Data i matematikken [2 ed.] 8203305628

Citation preview

TRYGVE BREITEIG • ANNE BERIT FUGLESTAD

DATA I MATEMATIKKEN

F IB Bana

ASCHEHOUG

© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2000

2. utgave /2. opplag 2000 Det må ikke kopieres fra denne bok i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, Interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Omslag: Liven Sørum Grunnskrift. 12 Times Roman Trykk: Lobo Grafisk as Papir: 90 g Partner

ISBN 82-03-30562-8

I

Forord Informasjonsteknologien setter stadig sterkere preg på samfunn, yrkesliv og fritid. I økende grad inkluderer arbeidet på en arbeidsplass bruk av IT. De ansatte får opplæring i å bruke disse hjelpemidlene. Hvilket grunnlag er det ønskelig at barn og unge får fra skolen? Hvordan kan skolen best mulig forberede elevene på en hverdag som i en slik grad er preget av informasjonsteknologien? Hvordan kan skolen ta den nye teknologien inn i sine pedagogiske mål?

Skolen har etter hvert fått en del erfaringer med bruk av informasjonsteknologi i spesialpedagogikk, men har ellers relativt liten kunnskap om IT og de enkelte fagenes undervisning. Slik er det også i matematikk. Det er få tradisjoner i å integrere datalære i matematikk, og det hersker ganske mye usikkerhet om hvilke arbeidsmetoder som er aktuelle, og hvordan det kan behandles i vanlige skoler med lite og enkelt utstyr. Gjeldende læreplaner, L97, understreker datalære som et pedagogisk redskap også i grunnskolens matematikk. Selv om det kom inn i Mønsterplanen av 1987, er det fortsatt et nytt og ungt emne. Det er behov for innsikt i de pedagogiske sidene ved informasjonsteknologien. Datalære banker altså stadig sterkere på skolens dør. I 1990 hadde nær halvparten av elevene mellom 13 og 16 år tilgang på datamaskin hjemme (St.meld. nr. 24, 199394). Ifølge Statsitisk sentralbyrås undersøkelse om IT i skolen våren 1997 (gjengitt i SSBs Notater 97/42} er det 14 elever per datamaskin i barneskolen, 1 1 elever på ungdomstrinnet og 4 på videregående skole. Av maskiner tilgjengelige for elevene, er det henholdsvis 22, 16 og 6 elever per maskin. Maskintettheten viser en klar forbedring siden tilsvarende undersøkelse i 1995. Det har disse to årene også skjedd en sterk vekst i antall skoler som har utstyr for kommunikasjon utad. Hver fjerde barneskole og seks av ti ungdomsskoler er tilknyttet Internett. Ett av skolens grunnleggende mål er at elevene skal ha like muligheter for å lære, uavhengig av geografisk, sosial eller kulturell bakgrunn. Alle bør også få samme mulighet til erfaringer med datamaskin. Dette krever at programvare og læremidler blir tilrettelagt til bruk i skolen. Det er viktig for oss å understreke at datalære skal integreres i matematikken på matematikkens og skolens premisser. Målet er at elevene lærer og utvikler sine allsidige evner - intellektuelt, følelsesmessig, sosialt og etisk. Det er matematikk elevene skal arbeide med, og teknologien bør ikke ha en høyere terskel enn nødvendig for stoffets del. Datalæra bør ikke komme med nye problemer og tema som gjør at oppmerksomheten tas bort fra matematikken den skal tjene. Den er et redskap for matematikken og for elevenes læring i matematikk.

Matematikken har tverrfaglige perspektiver, og det kommer meget klart fram i L97. Datalære kan hjelpe med å gjøre matematikken realistisk og tverrfaglig, orientere den mot matematiske modeller og anvendelser og gi rom for kritisk refleksjon over de forutsetningene som modellene bruker.

Når elevene blir kjent med de ulike redskapsprogrammene som er tilgjengelige, og får se noen av mulighetene som fins, kan de selv ta med oppgaver som de løser på datamaskinen. Det kan være å tegne en graf, sette opp et regneark og lage tabell, lage

1

et histogram fra statistikken eller tegne opp på skjermen en geometrisk figur de har jobbet med i timen. Kanskje vil de skrive ut figuren for å lime den inn i boka. Kanskje vil de utforske mulighetene - endre på intervallene i histogrammet, eller forandre på et linjestykke i konstruksjonen. Eller kanskje de trenger informasjoner som er tilgjengelige pa Internett. På denne måten kan datamaskinen inngå i klassens læringsmiljø i matematikk.

Datalære er et omfattende felt, og utviklingen går fort. Det er nødvendig å kunne oppdatere undervisningsmateriellet på en enkel måte. Dette gjelder så vel formen på arbeidsoppgaver, framstillingen av stoffet, tilretteleggingen og informasjonen om utstyr som tilpassingen av programmer til skolen. Denne boka er først og fremst laget som tillegg til Aschehougs matematikkverk, Matematikk 8-10, for grunnskolen. Men boka er også en frittstående bok som kan brukes som supplement til andre læreverk i matematikk. Den tar opp og drøfter datalære i matematikk, gir informasjon og veiledning om bruken av ulike programtyper, gir veiledning i bruk av Internett og noen viktige Internett-adresser for matematikkundervisningen. Vi finner også en rekke arbeidsark med oppgaver, som kan kopieres og brukes av elevene til deres egen, aktive læring. Innhold og form er spesielt tilpasset ungdomstrinnet. En del oppgaver og aktiviteter vil likevel også passe på øverste del av barnetrinnet, og mange av oppgavene vil elever i videregående skole ha fullt utbytte av. Sammen med boka følger det en diskett. Den inneholder løsningsforslag og startpunkt for enkelte av arbeidsarkene i kapittel 4. Hver av filene på disketten åpnes fra det programmet den er laget for. Det er henvist til disketten på de aktuelle arbeidsarkene. Se også kapittel 6.4. Data i matematikken ble først utgitt i 1994. I denne andre utgaven er noen trykkfeil rettet opp. Teksten er oppdatert, og Internett er omtalt. Det er føyd til noen ekstra arbeidsark i kapittel 4. For at det ikke skal skape vansker med tanke på henvisninger som alt er gjort, er de ekstra arbeidsarkene satt til slutt i kapitlet. I andre utgave, andre opplag er det rettet opp noen trykkfeil, og internettadressene er oppdatert. Eksempelfilene til programmet Cabri geometri er i dette opplaget også laget for Cabri II.

Vi takker alle som har kommet med råd og ideer, støtte og konstruktiv kritikk til arbeidet: takk, kolleger, studenter og lærere. En spesiell takk går likevel til vår kollega Veslcmøy Johnsen for hjelp og vurderinger under arbeidet med boka. Takk også medarbeidere i redaksjonen i Aschehoug forlag for et godt og konstruktivt samarbeid. Kristiansand, desember 1999

Trygve Breiteig

Anne Berit Fuglestad

2

Innhold

1 Ny teknologi og skolens matematikk 1.1 Pedagogiske perspektiver 1.2 Intensjoner og planer 1.3 Pedagogiske konsekvenser 1.4 Internett i matematikkundervisningen 1.5 Praktisk organisering og forberedelse

5 5 7 8 12 14

2 Redskapsprogrammer 2.1 Regneark 2.2 Statistikk 2.3 Geometri 2.4 Funksjoner og graftegning 2.5 Algebra - likningsløsning 2.6 Problemløsning - dataspråk

]7 17 27 30 35 37 39

3 Pedagogiske programmer 3.1 Hva er pedagogiske programmer 3.2 Spill - for å trene ferdigheter 3.3 Programmer for problemløsing og utforsking 3.4 Programmer for å forstå begreper ogsammenhenger 3.5 Større pedagogiske programpakker 3.6 Sluttkommentarer 3.7 Programmer

53 53 53 56 57 59 60 60

4 Oppgaver og aktiviteter - Arbeidsark som kopioriginaler

61

5 Fasit og kommentarer - til kapittel 4, Oppgaver og aktiviteter

163

6 Ressurser - Litteratur, programvare og leverandører, Internettadresser 6.1 Litteratur 6.2 Aktuelle adresser - programvareforhandlere 6.3 Aktuell programvare - en oversikt 6.4 Oversikt over filer på diskett 6.5 Internett-adresser

177 177 178 179 180 180

7 Vedlegg - Oversikt over noen sentrale kommandoer og funksjoner 7.1 Regneark 7.2 Logo 7.3 Cabri geometri

1 83 ] 83 187 190

3

4

1

Ny teknologi og skolens matematikk

1.1 Pedagogiske perspektiver I vår del av verden har datateknologien kommet til å spille en større og større rolle. Data er en del av vår hverdag; det er integrert i hele samfunnsstrukturen. Maskinene blir stadig bedre, kraftigere og billigere. Dermed er datakraften blitt mer tilgjengelig, og datamaskinen er på vei inn i de tusen hjem. Som en del av samfunnet må skolen forholde seg til informasjonsteknologien. Den må utnytte elevenes erfaringer og forberede dem på informasjonssamfunnet. Lommeregner og datamaskin er hjelpemidler som kan lette arbeidet i matematikk. De er likevel neppe en garanti for at elevene blir dyktigere i matematikk, får mer og bedre kunnskaper, forståelse og innsikt, får mer effektive løsningsstrategier og mer ønskelige holdninger enn tilfellet hadde vært uten disse hjelpemidlene. Det er nødvendig med en plan for arbeidet og en klar hensikt med bruken av hjelpemidlene. Først når de blir brukt slik, synes det klart at bruken kan øke elevenes utbytte av matematikkundervisningen. Investering i maskiner må derfor gå parallelt med utvikling av tilrettelagt programvare og økt pedagogisk innsikt.

De nye lommeregnerne med grafikkmuligheter er tatt i bruk i undervisningen i videregående skole. Dette er egentlig små datamaskiner med innebygde programmer, og det viser at skillet mellom lommeregnere og datamaskiner viskes ut. På ungdomstrinnet kan vi også gi enkeltelever anledning til å bruke slike. I læreplanverket av 1997, L97, er problemløsning og utforsking bygd inn i matematikkundervisningen - som en arbeidsmåte. Det betyr at elevene også arbeider med å velge løsningsstrategier, drøfte ulike metoder, leite etter mønstre og relasjoner, lage hypoteser, begrunne og resonnere, vurdere kritisk svar og resultater og gjøre overslag og rimelighetsbetraktninger. Datamaskinen øker mulighetene nettopp til å vektlegge slike kvaliteter i undervisningen. Bruk av data stiller større krav til å vurdere den framgangsmåte og de strategier en har brukt og resultatene som kommer fram. Det krever også blant annet ferdigheter i hoderegning og en god innsikt i tall. Når vi utforsker, kan vi sette opp en tabell eller tegne et diagram. Dette, som kan være rutinepregede ferdigheter, kan likevel ta lang tid og mye krefter, og ta oppmerksomheten bort fra det vi kanskje heller burde prioritere. Når en maskin tar seg av prosedyrer og gjør de mer rutinepregede operasjoner, kan det bety mer tid til og oppmerksomhet mot refleksjon, vurdering og'valg av strategier, og til problemløsning og utforsking i det hele. På hvilke områder av matematikken kan de moderne hjelpemidlene være "nyttige" og pedagogisk tilrådelige å bruke? Hva slags type programvare er aktuell? Kirke-, utdannings- og forskningsdepartementet (1994) regner med at den programvaren som er relevant og som det er behov for, kan rubriseres i tre grupper;

- standardprogrammer - pedagogisk programvare - programvare for spesialundervisning Et standardprogram er rettet mot å dekke ulike funksjoner det er bruk for

5

i samfunnet generelt. Av standardprogrammer kan vi nevne tekstbehandling, regneark, kommunikasjonsprogram og database.

I tillegg kommer generell programvare som er så vidt anvendelig innenfor matematikken at vi vil betegne den som standardprogrammer i faget. Regnearket er et hjelpemiddel til å foreta mange, samsvarende beregninger og framstille et tallmateriale i tabeller som enkelt kan endres og justeres. Det er meget nyttig på områder som økonomi, behandling av data i statsistikk, foruten i den reine matematikken med utforsking og problemløsning. Programmer for statistikk er spesielt nyttige til å behandle et tallmateriale, gjøre statistiske beregninger og lage grafiske framtillinger. Graftegning og beregninger av funksjoner er et område der datamaskinen kan lede vår oppmerksomhet bort fra rent rutinepregede, gjentatte beregninger over mot andre sider ved funksjoner og grafer. For geometrien er det utviklet ulike typer konstruksjonsprogrammer. Det gir muligheter til å "konstruere" på skjermen og endre på figuren for å utforske den. Vi kan se på egenskaper ved figurer og konstruksjonsmåter, gjenta en figur og få fram symmetri eller formlikhet. Programmeringsspråket LOGO viser oss hvordan vi ved enkle kommandoer kan styre maskinen, og elevene ser straks hvordan instruksene de gir, blir utført.

Pedagogisk programvare er programmer som tar opp en bestemt idé fra matematikkpensumet. Det er innlæringsprogrammer - som er rettet mot eleven i skolen, der og da. Det kan gjelde innlæring av bestemte begreper, som for eksempel areal, omkrets, funksjon, variabel eller fortegnstall. Det kan gjelde ferdigheter som regning med hele tall, desimaltall, brøkregning, omregning mellom brøk og desimaltall og omvendt, eller trening med algoritmeregning. De kan utforske tallmønstre. De kan studere grafen når konstanter i formelen endres, for eksempel kan de studere den rette linja gitt ved y = ax + h, når konstantene a eller h varierer. Programvare for spesialundervisning skal gi funksjonshemmede elever bedre mulighet til å lære. For elever med fysiske funksjonhemninger kan spesielle brytere, styreplate eller tastaturtilpasninger hjelpe dem til å bruke dataprogrammer og på den måten kan de arbeide med matematikkoppgaver som ellers ville være umulig for dem. Elever med spesielle lærevansker i matematikk kan ha god hjelp av dataprogrammer som gir ekstra stimulans og øving tilpasset deres nivå. I mange tilfeller vil datamaskinen også kunne gi et større og klarere bilde å forholde seg til, enn det elevene får ved egen håndskrift eller trykt på papir. Datateknologi for elever med lærevansker i matematikk er et omfattende emne, og ikke mulig å ta opp her. En del av dataprogrammene som omtales senere, vil med sine tilpasningsmuligheter også kunne brukes for disse elevgruppene.

Det fins mange mennesker, også lærere, som er skeptiske til å bruke moderne hjelpemidler som datamaskinen. De frykter at elevene på en eller annen måte skal lære mindre og bli dårligere rustet til å møte morgendagens krav. For hvert av de nye hjelpemidlene må vi overbevises om at dette virkelig betyr en hjelp, og at elevene ved hjelp av dette kan lære seg begreper og sammenhenger på en bedre måte enn uten. Vi må lære elevene til å spørre: Hvordan kan jeg bruke datamaskinen? Hva kan jeg gjøre nå som jeg ikke kunne før? Hva kan jeg gjøre med en datamaskin som jeg innenfor en realistisk tidsramme ikke kan med papir og blyant, passer og linjal, millimeterpapir og lommeregner? Er det noe jeg mister ved å ta "snarveien" ved å bruke et dataprogram?

1.2 Intensjoner og planer Stortingsmelding nr 39 (1983/84) Datateknologi i skolen formulerer mål for skolens arbeid slik: Å gi den enkelte elev forståelse av muligheter og begrensninger ved bruk av datateknologi. Å formidle innsikt i datateknologi som samfunnsfaktor. Å gi en viss egenferdighet og forståelse av fagområdets metodikk.

1 2 3

Det har skjedd en sterk utvidelse i datateknologiens plass og formål det siste tiåret. Mulighetene til kommunikasjon, bruk av nettverk, data- og kunnskapsbaser har kommet til. I Stortingsmelding nr. 24 (1993/94), Om informasjonsteknologi i utdanningen, trekker Kirke- utdannings- og forskningsdepartementet opp strategier for den videre utviklingen. De overordnede mål for bruk av IT i utdanning er der: •

IT skal bidra til å bedre elevers læringssituasjon, skape grunnlag for nye undervisningsformer og lette lærerens arbeid • at den enkeltelev blir bedre i stand til å utvikle evner og realisere egne mål • utdanningsmessig likestilling, uansett kjønn, alder, geografi og etnisitet • å gi personer utenfor skolesentra mulighet til opplæring • å skape økt internasjonal kontakt og forståelse IT skal inngå som et integrert hjelpemiddel i alle fag der det er naturlig på alle nivåer i utdanningssystemet. Bruk av IT i undervisningen skal bidra til å øke kunnskapsnivået og ferdighetsnivået i samfunn og arbeidsliv. IT skal gjøre elever og andre i stand til å utnytte databaser i inn- og utland. •

•

• •

Dette medfører at bruken av IT i skolen primært skjer i de ordinære fagene, og det benyttes aktivt ved innlæring av ny kunnskap. Fjernundervisning bygges ut, og skolene gis tilgang til et skolenett og til nasjonale og internasjonale nettverk gjennom Internett. For matematikkfaget konkretiserer L97 intensjon at IT skal integreres i matematikken, og ikke framstå som et eget, atskilt emne. Tallregning, likninger, sannsynlighet, statistikk, geometri, areal, volum, matematikk i dagliglivet og tverrfaglig matematikk er alle områder der IT griper inn. På ungdomstrinnet er det således et mål at elevene skal kunne nytte databaser, regneark og andre dataprogrammer, noe som konkretiseres f eks i at elevene skal arbeide med å lage statistiske grafer og diagrammer, bl a søylediagram, kurvediagram, sektordiagram og punktdidagram, f eks ved hjelp av informasjonsteknologi [L97, s 170]

7

1.3 Pedagogiske konsekvenser Informasjonsteknologien får konsekvenser også for matematikken, og vi vil se på noen av dem: behovet for nye algoritmer, nye arbeidsmåter og endret stoffinnhold.

1.3.1

Nye algoritmer

Vektleggingen i undervisningen bør forskyves som en følge av at vi har adgang til tekniske hjelpemidler. Det er naturlig å spørre: Er våre algoritmer hensiktsmessige? Hvordan bør de endres, utvides eller modifiseres? For eksempel vil en gjett og sjekk-metode for å løse en likning bli mer aktuell. Et eksempel kan belyse det:

Eksempel 1 Vi skal lage en boks uten lokk, med form som et rektangulært prisme. Lengden i grunnflata skal være dobbelt så lang som bredden. Volumet skal være 5 dl. Vi vil finne hvilken bredde på boksen som gir minst mulig overflate. Da vil vi finne et uttrykk for overflata, uttrykt ved bredden, x cm.

Overflata blir bunn pluss fire sideflater, som utregnet gir

6>(x) = 2x2 +1500 x

Vi kan så prøve oss fram med å sette inn verdier for x på en systematisk måte. Vi kan prøve på et regneark, først med x lik 1, 2, 3, ... og finne det intervallet som synes å gi maksimal overflate. Vi finner at det er mellom 3 og 5. Så kan vi fortsette å la maskinen lete mellom 3 og 5, med mindre skritt, for eksempel med skrittlengde på en tidel, x = 3,0, 3,1, 3,2, ... 4,9. Slik kan vi fortsette med stadig finere intervaller og bestemme desimaltall så nær vi vil minimalverdien.

Det synes klart at utforsking, prøving, gjetting og kontroll vil bli mer aktuelle som arbeidsmetoder. Slike metoder kan forbedres og gjøres systematiske ved hjelp av datalære. Gjentakelsesmetoder og rekursjon vil bli mer aktuelt. Det er enkelt å forstå når vi blir vant med det. Vi møter det ofte når vi bruker matematikk. Rekursjon passer som hånd i hanske for datamaskinen, noe eksempel 2 antyder.

8

Eksempel 2

En jordbærplukker har grunnlønn per dag på 50 kr og i tillegg 3,50 kr per korg han plukker. Da kan daglønna, y kr, uttrykkes slik: y = 3,5x + 50

eller

L(x) = 3,5x + 50

(1)

der x er antall korger han plukker på en dag. Her i (1) er sammenhengen mellom x og y uttrykt ved en eksplisitt formel. En slik er velegnet for å lage graf og for å regne ut y for vilkårlige x. Funksjonen er lineær, og grafen er en rett linje. La oss se det på en annen måte. Vi vil se hvordan lønna vokser ved hjelp av en rekursiv formel. Den er velegnet til å lage tabell på dataskjermen. La oss se nærmere på den.

Lønna, L(x), er avhengig av antall korger, x. Du starter med grunnlønn 50 kr. Det gjelder for 0 korger. Hver gang du øker antall korger med én, øker lønna med 3,50 kr. Vi kan uttrykke sammenhengen ved følgende rekarsjonsformet

L(0)= 50

L(x+1) = L(x) + 3,5

(2)

Dette forteller hva vi starter på, og hvordan størrelsen vokser når vi går fra x til x + 1.

La oss igjen se på det å løse likninger. Vi vil finne enkle metoder som kan brukes på mange ulike typer likninger, og der teknologien er integrert i vesentlig grad. Se eksempel 3 nedenfor. Vi bør legge større vekt på mer vidtrekkende algoritmer for likningsløsning.

Som et eksempel vil vi løse en likning av andre grad, noe som er pensum i videregående skole. Tradisjonelt har elevene brukt en formel for røttene og funnet løsningen ut fra denne. Vi kan også bruke et graftegningsprogram og tegne en grafog så finne tilnærmede løsninger ved å studere det grafiske bildet.

Eksempel 3

Vi vil løse likningen 50x - x2 = 300 Vi kan se på venstre side som en funksjon av x og bruke en graftegner som viser hvordan denne siden blir. Så kan vi gjøre det samme med høyre siden, og lese av den eller de x som gjør de to sidene like.

9

Men vi har også andre sterke metoder. Vi kan lage en gjentakelsesformel - en tallmaskin - eller mer presist - en rekursjonsformel som gir en løsning. Igjen ser vi metoden illustrert på et eksempel.

Eksempel 4 Vi ser på likningen fra eksempel 3:

50x-x2 = 300 og omformer den slik at den får formen x = .... Vi kan for eksempel skrive den slik: _ x2 , A ~ 50 +6 og så bruke den som en rekursjonsformel:

X] velges fritt x 2 + 6 fork = 2, 3, ... x, =^50 Vi velger altså den første verdien til x, x = xj, og setter den inn i høyre side. Da får vi en ny verdi for x, x = x^. Slik fortsetter vi. Vi får en rekke av tall, xj, X2, X3 og så videre. Rekka konvergerer mot en løsning av likningen.

Her kan vi med fordel også bruke lommeregneren. På mange maskiner vil det være mening i å gjenta følgende tastetrykk:

@ © CED 0 50 (ø 6 (ø og notere seg hvilke tall som kommer i vinduet.

10

1.3.2

Endrede arbeidsmåter

Til vanlig må ikke elevene bare slippes løs med et redskapsprogram. De bør veksle mellom bok og blyant og skjerm og tastatur - og ettertanke og refleksjon. De bør først gjøre aktivitetene manuelt med enklere og kanskje færre tall og kanskje enklere formler. De må få reflektere over hva de gjør, få tak i begrepene, metoden og prosessene. De bør for eksempel selv jobbe problemorientert med funksjoner og grafer og tegne noen på rutepapir, før de bruker ferdige graftegningsprogrammer. De bør konstruere normaler og halvere vinkler, lage sirkler og kvadrater før eller parallelt med at de bruker et konstruksjonsprogram. Et dataprogram reduserer ikke kravet til innsikt i de grunnleggende begrepene. Det gir anledning til å ta opp teknisk langt mer kompliserte oppgaver og tilfeller. Det bør gi mulighet til å se nøyere på begrepene som inngår, drøfte hva de selv kan og hvilke problemer de bør arbeide mer med.

Med jevne mellomrom bør elevene derfor gå tilbake til mer "manuelle aktiviteter". Dette kan utvide innsikten og gi dem en sikrere forståelse for det de gjør.

Lommeregneren gir elevene mulighet til å regne sikrere med kompliserte og gjerne realistiske tall. Det betyr ikke at de ikke trenger grunnleggende innsikt i regne­ operasjonene. De trenger oversikt og trening i å gjøre overslag, og vi må stadig gi dem trening i det. Lommeregneren kan også brukes pedagogisk til å utforske og til å forstå nye begreper. Tilsvarende muligheter og begrensninger mener vi åpner seg ved datateknologien. Den omfatter bare så mange flere områder enn tallregning.

1.3.3

Fornyet stoffinnhold

Kan eller bør vi lære et bestemt nytt stoff på et tidligere trinn enn før og med en annen angrepsmåte? Hva med for eksempel statistikk og sannsynlighet? Hva med bestemte funksjoner? En konsekvens av datalæren er at det er lettere å få et første kjennskap til en del matematiske begreper på et tidligere alderstrinn. Ved å utforske et graftegningsprogram ser elevene hvordan ulike funksjoner "ser ut". De kan få erfaringer med andre typer funskjoner enn de lineære, og dermed få et videre og rikere funksjonsbegrep. De kan utforske og bli kjent med at det fins andre interessante funksjoner: kvadratiske funksjoner, bølgefunksjoner, eksponentielle funksjoner, rasjonale funksjoner, polynomfunksjoner og så videre. Vi tror at skolens matematikk bør utnytte dette. Elevene ser at datamaskinen gir redskaper i matematikken til å studere aktuelle tema, interessante problemstillinger i naturen og samfunnet. Eksempler kan være periodiske fenomener i naturen, som tidevannet eller solas høyde på himmelen, det kan være fenomener fra geografi, som folketall og aldersfordeling i ulike land og verdensdeler, det kan omhandle mat og ernæring, forurensning eller helsespørmål. Lommeregner og datamaskin gir på denne måten en ny mulighet til å bruke realistiske data, slik at elevene kan lære om andre livsområder og fag også i matematikktimene.

11

1.4 Internett i matematikkundervisningen Et internett er en stor samling av datamaskiner, mange lokale datanett, som er koblet sammen slik at det er mulig å kommunisere elektronisk. Det fins ingen enkelt eier, men hver informasjonsleverandør har ansvar for sin del, publiserer informasjoner og tilbyr tjenester. Internett i bestemt betydning er en samling tjenester i et verdensomspennende nett, hvor World Wide Web (forkortet Web), på norsk også kalt verdensveven, er den mest kjente. Web-teknologien, som ble tilgjengelig i 1992, har gjort informasjon og tjenester på Internett lett å bruke for alle. Internett har vært i bruk i universitets- og forskningsmiljø siden begynnelse av 70-årene, men først 20 år senere ble det åpnet for kommersiell bruk og tilgjengelig for alle.

1.4.1

Hva er web?

Web er et globalt hypertekst system, med pekere (linker eller hyperlenker) som kobler sammen sider slik at vi kan "surfe" fra den ene til den andre. Et klikk med musa på en hyperlenke, som kan være uthevet tekst eller et bilde, er nok til å få opp ei ny webside. Andre aktuelle tjenester i Internett er elektronisk post (epost), filoverføring (ftp) og nyhetsgrupper (diskusjoner). Vi kan få forbindelse med Internett via et lokalnett eller fra egen datamaskin via telefonlinje, med modem eller ISDN-kort i maskinen. I tillegg trenger vi programvare, en webleser (Web browser). De mest vanlige weblesere, for eksempel Netscape og Internet Explorer, kan også brukes til epost, til å lese nyhetsgrupper eller til å hente ned filer fra websider.

1.4.2

Hva finner vi på web?

Det finnes enorme mengder informasjoner tilgjengelig på Internett, presentert på websider fra offentlige institusjoner, universiteter, skoler, organisasjoner og firma som ønsker å selge sine varer. Det er også mulig å bestille varer og utføre andre tjenester via Internett, og dette ser ut til å være et voksende område. På websider finner vi dagsaktuell informasjon i form av aviser og annen nyhetsformidling, offentlige meldinger fra Stortinget og departementene. Vi finner statistikker fra Statistisk Sentralbyrå i Norge og tilsvarende institusjoner i andre land. Ordbøker, ordlister og andre oppslagsverk er tilgjengelige. Vi kan søke i biblioteksbaser etter informasjoner om bøker og tidsskriftartikler. På egne skolesider kan vi finne ressurser for lærere og elever, fagplaner, demoprogrammer eller undervisningsopplegg. De siste fagplanene for grunnskolen, L97, og for videregående skoler, R94, legger vekt på problemorientert og prosjektorientert undervisning. Web kan være en god ressurs å bruke i denne sammenheng, langt på veg erstatte andre oppslagsverk og være en kilde med ressurser både for lærere og elever.

Vi kan se på Web som et stort oppslagsverk, men vi trenger å vite litt om de aktuelle kildene og hvordan vi finner fram til dem. I mange tilfeller vil web-sider gi informasjoner om andre sider som kan ha interesse og pekere videre til disse. Men Web er i stadig forandring, og adresser kan bli byttet ut. Løsningen kan være søking

12

på bestemte emner eller stikkord ved hjelp av søkemaskiner og/eller metaindekser. En søkemaskin er ei webside der vi kan skrive inn ord som det skal søkes på. Problemet er ofte at det blir svært mange treff - det er vanskelig å definere søket, ved å gi passende søkeord eller kombinasjoner av søkeord. Derfor kan det også være nyttig å kjenne noen gode websider med pekere videre for den som vil lete etter mer. Et utvalg av slike aktuelle webadresser fins i kap 6.5.

På en del websider finner vi programvare som kan hentes ned. Det kan være demoprogrammer, gratis programvare (freeware) eller "Shareware" som forutsetter at brukeren betaler et bidrag etter at hun har prøv det en tid. For eksempel finner vi demoutgaver av programmer hos Nasjonalt læremiddelsenter, og flere utgaver av Logo kan hentes fra USA.

Noen websider er interaktive, det vil si at brukeren taster inn sine informasjoner eller kommandoer og ber om et svar. Vi finner det i søkemaskiner, og når vi bestiller varer. Slike websider ser ut til å bli mer aktuelle. Etterhvert kan vi få mer programvare som kjøres via Internett, slik at brukeren ikke trenger å ha kopi av programmet på sin egen maskin. For eksempel arbeides det med en utgave av Logo som kjøres slik, og et annet sted finner vi animasjoner i geometri. Programmeringsspråket Java og Java Script er utviklet spesielt med tanke på å lage slike interaktive Internett-programmer.

1.4.3

Web i matematikkundervisningen

I det følgende ser vi spesielt se på noen muligheter Web gir for matematikkundervisningen: På Skolenettet, http://skolenettet.nls.no, fins det egne fagsider i flere fag, bl a matematikk. Her kan vi finne tips og forslag til undervisningsopplegg med bruk av IT i matematikk. Det er også muligheter for spørsmål og diskusjoner om faget. Via Skolenettet kan vi gå videre til Nasjonalt Læremiddelsenter, der vi kan finne fagplanene for matematikk og deres katalog over programvare. Det er mulig å hente ned demoversjoner av en del programvare.

Liknende fagsider finner vi også andre steder, både i Norge og i andre land. Det fins flere undervisningsinstitusjoner og matematikklærerforeninger som er aktive på dette området. (Se kap 6.5) Vi kan finne informasjoner om forskningsprosjekter som gjelder matematikk, for eksempel TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) og KIM (Kvalitet i Matematikkundervisningen), en stor samling undervisningsopplegg og ressurser, eller pekere til andre kilder. Et interessant tiltak for elevene er for eksempel Ask DrMath, som fins på web-sidene til The Math Forum. Her stiller elevene spørsmål om matematikk og en gruppe eksperter svarer. Andre web-sider har matematiske problemer for elevene. For eksempel finner vi "geometry problem of the week" og oppgaver for elevene på matematikksidene til Høgskolen i Telemark.

Statistisk Sentralbyrå (SSB) har egne sider som presenterer statistiske data. Statistisk årbok for 1996 er tilgjengelig, og filer med data for Excel regneark (xls-filer) kan hentes ned. Så kan filene åpnes i Excel og bearbeides videre. Deler av en regnearktabell kan kopieres over til et nytt regneark, bearbeides videre med beregninger og grafer. Resultater kan så kopieres over til tekstbehandling og gå inn i

13

f eks en prosjektrapport om emnet. Slik kan data fra websider brukes sammen med standard programvare i matematikk og i prosjektorientert undervisning. På websidene til SSB finner vi også pekere til statistikker fra andre land. Informasjoner fra andre institusjoner og forskjellige firma kan også være aktuelle for matematikk, for eksempel statistikker og valutakurser fra bankene, reiselivsinformasjon med rutetider, avstander og priser, priser på varer og så videre. For lærere som ønsker å holde seg oppdatert, fins det også muligheter til å ta kurs, korte eller lange, via Internett. Mye kan vi også lære ved å utnytte søkemulighetene som fins på Internett og jevnlig følge med på noen websider for matematikkundervisning.

1.5

Praktisk organisering og forberedelse

For å utnytte datateknologi som støtte i undervisningen, er det nødvendig med planlegging og forberedelse. Datamaskiner og programvare må passe inn i en sammenheng og må være tilgjengelig når de passer inn i undervisningen. Det er flere praktiske hensyn å ta i denne sammenhengen.

1.5.1

Organisering av undervisningen

Datamaskinen kan brukes som elektronisk tavle i klasserommet eller for en mindre gruppe elever. Under arbeidet med funksjoner kan vi få bruk for å tegne opp mange eksempler, diskutere med klassen og raskt tegne nye grafer. Med tradisjonell tavletegning tar dette lang tid og blir ofte unøyaktig. Med datamaskinen kan vi simulere sammenhenger som er vanskelige å få illustrert på annen måte. Vi kan utføre forsøk raskt, som vil ta for lang tid å gjøre i lange serier med konkrete hjelpemidler eller med papir og blyant. Det fins også programmer som gir utforskingsoppgaver som kan være gode utgangspunkt for diskusjoner i klassen. Datakroken er blitt vanlig organisering av maskinbruken på skolene. Små grupper på to-tre elever arbeider sammen ved datamaskinen. To-tre maskiner kan være plassert i et grupperom ved siden av klasserommet, eller i en egen datakrok i klasserommet. Elevene går etter tur, enkeltvis eller to-tre sammen, til maskinene og arbeider med et dataprogram. I et opplegg med ukeplaner, vil dette være en organisering som gir variasjon i arbeidet og gjør det mulig å utnytte få maskiner.

Dersom vi har tilgang til et eget datarom med flere maskiner, kan det være aktuelt å la hele eller halve klassen arbeide samtidig ved maskinene. Da vil læreren kunne gi en samlet innledning før arbeidet og en oppsummering til slutt. Men også i denne situasjonen vil det ofte være bedre at elevene arbeider i grupper enn enkeltvis slik at de lærer seg å diskutere problemene som oppstår.

