Die Grundlage der modernen Wertlehre: Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen: (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis). Aus dem Lateinischen übers. und mit Erläuterungen vers. von Alfred Pringsheim. Mit einer Einl. von Ludwig Fick. (Sammlung älterer und neuerer staatswissenschaftlicher Schriften des In- und Auslandes, Nr. 9) [1 ed.] 9783428567676, 9783428167678

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Die Grundlage der modernen Wertlehre:

Daniel Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen Herausgegeben von

Alfred Pringsheim

Duncker & Humblot reprints

Die Grundlage der modernen Wertlehre:

Daniel

Bernoulli,

Versuch einer neuen Theorie der

Wertbestimmnng von Glücksfällen.

Die Grundlage der modernen Wertlehre :

Daniel Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der

Wertbestimmung von Glücksfällen (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis).

Aus dem Lateinischen übersetzt und m i t Erläuterungen versehen von Professor D r . A l f r e d

Pringsheim.

Mit einer Einleitung von Dr. L u d w i g F i c k.

Leipzig-, Verlag

von D u η c k e r & 1896.

Humblot.

Alle Rechte vorbehalten.

Einleitung. I n den letzten J a h r z e h n t e n i s t eine der H a u p t l e h r e n der theoretischen N a t i o n a l ö k o n o m i e , die L e h r e v o m W e r t , wiederholt

v o n verschiedenen

Revision u n t e r z o g e n

Seiten

worden.

Die

einer

gründlichen

ältere

Wissenschaft

betrachtete den W e r t als etwas d e n G ü t e r n des, als ein V e r h ä l t n i s

zwischen

innewohnen-

einem G u t u n d

einem

anderen, oder als das V e r h ä l t n i s zwischen einem G u t der Gesamtmasse der ü b r i g e n G ü t e r .

und

W e n n auch manche

unserer K l a s s i k e r , w i e n a m e n t l i c h T h o m a s R o b e r t M a l t h u s , in

ihren

allgemeinen

Erörterungen

erkennen

u n d be-

tonen, dafs der W e r t nichts anderes ist, als die A c h t u n g , i n der

ein G u t

bei den Menschen,

die seiner bedürfen,

steht, so h i e l t doch die M e h r z a h l der führenden Geister an der A n s c h a u u n g fest, eine solche A u f f a s s u n g des W e r t e s sei f ü r die V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e herkömmlich,

die Formen,

unfruchtbar.

i n denen der

Es war

Wert

in Er-

scheinung t r i t t , u n d die m a n als Gebrauchs- u n d T a u s c h w e r t unterschied,

für D i n g e

ganz verschiedener A r t z u

halten; j a , manche Theoretiker

gingen

Begriffe als Gegensätze z u bezeichnen. wert

so w e i t , Den

diese

Gebrauchs-

h i e l t m a n i n der oberflächlichen B e t r a c h t u n g , d i e

m a n i h m w i d m e t e , f ü r dasselbe w i e die N ü t z l i c h k e i t

und

wufste m i t i h m n i c h t v i e l a n z u f a n g e n ; m a n w a n d t e sich deshalb z u m T a u s c h w e r t , den m a n eingehender F o r s c h u n g Samml. staats w. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .

1

2 unterzog.

Während

man

—

unter

Tauschwert

meist

das

verstand, was m a n heute vielfach — v i e l l e i c h t n i c h t ganz glücklich — „objektiven

Tauschwert"

nennt,

war

man

sich i m V e r l a u f d e r U n t e r s u c h u n g g e w ö h n l i c h n i c h t bewufst,

dafs

man nur

W e r t e s v o r sich hatte,

eine der E r s c h e i n u n g s f o r m e n

des

sondern m a n g l a u b t e i n den E r -

ö r t e r u n g e n über den T a u s c h w e r t eine erschöpfende W e r t lehre z u liefern. Bei in

ihren Forschungen

dem

sinnenfälligen

w a r e n die meisten A u t o r e n

Schein,

des g e w ö h n l i c h e n L e b e n s

den der

darbot,

Tauschverkehr

befangen.

Man

sah,

dafs die Menschen G ü t e r , die sie i n i h r e m Besitz haben, u n t e r e i n a n d e r austauschen, u n d meinte, solche Güter, die gegeneinander irgend

eine

vertauscht Eigenschaft

Diese

gemeinsame

Wert

zu

dafs

finden,

die G ü t e r ,

zu in

werden

pflegen,

müfsten

gleichem

Grade

besitzen.

Eigenschaft u n d so k a m

die

im

glaubte

man

in

ihrem

m a n z u der Auffassung,

Tauschverkehr

gegeneinander

umgesetzt werden, g l e i c h w e r t i g seien ; der W e r t w a r dam i t z u einer Eigenschaft der G ü t e r gemacht.

Diese A u f -

fassung des W e r t e s g i n g aus d e m schon erwähnten U m stände hervor, dafs m a n sich fest an den T a u s c h w e r t anklammerte, gemeinen zu dafs

dabei

aber behauptete,

untersuchen.

man dazu kam,

Tausche würden

die A n s c h a u u n g z u

im

hegen,

g l e i c h w e r t i g e G ü t e r gegeben

pfangen , während Vorkommnisse

den W e r t

all-

E s ist e i g e n t l i c h w u n d e r b a r ,

eine aufmerksame

des t ä g l i c h e n Lebens

und

Beobachtung lehren

kann,

beim emder dafs

niemals gleiche W e r t e ausgetauscht werden, sondern dafs j e d e r Tauschende ein G u t , dessen W e r t (für i h n ) geringer ist, hingiebt, langen.

u m ein solches v o n höherem W^ert z u er-

W e n n m a n d a v o n ausgeht,

ausgetauscht werden, warum

die Menschen

dafs gleiche W 7 erte

so ist g a r k e i n G r u n d einzusehen, überhaupt

d u r c h diese S c h w i e r i g k e i t

miteinander

tauschen;

ist es w o h l z u erklären,

dafs

3 Adam Smith

a u f die sonderbare A n n a h m e

d e m Menschen ein T a u s c h t r i e b

kam,

es sei

eingeboren.

Dafs die eben geschilderte L e h r e , nach w e l c h e r der W e r t eine i n d e n G ü t e r n selbst liegende Eigenschaft ist, niemals

zur

u n u m s c h r ä n k t e n H e r r s c h a f t gelangte,

n i c h t b e s t r i t t e n werden. t e n sich S t r ö m u n g e n w o h l sagen:

W e r t e s hatten. nicht

weiter

geltend,

richtigere, als

kann

Besonders i n D e u t s c h l a n d machdie a n d e r e ,

Anschauungen

wir

können

vom Wesen

des

A b e r lange Z e i t k a m es a u f dieser Seite bis z u v e r e i n z e l t e n A n l ä u f e n ,

u n d die

sogenannte klassische W e r t t h e o r i e b e h i e l t die O b e r h a n d ; v o r allem deswegen, w e i l k e i n e ausgebildete T h e o r i e da war, die den K a m p f hätte a u f n e h m e n k ö n n e n .

Der

Bau

der klassischen W e r t l e h r e , an dem so viele scharfsinnige K ö p f e gearbeitet hatten, w a r so fest gefügt u n d i n einigen T e i l e n v o n so bestechender K l a r h e i t , dafs die zerstreuten B e m e r k u n g e n einzelner Gelehrten, die eine g r u n d s ä t z l i c h andere A u f f a s s u n g des W e r t p r o b l e m s verrieten, n i c h t dagegen i n die W a g s c h a l e fallen k o n n t e n ,

u m so w e n i g e r ,

als die U r h e b e r solcher B e m e r k u n g e n sich n u r selten der Tragweite waren

und

dessen, was deshalb

sie v o r g e b r a c h t

selbst

Standpunkt verharrten.

nicht

hatten,

bewufst

folgerichtig auf

ihrem

V i e l l e i c h t der einzige M a n n , der

sich der W i c h t i g k e i t seiner a b w e i c h e n d e n A n s i c h t e n bewufst

war,

und

der

auch v o n

seinem S t a n d p u n k t

aus

d e n V e r s u c h machte, die E r s c h e i n u n g e n des menschlichen V e r k e h r s v o l l s t ä n d i g z u e r k l ä r e n , w a r G o s s e n 1 ; aber sein B u c h blieb

unbeachtet

und

konnte

infolge

dessen

die

herrschende T h e o r i e n i c h t stürzen. Es ist das V e r d i e n s t 1

von J e v o n s 2 ,

Menger3

und

E n t w i c k e l u n g der Gesetze des menschlichen Verkehrs, Braunschweig 1854. 2 T h e theory of political economy. London 1 8 7 1 ; 3. Aufl. 1888. 3 Grundsätze der Volkswirtschaftslehre. W i e n 1871. 1*

Walras1,

der

alten

Werttheorie

eine neue L e h r e

ent-

gegengestellt z u haben, die a l l e n E r s c h e i n u n g e n unseres Wirtschaftslebens

gerecht

den K a m p f gegen aufnahm.

zu

werden

strebt,

die a l t e n A n s c h a u u n g e n

Dafs diese d r e i M ä n n e r

ziemlich

und

die

mit Erfolg gleichzeitig

u n d g ä n z l i c h u n a b h ä n g i g v o n einander i h r e Lehrgebäude errichteten, ist b e k a n n t . wichtigen Beziehungen

G l e i c h w o h l zeigen i n manchen ihre Gedankengänge

würdige Übereinstimmung.

eine m e r k -

M a n pflegt heute diese neuen

W e r t t h e o r i e n , a n l e h n e n d an Wiesers g e s c h i c k t gewählten Ausdruck,

als G r e n z n u t z e n t h e o r i e n

z u bezeichnen,

und

es ist n i c h t z u leugnen, dafs der B e g r i f f des Grenznutzens (von Jevons „ f i n a l degree o f u t i l i t y " wohl weniger

glücklich

2

„rareté" 8

—

und von Walras — genannt)

der ge-

meinsame E c k s t e i n dieser Systeme g e n a n n t w e r d e n darf. I n · der Auffassung lehre

Lehre hervor,

hauptsächlich

v o m Grenznutzen durch von

tritt

die

wichtige

die sich die moderne der

klassischen

Wert-

unterscheidet,

n ä m l i c h die Auffassung, dafs der W e r t n i c h t eine E i g e n schaft

eines Gutes

an s i c h ,

sondern

dafs

er eine

z i e h u n g z w i s c h e n einem einzelnen w i r t s c h a f t e n d e n

BeSub-

j e k t u n d einem G u t e i s t ; ferner k o m m t d a r i n die n i c h t m i n d e r w i c h t i g e Auffassung z u m A u s d r u c k , dafs der B e g r i f f des W e r t e s g a r n i c h t losgelöst v o n der V o r s t e l l u n g einer kann4.

bestimmt

begrenzten

Quantität

gedacht

werden

M a n k a n n z. B . n i c h t v o n d e m W e r t des Eisens

oder der B a u m w o l l e schlechtweg reden, m a n k a n n auch 1 Elements d'economie politique pure. Lausanne, Paris, Basel 1874,1877. Theorie mathématique de la ricliesse sociale. Lausanne, Paris, Rom, L e i p z i g 1883. Übersetzt von v . W i n t e r feld unter dem T i t e l : Mathematische Theorie der Preisbestimmung der wirtschaftlichen Güter. Stuttgart 1881. 2 T h e o r y of pol. econ., 3. Aufl. S. 51. 3 Théórie mathém. de la rich. soc. S. 20. 4 V g l . L u j o Brentano i m Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reich. I I , 5 7 1 .

—

5 —

n i c h t beurteilen, ob das E i s e n oder die B a u m w o l l e w e r t v o l l e r i s t , sondern m a n k a n n

stets n u r

v o n dem W e r t

einer bestimmten M e n g e dieser G ü t e r reden.

