerbingS feljr 6emerfen6mertlje ßrigenthumlich* feit ber © p h a r t f , bie i n ber ©eometrie ber €6ene, im analogen -gaffe, nicht eot'fommen Fann. — Me&erbieS liegen forool tn 6 e g e n t r i a n g e l n fo toie tn congruenten S r t a n g e l n , n>echfelfeitig gleiche (Seiten u n b gleiche SBinfel einanber gegenüber, tt>a§ ftch a u ö Der roechfelfeitigen ©leichheit a l l e r f e c ^ S @ t u e f e , einfach ergii6t. 6 ) üiuö Dem eben angeführten 6 r u n b e , nennt m a n jene £igentf)flmlichfeit Der (Begentriangel: b i e d S p m m e ? t r i e f p ^ a r i f e f e e v S r t a n g e l . — 5Benn nun öon jtvei (ober mehreren) fpharifchen S r i a n g e l n behauptet w i r b . *) Ilm fo ttteir ba, wte leitet etnjitfe&en tfl> fp^drifdje £tt* attgel i>en oBgemetncrett ase&tttgunaett Der Gottgtuettj, «Dert>ingS »ntfprecfcen fenttttt. ( berfelben örbnung a l l e fec&é ©tticfe (bret (Seiten unb bret SBinfei) roec&felfeitig gleich ben, man «6er nicf>t weif, ober eé unbejlimmt lapf, ob bte Jriangel cottgruettt ober fijmmetrifci) ftnb; fo faßt ma«: jTe ftnb iöenttf«^, fo, iwjj (jiernacf) bie 3&enttt5t fpljMfdjer Sriangel, fomol bte (£ongruen§ olé bte ©i; mm et rie, unter ftt C o n g r u e n j jttteier Brians gel, ifi bai)er Congruenj jebeö biefer Sviangel, mit beut ©egentrtangel beé anberen Sriangelé, noii;roenbig bie Solge. — 8) S i e fpi;drif$e geometrie, uitterfuci)t nun bie S5ebingungen ber ^bentitat iweier fpi;arifd)en Svian; gel/ gleichwie tn ber ebtnen Geometrie, bte Congruetij ber ebenen Triangel unterfucfjt toirb. — Sinalogie uttb SJerfc&iebenljeit mit ben ©äfceri ber ebenen (Seometric, wirb öabei unoerfennbar fein, unb biefe (Säfcc mit an; fceren abroedjfelnb, tperben junadjfi gelehrt werben. S l n n t c t f . © t e O l e i d j & e t t b e « g l d d j c t t r a u m S cottgruen= t e r £riaitgei, tfl eine noifctrenbtfle golge t&ret eoitflnrntj; ®b forametrtfdje X m n g e l g l e i c h e gläc&en & 3wei f j > M r i f $ e T r i a n g e l finb tbentifcf),

SJoit t>m gytiren auf fcer $ugeiflacf)e-

53

w e n n j w e i © e i t e n u n b her e t n g e f d ) I o f f e n e SBinfet, wed&felfeitig gfeidj ftnb. 2i n tt a tj m e. AB = DE, AG = D F y n b B C = EF. 33 e i; a u p t u n g. A A B C t b e n t i f d j A D E F . SBeweiS. 3fi t>ie ¡Orbnung nic&t n u r , fon&evtt auc& tte Üiic^tung ber gteic&en ©tucfe in beiben Snan? gel« f o , bat* eongruenj bei beiben mögficfj ifl; fo lege «tau A A B C bergeffatt auf A D E F , baf? bte gleichen SBinfel 6ei A unb D etnanber bedien, bann fäift bte Seite AB, auf bic i^r gleiche (Bette D E , unb bte A C auf bie i(>r gleiche D F . 35a btefe ©eiten, 93ogett gleicher Siormalfretfe ftnb, fo fatten fte a u f e i n a n b j r , «nb bei* gegebenen @ietcf)ijetf iuegett, mit if;reti jtßeiten £nbs puneten i n e i n a n b e r , b. f>. B fdiit in E unb C in F. SBeii iwifc^en ben jroei $uncfen E unb F , aber nuc etit 9jormaIfrei66ogen mogM$ tfi, fo fallt a u # bie (Seite B C in bie E F , uttb beibe Triangel c o t i g r u i i ren. =— S e § t man aber ftatt A D E F , ben A G E F , fo baß L A = L c , A B = G F unb A C = G E ift, bergefiait, baß bet ^neinanbevlegung bei* gleichen SBins fei, n i e f y t bie n>e$felfeiitg gleichen Seiten ineittanbeifalten; *) fo conjlrutve man ben ©egentriangel D E F beö SriangelS G E F , unb lege bei beiben eine ber gleichen ©eiten E F in einanber; fo muß bann nadj betn eben SSewiefenen, A D E F congruent bem A A B C fein, benn D E = G F = AB, D F = G E = A C unb Z . D = = Z . G = X A . 2>af;er wieberum L B = L DEF = L GFE, L C = D F E = L G E F , fo ftne B C = E F , 'b. tj. beibe Srianget ftnb f p m m e t r i f c ^ . S i e behauptete ^bentitat finbet ba^er jiatt ($. 44, 6). SB. j. b. » . ») esmüjjt« betitt ffitr eine« SefottJeifitt, atfo «llflemeitt ttic&t Attjuneifitunbert goD, AB = AC, alfo «ud) GE = GF fett».