Etter hvert bør datamaskinene bli et naturlig hjelpemiddel i matematikk som i andre fag. Det bør være datamaskiner tilgjengelig i klasserommet eller i nærheten. I et bibliotek eller mediatek kan datamaskiner være tilgjengelig også når elevene arbeider med lekser utenom undervisningstiden. Det kan være naturlig at en datamaskin i mediateket har tilgang til Internett. Da kan det bli slik at elevene også selv kan velge når de vil bruke datamaskinen for å trene ferdigheter, løse problemer eller finne

14

I

informasjoner på Internett. Slik kan bruken av datamaskiner også lett integreres i tverrfaglige prosjekt, der det er aktuelt å bruke tekstbehandling, lage budsjettoversikter og statistikker på regneark, hente informasjoner fra internett eller bruke andre aktuelle programmer.

1.5.2

Lærerens forberedelse

Det er viktig at læreren tar seg tid til å gå gjennom programmene som elevene skal bruke. I mange programmer vil det være innstillingsmuligheter som kan brukes for å tilpasse programmet. Det kan være valg av tallområde, regningsart og nivå eller det kan være bruk av farger og lyd. Nyere programmer er som regel brukervennlige og robuste, slik at det ikke er særlige problemer med å finne ut av hvordan de virker. Men for å kunne utnytte mulighetene er det viktig å bli kjent med hvordan de passer i en pedagogisk sammenheng. Dette kan være tema for samarbeidstimer eller etterutdanningskurs for lærerne, der metodiske opplegg og programvare diskuteres.

1.5.3

Orden i systemet

De fleste lærere trenger ikke mye teknisk kunnskap for å komme i gang med datamaskiner i matematikkundervisningen. Den pedagogiske forberedelsen bør få større plass enn den tekniske. Men det vil som regel også oppstå mindre tekniske problemer, og nye program skal installeres. Dette er det lurt å samarbeide om ved en skole eller innen kommunen, og overlate de mest tekniske forberedelsene til en edbveileder eller lærer som har dette som spesielt ansvar. Det kan være en god hjelp å lage en egen meny for elevene for bruk av maskinen, slik at de selv lett kan starte de programmene som skal brukes. Det fins flere menyprogram som kan brukes for å ordne dette på en enkel måte. Håndbøker og tekniske bruksanvisninger bør være tilgjengelig i et lærerbibliotek.

15

16

2 Redskapsprogrammer I dette kapitlet gir vi en mer detaljert beskrivelse av de viktigste redskapsprogrammene vi møter i skolen. Vi ser pa hva som karakteriserer de ulike programmene og hvilke muligheter og begrensninger de gir oss i undervisningen.

2.1 Regneark 2.1.1 Hva er et regneark? Vi ønsker å lage et budsjett for kommende år og har behov for å lage en oversiktlig oppstilling over utgiftene. Det kan bli nødvendig å forandre på noen av beløpene og regne gjennom flere ganger hvis noen av utgiftspostene må justeres. Dette og liknende oppgaver passer godt å løse på regneark. Det gjelder tilfeller der det er mange talloppstillinger og beregninger eller der et regnestykke bygger videre på andre tall eller betingelser. På et regneark kan vi skrive inn tekst, tall og formler slik at alle beregninger oppdateres automatisk.

Regnearket kan vi tenke oss som et stort rutenett. I rutene (cellene, feltene) kan vi skrive inn tekst, tall eller formler, og vi henviser til ei bestemt rute på samme måte som i et sjakkbrett: ved å bruke bokstaven for kolonne og tallet for linje. Vi kan flytte markøren fra rute til rute med piltastene eller peke med og klikke på musa.

Eksempel: Et regnskap

Vegard vil kjøpe seg nytt skiutstyr. I butikken er det nå 5 % rabatt på alle varene, men han får tilbud om rabatt på 15 % hvis han kjøper for mer enn 3 000 kr. Moms på 23 % er ikke medregnet i prisene.

Vegard lager følgende oppstilling på regnearket:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

B

A Skiutstyr for Vegard

Langrennski med bindinger Staver Skistøvler Skidress Skismøring

C

2 200 300 800 1 500 250

Sum Rabatt Nettopris Moms Å betale

17

Her er det skrevet inn tekster i rutene Al, A3, A4 og videre nedover. Tallene som det skal regnes på, står i rutene C3 - C7. Summen skal stå i rute CIO. For å beregne denne, skriver vi inn formelen =SUMMER(C3:C9) i ruta. Da har vi også tatt med de tomme rutene C8 og C9, i tilfelle Vegard bestemmer seg for å kjøpe flere varer. Så lenge det ikke står noen tall der, blir de ikke regnet med i summen. Nettopris må bli sum minus rabatt, og i C12 skriver vi ved formelen =C10 - Cll. Moms regnes av nettopris: =C12*23/100 og i C14 kommer endelig pris: =C12+C13. Da har vi bare igjen å finne uttrykket for rabatten, som er betinget av om summen CIO > 3 000. Her har vi altså en betingelse, og til dette bruker vi en HVIS-setning i Cll: =HVIS(C10> 3000; C10*0,15; C10*0,05)

Når vi har skrevet inn formelen i ei rute, kommer resultatet av beregningen automatisk fram på skjermen. I et meldingsområde øverst eller nederst på skjermen kan vi samtidig se hvilken formel som er lagt inn i ruta. Flytter vi markøren til andre ruter, får vi se innholdet der. Så finner Vegard ut at han vil kjøpe mer - en tursekk til 700 kr og en termos til 200 kr. Dette er det plass til på linjene 8 og 9. Det er også mulig å sette inn ekstra plass etter at oppstillingen er laget. Hvis vi setter inn nye ruter i et område foran formlene, vil disse automatisk bli justert slik at regnestykket virker som før.

Vi ser av eksemplet at noen formler bygges opp med vanlige regnetegn, der * er multiplikasjon og / er tegn for divisjon. SUMMER(...), eller X på verktøylinja, er en funksjon som tar ei liste med ruter og summerer innholdet i dem, i vårt tilfelle alle ruter fra og med C3 til og med C9. Dagen etter ser Vegard at en annen butikk også har gode tilbud på skiutstyr, og han vil sjekke hva prisene og totalregningen blir der. Da markerer han hele området C3:C14 med tall og formler, og kopierer det til ei kolonne lenger til høyre, kolonne D. Formlene vil bli tilpasset den nye plasseringen. Nå kan han sette inn nye tall i D-kolonnen og foreta sammenlikninger.

Regnearkoppstillingen kan lagres og hentes fram igjen, og vi kan ta utskrift av hele eller deler av oppstillingen. Slik kan vi arbeide videre med oppgaver seinere.

I Regneark som redskap

Det er mange liknende problemstillinger som passer for regneark, for eksempel budsjett for skoleturen, innkjøpsliste for idrettslaget, bilbudsjett og beregning av skatt når nødvendige opplysninger fra selvangivelsen er gitt. Oppstillinger som krever forklarende tekster, som vurdering av utgiftsposter eller andre størrelser som inngår i beregningen, passer godt for regneark. Vi kan også føre opp statistiske opplysninger og lagre dem for så å hente fram igjen regnearket når flere data skal noteres. Det kan være motiverende for elevene at det nå er lett å få til en ryddig oppstilling som kan skrives ut på papir.

2.1.2 Flere regneark — redigeringsmuligheter De første regnearkene kom i 1979, og det fins nå mange forskjellige på markedet. De vanligste er Excel, Plan Perfect, Claris Works og Lotus 123. Eksemplene her er gitt

18

i Excel, men det er bare små forskjeller til andre regneark. Det kan være formler som skrives annerledes, det veksles mellom komma og punktum som desimaltegn, og det kan være forskjell i måten å redigere på. De bærende prinsippene er likevel like. Alle formler må begynne med = og bygges opp videre med rutehenvisninger, regnetegn og funksjoner. SUMMER(...) og andre funksjoner kan limes inn fra ei liste under Formel-menyen. Skulle det bli feil i skrivemåten, vil vi få feilmeldinger som #NAVN?, FEIL eller liknende. For å lette innskriving av formler er det mulig å peke på rutene som skal brukes isteden for å skrive referansene. Vi kan skrive =, peke på A2 og klikke, skrive + og peke på B2 og klikke og avslutte med entertasten for å lage formelen =A2+B2. Summering av kolonner gjøres enkelt med et klikk på ikonet Z. Vi får forslag til område som skal summeres, og kan eventuelt markere et annet om nødvendig.

Det er flere redigeringsmuligheter som gjør oppstillingene lette å lese. Vi kan bestemme kolonnebredder, antall desimaler, hvorvidt tall skal vises som heltall eller desimaltall, og hvordan innholdet skal være justert i rutene. Det er også mulighet til å kopiere og flytte på innhold i enkelte ruter eller områder av regnearket, og vi kan skrivebeskytte områder for å hindre andre i å skrive inn nye informasjoner eller tall. I denne boka legger vi vekt på pedagogisk bruk av regneark i matematikk­ undervisningen. De viktigste prinsippene og mulighetene i bruk av regneark kommer fram gjennom eksemplene nedenfor og i arbeidsoppgavene i kapittel 4.

2.1.3 Elevenes møte med regneark Det er viktig at elevene får forståelsen av at de ikke skal utføre beregningene selv, men at de må planlegge hva programmet skal gjøre for dem, og at de må skrive inn formlene. Her er variablene ruter i regnearket, og formlene henviser til rutene. Innsetting av verdier for variabler er det samme som å sette inn tall i bestemte ruter som formlene henviser til. På denne måten kan variabelbegrepet få et mer konkret innhold for elevene. Metoden med å peke på rutene kan gi en mer intuitiv tilnærming, gjøre det enklere for elevene enn å skrive formler direkte. De trenger ikke tenke på hvordan vi henviser til rutene med bokstav og tall, men de vil se at rutereferansene kommer fram når de velger ruter i formlene. En del enkle utforskingsoppgaver gir elevene trening i å skrive inn formler i et regneark. Vi behøver bare å kjenne de enkleste mulighetene for å kunne lage utforskingsoppgaver på regneark der elevene selv skal tolke, vurdere og foreslå løsninger. Det er gunstig om elevene kommer raskt i gang med praktisk bruk av regnearket. Seinere kan de få oppgaver som utnytter flere av regnearkets muligheter, som bruk av HVIS-setning, kopiering og liknende. Med passende oppgaver kan elevene få en innføring i regneark samtidig som de arbeider med matematiske problemstillinger. Det er også mulig å hente inn halvferdige oppstillinger som vi vil at elevene skal arbeide videre med. Slik kan vi unngå en del tekniske vansker i starten og styre elevene direkte mot de problemene vi ønsker å fokusere på, for eksempel trening i å bygge opp bestemte typer formler, studere tallmønstre eller løse mer vanlige treningsoppgaver som går på ferdigheter.

19

2.1.4 Tallmønster - kopiering av formler Vi skal lage en oppstilling som viser de naturlige tallene. I stedet for å skrive inn tall fortløpende kan vi la regnearket gjøre jobben: I Al skrives 1, i A2 skrives formelen =A1+1, i A3 formelen =A2+1, og slik fortsetter det: A 1 2 3 4

B

1 =A1 + 1 =A2+1

For å gjøre tabellen lengre, kan vi kopiere formelen nedover så langt vi ønsker, og tallene kommer automatisk fram. Formelen i hver av rutene nedover blir justert slik at mønsteret hele tiden er det samme. Hver gang adderes 1 til tallet over.

Ønsker vi også å finne alle oddetall? Skriv 1 i rute Bl, formelen =Bl+2 i rute B2, og kopier B2 nedover. På skjermen får vi da tabell over naturlige tall og oddetall ved siden av hverandre:

1 2 3 4 5

A 1 2 3 4

B 1 3 5 7

C

Teknikken med å bygge opp et mønster av formler som kan kopieres nedover, kan brukes i mange sammenhenger. Når formler kopieres, vil henvisninger til rutene bli justert slik at mønsteret blir som før. Vi har en relativ henvisning - en henvisning i forhold til den ruta henvisningen skjer fra. Henvisningen i rute A2 til Al er egentlig en henvisning til ruta over.

I noen tilfeller ønsker vi ikke en slik justering, men en fast henvisning til ei bestemt rute. Dette kan ordnes ved å gi ruta et navn og så bruke dette videre i formler. Det kan også ordnes med en ekstra markering i rutebetegnelsen i henvisningen, for eksempel vil $C$3 bety en fast henvisning til C3 - en absolutt henvisning.

Eksempel: Sparing eller nedbetaling av lån

Et sentralt eksempel har vi i regelmessige innbetalinger til en bankkonto. Det kan gjelde sparing eller nedbetaling av lån. Vi ser på følgende eksempel:

Vi skal betale ned et lån på 200 000 kr og har 7,5 % i årlig rente. Renten beregnes etterskuddsvis og betales to ganger i året. Vi ønsker å se på størrelsen på terminbeløpene. Rentefot og lånebeløp settes inn i ruter øverst på regnearket, og så skal oppstillingene nedenfor vise hvordan det går med saldoen på lånet og terminbeløpene.

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c A B Beregning av terminbeløp og restlån Lånebeløp: Antall år: Termin nr 0 1 2 3

Renter

D

200 000 20

Rentefot:

Avdrag

Terminbeløp

E

7,5

Restlån 200 000

Her trenger vi fast henvisning til rentefot og gir rute E3 navnet refot. Avdragene skal være like, mens renta varierer. Vi kan regne avdrag etter formelen =C3/C4/2 i rute C8 og så sette C9=C8, C10=C9 osv. Rente etter én termin blir da =E7*refot/200 i rute B8, videre =E8*refot/200 i rute B9, og fordi refot er fast henvisning, kan formelen kopieres nedover. Vi ser at når de første linjene i tabellen er bygd opp, kan vi få resten ved å kopiere nedover. En grafisk framstilling kan ofte si mer enn mange ord. Vi kan markere området med renter og avdrag, B8:C27, og velge grafisk framstilling, stolpediagram, eventuelt med stablede stolper. Da får vi en illustrasjon som viser utviklingen:

Vi kan så undersøke: Hvordan går det med et lån på 160 000 kr med en rente på 7 %? Hvor mange år må vi bruke hvis terminbeløpene ikke skal være større enn 12 000 kr? Med den oppstillingen vi nå har laget, er det nok å forandre på tallene i linje 3 og 4 for å få utregnet hele tabellen. Slik kan vi eksperimentere med regnearket og løse mange beslektede oppgaver. Når først et slikt dokument er laget på regnearket, gir det et fleksibelt og anvendelig redskap.

21

En liknende oppstilling kan lages for sparing. Sparebeløp legges til ved hver innbetaling, en eller flere ganger i året, og renten beregnes ved slutten av året. Ved å forandre litt på oppstillingen med etterskuddslån, slik at det bare er én termin per år, og bruke negative tall, kan det samme mønsteret brukes både for sparing og for lån. Saldobeløpet kan være negativt eller positivt og tolkes henholdsvis som gjeld eller oppspart kapital.

Metoden kan også brukes på annuitetslån. Her er utgangspunktet at terminbeløpet, altså avdrag pluss renter, skal være fast. Avdraget for hver termin bestemmes da ut fra hvor mye som går til rente. Lånesaldo = forrige lånesaldo - avdrag. Med disse forutsetningene kan vi på bakgrunn av gitt lånekapital, terminbeløp og rentefot beregne en tabell som viser utviklingen av renter, avdrag og lånesaldo. For eksempel: Hva blir terminbeløpet per halvår for et annuitetslån på 200 000 kr med 7 % rente og 20 års avdragstid? Hvor mange år må vi bruke for å betale ned lånet hvis vi vil ha 15 000 kr som terminbeløp?

Eksemplene viser at regneark gjør det mulig å bruke en ny angrepsmåte på problemene. De grunnleggende sammenhengene er enkle og bygges opp i små trinn, og så kan vi eksperimentere med oppstillingen for å løse oppgavene. Før var det vanlig å bruke geometriske rekker for å løse slike oppgaver, og det var derfor ikke aktuelt stoff i ungdomsskolen. Med nytt verktøy får vi nye muligheter. Se arbeidsark 25-28.

2.1.5 Rekursjon Tallmønstrene i forrige avsnitt er bygd opp slik at tall i ei linje bygger på tall i linja foran. Dette er en vanlig uttrykksmåte i matematikken og kalles rekursjon. Forandringen i eksemplene her uttrykkes i form av et tillegg, en faktor eller kombinasjoner av dette. Et oddetall er lik oddetallet foran pluss 2, eller uttrykt ved den rekursive formelen: O(n) = O(n-]) + 2. Oddetallene kan også uttrykkes direkte: Oddetall nummer n er O(n) = 2n - 1.

Aritmetiske rekker lages ved å addere et fast tall, d, mens geometriske rekker lages ved å multiplisere med en fast faktor, k. Slike tallrekker lar seg lett lage med rekursive formler: A(l) gitt G(l) gitt A(n) = A(n-\) + d, G(n) = G(n-l)- k. Med direkte formler blir det: A(n) - A( 1) + (/z-1 )-d og G(n) = G(1 )-kn~^

Det kan være en fin øvelse for eleven å finne og beskrive slike sammenhenger ut fra gitte tallmønstre og teste at de virker på regneark. For andre tallrekker er det ikke så enkelt å finne en direkte formel. Det gjelder for eksempel for fibonaccitallene. De starter med 1, 1,2, 3..... og fortsetter slik at neste fibonaccitall alltid er summen av de to foran: F(l) = F(2) = 7 Ffi) = F(n-l) + F(n-2) for n = 3, 4, 5, ...

Likevel er det enkelt å lage en tabell over slike tall. Vi ser at rekursive sammenhenger passer godt i beregninger på regneark. Når det grunnleggende mønsteret er laget, kan vi få så lang tabell som vi ønsker ved å kopiere nedover.

22

Mange matematiske modeller i økonomi, biologi og andre fagområder kan uttrykkes rekursivt. Vi skal se på et eksempel fra biologi.

Eksempel: En dyrepopulasjon Elgbestanden i en bestemt landsdel var i 1985 anslått til ca. 40 000 dyr. Årlig netto tilvekst er på 5 %, og det skytes årlig 1000 dyr. Vi bruker disse anslåtte størrelsene til å lage en prognose for utviklingen av bestanden. En enkel modell for å beregne elgbestanden videre, kan settes opp på en liknende måte som for etterskuddslånet foran:

P(1985) = 40 000

P(n+/) = F(n)-l,05- 1000

for n = 1985, 1986,...

Det er en vekstmodell med en fast årlig tilvekstfaktor på 1,05, eller en netto vekstrate på 0,05, og en fast årlig avgang. Nå viser det seg at dette ikke gir en god beskrivelse av dyrebestanden over et lengre tidsrom. Andre forhold spiller også inn, spesielt når tallet på dyr øker. Det er begrensede matressurser, og ved stor dyretetthet blir det lettere sykdommer. Det er derfor ønskelig å forbedre modellen. En annen, forbedret modell sier at populasjonen ett år er lik populasjonen året før pluss tilveksten, der tilveksten avhenger av tilvekstfaktor (netto vekstrate g gitt som desimaltall) og av bæreevnen for miljøet der dyra lever (næring, rom, beite, miljøfornyelse mm). Først: Se bort fra jakt. Sett at M er det maksimale antall dyr som miljøet kan bære i en stabil tilstand. Sammenhengen kan da beskrives ved formelen

F(n + l) = (l+g)P(/i)--^i

- den såkalte logistiske modell. Etterpå kan vi vurdere hvordan modellen beskriver elgbestanden avhengig av hvor mye det tillates jaktet. Vi kan tenke oss to muligheter: at det tillates felt en fast kvote hvert år, eller alternativt en fast prosent av antatt bestand. Regnearket kan da se slik ut:

B ______ A_______L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19

B

1

C

I

D

1

E

Elgbestand 1985 - 1995 Vekstrate i % Bæreevne Start populasjon

mi

5 55000 40000

Fast jakt ant. dyr Jakt i %

3000 3

År Populasjon uten jakt Fast jakt Prosentvis jakt 1985 40 000 40 000 40 000 1 986 40 545 37 545 39 345 1987 41 078 35 141 38 725 1 988 41 598 32 776 38 136 1989 42 105 30 438 37 577 1990 42 599 28 1 17 37 045 1991 43 079 25 805 36 538 1 992 43 546 23 490 36 055 1993 43 999 21 162 35 594 1 994 44 439 18 813 35 155 1 995 44 866 16 432 34 734 M.9A6,. 4^ 27Q ... .............. 1.4008.,................ 34.3.32

23

❖0

Her har vi satt navn på de rutene der vi har tall: vekstrate (i prosent) og bæreevne (i antall dyr). Populasjonen for 1985 er lik startpopulasjonen, B8=B5. Videre får vi i B9 den rekursive formelen: =(1 + vekstrate/100)*B8 - vekstrate/100*B8A2/bæreevne Denne kopieres nedover. For å få med en kolonne for årstall setter vi 1985 i rute A8, og så kan vi bruke =A8+1 i rute A9 og kopiere dette nedover.

Vi kan nå undersøke og lage prognoser: Hvordan går det med elgbestanden om det skytes 1000 elger per år? Hvor mange vil det være rimelig å skyte for å holde bestanden over 30 000? Kanskje vi heller skulle felle en viss prosent av elgbestanden per år? Vi utvider modellen slik at vi kan studere disse mulighetene.

Rutene som inneholder de nye tallene, antall elger som skytes, og prosent av elger som skytes, får navn henholdsvis jakt og jaktprosent. Formlene for de to nye kolonnene blir nesten lik den vi har foran. D8=B5 og E8=B5 og videre i kolonne D: D9=(l+ vekstrate/100)*D8 - vekstrate/100*D8A2/bæreevne - jakt. For kolonne E - med en fast fellingsprosent - blir formelen tilsvarende: E9=(l+ vekstrate/100)*E8 - vekstrate/100*E8A2/bæreevne - jaktprosent/100*E8 Nå kan vi prøve ut modellen og vurdere hvordan vi best skal beregne hvor mange dyr som skal tillates felt fra år til år. I virkeligheten arbeider viltnemnda i et fylke med en langt mer komplisert modell der de tar hensyn til hvor mange elger som observeres av jaktlagene, hvor mange som felles, hvor mange som blir påkjørt av toget og liknende. De tar også hensyn til den antatte aldersfordelingen i elgstammen.

2.1.6 Statistikk og oversikter Bruk av tabeller med tall kombinert med grafikk gjør det lett å bruke regnearket til å lage statistiske oversikter og grafiske framstillinger av tallene. Vi kan velge ulike diagrammer som stolpe-, sektor- eller linjediagram, men vi må selv vurdere hva som best illustrerer tallmaterialet vårt. Regnearket gjør arbeidet raskt og effektivt, men hvis vi velger feil tallgrunnlag eller bytter om aksene i illustrasjonen, vil det kunne bli helt feilaktige og misvisende framstillinger. Følgende illustrasjon viser en tabell over temperaturer og temperaturkurver:

24

Regnearket har også en del statistiske funksjoner som kan være aktuelle å bruke, som MIN(...), STØRST(...) og GJENNOMSNITTG. .). Vi finner disse i ei liste når vi i menyen velger å lime inn (sette inn) en funksjon.

2.1.7 Funksjoner Utregning av tabeller over funksjonsverdier når funksjonens formel er gitt, går etter samme mønster som omtalt foran. I en kolonne kan vi plassere x-verdier, i neste kolonne funksjonens formel, for eksempel 3x - 2.

1 2 3 4 5

A X 1 =A3+1

B Y

C

=3*A3-2 =3*A4-2

Når de første linjene er klare, kan tabellen lages videre ved å kopiere nedover. Også her er det mulig å få en grafisk framstilling. Vi markerer området A3:B17 og velger i menyen grafisk framstilling, punkt, og xy-diagram.

Dersom vi ønsker å studere funksjoner mer detaljert, kan det være aktuelt å se tabellen med kortere steg mellom x-verdiene, for eksempel 0,5 eller 0,1. Denne størrelsen, stegx, og den første x-verdien, startx, kan også plasseres i egne ruter slik at de lett kan forandres. Da kan vi forandre på startverdi og steg for x-ene i tabellen og straks se hvordan dette slår ut i funksjonstabellen og på den grafiske framstillingen. Dette gir mulighet for å kombinere numerisk og grafisk løsning av likninger direkte i regnearket.

Det er også mulig å tegne flere funksjoner i samme diagram og så studere skjæringspunkter, ulikheter, maksimums- og minimumsproblemer og liknende. Flere eksempler på dette er gitt i "2.5 Algebra - likningsløsning." Se også arbeidsark 17 og 18.

25

2.1.8 Simulering og opptelling I sannsyniighetsregning gjør vi ofte forsøk, for eksempel å kaste to terninger og se på summen av øynene. Da kan vi undersøke spørsmål som: Hvor sannsynlig er det å få sum lik 8? Med regneark kan vi også simulere slike forsøk ved hjelp av tilfeldige tall. Funksjonen TILFELDIGQ gir et tilfeldig desimaltall mellom 0 og 1. Tilfeldige tall betyr at vi ikke vet på forhånd hvilket tall som trekkes ut, men at alle desimaltall (med et visst antall desimaler) i området 0 - 1 har samme sjanse til å komme ut. Kombinert med heltallsfunksjonen får vi da hele tall fra 1 til 6 ut av følgende formel: =1 + HELTALL(TILFELDIG()*6). Gjør vi mange forsøk, vil oversikten vise en jevn fordeling mellom utfallene 1,2, 3, 4, 5 og 6. Det er nettopp slik vi forestiller oss et terningkast. Denne formelen kopieres så mange ganger vi ønsker å gjøre forsøk i kolonne C og D - en kolonne for hver terning, og så kan vi regne summen i en tredje kolonne.

Vi kan også få regnearket til å foreta opptelling. Hvis vi har 100 forsøk med resultat i kolonne D i området D4:D103 vil vi kunne få en frekvenstabell ved å bruke en matrisefunksjon, ={FREKVENS(D4:D103; F5:F15)}. De aktuelle utfallene, 2, 3, ..., 12 er satt inn i F5:F15. For å legge inn denne matriseformelen der vi vil ha frekvensene, må vi først markere området G5:G15, så skrives formelen inn og avsluttes med samtidig trykk på de tre tastene i Excel for Windows. Det tilsvarende i Excel for Macintosh er: . I Plan Perfect brukes en annen metode for opptelling. Følgende formel teller antall tilfeller med sum lik 8: ANT(UTVALG(D4:D103; CELLE = 8))

Kanskje ønsker vi en grafisk framstilling av frekvensfordelingen? Da markerer vi området med utfall og frekvenser og velger i menyen grafikk og stolpediagram med første kolonne som x-verdier. Et nytt trykk på kalkuler (funksjonstast F9) gir 100 nye forsøk. I Excel får vi se hvordan alle enkeltutfall forandres, og både frekvenstabell og diagram oppdateres.

26

2.1.9 Flere muligheter Det fins mange flere funksjoner og redigeringsmuligheter i regnearket enn de som er nevnt i denne korte omtalen. Men det er ikke nødvendig å kjenne alle mulighetene for å kunne bruke regnearket. Det viktigste er å forstå forskjellen på å skrive inn tekst, tall og formler. Dersom det blir syntaksfeil i en formel, vil det vises som tekst på skjermen. Blir det problemer med beregningen, kommer det ??? eller en annen, liknende melding.

Det er mulig å lage svært store oppstillinger. Vi kan redigere innhold i ei rute, sette inn eller slette linjer og kolonner, kopiere eller flytte deler av oppstillingen eller hente inn oppstillinger fra diskett. Det er også mulig å koble sammen flere regneark, og arbeidsoperasjoner som utføres ofte, kan lagres som egne prosedyrer eller makroer. En kort oversikt over de vanligste funksjoner på et regneark fins i Vedlegg, kapittel 7.1 .Vi henviser ellers til lærebøker om regneark eller håndbøker for flere detaljer angående spesielle regneark.

2.2 Statistikk Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i følgende fire hovedområder: - innsamling av data - tabellmessige og bildemessige framstillinger - beregninger på grunnlag av data - konklusjoner og tolkinger Det er ønskelig at elevene får et innblikk i hvert av disse områdene, og at de får noe trening i å vurdere statistikk kritisk. Spesielt når det gjelder framstillinger og statistiske beregninger, er et statistikkprogram nyttig. Noen statistikkprogrammet som er aktuelle for skolen, er NSDstat, Mintab og StatExplorer.

Eksemplet nedenfor viser mulighetene et statistikkprogram gir. Vi har brukt programmet Minitab, et program med en relativt lav terskel, men med mange muligheter. Se også arbeidsark 41.

Eksempel: Blodtrykk hos rotter En forsker tester et middel mot høyt blodtrykk. Rotter brukes som forsøksdyr. Etter en bestemt dose av medisinen, måles blodtrykket. Her er resultatene på 50 rotter:

129 94 113 118 112

149 104 112 120 95

124 110 80 129 130

96 89 113 118 100

92 108 130 147 116

94 99 115 90 111

140 95 129 98

85 130 112 101

120 140 99 110

130 104 107 120

80 149 97 108

Disse dataene ønsker vi å framstille mer oversiktlig. Vi lager først et histogram. For å lage det lar programmet oss velge klassenes midtpunkt og bredde, diagrammets start og slutt. Vi prøver med første midtpunkt lik 80 og klassebredde på 10. Det betyr at i den første klassen telles antall x der 75 < x < 85, og slik videre. Programmet regner ut frekvens for hver klasse og tegner selve histogrammet:

27

N =

50

Midpoint 80 90 100 110 120 130 140 150

Vi får nå et godt bilde av hvordan dataene fordeler seg. Vi ønsker også å tegne et boksdiagram og velger det i menyen. Mintab lager dette diagrammet:

■---------- r""

i

i----------

-4----------- I----------- j------- - -- 4

80

100

120

140

En fordel med et boksdiagram er at det illustrerer variasjonsbredden av dataene. Vi ser det største og det minste målte blodtrykket som endepunkter på linjene i diagrammet. Det viser også medianen - det vil si det tallet som deler datamengden i to. Medianen er her omtrent 110. Det viser også kvartilene, som her er ca 98 og 125. Halvparten av dataene ligger inni boksen. Diagrammet gir et fint inntrykk av hvor dataene ligger tettest. Vi ser at 25 % av dataene ligger mellom 80 og ca 98, 25 % mellom 98 og 112, 25 % mellom 112 og 125, og de siste 25 % mellom 125 og 149. Vi ønsker også dataene framstilt ved et stamme-blad-diagram : 2 4 9 15 19 22 (8) 20 16 12 9 5 5 3

8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14

00 59 02344 556899 0144 788 00122233 5688 0004 999 0000

00 799

I en egen kolonne, den venstre, viser Minitab akkumulert frekvens. I kolonnen i midten, på stammen, ser vi tiersifferet. Kolonnen til høyre, bladet, viser enersifferet. Vi ser at tallene, ordnet i rekkefølge, er 80, 80, 85, 89, 90, 92 og så videre. Det viser at fire tall er i størrelse opp til og med 89, og at ni tall er mindre enn eller lik 94. 28

Tilsvarende ser vi i den andre enden av diagrammet. De åtte tallene i midten gjør det enkelt å finne medianen. De to midterste observasjonene er 1 12 og 112, så medianen er også I 12. Dette viser dataene framstilt som tall, men dels også som diagram. Fordelen med dette framfor et histogram er at ingen data forsvinner. Det er ofte nyttig å utføre statistiske beregninger. Vi finner dette i menyen. I Minitab for eksempel, velger vi kommandoen Basis Statistikk i menyen Deskriptiv statistikk. Svaret Minitab gir, er følgende:

N 50

MEAN 111.74

MEDIAN 111.50

TRMEAN 111.30

MIN 80.00

MAX 149.00

Q1 97.50

Q3 125.25

STDEV 17.58

SEMEAN 2.49

Programmet inneholder mer enn de fleste i grunnskolen er interessert i. Det viser bare at programmet kan brukes i videregående skoler, høgskoler og i yrkeslivet.

Eksemplet foran omtaler énvariabel statistikk. Ofte er det meget nyttig å sette sammen to datamengder når tallene opptrer parvis. Enkle eksempler er høyde/vekt hos en gruppe personer, breddegrad/temperatur, energiinnhold på matvarer/pris og areal/folketall i ulike land. I slike tilfeller er prikkdiagrammet spesielt nyttig. Arbeidet med statistikk kan lett knyttes til tverrfaglige opplegg. Elevene kan selv lage spørreundersøkelser, utforme et spørreskjema og legge til rette for en analyse av data fra spørreundersøkelsen ved et statistikkprogram. De får da prøvd ut flere ledd i arbeidet, med å definere klare og entydige spørsmål, vurdere utvalgskriterier og hvordan data skal kodes i et statistikkprogram. I NSDstat, som er et norskutviklet statistikkprogram, kan vi i registreringsdelen bestemme aktuelle tallområder og antall desimaler for numeriske verdier. For ikke numeriske data definerer vi kategorier ved en kort beskrivelse og lar programmet lage tallkodene. Under registreringsarbeidet kan vi så få opp alle kategoribeskrivelser på skjermen. For numeriske verdier får vi kontroll på om dataene er innenfor et gitt område. I analysedelen kan vi få fram de vanlige statistiske beregninger og diagramtyper, som for eksempel histogram, middelverdier, krysstabeller, prikkdiagram og korrelasjonsberegninger. For NSDstat er det også gitt ut egne lærepakker, for eksempel med demografiske data og politisk geografi.

Statistikkprogram gir en god anledning til å bruke realistiske data. Vi trenger ikke tenke på at tallene skal være "snille", men kan hente tall fra virkeligheten. For eksempel kan vi bruke data skaffet fram av Statistisk sentralbyrå, se spesielt publikasjonene Statistisk årbok og Historisk statistikk.

Statistisk Sentralbyrå tilbyr også offentlige statistikker lagret i elektronisk format, levert på diskett eller CD plate. På hjemmesidene til Statistisk Sentralbyrå finner vi orientering om dette. Vi kan også hente filer i Excel format (xls-filer), direkte fra disse Web-sidene ved å klikke på filnavnet. (Se på http://www.ssb.no/aarbok/ ). Flere statistikker her er aktuelle for skolen: om folketellinger, befolkningsvekst, arbeidsmarked, helseforhold, utdanning, sosiale forhold, industri, priser mm. Skolen tilbys dermed et realistisk materiale som elevene kan ta inn i et statistikkprogram og bearbeide. EHer de ferske statistikkene kan hentes inn i regneark, og elevene kan gjøre beregninger og lage diagrammer ved hjelp av regnearket. På denne måten lærer elevene også om andre fag, og matematikk blir en del av denne kunnskapen.