Die

That-

sache, dafs das W e r t u r t e i l stets v o n der V o r s t e l l u n g einer M e n g e begleitet

sein m u f s ,

dafs sie auch v o n den

übersehen werden k o n n t e ; dieser

Thatsache

schenkt w u r d e ,

ist f r e i l i c h

so einleuchtend,

älteren T h e o r e t i k e r n

nicht

die

erklären

nicht

ganz

aber aus d e m U m s t a n d , dafs genügende

sich manche

Beachtung der

ge-

sonderbaren

I r r w e g e , a u f denen sich die alte T h e o r i e m i t u n t e r bewegte. Jevons, M e n g e r u n d W a l r a s nahmen, j e d e r i n seiner Weise, ihrer

die

Quantitätsverhältnisse

Betrachtung.

Die

zum

Ausgangspunkt

Wertschätzung,

die

der

schaftende Mensch den G ü t e r n angedeihen läfst,

wirtbezieht

sich stets a u f b e s t i m m t e M e n g e n derselben, u n d die G ü t e r mengen, die dem Menschen z u r V e r f ü g u n g stehen, beeinflussen

die W e r t s c h ä t z u n g .

Menger

führt

aus, w i e

ein

isoliert wirtschaftender Mensch dem einzigen S a c k K o r n , den er hat, eine ungemein grofse B e d e u t u n g beilegt, w e i l von

seinem Besitz die E r h a l t u n g

des L e b e n s

abhängt.

E i n e m zweiten Sack l e g t er schon w e i t w e n i g e r B e d e u t u n g bei, w e i l dieser n i c h t m e h r n ö t i g i s t , u m sein L e b e n zu fristen, sondern n u r zu r e i c h l i c h e r e r N a h r u n g dient.

Noch

g e r i n g e r ist der W e r t des d r i t t e n Sackes, den er v i e l l e i c h t z u r Aussaat v e r w e n d e t .

Mit

einem zehnten Sack weifs

unser Robinson v i e l l e i c h t nichts besseres anzufangen, als Papageien z u f ü t t e r n ,

die i h m i n müfsigen S t u n d e n die

L a n g e w e i l e v e r t r e i b e n sollen. stehende

Menschen h a t ,

ist der G r e n z n u t z e n des i n Rede stehen-

den Gutes.

Nach

Teil

D e r N u t z e n , den der letzte

zur Verfügung

des V o r r a t s

für

diesem G r e n z n u t z e n bemifst

unseren sich der

W e r t , den eine Mafseinheit des Gutes f ü r das betreifende S u b j e k t hat. D a die verschiedenen K o r n s ä c k e f ü r unseren Mann

fungible

Dinge

sind,

so legt

G r e n z n u t z e n eines Sackes K o r n

er den n a c h

bemessenen W e r t

dem nicht

—

6 —

n u r dem Sack N r . 10, sondern j e d e m seiner Säcke b e i ; d e n n die E n t b e h r u n g ,

die

er

bei V e r l u s t

irgend

eines

Sackes erleidet, ist n i c h t gröfser als die E n t s a g u n g ,

die

es kostet, a u f die F ü t t e r u n g der Papageien z u v e r z i c h t e n ; der G r u n d wird,

liegt

darin,

z u hungern,

sondern

dafs j e d e r

dafs es w o h l

aber

immer

die V ö g e l

niemand

noch V ö g e l fliegen

einfallen

zu

füttern,

lassen w i r d ,

um

den g e m i n d e r t e n V o r r a t n u r n o c h f ü r diejenigen Z w e c k e zu verwenden,

die i h m a m w i c h t i g s t e n scheinen.

ähnliche Betrachtungen

Ganz

w i e diese, die aus Mengers Ge-

dankenkreis entnommen i s t 1 ,

finden

sich bei Jevons, u n d

a u c h W a l r a s geht v o n analogen V o r s t e l l u n g e n aus. Der

Hauptgedanke

dieser

also der,

•

dafs der W^ert

einer

Grenznutzentheorien

ist

bestimmten Teilquantität

eines Gutes u m so g e r i n g e r ist, j e m e h r T e i l m e n g e n z u r V e r f ü g u n g stehen,

oder m. a. W . : dafs der W e r t einer

n e u h i n z u t r e t e n d e n E i n h e i t g e r i n g e r ist als der W e r t der l e t z t e n schon i m Besitz des betrachteten S u b j e k t s befindlichen

Einheit,

tretenden

oder:

Einheit

dafs

sich als

der W e r t eine

einer

n e u hinzu-

abnehmende

Funktion

der A n z a h l der besessenen E i n h e i t e n darstellt. Diese A n s c h a u u n g ist, w i e oben schon b e r ü h r t ,

nicht

ganz neu, sondern sie w u r d e schon f r ü h e r von verschiedenen G e l e h r t e n m e h r oder w e n i g e r d e u t l i c h e n t w i c k e l t . W o h l einer der ersten dieser G e l e h r t e n w a r D a n i e l B e r n o u l l i ; mindestens ist er d e r erste uns b e k a n n t e

Autor,

der sich der T r a g w e i t e dieser A n s c h a u u n g bewufst war. D i e k l e i n e A b h a n d l u n g , i n w e l c h e r D a n i e l B e r n o u l l i die Grundzüge hat,

tritt

seiner A n s i c h t

über

den W e r t

a u f den folgenden B l ä t t e r n

zum

niedergelegt ersten M a l e

i n deutscher Sprache v o r das P u b l i k u m . B i o g r a p h i s c h e A n g a b e n ü b e r den A u t o r , die gewöhn1

Übrigens finden sich ganz ähnliche Ausführungen schon bei Thompson : A n i n q u i r y into the principles of the distribution of wealth. (1824.) 3. A u f l . 1869. S. 57 ff.

— lieh

einen H a u p t t e i l

alter S c h r i f t e n

7 —

in Einleitungen

bilden,

sind

hier

zu

wohl

Neuausgaben

unnötig,

da

die

H a u p t v e r d i e n s t e unseres A u t o r s n i c h t a u f v o l k s w i r t s c h a f t l i c h e m Gebiete liegen, u n d da er überdies durchaus n i c h t etwa eine u n b e k a n n t e Gröfse ist, die m a n dem P u b l i k u m erst vorstellen müfste.

Es sei n u r e r w ä h n t , dafs D a n i e l

B e r n o u l l i i m J a h r e 1700 i n G r o n i n g e n als S o h n des P r o fessors der M a t h e m a t i k J o h a n n B e r n o u l l i geboren w u r d e . Er

gehörte

welcher

somit

durch

unterbrochene entstammte. Petersburg, tomie

der

berühmten

mehr

als

Reihe

der

1725

Gelehrtenfamilie

zwei Jahrhunderte

an,

eine

hervorragendsten

un-

Forscher

w u r d e D a n i e l B e r n o u l l i Professor

1733 Professor i n Basel,

und Botanik,

später

zunächst für

auch f ü r P h y s i k ;

1782, nachdem er schon einige Z e i t

er

in

Anastarb

v o r h e r d e m öffent-

l i c h e n L e h r a m t entsagt hatte. D i e uns h i e r interessierende A b h a n d l u n g w u r d e i n der Z e i t ,

als B e r n o u l l i i n Peters-

b u r g w a r , verfafst u n d z w a r i m J a h r e 1730 oder ( w a h r scheinlicher) 1731 ; herausgegeben

wurde

sie i m

Jahre

1738 v o n der P e t e r s b u r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften unter

dem T i t e l :

S p e c i m e n theoriae

1

novae de m e n s u r a

sortis, auetore D a n i e l e B e r n o u l l i . W i e m a n aus dem S c h r i f t c h e n selbst sieht, w a r e n es n i c h t eigentlich n a t i o n a l ö k o n o m i s c h e F r a g e n , die unseren Denker

zu

einer

Untersuchung

über

das W e r t p r o b l e m

veranlafsten, sondern F r a g e n aus dem Gebiete der W a h r scheinlichkeitsrechnung.

In

diesem Z w e i g e

der M a t h e -

m a t i k w u r d e damals w i e auch heute oftmals die A u f g a b e gestellt,

den W e r t

die sich f ü r ergeben.

Bernoulli

solche A u f g a b e n erklären, 1

der G e w i n n a u s s i c h t e n z u berechnen,

die verschiedenen T e i l n e h m e r

da

kann

sich m i t

z u lösen pflegte,

alle

Lösungen

von

der

eines Spieles

Art,

wie

man

nicht

einverstanden

der

Voraussetzung

Commentarli academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. Tomus V . Petrop. 1738. S. 175—192.

— ausgingen, alle

dafs

Spieler

Hoffnung

der

sei,

sofern

des Spiels

Bernoulli

Gewinn-Aussicht nur

die

f ü r j e d e n Spieler

behauptet,

a u f gleichen

Personen i n

-

Wert

derselbe

Bedingungen sind.

der

8

die

dafs die g l e i c h

Gewinn

für

die

für

objektiven gleichen

berechtigte

verschiedenen

sehr verschiedenem G r a d e w e r t v o l l sei, j e

n a c h den Vermögensumständen, i n denen sich diese Personen befinden ; denn d e r W e r t zuwachses für eine Person je

gröfser

jekts

ist.

Kernpunkt

das

Vermögens-

Stamm vermögen

Diesen Gedanken der

eines

s e i u m so g e r i n g e r ,

vorliegenden

kann

dieses

Sub-

m a n w o h l als den

Abhandlung

ansehen.

Es

ist h i e r i m wesentlichen das ausgesprochen, was w i r oben als den H a u p t s a t z der G r e n z n u t z e n t h e o r i e n Bernoullis

Gefühl

empört

etwas i n den G ü t e r n sieht,

dafs

die

sich

dagegen,

selbst liegendes

gleiche

Geldsumme

bezeichneten. den W e r t

zu b e t r a c h t e n ; für

die

als er

Bedürfnis-

b e f r i e d i g u n g der verschiedenen Menschen eine sehr verschiedene B e d e u t u n g haben k a n n , j e nach der

Wichtig-

k e i t der Bedürfnisse, die n o c h i h r e r B e f r i e d i g u n g harren ; er s i e h t ,

dafs f ü r

einen reichen M a n n ,

m i t t e l b a r s t e Lebensbedürfnisse Geldsumme die f ü r

verhältnismäfsig

einen A r m e n ,

der

bereits

für

dessen un-

gesorgt

wenig Wrert

d a r b e n mufs,

ist,

haben

eine kann,

v o n ungemein

grofser B e d e u t u n g ist. Dafs B e r n o u l l i n i c h t ,

w i e Gossen,

Jevons,

W a l r a s u n d i h r e Nachfolger,

den V e r s u c h

hat,

aus eine A n a l y s e

v o n seinem S t a n d p u n k t

samten V o l k s w i r t s c h a f t ,

Menger,

unternommen der

ge-

insbesondere des Tausches u n d

d e r P r o d u k t i o n z u geben,

k a n n uns b e i dem damaligen

Stande der V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e n i c h t w u n d e r n .