54

(Sptjánfdje ©eomefrie. 2. Äaptiei.

g. 46. 8 e & r f a $ CS««- 10). 3«>cí f p í > a r i f < $ e T r i a n g e l f í n & i b e n t i f c í ) , roenn c i n e © e i t e u n b b t e $ n m a n l t e g e n b e n S B i n f e l , i » b e t b e n T r i a n g e l n «>ecí)felfeitig gleic(j f í t t b . Slnnaöme. BC = E F , L ABC = L DEF, L ACB = L DFE. Seljauptung. A ABC ibentifc^ A DEF. 35en>eiá. íúe ö r b n u n g urr¡> £age ber w f y felfeitig gleichen ©tucfe bergefialt, baß dongruenj mSg« lief) ifi, fo lege matt A A B C fo auf A D E F , bag íúe gleic(> gegebenen ©eiten B C unb E F , inetnanber fallen; bann faítt, ber g l e i t e n SBinfe! A B C unb D E F wegen, B A auf E D , unb eben fo C A auf F D ; beibe 9io?tnalfreté6ogen muffen ftcf) alfo im j ú n e t e D, tvo bte 33ogen E D unb F D einanber fc&neiben, a u $ fdjneii ben, baf;er beibe Sriangel c o n g r u i r e n . — bevt aber bte Sage ber ©tucfe/ bie Congruenj ber SrtatiJ gel, *) ifi alfo B C = E F , L B = L G F E unb L C = L G E F ; fo ivirb ivieber ber ©egentrtangel D E F beé Srtangelé G E F conjlruirt, für »eichen (analog tvie im vorigen §.) bte Gfongrueni mit A A B C , wie eben gefdjal), beriefen ttnrb, unb woraus bann bie Gpmmetrie bei' Sriangei A B C unb G E F folgt. — SB. j. b. t», §. 47. Cgi«. 6). 3 m gletcíjfcíjenf'ltcf) f p í j a tri feí) en S r i a n g e l , f i n b bie S S t n f e i a n b e r b r t t t e n © e i t e , bei ( ä r u n b l t n i e , e t n a n b e r gleid>. 2Ínnaf>me. 3 m A A B C t(! A B = A C . «Behauptung. ¿ A C B = ¿ A B C , * ) SBettit aUt Biet; flfgefeenett SBtttfel e t n a t t t t f ö l i i c l ) fo ftnfcet «ff«n(»tr flet* e p t t g r u e n j

tfati.

ftni,

SSott Gen g i e r e n auf fcet .ftuaeifläcfji.

55

33 c tt> c f é- SDîatt conjïruirc be« ©egentrtangel EFI, fo ifï AB = FE «ttî> AC = EI. 55a nun AB = AG gegeôen, fo i|ï aitcf) FE = EI. SBeil ferner L A = L E ifi ( $ . 44, 5 , C), fo ifï A ABC fogar c o n g r u e n t i>em A EFI, tnbem n>egen ber (Gleichheit Aller toter ©eiten AB, AG, EI, unb EF, baô ^neitti anöerfallen ber S r i a n g e l , 6ei Sînetnanberlegung ber gleichen SSinfel A unb E, burch nichts gehinbert »tri) (G. 45). £egt man d f o EI auf BA unb EF auf CA, fo jïnb, ber C o n g r u e ^ wegen, bie SBinfel F unb G einanber gleich, unb e&en fo L I = L B. bann gleidjfchenflich, alfo auch je i » e i SStnfel, b. h* aiie brei F i n t e l , einanber gleich3 u f a § 2- € i n fpharifcher Sriangel mit b r e t u n g l e i c h e n S B i n f e l n , hat auch b r e i u n g l e i c h e © e i t e n . — S e n n : bei j w e i g l e i t e n (Seiten, wât ren auch i w e i , hei b r e i g l e i c h e n © e i t e n a6er a l l e b r e i S ö i n f e l , 6etbeê gegen bte Sinnahme, gleich. 5. 43. 8 e $ r f « & CSig- 6). «Sei e i n e m f p h a r i f c h e n T r i a n g e l m i t i t o e i g l e i c h e n S B i n f e l n , f i n b a u c h 11c b e n f e l & e n g e g e n u 6 e r l i e g e n b e n © e i t e n , e i n a n b e r gleich. Sinnahme, A A B C ff! L C = L B. B e h a u p t u n g , ©eité A B = ©ette A C . 5 S e w e i $ . ® a n betraute ben ©egentriangel EFI, fo iff L B = L F unb L C = L I. S a nun L B = L c, fo auch L F = L I, ober alle »ter Sffiinfel B, C, F unb I ftnb einanber gleichfleht î>aher ber (Ton*