29

2.3 Geometri I geometrien studerer vi figurer og former, mønstre og bevegelser i planet og i rommet. Datateknologien har utviklet hjelpemidler og muligheter langt ut over det som var mulig med papir og fysiske tegneredskaper tidligere.

I geometri har vi noen hovedtyper av programvare. For skolen er konstruksjonsprogrammer særlig aktuelle. Et konstruksjonsprogram gir oss mulighet til å tegne og konstruere figurer i planet eller i rommet, for så å manipulere dem og studere resultatet. Vi kan utforske geometrien på en aktiv måte, eksperimentere og studere geometriske egenskaper ved figurer. Et pedagogisk tilrettelagt konstruksjonsprogram gir store muligheter som et tillegg til klassiske redskaper som papir, blyant, passer og linjal. Grafikkprogrammer av typen Logo er også aktuelle i skolen. Med dem kan vi lage figurer ved hjelp av kommandoer og prosedyrer. Vi styrer ei skilpadde som beveger seg og etterlater seg et spor. Ved et slikt skrivemerke får vi fram mønstre og figurer. Når vi ser på sammenhengen mellom kommandoer og figur, kan vi få en god innsikt i matematikken som ligger til grunn for de ulike figurene.

Det fins også programmer bygd på ideen symmetri. Siden symmetri er et meget sentralt begrep i geometri, i forming, naturfag og en rekke andre fag, kan det være verdifullt for elevene å bruke tid på et slikt program. Det gir gjerne mulighet til å tegne en figur på skjermen. Ved å bestemme på forhånd hvilke symmetrier figuren skal ha, og så tegne ett "grunnområde", avbilder programmet dette området og lager figuren symmetrisk alt etter hvilke symmetrier vi har bestemt at den skal ha. Det gir oss en innsikt i symmetriske figurer og viser tilknytningspunkter mellom forming, design og matematikk. Programmer bygd på ideen formlikhet kan også ha en viss interesse. Poenget med en del slike programmer er at vi kan reprodusere en figur i en målestokk mindre enn 1, og vi kan erstatte en del av figuren med dette forminskede bildet. Ved å gjenta dette kan vi få fram underlige figurer, der en del av figuren er formlik med hele figuren fraktaler. Særlig i nyere tid har en studert dette, blant annet fordi datamaskinen gir unike muligheter, og fordi vi finner mange slike mønstre i naturen.

Programmer som kan tegne i perspektiv, eller som kan tegne tredimensjonale figurer, gir også spesielle muligheter. Det samme gjelder figurer av tredimensjonale objekter generelt. Ved å endre synspunkt, rotere, speile eller forskyve kan vi utforske slike figurer. Det kan gi oss innsikt i å "lese" perspektivtegninger og i å "se i rommet".

2.3.1 Konstruksjonsprogrammer Et konstruksjonsprogram gir mulighet til å utforske geometrien, å eksperimentere og studere egenskaper ved geometriske figurer. Eksempler er: The Geometer's Sketchpad, GeoExplorer, Geometrix, The Geometry Supposer-serien og Cabri géométre. Cabri géométre er utviklet ved universitetet i Grenoble, Frankrike. (Cabri: Gvhier de Ærouillon /nformatique), og er tilknyttet et internasjonalt forskernettverk. Det er oversatt til norsk og har fått navnet Cabri geometri. Andre

30

konstruksjonsprogrammer har de samme grunnleggende mulighetene som Cabri, for eksempel 7 he Geometer's Sketchpad, Geometrix og The Geometry Supposer-serien.

Vi vil se litt nøyere på Cabri. Ved hjelp av dette kan vi tegne grunnleggende geometriske figurer på skjermen - sirkel, rett linje og linjestykke. Som standard kan vi konstruere normal, midtnormal, midtpunkt, parallell, halveringslinje og symmetrisk punkt (om en linje). Disse konstruksjonene ligger som kommandoer på menyene. Vi kan velge hva som skal være tilgjengelig på menyene til enhver tid, for eksempel kan vi ønske å skjule parallell- eller vinkelhalveringskonstruksjonen i starten, slik at elevene må gjøre dette selv ved sirkler og linjer. Når en figur er konstruert, kan den flyttes, forskyves og omformes ved at vi griper fatt i et grunnelement og beveger på det. Figuren bevarer de relasjonene den er konstruert ved, noe som gir spesielle muligheter. En bestemt figur kan dermed oppfattes som representant for en hel klasse, og vi kan se på egenskapene til denne klassen av figurer. Det har ikke vært mulig på samme måte med passer og linjal.

Eksempler

Vi vil studere en trekant og se på de tre vinklene. Følgende utsnitt viser en trekant med målte vinkler. Med musa griper vi et hjørne, flytter på det og observerer hva som skjer med trekanten. De målte vinklene oppdateres. Vi kan undersøke hva som skjer når én av vinklene blir stor, når den blir stump, hvilken som er størst og hvilken minst, hva som skjer om to vinkler er like osv. Vi kan også se på summen av dem.

Vi kan velge å undersøke en trekant, der de tre høydene er konstruert, og få fram relasjoner mellom høydene. Vi ser at de går gjennom samme punkt. Når vi beveger et hjørne, endres trekanten, men de tre høydene er fremdeles høyder - normalt på motstående side. Vi merker oss at de fremdeles går gjennom samme punkt.

Med passer og linjal begrenses gjerne en slik undersøkelse til en eller to figurer, før vi forsøker å generalisere og bevise en sammenheng. Nå har vi mulighet til en dynamisk og gradvis omforming som kan gi flere og rikere erfaringer med geometriske figurer. Erfaringene kan gjøre det lettere å betrakte en figur som en representant for en klasse av figurer, slik vi må når vi skal bevise geometriske sammenhenger.

31

Hva med diagonalene i en rombe, hva skjer når figuren omformes? Hva med de tre midtnormalene i en trekant eller hva med midtpunktene på sidene i en firkant? Hva slags figur eller figurer danner de fire midtpunktene? La elevene omforme figuren og undersøke. Hva ser de? Hvorfor? Kan de bevise det? (Se arbeidsark 51.)

Vi bruker altså et lite antall grunnleggende konstruksjoner, men repertoaret kan utvides. Ved hjelp av tilgjengelige konstruksjoner kan vi lage mer kompliserte figurer og konstruksjoner. Disse kan vi gjemme til seinere ved å lagre dem som makroer. De kan legges inn som kommandoer i menyene og blir da enkle å bruke som snarveier i nye konstruksjoner. For eksempel er det ofte nyttig å konstruere et kvadrat. Har vi gitt et linjestykke AB kan vi konstruere et kvadrat ut fra dette, ABCD. Kvadratkonstruksjonen kan vi så lagre som en makro. Når vi seinere har bruk for kvadrat, lager vi et ved å velge i menyen. Hvis vi arbeider med Pytagoras' setning for en rettvinklet trekant, kan vi raskt konstruere kvadrater på de tre sidene. Den lille samlingen av kommandoer for grunnleggende konstruksjoner kan altså økes gradvis etter hvert som en lærer mer. Elevenes oppmerksomhet kan i stedet rettes mot nye sammenhenger, når de slipper å bruke mye tid på grunnleggende konstruksjoner.

Geometrisk sted En annen viktig funksjon er geometrisk sted. Sett at vi har et punkt relatert til en figur. Vi kan studere hva som skjer med dette punktet når figuren endrer seg. Vi kan la punktet etterlate seg et spor. På den måten får vi tegnet et geometrisk sted, et punktlokus - en samling av punkter som har en bestemt egenskap. Se ellers arbeidsark 48-50 og 60-64. De gir flere eksempler på geometriske steder, som dette:

Vi vil finne de punktene som ligger like langt fra et punkt H som fra en linje e. Kan vi finne ett punkt? Hvordan? Vi kan velge n en normal på e i et vilkårlig valgt punkt X og konstruere midtnomalen på XH. Skjæringspunktet S har samme avstand ned til linja e som til punktet H. Vi har altså funnet ett slikt punkt, S.

32

Så velger vi kommandoen geometrisk sted, markerer punktet S, griper punktet X og flytter det på linja e. S flytter med og etterlater seg et spor. Det blir samlingen av alle punkter med samme avstand til e som til H - det søkte geometriske stedet. Vi får en parabel. Et sterkt inntrykk! Vi kan forberede konstruksjonen med passer og linjal, men å få tegnet ut parabelen lar seg ikke gjøre med de klassiske hjelpemidlene.

Andre anvendelsesområder

Vi kan måle vinkler og linjestykker på en figur og beregne arealer. Vi kan videre legge inn koordinatakser og beregne punkters koordinater og andre størrelser ut fra et koordinatsystem. Vi kan redigere en figur og skjule eller utheve deler av den, slik at den kan vise det vi ønsker på en oversiktlig måte. Vi kan sjekke egenskaper på en figur, for eksempel om to linjer er parallelle eller om to linjestykker er like lange. Cabri kan verifisere en hypotese eller vise moteksempel. Vi kan også reprodusere en konstruksjon, og se tilbake på den, skritt for skritt. Det er nyttig ved kompliserte konstruksjoner. Et konstruksjonsprogram gir en rekke andre muligheter som brukeren vil oppdage etter hvert. Det er et såkalt åpent program. Når vi bruker det, kan vi kanskje finne geometriske resultater og sammenhenger som verken vi eller programutviklerne hadde tenkt på.

Når vi ønsker å illustrere egenskaper ved konstruksjoner og bevise geometriske resultater, kan programmet brukes i vanlig klasseundervisning. Hvis maskinen koples til en storskjerm, gir det mulighet til en fleksibel demonstrasjon. Demonstrasjonen kan føres videre ved at interesserte elever fortsetter å utforske ved hjelp av programmet. Konstruksjonsprogrammet kan også brukes til en sekvens av oppgaver, særlig konstruksjonsproblemer. En eller to elever kan da sitte ved skjermen, og elevene kan veksle på det.

2.3.2 Symmetriprogram Symmetribegrepet er sentralt i geometri. Mange av de grunnleggende egenskapene ved geometriske figurer kommer fram når vi studerer symmetriene. Vi kan se på figurer som likebeint trekant (en trekant med én symmetriakse), likesidet trekant

33

(en trekant med tre symmetriakser), kvadrat og en regulær mangekant generelt, der det er like mange symmetriakser som det er sider.

Vi kan bruke symmetriprogram til å utforme mønstre der vi også har parallellforskyvningssymmetri. Vi kan bestemme hva slags type symmetri vi ønsker at figuren vår skal ha, og så tegne på skjermen. Programmet oppdaterer bildet, slik at det får de ønskede symmetriene. Symmetribegrepet brukes mye i forming. Med et symmetriprogram kan elevene lage skisser som de utformer i tre, tekstil, i et fargelagt mønster mm. Arbeidsark 68 viser et eksempel, laget i programmet EscherSketch.

2.3.3 Fraktaler Fraktaler er kurver som er formlike med seg selv. En fraktal tar form når en grunnfigur blir avbildet formlikt og gjentas på figuren. Avbildningen kan fortsettes og gi mindre og mindre detaljer. Her er et eksempel - det kan være en modell av en blomkål - som er tegnet ved hjelp av programmet FractaSketch:

Det er også mulig å lage fraktaler i andre programmer som Geometrix og Logo. En slik figur kan oppstå av enkle kommandoer, selv om figuren blir svært så komplisert. Etter at datamaskinene kom, er studiet av slike figurer blitt spesielt aktuelt. Mange synes det er spennende å utforske fraktaler. Noe som gjør dem spennende, er at det er vanskelig å forutsi den endelige figuren ved å se på grunnfiguren. Fraktaler (tilnærmede) opptrer ofte i naturen, for eksempel årenettet i en blomst, forgreiningene i blodårene og i lungene, forgreiningen i et tre eller en bregne osv. Formen på en sky, en kystlinje, eller et sandmønster i ørkenen kan også se ut som en fraktal.

34

2.4 Funksjoner og graftegning En funksjon kan representeres ved en tabell, som vi kan bearbeide og bruke. Den kan også representeres ved en graf som beskriver sammenhengen mellom de variable størrelsene, eller den kan beskrives ved en formel. Endelig kan den komme ut av en situasjon fra virkeligheten, der formelen er en modell som beskriver situasjonen.

Det er vesentlig å kunne gå fra én av disse representasjonsformene til en annen, og her kommer datateknologien oss til hjelp. Et graftegningsprogram tegner for eksempel en graf når formelen er oppgitt. En god graftegner for skolen må være slik at vi enkelt kan justere skalaen på aksene, velge det området i koordinatsystemet vi vil forstørre, zoome inn, og studere nærmere. Den bør ha en brukervennlig inntasting av formlene, og kunne ta imot implisitte formler, slik som for eksempel 2x + 3y = 9. Den bør også kunne lese av koordinater, og det er ønskelig at den kan behandle ulikheter og gi mulighet til å tegne flere grafer over hverandre.

Noen aktuelle graftegnere er GraphExplorer, Grafbox, Grafexpert, GraphWiz, ANUGraf Større matematikkprogram som Derive, MatCad, Maple, Mathematica eller Theorist har integrert graftegner.

Eksempel: Et likningssystem Som eksempel studerer vi likningssystemet 5x-2y = 8 3y = -x

Når vi har skrevet inn disse formlene, kan vi be programmet tegne de to rette linjene i et koordinatsystem. Her er det vist ved GraphWiz:

35

Vi ønsker å zoome inn området rundt skjæringspunktet og tegner et passende rektangel med musa, fra øverste venstre punkt til nederste høyre på det rektanglet vi vil undersøke.

Vi velger så å se på koordinatene og peker med musa på skjæringspunktet. Programmet leser av og gir oss koordinatene, som er x = 1,42 og y = -0,47.

Kurvetilpassing

I enkelte tilfeller ønsker vi å finne en formel slik at grafen til formelen passer godt til tallene som er oppgitt i en tabell. Vi får bruk for kurvetilpassing. Det er av interesse spesielt når vi vil lage en matematisk modell for å beskrive en situasjon. La oss skissere et eksempel: Sett at vi sår en ert og ser på veksten av erteplanta. Vi måler høyden hver dag:

Dag________ 1 Høyde (mm) 0

2_____ 3456789 0 3 8 17 29 44 61 80

10 97

Vi kan tegne slike tallpar som prikker i et koordinatsystem. Vi ønsker å se på mønsteret for hvordan planten vokser. Graftegneren bør gi mulighet for kurvetilpassing der vi legger inn de oppgitte tallparene som punkter i koordinatsystemet og tegner en graf oppå disse. Grafen ønsker vi å justere gjentatte ganger, slik at den dekker punktene best mulig.

Andre anvendelsesområder

Med en graftegner kan elevene utforske hvordan grafen til ulike funksjonsuttrykk ser ut, og hvordan den endres når formelen endres. Interesserte elever kan også utforske funksjoner som før var forbeholdt et seinere skoletrinn, slik som vekstfunksjoner, av typen y = ax eller bølgefunksjoner, som y - sin(x) eller mer generelt y = a sin(Zzx + c). De kan studere funksjoner gitt ved et uttrykk av andre grad: Hva skjer for eksempel med grafen til y = ax2 + bx + c når vi endrer på parametrene a, b og c? Eller de kan studere polynomfunksjoner av høyere grad enn 2. Elevene kan for eksempel

36

undersøke en viktig forskjell på y = x3, y = x3 - x og y = x3 + x . De kan lage nye funksjoner ved polynomer av tredje grad, for eksempel y = x3 - 2x2 + 4x -1. Hvilken av de tre ovenfor er den i familie med?

Et graftegningsprogram har interesse som et teknisk hjelpemiddel - men også som et pedagogisk hjelpemiddel til å forstå og få erfaringer med funksjoner.

2.5 Algebra - likningsløsning Den nye teknologien gir nye perspektiver på algebraen og på løsningen av likninger. Det blir aktuelt å vektlegge andre algoritmer. Dette har vi allerede vært inne på i kapittel 1.3. Vi skal kommentere dette litt mer i detalj. Ved hjelp av et regneark kan vi prøve oss fram for å finne løsningen(e) av likninger som tidligere var vanskelige å håndtere. Et eksempel er gitt nedenfor.

Gjette og leite

2.5.1

Vi vil løse

2(x + 1) -

=

+ 17)

Likningen ble gitt til avsluttende eksamen i grunnskolen, 1987. Med et regneark kan vi prøve oss fram:

1 2 3

=2*(A1 + 1 )-(Al+2)/5 =A 1/2+3/10 =A1 + 1

Vi kan altså se på venstre og høyre side for seg og leite etter verdier som gjør disse like. Dette kan nok være mer tungvint enn å løse likningen ved omforminger, men det illustrerer hva det betyr å løse en likning, og det gir trening med regnearket.

2.5.2

Nye typer likninger

Vi gir et annet eksempel ved å ta utgangspunkt i et velkjent problem: Jamfør også kapittel 1.3.1, eksempel 3 og 4.

Hans skal lage en innhegning ned mot elva av 100 meter gjerde. Han tegner et rektangel, med gjerde på tre av sidene - det er ikke nødvendig med gjerde mot elva.

100-2+ Hvor lange blir sidene dersom arealet skal bli 800 m2? Dette gir oss en polynomlikning. Det gjelder et areal, og likningen blir av andre grad: +(100 - 2x) = 800. Vi kan prøve oss fram for å løse den. En slik metode illustrerer

37

godt hva det vil si a løse en likning: å finne en løsning som passer. Men selve metoden er også interessant, for med et regneark kan vi leite systematisk.

1 2 3 4 5

A Bredde

B Lengde

C Areal

5 =A3+5

=100-2*A3

=A3*B3

Så kan vi se i hvilket intervall for bredden arealet antar det ønskede, nemlig 800 m2. I dette intervallet kan vi leite nøyere. Slik kan vi fortsette, og på denne måten bestemme en tilnærmingsverdi til løsningen. Denne metoden har den fordelen at den er brukbar, uansett type likning.

Likningen x( 100 - 2x) = 800 kan også omformes slik at den gir oss muligheten til å bruke en gjentakelsesmetode. Likningen kan skrives 50x-x2 = 400, og videre f.eks:

x =V50a--400

eller

x = 50 - —

Vi kan lage dette regnearket, med en kolonne for hver av disse to formlene:

1 2 3

A 1 =A1 + 1

B 10 =ROT(50*B 1-400)

C 10 =50-400/01

Vi bruker altså en gjentakelsesmetode, der vi kjører tallet gjentatte ganger gjennom en tallmaskin - vi sier vi bruker et flytdiagram. For kolonne B kan vi illustrere den slik:

Dette gir oss ut en rekkefølge av tall som konvergerer mot den ene av de to løsningene. Også dette er en effektiv og aktuell metode. Den er litt mer krevende begrepsmessig enn prøve og feile-, gjette og leite-metoden, men metoden er meget generell og anvendelig, og et regneark passer godt for å bruke en slik gjentakelsesmetode. Det fins videre programmer for algebraiske omforminger av uttrykk og formler. De gir også fine og interessante pedagogiske muligheter.

38

2.6 Problemløsning - dataspråk Datamaskinen må få nøyaktige instruksjoner om hva den skal gjøre. Når en arbeidsbeskrivelse eller algoritme skrives i et passende programmeringsspråk, kan maskinen utføre arbeidet raskt og sikkert. Problemløsningen ligger i å utvikle algoritmen, og maskinen utfører rutinearbeidet. Et sentralt moment i skolens matematikk er at elevene skal få arbeide med algoritmer som passer for datamaskin. Slike algoritmer krever ofte en mer detaljert beskrivelse enn vi trenger for manuell behandling. Algoritmen må vise rekkefølgen på instruksjonene, presisere gjentakelser og hvordan valgalternativer skal styres. Den beste måten å få erfaring med dette på, er å bruke et dataspråk og få anledning til å prøve ut algoritmene. Gjennom de feil som oppstår, får elevene anledning til å diskutere løsningen, finne feil, begrensninger og nye muligheter og så gjøre nye forsøk. Utvikling av algoritmer for enkle problemer kan ofte være en god hjelp for å få bedre innsikt i matematiske sammenhenger. Programmering av datamaskiner kan skje ved tradisjonelle dataspråk som Basic, Pascal eller Logo, eller ved hjelp av verktøyprogrammer. På regneark utformes algoritmene ved at beregningene settes opp oversiktlig, og det legges formler inn i bestemte ruter. I mange verktøyprogrammer er det også et eget makro-språk, som kan brukes for å utføre mer sammensatte operasjoner.

Da datamaskiner kom inn i skolen fra begynnelsen av 1970-årene var det vesentlig programmering som var aktuelt. Basic ble utviklet for å gi nybegynnere en lett start. Seinere er også Logo laget som et dataspråk beregnet for undervisning med datamaskiner. Med dagens verktøyprogrammer er det bare i liten grad aktuelt å lære programmering. I matematikk er det likevel aktuelt å se på de mulighetene vi finner i tredje generasjons språk som Logo og Basic. I denne sammenheng trenger vi ikke å utvikle store programmer, men bare lage noen enkle prosedyrer for å utføre effektivt en del regneoperasjoner. Med skilpaddegrafikken i Logo kan vi også eksperimentere med geometri og matematiske sammenhenger, samtidig som elevene får lære en del grunnprinsipper i programmering.

39

2.6.1

Logo - en mikroverden for læring

Tenk på ei skilpadde som går i sanden. Den setter spor etter seg, og vi kan styre den ti] å gå fram eller tilbake, dreie til høyre eller venstre. Slik kan vi bruke skilpadda til å tegne med, og vi kan studere hvordan geometriske figurer kan bygges opp ved hjelp av enkle kommandoer. Dette er skilpaddegeometri, som er en del av programmeringsspråket Logo. Seymour Paperts idé med Logo var å lage en mikroverden for læring, der barn kan eksperimentere med datamaskinen. Barnet selv skal styre og programmere datamaskinen - ikke omvendt! Papert var optimistisk, han mente det ville skje en spontan og naturlig læring i Logo-miljøet. Erfaringer har vist at Logo åpner for mange muligheter, men lærerens rolle - som mer består i å reise problemer, gi råd og stimulere arbeidet - er også en vesentlig og muligens en avgjørende faktor. Det gjelder å finne en balanse mellom fri eksperimentering, egen utforsking og problemløsning og den påvirkning læreren gir i læringssituasjonen. Læreren bør sørge for å oppsummere for å sikre at elevene får tilstrekkelig innsikt i sammenhengene de har arbeidet med.

Læreren må ha egne erfaringer med Logo for å kunne gi råd og veiledning, og ha arbeidet gjennom eksemplene i den Logo-utgaven som skal brukes. Arbeidsarkene gir en start på de enkleste områdene og kan gi utgangspunkt for andre ideer som elevene kan utforske videre. Skilpaddegrafikken i Logo er ikke ment å være et tegneprogram. For å lage fine tegninger fins det mange verktøy som er bedre. Det viktigste med Logo-miljøet er arbeidet med å planlegge og utvikle algoritmer og eksperimentere med matematiske sammenhenger.

Det fins mange utgaver av Logo; de fleste er på engelsk. Eksemplene her er gitt i en norsk utgave, Nor-Logo. I vedlegg, kapittel 7, fins ei liste over de vanligste kommandoene i norske og engelske utgaver av Logo. Ellers vises til håndbøker for det aktuelle programmet.

Enkel start På skjermen ser vi skilpadda som en liten trekant, plassert midt på skjermen. Klarsignalet i Logo, >, forteller at skilpadda kan ta imot en kommando. Skriv fram 40 og trykk retur. Skilpadda går 40 skilpaddeskritt framover. Dersom pennen er nede, vil den sette strek. Vi bruker kommandoene ned og opp for å bestemme om skilpadda skal bruke tegneredskapet eller ikke.

For å komme i gang med enkle tegneoppgaver er det nok med noen få kommandoer: ned fram 80 venstre 60 tilbake 70 høyre 60 fram 50 opp fram 40

40

Noen av kommandoene trenger et tall for å si hvor langt skilpadda skal Hytte seg eller hvor stor vinkel den skal dreie. Så snart en kommando er gitt, ser vi resultatet på skjermen. Vi kan også skrive flere kommandoer på ei linje. Det gjør det lett å eksperimentere, og vi er allerede i gang med å styre datamaskinen. I starten er det viktig at elevene får prøve hvordan kommandoene virker, og de må få lage enkle figurer. Vi trenger bare noen få kommandoer for å komme i gang, og flere kan presenteres etter hvert som vi får bruk for dem. Nytegning sletter tegningene og setter skilpadda i utgangsposisjon. Elevene må også få erfaring med feilmeldinger som kommer dersom vi skriver fram50 i ett ord eller bare fram uten å gi et tall. Vi legger også merke til at et uttrykk som gå til høyre ikke har noen mening. Her må vi først forandre retning og så flytte skilpadda, høyre 90 fram 40. Et programmeringsspråk har sine bestemte regler for hvordan kommandoene skal skrives: antall argumenter til kommandoene, bruk av parenteser og regneoperasjoner o.l. Datamaskinen oppfatter bare de kommandoene som er i samsvar med syntaksreglene for språket vi bruker.

Vi vil tegne noen vanlige geometriske figurer, regulære mangekanter. Da er gjentakommandoen nyttig: Kvadrat kan vi tegne slik: gjenta 4 [fram 50 høyre 90], Så kan vi prøve å tegne trekanten. Et vanlig forsøk er: gjenta 3 [fram 50 høyre 60], men det går galt! "Feilen" gir et godt utgangspunkt for å diskutere geometrien. Vi må se på retningen av skilpadda når den går i trekant og oppdager at den vinkelen skilpadda dreier, ikke er den samme som innvendig vinkel i trekanten. Dette er et viktig poeng som må diskuteres med elevene for å unngå unødige vansker.

Nå kan vi arbeide videre med regulære mangekanter og oppdage sammenhenger mellom antall sider og vinkel som må dreies. Flere vanlige setninger i plangeometrien kan få mer konkret innhold for elevene gjennom dette arbeidet. Hvordan er det med vinkelsummen i en mangekant? Hvordan kan vi tegne et parallellogram der en vinkel er 75°, eller der den kan variere? Vi bruker setningen om vinkler ved overskjæringslinjen til parallelle linjer. (Se arbeidsark 70-71.)

Prosedyrer - byggesteiner i arbeidet

Be elevene skrive ned en "oppskrift" for tegningen de vil lage, før de prøver ut på maskinen. Da får de trening i å planlegge og i mer abstrakt tenkning. Seinere kan de sammenlikne oppskriftene, og da vil de oppdage at det ofte kan være flere måter å løse et problem på. En oppskrift for en tegning er et eksempel på en prosedyre. Før vi begynner, gir vi den et navn. Prosedyrer kan skrives inn i en egen teksteditor. I Nor-Logo starter vi editoren med rediger "trekant eller bare rediger. Vi skriver inn følgende prosedyre:

PROS trekant gjenta 3 [fram 60 høyre 120] SLUTT

41

Editoren avsluttes med , og da blir prosedyren registrert som en ny kommando. Nå kan den brukes på samme måte som dem som er gitt på forhånd, primitivene, i Logo. Vi skriver trekant for å tegne trekanten. Prosedyren kan også brukes som byggestein i nye prosedyrer. For mer kompliserte tegninger er det lettere å lage prosedyrer og forandre pa dem enn stadig å begynne på nytt på en tegning. I mange tilfeller er det også en fordel å analysere tegningen vi vil lage, for å finne enklere byggesteiner, og så bygge opp tegningen ved å sette sammen bitene. PROS kvadrat ned gjenta 4 [fram 50 høyre 90] opp SLUTT

Her er kvadratprosedyren brukt i nye tegninger: PROS kvadrose gjenta 10 [kvadrat venstre 36] SLUTT

PROS firkanter gjenta 5[ kvadrat 50 fram 20 høyre 90 fram 20 venstre 90] SLUTT Prosedyrene kan lagres på fil og hentes inn igjen. Dette er nyttig når vi vil arbeide videre med de samme prosedyrene seinere. Så lenge vi arbeider med Logo, vil prosedyrene bli liggende i arbeidslageret og være tilgjengelig. Når Logo-programmet avsluttes, eller vi bruker omstart, fjernes alt fra arbeidslageret.

Det er ikke nødvendig, som i andre programmeringsspråk, å bygge alle prosedyrene sammen til ett program. En prosedyre kan kalle andre prosedyrer slik at de utfører hver sin bit av programmet.

Prosedyrer med parametre

Vi vil ofte ha bruk for å variere størrelsen på for eksempel en firkant eller vinkelen i et parallellogram. Vi kan bruke parametre til prosedyrene: PROS kvadrat :side ned gjenta 4 [fram :side høyre 90] opp SLUTT Denne kalles opp med kvadrat 40 på tilsvarende måte som vi bruker primitiven fram 40. Parameteren :side får verdien 40, og så brukes dette tallet i prosedyren der :side forekommer. Navnet :side er valgt av hensyn til leseligheten, det kunne like godt vært brukt :s eller :x eller noe annet. Vi kan lage prosedyrer for flere geometriske figurer, for eksempel kan nå alle regulære mangekanter skrives i én prosedyre:

42

PROS poly :ant :side ned gjenta :ant [fram :side høyre 360 /:ant] opp SLUTT

Denne prosedyren har to parametre og må ha med tall som tilsvarer disse i prosedyrekallet: poly 5 60 tegner en femkant med side 60, mens poly 60 5 tegner en 60-kant med side 5. Etter litt eksperimentering med mangekanter kan vi også finne en måte å tegne sirkler på. På dataskjermen vil en mangekant med passende antall sider gi en rimelig tilnærmet sirkel. I skilpaddegeometri får vi en annen beskrivelse av sirkelen enn den vi er vant med. Sirkelen er en kurve med konstant krumning. Skal vi tegne en sirkel med bestemt radius, får vi et nytt problem å løse, og vi må se på sammenhengen mellom omkrets og diameter. Med en liten variasjon i poly-prosedyren får vi nye utforskingsoppgaver:

PROS stpoly :ant :side : vinkel ned gjenta :ant [fram :side høyre 360 /:ant] opp SLUTT

Prosedyrekallene stpoly 5 100 144 og stpoly 8 80 135 gir stjernefigurer. Hvordan er sammenhengen mellom parametrene når vi vil komme tilbake til utgangspunktet? Vi ser at vi kan studere både mangekanter og stjernefigurer med denne prosedyren, og vi kan finne sammenhenger mellom parametrene for ulike tilfeller. Vi kan også bruke parallellogram-prosedyren som byggestein i en ny prosedyre for å lage andre stjernefigurer og utforske sammenhenger:

PROS parall :sidel :side2 :vinkel ned gjenta 2 [fram :sidel høyre :vinkel fram 180 : vinkel fram side2]

OPP SLUTT

PROS stjerne :s :v gjenta 10 [parall :s :s :v høyre 36] SLUTT Legg merke til at det er fullt mulig å bruke forskjellige navn på parametrene i de to prosedyrene. :s og :v er de formelle parametrene som viser hvor tall (de aktuelle parametrene) skal settes inn i stjemeprosedyren. I prosedyrekallet stjerne 50 40 vil :s få verdien 50 og :v verdien 40. Disse blir da brukt i kallet på parall-prosedyren slik det er angitt i gjenta-setningen: parall 50 50 40. (Se arbeidsark 72 - 74.)

Rekursjon

Tidligere har vi brukt gjenta-kommandoen for å utføre repetisjoner av én eller flere kommandoer. En annen mulighet er å bruke rekursjon. Dette gir også mulighet til å skape nye effekter på en enkel måte. Et enkelt eksempel på bruk av rekursjon har vi i følgende prosedyre:

43

PROS firkant :side fram :side høyre 90 firkant :side SLUTT Prosedyren kaller opp seg selv like før slutt. Dette er halerekursjon og fører til at samme prosedyre startes om igjen. Dermed gjentas kommadoene. Men slik den er laget nå, vil den aldri stoppe, og vi må avbryte manuelt (funksjonstast i Nor-Logo). Med litt forandring i prosedyren får vi en helt ny figur: PROS firkspi :side om :side >150 så [ferdig] fram : side høyre 90 firkspi :side + 5 SLUTT

Halerekursjonen, kallet firkspi :side + 5, fører til at prosedyren startes om igjen med litt større sidelengde for hver gang. Først i prosedyren står omså-setningen og kontrollerer avslutningen, og prosedyren avslutter når parameteren :side er blitt større enn 150. Her er en prosedyre som likner, men den bruker også kvadratprosedyren:

PROS kvdspi :side om :side > 150 så [ferdig] kvadrat :side venstre 30 kvdspi :side + 10 SLUTT Prosedyrer som denne og liknende kan være et fint utgangspunkt for å eksperimentere videre med nye figurer. Denne startes for eksempel med trekanter 100: PROS trekanter om :side < 5 så [ferdig] trekant :side trekanter : side - 5 SLUTT

Her trenger vi også prosedyren trekant som må være laget og befinne seg i arbeidslageret før trekinni kan kalles. Med små forandringer kan vi tegne disse og liknende figurer:

44

Rekursjon er en effektiv programmeringsmetode som kan gi spennende resultater. Legg merke til hvordan disse figurene er bygt opp ved at samme mønster er gjentatt i mindre utgaver. Dette er eksempler på fraktaler laget med rekursive prosedyrer:

PROS tre :s om :s < 5 så [ferdig] fram :s høyre 45 tre :s*2/3 venstre 90 tre :s*2/3 høyre 45 tilbake :s SLUTT

PROS trekfrakt :side om :side < 10 så [ferdig] gjenta 3 [trekfrakt :side /2 fram : side høyre 120] SLUTT

PROS ckurve :s :n om :n = 0 så [fram :s ferdig] ckurve :s :n-l høyre 90 ckurve :s :n-l venstre 90 SLUTT Variabler

Parametrene som vi bruker i prosedyrer, er eksempler på variabler. Vi kan også lage variabler og legge verdier i dem uavhengig av prosedyredefinisjonene. Med kommandoen gi "tall 50 får vi laget en variabel med navn "tal! og verdi 50. I videre arbeid refererer vi til verdien av variabelen "tall ved å skrive :tall. Legg merke til at i Logo skilles det mellom navnet på variabelen, "tall, og verdien til variabelen, :tall. Dersom vi skriver bare tall (uten " eller :), vil det bli oppfattet som et prosedyrenavn, og Logo gir feilmelding. Det er fordi skilpadda ikke kjenner noen kommando med dette navnet.

