Die Prinzipe der Dynamik [Reprint 2022 ed.] 9783112687123

Table of contents :
Vorwort
Inhalt
1. Das Prinzip der virtuellen Yerrückungen für holonome skleronome Bedingungsgleichungen 1. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für holonome skleronome Bedingungsgleichungen
2. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für rheonome und nichtholonome Bedingungsgleichungen
3. Das Prinzip von d'Alembert
4. Das Energieprinzip bei skleronomen und rheonomen Bedingungsgleichungen
5. Wirkliche, Übergangs- und variierte Bewegung
6. Allgemeinere Variation (Variation der Zeit)
7. Allgemeine Koordinaten; wahre und nichtholonome Koordinaten
8. Das Hamiltonsche Prinzip der stationären Wirkung und seine Äquivalenz mit dem d'Alembertsehen Prinzip
9. Die Lagrangeschen Gleichungen für holonome und nichtholonome Koordinaten
10. Anwendung der erweiterten Lagrangeschen Gleichungen auf die Eulerschen Gleichungen des starren Körpers
11. Die Holder sehe Transformation
12. Die verschiedenen Formen des Prinzips der kleinsten Wirkung
13. Die kanonischen Gleichungen von Hamilton
14. Allgemeine Variation der Hamilton sehen Prinzipalfunktion
15. Die Hamilton sehe Differentialgleichung für die Prinzipalfunktion und die Integrale der Bewegungsgleichungen
16. Jacobis Umkehrung des Hamilton sehen Theorems zur wirklichen Bestimmung der Integrale
17. Über die Integration der Hamilton sehen partiellen Differentialgleichung
18. Das Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges
19. Die Gibbs-Appell sehe Form der Bewegungsgleichungen

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Die

Prinzipe der Dynamik Von

Dr. Clemens Schaefer o. Professor a. d. Universität Breslau

M i t 6 Figuren im T e x t

Berlin und Leipzig 1919 Vereinigung

wissenschaftlicher

Verleger

Walter de Gruyter & Co. vorm ah; G.J. Göschcn'sche Vcrlagshandhmg :: J. Giutentag, Verlagsbuchhandlung :: Georg Reimer :: Karl J. Trüfcner :: Veit & Comp.

Vereinigung w i s s e n schaftlicher Verleger Berlin

Walter de Gruyter & Co.

Leipzig

Einführung in die theoretische Physik in

zwei

B ä n d e n von

Dr. Clemens Schaefer Professor an der Unirersität Breslau I. B a n d : Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer Körper, Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydromechanik) Mit 249 Figuren im Text. Geheftet M. 18.—, in Ganzleinen gebunden M. 22.— W e r vor einem nicht nur aus zukünftigen Helmholtzen bestehenden Auditorium Kolleg über theoretische Physik lesen soll, wird mit uns den Mangel eines modernen Lehrbuches der theoretischen Physik, das hohes Niveau mit verständlicher Darstellung vereinigt, schmerzlich empfunden haben. Um so größer ist das Vergnügen, wenn man auf Bücher wie das Schaefersche hinweisen darf. Wir wünschen ihm weiteste Verbreitung, nicht nur wegen seines Inhalts, sondern auch wegen seiner vorbildlichen und hoffentlich erziehlich wirkenden Darstellungsweise. Wir sind überzeugt, daß der Leser das Buch mit denselben Gefühlen der Befriedigung aus der Hand legen wird, mit dem wir es sowohl den Fachgenossen, als auch den Studierenden aufs angelegentlichste empfehlen. Es wird nach unserer Uberzeugung für lange Zeit das Standardwerk für den Universitätsunterricht werden. Physikalische Zeitschrift. Erfahrungsgemäß machen dem Studierenden in den ersten Semestern die Vorlesungen über theoretische Physik besondere Schwierigkeiten. Daher wird das vorliegende Werk, das aus den Vorlesungen des alB Forscher und Lehrer gleich bekannten Verfs. entstanden ist, als üilfsbuch zum Verständnis und zur Erweiterung des Gehörten von den Jüngern der Wissenschaft freudig begrüßt werden. Die Darstellung ist ebenso elegant wie leicht verständlich. Zeitschrift für Naturwissenschaften. Band II befindet sich in Vorbereitung

In zweiter, u n v e r ä n d e r t e r A u s g a b e ist

erschienen:

Lehrbuch der Physik Nach Vorlesungen an der Technischen Hochschule zu München

Von Dr. H. Ebert

weiland Professor der Physik an der Techniachen Hochschule zu München, o. Mitgllede der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften

Erster Band: Mechanik und Wärmelehre Mit 168 Abbildungen im Text.