56

©pfykifc&e ©eomeitie. 2. Äapifei.

gvuetti ber beiben Triangel A B C unb E F I (bereit ^ b e n t j t a t , alfo ©kidjljeit ber ©etten B C unb F I , be5 rettä fcefannt ifi) ntcfjtö entgegen (§. 46), unb baljer lüei'&en bie fi'cfj bect'enoen (Seiten/ einanber gletd) fein, i>. {). I E = B A unb E F = A C . © a aber I E = A C unb E F = A B ifi ($. 44, 5, b ) ; fo tft aucfc BA = AC. — SB. i- t>. n>, 3 » f a | 1. € i n fpftat auiefen ft>irb. 3 « f a § 2. £ a t ein fpfjarifdjer S r i a n g e l brei u ' n g l e i c & e « S e i t e n , fo (jat er auc() b r e i ( u n g l e i c ( j e S B i n f e l . — £)enn: i>atte er j r o e i g l e i c h e SB111 f e i , fo mußte er a u d j j r o e t g f e i c & e © e t t e n (laut Sefjrf.)/ bei b r e i g l e i c h e n S B i n f e i n a&er, b r e t g l e i c h e ( S e i t e n (3«f, 1) (>a&en (6eibeS wiber bie Sfnnaljme). 49. « t & t f a * CSig. 11). 3 w e i fi>^arifd>e S t r t a n g e l f i n b i b e n t i f c ^ , wenn fie w e ^ f e l f e i t i g bte (Seiten gleich (jaben. $1 ttnaf)me. A B = D E , A C = D F , B C = E F , 55ei;on})tung. A A B C ibentifefj A D E F . 55en>eil. Slimmt man a n , baß bie Sage ber ©eiten in beiben Sriangeln, ( T o n g r u e n j b e r Triangel i u l a ß t ; fo lege man bie ©eiten B C unb E F congruts renb in e i n a n b e f , bergefialt, baß bie ft>edjfelfeittg gleis c&en ©etten B A unb E D , fo twie C A unb F D , m i t benen, a n ber ©eite B C liegenbe« (Enbpuncten, a n einanber j u liegen fommen. © e f e | t n u n , bie gleichen ©eiten fielen n i c & t tn einanber, fonbern A B A C fiele n>ie A E G F , fo baß er jurn Sljeil a u f , jurn S$eil 00m A E D F a ß f ä i i t ; fo laßt gc& ein SBiber* f p r u # nacjjroeifen, roorawä tattu biefeS angenommene

2 3 o n tic» S t g u r c n a u f Der $uie E G gefaííen, aífo E G = E D ; ebett fo m i t ber G F = C A = F D ) , alfo bie SBinfel a n bei* G D roec^felfeitig in jebem ber S r i a t i g e l gleicf) ($. 47). 35a alfo fein m u ß : L E G D = L E D G , unb L F G D < L E G D (erfterer n u r «in S&etl Don festerem)/ fo a u d ) L E G D < L E D G ; u n b weit L E D G < L G D F i f f , « m fo mef>r auc& i|t L F G D < L. G D F . fciefe beibe SBinfel ftnb a6er g l e i c h , ba A F G D gfeicfjfc^enflidj ifi. — Sßoilte m a n a n n e h m e n : ber eine SBinFel ß w ä r e gleich bem L D E F ; fo m u ß t e , nac&bem ber ©c&enfel B A a u f E D gefallen ift, auefj A a u f D , bal>er roieber A G a u f D F falíen. — 3 | t bte ( E o n g r u e n j , nac&bem bie (Seiten B C u n b E F in einanber gefegt f h t b , n i ^ t mSglicfc; fo f e i , f f a t t A D E F ber A E G F je$t ge» f e | t , bergeffalt b a ß B A == F G » n b C A = E G ift. £ ) a n n conjiruire m a n ben © e g e n t r i a n g e l beé S r i a n g e l S G E F , « n b lege biefen toie A E D F a n A G E F , fo b a ß E G = F D u n b F G = E D i f t ; b a n n iff nac& bem eben SBemtefenen, bie (Tongruenj ber S r t a n g e l A B C u n b D E F , m i t h i n bie © t j m m e t r i e ber T r i a n g e l A B C u n b E G F wieber einfach j u fceroeifen. — S i e Ée^aup« tete 3 b e n t i t á t f n b e t alfo (iatt. SB. 6. n>. ß. 50. S e l j r f á & e . 3íuf öSttt'ß a n a l o g e Sirt rote eS in ber e6enett © e o m e t r i e gefc&ief;t, ftnb f ü r ben gleic&fc&enf'Ucfr fpf)&> rifc&en J r t a n g e l , folgenbe @a(je j u fceroetfen: 1) € t n S f t o r m a l f r e i é & o g e n , W e l v e r b e n

58

icfer f e n f r e c ( j t unb l)a16irt fie, f B e w e t S . 9iad> $. 45. o&ct* 46. i|i bie ^ b e n t i t a t ber beiben entfieljenben S r i a n g e l , bic f ü r biefen gatt in ber 2(iigemeini>eit n u r f t ) m m e t r i f c f > aber n i d ) t c o n g r u e n t » e r b e n , etnleucfjtenb. *) £>ie ©leic&ijeit ber SBinfel am gejogeiten 55ogen unb ber ©runblinte, folgt au$ $. 44, 5, cU unb baf ftc rechte SSSinfel ftnb, nunmehr auS $. 3 1 , 8, f. « Sriiingel ftatt ftnien.