Koordinatgeometri Hittil har vi arbeidet bare med skilpaddegeometri. Det er også mulig å tegne ved å gi verdier i et koordinatsystem. I startposisjonen er både x- og y-koordinaten 0, og retningen er 0. Kommandoene xpos, ypos og pos gir skilpaddas aktuelle posisjoner, mens tilx 40, tily 20 og tilpos 60 70 flytter skilpadda til de aktuelle posisjonene. For å sette retningen har vi kommandoen kurs 60. Og kommandoen kurs# gir verdien, dvs hvilken retning skilpadda peker i øyeblikket. (Se arbeidsark 81).

45

Tall og regneoperasjoner

I noen av eksemplene foran har vi hatt bruk for regneoperasjoner: 360 /:ant og :side -5. Vi kan bruke de vanlige regneoperasjonene +, * og / og vanlige matematiske funksjoner, slik vi også kjenner dem fra regneark og andre programmeringsspråk. I stedet for en bestemt verdi for en parameter i et prosedyrekall kan vi bruke et regneuttrykk eller en variabelreferanse som gir et tall til svar. Logo kan brukes til å utføre beregninger og skrive ut rekker av tall. Når vi arbeider med tall eller tekst, kan det være greit å bruke bare tekstskjermen med kommandoen vistekst, slik at vi får se flere linjer. Med nytekst får vi blank skjerm. Her er et par eksempler som lett kan utvikles videre til å lage andre tallmønstre:

PROS skrivetall :n gi "x 1 gjenta :n [skrivi :x gi "x :x + 1 ] SLUTT

Denne prosedyren skriver tallene 1,2, 3, ... nedover:

PROS fibtall :a :b om :a > 200 så [ferdig] (skrivi :a ) fibtall :b :a + :b SLUTT

Prosedyrekallet fibtall 1 1 gir fibonaccitallene: 1, 1,2, 3, 5,8...

Vi bruker kommandoen skrivi for å skrive ei linje med tall eller tekst på skjermen. Skrivi tar vanligvis bare én parameter. Vi kan bruke flere og markerer det ved å bruke parenteser, ( ), omkring kommandoen og parametrene slik noen av eksemplene viser. Vi kan også bruke kommandoen skriv på samme måte, men da får vi ikke med linjeskift, og alt kommer på samme linje. Da kan det være nødvendig å skrive ekstra mellomrom for å skille tallene, slik det er gjort i fibtall-prosedyren. I Nor-Logo skriver vi (anførselstegn og apostrof) etterfulgt av mellomrom. Denne spesielle skrivemåten skyldes at mellomrom vanligvis oppfattes som skilletegn, men vi her ønsker at det skal oppfattes som en tekst som skal skrives.

Vi kan også lage "funksjonsmaskiner", prosedyrer som svarer med et tall. Her er et par eksempler på slike prosedyrer: PROS funkl :x lokal "y :x*5 - 3 svar :y SLUTT

PROS funk2 :x svar :x*:x/2 SLUTT

I disse prosedyrene har vi brukt lokal i stedet for gi for at variabelen "y ikke skal være tilgjengelig utenfor prosedyren, y blir en lokal variabel. Kommandoen svar fører til at prosedyren leverer et tall videre. På den måten kan resultatet brukes videre i en ny prosedyre, for eksempel for å lage en tabell over funksjonsverdiene: PROS tabell :x :dx skrivi [Funksjonsverdier] (skrivi "x ”y) gjenta 10 [(skrivi :x funk2 :x) gi "x :x + :dx] SLUTT

46

Simulering Ved hjelp av tilfeldige tall kan vi lage en enkel prosedyre for å simulere terningkast: Kommandoen slump 6 gir ett av tallene 0, 1,2, ..., 5. Et terningkast kan da lages slik:

PROS kast svar 1 + slump 6 SLUTT Vi kan utføre 10 terningkast ved å skrive: gjenta 10 [kast]. Dette kan vi bygge videre på for å lage prosedyrer for å kaster to terninger og så se på summen av antall øyne og telle opp hvor mange av 20 kast som gir sum lik 7.

PROS sumto gi "sum kast + kast om :sum = 7 så [gi "antall :antall + 1] skrivi :sum SLUTT PROS test :n gi "antall 0 gjenta :n [sumto] (skrivi [Resultat] :antall) (skrivi [Relativ frekvens] rantall /:n SLUTT

Simuleringen kan startes med test 20, som kaster to terninger 20 ganger. Vi får se resultatene og til slutt skrives frekvens og relativ frekvens med forklarende tekster. Det er lurt å prøve med enkle eksempler først. Når vi ser at prosedyrene virker som de skal, kan vi kjøre forsøk med flere kast. På liknende måte kan vi bygge opp andre simuleringer. Vi kan også kombinere det å trekke tilfeldige tall med grafikk for å få et visuelt bilde av simuleringen som utføres. Et eksempel på dette er bruken av Monte Carlo-metoden til å finne areal av en sirkel. Da tegner vi først en sirkel inni et kvadrat. Så trekker vi tilfeldige tall for posisjoner innenfor kvadratet og teller hvor mange av disse som kommer innenfor sirkelen. Her får vi bruk for å tegne kvadrat og sirkel med en gitt radius, og vi gjør beregninger for å utføre simulering og opptelling. (Se arbeidsark 87.)

Lav terskel - høyt under taket Logo kan brukes på mange trinn i skolen. De enkleste kommandoene i skilpaddegrafikken kan være nok til utforskingsoppgaver på barnetrinnet, og for elever som strever med vinkelbegrepet og retningene høyre og venstre. Skilpaddegeometrien kan lett konkretiseres ved at elevene utfører de samme kommandoene, at de går som skilpadda på golvet. Slik får elevene en god forståelse av retning, avstander og vinkler som brukes. Vi kan arbeide med utforsking av geometriske figurer i planet, utnytte koordinatgeometrien eller bruke regneoperasjoner til å lage tallsekvenser, arbeide med funksjoner og utføre simuleringer.

47

De mulighetene som er tatt med her, viser bare en begrenset del av Logo. Programmeringsspråket Logo, som er en variant av Lisp, har i tillegg til geometridelen også alle vanlige regneoperasjoner og matematiske funksjoner og behandling av objekter i form av ord og lister. Det fins også mange utgaver av Logo med mer spesielle muligheter, for eksempel med flere skilpadder, eller med tredimensjonal skilpaddegeometri.

2.6.2 Programmering i Basic Basic er et enkelt tredjegenerasjons programmeringsspråk som mange kjenner fra den første tida datamaskiner var i bruk i skolen. I matematikk kan vi ha nytte av å bruke enkle Basic-programmer for å utføre regneoperasjoner og generere tallrekker og tabeller over funksjonsverdier. I mange Basic-utgaver er det også mulig å bruke grafikk. Her skal vi bare se på noen av de enkleste variantene. Mange av arbeidsoppgavene med talloppstillinger som er laget for regneark, kan også løses ved å lage tabeller med tall ved hjelp av Basic. Slik kan Basic være aktuelt dersom regneark ikke er tilgjengelig. Noen problemer er også enklere å programmere i Basic.

Enkle tallrekker Se på følgende program.

10 FOR i = 1 TO 20 STEP 1 20 PRINT i 30 NEXT i

Ved å bruke FOR - NEXT setningen får vi laget en løkke (sløyfe), en repetisjon, styrt av en tellevariabel i som vokser med 1 for hver repetisjon, STEP 1. Her skriver programmet tallene 1,2, 3, ..., 20. Det er vanlig å bruke linjenummer i Basic slik eksemplet viser. Linjenumrene viser i hvilken rekkefølge setningene skal leses. Programmet startes med kommandoen RUN eller et tilsvarende menyvalg i QBasic.

Bytter vi ut linje 20 med 20 PRINT i; i*i; iA3 får vi skrevet en tabell som også har med kvadrat- og kubikktall. På samme måte kan vi lage tabell over funksjonverdier for forskjellige verdier av den variable x (eller /)• Med enkle forandringer kan vi få skrevet ut oddetallene, nemlig ved å bruke STEP 2. Vi kan forandre på start og slutt-verdiene slik at andre tallrekker skrives ut. Ønsker vi også å summere oddetallene, trenger vi en ekstra variabel, sum. Vi summerer etter hvert, slik at når i får ny verdi, øker også summen med i. Da blir programmet slik:

10 20 30 40 50 60

sum = 0 FOR i = 1 TO 40 STEP 2 sum = sum + i PRINT i; sum NEXT i END

oddetall 1 3 5

sum 1 4 9

Legg merke til at variabelen sum må få startverdien 0 før sløyfesetningen, FOR - NEXT, starter, og for hver repetisjon får sum lagt til verdien av variabelen i. Linje 30 leses ikke som en vanlig likning. Her betyr

48

likhetstegnet at variabelen sum tilordnes en ny verdi, den verdien sum hadde før pluss verdien av i. PRINT-setningen skriver nå både tallet og summen så langt. Dersom PRINTsetningen plasseres etter NEXT i, vil vi bare få skrevet ut det siste resultatet. Setningene utføres i den rekkefølgen de står, dersom ikke noe annet bestemmes av sløyfesetninger eller en GOTO-setning. (Se arbeidsark 88.)

Tabeller med desimaltall

I mange Basic-utgaver er det ikke tillatt med desimaltall som stegverdi. Da kan vi innføre ekstra variabler, x og dx, for å kunne skrive ut tabeller med desimaltall. For eksempel kan vi lage tallmønstre som i dette programmet:

10 REM Program for å lage tallrekker 20 x = 0 30 dx = 0.5 40 FOR i = 1 TO 20 STEP 1 50 PRINT x 60 x = x + dx 70 NEXT i 80 END Setningen som begynner med REM (remark), er bare en kommentar og blir ikke utført av programmet. I dette programmet brukes tellevariabelen i bare for å holde orden på antall repetisjoner, mens startverdien for x sammen med dx bestemmer hvilke tall som blir skrevet ut. Med små variasjoner kan dette programmet brukes for å lage tallrekkene som er tatt opp i arbeidsarkene for regneark, se arbeidsark 4 og 5. Nå trenger vi bare forandre på PRINT-setningen for å få skrevet ut tabell over funksjonsverdier for funksjonen x2 + 3x - 2: 50 PRINT x; xA2 + 3*x - 2 Så kan vi eksperimentere med å forandre på startverdien for x og dx slik av vi finner tabeller for de x-verdiene vi ønsker. På denne måten kan vi nå finne nullpunkter for funksjonen og eventuelle største og minste verdier. (Se også arbeidsark 17 og 18.)

Regneoperasjoner og funksjoner

Vi har allerede sett eksempler på bruk av de vanlige regneoperasjonene +, * og / og bruk av potenser, A. Når det gjelder prioritering av rekkefølge og bruk av parenteser, gjelder de samme reglene her som for andre programmer. I tillegg har vi også de vanlige matematiske funksjonene som kvadratrot, SQR(x), heltallsverdi, INT(x), SIN(x) o.l. I Basic brukes punktum som desimaltegn slik det er vanlig i engelsk. Se vedlegg 7.2 for en kort oversikt over setninger og funksjoner.

Faktorer og primtall Ved hjelp av MOD-funksjonen kan vi finne resten ved divisjon. 20 MOD 3, for eksempel, gir svaret 2 og 45 MOD 5 gir svaret 0. På den måten kan vi avgjøre om i går opp i tall ved å bruke betingelsen tall MOD i = 0. Dette er brukt i følgende program:

49

10 20 30 40 50 60 70

REM Finne faktorer CLS tall = 20 FOR i = 2 TO tall STEP 1 IF tall MOD i = 0 THEN PRINT i NEXT i END

(Se også arbeidsark 89.) Dette programmet skriver ut alle faktorer i 20, dvs. alle tall som går opp i 20. Ved å forandre på linje 30, og skrive tall = 243, kan vi undersøke tallet 243. I stedet for å forandre på linje 30 hver gang, kan vi også la programmet be brukeren gi et tall ved å bruke INPUT-setningen: INPUT tall. Da er det lurt å ta med en forklaring først: PRINT "Tall". Dersom vi vil undersøke bare primfaktorene, kan vi bytte ut linje 50 med denne: 50 IF tall MOD i = 0 THEN PRINT i : tall = tall / i : GOTO 50 Når vi setter kolon mellom setningene, kan flere setninger skrives på ei linje. Dette utnytter vi her for å få utført flere setninger dersom i går opp i tall.

Vi dividerer ut en faktor fra tall og undersøker videre ved å ta setningen om igjen. Slik får vi skrevet ut multiple primfaktorer. For eksempel vil tall = 24 gi alle primfaktorene 2, 2, 2 og 3. Vi har fire primfaktorer i 24, fordi 2 må telles med tre ganger. Vi kan telle opp primfaktorer på tilsvarende måte som vi beregnet sum av oddetall i eksemplet foran. Med disse forandringene blir programmet slik: 10 20 30 33 35 40 50 60 65 70

REM Finne primfaktorer og telle opp CLS PRINT "Gi ditt tall" INPUT tall ant = 0 FOR i = 2 TO tall STEP 1 IF tall MOD i = 0 THEN PRINT i: tall = tall / i : ant = ant + 1 : GOTO NEXT i PRINT "Antall prim-faktorer"; ant END

Vi ser at vi utnytter linjenumrene mellom dem som er brukt før når vi ønsker nye inn på riktig plass. Vi bruker også linjenummer når vi ønsker et ubetinget hopp til en bestemt setning i programmet, slik som GOTO 50.

Hvis vi også ønsker å la programmet gjenta undersøkelsen med et nytt tall, kan vi sette inn linjene 70 GOTO 30. Det fører til et ubetinget hopp til linje 30, der undersøkelsen starter. Så må vi også ha ei linje for å kontrollere avslutningen, 34 IF tall - 0 THEN END. Da kan vi avslutte programmet ved å gi tallet 0. Det kan være lurt å forandre setning 30 slik at brukeren av programmet vet hvordan programmet avsluttes: 30 PRINT "Gi ditt tall (avslutt med 0):" Med disse eksemplene har vi gjennomgått de enkleste kommandoene i Basicprogrammering. Det er tatt med noen få arbeidsark som bygger på Basic-program, men mange av oppgavene i arbeidsarkene som er laget for regneark, kan også løses ved å bruke metodene som er vist her. Aktuelle arbeidsark er 4, 5, 7, 8, 10, 15 og 19 -

50

26. Til slutt tar vi med et par eksempler. Eksemplene nedenfor viser hvordan vi kan bruke Basic-programmering til å løse matematiske oppgaver.

Eksempler

Vi vil lage tabell over fibonaccitall. 10 REM Fibonaccitall 15CLS 20a = 1: b = 1 30 PRINT "Fibonaccitall:"; a; b; 40 FOR i = 1 TO 20 STEP 1 50 c=a+b 60 PRINT c; 70 a=b 80 b=c 90 NEXT i 100 PRINT 110 END

Vi vil bruke Herons metode for å lage ei rekke over tilnærmingsverdier til kvadratrota av et gitt tall.

10 REM Herons metode 20 CLS 30 PRINT "Beregn kvadratrot av tall:" 40 INPUT tall 50 x = 1 60 WHILE ABS(x * x - tall) > .001 70 x = (x + tall / x) / 2 80 PRINT x 90 WEND 100 END

51

52

3

Pedagogiske programmer

3.1 Hva er pedagogiske programmer? Pedagogiske programmer spenner over et bredt spekter av programvare og er laget for å møte et spesielt behov i undervisningen.

Mange undervisningsprogrammer i matematikk er laget for å trene ferdigheter i tallregning. Andre inviterer til å utforske problemer som datamaskinen presenterer. Slike programmer har som regel innstillingsmuligheter slik at de kan tilpasses forskjellige nivåer. For eksempel kan vi velge ulike tallområder og regningsarter eller velge hvor kompliserte regler vi skal utforske. Elevene får rask tilbakemelding på sitt arbeid, noe som er med på å gjøre læreprosessen motiverende og effektiv. I mange tilfeller er programmene lagt opp som et spill som gir poeng eller annen belønning nettopp for å motivere. Den beste motiveringen er likevel den at elevene lykkes i å oppdage sammenhenger slik at de kan løse oppgavene. Noen programmer kan brukes til å illustrere begreper og gi hjelp til å bygge opp elevenes forståelse. Ved hjelp av datamaskiner kan vi prøve ut mange eksempler, tegne mange kurver eller gjøre mange simuleringer. Datamaskinen regner og tegner raskt, og vi kan benytte tida til å studere resultater, få oversikt og oppdage sammenhenger. Slik får vi mulighet til å konsentrere arbeidet mer om å forstå sentrale begreper og løse problemer. Det kan utfylle arbeidet med rutineferdigheter.

En del programmer er laget spesielt med tanke på skolens matematikk, men det er også mulig å bruke mer generelle, standard verktøyprogrammer som pedagogiske hjelpemidler i undervisningen. Det kan lages applikasjoner på regneark, vi kan arbeide med enkel programmering eller bruke bare en liten del av et større matematikkprogram. Programmer for geometriundervisning gir muligheter for å eksperimentere med geometriske former og avbildninger eller med konstruksjoner. Andre programmer er verktøy for simulering. Noen programmer som er aktuelle for matematikk­ undervisning, er Logo, Basic, Cabri, statistikkprogrammer og større matematikkprogrammer som Derive og Mathematica. Noen av disse er omtalt i egne avsnitt i kapittel 2. Vi ser at det bli glidende overganger fra de spesielle pedagogiske programmene til standard verktøyprogrammer. Det er ikke programmene i seg selv som er pedagogiske, men det er måten de blir brukt på i undervisningen, som er avgjørende. Programmene bør ikke brukes isolert men settes inn i en pedagogisk sammenheng og brukes i kombinasjon med andre arbeidsmåter. Pedagogiske programmer blir ett av flere hjelpemidler i matematikkundervisningen. Noen ganger kan et dataprogram gi ekstra trening, i andre tilfeller passer det best i innføringsfasen i et emne. I dette kapitlet skal vi se nærmere på noen programmer som er laget for spesielle områder i matematikkundervisningen. Det kan gi ideer om hva som finnes, hvordan de kan brukes og hvilke formål de kan tjene.

3.2 Spill - for å trene ferdigheter Programmer for trening i tallferdigheter er i klart flertall blant pedagogiske programmer for matematikk. Et kjent eksempel er spillet Mons og Marte. (Forhandlere av programvare er gjengitt i kapittel 6.2). Det er laget som et brettspill der to terninger

53

viser tallene vi skal regne med. Mons og Marte er “brikkene” som flyttes nar eleven svarer. Det er mulig å bytte ut tallene på de to terningene og velge regningsart. I en nyere utgave er spillebrettct byttet ut med en jungel, der målet for spillerne er å komme opp til papegøyen og få seg en flytur. Det er mulig å velge regningsart og tallområde, og begrense hvilke svar som tillates. På den måten kan læreren (eller eleven) styre øvingene ved å velge oppgaver og vanskegrad. Programmet gir gode muligheter for å trene hoderegning og øve inn tabellene. Motivasjonen er ikke knyttet spesielt til oppgavene, men ligger i utformingen av spillet. Et enkelt treningsprogram er Tre på rad. To spillere skal vekselvis løse multiplikasjons-oppgaver og plassere svaret på spillebrettet slik at de får tre på rad. Det er som regel flere muligheter for å plassere svaret, slik at det også er en oppgave å vurdere hvor det er lurest.

Det fins mange treningsprogrammer av denne typen. Programmene vektlegger trening i tallbehandling og gir ingen forklaringer når eleven svarer feil. Det fører lett til mye drill i tabellkunnskap og regneferdigheter. Slike programmer bør derfor ikke få dominere undervisningen, men kan inngå når det er behov for ferdighetstrening. De kan tilpasses et opplegg der vi også bruker andre hjelpemidler for å forklare sammenhenger. En vesentlig fordel med mange av disse programmene er muligheten for innstillinger slik at tallområdet og vanskegraden kan tilpasses det som er aktuelt for klassen eller for den enkelte elev.

I spillet Memory er oppgaven å lage par av kort som hører sammen. Spilleren klikker på to kort for å snu dem og ser hva som står på dem. Kortene med 1,7 + 2,6 og 4,3 danner et par, og 14 * 0,5 og 7 danner et annet. Bare to kort er synlige samtidig, og spilleren bør huske hva han har sett før for å kunne løse oppgavene. I dette programmet er det lett å lage oppgaver selv. Læreren kan lage nye oppgaver ved å skrive de aktuelle parene på en kortfil, som er en rein tekstfil. Dermed utvides øvingsområdet. Elevene kan også lage nye kort selv.

54

|S

MEMORY.

Kan kun brukes i prosjekt v/Anne B. Fuglestad -DESMULT.MAT

Klikk klakk A-D har også mange småprogrammer for å gi trening mecl tall og de fire regningsarter på forskjellige nivå. For eksempel har programmene Stigene og Gullgruva enkle øvelser i addisjon og subtraksjon. I strategispillet Roboten må eleven, representert ved den røde roboten i spillet, velge tall som gir liten kvotient og stor rest i divisjonene for å kunne slå ned flest mulig kuler på spillebrettet og samtidig unngå de fiendtlige robotene. Ut fra svarene i regnestykket må så eleven finne den gunstigste flyttingen på spillebrettet. Tallregning dominerer i slike små matematikkprogrammer, men det fins også programmer for andre områder.

I Fisken må elevene kjenne igjen geometriske former som trekant, firkant, sirkel o.l. for å kunne styre fisken gjennom en labyrint til den finner perlen i muslingen. Det er videre mulig også å trekke inn størrelse og farge på figurene og kombinere disse kriteriene slik at det ene, det andre eller begge må være oppfylt. På den måten kan også vanskegraden varieres. I Urspillet får elevene trening i å lese klokka. Her skal en bil kjøres til riktig sted til den tid klokka viser for å hente ut mynter. Det brukes både digital og analog klokke i spillet.

Elever med spesielle funksjonshemninger kan med hjelp av datamaskin og pedagogiske programmer være i stand til å regne oppgaver som de aldri vil kunne skrive i ei kladdebok. Bruk av brytere eller styreplate kan være aktuelt for denne gruppa.

55

3.3 Programmer for problemløsing og utforsking Elevene må få anledning til å eksperimentere og finne sammenhenger mellom tall. Hvilke tall kan 15 deles med? Faktorspillet Langfinger stiller slike spørsmål og utfordrer spilleren til å tenke strategisk for å vinne. Vi får opp 20 tall på skjermen, og eleven spiller mot Langfinger, som er datamaskinen. Eleven velger for eksempel å ta tallet 15 og får da 15 poeng. Da tar Langfinger faktorene i 15, altså 1, 3 og 5 og får 1+3 + 5 poeng. Eleven får velge videre, men har bare lov til å velge slik at også Langfinger får minst ett tall.

Eleven kan ikke ta 13 for da får ikke Langfinger noe tall. Etter hvert låses mulighetene mer og mer, og til slutt tar Langfinger det som står igjen. Eleven kan utforske spillet. Han eller hun må finne ut hvilke tall Langfinger kommer til å ta, planlegge en strategi slik at eleven får mest mulig og Langfinger minst mulig. Programmet har mulighet for innstillinger slik at vi kan arbeide med flere eller færre tall, fra 2 opp til 100, og dermed styres vanskegraden. Det gir erfaringer med begreper som faktor og primtall, og dessuten med strategisk tenking, noe som utfordrer elevenes kreativitet og ettertanke. Faktor fra INFA-klubben er en annen utgave av det samme spillet. Et annet enkelt utforskingsprogram er Regelen. Her taster vi inn noen tall og datamaskinen gir et svar som bygger på disse. Nå er oppgaven å finne ut hvilken regel maskinen bruker for å få svaret. Det kan være regler som summen av de to første tallene, det største tallet, det minste tallet, største felles faktor o.l. Når vi tror vi har funnet regelen, kan vi prøve oss på tall som datamaskinen gir. Den samme ideen er brukt på regneark der formlene er skjult. (Se også arbeidsark 13.)

I programmet Bridges skal vi finne ut hvor stor bæreevnen er for ei bru laget av en planke. Gjennom å prøve ut forskjellige verdier for lengde, l (meter), bredde, b (cm), og tykkelse t (cm), kan vi få vite hvor stor vekt, v (kg), som skal til før brua knekker sammen. Ved å arbeide systematisk med problemet kan vi komme fram til en formel som viser hvordan v henger sammen med /, t og h.

En liknende problemstilling finner vi i Sunflower. Solsikka vokser og når en høyde som er avhengig av gjødselmengden. Her skal vi forsøke å få solsikka til å vokse

56

høyest mulig ved å gi riktige konsentrasjoner av tre gjødseltyper i plantens vann. Elevene må forsøke å finne en strategi. Kanskje det er lurt å holde to størrelser konstante og variere den tredje? I Pyxidium lander en mystisk boks fra verdensrommet i hagen, og det følger med et talltastatur. Det viser seg at boksen reagerer på forskjellige måter når vi trykker inn tall på tastaturet. Hvilket tall åpner boksen? Elevene må lære seg å arbeide systematisk for å løse problemene i disse programmene. Her ser vi at datamaskinen kan gi et utgangspunkt for utforskingsoppgaver som kan løses i grupper. I programmet Gjemsel i koordinatsystemet skal eleven lese av koordinater for musa eller gjette hvor i koordinatsystemet hunden eller kua gjemmer seg. Vi gir koordinater og får tilbakemelding om avstanden til gjemmestedet. Avstand måles enten direkte (i luftlinje) eller langs rutenettet i koordinatsystemet (taxiavstand). Den samme ideen finner vi i spillene Find stedet og Pirates. I det siste skal vi finne en skatt, og her er det også mulig å velge tre koordinater.

3.4 Programmer for å forstå begreper og sammenhenger Elevene må erfare selv for å danne begreper. Flere spill fra den danske INFA-klubben gir elevene slike muligheter. Blant annet kan de arbeide med sannsynlighetsbegrepet. I spillet Stat30 skal spillerne flytte brikker på et brettspill. For å flytte brikken trekker datamaskinen et tilfeldig tall fra én av tre esker. Eskene inneholder forskjellige tall, og spilleren velger hvilken eske som skal brukes. Noen ruter i spillet bør unngås, og noen gir ekstra bonus. Spilleren må derfor vurdere hvilken eske som vil gi best sjanse for et godt resultat. Dermed kommer vurdering av enkel sannsynlighet inn i spillet. Maxi lar også elevene vurdere sannsynlighet kombinert med å vurdere tallstørrelser. Det kan være to eller tre spillere. Programmet trekker tilfeldige tall innenfor en gitt grense, ett om gangen. Hver spiller kan velge om han vil satse på tallet som nettopp er trukket ut, før neste tall trekkes. Den som satser på det største tallet vinner. Det gjelder å satse på det rette tallet, eller så nær som mulig. Underveis må spilleren vurdere sannsynligheten for at det blir trukket et større tall seinere.

Programmet Eureka fra Shell Centre Publications gir elevene erfaringer med sammenhengen mellom en situasjon og en graf. Elevene ser hvordan sammenhengen er mellom tida og vannstanden i badekaret etter hvert som vannet tappes inn eller ut, og om Arkimedes setter seg i badekaret eller går ut. Vi kan vise et bilde av badekaret og se hvordan vannstanden forandrer seg, raskt eller sakte, samtidig som grafen tegnes opp. Men vi kan også bare vise bildet der elevene får se hva som skjer med badevannet. Oppgaven kan da være å diskutere hvordan den grafen som beskriver dette, vil se ut. Omvendt kan vi også vise en graf, men uten bildet og gi eleven i oppgave å skrive en badehistorie. Bottles er et liknende program. Der ser vi på hvordan vannhøyden

57

endrer seg etter hvert som flasker og kolber i forskjellige fasonger fylles med vann fra en jevn strøm. Programmer av denne typen passer godt som utgangspunkt for en diskusjon med grupper av elever eller med hele klassen, og det er et hjelpemiddel for læreren til å støtte undervisningen når temaet er å tolke grafer.

Under arbeidet med funksjoner får vi behov for å tegne opp mange eksempler på grafer. Med tavle og kritt eller papir og blyant er dette tidkrevende. Med data­ programmer kan det gjøres raskt og effektivt og gi mulighet for å eksperimentere med kurvene. Datamaskinen får fram den dynamiske forandringen av grafen når tida går. Grafen forteller om en bevegelse, noe som kommer godt fram. Datamaskinen kan fungere som elektronisk tavle, og vi får mulighet for en ny måte å presentere stoffet på. I 7. klasse studerer vi rette linjer i et koordinatsystem. Vi tegner opp y - 3x - 4, y = 3x og y = 3x + 2.

Et par av disse kan vi godt tegne på papiret først. Hvilken betydning har tallene 3 og 4 i den første formelen? Hva blir formelen for ei linje som ligger mellom de to gitte? Hva med ei linje som går brattere enn disse? Nå er det lett å prøve ut elevenes forslag direkte på datamaskinen. Det fins flere enkle kurvetegningsprogrammer som egner seg godt for denne typen arbeid. Programmene Grafbox, GXP eller AnuGraph kan tegne alle de vanlige matematiske funksjonene, fra rette linjer, parabler og hyperbler til trigonometriske funksjoner og mer sammensatte funksjonsuttrykk. Vi kan studere hvordan tangenten til en kurve forandrer seg når vi flytter tangeringspunktet langs kurven. Disse programmene gir også nye muligheter til å løse likninger grafisk, finne nullpunkter og studere maksima og minima. Se også omtalen av dette under algebra og funksjoner, avsnitt 2.4 og 2.5.

Vrigrafer spesielt laget for å studere linjer, parabler og hyperbler. Her får vi se formelen, parameterverdiene og grafen til funksjonen i hvert sitt vindu.

58

Vi kan ta tak i grafen og flytte og vri på den. Samtidig ser vi hvordan likningen og parametrene forandrer verdi. Eller vi kan forandre verdier på a, h og c, for eksempel i formelen y = ax2 + bx + c, og se hvordan parabelen forandrer seg eller forskyves.

3.5 Større pedagogiske programpakker Vi på Vindusrekka er et programsystem, en samling av flere programmer, som dekker de fleste sentrale emner i matematikken på mellomtrinnet i grunnskolen. Emneheftene gir en samlet oversikt over fakta, definisjoner og regneregler, og kan fungere som repetisjon og oppslagsverk. De er bygd opp som hypertekster, slik at ved å klikke på spesielt markerte ord i teksten kommer det opp et nytt vindu med utfyllende informasjoner eller forklaringer. Slike hypertekstlenker kan også starte andre programmer i systemet for å illustrere videre det aktuelle emnet. Andre deler av programsystemet kan gi oppgaver skrevet ut på papir, eller er "laboratorier" for bestemte emner. I statistikklabben kan vi enten ta inn enkle statistikker fra en tekstfil, generere tilfeldige tall eller hente tall fra en reaksjonstest. Vi kan ordne tallene i frekvenstabeller, med eller uten gruppering, og tegne grafer.

Vi på Vindusrekka har også noen enkle spill for å trene tallbehandling, f.eks. finner vi kjente spill som Memory og magiske kvadrater i spillet Magi. Daffino er et tallspill basert på dominoideen, der brikkene må plasseres inntil hverandre etter bestemte

59

regler. I disse spillene er det muligheter for å stille inn forskjellige verdier, tallområder og regler som bestemmer vanskegraden. I spillet Erlik får eleven en del brikker med tall og regneoperasjoner og skal plassere disse slik at det blir et riktig regnestykke. Det kan være flere løsningsmuligheter, og her må elevene selv kombinere tall og beregne svarene. I Vi på Vindusrekka er det en viss integrasjon av de forskjellige programtyper, men det er ingen registrering av elevenes prestasjoner. Læreren eller eleven må selv tilpasse vanskegraden ved å velge passende innstillinger for oppgavene. I andre større programsystemer, som betegnes Integrerte Læringssystemer (ILS), fins det styreprogram som overvåker den enkelte elevs prestasjoner og styrer videre progresjonen gjennom programmet avhengig av framgangen. Tanken er at elevene i korte perioder på 15 20 minutter skal arbeide individuelt i en datalab, gjerne med hodetelefon for å utnytte lyden i programmene. Det er gjort en del forsøk med slike programmer i andre land, men foreløpig (1997) kjenner vi ikke til slike forsøk i norsk skole.

3.6 Sluttkommentarer Det fins stor variasjon i programvare utviklet spesielt for skolebruk, men det ser ut til at en stor del av disse er rene drill og treningsprogram. I mange tilfeller kommer tilbakemeldingen i programmet bare i form av rett/galt, og det gis ingen videre forklaring. Noen av programmene vektlegger trening i de vanlige algoritmene som etterhvert blir mindre aktuelle å bruke. Andre programmer er så vanskelige i bruk, at det faglige innhold kommer i bakgrunnen. Ytre effekter og kanskje teknisk krevende operasjoner kan virke forstyrrende, som “støy”, og tar for stor del av oppmerksomheten. Men det fins også gode spill og utforskingsprogrammer som stimulerer elevene til å tenke videre og finne ut av sammenhenger. Ut fra ideen om at elevene selv må bygge opp og konstruere sine kunnskaper ved å oppdage sammenhenger, er det viktig å vurdere om programvaren stimulerer til dette. Læreren må kjenne det faglige innhold i programmene og vurdere hvilke pedagogiske ideer de bygger på. I mange tilfeller vil programmene ha større verdi om de blir fulgt opp med andre oppgaver og videre diskusjoner av problemstillingen. Programvaren må brukes slik at bruken går inn i en sammenheng for å kunne være en støtte for den øvrige undervisningen.