I n Ganzleinen gebunden M. 16.—

In den wenigen Jahren, die seit dem Erscheinen dieses Werkes verstrichen sind, hat sich das Ebertsche Werk besonders im Gebrauch an den Technischen Hochschulen und zum Selbststudium aufs glänzendste bewährt. Der zweite Band befindet sich unter der Presse V e r l a g s t e u e r u n g s z u s c h l a g b i s auf w e i t e r e s 4O°/ 0

Die

Prinzipe der Dynamik Von

Dr. Clemens Schaefer Professor a. d. Universität Breslau

Mit 6 Figuren im T e x t

Berlin und L e i p z i g Vereinigung

1919

wissenschaftlicher

Verleger

Walter de Gruyter & Co. vormals G . J. Göschen'sche Verlairshandluug :: J . Gutteutag, V e r l a g s buchhandlung :: G e o r g R e i m e r :: K a r l I T r ü b n e r :: V e i t & Comp.

Alle Reckte, einschließlich des Überseteuiigsrechta, vorbehalten.

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Vorwort. Dem Inhalt des vorliegenden kleineu Buches liegt eine Vorlesung zugrunde, die ich zur Ergänzung der allgemeinen Vorlesung aber Mechanik im S.-S. 1918 gehalten habe. Mein Ziel war darin, zu zeigen, wie die verschiedenen Prinzipe der Dynamik sich auseinander entwickeln und miteinander zusammenhängen. Insbesondere schien mir eine einfache strenge Darlegung der verschiedenen Formen des Prinzips der kleinsten Wirkung gerade heute wünschenswert, wo das genannte Prinzip in der Gravitationstheorie E i n s t e i n s eine so gewaltige heuristische Kraft entfaltet hat. Auf die H a m i l t o n - J a c o b i s c h e Theorie bin ich eingegangen, weil sie ebenfalls durch die Arbeiten von S c h w a r z s c h i l d , S o m m e r f e l d und E p s t e i n zur Quantentheorie dem Interesaeukreis des Physikers nahegerückt ist. Herrn Professor Adolf K n e s e r bin ich für sein Interesse und seinen Rat herzlichst zu Dank verbunden. B r e s l a u , April 1919.

Cl. Sehaef«r.

Inhalt. § 1. S 2. § § § S § s

3. 4. 5. 6. 7. 8.

S 9. s 10. S 11. S 12. 13. ^ 14. «i 15. S 16. S 17. i; 18. £ 19.

Das Prinzip der virtuellen Yerrückungen für holonome skleronome Bedingungsgleichungen Das Prinzip der virtuellen Yerrückungen f ü r rheonome und nichtholonome Bedingungsgleichungen Das Prinzip von d'Alembert Das Energieprinzip bei skleronomen und rheonomen Bedingungsgleichungen Wirkliche, Ubergangs- und variierte Bewegung Allgemeinere Variation (Variation der Zeit) Allgemeine Koordinaten; wahre und nichtholonome Koordinaten . . . Das Hamilton sehe Prinzip der stationären Wirkung und seine Äquivalenz mit dem d'Alembert sehen Prinzip Die Lagrange sehen Gleichungen für holonome und nichtholonome Koordinaten Anwendung der erweiterten L a g r a n g e s c h e n Gleichungen auf die Eulerschen Gleichungen des starren Körpers Die Holder sehe Transformation Die verschiedenen Formen des Prinzips der kleinsten W i r k u n g . . . . Die kanonischen Gleichungen von Hamilton Allgemeine Variation der Hamiltonschen Prinzipalfunktion Die Hamilton sehe Differentialgleichung f ü r die Prinzipalfunktion und die Integrale der Bewegungsgleichungen Jacobis Umkehrung des Hamiltonschen Theorems zur wirklichen Bestimmung der Integrale Uber die Integration der Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung Das Gauss sehe Prinzip des kleinsten Zwanges Die Gibbs-Appellsche Form der Bewegungsgleichungen

Sehe

1 8 12 14 16 22 24 30 33 37 40 43 52 55 57 61 65 68 72

§ 1.

Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für holonome skleronome Bedingungsgleichungen. F ü r ein System von n vollkommen freien Massenpunkten (also mit 3n Freiheitsgraden) lautet bekanntlich die Gleichgewichtsbedingung:

( *, = >

(1)

j

Y =0,

( » = 1, 2, . . . n),

1 ZV = 0 wenn Xr F Zr die rechtwinkeligen Komponenten der auf das vte Massenteilchen wirkenden Gesamtkraft bedeuten. Diese 3 n Gleichungen sind einer einfachen Zusammenfassung fähig, wenn man jede der Gleichungen (1) mit einer willkürlichen Funktion, die wir beziehungsweise 8xr, b yv, 8%v nennen wollen, multipliziert und dann das ganze System addiert: 2 iXJxv

(2)

+ Yv8yr

+ Z j z v ) = 0.

V

Diese eine Gleichung ist wegen der Willkürlichkeit in der Wahl der 3 n Funktionen Sxv, 8yy, 8%r v o l l k o m m e n g l e i c h w e r t i g d e m S y s t e m (1); sie sagt nicht mehr und nicht weniger aus als dieses. Denn wir können z. B. Sxx =}= 0, alle übrigen dxv, sowie sämtliche Syr und 8zv gleich Null wählen. Dann liefert Gleichung (2) das Resultat -X, 8 x, = 0 , oder, da nach Voraussetzung öxl =)= 0 ist, folgt Xx = 0, wie es nach (1) sein muß. So gewinnt man der Reihe nach aus (2) sämtliche Gleichungen des Systems (1) wieder. Deutet man die Größen Sx v , 8y v , 8%y als die Komponenten einer unendlich kleinen, gedachten Verrückung S§r, die sämtliche Massenpunkte erleiden,J so stellt der Ausdruck X V8x V4-' YV 8yj V + ZV8z V die Arbeit 8AV dar, die von den Kräften X F Z v bei der gedachten Verschiebung geleistet wird. Also stellt die linke Seite von (2), die ^ V8 A v = SA geschrieben werden kann, die gesamte Arbeit 8A aller Kräfte dar, wenn jeder der n Massenpunkte eine Verschiebung 8 erleidet. Wir können also die Gleichgewichtsbedingung folgendermaßen formulieren: B e i e i n e m v ö l l i g f r e i e n S y s t e m von M a s s e n p u n k t e n i s t im G l e i c h g e w i c h t S c h a e f e r , Dynamik.

1

2

£ 1.

Virtuelle Verrückungen für holonome usw.

Bedingungsgleichungen.