Uber-

h a u p t b e s c h r ä n k t sich unser A u t o r a u f eine B e t r a c h t u n g des W e r t e s

des

Geldes

in

seinem V e r h ä l t n i s

zum

ge-

samten Vermögensbestande, u n d diesen Vermögensbestand b e t r a c h t e t er gleichfalls n i c h t als eine S u m m e k o n k r e t e r

— Güter,

9

-

sondern n a c h seinem G e l d w e r t .

gedanken,

dafs

Seinen

der Vermögenszuwachs

geschätzt w i r d ,

je

mögen schon w a r ,

gröfser

um

Haupt-

so g e r i n g e r

das v o r h e r vorhandene V e r -

s p r i c h t B e r n o u l l i aus, ohne eine Be-

gründung zu versuchen;

er geht a u c h n i c h t d a r a u f ein,

z u fragen, ob diese W e r t r e g e l f ü r j e d e A r t v o n G ü t e r n , oder n u r f ü r gilt. der

das Geld,

f ü r das a l l e i n er sie f o r m u l i e r t ,

M a n k a n n n i c h t leugnen, dafs diese B e s c h r ä n k u n g Betrachtung

auf den Geldwert

ihre

Vorzüge

hat;

denn es k o n n t e unserem A u t o r n i c h t d a r a u f a n k o m m e n , e i n System der N a t i o n a l ö k o n o m i e z u schreiben,

sondern

es l a g i h m n u r daran, einen g u t e n G e d a n k e n , den er f ü r eine

Bereicherung

hinaus h i e l t , Freilich

der

Wissenschaft

in

alle

Zukunft

niederzulegen u n d a n s c h a u l i c h z u machen.

sagt

Walras,

dafs

das

Dazwischentreten

des

Geldes, so sehr es den T a u s c h v e r k e h r i n der P r a x i s erleichtere,

die T h e o r i e

l i c h mache,

und

des Tausches schwerer

dafs

verständ-

es deshalb f ü r eine wissenschaft-

liche U n t e r s u c h u n g geraten sei, v o m N a t u r a l t a u s c h auszugehen

1

; es m a g sein,

dafs diese B e h a u p t u n g f ü r eine

g r ü n d l i c h e , elementare A n a l y s e , w i e sie W a l r a s so meisterhaft f ü h r t , i h r e R i c h t i g k e i t hat ; f ü r die B e t r a c h t u n g B e r noullis dagegen,

die n u r den Z w e c k h a t ,

einen k ü h n e n

G e d a n k e n b l i t z n i c h t v e r l o r e n gehen z u lassen, mir

gerade

die

den Geldwert

von

ihm

gewählte

sehr a n g e b r a c h t ,

erscheint

Beschränkung

u n d es scheint m i r ,

auf als

ob a u f diese W e i s e der G r u n d g e d a n k e l e i c h t e r i n seiner W i c h t i g k e i t anschaulich g e m a c h t w e r d e n k ö n n e als d u r c h die g a r

nicht

so u n ä h n l i c h e n

und

ohne

Zweifel

noch

g r ü n d l i c h e r e n B e t r a c h t u n g e n , v o n denen W a l r a s ausgeht. Dafs

für

einen

isoliert

wirtschaftenden

Menschen

der

zehnte Sack K o r n n i c h t so v i e l w e r t ist w i e d e r einzige erste, ist a l l e r d i n g s 1

richtig,

u n d ist

auch

Theorie math, de la rich. soc. S. 13.

nicht

gerade

—

10 —

schwer einzusehen, aber f ü r uns, die w i r v o n J u g e n d auf i n e i n e m e n t w i c k e l t e n T a u s c h v e r k e h r stehen, s i n d solche Sätze

doch

weiteres

einigermafsen

einleuchtend;

ungewohnt

und

nicht

ohne

dagegen ist B e r n o u l l i s Satz

von

d e m m i t der Gröfse des Besitzes abnehmenden W e r t des n e u h i n z u t r e t e n d e n Geldes u n m i t t e l b a r anschaulich, weshalb unser A u t o r ohne Z w e i f e l die t ä g l i c h e E r f a h r u n g strengen B e w e i s

berechtigt w a r ,

z u berufen,

sich a u f

ohne sich a u f

einen

seiner g r u n d l e g e n d e n B e h a u p t u n g

ein-

zulassen. E i n solcher B e w e i s läfst sich w o h l g a r n i c h t führen, ohne

a u f die einzelnen

Weise, w i e Gossen

und

Güter die

zurückzugreifen,

späteren

in

Theoretiker

der dies

w i r k l i c h g e t h a n haben, i n d e m sie zeigten, dafs jedes w i r t schaftende Mittel

auf

Subjekt die

deren es b e d a r f ,

ihm

zur

Verfügung

Beschaffung

die

der

verschiedenen

so v e r t e i l t ,

stehenden Güter,

dafs b e i a l l e n G ü t e r n der

G r e n z n u t z e n a u f den gleichen B e t r a g h e r a b s i n k t 1 ; aber

der G r e n z n u t z e n eines jedes einzelnen Gutes

während fällt, nutzen,

so s i n k t

auch die S u m m e

weil fort-

dieser G r e n z -

welche selbst den G r e n z n u t z e n des ganzen V e r -

1 Dieser Satz w i r d merkwürdigerweise häufig so ausgesprochen, als ob er nur für v e r n ü n f t i g wirtschaftende Subjekte Geltung habe. Dafs dies Gesetz i n diesem F a l l e ziemlich bedeutungslos wäre, ist k l a r ; denn ein Gesetz, das nur auf „vernünftige" Menschen Anwendung findet, spielt i n der Volkswirtschaft sicherlich keine grofse Rolle. Überdies müfste man immer erst, wissen, was sich jeder Schriftsteller eigentlich unter einem vernünftigen Menschen vorstellt. N a t ü r l i c h k a n n k e i n Zweifel sein, dafs ein vernünftiger Mensch seine M i t t e l i n anderer Weise zur Beschaffung von Gütern verwendet wie ein unvernünftiger; denn er hat eine andere Rangordnung der Bedürfnisse; aber als sicher müssen w i r annehmen, dafs jeder Mensch seine M i t t e l so eint e i l t , dafs der Grenznutzen aller Güter, die er sich verschafft, gleich ist.

— raögens

11 —

als E i n h e i t aufgefafst

darstellt.

So k o m m t

man

a u f einem U m w e g z u dem Satze, den B e r n o u l l i als einen u n m i t t e l b a r k l a r e n ausspricht, z u d e m Satze n ä m l i c h , dafs der

Wert

eines Vermögenszuwachses

eine

abnehmende

F u n k t i o n des schon v o r h a n d e n e n V e r m ö g e n s ist. B e r n o u l l i , der sich, w i e gesagt,

a u f der einen Seite

eine gewisse B e s c h r ä n k u n g auferlegt, i n d e m er b e i seiner B e t r a c h t u n g sich n u r a u f den W e r t des Geldes, als des Repräsentanten des V e r m ö g e n s i m allgemeinen, setzt uns a u f

der

staunen d u r c h

anderen

Seite

die K ü h n h e i t ,

einigermafsen

mit

der

bezieht, in

Er-

er v e r s u c h t ,

das

W e r t p r o b l e m der mathematischen B e h a n d l u n g z u g ä n g l i c h zu machen. hauptung,

E r b e g n ü g t sich n ä m l i c h n i c h t m i t der B e dafs der W e r t des Vermögenszuwachses

eine

abnehmende F u n k t i o n des S t a m m v e r m ö g e n s ist, sondern er s p r i c h t den Satz aus, dafs der W e r t dieses Zuwachses (sofern der Z u w a c h s als u n e n d l i c h k l e i n v o r g e s t e l l t w i r d ) der Gröfse des v o r h e r v o r h a n d e n e n V e r m ö g e n s u m g e k e h r t proportional

sei.

Aus

dieser A n n a h m e ergiebt

sich f ü r

den W e r t dieser V e r m ö g e n s z u n a h m e die G l e i c h u n g einer logarithmischen noullis,

Kurve

(§ 10).

In

der

Annahme

Ber-

dafs der W e r t des Zuwachses dem B e t r a g e des

Stammvermögens genau u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l sei, l i e g t ohne Z w e i f e l

viel willkürliches;

w i r d uns n i c h t b e w i e s e n ; bar.

denn

ihre

Richtigkeit

j a , sie ist v i e l l e i c h t unbeweis-

A b e r auch, w e n n diese H y p o t h e s e stets unbewiesen

bleiben sollte, u n d selbst w e n n sie falsch wäre, so k ö n n e n w i r der K ü h n h e i t ,

m i t der B e r n o u l l i sie aufgestellt

hat,

unsere A n e r k e n n u n g n i c h t versagen, u n d es ist v i e l l e i c h t n i c h t ganz angezeigt, sie m i t souveräner V e r a c h t u n g

von

der H a n d z u weisen, w e n n m a n erwägt, dafs i n neuerer Zeit

durch

anderer

die V e r s u c h e E . H . W e b e r s ,

Forscher

Empfindungslebens sind,

auf

verschiedenen

Gesetzmäfsigkeiten

Fechners

und

Gebieten

unseres

entdeckt

worden

die dem B e r n o u l l i s c h e n W e r t g e s e t z

durchaus ent-

— sprechen.

12 —

Z u d e m u n t e r l i e g t es w o h l k e i n e m Z w e i f e l , dafs

B e r n o u l l i s l o g a r i t h m i s c h e K u r v e der W a h r h e i t bedeutend n ä h e r k o m m t , als die geraden L i n i e n , m i t denen Gossen sich

zu

Kurve

behelfen für

suchte,

und

manche Z w e c k e

vielleicht

auch

ist

Bernoullis

brauchbarer

als

die

ganz u n b e s t i m m t e n K u r v e n , deren sich Jevons u n d W a l r a s bedienen In

e i n e r B e z i e h u n g müssen w i r v o m S t a n d p u n k t e

der m o d e r n e n W e r t t h e o r i e aus, den E r ö r t e r u n g e n unseres Autors

die Z u s t i m m u n g v e r s a g e n ,

u n d z w a r n i c h t etwa

deshalb, w e i l die G r u n d g e d a n k e n , v o n denen er ausgeht, z u anderen Schlüssen führen, als die L e h r e n , a u f welche sich die neueren W e r t t h e o r e t i k e r s t ü t z e n , Bernoulli nicht

sondern, weil

selbst die Schlüsse aus seiner eigenen Theorie

m i t genügender Schärfe

gezogen h a t ,

da er noch

einigermafsen i n den alten A n s c h a u u n g e n befangen w a r . I n § 6 w i r d n ä m l i c h der F a l l besprochen, dafs j e m a n d 100000 Dukaten jährliches

besitze u n d aus diesem V e r m ö g e n ein

Einkommen

von

5000 D u k a t e n

beziehe;

ein

A n d e r e r besitzt h a l b so v i e l V e r m ö g e n u n d bezieht daraus e i n h a l b so grofses E i n k o m m e n . u n t e r solchen U m s t ä n d e n Dukat

so v i e l w e r t

zweiten.

für

sei w i e

B e r n o u l l i behauptet, dafs den ersten Menschen ein halber D u k a t

Offenbar ist dieser Schlufs n i c h t zulässig; denn

es t r i t t d a r i n die A u f f a s s u n g z u T a g e , etwas

ein

für den

s e i , das u n a b h ä n g i g v o n

als ob der W e r t

dem S u b j e k t ,

W e r t s c h ä t z u n g v o r n i m m t , gedacht w e r d e n könne.

das

die

W 7 enn

B e r n o u l l i s B e h a u p t u n g e n über den W e r t des ganzen u n d des h a l b e n D u k a t e n w i r k l i c h eine zulässige Schlufsfolger u n g aus seiner T h e o r i e wäre, so w ü r d e diese ganze T h e o r i e 1 Aus §§ 7 ff. geht m i t genügender Deutlichkeit hervor, dafs die Bernoullischen Gleichungen und K u r v e n nicht genau dieselbe Bedeutung haben wie die der neueren T h e o r e t i k e r ; genauer auf diesen P u n k t einzugehen, würde hier zu weit führen.

— hinfällig

durch

macht.