3.7 Programmer Programmmene som er omtalt i dette kapitlet leveres fra flere forhandlere. Forhandlerne har kataloger over aktuell programvare. Se liste med adresser i kapittel 6. Følgende programmer er omtalt i dette kapitlet: Nasjonalt Læremiddelsenter: Mons og Marte, Tre på rad, Memory, Regnegrotten, Langfinger, Regelen Gjemsel i koordinatsystemet Vrigraf, Grafbox, Vi på Vindusrekka

A schehoug forlag: Klikk klakk A-D: Bl.a Stigene, Gullgruva, Roboten, Fisken, Urspillet

NTNU: GXP, GrafeXpert Pluss

Shell Centre Publications, Nottingham Pirates, Eureka, Bottles, Bridges Sunflower, Pyxidium

INFA-klubben, Danmark: Find stedet, Faktor, Stat30, Maxi

60

4

Oppgaver og aktiviteter arbeidsark 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 91 92 93 94

Regneark: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 96 97 98

Finn formelen Finn motsatt formel Talleksperimenter Tallmønstre - tallrekker Tallrekker - desimaltall Fibonaccitall Flere tallrekker Flere tallrekker - samme regel Eksperimenter med ulikheter En rik onkel Blink - multiplikasjon med desimaltall Sum og produkt Finn regelen Eksperimenter med desimaltall Figurtall Temperaturkurver Funksjonstabeller og grafisk framstilling Funksjoner - likninger Kvadratrot - en gammel metode Tallmaskiner Trekanter Sirkler og rektangler Esker av papp Beitemark ved elva Regne om mellom ulike enheter Forskjellig valuta Handlelista til Nils Sparing og rente Vekst og minking Lån med etterskuddsrente Annuitetslån Leie bil Bilsalg Folketall i Kristiansand Folketall og tilvekst i Kristiansand Tilfeldige tall - simulering Simulering og frekvensfordeling Pakke i posten Store brev Smågodt Prislapper på ost Valuta for pengene

Noen andre geometriske ideer: 68 69

Lag et tapetmønster Treet

Ideer og oppgaver med Logo: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

Statistikk: 40 41 42 43

Like langt fra hvert punkt Vanne jordbærene Like langt fra hver linje Midtpunktet på hver side Trekant og tyngdepunkt Trekant og høyder Kvadrat Kvadrater og andre figurer Pytagoras' setning Speilvendt hus Refleksjon og speil Biljardbordet En forskjøvet speiling Like langt fra punkt og linje Ovaler - ellipser Ny kurve - hyperbelen Ny kurve - sneglen Vinkler og seiling Tallinja Eske Geometri på dataskjermen Firkanter Sirkler, sekskanter og stjerner Trekanter

Batteriers levetid Spørreundersøkelse - lesevaner Blodtrykk hos rotter Noen tall om noen land

Styr skilpadda Regulære mangekanter Lage egne prosedyrer Prosedyre med parameter Stjerner og mangekanter Firkanter med variasjoner Formlike figurer Parallellogrammer og julestjerner Rektangler og sirkler Rekursjon og spiraler Mer rekursjon Koordinatgeometri Funksjonsmaskiner Tallrekker Faktorer og primtall Tilfeldige tall Terningskast Tilfeldige punkter i sirkelen

Basic - programmeringsoppgaver: Likninger, funksjoner og graftegning: 44 45

88 89 90

Rette linjer - lineære funksjoner Løs likninger

Konstruksjons geometri: 46 47

Lage tallrekker Finne faktorer og primtall Løse likninger

Internett: 95 99

Bilfelger Trekant og vinkler

61

Miljøet vårt Forandring i pengeverdi

62

Arbeidsark 1

FINN FORMELEN Arbeid sammen med en annen elev.

A

1 2

B

C

5

en

4

a

Sett inn et tall i A2. Skriv også en hemmelig formel i rute C2, uten at medeleven din ser den. Flytt markøren tilbake til A2. Nå skal medeleven finne ut hvilken formel du har skrevet i C2 uten å kikke.

Eksempel Du skriver inn formelen =A2 + 3 i rute C2. Denne formelen tar tallet i A2, legger til 3 og skriver svaret i C2. b

Nå skal kameraten din gjette hva den hemmelige formelen din er. Han eller hun kan prøve med en formel i for eksempel rute B4 og se hvordan den virker på tallet i A2. Hun eller han kan skrive nye tall inn i A2, og hver gang prøve ut sitt forslag til formel, for å se om svaret blir det samme som svaret i C2. Det er likevel ikke lov å flytte markøren til C2.

c

Bytt roller og prøv med flere formler.

Formlene dere bruker i C2 kan være noen som likner disse:

=A2 - 0,5 =3*A2 =A2/5 =2*A2 + 1

som tilsvarer: x - 0,5 3x x 5 2x + 1

=A2/2 - 3

=0,2A2 + 0,4

d

0,2x + 0,4

Skriv litt om hvordan du tenker for å finne fram til formelen.

Tema\ Funksjoner, lage formler Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

63

Arbeidsark 2

FINN MOTSATT FORMEL Arbeid sammen med en annen elev. a

Sett inn et tall i A2 og en formel i rute C2, uten at medeleven din ser det.

Eksempel Du skriver formelen =A2 + 3 eller en som likner på den. A

1 2 3 4

B

5

C =A2+3

b

La så først kameraten din finne fram til formelen din (som i arbeidsark 1).

c

Deretter skal dere sammen finne en ny formel som går motsatt veg. Det betyr at formelen bruker tallet i C2 og gir tallet i A2 tilbake igjen. Skriv denne formelen i C4. Prøv med forskjellige tall i A2 for å kontrollere at formelen er riktig.

Eksempel Løsningen i eksemplet ovenfor blir slik: A

1 2 3 4

d

B

5

C

8 =C2-3

Lag flere oppgaver for hverandre av denne typen.

Formelen i C2 kan være: =A2 + 5 =0,4*A2

som tilsvarer: x+5 0,4x

=A2/3

x_

=3*A2 -1

3x- 1

3

=A2/3 + 1

e

Skriv litt om hvordan dere tenker for å finne fram til den motsatte formelen i hvert tilfelle.

Tema-. Funksjoner, lage formler Program-. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

64

Arbeidsark 3

TALLEKSPERIMENTER Arbeid to-tre elever sammen.

a

Studer denne oppstillingen.

1 2 3 4 5 6

A 1 4 7

B 2 5 8

C 3 6 9

D

63 100

27

7

F

E 3

De ni tallene 1,2, ..., 9 er satt inn i hver sin rute i området A1:C3.1 noen av rutene i E-kolonnen og i linje 5 er det skrevet inn en formel som bruker noen av de ni tallene. For eksempel er her formelen =A1*C1 brukt i El. I ruta E5 står summen av de andre tallene i linje 5 og i kolonne E. Kikker du etter, ser du at i E5 står formelen =E1 + E3 + A5 + C5.

b

Finn ut hvordan oppstillingen er laget, og lag den samme på regneark.

c

Forsøk nå å bytte om på de ni tallene i Al :C3 slik at summen i E5 blir størst mulig.

d

Prøv å få summen minst mulig.

e

Her er en liknende oppgave. Lag oppstillingen nedenfor. Bytt om på tallene i A1:C3 slik at svaret i E5 blir størst mulig. Prøv også å få det minst mulig.

1 2 3 4 5 6

A 1 4 7 8

B 2 5 8

C 3 6 9 12

D

F

E 24 63

107

Er det mulig å få svaret til å bli nøyaktig 50 eller nøyaktig 100? f

Lag selv en oppgave av denne typen, og la en i klassen din løse den.

Tema: Tall, hoderegning Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

65

Arbeidsark 4

TALLMØNSTRE - TALLREKKER

Arbeid to-tre elever sammen.

1 2 3 4

A 1 =A1 + 1 =A2 + 1

D

C

B

a

Skriv tallet 1 i ruta Al, og formelen =A1 + 1 i A2. Neste formel i A3 skal være =A2 + 1. Kopier den siste formelen nedover. Se på resultatet. Sett inn et annet tall i Al, og se hva resultatet blir nå.

b

Sett inn tallet 1 i Bl. Skriv en formel i B2 slik at tallet der blir 3. Kopier formelen nedover og studer resultatet. Kan dere finne flere måter å gjøre dette på?

c

Se på tallrekkene nedenfor. Hva blir de neste tallene som kommer nedover i hver av rekkene? Finn ut hvordan dere kan lage hver av disse tallrekkene på regneark:

1 2 3 4 5 6

A Nummer 1 2 3 4

Nummer 1 2 3 4

B Tall 2 4 6 8

Tallrekke 1 4 7 10

C

Nummer 1 2 3 4

Tallrekke 1 4 9 16

Nummer 1 2 3 4

Tallrekke 1 3 9 27

Undersøk om det kan gjøres på flere måter. Forklar hvordan sammenhengen er i hver av tallrekkene.

d

Lag noen liknende oppgaver for en annen elevgruppe.

Tema: Tall, tallmønster, tallrekker Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

66

Arbeidsark 5

TALLREKKER - DESIMALTALL Arbeid to-tre elever sammen.

a

B 0,3

A 1 =A1 + 1 =A2 + 1

1 2 3 4

C

D

Skriv inn 1 i Al og formelen =A1 + 1 i A2. Neste formel i A3 skal være =A2 + 1. Kopier den siste formelen nedover. Sett inn et annet tall i Al, og se hva resultatet blir nå. Sett inn tallet 0,3 i Bl. Skriv en formel i B2 slik at tallet der blir 0,5. Kopier formelen nedover og studer resultatet.

b

Studer tallrekkene, og skriv opp de fire neste tallene nedover i hver kolonne. 0,1 0,2 0,3 0,4

0,2 0,4 0,6

0,01 0,03 0,05

0,12 0,135 0,15

7,6 6,3 5,0

1,17 1,15 1,13

Lag de samme tallmønstrene på regneark og sammenlikn. Fikk du samme resultat?

c

Her er noen flere tallmønstre. Finn hvert av mønstrene, og skriv flere tall videre i hver kolonne. Lag dem på regneark. 1 2 4 8

1 L5 2,25

3 0,9 0,27

4 2 1

7 2,8 1,12

Sammenlikn formlene deres med de som noen andre grupper har funnet. Er formlene de samme? Kan disse tallrekkene lages på flere måter?

Tema\ Tall, tallmønster, tallrekker Program-. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

67

Arbeidsark 6

FIBONACCITALL For 800 år siden satte Leonardo fra Pisa, kalt Fibonacci, fram følgende problem: Utgangspunktet er et harepar. Alle harepar får hver måned et par hareunger. De får første kullet når de er to måneder. Hvor mange harepar blir det da hver måned framover, når vi forutsetter at ingen harer dør?

Problemet gir fibonaccitallrekken 1, 1, 2, 3, 5 .... Denne tallrekken kommer fram i mange sammenhenger. Eksempler er familietreet for en drone og i spiralmønsteret i kongler, solsikker og ananasfrukt. Det fins mange interessante sammenhenger innbyrdes mellom tallene i denne rekka.

a

Arbeid to-tre elever sammen. Lag fibonaccitallene på regneark. Dere skal få fram tallrekka 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Starten kan se omtrent slik ut:

1 2 3 4 5 6 7 8

A Nummer 1 2 3 4 5 6 7

B Fibonaccitall 1 1 2 3 5 8

C

b

Vi vil studere summer av fibonaccitall. Vi bruker kolonne C. Skriv i C2 formelen =B2, og skriv i C3 formelen = C2 + B3. Hvordan blir det videre nedover? Se om dere finner noen sammenhenger.

c

Nå vil vi se på forhold mellom to fibonaccitall. I kolonne D skal vi regne ut forholdet mellom to som følger etter hverandre. Sett i D3 =B3/B2, i D4 =B4/B3 osv. Hvordan går det med dette forholdstallet videre nedover?

d

I kolonne E vil vi lage summer av annethvert fibonaccitall. Vi vil for eksempel ha summen 1+ 2 + 5 i E6 og summen 1 + 3 + 8 i E7 osv. Finn ut hvordan dette kan gjøres.

e

Vi vil se på hva som skjer med fibonaccirekka om vi forandrer litt i starten. Bruk den oppstillingen dere har laget med fibonaccitall, men sett nå inn tallet 3 i B3. Se på tallene som nå kommer fram i kolonne B. Dette er lucastallene. Kan dere finne ut noe om lucastallene?

f

Prøv å lage andre tallrekker, for eksempel ved å velge to andre starttall i rutene B2 og B3. Hvordan blir resultatet?

Tema'. Tall, tallmønster, tallrekker Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

68

Arbeidsark 7

FLERE TALLREKKER a

Vi skal starte med et par av tall og lage tallrekker ut fra disse to. Tallrekkene her er i hvert tilfelle laget etter en bestemt regel som starter med det første tallparet p ogq.

1

p 1 2 5 12 29

q i 3 7 17 41

2

P 4 11 26 63 152

3

7 15 37 89 215

P 7 17 41 99 239

§•

'gi

i^i i

i^i i *1 i *i i

i si i &i i^i

'al 1 gi

'sl 'sd

ig|

ijJ 'sjl

ig! iol

"It is very hot here today, 80 degrees. " a

Når det er 0 grader celsius, er det 32 grader fahrenheit, og når det er 100 grader celsius, er det 212 grader fahrenheit. Lag en tabell som viser sammenhengen mellom celsius- og fahrenheitgrader.

"I went for a short walk yesterday, 3 miles."

b

I enkelte land brukes fremdeles måleenheten miles for avstander. 1 engelsk mile er 1,609 km. Lag en omregningstabell som viser avstander i miles og km, lag tabellen for avstander 1 - 25 miles. Fred går en tur på 5 miles, og Jane går 7,5 miles. Hvor mange km går de? Ola går en tur på 12 km, Ellen går 7 km, mens Kari går 25 km på ski. Bruk tabellen til å finne ut omtrent hvor mange miles hver av dem har gått.

"Jeff just had to fill up fuel on his car, it took 9 gallons. "

c

Gallon er et vanlig engelsk mål for volum: 1 gallon = 4,54609 liter. Lag en omregningstabell fra gallon til liter, for 1 - 10 gallon. Lag en tilsvarende tabell for omregning til gallon for 1 - 30 liter. På ferieturen i England fylte Jeff bensin flere ganger: 5 gallon, 7,3 gallon, 4,8 gallon og 5,5 gallon. Finn ut hvor mange mange liter han fylte hver gang. Hva fylte han til sammen?Kan du finne det på to måter?

d

Bilen til Jeff går 36 mile per gallon, men bilen til Ola bruker 0,7 liter per mil (10 km). Hvilken av bilene bruker minst bensin? Lag formler på regneark for å regne om mellom måleenhetene slik at tallene kan sammenliknes. Sammenlikn 31 miles per gallon med 0,85 liter per mil.

Tema: Enheter, omgjøring, proporsjonalitet Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

87

Arbeidsark 26

FORSKJELLIG VALUTA På en ferietur i Europa skal familien til Eva og Jens reise innom flere land: Tyskland, England, Danmark og Belgia. For å kunne regne om og sammenlikne priser lettere trenger de tabeller. (I tabellene kan det være lurt å velge et bestemt format for tallene, slik at regnearket viser to desimaler. Da blir det lettere å lese tabellene.)

Valutakurser (september 1997): NOK 100 danske kroner 107 norske kroner 100 tyske mark 412 norske kroner 100 belgiske franc 19,90 norske kroner 1 engelsk pund 11,60 norske kroner

Finn en nyere kurs på disse valutaene. a

Lag omregningstabeller fra NOK til hver av valutaene.

b

Lag omregningstabell fra engelske pund til NOK.

c

I ei engelsk avis finner vi at kursen på tyske mark DM er angitt til 2,536. Lag omregningstabell fra engelske pund til tyske mark.

Bruk tabellene til å løse oppgavene: d

En Walkman koster £ 20 i England. Hva blir prisen i norske kroner? I Tyskland får de den samme for DM 45. Er det lurt å kjøpe den i Tyskland?

e

I England koster en CD-plate fra £ 4,50 til £ 12. Tilsvarende norske priser er fra 55 til 165 NOK. Hva bør prisene være i DM for at det skal lønne seg å kjøpe CD-platene i Tyskland?

f

Ola trenger nye joggesko. Han kan kjøpe de samme skoene for £ 55, DM 120 eller 550 NOK. Hvor bør han handle?

Tema'. Valutakurser, omgjøring, proporsjonalitet Valutakurser: http://www.norges-bank.no/stat/ Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

88

Arbeidsark 27

HANDLELISTA TIL NILS Nils er kjøkkenleder på et elevinternat og handler store mengder matvarer. Her er prislista fra butikken:

STJERNE-MAT PRISLISTE

a

Kneippbrød

8,50

Loff

12

Smør

6,70

Ost per kg

53

Melk per liter

8,50

Servelatpølse

16,60

Fårepølse

12

Sjokoladepålegg

20

Syltetøy per kg

25

Matpapir per rull

12

En dag handler Nils 10 kneippbrød, 4 pakker smør, 2 kg ost, 5 pakker servelatpølse, 8 liter melk, 6 pakker fårepølse, 2 kg syltetøy, 2 bokser sjokoladepålegg og 3 ruller matpapir. Sett opp en oppstilling med forklarende tekster på regneark som Nils kan bruke for å få oversikt over innkjøpet. Alle kronebeløp skal oppgis med to desimaler. Du kan bruke format-kommandoen i regnearket for å få til dette.

b

Butikken tilbyr 3 % rabatt til faste kunder som Nils, men når en kunde handler for mer enn 500 kr, får han 8 % rabatt. Beregn rabatten for Nils. Vurder om han bør handle mer varer denne dagen for å få bedre rabatt.

c

Neste uke setter butikken ned alle priser med 2 % på grunn av butikkens 25 års jubileum, mens rabattsatsene er de samme. Gjør forandringer i regnearket slik at du kan bruke det for denne uka også.

En dag denne uka er handlelista slik: 8 kneippbrød, 2 loff, 1 pakke smør, 2 kg ost, 4 pakker servelatpølse, 10 liter melk, 10 pakker fårepølse, 1 kg syltetøy, 5 bokser sjokoladepålegg og 3 ruller matpapir. Hvor mye må han nå betale, og hvor mye rabatt får han? d

Nils vurderer å forandre noe på handlelista denne gangen for å gjøre det billigere. Hva kan han gjøre?

Tema\ Enkle formler, prosent, økonomi Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

89

Arbeidsark 28

SPARING OG RENTE Kristin setter penger i banken i begynnelsen av året og vil finne ut hvor mye pengene vokser. Hun setter inn 3000 kr, og rentefoten er 5 %.

a

Lag en slik tabell, som viser hvordan kapitalen vokser: Kapital 01.01 3000 3150

År 1997 1998 1999

Rente 150

Bruk formler for å regne ut rente og kapital i 1998 og kopier nedover slik at regnearket automatisk regner ut. b

Nå bestemmer Kristin seg for å sett inn et bestemt beløp 1. januar hvert år framover. Kristin trenger et regneark. Hjelp henne med å lage ferdig denne tabellen:

1 2 3 4 5 6 7 8

A Sparebeløp Rentefot

B

C 3000 5

D

År

Kapital 3000 6150

Rente 150

Kapital 31.12 3150

1997 1998

Merknader: Rentefoten og innskuddsbeløpet bør settes i egne felt i regnearket. Finn ut hvilke formler du må bruke for å beregne rente i rute C5, kapital i D5 og kapital i B6. Legg merke til at du trenger en fast henvisning til Cl, sparebeløpet, og til C2, rentefoten. Du kan definere navn på disse rutene og bruke dem i formlene. c

Hvor mange år må Kristin spare for å ha 35 000 kr? Rentefoten går ned til 4,5 %, men Kristin bestemmer seg for å spare 3 500 kr hvert år. Hvor mange år tar det før hun har 35 000 kr?

d

Kristin trenger 60 000 kr om 5 år. Rentefoten er nå 5,5 %. Hvor stort beløp må hun sette inn hvert år?

e

Lag diagram som viser hvordan rente og kapital vokser. Vurder forskjellige måter å gjøre dette på.

Tema: Prosent, rente, vekst-funksjoner Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

90

Arbeidsark 29

VEKST OG MINKING Christian setter 10 000 kr i banken og lar beløpet stå urørt i 6 år. Rentefoten er 6. Vi skal lage en tabell som viser hvordan beløpet forandrer seg. Etter ett år er beløpet vokst til 10 000 • 1,06. Vi bruker vekstfaktoren 1,06 for å beregne kapitalen neste år:

1 2 3 4 5 6 7 8

C

A Startbeløp Vekstfaktor

B 10 000 1,06

År 1994 1995 1996

Kapital per 01.01 10 000 10 600

a

Hvor lenge må pengene stå i banken for at de skal vokse til 30 000 kr når rentefoten er 7,5? Hva må startbeløpet være for å få 50 000 kr etter 8 år med 6,5 % rente?

b

Forskere har funnet ut at de kan beregne alderen på bestemte typer arkeologisk materiale ved å måle innholdet av C14, som er et radioaktivt karbon. Mengden av C14 minker med 12 % per 1000 år. Lag en tabell som viser hvor stor prosent av C14 som er igjen etter 1000 år, etter 2000 år, etter 3000 år, ... , og etter 15 000 år. Hvor lang tid tar det før innholdet av Cl4 er halvert?

c

En alge formerer seg ved å dele seg i to. I løpet av et døgn kan algen dele seg tre ganger når forholdene er gunstige. Lag en tabell som viser hvordan antallet alger øker. Hvor mange døgn tar det før det er blitt 500 alger, 5000 alger og 250 000 alger?

d

Studer tabellene i punktene foran, og se om du kan finne en oppstilling som kan brukes i alle tre eksemplene.

Tema-. Prosent, rente, vekst-funksjoner Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

91

Arbeidsark 30

LÅN MED ETTERSKUDDSRENTE

a

Kristin har et lån i banken på 25 000 kr. Dette skal nedbetales med et avdrag på 2 000 kr per halvår i tillegg til renten, som er på 7,5 % per år. Rente beregnes etterskuddsvis, slik at Kristin første gang betaler renter for et halvt år av 25 000 kr.

Du skal lage tabell for å gi en oversikt:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A Lånebeløp Rentefot Avdrag

B

C

D 25 000 7,5 2 000

E

Termin 0 1 2

Avdrag

Rente

Å betale

2 000 2 000

937,50

Restgjeld 25 000 23 000

2 937,50

Finn ut hvilke formler du må bruke for å bygge opp tabellen. Du må her beregne rente i rute C7 og restgjeld etter første avdrag i D7. Legg merke til at du trenger en fast henvisning til Dl, lånebeløpet, til D2, rentefoten, og til D3, avdraget. Du kan sette navn på disse rutene. b

Lag diagram som viser hvordan summen av avdrag og renter utvikler seg. Tips: Bruk stablet stolpediagram.

c

Bruk tabellen du har laget i a til å svare på spørsmålene: Olav tenker på å låne 40 000 kr til 8,5 % rente. Han vil betale tilbake i løpet av 8 år og ønsker å få en oversikt over hva han må betale. Når det er gått to år, ønsker han ikke å betale mer enn 3 500 kr samlet hver termin. Hvordan må lånebetingelsene forandres for å oppnå dette? Hva tror du det er mest realistisk å forandre på?

d

Familien Hansen skal kjøpe hus og trenger et lån på 350 000 kr. I Sentrumsbanken kan de få et førsteprioritetslån på 200 000 med 6,5 % rente og et andreprioritetslån på 150 000 med 9 % rente. I Lillebybanken kan de få låne hele beløpet til 8 % rente. Familien ønsker å betale ned hele lånet over 20 år, med halvårlige avdrag. Hvordan blir betalingsplanen i hver av de to bankene?

Tema: Prosent, rente, lån, vekstfunksjoner Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

92

Arbeidsark 31

ANNUITETSLÅN

a

Einar ønsker å kjøpe seg en liten leilighet og vil låne 120 000 kr. Banken sier han kan få et annuitetslån til 7 % rente p a, og som skal nedbetales med et avdrag to ganger per år. Et annuitetslån betyr at han skal betale samme terminbeløp hver gang, altså at summen av rente og avdrag er fast. Renten beregnes etterskuddsvis, og når renten er beregnet, kan vi finne hvor stort avdraget blir. Einar skal betale et fast terminbeløp på 5000 kr.

Vi lager en tabell for å få oversikt hvor mye renter og avdrag det blir på lånet til Einar:

1 2 3 4 5 6 7 8

A Lånebeløp Rentefot Terminbeløp

B

C 120 000 7 5 000

D

Termin 0 1 2

Rente

Avdrag

4 200

800

Restgjeld 120 000 119 200

Finn ut hvilke formler du må bruke for å lage tabellen. Du trenger her en formel for å beregne rente i rute B7, avdraget etter første termin i C7 og restgjeld etter dette i D7. Legg merke til at du trenger en fast henvisning til Cl for lånebeløpet, til C2 for rentefoten og til C3 for terminbeløpet. Du kan sette navn på disse rutene. b

Lag diagram som viser hvordan summen av avdrag og renter utvikler seg. Tips: Bruk stablet stolpediagram.

c

Bruk tabellen du har laget i a til å svare på spørsmålene: Solveig tenker på å låne 160 000 kr til 8,5 % rente. Hun vil betale tilbake i løpet av 8 år og ønsker å få en oversikt over hva hun må betale. Hun ønsker ikke å betale mer enn 13 000 kr samlet hver termin (hvert halvår). Hvordan må lånebetingelsene forandres for å oppnå dette? Hva tror du det er mest realistisk å forandre på? Hva blir nå terminbeløpet hun må betale etter to år?

d

Familien Bø skal kjøpe hus og trenger et lån på 370 000 kr. I Sentrumsbanken kan de få et førsteprioritetslån på 200 000 kr med 6,75 % rente og et andreprioritetslån på 170 000 kr med 8,5 % rente. I Lillebybanken kan de få låne hele beløpet til 7,5 % rente. De ønsker å betale ned hele lånet over 25 år, med halvårlige avdrag. Hvordan bli betalingsplanen i de to bankene? Alle lån er annuitetslån.

Tema-, Prosent, rente, lån, vekstfunksjoner. Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

93

Arbeidsark 32

LEIE BIL Et lite bilutleiefirma, TUT OG KJØR - BILUTLEIE har tre typer biler med følgende utleiepriser:

1 2 3

Liten bil Mellomstor bil Stor

Pris pr.døgn

km-pris

450 650 1000

5,00 9,50 10,50

Weekendtilbud 1050 1250 1450

Gjennomsnitt bensinforbruk 0,65 0,70 0,95

Weekendtilbudet dekker leie av bilen fra fredag ettermiddag til søndag kveld med fri kjørelengde (fritt antall km). Det skal betales 23 % moms. Bilen skal leveres tilbake med full bensintank. Leietakeren må derfor også regne med bensinutgifter når turen planlegges. Sjekk dagens bensinpris på en bensinstasjon, eller regn med en bensinpris på 8,20 kr per liter.

a

Lag denne pristabellen på regneark eller hent inn fra fil (Leiebil.xls). Regn ut prisen for en to dagers tur med kjørelengde 250 km.

b

Lag en oversiktlig oppstilling på regneark slik at TUT OG KJØR - BILUTLEIE straks kan få en utregning av hva prisen for turen blir ved å taste inn biltype (1,2 eller 3), antall døgn og km. Oppstillingen skal vise hva leietakeren må betale til bilfirmaet, og hva bensinutgiftene vil bli. TUT OG KJØR BILUTLEIE PRISOVERSLAG

Biltype

2

Antall døgn

3

Antall km

300

Beregnet leie Bil

650 Anslått bensinutgift:

Km-avgift

Tips: Du kan bruke SLÅ.OPP-funksjonen for å hente inn data fra tabellen. c

Tone skal på langtur fra tirsdag til søndag kveld, og hun vurderer et spesialtilbud på stor bil: Hele uka med fri kjørelengde (dvs. ingen km-avgift) for 15 000 kr. Hun regner med å kjøre i alt 1 650 km på turen. Hvilke alternativer bør hun vurdere? Tenk også på forskjellige biltyper. Hvordan blir det dersom hun starter turen på onsdag morgen i stedet for tirsdag og kjører 1 800 km?

Tema\ Økonomi Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

94

Arbeidsark 33

BILSALG ÅSMUNDS BILSALG selger fire biltyper av merket MotorStar. Tabellen viser listeprisene i første halvår 1994 og salgstall for det første kvartalet: PRISER OG SALGSTALL 1. KVARTAL 1994

Pris jan. febr. mars.

MS-100 135 000 12 10 8

| MS-200 165 000 15 18 13

| MS-300 210 000 4 6 8

| MS-vare 170 000 5 3 6

De fleste pruter på bilkjøp, så firmaet regner med at det gis en gjennomsnittlig rabatt på 5 %. Alle priser er netto, det vil si uten moms.

a

Lag denne tabellen på regneark, eller hent inn fra fil (bilsalg.xls). Sett inn nødvendige formler for å regne ut samlet bilsalg i første kvartal både for hver enkelt biltype og totalt.

b

Lag en oversikt over inntekter firmaet har hver måned på hver enkelt biltype og samlet. Ta også med samlet oversikt for hele kvartalet for hver enkelt biltype og samlet.

c

Lag en grafisk framstilling som viser salgsoversikt i antall biler for hver måned og samlet. Vurder hvilken diagramtype som passer best her: stolpediagram eller sektordiagram.

d

Lag også diagram som viser hvor stor del av salget som gjelder hver biltype samlet for første kvartal.

e

Beregn hvor mye moms firmaet har tatt inn ved biIsalget for hver måned og samlet for kvartalet.

\Tema: Økonomi, grafisk framstilling, moms \Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

95

Arbeidsark 34

FOLKETALL I KRISTIANSAND I tabellen nedenfor finner du folketallet i Kristiansand noen år bakover i tiden. Du kan også bruke tall for din egen kommune eller ditt eget fylke over et lengre tidsrom og undersøke dette. Tallene kan du kanskje få fra kommunen, Historisk statistikk eller på Internett. _______ _____________ År Folketall 1666 1 550 1700 2 260 1752 3 264 1801 4 816 1855 9 521 1900 14 666 1920 16 680 1941 18 976 1945 23 172 1956 27 263 1964 27 009 1965 51 300 1970 56 973 1975 59 499

Data fra denne tabellen fins på filer (KRSFOLK1.XLS og KRSFOLK2.XLS) som du kan hente inn i regnearket. Du kan også skrive inn data selv. Du kan godt bruke tilsvarende data fra din egen kommune til disse oppgavene. a

Lag en oversikt over årlig befolkningsvekst i Kristiansand fra 1666 og utover. Finn også gjennomsnittlig årlig befolkningsvekst så langt du kan for hvert årundre, og for hele perioden. Er det perioder med sterk vekst eller sterk tilbakegang? Hva kan årsakene være til det?

b

Lag en grafisk framstilling over befolkningstallet.

c

Befolkningsvekst regnes ofte i forhold til innbyggertallet. Regn ut befolkningsvekst i prosent av innbyggertallet. Velg selv om du vil regne per år for lengre perioder. Lag en grafisk framstilling og sammenlikn med det du fant tidligere.

d

På filen KRSFOLK2.XLS er det nyere data, og her er det også med hvor mange som er født, og hvor mange som døde, de siste åra. Beregn årlig befolkningsvekst for disse åra i antall innbyggere og prosentvis. Lag også grafisk framstilling. Sammenlikn med det du har funnet tidligere, og forsøk å finne forklaringer på det du ser.

Tema'. Tabeller, grafisk framstilling, statistikk Program'. Regneark Excel, Plan Perfect eller Claris Works Starim'fcL-http://www.ssb.no

96

Arbeidsark 35

FOLKETALL OG TILVEKST I KRISTIANSAND Vi arbeider videre med dataene fra arbeidsark 34, spesielt med dataene på filen KRFOLK2.XLS eller tilsvarende. Deler av denne filen fins i tabellen her:

År 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

Født 848 816 862 771 773 783 840 861 909 1012 1015 1001 1009

Døde 527 496 543 564 565 597 539 567 588 571 596 643 605

Innbyggere 60 889 61 433 61 834 61 703 62 213 62 640 63 407 63 637 64 344 64 926 65 729 66 398 67 113

a

Beregn årlig befolkningsvekst for denne tabellen i absolutte tall og i prosent.

b

I 1980 ble det født 848 mennesker, og Kristiansand hadde 60 889 innbyggere. Antall fødte per 1000 innbyggere er da 848/60,889 = 13,9. Det ble altså født omtrent 14 barn per 1000 innbyggere. Dette er fødselsraten. Tilsvarende finner vi at dødsraten i 1980 var omtrent 9. Fødselsoverskudd = fødselsrate - dødsrate Lag en ny kolonne i tabellen der du regner ut fødselsoverskuddet. Regn også ut befolkningsvekst per 1000 innbyggere og sammenlikn med fødselsoverskuddet. Hvordan kan du forklare forskjellene?

c

Befolkningstilveksten varierer fra år til år. For å se nærmere på langsiktig utvikling, beregner vi gjenomsnitt av tilveksten for fem år om gangen. For 1982 regner vi for eksempel gjennomsnitt av tilveksten for åra 1980 - 1985. Gjennomfør denne beregningen for tabellen, og lag en grafisk framstilling. Hvordan tror du innbyggertallet vil utvikle seg i åra framover?

Tema\ Tabeller, grafisk framstilling, statistikk Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

97

Arbeidsark 36

TILFELDIGE TALL - SIMULERING

a

Skriv inn funksjonen TILFELDIGØ i rute B4 på regnearket. Gjør ny utregning ved å trykk på funksjonstast noen ganger og se hva som skjer. Skriv nå inn formelen =1 + HELTALL(TILFELDIG()*6) f eks i C4, og trykk igjen noen ganger på . Hvilke tall kan du få ut av dette? Hvordan kan vi si at dette likner på terningkast?

b

Hvilken formel må du bruke for å få et av tallene 1,2, 3, ... 40 i rute B4? Sett inn denne formelen i ei rute, og prøv å bruke den som lykkehjul. Christian satser på tallene 12, 13 og 17. Tror du han vinner i løpet av ti omganger? Snurr lykkehjulet ti ganger (trykk på for neste omgang), og se om han vinner. Stemmer resultatet med det du trodde? Prøv flere ganger og se hvordan det går. Lag en tabell over resultatene dine.

c

Et lykkehjul gir 25 % sjanse for å vinne. Hvordan kan du simulere dette på regnearket? Tips: Tenk deg at 25 av tallene fra 1 til 100 gir gevinst. Lag en simulering, og snurr ti ganger. Hvor mange ganger vinner du?

d

Det kommer stadig bilister til vaskehallen for å vaske bilen. Nå skal vi simulere at det kommer biler og se når de kommer i løpet av en time, for eksempel mellom kl 14 og 15. Lag en formel som trekker tilfeldige tall fra 0, 1, ... 59 på regnearket. Hvir du f eks trekker 32 betyr det at en bil kommer kl 14.32.

La oss anta at det kommer fem biler på denne timen. Vasketida er ti minutter. Nå kan vi finne ut hvor lenge de må vente. Undersøk gjennomsnittlig ventetid. Undersøk hvordan det blir med åtte biler eller med ti biler i løpet av en time. Drøft: Omtrent hvor mange biler kan det komme per time før bensinstasjonen bør skifte ut vaskemaskinen med en som vasker raskere?