£3ott bett Sigureit auf t>cr ^ugeiftac&e.

59

Slnmerfting. Keineswegs lägt (tcft tier igafc &ier «uffiettctt: tag i>er, - »Ott tee (Spifce i>c$ ungleichen 2Binfel$ auf fcte ©rnnblinie gefüllte «perpent)ifie ^bcrttität tet elron ent® fte&en&en Xciangcl beroeifen wollte (analog wie in t>er ebenen ©eometrle), siebt e$ in i>er fp&ärifcljetl ©eometrie tuc&t. §. 51. £ e $ r f a | , 3t»ct f p i ) a r t f $ e S r t a n g e l f i n b ibentifcfj, w e n n b i e t>vci S ö t n f e l roedjfelfettig t n 6ei* t e n S r i a n g e l n ei n a n b e r g l e i c l j f i n b . 95ctt>eiö. mßgen bie fcctbc» Sriattgel f u r j A uttö B Oeifjen. 5)ian ftctle (1$ bie, j u Seiten Srian? geln geijSrenbett ipolartrtangel ( § . 40, 2 ) »or, welche, f ü r A burcl) M, unb f ü r B burc& N, fcejeidjnet werben mögen. Si'uö ber roecfyfelfeitigen ©leidjOeit ber SBinfel ber S r i a n g e l A unb B, folgt aucfj bie wec^fel« feitige ©leicfjljett ber (Seiten tf;rer sjJolarfriattgel, alö (Supplemente jener SBtnfel (§. 41). S i e spolartriatti gel M unb N fiub alfo t b e n t i f c f c (§. 4 9 ) , l;aben ba? l>er wecfofelfeitig bie SBtnfel gleich ( 5 . 44, 5, d ) , unb bie ©upplemente btcfer SBinfel ftnb »ieberum bie ©et? ten ber Sriongel A unb B , alfo ftnb bie © d i e n bies fer Srtangel wecljfelfeitig gleiclj, baljer ifyve ¡jöentitat nunmehr auö 4 9 folgt. j. 6. n>. Stnmetiung. ebenen ©sometvle, beßtmntt befannt» lid) weöjfelfeitise ©leidtfeit fcer SBinfel, nur 3le$nlic&f e i t , nicfjt ober G o n g r t t e n j öer Triangel, $ . 5 2 . £ e $ r f a § ( g t * 12). j e b e m f p i ) 5 r i f # e t t S r t a n g e l , f!e/)t b e m g r ö ß e r e n SBtnfel bie g r ß f i e r e © e t t e gegen« ö 6 e r. Sittttaljme. L C B D > L B C D . «Behauptung. C D > BD, 5Bei»ei§. S r a g e a n C B nach §. 29. 3 u f a § 3 , ben L C B E = l B C D an, unb erweitere ben © ¿ e n «

60

@p§ávifcí>e ©eomeítie. 2. $apíícf.

fel BE 6íé juvflcgettiUeríiegetibcn©cite Q. 9ía$ 5. 4S, ifí ti un im A CBQ, CQ = QB. £sa fevnev ua$ 0. 37, QD + QB > D B ¿ff, fo i(í auc& QD -+- CQ > DB i>. í;. C D > BD. ffi. j. 6- ». 3«fa|. Ser gt-Sfereit ©ette fíeí)t aucfj bev gvé* Iserc SBíttfel gegenú&ev. — 2)enn:roávenbte, folcfjen ©eiíen gegenúbevltegenben SBittfel gletd), fo milite» btefe ©etfen gíetcty fein (§.48), unb lage bev gvSfe* ven ©etíe &on beiben, £>er fletneve SBtnfel geaenu&ev, fo toüvbe H>em fletneven SBtnfel ja aucf) bie gv§* fie ve ©eite gegenu&ev íiegen, tvaé bem £eí)vfa&e m» berftmc&t. §. 53. £ef)Ví unb 3uf«fce 12)SBeim vec^twtnílt^ fpOavtfc&en Svtangel seített folgcn&e ©á^e. 1) ©inb bte $atí>eten (§. 36, 8) gvSfier ©bev í'leinev alé ein £>. uabvant, fo ftnb bie tienen gegentHevltegenben SiStnfeí, gré^ev obev íteinev alé ettt vec&tev SBtnfel. «Setoeté. $etm A H A G fei ¿ H A G vecf>t. •) «filan nefyme A H > 90* an. Svagt ntan t>o¡t A aué auf A H etimt üuabvanten AC, fo ifí G bev ÍJJoI beá Sogené A G ($. 31, 14>. 8egt man ban» burd) C unb G ben SBogen CG, fo ffel>t C G fenfvedjt auf A G (§. 31, 15), alfo tfi L. C G A = R, unb L H G A bann > R. Síimmt man fevner ben A F A G , ¿j» roeldjem A F < 90° fet, fo evwetíeve man A F 6té C, b. í). 6té A C = 90° ifí. SÜSie i>orí;ev legt man buvdj G (alé ÍSol beé SBogené AG) be» SBogen CG, unb eé ergiebt . L F G A < 90°. 23ott ber añbevett $at(;eíe ifí bev S5et»eié e&ett fo i» ffifrtik 2B. i. 6. *) 3í«d) Oci 6m fofacnbett (Sáfcett fci