13

—

die folgende E i n w e n d u n g ,

die er selbst

E r sagt, es sei aus der t ä g l i c h e n E r f a h r u n g

kannt,

dafs

es reiche L e u t e g i e b t , die sich u m

einzigen D u k a t e n m e h r absorgen als andere ä r m e r e , doch

freigebigere

Leute

um

mehrere

Dukaten

q u i b u s unus ducatus magis c o r d i est,

be-

einen je-

(„Sunt,

q u a m sunt plures

d u c a t i h o m i n i m i n u s d i v i t i magis a u t e m generoso"). D i e s e r unstreitig

richtig

Einwand

zwar nicht etwa, halb,

beobachteten T h a t s a c h e ist aber

gegen B e r n o u l l i s T h e o r i e

kein

zu e n t n e h m e n ,

und

w i e er selbst z u m e i n e n s c h e i n t ,

des-

w e i l solche F ä l l e so selten s i n d , dafs m a n sie b e i

A u f s t e l l u n g einer allgemeinen Regel vernachlässigen dürfte, sondern deshalb, w e i l diese F ä l l e , auch w e n n sie noch so häutig w ä r e n , Hypothese jeden

sein W e r t g e s e t z

sagt nichts w e i t e r ,

nicht

umstofsen.

Seine

als dafs der W e r t eines

b e l i e b i g k l e i n e n G e w i n n s dem schon v o r h a n d e n e n

Vermögen

umgekehrt

p r o p o r t i o n a l sei ( „ v a l d e p r o b a b i l e

est l u c r u l u m q u o d v i s semper e m o l u m e n t u m afferre summae b o n o r u m reciproce p r o p o r t i o n a l e " § 5).

D i e s e r Satz k a n n

f ü r einen a r m e n V e r s c h w e n d e r ebensogut g e l t e n w i e f ü r einen reichen Geizhals ; denn er behauptet durchaus n i c h t , dafs f ü r

verschiedene M e n s c h e n , die

ein g l e i c h grofses

V e r m ö g e n besitzen, ein gleicher V e r m ö g e n s z u w a c h s g l e i c h viel wert

sei.

Uber

die W a h r h e i t

dieser

letzteren B e -

h a u p t u n g läfst sich e i g e n t l i c h g a r nichts sagen; d e n n u m eine solche B e h a u p t u n g aufstellen z u k ö n n e n , müfste m a n voraussetzen,

dafs alle Menschen v o l l k o m m e n g l e i c h ge-

artet wären, oder dafs sie sich wenigstens i n B e u r t e i l u n g ihrer

wirtschaftlichen

Angelegenheiten

von

denselben

Grundsätzen leiten liefsen ; v o n solchen Voraussetzungen, die n a t ü r l i c h ganz u n b r a u c h b a r wären, ist B e r n o u l l i n i r gends ausgegangen, w e n n a u c h v i e l l e i c h t n i c h t bestritten w e r d e n k a n n , dafs i h m an der angezogenen Stelle etwas ähnliches vorgeschwebt sitzer

von

haben mag.

100000 D u k a t e n

ein

Dafs

Dukat

für

gerade

den Beso

viel

— wert ist, halber,

wie

für

folgt

14 —

den Besitzer v o n 5 0 0 0 0 D u k a t e n ein

also

aus B e r n o u l l i s Wertgesetz

nur

dann,

w e n n m a n sich u n t e r den beiden L e u t e n gewisse „ N o r m a l menschen"

vorstellt,

gerechtfertigt

ist.

eine V o r s t e l l u n g , die d u r c h nichts

A u s B e r n o u l l i s Gesetz folgt n u i \ dafs

f ü r jeden, also sowohl f ü r den Besitzer der 50 000 D u k a t e n als

auch für

d e n der

letzten D u k a t e n

in

100000

die

Wertschätzung

des

einem gewissen V e r h ä l t n i s steht z u r

W e r t s c h ä t z u n g des vorletzten, oder aller anderen i n seinem Besitz b e f i n d l i c h e n oder v o n i h m erhofften ; u n d dies g i l t auch für

einen geizigen M i l l i o n ä r ,

der

sich n i c h t

ent-

schliefsen k a n n , eine M a r k f ü r das Mittagessen auszugeben ebenso g u t w i e f ü r einen Habenichts, der soeben 2 M a r k g e f u n d e n hat u n d die H ä l f t e d a v o n ohne B e d e n k e n verschenkt.

Auch

das i n § 5 angeführte Beispiel v o n dem

Gefangenen steht m i t der H y p o t h e s e n i c h t i n W i d e r s p r u c h . W e n n man sieht,

dafs unser A u t o r n i c h t genügend

v o n der A n s c h a u u n g d u r c h d r u n g e n w a r , aus n i c h t

angängig

i s t , z u sagen,

dafs es d u r c h -

ein G u t sei f ü r den

einen Menschen m e h r w e r t als f ü r den anderen, sondern dafs

es i m m e r n u r a n g e h t , z u f r a g e n :

welches G u t hat

f ü r unser S u b j e k t m e h r W e r t ? o d e r : w i e v e r h ä l t sich für dieses S u b j e k t

der W e r t des Gutes a zu dem W e r t des

Gutes b? wenn man Grundlagen,

von

also s i e h t ,

denen aus

dafs B e r n o u l l i sich die

seine T h e o r i e

verstanden

w e r d e n mufs, n i c h t g e n ü g e n d k l a r g e m a c h t hat, so k ö n n t e man

Bedenken

tragen,

rungen

zu

folgen.

scheint

er zu f ü h l e n ,

ihm

Aber dafs

in

in

seinen weiteren E r ö r t e -

wahrhaft

die alte

genialer

Weise

Anschauungsweise,

d i e i h m g e l e g e n t l i c h noch a n h ä n g t , u n b r a u c h b a r i s t ;

er

w e n d e t sich deshalb v o n i h r ab, w e n n auch ohne sie ausdrücklich im

für verfehlt zu erklären,

übrigen Teile

Wertschätzung*, geht,

und

seines Schriftchens

u n d beschäftigt sich nur

n o c h m i t der

soweit sie v o n einzelnen S u b j e k t e n aus-

begiebt

sich d a m i t a u f den B o d e n ,

a u f dem

allein

seine T h e o r i e

—

15

—

die

Wissenschaft

fördern

konnte.

( Q u i a vero nos deinceps c o n s i d e r a b i m u s u n u m eundemque h o m i n e m , n i h i l i d ad nos a t t i n e b i t . ) D i e mathematischen B e t r a c h t u n g e n , die i n den bis 12 angestellt w e r d e n ,

sind r i c h t i g ,

§§7

sofern m a n sich

a u f d e n B o d e n des z u G r u n d e gelegten Wertgesetzes stellt. U n t e r dieser Voraussetzung gelten die d o r t niedergelegten Formeln

nicht

nur,

wie

Bernoulli

zu

meinen

scheint

(§ 6 a. E.), f ü r N o r m a l m e n s c h e n , sondern ebensowohl f ü r einen k n a u s e r i g e n Reichen w i e f ü r einen f r e i g e b i g e n A r m e n . Diese B e t r a c h t u n g e n beschäftigen sich ausschliefslich dam i t , die W e r t s c h ä t z u n g e n , die ein einzelnes S u b j e k t verschiedenen G ü t e r m e n g e n angedeihen läfst, z u messen, u n d sie greifen nirgends ü b e r dies G e b i e t hinaus. z. B . die F o r m e l

des § 12 a u f den

Wenn wir

i n § 6 besprochenen

F a l l v o n den beiden Menschen, v o n denen der eine 1 0 0 0 0 0 u n d der andere 5 0 0 0 0 D u k a t e n V e r m ö g e n hat, anwenden, so erhalten w i r f ü r den W e r t ( y ^ ,

den der erste dieser

L e u t e einem D u k a t e n b e i l e g t : y i = b ! l o g | q q q q q ì

den

z w e i t e n finden w i r , dafs er einem halben D u k a t e n folgenden W e r t beilegt : y 2 = Wenn

b 2 log

n u n angenommen

annehmen,

dafs

wird

= bx =

b 2 log

b 2 ; d. h. w e n n

die beiden M e n s c h e n

genau

psychologischen E i g e n t ü m l i c h k e i t e n h ä t t e n , der F a l l e i n t r e t e n ,

den B e r n o u l l i

- M M , wir

dieselben

dann würde

als den n o r m a l e n an-

sieht ; d a n n w ü r d e y x = y 2 , d. h. es w ü r d e d a n n f ü r den ersten

unserer Menschen

ein D u k a t genan so v i e l w e r t

sein, w i e für den z w e i t e n ein h a l b e r ; aber diese A n n a h m e ist r e i n

willkürlich.

O b w o h l die o r i g i n e l l e n G e d a n k e n , die B e r n o u l l i ü b e r das W e r t p r o b l e m

i n der j e t z t n e u herausgegebenen A b -

h a n d l u n g niedergelegt h a t t e , weder v o n i h m selbst n o c h v o n anderen G e l e h r t e n i n einer f ü r die N a t i o n a l ö k o n o m i e

—

16 —

w a h r h a f t f r u c h t b a r e n W e i s e ausgebeutet w u r d e n , u n d obwohl

die U m w ä l z u n g

der W e r t l e h r e ,

die seit dem E r -

scheinen dieses Schriftchens noch w e i t länger als ein J a h r h u n d e r t a u f sich w a r t e n liefs, w o h l k a u m d i r e k t u n d v i e l leicht

auch n i c h t einmal i n d i r e k t an B e r n o u l l i a n k n ü p f t ,

so blieb seine H y p o t h e s e doch n i c h t unbeachtet. Vor

allem

seiner 1812

ist h i e r L a p l a c e z u n e n n e n ,

veröffentlichten T h é o r i e

der sich i n

a n a l y t i q u e des pro-

b a b i l i t é s ganz a u f den B o d e n des B e r n o u l l i s c h e n G e d a n k e n ganges stellt.

E r bezeichnet, w i e h e r k ö m m l i c h , das P r o -

dukt

aus d e m erhofften G e w i n n i n die W a h r s c h e i n l i c h -

keit,

mit

Hoffnung nung, von

der

dieser G e w i n n e i n t r i t t , als mathematische

und

unterscheidet

der Gröfse

des erhofften Vermögenszuwachses

der W a h r s c h e i n l i c h k e i t , Teil

d a v o n die moralische Hoff-

v o n der er sagt, dafs sie gleichfalls a b h ä n g i g sei

wird,

dafs

und

m i t der uns dieser Z u w a c h s z u

sich aber

aufserdem

diese

moralische

H o f f n u n g n a c h tausend verschiedenen U m s t ä n d e n regele, welche fast niemals einer D e f i n i t i o n u n d noch schwieriger einer

Berechnung

unterworfen

werden

könnten.

Man

k ö n n e diese moralische H o f f n u n g auch definieren als das P r o d u k t aus d e m W e r t des Gewinnes i n die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , m i t der der G e w i n n e i n t r i t t ; n u r müsse man u n t e r Wert

des G e w i n n e s

dabei n i c h t den absoluten sondern

den r e l a t i v e n W e r t verstehen. zu schätzen,

U m diesen r e l a t i v e n W e r t

sei es n a h e l i e g e n d ,

a n z u n e h m e n , dafs der

r e l a t i v e W e r t eines u n e n d l i c h k l e i n e n Vermögenszuwachses dem absoluten W e r t

dieses Zuwachses

direkt

und dem

G e s a m t v e r m ö g e n der betreffenden Person u m g e k e h r t proportional i s t 1 .