Tema'. Tabeller, grafisk framstilling, tilfeldige tall, simulering Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

98

Arbeidsark 37

SIMULERING OG FREKVENSFORDELING

a

Skriv inn formelen = 1 + HELTALL(TILFELDIG()*6), og trykk noen ganger på . Hvilke tall kan du få ut av dette? På hvilken måte kan vi si at dette likner på terningkast? Hvordan kan du bruke en liknende formel for å simulere kast med en mynt?

b

Bruk formelen =1 + HELTALL(TILFELDIG()*6) i B4, og kopier den nedover slik at det blir i alt 100 ruter med denne formelen. Nå skal vi telle opp hvor mange det ble av hvert tall. Vi skal lage en frekvenstabell, med utfall i C- og frekvenser i D-kolonnen. På de øverste linjene kan du godt skrive inn tekst som forklarer hva dette regnearket brukes til. Skriv inn de aktuelle utfallene - tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6 i kolonne C fra C4 og nedover. I kolonne D bruker vi en matriseformel for å telle opp: ={FREKVENS(B4:B103;C4:C9)} (se vedlegg om formler i kap 7.1). Nå har vi en frekvenstabell. De 100 tilfeldige tallene, som alle er fra 1 til 6, kan vi tolke som 100 forskjellige terningkast. Hvordan fordeler utfallene seg?

c

Lag også en kolonne som viser relative frekvenser. Lag diagram for å illustrere fordelingen. Prøv igjen å trykke på noen ganger. Hvordan er fordelingen?

d

Nå vil vi undersøke kast med to terninger og se hvordan det går med summen av dem. Lag to kolonner med tilfeldige tall og en tredje kolonne som beregner summen av dem.

Lag frekvenstabell og grafisk framstilling som viser fordelingen på de ulike summene. Hvordan kan du beskrive fordelingen? Trykk noen ganger på funksjonstasten . Hva skjer? e

Tenk deg at du kaster to mynter. Du kan få to mynt, to kron eller en av hver. Hvordan tror du fordelingen på de tre utfallene vil bli? Lag en simulering som kaster to mynter, og som teller opp frekvensen av de forskjellige utfallene. Lag også en grafisk framstilling.

Tema: Tabeller, grafisk framstilling, tilfeldige tall, simulering Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

99

Arbeidsark 38

PAKKE I POSTEN Porto for pakker blir bestemt av vekta av pakken. Men en pakke som sendes i posten må også ha begrensede mål. Pakker som tillates sendt skal ha summen av lengde og omkrets mindre enn 3,6 meter og største lengde 240 cm. Nå skal vi se nærmere på slike pakker:

35 cm 65 cm

Denne eska, som er 1 m lang og har høyde 35 cm og bredde 65 cm, er lovlig å sende.

a

Kontroller at denne pakken er lovlig å sende. Hvor stort volum har pakken? Hva blir største volum som er lovlig å sende når pakken skal ha lengde 1 m. Bruk dm som enhet og regn volumet i liter. (1 liter = 1 dm3). Bruk regneark, slik at du kan prøve deg fram med forskjellige tall.

b

Hva blir største lovlige volum når pakken skal ha lengde 8 dm? Hva blir største lovlige volum når pakken skal ha lengde 1,2 m?

c

Hva blir målene på den esken som har størst volum, og som er lovlig postpakke?

d

Hva blir det største volumet av en pakke når den er formet som en sylinder? Finn ut største volumet for forskjellige lengder.

e

Pakker som har lengde pluss omkrets mindre enn 2 m, er billigere å sende. Undersøk hva som nå blir det største volumet av en pakke, formet som eske eller formet som sylinder.

f

Hvilken form mener du en postpakke bør ha? Skriv noen setninger for å begrunne svaret. Tenk også på andre egenskaper enn volum når du svarer.

g

Brev som sendes i posten, har også begrensede mål, både minste og største lovlige mål. Hvis du har tid og anledning: Undersøk hvordan reglene er, og finn ut noe mer om volum av brevpost.

Tema'. Omkrets, volum, desimaltall Program-. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works Posten: http://www.posten.no

100

Arbeidsark 39

STORE BREV Minstemålet for brev er (1999) 9 cm x 14 cm. Det er også et største lovlige mål. Konvolutter kan ha lengde høyst 60 cm og summen (lengde + bredde 4- tykkelse) høyst lik 90 cm. Største lovlige vekt er 1 kg. Brev sendt som en rull, skal ha lengde minst 10 cm og høyst 90 cm. Videre må rullen ha summen (lengde + dobbelt diameter) på minst 17 cm og høyst 104 cm.

a

En C4 konvolutt er beregnet for å inneholde en bunke A4-ark og har mål omtrent 23 cm x 33 cm. Hvor tykk bunke går det å sende i en C4 konvolutt? I denne oppgaven ser vi bort fra begrensinger når det gjelder vekt.

b

Hva blir største lovlige volum av en konvolutt som har den lengste sida lik 50 cm? Hva blir volumet dersom lengste sida er 60 cm? Bruk 1 dm som enhet, og regn volumet i liter. Lag en oppstilling på regneark slik at du kan prøve med forskjellige verdier på bredde og høyde.

c

Finn største lovlige volum for en konvolutt.

d

Hva blir minste lovlige volum for en rull som kan sendes i posten?

e

Hva blir største lovlige volumet for en rull som har lengde 60 cm? Hva blir største volumet for en rull når lengden er 70 cm? Bruk 1 dm som enhet og gi svaret i liter. Lag oppstilling på regneark slik at du kan eksperimentere med flere lengder.

f

Hva blir det største volumet av en rull som sendes i posten?

g

Hva blir beste formen på et brev når volumet skal være størst mulig?

h

Postpakker kan være større enn brev, men det gjelder begrensinger på disse også. Undersøk hvordan reglene er og finn ut noe mer om volum av postpakker.

Tema\ Omkrets, volum, desimaltall Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works Posten: http://www.posten.no

101

Arbeidsark 40

BATTERIERS LEVETID Anne har et oppdrag på jobben. Hun undersøker levetiden for tre ulike batterityper, og finner hvor mange minutter de varer når de utsettes for en bestemt belastning (koples til ei lyspære). Hun kjøper 30 tilfeldig valgte batterier av hver av de tre typene. Her er levetida (avrundet til nærmeste hele minutt):

Type A:

46 51 53

57 57 43

63 66 48

43 43 51

64 37 45

55 47 49

43 49 51

56 56 54

53 44 50

60 62 50

52 61 48

46 55 57

53 52 62

66 58 65

75 47 59

60 63 59

53 67 46

51 56 30

46 45 44

56 61 41

72 50 47

32 41 58

60 45 36

51 39 46

43 52 41

51 40 38

44 48 46

37 46 53

Type B: 64 62 53

Type C: 34 39 45

a

Vi ønsker å sammenlikne disse batteritypene: Hvilken type er den beste? Tenk på hva du vil bruke av tall og av diagrammer for å kunne svare på dette.

b

Bruk et statistikkprogram til hjelp. La det finne gjennomsnitt, median og kvartiler. La det lage histogram og boksdiagram for hver batteritype.

c

Trekk tilfeldig ut et utvalg på fem batterier av hver type blant de som er undersøkt ovenfor. Finn ut hvilke resultater Anne hadde fått dersom hun hadde basert beregningene på disse fem i stedet for de 30. Hvordan stemmer resultatet du nå får med det du fant i a og b?

d

Egil sier: Av disse tre typene, så er B den som varierer mest på levetida. Har Egil rett? Hvorfor eller hvorfor ikke? Drøft dette med en kamerat.

e

Egil har testet fem tilfeldig valgte batterier av samme type. Gjennomsnittslevetida for de fem er 48,5 minutter. Hvilken type, A, B eller C tror du helst det kan være? Hvorfor mener du det?

Tema: Statistikk, behandling av tall Program: NSDstat, Minitab eller tilsvarende

102

Arbeidsark 41

SPØRREUNDERSØKELSE LESEVANER Arbeid i grupper på tre-fire elever. Dere skal lage en spørreundersøkelse blant klassekameratene. I denne undersøkelsen skal dere finne ut noe om elevenes lesevaner, hvor mye og hva de leser, om de leser aviser, tegneserier, bøker, om de bruker biblioteket og hvor mye de arbeider med leksene. Er det forskjell på jenter og gutter? Tenk også på andre spørsmål som passer under dette emnet. Data dere samler inn, skal behandles med et dataprogram, og dere må planlegge med tanke på det.

a

Lag et spørreskjema for undersøkelsen. Spørsmålene må være så klare og entydige som mulig. Lag 5 - 8 spørsmål. Noen spørsmål skal kunne besvares med ja eller nei, noen med et tall og noen med andre typer svar. Tenk gjennom hvilke svar som kan være aktuelle. Det kan være lurt å bruke avkryssing med gitte svaralternativer når det passer med spørsmålene.

b

Gjør klar et statistikkprogram. Lag variablene med forklaring (dokumentajon) i statistikkprogrammet. Hvert spørsmål svarer til en variabel. For numeriske data (tallverdier) bestemmer dere rimelige grenser for lovlige verdier. For ikke numeriske data (f eks ved avkryssing blant ulike alternativ) skal dere telle opp i hvert av de forskjellige svaralternativene.

c

Gjennomfør spørreundersøkelsen, og skriv inn dataene i statistikkprogrammet.

Nå skal vi analysere resultatene av spørreundersøkelsen: d

Lag frekvenstabeller for hver spørsmål og lag diagram som illustrerer fordelingen. Finn også gjennomsnittsverdier dersom det er aktuelt for noen spørsmål. Diskuter om det er noen spesielt overraskende resultater.

e

Lag krysstabeller der kjønn er den ene variabelen, slik at vi kan se om det er forskjell på lesevaner hos gutter og jenter.

f

Finn ut om det er sammenhenger mellom avislesing og lekselesing, eller mellom bruk av biblioteket og lesing av tegneserier og bøker.

g

Skriv en rapport om hva dere har funnet.

Tema: Statistikk, spørreundersøkelse, tverrfaglig opplegg Program: NSDstat, Minitab eller tilsvarende

103

Arbeidsark 42

BLODTRYKK HOS ROTTER Rannveig er bioingeniør, og hun arbeider på et laboratorium som prøver ut nye medisiner. De prøver ut nye medisiner på dyr, for å se virkningene. Det er strenge bestemmelser for hvilke medisiner som er tillatt brukt til mennesker.

Laboratoriet tester ut et middel for å se hvordan det virker mot høyt blodtrykk. De bruker forskjellige doser av dette stoffet på rotter og måler blodtrykket. Her er måleresultatene for rotter som har fått ulik dose. Dose 1

81 90

87 93

90 90

94 95

89 98

88 86

86 93

84 94

83 88

88 90

92 92

95 100

99 104

104 109

109 105

113 107

105 103

108 107

106 101

102 102

98 109

101

123 127 124

110 124 127

114 126 121

119 117 119

116 122 128

111 124 124

94 126 125

117 128 127

121 126 128

123 128

125 128

Dose 2

Dose 4

a

Framstil] disse tallene slik at det er lettere å forstå dem og å få oversikt over dem. Du bør bruke diagrammer for hver av de tre gruppene av rotter. Velg selv hvilke diagrammer du vil bruke. (Kanskje histogram, boksdiagram, stammeblad-diagram eller andre.)

b

Regn ut gjennomsnitt for hver gruppe. Kan du si noe om spredningen av dataene i hver gruppe? Finn medianen og kvartilene.

c

Jostein sier: "Det er minst spredning på resultatene i den gruppa som har fått dose 1, fordi der er differensen mellom tredje og første kvartil minst." Diskuter dette. Er dere enige med Jostein?

d

Torunn sier: "Det øker mer fra dose 2 til dose 4 enn det gjør fra dose 1 til dose 2. Om vi hadde prøvd med dose 3, hadde trolig gjennomsnittet ligget på 105." Diskuter dette.

Tema: Statistikk, beskrive og regne på data. Diagrammer. Tverrfaglig opplegg Program: NSDstat, Minitab eller tilsvarende

104

Arbeidsark 43

NOEN TALL OM NOEN LAND

Hent inn følgende tall for en del land i verden: Folketall, areal, gjennomsnittlig levealder, brutto nasjonalprodukt, biltetthet (antall biler per 1000 mennesker), legedekning (antall personer per lege) og bidrag til FNs arbeid. Du kan hente dette på filen Tall.xls for Excel eller fra Tall.pip for Plan Perfect regneark. a

Drøft hva dere kan gjøre med disse tallene for å vise noe eller finne ut noe som dere synes er interessant.

b

Lag et prikkdiagram for sammenhengen areal - folketall. Hva viser dette?

c

Lag en ny kolonne på regnearket som viser folketettheten i innbyggere per km2.

d

Lag en liste over ulike lands bidrag til FN ordnet etter størrelsen av bidraget.

e

Finn ut hvor mye hvert land bidrar til av FNs utgifter målt i beløp per innbygger. Lag ei liste ordnet etter størrelsen.

f

Finn ut hvor stor prosent bidraget til FN utgjør av brutto nasjonalprodukt. Lag ei liste også over dette, ordnet etter størrelsen.

Tema: Statistikk, beskrive og regne på data, diagrammer. Tverrfaglig opplegg med samfunnsfag og geografi Program: Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works Statistisk sentralbyrå: http://www.ssb.no/aarbok

105

Arbeidsark 44

RETTE LINJER - LINEÆRE FUNKSJONER

Vi skal veksle inn engelske pund, og vi ser på disse to tilbudene:

T-banken

Pris 1 1,37 kr per GBP (engelske pund) Pris 4,25 per DEM (tyske mark) Gebyr per veksling: 20 kr

U-banken

Pris 11,21 kr per GBP Pris 4,19 per DEM Gebyr: 50 kr per veksling

Når vi skal bruke banken, er vi interessert i hvilke tilbud vi får. Om vi veksler inn lite, lønner det seg å bruke T-banken. Har vi derimot mye å veksle inn, bør vi gå til U-banken. Men på hvilket beløp skifter det?

a

Tegn en graf som viser utgiftene for å kjøpe engelske pund etter tilbudet i T-banken. Gjør det samme for tilbudet i U-banken, i det samme diagrammet. Bruk et graftegningsprogram, og velg en passende skala.

b

Når lønner det seg å bruke tilbudet fra T-banken, og når tilbudet fra U-banken? Om vi kjøper 150 pund, hvor mye kan vi spare ved å velge rett tilbud?

c

Hva slags tilbud er beskrevet ved denne formelen y = 1 1,36% + 10

d

Tegn grafen til hver av de følgende funksjonene i samme diagram: y - 3x

y = 3x + 3

y = 3x + 5

y = 3x + 1,4

Hva er likt med disse grafene? Hvordan forklarer du det? Hvor mye øker y med om x øker fra 11,5 til 12,5 i hvert av disse tilfellene? Forklar! e

Tegn i samme diagrammet grafene bestemt ved

y=x+ 5

y = lx + 5

y = -2x + 5

y = 0,8x + 5

4x + 3y = 15

Hva er likt med disse grafene? Hvordan forklarer du det? f

Løs dette systemet av to likninger 3x + 2y = 18 7x - 5y = 5

g

Lag en oppgave om å kjøpe engelske pund og tyske mark. Har du gitt nok opplysninger til at oppgaven kan løses? Har den én eller flere løsninger? Bytt oppgave med hverandre, og løs hverandres oppgave grafisk.

Tema'. Lineære funksjoner, grafer, lineære likninger, grafisk løsning Program'. Graftegner

106

Arbeidsark 45

LØS LIKNINGER Å løse en likning betyr å finne den verdien (eller de verdiene) av det ukjente tallet (vanligvis kalt x), som gjør at likningen stemmer. Venstre side skal bli lik høyre side.

Vi skal se på følgende likning x3 + x = 20

Om vi setter x = 1, blir venstre side x3 + x = 2. Setter vi x = 2, så blir x3 + x = 10. Disse verdiene av x er begge for små. Setter vi inn x = 3 i venstre siden, så blir den x3 + x = 30. Nå er x-verdien for stor. Øker vi verdien på x, så øker også verdien av venstre side, x3 + x . Det må finnes et tall som gjør x3 + x = 20, og dette tallet må ligge mellom 2 og 3.

a

Løs likningen ved å prøve deg fram.

b

Løs den ved å tegne grafen til hver av funksjonen y = x3 + x og y = 20 på det samme diagrammet. Les av hvor de skjærer hverandre. Hva finner du?

c

Løs den også ved å omforme den slik at du kan få en tallmaskin du kan bruke flere ganger. Prøv da å omforme likningen slik at den får formen x = ...

d

Finn en eller flere løsninger av x3 - 3x + 1 = 0.

e

Finn en eller flere løsninger av likningen x3 - x = x2 + 3 Bruk flere metoder og kontroller at de gir det samme resultatet.

Metoder for å løse likninger: Hva du gjør Kort navn Sett inn verdier og prøv. Prøving Forbedre løsningen, leit systematisk Tegn grafen for hver av de to sidene Grafisk Tallmaskin

Omforming

Bruk algebraiske regler og omform likningen slik at du kan bruke tilnærmingsmetoder Bruk algebraiske regler og omform likningen slik at du til slutt ser løsningen(e)

Til hjelp Regneark, programmering, lommeregner Graftegner, lommeregner (grafisk vindu) Algebra, regneark, programmering Algebra. Ofte spesielle metoder for hver type likning

Tema\ Funksjoner, grafisk framstilling, skjæringspunkter, nullpunkter Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works ]______ Graftegner______________________________________________

107

Arbeidsark 46

BILFELGER

a

Tegn en bilfelg. Bruk et program for geometrisk konstruksjon. Da får du en fin og jevn figur. Dessuten blir du kjent med hvordan et slikt program kan brukes.

b

Sammenlikn figuren din med andre elevers. Fortell hva dere gjorde for å få til figuren.

c

Fortell om hvilke symmetrier det er på hver figur. Er det noen figurer som har nøyaktig de samme symmetriene?

d

Her er en figur laget av en elev i 7. klasse. Hva tror du hun har gjort for å få til figuren?

e

Kopier noen fine og enkle geometriske figurer du finner i virkeligheten. Let for eksempel i aviser etter annonser med firmamerker. Skisser først på et papir hva du vil lage. Tenk på om du får bruk for: • linje, linjestykke • sirkel • midtpunkt, normal, midtnormal, parallell, halveringslinje • punkt på en sirkel, punkt på en linje

Tema-. Geometriske figurer i vårt nærmiljø, grunnleggende konstruksjoner Programvare: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad eller Geometricks

108

Arbeidsark 47

TREKANT OG VINKLER

a

Tegn en trekant. Marker hver av vinklene. Mål dem og skriv måltallet på figuren. Regn ut summen av de tre vinklene.

b

Grip fatt i et hjørne av trekanten, og flytt på det. Se hvordan trekanten forandrer seg. Se igjen på vinklene, og regn ut summen av dem.

c

Prøv å lage en trekant med en vinkel på 100° og en på 50°. Hva venter du at den tredje vinkelen skal bli? Stemmer det med det som kommer fram på skjermen?

d

Prøv å lage en trekant med tre like store vinkler. Hva ser du om en slik trekant? Prøv også å tegne en firkant med alle vinklene like store. Anne sier at en slik firkant er et kvadrat. Har Anne rett?

e

Prøv å finne ut noe om summen av vinklene i en femkant.

f

Undersøk også vinklene i andre figurer. Utforsk.

Tema\ Geometri, vinkler i trekanter, vinkler i mangekanter Program: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

109

Arbeidsark 48

LIKE LANGT FRA HVERT PUNKT a

Anne har funnet ut at hun bor like langt (i luftlinje) fra Gøteborg som fra Skagen. Vet vi nå nøyaktig hvor Anne bor? Hvorfor eller hvorfor ikke?

b

Tegn to punkter, A og B. Konstruer midtnormalen mellom dem. Tegn også et vilkårlig punkt X. Tegn linjestykkene XA og XB. Mål lengden av dem. Hvilken lengde er størst?

c

Flytt på punktet X. Når er XA > XB? Når er det motsatt, at XA < XB? Og når er linjestykkene XA og XB like lange?

d

Hvordan tror du punktet X kan ligge dersom avstanden til A skal være dobbelt så stor som avstanden til B? Utforsk!

Tema\ Geometri, midtnormal Program: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

110

Arbeidsark 49

VANNE JORDBÆRENE

M = 1 : 100

a

Even har et jordbærland med form slik som firkanten over. Han vil vanne bærene med en vannspreder som kan rekke over hele jordstykket, men han vil ikke vanne mer enn nødvendig. Sprederen lager en sirkel når den vanner. Denne sirkelen skal være så liten som mulig. Omtrent hvor mener du han bør plassere sprederen, og hvor stor blir sirkelen?

b

Vi skal nå undersøke nærmere tilfeller der en sirkel skal dekke en figur. Vi starter med at figuren er en trekant. Tegn en trekant. Konstruer midtnormal på to av sidene. Sett navn på skjæringspunktet mellom midtnormalene (f.eks. O). Tegn så en sirkel med sentrum i O og som går gjennom et hjørne av trekanten. Hva ser du? Hvorfor tror du O kalles for trekantens omsenterl

c

Grip fatt i ett hjørne av trekanten og forandre på den. Hva ser du? Kan omsenteret komme utenfor trekanten? Når?

d

Konstruer midtnormalen på den tredje sida i trekanten. Hva ser du? Kan du forklare dette?

e

Lag en firkant. Konstruer midtnormalene også på sidene i en slik figur. Går disse gjennom samme punkt? Grip fatt i figuren, og prøv å forandre den slik at de fire midtnormalene går gjennom samme punkt. Ser du noe? Vink: Det kan være lurt å måle vinklene i firkanten.

f

Utforsk midtnormalene på sidene i andre figurer.

Tema'. Geometri, konstruksjon av midtnormaler, sirkel som omskriver en figur Program: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

111

Arbeidsark 50

LIKE LANGT FRA HVER LINJE a

Tegn to linjer, / og m. Konstruer halveringslinja mellom dem. Tegn også et vilkårlig punkt X. Tegn normalene fra X ned til både / og m. Disse kaller du XA og XB. Mål lengden av de to. Hvilken av dem er lengst?

b

Flytt på punktet X. Når er XA > XB? Når er det motsatt, at XA < XB? Og når er linjestykkene XA og XB like lange?

c

Hvordan tror du punktet X kan ligge dersom avstanden til l skal være dobbelt så lang som avstanden til m? Utforsk!

Vi sier: Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra to oppgitte linjer, er halveringslinja for vinkelen mellom de to linjene d

Merk at det egentlig kommer fram to forskjellige vinkler når to linjer skjærer hverandre, så vi får to halveringslinjer. Hvorfor blir det to halveringslinjer? Hvordan går disse to halveringslinjene i forhold til hverandre?

\Tema: Geometri, midtnormal Program: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometer's Skctchpad, Geometricks

112

Arbeidsark 51

MIDTPUNKTET PÅ HVER SIDE a

Lag en firkant ABCD. Finn midtpunktet på hver av de fire sidene. La disse bli hjørner i en ny firkant. Kall denne EFGH. Grip fatt i ett hjørne av den opprinnelige firkanten, flytt på det og forandre på figuren. Ser du noe?

b

Liv sier at midtpunktfirkanten EFGH alltid blir en rombe. Har Liv rett eller er hun på villspor? Undersøk.

c

Om du fant noe i b, kan du begrunne det du fant? Kanskje det kan være nyttig å trekke en diagonal i firkanten ABCD?

d

Vi ser på en trekant med midtpunkttrekanten tegnet inn. Undersøk om du finner noen egenskaper ved en slik figur.

e

Undersøk også en femkant, en sekskant og andre mangekanter, og se i hvert tilfelle på midtpunktfiguren.

Tema-. Geometri, parallellforskyvning, grunnleggende konstruksjoner Program: Konstruksjonsprogram: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

113

Arbeidsark 52

TREKANT OG TYNGDEPUNKT

a

Tegn en trekant. Sett navn på den. Tegn inn midtpunktet på hver av sidene. Sett navn på dem også.

b

Tegn linjestykker fra hvert hjørne til midtpunktet på motstående side. Disse tre kalles trekantens medianer. Hvordan skjærer de hverandre? Kontroller dette på figuren. Har du funnet det punktet som kalles trekantens tyngdepunkt, tror du?

c

Finn ut hvordan de tre medianene deler hverandre. Mål AG og GS , BG og GT og CG og GR.

d

Grip fatt i ett hjørne og flytt på det. Mål igjen og se på hvordan medianene nå deler hverandre.

e

Berit sier at på en slik figur er linjene ST og AB parallelle. Har hun rett?

f

Hun sier også at trekantene STG og ABG har samme form. Har Berit rett i det?

g

Mål arealene av trekantene ARG og RBG. Hva skjer med de to arealene når du endrer på trekanten. Hvorfor?

h

Tegn en trekant, og konstruer tyngdepunktet i den. Bruk et stykke stiv papp. Klipp den ut. Prøv å få den til å balansere på en blyantspiss. På hvilket punkt balanserer trekanten vannrett?

Tema'. Geometri, studium av trekanter, hvordan medianene deler en trekant Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

114

Arbeidsark 53

TREKANT OG HØYDER

a

Tegn en trekant ABC. Konstruer høyden på to av sidene i trekanten. Sett navn på skjæringspunktet mellom de to høydene.

b

Konstruer også den tredje høyden. Hvordan treffer den? Hva ser du? Gjelder dette alltid? Undersøk det ved å gripe fatt i ett av hjørnene og forandre på trekanten.

Skjæringspunktet mellom høydene kalles gjerne trekantens ortosenter. (Ordet orto er latin og betyr rett.) c

Kan en trekant ha en slik fasong at ortosenteret ligger utenfor trekanten? I tilfelle - hvilke egenskaper må en slik trekant nødvendigvis ha?

d

Undersøk andre skjæringspunkter som kan komme fram av en trekant. Skriv ned hva du undersøker, og hva du finner ut.

e

Vi avslutter med en konstruksjonsoppgave der noen lengder er oppgitt: Konstruer en likebeinet trekant ABC, der sidene CA - BC = 6 cm, og grunnlinja AB = 4 cm. Konstruer midtnormalen på AB. Mål høyden fra C på AB. Regn også ut denne høyden, og finn arealet av trekanten. Konstruer høyden fra B ned på motstående side AC. Regn ut lengden av den også.

Tema: Geometri, høyder i en trekant, egenskaper og konstruksjon Program: Cabri geometri, The Geometer's sketchpad, Geometricks

115

Arbeidsark 54

KVADRAT

a

Tegn et linjestykke, og kall endepunktene A og B. Konstruer et kvadrat ABCD, der altså AB er ei side i kvadratet. Kvadratet skal ligge slik at vi leser ABCD i positiv dreieretning, det vil si mot urviserne.

Rett som det er trenger vi et kvadrat i geometrioppgaver. Derfor vil vi bruke en enkel måte å konstruere det på, og føye det til i dataprogrammet som en ny konstruksjon. Et godt konstruksjonsprogram gir oss en slik mulighet. Vi sier at vi lager en makro, det vil si at vi kan lagre en bestemt konstruksjon og ha den klar til seinere bruk når vi måtte trenge den. En makro lager vi i Cabri ved å bruke kommandoen Makro, som vi finner i en av menyene. b

Lagre kvadratkonstruksjon du har laget i a, som en makro. Startobjektet skal være et linjestykke, som her er AB, og sluttobjektet skal være hele kvadratet, her er det ABCD. Du kan kalle konstruksjonen Kvadrat.

c

Et kvadrat har et symmetrisentrum. Det har alle regulære mangekanter trekanten, femkanten, sekskanten osv. Konstruer et kvadrat med avmerket symmetrisentrum. Dette er også en konstruksjon vi av og til har bruk for (se for eksempel arbeidsark 55).

d

Lag en makro for å konstruere et kvadrat med avmerket symmetrisentrum. Startobjektet er her et linjestykke, og sluttobjektene er et kvadrat sammen med midtpunktet i kvadratet. Se figuren over til høyre. Kall konstruksjonen Kvadrat med sentrum.

Tema\ Geometri, kvadratet, lagre en konstruksjon som en makro Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

116

Arbeidsark 55

KVADRATER OG ANDRE FIGURER a

Lag en trekant XYZ. Konstruer kvadrater utenpå de tre sidene. Bruk makroen du laget i arbeidsark 54, oppgave b, for å konstruere disse. Se hvordan de tre kvadratene endres når du griper tak i et hjørne av trekanten og endrer på den. Når tror du de tre kvadratene er like store? Når er det ene like stort som de to andre tilsammen?

b

Lag igjen en trekant XYZ. Konstruer kvadrat med midtpunkt utenpå hver av de tre sidene. Trekk for hvert hjørne i trekanten linjestykket mellom hjørnet og det motstående kvadratets midtpunkt. Ser du noen om disse tre linjestykkene?

c

Lag en vilkårlig (fritt valgt) firkant. Konstruer kvadrat med midtpunkt på hver av sidene. Trekk linjestykkene mellom midtpunktene i de kvadratene som er motstående til hverandre. Ser du noe om disse linjestykkene?

d

Vi arbeider ofte med likesidete trekanter. Det er derfor nyttig å ha en enkel måte å konstruere en slik trekant på, slik at vi ikke må gjøre alle detaljene og hele konstruksjonen om igjen hver gang vi skal ha en slik trekant. Konstruer en likesidet trekant, og lagre konstruksjonen som en makro. Du kan kalle konstruksjonen Likesidet trekant. Lag også en makro for Likesidet trekant med sentrum.

e

Nå kan du igjen lage en trekant XYZ. Konstruer en likesidet trekant utenpå hver av de tre sidene. Undersøk figuren. Finner du ut noe?

f

Hva om du hadde startet med en firkant i stedet for en trekant?

Tema-. Geometri, regulære trekanter og kvadrater utenpå sidene i en mangekant Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

117

Arbeidsark 56

PYTAGORAS' SETNING

a

Konstruer en trekant ABC der vinkel A er en rett vinkel. Hvorfor må da de andre to vinklene være spisse? Hvilken av de tre sidene er lengst? Kan en side i en trekant være like lang som de to andre til sammen?

b

Utenpå sidene konstruerer du kvadrater. Hvilket av de tre kvadratene har størst areal? Beregn de tre arealene. Pytagoras’ setning sier at de to små kvadratene til sammen har samme areal som det store. Har du regnet riktig på figuren?

c

Grip fatt i ett hjørne og forandre på hele figuren. Hva skjer med de tre kvadratene? Er summen av de to små fremdeles lik det store?

d

Ei linje går gjennom A og står normalt på sidene BC og DE i det store kvadratet. Den skjærer disse i punktene R og 5. Konstruer denne. Beregn arealet av hvert av de to rektanglene som kommer fram.

La oss si at de tre sidene i en rettvinklet trekant som på figuren over har BC, CA og AB lengde a, b og c henholdsvis.

e

Bevis at arealet av rektanglet DRSB er likt arealet av kvadratet ABFG. Vink: Det kan lønne seg å finne trekanter med samme form. Da kan vi vise at SB/c = c/a. Kan du også bevise at arealet av RECS er likt arealet av ACK.H1 Hva vet vi nå om kvadratet på hypotenusen, c2 ?

Tema-. Geometri, rettvinklet trekant, Pytgagoras' setning, bevis for Pytagoras Programs Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

118

Arbeidsark 57

SPEILVENDTE HUS En arkitekt bruker av og til varianter av samme grunntegning når han eller hun tegner nye hus. På et byggefelt kan derfor mange hus likne på hverandre. Samme tegning kan være parallellforskjøvet, rotert eller speilvendt - eller variert på annen måte.

a

Tegn omrisset av et hus omtrent som på figuren. Tegn ei linje l utenfor figuren. Konstruer så bildet av hustegningen etter at den er speilet i linja.

b

Grip tak i ett hjørne på hustegningen, og forandre på den. Kontroller at speilbildet også forandrer seg automatisk.

c

Du skal så speile speilbildet videre i ei annen linje, linje m. Sammenlikn det speilbildet du da får med den opprinnelige tegningen. Kontroller at hvis du endrer den opprinnelige hustegningen, så forandres også de to speilbildene.

d

Flytt på speilingslinja /, og se på hvordan dette forandrer på figurene. Gjør det samme med m. Hva skjer om de to speilingslinjene er parallelle?

Tema\ Geometri, speiling i linje, gjentatte speilinger, grunnleggende konstruksjoner Program: Cabri geometri, The Geometer’s Sketchpad, Geometricks

119

Arbeidsark 58

REFLEKSJON OG SPEIL Når en lysståle treffer et speil, blir den kastet tilbake. Den blir reflektert. Lyset blir reflektert slik at innfallsvinkelen i er lik refleksjonsvinkelen b.

Speil

a

Lag en konstruksjon som viser hvordan en lysstråle reflekteres. La speilet være l, og la lysstrålen treffe den i et punkt P. Det kan være nyttig å oppreise normal til / i P. Normalen blir en symmetriakse.

b

Vi skal undersøke hvordan det kan gå med en lysstråle som treffer to speil, og dermed blir reflektert to ganger. Tegn et speil l. En lysstråle treffer l og blir reflektert. La den reflekterte strålen også treffe et annet speil m.

Lys

c

Grip fatt i et av speilene, for eksempel m og flytt på det. Undersøk hvordan det går med a' når du endrer vinkelen mellom m og l. Hva ser du?

d

Even sier at når vinkelen mellom de to speilene er rett, så vil alltid a og a' være parallelle. Har Even rett? Hvorfor eller hvorfor ikke?

Tema: Geometri, speiling i ei linje, grunnleggende konstruksjoner Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

120

Arbeidsark 59

BILJARDBORDET Du skal skyte med kule A og treffe kule B. Det ligger kuler i veien, og du må bruke refleks to ganger. Først reflekteres kula mot veggen FG. deretter mot GH

H

a

Tenk deg at du velger et punkt P på FG og skyter kula mot det. Hvordan vil kula gå etterpå? Konstruer linjestykker som viser den veien kula vil følge. Treffer den kule B?

b

Flytt på punktet P til du treffer kule B.

c

Kunne du ha funnet ut på en annen måte hvor du må velge punktet P for å treffe kula? Vink: Avmerk punktet A' som er bildet av A ved speiling i FG.

Tema: Geometri, speiling i ei linje, grunnleggende konstruksjoner Program: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

121

Arbeidsark 60

VI EKSPERIMENTERER: EN FORSKJØVET SPEILING

A

l

Lp’

Når et punkt P speiles i linja Z, avbildes det på et annet punkt P', slik at PA = P'A, og PP' er normal til l. P og P'ligger på hver sin side av speilingslinja og like langt fra den. Nå skal vi gjøre en liten vri. Sett at linja PP’ ikke var normal på /, men dannet en annen fast vinkel med l. Hvordan ville en slik avbildning virke? Nedenfor er en figur som illustrerer dette, m og l er to linjer som er gitt. P avbildes på P'slik at linjestykket PP' er parallelt med m, og linja l halverer linjestykket PP'. Vi kan kalle denne avbildningen en forskjøvet speiling.

a

Tegn to linjer l og m. Tegn en trekant og avbild den ved en forskjøvet speiling. Hvordan ser bildet av trekanten ut sammenliknet med den opprinnelige? Er de kongruente? Har de samme areal?

b

Undersøk hvordan en sirkel avbildes ved en forskjøvet symmetri. Dette kan du undersøke slik: Lag en sirkel og et punkt P på den. Avbild P, og kall bildet for P'. Se så på hvordan P' beveger seg når P flytter seg på sirkelen. Du kan la P' etterlate seg et spor. Bruk kommandoen Geometrisk sted (punktlokus) eller tilsvarende. Du finner bildet av sirkelen ved en forskjøvet speiling.