í caí = R.

SSott fcm SiQ««« «wf öcc ÄugeijTöcfje. 2) Síuch richtig.

bei' u m a e f e l j r t e

61

Sir. 1. [ijí

S e i v e i é . 3ft L A G H (im A A G H ) > R, fo «rrichte matt in G ben fenf rechten i Sogen GC ($. 32. 3 u f a | ) , bann t»irö ber af B < 9 0 ° ifi, fo { S n n t e B > 9 0 ° , bei Den beibe« «rften 33oraugfe&ungen, boc(j noc& befielen; bann wäre «ber attcf) G > 9 0 ° , olfo B + C > 180° unb bann «ucfc b + c > 180° (§. 60, 2), unb » e i l c < 9 0 ° fein f o « , wäre b > 9 0 ° , baljer ein SBtberfprudj mit beitt Erfolge a u $ ben beiben erfien 2innat)men, ber Sriangef olfo g a n j u n m ö g l i c h . 6rt bemnacfc j u Sße« jiimmt()eit ber ©eite b, wiffen: bafl a w $ B < 90° tfi. 2) C > 9 0 ° , C + B < 180° u n b B < 90°. S e r n » : •) ifi c > 9 0 ° , fo tfi, ba b + c < 180° "tfi (weil B + C < 180° fein foHte), b < 9 0 ° . SBöfte m a n nun nicfjt, ©& B < 9 0 " tfi, fo würbe f ü r B > 9 0 ° , C < 9 0 ° , alfo o u # b > c, ober b« c > 9 0 ° fei« f o ß , b > 9 0 " , b. fy. etn 2Biberfpruc& m i t bem erfien (Erfolge, ober ein unmSglic&er Sriangel bie golge fein. JDatjer w a r ttßt^tg j u wifje«: baf a u d j B < 9 Q ° ifi. -$Dte © e i t e b t f i f i e t S g r ß f e r 9 0 ° , w e m t : 3 ) c > 90°/ B > G Mttb B > 90° ifi. — S e i t « :

*) S i e 58«r $u c, tilfo gewiß b >* 90°. SBSre «6er B < 90°, fo auc& C < 90° alfo B + C < 1S0% t>al>er aud> b + c < 180°, unb folglicfe für c > 90°, b < ®0% b. t). eé entffänbe ein 5Biberfpruc§. 4) C < 9 0 ° , G + B > 180°, B > 90°. — Sewtt: «tttt ijí auc& c + b > 180% alfo bei c < 90% ijí b > 90°. SBare aber B < 90°, fo toare C > 90% alfo C > B , b«^er and) c > b ; folglich b a c < 90° fein foí(, würbe b attcfe wieber < 90° fein mflfieit, o b « ein 5Biberfprtt$ 4 i»flrbe entjieljen. 3Me ( S e i t e b 6 l e i b t « n b e j i i m m t i n b e r S l r t , ifcetltt: 5) c < 90% B > C unt> ß < 90° iff. — 9iem# liefe: bann ifl «ttc^ b > c , unb »eil matt »on c nur weijj, baf jte f l e i n e r 90° ijí, bleibt eé ganj un6e* flimmt, ob bie größere ©eite b, Heiner ober grSfietr 90° ijí. — SÍSare ö6er B > 90% fo fSnnte auc$ C > 9 0 ° «Ifo B + C ; > 180° fein, bann wetre aber auefc b + c > 1 8 0 % ba&er b > 9 0 ° uttb mitíjítt b e j í t m m t . Bunt unbebingt u n b e j i i m m t bleibenbett SBert^ »on b, mnji olfo B < 90° befannt fein. — 2)a£ öSrigenS anc|> fuv B > 90°, ber SBerty t o n b u n b e f i t m m t 'biet* bett F S n n t e , liegt im ©efagten, Aber eé mttj? (jier ber gewiffe gaíí genannt werben, in welc&etn b u n b e « f l i m m t bleibt. 6) c < 90% B + C < 180° «nb B > 90°. — -Denn: nun ijí auefe b + c < 180% alfo f a n n bei c < 90% b fottjoí > alé < 90° fein. — gilr B < 90% fSnnte C > 90° fein (b. t). bie «Bebingung B + C < 180° boefe erfüllt werben), batin wäre a6er B < C, alfo auefe b < c, unb mithin b gewiß < 90% mitlitt ttidfet meljr t t n b e j i i m m t . ©aljer bie Söebingwng: B > 9 0 % nocí; "nStOig ijí. 7) c > 90% B < C, B > 90% — Sßemlicfe:

78

(Spfjarifdfc ©eometrie.

b a n n iff b
oI >

alS


fein. —

180°,

atfo

(Steift

90ö. —

fattit

2) c > 9 0

o

/ /

3)c>90°

/

/

man

ber f i x e r e n

jie:

Z.C+Z.B90°

/

Z.B+AC>180

o

90°

j b a n n i j i b ge= 90°.

}

AB>90°f

/

/


9 0 Ö I toif >

/

Z.B>AC,Z.B 9 0 ° , Z _ B < £ C , ^ B > 9 0 ° 8)c>90

90°,

Ue6er|tc&t toe*

LC>Z.B, ¿.B

un6ejtimmt.

4 } C< 90°, L C + ¿ B > 1 8 0 ° 5)c5re a&er b g«?

g e n , bie a d j t g d i i e j u f a m m e n , fo j t n b 1) c < 9 0 °

c

b < 9 0 ° ,

9 0 ° , fSnnte C
t

3«f

C ober b > d

bafjer b +

t»5re bann geitnf

b e j l i m m t fein fofl.

auefc b +

oi$ < roif

(lifo B +

u n b Set c > 9 0 ° ,

9 0 ° fei«.

fo fSnnte oudj

^

^B

l t m m t

© u r d ) e i n i g e leid>t a n j u f M e n & e s p r u f « n g e n ,

*

ö6er«

j e n g t m a n ftc& 6 a l & , baj? w e i t e r f e i n e 3 3 e b i n g u n g e n a u f eine 3 3 e j i i m m t l ) e i t ber © e i t e

als U n & e j t i m m t i > e i t

ber

b , m i t © e r o i j i l j e i t f u h r e n . — 3)?an jte&t fer«

n e r , b a j j bie beiben erjten j e b e r tyinlanglicfc

waren,

unbejlimmt

}»

um

geben,

ber brei

bie 5irt baß

aber

Seöingungen,

ber b beffimmt ober bie b r i t t e 23e&ingttng

noc& ( j t n j u f a m , u m ben S r i a n g e l auc& m S g l i c f c ben 4 erflen g ä ß e n )

ober

C
i|? j u machen (&ei ben 4 le|ten § d ( i e n ) . Sin i n e t i .

Sirt

ge«

—

SOian fann ben fünften gntt a u $ fo nenneit: nxmi

90°/ B

+ C


S3ebtngungei§en c < 90°/ »nuj? auef) C < 90°, olfo B +

B > C
9 0 ° , ift «bei audj $u fefeett aU: c C, benn bei B > 90 unb B + c < 180°, ifl not&* ttenbig C < 90°/ nlfo B > C. 6$ffnbbnber bte beibeit gdtle 5 unb 6, unter bie eine SBebingung: c < 90°, B + C < 180° unb B > C, gemetnfc&aftlitb begriffen. U«b eben fo wirb man biegäHe 7unb8/ unter ben einengall: c > 9 0 ° , B + C > 180° unb B < C bringen f5nnen, wie ftcf) leidjt ergiebt. — 25odj ftnb biefe sufammengejogtnen gormen nid)t fo beUimmt/ inbem j. S3. bei ben SSebtnguttgen c < 90°, B + C < 180a unb B > C, e« uncntföieben bleibt, ob B > ober < 90° ift, n>a$ für ben fünften guD wefenbltcf) »(1/ inbem o&ne bte SBebingung B < 90°, bie Unbeftimmts $eit wo! fein fann aber nic&t not&roenbig ijt. (SWait feile nuef) bie SInmerfung jum folgenben II. goß). II. c i|i *) SBare aber babet c > 90°, fo i)t aud) b > 90°, alfo b + c > 180°, baffer auefj B + C > ISO0, unb bei ber 33orau$fe|ung B < 90°, wäre bann C > 90°, wag bem cvflen (Erfolge »tberfpric&i ober einen unmSgs liefen Srtangel geben würbe. c unb c < 90° erforberltc^, um gewiß C < 90° ju ersahen. *) Db n c ift, fatnt man, »eil C unbeiannt id, nidjt felbßmifTen, fonbern et! er(i aus!ben gegebene« §e« b unb c folgern (§.'52 3uffl^.

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©pfjanfdjje ©eotmfrie. 2 . Äapiiei.