H i e r ist also dieselbe A n n a h m e gemacht

wie von Bernoulli. Werkes

führt

An

Laplace

einer

anderen

die A u s d r ü c k e

Stelle

desselben

fortune

physique

u n d fortune m o r a l e i n die Wissenschaft e i n , die seitdem 1

Oeuvres de Laplace, Bd. V I I .

Paris 1847.

S. 204 ff.

—

17 —

das B ü r g e r r e c h t e r w o r b e n haben. tune p h y s i q u e findliche Güter

eines Menschen

E r bezeichnet als for-

die i n seinem Besitz be-

G ü t e r s u m m e , als f o r t u n e morale den W e r t dieser für

das

Zuwachs,

besitzende

Subjekt.

Entsprechend

dem

den die fortune p h y s i q u e einer P e r s o n erhält,

g e w i n n t L a p l a c e f ü r den z u g e h ö r i g e n Z u w a c h s an f o r t u n e morale den A u s d r u c k : Bernoullis

k dx ^ , welche F o r m e l m i t d e r j e n i g e n

ühereinstimmt

In

dem vier

Jahre

später

herausgegebenen Essai p h i l o s o p h i q u e sur les p r o b a b i l i t é s wiederholt Laplace Hoffnung

und

diese B e t r a c h t u n g e n über moralische

relativen W e r t

ausdrücklich auf Daniel Poisson rechnet

für

stimmt

und beruft

sich

diesmal

Bernoulli.2

völlig

mit Laplace überein;

den moralischen

Wert

er be-

eines V e r m ö g e n s z u -

wachses den uns b e k a n n t e n A u s d r u c k , den er als „ B e r noullische

Grundformel"

schiedene

Beispiele

Auch

spätere

bezeichnet u n d f ü h r t

für

diesbezügliche R e c h n u n g e n

Mathematiker

haben

sich

ver-

durch.3

eingehend

m i t Bernoullis A b h a n d l u n g beschäftigt 4. W o h l der erste N a t i o n a l ö k o n o m , der a u f die Bedeut u n g der H y p o t h e s e n B e r n o u l l i s a u f m e r k s a m machte, w a r Hermann.

Er

scheint

diese H y p o t h e s e

n i c h t aus

O r i g i n a l a b h a n d l u n g , sondern n u r aus der A n f ü h r u n g Essai des Laplace z u kennen.

im

Hermann lehrt wie Ber-

n o u l l i , dafs der W e r t eines Gutes u m so k l e i n e r i s t , gröfser

der

je

das V e r m ö g e n der die S c h ä t z u n g v o r n e h m e n d e n

1

Laplace, Bd. V I I , S. 474 ff. Essai, S. 30 f. der deutschen Übersetzung von Tönnies, herausgegeben von Langsdorf. Heidelberg 1819. 3 Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung; deutsche Ausgabe von Schnuse. Braunschweig 1841. § 24 und Anhang I I . 4 Cf. besonders Lacroix : T r a i t é élémentaire d u calcul des probabilités. 4. A u f l . Paris 1864. S. 1 1 6 — 1 3 3 . 2

S a m m l . staatsw. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .

2

— Person dafs

ist;

ja,

der W e r t

er

18 —

pflichtet

sogar

der

Annahme

dem Stammvermögen umgekehrt

bei,

propor-

tional sei1. Fechner trachtung;

widmet

unserem

Problem

eine k u r z e Be-

er b e h a n d e l t B e r n o u l l i s H y p o t h e s e

als

einen

Specialfall des v o n i h m so genannten W e b e r s c h e n Gesetzes, welches sich a l l g e m e i n so aussprechen l ä i s t : „ E i n positiver oder

negativer Zuwachs

giebt

zum

einen oder anderen Reize

i m m e r denselben E m p f i n d u n g s z u w a c h s ,

w e n n sein

V e r h ä l t n i s z u m Reize, d e m er zuwächst, dasselbe bleibt, w i e sich auch seine absolute Gröfse ä n d e r t " . Fechner Wert

Indem nun

das physische V e r m ö g e n als d e n Reiz u n d den

dieses

Vermögens

als

die

Empfindung

auffafst,

s p r i c h t er B e r n o u l l i s W e r t g e s e t z i n folgenden W o r t e n aus: „ U m einen g l e i c h e n Z u w a c h s z u dem, was L a p l a c e die fortune

morale nennt,

z u gewähren, mufs der Zuwachs z u

d e r f o r t u n e p h y s i q u e i m V e r h ä l t n i s s e dieser fortune sique stehen". formel:

=

Auch

Fechners

psychophysische

u n d seine M a f s f o r m e l :

phy-

Grund-

y = k log ~

s t i m m e n m i t den v o n B e r n o u l l i e n t w i c k e l t e n W e r t f o r m e l n überein2. Grofse B e d e u t u n g mafs F r i e d r i c h A l b e r t L a n g e dem W e r t g e s e t z B e r n o u l l i s bei. Hypothese

formuliert

hat,

N a c h d e m er die Bernoullische f ä h r t er f o r t : „ D i e s e r zuerst

v o n B e r n o u l l i aufgestellte Satz w u r d e v o n L a p l a c e w e i t e r e n t w i c k e l t u n d erschien seitdem häufig i n den L e h r b ü c h e r n der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g , ohne dafs m a n die ungeheure B e d e u t u n g ahnte, welche er n u n m e h r d u r c h die 1

Staatswirtschaftliche Untersuchungen. München 1882. S. 73. I n dem Beispiel, das dort beigebracht wird, entfernt sich Hermann allerdings wieder von Bernoulli ; doch würde es zu weit führen, hierauf näher einzugehen. 2 Fechner, Elemente der Psychophysik. L e i p z i g 1860. I , S. 2 8 6 ; I I , S. 10 ff.

—

19 —

F o r s c h u n g e n v o n Ε . Η . W e b e r u n d F e c h n e r erhalten h a t " . „ E s ist k a u m z u b e z w e i f e l n ,

dafs dies Gesetz a u f einen

grofsen T e i l der socialen u n d politischen P h ä n o m e n e v e r schiedenster A r t A n w e n d u n g blofse

findet,

w i e d e n n schon die

unbewiesene A n n a h m e seiner G ü l t i g k e i t a u f

ganze Reihe e i g e n t ü m l i c h e r

Erscheinungen

lebens ein überraschendes L i c h t w i r f t " .

eine

des V ö l k e r -

Nachdem Lange

ein Beispiel gegeben hat, f ä h r t er f o r t : „ E s genügt, hier gezeigt z u haben, dafs d i e mathematische G r u n d l a g e d e r T h e o r i e des G l ü c k s , welche uns die B e r n o u l l i s c h e F o r m e l a n die H a n d g i e b t ,

keineswegs

s t e h t , sondern b e i m

g e g e n w ä r t i g e n Stande der Wissen-

schaften als einer

der

vereinzelt

sichersten

und

in

der

Luft

bestbegründeten

P u n k t e i n diesem ganzen G e b i e t e der F o r s c h u n g z u betrachten i s t " 1 . U n t e r den englischen N a t i o n a l ö k o n o m e n w a r J e v o n s w o h l der erste, der a u f B e r n o u l l i s B e t r a c h t u n g e n a u f m e r k sam m a c h t e ,

die er aber erst k e n n e n gelernt z u haben

scheint, nachdem er seine eigenen G e d a n k e n schon selbstständig entwickelt dafs Jevons empfangen

hatte ; m a n

k a n n also

nicht

d u r c h unseren A u t o r wesentliche hätte.

Überdies

hat

er

sagen,

Anregung

die B e d e u t u n g

des

B e r n o u l l i s c h e n Schriftchens, das i h m i m O r i g i n a l offenbar u n b e k a n n t w a r , entschieden

unterschätzt.

Es sei gestattet, z u m Schlufs n o c h einige W^orte ü b e r die vorliegende Neuausgabe h i n z u z u f ü g e n . H e r r Professor A.

Pringsheim

in

München

hatte

die

Freundlichkeit,

B e r n o u l l i s A b h a n d l u n g z u übersetzen u n d einige A n m e r k u n g e n auszuarbeiten, die das V e r s t ä n d n i s der mathematischen T e i l e der E r ö r t e r u n g e n e r l e i c h t e r n sollen. V i e l l e i c h t k a n n es sonderbar erscheinen, dafs die E r ö r t e r u n g e n über das sogenannte P e t e r s b u r g e r P r o b l e m

in

diese Ausgabe a u f g e n o m m e n sind, da sie f ü r den n a t i o n a l 1

D i e Arbeiterfrage,

3. A u f l . W i n t e r t h u r 1875. S. 113 ff. 2*

— ökonomischen dennoch

Leser

20

keine

— direkte

schien es n i c h t a n g e z e i g t ,

Bedeutung

vollständig wiederzugeben,

besonders

Problem,

selbst a u s d r ü c k l i c h

wie B e r n o u l l i

haben ;

die A b h a n d l u n g unda gerade

dieses

bemerkt

(cf. S. 46), d e n e i g e n t l i c h e n A n s t o i s z u r A u f s t e l l u n g seiner W e r t - T h e o r i e gegeben hat u n d andererseits i n der reichen L i t t e r a t u r , die sich m i t d e m P e t e r s b u r g e r P r o b l e m befafst, Bernoullis

Ansichten

über

w o r d e n sind.

Dafs

das

Problem

fragliche

den W e r t

die L ö s u n g , aufstellt,

öfters

besprochen

die unser D e n k e r f ü r den K e r n

der

Sache

offenbar n i c h t t r i f f t ,

ist neuerdings w o h l selten oder nie

bezweifelt w o r d e n 1 ,

u n d w i r d von H e r r n Pringsheim in

einer A n m e r k u n g a u s f ü h r l i c h

begründet.

Ludwig Fick. 1

cf. Bortkewitsch 1895, S. 337.

in

Conrads

Jahrbüchern ;

Jahrg.

VERSUCH einer neuen Theorie der

Wertbestimmung von Glücksfällen von

Daniel Bernoulli, übersetzt und durch Anmerkungen erläutert von Alfred

Pringsheim.

§ 1. Seit die M a t h e m a t i k e r der W e r t b e s t i m m u n g

angefangen h a b e n ,

von Glücksfällen

zu

w u r d e v o n ihnen behauptet: M a n e r h a l t e einer der

Gewinnhoffnung, einzelnen

wenn

möglichen

treten können, dukte

durch

dividiere

1

;

indenen

u n d das A g g r e g a t

die

Zahl

dabei

aller

wird

den

man die

Gewinne

Zahl derFällemultipliziere,

sich m i t

beschäftigen, Wert Werte

mit

der

sie

ein-

dieser

möglichen

vorausgesetzt,

ProFälle dafs

1

Man pflegt das Resultat dieser Operation als den W e r t der m a t h e m a t i s c h e n Hoffnung — zum Unterschiede von der später zu betrachtenden m o r a l i s c h e n — zu bezeichnen. Bedeutet a l 7 a 2 , · · *a n die A n z a h l der Fälle, i n denen beziehungsweise die Gewinne g 1 ? g 2 , · · * g n eintreten, so bestimmt sich nach dem i m T e x t e gesagten der W e r t h der mathematischen Hoffnung durch die F o r m e l : g! + a2 g 2 + · · · + a n g n h = aj + a 2 + · · · + a n ' oder wenn man setzt : a x 4" a 2 Ι * · · · 4" a n — s, wo also s die A n z a h l a l l e r ü b e r h a u p t Fälle bedeutet: Τ

a

l

.

a

2

,

,

a

n

möglichen

— die betrachteten scheinen.