die A r b e i t bei e i n e r u n e n d l i c h k l e i n e n V e r s c h i e b u n g des Systems gleich Null. Gleichung (2) stellt den einfachsten F a l l des sogenannten „ P r i n z i p s d e r v i r t u e l l e n V e r r ü c k u n g e n " vor. Die vorhin dem System erteilten gedachten Verrückungen nämlich, die man im Gegensatz zu den w i r k l i c h e n Verrückungen (den „aktuellen"), die wir durch das Zeichen ,,d" charakterisieren werden, durch das Symbol 6 der Variationsrechnung zu bezeichnen pflegt, werden, um ebendenselben Gegensatz zu den w i r k l i c h e n Verrückungen zu betonen, im mittelalterlichen Sprachgebrauch „virtuelle", d. h. m ö g l i c h e Verrückungen genannt. Diese hier vorläufig ausreichende Definition wird im folgenden passenden Einschränkungen unterworfen werden müssen. Hier ist es wichtig, zu bemerken, daß im Falle völliger Bewegungsfreiheit des Massensystems, was wir ja hier vorausgesetzt haben, j e d e d e n k b a r e V e r r ü c k u n g a l s v i r t u e l l e z u b e z e i c h n e n i s t ; insbesondere sind die w i r k l i c h e n Verrückungen auch „mögliche", d. h. v i r t u e l l e . In dem eben betrachteten Falle völliger Ungebundenheit des Systems leistet das in Gleichung (2) enthaltene Prinzip der virtuellen Verrückungen in keiner Weise mehr, als das System der Gleichungen (1). es h a t jenes keinen Vorzug vor diesem. Dies wird anders, wenn wir jetzt den Fall mit in Betracht ziehen, daß durch gewisse Bedingungsgleichungen (es mögen m an der Zahl sein, m < 3 n), die zwischen den Koordinaten x1ylz1, x2 y2 z2, . . . xn yn za der Massenpunkte bestehen, die Bewegungsfreiheit eingeschränkt ist. E s kann z. B. vorgeschrieben sein, daß jeder Massenpunkt sich nur auf einer bestimmten Fläche verschieben kann, und es wird nun nach dem Gleichgewicht des so beschränkten Systems gefragt. Es existieren also Gleichungen von der F o r m (3)

Vafoyi^» •••»,»,»,.•••*»?/»»«) = (* = i , 2 . . . »»). Wie lauten nun die Gleichgewichtsbedingungen? Daß hier eine wesentlich schwerere Aufgabe als vorher vorliegt, erhellt, wenn man sich folgendes klar macht: Statt die Bewegungsfreiheit der Massenpunkte durch die Bedingungsgleichungen (3) einzuschränken, können wir auch geeignet gewählte neue Zusatzkräfte z.v, H v , Z r zu den alten X_ Yr Zv hinzutreten lassen, mit der Maßgabe, daß die Zusatzkräfte so beschaffen sein sollen, daß sie das Hinaustreten der Massenpunkte aus der ihnen vorgeschriebenen Fläche verhindern sollen. Sie sollen also in dem Endeffekt die Bedingungsgleichungen (3) ersetzen. Von diesen Zusatzkräften kennt man also zwar die Wirkung, aber nicht ihre Größe. Um übrigens einen geeigneten Namen für die Zusatzkräfte zu haben, wollen wir sie „Zwangskräfte" nennen. Betrachten wir der Einfachheit halber zuerst einen Massenpunkt (Masse mr, Koordinaten xv yit xv) und eine Bedingungsgleichung Vjpyyv*,)

=

§ 1. Virtuelle Verrückungen für holonome usw. Bedingunr/sgleiehu Durch Summation können wir dann später stets zu dem allgemeinen Falle mehrerer Massenpunkte und Bedingungen übergehen. Der hier herausgegriffene einfache Fall ermöglicht uns eine geometrische Deutung im gewöhnlichen dreidimensionalen Räume. In diesem stellt die Bedingungsgleichung (py = 0 eine Oberfläche dar, auf der der Punkt bleiben fliuß. Ersetzen wir die Bedingungsgleichung (px = 0 durch die Zwangskräfte E.rHrZr, die dasselbe leisten, so wird u n s e r M a s s e n p u n k t w i e d e r v ö l l i g f r e i , nur, daß er nicht unter der Wirkung der Kräfte XrYvZv, sondern unter derjenigen der Kräfte I + Z r , Y + H r , Z steht. Daher können wir die Gleichgewichtsbedingung (1) für ein freies System anwenden und haben also: (4)

.Y„ + Z„ = 0 ,

Y,

+ H„ = 0 ,

zr + zr =

0.

Oder, wenn wir zum Gedankenkreise des Prinzips der virtuellen Verrückungen übergehen, d. h. unserm Massenpunkte eine Verrückung ¿'§ erteilen, so finden wir nach (2): [Xr + =,.) öZr + (Yr + H „)«*»/.. + (Z. + Z„)