2) B > 90° a&er B + C < 180° b. (>. b + c < 180° iji. SBenn l>ier&ei c > 90° ijl, fo iff (ber ©umme fceiberroeßen)b < 90% b. c > b alfo aucfc C > B, ««& »eil B > 90° feilt fofl, fo ifi and) C > 90°, b. i). matt flSjjt auf einen SBtberfprucf). golölicfc muß c < 90° fein, b. I). bie brei ^eöingunßen mfijfen flatt« finben: B > 90°, b -+- c < 180° unb c < 90°. •) 2)er Sßinfel C tjt tmmergrSffer 90°, tuenn: 3) B > 90° ttnb c > B ö, c > b ifi. 3(t bafcei c < 90°, fo i|i au$ b < 90°, alfo c + b < 180°, baljer »ieber C -f- B < 180°, unb 6et B > 90° ge« ft>if C < 90°. muß «ifo c > 90° fein, tooburcfc matt 6ie 3 Sebinguttflen er(j5lt: B > 90°, c > b unb c > 90°. 4) B < 90° a&er B + C > 180° b. b+ c > 180°. 3|i ba&et a&er c < 90% fo iff b > 90° (ber ©nmme 6eiber wegen), alfo b > c mithin B > C, alfo bei B < 90°, um fo mefjr C < 90°. 2>atjer muß man Kiffen, baf c > 90° iff, mithin baß bie 3 SSebin* gangen: B < 90°/ b + c > 180° unb c > 9 0 ° flatt* pnben. 55er S B i n f « ! C b l e i b t getoif w n 6 e | i i m m t i n b e r Sirt, w e n n : 5) B < 90° unb G > B D. c > b ijl. fcabei c > 90% fo (Snnte an 90° fein, nnb bann tt>are c + b > 180% öiit&itt auc& C + B > ' 180% *) SEBoUfe man n o $ einen trittctt gaH auffucf)ctt, in wertem c < 90° i(l/ fo fonnt« man nur noc& einmal l b > ober < 90° attne&m«tt; bei u B < 90°, ijl a u g « bee jrodt«« Sinna&me i>e$ erfleit gafltf, tumllcl) b > c, nur noc& b < c alfo B < C jn nt&men. Siber C > B giebt bei ber SBorauifefcuttg C < 90°, b fotvol < ajs > 90° b. lägt C « n b « ( l i m m t . — Si«iinlic& fd)Itcfjt man bei Seit folflenbttt gdfl«n.

bctt g i g u r m auf i>ec ^ugei(!dcf;c. 81 180°, folglich C getoif > 90°, bo B < 90° fei« foffte. würbe alfo eine 3 3 e f f t m m t l j e i t beS 2öinfciö C i n 6 3 i t c ^ , wen« ouclj n i e n o r i ) f t > e n b t g *) fein, olfo b o $ C n t d j t gcit>ifj u t t 6 c | t t m m i tverben. tnuf olfo c < 9 0 ° Gefonntfei«, ober bte brei 33ebingungett: B < 90°, c > b uttb c < 90° muffe« ffattfinben. 6) B < 90° unb B + C < 180° f). b + c < 180° tff. SSare batet c < 9 0 ° , fo fonnte b > 9 0 % olfo b > c b. f>. B > C fein, fl>a§, ba B < 90° fei« follfe, C < 90°, alfo G e f f i m m t gefce« ftntrbeS u r Un6efftmmtr;eti be$ SBinfelS C, geirrt olfo tto# iü ttiffe«, baß c > 90° tff. £ t e Sebtngunge« ftnb bemnacl): B < 9 0 % b + C < 180° unb c > 90°. 7) B > 90° unb B > C b. i). b > c ifr. SBore botet c < 90°, fo f6nnie o u ^ b < 90° fein; bann ijt oter c + b < 180°, olfo anefj C + B < 180°, waS für B > 90°, G < 90°, olfo C fceff t m m t giebt. ¡jebem olfo n«c& c > 90° feilt muß, ffnb bte 3 33ebi«g«ngen: B > 90°, b > c unb c > 90°. 8) B > 90° unb B + c > 180° b. t). b + c > 180°. 3(1 u u « batet C > 90°, fo fon« b < 90°, olfo C > b mitlitt G > B fein, it>o$ G > 90° gebest würbe, inbem B > 90° fei« foli. Stefe mögliche 33e* fitmmtijeit für G ju fcermeibe«, muß olfo c < 90° fei«. 35te 3 Sßebtngungen ftnb olfo: B > 90°, b + c > 180° unb c < 90°. Bufofc. £>te at: 1)Z.Bc,c 9 0 ° , b + c < 1 8 0 o / c < 9 0 ° i ßemiß < 90° *) £>a ja Set c > 90°/ tod6 «uc6 »> < 90°, mit<t c + b,

alfo auc^ c + B < 190 0 , frei oter < 90° fein f ß n n t i . Sovlln«'* ©pöävif.