24 —

Fälle

Acceptiert

als g l e i c h m ö g l i c h

m a n diese R e g e l ,

er-

so l ä u f t

D a nun allgemein der Ausdruck — (für k =

die

1, 2, · · · n),

d. h. die Anzahl derjenigen Fälle, welche den Gewinn gk zur Folge haben, dividiert durch die Anzahl aller überhaupt möglichen Fälle, die W a h r s c h e i n l i c h k e i t für das E i n treten des Gewinnes gk darstellt, so k a n n man den W e r t der mathematischen Hoffnung etwas kürzer folgendermafsen definieren: D e r W e r t d e r m a t h e m a t i s c h e n H o f f n u n g i s t das A g g r e g a t aus d e n P r o d u k t e n der einzelnen m ö g l i c h e n Gewinne in die zugehörigen W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n . H i e r b e i werden etwaige V e r l u s t e als „ n e g a t i v e " Gewinne i n Anrechnung gebracht. Bei einem nach den Regeln der B i l l i g k e i t eingerichteten Glücksspiele müssen die mathematischen Hoffnungen der beiden Gegner e i n a n d e r g l e i c h sein, bezw. der von dem einen Spieler zu leistende E i n s a t z mufs genau gleich seiner mathematischen Hoffnung sein. W e n n ζ. Β . A und Β ein W ü r f e l s p i e l vereinbaren, bei dem A bei sechs W ü r f e n mit einem W ü r f e l jedesmal soviel M a r k erhalten soll, als er Augen w i r f t , so ist nach den obigen F o r m e l n seine mathematische Hoffnung: 1- 1 + 1 - 2 + 1 - 8 + 1 - 4 + 1 - 5 + 1 - 6 = ~

={·

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

ι +

|·

2 +

1·

3

4·

4 +

1·

5 +

1·

6

=

3 1

;

d. Ii. er hätte, wenn das Spiel gerecht sein soll, an Β einen Einsatz von 3 1 /2 M a r k zu zahlen. Soll A jedesmal das Doppelte der geworfenen Augen i n M a r k erhalten, so oft er eine u n g e r a d e Zahl w i r f t , dagegen 6 M a r k an Β zahlen, falls er eine g e r a d e Zahl w i r f t , so w i r d : _ 1 * 2 + 1 - 6 + 1 -10 — 3 * 6 —

1 + 1 + 1 + 3

so dafs also das Spiel den Regeln der B i l l i g k e i t entspricht, ohne dafs A einen weiteren Ersatz zu leisten hat.

2

'

—

25 —

weitere A u s b i l d u n g dieser M e t h o d e offenbar l e d i g l i c h d a r a u f h i n a u s , alle ü b e r h a u p t d e n k b a r e n F ä l l e aufzuzählen,

sie

alsdann i n solche v o n gleicher M ö g l i c h k e i t z u sondern u n d demgemäfs i n K l a s s e n einzureihen. § 2. D i e zahlreichen Beweise, welche m a n f ü r diese Regel gegeben h a t ,

b e r u h e n bei genauerer P r ü f u n g

a u f der folgenden H y p o t h e s e : W e n n z w e i irgendetwas vorhanden, bevorzugt Chancen

erhoffen, warum

werden beider

persönlichen b e i belanglos,

so s e i k e i n e r l ei G r u n d

die

eine v o r

solle,

als

Verhältnisse

der

anderen

und daher seien

gleich

zu

nur

die

erachten;

des E i n z e l n e n

u n d es k o m m e

v o n denen das E i n t r e t e n

durchweg Personen

seien

die hier-

auf diejenigen

an,

des erhofften Ereignisses

ab-

hängt. Ein Richter

derartiges fällen:

Rechtsurteile geben, ist,

Urteil

hier

mögen

handelt

zu fällen,

nämlich Regeln,

öffentliche

sondern

darum,

Ratschläge

zu

v e r m ö g e deren j e d e r i m stände

einen G l ü c k s f a l l j e

mögensverhältnissen

vielleicht

es sich aber n i c h t

nach

seinen

besonderen

Ver-

abzuschätzen. §3.

Um

die

Richtigkeit

dieser

Bemerkung

w o l l e n w i r a n n e h m e n , einem a r m e n T e u f e l

zu

zeigen,

sei e i n L o s

zugefallen, d u r c h welches er m i t gleicher W a h r s c h e i n l i c h keit

entweder

kann.

Wird

nichts nun

oder

dieser

20000

den

Wert

Dukaten jenes

gewinnen Loses

auf

1 0 0 0 0 D u k a t e n z u schätzen haben, u n d w ü r d e er t h ö r i c h t handeln, w e n n er dasselbe f ü r 9000 D u k a t e n v e r k a u f t e ? Mir

scheint das n i c h t der F a l l , obschon i c h andererseits

meine, dafs ein sehr reicher M a n n seinen V o r t e i l v e r k e n n e n

26 — w ü r d e , w e n n er es e v e n t u e l l ablehnte, jenes L o s f ü r den obigen P r e i s z u erwerben.

W e n n i c h aber i n diesem F a l l e recht

habe, so erscheint es offenbar u n m ö g l i c h , den W 7 e r t eines Glücksfalles i n d e r W 7 eise abzuschätzen, dafs diese W e r t b e s t i m m u n g f ü r alle M e n s c h e n pafst, u n d daraus folgt zunächst, dafs die Regel des § 1 z u v e r w e r f e n ist.

Dagegen

k a n n , w i e b e i genauerer Ü b e r l e g u n g j e d e r m a n n

einsehen

w i r d , der i n j e n e r R e g e l gebrauchte A u s d r u c k W T e r t so definiert w e r d e n , dafs d a d u r c h die ganze Regel ohne Bed e n k e n f ü r alle W e l t a n n e h m b a r w i r d : lich

der

Wert

Preise sondern

(Geld-

einer

Sache

oder

nicht

es ist h i e r näm-

aus

ihrem

Tauschwert)

aus dem V o r t e i l ,

den j e d e r

einzelne

zieht. D e r P r e i s ( G e l d - o d e r T a u s c h w e r t ) sich aus

der

Sache

selbst

blofsen

z u bestimmen, daraus

bestimmt

u n d ist für alle g l e i c h ;

der

V o r t e i l aber h ä n g t v o n den Verhältnissen des E i n z e l n e n ab.

So mufs

es zweifellos f ü r

einen A r m e n m e h r w e r t

sein, tausend D u k a t e n z u g e w i n n e n , als f ü r einen Reichen, obschon der G e l d w e r t f ü r beide der

gleiche ist.

§4. H i e r m i t ist die Sache schon so w e i t geführt, dafs ein jeder l e d i g l i c h d u r c h A b ä n d e r u n g jenes einen A u s d r u c k s alles w e i t e r e selbst finden k ö n n t e : da aber meine H y p o these n e u ist, so w i r d sie d o c h n o c h einiger E r l ä u t e r u n g e n bedürfen.

I c h w i l l daher versuchen,

auseinanderzusetzen,

w i e i c h m i r die Sache zurecht gelegt h a b e ; dabei soll uns d e r folgende Satz als G r u n d r e g e l dienen : M u l t i p l i z i e r t man die einzelnen m ö g l i c h teile m i t eintreten

der

Anzahl

können

dieser Produkte

der

und durch

erscheinenden Fälle,

dividiert

in das

die Anzahl

Vor-

denen

sie

Aggregat

aller

mög-

l i c h e n F ä l l e , so e r h ä l t m a n e i n e n m i t t l e r e n V o r -

teil,

und der diesem

Vorteil

entsprechende

Ge-

27 winn

stellt

—

das W e r t m a f s

für

den

fraglichen

dar2.

Glücksfall

§5Auf

diese W e i s e

ergiebt

sich n u n a b e r ,

dafs

man

den W e r t eines Glücksfalles n i c h t b e s t i m m e n k a n n , w e n n n i c h t zugleich der V o r t e i l b e k a n n t ist, der einem j e d e n aus i r g e n d einem G e w i n n e kehrt

der

Gewinn

zur Erzeugung forderlich

erwächst, u n d a u c h umge-

angegeben

werden

kann,

eines b e s t i m m t e n V o r t e i l s

wäre

—

Dinge,

über

welcher

f ü r i h n er-

die sich k a u m

etwas

sicheres aussagen läfst, d a sie v o n z u v e r s c h i e d e n a r t i g e n Umständen

abhängen

können.

So

wird

z. B .

in

den

meisten F ä l l e n einem A r m e n d u r c h den gleichen G e w i n n mehr

gedient,

als

einem

Reichen;

nichtsdestoweniger

k ö n n t e f ü r einen Gefangenen, der 2000 D u k a t e n besitzt, aber noch

e i n m a l soviel z u r W i e d e r e r l a n g u n g der F r e i -

heit b e d a r f , sein,

ein G e w i n n

als f ü r

von

einen m i n d e r

2000 D u k a t e n m e h r w e r t

begüterten.

Immerhin

sind

Beispiele dieser A r t , obschon m a n deren u n z ä h l i g e k o n struieren k ö n n t e , i n W i r k l i c h k e i t selten. W i r w e r d e n uns also n u r m i t solchen F ä l l e n beschäftigen, w i e sie g e w ö h n lich vorkommen; ständnisses Menschen

halber

dabei

wollen

annehmen,

wir

des leichteren V e r -

dafs das V e r m ö g e n eines

i m m e r n u r d u r c h successives H i n z u t r e t e n u n -

e n d l i c h k l e i n e r I n c r e m e n t e stetig sich v e r m e h r e .

Alsdann

erscheint es aber i n h o h e m G r a d e w a h r s c h e i n l i c h , jeder

beliebig

kleine

Gewinn

einen

dafs

Vorteil

erzeuge, welcher dem schon vorhandenen

Ver-

2 Oder auch: Das Aggregat der P r o d u k t e der e i n z e l n e n m ö g l i c h e n Vorteile i n d i e e n t s p r e c h e n den W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n s t e l l t d e n mittleren Vorteil d a r , u n d d e r j e n i g e Gewinn, w e l c h e r d i e s e n l e t z t e r e n g l e i c h f a l l s e r z e u g e n w ü r d e , ist das W e r t m a f s des f r a g l i c h e n G l ü c k s f a l l e s .

— mögen

umgekehrt

28

proportional

ist.

Zur

Er-

l ä u t e r u n g dieser H y p o t h e s e w i l l i c h zunächst sagen, was ich hier unter V e r m ö g e n was uns N a h r u n g ,

verstehe,

Kleidung,

n ä m l i c h alles das,

B e q u e m l i c h k e i t , j a auch

L u x u s u n d die B e f r i e d i g u n g i r g e n d w e l c h e r W ü n s c h e z u g e w ä h r e n i m stände ist.

Hiernach können w i r

eigentlich

v o n n i e m a n d e m sagen, er besitze garnichts, w e n n er n i c h t geradezu v e r h u n g e r t , u n d es w i r d f ü r die M e h r z a h l der H a u p t t e i l ihres V e r m ö g e n s i n i h r e r A r b e i t s k r a f t welche auch

die F ä h i g k e i t

bestehen,

z u betteln m i t umfafst:

wer

sich d u r c h B e t t e l n j ä h r l i c h 10 G o l d g u l d e n e r w i r b t ,

der

w i r d w o h l s c h w e r l i c h u n t e r der B e d i n g u n g , nie m e h r z u betteln

oder a u f andere W e i s e etwas z u e r w e r b e n ,

Summe Weise

von

50

Goldgulden

annehmen

und

auf

eine diese

sich der M ö g l i c h k e i t b e r a u b e n , nach deren A u f -

z e h r u n g w e i t e r z u e x i s t i e r e n ; j a selbst w e n n j e m a n d garn i c h t s besitzt u n d n o c h obendrein i n Schulden steckt, so möchte ich

es b e z w e i f e l n ,

ob er u n t e r der gleichen Be-

d i n g u n g die B e z a h l u n g seiner Schulden nebst einem noch w e i t gröfseren Geldgeschenke

annehmen w ü r d e .