Tema: Geometri, konstruksjoner, geometrisk sted Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

122

Arbeidsark 61

LIKE LANGT FRA PUNKT SOM FRA LINJE p

o

a

Først noe til å tenke over: P er pumpestasjonen for vann, og l er elva. Arne bor i samme avstand fra pumpestasjonen som fra elva. Hvor kan Arne bo? Fins det mange muligheter? Prøv å utforske dette.

b

Så ser vi nøyere på spørsmålet. Tegn på et ark ei linje l og et punkt P utenfor linja. Finn noen punkter som har samme avstand til punktet som til linja.

c

Vi skal nå finne alle punkter som ligger like langt fra et gitt punkt som fra ei linje. X er et vilkårlig punkt på linja /, og n er normal i punktet X. m er midtnormal på XP, og S er skjæringspunktet mellom m og n. Konstruer dette.

d

Hvorfor må S ligge like langt fra punktet P som fra linja /?

e

Finn mange punkter som oppfyller dette kravet. Ser du noe? Hvordan ligger de? Hva skjer med punktet S hvis vi flytter X langs linja /? Hva ser du?

Tema-. Geometri, midtnormal, geometrisk sted, parabel Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

123

Arbeidsark 62

OVALER - ELLIPSER Prøv å finne en måte å lage en ellipse på ved hjelp av et konstruksjonsprogram. Her kan du lære en metode. En ellipse har to brennpunkter, og for alle punkter på ellipsen er summen av avstandene ned til brennpunktene den samme. a

Tegn to punkter A og B med en avstand på cirka 5 cm. Tegn en sirkel med sentrum i A og radius cirka 7 cm. Konstruer et punkt på sirkelen, som du kaller X.

b

Konstruer midtnormalen på linjestykket BX. Konstruer skjæringspunktet mellom denne og radius AX. Kall skjæringspunktet S.

c

Hva skjer med punktet S når X beveger seg rundt på sirkelen? Bruk kommandoen Geometrisk sted. Da finner du hva slags kurve 5 beskriver når X flytter seg på sirkelen. Hva ser du?

d

Hva ser du om de to avstandene AS og SB‘1 Ser du noe om summen AS + SB2

e

Hva viser denne konstruksjonen? Når har du sett en slik figur i virkeligheten? Når har du sett en slik kurve i matematikken? I dagligspråket kalles den ofte en oval, men det presise navnet på den matematiske kurven er en ellipse.

f

Hva tror du skjer dersom punktet B var valgt utenfor sirkelen? Undersøk dette bare foreløpig nå. Det tas grundigere opp på arbeidsark 63.

Tema\ Geometri, midtnormal, geometrisk sted, ellipse Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

124

Arbeidsark 63

NY KURVE - HYPERBELEN

a

Vi har en sirkel med sentrum i A og et punkt B utenfor sirkelen. Punktet X kan bevege seg på denne sirkelen. Midtnormalen på BX skjærer linja AX i et punkt som vi kaller S. Lag en slik figur på skjermen.

b

Undersøk hvordan punktet S vil ligge om du flytter på punktet X. Du kan da finne det geometriske stedet for punktet S når X beveger seg på sirkelen. Prøv å se hva som karakteriserer hvert av punktene S du finner. Hvordan ser kurven ut som 5 beskriver nå?

c

Se på differensen mellom de to avstandene fra S og til hvert av punktene A og B. Hvorfor er avstandene BS og XS like store? Hvorfor er differensen AS - BS konstant?

d

Fant du en kurve med to greiner i punkt b? En slik kalles en hyperbel. I dagliglivet finner vi en hyperbel for eksempel i skyggebildet av en rørformet lampeskjerm der lyspæra ligger inne i røret. I matematikken kan du ha sett kurven som graf i et koordinatsystem. Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er grafen en hyperbel. De tre kurvene parabel, ellipse og hyperbel er i slekt med hverandre. De kalles med et samlenavn kjeglesnitt. Hvorfor tror du navnet er kjeglesnitt?

Tema\ Geometri, midtnormal, geometrisk sted, hyperbel Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks

125

Arbeidsark 64

NY KURVE - SNEGLEN Her skal vi undersøke om vi kan finne andre spennende kurver. Vi starter med en spesiell kurve, og så kan du prøve å finne flere etterpå.

har en sirkel og et punkt P utenfor sirkelen. Punktet X kan bevege seg sirkelen. Tangenten til sirkelen i punktet X kan vi kalle t. Normalen fra P tangenten t skjærer den i et punkt som vi kan kalle S. Lag en slik figur skjermen.

a

Vi på på på

b

Undersøk hvordan punktet S ligger når du flytter på punktet X. Du kan da finne det geometriske stedet for punktet S når X beveger seg på sirkelen. Hvordan ser kurven ut som S beskriver nå? Denne kurven kalles Pascals snegle eller lemniskaten. Noen ganger kalles den hjertekurven.

c

Undersøk hvordan kurven forandrer seg når du flytter på punktet P.

d

Prøv om du kan finne en kurve selv. Du kan for eksempel starte med en trekant. La ett av hjørnene bevege seg, trekanten forandrer da form. La for eksempel hjørnet A, bevege seg på ei fast linje eller på en sirkel. Velg et eller annet punkt i trekanten (for eksempel tyngdepunktet, skjæringspunktet mellom høydene, eller skjæringspunktet mellom midtnormalene), og se på hva slags kurve punktet beskriver.

Tema'. Geometri, tangent og normal, geometrisk sted, kurver Program: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

126

Arbeidsark 65

VINKLER OG SEILING Vi er ute og seiler og vil finne ut hvor vi er på kartet. Vi kan peile det inn når vi ser tre fyrtårn. Da sikter vi inn mot to av fyrtårnene og måler vinkelen mellom de to siktelinjene. La oss kalle de tre fyrtårnene S, T og U. Sett at vi befinner oss i et punkt X. Da måler vi vinklene SXT og TXU. Disse to vinklene kan vi bruke til å peile oss inn på kartet.

T o

s Eksempel: Vi har målt vinkelen mellom de to siktelinjene. De to linjene mot S og T danner en vinkel på 42°, og linjene mot T og U danner en vinkel på 26°.

Vi kan velge et bestemt punkt A som oppfyller det første kravet: vinkelen SAT = 42°. Så kan vi tegne en sirkel som går gjennom de tre punktene S, T og A. Alle punkter på sirkelbuen der A ligger oppfyller kravet. Det kan lønne seg å lage en slik konstruksjon som makro. Kall den for eksempel Omsirkel. Så gjør vi det samme med et punkt B, der vinkelen UBT = 26°. a

Se på figuren over. Hvor ligger alle punktene A som er slik at vinkel SAT - 42°? Hvorfor?

b

Hvor ligger alle punktene B som er slik at vinkel UBT = 26°? Hvordan kan vi nå bestemme posisjonen vår på kartet?

c

Vi er ute på sjøen og tenker oss at vi befinner oss i et punkt som vi kan kalle X på kartet. Foreløpig vet vi ikke hvor punktet X er. Vi vil finne ut hvor vi er på kartet. Vi måler vinkelen TXS til 37° og vinkelen UXT til 21°. Bruk dette til å finne ut hvor vi befinner oss på kartet.

Tema-. Geometri, sirkel og periferi vinkler Program: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

127

Arbeidsark 6b

TALLINJA

Hent inn filen Regne med fortegn, og bruk denne ferdiglagede figuren. Den viser regnestykker på tallinja. Figuren kan se slik ut.

Med denne figuren kan du illustrere tre forskjellige regneoperasjoner. På den første tallinja er det merket av to tall, a og b, og vi kan se hvor produktet ab ligger på tallinja. Flytt på a og b, og se hvordan produktet ab flytter seg. Velg hver av a og b større eller mindre enn 1, større eller mindre enn 0, og se resultatet. På den andre tallinja ser vi hvordan det inverse tallet til a, som er Ma, avhenger av a. Prøv med å la a varierer og se på resultatet. Den tredje tallinja viser kvadratrota av a. Prøv også hvordan den virker. Det hele er imidlertid som en svart boks - du ser ikke hva som foregår fordi det er skjult, du ser bare resultatet. a

Kan produktet av a og b være mindre enn 0? Kan ab være et mindre tall enn a? Kan produktet være mindre i tallverdi enn både a og bl Si så mye som mulig om produktet ab, avhengig av størrelsen på a og b.

b

Kan det inverse tallet til a, som er Ma, bli negativt? I tilfelle når? Kan a og Ma ha forskjellige fortegn? I tilfelle når? Kan det inverse tallet til a være større enn al I tilfelle når?

c

Kan kvadratrota til a være et negativt tall? Kan kvadratrota av a være et større tall enn a. I tilfelle når?

Tema: Algebra, illustrert geometrisk på tallinja Program: Cabri geometri, The Geometefs Sketchpad, Geometricks

128

Arbeidsark 67

ESKE

Av et ark på 5,3 x 4,0 dm klippes det ut like store kvadrater i hvert av hjørnene. Arket brettes så opp og limes til en eske. (Et liknende problem er behandlet tidligere, se arbeidsark 23.)

a

Hent dokumentet (eller filen) Eske fra disketten, og se på det. Grip med musa fatt i hjørnet A, flytt på det, og se hva som skjer. Du kan se hva som skjer med esken når du forandrer på størrelsen på de avklipte kvadratene. Fyll ut de tallene som mangler her i tabellen: Lengde Bredde Høyde Volum

3,9

3,7

3,5

3,3

3,1

2,9

2,7

b

Lag en formel for volumet av esken uttrykt ved en størrelse som kan variere. Hvilken størrelse vil du velge som variabel? Kan du gjøre det på flere måter? Hvilke? Hvilken synes du er lettest å forstå? Hvilken er lettest å arbeide med?

c

Se på en slik formel. Framstill den i et diagram. Bruk et graftegneprogram til hjelp. Studer grafen: Hvor stor bit må vi klippe bort for at volumet skal bli 4 dm3 eller for at volumet skal bli så stort som mulig?

Tema: Geometri, konstruksjon, volum, funksjon, formel, tabell og graf Program: Cabri geometri, The Geometer's Sketchpad, Geometricks og et graftegningsprogram 129

Arbeidsark 68

LAG ET TAPETMØNSTER

På et tapet er det vanligvis et mønster som gjentas. Dette grunnmønsteret blir parallell forskjøvet i like store trinn og i flere retninger. Mønsteret kopieres gjentatt utover veggen. Grunnområdet kan være symmetrisk, og ha speilingssymmetri eller rotasjonssymmetri. Det kan imidlertid ikke ha ubegrenset antall ulike typer av symmetrier. Matematikere som har studert dette, har vist at et tapet bare kan ha 17 ulike symmetrigrupper. Alle disse ulike mønstertypene var kjent allerede i oldtida; det kan vi se av ornamentkunsten i templer og i andre bygninger.

a

Programmet Esher Sketch lar deg tegne et symmetrisk mønster. Slik kan en kunstner lage maisaks som dekorasjon - til et teppe eller kanskje til et tapet eller en mosaikk. Finn symmetrier på dette mønsteret.

File

Edit

Pen

Fill

Grid

Special

Help

b

Tegn ditt eget mønster. Velg først hvilke symmetrier det skal ha. Det gjør du ved å klikke på et av de 17 symbolene på paletten til venstre i bildet. Så tegner du ved å bruke ulike redskaper som blyant, viskelær og malingsboks, som du finner på paletten øverst til venstre.

c

Sammenlikn figurene med hverandre. Prøv å finne hvilke symmetriegenskaper figuren til kameraten din har. Se også om noen har de samme symmetriene.

Tema: Geometri og forming, symmetriske mønstre Program: Escher Sketch

130

Arbeidsark 69

TREET a

Et tre vokser ut fra en stamme som deler seg i to. Hver grem deler seg igjen i to, og slik fortsetter det. Hvor mange greinspisser er det etter seks delinger? Etter ti delinger?

b

Hvor mange ganger har treet på figuren delt seg? Hvordan vil treet se ut når greinene deler seg to ganger til?

c

Sett at størrelsen av ei grein hver gang er 2/3 av den forrige. Hvis vi sier at den første - stammen - har lengde 1 enhet, hvor lange er da de neste greinene?

d

Bruk et spesielt tegneprogram som lar deg lage fraktaler - ditt eget tre, din egen bregne, blomst eller en annen figur.

Tema: Geometri, formlikhet Program: Fraktalprogram: FractaSketch, Fract-o-graph, Logo

131

Arbeidsark 70

STYR SKILPADDA

Tenk deg at du kan styre skilpadda og bestemme hvordan den skal gå. Du kan styre med disse kommandoene:

fram 40 venstre 50 tilbake 60 høyre 90

I tillegg kan du bestemme om skilpadda skal tegne strek ved å sette pennen ned, eller ikke tegne ved å ta pennen opp. Når du vil begynne på nytt, kan du bruke nytegning. Vær ikke redd for å gjøre feil, det er av feilene vi lærer. Prøv å finne ut hvorfor det ikke gikk som du trodde.

a

Prøv ut kommandoene med forskjellige tall. Legg merke til hva som skjer hvis du glemmer tallet i kommandoen fram 50. Hvilke tall må du bruke for å dreie en rett vinkel eller for å dreie til motsatt retning?

b

Lag noen enkle tegninger etter eget valg. Dersom du kommer utenfor skjermen, kan du bruke kommandoen hjem for å komme tilbake til startposisjonen.

Du kan for eksempel prøve å lage et kvadrat, en regulær trekant, et hus, en båt eller en annen tegning. c

Rens skjermen med nytegning. Tegn først ei stiplet linje, tegn deretter ei prikket linje. Tips: Bruk opp når du ikke skal lage strek.

d

Tegn et rektangel med sider 40 og 50. Tegn et parallellogram der én vinkel er 75°.

e

Skriv opp hvilke kommandoer du må gi for å lage disse figurene. Sammenlikn med noen av medelevene dine. Tips: I noen av oppgavene kan du kanskje bruke gjenta-kommandoen, som skrives slik: gjenta 4[ fram 30 venstre 40 ]. Pass på å bruke hakeparenteser. Alt som står i lista mellom hakeparentesene her, blir gjentatt fire ganger.

Teina: Geometriske figurer, vinkler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

132

Arbeidsark 71

REGULÆRE MANGEKANTER I en regulær mangekant er alle sider like lange og alle vinkler like store. Trekanten har tre symmetriakser. Kvadratet har fire, den regulære femkanten fem og slik videre. a

Tegn en regulær trekant. Hvor stor vinkel må skilpadda dreie i hvert hjørne? Hvor mye må den dreie til sammen? Hvor store er de innvendige vinklene i trekanten? Tips: Her kan det lønne seg å bruke gjenta-kommandoen: gjenta 3 [fram ... høyre ...] Sett inn de tallene du mener passer her.

b

Tegn en regulær femkant. Skriv opp hvilke kommandoer du må bruke for å gjøre dette. Hvor mye må skilpadda dreie i hvert hjørne? Hvor mye må den dreie til sammen? Hvordan blir det når femkanten ikke er regulær? Da er ikke alle sidene like lange.

c

Tegn flere regulære mangekanter: sekskant, sjukant, åttekant osv. Finn en regel for hvor stor vinkel skilpadda må dreie i hvert hjørne. Kan du også finne en sammenheng mellom denne dreievinkelen og den innvendige vinkelen i hvert hjørne i mangekanten?

d

Finn ut hvordan du kan få skilpadda til å gå i sirkel. Hvordan kan du variere størrelsen på sirklene? Tips: Se på en mangekanter med mange sider.

Tema: Mangekanter, vinkelsum, sirkel Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

133

Arbeidsark 72

LAGE EGNE PROSEDYRER a

Skriv opp kommandoene du må bruke for å tegne dette huset.

Kommandoene viser oppskriften for tegningen din. I stedet for å skrive alle kommandoene hver gang vi skal tegne huset, kan vi definere en egen prosedyre for hus. På den måten kan skilpadda huske flere kommandoer. Her er et eksempel på en kvadratprosedyre: PROS kvadrat ned gjenta 4[fram 40 høyre 90] SLUTT

opp

Vi skriver prosedyren i editoren eller i et eget redigeringsvindu i Logo-programmet. Start editoren med rediger, og skriv inn prosedyren nøyaktig slik den står. (Eventuelt start med rediger "firkant eller to "firkant i engelsk utgave.) Det tegnes ikke noe før vi avslutter editoren, med i Nor-Logo, og starter prosedyren ved å skrive kvadrat. Prosedyren vi har laget, blir liggende i arbeidslageret, og vi kan bruke den på samme måten som de andre kommandoene. b

Start editoren og skriv inn husprosedyren din. Alle prosedyrer må ha et navn, som starter med PROS og avsluttes med SLUTT. Prøvekjør prosedyrene. Om nødvendig går du tilbake til editor (med kommandoen rediger) og retter feilene. PROS hus — her kommer dine kommandoer

SLUTT c

Lag dine egne prosedyrer for regulær femkant og sekskant. Prøvekjør og rett opp eventuelle feil.

d

Lag en prosedyre for å tegne parallellogram. Lag også en prosedyre som tegner parallellogrammet flere ganger, men med en liten rotasjon mellom hver gang.

Det er mulig å lagre prosedyrene dine på en fil, slik at du kan hente dem fram igjen og arbeide videre med dem seinere. I Nor-Logo gjøres dette når du har prosedyrene synlige i editoren. Bruk funksjonstasten for å lagre og for å hente.

Tema: Prosedyrer, editor, lagre og hente prosedyrer Program: Nor-Logo, WinLogo, Logowriter eller Terrapin Logo

134

Arbeidsark 73

PROSEDYRE MED PARAMETER Prosedyrene vi har arbeidet med på arbeidsark 72 gir alltid samme størrelse på tegningen. Nå ønsker vi å kunne variere størrelsen. Her følger en prosedyre som tegner kvadrat, men nå kan vi variere størrelsen:

PROS kvadrat :side ned gjenta 4[fram :side høyre 90] SLUTT

opp

Prosedyren kalles opp med kvadrat 50 eller kvadrat 70. Legg merke til at det må være med et tall som tilsvarer parameteren :side i prosedyreoverskriften. a

Skriv inn kvadratprosedyren som er oppgitt her, og prøv den med forskjellige verdier av parameteren.

b

Lag dine egne prosedyrer for regulær trekant, femkant og sekskant slik at sidelengden kan variere.

c

Det er mulig å bruke flere parametre til en prosedyre. Fullfør denne rektangelprosedyren og prøv den ut med forskjellige verdier av a og /?: PROS rektangel :a :b gjenta 2 [ fram ... høyre 90 SLUTT

d

........

]

Sammenlikn den følgende prosedyren med de du har laget i a og b. Hva kan denne prosedyren brukes til? Hva bør du sette inn for ... ? PROS poly :n :side ned gjenta :n [fram :side høyre ... SLUTT

] opp

Tips: Det er mulig å bruke regneuttrykk i stedet for tall. e

Finn ut hvordan du kan bruke prosedyren i d til å tegne en sirkel med diameter omtrent 100.

Tema'. Parameter, variabel, mangekanter, sirkel Program'. Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

135

Arbeidsark 74

STJERNER OG MANGEKANTER

Vi tar utgangspunkt i følgende prosedyre:

PROS stpoly :ant :side :vinkel ned gjenta :ant [fram :side høyre :vinkel] SLUTT

a

Skriv inn prosedyren og prøv den med forskjellige verdier for parametrene :ant :side og :vinkel. Vi sier at figuren er lukket når tegningen starter og slutter i samme punkt. Hvilke lukkede figurer kan du tegne med denne prosedyren? Gi noen eksempler, og gi korte beskrivelser. Tips: Tegn også disse figurene: stpoly 5 50 144, stpoly 10 20 36 og stpoly 8 80 135.

b

Lag en tabell over verdiene du bruker for parametrene :ant, :side og :vinkel i figurene. Er det noen sammenheng mellom tallene?

c

Her er en annen prosedyre som likner den foran: PROS nypoly :ant :side :vinkel gjenta :ant [fram : side høyre :vinkel fram :side høyre SLUTT

2*:vinkel]

Prøv ut denne prosedyren på samme måte, og finn ut hvilke figurer som tegnes, og om det er noen sammenheng i verdien av parametrene når figuren er lukket. d

Velg noen avstander, for eksempel 10 40 50 og en vinkel på 45°. Tegn i Logo: fram 10 høyre 45 fram 40 høyre 45 fram 50 høyre 45. Gjenta dette flere ganger. Lag en prosedyre som det passer å bruke for å prøve dette med andre avstander og vinkler. Utforsk hva slags figurer du får. Hvordan er sammenhengen mellom parametrene når figuren skal være lukket?

Tema: Mangekanter, vinkler, sammenhenger mellom parametre \ Program: Nor-Logo, WinLogo, Logowriter eller Terrapin Logo

136

Arbeidsark 75

FIRKANTER MED VARIASJONER Nå skal vi bruke prosedyrer for kvadrat og rektangel i nye prosedyrer. a

Lag en prosedyre for kvadrat der sidelengden kan variere, og lag en prosedyre for rektangel der to sidelengder kan variere.

b

Kvadratprosedyren kan brukes i en ny prosedyre: PROS rose :side gjenta 12 [kvadrat :side venstre 30] SLUTT

Prøv ut prosedyren. Gjør forandringer i prosedyren. Velg for eksempel andre verdier for tallene eller noen ekstra kommandoer slik at du får flere figurer.

c

Tegn flere kvadrater etter hverandre:

d

Denne boligblokka er bygd opp av kvadrater og rektangler. Tegn den.

□ □□□ □ □ □□□ □ Her er noen flere tegninger du kan forsøke å lage ved å bruke kvadrat- og rektangelprosedyrene:

Tema: Kvadrater, rektangler, prosedyrer i flere nivå Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

137

Arbeidsark 76

FORMLIKE FIGURER a

Denne logoprosedyren skal tegne bokstaven T:

PROS t ned fram 50 venstre 90 fram 20 høyre 90 fram 20 høyre 90 fram 60

SLUTT

Fullfør T-prosedyren. Lag også en prosedyre for å tegne L, slik figuren viser.

b

Nå skal vi tegne en større utgave av bokstaven T. Lag en ny prosedyre for å tegne T, der den vertikale streken i T er 90, og slik at den nye T-en er formlik med den i a.

c

Lag en prosedyre for å tegne L i en mindre størrelse, men formlik den som er gitt på tegningen.

d

Lag en prosedyre for å tegne T i hvilken som helst størrelse, når lengden av den vertikale streken er gitt som parameter.

e

Velg din egen bokstav, og lag en prosedyre som tegner den med samme høyde som L og T. Forsøk å lage prosedyren med parameter slik at du kan tegne den i forskjellige størrelser.

f

Velg ut en av figurene du har tegnet før (arbeidsark 70 - 73), og lag en som er større enn, men formlik den du har laget.

Tema\ Formlike figurer, variabler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

138

Arbeidsark 77

PARALLELLOGRAMMER OG JULESTJERNER a

Lag en prosedyre for parallellogram der både sider og én vinkel kan varieres. Bruk denne prosedyren til å tegne figurene:

b

Lag en ny prosedyre som tegner flere parallellogrammer, slik at de sammen former ei julestjeme. Her skal det være mulig å variere vinkelen og ei side i hvert av bladene i julestjema (som er parallellogrammer).

c

Undersøk hvordan stjerna ser ut for forskjellige verdier av bladvinkelen. Kan du finne ut om det er en sammenheng mellom antall blader i julestjema, og hvorvidt et blad overlapper nabobladene.

d

Undersøk stjerner med forskjellig antall blader, og finn ut hvordan sammenhengen er mellom antall blader, bladvinkel og overlapping av bladene.

Tema\ Parallellogram, variabel, vinkler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

139

Arbeidsark 78

REKTANGLER OG SIRKLER a

Lag en prosedyre for å tegne rektangel der du kan variere sidene uavhengig av hverandre.

b

Bruk rektangelprosedyren i nye prosedyrer slik at du kan tegne denne figuren:

Tegn figurer med forskjellige sidelengder i rektangelet. Skriv litt om det du finner ut om figuren. Du kan bruke sidelengdene i rektanglet som parametre til prosedyren. c

Vi kan se på en sirkel som en regulær mangekant med for eksempel 72 sider. Lag en sirkelprosedyre, og finn ut hvordan du kan tegne en sirkel med en bestemt radius.

d

Tegn en sirkel som passer inn i figuren:

Tema: Rektangel, sirkel, variabler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

140

Arbeidsark 79

REKURSJON OG SPIRALER a

Prøv denne prosedyren:

PROS firksp :s fram :s høyre 90 firksp :s SLUTT

Den stopper ikke, så du må avbryte når du har sett nok på den! ( i Nor-Logo.) Legg merke til den siste kommandoen før SLUTT. Prosedyren kaller seg selv. Dette kalles rekursjon. Her er det halerekursjon siden det rekursive kallet står til slutt. Bytt ut siste linje med firk :s + 5 og se hva som skjer med prosedyren. Forsøk å forklare hvorfor det blir slik. For å få mer kontrollert avslutning kan du sette inn denne kommandoen i starten, like etter prosedyreoverskrift: om :s > 150 så [ferdigj b

Forsøk å gjøre forandringer i spiralprosedyren du har kommet fram til i a, slik at du får fram andre tegninger. Du kan for eksempel prøve å forandre på vinkelen, eller sette inn firkant :s i stedet for fram :s, eller føye til noen andre kommandoer. Kanskje du kan lage noen av disse figurene?

c

Her er en spiralprosedyre der bare vinkelen forandres: PROS spi :s :v fram :s høyre :v spi :s :v + 10 SLUTT Prøv den ut med forskjellige verdier av :s og :v. Tips: Prøv spi 20 33, spi 20 10 og spi 20 45. Prøv også å forandre på tallet som vinkelen øker med.

Tema'. Rekursjon, spiraler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

141

Arbeidsark 80

MER REKURSJON I noen av oppgavene her kan det lønne seg å bruke prosedyrer vi har laget før. a

Vi bruker prosedyren for kvadrat i en ny prosedyre. Undersøk hva som kommer ut av denne: PROS firkanter :s om :s > 200 så [ferdig] kvadrat :s firkanter :s+10 SLUTT

b

Gjør forandringer i prosedyren i a slik at den kan tegne disse figurene:

c

Finn ut hvordan du kan lage disse figurene:

d

Forsøk å lage flere liknende figurer selv.

Tema: Rekursjon, variabler Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin-Logo

142

Arbeidsark 81

KOORDINATGEOMETRI I utgangspunktet står skilpadda i posisjon (0,0) og peker i retning 0. Vi kan styre den til å flytte til en bestemt posisjon ved å angi koordinater og til å peke i en bestemt retning. Disse kommandoene kan brukes:

tilx 30 tily '-20 tilpos 20 50 kurs 60 hjem

xpos ypos pos kurs#

Vi må bruke ' foran minustegn i Nor-Logo. Vi kan også gjøre skilpadda usynlig med kommandoen usynlig og vise den igjen med synlig. Tegningen går fortere når skilpadda er usynlig. a

Prøv kommandoene og finn ut hvordan de virker.

b

Hva er den største og minste .x-verdien som er synlig på skjermen? Finn også tilsvarende y-verdier.

c

Planlegg en tegning du vil lage på ruteark. Bruk kommandoene som er vist her, til å lage tegningen.

d

Kommandoen slump 100 trekker tilfeldige tall. Prøv disse kommandoene flere ganger:

tilpos slump 200 slump 100 ned fram 1 opp Lag en prosedyre slik at det blir lett å utføre kommandoene flere ganger. e

I stedet for fram 1 som er gitt i d kan du bruke en annen prosedyre, for eksempel en stjerneprosedyre eller en blomstprosedyre. Tegn en stjernehimmel eller en blomsterhage med stjerner eller blomster på tilfeldige steder på skjermen. Du bør kunne få stjerner eller blomster på alle mulige steder på skjermen. Tips: Du kan bruke 100 - slump 200 eller noe som likner, for å få negative tall tilfeldig.

Tema: Rekursjon, variabler Progranv. Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

143

Arbeidsark 82

FUNKSJONSMASKINER Arbeid to og to sammen. a

Lag en prosedyre som likner en av disse uten at den du arbeider sammen med, ser det:

PROS funk :x gi ”y :x + 3 svar :y SLUTT

PROS funk :x svar :x*0,2 SLUTT

Prosedyrene får et tall og gir et nytt tall tilbake avhengig av den formelen du legger inn. Nå skal medeleven din prøve funksjonen din for forskjellige verdier av :x, og gjette hvilken formel du har lagt inn i prosedyren. Prøv for eksempel prosedyrekallene funk 1, funk 5 og funk 10 og se hva resultatet blir.

b

Bytt roller og prøv flere funksjoner. Formlene kan være en av disse eller noen som likner:

Logo: :x - 5 3*: x

:x/5 2*:x + 1

:x/2 - 3

Vanlig formelspråk: x-5 3x

5 2x + 1 A_Q 2

Det kan kanskje være nyttig å få ut en tabell med verdier for funksjonene. Denne prosedyren kan brukes for å skrive en tabell over x-verdier:

PROS tabell :x :dx skrivi [TABELL OVER x og FUNK x] gjenta 10 [ skrivi :x funk :x gi "x :x + :dx] SLUTT

Tema: Funksjoner (se også arbeidsark 1) Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

144

Arbeidsark 83

TALLREKKER Nå skal vi arbeide med tallmønstre. Da er det best å bruke hele skjermen til tekst. Bruk kommandoen vistekst (eller textscreen, ts).

a

Prøvekjør denne prosedyren med forskjellige verdier av :n, og finn ut hvordan den virker.

PROS tall :n gi "x 1 gjenta :n [ skrivi :x gi "x :x+l] SLUTT

Gjør forandringer i prosedyren slik at den skriver bare oddetall. b

Tell antall prikker i trekantfigurene nedenfor. Vi kaller disse tallene for trekanttall.

Finn ut hvordan dette tallmønsteret kan lages og skriv opp de tre neste tallene.

c

Nå skal vi lage en prosedyre som skriver de første trekanttallene, og videre så langt vi ønsker. Vi kan bruke prosedyren fra a med noen forandringer. Finn ut hvordan du kan bruke de følgende linjene i en prosedyre som skriver opp tabellen med nummer og trekanttall: gi "sum 0 gi "sum :sum + :x skrivi :sum

Nummer 1 2 3 4

d

Trekanttall 1 3 6 10

Gjør passende forandringer i prosedyren du har laget foran, eller lag en liknende prosedyre, slik at du kan skrive ut oddetallene og summer av oddetall ved siden av hverandre. Kan du finne noe mønster i disse tallene?

1 3 5 7

1 4 9

Tema: Tallmønster, partall, oddetall, trekanttall Program: Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

145

Arbeidsark 84

FAKTORER OG PRIMTALL a

Prøv ut med flere talleksempler hvordan kommandoene kvot og rest virker. Begge skal ha to tall som parametre, for eksempel: kvot 10 3 og rest 10 3

b

Lag en tabell over kvot 20 :x når :x varierer fra 1 til 20. Lag også en tilsvarende tabell over rest 20 :x. Lag også slike tabeller for 29. Tips: Bruk en prosedyre som likner prosedyren tabell fra arbeidsark 82.

c

Studer prosedyren. Skriv en forklaring på hvordan den virker, og hva den kan brukes til:

PROS ftall :x gi "cl 2 merke "hit om :x < :d så [ferdig] om ( rest :x :d ) = 0 så [skrivi :d gi "x :x / :d] ellers [gi "d :d + 1] hopp "hit SLUTT Tips: Start prosedyren med for eksempel ftall 243 eller ftall 97. I denne prosedyren har vi også brukt merke "hit og hopp "hit for å få repetisjon av de to om-så-kommandoene. Dette fortsetter til :x er mindre enn :d.

d

Finn alle faktorene i hvert av tallene 63, 87, 296, 871,2 513 og 6 957. Er noen av tallene primtall?

For å løse de to neste oppgavene, kan du forandre litt på prosedyren i c. e

Lag en prosedyre som teller opp hvor mange primfaktorer det fins i et bestemt tall.

f

Lag en prosedyre som skriver melding om et tall er primtall eller ikke.

Tema-. Faktorer, primtall, faktorisering Progranv. Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

146

Arbeidsark 85

TILFELDIGE TALL a

Skriv kommandoen slump 10 flere ganger. Hvilke tall kan du få som resultat? Hvordan kan du bruke denne kommandoen til å simulere terningkast?

b

Vi lager følgende prosedyre:

PROS kast svar 1 + slump 6 SLUTT Prøv denne flere ganger, for eksempel ved å skrive: gjenta 10 [ skrivi kast]

c

Lag en liten prosedyre som kan brukes til å snurre på et lykkehjul. Det skal være 10 like store sektorer, med nummer 1, 2, 3, ... 10, på lykkehjulet.

Ida satser på tallene 8 og 9. Tror du hun vinner i løpet av ti omganger? Bruk lykkhjulprosedyren din ti ganger, og se på resultatet. Gjør forsøket flere ganger.

d

Et annet lykkehjul gir 20 % sjanse for å vinne. Hvordan kan du simulere dette? Lag en prosedyre for å simulere dette, og snurr lykkehjulet 10 ganger. Hvor mange ganger vinner du?

e

Det kommer stadig bilister til vaskehallen for å vaske bilen. Vasketida er ti minutter. Nå skal vi simulere ankomsttidspunkt for en bil i løpet av en time, si mellom klokka 14 og klokka 15, og finne ut hvor lenge bilistene må vente. Lag en prosedyre for å trekke tilfeldige tall 0, 1,2, ... 59 for et gitt antall biler.

Undersøk gjennomsnittlig ventetid hvis det kommer fem biler i dette tidsrommet. Undersøk hvordan det går hvis det kommer flere biler. Omtrent hvor mange biler kan det komme per time før bensinstasjonen bør skifte ut vaskemaskinen med en som vasker raskere?