B


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(Sp^arifcfje ©eometti«. 2 . Äapifei. 3)Z.B>90°/b90° j 4)£B180o/c>90°l 5)LBc,c>90° l 8)AB>90o/b+c>i80o/c 9 0 ° 3 « tiefen l e n bleibt L C fiewijj unbe* fiimmt.

Siuf t i e f e S u f a m m e n f M u t t f l / lafiett jtc& flattj ein« f a $ t>ie bei SRr. I . ßemac&ten SBetrac&tutisett u n ö 2t«* merEnngett/ t u gleicher SEBetfe u b e r t r a g e u . S l n m e r f . erinnert fei bier noch, ba§ forool in biefern «W im erden Salle/ ber SCriangel noch feineSweg« b e f t i m m t ober u n b e j l t m m t i(i/ wenn aujjer ben brei ©tütfen eine »on ben aebt SJebingungett eines g«Dö gegeben finb; ienn e« fanit » o l fei«/ bag foldjc brei © t ö d e in einem Triangel in bee befonberen SBerbinbung/ gar hiebt su Bereinigen ftrib/ b. b. ber Triangel überhaupt mit i&nen ju bilben unmSgUcf) iff. S i e »eftimmtbeit ober Uttbeftimmtfceit> tritt felbtf erjl bei b e r ä R i g l i c b f e i t b e $ g a t t } e n T r i a n g e l « ein. 3&&e für bie britte ©ette wirb ; unb erft nacb= bem ber Triangel m 8 g l i e b wirb/ tritt bie S3ejiimmtbeit obei Stveibeuligieit/ wie befahnt/ ein. — ©fcm fantt in ber fpbJ» rifeben ©eometrie biefe «Betrachtungen/ gani analog in 25e* liebung auf beti iJ5erpenbifelbogen führen, bodj ifi bte$ bier> abgefebett batton baä biefe Unterfucbwtgen viel weitlduftiget «Ii in ber ebenen ©eometrie, ber Statur ber ©pbSre unb ber j w e t un&efilfflmten gdfle (§. 56) wegen/ wirb/ um fo we* niger nStbig/ als bie Gontfruction ber fp&drifcfjen Triangel au* benen (te beftithmenbert ©tücfett/ biet ganj wegbleibt/ »eil bte fpbarifebe Trigonometrie, bie unbekannten ©tfiefe - aus jenen ftnbert lebrt/ unb bann bie erfolge/ wenn beti Trian» gel unmtglicb werben fdüte/ |tcf) auf eine einfache SHJeife ergeben.

93on fcctt S p u r e n ouf tev 5vuge(fTäcf;e.

$. 63. 2el)rfa$.

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(gtg. 15)

3 » e i f p m m e i r i f c & e fpljarifc&e 2 r i a n g e l > Ijaben g l e i c h e n g l S c ^ e n i n l j a l t . *) Sinnaljme. A C = EF, A B = DF, B C = E D ; ferner Ä A B C fi;mmetrtfc& (alfo nid)t e o n g r u e n t ) A DEF. 3 3 e l j a u p t u t t g . Ä A B C 1= A D E F . et»eiS. SOiatt ffeile ft# burcf> bie SÖßinfelfpt&eit jebeS ber Sriangel, bie ecf)felfeitig gleichen Smngeln .'erfüllt, baljer fíe fel6(í gleich fínb; ober bte $ole fallen wie bte «pnnefe H unb K, fo baf? 6ei ber £egung ber gebauten «&fllf6ogett, eine ©eite (bie AC unb bie EF) in jebem Triangel gefc&nitten tt>tr&. SOJan fjat bann au$ benfel&en ©rutt* ben wie »orl;er: *) Sil L ANC at baljef &cv 95ett>eiS tn.'f)r ©c&tmerigfeiten im anbeten. SB- j. 6. ro. 3ufa§. ©egentfiangel (§. 44,3) f»»t& fpmmctric^c Smngel (§. 44, 6)/ ntfo an glac&eninijftli gleich §. 64. 3ufa& ($tg. 13 ) fßon ben adjt/ burcf>roecijfelfeitigeg@$nebett' bveier 9Iom«lfrei3&ogen in fecfjö ^nncten, entfiei;e.ben Sriangei ($. 44, 1), ifi bie ©nmme je jweier ems felben SBinfci. ®enn: man Befragte j. 35. ton bett fecf)S Triangeln, bie jtuei Triangel A B C un> AHF, n>elc&e bie ©djeiteltoinfel bei A gleich f)a6e»; fo ifi A A H F ber ©egentviangel »cm A B C D ('. 44, 6), (lifo 6eibe gleich (§. 63), «nb beider A A B C + A A H F = A A B C -+- A BC) = bem ftugeljfreif ABDC. Slnmerf. Da jeber ber fedjtf etttjW&ttt&ett £rkttge' bei feinen Jtet 9BinfcIfpi^ett etitett @d)eiteltrinngel ()at/ f ffltrn man flletc{)iam 24 gjaote »ott @c&eiteltrmngelns bettacfru, &fe ft'dj BAH, bte .