Wenn

n u n aber der B e t t l e r d e n o b i g e n V e r t r a g n i c h t eingehen will,

aufser

wenn

er

eine

Barsumme

von

mindestens

100 G o l d g u l d e n erhält, u n d j e n e r m i t Schulden belastete n u r dann, w e n n er 1000 G o l d g u l d e n b e k o m m t , so w e r d e n w i r sagen müssen, dafs der eine 100 der andere 1000 Goldg u l d e n reich sei, obschon n a c h dem g e w ö h n l i c h e n Sprachgebrauche j e n e r nichts, dieser aber n o c h w e n i g e r als nichts besitzt.2

a

2 a D i e wahre Bedeutung dieser auf den ersten Blick ziemlich befremdlich scheinenden Vermögens-Scliätzung erh e l l t erst aus den i m § 10 daraus resultierenden Folgerungen : man vergleiche hierzu insbesondere Anm. 4.

—

29

—

§6. N a c h A u f s t e l l u n g dieser D e f i n i t i o n k e h r e i c h z u d e r B e h a u p t u n g des v o r i g e n P a r a g r a p h e n z u r ü c k , dafs n ä m l i c h , falls nichts ungewöhnliches dazwischen einembeliebig kleinen Gewinne Vorteil

als u m g e k e h r t

hand enen V e r m ö g e n 3

tritt,

proportional

angesehen

der

aus

erwachsende dem

Vor-

werdenkann.

3

Zur Vervollständigung ist noch hinzuzufügen, dafs dieser V o r t e i l oder, wie er heute gewöhnlich genannt wird, der r e l a t i v e oder m o r a l i s c h e N u t z e n aufserdem als d i r e k t p r o p o r t i o n a l m i t dem G e l d - o d e r T a u s c h w e r t e (absoluten Werte) des betreffenden Gewinnes anzusehen ist (was B. offenbar als selbstverständlich voraussetzt). Der im Texte ausgesprochene Grundsatz, welcher speciell als das D a n i e l B e r n o u l i i s c h e Princip bekannt ist und die Grundlage der i n den folgenden Paragraphen entwickelten Theorie von der sog. m o r a l i s c h e n H o f f n u n g bildet, beruht: 1) auf dem E r f a h r u n g s g e s e t z e , dafs dieser V o r t e i l (relative oder moralische Nutzen) m i t der Gröfse des Gewinnes überhaupt z u n i m m t , andererseits- aber um so g e r i n g e r erscheint, j e gröfser das bereits vorhandene Vermögen war, m i t anderen Worten, dafs er eine z u n e h m e n d e F u n k t i o n des Gewinnes, eine a b n e h m e n d e des Vermögens sein mufs; 2) auf der H y p o t h e s e , dafs derselbe gerade d i r e k t p r o p o r t i o n a l m i t dem Gewinne und u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l m i t dem Vermögen variiert. Gegen den e r s t e n T e i l dieser H y p o t h e s e dürfte sich schwerlich etwas einwenden lassen: derselbe figuriert j a auch als Grundlage für die allgemein acceptierte Theorie von der m a t h e m a t i s c h e n H o f f n u n g und ist w o h l niemals angefochten worden. Dagegen w i r d man dem ζ w e i t e η Teile, welcher das specielle Eigentum D a n i e l B e r n o u l l i s ist und den eigentlichen K e r n p u n k t seiner Theorie bildet, den V o r w u r f einer gewissen W i 11 k t i r 1 i e h k e i t nicht ersparen können, und man darf auch ohne Ungerechtigkeit zugeben, dafs eine durchgängige, k r i t i k l o s e Anwendung dieses Principes zu offenbaren Ungereimtheiten führt. Immerhin

30 — E i n e genauere B e t r a c h t u n g der menschlichen N a t u r zeigt i n der T h a t , dafs dieser Satz i n den meisten F ä l l e n anwendbar

erscheint.

Einnahme

nicht

aber, jemand

Es g i e b t w e n i g e , die i h r e j ä h r l i c h e

vollständig

hat

aufbrauchen.

ein V e r m ö g e n

Gesetzt

nun

v o n 100000 D u k a t e n ,

e i n anderer ein solches v o n ebenso v i e l e n halben D u k a t e n . W e n n d a n n der erstere hieraus ein jährliches E i n k o m m e n v o n 5000 D u k a t e n , der letztere w i e d e r u m ein solches v o n ebenso v i e l e n h a l b e n D u k a t e n bezieht, so ist doch v ö l l i g k l a r , dafs f ü r den einen ein ganzer D u k a t e n gerade n u r so v i e l b e d e u t e t , dafs

daher

w i e f ü r den anderen

der G e w i n n

ein h a l b e r ,

eines ganzen D u k a t e n f ü r

und den

ersten n i c h t m e h r W e r t hat, als der G e w i n n eines halben Dukaten

für

den zweiten.

W e n n also j e d e r v o n diesen

b i n ich der Meinung, dafs dasselbe, m i t M a f s u n d V o r s i c h t angewendet, gute Dienste leisten und z. B. i n Fällen, wie die i n §§ 15, 16 behandelten, für die Praxis brauchbare W i n k e geben kann. A u f der anderen Seite ist nicht zu verkennen, dafs die Tragweite dieser Theorie nicht nur von B e r n o u l l i selbst, sondern auch von seinen Nachfolgern, sogar von dem grofsen L a p l a c e , zweifellos überschätzt worden ist. A b e r darum braucht man noch lange nicht, wie neuerdings J . B e r t r a n d i n seinem C a 1 c u 1 d e s P r o b a b i l i t é s (Paris 1888) gethan, dieselbe als einfach absurd zu verwerfen, zumal sein e i n z i g e s Argument eigentl i c h darin besteht, dafs er i n ganz lustiger Weise eine Geschichte von zwei Spielern k o n s t r u i e r t , die sich — selbstverständlich — über die Bedingungen eines zwischen ihnen zu veranstaltenden Glücksspieles nicht einigen können, weil j e d e r bei deren Festsetzung s e i n e e i g e n e V e r m ö g e n s l a g e nach Mafsgabe des B e r n o u l l i sehen Principes zur Geltung bringen w i l l . I m übrigen w i r d man selbst in diesem sonst gar nicht zur A n w e n d u n g des B e r n o u l l i sehen Principes geeigneten F a l l e eine i n d i r e k t e Bestätigung des eigentlichen Grundgedankens i n dem Umstände erblicken d ü r f e n , dafs ein einigermafsen feinfühliger Mensch sich nicht i n ein Glücksspiel m i t solchen Leuten einlassen wird, deren Vermögenslage allzusehr von der seinigen differiert.

—

31 —

beiden einen G e w i n n v o n e i n e m D u k a t e n m a c h t , so w i r d d e m z w e i t e n daraus indem

er j a

zwei

der d o p p e l t e halbe D u k a t e n

Vorteil

erwachsen,

gewonnen

hat.

Da

dieses B e i s p i e l e i n B i l d v o n allen anderen giebt, so halte i c h es f ü r überflüssig, solche noch anzuführen. der

obige

Satz

um

so r i c h t i g e r ,

A u c h ist

als die M e h r z a h l der

Menschen anderes V e r m ö g e n , als i h r e A r b e i t s k r a f t besitzt

und

von

dieser a l l e i n z u leben pflegt.

kaum

Freilich

g i e b t es auch L e u t e , die an e i n e m D u k a t e n m e h r hängen, als m a n c h e r andere,

der z w a r w e n i g e r r e i c h , aber frei-

g e b i g ist, an m e h r e r e n D u k a t e n .

D a w i r aber zunächst

i m m e r n u r einen u n d denselben Menschen ins A u g e fassen werden, so k o m m t dergleichen f ü r uns n i c h t i n B e t r a c h t . F e r n e r ist k l a r : w e r w e n i g e r F r e u d e a m G e w i n n hat, der t r ä g t auch einen V e r l u s t r u h i g e r .

D a aber doch z u w e i l e n

besondere U r s a c h e n existieren k ö n n e n , d e r e n t w e g e n sich die Sache anders verhält, so w e r d e ich, u m alle F ä l l e z u umfassen, führen

die

Untersuchung

u n d dann

erst

zunächst

ganz

allgemein

z u unserer speciellen H y p o t h e s e

übergehen. §7. E s bezeichne also (s. d. F i g u r S. 32) A B das v o r d e m E i n t r i t t des fraglichen Glüksfalles v o r h a n d e n e V e r m ö g e n . ü b e r der V e r l ä n g e r u n g B R v o n A B

die-

j e n i g e K u r v e B G S k o n s t r u i e r t , deren O r d i n a t e n C G ,

Sodann w e r d e

DH,

EL,

F M etc. die V o r t e i l e

darstellen,

welche den als

Abscissen aufgetragenen G e w i n n e n B C , B D , B E , B F etc. entsprechen. F e r n e r seien m, n, p, q etc. d i e j e n i g e n Z a h l e n , welche angeben, w i e oft die G e w i n n e B C , B D , B E , B F etc. eintreten

können,

lere Vorteil p o

_

alsdann

dargestellt

wird

(nach § 4) der

mitt-

durch:

m . CG + η • D H + ρ . E L + q . F M 4-... m + n + p + q + ...

E r r i c h t e t m a n n u n A Q senkrecht a u f A R u n d t r ä g t d a r a u f

—

AN =

P O ab,

32 —

so w i r d die Gerade N O — A B ,

d e n r e c h t m ä f s i g z u erhoffenden G e w i n n des fragliches G l ü c k s f a l l e s darstellen.

d. h. B P

oder den W e r t

W e n n w i r ferner

wissen w o l l e n , w i e grofs der E i n s a t z sein mufs, w e l c h e r der

obigen Glückshoffnung

Kurve

nach der

fortzusetzen,

entspricht,

entgegengesetzten

dafs j e t z t

so hat m a n die

Seite i n

die Abscisse

der Weise

B p jedesmal

den

V e r l u s t , dagegen die zugehörige O r d i n a t e po den diesem Verluste

entsprechenden N a c h t e i l

b e i einem Spiele

darstellt.

Da

aber

m i t gerechten B e d i n g u n g e n der Nach-

t e i l aus dem V e r l u s t g l e i c h d e m V o r t e i l e aus d e m G e w i n n sein

mufs,

so

hat m a n

An =

AN

oder :

po =

P O zu

n e h m e n : alsdann bezeichnet B p den E i n s a t z , d e n n i e m a n d

—

33 —

überschreiten sollte, der a u f seine Vermögensverhältnisse die gebührende R ü c k s i c h t

nimmt. §8.

Z u s a t z I . B e i der bisher v o n den G e l e h r t e n g e w ö h n l i c h angewendeten Hypothese, welche a u f d e r B e h a u p t u n g beruht, dafs j e d e r G e w i n n ausschliefslich n a c h sich selbst z u schätzen sei, u n d tionalen V o r t e i l

dafs er stets einen d i r e k t p r o p o r -

nach sich z i e h e ,

eine gerade L i n i e ; w e n n daher p o

_

w i r d die K u r v e

BS

wiederum:

m . CG + η . P H + ρ . E L + q . F M + . .. m + n+ p + q+

...

so folgt, sobald m a n a u f beiden Seiten die entsprechenden p r o p o r t i o n a l e n Gröfsen einführt, B p

_

dafs:

m . BC + η . B D + ρ . B E + q . B F + . .. m + n + p + q + ...

w i r d — v ö l l i g ü b e r e i n s t i m m e n d m i t der g e w ö h n l i c h angewendeten Regel. §9. Zusatz

II.

dem gröfsten

Wenn

AB

selbst i m V e r h ä l t n i s s e z u

ü b e r h a u p t m ö g l i c h e n G e w i n n e B F als u n -

endlich grofs erscheint,

so w i r d der B o g e n B M als eine

u n e n d l i c h k l e i n e gerade L i n i e betrachtet w e r d e n dürfen, und in

diesem F a l l e w i r d also w i e d e r j e n e g e w ö h n l i c h e

Regel P l a t z g r e i f e n :

dieselbe g i l t somit sehr näherungs-

weise bei allen Spielen, i n denen es sich u m v e r h ä l t n i s mäfsig k l e i n e S u m m e n handelt.

