Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111657271, 9783111273020

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Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse. * Im Verlag von Carl Winters erschienen:

Universitätsbuchhandlung

in Heidelberg

Abteilung A. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Mathematisch - physikalische Wissenschaften. J a h r g a n g 1921. FRANZEN, H. Über die ehem. Bestandteile grüner Pflanzen. 12. Mitteilung: Über die flüchtigen Bestandteile der Eichenblätter. KÖNIGSBERGER, L. Über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. HEFFTER, L., und W. STOLLENWEBK. Über Scharen gleichberechtigter Koordinatensysteme. Mit 3 Textabbildungen. PEBBON, OSKAR. Uber die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. I. LIEBMANN, HEINRICH. Der geometrische Aufbau der Bäcklundschen Transformation. EISENHUT, 0 . Über Kathodenstrahlintensitätsmessung durch feste Kondensatoren. KÖNIGSBERGER, LEO. Über vollständige Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. PERRON, OSKAR. Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. II. LIEBMANN, HEINRICH. Flächen mit einer vorgeschriebenen Schar geodätischer Parallelkurven. BALDUS, RICHARD. Über die Flächen, welche die Strahlen eines Bündels unter festem Winkel schneiden. KÖNIGSBERGER, LEO. Die Erweiterung des Helmholtzschen Princips von der verborgenen Bewegung und den unvollständigen Problemen auf kinetische Potentiale beliebiger Ordnung. Abteilung B.

Biologische Wissenschaften. J a h r g a n g 1921. 1. KOSSEL, A. Über die Beziehungen der Biochemie zu den morphologischen Wissenschaften. PREISE

WERDEN AUF ANFRAGE

MITGETEILT

* Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind, nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse =

Jahrgang 1925. 9. Abhandlung.

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Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie Von

Ernst Roeser in Bottrop

Vorgelegt in der Sitzung vom 13. Juli 1925 von H e i n r i c h L i e b m a n n .

Berlin

und L e i p z i g

1925

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / K a r l J. Trübner I Veit & Comp.

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Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie. § 1. Die Abbildungsbereiche.

I. D i e K u g e l . Im hyperbolischen Kaum sei die Ebene AE auf die Kugel mit dem Radius x gnomonisch projiziert. Der ganze reelle Teil der Ebene wird dargestellt durch den Kreis mit dem sphärischen Radius: (1) AE = I Z » shx oder (2)

H { x )

A E =

tg n ( x ) Die Abbildung wird geleistet durch die Gleichung: t g 9 5 = tg (3)

the =

s

shx

=

th g

sh*

oder

h^.tg^=Ät

g

|

Diejenigen Strahlen, die A E nicht mehr schneiden, bilden den imaginären Teil der Ebene auf den noch übrigbleibenden ringförmigen Teil der Halbkugel ab. Jedem reellen Punkt B kann man einen imaginären zuordnen, indem man auf AE in B das Lot errichtet und auf dieses das Lot 0 0 fallt, so entsteht mit seinem Bild B i (OBi mit zwei Pfeilspitzen). Im Spitzeck O A B C ist: tg