\Tema-. Tilfeldige tall, simulering (se også arbeidsark 36) \Program-. Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

147

Arbeidsark 86

TERNINGKAST a

Prøv prosedyrene flere ganger, og finn ut hva de kan brukes til. PROS kast gi "k 1 + slump 6 skrivi :k om :k = 6 så [skrivi [Det ble sekser]] SLUTT

PROS tokast gi "tok (1 + slump 6) + (1 + slump 6) (skrivi [To kast gir sum ] :tok) SLUTT Tips: Du kan bruke gjenta 15 [kast ] for å gjøre 15 kast. Prøv å forandre på prosedyren tokast, og finn ut om det ville være like godt å bruke gi "tok 2 + slump 6 + slump 6 eller gi "tok 2 + 2*slump 6 i prosedyren.

b

Nå skal vi gjøre flere forsøk og telle opp hvor mange ganger vi får sum 7 etter to kast. Vi bruker en variabel "antsju for å telle opp hvor mange ganger vi får 7 i prosedyren tokast.

PROS terningkast :n gi "antsju 0 gjenta :n [tokast] (skrivi [Resultat av forsøkene med to terninger i ] :n [kast]) (skrivi [Antall sjuere] :antsju) (skrivi [Relativ frekvens] :antsju /:n) SLUTT For at dette skal virke må du sette inn kommandoen om :tok = 7 så [gi "antsju :antsju + 1] på riktig sted i tokast-prosedyren. Finn ut hvordan dette må gjøres. Prøvekjør og kontroller resultatene dine. Forsøk flere ganger. Kan du si noe om sannsynligheten for å få sum 7 ved kast med to terninger? Kunne du ha funnet dette bare ved å tenke? c

Gjør forandringer slik at du kan telle opp frekvensen av sum lik 5, eller sum lik 8. Utvid prosedyren slik at den også kan telle opp flere frekvenser samtidig.

d

Det er mulig å få tegnet opp et stolpediagram som viser hvordan frekvensfordelingen blir. Hent inn prosedyrene fra filen "toternl.log. Prøvekjør programmet ved å skrive start. Undersøk hvordan det virker.

Tema'. Tilfeldige tall, simulering, terningkast (se også arbeidsark 37) Program'. Logo eller Basic

148

Arbeidsark 87

TILFELDIGE PUNKTER I SIRKELEN a

Tegn et kvadrat med side 200, et hjørne i (-100, -100) og motstående hjørne i (100,100). Tips: Du kan bruke tilpos '-100 '-100 for å flytte til første hjørnet.

b

Tegn en sirkel mnskrevet i kvadratet. Sirkelen kan godt tegnes som en 72-kant med passe stor side, slik at radien blir 100.

c

Nå skal vi finne arealet av sirkelen ved hjelp av Monte Carlo-metoden. Vi velger da tilfeldige punkter, alle innenfor kvadratet. Så teller vi opp hvor mange av disse som kommer innenfor sirkelen. Finn ut hva den følgende prosedyren gjør: PROS prikk gi "x slump 200 gi "y slump 200 tilpos:x :y ned fram 0,3 opp SLUTT

Gjør nødvendige forandringer slik at den alltid tegner innenfor kvadratet. Tips: Se på hva som kommer ut av 100 - slump 200. Prøvekjør mange ganger, for eksempel ved å bruke gjenta 20[prikk], og tell opp hvor mange prikker som kommer inni sirkelen. Hvordan kan du bruke dette til å finne tilnærmet arealet av sirkelen? d

Hva er kravet for et punkt med koordinater x og y skal komme innenfor sirkelen? Bruk betingelsen til å lage en kommando av denne typen: om .... så [skrivi [Prikken i sirkelen]] ellers [skrivi [Utenfor]] Sett denne inn i prikk-prosedyren på passende sted, og kontroller at det blir riktig.

e

Nå vil vi bruke en variabel "ant til å telle opp hvor mange prikker som kommer inni sirkelen. Gjør nødvendige forandringer i prikk-prosedyren. Denne prosedyren kan brukes til å starte simuleringen: PROS start :n kvadrat sirkel gi "ant 0 gjenta :n [prikk] (skrivi :ant [prikker inni sirkelen]) :ant (skrivi :n [prikker i alt] :n ) SLUTT

Utfør simuleringen med noen forskjellige verdier av parameteren :n, og se hvor nøyaktig det går an å bestemme arealet med denne metoden.

Tema\ Tilfeldige tall, simulering, arealet av en sirkel Program'. Nor-Logo, WinLogo, LogoWriter eller Terrapin Logo

149

Arbeidsark 88

LAGE TALLREKKER a

Prøvekjør dette Basic-programmet, og finn ut hvordan det virker. 10 FOR i = 1 TO 20 STEP 1 20 PRINT i 30 NEXT i Bytt ut tallene i FOR setningen, for eksempel slik: FOR i = 5 TO 20 STEP 3 Hva skjer? Finn ut hvordan du kan skrive alle oddetallene fra 1 til 39. Hvordan skriver du partall?

b

Tell antall prikker i trekantfigurene nedenfor. Vi kaller disse tallene for trekanttall. Finn ut hvordan dette tallmønsteret kan lages, og skriv opp de tre neste trekanttallene.

c

Nå skal vi lage et program som skriver de første trekanttallene, og videre så langt vi ønsker. Vi kan bruke programmet fra a med noen forandringer. Finn ut hvordan du kan sette inn de følgende linjene, slik at programmet skriver en tabell med nummer og trekanttall: Nummer 1 2 3 4

sum = 0 sum = sum + i PRINT i; sum

d

Trekanttall 1 3 6 10

Gjør passende forandringer i programmet du har laget foran, eller lag et liknende program, slik at du kan skrive ut oddetallene og summer av oddetall ved siden av hverandre. Kan du finne noe mønster i disse tallene?

Tema'. Tallmønster, partall, oddetall, trekanttall, kvadrattall Prograirr. Basic, GWBasic eller QBasic

150

Arbeidsark 89

FINNE FAKTORER OG PRIMTALL

a

Hva blir svaret, og hva blir resten, når vi deler 20 på 3? Hva blir den når vi deler på 4, 5, eller når vi deler på 6? Vi tenker bare på hele tall i denne oppgaven.

Nå skal vi se på et lite Basic-program. I tillegg til vanlige regneoperasjoner har vi også funksjonene MOD og INT. For eksempel kan vi i Basic skrive 20 MOD 3 og INT(20/3) 10 FOR i = 1 TO 19 STEP 1 20 PRINT i; 20 MOD i 30 NEXT i

b

10 20 30 40 50 60

Finn ut hvordan MOD virker ved å prøve ut programmet: CLS tall = 20 FOR i = 2 TO tall STEP 1 IF tall MOD i = 0 THEN PRINT i NEXT i END

Lag også en tilsvarende tabell over INT(20 /i). Prøv å bytte ut 20 med noen andre tall, for eksempel 23, 25 eller 29. c

Skriv en forklaring på hvordan dette programmet virker og hva det kan brukes til. Tips: Bytt ut linje 20 med for eksempel tall = 24, tall = 97, tall = 243 eller andre tall du vil undersøke.

d

Finn alle faktorene i hvert av tallene 63, 87, 296, 871, 2513 og 6957. Er noen av disse primtall?

e

Undersøk hva programmet gjør om du bytter ut linje 40 med denne:

40

IF tall MOD i = 0 THEN PRINT i : tall = tall /i:

GOTO 40

Her har vi skrevet flere kommandoer etter hverandre ved å sette kolon mellom dem. For å løse de neste oppgavene, kan du forandre litt mer på programmet i c.

f

Lag et program som teller opp hvor mange primfaktorer det fins i et bestemt tall. For eksempel har tallet 12 primfaktorene 2, 2 og 3, altså i alt tre primfaktorer.

g

Lag et program som skriver melding om et tall er primtall eller ikke.

Tema\ Divisorer, primtall, faktorisering Program'. Basic, GWBasic eller QBasic

151

Arbeidsark 90

LØSE LIKNING

a

Hans og Miriam gjerder inne kaninene sine ned mot elva. 100 m gjerde brukes, og området har form som et rektangel, med gjerde på tre sider. Hvordan bør målene på området være om hele gjerdet skal brukes og det skal være 600 m2?

b

Vi sier at bredden i rektanglet side er 5 meter, og vi får da at arealet er A = 5(100 - 2^). Hvorfor er det riktig?

Vi får da sammenhengen 5(100 -5) = 600 som gir 2

S “ 6 + 50

Forklar hvorfor dette er riktig. c

Prøv dette Basic-programmet og se hvordan det virker.

10 S = 1 20 FOR N = 1 TO 10 30 S = 6 + SA2/50 40 PRINT I, S 5 0 NEXT N Forklar hvordan programmet virker. Hva får du ut? Hvordan vil du endre programmet for å få skrevet ut 15 verdier? Prøv med å sette inn et annet starttall. Hvordan blir nå de tallene som skrives ut?

d

Even sier at dette programmet bare bruker denne tallmaskinen mange ganger:

Har Even rett?

e

Vi vil finne tredje rot av 50, altså det tallet som opphøyd i tredje blir lik 50. Det betyr vi vil finne x slik at x3 = 50. Vi kan omforme den på flere måter:

Lag Basic-program for hver av disse, og se om du kan finne en løsning.

Tema\ Løse likninger. Omforme algebraiske uttrykk, rekursjon. Programmering. Program-. Regneark. Programmeringsspråk: Basic, GWBasic, QBasic

152

Arbeidsark 91

GEOMETRI PÅ DATASKJERMEN

a

Lag en tegning der du bruker de forskjellige kommandoene i Tegn - menyen.

b

Lag den samme figuren med passer og linjal.

c

Sammenlign de to måtene å tegne på. Hva er forskjellen på å bruke dataprogrammet og passer/linjal? Skriv litt om det.

d

Lag en trekant og en sirkel på skjermen.

e

Flytt på sirkelen. Se hva som skjer. Se også på hvor mange punkter sirkelen og trekanten kan ha felles.

Når en sirkel og en linje bare har ett punkt felles, sier vi at de tangerer (berører) hverandre. Linja er da tangent til sirkelen. f

Tegn sirkelen slik at den ikke har noen punkter felles med trekanten. Kan de ha nøyaktig tre punkter felles? Forklar hvordan de da kan ligge. Kan de ha fem punkter felles? Forklar. Undersøk videre.

g

Tegn et linjestykke og mål lengden. Dra det så det bli 8 cm, kall det AB. Tegn et linjestykke BP med lengde 6 cm og et linjestykke AQ som er 5 cm.

h

Hvor finner vi alle punkter som ligger 6 cm fra B? Hvor finner vi alle punkter som ligger 5 cm fra X? Konstruer trekant ABC der BC =■ 6 cm og CA - 5 cm.

Tema: Innledning til geometri. Muligheter med et konstruksjonsprogram Program: Konstruksjonsprogram: Cabri, The Geometer's Sketchpad, Geometrix e 1

153

Arbeidsark 92

FIRKANTER

a

Hent inn figuren med navn Firkant fra disketten. Hva slags firkanter ser du? Prøv å dra i noen av hjørnene. Hvilken av firkantene A - G fortsetter å være kvadrat selv når du drar i et av hjørnene? Hvilken fortsetter å være rektangel?

b

Firkantene ser ut som kvadrater. Men det er bare en av dem som er konstruert som et kvadrat. Prøv å plassere riktig navn på hver av firkantene A - G. Navnene skal være: Kvadrat, rektangel, trapes, rombe, parallellogram og drake. En av firkantene har ikke noe spesielt navn, den kalles bare firkant. Hvilken? A

B

C

D

E

F

G

_______________

c

Hent inn figuren Rekt. Det er en firkant som er konstruert som et rektangel. Lag nye rektangler ved å dra i hjørnene. Hva kan du si om lengden av sidene? Hva ser du om diagonalene? Hva kan du si om størrelsen på de fire vinklene? Hva blir summen av vinklene?

d

Hent inn en av de andre firkantene. Velg mellom Parall (parallellogram), Trapes, Rombe, Drake eller Kvadrat. Mål de sidene du trenger og undersøk firkanten på samme måte som i c.

e

Hent inn figuren Firksum. Dette er en firkant med vinklene markert. Hva blir summen av vinklene? Dra i hjørnene og se hvordan vinklene forandres. Se også på vinkelsummen. Hva tyder dette på?

Tema\ Egenskaper ved firkanter, ulike typer firkanter Program'. Konstruksjonsprogram: Cabri, The Geometer's Sketchpad, Geometrix e 1 Fil', arbark 92

154

Arbeidsark 93

SIRKLER, SEKSKANTER OG STJERNER

I denne oppgaven bør du skjule alle hjelpelinjene når du er ferdig med dem. a

Du skal lage en figur som vist på tegningen. Her er et vink: Bruk kommandoen Sirkel definert ved sentrum og ett punkt.

b

Bruk en slik figur til hjelp for å lage en regulær sekskant inni en sirkel. En regulær sekskant har seks symmetrilinjer eller symmetriakser. Tegn inn alle symmetrilinjene i sekskanten.

c

Konstruer en sekstakket stjerne (Davidsstjemen).

d

Tegn en sirkel med en regulær trekant inni. Alle hjørnene i trekanten skal ligge på sirkelen. En regulær trekant har tre symmetrilinjer. Tegn disse inn på trekanten.

e

Konstruer et kvadrat inni en sirkel. Alle hjørnene i kvadratet skal ligge på sirkelen.

f

Konstruer en regulær åttekant.

Tema: Løse likninger. Omforme algebraiske uttrykk, rekursjon. Programmering. Program: Regneark. Programmeringsspråk: Basic, GWBasic, QBasic

155

Arbeidsark 94

TREKANTER

a

Hent inn figuren med navn Trekant fra disketten. Hva slags trekanter ser du? Prøv å dra i noen av hjørnene. Hvilke av trekantene A - F fortsetter å være rettvinklet selv når du drar i et av hjørnene? Hvilke fortsetter med å være likebeint?

b

Prøv å plassere riktig navn på hver av trekantene A - F. Navnene skal være: Rettvinklet, likebeint og likesidet (regulær). To av trekantene har ikke noe spesielt navn, de kalles bare trekanter. Hvilke?

A

B

C

I)

E

F

c

Hent inn figuren Rettv. Det er en trekant som er konstruert rettvinklet. Lag nye rektangler ved å dra i hjørnene. Ser du noe om vinklene? Marker dem og mål dem. Hva blir summen av to av vinklene? Kan du si noe om lengden av sidene?

d

Hent inn en av de andre trekantene: Lsidet (likesidet) eller Lbeint (likebeint). Mål de sidene du trenger og undersøk firkanten på samme måte som i c.

e

Hent inn figuren Treksum. Dette er en trekant med vinklene markert. Hva blir summen av vinklene? Dra i hjørnene og se hvordan vinklene forandres. Se også på vinkelsummen. Skriv om det som gjelder for vinklene i trekanter.

f

Lag en trekant. Finn midtpunktet på de tre sidene. Roter trekanten 180 grader om hvert av de tre midtpunktene. (Vink: Bruk kommandoen Symmetrisk punkt.) Ser du noe? Kan du fortsette med å rotere en av de nye trekantene videre 180 grader om et nytt midtpunkt? Hva slags mønster får du? Forklar.

Tema'. Egenskaper ved firkanter, ulike typer firkanter Program: Konstruksjonsprogram: Cabri, The Geometefs Sketchpad, Geometrix e 1 Fil: arbark 94

156

Arbeidsark 95

MILJØET VÅRT

Dette er en ide til et prosjekt med utgangspunkt i spørsmål rundt miljøet vårt. Presiser selv tema nærmere og hvordan dere vil presentere det. Hva med å lage en utstilling med plakater som viser noen trusler mot vårt miljø: Tungmetaller, ozonlaget, sur nedbør, skogressurser, fiskeressurser, biodiversitet, avfall, klimaendringer. La gjerne gruppene i klassen fordele emnene mellom seg.

Dere skal selv finne litteratur. En kilde til stoff er GRID-Arendal. På deres intemettadresse kan dere finne mange opplysninger. Dere kan hente ned kart og diagrammer. Se GRID-Arendals hovedside og deres side Miljøstatus Norge. Her leser vi blant annet følgende: Kvikksølv er et tungmetall, og er spesielt giftig i luft og vann når det opptrer i form av metylkvikksølv. Kvikksølv hoper seg opp i levende organismer (det er bio-akkumulerende). Mennesker og dyr som er på toppen av næringspyramiden, kan derfor lett bli utsatt for høye konsentrasjoner og få forgiftningssymptomer. Kvikksølv er svartelistet i følge Paris-konvensjonen. Industrielle utslipp i Norge har gått vesentlig ned de siste ti årene.

a

Nevn noen tungmetaller som er miljøgifter.

b

Finn ut hvordan mengden av kvikksølv i luft og i vann har variert de siste årene. Gjør det samme for noen andre tungmetaller.

Videre heter det: Sur nedbør er nedbør som har vært i kontakt med svoveldioksid (SO2) og-eller nitrogenoksider (NOX) i atmosfæren. 1 atmosfæren reagerer disse oksidene med vanndamp og danner svovelsyre og salpetersyre. Disse sure forbindelsene faller så ned med regnvann og snø, eller som tørravsetninger i form av SO2, svovel og nitrogen-salter. SO2 og NOX fins naturlig i atmosfæren. Industrialiseringen har imidlertid ført til at SO2- og NOX- innholdet i atmosfæren har økt dramatisk. Forurensningskildene er i første rekke forbrenning av fossilt brensel: kull, olje og gass. Storparten av denne forbrenningen skyldes kullfyrte kraftverk, vegtrafikk, skipstrafikk, metallproduksjon o.l. I Norge stammer mesteparten av det sure nedfallet fra utslipp av SO2 og NOX i

Storbritannia, Sentraleuropa og Russland. 86% av nitrogennedfallet og 95% av svovelnedfallet i Norge skyldes disse langtransporterte luftforurensningene.

c

Finn ut noe om sur nedbør: Hvordan det har endret seg over tid, hvor det kommer fra, hvordan nedbøren skyldes ulike forurensingskilder osv. Lag tabeller, figurer og diagrammer.

d

Velg så ett felt av miljøspørsmålet og lag et prosjekt på dette. Tenk på hvordan matematikken blir brukt i arbeid med miljø. Hvordan blir matematikken brukt i deres eget prosjekt?

Tema\ Miljø. Bruk av Internett til å hente ned informasjon til et prosjekt. Internettadresser: http://www.grida.no/ http://www.grida.no/prog/norway/soeno98/index.htm

157

Arbeidsark 96

SMÅGODT I butikken på hjørnet selger de forskjellige type godt. Ola har 50 kr å kjøpe for. Hva kan han velge? Her er noen av mulighetene:

a

Snickers Bounty Melkerull Krokanrull Laban seigemenn Donald godtemix Sjokolademus Smil (2-pakke)

9,90 7,50 12,00 12,00 16,50 21,50 18,00 17,80

Hakka møkk (pose) Søppeldynga (pose) Familieguff Peanøtter, liten pakke Peanøtter, stor pakke Twist (liten) Twist (stor) Lakriskonfekt

13,10 13,10 18,50 8,90 13,90 25,50 32,50 12,90

Lag en oppstilling på regneark slik at du kan prøve deg fram.

1 2 3 4 5 6 7 8

A Peanøtter liten pakke Sjokolademus

B

8,90

SUM

I regnearket må du skrive tekst og tall i forskjellige ruter. I rute B8 kan du sette inn formelen =SUMMER(B1:B7) for å summere tallene ovenfor. Dette kan også gjøres ved å sette rutemarkøren i B8 og så trykke på summeringsikonet, E.

Du får 80 kr som du kan bruke til smågodt for deg selv og lillesøsteren din. Hvordan vil du planlegge innkjøpet? Klassen din skal ha fest og skal kjøpe inn litt sjokolade og smågodt til festen. Da må dere sikkert kjøpe flere pakker peanøtter, flere sjokolader og så videre. Lag en oppstilling slik at dere kan sette inn antall.

b

Antall 4 5

Vareslag Peanøtter Twistpakker

Pris per enhet Pris å betale 13,90 55,60 32,50

SUM

Finn ut hvordan dere vil planlegge innkjøpet slik at dere ikke kjøper for mer enn 350 kr.

Program'. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

158

Arbeidsark 97

PRISLAPPER PÅ OST

a

1 kg ost koster 72,50 kr. Hva koster 2 kg? Hva koster 1,4 kg? Hvor mye koster 0,65 kg?

b

Lag en oppstilling på regneark for å regne ut prisen på et ostestykke når du kjenner pris per kilo og vekta av ostestykket. Oppstillingen kan se ut omtrent som disse prislappene.

W

27 % fett Nectovekt

Best før

Pris

0.530k9 kr74.00 kr39.22

28.01.95 10SL3

Kilopris

12

"

H-3367

IIIIIHI

2 002172 339221

Bruk oppstillingen din til å kontrollere at disse prislappene er riktige. Kontroller også utregningene dine i a. c

d

Maskinen som skriver ut prislapper i butikken har sviktet. Bruk regnearket til å fylle ut riktige sluttpriser på disse tre prislappene.

Norvegia kg pris 72,50 ant. kg 0,563

Jarlsbergost kg pris 76,50 ant. kg 0,62

Edamerost kg pris 69,50 ant. kg 0,8

PRIS

PRIS

PRIS

Maskinen som skriver prislapper er blitt reparert, men den er ikke i orden ennå. Den regner ofte feil, og noen ganger greier den ikke å skrive ut alle tallene. Finn ut hvilke prislapper som er feil og rett opp feilene:

Norvegia kg pris 72,50 ant. kg ..... PRIS

48,00

Norvegia kg pris 72,50 ant. kg 1,15 PRIS

63,50

Jarlsbergost kg pris 76,50 ant. kg 1,24

Edamerost kg pris 69,50 ant. kg 0,634

PRIS

PRIS

60,50

83,50

Ridderost kg pris 96,70 ant. kg 0,...4...

Nøkkelost kg pris 75,80 ant. kg 0,876

PRIS

PRIS

74,50

Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

159

83

Arbeidsark 98

VALUTA FOR PENGENE Anne og Nils spiser ofte frokostblanding med melk om morgenen før de går på skolen. Nå lurer de på hvilke pakker som gir mest for pengene.

Her er priser på noen pakker de kan kjøpe.

Vare Corn flakes Kelloggs special All Bran regular Crunc muslii Musli med frukt Honni Corn Chocco Frokost

a

Pris per pakke 29,50 27,90 26,90 27,90 29,50 34,50 29,80

Inneholder i

gram

750 375 500 750 1000 500 375

Lag en oppstilling på regneark for å beregne prisen for 100 gram for de forskjellige pakkene. Finn ut hvilken frokostblanding som blir billigst. Tips: Du kan bruke MIN(...) for å bestemme minste verdi, eller tegne et stolpediagram og sammenlikne lengden av stolpene.

Undersøk selv prisene på noen flere frokostblandinger og sammenlikn. Skriv en liten rapport om hva du har funnet ut.

b

Mange lager selv frokostblanding av havregryn, hvetekli, nøtter, rosiner og frø. En oppskrift på frokostblanding kan være slik:

200 g havregryn 100 g solsikkefrø 100 g grov sammalt hvete 100 g hvetekli 100 g rosiner 100 g hakkede mandler eller nøtter Alt dette blandes sammen. Finn ut hva prisen er for råvarene, og regn ut hva denne forkostblandingen koster for 100 gram. Sammenlikn prisen med de ferdige frokostblandingene.

Finn ut hvordan du kan forandre på oppskriften slik at frokostblandingen blir billigere.

Priser for noen råvarer til frokostblanding: Grov sammalt hvete 8,60 kr per kg Havregryn 11,90 kr for 750 gram Mandler 25,90 kr for 1/2 kg Rosiner 17,50 kr for 500 gram Solsikkefrø 9,90 kr for 250 gram Kruska kli 9,90 kr for 400 gram

Progranv. Regneark: Excel, Plan Perfect eller Claris Works

160

Arbeidsark 99

FORANDRING I PENGEVERDI Prisindeksen forteller hvor mye ei krone er verd sammenlignet med verdien i et bestemt år. I den historiske prisindeksen til Norges Bank er indeksen for 1920 satt til 100, og de andre beregnes i forhold til denne. For 1935 var prisindeksen 50, og i 1990 var prisindeksen 1074,60. Det betyr at vi trenger 1074,60 kr for å ha samme kjøpekraft i 1990 som vi ville ha med 100 kr i 1920. Prisindekser for årene fra 1853 til i dag fins på Norges Banks sider på Internett under emnet statistikk. Statistisk Sentralbyrå har nyere prisindekser. a

Hent inn data fra Historisk konsumprisindeks fra Internett. Ta utskrift eller notér de tallene du trenger.

b

Anne flyttet på hybel i 1960 og kjøpte da noe utstyr: et kaffeservise for 6 personer til 50 kr, en kaffekjele til 70 kr og en liten duk til 15 kr. I 1965 kjøpte hun et skrivebord til 500 kr. Lag en oppstilling på regneark for å regne om fra 1960-kroner til dagens kroneverdi. Finn ut hva kroneverdien til disse prisene ville tilsvare i dag.

c

I 1874 kostet en symaskin 17 speciedaler. Andre priser fra dette året er: Landstads salmebok til 30 shilling, landstads salmebok med storstilt skrift kostet fra én speciedaler og 8 shilling (og oppover). Et lite makrellgam kostet 5 speciedaler og 36 shilling. Kronen ble innført som myntenhet fra 1874, og da ble en speciedaler satt til 4 kr. Det var 120 shilling i en speciedaler. Finn ut hva disse prisene ville tilsvare i dag.

d

Spør dine foreldre eller besteforeldre om noen priser de husker fra tidligere, og regn om til dagens kroneverdi.

e

Bruk data fra Historisk konsumprisindeks til å lage en tabell på regneark over prisindeks for hvert år fra 1900 til idag. Lag diagram. Legg merke til at prisindeksen kan gå både opp og ned. Finn ut når det har gått nedover og når det har gått oppover. Finn ut i hvilke perioder forandringene har vært størst. Hvorfor var det slik? Tips: Tenk på hva som skjedde i Norge disse årene og om det påvirket prisene.

f

Bruk tabellen til å lage en utregningsmåte for regneark der du kan sette inn årstall og kronebeløp - og få til svar dagens verdi. Bruk denne oppstillingen til å kontrollere svarene dine fra punktene foran. Tips: funksjonen SLÅOPP(...) kan brukes her.

g

Ikke alle varegrupper forandres like mye i pris. Den vanlige prisindeksen er konsumprisindeksen. Finn ut mer om prisindekser og inflasjon ved å søke etter dette på Internett. Skriv en rapport over det du finner.

Regneark: Excel, Claris Works eller Plan Perfect. Internett'. Norges Banks sider: http://www.norges-bank.no/stat Statistisk Sentralbyrå: http://www.ssb.no/emner/08/02/

161

I

162

5 Fasit og kommentarer

5.1 Regneark - arbeidsarkene 1-39 Arbeidsarkene bygger videre på prinsipper som er gjennomgått i kapittel 2. De som ikke har erfaring med regneark tidligere, anbefales å arbeide seg gjennom eksemplene i denne delen først. Til de fleste arbeidsarkene er det utarbeidet ferdige oppstillinger og løsninger på egne filer. For eksempel er arbark5.xls regnearkfil til Excel med løsning av oppgavene på arbeidsark 5. Tilsvarende filer fins også for PlanPerfect og Microsoft Works. Det kan også være andre måter å stille opp løsningen på, derfor er innsikt i prinsippene det viktigste. I regneark kan vi velge å vise formler, slik at vi lett kan få se hvordan regnearket er bygd opp. Arbeidsark 1 Hensikten med dette er en enkel øving i å skrive formler i regneark samtidig som elevene arbeider med lineære funksjoner. Det kan være nyttig også å arbeide med desimaltall, slik at elevene får trening i å bruke desimaltall ved hoderegning.

Arbeidsark 2 Videre arbeid med samme problemstilling som på arbeidsark 1, men nå også med motsatt (invers) funksjon.

Arbeidsark 3 Det er meningen at elevene selv skal lage oppstillingen. Tallene 1-9 i området A1:C3 skal seinere byttes om, og alle skal brukes. Det kan tenkes flere løsninger på oppgaven. Dette kan gi utgangspunkt for diskusjoner gjerne på grunnlag av elevenes egne forklaringer på hvorfor det blir forskjellige svar. Blir det for vanskelig å lage oppstillingen, kan den hentes inn fra fila arbark3.xls. Arbeidsark 4 Her studerer vi tallmønstre som lages etter et bestemt mønster. Når mønsteret er oppdaget, og formler lagt inn fra starten, kan vi kopiere for å lage lange tallkolonner. Det kan være nyttig at elevene selv lager tre-fire linjer, og oppdager systemet, før vi lærer dem å kopiere formler nedover. Kopiering kan være litt vanskelig i starten, men er nyttig for seinere arbeid. Derfor kan det lønne seg å bruke litt ekstra tid på å forklare og trene på dette.

Arbeidsark 5 Oppgavene likner dem på arbeidsark 4, men her er det bevisst valgt å bruke desimaltall. I a og b skal elevene addere et fast tall, i c skal de multiplisere eller dividere med et fast tall. Kopiering brukes for å lage lange tallkolonner. Arbeidsark 6 Vi bruker samme metode som foran: å lage formler som gir mønsteret fra starten, og så kopiere videre nedover. Merk at de to første fibonaccitallene må gis som konstanter før vi kan lage formel videre. Seinere kan vi bytte ut disse to starttallene for å studere lucas-tallene og andre beslektede tallrekker.

163

Arbeidsark 7 Vi finner at de tre tallmønstrene alle kan lages etter reglene p2 = P\ + d\ °g q2 = p1 + p2, og slik videre. Det viser seg at brøken p/q i alle tilfellene går mot en grense på 0,707107..., som er 1/V2. Å finne dette er nok for vanskelig for de aller fleste elevene, men de kan kanskje begrunne at brøken må gå mot en grense.

Arbeidsark 8 Tallrekka i a lages ved å legge til et fast tall. I regneark kan vi bruke slik fast henvisning, for eksempel ved å skrive $B$5 eller gi rute B5 et navn. Da vil vi kunne kopiere formelen uten at denne rutehenvisningen forandres. (Se 2.1.4). Arbeidsark 9 Her blir elevene kjent med bruk av betingelser, samtidig som de får trening i å angi formler. (Se også arbeidsark 1 og 2). Arbeidsark 10 Sett opp tabeller over beløp hvert år. Lag også tabeller som viser summer, i kolonner ved siden av hverandre.

Arbeidsark 11 På fila blink.xls fins en oppstilling for å gi erfaring med multiplikasjon av desimaltall. Kravet til nøyaktighet kan være at avstanden til målet er mindre enn 0,01. Arbeidsark 12 Poenget er her å prøve og feile, og gjennom det få erfaring med addisjon og multiplikasjon av desimaltall. Mange elever tror at produktet alltid blir større enn hver av faktorene. Når de tvinges til å prøve faktorer mindre enn 1, vil de få en annen erfaring. Produktet kan bli et så lite postivt tall vi ønsker, hvis vi velger en faktor lik 0,001, 0,0001, 0,00001 eller enda mindre. Arbeidsark 13 På fila regel3.xls ligger oppgaver etter mønsteret i arbeidsarket. På regeI2.xls ligger tilsvarende med to variable. Formlene er skjult og beskyttet. I Plan Perfect og Works er de skjult ved at de er plassert til høyre utenfor skjermbildet. Elevene skal ikke se formlene, men prøve å lage sine egne, og teste om de gir samme svar.

Arbeidsark 14 Tallmønsteroppgave av samme type som i arbeidsark 3. Her er det lagt vekt på desimaltall, addisjon og multiplikasjon. Arbeidsark 15 Trekanttall nummer n er er lik det forrige trekanttall pluss n, Tn =Tn_} + n. I regnearket lages dette ved å bruke en kolonne med nummer. Trekanttallet i B4 lages ved formelen = B3 + A4, og slik fortsetter det. Kvadrattall, Kn, kan vi lage ved å kvadrere tallene i nummerkolonnen, for eksempel ved å bruke formelen =A4*A4 i C4. Et femkanttall får vi ved å legge sammen det tilsvarende kvadrattallet med trekanttallet foran, Fn = Kn + Tn_{. I D4 kan vi da bruke formelen =C4 + B3, og kopiere videre. Det er også mulig å finne andre formler som gir samme tallrekka. Vi kan finne slike sammenhenger ved å studere tallmønstrene, eller ved å se på figurene og dele dem opp på passende måter.

Arbeidsark 16 Tall og tekster skrives inn. For å vise én desimal i tabellen kan vi bruke formateringskoden: 0,0. Velg Format, Tal), og angi koden 0,0 i feltet nederst. For å

164

lage grafisk framstilling, markeres kolonnene "navn på dager" og "tall", altså området B2:D16. Klikk på grafikk, marker et område der grafikken skal tegnes, og følg anvisningene videre. Første kolonne skal brukes til Kategorialakseetiketter og første linje (Per, Ellen) til forklaring. Dette kommer automatisk dersom vi tar disse med i området.

Arbeidsark 17 Se løsning på fil. Arbeidsark 18 Legg merke til at det lønner seg å samle de rutene der vi skal taste inn verdier, og skille dem fra området med formler. Ved å forandre på startverdi i Bl og diffx i B2, får vi forandret hele tabellen. Slik kan vi zoome inn på riktig område ved å sette passende diffx og startverdi for tabellen. Arbeidsark 19 Sett 30 i B3, og gi denne navnet: areal. Sett 5 som startverdi i B5. Formelen videre i B6 blir =(areal/B5 + B5)/2. Kopier denne nedover et passende antall ganger. Denne gir da gjennomsnittet av sidelengdene, av 5 og 6 i B6, og tilsvarende videre nedover.

Arbeidsark 20 Tallmaskinen viser at når vi gjentar utregningene med et vilkårlig tall, blir resultatet det samme, x = 4. Her har vi valgt å bygge opp ei tallrekke i flere trinn for å gjøre det oversiktlig og lett å lage. Den kan også lages med en enkelt formel: =(A4 + 12)/4, som så gjentas (kopieres) nedover. Denne løsningen er også vist på regnearket. Punktene videre kan løses etter samme mønster. Arbeidsark 21 Her arbeider vi med enkle formler: = A3 * B3 /2 for areal av trekant, og = ROT(A10*A10 + B10*B10) for hypotenusen i en rettvinklet trekant. Oppgaven gir trening i å sette opp formler på regnearket og prøve ut disse.

Arbeidsark 22 Areal av sirkel med radius i A4 er =A4*A4*PI(). Legg merke til at k er gitt som en funksjon, men uten argument.Vi kan velge forskjellige plasseringer av sirklene og rektanglet som vi trenger til sylinderen. Alt 1 Se tegningen på arbeidsarket, med rektanglet nederst til sideflate i sylinderen. Høyden blir da 60 - 2r, der r er radius i cm. Volumet blir 7ir2(6O - 2r). Vi må ha 2r < 60, 4r < 130 og 2nr