§10. Nachdem w i r geführt h a b e n ,

so die U n t e r s u c h u n g

ganz a l l g e m e i n

w e n d e n w i r uns j e t z t z u j e n e r oben er-

w ä h n t e n besonderen H y p o t h e s e , welche i n d e r T h a t v o r allen

anderen B e t r a c h t u n g

verdient.

Zunächst

ist

hier

u n t e r B e i b e h a l t u n g der Voraussetzungen des § 7 die N a t u r S a m m l . staatsw. S c h r i f t e n . — B e r n o u l l i .

3

—

34 —

d e r K u r v e sBS z u untersuchen.

D a w i r aber a u f G r u n d

unserer H y p o t h e s e u n e n d l i c h k l e i n e G e w i n n e z u betrachten haben, so w e r d e n w i r die G e w i n n e B C u n d B D als nahezu g l e i c h ansehen, sodafs also i h r e Differenz C D u n e n d l i c h klein wird.

Z i e h t m a n d a n n G r p a r a l l e l z u B R , so w i r d

r H d e n u n e n d l i c h k l e i n e n V o r t e i l darstellen, den j e m a n d m i t d e m V e r m ö g e n A C d u r c h den u n e n d l i c h k l e i n e n Gew i n n C D erwirbt.

D i e s e r V o r t e i l aber d a r f n i c h t blofs

n a c h d e m k l e i n e n G e w i n n e C D ( d e m er allerdings u n t e r sonst g l e i c h e n V e r h ä l t n i s s e n p r o p o r t i o n a l ist) abgeschätzt w e r d e n , sondern a u c h n a c h d e m vorhandenen A C , d e m er u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist. AC =

χ

CD =

dx

CG =

y

Vermögen

Setzt m a n also : rH =

dy,

aufserdem : AB =

α,

u n d bezeichnet b eine gewisse K o n s t a n t e , b . dx

ι 4

Diese

so hat m a n 4 :

„Differential-Gleichung": dy =

b · — X ist l e d i g l i c h die mathematische F o r m u l i e r u n g der i n § 5 ausgesprochenen (durch A n m . 3 vervollständigten) Hypothese, dafs j e d e r noch so kleine ( „ u n e n d l i c h - k l e i n e " ) G e w i n n , d. h. V e r m ö g e n s - Z u w a c h s dx einen V o r t e i l dy erzeugt, welcher diesem ersteren d i r e k t , dagegen dem b e r e i t s v o r h a n d e n e n Vermögen χ u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist, wobei also b einen, bis zu einem gewissen Grade w i l l k ü r l i c h zu wählenden, aber für alle Werte χ u η v e r ä n d e r l i c h e n „ P r o p o r t i o n a l i t ä t s - F a k t o r " bedeutet. Aus dieser Differential-Gleichung folgt zunächst, dafs zwischen χ und y eine Beziehung von der F o r m bestehen mufs : y = b - l g x + C, J

wo das Zeichen l g χ

den n a t ü r l i c h e n

Logarithmus von

—

35

d. h.

x, C eine K o n s t a n t e bedeutet. D e n n aus dieser letzteren Beziehung geht durch Differentiation wieder die obige Differential-Gleichung hervor. Der W e r t der Konstanten C ist nicht w i l l k ü r l i c h , sondern bestimmt sich aus der Bedingung, dafs i m F a l l e g a r k e i n G e w i n n gemacht, also auch k e i n V o r t e i l y erzielt w i r d , d. h. i m F a l l e y — 0, das Vermögen χ seinen ursprünglichen W e r t a behält, d. h. man h a t : 0 = b · lg α + C also:

c = — b-lgo, sodafs die obige „ I n t e g r a l - G l e i c h u n g " nimmt : y =

die F o r m an-

χ b · l g χ — b · l g a — b · l g —.

In W o r t e n : Geht infolge irgend eines E r eignisses eine u r s p r ü n g l i c h vorhandene Summe a in die S u m m e χ über, e r z i e l t also der B e s i t z e r des V e r m ö g e n s a e i n e n G e w i n n χ — a (bezw. w e n n χ — a n e g a t i v a u s f ä l l t , e i n e n V e r l u s t a — χ ) , so w i r d d e r relativ© o d e r moralische W e r t d i e s e s G e winnes (bezw. V e r l u s t e s ) d a r g e s t e l l t d u r c h die Formel: 7 =

b'lg

^

wo b einen positiven von a und χ unabhängigen Proportionalitäts-Faktor bedeutet (der lediglich von anderen U m ständen, wie Zeit, Ort, individuellen Verhältnissen u. dergl. abhängen kann). D a dieser r e l a t i v e G e w i n n - W e r t y n i c h t , wie dessen a b s ο 1 u t e r W e r t χ — α, von der D i f f e r e n z χ — α, sonX

dern von dem Q u o t i e n t e n — abhängt,

so erkennt

man,

dafs derselbe bei gleichen W e r t e n von χ und abnehmenden W e r t e n von a sehr viel s c h n e l l e r zunimmt, als der a b s o l u t e G e w i n n - W e r t χ — α, i n der Weise, dafs er geradezu

— Es

ist daher die K u r v e

36 — sBS eine l o g a r i t h m i s c h e L i n i e ,

über alle Grenzen wächst, wenn a unter jede Grenze herabsinkt. Ist χ > α, also χ — « p o s i t i v , so g i l t offenbar das gleiche von y ; dagegen w i r d für x < o : , geradeso wie χ — α, auch y n e g a t i v . Ist endlich χ = a, findet also weder Gewinn, noch Verlust statt, so w i r d auch : y = b · l g 1 = 0. I m F a l l e eines n e g a t i v e n Wertes a liefert die Formel :

( N B . χ immer als wesentlich positiv vorausgesetzt) für y einen k o m p l e x e n W e r t , d. h. einen solchen von der F o r m : Α + Β · V — 1 , und somit k e i n praktisch brauchbares Resultat. D i e Möglichkeit für das Eintreten dieses Falles erscheint aber gerade durch die i n § 5 eingeführte VermögensSchätzung definitiv a u s g e s c h l o s s e n , da j a nach der dort getroffenen Festsetzung das Vermögen a unter keinen U m ständen als eine n e g a t i v e Gröfse angesehen wird, und der äufserste noch als zulässig erscheinende G r e n z f a l l a = 0 nur für denjenigen e i n t r i t t , der geradezu am Verhungern ist. D a nun, wie bereits bemerkt, m i t u n b e g r e n z t a b n e h m e n d e n p o s i t i v e n W e r t e n von a der W e r t von y — wie k l e i n i m übrigen auch der positive W e r t χ angenommen werden möge — u n b e g r e n z t z u n i m m t , so w i r d man sagen müssen, dafs jenem Grenzfalle a — 0 der W e r t y = + 00 entspricht. Hiernach würde also aus jedem (noch so kleinen) G e w i n n e ein schlechthin als „ u n e n d l i c h g r o i ' s " zu bezeichnenden V o r t e i l nur demjenigen erwachsen, der jeder F ä h i g k e i t eines Erwerbes (einschliefslich des Betteins) beraubt, eben i m Begriffe ist, zu v e r h u n g e r n ; während jedem, dem noch irgend eine Existenz-Möglichkeit offen stellt, jeglicher G e w i n n einen allemal noch d u r c h Z a h l e n m e f s b a r e n V o r t e i l bringen würde, der nur als u m so g r ö f s e r anzuschlagen ist, j e s c h l e c h t e r des Betreffenden Vermögens-Verhältnisse sind. D u r c h diese den Anschauungen des gesunden MenschenVerstandes durchaus entsprechenden Ergebnisse findet die i n § 5 aufgestellte Vermögens-Definition ihre nachträgliche Rechtfertigung.

—

37 —

deren Subtangente stets = Gerade Q q i s t 5 .

b u n d deren A s y m p t o t e die

§11. V e r g l e i c h t m a n dieses Resultat m i t d e m i n § 7 gesagten, so ist offenbar: p o = b . i g 4 | u n d ebenso : CG =

Af! b . ] g ^ ,

AD D H = b . l g ^ ,

u . s . f.

5 Dafs die fragliche K u r v e die Y - A x e zur Asymptote h a t , erkennt man ohne weiteres daraus, dafs für χ = 0 : y = — co w i r d . Dagegen bedarf die auf die Subtangente bezügliche Bemerkung einer K o r r e k t u r oder zum mindesten, wenn man dem Ausdrucke „ S u b t a n g e n t e " die heute durchweg übliche Bedeutung beilegt, einer Modifikation. M a n hat hier nämlich unter „ S u b t a n g e n t e " n i c h t , wie sonst üblich, die Projektion der Tangente (vom Schnittpunkte m i t der A b s c i s s e n - Axe bis zum Berührungspunkte) auf die A b s c i s s e η - A x e zu verstehen, sondern die P r o j e k t i o n der Tangente — vom Schnittpunkte m i t der O r d i n a t e n - A x e bis zum Berührungspunkte — auf die O r d i n a t e n - A x e (d. h. m i t anderen W o r t e n : die S u b t a n g e n t e i m gewöhnlichen Sinne, jedoch für den F a l l , dafs man die Y - A x e zur A b s c i s s e n - A x e macht). Bezeichnet man nämlich die Länge dieser L i n i e m i t t und m i t φ und xp die W i n k e l , welche die Tangente, bezw. m i t der positiven Abscissenund Ordinaten-Richtung bildet, so hat man offenbar:

t —=

cot ψ =

tang φ =

und da h i e r : dy dx

=

b χ

wird, schliefslich : t =

b· —

dy

,

—

38

D a nun : p

o

=

m . CG + η . D H + ρ . E L + q . F M + ... m + η Η- ρ + q . . .

so f o l g t j e t z t : ,

ι

AB ^ÄP

/ =

.

.

AC S

\ 4

Ä B

q b , l g

Ä S

,

,

+

AD S

+

"

)

Ä B

:

(

,

,

+ P

m +

n

AE S

+ P+

ÄB c

l + ···)

und daher: A P = ( A O . A D 1 1 . AEP . A F « . . . ) . / m + n + p + q + ... S u b t r a h i e r t m a n h i e r v o n n o c h A B , so stellt der Rest B P den W e r t des f r a g l i c h e n Glücksfalles

dar6.

6

Wendet man wiederum die Bezeichnungen der Anm. 1 an, d. h. bezeichnet man die einzelnen zu erwartenden Gewinne m i t g x , g 2 , · · · g n ? die A n z a h l der Fälle, i n denen sie eintreten können, bezw. m i t a j , a 2 · · · a n , aufserdem das vorhandene Vermögen, wie oben, m i t a, so ergiebt sich als r e l a t i v e r W e r t des fraglichen Glücksfalles, oder, wie man auch (nach L a p l a c e ) zu sagen pflegt, als W e r t der m o r a l i s c h e n Hoffnung der A u s d r u c k : 1 Η =

{ ( a W V

+ g ^

· · · ( « + gn) a" }

Sl +

32 +

-

oder auch, wenn man wiederum ^ + a 2 + · · · + a n = ai Η =

(« +

g l

)

S Pl

wo p t =